Круглый стол «Математика и реальность»

ФИЛОСОФИЯ и социология

УДК 510

КРУГЛЫЙ СТОЛ «МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНОСТЬ»

При редакции журнала «Вестник Вятского государственного гуманитарного университета» в январе 2011 года был проведен Круглый стол, на котором обсуждалась проблема «Математика и реальность».

В работе Круглого стола участвовали:

Алексей Георгиевич Барабашев, доктор философских наук, профессор, зав. кафедрой государственной и муниципальной службы, декан факультета государственного и муниципального управления Государственного университета - Высшей школы экономики, г. Москва (основной докладчик);

Рэм Георгиевич Баранцев, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории упругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского университета;

Евгений Михайлович Вечтомов, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и дискретной математики ВятГГУ;

Денис Сергеевич Клещёв, журналист, Свердловская обл., г. Алапаевск;

Вольфганг Ленски, доктор философии, Технический университет, г. Кайзерслаутерн, ФРГ (участие заочное);

Михаил Иванович Ненашев, доктор философских наук, профессор кафедры философии и социологии ВятГГУ;

Василий Яковлевич Перминов, доктор философских наук, профессор кафедры философии и методологии науки Московского государственного университета;

Василий Владимирович Чермных, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ;

Анатолий Викторович Шатров, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического моделирования в экономике ВятГУ;

Владимир Михайлович Шемякинский, доктор философских наук, профессор кафедры математики и естественнонаучных дисциплин Уральской академии государственной службы (филиал в г. Пермь);

Владимир Федорович Юлов, доктор философских наук, профессор кафедры философии и социологии ВятГГУ.

Ведущий М. И. Ненашев. Мы собрались обсудить проблему, которая, как мне представляется, является сквозной для всего периода развития математики как науки и как особого культурного феномена, а именно «Математика и реальность». Конечно, наш диалог не поставит окончательную точку в этом вопросе. Но будем надеяться, что он окажется по крайней мере еще одним шагом в процессе его прояснения.

Сначала мы заслушаем профессора Алексея Георгиевича Барабашева с докладом «Математика и действительность: социокультурный подход». Ожидается, что остальные участники Круглого стола будут соотносить свои выступления с идеями доклада. Но, конечно, важным будет и просто обмен мнениями и соображениями, отражающими ту сторону проблемы, которая самим участникам представляется особенно существенной.

Хочу напомнить коллегам, что будет приветствоваться, если участники в самом начале выс-

© Барабашев А. Г., Баранцев Р. Г., Вечтомов Е. М., Клещёв Д. С., Ленски В., Ненашев М. И., Перминов В. Я., Чермных В. В., Шатров А. В., Шемякинский В. М., Юлов В. Ф., 2011

тупления сформулируют в виде тезиса свою основную идею или тему.

А. Г. Барабашев. Посвящаю свой доклад памяти Михаила Александровича Розова.

Тема моего доклада, как было только что отмечено, звучит следующим образом: «Математика и действительность: социокультурный подход». Вопрос взаимоотношения математики и действительности, в широком смысле слов «математика» и «действительность», существует, наверное, столько же времени, сколько существует математика. При этом традиционно, начиная с пифагорейцев и Платона, под математикой понимается математическое знание, формулировки истинных (доказуемых) математических суждений о некоторых математических (идеальных и абстрактных) объектах, а под действительностью - физическая реальность, объективный мир, состоящий из реальных объектов. Странным и требующим объяснений является парадоксальное сочетание двух фундаментальных утверждений:

1) истинность математических суждений суть следствие их внутренней доказуемости, а не экс-

периментальной деятельности по измерению физических аналогов математических объектов, установлению их параметров. Например, никто, начиная с греков, не доказывает свойства геометрических фигур посредством измерения. Измерение подсказывает результат, но не доказывает его;

2) тем не менее истинные математические суждения о свойствах математических объектов соответствуют экспериментально обнаруженным свойствам физических аналогов математических объектов. Другими словами, математика эффективна.

Вывод из этих двух утверждений, по-разному интерпретируемый различными философскими концепциями, таков: в силу некоторых причин мир математических суждений (совокупность математических суждений, причем не только уже доказанных, но и тех, которые когда-либо будут доказаны) соответствует миру свойств физических объектов. Математик, занимающийся, казалось бы, сугубо абстрактной деятельностью, по-настоящему познает реальный мир. Нет ничего более практичного, прикладного, чем математическая теория. И даже если на данное время нигде в естествознании эта математическая теория не применяется, т. е. ее утверждения физических интерпретаций не имеют, то это -явление временное. Рано или поздно такие реальные объекты, их свойства, полностью соответствующие математически установленным свойствам математических объектов, найдутся.

Философские концепции пытаются найти причины столь странного физико-математического параллелизма. Спектр возможных объяснений широк, но укладывается в несколько принципиальных вариантов: платонистский, конструктивный и агностический.

Первый вариант, назовем его условно вариантом «платонизма», полагает, что физический (реальный, «объективный») мир суть копия мира математических объектов либо реалий и поэтому суждения о свойствах математических объектов не могут не соответствовать экспериментально устанавливаемым свойствам реальных объектов. Далее можно утверждать, что так мир устроен Богом, что это и есть «предустановленная гармония», или что человек именно так воспринимает математическую по своей сути реальность (например, видит цветовой спектр вместо числовых параметров, длин световых волн), или что существует мир реалий, частью которого являются математические объекты. Так получаются математический платонизм в узком смысле этого слова (Кантор и Гедель), физикализм, или реализм.

Второй вариант, назовем его условно «конструктивным», наоборот, исходит из того, что ма-

тематические объекты существуют как набор конструктивных процедур с жесткими требованиями и ограничениями к алгоритмам (вводится понятие алгорифма). Утверждается, что именно так построены процедуры реальной деятельности. Деятельностные основания математики и реальной деятельности одинаковы. Как только математика выходит за пределы алгоритмических конструктивных процедур, применяя рассуждения «от противного» к объектам неопределенной природы (к бесконечности), т. е. обращаясь к экзистенциальным доказательствам, она порождает парадоксы. Это - позиция конструктивизма (Марков) и финитизма. В этом же ряду находится интуиционизм (Брауэр), полагающий допустимыми конструктивные процедуры с неопределяемым заранее выбором на каждом шаге процедуры. Если же считать, что процедуры реальной деятельности и отражающие их апостериорные суждения вторичны по отношению к априорным суждениям, главными из которых являются синтетические априорные суждения, то получится философия априоризма (Кант). Не случайно многие авторы считают Канта предтечей интуиционизма: согласно Канту, математические суждения являются синтетическим априорным созерцанием в формах пространства и времени, они реализуются как конструирование через понятийный вывод и через демонстрацию с удержанием объекта в мышлении. Наконец, к разновидностям указанного подхода относится разрабатываемая В. Я. Перминовым философия прак-сеологического априори (универсальные формы мышления, закрепленные в логике, и связанные с ними очевидности сознания, независимы от конкретного опыта и продиктованы деятельнос-тной установкой субъекта).

Третий «агностический» вариант отказывает математике в праве репрезентативно соответствовать реальности. Здесь утверждается, что истинность - это не более чем непротиворечивость, и что если правильно (непротиворечиво) построить формализм с использованием только логических понятий (логицизм Фреге) либо с использованием любых символов, не обладающих смыслом (Гильберт), то истинность как непротиворечивость гарантирована. Математика ничего не говорит о реальности, а причины того, «что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь», неизвестны и, может быть, мы эти причины никогда не узнаем (Бурбаки).

Есть основания полагать, что все возможные варианты объяснения «эффективности математики», опирающиеся на отождествление института математики с математическим знанием, указанными тремя вариантами исчерпываются. В работе «О смысле и значении» (1892) Г. Фреге

ввел в оборот графическую схему, ныне называемую «треугольником Фреге». Фреге утверждал, что мышление субъекта фиксируется в понятиях (концептах), выражаемых знаками. Концепты соответствуют референтам, т. е. объектам, которые субъект мыслит, выражая их в концептах. Смысл - это то, что приписывается концепту, ставя ему в соответствие референт.

Концепт

Смысл Референт

Автономное рассмотрение концептов как вершины «треугольника Фреге», с отказом от рассмотрения смыслов, приводит к теории формальных языков. Это есть обобщенная позиция логицизма и формализма.

Рассмотрение «вершины смысла», с полным отрицанием или приуменьшением роли формального доказательства, выражается в теориях интуиционизма, конструктивизма, финитизма, синтетического и праксеологического априоризма.

Наконец, если утверждать, что математические объекты суть референты, обладающие собственным существованием, то это приводит к математическому платонизму, реализму или даже к физикализму.

Иных вариантов схема треугольника Фреге не предполагает.

Казалось бы, весь спектр философских концепций соотношения математики и реальности определен, и задача философов сводится к дальнейшему уточнению уже сформированных позиций, к их внутреннему совершенствованию. Однако сама математика в конце XX и в начале XXI в. чрезвычайно изменилась, ее роль в современном обществе несоизмерима с ролью математики в познании и в культуре Нового времени и эпохи промышленных революций. Математическое знание ныне предстает в виде применимых, причем с огромным количеством допущений и погрешностей, математических моделей, в виде аппарата информационных технологий, в виде образовательного феномена (воспитание логического «строгого» мышления в современной компетентностной парадигме образования), в виде совокупности аналитических навыков и умений, необходимых не только ученым-естество-

испытателям, но и экономистам, менеджерам, управленцам, социологам, психологам и т. д. Математика в общественном представлении перестала быть только знанием. Она превратилась в социальный институт, в субкультуру, так или иначе взаимодействующую с другими субкультурами, социальными институтами. Подход к математике только как к знанию на глазах превращается в анахронизм, он ориентируется на давно прошедшие времена и неразвитые формы самой математики.

Доказательства огромной сложности, требующие высочайшего уровня профессионализма, вырабатывающегося в течение всей жизни, дробят математику на небольшие области, со сравнительно маленькими коллективами «специалистов», рассредоточенных по всему миру и общающихся в интерактивном режиме. Специализированные коллективы математиков вынуждены верить друг другу. Такая нематематическая материя, как «доверие» (к доказательству, к специалисту, это доказательство осуществившему), становится определяющим фактором установления истинности математических суждений.

Математические модели не говорят об истинности или ложности в абсолютном смысле. Они всего лишь «применимы», и зачастую используются как аппарат, дисциплинирующий мышление специалиста-аналитика. Распространяются качественные модели.

Наивно в настоящее время говорить о том, что любое математическое «истинностное» утверждение рано или поздно будет применено в теории, исследующей реальные феномены: при современных объемах математических исследований более 95% результатов вообще не востребованы и не цитируются. Ожидание востребованности превращается в слабое самоутешение авторов этих результатов, а также в аргумент для получения очередных грантов на исследования.

Возникли «условные доказательства», в которых в качестве промежуточных лемм используются теоремы, доказательство которых принято условно (например, просчитанное компьютерной программой доказательство теоремы о четырех красках, которое невозможно проверить ручным счетом). То же наблюдается в теории простых конечных групп, и список таких условных доказательств растет. Здесь уже наблюдается феномен доверия не к человеку, а к сложному техническому устройству, в котором происходит физический процесс.

Математика в информационных технологиях становится набором программ и опосредована теориями информатики, она здесь несамостоятельна.

Резюмируя, можно сказать, что ныне математика сильно изменилась и философия математи-

ки, ориентирующаяся на ее фундаменталистское, гомогенно-знаниевое истолкование, пытается судить о зрелой форме по ее зародышевым состояниям. Вслед за этими изменениями не может не эволюционировать философия математики. На смену фундаменталистской философии математики стремит ельно приходит иная, условно говоря, социокультурная философия. Она трактует математику:

1) как развивающуюся субкультуру и социальный институт, с эволюционирующими представлениями об истинности, о приложимости вырабатываемого этой субкультурой и институтом продукта;

2) взаимодействующую с другими субкультурами и социальными институтами, в чем-то полезную для них, причем в ограниченных масштабах;

3) дробящуюся на множество областей, требующих собственной специализации и создающих свои представления о профессионализме;

4) элемент образования, формирующий культуру мышления, необходимую не столько и не только саму по себе, но, главным образом, применительно к умениям и навыкам в рамках иных профессиональных компетенций.

Если исходить из представлений о математике как социокультурном феномене, то ее отношение к действительности следует оценивать как изменяющееся на разных этапах эволюции этого феномена. Важнейшей задачей становится классификация этих этапов, исторически существовавших форм взаимодействия математики и действительности в «плоскостях» знания, культуры, социальных структур. Как эволюционировало математическое сообщество, как оно на разных этапах истории взаимодействовало с другими научными сообществами, с другими профессиональными группами и институтами (инженерами, управленцами, военными, экономистами, людьми искусства и т. д.)? Какое место математика занимала и занимает в образовании, как менялась структура математической компоненты образования на разных этапах и уровнях его развития? Чем и в каких областях математика важна для аналитики и где она бесполезна? Каково на разных этапах истории было соотношение интеллигентности и математической культуры, мудрости и математической просвещенности и всегда ли был значим тезис «не знающий геометрии, да не войдет»? Действительно ли разумность тестируется предъявлением/запросом простых математических форм?

Все эти вопросы формируют новое поле исследований социокультурной философии математики, поле, которое ныне только начинает плодоносить.

Современные исследования в рамках социокультурной философии математики ведутся широким фронтом, они ориентированы на историю математики, на современные ее проблемы и приложения, на социологию математики, на психологию математического творчества. Эти темы для «классической» фундаменталистской философии математики были не значимыми, выносились за скобки философских исследований.

В настоящее время единой концепции нефундаменталистской (социокультурной) философии математики нет, и навряд ли такая единая концепция когда-либо появится. Однако несколько основополагающих принципов нефундаменталистского подхода выделить возможно. К этим принципам относятся:

1) внешнее описание математики как системы, обладающей собственным поведением и рефлексией относительно этого поведения. Описываются не только доказанное (полученное) математическое знание, но и позиции математиков, математического сообщества относительно ценности этого знания, перспектив дальнейшего развития математики, значимости математики для приложений, для общества и культуры. Такую позицию можно назвать надрефлексивной;

2) исследуются регулярности (циклы, закономерности) в развитии математики, включая закономерности в развитии математического знания (аксиоматика, способы систематизации, циклы в возникновении новой терминологии), в развитии математического сообщества, в развитии математического образования и т. д. Предполагается, что эти циклы можно проецировать на будущее математики, прогнозируя ее еще не наступившие состояния;

3) обостренное внимание исследователей математики к ее современной практике, к приложениям. Обсуждение математических конструкций типа «2 х 2 = 4» или «медианы треугольника пересекаются в одной точке», или теории предикатов первого порядка, которыми зачастую довольствуются фундаменталисты (поскольку, как считается со времен Канта, в этих утверждениях заключена суть математики), полагается неадекватным, слишком примитивным инструментом анализа современной математики.

Как, в какой конфигурации указанные принципы могут быть использованы при построении нефундаменталистских концепций математики, в настоящее время не ясно. Но в любом случае философия математики движется к качественно новому своему состоянию. Новые взгляды на математику, на ее место в культуре и обществе, на ее взаимодействие с другими науками естественного и гуманитарного, социального профиля, я уверен, будут сильно отличаться от взглядов Платона, Канта, Кантора, Гёделя и других

великих философов и математиков прошлого. Сама математика, ее современное развитие дают все основания полагать, что прежняя фундаменталистская философия математики в своем объяснении соотношения математики и действительности свой потенциал исчерпала.

В. М. Шемякинский. Мое выступление можно назвать «О соотношении математики и естествознания».

Чем примитивнее математика, тем больше стремление понимать ее как науку о природе, изучающую количественные и пространственные свойства материального мира. Такое понимание природы математики в процессе ее становления является «неизбежным грехом молодости». Но происхождение феномена математики не дает ответа на вопрос о ее сущности. Поэтому только в начале XX в., благодаря прежде всего работам А. Пуанкаре, стало понятно, что математика - это язык науки, хотя у истоков такого понимания стоит философия Канта, заслугой которой является гениальная идея о том, что математика сама по себе не изучает законы внешнего мира. Действительно, как биолог объясняет изменение числа микробов в опыте с помощью, но не за счет арифметики, так и физик объясняет динамику с помощью, но не за счет геометрии.

Короче, математика определяет свойства представления о природе, а не свойства самой природы. Б. Рассел как-то заметил, что геометрия бросает столько же света на природу пространства, сколько арифметика на население США. К. Вайдзеккер писал, что мы знаем о материи в форме знания, но не знаем о знании в форме материи. Природа опытно-математического естествознания связана с четким разделением формы и содержания научного знания. С учетом этого совместимы идея Канта о плодотворном пафосе опыта и его максима, что в каждой науке столько науки, сколько в ней математики.

Этим объясняется параллелизм между эволюцией математики и естествознания: евклидо-вая геометрия - физика Ньютона, геометрия Минковского - специальная теория относительности, геометрия Римана - общая теория относительности, теория групп - теория элементарных частиц. В одних случаях математика опережает естествознание, в других - содержательные проблемы естествознания вынуждают самих естествоиспытателей разрабатывать ту математическую форму, которая придает естественнонаучной теории не только логическую стройность, но и гносеологически удовлетворительное совершенство. Секрет «непостижимой эффективности математики» связан с амбивалентностью наук о природе.

Осознание того, что «в каждой науке столько науки, сколько в ней математики», выстрадано всей эволюцией науки. Математизация науки не признак ее кризиса, а признак зрелости. Важно понимать, что в основе такого процесса лежит не стремление к логическому совершенству науки, а твердая уверенность в возможности адекватного познания природы. Математизация естествознания не только не лишает его онтологического статуса и не делает математику естественной наукой, а напротив, делает его теоретическим, что, в свою очередь, только и позволяет корректно сравнивать теорию и опыт, избегая тавтологий.

Все это, разумеется, не противоречит представлению о математике как социокультурном феномене, о котором говорит А. Г. Барабашев. Наоборот, корректный учет социокультурного измерения процесса математизации науки только и возможен на основе ее гносеологического обоснования, явным образом учитывающего связь культуры и природы. В противном случае математика теряет свою специфику в «теле культуры», поскольку культура вписывается в природу, а не наоборот. Природа, будучи самодостаточной, несет в себе свое основание.

Что же касается сомнения докладчика в возможности построения «единой концепции нефундаментальной философии математики», то ее можно рассматривать как программу, неосуществимость которой не означает, и это хотелось бы мне подчеркнуть, ее несостоятельности. Как писал в свое время М. Вебер, что если бы человек не стремился к невозможному, то он никогда бы не достиг того, чего он достиг. Негарантированные цели гарантируют жизнеспособность науки. А. Г. Барабашев поступает именно в этом духе, поскольку формулирует некоторые принципы становящейся новой концепции. Правда, трудно согласиться с докладчиком, когда он утверждает несоизмеримость фундаментальной и нефундаментальной философии математики. Как мы сегодня критикуем изъяны евклидовой геометрии с точки зрения «Эрлангенской программы» Ф. Клейна, а слабости физики Ньютона с точки зрения теории относительности и квантовой механики, так и будущая «нефундаментальная философия математики», будучи более тонкой, сложной и богатой, включит в себя «фундаментальную философию математики» и обнажит ограниченность последней. Новая концепция философии математики будет ближе к истинному пониманию соотношения математики и реальности, чем традиционная, так как будет больше ее информационная емкость, поэтому она будет отражать этот процесс с меньшей степенью огрубления.

В. Ф. Юлов. Я назову свое выступление следующим образом: «Конструктивная роль эмпирического опыта в развитии математики». В своей первой монографии А. Г. Барабашев утверждал, что в развитии математики наблюдается циклическая смена двух основных этапов: 1)творческого и 2) формального. В первом реализуется тесная связь математики с практикой, которая через интуицию дает новые понятия, отличающиеся наивной содержательностью. С переходом ко второму этапу наступает максимальный отход от практики. Здесь математики используют строгие нормы теоретичности и доводят математические построения до логического совершенства. Однако рано или поздно формализация исчерпывает все внутриматематические возможности обновления, и снова наступает состояние открытости к социальной практике. Она как внешний источник доставляет новую группу наи-внообразных представлений, а затем повторяется очередной этап формализации [1].

Поскольку публикация состоялась в 1983 г., вполне возможно, что ее автор несколько изменил свою позицию. И все же она до сих пор интересна своей содержательной определенностью и обращением к истории науки. Мы принимаем идею таких двух периодов и их последовательность, но не согласны с тем, что их смена осуществляется периодически. Мы полагаем, что вне-научная практика исторически лишь однократно детерминирует становление какого-либо раздела математики в его теоретической форме. Затем наступает состояние теоретического развития, которое нельзя назвать даже историческим этапом. «Джин теории» уже выпущен из бутылки, и он способен развивать теоретическую математику бесконечно долго без каких-то внешних, т. е. практических новаций. Эту тенденцию могут «вуалировать» процессы начала теоретиза-ции разных разделов математики в разные исторические периоды. Становление теоретической геометрии протекало с V по III в. до н. э., теория бесконечно малых формировалась с XVI до середины XIX в., теоретические основы топологии начали закладываться в конце XIX в. Вот такое расположение в социальном времени и создает иллюзию периодической смены этапов. В действительности же каждый раздел математики испытывает лишь один этап воздействия вненаучной практики на свою теоретизацию.

Совершим краткий экскурс в историю математического знания. Известно, что древняя пред-наука Востока имела практический характер. Он пронизывал все целевые задачи, рецептурные правила, инструментальные операции и т. п. Античные философы выдвинули новые идеалы: «знание ради знаний», «теоретическое умозрение ценнее чувственных мнений», «требование

логического доказательства» и т. п. Из прежней математики от многого пришлось отказаться, но большая группа эмпирических абстракций стала предметом рациональных трансформаций. К абстракциям опыта относились следующие образы: «колесо», «край стола», «стена здания», «угол крыши», «туго натянутая землемерная веревка», «площадь храма» и т. п. Из них посредством обобщения и теоретической идеализации производились идеальные математические объекты: «точка», «круг», «бесконечно продолжающаяся линия» и т. п. Формировались также геометрические операции теоретического плана: «построить на плоскости равнобедренный треугольник», «разделить угол треугольника пополам» и т. п.

Затем наступил этап создания аксиом, которые связали идеальные объекты и операции в определенных отношениях. Этот процесс был родствен гипотезированию, ибо пробные варианты критически обсуждались. Прокл засвидетельствовал, что в платоновской академии шла дискуссия по вопросу, чем является угол - «качеством», «величиной» или «отношением». Когда аксиомы были увязаны в единство, из них стали дедуктивно выводиться теоремы.

Итак, опыт в виде эмпирических абстракций существенно повлиял на становление теоретической геометрии лишь на этапе выработки идеальных объектов. Но именно через него шел необходимый ток влияний объективной реальности. Без исходного материала бытовой, хозяйственной и религиозной практики геометрия Евклида появиться не могла. Введем условные схематизации. Переход от опытных абстракций к теоретическим идеализациям назовем «вертикальным путем». А все ходы теоретизации: формулировка аксиом, их взаимное согласование, дедуктивные выводы, обобщение математических принципов - назовем «горизонтальным путем».

С развитием науки «вертикальный путь» приобрел разнообразные формы. Если возникновение геометрии Евклида было детерминировано вненаучной практикой, то в дальнейшем круг влияний на математику расширился за счет эмпирических наук. Допустим, для решения определенной физической проблемы физик разработал специальный математический аппарат и получил успешное решение. На этот метод обращают внимание математики, они отвлекаются от его физической специфики и придают ему общую математическую форму. Так, французский физик Ж. Фурье (1768-1830) для решения проблемы распространения теплового флюида изобрел эффективный математический ряд. И если от понятия флюида физики в дальнейшем отказались, то ряд Фурье наука увековечила. В математике этот ряд позволил не только представить

прерывные функции, но и помог значительно развить понятие функции в области анализа.

Нередко начало «вертикальному пути» дают современные научно-технические разработки. В конце XIX в. английский инженер О. Хевисайд для решения прикладной задачи относительно переходных явлений в электрических целях разработал некоторое операционное исчисление. Метод оказался простым и эффективным, но его теоретико-математическая сущность и границы применения были непонятны. В 1920 г. метод Хевисайда был строго математически обоснован Д. Карсоном, Т. Бромвичем и К. Вагнером. Так возникла теория особой разновидности линейных дифференциальных исчислений. Итак, эмпирические науки и научно-прикладные разработки выводят математиков на новую проблематику и дают для теоретизации необходимый предметный материал.

«Опытное знание играет для математики ту же роль, что и зоопарк для баснописца» (В. Налимов). И действительно, практический и научный опыт явлеются важным, хотя и не единственным поставщиком математических проблем. Когда математик идет по «горизонтальному пути» тео-ретизации, то его основной нормой является непротиворечивость. Здесь существуют два разных места действия: исходное начало мысли и конечный результат. Конечно, в последнем логических противоречий не должно быть, ибо противоречие есть синоним ошибки. Но если противоречие не пустить в начальные предпосылки, то никакого предмета мышления просто не будет. Математику здесь не над чем думать и размышлять. На это косвенно и указывает теорема Гёделя об арифметике: если теория непротиворечива, значит, она неполна. Вот эту «частичную полноту» и вносит в математику эмпирический опыт. С ним приходят очевидные образы, и при столкновении с идеальными объектами и понятиями возникают противоречивые конструкты. Их оценивают в качестве проблем, которые становятся точками роста новых идей и теорий. Примером может быть античная проблема числовой несоизмеримости гипотенузы и катетов треугольника. Геометрическая интуиция убеждает в реальном существовании этих отрезков, но по теореме Пифагора гипотенуза адекватно не выражается через числовые (арифметические) значения катетов. Проблемное противоречие непрерывного и прерывного стимулировало все последующее развитие математики.

Опыт способен повлиять на важные акты мышления, и это касается прежде всего выбора конструктивных математических решений. По мнению А. Пуанкаре, когда интуиция производит множество содержательных комбинаций, тогда становится актуальным выбор наиболее предпоч-

тительного варианта. В дело вступает эстетическое чувство, которое производит выбор по критерию красоты [2]. Хотя французский ученый настаивает на том, что речь идет об особом чувстве, мы с этим не согласны. Как известно, все сенсорные чувства, попавшие в центр внимания, «нагружаются» определенными когнициями. Такая связь делает «чувство красоты» особым математическим восприятием. Оно является продуктом длительного математического творчества и воплощает в себе представления о математической пропорциональности, соразмерности и гармоничности. Только вобрав в себя эти рациональности, чувство становится «эстетическим каноном», и он действует как метод ценностного выбора.

Итак, у нас с А. Г. Барабашевым идейных расхождений нет. В понимании математики мы не принимаем «фундаментализм» Платона и Г. Фре-ге, разделяя позицию «культурализма». Мы оба принимаем деятельностный конструктивизм, где математика конструируется математиками. Нас объединяет идея союза математики и социальной практики. Математические подступы к объективной реальности начинаются в практической деятельности, где формируется эмпирический опыт. Его игнорирование - коренное заблуждение теоретизма. Обыденный и научный опыт способствует постановке теоретических проблем математики, становлению базисных идеальных объектов и формированию математических теорий. Особая роль в математическом мышлении принадлежит интуитивному и эстетическому опыту.

Наши позиции не совпадают только в одном. Если А. Г. Барабашев полагает, что математика и вненаучная практика циклически расходятся и периодически соединяются, то я такие «волны» не признаю. Этот союз действует только у истоков теоретических разделов, в дальнейшем устанавливается поток самостоятельной внутримате-матической теоретизации. Он лишь дополняется малыми ручейками влияний со стороны эмпирических наук и прикладных разработок.

Д. С. Клещёв. Тема моего выступления - «О природе системного кризиса в основаниях математики». Принято считать, что в развитии математики было три глубоких кризиса: древнегреческий, вызванный открытием иррациональных чисел; новоевропейский, вызванный применением бесконечно малых величин; современный, вызванный открытием математических антиномий. Но все они имеют общие корни, поэтому их можно рассматривать как разные этапы одного системного кризиса в основаниях математики, длящегося более 25 веков.

На тесную взаимосвязь этих этапов указал создатель теории бесконечных множеств Г. Кан-

тор: «Трансфинитные числа стоят или падаю т вместе с конечными иррациональными числами. По своему внутреннему существу они подобны друг другу, ибо как те, так и другие суть определенно отграниченные образования или модификации актуально бесконечного» [3]. То есть если существует некая общая уязвимость математического канона, то мы должны усмотреть ее уже на самом раннем этапе системного кризиса. И мы находим такую уязвимость в теории несоизмеримых отрезков, например в доказательстве иррациональности ф:

«Допустим, что диагональ квадрата АС и его сторона АВ соизмеримы, то есть их отношение равно отношению двух целых чисел: АС/АВ = т/п.

Предполагается, что числа т и п не являются оба четными, иначе дробь можно было бы сократить на два. Из

Значит, т2 - четно. Из учения о четных и нечетных числах следует, что в этом случае и т - четно (так как произведение двух нечетных чисел нечетно). Но тогда п - нечетно. Поскольку т - четно, то т = 2t. Подставляя в (2), получим 4^ = 2п2, или п2 = 2^, то есть п2 - четно, следовательно, и п должно быть четным, что приводит к противоречию» [4].

Возникает вопрос: каким образом математикам-пифагорейцам удалось доказать, что единица, она же число п, она же сторона квадрата АВ, - «четное число», что десятичная дробь 42, она же число т и диагональ квадрата АС, - тоже «четное число», то есть такое число, при делении которого на 2 получается целое число?!..

Разгадка этого секрета древних математиков состоит в применении ими аксиомы неделимости единицы и аксиомы четно-нечетности единицы, благодаря чему доказательство теоремы считается вполне корректным. Но, рассуждая методом от противного [5], мы получаем противоречивую систему аксиом арифметики, где число 1 считается и четным, и нечетным, а также признается неделимым и, вместе с тем, образующим бесконечное множество дробей.

Отбросив аксиому неделимости и аксиому четно-нечетности единицы, легко установить закономерное тождество, записав вместо числа t, принятого в доказательстве за целое, десятичную дробь /2. Тогда мы достоверно покажем, что числа т и п в теореме не являются четными, так как тождество п2 = 2^ запишется в виде 12 = 2( /2)2. Но из установления тривиального факта противоречивости общепризнанной системы аксиом арифметики и всего математического канона следуют отнюдь не тривиальные выводы.

Прежде всего, это вывод о том, что -¡2 можно представить отношением двух целых чисел т/ п,

так же как множество других арифметических корней, признанных в канонической арифметике иррациональными. Тогда применение брауэрева разбиения на элементы одинаковой размерности, позволяет строить по основанию «иррациональных» диагоналей фигуры, конгруэнтные обычным ортогональным квадратам [6]. Сопоставляя свойства этих фигур с арифметическими приближениями, обнаруживается их совпадение с периодическими десятичными значениями для всех корней, несводимых к целым числам. Например, для sll в соответствии с правилами перевода десятичных дробей в обыкновенные отношение целых чисел m/n выражается как

("У = (1414 _707_-1414 _)2 =199_700000_1000_ = 2QQ ] [nj 999 ООО 2 99 _ 800 1000000 _ ' ~ '

где интервал 2,00_1, симметричный некоторому приближению непрерывной дроби 1,99(9), служит базисом для сколь угодно близкого приближения периодической десятичной дроби 1,414_ 707_707_(707_)2 к целому числу 2, что является прямым следствием из теоремы Л. Брауэра о невозможности топологического перехода из пространств разной размерности.

Иначе говоря, в соответствии со второй теоремой К. Гёделя о неполноте мы находим разрешение второй проблемы Д. Гильберта в рамках более полной концепции неканонической арифметики. Вместе с обнаружением противоречий в стандартной системе аксиом разрешается и другая фундаментальная проблема разделения арифметики и геометрии, которую А. Френкель считал самой главной проблемой в основаниях математики [7], так как эта проблема, поставленная еще Аристотелем, восходит к той же аксиоме неделимости единицы [8].

Конечно, это лишь малая часть проблем, которые снимаются вместе с устранением аксиоматических противоречий. Но важный философский вывод, следующий из возможности выбора между канонической и неканонической арифметикой, состоит в восстановлении пошатнувшейся в XX в. уверенности, что математика способна дать вполне определенный ответ на любую четко сформулированную задачу.

Е. М. Вечтомов. Название моего выступления - «Реалистичность математики». Нужно согласиться с тем, что мы воспринимаем через наши органы чувств саму реальность. Конечно, имеется в виду восприятие нормального, здорового человека. Другое дело, что это восприятие дает нам лишь первичную информацию о наблюдаемой вещи. Полное знание о вещи требует всестороннего наблюдения, анализа и синтеза.

Это первичное знание, или знание-знакомство, по терминологии Бертрана Рассела, состоит в

фиксации устойчивых атомарных фактов, которые даны нам на основе простейших пространственно-временных отношений (одновременно, раньше, после, вне, справа, слева и т. п.) и описываются на так называемом естественном языке. Теоретическое познание имеет дело непосредственно не с этими элементарными фактами, но с моделями по поводу атомарных фактов, и вот эти модели описываются на языке математики. Строятся абстрактные математические модели, но, в конечном счете, имеется в виду (объясняется) то, что мы непосредственно воспринимаем. Заметим, что объектом познания любой науки Н выступает та или иная грань объективной реальности, которую наука Н интерпретирует, переводит в идеальную Н-реальность. Эта теоретическая Н-реальность, являясь определённой моделью действительности, и служит предметом изучения науки Н.

Например, идеальная реальность у физиков неоднократно менялась: классическая механика, теория относительности, квантовая механика, теория струн. Хотя сама физическая реальность оставалась неизменной или развивалась независимо от выдвигаемых физиками доктрин - согласно объективным законам природы.

Влияние математики на становление физической картины мира в настоящее время является решающим. Супергеометрические методы, разработанные Григорием Перельманом при решении знаменитой проблемы Пуанкаре о характеристических свойствах трёхмерной сферы, укрепили позиции теории струн и открыли перед физиками новые возможности на пути создания универсальной теории физической реальности, к чему так стремился Альберт Эйнштейн [9]. Мы можем сделать метафизический вывод о том, что скорее физика есть часть геометрии, нежели наоборот.

Математика - это наука о формальных структурах в виде абстрактных множеств с заданными на них наборами отношений и преобразований. Эти структуры часто строятся, так сказать, на будущее и образуют своего рода хранилище инструментов для описания разнообразных явлений действительности. В то же время сама объективная реальность, будучи источником идеальных структур, может рассматриваться как сфера приложения всевозможных, в том числе самых абстрактных и, на первый взгляд, искусственных, подчиняющихся чисто внутренним критериям, математических построений [10]. Можно говорить о взаимно направленных гомоморфизмах математических моделей и реальности.

Хотя среди того, что мы воспринимаем непосредственно, отсутствуют круги, линии, не имеющие толщины, числа и т. п., однако наблюдаются их грубые приближения, прототипы. При опоре на них строятся соответствующие интуи-

тивные образы и формируются предпонятия -аналоги будущих научных понятий. Математика отображает не все многообразие Мироздания, но его структуру, схемы реальности посредством фундаментальных категорий формы, количества, меры. Таким опосредованным способом математика позволяет описывать то, что есть, то есть реальность. Следовательно, математике все же присущ онтологический смысл. Поэтому можно не согласиться с утверждением Рудольфа Кар-напа о том, что чистая математика ничего не говорит о мире. Все-таки - говорит, так как способна поставлять модели и язык для описания реальности.

Отличительной чертой современной математики как науки является предельная чёткость понятий и формулировок и строгость рассуждений и доказательств. Поэтому математика проще других дисциплин, но труднее их. Математика не может быть приблизительной, мягкой или скользкой, но математические модели могут быть таковыми. Отменив жёсткость математики, получим что-то совсем другое под названием вроде «сотематика» или «туфология» [11]. В последние десятилетия наблюдаются антинаучные наскоки на математику [12]. Подвергаются сомнению её простейшие базовые результаты: мол, древние греки неправильно доказали несоизмеримость диагонали и стороны квадрата (так как иррациональных чисел вообще не существует); дескать, Георг Кантор ошибся при доказательстве несчетности континуума.

В частности, как мне представляется, идеи выступившего передо мной Д. С. Клещёва строятся на том, что не учитывается определение нечетного числа как 2n + 1, согласно которому при n = 0 мы как раз получаем единицу в качестве нечетного числа.

Некоторые философы стремятся похоронить классическую математику, стоящую на двух китах - двузначной логике и теории множеств, но ничего кроме «смягчения математического нрава» предложить не могут. Постмодернистская идеология стремится совратить математическую науку, но как раз у постмодернизма нет будущего (если, конечно, само человечество, homo sapiens не есть ошибка природы или причуда эволюции -как у Артура Кестлера).

В вопросе о природе математических объектов мы придерживаемся умеренного платонизма. Тем самым мы признаем онтологический статус натуральных чисел и простейших геометрических фигур: они представляют собой квазиэмпирическую реальность, укоренённую как во внешнем мире, так и в нашем сознании - через априорные и аподиктические очевидности. Непосредственно из нашего чувственного опыта эти понятия извлечь нельзя, и, тем не менее, мы эти-

ми понятиями располагаем и с ними работаем. Стало быть, мы уже должны иметь их как предвосхищение в своем уме, до обнаружения их несовершенных аналогов в эмпирическом мире. Да и обнаружить вообще что-либо, затем узнаваемое нами, мы можем только при наличии некоего «идентификатора» внутри нас, функционирующего на основе априорностей и инстинктов. Процитируем Платона: «Мы непременно должны знать равное само по себе еще до того, как впервые увидим равные предметы и уразумеем, что все они стремятся быть такими же, как равное само по себе, но полностью этого не достигают» [13]. Здесь нет противоречия, ибо Мир Един - это главный метафизический тезис любой адекватной гносеологии. Материя даёт импульс и пищу мышлению, а сознание материализуется в деятельности. Именно практическая деятельность человека служит незыблемым критерием истины, которая не допускает свободы плюрализма. Об этом свидетельствует грандиозная история развития математики и эффективность её применений.

Сам процесс человеческого познания включает в себя узнавание и определённую настройку сознания человека на «волну» наблюдаемого объекта (припоминание, по Платону). И чем больше человек «погружается в объект», тем глубже он его познаёт - узнаёт (припоминает). В своем умеренном платонизме мы не одиноки. Большинство математиков являются стихийными плато-нистами. Например, математик и логик Н. Н. Не-пейвода определяет свое математическое мировоззрение как умеренный скептический платонизм [14].

Выделим следующие методологические положения [15].

(1) Исходные структуры, изучаемые математикой, можно определить как квазиэмпирическую реальность, для описания которой создается особый символический язык.

(2) Эти структуры опираются на постулаты (в том числе логические) в виде самоочевидных истин, а также специально вводимые первичные термины.

(3) Математическая реальность имеет онтологический статус, поэтому математики открывают новое знание, а не изобретают его.

(4) Математика является автономной, универсальной и продуктивной формой научного познания Мира.

Р. Г. Баранцев. Название моего выступления: «Парадигма асимптотичности». Выражая предельный переход в конечных символах, классическая математика породила иллюзию «приручения» бесконечности. И на рубеже XX в. Д. Гильберт рискнул запланировать окончательное выяснение сущ-

ности бесконечного, несмотря на то что ещё в начале XIX в. другой математик О. Коши предупреждал: «Идея вечности несовместима с существованием всякого существа, подверженного изменениям и преемствам» [16].

Крушение иллюзий началось с теоремы К. Гё-деля о неполноте формальных систем, а решение проблемы континуума, данное в 1963 г. П. Коэ-ном, означало подрыв двузначной логики, так как на вопрос в форме либо-либо ответ получился в виде ни-ни.

Но человек не хочет смириться перед бездной континуума. В конце XX в. Ж. Делёз пишет, что классическая мысль судорожно пытается зафиксировать место конечного среди всех этих бесконечностей и навести порядок в бесконечности. Многозначные логики, нечёткие множества, нестандартный анализ, оказавшись перед онтологической неточностью, стремятся описывать её всё равно точно.

И пока математики мучительно осознают иллюзорность совершенной полноты и абсолютной точности, физики и биологи продолжают успешно создавать замкнутые модели. А гуманитарные науки, подражая естественным, увлечённо строят искусственные классификации, искусственные языки, искусственные интеллекты. В своём стремлении к однозначной определённости, безусловной объективности и предельной полноте описания традиционная наука отрывается от реальной жизни с её гибкостью, открытостью, свободой воли. Обнаружив необходимость переосмысления понятия рациональности, философы начали понимать, что приходится иметь дело «с новым типом сложности, связанным с человеческой интуицией и человеческими эмоциями» [17]. Идеал полноты стал уступать место идеалу целостности. И от математических методов потребовалось, при сохранении достаточной точности, умение не разрушать целостность изучаемого объекта.

На бесконечном пути к божественной истине человек нуждается в опоре на истину человеческую, которая неоднозначна и ограничена масштабами человеческого мира. Всесторонние границы имеют место и в концепции сплошной среды, и во фрактальной геометрии, и в космологии.

Поэтому идея мягкой математики всё более обнаруживает свою привлекательность. Р. Пен-роуз, установив невычислимость сознания, говорит о необходимости новой физики [18]. Р. Хирш настаивает на включении математики в гуманитарную культуру [19]. Гуманитаризация математики обсуждается как тенденция развития современной науки [20]. Приобщение математики к мягким наукам видится как заманчивая перспектива за Геркулесовыми столбами жёстких

канонов [21]. Мягкое исчисление рассматривается как маркер новой парадигмы [22]. И даже строгий В. И. Арнольд позволяет себе говорить о жёстких и мягких математических моделях [23].

Однако искомое новое обнаруживается в затёртом старом. Требуется лишь посмотреть на него свежими глазами. Речь идёт об асимптотических методах, суть которых состоит в том, что они осуществляют синтез простоты и точности за счёт локализации: в окрестности некоторого предельного состояния находится упрощённое решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность. Точность, локальность, простота - неотъемлемые компоненты асимптотической методологии, образующие в своём единстве системную триаду дефиниции.

В отличие от классической математики уровень точности здесь конкурирует с размерами области действия; в заданной области точность асимптотического решения всегда ограничена. В классической математике х фиксировано, N ^ 4 и говорится о сходимости; в асимптотической математике N фиксировано, х ^ 0 и говорится об эффективности приближения, выражающейся в оптимальном сочетании простоты и точности. Абсолютная точность перестаёт быть фетишем.

Правда, точность в конечной области всегда ограничена. Но это неизбежная плата за сохранение целостности, воплощаемой в балансе точности, локальности и простоты. В то же время асимптотическое упрощение обеспечивает возможность изучения сложного через небольшое число управляющих параметров. Эти параметры формируются в переходных слоях на смыслооб-разующем пути с микро- на макроуровень.

В асимптотической математике переходные слои - неизбежное следствие упрощающей локализации. Неравномерность асимптотических разложений не исключение, а суровая повседневность. Отсюда актуальность методов связывания, сращивания, соединения асимптотик в переходном слое. Существуют функции, связывающие в один узел колебательное и экспоненциальное поведение; разработаны процедуры сращивания разложений с перекрывающимися областями действия; практикуется соединение разнобережных асимптотик с помощью Паде-аппроксимант [24]. Но методология, направленная лишь на переход сквозь слой, на преодоление препятствия, не ищет и не ждёт от слоя ничего самородного. Синергетический подход помогает выйти из тупика одномерности, ставя задачу на освоение новых измерений смыслового пространства, их комплексирование и испытание на целостность.

Мягкость асимптотической математики гармонирует с открытостью синергетики. Их роднит динамизм методов: от предела - к прибли-

жению, от бытия - к становлению, от полноты -к целостности. Греческий термин asymptotos означает несовпадающий, подчёркивая тем самым, что асимптотическое приближение не превращается в совпадение. Также и целостность не превращается в полноту. Динамизм, на котором держится нелинейная, неустойчивая, недетерминированная жизнь, разрешает тупиковые противоречия отмирающей парадигмы, жертвуя несуществующей полнотой, но сохраняя сущностную целостность.

В. Я. Перминов. Главная идея моего выступления: «Наука имеет внутреннюю логику развития».

Вопрос, поднятый Алексеем Георгиевичем Ба-рабашевым, - продолжение нашего старого спора о сути философии математики и о понятиях, на основе которых она должна быть построена. Этот вопрос первоначально возник в истории науки как противопоставление интерналистской и эк-стерналистской истории науки, потом он перекинулся в методологию науки как противопоставление методологии, основанной на логике (К. Поппер, И. Лакатос), и методологии, основанной на истории науки (Т. Кун, П. Фейера-бенд), и наконец, насколько я помню, именно по инициативе А. Г. Барабашева он был превращен в противопоставление фундаменталистской и нефундаменталистской (социокультурной) философии математики.

Все аргументы, которые могут быть здесь высказаны, как мне представляется, уже давно приведены. Одиннадцать лет назад вышла большая книга, где они достаточно хорошо представлены [25]. В статье «Ложные претензии социокультурной философии математики», опубликованной в этой книге, я высказал свое принципиальное несогласие с радикальным отказом от традиционного (фундаменталистского) подхода и не хотел бы повторять старые аргументы. Но я все-таки и здесь возразил бы против радикальной установки Алексея Георгиевича, состоящей в том, что фундаменталистская философия исчерпала свои ресурсы и должна уйти в прошлое, освободив место для новой социокультурной философии математики.

Направление исследования исчезает или затухает, когда проблемы, поставленные в его рамках, либо решены, либо выявили свою некорректность. Я не совсем понимаю, как это можно говорить о сложнейших проблемах, поставленных в рамках традиционной философии математики. В качестве примера такого вопроса может быть взят вопрос о доказательстве. Какой бы уровень доверия ни был между математиками, некоторые доказательства математик должен проверить сам и убедиться в их законченности на основе

некоторых объективных критериев. Дискуссии о законе исключенного третьего, об аксиоме выбора и о тезисе Черча, имевшие место на протяжении многих десятилетий прошлого века, показывают, что мы все еще не имеем строгого перечня условий, определяющих надежность содержательного математического доказательства. Значит ли, что мы должны расписаться в своем бессилии понять математическую практику в этом отношении? Компьютерные доказательства снова и даже более резко ставят этот вопрос, и нам все-таки придется его решать и решать в старом фундаменталистском плане, выявляя основания логики и специфической математической интуиции. Ссылки на социальность здесь не помогут. Другой вопрос - вопрос о специфической символической технике математического мышления. Мы не знаем в должной степени, что такое символы и как они работают в математике. Кто-то сказал, что символы умнее самого математика. Это верно, но это нам еще предстоит понять теоретически. Мы не уйдем здесь от анализа логики, семантики и системности, т. е. категорий сугубо фундаменталистских, относящихся к внутреннему устройству математического знания. Требует дальнейшего анализа вопрос о путях обоснования математики. Хотя все попытки обосновать математику строгими логическими средствами провалились, никто не доказал, что не существует других эффективных подходов. Можем ли мы оставить этот вопрос как неразрешимый, отделавшись обычной ссылкой на теоремы Гёделя? Конечно, нет, ибо эти теоремы говорят только о границах финитистского обоснования и ни о чем другом. Можем ли мы поиски обоснования заменить ссылками на исторический опыт или некоторыми социокультурными соображениями? Безусловно, нет. Действительный выход может состоять только в том, чтобы углубить философское и методологическое мышление в математике до того уровня, на котором можно будет наметить принципиально новые и более эффективные подходы к проблеме обоснования математики. Существует множество методологических проблем, связанных с использованием математики, например вопрос о «непостижимой эффективности» математики, о математической гипотезе и т. п. Сам вопрос о реальности математических структур, о параллелизме мира физического и мира математического, с которого начал свое выступление Алексей Георгиевич, как это мы видим, требует апелляции к треугольнику Фреге, т. е. к логической семантике, которая могла появиться только в рамках фундаменталистской философии математики.

Фундаменталистская философия математики, опирающаяся на анализ структуры математики и логики ее внутреннего развития, таким обра-

зом, существует и нет никаких признаков того, что она может умереть. Но я не собираюсь отвергать возможность социокультурного анализа математики. Всегда были и всегда будут историки науки, склонные прослеживать внутреннюю логику становления научной теории и всегда будут историки, нацеленные на раскрытие внешнего (социокультурного) фона этого становления. То же самое относится, по-видимому, и к философии науки. В принципе здесь нет никакого противоречия, а есть лишь элементарная дополнительность подходов. Все дело в том, на что претендует социокультурный подход. Для правильного понимания соотношения этих двух подходов необходимо, на мой взгляд, провести четкое разделение между слабой и сильной версией социокультурной философии науки.

Слабая социокультурная установка в философии науки фиксирует факт влияния вненауч-ных факторов на становление научного знания в смысле его возникновения, замедления или ускорения. Вопросы логики и методологии науки мыслятся при таком подходе как автономные, определенные природой науки и независимые от внешних условий. Математики Китая и математики Англии с этой точки зрения подчинены одним и тем же принципам, определенным природой математических понятий и назначением математической науки. Наука рассматривается как растение, которое может не вырасти при отсутствии некоторых условий, но предполагается, что в тех условиях, в которых она может расти, она растет в формах, заданных природой ее понятий. Такое понимание науки мы видим у большинства методологов последнего столетия. А Эйнштейн, как известно, утверждал, что никакой логический путь не ведет нас от опыта к принципам, но при этом добавлял: «Но история показала, что из всех мыслимых построений в данный момент только одно оказывается преобладающим. Никто из тех, кто действительно углублялся в предмет, не станет отрицать, что теоретическая система практически однозначно определяется миром наблюдений» [26]. В логике становления и выбора теории, по Эйнштейну, важен лишь мир наблюдений, относящихся к теории, но не какие-либо внешние факторы. Так же построена методология науки К. Поппера. Переход от одной теории к другой определяется однозначно и исключительно внутритеоретичес-кими соображениями, а именно стремлением теории к увеличению ее логического содержания или к расширению класса потенциальных фальсификаторов.

Очевидно, что Алексей Георгиевич не ограничивает свою социокультурную установку такого рода слабым присутствием социальности в логике науки. Если бы он принял такую установку,

то он не мог бы отрицать существования философских и методологических проблем, проистекающих из логики науки, независимой от социальных условий ее развития. В основе его позиции лежит более сильная гипотеза социокультурного влияния, согласно которой сама внутренняя логика науки, определяющая траекторию развития научной теории, зависит от социального контекста и существенно определяется им. Позиция Барабашева, я считаю, идет от методологической установки Т. Куна, который считал, что признание научной парадигмы определяется не инвариантными критериями, заложенными в природе познания или в понятиях самой науки, а установками научного сообщества, которые не определены априори и зависят от случайных факторов, определяющих мировоззрение этого сообщества на данный момент времени. Кун писал следующее: «Формообразующим ингредиентом убеждений, которых придерживается данное научное сообщество в данное время, всегда являются личные и исторические факторы - элемент по видимости случайный и произвольный» [27]. С этой точки зрения социальность включена в парадигму, в сами критерии предпочтения, она определяет механизм наследования и траекторию развития науки. Логики науки, инвариантной для науки и независимой от социального контекста, вообще не существует.

Позиция Куна, вызвавшая широкую дискуссию, интересна сама по себе. Это одна из тех провокационных идей, которые позволяют более внимательно посмотреть на принятые верования, в частности, на статус методологии и философии в структуре научного знания. Но она, на мой взгляд, бесперспективна в смысле ее подтверждения. Хотя Кун в построении своей методологии апеллировал к истории науки, история в действительности подтверждает единство науки по ее внутренней логике и не подтверждает наличия разных вариантов одной и той же науки в различных цивилизациях. Уже в древние времена мы видим поразительное единство науки: математика Египта, математика Вавилона и математика Китая, будучи различными по уровню развития и по некоторым тематическим предпочтениям, являются поразительно едиными по системе исходных понятий и даже по типам решаемых задач. Перед последователями Куна стоит задача найти в истории примеры сильной социальной детерминации развития науки, показывающие, в противоречие с мнением Эйнштейна и Поппера, что одни и те же факты в различных социальных условиях, т. е. в идеологически различных сообществах, приводили бы к принятию других принципов объяснения и к другой траектории развития науки вообще. Л. Брауэр в начале прошлого века выдвинул идею, что цивилиза-

ции, удаленные от нашей, в принципе могут иметь другую логику. Это утверждение Брауэра выражает, несомненно, социокультурную философскую установку в ее сильном варианте. Сейчас мы имеем достаточные теоретические доводы за то, что ситуация, о которой говорил Брауэр, совершенно невозможна. Гуссерль был прав, утверждая, что логика едина, будь то логика людей, чудовищ или ангелов. Тезис Куна очень похож на тезис Брауэра: он может сыграть такую же провокационную роль для методологии науки, как и тезис Брауэра для логики и математики, но очень сомнительно, что его можно будет когда-либо обосновать в качестве истинного. Если Алексей Георгиевич намерен отстаивать принципы социокультурной философии математики как единственно адекватные, то он стоит перед необходимостью обосновать теоретически или на основе внимательного исторического анализа тезис Куна о наличии сильной социокультурной детерминации в развитии научного знания вообще. Я утверждаю, что этот тезис пока никем не обоснован. Мне кажется, что он вообще не может быть обоснован, но я не хотел бы быть здесь слишком категоричным. Ясно, однако, что в настоящее время мы не имеем никаких оснований отвергать существование внутренней методологии науки, проистекающей из природы самой науки, ставить под сомнение правомерность фундаменталистской философии математики, являющейся в своей сути рефлексией внутренней методологии математического мышления.

Мне также хотелось бы высказать свою точку зрения относительно выступления Р. Г. Ба-ранцева. Моя мысль заключается в том, что внутренняя логика математики не зависит от приложения.

Основной тезис Р. Баранцева состоит в том, что главными методами теоретической физики в недалеком будущем должны стать асимптотические методы, включающие в себя неопределенность и неполноту описания. Это положение имеет методологический характер и должно стать предметом обсуждения для специалистов в области теоретической физики. Другой, более философский его тезис заключается в том, что асимптотические методы открывают новый взгляд на математику, позволяющий отказаться от представления о ней как об абсолютно точной и внутренне детерминированной науке. Я остановлюсь здесь на положениях, которые входят в обоснование этого последнего тезиса и относятся собственно к философии математики. Это следующие положения:

1. Конечный человек тянется к бесконечному, но тянется обреченно, поскольку бесконечность нельзя приручить в человеческих понятиях. После Кантора всегда приходит Гёдель. Мы

должны отказаться от попыток построения математики, способной формализовать бесконечность.

2. Классическая математика, претендующая на внутреннюю жесткость, определенность и однозначность всех выводов, не способна подойти к описанию сложных процессов, изучаемых современной наукой. Необходимость приближения к реальности требует введения «мягкой математики», включающей принципиальную неопределенность и неполноту описания. Мы должны отказаться от традиционного взгляда на математику как на систему жестких, строго определенных в своей внутренней логике структур.

3. Математическая теория в принципе не может быть замкнутой структурой. Так же как и любая естественная система, она находится в некотором окружении, которое проникает внутрь ее смысловой структуры. Полная внутренняя строгость и непротиворечивость математической теории остаются по этой причине только недостижимыми идеалами.

Первый тезис, на мой взгляд, содержит в себе некоторую мистификацию бесконечного.

Идея бесконечного необходимо возникает в человеческой практике вследствие того, что каждый акт человеческой деятельности представляет собой преодоление конечного в пространстве, во времени и в освоении новых областей предметности. Деятельностная теория познания утверждает бесконечность в качестве необходимой категории человеческого мышления. По своим истокам это содержательное понятие, не имеющее прямого отношения к математике. Нас интересует вопрос, в какой мере математика может подойти к адекватному определению этого понятия? При ответе на него мы должны прежде всего уяснить то положение, что содержание онтологической категории не может быть исчерпывающим образом выражено в частных понятиях. Мы не можем полностью определить бесконечность, так же как не можем определить пространство, время или движение. Мы можем говорить лишь об аспектах идеи бесконечного, которые могут получить определение в математике. Арифметика делает это в отношении потенциальной бесконечности, теория множеств формализует некоторые аспекты представления об актуальной бесконечности.

Надо согласиться с автором, что человек в своих понятиях никогда не дойдет до полного отражения смысла бесконечности. Но это положение справедливо по отношению ко всем значимым аспектам реальности. Мы никогда не будем иметь законченной теории движения, полной теории света или полного представления о структуре вещества. Все эти понятия указывают лишь на направление движения. Мы никогда не

дойдем до адекватного определения бесконечности, в полной мере отражающего его категориальное содержание. Но отсюда не следует, что существующие математические экспликации бесконечности следует считать ложными или заведомо противоречивыми. А. А. Зенкин дал развернутую и убедительную критику канторовской теории множеств, но, на мой взгляд, он упустил один важный момент, а именно то, что, несмотря на все парадоксы и всю критику, теория множеств продолжает работать в математике. А это показывает, что она, несомненно, содержит в себе непротиворечивое ядро, представляющее непреходящую ценность. Но это значит, что математика, в действительности, схватывает бесконечность, что она движется в направлении экспликации бесконечного и никакой заведомой обреченности здесь не существует.

Провал предложенных в начале прошлого века логических способов обоснования непротиворечивости не означает, что математические теории противоречивы. Он не означает также и того, что непротиворечивость математических теорий не может быть обоснована никаким другим способом, кроме как в рамках финитной метатеории. Теоремы Гёделя не заканчивают исследования в основаниях математики и не предрешают их отрицательного результата. Мы не использовали геометрического подхода, предложенного Г. Фреге, анализ логики доказательства может привести к реабилитации гентценовских доказательств непротиворечивости арифметики, существуют чисто методологические подходы, позволяющие утверждать непротиворечивость зрелых (аксиоматизированных) математических теорий. Автор, как мне кажется, несколько мистифицирует бесконечность и преувеличивает запретительную силу теорем Гёделя. Бесконечность, в тех аспектах, в которых она включена в математику, конечно, может быть обоснована в плане своей непротиворечивости в рамках достаточно развитой методологии математики. Здесь мы должны смотреть вперед, а не назад.

Второй тезис, в принципе, верен. Математические умозаключения физика не могут быть безупречными с точки зрения чистой математики. Физики уже давно говорят о том, что строго математическая дедукция ушла в прошлое: ценные результаты в теоретической физике достигаются за счет упрощений и ad hoc допущений, основанных на опыте или аналогиях. Уже в XIX в. Адамс и Леверье в своих расчетах местоположения Нептуна прибегали к эмпирическим соображениям относительно взаимного расположения орбит планет в Солнечной системе. Но, признавая эту неизбежную нечистоту теоретической физики, мы должны проводить четкое различие между логикой рассуждения в приложениях ма-

тематики и логикой доказательства в рамках математической теории. Мы впали бы в заблуждение, если бы вообразили, что нарушения строгости в приложениях математики могут привести к отказу от строгости как внутреннего стандарта математического мышления, что эти отступления могут сформировать новый образ самой математики, не связанный с идеей абсолютной строгости и внутренней детерминированности. В действительности верно обратное: к каким бы нарушениям строгой дедукции ни прибегал физик-теоретик, он не может утратить идеала строгого математического доказательства и не может навязать чистой математике стандарты строгости, допустимые в приложениях. В. И. Арнольд говорит о «мягких моделях», т. е. о моделях, которые выводятся только в общей форме и должны быть подогнаны к конкретному процессу через подбор констант, но он не говорит о мягкой математике в смысле ослабления стандартов строгого математического рассуждения вообще. Математика всегда была орудием строгой дедукции, методом надежной трансляции истинных суждений в истинные. Несомненно, что эта функция останется за ней и в будущем. Но если это так, то ни о каком отказе от внутренней однозначности и определенности математического рассуждения не может быть и речи.

Третье положение представляется мне ошибочным. Что касается физических (естественных) систем, то, конечно, ни одна из них не является замкнутой и внутренне детерминированной, но это не имеет никакого отношения к математической теории как к системе неявных определений, заданных аксиомами. Никакие события во внешнем мире не могут изменить внутренних определений арифметики, поскольку она продиктована принятой аксиоматикой. Некая неопределенность в математике появляется лишь на уровне семантики, ибо возможны нестандартные интерпретации арифметики и иные конструкции натурального ряда, тем не менее подчиняющиеся аксиоматике арифметики. Но это обстоятельство не оказывает никакого влияния на внутреннюю строгость и определенность самой теории, поскольку мы ориентируемся только на аксиомы и получаем результаты, справедливые при всех интерпретациях. Ни одна из природных систем не является замкнутой и строго детерминированной, но абсолютная детерминированность тем не менее существует, и она реализуется в математических построениях. Математика была и навсегда останется идеалом внутренне детерминированного знания.

Хотя я не согласен с основными выводами автора, не могу не отметить глубоко творческий, стимулирующий характер его соображений. Вопрос о соотношении прикладной и теоретической

математики редко обсуждается в нашей философской и методологической литературе. Стандарт математической строгости, конечно, не зависит от приложений, но без анализа приложений мы не сможем понять логики развития математического знания в целом и самого распределения интересов в теоретической математике.

Р. Г. Баранцев. Позвольте мне сразу ответить В. А. Перминову. Наши расхождения обусловлены разными онтологическими позициями. Уважаемый оппонент полагает, что «логика и арифметика имеют не эмпирическое, а онтологическое основание своей безусловности. Нормы логики абсолютно универсальны, логика конечного и бесконечного не могут различаться. Логика теоретического мышления не может отличаться от логики Бога» [28]. Я же согласен с М. К. Ма-мардашвили в том, что необходимо пересмотреть классические абстракции и ввести «онтологический принцип неполноты бытия» [29].

Внутренняя логика математики может складываться независимо от приложений, но в своём стремлении к полной определённости она будет отрываться от живой реальности: «As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality» [30]. Не дерзая обсуждать «логику Бога», я призываю математику не ограничиваться внутренней логикой детерминистских моделей, а смело осваивать асимптотическую логику жизни.

Вольфганг Ленски [31]. Цель моего небольшого выступления, которое может быть названо «Философия математики как анализ понятий», состоит в выяснении, что собственно понимается под философией математики. Как нам представляется, понятие философии математики связано не столько с вопросом «Что такое математика?», сколько с вопросом «Что может быть математикой?». Проблема состоит в том, чтобы раскрыть философские нормативные положения, которые должны лежать в основе математических концепций.

О необходимости философской рефлексии. Если определенная теоретическая область основалась самостоятельно, как это произошло в случае с математикой приблизительно 3000 лет, то становится возможной соответствующая философская рефлексия. Речь идет о том, чтобы поставить кажущуюся уверенной в своих познаниях математику на непоколебимую основу. В качестве примера этому можно представить концепцию геометрии Евклида в античные времена.

После первой фазы философской рефлексии следует вторая фаза - осмысление внутренних для данной теории дисциплинарных проблем.

Например, при создании геометрии Евклид столкнулся с вопросом об отношении аксиомы о параллельных прямых к реальности.

Другие области математики, такие, как арифметика, были менее разработаны и представляли большие философские проблемы. У Канта мы находим попытку понять арифметику на основе понятия времени. В результате возникает первая переструктуризация понятийного аппарата математики. Развитие понятия числа потребовало разработку дальнейших формообразующих принципов, таких, как достижение синтеза на основе структур прогрессирующих единств. Здесь в качестве центральной выступает проблема идентификации чисел посредством особой операции с нулем в качестве исходного пункта. Лишь когда 0' станет 1, а 1' станет 2 и так далее, эта операция будет той определенной функцией, которая формирует числа. Однако здесь возникает проблема контроля над бесконечным процессом. Данная проблема становления арифметики как науки стала очевидной в XIX в. Известно, что были выдвинуты два различных подхода: контроль над процессом порождения чисел при помощи принципа индукции (классическая математика) либо при помощи интуиции (интуиционизм). Последствия этих подходов должны определяться при помощи средств соответствующей науки. Философия может этот процесс лишь нормативно направлять, осмысливая содержательную сторону дела. Вопрос базиса опирается на методы соответствующей дисциплины, доказательство же правомерности этих методов является принципиальной философской темой.

Философия и наука. Философское осмысление каждой научной дисциплины можно разделить на три фазы. Вначале формируются интуитивные представления об исследуемых объектах, затем вводятся интуитивно понятые термины. Затем эти термины определяют через понятия, основанные на различных методах, до тех пор, пока основы созданной системы снова не становятся предметом философского осмысления.

В этом процессе задача философии состоит в том, чтобы понять направленность развития данной науки. При этом внутреннее оформление системы остается вопросом, относящимся к данной дисциплине, так как каждая область развивает свои специфические методы.

Интенсивность философского осмысления отражает уровень напряженности внутридисци-плинарных проблем. Так, математика в начале XIX в. стала предметом философского осмысления ввиду настоятельных требований уточнения понятий, посредством которых описывались математические объекты. Первым предпринял попытку такого уточнения абстрактных понятий Августин Луис Коши.

В качестве аналогичного примера может быть рассмотрено становление теории множеств. Вначале Кантор описывает понятие множества просто в виде совокупности отличных друг от друга мыслимых объектов т с общим признаком М. В этом определении еще используются термины разговорного или литературного языка. Затем в развитии теории множеств выделяются такого же рода проблемы, которые Коши пытался преодолеть через уточнение абстрактных понятий. Уточнение понятий теории множеств привело к аксиоматической системе Цермело - Френкеля.

Антиномии и противоречия. Достаточно сложной является проблема появления внутри научной дисциплины противоречий, или антиномий. На первый взгляд, представляется безусловно истинным и непоколебимым закон противоречия, сформулированный в качестве научного принципа еще Аристотелем. Однако в системе Гегеля противоречие рассматривается как несущая сила, порождающая прогресс в познании. Это означает, что не исключается вариант, когда противоречия внутри системы могут считаться вполне нормальным явлением.

Появляется возможность - через сознательное выявление противоречий - создавать надежную основу для дальнейшего строительства основ математики. Речь идет о выработке условий, которые бы позволяли осознавать соответствующие противоречия, а затем выявлять как можно больше найденных в результате конструктивных возможностей при сохранении этих противоречий. В качестве примера такого движения можно назвать, как нам думается, построение системы аксиом Цермело и Френкеля.

С нашей точки зрения, положения Гегеля относительно прогрессивного значения противоречий можно интерпретировать как методологию, которая может и должна выступить наряду с известными концепциями формальной логики. Таким образом, может быть выстроена математика, которая будет располагаться ближе к интуитивизму Бауэра, или конструктивизму Маркова, или школе Бишора.

Философия математики ставит вопрос о базисе, который гарантирует математике дальнейшее развитие. Но это может произойти, если имеется возможность точно обозначить границу, за которой происходит разрушение системы, или, другими словами, распад научного понятия, на котором основана данная система. С другой стороны, эта граница является методологическим отражением исходного пункта соответствующей философской позиции.

В. В. Чермных. Назову свое выступление «О соотношении математики и реальности». Реальность - это существующее в действительности.

В диалектическом материализме термин «реальность» употребляется в двух смыслах: 1) объективная реальность, т. е. материя в совокупности различных ее видов; 2) все существующее, т. е. «материальный мир и все его идеальные продукты» [32]. Мне, как математику, ближе второе определение, поскольку логарифм, к примеру, так же реален для меня, как и объекты материального мира. Но для удобства будем исходить из предположения справедливости первого определения реальности. Кроме того, как будет сказано ниже, автор исходит из положения, что идеи вовсе не являются продуктами идеального мира.

Условно разделим математику на две составляющие - назовем их чистой и прикладной математикой с нечеткой границей между ними. Чистых математиков интересует игра с символами по определенным правилам, их комбинации, свойства. Наличие такой сферы деятельности хорошо описывает распространенная фраза, что математика - это язык. Прикладников же интересует связь этого языка с окружающим материальным миром.

Откуда чистый математик берет свои символы и правила? Автор придерживается точки зрения, близкой к платоновской идее существования мира идей и нашего открытия этих идей. Математик ничего не придумывает и не изобретает, и доказательство какой-либо теоремы существовало и до открытия математиком этого доказательства. Почему тогда открытия делают представители ограниченного круга людей? Механизм улавливания математических фактов мне представляется непонятным, но приходит такая аналогия. Новую звезду может увидеть лишь смотрящий в небо, но и смотрящий в небо должен обладать хорошим зрением. Хорошее математическое зрение - это и способности, и талант, но есть, безусловно, слепые в математическом смысле люди.

Возникает вопрос, обусловливаются ли содержание математики и логика ее развития объективными причинами развития реального (материального) мира или же это не зависит от него? Уточню, что в данном случае под математикой понимается совокупность тех идей, результатов, математических теорий, уже известных человечеству, т. е. открытых им. Может быть, это один из вопросов, на который в принципе не может быть однозначного ответа.

Во время Второй мировой войны, к примеру, резко упало количество работ по чистой математике. На поверхности лежит и объяснение этого факта: математик, чистый или прикладник, как социальный субъект вынужден выполнять заказ общества, а это приводит во время войн к увеличению числа вычислительных, прикладных задач.

С другой стороны, в истории математики можно найти немало примеров проявления субъективных факторов. Рост числа ферматистов в некоторые периоды никак не объясняется ни потребностями математики, ни какими-либо приложениями Великой теоремы Ферма. Что при этом двигало математиками и любителями - жажда славы, денег, власти, эстетическое чувство, или было проявление модных тенденций, у каждого отдельного индивида причины были свои. Математика, как уже было упомянуто, подвластна моде. Столетие назад - теория инвариантов, десятилетия назад -синергетика и такие ее производные, как теория фракталов или теория катастроф (тут проявилось, возможно, и желание у некоторых по-легкому открыть новое, что привело к росту квази- и околоматематических результатов). В последние несколько лет популярностью стали пользоваться тропические геометрии, чему немало способствовало удачное название.

Два слова об априоризме Канта. Этот вопрос представляется мне весьма сложным. Могу сказать, что интуиция и воспоминание о своем прошлом не позволяют согласиться, что человек уже рождается с понятиями, допустим, пространства и числа. Стандартный набор примеров - открытие неевклидовых геометрий, а также числовых систем (кватернионы, числа Кэли), в которых «априорно верные» свойства коммутативности или ассоциативности не выполняются, опровергают абсолютность арифметических законов и родного трехмерного пространства. Может быть, эти наивные примеры совсем не опровергают математический априоризм и легко допускают контраргументы. В качестве небольшой реплики замечу, в приватной беседе с двумя математиками меня всерьез уверяли, что они хорошо представляют себе многомерные пространства и знают, как выглядит четырехмерный куб.

Разные математики и философы по-разному относятся к роли и месту математики. Для меня это не является никаким противоречием - различные идеи могут мирно жить и сосуществовать в своем платоновском мире. Нелогичность развития математики только кажущаяся. Подобно хаотичному броуновскому движению молекул газа, приводящему тем не менее к правильной форме шарика, хаотичное развитие науки приводит к правильному виду «шара математики». Определенная невостребованность сегодняшней чистой математики на практике оставляет надежду, что некоторая ее часть все же пригодится в реальном мире завтра, так же как некоторые вчерашние математические абстракции сработали сегодня. А остальное громадное здание математики будет примером возможностей человеческого разума, творением, приносящим подобно искусству и эстетическое удовлетворение.

А. В. Шатров. Тема моего выступления - «Математическое моделирование - методология получения нового знания».

В современной науке моделирование рассматривается как важнейший метод получения нового знания. Исторически методу моделирования предшествовал метод научного эмпиризма (от гр. гтргНа - опыт), согласно которому исследование состоит в наблюдении и классификации изучаемых явлений и формировании выводов путем логических умозаключений. Считается также, что основой науки Нового времени является эксперимент, в ходе которого проверяется пригодность теоретических конструкций через сравнение с эмпирическими фактами.

Однако следует заметить, что в ходе эксперимента не идет речь о сравнении с естественной ситуацией, имеющей место в природе. Эксперимент - это специально подготовленная реальность, в которой контролируются все параметры, считающиеся заданными в теоретической модели. Так, в «теоретическом» споре Аристотеля и Галилея о природе движения непосредственный опыт говорит в пользу Аристотеля: движущиеся тела, лишенные источника энергии, останавливаются и занимают определенное место в пространстве. Галилеевская идея о движении по инерции есть не что иное, как теоретическая абстракция, пренебрегающая трением и сопротивлением среды. Но именно эта абстракция была реализована в конструкции его эксперимента. По существу, реальному эксперименту предшествовал мысленный эксперимент, т. е. конструирование ситуации, очищенной от всех несущественных свойств. Это конструирование возможно только при наличии достаточно ясного, поддающегося логическому анализу языка конструирования, обладающего определенного рода внутренней полнотой и непротиворечивостью, позволяющей не потеряться во множестве неясных, а иногда и не сформулированных в явном виде исходных предположений. Иными словами, теоретическая конструкция есть модель, и, чтобы допускать ее проверку, она должна быть логической конструкцией, а не метафорой. Именно этим требованиям удовлетворяет методология математического моделирования.

Понятие адекватного языка нуждается в пояснении. В европейской научной традиции, начиная с Р. Декарта и Ф. Бэкона, проводится более или менее четкая граница между исследованиями природы и изучением человека. В работах В. Дильтея, В. Виндельбанда и Г. Риккерта эта граница еще больше обозначилась через противопоставление области знания, в которой исследуются общие законы, объединяющие природные факты (физика, механика и другие естественные науки), наукам о духе - гуманитарному знанию,

описывающему, как предполагается, факты уникальные и неповторимые (история здесь наиболее характерный пример). В современной науке эта разобщенность остается, но понимание необходимости ее преодоления реализуется в недрах математических наук, связанных с моделированием социально-экономических, исторических и гуманитарных процессов [33].

По существу, исследование функционирования человеческих сообществ оказалось «ничейной» территорией между перечисленными выше науками о природе и о духе. В XVIII в., начиная с Ф. Кенэ и А. Смита, стало ясно, что некоторые области этой территории лучше поддаются формальному, логическому описанию, чем другие. Например, экономическая теория, благодаря доминированию в экономическом поведении людей интересов, в принципе доступных логическому анализу, - наиболее благоприятная почва для построения строгих моделей. Усилиями нескольких поколений теоретиков был построен впечатляющий аппарат математического моделирования, объясняющий существование рыночного равновесия в условиях идеальной конкуренции и свойства равновесного состояния экономики. Можно привести в качестве других примеров область медицины (моделирование иммунных систем), биофизики (происхождение жизни и сосуществование видов), генетики, теоретической истории и др.

Моделируя экономику и другие перечисленные области, мы имеем дело с так называемыми сложными системами. Дело заключается не только в том, что они состоят из очень большого числа элементов. Эти системы выделяются своей уникальностью и способностью к качественным изменениям, мы фактически наблюдаем единственную траекторию, которая не воспроизводит себя статистически достоверно и не показывает всех потенциальных возможностей системы. Неудивительно, что успехи в моделировании таких сложных систем пока значительно скромнее, чем в моделировании, скажем, технических систем.

Для сложных систем невозможны эксперимент и массовое наблюдение. Поэтому до сих пор ни для одной сложной системы не создано универсальной модели, из которой все остальные следовали бы как частные случаи, подобно тому как, скажем, модели радиотехнических устройств следуют из теоретической модели электродинамики. Приходится иметь дело с множеством моделей одной и той же системы, каждая из которых использует свой язык понятий и рассматривает систему в своем особом ракурсе, пренебрегая отнюдь не малыми величинами. Если модели физических систем должны объяснить результаты сделанных и предсказывать результаты плани-

руемых экспериментов, то модели сложных систем призваны, в первую очередь, заменить сам эксперимент.

Казалось бы, микромодели должны получаться из конкретных типизаций, а макромодели - из микромоделей через их агрегирование, но на практике такое удается сделать очень редко.

Эти же сложности возникают при моделировании климата, биосферы, систем вооружений: невозможность суммировать в виде мозаики модель сложной системы из простых моделей и редуцировать сложную работающую модель к последовательности простых моделей, связанных с исходной. В 1971 г. американский исследователь Дж. Форрестер предложил модели развития города и мирового сообщества. Вторая модель получила применение и оказала важное влияние на изменение цивилизационного вектора развития человечества [34]. А вот первая модель оказалась много сложнее, самое главное, она никак не вытекала из второй модели, а ее независимое построение сдерживалось отсутствием большого числа данных, характеризующих один, причем неповторимый объект. Обобщая опыт такого моделирования, академик Н. Н. Моисеев выдвинул концепцию построения иерархии упрощенных моделей. Эта технология нашла свое применение в имитационном моделировании сложных систем.

В качестве вывода отметим следующее. Маловероятно, что математическое моделирование в областях, которые традиционно исследуют чистые гуманитарии, может давать какие-нибудь новые, совсем неизвестные ранее результаты. Истинная роль математического моделирования состоит в том, чтобы с помощью все более адекватных языков исследовать и прогнозировать поведение сложных процессов и систем, в которые в качестве неустранимого элемента входит человеческая сознательная деятельность.

М. И. Ненашев. Свое выступление я назову «Математика и дискретность реальности». Мне представляется очень продуктивной мысль профессора А. Г. Барабашева о том, что изменения, которые происходят сегодня в математике, позволяют говорить о ней как особом социокультурном феномене и особой субкультуре. Хотя вывод, что Кант, Кантор, Гёдель и «другие великие философы и математики прошлого» судят о зрелой форме математики по ее зародышевым состояниям, звучит, по крайней мере, непривычно.

Теперь мне хотелось бы предложить собственные соображения относительно соотношения математики и реальности. Я буду отталкиваться от кантовского различения суждений на аналитические и синтетические.

Первые суждения основываются на законе противоречия и делят субъект на понятия, которые уже в нем мыслились, вторые - присоединяют к понятию субъекта предикат, который не может быть выведен из субъекта на основе закона противоречия. Можно определить несколько иначе: суждение является синтетическим, если суждение, построенное в виде его отрицания, не ведет к противоречиям. А отрицание аналитических суждений приводит к противоречиям.

Например, суждение «Все треугольники имеют три угла» является аналитическим, потому что противоречивым является суждение «Неверно, что все треугольники имеют три угла», ведь само понятие треугольника включает признак «иметь три угла». А положение, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам, является синтетическим, потому что его отрицание - «В некоторых случаях сумма внутренних углов в треугольнике не равна двум прямым» - не приводит к противоречию. Мы знаем, что можно строить непротиворечивые геометрии, в которых сумма углов треугольника больше или меньше двух прямых углов.

Обратим внимание на то, что кантовские примеры синтетических суждений в геометрии относятся исключительно к евклидовой геометрии. В том числе и синтетическое суждение, что «две прямые линии не могут замыкать пространство» [35].

Вопрос, который ставит Кант, следующий: почему реальное пространство, проявления которого мы ощущаем и познаем, взятое в целом, выражается именно геометрией Евклида, а не другой, с логической точки зрения точно так же возможной? Это вопрос об отношении нашего знания к реальности, или, как пишет Кант, вопрос «об истинности синтетических знаний». На аналогичный вопрос Лейбниц отвечал в «Теодицее» учением о наилучшем из миров: «...Надо сказать, что между бесконечным числом возможных рядов вещей Бог избрал наилучший, и, следовательно, таковым является именно тот ряд, который существует в действительности» [36].

Ответ Канта, как известно, заключается в следующем: наш способ созерцания таков, что мы воспринимаем вещи именно в евклидовом пространстве. Поэтому все треугольники имеют необходимым образом сумму углов, равную двум прямым углам, а параллельные не пересекаются. Но в таком случае мы не знаем, каковы вещи вне нашего способа созерцания.

Отметим важный пункт. Решение Канта опирается на вполне конкретное представление относительно реальности, - мир есть, если использовать кантовское же выражение из третьей антиномии разума, «полное и законосообразное единство опыта». Таким образом, речь идет о

представлении реальности как единого всеобни-мающего целого. И вот эта единая, включающая всё реальность почему-то именно евклидова, хотя вполне мыслимы без противоречий другие варианты.

Как нам представляется, кантовское решение проблемы, почему мир именно евклидов, и соответственно вывод о непознаваемой вещи-в-себе падают, если допустить, что реальность является не одной и не единой, но дискретной и представляет, образно выражаясь, слоеный пирог, где каждый слой - целостный фрагмент с собственной метрикой и геометрией. Например, масштабу, предполагаемому общей теорией относительности, соответствует риманова геометрия и арифметика, в которой сумма 5 и 7 меньше 12, если иметь в виду релятивистскую формулу сложения скоростей. А микромиру - другая геометрия, а возможно, и арифметика (например, неархимедова). В. И. Вернадский предполагал, что в геометрическом состоянии пространства, занятого живым веществом, нет места для прямых линий. Ясно, что речь идет о неевклидовом варианте геометрии теперь уже живого вещества.

Итак, примем, что реальность дискретна, а значит, отсутствуют промежуточные состояния, подобно тому как их нет между разными геометриями (либо вот этот набор аксиом, либо иной). Тогда станет понятным, что разным математическим исчислениям (моделям) можно поставить в соответствие различные фрагменты реальности, которые в своей сумме отнюдь не сливаются в «полное и законосообразное единство опыта». Становится понятным также дробление математики на небольшие области, со сравнительно маленькими коллективами «специалистов», которые «вынуждены верить друг другу».

В выступлении профессора А. Г. Барабашева сказано также о невостребованности 95% результатов современных математических исследований. Но, возможно, идет заготовка впрок моделей для описания состояний живого вещества - какого-нибудь неповторимого движения ложноножки амебы (о неповторимости живого движения писал в свое время Н. А. Бернштейн) или фрагментов реальности, о существовании которых мы в настоящее время не подозреваем. Как совершенно не подозревали о существовании так называемой темной материи.

Заключительное слово проф. А. Г. Барабашева. Я благодарю профессора М. И. Ненашева за приглашение принять участие в Круглом столе и признателен всем участникам Круглого стола, проявившим заинтересованность в обсуждении столь сложной, можно сказать, центральной проблемы всей философии математики - проблемы соотношения математики и реальности.

Я не думаю, что коллеги ждут от меня развернутых комментариев и ответов по поводу каждого выступления, которые здесь прозвучали. В то же время я хотел бы прояснить высказанные мною соображения, связать их с позициями участников состоявшего Круглого стола.

Традиционная, фундаменталистская философия математики превращает вопрос о сущности математики в вопрос об истинности математического знания, а принимаемые схемы соотношения математики и реальности так или иначе в фундаментализме связываются с природой истинности математического знания. Собственно, именно это утверждение я и пытался обосновать с использованием конструкции «треугольника Фреге», также относящегося к области фундаментализма.

Фундаменталистская философия математики имеет давнюю традицию, мощные корни. Проблемы истинности математического знания важны безотносительно того, что ныне происходит с математикой, в каком направлении она развивается, каковы причины столь радикальных изменений во взаимоотношении математики и других наук, места математики в культуре, в образовании, в обществе. Философские проблемы истинности относятся к так называемым «вечным», и что бы ни происходило с математикой, философы эти проблемы будут обсуждать, не выходя за пределы уже очерченных вариантов решения.

Но современная математика требует своего, принципиально иного методологического инструментария, и от исследователя зависит, что он предпочтет: классический философский дискурс либо методологический анализ реальных процессов, происходящих в современной математике. Я прекрасно понимаю, что во многих коллегах «философ пересиливает методолога», и признаю гносеологическую ценность их позиции. Однако я категорически не согласен с утверждениями о том, что «внутри автомобиля обязательно должна находиться лошадь, а иначе автомобиль не поедет». Вполне возможно исследовать математику, не занимаясь решением вопроса истинности математического знания. Таком образом, я предпочитаю говорить не о дополнительности «рядоположенных» позиций фундаментализма и нефундаментализма, как полагает В. Я. Перми-нов, а об их разных ценностных ориентациях, предназначении, нацеленности либо на традицию обсуждения «вечных» проблем, либо на новые проблемные поля. Фундаментализм и нефундаментализм просто разные, а не дополнительные концептуальные подходы. Социокультурная философия математики не «сильная» и не «слабая» в смысле установления уровня жесткости социокультурной детерминации, она просто иная, и

она ставит свои вопросы, а не вопросы, навязываемые фундаментализмом.

Отмечу близость позиции В. Ф. Юлова к социокультурной парадигме, которая была выражена в моем докладе. Тем не менее я не согласен с тем, что был только один переход к теоретическому способу систематизации (в Греции) и далее главенствовал исключительно этот способ систематизации. Навряд ли можно оспаривать то, что в Средние века второй раз в истории математики главенствовал практический способ систематизации, т. е. практический цикл повторился дважды. В статье «О прогнозировании развития математики посредством анализа формальных структур познавательных установок» я пытался найти условия «спрямления пути», выхода на новый теоретический цикл, минуя предшествующий практический способ систематизации. Но это требует значительного уровня рефлексивности математического сообщества, рефлексивности, которая в настоящее время пребывает на зачаточном уровне.

Но вообще меня порадовала серьезность и основательность идей вятских коллег.

Мне импонирует мысль пермского коллеги

B. Ф. Шемякинского, что сомнения в возможности построения единой концепции нефундаментальной философии математики говорят в ее пользу, потому что «негарантированные цели гарантируют жизнеспособность науки».

Мне показалось интересной концепция Р. Г. Баранцева. В ней содержится определенная альтернатива тому, что, если можно так выразиться, затвердело в современной философии математики, а также то, что речь идет, как и в выступлении М. И. Ненашева, о выходе на онтологическую проблематику.

В целом считаю обсуждение плодотворным и хочу поблагодарить «Вестник ВятГГУ» за предоставленную возможность обсуждения темы, которая мне близка и продолжает меня интересовать.

М. И. Ненашев. Уважаемые коллеги! Я присоединяюсь к словам профессора Барабашева. Позвольте мне выразить благодарность от себя и от редакции «Вестника ВятГГУ» участникам Круглого стола за то, что вы нашли время и возможность отвлечься от текущих дел и поделиться своими взглядами на предложенную проблему.

Примечания

1. Барабашев А. Г. Диалектика развития математического знания (закономерности эволюции способа систематизации). М., 1983. С. 126-129.

2. Пуанкаре А. Наука и гипотеза // Пуанкаре А. О науке. М., 1983. С. 467-482.

3. Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.

C. 284.

4. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / под ред. А. П. Юшкевича. M., 1970. С. 73.

5. Ьурбаки H. Теория множеств / под ред. В. А. Успенского. M., 1965. С. 300.

6. Клещев Д. Возвращение Орфея. Гармония и дисгармония современной математики // Философия и культура. 2009. № 5. С. 21-43.

7. Bилeнкин H. В поисках бесконечности. M., 1983. С. 12.

8. Аристотель. Соч.: в 4 т. / под ред. И. Д. Ро-жанского. M., 1981. Т. III. С. 120.

9. Арсенов О. О. Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре. M.: Эксмо, 2010.

10. Укажем, к примеру, применение теории групп для предсказания существования и свойств ранее неизвестных элементарных частиц в квантовой механике.

11. К слову, и смех и грех: один «видный деятель от научного образования» предложил назвать факультет информатики, математики и физики факультетом социального сервиса.

12. Арнольд B. И. Антинаучная революция и математика // Вестник РАН. 1999. Т. 69. № 6. С. 553-558.

13. Платон. Федон, 75а.

14. Heneйвода H. H. Прикладная логика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. § 0.2.

15. Beчтомов E. M. Mетафизика математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. § 22.

16. Семь лекций общей физики, читанных Августином Коши (Турин, 1833). СПб., 1872. С. 20.

17. Mайнцep К. Сложность и самоорганизация. Возникновение новой науки и культуры на рубеже века // Синергетическая парадигма. M., 2000. С. 70.

18. Penrose R. Shadows of the mind: A search for the missing science of consciousness. Oxford, 1995. 457 p.

19. Hersh R. What is mathematics, really? Oxford, 1997. 343 p.

20. Панов M. И. Гуманитаризация математики -тенденция развития науки XX века: (можно ли считать математику сплавом культуры, философии, религии?): обзор // РЖ. Сер. 3. Философия. 1991. № 6. С. 21-30.

21. Devlin K. Goodbye, Descartes: The end of logic and the search for a new cosmology of the mind. N. Y., 1997. 320 p.; Davis Ph. Beyond the pillars of Hercules: Soft mathematics // SIAM News. 1998. № 6.

22. Кондратьев B. Г., Солодухина M. А. Mягкое исчисление как новая парадигма. Обзор // РЖ. Сер. 3. Философия. 2000. № 3. С. 34-41.

23. Арнольд B. И. «Жёсткие» и «мягкие» математические модели // Природа. 1998. № 4. С. 3-14.

24. Ьаранцев P. Г. Перспективные идеи в асимптотической методологии: автообзор // Вестн. молодых учёных. Сер.: Прикл. мат. и мех. СПб., 2002. № 1. С. 27-35.

25. Стили в математике. Социокультурная философия математики / под ред. А. Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999.

26. Эйнштейн А. Собр. науч. тр.: в 4 т. Т. 4. M., 1967. С. 40.

27. Кун T. Структура научных революций. M., 1975. С. 20.

28. Перминов B. Я. Об аргументах Брауэра против закона исключённого третьего // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. M.: Янус-К, 1997. С. 215.

29. См.: Mамаpдашвили M. К. Классический и неклассический идеалы рациональности. Тбилиси, 1984.

H. M. Ефимова. H. Федоров, К. Циолковский, А. Платонов: общность мировосприятия

30. A. Einstein, Ideas and Opinions. N. Y.: Dell, 1973. P. 228. В русском варианте: «Насколько законы математики относятся к реальности, они неточны, и насколько они точны, они не относятся к реальности».

31. Перевод выступления В. Ленски с немецкого языка на русский выполнила О. В. Байкова, кандидат филологических наук, доцент, зав. кафедрой лингвистики и перевода ВятГГУ.

32. Философский энциклопедический словарь. М., 1983.

33. Белотелов H. В., Бродский Ю. И., Павловский Ю. H. Сложность. Математическое моделирование. Гуманитарный анализ: Исследование исторических, военных, социально-экономических процессов. М.: «Либроком», 2009.

34. См.: Медоуз Д. X., Медоуз Д. А., Рендерс Й., Беренс В. В. Пределы роста. Доклад по проекту Римского клуба «Сложное положение человечества». М.: Изд-во МГУ, 1991; Моисеев H. H. Алгоритмы развития. М.: Наука, 1985.

35. Кант И. Соч.: в 6 т. М., 1963-1966. Т. 3. С. 148.

36. АейбницГ. В. Соч.: в 4 т. Т. 4. М., 1989. С. 474.

УДК 1

Н. М. Ефимова

Н. ФЕДОРОВ, К. ЦИОЛКОВСКИЙ, А. ПЛАТОНОВ: ОБЩНОСТЬ МИРОВОСПРИЯТИЯ

Русский космизм - это направление русской философии, которое возникает на рубеже XIX-XX вв. и характеризуется как активно-эволюционное. Идеи космистов направлены на преобразование природы и самого человека. Рассматриваются онтологические идеи Н. Федорова, К. Циолковского и А. Платонова как представителей религиозного, естественнонаучного и гуманитарного направлений космизма, а также идейная общность данных мыслителей.

Russian kosmizm - a direction Russian философии, which appears on border XIX-XX ages and is characterized as actively-evolution. The ideas kosmizma are directed on transformation of the nature and most person. They are considered ontology to ideas N. Fedorova, K. Ciolkovskogo and A. Platonova, as representatives religious, naturally-scientific and humanitarian of the directions kosmizma, as well as general ideas thinker data.

Ключевые слова: русский космизм, Н. Федоров, К. Циолковский, А. Платонов, проблема жизни и смерти, учение о чувствительности материи, общность мировоззрения.

Keywords: Russian kosmizm, N. Fedorov, K. Ciolkovskiy, A. Platonov, problem to lifes and deaths, presentation about sensitivity of the matters, generality of the worldoutlook.

В 80-х гг. прошлого века получил распространение термин «русский космизм». Вначале его относили главным образом к трудам русских естествоиспытателей (К. Э. Циолковский, В. И. Вер-

© Ефимова Н. М., 2011

надский, А. Л. Чижевский и др.), но с выходом из забвения имени Н. Ф. Федорова, чему способствовали большая исследовательская работа С. Г. Семеновой, переиздание в 1982 г. под редакцией А. В. Гулыги и с предисловием С. Г. Семеновой некоторых работ философа отдельной книгой, термин «русский космизм» получает более широкое значение. Он начинает использоваться также для характеристики работ отдельных русских философов, сыгравших существенную роль в развитии отечественной культуры конца XIX - начала XX в.

Согласно Семеновой, русский космизм как особое философское направление, выдвинувшее идею активной эволюции, когда человечество направляет мир в ту сторону, в какую диктует ему разум и нравственное чувство [1]. Сам человек предстает как существо, «далеко не совершенное, но вместе с тем сознательно-творческое, призванное преобразовать не только внешний мир, но и собственную природу» [2].

А. В. Гулыга в русском космизме видит программу выхода человечества в космос, установления мира на Земле и достижения бессмертия. А также подготовку нравственных предпосылок для освоения космоса [3].

Ф. И. Гиренок определяет в качестве важнейшего момента русского космизма выдвижение идеи объединения людей на основе не социально-политических или идеологических теорий, а экологического императива. По отношению к природе люди выступают как единое целое вне зависимости от социально-экономических и идеологических расхождений [4].

Резюмируя, русский космизм можно определить как совокупность идей, направленных на объединение человечества на основе равноценности людей независимо от расы и других биологических особенностей, социального положения, на выработку новых форм общественных отношений, основанных на гармонии, а не противопоставлении людей друг другу и природе. Человек, его разум выступают как продукт космической эволюции, эволюция человека продолжается и в наше время. Эта эволюция выражается в совершенствовании интеллекта человека и в его физическом преобразовании вплоть до достижения бессмертия.

В русском космизме условно можно различить три направления:

- религиозное, к нему относят прежде всего русского философа Николая Федорова;

- естественнонаучное, к нему причисляют такие фигуры, как А. В. Сухово-Кобылин, Н. А. Умов, К. Э. Циолковский, В. И. Вернадский, А. Л. Чижевский, В. Н. Муравьев, А. К. Горский, Н. А. Сетницкий, Н. Г. Холодный, Ф. И. Купревич, А. К. Манеев и др.;