Численная реализация модели цилиндрического изгиба ортотропных плит переменной жесткости на упругом основании

УДК 624.073.2.04

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ИЗГИБА ОРТОТРОПНЫХ ПЛИТ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

В.Л. Бурковский, Н.Н. Некрасова

В статье рассматривается численная реализация математической модели цилиндрического изгиба ортотропных фундаментных плит с переменным коэффициентом жесткости. Предлагаемый способ численного решения системы интегро-дифференциальных уравнений позволяет учесть условия грунтового основания

Ключевые слова: плита, упругое основание, коэффициент жёсткости

Проблема расчета плит переменной жесткости на упругих основаниях возникает при оптимальном проектировании

фундаментов, а также при проектировании плит, изменение жесткостей (толщин) которых обуславливается расположением

технологического оборудования или значительным изменением нагрузки на отдельных участках неразрезных,

многосвязных плит и в ряде других случаев.

Анализ работ по изучению напряженно -деформированного состояния плит переменной жесткости (толщины) показывает, что исследования проведены либо для задач в осесимметричной постановке, либо для тонких прямоугольных плит с переменной жесткостью в одном направлении. Наиболее обширные исследования в данной области выполнены для круглых пластин переменной толщины [1, 2]. Исследованию прямоугольных плит посвящены работы [3-6]. 1

В настоящей работе рассматривается пространственная модель контактного взаимодействия ортотропных плит переменной жесткости с упругим основанием без учета сил трения в области контакта. Для численного решения бигармонического уравнения с переменными коэффициентам применяется конечно-разностная схема второго порядка точности используемая в сочетании с методом граничных элементов. Модель основания -упругое изотропное полупространство.

Дифференциальное уравнение

изогнутой поверхности ортотропной плиты переменной жесткости, находящейся под действием поперечной нагрузки и опирающейся на упругое основание имеет вид

Бурковский Виктор Леонидович- ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел.(4732) 43-76-60 Некрасова Наталия Николаевна-ВГАСУ, аспирант, тел.(4732) 71-62-53

дх

Б.

+ -

д2

г д2Ж

дх2

Б..

д2Ж л

72 ~ 2 ду

Ч2 (

ґ д V

дхду

2 '+УҐ

ду у ^ дyz 1 дхг

= Я

д2У л дхду

где Ж ( X, ~у) вертикальное пере^ме^цение срединной плоскости плиты, Ч(х,У) -

интенсивность внешней нагрузки, р(х,у) -

контактное давление; Еі, Е2, у},

модули упругости и коэффициенты Пуассона материала плиты соответственно; С -модуль сдвига, И -толщина плиты; Вх. В -цилиндрические жесткости изгиба; Вк -

жесткость

А. =

ЕК

кручения

ЕЙ3

у

плиты:

3

12

12

Для главных направлений упругости жесткости изгиба Вх, О у и жесткость кручения

связаны

соотношениями:

В3 = °ху2 + 2ВК = ВуУ1 + 2ВК .

Для изотропной плиты Е1 = Е2 = Е ,

У1 =У2 =У, С = Е /2(1 + у),

Вк = 2(1 -у),

Вх = Ву = В = ЕИ 3/12(1-И).

В данной постановке трение в области контакта не учитывается, считаем, что плита полностью примыкает к основанию, т.е. вертикальные перемещения плиты и

поверхности основания равны между собой. Зависимость между интенсивностью

реактивного давления и вертикальным перемещением выражается уравнением вида (2): _

Ж (х, у) = Ж (х, у) + А + Вх + Су =

1 - V

пЕ,

где А, В, С - параметры перемещения плиты как жесткого целого; Ед, Уд - модуль упругости и коэффициент Пуассона основания. Функция 0)(х,у,^ ,п) выбирается в зависимости от принятой модели основания, 5 — область контакта плиты и основания.

Граничные условия на контуре плиты имеют вид при защемлении края

дЖ ( ч „

Ж=0, —— = 0,

дп

п -внешняя нормаль к контуру плиты Г1 ; при шарнирном опирании

Ж=0, Мп = 0,

и граничные условия на свободном крае принимают вид

Мп = 0 , Оп + дМт = 0.

дз

Мп, Мпт - изгибающий и крутящий моменты; Оп - перерезывающая сила; д / дп -

производная по нормали, д / дs - производная по дуге контура плиты. Отметим, что условие (5) объединяет два необходимых условия

Оп = 0, Мпт = 0 на свободном контуре

плиты, когда распределенные крутящие пары статически эквивалентны перерезывающей силе. Если свободный контур содержит угловые точки, то подобная замена приводит к появлению в угловых точках сосредоточенных сил [7].

Замыкает задачу система уравнений равновесия для плиты, загруженной внешней нагрузкой я(х,у):

II р(%, п = \\ ч(£, п,

5

II р= II Я

5 Е

II р

5 Е

где 5 - область контакта плиты и основания, Е - область действия внешней распределенной нагрузки.

Следовательно, математическая

формулировка рассматриваемой задачи сводится к совместному решению дифференциального (1) и интегрального (2) уравнений с граничными условиями (3, 5) на краях контура плиты.

Для решения такой задачи предлагается приближенный численный расчет на основе сочетания метода сеток и метода граничных элементов. Причем, рассматривается конечноразностная схема (типа сквозного счета), которая характеризуется тем, что граница областей с различными свойствами явно не выделяется. Для жесткостей, входящих в коэффициенты конечно-разностных уравнений в узлах сетки применяем принцип сглаживания.

При замене дифференциального уравнения (1) конечно-разностными выражениями воспользуемся известным 13точечным шаблоном для построения разностного уравнения во внутренних узлах прямоугольной сетки с шагами Ах и А у по

осям ОХ и ОУ (рис.1), соответственно. Кроме того, в дальнейшем для составления конечно-разностных уравнений потребуется использовать дополнительные точки а, в, у, 7 , которые расположены в центрах

соответствующих клеток.

Рассмотрим уравнение (1) во внутреннем узле конечно-разностной сетки

(!,) ):

д2

г

дх

+4-

+У

дж

Ох

д2

дхду

"д2

дх

+

-•у

+

-•у

д2 ( дЖ

Ву а 2

V ду ,

дх2

+

ду

Я - Ри

I=1,2,...,N-2; ] =1,2,...,М-2.

Частные производные в каждом слагаемом левой части уравнения (7) в развернутом виде можно расписать, используя известные конечно-разностные соотношения для

• 7-7 +2

/-7,7+7

*-и

\ /

X а У \ /

\/

/ч / \

/ \

/ N

/ \

1

\

чв/

О'

\ / V / \

/ \

/ \

/

/ \

/ \

/ /Т >ч

У о \

/ +7,7 +7

1+2,]

Ау

/-7,7-7

Л./-^

л./--7

/+7,7-7

Ах

Рис. 1. Тринадцати точечный шаблон конечно-разностных уравнений

производных второго порядка, приведенных в работе [8].

Для удовлетворения второго порядка аппроксимации значения жесткостей

, ^§у, -В- в сеточных узлах определим согласно рекомендациям, приведенным в [9]:

(х ), 7-1 = 2- [ )7,7-1 + (Вх ), j-2,

(х ),7 = 2- [х ),[ + (Вх ),7-1

(^^х ), 7+1 = | [ ), 7+1 +(Вх ), 7 ];

В )-1,7 = £ -[ Ц 7 + (у )-^

(у ), 7 = 1 -[ )„[ + [Ву \ -1,

В ) 1  = - \°у) 1  +

' у ч + 1,7 2 1 + 1,7 г-!

1

а

Ч

/в) +ВМв), н+В)

(В)в=~4 .№+17 +В)/+17+1+В),7 +В),7+1];

4- (хк),7-1+(Х-),7 +(в)-17-1+в)7-17 В)7=4- (Х-),7 +(Х-),7+1 +(хк)-1,7 +в)-1/+1

Таким образом, уравнение (7) в узле (/,7) окончательно принимает следующий вид:

С -Ж,,7 + С2 -Ж,,7-1 + С3 • Ж,7+1 + +С4 -Ж/+1,7 + С5 • Ж,-1,7 + С6 -Ж/ +1,7-1 + +С - Ж + С - Ж + С - Ж +

7 /—1,7-18 "гЧ-1,7+19 гг /-1,7+1 т

+С Ж + С Ж + С Ж +

т^10 /, 7-2 11 /, 7+2 12 /+2,7Т

+С13 - Ж,-2,7 =(Ау )4 (Я/7 - Р/7 ) ,

/ = 1,2,к N - 2; 7 = 1,2, к ,М - 2

где разностные коэффициенты

С ( = 1.......13) определяются по

следующим формулам:

с1 =л:

+4Л

V (х ) + (ВК )+(ВК )+(Вк) + (К )а + У. ( ),7 ] + (Ву +4(В),+(у )+1,7;

( ), н + (Вх).

’в

+

+

С2 = -2Л2

-2Л

2( ВК) +

+

2(Вк0а+у(Вдн +УФХ ];

С3 =-2Л В )/, 7+1 +к В ),7\-Л3К ).

+2(Б7+4(0^ +у(Ву)/,7 ];

с=-2{у 7 ЩА Щ,МВ ВШ

+

у' '1+)'

С =-2Л -2

у/,7 у у>и

С6 = {у2 (Вх 1,7-1 + 4(ВК )а + У1 (Ву )+1,7 С7 = {у2 (в€х )/,7-1 + 4(в€К )г +У1(в€у I--17. С8 = {у2 (в€х 1,7+1 + 4(в€К )в + У1(в€у !+1,у] С9 = {у2 (в€х }, 7+1 + 4(В€К )7 + У1(в€у )/-1 ,.

С10 = { (4),7-1; С11 = {2 (4),7+1; С12 =(в€у I-+1,7; С13 =(в€у I--1,7.

Здесь Л = (Ау / Ах) - отношение квадратов шагов конечно-разностной сетки в

направлениях ОУ и ОХ , соответственно.

Для записи уравнения (8) в каждом узле конечно-разностной сетки, необходимо знать не только прогибы в узлах сетки, нанесенной на плиту, т.е. внутри контура и на нем, но и прогибы некоторых точек за контуром плиты. Эти законтурные узлы сетки должны иметь такие прогибы, чтобы на ближайшем крае пластины удовлетворялись граничные условия. На основе этого составляются дополнительные уравнения для определения прогибов в законтурных точках. Граничные условия (3)-(5) позволяют дополнительные неизвестные включить в общую систему уравнений, а иногда, как, например, при шарнирном оперании края плиты или заделки, выразить их через перемещения ближайших

внутриконтурных точек и, таким образом, исключить их из общей системы уравнений.

Построенная конечно-разностная схема

значения жесткостей В х, В у , В- в сеточных

узлах определим как среднее арифметическое значение жесткостей в двух соседних узлах (в рассматриваемом узле сетки и узле, расположенного слева от данного узла;

2) значения обратных жесткостей в узле

определяются как полусумма величин, обратных к среднему арифметическому значений жесткостей в соседних узлах;

3) значения жесткостей х , у , к в

сеточных узлах, берем равными среднему арифметическому значению жесткостей в полуцелых узлах (промежуточные узлы, расположенные в серединах отрезков между узлами основной сетки).

Пример численного расчета.

Сравнение типов аппроксимации жесткостей в сеточных узлах рассмотрим на примере

изотропной квадратной плиты со стороной

а = 16м, у = 0,167, С = 0,429 - Е,

Е = 2 -104 МПа, защемленной по контуру и взаимодействующей с упругим полупространством. Характеристики

основания: Е0 = 29,1МПа, у0 = 0,25.

Показатель гибкости для изотропной плиты

г=3 -пЕ0а3-(-у2 )/ЕИ-(-У )=29,12.

На плиту действует равномерно

распределенная нагрузка Я = 105 Н / м 2.

Толщина плиты скачкообразно меняется относительно диагонали квадрата (рис. 2). В области 1 толщина плиты И1 = 1м, а в области

2 и на самой диагонали И2 = 2м. Объем плиты V = 384 м3.

Рис. 2. Плита со скачкообразным изменением жесткостей относительно диагонали

На рис. 3, а показаны изолинии равных прогибов для плиты постоянной толщины К = И2 = 1,5м . Картина изолиний, как видно

из рисунка, симметрична относительно центра плиты, причем линии равных прогибов в центре плиты практически не отличаются от окружностей. С удалением от центра изолинии принимают вид прямоугольников со скругленными углами. Сравним изолинии для

трех рассмотренных типов аппроксимации функций жесткости при определении

коэффициентов конечно-разностных

уравнений. Первому типу аппроксимации функций жесткости в сеточных узлах соответствуют изолинии прогибов,

приведенные на рис. 3, б. Из представленных расчетных данных видно, что скачкообразное изменение толщины плиты приводит к

существенной ассиметрии в распределении прогибов. Область максимальных прогибов смещается в область плиты с меньшей толщиной и приобретает форму эллипса с большей осью в направлении границы раздела жесткостей. Второму типу осреднения функции жесткости в узлах сетки соответствует картина линий равных прогибов, приведенная на рис. 3,в, а на рис. 3,г построены изолинии прогибов по третьему типу аппроксимации функций жесткости в сеточных узлах.

В таблице приведены значения максимальных прогибов для плит равных

3

объемов (V = 384 м ), лежащих на упругом

полупространстве, толщины которых меняются скачкообразно в соответствии с рис. 2. В этой же таблице для сравнения при той же нагрузке

приводятся значение Жтах для защемленной

плиты постоянной толщины И=1,5м. Как следует из данных, приведенных в таблице, скачкообразное изменение толщины плиты в два раза приводит к увеличению

максимального прогиба Жтах по сравнению с плитой постоянной толщины почти в полтора раза. Как показывают расчеты, для рассматриваемой функции изменения толщины все три типа осреднения приводят к качественно подобному распределению прогибов; количественное отличие не превышает 5%, что вполне удовлетворяет заданной точности расчетов.

Таблица

^шах, см плита постоянной толщины тип аппроксимации для плиты переменной жесткости

1 2 3

0,1488 0,2005 0,2148 0,2050

а) б)

в) г)

Рис. 3. Изолинии равных прогибов Ж, см защемленной плиты, контактирующей с упругим полупространством: а) -однородная плита; б, в, г - плита с кусочно-постоянной функцией толщины при аппроксимации жесткостей по первому,

второму и третьему типам соответственно

Литература

1. Коренева Е.Б. Об одном приближенном методе

расчета круглых ортотропных пластин линейно-

переменной толщины // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1991. - № 8. - С. 26 - 29.

2. Коваленко А.Д. Круглые пластины переменном толщины. - М.: Физматгиз, 1959.- 235 с.

3. Юрьев А.Г., Смоляго Н.А. Изгиб пластинок

переменной жесткости на упругом основании // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1978. - № 10. - С. 44 - 47.

4. Деркач В.Ф. Расчет тонких плит ступенчатопеременной толщины на упругом полупространстве // Расчет конструкций подземных сооружений. -Киев.-Буд1вельник.-1976-С. 47-55.

5. Клепиков С.Н., Маликова Т.А. Изгиб ортотропной плиты переменной жесткости на нелинейно -деформируемом смещающемся основании // Тр. НИИ

оснований и подземных сооружений.-1982.- Вып. 73.- С. 15 - 19.

6. Ээк Р.Н., Ряямет Р.К. Расчет ортотропных пластинок переменной толщины методом сеток // Тр. Таллинский по- 21.

7. Киселев В.А. Расчет пластин. М.:Стройиздат, 1973.

- 151с.

8. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.:Стройиздат, 1977.

- 154с.

9. Самарский А.А. Теория разностных систем. -М.: Наука, 1977. - 656с.

10. Самарский А.А., Фрязинов И.В. О разностных схемах решения задачи

Дирихле в произвольной области для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1971. - Вып. 11. - № 2. - С. 385 -410.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

THE NUMERAL REALIZATION OF SIMULATOR OF ORTHOTROPHIC BED PLATES CYLINDRICAL BENDING WITH FLOATING STIFFNES ON RESILIENT FOUNDATION V. L. Burkovsky, N.N. Nekrasova

The article deals with numeral realization of simulator of orthotrophic bed plates cylindrical bending with floating stiffness factor. With given method of computational solution of itegro-differential equation system is permitted to take into account the earth foundation conditions

Key words: plate, resilient foundation, stiffness factor