Взаимодействие звуковой волны с трехслойной деформируемой панелью

В. А. Иванов, В. Н. Паймушин, Т. В. Полякова

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ С ТРЕХСЛОЙНОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПАНЕЛЬЮ

Ключевые слова: стационарная акустическая волна, звуковое давление, деформируемая трехслойная панель, взаимодействие, звукоотражение, звукоизлучение, параметр звукоизоляции.

На основе гипотезы о плоском отражении сформулирована задача о взаимодействии стационарных звуковых волн с деформируемой пологой трехслойной панелью с целью определения давления отраженной и излученной звуковых волн в точках граничной поверхности панели со стороны падающей волны и излученной звуковой волны в точках другой граничной поверхности. Найдено точное аналитическое решение задачи по определению параметра звукоизоляции для прямоугольной панели с шарнирно опертыми кромками. Численные результаты получены для квадратной плоской пластины.

Keywords: stationary acoustic wave, sound pressure, deformable sandwich panel, stationary acoustic wave-structure interaction, sound reflection, radiation of sound waves, noise absorption parameters.

In present paper, the interaction of stationary acoustic waves with deformable shallow sandwich panels was formulated on the basis of planar reflection hypothesis to predict pressures caused by reflected and radiated sound waves. Pressures arisen from reflected and radiated sound waves were examined at points on the boundary faces of sandwich panel at the side of incoming waves while pressure arisen from radiated waves were examined on reverse face of the panel. Exact analytical solutions for the prediction of sound insulation parameter presented for simply supported rectangular panels. Numerical solutions were presented for planar square plates.

В авиастроении за последние десятилетия проблемы снижения шума привели к появлению нового научного направления - авиационной акустики, связанного с акустикой летательных аппаратов и включающей в себя аэроакустику и структурную акустику [1, 2]. Последняя составляет направление, находящееся на стыке акустики и динамики упругих систем, в котором изучаются механизмы распространения звука по конструкциям аппаратов, излучения звука этими конструкциями и др. [2]. Литература, посвященная изучению этих вопросов, достаточна обширна [3-6]. Тем не менее, полученные в этой области результаты следует считать достаточно «скромными» в виду охвата лишь узкого класса простейших элементов тонкостенных конструкций.

К изложенному выше следует также добавить, что во второй половине прошлого века в механике сформировалось научное направление, связанное с исследованием стационарного и нестационарного взаимодействия акустических волн с преградами в виде твердых деформируемых тел и тонкостенных элементов конструкций. Это направление привлекает [7] и продолжает привлекать внимание исследователей актуальностью, сложностью и многообразием явлений, присущих процессу взаимодействия тел различной физической природы. К настоящему времени относящиеся к этому направлению вопросы аэрогидроупругости тонкостенных конструкций в виде оболочек были освещены в ряде монографий и обзоров [7-17]. Однако в них абсолютно не рассматривались вопросы формирования звуковых волн и теоретического исследования задач о звукоизоляции и звукопоглощении теми или иными деформируемыми преградами. Они и в настоящее время остаются без должного внимания со стороны исследователей, хотя практически во всех изданиях справочного или другого характера, посвященных созданию различного рода многослойных конструкций, указывается, что они обладают хорошими звукоизоляционными и звукопоглощающими

свойствами [18-23]. На практике эти свойства до настоящего времени, по-видимому, исследовались главным образом только чисто экспериментальными методами, а их теоретические исследования основывались лишь на упрощенных постановках соответствующих задач [24].

1. Постановка задачи о взаимодействии звуковой волны с пологой трехслойной панелью

Рассмотрим пологую трехслойную панель, имеющую в плане прямоугольную форму с размерами a , b , симметричное по толщине строение с толщинами внешних слоев t и толщиной заполнителя 2h. В силу пологости панели метрику срединной поверхности заполнителя о и срединных поверхностей внешних слоев о(к) отождествляем с

метрикой на координатной плоскости о0, отнесенной к декартовой системе координат xoy. Будем считать, что линии пересечения плоскостей x = const и y = const с поверхностью о представляют собой линии ее главных кривизн К = , k22 = 1R2 , а вектор единичной нор-

мали к координатной плоскости о0 приближенно отождествляем с вектором единичной нормали m к срединной поверхности заполнителя о.

Для описания механики деформирования несущих слоев примем классическую модель Кирх-гоффа - Лява, приняв для векторов их перемещений представления

V(k) = u(k)e1 + v(k;e2 + w(k)m-

-z

(к, (к, (к) где и , V , ж - компоненты векторов пере-

мещении точек поверхностей о

(0<1к> =

ж

X

Ак>=

ж

(к;

.У

, к = 1,2

- компоненты векторов поворотов.

При малых перемещениях представлениям (1.1) соответствуют компоненты деформации в несущих слоях

...................

Є.(к> = Є(к)-2а> Х(к).

і і (к Аіі

где

є?/ = и к) +к.жк>, е(к> = V к) +к2у

11 ’х 11 ’ 22 ’у 22

2є\к> = и,(ку +у,

12 ’у ’х

(к) .

х

При малой изменяемости поперечных касательных напряжений о 13, о23 в направлениях осей х и у перемещения в заполнителе допускают представления следующего вида

^ + И I

и =

и(1) + и(2>

2

+

4

О-

+

2к

и

V =

+

+ ип- Л2’

2 1 2

і + И

+ил и>-

2И

Ж =

у

ж(1) + ж(2) 2

+и2>-ж(1>) 2И ’

и им соответствуют поперечные сдвиговые деформации и поперечного обжатия, определяемые соотношениями р

2є13 = 1 13 2И

и(2) -и(1) +

2И + і

2И

у(2>-у(1> +

2

2И + і 2

«- <')

Є33

2И

Предположим, что внешние слои выполнены из изотропного материала с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона V, а заполнитель в принятой системе координат является ортотропным и характеризуется модулями поперечных сдвигов

О13 , ^23 и модулем поперечного обжатия Е3. Тогда для определения во внешних слоях напряжений

о

11

о

о^ и напряжений о13, о23, о33, фор-

12

мирующихся в заполнителе, будут иметь место соотношения упругости следующего вида

Е

1-у

Е

(є1к’+ УЄ^’І

о',к‘=^т (є‘;,к’+ УЄ’Г

к = 1,2,

О(п =------------------Є2

12 1 + V 12

013 2О13Є13 , О23 2О23Є23 ,

Вместо этих напряжений введем в рассмотрение приведенные к соответствующим срединным поверхностям усилия и моменты во внешних слоях

тI=в>,::>+к,у"+к2^»>)\,

ТІ, = В

11

1-У

2

и‘+у!Г),

тъ=Ву.ч'+ку"++к„ж‘“)\ М"„= +«<’),

М ц,= -в(1-у X',

М 22 = -П(ж,(к) +уж,(к)),

(к) \ >уу ’хх />

В = Еі/(1-у2), В = Еі2/12.

и усилия в заполнителе

2И + і

N = О,

и(2> -и(1> +

У(2)-У(1) +

2

2И + і

и+<2)

2

V ’у У >

Если на внешние слои панели действуют распределенные давления р(к), положительное направление которых совпадает с направлениями осей 2(к), то относительно введенных в рассмотрение

усилий и моментов, исходя из результатов работы [22], можно составить уравнения движения следующего вида

(Сз = Е,/2И),

+ -

М1

+ -

у

^—-О1 2Ь О

-о;к,=0,

Т;

т

+ -

+ -

N

У

х

2Ь

V1

^

х

+ -

У

- Т)кп - Т22к22 +

а

2

2

г

2

1

12

х

12

2

V1 = •

Ь

х

+

+—— N,

К>

V2 =

Ь

К;

У

+ -

У

К>

+-

х

Ок, = { р^+рИ

4И

2И + і 4И

-Ы2,

2 3 ,

°

і рИ

О3к> = А р,

2и

2у

2ж(к) 2

X

Предположим, что панель в точках поверхи

ностей 2(1’ = -і/2 и 2(2) = і/2 находится во взаи

модействии с акустическими средами, характеризующимися плотностями р(1), р(2) и скоростями

звука с(1), с(2) Будем считать, что в первой среде сформирована гармоническая звуковая волна, падающая на поверхность 2(1) — - ^2 по направлению нормали т . Если срединная поверхность панели является весьма пологой, то, считая падающую

* * волну почти плоской, давление р и скорость У2 в первой среде будем определять решением волнового

уравнения относительно потенциала скоростей О в приближении

д2О * 1 д2О*

д22

с] дт2

= 0.

Для волны с частотой ю, распространяющейся в положительном направлении оси 2 , решение уравнения (1.17) имеет вид

дит динамическое деформирование панели, в результате которой в первой среде формируется отраженная и излученная волны с потенциалом О1, а во второй среде формируется излученная волна с потенциалом О2. Уравнения для их определения составим в том же приближении, что и уравнение (1.17). Поэтому решениями таких уравнений будут являться функции

Р* = -Ір 1 о О* , V* = -ІкО*,

о1=О/ °т+кі2)

к2 = Ч С2 .

О2 = О2еІ

Следовательно, суммарное звуковое давление р1 , действующее на первый несущий слой трехслойной панели, будет равно

Р(і) = Р - Рі

дО,

дт

= Р е‘от =

Р(1Г

= -Іроір* + 01 )еІот,

а суммарная скорость среды при г = 0 будет равна

V* + V'1 =

Так как в уравнении (1.13) действующее на второй несущий слой внешнее давление р2 считается положительным при его действии в направлении оси 2 , то при сохранении его знака в соответствующем уравнении в соответствии с (1.22) р2 следует вычислять по формулам

Р( 2) р2

дО2

дт

= 1р 2°в2Є<т = Р(2)е

а скорость излученной звуковой волны во второй акустической среде будет равна

О* = О* а

•І

кг = о/ с

где мнимая единица, амплитудное значение

функции О . Через эту функцию давление и скорость падающей волны в точке 2 — 0 будут определяться выражениями

р =- р1^:

дт

*

V =

2

О*

О*

дг

= -ір1оО*еІот = реІот,

= -ік1оО*еІот = Р"еіо%,

где

р = -іроО , v2 = -ік1О ,

Под действием падающей волны происхо-

V2 = р2еІот = -ік.Ое 2 2 12

При динамическом деформировании трехслойной панели, скорости движения несущих слоев в направлении т в рамках принятой степени точности формулируемой задачи необходимо подчинить условиям

дт

дж

дт

= V

Представив функции ж(1) и ж(2) в виде

ж(1) = її(1>еіат, ж(2) = w(2)еiо'

при использовании соотношений (1.24), (1.26), (1.28) условия (1.27) преобразуем к виду

О1 = О* + сж(1), 01 = О

* р( 2 ) с2ж[ 2.

2

т

2

X

2=0

2=0

2=0

2=0

Внеся их в зависимости

Р

получим соотношения

Р(1) — ^Р^О* + ср1> ^ Р(2) — 1Р2ЮС2™2 , которые при учете (1.19) и (1.21) запишутся в виде

Р(1) — 2Р -*Р1юсУ

Р ( 2) — -1Р2Юс2У

При использовании соотношений (1.11),

(1.12), (1.14)-(1.16) и представлений функций и

V в виде

(к) Р(к) Лют (к) Р(к) Лют

и — и е , V — V е .

В соответствии с кинематическими соотношениями (1.2), (1.5)-(1.8), физическими соотношениями (1.11), (1.12) уравнения движения (1.13)-(1.16) запишутся в виде

ц, («а’)+ь„ )+

д_

дх

С ^

КЯ1

УУ

(к) \

Я

+

I ^(к) Г С а I Х + 2И с I л

+ ^-)О3\ и +-------------У. I — 0 ,

2И 13 К 2 '

и2 (р'“)+ц, (» )+д- \тР“

ду

К Я

+ -

У

(к) Л

Я

+

+

^ ^^231 Vй +

2И

ВУ 2У2 + В Х + 2И

2

у у I — 0,

О

X У

В

У

Л

1 V ------1----

К Я1 Я2 У

(

Р,(1)+

’х

Л

V 1 ------1----

К Я1 Я2 У

+

С (у

+ С3

Здесь введены в рассмотрение операторы

д2 1-v д2 2

Д / —----7 +---------7 + О ,

11 дх2 2 ду2 У

1 + V д2

Тс — 12

Т —

22

2 д 2хоу ’

1 - V д2 д2 _

----------7 +------7 + О

2 дх2 ду2 '

и обозначения

Оу — ю2 (рХ + 2 р3И/3), О} — юр1с1, О2 — ЮР2С2 .

При введении новых искомых неизвестных

иа — Р(1) - и(2), Vй — Р(1) - Р(2),

Уд — У(1) - РР(2), ис — и(1) - и(2>,

Vе — Р(1)-Р(2), ус — У(1)-У(2),

дифференциальные уравнения (1.33) представимы в виде

С 1 Л

ТС

V 1 Л

-------1------

к Я1 Я2 У

12 ,у

1 V ------1----

К Я1 Я2 У

1С

22 ,х

С 1 V Л -------1-----

К Я1 Я2 У

V 1 Л

------1------

К Я Я2 У

а

'11,у

У

У

В

С 1 V Л --------1----

К Я1 Я2 У

1а

22,х

С V 1 Л --------1----

К Я1 Я2 У

' 12,у

У

2И + Х ' 2И

-В

V 1 ------1----

К Я1 Я2 у

1а . 11,У

С 1 V Л --------1----

К Я1 Я2 У

12,х

У

при использовании которых, уравнения (1.34) сводятся к системе двух разрешающих уравнений

ВУ 2У2 -

(

4И

О

д2

дх

О2

д

2

13 2 23 2

ду2

'2И+г Л2 и / + В

2И У Ьа

1 2v  +------------+

К Я Я1Я2

сЯ \

+ -

- О2 + ю

в?И±1Т1.ш

2И Ьа а

ВУ 2У2 +2С,+ В

уа — 2Р*

1 2v

+-------+

аЯ \

+ -

- О2 + ю

у

I

12.х

X

у

У -

2И ь

аа

Ус — 2Р*

где

дифференциальные уравнения (1.36) и их интегрирования по методу Бубнова приходим к системе алгебраических уравнений относительно амплитуд

жп и жп

1П — 1И -Оф , 122 — 122 - О231И ,

Тс — 1Си1с22-(12 ) , Та — 1апГ22-(12 ) ,

Т — О13122,хх - 2О13О23112,ху + О23111,уу ,

ВАкп +

кп

(Х1+О23 )-2,)-

4И

'2И + г Л2 и (

+ В

2И У Е

У кп

1 2v

+

13

----------1--------

К Я1 Я2 у

1а

22.хх

О

13

V 1 ------1-----

К Я1 Я2 У

+

сЯ Л

+ -

1 ь

Я ьы у

- О2 + ю

ж;

О

23

1 V ------1------

К Я1 Я2 У

112,ху + О23

V 1 ------1-----

К Я1 Я2 У

1а

11, уу,

В(2И + 1) Т*_ О

2И ьп а

кп

Ж2 — 2Рп,

ьсЯ —

1 V ------1-----

К Я1 Я2 У

.1 V

К Я1 Я2 у

В(2И + 1) Т

ТяЯ

--1О

2И Ь. а

кп

жк2 +

кп

К Я1 Я2 У

112,ху +

V 1 ------1----

К Я1 Я2 У

1с

11,уу,

+

ВАп +2С3 +В

1 IV 1

—7 +--------------+-7

к я; яя2 я

ьаЯ —

С 1 V ^ --------1----

К Я1 Я2 у

1‘ -2

22,хх

С 1 V Л --------1----

К Я1 Я2 у

V 1 ------1-----

К Я1 Я2 у

112,ху +

V 1 ------1----

К Я1 Я2 У

1а

11,уу,

О — ю(Р1с1- Р;с; М2 , ^а — (Р1с1- Р;с;М2 .

ь

аЯ \

ь

кп У

ОЖ + 1О

ж с

жп — 2Рп.

кп кп

Здесь

Ккп —

та /~12 1а22 ^2 Л/"* 712 о о , /~^2 1а11 о2

ь — О .л. А, - ;О1ЭО*Л, А, А +ОпЛ, А ,

кп 13 кп к 13 23 кп к п 23 кп п -

К — о13

С 1 V Л --------1----

К Я1 Я2 у

с а; -

О1

С V 1 Л --------1----

К Я1 Я2 у

+

2. Построение решения задачи для панели с шарнирно опертыми кромками

Пусть на торцах панели имеют место условия шарнирного опирания

Уа — У,а — о, Ус — у, — о при х — 0,а;

’хх 7 * ’У

ус — у,у — о при у — 0,Ъ.

Эти условия будут выполнены, если выражения для прогибов принять в виде

Уа — 'У'УЖ/1 si2А,х81пА у,

кп к пУ 7

к=0 п=0

да да

Уа АкхыпАпу,

где

Ак — (2к +1)/а, Ап — (2п +1)п/Ъ.

После подстановки соотношений (2.1) в

О2

С 1 V Л --------1----

К Я1 Я2 у

1п К Ап + О23

\

V 1 ------1----

К Я1 Я2 У

11К •

кп п

тсЯ __

ькп —

1 V ------1----

К Я1 Я2 У

с 22 2

1кп Ак - 2

\

1 V

--------1-----

К Я1 Я2 у

Л

V 1

-------1-----

К Я1 Я2 у

112 АК +

кп к п

2

V 1

-------1-----

К Я1 Я2 у

К1 К,

кп п

таЯ __

ькп ~

С 1 V ^ --------1----

К Я1 Я2 у

п:2 Ак-2

С 1 V Л --------1----

К Я1 Я2 у

V 1 ------1----

К Я1 Я2 У

1кап12АкАп

кп к п

V 1

-------1------

К Я1 Я2 у

1аы А2.

кп п

Рп — 16Р"1 № + фп +1)\,

1 V

2

X

2

X

X

2

X

X

X

X

2

X

в которых

С = > +1^ >2 у - й,, с = і,+о„/и , С = в( ^ >+> ] - й,, /г = с+о„/и .

Решение уравнений (2.2) относительно амплитуд прогибов имеет вид

Р — 2Р (+ Г + Г )1АЫ,

п п п п п п

Р — 2Рп (п- А”, )/4п

где

Х1, = БХ. +

2 2

4И

'2И + і У И (

+ В

2И

та

к,

сЯ \

+

1 И Я ь, у

- йі + ій

і с

>12 = В(И +і ї^-ій

к2 2И ьа а

Х2, = Б>42 + 2СЦ + В

к, к, 3

+

аЯ Л

+

± ь

Я ьа, у

- йі + ій .

і с

При использовании (2.3) для определения давления Р(1) со стороны набегающего потока и

давления потока р(2), излучаемого панелью, можно получить выражения

Раі = 2Р

1-ій1Ц-

16

_____У к,__________кп______к, /

к=0 ,=0

8І, >к XSІ2 >,У

и+)

Р(2) = 2ір й2 ЕЕ

16 и,- >22)

\ к, к, / ч

йІ = ар1с1.

Основной задачей проводимых исследований является определение максимального коэффициента снижения панелью уровня звукового давления при 2 = 0

и соответствующему ему показателя звукоизоляции

Яр = -20 % п,

измеряемого в децибелах.

Для анализа введенных здесь характеристик

П и Яр введем в рассмотрение осредненные значения давлений

Р

0.0 0 0

которые при учете (2.4) принимают вид

п =

Ій2Яі2

1 + Ій1Яі1

где

я,, = ЕЕ

к=0 ,=0

да да

ЯГ!=ЕЕ

4

___\ к,__к,___к, /

(2 к+ф„+1),, ;

ЧС + >22)

(к +1)2, +1),

Вычисления значений щ и Яр проведены для трехслойной квадратной пластины

(а — Ъ, Я — да , Я2 —да), взаимодействующей со звуковой волной при различных значениях частоты п в Гц и параметрах

р1 — р2 — 0,125ea22 /^, сг — с2 — 340i /п .

Толщины несущих слоев пластины приняты равными — 10 3i, а заполнителя -

2И = 15  10 3І. Результаты вычислений представлены на рис. 1-4, где величины Пі и Ярі

соответствуют размерам пластин аі = Ьі =1, 10, 100,

1000 і . Предполагается, что несущие слои выполнены или из стали с характеристиками: Е = 2,1  1010 еа/і2, V = 0,3 м и плотностью

р(1) = р(2) = 770еап2/Ґ (рис. 1, 2),

(рис. 3, 4) с характеристиками

или из плекса

Е = 3,2  109 еа/і2, V = 0,3.

р(1) = р(2) = 650(^(Р ,2/і4 ,

1

X

X

0.0 0.4

о

п»

0.8

0.4

г зо « 50 п/100

Рис. 1 - Зависимости параметров ц. и Яр. от

частоты п (Гц) для трехслойной пластины со стальными несущими слоями и заполнителем, имеющим параметры

Е3 — 106е а.]'2 , О13 — О23 — 3,84  105 еР1' ,

р3 — 0,4ёa22 Д'к

Рис. 3 - Зависимости параметров щ. и Яр. от частоты п (Гц) для трехслойной пластины с несущими слоями из плекса и заполнителем, имеющим параметры

Е3 — 106е Р/'2 , О13 — О23 — 3,84  105 еа./'2,

р3 — 0,4 е ап2

Рис. 2 - Зависимости параметров ц. и Яр. от частоты п (Гц) для трехслойной пластины со стальными несущими слоями и заполнителем, имеющим параметры

Е3 — 5  106е р/'2, О13 — 2,1  106ёР,

О13 — 1,5  106 ёР1? , р3 — 0,4еаРг2 Д'4

Рис. 4 - Зависимости параметров ц. и Яр. от частоты п (Гц) для трехслойной пластины с несущими слоями из плекса и заполнителем, имею щим параметры

Е3 — 5  106е Р/'2, О13 — 2,1  106ёРI'2, О13 — 1,5  106 Ш/'2,р3 — 0,4ёРР2

Литература

1. А.Г. Мунин, В.Ф. Самохин, Авиационная акустика. Часть 1: Шум на местности дозвуковых пассажирских самолетов и вертолетов. Машиностроение, Москва, 1986. 243 с.

2. А.Г. Мунин, Б.М. Ефимцов, Авиационная акустика. Часть 2: Шум в салонах пассажирских самолетов. Машиностроение, Москва, 1986. 261 с.

3. В.В. Болотин, Изв. АН СССР. Механика твердого тела,

1, 74-81 (1968).

4. Б.М. Ефимцов, Труды ЦАГИ, 1374, 39-46 (1971).

5. Б.М. Ефимцов, Труды ЦАГИ, 1655, 33-46 (1975

6. L. Maestrello, J. Sound and Vibration, 2, 2, 100-115 (1965).

7. А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, Методы расчета оболочек. Том 5. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек. Наук. думка, Киев, 1982. 400 с.

8. Б.В. Замышляев, Ю.С. Яковлев, Динамические нагрузки при подводном взрыве. Судостроение, Ленинград, 1967. 387 с.

9. Е.Н. Мнев, А.К. Перцев, Гидроупругость. Судостроение, Ленинград, 1970. 366 с.

10. Э.И. Григолюк, А.Г. Горшков, Нестационарная гидроупругость оболочек. Судостроение, Ленинград, 1974. 208 с.

11. Л.И. Слепян, Нестационарные упругие волны. Судостроение, Ленинград, 1972. 374 с.

12. В. Д. Кубенко, Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Наук. думка, Киев, 1979. 184 с.

13. А.Г. Горшков, Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 3, 155-158 (1974).

14. А.Г. Горшков, Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 2, 165-178 (1976).

15. А.Г. Горшков, ВИНИТИ. Механика деформируемого твердого тела, 13, 105-186 (1980).

16. Э.И. Григолюк, VIIВсесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (Днепропетровск, 1969). С. 755-778.

17. А.К. Перцев, Э. Г. Платонов, IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (Ленинград, 1973). С. 78-82.

18. В.Е. Берсудский, В.Н. Крысин, С.И. Лесных, Технология изготовления сотовых авиационных конструкций. Машиностроение, Москва, 1975. 216 с.

19. А.И. Ендогур, М.В. Вайнберг, К.М. Иерусалимский, Сотовые конструкции. Выбор параметров и проектирование. Машиностроение, Москва, 1986. 200 с.

20. В.Ф. Панин, Ю.А. Гладков, Конструкции с заполнителем. Справочник. Машиностроение, Москва, 1991. 272 с.

21. К. Штамм, Г. Витте, Многослойные конструкции // Перевод с нем. Т.Н. Орешкиной.; Под ред. С.С. Кармилова. Стройиздат, Москва, 1983. 300 с.

22. В.Н. Паймушин, В.Р. Хусаинов, Механика композици онных материалов и конструкций, 7, 2, 215-235 (2001).

23. В.А. Иванов, Вестн. Казан. технол. ун-та, 14, 8, 207209 (2011).

24. В.А. Иванов, Вестн. Казан. технол. ун-та, 14, 8, 224228 (2011).

© В. А. Иванов - д.ф.-м..н., проф. каф. машиноведения КНИТУ, lashkov_dm@kstu.ru; В. Н. Паймушин - д.ф.-м.н., проф. зав. каф. сопротивления материалов КНИТУ (КАИ); Т. В. Полякова- к.т.н., доц. каф. машиноведения КНИТУ.