Модель движения зоны превращения в сплавах с эффектом памяти формы

МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЗОНЫ ПРЕВРАЩЕНИЯ В СПЛАВАХ С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ ФОРМЫ

А.Н. Бестужева, Л.Ф. Вьюненко доценты кафедры «Прикладная математика»

Аннотация

Предложена математическая модель движения зоны превращения при нагреве материала с эффектом памяти формы (ЭПФ-сплава) с переходом интервала температур превращения. При построении модели использован подход к описанию эволюции температурного поля, приводящий к смешанной краевой задаче для «зацепляющихся» линейного и нелинейного уравнений теплопроводности, решения которых «сшиты» при температурах начала и окончания фазового превращения. Рассмотрен пример построения математической модели движения зоны превращения при равномерном нагреве с концов нити, изготовленной из ЭПФ-сплава.

Ключевые слова: эффект памяти формы, ЭПФ-сплавы, уравнение теплопроводности, краевая задача, коэффициент температуропроводности, интервал температур превращения, граница превращения.

При разработке инженерно-технических решений с использованием ЭПФ-сплавов необходимы методы расчета, позволяющие прогнозировать поведение устройства или конструкции с элементами из материалов с памятью в различных условиях, в том числе экстремальных, и управлять эффектом памяти формы. В этом отношении интерес представляют такие математические модели процессов, сопровождающих ЭПФ, которые позволяют перейти от описания материала к расчету реальной инженерной конструкции.

Существующие на сегодняшний день теоретические подходы позволяют описывать лишь некоторые группы свойств материалов с памятью или служить основой для численного моделирования. В настоящей работе предлагается связать разнообразные необычные свойства ЭПФ-сплавов с движением зоны превращения, так как именно развитие этой зоны определяет эволюцию поля температур и связанные с ним деформационные характеристики элементов устройств и конструкций.

В основу математической модели движения зоны превращения предлагается положить краевую задачу для уравнения теплопроводности:

дТ

dt

T(x ,0 ) = To (x),

T

G

= TG (t) ,

где T = T(X, t) - значение температуры в точке с декартовыми

координатами X в момент времени t , a(T) - коэффициент температуропроводности материала, G - граница области изменения пространственных переменных.

Анализ многочисленных экспериментальных данных показывает, что коэффициент температуропроводности ЭПФ-сплавов имеет в интервале температур превращения T , Tp ] «дефект», зависящий от величины

скрытой теплоты превращения. Схематически зависимость a(T) показана на рис. 1.

Рис.1

Вследствие такого изменения коэффициента температуропроводности при распространении тепла в ЭПФ-сплавах возникают зоны, в которых температуры соответствуют температурам превращения, что и определяет необычное поведение ЭПФ-сплавов.

Таким образом, математическая модель (1) будет иметь вид смешанной краевой задачи для двух уравнений теплопроводности, которые будем называть «зацепляющимися». Одно из этих уравнений по своей структуре линейно и описывает изменение температур в высоко- или низкотемпературной фазе (T < Tg или T > Tp), а другое, нелинейное, -

при температурах превращения (Tg ^ T ^ Tp). «Зацепление» уравнений

происходит через коэффициент температуропроводности, принимающий одно и то же значение в указанных уравнениях на границе превращения.

Краевая задача для уравнения теплопроводности в области с движущимися границами известна как задача Стефана [6] и в настоящее время хорошо изучена, в линейном случае для различной формы границы (и неизвестной тоже) решение доведено до аналитической формы [7,8], в теоретическом плане - до теорем существования и единственности [9].

Предлагаемую математическую модель движения зоны превращения при нагреве ЭПФ-сплава по форме можно рассматривать как задачу Стефана, в которой роль условия теплового баланса на границе (условие Стефана) играет условие непрерывности коэффициента температуропроводности.

В качестве иллюстрации предложенного подхода рассмотрена задача о нагреве с концов теплоизолированной нити из ЭПФ-сплава в предположении, что начальная температура 7 < Т < Т$ ниже

температуры начала превращения, а режим нагрева Математическая модель (1) в этом случае принимает вид

дТ

дТ

= —( a(T) dt дх V дх

Т(х,0) = Т0,

известен.

T(0,t) = T(i,t) = 7 + т • t.

Для входящего в уравнение теплопроводности коэффициента a(T) использована кусочно-непрерывная зависимость (см. рис. 1). В частности,

в интервале температур

ts < т < т1 =

Ts + TF 2

зависимость имеет

экспоненциальный вид

a(T) = exp(- a(T - 0)), a,0> 0.

Пока температура нити не достигла температуры начала превращения, T0 < T < T$, уравнение теплопроводности в задаче

линейно, так как a(T) = const = a0, и краевая задача имеет следующий

вид:

dT д 2T

— = a,

дt

v0

дх2 ’

т ( X ,0) = То,

T(0,t) = T(i,t) = 7 + T • t.

Ее решение известно: при заданном режиме нагрева Т

£ . ж

£ (2n + 1)sin-

Т (X, t) = То - Ж*

l n=0

l

X X

f

xjrT (r)exp

0

V

ж2 (2n +1)2 l2

\

a0

dr

В частности, при постоянной скорости нагрева

. n

4T . /2 » Sin--------X

T (X, t) = To + T • t-y— 2----------X

f

X

Z' 2

1 - exp

V

V

n2

/ 2

n a0 n=o

2

з

aot

JJ

При t = t , когда температура концов нити становится равной температуре начала превращения (T = Т$), модель температурных процессов усложняется и далее эволюция температурного поля и движение границы превращения х = X* (t) описываются двумя «зацепляющимися»

моделями. Если до t = t * (T = Ts) процесс описывался одной моделью -

линейной с неподвижными концами, - то при t > t* (T > Ts) двумя: на

участке нити (х*, / — X*) - линейной моделью, но с подвижными

концами, а на участках (o, X*) и (/ — X*, /) - нелинейной моделью с подвижными концами.

Движущаяся граница X = X* (t) является разделом двух разных * . * „

задач. При x < x < l — x - линейная задача с известным начальным

$

условием, полученным из линейной модели (3) при t = t :

. n

лФ /2 да sin X

T ( x , t *) = T0 + T • t *-2-------— X

n a0 n=0 (2n +1)3

a0t

n2(2n+1)2

x (1 — e /2 ).

При x < x и l — x < x < l - задача для нелинейного уравнения

8T

=и

a

dT

dt дх V дх

в котором a(T) = exp(— а (Т — Р% а,Р> 0. Параметры а,Р можно определить из условия прохождения графика функции a(T) через две точки: (Ts, ao) и (T1,a1) . Тогда

J Ts ln ax — T ln ao ln ax — ln ao ^

a(T) = exp —----1---1----0-----1-----0 T

V

Ts — Ti

Ts — Ti

J

*

Нелинейная модель справедлива с момента времени t = t , который характеризуется тем, что в точках X = 0 и X = l температура равна T$,

* Т$ — T0

отсюда t = —^------.

Т

Для этого случая решение нелинейного уравнения теплопроводности известно. Согласно [4] оно имеет вид

Г \ Л

т (х, t )=

Ts — T

In

In a1 — In a0

1—Inl —

r, ,,(Ts lna1 — T1In a0)(lna1 — lna0)t

* (TS — Ti)2 t

J

TS — T , ( 1 In a1 — In a0 2

S 1 1 0 fjx + Ax + B

\

2 Ts — T1

In a1 — In a0

или в принятых обозначениях

•2— 1 1n( 1

а \ 2

T(х,t)= —1п(а2^//-1 + с)— —In — -а* х2 + Ax + B а ' ' а \ 2

л

»

J

= “1п_1 а 1

а2 Рц-1 + С

— -ча/Л’ х + Ax + B

где A, B,C,M - произвольные константы, определяемые из краевых условий. В нелинейной модели в граничных точках нити

X* > 0, l — X* < l удовлетворяются условия T(X* ) = T(l — X* ) = Ts.

Рис.2.

На рис 2 показано положение границ зоны превращения в зависимости

ф фф

от координаты и времени. В моменты времени t и t температура концов нити достигает значений Т$ и Тр соответственно. Обозначенным

зонам I соответствует линейная модель, а II - нелинейная модель.

Теперь перейдем к построению математической модели для

движущейся границы. При t > t*

дг±

dt

dT д 2T,

= «о 1

dt д

dx2

dx

v

,т^дТ2Л «(Т2)^А dx j

, x*(t)< x < l - x*(t),

0 < x < x *(t), l - x *(t )< x < l,

где Ti,T2 - температуры линейной и нелинейной задачи соответственно. Эти уравнения дают решения справа и слева от движущейся границы, которые содержат 7 произвольных констант. Для их определения служат начальные условия (2 уравнения), граничные условия (4 уравнения) и условие непрерывности a(T).

. n

лт. ,2 „ sin--------x г

Ti( x, t *) = Ts-lU— x

n3a0 n=o (2n +1)3

r

1 - exp

v

n2 (2n +1)2

a01

W

jj

T2(x,t )= TS,

Ti(x,t*)= T2(x,t*)= Ts, T2(0,t)= T2(l,t)= Ts + T t

2

l

«(^2 (x*(t), t *))= «0.

Для определения границы x = x * (t) служит условие непрерывности

теплового потока на фронте превращения: n - нормаль к границе x = x*(t).

dT

dn

x=x *

T

dn

, где

x=x *

Таким образом, предложен способ построения математической модели движения границы превращения в ЭПФ-сплавах, которая содержит новую постановку краевой задачи, требующей разработки специальных методов решения.

Построенная модель дает возможность • снижения трудоемкости численного моделирования эволюции зоны превращения как решения краевой задачи, в которой неизвестная функция описывается уравнением первого порядка в частных производных;

• контроля особых режимов и особых точек, которые легче выявляются при аналитическом анализе уравнений, чем при анализе результатов;

• поиска путей аналитического решения задач, связанных с деформационными процессами ЭПФ;

• приближенного решения указанных выше задач с использованием

различной математической техники: разложение в ряд,

асимптотическое разложение и т.д.

Литература

1. Vyunenko Yu.N., Vyunenko L.F. Residual stresses mechanism of SME: Theory and simulation // J. Phys. IV, France, V.112 (2003). Part 1. P.235238.

2. Материалы с эффектом памяти формы. Справ. Изд./ Под ред. Лихачева В.А.. - Т.1. - СПб: Изд-во НИИХ СПбГУ. 1998.

3. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1969.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981.

5. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

6. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. - Рига: Звайгзне, 1967.

7. Гринберг Г.А. О решении задач диффузионного типа для расширяющихся или сжимающихся областей. - ПММ, т. 33, 1969.

8. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Метод решения краевых задач теплопроводности для области с границей, движущейся по параболическому закону. - ЖТФ, т. 41, № 1, 1971.

9. Гольдман Н.Л. Классическое и обобщенное решения двухфазной граничной обратной задачи Стефана. - Вычислительные методы и программирование, т. 3, 2002, с.133-143.