Модель усиления частотно-модулированных импульсов в трехуровневых оптических усилителях с изменяющейся нормальной дисперсией с учетом вырождения накачки

УДК 535.1

МОДЕЛЬ УСИЛЕНИЯ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ ИМПУЛЬСОВ В ТРЕХУРОВНЕВЫХ ОПТИЧЕСКИХ УСИЛИТЕЛЯХ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ НОРМАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ С УЧЕТОМ ВЫРОЖДЕНИЯ НАКАЧКИ

© 2012 К.В.Борисова1, И.О. Золотовский1, Д.А. Коробко1, А.А.Сысолятин2 , А.Г. Налимов3

1 Ульяновский государственный университет, Ульяновск 2 Научного Центра волоконной оптики РАН, Москва 3 Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара

Поступила в редакцию 20.11.2012

Исследуется возможность эффективного усиления самоподобных частотно-модулированных (ЧМ) волновых пакетов в неоднородных по длине усилителях. Рассмотрены особенности динамики усиления в эрбиевых волоконных усилителях, работающих по трехуровневой схеме. Показано, что использование активных световодов с соответствующим образом подобранным профилем нормальной дисперсии групповых скоростей может обеспечить эффективное усиление субпикосекундных импульсов. Ключевые слова: неоднородные оптические усилители, вырождение накачки.

Формирование устойчивых самоподобных частотно-модулированных (ЧМ) импульсов, получивших название симиляритонов, в активной (усиливающей) среде с нормальной дисперсией групповых скоростей (ДГС) открывает целый ряд преимуществ по сравнению с классическими методами усиления импульсов [1-3]. Связано это с тем, что в случае усиления импульсов в среде с аномальной дисперсией трудно избежать влияния развития различных неустойчивостей, существенно искажающего форму волнового пакета. Однако и в световодах с нормальной ДГС известные методики усиления чувствительны к случайным вариациям их диаметра, всегда имеющих место на практике [4]. В силу этого использование длинных (более 100 м) волоконных усилителей с малым инкрементом усиления у <<0.1 м-1 представляется малоэффективным. Для решения указанной проблемы эффективным оказывается использование компактных неоднородных усилителей с достаточно большим инкрементом усиления ( у >0.1 м-1) и увеличивающейся по длине нормальной ДГС. Ввиду относительно малой длины такого усилителя возможен контроль его основных управляющих параметров -Борисова Кристина Васильевна, аспирант. E-mail: innov@ulsu.ru

Золотовский Игорь Олегович, кандидат физико-математических наук, директор Центра нанотехнологий и материалов НИТИ. E-mail: rafzol. 14@mail.ru Коробко Дмитрий Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. E-mail: korobkotam@rambler.ru

Сысолятин Алексей Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. E-mail: alexs@lure.gpi.ru

Налимов Антон Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник. E-mail: anton@smr.ru

диаметра световода, дисперсии, нелинейности.

Принцип действия волоконно-оптического усилителя, как и любого другого квантового усилителя, заключается в создании в активной среде под действием волны накачки инверсии населенности и воздействии на среду слабого резонансного электромагнитного поля, которое приводит к индуцированным переходам с верхнего метастабильного уровня в основное энергетическое состояние и в результате этого - к усилению данного поля. В настоящей работе рассматриваются волоконные оптические усилители, работающие по трехуровневой энергетической схеме. К этому типу волоконно-оптических устройств можно отнести (с известными допущениями) наиболее часто встречающиеся эрбиевые и иттербиевые усилители, а также усилители, работающие на основе ВКР. В работе получены условия существования ЧМ симиляритонного волнового пакета в неоднородном по длине трехуровневом усилителе и анализируется динамика его устойчивого распространения.

Рассмотрим более подробно эрбиевый волоконный усилитель, работающий по трехуровневой схеме. Расположение энергетических уровней иона эрбия позволяет реализовать рабочие переходы электрона с возбужденных уровней 419/2 и 4111/2 вначале в метастабильное состояние 4113/2, а затем - с метастабильного в основное состояние 4115/2. Последний переход соответствует интервалу длин волн 1.53... 1.6 мкм. Инверсная населенность в такой трехуровневой среде достигается за счет большого времени жизни на метастабильном уровне (порядка 10 мс). При этом время релаксации с уровней, соответствующих уровням накачки, на метастабильный уровень составляет несколько микросекунд. Для со-

здания инверснои населенности используется излучение с длиной волны, попадаю щей в одну из полос поглощения в соответствии с указанной схемой энергетических уровней. Отметим, что за счет значительного штарковского расщепления в кварцевом стекле появляется возможность накачки непосредственно в полосу, соответствующую метастабильному уровню. При использовании накачки на длине волны 0.98 мкм усилитель работает по трехуровневой схеме, а при использовании накачки на длине волны 1.48 мкм - по квазитрехуровневой. Наиболее высокая эффективность накачки достигается на длине волны 1.48 мкм, при которой волоконный усилитель работает по квазитрехуровневой схеме.

Усиление в рассматриваемой схеме энергетических уровней может быть описано системой уравнений: [5]

излучения для усиленной спонтанной люминесценции. При решении уравнений (4) необходимо учесть, что для скоростей накачки Кр и излучения К справедливы соотношения [6]:

Кр (^)= ОрПр1р(г)/ Иур ,

К :,(г) = <щ[I,(г) + ^(г)]/Ьу, .

щ/а = Кр(#-Л2)-К[(1+Щ - ъщ-ы2/т21. 2у=щЛ[(1+Ъ)N -ЪЩ .

•

Здесь использованы следующие обозначения:

В нашем случае, считаем, что источник (например, эрбиевый волоконный лазер) обеспечивает генерацию пикосекундных импульсов с частотой следования Уске. В этом случае средняя интенсивность последовательности стоксовых сигналов может быть оценена как I (г) = У Ж (г) , где

£ ^ ' СКВ 5 ^ '

Ж (г) - энергия отдельного стоксова импульса на длине световода-усилителя 2.

Полагая концентрацию ионов по длине световода постоянной, можно показать, что суммарная скорость вынужденных переходов не меняется вдоль световода, что аналогично сохранению числа фотонов при рамановском рассеянии [7]:

Кр

Для общей интенсивности излучения

N2 и N - населенность метастабильного уров- ^ = / + ^ на частоте у получаем

ня и общая концентрация ионов эрбия; Т21 - время жизни на метастабильном уровне; <р - сечение поглощения накачки, р - сечение эмиссии на длине волны усиливаемого сигнала, Ъ - отношение сечения поглощения к сечению эмиссии на частоте у; параметр у(г) имеет смысл локального инкремента усиления, параметры Щр и щ - доли мощности накачки и усиливаемого сигнала; Кр и К - скорости накачки и излучения. В стационарном состоянии населенность мета-стабильного уровня можно считать постоянной во времени, т.е. / д = 0, в результате чего получаем:

N2 = N

Подставляя это выражение во второе уравнение (1) системы, находим выражение для инкремента усиления:

д!^ / ёг = 2у

Вследствие малости ширины линии спонтанной люминесценции Ду, вторым слагаемым в правой части (7) можно пренебречь. После этого выразим коэффициент усиления у и подставим в (4), в результате чего получаем для интенсив-ностей накачки и излучения следующую систему

уравнений:

д £ / = р1 1 £

д!р / ¿г = -(ур / щру)gRIpI^ -хр!р ,

g = Щщрр, у = Мщр

ЭД ___ - . . . ' Л*

N

(Ко +1/^

К0т21 +1

Х„

К0*21 +1

у

1 N

2 Кр + (1 + Ъ)Кэ + 1/Т21 .

Запишем теперь уравнения, определяющие трансформацию вдоль световода интенсивнос-тей волны накачки Iр, усиленной сигнальной волны I * и волны спонтанной люминесценции в случае попутной накачки:

лр /дг (N-N2),

Я* / дг = 2уIs,

Лг / дЬ = [(1+Ь)Щ -ЪНууДу+2у^ ,

где Ьу £ и д у - энергия фотона и ширина линии

Приведенные уравнения, описывающие эволюцию сигнала и накачки, аналогичны системе, описывающей рамановское рассеяние и оказываются универсальными для усилителей, работающих по трехуровневой схеме.

Главным отличием ВКР-преобразования от преобразования на вынужденных переходах является его меньшая эффективность. Коэффициент преобразования gR для эрбиевого усилителя в 102-103 выше, чем в рамановском усилителе. Однако коэффициент ВКР-преобразования gR обладает гораздо более широким спектром. В случае эрбиевого усилителя частотная зависимость коэффициента gR ограничивается резонансной полосой поглощения накачки.

Возвращаясь, к уравнениям (8), следует от-

метить, что соотношение между первыми слагаемыми в правой части, описывающими преобразование накачки, и вторыми, характеризующими поглощение накачки и сигнала, определяется отношением скоростей вынужденных и спонтанных переходов: КТ21 - в уравнении для роста интенсивности сигнала и К Т21 /^ - в уравнении для интенсивности накачки. Время жизни на метастабильном уровне для распространенных сортов стекла Т ~ 10 мс. Типичные для эрбие-вого усилителя мощности сигнала 0,01 Вт и накачки 10 Вт соответствуют скоростям переходов 105 -108 в секунду. Отсюда следует, что основное изменение интенсивности сигнала вызвано истощением накачки. При этом поглощением накачки и сигнала в волокне, описываемым вторыми слагаемыми уравнений (8), можно пренебречь.

В данном приближении система уравнений (8) легко интегрируется. Сохранение числа фотонов в системе записывается как

!Р +

здесь I 0 - начальная интенсивность накачки (на входе в усилитель), 1£ 0 - суммарная интенсивность сигнала и спонтанной люминесценции на входе в усилитель. В этом приближении интенсивностью спонтанной люминесценции можно пренебречь по сравнению с интенсивностью сигнала, и поэтому далее мы полагаем 1Ъ0 ~ ^0 и 1£ ~ I.

В результате интегрирования уравнений (8) приходим к следующему выражению для эффективного инкремента усиления сигнальной волны

о ( ) I, (2) (1 + Д) ехр $2

/ 0 Д + ехр $2

где введены параметры Д = 0 / Ур1!,0 и

$ = 10 я, =-^^^---•

(1 + Ь ) + Д0°р 1Р0

Если начальная интенсивность накачки намного превосходит начальную интенсивность

сигнала ( / 0 >> ^0 « 10 ), то $ = Щр, и (10) можно переписать в виде

Д ехр $2

О* (2) =

Д + ехр $2

нала достигает своего предельного значения 1^(1 + Д0) . На рис. 1 приведены зависимости

относительной интенсивности сигнала I /10 от

£ £ 0

длины усилителя 2, полученные для отношения интенсивностей накачки и входного сигнала I 0 /1£0 = 10, 100, 1000 (кривые 1-3) и значениях параметров: N = 5• 1024 м—Ъ, Пр = ^=0.9 , V = 1530 нм, V = 1480 нм, а = 3 • 1025 м2,

£ —25 2 р Р

а = 2 • 10 м , которые будут нами использованы и далее. Видно, что по мере распространения сигнала по световоду происходит насыщение интенсивности сигнальной волны при значениях 2  1п Д0 / $. С ростом накачки максимальная интенсивность сигнала возрастает.

Особенностью самоподобного симиляритон-ного распространения импульса является то, что его огибающая, независимо от своей начальной формы, асимптотически стремится к параболической форме, масштабирующейся с ростом координаты импульса [1-3]. При этом общий вид импульса может быть представлен в виде

А

где Т = £ — [ d2' / и(2') - время в бегущей системе координат, и (2) = (ЭД( 2)/ Эш)—1 - групповая скорость, Д(2) - константа распространения, ф(г) - фаза импульса, с(г) - скорость ЧМ (которая для симиляритона является постоянной величиной). Функция Ураг (т, 2) задает форму огибающей, которая для импульса параболической формы и длительностью т (2) определяется выражением

1000 г

При малых 2 , когда справедливо $2  1п(Iр0 /1£0), наблюдается экспоненциальный рост эффективного инкремента усиления сигнальной волны, т.е. О (2) = exp($z).

Постепенное истощение накачки приводит к тому, что начальный экспоненциальный рост энергии импульса замедляется, коэффициент усиления стремится к нулю и интенсивность сиг-

1

0 5 10 15 20

2, м

Рис. 1. Зависимости относительной интенсивности сигнала от длины усилителя, при отношении интенсивностей накачки

и

входного сигнала I 0 / I м = 10, 100, 1000

3

Y =

par

V1 "т2/ Ts(Z ) ' (z ),

2 5.

2 D

2 R

D (z ) =

D0Gef

pz f f

1 + 6a0D0 J0 Gef(z)dz

Z(z) = Z0

0 , z > Ts (z ) ,

Известно, что условие образования устойчивого симиляритона, при котором для нелинейного уравнения Шредингера имеется точное решение в виде ЧМ импульса параболической формы, может быть представлено в виде:

gef - 3«oDo = 0,

где параметры D0 и ОС0 - входные значения ДГС и скорости ЧМ. Эффективный инкремент усиления неоднородного световода связан не только с его материальным коэффициентом усиления y(z), но и с площадью моды S (z) , ДГС D ( z ) = (Э Э СО )0 и керровской нелинейностью R(z) соотношением [8]

,, 'dSm / dz dD / dz dR / dz

- .

1+-

6«„D„

(1+Д )ln

1 +

exp ûz-1

1+Д

.

//

В случае однородного активного световода условие (14) может быть записано в предельно простом виде уо - 3^0 D0 = 0 .

Далее мы будем рассматривать так называемые световоды с ^-профилем радиального распределения показателя преломления [9, 10]. Для указанных световодов нелинейность и площадь моды слабо зависят от внешнего диаметра, поэтому для них эффективный инкремент усиления (15) определяется материальным усилением и профилем дисперсии. Профиль ДГС, обеспечивающий самоподобную эволюцию ЧМ импульса с постоянной скоростью ЧМ может быть выражен через эффективный инкремент (г) как [14]:

На рис. 2 представлены зависимости относительной длительности усиливаемого импульса Т / Т от длины световода, полученные для указанных выше (см. рис. 1) параметров. Видно, что по мере увеличения длины усилителя наблюдается рост длительности импульса. С увеличением интенсивности накачки длительность сигнала также увеличивается. При достаточно больших длинах усилителя эта зависимость имеет следующую асимптотику:

т

Профиль ДГС усилителя, обеспечивающий самоподобный режим распространения ЧМ импульса параболического типа, получаем, подставив в (18) выражение (10) для относительного усиления ( г):

D(z) D

(1+Д)ехр&

6aD ,

1+ О (1+д )ln

1 +1.^(exp^z-1) ^

У1 +Ю

V

При I*0 /1 0 П 1 и малых 2 профиль ДГС волоконного трехуровневого усилителя, обеспечивающего распространение самоподобных параболических импульсов, не должен зависеть от отношения интенсивностей сигнала и накачки:

D

D 0

1 +

С П V ^

û- 60 D„-^

z.

На рис. 3 представлены профили ДГС эрбие-вого усилителя, обеспечивающие симиляритон-

>/> 10

С учетом этого соотношения можно записать выражение для длительности симиляритонного импульса в неоднородном усилителе

/ г \1/3

Т

Если световод считать пассивным, т.е. принять у = 0 , то для длительности импульса получаем известное соотношение

Т(г) = Т0 (1 + 6Ц>£0г )1/3 .

Рассмотрим теперь характеристики симиля-ритонного импульса, распространяющего в волоконном усилителе, работающем по трехуровневой схеме. Подставив в соотношение (17) выражение для относительного увеличения энергии импульса (10), получаем для длительности сигнала в подобном усилителе:

z, м

Рис. 2. Зависимости относительной длительности сигнального импульса от длины усилителя:: 10, 100, 1000

3

100 z, м

Рис. 3. Профили ДГС, полученные при 10, 100, 1000

ный режим распространения импульсов, полученные при с0 = 1024 с~2, D0 = 5 • 10—27 с2/м. Видно, что быстрый и близкий к экспоненциальному рост ДГС по мере истощения накачки должен сменяться гиперболически убывающим профилем, обеспечивающим самоподобное распространение усиленного сигнала.

Практический интерес, в основном, представляет участок со значительным усилением, на котором реализуется рост ДГС и происходит существенное поглощение накачки. В связи с этим найдем оптимальную длину рассматриваемого усилителя, при которой происходит максимальное повышение уровня входного сигнала. Отметим, что до сих пор расчет велся без учета поглощения накачки и сигнала, поэтому максимальный предельный уровень сигнала не достигался на конечной длине усилителя. Влияние слабого поглощения можно оценить, положив в системе (8) коэффициенты поглощения накачки и сигнала равными (Хр = = X) [11]. В этом случае величина ^, введенная соотношением (9) и ответственная за число закачанных и возбужденных фотонов в усилителе, уже не постоянна по его длине. В этом случае зависимость их числа от пройденного пути 2 определяется уравнением

( ,, Л

d_

dz

Ip +

v,

Г v

I p s

d_

dz

10 =~XI0-

V ' Р  J

Решая его, для интенсивностей сигнала и накачки имеем

(Д0 + 1) ехр $2

(2> =' Д, + ,!хр$2 ' -ехр<—х2>,

^

Д0 + ехр $2

Из условия максимума интенсивности сигнала Iэ (2) на выходе из усилителя получаем выражение для его оптимальной длины

Ь^ =$Чп «$/X— 1)Д )•

При длинах $2 >> 1 и Х2 « 1 спад интенсивности сигнальной волны происходит по линейному закону I в (2) = / 0 (Д0 +1)(1 — %2) .

На рис. 4 представлены зависимости интенсивности сигнала (с коэффициентом, зависящим от эффективности накачки) (vр)Is и накачки I от длины усилителя, полученные с учетом поглощения в волоконном световоде усилителя х = 5 -10—3 м—1 при отношении начальных интенсивностей I 0 / Is0 = 1000. Пунктиром показана зависимость !0( 2). Видно, что при достижении длины световода величины Ь { интенсивность волны накачки спадает практически до нуля, а интенсивность сигнальной волны достигает максимального значения. Дальнейшее увеличение длины усилителя приводит к медленному и практически линейному спаданию выходной интенсивности сигнальной волны.

Таким образом, в результате проведенного в работе анализа получены условия возникновения устойчивых ЧМ импульсов параболической формы в неоднородных усиливающих световодах в области нормальной ДГС. Получено выражение для профиля ДГС, обеспечивающего оптимально быстрое усиление импульсов и показана эффективность использования в качестве усилителей световодов с увеличивающейся дисперсией и относительно большим инкрементом усиления. Получены соотношения, позволяющие

VI0

800

400

Рис. 4. Зависимости интенсивности накачки и сигнала (кривые 1, 2) от длины усилителя при учете поглощения; 1000

D/D0100

3

0.1

0.1

изготовить эрбиевый волоконный усилитель с профилем ДГС, обеспечивающим самоподобный режим усиления ЧМ импульсов, и подобрать необходимый уровень накачки для заданных профиля ДГС и уровня сигнала, а также подобрать оптимальную длину усилителя.

Кроме того, заметим, что полученный на выходе из неоднородного световода ЧМ импульс можно дополнительно сжать, если осуществить компрессию чирпованного импульса в среде с аномальной эффективной дисперсией. Это можно осуществить, например, на паре дифракционных решеток, или в фотонно-кристаллическом световоде с малой керровской нелинейностью [7]. В последнем случае систему можно сделать полностью волоконной.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках федеральных целевых программ «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» и «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fermann M.E., Kruglov VI., Thomsen B.C., DudleyJ.M., Harvey J.D. Self-similar propagation and amplification of parabolic pulses in optical fibers // Phys. Rev. Lett. Vol.84, №10, р.6010 (2000).

2. Chang G, Winful H.G., Galvanauskas A., Norris T.B.

Incoherent selfsimilarities of the coupled amplified nonlinear Schrodinger equations // Physical Review E, Vol.73, p.016616, (2006).

3. Плоцкий А.Ю., Сысолятин А.А., Латкин А.И., Хопин

B.Ф., Харпер П., Харрисон Дж., Турицын С.К. Эксперименты по генерации параболических импульсов в волокнах с изменяющейся нормальной дисперсией // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т.85. №7. С.397.

4. Абдуллаев Ф.Х., Навотный Д.В. Распространение дисперсионно-управляемых солитонов в волокнах со случайной дисперсией // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. №22. С.39.

5. Morkel P.R. and Laming R.I. Theoretical modeling of erbium-doped fiber amplifiers with excited- state absorption // Opt. Lett., v.14, p.1062, (1989).

6. Pedersen B., Bjarklev A., PovlsenJ.P., Dybdal K., and Larsen

C.C. Fundamental design of a distributed erbium-doped fiber amplifier for long-distance transmission // IEEE Journ. Light. Tech. v.9, p.1105, (1991).

7. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1996. 325 с.

8. Золотовский И.О., Семенцов Д.И., Сенаторов А.К., Сысолятин А.А., Явтушенко М.С. Динамика импульсов симиляритонного типа в неоднородных по длине активных световодах // Квант.электрон. 2010. Т.40. №3. С.229.

9. Лихачев М.Е., Бубнов М.М., Зотов К.В., Медведков О.И., Липатов Д.С., Яшков М.В., Гурьянов А.Н. Алюмофос-фосиликатные оптические волокна легированные эрбием // Квант. Электрон. 2010. Т. 40. №7. С.633.

10. Ахметшин У.Г., Богатырев В.А., Сенаторов А.К., Сысолятин А.А., Шалыгин М.Г. // Новые одномодовые волоконные световоды с изменяющейся по длине плоской спектральной зависимостью хроматической дисперсии // Квант. Электрон. 2003. Т.33. №3. С. 265.

11. AuYeungJ., YarivA. Spontaneous and stimulated Raman scattering in long low loss fibers // IEEE J Quant Electron. 1978. V.14. P.347.

FREQUENCY-MODULATED PULSE AMPLIFICATION MODEL IN THREE-LEVEL OPTICAL AMPLIFIER WITH INHOMOGENIOUS NORMAL DISPERSION

AND PUMP DEPLETION

© 2012 C.V. Borisova1, I.O. Zolotovskii1, D.A. Korobko1, A. A. Sysolyatin 2 A.G. Nalimov3

1 Ulyanovsk State University, Ulyanovsk 2 Fiber Optics Research Center RAN, Moscow 3 Image Processing Systems Institute of Russian Academy of Sciences, Samara

The possibility of the effective self-similar frequency-modulated (FM) pulse amplification is studied in inhomogeneous amplifiers. The dynamics features of the gain are considered in the erbium-doped fiber amplifiers operating in a three-level scheme. It is shown that the use of active optical waveguides with a suitably chosen profile of normal group velocity dispersion can provide efficient amplification of subpicosecond pulses.

Keywords: heterogeneous optical amplifiers, the pump depletion.

Borisova Christina, Graduate Student. E-mail: innov@ulsu.ru Igor Zolotovskii, Candidate of Physics and Mathematics, Director of Nanotechnology and Materials Center of Research Institute of Technology. E-mail: rafzol. 14@mail.ru Dmitry Korobko, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Research Fellow. E-mail: korobkotam@rambler.ru Alexey Sysolyatin, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Research Fellow E-mail: alexs@lure.gpi.ru Anton Nalimov, Candidate of Physics and Mathematics, Research Fellow. E-mail: anton@smr.ru