Об обращении бесконечных гауссовых матриц

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3

УДК 512.6:519.61

ОБ ОБРАЩЕНИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГАУССОВЫХ МАТРИЦ

Ф. М. Федоров, Н. Н. Павлов, С. В. Потапова, О. Ф. Иванова

Аннотация. Исследовано существование левосторонних, правосторонних и двусторонних обратных матриц для так называемых гауссовых бесконечных матриц, т. е. для верхних бесконечных треугольных матриц с отличными от нуля элементами на главной диагонали. Доказано существование единственной двусторонней обратной матрицы для гауссовых матриц. Найдено явное выражение обратной матрицы для гауссовой матрицы любого порядка, в частности, и для бесконечного случая. Данное выражение удобно для его реализации на ПК, поскольку вычисления основаны на рекуррентных соотношениях. Такой подход можно распространить и для так называемых треугольных бесконечных матриц, т. е. для нижних бесконечных треугольных матриц с отличными от нуля элементами на главной диагонали. Таким образом, появляется возможность обращения бесконечной матрицы с бесконечным рангом, поскольку такие матрицы разлагаются на произведение двух матриц: треугольной и гауссовой матриц.

БС! 10.25587/SVFU.2018.99.16951 Ключевые слова: бесконечные системы, линейные алгебраические уравнения, бесконечные треугольные и гауссовы матрицы, обратные матрицы, бесконечный определитель.

1. Введение

Бесконечные матрицы, тем более их обратные, нас интересуют прежде всего с точки зрения решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Поэтому изложение начнем с классического определения бесконечных систем и их решений [1].

Пусть задана бесконечная система линейных алгебраических уравнений с бесконечным множеством неизвестных:

»1,1x1 + ах,2x2 + • • • + ах ,„ж„ + • • • = Ьх, а2,ххх + а2,2Х2 + • • • + а2 ,пхп + • • • = Ь2,

а„дхх + а„,2Х2 +-----+ ап,пХп +----= Ьп,

где а^ — известные коэффициенты, Ь^ — свободные члены и х^ — неизвестные, все эти величины взяты из некоторого поля Е.

Результаты получены в рамках государственного задания Минобрнауки России (проект № 1.6069.2017/8.9).

© 2018 Федоров Ф. М., Павлов Н. Н., Потапова С. В., Иванова О. Ф.

Совокупность численных значений величин жх, ж2, ... называется решением системы (1), если после подстановки этих значений в левую часть равенств (1) получим сходящиеся ряды и все эти равенства будут удовлетворены.

В случае разрешимости бесконечная система называется совместной, в противном случае — несовместной.

Формально систему (1) запишем в виде линейного матричного уравнения:

где А — матрица коэффициентов системы (1), X — вектор-столбец неизвестных, В — вектор-столбец свободных членов.

Матричное уравнение (2) можно рассматривать в общем виде, где матрицы А, В и X произвольные. Тогда для бесконечной системы (1) мы предполагаем, что все элементы матрицы В, кроме элементов первого столбца, равны нулю, а также рассматриваем только те решения X уравнения (2), в которых все элементы, кроме расположенных в первом столбце, равны нулю.

Из определения решения бесконечной системы (1) следует, что если бесконечная система (1) совместна, то произведение АХ бесконечных матриц А и X существует и оно равно правой части уравнения (2), тем самым на бесконечные матрицы А, X и В уже накладываются определенные условия.

Напомним определение бесконечных обратных матриц [2]. Если предположить, что в уравнении (2) матрица В равна единичной матрице I, то решение X уравнения (2) называется правосторонней (п.с.) обратной матрицей для А и обозначается через А-1. Решение X уравнения

называется левосторонней (л.с.) обратной матрицей для А и обозначается через -1А.

Естественно, в этих случаях матрица X представляет общую матрицу с элементами ж^.

Таким образом, для решения бесконечной системы (1) на первый взгляд достаточно искать только л.с. обратную матрицу и исследовать ее, но оказалось, что обратные матрицы для бесконечных матриц имеют сложную структуру. Например, может существовать единственная л.с. обратная, в то же время п.с. обратная может вообще не существовать или существует их бесконечное множество, или все может быть наоборот. Такая же ситуация возможна и относительно двусторонних обратных. Необходимо отметить, что, насколько нам известно, до настоящего времени обратная матрица бесконечной матрицы еще не получена. Единственно, в работе Кука [2] отмечено, что для нижней треугольной матрицы (см. следующий раздел) может существовать единственная двусторонняя обратная матрица, причем она будет нижней треугольной матрицей и все элементы ее главной диагонали равны ——.

Настоящая статья посвящена нахождению бесконечной обратной матрицы для гауссовой матрицы.

AX = В,

XA = I

2. Определения. Предварительные сведения

Сначала дадим некоторое пояснение по поводу понятия треугольных бесконечных матриц. По Куку [2] имеем: если = 0 при г > j, то А называется нижней треугольной матрицей; если = 0 при г < то А называется верхней треугольной матрицей. В этом понятии главные диагонали треугольных матриц содержат произвольные элементы. Но, как отмечено выше, элементами главной диагонали обратной нижней треугольной матрицы являются обратные элементы главной диагонали самой матрицы. Приведем некоторые результаты, полученные в работах [2, 3].

Предложение 1. Произведение двух нижних треугольных матриц является нижней треугольной матрицей.

Предложение 2. Умножение нижних треугольных матриц ассоциативно.

Предложение 3. Диагональные матрицы, матрицы с конечными строками и матрицы с конечными столбцами образуют поля.

Теорема 1. Нижняя треугольная матрица А не имеет п. с. обратной, если аз,з =0 хотя бы для одного значения j. Если же аз-,з- = 0 для каждого j, то А имеет единственную п.с. обратную, которая будет нижней треугольной матрицей, и все элементы ее, лежащие на главной диагонали, соответственно равны

1

Связь между л.с. и п.с. обратными матрицами для произвольной матрицы устанавливается следующей теоремой.

Теорема 2. Если А-1 является единственной п.с. обратной для А и АА-1 • А ассоциативно, то А-1 является также л.с. обратной для А, и притом единственной, для которой -1ААА-1 ассоциативно. Если

-1А — единственная л.с.

обратная для А и А --1 АА ассоциативно, то -1А является также п. с. обратной для А, и притом единственной, для которой -1ААА-1 ассоциативно.

Замечание 1. Пусть А — нижняя треугольная матрица, для которой а3',3' = 0 для всех г, так что согласно теореме 2 матрица А имеет единственную п.с. обратную X. Тогда X является также л.с. обратной для А и единственной двусторонней обратной для А.

Поэтому если все элементы главной диагонали нижней треугольной матрицы не равны нулю, то такую матрицу называем просто треугольной. Если все элементы главной диагонали верхней треугольной матрицы не равны нулю, то такую матрицу называем гауссовой матрицей. Таким образом, бесконечные определители (если они существуют) треугольной и гауссовой матриц всегда отличны от нуля, в этом заключается принципиальное различие нижней и верхней треугольных матриц соответственно от треугольной и гауссовой матриц.

Очевидно, предложения 1, 2 и замечание 1, а также вторая часть теоремы 1 справедливы для треугольных матриц.

Если бесконечная система имеет гауссову матрицу, то говорят, что система задана в гауссовой форме или просто она называется гауссовой системой.

Рассмотрим главные миноры (главные определители) матрицы А системы

и т. д. Если существует предел Иш |Ап| =

а 1,1 а 1,2 а2,1 а2,2

|А|, то считается, что существует бесконечный определитель, а значение указанного предела есть значение бесконечного определителя [1,4].

Пусть бесконечная матрица А(а,,^порождает бесконечный определитель. Методом исключения Гаусса приведем матрицу А к гауссовой форме аналогично конечным матрицам [5]. Необходимо заметить, что были попытки обобщить алгоритм Гаусса для бесконечных матриц [6, 7], но они алгоритмически трудно реализуются. Справедлива следующая теорема [8], при этом все обозначения взяты в соответствии с работой [5].

Теорема 3. Всякую матрицу А(а^,к бесконечного ранга, у которой последовательные главные миноры отличны от нуля, т. е. Ок = 0 (к =1, 2,..., то), можно представить в виде произведения треугольной матрицы В и гауссовой матрицы С:

А = ВС =

Ь1,1 0 . . 0 .. С1,1 С1,2 . . . С1,п . ..

Ь2,1 Ь2,2 . . . 0 0 С2,2 . . . С2,п .

Ьп,1 Ьп,2 . . . Ьп,п . 0 0 . . Сп,п

. ... . ...

При этом

Ь1,1С1,1 = О1, &2,2С2,2 =

£2

О

п— 1

ь,

Ък,

А/12 ...к—1, \ vi 2 ... к — 1 к) /1 2 ... к\

Ск-

Ск,к-

А

1 2 ... к—1 к 1 2 ... к—1 ,

А12 :::к)

А 11

(3 = к, к + 1,. .., то; к = 1, 2, .. ., то).

Диагональным элементам матриц В и С можно дать произвольные значения, удовлетворяющие условиям (5).

Замечание 2. Если диагональные элементы Ь^, г = 1, 2,..., то, матрицы В равны единице, то получим метод исключения Гаусса. В этом случае бесконечная матрица единственным образом разлагается в произведение треугольной и гауссовой матриц (4).

Замечание 3. Пусть бесконечная матрица А(а^,,системы (1) порождает бесконечный определитель, отличный от нуля. Это условие является достаточным условием того, что матрица А(а^,,имеет бесконечный ранг. Тогда, не нарушая общности, на основании метода Гаусса (см. теорему 3) вместо общей системы (1) можем рассматривать гауссову систему в виде

а,,,+р х,+р

р=0

Ь,

3 = 1, 2, 3,

Основные результаты о решении гауссовой системы приведены в [9-17].

Поскольку для системы (7) элементы главной диагонали ее матрицы ненулевые, не нарушая общности, можно положить 3 = 1 для всех 3.

Если метод редукции в узком смысле (простой редукции) дает решение неоднородной гауссовой системы (7), то это решение называется строго частным решением [9,11, 12].

Теорема 4. Неоднородная гауссова система (7) совместна тогда и только тогда, когда существует ее строго частное решение.

Теорема 5. Строго частное решение совместной бесконечной гауссовой системы

= Д« (Ь) = ]Г(-1)РАРС,>3+Р, 3 = 1,...,

Р=0

при этом АР(3) рекуррентно определяется соотношением

р-1

Ар(з) = Е(-1)р-1-к к=0

где aj+ktj+p — соответствующие элементы матрицы А гауссовой системы (7) и Д^-1 (Ь) — определитель Крамера, т. е. определитель матрицы А^-1 (Ь), получаемой из матрицы А заменой столбца 3 вектором-столбцом свободных членов Ь = (Ь1, Ь2,... )Т системы (7).

Как показано в работах [9-11], на самом деле величины АР(3) являются определителями порядка р = п — 3:

Ап—

аз,з +1 1 0 . 0

аз,з

а3,3 + 2 <4 + 1,1 + 2 1 . 0

аз,з аз + 1,з + 1

п-1 a>j+l,n-l <^ + 2,71-1 Оп- 2,п-1

аз,з аз + 1,з + 1 аз + 2,з + 2 2,п —2

а3 + 1,п а3 + 2,п ап — 2,п

аз,з аз + 1,з + 1 аз + 2,з + 2 2,п —2

0 0

1

О'П — 1, п ап — 1 ,п — 1

и они названы характеристическими определителями системы (7) [16,17]. Тогда формулы (8) и (9) в общем виде запишутся соответственно так:

= д«

ь

]з+р

Р=0

3 = 1,..., го,

мл = В-!)*-1-*^^^), мл =

А=0 + к

X

j

Формально выпишем определитель (10) в бесконечном случае, когда п стремится к бесконечности:

0 0

аз,з +1 1 0 . 0

аз,з

а3,3 + 2 а3 +1,3+2 1 . 0

аз,з аз + 1,з + 1

ai)T1_i 03 +1,71-1 a3 + 2, Ti-1 2, п— 1

аз,з аз + 1,з + 1 аз + 2,з + 2 2,n —2

aj,ri ai+l, п а3 + 2,п ап — 2,п

аз,з аз + 1,з + 1 аз + 2,з + 2 2,n —2

A(j) - aj,n—l aj+l,n-l aj+2,n-l gn-2,4-1 1 — lim An-j(j).

1

an — 1 ,n

Заметим, что в формулах (10) и (11) индекс j может начинаться с нуля, если нумерация уравнений в системе (7) также начинается с нуля.

Отметим, что по определению бесконечных определителей бесконечный определитель (11) существует тогда и только тогда, когда существует предел

lim Ap

p—

ряд сходится. Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что для каждого фиксированного j бесконечный определитель (11) существует.

3. Обращения гауссовых матриц

Для вычисления обратной матрицы в общем случае можно воспользоваться теоремой 3, т. е. разложением матрицы бесконечного ранга в произведение (4) треугольной B и гауссовой C матриц. Следовательно, достаточно найти обратные матрицы треугольной и гауссовой матриц. Однако целью настоящей статьи является исследование и вычисление обратной матрицы для гауссовой матрицы. Поэтому так же, как и для треугольной матрицы [2], сначала докажем, что гауссова матрица также имеет единственную двустороннюю обратную матрицу. Ассоциативность гауссовой матрицы непосредственно следует из предложения 3.

Очевидно, справедливо предложение, аналогичное предложению 1, и для гауссовых матриц.

Предложение 4. Произведение двух гауссовых матриц является гауссовой матрицей.

Доказательство. Действительно, если (a^j) и (b^j) — две гауссовы матрицы, то (ai,j )(bi,j) = (ci,j), где

j

ci,j = 53 ai,kbk,j (i < j); Ci,j = 0 (i > j),

k=i

что и доказывает предложение 4.

Покажем справедливость второй части теоремы 1 и для гауссовых матриц, при этом термин п.с. заменяем термином л.с.

Теорема 6. Гауссова матрица A имеет единственную л.с. обратную, которая будет гауссовой матрицей, и все элементы ее, лежащие на главной диагонали, соответственно равны ——.

а

Доказательство. Для доказательства существования л.с. обратной необходимо решить матричное уравнение (3). Так как А — гауссова матрица, то (3) можно записать в виде

j

ак^ = ,

А=1

где 6itj — символ Кронекера.

Рассмотрим структуру элементов сначала первого столбца обратной матрицы. Тогда при 3 = 1 из (12) получим а^^д = Если г = 1, то а1,1х1,1 = 1, но а 1д ^ 0, поэтому жхд = если г > 1, то ж^д = 0, т. е. все элементы первого столбца, кроме первого, равны нулю. Следовательно, все элементы первого столбца найдены, причем единственным образом. Переходим ко второму столбцу, т. е. полагаем 3 = 2. В этом случае (12) дает а^х^ + а2,2х^2 = 6^2. Отсюда при г = 2 получим а112х2д + а2,2х2,2 = 1 или, так как х2д = 0 и а2,2 = 0, то ж2_2 = Если г = 1, то имеем а^жхд + а2;2Ж112 = 0, отсюда находим

Ж1_2 = — а а1д2 ; если г > 1, то а^ж^д + а2;2ж^2 = 0 и отсюда заключаем, что хм = 0.

Продолжая таким путем от столбца к столбцу, определим л.с. обратную матрицу X, которая будет единственной по построению, тем самим доказывается теорема 6.

Теорема 7. Гауссова матрица А имеет единственную двустороннюю обратную матрицу.

Доказательство. На основании предложений 3, 4 и теоремы 6 гауссова матрица и ее л.с. обратная матрица образуют поле. Тогда на основании теоремы 2 гауссова матрица имеет единственную двустороннюю обратную матрицу, что и требовалось доказать.

4. Вычисление обратных матриц

На самом деле мы фактически уже нашли л.с. обратную -1А для гауссовой матрицы А, на что указывает формула (8) или (8').

Действительно, в случае сходимости ряда формула (8) дает 3-ю строку матрицы -1А • Ь, где Ь — вектор-столбец свободных членов системы (7). Например, при 3 = 1 формула (8) дает выражение

А0(1)Ь1 - А1(1)Ь2 + А2(1)Ьз - Аз(1)Ь4 + ...,

что, очевидно, равно произведению строки

начинается с нуля):

/1 -¿1

1А

0 0 0

1

0

(-1)п-3Ап-з(2) (-1)"-,-1А„-,-1(з) 1

/

где Ар(3) —характеристические определители (10), вычисляемые формулой (9), и Ао(3) = 1 для всех фиксированных 3.

Необходимо доказать, что действительно -1АА = Е, но сперва приведем предварительный результат для конечных квадратных матриц п-го порядка.

Теорема 8. Обратная матрица А-1 гауссовой матрицы А п-го порядка

1 ао,1 ао,2 . . . а0,п- 1

0 1 а1,2 . . . а1,п- 1

А= 0 0 1 . . а2,п- 1

0 0 0 . .1 /

имеет вид

А-1 =-1 А =

/1 -А1(0) А2(0) 0 1 -А1(1) 01

0 0

0

1

/

где Ар(з') — характеристические определители (10) и Ао(3) = 1 для всех 3.

Доказательство. Обозначим матрицу (14) через А' и докажем, что А' = А-1. Для этого покажем, что произведение матрицы А' на А равно единичной матрице, т. е. А'А = = Е, где Е единичная матрица. Сперва убедимся,

что aj¿ = 1, т. е. диагональные элементы матрицы равны единице и

а,^ = 0 при 3 > г, т. е. все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Для этого возьмем (3 + 1)-ю строку матрицы А':

и (3 + 1)-й столбец матрицы А:

п - 1 -

(а0,,, а1,,, а2,,,..., , 1, 0,..., 0)т, 3 = 0,1,..., п - 1.

Тогда, очевидно, скалярное произведение строки (15) и столбца (16) дает элемент а,,, = 1. Также из соотношений (15) и (16) легко убедиться, что при г < ] а^г = 0. Вычислим остальные элементы а^+р, где р = 1, 2,..., п — 1 —

Р

Для этого также возьмем (3 + 1)-ю строку матрицы А', т. е. выражение (15), и (3 + 1 + р)-й столбец матрицы А:

3 = 0,1,...,п — р — 1.

Скалярное произведение строки (15) и столбца, т. е. последнего выражения, дает элемент

аМ+Р = аМ+Р — + а^+2,^+рА2(з) + ...

+ ( —1)р-1а^+р-1,^+рАр-1(з) + ( —1)РАр(з).

Из рекуррентного соотношения (9) заключаем, что сумма в последнем выражении без учета последнего члена равна ( —1)Р-1АР(3). Следовательно, = 0. Таким образом, получим А' = А-1, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Характеристический определитель АР(3) равен дополни-

М

р+м,

1 —М1,о М2,0 . . ( — 1)^Мр+^о \

0 1 — М2,1 .

А-1 = 0 0 1 . . ( — 1)р+^-2Мр+^2,2

0 0 0 . .1

тельному минору элемента матрицы А, т. е. АР

3 = 0,1,..., п — р — 1.

Доказательство. Из формулы вычисления обратной матрицы п-го порядка в случае гауссовой матрицы с единичными диагональными элементами имеем

где — минор элемента матрицы А, р =1, 2,..., п — 1 — 3.

Сравнивая соотношения (14) и (14'), убеждаемся, что следствие верно.

Замечание 4. По рекуррентной формуле (9) элементы матрицы (14) легко вычисляются даже при больших п в отличие от элементов матрицы (14').

С точки зрения решения гауссовой системы (7) достаточно иметь обратную матрицу в виде (14). Для общего случая гауссовой матрицы ситуация несколько изменяется.

Пусть гауссова матрица А порядка п имеет определитель, не равный единице, т. е.

А

/ а0,0 а0,1 а0,2 . . а0,п-1

0 «1,1 «1,2 . . а1,п-1

0 0 «2,2 . . а2,п-1

0 0 0 . . ап—1,п — 1

Сначала заметим, что так же, как и для треугольной матрицы, элементы главной диагонали обратной матрицы гауссовой матрицы (16) равны .

Далее, разделив каждую строку на ее диагональный элемент, получим

А

/1

0 0

«0,1 «0,0 1

0

00

«0,0 «1,2 «1,1 1

«0,0 «1,п-1

1

«0,2

«0,п-1

«1,1

«2,п -1

«2,2

0

Для матрицы А обратная матрица имеет вид (14). Для перехода к обратной матрице общей гауссовой матрицы А поступаем следующим образом. Каждую строку матрицы (14) должны умножить на соответствующие элементы, лежащие на главной диагонали, которые, как сказано выше, равны —-. Но матрица

«3,3

(14) уже транспонирована, поэтому, умножая каждый столбец на соответствующие элементы , получим

А-

А

0

1 -¿1

«0,0 «1,1 «2,2

0 1 -А1

«1,1 «2,2

0 0 1

(-1Г

-1(0) \

«п- -1,п- 1

-2 А ^Т-П -2

«п- -1,п- 1

-3 А -з

«п- -1,п- 1

1

«п- — 1 ,п — 1

1

А

1

«2,2

0

0

Следствие 2. Обратная матрица общей гауссовой матрицы А п-го порядка имеет вид (17).

Действительно, используя рекуррентное соотношение (9'), легко показать, что -1АА = Е.

Чтобы обобщить теорему 8 на бесконечные гауссовы матрицы, необходимо вернуться к следствию 1. Из следствия 1 и выражения (9) для фиксированных ] и р следует, что бесконечные дополнительные миноры = Ар (?) конечны

и потому существуют.

Поэтому индуктивно, переходя в доказательстве теоремы 8 к бесконечному случаю, легко обобщить ее на бесконечные системы.

Теорема 9. Обратная матрица А-1 гауссовой бесконечной матрицы А

А=

1

0 0

а0,1 а0,2 1 а1,2 01

0 0 0 \. . .

а0,п—1 а 1 ,п — 1 а2,п— 1

имеет вид

/1 -Ai

A-1 =

0 0 0

1

0

(-1)n-j-1A.

n-j-1

1

1 для всех фик-

где — характеристические определители

сированных ].

Доказательство. Достаточно доказать, что умножение матрицы (19) на А слева дает единичную бесконечную матрицу Е. Поскольку теорема 8 верна для любого п, методом индукции убедимся в справедливости теоремы. Существование и единственность двусторонней обратной гарантируется теоремой 7. Таким образом, теорема доказана.

Замечание 5. Теорема 9 показывает, что л.с. обратная матрица для бесконечной гауссовой матрицы А является также гауссовой матрицей с единичными элементами на главной диагонали.

Пусть хотя бы один элемент главной диагонали бесконечной гауссовой матрицы А отличен от единицы, тогда справедливо следствие:

Следствие 3. Обратная матрица А имеет вид

А-1 =-'А

(-L- 00,0 0 01,1 1 a 1,1 A2( 0) 02,2 -Ai(l) 02,2

0 0 1 a 2,2

0 0 0

бесконечной гауссовой матрицы А

(-lr-^-^o) \

V •

an — 1 ,n — 1 an — 1 ,n — 1

an — 1 ,n — 1 1

an — 1 ,n — 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: ГИТТЛ, 1952.

2. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М.: Физматгиз, 1960.

3. Dienes P. Notes on linear equationin infinite matrices // Quart. J. Math. (Oxford ser.). 1932. V. 3. P. 253-268.

4. Каган В. Ф. Основания теории определителей. Киев: Гос. изд. Укр., 1922.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

6. Koch H. On regular and irregular solutions of some infinite systems of linear equations // Compt. Rend. of Scandinavian congress of mathematicians in Stockholm 1909. Leipzig, Teub-ner, 1910. (http://www.mathunion.org/ICM/ICM1912.1/Main/icm1912.1.0352. 0365. ocr.pdf).

7. Finta B. The Gauss method for systems of linear equations (II) // Petru Maior. 2006. (http://www.upm.ro/InterIng2007/Papers/Sеction6/ 6-Gauss_ Method—Infinite— System _ 2-pVI-6-1_ 5.pdf).

8. Федоров Ф. М. Об алгоритме Гаусса для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 1. С. 133-140.

9. Федоров Ф. М. Неоднородные гауссовы бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 1. С. 124-131.

10. Федоров Ф. М., Иванова О. Ф., Павлов Н. Н. Алгоритмы реализации решений бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 1. С. 215-223.

11. Федоров Ф. М., Иванова О. Ф., Павлов Н. Н. Сходимость метода редукции и совместность бесконечных систем // Вестн. СВФУ. 2014. Т. 11, № 2, C. 14-21.

12. Иванова О. Ф., Павлов Н. Н., Федоров Ф. М. О главных и строго частных решениях бесконечных систем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2016. Т. 56. № 3. С. 351-362.

13. Федоров Ф. М., Иванова О. Ф., Павлов Н. Н. Об особенностях бесконечных систем // Мат. заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 4. С. 62-78.

14. Fedorov F. M. On remarkable relations and the passage to the limit in the theory of infinite systems // J. Generalized Lie Theory Appl. 2015. 9:224. doi:10.4172/1736-4337.1000224.

15. Fedorov F. M. On the Theory of infinite systems of linear algebraic equation // TWMS J. Pure Appl. Math. 2015. V. 6, N 2. P. 202-212.

16. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

17. Федоров Ф. М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011.

Статья поступила 18 июля 2018 г. Федоров Фома Михайлович

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова,

Научно-исследовательский институт математики,

ул. Кулаковского 48, Якутск 677891

f oma_46@mail .ru

Павлов Никифор Никитич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского 48, Якутск 677891 pnn10@mail. ru

Потапова Саргылана Викторовна

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова,

Научно-исследовательский институт математики,

ул. Кулаковского 48, Якутск 677891

sargyp@inbox.ru

Иванова Оксана Федотовна

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского 48, Якутск 677891 o_buskarova@mail.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3

UDC 512.6:519.61

INVERTION OF INFINITE GAUSSIAN MATRICES

F. M. Fedorov, N. N. Pavlov, S. V. Potapova, and O. F. Ivanova

Abstract: We study existence of the left inverse, right inverse and inverse of Gaussian infinite matrices (those are the upper infinite triangular matrices with nonzero elements on the main diagonal). The existence of a unique inverse of the Gaussian matrix is proved. Also, an explicit expression for the inverse of the Gaussian matrix of any order is found, including the infinite case.

Implementation of this expression is very convenient, since calculations are based on recurrence relations. Such approach can be extended to triangular infinite matrices (those are the lower infinite triangular matrices with nonzero elements on the main diagonal). Thus, there is the possibility of inversion of an infinite matrix of infinite rank, since such matrices decompose into the product of two matrices, a triangular and a Gaussian.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.99.16951

Keywords: infinite system, linear algebraic equation, infinite triangular matrix, Gaussian matrix, inverse matrix, infinite determinant.

REFERENCES

1. Kantorovich L. V. and Krylov V. I., Approximate Methods of Higher Analysis, P. Nordhoff, Groningen (1958).

2. Cooke R. G., Infinite Matrices and Sequence Spaces, Macmillan& Co, Ltd, London (1950).

3. Dienes P., "Notes on linear equations in infinite matrices," Q. J. Math. (Oxf. Ser.), 3, 253—268 (1932).

4. Kagan V. F., Fundamentals of the Theory of Determinants [in Russian], Ukr. Gos. Izdat., Odessa (1922).

5. Gantmakher F. R., The Theory of Matrices, Nauka, Moscow (1967).

6. Koch H., "On regular and irregular solutions of some infinite systems of linear equations," C. R. Scand. Congr. Math. (Stockholm, 1909), Teubner, Leipzig (1910).

7. Finta B., "The Gauss method for systems of linear equations (II)," Petru Maior Univ. Tg. Mures (2006) (http://www.upm.ro/InterIng2007/Papers/Section6/6-Gauss_Method_Infinite_ System_2_pVI-6-l_5.pdf).

8. Fedorov F. M., "On Gauss algorythm for infinite systems of linear algebraic equations [in Russian]," Mat. Zamet. YAGU, 19, No. 1, 133-140 (2012).

9. Fedorov F. M., "Inhomogeneous Gaussian infinite systems of linear algebraic equations [in Russian]," Mat. Zamet. YAGU, 19, No. 1, 124-131 (2012).

10. Fedorov F. M., Pavlov N. N., and Ivanova O. F., "Algorithms implementing the decisions of infinite systems of linear algebraic equations [in Russian]," Mat. Zamet. YAGU, 20, No. 1, 215-223 (2013).

11. Fedorov F. M., Ivanova O. F., and Pavlov N. N., "Convergence of the method of reduction and consistency of infinite systems," Vestn. Severo-Vostochn. Univ., 11, No. 2, 14-21 (2014).

12. Ivanova O. F., Pavlov N. N., and Fedorov F. M., "On the principal and strictly particular solutions to infinite systems," Comput. Math. Math. Phys., 56, No. 3, 343-353 (2016).

© 2018 F. M. Fedorov, N. N. Pavlov, S. V. Potapova, and O. F. Ivanova

13. Fedorov F. M., Ivanova O. F., and Pavlov N. N., "On the specificities of infinite systems," Mat. Zamet. SVFU, 22, No. 4, 62-78 (2015).

14. Fedorov F. M., "On remarkable relations and the passage to the limit in the theory of infinite systems," J. Generalized Lie Theory Appl., 9, 224 (2015).

15. Fedorov F. M., "On the theory of infinite systems of linear algebraic equation," TWMS J. Pure Appl. Math., 6, No. 2, 202-212 (2015).

16. Fedorov F. M., Periodic Infinite Systems of Linear Algebraic Equations, Nauka, Novosibirsk (2009).

17. Fedorov F. M., Infinite systems of linear algebraic equations and their applications, Nauka, Novosibirsk (2011).

Submitted July 18, 2018 Foma M. Fedorov

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Scientific Research Institute of Mathematics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia f oma_46@mail. ru Nikifor N. Pavlov

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia pnn10@mail. ru Sargylana V. Potapova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Scientific Research Institute of Mathematics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia sargyp@inbox.ru Oksana F. Ivanova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia o_buskarova@mail.ru