Синхронизация биений в ансамбле связанных фазоуправляемых генераторов

Радиофизика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № З (1), с. 71-74

УДК 537.86

СИНХРОНИЗАЦИЯ БИЕНИЙ В АНСАМБЛЕ СВЯЗАННЫХ ФАЗОУПРАВЛЯЕМЫХ ГЕНЕРАТОРОВ

© 2013 г. М.А. Мищенко, В.В. Матросов, В.Д. Шалфеев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

mischenko@neuro .nnov.ru

Поступила в редакцию 02.04.2013

Установлено наличие режима синхронизации биений в ансамбле двух связанных фазоуправляемых генераторов на основе системы фазовой синхронизации. Произведено разбиение пространства параметров на области существования синхронизации регулярных биений при различных значениях параметров.

Ключевые слова: синхронизация, синхронизация биений, фазоуправляемый генератор, система фа-

зовой автоподстройки частоты.

Системы фазовой синхронизации (СФС), также называемые системами фазовой автоподстройки частоты (ФАП), широко применяются в системах передачи информации [1, 2]. Основной режим работы таких систем - режим синхронизации подстраиваемого генератора опорным сигналом. Именно этот режим используется для решения задач стабилизации частоты, управления частотой и фазой, а также ряда других задач. Однако, при больших значениях начальных частотных расстроек, вне области синхронного режима эти же системы могут демонстрировать сложные автомодуляционные колебания или биения, в том числе хаотические. Режим биений может представлять интерес при использовании системы ФАП в качестве генератора автомодуляционных колебаний различной сложности, например как нейроноподобный генератор, рассмотренный в работе [3].

Цель настоящей работы - выяснить возможность синхронизации биений в связанных системах ФАП. В качестве модели системы ФАП рассмотрим систему ФАП с разделительным конденсатором в цепи управления. В [4] была исследована система фазовой синхронизации с разделительной ёмкостью в двумерном случае, а в работах [3, 5] рассматривались особенности динамики трехмерной модели. Данная динамическая система определена в цилиндрическом фазовом пространстве (ф(mod2л;), у, £) и записывается в виде системы дифференциальных уравнений (1):

йф йу

йх йх

Є1Є2 ~Т = Т“(Є1 +Є 2 )т -(1 + 5^09^,

где ф - текущая разность фаз подстраиваемого и опорного генераторов, у - начальная частотная расстройка, £1, £2 - параметры инерционности цепи управления.

В такой системе отсутствует состояние равновесия, которое в классических системах ФАП отвечает режиму синхронизации. Но в фазовом пространстве существует предельный цикл, соответствующий режиму биений, который при варьировании параметров модели (1) может менять период, кратность и превращаться в хаотический аттрактор. На рис. 1 представлены проекции (фу) аттракторов в фазовом пространстве системы (1) и соответствующие осциллограммы у(т) для характерных динамических режимов модели (1). Как можно увидеть из рис. 1, в системе могут наблюдаться различные динамические режимы биений: регулярные биения

(рис.1а), пачечные биения с различным количеством импульсов в пачке (рис.1Ь-е) и хаотические биения (рис.1£).

Области существования таких динамических режимов были изучены в [5], где было произведено разбиение сечений пространства параметров (у, £1) и (£1, £2) на области существования различных динамических режимов.

Следует отметить, что реализующиеся в модели (1) динамические режимы биений внешне весьма сходны с характерными динамическими режимами биологических нейронов (режимы периодической активности, регулярной пачечной активности, хаотической пачечной активности) [6,7]. Это обстоятельство позволяет рассматривать модель (1) как модель нейроноподобного элемента, построенного на базе системы ФАП (далее используем сокращение НПФАП). Рассмотрим далее возможность син-

хронизации двух нейроноподобных элементов НПФАПі и НПФАП2, то есть синхронизации биений в двух связанных между собой системах ФАП, описываемых моделями (1).

Система фазовой синхронизации содержит в своей схеме дискриминатор, который сравнивает характеристики колебаний

ристикой: Ф(у2 - Уі) = -——-------, где а -

1 + (а(У2 - У,)) параметр нелинейности дискриминатора. Тогда модель двух однонаправленно связанных нейроноподобных элементов запишется в виде следующей системы дифференциальных уравнений:

йф1

йх

= Уи

йУ1

йх

= Ї1 -(є11 +є12 )т1 -(1 + епс09Ф1 )Уl,

ах

йф2

йх

= У2,

йУ2

йх

=

( \

8 218 22 , 2 -(8 21 + 8 22 2 —

ах

-(1 + 8 21СО Эф2 )^2 “5у Ф(У2 - У ),

где ф1 и ф2 - текущие фазовые рассогласования первого и второго генераторов относительно опорного сигнала; у1 и у2 - начальные расстройки частот первого и второго генераторов относительно опорного сигнала; £11, £12 и £21, £22 - параметры фильтров в цепях управления ФАП1 и ФАП2 соответственно; 5у - безразмерный параметр связи.

Будем считать, что два колебания на выходе НПФАП1 и НПФАП2 синхронизированы, если разность фаз Дф=|ф2-фі| с течением времени не выходит за пределы определенных границ, то есть Дф ограничена некоторой константой ф8уп. Далее аттрактор, удовлетворяющий условию Дф<фкуп, будем называть синхроаттрактором (синхроциклом или синхротором, если аттрактор является периодическим или квазипериоди-ческим решением). Если частоты выходных колебаний НПФАП1 и НПФАП2 совпадают, то говорят о синхронизации на основном тоне. Если колебания НПФАП2 имеют частоту, в к раз превышающую частоту колебаний НПФАП1, где к=2, 3, 4,..., то это движение соответствует синхронизации на гармонике. Если же частота колебаний в НПФАП2 в к раз меньше частоты колебаний НПФАП1, то говорят о синхронизации на ультрагармонике. Возможен случай, когда колебания НПФАП1 периодические, а колебания НПФАП2 являются квазипериодическими или хаотическими, при этом разность фаз Дф ограничена. Этот режим синхронизма определим как синхронизацию в среднем. Далее рассмотрим синхронизацию периодической активности НПФАП.

Значения параметров модели НПФАП1 зафиксируем в точке с координатами у1=0.2, е11=2, е12=10. При этих значениях параметров НПФАП1 демонстрирует режим периодической активности (см. рис.1а). Параметры фильтров системы ФАП2 также зафиксируем, определив их значения такими же, как у НПФАП1: є21=2, є22=10. Значения параметров у2, 5у, а будем варьировать, при этом основной вопрос, который нас будет интересовать: в каком диапазоне изменения параметра у2 выбранный нами способ связи может обеспечить режим синхронизации выходных колебаний НПФАП1 и НПФАП2?

Рис. 2. Области синхронизации периодической активности нейроноподобного элемента, рассчитанные по модели

Очевидно, что при у2=0.2 колебания элементов одинаковы. При у2^уі частоты выходных колебаний НПФАП1 и НПФАП2 различны, поэтому при 5у=0 разность фаз Дф будет постоянно нарастать. Включение частотного кольца управления (5у>0, а>0) позволяет ограничить Дф, то есть выйти на режим синхронизма. Диапазон изменения у2, где режим синхронизма сохраняется (полоса синхронизации), зависит как от силы связи 5у, так и от параметра нелинейности а частотного дискриминатора. На рис. 2 приведены области синхронизации периодической активности НПФАП-элемента на плоскости параметров (5у, У2) модели (2) для различных значений параметра а.

Здесь различными оттенками выделены области синхронизации при а=5, 10, 20 и 30 соответственно. Из рис. 2 видно, что с ростом 5у полоса синхронизации увеличивается, достигает максимума и далее начинает медленно спадать. Верхняя и нижняя границы области синхронизации имеют экстремумы при разных значениях 5у. Область синхронизации тем больше, чем больше крутизна характеристики частотного дискриминатора а. Однако следует обратить внимание на то, что увеличение полосы синхронизации за счет параметра а может привести к мультистабильности и, как следствие, к гисте-резисным явлениям, к синхронизации на кратных частотах и, наконец, к возникновению разрывов в полосе синхронизации.

Установлено, что области синхронизации ограничены бифуркационными поверхностями двукратных предельных циклов. При увеличении а на этих поверхностях появляются складки, которые на плоскости (5у, у2) приводят к «скручиванию» границ области синхронизации и появлению областей с мультистабильным поведением в виде «ласточкина хвоста». На рис. 2 «скручивание» верхней границы области синхронизации наблюдается при а=20 и 30, нижней — при а=30. Переход к синхронизации на ульт-

рагармониках и в среднем обусловлен бифуркациями удвоения периода.

На рис. 3 приведены проекции фазовых портретов и осциллограммы аттракторов модели (2), характеризующие различные режимы синхронизации колебаний НПФАЩ и

НПФАП2.

В силу однонаправленной связи проекция фазового портрета аттрактора модели (2) на плоскость (уь у1) и осциллограмма у1(т) остаются неизменными при вариациях параметров у2, є21, є22 элемента НПФАП2 и параметров связи £у, а. Рисунок 3Ь соответствует синхронизации на основном тоне, рис. 3 с - на ультрагармонике. Движение, изображенное на рис. 3^ является хаотическим, усредненная частота колебаний НПФАП2 совпадает с частотой колебаний НПФАП1, поэтому можно говорить о синхронизации в среднем. На рис. 2 области синхронизации на ультрагармониках ограничены пунктирными линиями, соответствующими первой бифуркации удвоения периода синхроцикла модели (2). При продвижении вглубь области, ограниченной пунктирными линиями, можно наблюдать серию бифуркаций удвоения периода синхроцикла, приводящую к появлению хаотического синхроаттрактора, определяющего режим синхронизации в среднем (рис. 3<і). Далее хаотический аттрактор может проходить через бифуркацию, приводящую к резкому увеличению амплитуды колебаний переменных у2 и г2 (рис. 3е), что нарушает режим синхронизма.

Таким образом, была показана возможность синхронизации регулярных биений в системе двух связанных фазоуправляемых генераторов. Также было отмечено существование синхронизации на гармониках и в среднем. Данные результаты представляют интерес в контексте идеи использования системы ФАП в качестве модели нейрона, предложенной в работах [3, 5]. Полученные результаты могут быть положены в основу дальнейших исследований более сложных ансамблей связанных нейроноподобных элементов как с другими видами связей, так и с другими

Рис. 3. Проекции фазовых портретов и осциллограммыу1

конфигурациями связей. Интерес к предложенному элементу НПФАП стимулируется еще и тем, что наряду с возможностью проведения численных экспериментов здесь имеется возможность организации проведения натурных экспериментов, поскольку разработка и создание экспериментальных схем вполне реальны на основе имеющихся промышленных технологий изготовления интегральных схем ФАП, составляющих основу предложенных НПФАП-элементов и ансамблей таких элементов.

Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (контракт M14.B37.21.1073) и Федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технического комплекса России» на 2007-2013 гг. (контракт №11.519.11.1003).

Список литературы

1. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. 2-е изд. М.: Связь, 1972. 497 с.

2. Системы фазовой синхронизации / Под ред.

B.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. М.: Радио и связь, 1982. 288 с.

3. Мищенко М.А. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 5. № 3.

C. 279-282.

4. Шалфеев В.Д. // Известия вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11. № 3. С. 397-406.

5. Мищенко М.А., Шалфеев В.Д., Матросов В.В. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20, № 4. С. 122-130.

6. Rabinovich M., Varona P., Selverston A., Abarbanel H. // Reviews of Modern Physics. 2006. V.78. № 4. Р. 1213-1265.

7. Izhikevich E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. The MIT Press, 2006.

SYNCHRONIZATION OF BEATS IN AN ENSEMBLE OF COUPLED PHASE-CONTROLLED OSCILLATORS

M.A Mishchenko, V. V. Matrosov, V.D. Shalfeev

A beat synchronization mode has been found in a system of two PLL oscillators. Parameter space partitioning into domains of existence of regular beat synchronization has been made for different parameter values.

Keywords: synchronization, synchronization of beats, phase-controlled oscillator, phase-locked loop (PLL) system.