Моделирование параллельных полумарковских процессов

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 681.5; 519.95

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПОЛУМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

Е.В. Ларкин

Исследуется функционирование бортового оборудования мобильных роботов. Показано, что абстрактным аналогом функционирования каждой единицы бортового оборудования является ординарный полумарковский процесс. Указанной абстракции недостаточно для аналитического моделирования мобильного робота в целом. Таким образом, для моделирования синхронизированной работы оборудования необходимо более сложная модель, которая получается интегрированием ординарных процессов в так называемый М-параллельный полумарковский процесс. Для определения подобной абстракции введен термин «функциональные состояния», которые получаются за счет комбинации структурных состояний. Предложен метод определения элементов полумарковской матрицы М-параллельного процесса.

Ключевые слова: мобильный робот, циклический алгоритм, структурное состояние, функциональное состояниее, полумарковский процесс.

1. Введение. Мобильные роботы, как управляемые объекты пред-сталяют собой сложные системы, которые включают ряд единиц бортового оборудования, каждая из которых управляется своим контроллером и функционирует по своему собственному алгоритму. [1, 2]. Функционирование оборудования приодит к достижению корпоративной цели функционирования робота в целом. Таким образом, для управления роботом в целом необходимо уметь оценивать состояния всех единиц оборудования в произвольный момент времени. [3, 4].

Работа отдельной единицы может быть описано с использованием теории полумарковских процессов [5, 6] вследствие следующих особенностей управляющих алгоритмов [5, 6, 7]:

Управляющие алгоритмы являются циклическими и разделяются на операторы, таким образом после достижения оператора «конец» алгоритм мгновенно возвращается в оператор «начало;

3

каждая операция связана с определенным физическим состояние единицы оборудования;

все операторы циклического алгоритма являются актуальными, таким образом, из любого оператора существует хотя бы один путь к любому оператору, и в любой оператор существует хотя бы одтн путь из любого оператора;

Время интерпретации оператора случайно и определяется с точностью до плотности распределения, переключение в сопряженные операторы происходит случайным образом.

Таким образом, состояния полумарковского процесса являются абстрактными аналогами состояний соответствующей единицы бортового оборудования. При исследовании множества единиц, связанных общей целью знания состояния отдельных единиц недостаточно, таким образом необходим механизм объединения множества полумарковских процессов в один случайный процесс. Это позволит определить так называемые функциональные состояния, под которыми понимается комбинация состояний отдельных единиц в текущий момент времени. Полумарковские процессы, описывающие сложные системы, в настоящее время используются недостаточно, что определяет необходимость и актуальность исследований в данной области.

2. М-параллельный полумарковский процесс. М-параллельный полумарковский процесс может быть определен как множество, состоящее из М ординарных процессов

М

m = U m m; С1)

m=1

и ^ и = f 0, when m Ф k; mm nmk = (mm otherwise;

mm = {Am, hm

где mm - ординарный полумарковский процесс [8, 9, 10];

Am =k(m),.", °j(m),..., aJ(m) } - множество состояний;

hm(t) = [hj(m)n(m)(t)]= Pm  fm(t) - полумарковская матрица размером

J (m )x J (m); pm = J hm (t )dt = [p j (m )n (m) - стохастическая матрица разме-

ром J(m)xJ(m); fm (t) = плотностей распределения.

0

hj

pj

= \fj (m ),n(m )(t)] - матрЩа чистых

Структура процесса (2) показана на рис. 1 a. Подобные процессы принадлежат категории эргодических полумарковских процессов. процессы , 1 £ т £ М, функционируют одновременно, и для правильного

управления системой в целом необходимо сформировать модель сложного полумарковского процесса.

Structural states

Functional states

Рис. 1. Параллельный (a) и комплексный (b) полумарковские процессы

3. Сложный полумарковский процесс

Сложный полумарковский процесс показан на рис. 1 b. Этот процесс может быть определен следующим образом [11, 12, 13]:

M m = {MA,M h

где MA - множество состояний; Mh(t) - полумарковская матрица.

Ниже будет использоваться термины «структурное состояние» и «функциональное состояние» (fig. 1). Структурное состояние представляет собой абстрактный аналог оператора циклического алгоритма, таким образом, m-й циклический алгоритм включает J(m) состояний, а общее количество структурных состояний равно сумме

Ns

M

I

m=

A

m\

M

IJ(m).

m=1

Декартово произведение [14] множеств Am дает множество функциональных состояний

M „

MA =П'С4т,

m=1

где П - знак группового декартова произведения.

Множество функциональных состояний имеет вид:

ы

{«1(а),..., а](а),..., а ,(а)}= {[^1(1),...

, а1

а](1),...' а](т)>..., а](ы)Л..., \а3(1),..., а3(т),..., аJ(ы)]

Г

где а j (а) = [а j (1),..., aj (т),..., а j (ы)] - функциональное состояние;

ыы Ат| = П J (т).

т=1

Для определения полумарковской матрицы следует рассмотреть ы простейших полумарковских процессов

"0 /т Ь)"

J (а)= П

т=

т т

{ь1(т), Ь2(т)}

0

т 0

1 < т < М

Процессы (8) не являются эргодическими. они имеют стартовое Ь[(т) и поглощающее &2(т) состояния, 1 < т < М . Если все М процессов

стартуют одновременно, то взвешенная плотность распределения достижения т-м процессом поглощающего состояния первым определяется по зависимости;

ы

Кт

к=1, к ф т

г

где Г (г) = | /к (т)^т - функция распределения.

0

Из (9) могут быть получена вероятность и чистая плотность распределения следующим образом [15, 16]:

¥ ы

Рмтт = í /т

0 к =1 к ф т

т (г ) =

pwm

Математическое ожидание и дисперсия /м/т (г) аопределяются как обычно:

т = | ^^т (г ; 0

оо

Dwm = J

0

Полумарковской матрицы M h(t) находится как декартово произведение матриц hm (t):

ЛуГ M п

h

m=1

Строки и столбцы матрицы Mh(t) должны быть пронумерованы следующим образом:

M г

П С {1(m),..., j(m),..., J (m)}=

= Ш..., Л, 1

[«(1),..., n(m)n(M) [J (1) J (m) J (M )]]}= = {1(a),..., j (a),..., «(a),..., J (a)}

Декартово произведение двух полумарковских матриц имеет вид;

2 h

где j(a)=[j(k), j(m)], n(a)=[n(k),n(m)] - индексы в двумерном пространстве; х - обозначение декартова произведения матриц, в котором hk (t) и hm рассматриваются как специально организованные множества, таким образом декартово произведение матриц представляет собой также матрицу.

Рассмотрим функциональное состояние a[j(k) j(m)], которое представлено в декартовом произведении (16). Функциональное состояние a[j (k) j(m)] описывает соревнование между процессами в структурных состояниях aj(k) и aj(m). Пусть после переключения функциональное состояние становится a[«(k)«(m)]. В соревновании может быть только один

победитель (вероятность ничьей ничтожно мала, таким образом расстояние Хемминга между индексами j (a) и «(a) может быть следующим:

10, when j(k) = n(k), j(m) = n(m);

H = -j 2, when j

1 in all other cases.

Плотность распределения времени пребывания процесса hk(t) в структурном состоянии a j(k) юпределяется как

J

fj

n=1

Плотность распределения процесса hm (t) iв структурном состоянии a j (m) юпределяется как:

oo

J

/j(т)(г)= I hj(т),п(т)(г). п=1

Элемент полумарковской матрицы 2к(г), расположенный на пересечении [/(к), 7'(т)]-й строки и [п(к), п(т )]-го столбца определяет взвешенную плотность распределения времени переключения из функционального состояния ау(к)/(ш)] в функциональное состояние а[п(к)п(т)]. казанный

элемент может быть получен следующим образом: если Н = 0, то

" J (т) ( "

1 - I (т,п(т))(г) _ п(т)=1 _

hj

+

+

fj

" J

_ n(k)=1 _

где fj(k),j(k), fj(m),j(m) °пределяются как (1);

t

Hj (k ,n(k ))(t )=i hj (k ,n (k ))(t)dt; 0 t

H j (m,n(m ))(t )= i hj (m,n (m ))(t)dt; 0

если H = 1, j (k ) = n(k), j(m)^ n(m), то

hj (a), n(a)(t ) = fj( m), n(m )(t) если H = 1, j(kn(k), j(m) = n(m), то

hj (a), n(a)(t )= fj (k), n(k )(t) если H = 2, то

J

1 - Z Hj

n(k )=1

j (m) ( "

1 - Z Hj(m, n(m ))(t) n(m)=1

hj (a), n(a)(t ) =

Полумарковская матрица сложного процесса (14) может быть получена с использованием рекурсивной процедуры:

ы ^ )=ПС >>т (г )=ы Мг )х „, (г),

т=1

where M-1h(t) - декартово произведение M - 1 матриц ординарных процессов; hi (t) - M-я полумарковская матрица ординарного процесса.

8

Перестановка множителей в (16), (24) приводит только к перестановке строк и столбцов и не изменяет матрицу в целом.. Также необходимо заметить, что если все ординарные процессы являются эргодическими, то сложный полумарковский процесс (14) также является эргодическим. Сложный полумарковский процесс подобен ординарному процессу, но с функциональными состояниями, и для его исследования могут быть применены широко известные методы [5, 6, 11].

4. Заключение

Таким образом, выше предложен общий подход к аналитическому описанию М-параллельного полумарковского процесса и показано, что оп сводим к ординарному полумарковскому процессу, вероятностные и временные характеристики которого вычисляются с помощью достаточно простых математических операций. Дальнейшие исследования в данной области могут быть направлены на построение модели мобильного робота, описания функционирования единиц бортового оборудования представляют собой строго Марковские процессы, а также развитие чисто числовых методов оценки состояний М-параллельного полумарковского процесса.

Исследование было проведено в Соответствии с Госзадание Ми-нобрнауки № 2.3121.2017/ПЧ.

Список литературы

1. Tzafestas S.G. Introduction to Mobile Robot Control. Elsevier, 2014.

692 p.

2. Kahar1 S., Sulaiman1 R., Prabuwono1 A.S., Akma N. Ahmad S.A., Abu Hassan M.A. A Review of Wireless Technology Usage for Mobile Robot Controller // 2012 International Conference on System Engineering and Modeling (ICSEM 2012). International Proceedings of Computer Science and Information Technology IPCSIT. Vol. 34. P. 7 - 12.

3. Cook G. Mobile robots: Navigation, Control and Remote Sensing. Wiley-IEEE Press, 2011. 319 p.

4. Siciliano B. Springer Handbook of Robotics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2008. 1611 p.

5. Larkin E.V., Ivutin A.N. Estimation of Latency in Embedded RealTime Systems // 3-rd Meditteranean Conference on Embedded Computing (MEC0-2014). Budva, Montenegro, 2014. P. 236 - 239.

6. Larkin E.V., Ivutin A.N., Kotov V.V., Privalov A.N. Semi-Markov Modeling of Command Execution by Mobile robots // Interactive Collaborative Robotics (ICR 2016) Budapest, Hungary, Lecture Notes in Artifical Intelligence. Subseries of Lecture notes in Computer Science. Springer, 2016. P. 189 - 198.

7. Buttazo G.C. Hard Real-Time Computing Systems. Predictable Scheduling Algorithms and Applications. Springer Science+Buseness Media. LLC 2011. 521 p.

8. Limnios N., Swishchuk A. Discrete-Time Semi-Markov Random Evolutions and their Applications // Adv. in Appl. Probab, 2013. V. 45, N. 1. P. 214 - 240.

9. Bielecki T.R., Jakubowski J., Niew<?glowski M. Conditional Markov chains: Properties, construction and structured dependence // Stochastic Processes and their Applications, 2017. V. 127, N. 4. P. 1125-1170.

10. Janssen J., Manca R. Applied Semi-Markov processes. Springer US, 2005. 310 p.

11. Larkin E.V., Lutskov Yu.I., Ivutin A.N., Novikov A.S. Simulation of concurrent process with Petri-Markov nets // Life Science Journal, 2014. N. 11 (11). P. 506 - 511.

12. Ivutin A.N, Larkin E.V. Simulation of Concurrent Games // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modeling, Programming and Computer Software. Chelyabinsk, 2015. Vol. 8. N 2. P. 43 - 54.

13. Larkin E.V., Ivutin A.N., Kotov V.V., Privalov A.N. Simulation of Relay-races // Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2016. Vol. 9. N 4. P. 117 - 128.

14. Gallied J. Discrete Mathematics. Elementary and Beyond. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. N.Y., 2003. 453 p.

15. Bauer H. Probability Theory. Walter de Gruyter: Berlin, N.Y., 1996.

523 p.

16. Shiryaev A.N. Probability. Springer Science+Business Midia, 1996.

611 p.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ABOUT ONE APPROACH TO PARALLEL SEMI-MARKOV PROCESS SIMULATION

E. V. Larkin

Mobile robot onboard equipment functioning is considered. It is shown, that abstract analogue of one equipment unit operation is an ordinary semi-Markov process. This abstraction is insufficient for analytical modeling the mobile robot as a whole, so to simulate synchronized onboard equipment functioning, it is necessary to use more complicated abstraction based on integration of ordinary processes to so-called M-parallel semi-Markov process. For definition of such abstraction notification "functional states" as combinations of structural states is introduced. Method of definition of semi-Markov matrix parameters, such as time of residence in functional states and probabilities of switches from current functional states to neighboring functional states is proposed. Theoretical result is confirmed by modeling of homogeneous system, every unit of which may resident in "on " of "off" state.

Key words: mobile robot, cyclic algorithm, structural state, functional state, semi-Markov process.

Larkin Eugene Vasilyevich, head of chair, doctor of technical science, professor, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University