ВОЗМОЖНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ АТМОСФЕРЫ

НАУЧНЫЕ СТАТЬИ

Гидрометеорология и экология №4 2015

УДК 551.515.532.5.18

Канд. техн. наук И.Г. Гуршев *

ВОЗМОЖНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ АТМОСФЕРЫ

УРАВНЕНИЯ, ПЕСЧАНАЯ БУРЯ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОТОКА ПО ВЕРТИКАЛИ

Рассматривается возможность решения уравнений турбулентного пограничного слоя атмосферы без использования предположений о связи составляющих осреднённых скоростей потока и их пульсаций. Получено распределение скорости потока по вертикали во время песчаной бури при нейтральной термической стратификации в виде линейно-логарифмической функции.

Важность изучения турбулентных течений среды обусловлена их широким распространением в природе и технике. Для описания турбулентности в воздушной среде предполагается, что значения метеорологических величин, например, скорость ветра, могут быть представлены в виде суммы осреднённых во времени величин и их пульсационных значений или пульсаций.

Однако введение в систему уравнений для составляющих скоростей потока пульсационных значений приводит к появлению новых неизвестных слагаемых и к проблеме незамкнутости системы уравнений [3]. В свою очередь поиски решения проблемы замыкания приводят к поискам связей между осреднёнными величинами и их пульсациями.

В связи с существованием проблемы замыкания системы уравнений, по-видимому, возможен отказ от идеи существования связи между осреднёнными и пульсационными движениями среды. Для рассмотрения такой возможности воспользуемся прямоугольной системой координат и системой уравнений из работы Вагера и Надёжиной [3].

Необходимо отметить, что нижеследующие рассуждения проводятся в предположении отсутствия притоков тепла и притоков влаги, и поэтому входящие в систему уравнений [3] соотношения для притока теп-

* г. Санкт-Петербург

ла и притока влаги, в данном случае не рассматриваются. Дополнительно отметим, что далее рассматриваем стационарное турбулентное течение потока, как течение несжимаемой жидкости.

Таким образом, принимаем следующую систему уравнений [3]

du du du 1 dp г d

u--+ u--+ w— =----— + ju +--1 v--+ u u 1 +

dx dy dz p dx dxV dx J

+

d

f

du —;—,

A

dy I dy

+ uu

J

d ( du —f—,

+--1 v--+ w u

dz I dz

du du dw — + — + — = 0, dx dy dz

где u, u, w - компоненты скорости потока по осям OX, OY, OZ ; давление p = const; p - плотность; f - параметр Кориолиса; v - коэффициент кинематической вязкости воздуха; u' , u', w' - пульсации скоростей.

В системе уравнений (1) черта сверху над произведением обозначает среднее значение. Дальнейшие построения проводятся для составляющих скоростей ветра в вертикальной плоскости XOZ . В этом случае полагаем u = 0, u' = 0 . Таким образом получаем такую систему уравнений:

du du 1 dp d ( du —i--.) d u--+ w— =-----1--1 v--+ u u 1 +

dx dz p dx dx V dx

du

dy v dy j

d ( du

1 dp

fu =---it,

p dy

du dw — + — = 0 . dx dz

+ —I v— + w' u' I,

dz V dz J

Умножив обе части уравнения неразрывности (4) на и, и сложив с уравнением (2), получим такую систему уравнений

du duw 1 dp d ( du —:) d - +-=----— + —I v— + u u I +

dx dz p dx dx V dx

f

du

\

dy V dy

1 dp

fu =---if".

p dy

d ( du

+ —I v— + w'u' I.

dz V dz J

Воспользуемся предположением из работы [3] об однородности

метеорологических величин по оси ОУ, т.е., предполагаем — = 0 .

ду

v

В результате получим уравнения

du2 duw 1 dp д ( du —¡—, Л д ( du

dx dz p dx dx \ dx ) dz v dz

+-=----— + —I v— + иU ' 1 + —I v— + w'u' I.

fu =

P дУ

Из условия — = 0 следует, что u(y) = u0 = const.

ду

В этом случае из уравнения (8) получаем равенство

dp г

-~Г = uo-P-f .

ду

Последний результат означает, что изменение давления в перпендикулярном к потоку направлении является постоянной величиной.

Преобразуем уравнение (7), объединяя слагаемые, и получим такое равенство

.2

du —f—, Л д ( du ——Л 1 dp

u -v--uu I+--

dx ) dz

uw - v--w'u' I =----— .

dz ) p dx

д_ дх

Используем равенство (9) для нахождения зависимости и = и(г). В этом случае, в силу независимости координат х и г друг от друга, первое слагаемое в левой части равенства (9) обращается в ноль. Таким образом, имеем уравнение

д ( ди ——Л 1 др ....

uw — V--м и 1 =----— .

дг ) р дх

ди

dz

В уравнении (10) сумма величин им — V--м'и' характеризует

дг

перенос вещества за счет действия осреднённого, турбулентного и молекулярного механизмов перемешивания. Такой совместный механизм перемешивания вещества в турбулентной среде за счёт действия трёх факторов предлагается называть объединенным переносом вещества. Введем в рассмотрение соотношение

ди —¡—, .ди „ ч

им — V--м и = с0Л—,

дг дг

где с0 - безразмерная постоянная; Л - некоторая функция, являющаяся, в общем случае, функцией координат и времени.

Предполагаем, что Л является непрерывной функцией. Так как рассматриваются стационарные процессы, то полагаем независимость функции Л от времени.

Размерность функции Л можно установить с помощью равенства

(11), левая часть которого имеет размерность L2 • T( L , T -соответственно символы размерностей длины и времени). Из равенства

(11) следует, что Л имеет размерность L2 • T-1, так как размерность правой части равенства (11) также должна быть равной L2 • T~2 . По-видимому, параметр Л можно считать коэффициентом объединённого переноса вещества. Допустим, что функция Л зависит от координаты г, т.е. Л = Л(г). Используя равенство (11), получаем такое уравнение

д

дг у дг) р дх

В отношении функции р в уравнении (12) предполагаем, что величина р - функция координаты х, т.е. р = р(х). Таким образом, левая часть равенства (12) является функцией переменной г, а правая, по предположению, есть функция от х . При независимости координат х и г друг от друга соотношение (12) может быть в случае постоянства левой и правой частей

1 др

равенства (12). Таким образом, имеем равенство---= А . Размерность

р дх

постоянной А равна L • Т~2, что можно установить, проводя операции над размерностями входящими в дробь величин. С другой стороны размерность левой части равенства (12) также равна L • Т~2. Значит, имеем равенство

СЛ—1 = А.

ёг у ёг )

Уравнение (13) интегрируется и получается следующий результат

с0Л~ = Аг + В,

ёг

где В - постоянная интегрирования. Размерность постоянной В равна П2 • Т~2. Последнее можно установить, рассматривая соотношение между размерностями членов равенства (14). Представим функцию Л в таком виде

Л

где С1 - постоянная величина.

Необходимо отметить, что размерность величины с1 совпадает с размерностью скорости, так как правая и левая части равенства (15) должны иметь одинаковую размерность L~2  T-1

Использование приведенных предположений позволяет получить такое дифференциальное уравнение

* = +

dz С0С c0ClZ

Интегрируя уравнение (16) находим выражение для функции и(г), т.е.

и{1) = — + — 1п z + F,

C0C1 C0C1

где F - постоянная интегрирования.

Обычно для скорости u принимается условие прилипания воздушного потока (u = 0) на уровне шероховатости (z = z0), т.е. граничное

условие такое: z = z0, u = 0 . Отметим, что параметр шероховатости г0

определяется из опытных данных.

Однако во время песчаных бурь возникает перенос песчаных частиц и поэтому граничное условие необходимо сформулировать с учётом появления переноса песка. В свою очередь перенос песчаных частиц возникает по достижении потоком величины критической скорости uk для частиц песка определённого размера [5]. В этом случае граничное условие может быть таким: z = z0, u = uk

Используя зависимость (17) и граничное условие z = z0, u = 0 , находим выражение

u

C0C1 C0C1 z0

Размерность слагаемых в формуле (18) можно установить по известным размерностям величин А, Б, с1 Множитель - имеет размерность обратную

С0С1

времени, т.е. первое слагаемое в формуле (18) имеет размерность скорости.

Рассмотрим частный случай. Если— = 0, т.е. А = 0, то из уравне-

dx

ния (17) получаем такое равенство

в

п(г) =-1п г + ¥.

С0С1

Использование граничного условия г = 70 , и = 0 даёт ¥ = 0 , ив этом случае имеем такую зависимость

В 7.

и(г ) = 1п— .

С0С1 70

Дополнительно рассмотрим следующее: в равенствах (18)...(20) дробь

в

и1 = — является постоянной величинои и имеет размерность скорости. с1

Предположим, что постоянная и1 является величиной динамической скорости и* потока. Допустим, что безразмерная постоянная с0 равна постоянной Кармана, т.е. с0 = к = 0,4. В этом случае формула (20) совпадает с известной логарифмической зависимостью

и* л 7

и = —1п—.

к 7п

Формула (20) при вышесказанных допущениях и граничном условии 7 = 70, и = ик принимает следующий вид

и* л 7

и - и, = —1п—.

Введём в рассмотрение следующее ёр _ Ар ёх I

где Ар - падение давления по направлению движения потока на произвольно выбранном участке длиной I.

В этом случае формула (18) становится такой

и =

Ур р1кс1

( \ и* 7

(7 - 70Кт^-.

к

Уравнение (24) может быть преобразовано в следующую зависимость

и*Ур( \ и*, 7 и*

и =-(7 - 70)+--1п-=-

и* р1кс к 70 к

ур(7 - 70) + 1п 7 ри*с11 70

г

0

Дробь- является безразмерным соотношением, т.е. сумма слагаемых

рис

в квадратных скобках в формуле (25) - безразмерная величина. Если V», и*, с1 остаются постоянными во время песчаной бури, то вышеупомянутое соотношение - постоянная величина и формула (25) имеет такой вид

и = — к

^. 2 2 - 2^ 1п--+ сот1- 0

2 I

V о 1 у

В работах [1, 2, 4...6] показано, что в случае термически нейтрально стратифицированного двухфазного потока, распределение скорости может быть описано следующей зависимостью

( \ и* и(2 ] = ~кк

Г 2 2^

1п— + Ь—

V 20 Ld У

где Ь - постоянная, Ьа - масштаб длины по Баренблатту-Голицину [1,2, 6].

Полученная зависимость (26) качественно совпадает с приведенной формулой (27).

В работах [4, 5] даётся описание песчаных бурь и измерений скорости потока в условиях безразличной стратификации пограничного слоя. Полученные в полевых условиях результаты измерений по распределению скорости потока в вертикальной плоскости удовлетворительно описываются функцией вида (27).

В заключение отметим, что зависимость (26) переходит в известное логарифмическое распределение скорости потока при V» = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. // Прикладная математика и механика. - 1953. - Т. 17. - Вып. 3.-С. 261-274.

2. Баренблатт Г.И., Голицын Г.С. Локальная структура развитых пыльных бурь. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - 44 с.

3. Вагнер Б.Г., Надёжина Е.Д. Пограничный слой атмосферы в условиях горизонтальной неоднородности. - Л.: Гидрометеоиздат, 1979. - 136 с.

4. Семёнов О.Е. Об ускорении потока во время сильных песчаных и пылевых бурь // Гидрометеорология и экология. - 2000. - №3-4. - С. 23-48.

5. Семёнов О.Е. Введение в экспериментальную метеорологию и климатологию песчаных бурь. - Алматы: ИП Волкова Н.А., 2011. - 580 с.

6. Barenblatt G.I., Golitsyn G.S. Local structure of Matyre Dust Storms // At-mos. Sci. - 1974. - Vol. 31, №7. - P. 1917-1933.

Поступила 20.10.2015

Техн. гылымд. канд. И.Г. Гуршев

АТМОСФЕРАНЬЩ ШЕКАРАЛЬЩ ЦАБАТЫНЫЦ ТЕНД1Г1Н ШЕШУДЕГ1 MYMKIH АМАЛДАР

ТЕЦД1К, Ц¥МДЫ ДАУЫЛ, Т1К АFЫННЫЦ ТАРАЛУ ЖЫЛДАМДЬ^Ы

Атмосфераныц турбуленттж шекара цабатынъщ тецдгггн шешу мYмкiншiлiгi агыннъщ орташаланган жъглдамдыгын жэне олардъщ пульсациясын цурайтын байланысты ескермеген жагдайда царастырылады. К^мды дауыглдагы агынныц тiгiнен таралу жыглдамдыгы бейтарап термиялыц стратификациядагы сызыцтыц-логарифмдiк функциясы тYрiнде аныцталды.