Фазовый сплайн-анализ как метод выявления цикличности в экономике

УДК: 330.4

ФАЗОВЫЙ СПЛАЙН-АНАЛИЗ КАК МЕТОД ВЫЯВЛЕНИЯ ЦИКЛИЧНОСТИ В ЭКОНОМИКЕ

Р.Х. Ильясов

Чеченский государственный университет

В статье рассматриваются преимущества сплайн-подхода к обнаружению, визуализации и анализу циклических конструкций в экономической динамике. Особое внимание уделяется способам демпфирования «ложной цикличности» при моделировании экономической динамики «кусочными» функциями на базе сплайнов.

Развитие научно-технического прогрессса и вслед за ним - ускоренное развитие экономики, её глобализация, усложнение за счёт перехода от иерархических структур к сетевым с ослаблением контролирующих и фискальных функций центров - всё это приводит к росту хаотического начала в конъюнктурах. Синергетикой давно было замечено, что чем сложнее система и чем больше в ней связей, тем дальше статистическое описание процессов уходит от «нормального» закона, тем всё больше проявляется антагонистическое начало (конкуренция) во взаимодействии экономических субъектов. Череда экономических кризисов, обогащение современной математики новыми методами и развитие компьютерных технологий в конце XX - в начале XXI веков вновь возродили интерес к проблемам цикличности экономической конъюнктуры. Сегодня начинает развиваться такое направление в экономико-математи-ческом анализе, как экономическая цикломатика [1].

Цикличность не является проявлением только экономических процессов или явлений - циклы обнаруживаются повсеместно в природе, физике, математике, медицине и т.д. Математики научились выделять и представлять циклы в виде фазовых портретов, представляющих собой зависимость первой производной У'(Х) непрерывной функции У(Х) от самой же переменной У(Х). Время X при этом играет роль параметра. Известно,

например, что замкнутая кривая фазового портрета указывает на периодические колебания переменной У(Х), расширяющаяся спираль свидетельствует о росте амплитуды колебаний со временем, «сворачивающаяся» спираль соответствует затуханию колебаний и т.д. [2].

Анализ различных показателей экономической динамики в газовой сфере показал непостоянство их временного класса - на временной класс с различной силой и продолжительностью действуют экзогенные условия, это колебания сезонного спроса, цикличность, как проявление экономических кризисов, меняющаяся структура запасов и потребления энергоресурсов, непостоянство таможенной политики, влияние «событийных составляющих» (российско-украинские газовые взаимоотношения - в этом числе) и т.д. При одних наборах экзогенных условий процесс может показать экспоненциальный рост, при их смене динамика экономического показателя может стать линейно-падающей и т.д.

В качестве объекта исследования мы рассматриваем динамику экспортных цен на газ, так как наличие циклических конструкций здесь имеет ярко выраженный характер. При этом целью анализа становится апробация фазового сплайн-анализа как способа обнаружения, извлечения и идентификации циклических конструкций в экономической динамике.

Важную роль при анализе цикличности играет выбор многочлена и его

кривой, аппроксимирующих динамику исследуемого процесса. Так, если динамика экономического процесса моделируется полиномиальной аппроксимацией, то возникает ряд трудностей, одна из которых состоит в проявлении так называемой «ложной цикличности». При этом не всегда удаётся обосновать выбор сте-

пени аппроксимирующего полинома, увеличение которой усиливает колебательные свойства многочлена и его кривой (рис.1) и, как следствие, получение модели, неадекватной динамике исследуемого процесса.

Рис. 1. Сравнение полиномиальной (пунктир) и сплайновой (сплошная линия) аппроксимации динамики экспортных цен на природный газ. Данные о ценах (в долларах за тысячу кубических метров) со 2-го квартала 2000 г. по 3-й квартал 2002г.

При моделировании непрерывной экономической динамики с помощью аппроксимации используются дискретные узлы процесса для получения приближающего многочлена, а затем выполняются аналитические операции над многочленом, в частности, находятся значения функции в любых точках между узлами. Рис. 1 показывает недостаточность требования совпадения приближающей функции со значениями исследуемого процесса в узлах решётчатой функции,

необходимо учитывать и интерполяционное поведение полиномиальной функции между узловыми точками.

Использование степенной полиномиальной интерполяционной формулы оказывается неточным и нецелесообразным по нескольким причинам. Первое -при большом числе узлов приходим к высокой степени полинома и высоким порядкам его производных. Второе - при наличии в исходных данных аномальных значений, «событийных составляющих»

или «выбросов» интерполяционный полином проявляет колебательные свойства. Третье - колебательные свойства полинома усиливаются по мере приближения к концам рассматриваемого ряда, что делает экстраполяцию, а соответственно, и прогнозирование некорректными. Подобное поведение полином демонстрирует и при большом числе узловых точек и при аппроксимации рядов с неравномерным расположением узлов.

При анализе циклических конструкций в динамике экономического процесса важно учитывать то, что циклы -это последовательность различных фаз: оживления (взлёта), подъёма, пика, спада (кризиса), депрессии, впадины (дна), закономерность смены которых не бывает известной заранее. При этом же временные ряды экономических показателей,

содержащих внутри себя цикличность, приобретают «кусочную» структуру, если во время цикла меняются экзогенные условия. Тогда становятся очевидными необходимость и удобство моделирования циклической динамики экономического процесса с помощью «кусочных» же функций - аппроксимационных многочленов на базе сплайнов [3,4,5].

Математический сплайн д-го порядка непрерывен и имеет (д - 1) непрерывную производную, д-я производная может претерпевать в точках соединения (узлах сетки) разрыв с конечным скачком. Куски сплайна «сшиваются» в узловых точках оптимальным образом, значения функции и всех её производных слева и справа от каждого узла совпадают, т.е.

= -0), ¿ = 0,1,2...?, 1=\...п

Тогда f(x),f'(х),/"(х),...

становятся непрерывными функциями во всём интервале [х1..хп], а структура сплайна автоматически «сшивает» решение в единый ансамбль.

В работе предпочтение отдаётся кубическим сплайн-функциям или сплайнам третьего порядка, потому что они обладают замечательным оптимизационным свойством, называемым «внутренней оптимальностью». У кубических

сплайн-функций оно выражается

теоремой Холлидея, в которой показано, что сплайн-построение минимизирует интеграл:

о

1111 п

Это свойство кубического сплайна называется свойством минимальной нормы или минимальной кривизны. Оно указывает, что между любой парой узлов сплайн пройдёт с минимальной кривизной.

На рис. 2 мы имеем полный цикл, который совпадает с экономическим кризисом 2000 - 2002 гг. Конъюнктура топливно-энергетического рынка практически никогда не остаётся в стороне от экономических кризисов - скорее, она может стать причиной возникновения кризисов, а иногда и выступать индикатором их возможного начала. Связано это, очевидно, со структурой потребления энергоресурсов и в основном для промышленного производства.

Ложная цикличность может послужить причиной необоснованного принятия решений по управлению экономическим процессом. Причинами возникновения ложной цикличности, могут стать выбор модели, неадекватной исследуемому процессу: полиномиальная аппроксимация и сглаживание исходной динамики «скользящими средними».

Рис. 3 является ярким примером демонстрации «ложной цикличности», возникшей при полиномиальной аппроксимации исходной динамики. Вместо од-

а

ного цикла, имевшего место в реальной динамике экспортных цен на газ в 2000 -2002 гг., как это видно на рис. 2, мы имеем несколько циклов, причём скорости

изменения цен (значения первой производной) в последнем случае тоже «ложные».

Рис. 2. Фазовый портрет циклической динамики экспортных цен на природный газ со 2-го квартала 2000 г. по 3-й квартал 2002 г. Сплайн-аппроксимация

Резюмируя, скажем, что при моделировании экономической динамики с помощью сплайнов отсутствуют какие-либо проявления «ложной цикличности». Сплайны наиболее точно моделируют «кусочную» динамику экономических процессов, удовлетворяя при этом предположениям об их непрерывности и инерционности. Использование сплайн-моделей, как наиболее релевантных экономическим процессам при непостоянстве их временного класса, позволяет избежать множества допущений и преобразо-

ваний, получая при этом более качественные результаты. Самоподобие или фрактальность отдельных частей сплайна облегчает математическую (аналитическую и числовую) обработку исходных данных, визуализацию и экономическую интерпретацию результатов анализа. Несомненным преимуществом использования сплайнов в экономико-математическом моделировании, анализе, в выявлении и визуализации циклов является сохранение важного параметра -времени.

Рис. 3. Фазовый портрет динамики экспортных цен на природный газ со 2-го квартала 2000 г. по 3-й квартал 2002 г. Полиномиальная аппроксимация

ЛИТЕРАТУРА

1. Винтизенко И.Г., Яковенко В.С. Экономическая цикломатика. - М.: Финансы и статистика; -Ставрополь: АГРУС, 2008. - 428 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука. 1973. - 832 с.

PHASE SPLINE-ANALYSIS AS THE DETECTION METHOD

R. Hyasov

The article considers the advantages of spline-approach to detection, visualisation and analysis of cyclical constructions in economic dynamics. The special attention is given to methods of damping to "false cyclicity » at modelling of economic dynamics by "patch" functions on the basis of splines

3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. - М.: Мир, 1972. - 318 с.

4. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. -352 с.

5. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984. - 352 с.