Математическая деятельность и понятие модели

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И МЕТОДОЛОГИИ

ББК 87.252:22.1

С. Р. Когаловский

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ

Показывается многофункциональная роль моделирования в математической деятельности и обсуждается соответствующий этому вариант понятия модели.

Ключевые слова: моделирование, полифункциональность, субъект-ность, деконтекстуализация, синергетический подход.

The multifunctional role of simulation (modeling) in mathematical activity is showed in the paper and the variant of the concept of model corresponding this mul-tifuctionality is discussed.

Key words: simulation (modeling), multifuctionality, subjectness, decontex-tualization, synergetic approach.

Моделированию, его формам, отношениям между исследуемыми объектами и их моделями в математической деятельности присущ особый, уникальный характер, и эта уникальность делает обучение математике особо значимым средством общего интеллектуального развития учащихся. В процессах создания работоспособных моделей исследуемых систем, в самом строительном материале, используемом в их построении, в характере функционирования моделей, во множестве играемых ими ролей, в характере взаимодействий моделей с их прообразами органично увязываются все ведущие направления и формы математической деятельности, все психологические механизмы, в ней участвующие. И потому постижение особого характера моделирования в математической деятельности является важной задачей и педагогики математики, и психологии, и когнитивистики, и эпистемологии. Настоящая статья представляет первичный подход к этой задаче прежде всего с позиций педагогики математики.

Авторы работ психолого-педагогической направленности (и далеко не только) следуют, как правило, пониманию модели по В. А. Штоффу [22, с. 19] — как «системы, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте»1.

© Когаловский С. Р., 2013

1 То, что было для данного исследователя моделью исследуемого объекта «вчера», может уже не быть его моделью «сегодня», исчерпав несомые им возможности получения новых знаний об этом объекте. Поэтому представляется естественным и значимым с точки зрения дидактики следующее уточнение этого понятия: модель данного объекта в данном исследовании (или на данной стадии исследования) для данного исследователя — это такой объект, который в этом исследовании (на данной стадии исследования) его замещает и тем способствует успешности исследования. Естественным средством сообразования не просто с субъектной, но с полисубъектной стороной дела в обучении является активное использование широко понимаемой вариативности.

Всюду далее будет предполагаться сообразование с полисубъектной стороной дела без явного указания на это.

Обучение математике — это деятельность, складывающаяся из многих компонентов и преследующая много целей. Но одной из ведущих его целей как обучения развивающего является формирование и развитие способности к поисково-исследовательской деятельности. И понятие модели по Штоффу относится к такой, и даже единственно такой, деятельности. Однако термин «модель» естественно и целесообразно использовать в более широком смысле и применительно к вопросам, относящимся к поисково-исследовательской деятельности, и даже в контексте исследования проблем обучения, направленного «только» на получение тех или иных знаний. Ведь получение знаний

— это не просто получение информации, это освоение знаний как средств и орудий деятельности, а значит, и формирование функциональных органов, необходимых не только для самой этой деятельности, но и для учебной деятельности, направленной на ее освоение. Для этого необходимы образцы (=модели) учебных действий. Для этого необходимы образцы (=модели) восхождений мыследеятельности на надпредметные и метапредметные уровни и взаимодействий этих уровней с предметными. Для этого необходимы модели учебной деятельности как целого2. Для этого необходимы модели осваиваемых форм деятельности, сообразуемые с широким многообразием возможных условий ее осуществления. Это делает не просто целесообразным, но необходимым обращение к существенно более широкому пониманию модели и моделирования, направляющему по пути формирования и развития методологии и методик развивающего обучения школьников и студентов вузов, отвечающего и потребностям современного социума, и гуманитарным ценностям. Представляется, что такому пониманию соответствует следующее (ква-зи)определение: модель данного объекта в данной деятельности — это такой объект, который в этой деятельности его замещает (представляет) и тем способствует успешности этой деятельности3.

Заметим, что, например, строгие понятия предела, непрерывности, касательной являются моделями соответствующих протопонятий в естественном смысле, но не в смысле Штоффа: использование таких моделей направлено не на получение новой информации о протопонятиях как о моделируемых объектах, а на преображение поисково-исследовательской деятельности. Поэтому моделирование, отвечающее понятию модели по В. А. Штоффу (в

2 О том же говорит обращение В. В. Давыдова к понятию дидактической модели [7, с. 226], да и весь контекст этой веховой его работы (и не только этой), хоть явно он как будто следует пониманию модели по Штоффу. Так, он пишет: «Модели — это форма абстракции <...> в которой существенные отношения предметов выражены в наглядно-воспринимаемых и представляемых связях и отношениях знаковых элементов» [7, с. 128].

3 Конечно, и обсуждаемые варианты понятия модели, и другие его варианты не могут не предполагать конкретизации, достигаемой, как и конкретизация всякого понятия методологического уровня, в конечном счете, не дефиницией в строгом смысле (которая убивала бы его методологическое существо), а погружениями его в соответствующие ему контексты. Представляется, однако, что таким погружениям должна предшествовать конкретизация понятия деятельности как развивающейся системы, а моделируемого объекта как структурного или функционального компонента такой системы. Применительно к рассмотрению вопросов педагогики математики в качестве деятельности естественно рассматривать соответствующие формы мыследеятельности. И это несет возможность более далеко идущей конкретизации в рамках системного подхода.

прикладных исследованиях используется, как правило, такое моделирование), естественно называть объектным моделированием, в отличие от широко используемого в математике и в обучении математике отвечающего ее природе над-объектного моделирования, несущего восхождение на надпредмет-ный и метапредметный уровни.

В соответствии с предлагаемым понятием модели моделирование — это способ, используемый не только для получения новой информации о том или ином объекте, не только для получения и освоения знаний, но для освоения (и успешного осуществления) разных форм и способов деятельности и сложных (для осваивающего) действий.

Освоение учащимися новых для них способов и уровней мышления и овладение необходимыми для этого формами знакового моделирования требует использования задач, конструируемых специально в целях обучения (Н. И. Непомнящая [16]). Отсюда следует также, что освоение школьниками обобщенных способов предметных действий не сводится к тому, чтобы «ученики, столкнувшись лишь с одной конкретной частной задачей, стремились прежде всего подвергнуть ее такому анализу, чтобы выделить внутреннюю связь ее условий, отвлекаясь при этом от частных их особенностей» (В. В. Давыдов [7, с. 159]), к тому, чтобы «решая первую конкретную задачу данного типа, они, если можно так выразиться, решали все задачи данного типа» [там же]. Открыть общий метод не значит освоить его (это в особой мере относится к обучению в старшей школе). Освоение общего метода — это процесс накопления опыта его использования в разнообразных ситуациях. Это процесс, вбирающий в себя все более широкий круг особенных и единичных ситуаций и направленный на поиск их преобразований в такие формы, которые делали бы возможным применение к ним этого метода (а значит, это и процесс развития поисково-исследовательской деятельности). Это процесс развития процедур его использования, формирования соответствующих этому методу ориентировки, координации действий, новых умений и навыков. Это и процесс вращивания новой для учащихся формы деятельности, основывающейся на новых для них способах и уровнях мышления. Такой процесс не может осуществляться без рутинной работы, направленной на овладение новой формой знаковой деятельности, на развитие координации действий и приводящей к кристаллизации «стандартных блоков» операций и действий и их свертыванию, к превращению этих блоков в элементарные действия, приводящему к развитию «дальновидения» и «дальнодействия» мышления и тем способствующему овладению более сложными и более масштабными формами поисково-исследовательской деятельности [12, 13, 14]. Это процесс, долженствующий становиться для учащегося и моделью способа самообучения.

Обращение к задачам на вычисление сложных арифметических выражений открывает несомые языком алгебры широкие возможности формирования привычки настраивать внимание на восприятие исследуемой ситуации в целом и способности к такому восприятию, способности схватывать, выражать, обыгрывать и преобразовывать структуру целого, являющейся важным компонентом математической и общей интеллектуальной культуры. Такие возможности реализуемы уже при первичном овладении учащимися языком алгебры, дающим возможность выражать общие формы арифметических задач и общие формы их решения и делать сами эти общие формы предметом исследования. Обращение к такого рода задачам способствует превращению

для учащихся алгебраических знаковых выражений в знаки «иконические», в «фотографические» представления исследуемых ситуаций и эффективных путей их преобразования. Такой уровень овладения языком алгебры несет развитие надпредметного уровня мышления и тем самым возрастание его дальновидения и дальнодействия. Он рождается как новообразование, формируемое «критической массой» количества, разнообразия и уровней сложности упражнений, их направленностью на восхождения на надпредметный уровень.

Овладение системой знаков, превращающее их в знаки «иконические», ведет к рождению новообразования, представляющего новую систему образов, вырастающую «над» знаковой системой и преобразующую ориентировочную деятельность. Освоенность того или иного поля математической деятельности состоит в появлении такого новообразования. Осознание этого проясняет пути поиска более продуктивных способов обучения математике и способов определения уровня освоенности такого поля.

Моделирование, используемое в решении, например, задачи на вычисление сложного арифметического выражения, направляется на схватывание и выражение структуры исследуемого объекта как программы его построения. Но обращение к знаковой форме, представляющей эту структуру, несет преображение подхода к решению задачи не просто тем, что эта форма используется как модель исследуемого объекта, но тем, что она становится метапрограммой построения этого объекта, и не только в том банальном понимании, что она изъявляет себя как общая программа решения множества задач, подобных данной, но в том более существенном смысле, что она становится носителем множества разных программ построения рассматриваемого объекта (и других, не только «изоморфных» ему объектов) и тем открывает возможность их сопоставления под углом зрения их эффективности. Решение многих задач осуществляется так, что находимые метапрограммы сами далее выступают не как средства, напрямую ведущие к решению задачи, а как объекты рассмотрения, и только новые знаковые формы, находимые как их (эффективные) модели, т. е. как мета-метапрограммы построения исходных объектов, открывают хорошо реализуемые возможности усмотрения эффективных программ построения (и исследования) этих объектов.

Это ли не говорит о том, что надпредметный и метапредметный планы должны пронизывать обучение математике (да только ли математике!), что они не могут не быть необходимыми средствами освоения предметного содержания! Это ли не говорит о том, что обращение к надпредметным и мета-предметным планам входит в работу механизмов понимания уже на элементарных уровнях мыследеятельности! Это ли не взывает к тому, что обращение к надпредметным и метапредметным планам, их широкое использование и развитие должно быть одним из ведущих дидактических принципов! Это ли не говорит о том, что реализация принадлежащей Ю. В. Громыко идеи метапредмета [5] должна начинаться уже в процессе изучения (разнообразного) предметного содержания! Это ли не говорит о том месте и той роли, которые должно играть моделирование в обучении!

Фундаментальные математические понятия в математической деятельности являются моделями «парадигматического» уровня. Они выступают как развивающиеся модели ее первомеханизмов и как носители множества по-знавательно-преобразующих функций: быть средствами ориентировки и метаориентировки, носителями методов решения широкого круга задач, средст-

вами их обоснования, средствами системной организации знаний и их продуктивных реорганизаций, носителями надпредметных знаний, носителями продуктивных взаимодействий предметных и надпредметных знаний (а значит, и стратегическими и тактическими орудиями математической деятельности, несущими в себе потенцию «само»-развития), средствами развития дальновидения и дальнодействия мышления, средствами развития способностей учащихся к получению новых знаний, средствами их общего интеллектуального развития, открывающего возможность освоения общих форм и способов интеллектуальной деятельности и др. Этот комплекс функций должен направлять обучение на освоение математической деятельности как сложного, многоаспектного целого, на формирование продуктивных способов интеллектуальной деятельности [9, 10, 11, 13]. Фундаментальные математические понятия должны выступать в учебной деятельности одновременно как модели продуктов уже имеющегося опыта и как модели новых развивающихся форм деятельности.

Строгое фундаментальное математическое понятие — это, прежде всего, модель представлений о способе мыследействий, являющихся его истоком, его прототипом. Так как модель не «адекватна» своему прототипу, необходим процесс «вживания» в нее, организуемый так, чтобы представления, протопонятия, послужившие ее истоком, ее прототипом, не подавлялись, а развивались, утончались посредством их взаимодействия с созданной моделью. Такое понятие с самого начала играет не просто роль модели. Процесс «вживания» в него, овладения им ведет к обретению этим понятием «онтологического» статуса, к тому, что модель и ее прототип меняются ролями, к тому, что модель сама становится объектом математической деятельности. Продолжая взаимодействовать со своим прототипом, но играя при этом ведущую роль, она рождает преображение учебной деятельности вместе с преображением наличествующего опыта учащихся.

Представления, протопонятия, явившиеся истоком сформированного строгого понятия, взаимодействуя с ним, задавая начальные направления его развития, развиваются и сами и тем способствуют развитию ориентировки, а значит, и развитию поисково-исследовательской деятельности. И это является дополнительным подтверждением значимости «наивной» стадии формирования строгого понятия. Урезание такой стадии, ее низведение до уровня всего лишь предварительных разъяснений несет трудновосполнимые потери в деле собственно математического и общего интеллектуального развития учащихся. К тому же возможности, несомые строгим понятием, не исчерпывают того орудийного потенциала, который заложен в его истоках. Протопонятия, «наивные» формы мышления должны участвовать в учебной деятельности не только на начальных стадиях восхождений к строгим понятиям. Они должны в ней участвовать и развиваться, взаимодействуя с «высшими» формами мышления, на всем последующем ее протяжении как неотъемлемые компоненты теоретического мышления, обеспечивающие его полнокровное функционирование и развитие.

Новые задачи, рождаемые в результате обретения сформированным строгим понятием «онтологического» статуса, направляют на новый характер поисково-исследовательской деятельности, на формирование новых ее целей, а значит, и новых средств, на формирование новых тактик внимания, новой ориентировки. Происходит преображение языка образов. Расширяется «за-

действованная» часть объема понятия. Происходит развитие и символически-операторного языка, и языка образов, и их взаимодействий.

Осуществление процессов восхождения от интуитивных представлений, от протопонятий к строгим математическим понятиям, процессов восхождения к аксиоматическим системам ведет учащихся к осознанию места и роли моделирования в математической деятельности, к обогащению их мета-когнитивного опыта (в смысле [21]). Это способ, отвечающий самой природе математической деятельности и направляющий на освоение не только продуктов учебной деятельности, но и логики процессов ее развертывания. И потому ведущие математические понятия вместе с процессами их формирования становятся моделями общих форм и способов эффективной мыследея-тельности4.

Ж. Пиаже различает три уровня абстракции (=моделирования): эмпирическую абстракцию, которая распространяется на объекты, внешние по отношению к субъекту; абстракцию отражающую, ведущую начало от действий и операций субъекта и такую, что в ее основе лежат процесс проекции на более высокий уровень того, что было извлечено из низшего уровня, и процесс перестройки на новом уровне, в котором вначале используются операции, достигнутые на предыдущем уровне, лишь в качестве инструментальных, но с целью скоординировать их в некую новую общность; рефлексирующую абстракцию, направленную на тематизацию (т. е. на превращение в ведущий предмет рассмотрения) того, что оставалось операциональным или инструментальным в отражающей абстракции» [17]. Математическое моделирование в обыденном понимании — это обычно обращение к отражающей абстракции. В процессах формирования фундаментальных математических понятий и концепций доминирует рефлексирующая абстракция, ведущая к освоению их как носителей названных выше познавательно-преобразующих функций, как средств и как продуктов осознания «существа» представляемых ими форм и способов мыследеятельности. В таких процессах встречаются «самые верхние переживания дольнего мира и самые нижние мира горнего» (П. А. Флоренский [20, с. 83]) и рождается их продуктивное единство.

Уже отражающая абстракция направлена не столько на свойства «вещей», сколько на развитие умственных операций и действий. Ее питательной почвой является наращивание множественности контекстов, сопровождающееся таким наращиванием полипредметного опыта, которое ведет к развивающемуся единству расширяющегося разнообразия его продуктов.

Весьма важный и поучительный вид моделирования, несущий немалые возможности для развития креативности мышления учащихся, но пока еще робко используемый в обучении математике, состоит в том, что постановка задачи, рассматриваемая в одном контексте, моделируется ее постановкой, рассматриваемой в другом, далеком от него контексте. Здесь уместно отме-

4 Полезно заметить, что продуктивное обучение математике осуществляется и через движение от общего и абстрактного к частному, и через моделирования общего другими общими, и через его моделирования частными, и через взаимные моделирования частных. Это проявляется и в процессах восхождения к фундаментальным понятиям, и в процессах их освоения. Все это присуще всякой научной и всякой продуктивной учебной деятельности. Попытки «выпрямить» процесс обучения, сделать его «линейным» ведут к убиению его развивающего начала. К обучению математике это относится в особой степени. Его направленность на воспитание «логоцентризма» осуществима радикальным отходом системы обучения от логоцентризма.

тить, что без обращения к идее контекста едва ли возможно полнокровное исследование места и роли моделирования в учебной математической деятельности, его роли в развитии механизмов понимания учащихся, в развитии их способностей к поисково-исследовательской деятельности.

Как неоднократно подчеркивалось Ю. М. Лотманом (см., напр.: [15]), феноменам культуры присущи полигенетичность и полифункциональность. А значит, их освоение требует погружения во множество разных контекстов. Сказанное в полной мере относится к фундаментальным математическим понятиям. Но за их зримой полигенетичностью скрывается имеющая более глубинные корни моногенетичность — те протопредставления, те протомеханизмы, те протосмыслы, которые явились их истоками. Анализ исторических процессов становления и развития таких понятий показывает, что движение от исходного «моно» к «поли» — это процесс открытия и первичного освоения разнообразия возможностей, несомых реализацией протопредставлений, способствующий превращению исходного «моно» в предмет изучения, это процесс формирования и развития протопонятия, являющегося моделью продуктов такого процесса5, это формирование многообразия форм первичного идеального и отправляющееся от этого движение к их развитому и преображенному единству, к развитому идеальному — продуктивной модели того, что представлено в «поли». Такая модель характеризуется проявленностью и доминированием надпредметных и метапредметных планов, представляющих развитое и преображенное исходное «моно». Процесс восхождения к такой модели, ее освоения и развития — это процесс развивающегося единства нарастающего разнообразия6.

Напрашивается соотнесение таких процессов с синергетическим подходом, несущим переход исследований «от существования к становлению, сосуществованию в сложных эволюционирующих структурах старого и нового; от представлений о стабильности и устойчивом развитии к представлениям о нестабильности и метастабильности, оберегаемом и самоподдержи-ваемом развитии и т. д.» (Е. Н. Князева [8]).

5 Такое протопонятие обычно воспринимается как «зачатое» «поли» и сформированное им, как созданное обобщением продуктов его работы. В действительности роль «поли» состоит не в «зачатии», а прежде всего в «родовспоможении» протопонятию как содержательной абстракции в смысле В. В. Давыдова.

6 Представления, явившиеся истоком сформированного строгого понятия, взаимодействуя с ним, задавая начальные направления его развития, развиваются и сами и тем способствуют развитию ориентировки, а значит, и развитию поисковоисследовательской деятельности. И это является дополнительным подтверждением значимости «наивной» стадии формирования строгого понятия (см. приводимый ниже принцип Е). Урезание такой стадии, ее низведение до уровня всего лишь предварительных разъяснений несет трудновосполнимые потери в деле собственно математического и общего интеллектуального развития учащихся.

Как отмечается в [9, 10, 11], возможны разные варианты развитого «моно», или развитого идеального. И с точки зрения педагогики, и с точки зрения когнитивистики заслуживает особого исследования вопрос о том, какие его варианты укореняются, открывая дорогу реализации в дальнейшем других, более продуктивных его вариантов, каковы особенности исторически сложившихся, укоренившихся вариантов по сравнению с другими продуктивными вариантами. Это вопрос о внутренних закономерностях, определяющих характер стадиальности развития поисково-исследовательской деятельности, сопровождающегося ее преображениями.

Обучение математике становится способствующим формированию общих форм и способов интеллектуальной деятельности при следовании урокам исторического процесса развития математики, проявляющего глубинные закономерности познавательной деятельности и ее развития. Это реализуемо посредством онтогенетического подхода к обучению в смысле [9, 10, 11], т. е. такого подхода, который основывается в конечном счете на построении и использовании продуктивных моделей описанных исторических процессов становления и развития фундаментальных математических понятий, реализуемых следованием принципам, о которых говорится в [11] и [10].

Уже первичное соотнесение онтогенетического подхода с синергетическими понятиями и принципами позволяет усмотреть необходимость его как средства снятия ряда трудностей в обучении математике, поиски эффективных средств преодоления которых ведутся не одно десятилетие, и как средства достижения целей обучения математике, отвечающих потребностям современного социума.

Центральная задача обучения математике, отвечающая задаче модернизации образования, состоит в способствовании освоению учащимися фундаментальных математических понятий во всех названных выше их ролях и постижении ими логики процессов их формирования и развития. Онтогенетический подход как подход, направленный на решение центральной задачи обучения математике, тем самым направляет обучение на развитие гомеостатичности системы математических знаний учащихся (СМЗ), такой, которая состоит в сохранении ее устойчивости, ее жизнеспособности в условиях нарастания разнообразия условий ее функционирования, нарастания разнообразия воздействий на все ее подсистемы, как высшие, так и низшие. Это достигается не только и не столько наращиванием предметных знаний учащихся, сколько развитием их надпредметных знаний, а тем самым таким развитием управляющей подсистемы их СМЗ, которое несет и возрастание потенции ее дальнейшего развития. Это не может осуществляться без развития учащихся как субъектов учебной деятельности. Отсюда необходимость следования принципу А, требующему «раскрепощения» субъективности учащихся, открывающему возможность ее (направляемого) развития, становящегося саморазвитием учащихся как активных субъектов учебной деятельности.

Полнокровному воплощению этого принципа препятствует глубоко укоренившийся способ обучения, несущий, по сути, платонистское представление о фундаментальном строгом понятии как о пред-существующем и открываемом, как о раскрываемой сущности, содержащейся в представлениях, являющихся его истоком. Такое воплощение достижимо посредством осознания того, что ведущее строгое понятие является одной из многих возможных продуктивных моделей этих представлений, что выражаемая им «сущность» не открывается, а созидается, что она есть продукт творческой деятельности.

Развитие гомеостатичности СМЗ делает необходимым следование принципу Б: освоение ведущего строгого понятия — это и освоение над-предметного и методологического начал, несомых им, заложенных в нем самим историческим процессом формирования представляемой им теории. Это и освоение надпредметного и методологического начал, заложенных в логике исторического процесса его формирования, освоения и развития.

Развитие надпредметных и метапредметных знаний учащихся как управляющей подсистемы их СМЗ осуществимо развитием учебной деятельности, ведущим к ее преображению. Отсюда необходимость следования

принципу В, требующему сообразования с идеей развития, сопровождающегося преображениями способов мыследеятельности, т. е. коренными изменениями ее содержания, формы, направлений ее развития и самих ее целей, освоением новых механизмов понимания.

В состоянии, близком к равновесному, система изменяется мало. Такими системами являются СМЗ, бедные или обросшие устойчивыми стереотипами в силу их развития единственно «по горизонтали», т. е. на уровне развития учебной деятельности лишь на предметном, но не надпредметном уровне, и не «подпитывающиеся» ситуациями, несущими «флуктуации». Но в неравновесных и особенно в сильно неравновесных состояниях они становятся обостренно восприимчивыми к воздействиям. Необходимым условием перехода СМЗ к новому состоянию, условием ее преображения в более развитую систему является приведение ее в состояние сильной неравновесности посредством «флуктуаций» состояний ее элементов и подсистем, рождаемых столкновениями с пограничными ситуациями (и приводящих к превосходству результата суммы воздействий на систему над суммой их результатов). Это дает оправдание принципа Г: столкновение с пограничными ситуациями является настолько же продуктивным, насколько и природосообразным средством осознания учащимся необходимости восхождения к строгим понятиям, а посредством этого — его математического и общего интеллектуального развития.

Так как состояние неравновесности системы приводит к усилению взаимодействий ее элементов и подсистем и необходимо для ее преображения в более развитую, а посредством этого в более устойчивую систему, то приведения СМЗ в состояние неравновесности являются необходимым условием воплощения в обучении принципа от неразвитого целого — к развиваемому и преображаемому целому как ведущего принципа, характеризующего онтогенетический подход. И это также говорит о необходимости следования принципу Г, о его важной роли в обучении математике7.

Рождение нового, более высокого уровня организации системы происходит лишь тогда, когда система достигает достаточного уровня сложности (ср. у Л. С. Выготского «Развитие житейского понятия должно достигнуть известного уровня для того, чтобы ребенок вообще мог усвоить научное понятие и осознать его» [4, с. 262]). Недостаточно сложные системы развиваться не могут. А при усиленных энергетических или информационных воздействиях они вырождаются. (Это зримо демонстрируют попытки обучения геометрии сразу на аксиоматической основе и попытки прямого приобщения учащихся к строгим понятиям предела и непрерывности). Отсюда необходимость следования принципам Д и Е:

Д. Освоение фундаментальных (строгих) математических понятий требует методов, сообразующихся с их природой, с тем множеством важ-

7 И не только в обучении математике. Чем более сложен предмет изучения, чем в большей степени он требует высоких уровней мыследеятельности, тем в большей степени открывается и возможность, и необходимость освоения стратегии прорывов на такие уровни и тем в большей степени проявляются природосообразность и эффективность воплощения этого метода, предстающего как взаимодействие дополняющих друг друга сократического и дидактического диалогов, подобных сократическому (открытому, творческому) и дидактическому (позитивно-манипуляционному) диалогам в смысле В. В. Рубцова, А. А. Марголиса и М. В. Телегина [19, 18]. См. также: [13], [9].

ных ролей, которые они играют в математической деятельности. Самим историческим процессом формирования такого понятия формы его представления, его дух, характер его функционирования существенно привязаны не к тем или иным единичным вопросам, а к представляющей его (и представляемой им) развитой теории как целому. А значит, освоение такого понятия, осознание его существа, его ролей, характера его использования, значимых направлений его развития возможно только в контексте освоения этой теории (по крайней мере, ее начал), вместе с этой теорией, сплавленной с практикой использования ее результатов, вместе с ее развертыванием, вместе с постижением логики ее развертывания;

Е. Природосообразное, продуктивное освоение ведущего строгого понятия — это освоение его как продуктивной модели протопонятия, являющегося его историческим или конструируемым истоком. При таком освоении с самого начала осознается протосмысл понятия и процесс его освоения ведом механизмами понимания, развивающимися вместе с этим процессом, от понимания как включения новых знаний в прошлый опыт субъекта до понимания на надпредметном и метапредметном уровнях и пересмотра прошлого опыта с новых позиций. И потому процесс освоения понятия должен начинаться с освоения и развития самого протопонятия и выстраиваемых на его базе прототеории и практики ее применения.

Важнейшим механизмом освоения фундаментальных математических понятий, а посредством этого общего интеллектуального развития учащихся является деконтекстуализация [3] (или, лучше сказать, надконтекстуализация, поскольку она несет восхождение на надпредметный уровень рассмотрения), осуществляемая как процесс обобщения знаний и умений, как процесс превращения их использованием теоретико-множественных и формальнологических средств в абстрактные действия, независимые от конкретных условий действия. Такой процесс приводит к формированию предельно широкого, «трансцендентального» контекста, погружение в который выступает одним из ведущих механизмов и характеристической чертой математической деятельности. Этот механизм не только создает условия, становящиеся априорными условиями последующего опыта, предпосылками последующего познания, организующими опыт поисково-исследовательской деятельности, но и рождает эффективные стратегические орудия математической деятельности. «Трансцендентальные» контексты сами становятся «поленезависимыми» орудиями математической деятельности. Продуктом деконтекстуализа-ции является поликонтекстуализация, т. е. возможность продуктивного обращения к широкому множеству наличествующих и возможных контекстов. Деконтекстуализация — типичная форма надобъектного моделирования, отвечающего глубинному существу математической деятельности.

Природосообразные процессы формирования строгих фундаментальных математических понятий, призванных выполнять многофункциональные и многоуровневые роли, строятся как многостадийные процессы формирования продуктивных моделей протопонятий, являющихся их историческими или конструируемыми квазиисторическими истоками [13, 9, 10, 11]. И такие модели протопонятий выступают не как средства их исследования, а как цели процессов формирования орудий математической деятельности, несущих ее преображения. Такие процессы приближают учащихся к осознанию уникальной многоуровневости и многомерности фундаментальных математических понятий и представляемых ими форм мыследеятельности, к осозна-

нию того, что эффективные математические методы являются продуктами многоступенных абстрагирований-моделирований.

Особо отметим, что процессы формирования фундаментальных математических понятий, отвечающие онтогенетическому подходу, как процессы моделирования имеют существенно иной характер, чем процессы моделирования, описываемые в психолого-педагогических работах. Они близки процессам феноменологической редукции в смысле Э. Гуссерля [6] (см.: [9, 10]). И это делает их настолько же продуктивными, насколько и природосообразными.

Подобно тому как не овладение счетом на пальцах самим по себе, а осознание тех первомеханизмов, которые за ним стоят, привело к понятию взаимно однозначного соответствия, освоение которого привело, в свою очередь, к далеко идущему преображению математики, осознание того, насколько широко множество ролей моделирования в обучении математике, того, насколько широко множество форм моделирования, используемых даже на элементарных уровнях математической деятельности, осознание того, что развитие креативности мышления есть, в конечном счете, развитие способностей к отысканию и использованию эффективных форм моделирования — все это раскрепощает субъективность учащихся и тем способствует развитию их воображения, способствует такому развитию их субъективности, которое является развитием их как субъектов развивающейся учебной деятельности.

Всепроникающая работа моделирования в математической деятельности, необозримое многообразие его форм, модельная природа самих математических понятий зримо показывают, насколько далек от истины расхожий тезис «математика — это логика» и насколько ближе к ней тезис «математика

— это моделирование» (но, конечно же, еще ближе к истине тезис «математика — это моделирование и логика»). Однако без уточнений того, какие формы моделирования при этом имеются в виду, последний тезис превращается в банальную истину как относящийся ко всякой деятельности.

Мышление — это «процесс непрерывно совершающегося обратимого перевода информации с собственно психологического языка пространственно-предметных структур <...> то есть языка образов, на психолингвистический, символически-операторный язык» [2, с. 134]. Иначе, мышление — это процесс развивающегося взаимного моделирования образа и символически-операторного, или рационального, образования. Уже отсюда ясно, что говорить о значимой роли моделирования в обучении математике — значит еще ничего не сказать. Отсюда же следует, что говорить о ведущей роли традиционно понимаемого наглядного моделирования в обучении математике, под каковым понимают моделирование, основанное на обращении к нагляднообразным средствам как к внешней опоре внутренних действий, тоже значит еще ничего не сказать.

Важно отметить и то, что математическая деятельность даже достаточно элементарного уровня является не «двуязычной», а «многоязычной». Но ее «несущий каркас» и сами продукты математической деятельности явно или неявно предстают (преимущественно) как имеющие «двуязычную», «ал-гебраически»-«геометрическую» природу. А это показывает природосооб-разность принципа дополнительности в обучении математике [13, 9].

Математическая деятельность состоит в формировании идеальных объектов как продуктов многоступенных абстрагирований-трансцендирований-моделирований и использовании их в качестве не только моделей исследуемых систем и не только способов их исследования, но и в качестве самих

способов моделирования, т. е. в качестве стратегических средств самой математической деятельности, посредством этого становящихся эффективными средствами формирования и развития поисково-исследовательской деятельности. А это говорит о том, что (развитые) идеальные объекты, формируемые посредством такого моделирования, направлены на освоение и развитие над-предметного и метапредметного планов, что эти планы пронизывают все уровни математической деятельности.

Система обучения математике, основанная на понимании развития как приводящего к радикальным преображениям способов мышления и потому не могущая не быть системой развивающейся учебной деятельности, характеризуемой нарастанием многомерности и многоуровневости, должна нести в себе системопорождающее и системоподдерживающее начало, рождающее органичное развертывание и взаимодействие всего арсенала методов, заложенных в такую систему. Этим началом и является пронизывание учебной деятельности процессами моделирования, обращение к самим процессам исследования учебных задач, осуществляемым в контексте задач моделирования. Это несет и осознание того, что фундаментальные математические понятия являются «отражениями», моделями не самого «внешнего мира», а способов его «отражения» и в этом объяснение их универсальной приложимости. Осознание того, что обращение к собственно математическим задачам может служить эффективным средством обучения математическому моделированию и как способу решения прикладных задач.

В конечном счете, моделирование — это перевод рассмотрения из «внутреннего» плана во «внешний», в иные контексты, в иные плоскости, на иные уровни. И чем дальше отстоят «внутренний» и «внешний» планы, чем больше контекстов-переводов, тем большую продуктивность несет так строящаяся модель и тем большим развивающим средством является процесс формирования такой модели. Образцом подобных процессов выступает формирование строгих фундаментальных понятий как моделей протопонятий, как моделей первомеханизмов математической деятельности. Такие процессы, такие переводы глубинного «внутреннего» плана во «внешний» сопровождаются погружениями в еще большие глубины «внутреннего» плана.

Пронизывание учебной деятельности процессами моделирования, осознаваемыми как таковые, включение в математическую деятельность процессов формирования фундаментальных математических понятий как продуктивных моделей протопонятий и постижение логики таких процессов приобщает учащихся к МАТЕМАТИКЕ, приближает к постижению ее существа и делает обучение математике органичным и природосообразным, делает его полнокровно развивающим. Оно несет учащимся осознание истинного места и истинной роли формально-логических средств в математической деятельности, осознание того, что эти средства отвечают предельно идеальной природе предмета математики, формирующей эффективные способы мыследеятельности. Оно способствует развитию не отдельных качеств мышления в их изолированности, а органичному математическому и посредством этого — общему интеллектуальному развитию учащихся. Несколько перефразируя М. Вартофского [1], можно сказать, что модели в учебной математической деятельности — это все то, что создается путем самопреобразова-ний учащихся в ее процессе, это предполагаемая форма деятельности, репрезентация будущей практики.

Образ геологической разведки, осуществляемой из космоса, теряет свою высокую метафоричность при обращении к давно вошедшим в общекультурный обиход понятиям и методам математического анализа, которые основаны на моделировании «наивных» представлений о процессности, использующем идею актуальной бесконечности.

Библиографический список

1. Вартофский М. Модели : репрезентация и научное понимание. М. : Прогресс, 1988. 408 с.

2. Веккер Л. М. Психические процессы. Л. : Изд-во ЛГУ, 1976. Т. 2.

3. Вербицкий А. А., Калашников В. Г. Контекст как психологическая категория // Вопр. психологии. 2011. № 6. С. 3—15.

4. Выготский Л. С. Мышление и речь // Собр. соч. М. : Педагогика, 1982. Т. 2. С. 5—361.

5. Громыко Ю. В. Проектирование и программирование развития образования. М. : Моск. акад. образования, 1996. 546 с.

6. Гуссерль Э. Логические исследования : исследования по феноменологии и теории познания. М. : Дом интеллектуальной книги, 2001. 500 с.

7. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М. : Интор, 1997. 544 с.

8. Князева Е. Н. Синергетический вызов культуре. URL: http://spkurdyumov.narod.ru/ SINVIZKUL.htm (дата обращения: 07.04.2013).

9. Когаловский С. Р. К методологии преображающего обучения : (обучение школьников математике). Saarbrücken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. 425 с.

10. Когаловский С. Р. К проблеме модернизации математического образования. Saarbrucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. 118 с.

11. Когаловский С. Р. К проблеме модернизации математического образования // Школьные технологии. 2011. № 6. С. 93—99.

12. Когаловский С. Р. О ведущих планах обучения математике // Педагогика. 2006. № 1. С. 39—48.

13. Когаловский С. Р. Развивающее обучение математике как преображающее обучение. Иваново : Иваново, 2010. 208 с.

14. Когаловский С. Р. Развивающий потенциал обучения математике // Философия математики: актуальные проблемы : тез. Второй Междунар. науч. конф. М. : МАКС Пресс, 2009. С. 330—332.

15. Лотман Ю. М. Чему учатся люди : ст. и заметки. М. : Центр книги ВГБИЛ им. М. И. Рудомино, 2010. 416 с.

16. Непомнящая Н. И. Педагогический анализ и конструирование способов решения учебных задач // Педагогика и логика / Г. Щедровицкий, В. Розин, Н. Алексеев, Н. Непомнящая. М. : Касталь, 1993. С. 306—377.

17. Пиаже Ж. Психогенез знаний и его эпистемологическое значение // Семиотика. М. : Радуга, 1983. С. 90—101.

18. Рубцов В. В., Марголис А. А., Телегин М. В. Психологическое исследование генеза и развития житейских понятий в условиях учебного диалога : (второй этап) // Психологическая наука и образование. 2008. № 2. С. 61—69.

19. Рубцов В. В., Марголис А. А., Телегин М. В. Психологическое исследование генеза и развития житейских понятий в условиях учебного диалога : (первый этап) // Психологическая наука и образование. 2007. № 2. С. 61—72.

20. Флоренский Павел, свящ. Избранные труды по искусству. М. : Изобраз. искусство, 1996. 336 с.

21. Холодная М. А. Психология интеллекта. СПб. : Питер, 2002. 264 с.

22. Штофф В. А. Моделирование и философия. М. ; Л. : Наука, 1966. 303 с.