Интеграция сетевых моделей проектов и оценка их рисков

Проблемы экономики и менеджмента

УДК 330.519.1

Ю.В. Литвин

канд. экон. наук,

зам. зав. отделом «Анализрисков нефтегазовых проектов»,

ООО «НИИгазэкономика»

ИНТЕГРАЦИЯ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ ПРОЕКТОВ И ОЦЕНКА ИХ РИСКОВ

Аннотация. Одним из способов преодоления проблем высокой размерности сетевых моделей проектов является интеграция входящих в них работ. Интеграция обеспечивает прозрачность процессов реализуемых проектов, ускоряет принятие решений, уменьшает затраты и расширяет возможности высшего руководства в управлении. В статье развиваются методы интеграции работ отдельных проектов, обеспечивающих определение распределений вероятностей, моментов и рисков их выполнения, путем систематического использования операций свертки и расчета распределений времени параллельного, и альтернативного выполнения работ. Применяемый подход иллюстрирован простыми примерами.

Ключевые слова: управление проектами, сетевая модель, интеграция сетевой модели, риски.

Y.V. Litvin, LLC «NIIgazeconomika»

INTEGRATION OF THE NETWORK MODELS, PROJECTS AND ASSESSING THEIR

RISKS

Abstract. One way of overcoming the problems of high dimension network models project is the integration within them works. Integration ensures transparency of the implemented projects, accelerate decisionmaking, reduces costs and extends the capabilities of senior management in the management. The article develops the methods of integration of work of individual projects ensuring the determination of the probability distributions of chances and risks of their implementation, through systematic use of convolution operations and calculation of the time distribution of a parallel and alternative completion of works. This approach is illustrated by simple examples.

Keywords: project management, network model, integration of the network model, risks.

Введение

Инвестиционные проекты нефтегазовой отрасли в своем большинстве направлены на разработку месторождений, добычу, транспортировку, переработку и доставку потребителям энергетических ресурсов. Отличительной особенностью такого рода проектов является их высокая инвестиционная стоимость и большая длительность разработки. Жизненный цикл подобного проекта обычно состоит из ряда стадий, на каждой из которых решаются задачи проектирования, реализации и управления создаваемым объектом. Несмотря на значительное разнообразие работ отдельных стадий, для каждой из них можно выработать общие проектные и управленческие решения. Такая стандартизация позволяет создать методическую базу, облегчающую выполнение указанных работ, учитывая особенности каждого рассматриваемого случая. Практика разработки и управления проектами получила существенное развитие и широко используется в реальной деятельности компаний [1, 2].

Особое место в управлении проектами в последние десятилетия заняла проблема управления рисками. Реализация проектов в условиях неопределенности и вероятностного характера значительного числа факторов во многом сводится к определению принимаемых проектом на себя рисков, управление которыми выделено в качестве само-

46

№ 8 (24) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

стоятельной научной области знаний [3, 4].

Существенное место в управлении проектами занимают методы аналитического анализа сетевых моделей, в частности, метод критического пути, метод PERT, методы освоенного объема и имитационные модели [5]. Значительные трудности применения сетевых моделей связаны с масштабами оцениваемых систем. В случае небольших проектов менеджмент имеет возможность управлять всеми работами и оценивать риски, в основном, базируясь на интуиции и прошлом опыте. Однако управление большими проектами на длительных интервалах времени их разработки и реализации ставит перед менеджментом более сложные проблемы, в частности, проблемы выполнения оценок ключевых показателей эффективности и рисков. Одним из способов преодоления проблемы высокой размерности при принятии управленческих решений является интеграция работ, что позволяет целостно представлять и оценивать проекты, и выявлять критические пути. Кроме того интеграция повышает прозрачность проектов, ускоряет принятие решений, способствует уменьшению затрат, делает более значимой роль высшего руководства в управлении.

В настоящей статье развиваются методы интеграции работ отдельных проектов, базирующиеся на определении функций и плотностей распределения вероятностей (ФР и ПР) интегрированных работ, полученных путем выполнения операций свертки и определения ПР параллельно или альтернативно выполняемых работ. Акцент на вероятностные распределения обусловлен тем обстоятельством, что одним из ключевых показателей оценки рисков проектов является вероятность наступления того или иного рискового события. Кроме того попытка найти усредненные показатели времени выполнения интегрированных работ также требует поиска соответствующих распределений. Вопросам оценки вероятностных характеристик, с которыми вынужден работать менеджмент проектов, посвящено множество исследований. В части возможностей интеграции процессов проектов также разработан ряд методов и методик, детально описанных в работах [5, 6]. В то же время процедурам определения функций распределения параллельно выполняемых работ в больших проектах не уделялось достаточно внимания, что ограничивало возможности использования аналитических методов в оценке рисковых событий их реализации. В настоящей статье данная проблема решается путем применения методов порядковых статистик [7, 8] в случае, когда исходные времена параллельного выполнения работ независимы и имеют различные функции распределения. Использование данного аппарата совместно с методами свертки позволяет при различных сценариях реализации проектов интегрировать процессы их выполнения и оценивать возникающие при этом риски по итоговым распределениям. Громоздкость получаемых в общем случае выражений компенсируется высокой информативностью получаемых результатов и легкостью реализации созданных процедур на компьютерах. Для наглядности и с целью уменьшения громоздкости используемых выражений будем демонстрировать рассматриваемый подход на простых примерах проектов с экспоненциальными или дискретными распределениями времени выполнения работ. При этом

№ 8 (24) - 2013

47

Проблемы экономики и менеджмента

рассматриваемые методы практически без изменений переносятся и на общие случаи распределений времени параллельного выполнения работ.

Стохастические графы реализации проектов, содержащие последовательные и параллельные ветви

Одним из широко используемых инструментов планирования и контроля выполнения проектов являются сетевые модели без петель и обратных связей. Известно, что такая сетевая модель представляет собой граф G (A, B), состоящий из множества вершин А и дуг B, отражающих события проекта и выполняемые работы [5]. Во многих случаях события могут инициировать одновременно несколько параллельно выполняемых работ, что находит отражение на графе в виде соответствующего числа дуг. В случае последовательного соединения дуг через промежуточные события (узлы графа), работы будут выполняться одна за другой. Считаем, что сеть имеет одну начальную вершину и одну завершающую. В процессе преобразований графа в него могут вноситься фиктивные дуги и узлы, которые не отражают какие-то реальные работы или события, но используются при его реорганизации.

На рисунке 1 для иллюстрации приведен пример графа проекта, состоящего из n узлов (событий) и множества последовательно, параллельно и альтернативно связывающих их дуг и путей. Например, дуги между событиями k и k+2 соответствуют работам, выполняемым последовательно, а между событиями d и d+1 - работам, выполняемым параллельно, и наконец, пути, начинающиеся с узлов 2 и 3, являются альтернативными: каждый из них может быть реализован с вероятностями

ах или а2, ах + а2 = 1.

В приведенном примере сети присутствуют последовательно, параллельно и альтернативно выполняемые работы. Ключевой характеристикой любой работы является длительность ее выполнения, т.е. время, которое проходит между событиями от ее начала до завершения. Кроме длительности, работы могут характеризоваться рядом других параметров: стоимостью, порядком выполнения, трудозатратами, требуемыми материальными ресурсами, задержками и др. В рассматриваемом графе время выполнения каждой работы является либо фиксированным (детерминированным), либо случайным с заданным вероятностным распределением. На рис. 1 для работ со случайным временем выполнения указаны плотности распределения f (t) .

Как отмечалось выше, одной из важных задач является оценка распределения

48

№ 8 (24) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

итоговой длительности проекта в зависимости от распределений времени выполнения работ и порядка их выполнения. Зная это распределение, можно получить оценки рисков несвоевременного выполнения проекта. Рассмотрим вначале фрагменты графа и определим время выполнения ими работ по известным исходным распределениям. Затем будет приведен алгоритм упрощения структуры графа, используя полученные оценки.

Распределение времени выполнения работ, представленных последовательными и параллельными фрагментами графа

Рассмотрим следующие три возможные структуры фрагментов графа, которые обычно встречаются в сетевых моделях проектов. Считаем, что длительности выполнения работ в представленных фрагментах являются независимыми случайными величинами (сл. в.), заданными на непрерывном (Х, е 0, да) или на дискретном (Х, е 0,1,2,...,L) множествах, где i обозначает номер работы с функцией распределения Fi(t) и плотностью fi(t).

1. Фрагмент графа с n последовательно выполняемыми работами

М

Рисунок 2 - Плотность распределения времени последовательно выполняемых работ

Итоговое распределение является сверткой указанных на рисунке плотностей распределений времени последовательно выполняемых работ. Для определения свертки сл. в. чаще всего последовательно используется рекуррентная формула [8]

gi(t) = fi(t X

g

Далее будем использовать следующее обозначение f (t) = gn (t).

Явные выражения могут быть получены, применяя преобразование Лапласа

л, л да

f(s) = I e~stf (t)dt [8, 9] для свертки n последовательных сл. в. c экспоненциальными

J 0

распределениями, задаваемыми параметрами м, i = 1, n

М

f(s) = П П=1

s = М

дроби

Плотность распределения проще всего найти путем разложения (2) на простые

f (t) = 2 A,Me,

i =1

№ 8 (24) - 2013

49

Проблемы экономики и менеджмента

где Ai

П

м

г Фj м, - м

для всех i Ф j, Mi Ф М,.

Из (2) легко определить среднее значение (т), с.к.о. (ст) и коэффициент вариации (С) времени последовательного выполнения n работ.

- d

т =-----

ds

Я s)|s=0

n 1

у i=1 м ’

т2=ds2 f( s)s=o=у: i А+<у i Мм}

ст = £ - (т)2 =

n 1

у=м

C с

2

ст

—2

т

Еп 1

i=i , :

i=1 м2

(Уn -)2 Zj'=1 м

Так как числитель и знаменатель - целые действительные числа, а знаменатель помимо слагаемых числителя, содержит положительные удвоенные произведения составляющих, то он больше числителя

уn _L < (уп ±)2

У i=1 м2 <(у i=1 м

то C < 1.

1 n

В случае, когда Viм = м, C = —;=, n = 1,2,....уXYi

yjn i=1

В дискретном случае распределения случайных величин часто задаются ввиде последовательности (Up i=1,2,.,n), где U - значения сл. в., а pi -вероятности. Удобным инструментом определения распределений сл. в. служит метод производящей функции моментов. Рассмотрим его применение на примере суммы двух сл.в. Х] и X2 (X

= X] + Х2)

Mx

где E - математическое ожидание.

Моменты сл.в. могут быть определены из (3) путем дифференцирования (M-k)(0) = X(k), где X(k) - центральный момент k-го порядка сл. в. Х) или путем оценок,

полученным по итоговому распределению.

Продемонстрируем применение (3) для определения итогового распределения времени последовательно выполняемых работ на простом примере. Пусть времена выполнения двух работ X] и X2, имеют следующие дискретные распределения (единицы

50

№ 8 (24) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

измерения опускаем)

0,15, t = 3, 0,2, t = 1,

/i

0,2, t = 4, .0,3, t = 5,

0,3, t = 5, <0,5, t = 7, .0,2, t = 9.

Для определения распределения Х = X]+X2 воспользуемся производящей функ-

цией моментов (3). Т.к.

MXi (t) = 0,15e3t + 0,2e' + 0,15e2t + 0,2e4t + 0,3e5t, MX 2(t) = 0,3e5t + 0,5e7t + 0,2e9t,

то

MX (t) == 0,06e6t + 0,045e7t + 0,145e8t + 0,135e9t +

0,205elot + 0,03em + 0,28em + 0,04e13t + 0,06e14 ‘.

Таким образом итоговое распределение суммы двух сл. в. Х1 и Х2 будет следующим (см. табл. 1).

Таблица 1 - Распределение суммы двух дискретных сл. в.

Х 6 7 8 9 10 11 12 13 14

ft) 0,06 0,045 0,145 0,135 0,205 0,03 0,28 0,04 0,06

Используя полученное распределение, легко определить первый и второй моменты выполнения интегрированной работы: т = 10,15; а = 2,13.

2. Рассмотрим теперь фрагмент графа с k параллельно выполняемыми работами.

Рисунок 3 - Фрагмент графа с параллельно выполняемыми работами

Считаем, что каждая работа i выполняется независимо от других работ случайное время с ФР f (t) и плотностью f (t) . Моменты времени завершения выполнения

работ обозначим через X1, X2,..., Xk. Упорядочим их по возрастанию, введя новое обозначение X( r), указывающее на момент r-го по порядку завершения одной их работ. Тогда X в данной выборке будут упорядочены следующим образом: X(1) < X(1) < X(2) < • • • < X(k). Понятно, что из-за случайной длительности выполнения

каждой работы i, в качестве r-ой может оказаться любая из них. Причем, в случае другой выборки упорядочение будет иным. Тогда плотность распределения r-го интервала времени

№ 8 (24) - 2013

51

Проблемы экономики и менеджмента

будет иметь следующий вид [7]

ЛЛ) =

где Z p - обозначает сумму всех k! перестановок (i1,i1,...,ik) из (1,2,...,k);

t e (0, да) .

Выражение (4) может быть представлено в матричной форме, что снижает громоздкость записи, а в ряде случаев, упрощает процесс вычислений.

fr'

где Per A - перманент матрицы А;

( F1(t) F2(t) ••• F,(t) 'l }r-1

A =

2 W ^ k

m m ••• /,

1 - F1(t) - F2(t) •••- F, (t) ,

}1,

}k -1

} i - обозначает i совпадающих строк матрицы.

Перманент определяется подобно детерминанту матрицы, только все слагаемые при этом берутся с положительными знаками. Вычисление перманента представляет собой трудоемкую операцию. Для квадратной матрицы А перманент может быть рассчитан, используя следующую формулу [10]

Per

где A1 - матрица А, в которой элементы в i столбцах заменены нулями; S(A ) - произведение сумм строк матрицы A ;

Z S(A ) - сумма всех произведений суммарных строк матрицы A .

Проведем вычисление плотности распределения параллельного выполнения трех работ с функциями распределения времени выполнения F1 ft), F2 ft) и F3 ft), и с

плотностями f1 ft), f2 ft) и Л ft). В этом случае матрица (6) примет следующий вид.

A;

' F1ft) F2 f t) F; f t)' F1ft) F2 f t) F; f t)

4 f ft) Л f t) f; ft )/

Используя правило (7), получим

fm ft) = 1Per fЛ) = 2 {[F1 ft) + F2 ft) + F2 ft)][Л1 ft) + f2 ft) + f; ft)] -

- [F2 ft) + F; ft)][F2 ft) + F; ft)]Л ft) + f; ft)] -

- [F ft) + F; ft)][F ft) + F; ft)][f ft) + f; ft)] -

52

№ 8 (24) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

- и (t)+f2 (tЖ (t) + F (t)][f (t) + f (t)]} =

=[F (t) F (t) f,(t)+F (t) F (t) y;(<) + f (t) f (t) f (t)].

все работы имеют один и тот же закон распределения, то получим

f„)(t) = 3F2 (t) f (t).

В виду широкого использования на практике экспоненциальных распределений, рассмотрим случай, когда параллельно выполняемые работы имеют ФР

F

f(3) (5 ) = ZL

М

М; + М2

М; + Мз

М2 + Мз + М; + М2 + Мз

5 + М 5 + м; + М2 5 + М; + М3 5 + М2 + М3 5 + М; + М2 + М3

Тогда моменты времени параллельного выполнения всех работ определяются известным образом

— d 2 / \ х^3 ; ;

т(3) = - d5 f(3)(5 )|5=о = ^=; ~

1

1

+

;

Mi М; + М2 М; + М3 М2 + М3 М; + М2 + М3

f

d2 2 / ч ; ; ;

, 2 f(3) (5)к=о = 2[Х 2 _ , ч 2 ~ , ч 2

d5 50 i=; Mi

+

(М2 + М3)2 (М; + М2 + М3)2

!

;

Из приведенных выражений легко определить с.к.о. и коэффициент вариации (С) времени выполнения интегрированной работы.

Подобные формулы позволяют вести расчеты также и для дискретных распределений времени параллельно выполняемых работ.

3. Случай альтернативного выполнения работ также рассмотрим на примере n

экспоненциальных времен fi (t) = Mie~Mi, i = ; n. Пусть каждый раз выполняется одна

из указанных работ с вероятностью a,, Е”=; а, = ! (рис. 4). При рассмотрении в цепи не

одной, а нескольких работ, аналогичным образом взвешиваются распределения всей цепи. Таким образом, плотность распределения итогового времени выполнения будет определяться как взвешенная сумма исходных распределений.

Выпишем выражение для плотности распределения f(t) альтернативно выполняемых работ в виде преобразования Лапласа [9]

Л*) = Щ,, о,

5 + м,

№ 8 (24) - 2013

53

Проблемы экономики и менеджмента

М

fi

Рисунок 4 - Фрагмент графа с альтернативным выполнением работ Отсюда аналогичным образом легко найти моменты распределения

х

Еп а. •> ’

т<2> -

=2Ёа

.2

C > 1.

х

Неравенство вытекает из следующего. Используя неравенство Коши-Шварца

п Л2 f п Л f п

Ёaibi I 4Ёа2|(Ёbi

I 7 У.

и представив вместо ai корень yjai , вместо b. - —— получим

ё n=i a21 *(ё :=. )|ё :=i а ]=ё п.

а

V И,

И наконец,

Т о. C > 1.

^ n а I ^ а

V i=1 2i J V i=1 2i

2

Л2

2

> 2

i=1

i=1

i=1

Интеграция сетевой модели проекта

Рассмотрим процесс интеграции сетевой модели проекта, содержащего работы, выполняемые последовательно, параллельно и с альтернативными путями, используя методы свертки, порядковых статистик и взвешивания путей. Рассмотрение будем вести на упрощенном примере (рис. 5). Положим, что работы, соответствующие дугам графа между событиями 2 и 4, а также между 3, 5 и 6, выполняются случайное время (являются дискретными сл. в.) с заданными распределениями. Остальные работы выполняются в течение детерминировано заданного времени. Конкретные значения распределений и фиксированных длительностей выполнения работ приведены ниже. Работы будем обозначать через Pj где индексы указывают на события начала и завершения соответствующей работы. Узел t1 инициирует событие 5 после завершения выполнения обеих работ.

Приведем конкретные значения времен выполнения работ.

54

№ 8 (24) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

Р12 = 3 дня; Р13 = 6 дней.

Рисунок 5 - Упрощенная сетевая модель проекта

Таблица 2 - Распределение времени параллельного выполнения работ

между событиями 2 и 5

Работа 1 (Р25) t (дни) 5 8 10

fi(t) 0,7 0,2 0,1

Работа 2 (Р25) t (дни) 4 5 7

f2(t) 0,6 0,3 0,1

Связь между t1 и событием 5 задержки не вызывает.

Таблица 3 - Распределение времени последовательного выполнения работ Р34 и Р46

Работа 1 (Р34) t (дни) 2 4 7

f4t) 0,5 0,4 0,1

Работа 2 (Р46) t (дни) 1 3 5

f*2(t) 0,3 0,4 0,3

Р57 = 3 дня; Р 67 = 5 дней.

Расчеты выполним по шагам.

Шаг 1. Определение дискретного распределения параллельного выполнения работ между событиями 2 и 5. Для этого воспользуемся формулой, получаемой из (4), для дискретных распределений

f (t) = f (t )Z /2 (t) +/2 (t )E ;=o f (t), t > o,

где t пробегает дискретные значения в соответствии с исходными распределениями. В результате получим следующее распределение

Таблица 4 - Распределение времени параллельного выполнения работ

между событиями 2 и 5

t (дни) 5 7 8 10

f(t) 0,63 0,07 0,2 0,1

Среднее время выполнения работ между событиями 2 и 5

1

Т = 'EteTtf (t) = 6,24 дня, T = {5,7,8,10}, а =[£ tT (t - т) f (t)]2 = 1,74 дня.

Шаг 2. Определение дискретного распределения последовательного выполнения работ между событиями 3, 4 и 6.

№ 8 (24) - 2013

55

Проблемы экономики и менеджмента

Воспользуемся производящей функцией моментов, получим

Таблица 5 - Распределение времени выполнения работ между событиями 3, 4 и 6

t (дни) 3 5 7 8 9 10 12

f(t) 0,15 0,32 0,31 0,03 0,12 0,04 0,03

Среднее время выполнения работ между событиями 3 и 6 т = 6,3 дня и с.к.о. ст = 2,19.

Теперь граф будет иметь более простой вид (рис. 6).

Рисунок 6 - Промежуточный граф

Далее объединяются работы с детерминированными и случайными временами выполнения по двум альтернативным путям (рис. 7). Распределения p(t) и p\t) будут иметь в этих случаях следующий вид

Рисунок 7 - Интегрированный граф

Таблица 6 - Распределение времени выполнения работы Р17 альтернативного пути 1

t (дни) 11 13 14 16

P(t) 0,63 0,07 0,2 0,1

Среднее значение равно 12,24 дня, а с.к.о. равно 1,74 дня.

Таблица 7 - Распределение времени выполнения работы Р17 альтернативного пути 2

T (дни) 14 16 18 19 20 21 23

P'(t) 0,15 0,32 0,31 0,03 0,12 0,04 0,03

Среднее значение равно 17,3 дня, а с.к.о. равно 2,19 дня

Шаг 3. Оценка распределения времени выполнения проекта с учетом альтернативных путей (a(t)). o(t) = cp(t) + c2p '(t).

56

№ 8 (24) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

Шаг 4. Определение среднего значения (тпр )и с.к.о. (стпр) времени выполнения проекта, считая, что аг = 0,3, а а2 = 0,7.

тпр = 0,3 х 12,24 + 0,7 х 18,3 = 16,47 дней. стпр = 0,3 х 1,74 + 0,7 х 2,19 = 2,06 дня.

Таким образом, если риск измеряется величиной стпрХ1,...,Xn возможного превышения среднего значения, например 2стпр, то проект будет находиться в риске, если время его выполнения превысит значение тпр + 2стпр = 20,6 дня . Величина 2стпр измеряет

риск, который компания может взять на себя (аппетит-риск).

Работа с дискретными сл.в. позволяет использовать не только явно заданные распределения, но и гистограммы, полученные в результате накопления и обработки статистических данных.

Заключение

В настоящей статье рассмотрен подход интеграции совокупности работ и перехода к структурно более простым сетевым графикам выполнения проекта. Несмотря на то, что процедура поиска распределений параллельно выполняемых работ выглядит трудоемкой, однако именно ее использование позволяет получить вероятностные оценки моментов завершения проектов и оценить их риски. Помимо формального определения распределений порядковых статистик, являющихся моделями процессов параллельного выполнения работ, в статье приведены явные зависимости для свертки распределений последовательно выполняемых работ и взвешивания альтернативных работ на примерах исходных распределений, наиболее часто используемых на практике. Применение приведенных зависимостей позволяет комплексно подойти к интеграции работ проектов, найти распределение времени их выполнения как в непрерывном, так и в дискретном случае.

Список литературы:

1. Руководство к своду знаний по управлению проектами. Руководство PMBOK. - Project Management Institute, Inc. 2004. - 388 с.

2. Atkinson R. Fundamental Uncertainties in Projects and the Scope of Project Management / R. Atkinson, L. Crawford // International Journal of Project Management. - 2006. -24 (8). - Р. 687-698.

3. COSO. Enterprise Risk Management. - Understanding and Communicating Risk Appetite. - 2012. - P. 24.

4. Ward S. Transforming Project Risk Management into Project Uncertainty Management / S. Ward, C. Chapman // International Journal of Project Management. - 2003. - 21 (2). - Р. 97-105.

5. Голенко-Гинзбург Д.И. Стохастические сетевые модели планирования и управления разработками / Д.И. Голенко-Гинзбург. - Воронеж: Науч. кн., 2010. - 284 с.

6. Martin J.J. Distribution of the time through a directed acyclic network / J.J. Martin // Operation Research. - 1959. - V. 7, № 5. - Р. 646-669.

7. Balakrishnan N. Permanents, order statistics, outliers, and robustness/ N.

№ 8 (24) - 2013

57

Проблемы экономики и менеджмента

Balakrishnan // Rev. Mat. Complut. - 2007. - V. 20, № 1. - 2007. - P. 7-107.

8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: т. 2 / В. Феллер. - М.: Мир, 1967. - 750 с.

9. Кокс Д. Теория восстановления / Д. Кокс, В. Смит. - М.: Совет. Радио, 1967. -

298 с.

10. Brualdi R. Combinatorial Matrix Theory / R. Brualdi, H. Ryser // Cambridge University Press. - 1991. - P. 368.

List of references:

1. A Guide to the Project Management Body of Knowledge (PMBOK Guide). - Project Management Institute, Inc. - 2004. - P. 388.

2. Atkinson R. Fundamental Uncertainties in Projects and the Scope of Project Management / R. Atkinson, L. Crawford // International Journal of Project Management. - 2006. - 24 (8). - Р. 687-698.

3. COSO. Enterprise Risk Management. - Understanding and Communicating Risk Appetite. - 2012. -

P. 24.

4. Ward S. Transforming Project Risk Management into Project Uncertainty Management / S. Ward , C. Chapman // International Journal of Project Management. - 2003. - 21 (2). - Р. 97-105.

5. Golenko-Ginzburg D. Stochastic network models in planning and development control / D. Golenko-Ginzburg // Voronezh: Science Book Publishing House. - 2010. - Р. 283.

6. Martin J.J. Distribution of the time through a directed acyclic network / J.J. Martin // Operation Research. - 1959. - V. 7, № 5. - Р. 646-669.

7. Balakrishnan N. Permanents, order statistics, outliers, and robustness / N. Balakrishnan // Rev. Mat. Comput. - 2007. - V. 20, № 1. - P. 7-107.

8. Feller V. Introduction to probability theory and its applications: vol.2 / V. Feller. - M.: Mir, 1967. -

Р. 750.

9. Cox D. Theory of recovery / Cox D., Smith B. - M.: Soviet radio, 1967. - Р. 298.

10. Brualdi R. Combinatorial Matrix Theory / R. Brualdi, H. Ryser // Cambridge University Press. -1991. - P. 368.

58

№ 8 (24) - 2013