О сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические для гибких пластинок и их управлении

УДК 539.3; 534.1

В.А. Крысько, И.В. Папкова, Е.В. Салий

О СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК И ИХ УПРАВЛЕНИИ

Исследуются хаотические колебания гибкой прямоугольной в плане пластинки при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Исследование проводится на основе качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. В результате исследований пластинок было установлено, что единого сценария перехода от гармонических колебаний к хаотическим не существует. Получен новый сценарий перехода к турбулентности через три независимые частоты и их линейные комбинации. Построена карта характера колебаний, которая позволяет управлять колебаниями пластинки.

Бифуркации, пластинка, сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим, управление хаотическими колебаниями, хаос.

V.A. Krysko, I.V. Papkova, E.V. Saliy

FLEXIBLE PLATES AND THEIR CONTROL. TRANSITION SCENARIO FROM HARMONIC OSCILLATIONS TO CHAOTIC

This is a study of the chaotic vibrations of flexible rectangular plates under the action of transverse alternating load. The research is conducted on the basis of the qualitative theory of differential equations and nonlinear dynamics of a result of studies of plates, it was found that a single scenario of transition from harmonic oscillations to chaotic there. The authors obtain a new transition scenario for turbulence in three independent frequencies and their linear combinations. They construct a map of the nature of oscillations, which allows controlling plate vibrations.

Bifurcation, plate, scripts transition from harmonic oscillations to chaotic, control of chaotic oscillations, chaos.

Введение

Быстрое развитие нелинейной теории пластин и оболочек обусловлено научными потребностями практики. Широкое применение новых материалов, использование пластинок в необычных условиях при большой интенсивности внешних воздействий настоятельно требует дальнейшего совершенствования методов расчета. Особый раздел теории колебаний пластинок представляет исследование их нелинейных колебаний. При этом наибольший интерес при рассмотрении зависимости прогиба от нагрузки вызывает неустановившийся, переходный процесс движения оболочки или пластинки от ее регулярных колебаний к хаотическим. Такой процесс обычно заключает в себе скачкообразные переходы (бифуркации) от устано-

вившегося движения одного типа к некоторому другому движению при достижении определенного критического значения нагрузки.

Хаотические движения строительных конструкций исторически рассматривались как непредсказуемые эффекты, вызванные случайными внешними факторами и не связанные со свойствами самой конструкции. Исследования по нелинейной динамике детерминированных систем в других областях показали, что хаотические явления представляют собой один из характерных типов поведения нелинейных систем и что понимание механизма возникновения этих явлений дает возможность предвидеть дальнейшее развитие и предельное состояние движения, а также управлять такими системами. Результаты данных исследований опубликованы в работах [1, 2].

Математическая модель

Рассмотрим прямоугольную в плане гибкую пластинку с размерами а,Ь вдоль осей х1, х2 соответственно. Начало координат расположено в левом верхнем углу оболочки в ее срединной поверхности. Оси х1, х2 параллельны сторонам оболочки.

В этом случае искомая система дифференциальных уравнений имеет вид [3]:

-1—— У4м - ЬЫ, Г) - а + w" + г м" = 0, у4Г +1 Цм>, м) = 0.

12(1 -V2) > ; ч > 2

Здесь использованы известные операторы

ц-,.)= «!£ Щ+«!£ Щ - 2*0

бх1 дх2 дх2 бх1 дх1дх2 оХ1оХ2

В уравнения (1) и (2) введены безразмерные параметры стандартным образом.

К уравнениям (1) присоединим начальные условия = 0 , м"| = 0 и граничные условия для пластинки с учетом защемления гибких несжимаемых (нерастяжимых) ребер:

дм д2 Г дм д2 Г м = 0;-= 0; Г = 0;—- = 0 при х1 = 0;1; м = 0;-= 0; Г = 0;-- = 0 при х2 = 0;1.

дх1 дх1 дх2 дх2

Для решения системы уравнений (1) использовался метод конечных разностей для дискретизации производных по пространственным координатам с аппроксимацией 0(И2) .

Задача Коши относительно функции прогиба разрешается методом Рунге - Кутта 4-го порядка, а система алгебраических уравнений относительно функции усилия решалась методом обратной матрицы. Шаг по времени выбирался с помощью правила Рунге.

2. Достоверность получаемых результатов

Предварительно исследовался вопрос о сходимости метода конечных разностей в зависимости от п - числа участков деления отрезков [0; 1] и [0; 1] для прямоугольной в плане гибкой пластинки. Было установлено, что п = 14 является оптимальным в гармонических и хаотических областях (совпадение спектров мощности для 2п и п) карт характера колебаний для управляющих параметров {д0, шр} [7].

Для исследования характера колебаний были построены карты управляющих параметров {а0, шр} при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки. Три вертикальные прямые на рис. 2 проведены для частот: средняя линия для шр = ш0 - частоты собственных линейных колебаний, левая и правая линии от нее - соответственно для ш ш

ш р —^ и ш р + . Была исследована идентификация карт управляющих параметров в за-

висимости от шага по параметрам q0 и шр. Сопоставление результатов показало, что оптимальное разрешение для построения карт 200x200.

3. Сценарии перехода из гармонических колебаний в хаотические

Изучим возможные сценарии перехода механических систем из гармонических в хаотические, обсудим различные гипотезы относительно механизма перехода регулярного течения к гидродинамической турбулентности. За исключением самой ранней гипотезы Ландау [4] все предложенные механизмы связаны с конечномерными моделями: Рюэль - Такенс-Ньюхаус [5], Фейгенбаум [6], Помо - Манневиль [7].

Следует отметить, что до настоящего времени единого механизма перехода к турбулентности не существует.

3.1. Сценарий Фейгенбаума

По сценарию Фейгенбаума переход от гармонических колебаний к хаотическим осуществляется через бифуркации удвоения. Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых математических моделях. Известно, что бифуркация удвоения хорошо описана в аттракторе Рейслера и др. Нами этот сценарий был обнаружен при исследовании гибкой оболочки с шарнирно-подвижным опорным контуром под действием знакопеременной нагрузки [8-11].

3.2. Сценарий Рюэля — Такенса — Ньюхауза

По существу Рюэль и Такенс предположили, что после двух бифуркаций Хопфа движение ограничивается многообразиями, которые уже не являются гладкими торами, а имеют сложную топологию. Такие многообразия получили наименование странных аттракторов. Эти странные аттракторы представляют собой многообразия, не имеющие простой целой размерности, т.е. нечто промежуточное между, скажем, поверхностью и объемом. Понятие нецелой размерности подробно изучалось Мандельбротом в контексте фракталов. Аттрактор, полученный по сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхаузена, должен удовлетворять определенным условиям, т.е. относится к аттракторам «аксиомы А» (на практике оказалось, что этот класс весьма ограничен), тогда движение на нем хаотично. Из этого следует, что движение очень чувствительно к начальным условиям.

Два коллектива исследователей [Feigenbaum, Kadanoff, Shenker в 1982 г. и Rand et al. в 1982 г.] независимо рассмотрели вопрос о том, как квазипериодическое движение с двумя независимыми частотами ш1 и ш2 на торе становится «складчатым» при добавлении возмущения.

Для рациональных значений ш1/ш2 = p/q траектория замыкается после q циклов (состояние синхронизации мод). При иррациональном отношении ш1/ш2 движение квазипериодическое, траектория нигде не замыкается и покрывает весь тор.

3.3. Сценарий Помо — Манневиля

Третий сценарий перехода в хаос был предложен в 1989 г. Помо и Манневилем [7]. В этот период был накоплен огромный материал о динамическом хаосе и для ряда динамических систем было установлено, что переход от периодических колебаний к хаосу может происходить скачком, в результате одной-единственной бифуркации. Такой переход был назван жестким, и он связан с явлением перемежаемости. Под перемежаемостью мы будем понимать такой вид сигнала, в котором случайным образом чередуются длинные регулярные колебания и относительно короткие нерегулярные всплески. С увеличением управляющего па-

раметра число хаотических всплесков возрастает, пока не наступит момент полностью хаотического сигнала. Данное явление было открыто Помо и Манневилем при решении дифференциальных уравнений модели Лоренца.

3.4. Новый сценарий

При детальном исследовании сложных колебаний пластинки с учетом защемления гибких несжимаемых (нерастяжимых) ребер был обнаружен новый сценарий перехода от гармонических к хаотическим колебаниям на частоте шр = 26 (см. таблицу). Рассмотрим таблицу:

1. Колебания совершаются на основной частоте возбуждения шр и являются гармоническими. Фазовый портрет представляет собой предельное множество однооборотного цикла (40 = 160).

2. Дальнейшее движение по параметру до 40 = 164 приводит к появлению новой независимой частоты Ь1, т.е. имеется двухчастотное движение на частотах шр и Ь1. Движение не

ш р

синхронизированное, т.е. —— = 2,115... - иррационально. Также изменения заметны в сигнале

Ь1

и фазовом портрете.

3. При а0 = 165 в спектре мощности появляется третья частота ш2, которая не зависит

ш р Ь

от предыдущих частот, т.е. —— = 18,263..., — = 8,634...

Ь2 Ь2

4. При а0 = 166, а0 = 167 в спектре мощности наблюдается появление частот, которые линейно зависят от первых трех частот, например Ь3 4 = Ь1 ± 2 * Ь2 и т.д.

Сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим

9о

Спектр мощности

в, db

Сигнал

ш

Фазовый портрет

о со

со

4. Сложные колебания гибкой пластинки при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки

Для изучения характера колебаний пластинки с учетом защемления гибких несжимаемых (нерастяжимых) ребер были построены графики зависимости q0(wmax) (рис. 1), под графиком приведена шкала, характеризующая типы сигнала. При статической нагрузке q = q0 = const (кривая 1) зависимость q0(wmax) гладкая, а при динамической нагрузке q = q0 sin (&pt) (кривая 2) мы видим несколько точек перегиба и динамическую потерю устойчивости (разрыв первого рода). В этих точках происходит изменение типов сигнала, о чем свидетельствует изменение цвета на шкале типов колебаний.

W^ 1 1 1 J

f

' 1 , Чо,

1 1

О 500 1000 1500 2000

Рис. 1. График зависимости wmax(q0) и шкала характера колебаний:

гармонические колебания

независимые частоты Рис- 2- КаРта характера колебаний {q0, юр}

Щ бифуркации Хопфа  хаос

Была построена карта характера колебаний {q0, (рис. 2). Анализ этой карты показывает все многообразие сложных колебаний сферических оболочек. Анализируя карту, можно отметить обширные зоны гармонических колебаний на низких частотах. Переход от гармонических колебаний к хаотическим осуществляется через независимые частоты, о чем свидетельствуют небольшие зоны, закрашенные темно-серым цветом. Также можно отметить вкрапления зон бифуркаций удвоения частот. Переход от гармонических колебаний к хаотическим происходит через серию бифуркаций Хопфа или через независимые частоты и их комбинации.

Выводы

В результате проведенных исследований был найден новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим через три независимые частоты и их линейные комбинации. Получены карты режимов поведения гибкой пластинки при действии знакопеременной нагрузки, которые позволяют выделять как безопасные параметры внешнего воздействия, так и наиболее опасные. Это позволит управлять режимами колебаний в целях уменьшения опасных зон и перевода колебаний в наиболее благоприятный режим.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президента РФ (МК-3877.2009.8).

ЛИТЕРАТУРА

1. Krysko V.A. Thermo-dynamics of plates and shells / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, A.V. Krysko. Springer. Berlin, London, New-York, Paris, 2007. 777 p.

2. Krysko V.A. Chaos in Structural Mechanics / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz. Springer. Berlin, London, New-York, Paris, 2008. 400 p.

3. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек / А.С. Вольмир. М.: Наука, 1972. 432 с.

4. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности / Л.Д. Ландау // ДАН СССР. 1944. Т. 44. № 8. С. 339-344.

5. Ruelle D. On the Nature of Turbulence / D. Ruelle, F. Takens // Commun Math. Phys., 1971. Vol. 20. Р. 167.

6. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations / M.J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. 1979. Vol. 21. № 6. Р. 669-706.

7. Manneville P. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems / P. Manneville, Y. Pomean // Physica. 1980. № 1. Р. 219-226.

8. Крысько В.А. Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек / В. А. Крысько, И.В. Кравцова // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1. C. 3-13.

9. Awrejcewicz J. Dynamics and statics of flexible axially-symmetric shallow shells / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, I.V. Kravtsova // Mathematical Problems in Engineering. 2006. (DOI: 10.1155/MPE/2006/35672).

10. Awrejcewicz J. Chaotic Vibrations of Sector-Type Spherical Shells / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, I.V. Papkova // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2008. Vol. 3. № 4. (D0I:10.1115/1.2908134).

11. Крысько В.А. Управление хаотическими колебаниями гибких сферических оболочек / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 1. С. 161-172.

Крысько Вадим Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета

Krysko Vadim Anatolyevich -

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University

Папкова Ирина Владиславовна - Papkova Irina Vladislavovna -

кандидат физико-математических наук, доцент Candidate of Sciences in Physics & Mathematics, кафедры «Математика и моделирование» Assistant Professor of the Department Саратовского государственного of «Mathematics and Modeling»

технического университета of Saratov State Technical University

Салий Екатерина Вячеславовна - Saliy Ekaterina Vyacheslavovna -

кандидат физико-математических наук, доцент Candidate of Sciences in Physics & Mathematics, кафедры «Математика и моделирование» Assistant Professor of the Department Саратовского государственного of «Mathematics and Modeling»

технического университета of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 10.07.09, принята к опубликованию 09.09.09

в