Программный инструментарий для лабораторного практикума по математической статистике

Дегтярева О.А. ПРОГРАММНЫЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Данный программный продукт является составной частью программного комплекса, разработанного в СГАУ на кафедре ИСТ для проведения лабораторного практикума по математической статистике и проектированию автоматизированных систем научных исследований.

Программный комплекс предназначен для моделирования непрерывных случайных величин (реализаций случайного процесса) с последующей идентификацией распределения, оценкой параметров распределения и анализом качества полученных оценок.

На рисунке 1 представлена структурная схема разработанного программного комплекса. В его состав входит несколько подсистем:

подсистема имитационного моделирования и первичной статистической обработки случайного процесса; подсистема параметрического оценивания законов распределения;

подсистема получения проекционных оценок плотности вероятности с помощью ортогональных функций и

оценки характеристической функции по параметрам построенной модели;

подсистема аппроксимации характеристических функций и оценки плотности вероятности.

Каждая подсистема содержит необходимые компоненты пользовательского интерфейса и находится на отдельном листе, переход на который осуществляется выбором соответствующей закладки вверху экрана. В верхней части каждого листа находится набор функциональных кнопок, позволяющих сохранять, загружать данные, а также осуществлять расчеты. Для каждой из кнопок предназначена всплывающая подсказка.

Первая подсистема программного комплекса предназначена для генерирования случайных последовательностей (СП) с заданными законами распределения с заданными параметрами; построения гистограммы, полигона частот, кумулятивной кривой и структурной функции; оценивания статистических моментных характеристик. Генерирование СП проводится методом обратной функции. Данная подсистема изображена

на рисунке 2, более подробно эта подсистема описана в [1].

Далее оцениваются полученные вероятностные характеристики. Вторая подсистема [2], представленная на рисунке 3, реализует оценку параметров распределения методами моментов и наименьших квадратов, а также аппроксимацию функции и плотности распределения вероятностей функциями заданного вида с учетом оцененных параметров. Анализ качества построенной оценки и рассчитанных параметров проводится с помощью критериев согласия Пирсона и Колмогорова.

Рисунок 1. - Структурная схема программного комплекса

Рисунок 2. - Подсистема моделирования и первичной статистической обработки СП

Третья подсистема представлена на рисунке 4 и предназначена для получения непараметрических проекционных оценок плотности вероятности. Она реализует алгоритмы аппроксимации плотностей распределения ортогональными функциями Лагерра, Лежандра, Дирихле и Эрмита. Аппроксимация предусматривает подбор оптимальных параметров аппроксимирующих выражений, обеспечивающих минимальную среднеквадратическую погрешность. Существует также возможность определения характеристической функции по параметрам аппроксимирующих выражений.

Рисунок 3 - Подсистема параметрического оценивания законов распределения

Рисунок 4. - Подсистема непараметрического оценивания плотности вероятности ортогональными функциями

При работе в подсистеме 3 необходимо задать начальные приближения параметров аппроксимирующих выражений и получить их оптимальные значения. Данная подсистема позволяет из множества моделей выделить набор удовлетворяющих критериям согласия Пирсона и Колмогорова. Рассчитанные оптимальные параметры аппроксимирующих выражений поступают на вход подсистемы расчета характеристической функции.

Аппроксимируемая плотность рассчитывается в подсистеме 1 (листе моделирования) или загружается в подсистему 3 из файла. Существует также возможность сохранения плотности вероятности. Необходимо выбрать алгоритм аппроксимации рассчитанного или загруженного полигона частот. Аппроксимация может проводиться одним из предложенных алгоритмов:

односторонняя аппроксимация (без разделения на ветви); без нормировки; с нормировкой;

двусторонняя аппроксимация (с разделением на правую и левую ветви относительно существующего глобального максимума, применима для функций Лагерра, Лежандра и Дирихле); без нормировки; с нормировкой; со склеиванием ветвей;

со сглаживанием излома в точке склеивания ветвей.

Выбор алгоритма аппроксимации производится установкой соответствующих флажков. Возможно также отображение графика зависимости погрешности аппроксимации от числа членов разложения в сумме ряда при фиксированном значении масштабирующего параметра ортогональных функций.

Установка флажков «Яе», «1т», «Модуль» или «Фаза» рассчитывает действительную или мнимую части, модуль или фазу характеристической функции, соответствующей полученному аппроксимирующему плотность вероятностей ортогональному ряду.

При нажатии кнопки «Критерий» на экране появляется окно, представленное на рисунке 5. Здесь производится анализ согласованности построенной модели с моделируемой СП по критериям согласия, а также рассчитывается минимальное и максимальное количество элементов в сумме аппроксимирующего ряда, при которых значение соответствующего критерия согласия находится в допустимых уровнем значимости границах.

Рисунок 5. - Оценка качества аппроксимации

Четвертая подсистема позволяет восстановить плотность распределения по параметрам оценки характеристической функции, полученной с помощью аппроксимации ортогональными функциями и подробно описана в [2].

На базе описанного программного комплекса разработан лабораторный практикум, который используется при изучении базовых дисциплин, связанных с моделированием и статистической обработкой случайных процессов - математической статистики и проектирования АСНИ.

ЛИТЕРАТУРА

Прохоров С.А., Дегтярева О.А. Подсистема генерирования псевдослучайных последовательностей автоматизированной системы аппроксимативного анализа законов распределения. / Актуальные проблемы радиоэлектроники. Выпуск 6. Самара: СГАУ 2001, - с. 100-110.

Прохоров С.А., Дегтярева О.А. Автоматизированная система аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов. / Вестник Самарского Государственного Технического Университета. Выпуск 33. Серия "Технические науки". Самара: СамГТУ, - 2005, 360 с. - с. 335-340.

Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов. - 2-е изд., перераб. и доп. /СНЦ РАН, 2001. -3 80 с., ил.