О моделировании системы «Ротор−жидкость−фундамент»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 206-208

УДК 621.01+534.1

О МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМЫ «РОТОР-ЖИДКОСТЬ-ФУНДАМЕНТ»

© 2011 г. А.Б. Кыдырбекулы, Л.А. Хаджиева

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы almatbek@list.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Предложена обобщенная математическая модель, позволяющая исследовать взаимосвязанные коле -бания системы «ротор-жидкость-фундамент» при наличии упругих связей между ними и фундаментом машины.

Ключевые слова: роторная система, жидкость, динамика, колебательный процесс, динамическая модель, устойчивость,скорость, резонанс.

Исследуются колебания и устойчивость стационарного вращения вертикального гибкого стато-динамически неуравновешенного ротора с полостью, частично заполненной жидкостью, установленного на упругом фундаменте. Экспериментальные исследования таких динамических систем, как роторные системы, показывают важность учета вибрации фундамента и необходимость разработки мер по их снижению.

1. Уравнения движения системы

Для построения динамической модели системы «ротор-жидкость-фундамент», наиболее полно отражающей ее реальное состояние, учитываются такие факторы, как колебания фундамента, колебания жидкости, влияние несимметричности установки ротора на валу, анизотропность опор вала и фундамента, статическая и динамическая неуравновешенности ротора, внешнее трение, внутреннее трение вала. Масса жидкости считается постоянной во времени, а ее количество — достаточным для того, чтобы полностью смочить цилиндрические стенки полости даже при больших отклонениях ротора. Угловая скорость вращения вала О постоянна и достаточно велика, так что на свободной поверхности жидкости гравитационное ускорение оказывается пренебрежимо малым по сравнению с центробежным ускорением, и свободная поверхность представляет собой цилиндр относительно оси вращения. Задемпфированный фундамент в движении системы перемещается в горизонтальной плоскости. Движение жидкости описывается в цилиндрической системе координат, связанной с вращающимся ротором. В состоянии динамического равновесия ротор и

жидкость вращаются как единое твердое тело. Решение данной задачи усложняется тем, что движение вращающегося ротора и движение жидкости в его полости взаимосвязаны, это обусловливает изменение частоты вынужденных колебаний и возникновение неустойчивости. Решаемая система уравнений состоит из связанных уравнений движения твердого тела, уравнений сплошной среды и граничных условий для жидкости. Прогибы оси вала в направлении осей x и y неподвижной системы ко -ординат полагаются малыми. Отклонения жидкости от положения равновесия, производные по времени от всех амплитуд колебаний также принимаются малыми. Таким образом, для оценки устойчивости связанной системы в целом рассматривается система линеаризованных дифференциальных уравнений:

mx + (ne + ni)x + p^x + Qniy - q^a + =

= msQ2 cos Qt + Fx, my + (ne + ni) y + p2 y -Q^x - qje + <0; yk =

= msQ2 sin Qt + Fy,

Aa+CQP + (ц e +ц i )a- r1x+Q^ ;P + s1a + a3xk = = (C - A)5Q2 sin(Qt - x) + Ma,

A (3 - CQa + (цe +Ц )P -r2 y - Q^a+s2P+a4 yk = = (A - C)SQ2 cos(Qt - x) + Mp,

Mxk + p3 xk + r3x + s3a + nixk = 0,

M%k + p3 xk + r3x + s3a + nixk = 0,

Myk + p4 yk + r4 y + s4p + n2 yk = 0

dU /A T7 2 dV U,

- 2QV - v(AU —2—--------2) =

r2 дф

дt 1 дP

-Xcos(Qt + ф) - y sin( Qt + ф) +

p дr

+ z[a sin(Qt+ф) - в cos(Qt+ф) -

-5Q cos(Qt + ф-x)],

dV

"dT

f

+ 2QU-v

2 dU V

AV--d

Г дф

2

1 dP

=---------+ x sin( Qt + ф) - y cos(Qt + ф) +

pr 5ф

+ z[a cos(Qt + ф) + в sin(Qt + ф) +

+ 5Q2 cos(Qt + ф - x)], dW 1 dP

------vA W =-----------+ r (-a sin(Qt + ф) +

dt p dz

+ в cos(Qt + ф) - 2Qa cos(Qt + ф) -

- 2Qe sin(Qt + ф) + 5Q2 cos(Qt + ф - x)),

d(rU) dV dW

---------1----+ r----= 0, p = const,

dr дф dz

с соответствующими граничными условиями прилипания и непроницаемости на стенке, верхней и нижней границах ротора; на свободной поверхности жидкости — отсутствие касательного напряжения, кинематическое условие, динамическое условие равенства нулю нормального напряжения.

2. Решение системы

Для исключения времени из аргументов тригонометрических и показательных функций при решении основных уравнений движения относительная скорость частицы жидкости и функция давления принимаются пропорциональными exp i(ot— ф), где О есть комплексное собственное значение, что приводит к целесообразности построения частных решений с такой же зависимостью от времени. В результате определены функция давления и составляющие скорости частицы жидкости для любой точки объема, а также выражения для гидродинамического момента и силы реакции жидкости.

Уравнения движения роторной системы и граничные условия к ним, линеаризованные вблизи стационарного вращения, допускают решения, пропорциональные exp (iQt) и exp (irot), где ГО есть характеристическое число. Решение первого вида дает возможность расчета вынужденных колебаний ротора, обусловленных его собственной неуравновешенностью, и вынужденных колебаний фундамента. С помощью решения второго вида получено характеристичес-

кое уравнение системы, учитывающее пространственное движение жидкости и определяющее зоны неустойчивости движения системы. Искомая частота колебаний ротора ю в общем случае является комплексной величиной, действительная часть которой определяет частоту автоколебаний, а мнимая часть характеризует степень неустойчивости системы. Устойчивость стационарного движения системы определяется по мнимой части комплексных корней характеристического уравнения. Режим стационарного вращения неустойчив, если возможные значения ю имеют отрицательную мнимую часть. Появление трех зон неустойчивости является прямым следствием несимметричности установки ротора на валу, колебаний фундамента, анизотропности опор и внутреннего сопротивления.

3. Заключение

Построена и решена аналитически обобщенная динамическая модель системы «ротор-жидкость-фундамент», общность которой позволяет при моделировании динамики роторных систем с частичным жидким заполнением переходить к различным по полноте моделям, в частности к частичной или полной ее линеаризации, плоским или пространственным случаям движения.

Создана аналитическая методика анализа динамики роторных систем с моделированием различных динамических условий, позволяющая произвести расчет амплитуды и фазы вынужденных колебаний, критических скоростей, границ зоны неустойчивости систем. Решен комплекс задач динамики роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью, с рассмотрением различных по полноте динамических моделей с целью определения влияния параметров системы на их динамику.

Установлено, что упругая установка фундамента имеет преимущество, позволяющее ввести внешнее демпфирование, необходимое для получения лучших характеристик, чем при жесткой установке, и может позволить достичь значительно больших рабочих скоростей, нежели те, которые допустимы при абсолютно жестко установленном фундаменте.

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований РК № ГР 0103РК00547, № ГР 0106РК00642.

ON MODELING OF THE SYSTEM «ROTOR-LIQUID-FOUNDATION»

A.B. Kydyrbekuly, L.A. Khajiyeva

A generalized mathematical model is suggested for the investigation of interrelated vibrations of the «rotor-liquid-foundation» system in the presence of elastic coupling between them and the machine foundation.

Keywords: rotor system, fluid, dynamics, oscillatory process, the dynamic model, stability, frequency, speed, resonance.