О фредгольмовости краевой задачи Врагова для уравнения смешанного типа четного порядка

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

УДК 517.956

О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ВРАГОВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ЧЕТНОГО ПОРЯДКА И. Е. Егоров

Аннотация. В цилиндрической области рассматривается краевая задача Враго-ва для уравнения смешанного типа четного порядка с эллиптическим оператором по пространственным переменным. При определенных условиях на коэффициенты уравнения доказаны обобщенная разрешимость, плотная разрешимость, единственность обобщенного решения и фредгольмова разрешимость краевой задачи Врагова в соответствующих пространствах Соболева.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, фредгольмова разрешимость, краевая задача, обобщенное решение, неравенство, оценка, операторное уравнение.

Постановке краевых задач для уравнений смешанного типа второго и высокого порядков, исследованию обобщенной и фредгольмовой разрешимости их в различных пространствах посвящено довольно много работ [1—17]. Известно, что для развития спектральной теории для уравнения смешанного типа второго порядка значительный вклад внесли Т. Ш. Кальменов, Е. И. Моисеев, С. М. Пономарев, С. Г. Пятков и другие математики. При этом ряд работ [8,13,17] посвящен изучению разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа со спектральным параметром.

В данной работе исследуется фредгольмова разрешимость краевой задачи Врагова [7, 8] для уравнения смешанного типа четного порядка с помощью метода, разработанного в [14,16].

Пусть О — ограниченная область в М" с кусочно гладкой границей Б, Бт =

5 х (0, Т), Q = О х (0, Т), О = О х {г} для 0 < г < Т.

В цилиндрической области Q рассмотрим уравнение четного порядка

2в

г=1

где

Ми =(-1)т ва(а*Р и) + ао(х)и,

© 2016 Егоров И. Е.

а — мультииндекс; в > 2 и т > 1 — целые числа.

Будем считать, что коэффициенты уравнения (1) бесконечно дифференцируемы ъ ъ выполнены условия

аа1з = ара, ]Т аа13^^ > ^ е М", V > 0.

Отметим, что коэффициент к2в(х,¿) может менять знак внутри области ( произвольным образом, т. е. уравнение (1) является уравнением смешанного типа.

Положим

Р0± = {(х, 0) : (-1)8-1к28(х, 0) ^ 0, х е О}, Р± = {(х, Т) : (-1)8-1к28(х,Т) ^ 0, х е О}.

Через п = («1,..., пп) обозначим вектор внутренней нормали к 5.

Краевая задача Врагова. Найти решение уравнения (1) в области ( такое, что

д1и

дпг

= 0, г = 0, то — 1;

Бт

О\и\г=0 = 0, г = 0, в - 1; £>|г/,|-р+ = 0,

0

01и\1=т = 0, з = 1, 5 - 1; = 0.

т

Краевая задача (1)—(3) впервые поставлена и исследована В. Н. Враговым в работах [6, 7] при в = т.

В анизотропном пространстве Соболева "^^(О введем скалярное произведение

(и, г)г

Ца|<т ¿=1

¿ф, и, г е "^'"(О,

причем \\и\\2т з = (и,и)т,в Уи е ^2т'8(() и (и, г)о,о = (и, г), \\и\\2 = (и, и) для функций и, г из Ь2(().

Пусть Сь — класс функций и(х, £) из "2т'2в((), удовлетворяющих краевым условиям (2), (3), "^^(О — замыкание Сь по норме \\ • \\т Пусть Сь* —

(2

класс функций г>(х,£) из "2т'2в((), удовлетворяющих краевым условиям (2) и

= 1=Т = 0, у = 0,3 - 2; ЯГ^р- = 0,

А «^ = 0; г2я-14=т = о

I р т

где

2в-1

12в-1г = ]Г (-1)г^¿(кг+1 г).

¿=в—1

Введем пространство "^^(О как замыкание Сь* по норме \\ • Обо-

значим через "2 т' в(() ("2 т' в(()) пространство линейных непрерывных

функционалов над гильбертовым пространством С"™^^)), причем

отождествляется с его сопряженным. Для функций и € Сь, V € Сь* рассмотрим билинейную форму

= 11 (-1)8М|и^ + ( 1)в-1 [^2^-1 - ^^и^Г1«

в в-2

+ X) Ьз V + ^ аав

V + а0иу >

Определение 1. Функция и(ж,г) € называется обобщенным ре-

шением краевой задачи (1)—(3), если выполнено интегральное тождество

а(и, V) = />} Vv € "Г

где (•, •} — двойственное соотношение между т ' и

/ € Ж-т

Билинейная форма а(и, V) в силу теоремы Рисса имеет представление

а(и, V) = (Аи, V} Vu € "2тV €

где А — линейный ограниченный оператор из в т' При этом

справедливо равенство

(Аи, V} = (и, А%} Vu € "2тV € "2т(5).

Пусть Нт— пополнение по норме

г

А > 0.

Лемма 1. Пусть коэффициент ао(х) > 0 достаточно большой и (-1 )8-1 + > <5 > 0,

Тогда существует константа А > 0 такая, что

С11М1н_(д) < НАЧ1^2~(д), С1 = С1(А) > 0,

для всех функций V €

Доказательство. Для любой функции V € Ш^1положим

г

•Ш)=1е2ЛТ "(х-т )йт.

2

V

ГП'З

Нетрудно видеть, что и(х, £) принадлежит "^^(О и

= 0, = 0.

Интегрируя по частям, получаем равенство

Г/ 1 _ 2в \ 1

(ВД2

= , е-2А^ (-1)в-1

д

1 — 2в

н--^—к2вг ) + А(2й - 1 )к2з

где I

( 1)81 ( ^ 11 к2а(о1и)2ах

+ Л ^ аав и + Лаои2| ¿ф + I + ...,

+ ^е-2АТ

2

аав и + Ла0и2

¿х > 0,

а члены, обозначенные точками, играют подчиненную роль. Теперь выберем Л > 0 так, чтобы

(-1)8"1 (^-1 + + (-1Г-1\(23 - 1 )к2а {х,1)& Я.

На основании теорем вложения выполнены неравенства

||ЩиГ < е\\и\\^ + Се\\и\\г, е > 0, з = 1,з — 1,

которые вместе с неравенством Коши позволяют оценить подчиненные члены в (6). Тогда в силу неравенства Гординга при достаточном большом ао > 0 из (6) следует оценка леммы 1.

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда для любой функции / е Ь2(() существует обобщенное решение краевой задачи (1)—(3) из пространства

Доказательство. Пусть число Л > 0 выбрано, как в доказательстве леммы 1. Тогда имеет место неравенство

N < \M\h_ < С-1 \\Л*г\\^2-т,-.(д), г е ж-т'-8(().

Далее в силу равенства (5) доказательство теоремы проводится стандартным образом [2].

Замечание 1. В работе [10] теорема 1 была доказана сведением обобщенной разрешимости краевой задачи (1)—(3) к обобщенной разрешимости соответствующей краевой задачи для интегродифференциального уравнения порядка 2в — 1 по времени.

Из леммы 1 непосредственно следует [18].

2

рт

0

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 1 и / € Ж- т' Тогда

операторное уравнение

Аи = /

плотно разрешимо.

Пусть т) — функция Грина оператора = ( — 1)8у(2в-1) + у с краевыми условиями

У

Обозначим через -Нт.Д^) пополнение по норме

т)и

Замечание 2. Нетрудно видеть, что пространство Ит 8 плотно и непрерывно вложено в Ь2(^).

Лемма 2. Пусть коэффициент ао(ж) > 0 достаточно большой и выполнены условия

(-1)8"1 ^2.-1 + > 5 > 0, (х, I) € Я,

(-1)8-1Ых 0) > 0, (-1)8-1^(ж,Т) > 0.

Тогда существует константа С2 > 0 такая, что справедливо неравенство

Уи € ж2т '8(д).

Доказательство. Для любой функции и(ж,£) из жт'в(Ф) положим

При этом имеем г>(ж,£) € Ж2""в(Ф), IV = и и

€ £2(<Э), |а| <т,к = 0,2в - 1; Г»^1« € £2(<Э).

Поскольку функция и(ж, £) принадлежит Ж2""в(Ф), интегрируя по частям, буде:

(Аи^> = I |я*и

-ЯГ1 (^ + Я?-1 [(^-1 - яА^ЯГЧ

+ ЕЕ

г=1 а=о

+

Е

V + аои^

и

т.2^-1

В силу того, что =

примет вид

(Аи, г) =

(-1 +

+ аав г + аог2

¿ф + J + ...,

где

( —1).+ 1

I ^(Я*28-1 )2 ¿х

+

53 аав ЯГ^гЯ*-1^ г + ао(^-1г)2

¿х,

а многоточием обозначены подчиненные члены. В силу условий леммы 2 (-1)в_1Мж,Т) > 2<5х > 0, же О. Используя неравенство Коши, из (8) получаем неравенство

(Аи,г)>У [(5 — £1)(я28-1г)2 + г + аог2

Я

+ (51 — £2^ V

О

28-1 г)2

¿х — СЕ2 53

г=о

¿х — СЕ1 ^ / (Я*г) 2 ¿ф

г=о

Я

где е^, — положительные константы. Выбирая е достаточно малым и затем используя теоремы вложения, из последнего неравенства получаем оценку

(Аи,г)> С2\М\т,2Я-1, С2 > 0.

Отсюда следует утверждение леммы 2.

Из леммы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда краевая задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения из пространства

Далее рассмотрим оператор А как оператор из Нт^а(0 в "2 т' в(ф). При этом Я(А*) С "^^(О, а равенство (5) и априорная оценка леммы 1 справедливы для функций из Я (А*).

Теорема 4. Пусть ао(х) > 0 и выполнены условия

(-1)8"1 (^2,-1 + > 5 > 0, (х, I) € Я;

2

г

2

2в-2

4

Тогда для первого положительного собственного значения оператора А* имеет место оценка

6

М1 >

Т 2в-1

для достаточно малого Т < 1.

Доказательство. Пусть для некоторой функции V € Я (А*) справедливо равенство 0 = (и, А*V — ^у>, и € Жт^^), М > 0. В данном равенстве положим

и = у V(х, т) ¿т € Щт'*(£). о

Интегрируя по частям с учетом условий теоремы, имеем

/ (-1Г1 (*2я-1 + Ц^) (^гм2 +

г=1 а=о

+

Т Т / Т N

У У Ыт + а0 I У Ыт I

о о о

1

У(1т I (¿Ж + — I ^¡¡(-О 1у)2 (],Х

о \о

+

( —1)8

У ^

Справедливы неравенства

г=1 а=о

< С3Т11—1VН2, С3 > 0, Т < 1.

Выбирая Т < 1 так, что 6 — С%Т > из равенства (9) получим

Отсюда следует, что уравнение А* V — ^ = 0 имеет тривиальное решение при М <  Поэтому для у« 1 справедливо неравенство /¿х >

Как в работе [17], устанавливаются следующие утверждения.

Теорема 5. Ограниченное в множество компактно в Щ2 т' в(д).

0

V

2

1

2

2

б

М

2

2

0

Лемма 3. Оператор А допускает замыкание А.

Пусть выполнены условия лемм 1, 2. Тогда из равенства Д(А) = И^ т' следует, что уравнение Аи = / везде разрешимо и (А— ограниченный оператор из Ж- т' в Дт'Дф). При этом имеет место

А*=А*, А* : \VP4Q) - Н^Ш

где в(ф) — пространство, сопряженное к Ят^ф). Рассмотрим теперь задачу

Ьи - Ли = /

с краевыми условиями (2), (3), Л — комплексное число. Далее будем считать гильбертовы пространства Ь2(ф), Жт'в(ф), ^т^ф), Ят,в(ф), ДтДФ) комплексными и сохраним за скалярными произведениями и нормами в них старые обозначения. Пусть выполнены условия лемм 1,2. Тогда обобщенная разрешимость краевой задачи (10), (2), (3) эквивалентна операторному уравнению

Аи — Ли = /.

Рассмотрим операторные уравнения

Аи — Ли = /, и е Ят'Дф), / е Жр'^),

— Л« = 0, V е

Теорема 6. Пусть коэффициент ао(ж) > 0 достаточно большой и выполнены условия

(-1 Г-1 (^-1 + > £ > о, (-1)8-1 + > £ > о,

(—0) > 0, (—1)8-1к28(х,Т) > 0.

Тогда уравнение (11) имеет единственное решение из Дт,^^) при любом / е т' для всех комплексных Л, кроме не более чем счетного множества

Л = Лк, которое может иметь в качестве предельной точки Л = то. Каждому Л = Лк соответствует конечное число Пк линейно независимых решений из Дт^^) однородного уравнения (11).

При Л = Лк уравнение (11) имеет решение тогда и только, тогда когда выполнены условия

(/,%•) = 0, ] = 1,пк, где «к3 суть все линейно независимые решения из Ж2""в(ф) уравнения (12) при

Л = Лк.

Доказательство. Операторное уравнение

В силу теоремы 5 оператор А вполне непрерывен и потому для уравнения (13) справедливы теоремы Фредгольма.

Условия разрешимости уравнения (11) при Л = Ак имеют вид

0 =

где г>кз- решение уравнения (12) и (•, •} — двойственное соотношение между -Нт^д) и Н*п 8(д). Так как все Ак отличны от нуля, условия (14) можно преобразовать к виду

о = (А-1/,ук]) = </, (А*ГЧ3> =

Ак

Отсюда следует последнее утверждение теоремы 6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук. думка, 1965.

3. Михайлов В. П. Об обобщенной задаче Трикоми // Тр. МИАН. 1968. Т. 103. С.140-161.

4. Каратопраклиев Г. Д. О некоторых краевых задачах для уравнения смешанного типа в многомерных областях // Докл. Болг. акад. наук. 1970. Т. 23, № 10. С. 1183—1186.

5. Диденко В. П. Об обобщенной разрешимости задачи Трикоми // Укр. мат. журн. 1973. Т. 25, № 1. С. 14-19.

6. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

7. Врагов В. Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешано-составного типа // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 5-13.

8. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

9. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

10. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

11. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

12. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

13. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент: Изд-во «Mumtoz 80'2», 2010.

14. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 55-64.

15. Егоров И. Е., Захарова Т. И. О фредгольмовости краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 1. С. 20-26.

16. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости первой краевой задачи для уравнения смешанного типа четного порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 2. С. 48-56.

17. Егоров И. Е. О краевой задаче для уравнения смешанного типа со спектральным параметром // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21. № 1. С. 11-17.

18. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1971.

Статья поступила 15 ноября 2016 г. Егоров Иван Егорович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Научно-исследовательский институт математики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 IvanEgorov51@mail.ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

UDC 517.956

ON FREDHOLM SOLVABILITY OF VRAGOV BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MIXED EVEN-ORDER EQUATION I. E. Egorov

Abstract. We consider the boundary value problem of V. N. Vragov for mixed type equations of even order with elliptic operator in space variables. We prove the generalized solvability, dense solvability, uniqueness of generalized solutions and Fredholm solvability of the boundary value problem in the corresponding Sobolev spaces. Keywords: mixed type equation, Fredholm solvability, boundary value problem, generalized solution, inequality, evaluation, operator equation.

REFERENCES

1. Bitsadze A. V., Equations of Mixed Type [in Russian], Akad. Nauk SSSR, Moscow (1959).

2. Berezanskij J. M., Expansions in Eigenfunctions of Selfadjoint Operators [in Russian], Nauk. dumka, Kiev (1965).

3. Mikhailov V. P. "The generalized Tricomi problem," Tr. Mat. Inst. Steklova, 103, 142-161 (1968).

4. Karatoprakliev G. D. "On some boundary value problems for mixed type equations in multidimensional domains," Dokl. Bolgar. AN, 23, No. 10, 1183-1186 (1970).

5. Didenko V. P. "On the generalized solvability of the Tricomi problem," Ukr. Mat. Zh., 25, No. 1, 14-24 (1973).

6. Vragov V. N. "On the theory of boundary-value problems for mixed-type equations in space," Differ. Uravn., 13, No. 6, 1098-1105 (1977).

7. Vragov V. N. "On the formulation and solvability of boundary value problems for mixed-composite type equations," in: Matematicheskiy analiz i smezhnie voprosi matematiki, Nauka, Novosibirsk, 1978, pp. 5-13.

8. Moiseev E. I., Mixed Type Equations with a Spectral Parameter [in Russian], MGU, Moscow (1988).

9. Kuzmin A. G., Non-classical Mixed Type Equations and Their Application in Gas Dynamics [in Russian], LGU, Leningrad (1990).

10. Egorov I. E. and Fedorov V. E., High-Order Non-classical Equations of Mathematical Physics [in Russian], Vychisl. Tsentr SO RAN, Novosibirsk (1995).

11. Egorov I. E., Pyatkov S. G., and Popov S. V., Nonclassical Differential-Operator Equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2000).

12. Nakhushev A. M., Problems with Shift for Partial Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (2006).

13. Salakhitdinov M. S. and Urinov A. K., Spectral Theory for Mixed Type Equations [in Russian], Mumtoz SO'Z, Tashkent (2010).

14. Egorov I. E. "Fredholm solvability of a boundary value problem for a mixed type equation," Mat. Zamet. YAGU, 18, No. 1, 55-64 (2011).

15. Egorov I. E. and Zakharova T. I. "On the Fredholm property of a boundary value problem for a mixed type equation," Mat. Zamet. YAGU, 20, No. 1, 20-26 (2013).

© 2016 I. E. Egorov

16. Egorov I. E. "On the Fredholm solvability of the first boundary value problem for mixed type equations of even order," Mat. Zamet. YAGU, 20, No. 2, 48-56 (2013).

17. Egorov I. E. "A boundary value problem for a mixed type equation with a spectral parameter," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 1, 11-17 (2014).

18. Krein S. G., Linear Differential Equations in Banach Space [in Russian], Nauka, Moscow (1971).

Submitted November 15, 2016 Ivan Egorovich Egorov

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Research Institute of Mathematics, Kulakovskii Street, 48, Yakutsk 677000, Russia IvanEgorov51@mail.ru