Определение дипольных моментов при моделировании электрической активности сердца с модификацией геометрических параметров

УДК 004.9; 621.317; 612.172.4 DOI 10.21685/2307-5538-2019-1-12

А. В. Кузьмин

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИПОЛЬНЫХ МОМЕНТОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СЕРДЦА С МОДИФИКАЦИЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ1

A. V. Kuzmin

DIPOLE MOMENTS ESTIMATION FOR MODELING OF ELECTRICAL ACTIVITY OF HEART WITH MODIFICATION OF GEOMETRICAL PARAMETERS

Аннотация. Актуальность и цели. Целью настоящего исследования является разработка способа динамического изменения геометрических параметров трехмерной модели в процессе моделирования электрической активности сердца с использованием многодипольной модели эквивалентного электрического генератора сердца, предложенной Л. И. Титомиром, и электрокардиографических данных. Материалы и методы. Теоретическую и методологическую основу исследования представляют фундаментальные труды в области эквивалентного электрического генератора сердца и взаимосвязи элек-трофиозиологических характеристик сердца. В работе используются трехмерные модели на основе опорных точек, схематично представляющие сердце и расположение диполей, при этом используются методы геометрического моделирования. Для определения моментальных значений электрофизиологических параметров при решении систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ используются численные методы. Результаты. В первой части работы предложен и описан способ динамического изменения геометрических параметров модели сердца на основе электрокардиографических данных. Представлен процесс получения параметров многодипольной модели эквивалентного электрического генератора сердца. Определены ограничения на значения параметров, которые необходимо учитывать в процессе решения для сохранения физического смысла и корректности полученных результатов. Выполнен численный эксперимент с использованием реальных исходных данных и схематичной трехмерной модели пространственного расположения диполей, который показал возможность решения поставленной задачи. Приведены результаты вычислительного эксперимента. Выводы. Приведена последовательность этапов модификации геометрических параметров модели сердца, раскрыт этап получения значения дипольных моментов модели, проведен соответствующий вычислительный эксперимент. Результаты исследования позволяют разработать способ динамического изменения геометрических параметров трехмерной модели сердца для использования в качестве программного компонента систем неинвазивной диагностики и симуляционного обучения.

1 Статья подготовлена при поддержке Российского научного фонда (мероприятие «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными, номер проекта 17-71-20029).

© Кузьмин А. В., 2019

Abstract. Background. The aim of this research is the development of method of dynamic modification of heart 3D model geometrical parameters during the process of electrical activity of heart on the base of multi-dipole model of equivalent electric generator of heart proposed by L.I. Titomir and non-invasive electrocardiographic data. Materials and methods. Theoretical and methodological base of the investigation consists of fundamental works in the areas of equivalent electrical generator of the heart and interrelation of electrocardiographic parameters of heart. 3D models methods based on reference points that schematically represent heart and spatial location of dipoles and geometrical modeling methods in general are used in the research. Numerical methods of solving linear algebraic equations systems are used for estimation of instant values of electrophysiological parameters of heart. Results. In the first part of the work the method of dynamic modification of geometrical parameters of model of heart on the base of electrocardiographical data is proposed and described. The process of estimating the parameters of multi-dipole model of equivalent electrical generator of heart is presented. The author determined the limitations of values of parameters that should be taken into account to keep physical meaning and correctness of the results. Computational experiment with real input data and schematic 3D model of dipole spatial location showed the possibility of solving the task. The results of the computational experiment and values are presented. Conclusions. In the paper a sequence of steps of modification of geometric model of heart is proposed, the step of estimation of values of dipole moments is experimentally demonstrated. The results allow developing the method of dynamic modification of geometric model of heart for application as a part of software component of non-invasive diagnostic and simulation training systems.

Ключевые слова: электрическая активность сердца, дипольные моменты, многодипольная модель, трехмерная модель сердца.

Keywords: electrical activity of a heart, dipole moments, multi-dipole model, 3D model of a heart.

Введение

Сердце человека представляет собой один из наиболее интересных объектов для исследования со стороны разных наук. Этот интерес продиктован и практическими соображениями: значительной распространенностью заболеваний сердечно-сосудистой системы, приводящих к потере трудоспособности, а также важнейшей ролью сердца в организме человека.

Что касается задач диагностики, то до сих пор не теряет своей актуальности электрокардиография - наиболее распространенный метод неинвазивный оценки работы сердца. Однако на данном этапе развития информационно-измерительной техники задачи диагностики не сводятся к применению какого-либо метода анализа электрокардиосигнала (ЭКС), например, амплитудно-временного или нейросетевого. Актуальной является задача моделирования электрической активности сердца (ЭАС) на основе неинвазивно полученных электрокардиографических данных [1].

Одной из реализаций такого подхода является программная система «Дэкарто» [2], предназначенная для топической диагностики. В результате работы системы на основе ЭКГ вычисляются параметры ЭАС. Геометрические характеристики сердца определяются шаром, описанным вокруг сердца, и представляют статичную модель.

Моделирование ЭАС востребовано не только в области диагностики, но и в области си-муляционного обучения. В качестве примера можно привести программную систему моделирования и визуализации сердца ECGSim [3]. Она предназначена для изучения ЭАС и моделирования распределния электрических потенциалов по желудочкам сердца, по торсу, а также ЭКГ в произвольных точках. Используются упрощенные статические трехмерные модели сердца и торса.

При этом электрическая активность сердца неразрывно связана с изменением его геометрических параметров [4]. Таким образом, моделирование электрической активности сердца с учетом динамического изменения параметров геометрической модели является актуальной и

востребованной задачей. Ее решение позволит разрабатывать диагностические информационно-измерительные системы для стационарного и мобильного использования для мониторинга работы сердца в повседневном режиме широким кругом пользователей, программные и аппаратно-программные системы для симуляционного обучения [5].

В качестве основы в данном исследовании использована многодипольная модель ЭАС, разработанная Л. И. Титомиром [6]. Выбор продиктован возможностью ее использования для решения обратной задачи электрокардиографии и присутствием в уравнениях в явном виде геометрических параметров, определяемых взаимным пространственным положением поверхностей сердца и торса. Это необходимо для реализации динамического изменения геометрических параметров модели сердца.

Многодипольная модель эквивалентного электрического генератора сердца (ЭЭГС) связывает потенциал в точке отведения на поверхности торса с параметрами диполей, расположенных на поверхности сердца уравнением [6]

где ф/0, В - потенциал в точке измерения у; р, Ом м - среднее удельное сопротивление тела; а, - угол между вектором дипольного момента и прямой, соединяющей у точку отведения с г диполем сердца; г,г, м - расстояние от г диполя до у точки отведений; В,{(), Ам - дипольный момент г диполя модели сердца (г = 1...1) в момент времени I - количество диполей модели сердца; N - количество точек измерения.

Присутствующие в выражении (1) угол а, и расстояние гвычисляются методами аналитической геометрии из трехмерных представлений моделей сердца и торса. Причем достаточно иметь поверхностные модели этих объектов. Предполагается, что эти геометрические модели статичны и параметры, связанные с геометрией, не изменяются в ходе расчета.

В данном исследовании в качестве моделей приняты модели, имеющие простую геометрическую форму и организованные сходным образом (рис. 1): геометрический центр располагается в начале координат; число вершин - 12; трехуровневая структура (по оси у) с 4 вершинами на каждом уровне. В вершинах всех тестовых моделей располагаются диполи, имеющие дипольные моменты вектор дипольного момента соответствует нормали в рассматри-

ваемой точке. Такие модели рассматривались в работах [7, 8] для определения геометрического места точек, в которых расположены диполи на поверхности сердца.

Описание модели ЭАС с динамической составляющей

Рис. 1. Пример схематичного расположения диполей и точки отведения

Для получения параметров ЭАС сердца с использованием многодипольной модели требуется решить обратную задачу по отношению к выражению (1). В этом случае для каждого временного отсчета г набора определяются значения дипольных моментов путем решения СЛАУ [7] с учетом набора соответсвующих углов а и расстояний г Левая часть СЛАУ представлена вектором значений потенциалов в точках на поверхности тела в момент времени т.е. ЕСБ{(). Значения дипольных моментов в момент времени г есть функция от зарегистрированных потенциалов в этот же момент времени, углов и расстояний [5]:

D(t ) = f ( ECS (t ), а, r ),

где а - массив углов а/г-; г - массив расстояний гр; О(г) - массив дипольных моментов О,, рассчитанных для момента времени 1.

Параметры а и г являются статичными на всем анализируемом временном отрезке. С концептуальной точки зрения реализация динамического изменения геометрических параметров модели требует перехода к выражению [3]

D(t ) = f (ECS (t ), a(t ), r (t )).

Выражение (3) описывает моделирование ЭАС с динамическим изменением геометрических параметров в общем виде.

Динамическое изменения геометрических параметров модели.

Алгоритм моделирования ЭАС с динамическим изменением геометрических параметров геометрической модели приведен на рис. 2. Этапы 1-4 являются предварительными и выполняются в параллельном режиме один раз перед началом исследования.

Рис. 2. Алгоритм модификации геометрических параметров модели сердца

Регистрация ЭКС выполняется с использованием цифрового электрокардиографа с использованием системы отведений ЭКГ-12, хотя могут использоваться и альтернативные системы отведений.

Сегментация ЭКС выполняется известными средствами [9], целью этого этапа является выделение основных элементов ЭКГ на оси времени 1.

Регистрация антропометрических данных может выполняться с использованием способа [10]. В результате должны быть получены геометрические параметры моделей сердца и торса, соответствующие индивидуальным особенностям.

В соответствии с полученными индивидуальными геометрическими параметрами синтезируются поверхностные модели сердца и торса пациента, при этом могут использоваться модели, основанные на опорных точках, например, полученные с помощью триангуляции Делоне. Эти модели соответствуют антропометрическим данным человека.

Следующие шаги 5-9 (см. рис. 2) выполняются в цикле с единичным шагом для каждого временного отсчета ЭКС г от 0 до Т, где Т - максимальный номер отсчета. В данном исследовании используется один кардиоцикл, который разбит на 100 отсчетов.

Расчет геометрических параметров модели ЭАС (блок 5 на рис. 2) включает расчет параметров а(1) и г(г) на основе геометрических моделей сердца и торса, соответствующих текущему состоянию на момент времени г.

Определение дипольных моментов (блок 6 на рис. 2) выполняется путем решения СЛАУ [7, 8] в соответствии с многодипольной моделью ЭАС. Затем осуществляется переход от ди-польных моментов к потенциалам участков поверхности сердца (блок 7 на рис. 2), которые отражают активность клеток миокарда [11]. На основе этих данных рассчитываются параметры геометрической модели сердца и выполняется ее модифиация (блок 8, 9 на рис. 2).

Далее операция расчета геометрических параметров модели ЭАС повторяется с учетом модификации геометрической модели для нового момента времени г = г + 1. После чего повторяются остальные шаги расчета.

Получение значений дипольных моментов

Для определения дипольных моментов модели в каждый момент времени г требуется решить СЛАУ, правую часть которой составляют дипольные моменты О1-О12, а левую часть -зарегистрированные на поверхности тела потенциалы 91-912 (см. рис. 1). В случае соблюдения требований к моделям можно получить совместную систему, решаемую матричным способом [8]. Такое решение в виде набора дипольных моментов будет вполне адекватно отражать общую электрическую активность сердца относительно удаленных точек на поверхности грудной клетки. Если ставится цель использования этих значений для расчета локальных изменений геометрической модели сердца, то следует учитывать физиологический аспект процесса.

Известны данные об электрической активности анатомических отделов сердца в различные фазы кардиоцикла [12]. Фазы активности предсердий и желудочков схематично приведены на рис. 3. Кардиоцикл схематично разделен на основных семь фаз (см. рис. 3), соответствующих состоянию деполяризации, реполяризации и покоя предсердий и желудочков.

Таким образом, до начала расчетов дипольных моментов имеется некоторая априорная информация о них, определяемая физиологией активности миокарда. Предлагается учитывать эту информацию в виде ограничений при решении сформированной СЛАУ [7 ,8].

Одним из допущений является то, что за состояние покоя принимается нулевое значение дипольного момента. Следуя схеме, приведенной на рис. 1, диполи О9-О12 отражают электрическую активность предсердий, диполи О\-О8 - желудочков. Это разделение весьма условное, но необходимое для проведения соответствующих вычислительных экспериментов. Использование 8 диполей для моделирования электрической активности желудочков и 4 для предсердий объясняется тем, что, как правило, электрическая активность желудочков представляет больший интерес для целей диагностики и обучения. В системе ECGSim [2] предсердия вообще не рассматриваются.

Следуя принятым допущениям в фазы 1-3 (см. рис. 3), желудочки считаются не активными, а следовательно, соответствующие дипольные моменты необходимо считать нулевыми. В фазы 5-7 дипольные моменты, относящиеся к участкам предсердий, необходимо считать нулевыми.

: Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль о-.............................................................................................

о о

с

1

Рис. 3. Фазы сегментации ЭКГ

Эти ограничения должны быть учтены при решении СЛАУ, которая записывается и решается в матричном виде. При этом каждая строка - это уравнение, определяющее наблюдаемый потенциал в одной определенной точке отведения на поверхности тела, а каждый столбец -это вклад одного определенного диполя в формирование наблюдаемого потенциала.

В соответствии с условиями эксперимента сформирована система, представленная квадратной матрицей 12^12 элементов [8]. Чтобы задать заранее известные нулевые значения ди-польных моментов, столбцы, соответствующие им, необходимо удалить. В результате этого матрица из квадратной превращается в прямоугольную, причем число уравнений превышает число неизвестных. Такие системы относятся к переопределенным и не могут быть решены стандартным способом, например матричным [13].

Одним из решений такой системы может быть сокращение числа уравнений на столько, сколько было удалено столбцов из матрицы. В результате можно будет применить простейший матричный метод и получить точные решения для тех уравнений, которые остались в системе. С случае проверки полученных решений для исходной системы может наблюдаться значительная погрешность при расчете потенциалов в рассматриваемых точках. Это объясняется удалением из внимания части важной информации об имеющихся в системе связях и закономерностях в виде уравнений, связывающих диполи модели ЭАС и регистрируемые потенциалы в точках отведений.

Другим вариантом, позволяющим избежать удаления важных условий из СЛАУ, является применение какого-либо метода, позволяющего найти из множества решений наиболее подходящее решение по заданному критерию. Одним из таких методов, применимых в данной ситуации, является метод наименьших квадратов, основанный на минимизации квадрата невязки между левыми и правыми частями уравнений [13]. Недостатком является то, что он позволяет найти «псевдорешение», наилучшим образом соответствующее заданным условиям с учетом ограничений по числу итераций и целевому значению погрешности.

Предложенные варианты решения рассмотрены в данной работе в ходе вычислительных экспериментов в среде МаАаЬ с использованием реальных ЭКС. Результаты приведены на рис. 4.

На рис. 4 приведен один кардиоцикл ЭКС отведения у6. Данное отведение было выбрано, так как уравнение этого отведения при решении СЛАУ методом сокращения системы было удалено. В данном отведении наблюдаются недопустимые погрешности. В других отведениях ЭКС был восстановлен без погрешности. Метод наименьших квадратов позволил получить решения для всех отведений с допустимой на практике погрешностью. В данном случае максимальное значение абсолютной погрешности Дтах = 0,025, среднеквадратическое отклонение = 0,0224. Это позволяет для решения поставленной задачи выбрать метод наименьших квадратов.

р PQ. QRS ST Т Реполяризация желудочков завершена

Деполяризация предсердий Деполяризация i предсердии завершена « s а сС S Cl 1 t; 1 о 1 c 1 <D l желудочков ь Деполяризация желудочков завершена, \ J Реполяризация J желудочков

2 3 4 5 6 7

номер отсчета Рис. 4. Результаты восстановления кардиоцикла ЭКС

Заключение

Предложен алгоритм моделирования ЭАС с модификацией геометрических параметров модели. Рассмотрен важный этап получения дипольных моментов модели ЭАС с использованием матричного метода и метода наименьших квадратов. Результаты вычислительного эксперимента показывают возможность решения с помощью метода наименьших квадратов с допустимой для практики погрешностью Дтах = 0,025.

Библиографический список

1. Для диагностики будущего // Наука Урала. - 2004. - № 25. - С. 4. - URL: http://www3.uran.ru/gazetanu/2004/10/nu25/nu_252004.pdf (дата обращения: 15.01.2019).

2. Официальный сайт проекта ECGSim. - URL: http://www.ecgsim.org (дата обращения: 15.01.2018).

3. Mateasik, A. DECARTO - a tool for superposition of functional and structural characteristics of the heart / A. Mateasik, L. Bacharova, J. Kniz, L. I. Titomir // Biomediziniche Technik. - 2001. - Вып. 46, № 2. - С. 79-81.

4. Титомир, Л. И. Электрический генератор сердца / Л. И. Титомир. - Москва : Наука, 1980. - 371 с.

5. Кузьмин, А. В. Анализ и моделирование электрической активности сердца с динамическим изменением геометрических параметров модели / А. В. Кузьмин // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2018. - № 1 (63). -С. 95-102.

6. Титомир, Л. И. Математическое моделирование биоэлектрического генератора сердца / Л. И. Титомир, П. Кнеппо. - Москва : Наука ; Физматлит, 1999. - 447 с.

7. Митрохина, Н. Ю. Анализ электрической активности сердца с использованием геометрических параметров / Н. Ю. Митрохина, А. В. Кузьмин, Е. В. Петрунина // Медицинская техника. - 2013. - № 6. - C. 38-41.

8. Кузьмин, А. В. Исследование влияния геометрических параметров модели на ошибку определения параметров электрической активности сердца / А. В. Кузьмин // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2018. - № 4. - 103-112.

9. Clifford, G. Advanced Methods and Tools for ECG Data Analysis / G. Clifford, F. Azuaje, P. McSharry. - Norwood : Artech House, 2006. - 384 с.

10. Пат. 2639018 Российская Федерация. Способ автоматического определения геометрических параметров сердца и торса пациента по флюорографическим снимкам и их визуализации / Бодин О. Н., Кузьмин А. В., Левашов И. А., Ожикенов К. А., Сергеен-ков А. С. ; заявл. 17.05.2016 ; опубл. 19.12.2017, Бюл. № 35.

11. Полосин, В. Г. Система стохастического мониторинга состояния электрофизиологических характеристик сердца на основе энтропийно-параметрического анализа : дис. ... д-ра техн. наук: 05.11.17 / Полосин В. Г. - Пенза, 2017. - 368 с.

12. Плонси, Р. Биоэлектричество. Количественный подход : пер. с англ. / Р. Плонси, Р. Барр ; под ред. чл.-корр. АН СССР Л. М. Чайлахяна и проф. Л. И. Титомира. -Москва : Мир, 1991. - 366 с.

13. Шевцов, Г. С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты : учеб. пособие / Г. С. Шевцов. - Москва : Финансы и статистика, 2003. - 576 с.

Кузьмин Андрей Викторович

кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: a.v.kuzmin@pnzgu.ru

Kuz'min Andrey Viktorovich

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of information and computing systems, Penza State University

Образец цитирования:

Кузьмин, А. В. Определение дипольных моментов при моделировании электрической активности сердца с модификацией геометрических параметров / А. В. Кузьмин // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2019. - № 1 (27). - С. 87-94. - БО! 10.21685/2307-5538-2019-1-12.

í.........................................................................................

Measuring. Monitoring. Management. Control