О группах Клиффорда и делителях нуля в алгебрах Клиффорда

УДК 517.958 ББК 22.14

С П. КУЗНЕЦОВ, В В. МОЧАЛОВ, В П. ЧУЕВ

О ГРУППАХ КЛИФФОРДА И ДЕЛИТЕЛЯХ НУЛЯ В АЛГЕБРАХ КЛИФФОРДА

Ключевые слова: алгебры Клиффорда, группы Клиффорда, делители нуля, обратные элементы.

Рассмотрены алгебры Клиффорда. При компьютерных вычислениях в алгебрах Клиффорда важной проблемой являются делители нуля. В работе получены уравнения для нахождения делителей нуля в алгебрах Паули, Дирака и других алгебрах Клиффорда. Получен вычислительный алгоритм построения обратных элементов в алгебрах Клиффорда четной и нечетной размерности. Найдены формулы для обратных элементов в алгебрах Клиффорда малых размерностей. Эти формулы могут применяться при математическом моделировании процессов, связанных с алгебрами Клиффорда.

S. KUZNETSOV, V. MOCHALOV, V. CHUEV CLIFFORD GROUPS AND ZERO DIVISORS IN CLIFFORD ALGEBRAS

Key words: Clifford algebra, Clifford groups, zero divisors, invertible elements. The paper regards Clifford algebras. Zero divisors pose a significant problem in the process of computer calculations in Clifford algebras. We worked out equations for finding zero divisors in Pauli, Dirac and other Clifford algebras, as well as a numerical algorithm for constructing the inverse elements in Clifford algebras of even and odd dimensions, and formulas for the inverses in Clifford algebras of small dimensions. These formulas can be used for mathematical modeling of processes related to Clifford algebras.

Алгебры Клиффорда являются актуальным направлением математики, которое активно развивается в последние 30 лет. Они находят применение не только в математике, но и в физике, механике, робототехнике, при обработке сигналов и изображений, инженерии и других областях науки и техники.

В статье исследуется проблема делителей нуля и нахождения обратного элемента в алгебрах Клиффорда.

Пусть Rp,q - действительная алгебра Клиффорда размерности m = 2n (n = p + q) с базисом ea = eil ...eik ,1 < i1 <... <ik < n, где мультииндекс a = i1...ik пробегает все подмножества в множестве {1,...,n}, совокупность которых обозначим через Гп. Пусть e0 = 1, e1, ..., en - канонический базис, e12...n = ex и произведение в Rp,q определяется соотношением

e,ej + ej-e, = 25- е,,

где е; = e2 = 1(i = 1,...,p), е; = e2 =-1(i = p +1,...,p + q).

Если n = 1, то мы имеем две алгебры Клиффорда: R0,b Ri,0. В алгебре комплексных чисел R0,i любой элемент z = x0e0 + x1e1, e2 = -1, отличный от нуля, имеет обратный элемент

1 z x0e0 — x1e1 z 1 =-

Х0 + Х1

В алгебре двойных чисел элементы г = х(е0 ± е1), е12 = 1 являются делителями нуля и не имеют обратных элементов. Эти двойные числа расположены на прямых х1 = ±х0. Для чисел г = х0е0 + х1е1, е12 = 1, не являющихся делителями нуля, обратный элемент

1 x0e0 - Х1в1 z 1 =-.

2 2

v _v

л0 Л1

Если п = 2, то мы имеем три алгебры Клиффорда R0,2, R2,0, R1,1. В алгебре кватернионов R0,2 = H любой отличный от нуля элемент

w = Хово + xe + Хгвг + Хпвп, = e| = e22 = -1

имеет обратный

, w Хово - Х1в1 - Х2в2 - Хцвц

w 1 =—2 =-2-2-2-2-.

Заметим, что R01, R0,2 - единственные алгебры Клиффорда, где нет делителей нуля.

В работе [2] доказана теорема о разложении базиса Rp,q на B-множества, состоящие из двух или четырех элементов. В этом случае произвольный элемент алгебры Клиффорда можно представить в виде

u = 2 ваищ.,

аеГп-i

u = 2 ваив*,

аеГп-2

где uBv в формуле (1) изоморфны комплексным числам, а в формуле (2) изоморфны кватернионам, образованными на B-множестве, содержащим в0.

Известно, что вещественные алгебры Клиффорда Rp,q п = p + q изоморфны следующим матричным алгебрам [3, 4]:

п

Mat(22,R), если p - q = 0,l(mod8);

n-1 n-1

Mat(2~, R) Ф Mat@~, R), если p - q = 1(mod8);

n-1

Mat(2 2 , С), если p - q = 3,7(mod8);

n-1

Mat(2 2 ,H), если p - q = 4,6(mod8);

n-1 n-1

Mat(2~, H) Ф Mat(2~, H), если p - q = 5(mod8).

Матрицы можно представить в блочном виде. Исследуя блочные матрицы, Г. Фробениус получил формулы обращения блочной матрицы [1]. Формула Фробениуса сводит обращение блочной матрицы порядка п + q к обращению двух матриц порядка п и q и к операциям сложения и умножения матриц размерами п х п, q х п, п х q, q х q, где определители матриц п х п, q х q отличны от нуля.

В [3] приведены формулы для обратного элемента в алгебрах Клиффорда малых размерностей над полем комплексных чисел.

Обозначим группу Клиффорда алгебры Клиффорда через Щq [3]:

Rp,q = {u е Rp,q3v e Rp,q : uv = vu = во}.

В настоящей статье изучаются действительные алгебры Клиффорда. Для алгебр Клиффорда получены формулы обратных элементов, формулы для нахождения делителей нуля.

В произвольной алгебре Клиффорда элемент ^ е Яр,ч представим в виде

^ = w0 + ех w1,

где элементы Wo, Wl принадлежат подалгебре Клиффорда на единицу меньшей размерности.

Полученные формулы для обратного элемента похожи на формулы Фро-бениуса для блочной матрицы. Однако в этих формулах не требуется, чтобы w0, w1 имели обратные элементы.

1. Алгебра Я2,0. Алгебра Л2,0 - это действительная ассоциативная некоммутативная алгебра размерности т = 4, порожденная элементами е1, е2. Базис алгебры образуют элементы {е0, е1, е2, е12}, где е0 - единица алгебры; е12 = е1е2. Элементы е1, е2, е12 обладают следующими свойствами: ех2 = = е0, ех22 = —е0, + = 0, г Ф ],1, ] = 1,2,12. Эти соотношения определяют операцию умножения в Л2,0. Произвольный элемент алгебры можно представить в различных видах:

w = Х0б0 + хе + Х2в2 + Хиеи = Wl1 + е^1,

где wl = х0е0 + х12 е12, Wl1 = х1е0 + х2е12 - комплексные числа;

w = -0е0 + -1е1 + -2е2 + хиеи = Wo + е12 Wl,

где w0 = х0е0 + х1е1, w1 = х12е0 - х2е1 - двойные числа.

Для нахождения делителей нуля Л20 воспользуемся соотношением (3). Рассмотрим произведение

w • и = (w0 + elW11 )(и0 + е1и1) = w^)u0j + й^м} + е1 (w11м0 + ^¿м}) = 0. Здесь мы воспользовались равенствами е1 = к = 0,1. Получим систему линейных уравнений

Ки0 + ВД =0,

Wl1u1 + ^0и1 = 0.

Система (5) имеет решение, если определитель этой системы Д = — = 0. Таким образом, делители нуля в Л20 определяются равен-

ством = или + Х-22 = Х{ + Х|.

Для нахождения обратного элемента воспользуемся соотношением (4). Рассмотрим произведение

w • и = ^0 + е12 Wl)(uo + е12и1) = (woUo — WlUl) + el2(WlUo + WoMl), где Wo = В12е12Woel2 = Х0е0 — х^, Wl = В12е12Wlel2 = х^ + х2еь Подберем и и и так, чтобы w0м0 — щм} было действительным числом. Полагаем и0 = щ,и1 = м^, имеем w • и = (А — В) + 2е12 w1), где А = — х}2, В = х}22 — х|. Обозначим (w • и)— = (А — В) — 2e12(W0w1).Найдем произведение ^ • u)(w • и)—. Согласно равенству W0 w1e12 = е12 w0 W1, имеем (w• u)(w • и)— = (А—В)2 + 4(w0W1W0 w1) = (А—В)2 + 4АВ = (х2 — х}2 + х}22 — х^)2. Правая часть равняется нулю, если элемент w является делителем нуля. Если х2 — х2 + х}22 — х| Ф 0, то обратный элемент существует и имеет вид

—1 ^0 + е12 Wl)((А — В) — Wl)) w =-.

(у2 _ у2 _1_ у2 _ У2\2

ул0 1 12 2 /

2. Алгебра Паули R3,0. Алгебра Паули R3,0 - это действительная ассоциативная некоммутативная алгебра размерности m = 8, порожденная векторами e1, e2, e3. Базис алгебры образуют элементы

[ea }аеГз = {eo, ei, e2, ei2, ез, ei3, е2з, em}, где Г3 - совокупность подмножеств в множестве {1, 2, 3}; e0 - единица алгебры ejj = e^ej,e123 = e1e2e3,, а элементы e1, e2, e3 обладают свойствами:

ef = e2 = e32 = e0, eiej- + ejei = 0, i Ф j,i, j = 1,2,3.

Из равенств (6) следует, что e122 = e123 = e|3 = e1223 = -e0, e12 e13 = -e13e12 = -e23, e12e23 =-e23e12 = en, e13e23 =-e23e13 =-e12, e123 = ex, причем ex коммутирует со всеми элементами базиса. Базис алгебры Паули можно разбить на B-множе-ства из двух элементов [2]:

К }аеГ = B0 U B1 и B2 U B3,

где B0 = {e0,e123}, B1 = {ebe23}, B2 = {e2,e13}, B3 = {e3,e12}.

Отсюда следует, что произвольный элемент алгебры можно представить в виде

w = 2 Xa ea = ^0 + Z1e12 + Z2e13 + Z3e23,

аеГ3

где z0 = X0e0 + ^123e123, Z1 = X12e0 -X3e123, Z2 = X13e0 + X2e123, Z3 = X23e0 -X1e123 —

комплексные числа (e123 заменяет мнимую единицу), множество базисных элементов {e0, e12, e13, e23} совпадает с базисом кватернионов.

В алгебре Паули можно ввести следующие операции сопряжения: w = z0e0 - z1e12 - z2e13 - z3e23 - клиффордово сопряжение; w = z0e0 - z1e12 - z2e13 - z3e23 - реверс, или комплексное сопряжение; W = z0e0 + z1e12 + z2 e13 + z3e23- композиция клиффордово и комплексного сопряжения.

С помощью равенств (6) можно показать, что операции сопряжения обладают свойствами [4]:

wu = uw,(wu) = uw,(wu) = Wu. Базис алгебры Паули можно разбить на B-множества из четырех элементов [2]:

{ea W3 = B00 U B0,

где B00 = {e0, e12, e13, e23}, B1 = ex B0° = {eb e2, e3, e123}.

-а)

Ъ, е ее } В е

Произвольный элемент алгебры можно представить в виде

w = е0 Wo + ех ет = е123,

где Wo = Хоео + Х12е12 + Х1зе1з + Х2зе2з, Wl = хтео - Хзе12 + Х2е1з - адз.

Для нахождения делителей нуля в Лз>0 воспользуемся представлением (7). Рассмотрим равенство

w • и = (гоео + + Z2elз + ^з )(ще() + ^е^ + + ще2з) = 0. Получим систему линейных уравнений

ZoUo — ZlUl — Z2U2 — ZзUз = 0,

ZlUo + ZoUl + ZзU2 - Z2Uз = 0, ™

z2u0 - Z3U1 + Z0U2 + Z1U3 = 0, z3u0 + z2u1 - z1u2 + Z0U3 = 0.

Система (9) имеет ненулевое решение, если определитель этой системы Д = (г? + г12 + г? + г?)2 = 0. Отсюда следует, что делители нуля в Л30 определяются равенством

г? + Г? + Г?2 + Г? = 0.

Для нахождения обратного элемента для w воспользуемся соотношением (8). Рассмотрим произведение

щ• и = (вощ + в%м>1)(воЩ + в^щ) = (щи -щи^ + в%(щи + и^Мо). Подберем ио и и1 так, чтобы щщо - щ1и1 было действительным числом. Полагаем ио = що,и\ = щ имеем

щ • и = 1 \м?о12 —I иЦ? + ет (щ, щ + щ щ,),

где ||мо||2 = хо2 + х? + х?3 + х223, ЦмЦ2 = х1223 + х? + х? + х3, мощ + щмо = мощ + мощ = = 2(хох123 - х1 х23 + х2х13 - х3 х12) — действительные числа.

Введем обозначения А = |Що||2-ЦмЦ2, В = мощ + щ мо, (щ • и)-= А -вТБ.

Произведение (щ • и)(щ • и)- = (А + вхВ)(А - ехВ) = А2 + В2.

Так как А + ех В = г? + г2 + г? + г?, то правая часть обращается в нуль, если w является делителем нуля. Если w не является делителем нуля, то обратный элемент существует и имеет вид

-1 щ(Аво -ВвТ) (щ + етщ1)((щ^|2-|щЦ2)-ет(щщ + щ щО) щ =-=-.

А2 + В2 А2 + В2

Замечание 1. В алгебре Паули делители нуля можно получить следующим образом. Согласно (6), получаем

щ • щ = (Го во + Г1в12 + Г2в13 + Г3в23)( ^во - Г^? - Г 2в13 - ^23) =

— Г о Г1 Т 2 ¿3 .

Приравнивая это выражение нулю, получаем (1о).

3. Алгебра Л0,3. Базис алгебры образуют элементы

(ва }аеГ3 = {во, вЬ в2, в12, в3, в13, в23, в123>,

где во - единица алгебры; в12 = в? = в! = в122 = в123 = в|3 =-во, в1223 = во. Произвольный элемент алгебры представим в виде (7), где ^ - двойные числа. Делители нуля определяются равенством

щ • щ = 2? + г? + г? + г? = А + в123 В =

— (ххо? i х1 i ^С2 i х3 i х12 i х13 i ^С?3 i .х123) + + 2(хох123 - х1 х23 + х2х13 - х3х12 )в123 = о.

Обратный элемент определяется равенством

щ-1 = щАво - Вв123), а? - В? * о.

А2 - В2

4. Алгебра Л1;2. Базис алгебры образуют элементы

{ва }аеГ3 = {во, вЬ в?, в^, в3, в13, в?3, в1?3},

2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _

в1 = в12 = в13 = во, в2 = в3 = в23 = в123 = -во.

Произвольный элемент алгебры представим в виде

щ = Гово + Г1в2 + Г?в3 + Г3в23,

где Го = хово + х123в123 , = х2во + х13в123 , Г2 = х3во - х12в123 , Г3 = х23во - х1в123 .

Сопряженный элемент ^ = ^оео - г1е12 - г2е13 - 23е23. Произведение ^ • w = .0 + г,2 + + .3 = А + е123В.

Делители нуля определяются равенством (10). Обратный элемент определяется равенством _

w-1 = ^Ае° - Ве12з), а2 + в2 * 0.

А2 + В2

5. Алгебра Л4,0. Базис алгебры образуют элементы

(еа }аеГз = {ео, еЬ ^2, ^12, ез, е,з, ^23 , ^123, еА, ем, ^24, е,24, ез4 , е,34, ^234, ^1234 }.

Произвольный элемент алгебры Л4, о представим в виде

w = w0 + ех w1,

где Wо е Лз,о, Wl е Лз,о, ет = в1234,е2 = во.

Элемент алгебры Лзо представим в виде (7). Для нахождения обратного элемента для w рассмотрим произведение

w • w* = + ехw1)(e0 w0 + ех W1) = w0 + W1 W1) + ех (W0 W1 + w1 w0),

где Wk =8хех Wkeх, 8х = ех2 = 1. Согласно (11) имеем

w0w0 = А + Ве123, м-!щ = С -Веш. Обозначим w • w* = М + ех^,(w • w*)-= М -, где N = #0щ + -Н'о, М = (А + С )ео + (В- В)еш.

Так как N = N, имеем

w • w* ^ • w*)- = (М + ехN)(М - ехN) = ММ - NN.

Выражение ММ является действительным числом. Покажем, что выражение NN также является действительным числом. Имеем цепочку равенств

NN = (w0 w1 + W1W0 )(w1 w0 + W0 W1) =

= (А +Ве12з)(С + /)е12з_)_+ (А -Ве12з)(С -Веиз) + + w0 w1 W0 W1 + W1W0 w1 w0 =

= 2(АС - ВВ) + (w0 w1 )(w0 w1) + ^о w1 )(w0 w1). Обозначим w0 w1 = Вое 0 + В1е12 + В2е13 + Взе23, так как Wk =8хех wkeх, тогда ^о Wl) = Во ео + В1е12 + В2 е,з + Взе2з, (wo Wl)(wo Wl) + (wo Wl)(wo Wl) = 2(Во Во - В1В1 - В2 В2 - Вз Вз).

Таким образом, NN = 2(АС - ВВ) + 2(|В0|2 - |Д|2 - |В2|2 - |В3|2. Делители нуля определяются равенством

Ь = ММ - NN = 0.

Обратный элемент находится по формуле

-1 w* (М - ехN) (ео Wo + ех иЩА + С)ео - (В - В)е123) - ех (н', Wo + ^о Wl)) Т п

w =-=-, Ь * о.

Ь * Ь

Замечание 2. Если ww окажется равным нулю, то Ь = 0.

Замечание 3. В алгебре Дирака Я13 элементы базиса {еа }аеГ4 обладают свойством: ех2 = е0, е^ = е2 = е| = е2234 = -е0, ех = е1234. Произвольный элемент алгебры w = + ехгде е Я12, w1 е Я12. Элемент алгебры Я12 представим в виде (12). Дословно повторяя предыдущие рассуждения для алгебры Я4,0, получим, что делители нуля определяются равенством (13), а обратный элемент - равенством

-1 w*

w =-=-,ь ф о.

Ь ь

6. Произвольная алгебра Ярл. Множество элементов алгебры Клиффорда, коммутирующих со всеми элементами базиса, называется центром и обозначается сеп(Ям).

Известно [3], что для нечетной алгебры Клиффорда центр имеет вид х0е0 + ххех, где ех = е1е2...е„, для четной алгебры Клиффорда центр имеет вид Хоео.

Пусть w произвольный элемент алгебры Клиффорда.

Обозначим через w такой элемент алгебры Ярл, что ww е Я (в том числе ww = 0). Будем считать, что по предположению индукции такой элемент существует.

Пусть Ям нечетная алгебра Клиффорда. Произвольный элемент алгебры запишем в виде

w = е0 w0 + ехц>1,

где w0, w1 принадлежат четной подалгебре Ярл размерности р + д - 1, которую обозначим через Л1, е0,ех е оеп(Ярл),вх = ех2. Для нахождения обратного элемента рассмотрим произведение

w • и = (е0 Wo + ех w1 )(е0% + ехЩ) = (woMo + вх w1м1) + ех + w1Mo).

Положим и0 = w0, и1 = w1, где через w0 и w1 обозначены элементы алгебры, которые обладают свойствами w0 w0 е Я , w1 w1 е Я .

Согласно методу математической индукции и предыдущим рассуждениям, такие элементы существуют.

Имеем

w • и = (w0 w0 + вхw1 w1) + ех (w0 w1 + w1 w0), где w0 w0 +вх w1 w1 - действительное число.

Обозначим Л = w0 w0 + вхw1 w1, В = w0 w1 + w1 w0, (w • и)- = Л - ехВ.

Произведение ^ • u)(w • и)- = (Л + ехВ)(Л - ехВ) = Л2 - вхВ2.

Элемент О = Л2 -вхВ2 принадлежит алгебре Л1, значит, существует такой элемент О, что ОО е Я. Если ОО = 0, то w е Ярд является делителем нуля. Если ОО Ф 0, то обратный элемент существует и представляется в виде

-1 (е0 Wo + ех Wl)( Л - ех В)(Л2-вхВ2) w =-=-.

ОО

Пусть Ям - четная алгебра Клиффорда. Произвольный элемент алгебры запишем в виде (14). Через w обозначим элемент алгебры Ярл вида

w* = Wo + eT Wl, где Wk =вxexWkex, k = 0,1, Wk е А1, ex = е^.^ е RPЛ, ех = ex2. Для нахождения обратного элемента рассмотрим произведение w • w* = (w0 w0 +вхW1 W1) + ех (W0 W1 + w1 w0). Выражение w0 w0 +вх W1W1 - действительное число. Обозначим Л1 = w0w0 +8xW1 W1, В1 = W0W1 + w1 w0, (ww*)- = Л1 -ехВ1. Произведение (ww*)(ww*)- = А12 -8хВ1В1, где В1 =8хехВ1ех.

Элемент Д = Л2 -8хВ1В1 е А1, поэтому существует такой элемент Д, что Д Д е R. Если Д Д = 0, то w е Rp,q является делителем нуля. Если Д Д Ф 0, то обратный элемент существует и представляется в виде

_1 = (gq w0 + ex Wi)(Ai - ex B\)(A,2 -sx B, B,) W AA '

Литература

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с.

2. Кузнецов С.П. B-множества в алгебрах Клиффорда // Исследования по краевым задачам и их приложениям: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та. 1992, С. 91-96.

3. МарчукН.Г., Широков Д.С. Введение в теорию алгебр Клиффорда. М.: ФАЗИС, 2Q12.

59Q с.

4. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors. Cambridge Univ. Press, 2QQ1, 346 p.

References

1. Gantmaher F.R.Teorija matric [Matrices Theory] Moscow, Nauka Publ., 1988, 548 p.

2. Kuznecov S.P. B-mnozhestva v algebrah Klifforda [B-Sets in Clifford Algebras]. Issledovanija po kraevym zadacham i ih prilozhenijam: sb. nauch. tr. [Research on Boundary Value Problems and their Application: Proc of Scientific Papers] Cheboksary, Chuvash University Publ., 1992, pp. 91-96.

3. Marchuk N.G., Shirokov D.S. Vvedenie v teoriyu algebr Klifforda [Introduction to the Clifford Algebras Theory]. Moscow, FAZIS Publ., 2Q12. 59Q p.

4. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors. Cambridge Univ. Press., 2QQ1, 346 p.

КУЗНЕЦОВ СЕРГЕЙ ПЕТРОВИЧ - старший преподаватель кафедры дискретной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (chevchenka@mail.ru).

KUZNETSOV SERGEY - Assistant Professor, Discrete Mathematics and Informatics Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.

МОЧАЛОВ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дискретной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (m622573@gmail.com).

MOCHALOV VLADIMIR - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Discrete Mathematics and Informatics Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.

ЧУЕВ ВАСИЛИЙ ПЕТРОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дискретной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (570065@mail.ru).

CHUEV VASILIY - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Discrete Mathematics and Informatics Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.