Двойственности в абелевых многообразиях и формальных группах над локальными полями

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 1

УДК 513.6 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-44-56

Двойственность в абелевых многообразиях и формальных группах над локальными полями

Глазунов Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Национальный Авиационный Университет, Украина. e-mail: glanmMyahoo.com,

Аннотация

Статья посвящена памяти Олега Николаевича Введенского (1937 - 1981 гг.). О. Н. Введенский был учеником академика И. Р. Шафаревича. Исследования О. Н. и полученные им результаты связаны с двойственностью в эллиптических кривых и с соответствующими когомологиями Галуа над локальными полями, со спариванием Шафаревича-Тэйта и с другими спариваниями, с локальной и квази-локальной теорией полей классов эллиптических кривых, с теорией абелевых многообразий размерности больше 1, с теорией коммутативных формальных групп над локальными полями. Представлены как результаты, полученные О. Н. Введенским, так и новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Первая часть статьи, представления здесь, является введением как в результаты, полученные О. П. Введенским в направлении двойственности абелевых многообразий и формальных групп, так и в новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Во Введении приведены предварительные сведения и представлено содержание статьи. В первом разделе дан краткий обзор избранных результатов по теории алгебраических, квазиалгебраические и проалгебраические группы и групповых схем. Далее, в разделе 2 преставлены избранные результаты по фундаментальным группам алгебраических многообразий, по фундаментальным группам схем, а в разделе 3 - избранные результаты о главных однородных пространствах (торсерах), развивающие исследования О. П. и других авторов. Термин торсер мы используем как перевод на русский язык в редакции И.Р. Шафаревича английского термина torsor. В разделе 4 даны сведения о двойственности, а в разделе 5 представлены результаты О. П. по арифметической теории формальных групп и их развитие. Результаты, этого раздела, представленные над локальными и квази-локальными полями К, над их кольцами целых, и над их полями вычетов к, связанны (1) с формальной структурой абелевых многообразий, (2) с коммутативными формальными группами, (3) с соответствующими гомоморфизмами и изогениями. В статье алгебраические многообразия, абелевы схемы и коммутативные формальные групповые схемы определены, как правило, над локальными и квази-локальными полями, над их кольцами целых, и над их полями вычетов. Но кратко рассматриваются эти объектыи и над глобальными полями, так как О. Н. интересовала тематика алгебраических многообразий над глобальными полями и он проводил соответствующие исследова-

3

иное.

Я признателен В.П. Чубарикову за предложение опубликовать статью в сборнике.

Особая признательность Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

Ключевые слова: двойственность; абелево многообразие; локальное поле; группа Пи-кара; формальная группа; групповая схема; фундаментальная группа; торсер; глобальное поле; проалгебраическая группа; группа универсальных норм.

Библиография: 22 названия.

Для цитирования:

Н. М. Глазунов. Двойственность в абелевых многообразиях и формальных группах над локальными полями. // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 1, с. 44-56.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 1

UDC 513.6 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-44-56

Duality in abelian varieties and formal groups over local fields

N. M. Glazunov — doctor of physical and mathematical sciences, professor, National aviation university, Ukraine. e-mail: glanmMyahoo.com,

Abstract

The article is dedicated to the memory of Oleg Nikolaevich Vvedenskii (1937-1981). O.N. Vvedenskii was a student of the academician I.R. Shafarevich. O.N. Vvedenskii's research and the results obtained are related to duality in elliptic curves and with the corresponding Galois cohomology over local fields, with Shafarevich-Tate pairing and with other pairings, with local and quasi-local of class fields theory of elliptic curves, with the theory of Abelian varieties of dimension greater than 1, with the theory of commutative formal groups over local fields.

The paper presents both the results obtained by O.N. Vvedenskii, and new selected results, developing research in the directions of the fundamental groups of schemes, the principal homogeneous spaces (torsors), and duality. The first part of the article presented here is an introduction both to the results obtained by O.N. Vvedenskii in the direction of duality of Abelian varieties and formal groups, and in new selected results, developing research in the directions of the fundamental groups of schemes, the principal homogeneous spaces (torsors), and duality. The Introduction gives preliminary information and presents the content of the article. In the first section we give a brief survey of selected results on the theory of algebraic, quasialgebraic and proalgebraic groups and group schemes. Further, in Section 2 we present selected results on fundamental groups of algebraic varieties, on fundamental groups of schemes, and in Section 3 - selected results on principal homogeneous spaces (torsors), developing research by O.N. Vvedenskii and other authors. In Section 4 we give information on duality, and in Section 5 the paper presents the results by O.N. Vvedenskii on the arithmetic theory of formal groups and their development. The results of this section, represented over local and quasi-local fields K, over their rings of integers, and over their residue fields k, are connected (1) with the formal structure of Abelian varieties, (2) with commutative formal groups, (3) with corresponding homomorphisms. In the article, algebraic varieties, Abelian schemes, and commutative formal group schemes are defined, as a rule, over local and quasi-local fields, over their rings of integers, and over their residue fields. But these objects are also briey considered over global fields, since O.N. was interested in the subject of algebraic varieties over global fields and he carried out corresponding studies. It is assumed that the characteristic of the residue fields is more than 3, unless otherwise specified.

I am grateful to V.N. Chubarikov for offering to publish the article in Chebyshevskii Sbornik.

Special thanks to N.M. Dobrovolsky for help and support in the process of preparing the article for publication.

Keywords: duality; Abelian variety; local field; Picard group; formal group; group scheme; fundamental group; torsor; global field; proalgebraic group; group of universal norms.

Bibliography: 22 titles. For citation:

N. M. Glazunov, 2018, "Duality in abelian varieties and formal groups over local fields. Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 44-56.

Введение

Статья посвящена памяти Олега Николаевича Введенского (1937 - 1981 гг.). О. Н. Введенский был учеником академика И. Р. Шафаревича [1, 2]. Исследования О. Н. и полученные им результаты связаны с двойственностью в эллиптических кривых и с соответствующими когомологиями Галуа над локальными полями, со спариванием Шафаревича-Тэйта и с другими спариваниями, с локальной и квази-локальной теорией полей классов эллиптических кривых, с теорией абелевых многообразий размерности больше 1, с теорией коммутативных формальных групп над локальными полями [3, 4, 5, 6, 7, 8]. Первая часть статьи, представления здесь, является введением как в результаты, полученные О. Н. Введенским в направлении двойственности абелевых многообразий и формальных групп, так и в новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности.

Во Введении приведены предварительные сведения и представлено содержание статьи. В первом разделе дан краткий обзор избранных результатов по теории алгебраических, квазиалгебраические и проалгебраические группы и групповых схем. Далее, в разделе 2 преставлены избранные результаты по фундаментальным группам алгебраических многообразий, по фундаментальным группам схем, а в разделе 3 — избранные результаты о главных однородных пространствах (торсерах), развивающие исследования О. Н. и других авторов. Термин торсер мы используем как перевод на русский язык в редакции И.Р. Шафаревича [9] английского термина torsor. В разделе 4 даны сведения о двойственности, а в разделе 5 представлены результаты О. Н. по арифметической теории формальных групп и их развитие. Результаты, этого раздела, представленные над локальными и квази-локальными полями К, над их кольцами целых, и над их полями вычетов fc, связанны (1) с формальной структурой абелевых многообразий, (2) с коммутативными формальными группами, (3) с соответствующими гомоморфизмами и изогениями.

В статье алгебраические многообразия, абелевы схемы и коммутативные формальные групповые схемы определены, как правило, над локальными и квази-локальными полями, над их кольцами целых, и над их полями вычетов. Но кратко рассматриваются эти объектыи и над глобальными полями, так как О. Н. интересовала тематика алгебраических многообразий над глобальными полями и он проводил соответствующие исследования.

3

Пусть S есть схема. Абелевой схемой над S называют 5-групповую схему А ^ S которая собственная, плоская, конечно-представимая и которая имеет гладкие и связные геометрические слой. Известно, что следствием этих свойств есть коммутативность абелевой схемы. При S = Spec L , где L - некоторое поле, получают определения абелева многообразия.

В монографии Дж. Милна [9], переведенной на русский язык под редакцией И.Р. Шафаревича по инициативе О. Н. Введенского (который являлся и одним из переводчиков), наряду с терминологией главных однородных пространств используется понятие торсера, или, более точно, G-торсера. Грубо говоря, G-торсер есть схема S, на которой действует групповая схема G, и такое действие удовлетворяет ряду естественных аксиом [9]. Так как в настоящее время представление соответствующих результатов на языке торсеров стало общепринятым [15, 16, 19, 20, 21, 22], и мы используем язык торсеров.

Пополнение абелева многообразия как алгебраической группы совпадает с пополнением компоненты единицы алгебраической группы и является коммутативной формальной группой.

1. Группы и групповые схемы

1.1. Элементы теории алгебраических групп и групповых схем.

Пусть R есть коммутативное кольцо с единицей. Известно, что такое аффинная схема Spec R [2]. Напомним здесь, и кратко поясним, следуя [2], некоторые понятия, относящиеся к классу многообразий, которые порождаются приведенными отделимыми гладкими схемами (X, Ох) конечного типа над алгебраически замкнутым полем. Приведенность означает, что для открытых U С X кольца Ox(U) не имеют нильпотентных элементов.

Важное понятие отделимости схемы определяется через понятие произведения схем и их замкнутости. В свою очередь, произведение схем определяется как произведение объектов в категории схем, а в терминах морфизмов схем над базисной схемой S (например, если S есть алгебраически замкнутое поле) как расслоенное произведение этих морфизмов. Морфизм схем (р : X ^ Y называют замкнутым вложением, если каждая точка х £ X имеет такую аффинную окрестность U, что схема ф-1(и) аффинна и гомоморфизм р* : Ox(U) ^ Оу (U) эпиморфен. В категории схем над S определен морфизм (1,1) ^ X ^ X Xs X , который называют диагональю.

Схему X называют замкнутой, если морфизм её диагонали есть замкнутое вложение, и схемой над кольцом Д, если задан морфизм схем X ^ Spec R. Конечной групповой схемой, или конечной группой порядка т, над R, называют групповую схему, локально свободную ранга т, над Д. Такая групповая схема G определяется пучком локально свободных алгебр А ранга т над R.

В работах [1, 3, 4, 5] строятся и исследуются квазиалгебраических и проалгебраиче-ских группы по Серру. В определении квазиалгебраических и проалгебраических группы по Серру [10] используется понятие структуры. Структура St групповой схемы, или групповая структура, задается гомоморфизмами 1) ^ : XXrX ^ X (групповой закон), 2) р : X ^ Х,р(х) = е (единица), 3) г : X ^ X (взятие обратного), удовлетворяющих аксиомам: а) ц. о (ц, x 1) = ц, о (1 x ц.) (ассоциативность), Ь) ц. о (1, i) = (i, 1) о с) ц. о (1,р) = (р, 1) о ц, = 1, задающими, соответственно, групповой закон, единицу и взятие обратного элемента, которые удовлетворяют известным аксиомам [2]. Если в алгебраической группе G, или, более общо, в групповой схеме, фиксирована групповая структура St, то мы обозначаем это через Gst-

1.2. Квазиалгебраические и проалгебраические группы.

Далее все группы, если не оговорено противное, предполагаются коммутативными. В этом разделе буквой К обозначаем совершенное поле (адгебраически замкнутое поле), буквой р его характеристическую экспоненту, то есть р = 1, если характеристика К равна нулю, характеристическая экспонента = р, если характеристика К равна р > 0. Все алгебраические многообразия считаем определенными над К. Как известно, в категории алгебраических групп над К существуют биективные морфизмы, не являющиеся морфизмами в смысле алгебраических групп. Другими словами, категория алгебраических групп аддитивная, но не абелева. Напомним известный пример. Пусть К = к - алгебраически замкнутое поле характеристики р > 0. Топологические пространства алгебраических групп X и Y, которые мы обозначаем теми же буквами, задаются условием X = Y = к. Пусть групповая операция каждой из групп аддитивна и задается отображением ц,(х,у) = х + у,х,у £ к. Рассмотрим гомоморфизм ф : X ^ Y алгебраических групп X и Y, задаваемый условием ф(х) = хр. Как точечное отображение он взаимно-однозначен и как отображение абстрактных групп является изоморфизмом, но как регулярное отображение многообразий изоморфизмом не является, так как соответствующий ему гомоморфизм колец ф* : k[Y] ^ к[Х], ф*(Т) = Тр, к[Х] = k[Y] = к[Т] не является изоморфизмом.

1.2.1. Квазиалгебраические группы.

Понятие квазиалгебраической группы [10] объединяет в один класс алгебраические группы, между которыми существуют биекции, могущие и не быть изоморфизмами алгебраических групп. Пусть Оьч есть алгебраическая группа и О - пучок функций на Оьч- Если д = рп,п € ^^ ^^ ^^^^тачим через Од пучок, сечения которого над открытыми множествами и С С являются д - ыми степенями сечений пучка О над и. Положим также Ор ~ = ипе2 орП . Если д ^ 1, то соответствующее пучку Од многообразие Ся будет алгебраической группой. Пусть ^ ^^^^ ^^^^^^^ ^^^^ ^^ ^^^^ ^^^тетура алгебраической группы на О, совместимая со структурой группы, то через обозначают соответствующую алгебраическую группу, и через Т^ и соответственно топологию и пучок колец. Ниже морфизм означает регулярное отображение (морфизм) алгебраических групп.

Предложение 1. [10] Пусть и - две структуры алгебраической группы на, О, совместимые со структурой группы. Следующие условия эквивалентны: (г) Существует структура такая, что тождественные отображения БР3 — и — являются м орфизм ам и.

(п) Существует структура такая, что тождественные от,ображения —у БЬ4 и

— £¿4 являются м орфизм ам и. (Ш) Существует для, произвольной положительной степени д числа, р тождественное отображение Ов^ — которое есть морфизм алгебраических групп.

(т) Т^ = ТЗЪ и О^ = 0%2 .

Определение 1. Пусть С есть абстрактная группа и пусть и - две структуры алгебраической группы на, О, совместимые со структурой группы С. Говорят, ч,т,о и эквивалентны, если они удовлетворяют, условиям Предложения 1.

Определение 2. Квазиалгебраической группой, соответствующей группе О, называют, класс эквивалентных (относительно определения 1) структур алгебраической группы на, О, совместимы со структурой группы на, С.

Если С есть квазиалгебраическая группа, то структуру алгебраической группы на С, выбранная из класса эквивалентных (в смысле определения квазиалгебраической группы) структур на С, называют совместной с квазиалгебраической структурой на С.

Предложение 2. [10] Пусть С и О' - квазиалгебраические группы, и пусть / : С — О' гомоморфизм групп (в теоретико-множественном смысле). Следующие условия эквивалентны: На, О и О существуют структуры алгебраических групп БЬ и БЬ , совместимые с квазиалгебраическими ст,рукт,ура,м,и и т,а,кие, ч,т,о f : Свг — есть регулярное от,обра,жение

алгебраических групп. Отображение ¡непрерывно, и если ф есть сечение п учка, Ос< над

открытым и'; то ф о / есть сечение пучка, О^-над открытым множеством /-1(и'). График отображения £ есть замкнутая подгруппа в О х С .

Определение 3. Если С и С - две квазиалгебраические группы, то морфизмом из С в С называют гомоморфизм f : С — С , удовлетворяющий эквивалентным условиям предложения 2.

Объекты - квазиалгебраические группы, а также морфизмы между ними, удовлетворяют известным теоретико-категорным свойствам [10, 2]. Тем самым определена категория квазиалгебраических групп ЯОк, которая является абелевой по построению.

Замечание 1. Определение квазиалгебраической группы может быть дано и в терминах групповых схем,.

Напомним кратко такое построение. Расширяем категорию алгебраических групп над К до категории групповых схем над К. Так как здесь в дальнейшем рассматриваем только коммутативные группы, ограничим себя категорией коммутативных групповых схем СЯк над Пусть Н и С лежат в СЯк и / : Н ^ С есть чисто несепарабельная изогения из Н в С. Назовем Н и С эквивалентными, если существует групповая схема Р £ СО к и чисто несепарабельная изогения / : Н ^ С. Тогда квазиалгебраической группой будет класс эквивалентных (в вышеуказанном смысле) групповых схем.

Замечание 1. По всякой алгебраической группе С можно каноническим образом определить квазиалгебраическую группу Ср ™, структурным пучком которой есть пучок Орс

1.2.2. Проалгебраические группы.

Определение 4. Проалгебраической группой называют, группу G и непустое семейство С её подгрупп, такое, что для каждого H G С множество G/H имеет структуру квазиалгебраической группы, причем выполнены аксиомы: П1. Если H, H ' G С, m о H f| H ' G С;

П2. Пусть H G С. Подгрупna H содержащая, H и лежащая в С есть прообраз замкнутой подгруппы, из G/H.

ПЗ. Если Н,Н G С и есл и H С H , m, о G/H ^ G/H является м орфизм ом квазиалгебраических групп.

Щ. Ест,ест,венное отображение G ^ lim inv G/H есть биекция G на, проективный предел, групп G/H (H G С).

2. Фундаментальные группы схем

2.1. Гомотопические группы. Функтор универсального накрытия

В этом подразделе мы следуем [10]. Пусть G квази-алгебраическая группа. Обозначим через G0 связную компоненту единичного элемента группы G. Далее G0 называем связной компонентной группы G. Предположим теперь, что G - проалгебраическая группа с полным определяющим множеством С ; для H G С, связная компонента (G/H)0 фактор-группы G/H есть замкнутая подгруппа в G/H , и, если H ' С H , то образ G/H 'в G/H есть (G/H)°. Ввиду этого можно положить G/G° := lim inv (G/H)/(G/H)°.

Определение 5. Фактор-группа G/G° обозначается через (G) и называется 0-ой гомотопической группой проалгебраической группы G.

Замечание 2. Операция факторизации n°(G) = G/G° определяет, функтор

: vgK ^ vg°к

из категории VQк в категорию VQK проалгебраических групп размерности ноль [10] .

Определение 6. Левые производные функторы функтора ж ° называю m i-ыми гомотопическими группам,и проалгебраической группы G и обозначать через ni (G).

Замечание 3. Наличие в категории VQк достаточного числа, проект,ивних объектов [10] делает, определение 6 корректным.

Определение 7. Пусть G G VQ к- Фундаментальной группой группы G называют, первую гомотопическую группу Ki(G).

Определение 8. Группу G g VQk называют, связной, если G = G0 . Группа G G VQк называется односвязной, если n1(G) = 0.

Предложение 3. [10] Если G - проалгебраическая группа размерности ноль, то Ki(G) = 0 для всех г ^ 1.

Предложение 4. [10] Пусть G g VQk- Существует связная и односвязная, проалгебраическая группа G и м,орфизм, и : G ^ G такие, что ядро и коядро и -проалгебраические группы размерности ноль. Пара (G, и) единственна, с точностью до изоморфизма.

Определение 9. Пара (G, и) называется универсальной накрываю щей группы G.

2.2. Фундаментальные группы числовых полей

В своих работах, которые относятся к арифметике числовых полей и колец, О. Н. Введенский использовал и развивал результаты С. Лихтенбаума. В недавней работе С. Лихтен-баум [14] определил этальный сайт Вейля и исследовал связанные с ним фундаментальные группы. Эти исследования развивает в своих работах Б. Морин [16]. Исследования этих авторов, как и исследования О. И. Введенского, используют результаты А. Гротендика с соавторами [13]. В цитируемой работе [16] Морин определяет фундаментальную группу, лежащую в основе этальных когомологийт Вейля числового кольца. Соответствующий этальный то-пос Вейля определяется как утончение этального сайта Вейля по Лихтенбауму. Автор [16] демонстрирует естественность своего определения в случае гладкой проективной кривой и определяет далее этальную фундаментальную группу Вейля открытой подсхемы спектра числового кольца. Эта фундаментальная группа является проективной системой локально компактных топологических групп, которая представляет первые когомологии с коэффициентами в локально-компактной абелевой группе. Автор применяет этот результат для вычисления групп когомологий малых степеней и для проверки того, что этальный топос Вейля удовлетворяет ожидаемым свойствам топоса Лихтенбаума.

Пусть У есть открытая подсхема гладкой проективной кривой над конечным полем к, и пусть Set(Wk,У) есть топос W^ —эквивариантных этальных пучков на проективной кривой У = У 0к к. "

Теорема 1. [16] Существует эквивалентность У^р1 — Set(Wk, У) где Уесть (малый) этальный топос Вейля.

Для связной этальной X—схемы U автор определяет её этальный топос Вейля как срезанный (slice) топос Uw := Xw/l*U. Пусть К есть числовое поле соответствующее общей точке U, и пусть q-jj : Spec(K) ^ U есть некоторая геометрическая точка. Подобно определению этальной фундаментальной группы как (строгой) проективной системы конечных факторов группы Галуа Gk, автор определяет аналогичную (строгую) проективную систему W_(U, qj) локально компактных факторов группы Вейля Wk

Теорема 2. [16] Этальный топос Вейля, Uw является связным и локально-связным над топосом Т локально ком пакт ных пространет, в. Геометрическая точка q- определяет, Т—значную точку р— топоса Uw, и имеет место изоморфизм (Uw, Pj) — Ж(U, q—) топологических про-групп.

Фундаментальная группа и фундаментальная схема могут быть определены в рамнах подхода по Таннаки (см. [21] и цитируемую там литературу). В следующем разделе мы очень кратко опишем, следуя работам [17, 18, 19] G-торсеры над схемами Дедекинда.

3. Главные однородные пространства и торсеры

В монографии [17] Саверда Ривано дал для главных однородных пространств (С-торсеров) описание по Таннаки. Нори [18] в рамках подхода по Таннаки дал определение фундаментальной схемы.

4. Двойственность и поля классов

Тэйт в своих работах о главных однородных пространствах абелевых многообразий [11] доказал следующую теорему.

Теорема 3. Пусть Я есть группа Галуа сепарабельного замыкания К3 локального поля К и пусть Е есть любой коненный Я-модуль, порядок которого взаимно прост с характеристикой поля К. Пусть Е° есть Я-модуль Нот(Е, К*). Тогда спаривание Н2(я, Е) х Н2-г (я, Е°) ^ Н2(я, К*) =

есть совершенная двойственность конечных групп для, всякого г £ Z.

Шатц устранил ограничение на условие, что порядок модуля взаимно прост с ха-

рактеристикой поля К и доказал теорему двойственности [12].

Теорема 4. Пусть К есть локальное поле и А есть артинова групповая схем,а, над К, - схема, двойственная, по Картье схеме А. Пуст,ь Ст - мультипликативная схема над К. Тогда, спаривание

н2(к, А) х н2-г(к, а°) ^ н2(к, от) = д^

есть двойственность по Понтрягину локально компактных групп.

Пусть А - абелево многообразие над полем К с полем вычетов к, Ак - группа точек А, рациональных над К, А - многообразие Пикара многообразия А. Для случая алгебраически замкнутого к в [1] доказано, что группа главных однородных пространств над А двойственна фундаментальной группе ж\(Ак) проалгебраической группы Ак (исключая р-компоненты, где р > 0 - характеристика к).

5. Формальные группы и универсальные нормы

Пополнение абелева многообразия как алгебраической группы совпадает с пополнением компоненты единицы алгебраической группы и является коммутативной формальной группой.

Далее рассматриваем только п-мерные аффинные формальные схемы в смысле Гротенди-ка, конструируемые из колец А = К[[Х\, ...,Х„\] = формальных степенных рядов от п

переменных над коммутативным кольцом К с единицей. Морфизмы формальных схем (ФС) соответствуют непрерывным гомоморфизмам колец А. В категории ФС существует конечный объект Бр/ К (кольцо К наделено дискретной топологией) и произведения, соответствующие пополненным тензорным произведениям колец А над Д. Если ф : X ^ Бр/ К - формальная схема, то формальная групповая схема (ФГС) над К определяется обычным способом заданием трех морфизмов: 1) у : Xх^Х ^ X (групповой закон), 2) р : X ^ Х,р(х) = е (единица), 3) г : X ^ X (взятие обратного), удовлетворяющих аксиомам: а) у о (р, х 1) = у о (1 х ц,) (ассоциативность), Ь) ^ о (1, г) = (г, 1) о с) ^ о (1,р) = (р, 1) о ^ = 1.

Определение 10. Формальным групповым законом от п переменных называется набор Е = (Ег) из п формальных степенных рядов Е\ £ Я[[Х, У]] такой, что (г) Е(X, У) = X + У (тоййед 2),

(п) Е(Е(Х,У= Е(Х,Е(У^)) (ассоциативность).

Групповой закон F = (Fi) называют, коммутативным, если выполнена, аксиом,а,

F (X,Y) = F (Y,X).

Определение 11. Пусть F и G соответственно пит,- мерные групповые законы над R. Набор р из т формальных степенных рядов без свободных членов от п переменных Т = (Ti, ...,Тп) называется R - гомоморфизмом из F в G, если выполнено условие poF = Gop. /Эта запись обозначает соответствующие подстановки наборов в наборы/ Множество всех R - гомоморфизмом из F в G будем, обозначать через Ноти(F, G) . Если р,ф <Е Homu(F, G), то можно определить их сумму р +н ф , положив (р +н Ф)(Т) = G(p(T)^(T)).

Замечание 4. Операция + н задает, на, множестве Ноти(F, G) структуру абелевой группы.

Работа [5] продолжает начатое О. Н. Введенским [4] и другими построение аналога локальной и квази-локальной теории полей классов эллиптических кривых и абелевых многообразий. Представим кратко результаты работы [5] и их развитие. Пусть А - эллиптическая кривая одного из следующих 3-х типов, определенная над квази-локальным полем К: I. Ин-

А А

Инвариант Хассе редукции А нулевой. Пусть Fl проалгебраическая группа, определяемая (по максимальному идеалу кольца целых поля L и по формальной группе F, соответствующей А, или имеющую высоту редукции 3) на Gal(L/К)-модуле FL, V*K = f]LNL/K(tt1(Fl)) (пересечение по всем конечным расширениям Галуа L/К) - группа универсальных норм формальной F А

Теорема 5. V*K = 0.

Доказательство теоремы основано на прямом вычислении действия норменного гомоморфизма Nl/k на фильтрацию Fl-

Пусть Ак проалгебраическая группа точек А, рациональных над К, ki(Ak) - фундаментальная группа группы Ак, 'Dк = C\l -^l/k(Al)) - подгруппа универсальных норм в ki(Ак)•

Следствие 1. VK = 0.

А

лем, К такая, что группа когомологий Н 1(Gal(L/К), А) бесконечна.

О. Н. Введенским сформулирован ряд предположений об универсаьных нормах и нормен-

К

доказаны U.M. Глазуновым и Г.Т. Коноваловым.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шафаревич И. Р. Сочинения. Т. 3, ч. 2. М.: Физматлит, 1996. 637 с.

2. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. В 2 т. М.: Наука, 1988.

3. Введенский О. Н. Двойственность в эллиптических кривых над локальным полем. II // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1966. Т. 30, № 4. С. 891^922.

4. Введенский О. И. О локальных "полях классов" эллиптических кривых // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1973. Т. 37, № 1. С. 21) КК.

5. Введенский О. Н. О "универсальных нормах" формальных групп, определенных над кольцом локального поля // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1973. Т. 37, № 4. С. 737—751.

6. Введенский О. H. О квази-локальных "полях классов" эллиптических кривых. Iff Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1976. Т. 40, № 5. С. 969 992.

7. Введенский О. Н. О спариваниях в эллиптических кривых над глобальными полями // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1978. Т. 42, № 2. С. 237 261).

8. Введенский О. И. Эффект Артипа в абелевых многообразиях. II // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1981. Т. 45, № 1. С. 23 16.

9. Милн Дж. Этальные когомологии. М.: Мир, 1983. 393 с.

10. Serre J.-P. Groupes proalgebriques // Publications mathématiques IHES. № 7. 1960. 65 p.

11. Tate J. Duality theorems in Galois cohomologv over number fields // Proceedings of Int. Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962). Djursholm : Inst. Mittag-Leffler, 1962. P. 288^ 295.

12. Shatz S.S. Cohomologv of artinian group schemes over local fields // Ann. of Math. 1964. Vol. 79, № 2. P. ill 119.

13. Grothendieck A., Artin M., J.L. Verdier Théorie des Topos et cohomologie étale des schémas (SGA4) // Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, 1972. Vol. 269, 270, 305.

14. Lichtenbaum S. The Weil-etale topology for number rings //Ann. of Math. 2009. Vol. 170, № 2, P. 657 6K3.

15. Bosch S., Liu Q. Rational points of the group of components of a Néron model // Manuscripta math. 1999. Vol. 98. P. 275 293.

16. Morin B. The Weil-étale fundamental group of a number field . II // Sel. Math., New Ser. 2011. 17, № 1. P. 67 137.

17. Saavedra R. Catégories Tannakiennes // Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, 1972. Vol. 265. 418 p.

18. Nori M. On the representations of the fundamental group // Compos. Math. 1976. Vol. 33, № 1. P. 29 11.

19. Broshi M. G-torsors over a Dedekind scheme //J. Pure Appl. Algebra. 2013. Vol. 217, № 1. P. 11 19.

20. Conrad B. Reductive group schemes // Autour des schémas en groupes. École d'Été "Schémas en groupes". Paris: Société Mathématique de France (SMF), 2014. Vol. I. P. 12 13. 93 111.

21. Biswas I., Dos Santos Joâo Pedro P. Abelianization of the F-divided fundamental group scheme // Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci. 2017. Vol. 127, № 2. P. 281^287.

22. Tziolas N. Quotients of schemes bv ap or actions in characteristic p > Off Manuscr. Math. 2017. Vol. 152, № 1-2. P. 217 279.

REFERENCES

1. IIIa4>apeBHH H. P. 1996, Sochineniya, T. 3, ch. 2. M.: Fizmatlit, 637 p.

2. SHafarevich I. R. 1988, Osnovy algebraicheskoj geometrii. V 2 t. M.: Nauka.

3. Vvedenskij O. N. 1966, "Dvojstvennost' v ehllipticheskih krivvh nad lokal'nym polem. II" Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 30, № 4. pp. 891^922.

4. Vvedenskij O. N. 1973, "O lokal'nvh "polvah klassov" ehllipticheskih krivvh" Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 37, № 1. pp. 20^88.

5. Vvedenskij O. N. 1973, "O "universal'nvh normah" formal'nyh grupp, opredelennvh nad kol'com lokal'nogo polva" Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 37, № 4. pp. 737—751.

6. Vvedenskij O. N. 1976, "O kvazi-lokal'nyh "polvah klassov" ehllipticheskih krivvh. I" Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 40, № 5. pp. 969^992.

7. Vvedenskij O. N. 1978, "O sparivanivah v ehllipticheskih krivvh nad global'nymi polvami" Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 42, № 2. pp. 237^260.

8. Vvedenskij O. N. 1981, "EHffekt Artina v abelevvh mnogoobrazivah. II" Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika. Vol. 45, № 1. pp. 23 16.

9. Miln Dzh. 1983, EHtal'nye kogomologii. M.: Mir, 393 P.

10. Serre J.-P. 1960, "Groupes proalgebriques" Publications mathématiques IHES. № 7. 65 p.

11. Tate J. 1962, "Duality theorems in Galois cohomologv over number fields" Proceedings of Int. Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962). Djursholm : Inst. Mittag-Leffler, pp. 288^295.

12. Shatz S.S. 1964, "Cohomologv of artinian group schemes over local fields" Ann. of Math. Vol. 79, № 2. P. ill 119.

13. Grothendieck A., Artin M., J.L. Verdier 1972, "Théorie des Topos et cohomologie étale des schémas (SGA4)" Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, Vol. 269, 270, 305.

14. Lichtenbaum S. 2009, "The Weil-etale topology for number rings" Ann. of Math. Vol. 170, № 2, pp. 657^683.

15. Bosch S., Liu Q. 1999, "Rational points of the group of components of a Néron model" Manuscripta math. Vol. 98. pp. 275 293.

16. Morin B. 2011, "The Weil-étale fundamental group of a number field . II" Sel. Math., New Ser. 17, № 1. pp. 67 137.

17. Saavedra R. 1972, "Catégories Tannakiennes" Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: SpringerVerlag, Vol. 265. 418 p.

18. Nori M. 1976, "On the representations of the fundamental group" Compos. Math. Vol. 33, № 1. pp. 29 11.

19. Broshi M. 2013, "G-torsors over a Dedekind scheme" J. Pure Appl. Algebra. Vol. 217, № 1. pp. 11 19.

20. Conrad B. 2014, "Reductive group schemes" Autour des schémas en groupes. École d'Été "Schémas en groupes". Paris: Société Mathématique de Prance (SMF), Vol. I. pp. 12 If». 93^ 444.

21. Biswas I., Dos Santos Joâo Pedro P. 2017, "Abelianization of the F-divided fundamental group scheme" Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci. Vol. 127, № 2. pp. 281^287.

22. Tziolas N. 2017, "Quotients of schemes by ap or actions in characteristic p > 0" Manuscr. Math. Vol. 152, № 1-2. pp. 247^279.