Моделирование использования солнечного ветра для орбитальных маневров космических аппаратов

УДК 629.78.064.56

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СОЛНЕЧНОГО ВЕТРА ДЛЯ ОРБИТАЛЬНЫХ МАНЕВРОВ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

Е.Н.Чумаченко, А.В.Малашкин, А.Н. Федоренко

Обсуждается задача использования солнечного ветра для орбитальных маневров космических аппаратов. Анализируются материалы, связанные с созданием шаровых солнечных парусов с изменяемыми отражательными характеристиками, например с использованием жидкокристаллической пленки. Описываются возможные варианты построения математической модели паруса и соответствующие им алгоритмы управления.

Ключевые слова: солнечный парус, давление света, управление

Введение

Идея создания солнечных парусов возникла еще в начале XX века. С того момента, как Максвелл теоретически обосновал, что излучение может создавать давление, ученые задумались о том, как использовать давление солнца как движущую силу. В 1920-х два российских инженера, Константин Циолковский и Фридрих Цандер написали несколько первых работ с идеями использования энергии солнечного давления.

В 1950-х солнечными парусами заинтересовались в США. В 1970-х NASA начало финансирование исследования солнечных парусов. Позднее, в 1992 году, JeromeL. Wright издал одну из первых книг о солнечном парусе “Space Sailing". В 1999 году Collin R. McInnes издалкнигу “Solar Sailing: Technology, Dynamics and Mission Applications". Эта книга содержит много базовой информации о солнечных парусах, включая и собственные исследования автора.

В 2002 НАСА финансировало проект, во главе с доктором Майклом Э. Лизано из Jetpropulsionlaboratory, целью которого было создать высокоточный инструмент, который позволил бы моделировать и анализировать полет солнечного паруса. В 2006 этот проект был закончен. Он получил название SolarSailSpaceflightSimulationSoftware или S5 [2].

В настоящее время многие зарубежные космические агентства также заинтересованы в солнечных парусах, ведутся интенсивные исследования в этом направлении.

В этой работе обсуждается одно из направлений исследований, ведущихся в НОЦ «КОСМОС», организованном Московским государственным институтом электроники и математики (технический университет) и Институтом космических исследований РАН на базе кафедры Математического моделирования.

Система, приводящая в движение космический аппарат за счет давления солнечного света, называется солнечным парусом. Ее главным преимуществом является отсутствие необходимости в каком-либо топливе. Такие паруса представляют собой очень тонкие мембраны большой площади, которые способны отражать солнечные фотоны и за счет этого получать ускорение [1] [2].

Величина давления солнечного света Р

выражается формулой

р = 0 с

V r /

где

Sn = 1368 Вт!м

2

солнечная

постоянная, с = 3х108л//с скорость света, г0 равно одной астрономической единице. На орбите Земли Р « 4,6x10 6Н / м2.

2

Г0

Чумаченко Евгений Николаевич - МИЭМ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: kommek@miem.edu.ru Малашкин Анатолий Владимирович. - МИЭМ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: malashkin_a_v@mail.ru Федоренко Алексей Николаевич - МИЭМ, аспирант, e-mail: alexey .n.fedorenko @gmail .com Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования по направлению «Космические исследования и технологии» 2011-2013 гг.

Предлагается две модели солнечного паруса. Более простым является вариант полного зеркального отражения. Сила,

действующая на плоский парус площади А, выражается в этом случае формулой

Р = — 2РАссв2(а)п, где а угол между

направляющим вектором падающего на парус

солнечного излучения Г и нормалью к

поверхности П .

Для построения модели паруса с

неполным отражением введем следующие

обозначения.

О - коэффициент поглощения

Р - общий коэффициент отражения

Ра - коэффициент отражения света

зеркально

рс1 - коэффициент отражения света

рассеиванием

Р

При этом выполняется соотношение

Р = Р,+Рс-

£ь - коэффициенты излучения

передней и обратной стороны паруса

В^, В - характеризуют угловое

распределение излучения передней и обратной стороны паруса

Сила, действующая на поверхность

площади А, складывается из четырех компонент (рис. 1) [2]:

парус

Рис. 1. Компоненты действующей на парус силы

Fa =iMcos^^|- cos + sin падение солнечного луча,

Frs = iMps’cos^^cosC'^-sin^'^ -зеркальное отражение,

Frd=-PAcos4cl}fpi — s 7} - отражение рассеиванием,

Fe = -PA cos 4$ ~Уі— p

n

е ‘ ~ ~ ^ Ь'у +£ь

рассеивание поглощенной энергии в виде тепла.

Сумма этих составляющих выражается

формулой

Р - 2РАсо^4^^\1ег - _

, где

b2 =sp

h=~ 3 2

Bfi-sjp+ і-p

b-^b

Sf+£b

Реализованные космические миссии и их итоги

К настоящему моменту проведено два проекта с успешным развертыванием солнечных парусов в космосе. Совсем недавно на орбите Земли появился спутник NASA NanoSail-D площадью около 10 кв. метров, разработанный для исследования

возможностей использования парусов вблизи планеты. В 2010 году ходе межпланетной миссии спутника Ikaros, площадью 200 кв. метров и толщиной мембраны всего 7,5 мкм, удалось успешно выполнить развертывание и разгон. Была испытана экспериментальная система управления, использующая жидкокристаллические пленки на поверхности мембраны, способные изменять коэффициент отражения света. Благодаря этому можно изменять давление света в различных частях паруса. Таким образом, поворачивая его и изменяя угол падения солнечных лучей, появляется возможность очень существенно влиять на направление полета [3] [4].

Эти эксперименты доказали возможность использования подобной технологии на орбите Земли для выполнения поворота вокруг произвольной оси аппарата без использования топлива и нежелательных рывков в движении.

Общая постановка задачи

В качестве одного из вариантов паруса рассмотрим конструкцию из 6 шарообразных солнечных парусов, прикрепленных к аппарату длинными штангами. Каждый из шаров разбит на элементарные секции (пиксели). Пиксели могут находиться в двух состояниях. Цветными обозначим неактивные участки паруса, почти полностью поглощающие или пропускающие солнечный свет. Такие пиксели могут воздействовать на парус только за счет падающих фотонов либо переизлучения поглощенной энергии. Белым цветом покажем активные пиксели, которые большую часть излучения отражают, а остальное поглощают (рис.2). Будем считать, что космический аппарат находится в центре конструкции, на пересечении штанг. Систему в первом приближении можно считать

жесткой, т.е. не учитывать деформацию штанг

Рис.2. Схема солнечного паруса. Пунктирной линией обозначена ось вращения

Изменение состояния активных участков парусов позволяет менять давление света на каждом участке паруса. Это, например, можно реализовать с помощью квадратных плоских поворачивающихся пластин (пикселей), или пластин из материала, который меняет свою отражающую способность под действием электрического тока. Энергию на поворот пластин аппарат может получать либо от солнечных батарей, либо от изотопной

атомной батареи.

Для реализации идеи необходимо уметь рассчитывать конфигурации состояния пикселей так, чтобы на систему действовал требуемый момент сил.

Пиксели паруса, находящиеся либо в тени других частей паруса, либо же повернутые от падающих солнечных лучей, могут создавать воздействие только за счет излучения

накопленной ранее энергии в виде тепла.

Мощность № излучения описывается

законом Стефана - Больцмана:

Ж = АєсїҐ, где А - площадь,

сг = 5.67 х 1СВтхлг хК~4 постоянная Стефана - Больцмана, коэффициент є

характеризует степень черноты излучающеи поверхности ( £Г — 1 для абсолютно черного тела) и в обозначениях для паруса

£ — £[ + £ь. Т температура.

В силу того, что парус состоит из тонкой мембраны и поворачивается достаточно медленно, излучаемая пикселем в единицу времени энергия равна энергии поглощаемой. Приравнивая выражения для падающей на поверхность в единицу времени энергии и излучаемой, получим величину температуры [1],[2]:

Т =

р^Рсоъа

і

ем

'/

Таким образом, повернутые от солнечных лучей пиксели уже сильно “охлаждены” и могут создавать лишь незначительные возмущения за счет излучения. Пиксели, затененные в некоторый момент другими участками паруса, могли быть расположены до этого момента перпендикулярно падающим лучам и иметь высокую температуру. Затенение возникает далеко не при любом маневре предлагаемого солнечного паруса, и количество затененных таким образом пикселей относительно невелико, поэтому в приближении можно воздействием этих участков пренебречь.

Поворот паруса вокруг заданной оси

Для моделирования поворота паруса вокруг произвольно заданной оси, жестко свяжем с парусом трехгранник ОАВС, по положению которого можно судить о положении паруса. Пусть точка О - начало координат, расположенное в месте пересечения штанг паруса. Точки А, В, С -координаты центров шаров, первоначально находящихся на положительных полуосях. Направление солнечных лучей направлено вдоль оси Оz и ортогонально плоскости Оху (в начальном состоянии, плоскости ОАБ).

Поворот системы парусов вокруг оси вращения, заданной направляющими косинусами ^, ^, ^ и углом поворота 5, описывается матрицей вращения:

А'-

^ап а12 аіз^ (\ 0

а21 а22 а23 = С 08 £ 0 1

^азі а32 азз) 0

+

сі2 С1С2 С1С3

С1С2 с\ С2С3

С3С1 С3С2 С32

+ віп <5

0 -о.

с

V С2

'3

-с.

0

с

^2

-с,

Ъ

0

Построим алгоритм «включения» пикселей для осуществления поворота.

Вначале все пиксели предполагаются неактивными, а суммарный момент силы давления равным нулю.

Внешний цикл осуществляется по всем шести шарам.

Умножая радиус-вектор центра шара в начальный момент времени на матрицу А, находим текущую координату центра шара.

Внутренний цикл осуществляется по всем пикселям на шаре.

Умножая радиус-вектор от центра шара к центру пикселя в начальный момент времени на матрицу А и прибавляя текущую координату центра шара находим текущую координату центра пикселя.

Если угол между радиус-вектором от центра шара к центру пикселя и направлением солнечного луча меньше прямого, значит, пиксель в тени своего шара и остается неактивным.

Если расстояние между проекциями центра пикселя и центра любого из остальных 5 шаров на плоскость перпендикулярную солнечным лучам меньше радиуса шара и центр шара ближе к Солнцу, чем центр пикселя, то пиксель считаем затененным другим шаром и оставляем неактивным.

Все остальные пиксели будут освещены Солнцем.

Согласно принятой модели отражения и поглощения света, находим возможную действующую на пиксель силу и в случае его включения, и выключения.

Векторно умножаем возможные значения силы, действующей на данный пиксель и радиус вектор из центра системы к центру пикселя, получаем два варианта момента силы, который может дать пиксель.

Если какой-либо один из двух вариантов момента отличается от требуемого направления момента силы менее, чем на О градусов, то выбираем соответствующее состояние пикселя. В случае, если в этот диапазон угла попадают оба варианта, выбираем момент с наименьшим отклонением от оси вращения.

Если оба варианта момента отличаются более, чем на О градусов, то записываем эти величины в специальный массив, который может быть использован для улучшения суммарного вектора момента сил.

Заметим, что уменьшение угла О приводит к более точному соответствию направления суммарного момента, и одновременно, к уменьшению его модуля.

Конец цикла по пикселям на шаре

Конец цикла по шарам

Далее, в цикле по всем пикселям, момент сил от которых не использовался в предыдущем цикле, прибавляем возможные

варианты момента силы от данного пикселя к суммарному.

Если направление суммарного момента стало ближе к требуемому или при сохранении приемлемой ошибки по углу, суммарный момент стал больше, то выбираем соответствующее состояние пикселя. Если нет, то возможные моменты от пикселя остаются пока в массиве для улучшения, и суммарный момент возвращаем к предыдущему состоянию. Какая из двух характеристик: точность направления или модуль суммарного момента является более важной, определяется системой управления, режим работы которой задается оператором.

Цикл повторяется, пока можно улучшать суммарный вектор момента сил.

Очевидно, что наилучшим алгоритмом был бы алгоритм полного перебора всех сочетаний. Однако, при количестве пикселей в сотни штук это невозможно. Приведенный выше «жадный» алгоритм быстро дает хорошие результаты, как для направления суммарного момента, так и для его величины.

Выход из строя пикселей, например их фиксация в каком-либо положении, может быть учтен принудительным суммированием к изначально нулевому вектору момента силы, создаваемого такими пикселями. Алгоритм улучшения позволит компенсировать эти дефекты. Также без изменения самого алгоритма может быть учтено изменение коэффициентов отражения и поглощения пикселей в процессе эксплуатации.

Пример компьютерной реализации

При моделировании на компьютере тестовой задачи о вращении паруса были приняты следующие допущения, существенно упрощающие задачу, но позволяющие построить первое приближение к ее решению.

Радиус шаровых парусов принят равным одному метру, длина каждой из штанг равна десяти метрам. Масса спутника в двести килограмм условно сосредоточена в сфере, радиусом полметра, расположенной в центре пересечения штанг, на которых крепятся паруса.

Оси координат выбраны таким образом, что Oz направлена на наблюдателя, т.е. перпендикулярна плоскости экрана (Солнце светит со стороны наблюдателя). Для облегчения определения места шаров при выводе на экран их темные участки окрашены в разные цвета, в зависимости от того, на какой оси находились паруса в начальный момент времени: Ох - оттенки красного, Оу -оттенки зеленого, Ое - оттенки синего цвета. Кроме этого, чем меньше Ъ координата шара (чем дальше он от наблюдателя) тем более темный оттенок соответствующего цвета он имеет.

Задаваемыми техническими параметрами являются характерные размеры пикселей и шаг решения по времени. Очевидно, что чем меньше пиксели и шаг по времени, тем точнее будет решение, но тем больше времени потребуется для построения прогноза о вращении объекта.

Основной задаваемый, с целью управления, параметр - направление вектора момента (х,у,е), который должен быть создан солнечными парусами для осуществления поворота вокруг этого вектора в соответствующем направлении.

Выполненные, в соответствии с приведенным ранее алгоритмом расчеты, позволяют определить текущий момент вращения (модуль и направление) при найденной конфигурации темных и белых пикселей, угловую скорость вращения и текущие координаты центров шарообразных парусов А, В и С.

На экран выводится текущее время поворота и проекция парусов на плоскость дисплея с соответствующей, облегчающей определение взаиморасположение парусов, р ас к раской пикселей (рис. 3).______

_____й_________——

Рис. 3. Пример имитации вращения программой

Программа реализована на языке C++.

Выводы

Установлено, что разработанный алгоритм поворота достаточно хорошо

описывает вращение паруса вокруг произвольно заданного направления и может, в первом приближении, быть взят за основу для последующего создания системы

управляющих воздействий, обеспечивающих маневры спутника на орбите.

Разрабатываемая система должна будет учитывать влияние сил гравитации и

сопротивления атмосферы (для низких орбит). И, т.к. парус состоит из сверхтонких и легких материалов, занимает большую площадь, то естественно будет отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и строить систему управления с учетом локальных деформаций в парусе.

Литература

1. Wright, J., Space Sailing, Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, 1992, 232p.

2. Leonel Rios-Reyes. Solar Sails: Modeling,

Estimation, and Trajectory Control. A dissertation submitted in partial fulllment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy (Aerospace Engineering) in The University of Michigan, 2006, 164 p.

3. Small Solar Power Sail Demonstration, 2010. http://www.jaxa.jp/pr/brochure/pdf/04/sat28.pdf

4. Osamu Mori, Yuichi Tsuda, Hirotaka Sawada, Ryu Funase, Takayuki Yamamoto, Takanao Saiki, Katsuhide Yonekura, Hirokazu Hoshino, Hiroyuki Minamino, Tatsuya Endo, Junichiro Kawaguchi and IKAROS Demonstration Team JAXA Exploration Center, Japan Aerospace Exploration Agency (Japan). Second International Symposium on Solar Sailing, New York, 2010. Report on Deployment Solar Power Sail Mission of IKAROS.

Московский государственный институт электроники и математики

MODELLING OF USE OF A SOLAR WIND FOR ORBITAL MANEUVERS OF SPACE VEHICLES E.N. Chumachenko, A.V. Malashkin, A.N. Fedorenko

The problem of use of a solar wind for orbital maneuvers of space vehicles is discussed. Analises the materials associated with the creation of spherical solar sails with variable reflection characteristics, for example, using a liquid crystal film. The variation for constructing a mathematical model of the sail and the corresponding control algorithms are discussed.

Key words: solar sail, solar pressure, control