Чувство числа и успешность в обучении математике у школьников с разным уровнем математических способностей

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 159.9

ЧУВСТВО ЧИСЛА И УСПЕШНОСТЬ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ У ШКОЛЬНИКОВ С РАЗНЫМ УРОВНЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

СПОСОБНОСТЕЙ

О.Н. ОВЧАРОВА1 2*

1 ФГНУ «Психологический институт» РАО, Москва;

2 ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет», Томск, Россия

В статье представлены результаты исследования чувства числа, интеллекта и математической успешности в трех группах школьников с разным уровнем математических способностей. В исследовании приняли участие старшеклассники (N=691) из трех типов школ: 1) профильная физико-математическая школа (со строгим отбором); 2) профильная физико-математическая школа (с минимальным отбором) и 3) общеобразовательная школа (без отбора). Результаты исследования показали значимые различия между этими группами по чувству числа, независимо от их различий по интеллекту.

Ключевые слова: чувство числа, интеллект, математическая успеваемость, индивидуальные различия.

Введение

По мнению ряда современных исследователей, феномен «чувства числа» (number sense) может лежать в основе формирования математических навыков (Halberda J. et al., 2008, 2012) [12, 13]. Так, развитое чувство числа может определять гибкость в оперировании числами, понимание базовых количественных и числовых понятий или отношений между числами. Этот навык способствует усвоению более сложных числовых и математических понятий (Gallistel

C. & Gelman R., 1992 [8]; Gersten R. & Chard

D., 1999 [9]; Butterworth B., 2005 [4]). Несмотря на то, что в настоящее время

не существует общепринятого определения этого понятия (Berch D., 2005) [2], психологический конструкт «чувство числа» можно определить как интуитивное пред-

© Овчарова О.Н., 2013

* Для корреспонденции:

Овчарова О.Н.

ФГНУ «Психологический институт» РАО 125009 Москва, ул. Моховая, 9, стр. 4

ставление о числах и числовом материале (Dehaene S., 1997) [6]. Примерное представление о количестве служит первичным способом переработки информации, на основе которой формируется числовая система. В повседневной жизни при оценке количественных соотношений мы часто употребляем приблизительные понятия «больше» или «меньше», что не требует использования точной символьной системы и фактического подсчета. Процесс понимания чисел не сводится к простому узнаванию их символов и обозначений: прежде чем судить о размере или величине символов, дети должны уметь сравнивать количества/величины (с точки зрения «больше» и «меньше»). С развитием способности к ментальной числовой репрезентации меньшие по значению числа располагаются перед большими по значению на ментальной (мысленной) числовой линии (Butterworth В., 2005) [4].

Уже с раннего возраста дети способны различать количества по признаку «боль-ше»/«меньше»: в 6 месяцев дети способны различать два набора визуальных или зву-

ковых элементов в соотношении 1:2 (Ыр1ои 1.Б. & Бре1ке Б., 2003 [14]; Хи Б. & Бре1ке Б., 2000 [18]). Со временем дети овладевают способностью более точно дифференцировать числовые величины: в 9 месяцев соотношение уменьшается до 2:3 (Ыр1ои I. & Бре1ке Б., 2003) [14], к 3-6 годам - до 3:4 и даже 5:6 (Ыа1Ьегёа I. & Feigenson Ь., 2008) [13]. У взрослых развитие навыка дискриминации между двумя наборами элементов доходит до соотношения 9:10 (Ыа1Ьегёа I. е! а1., 2008) [13].

Умение считать, в частности, базируется на взаимосвязи приобретенных символьных числовых систем с несимволическими числовыми способностями (БеЬаепе Б., 1997 [6]; Feigenson Ь., БеЬаепе Б., & Бре1ке Б., 2004 [7]). Целый ряд исследований показал, что проблемы в оперировании приблизительными величинами связаны с трудностями в освоении математики (ВиПетогШ В., 1999, 2010 [3, 5]; Маггоссо М., Feigenson Ь., & Ыа1ЬеМа I., 2011 [15]). Таким образом, понимание механизмов несимволической числовой обработки может способствовать пониманию механизмов обучения математике.

В исследовании с участием большого количества респондентов (10000 человек) разных возрастов (от 11 до 85 лет) было найдено, что способности точно дифференцировать числовые величины постепенно улучшаются в ходе развития до 30 лет, а затем постепенно снижаются (Ыа1Ьегёа I. е! а1., 2012) [12]. В этом и ряде других исследований были выявлены большие индивидуальные различия в чувстве числа и показана его связь с математической успешностью в разных возрастах (Ыа1Ьегёа I. & Feigenson Ь., 2008 [13]; Маггоссо М., Feigenson Ь., & ЫаШегёа I., 2011 [16]). Однако в других исследованиях не обнаружены связи математической успешности с чувством числа: у детей дошкольного возраста (Бo1tësz Е е! а1., 2010) [17] и у взрослых людей (вПтоге С., 2011) [10]. Причины подобных противоречивых результатов могут быть связаны с возраст-

ными и другими особенностями выборок. Например, связи могут присутствовать или отсутствовать в группах, различающихся по математическим способностям.

Целью нашего исследования является анализ показателей чувства числа и структуры его взаимосвязей с интеллектом и математической успеваемостью в группах школьников, различающихся по уровню математических способностей.

Методика

Выборка. В исследовании приняли участие школьники 10-11 классов (N=691) в возрасте 15-17 лет из трех типов школ: 1) профильная физико-математическая школа (со строгим отбором); 2) профильная физико-математическая школа (с минимальным отбором) и 3) общеобразовательная школа (без отбора). В школы первой группы учащиеся отбираются на основе целого ряда критериев, таких как высокие показатели на региональных, всероссийских и международных олимпиадах по математике, физике и информатике и успешное выполнение вступительных испытаний (контрольная работа по математике и физике, обучение в летней математической школе, экзамены). В школы второй группы зачисляются дети на основе результатов только одной контрольной работы. В школы третьей группы учащиеся зачисляются без вступительных испытаний.

Методики. Для оценки способности дифференцировать величины без точного подсчета использовалась адаптированная компьютерная методика «Чувство числа» (Ыа1Ьегёа I. е! а1., 2008) [13]. На экране компьютера предъявлялись множества желтых и синих точек, различающиеся по размеру, количеству и их соотношению. Участники должны были оценить, какие точки (желтые или синие) преобладают на экране. Выбор осуществлялся нажатием на соответствующую клавишу компьютера. Стимуль-ный материал содержал 150 статичных изображений желтых и синих точек (от 5

до 21 каждого цвета), в разных соотношениях. Время предъявления было одинаковым (400 мс) для всех участников. Основная серия теста предварялась инструкцией и тренировочной серией, которую можно было пройти несколько раз. Оценивалась точность ответов и время реакции, а также соотношение желтых и синих точек в каждом предъявлении.

На основании данных показателей рассчитывалась новая переменная - доля Ве-бера, характеризующая точность чувства числа. Ввиду низкой чувствительности обычной процедуры удаления выбросов (±3 стандартных отклонения) был проведен ряд дополнительных процедур. В частности, показатели чувства числа (доля Вебера) были логарифмированы, что привело к увеличению различий дисперсии. Логарифмированные показатели были стандартизированы.

Из полученных величин были удалены «замаскированные» выбросы и значения, превышающие показатель 1,0 (см. На1Ьегёа й а1., 2008, 2012) [12, 13]. После удаления выбросов дальнейший анализ проводился с использованием первичного показателя чувства числа (доля Вебера).

Для оценки уровня общего интеллекта школьников использовались адаптирован-

ные версии теста «Стандартные прогрессивные матрицы» Равена (Равен Дж., 2002) [1]. Часть учащихся выполняла полную версию, состоящую из 60 заданий - по 12 заданий пяти субтестов (А, В, С, Б, Е).

Другая часть учащихся выполняли сокращенную и усложненую версию, состоящую из 30 заданий: нечетные задания субтестов С, Б, Е - по 6 заданий в каждом субтесте - и все 12 заданий субтеста Б. В анализ данных двух версий были включены только дублирующие друг друга задания (нечетные задания субтестов С, Б, Е), в количестве 18 заданий.

Для оценки математической успешности использовались годовые оценки по алгебре и геометрии (по 5-балльной шкале). В группе «Физмат: строгий отбор» также использовались годовые оценки по математическому анализу. Необходимо иметь в виду, что оценка «1» практически не используется.

Кроме того, оценки шкалируются внутри школы, что означает различный вес оценок в разных школах: например, оценка отлично (5) в специализированной физико-математической школе не равна той же самой оценке в общеобразовательной школе.

Тип школы

Показатели Физмат: строгий отбор Физмат: минимальный отбор Общеобразовательные школы

М 8Б М 8Б М 8Б

Чувство числа

Алгебра 4,06

Геометрия 4,07

Математический анализ 4,02 (0,78) - -

Интеллект 15,87

Таблица 1

Средние значения и стандартные отклонения по чувству числа, математической успеваемости и интеллекту в трех группах

Результаты и обсуждение

В таблице 1 представлены средние баллы и стандартные отклонения показателей общего интеллекта, чувства числа (доля Вебера) и по всем анализируемым школьным дисциплинам.

Поскольку группы «Физмат: строгий отбор» и «Общеобразовательные школы» включали в себя учащихся из нескольких школ, на первом этапе анализа оценивалась однородность дисперсий внутри исследуемых групп. Результаты однофак-торного дисперсионного анализа (табл. 2.) показали, что в группе «Общеобразовательные школы» дисперсии показателей по тесту «Чувство числа» не гомогенны между учащимися из разных школ. Вместе с тем, данные различия объясняют только 5% вариативности показателя.

Аналогичная проверка однородности дисперсий проводилась и для показателей общего интеллекта. Статистики теста Левина свидетельствуют о наличии в каждой исследуемой группе различий дисперсий показателей общего интеллекта у учащихся из разных школ. Данные различия объясняют 27% вариативности показателя обще-

го интеллекта для группы «Физмат: строгий отбор» и 35% для групп «Общеобразовательные школы». Дальнейший анализ общего интеллекта показал, что различия в средних внутри исследуемых групп могут быть связаны со значимыми различиями в дисперсиях, которые, в свою очередь, могут быть связаны с количеством участников из каждой школы.

Дальнейший анализ проводился на трех группах без учета принадлежности к конкретной школе внутри группы. В таблице 3 представлены коэффициенты корреляции Спирмена между показателями чувства числа (доля Вебера), интеллекта и годовыми оценками по математическим дисциплинам (алгебра, геометрия, математический анализ).

Результаты корреляционного анализа (см. табл. 3.) выявили значимую корреляцию чувства числа с годовой оценкой по геометрии только в группе «Физмат: строгий отбор». Отрицательное значение корреляции обьясняется тем, что низкие показатели чувства числа (доля Вебера) индексируют высокую точность. Коэффициенты корреляции с остальными показателями незначимы во всех анализируемых группах.

Таблица 2

Результаты дисперсионного анализа показателей общего интеллекта и чувства числа внутри каждой группы школьников

Тип школы Показатели Критерий значимости Левина Р-статистика №) Критерий Фишера Размер эффекта

Физмат: строгий отбор Доля Вебера 0,594 0,522 1,488 0,009

Общеобразовательные школы Доля Вебера 0,006 7,806 8,306* 0,053

Физмат: строгий отбор Интеллект 0,000 19,408 66,037* 0,271

Общеобразовательные школы Интеллект 0,003 6,041 61,727* 0,346

Примечание: * р<0,05

Таблица 3

Коэффициенты корреляции показателей чувства числа с годовыми оценками и общим интеллектом у исследуемых групп

Показатели Чувство числа

Физмат: строгий отбор Физмат: минимальный отбор Общеобразовательные школы

Алгебра 0,033

Геометрия 0,188*

Математический анализ 0,161 (N=95) - -

Интеллект -0,108

Примечание: * р<0,05

Таблица 4

Коэффициенты корреляции показателей общего интеллекта с годовыми оценками учащихся из трех типов школ

Показатели Общий интеллект

Физмат: строгий отбор Физмат: минимальный отбор Общеобразовательные школы

Алгебра 0,097*

Геометрия 0,057^=213) -0,010

Математический анализ 0,053 (N=95) - -

Примечание: * р<0,05

В таблице 4 представлены коэффициенты корреляций показателей общего интеллекта с показателями академической успеваемости (алгебра, геометрия, математический анализ).

Статистики корреляций свидетельствуют о наличии связи общего интеллек-

та со всеми показателями математической успеваемости у группы «Общеобразовательные школы». В остальных исследуемых группах взаимосвязи показателей интеллекта и успеваемости не выявлено, за исключением слабой связи с оценкой по алгебре у группы «Физмат: строгий отбор».

На следующем этапе анализа была проведена оценка различий по показателям чувства числа (доля Вебера) и интеллекта между тремя группами школьников. Результаты однофакторного дисперсионного анализа выявили статистически значимые различия между тремя группами в показателях дисперсий и средних значениях показателя чувства числа и интеллекта (табл. 5).

Парные сравнения с использованием критерия Бонферрони свидетельствуют о том, что как по показателю чувства числа, так и по показателям общего интеллекта различия значимы между всеми тремя группами. Различия между группами и однородность дисперсий разных школ внутри групп по показателю чувство числа особенно интересны, поскольку в отборе в учебные учреждения не используется диагностика уровня чувства числа. Кроме того, отсутствие значимых корреляций между чувством числа и общим интеллектом говорит о том, что наблюдаемые различия между группами в чувстве числа не обьясняются уровнем интеллекта.

Следовательно, результаты исследования установили значимые различия по показателям чувства числа и общего интеллекта между всеми тремя группами:

лучшие результаты наблюдаются в группе математически одаренных школьников, а худшие - в группе из общеобразовательных школ. Эти результаты подтверждают связь чувства числа и математической успешности, обнаруженную в целом ряде исследований (НаШегёа I. е! а1., 2008, 2012 [12, 13]; Маггоссо М., Feigenson Ь., & На1Ьегёа I., 2011 [16]). При этом отсутствие в данном исследовании значимых корреляций между показателями чувства числа (доля Вебера) и годовыми оценками по математическим дисциплинам, на первый взгляд, могут показаться парадоксальными.

Однако, как обсуждалось выше, 4-балльная, а часто даже 3-балльная шкалы, реально используемые в школе, недостаточно четко дифференцируют уровень математических знаний и успешности школьников, что, возможно, объясняет отсутствие или небольшие значения этих связей (г=0,19 для геометрии в группе математически одаренных). Тем не менее сам способ отбора учеников в группу со строгим отбором дает уверенность в высоком уровне их математических способностей в целом, превышающих уровень способностей детей как из группы с минимальным отбором, так и группы без отбора.

Таблица 5

Дисперсионный анализ по показателям чувства числа и интеллекта между тремя группами

Показатели Критерий значимости Левина F -статистика

Чувство числа (доля Вебера) 0,000 28,856 32,745* 0,108

Интеллект 0,000 22,323 174,288* 0,355

Примечание: * p<0,05

Несмотря на выявленные в исследовании различия в показателях чувства числа у школьников с разным уровнем математических способностей, дизайн данного исследования не позволяет установить направление причинно-следственных связей между чувством числа и математической успешностью. С одной стороны, эти различия могут быть обусловлены тренировкой (например, уровнем сложности математических задач и временем, посвященным изучению математики). С другой стороны, ранние различия в чувстве числа могут вносить вклад в последующие различия в математической успешности.

К сожалению, использование годовых оценок как показателя математической успешности не позволило выявить потенциальные различия в связях между интеллектом, чувством числа и математической успешностью в группах, различающихся по уровню математических способностей. Тенденции к подобным различиям в данном исследовании можно наблюдать в связи чувства числа с успешностью в геометрии только в группе «Физмат: строгий отбор». Дальнейшие исследования этой проблемы требуют использования более точных оценок разных аспектов математической успешности.

Заключение

Таким образом, в результате исследования чувства числа, интеллекта и математической успешности в трех группах школьников с разным уровнем математических способностей были показаны значимые различия между этими группами по чувству числа, независимо от их различий по интеллекту. При этом сравнивались группы старшеклассников из трех типов школ: 1) профильная физико-математическая школа (со строгим отбором); 2) профильная физико-математическая школа (с минимальным отбором) и 3) общеобразовательная школа (без отбора).

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования (№ 11.G34.31.0043).

Литература

1. Равен Дж. К., Корт Дж. Х., Равен Дж. Руководство к Прогрессивным матрицам Раве-на и Словарным Шкалам. Раздел 3. Стандартные прогрессивные матрицы (включая параллельные и плюс версии): Пер.с англ. - М.: «Когито Центр», 2002. - 144с.

2. Berch D.B. Making sense of number sense implications for children withmathematical disabilities // Journal of Learning Disabilities. -2005. - Vol. 38(4). - P. 333-339.

3. Butterworth B. Foundational numerical capacities and the origins of dyscalculia // Trends in Cognitive Sciences. - 2010. - Vol. 14(12). - P. 534-541.

4. Butterworth B. The development of arithmetical abilities // Journal of Child Psychology and Psychiatry. - 2005. - Vol. 46(1). - P. 3-18.

5. Butterworth B. The mathematical brain. -London: Macmillan, 1999.

6. Dehaene S. The number sense. - New York: Oxford University Press, 1997.

7. Feigenson L., Dehaene S., & Spelke E. Core systems of number // Trends in Cognitive Sciences. - 2004. - Vol. 8(7). - P. 307-314.

8. Gallistel C.R., Gelman R. Preverbal and verbal counting and computation // Cognition. -1992. - Vol. 44(1-2). - P. 43-74.

9. Gersten R., Chard D. Number sense: Rethinking arithmetic instruction for students with mathematical disabilities // Journal of Special Education. - 1999. - Vol. 33(1). - P. 18-28.

10. Gilmore C. Non-verbal number acuity correlates with symbolic mathematics achievement: but only in children // Bull. Rev. - 2011. -Vol. 18(6). - P. 1222-1229.

11. Halberda J., & Feigenson L. Developmental change in the acuity of the «Number Sense»: The Approximate Number System in 3-, 4-, 5-, and 6-yearolds and adults // Developmental Psychology. - 2008. - Vol. 44(5). - P. 14571465.

12. Halberda J., Ly R., Wilmer J.B., Naiman D.Q., & Germine L. Number sense across the lifespan as revealed by a massive Internet-based sample // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2012. - Vol. 109(28). - P. 11116-11120.

13. Halberda J., Mazzocco M.M.M., & Feigenson L. Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement // Nature. - 2008. - Vol. 455(7213). - P. 665-668.

14. Lipton J.S., & Spelke E.S. Origins of Number Sense large-number discrimination in human Infants // Psychological Science. - 2003. - Vol. 14(5). - P. 396-401.

15. Mazzocco M.M., Feigenson L., & Halberda J. Impaired acuity of the approximate number

system underlies mathematical learning disability (dyscalculia) // Child Development. -2011. - Vol. 82(4). - P. 1224-1237.

16. Mazzocco M.M., Feigenson L., & Halberda J. Preschoolers' precision of the approximate number system predicts later school mathematics performance // PLoS ONE. - 2011. -Vol. 6(9). - e23749.

17. Soltesz F., Szucs D., & Szucs L. Relationships between magnitude representation, counting and memory in 4-to 7-year-old children: A developmental study // Behavioral and Brain Functions. - 2010. - Vol. 6(13). - P. 1-14.

18. Xu F., & Spelke E.S. Large number discrimination in 6-month-old infants // Cognition. -2000. - Vol. 74(1). - B1-B11.

NUMBER SENSE AND MATHEMATICAL ACHIEVEMENT IN HIGH SCHOOL STUDENTS WITH DIFFERENT LEVELS OF MATHEMATICAL ABILITY

O.N. OVCHAROVA1' 2

1 Psychological Institute of the Russian Academy of Education, Moscow, Russia;

2 National Research Tomsk State University, Tomsk, Russia

The paper reports results of an investigation into number sense, general intelligence, and mathematical achievement in three groups of high school students selected for different levels of mathematical ability. Students (N=691) from 3 types of schools took part in the study: 1) specialised mathematics-physics school (with strict entry criteria); 2) specialised mathematics-physics school (with minimal entry criteria) and 3) standard state school (unselected; no entry criteria). The results showed statistically significant differences in number sense across the three groups, independent of any observed general intelligence differences.

Keywords: number sense, intelligence, mathematical achievement, individual differences.