Матрица влияния в задаче о балке на упругом основании

PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

Matrix оf influence in the problem of a beam on an elastic foundation Kazei I.

Казей Игорь Сергеевич /Kazei Igor — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, факультет фундаментальных наук, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва

Аннотация: в статье описана модель балки на упругом полупространстве, в которой сплошной контакт основания с балкой заменен дискретным контактом. Получена формула для элементов матрицы влияния, позволяющих вычислить вертикальные перемещения точек поверхности упругого полупространства.

Abstract: the article describes a model of beam on an elastic half-space, in which a continuous contact with the base of the beam is replaced by a discrete contact. Formula for matrix of influence was obtained, which allows to calculate the vertical displacements ofpoints on the surface of an elastic half-space.

Ключевые слова: балка, упругое полупространство, сплошной контакт, дискретный контакт, матрица влияния, вертикальные перемещения.

Keywords: beam, elastic half-space, solid contact, discrete contact, matrix of influence, vertical displacements.

Рассмотрим вопрос о расчете балки, лежащей на упругом полупространстве. Б. Н. Жемочкиным был предложен метод, значительно упрощающий решение задачи. Свой подход к проблеме он обосновал при помощи специальных дополнительных исследований. Согласно методу Б. Н. Жемочкина, непрерывная связь балки с основанием заменяется на дискретный (точечный) контакт с абсолютно жесткими стержнями (Рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема балки, лежащей на упругом полупространстве

Балка связана с упругим основанием только в отдельных точках, поэтому такое решение является приближенным. Подробное описание метода можно найти, например, в книге Б. Н. Жемочкина [1]. Одной из проблем при решении данной задачи является определение осадки основания W , которая находится с

использованием результатов теории упругого полупространства. Обозначим Wfe. осадку основания в точке

с номером к от действия единичной силы, приложенной в точке с номером 1 . Приложенная единичная сила не может предполагаться сосредоточенной, поскольку это дает бесконечно большие перемещения

Wfe. . Чтобы избежать указанной проблемы, распределяем приложенную силу равномерно по прямоугольнику с размерами: Ь0 х с (Ь = 2Ь - ширина балки, с = 2а - расстояние между стержнями). Исходя из решения задачи Буссинеска и проводя интегрирование по площади Ь х с, находят формулу для осадки Wfa. , имеющую вид:

1 -А' ~ Wu = ——' К,

кг т-^ кг

жЬс

8

Ры - некоторая функция, зависящая только от отношений а = Ь / а и от расстояний между

точками с номерами к и г, а Е и и - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала основания.

В [2] получена формула для вертикального перемещения точек равномерно загруженной прямоугольной области, затем на ее основе в [3] и [4] найдено выражение для функции ^ при произвольных а:

Р = 11п

а +1

I

+ и 1п

а +1

и

+ 1п( а + ^ )(а2 + ¿2),

где а = V ^ + 1, а = л/ + 1, ^ = / X, Ч = Уг / = 1 _ х/а , = 1 + х/а.

Найдем формулу для Ры - функции осадки поверхности основания в точке с номером к от единичной силы, действующей в точке с номером г. Пусть сила действует в точке с номером I и координатой X , которая отсчитывается от левого торца балки. Это означает, что

х = 2аг - а = а(2г -1).

Прогиб плоскости будем искать в точке с номером к и координатой

х, = а(2к -1), (к > г).

Расстояние между точками с номерами г и к :

х = хк - х = а(2к -1 - 2г +1) = 2а(к - г).

Обозначим ^ (к > г) и t2 (к > г) значения величин ^ и ¿2 при к > г, а ^ (к < г) и t2 (к < I) значения величин ^ и при к < г . С учетом сделанных обозначений получим

гх(к > г)= (1 - £)/х = (1 - х/а)/а = (1 - 2(к - г))/а = (1 - 2|к - г|)/а, ^(к > г) = (1 + %)/а = (1 + х/а)/а = (1 + 2(к - г))/а = (1 + 2|к - г|)/а.

С другой стороны

гх (к < г) = (1 - 2(к - г))/ а = (1 + 2(г - к))/ а = (1 + 2|к - г\)/ а = г2 (к > г), г2 (к < г) = (1 + 2(к - г))/а = (1 - 2(г - к))/а = (1 - 2|к - г\)/а = ^ (к > г).

Таким образом, должны выполняться равенства ^ (к > г) = ¿2 (к < г) и ¿2 (к > г) = ^ (к < г).

Следовательно, можно принять

^ = (1 - 2к - г|)/ а, ^ = (1 + 2к - г|)/ а.

Получим выражение для осадки поверхности основания . при к > г

Рш = t1 (к > г )Ь

и

а +1

Ч

Для случая к < г имеем

+

tг (к > г )л

и

а +1

^

^ = t2 (к < г )1п

а +1

^

+ ^ (к < г )!п

а +1

ti

+ 1п[(а + ^ (к > г ))(а + ^ (к > г))].

+ /и[(а2 + ^ (к < г ))(а + ^ (к < г))]

В результате получим, что при к> г и к < г можно пользоваться одной формулой для Р..

F = t in

a +1

+ tjn

a +1

+ in[(a + tj Xa +12)]

tn =

ГДе X - , , „ . . ..

Таблицы элементов матрицы влияния ) при некоторых различных значениях X = Ь / а

приводятся различных справочниках. Формула (2) позволяет вычислить при любых значениях X .

Литература

1. Жемочкин Б. Н. Теория упругости. М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1957. 256 с.

2. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 492 с.

3. Казей И. С. Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании // Вестник науки и образования, 2015. № 5 (7). С. 6-8.

4. Казей И. С. Об определении перемещения точек границы упругого полупространства при равномерном нагружении прямоугольной области // Проблемы современной науки и образования, 2015. № 8 (38). С. 8-12.

t

t

2

Physical processes acting in biological tissue during irradiation with high-frequency

electromagnetic radiation Alekseev A.1, Zakharov Yu.2, Zakharov M.3, Smirnov A.4, Tolkacheva E.5

'Алексеев Андрей Андреевич / Alekseev Andrey — студент; 2Захаров Юрий Борисович / Zakharov Yuri — кандидат технических наук, доцент; кафедра физики и информационных систем,

физико-технический факультет, Кубанский государственный университет; 3Захаров Михаил Юрьевич / ZakharovMihail — доцент, кафедра математики (и информатики), Краснодарское высшее военное авиационное училище летчиков; 4Смирнов Алексей Борисович /Smirnov Aleksej — системный администратор, ООО «Статус»; 5Толкачева Елена Георгиевна / Tolkacheva Elena — ассистент, кафедра прикладной математики, Кубанский государственный университет, г. Краснодар

Аннотация: в статье описывается более глубокое понимание сути процессов, происходящих в биотканях при облучении высокочастотным ЭМП, а именно индуктотермическом воздействии, на основании известных физических законов. В конце статьи анализируется положительное влияние ЭМП, а также возможные негативные последствия при чрезмерном облучении ЭМП высокой частоты.

Abstract: this article describes the deeper understanding of processes, acting in biological tissue during the irradiation with high-frequency electromagnetic radiation, especially inductothermical method of therapy, based on well-known physical laws. Positive effect of electromagnetic field and possible negative repercussion of excessive electromagnetic field irradiation were described at the final part of this article.

Ключевые слова: электромагнитное излучение, переменное электрическое поле, переменное магнитное поле, индуктотермия.

Keywords: electromagnetic radiation, variable electric field, variable magnetic field, inductothermy.

10