Постановка и решение задачи излучения звука многомодовым пьезокерамическим преобразователем, размещенным в замкнутом кольцевом слое

ш

Технические науки

УДК 534.3

Филиппова Наталья Юрьевна Nataliya Philippova

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗВУКА МНОГОМОДОВЫМ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ, РАЗМЕЩЕННЫМ В ЗАМКНУТОМ КОЛЬЦЕВОМ СЛОЕ

SETTING AND SOLUTION PROBLEM OF SOUND EMISSION OF MULTIMODE PIEZOCERAMIC TRANSDUCER, PLACED IN A CLOSED LOOP LAYER

Поставлена и аналитически решена задача об излучении звука цилиндрическим пьезокерамическим преобразователем с разрезными электродами, который размещен в замкнутом волновом слое. Решение задачи проводится с помощью метода частичных областей, а также с использованием свойств полноты и ортогональности цилиндрических волновых функций при сопряжении полей на границах частичных областей. Положение электрода на поверхности преобразователя определяется кусочно-непрерывной функцией, которая предполагает зависимость от угла. Найдены коэффициенты разложения акустических, механических и электрических полей многомодового преобразователя

Ключевые слова: оболочка, многомодовый преобразователь, метод частичных областей, волновой слой, разрезные электроды

The problem of sound emission cylindrical piezo-ceramic transducer with disconnected electrodes, which is placed in a closed wave layer is formulated and analytically solved. The solution produced by the method of partial regions, as well as with the properties of completeness and orthogonality of cylindrical wave functions in conjunction fields at the boundaries of the partial regions is described. The position of the electrode on the surface of a transducer is determined by a piecewise continuous function, which involves the dependence of the angle. The coefficients of acoustic, mechanical and electrical fields multimode transmitter are found

Key words: shell, multi-mode converter, method of partial regions, wave layer, disconnect electrodes

При проектировании излучающих акустических антенн возникает ряд трудностей, которые состоят в описании создаваемых звуковых полей с учетом сложности реальных условий распределения давления и колебательной скорости на поверхностях излучающих элементов акустической антенны, условий их электрического нагру-жения, а также учета особенностей фор-

мирования акустического поля с учетом влияния дополнительных технологических конструктивных элементов. Также в практической гидроакустике задачи о формировании пространственной избирательности приемных акустических антенных решеток в широком частотном диапазоне требуют доопределения в части выбора вида экранирования. В качестве экрана в тра-

диционных гидроакустических антеннах использовались резины различной марки с определенными физико-механическими свойствами, а также компаунды и пеноп-ласты, наносимые на поверхность пьезоке-рамического преобразователя [4].

Несмотря на высокий уровень развития задач волновой акустики [6, 21], постановочные вопросы в части приближения идеализированных условий работы излучателей к реальным требуют доопределения существующих модельных представлений.

Задачи определения выходных эффектов излучающих пьезопреобразователей относятся к задачам стационарной гидро-электроупругости. Термин «электроупругость» достаточно широко используется в вопросах проектирования преобразующих элементов [7, 15,16].

Класс задач стационарной гидроэлек-троупругости для режимов приема и излучения звука составляет так называемые «сквозные задачи», в которых обеспечивается возможность определения электрического напряжения на нагрузке преобразователя по заданному в среде полю давления падающей волны (режим приема) либо акустического давления поля в рабочей среде по заданному на выходе генераторного устройства электрического тока или напряжения (режим излучения). «Сквозной» метод предполагает совместное решение волнового уравнения и уравнений колебания электроупругого преобразователя, учитывая его форму, характеристики пьезомате-риала и технологического слоя, а также вид электродирования поверхностей и электрического нагружения элементов.

Так, в рамках указанных задач вопросы создания звуковых полей цилиндрическими пьезокерамическими преобразователями, как достаточно широко используемые, с учетом наличия технологических волновых слоев рассмотрены лишь для ситуации полного электродирования их рабочих поверхностей [10, 18-20]. Известно также [9, 11], что применение электродов, частично покрывающих поверхность преобразователя, приводит к обогащению модовой структуры создаваемого акусти-

ческого поля за счет использования высших форм колебаний поверхности электродов, например, реализация первых трех низших форм колебаний [3, 22].

Ранее Б.С. Ароновым [1] в рамках традиционных подходов к описанию работы пьезокерамических цилиндрических преобразователей с помощью метода электромеханических аналогий предложен способ учета конфигурации электродов в виде угловых зависимостей коэффициента электромеханической трансформации. Такой подход оправдан. Однако он не позволяет в полной мере учесть и использовать особенности связанности высших модо-вых составляющих колебаний приемных пьезокерамических преобразователей при оценке электрических напряжений на их нагрузках. Схожая ситуация наблюдается и для режима излучения, только в этом случае модовый состав определяется для сформированного акустического поля. Поэтому представляется актуальным и целесообразным рассмотреть модель излучателя звука в виде пьезокерамического цилиндрического преобразователя бесконечной длины, на поверхность которого нанесены разрезные электроды, а сам он размещен в замкнутом кольцевом технологическом слое.

Добавим также, что существует достаточно широкий круг работ, использующих в постановочной части представление преобразователя в виде идеализированного тонкостенного тела цилиндрической формы как колебательной системы с фиксированными физическими свойствами [2, 5]. К тому же в ряде работ (например, [5, 14]) решение указанной задачи представлено с использованием допущений о том, что механическое сопротивление пьезоке-рамической оболочки преобразователя и сопротивление излучения определяются с использованием методологии расчета преобразователей как систем с сосредоточенными параметрами. При этом вопросы излучения звука преобразователем в замкнутых и незамкнутых кольцевых слоях освещены лишь для традиционных моделей преобразователей, не учитывающих их электроупругие свойства. Это связано с не-

достаточной изученностью электроупругих постановок задачи излучения для экранированных излучающих систем. Практический интерес представляют особенности использования кольцевых слоев как элементов согласования электроупругих преобразователей с рабочей средой.

Таким образом, целью работы является постановка и аналитическое решение задачи излучения звука цилиндрическим электроупругим преобразователем с разрезными электродами, который размещен в замкнутом волновом слое.

Постановка .задачи

Пусть бесконечный по высоте пьезоке-рамический преобразователь радиусом ^ излучает звук через замкнутый волновой слой толщиной = R1s - R0 1. Предполагается, что материал слоя не сопротивляется сдвиговым деформациям, а его акустические свойства характеризуются плотностью рх и скоростью звука с1.

Преобразователь размещен в идеальной малосжимаемой жидкости и представлен в виде круговой цилиндрической радиально поляризованной электроупругой оболочки с толщиной стенки hos и выполнен из пьезо-материала со скоростью звука cms и плотностью pms. Внутри преобразователя — вакуум.

На поверхность преобразователя нанесен электрод с угловым раскрывом 2y0s , который подключен к генератору напряжения, формирующий электрический сигнал иген = иог . Электрод расположен так, что биссектриса угла раскрыва электрода совпадает с осью OsXs.

Координатные системы задачи включают общую декартовую XOY и локальную системы координат XsOsYs, расположенные так, что оси OsXs и OsYs лежат в плоскости нормального сечения преобразователя. Локальная OsRsq>s круговая цилиндрическая система связана с прямоугольной системой известными соотношениями.

В соответствии с основными положениями метода частичных областей [5], разобьем область существования поля на ряд областей I, II, III (см. рисунок). Так, область I ( Rs < rs < Rls) (ps е [0;2] соответствует замкнутому волновому слою, область II ( Rls < rs < да ) ( е [0;2] — рабочей среде, область III ( rs < R0s - h0s ) (s е [0; 2] — внутреннему объему цилиндра. Тогда звуковое

давление в указанных частичных областях представим в следующей форме:

Pi = Pl {Ps > rs ) =

= -irnpi Z ( (Vs ) + BnNn (Vs ))èniPs,

_ n

PII = P2 (Ps > rs ) = -iPZ EnH2) (krs )emPs ,

n

где An , Bn , En — неизвестные коэффициенты;

к = -, к1 =—, п = 0;±1;±2;±3...

С С1

Полагаем, что вследствие условия внутренней вакуумизации акустическое поле в области III отсутствует, т.е. Рш = 0.

Напомним акустомеханические условия задачи на границах областей, которые совпадают с приведенными в работе [5, 17]. На внешней поверхности слоя г* = Яь, < е[0;2] выполняются силовые и кинематические условия сопряжения областей, которые составляют систему функциональных уравнений:

Р1 = Рп

°гП = °г!

где иг11 — радиальная составляющая колебательной скорости частиц рабочей среды;

иг1 — радиальная составляющая колебательной скорости материальных частиц поверхности кольцевого слоя.

1 +

¿4

дГ^

124*

1+

4

Е * с11^33

д2К

дЩ

д< д<

12Я2*

1 +

^321 С11е33

Лд3К

д<

12 Я2*

12Яо2*

1 +

1 +

На границе контакта оболочки с кольцевым слоем г* = , < е[0;2] выполняется условие равенства составляющих скорости перемещения по нормали частиц среды иг! и скорости перемещения точек поверхности упругой оболочки.

1 ф/ =иш . 1Р1С1 д(к1Г) г '

Отсутствие притока акустической энергии извне определяем условием излучения Зоммерфельда.

Считая оболочку тонкостенной, для описания движения ее поверхности используем уравнения теории тонких оболочек. При этом, колеблющаяся поверхность оболочки создает в рассматриваемой жидкой среде акустическое поле, которое в рамках стационарного возбуждения описывается уравнением Гельмгольца.

С учетом [8] запишем систему уравнений движения оболочки в виде:

4

Е Б С11 ^33

Лд3Жг

-Я

е31

д<

Лд 4Щ

0*

СЕрБ

С11е33 у

д<

е31 дЕг

; Е С11 < СЕ С11

е31 Е +

С1Е1 %СП

д V

= 0

д1А Я0*рт

дд

СЕ

- = 0

д 2

где дгх — внешняя акустическая нагрузка, представлена выражением (3);

е31 — пьезокерамическая константа; .г|3 — диэлектрическая проницаемость материала оболочки;

Ег — радиальная составляющая вектора напряженности электрического поля.

Ввиду того, что на элемент нанесен электрод с раскрывом 2у0* оболочка будет совершать не только пульсирующие колебания Щ , но и колебания высших порядков. Поэтому составляющие перемещений точек поверхности ит и Щт оболочки могут быть представлены в виде ряда Фурье вида:

— радиальная составляющая перемещений точек поверхности оболочки Щ:

Щ =ЕЩтет< ;

т

— тангенциальная составляющая перемещений точек поверхности оболочки:

К =ХГт ет<

Теперь детальнее рассмотрим элект-родирование преобразователя и граничные условия по электрическому полю. Считаем, что составляющая напряженности электрического поля зависит от угла, и такая зависимость для одного электрода может быть представлена

Ег* = Ег* А (<* X

2Г0* | -

кусочно-непрерыв-

где А1 (< ) = В  геС!

ная функция, которая предполагает зависимость от < и определяет положение электрода на поверхности преобразователя. Эта функция включения является периодической на интервале [0;2] с периодом 2]. Разложим ее в ряд Фурье:

А (< )= £ Ске

к=-ж

вш ку0*

где Ск = £ 2пь ,

Следовательно,

/(ъ ) = 2 2,01 ^^.

Считая известной амплитуду электрического напряжения, приложенного к электроду с угловым раскрывом 2у01 , запишем:

Ц)1

Ers =

h0s

Тогда составляющая электрической напряженности с учетом разложения функции включения примет вид

Ц)1

Ers =

h0s

Z 2r01Sin

. к кУ0i

При этом для записи полной системы соотношений по электрическому полю используем уравнения вынужденной электростатики [7]:

div D = 0; rot E = 0,

где D — вектор электрической индукции;

E — вектор напряженности электрического поля.

Решение .задачи

Решение задачи будем проводить с использованием:

— уравнений состояния для пьезокера-мики, которые линейно связывают между собой компоненты механических напряжений, деформации, электрическую напряженность и индукцию [8];

— уравнений движения элемента механической колебательной системы преобразователя [7];

— соотношений Коши, связывающих компоненты тензора деформаций и вектора перемещения [12];

— уравнений вынужденной электростатики [7].

Совместное решение указанных уравнений позволяет определить характеристики преобразователя с учетом связанности трех основных полей — электрического, механического, акустического. Решение будет выполняться с использованием метода Фурье и свойств полноты и ортогональности функций втср. Таким образом, задача сводится к отысканию неизвестных коэффициентов разложений для акустических, механических и электрических полей.

Преобразуем систему (1) с учетом составляющей напряженности электрического поля и введя обозначения

„

d =

hjs ; 12Ros' R0s Pms

cE

b =

1 +

e31 E s c11433

c\1h0s

J =

R0s c1E1h0s

Fm (o) = dm2 -(1 + ab)m2 Fm (o) = dm2 -(1 + abm

Mm = im (1 + abm

получим

ZFm (m)Umeimps + iZMmWjmVs + cU01 Z2У01 (ikeikp = 0 mm к ky01

-iZ MmUmeim(Ps +ZFm (m)WmeimPs + cU01 Z

mm к

2У01

sin my01

my01

= -JimP11 Z AnIn

Известно, что для оболочки с радиальной поляризацией в соответствии с [13] электрическая индукция Dr выражается через уравнения состояния следующим образом:

Dr =43Er + e31 (4p+4 )•

Учитывая, что в пределах одного электрода Dr = const, меридианальный компо-

нент тензора деформаций sz равен нулю (в

dUz

силу бесконечности оболочки е2 = 0 ), а

окружной компонент тензора деформаций срединной поверхности определится как

1 (dVs

SP =

dErs

dps

R0s I dP = e31 1 43 R0s

d 2Us

получим

dWs

dPs dPs

С учетом выражения для составляю- нальности функций вида

и е

на

щей электрической напряженности и ее интервале < е[-];] , перейдем к системе производной, используя граничные усло- линейных алгебраических уравнений: вия, а также свойство полноты и ортого-

Ет ( — ит + гМтЩт + Си01

2У01 (т 2У01

вш ту01

тУ01 в1п ту01

= 0;

ту01

= -]—рх (т (к1Я0* ) + ВтМт (к1Я0* ));

-гМтИт + + Си01

Щт = -г~ (Ат1'т(к1Я0* ) + ВтМ'т(к1Я0* )) С1

к1 [ Ат1'т (Яъ ) + ВтМ'т (к1Я1* )] = к [ЕтН'^^ (кЯх* ) р Ат^т

Таким образом, имеем пять неизвес- Проведя совместное решение линейных

тных коэффициентов Ат , Вт , Ет , Щт , уравнений алгебраической системы, отыщем ит . указанные неизвестные коэффициенты:

Ат =

П2 (—и01 [2у0181п ту01"

тУ01 .

Вп (— Вп (—

П

В А

Ет ~

Р [ Ат1т (к1Я1* ) + ВтМт (к1Я1* )] ,

Р

Нт

Щт = -г~[ Ат1'т (к1Я0* ) + ВтМ'т (к1Я0* )]; С1

ит = -г

Мт

Си

рт (—

- гт

01

рт (—

2У01

в1п ту01 тУ01

где

$ЯЪ (— = РСМт (к1Я1* ) Н'т (кЯ1* ) - РСМ'т (к1Я1* )Нт (кЯ1* );

0яи (— = рс1М (Л*) Нт (кЯ1*)- р\С\1т (Л*) нт (кЯ1*);

П1 (—) = - Мт

П2 (—) =

С\рт (— С1Мт ' гтС гС

—т~:+—; П3 (— = -

рт (—) Мт 3 '

]—Р\ Мт

Таким образом, в результате решения электроупругой задачи об излучении звука цилиндрическим преобразователем с разрезными электродами, который размещен в замкнутом волновом слое, получено пять выражений для определения пяти неизвестных коэффициентов разложений, которые дают возможность отыскать указанные характеристики основных физических полей (акустического, механического и электрического).

Выводы

Таким образом, в работе выполнена постановка задачи об излучении акустичес-

Литература_

1. Аронов Б. С. О расчете пьезокерамических цилиндрических приемников первого порядка // Акуст. журн. 1988. Т. 34. № 5. С. 804-811.

2. Вовк И. В., Гринченко В. Т., Кононученко Л. А. Дифракция звуковых волн на плоской решетке состоящей из полых упругих брусьев / / Акуст. журн. 1976. №22, вып.2. С. 201-205.

3. Butler John L., Butler Alexander L., Joseph A. Rice A tri-modal directional transducer// J. Acoust. Soc. Am. 2004. no 115. Р. 658-665.

4. Глазанов В.Е. Экранирование гидроакустических антенн. Л.: Судостроение, 1986, 148 с.

5. Гринченко В. Т., Вовк И.В. Волновые задачи рассеяния звука на упругих оболочках. К.: Наук. думка, 1986. 240 с.

6. Гринченко В. Т., Вовк И. В., Маципура В. Т. Основы акустики. К.: Наук. думка, 2007. 640 с.

7. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5. Электроупругость / Отв.ред. А.Н. Гузь АН УССР, 1989. 280 с.

8. Двдковський В. С., Лейко О. Г., Савш В. Г. Електроакустичш п'eзокерамiчm перетворювачi (розрахунок, проектування, конструювання). Шро-воград: «1мекс-ЛТД», 2006. 448 с.

9. Коржик А. В. Об особенностях электромеханических преобразований в приемных пьезокерами-ческих преобразователях с разрезными электродами // Электроника и связь. 2010. № 2. С. 224-230.

10. Коржик А.В., Куроедова Т.С., Филиппова Н.Ю. Исследование электромеханических характеристик излучающего цилиндрического пьезокерами-ческого преобразователя с полностью электродиро-ванной поверхностью, расположенного в замкнутом кольцевом слое // Электроника и связь. 2013. № 1. С. 102-110.

ких волн цилиндрическим электроупругим преобразователем с разрезными электродами, который размещен в замкнутом волновом слое. При этом проведено аналитическое решение с использованием «сквозного» метода и линейной теории электроупругих оболочек.

В результате решения получены основные соотношения для неизвестных коэффициентов разложений полей, позволяющие рассчитать характеристики акустического поля в слое и среде, а также составляющие перемещений точек поверхности оболочек.

_References

1. Aronov B.S. Akustichesky zhurnal (Acoustic journal), 1988, no №5. P. 804-811.

2. Vovk I. V., Grinchenko V. T., Kononuchenko L. A. Akusticheky zhurnal (Acoustic journal), 1976, no 22 (2), P. 201-205.

3. Butler John L., Butler Alexander L., Joseph A. Rice J. Acoust. Soc. Am. 2004. no 115. P. 658-665;

4. Glazanov V.E. Ekranirovanie gidroakus-ticheskih antenn (Shielding hydro-acoustic antennas). L.: Sudostroenie, 1986, 148 p.

5. Grinchenko V.T., Vovk I.V. Volnovye zadachi rasseyaniya zvuka na uprugih obolochkah (Sound wave scattering by elastic shells). Kiev, 1986. 240 p.

6. Grinchenko V.T., Vovk I.V., Matsypura V.T. Osnovy akustiki (Fundamentals of acoustics). K.: Nauk. dumka, 2007. 640 p.

7. Grinchenko V.T., Ulitko A.F., Shulga N.A. Me-hanika svyazannyh poley v elementah konstruktsiy. T. 5. Elektrouprugost (Mechanics related fields in structural elements. Vol. 5. electroelasticity). USSR, 1989. 280 p.

8. Didkovsky V.S., Leyko O.G., Savin V.G. Elektroakustichni piezokeramichni peretvoryuvachi (rozrahunok, proektuvannya, konstruyuvannya). (Electro piezoceramic transducers (calculation, design, construction)). Kirovograd, 2006. 448 p.

9. Korzhik A.V. Elektronika i svyaz. (Electronics and Communications), 2010, no 2. P. 224-230.

10. Korzhik A.V., Kuroedova T.S., Filippova N.Yu. Elektronika i svyaz. (Electronics and Communication), 2013, no 1. P. 102-110.

11. Коржик А. В., Солтановский Ю. А. Излучение звуковых волн секционированным цилиндрическим пьезопреобразователем, подключенным к длинной линии // Электроника и связь. 2009. № 6. С. 41-47.

12. Лейко А.Г., Шамарин Ю. Е., Ткаченко В.П. Подводные акустические антенны. Методы расчета звуковых полей. Киев, 2000. 320 с.

13. Петрищев О.Н. Гармонические колебания пьезокерамических элементов. Ч. 1. Гармонические колебания пьезокерамических элементов в вакууме и метод резонанса — антирезонанса. К.: Аверс, 2012. 299 с.

14. Плескач М.Г., Лейко О. Г. Випромшення звуку цилшдричним п'eзокерамiчним перетворюва-чем, розмщеним в шарi звукопрозорого матерiалу // Электроника и связь. 2010. № 4. С. 175-179.

15. Устинов Ю.А. Электроупругость. Основы теории и некоторые приложения // Соросовский Образовательный Журнал. 1996. № 3. С. 122-126.

16. Устинов Ю.А. Электроупругость. Некоторые вопросы математического моделирования // Соросовский образовательный журнал, 1996. № 9. С. 122-127.

17. Филиппова Н.Ю. Постановка и решение задачи о приеме звука экранированным цилиндрическим электроупругим преобразователем с разрезными электродами // Системи обробки шформаци: збiрник наукових праць. Х.: Харк1вський ушверси-тет Повггряних Сил iменi 1вана Кожедуба, 2013. Вип. 6 (113). С. 146-152.

18. Филиппова Н.Ю., Коржик А.В. Постановка и решение задачи о приеме звука цилиндрическим электроупругим преобразователем с полностью электродированной поверхностью, размещенным в замкнутом волновом слое // Электроника и связь. 2012. № 1. С. 18-24.

19. Филиппова Н.Ю., Коржик А.В. Формирование рассеянного поля приемным электроупругим цилиндрическим преобразователем в замкнутом кольцевом слое // Системи обробки шформаци: збiрник наукових праць. Х.: Харшвський утвер-ситет Повиряних Сил iменi 1вана Кожедуба, 2013. Вип 7 (14). С. 35-39.

20. Филиппова Н.Ю., Попсуй Е.В., Коржик А.В. Закономерности формирования акустических полей приемного цилиндрического пьезокерамичес-кого преобразователя, расположенного в кольцевом слое // Электроника и связь. 2012. № 6. С. 42-48.

21. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.

22. Sherman C.H., Butler J.L. Transducers and Arrays for Underwater Sound, Springer, New York, 2007.610 p.

11. Korzhik A.V., Soltanovsky Yu.A. Elektronika i svyaz. (Electronics and Communication), 2009, no 6. P. 41-47.

12. Leyko A.G., Shamarin Yu.E., Tkachenko V.P. Podvodnye akusticheskie antenny. Metody rasche-tazvukovyhpoley (Underwater acoustic antenna. Methods for calculating the sound field.). Kiev, 2000. 320 p.

13. Petrishhev O. N. Garmonicheskie kole-baniya piezokeramicheskih elementov. Chast 1. Garmonicheskie kolebaniya piezokeramicheskih elementov v vakuume i metod rezonansa — antirezonansa (Harmonic vibrations of piezoceramic elements. Part 1. Harmonics in vacuo piezoelectric elements and the method of resonance - antiresonance). Kiev, 2012. 299 p.

14. Pleskach M.G., Leyko O.G. Elektronika i svyaz. (Electronics and Communication), 2010, no 4. P. 175-179.

15. Ustinov Yu.A. Sorosovsky Obrazovatelny Zhurnal (Soros Educational Journal), 1996. № 3. P. 122-126

16. Ustinov Yu.A. Sorosovsky obrazovatelny zhurnal (Soros Educational Journal), 1996, №9, P. 122-127.

17. Philippova N.Yu. Sistemi obrobki informatsiï: zbirnik naukovih prats (Information processing systems: collection of scientific papers), 2013, no 6 (113). P.146-152

18. Philippova N.Yu., Korzhik A.V. Elektronika i svyaz. (Electronics and Communication), 2012, nol. P. 18-24.

19. Philippova N.Yu., Korzhik A.V. Sistemi obrobki informatsiï: zbirnik naukovih prats (Information processing systems: collection of scientific papers), 2013, no 7 (14). P. 35-39.

20. Philippova N.Yu., Popsuy E.V., Korzhik A.V. Elektronika i svyaz. (Electronics and Communication), 2012. no 6. P. 42-48.

21. Shenderov E.L. Volnovye zadachi gidroakus-tiki (Wave problems in underwater acoustics), L.: Su-dostroenie, 1972. 348 p.

22. Sherman C.H., Butler J.L. Transducers and Arrays for Underwater Sound, Springer, New York, 2007.610 p.

Коротко об авторе _

Филиппова Н.Ю., аспирант, Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», г. Киев, Украина Ка1а11а.йИроуа.@1.иа.

Научные интересы: физико-математические и технические науки, а именно гидроакустика, прикладная акустика, механика деформируемого тела

_ Briefly about the author

N. Philippova, postgraduate, National Technical University of Ukraine «Kiev Polytechnic Institute», Kiev, Ukraine

Scientific interests: physical-mathematical and technical sciences, namely, underwater acoustics, applied acoustics, mechanics of deformable bodies