Формирование «Виртуальной» антенной решетки с помощью непрерывного распределения вспомогательных источников

УДК 621.396.67

ФОРМИРОВАНИЕ «ВИРТУАЛЬНОЙ» АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ С ПОМОЩЬЮ НЕПРЕРЫВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ С.А. Акулинин, А.В. Ашихмин, В.В. Негробов, Ю.Г. Пастернак

Рассмотрены методы аппроксимации пространственного распределения электромагнитного поля вблизи трехмерного рассеивателя с произвольной геометрией и материальными свойствами - формирование «виртуальной» антенной решетки с помощью отыскания непрерывного распределения вспомогательных источников. Отыскание непрерывного распределения вспомогательных источников сводится к нахождению коэффициентов отрезков рядов Фурье на основе измерений поля в ряде точек пространства с помощью антенной решетки, состоящей из коротких вибраторов

Ключевые слова: аппроксимация поля, трехмерный рассеиватель, «виртуальная» антенная решетка

В последние годы получили распространение и развитие различные методы формирования «виртуальных» антенных решеток (ВАР) - методы, позволяющие оценить пространственное распределение поля в некоторой окрестности объема, занимаемого физически существующей антенной решеткой (также называемой «реальной» антенной решеткой (РАР)), с помощью которой измерены значения поля в точках расположения ее элементов. В известных публикациях, посвященных методам формирования «виртуальных» антенных решеток, показано, что использование данного аппарата позволяет существенно повысить разрешающую способность по угловым координатам радиотехнических и акустических систем, а также повысить точность оценки угловых координат источников излучения.

Одной из первых работ, посвященных вопросам пеленгования узкополосных источников радиоизлучения с помощью «виртуальных» антенных решеток, является работа [1]. В ней предложен подход, позволяющий применять метод ЯООТ-Ми81С, изначально применимый лишь в линейных эквидистантных антенных решетках, в решетках произвольной конфигурации. Подход использует разбиение поля обзора антенной системы (особый интерес представляет сектор шириной в 360°) на сектора, в которых проводится поиск (по методу наименьших квадратов) матрицы преобразования измеренных фазовых соотношений для исход-

Акулинин Станислав Алексеевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. 8-919-245-36-97 Ашихмин Александр Владимирович - ЗАО «ИРКОС», д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 239-23-00 Негробов Владимир Владимирович - ВГТУ, аспирант, тел. 8-903-653-21-64

Пастернак Юрий Геннадьевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 223-12-46

ной и «виртуальной» антенных решеток, обладающей некоторыми полезными свойствами. В работе [1] предложена модификация алгоритма ЯООТ-Ми81С, использующая сигнальное подпространство «виртуальной» решетки вместо матрицы пространственной корреляции, а также процедуру селекции корней полинома, отвечающих истинным углам прихода сигналов. В дальнейшем алгоритм был успешно применен для разрешения коррелированных сигналов.

Использовать Винеровский метод интерполяции для формирования «виртуальных» антенных решеток предложено в работе [2].

В работе [2] также предложена идея формирования «виртуальной» антенной решетки, основанная на использовании оригинальной геометрической трактовки статистических характеристик второго и более высоких порядков (кумулянтов) сигналов, принимаемых и обрабатываемых «реальной» антенной решеткой. Показано, что сформированные «виртуальные» антенные решетки позволяют существенно (в разы) повысить разрешающую способность радиотехнической системы по угловым координатам и на десятки децибел снизить уровень боковых лепестков.

В работе [3] предложено проводить интерполяцию между реальной и виртуальной решетками как задачу минимизации с множественными ограничениями в виде неравенств. Данный подход основан на минимизации ошибки интерполяции в секторе при наличии множества пространственных фильтров в остальной области пространства. Это позволяет добиться устойчивости обработки к сигналам, приходящим не из сектора, в котором проводится интерполяция.

В работе [4] предложена процедура интерполяции, основанная на создании ВАР, представляющей собой сдвинутую копию реальной

АР. Таким образом, пропадает нужда в выборе числа элементов ВАР, межэлементного расстояния, ориентации решетки. Созданная инвариантность к сдвигу затем используется в методе ESPRIT. Этот метод также требует посек-торной обработки.

В работе [5] предложен способ построения преобразующей матрицы, основанный на уменьшении смещения оценок углов прихода сигналов. С учетом членов второго порядка разложения выходной функции метода MUSIC в ряд Тейлора получена формула для ошибки пеленгования, позволившая синтезировать на основе метода наименьших квадратов алгоритм преобразования с уменьшенной ошибкой. Аналогично подходу Фридландера, сигналы вне сектора преобразования игнорируются. Также автор расширил свой подход для учета конечного времени наблюдения. Также предложена версия алгоритма, направленная на минимизацию СКО пеленгования.

В работах [6, 7] проведен анализ ошибок пеленгования (смещения) при использовании преобразования в пространство лучей, получено выражение для ошибки пеленгования. С использованием этого выражения синтезирована процедура для уменьшения дисперсии оценок, вызванной применением преобразования в пространство лучей и на ее основе предложен критерий выбора числа виртуальных антенных элементов. Критерий вытекает из анализа ОБПФ импульсной характеристики решетки и оптимален в смысле максимизации апертуры виртуальной решетки с ограничениями на число виртуальных элементов. Предложенный автором критерий позволяет добиться СКО оценок, близких к значению границы Крамера-Рао.

Принцип формирования «виртуальных» антенных решеток, названный его авторами принципом антенных многообразий, был предложен и подробно исследован в работе [8]. Проведенные исследования показали высокую эффективность калибровки радиопеленгатор-ных антенных решеток, основанную на использовании перехода к эквивалентным линейным эквидистантным «виртуальным» антенным решеткам. Предлагаемый метод дает точную интерполяцию, но требует достаточно плотной сетки измеренных управляющих векторов, а сами их значения должны быть определены с высокой точностью. Измерения поля от эталонного генератора, проводимые на практике (что приводит к искажению значений автокорреляционной матрицы), являются зашумленными, что дополнительно ухудшает качество преобразований.

В работе [9], посвященной исследованию метода сверхразрешения источников радиоизлучения Modal Space Processing (MSP), показа но, что с использованием разложения Якоби-Ангера функции exp(- ik0 х cos(q)), описывающей распространение плоской электромагнитной волны под углом q к координатной оси х, можно сформировать «виртуальную» антенную решетку, т.к. данное выражение описывает распространение электромагнитной волны вдоль линейной антенной решетки.

В патенте [10] для формирования «виртуальной» антенной решетки используются двумерные (по осям х, у) интерполяционные полиномы Лагранжа. Существенно раньше подобный подход был использован авторами доклада [11], который отличался лишь тем, что для интерполяции применялся ряд Котельникова.

Отметим ключевые особенности проанализированных методов формирования «виртуальных» антенных решеток.

1. Дифракционные искажения измеряемого поля, вызванные рассеянием волн на антенной системе и корпусе носителя, учитываются путем проведения процедуры калибровки: создания базы данных управляющих векторов a(q) для конечного множества значений угловых координат источника 0q, где q = 1,...,Q и конечного множества значений частот fm, где m = 1,...,M . Исключение составляют методы, основанные на использовании различных методов интерполяции функций, значения которых измерены в ряде точек.

2. Методы, не использующие калибровки, не позволяют повысить точность оценки угловых координат источников радиоизлучения.

3. Калибровка является весьма трудозатратной и дорогостоящей процедурой, в ряде случаев малоэффективной; ее приходится часто повторять при эксплуатации аппаратуры.

4. Актуальной задачей является разработка методов формирования «виртуальных» антенных решеток, которые не требуют использования процедуры калибровки и априорного знания геометрии и материальных параметров рассеивающих объектов (корпуса носителя, опорной мачты и т.д.).

В работах [12-15], была показана возможность аппроксимации поля вблизи трехмерного рассеивателя, по результатам измерения его значений с помощью антенной решетки в конечном числе точек замкнутого контура. При этом не требуется использование априорной информации о геометрии и материальных свой-

ствах корпуса носителя антенной решетки, подстилающей поверхности и других близлежащих рассеивателях.

В результате проведенных исследований было выяснено, что для аппроксимации поля вблизи рассеивателя могут использоваться различные подходы и методы, в частности: методы теории аналитических функций комплексного переменного (интеграл Коши; ряд Лорана и др.); классический аппарат электродинамики (интеграл Кирхгофа; метод вспомогательных источников поля; метод выделения «блестящих» точек и др.).

Было показано, что использование пространственных отсчетов аппроксимированного поля, образующих «виртуальную» антенную решетку, может быть полезным для существенного повышения разрешающей способности радиотехнических систем по угловым координатам, точности оценки угловых координат источников радиоизлучения, повышения пропускной способности.

Также была продемонстрирована возможность повышения эффективности пространственного размещения элементов антенной решетки вблизи корпуса носителя, оцениваемая по критерию минимизации усредненных по частоте и азимутальной координате погрешности измерения фазового распределения поля, искаженного в результате рассеяния волн на корпусе носителя антенной системы.

В настоящей работе предпринята попытка формирования «виртуальной» антенной решетки с помощью отыскания непрерывного распределения вспомогательных источников, азимутальное распределение которых описывается с помощью ряда Фурье, на основе использования измерения Ег - составляющих поля в ряде точек плоского внутреннего контура Ь с помощью антенной решетки, состоящей из электрически коротких вертикально-ориентированных вибраторов, рис. 1.

Рис. 1. Стягивание поверхностей Г и S таким образом, чтобы они охватывали только антенную решетку

. В качестве модели носителя была выбрана модель микроавтобуса с длиной 5.5 м, шириной 2 м и высотой 2 м; проводимость земли -0.1 См/м.

Известно [16], что функция и , являющаяся решением уравнения Гельмгольца Ли + к02и = 0 во внутренних точках Р объемной области V, ограниченной замкнутой поверхностью ^ Ляпуновского типа, может быть определена в соответствии с третьей интегральной формулой Грина (интегралом Кирхгофа), по известным значениям функции и и ее

——

нормальной производной Эи / Э п , определенным на поверхности ^:

<И- і

а{р,

д п

дп

dSn

где к0 - волновое число свободного пространства;

1 ехрНк) Грв )

о(р, 0 )=

4р

скалярная

'р,0

функция Грина точечного источника;

гРд - расстояние между точкой наблюдения Р и текущей точкой Q , лежащей на поверхности ^ (дифференцирование скалярной функции Грина производится в точках Q ).

Выбирая поверхность ^ таким образом, чтобы ее внутренний объем был однородным (заполненным только воздухом) и осуществляя предельный переход, в результате которого поверхность ^ стягивается к плоскому контуру, внутри которого расположены фазовые центры элементов антенной решетки, можно свести данную задачу к эквивалентной двумерной [17].

При рассмотрении эквивалентной двумерной задачи, когда контуры у - вспомогательных источников, X - «виртуальной» антенной решетки и Ь - фазовых центров реальной антенной системы лежат в одной плоскости, вместо полей точечных источников необходимо использовать поля бесконечно протяженных и бесконечно тонких линейных источников:

0

где Н 0 ) - функция Ханкеля первого рода

нулевого порядка.

Задача формирования «виртуальной» антенной решетки [17] сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

S

относительно неизвестных комплексных ам-

плитуд и

вспомогательных линейных ис-

точников, расположенных в точках дт е у:

Далее находятся коэффициенты отрезка ряда Фурье ск и формируются необходимые пространственные отсчеты на контуре X :

!.иЧт X 0(Рп, Qi )Р—^ р ^^ )Э^Р—Ш ЛХ = и(Рп ),

т=1 г=1 ч Э — Э — ,

— = 1,2,..., N,

где

й е^ Р—е Ь;

I - число разбиений контура X при вычислении интеграла Кирхгофа;

Рт (Яг, Чт ) - значение т -й базисной

функции (скалярной функции Грина свободного пространства с источником в точке чт) в точке Qг контура X ;

Л£г - длина элемента окружности X ;

и(Рп) - поле, измеренное с помощью — -го элемента антенной решетки в точке Р— .

В настоящей работе предлагается другой подход, в котором азимутальное (по углу Р) распределение вспомогательных источников описывается с помощью отрезка ряда Фурье:

fазим (Р)= X Ск  ехр(гкр).

к=-¥

Ограничивая число учитываемых членов ряда Фурье: 2К +1 , учитывая вид функции Грина для однородной двумерной области, можно записать следующую систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов:

К р

X Ск |еХР(гкР)  Н0 (к0  гр пЫР = и(Р— ) , к=-К -р

— = 1,2,...,N,

где

г (p,—)=Тс

)- х— )2 + (гвсИ  51П(Р)- .У— )2 ,

гвсп - радиус окружности вспомогательных источников, (хп; у—) - координаты элементов реальной антенной системы из N элементов.

При N = 2К +1 данная система уравнений превращается в СЛАУ; в случае, когда N > 2К +1, следует использовать методы квазирешения, повышающие устойчивость метода к погрешностям измерения величин и(Рп) .

к=-К -р

т = 1,2,...,М , где

R(Р, т) = ^(гесп  СОв(Р) - Хт )2 + (Гес„  81П(р) - Ут )2 ,

(Xт;Ут) - координаты пространственных отсчетов «виртуальной» антенной решетки из М элементов.

Второй способ формирования «виртуальной» антенной решетки основан на описании

—

поля и и его нормальной производной Эи /Э п на контуре X с помощью отрезков рядов Фурье с коэффициентами ак и Ьк :

К

и(р)= X ак  ехр(гкр),

к=-К

-Э—(Р)= ^ьк • ехР(гкР).

Э — к=-К

При выборе контура «виртуальной» антенной решетки в виде окружности с радиусом г нормальная производная от скалярной функции Грина может быть записана следующим образом:

ЭG Э^ / \ ЭG / \

~ = ~дх' С08(ах)+"Э“  С08К), э — у

где

СО8'

(«х ) =

т/х2 + У2

СО8

(«у ) =

У

д/х2 + У 2

х = г  С08(р), у = г  8ш(р) - точка, лежащая на окружности X .

Тогда

Э^ -к0(^1(к0Р) +г

X

Э — Г

X [сО8(р)(г СО8(р) - хп ) + 81п(р)(г 8т(р) - У— )], где J1 и Nl - функции Бесселя и Неймана, соответственно, первого порядка,

т

х

Коэффициенты ак и Ък ищутся как решение следующей системы уравнений:

Kp

X bk Jexp(ik j)H1 fkW (r cos( j) - xn )2 + (r sin( j) - Уп )2 jd j “

K -p

X% Jexp(ikj)-ko(J1(ko+) + i  N1(kop))x

k=-K -

Kp ak

k=-K

x[cos(j)(r cos(j)-xn )+ sin(^)(r sin(^)-yn )\lj = U(Pn ).

n = 1,2,...,N .

Третий способ формирования «виртуальной» антенной решетки основан на разложении поля в кольце, внутри которого лежит окружность X , с помощью отрезка следующего ряда:

u(j) = a0 • J0 (k0r) +

K-1

+ X Jk (k0 r )• (ak cos(ikj)+bk sin(ikj)),

k=1

^(j) = -a0 • k0 •J1 (k0r) +

Э n

+ц r ti&l - k 0 • Л+, (k 0 r )1 X

k=1 V r J

x

где J k - функция Бесселя k -го порядка.

Можно также использовать следующее, эквивалентное ранее приведенному, представление поля:

j) = X Jm (k0 r ) cm  exp

m=0

M -1

i| m-------------------j

a(j) = Xf m  Jm {k° r ) - ko  Jm+1 (k oг )j x

Э n

x cm  eXp

=0

M -1

i| m--------------------j

Тогда, введя следующие обозначения:

I1 (;,M, ko , x, y) = j m ^ ^ r) - ko  Jm+1 (k0 Г) j x p

x J exp

M-1 ij m-----j j

H0^ko-J(гcos (j-x)2 + (гsin j)-y)2 jd j,

: JexpL( -p L v

M-1

x I exp ij m-------j j

- ko (J1 (ko+) +i  N1 (ko+))N

x [cos( j)(r cos( j) - x) + sin (j)(r sin (j) - y )]d j,

р = ^(г • сс^ (//>)- х)2 + (г • я і п (^) — у)2,

система уравнений относительно неизвестных коэффициентов ряда Фурье, описывающих поле на контуре X, может быть записана в виде:

М —1

X Ст (11 (m, М, k0, хп , Уп ) — 12 (т М, k0, Хп , Уп )) =

т=0

= и(хп , Уп ), п = 1,..., ^.

Поля на плоских контурах Ь, X и 7 (и(Р), ив (0) и ^ (д), соответственно, определяемые рядами Фурье с коэффициентами ап, Ьп и сп) связаны между собой также следующими соотношениями [17]:

U(P)= X an eXp(in j )= J X cn eXpinjg)H 1 {hrP,q Wq =

И=—¥ gn=—¥

= X cn J eXp(in jg)H 1 (k0rP,q )dgq,

n=-¥ ї

UQ (Q )= X bn eXp(inj)= J X cn eXp(injg)H 01 (k0ra, ^ЇЧ =

n=—¥ gn=—¥

= X cn J eXp(injg)H 1 (kora, .

Коэффициенты ап, Ъп и сп описывают функции, удовлетворяющие уравнению Гельмгольца, т.е., как минимум, дважды непрерывно дифференцируемые. С учетом теоремы Римана-Лебега, справедливы соотношения:

где С1, С2 и С3 - некоторые константы.

Показано, что, при приближении полей на контурах Ь, X и у с помощью конечного числа гармоник Фурье, справедливы следующие ограничения:

an exp(in j) < C1 / n2, bn exp(in j )< C2 /n2,

cn < C3/ n",

+

И = —¥

Ї

| ехр(гпру )н 1 (к0гр,ч )*Уд < «1 ехР(-Л—),

У

|ехР(г—Ру)н 1 (к0 ^ ^Уч < «2 ехР(-А — ) .

У

Получены выражения для погрешностей описания поля на контурах Ь , X и у:

&а < 2С, Р — X

I п=1

1

ЯЛс < 2С3а2 {Ьі2 (еХР(— Д2 )) — X

п=1

N

8ис < 2С3а (Ь/ 2 (ехр(— д))— X

ехР

ехР

},

}.

Зависимости погрешностей описания поля на контурах «реальной» антенной решетки \5ис / С3| (сплошные линии) и «виртуальной»

решетки \бис / С31 (пунктирные линии) от числа учитываемых гармоник Фурье N приведены на рис. 2: а) - / = 25 МГц; б) - / = 100 МГц.

При ^ /гЬ = 3 (гЬ =0.5 м; Гx =1.5 м) и гу / гЬ = 10 (гу=5 м) для уменьшения погрешности экстраполяции поля на контуре «виртуальной» решетки до уровня погрешности описания поля на контуре АР, необходимо увеличить число учитываемых гармоник ряда Фурье в 1.8 раза, рис. 2.

Частотные зависимости пеленгов, измеренных «виртуальной» (радиусом 2 м) и «реальной» (радиусом 0.5 м) антенной решетками, показаны на рис. 3. При моделировании учитывались инструментальные ошибки измерения: максимальная погрешность измерения амплитуды составляла 0.5 дБ; максимальная погрешность измерения фазы составляла 1.50 (по критерию 3а).

Пеленг, РАР

Л / л

Л 1 /

и А V V

«г 0 ф.

/* > \ ./1

г' ° // \\ ь/ А г‘

в АР і й'

17, МГц

Рис. 2. Погрешности описания поля на контурах Ь и X

Рис. 3. Частотные зависимости пеленга, измеренные с помощью «реальной» (РАР) и виртуальной (ВАР) антенной решетки:

а) - истинный азимут ИРИ - 30°;

б) - истинный азимут ИРИ - 600

Из рис. 3 видно, что использование предложенного способа формирования «виртуальных» антенных решеток позволяет существенно повысить точность пеленгования в резонансной области частот, как в смысле уменьшения максимальной погрешности пеленгования, так и в смысле уменьшения среднеквадратической погрешности пеленгования.

Таким образом, в настоящей работе показана перспективность формирования «виртуальной» антенной решетки с помощью отыскания непрерывного распределения вспомога-

2

п

2

п

2

п

п=1

тельных источников, основанного на использовании ряда Фурье.

Направление дальнейших исследований должно быть ориентировано на поиск методов формирования «виртуальных» антенных решеток, позволяющих наиболее точно аппроксимировать пространственное распределение поля вблизи рассеивателя, а также обладающих устойчивостью к ошибками измерения амплитуд и фаз сигналов.

Литература

1. B. Friedlander. Direction finding with an interpolated array. // Proc. IEEE Int. Conf. Acoust., Speech, Signal Processing, Apr. 1990.

2. M. Pesavento, A. B. Gershman, and Zhi-Quan Luo. Robust array interpolation using second-order cone programming. IEEE Signal Processing Letters, vol. 9 no. 1, pp. 8-11, Jan. 2002.

3. M. Buhren, M. Pesavento, and J. F. Bohme. A new approach to array interpolation by generation of artificial shift invariances: interpolated ESPRIT. Proceedings IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech, and Signal Proces. (ICASSP), vol. 5, pp. 205-208, 2003.

4. Hyberg P. Antenna Array Mapping for DOA Estimation in Radio Signal Reconnaissance. PhD thesis. — Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm, Sweden. — 2005.

5. F. Belloni, A. Richter, and V. Koivunen. Reducing Excess Variance in Beamspace Methods for Uniform Circular Array. In Proceedings of the IEEE Workshop on Statistical Signal Processing (SSP), Bordeaux, France, July 17-20, 2005.

6. F. Belloni, and V. Koivunen. Beamspace Transform for UCA: Error Analysis and Bias Reduction. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 54 no. 8, pp. 30783089, August 2006.

7. Belloni F., Richter A., Koivunen V. DOA Estima

tion via Manifold Separation For Arbitrary Array Structures // IEEE Trans. Signal Processing, 2007, vol. 55, № 10, pp. 48004810.

8. Advances in Direction-of-Arrival Estimation / S. Chandran. Norwood: ARTECH HOUSE. 2006. 474 P.

9. Tuncer E., Friedlander B. Classical and Modern Di-rection-of-Arrival Estimation. USA: AP. 2009. 429 P.

10. Antenna Array Including Virtual Antenna. P. van Rooyen, P. Roux. Patent US 7,605,755B2, 20.10.2009 (prior publication data US 2008/0303719 A1, 11.12.2008).

11. Глазьев В.И., Зацерковский Р.А., Смидович О.В. Метод фантомов в теории антенных решеток / Материалы акустического симпозиума «Консонанс-2003». Киев. 2003. Изд-во НАН Украины. С. 67-72.

12. Пастернак Ю.Г., Рембовский Ю.А. Структура поля в области расположения кольцевой антенной решетки мобильного базирования // Антенны. 2007. № 1(116). С. 30-34.

13. Пастернак Ю.Г., Рембовский Ю.А. Метод восстановления электромагнитного поля на плоскости вблизи трехмерного рассеивателя // Антенны. 2007. № 7(122). С. 43-48.

14. Ашихмин А.В., Пастернак Ю.Г., Рембовский Ю.А. Метод синтеза «виртуальной» антенной решетки и исследование возможности ее использования для совершенствования характеристик мобильных и стационарных радиопеленгаторов // Антенны. 2008. № 10(137). С. 34-46.

15. Ашихмин А.В., Корочин С.В., Пастернак Ю.Г., Рембовский Ю. А. Методика синтеза радиопеленгаторной антенной решетки на корпусе мобильного носителя // Радиолокация и связь. 2009. № 8. С. 18-23.

16. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа. 1991. 224 с.

17. Ашихмин А.В., Негробов В.В., Пастернак Ю.Г., Рембовский Ю.А. Исследование физико-математической модели, описывающей «виртуальную» антенную решетку, сформированную вблизи трехмерного рассеивателя. Антенны. № 6 (157). 2010. С. 43-59.

Воронежский государственный технический университет Научно-производственное предприятие ЗАО «ИРКОС», г. Москва

FORMATION OF "VIRTUAL" ANTENNA ARRAY WITH USE OF CONTINUOUS DISTRIBUTION OF AUXILIARY SOURCES S.A. Akulinin, A.V. Ashikhmin, V.V. Negrobov, Yu.G. Pasternak

The methods of approximation of the spatial distribution of electromagnetic field near three-dimensional lens with an arbitrary geometry and material properties - forming a "virtual" antenna array with finding a continuous distribution of auxiliary sources. The search for continuous distribution of secondary sources is reduced to finding the coefficients of the Fourier series segments on the basis of field measurements in a number of points in space using an antenna array which consist of short dipoles

Key words: field approximation, three-dimensional lens, "virtual" antenna array