Математическая модель движения упругой стружки при глубоком сверлении

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОЙ СТРУЖКИ ПРИ ГЛУБОКОМ СВЕРЛЕНИИ

© 2006 г А.Д. Лукьянов

Введение

Операция сверления глубоких (более 6 диаметров сверла) отверстий в металлах спиральными сверлами является достаточно распространенной в машиностроении. Один из путей повышения производительности этой операции - применение специализированных систем управления сверлильным оборудованием с контролем величин усилий и моментов на инструменте. При этом для реализации оптимального управления необходимо располагать математическими моделями динамических процессов, протекающих в станочной системе. Силы резания при сверлении исследовали достаточно подробно [1-3], однако динамические процессы при глубоком сверлении - явно недостаточно. Для заполнения этого пробела в работе предложена разработанная на физическом уровне строгости математическая модель, которая позволяет описывать движение стружки по стружкоотводящей канавке. Предметная область ограничена материалами, при сверлении которых образуется упругая сливная стружка. К таким материалам относятся многие жаропрочные и нержавеющие стали, а также титан и его сплавы. Построение математической модели процесса движения стружки произведено именно для такого случая, однако качественные результаты моделирования могут быть экстраполированы и на прочие виды стружек и, соответственно, материалов.

Анализ сил, действующих на сверло при глубоком сверлении

Исследование процесса сверления показывает, что при сверлении определяющее значение имеют следующие силы:

- резания, приложенные к режущим кромкам сверла;

- трения, возникающие в результате движения стружки;

- по стружкоотводящим канавкам;

- упругие, возникающие в результате упругих деформаций материала обрабатываемой заготовки.

Закономерности формирования сил резания при глубоком сверлении, если не происходит пакетирования стружки, принципиально не отличаются от обычного сверления. Тангенциальная компонента сил резания вносит вклад в формирование крутящего момента, а осевая - в формирование осевой силы, действующей на сверло.

Упругие силы, действующие на сверло, начинают играть существенную роль при затуплении инструмента. Наибольший вклад они вносят в осевое усилие, хотя за счет возрастания сил трения на задней поверхности сверла, а также при потере инструментом осевой устойчивости - за счет возрастания сил трения инструмента о стенки отверстия, увеличивается и крутящий момент. В данной работе вопросы затупления инструмента не рассматриваются, поэтому анализ формирования упругих сил подробно проводиться не будет.

Силы трения, возникающие при движении стружки по стружкоотводящей канавке, а также при движении относительно поверхности отверстия, при глубоком сверлении приобретают определяющую роль. Увеличение длины стружки в стружкоотводя-щей канавке приводит к постепенному увеличению крутящего момента, действующего на сверло, а прекращение движения стружки - к быстрому нарастанию крутящего момента и заклиниванию или поломке сверла.

Зависимости момента и осевого усилия от глубины сверления, экспериментально регистрируемые при глубоком сверлении, показывают, что тенденция изменения этих величин одинакова, хотя сигнал осевого усилия во всех случаях более стохастичен. В целом тенденция изменения силовых характеристик при глубоком сверлении следующая:

- в начале каждого заглубления наблюдается переходный процесс, определяемый врезанием сверла в заготовку с учетом упругой деформации подсистемы инструмента под действием осевой силы. Если глубина просверленного отверстия значительна, но не превосходит критическую, то также заметно влияние процесса заполнения стружкой стружкоотводящей канавки;

- после окончания переходного процесса до достижения критической глубины сверления наблюдается практически линейное нарастание величины осевого усилия и крутящего момента по мере увеличения глубины просверливаемого отверстия из-за увеличивающегося пути стружки по стружкоотводящей канавке;

- после достижения критической глубины сверления начинается нелинейный рост величин крутящего момента и осевого усилия, быстро достигающих предельных для процесса обработки значений. При свер-

лении отверстия на закритической глубине линейного участка силовых характеристик практически не наблюдается, после переходного процесса сразу начинается пакетирование стружки.

Таким образом, процесс движения стружки по стружкоотводящей канавке является определяющим при формировании нестационарной составляющей силовых характеристик процесса глубокого сверления, и наиболее важным для реализации систем оптимального управления.

Моделирование движения сливной стружки при сверлении глубоких отверстий

Протекание процесса выхода стружки существенным образом зависит от свойств обрабатываемого материала и режимов обработки. При обработке жаропрочных и труднообрабатываемых металлов и сплавов (нержавеющие стали, титан и т.п.), как правило, формируется сливная стружка в виде тонкой (порядка 1/8 ^ 1/10 мм, определяется режимами обработки) упругой ленты (рис. 1).

Рис. 2. Структурная схема модели движения стружки по стружкоотводящей канавке

Рассмотрим случай, когда инерционными процессами при движении стружки по стружкоотводящей канавке можно пренебречь.

Приведенная ниже система уравнений описывает взаимосвязь сил и координат в модели при проекции сил на направления 'ОА' и 'ОВ':

кх1 = р вта1 - Р2 вта2 - Ртр1

1:

N = F1 cos a1 + F2 cos a2

hxt = R sina - Fi+i sina+i + Fa cosa+i - Fa, cosa - Fw

Ni = Fi cosai + Fi+1 cosai+i + Fai slna+i + Fa slnai

Рис. 1. Недеформированная (а) и деформированная (б) стружки, полученные при обработке титана

Под действием сил трения о стенки стружкоотво-дящей канавки и просверливаемого отверстия лента собирается в гармошку с достаточно регулярной структурой. При этом трение происходит не по всей поверхности ленты, а только в точках контакта изломов гармошки с инструментом и заготовкой. Силы трения, действующие на сегменты гармошки, приводят к их деформации, а деформация - к возрастанию сил нормального давления и к дальнейшему увеличению силы трения. В тот момент, когда результирующая сил трения, действующая на сегменты стружки, превосходит силу, толкающую стружку по стружко-отводящей канавке, стружка останавливается, пакетируется и происходит заклинивание.

По структуре и физическим свойствам такая стружка напоминает металлическую ленту или фольгу и обладает заметной прочностью и упругостью. Для исследования закономерностей движения подобной стружки была предложена механическая модель, структура которой приведена на рис. 2.

Ып = р вт «„ -Ып = р соиап

В системе (1) использованы следующие обозначения: Р - внешняя сила, которая действует на гармошку

из стружки; р , ' = 2, п - силы, возникающие в результате упругой деформации элементов стружки; Ра1, I = 2, п - силы, возникающие в результате продольного сжатия гармошки из стружки, и зависящие от угла между сегментами стружки; , г = 1, п - силы нормального давления в вершинах гармошки; а,, I = 1, п - углы между нормалью и соответствующим элементом стружки; рр г, г = 1, п - сила трения скольжения стружки о поверхность инструмента и заготовки; хг, г = 1, п - расстояние от начала стружки до соответствующей вершины гармошки; к- коэффициент вязкого трения скольжения стружки о поверхность инструмента и заготовки.

Сила трения скольжения ррг выражается через

силу нормального давления и коэффициент трения к-ч>: рр 1 = ктр. Значения коэффициента трения

стружки о поверхность инструмента и о поверхность заготовки взяты одинаковые, хотя в общем случае они могут различаться.

Так как сила трения скольжения Ртр г возникает

только при движении и протовонаправлена вектору скорости, а также для учета влияния силы трения покоя (движение не начинается, пока внешняя сила не

превысит величину ктрtN¡ ) модель необходимо дополнить логическим условием начала движения для соответствующей вершины гармошки (ввести трение покоя):

\f¡ sina - F+1sina+1 + fa¡ cosa - fa cosa| > \kmpn\

Сила упругой деформации элементов стружки Fi при малых деформациях соответствует закону Гука, однако для больших деформаций вводится нелинейная составляющая, описывающая жесткость стружки при соприкосновении сегментов и задаваемая гиперболической зависимостью:

Fi = С1

при этом через x0 обозначена длина недеформиро-ванного сегмента, а с1 и с4 - соответственно коэффициенты жесткости для линейной и нелинейной составляющих силы упругости. Аналогично задается выражение для силы, возникающей в результате продольного сжатия стружки:

Fai = С2

Здесь с2 и с3 - линейный и нелинейный коэффициенты угловой жесткости; ao - угол между сегментами стружки в недеформированном состоянии.

В результате всех подстановок получается следующая система дифференциальных уравнений, описывающая динамику движения стружки по стружко-отводящей канавке:

Исследование модели

В силу существенной нелинейности рассматриваемой модели получить аналитические решения не представляется возможным. По этой причине исследование проводилось численно. С практической точки зрения интерес представляют условия, при которых происходит прекращение движения стружки, а также соответствующие значения сил нормального давления, по которым можно определить величину крутящего момента и осевого усилия, действующего на сверло. При отсутствии силы сухого трения

и задании гармошки стружки, изначально деформированной с помощью начальных условий, наблюдается нормальное (с точки зрения механики) ее расширение. На рис. 3 показано движение изначально деформированной гармошки при отсутствии (а) и наличии (б) силы со стороны зоны резания.

В целом, для выбранных параметров: с1=1000, Н/м; с2=10, Н/рад; с3=10, Н-рад; с4=10-

(Н-м)3; h=10,

3

x = 1 r

h

x = 1 r

h

-c

sinaL-щ ктр cosa

С1 (X0 -(Х2 - X )) + CJ (X2

'X) 11 -Xkmpctgai

ci (x -(x- x- ))+ cJ (x - x-1)1 -Y¡r\ kwc'ga (+1- x))+ cJ (+1- x)3

1-\t\k"pCtga'+''+

i-(c2 (( +a+1 )-ao)+c3> (a +a+1 ))|

- ТГ1ктр (

h | | c1 (X -(X, - Xn-1)) + cJ (x - Xn-1) 1 -X^kTpctgan

дополненная условием (2 ) и формулой для расчета

углов:

a = arctg

л )

где Л - глубина стружкоотводящей канавки.

Формально система (5) записана не совсем корректно в части зависимости & от 1, однако при

численном расчете это разрешается за счет использования значения скорости, вычисленного на предыдущем шаге.

Н/(м-с); Лтр=0; Л=0,004, м; а1=л/6, рад; х0=10"~, м; х1(0)/х0=0,8; ¿отн =10-10; ¿абс=10-11 - картина поведения стружки представляется правдоподобной.

Наиболее важным и интересным для практики результатом является суммарная по все точкам контакта между стружкой, инструментом и заготовкой величина силы реакции опоры , которая может быть получе-

чл на суммированием всех сил реакций N . На рис. 4д приведена зависимость во времени величины суммарной силы реакции опор для 10 сегментов стружки, а на рис. 4е - зависимость величины суммарной силы от числа сегментов стружки.

При достижении силой трения Лтр величины, равной внешней силе, произойдет остановка стружки. Особо следует обратить внимание на то, каким образом она происходит. Уплотнение и пакетирование начинается со стороны зоны резания при незначительной деформации на противоположной стороне стружки.

Следует отметить, что в силу разрывности при X = 0 характеристики сухого трения, полноценно смоделировать динамику остановки стружки не удалось. Поэтому приближенную оценку числа сегментов стружки можно получить по зависимости суммарной силы реакции опоры от числа сегментов (рис. 4д), умножая ее на коэффициент трения, и сравнивая с величиной силы ¥, толкающей стружку.

sina,+, + sin a

X, =

I 2

э

а 1

S 0

0.4 0.6

время, с

5

s

S

£ 4

S

3 а о

СО 3

л

I-

(Q X

t2

о

1

0.4 0.6

время, с

Рис. 3. Решение системы (5): a - Fi=0; б -Fi=0,01H

3

6

16

12

а 8

0.4

<ц 1

0

25

0 п. п„ 0 20 40 60 80 100

0-4 0-6 0-8 1 число сегментов стружки

время, с

Рис. 4. Координаты (а); углы раствора элементов стружки (б); силы реакции опоры (в); установившаяся конфигурация (г) для стружки из 10 сегментов; суммарная сила реакции опор М- (д) для 10-сегментной стружки; зависимость М- от числа сегментов стружки (е) р =1Н

4

0

1

2 3 4 5

мм

20

15

10

" 5

Если для рассматриваемого случая то остановка стружки р = 90 сегментах,

взять Лтр=0,05 произойдет при

x, = —

= h

1 (f

= h (F- si

что качественно согласуется с длинои стружки, получаемой экспериментальной (рис. 1, количество сегментов - 63). На самом деле, так как сила сухого трения будет дополнительно уплотнять стружку в стружкоотводящей канавке, вызывая дополнительное увеличение силы нормального давления, полученная оценка оказывается оценкой сверху, и на практике стружка начнет пакетироваться при п<пкр.

Модель движения стружки переменной длины

При реальном сверлении кроме непосредственно движения стружки происходит ее непрерывное образование, и до тех пор, пока стружка не начнет выходить из отверстия, количество сегментов стружки внутри просверливаемого отверстия будет увеличиваться. Приведенная выше динамическая модель не может описать этот процесс, поскольку при увеличении количества сегментов стружки необходимо увеличивать порядок системы дифференциальных уравнений.

Для добавления сегментов стружки было использовано постепенное подключение новых уравнений по мере образования сегментов и движения стружки по стружкоотводящей канавке. Подключение уравнения, описывающего движение следующего сегмента стружки происходит после того, как предыдущий сегмент удалился от зоны резания на некоторое расстояние. Например, в качестве такого расстояния можно взять проекцию последнего сегмента стружки на горизонтальную ось (рис. 2). Или величину в = 1,1 раза меньше, что примерно соответствует расчетным значениям отношения длин соседних сегментов.

Скорость образования нового сегмента стружки зависит от частоты вращения сверла и приближенно может быть оценена как

Уу =п-/• г,

у ^

где /- частота вращения сверла; г - его радиус. При использовании (6) для определения момента формирования нового сегмента стружки следует учитывать тот факт, что сегмент формируется изначально деформированным под действием сил со стороны уже сформировавшейся стружки и со стороны зоны резания. В недеформированном состоянии для выбранных параметров модели сегмент стружки имеет длину Уо = d/соБа! = 4,6 мм.

При частоте вращения сверла ^=800 об/мин и радиусе г = 62 мм получается, что стружка образуется со скоростью Уу = 260 мм/с, что соответствует образованию примерно 56 ^ 57 сегментов в секунду и размеру стружки, показанной на рис. 1.

Рассмотрим последовательно, как с помощью дифференциальных уравнений можно описать динамику формирования и движения стружки по стружко-отводящей канавке. Для удобства изменим по сравнению с (1) нумерацию узлов стружки, нумеруя их по мере появления (рис. 5).

Движение многосегментной стружки описывается системой уравнений

sina. - F. , sina. , + F. cosa. , - F. cosa. -

-ктр

sin а - , sina

Структура модели образующейся стружки

Силы упругости определяются аналогично (3) и (4), но с учетом изменения порядка следования узлов:

^=с

Fm = с2 (а+а - х0) + сз/(а-+а). В целом расчет движения стружки ведется по следующему алгоритму:

- новый сегмент стружки появляется каждые

t =

= Уо/v

с;

- расчет начинается для стружки из одного сегмента, при этом сила, действующая на стружку со стороны зоны резания, постоянна и направлена под одним и тем же углом ап;

- расчет движения стружки из  сегментов производится в течение времени после чего к стружке добавляется новый сегмент.

Существенную сложность при расчете динамики движения стружки вызывает подбор и идентификация параметров динамической системы. Это связано с затруднениями в измерении коэффициентов трения к и ктр, а также величин с1 ...с4 жесткости стружки.

Расчет движения стружки, приведенный на рис. 6, показывает, что предложенная модель не свободна от определенных погрешностей.

В частности, при малой величине коэффициента диссипации к и большой величине силы Fn происходит вытягивание первых сегментов стружки вместо их сжатия (зона А). С другой стороны, при больших значениях к и малых значениях Fn стружка не успевает уходить от зоны резания, и происходит выпячивание сегментов стружки внутрь зоны резания с отрицательными значениями координат (зона Б). Эта погрешность возникает, по-видимому, из-за противоречия между действием на стружку постоянной силы Fn со стороны зоны резания и независимостью величины этой силы от координаты смещения последнего образовавшегося сегмента.

3

г s

3 ¡2

3 а ф со <0 ь га

i1

ä о о

0 0.1 0.2 0.3

время, с

Рис. 6. График координат движения вершин стружки для модели

Также артефактами являются изломы на кривых координат, связанные со скачкообразными изменениями сил в модели при подключении очередного сегмента стружки.

Для частичного устранения этих погрешностей следует учесть изменения силы Fn. Рассмотрим формирующийся сегмент стружки как упругий элемент, имеющий постоянную 'погонную' жесткость, зажатый между двумя подвижными точками опоры и увеличивающий свою длину со скоростью образования стружки vy. Под погонной жесткостью сп понимается величина, связывающая жесткость элемента стружки с его длиной: c (t) = cn/y0 (t).

Если y0 (t) = vt - длина недеформированного

сегмента стружки, образовавшегося за время t, а y (t) = xn (t)/sin (an) - длина деформированного сегмента стружки, то сила Fn, двигающая стружку по стружкоотводящей канавке, оказывается равна:

f„ (t )=c (t )( (t)-y (t ))=ь- í vyt - -na

v ' vyt ^ Sin

Приведенные выражения справедливы до тех пор, пока сегмент не образуется полностью (xntg (an) < d),

после чего начинается образование нового сегмента стружки.

Более точный учет силы, действующей на стружку со стороны зоны резания, требует рассмотрения процессов при стесненном резании, когда существуют внешние силы, действующие на стружку и затрудняющие ее движение. При этом в зоне стружкообра-зования происходят компенсационные изменения, заключающиеся в изменении баланса напряжений в зоне стружкообразования, в увеличении коэффициента усадки стружки и как следствие в изменении толщины стружки и повышении ее жесткости. Такие изменения в структуре стружки, с одной стороны уменьшающие скорость стружкообразования, а с другой - увеличивающие жесткость и устойчивость стружки, позволяют скомпенсировать внешние силы и обеспечить вывод стружки из зоны резания. Согласно представлению о механике процессов упруго-пластической деформации материала в зоне резания [4, 5], сила, выталкивающая образовавшуюся стружку

из зоны резания, представляет собой сумму напряжений в срезаемом материале по площади зоны скольжения. Предельное напряжение, возникающее в зоне стружкообразования, в среднем есть величина постоянная, определяемая модулем сдвига обрабатываемого материала. Увеличение силы, действующей на стружку со стороны зоны резания, достигается за счет изменения наклона зоны скольжения и увеличения ее площади. Однако подробное рассмотрение этого процесса выходит за рамки разрабатываемой модели, хотя, безусловно, интересно.

Особую трудность при расчете динамики движения стружки представляет учет скоростной характеристики трения, выражающейся через функцию с разрывом первого рода при х = 0 . К сожалению, не существует численных методов, которые бы позволили эффективно рассчитывать динамические системы с подобными характеристиками. Возможным выходом из сложившейся ситуации является аппроксимация скоростной характеристики трения гладкой функцией, имеющей характеристику, близкую к тангенсоиде. При этом момент остановки стружки все равно приходится определять внешним по отношению к расчетной процедуре действием, считая, что стружка останавливается в том случае, когда скорость ее движения падает ниже наперед заданного значения.

Заключение

1. Разработанная математическая модель движения стружки хоть и является достаточно грубой, однако позволила получить важный качественный результат, заключающийся в том, что остановка и заклинивание стружки происходят со стороны зоны резания.

2. Математическое моделирование позволило получить оценку сверху для количества сегментов стружки, при котором произойдет ее остановка в стружко-отводящей канавке. Для выбранных характеристик стружки и процесса обработки количество сегментов стружки лежит в диапазоне 60-100, что соответствует экспериментально наблюдаемым размерам стружки.

3. Моделирование производилось для сливной стружки, характерной для обработки материалов высокой вязкости (титанового сплава, нержавеющей стали), для которых стружка имеет форму пружинящей гармошки. Тем не менее качественные результаты моделирования, описывающие процесс заклинивания стружки, могут быть перенесены и на случай фрагментированной стружки. В то же время для получения количественных оценок модель необходимо преобразовать таким образом, чтобы вместо пружинящей гармошки в ней учитывалось движение отдельных элементов, упруго взаимодействующих как друг с другом, так и с инструментом и заготовкой. Одним из возможных вариантов такой структуры является последовательность сегментов, наклонно и параллельно расположенных в стружкоотводящей канавке сверла.

4. Особо обратим внимание на внешний вид стружки, движущейся по стружкоотводящей канавке. Моделирование показывает, что стружка оказывается более спрессована со стороны зоны резания, и остановка стружки определяется возрастанием сил трения преимущественно со стороны зоны резания. Исходя

о

из этого, можно утверждать, что при остановке и пакетировании стружки упругих явлений, определяемых жесткостью стружки как пружины, наблюдаться не должно, стружка должна останавливаться сразу, мгновенно. Наблюдаемые же в экспериментах относительно плавные переходы от скольжения стружки к заклиниванию могут быть объяснены следующими причинами:

- деформациями инструмента и преобразующей системы станка, сглаживающими резкое возрастание крутящего момента за счет упругих свойств. Особенно ярко этот эффект проявляется при сверлении отверстий тонким длинным инструментом;

- малой жесткостью механической характеристики привода. Привод с малой жесткостью может специально применяться в системах глубокого сверления для исключения поломок инструмента. В сочетании с предыдущим эффектом может происходить очень большое сглаживание переходных процессов;

- моделирование движения стружки проводилось для идеально гладких поверхностей инструмента и заготовки, а также для идеальной структуры стружки. В реальной же системе и поверхность инструмента и стенки отверстия являются шероховатыми, образующаяся стружка не будет иметь совершенно регулярной структуры, что делает возможным и вероятным различные зацепы стружки за неровности, проскальзывание вершин сегментов стружки и т.д., сглаживающие картину остановки стружки.

Первые две причины могут быть учтены за счет определения характеристик упругих подсистем инструмента и станка, а также характеристик привода. Третий эффект имеет принципиально случайную природу и его вклад может быть оценен статистическими

Донской государственный технический университет

методами после учета вклада двух предыдущих эффектов. Причем третий эффект более заметен в характеристике осевого усилия, поскольку относительная скорость продольного движения стружки меньше, чем скорость скольжения по поверхности детали.

В целом при условии разработки соответствующей процедуры идентификации параметров модели (над созданием которой сейчас ведется работа) можно сказать, что полученная математическая модель может найти применение для выработки стратегии управления в системах автоматического управления процессами сверления глубоких отверстий, а также как составная часть эталонной модели сверления для системы управления.

Литература

1. Вульф А.М. Резание металлов. Л., 1973.

2. Армарего И.Дж.А., Браун РХ. Обработка металлов резанием. М., 1977.

3. Грановкий Г.И., Грановкий Г.Г. Резание металлов: Учебник для машиностр. и приборостр. спец. вузов. М., 1985.

4. Хеллан К. Введение в механику разрушения: Пер. с англ. М., 1988.

5. Розенберг А.М., Розенберг О.А. Механика пластического деформирования в процессах резания и деформирующего протягивания: Учебник для машиностр. и приборостр. спец. вузов. Киев, 1990.

6. Панов Е.Ю. Повышение производительности и надежности провеса сверления глубоких отверстий малого диаметра спиральными сверлами за счет диагностики состояния и векторного управления его координатами: Дис. ... канд. техн. наук. Ростов н/Д, 2003.

13 февраля 2006 г.