Моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 173-183

ФизикА

УДК 539.375.5: 69.058.8

Моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ

Г. Т. Володин

Аннотация. В работе дано приближенное решение актуальной проблемы разрушения элементов конструкций в виде пластин действием взрыва неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ (ВВ). Найдены условия гарантированного разрушения таких элементов конструкций. Применен энергетический метод Т.М. Саламахина, согласно которому кинетическая энергия, полученная пластиной за время действия взрывной нагрузки, полностью расходуется на работу деформирования пластины. Использован прямой вариационный метод Ритца-Тимошенко.

В отличие от классического метода Бубнова-Галеркина форма упругой поверхности представлена линейной комбинацией относительных коэффициентов аппроксимации с соответствующими координатными функциями. Использованы обобщенные критерии разрушения, учитывающие динамику воздействия на материал конструкции и расположение преграды (элемента конструкции) по отношению к действующему на нее потоку продуктов взрыва. Полученные результаты вычислений согласуются с известными экспериментальными данными.

Ключевые слова: взрывная нагрузка, гарантированное

разрушение, пластины.

Введение

Нахождение условий гарантированного разрушения элементов конструкций в виде балок, пластин, оболочек является актуальной проблемой при проектировании несущих элементов конструкций взрывоопасных производств, определении технических условий при проектировании складов боеприпасов, утилизации крупногабаритных элементов конструкций, при проектировании взрывозащитных инженерных сооружений и др.

При этом соответствующая задача может быть сформулирована двояко:

1. При фиксированной массе заряда конденсированного ВВ, его заданной формы с заданными физическими характеристиками требуется найти такое расположение заряда по отношению к элементу конструкции, чтобы взрыв этого заряда гарантированно (например, с обеспеченностью 0.9973) разрушал элемент конструкции.

2. При фиксированном расположении заряда по отношению к элементу конструкции требуется подобрать такие механические, геометрические и энергетические характеристики заряда, взрыв которого гарантированно разрушает рассматриваемый элемент конструкции.

Под разрушением здесь понимается потеря его несущей способности вследствие появления трещин, сколов, разделений на фрагменты.

Постановка задачи Физическая модель

1. Предполагаем, что рассматривается взрыв сосредоточенного заряда конденсированного ВВ радиуса Го с известными физическими характеристиками.

2. Рассматривается ближняя область взрыва, вследствие чего давлением окружающей среды можно пренебречь по сравнению с давлением в ударной волне и продуктах взрыва.

3. Взрыв происходит в воздухе на некотором фиксированном расстоянии г* от срединной плоскости пластины.

4. Рассматривается пластина прямоугольной формы с размерами а х х Ь, постоянной толщины Ь, малой по сравнению с величинами а и Ь, т.е. рассматриваются пластины средней толщины или, по терминологии Б.Г. Галеркина, тонкие плиты, для которых принимаются классические допущения теории изгиба [1].

5. Рассматривается случай свободного опирания пластины по краям на идеальные (недеформируемые) опоры.

6. Прогибы пластины предполагаются малыми; в процессе деформирования материал пластины ведет себя упруго вплоть до разрушения.

7. Кинетическая энергия, полученная пластиной за время действия взрывной нагрузки, полностью расходуется на работу упругого деформирования пластины вплоть до ее разрушения. При этом разрушение пластины наступает в первом ее амплитудном колебании. Дальнейшие колебания завершают процесс разрушения.

Математическая модель

Используем прямоугольную декартову систему координат, оси Ох и Оу поместим в срединной плоскости пластины параллельно ее сторонам с

размерами а и Ь соответственно. Ось прогибов Ог направим вертикально вниз.

Согласно исследованиям Т.М. Саламахина [2] в процессе взаимодействия продуктов взрыва с преградой на последнюю действует давление

/ Ь\и-1

Р = Рт

где 1

Рт = Ро ^1 - у) • сов2 а,

Ь — время, отсчитываемое от момента столкновения первой частицы потока продуктов взрыва с преградой (пластиной) в точке М (х,у), т — время действия взрывной нагрузки, V — порядок одномерности потока (и = 1, 2, 3

— соответственно для плоской, цилиндрической и сферической симметрий), а — угол падения потока в точку М пластины, г — расстояние от центра заряда до точки М (рис. 1).

Продолжительность действия т давления Р на преграду определяется формулой [3]:

где и0, ш0 — соответственно скорость продуктов взрыва, скорость перемещения поверхности разлета.

У

Рис. 1. Схема действия взрывной нагрузки на пластину

Как отмечено в работе [2], в реальном процессе возмущения вдоль продуктов взрыва перемещаются со скоростью звука а0 в продуктах взрыва, а граница этого возмущения представляет собой фронт волны разрежения.

В рассматриваемой модели голова волны разрежения заменяется гипотетической поверхностью разлета, а скорость звука а0 — гипотетической

1 1

-----1------Ко,

ио Шо

скоростью перемещения поверхности разлета шо. Вычисления значений т для различных ВВ показывают [2], что величины т даже для зарядов ВВ в несколько десятков килограмм не превышают 2 х 10-4 с. Такое кратковременное действие взрывной нагрузки не может быть в полной мере охарактеризовано максимальным значением давления продуктов взрыва. Наряду с этой величиной в общем случае в рассмотрение необходимо вводить продолжительность действия нагрузки т и закон изменения давления с течением времени [2]. Кроме того, следует учитывать, что за время действия взрывной нагрузки перемещения деформируемой преграды бесконечно малы и ее деформирование происходит уже после окончания действия нагрузки.

Введем в рассмотрение интегральную характеристику — удельный импульс

где С = 3 пг0ро — масса заряда ВВ радиуса г0, плотности р0, А0 = и°+^° — параметр, характеризующий данное ВВ, (х*,у*,£*) — координаты точки С, характеризующей расположение заряда по отношению к пластине.

Найдем кинетическую энергию, полученную пластиной за время т действия на нее взрывной нагрузки.

Применим теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:

Проинтегрировав уравнение (6) в интервале времени Ь £ (0,т), получим

шУ - шУо = / Р

./о

В рассматриваемом случае для элемента пластины с!хс1у массы с!ш = = рШхйу имеем У0 = 0, У = и, Р = Рйхйу, где У0, и — соответственно скорость элемента с!хс1у пластины до действия и после действия на него взрывной нагрузки, характеризующейся давлением Р продуктов взрыва, Н толщина пластины, р — плотность материала пластины.

Подставив эти соотношения в уравнение (7), получим выражение для начальной скорости элемента пластины:

Т

\х1 + (х — ж*)2 + (у — у*)2]

й(шУ) = Рйі.

pH

Элементарная кинетическая энергия, полученная элементом пластины с!хс1у, вычисляется по формуле:

(йш) и2 (рНйхйу)  г2 г2 , ,

йЭ = ^----^^------------------ = —- йхйу.

2 2р2Н2 2рН 17

Подставив в (9) выражение (5) для удельного импульса, получим:

А0С 2

2рН [г2 + (х - х*)2 + (у - у*)2]

Кинетическая энергия, полученная всей пластиной за время т действия взрывной нагрузки, определится в виде:

а Ь

Э = АоСМ I /___________________________________

2рк 0 0 іг* + (х - х*)2 + (У - У*)2]А

Обозначим

а Ь

dxdy

0 0 № + (х -х*)2 + (у- у*)2]4

С учетом (12) формула (11) примет вид:

а2с 2 г4

Э = А^^  I.

2 pH к !

Рассмотрим теперь потенциальную энергию, полученную пластиной в результате ее упругого деформирования взрывной нагрузкой. Максимального значения эта энергия достигнет в момент, когда пластина примет форму, соответствующую ее максимальным прогибам.

Таким образом, упругий потенциал пластины определяется формой упругой срединной поверхности и , следовательно, является функционалом [1]:

= 2 О

00 . \ /Я 2

а Ь г - 2 / „о \ 2

/ д2иі \ / д2^'

\ дх2 ) + \ ду2 +

( д2^\ ( д2-ш \ / д w \

^{дХ2) уду2) +2

dxdy,

где О = 12(\—^2) — цилиндрическая жесткость пластины, Н — ее толщина, Е — модуль упругости материала, ц коэффициент Пуассона, ш = ш (х,у) — прогиб точки срединной поверхности.

В выражение (14) для Ш не вошла работа поперечных сил N = —

—О ддх ^ш, N2 = —Б ду У2ш, где У2ш = д? + ду2, так как соответствующие

им сдвиги и ^уг согласно принятой гипотезе прямолинейных элементов, равны нулю [1].

Приравнивая кинетическую энергию (13) к работе деформирования (14), получим

a b

0 0

/ д2 w\ 2 / d2w\ 2 2 ( d2w\ Í д2 w\

\ дх2 J + \ ду2 J + " \ дх2 ) \ ду2 J

+

Í д2w \ 2

+2

dxdy =

A0C 2z 2ph

I.

Из соотношения (15) видно, что масса С заряда фиксированного ВВ, необходимая для гарантированного разрушения пластины, определяется формой упругой поверхности и> = и> (х,у), полученной пластиной в момент ее максимальных прогибов при воздействии на нее взрывной нагрузки, а также расположением заряда относительно пластины и физическими и геометрическими характеристиками пластины в целом.

4

*

Вариационный метод

Используем прямой вариационный метод Ритца-Тимошенко.

Согласно методу аппроксимации Бубнова-Галеркина, систему координатных функций возьмем в виде:

n П

wo гпх , гпу

w

Cij i=1 j=i

i,j=1

где wo — максимальный прогиб пластины, Cij — неизвестные коэффициенты.

Здесь в отличие от указанного классического метода аппроксимации в соотношение (16) введены относительные вариационные коэффициенты. Это связано с тем фактом, что в случае использования классического метода аппроксимации, для которого характерна запись выражения для w = w (x, y) в виде линейной комбинации координатных функций с вариационными коэффициентами, соответствующие преобразования с применением принципа Остроградского-Гамильтона о минимуме упругой потенциальной энергии приводят к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно вариационных коэффициентов Cij, что дает тривиальный результат Cij = 0, и требуются дополнительные ограничения для координатных функций.

Примем n = 2 для соотношения (16), в результате получим

, . w0 ( . nx . ny . nx . 2ny

w (x, y) = ----------------- Cu sin --- sin —--+ Ci2 sin — sin —-—+

cii + C12 + C21 + C22 ^ a b a b

2nx пу 2nx 2пу\ ,

+ С21 Sin -- Sin — + С22 Sin ---- Sin —- .

a b a b )

Координатные функции sin П sin П удовлетворяют граничным

условиям для свободно опертых краев пластины:

при x = 0 и при x = a, w = 0, |Xf + p ^ = 0 1

при у = 0 и при у = b, w = 0, dyW + РШ =0

Подставив выражение (17) для предполагаемого прогиба в функционал

(15), получим функцию n(c11,c12,c21,c22) следующего вида:

П D WQ-n4 ab

2 (с 11 + С12 + С21 + С22)2 4

0¡+¿)С21 +(a2+D с‘2+

+ | a2 + р) С21 + (a2 + bO С22

Согласно принципу Остроградского-Гамильтона, наиболее близкой к действительной будет та форма упругой поверхности, для которой упругая энергия деформирования имеет минимальное значение, что приводит к системе уравнений:

Ш _______ . .

dc- = °, М = 1,2.

Система уравнений (20) приводит к соотношениям:

c12 ^402+b^J cn’ c21 =

С учетом (21) выражение для упругой поверхности (17) запишем в виде:

, wo / nx пу nx 2пу

w (x, у) = — sin — sin ——+ a1 sin — sin ——+

ao \ a b a b

2nx пу 1 2nx 2пу \ , .

a2 sin------sin ——|----sin--sin —-— ,

a b 16 a b J

где

(a2 + b2 \2 (a2 + b2 \2 17

a1 = {402+12) , a2= iat+w) , ao =a1+a2 + 16•

Подставив значения коэффициентов из (21) в (19), найдем:

п = n4Dw¡2

8aoa3b3 ,

С учетом (24) соотношение (15) запишем в виде n4Dw02 (a2 + b2)2 A2C2z*4

I,

8aoa3b3 2ph

Таким образом, равенство (25) определяет связь между кинетической энергией, полученной пластиной за время действия взрывной нагрузки, и максимальным прогибом w пластины.

Чтобы указанный максимальный прогиб пластины приводил ее к гарантированному разрушению, необходимо выполнение условий разрушения. Воспользуемся критерием разрушения, предложенным П.П. Баландиным [5], который подвергался экспериментальной проверке для ряда материалов и дал хорошие результаты [6].

Для чистого изгиба пластины указанный критерий, обобщенный на случай динамических воздействий, имеет вид:

аХ + а2у - ахау = а2,

где а* = к0*ц35*3, k0* — коэффициент на гарантированное разрушение, определяющий запас прочности на возможное отклонение прочности материала пластины вышенормативной, Ц3 — коэффициент динамичности материала, 5*3 — предел прочности материала пластины [7].

Учитывая известные соотношения для пластин

Ez (d2w d2w ) . .

ах = - 1-72

Ez

ау = -1—дЦ sy2 + Цдх^) '

а также тот факт, что максимальные значения абсолютных величин этих напряжений наблюдаются при z = ± ^, т.е. на внешних поверхностях пластины, критерий разрушения (26) запишем в виде:

E2h2 2

—— 2)2 и = а*,

где и = (ml + m2) + (3imim2, f3\ = ц2 - ц + 1, в2 = -Ц2 + —Ц - 1,

д2w w0n2 . w0 п2 .

mi = —у =-------2 • Ai, m2 =----у  A3,

дх2 a0a2 a0b2

Ai = Б171 + ai^i 72 + 4a2^27i + 1B2Y2,

A2 = B3Yi + aiB3 72 + 8a2B4Yi + 1B4Y2,

A3 = BiYi + 4aiBiY2 + a2B2Yi + 1B2Y2,

B1 = sin B2 = sin2n{, B3 = cos B4 = cos2n{,

71 = sin пп, Y2 = sin2nn, £ = f, П = b, Р ~ коэффициент Пуассона. Вводя обозначения

Л = b,

a

получим

А* = ^1 ( А\ + "Л4 А3

wgn4 W = 2a4 ' А*‘

+ в2

А1А2

aga1

С учетом (30) из (29) определим максимальный прогиб Wo, который приводит к гарантированному разрушению пластины:

2(1 - ц2') аоа2а*

w0 =

п2ЕЬ\[А~*

(Н — толщина пластины, Е — модуль упругости материала пластины).

Отметим, что максимальный прогиб Wo пластины наблюдается в точке Мо (хо,Уо), в которой выполняются необходимые условия локального

экстремума:

дw дw , .

дХ = 0 дУ = 0

дХ Мо ду Мо

Итак, прогиб величиной wo, определяемый формулой (31) приводит к гарантированному разрушению пластины.

Найдем теперь величину С заряда конденсированного ВВ, необходимого для гарантированного разрушения пластины. Для этого подставим

выражение для максимального прогиба Wo из (31) в соотношение (25).

В результате получим

C =

n2h2w0 (1 + Л2) 4ЛaAo z2

Ер

3 (1 — i2) a0ЛІ'

По найденным формулам проведены многочисленные вычисления для прямоугольных пластин из разных материалов и с различными соотношениями сторон. Результаты этих вычислений согласуются с известными экспериментальными данными.

В качестве примера в таблице представлены результаты расчетов по найденным формулам изгиба пластин, изготовленных из стали и бетона в режиме упругого деформирования вплоть до разрушения. Из данных таблицы видна связь между механическими, физическими, геометрическими характеристиками материала пластины и заряда конденсированного ВВ (в данном случае рассматривался литой тротил с плотностью ро = 1620 кг/м3 для сосредоточенного заряда радиуса г0), а также его расположением относительно пластины.

00

ю

Таблица результатов вычислений для стальных и бетонных пластин

.25 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.33 75 7800 21 .01 .5 .1133 1.470 .0601

.3 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.33 75 7800 21 .01 .5 .1156 1.523 .0611

.25 .5 .5 .5 .3474 .4372 1 1.67 1.33 75 7800 21 .01 .5 .1706 1.815 .0644

.25 2 .5 .5 .4372 .3474 1 1.67 1.33 75 7800 21 .01 .5 .1722 1.832 .0646

.25 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.33 75 7800 21 .01 .25 .1133 .7025 .0469

.25 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.33 75 7800 21 .01 .2 .1133 .5610 .0436

.25 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.24 101 7800 21 .01 .5 .1422 1.8463 .0648

.25 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.24 101 7800 21 .01 .25 .1422 .8820 .05065

.25 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.24 101 7800 21 .01 .2 .1422 .7044 .0470

.2 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.14 110.5 7800 21 .01 .2 .1395 .6828 .04651

.2 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.14 110.5 7800 21 .01 .25 .1395 .8550 .05013

.2 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.67 1.14 110.5 7800 21 .01 .5 .1395 1.790 .06413

.2 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.7 1.8 3.5 1800 3.8 .018 .5 .0022 1.852 .06487

.2 1 .5 .5 .404 .404 1 1 1.7 1.8 4.4 1800 4.1 .018 .5 .0025 2.2415 .06913

.25 2/3 .5 .5 .3712 .4266 3 2 1.7 1.8 .42 1600 2.9 .018 .5 .0019 1.8412 .06474

.25 2/3 .5 .5 .4266 .3712 3 2 1.7 1.8 .12 1600 2.7 .018 .5 .0023 1.9082 .0655

Г. Т. Володин

Список литературы

1. Филоненно-Бородич М.М. Теория упругости. М.: ГИФМЛ, 1959. 364 с.

2. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.

3. Саламахин Т.М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961. 275 с.

4. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч.2. Динамика систем материальных точек. М.: Наука, 1966. 322 с.

5. Баландин П.П. К вопросу о гипотезах прочности // Вестник инженеров и техников. 1937. №1. C.19-24.

6. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 192 с.

7. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Часть II. Взрывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций. Тула: Левша, 2005. 160 с.

Володин Геннадий Тимофеевич (g.volodin@yandex.ru), д.т.н., профессор, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Modelling of assured destruction of plates by noncontact changes explosion of concerned high explosives

G. T. Volodin

Abstract. Work has approximate solution of actual problem of construction elements destruction in the form of plates by effect of explosion of noncontact charges of concerned high explosives. Conditions of assured destruction such construction elements were founded. Energy method by T.M. Salamakhin was used, according to which vis viva received by plate over the time of explosive load effect is entirely spent on operation of warping the plate. Direct Ritz-Timoshenko variation method was used in contrast to classical Bubnov-Galerkin method. Calculation results coordinate with experimental data.

Keywords: explosive load, assured destruction, plate.

Volodin Gennady (g.volodin@yandex.ru), doctor of technical sciences, professor, department of mathematical analysis, Tula State University.

Поступила 12.01.2012