Фазовая структура колебаний жидкости с плавающей упругой ледяной пластинкой при нелинейном взаимодействии прогрессивных поверхностных волн

ТЕРМОГИДРОДИНАМИКА ОКЕАНА И АТМОСФЕРЫ

УДК 532.59:539.3:534.12 DOI: 10.22449/0233-7584-2018-1-5-19

Фазовая структура колебаний жидкости с плавающей

упругой ледяной пластинкой при нелинейном взаимодействии прогрессивных поверхностных волн

, А. А. Букатов*

Морской гидрофизический институт РАН, Севастополь, Россия *E-mail: newisland@list.ru Поступила в редакцию 10.07.2017 г. После доработки 21.08. 2017 г.

На основе построенных методом многих масштабов асимптотических разложений до величин третьего порядка малости для потенциала скорости движения однородной жидкости конечной глубины и для возвышения поверхности пластинка - жидкость (лед - вода) проанализированы дисперсионные свойства колебаний, формируемых при взаимодействии прогрессивных гармоник поверхностных волн конечной амплитуды. Рассмотрены изменения частоты колебаний за счет вклада обусловленных учетом нелинейности величин первого и второго приближений. Исследовано влияние нелинейности ускорения вертикальных смещений ледяной пластинки на амплитуду, частоту и фазовую скорость волновых возмущений. Показано, что частота колебаний при волновых числах, больших максимального резонансного значения, увеличивается при учете нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки. Растет она и при увеличении толщины пластинки, а смена знака (с плюса на минус) амплитуды второй взаимодействующей гармоники уменьшает значение частоты при фиксированном волновом числе. Рост фазовой скорости при учете нелинейности ускорения значительнее, чем без учета. При отрицательном значении амплитуды второй взаимодействующей гармоники фазовая скорость в случае учета нелинейности ускорения меньше, чем без учета.

Ключевые слова: колебания ледяной пластинки, волны конечной амплитуды, нелинейное взаимодействие волн, изгибная деформация пластинки, фазовые характеристики.

Для цитирования: Букатов А. Е., Букатов А. А. Фазовая структура колебаний жидкости с плавающей упругой ледяной пластинкой при нелинейном взаимодействии прогрессивных поверхностных волн // Морской гидрофизический журнал. 2018. Т. 34, № 1. С. 5-19. doi:10.22449/0233-7584-2018-1-5-19

А. Е. Букатов

Phase structure of fluid fluctuations with a floating elastic ice plate under nonlinear interaction of progressive surface waves A. E. Bukatov, A. A. Bukatov*

Marine Hydrophysical Institute, Russian Academy of Sciences, Sevastopol, Russia *e-mail:newisland@list. ru

Asymptotic expansions up to the third-order terms are constructed based on the multiple scales method for the fluid velocity potential of the finite-depth homogeneous fluid and elevation of the plate-fluid surface (ice-water surface). The obtained expansions constitute a foundation for analyzing the fluctuations' dispersive features formed under interaction of progressive harmonics of the finite-amplitude surface waves. Changes of the fluctuations' frequency taking place due to the contribution of the values of the first and second approximations conditioned by the taken into account non-linearity are considered. The effect of non-linearity of the ice plate vertical displacements' acceleration upon the amplitude, frequency and phase velocity of the wave disturbances is studied. It is shown that at the wave numbers exceeding the maximum resonance value, the oscillation frequency increases in case non-linearity of the plate vertical displacements' acceleration is taken into account. It also grows with the plate thickness, and change of a sign (plus into minus) of the second interacting harmonic amplitude reduces the frequency value if the wave number is fixed. When the acceleration non-linearity is taken into consideration, the phase velocity increases more significantly than when it is not. Under a negative value of the second interacting harmonic amplitude and in case the acceleration non-linearity is taken into account, the phase velocity is lower than when it is not.

Keywords: ice plate fluctuations, waves of finite amplitude, nonlinear interaction of waves, flexural deformation of plate, phase characteristics.

For citation: Bukatov, A.E. and Bukatov, A.A., 2018. Phase structure of fluid fluctuations with a floating elastic ice plate under nonlinear interaction of progressive surface waves. Morskoy Gidrofizicheckiy Zhurnal, 34(1), pp. 5-19. doi: 10.22449/0233-7584-2018-1-5-19 (in Russian).

© Букатов А.Е., Букатов А.А., 2018

Введение. В линейной постановке исследование колебаний в жидкости с плавающей упругой пластинкой проведено в работах [1—8]. Анализ влияния массовых и упругих сил пластинки на характеристики вынужденных неустановившихся изгибно-гравитационных волн малой амплитуды выполнен в статье [9]. Изучению нелинейных колебаний абсолютно гибкой пластинки (битого льда), плавающей на поверхности однородной идеальной жидкости конечной глубины, посвящена работа [10]. Колебания конечной амплитуды в однородной жидкости с плавающей упругой пластинкой без учета нелинейности ускорения ее вертикальных смещений рассмотрены в статьях [11-13]. Оценка влияния нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки, обусловленных ее изгибом, на распространение периодических поверхностных волн дана в работе [14]. Формирование нелинейных колебаний абсолютно гибкой плавающей пластинки при нелинейном взаимодействии бегущих периодических волновых гармоник проанализировано в статье [15].

В настоящей работе исследуются колебания, формируемые в системе ледяная пластинка - жидкость при взаимодействии гармоник бегущих периодических поверхностных волн конечной амплитуды.

1. Постановка задачи. Пусть на поверхности однородной идеальной несжимаемой жидкости постоянной глубины Н плавает тонкая упругая пластинка постоянной толщины к. В горизонтальных направлениях пластинка и жидкость неограниченны. Рассмотрим нелинейные колебания пластинки при взаимодействии первой и второй гармоник прогрессивных волн конечной амплитуды, предполагая движение жидкости потенциальным, а колебания пластинки безотрывными. В безразмерных переменных х = кхх, I = к^, I = ,

2 , — волновое число; g - ускорение силы тяже-

сти; ( - время; ф(х, г, - потенциал скорости движения жидкости; £(х, 0 -прогиб пластинки или возвышение поверхности пластинка - жидкость, задача заключается в решении уравнения Лапласа

Фхх + Ф» = 0, —х — Н < I < С

для потенциала скорости с граничными условиями на поверхности пластинка - жидкость

£ = кС, ф = (к 2Д/к§ V, где к

,4

5% ,5 Огк —^ + кк—

5х 51

. ,2 1 ( 5ф | 5ф

2I 5х I 51

= Р,

5ф 1 Р = С— & 2

5фУ + {5ФЧ 2

5х I I 51

и на дне (г = -Н) бассейна

51

В начальный момент времени

5Ф = 0.

С = I

51

Здесь

д= , в=_1_. к=л£1; 1 РХ 12(1 — V2) р

Е, к, рь V - модуль нормальной упругости, толщина, плотность, коэффициент Пуассона пластинки; р - плотность жидкости. Потенциал скорости и прогиб пластинки при г = £ связаны кинематическим условием

ас — асаф + аф = о. а5)

51 5х 5х 51

В динамическом условии (1.2) выражение с множителем к представляет собой инерцию вертикальных смещений пластинки. Первое слагаемое в скобках этого выражения характеризует нелинейность вертикального ускорения пластинки.

2. Уравнения для нелинейных приближений. Решение задачи

найдем методом многих масштабов [16]. Введем две новые медленно меняющиеся по сравнению с I = Т0 переменные Т1 = е?, Т2 = е2t, где е малое, но конечное, и предположим справедливость разложений

С = <0, ф = ефо, / = /о, Со = ^ + <2 + + °

Фо = ф1 + еф2 + е 2фз + 0(е3 ), /о = /1 + е/2 + е2/3 + 0(е3 ).

Подставив ф из выражений (2.1) в (1.1) и (1.3), с точностью до величин третьего порядка малости получим

Л 2 к 3 к Л 5ф, 2 5ф2 3 5ф3 52 52

еАф + е2Аф2 + е3Аф3 = о, е—1- + е2 —1— + е3 —1— = о, А = —- + —т .

51 51 51 5х 51

Рассмотрим теперь динамическое (1.2), кинематическое (1.5) и начальное (1.4) условия. Представим потенциал скорости поверхности пластинка - жидкость I = е£0 в виде

ф

Подставим £ = е^о, / = /о, ф(х, е^о, ?) и ф1 (х, е^о, ?) в соответствующие условия (1.2) и (1.5), имея в виду при этом, что по правилу дифференцирования сложной функции частная производная по времени определяется выражением

5 5 5 2 5

— =-+ е— + е2-,

5? 5То 5Т 5Т2

и учитывая зависимость от х и I в выражении (2.2). Тогда, собрав коэффициенты при одинаковых степенях е и приравняв их нулю, найдем уравнения

—% + —фп = о, — да< х <<», — Н < I < о ,

сх2 51

бг_кк дФ дФ

ах4

дгдТ0 дТ0

+ Сп = Рп, г = 0:

^п , дФ,

+ -

дТ дг

= X., г = 0,

дФп дг

= 0, г = -Н

С п = /п

дСп дТп

= а, ? = 0

для определения нелинейных приближений. Здесь

?„ = ¥п + Б?, ^ = = X! = Ц = 0, п = 1,2,3;

К = С

д2ф1 , дФ^ д^1 дФ1 1

+

+ -

дТ0дг дТ дТ дг 2

дФ1

дх

дФ1

дг

+ ккЫ,

N =

дТ0 дг2

+С1

д3Ф1 , д2Ф1

+ -

дТ дг2 дТ1дг'

2 дх дх 1 дг2 дТ '

Рз = +С 2

д Ф1 | дФ2 | дФ1 дФ дФ2 дФ1 дФ2

дх дх дг дг

- +

- +

дТ дг дТ дТ2

+ N + ккЖ

ДТ- - д2Ф1 | д2Ф2 д2Ф1 дФ1 , д2Ф1 (дС1_ дФ^

дТдг дТ0дг дгдх дх дг

2 дТ \д10

дг

+1С д3Ф1

2 С1 дТ дг2 '

дТ дг дг ^дГ0 дТ1 дх дх

N3 +-С2

К 2 д4Ф1

2 1 дТ0дг

+ С 2

д3Ф1 52Ф1 ГдС 2 ,дС1

дТ0дг2

- +

дг 2

+ -

удТ0 дТ1

+ -дФ- + N3 дгдТ

н = д3Ф2 , д^^Ф^ д3Ф1

дТ дг2 дТ0 дг3 дг 2дТ '

^ =_дС1 д 2Ф2

дТ0 дг2

дгдТ

Х3 = СЛ-С

д2Ф^ дС 2 дФ^ дС1 дФ2 дС 2 дФ1 Г дС1

2 дг2

+

- +

+ -

дх дх дх дх дТ дТ2 дг ^ дх

N =

дС1 д2Ф2 К д3Ф1

9 С1 ^

дх дгдх дг 2 дг

К0 = -кк

д2Ф1 дФ1 дхдг дх

К30 = -кк

СД7 + -

д2Ф1 Г дФ2 , дС1 дФ1 ^ дФ1

дх

- +

дхдг I дх дх дг

2

2

д Ф2 , дс! дхдг дх дг 2

2

2

2

N =

f 2 \ 5

8 Ф1 , 8Ф1 а ф G = G = _8C1_

8x8z " " ^ "_ "

8x 8x8z2' 2 8T ' 3 8T2 8TX

I 0 Т? 0

Отметим, что слагаемые F2 , , входящие в правые части динамических условий (2.4) для второго (n = 2) и третьего (n = 3) приближений, обусловлены учетом нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки.

3. Выражения для прогиба пластинки и потенциала скорости движения жидкости. Уравнения (2.3)-(2.7) получены для общего случая неустановившихся колебаний конечной амплитуды. Найдем решение этих уравнений в случае взаимодействия бегущих периодических волновых гармоник = cos9 и £12 = a1 cos29, 9 = x + тТ0 + Р(Т15Т2). Зададим первое приближение (n = 1) возвышения поверхности пластинка - жидкость в виде

С1 = Сп +С12,

где а1 - постоянная порядка единицы, а Р = 0 при t = 0. Удовлетворяя условию на дне и учитывая взаимосвязь волновых характеристик через граничные условия (2.4), (2.5), можно записать

ch(z + H) . . ch2(z + H) .

Ф, =т —--sin 9 + a-^-sin 29

shH sh2H

t2 =(1 + D1k 4 )(1 + кк thH )_1thH.

Амплитуду а1 и фазовый сдвиг Р^, Т2) определим из последующих приближений.

Подставив и ф! в правые части динамического (2.4) и кинематического (2.5) уравнений для второго приближения и решив задачу (2.3)-(2.7) при п = 2, учитывая требование отсутствия первой и второй гармоник в частном решении, найдем и ф2. В свою очередь, и ф1 и и ф2 определяют правые части динамического и кинематического условий при п = 3. Исключив из них слагаемые, порождающие секулярность, найдем и ф3.

В результате возвышение поверхности бассейна £ и потенциал скорости движения жидкости ф в безразмерных переменных до величин третьего порядка малости определяются из выражений

3 4 6

„п cn<j?A +'

^ = s cos 9 + £s nan cos 29 + Z sn Z an;. cos j9 +s3 Z a3n cos n9,

n=2 j=3

shH n=1

34 6

t 3

Ф = s-ch(z + H)sin 9 + Z snhn2ch2(z + H)sin 29 +

+ ZsnZbnjchj(z + H)sin j9+s3^lb

3nchn(z + H)sin n9 + *Zs"bn0t '

n=2 j=3 n=5 n=2

3

n=1

n=5

3

9 = х + С,с = х + 8СХ + 8 с2,8 = ак,

где а - амплитуда начальной гармоники. Здесь

(

= а-, а = ±

12 1 8Ь2Н

Ц 2 Г1

у 4г2

( ( 2с1ЬН + ШН

- + с1Ь2Нс1ЬН - кк I с1Ь2Н — с1ЬН

2 I 2

(

хц2

(

2с1ЬН + 1Ь2Н

1

с1ЬН| -с1ЬН + 3кк 1--

//

4а1 (2х2с1Ь2Н + 4х2 кк + ц 2)(1 + 2кк 1Ь2Н) /3 = - 3 ^ х(2с1Ь 2Н + с1ЬН), /4 = -4а12с1Ь2Н,

2

(

/7 = а х2

11 - с1Ь2Нс1ЬН + кк( 5с1Ь2Н - 1сЛН

у 2 I 2

/8 = ах2х2 (5 - с1Ь22Н + 4кк с1Ь2Н), /3 ц + 3/7 х

Л

Ъ23 =

Ъ24 =

38И3Н(ц - 9ккх2 - 3х2с1Ь3Н) /4ц4 + 4/8х

а.

38И4Н(ц4 - 16ккх2 - 4х2с1Ь4Н) = ц31 (/7 + 3хЪ23 (сИ3Н - кк38И3Н)), = ц-1(/8 + 4хЪ24 (сИ4Н - кк48И4Н)),

5 3 2 3

Уз = -—х -—аг х - 6Ъ24сЬ4Н - — а24хс1ЬН + 3а23с.

9

у4 = -—а х - 6Ъ23 сЬ3Н - 2а23 хс1ЬН + 4а24 с ,

у5 =-69а12х-10Ъ24сИ4Н-—а24хс1ЬН-5а1| 3Ъ23сИ3Н-а23хсШ2Н |, 8 2 у 2

у6 = -5а3х - 6а (2Ъ24 сИ4Н - а24 хс1И2Н),

с1ЬНГ 1с1ЬН + 3кк | - 5 11 (х2 (с1ЬН + кк) + ц ),

+ ц| -с1ЬН + с1Ь2Н |,

2

'2 =х

а

23

m = т| 9 a a + 2b24 ch4H (2th4H - cthH )| + ^ т2 [ ^cthH (l - 23a2 )+ 7a2cth2H

—3a

24

+ 3b23 a ch3H + кk (т(2Ь24 sh4H (l1cth4H - 4cthH )+ 3a a +

+ Í2cth2H + lcthH | + т2

f

alI 21 -2cth22H-—cthHcth2H |-1 -3a24cthH-

- lcth2H ] + 9b23a sh3H

Л

m

= т[ 4a a2 + 3 b23 ch3H (5th3H - cthH )] + 2т21 a cth2H -1 a cthH + a23 ] +

2

4

+ 4b24ach4H + кk т| 3b23 sh3H(l1cth3H - 3cthH)+Safocth2H | +

f

+ т

37 , „ 3 2]

al--4cth2HcthH—cth2H | + 2a.cthH

V 1V 4 4 J 23 /

Л

+ 16b24 a sh4H

m = т

2b24ch4H(6th4H -cthH)+3b23ach3H| 7th3H - cth2H | | +

7

7

5

+ т21 7 a2cth2H — a2cthH + 5a23aj + - a24 | + кkК

11

2

+ 3b3ash3HI 11 cth3H - 3cth2H | | + т21 a21 3 - 6cth2H - 11 cth2HcthH | +

11

T

+ 10a23a cth2H + — a24 cthH

+

6 = 4^24^ c h4H (4th4H - cth2H )+т2a1 (a2cth2H + 6a24 )+

2кka (4x^24 sh4H (5cth4H - 2cth2H )+т2 (6a24 cth2H - a\ (l + 4cth2 2H

f

3

2

3 15

—b2a ch3H - т|---ax + cth2H

S4

+ т a1 ~al +

+ 3b23ch3HI -th3H + cth2H

2

Л

+ т3

9a12cth2H + a1a23 + 3cthH15 - a2

+

+ т3

( f

т2a1 V v

3b23sh3HI -cth3H + 3cth2H |- 2a1cth2H + ^cthH

+

1

2a3acth2 H +1 ^cth2H + 3 + a21 Scth2 2H + cthHcth2H + 39

3

2 1 q„+U2'

2

S

39

1

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Т. 34, № l 20l8

ll

42 =Ц2 (3Ъ23с

2х21 -Ъ23сЬ3Н(сЮН - 1Ь3Н)+ 4Ъ24<ас&2НсЬ4Н - с,

- 2х3 (а23 + а (3а с1ЬН + 2а24 + с102Н (5а2

- 2111+

ккI 2х2( 3Ъ23§Ь3Н(3сЛН - 5с103Н)+ 8Ъ24а8Ь4Н(2с1Ь2Н - с104Н) -с сЮН

+ 2х3

2а3 (3 + 4с1Ь2Н )+ ах \4с102Н (а24 + с&Н)+1с1Ъ2Н - 31 + а23 с10Н

С = -

42

Ц 2а1ц 2

, Ъ3п =

УпЦп + птпх

п $опН

/у

п = 3...6,

а

3п =(пхЪ3п(сЪпН + пкЫтН)+тп)ц-1, п = 3...6, цп = 1 + п4Дк4, п = 1...6,

Ъ20 = ^

з2 (1 + с102 2Н )+1 (1 + с102 Н) + кк 11 сШ + 4а2с10 2Н

(

Ъ30 = а1х2

1

9

1

2с102Н + 1с1ЬН + кк| 9 + 2сШ2Нс1ЬН - 1с1Ь2Н 2 14 4

ПРи этом Ъ22 = Ъ32 = а2 = а3 = /1 = /2 = /5 = /6 = Л = У2 = т = т2 = 0 .

Формулы (3.3)-(3.4) для £ и ф определяют формируемое волновое возмущение и при отказе от учета нелинейности ускорения вертикальных смещений льда в динамическом условии (2.4). Однако в таком случае следует учесть, что

Г л Г л \\

1 + с102Нс10Н - кк| 2с102Н +1 с10Н

2 I 2

+ ц| 1с1ЬН + с102Н

(

/7 = а1х2

11 -сШ2Нс1ЬН + кк| 6с102Н -3с10Н

2 I 2

т.

= х| 2Ъ24сЬ4Н(21Ь4Н - сШ)+9 ахс | +1 х2 ( а2х \ 7сЛ2Н - 23 сШ | +1 сШ -

- 3а24) + 3Ъ23ссЬ3Н + ккх( 3а1с10Н + 2с&2Н |+ 3х(—а2 +1 - а24с^оН

2 У 4

+ 24Ъ24 сЬ4Н + 9Ъ23 С *03Н),

= х| 3Ъ23сЬ3Н(5103Н - с10Н) + 4са2 | + 2х2 ( а I сЮ2Н - 1с0Н

т

^ 23 ч / 111 I 11 ^

+ 4Ъ24с1сЬ4Н + ккх(2(9Ъ23сЬ3Н + 4а12с1с102Н)+ х(5а1 + 2а23сгШ) + 16Ъ24с18Ь4Н ),

+а

+

+

+

+

+

+

+

1

4

2

Г2 =х

+

Ч 2гь,Л4Я(б1Ь4Я -cthH)+ ^ЗЯ - ^ , | +

+ x21 7a2|cth2H -1cthHj + 5|a23aj + 1a24+ 5Kkx|8b24ch4H + 9b23ach3H +

' 17 1

+ т| 17 а2 + 2a23aj cth2H + a24 cthH

6 = 4b24 xa ch4H (4th 4Я - cth2H )+x2a (a2cth2H + 6a24 ) КЦ x(48b24 ch4H + х(ба2 +12a24 cth2H )),

+ Kka xl48b24 ch4H + x(6a2 + i2a24> ( 3 115 ,„„3 ^

— x-а I — а x + аз xcth2H + — b23 ch3H 8 v 4 2

.2

1

3b23 ch3H ^ th3H +

+ cth2H)-1 a | + x3 —cthHi- - а21 + 9a2cth2H + аха

2 1 J 4 i 2 1 I 1 1 23

2 J V4 V2 J j

-Kkx2|a^ch3H + 2cth2H-—cthHj + x|—а2 -2a23acth2H + —

, (3b23ch3H - 3aj3x + 4b24a—ch4H + a23xcthH + 2a24xa1cth2H )+ + x2 (8b24acth2Hch4H - 3b23ch3H(th3H - cthH) - 2a) + x3 (2a2(5acth2H + + 3cthH )+4a (a24 - cth2H )+a23 ) - 2ккх2 (9b23 ch3H + 16ab24 ch4H + a cthH + 24cth2H )- a23c

b30 = a x21 2cth2H +1 cthH |.

x2

2H +

2

В размерных переменных (Z*, ф*, х1, zb tb a) получим

(2 3 2 \ I 2 3 2 \

a каз + a k a33 )cos30 + (a k^ + a k a34 )cos40+ ^ + a2к2a35 cos 50 + a2к2a36 cos 60,

Ф = a^g j ch(z + H)sin 0 + b12ch2(z + H)sin 20 j + a2*Jkg(b23ch3(z + H)+

+ ¿24ch4(z + H)sin 40 + b2i)t)+ a3k^/kg(b33ch3(z + H)sin 30 + b34ch4(z + H)sin 40 + + b35 ch5(z + H )sin 50 + b36 ch6(z + H)+bot),

0 = kx + ^/kg(x + aka1 + a 2k 2a2 )t. Здесь и далее индекс 1 у латинских символов x, z, t и знак звездочки у греческих ^ и ф опущены.

4. Анализ результатов. Полученное решение (3.6) справедливо вне малых окрестностей резонансных значений волнового числа к, являющихся положительными действительными корнями к = кь к = к2, к = к3, к = к4 уравнений

ця-n2x2Kk -nx2cthnH = 0, n = 3...6

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Т. 34, № 1 2018 13

соответственно. При этом ^ > k2 > kз > Отметим, что одно из этих резонансных значений k = получаемое из уравнения (4.1) при п = 3, совпадает с меньшим из двух резонансных значений, получаемых в случае, когда первое приближение £1 задается в виде £1 = Си [14].

Чтобы количественно оценить влияние упругих и массовых сил пластинки на характеристики формируемых возмущений, проводились численные расчёты при значениях модуля упругости E = 0,5-109-3-109 Н/м2, коэффициента Пуассона V = 0,34 и плотности р^р = 0,87, соответствующих ледяной пластинке [17]. На рис. 1, 2 приведены профили возвышения поверхности лед - вода (изгиба ледяной пластинки) вдоль направления перемещения волны (отрицательное направление оси х) для E = 3-103 Н/м2 и значений h = 1 м, Н = = 100 м при t = 17 мин, k = 0,21 м-1, 8 = аk = 0,21 (рис. 1) и t = 10 ч, k = 7-10-3 м-1, 8 = 1,4-10-2 (рис. 2). Профили С(х) на рис. 1, а; 2, а соответствуют положительному значению амплитуды второй взаимодействующей гармоники (а! > 0), а на рис. 1, б; 2, б - отрицательному (аг < 0). Штриховые линии - профили, полученные с учетом нелинейности ускорения вертикальных смещений ледяной пластинки (Т2° Ф 0, F30 Ф 0), а сплошные - без учета ^20 = 0, F30 = 0).

1.5

О 20 40 60 80

Рис. 1. Профили волны изгибной деформации ледяной пластинки при амплитуде начальной гармоники a = 1 ми волновом числе k = = 0,21 м-1, если al > 0

0 400 800 1200 1600 2000

1 Qa

0 400 800 1200 1600 2000

Рис. 2. Профили волны изгибной деформации ледяной пластинки при амплитуде начальной гармоники а = 2 м и волновом числе 7-10"3 м-1, если a1 > 0

Из анализа графиков С(х) следует, что при взаимодействии волновых гармоник учёт нелинейности ускорения вертикальных смещений ледяной пластинки при ее изгибной деформации ускоряет смещение профиля волны в отрицательном направлении оси х (направлении движения волны) и незначительно изменяет амплитуду волны изгиба, зависящую от волнового числа

и характеристик пластинки. При а1 > 0 максимальные смещения поверхности бассейна достигаются в вершинах поднятий волны, а минимальные - в подошвах впадин. Изменение знака амплитуды а] второй взаимодействующей гармоники обусловливает существенную деформацию профиля изгиба. В случае а] < 0 максимальные смещения профиля проявляются в виде впадин. При этом учет нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки при изгибе обусловливает замедление скорости перемещения волны. С увеличением длины волны основной гармоники становится заметнее вклад высших гармоник во впадинах и поднятиях на профилях ^(х), а с ее уменьшением - профиль волны приближается к гармоническому виду.

Распределение по волновому числу частоты колебаний в линейном случае и обусловленной учетом нелинейности величины сдвига частоты в приближении порядка малости в и в приближении порядка в2 показано на рис. 3, 4, 5 соответственно при Н = 100 м. На рис. 3 кривые 1, 3, 4 получены при к = 0,5 м, а кривые 2, 5, 6 - при к = 1 м. Линии с номером 3, 5 отвечают модулю упругости Е = 109 Н/м2, а с номером 4, 6 - значению Е = 3-109 Н/м2. Кривые 1, 2 соответствуют случаю абсолютно гибкой пластинки (Е = 0), моделирующей битый лед. Приведенные графики свидетельствуют об увеличении линейной компоненты частоты колебаний с ростом толщины льда и его модуля упругости, что согласуется с работами [9, 17]. Чем короче длина волны (большее значение волнового числа), тем значительнее проявляется влияние к и Е. В длинноволновом диапазоне оно практически отсутствует.

Рис. 3. Распределение частоты колебаний по волновому числу в линейном случае при толщине льда 0,5 м

Fig. 3. Distribution of the fluctuation frequency with respect to the wave number in the linear case with an ice thickness 0,5 m

Рис. 4. Распределение по волновому числу обусловленной нелинейностью компоненты частоты колебаний в первом приближении без учета множителя s = ak в случае a1 > 0 при h = 0,5 м

Распределение обусловленной нелинейностью компоненты частоты колебаний по волновому числу в приближении порядка в без учета множителя е = ак приведено на рис. 4 для а1 > 0 , где кривые с номером 1, 2 соответствуют к = 0,5 м, а с номером 3, 4 значению к = 1 м. Кривые 1, 3 получены при Е = 109 Н/м2 ', а кривые 2, 4 - при Е = 3-10 Н/м . Сплошные линии построены без учета нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки, а штриховые с учетом. Из рисунка видно, что влияние нелинейности ускорения (Т2° Ф 0, Т3° Ф 0) проявляется в увеличении сдвиговой компоненты частоты в приближении порядка в. Причем вклад учета нелинейности ускорения растет с увеличением волнового числа (уменьшение длины волны). В случае а1 < 0 величина приведенной компоненты сохранится, но знак изменится на противоположный. Это видно из выражения сь где в знаменателе присутствует а1. Следовательно, смена знака а1 ведет к смене знака с1.

0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02 0,08 0,12 0,16 0,2

Рис. 5. Распределение сдвиговой компоненты частоты колебаний второго порядка малости по волновому числу с точностью до множителя при üi > 0, если к < к4

Дисперсионные кривые, связывающие сдвиговую компоненту частоты второго порядка малости с волновым числом, показаны с точностью до множителя s2 = а2к2 на рис. 5 при фиксированном s в случае a > 0. При этом на рис. 5, а они приведены для значений волнового числа из диапазона к < к4, а на рис. 5, б - для к из диапазона к > ку. Все обозначения на рис. 5 те же, что и на рис. 4. Поведение графиков свидетельствует, что в диапазоне к < к4 существует такое значение волнового числа, при переходе через которое знак компоненты порядка малости s2 меняется с плюса на минус. В диапазоне к > ку эта компонента отрицательна при рассмотренных значениях к. Учёт нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки уменьшает величину модуля компоненты при фиксированном значении к. Увеличение упругости пластинки приводит к росту абсолютной величины сдвиговой частоты. Аналогичный эффект наблюдается и при увеличении толщины ледяной пластинки. Характер распределения сдвиговой

частоты второго порядка малости по волновому числу при фиксированном в для а1 < 0 в качественном отношении практически такой же, как и при а1 > 0 (рис. 5).

Рис. 6. Распределение частоты колебаний, формируемых при нелинейном взаимодействии волновых гармоник, по волновому числу при a1 > 0

Рис. 7. Влияние учёта нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки на фазовую скорость сформировавшейся изгиб-но-гравитационной волны Fig. 7. The influence of taking into account the nonlinearity of vertical displacement acceleration of the plate on the phase velocity of the generated flexural-gravitational wave

Распределение частоты колебаний {с = л[к^{г + аксх + а2к2с2)), формируемых при нелинейном взаимодействии волновых гармоник, по волновому числу приведено на рис. 6. Здесь линии 1, 3 приведены для а! > 0, а линии 2, 4 - для а1 < 0. Линиям 1, 2 отвечает толщина пластинки 1 м, а линиям 3, 4 - толщина 0,5 м. Штриховые кривые показывают распределение частоты колебаний при учете нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки при ее изгибной деформации, а сплошные линии - без учета. Как и следовало ожидать, учет нелинейности ускорения приводит к увеличению частоты колебаний. Растет с и при увеличении толщины упругой пластинки. Смена знака амплитуды а! с плюса на минус уменьшает значение частоты колебаний при фиксированном волновом числе.

Влияние учета нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки при ее изгибе на фазовую скорость сформировавшейся изгибно-гравитационной волны конечной амплитуды иллюстрируют графики и(к), изображенные на рис. 7 для к > к\. Они получены при а! > 0, Н = 100 м, к = 1 м, Е = 3109 Н/м2 как с учетом (штриховая линия), так и без учета (тонкая сплошная линия) нелинейности вертикального ускорения. Толстая сплошная линия представляет фазовую скорость в линейном приближении. Анализ результатов численных расчетов в рассматриваемом диапазоне волновых чисел показывает, что учет нелинейности обусловил увеличение скорости перемещения волны изгиба. При этом увеличение скорости при учете

нелинейности вертикальных смещений больше, чем без ее учета. Отметим, что с ростом толщины пластинки или модуля ее упругости растет и значение фазовой скорости [9, 17].

Если а1 < 0, то значения и(к) в случае учета нелинейности ускорения меньше, чем без учета. При этом и(к) как при учете, так и без учета нелинейности ускорения принимает меньшие значения, чем в линейном приближении.

В диапазоне волновых чисел к < к4 (длинные волны) влияние характеристик пластинки на распределение и по к практически не проявляется [9, 17]. Зависимости и(к) с учетом и без учета слагаемых Т2° и Т3° в выражении (2.4) совпадают между собой как для а1 > 0, так и для а1 < 0. Причем в случае а1 > 0 график и(к) проходит выше соответствующего линейному приближению, а в случае а1 < 0 ниже, хотя и незначительно.

Заключение. На основе построенных методом многих масштабов асимптотических разложений до величин третьего порядка малости для потенциала скорости движения однородной жидкости конечной глубины и для возвышения поверхности пластинка - жидкость (лед - вода) выполнен анализ фазовых характеристик возмущений, формируемых при нелинейном взаимодействии двух бегущих периодических волн. Дана оценка вклада обусловленных нелинейностью величин сдвиговой частоты колебаний в приближении первого и второго порядка малости. Показана зависимость этих величин от знака амплитуды второй взаимодействующей гармоники и от учета нелинейности ускорения вертикальных смещений ледяной пластинки. Смена знака амплитуды второй гармоники приводит к изменению знака сдвиговой компоненты частоты в первом приближении. Влияние нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки проявляется в увеличении этой сдвиговой компоненты частоты.

Учет нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки уменьшает величину модуля сдвиговой компоненты второго порядка малости. Увеличение упругости (или толщины) пластинки приводит к росту абсолютной величины этой компоненты.

Частота колебаний с учетом обусловленных нелинейностью сдвиговых компонент при волновых числах, больших максимального критического значения, увеличивается при учете нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки. Частота растет и при увеличении толщины пластинки, а смена знака амплитуды второй гармоники с плюса на минус уменьшает значение частоты при фиксированном волновом числе. В этом диапазоне волновых чисел нелинейность обусловливает увеличение скорости перемещения волны изгиба при положительном значении амплитуды второй гармоники. Рост скорости при учете нелинейности ускорения вертикальных смещений больше, чем без учета. При отрицательном значении амплитуды второй гармоники в случае учета нелинейности ускорения фазовая скорость меньше, чем без учета.

В длинноволновом диапазоне при волновых числах, меньших минимального критического значения, влияние характеристик пластинки на распределение фазовой скорости по волновому числу практически не проявляется.

Распределения фазовой скорости по длине волны с учетом и без учета нелинейности ускорения совпадают между собой как при положительном, так и при отрицательном значении амплитуды второй гармоники. Причем для положительного значения амплитуды величина фазовой скорости больше, а для отрицательного - меньше, чем в линейном приближении.

Работа выполнена в рамках государственного задания по теме № 08272018-0003.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хейсин Д. Е. Нестационарная задача о колебаниях бесконечной пластинки, плавающей на поверхности идеальной жидкости // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 1. С. 163-167.

2. Ткаченко В. А., Яковлев В. В. Неустановившиеся изгибно-гравитационные волны в системе жидкость-пластинка // Прикладная механика. 1984. Т. 20, № 3. С. 70-75.

3. Squire V. A. A theoretical, laboratory, and field study of ice-coupled waves // J. Geophys. Res. 1984. Vol. 89, iss. C5. P. 8069-8079. doi:10.1029/JC089iC05p08069

4. Schulkes R M. S. M, Sneyd A. D. Time-dependent response of floating ice to a steadily moving load // J. Fluid Mech. 1988. Vol. 186. P. 25-46. https://doi.org/10.1017/S0022112088000023

5. Duffy D. G. The response of floating ice to a moving, vibrating load // Cold Reg. Sci. Tech-nol. 1991. Vol. 20, iss. 1. P. 51-64. https://doi.org/10.1016/0165-232X(91)90056-M

6. Moving loads on ice plates / V. A. Squire [et al.]. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1996. 236 p. https://doi.org/10.1007/978-94-009-1649-4

7. Pogorelova A. V., Kozin V. M. Flexural-gravity waves due to unsteady motion of point source under a floating plate in fluid of finite depth // J. Hydrodynam. 2010. Vol. 22, iss. 5, suppl. 1. P. 71-76. doi:10.1016/S1001-6058(09)60172-4

8. Стурова И. В. Влияние ледяного покрова на колебания жидкости в замкнутом бассейне // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2007. Т. 43, № 1. С. 128-135.

9. Bukatov A. E., Cherkesov L. V. Transient vibrations of an elastic plate floating on a liquid surface // Soviet Applied Mechanics. 1970. Vol. 6, iss. 8. P. 878-883. https://doi.org/10.1007/BF00889434

10. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Propagation of surface waves of finite amplitude in a basin with floating broken ice // Int. J. Offshore Polar. 1999. Vol. 9, no. 3. P. 161-166.

11. Гольдштейн Р. В., Марченко А. В. О длинных волнах в системе ледяной покров - жидкость при наличии ледового сжатия // Электрофизические и физико-механические свойства льда. Л. : Гидрометеоиздат, 1989. С. 188-205.

12. Гладун О. М., Федосенко В. С. Нелинейные установившиеся колебания упругой пластины, плавающей на поверхности жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 3. С. 146-154.

13. Ильичев А. Т. Солитоноподобные структуры на поверхности раздела вода - лед // Успехи математических наук (УМН). 2015.Т. 70, вып. 6. С. 85-138. doi:10.4213/rm9690

14. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Finite-amplitude waves in a homogeneous fluid with a floating elastic plate // J. Appl. Mech. Tech. Phy. 2009. Vol. 50, iss. 5. P. 785-791. https://doi.org/10.1007/s10808-009-0107-x

15. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Interaction of Surface Waves in a Basin with floating broken ice // Physical Oceanography. 2003. Vol. 13, iss. 6. P. 313-332. https://doi.org/110.1023/ B:POCE.0000013230.35798.a4

16. Найфе А. Х. Методы возмущений. М. : Мир, 1976. 455 с.

17. Хейсин Д. Е. Динамика ледяного покрова. Л. : Гидрометеоиздат, 1967. 215 с.

Сведения об авторах:

Букатов Алексей Евтихиевич, заведующий отделом океанографии ФГБУН МГИ (Севастополь, Россия), доктор физико-математических наук, профессор, ORCID: 0000-0001-8666-7938.

Букатов Антон Алексеевич, старший научный сотрудник отдела морских информационных систем и технологий, ФГБУН МГИ (Севастополь, Россия), кандидат физико-

математических наук, ORCID: 0000-0002-1165-8428, newisland@list.ru.