Об одной математической модели управления устойчивым уровнем капиталовооруженности ОАО «РЖД»

УДК 681.3

ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫМ УРОВНЕМ КАПИТАЛОВООРУЖЕННОСТИ

ОАО «РЖД».

В. В. Гарбарук, П. В. Герасименко, А. Е. Красковский, В. А. Ходаковский

Аннотация

Рассмотрены методические вопросы построения математической модели принятия управленческого решения по обеспечению устойчивого уровня капиталовооруженности ОАО «РЖД». В основу модели положены динамическая модель экономического роста Солоу и линейная однородная производственная функция. Предложенная математическая модель дает возможность принимать обоснованные решения по распределению дохода ОАО «РЖД» на инвестиции и потребление.

Ключевые слова: производственная функция; доход; инвестиция;

потребление; производительность труда.

Введение

Одним из наиболее важных решений, регулярно принимаемых в любой компании, в том числе и в ОАО «РЖД», является распределение дохода на накопление (инвестиции) и потребление. Для первоначальной оценки последствий такого решения предлагается использовать модель экономического роста макроэкономической системы. 1

1. Описание модели

При построении модели рассматривается состояние экономики ОАО «РЖД» в момент t, которое характеризуется совокупностью следующих величин: Y(t) - доход ОАО РЖД; C(t) - все формы потребления; I(t) -инвестиции (накопления); L(t) - объем трудовых ресурсов; K(t) - основные фонды (капитал). Считается, что ресурсы: капитал K(t) и труд L(t) используются полностью.

Связь между указанными величинами задаются следующими соотношениями:

Y(t) = C(t) + I(t) - балансовое соотношение;

Y(t) = F(K(t), L(t)) - производственная функция;

I(t) = s Y(t),- часть дохода, выделяемая на инвестиции, где s - норма накопления (0 < s < 1);

C(t) = (1- s) Y(t) - часть дохода, выделяемая на потребление;

I (t) = ) + juK (t) - распределение инвестиций;

dt

dL т, .

— = nL(t) - изменение трудовых ресурсов по времени. dt

Первые четыре соотношения очевидны. Первое уравнение означает, что конечный продукт идет либо на потребление, либо на накопление (инвестиции). Связь дохода с затратами труда и капитала (второе соотношение) описывается неоклассической производственной функцией F(L,K), которая задана на неотрицательном ортанте евклидового пространства. Она дважды непрерывно дифференцируема и обладает следующими свойствами:

dF

дК

> 0,

dF

~дЬ

> 0,

d 2 F

дК

2

< 0,

dF 2 dL2

< 0,

d 2 F dK dL

> 0; F(K, 0) = F(0, L) = 0.

Далее, фонд накопления (третье соотношение) составляет фиксированную часть дохода: S(t) = sY(t) = s F(L, K), причем норма накопления s задается экзогенно. Аналогичное соотношение имеет место и для потребления (четвертое равенство): C(t) = (1 - s) Y(t) = (1 - s) F(L, K).

Пятое уравнение означает, что инвестиции идут как на увеличение объема наличного капитала, так и на замещение изношенного капитала, где л - коэффициент выбытия изношенного капитала. Следовательно, в модели за счет фонда накопления осуществляются все необходимые экономике инвестиции, то есть инвестиции, покрывающие износившийся капитал, и инвестиции, идущие на прирост капитала.

Шестое соотношение означает, что трудовые ресурсы L(t) изменяются с постоянным темпом п. Проинтегрировав это дифференциальное уравнение, получим

L(t) = Lo enl,

где L0 - объем трудовых ресурсов в начальный момент времени = 0. Таким образом, в модели предполагается, что трудовые ресурсы в модели растут с постоянным экзогенно заданным темпом роста п.

2. Производственная функция

Примем предположение, что производственная функция Y(t) = F(K(t), L(t)) является линейной однородной функцией первой степени:

z F(K, L) = F(zK, zL).

Тогда

Y(t) = L(t)-F(K(t)/L(t), 1) = L(t)fk), где k = K(t)/L(t) и f(k) = F(K(t)/L(t), 1).

Интерпретируя y = Y(t)/L(t), как производительность труда, получим, что она определяется фондовооруженностью труда k в момент времени t,

т.е. У =fk).

Учитывая, что

K(t)/L(t) = k, dL(t) dt

1 dK

— n ?

L(t) dt

I (t) -Л (t),

получаем dK (t) 1

dt L

Тогда

(I (t) -mK (t)) •

1

W)

(sY (t) -Л (t)) •

1

Lt)

sf (к) - /лк.

dk _d(K / L)_ dK(t) 1 K(t) dL(t) 1

dt dt dt L

sf (к) -лк - kn,

или, окончательно,

— — sf (k) - (лк + nk). dt

Экономическая интерпретация полученного дифференциального уравнения следующая: скорость фондовооруженности dk/dt увеличивается с ростом производительности труда f(k) и нормы накопления s, а уменьшается с увеличением выделяемых средств на компенсацию износа фондов /л-k и на прирост трудовых ресурсов n k. Для того чтобы значение k не менялось, дополнительной рабочей силе требуется nk.

Если в экономике ОАО «РЖД» имеет место рост объема труда и амортизация капитала, то обеспеченность капиталом единицы рабочей силы уменьшается на величину (л + n)k. Следовательно, экономике в этом случае для поддержания прежнего уровня капиталовооруженности необходимы инвестиции равные величине (л + n)k.

При условии s-f(k) > (л + n)k не все инвестиции идут на поддержание прежнего уровня капиталовооруженности. Это приводит к увеличению капиталовооруженности, следовательно, dk/dt >0. В противном случае, если s-f(k) < (л + n)k, инвестиции не способны поддержать прежний уровень капиталовооруженности, поэтому он падает и dk/dt < 0. Если в экономике инвестиций хватает только на поддержание прежнего уровня капиталовооруженности, s-f(k) = (л + n)k, то увеличение ее не происходит и dk/dt = 0. Переменная k не меняется, что соответствует стационарному состоянию экономики компании. 3

3. Стационарное состояние

При dk/dt = 0 в экономике не происходит изменения капитала на одного работника. Другими словами для стационарной траектории k(t) = k = const. Отсюда следует, что

s-f(k ) - (л + n)k = 0.

Из приведенного соотношения следует, что уровень капиталоворуженности k* соответствует точке пересечения графика накопления (вкладываемых инвестиций) sfk) и прямых инвестиций

(р + n)k, необходимых для поддержания прежнего уровня

капиталовооруженности (рис.1).

%

Рис.1 Определение уровня переменной к

Из равенства sf(k) = (р + n)k можно найти уровень дохода и норму накопления, которые соответствуют устойчивому уровню капиталовооруженности. Например, для производственной функции Кобба - Дугласаf(k) = Aka (0 < а < 1) имеем к* = ((р + n)/sA)l/^a 1).

Рассмотрим, как ведут себя основные величины, описывающие состояние экономики на стационарной траектории. Так как к = K(t)/L(t), то

И* И* V! t И* V! t

K(t) = к L(t) = к L0 e . Поскольку Y(t) = L(t)-fk), то Y(t) = L(t)-j(k) = L0 e •f(k ). Отсюда следует, что

I(t) = s L0 ent fk*) и C(t) = (1- s) L0 entfik*).

Таким образом, вдоль стационарной траектории дифференциального

*

уравнения для нормы фондовооруженности к все величины K(t), Y(t), I(t) и C(t) растут с постоянным во времени темпом, равным темпу n роста трудовых ресурсов.

На этой траектории производительность труда y = Y(t)/L(t) = fk), фондоотдача Y(t)/K(t) = fk )/к и потребление на единицу труда c(t) = C(t)/L(t) = c fk) являются постоянными величинами в любой момент времени t.

Следует заметить, что полученные результаты имеют место только

Ф Ф

для одного значения фондовооруженности - значения к. Если к Ф к, то указанный вывод не имеет места. Однако при отклонении начального условия к от значения к (например, величины к1 или к2 на рис 1.), в дальнейшем с ростом времени траектория k(t) стремится к траектории к*. График скорости dk/dt изменения переменной k(t) на рис. 1 изображен пунктиром.

Таким образом, какова бы ни была норма накопления, экономическое развитие ОАО «ЖРД» асимптотически стремится к сбалансированному росту, при котором экономика в целом растет темпом, равным темпу роста рабочей силы.

4. Управление устойчивым уровнем капиталовооруженности

Уровень устойчивой капиталоворуженности к* однозначно определен значениями нормы сбережения s, темпа роста объема труда п и нормы амортизации ц. Причем увеличение n и р ведут к уменьшению устойчивого уровня капиталовооруженности, так как при к* = sf(k*)/(^ + п) имеем

dk* dk* dn d^

k *

< 0.

Увеличение нормы сбережения ведет к увеличению устойчивого уровня капиталовооруженности, так как

dk * f

ds

> 0,

Отрицательная зависимость устойчивого уровня

капиталовооруженности от изменений темпа роста трудовых ресурсов и нормы амортизации объясняется тем, что при увеличении этих параметров большая, чем прежде часть инвестиций идет на поддержания прежнего уровня капиталовооруженности, но при этом уровень инвестиций остается неизменным. Положительную зависимость устойчивого уровня капиталовооруженности от нормы сбережения можно объяснять тем, что при увеличении нормы сбережения инвестиции увеличиваются. При том же уровне инвестиций, идущих на поддержание прежнего уровня капиталовооруженности, часть инвестиций, идущих на изменение капиталовооруженности растет.

5. Заключение

Предлагаемая математическая модель позволяет давать численную оценку при решении различных управленческих задач. Она дает возможность:

- принимать обоснованные управленческие решения по выбору направлений инвестирования в развитие существующей железнодорожной инфраструктуры и развитие железнодорожной сети в целом;

- обосновывать свои решения и свою позицию при организации проведении совместных инвестиционных проектов с региональными органами власти и бизнес-структурами;

- обосновывать роль и значимость развития социальной сферы, повышения квалификации персонала и заинтересованности персонала в результатах своего труда.