Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля

М. Н. Серазутдинов

ВАРИАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

Ключевые слова: тонкостенный стержень, напряжения и деформации, вариационные соотношения, принцип Лагранжа,

вариационный метод.

В статье представлены вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля, изложен метод, позволяющий на основе простейших соотношений для компонент деформаций представить вариационные соотношения принципа Лагранжа для стержней, поперечное сечение которых составлено как из прямолинейных, так и криволинейных участков.

Keywords: thin-walled rods, stresses and deformations, variation ratios, principle Lagrange, variational method

The article presents the variational relations of the theory of thin-walled open-profile rods, the method which allows to present variational relations of Lagrange principle for rods with transverse sections consisting of both rectilinear and curvilinear parts based on the simple relations for components of deformation.

В настоящее время теория тонкостенных стержней в достаточной мере разработана и изложена в фундаментальных работах [1,2]. Однако, при расчете предварительно напряженных конструкций возникает необходимость формулировки вариационных принципов с использованием компонент напряжений и деформаций [3-5], которых в известной автору литературе не представлены.

Для описания напряженно-деформиро-

ванного состояния тонкостенного стержня используем теорию, учитывающую сдвиги, возникающие при изгибе и при кручении стержня. Эта модель основывается на гипотезах принятых в теории стержней Тимошенко и в теории тонкостенных стержней открытого профиля [2]. Применяются основные гипотезы теории Тимошенко:

1. При деформировании продольные волокна стержня не взаимодействуют друг с другом в перпендикулярных к ним направлениях (гипотеза ненадавливания).

2. Поперечные сечения стержня, плоские до деформации, после деформации остаются плоскими.

3. Напряжения, связанные с изгибом в плоскости, проходящей через главную ось поперечного сечения стержня, постоянны по ширине сечения.

4. Справедлив закон Гука.

Кроме этих предположений используются гипотезы, принятые в теории тонкостенных стержней с учетом сдвигов:

1. Гипотеза неизменяемости контура, в соответствии с которой, при деформировании стержня, профиль стержня в плоскости поперечного сечения перемещается как абсолютно твердое тело.

2. Гипотеза безмоментности, согласно которой, составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к профилю поперечного сечения стержня (к срединной поверхности) равны нулю.

Для описания деформирования стержня введем декартовую систему координат Охуг, с осью Ох, перпендикулярной к плоскости поперечного сечения (рис. 1). Обозначим через /, ], к - орты этой системы координат.

Для вычисления компонент напряженно-деформированного состояния в заданных точках М(Ум , ім) , на линии срединной поверхности поперечного сечения, вводится локальная декартова система координат, с осями Му( , М , направленными по касательной и по нормали к профилю стержня (рис. 1). Обозначим орты этих осей

1Х , і , п . Полагаем, что п = і х іх .

Рис. 1

В системе координат Оуі,

і = їу]+к , п = пу]+пгк .

где їу ,ї7 , пу,пг - направляющие косинусы осей Му( , Мг(.

Справедливы равенства: їу = ]  ї, = к  ї , пу = ]  п, пг = к  п ,

пу = іі. пі = ~ *у,

у = ум + у^у + . 1 = 1м + у^г -гііу ,

і = бу = ду = дг і = бг = ду = дг

у бв ду( дг/ 1 бв дг1 ду( '

Для описания перемещений и деформаций используем векторы перемещения и углов поворота поперечного сечения стержня:

и = и1 (х)/ + и2 (х)] + иэ (х )к;

ф = ф1

Здесь и1(х), и2(х), иэ(х) - перемещения в направлении осей Ох, Оу, Ог , ф^х), ф2(х), фэ(х) - углы поворота поперечных сечений стержня относительно этих осей.

С учетом (3) и принятых гипотез, возникающие при изгибе и растяжении-сжатии перемещения точек в поперечном сечении стержня ии (х, у, г), Vи (х), wи (х) в направлении осей Ох, Оу, Ог, определяются по формулам:

ии(х,у,г) = и1(х) + гф2(х)-уфэ(х) ;

Vи

При кручении тонкостенного стержня возникает деплонация, появляются перемещения ик (х, у, г) в направлении продольной оси Оx. В соответствии с теорией тонкостенных стержней с учетом сдвигов [2]

ик

где Р(х) - функция меры деплонации; ю (у, г) - сек-ториальная площадь профиля.

Кроме деплонации ик (х, у, г), при кручении, в плоскости поперечного сечения стержня возникают перемещения, связанные с поворотом сечения. Для описания этих перемещений введем, двумерный вектор

V

Здесь V(х, у, г), w(х, у, г) - перемещения в некоторой точке М(ум , гм) профиля (на линии пересечения срединной поверхности стержня с поперечным сечением) в направлении осей Му{ и Мг{ (рис. 1).

В соответствии с гипотезой неизменяемости контура, получается, что при кручении, тонкостенный стержень в плоскости поперечного сечения поворачивается как абсолютно жесткое тело. Следовательно, вектор V = VI + w п может быть представлен в следующем виде [2] (рис. 2):

V = vр + 0 х Rpм.

Здесь Vр ="П ] + £ к - вектор перемещения точки Р(ур, гр) поперечного сечения, которая называется центром кручения; ^, £ - компоненты вектора перемещения точек в системе координат Оуг; 0 = 0 / -вектор углов поворота сечения вокруг оси проходящей через полюс Р(уР, гР) и параллельной оси Ох;

Rрм = (Г - Гр) = (ум - ур) ] + (гм - гр) к - вектор,

проведенный из полюса р в точку М профиля. Выполняя операцию векторного умножения в формуле (8) и приравнивая правые части соотношений (7) и (8), получаем

VI + wn = [ г\-0(гм - гр) ]] +

+ [£+0(ум -уР)] к

R^

рм

О1

Рис. 2

Умножая это уравнение скалярно на вектора I и п , определяем перемещения в направлениях осей у{ и г{:

v =[П-0 (гм - гр)] ] 1 +[£+0 [ум - ур)] к •], w = [л-0 (гм - гр)] ] • п + [£+0 (ум - ур)] к • п .

С учетом формул (1), (2) находим (х ум, гм) =Ъ <у +£ 1г +

+ 0 [(ум~ ур) [г - (гм - гр)<у I (Х ум , гм ) = Ъ 1г-£ 1у -

- 0 [(у Ур ) [у + (гм - гр ) 1г]

В дальнейшем полагаем, что полюс р( у р, гр) совпадает с началом системы координат Охуг. Следовательно,

0 = ф1

С учетом равенств (11), формулы (10) принимают следующий вид:

V (х, ум, гм ) = и2(х) + иэ(х) гг +

+ ф1( х) [ум [г - гм гу ],

w (Xум,гм) = и2(х) гг -

- иэ (х) гу -ф1( X) [ум гу + гм гг ]

Таким образом, перемещения точек срединной линии поперечного сечения стержня в плоскости сечения описываются соотношениями (12). Для точек Мп (х, у), лежащих на оси Мг{ (рис. 3), величины 1у, гг, такие же, как и для точки М(ум,гм) , поэтому полученный результат в виде

соотношений (12) можно использовать и для определения перемещений V (х, у, г) , w (х, у, г) в точках Мп (у, г), лежащих на оси Мг{ (на линии перпендикулярной к срединной линии поперечного сечения стержня).

Полагая в формулах (12) ум = у , гм = г , получим

V (х,у,г) = и2(х) гу + иэ(х) гг +

+ф1( х) [у1г - г1у ], w (х,у,г) = и2(х) 1г - иэ(х) 1у --ф1( х) [у1у + г1г ]

В этом случае секториальная характеристика (площадь) профиля

Мп

ю (у,г) = ю (в) = |рбв = |рбв .

Здесь в - длина дуги линии ОпМп, отсчитываемая от некоторой точки Оп (рис. 3);

р (у, г) = Йрмп • п = у пу + г пг = у іг - г іу -

длина перпендикуляра, проведенного из начала координат Оxyz к касательной к линии ОпМп в точке Мп . Так как стержень тонкостенный, то в дальнейшем полагаем р(y, г) = р(ум , 7м ) = ум пу + 7м пг = ум іг - 7м іу .

Таким образом получается, что при растяжении-сжатии, изгибе и кручении тонкостенного открытого профиля в направлении нормали к поперечному сечению (в направлении оси Ох) возникают перемещения вызванные растяжением-сжатием, изгибом и деплонацией сечения при кручении:

и (х, у, г) = и и (х, у, г) + ик (х, у, г) =

= Щ (Х) + *Р2 (х) - у<р3 (Х) - Р(X) Ю (в) .

Деформации и напряжения будем вычислять в системе координат Му(г(. Используем формулы теории упругости: ди

Є х = ^ ; уху> =Чхв = — + — ;

ди ду

--------1------

ду{ дх

ду дw

ди дw

У Х7 =------+----, У у 7 =-------+----.

' дг{ дх Уіп дг{ дуі

Обратим внимание на то, что по формулам (16) вычисляются деформации в фиксированной точке М и в фиксированной локальной системе координат Муі гі . В этом случае, в точке М

д д

бв = буі (рис. 1 - 3), следовательно -------=------. С

ду( дв

учетом этого равенства и выражений (2), (13), (15), (16) находим

е х = би1

бх

бх

бх

би2(х) і , би3(х) і + бфі(х) У ху< бх іу + бх + бх

+ Ф2

бх

[у*7 - гіу\

,

бх

бх

бфі( х ) бх

[уіу + гіг ] +Ф2 (х) іу - Фэ (х) іг ,

у = 0 .

Так как принята гипотеза безмоментности, следует полагать тхг^ = Оухг^ = 0 .

В соответствии с гипотезой ненадавлива-ния, продольные волокна стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению к ним направлениям, следовательно, нормальные напряжения в направлении осей М уг , Мгг равны нулю:

ст у = ст г = 0 . у, г,

Рис. 3

Таким образом, в тонкостенном стержне возникают только напряжения ст х = Е е х и

т = Оу , действующие в его поперечном сечении. С учетом формул (17), получаем

т = Оу ху, < ху,

° х = Е Є х , х ху. = °У ху. ;

- у

бх бх

бфэ

18)

бх бх

ю (в),

венство

у = би2(х) + биэ(х) + бф1(х) Гу, - ] +

1ху, бх у бх г бх [уТг гГу] +

+ ф2 (х) гг - фэ (х) ,у - Р(х)р(ум , гм ) .

Подчеркнем, что формулы (17), (18) справедливы для точек поперечного сечения стержня, лежащих на оси Мг,, т.к. для них выполняется рад д ду( дв '

Координаты точек, лежащих на оси Мг,

(уг =0) вычисляются по формулам у = ум + г(гг, г =гм - г(гу. Подставляя эти

выражения в соотношение (18) для у у, с учетом

того, что р(ум , гм ) = ум гг - гм гу получим

у ху, =у +у ху,

Здесь

у би2(х) г + биэ(х) , , бф1( X) р(у г , +

у ху. = —3-----гу +---3---- гг +—1------р(у м , гм ) +

‘ху< бх

бх

бх

+ф2 (х) г2 - фэ (х) гу - Р(х)р(ум , гм), у к бф1( х) г

у ху, бх г.

Следовательно, касательные напряжения можно представить в виде суммы

х = Оу = * + *

хуі ' ху,

ху,

где т - постоянное по толщине стенки среднее как

сательное напряжение, тХу - напряжение чистого

Оп О

кручения, распределенное по толщине стенки по линейному закону:

т = G

du2( x) dx

-фз

ty +

duз

d<?1( x) dx

dx

p(Ум , zм ^

+ ф2

tz +

_k ^1(X) z

zxyt =G~dr Zt .

Обозначим координаты точек на линии у{ = 0 через (уі, гі), соответствующую координату - гп , а длину дуги, которая соответствует точке М - в|. Следовательно, для точек, лежащих на оси Мг{

а х (уі, г і ) = Е є х(уі, г ;) ,

*щ (у і, г і) = °уу = [у (ум , 7м ) + уху, (7і )];

Є

Є х (уі, гі ) = —---+ гі —----------

бх бх

у бФэ(х) тх) ю ,

- уі —^----------^— ю (ві),

dx

dx

. . du2

Y (Ум, Zм ) = -^-Lty + ^^tz +

dx dф1

dx

dx

p(Ум , zм ) +

+ Ф2

У

k dф1( x) z

Y xyt =~dT Zti.

Потенциальная энергия деформации стержня в точке

1

Ua(Уi,zi)=2[аx(У i,zi) єx(Уi,zi) +

+ тт (У n z і) YXyt (У n zi)].

Здесь

т'ху, (у I, г I) = °у 'ху,,

у 'ху, =у (у м, гм) + к * у кху, (га), к '=2.

Введение в выражение для потенциальной энергии деформации (21) слагаемого

тху, (у/, г /) Уху, (у Ь г .I) ,

вместо

т ху, (у I, г I ) у ху, (у I, г I ) объясняется следующим. Как известно [2], при чистом кручении узкой полосы, касательные напряжения тху, ; тхг, вносят одинаковый вклад в величину

момента чистого кручения Н . Согласно принятой

гипотезе безмоментности, полагалось т хг =0 , сле-

хг,

довательно, момент чистого кручения в этом случае будет создаваться только напряжением %ху , причем справедливо равенство

Л (т ху,г, )бА = Я (ткху,г, )бА=1Н.

Для компенсации отсутствия в формуле для потенциальной энергии деформации (21) напряжения

вместо т (уI, г I), у (у,-, г,) используются

т

XZt

xy,™ I’ I'’ ' xy,' т'xy, (y I,zI)’ Ixy, (yi,zI) • При этом получается

Ц (i*xy, z,I )dA = к* JJ (xkxy, z,I )dA =1 k *H . Для неко-А А 2

торых профилей величина коэффициент к может быть уточнена на основе экспериментальных данных по формуле к = 2а, где а - поправочный коэффициент.

Вариация потенциальной энергии деформации

5U, (yi , z I) = [ax(yI, z I) 5sx(y i , z,) +

+ *xy, (yp z I )8Y'xy, (yP z I)]

Для точки ( yh zi), вариация работы внешних сил, распределенных по длине и по площади поперечных сечений стержня

5 Wa (y 1, z i) = qA (y i, z i )8u(y i, z ,) +

+ qA (y I, z I )5v (y I, z I) +

+ qW

AAA

где qu , qv , qw - проекции внешних сил на оси координат Ox , Myt, Mz,.

Подставляя в (23) выражения для перемещений (13), (15), получим

5Wa (y „ z i ) =

= qUA (y i, z i )[5u! (x) + z5^2 (x) - y5y3 (x) --5р(х)a (s)] + qVA(yhz-t^(x) fy + 5u3(x) fz + (24) + 5<f>i(x)(yi ,z -z-^y)]+qW,(yhzi)[5u2(x) ,z --5из(x) ,y - 8q)1(x)(y i ,y + z^z)]

Учитывая, что ^ =1, а усилия

A A A

qu , qv , qw выражаются через проекции внешних сил на оси координат Ox , Oy , Oz qA, qA, q3^ по формулам qA = qA , qA = q2A (x) ,y + q3; (x) ,z,

qW, = qA (x) ,z - qA (x) ,y, вариацию работы внешних (24) можно представить в следующем виде:

5 Wa (y I, z ,) = qA (y,, z t )[8ui (x) + z (x) -

-У!5(?з(x)-5fi(х)a (s)]+

+ qA (У і, z і) [8U2 (x) - 8Ф1 (x) z і l + + qA (x)[(x) +8ф1(x) y, }

Для расчета напряженно-деформированного состояния стержневой системы используем вариационный принцип Лагранжа:

8U-8W = О.

Здесь 8 и - вариация потенциальной энергии деформации системы, 8'^ - вариация работы внешних сил.

+

+

А

А

Для стержня длинной 1С и с площадью поперечного сечения А

Ъи= | Ц ЪиА бА б1,

С А

| Л Ь'МА бА б1.

ІС А

Для вычисления интегралов Ц 5Ц? бА ,

А

Ц 8ІЛА бА используем численное интегрирова-А

ние. При этом получается

И Ша6А = £ Ша (уі , 7і ) д ,

А 1=1

ЦШаСА = £ д\^А

А і=1

Здесь ді - весовые множители, зависящие от используемой для численного интегрирования квадратурной формулы, размеров и формы поперечного сечения.

С учетом равенств (25), (22), (27) (28), находим

Ш= {|£ Ша (у і , г,) д, | бІ =

И £ [а х (у і, г і) 8є х(у і, г і) +

ІС { 1=1

х'ху,

ьм = {|£ьм/а(у,;г,-)д, | б1 =

ІС ^ і

{| £ {Я? (уі, г і )[5и1 (х) + г ЬФ2 (х ) -

ІС ^

- {я? (уі, г і )[5иі (х) + г ЬФ2 (х) -

- у,5Фэ(х) -5£(х) ю (в)] +

+ Я? (у і , г і ) [ (х) - 5фі (х) г, ] +

+ Я?(х)[(х) + 5фі(х) уі ] }бІ. Полагая в последнем выражении

?і (х) = Ц Я? (х )бА = £ яа (х, у і, г і ) д , , л і=і

р2 (х) = И Я? (х)бА = £ я2а (х, у і , г і) д , , л і=і

рэ (х) = ИЯ?(х)бА == (х,у „г і)д, ,

л і=і

ті (х) = Ц (яА (х)у - яАА (х)г)бА =

л

= £ {я? (я у, г{у - я?(х уі, щ) г і} д,,

і=1

т2( х) = И Я1А (х) гбА =

А

I = ЕЯА(х,уI,г I)гI д,, ^1 I тэ( х) = Ц ЯА (х )у бА = £ я1А (х, у,, г,) у, д, ,

А !=1

I тв (х) = ЦЯ^ (х)ю(в) бА = £ я1А (х, у „ г,) ю(в) д , ,

А !=1

получаем вариацию работы распределенных по длине стержня внешних сил р1 , Е2^э , моментов

т1,т2,тэ и бимомента тв :

8^ | [р., (х)8и1(х) + Р2(х)8и2(х) +

1С + Рэ (х)8иэ (х) + т1 (х)8ф1 (х) + т2 (х)8ф2 (х) + + тэ (х )8фэ (х)- тв (х )8Р( х)] б/.

Аналогично, для сил сосредоточенных сил р1к, р2к, Рэк , приложенных в точках продольной оси стержня с координатой хк и моментов, М], М2 ], Мэ ] ,Мю] , действующих в точках с координатой х] вариация работы внешних сил

8WL = Е [ 8щ(хк) + р2,8и2(хк) + р2,8и2( х I)] + к=1 л + Е \М1 ]8ф1(х1) + М2] 8ф2 (х] ) + ]=1 + Мэ]8фэ(х]) + МВ]8р(х])]

Таким образом, вариация работы распределенных и сосредоточенных в точках внешних сил

8W = |[р1 (х)8и1(х) + Р2 (х)8и2(х) +

1С

+ Рэ (х)8иэ (х) + т1 (х)8ф1 (х) + т2 (х)8ф2 (х) +

+ тэ

+ Е [к 8и1 (хк ) + р2к 8и2 (хк) + р2к 8и2 (хк)] + к=1 л + Е[М1У 8ф1(х] ) + М2 ] 8ф2 (х] ) + ]=1 + Мэ]8фэ(х]) + МВ]8р(х])]

Вариационный принцип Лагранжа (26) можно записать с использованием формул (29), (30), в которых напряжения и деформации вычисляются в локальной декартовой системе координат Му,г,.

Получилось, что основные положения предложенного в статье [6] метода расчета криволинейных, естественно-закрученных стержней, основанного на соотношениях для прямолинейного стержня, можно распространить и для тонкостенных стержней с криволинейным профилем.

Представим выражение для потенциальной энергии деформации стержня в усилиях и моментах для случаев, когда выполняются равенства

JJ а dA = J h а ds = О,

A

JJ a y dA = 0, JJ a z dA = 0.

AA Полагаем, что оси Oy, Oz являются главными центральными осями поперечного сечения стержня. Для выбранных осей координат

0.5h 0.5h 0.5h

J ztdzt = J ,yztdzt = J ,zztdzt = 0 ,

-0.5h -0.5h -0.5h

JJ ydA =JJ zdA =JJ yzdA = 0.

AAA Используя формулы (18) - (19), (21), (31), (32), учитывая, что y,z - z,y = p + z,, выражение

для потенциальной энергии деформации стержня можно представить в следующем виде:

u=4 J JJ ua dA di=

і

2

ic a

4 J Jrt

IаX єx +тxyt Yxyt

ic A

1J (([ є/ + G(Y

dA di =

dA di =

ic A

ic A

+ G

du1 + z^2 уСФз dP „

------+ z--------y-------------а

dx dx dx dx

,du2 4, ,dU3 w

(~^7 -Ф3) ty + (~dx3 +Ф2 ) tz +

дx

+ (dp--P) p+k  dp- Zt

dx dx

2 j dAdi =

' ic A

du1 du1 + (z СФ2 )2 + dx dx dx

. dфз 2 /dP -2

+ (У-р-Г + (^- а)2 dx dx

+g

. y dф1

k —— z, dx i

+2

,du2 w

{~о2 ~Фг) ‘у

,du2 .,du3 w *

(—.-----Ф3 ) (~7~ +Ф2 ) ty‘z

dx dx y

(dx-p ) p

dx

du2

FJ K~dT

du3 ч, Лф1

, dф1

+ 2(—.---------Ф3)‘y (-------P) p +

dx y dx

dA di.

+ 2(Ц? + *>'і <-#-Р> р

Для выбранной системы координат Оxyz, усилия и моменты в поперечных сечениях стержня вычисляются по формулам:

биі бх

N = ((а = EA1X

А

du

(

А

Qy =((т ‘ydA = GJJ

/

,du

(~dx2 _Фз) ‘y‘y +

с(Ф1

+ (~Cxx +Ф2 ) tz‘y + ~ P) p ‘У

dA,

QZ =((т ‘zdA = GJJ

fdu2 s. .

(d2 ~Фз) ‘y‘z +

,du

сФ1

+ (^ + Ф2)tz‘z + Ff1 -P) p‘

dx

dx

dA,

My =((а xZM = BydX-

Mz =((а xydA = -EI-

сФз

dx

Mffl=JJ(тtzy -тtyZ)dA =JJG

+ (^ + Ф2) p ‘z + (^T1 -P) p2

dx

А

,сФ1

dx

,du2 \ ,

(—\------Фз) p ‘y +

dx y

dA

в =ffcA_____ _ .

А dx

H = k' (((т ,y,Z‘ )dA = gCCX1- ik

где I„=JJ (а)2 dA, Ik = k' (((z^dA.

А А

С учетом соотношений (34), формула для потенциальной энергии деформации (33) принимает вид:

и =1 (

EA EI.,

EIZ EI

z ‘—'а

H2

- +---------+

gi

k

+QQ + ОЯ + mO m„.

ga ga

^u2

gi

pk

dA di.

дUз

Здесь Qy = GA

дx

дx

MO = GIpk -P ), Ip‘ =((p2dA .

дх

Получилось, что выражение для потенциальной энергии деформации (35) имеет «нестандартный» вид, в него входят поперечные силы

О у, Ох , момент стесненного кручения Мш, а также

Оу, О2, Ми. Указанная особенность объясняется тем, что при выводе основных соотношений теории тонкостенных стержней было принято т хг = 0 .

Для уточнения распределения касательных напряжений т по длине поперечного сечения можно использовать формулы, полученные на основе уравнений равновесии отсеченной части стержня [2]:

т = -Оу ^ - о7 — - м„ 5°и

hIz

hly

Здесь S0y = JJz dA Soz = JJy dA Soa = JJa dA:

Ao Ao Ao

A0 - площадь отсеченной части сечения (Рис. 4).

Литература

1. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физ-матгиз, 1959. 566 с.

2. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные

А

А

А

А

А

2

+

c

+

2

2

+

+

2

+

+

+

основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.

3. Серазутдинов М.Н. Расчет усиливаемых нагруженных конструкций вариационным методом /М.Н. Серазутдинов, М.Н. Убайдуллоев, Х.А. Абрагим // Изв. вузов. Строительство. 2010. № 7. С. 118 - 123.

4. Серазутдинов М. Н., Абрагим Х.А. Несущая способность стержневых элементов конструкций, усиливаемых в напряженном состоянии. / Серазутдинов М.Н. //Вестник Казанского технологического университета.

2010 г. № 9. С.512 - 518.

5. М.Н. Серазутдинов, М.Н. Убайдуллоев, А.Х. Абрагим. Влияние монтажных сил на несущую способность усиливаемых стержневых систем. / Серазутдинов М.Н. //Вестник Казанского технологического университета.

2011 г. № 10. С. 116 - 124 .

6. Серазутдинов М.Н. Метод расчета криволинейных стержней. / М.Н. Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 5. С. 104 - 108.

© М. Н. Серазутдинов - д-р физ. мат. наук, проф. зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, serazmn@mail.ru.