Сравнительный анализ математических методов моделирования динамики деятельности мобильных операторов

Сравнительный анализ математических методов моделирования динамики деятельности мобильных операторов

Comparative analysis of mathematical modeling of the dynamics of mobile operators

С.В.Евстратчик,

к.э.н., доцент кафедры экономической кибернетики, экономический факультет, СПбГУ, s.evstratchik@econ.pu.ru

А.С.Малова,

к.э.н., ассистент кафедры экономической кибернетики,

экономический факультет, СПбГУ,

a.malova@spbu.ru

Аннотация:

На современном этапе развития отрасли мобильных телекоммуникаций компании-провайдеры услуг мобильной связи находятся в ситуации сокращения возможностей для экстенсивного развития. Поэтому становится особенно актуальной проблема адекватного моделирования основных результирующих показателей деятельности мобильных операторов. В фокусе рассмотрения статьи находится сравнение двух подходов к моделированию и прогнозированию объема абонентской базы компаний-провайдеров услуг мобильной связи - подхода, основанного на использовании разностных уравнений, и эконометрического подхода. Результатом статьи является сравнительный анализ этих подходов и формулировка их сильных и слабых сторон.

Abstract:

At the present stage of development of the industry of mobile telecommunications providers of mobile communications services are in a situation of reduced capacity for extensive development. Therefore, it is particularly urgent problem of an adequate simulation of the main resulting performance of mobile operators. The focus of the consideration of article is to compare two approaches to the modeling and prediction of the subscriber base of providers of mobile services - an approach based on the use of differential equations and econometric approach. Result is a comparative analysis of these approaches and the formulation of their strengths and weaknesses.

Ключевые слова:

Мобильная связь, абонентская база, разностные уравнения, метод скользящего среднего, метод Хольта-Винтерса, экспоненциальное сглаживание, авторегрессионный процесс.

Key words:

Mobile telephony, subscriber base, difference equations, moving average method, Holt-Winters method, exponential smoothing, autoregressive process.

Введение:

На современном этапе развития телекоммуникационной отрасли в России и за рубежом наблюдается тенденция сокращения возможностей для экстенсивного роста компаний-провайдеров услуг мобильной связи. В связи с этим мобильным операторам приходится осуществлять свою деятельность в среде, характеризующейся возрастающим уровнем конкуренции. Перед компаниями-операторами встает проблема управления и оптимизации деятельности таким образом, чтобы сохранить (или даже увеличить) свою долю на рынке телекоммуникационных услуг, а также обеспечить рост операционных и финансовых показателей компании. С этой точки зрения становится чрезвычайно актуальным исследование функционирования

компании-провайдера услуг мобильной связи, а также анализ и повышение эффективности деятельности мобильного оператора. Особый интерес для исследования представляет моделирование динамики объема абонентской базы как одного из основных показателей деятельности мобильного оператора.Объем абонентской базы мобильного оператора характеризует то количество абонентов, которое имеет активные сим-карты, принадлежащие данному мобильному оператору. Таким образом, можно сделать вывод, что объем абонентской базы - это количество активных сим-карт компании-провайдера [6]. Данный показатель является основополагающим при составлении годовых аналитических отчетов о деятельности компании-провайдера, таким образом, мобильный оператор является заинтересованным не только в отслеживании динамики данного показателя, но также в изучении тенденций и закономерностей его развития и моделировании его роста.

В рамках настоящей статьи предполагается провести сравнительный анализ двух подходов к моделированию объема абонентской базы компании-провайдера: моделирование средствами эконометрического анализа и

моделирование средствами разностных уравнений. Целью исследования является выявление области использования тех и иных методов для моделирования динамики объема абонентской базы, а также сильных и слабых сторон обоих подходов для прогнозирования данного показателя.

1. Разностная модель деятельности мобильного оператора

Будем считать, что компания функционирует на интервале t е[1,да]. На момент времени г компания-провайдер обладает следующей информацией о своей деятельности. Известен объем абонентской базы компании N, измеряемый количеством абонентов, то есть количеством активных сим-карт. Имеются данные об объеме притока абонентов за период [г -1, г] в размере vt, также измеряемого количеством абонентов. Известна величина дохода мобильного оператора к моменту времени г, которую можно обозначить за 1(

(измеряется в денежных единицах) а также величина отчислений мобильного

3

оператора на привлечение абонентов - она составляет ut (измеряется также в денежных единицах). Также доступны экзогенные параметры деятельности мобильного оператора, а именно wt - отток абонентов компании (величина оттока в процентах от общего количества абонентов) и ct - величина расходов одного абонента на услуги мобильной связи (в денежных единицах) в период [t - 11].

В общем виде показатель оттока достаточно сложен и зависит от многих факторов, таких как удовлетворенность клиентов, лояльность по отношению к компании, наличие альтернативных предложений конкурентов компании на рынке услуг мобильной связи, барьеры перехода к другому оператору мобильной связи. Оценить влияние указанных параметров на величину оттока клиентов достаточно сложно, поэтому данные факторы в рамках базовой модели обсуждаться не будут, и величина оттока принимается как экзогенно заданная величина. Аналогично величина расходов одного абонента на услуги мобильной связи принимается экзогенной величиной в силу невозможности оценки факторов, имеющих на нее влияние.

Рассмотрим теперь динамику абонентской базы компании-провайдера. К моменту времени t+1 количество абонентов мобильного оператора формируется как сумма сохранившихся у компании абонентов и объема притока новых абонентов, то есть, может быть представлена следующим соотношением, где t е[1,да]:

Nt+i =

Прирост абонентской базы в момент времени за период [t -1, ^составил vt абонентов. Будем считать, что приток абонентов формируется в

зависимости от расходов мобильного оператора на привлечение абонентов, где t е[1,да]

v

Стоит обратить внимание, что приток абонентов за период [t -1, t] линейным образом определяется расходами на привлечение абонентов в данном периоде и в предыдущем периоде. Данное утверждение объясняется принципиальной предпосылкой о том, что средства, израсходованные на привлечение клиентов в текущем периоде, оказывают эффект как в данном периоде функционирования, так и в следующем, что логично, учитывая эффект запаздывания окупаемости вложений. Рассматривать влияние расходов более раннего периода на привлечение клиентов не представляется осмысленным в силу фактического галопирующего темпа развития отрасли мобильной связи. Данная зависимость выбрана линейной для упрощения без потери качественной точности прогноза.

В свою очередь распределение дохода компании-провайдера услуг мобильной связи можно условно разделить на два направления: расходование денежных средств на развитие бизнеса и привлечение абонентов и остальные статьи расходования такие как затраты на оказание услуг связи, капитальные расходы, стратегические и финансовые расходы. Здесь важно заметить, что разделение расходов на две статьи принципиально именно для целей настоящего исследования и никоим образом не означает доминирование расходов на привлечение клиентов над остальными расходами [1]. Акцентирование внимания на статье расходов на привлечение клиентов и развитие бизнеса обусловлено лишь задачами данного исследования.

Таким образом, расходы мобильного оператора на привлечение абонентов за период [t -1, t] являются функцией от дохода мобильного оператора за период [t -1, t ], то есть

ut = а2 • It + const2

где t е[1,да]. Доход компании-провайдера на некоторый момент времени можно на качественном уровне представить как произведение количества

ut = a2  11 + const 2

It = ct-Nt

клиентов в компании и среднегодового объема затрат клиентов на мобильную связь за тот же период, где t е[1,да]:

I, = ct-N,

Учитывая сказанное выше, соотношения (2.3)-(2.6) представляют собой следующую систему:

Nt =

v

Система (5)-(8) представляет собой разностную модель деятельности компании-провайдера услуг мобильной связи, t e[i,да].

В результате алгебраических преобразований система (5)-(8) может быть сведена к уравнению вида:

Nt+2 +

Уравнение (9) является линейным разностным неоднородным уравнением второго порядка. Данное уравнение может быть решено с использованием теории функции комплексного переменного, а именно z-преобразования. Подробное решение приведено в [2], в настоящей статье остановимся на формуле аналитического решения данного уравнения относительно показателя объема абонентской базы.

Решением уравнения (9) является формула (10), где t е [1, да]:

N = N0 -а • а2 -С +#1 - ^^+к- [£472 -1-£2 -(£ ~1 ]

т-т (1 - w + -а2 •с) + Л/(w -а^ -а2 •с -1)2 + 4- А -а2 - с

При условии, что £ = -------------------1—2—-——-----^—2-----21—2—, а

(1 -w + а1 -а2 - с)-^(^-а1 - а2 - с-1)2 + 4- А -а2 - с

71 *

1 2

Данные решения [5] позволяют в любой момент времени ? е [0, да] определять количество клиентов, которые в настоящий момент

обслуживаются в компании, располагая данными об оттоке клиентов, о долях отчислений на развитие бизнеса, о затратах одного клиента на услуги связи и

о количестве привлекаемых клиентов на единицу затрат на развитие бизнеса. Также полученное аналитическое решение дает возможность проводить статические исследования параметров модели.

Апробация комплекса разностных моделей проводилась на статистической информации, предоставленной мобильным оператором ОАО «Мегафон». На официальном сайте ОАО «Мегафон» в полном объеме представлены данные ежегодной финансовой отчетности компании за период с 2003 по 2010 года, годовые отчеты о деятельности компании за период с 2003 по 2009 года и презентации акционерам компании с 2005 по 2009 года. Для апробации комплекса моделей динамики деятельности компании-провайдера услуг мобильной связи необходима статистическая информация по таким показателям как количество абонентов в компании (абонентская база компании), объем притока абонентов, выручка компании, расходы на привлечение абонентов, отток абонентов, средние затраты абонента на услуги мобильной связи. Из публичной статистической информации, предоставленной компанией, в явном виде для расчетов используется объем выручки компании в млрд. руб. по годам и данные об оттоке абонентов, измеряемый в процентах также по годам [7]. Остальные используемые данные являются расчетными.

Таблица 1. Сравнение фактических и расчетных значений объема абонентской базы

од Объем аб. базы

2002 2,9 2,9 -

2003 6,17 6,17 -

2004 13,54 14,88 9,90%

2005 22,77 21,57 -5,27%

2006 29,6 28,99 -2,06%

2007 35,52 36,11 1,66%

2008 43,3 43,33 0,07%

2009 50,22 50,49 0,54%

2010 57,1 57,65 0,96%

Источник таблицы: http://www. megafon. ги и расчетные данные

По сериям, содержащимся в табл.1., был построен график, представленный на рис. 1.

Прогнозные и фактические значения объема абонентской базы, разностные методы

70

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Объем аб. базы

Объем аб. базы

Рис.1. Графическое представление фактического и расчетного показателя объема абонентской базы (стандартная модель) по данным ОАО «Мегафон»

Данные, представленные на графике 1. позволяют наглядно подтвердить высокий уровень соответствия расчетных данных объема абонентской базы фактической информации.

2. Эконометрическая модель деятельности мобильного оператора

Рассмотрим теперь динамику роста объема абонентской базы компании-провайдера с точки зрения эконометрических методов. Предлагается осуществить моделирования ряда данных об объеме абонентской базы компании провайдера с использованием различных средств анализа временного ряда.

Исходя из доступной статистической информации по компании ОАО «Мегафон», мы имеем 9 наблюдений, характеризующих объем абонентской базы компании за период с 2002 по 2010 года. Имеющихся данных явно недостаточно для построения модели основанной на теории временных рядов. Для ликвидации данной проблемы кажется разумным увеличить объем малой выборки путем генерации дополнительных наблюдений между двумя подряд идущими данными как случайной величины, равномерно

распределенной на этом интервале. Использование равномерного

распределения в данном случае обосновывается тем, что темпы роста объема абонентской базы компании-провайдера действительно можно назвать постоянными. Таким образом, можно смоделировать недостающие квартальные данные об объеме абонентской базы. Результатом явится временной ряд, имеющий 33 наблюдения.

Для моделирования временного ряда используем несколько

альтернативных методов, а именно метод экспоненциального сглаживания, методХольта-Винтерса, и модели ARMA для исследования временных рядов.

В качестве эконометрических прогнозов в эксперименте

рассматривались прогнозы

• Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (2 варианта).

• Модель ARMA

Метод экспоненциального сглаживания дает возможность оценить степень воздействия трендовой и/или циклической компоненты на отклик системы. Также он может быть использован для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперед.

Название метода происходит из того факта, что на самом деле при его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду; а из этого следует, что сглаженное значение в любой точке ряда является некоторой функцией всех предшествующих наблюдаемых значений.. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения - предыдущее учитывается с максимальным весом, предшествующее ему - с несколько меньшим, самое "старое" наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом.

t - число членов ряда

X - исследуемый временной ряд

х0 - начальное значение временного ряда

с

1 - сглаженные значения временного ряда

Method: SingleExponential

OriginalSeries: BAZA

ForecastSeries: BAZASM

Parameters: Alpha 0.9690

SumofSquaredResiduals 193.9475

RootMeanSquaredError 1.484570

EndofPeriodLevels: Mean 55.95165

Метод Хольта-Винтерса

Этот метод является усовершенствованием метода экспоненциального сглаживания временного ряда. Экспоненциальное сглаживание обеспечивает наглядное представление о тренде и позволяет делать краткосрочные прогнозы, а при попытке распространить прогноз на больший период получаются совершенно бессмысленные значения: создается впечатление, что развитие процесса в сторону роста или убывания совершеннопрекратилось - на любой период будущего прогнозируются одни и те же значения отклика.

Модель Holt-Winters

с +

т = Ж _ с _1)+(1 _ №,_!

Т - трендовая составляющая

Можно взять Т = 0 - если много наблюдений

= у + St

Или оценить: -

Т = о

Method: Holt-Winters No Seasonal

Original Series: BAZA

Forecast Series: BAZASM

Parameters: Alpha 0.9500

Beta 0.0000

SumofSquaredResiduals 28.60405

RootMeanSquaredError 0.570128

EndofPeriodLevels Mean 55.91787

Trend 0.606955

Модели ARMA

Метод скользящего среднего субъективен и результаты сглаживания очень подвержены влиянию длины периода сглаживания. С одной стороны при небольших периодах не удается выявить трендовую компоненту сильно зашумленного процесса, при больших же периодах происходят значительные потери данных на концах анализируемого интервала.

Скользящее среднее порядка q - это временной ряд, состоящий из средних арифметических q соседних значений ряда, по всем возможным значениям времени.

Еще один метод, полезный для прогнозирования временных рядов, основан на авторегрессионных моделях. Обычно обнаруживается, что значения отклика в некоторой точке временного ряда сильно коррелирует с несколькими предшествующими. Действительно, для многих явлений их современное состояние функционально определяется предшествующими состояниями системы, в большей степени недавними, в гораздо меньшей -далеко отстоящими от заданного по временному ряду. Подобные связи принято называть автокорреляцией - корреляцией ряда с самим собой.

Автокорреляция первого порядка характеризует тесноту связи между соседними значениями временного ряда, автокорреляция второго порядка -между отстоящими друг от друга на два периода и т.д.. Вообще говоря, автокорреляция n-го порядка относится к степени связанности откликов, разнесенных на n периодов. Предполагая, что возникшая связь между значениями сохранится некоторое время в будущем, мы получаем механизм прогнозирования, основанный на построении регрессии точек ряда на самих себя, то есть - авторегрессии.

Модель ARMA

При построении теоретико-вероятностных моделей стационарных временных рядов моделируется поведение именно случайных остатков -

у( , получающихся после удаления из исходного временного ряда Yt его неслучайных составляющих.

• Модель авторегрессии AR(p):

У = ау,_! + а у,_2 +... + ау,_, + е

у{ = 0,596у, _1 + е

DependentVariable: BAZA 1

Method: LeastSquares

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

AR(1) 0.596774 0.064043 9.318388 0.0000

R-squared -0.473129 Meandependentvar 0.342167

Adjusted R-squared -0.473129 S.D. dependentvar 0.302468

S.E. ofregression 0.367113 Akaikeinfocriterion 0.840015

Sumsquaredresid 21.15919 Schwarzcriterion 0.859398

Loglikelihood -65.36115 Durbin-Watsonstat 2.349518

Inverted AR Roots .60

• Модели скользящего среднего порядка q

У, = А) + Р1е,_1 _ Р2е,_2 _ - _ Pqеtq1 + е,

у, = _0,449е _1 + е

DependentVariable: BAZA 1

Method: LeastSquares

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

MA(1) -0.449850 0.07105 6 -6.330955 0.0000

R-squared 0.125592 Meandependentvar 0.316927

Adjusted R-squared 0.125592 S.D. dependentvar 3.042822

S.E. ofregression 2.845336 Akaikeinfocriterion 4.935509

Sumsquaredresid 1279.158 Schwarzcriterion 4.954810

Loglikelihood -391.3730 Durbin-Watsonstat 1.896490

Inverted MA Roots .45

Для построенного временного ряда, характеризующего объем абонентской базы компании-провайдера, были получены прогнозные значения по вышеизложенным методам. Для краткости изложения в табл. 2 и табл.3 приводятся прогнозные значения и их отклонения от реально наблюдаемых значений только для фактических данных статистики, то есть по годам наблюдений.

Таблица 2. Сравнение фактических и расчетных значений объема абонентской базы

Год Объем абонентск ой базы, фактичес кие значения, млн.аб. Экспоненциально е сглаживание, Объем абонентской базы, прогнозные значения, млн.аб. Метод Хольта- Винтерса, Объем абонентской базы, фактические значения, млн.аб. Авторегрессионны й процесс, Объем абонентской базы, фактические значения, млн.аб. Метод скользящего среднего, Объем абонентской базы, фактические значения, млн.аб.

2002 2,9 - - - -

2003 6,17 5,87 6,20 6,09 6,14

2004 13,54 13,09 13,43 13,58 13,49

2005 22,77 22,19 22,53 22,48 22,43

2006 29,6 29,27 29,60 29,83 29,71

2007 35,52 34,80 35,13 35,49 35,43

2008 43,3 42,77 43,11 43,31 43,23

2009 50,22 49,07 49,41 49,70 49,69

2010 57,1 56,97 57,31 57,22 57,14

Источник таблицы: http://www. техсф)п. ги и расчетные данные

В табл. 3 приводятся значения отклонений прогнозных данных от фактических.

Фактический и расчетный объем абонентской базы, эконометрические 7П методы

60

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Объем абонентской базы, фактические значения, млн.аб.

Экспоненциальное сглаживание, Объем абонентской базы, прогнозные значения, млн.аб.

Метод Хольта-Винтерса, Объем абонентской базы, фактические значения, млн.аб.

Авторегрессионный процесс, Объем абонентской базы, фактические значения, млн.аб.

Метод скользящего среднего, Объем абонентской базы, фактические значения, млн.аб.

Рис.2. Графическое представление фактического и расчетного показателя объема абонентской базы (эконометрические прогнозы) по данным ОАО «Мегафон»

Как видно из табличных данных и графического представления, результаты прогноза, даже с учетом генерации недостающей статистической информации, являются адекватными фактической информации. Наилучший результат прогноза был достигнут методом Хольта-Винтерса, опираясь на критерий минимизации суммарных отклонений.

Основные результаты и выводы:

В результате сравнительного анализа эконометрических и разностных методов прогнозирования динамики объемов абонентской базы можно сделать следующие выводы и заключения:

• Обе методики прогнозирования дают возможность получить адекватный результат прогнозирования;

• Моделирование динамики объема абонентской базы с использованием разностных уравнений позволяет получить более содержательную экономическую интерпретацию результатов прогнозирования, нежели эконометрические методы прогнозирования;

• Эконометрические методы прогнозирования более просты в использовании, в отличие от разностных методов, которые требуют построения модели;

• Техническую реализацию эконометрических методов также следует признать более простой и, вследствие этого, более применимой;

• Недостатком эконометрических методов прогнозирования является необходимость иметь большой объем статистической информации, что не всегда бывает возможно.

В качестве общего заключения можно сделать вывод о том, что оба подхода являются комплементарными и наибольший эффект может быть достигнут при использовании и тех и других методов для моделирования и прогнозирования динамики объема абонентской базы компании-провайдера.

Библиографический список:

1. Конюховский П.В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Оценка по экспертной информации функциональной зависимости финансовоэкономических показателей Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5: Экономика. 2009. № 2. С. 121-133.

2. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А., Введение в эконометрику, М., Дело, ISBN 978-5-7749-0473-0; 2007 г. - 504 с

3. Носко В.П. Эконометрика, Введение в регрессионный анализ временных рядов, М, 2002.

4. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник. М.:Издательство "Экзамен", 2002. - 576с.

5. Сергиенко А.С. Анализ и моделирование деятельности компаний в сфере мобильных коммуникаций// Вестник Санкт-Петербургского университета, серия Экономика, выпуск 1, стр. 147-151, СПб, 2010

6. Gruber Harald, Verboven Frank, The diffusion of mobile telecommunications services in the European Union // European Economic Review, 45, p.577-588, 2007

7. www.megafon.ru официальный сайт ОАО «Мегафон»