Канонические представления на сфере с действием псевдо-ортогональной группы

Канонические представления на сфере с

«_» __________ «_» ___________________________________1

действием псевдо-ортогональнои группы 1

© А. А. Артемов

Ключевые слова: канонические представления, псевдо-ортогональная группа, преобразование Березина

Обобщенная группа Лоренца G = SO0(1, n—1) действует на единичной сфере Q в R” (линейно на лучах). Это действие имеет 3 открытых орбиты. Мы разлагаем не неприводимые компоненты канонические представления R\v, AgC, v = 0,1, группы G и разлагаем сопутствующую форму Березина.

The generalized Lorentz group G = SO0(1,n-1) acts on the unit sphere Q in Rra (linearly on rays). This action has 3 open orbits. We decompose the canonical representations R\v, AgC, v = 0,1, of the group G into irreducible constituents and decompose the accompanying Berezin form.

Настоящая статья посвящена новой теории в гармоническом анализе: изучению канонических представлений на G-пространствах. Эта теория была начата в работах Молчанова, см. [5], [6], [4].

Канонические представления группы G определяются следующим образом.

Пусть G - группа, содержащая группу G (группа G называется надгруппой) такая, что группа G выделяется из G некоторой инволюцией. Пусть P - параболическая подгруппа группы G такая, что P П G = H. Рассмотрим серию представлений R группы G, индуцированных характерами (одномерными представлениями) подгруппы Р. Представления R нумеруются комплексным параметром А и еще, может быть, некоторым дискретным параметром. Как правило, они неприводимы.

Они действуют в функциях на некотором компактном многообразии П (многообразии флагов для G). Во-первых, каноническими представлениями группы G мы называем ограничения представлений R на группу G. Многообразие П содержит несколько открытых G-орбит. Поэтому второй вариант состоит в том, что каноническими представлениями мы называем ограничение канонических представлений в первом смысле на какую-нибудь одну G-орбиту G/H. Оба варианта должны быть предметом изучения. Первый из них приводит к более естественной и прозрачной теории.

Именно этот вариант рассматривается в настоящей работе.

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, 06-06-96318 р_центр_а,

Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

В указанных работах Молчанова исследовались псевдоортогональные группы С = ЯО0(1, п — 1) с надгруппой С = ЯО0(1, п), тогда П есть сфера в К™, а также С = ЯО0(1, 2) с надгруппой С = ЯО0(2, 2), тогда П есть тор 51 х 51.

Мы рассматриваем случай, когда С = ЯО0(1,п — 1), С = ЯЬ(п,К) и П есть сфера в К™,

§ 1. Обобщенная группа Лоренца. Ее представления, связанные с конусом

Возьмем в пространстве К™, п ^ 4, билинейную форму [х, у] = —Х1У1 + Х2У2 + ... + х™у™.

Пусть I - матрица этой формы, т.е. I = сііа§{ — 1, 1,.. , 1}. Мы рассматриваем группу С = ЯО0(1, п— 1), это - связная компонента единицы группы линейных преобразований д пространства К™, сохраняющих форму [х,у], т.е. [хд,уд] =

[х, у]. Последнее означает, что д = 1д'-11, штрих - матричное транспонирование.

Мы считаем, что С действует в К™ справа: х ^ хд, в соответствии с этим мы записываем вектор в виде строки.

Пусть С есть конус [х,х] = 0, х = 0. Группа С действует транзитивно на каждой из его двух пол: С + = {х1 > 0} и С- = {х1 < 0}.

Возьмем сечение 5 конуса С плоскостью х1 = 1. Оно состоит из точек

5 = (1, 52,..., ^™), в2 + ... + в"™ = 1, так что оно есть сфера в К™-1. Пусть вв -евклидова мера на 5:

вв2...ввк ...вв™

вв =

\вк \

и Дя - оператор Лапласа-Бельтрами на 5.

Пусть а Є С. Представление Т, группы С действует на Р(5) так

(т, (д)р) м = р( в)-) <вд)Т.

[Для многообразия М через Р(М) обозначается пространство Шварца комплекснозначных функций с компактным носителем класса С^ с обычной топологией, а через 'О'(М) обозначается пространство обобщенных функций на М - антилинейных непрерывных функционалов на Р(М).]

Эрмитова форма

(•Ф,Ф)я = у ф(в) Р(в) вв я

инвариантна относительно пары (Т,,Т2-п-,), т.е.

(Т, (g)Ф, ^)я = (ф, Т2-™-, (д-1)^)я (1.1^

(это следует из вв = (вд)1-™вв, где в = вд/(вд)1).

Определим оператор Л^а на D{S):

Ay){s) = / ( - [s,t])2-n-(T у{t) dt^

Интеграл абсолютно сходится при Ке а < (2 — п)/2 и может быть продолжен мероморфно во всю плоскость а. Он имеет простые полюсы в точках а Є (2 — п)/2 + Н, N = {0,1, 2,...}.

Вообще, все интегралы здесь и в будущем понимаются как аналитические продолжения (мероморфные) по параметрам из области абсолютной сходимости.

Оператор А, сплетает представления Т, с Т2-™-,:

Т2-™-,(д) а, = а, т,(g), д Є С.

Пусть К - подгруппа в С, состоящая из элементов к, коммутирующих с I, она сохраняет координату х1. Эта подгруппа есть максимальная компактная подгруппа группы С, она изоморфна ЯО(п—1).

Ограничение представления Т, на К есть представление Я подгруппы К вращениями в Р(5). Оно разлагается в прямую сумму (свободную от кратностей) неприводимых представлений , дествующих в пространствах Н(™-1\ І Є N. Пространство Н™-1 состоит из ограничений на 5 однородных гармонических многочленов от х2, ...х™ степени І.

Пространства Н(™ 1) являются собственными подпространствами оператора А, и оператора Дя, собственное значение оператора Дя на Н(™ 1) равно щ = І (3—п—І).

Композиция операторов А, и А2-и-а есть скалярный оператор

1

А2—™—, А,

8пи(а) ’ где

ш

(как мы увидим позже, ш(а) есть "мера Планшереля").

Представление Та неприводимо для всех а, кроме а Е N и а Е 2—n—N. Если Та неприводимо, то Та эквивалентно T2-n-a (посредством Ла или его вычета).

Представление Та может быть продолжено на D'(S) с помощью (1.1), то же относится к оператору Ла.

Имеются 3 серии неприводимых унитаризуемых представлений Та и их подфакторов:

(1) непрерывная серия: Та, а = 2—n+ip, р Е R, скалярное произведение есть (ф,^)я;

(2) дополнительная серия: Та, 2 — п<а< 0, скалярное произведение

есть const  {Лаф, ф)3;

(3) дискретная серия: тГа\ г Є Н, представления ТУ"1 действуют в

фактор-пространстве 'Э(5)/Ег где Ег = Н^1-1 +Н(™-1) + ...+Н(™-1, скалярное

произведение индуцируется формой (Агф,^)я,

А = 1 А •

А г{2-й \ А;

1^-2 а)

представления Т^ эквивалентны представлениям Т2^},п_г, действующим в подпространстве ^ Н™-1, І ^ г + 1.

Назовем расширенной дискретной серией совокупность представлений Т^, г Є Н, дискретной серии вместе с представлениями Тг дополнительной серии с целыми г (тогда (2 — п)/2 < г < 0).

§ 2. Гармонический анализ на гиперболоидах

Мы рассматриваем в Rn однополостный гиперболоид X и двуполостный гиперболоид У определенные уравнениями [x, x\ = 1 и [x, x] = —1, соответственно.

Гиперболоид У распадается на две полы У + = {xi ^ 1} и У- = {xi ^ —1}. Каждая из них есть пространство Лобачевского размерности п — 1.

Группа G действует (линейно) на X, У +, У- транзитивно. Пусть H есть стационарная подгруппа точки x0 = (0,..., 0,1) Е X. Она изоморфна SO0 (1, п—2). Стационарная подгруппа точки у0 = (1, 0,..., 0) Е У+ есть K = SO(n—1).

Многообразия X, У +, У- являются симметрическими пространствами группы G. Многообразие X - псевдо-риманово, многообразие У± - риманово. Ранг всех этих пространств равен 1.

Метрика на гиперболоидах, инвариантная относительно G, равна const  [dx,dx\. Мы берем метрику ds2 = —[dx,dx] на X и ds2 = [dx,dx] на У. Соответствующие меры имеют одинаковое выражение:

dx1...dxk ...dxn dx = —

\Хк \

Пусть М = X, У +, У-. Обозначим через Цм представление группы С в функциях на М:

(им(9)^ (х) = f (х9)•

Оно сохраняет скалярное произведение из Ь2:

{fЛ)м = J f(x) h(x) dx, м

т.е.

{Uм

Следовательно, представление Uм, действующее на L2(M, dx) унитарно (квазирегулярное представление).

Представление Цм на 'О(М) может быть расширено до представления Цм (то же обозначение) на ’Р'(М) посредством (2.1).

Обозначим через 8(х) и 8(у) дельта-функции на X и на У + , сосредоточенные

в точках х0 и у0 соответственно:

{8(x),f }х = f (х0), {8(У),f }у + = f (у0).

Гармонический анализ на X, У + , У- эквивалентен разложению этих дельтафункций по сферическим функциям.

Для X мы имеем

СЮ

8 = / „(а) У Ф^ йр + V Ф^),

7 ^ ст=(2-п)/2+гр '

„ £=0,1 ( )/ Р т>(2-п) /2

где „

^ = 2-з ,2-п (_1} -р г(г+_±^ д^г+2_£^

е = г + 1, здесь и дальше знак сравнения означает сравнение по модулю 2. Ряд отвечает представлениям расширенной дискретной серии.

Сферические функции Фа,£, Фг-Й) (это - обобщенные функции) определяются следующим образом. Подпространство в О'(Б), состоящее из Н-инвариантных (функций в представлении Та, имеет размерность 2. Базис образован обобщенными функциями 0+£(з) = [х0, 8}а,£ = вП’£, е = 0,1, для а = _т _ 1 и обобщенными функциями (вп)-т-1, 8(т')(вп) для а = _т _ 1, т N. Здесь 8(Щ) - дельтафункция Дирака на вещественной прямой, и мы используем обозначение

^<г,£ = ща (^п^)£, щ ^ ^, ^ = о.

Функция 0+£ порождает преобразование Пуассона Ра,£ : V(Б) ^ С):

(РаМ(х) = (Та (д-1)0+£^Ь

= / [х,8\а,£ (р(в) йз, х = х°д.

Js

Оно сплетает представления Т2-п-а и Цх. Сферическая функция Фа£ есть преобразование Пуассона Н-инварианта 0+-п-а£, а сферическая функция Ф^, г <Е Ъ} г > 2-п,

есть:

ф№ =_______________1____________ ф

г Г^ <а+1+£^ Г^ 3—п—<т+£ А а,£

Для У + мы имеем:

а=г, £=Г+1

8 = / 2„(а) Фс

йр,

а=(2-п)/2+гр

оо

где

сферическая функция Фст порождается K-инвариантом, который есть функция, тождественно равная 1, обозначим его для единообразия в-£, а именно,

(У) = / [-V,s]a ds.

JS

Оператор Aa переводит H-инвариант в±£ в H-инвариант в±_п_а £ с множителем

A в±£ = j ±(е,е)в±-п-а, £

j ±

J

+ / \ / . / П \  ПП

/Г (а,е) = (-1) sin (а + ~2)П - sin — =

п . а + е а + е + п

= 2 sin—2— п cos-------2----п,

/-(а,е) = — sin ап =

а + е а — е ,,

= —2 sin—2— п cos—2— п.

Множители j±(а, е) являются аналогами с-функции Хариш-Чандры. Мы имеем (ш(а) см. в (1.2)):

j±(а,е) j±(2 - п - а,е) 1

8п ш

§ 3. Надгруппа. Максимально вырожденные представления

В качестве надгруппы для группы О = ЯО0(1, п— 1), мы возьмем группу С = ЯЬ(п, Е). Рассмотрим следующую серию представлений п\,у, ЛєС, V = 0,1, этой группы. Пусть Р - ее параболическая подгруппа, состояая из верхних блочно треугольных матриц р, соответствующих разбиению п = (п — 1) + 1:

р = ( “ ^ , с Є Е \{0Ь

Представления п\,и индуцируются характерами группы Р.

Реализуем п\,у в однородных функциях. Пусть у (Ега) - пространство функций f из Сте(Е™\{0}), удовлетворяющих следующему условию однородности

f (гх) = гх’иf (х), х є \ {0}, г є е \ {0}.

Представление п\, и группы С действует в этом пространстве сдвигами:

^ (д) f (х) = f (хд).

Теперь рассмотрим "компактную картину". Обозначим через {х,у) и |х| евклидовы скалярное произведение и норму в Еп:

{х,у) = хіуі + ... + хпуп, |х| = ^ х2 + ... + х2п.

Пусть П - сфера |х| = 1. Обозначим через Vу(П) подпространство функций f в V(S) четности V:

У(—и) = (—1)^У(u), и Є П.

Представление пЛ, и группы С действует в Vv (П) следующим образом:

(пх,и(д)у)(и) = у(|ug|Л, д Є (.

Рассмотрим Ь2-скалярное произведение функций на П:

{УЛ)п = / у (и) к(и) йи, ,/п

где йи - евклидова мера на П. Эта эрмитова форма инвариантна относительно

пары (ПХ,и ,П-Х-п,и):

{п\и(д)у,^)п = {1',п-х-п,и(g-1)h)n, д Є (.

Эта формула позволяет распространить представления пл,и на пространство

Vv (П) обобщенных функций на П четности V.

Представления пл, у неприводимы, за исключением следующих случаев:

(a) Л Є N V = Л ;

(b) Л Є —п — N V = Л + п .

Напишем некоторые сплетающие операторы. Определим оператор Б\^ на

V, (П):

(БЛ,и1 )(и) = / [и,у]-Х-Щи 1 (У) дм. п

Интеграл абсолютно сходится при Ке Л < 1 — п и рапространяется мероморфно на всю комплексную плоскость Л. Он сплетает представления пл,и и п—л—п,и:

П—Л—п,V (д)БЛ , V БХ,VПЛ,V (д) , д Є С,

где

Пл,V(д) = пл^(1д -11).

Аналогично § 1, пусть Н(п, І Є N обозначает пространство гармонических функций на сфере П степени І. Такое пространство с І = V является собственным пространством для оператора Блс собственным значением

Ьі(Л) = 2Л+п пп/2 г ГЛ)1—п—А)Л ,

' р/І — Л \ р/ 2—п—Л—1

Мы имеем

где

Б—Л—п,V БЛ,V Т(Л, V) ' Е,

7(Л, V) = Ьі(Л) Ьі(—Л—п), І = г

так что

7

ео8( Л+ п) П — «*( V + п|1г

§ 4. Канонические представления

Канонические представления Ял,и, ЛєС, V = 0,1, группы С = ЯО0(1,п — 1) мы определяем как ограничения представлений п—л—п,и надгруппы С на группу С. Представление Ял,и группы С действует в Vv(П) по той же формуле, что и

п—Л—пм:

{Ял,и (д)у)(и) = у

ид_

Лп

д Є С.

Эрмитова форма (/, к)п инвариантна относительно пары (Я\,и,Я_-х_п„):

(Ях,V(д)/, к)п = (/, Я-х-и,V(9-1)Ь)п, д е С.

Назовем преобразованием Березина оператор

Ях,V с

где

с

—і

Г( —

{Ял,» у,к)п = {у,Ях,и Ь)п. Композиция Я—Л—пи ЯЛ>и есть тождественный оператор:

Я—Л—щи QЛ,и Е.

Он сплетает Я\^ с Я-\-п^. Вот его интегральное выражение:

/)(и) = с(Л^) [ [и,ь]х'и /(у) дм.

Он имеет полюсы (первого порядка) в точках Ле—1—v—2М. С формой ( , )п оператор V взаимодействует так:

Представление ЯЛ,и и оператор ЯЛ>и могут быть продолжены на V'l/ (П) - с помощью (4.1) и (4.3).

Назовем формой Березина полуторалинейную форму

Вл, V (І,Ь) = {ял, и у,Ь)п.

Действие и ^ ид/\ид|, дєС, группы С на П не транзитивно. Имеется 5 орбит: 3 открытые орбиты: П+ : [и, и] < 0, и1 > 1/л/2 (северная полярная

шапка), П+ : [и,и] > 0 (сферический пояс), П— : [и,и] < 0, и1 < —1/\/2

(южная полярная шапка), и между ними 2 орбиты размерности п — 2 (сферы):

П+ : [и, и] = 0, и1 = 1/л/2, П— : [и, и] = 0, и1 = —1/\/2.

Отобразим гиперболоиды X, У +, У— и конус С на П с помощью центрального проектирования: х ^ и = х/|х|. Тогда мы получим многообразия П+,П+, П— и П+, П—, соответственно.

Меры йх на гиперболоидах и йи на сфере П связаны следующим образом:

йх = х'1 йи = |[и,и]| п/2 йи.

Для функций І (и) с носителями в X представление Ял,и эквивалентно представлению Их в функциях І(х) на X четности V. То же самое верно и для У + и У—.

§ 5. Граничные представления

Каноническое представление Я\^ порождает два представления Ь\ и Ы\, связанных с границей П0 = П+ и П- многообразий (открытых орбит) П±. Эта граница задается уравнением [и, и] = 0. Представление Ь\ действует в обобщенных функциях, сосредоточенных на П0, представление Ы\ действует в многочленах Тейлора (струях) от а = [и,и].

Сначала рассмотрим "северную"полусферу П^ог^, заданную условием и1 >

0. Введем на ПмогЛ полярные координаты а, в, где а = [и, и] = 1 — 2и^, —1 ^ а ^ 1, и в е Б, следующим образом:

и = (иЬд/ 1 — и21в2,...^ 1—иІвп) =

1—а 1+а 1+а

2 52,...^ 2 В"

В этих координатах мера йи есть

йи = 2—п/2

Для функции І Є Vv(П) рассмотрим ряд Тейлора ее ограничения на П^огі^ по степеням а

І (и) ~ Со + С1а + С2а2 + ...

где ст = ст(в) и

1 дт

ст(в) = Т 1 (а,в).

т! дат а=о

Имея в виду (5.1), рассмотрим также функцию

І •(и) = (1+ а)(п—3)/2 (1 — а)—1/2 І (и).

и ее коэффициенты Тейлора обозначим ст. Коэффициенты ст и ст выражаются друг через друга с помощью треугольной матрицы с единицами по диагонали.

Обозначим через Тк (П) пространство обобщенных функций С, сосредоточенных на П+ и имеющих в полярных координатах (а, в) следующий вид:

С = ро(в)8(а) + р1(в)81(а) + ... + рк (в)8(к)(а),

где 8(а) - дельта-функция Дирака на действительной прямой, ро, ...,рк - функции из V(S). Значение обобщенной функции р(в)8(т)(а) на функции І Є V(П) дается следующей формулой

р(в) 8(т)(а) І (и) йи

ПМогіН

2—п/2 (—1)т т! Ір,с'тІч,

Положим

Т(П) = и Тк(П).

к=о

Каноническое представление Ял,и сохраняет Тк (П), к Є N. Обозначим через Ьл ограничение представления Ял,и на Т(П).

Поставим в соответствие обобщенной функции С столбец (ро, р1,..., рк, 0,...). Тогда Ьл есть верхняя треугольная матрица:

Ьл

( Т2—п—Л 0 0 ...

* *

Т4—п—Л *

0 Тб-^Л

\

/

Пусть с[/] есть столбец (со, с1, с2,...). Вообще, обозначим через А(Б) пространство последовательностей с = (со,с1,с2,...), где ст е '0(Б). Отображение / ^ с[/] есть изоморфное отображение пространства '0(Б) на А(Б).

Представление Ы\ действует на А(Б):

М\(д)с[/] =с [Ях^(д)/]

(оно не зависит от V). Оно есть нижняя треугольная матрица:

Мл

( Т—л—п 0 0 ..Л

* Т—Л—п—2 0 ...

* * Т—Л—п—4 ...

... ... ... ...

Имеет место дуальность между Ьл и Мл.

Для обобщенной функции ( е Ек(П) (напомним, что вирр ( С П+), обозначим через (обобщенную функцию из (П) такую, что ее ограничение на П^оггн есть £, т.е.

С (^(и) = С(и) +(—1)1' С(—и)-

Следовательно, для ( = р(в)$‘т’(а) имеем

«М,/)а = 2(2-п’/2 (—1)т т! &,ст)а,

Обозначим пространство обобщенных функций £через Е^’ (П), и обозначим Е^П) = иЕ^П). Ясно, что Е^’(П) изоморфно Ек(П) и Е^’(П) изоморфно Е(П). Ограничение представления Я\^ на Е^’(П) эквивалентно представлению

ьх.

Представления Ь\ и Ы\ разлагаются по представлениям Та точно так же, как в работе [3].

Обобщенные функции из Е^’

- пространство функций / класса Сна каждой С-орбите и четности V и имеющих разложение Тейлора порядка к:

/ (и) = со + с1а + • • • + ск ак + о(ак),

где ст е D(Б). Тогда (5.2) сохраняется для / е ’(П) с т ^ к.

§ 6. Преобразования Пуассона

Определим преобразования Пуассона Р±иа, связанные с каноническим представлением ЯЛ,и, следующим образом

{Р±»,ар)(и) = [и,и}±Л—п—а)/2[ [и,в]а^ р(в) йв

Js

(мы используем обобщенные функции х+, х^ на действительной прямой).

Обозначим через С°°(П±) пространство функций І (и) класса С ° и четности

V на многообразии П±. Преобразование Р±иа есть оператор V(S) ^ С°(П±).

Он сплетает представления Т2—п—а и Я\^:

ЯЛV (д) = р±,* Т2—п—а (g), д Є °.

Для параметров в общем положении преобразование Пуассона взаимодействует с оператором Ла по формуле

Р±,а Л = 3 ±(°, V) Р±,2—п—а, а с преобразованием Березина ЯЛ,и следующим образом:

Теорема 6.1 Имеют место следующие формулы:

Ял,и р_„,а = Л__

^л ,V р+„,а = Л+_

Числа Л±± образуют матрицу (зависящую от Л^,а):

М =

Л__ Л_+ Л+_ Л++

Вот ее явное выражение:

„„Л ,, ^ _ Л

М

где

сов _ п V сов —у— п сов —у п

г

Л

г

Доказательство. Для упрощения записи не будем писать аргументы и индексы \,и,а, а переход от Л к —Л — п будем обозначать тильдой, так что, например, формула (6.1) запишется так

ЯР_ = Л -_Р_ + Л-+Р+.

Эта формула означает объединение двух формул, отвечающих П_ и П+:

где р Е О (Б). Докажем, например, первую из них - формулу (6.6). Обозначим левую часть в ней через f (и):

f(и) = (Я Р_р)(и), и Е П_.

Отображение р ^ f сплетает Т2_п_^ с Я_\_п,„. Поэтому функция f есть ограничение на П_ некоторой функции класса С—, заданной в области [х, х] < 0 (внутри конуса) и имеющей однородность Л и четность V. Вернемся

по этой однородности от П к гиперболоиду У+. Мы получим преобразование

Ь, которое функции р из О (Б), сопоставляет функцию f из С— (У+), причем это преобразование сплетает представление Т2_п_а и представление Цу+ группы С в С -(У+) сдвигами.

Из [1] следует, что такое преобразование Ь для параметров общего положения только множителем отличается от преобразования Пуассона Ра для У +:

(Р*р)(у) = I [—У,в]а Р(в) ds,

ля

а именно,

\ V

ь = л-- • (—1)р

(множитель (-1)и взят в соответствии с определением преобразования Р-, см. начало параграфа). Возвращаясь снова на сферу П, получаем, что преобразование Ь есть Л • Р-, так что

f (и) = Л • ( р-р)(и), и Е П-.

Это и означает равенство (6.6). Аналогично доказывается (6.7) и тем самым (6.5). Точно такое же рассуждение доказывает (6.2).

Остается вычислить множители Л±±.

Мы делаем это прямым вычислением ядер преобразований в некоторых точках. Как уже было сказано, формулы (6.1), (6.2) равносильны следующим четырем формулам:

(д р£р) (и) = Л£к • ( ркр) (и), и е Пк,

где е и к обозначают знаки " + " или " —". Подробно эта формула выглядит так:

Г -Л-п-а Г

с [и,у]х’V [ V, V]£ 2 ^ [и,в]а’V р(в) дв =

П 5

л-а Г

= Л£к • [и, и]к2 [и,в]а’V р(в) дв,

я

где с - множитель (4.2), и Е Пк. Интегрирование по V фактически происходит по П£. Перейдем от П к гиперболоидам X и У по формулам и = х/|х|,

V = у1у1, тогда ^ = 1у1-пду. Мы получим

с У [х,у]Л'V ду J [у,в]а’V р(в) дв = я

= Л£к [х,в]а’V р

я

где х ЕУ или х Е X соответственно при к = " —" или к = " + а внешнее интегрирование в левой части происходит по У или X соответственно при или е = " +".

Возьмем в (6.8) в качестве х точку е1 = (1, 0,..., 0) Е У для к = " —" и точку еп = (0,..., 0,1) Е X для к = " + ". Тогда равенства (6.8) превратятся в следующие равенства:

\Л , V

с / (—у1) ’V ду / [у,в]а’V р(в) йв

я

Л£,-

С / (Уп)Л ’* Ау / [y, в]с * ф{&) Ав

= Л£’+ j аП* ф) Ав.

я

Теперь мы хотим переставить интегрирования в левых частях. Непосредственная перестановка приводит к расходящимся интегралам. Поэтому предварительно поместим во внешних интегралах в левых частях (6.9) и (6.10) множитель

(г2 + 1)Л, где г = у! + ... + уп-1, Л € С. Тогда интегралы абсолютно

г.2 + 1)Л, где г2 = У2 1 1 У2

сходятся при условиях

4 — п

Ке(Л + а) < 0, Ке(Л — а) < 0, КеА > —1, КеА < —^— Переставляя интегрирования, мы получим соотношения для ядер:

С ! (—У1)Л * [У, а]с’* (г2 + 1)Л Ау = Ле- (—1)*,

I Л=0

___ де , + „с, *

Л£’ + вс

л вп

Л=0

с у (Уп) ^ [У, в]*’” (г + 1) Ау Положим здесь в = а+ = (1, 0,..., 0,1), мы получим

С [ (—У1)Л * (—У1 + Уп)а'* (г2 + 1)Л Ау = Ле- (—1)*

Л=0

С (уп)Л’ * ( — у1 + уп)с’* (г2 + 1)Л Ау

= ле+.

Л=0

Подинтегральные функции зависят только от от у1 и уп (поскольку г У2 — уп ± 1), поэтому, интегрируя по у2,...,уп-1, получим

2

С 0-2 у у{и (—У1 + Уп)с* гп (г +1) Ау1 Ауп

Т>£

С °п-2 ! Упи ( — У1 + УпУ’и гп (г + 1) АУ1 АУп

= Ле

Л=0

= ле >+,

Л=0

где интеграл берется по области Vе на плоскости переменных у1,уп, задаваемой неравенствами у2 — уп — 1 > 0 для е = " —" и у2 — уп + 1 > 0 для е =

" + ". Множитель гп-4 соответственно равен (у2 — Уп — 1)(п-4)/2 для е = " —" и (у2 — Уп + 1)(п-4)^2 для е = " + ". Сейчас можно в интегралах положить Л = 0 и считать п комплексным числом, удовлетворяющим неравенствам

2 < Ке п < 4. Таким образом, получаем

Л-- = С Пп-2 J УЛ'* (—У1 + Уп)с* (У2 — У2п — 1)^ АУ1 Ауп-,

V-

Л + = С °п-2 j уХп’* ( —у1 + уп)С* (у2 — ^ — 1) 2 Ау1 Ауп-,

V-

Л+- = С Пп-2 J УЛ’* ( — У1 + УпУ’е (У2 — У2п + 1)^ АУ1 dyn,

V+

л++ = С Пп-2 У УпЛ’* (—У1 + Уп)с’е (У2 — уп + 1) ^ АУ1 АУп.

V+

Здесь подинтегральные функции не изменяются при одновременном изменении знаков у у1,уп, поэтому интегралы можно брать по половине области Vе, умножив их на 2, а именно, по области у1 > л]уп + 1 для 'П- и по объединению областей |у1| < уп < у/у2 + 1 и \уп\ < у1 для 'П+. В эти три области соответственно мы вводим "полярные" координаты у1 = р сЫ, уп = р вЫ; у1 = р эЫ, уп = р сЫ; у1 = р сЫ, уп = р вЫ; где —то <Ь < то, а переменное р изменяется в интервалах р > 1, 0 < р < 1 , р > 0, соответственно. Мы

получаем

ГО СЮ

п — 4

Їр,

Л“ = 2 с Пга_2 —1)VJ (ск0 е її у Р (р - 1)“ їр

—сю 1

сю сю

п — 4

Їр,

Л_+ = 2 с Пга_2 (-1Т J (sh.tr’1' е~аі (її ^ рА+а+1 (р2 - 1)~ їр

1

СЮ 1

Л+_ = 2 с П«_2 { [ (вЬї)л ’^ е_аі її [ рЛ+а+1 (1 - р2)^ їр+

= 2 с \in_2

_ж 0

СЮ СЮ

\ V

+ (-1У (сЫ)Л е_аі її рЛ+а+1 (р2 + 1)^ їр

0

го 1

Л —аі

Л++ = 2 с Пга_2 | у (сЫ)Л е_аі її у рЛ+а+1 (1 - р2)п-4 їр+

_го 0

сю сю

+(-1)V J (вЬї)Л ^ е_аі її ! рЛ+а+1 (р2 + 1)^ їр}.

_го 0

Все сводится, таким образом, к пяти интегралам, выражающимся через бета-функцию:

СЮ

/ (<*)Л е-л її = 2__ в(, =^),

(sht)A >v e-at dt = 2-л-1 {b( Л2+ — ,A + 1) +(-1)v b( —~2—— ,A +1)} ,-A-i u(-A + — -A - — \ sin+ (-1)vsin^n

2-л-1 B[ —- •

2 2 / sinAn

Л+о+1 (л 2\n— , 1 „ (A + — + 2 n — 2\

рл+а+1 (1 -p2) 2 dr = 2 B(—2—

0

OO

Л+ст+W 2 1 j 1 d ( -A - П - — + 2 П - 2\

рл+а+1 (p - 1) 2 dr = 2 B(------------------2--------------,^^):

1

oo

f Л+ст+W 2 x 1 \ , 1 / A + — + 2 -A - n - — + 2 \

J рл+а+1 (p2 + 1) 2 dr = 2 B(—2— ’-------------2--------)'

0

Первый из них вычисляется с помощью [2] 1.5(26), второй - с помощью [2] 1.5(25).

Подставляя эти значения в последние выражения для Л±± и производя преобразования с гамма-функциями и тригонометрическими функциями, мы получим (6.3)-(6.4).

Матрица M есть своего рода "собственное число" преобразования Березина Ял,v. Приведем некоторые свойства матрицы M (штрих означает матричную транспозицию):

M(-A-n, v, —) M(A, v, —) = E,

M(A, v, —)' = M(A, v, 2-n-—).

Нам потребуется в § 9 вычет Mm(A, v) матрицы M(A,v, 2 - n - —) в точке

— = A - 2m, m E N:

M M ) = /L(A,v) ( COS ^П (- 1)m+1 COS Щ-"П

Mm(A-v> = cos л-. Д (-1)m COS ^n -cosП

где

Лm

2

т!Г( —л—±^) Г(

—л—v+1 А г( — л—n+v+1 ^

Кроме того, матрица Ыт(Л,и), получающаяся из этой матрицы делением ее столбцов на .-(Л — 2т, V), j+(Л — 2т, V), соответственно, т.е матрица

Мт

V .в (а,v) /

1

есть

Мт

Теорема 6.2 Пусть аф (2 — п)/2 + Z. Для К-финитной функции р Е'О(Б) ее преобразования Пуассона имеют следующие разложения по степеням а = [и, и]:

ГО

(и) = 1-1)*а!-Л—п—с)/2 2 —(Ос.тР)(а)ат

(Р±.*,сР (и) = (-1)*а,±х—п—с)/2 2-с/2^ (ОспР) (в)ат +

п=0

ГО

+ (—1)* а±-Л+с-2)/2 2с+п—2)/2.±(а^)У(Шс,тр)(в)ат

п=0

где и Е П имеет полярные координаты (а, в), см. § 5, Шспт - некоторые дифференциальные операторы (многочлены от оператора Лапласа-Бельтрами на Б степени т, см. ниже) и

ОС’т А2—п—с ^2-п-с,т.

Эта теорема доказывается аналогично соответствующей теореме из [1].

Множители а± Л п с)/2, а± Л+с 2)/2 дают полюсы преобразований Пуассона в плоскости а, зависящие от Л, они располагаются в точках

а=Л—2к, а=2—п—Л+21, к,1 Е N

так что Р± зависят от а мероморфно.

Полюсы преобразований Пуассона - простые, кроме случая, когда обе последовательности (6.14) пересекаются и полюс принадлежит их пересечению (в этом случае его порядок 1 или 2).

Дифференциальные операторы т определяются с помощью производящей функции:

. . . 2-п-о- / а+п—2+1 а+1—1 п 2а \

К’,

где Т - гипергеометрическая функция Гаусса. Разложим функцию Усг, (а) в ряд по степеням а:

ГО

Ус’I (а) = ^ Шк ак. к=0

Оказывается, что эти коэффициенты Шк являются многочленами от ц, = 1(3 — п — I), коэффициенты которых являются рациональными функциями от а:

Шк = Шк (а,щ),

именно,

'А-п-о 1Л[к-г]

«к — V —^^-----ГГ X

г=0 2' г! (к—г)! (а + п)[']

Г =

г— 1

х П + (а+п—2ш)(а+1+2ш)]

т=0

для г = 0 произведение П считается равным 1, мы используем обозначение (вместо символа Похгаммера):

х[р] = х(х + 1)...(х + р — 1).

Напомним, что число щ = 1(3—п—1) является собственным значением оператора Лапласа-Бельтрами Д^ на пространстве Н(п :), см. § 1. Положим

'Мак = Шк (а, Дя).

Как функция от а оператор является мероморфной функцией, с полюсами (простыми) в точках а = —т — п/2, 0 ^ т ^ к — 1, к ^ 1. Например,

Wо,0 = 1

2 — п — а /л п — 2 2а + п

2 — п — а ( . п — 2 \

»°,1 = (д* + — у

Запишем вычеты Р±и преобразований Пуассона в простых полюсах ц. Оказывается, что эти вычеты являются операторами, действующими из (Б) в пространство Е(^(П), см. § 5. Определим следующий оператор

т !

Ь.тМ — V (—1)' и\-т,г(V) б(т-г)(а),

(ш—г)!

г=0 ' 1

действующий из V» (Б) в Ет(П). Он сплетает представление Т2-п-\+2т с представлением

Ьх:

,т О Т2-п-Х+2т — О ^,т

Для ш ^ 1 он зависит от Л мероморфно - с простыми полюсами в точках Л — ш + г + (2 — п)/2, г — 0,1, ,ш — 1. В частности,

6 ,0 м = 8(а).

Теперь в соответствии с § 5 определим операторы : Ъ(Б) ^ Е^^П):

{‘С, V) = (чЧт^))^

так что

т

(V)./Ь = 2(2-п)/2 (—1)т ш!£ (\¥—т,гЫ,с'т)*

г=0

Через них выражаются вычеты преобразований Пуассона:

Р?.„л-2к(р) = 2<л+п-2к)/2 (Т1)к' (—1)- 1 /(А — 2к, V) £>(‘Р), Р^-п-л+я = -2(л+n—21)/2 (Т1)‘ (—1)- 1 ^(Л—

§ 7. Преобразования Фурье

Преобразования Фурье Г±1> а, связанные с каноническим представлением Ял, V, определяются как операторы, сопряженные преобразованиям Пуассона, они имеют такие же ядра (с заменой А на — А — п), именно, V а есть оператор VV (П) ^ 'и(Б), определяемый формулой

(Г±,с/) (в) = / V [М,и]±Л"С)/2 /(и) ^

Фактически интегрирование ведется по П±. Интегралы сходятся абсолютно для Ке (А+а+п) > 0, Ке (А — а + 2) > 0 и распространяются мероморфно по А и а. Преобразование Фурье Г±1> а сплетает Ял,V с Тс:

Р±,с Ял V (я) = Тс (д) . део.

Сопряженность

с/, р)я = ^, Р±л_п,^Р)0

с преобразованием Пуассона позволяет перенести утверждения для преобразования Пуассона на преобразование Фурье. Например,

Лс = }±(а-У) Г

и

л, V, 2-п-с

Р—л-п, V, с Ял, V = Л--(^ V а) с с + Л-+(^ V, а) с с ,

Р+л-п^с Ях* = Л+-(А, V, а) ГГ + Л++(А, V, а) Р+,

v,а

Преобразование Фурье Г±ис имеет полюсы в точках

а = —А—п—2к, а = А+2+21, к,1 е N.

Полюсы простые, если последовательности (7.1) не пересекаются.

Запишем вычеты в простых полюсах щ. Для этого определим "граничные" операторы Ьл,т : VV(П) ^ ^($), используя коэффициенты Тейлора с*к, см. §

5:

г=0

Эти граничные операторы и операторы £ сопряжены:

{——птМ-/)а = 2<2-">/2

Оператор Ъх,т сплетает представления Ех,- и Т—Х—п—2т:

ЪХ, т Ех, V (д) Т—Х—и—2т(д) ЪЛ , т. д ^

он мероморфен по Л с простыми полюсами в точках Л = -(п/2) — т — г — 1, г = 0,1,... ,т — 1.

Вычеты преобразования Фурье выражаются через граничные операторы: Р±,„,—х—„—2к/ = 2(2—п—Х—2к)/2 (±1)* (— 1)- ]± (—Л-п-2к.V) Ъхк(/),

Р±л+2+2,/ = —2<2-'‘х—2Г>/2 (±1)' (—1)- Л—х—п—ъ ЪхА/).

§ 8. Преобразования Пуассона и Фурье в полюсах друг друга

Преобразования Пуассона и Фурье в полюсах друг друга имееют некоторые специальные свойства.

Сначала рассмотрим преобразования Пуассона

р± р±

Л , V ,—Л—п—2т’ Л , V , Л_|_2+2т< *

Разложение этих преобразований по степеням а имеет ведущие множители ат и а—Л 1 т п/2. Следовательно, для И,е Л < —2к — 1 — п/2 одно из двух слагаемых в разложении преобразований (8.1), которое содержит а±Л—1—т—п/2, есть о(ак) при а ^ 0. Поэтому мы будем рассматривать следующую линейную комбинацию преобразований Пуассона

р(т) ___ р + I (_ 1)т р—

р Л, V р Л, V,—Л—п—2т + ( 1) р Л .V,—Л—п—2т'

Для этого преобразования ведущие множители - это многочлен(!) ат и а±Л 1 т п/2. Следовательно, для Б,е Л < —2к—1—п/2 и т _ 0,1,... ,к разложение преобразования

рЛ,V есть

ГО

(^4 в _ (—1)V2(Л+п+2т)/2 ат^ С— Л—п—2т, гр) (в) аг + о(ак).

г=0

Напомним, что Са,0 _ А2—п—а. Следовательно, мы можем применить к р^р граничные операторы ЬЛ>т, 0 ^ т ^ к.

Теорема 8.1 Пусть к € N. Пусть Б,е Л < —2к — 1 — п/2. Тогда для т ^ к мы

имеем

ЬЛ,т(р(тV) _ ( —1)V 2(Л+П+2т)/2АЛ+2+2тР, и для г,т ^ к, _т, имеем

ьл.г рт >р) _ о.

При тех же условиях, что и в теореме 8.1, мы можем применить обобщенные функции из ^к (П) к образам преобразований Пуассона, участвующим в теореме 8.1. Используя соотношение дуальности (7.2), получим

Теорема 8.2 Пусть к € N. Пусть Б,е Л < —2к — 1 — п/2. Пусть г,т ^ к. Тогда имеют место следующие "соотношения ортогональности":

а—итШ-рЛт’рЬ _ (— 1Г+т 2(Л+п+2т)/2 т! {Ам+тф,р)в,

И—л.—п.г Ы’)<рх!, )'р'>а _ 0' г_т

Это позволяет (снова используем (7.2)) распространить преобразование Фурье

г(т) _ Г + + (—1)тР—

Г Лм _ гЛм,Л-2т +( 1) гЛ

т—

Х,—,Х—2т

на обобщенные функции £ Є Е*->(П), т^к. Именно, для Ке Л > 2к + 1 — п/2 (мы заменяем Л на — Л — п) мы полагаем:

(^ОрЬ = ((—_ п-р)а.

Тогда теорема 8.2 влечет

Теорема 8.3 Пусть к Є N. Пусть Ке Л > 2к + 1 — п/2. Пусть г,т ^ к.

Преобразования Фурье гХ^^ являются "обратными" отображениями к £х,т с

точностью до оператора Ла, а именно, имеют место следующие соотношения

РХт)£і(Ф) = (—1)-+т т! 2<2-”-Х+2т>/2 Лъ—п—Х+ът ф,

г'С’^«о = 0> г=т-

Эти формулы показывают, что отображения гХт>, определенные первоначально как отображения Е*->(П) ^ ^(Б), на самом деле - отображения Е*->(П) ^

ЧБ). т -

Преобразования РХт> появляются также при взаимодействии оператора £Хт и преобразования Березина.

Теорема 8.4 Имеют место следующие формулы

Я Х,- Хт Р = КХ-т рт—п- р,

Ях,- РХт-> Р = Ь'Х-'т еіптР),

множители кХт и даются формулами:

К(-> = 2(Х+2—п—2т)/2 _(2—п)/2 Г( — Л+2т) Г( — Л + т + 1 — п/2) „

Кх’т = ^ П Г( — Л + 2т +1 — п/2) *

х ІГ( ) ГГ—Л — п + " +1 '1—1

22

т (-> = 2(Х/2>+п+т— 1 _(п—2>/2 _Г(Л + 2т + 1 + п/2)_

х,т Г

* Г Л + п — V +1^ г ^Л + V +1

Доказательство. Возьмем вычет в точке а = Л — 2т для любой из двух формул (6.1) и (6.2), мы получим (8.1). Коэффициент К—т равен (в обоих случаях получаем одно и то же):

{2(А+п-2т)/2(т1Г — 1Г 1 3 ±(Л — 2т,V )}-1 • Б^Л—2т Л±+ =

^ т!

= 2(-Л-п+2т)/2(—1)т+1 т!| 81пЛ^ • 3(Л — 2т)}-1 • Лm(Л,v),

где Лт(Л, V) дается формулой (6.11). Подставляя сюда (2.2) и (6.11), получим коэффициент К.

Применим к (8.1) оператор Ц—Л—п^. В силу (4.4) получим (8.2) с заменой Л на —Л — п. Множитель Ь<-'^т равен {К(-_пт}-1. П

§ 9. Разложение канонических представлений

Для прозрачности изложения мы ограничимся общим случаем: Л лежит в полосах

п 2 2 п

4 : —2-----+2к < Б,е Л < —2-+ 2к, кеЪ.

Случай (А): Л € /0

Мы рассуждаем аналогично [5]. Пусть Л € ,В—Л—пи (Еп), к € 'Е—и (Еп). Тогда, ограничивая f и к на У +, получаем f и к из Ь2(У +, йу), а каноническое представление становится представлением Цу+. Используя формулу Планшереля для У +, см.

§ 2, получим следующее разложение ограничения функций f и к на П:

/ГО

Ш(а) (Р-»,аЛ,Р-Х—п,и,2—п—ак)з йР-

•ГО

Здесь и дальше все интегралы с а берутся при а = (2 — п)/ + гр, р€К.

Теперь, используя сопряженность из § 7, перебросим преобразование Фурье с к на f как преобразование Пуассона. Получим:

/ГО

ш(а) (Р-V,2—п—а Р-и,аf, к)п йр.

ГО

Эта формула дает разложение функции f как обобщенной функции из ^ (П):

/ГО

ш

ГО

Аналогично, используя ограничение функций Л, к на X, получим следующее разложение:

/ГО

ш(а) (Р+и,2—п—а Ки,аЛ (и) йР +

ГО

+ £

где суммирование берется по целым т > (2 — п)/2 таким, что т=и + 1, волна над Р и Г означает, что эти преобразования соответствуют нормализованному Н -инварианту

Р_.» = г( )-1 в„.„.

Объединяя формулы (9.1) и (9.2), получим разложение функции I(и) на всей сфере П:

^ОО

I = ш(а) {Р-,и,2-п-_ РХ,и,_f + Р+и,2-п-_ Р+и,_ ^йР +

О -Ж

+ Е ^ Р+*2— Р1„I-

Теперь разложим форму Березина

В\, V (Лк) = {Ях , V = и^х, и Ь)п.

Пусть I^'0-х-Пуи(Еп), НЕ'Р-х-п^у(Еп). Тогда ограничения функций I, к на У+ и X принадлежит Ь2(У+ ,йу) и Ь2(Х,йх), соответственно. Используя формулу (10.3) и формулы для композиции ЯР, см. § 6, получим разложение для 1,к Е

VV (П):

ВхVи, к) = / ш(а) £ Лав(А, V, 2 — п — а) I, 2_п__к), йр +

а, в

+ £ 4м Л++

где а, в Е { —, +}. Заметим, что Л-+ (А,и, 2 — п — т) обращается в нуль при т=и +1.

Таким образом, в случае (А) имеем

Теорема 9.1 Пусть А Е 10. Тогда каноническое представление Ях,у разлагается в прямой интеграл представлений Т_ непрерывной серии с кратностью 2 и представлений расширенной дискретной серии тГа\ тЕМ и Тг, (2 — п)/2 < т < 0, тЕЪ, с т=и +1, с кратностью 1. А именно, сопоставим функции IЕVV(П) совокупность ее компонент Фурье Г±и_I, а = (2 — п)/2 + %р; гI, (2 — п)/2 <

т < 0, т Е 2; р+игI, тЕМ, т=и +1. Это соответствие С-эквивариантно. Имеет место формула обращения (9.3) и "формула Планшереля" (9.4) для формы Березина.

Случай (В): А Е 1к+\, к Е N

Продолжим разложение (9.3) аналитически по А из 10 в 1и+\, к Е N. Некоторые полюсы по а подинтегрального выражения пересекают линию интегрирования

- прямую Ке а = (2 — п)/2. Это - полюсы а = А — 2т и а = 2 — п — А + 2т, т = 0,1,..., к, преобразований Пуассона Р± 2-п-_. Они дают дополнительные слагаемые в правой части. Пары полюсов (А—2т, 2—п—А+2т) дает дополнительный

член, равный умноженному на 4п вычету подинтегральной функции в точке а = А — 2т. После продолжения получим:

/^о к

+ У^ + У^ пх,и,ти)>

г т=0

где интеграл и ряд означают то же, что и в (9.3), и

пх, v,m(f ) = — 4п ш(А — 2т) {Рх,и, 2-п-Х+2тРХ,и, X-2mf + Р\,и, 2-п-Х+2тР\,и, Х-2т^ .

Используя формулы для вычетов преобразований Пуассона, получим

пх,V, т(!) = 4п ш(А — 2т) (—1)"+т^- 2(х+п-2т)/2 х

т!

.

х Сі:!

Образ оператора пл,^ т совпадает с образом УЦ оператора сЛ!•

Продолжим теперь (9.4) в 1к+1. Сейчас полюсы а = \-2rn и а = 2—п—Л+2т, т = 0,1, подинтегральной функции - это полюсы множителей Л" ,в(Л, V, а). После продолжения получим:

/СО ____ ^

+ У^ + У У". Т!в(Л,и)(А

ОО ^ ҐГ-Г-,_п Л а

і , V , і—т

т=0 а, в

вл,„

где интеграл и ряд означают то же, что и в (9.4),

Ттв

Вспоминая выражения (6.12), (6.13) и подставляя их в (9.6), получим

к

>А , V

/оо ^

+ Е +Е Т

„ т=0

где интеграл и ряд означают то же, что и в (9.4),

Лm

Т(Л,v,т) = 4п ^(Л — 2т)(—1)^+1 —

від Лп  З

х

Г( - Л + 2т +1 - п/2) Г( —х—1,+1) Г( —л—п+"+1

2

Заметим, что эта "мера Планшереля" Т(Л^, т) только множителем отличается

от ^(Л - 2т)<т.

Оператор п±ит, т^к, можно распространить из Т>„(П) на пространство

^^(П), потому что преобразования Фурье, участвующие в этих операторах, уже распространено, см. § 8. Таким образом, операторы пл, и,т с т^к определены на пространстве

Vv,k (П) = Vи (П) + ^кгу)(П).

Теорема 9.2 Операторы пх^т, т ^ к, действующие на пространстве О*к(П), являются проекционными операторами, проектирующими на пространства Ух,т, т.е. имеют место соотношения:

Пх , V, т Пх , V, т Пх , V, т ,

ПХ,V,т ПХ,V,г — 0, т=Т.

Кроме того, на этом пространстве (П) определена форма Березина Вх^, и имеют место "соотношения ортогональности ":

Вх.и (пх.„.т(Л,ПХ,,,т(Н)) = Т(Л, V, т) (Ах-Іт^ /, Р^Н)5,

ВХ^ [пх^,т(1 ),Пх^г (V)) — 0, т—Т.

Эта теорема вытекает из результатов § 8.

В частности, для обобщенной функции f Є ^^(П) получаем ее разложение по ее проекциям на пространства Ух,т, т^к:

к

f —У П^М).

т=0

Итак, в случае (В) имеем

Теорема 9.3 Пусть ЛєІк+\, кєМ. Тогда пространство VV(П) нужно дополнить до пространства DV,k(П) — DV(П)+^к^(П). В этом пространстве представление Ях^ раскладывается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как Ях^ в случае (А), второе разлагается в сумму к+1 неприводимых представлений Т2-п-Х+2т, т—0,1,..., к. Имеет место формула обращения, см. (9.5), и "формула Планшереля" для формы Березина, см. (9.7).

Как следует из соотношений ортогональности (теорема 9.2), формула (9.7) есть "теорема Пифагора" для (9.5).

Случай (С): Л € 1-к-1, к € N

Продолжим разложение (9.3) аналитически по Л из 10 в 1-к-1, к € N. Здесь полюсы а = Л + 2 + 2т и а = —Л — п — 2т, т = 0,1,..., к, подинтегральной функции (это - полюсы преобразований Фурье Р±иа) дают добавочные слагаемые в правой части:

/СО к

+ £ + £ Пх*т

О г т=0

где интеграл и ряд означают то же, что и в (9.3), и

Пх,„,т(1) = (—1)" 4п^(Л + 2 +2т) • 22-п-Х-2т)/2 х

X Р

В самом деле, пара полюсов (Л — 2т, 2 — п — Л + 2т) при пересечении линии интегрирования дает дополнительный член, равный умноженному на —4п вычету подинтегральной функции в точке а = Л + 2 + 2т, а именно,

— 4п ш(А + 2 + 2т) {РА,и,-А-п-2тР\,и,А+2+2т/ + РХ,и,-А-п-2тР\,»,А+2+2т/} •

Подставляя сюда выражения для полюсов преобразований Фурье, получим (9.9).

Оператор ПА , т сплетает ТА+2+2т ЯА,и. Обозначим через ША,т образ пространства ґРи (П) под действием преобразования ПА , и,т. Операторы ПА , т с т ^ к можно распространить на пространство Тк(П), поскольку операторы ЬА, т с т ^ к определены на этом пространстве. В частности, можно применить ПА,т к Ша,иГ , г ^ к, и мы вправе рассматривать произведения ПА , „ ,тПА, и,г, где т,г ^ к. Следующая теорема доказывается с помощью теорем § 8.

Теорема 9.4 Операторы ПА^т, т ^ к, являются проекторами на РА,т, а

nx v,rn,nX, и,ш nx ,и,ші

nx , v, rnnx , v, r 0, r = m.

Кромке того, имеют место "соотношения ортогональности":

Bx,v^xvrnU), n~xvrn(h)) = N(Л,v,m){A-x-n-2шbx,ш(f ),hrn(h))s,

Bx,v(nx, vrn(f), Щ, v,r(h)) = 0 r = m,

где

N(Л, v, m) = (—1)"+ш 22-n n-n/2 m! • sin (x + П) n x

Г

X Г(Л + m+1 + n/2) X

X Г

Теперь продолжим (9.4) из I0 в I-k-1.

Теорема 9.5 Для Л Є I-k-1, k Є N, форма Березина раскладывается следующим образом

/ж ____ k

++ N (Л, v, m){A-x

—n—2шbX, ш

ж r ш=0

где интеграл и ряд означают то же, что и в (9.4), N (Л, v,m) дается (формулой (9.1G).

Доказательство. Здесь полюсы а = Л + 2 + 2m и а = —Л — n — 2m, m = 0,1,..., k, подинтегральной функции оказываются полюсами обоих преобразований Фурье,

именно, имеют место соотношения:

так что каждое из четырех слагаемых (а, в Е {+, —}) имеет полюс второго порядка. К счастью, вся сумма этих четырех слагаемых имеет полюс только первого порядка (старшие лорановские коэффициенты взаимно уничтожаются) и вычет получается в обозримом виде. Покажем это.

Пара полюсов (Л+2+2т, —Л—п—2т) при пересечении линии интегрирования дает в правой части (9.4) дополнительное слагаемое От, равное умноженному на — 4п вычету подинтегральной функции в точке а = Л + 2 + 2т, а именно,

От = —4п ш(Л + 2 + 2т)Ке8о-=л+2+2то ^ ^ Ла’в(Л, V, 2 — п — а) х

а, в

х

\ X , v , 2—n—(rJ> X, V, 2-n-a /S v J

Сумму ^ в (9.12) в соответствии с (6.3) запишем так (для краткости не будем

а,в

писать Л, v в индексах):

A(X,X—,y(T"> {(COSП • F—f + COSG-+-П • F+f> F——n—ah)S +

cos—к— п

+ ( — cOs ^+2—-п • F—f — cOs Л+2—~п • F+ f ’ F+—n—ah) s}

2 - oj ~~~ 2 ” * a J 1 * 2—n—a'blsf-

Разложим в ряд Лорана преобразования Фурье F±f и F±_n_ah в точке а = Л + 2 + 2т (см. § 7):

F—f = V 2 2 + d— +...,

а — Л — 2 — 2т

—v

F+f = ^Л — 2 — 2m. + d+ + -•

— w

F2—n—a h = -------Л---2--2-----+ ...’

а — Л — 2 — 2m

__ w+

F+-n-„ h = -------. 2 2 +....

а — Л — 2 — 2m

где

(—1)V 2(2—n—X—2m)/2A—X—n—2m(bx,mf ),

v = (—1) 2 " A—X—n—

w— =

w+ = — ц+

w = (—1)V2(2—n—X—2m)/2J(—Л — n — 2m) • bx,mh,

A priori, фигурная скобка в (9.13) имеет в точке а = Л + 2 + 2m полюс второго

порядка:

с_2 с_1

2 +-------;----1^ + ...

(а — Л — 2 — 2m)2 а — Л — 2 — 2m

По (9.14)-(9.17) коэффициент c—2 равен

f Л + - , \m+i Л + 2 + 2m + - \ ( —\

С—2 = (cos—2 п • (—1) — cos-------2-------п 1 \v,w—) s +

+ ( — cos Л + 2+22m — -п  (—1)m+! + cos Л + 2 —  (v,w+)s

= 0,

так что на самом деле полюс - первого порядка, а коэффициент c—1 равен

c1

+

cos —+— п • (d — (—1)ind+) — 2 (—1)ш sin —+— п • v

Л + n — v -,чШ,_ + , п . Л + n — v

cos-----2-----п • ((—1) d — d ) + 2 sin----------2----п • v

w-

s

, w+\

s

= (d — (—1)md+, cosЛ + -п • w— + (—1)m cosЛ + П—— п • w+\s +

+ 72

По (2.3), (2.4) имеем

- Л + n - v Л + n + v

ц (—Л — n — 2m, v) = 2 sin------2------п • cos--2----п,

+ Л + n - v Л - v

ц (—Л — n — 2m, v) = —2 sin--------2---п • cos—2— п.

Вспоминая (9.18), (9.19), видим, что слагаемое в (9.20), содержащее d— — (—1)md+, равно нулю, так что

t  Л + n — v  Л і n\ ( -\

С-1 = (—1) п sin-------------2-п • sin ^Л + 2J п • \ v, w) s

Следовательно, добавок D^_ равен

^ ,Л . Л

Dш = —4п ^(Л + 2 + 2m) •------------—----------• c-1.

cos11-^- п

Подставляя сюда выражения для ш, Л, с-1, мы получим (9.11).

Следовательно, формула (9.11) есть "теорема Пифагора" для (9.8).

Таким образом, в случае (С) мы имеем

Теорема 9.6 Пусть X Є І-к-1, к Є N. Тогда представление ЯА,и, рассматриваемое на пространстве (П), распадается на сумму двух слагаемых. Первое действует, на подпространстве функций, для которых их коэффициенты Тейлора ст(/) равны нулю для т ^ к, и разлагается как представление ЯА>и в случае (А), второе разлагается в прямую сумму неприводимых представлений ТА+2+2т(~ Т-А-п-2т), т ^ к, действующих на сумме пространств ША,и,т, т ^ к. Имеет место (формула обращения, см. (9.8), и "формула Планшереля" для формы Березина, см. (9.11).

Литература

1. A. A. Артемов. Преобразование Пуассона для однополостного гиперболоида. Матем. сб., 2004, том 195, № 5, 33-58.

2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

3. Л. И. Грошева. Канонические и граничные представления на пространстве Лобачевского. Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки, 2004, том 9, вып. 3, 306-311.

4. В. Ф. Молчанов. Канонические представления на двуполостных гиперболоидах. Записки научных семинаров ПОМИ, 2006, том 331, 91-124.

5. V. F. Molchanov. Canonical and boundary representations on a hyperboloid of one sheet. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 1-3, 191-204.

6. V. F. Molchanov. Canonical representations on the two-sheeted hyperboloid.

Indag. Math., 2005, vol. 16, Nos. 3-4, 609-630.

УДК 519.1

Преобразование Радона на плоскости над

2

конечным кольцом 2

© Е. В. Водолажская

Ключевые слова: преобразование Радона, конечные поля, кольца классов вычетов

Преобразование Радона R на плоскости над конечным кольцом K сопоставляет функции f на K суммы ее значений по прямым. Кольцо K есть либо конечное поле, либо кольцо классов вычетов по модулю pk. Найдены формулы обращения. Дано описание образа преобразование R для поля и к = 2.

The Radon transform R on the plane over a finite ring K assigns to a function f on K sums of its values on lines. The ring K is either a finite field or the ring of cosets modulo pk. Inversion formulas are found. A description of the image of R is given for a field and for к = 2.

2Работа поддержана грантами: РФФИ 08-07-97507 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.