СИСТЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕАЛИЗАЦИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Полезная модель относится к области автоматического управления и может быть использована при определении оптимальных траекторий управляющих воздействий с одновременным построением модели объекта управления.
Известны схемы оптимизации [Калихман И.Л., Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие. - М.: Высш. школа, 1979. - 125 с. С[24-30]], реализующие метод динамического программирования и заключающиеся в следующем: выбирают способ деления процесса на шаги; вводят параметры состояния и переменные управления на каждом шаге процесса; записывают уравнение состояния; вводят показатели эффективности на k-ом шаге и суммарный показатель-целевую функцию; вводят в рассмотрение условные максимумы показателя эффективности от k-го шага (включительно) до конца процесса и условные оптимальные управления на k-ом шаге; из ограничений задачи определяют для каждого шага множества допустимых управлений на этом шаге; записывают основные для вычислительной схемы динамического программирования функциональные уравнения Беллмана.
Недостаток этой схемы заключается в низких функциональных возможностях, так как она работает при наличии полных моделей объекта и не предназначена для работы в условиях неопределенности.
Наиболее близкой является система автоматической оптимизации (АС №1310773, G05B 13/00). Функционально эта система представлена следующими блоками: блок расчета координат вершин симплекса на поверхности отклика модели объекта; блок постановки эксперимента в вершинах симплекса с регистрацией данных, состоящий из объекта оптимизации, блока планирования эксперимента, блока памяти, командного блока, анализатора выходов объекта оптимизации; блок расчета координат отраженной вершины симплекса, включающий блок запоминания наилучших входов объекта оптимизации и переключающий блок. При работе этой системы на каждой итерации поиска на объекте оптимизации и его моделях реализуют воздействия, соответствующие всем без исключения вершинам симплекса, обновляя, тем самым, информацию об откликах оптимизируемого объекта. В условиях дрейфа экстремума статических характеристик оптимизируемого объекта, обусловленного изменением свойств, это позволяет исключить ошибочные решения при выборе и отражении наихудших вершин, ускоряя отслеживание дрейфа экстремума, а на каждой итерации поиска производить отражение не одной, а двух наихудших вершин симплекса, сокращая, тем самым, число итераций, необходимых для определения оптимальных воздействий.
Недостатком системы оптимизации являются низкие функциональные возможности, так как, во-первых, она не гарантирует получение оптимальной траектории на всей поверхности отклика и, во-вторых, не выполняет функцию построения математической модели поверхности отклика.
Задача полезной модели - расширение функциональных возможностей систем оптимизации в условиях неопределенности.
Задача полезной модели, достигается тем, что в известную систему, содержащую последовательно соединенные блоки расчета координат вершин симплекса на поверхности отклика модели объекта, постановки эксперимента в вершинах симплекса с регистрацией данных, расчета координат отраженной вершины симплекса, введены подключенные к последнему блоку последовательно соединенные блок построения новой модели поверхности отклика в той ее области, где еще не определена оптимальная траектория, блок расчета границ адекватности модели, блок определения оптимальной траектории методом динамического программирования в той области поверхности отклика, где еще не определена оптимальная траектория, блок формирования оптимальной траектории и математической модели всей поверхности отклика, вход которого также соединен с входом блоком расчета координат вершин симплекса на поверхности отклика модели объекта.
На фиг.1 представлена предлагаемая система определения и реализации оптимальных траекторий управляющих воздействий в условиях неопределенности; на фиг.2 - конкретный вариант реализации блоков системы фиг.1; на фиг.3 - проекция поверхности функции отклика, аппроксимированная математической моделью и оптимальная траектория движения; на фиг.4 - оптимальная траектория движения, полученная по предлагаемой схеме.
Система представляет собой последовательно соединенные блок 1 расчета координат вершин симплекса на поверхности отклика модели объекта, блок 2 постановки эксперимента в вершинах симплекса с регистрацией данных, блок 3 расчета координат отраженной вершины симплекса, блок 4 построения новой модели поверхности отклика в той ее области, где еще не определена оптимальная траектория, блок 5 расчета границ адекватности модели, блок 6 определения оптимальной траектории методом динамического программирования в той области поверхности отклика, где еще не определена оптимальная траектория, блок 7 формирования оптимальной траектории и математической модели всей поверхности отклика, вход которого также соединен с входом блоком 1 расчета координат вершин симплекса на поверхности отклика модели объекта.
Реализация каждого блока приведена ниже:
1. Блок расчета координат вершин симплекса на поверхности отклика модели объекта:
1.1 Выбор объекта оптимизации и установки для проведения натурных экспериментов. Примером объекта оптимизации может быть процесс термоциклической обработки стальной заготовки из стали 30ХГСА на установке индукционного нагрева СЭЛТ 002-120/12-Т;
н
в
1.2 Выбор параметров процесса (например, нижняя и верхняя температура цикла Т, Т, длительность цикла τ);
и
1
2
в
0
1
2
0
1.3 Выбор целевой функции (например, зависимость твердости в ед. HRC от длительности цикла τ и Т: HRC=aτ+aТ+a, где a, a, a - постоянные коэффициенты);
1.4 Выбор координат начальной точки.
0
в
Координаты начальной точки выбираются, исходя из практических соображений в пределах установленных граничных условий (например, HRC -твердость стали в нетермообработанном состоянии, при Т=0 и τ=0);
1.5 Расчет координат начального симплекса.
Вокруг начальной точки строится исходный симплекс, координаты которого определяются решением уравнений:
,
ij
i
где x - координаты вершин симплекса, R - радиус окружности, в которую вписан симплекс.
2. Блок постановки эксперимента в вершинах симплекса с регистрацией данных:
н
в
2.1 Эксперимент может проводиться следующим образом: металлическую заготовку помещают в индуктор ТВЧ установки и начинают нагрев по заданному температурно-временному режиму (например, при постоянной Т). Контроль температуры Т осуществляется при этом с помощью бесконтактного инфракрасного пирометра;
в
2.2 Регистрация натурных значений целевой функции (зависимость твердости в ед. HRC от длительности цикла τ и Т) в заданных точках (вершинах симплекса) может осуществляться по методу Роквелла на твердомере «ТКС-2».
3. Блок расчета координат отраженной вершины симплекса:
3.1 Определение наихудшей вершины симплекса и ее отражение.
h
Из вершин симплекса выбираются точки: с наименьшим значением функции x, со следующим по величине значением функции и с наибольшим значением функции. Относительно центра тяжести двух вершин симплекса отражается вершина с наименьшим значением функции (HRC) с коэффициентом α (при α=1 это будет центральная симметрия).
3.2 Расчет координат новой вершины.
r
c
h
h
c
Координаты новой вершины вычисляются по формуле: x=(1+α)x-α·x, где x - координаты наихудшей вершины, x - координаты центра тяжести двух оставшихся вершин симплекса.
4. Блок построения новой модели поверхности отклика в той ее области, где еще не определена оптимальная траектория:
4.1 Выбор структуры модели (например, линейная функция);
4.2 Расчет начальных коэффициентов модели по методу наименьших квадратов решением системы уравнений:
,
1
2
0
z
1z
2z
где a, a, a - искомые постоянные коэффициенты, y - значение функции в данной точке с координатами xx;
4.3 Экстраполяция полученной модели на область, где не определена оптимальная траектория (например, путем распространения путем распространения полученной модели на всю указанную область)
5. Блок расчета границ адекватности модели:
max
наилуч
5.1 Расчет границ адекватности модели по выражению HRC=d HRC, где d - постоянный коэффициент.
6. Блок определения оптимальной траектории методом динамического программирования в той области поверхности отклика, где еще не определена оптимальная траектория:
6.1 Выбор способа деления процесса на шаги (например, по числу циклов термической обработки);
k
k-1
k
k
1
k-1
2
k
1
2
6.2 Выбор параметров состояния ξ, и переменных управления и (например, температура фазового перехода как характеристика структуры металла и температура нагрева в каждом цикле обработки как переменная управления): ξ=F(ξ; u), где F - функция состояния, вида ξ=b·ξ-bu, где b, b - постоянные коэффициенты, определяемые условиями поставленной задачи.
k
k
1
k-1
2
k
1
2
6.3 Выбор показателя эффективности - целевой функции (например, зависимости твердости в ед. HRC от переменных управления): , где f - функция, выражаемая уравнением вида, например, Z=g·ξ-gu, где g g - постоянные коэффициенты.
k
k-1
6.4 Выбор условных оптимумов целевой функции Z(ξ) от k-го шага до конца процесса и условных оптимальных управлений на k-ом шаге;
6.5 Определение для каждого шага множества допустимых управлений на этом шаге;
k
k-1
n
k-1
k
k+1
k
n
n-1
n
n-1
n
k
k-1
k
k-1
6.6 Решение уравнений Беллмана: Z(ξ)=max{f(ξ; u)+Z(ξ)} и Z(ξ)=max{f(ξ; u} (в результате решения указанных уравнений на условный оптимум получают две последовательности функций: условные оптимумы Z(ξ) и условные оптимальные управления u(ξ);
max
0
0
6.7 Определение оптимума целевой функции Z=Z(ξ) и искомого безусловного оптимального управления ξ, определяемых выбором наилучших значений из последовательностей, полученных в п.6.6.
7. Блок формирования оптимальной траектории и математической модели всей поверхности отклика:
Сущность предлагаемой полезной модели поясняется на примере, где рассчитанная по предлагаемой схеме поверхность отклика представляет гладкую одноэкстремальную поверхность.
0
1
1
2
2
0
1
0
1
2
0
2
2
1
2
3
2
2
4
0
2
4
6
7
I
II
I
IV
В блоке 1 расчета координат вершин симплекса на поверхности отклика модели объекта выбирались координаты исходной точки A, показанной на фиг.3. Вокруг этой точки строился правильный симплекс и, согласно блоку 2 постановки эксперимента в вершинах симплекса с регистрацией данных, проводились натурные эксперименты для определения значении функции поверхности отклика. В блоке 3 расчета координат отраженной вершины симплекса проводилась сортировка и вершин симплекса и расчет координат новой вершины. По этим результатам в блоке 4 построения новой модели поверхности отклика в той ее области, где еще не определена оптимальная траектория, по методу наименьших квадратов строилась модель вида y=ax+ax+a. Согласно блоку 5 расчета границ адекватности модели, рассчитывались границы адекватности математической модели. Полученная модель распространялась на всю область исследования объекта. В блоке 6 определения оптимальной траектории методом динамического программирования в той области поверхности отклика, где еще не определена оптимальная траектория методом динамического программирования (по известной модели), определяли оптимальную траекторию движения от точки A до A в плоскости y=-1,9x-1,9x+1,8. Полученная траектория движения фиксировалась в области адекватности модели (область I, отрезок траектории A-А на фиг.3). Вокруг точки A - конечной точки траектории, вновь строился правильный симплекс, в вершинах его проводились натурные эксперименты и рассчитывались коэффициенты математической модели. Определялись границы области адекватности модели. Полученная модель y=-1,3x-1,3x+0,8 также распространялась на всю оставшуюся область исследования. Вновь методом динамического программирования отыскивалась оптимальная траектория движения от точки A до точки A. Полученная оптимальная траектория A-A - фиксировалась в области II до точки 5 (фиг.4). Итерационная процедура продолжалась до аппроксимации всей исследуемой области математическими моделями. В результате расчетов в блоке 7 формирования оптимальной траектории и математической модели всей поверхности отклика была сформирована оптимальная траектория движения, состоящая из фрагментов A-A-A-A-A, и получена полная математическая модель поверхности отклика, представляющая собой набор аппроксимирующих моделей {y, y}.