Задача факторизации с пересечением

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 3-11.

УДК 517.9

ЗАДАЧА ФАКТОРИЗАЦИИ С ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ

Р.А. АТНАГУЛОВА, О.В. СОКОЛОВА

Аннотация. В работе построено обобщение метода факторизации на случай, когда G — конечномерная алгебра Ли, G = Go  M  N (прямая сумма векторных подпространств), где Go — подалгебра в G, а M, N — Go-модули, Go + M, Go + N — подалгебры в G .В частности, в эту конструкцию включается случай, когда G — Z-градуированная алгебра Ли. С помощью этого обобщения построенны конкретные системы типа волчков, связанные с алгеброй so(3,1). Согласно общей конструкции, такие системы сводятся к решению системы линейных уравнений с переменными коэффициентами. Для них найден полный набор первых полиномиальных интегралов и инфинитезимальных симметрий.

Ключевые слова: метод факторизации, алгебры Ли, интегрируемые динамические системы.

Mathematics Subject Classification: 17B80

1. Введение

Классический метод факторизации [1, 2, 3, 4] (другое название: схема Адлера-Константа-Саймса) позволяет проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений следующего специального вида:

Ut = [U+ ,U], U

Здесь U(t) — функция со значениями в алгебре Ли G, являющейся прямой суммой векторных пространств G+ и G-, каждое из которых - подалгебра в G. Через U+ обозначена

проекция U на G+. Можно считать для простоты, что G вложено в алгебру матриц. Решение задачи (1) задается формулой

U

В формуле (2) матрица A(t) определяется как решение задачи факторизации

A-1B = exp

где G+ и G- — группы Ли алгебр G+ и G-. Если G- — идеал, задача факторизации решается явно: A = exp((Uo)+t), B = A exp(—Uot). В случае, если G+ и G- — алгебраические

группы, условия A e G+ и A exp(—Uot) e G- представляют собой систему алгебраических уравнений, из которой (при t близких к нулю) матрица A находится однозначно.

В работе [4] было показано, что классическая задача факторизации может быть сведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Кроме того, в работе [4] метод факторизации был обобщен на случай

G = V 0 V2,

R.A. Atnagulova, O.V. Sokolova, Factorization problem with intersection.

© Атнагулова Р.А., Соколова О.В. 2014.

Поступила 2 сентября 2013 г.

где V7!, V — некоторые векторные подпространства, принадлежащие соответственно подалгебрам $+ и Было показано, что если

[$+ П$-, V] С V, г = 1,2,

то интегрирование уравнения (1), в котором «+» означает проецирование на V! параллельно V2, также может быть сведено к решению системы линейных ОДУ с переменными коэффициентами.

Напомним конструкцию Голубчика-Соколова. В работе [4] авторы рассматривали задачу факторизации, где фигурируют правые логарифмические производные от А и В:

А-!В = 2

а V - произвольные векторные подпространства, удовлетворяющие (4). Пусть и(£) = А(£)д(£)А-!(£), где д(£) = — 2*2-!. Можно увидеть, что эта функция удовлетворяет следующему уравнению:

и] + А^*А 1.

Заметим, что если положить 2(£) = ехр(—и0£), то д(£) = [70, 5* = 0 и уравнение (7) совпадает с (1). Таким образом, решение задачи факторизации связано с решением нелинейного дифференциального уравнения (1).

Далее рассматривалась следующая задача факторизации:

а-!в = 2

в которой обе фигурирующие логарифмические производные являются левыми. Эта задача напрямую не связана с уравнениями типа (1), зато может быть сведена к линейному уравнению с переменными коэффициентами. А именно, в работе [4] рассматривалось линейное отображение £(£) : V ^ У!, заданное формулой

£(*)(«) = (2-!(ф2 (*))+.

Поскольку Ь(0) — тождественное отображение, £(£) обратимо при малых £. Далее в работе доказывалось, что решение а линейного уравнения

а* = —а£-!

и функция в, заданная следующей формулой

в = а2

являются единственным решением задачи факторизации (8).

Завершающий шаг конструкции состоит в том, что при дополнительном условии (5) устанавливается связь между двумя задачами факторизации. А именно, пусть V! С $+,

V С ^-, где $+ и ^- подалгебры Ли алгебры $ такие, что $+ П = $0 = {0}. Тогда решения задач (6) и (8) удовлетворяют одной и той же задаче факторизации:

А-!В = 2

где С+ и С_ — группы Ли алгебр $+ и $-. Поскольку $0 = {0}, то решение задачи

неединственно. Пусть а, в - решение задачи факторизации (8). Так как оно является и решением задачи (11), то все остальные решения задачи (11) можно получить из соотношения

А = На, В = Нв, Н

где Н - произвольный элемент группы Ли О0 алгебры Ли $0.

В работе [4] было показано следующее: для того чтобы А, В удовлетворяли задаче факторизации (6), Н должно быть решением следующего линейного уравнения:

Н* = —Н

Таким образом, решив уравнение (9) на а, мы можем найти функцию в из соотношения (10). Далее, решив уравнение (13), мы можем из (12) найти решение А, В задачи факторизации (6). На последнем шаге мы можем выписать решение уравнения (7), используя формулу (2).

В большинстве работ, посвященных задаче факторизации, рассматривается случай, когда алгебра $ раскладывается в сумму двух подпространств. В частности, в работе [4] И. З. Голубчик и В. В. Соколов построили схему для такого случая. Цель данной работы — обобщить их конструкцию на случай, когда алгебра $ является прямой суммой трех подпространств. Такое обобщение позволит решать методом задачи факторизации более широкий класс интегрируемых систем ОДУ.

В §2 данной работы построено обобщение метода факторизации с пересечением на случай, когда $ — конечномерная алгебра Ли, $ = $0 © М ф N (прямая сумма векторных подпространств), где $0 — подалгебра в $, а М, N — $0-модули, $0 + М, $0 + N — подалгебры в $ .В эту конструкцию включается важный частный случай, когда $ является градуированной алгеброй Ли.

В §3 построены некоторые динамические системы типа волчков, связанные с алгебрами Ли з/(2) и зо(3,1). Согласно общей схеме, эти системы могут быть сведены к линейным системам ОДУ с переменными коэффициентами. Для всех этих систем найдены полиномиальные первые интегралы и инфинитезимальные симметрии. Показано, что системы могут быть проинтегрированы в квадратурах с помощью алгоритма Ли. Однако они не удовлетворяют тесту Пенлеве, поскольку обладают подвижными точками ветвления.

2. Основная конструкция

Пусть имеется разложение

$ = $0 © М ф N

конечномерной алгебры Ли $ над К в прямую сумму (как векторных подпространств) подалгебры Ли $0 и двух векторных подпространств М и N, таких, что

• М, N - $0-модули;

• $0 + М, $0 + N - подалгебры в $.

Теорема. Пусть линейный оператор К задается формулой

К

где д = д-1 + д0 + д1, д-1 е N, д0 е $0, д1 е М, а-!, а0, а! е К. Тогда уравнение

5* д|*=0 = 50,

сводится с помощью конструкции Голубчика-Соколова к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (см. Введение).

Доказательство. Применим конструкцию из статьи [4]. Для этого возьмем в качестве $ прямую сумму трех экземпляров алгебры $, т.е.

$ = $©$©$.

В качестве $+ возьмем диагональную подалгебру алгебры $:

$+ = {(а,а,а)| а е $}, а в качестве С?- следующую подалгебру:

= {(а, Ь, с) | а е $0 + N Ь е $0 + М, с е $}.

Рассмотрим векторное подпространство

= {(а, Ь, c)| a е $0 + N Ь е $0 + М", c е N + }.

Тогда для О и О+, М выполнено условие (4), т.е. О = О+  М. Выполнение условия (5) для подалгебры О+ очевидно. А для М легко проверить, что

[(О+ пО-),М] с М.

Таким образом, из работы [4] следует, что уравнение

<!< = [«+.?]. «^о = Чо,

16)

где д е $, 5+ — проекция д на $+ параллельно М, сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Для завершения доказательства предложения остается взять д = (а1д, а-1д, а0д), где д е $. Заметим, что в данном случае д+ = (К(д), К(д), К(д)), где оператор К задается формулой (14). Теперь видно, что уравнение (16) для каждой компоненты имеет вид д* = [К(д),д], что совпадает с уравнением (15).

к

Следствие 1. Пусть $ = ф $ — 2-градуированная алгебра Ли и N

г=—к

М = ф Ог- Тогда выполнены все условия теоремы, и уравнение

г=1

1

а-1 ^ Чг + аоЧо + «і ^ Чг, Ч

г= - к

г=1

:і7)

сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Замечание 1. Из формулы (15) следует, что следы дг, г = 1, 2,..., являются полиномиальными первыми интегралами для динамической системы (15). Поскольку д не зависит от спектрального параметра, то количество этих интегралов не достаточно для полной интегрируемости (15).

Є

такого

что

Замечание 2. Для произвольного элемента д [д, $0] С $0, [д, М] С М, [д, N] С N, выполнено [д,К(д)] = К([д,д]). Следовательно,

дт = [д, д] является линейной симметрией для уравнения (15).

3. Примеры

Приведем два важных примера, вытекающих из следствия 1.

Пример 1. Рассмотрим на $ = з12 следующую градуировку:

О-1

0 0

V 0

Оо

т 0

0 —т

01

0 и 00

Тогда уравнение (17) может быть переписано в виде системы

т* = (а1 — а-1) и»,

и* = 2(а0 — а1) ит,

V* = 2(а-1 — а0) »т.

Данная система обладает линейной инфинитезимальной симметрией

0,

ит

и,

—V,

V

т

а также ожидаемым (см. замечание 1) полиномиальным первым интегралом

Н1 = 1 Тг(д2) = «V + ад2.

Заметим, что инфинитезимальная симметрия порождается преобразованиями « ^ к«, V ^ к-1у, ад ^ ад.

Систему (18) можно легко проинтегрировать разными способами. Продемонстрируем алгоритм Ли на этом простом примере. Чтобы применить этот алгоритм для системы ОДУ от п переменных, необходимо иметь в сумме п симметрий (включая исходную систему) и первых интегралов, таких, что: 1) все симметрии коммутируют друг с другом; 2) все первые интегралы являются первыми интегралами для каждой симметрии. В нашем случае мы имеем две симметрии и один интеграл Н1. Легко проверить, что = 0. Используя тождество Н1 = С, исключаем w и получаем

2(—0 — а1) и-\/С — «V, J «т = и,

2(а-1 — —0) ^х/С—ыу, |ут = —V.

Далее мы ищем замену переменных « = <^(«, V), V = ф(«,у) такую, что

^ = 1, Г^т =0,

ф = 0. |фг = 1.

Легко заметить, что функции <^,ф удовлетворяют следующим переопределенным системам уравнений в частных производных:

2((ао — —1) ^«и + (а-1 — —0) ^у)л/С — «V = 1,

^ V = 0,

2((—0 — а1)фи« + (а-1 — —0)фг V) V С — «V = 0, фи« — фг V = 1.

Отсюда находим все частные производные ^ и ф. Существование функций ^ и ф следует из совместности систем (19). Интегрируя, получаем следующий ответ:

агШ ^1 — иг

^(и,у) = 7---------—^ + къ

(—1 — а-1^ С

ф(и, у) = —0-11п (—1 — а-1)и +--------0----— 1п (—1 — а-1)у + к2.

—1 — ——1 —1 — ——1

Функции «(£) и у(£) находим из условия ф(«, у) = 0, <^(«,у) = £. Получаем решение исходной системы:

2

« = гк3 (еЬг(—1 — —-1)(^ — к1)) “1-“-1 ,

£ 2

V = — (еЬг(—1 — —_ 1)(^ — к1)) а-1-а1 ,

к3

ад = г Шг(—1 — —-1)(^ — к1),

где г, к1, к3 — произвольные постоянные. При этом г2 = С, а к3 связано с к1, к2, С довольно громоздкой формулой, которую мы здесь не приводим. Из формул для решения видно, что при общих значениях постоянных —^ функции «(£) и у(£) имеют в комплексной плоскости подвижные точки ветвления.

Ниже мы приводим не столь тривиальные примеры, связанные с алгеброй Ли зо(3,1). Интегрируемые гамильтоновы динамические системы с квадратичной правой частью, связанные с полупростыми алгебрами Ли, рассматривались в работах [5, 6, 7]. С точки зрения приложений одной из наиболее интересных является алгебра зо(4) или комплексноизоморфная ей зо(3,1). Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с этими алгебрами, изучались в [8, 9, 10]. Мы приводим два новых примера, связанных с алгеброй зо(3, 1). Системы из этих примеров, видимо, не являются гамильтоновыми. Мы нашли для них достаточное количество первых интегралов и инфинитезимальных симметрий, чтобы утверждать, что они локально интегрируемы с помощью алгоритма Ли (см. пример 1).

Пример 2. Возьмем 0 = {А € М.4х41 А* = —А}, где инволюция задается формулой А* = ТАТ-1, Т = е11 + е22 + е34 + е43, индекс £ означает транспонирование, а е^ - матричные единицы. Если выбрать Т = е11 + е22 + е33 — е44, то условие кососимметричности относительно инволюции задаст алгебру зо(3,1). Изоморфизм между 0 и зо(3,1) задается формулой [ = В-1 дВ, где д € 0, [ € зо(3,1), а матрица В равна

л/2 .

е11 + е22 + ^(е33 + е34 + е43 — е44).

На алгебре 0 можно задать 3-градуировку. Действительно, общий элемент алгебры имеет вид:

( 0 ад1 и1 ^1 ^

-ад1 0 «2 ^2

-V! -^2 ^2 0

^-«1 -«2 0

Легко проверить, что разложение алгебры £ в сумму компонент

£о = {^і(бі2 - Є2і) + ^2(в33 - Є44)} ,

£1 = {«1(е13 — е41) + «2 (е23 — е42)} ,

£-і = {г>1 (б14 - Є31) + ^2(в24 - Є32)}

снабжает £ структурой 3-градуированной алгебры Ли.

Уравнение (17) в данном случае можно переписать в виде системы:

™1* = («1 - а-1) («2^1 - «1^2),

«1* = (ао - а1) (м2ад1 - м1ад2),

^1* = (ао - а-1) (^2^1 + ^1^2),

^2* = (а1 - а-1) («1^1 + «2^2),

«2* = (а1 - ао) («1^1 + «2^2),

У2* = (а-1 - ао) (^1^1 - ^2^2).

Данная система обладает следующими линейными и квадратичной инфинитезимальными симметриями:

✓ ^1ті = 0, ✓ ^1т2 = 0, ✓ ^1тз = (-а1 + а-1) («1^1 + «2^2),

«1ті = -«1, «1т2 = «2, «1тз = (-ао + а1) («1^1 + «2^2),

< ^1ті = ^1, < ^1Г2 = г>2, / ^1гз = (ао - а-1) (^1^1 - ^2^2),

^2ті = 0, ^2т"2 = 0, ^2тз = (-а1 + а-1) («1^2 - «2^1),

«2ті = -«2, «2т^2 = -«1, £? 2 З = (а1 - ао) (м2ад1 - м1ад2),

£ 2 = г>2. £ 2 = -^1. і? 2 у = (ао - а-1) (^2^1 + ^1^2).

ЗАДАЧА ФАКТОРИЗАЦИИ С ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ Также система имеет два полиномиальных первых интеграла второй степени:

/і = и>іи>2 + «1^2 — г>іМ2, /2 = + 2Иі'Уі — + 2и2'У2.

Следы степеней д выражаются через данные два интеграла. Легко проверить, что все симметрии коммутируют друг с другом и что /і,/2 являются первыми интегралами для всех симметрий. Таким образом, алгоритм Ли также применим к данной системе.

Следующий пример отличается от предыдущих тем, что алгебра $ не является Z-градуированной.

Пример 3. Пусть $ — такая же алгебра, что и в примере 2. Рассмотрим

$0

( 0 w1 0 0

- w1 0 0 0

0 0 kw1 0

0 0 0 —kw1 У

М

/ 0 /W2 0 ^1 \

-/W2 0 0 ^2

— ^1 — ^2 W2 0

V 0 0 0 —W2/

( 0 0 «1 0

0 0 «2 0

0 0 0 0

— — «1 — «2 0 0

где к и / — параметры, такие, что к/ = 1. Ясно, что выполнены все условия теоремы. Тогда уравнение (15) можно переписать в следующем виде:

Wlt = аі----У—і ( —/Мі^і + «2^і — Мі^2 — /«2^2),

1 — к/

иі£ = (аі — ао) (кмі — и2)wl + (аі — а_і)(иі — /u2)w2,

< уц = (ао — а_і) (к^і + г>2^і,

W2^ = аі—а_і (мі^і — к«2^і + кмі^2 + «2^2),

1 — к/

«2* = (аі — ао) («і + к«2^і + (аі — а_і)(/мі + U2)w2,

^2* = (а_і — ао) (^і — к^^ь

Данная система обладает точно такими же линейными инфинитезимальными симметриями, что и система в примере 2. Также у нее существует квадратичная симметрия:

Wl1

(/2 + 1)(иі^і — к«2 ^і + к«і^2 + «2^2) к/- 1

«1т = (к2 + 1)(/и^1 — и^^ —

к

аі — а_ і

ао — аі + 2к/

+--------------------------------------------------------«^2,

аі — а і

И^2 +

г1 т = —

(а_і — ао)(/2 + 1)(кг>і + г>2^2

аі — а і

к2 + 2к/ — 1 , . к2/ — 2к — / .

W2r = -Л-і-(«! ^2 — «2^і)-----------—---- ----(«і^і + «2^2),

к/ 1

к/ 1

«27

: —(к2 + 1)(/и^1 + и^^ —

ао — аі + 2к/

----------------------------------------------------«1 w2

аі — а_ і

к

аі — а і

-«2 W2,

^2т =

(а_і — ао)(/2 + 1)(гі — кг2^2

аі — а і

Кроме того, система имеет следующие квадратичные первые интегралы:

/і = — 2иі^і — 2«2^2 + (kWl + W2)2 — (Wl + ^)2,

/2 = «2^1 — «1 ^2 — (kWl + W2)(Wl + /W2).

Заметим, что /1 является следом д2. Легко проверить, что алгоритм Ли применим и в данном случае.

Замечание 3. Заметим, что некоторые первые интегралы систем из примеров 1-3 не являются однозначными в комплексной плоскости. Например,

Н2 = иа°_а-1 Vа0 _а1

является первым интегралом для (18). Система из примера 2 обладает первым интегралом вида / = f («1, «2, гі г2). Легко проверить, что такой интеграл должен удовлетворять двум уравнениям вида X ^) = 0 и У ^) = 0, где X, У задаются следующими формулами:

( д д \ ( д д

Х = (аі — аоД «ідй-«2) + (а_і — ао) ( гідг г2д7

( д д \ ( д д

У = (аі — аоН Иідй—+ И2д^/ — (а_і — аоМ ^іди~ + г2

Решая эту систему из двух уравнений в частных производных, мы находим два простейших ее решения:

т {а-1 — ао «1 г1

/3 = 1^ --------------arctg--------агС^ —

V аі — ао «2 г>2

14 = (« + u2) “1-“° (^1 + v2) sin -------arctg-----arctg —

У а — ао u1 v1

Отметим, что количество полиномиальных симметрий и первых интегралов в примерах 1-3 равно количеству независимых переменных, и это дает возможность проинтегрировать данные системы в квадратурах с помощью алгоритма Ли. Мы не знаем, справедливо ли это для всех систем, описанных в теореме §2.

Благодарности

Авторы выражают большую благодарность И.З. Голубчику, В.В. Соколову за уделенное внимание к работе, А.И. Зобнину за внимание к работе и помощь при работе с текстом. Исследования О.С. были частично поддержаны грантом РФФИ 11-01-00341-a.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. B. Konstant Quantization and representation theory // Lect. Notes Ser. 1979. 34. P. 287-316.

2. Семенов-Тян-Шанский М.А. Что такое классическая r-матрица // Функц. анализ и его прил. 1983. T. 7, №4. С. 17-33.

3. Голод П.И. Гамильтоновы системы на орбитах аффинных групп Ли и нелинейные интегрируемые уравнения //В кн.: Физика многочастичных систем, Киев: Наукова Думка. 1985. Т. 7. C. 30-39.

4. Голубчик И.З., Соколов В.В. О некоторых обобщениях метода факторизации // ТМФ. 1997. T. 110, № 3. C. 339-350.

5. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Известия АН СССР. Сер. мат. 1978. T. 42, №2. C. 396-415.

6. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход. Ижевск: РХД. 2003. 351 с.

7. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: РХД. 2001. 384 с.

8. Веселов А.П. Об услових интегрируемости уравнения Эйлера на so(4) // ДАН СССР. 1983. T. 270, №6. С. 1298-1300.

9. Соколов В.В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so(4) // Доклады РАН. 2004. T. 394, № 5. С. 602-605.

10. V.V. Sokolov, T. Wolf New integrable quadratic Hamiltonians on so(4) and so(3,1) // Journal Phys. A: Math. Gen. 2006. 39. P. 1915-1936.

Рушания Ахъяровна Атнагулова,

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3а,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: rushania2009@yandex.ru

Ольга Владимировна Соколова,

Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова,

ГСП-1, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова,

119991, Москва, Россия

E-mail: Olga .Efimovskaya@gmail. com