Оптимизация по комбинированному критерию качества траекторий укладки ленточного материала при намотке цилиндрических изделий

При использовании алгоритма на основе метода адаптации в пространственном спектре сохраняются два ярко выраженных пика, соответствующих направлению главного максимума ДН на источники сигналов (см. кривые 4-6 на рис. 2).

Выводы

1. Разработана математическая модель процесса обработки сигналов классическим методом в адаптивных антенных решетках.

2. Установлено, что при равных мощностях сигналов применение как классического алгоритма, так и алгоритма, построенного на основе методов адаптации с формированием «нулей» диаграммы направленности в направлениях помеховых источников, позволяет проводить различение по угловому положению некоррелированных сигналов.

3. При различных мощностях сигналов в случае использования классического алгоритма может наблюдаться эффект «неразличения» более слабого по мощности сигнала. В случае применения алгоритма на основе методов адаптации различение некоррелированных сигналов происходит независимо от соотношения их мощностей.

4. При использовании классического алгоритма с увеличением отношения сигнал/шум на входе элементов АР среднеквадратическое значение ошибки определения углового положения каждого из источников

Новочеркасский военный институт связи

стремится к постоянной величине, обусловленной смещением максимума пространственного спектра. Значение ошибки зависит как от соотношения мощностей сигналов, так и взаимного углового положения источников.

5. При использовании алгоритмов, построенных на основе методов адаптации, точность определения углового положения источника сигнала практически не зависит от мощностей других источников сигналов и монотонно уменьшается с ростом отношения сигнал/шум на входе излучателя.

Литература

1. Монзинго Р.А., Миллер Т. У. Адаптивные антенные решетки: Введение в теорию. М., 1986.

2. Гавеля Н.П. и др. Антенны. Ч. 1 / Под ред. Ю.К. Муравьева. Л., 1963.

3. Вертоградов Г.Г., Габриэлъян Д.Д., Звездина М.Ю., Шев-

ченко В.Н. Совершенствование алгоритма углового различения некоррелированных сигналов на основе адаптивного формирования «нулей» диаграммы направленности // Журн. радиоэлектроники. 2001. № 10.

4. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники: В 3 кн. Кн. 2. М., 1975.

5. Johnson D.H. The application of spectral estimation methods to bearing estimation problems. ТИИЭР. 1982. № 9.

9 октября 2003 г.

УДК 621.86

ОПТИМИЗАЦИЯ ПО КОМБИНИРОВАННОМУ КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ УКЛАДКИ ЛЕНТОЧНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ НАМОТКЕ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ

© 2004 г. В.И. Маринин, А.А. Артеменко

При изготовлении изделий из композиционных материалов методом непрерывной намотки важной с практической точки зрения и распространенной задачей является намотка труб, когда оболочка наматывания представляет собой цилиндрическую поверхность с радиусом R. В работе [1] были рассмотрены вопросы укладки нити на поверхность и сформулирована двухточечная краевая задача для расчета на произвольной поверхности линии укладки, определяемой начальной и конечной точками и имеющей оптимальные значения важных характеристик уложенной нити - длины и тангенса угла геодезического отклонения. Линии укладки минимальной длины позволяют достичь уменьшения расхода материала намотки и массы

изделия, а минимальные значения тангенса угла геодезического отклонения обеспечивают максимально устойчивое положение линии на поверхности, определяющее прочностные показатели изделия.

Пусть требуется построить кривую г(1) (I - натуральный параметр), лежащую на некоторой поверхности г = г(и,v), проходящую через точки P0 (и0,, Р^ (uf, Vf) и удовлетворяющую заданным направлениям касательных т1, т 2 к поверхности в точках Р0, Р^ (рис. 1). Направление касательных задается углами намотки (углами между касательной к кривой в точке и вектором ги) кривой в0 и вf.

Рис. 1. Краевые условия фрагмента кривой на поверхности

В работе [1] была предложена модель описания произвольной кривой г(1) на поверхности в системе координат, определяемой базисной кривой г = г(и),v(5)) с натуральным параметром 5. Для

частного случая цилиндрической поверхности задача значительно упрощается в случае, когда базисная кривая г = г (и (5), V (5)) удовлетворяет условиям

u = 0 = const; v = 5 / R

и в начальной точке - V = v0, а в конечной точке -

V = Vf . Введем, как предложено в [1], в окрестности

этой кривой на плоскости систему координат (5, у) для описания произвольной кривой. Для координат выполняются соотношения у = и и 5 = vR (рис. 2).

Решение краевой задачи, алгоритмом взвешивания ЛПО

и

У У

мальная кривая

1ервоначальная кривая

Рис. 2. Кривая на поверхности в системе координат

Тогда радиус-вектор произвольной кривой представляет собой следующий вектор:

R( 5, у) =

R cos

R sin

У

В этом случае система дифференциальных уравнений (ДУ), описывающая кривую на поверхности, в координатах (у, 5) принимает вид [1, 2]:

Б1П ф

d у

ds cos ф

d ф 1

— = — cos фЮ ,

ds R

где ю = tgQ - тангенс угла геодезического отклонения кривой; ф - угол между касательной к кривой и вектором Я 5.

В [1] была сформулирована задача поиска оптимального управления, где в качестве управления выбран тангенс угла геодезического отклонения кривой, а в качестве переменных состояния системы - величины у и ф. Система ДУ (2) представляет собой математическую модель управляемого объекта, а краевые условия для фрагмента линии укладки

(у0 = У(0), Фо = ф (0), уг = у (5Г), Фг = Ф (5Г)), согласно

равенствам (1), определяются следующим образом:

Уо = uo; Фо = --ао; у f = uf; ф f = --а f

Предложенный в [1] критерий качества, характеризующий желаемое соотношение требований минимальности длины и тангенса угла геодезического отклонения витка на поверхности, находят по формуле

I = J

ds,

где 0 <а<1, 5^ - длина кривой, определяющей

систему координат (б, у). При а, близких к 1, критерий качества определяет среднеквадратичное значение тангенса угла геодезического отклонения кривой, т.е. показывает степень устойчивости кривой на поверхности, а при а, близких к 0, - длину кривой. Задача оптимального управления сводится к поиску такого оптимального управления ю , ха-растеризующего траекторию (у, ф), при котором критерий качества (3) принимает минимальное значение. При заданных границах интервала возможных значений тангенсов угла геодезического отклонения |ю| = ^б|< MaxTg6 , т.е. при существовании ограничений на управление в виде неравенств, в качестве метода исследования и решения задачи предлагается использовать принцип максимума Понтрягина [3-5].

Сопряженная система содержит множители Ла-гранжа у = (ф1 (5), ф 2 (5)) и имеет вид:

5

V1 = 0,

ф 2 =-

sin ф 2ч

((1 -а) + ам )-ф1

cos2 ф

cos2 ф

+ф2 — Sin фМ ,

а Гамильтониан системы [4]

H

sin ф 1

+Vj-+ ф2 — cos ф м

cos ф R

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальное управление находим из условия максимума Гамильтониана на каждом наборе значений (, Фг-, Ф1г-, Ф2г) • В случае отсутствия ограничений на управление по всей кривой используем условие:

— = 0 = — Эм cos ф

2а 1

м + ф2 — cos ф . 2R

При наличии ограничений на управление следует провести исследование функции Гамильтона на каждом наборе значений (у{, ф;, ф1г-, ф2) как одномерной функции Н (ю). Для рассматриваемой задачи

Гамильтониан (5) представляет собой параболическую функцию. Чтобы получить максимальное значение функции Гамильтона, необходимо выяснить, является ли единственный экстремум параболической функции (6), для (,фг-,ф1г-,ф2), т.е.

дН

эм

Y=Yi ,ф=ф,-ф1 =ф1,- ,ф 2 =ф 2i

= 0, точкой максимума или точкой

минимума. Возможны три случая:

1. Величина управления юг-, при которой выполняется условие (6), не принадлежит области допустимых значений, т.е. функция Н(ю) монотонно возрастает или убывает на этом интервале. Тогда максимальное значение представляет собой одну из граничных точек области.

2. Величина управления юг- принадлежит области допустимых значений, и Гамильтониан Н(ю) в этой точке принимает максимальное значение, т.е. коэф-

а

фициент

< 0.

3. Величина управления юг- попадает в область допустимых значений, но соответствует минимальному значению функции Гамильтона, т.е. коэффициент

а Л

> 0 . В этом случае допустимое максимальное

значение функции Гамильтона также лежит на границе области.

Уравнения (2), (4), (6) с соответствующим набором краевых условий представляют собой двухточечную краевую задачу, определяющую оптимальные управление и кривую на цилиндрической поверхности, и могут быть решены численными методами решения краевых задач [3,4].

Для расчета начальных значений множителей Ла-гранжа можно использовать следующий метод. Найдем кривую первоначального приближения, представляющую собой решение рассматриваемой двухточечной краевой задачи, удовлетворяющую всем заданным граничным условиям, которой соответствует значение функционала качества (3) I (у 0, ф0). Начальные значения ф10 =ф1(0), ф20 =ф2(0) получим, ис-

д1

пользуя разностный аналог равенств ф10 =--,

дY

Ф 20 = -— [4], а именно: дф

ф1С =

ф 20 =

I (Yo + Ay, фо) -1 (Y о, фо) . ay

_ I (Y 0, ф0 + Аф) -1 (Y 0, ф0) Аф

Приращения ДY и Аф по соответствующим координатам предлагается выбирать согласно определенной точности работы алгоритма. Погрешность по координате у можно выявить в соответствии с длиной кривой, например, порядка 0,0001 от величины длины кривой первоначального приближения. Для получения погрешности по координате ф разделим величину ошибки по у на длину кривой.

Для построения кривой первоначального приближения и выявления начальных значений множителей Лагранжа предлагается использовать следующий алгоритм [6].

Пусть Ц = Ь1 (¿1), Ь2 = Ь2(^2) - линии постоянного отклонения, соединяющие точки P0 и Ру, при

этом первые производные криволинейных координат определяются по натуральному параметру этих кривых в первой (и(0 = и0, у(0 = ) и в последней (и 2 у = и у, у2 у = V у) точках.

Гладкая кривая, проходящая через точки Р0 и Рк и удовлетворяющая условиям (и10 = и0, v1/0 = v0), (и2у = и'у,v2у = V у), может быть задана следующим образом:

Ги(а) = И1 (^ )(1 - ХЙ1)) + И2 (^ ); I у(а) = V&)(1 -)) + )Х(^1),

1

1

S

где а - натуральный параметр кривой; ^ =— ^ -

S1

натуральные параметры вдоль кривых Ц, L2; А = - некоторая гладкая функция; S1 S2 -

длины кривых Ц , Ц2.

В качестве функции (^1) предлагается использовать кривую пятого порядка

ХЙ1) = 60 + 24 ^ + т ^ + Т ^ + ^ + V

60 24 6 2

В этом случае система уравнений, описывающая кривую, проходящую через две точки, для которых полностью заданы граничные условия, имеет вид:

и (а) = «1(^(1 -М^)) + «2(^2)^1); у(а) = ^1)(1 -М^)) + У2(^2)^(^1); $и f <- f

Та = « а ;

dv , , dä = ^ ;

d 2 и

d а2

d2 v

d а2

2

= + ;

2

= + v£a •

Система (8) позволяет решить двухточечную краевую задачу для фрагмента кривой и при вариации граничных условий в начальной точке получить, в соответствии с равенствами (7), оценку начальных значений множителей Лагранжа у10 = yj(0), у20 = у 2(0). В связи с тем, что начальные значения этих величин выбираются неточно, после построения оптимальной кривой, определяемой уравнениями (1), (5), (6), в конечной точке фрагмента кривой полученные значения (ук (у10, у20), фк (у10, у 20)) могут не совпадать с заданными (у f , фf) (см. рис. 2). Очевидно, необходим алгоритм коррекции начальных значений у10, у20 таким образом, чтобы полученная кривая удовлетворяла с заданной точностью всем краевым условиям поставленной задачи для фрагмента кривой.

При линеаризации задачи можно записать систему уравнений, определяющую отклонения текущих значений фазовых координат в конечной точке от заданных Ау = ук(ую,У20)-Yf и Аф = ф^(Ую,У20)-Фf :

^ к

^ю дфк

Ау

10

Эу

Ayi

Эу к

+ Ау 20 = Ау ; Эу 20

Эф.

+ -—— Ау 2ü = Аф •

10

Эу

20

Шаги Ау10 и Ду20, позволяют получить начальные значения множителей Лагранжа, при которых полученная оптимальная кривая на поверхности удовлетворяет всем заданным краевым условиям в начальной и конечной точках. Решая систему (9), получаем:

Аф

Аую =-

Эу к

Эу 2

Эф. дук Эф. дук

Эу20 Эую Эуш Эу 20

Аф

Ау 20 = -

Эф. дук Эф. дук

V

Эу 20 Эуш Эую Эу2

Проведенные численные эксперименты показали, что данный алгоритм не всегда работает устойчиво. Для более устойчивой работы предлагается использовать параметризованный вектор отклонения краевых условий, т.е. в системе (9) брать величины Ау и Аф с некоторым коэффициентом 0 < к < 1. Частные произ-ЭУк ЭУк ЭФк ЭФк

водные

определяются

Эую дУ 20 дУ10 дУ 20 численными методами. При изменении начальных значений множителей Лагранжа на величины Ду10, Ду20 получаем новые значения фазовых координат в конечной точке

Тк*(ую +Ду^ У20), УЛУ^ У20 + Ду20 ), Фк*(ую + ДУЮ,У20), Фк*(УЮ,У20 +Ду20),

тогда

д к = Тк*(ую +Аую, у 20) - Y к (уЮ, У 20).

Эую Аую

д к * Y к ^ у 20 + ау 20)" -Yк (Уlü,у20) .

ду 20 Ау 20

дфк фк*

Эую Аую

Эфк * фк

Эу 2

Ау 2

Проведено тестирование разработанных алгоритмов на различных наборах исходных данных. На рис 3, 4 приведены номограммы тангенса угла геодезического отклонения и разверток кривых при различных коэффициентах а функционала качества (3) для следующих исходных данных:

u0 = 100 ; v0 = 0 ; а0 = 60o; uf = 300 ; vf = 180o; af = 90o;

\MaxTg 0| < 0,3 •

О 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Координата s

Рис. 3. Номограмма тангенсов углов геодезического отклонения кривых при а = 0,1. .0,99

120

\ \

г = 0,99

^а = 0,1.....

...... . ш . ш . /

---- ---- ----

Рис

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Координата s

4. Номограмма разверток кривых при а = 0,1...0,99

Можно увидеть, что при коэффициентах а, близких к 1, кривая обладает минимальными значениями tg9, которые увеличиваются при снижении коэффициента, тогда как длина кривой уменьшается.

Литература

1. Маринин В.И. Уменьшение размерности пространства

состояний в задаче оптимизации траектории укладки нити на поверхность оправки // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. №1. С. 73-79/

2. Маринин В.И. Минимизация длины линии на поверхности

цилиндра при ограничениях угла геодезического отклонения // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. № 2. С. 19-22.

3. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления: Оптимизация оценка и управление. М., 1972.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., 1980.

5. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1983.

6. Маринин В.И., Шварц А.Б., Князев Д.Н. Построение ли-

нии укладки нити на поверхности цилиндра при заданных краевых условиях в задачах моделирования намотки // Новые технологии управления движением технических объектов: Материалы 4-й междунар. науч.-техн. конф./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ), Новочеркасск. Ростов н/Д, 2001. Т. 3. С.58-59.

Южно-Российский государственный технический университет

20 ноября 2003 г.