Устойчивость однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

УДК 517.9

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 3

О. Г. Тихомиров

УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Введение. Анализ асимптотической устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в основном сводится к исследованию устойчивости нулевого решения системы линейного приближения. В работе [1] были предложены два метода анализа устойчивости и была строго обоснована асимптотическая устойчивость нулевого решения нелинейных систем, если система линейного приближения является асимптотически устойчивой. Далее в работах И. Г. Малкина [2], Н. Н. Красовского [3] и В. И. Зубова [4] были рассмотрены вопросы асимптотической устойчивости решения ОДУ в критических, в смысле Ляпунова, случаях, когда первым в «широком» смысле приближением является однородная система ОДУ. А. Ю. Александровым [5] было показано, что для нестационарных периодических, или более общо, имеющих среднее, однородных систем порядка однородности /л > 1 асимптотическая устойчивость нулевого решения имеет место, когда усредненная система является асимптотически устойчивой по Ляпунову. Для однородных систем, упомянутых выше, была построена функция Ляпунова [6]. В настоящей статье исследуется система однородных нестационарных ОДУ порядка однородности больше единицы с возмущенными правыми частями. Выявление достаточных условий для устойчивости нулевого решения - основная цель данной работы. Для доказательства используется функция Ляпунова, которая будет строиться на основе соответствующей функции для усредненной системы.

2. Постановка задачи и основные предположения. Будем рассматривать систему дифференциальных уравнений следующего вида:

¿ = Г"

где и - однородные по х функции порядков /х > 1 и а > 1 соот-

ветственно, определенные при t £ [0,+оо) и х е Еп. Систему (1) будем называть возмущенной. Наравне с ней будем также рассматривать невозмущенную систему

х = Р^Ц,х).

Сделаем некоторые дополнительные предположения относительно функций Г11 и, х) и С^,х). Пусть эти функции являются непрерывными по £ и непрерывно дифференцируемыми по х. Кроме того, существуют постоянные ах > 0 и о2 > 0 такие, что при любых £ и х из области определения выполняются неравенства

НСЧ^И^ааМГ

Также будем предполагать, что аналогичные условия выполняются для частных производных по х от х) и для интегралов от функции СЦ^х) и ее частных про-

изводных по х. То есть для любого г = 1 ,...,п существуют постоянные /3,: > 0, 7,- > 0 и V > 0 такие, что

© О. Г. Тихомиров, 2007

дх;

<№11

М-1

г /

Э<У(т, х) дх.

¿т

^ 7»1М

г

IС (т, х)(Ь

Также примем, что для функции существует среднее

(+Т

Г" (ж) = Нт ¿ 7

Т->+оо Т )

причем имеет место равномерная сходимость по (2,ж) € [0,+оо) х {||ж|| ^ 1}. Тогда усредненной системой для невозмущенной системы будет

х = Р»(х).

№

Предположим, что функция Р'1(х) является непрерывно дифференцируемой и система (9) асимптотически устойчива по Ляпунову. В этом случае [4] существует функция Ляпунова для данной системы, непрерывно дифференцируемая столько же раз, как и функция Р^(х). Далее потребуем, чтобы такая функция Ляпунова была, как минимум, дважды непрерывно дифференцируема. Известно [5, 6], что выполнение этого условия будет гарантировать асимтотическую устойчивость для нулевого решения невозмущенной системы (2). Нас же будет интересовать вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения возмущенной системы (1). Хорошо известно, что если а > /¿, то асимптотическая устойчивость нулевого решения невозмущенной системы будет гарантировать асимптотическую устойчивость и для возмущенной системы. Потому нас интересует вопрос получения условий, при которых это свойство будет сохраняться и при а ^ ц. Для решения данной задачи будем использовать функцию Ляпунова, которая строится на основе функции Ляпунова для усредненной системы.

3. Основные результаты. Вначале сформулируем и докажем лемму, которая во многом похожа на результат, полученный в работе [7].

Лемма 1. Если для определенной и кусочно непрерывной по £ € (—оо,+оо) и непрерывной по х £ Еп однородной по х порядка однородности ¡л > 1 функции /'' (¿; х) выполнены условия

т^жмиг,

где М - неотрицательная постоянная;

4+Т

± I Г(т,х)с1т

-+ 0 при Т +00

равномерно по € (-оо,+оо) х {||а;|| ^ 1}, то будет верна оценка

г

< Ш1ИГ •

Здесь <р(е) ^ О и <р(е) — О при е —> 0.

Доказательство. Из условия (10) имеем: существует функция ?/(Т) такая, что верно

ь+т

~ I /"(«,«)А

где т](Т) —> 0 при Т —> оо. Не умаляя общности, можно считать, что ?/(Т) является непрерывной и строго монотонной функцией. Теперь проведем следующую оценку:

оо («+1)Т

£ / е~еи/"(г-и,х)ёи

я=0 яТ

/ }»{т,х)в.т

-оо оо

< Е

в=С

£ (Тт,(Т)е-^+^т + МТе~е$т (1 - е-£Т)) ||х||" ^ (^Шг + Мт) ||г||

/ е~еи/'Чг-и,х)(1и о

( («+1 )Т (8+1 )Т и

е-е(»+1)т I 1»{г-и,х)йи + е / / /11Ц-ь,х)сШи

у еТ зТ вТ

<

£

Обозначим через Те решение уравнения

1 - е-£Т = г/(Г).

Так как т]{Т) —> 0 при Т —» оо, то для Те должно выполняться соотношение

еТе —> 0 при е 0. Тогда, используя условия (12) и (13), получаем оценку

Таким образом, из условия (14) и оценки (15) вытекает справедливость неравенства (11).

Теорема. Если порядки однородности возмущенной системы (1) связаны неравенством

2а >/¿+1,

то нулевое решение данной системы является асимптотически устойчг1вым по Ляпунову.

Доказательство. Из устойчивости усредненной невозмущенной системы (9) следует [4], что существуют однородная порядка т положительно-определенная функция \/Г(х) и положительно-определенная однородная функция IV(х) порядка т 4- ц — 1, связанные равенством

^^(х) = -Щх).

Кроме того, как мы предположили выше, функция V(х) - дважды непрерывно дифференцируемая. Рассмотрим функцию

* % 1 = \-

При < ^ 0 и I € Еп с учетом (3), (4) и (7) справедливы оценки

а1_ Н!!!!"-1 - а4||ж|Г1

а, + ^\\х\\«~1 + а4|ИГ"1]

где а, > 0 для г — 1,...,4. Дифференцируя в силу системы (1), получаем

¿У х)

сН

I I

-е I [Р»(х)-Р(т,х)} с1т+± П [**(*) - Г(т,*)] с1т

о 1о

Упрощая данное равенство, имеем

= -Щх) - 1>(я) -

о *

} ~ Р(т, )] (1т| ж) + х)] +

При £ ^ 0 и х € Еп с учетом (3)-(7) справедливы следующие оценки:

сИ

^ [-«5 + а6г/

где аг > 0 для г = 5, ...,9. Если в качестве /(£, а;) взять функцию

/(*, аг) = 0, Ь < 0,

Дм) =

О о,

то для для нее, в силу предельного соотношения (8), справедливо условие (10). Следовательно, выполнены условия леммы 1 и, таким образом, из неравенства (11) получаем условие

Г)

Тогда выберем е и 8 такие, чтобы при ||х|| ^ <5 выполнялись неравенства:

£

Очевидно, что это можно сделать в силу условий теоремы и условия (19). Тогда V(t,х) положительно определена и допускает бесконечно малый высший предел, а ее производная, в силу системы (1), является отрицательно-определенной функцией. Следовательно [1], нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Нулевое решение системы (1) будет асимптотически устойчиво по Ляпунову при 2а = ß + 1, если функция Ga(t,x) удовлетворяет условиям

г /

дС'1{т,х) dxi

dr

т!И1

а-1

г /

G'(t, x)dT

где 7 - достаточно малая положительная постоянная.

Доказательство. При выполнении условий (20)-(22) и учитывая, что 2сг = ц + 1, оценку (18) можно переписать в виде

dV

dt

£

IMP-1+" [-а5 + aeV(e) 4- атЦ^Г"1 + ап1\\х\\^ + аэ7] -

Отсюда получаем, что при достаточно малом 7 и е в некоторой окрестности х = 0 производная, в силу системы (1), от \г(1,х) будет отрицательно определена, что и требовалось доказать.

Замечание. Ограничение (20) можно заменить условиями, накладываемыми на интеграл. Для этого рассмотрим систему

х = F^(t,x) + G"(u>t,x),

в которой и> - положительный параметр. Для такого типа систем можно сформулиро- • вать следующее утверждение.

Следствие 2. Если 2а = р 4- 1, то существует ио такое, что при всех и ^ шо нулевое решение систе.мы (23) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. В силу ограниченности интеграла (7), при всех О 0 и ш > 0 получаем

t ut

J G" (uiT,x)dr = ^ jG°(e,x)d6

«S -7INI

Си

Учитывая

dt

ЦхГ"^ [-а6 4 абЛ(е) 4 а7||х|Г1 + а*\\х\\Ф + .

Отсюда находим, что при достаточно большом ш и малом е в некоторой окрестности х = 0 производная, в силу системы (1), от У(£, ж) будет отрицательно определена, что и требовалось доказать.

Пример. Рассмотрим систему

4

¿1 = —х\ + 10^1(£):Г2 + соэ^ж'жг,

4

х2 = 10ф2^)х1 - х^ + х\.

В качестве функций и возьмем следующие почти периодические функции:

2 1/" л о о

2л

^ 2-к 72 ^

ф2(г) = еС05(')+С08^г) - ^ ¡,есо^с1т / еС08(^т^г.

Очевидно, что, в силу почти периодичности данных функций, имеет место равномерная сходимость по указанная в условии (8). Причем среднее для этих функций тождественно равно нулю. В данном примере возмущение есть

4

, (вЦ^х 1,32)4 /со ¡>Ц)х1х2\

1,Ж2) = 7 = 4

Функция

14

2ст = — > 4 = 1.

о

Найдем усредненную невозмущенную систему

Х\ =

х2 = -жЗ.

Она имеет нулевое решение, асимптотически устойчивое по Ляпунову, и функция Ляпунова для нее равна

\г(х1,х2) = х\ 4- х\.

Теперь, используя приведенную выше теорему, будем строить для системы (25) функцию Ляпунова в виде (17). Получим

У(х,г) = х2 +х\- [фг^х* + ^(0^2?] йт -

о

I

2

/ - - \ ! / 1сОв(т)х£ Х2 + 8ш(т)ж| XI 1 йт.

о ^ '

Очевидно, что функция У (£, ж) положительно определена и допускает бесконечно малый высший предел для любого конечного е. Найдем производную от этой функции, в силу системы (25):

dV(x,t) dt

= -2x\ - 2x\ + 20e f e-^1"1") [¡¡>i(t)xxxl + ф2(г)х2хf] dr + (25) 0

+ £(t,(? +xl)'2,e).

Здесь £(i, (x\ + x?2) , г) - функция, ограниченная no t, а также удовлетворяющая усло-

О

при

х\ + х2 0.

{х\ + х%)~

В силу доказанной леммы, для любого а > 0 найдется е такое, что будут выполняться неравенства

20 e/e-e<i-rty1(f)d7 о

Отсюда получаем оценку для

^ а,

20е f e~£(i~T)ipi(t)di о

< а.

а именно

dV(x,t) dt

^ —— х\ + a Х1Х2 + о Х2Х'Л +

o

Покажем, что существует а > 0 такая, что —х\ + а [ххЯо | + а \х2х\ | - отрицательно-определенная функция. Для этого нужно убедиться, что

причем равенство 0 выполняется только в точке = 0 и х2 = 0. Разделим левую и правую части неравенства (27) на х\х2 11 сделаем замену Ь = х\/х2. Получаем

, , 1 .,1 Л , 1

t2 + -J - a|i| - a— = t2 + - a ( |i| +

a [\t\ +

N.

2 =

При 0 < а < 1 данное выражение будет больше нуля. Таким образом, (27) также

выполнено. Следовательно, d-требовалось доказать.

является отрицательно-определенной, что и

Summary

Tikhomirov О. G. Stability of systems of homogeneous nonautonomous differential equations.

A system of homogeneous nonautonomous differential equations with disturbed right-hand parts is considered. Conditions for Lyapunov asymptotic stability for this system are determined. A corresponding theorem is proved. In conclusion an illustrative example is given.

Литература

1. Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. С. 7-263.

2. Малкин И. Г. Теорема об устойчивости по первому приближению // Докл. АН СССР. 1951. Т. 76, № 6. С. 783-784.

3. Красовский II. II. Об устойчивости по первому приближению // Прикл. математика и механика. 1955. Т. 19, № 5. С. 516-530.

4. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

5. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 183 с.

6. Тихомиров О- Г. Оценка области асимптотической устойчивости эргодических однородных систем //Труды XXXIV конференции «Процессы управления и устойчивость». СПб., 2003. С. 250-252.

7. Митрополъский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 22 февраля 2007 г.

РЕФЕРАТЫ

УДК 681.3

Буль В. В. Оптимизация алгоритма Заупе для фрактального кодирования изображений

// Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 3-8.

Предложена оптимизация алгоритма Заупе фрактального кодирования изображений, основанная на использовании хэш-таблиц. Приведены экспериментальные результаты, показывающие существенное повышение скорости кодирования при несущественном снижении качества закодированного изображения. Библиогр. 9 назв. Табл. 2.

УДК 517.978

Г а с р а т о в М. Г. Математическая модель управления материальными запасами в случае ценовой конкуренции // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 9-17.

Разработана математическая модель управления материальными запасами в случае ценовой конкуренции между несколькими фирмами на рынке сбыта. Задача решается на двух уровнях: внутренняя неигровая задача, внешняя игровая задача. Внутренняя задача - это задача оптимизации логистических процессов на основе релаксационного метода регулирования запасов, внешняя - задача нахождения равновесной ситуации (ценовых стратегий) по Нэшу. Выведены необходимые и достаточные условия существования равновесной ситуации. Найдены равновесные ценовые стратегии. Даны формулы для определения оптимальных стратегий управления в логистических процессах (внутренней задачи). Библиогр. 8 назв.

УДК 519.7

Житкова Е. М., К о л е с и н И. Д. Задача организации экстренной профилактики групп риска // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 18-21.

Формализован процесс организации очереди на вакцинацию п групп риска в условиях начинающейся эпидемии. Сформулирована задача дискретного программирования, минимизирующая число заразившихся в ожидании очереди. Предложен способ решения и приведен пример. Библиогр. 8 назв. Табл. 1.

УДК 519.71

Завадский С. В. Структурно-параметрическая оптимизация в задаче стабилизации плазмы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Выи. 3. С. 22-29.

Предлагается структурно-параметрическая оптимизация регулятора тока и формы плазмы в тока-маке ITER. В рамках этого подхода проводится оптимизация переходных процессов полной замкнутой системы управления положением плазмы, когда рассматривается полноразмерный объект управления,

замкнутый регулятором пониженной размерности. В качестве интегрального критерия качества выступает функционал, заданный на динамике огибающей траекторий объекта, что позволяет оптимизировать переходный процесс, возмущенный не одним, а целым множеством начальных возмущений. Библиогр. 11 назв. Ил. 4.

УДК 517.558

Козынченко В. А. Аналитические и численные алгоритмы вычисления кулоновского поля пучка заряженных частиц // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 30-44.

Рассматриваются математические модели пучков заряженных частиц, которые можно использовать для учета собственного поля пучка. Предлагается моделировать функцию плотности заряда пучка аналитической функцией. На основе данного подхода получено аналитическое решение уравнения Пуассона. Получены аналитические и численные алгоритмы вычисления собственного поля пучка заряженных частиц. Библиогр. 11 назв.

УДК 517.958:57+531/534:57

Кривовичев Г. В., Трегубов В. Г1. Математическое моделирование биологической подвижности одноклеточных организмов // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 45-53.

Настоящая работа посвящена построению механической и математической моделей реснички. Движения ресничек рассматриваются как частный случай биологической подвижности. Модели служат для проверки гипотез о механизме формирования гребковых движений, при этом внимание уделяется только механическим аспектам проблемы. Библиогр. 15 назв. Ил. 5.

УДК 531.01:629.78

Новоселов В. С. Об особом оптимальном по расходу топлива управлении в центральном гравитационном поле // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 54-61.

Применяются методы аналитической динамики к исследованию оптимального по расходу топлива особого управления в центральном гравитационном поле. Анализируется выполнение необходимого условия оптимизации второго порядка для двух частных решений. Рассмотрены иллюстративные примеры. Библиогр. 7 назв.

УДК 524.4+524.6-32-55

О с и п к о в Л. П. Точки либрации для задачи Бока // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 62-70.

Задача Бока состоит в изучении орбит под совместным действием приливных галактических сил и притяжения скопления, движущегося но круговой орбите. Известная задача Хилла получается как частный случай задачи Бока, когда и галактика, и скопление рассматриваются как точечные массы. Найдено уравнение для нахождения точек либрации этой задачи. Очевидно, одной из них является центр скопления. Получено условие ее устойчивости. Другие точки либрации могут лежать только на прямой, соединяющей центры скопления и галактики, и располагаются симметрично относительно центра скопления. Определены условия их устойчивости. В качестве примера рассмотрена модель скопления Шустера-Пламмера. Получено условие устойчивости ее центра. Найдено, что для этой модели существует только одна пара симметричных точек либрации, являющихся неустойчивыми. Другим рассмотренным примером является сферическая модель Идлиса, имеющая конечный радиус. Получены условие устойчивости ее центра и условие существования симметричных точек либрации внутри скопления. Библиогр. 20 назв.

УДК 519.3

Полякова Л. Н. Непрерывные методы безусловной минимизации гиподифференци-руемых функций // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 71-81.

Рассматриваются два метода минимизации непрерывно гиподифференцируемых функций на всем евклидовом пространстве К". В обоих методах направление спуска находится в результате проектирования нулевой точки на напрерывный гиподифференциал. Шаговые множители выбираются либо из условия Армихо, либо из одномерной минимизации целевой функции вдоль направления спуска. Доказываются теоремы сходимости. Выводятся формулы для определения направления спуска для минимизации функции максимума и суммы модулей непрерывно дифференцируемых функций. Библиогр. 3 назв.

УДК 537.533

Смирнов В. Н., Егоров Н. В. Моделирование детектора гравитационных взаимодействий // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 82-88.

Описаны элементы модели детектора гравитационных взаимодействий, используемого для исследования волновых процессов, в первую очередь гравитационных волн. Предпринята попытка их интерпретации и анализа. Библиогр. 5 назв. Ил. 3.

УДК 533.9.621.039.6

Сухов Е. В. Моделирование полоидальной системы электрических контуров для автоматизации эксперимента на токамаке Гутта // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 89-96.

Рассматривается вопрос моделирования полоидальной электромагнитной системы токамака Гутта, особенностью которого является энергетическая система, построенная на базе конденсаторных батарей. Данная проблема актуальна не только с точки зрения автоматизации экспериментального процесса, но и для расчета различных законов управления. Система, описывающая эволюцию токов в индуктивно связанных активных и пассивных контурах, будет иметь кусочно-постоянные коэффициенты, изменяющиеся лишь в точках переключения. Изменение коэффициентов в таких точках будет подчинено сценарию разряда и конструктивным особенностям установки. Библиогр. 5 назв. Ил. 4.

УДК 62.501.12:512.622:512.643.4

Хитров Г. М. О полиномах с заданными определителями Гурвица и об одном представлении решения матричного уравнения Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 97-104.

Приведены доказательства теорем 1 и 2, опубликованных ранее автором (Докл. АН СССР. 1990. Т. 313, JV» 1. С. 24-26) без доказательства. Кроме того, доказана эквивалентность положительности определителей Гурвица характеристического полинома матрицы соответствующим свойствам решения матричного уравнения Ляпунова (теорема 3). Доказательство проведено без обращения к условиям расположения корней характеристического многочлена на комплексной плоскости. Библиогр. 5 назв.

УДК 004.43+519.683

Еловков Д. Д. Высокоуровневый Haskell Java интерфейс // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 105-114.

Построен высокоуровневый механизм для обращений к виртуальной машине Java из Haskell программы. Java вызовы представлены в виде вычислений в специальной монаде. Предложен способ вызова функций с переменным числом аргументов естественным образом, как обычных Haskell функций. Библиогр. 6 назв.

УДК 517.977

Демидова А. М., Квитко А. Н. Алгоритм решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы с учетом случайных возмущений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 115-122.

Предложен алгоритм построения управляющих функций, при которых решение нелинейной управляемой системы переходит из заданного начального состояния как в произвольную фиксированную, так и в сколь угодно малую окрестность конечного состояния с учетом случайных возмущений и ограничений на фазовые координаты и управление. Получен критерий выбора множества конечных состояний и границы изменения случайных возмущений, гарантирующих существование решения поставленной задачи. Библиогр. 11 назв.

УДК 517.9

Тихомиров О. Г. Устойчивость однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 123-130.

Рассматривается система однородных нестационарных дифференциальных уравнений с возмущенными правыми частями. Установлены условия, при которых нулевое решение данной системы будет асимптотически устойчивым по Ляпунову. Доказана соответствующая теорема. Приведен иллюстративный пример. Библиогр. 7 назв.