Новая модель строения продольно-однородного турбулентного потока

УДК 627.83:532.507

Л.И. Высоцкий НОВАЯ МОДЕЛЬ СТРОЕНИЯ ПРОДОЛЬНО-ОДНОРОДНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА

Модель строения простейшего типа продольно-однородных потоков неоднократно пересматривалась. В статье изложены основные предпосылки, послужившие толчком к пониманию несовершенства и необходимости уточнения существующих предложений Л. Прандтля, Кармана и других. На базе доказательств теорем о существовании в указанных потоках тонкого слоя, в котором существует течение с отрицательной турбулентной вязкостью и существовании точки перегиба на эпюре осредненных скоростей, выполнен пересмотр модели строения турбулентного потока и получен ряд новых результатов.

Отрицательная турбулентная вязкость, осредненные скорости, продольно-однородные потоки, точка перегиба профиля скорости, когерентные структуры

L.I. Vysotsky NEW MODEL OF A STRUCTURE OF A LONGITUDINAL-HOMOGENEOUS

TURBULENT STREAM

Model of the simplest type of longitudinally homogeneous flows was repeatedly revised. The article describes the basic background which served as the reason for understanding the imperfections of proposals made by Prandtl, Karman and others and necessity of their refinement. On the basis of the proofs of theorems about a thin layer with negative turbulent viscosity existing inside these flows and the existence of an inflection point on the mean velocity diagram the model of the turbulent flow is revised and some new results are obtained.

Negative turbulent viscosity, time mean velocities, longitudinal-homogeneous streams, inflection point of velocity profile, coherent structures

Введение

Анализу проблем, связанных с возникновением и развитием турбулентности при движении жидкости, сопутствуют многие почти непреодолимые трудности. Это подчеркивалось неоднократно. Известно высказывание Буссинеска о том, что трудности изучения турбулентности вызывают отчаяние.

Леонардо да Винчи полагал, что изучение движения небесных тел, находящихся на огромных расстояниях от Земли, значительно проще, чем изучение движения ручейка, который протекает у наших ног.

По свидетельству Г. Моффата, фон Карман в своем вступительном слове однажды сказал, что когда он, наконец, предстанет перед Создателем, первое откровение, о котором он будет просить, раскрытие тайн турбулентности [16].

Сложности начинаются с вопроса - описывают ли достоверно уравнения Навье-Стокса течение жидкости при турбулентном режиме? В настоящее время это представляется общепризнанным, хотя вопрос о существовании и единственности их решений для пространственных течений еще не закрыт. Тем не менее, обычно исходят из того, что «при обычных обстоятельствах нет оснований сомневаться в том, что детальная структура турбулентного движения обычных жидкостей описывается уравнениями Навье-Стокса. Это предположение подтверждается отсутствием на сегодняшний день каких-либо несоответствий, связанных с принятием этого предположения» [25].

Не вполне ясна проблема о методах осреднения уравнений Навье-Стокса. Из возможных подходов (временного, пространственно-временного, по ансамблям и т.п.) к осреднению флуктуирующих полей скоростей, давлений, плотностей, температур и других переменных наиболее распространен и признан, пожалуй, метод, предложенный О. Рейнольдсом [51, 52]. Осреднение случайных функций по времени с использованием известного набора постулатов, приводит к системе уравнений Рейнольдса. В нее входят девять (сводящихся к шести) вторых одноточечных моментов (при р = const), что делает эту систему незамкнутой.

Целая плеяда выдающихся ученых, во всем мире, получив немало превосходных результатов, так и не смогла замкнуть уравнения Рейнольдса (за исключением простейших случаев). Попытка использовать для их анализа методы теории вероятностей и математической статистики [21] приводит к введению в исходные уравнения моментов все более высоких порядков. Хотя и здесь можно отметить выдающиеся результаты [21], полученные на базе интуитивных предположений.

Попытка выразить рейнольдсовы напряжения (то есть члены вида - putu j ) через параметры

осредненного течения, предпринятая Ж. Буссинеском [30], оказалась чрезвычайно плодотворной, но потребовала введения некоего аналога физической вязкости, который был назван коэффициентом вихревой, виртуальной или турбулентной вязкости. С его помощью турбулентные напряжения приводятся к виду:

Puiuj = Ц

(ди, + ди1

дx, дх,

V 1 г У

1)

где Ц - турбулентная динамическая вязкость (точнее, - коэффициент турбулентной динамической

вязкости); и1 и и  - компоненты пульсационной скорости в декартовой системе координат; черта сверху

означает осреднение соответствующих выражений по времени

Отметим, что Цт не имеет никакого отношения к физическим свойствам жидкости. Это специально подчеркивается многими исследователями [21, 25 и др.]. Турбулентная динамическая вязкость является некоей неизвестной функцией, согласующей левую и правую части равенства (1). С таким же успехом (а может быть и с большим!) в правую часть равенства (1) можно было бы ввести иное выражение, например,

(--------^

д, +

дх, дх1

V 1

или любое другое, но тогда перед этими выражениями появятся другие согласующие функции (5т и т.п.). Определить эти функции (ц, 5т и др.) можно лишь из данных уникальных экспериментальных исследований.

Единственным, но подавляющим преимуществом зависимости (1), является аналогия вводимых выражений соответствующим «вязким» членам в уравнениях Навье-Стокса.

Однако, до сих пор нет полной ясности в вопросе, является ли введенная функция Цт скалярной, векторной, тензорной, какого ранга и т.п.

Такое положение не могло не породить феноменологических подходов к анализу, в первую очередь, упрощенных задач, необходимых для решения технических проблем. К ним относятся модели плоских и осесимметричных турбулентных течений (в каналах и трубах). В этом случае касательные напряжения (физические и турбулентные) описываются единственной зависимостью:

_" “ йи . .йи

Т = Тт + Тл =~рихи7 +Ц— =

Часто используется формула

т .йи

- = V + у)~т. 3)

р йг 3)

Для продольно однородного течения при любом режиме справедлив закон распределения касательных напряжений по живому сечению

т 2 (Л г Л

— = и*| 1----|.

р V Н У 4)

где и* =,

т

- динамическая скорость, Н - глубина потока (со свободной поверхностью).

Р

При этом значение турбулентной кинематической вязкости можно найти опытным путем с помощью зависимости

2 (1 г Л

и* I 1------I

V н У

V = — --------— — V

т йи 5)

йг

Для этого необходимо с достаточной точностью измерить распределение мгновенных скоростей по

— — йи

глубине (в пределах 0 < г < Н), затем осреднить их по Рейнольдсу и из опытной связи и = и(г) найти ---------.

йг

Наибольшие трудности возникают при измерениях скорости на крайне малых расстояниях от стенки.

К настоящему времени на базе накопленных экспериментальных данных и их обобщений получен целый ряд моделей турбулентности, каждой из которых соответствует свое представление о виде введен-

ной функции Ут и соответствующее ей распределение скоростей и = и(г). Обзор этих результатов содержится во многих книгах [3, 4, 21, 25 и др.]. Ограничиваясь упоминанием о них, отметим лишь, что практически все предложения исходят из представления структуры вводимой функции vт, предложенной Ж. Бус-синеском [30] исходя из соображений размерности

Ут =ки  Ь  / (у, г),

6)

где и и Ь - характерные скорость и длина, а / некоторая согласующая безразмерная функция. Обычно принимают за и значение динамической скорости, за Ь значение так называемой «длины пути смешения», введенной Л. Прандтлем [50]. Принято выражать Ут в виде

V = и*  1,

7)

где 1 - прандтлевская длина пути смешения,

1 = к г,

8)

где К - константа.

Существует множество предложений по поводу представления Ь и только Л.Д. Ландау [18] считал, что Ь есть просто расстояние от стенки. В [8] доказано, что эта догадка есть не произвол автора такого предположения, а факт. Отсюда следует, что прандтлевская теория «пути смешения» оказывается ложной, как и все остальные, придававшие Ь то или иное выражение, вводившие поправки (обзор предложений см., например, в [21] и т.п.). Тем не менее, нельзя отрицать величайшей заслуги Л. Прандтля и его последователей, давших в свое время мощный стимул развитию теории турбулентности, но имеющих в настоящее время лишь историческое значение.

Так или иначе, были получены двух и трехслойные модели турбулентных течений в каналах и трубах с гладкими и шероховатыми стенками. Известно, что соответствующие им распределения скоростей не вполне удовлетворяют опытным данным и здравому смыслу. Основные расхождения касаются пристенной зоны и зоны, примыкающей к свободной поверхности. В частности, в последнем случае градиент скорости на свободной поверхности (а также на оси симметрии) не равен нулю, нулевому градиенту скорости соответствует нулевое значение введенной функции V, чего не может быть физически, и т.д. Тем не менее, для выполнения собственно гидравлических расчетов и достижения инженерной точности предложенные зависимости вполне пригодны. Однако, для использования их с целью дальнейших прогнозов процессов, связанных с тепломассопереносом, недостатки имеющихся моделей проявляются со всей очевидностью.

С точки зрения этих расчетов анализ того, что происходит в потоках жидкости и газа вблизи от твердой поверхности или свободной поверхности или оси симметрии потока, представляется чрезвычайно важным и оправданным.

В этом отношении может представлять интерес попытка обосновать существование вблизи гладкой твердой поверхности особого подслоя с отрицательной турбулентной вязкостью [6, 8], возможность чего, фактически, отрицается многими и многими исследователями.

1. Теорема об отрицательной турбулентной вязкости

Итак, сосредоточимся на случае простейшего продольно-однородного турбулентного течения несжимаемой жидкости (течение в круглой трубе или в плоском канале).

В этом случае турбулентная кинематическая вязкость (вихревая вязкость) является скалярной функцией одной переменной г, где г - расстояние от стенки по нормали к ней. Вихревая вязкость ставится в соответствие второму статистическому одноточечному моменту и является коэффициентом незнания во взаимосвязи этого момента с градиентом скорости.

Рассматриваемое течение подчиняется основному закону равномерного движения, согласно которому касательные напряжения распределяются поперек потока по линейному закону, который можно записать в виде:

т = ^ + Ь_ = (у + у )^ = То(1 —О = и*2(1 ] .

Р Р Р йг РI Н ) I Н) 9)

На гладкой стенке при этом получаем граничное условие в виде:

йи _ 2

У и* . л г\\

йг 10)

Решению поставленной задачи предшествовали десятилетние исследования особенностей течения турбулентных продольно-однородных потоков вблизи гладкой стенки. Начальным толчком к их развитию послужили результаты экспериментов Конт-Белло [17]. В конечном счете, последовательное углубление в проблему привело к формулированию и доказательству следующей теоремы.

V

Теорема. На малых расстояниях от гладкой стенки, порядка внутреннего масштаба —, в про-

и*

дольно-однородных турбулентных потоках существует слой жидкости, участвующий в контрградиентном течении.

Поскольку, как это следует из вышеизложенного, подобное утверждение, как правило, не признается, для его доказательства требуются теоретическое и физическое обоснования, а также экспериментальное подтверждение.

Доказательство:

Случай первый. Рассмотрим случай, когда в уравнении

2

- и* и = — г.

V

В [21] указывается, что при признании права считать пристенный слой слоем постоянного касатель-

z

ного напряжения из-за —

H

= 0 в (10), это выражение можно рассматривать как первый член в разложе-

г=0

нии осредненной скорости вблизи стенки. Еще раз подчеркнем, что полагать у стенки т = Т0 „ вместо

0'г=0

т=Ч z=0

А г ^ г

1----I из-за--------> 0 ошибочно. Однако существуют течения, для которых во всем поле течения

V Н) Н

выполняется условие т = const, например, турбулентное течение Куэтта.

Тем не менее при условии у стенки т = То = const, то есть исходя из уравнения (10), Мерфи [21], по-видимому, впервые исследовал граничные условия для осредненной скорости на гладкой стенке. При этом он полностью пренебрег предположением о наличии ламинарного слоя, что давно и вполне обоснованно отвергнуто многочисленными исследованиями (см. по этому поводу [21]).

Граничные условия для осредненных скоростей в случае продольно-однородного потока он получил с использованием выражения для второго одноточечного статистического момента на гладкой стенке. Этот вывод воспроизведен, например, в [21] и [25].

Им получено, что

du _ и2

dz п V 11)

z=0

Далее Мерфи исходил из условия (10) в виде (при z ^ 0):

Отсюда

du ' ' т0 2

V uxuz = — = u* .

dz x z p

du 1 ' ' u*2

dz Vu'uz +v 12)

что

Последовательно дифференцируя это выражение по z, учитывая, что и ди

0 = 0, uz

z=0 z

= 0, а также,

z=0

dz

= 0 (из уравнения неразрывности), он получил следующие результаты:

x

й 2 и

йг2

й 3 и

йг3

г=0

г=0 Ґ—

йиг ' йих

их+ и г--

йг

йг

= 0;

г=0

и

х йг2

+ 2

йих йиг

йг йг

+ и

г йг2

= 0;

г=0

7 4

й и

йг4

г=0

йих й иг йг йг2

> 0.

13)

14)

15)

г=0

В итоге разложение осредненной скорости в окрестности стенки в ряд Тейлора по Мерфи принимает вид [21]:

2

и*

5

и*

и (г) = —(8 г) + С4^4(£ г )4 +...,

V

V

16)

где С4 =

У

8и*

йих й иг

йг йг"

/

г=0

или

, ч и ^ ^ ^, 1 у й и 7

и (г) = —(8г) +-—7х—^ V 8v йг йг

(8г)4-

16а)

г=0

Примечание. Как известно, при условии, когда Ут есть существенно положительная величина, график зависимости и (г) в продольно-однородных потоках всюду обращен выпуклостью вверх.

Случай второй. Рассмотрим продольно однородное турбулентное течение, которое удовлетворяет уравнению (9). Выполним последовательно те же операции, что и в случае первом, но в отличие от [21] не будем сводить условие (9) к условию (12), имея в виду, что при выполнении операции дифференцирования по известному правилу (которое в [21] было проигнорировано) вначале необходимо определить производную, а затем в полученном выражении выполнить операцию г ^ 0.

Итак, исходим из выражения (9), из которого следует, что

йи 1

2 и*

— = — и хиг +------------1 1-------

г

йг V х г V { И, Выполнив те же действия, что и в «случае первом», получим:

йи

йг

2 и*

г=0

й 2 и

г=0

V

2 и*

уИ

й 3 и

= 0;

г=0

й 4 и

1 й

г=0

V

йг3

> 0-

17)

18)

19)

20)

21)

Сопоставляя с результатами для слоя с постоянным касательным напряжением, обнаруживаем существенное различие в значениях вторых производных, происхождение которого очевидным образом связано с устранением для случая течения в трубах и каналах ошибочного предварительного упрощения уравнения

(9), заключающегося в принятии до применения процедуры дифференцирования

И

В рассматриваемом случае многочлен Тейлора будет иметь вид:

= 0'

_ 2

и (&) = — (&) V

2

и*

2уИ

(Зі)2 +

1 й3

24v йг3

&г)4.

&=0

Результат (19) означает, что эпюра и(&) обращена у стенки выпуклостью вверх. Из (22) получим приближенные выражения

йи 2 и* 2 _ и^(

йг V

й 2 и и2

йг 2 vИ

1 й

6v йг3

(& )3

&=о

+

1 й

vИ IV йг3

(&)2

3 — 3 ' '

й и 1 й

йг3 v йг3

&=0 (&).

&=0

Из выражения (24) следует, что при

& = и*

2

3 ' ' Ий (ихиг) &—0

И йг3

эпюра и(&) имеет точку перегиба.

Соотношение (23) дает возможность установить, что при

&г

2 — и*

6

3 ' ' ий (ихи г ) гг—0

И йг 3

йи

йг

& 2

йи

йг

г—0

2

и*

V

Это означает, что &і2 — &_).

Этот результат ожидает экспериментальной проверки. Кроме того,

&2 — ^3 в 1,7з. &1

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

Из (22) определим значение ёг3, при котором эпюра и(&) пересекает луч, проведенный из начала

2

координат, под углом у = arctg . Оно оказывается равным

1 V

&1з — и*

12

ий 3(и хиг) гг—0

И йг 3

30)

Следовательно

При ёг > ёг3

&3 — Тб - 2,45. &1

и(&) > и(&г3).

31)

Эти данные дают возможность представить схему эпюры ы(3к) (рис. 1).

Примечание. Поскольку эпюра ы

имеет монотонный характер и обращена выпуклостью вверх, то должна существовать еще одна точка перегиба при Зг4 > 8г3. Приведенный анализ не позволяет получить информацию о Зг4.

2. Обобщение результатов на плавно-изменяющиеся потоки

Понятие о плавноизменяющемся движении потоков в открытых руслах было введено в 30-х годах XIX века французским ученым Беланже и, с тех пор, эта модель течения весьма обстоятельно исследовалась гидравликами всего мира. Не останавливаясь на иных деталях, подробно изложенных, практически, во всех учебниках по гидравлике, остановимся лишь на том обстоятельстве, что при плавноизменяющемся движении распределение касательных напряжений перестает быть линейным. Аналитическое выражение для распределения касательных напряжений т поперек потока (по г) можно аналитически описать полиномом п-й степени:

/ л 2

Т

Т0

= а0 + а1-------------+ а2

z_

H

33)

где т0 - касательное напряжение на стенке; Н - глубина потока.

По К.К. Федяевскому [27], можно ограничиться первыми тремя членами, если — не слишком силь-

но уклоняется от линейного закона. Тогда

Т

— = а0 + а1---------------------+ а2

Т

0

H

-12‘ H )

Очевидными граничными условиями являются требования:

=То; = о.

z=H

34)

35)

Из условия удовлетворения требованиям (35) получим а0 = 1.

Уравнение движения плоского открытого потока в проекции на направление движения имеет вид

гДе J = i

0

dH

dx

- dux - dux -r 1 дт u^—~ + uz—~ = gJ + —— , dx dz p dz

- уклон свободной поверхности; i0 - уклон дна.

36)

Из (36) получим, что

дт

dz

= PgJ.

т

0

Следовательно, должно быть

а — —

Р8Н1

Соответственно из условия для свободной поверхности получим

а2 = - (1 + аь).

Введя для простоты обозначение аь = а, приведем (34) к виду:

2

— = 1 + а-------(1 + а) -

Т

или

0

Т — Т

Н

Н

2

1 + а— — (1 + а)-і

Н

В этом случае в окрестности дна уравнение Рейнольдса будет иметь вид:

Сы ' ' V------------ыты7

1 X і

Сі

2

ы*

іі 1 + а— — (1 + а)-

Н

38)

39)

40)

41)

42)

Докажем для сформулированных условий теорему:

Теорема. В плоском плавноизменяющемся турбулентном потоке существует во всем диапазоне чисел Рейнольдса тонкий пристенный слой, в котором вихревая вязкость отрицательна, если он является ускоренным, и не существует, если он является замедленным.

Доказательство:

Следуя Мерфи, найдем из

- 2

Сы ых ы і 2 ы* +

Сі V V

С 2 ы 1 С ых ы. х і /

і і 1 + а— — (1 + а)-

Н

Сі2 V Сі

+

V

а3ы — 1 а2

а 2

Н

Сі

3

V Сі

а4 ы з

V

2ы* (1 + а) Н 2

Сі

4

Сых а2ыг ^ Сі аі2

43)

44)

45)

46)

Отсюда (с учетом значений производных от ыхы1 по Мерфи

Сы Сі

2

ы*

і—0

л2_

а ы

Сі

і—0

V

2

ы* а VH

С 3 ы

Сі 3

і—0

2ы* (1 + а). VH 2

а4 ы

Сі

і—0

Сых а2ы, ^ Сі Сі2

>0.

47)

48)

49)

50)

Следовательно, многочлен Тейлора, аппроксимирующий распределение осредненных скоростей у гладкой стенки ы( і), имеет вид:

т

0

2

ы

*

2 и2а 2 и*2

, ч и*

и( г) =— г +

V 2УИ

3УИ

2

24у йг

3

г=0

Отсюда

— 2 2 2 3 ( ' ' і

йи

йг

V уИ

УИ

2

6у йг

3

2 — 2 2 31 ' ' I

й и

г=0

уИ

й 3 и(г) 2и2(1 + а) 1 й 3 (ихи

уИ 2

й4и(г) 1 й -

2у йг3

2

г ;

у йг3

и Хи г)

г=0

г;

51)

52)

53)

54)

г=0

йг4 У йг3

г=0

55)

Из выражения (53) определим соответствующее точке перегиба эпюры и(г) вблизи стенки

( г1) 1,2

и

2м*

2 (их иг }

4м*4(1 + а)2 2и*2а

г / \ 2 тт! ' ' 1м.

0 І И 4 (ихиг Г г=0 _ И[ихиг } г=0

56)

где (и'хи,}'

обозначает й'

хиги7 \ х г !

г=0

г=0

В случае, когда а < 0, знак

гг = и*

2

г=0

57)

Из формулы (52) найдем значение г2, соответствующее точке на эпюре и(г), в которой градиент скорости совпадает с его значением у гладкой стенки:

3и*

( і2)1 =

и

:(и Хи г}'

+

и (г2)2 = 0.

При равномерном движении

г=0

г2 — м*

9м*4(1 + а) 6м*2 а

И 4 (и хи г }''' г=0 _ 2 И Імхиг }''' г=0

58)

6

нй 3 (мхмг ) г=0

<Є

59)

В последнем случае оказывается, что между г1 и г2 существует простое соотношение

— = I6 = 173.

ц V 2 ’ 60)

Из формулы (51) следует, что значение г3 для точки, в которой эпюра и(г) пересекает луч, прове-

и 2

денный из начала координат под углом у= arctg— (см. рис. 1) к оси г, определяется выражением

V

4

г

3

г

4и2

2 й

При а = - 1

Н

г=0

16и*4(1 + а)2

Н

й3 (ихиг \

йг3

V г — о У

гз — и*

12

Нй 3

Н йгз

12и2а

'

ттй 3 (и хи.

Н х х г'

йг

з

г—0

61)

62)

ДляУт из выражения (42) получим

2

и*

—3 =^6 — 2,44. *1

г г

1 + а--(1 + а)—;

Н Н

Тогда

йУ

2

и*

йг

г _

а 0/1 ч г

77“ 2(1 + а)—2 Н Н2

йи

йг

2 и*

- V

г г

1 + а— -

Н

Н

йи

йг

V йг У

й 2у7 йг 2

2м*

2м*2

— - 2(1 + а)—-Н Н2

й и

Н

йи

йг

V йг у

йг 2

+

2и*2

+

1 + а-

Н

Н

С ]2~\ й и

2

2 и*

С йи ^ V йг У

йг2

С Й 2~\

йи

йг2

1 + а

Н

Н

й 3 и

V йг У

йг

з ’

63)

64)

65)

66)

2

а

2

2

г

г

г

г

) — 6и *

й ут = 2и* (1 + а) й и 4и* (1 + а) й и

йг3

а ч г

77“ 2(1 + а) 2

Н Н2

С Я2~Л2 йи

Н2

3м*2

СйМЛ2 йг2 „СйМл2 йг2

йи

V йг У

Н2

йи

V йг У

ГйМ Л3

V йг У

йг2

+ -

а

Н

2(1 + а)-

Н2

й 3 и

6м*2

с йй л2

V йг У

- + -

г г

1 + а— - (1 + а)—

Н

Н

2 — 3 —

й и й и

Г,~Л3 йи

V йг У

йг 2 йг3

67)

6м*2

г г

1 + а— - (1 + а)-г

Н

Н

Сл_Л 4 йи

V йг У

О 2_ Л3 й и

кйг2 У

2

и*

г г

1 + а— - (1 + а)-г

Н

Н

й 4 и

С йи Л

V йг У

йг

4

Отсюда с учетом результатов (из анализа производных осредненных скоростей у стенки) (47) - (50) определим:

йу

йг

— 0’

г—0

68)

й 2ут 2у(1 + а).

йг 2 0 — н 2 ’ г—0 69)

й V

йг3

3у

г—0

2

М*

ймх й м—

< 0.

70)

ч йг йг2 у

Следовательно, в окрестности гладкой стенки разложение Уг(г) в многочлен Тейлора представляется в виде:

с—;—Т~г Л у(1 + а) 2 у 'и- л '

Ут (г) — "

-г

г—0

йих й иг йг йг2

3

г

г—0

При а = - 1, то есть при продольно-однородном турбулентном течении

, ч_ 3у ут (г)— —2

М*

ймх й2м—^

йг йг2

У

г3 < 0.

Производная

й Ут

г—0

йН

71)

72)

< п при а > - 1 (то есть при ----> 0) и принимает положительное значение

йх

г—0

йН

при а < - 1 (то есть при ---< 0). Эти данные позволяют определить форму эпюры ут(г) в непосредствен-

йх

ной близости от гладкой стенки.

Из выражения (71) следует, что вблизи стенки

йуТ (г) 2у(1 + а) у

Т - -г -

йг

Н

8м*2

й ут (г) _ 2у(1 + а) у

V

г

йг

3

Н2

4м*2

й

3

йг3

2

г ’

г—0

73)

74)

г

г

Из (73) найдем значение г1, при котором ут(г) достигает экстремумов:

( —1т )1 —

16м* (1 + а) и (г1Т )2 — 0.

Н

2 й 3

йг3

75)

г—0

Формула (74) позволяет определить положение точки перегиба эпюры у^г):

г 2т

8и*

Н

ихиг

76)

г—0

Исследуем влияние формпараметра а, величина которого по А.В. Ляпину [20] ограничена при допустимом 5%-ном отклонении эпюры касательных напряжений при плавноизменяющемся движении от линейной значениями:

1,1 < а < - 0,9.

Поскольку формпараметр [20] есть

РЕН

а — —

йН

йх

РЕН

1 -

1 йн

г'0 йх

_1 йН

г'0 йх

-1,

77)

78)

то можно ограничения (77) свести к двум следующим приближенным ограничениям на интенсивность изменения глубин:

для ускоренных потоков

- для замедленных потоков

При этом

- для ускоренных потоков

- для равномерных потоков

- для замедленных потоков

йН

йх

> -0,1^0 ’

йН . ------< 0,1г0 •

йх 0

1 < а < - 0,9.

а = - 1.

1,1 < а < - 1.

79)

80)

81)

82)

83)

С учетом выявленных значений формпараметра а, получим:

- при а = - 1, то есть при продольно-однородном турбулентном течении выражения (51) - (74) совпадают с аналогичными выражениями, приведенными в [20];

- при - 1 < а < - 0,9, то есть для ускоренных плоских течений формулы (г^ 2 приводят качественно

к тем же результатам, что и в предыдущем случае. то же можно заключить и относительно г2, однако соотношение — становится иным. г1 в этом случае больше значения г1 при а = - 1.

г1

- при - 1,1 < а < - 1, то есть для замедленных плоских течений, г1 становится меньше, чем г1 при продольно-однородном течении, то есть эта точка несколько приближается к гладкой стенке (без учета возможного влияния (мхМ^ )'"). то же заключение относится и к г2.

Таким образом:

получены доказательства существования тонкого слоя у гладкой стенки, в котором вихревая вязкость, так же как и в продольно-однородном потоке, отрицательна, если течение является ускоренным.

0

показано, что в замедленном потоке этот слой отсутствует.

для воспроизведения полной формы эпюры ут(г) вблизи гладкой стенки требуется использование

й1

многочленов Тейлора более высоких степеней, однако они будут включать в себя производные выше третьего порядка, оценка даже знаков которых затруднительна.

ии7

{ X г

3. Теорема о точке перегиба на профиле осредненных скоростей в продольно-однородных потоках

Доказательство достоверности

Очевидно, что для анализа явлений, происходящих в продольно-однородных турбулентных потоках,

привести к успеху может использование разложения осредненной скорости и (г) в окрестности гладкой стенки в ряд Тейлора с определением его коэффициентов через граничные условия

и(г) z=0;

dz

г=0

и т.д.

г=0

Мерфи первым показал способ такого анализа и способ выражения перечисленных величин через

производные от второго одноточечного момента ихиг . Этот метод описан в [21]. Далее будем существенно его использовать с учетом внесения в него поправок.

1. Теоретическое обоснование

Сформулируем и докажем теорему.

Теорема: В пристенном слое продольно-однородного турбулентного потока существует на малом расстоянии от гладкой стенки на профиле осреднённой скорости две точки перегиба.

В качестве предварительных соображений выскажем следующее:

1. Несмотря на достаточно надежные методы определения осреднённых скоростей в продольно-

V

однородных потоках на расстояниях больших 4^5 в указанных потоках точка перегиба профиля осред-

и*

нённой скорости не обнаружена.

2. Поскольку развитая турбулентность наблюдается в широком диапазоне чисел Рейнольдса, можно предположить, что точка перегиба профиля скорости должна существовать.

3. Остается предположить, что точка перегиба осреднённой скорости находится на микрорасстоянии от гладкой стенки. Опираясь именно на этот тезис, сосредоточим усилия на поиске расположения точки

V

перегиба на расстоянии от гладкой стенки, ограниченном значением 4^5 —.

и*

Руководствуясь этим положением, приступим к доказательству теоремы.

Перейдем теперь к определению знака производной

4

' 2 '

Поскольку в квадрантах I и III производные йих и ^ имеют одинаковые знаки, их произведения

2

Но тогда и осредненное значение

йг йг2 ґ~

г=0

г > 0. Следовательно, приходим к заключению, что > 0.

“г

84)

г=0

Теперь можно выписать разложение осредненной скорости и(г) в виде многочлена Тейлора четвертой степени. Оно имеет вид:

2 2 и=—(&)-а*- \& )2 +

и* ( о Л и* ( с» \2 1 й \UxUz

'\ихиг)

V

уЬ

24у йг

3

(&4).

85)

г=0

Дальнейший анализ особенностей профиля осредненной скорости будем производить исходя из уравнения

и=—\&) -—\&)2 +—•й

у 2уН' 24у йг3

Из (86) получим приближенные выражения

— 2 2 3 I I

йи = и* и* \&г)2 + 1 й \ихиг)

4

г=0

йг у уН

6у йг

(&)3

й 2 и

и* + 1 й3 \ихиг )|

8г=0

йг уН 2у йг й3 и = 1 й3 {и'хиг)

3

г=о \&)2;

йг3 у

Из выражения (88) следует, что при

8г1 = и*

\&).

&=о

86)

87)

88) 89)

2

ггй 3 ихиг х г &=0

3 й -н «н

90)

эпюра и\8г) имеет точку перегиба.

Итак, полученный результат позволяет заключить, что на профиле осредненной скорости имеется точка перегиба. Получено расстояние от гладкой поверхности до точки перегиба. Действительно, уравне-

й 2 и

ние (88) свидетельствует о том, что точка перегиба, в которой-----= 0 существует, а выражение (90) дает

йг 2

расстояние до неё.

Обобщая результат, можно утверждать, что вся совокупность точек перегиба образует некую цилиндрическую поверхность.

Изложенное позволяет заключить, что теорема о точке перегиба на профиле осредненной скорости при продольно однородном турбулентном течении доказана.

Полученные результаты, тем не менее, позволяют продолжить анализ.

Соотношение (87) дает возможность установить, что при

8г2 = и*

6

„й 3 ихиг Vх г

“ йг3 &=0

йи

йг

йи

йг

г=0

2

и*

V

91)

92)

Это означает, что &2 = 8, -) и позволяет получить связь й' В этом случае оказывается, что

ихиг

с 8,

(-).

й 3_

вы*

і=0

93)

Таким образом, установлено наличие точки перегиба профиля осреднённой скорости в пределах слоя с отрицательной турбулентной вязкостью на расстоянии от гладкой стенки, которое легко определяется с помощью формул (90) и (93). Оно оказывается равным

& =-^ = 0,578& -},

94)

а значение ы

& >^г1 становится положительным. При значении & = 813 получим

,3_(ыХ]

*

ы* 1 й \ытыу

_______+_____________\ х__^

2уН 24v

йі

3

&=0

0.

Отсюда следует, что при дг > д^з значение этого двучлена становится положительным. В свою оче-

редь, из соотношения (86) получим, что при этом и Кроме того,

&2

8>8з

> ы

812 = 43 - 1,73. &1

95)

Из (86) определим приближенное значение дгз, при котором, эпюра и(дг) пересекает луч, прове-

13 2

ы* ^

денныи из начала координат, под углом у = атсї§ — . Оно оказывается равным

Р V

ді3 — ы*

12

ггй 3 ы Хы і 1 • &=0

“ йі3

Следовательно

При 8 > ді3

&3 = -Гв - 2,45.

8і1

і(8)> ы(дг3).

96)

97)

98)

Эти данные дают возможность приближенно представить схему эпюры и(дг).

Несколько выше точки перегиба профиль осреднённой скорости пересекает упомянутый выше луч в точке с координатой &з. Тщательные исследования распределения осредненных скоростей в продольнооднородных потоках свидетельствует о том, что дгз имеет порядок (5 т 8)—.

и*

Легко установить, что в соответствии с критерием Фьертофта точка перегиба профиля относится к сильному типу.

Для определения уточненного значения дгз необходимо использовать, с одной стороны, разложение и(г) в ряд Тейлора с сохранением дополнительно шестого члена. С другой стороны, требуются экспери-

й5 ы

ментальные сведения о значении

которые в настоящее время отсутствуют.

і=0

4. Обоснование «научной идеи о механизме возникновения вблизи гладких стенок в продольнооднородных турбулентных потоках шпилькообразных и подковообразных вихрей»

3

*

и (г).

Тем не менее, критерии Релея и Фьортофта применимы именно к стационарному профилю скорости

Рис. 3. Изменение^воуВремепи^г^веИнОГО профиля ‘Скорости.и(у, I) (сплошные линии) по от-

_____________ношению к осредненному профилю (пунктирные линии) [55]

1 Легко заметить много общего в доказательстве теорем

Рис. 4.0Профили мгновенной скорости и в разные моменты времени в тйЧение полного периода обновления подслоя Т при г+ = 50 (где вторичное течение направлено от стенки) [36]

Лишь после открытия существования у гладкой стенки тончайшего слоя, течение в котором происходит при отрицательной турбулентной вязкости , были обнаружены точки перегиба [33] на профиле осреднённой скорости в продольно-однородном потоке. Этим снимается вопрос применимости критериев Релея и Фьортофта к профилю осредненной скорости, который, как, оказалось, всегда имеет сильную точку перегиба.

Что касается причины возникновения точки перегиба внутри и вблизи границы слоя с отрицательной турбулентной вязкостью, то она заключается в резком подавлении вблизи стенки отрицательных значений пикообразных выбросов второго статистического момента и образований его положительных пиков более

чем в 30-60 раз превышающих по модулю осредненное значение ихиг , что и приводит к временному появлению отрицательной турбулентной вязкости.

В открытии № 376 [15] установлено, что вблизи гладкой стенки существует тончайший слой толщи-

V

ной 8(_) = 1,5 ^ 2— , в котором существует течение с отрицательной турбулентной вязкостью. Этот слой и*

сам по себе и турбулентная вязкость в нем Vт (г) являются осреднёнными величинами. Методом проб и

ошибок было определено, что минимальное значение

(Ут )п

достигает _ 0^ . Судя по приведенным

опытным данным вблизи гладкой стенки вторые одноточечные моменты ихиг имеют положительные пики в десятки раз превышающие осреднённые значения. Это означает, что мгновенные значения Vт также могут превышать осреднённые во много раз. К чему это приводит? К удивительным вещам, так как при

достижении турбулентной вязкостью минимальных значений, меньших -V, происходит разрыв в эпюре градиентов скоростей, точнее, разрыв имеет место в точках, где Vт = -V.

Рассмотрим вначале осреднённое продольно однородное течение.

Г ипотетически, в случае овладения методами управления отрицательной турбулентной вязкостью и искусственного её снижения до значений VI должно произойти перераспределение касательных

напряжений Тт, осреднённых скоростей и и их градиентов . Проанализируем фактологически случаи,

йг

когда распределение искусственной отрицательной осредненной вязкости VI имеет вид, представленный на рис. 5 а), б), в).

Сразу же можно отметить неизбежность появления бесконечных разрывов в эпюрах касательных напряжений, градиентов осреднённых скоростей и изломов в эпюрах осреднённых скоростей. На рис. 5

представлены схемы распределения и , в случаях а), б), в), при которых обязательно удовлетворяется

йг

условие

Случай а) соответствует обычному условию, когда VTт1п > -V. При этом распределение градиента

скорости йи вместо монотонно убывающей функции в пределах толщины слоя с отрицательной вязко-йг

стью получает дополнительное положительное приращение. Последнее приводит к появлению точки перегиба в эпюре осреднённых скоростей, которая оказывается источником сильной неустойчивости по Фьёр-тофту.

На рис. 5, б) и в) представлены гипотетические случаи, когда каким-либо искусственным способом удастся получить течение, при котором минимальное значение отрицательной турбулентной вязкости окажется равным (Утт;п = -V) или меньшим (Vт;п < -V).

Оказывается, что в случае б) градиент скорости й— имеет бесконечный разрыв. Точка перегиба эпю-

йг

ры осреднённой скорости находится в точке, где VI = VI т1п-

В случае в) ситуация усугубляется появлением двух бесконечных разрывов в эпюре градиента скорости типа (+ то,-то). На эпюре осреднённых скоростей в зоне занятой турбулентной вязкостью со значениями - V < Vтт;п имеет место несколько замедленное течение с пикообразными изломами.

Во всех случаях должно выполняться условие

^= —2 и - г

р р I ь)

Это означает, что дополнительные турбулентные и ламинарные касательные напряжения в зоне толщиной <5(_) должны быть взаимно сбалансированы.

Поскольку по опытным данным значения положительных пиков —х и1 наблюдаются и вне слоя, толщиной 8- вплоть г + = 10 и более (см. рис. 2), поскольку здесь VI > 0 , то приходится согласиться с тем, что при г > 8(-) изменение VI (г, t) носит перемежающийся характер. То есть запись VI () в данной точке

будет иметь значительные отрицательные пики, однако, при сохранении в целом условия VI > 0 .

Тем не менее, само по себе наличие значительных отрицательных пиков значений VI < -V неизбежно приведёт в некоторых областях к проявлению условия VI = -V и, следовательно, к разрыву в

градиенте скорости. В местах разрыва (второго рода) эпюра скорости приобретает пикообразную форму, что приводит к спорадическому образованию вихрей. В свою очередь, в дальнейшем эти вихри сносятся потоком, принимают удлинённую форму и в соответствии с законом Био - Савара начинают всплывать. При спаривании близких вихрей образуются подковообразные вихри. Вся совокупность этих явлений приводит к заполнению пристенной зоны пакетами шпилькообразных и подковообразных вихрей. Последнее подтверждено к настоящему времени как экспериментально, так и в результате решений полных уравнений Навье-Стокса [42]. Сформулируем в связи с изложенным научную идею, и приведём ее обоснование.

Теоретическое и экспериментальное обоснование научной идеи.

Научная идея. На малых расстояниях от твёрдой стенки имеет место турбулентное течение с перемежающимися значениями отрицательной и положительной турбулентной вязкости, минимальное значение которой значительно меньше - V , что приводит к разрывам в мгновенных градиентах скорости, образованию пикообразных изломов в профилях мгновенных скоростей и является первопричиной образования шпилькообразных и подковообразных вихрей (то есть когерентных образований в пристенном слое).

Доказательство

Выразим мгновенное значение одноточечного статистического момента и-и1 через мгновенное знади:

чение вихревои вязкости, мгновенное значение градиента скорости---в той же точке в виде

дх1

/ / „ ди.• и и ; = -V

1

В этом случае

/ / Щи:

VT =--

1^4 - VI з •

дх . 99)

^ ди

дх

Перейдем к малому интервалу времени 8 Определим осреднённое значение одноточечного статистического момента й^й^, где волнистая

черта обозначает процедуру осреднения по времени за интервал 81. То же проделаем за тот же интервал

ди, „ ~ дй /Г1Г1Ч

времени с Ут и ——, то есть найдем Ут и —— с сохранением связи (99):

дХ] дХ]

й й/ й д~

и1и ] = -ут

дх] 101)

Постепенно увеличивая интервал времени и устремляя его затем к бесконечности, естественным образом перейдем к формуле

~П — ди1 и и =-Ут

г1и] — ут

дх} 102)

которая совпадает с предложением Ж.Буссинеска.

Связь осреднённой турбулентной вязкости с градиентом осреднённой скорости в продольнооднородных потоках выражается уравнением

ди и2 ( г

дг у+ут I Ь У 103)

где и* - динамическая скорость; Ь - характерный размер потока (радиус трубы или глубина); при г << Ь допустимо приближенно считать, что

ди и*

дг У + Ут 104)

На гладкой стенке

ди и**

д „=У' 105)

г=0

В результате полученных в процессе доказательства теоремы о негативной турбулентной вязкости [14] и множества выполненных численных экспериментов [5 т 13] была обоснована форма гипотетической

эпюры распределения Ут (г) в пределах тонкого слоя 8(— ~ 1,5 т 2 — вблизи от гладкой стенки.

и*

Наличие отрицательного осреднённого значения турбулентной вязкости является следствием перемежающейся * структуры напряжений Рейнольдса в этой зоне, что было зафиксировано в опытах Корино и Бродки [33], Валласе, Эккельмана и Бродки [55], Гупта [37], Кима, Клайна, Лу [46] и др.

В опытах Х. Эккельмана было обнаружено, что при подходе к указанному слою (при у + = 2,9 т 5,0) уже почти все пики отрицательных значений Рейнольдсовых напряжений стремятся к нулю, в то время как положительные пики в 30 и более раз превышают осреднённое значение (см. рис.2). Негативный вклад

ихиг в квадрантах I и III стремится к нулю.

По-видимому, эти данные не являются предельными и при дальнейшем приближении к стенке пиковые значения будут возрастать в еще большей степени.

Экстраполируя данные рис. 2 на область значений у + = 1,0 т 1,10 , можно предположить, как это и предопределяется теоремой об отрицательной турбулентной вязкости, что характер изменения во времени

- и х/ и г/ будет иметь вид, представленный на рис. 6.

Теоремой об отрицательной турбулентной вязкости обосновывается вид эпюры распределения Ут по толщине слоя с отрицательной турбулентной вязкостью [15]. Методом проб и ошибок были определены её приближенные количественные показатели. Например, минимальное значение отрицательной турбулентной вязкости оказалось равным Уттп = -0,2у .

Этот результат ещё ждёт своих исследователей.

*) 13 “ ••

В отличие от утвердившегося понятия «перемежающиися», в смысле поочередной смены ламинарного и турбулентного режимов здесь имеется в виду смена турбулентного режима с мощными положи-

тельными выбросами значений ихи_ с малоамплитудной их пульсацией.

в)).

Таким представляется развитие событий в тонком пристенном слое при искусственно наведенной отрицательной турбулентной вязкости. Далее можно было бы рассмотреть характер взаимодействия вихрей и другие подробности вплоть до образования шпилькообразных и подковообразных вихрей. Однако имеется достаточно серьезное обстоятельство, заключающееся в том, что вышеизложенные рассуждения связаны с наличием слоя <5(_) с отрицательной турбулентной вязкостью. Ввиду малости значения <5(_) этот

слой во многих случаях может быть полностью разрушен. Что произойдет в пристенном слое, если указанный слой будет отсутствовать?

Любопытно также рассмотреть, каким образом трансформируются эпюры актуальных скоростей и ускорений под действием пульсаций актуальных же значений турбулентной вязкости Ут (г), когда

ут (г )<_у.

Поскольку из опытов Х.Эккельмана [33] следует, что мгновенные отрицательные значения Ут более чем в 30 раз превышают осредненное значение Ут , то при учете связи мгновенных значений в соответствии с (1) логично предположить, что это соотношение может сохраниться, а может и усугубиться. Если согласиться с этим утверждением (основания к чему имеются), то перемежающиеся отрезки времени, в пределах которых наблюдаются условия, когда Ут <_У и когда Ут >_У , будут соответствовать зарождению показанных на схеме (рис. 5, б) вихреобразований. Последние, всплывая и подвергаясь сносу течением, объединяются и существуют в виде шпилькообразных вихрей. Их наличие многократно наблюдалось в экспериментальных исследованиях.

Характер изменения эпюр мгновенных скоростей и ускорений будут аналогичными и при достижении условия Уттп < _у вне пределов слоя с отрицательной турбулентной вязкостью (см. рис. 5, б).

Х. Эккельман [33] выполнил серию опытов, предназначенных для выявления связи мгновенных скоростей и ^ (г) на разных расстояниях от стенки (г + = 1 ^ 114) с мгновенными градиентами скоростей на

стенке

ди

. Во-первых, было установлено, что во всех случаях мгновенный градиент скорости на

уо

стенке оставался положительным. Такой же результат был обнаружен в опытах А.Т. Поповича и Р.Л. Хам-

меля [49]. В опытах Х. Эккельмана было установлено, что у стенки нет негативных скоростей, во-первых, гди (г )^

а градиенты скорости

дг

составляют примерно, 0,4^1,7 от осреднённого значения.

Оказалось, что из случаев десяти различных расстояний от стенки при числе Рейнольдса Яе = 8200 в

шести из них

Описание сходных результатов, полученных другими исследователями приводится в [33].

На основании рассмотренных экспериментальных данных можно констатировать подобие пристен-

/ Г ди ^

ного поля мгновенных продольных скоростей и и их пристенного градиента

дг

Можно предполо-

жить, что на крайне малых расстояниях от стенки г + < 2 график изменения градиентов мгновенных скоростей в их пределах не будут резко отличаться друг от друга.

В рамках такой гипотезы следует ожидать, что коэффициент отрицательной турбулентной вязкости будет почти пропорционален рейнольдсовым напряжениям. Поскольку Х.Эккельманом [33] установлено,

что отрицательные пики значений иX и11 в 15 и более раз превышают их осреднённое значение, предположим, что и в рассматриваемом случае существует схожая пропорциональность. Тогда получим, что коэффициент отрицательной турбулентной вязкости будет по модулю превышать осреднённое значение в

10^30 раз. Другими словами получим, что Ут . и Ут . > Ут или Ут . = 10^30 V

(Ц)<

№

.0-5

1-0

1-5

</>

(Щ). Л'м^дл

(Я

^ І І I

Рис 7. Подобие крЙ&ых изменения1 мгновенных скоростей и (ґ) и

і

пр^Іразличн^Іх значениях Ь. ¥б= 2.2,5см/ с . іЯе = 8200

Ґди^ V дг У

05 0-009 0-014 0023 0-041 ЇТШ 0-12 ОТТ ЮТ 0-85 +

торожно ограничивает эту область значением г < /

Х. Эккельман

о

Поскольку ранее было установлено, что Vтm1n ~ — 0,2у, то приходим к заключению, что можно ожидать, что

УТт]л ~—(2 ^ 6^ •

т1П 106)

Во всяком случае, важно отметить, что мгновенные значения УТ . достигают значений меньших — V .

' ттт

Если это так, то становится ясным, что в слое с отрицательной турбулентной вязкостью возникают вихреоб-разования называемые подковообразными или шпилькообразными вихрями, то есть события развиваются по

сценарию сходному со случаем, описанному выше и соответствующему искусственному уменьшению Утт1п

до значений меньших - V. То есть периодически в то время, когда Vт становится меньше — V, возникает

вихревая система, подобная изображенной на рис. 8, б.

Рис. 8. Схема образования вихрей на удалении от стенки порядка = 30 г 100

Она под действием подъёмной силы всплывает и сносится поступательным движением жидкости. Вихри одинакового направления вращения стремятся к объединению, после чего приобретают упоминавшуюся подковообразную (шпилькообразную) форму. Благодаря действию механизма сильной неустойчивости подобных образований, они разрастаются и приобретают вид, полученный рядом исследований. Соответствующие иллюстрации приведены на рис. 12. В виду стохастичности всего процесса с распределением его во времени и пространстве, в конечном счете, образуются как одиночные, так и групповые вих-реобразования.

Таким образом, можно заключить, что из-за перемежаемости процесса образования микрообластей с отрицательной турбулентной вязкостью при значениях Ут << —V групповые вихреобразования возникают и

на достаточно значительном расстоянии от стенки £+ = 30 г 100.

Можно ли найти какие-либо подтверждения изложенному?

Оказывается, необходимые результаты достаточно многочисленны.

В последнее время с помощью прямого численного решения трехмерных полных уравнений Навье-Стокса, то есть с учетом пространственных и временных координат, для области пограничного слоя и пристенной зоны в каналах при умеренных значениях числа Рейнольдса и использовании современных мощных вычислительных средств и оптимальных методов решения, позволили установить, что вблизи стенок возникают и развиваются пакеты шпилькообразных вихрей. Как правило, авторы визуализировали результаты своих расчетов тем или иным способом. Обычно для этого применялось построение изоповерхностей завихренности и т.п. Расстояния от стенки, на которых определялись расчетные данные, составляли ;у+ = 5 ^ 10 пристенных масштабных единиц, а в продольном и поперечном направлениях, примерно, 2000 ^ 500 в том же масштабе.

З.Ч. Ли и Р. Д. Адриан [46], экспериментально изучавшие пограничные слои и течения в каналах, обнаружили, что пристенная турбулентность представляется плотно упакованными шпилькообразными вихрями большей частью объединенными в «пакеты». Сравнительно недавние изучения эволюции одиночного шпилькообразного вихря с помощью вычислительного эксперимента раскрыли механизм генерации околостенных пакетов шпилькообразных вихрей. В [45] А.Т. Ле, Г.Н. Колеман и Д. Ким опубликовали данные своих вычислительных экспериментов с примерно такими же вихрями. Эта работа содержит много ссылок на схожие исследования.

Визуализация полей скоростей и вихрей в перечисленных работах также показывает существование ограниченных ассоциаций шпилькообразных вихревых пакетов в виде длинных слабоинерционных полосок, и часто оказывающихся когерентными структурами.

Рис. 9. Изоповерхности завихренности

В [28], тем не менее, отмечается, что подобных исследований еще мало, что дает основание некоторым ученым заключить, что шпилькообразные вихри не существуют вообще. Это обстоятельство требовало убедительного ответа, и он был дан в целой серии работ, причем в пользу существования пакетов шпилькообразных вихрей.

Были получены и чисто экспериментальные подтверждения. Сначала были проведены опыты с визуализацией пограничного слоя с использованием дыма и лазерного освещения в слабоскоростной аэродинамической трубе. Авторы наблюдали, что пограничный слой «полностью набит» шпилькообразными вихрями. Причем возникали они непосредственно от стенки, имели наклон в 450, а их вершины располагались в продольном направлении по прямой линии под углом в 200 к стенке. Они заключили, что группы

шпилькообразных вихрей являются главными составляющими «турбулентного пограничного слоя». Имеется ряд подобных работ.

Изложенное выше удачно схематизировано Х.Е. Фидлером [35]. На рис. 10, 11 показана вся последовательность развития когерентных вихреобразований из начального горизонтального вихря. На этой схеме нет ответа на один существенный вопрос, - какова причина возникновения горизонтального вихря? Ответ на него даётся сформулированной выше идеей.

Рис. 10. Схема развития одиночного шпилькообразного вихря в пакет

Рис. 11. Схема трансформации когерентных вихрей

Оригинальностью отличаются исследования, выполненные Хайдари и Смитом [39] при ламинарном течении. Они через микроотверстия импульсивно нагнетали порции жидкости в поток и наблюдали образование и формирование групп шпилькообразных вихрей. Не задерживаясь на детальном анализе сведений, изложенных в упомянутых и других источниках, что не является целью данной работы, приведем-таки, единодушное мнение многих исследователей об установленных ими результатах, которые есть основание рассматривать как факт:

1. Структура пристенной турбулентности представляется пакетами шпилькообразных вихрей, плотно упакованных, занимающих некоторую зону в виде вытянутых слабоинерционных полосок, и являющихся главными компонентами пограничного слоя;

2. Подобные структуры получены путем численного решения полных уравнений Навье-Стокса в области, прилегающей к стенке;

3. пакеты шпилькообразных вихрей наблюдались визуально с использованием отражающих частиц и лазерной техники экспериментально;

4. Указанные пакеты развиваются со временем и удаляются от стенки, очень часто зарождающиеся новые пакеты расположены под ними, образуя постоянную иерархию пакетов с когерентной структурой;

5. Гребни вихрей в пакете находятся на прямой линии, наклоненной под углом, примерно, в 110 к стенке (см. рис. 12);

Рис. 12. Обособленный шпилькообразный пакет в объеме Ах = 950, Ду = 300 и А/ = 150 в пристенных масштабах

6. Пакеты шпилькообразных вихрей расширяются под углом в 10-120 (см. рис. 13) в плане;

7. Обнаруженное совпадение полученных на базе уравнений Навье-Стокса расчетных и опытных данных о пакетах шпилькообразных вихрей является дополнительным подтверждением гипотезы О. Рейнольдса о применимости уравнений Навье-Стокса к описанию турбулентных течений;

8. Во всех упомянутых исследованиях отмечается, что образование пакетов шпилькообразных вихрей во всех случаях «приводит к уменьшению способности турбулентности извлекать кинетическую энергию из осредненного течения» [32].

Рис. 16. Вид сверху на пакет в области Ах =

Таким обраОЬ м, можно констатировать наличие необходимых экспериментальных и теоретических данных о строении пристенной области пограничного слоя в виде пакетов шпилькообразных вихрей. Причины их образования, как правило, исследователями не трактуются, с одной стороны, и кроме того, экспериментально они исследуются на сравнительно большом удалении от

стенки, - порядка десятка - сотни и более пристенных масштабных единиц

V и*.

Экспериментально Грассом [36] было установлено, что описанные выше вихреобразования имеют место и при наличии шероховатых стенок. Это означает, что первопричиной их возникновения является не слой с отрицательной турбулентной вязкостью, хотя и там они образуются, но

перемежающийся характер появления положительных пиков значений ихи7 вне этого слоя (в том числе и после его подавления влиянием выступов шероховатости), если положительные пики превышают значение V.

Отметим, что перемежающийся характер изменения второго статистического момента ихи г имеет место и в турбулентном ядре, однако это не приводит к возникновению в нем когерентных структур из-за малости их значений >> -V ).

Таким образом, изложенное обстоятельство дополнительно свидетельствует в пользу первичной роли образования пиков ихи7 >V в возникновении когерентных структур пристенного слоя.

В данной статье предпринимается попытка обосновать научную идею, согласно которой причиной образования когерентных структур являются пристенный слой с отрицательной турбулентной вязкостью, либо малые объемы пульсирующей жидкости, в которых турбулентная вязкость в течение малого времени является отрицательной. Делается попытка показать, что зафиксированное во многих опытах наличие мощных положительных пиков второго статистического

момента и1и  приводит к разрыву в профилях градиентов актуальных скоростей и образованию

вихревых структур.

5. Некоторые дополнительные данные к обоснованию наличия слоя с отрицательной турбулентной вязкостью в продольно-однородных турбулентных течениях при гладких

стенках

В настоящее время, как представляется, большинство специалистов в области гидравлики и гидромеханики не склонны разглядеть мнение о существовании пристенного слоя с отрицательной турбулентной вязкостью в продольно-однородных потоках. Специально для этой категории читателей в статье приводится простейший анализ, который со всей очевидностью свидетельствует (на базе наиболее распространенных формул для распределения осредненных скоростей вблизи стенки) в пользу наличия упомянутого слоя. Случилось так, что до сих пор никому не пришла мысль учинить приведенную ниже проверку.

В настоящее время господствующим является мнение о необратимости перехода энергии осреднённого течения в турбулентную энергию в продольно-однородных потоках. Это означает, что кинематический коэффициент турбулентной вязкости всюду положителен (ут > 0). В [21] указывается, что в течениях несжимаемой жидкости в трубах, каналах и пограничных слоях

---- Эи; ----ди;

«прямые измерения величин ри;и  и -------- показывают даже, что величина А = -ри;и ------

Эх дх/

здесь всегда оказывается положительной во всех точках турбулентного потока (в согласии с

ди;

полуэмпирическими формулами)». Поскольку VT , ри1и  и ------ связаны соотношением

дх

Vт =

и;и

___ ;

ди;

дх/

107)

то приведённое высказывание равносильно утверждению, что VT > 0 всюду, во-первых, и что это согласуется с полуэмпирическими формулами, во-вторых. Эта проблема была подробно рассмотрена в [15]. Из приведённого там анализа следует, что в указанном выше случае турбулентных течений вблизи гладкой стенки, возникает тончайший слой, в котором VT < 0.

Можно предположить, что если это так, то существующие наиболее известные формулы, полученные в результате использования совершенной измерительной техники и вошедшие в обиход при выполнении разнообразных технических расчётов, должны каким-то образом улавливать влияние условия VT < 0 возле гладкой стенки.

По-видимому, никто и никогда не проводил такого анализа, поскольку противоположное мнение подавляющим образом овладело умами ввиду кажущейся правдоподобности.

Попробуем выполнить такой, достаточно простой анализ. Будем исходить из общепринятого после опытов Фейджа и Таунсенда, а также Лауфера представления о том, что турбулентность проявляет себя вплоть до самой стенки, а «в настоящее время термин «ламинарный подслой» представляется мало удачным» [21].

Рассмотрим последовательно ряд наиболее известных формул. Какую бы формулу не подвергать анализу, требуется обязательное удовлетворение условия продольно-однородного движения

йи

йу У + У.

т

108)

где и - осреднённая скорость; у - расстояние от гладкой стенки; и* - динамическая скорость;

V + VT - коэффициент кинематической вязкости и кинематической турбулентной вязкости

жидкости (далее - просто вязкость); Ь - характерная длина (для круглой трубы Ь = г0, а для

плоского канала Ь = Н , где Н - глубина).

Анализ проведём по следующей простой и наглядной схеме: для того или иного закона для

профиля осреднённых скоростей и = / (у) определяем градиент осреднённой скорости вблизи гладкой стенки, то есть находим производную

йи _ й/

йу йу 109)

йу

Очевидно, она должна удовлетворять условию

й/

2

и*

йу

1

У + У

т

Отсюда легко получаем

у

и* • у й/ (у) I Ь

йу

110)

111)

или

Ут_

У

2

и*

V

й/

йу

1.

112)

Знак правой части формулы (112) будет указывать на знак VT .

1. Для начала рассмотрим простейшее условие весьма распространённое для аппроксимации профиля осреднённой скорости на малом расстоянии от гладкой стенки

2

и = /(у) = — у.

V

113)

Это выражение является, строго говоря, лишь первым членом в разложении и в ряд Тейлора [21]. Карман и многие другие рекомендуют использовать соотношение (113) до расстояния, * V

равного 5 — от стенки.

и*

Так как в данном случае

й/

йу

2

и*

V

то подставляя в (112) получим, что

V.

V

иУ V• и *2

1 - у| -1 = 1 - у -1 = _ у.

Ь

Ь

Ь

114)

115)

Отсюда имеем условие VT < 0.

Получается, что все, кто использовал формулу (6), учитывали влияние отрицательной турбулентной вязкости!

2. Для проверки выполним те же действия для ламинарного профиля

/ (у ) = иму | 2 - у

О V

'о У

116)

где им - скорость на оси трубы. Тогда

й/ (у) = 2и

йу

1 - у

О

Подставим условие (117) в (112). Получим

и* • Го

'о У

у

117)

'о

V V•2им (

-1,

1 -

у

V Го у

Поскольку

й/

йу

2и

м

у =0

йи и* V,,

и, кроме того — = — , то имеем, что — = 1 -1 = 0 йу V V

то есть

VT = 0 , чего и следовало ожидать.

3. Лаваль полагал, что осреднённые скорости

1

распределены по закону (в широком русле):

118)

1 - у,

Ь

и — и тах

Здесь у отсчитывается от свободной поверхности.

Т. Христен считал, что подходящей кривой является парабола с показателем степени п = —.

8

Подобного рода профили осреднённых скоростей были обобщены так называемым степенным законом распределения

= / (у ) =

- ( у

V ь.

119)

где п - постоянный показатель степени.

Особенно распространено использование п = ^ («закон одной седьмой»). В этом случае

й/(у) = им • п ( у)п

йу у IЬ) .

Следуя прежним процедурам, находим

V

2~.fl \П,

120)

и* у

V VUm•п

Ь

V у у

1 - у) -1

или

(‘ - п)(1 - у) - 1.

(

При у <

ШмП ^1-п

V и*2Ьп у

V \имп

ь.

121)

получим, что — < 0. То есть в очередной раз приходим к выводу о том, V

что вблизи гладкой стенки турбулентная вязкость VT отрицательна. Заметим, что для степенных законов при у = 0 получается, что Vт = -V . Это обстоятельство является существенным их недостатком.

и

г

о

п

и

и

u = f (y )= 2,5u*ln—* + B,

122)

4. Весьма распространённым является логарифмический закон распределения осреднённых скоростей

yu*

V

где B = const.

В этом случае

df (У) = 0. V = о ^

2,5u* ' 2,5 * Л ЛО\

dy yu* V у 123)

Следуя той же методике получим условие

V^ = u*2 • y Г _ yЛ _ 1 V V• 2,5u* L У L )

или

- = —fl _ y'l _ 1 = 0,4y+fl _ у Л _ 1* 10/П

V 2,5v I L) У L) 124)

Отсюда следует, что при y + < 2,5 значение

V

V < °* 125)

Вывод: Все наиболее распространённые законы распределения осреднённых скоростей учитывают наличие у гладкой стенки зоны с отрицательной турбулентной вязкостью VT < 0 *

Общие выводы

На основе результатов, полученных в процессе обоснования открытия (диплом № 376), авторам удалось:

1* Разработать новую методику гидравлического расчета распределения осредненных скоростей в продольно-однородных турбулентных потоках*

2* Обосновать неизбежность появления точки перегиба на профиле осредненных скоростей при гладких стенках в продольно-однородных потоках*

3* Предложить новую пятислойную модель строения продольно-однородного турбулентного потока, включающую слой с отрицательной турбулентной вязкостью* Границы зон потока предполагаются подвижными и зависящими от числа Рейнольдса и относительной шероховатости*

4* Предложена непротиворечивая схема последовательности перехода ламинарного течения в турбулентное с использованием теоремы Толмина- Шлихтинга и наличия точки перегиба на профиле осредненной скорости*

5* Сформулирована научная идея о причинах возникновения когерентных структур в пристенной области*

ЛИТЕРАТУРА

1* Абрамович Г*Н* О дальнодействии турбулентных пульсаций давления / Г*Н* Абрамович // Механика турбулентных потоков* М*: Наука, 1980* С* 134 - 153*

2*Альтшуль А*Д* О касательных напряжениях при движении воды в открытых руслах / А*Д* Альтшуль // Известия АН СССР* Энергетика и транспорт, 1983* - №6* - С* 155-158*

3*Альтшуль А*Д* Гидравлические потери на трение в трубопроводах / А*Д* Альтшуль; - М*-Л*: Госэнергоиздат, 1963* - 256 с*

4*Булеев Н*И* Пространственная модель турбулентного обмена / Н*И* Булеев; - М*: Наука, 1989* - 344 с*

5* Высоцкий Л*И* Новое представление коэффициента турбулентной вязкости как основа для анализа турбулентных параметров / Л*И* Высоцкий // Совершенствование методов гидравли-

ческих расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1998. С. 4-35.

6. Высоцкий Л.И. Учет отрицательной турбулентной вязкости в пристенном слое/ Л.И. Высоцкий // Труды Саратовского научного центра ЖКА РФ. 1998. Вып. 2. С. 4-81.

7. Высоцкий Л.И. О турбулентной вязкости / Л.И. Высоцкий // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1999. С. 4-11.

8. Высоцкий Л.И. О продольно-однородных турбулентных течениях / Л.И. Высоцкий // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2000. С. 4-67.

9. Высоцкий Л.И. Один подход к расчету распределения температуры в турбулентных потоках / Л.И. Высоцкий // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2001. С. 4-87.

10. Высоцкий Л.И. Некоторые результаты сопоставления расчетов параметров турбулентных течений в круглых трубах по методу автора с опытными данными / Л.И. Высоцкий // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2002. С. 7-27.

11. Высоцкий Л.И. Один способ описания и анализа турбулентности / Л.И. Высоцкий // Известия вузов «Прикладная нелинейная динамика». 2002. Т. 10. №1-2. С.84-91.

12. Высоцкий Л.И. Построение сквозной для всех зон сопротивления формулы для распределения осредненных скоростей в продольно - однородных турбулентных потоках / Л.И. Высоцкий // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2005. С. 7-63.

13. Высоцкий Л.И. Плоские продольно-однородные течения / Л.И. Высоцкий // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2007. С. 4-70.

14. Высоцкий Л.И. Обоснование предполагаемого открытия: «Явление существования течения с отрицательной турбулентной вязкостью в тонком слое вблизи гладкой стенки в продольнооднородных турбулентных потоках» / Л.И. Высоцкий, И.С. Высоцкий // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2008. С. 4-53.

15. Высоцкий Л.И. Явление возникновения течения с отрицательной турбулентной вязкостью в продольно-однородном турбулентном потоке жидкости / Л.И. Высоцкий, И.С. Высоцкий // Научные открытия 2009. Сборник кратких описаний, научных открытий, научных гипотез. Москва, М.: РАЕН. 2010, С. 25-27.

16. Климонтович Ю.Л. Что же такое турбулентность? // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. Проблемы нелинейной гидродинамической устойчивости. Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов 1995. №2 С.7-37.

17. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными стенками / Ж. Конт-Белло. М.: Мир, 1968. 176 с.

18. Ландау Л.Д. Механика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Гостехтеориз-дат, 1953. 736 с.

19. Лойцянский Л.Г. Аналогия между ламинарным и турбулентным пограничными слоями в свете теории обобщенного подобия// В кн. Механика турбулентных потоков. М.: Наука. 1980. С. 153-166

20. Ляпин А.В. Критерий оценки плавной изменяемости течения в расчетах открытых потоков / А.В. Ляпин // Строительство - формирование среды жизнедеятельности: Материалы Второй Меж-дунар. науч. практ. конф. молодых ученых, аспирантов и докторантов. Секция 2. Строительство -среда и система жизнедеятельности. М.: Изд-во МГСУ, 2004. С. 231-233.

21. Монин А.М., Яглом А.М. Статическая гидромеханика. М.: Наука. 1965 и 1967. ч.1 и 2. 640 с. и 720 с.

22* Рауз Х* Механика жидкостей для инженеров-гидротехников / Х* Рауз* М*: Госэнергоиз-дат, 1958*368 с*

23* Роди В* Модели турбулентности окружающей среды / В* Роди //Методы расчета турбулентных течений* М*: Мир, 1984* С* 227-322*

24* Тананаев А*М* Течения в каналах МГД-устройств* М*: Атомиздат* 1979* 368 с*

25* Таунсенд А* А* Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом / А* А* Таунсенд* М*: ИЛ, 1959*40° с*

26* Трубецков Д*И* Турбулентность и детерминированный хаос* / Статьи Соровского образовательного журнала в текстовом формате* 1998* 1° с*

27* Федяевский К*К* Турбулентный пограничный слой крыла / К*К* Федяевский* // Труды ЦАГИ* 1936* Вып* 282* 24 с*

28* Хлопков Ю*И* Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности / Ю*И* Хлопков, В*А* Жаров, С*Л* Горелов // Москва: МФТИ* 2005* 179 с*

29* Beljaars A*C*M* A quantitative model for momentum exchange by coherent motions in a turbulent wall boundary layer // Letters in Heat and Mass Transfer* 1978* V* 5* P* 231-241*

30* Boussinesque J* Theorie de l'ecoulement tourbillant / J* Boussinesque // Mem* pres* par* div* sovants a 1'Akad* Sci* 1887* Vol* 23* 46 p*

31* Cantwell B*J* Organized motion in flow // Ann* Rev* Fluid Mech* 1981* V* 13* P* 457-515*

32* Corino E*R* A visual investigation of the wall region in turbulent flow / E*R* Corino, R*S* Brodhey // Journal of Fluid Mechanics* 1969* Vol* 37, Part 1* P* l-30*

33* Eckelmann Н* ^e structure of the viscous sub layer along а smooth boundary/Н* Eckel-

mann// Journal of Fluid Mechanics* 1974* Vоl* 65* Part 3* Р* 439-459*

34* Eskinazi S* / S* Eskinazi, F*F* Erian // Physics of Fluids* 1988* 12* № 10* P* 145-162*

35* Fildler H*E* Coherent structure* Advances in turbulence // Proc* Of First European Turbulence Conference* Lion, France* 1986* P* 320-336*

36* Grass, A* J* Structural features of Turbulent Flow over Smooth and Rough Boundaries / A* J* Grass // Journal of Fluid Mechanics* 1971* Vol* 50* P* 233-255*

37* Gupta A* K* Ph*D* dissertation/A* K* Gupta University of Southern California* 1970* 220 p*

38* Gyr A* Turbulent flows over smooth credible sand beds in flumes / A* Gyr, A* Schmid // Journal of hydraulic research* 1997* Vol* 35* №4* Р* 525-544*

39* Hardary A* The generation and regeneration of single hairpin vortices / A* Hardari, C* R* Smith // Journal of Fluid Mechanics* 1994* Vol* 175* P* 135-162*

40* Head M* R* New aspects of turbulent boundary-layer structure / M* R* Head, P* B* Bandyo-padhyay // Journal of Fluid Mechanics* 1981* Vol* 107* P* 297-338*

41* Hatziavramidis D*T* The representation of the viscons wall region by a regular eddy pattern /

D*T* Hatziavramidis, T*J* Hanratty // Journal of Fluid Mechanics* 1979* Vol* 95* Pt* 4* P* 655-679*

42* Kim H*T* The production of turbulence near a smooth wall in a turbulent boundary layer / H*T* Kim, S*T* Kline, W*C* Reynolds // Journal of Fluid Mechanics* 1971* V* 50* Pt* 1* Pp* 133-160*

43* Kim J* Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds numbers/J* Kim, P* Moin, R* Moser// Journal of Fluid Mechanics* 1987* Vol* 177* P* 133-166*

44* Kline S*T* The structure of turbulent boundary layers / S*T* Kline, W*S* Reynolds, P*A* Schraub, P*W* Runstadler // Journal Fluid of Mechanics* 1967* Vol* 30* Pt* 4* P* 741-773*

45* Le A*T* A numerical Study of Turbulence Modification in Shear-Driven 3DBL’s / A*T* Le, J* Kim, G*N* Coleman // Division of Fluid Dynamics Meeting* November* 1998* P* 22-24*

46* Liu Z*C* A study of streaky structure in a turbulent channel flow with particle image velosime-try/Z*C* Liu, R*J* Adrian, T* J* Hanratty // V Institutes* Symposium on applied of laser technology to Fluid Mechanics* Lisbon* 1996* P* 171-179*

47* Lu S*S* Measurements of the structure of the Reynolds stress in a turbulent boundary layer / S*S* Lu, W*W* Willmarth // Journal Fluid of Mechanics* 1973* V* 60* Pt* 3*

48* Marusic B*J* Wall-bounded tur,ulent flows at high Reynolds numbers: recent advances and key issues / B*J* Marusic, P*A* Mc Keon, H*M* Nagib, A*J* Smits, K*R* Sreenivasan // Physics of fluids* 22* 065103-1*2010* Pp* 1-24*

49* Popovich A*T* Experimental study of the viscous sub layer in turbulent pipe flow / A*T* Popovich, R*L* Hammel // A*I*Ch*E*J* V* 13* № 5* P* 854-860*

50* Prandtl L* Nenere Ergebnisse der Turbulenzforschung //V*D*I* 1933*77* № 5* P*107-110*

51* Reynolds О* An Experimental Investigation of the circumstances wich determine whether the Motion on Water shall be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in parallel Channels* Phil* Trans* Roy* Soc* London* 1883* P* 51*

52* Reynolds О* Оп the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion* Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series А, 1895, V* 186, Р* 123-161; русский пер* в сб* «Проблемы турбулентности», ОНТИ, 1936*

53* Tominaga А* Velocity profiles in steep open-channel flows / А* Tominaga, I* Nezu // Journal of Hydraulic Engineering* ASCE* 1992* Vol* 118, №1, Р* 73-90*

54* Wallace J*M* Pattern recognized structures in bounded turbulent shear flows/ J*M* Wallace, R*S* Brodkey, X* Eckelmann//Journal of Fluid Mechanics* 1977* Vol* 83* №4* P* 673-697*

55* Willmarts W*W* Structure of the Reynolds stress near the wall/ W*W* Willmarts, S*S* Lu// Journal of Fluid Mechanics* 1972* Vol* 55* Part 1* P* 65-92*

56* Uberoi M*S*, Freimuth P* 1969* Journal of Fluid Mechanics* 12* 1359*

57* Van Atta C*W*, Chen W*Y* 1969* Journal of Fluid Mechanics* 38* 743*

58* Van Atta C*W*, Yeh T*T* 1970* Journal of Fluid Mechanics* 41* 169*

59* Wooldridgee C*E* Measurement in a turbulent boundary layer with porous wall injection and combustion / C*E* Wooldridgee, R*J* Muzzy // Symposium (International) on Combustion* 1965* V* 10* № 1* P* 1351-1362*

Лев Ильич Высоцкий, доктор тех- Lev Ilyich Vysotsky, a Doctor of Technical

нических наук, профессор, Саратовский Sciences, Professor, Saratov State technical uni-государственный технический универси- versity Managing chair of hydraulics, hydraulic тет, Заведующий кафедрой гидравлики, machines and water supply* гидравлических машин и водоснабжения*