Применение стационарного метода Галеркина к первой краевой задаче для уравнения смешанного типа высокого порядка

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

УДК 517.95

ПРИМЕНЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА К ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА И. М. Тихонова

Аннотация. Рассматривается первая краевая задача для уравнения смешанного типа четного порядка. Доказано, что при определенных условиях на коэффициенты уравнения единственное регулярное решение краевой задачи находится как предел приближенных решений, вычисляемых по методу Галеркина. Также получена оценка погрешности стационарного метода Галеркина для этой задачи. Ключевые слова: метод Галеркина, уравнение смешанного типа, краевая задача, регулярное решение, оценка погрешности.

Исследования краевых задач для неклассических уравнений математической физики начались с работ Трикоми , Геллерстеда [1,2] в 20-30 гг. прошлого века. Далее теорию краевых задач для таких уравнений развивали М. А. Лаврентьев, А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, С. А. Чаплыгин, К. Г. Гудерлей и др. [3,4]. В 1970-х гг. В. Н. Врагов [5] и др. [6,7] начали построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа второго и высокого порядков с произвольным многообразием изменения типа. К исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа применялись теория сингулярных интегральных уравнений [1-4, 8, 9], функциональные методы, метод регуляризации, нестационарный метод Галеркина [5-7,10,11]. Метод Галеркина широко применяется к решению краевых задач для уравнений математической физики в [12-14] и др. В [13,14] получены оценки погрешности метода Галеркина для эллиптических и параболических уравнений. В данной работе с помощью стационарного метода Галеркина исследуется краевая задача для уравнения смешанного типа четного порядка, которая впервые была изучена А. Н. Тереховым для уравнения второго порядка [10]. Случай уравнения смешанного типа второго порядка был рассмотрен в [15].

Пусть О С К" — ограниченная односвязная область с гладкой границей 8. Положим

д = о х (0,т), вт = ^ х (0,т), т> 0; о = о х {г}, г е [0,т].

© 2016 Тихонова И. М.

В цилиндрической области Q рассмотрим уравнение

2 s n

Lu ^^ ki

LXiXi

i= 1

Отметим, что коэффициент к2а(х,1) может менять знак внутри области Я произвольным образом. Поэтому в класс уравнений вида (1) входят эллиптико-параболические, гиперболо-параболические, эллиптико-гиперболические и другие уравнения. Предполагается, что коэффициенты уравнения — гладкие функции.

Введем множества

Р0± = {(х, 0) : х е И, (-1Г-1к28(х, 0)>0},

Р± = {(х,Т) : х е П, (-1)в-1к2э(х,Т)>0}.

Введем в рассмотрение пространство Соболева ^т^^) со скалярным произведением

(и,у)т,3 = J + ^ ¿Я

д \а\<т

и нормой а также L2(Q) c

lluMm,s = (u,u)m,s,

Я

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Я такое, что

п\,5т = 0,

D\ul_n = 0, г = 0, s - 1; DfuU+ = 0;

11—U I p о

0

D{u\t=T = 0, j = 0, s - 2; D^ul-p- = 0.

T

Пусть Сь — класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (2), (3), а Ж^'^ф) — замыкание Сь по норме ||и||118. Через обозначим подпро-

странство Ж^'^Я), выделенное условиями (2) и

Dltu\t=0 =0, ¿ = 0,s — 2; D?~Lu\-s- = 0; D?~Lul_rr = 0. Лемма 1. Пусть коэффициент a(x) > 0 достаточно большой и

( —1)s-1k2s(x, T) < 0, ( — 1)s-1[2k2s-1 + (1 — 2s)k2s,t] > s> 0.

Тогда существуют неотрицательные функции £(t),n(t) £ CTO[0, T] такие, что для всех функций u £ Cl имеет место неравенство

Доказательство. Поскольку ( — 1)вк28(ж,Т) < 0, существуют числа Т0, ¿1 такие, что 0 < То < Т и выполнено неравенство

(—1)8-1к28(ж,г) < —¿1 < 0, То < г < т.

Функции &(г), п(г) выбираем следующим образом:

6(г) > 0, с(Т) = 0,

6(г) = М, 0 < г < То; & < 0, То < г < Т; 2в — 1

т,(1) =--—^ + 1, 0 <1<Т.

Для и е Сь после интегрирования по частям с учетом условий (2), (3) получаем соотношение

(—1) м [ 2

(Ьи, + г/и) =---- / к2з (О^и) в,х

+

в-1

-[2*:2Я-1 + (1-2Я)*:2Я,^

+ ( —1)^

2в — 1

6 + П

я

Е2 2 их. + аи

¿д + ...,

где члены, обозначенные многоточием, играют подчиненную роль. Выберем м > 25-1(51 + тах |к2я|). Тогда

в-1

-[2*:28_1 + (1 - 2з)к2а Д + (~1)8к2а

6 + П

>¿1 >0, г?-> 1.

В силу выбора &(г),п(г) и условий леммы из (5) получаем априорную оценку (4). При этом для оценки подчиненных членов использованы неравенства [16] < еЦиЦ^ + Се||и||2, е > 0, ] = 0, в — 1. Лемма доказана.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия леммы 1. Тогда краевая задача (1)-(3) может иметь не более одного решения из пространства

Лемма 2. Пусть выполнены условия

Мж г) = мг), (—1)8-1Ы0) < 0, (—1)8-1МТ) < 0

( — 1)8-1[2к2Я-1 + (1 — 2я)к2м] > 5 > 0, ( — 1)8-1[2к2Я-1 + Ъг^] > 5 > 0.

Тогда существуют неотрицательные функции &(г),п(г) е Сто[0, Т] такие, что для любой и е Сь имеет место неравенство

(Ьи, &Ди4 + пДи) > С3

(Я^и)2 + ^(Г^)2 + (Ди)2

и

2

2

и

где

Ди = ( —1)8^28и — Ди

Доказательство. Поскольку

(—1)8-1Ы0) < 0, (—1)8-1 ЫТ) < 0,

существуют положительные числа го < То, ¿1 такие, что

(—1)в-1к2в(г) < —¿1 < 0 при 0 < г < го, (—1)8-1к2Я(г) < —¿1 < 0 при То < г < Т.

Функции &(г), п(г) выбираем следующим образом:

6(г) > 0, &(0) = 6(Т) = 0, б(г)= м, го < г < То,

6 > 0, 0 < г < го; & < 0, То < г < Т, + 1, 0 < I < ¿о;

п(г) = ^ 1,

го < г < То;

+ 1, т0<г<т.

При этом число м удовлетворяет условию м > 25-1(тах |к2я| + ¿1). В силу такого выбора функций &(г), п(г) получаем

(-1 г1 (*2Я-1 + Ц^м) £ + (-1)*к2, (т, + ^б) + - ] > 5ь

(-1)8"1 + ^гм) С + (-1Г*2я - > ¿1,

1. 2в + 1 „ 2в — 1

Л--— *?+—2~6>1-

Для и е Сь после интегрирования по частям с учетом условий (2), (3) получаем

(-1)*-1 ( к2з^ + ) ^

+ (-1Г*2я (л - (0?п)2 + ^ - (АпУ<

(-1Г1 ( к2^ + к

+

+ (-1 ^ + + Л, _ 2£ + !6

)2¿д +...,

г=1

где многоточием обозначены подчиненные члены.

Используя неравенство Коши, из равенства (7) получаем априорную оценку (6). Лемма доказана.

Отметим, что априорная оценка (4) остается справедливой для новых функций £(г), п(£) при выполнении условий леммы 1 и дополнительного условия (-1)8-1к2з(0,х) < 0.

Пусть функции {^^(х,£)}£=! ортонормированы в Ь2(Я) и являются решением спектральной задачи

АV = (-1)^^ - /V = Л«, (х, г) е Я,

«1^=0, ГЫ4=0=0, г = 0, в - 1.

£=Т

В дальнейшем будем считать, что собственные числа данной спектральной задачи пронумерованы следующим образом: 0 < Л1 < Л2 < ..., Лк ^ при к ^ то. Положим

— (х, г) = + , к =1,2,...,

где функции £(£), п(г) из леммы 2.

Теорема 1. Функции {—к(х, г)} линейно независимы, и множество их линейных комбинаций плотно в Ь2(Я).

Доказательство теоремы совпадает с доказательством теоремы 1 из

[15].

Теорема 2. Пусть выполнены условия лемм 1,2. Тогда для любой функции / е ¿2(Я) такой, что / е ¿2(Я), существует единственное регулярное решение краевой задачи (1)—(3) из пространства Ж2'2в(Я).

Доказательство. Приближенное решение краевой задачи (1)-(3) ищется в виде

N

N N

« = Ск ^ .

к=1

Коэффициенты с^У определяются как решение системы алгебраических уравнений

Из равенств (8) нетрудно получить соотношения

(Ь«Г ,С«Г + ) = (/,С«Г + ), (ь«Г, с/ «" + пАиУ) = (/, с/«Г + ).

Отсюда ввиду гладкости функций (х, г) и лемм 1, 2 для приближенных решений справедливы априорные оценки (4), (6). Следовательно, существуют подпоследовательность «Гк(х,г) и функция «(х, г) е Ж2'2в(Я) П Ж2'8(Я) такие, что «Гк ^ « слабо в Ж2'2в(Я). При этом справедлива оценка

Переходя к пределу при Nk ^ то в равенстве (8), получаем

Я

2в

к (ж, ¿О-О^п — ^^ + а(ж)п

г=1 г=1

Фк ^ = I /(ж, к = 1,2,....

Я

Отсюда в силу теоремы 1 уравнение Ьп = /(ж, £) выполняется для почти всех (ж,£) € д и краевые условия (2), (3) удовлетворяются в среднем. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для погрешности стационарного метода Галёркина справедлива оценка

11« — «*||м < с6(||/II + ИЛЮА^Л4, Сб > 0,

где постоянная Сб не зависит от N.

Доказательство. В силу теоремы 2 краевая задача (1)-(3) имеет единственное решение «(ж, £) такое, что « € Имеем разложение функции п(ж,4) в ряд Фурье:

о

УЗ Ск^к, Ск =

«

к=1

При этом ряд (9) сходится сильно в и Из уравнения (1) получаем

равенства

С другой стороны, в силу равенства Парсеваля имеет место неравенство

о

г=1

Пусть Н* — линейное подпространство Ж2'8(д), натянутое на ..., , и Р* — оператор проектирования на Н*. Из равенств (8), (10) нетрудно получить равенство

(Ь(п — п*+ п«) = 0 V« € Н*.

Полагая в последнем равенстве V = ад — «м с произвольной функцией ад из Н*, имеем

(Ь(п — «*), £(« — ) + п(« — «*)) = (Ь(п — «*), £(« — + п(« — Отсюда в силу леммы 1 получаем оценку

С другой стороны,

оо оо

||п — Р*«||2,я < С9 Акск < СдА-1+1 скАк, С9 > 0.

к=*+1 к=*+1

Из неравенства ?12(11), (13), получаем оценку скорости сходимости стационарного метода Галеркина. Теорема 3 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947.

2. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.

3. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

4. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

5. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983.

6. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Введение в теорию уравнений смешанного типа второго порядка. Якутск: Изд-во Якутск. ун-та, 1998.

7. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

8. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.

9. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974.

10. Терехов А. Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1979. С. 128-136.

11. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

12. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

13. Джишкариани А. В. О быстроте сходимости метода Бубнова — Галеркина // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 2. С. 343-348.

14. Виноградова П. В., Зарубин А. Г. Оценка погрешности метода Галеркина для нестационарных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 9. С. 1643-1651.

15. Егоров И. Е., Тихонова И. М. О стационарном методе Галеркина для уравнения смешанного типа второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 2. С. 41-47.

16. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

Статья поступила 20 ноября 2016 г. Тихонова Ирина Михайловна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Научно-исследовательский институт математики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 1г1паш1кЬ3007@ша11.ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

UDC 517.95

APPLICATION OF THE STATIONARY GALERKIN METHOD TO THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MIXED HIGH-ORDER EQUATION I. M. Tikhonova

Abstract. We consider the first boundary value problem for a mixed even-order equation and construct an approximate solution using the stationary Gaierkin method. The existence of a regular solution for the boundary value problem is proved under certain conditions on coefficients of the equation. We obtain the error estimate of the Galerkin method.

Keywords: Galerkin method, mixed type equation, regular solution, a priori estimate.

REFERENCES

1. Tricomi F. C., Linear Equations of Mixed Type [in Russian], Gostekhizdat, Moscow (1947).

2. Tricomi F. C., Lectures on Partial Differential Equations [in Russian], Izdat. Inostr. Lit., Moscow (1957).

3. Bitsadze A. V., Equations of Mixed Type [in Russian], Akad. Nauk SSSR, Moscow (1959).

4. Guderley K. G., The Theory of Transonic Flows [in Russian], Izd. Inost. Lit., Moscow (1962).

5. Vragov V. N., Boundary Value Problems for Nonclassical Equations of Mathematical Physics, Novosibirsk Univ., Novosibirsk (1983).

6. Egorov I. E. and Fedorov V. E., Introduction to the Theory of Mixed Type Equations of Second Order, Yakutsk Univ., Yakutsk (1998).

7. Egorov I. E. and Fedorov V. E., High-Order Nonclassical Equations of Mathematical Physics, Vychisl. Tsentr SO RAN, Novosibirsk (1995).

8. Smirnov M. M., Equations of Mixed Type [in Russian], Nauka, Moscow (1970).

9. Salakhitdinov M. S., Equations of Mixed-Composite Type [in Russian], Fan, Tashkent (1974).

10. Terekhov A. N. "A boundary value problem for a mixed type equation," in: Primenenie Metodov Funkstional'nogo Analiza k Zadacham Matematicheskoi Fiziki i Vyshislitel'noi Ma-tematiki, IM SO AN SSSR, Novosibirsk, 1979, pp. 128-136.

11. Moiseev E. I., Mixed Type Equations with a Spectral Parameter [in Russian], MGU, Moscow (1988).

12. Ladyzhenskaya O. A., Boundary Value Problems of Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1985).

13. Dzhishkariani A. V. "On the rate of convergence of the Bubnov-Galerkin method," USSR Comput. Math. Math. Phys., 4, No. 2, 183-189 (1964).

14. Vinogradova P. V. and Zarubin A. G. "Error estimates for the Galerkin method as applied to time-dependent equations," Comput. Math. Math. Phys., 49, No. 9, 1567-1575 (2009).

15. Egorov I. E. and Tikhonova I. M. "Stationary Galerkin method for a mixed-type second-order equation," Mat. Zamet. YAGU, 17, No. 2, 41-47 (2010).

© 2016 I. M. Tikhonova

16. Besov O. V. and Ilyin V. P., Integral Representations of Functions and Embedding Theorems [in Russian], Nauka, Moscow (1975).

Submitted November 20, 2016 Tikhonova Irina Mikhailovna

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Research Institute of Mathematics, Kulakovskii Street, 48, Yakutsk 677000, Russia Irinamikh3007Smail.ru