СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ВОЛНОВОГО ФРОНТА СВЕТОВОГО ПУЧКА, ВЫЗВАННЫХ ВОЛНИСТОСТЬЮ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
METHOD FOR DETERMINING DEFORMATIONS OF WAVEFRONT OF LIGHT BEAM CAUSED BY WAVINESS OF SURFACES OF OPTICAL SYSTEM

Изобретение относится к области оптики и может быть использовано для характеристики качества световых пучков, формируемых оптическими элементами и системами. Определение деформаций волнового фронта таких пучков позволяет судить о качестве изготовления оптических элементов и систем.
Реальные оптические элементы и системы всегда вносят те или иные искажения в волновой фронт проходящих через них световых пучков. Причинами возникновения искажений, как правило, являются погрешности изготовления оптических элементов и систем. На финальной стадии полировки и точной доводки больших поверхностей часто используется доводочный инструмент малых размеров, действующий зонально. В результате на оптической поверхности элемента остаются мелкомасштабные или, как их называют, волнистые деформации профиля, которые порождают деформации волнового фронта светового пучка, прошедшего оптический элемент. По аналогии и в связи с природой происхождения далее такие деформации поверхности волнового фронта будут называться волнистыми деформациями волнового фронта светового пучка. Критерием, разделяющим волнистые и крупномасштабные деформации (или деформации формы) поверхности оптического элемента относительно идеального профиля, считают пространственную частоту гармоник деформаций поверхности на уровне 5 периодов и более на длине радиуса оптического элемента, взятой в качестве базовой [Проектирование оптических систем. Под ред. Р. Шеннона, Дж. Вайнта. М.: Изд-во Мир. 1983. - 432 с.]. Аналогичным образом можно характеризовать и волнистые деформации волнового фронта светового пучка, порожденные волнистыми деформациями поверхностей оптических элементов и систем, рассматривая в качестве базовой длины радиус светового пучка.
Далее нами будут рассматриваться способы определения волнистых деформаций светового пучка по всей апертуре оптической системы. Несмотря на значимость этой проблемы, сведения, характеризующие уровень техники в данной области измерений, практически отсутствуют. Особенно важно иметь информацию о распределении волнистых деформаций по всему сечению искаженного пучка для крупногабаритных оптических систем.
К точности определения волнистых деформаций предъявляются достаточно высокие требования. Волнистые деформации оптических поверхностей, и, соответственно, волнистые деформации волнового фронта светового пучка, как правило, имеют значения вплоть до нескольких единиц нанометров. Известны классы оптических систем, для которых и такой низкий уровень деформаций волнового фронта является критическим. Это космические телескопы, работающие в диапазоне длин волн от 0.12 мкм (α-линия серии Лаймана λ=121,5 нм) [Jones C.O. Space telescope optics. Optical engineering. 1979, v. 18, №3, p. 273-280], а также объективы, используемые в аппаратуре нанолитографии, оптимальный диапазон для которых лежит в области вакуумного ультрафиолета - 13,4 нм [В.К. Кирилловский, Е.В. Гаврилов. Оптические измерения. Ч. 7. Инновационные методы контроля при изготовлении прецизионных асферических поверхностей. СПб ГУ ИТМО. 2009. - 118 с.].
Еще один важный класс оптических элементов, где декларируются жесткие требования к оптическому качеству, это дисковые активные элементы (так называемые «слэбы») усилительных каналов многоканальных лазерных систем на неодимовом стекле для решения задач управляемого термоядерного синтеза [О.И. Шанин. Адаптивные оптические системы в импульсных мощных лазерных установках. М: Техносфера. 2012. - 200 с.]. В мощном усилительном канале лазера искажения волнового фронта светового пучка, включая волнистые деформации, провоцируют развитие мелкомасштабной самофокусировки излучения, приводящей к катастрофическому разрушению активной среды лазера.
мин
К наиболее точным способам измерения формы волнового фронта по всему поперечному сечению светового пучка относятся интерферометрические. Результатом интерферометрических измерений является экспериментально обнаруживаемая разность хода интерферирующих волн, которая выражается в долях длины волны излучения λ, используемого в интерферометре. Минимальную зарегистрированную разность хода, обнаруживаемую в поперечном сечении контролируемого пучка, можно считать наименьшей регистрируемой деформацией волнового фронта контролируемого пучка, выраженной в долях λ. Значение этой величины будет характеризовать точность способа измерения деформации волнового фронта. Аналогичным образом можно ввести наименьшую волнистую деформацию волнового фронта контролируемого пучка w, выраженную в долях λ, регистрируемую в поперечном сечении контролируемого пучка.
Рассмотрение интерферометрических способов измерения деформаций волнового фронта показывает, что наименее чувствительными к влиянию внешних помех, таких, как вибрации и неоднородные воздушные потоки в месте проведения измерений, являются способы, в которых оптические пути опорного и искаженного контролируемого пучка на значительном участке схемы формирования пучков совпадают. В этом случае одинаковые ошибки фронта, набранные пучками на общих участках схемы, при интерференции пучков вычитаются. Такой принцип формирования интерферирующих пучков был предложен Физо.
Известен способ определения деформаций волнового фронта светового пучка, основанный на применении этого принципа [Optical Shop Testing. Ed. D. Malacara. New York. J. Willy and Sons Inc. 1992. 773 p.] В способе формируют гомоцентрический лазерный пучок с применением точечной диафрагмы, пропускают его через коллимирующий объектив и светоделитель, затем направляют на эталонный оптический элемент и на установленную за ним контролируемую оптическую систему. В результате отражения части исходного пучка от рабочей поверхности эталона формируется опорная волна, а после прохождения оставшейся части исходного пучка контролируемой оптической системы формируется искаженная системой волна, деформации которой определяются. Обе волны, имеющие за счет схемного решения согласованную кривизну волнового фронта, направляют по общей части оптического тракта в обратном направлении, т.е. к источнику излучения. На этом проходе светоделитель отводит пучки в канал регистрации интерференционной картины, который включает в себя, как правило, проекционный объектив и матричный фотоприемник. Сформированную в плоскости фотоприемника (ПЗС матрицы) интерференционную картину в виде чередующихся светлых и темных полос регистрируют в виде цифрового изображения. Далее с использованием соответствующих математических соотношений и алгоритмов обработки данных по искривлениям гребней полос рассчитывают таблицу значений или карту распределения величин деформаций волнового фронта по сечению пучка.
К причинам, препятствующим достижению указанного ниже технического результата при использовании известного способа, относятся следующие. Известный способ требует для формирования опорного волнового фронта применения высокоточного оптического эталона и когерентного лазерного источника излучения, отличается относительной сложностью оптической схемы, подвержен воздействию когерентных шумовых помех, ограничен в точности измерений деформаций волнового фронта.
Поскольку интерферограмму формируют в когерентном свете, то так называемый «когерентный» шум, включающий в себя зернистость распределения интенсивности (спеклы) и неоднородности распределения интенсивности за счет выбросов интенсивности, обусловленных пылью, дефектами и паразитными бликами оптических поверхностей интерферометра, «впечатывается» в интерференционную картину. Этот шум ограничивает точность определения близких по масштабу локальных искривлений интерференционных полос, вызванных волнистыми деформациями волнового фронта. При этом число интерференционных полос на диаметре пучка должно быть достаточным для пространственного разрешения мелкомасштабных волнистых деформаций.
мин
Измеренные деформации волнового фронта неизбежно включают в себя, в том числе, деформации волнового фронта, внесенные самим эталонным элементом в опорную волну. Наименьшая регистрируемая деформация волнового фронта контролируемого пучка с учетом качества изготовления рабочей поверхности типового эталона составляет величину w=λ/25 в лучшем случае.
Наиболее близким способом того же назначения к заявленному изобретению по совокупности признаков является способ определения волнистых деформаций волнового фронта по всему сечению светового пучка, реализованный в схеме высокоточного интерферометра типа Intellium Н2000 (производитель фирма ESDI, США) [Н.В. Барышников, Я.В. Гладышева, Д.Г. Денисов, И.В. Животовский, В.Е. Патрикеев, И.Н. Судариков. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение», 2012, с. 4-16]. При реализации способа формируют два наклоненных под небольшим углом друг к другу когерентных гомоцентрических лазерных пучка с ортогональными поляризациями, оба пучка пропускают через коллимирующую систему, включающую пространственный фильтр, затем пучки направляют на эталонный оптический элемент и на установленную за ним контролируемую оптическую систему. Лазерные пучки частично отражаются от рабочей поверхности эталона и от поверхности контролируемой оптической системы, которые наклонены таким образом, чтобы только отраженные опорная и искаженная волны с заданными ортогональными поляризациями шли в обратном направлении параллельно оптической оси интерферометра. Остальные отраженные волны блокируются пространственным фильтром в фокальной плоскости интерферометра. После прохождения пространственного фильтра искаженный и опорный пучки с ортогональными поляризациями поступают в трехканальное поляризационное устройство фазового сдвига с ПЗС-матрицами на выходе каналов. Это устройство синхронно формирует и регистрирует три интерференционные картины, отличающиеся величиной фазового сдвига опорной волны относительно искаженной. Далее для определения искомых деформаций волнового фронта численным методом используют математическое соотношение, связывающее разность фаз искаженной и опорной волн в каждой точке поперечного сечения светового поля с алгебраической комбинацией значений интенсивности, зарегистрированных в той же точке в каждой из трех интерферограмм. Выполненная в соответствии соотношением совместная обработка трех интерферограмм, полученных с разным фазовым сдвигом между опорной и искаженной волной, позволяет определить деформации волнового фронта в каждой точке поперечного сечения пучка.
К причинам, препятствующим достижению указанного ниже технического результата при использовании известного способа, относятся сложность реализации, высокая трудоемкость, наличие ограничений в точности определения деформаций волнового фронта. Используемая оптическая схема отличается сложностью, высокими требованиями к точности юстировки ее элементов и чувствительностью результатов к воздействию шумовых и фазовых помех. Точная настройка и юстировка всех элементов схемы, прецизионные измерения одновременно трех интерферограмм и их последующая совместная обработка существенно увеличивают трудоемкость процесса определения деформаций искаженного волнового фронта. Реализация способа требует применения прецизионно изготовленных оптического эталона и трехканального поляризационного светоделителя, а также высококогерентного лазерного источника поляризованного излучения. Опорный волновой фронт должен строго отвечать по общей конфигурации (плоская, сферическая) искаженному волновому фронту, т.е. эталонный элемент, оптический или голографический, нужно специально изготавливать под каждую оптическую систему, подлежащую измерению. Это усложняет процедуру определения деформаций волнового фронта.
Следует также иметь ввиду, что при измерении характеристик оптической системы, работающей на пропускание (слэб, объектив), необходимо строить автоколлимационную схему с применением дополнительного согласованного по кривизне поверхности прецизионного отражающего зеркала. При этом регистрируются деформации волнового фронта, внесенные в пучок оптической системой совокупно на прямом и обратном проходе через нее. Такие результаты не дают точной характеристики деформаций волнового фронта пучка, вносимых оптической системой в рабочем, т.е. в однопроходовом режиме.
Теоретически при реализации этого способа когерентные шумы в интерференционной картине подавляются, но только если распределения выбросов интенсивности во всех трех интерферограммах совпадают попиксельно и по величине интенсивности. Однако очевидно, что такое полное совпадение распределений интенсивности когерентных шумов в трех интерферограммах маловероятно. Аналогично и присущие самой ПЗС-матрице шумовые выбросы интенсивности в пикселях, статистически распределенные по ее сечению, будут различны в трех разных ПЗС-матрицах. Все эти шумы будут суммарно вносить вклад в ошибку измерений волнового фронта. Дополнительными источниками ошибок будут неконтролируемые изменения фазового сдвига между интерферирующими пучками в трех каналах регистрации, обусловленные погрешностями схемы, а также остаточное влияние неоднородных воздушных потоков, локализованных в зазоре между эталонным элементом и контролируемой оптической системой. Применяемые методы сглаживания интерференционной картины, устраняющее указанные шумы, практически не приемлемы, поскольку сглаживание будет отфильтровывать и информацию об измеряемых мелкомасштабных волнистых деформациях волнового фронта.
мин
В результате все эти выше упомянутые факторы не позволяют определить способом-прототипом волнистые деформации волнового фронта точнее, чем характеризуемые значениями w=λ/50. Измеренные деформации волнового фронта включают в себя также деформации, внесенные в опорную волну эталонным элементом. В рекламной информации производителей интерферометра Intellium Н2000 в сети «Интернет» сообщается о достижении наименьшего регистрируемого значения деформации контролируемого волнового фронта на уровне λ/100. Это значение достигается лишь за счет повышения точности изготовления эталона, позволяющего сформировать опорную волну еще более высокого качества.
Сущность изобретения заключается в следующем.
Задачей изобретения является определение деформаций волнового фронта светового пучка, вызванных волнистостью поверхностей оптической системы, с высокой точностью, простотой реализации и меньшей трудоемкостью.
Технический результат, который достигается при осуществлении заявленного способа, заключается в определении деформаций волнового фронта светового пучка, вызванных волнистостью поверхностей оптической системы, с высокой точностью при существенном упрощении процесса измерений и уменьшении его трудоемкости.
макс
макс
макс
макс
пр
пр
макс
пр
макс
пр
сгл
сгл
макс
рег
рег
рег
макс
макс
рег
макс
рег
рег
пр
макс
рег
3
2
2
Указанный технический результат при осуществлении изобретения достигается тем, что в способе определения деформаций волнового фронта светового пучка, вызванных волнистостью поверхностей оптической системы, включающем направление гомоцентрического светового пучка с длиной волны λ на оптическую систему, получение математического выражения для определения деформаций волнового фронта светового пучка, определение деформаций волнового фронта светового пучка путем решения численным методом полученного математического выражения, в соответствии с заявляемым техническим решением световой пучок, направляемый на оптическую систему, формируют некогерентным, определяют положение плоскости П, перпендикулярной оси светового пучка, прошедшего оптическую систему и сфокусированного в пространстве изображений, в которой пиковая интенсивность светового пучка в изображении поперечного сечения светового пучка имеет максимальное значение I среди экспериментально зарегистрированных пиковых интенсивностей в изображениях поперечных сечений светового пучка, перпендикулярных оси светового пучка, измеряют диаметр D светового пучка в плоскости П, перпендикулярной оси светового пучка и соприкасающейся с последней поверхностью оптической системы, измеряют расстояние L по оси пучка от плоскости П до плоскости П с учетом правила знаков, регистрируют распределение интенсивности I(u,v) светового пучка в координатах (u,v) плоскости П, перпендикулярной оси светового пучка в пространстве изображений, которую выбирают так, что выполняется условие |L|=10⋅λ⋅(L/D), где L - расстояние по оси пучка от плоскости П до плоскости П с учетом правила знаков, определяют функцию ψ(u,v)=ln[I(u,v)/I(u,v)], где I(u,v) - распределение интенсивности I(u,v), сглаженное с использованием метода наименьших квадратов, выполняя разложение функции ψ(u,v) в двумерный тригонометрический ряд Фурье, получают двумерный амплитудный спектр гармоник ряда Фурье, находят порядковый номер μ наивысшей из гармоник ряда Фурье, квадрат амплитуды которой составляет не менее 0,02 от квадрата максимального значения амплитуды в спектре гармоник, регистрируют распределение интенсивности I(ξ,η) светового пучка в координатах (ξ,η) плоскости П, перпендикулярной оси светового пучка в пространстве изображений, которую выбирают так, что выполняется условие |L|=4⋅λ⋅(μ⋅L/D), где L - расстояние по оси пучка от плоскости П до плоскости П с учетом правила знаков, при этом начало координат в плоскостях П, П, П, П лежит на оси светового пучка, математическое выражение для определения деформаций волнового фронта светового пучка w(x,y), вызванных волнистостью поверхностей оптической системы, определяют в виде уравнения, связывающего w(x,y) в координатах (х,у) плоскости П, с распределением интенсивности светового пучка в плоскости П:
рег
рег
макс
pег
макс
- I(х,у) - распределение интенсивности светового пучка, выраженное в координатах плоскости П, полученное путем замены переменных в распределении интенсивности I(ξ,η) по формулам ξ=х⋅(L/L) и n=у⋅(L/L);
сгл
- I(х,у) - сглаженное с использованием метода наименьших квадратов распределение интенсивности светового пучка I(х,у);
х
у
макс
х
у
значения w(x,y) определяют путем численного решения уравнения (1) вариационным методом при свободных граничных условиях, аппроксимируя w(x,y) тригонометрическим полиномом, состоящим из суммы из членов двумерного ряда Фурье с порядковыми номерами гармоник μ и μ, пробегающими диапазон от 1 до μ, за исключением тех членов ряда, для которых оба порядковых номера μ и μ имеют значения, меньшие 10.
Совокупность вышеизложенных признаков изобретения связана причинно-следственной связью с техническим результатом изобретения.
Гомоцентрический световой пучок после прохождения несовершенной оптической системы приобретает деформации его волнового фронта. Эти деформации по мере распространения светового пучка в пространстве изображений приводят к возникновению неоднородностей в распределении интенсивности по поперечному сечению пучка. Количественная взаимосвязь между деформациями волнового фронта и проявляющимися неоднородностями в распределении интенсивности сфокусированного пучка определялась нами в рамках геометрооптического приближения [Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М., изд-во "Наука". - 1979. - 328 с.].
рег
В заявляемом техническом решении волнистые деформации волнового фронта светового пучка w(x,y), вызванные волнистыми деформациями поверхностей оптической системы, определяют в плоскости П, перпендикулярной оси светового пучка и соприкасающейся с последней поверхностью оптической системы. Для расчета указанных деформаций используют результаты измерений распределения интенсивности искаженного светового пучка в плоскости, перпендикулярной оси светового пучка в пространстве изображений, П, положение которой выбирают определенным образом.
рег
рег
Выбор положения плоскости П в пространстве изображений существенно влияет на точность решения поставленной задачи. Чем дальше от плоскости П плоскость П, в которой осуществляются измерения распределения интенсивности искаженного светового пучка, тем сильнее выражены неоднородности распределения интенсивности, и тем точнее их можно измерить на фоне шумов. В то же время по мере удаления светового пучка от оптической системы в проявлениях неоднородностей распределения интенсивности в поперечном сечении пучка начинает сказываться волновая природа светового поля из-за нарушений условий геометрооптического приближения. Вследствие этого на волновом фронте пучка на выходе оптической системы каждому лучу следует адресовать не просто точку исхода, а некоторый окружающий точку участок волнового фронта, так называемую зону Френеля, размер которой растет по мере удаления от оптической системы.
рег
рег
Проведенный нами анализ показал, что если диаметр зоны Френеля не превышает пространственный период волнистых деформаций волнового фронта в плоскости П, то геометрооптическое приближение еще остается справедливым для рассмотрения распространения светового пучка до плоскости П. В противном случае, т.е. при диаметре зоны Френеля, превышающем пространственный период волнистых деформаций, усредненное по зоне Френеля действие деформаций волнового фронта приводит к сглаживанию возникших неоднородностей в распределении интенсивности светового пучка в плоскости П.
рег
рег
Согласно введенному нами условию, положение плоскости П выбирается так, что диаметр зоны Френеля в плоскости П не превышает пространственный период любой из гармоник, присутствующих в спектре волнистых деформаций волнового фронта. Тогда наибольшее удаление плоскости П от оптической системы, еще возможное в рамках справедливости геометрооптического приближения, имеющее следствием достижение наибольшего контраста проявившихся неоднородностей в распределении интенсивности светового пучка, отвечает условию, при котором диаметр зоны Френеля достигает, но не превышает пространственного периода наивысшей гармоники из присутствующих в спектре волнистых деформаций волнового фронта.
В заявляемом техническом решении порядковый номер наивысшей гармоники из присутствующих в спектре волнистых деформаций волнового фронта определяют из рассмотрения пространственных гармоник неоднородностей, проявляющихся в распределении интенсивности искаженного светового пучка, распространяющегося в пространстве изображений.
макс
макс
макс
макс
макс
Осуществляют это следующим образом. Определяют положение плоскости П в которой пиковое значение интенсивности в изображениях поперечных сечений светового пучка, перпендикулярных оси светового пучка, достигает максимального значения I. Измеряют диаметр светового пучка D в плоскости П, перпендикулярной оси светового пучка и соприкасающейся с последней поверхностью оптической системы. Далее определяют расстояние L от плоскости П до плоскости П, используя при этом систему отсчета, задаваемую системой координат в плоскости П, в которой начало координат лежит на оси светового пучка, а положительное направление оси аппликат совпадает с направлением распространения светового пучка.
пр
макс
пр
макс
пр
пр
макс
пр
сгл
сгл
сгл
макс
макс
3
2
Проведенные нами расчеты показали, что при наличии в световом пучке волнистых деформаций волнового фронта соответствующие неоднородности распределения интенсивности гарантированно проявляются в изображениях поперечных сечений светового пучка на расстоянии L от плоскости П либо по ходу пучка, либо в обратном направлении, при этом значение |L|=10⋅λ⋅(L/D). Выбирая плоскость Пна расстоянии L от плоскости П в том или ином направлении, регистрируют в ней распределение интенсивности светового пучка I(u,v), где u и v координаты в плоскости П. Далее определяют функцию ψ(u,v)=ln[I(u,v)/I(u,v),], где I(u,v) - распределение интенсивности в поперечном сечении пучка, сглаженное методом наименьших квадратов. При выполнении операции сглаживания применяют стандартную процедуру аппроксимации функции I(u,v) двумерными полиномами того или иного вида. Функция ψ(u,v) является своеобразным индикатором присутствия волнистых деформаций волнового фронта, поскольку в их отсутствие близка к нулю по всему сечению пучка. Затем выполняют разложение функции ψ(u,v) в двумерный тригонометрический ряд Фурье, получают двумерный амплитудный спектр гармоник ряда Фурье, находят порядковый номер μ наивысшей из гармоник ряда Фурье, квадрат амплитуды которой составляет не менее 0,02 от квадрата максимального значения амплитуды в спектре гармоник. Полученное значение μ и будет соответствовать порядковому номеру наивысшей из пространственных гармоник неоднородностей, проявляющихся в распределении интенсивности искаженного светового пучка
макс
рег
рег
макс
рег
макс
макс
рег
рег
макс
2
Найденное значение μ позволяет определить положение плоскости П. В соответствии с заявляемым техническим решением плоскость П должна отстоять от плоскости П на расстояние |L|=4⋅λ⋅(μ⋅L/D) либо по ходу пучка, либо в обратном направлении. Данное соотношение для положения плоскости П основано на вычислении размеров зон Френеля для точек изображения светового пучка в плоскости П и выполнении указанного выше условия: диаметр зоны Френеля в плоскости П не должен превышать пространственный период гармоники с порядковым номером μ.
рег
Как показали наши эксперименты и проведенное имитационное математическое моделирование, такое определение положения плоскости П является оптимальным для выполнения условий справедливости геометрооптического приближения с учетом наивысшей гармоники из присутствующих в спектре волнистых деформаций волнового фронта светового пучка на выходе оптической системы и достижения наибольшего контраста неоднородностей в распределении интенсивности светового пучка.
рег
рег
рег
рег
пр
макс
пр
рег
макс
Определив положение плоскости П, регистрируют распределение интенсивности I(ξ,η) светового пучка в координатах (ξ,η) плоскости П. Начало координат в плоскостях П, П, П, П лежит на оси светового пучка. Выбор положения плоскостей П и П от плоскости П либо по ходу пучка, либо в обратном направлении равнозначен и зависит лишь от конструктивных особенностей конкретных схем измерения распределения интенсивностей светового пучка.
рег
С использованием волнового уравнения, описывающего распространение прошедшего оптическую систему и сфокусированного в пространстве изображений светового пучка, в приближении геометрической оптики нами было получено соотношение (1), связывающее деформации волнового фронта светового пучка w(x,y), вызванные волнистостью поверхностей оптической системы, т.е. волнистые деформации волнового фронта, в координатах (х,у) плоскости П с распределением интенсивности светового пучка в плоскости П.
Для реализации способа световой пучок, прошедший оптическую систему, должен быть сфокусирован в пространстве изображений. Если оптическая система не фокусирует сама световой пучок в пространстве изображений, осуществляют его фокусировку с помощью безаберрационных оптических элементов. Подходы к решению этой задачи известны [Э.А. Витриченко. Методы исследования астрономической оптики. М.: Изд-во Наука. 1980. - 152 с.]. Уточним здесь также, что понятие прохождения светового пучка через контролируемую оптическую систему подразумевает как случаи непосредственного прохождения пучка через оптическую систему, так и случаи отражения светового пучка от нее.
Вычисление волнистых деформаций волнового фронта выполняют, используя вариационный метод, основанный на поиске минимума функционала, отвечающего уравнению вида (1). Варианты этого метода (метод Ритца или метод Галеркина) позволяют найти с высокой точностью устойчивые решения уравнений такого типа [Л.В. Канторович, В.И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. М. - Л.: Гос. Изд-во физ. - мат. лит. 1962. - 708 с.].
q
Согласно этому методу решение ищут в виде суммы функций  с неопределенными коэффициентами g, численные значения которых, дающие решение, определяются из условия минимума функционала. Находят минимум при свободных граничных условиях [Л.В. Канторович, В.И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. М. - Л.: Гос. Изд-во физ. - мат. лит. 1962. - 708 с.].
х
у
Аппроксимируют w(x,y) тригонометрическим полиномом, состоящим из суммы членов двумерного ряда Фурье с порядковыми номерами гармоник μ и μ:
Значения коэффициентов в тригонометрическом полиноме определяют из условия минимума функционала, отвечающего уравнению (1) [Л.В. Канторович, В.И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. М. - Л.: Гос. Изд-во физ. - мат. лит. 1962. - 708 с.], откуда следует:
рег
макс
макс
рег
сгл
х
у
макс
х
у
Здесь ƒ(x,y) - это правая часть уравнения (1), т.е. ƒ(х,у)=[L/L⋅(L-L)]⋅ψ(х,у), где ψ(х,у)=ln[I(х,у)/I(х,у)], область интегрирования Σ - есть поперечное сечение пучка. Порядковые номера гармоник μ и μ пробегают диапазон от 1 до максимального значения μ, но при этом члены ряда, для которых оба порядковых номера μ и μ имеют значения, меньшие 10, должны быть исключены из суммы ряда. Последнее обстоятельство связано с тем, что, согласно введенному выше определению, к волнистым деформациям волнового фронта относятся гармоники, имеющие пять периодов искажений и более на радиусе светового пучка (или 10 периодов на диаметре светового пучка D в нашем случае).
В результате применения способа значения деформаций волнового фронта светового пучка определяют в виде распределения значений w(x,y) в координатах (х,у) поперечного сечения светового пучка. Исходя из этого, полученные результаты могут быть представлены различным образом. В числовом виде значения w(x,y) образуют трехмерный массив числовых данных. На его основе можно создать несколько вариантов графического представления полученных значений w(x,y). Этими вариантами являются следующие. Во-первых, представление распределения деформаций волнового фронта в виде полутонового изображения, в котором яркость элемента изображения (пиксела) отвечает величине деформации. В другом варианте распределение деформаций волнового фронта можно представить в виде системы изолиний с заданным шагом между уровнями деформаций волнового фронта. Также распределение деформаций волнового фронта можно представить в виде в виде объемного графика распределения деформаций волнового фронта по поперечному сечению пучка. Помимо этого, из полученных данных можно определить стандартные числовые характеристики волнового фронта, такие как среднеквадратичное значение или расстояние между экстремальными значениями волнистых деформаций волнового фронта в пределах поперечного сечения пучка, и другие характеристики.
Как видно, заявляемый способ достаточно прост в реализации. Математическое соотношение для определения волнистых деформаций волнового фронта светового пучка включает минимальное число параметров, измеряемых экспериментально. Оптическая схема и технические средства, используемые в эксперименте, существенно проще применяемых в способе-прототипе, для реализации которого необходимы трехканальный поляризационный фазосдвигающий делитель с прецизионно сопряженными взаимно ПЗС-камерами на выходе каналов, высокоточный эталон для формирования опорного пучка, одночастотный стабилизированный лазер и т.д. В силу использования в способе некогерентного источника света существенно снижается по сравнению с прототипом влияние вибраций и неоднородных потоков воздуха на точность получаемых результатов. Отсутствуют также шумы в виде спекл-структуры в распределении интенсивности, присущие когерентным источникам света.
ш
ш
δ
δ
ψ
ψ
δ
ψ
δ
мин
2
-1
2
2
2
2
2
Оценим предельную точность измерений деформаций волнового фронта при реализации заявляемого способа. Для этого введем в рассмотрение относительную величину интенсивности пространственного шума на приемной площадке фотоприемника δ=(I/<I>), где I - случайные значения интенсивности шума, а <1> - среднее значение интенсивности в зарегистрированном изображении. Дисперсию этой величины обозначим как σ и при выполнении оценок учтем, что отношение (сигнал/шум), характеризующее качество фотоприемника, определяется величиной (σ). В отсутствие внешних помех шумы в обрабатываемом изображении обусловлены свойствами фотоприемного устройства. В свою очередь, дисперсию значений функции ψ(x,y), характеризующей неоднородности в распределении интенсивности светового пучка в плоскости П и несущей информацию о волнистых деформациях волнового фронта, обозначим σ. Как показало проведенное нами математическое моделирование, относительная погрешность определения величины волнистых деформаций волнового фронта находится в пределах 10%, если дисперсия σ превышает σ в десять и более раз, т.е. σ≥10⋅σ. Исходя из этого, можно оценить наименьшее значение волнистых деформаций w, определяемое с относительной погрешностью в пределах 10%.
Пусть волнистые деформации волнового фронта w(x,y) имеют вид суммы пространственных гармоник с амплитудой Q и числом периодов, укладывающихся на диаметре пучка D, равным m:
рег
макс
макс
рег
2
При расчетах учтем, что для этих гармоник деформаций следует выбирать |L|=4⋅λ(L⋅m/D), поскольку в данном случае μ=m. Наименьшая величина регистрируемой деформации волнового фронта контролируемого пучка будет соответствовать в рамках нашего способа наименьшей величине неоднородностей в распределении интенсивности по сечению пучка I(х,у) с периодом D/m. Подставляя w(x,y) в левую часть уравнения (1) и учитывая приведенное выше соотношение для |L|, после небольших преобразований и упрощений получим уравнение, связывающее в отсутствие шумов величины неоднородностей в распределении интенсивности с параметрами волны деформаций волнового фронта в виде:
2
2
w
Вычисляем дисперсию левой части соотношения (4), что дает нам величину дисперсии волнистых деформаций волнового фронта σ=Q и связанную с ней линейно величину дисперсии
δ
-2.5
Примем, что шумы, обусловленные свойствами фотоприемного устройства, характеризуются среднеквадратичным значением σ=10, отвечающем нижней границе характерных для ПЗС-камер значений сигнал/шум на уровне 50 дБ.
2
2
ψ
δ
мин
мин
Выше отмечалось, что определить волнистые деформации с относительной погрешностью в пределах 10% можно при условии σ≥10⋅σ. Из этого выражения при равенстве его левой и правой части находим соотношение для наименьшего определяемого с погрешностью в пределах 10% значения амплитуды волнистых деформаций волнового фронта w=Q:
δ
мин
мин
wмин
-2.5
Отсюда следует, что при относительном уровне шума σ=10 минимальные определяемые значения волнистых деформаций составляют величину w=Q=σ=λ/1000.
Таким образом, совокупное действие всех признаков изобретения позволяет определить волнистые деформации волнового фронта по всему поперечному сечению светового пучка с высокой точностью, вплоть до уровня значений λ/1000 с относительной погрешностью в пределах 10%, при существенном упрощении эксперимента и уменьшении его трудоемкости.
рег
рег
макс
акс
пр
рег
макс
пр
рег
макс
макс
пр
рег
рег
пр
макс
На фиг. 1 приведена оптическая схема установки для измерения волнистых деформаций волнового фронта светового пучка, вызванных волнистыми деформациями поверхности параболического зеркала, где 1 - некогерентный источник излучения (лампа накаливания);2 - объектив конденсора; 3 - узкополосный светофильтр; 4 - микродиафрагма; 5 - длиннофокусное зеркало коллиматора, 6 - параболическое зеркало; 7 - ПЗС-матрица, регистрирующая распределение интенсивности в поперечном сечении светового пучка. Плоскость П, в системе координат которой определяют волнистые деформации волнового фронта пучка, ортогональна оптической оси светового пучка и соприкасается с оптической поверхностью зеркала 6, плоскость П - плоскость, в которой регистрируют распределение интенсивности I(ξ,η), плоскость П - плоскость, в которой достигает максимального значения 1 м пиковое значение распределения интенсивности излучения в изображениях поперечных сечений светового пучка, перпендикулярных оси светового пучка. Плоскости П, П и П ортогональны оси светового пучка, L, L, L - расстояния от плоскости П до плоскостей П, П и П, соответственно, по оси пучка с учетом правила знаков. Начало координат в плоскостях П, П, П и П лежит на оси светового пучка.
пр
пр
На фиг. 2 представлено зарегистрированное полутоновое изображение поперечного сечения пучка в плоскости П, L=-26 мм.
рег
рег
макс
рег
макс
рег
макс
На фиг. 3 представлено в виде полутонового изображения распределение интенсивности I(х,у) по поперечному сечению пучка, приведенное к координатам в плоскости П путем замены координат в зарегистрированном распределении I(ξ,η) по формулам ξ=х⋅(L/L) и η=у⋅(L/L), где L=-34 мм и L=-997 мм.
На фиг. 4 представлено в виде полутонового изображения распределение значений волнистых деформаций волнового фронта w(x,y) по сечению пучка в плоскости П, полученное в результате применения операций способа из распределения интенсивности I(х,у), приведенного на фиг. 3.
расч
расч
сгл
На фиг. 5А показано распределение значений функции ψ(х,у) в плоскости П, полученное в результате математического моделирования, при котором распределение ψ(х,у) рассчитывалось с использованием уравнения (1), исходя из заданного распределения значений волнистых деформаций волнового фронта w(x,y), представленного на фиг. 4; на фиг. 5Б показано распределение значений функции ψ(х,у)=1n[I(х,у)/I(х,у)] в плоскости П, вычисленное по распределению интенсивности I(х,у), представленному на фиг. 3.
Заявленный способ был экспериментально осуществлен для измерения волнистых деформаций волнового фронта, внесенных внеосевым параболическим зеркалом в световой пучок при отражении от поверхности зеркала. При изготовлении параболического зеркала его поверхность обрабатывалась малоразмерным полировочным инструментом для получения заданного асферического (параболического) профиля.
Измерения волнистых деформаций проводились на созданной экспериментальной установке, оптическая схема которой представлена на фиг. 1.
В фокальном узле коллиматора 5 излучение от лампы накаливания 1 проецируется конденсором 2 на отверстие микродиафрагмы 4 диаметром 100 мкм через узкополосный светофильтр 3 с максимумом пропускания на длине волны 0,67 мкм. Зеркало коллиматора 5 с фокусным расстоянием 7000 мм формирует на выходе коллиматора плоскопараллельный пучок с однородным распределением интенсивности. Сформированный пучок диаметром 160 мм направляют на установленное в рабочем положении внеосевое параболическое зеркало 6 с фокусным расстоянием 1000 мм, вносящее искажения в волновой фронт отраженного от зеркала сферически сходящегося пучка. ПЗС-матрицу 7 автоколлимационным методом выставляют ортогонально оси отраженного от зеркала 6 пучка в области фокусировки излучения.
макс
макс
макс
макс
макс
макс
макс
Затем определяют местоположение плоскости П на оси отраженного от зеркала пучка путем перемещения ПЗС-матрицы вдоль каустики светового пучка, сравнения пиковых значений интенсивности в разных позициях по ходу пучка при помощи стандартных программных средств из комплекта технического обеспечения цифровой ПЗС-матрицы, и фиксации положения ПЗС-матрицы, в котором пиковая интенсивность излучения имеет наибольшее значение I. В найденном положении, т.е. в плоскости П, ПЗС-матрицу, в случае необходимости, дополнительно центрируют относительно пучка. Используя систему отсчета, задаваемую системой координат в плоскости П, в которой начало координат лежит на оси светового пучка, а положительное направление оси аппликат совпадает с направлением распространения светового пучка, измеряют расстояние L от плоскости П до плоскости П. В нашем эксперименте L=-997 мм.
пр
пр
макс
макс
пр
пр
3
2
Определяют положение плоскости П, выбирая расположение этой плоскости на расстоянии |L|=10⋅λ⋅(L/D) от плоскости П против хода пучка, регистрируют в ней распределение интенсивности светового пучка I(u,v), где u и v координаты в плоскости П. В нашем эксперименте L=-26 мм.
пр
сгл
сгл
сгл
пр
i
0
1
j
0
1
1
пр
0
0
пр
На Фиг. 2 представлено изображение поперечного сечения пучка в плоскости П. Отчетливо видны квазипериодические неоднородности в распределении интенсивности пучка. Далее определяют функцию ψ(u,v)=ln[I(u,v)/I(u,v)], где I(u,v) - распределение интенсивности в поперечном сечении пучка, сглаженное методом наименьших квадратов. При этом функцию I(u,v) аппроксимируют суммой полиномов того или иного вида. В нашем случае это был степенной полином второго порядка. При выполнении вычислений функции ψ(u,v) координаты u и v в плоскости П в распределении I(u,v) заменяют на дискретные переменные по формулам u=(i-i)⋅h, v=(j-j)⋅h, где h - размер элемента изображения (пиксела ПЗС-матрицы) в плоскости П, i=0,…М и j=0,…М - индексы нумерации пикселей ПЗС-матрицы, i и j индексы пиксела в центре поперечного сечения пучка, т.е. на его оси, М - число пикселей ПЗС-матрицы, укладывающихся на диаметре изображения поперечного сечения пучка в плоскости П.
i
j
макс
С учетом дискретного характера координатных данных выполняют разложение функции ψ(u,v) в двумерный тригонометрический ряд Фурье. Из полученного двумерного амплитудного спектра гармоник ряда Фурье находят порядковый номер μ=18 наивысшей из гармоник, квадрат амплитуды которой составляет не менее 0,02 от квадрата максимального значения амплитуды в спектре гармоник.
рег
макс
макс
рег
макс
рег
рег
рег
пр
рег
макс
макс
пр
рег
макс
рег
пр
рег
макс
2
Из соотношения |L|=4⋅λ⋅(L⋅μ/D) определяют расстояние |L|, отсчитываемое от плоскости П. В эксперименте было выбрано направление отсчета |L| против хода пучка. Определив положение плоскости П, устанавливают в этом положении ПЗС-матрицу и регистрируют распределение интенсивности I(ξ,η) светового пучка. Уточним здесь, что согласно правилу знаков, расстояния L, L и L между плоскостями П и П, П и П, соответственно, считают положительными, если отсчет ведется от плоскости П по ходу пучка, и отрицательными при отсчете в обратном направлении. В нашем эксперименте L=-34 мм. Измерение расстояний L, L и Lосуществляют общеизвестными измерительными средствами.
рег
рег
рег
макс
сгл
сгл
сгл
На фиг. 3 представлено в виде полутонового изображения распределение интенсивности I(х,у) по поперечному сечению пучка, приведенное к координатам в плоскости П путем замены координат в распределении I(ξ,η) по формулам ξ=х⋅(L/Lмакс) и η=у⋅(L/L). Далее определяют функцию ψ(х,у)=ln[I(х,у)/I(х,у)], где I(х,у) - распределение интенсивности в поперечном сечении пучка, сглаженное методом наименьших квадратов. При выполнении операции сглаживания функция I(х,у) была аппроксимирована двумерным степенным полиномом второго порядка.
k
0
n
0
1
макс
рег
1
рег
При выполнении вычислений функции ψ(х,у) координаты х и у в плоскости П заменяют на дискретные переменные по формулам x=(k-k)⋅h, y=(n-n)⋅h, где h=h⋅|L/L|, a h - размер элемента изображения (пиксела ПЗС-матрицы) в плоскости П, здесь k=0,…N и n=0,…N - индексы нумерации пикселей ПЗС-матрицы, по и ко индексы пиксела в центре поперечного сечения пучка, т.е. на его оси, N - наибольшее целое число, не превышающее величину (D/h), где D - диаметр пучка в плоскости П. Величина h определяет размер дискретного элемента изображения в плоскости П.
При вычислении волнистых деформаций волнового фронта функцию w(x,y) ищут в виде двумерного тригонометрического полинома, который с учетом дискретного характера координатных данных имеет вид:
0
0
рег
макс
макс
рег
0
0
Значения коэффициентов тригонометрического полинома определяют по формулам (3), заменяя операцию интегрирования суммированием по индексам, а функцию ƒ(x,y) на ƒ[h(n-n),h(k-k)]=[L/L⋅(L-L)]⋅ψ[h(n-n),h(k-k)]. Область интегрирования 2 при переходе к дискретным координатам преобразуется в двумерный массив индексов k и n дискретных элементов, составляющих изображение поперечного сечения пучка.
n
k
n
k
n
k
Вычислив коэффициенты полинома, получают распределение значений волнистых деформаций волнового фронта w(x,y) по поперечному сечению пучка. В числовом виде значения w(x,y) образуют трехмерный массив числовых данных. На его основе было выполнено представление распределения деформаций волнового фронта в виде полутонового изображения, в котором яркость дискретного элемента изображения отвечает величине деформации волнового фронта в данной точке изображения пучка. Поскольку и в этом изображении, и в рассматриваемых нами далее полутоновых изображениях, представляющих распределение значений функции ψ(х,у), характерный линейный масштаб изменений яркости, как правило, в десятки раз превышает размер дискретного элемента изображения, то при дальнейшем анализе полученных данных можно пренебречь дискретностью координат и рассматривать полученные распределения как непрерывные функции координат х и у. Полутоновое изображение распределения волнистых деформаций волнового фронта w(x,y) по поперечному сечению пучка представлено на фиг. 4. На фиг. 4 отчетливо видна модуляция яркости изображения, демонстрирующая волнистые деформации волнового фронта.
w
w
На основании полученных данных было рассчитано среднеквадратичное значение волнистых деформаций волнового фронта, которое составило величину σ=2.4 нм, что в долях длины волны света дает σ≈λ/280. Полученное значение подтверждает на практике возможность определения предложенным способом волнистых деформаций волнового фронта на уровне значений в единицы нанометров по всему поперечному сечению пучка.
Проверка правильности решения уравнения (1) выбранным численным методом была выполнена следующим образом. Вычисляют левую часть уравнения (1), т.е.  подставляя в нее двумерный тригонометрический полином вида (5), представляющий собой найденное распределение w(x,y). Приравнивая полученный результат к правой части уравнения (1), расчетным образом определяют распределение значений функции  в плоскости П.
расч
сгл
На фиг. 5А показано полутоновое изображение полученной таким образом функции ψ(х,у). На фиг. 5Б представлено полутоновое изображение функции ψ(x,y)=ln[I(x,y)/I(x,y)] в плоскости П, полученное на основе экспериментальных данных из распределения интенсивности I(х,у), представленного на фиг. 3. Сравнение этих изображений показывает хорошее сходство картин вплоть до деталей распределения неоднородностей интенсивности.
Таким образом, конкретный пример применения способа для определения волнистых деформаций волнового фронта параболического зеркала и результаты математического моделирования предложенного способа подтверждают его основные достоинства: простоту реализации, высокую точность получаемых результатов и снижение трудоемкости процесса измерений.