О кольцевых структурах на множестве целых чисел

ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 2

УДК 512.536.2

DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-2-6-17

Хорошо известно, что кольцо целых чисел ^ ^^дается ^-кольцом, следовательно, на аддитивной группе Z можно задать единственную (с точностью до изоморфизма) структуру кольца с единицей. Возникает естественный вопрос о единственности структуры кольца с единицей на мультипликативном моноиде Z. В работе показано, что данный вопрос решается отрицательно. Более того, построен и описан метод, позволяющий получать различные кольцевые структуры па мультипликативном моноиде Z с помощью мультипликативных автоморфизмов. Для мультипликативного моноида Z введено понятие базиса и доказано, что с точностью до знака не существует базисов, отличных от базиса, состоящего из всех простых чисел, и базисов, получающихся из него путём перестановки элементов. В конце работы приводится пример задания нового кольца на множестве Z при фиксированном стандартном умножении. Новое сложение на мультипликативном моноиде Z получается с помощью перестановки простых чисел (в подробно разобранном примере — это перестановка 2 ^ 3 ^ 5 ^ 2). Из полученных в статье результатов, в частности, следует, что кольцо Z не является кольцом с однозначным сложением (иА-кольцом).

Ключевые слова: кольцо целых чисел, ^-кольцо, аддитивная группа, кольцо с однозначным сложением, мультипликативная полугруппа кольца, моноид.

Библиография: 15 названий.

It is well known that the ring of integers Z is an E-ring, therefore it is possible to define unique (up to isomorphism) structure of a ring with identity on the additive group Z. A natural question arises about the uniqueness of the ring structure with identity constructed on a multiplicative

Z

Z

automorphisms was developed and described. The concept of basis was introduced for the Z

a basis consists of all prime numbers, and bases that are obtain of that basis by a permutations

Z

multiplication is given in the end of this paper. The new addition on the multiplicative monoid Z is obtained % a permutation of prime numbers (it is 2 ^ 3 ^ 5 ^ 2 permutation in the detailed example). From the results obtained in the paper it follows in particular, that the ring Z

Keywords: ring of integers, E-frng, additive group, unique addition ring, multiplicative semigroup of a ring, monoid.

Bibliography: 15 titles.

1. Введение

Цель данной работы заключается в построении различных кольцевых структур на множестве Z. Все основные понятия и обозначения стандартны и соответствуют [1], [2] и [3]. Под кольцом здесь понимается абелева группа, на которой задана вторая бинарная операция, дистрибутивная слева и справа относительно первой.

Напомним, что ассоциативное кольцо R называется ^-кольцом, если R коммутативно и End R+ = Ж ^-кольца были определены Ф. Шульцем в 70-х годах XX века [4], [5], [6]. Этим кольцам посвящено большое количество работ. Во всех книгах по теории абелевых групп, вышедших после 1973 года, имеются разделы, посвященные ^-кольцам (см., например [7, глава 4]). Эти кольца интересны нам тем, что на их аддитивных группах возможно задать единственное (с точностью до изоморфизма) ассоциативное кольцо с единицей. В примере 1 без использования теории ^-колец показано, что на аддитивной группе кольца Z возможна единственная структура кольца с единицей.

Рассмотрим произвольную абелеву группу А, записанную аддитивно.

Определение 1 ([2]). Умножением на группе А мы назовём отображение ц,: А х А ^ А, удовлетворяющее условию: для всех элементов а,Ь,с Е А выполняются равенства

^ (а,Ь + с) = ^ (а, Ь) + ц. (а, с), ц. (Ь + с, а) = ц. (Ь, а) + ц. (с, а).

Теорема 1 ([2]). Имеет место изоморфизм:

Mult А ^ Hom (A, End А).

Пример 1. Выявим структуру группы Mult Z. Так как Hom(Z, Z) = Z, то

End Z = Hom (Z, Z) = Z

Mult Z = Z Mult Z

f

физм f: Z ^ Mult Z можно задать следующим образ ом. Пусть 1 i—> у, где у — обычное

умножение целых чисел, тогда для всякого т Е Z\{1} положим т т^. Таким образом, любое умножение ц, Е Mult Z действует по закону:

У a, b Е Z ^ (a,b) = nab

для некоторого п Е Z.

Наряду с соответсвующей главой в [2] об аддитивных группах колец можно прочитать в более специализированных монографиях Ш. Фейгельстока [8] и Д. Арнольда [9].

Рассмотрим теперь произвольную полугруппу А, записанную мультипликативно.

Определение 2. Сложением на полугруппе А мы назовём новую бинарную операцию * на А, удовлетворяющую условиям:

1. (А, *) — абелева группа;

2. Операция  диетрибутиена относительно *, то есть для любых элементов а,Ь,с Е А выполняются равенства

а  (Ь * с) = (а  Ь) * (а  с), (Ь * с)  а = (Ь  а) * (с  а).

Будем говорить, что на мультипликативной полугруппе кольца, {К, +, ) можно задать новое сложение *, если относительно операций * и  множество К образует кольцо, отличное от кольца {Я, +, •).

Для описания сложений на полугруппе можно использовать следующее

Утверждение 1 ([10]). Пусть К и Б — кольца. Если существует, мультипликативный, но не аддитивный изоморфизм колец р: К ^ Б, то новое сложение * на, мультипликативной полугруппе К можно задать следующим образом,:

Уа,Ь е К а * Ь = р-1 (р (а) + р (Ь)).

Доказательство. Проверим, удовлетворяет ли такое сложение определению 2. Так как аддитивная группа кольца 5 является абелевой группой, из этого очевидно, что * ассоциативно и коммутативно. Также несложно проверить, что нулём кольца {К, *, ) является элемент е = <р-1 (0).

Теперь выясним, для всякого ли а е К существует а' е К такой, что а * а' = е.

а * а' = р-1 [р

у-1 (р (а) + р {а')) = V-1 (0) р (а) + р (а') = 0.

Следовательно, а' = р-1 (—р (а)), где — р (а) — элемент, противоположный элементу р (а) в кольце

Проверим теперь дистрибутивность  относительно * Пусть а,Ь,с е К- Тогда

а  (Ь * с) = а  р-1 (р (Ь) + р (с)) = р-1 (р (а))  р-1 (р (Ь) + р (с)) =

= V-1 И  (Р (Ь) + <р (с))) = р-1 (р (а)  ¡р (Ь)+ ¡р (а)  р (с)) =

= р-1 (р (а  Ь) + р (а  с)) = (а  Ь) * (а  с),

(Ь * с)  а = р-1 (р (Ь) + р (с))  а = р-1 (р (Ь) + р (с))  р-1 (р (а)) =

= V-1 (((Р (Ь) + <р (с))  р (а)) = р-1 (р (Ь)  р (а) + р (с)  р (а)) =

= р-1 (р (Ь  а) + р (с  а)) = (Ь  а) * (с  а).

Следствие 1. На, мультипликативной полугруппе кольца, {К, +, ) можно задать новое *

ный автоморфизм кольца, К.

Кольцо К называется кольцом с однозначным, сложением, (иА-кольцом), если на его мультипликативной полугруппе {К, ) можно задать единственную бинарную операцию +, превращающую её в кольцо {Я, +, ).

Из теоремы Стефенсона следует, что кольцо К является ИА-кольцом тогда и только тогда, когда любой мультипликативный изоморфизм колец р: К ^ Б (то есть изоморфизм их мультипликативных полугрупп) является изоморфизмом колец.

иА-кольцам посвящено множество работ. Они были введены ещё в 1969 г. в [10]. Наиболее подробно иА-кольца разобраны в [12]. В настоящее время теория 11А-колец активно используется в теории абелевых групп и модулей (см., например, [13],[14], [15] и др.).

Кольцо ^ ^^ ^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ ^^^ ^^^^жает, например, из того, что у колец Z ш Z[x] изоморфны их мультипликативные полугруппы.

2. Кольцевые структуры на мультипликативном моноиде Z

Рассмотрим кольцо Z. Пусть £ — мультипликативный, но не аддитивный автоморфизм кольца Z. Тогда новое сложение * на мультипликативной полугруппе кольца Z, согласно следствию 1, можно задать следующим образом:

Уа,Ь е Z а * b = £-1 (С И + С (Ь)).

Оно задано корректно, но неконструктивно, поскольку неясно, как устроены мультипликатив-

Z

ний.

Обозначим через N прямую сумму моноидов

ф No,

Но

где No = N U {0} — множество целых неотрицатель пых чисел. N есть коммутативная полугруппа с нулём вn = (0, 0, ...). Обозначим через Z' полугрупnv Z2 ф N. Дополним множество Z' до множества Z = Z' U {е}, где е — внешний аннулятор, то есть такой элемент, что выполняется условие:

У а е Z а + е = е + а = е.

Ясно, что Z — коммутативная полугрупп а с нулём 9z = (0, 0, 0, ...) и что все элементы Z' содержат лишь конечное число ненулевых координат.

Лемма 1. Рассмотренный выше моноид Z и мультипликативный моноид Z изоморфны.

Доказательство. Пусть Хр^1 р^2... — каноническое разложение некото poro числа т е Z, отличного от нуля, где Л = sign (m) и Pi < Pi+i (i е {1, 2,..., s — 1}). Поставим в соответствие числу m элемент (е, ki, k2, ..., ks, 0, ...) е Z', причём е = 0 если Л = 1, и е = 1, если Л = — 1. Числу 0 поставим в соответствие внешний аннулятор е е Z. Несложно проверить, что отображение р: Z ^ Z, заданное таким образом, — искомый изоморфизм.

В силу доказанного изоморфизма мы получили возможность описания мультипликатив-

ZZ лять элемент b прямого слагав мого Z2 с элементом мон оида Z' гад а (Ь, 0, ...), а элемент с = (ci, С2, ..., с^, 0, ...) прямого слагаемого N — с элементом моноида Z' вида

(0, Ci, С2, ..., ск, 0, ...) .

Замечание 1. Рассмотрим произвольный автоморфизм ^моноид a Z. Покажем, что ц (е) = е. Действительно, предположив противное и зафиксировав произвольный ненулевой элемент d е Z', получим:

ц (е) = ц (е + d) = ц (е) + ц (d) ц (d) = 0z,

то есть автоморфизм ^ненулевой элемент d е Z' перевёл в нуль, чего быть не может. Далее, так как структура Z' есть прямая сумма моноидов, то

У а е Z' 3!Ь е Z2 3!с е N а = b + с.

Тогда

ц

Так как единственным автоморфизмом прямого слагаемого является тождественное отображение ¡ё^з и ц (Z2) С Z2, то

ц (а) = Ь + ц(с),

и задача описания автоморфизмов моноида ^ сводится к задаче описания автоморфизмов моноида N.

Определение 3. Будем говорить, чт,о совокупность элементов В = |6г}гем С N линейно независима, если для любых Ъ¿1,...€ В из равенства

\\Ьг1 + ... + \кЬгк = ,

где € N0, следует Х1 = Х2 = ... = \к = 0.

Определение 4. Будем называть совокупность элементов В = С N базисом

моноида N; если она линейно независима и любой элемент, N линейно выражается через элементы этой совокупности с коэффициентами из множества N0 с точностью до порядка, следования и слагаемых с нулевым,и, коэффициентами.

Пример 2. Совокупность элементов Е = (е^е^ где

е\ = (1, 0, 0, 0, ...), е2 = (0, 1, 0, 0, ...), ез = (0, 0, 1, 0, ...), ...,

является базисом моноида N. Совокупность Е = {/¿}ге№ где

/1 = ^ /2 = еь ¡у = е.-, Ц = 3,4,...),

также образует базис моноида N.

Утверждение 2. Отображение £: Е ^ О, где Е = {/г}^ ^ базис моноида N, а, С = _ произвольные элементы моноида N, единственным образом, продолжается,

до эндоморфизма моноида N.

Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент с € N, тогда

к

с = £ г=1

где ^г € N0- Положим по определению

к к с (с) = £ Ш = £ Ъ9г.

г=1 г=1

Проверим, что £ — эндоморфизм. Корректность вытекает из того, что разложение элементов моноида N по базису Е единственно, что следует из определения 4. Проверим сохранение операции, пусть

к

а = ^^ (Хг

г=1 г=1

где щ, ¡Зг € N0- Без потери общности можно считать, что к = т. Тогда

^ аг/г € N, Ь = ^ /Зг/г € N,

/ к к \ к £ * ^ + £ Щ = £

\г=1 1=1 ) г=1

£ (а + ь)= С У см ¡г + V Мг \ =У(ац + &) 9г = С (а) + £ (Ь) .

Докажем теперь, что такой эндоморфизм единственен. Пусть ц — эндоморфизм моноида N такой, что

У/г е ^ V Ш = £ Ш .

Покажем, что ц = Действительно, если

к

с = 52 иЬ е N,

г=1

где 7г е N0, то

(к \ к к к 52 = 52 ™ = 52 = 52 ™ = ^ (С) .

1=1 ) г=1 г=1 г=1

Получили, что ц и £ действуют одинаково.

Следствие 2. Эндоморфизм £ из утверждения 2 является автоморфизмом в том и только в том случае, когда, совокупность элементов О является базисом.

Доказательство. В самом деле, если £ — автоморфизм моноида N, то существует автоморфизм £-1 моноид а N такой, что

е-1 о е = е 0 е-1 = idN.

Несложно проверить, что совокупность элементов С линейно независима. Пусть с е N, для него существует элемент с = £-1 (с) такой, что

к к с = 52 ъь £(с) = 52

г=1 г=1

где ^г е N0- Последнее равенство равносильно тому, что элемент £ (с) = с линейно выражается через элементы совокупности С с коэффициентами из N0-

Обратно, если совокупность элементов С образует базис, то по предыдущему утверждению существует отображение ц: С ^ Р, которое единственным образом продолжается до эндоморфизма. Несложно видеть, что

V о С = С о -ц = idN .

Следовательно, £ — автоморфизм моноида N.

Тогда новое сложение * на мультипликативном моноиде Ъ, согласно следствию 1, утверждению 2 и лемме 1, можно задать следующим образом:

Уа,Ь е Ъ а * Ь = (р-1 о £-1 о р) ((р-1 о £ о р) (а) + (р-1 о £ о р) (Ь)) ,

где р — изоморфизм мои оидов Ъ и ^^шмы 1, а £ — автоморфизм мо ноида N из утверждения 2, который мы можем отождествлять с автоморфизмом моноида ^ в силу замечания 1. Обозначив композицию р-1 о £ о р через ф, получим:

а * Ь = ф-1 (ф (а) + ф (Ь)).

Утверждение 3. В N не существует базисов, от,личных от, базиса Е, и базисов, получающихся из Е путём перестановки элементов, где Е — базис из примера, 2.

Доказате льство. Там, где это будет необходимо, под соответствующими координатами элементов N будут подписаны их порядковые номера.

Пусть Р = — произвольный базис моноида N такой, что

!г = {а1 а2, ...).

Рассмотрим элемент е^ = (0, 0, ..., 0 , 1, 0 , ...) е Е. Для него

1 2 j-1 ] j+1

3^1,^2, ...,Рп е N0 ej = + р2 /2 + ... + Рпк,

то есть

ej = Д (а1, а"2, ...) + ^2 {а\, а2, ..) + ... + Рп (аП, аПп, ..) .

Хотя бы один коэффициент Рг (1 ^ г ^ п) отличен от нуля, иначе ej = вN, чего быть не может. Пусть Рк = 0 (1 ^ к ^ п).

Перейдём к системе уравнений, соответствующей данному разложению. В этой системе есть ровно одно уравнение вида

1 = Рю! + + ... + Рп аП,

где ] фиксировано и является порядковым номером элемента в базисе Е, и бесконечно много уравнений вида

0 = рю\ + + ... + Рп аП,

где г пробегает всё множество N

Известно, что все /г е N, поэтому а\ е Далее, так как & е ^ и множество N0 замкнуто относительно умножения, то е N0.

Рассмотрим произвольное уравнение системы, имеющее вид (2). Имеется сумма целых неотрицательных чисел, равная нулю. Тогда

Рю,[ = & 4 = ... = РпОПП = 0.

Следовательно, так как Ркак = 0 и Рк = 0, то ак = 0. Уравнение вида (2) выбиралось произвольное, поэтому при условии Рк = 0 получаем, что все ак (г е N}) равны нулю

ид = (0, 0,..., , .+<...)•

Рассмотрим теперь уравнение системы, имеющее вид (1). Это сумма целых неотрицательных чисел, равная единице. Тогда

Рка3к = 1 - {Р1а\ + Р2а32 + ... + Рк-1а3к-1 + Рк+1а3к+1 + ... + РпаП) .

Обозначим сумму, стоящую в скобках, через В силу того, что множество N0 замкнуто

г3к е N0, то Рк ак

относительно сложения, получаем, что 5 неотрицательно. Так как Ркак е N0, то Ркак = 0

или

3т е N Рк ак = т + 1.

Если Ркак = 0, то, так как Рк = 0, получаем ак = 0 и /к = 0N е Р, что противоречит линейной независимости системы Р. Значит, имеет место второй случай, и существует т е N0 такое, что

Рк ак = т + 1 ^^ 1 — 6 = т + 1 ^^ 6 = —т.

Так как т е N0, то т ^ 0, и — т ^ 0. Следовательно, 5 неположительно, однако выше было установлено, что 5 неотрицательно. Таким образом, 5 = 0.

Вернувшись к исходному уравнению, получим:

1 = (Зк а{ + 5 ^ 1 = (Зк а{ + 0 ^ 1 = рк .

Коэффициент отличен от нуля, поэтому ак = -щ, и так как ак € N0, то = = 1 и, таким

образом, Д = (0, 0, ..., 0 , 1, 0 ,...) = ej. 1 2 ]-1 ] ]+1

Элемент е^ € Е выбирался произвольно, следовательно, доказано утверждение:

€ Е 3/, € Е & = вг,

из чего следует требуемое.

Заметим, что из утверждения 3 и следствия 2 немедленно следует факт, состоящий в том, что не существует автоморфизмов моноида N, отличных от тождественного автоморфизма ¡ё^ ^ ^^^^^^^^^^^^^ перестановкой элементов базиса Е.

Таким образом, в силу изоморфизма ^ = Ъ можно строить новые сложения непосредственно на мультипликативном моноиде Ъ, взяв в качестве базиса множество Р всех простых

Ъ

храняет знак числа и нуль переводит в нуль. Поэтому автоморфизмы мультипликативного Ъ

ментов базиса Р.

3. Описание автоморфизмов моноида N с помощью матриц

Пусть Е = — базис моиоида а С = (д^ _ произвольные элементы моноида

N. Выясним, как можно конструктивно описать автоморфизмы N. Поставим в соответствие каждому эндоморфизму моноида N матрицу размера ^0 х ^0 с элементами из множества N0. Пусть эндоморфизм £ из утверждения 2 порождается отображением £: Е ^ Си

9г = £ а\ !з, 3 = 1

тогда матрица поставленная в соответствие данному эндоморфизму примет вид:

М^ = (а,1 а* ... акг> 0 .

где г € N т0 есть в г-той строке матрицы записаны коэффициенты разложения элемента д^ по базису Е. Такая матрица конечнострочна, то есть в каждой её строке содержится лишь конечное число ненулевых элементов.

Обозначим через М множество конечнострочных матриц размера ^0 х ^0 НЗД N0- Зададим на М сложение и умножение, аналогичное обычному сложению и умножению матриц. Произведение двух матриц М, N € М определено корректно, так как М и N конечнострочны. Нетрудно также убедиться в том, что (М, +) — коммутативная полугруппа с нулём (нулевой матрицей в), а (М, ) — полугруппа с единицей (единичной матрицей Е). Умножение дистрибутивно слева и справа относительно сложения, и выполняется мультипликативное свойство нуля: для всякой матрицы М € М верно в  М = М  в = в.

Таким образом, построенное множество М относительно операций обычного сложения и обычного умножения матриц образует полукольцо.

Обозначим через М (а) координатный столбец элемента а € а через М (£ (а)) — координатный столбец элемента £ (а) в базисе Е из примера 2. Тогда по построению ясно, что

М (£ (а)) = М]Г  М (а).

Утверждение 4. Эндоморфизм £ моноида N является автоморфизмом в том и только в том случае, когда, матрица, соответствующая ему, обратима в М.

Доказательство. Пусть эндоморфизм £ является автоморфизмом. Зафиксируем произвольный элемент а € N, тогда

М (£ (а)) = М] • М (а).

Так как £ — автоморфизм, то у отображения £ есть обратное отображение £-1, также являющееся автоморфизмом, и (£-1 о (а) = а. Поставим в соответствие автоморфизму £-1 некоторую матрицу В по тому же правилу. На матричном языке последнее соотношение означает следующее:

М (а) = ВТ • М (£ (а)). Тогда М (а) = ВТ • МТ • М (а), то есть

ВТ • М] = Е (М? • В)Т = Е М^ • В = Е.

Получили, что В является правой обратной к М^. Аналогично проверяется, что В является левой обратной к М^. Таким образом, М^ обратим а в М.

Обратно, пусть матрица, соответствующая эндоморфизму £, обратима в М. Тогда существует матрица М-1 € М такая, что М-1 • М^ = М^ • М-1 = Е. Зафиксируем произвольный элемент а € N, тогда

М (£ (а)) = М] •М (а). Домножим левую и правую части последнего равенства на (^М-1^ слева, получим:

(М-1)Т • М (£ (а)) = (м-1)Т •М^ •М (а) —^

—^

—^ (М-1)Т ^ (^(а)) = м (а),

то есть мы выразили координатный столбец элемента а через координатный столбец его образа £ ( а) и обратную матрицу М-1. Это в точности означает, что для эндоморфизма £ существует обратное отображение, из чего, в свою очередь, следует, что эндоморфизм биективен, а значит, является автоморфизмом.

Замечание 2. В силу утверждения 3, матрица всякого автоморфизма моноида N есть бинарная матрица, в каждой строке и каждом столбце которой содержится ровно одна единица, из чего следует, что она ортогональна. Данный факт позволяет довольно легко вычислять обратные матрицы: для всякого автоморфизма £ моноида N справедливо равенство

М-1 = М^.

4. Пример нового сложения на мультипликативном моноиде Ж

Пример 3. Пусть автоморфизм £ моноида N порождается перестановкой элементов базиса Е такой, что

^ ^ ^ ^ (  Л к л

-—> е2 -—> ез, ез I—> еь е^ -—> е^ 0=4, 5,...),

и пусть а = 18 € Ъ, Ь = -21 £ Ъ. Выясним, чему равно а * Ь. Как было сказано выше, в силу замечания 1 можно отождествлять автоморфизм моноида N с автоморфизмом моноида ^. Имеем:

= 21  32-Ч (0, 1, 2, 0, ...) -Ч (0, 0, 1, 2, 0,...)-4 31  52 = 75,

У 1 о 1 г 2

Ь = -31  71 -— (1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) -— (Г, 0, 0, 1, 1, 0, ...)-— -51  71 = -35, ф (а) + ф (Ь) = 75 + (-35) = 40,

40 = 23  51 -— (0, 3, 0, 1, 0, ...) (0, 0, 1, 3, 0, ...) 31  53 = 375,

то есть при новом сложении сумма 18 * (-21) равна 375. На языке целых чисел работа нового *

а = 21  32 -— 31  52 = 75, Ь = -31  71-—-51  71 = -35, ф (а)+ ф (Ь) = 75 + (-35) = 40, 40 = 23  51 --- 31  53 = 375.

Теперь воспользуемся разработанным матричным описанием автоморфизмов. Вычислим, к примеру, М ((£ о ф) (а)) матрицу автоморфизма М^, которая имеет вид

/0 1 0 0 ..Д

0010 1000 0001

У 1 с1 71

м.е =

Имеем:

и, в самом деле,

/0 0 i 0 .. л 1 0

1 0 0 0 ... 2 1

мет  м (ip (a)) = 0 10 0 ... 0 = 2

0 0 0 1 ... 0 0

V : : V/ V/

e1 + 1  e2 + 2  ез + 0  e4 + ... = (0, 0, 1, 2 0, . ..).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Vol. 1. New York-London: Academic Press, 1970.

2. Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Vol. 2. New York-London: Academic Press, 1973.

3. Курош А.Г. Общая алгебра. M.: Наука, 1974.

4. Schultz P. Periodic homomorphism sequences of abelian groups // Arch. Math. 1970. Vol. 21. P. 132-135.

a

о

5. Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring //J. Austral. Math. Soc. 1973. Vol. 15. P. 60-69.

6. Bowshell R. A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. 1977. Vol. 228, №3. P. 197-214.

7. Крылов П. А., Михалев А. В., Тугаибаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006.

8. Feigelstock S. Additive groups of rings. Pitman advanced publishing program, London, 1983.

9. Arnold D. M. Finite rank torsion free abelian groups and rings. Lecture Notes in Math. Vol. 931. Springer, New York, 1982.

10. Stephenson W. Unique addition rings // Canad. J. Math. 1969. Vol. 21, №6. P. 1455-1461.

11. Nelius Chr.-F. Ring emit eindentiger Addition. Padeborn, 1974.

12. Михалев А. В. Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб. 1988. Том 135(177), №2. С. 210-224.

13. van der Merwe В. Unique addition modules // Communications in algebra. 1999. Vol. 27(9). P. 4103-4115.

14. Чистяков Д. С., Любимцев О. В. Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндоморфизмов // Вести. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2011. № 2(14). Р. 55-58.

15. Любимцев О. В., Чистяков Д. С. Абелевы группы как UА-модули над кольцом Z // Матем. заметки. 2010. Том 87, №3. С. 412-416.

REFERENCES

1. Fuchs, L. 1970, "Infinite Abelian Groups vol. 1, New York-London: Academic Press.

2. Fuchs, L. 1973, "Infinite Abelian Groups vol. 2, New York-London: Academic Press.

3. Kurosh, A.G. 1974, "General Algebra Moscow, Nauka (russian).

4. Schultz, P. 1970, "Periodic homomorphism sequences of abelian groups Arch. Math., vol. 21, pp. 132-135.

5. Schultz, P. 1973, "The endomorphism ring of the additive group of a ring" J. Austral. Math. Soc., vol. 15. pp. 60-69.

6. Bowshell, R. A. k, Schultz, P. 1977, "Unital rings whose additive endomorphisms commute Math. Ann., vol. 228, no. 3, pp. 197-214

7. Krvlov, P. A., Mikhalev, A.V. k, Tuganbaev, A. A. 2013, "Endomorphism rings of Abelian groups vol. 2, Springer Science k, Business Media.

8. Feigelstock, S. 1983, "Additive groups of rings Pitman advanced publishing program, London.

9. Arnold, D. M. 1982, "Finite rank torsion free abelian groups and rings Lecture Notes in Math, vol. 931, Springer, New York.

10. Stephenson, W. 1969, "Unique addition rings Canad. J. Math., vol. 21, no. 6, pp. 1455-1461.

11. Nelius, Chr.-F. 1974, "Ring emit eindentiger Addition Padeborn, 1974.

12. Mikhalev, A.V. 1989, "Multiplicative classification of associative rings Mathematics of the USSR-Sbornik, vol. 63, no. 1, pp. 205-218.

13. van der Merwe, B. 1999. "Unique addition modules Communications in algebra, vol. 27, no. 9, pp. 4103-4115.

14. Chistvakov D.S. k, Lvubimtsev O.V. 2011, "On abelian torsion free with UA-endomorphism rings Vestnik TGU, no. 2(14), pp. 55-58.

15. Chistvakov D.S. k, Lvubimtsev O.V. 2010, "Abelian groups as UA-modules over the ring Z Mathematical Notes, vol. 87, no. 3, pp. 380-383.

Получено 4.02.2017 г.

Принято в печать 14.06.2017 г.