Устойчивость и бифуркации волнообразных решений для одного функционально-дифференциального уравнения

Известия Института математики и информатики УдГУ

2015. Вып. 2

УДК 517.956.4, 51-73

© А. М. Ковалева, А. Н. Куликов, Д. А. Куликов

УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ ВОЛНООБРАЗНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ1

Рассматривается периодическая краевая задача для нелинейного функционально-дифференциального уравнения, которое называют нелокальным уравнением эрозии. Изучен случай малого отклонения для пространственной переменной. Продемонстрирована возможность бифуркаций пространственно неоднородных решений, для которых получены асимптотические формулы, и изучен вопрос об их устойчивости. Результаты получены на базе применения методов теории бифуркаций.

Ключевые слова: нелокальная модель эрозии, нормальные формы, устойчивость, бифуркации, асимптотика.

Введение

В работе рассматривается нелинейное уравнение с частными производными с отклоняющимся аргументом, которое предложено в качестве математической модели процесса формирования различных типов рельефа на поверхности плоской мишени при ее бомбардировке потоком ионов [1-3]. Следует отметить, что эта математическая модель в определенной степени дополняет известную математическую модель Бредли-Харпера [4], так как при их выводе используют одну и ту же классическую теорию П. Зигмунда [5] о взаимодействии потоков заряженных частиц с твердым телом.

Приведем уравнение нелокальной эрозии в перенормированном виде [1-3], хотя уместно обратить внимание на то обстоятельство, что для перенормировок возможны различные варианты. Итак, далее будем рассматривать уравнение

ut = auxx - cwx + b

где u = u(t, x) — нормированное отклонение от плоского фронта мишени, w = u(t,x - h), h € R. Коэффициенты a, b, c, bi ,b2, Ьз характеризуют условия, при которых происходит обработка мишени. Они зависят от угла В между направляющей потока ионов и нормалью к недсформированной поверхности. При этом a > 0. Коэффициент a = a(J, В), и при фиксированном В данная функция убывает при возрастании J. Уравнение (0.1) будем рассматривать вместе с периодическими краевыми условиями. С учетом нормировок можно считать, что при всех x, t > 0

u

u

ние u(t,x) = const. Более того, она инвариантна относительно замены u(t,x) ^ u(t,x) + const. Поэтому далее будем рассматривать решение в окрестности нулевого состояния равнове-

u(t, x) = const,

может быть заменена на окрестность нулевого решения. С физической точки зрения замена u(t, x) ^ u(t, x) + const означает замену системы координат.

Для изучения вопроса, связанного с описанием структуры окрестности нулевого CP, краевую задачу (0.1), (0.2) следует дополнить начальными условиями

u

Будем считать, что f (x) € где через обозначим пространство, состоящее из 2п периодических функций f (x) € L(0,2п), v которых существуют обобщенные производные f '(x),f "(x) € ¿2(0, 2п). Устойчивость в нашем случае будем понимать в смысле нормы про-И22 И22

1Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации (№ МК-5932.2015.1).

II/ 11я| = II/ 11ь2(0,2п) + \\1'\\ь2{0,2п) + 11/"Уь2(0,2п)'

11/11ь2(0,27г) = У^/ Ж Р{Х)(1Х.

Наконец, пространственное отклонение Н мы будем считать малым, то есть Н ^ 1. Без нарушения общности можно считать, что Н > 0. Случай Н < 0 может быть сведен к первому заменой х ^ —ж. При этом, конечно, меняется знак коэффициента с. Подчеркнем, что коэффициенты а, Ь положительны.

§ 1. Условия устойчивости однородных состояний равновесий

Для исследования устойчивости нулевого СР рассмотрим вспомогательную краевую задачу, которая возникает после линеаризации краевой задачи (0.1), (0.2) в окрестности тривиального СР. В результате получим линейную краевую задачу

щ = А

где линейный дифференциальный оператор

А

Область определения Л ДО состоит из достаточно гладких 2п периодических функций. Найдем его собственные значения (СЗ). Положим у (ж) = Уп(х) = ехр(тх), где п € 2 (множеству целых чисел). В результате получаем, что

Лп = тп + гап, тп = —ап2 + Ь(1 — еов(пН)) — сп8т(пН), ап = Ь8т(пН) — спеов(пН).

Ясно, что Ло = 0 (то = &о = 0). Если окажется, что для всех п = 0 выполнено неравенство тп ^ 0, то нулевое решение краевой задачи (0.1), (0.2) устойчиво (оно не может быть асимпто-

тп < 0 Лп п = 0.

Пусть Тк > 0 при некотором к. Тогда нулевое СР краевой задачи (1.1) неустойчиво. При а ^ 1 выполнено неравенство тп < 0. Если же а = 0, то последовательность тп меняет знак.

а

1) тп ^ 0 при всех п; 2) тт = 0 при т = 0.

а=а

аа а

Пусть при некоторых т = 0 справедливо тт = 0. Ясно, что т-т = тт = 0. Пусть дополнительно известно, что реализуется критический случай в задаче об устойчивости. Тогда равенство тт = 0 может быть переписано в эквивалентной форме

Ь

Из этих рассуждений вытекает, что

Ь

аКр = тах^п, фп =-5-,

п=0 п2

если такой положительный максимум существует.

Из формулы для фп видно, что ф-п = фп. Поэтому при изучении вопроса об определении акр достаточно ограничиться разбором той ситуации, когда п € N (множеству натуральных чисел). Итак, рассмотрим последовательность фп, где п € N. Нетрудно заметить, что при всех п

Рис. 1

то есть она ограничена. Более того, lim фп = 0. Поэтому последовательность фп заведомо

п—^^о

имеет наибольший и наименьший элементы и ако определяется, если max фп > 0.

к neN

Можно указать некоторые частные случаи выбора коэффициентов Ь и с, когдa max фп мож-

neN

но найти достаточно просто и практически в явном виде. Случай 1. Пусть Ь = 0 с > 0, то есть

sin

Фп = "С-•

n

Рассмотрим вспомогательную функцию

ЛЫ =ye[h,oo). У

Ясно, что фп = — ch fi(nh). Необходимые условия экстремума для f1(y) выполнены в точках y^, где fi(yk) = 0 При этом yk следует искать как положительные корни уравнения

У = tg y.

Последнее уравнение имеет счетный набор положительных корней yi, y2, уз,____На рисунке 1 это проиллюстрировано. На нем отмечены несколько первых точек пересечения графиков функций z = y,z = tg y. Для положительных корней характеристического уравнения y = tg y справедливо включение

Уке d+7r(fe-i),| + 7rfe), к = 1,2,....

При этом, уравнение y = tg y может быть решено численно. Для локализации корней был использован метод деления отрезка пополам. Оказалось, что

yi = 4.49, y2 = 7.73.

Результаты приведены с точностью до двух знаков после запятой.

Пусть yk — корень данного уравнения. Тогда справедливо равенство

lfi(y*)1 = I cos yk| = (1 + у2)-1/2.

Действительно,

i ff W lsín У к i

1ЛЫ1 = —, yk

но Ук = tgУк- Поэтому I fi(yк)| = I cos Ук\. С другой стороны, sin2 Ук + cos2 Ук = 1, a sinУк = = Ук cos Ук. Откуда выводим обсуждаемое здесь равенство. Следовательно,

и, кроме того, последовательность ) монотонно убывает с ростом к. Поэтому функция Д(у) имеет при с > 0 положительный максимум в точке у = у 1. Положим теперь т = |_У1 /п\. Из предшествующих вычислений вытекает, что последовательность фп достигает положительного максимума, если п = ии п = т + 1. В иной форме запишем

в т

крч = СП -

та

или

, 8т((т + 1)П) а^ = "сЬ (т + 1) /г • Истинное акр = шах(акр 1 2}. Отметим, что при акр = акр 1 ЛДО Л1 = Л(акр 1) имеет СЗ

Лт,-т = ^т = -ст (Х^тЬ),

Л1

ством

И,е Лп ^ —7 < 0 (п = т, -т). При акр = акр2 ЛДО Л2 = Л(акр2) имеет следующие СЗ:

Лт+1,-(т+1) = ±гат+1, ат+1 = —с(т + 1) ео8((т + 1)Ь),

а остальные СЗ лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости. Особый случай реализуется, если акр 1 = акр2 = акр. Тогда у ЛДО Л(акр) на мнимой оси лежат две пары чисто мнимых СЗ:

Лт,-т = ^Ст, Лт+1,-(т+1) = ±^т+1-

Такой вариант реализуется за счет специального выбора Ь = Ь* (Ь* « 2у1/(2т + 1)). Далее такой выбор Ь = Ь* не будем рассматривать.

Случай 2. Пусть Ь = 0 с < 0. В таком случае повторяются все построения из предыдущего у1

tg у = у, то есть у2.

Случай 3. Пусть с = 0 Ь > 0. Тогда

, 1 — еов

Фп = Ъ-п = 1,2,....

п2

Рассмотрим функцию

/2(У)=1~ТУ> Фп = Ък2Нпк). у2

Понятно, что необходимые условия экстремума реализуются в точке у3, где у3 — корни уравнения

т = У^У-^-^У) = 0

Соответственно, корни последнего уравнения можно найти из двух следующих вспомогательных уравнений:

В результате получаем две группы корней:

а) ук = 2пк, к € N; Ь) у3 = 2^,

где Пв — корни знакомого уравнения п = tg п (см- случай 1).

Сразу отметим, что корни группы а) не подходят, так как /2

разборе случая 1, но с той разницви, что подходягции корень у 1 ^ 8.98 вдвое больше корня, найденного при анализе случая 1. В результате доказано утверждение.

Теорема 1.1. Пусть а ^ акр, тогда решения линейной кра,евой задачи (1.1) устойчиво в смысле нормы фазового пространства решений этой задачи (И| в нашем случае). При а < акр происходит, потеря их устойчивости.

Подчеркнем еще раз, что при а = акр в ситуации общего положения (Н = Н*) Л ДО А = Л(акр) имеет пару чисто мнимых корней Л = ±га, где а = ат = —ст cos(mh), т € М, а т — номер максимального элемента последовательности фп. Соответствующие собственные функции (СФ) равны exp(±гmx).

Прежде чем перейдем к анализу нелинейной краевой задачи (0.1), (0.2), отметим, что она входит в класс абстрактных параболических уравнений, рассмотренных в работе [6]. Если функция f (х) € И|, то согласно результатам этой работы смешанная задача (0.1)—(0.3) [6]

А

ся производящим оператором аналитической полугруппы ограниченных линейных операторов (см., например, [7]).

§ 2. Построение нормальной формы

Рассмотрим нелинейную краевую задачу (0.1), (0.2) при а = акр(1 — 7е), где 7 = ±1, е € (0,е0) то есть е играет роль малого параметра. Положим А (в) = А(акр + 7е). В ситуации общего положения этот ЛДО имеет пару следующих СЗ:

Л12(е) = т(е) ± га(е),

отвечающих СФ exp(±гmx), где т € N, и этот параметр был выбран в предыдущем разделе. При этом простые вычисления показывают, что

т(е) = ^т2е, а(е) = а = —ст cos(mh).

Следовательно, т(0) = 0, а

/ _ &г{ё)

7m2 > 0.

£=0

В результате, в чем нетрудно убедиться (см., например, [8,9]), реализуются все условия, при которых применима широко известная теорема Андронова-Хопфа. Последнее означает, что в ситуации общего положения анализ структуры окрестности нулевого СР может быть сведен к анализу нормальной формы (НФ) Пуанкаре-Дюлака. В нашем случае ее укороченный вариант имеет следующий вид:

z = z[g + (li + ¿¿2) |z|2 },

где z = z(s), g = aKpm27, s = £t, h,l2 € R и подлежат определению в процессе реализации алгоритма построения НФ [10-11].

Следуя этому алгоритму, решение краевой задачи (0.1), (0.2) при выбранных значениях a (a = aKp(1 — y£)) будем искать в виде суммы

u

w(t, x, s, £) = u(t, x — h,s, £),

где s = £t, достаточно гладкие функции u,j(t, x, s) удовлетворяют краевым условиям (0.2), а по переменной t имеют период 2n/am. Наконец, w(t,x,s,£) = u(t,x — h,s,£).

Заметим, что в этом разделе мы фактически выбрали n = m. Напомним, что возможен случай, когда n = m + 1 (см. § 1). Тогда во всех дадьнейших построениях следует заменить m на m + 1, в том числе и в ответах.

После подстановки суммы (2.1) в (0.1), приравнивая коэффициенты при одинаковых сте-£

ди1 д2 и1 дш1 ^ =

и1 (Ъ, х + 2п) = и1 (Ъ, х), д<р ди2 д2 и2 дш2 дш^ (дш

<~л , - ^КО <~л О С

, , . , , . д-1 /д^1 + Ь(и2 - ги2) + ЬЦ«! - + I

2

' сМ кр дх2 " <9ж ' I с)х ' \ дх ) '

и2(Ъ, х + 2п) = и2(Ъ, х),

диз д2 из д-шз д2 и1

-^Г = акр^г - с—--Ь Ь{и3 - ги3) - а^^гт +

дъ дх3 дх дх2

Положим

, , чд-2 , , , д-1

+ Ь^щ - + "Н^2 ~ П,2'~дх +

дш1 д-2 , , \{дш1\2.г, (дш^ 3

+ 262—-----1- 6з(м1 — гух) —— 64 I —

дх дх дх дх

и3(Ъ,х + 2п) = и3(Ъ,х).

щ = в, е) = г (в) ехр(гтх + г<тт£) + г (в) ехр(—гтх — гат^.

а , и1

Анализ неоднородной краевой задачи (2.3) показывает, что она разрешима в классе 2п/ат периодических по переменной Ъ функций, если выполнено равенство

<р' = т[2Ъ2т + гЪ\{к - к)}\г\2,

где к = ехр(—гтЬ). В иной форме записи имеем, что

<р' = 2т[Ь2т + Ь1 8т(тЬ)] |х|2.

При этом оказалось, что подходящее решение краевой задачи

и2 = и2{Ь, з, е) = г]г2(з) ехр(2гтж + 2г<гт£) + Щ2(з) ехр(—2гтх — 2г<гт£),

гкт{ 1 — к)Ь\ — к2т2Ъ2 ^ 2гат + 4т2акр + 2 гстк2

На следующем шаге при реализации данного алгоритма построения НФ следует рассмотреть неоднородную краевую задачу (2.4). Из условий ее разрешимости получаем уравнение для определения г = г (в):

г' = дг + (11 + ¿¿2)г|г|2,

где, в частности, д = аЩ)т27, то есть д > 0 при 7 > 0 и, напротив, д < 0 при 7 < 0. Для г получаем сопряженное уравнение.

Итак, в результате анализа неоднородных краевых задач (2.3), (2.4) получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, НФ в общепринятой терминологии:

/ о / о

г = дг + (11 + И2)г\г\ , ~2 = д~х + {I\ — И2)~г\г\ .

Подчеркнем, что постоянные ц, д, 11,12 могут быть найдены из условий разрешимости в классе Ъ периодических с пер иодом 2п/ат функций.

Замечание 1. Напомним, что неоднородная краевая задача

V = аКрг>яж — с(ун)х + Ь(у — ун) + ^(Ъ, х), «(Ъ, х + 2п) = «(Ъ, х),

где wh = w(t, x — h), F(t, x) — достаточно гладкая периодическая функция, для которой

F(t, x + 2п) = F(t, x), F(t + 2n/jm, x) = F(t, x) имеет t периодическое решение с периодом 2n/jm, если [11-12]

/ F(t,x)dx = 0,1 / F(t, x)exp(±ix ± i(2n/jm)t)dxdt = 0.

J 0 ./о Jo

Аналогичные условия для v(t,x) выделяют одно подходящее решение.

В нашем случае применение условий разрешимости к неоднородной краевой задаче (2.4) показывает, что

h + ih = biim(2k2 — к — k)rj + 4b2m2kr] + Ьзт2(—к2 — к + 2) + 3&4¿m3fc, к = exp(—írrih).

Анализ достаточно громоздкого выражения для d показал, что d может принимать значение любого знака.

Для убедительности можно привести пример. Пусть b\ = = Ьз = 0 b4 = 0. Тогда после упрощений получаем, что

3Ь4У3 sin yi 3b4y3 cos yi

h- ^з > b- p •

При получении данного приближенного равенства использовалось обстоятельство, что mh & Уь и, следовательно, cos mh & cos y1 = —0.22 sin mh & siny1 = —0.95 (y1 = 4.49). Все численные результаты приведены с точностью до двух знаков после запятой. Из последней формулы для h видно, что она может принимать любой знак. Так,

11 & — 85.99(b4/h3) < 0, если b4 > 0, ah > 0, если b4 < 0.

Положим

z

После подстановки (2.6) в систему (2.5) и выделения вещественных и мнимых частей получаем, что в новых переменных система (2.5) приобретает вид

ш' = qp2, ш' = 12р2,

, 3

р = др + hp .

p

иметь следующее ненулевое CP:

"-ft-

Такое CP существует, когда gh < 0. Данное решение устойчиво, если h < 0, и неустойчиво, если h > 0.

Лемма 2.1. При h < 0 система дифференциальных уравнении (2.7) имеет устойчивое решение

<p(s) = qp s + <ро, w(s) = l2p s + wo, p= у

Перенося результаты на исходную краевую задачу (0.1), (0.2), можно сформулировать следующее утверждение (см. замену (2.1)).

Теорема 2.1. Существует такое е0 > 0, что при всех е € (0, ео) рассмотренная краевая задача, (0.1), (0.2) щи a = акр(1 — ej) имеет решение

u(t,x,e) =

-fu + од

l1

+ v(t, x, e),

v(t, x, e) = e1/2 J—J- [ехр(гтж + ia(e)t) + exp(—imx — ia(e)t)] + g l1

+ e(-j-) [r]exp(2imx + 2ia(e)t) + r?exp(-2imx - 2ia(e)t)] + 0(e3/2), l1

где а(е) = am — egl2/li + o(e). Данное решение существует, если lig < 0; и наследует устойчивость цикла, из леммы 2.1. Решения, указанные в ра,м,ка,х теоремы 2.1, называют, периодическими решениями второго рода.

Доказательство аналогичного утверждения можно найти в работах [10-12]. § 3. Заключение

В работе показано, что при a < aKp, то есть при превышении интенсивностью потока некоторого порогового значения JKp, возникают пространственно неоднородные решения. Они описывают неоднородный волновой рельеф, полученный в результате процесса обработки потоком ионов плоской мишени.

Подчеркнем, что выбираемая мода Ш\ = yi/h\ ми m2 = mi + 1. Иногда mi = [—y2/h\, m2 = mi + 1, где yi, y2 — корни характеристического уравнения. Отсюда ясно, что mi(m2) достаточно велико, если h ^ 1 (вполне естественный вариант с физической точки зрения). Поэтому неоднородный волновой рельеф (см. формулу для u(t,x,e) из теоремы 2.1) имеет достаточно малую длину волны, что важно с точки зрения приложений в микроэлектронике (наноэлектронике).

Большая часть результатов была доложена на конференции «Теория управления и математическое моделирование», посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, 2015 г.).

Список литературы

1. Рудый А.С., Бачурин В.И. Пространственно нелокальная модель эрозии поверхности ионной бомбардировкой // Известия Российской академии наук. Серия Физическая. 2008. Т. 72. № 5. С. 622-627.

2. Рудый А.С., Куликов А.Н., Куликов Д.А., Метлицкая А.В. Высокомодовые волновые рельефы в рамках пространственно-нелокальной модели эрозии // Микроэлектроника. 2014. Т. 43. №4. С. 282-288. DOI: 10.7868/S0544126914040103

3. Рудый А.С., Куликов А.Н., Метлицкая А.В. Моделирование процессов формирования наноструктур при распылении поверхности ионной бомбардировкой // Микроэлектроника. 2011. Т. 40. №2. С. 109-118.

4. Bradley R.M., Harper J.M.E. Theory of ripple topography induced by ion bombardment // J. Vac. Sci. Technol. A. 1988. Vol. 6. №4. P. 2390-2395. DOI: 10.1116/1.575561

5. Sigmund P. Theory of sputtering. I. Sputtering yield of amorphous and polycrystalline targets // Phys. Rev. 1969. Vol. 184. №2. C. 383-416. DOI: 10.1103/PhysRev. 184.383

6. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Труды Московского математического общества. 1961. Т. 10. С. 297-350.

7. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

8. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.

9. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

10. Куликов А.Н., Куликов Д. А. Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. №5. С. 930-945.

11. Куликов Д.А. Неоднородные диссипативные структуры в задаче о формировании нанорельефа // Динамические системы. 2012. Т. 2(30). №3-4. (7259 272.

12. Kulikov D.A. Spatially ingomogeneous dissipative structures in a periodic boundary-value problem for nonlocal érosion équation // Journal of Mathematical Sciences. 2015. Vol. 205. №6. P. 791-805.

DOI: 10.1007/ sl0958-015-2284-x

Поступила в редакцию 14.10.2015

Ковалева Анастасия Михайловна, аспирант, кафедра дифференциальных уравнений, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000, Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14. E-mail: nyama55@yandex.ru

Куликов Анатолий Николаевич, доцент, кафедра дифференциальных уравнений, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000, Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14. E-mail: anat kulikov@mail.ru

Куликов Дмитрий Анатольевич, доцент, кафедра дифференциальных уравнений, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000, Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14. E-mail: kulikov_d_a@mail.ru

A.M. Kovaleva, A.N. Kulikov, D.A. Kulikov

Stability and bifurcations of undulate solutions for one functional-differential equation

Keywords: nonlocal model of erosion, normal forms, stability, bifurcations, asymptotic formulas. MSC: 34K18, 34K19, 34K20

A periodic boundary-value problem for one nonlinear functional-differential equation is considered. This equation is well known as the nonlocal erosion equation. The case of small spatial deviation is studied. The possibility of the bifurcations for the spatial nonhomogeneous solutions is demonstrated. For these solutions, the asymptotical formulas are obtained and the stability is studied. All results are obtained with the help of the bifurcation theory.

REFERENCES

1. Rudy A.S., Bachurin V.I. Spatially nonlocal model of surface erosion by ion bombardment, Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics, 2008, vol. 72, no. 5, pp. 586-591.

DOI: 10.3103/S1062873808050043

2. Rudyi A.S., Kulikov A.N., Kulikov D.A., Metlitskaya A.V. High-mode wave relief in a spatially nonlocal erosion model, Russian Microelectronics, 2014, vol. 43, no. 4, pp. 277-283.

DOI: 10.1134/S1063739714040106

3. Rudyi A.S., Kulikov A.N., Metlitskaya A.V. Simulation of formation of nanostructures during sputtering of the surface by ion bombardment, Russian Microelectronics, 2011, vol. 40, no. 2, pp. 98-107.

DOI: 10.1134/S1063739711020089

4. Bradley R.M., Harper J.M.E. Theory of ripple topography induced by ion bombardment, J. Vac. Sci. Technol. A, 1988, vol. 6, no. 4, pp. 2390-2395. DOI: 10.1116/1.575561

5. Sigmund P. Theory of sputtering. I. Sputtering yield of amorphous and polycrystalline targets, Phys. Rev., 1969, vol. 184, no. 2, pp. 383-416. DOI: 10.1103/PhysRev.184.383

6. Sobolevskii P.E. Equations of parabolic type in a Banach space, Tr. Mosk. Mat. Obs., 1961, vol. 10, pp. 297-350.

7. Krein S.G. Linear equations in Banach spaces, Birkhauser Boston, 1982, XII+106 p. Original Russian text published in Krein S.G. Lineinye differentsial'nye uravneniya v banakhovom prostranstve, Moscow: Nauka, 1967, 464 p.

8. Marsden J.E., McCracken M. The Hopf bifurcation and its applications, New York: Springer-Verlag, 1976, 408 p. Translated under the title Bifurkatsiya rozhdeniya tsikla i ee prilozheniya, Moscow: Mir, 1980, 368 p.

9. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag: New York, 1983, 462 p. Translated under the title Nelineinye kolebaniya, dinamicheskie sistemy i bifurkatsii vektornykh polei, Moscow-Izhevsk: Institute of Computer Science, 2002, 560 p.

10. Kulikov A.N., Kulikov D.A. Formation of wavy nanostructures on the surface of flat substrates by ion bombardment, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2012, vol. 52, no. 5, pp. 800-814. DOI: 10.1134/S0965542512050132

11. Kulikov D.A. Heterogeneous dissipative structures in the problem of the formation of nano-relief, Di-namicheskie sistemy, 2012, vol. 2(30), no. 3-4, pp. 259-272 (in Russian).

12. Kulikov D.A. Spatially ingomogeneous dissipative structures in a periodic boundary-value problem for nonlocal erosion equation, Journal of Mathematical Sciences, 2015, vol. 205, no. 6, pp. 791-805.

DOI: 10.1007/s10958-015-2284-x

Received 14.10.2015

Kovaleva Anastasiya Mikhailovna, Post-Graduate Student, Department of Differential Equations, P.G. Demi-dov Yaroslavl State University, ul. Sovetskaya, 14, Yaroslavl, 150000, Russia. E-mail: nyama55@yandex.ru

Kulikov Anatolii Nikolaevich, Associate Professor, Department of Differential Equations, P.G. Demidov Yaroslavl State University, ul. Sovetskaya, 14, Yaroslavl, 150000, Russia. E-mail: anat_kulikov@mail.ru

Kulikov Dmitrii Anatol'evich, Associate Professor, Department of Differential Equations, P.G. Demidov Yaroslavl State University, ul. Sovetskaya, 14, Yaroslavl, 150000, Russia. E-mail: kulikov_d_a@mail.ru