Эволюция развития математической картины мира

УДК 141.201:51 Н. М. Охлопков

ЭВОЛЮЦИЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ

МИРА

Тема «Эволюция развития математической картины мира» по глубине и ширине является обширной проблемой философии математики, которая в научной литературе разработана слабо. В этом и состоит актуальность данной темы. Целью и задачей настоящей работы является процесс создания математической картины мира в различные исторические эпохи и изучение объединяющих концепций математических теорий. Картину мира нельзя обнаружить в готовом виде в каких-то источниках и рассмотреть как самостоятельный объект изучения, то ее анализ доставляет значиельную трудность. Чтобы преодолеть эту трудность сосредоточиваем внимание на процесс создания математической картины мира. Математическая картина мира как форма систематизации математического знания отличается от математической теории. Если математическая картина мира описывает объект, отвлекаясь от процесса получения знания, то математическая теория создает в себе логические средства как систематизации знаний об объекте, так и проверки их истинности. При исследовании данной темы использован описательный метод (историко-философско-методологический подход). В результате исследования удалось установить:

1) формирование математической картины мира в различные исторические эпохи можно представить следующим образом: вычислительная, числовая, геометрическая, вычислительно-алгоритмическая, алгебра-геометрическая, функциональная, теоретико-множественная, модельная;

2) в истории математики произошли следующие объединяющие концепции различных математических теорий: сведение алгебры и геометрии к арифметике; синтез математики на основе геометрии; объединение математики вычислительно-алгоритмическим путем; объединение математики на основе алгебры и геометрии; на основе математического анализа; арифметизация математических теорий на основе аксиоматического метода; теоретико-множественная концепция математики на основе структурно-аксиоматического метода; модельная концепция математики на основе теоретико-алгоритмического подхода. Перспективным направлением дальнейшего исследования является более углубленное изучение объединяющих концепций математических теорий по мере расширения предмета математики.

Ключевые слова: картина мира, числовая картина, математическая модель, кризисы, революции, статичная картина, динамическая картина, синтетическая картина, функциональная картина, арифметиза-ция, парадоксы.

N. M. Okhlopkov

The Evolution of the Mathematical World Picture

The theme of «the Evolution of mathematical picture of the world» the depth and breadth is a vast problem in the philosophy of mathematics, which in scientific literature is poorly developed. This is the relevance of this topic. The purpose and objective of this work is the process of creating a mathematical picture of the world in different historical epochs and study of unifying concepts of the mathematical theories. The picture of the world cannot be discovered ready-made in some sources and to consider as an independent object of study, its analysis gives znachitelnoy difficulty. To overcome this difficulty have focused on the process of creating a mathematical picture of the world. Mathematical picture of the world as a form of systematization of mathematical knowledge differs from the mathematical theory. If a mathematical picture of the world describes an object, abstracting from the process of knowledge acquisition, mathematical theory creates a logical means of capturing knowledge

ОХЛОПКОВ Николай Михайлович - к. ф-м. н., доцент каф. прикладной математики Института математики и информатики СВФУ им. М. К. Аммосова. E-mail: mach_jsu@mail.ru

OKHLOPKOV Nikolai Mikhailovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate Professor Institute of mathematics and Informatics North-Eastern Federal University named after M. K. Ammosov. E-mail: math_jsu@mail.ru

about the object, and check their truth. In the study of this topic used the descriptive method (the historical-philosophical and methodological approach). The study was able to establish:

1) form a mathematical picture of the world in different historical epochs can be summarized as follows: computational, numerical, geometrical, computational, algorithmic, algebra-geometric, functional, set-theoretic, model;

2) in the history of mathematics occurred the following unifying concepts of different mathematical theories: the mixing of algebra and geometry to arithmetic; synthesis of mathematics based on geometry; Association of mathematics computational and algorithmic way; Association of mathematics based on algebra and geometry; mathematical analysis; arithmetical mathematical theories on the basis of the axiomatic method; the set-theoretic conception of mathematics based on structural-axiomatic method; model the concept of mathematics based on the theoretical and algorithmic approach. A promising direction for future research is a more in-depth study of the unifying concepts of the mathematical theories as extensions of the subject of mathematics.

Keywords: picture of the world, a numerical pattern, a mathematical model, crises, revolutions, the static picture, dynamic picture, a synthetic picture, picture function, arithmetization, paradoxes.

Введение

Математическая картина мира - зримый портрет (образ) математического мира. Мировоззрение указывает не на мир сам по себе, а на наше отношение к нему. Математическая картина дает свою версию того, каков математический мир на самом деле и какое место занимает в системе наук. Под математическим миром понимаем математику, взятую как единое целое. Человек создает математический мир для расширения своих познавательных возможностей. Математическая картина мира исходит из двух начал: материи и духа. Чистая математика (теоретическая) исходит из духа, а прикладная математика - из материи, т. е. онтологические основания у них разные. Можно сказать, что мир, который описывает математика, - это сплав субъективного и объективного. Математическая модель мира конструируется символическим языком математики.

Если картину мира нельзя обнаружить в готовом виде в каких-то источниках и рассмотреть как самостоятельный объект изучения, то ее анализ доставляет значительную трудность. Чтобы преодолеть эту трудность сосредотачиваем внимание на процесс создания математической картины мира. Картина мира отражает объект, отвлекаясь от процесса получения знания, а научная теория создает в себе логические средства систематизации знания об объекте и проверки их истинности.

Научное мировоззрение и научная картина мира далеко не совпадают по своему содержанию и назначению. Научное познание - процесс длительный, переходящий от незнания к знанию, от неполного приблизительного знания к знанию полному, более адекватно отражающему объективную реальность.

Единство знания - это скорее не реальная возможность, а идеал, постоянно отодвигаемый в процессе пересмотра оснований научного знания.

Мировоззрение, будучи определенным итогом практической и познавательной деятельности людей, в то же время выполняет ориентирующие (оценочную и методологическую) функции в дальнейшем развитии науки и практики. Когда миропредставление и мирообъяснение проникают друг в друга, тогда обеспечивается особая прочность и целостность всей системы взглядов. Математическая картина мира выступает связующим звеном между мировоззрением и научной теорий.

Работа [1] автора посвящена эпистемологическому анализу развития математической картины мира, где рассмотрены вопросы: онтологические закономерности развития исходных понятий математики; элементы математической картины мира; математическое моделирование как один из инструментов построения математической картины мира; эпистемологический анализ развития математической картины мира и взаимодействия прикладной и теоретической математики.

Целью и задачей настоящей работы является процесс создания математической картины мира в различные исторические эпохи и изучение объединяющих концепций математических теорий.

Эволюция развития математической картины мира

Развитие математики началось с создания практических искусств счета и измерения линий, поверхностей, объемов. Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов началось с появлением счета и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади, объемы.

Понятие о натуральном числе формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от ее конкретного представления. Вследствие этого счет долгое время оставался только вещественным - использовались пальцы, камешки, пометки и т. д. Для запоминания результатов счета использовали зарубки, узелки и т. п. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые знаки для сокращенного изображения больших чисел.

При образовании числовых систем у большинства народов число 10 занимает особое положение. Счет по пальцам был широко распространен. Отсюда происходит повсеместное распространение десятичной системы счисления. Еще до этого вавилоняне в научных расчетах использовали шестидесятеричную систему.

Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. Натуральное число - это идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, животных, птиц и т.д.).

Для счета нужно иметь математические модели сосчитываемого множества предметов. Если бы числа служили только для счета предметов, то польза от них была бы не так уж велика. Важное применение числа заключается в том, что над ними можно производить различные математические действия: объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно. Разделение на части со временем абстрагировалось в четвертую арифметическую операцию - деление.

Измерения служили важнейшим применением дробных чисел и источником развития их теории.

В практической математике Древнего Египта и Месопотамии (30-25 вв. до н.э. - 7-6 вв. до н.э.) формируются простейшие математические объекты, термины объектов и арифметические операции над целыми положительными числами и над простейшими рациональными дробями. Одновременно начинает развиваться арифметика и геометрия, но их разделения еще не было. Математика полностью подчинена практической деятельности людей. Все вопросы (хозяйственные и научные) решались вычислением. Математика зарождается как вычислительная математика. Математика изучает постоянные конечные положительные рациональные величины.

В теоретической математике Древней Греции появляются более сложные математические области, их термины. Дальше развиваются математические операции (арифметические и геометрические). Появляются логические связки, необходимые для доказательства теорем. Раздельно развиваются арифметика, геометрия и теория чисел. Доказываются теоремы и проводятся вычисления для удовлетворения практических и научных нужд.

Первая революция в математике произошла в античной Греции с введением доказательства. До этого математическое знание развивалось как полуэмпирическое в Древнем Египте и Вавилонии, где математика представляла собой свод правил для вычисления площадей фигур и объемов тел.

Статичная математическая картина мира выросла из философии Пифагора и Платона. В античной науке гармония бытия выражается в постоянных величинах. Пифагор и его школа (У1-У вв. до н.э.) считали основой всего сущего числа, являющиеся, по их мнению, тем фундаментом, который образует порядок во Вселенной и обществе. Отсюда следует вывод, что познание мира должно заключаться в познании чисел, управляющих этим миром, что Вселенная представляет собой гармоничную систему чисел и их отношений. В этом есть рациональное зерно в том, что впервые поставлен вопрос о роли и значении чисел в исследовании окружа-

ющего нас мира. В школе Пифагора основной математической дисциплиной считалась арифметика (ядро математики), а число является основным математическим объектом. Развивалась числовая картина мира. С V в. до н.э. в школе Пифагора математика постепенно становится абстрактной наукой. В связи с появлением иррациональных чисел в математике начинает развиваться приближенное вычисление. С этого времени математика развивается в двух направлениях: теоретическая и прикладная.

В прикладной математике появляются такие фундаментальные понятия как приближенное число, приближенные вычисления, приближенное решение, погрешность решения.

Одним из важных открытий пифагорейцев было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков. Из соотношения стороны и диагонали квадрата было обнаружено, что такое отношение не выражается «числами», т. е. рациональным числом (целым или дробным числами). Пифагорейской арифметикой допускались только рациональные числа. Тем самым был открыт факт, что некоторые отношения нельзя выразить с помощью целых чисел. Это открытие противоречило пифагорейской точке зрения о представимости мира с помощью целых чисел и вызвало первый кризис в истории математики.

Математики стали задумываться над разрешением кризиса в основаниях математики. Основой математики выбрали геометрию, которая сумела выразить отношения, невыразимые с помощью арифметических чисел и их отношений.

В IV в. до н.э. Евдокс дал общую теорию пропорций. Евдоксова теория отношений покончила с арифметической теорией пифагорейцев, применимой только к соизмеримым величинам. Эта геометрическая теория сделала излишними какие-либо оговорки относительно несоизмеримости или измеримости рассматриваемых величин.

Первый кризис в основаниях античной математики был частично преодолен благодаря двум открытиям. Первой из них является теория пропорций Евдокса, изложенная в «Началах» Евклида. Древние греки числами считали только целые числа, что и задержало развитие арифметики и математики в целом. Другим достижением греков является создание метода исчерпывания (Евдокс, Архимед), который является античным вариантом теории пределов.

Окончательно первый кризис в математике полностью преодолен в XIX в. с разработкой теории действительного числа (Г. Кантор, К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд).

В связи с появлением иррациональностей лидирующее положение арифметика уступает геометрии, сумевшей выразить иррациональные величины геометрическими отношениями отрезков (числа - отрезки). Геометрия становится основной математической дисциплиной (ядро математики). Основным математическим объектом считается геометрическая фигура. С IV в. до н.э. начинает развиваться в математике аксиоматический метод. Математика изучает постоянные положительные конечные (неподвижные) и зарождающиеся бесконечные величины.

С I-II вв. нашей эры теоретическая математика античной Греции и эллинизма приходит в упадок. С III в. вплоть до XVI в. развивается интенсивными темпами вычислительно-алгоритмическое направление в математике. Тригонометрия отделяется от астрономии и развивается как самостоятельная математическая дисциплина. Алгебра формируется как самостоятельная дисциплина и интенсивными темпами развивается алгебраическое исчисление. Тем самым укрепляется вычислительный аппарат математики, что дает возможность быстрыми темпами развиваться вычислительной математике. Основными математическими дисциплинами становятся арифметика и алгебра (ядро математики). Основным математическим объектом исследования становится вычислительный алгоритм. Математика изучает постоянные положительные конечные и бесконечные величины и зарождающиеся переменные величины. Основным методом исследования становится вычислительный метод (точные и приближенные). Структурообразующими элементами синтетической практической математики Средних веков являются непосредственные практические потребности общества.

С XIV в. до первой половины XVII в. - это время перехода математики постоянных величин к математике переменных величин. Начинают вырисовываться контуры динамической математической картины мира. Развивается алгебраическая геометрия Р. Декарта и П. Ферма.

Основными математическими дисциплинами считаются алгебра и геометрия (ядро математики). Основным методом исследования является алгебро-геометрический метод (метод координат). Математика изучает переменные величины (основной объект исследования). Вторую революцию в математике связывают с переходом от постоянных величин к изучению переменных величин в XVII в. До этого времени господствовала идея Аристотеля о том, что математика изучает только неподвижные предметы. На смену этой идее пришла идея Р. Декарта о том, что математика должна изучать любые процессы и объекты, где можно выделить меру и отношения объектов.

Со второй половины XVII в. до середины XIX в. развивается теоретико-функциональная математическая картина мира. Математика изучает переменные величины и функциональные зависимости между ними. Основной математической дисциплиной считается математический анализ (ядро математики). Фундаментальным математическим понятием становится понятие функции, которая является основным объектом исследования. Основным методом исследования становится функциональный метод. Математический аппарат широко используется для математизации естественных наук. Этот период развития математики можно охарактеризовать как «теория - практика». Теоретические результаты без особого обоснования использовались для решения задач физики, механики, астрономии. Правильность теории показывалось согласием с практикой. Иногда такой подход давал сбой из-за неограниченного использования теории без установления границ их применимости. Обоснование математического анализа произошло в течение двух веков.

В обосновании математического анализа принимали участие почти все крупные математики XVIII и XIX вв. Окончательную точку в этом вопросе поставил О. Коши, который выпустил в 1821 и 1823 гг. учебное пособие по математическому анализу, где он обосновал весь математический анализ на основании теории действительного числа и созданной им теории переделов. Тем самым произошла полная арифметизация математического анализа.

В XVП-XVШ вв. дифференциальное исчисление находилось на стадии отыскания основных закономерностей и определения фундаментальных понятий, потому его логическое обоснование объективно было невозможным. В понятийной системе анализа имелись изъяны, фактически исключающие его обоснование. Таковыми были:

1) нечеткое понимание природы бесконечно малой величины;

2) отсутствие правильного понимания дифференциала;

3) отсутствие четкого определения понятия функции;

4) отсутствие точного определения понятия предела;

5) отсутствие точного определения понятия непрерывной функции;

6) отсутствие правильного определения производной;

7) до конца XVIII в. оставалось недостаточно строгим понятие определенного интеграла. Это связано с отсутствием теорем существования. Усилиями многих ученых заложен фундамент правильного построения логических основ дифференциального и интегрального исчислений. В конечном итоге в первой половине XIX в. анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система. Тем самым полностью преодолен второй кризис в математике усилиями многих крупных математиков XVII, XVIII и первой половины XIX вв.

Третья революция в математике произошла в конце XIX и в начале XX вв. Это связано с признанием неевклидовых геометрий Н.И. Лобачевского, Я Больяи, К. Гаусса, Б. Римана. После этого широкое распространение получили новые взгляды на аксиомы геометрии и геометрическое пространство вообще. Это же время была создана теория множеств Г. Кантора, которая довольно быстрыми темпами проникла во все разделы математики. Центральной идей данной революции является исследование неметрических объектов.

На базе теории множеств становится возможным построение аксиоматических теорий абстрактных разделов математики. Парадоксы теории множеств привели к отказу от программы обоснования математики Г. Кантора, уделившего основное внимание абстракции актуальной бесконечности.

С середины XIX в. до конца XIX в. развивается «модельная» теоретическая математика. Усиливается абстрактность математики. Объединение математики происходит на основе «моделей» (интерпретаций).

Математика изучает пространственные формы и количественные отношения предметов реального мира. Основным методом исследования становится аксиоматический метод. Произошла аксиоматизация основных математических дисциплин. Происходит арифметизация математики. Дальше развивается теоретико-функциональное направление в математике, которое интенсивно использовалось для математизации естественных наук. Разработанная Г. Кантором теория множеств становится фундаментом теоретико-множественной классической математики.

Парадоксы теории множеств связаны с тем, что в ней рассматриваются абстракции, которым «придаются общность, излишняя для каких-либо приложений» [1]. Такой абстракцией является, например, понятие о множестве всех множеств. Эта абстракция оказывается выходящей за рамки возможных конкретных приложений и в этом смысле она оторвана от конкретного. Отсюда видно, что оперирование абстракциями не может быть абсолютно свободным, не стесненным никакими ограничениями. Оперирование предельно широкими абстракциями сопровождается невозможностью указать какой-либо конкретный объект, связанный с данной абстракцией, или хотя бы возможный способ его построения. Одним из способов построения математических теорий, свободных от парадоксов, является создание аксиоматической теории множеств, где понятие множества дается с ограничениями, исключающими образование слишком обширных множеств, что предупреждает возникновение парадоксов. До появления парадоксов в математике считали истинными как эффективные, так и неэффективные доказательства существования математических объектов. После появления трудностей в теории множеств некоторые математики были склонны признать истинными только эффективные доказательства, которые дают возможность вычислить, определить, построить математический объект, существование которого доказывается. Неэффективные же доказательства, т. е. не дающие средств вычисления, определения, построения объекта, не истинны. С этой целью следовало устранить излишнюю общность абстракций, характерную для теории множеств.

Обнаруженные парадоксы в теории бесконечных множеств и логики привели к третьему кризису в основаниях математики в начале XX в., что способствовало к появлению новых теорий и концепций.

Если первый и второй кризисы касались собственных проблем математики, выяснения характера ее объектов и принципов их построения, то третий кризис поставил вопрос о точности математики, безупречности ее основных понятий.

В конце XIX и начале XX вв. исследования по вопросам обоснования математики, связанные с трудностями в обосновании теории множеств, поставил перед математиками проблему понимания существования в применении к математическим объектам.

Всякое эффективное доказательство характеризуется тем, что с помощью так или иначе обоснованных посылок оно позволяет индивидуально охарактеризовать объект, существование которого доказывают. В неэффективных доказательствах существования (основанные, например, на принципе исключенного третьего) не дается никакого примера объектов, существование которых доказываются. Все эти вопросы, связанные с парадоксами теории множеств, ставили под сомнение концепцию Кантора, теоретико-множественное обоснование математики и ряд конкретных результатов классических математических теорий.

В результате анализа канторовской теории множеств и связанных с ней парадоксов были разработаны различные системы аксиоматической теории множеств, в которых принимается то или иное ограничение на образование множеств, чтобы исключить возникновение известных антиномий, в которых могут развиты довольно обширные разделы математики. Вопрос о непротиворечивости достаточно богатых аксиоматических систем теории множеств остается открытым.

Д. Гильберт пытался обосновать всю классическую математику одним аксиоматическим методом на основе разработанной им теории доказательств (метаматематики). Однако тео-

рема К. Гёделя о неполноте любой аксиоматической системы указала ненадежность такого подхода. Тем самым надежды Д. Гильберта обосновать всю классическую математику на таком пути потерпели неудачи. Эта теорема в философском плане указывает на то, что полная формализация в науке невозможна. Следовательно, полное обоснование математики в рамках самой математики невозможно, оно может быть осуществлено в рамках философии.

В конце тридцатых годов XX в. группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки объединилась с целью построения математической картины мира на аксиоматической основе, где фундаментом служила теория множеств. Для них базовыми математическими структурами служили алгебраические, топологические и структура порядка. Таким образом, с помощью наиболее развитых математических структур Н. Бурбаки стремился охватить единым взором унифицированные аксиоматикой огромные области математики. При этом упорядочивающим принципом становится концепция иерархии математических структур, идущей от простого к сложному, от общего к частному. Теперь частные математические теории теряют свою былую автономность, становятся объектами изучения наиболее общих многочисленных математических структур. Эта попытка осталась незавершенной, так как сама цель, по-видимому, была нереалистичной.

С середины XX века и по настоящее время математика развивается в двух направлениях: классическая теоретико-множественная математика; конструктивная математика в рамках классической теоретико-множественной математики. Фундаментальным понятием классической математики является понятие функции, а конструктивной - понятие алгоритма. Происходит арифметико-алгебраическое построение математики. Ядром современной математики является математическая модель абстрактных и реальных объектов. Происходит дальнейшая алгебразизация и алгоритмизация математики. Синтез математики осуществляется на основе математических моделей. Методом исследования в теоретической математике является аксиоматический метод, а в прикладной математике - метод математического моделирования реальных объектов.

Заключение

Эволюцию развития математической картины мира можно представить следующим образом:

1. Вычислительная картина мира (25-30 вв. до н.э. - УН-У1 вв. до н.э.). В Древнем Египте и Вавилонии математика зародилось как вычислительная математика. Все вопросы решались вычислением. Метод исследования - вычислительный.

2. Числовая картина мира (Пифагор и его школа, У1-У вв. до н.э.). Арифметика - ядро математики. Основной объект исследования - число. Метод исследования - теоретический.

3. Геометрическая картина мира (Академия Платона, Аристотель, Евклид, 1У-Ш вв. до н.э.

- 1-11 вв. н.э.). Геометрия - ядро математики. Основной объект исследования - геометрическая фигура. Метод исследования - аксиоматический.

4. Вычислительно-алгоритмическая картина мира (Средний век, 1-11 вв. до XVI в.). Ядро математики - арифметика, алгебра. Основной объект исследования - вычислительный алгоритм. Метод исследования - вычислительный.

5. Алгебра-геометрическая картина мира (XVI - 1-я половина XVII вв.). Ядро математики

- алгебра, геометрия. Основной объект исследования - переменная величина. Метод исследования - координатный метод.

6. Функциональная математическая картина мира (2-я половина XVII - середина XIX вв., Р. Декарт, П. Ферма, И. Ньютон, Г. Лейбниц, Л. Эйлер, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж и другие). Ядро математики - математический анализ. Основной объект исследования - функция и функциональная зависимость. Метод исследования - функциональный метод.

7. Теоретико-множественная математическая картина мира (вторая половина XIX в. до середины XX в., Г. Кантор, Р. Дедекинд, Д. Гильберт, А. Пуанкаре, Н. Бурбаки и другие). Теория множеств - фундамент всей математики. Ядро математики - математические структуры. Объект исследования - абстрактные объекты математики. Метод исследования - структурно-аксиоматический метод.

8. Модельная математическая картина мира (с середины XX в. и по настоящее время). Происходит синтез теоретической и прикладной математики на основе математических моделей, вычислительных алгоритмов и ЭВМ. Ядро математики - математические модели конкретных наук. Метод исследования: в теоретической математике - аксиоматический метод, в прикладной математике - метод математического моделирования. Происходит процесс алгебраизации математики и алгоритмизации знания.

В истории математики произошли объединяющие концепции различных математических теорий.

1. Первая попытка сведения геометрии и алгебры к арифметике произошла в школе Пифагора в V в. до н.э. - числовая концепция математики («все есть число»).

2. Синтез математики на основе геометрии произошла в III в. до н.э. в «Началах» Евклида - концепция геометрической алгебры.

3. Со II в. до XVII в. происходит объединение математики вычислительно-алгоритмическим путем.

4. До середины XVII в. происходит объединение математики на основе алгебры и геометрии - алгебраическая геометрия Р. Декарта и П. Ферма.

5. С середины XVII в. до середины XIX в. происходит объединение математики на основе математического анализа. Развивается теоретико-функциональная концепция математики.

6. С середины XIX в. до первой четверти XX в. происходит арифметизация математических теорий на основе аксиоматического метода. Начинает развиваться теоретико-множественная концепция математики.

7. С первой четверти XX в. до середины XX в. дальше развивается теоретико-множественная концепция математики на основе структурно-аксиоматического метода. Такой подход позволил установить логическое единство практически всей математики.

8. С середины XX в. по настоящее время развивается модельная концепция математики на основе теоретико-алгоритмического подхода. Объединение математики происходит вокруг математических моделей конкретных наук.

Каждая революция в математике сопровождается обязательным расширением предмета математики. История математики с точки зрения расширения ее предмета имеет следующую форму: 1) выделение математического предмета из совокупности явлений действительно мира (формирование математики конкретных количеств); 2) распространение количественных отношений на процессы взаимодействия, изменения (формирование математики обобщенных количеств - конкретных отношений); 3) Распространение функционального подхода на неметрические отношения (формирование математики обобщенных отношений).

Каким будет следующий этап обобщения? В любом случае будет по-прежнему продолжаться исследования формализованных моделей новых более сложных отношений реальной действительности. Эти модельные исследования и будут составлять теоретическую математику будущего. Настоящая революция в математике продолжится еще долго, и после ее завершения наступит длительный эволюционный этап, где математика будет с успехом сотрудничать с другими науками, снабжая их эффективными методами исследований.

Литература

1. Клайн М. Математика. Поиск истины. - М.: Мир, 1988.

References

1. Klein M. Mathematics. The search for truth. - M .: Mir, 1988.