Исследование дедуктивных возможностей суждений универсальной силлогистики

ФИЛОСОФСКИЕ НАУКИ

Исследование дедуктивных возможностей суждений универсальной

силлогистики Сидоренко О. И.

Сидоренко Олег Иванович /Sidorenko Oleg Ivanovich - кандидат физико-математических наук,

главный конструктор, Научно-производственное предприятие «Анфас», г. Саратов

Аннотация: представлена количественная оценка дедуктивных возможностей базисных суждений универсальной силлогистики в зависимости от числа их условий истинности, рассматриваемого как степень неопределённости суждений. Abstract: presented a quantitative assessment of deductive capabilities of underlying judgments of universal syllogistic based on the number of their truth conditions, considered as the degree of uncertainty.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, решение силлогизма, семантика, результирующие отношения.

Keywords: syllogism, syllogistic, solution of syllogism, semantics, resulting relations.

Введение

В современной аксиоматической силлогистике, основанной на логике предикатов, сложилось представление, что одной единственно возможной силлогистической теории не существует и что имеют право на существование совершенно отличные друг от друга силлогистики с различной интерпретацией смыслов категорических суждений [2], [3]. Однако, если каждому возможному истолкованию категорического суждения присвоить свой, отличный от других семантический номер, соответствующий теоретико -множественным отношениям между терминами суждения со стороны их объемов, при которых данное суждение является истинным, то все возможные силлогистики, не выходящие за рамки логики одноместных предикатов, будут являться фрагментами некоторой единственной силлогистики, названной в работе [5] универсальной. Мы принимаем здесь известное из экстенсиональной интерпретации категорического суждения допущение о том, что смысл такого суждения полностью определяется условиями его истинности, в качестве которых фигурируют теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности таких отношений, известных как отношения Кейнса, существует всего 7 [2].

Присвоим каждому из указанных отношений номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения. Семантика отношений Кейнса представлена в таблице 1.

Как оказалось, логический смысл суждения на естественном языке могут выражать различные логические формы, что затрудняет их использование на практике [6], [7]. Логическая же структура суждения, представляющая собой условия истинности суждения, выраженные через отношения между терминами, единственна. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении, которые можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках [8], [9], [10], либо просто выписывать их из заранее подготовленной ключевой таблицы 2 правил порождения результирующих отношений в силлогистике подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения одноразрядных чисел в арифметике [11]. По аналогии с арифметикой такую таблицу целесообразно назвать таблицей логического

умножения отношений в силлогистике. Наконец-то найдена капитальная концептуальная опора для понятий, законов и выводов внутри самой силлогистики, которая при этом получает прямое обоснование, приобретает логическую форму и благодаря этому становится подлинно теоретической дисциплиной, удовлетворяющей всем критериям точности [1].

Таблица 1. Семантика отношений Кейнса

£ 0 0 1 1 Наименование отношения Логическая формула отношения Диаграмма Эйлера отношения

Р 0 1 0 1

Номер отношения 6 0 1 1 0 Противоречивость S'P+SP' 5 р

7 0 1 1 1 Дополнительность Б+Р

9 1 0 0 1 Равнообъемность S'P'+SP ©

11 1 0 1 1 Включение Б з Р Б+Р' ©

13 1 1 0 1 Включение Р з Б Б'+Р

14 1 1 1 0 Соподчинение Б'+Р' ©о

15 1 1 1 1 Пересечение Б'Р'+Б'Р+БР'+БР = 1

Примечание. 0 - отсутствие свойства для терминов и запрещённая комбинация свойств для отношений; 1 - наличие свойства для терминов и разрешённая комбинация свойств для отношений; Б - субъект суждения, Р - предикат суждения; з - знак включения множеств; «'» - отрицание; «•» - конъюнкция; «+» - дизъюнкция.

№ Посылки Заключение № Посылки Заключение

SM, МР 8Р SM, МР 8Р

1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15

2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15

3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15

4 6, 11 14 29 13, 6 14

5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15

6 6, 14 11 31 13, 9 13

7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15

8 7, 6 11 33 13, 13 13

9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14

10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15

11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13

12 7, 13 7 37 14, 7 13

13 7, 14 11 38 14, 9 14

14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14

15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15

16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15

17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15

18 9, 11 11 43 15, 6 15

19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15

20 9, 14 14 45 15, 9 15

21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15

22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15

23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15

24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15

25 11, 11 11

Некоторые результаты построения универсальной силлогистики изложены в работах автора [5], [12], [13], [14], где, в частности, указано общее число сильных двухпосылочных законов (правильных модусов) универсальной силлогистики с базисным множеством из 127 возможных логических структур суждений (17204 модуса по 4301 в каждой фигуре силлогизма). Этот результат был подтвержден с помощью компьютерных программ [11], при этом только 38 из 127 структур суждений имеют простое словесное выражение на естественном языке и составляют базисное множество так называемой квазиуниверсальной силлогистики [15]. В предыдущей работе автора [16] исследованы дедуктивные возможности суждений универсальной силлогистики, истинных на двух отношениях между терминами.

Целью настоящей статьи является получение количественной оценки дедуктивных возможностей базисных множеств всевозможных суждений универсальной силлогистики, как способности порождать правильные модусы в зависимости от числа условий истинности суждений, рассматриваемого как степень их неопределенности.

Базисное множество суждений универсальной силлогистики

Парадоксальность универсальной силлогистики заключается в том, что если не накладывать никаких ограничений на базисное множество суждений, то в ней не существует неправильных модусов, т.е. любая пара суждений дает положительный результат и этот результат является правильным. Целесообразно исключить из рассмотрения тождественно ложное и тождественно истинное суждения, и в результате останется 126 логических структур суждений, представленных в таблице 3. При этом неправильным модусом мы будем считать такой модус, в результате решения которого получается суждение, истинное на всех семи отношениях Кейнса. Указанный в таблице 3 десятичный код условий истинности суждения соответствует 7-разрядному двоичному числу, разряды которого представляют собой перечисленные в лексикографическом порядке отношения Кейнса, начиная с отношения противоречивости 6 (старший разряд). Например, десятичному коду 1 условий

истинности суждения, истинного на отношении пересечения 15, соответствует двоичное число 0000001, десятичному коду 126 условий истинности суждения, истинного на всех отношениях, кроме отношения пересечения 15, соответствует двоичное число 1111110, а десятичному коду 71 условий истинности суждения, истинного на отношениях противоречивости 6, включения Р з Б 13, соподчинения 14 и пересечения 15, соответствует двоичное число 1000111.

Таблица 3. Базисное множество суждений универсальной силлогистики

Десятичны Обозначе- Десятич- Обозначе-

№ и код Условия ние № ный код Условия ние

п/ условии истинности логической п/ условий истинности логической

п истинности суждения формы п истинност суждения формы

суждения суждения и суждения суждения

1 64 6 АЛ' 36 82 6,9,14

2 32 7 Л'1 37 81 6,9,15

3 16 9 АА 38 76 6,11,13

4 8 11 1А 39 74 6,11,14

5 4 13 А1 40 73 6,11,15

6 2 14 Л1' 41 70 6,13,14

7 1 15 11'1 42 69 6,13,15

8 96 6,7 Е* 43 67 6,14,15

9 80 6,9 - 44 56 7,9,11

10 72 6,11 - 45 52 7,9,13

11 68 6,13 - 46 50 7,9,14

12 66 6,14 Е 47 49 7,9,15

13 65 6,15 - 48 44 7,11,13

14 48 7,9 - 49 42 7,11,14

15 40 7,11 - 50 41 7,11,15 10

16 36 7,13 - 51 38 7,13,14

17 34 7,14 - 52 37 7,13,15 01

18 33 7,15 II 53 35 7,14,15

19 24 9,11 А* 54 28 9,11,13

20 20 9,13 А 55 26 9,11,14

21 18 9,14 - 56 25 9,11,15

22 17 9,15 - 57 22 9,13,14

23 12 11,13 - 58 21 9,13,15

24 10 11,14 - 59 19 9,14,15

25 9 11,15 11' 60 14 11,13,14

26 6 13,14 - 61 13 11,13,15

27 5 13,15 1'1 62 11 11,14,15 01*

28 3 14,15 1'1' 63 7 13,14,15 10*

29 112 6,7,9 64 120 6,7,9,11 (10*)'

30 104 6,7,11 65 116 6,7,9,13 (01*)'

31 100 6,7,13 66 114 6,7,9,14

32 98 6,7,14 67 113 6,7,9,15

33 97 6,7,15 68 108 6,7,11,13

34 88 6,9,11 69 106 6,7,11,14

35 84 6,9,13 70 105 6,7,11,15

№ п/ п Десятичный код условий истинности суждения Условия истинности суждения Обозначение логической формы суждения № п/п Десятичный код условий истинности суждения Условия истинности суждения Обозначение логической формы суждения

71 102 6,7,13,14 99 124 6,7,9,11,13 (11')'

72 101 6,7,13,15 100 122 6,7,9,11,14 (1'1)'

73 99 6,7,14,15 101 121 6,7,9,11,15

74 92 6,9,11,13 102 118 6,7,9,13,14 (11')'

75 90 6,9,11,14 103 117 6,7,9,13,15

76 89 6,9,11,15 104 115 6,7,9,14,15

77 86 6,9,13,14 105 110 6,7,11,13,14

78 85 6,9,13,15 106 109 6,7,11,13,15

79 83 6,9,14,15 107 107 6,7,11,14,15 О

80 78 6,11,13,14 108 103 6,7,13,14,15 О*

81 77 6,11,13,15 109 94 6,9,11,13,14 (11)'

82 75 6,11,14,15 110 93 6,9,11,13,15

83 71 6,13,14,15 111 91 6,9,11,14,15

84 60 7,9,11,13 112 87 6,9,13,14,15

85 58 7,9,11,14 (001)' 113 79 6,11,13,14,15

86 57 7,9,11,15 114 62 7,9,11,13,14

87 54 7,9,13,14 (Ю)' 115 61 7,9,11,13,15 I

88 53 7,9,13,15 116 59 7,9,11,14,15

89 51 7,9,14,15 117 55 7,9,13,14,15

90 46 7,11,13,14 118 47 7,11,13,14,15

91 45 7,11,13,15 119 31 9,11,13,14,15 I*

92 43 7,11,14,15 120 126 6,7,9,11,13,14 (11'1)'

93 39 7,13,14,15 121 125 6,7,9,11,13,15 ЕО'

94 30 9,11,13,14 122 123 6,7,9,11,14,15 ЕО

95 29 9,11,13,15 123 119 6,7,9,13,14,15 ОЕ

96 27 9,11,14,15 124 111 6,7,11,13,14,15 ЕЕ

97 23 9,13,14,15 125 95 6,9,11,13,14,15 Е'О

98 15 11,13,14,15 126 63 7,9,11,13,14,15 ЕЕ'

Метод вычисления результирующих отношений

Для исследования дедуктивных возможностей суждений универсальной силлогистики применим семантический метод вычисления результирующих отношений, предложенный в работе автора [17] и развитый в работах [18], [19], [20], [21], [22]. Этот метод относится к прямым методам обоснования логических выводов в силлогистике [1]. Он основан на тезисе Альфреда Тарского о том, что понимать суждение означает знать его условия истинности, в качестве которых фигурируют рассмотренные выше теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объёмов. Метод сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом как теории одноместных предикатов [4]. В процессе решения мы получаем или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок при данном базисном множестве суждений не существует.

Метод вычисления результирующих отношений применительно к поставленной выше задаче исследования дедуктивных возможностей суждений универсальной силлогистики в зависимости от их степени неопределённости заключается в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений с фиксированной степенью неопределённости из таблицы 3 записывают условия истинности каждого из суждений (в скобках) в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными.

При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины S и M, а во второй - M и P, что соответствует первой фигуре силлогизма, где M - средний термин силлогизма, а S и P - крайние термины.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений из ключевой таблицы 2 [17] выписывают результирующие отношения (одно или несколько), порождаемые посылками в конфигурации SM - MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений в традиционной силлогистике, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также аналитическим методом [10], [23], [24]. Как уже отмечалось, указанной таблицей нужно пользоваться подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

3. Составляют перечень полученных по п. 2 результирующих отношений (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Выписывают из базисного множества (см. таблицу 3) те суждения, условия истинности которых, покрывают полученные результирующие отношения (т. е. включают их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают самое «сильное», обладающее наименьшей степенью неопределённости (т. е. меньшим числом условий истинности).

6. Для представления результата (при необходимости) в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP - SM, переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычисления в других фигурах силлогизма производят взаимные замены отношений 11 ^ 13 в условиях истинности посылок в соответствии с фигурой, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества суждений силлогистики (при его наличии) и производят замену определённых суждений в соответствующих фигуре посылках в результатах вычислений по первой фигуре.

Свойство силлогистической полноты базисного множества суждений силлогистики традиционного типа с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности, о котором впервые было заявлено в работе [17], состоит в том, что если это множество содержит суждение, логическая форма которого истинна на отношении 11, то оно должно также содержать и суждение, истинное на отношении 13, и наоборот, при полном совпадении других отношений. Справедливость данного утверждения следует из того, что среди всех возможных семи отношений между терминами в традиционной силлогистике только два из них, а именно: отношения включения 11 и 13 имеют разные значения истинности на наборах с неодинаковыми значениями истинности для терминов (см. таблицу 1).

Как легко видеть (см. таблицу 3), базисное множество суждений универсальной силлогистики обладает силлогистической полнотой. Очевидно также, что для выявления всех правильных модусов в рассматриваемых подмножествах суждений с фиксированной степенью неопределённости необходимо произвести 126 х 126 = 15876 вычислений.

Ниже приведены примеры вычислений для характерных случаев, соответствующих фиксированной степени неопределённости суждений. Для остальных случаев вычисления производятся аналогично. Правильные модусы выделены.

Пример 1. Суждения первой степени неопределённости. Их число равно семи. В таблице 3 они имеют номера с 1 по 7 включительно.

64(6), 64(6) ^ 16(9) - подобных случаев 32;

6, 6 ^ 9;

Р.О.: 9.

32(7), 1(15) ^ 41(7,11,15) - подобных случаев 8;

7, 15 ^ 7,11,15;

Р.О.: 7,11,15.

32(7), 32(7) ^ 61(7,9,11,13,15) - подобных случаев 8; 7,7 ^ 7,9,11,13,15; Р.О.: 7,9,11,13,15.

1(15), 1(15) ^ — - подобных случаев 1; 15, 15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Выводы: суждения первой степени неопределённости порождают 32 правильных модуса с заключениями первой степени неопределенности, 8 правильных модусов с заключениями третьей степени неопределенности и 8 правильных модусов с заключениями пятой степени неопределённости. Всего 48 правильных модусов и 1 неправильный модус.

Пример 2. Суждения второй степени неопределённости. Их число равно 21. В таблице 3 они имеют номера с 8 по 28 включительно. 96(6,7), 66(6,14) ^ 24(9,11) - подобных случаев 21; 6,6 ^ 9; 6,14 ^ 11; 7,6 ^ 11; 7,14 ^ 11; Р.О.: 9,11.

96(6,7), 18(9,14) ^ 104(6,7,11) - подобных случаев 52; 6,9 ^ 6; 6,14 ^ 11; 7,9 ^ 7;

7.14 ^ 11; Р.О.: 6,7,11.

96(6,7), 65(6,15) ^ 57(7,9,11,15) - подобных случаев 90; 6,6 ^ 9;

6.15 ^ 15; 7,6 ^ 11;

7,15 ^ 7,11,15; Р.О.: 7,9,11,15.

96(6,7), 96(6,7) ^ 61(7,9,11,13,15) - подобных случаев 140;

6.6 ^ 9;

6.7 ^ 13;

7.6 ^11;

7.7 ^ 7,9,11,13,15; Р.О.: 7,9,11,13,15.

96(6,7), 48(7,9) ^ 125(6,7,9,11,13,15) - подобных случаев 52;

6,7 ^ 13; 6,9 ^ 6;

7,7 ^ 7,9,11,13,15; 7,9 ^ 7;

Р.О.: 6,7,9,11,13,15.

96(6,7), 40(7,11) ^ — - подобных случаев 86;

6,7 ^ 13;

6,11 ^ 14;

7,7 ^ 7,9,11,13,15;

7,11 ^ 6,9,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Выводы: суждения второй степени неопределённости порождают 21 правильный модус с заключением второй степени неопределённости, 52 правильных модуса с заключением третьей степени неопределённости, 90 правильных модусов с заключением четвёртой степени неопределённости, 140 правильных модусов с

125(6,7,9,11,13,15) - подобных случаев 312;

заключением пятой степени неопределённости и 52 правильных модуса с заключением шестой степени неопределённости. Всего 355 правильных модусов и 86 неправильных модусов.

Пример 3. Суждения третьей степени неопределённости. Их число равно 35. В таблице 3 они имеют номера с 29 по 63 включительно.

112(6,7,9), 84(6,9,13) — 124(6,7,9,11,13) - подобных случаев 128;

6,6 ^ 9; 7,6 ^ 11; 9,6 ^ 6;

6,9 ^ 6; 7,9 ^ 7; 9,9 ^ 9;

6,13 ^ 7; 7,13 ^ 7; 9,13 ^ 13;

Р.О,: 6,7,9,11,13.

112(6,7,9), 112(6,7,9) -

6.6 ^ 9;

6.7 ^ 13;

6,11 ^ 14;

Р.О.: 6,7,9,11,13,15.

112

6.6 ^ 9;

6.7 ^ 13

6,11 ^ 14;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Выводы: суждения третьей степени неопределённости порождают 128 правильных модусов с заключением пятой степени неопределённости и 312 правильных модусов с заключением шестой степени неопределённости. Всего 440 правильных модусов и 785 неправильных модусов.

Пример 4. Суждения четвёртой степени неопределённости. Их число равно 35. В таблице 3 они имеют номера с 64 по 98 включительно.

23(9,13,14,15), 90(6,9,11,14) — 95(6,9,11,13,14,15) - подобных случаев 38;

7.6 ^ 11;

7.7 ^ 7,9,11,13,15; 7,11 ^ 6,7,11,14,15;

• — - подобных случаев 785;

7.6 ^ 11;

7.7 ^ 7,9,11,13,15; 7,11 ^ 6,7,11,14,15;

9.6 ^ 6;

9.7 ^ 7; 9,11 ^ 11;

9.6 ^ 6;

9.7 ^ 7; 9,11 ^ 11;

9,6 ^ 6; 9,9 ^ 9; 9,11 ^ 11; 9,14 ^ 14;

13,6 ^ 14; 13,9 ^ 13;

13,11 ^ 9,11,13,14,15; 13,14 ^ 14;

14,6 ^ 13;

14,9 ^ 14;

14,11 ^ 14;

14,14 ^ 9,11,13,14,15;

15,6 ^ 15; 15,9 ^ 15; 15,11 ^ 11,14,15; 15,14 ^ 11,14,15;

Р.О.: 6,9,11,13,14,15.

15(11,13,14,15), 15(11,13,14,15) ^ — - подобных случаев 1187;

11,11 ^ 11; 13,11 ^ 9,11,13,14,15; 14,11 ^ 14; 15,11 ^ 11,14,15;

11.13 ^ 7,9,11,13,15; 13,13 ^ 13; 14,13 ^ 6,7,13,14,15; 15,13 ^ 7,13,15;

11.14 ^ 6,7,11,14,15; 13,14 ^ 14; 14,14 ^ 9,11,13,14,15; 15,14 ^ 11,14,15;

11.15 ^ 7,11,15; 13,15 ^ 13,14,15; 14,15 ^ 13,14,15; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Выводы: суждения четвертой степени неопределённости порождают 38 правильных модусов с заключением шестой степени неопределённости. Всего 38 правильных модусов и 1187 неправильных модусов.

Пример 5. Суждения пятой степени неопределённости. Их число равно 21. В таблице 3 они имеют номера с 99 по 119 включительно.

31(9,11,13,14,15), 31(9,11,13,14,15) ^ — - подобных случаев 441;

15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Выводы: суждения пятой степени неопределённости не порождают ни одного правильного модуса. Число неправильных модусов равно 441.

Пример 6. Суждения шестой степени неопределённости. Их число равно 7. В таблице 3 они имеют номера с 120 по 126 включительно.

111(6,7,11,13,14,15), 111(6,7,11,13,14,15) ^ — - подобных случаев 49;

15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Выводы: суждения шестой степени неопределённости не порождают ни одного правильного модуса. Число неправильных модусов равно 49.

Пример 7. Суждения третьей и четвертой степени неопределенности.

11(11,14,15). 120(6,7,9,11) ^ 47(7,11,13,14,15) - подобных случаев 17;

11.6 ^ 7; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15;

11.7 ^ 7; 14,7 ^ 13; 15,7 ^ 7,13,15;

11,9 ^ 11; 14,9 ^ 14; 15,9 ^ 15;

11,11 ^ 11; 14,11 ^ 14; 15,11 ^ 11,14,15;

Р.О.: 7,11,13,14,15.

88(6,9,11), 120(6,7,9,11) ^ 126(6,7,9,11,13,14) - подобных случаев 148;

6.6 ^ 9; 9,6 ^ 6; 11,6 ^ 7;

6.7 ^ 13; 9,7 ^ 7; 11,7 ^ 7;

6,9 ^ 6; 9,9 ^ 9; 11,9 ^ 11;

6,11 ^ 14; 9,11 ^ 11; 11,11 ^ 11;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14.

112(6,7,9), 120(6,7,9,11) ^ - - подобных случаев 1060;

7,7 ^ 7,9,11,13,15;

7,11 ^ 6,7,11,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Выводы: суждения смешанной степени неопределенности, равной 3 и 4, не могут порождать заключения со степенями неопределенности 1, 2, 3 и 4 и порождают 17 правильных модусов с заключениями пятой степени и 148 правильных модусов с заключениями шестой степени неопределенности. Число неправильных модусов равно 1060. Точно такими же дедуктивными возможностями обладают суждения смешанной степени неопределенности, равной 4 и 3.

Результаты проведенных исследований сведены в таблицу 4, из которой следует, что число правильных модусов, порождаемых всевозможными парами суждений с конкретной степенью неопределенности посылок и заключения, не зависит от перестановки посылок.

Рассматриваемые в статье фрагменты универсальной силлогистики с различной степенью неопределённости суждений в посылках расположены в таблице 4 в порядке уменьшения показателя их дедуктивной продуктивности, равного отношению числа порождаемых ими правильных модусов к числу неправильных.

Таблица 4. Результаты исследования дедуктивных возможностей суждений универсальной

силлогистики

№ Степень неопределённо сти посылок Степень неопределённости заключения Число пра-виль ных модусов Число неправ ильных модусов Общее число модусов Показ атель дедукт ивной продук тивнос ти

1 2 3 4 5 6

1 1, 1 32 - 8 - 8 - 48 1 49 48

2 1, 2 или 2, 1 9-2 58-2 26-2 - 44-2 - 137-2 102 147-2 13,7

3 1, 3 или 3, 1 - 16-2 102-2 - 9Ъ2 - 210-2 35-2 245-2 6

4 2, 2 - 21 52 90 140 52 355 86 441 4,13

5 1, 4 или 4, 1 - 4-2 182 70-2 93-2 - 1852 602 245-2 3,08

6 2, 3 или 3, 2 - - 17-2 60-2 226-2 164-2 467-2 268 2 735-2 1,74

7 1, 5 или 5, 1 - - 4-2 - 88-2 - 92-2 55-2 147-2 1,67

8 1, 6 или 6, 1 - - - - 9-2 142 23-2 26-2 49-2 0,88

9 2, 4 или 4, 2 - - - 17-2 106^2 188-2 3112 424-2 735-2 0,73

10 3, 3 - - - - 128 312 440 785 1225 0,56

11 2, 5 или 5, 2 - - - - 21-2 70-2 912 350-2 441-2 0,26

12 3, 4 или 4, 3 - - - - 17-2 1482 1652 1060 2 1225-2 0,16

13 2, 6 или 6, 2 - - - - - 9-2 92 1382 147-2 0,07

14 4, 4 - - - - - 38 38 1187 1225 0,03

15 3, 5 или 5, 3 - - - - - 162 162 719-2 735-2 0,02

16 4, 5 или 5, 4 - - - - - 4-2 4-2 731-2 735-2 0,005

17 3, 6 или 6, 3 - - - - - - 0 245-2 245-2 0

18 4, 6 или 6, 4 - - - - - - 0 245-2 245-2 0

19 5, 5 - - - - - - 0 441 441 0

20 5, 6 или 6, 5 - - - - - - 0 147-2 147-2 0

21 6, 6 - - - - - - 0 49 49 0

22 I 50 177 394 384 1668 1628 4301 11575 15876 -

Заключение

1. Точное число всех сильных правильных модусов в универсальной силлогистике из 126 базисных суждений равно 17204 (по 4301 в каждой фигуре силлогизма), что подтверждает полученные ранее результаты [5, 11].

2. Степень неопределённости суждений при дедуктивных выводах в силлогистике уменьшаться не может, что отмечалось в работах [34], [35].

3. Если оценивать дедуктивные возможности базисных множеств суждений универсальной силлогистики по величине показателя их дедуктивной продуктивности, то, как и следовало ожидать, наибольшими дедуктивными возможностями обладают атомарные суждения, характеризующиеся наименьшей степенью неопределённости суждений. Далее следуют силлогистики с суждениями, степень неопределённости которых равна 1 или 2, и т. д. Отметим при этом исключительно резкое падение дедуктивных возможностей суждений при увеличении их степени неопределённости. Практически уже при степени неопределённости, равной 3, соответствующей, например, акцидентальным суждениям Н. А. Васильева, силлогистики становятся дедуктивно непригодными (см. таблицу 4).

4. Полученные результаты позволяют оперативно оценивать логические возможности как уже известных, так и новых силлогистик как фрагментов универсальной силлогистики. Так, например, силлогистике Аристотеля соответствуют 4, 11 и 19 строки и 2 и 5 столбцы таблицы 4.

5. Результаты, полученные в данной статье, а также в работах автора [24], [25],

[26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36] показывают, что в настоящее

время в распоряжении читателей имеется эффективный и достаточно простой

инструмент для проведения подобных исследований в силлогистике.

Литература

1. Антаков С. М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2012. 174 с.

2. Бочаров В. А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

3. Бочаров В. А., Маркин В. И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.

4. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

5. Сидоренко О. И. О существовании и построении универсальной силлогистики // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-16. Т. 7. Ростов н / Д.: РГАСХМ, 2003. С. 155-159.

6. Сидоренко О. И. О многозначности в силлогистике // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. № 4 (54), 2014. С. 53-62.

7. Сидоренко О. И. О многозначности в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-27. Т. 3. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2014. С. 102-106.

8. Сидоренко О. И. Об аналитической силлогистике // Национальная ассоциация ученых. № 10. Т. 5. Часть 5. Екатеринбург, 2015. С. 71-75.

9. Сидоренко О. И. Аналитическая силлогистика - миф или реальность // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-28. Т. 4. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2015. С. 57-59.

10. Сидоренко О. И. Введение в аналитическую силлогистику. Саратов: Изд. Центр «Наука», 2016. 230 с.

11. Сидоренко О. И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2007. 192 с.

12. Сидоренко О. И. О некоторых результатах семантического подхода к компьютеризации субъектно-предикатной логики // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-18. Казань: Изд-во КГТУ, 2005. С. 131-134.

13. Сидоренко О. И. О числе законов универсальной силлогистики без ограничений на термины // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы Междунар. конф. ИПТМУ РАН. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2007. С. 60-65.

14. Сидоренко О. И. О числе правильных модусов в универсальных силлогистиках // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-21. Т. 8. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2008. С. 212-215.

15. Сидоренко О. И. О построении традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Единый Всероссийский научный вестник. № 4 (2). М., 2016. С. 93-104.

16. Сидоренко О. И. Об исследовании дедуктивных возможностей некоторых логических форм суждений универсальной силлогистики // Современные инновации. № 9 (11), 2016. С. 16-26.

17. Сидоренко О. И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

18. Сидоренко О. И. В лабиринтах логики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 108 с.

19. Сидоренко О. И. Силлогистический процессор / Патент РФ №39722. Приоритет 15.03.2004. Опубл. 10.04.2004. Бюл. № 22. С. 20.

20. Сидоренко О. И. О применении метода вычисления результирующих отношений для построения силлогистик без ограничений на термины // Ежемесячный научный журнал «Е^саИо». № 11 (18). Часть 3. Новосибирск, 2015. С. 104-108.

21. Сидоренко О. И. Построение силлогистик Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. № 7 (9), 2016. С. 49-58.

22. Сидоренко О. И. Построение обобщённой ортогональной силлогистики Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 56-65.

23. Сидоренко О. И. Об аналитическом методе вычисления результирующих отношений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-29. Т. 1. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2016. С. 108-112.

24. Сидоренко О. И. Об аналитическом методе решения силлогизмов // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-26. Т. 2. Саратов: СГТУ, 2013. С. 76-77.

25. Сидоренко О. И. О базисном множестве суждений традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. № 6 (8), 2016. С. 52-60.

26. Сидоренко О. И. Об одном уточнении базисного множества суждений квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 52-56.

27. Сидоренко О. И. Что даёт переход от суждений Аристотеля к суждениям А. Де Моргана в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-28. Т. 4. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2015. С. 60-62.

28. Сидоренко О. И. Моделирование естественных рассуждений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-27. Т. 3. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2014. С. 110-113.

29. Сидоренко О. И. О построении традиционной негативной силлогистики из суждений А. Де Моргана аналитическим методом // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-26. Т. 2. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2013. С. 73-75.

30. Сидоренко О. И. О логической полноте систем категорических суждений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-26. Т. 2. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2013. С. 75-76.

31. Сидоренко О. И. О дедуктивной непригодности базисного множества акцидентальных суждений Н. А. Васильева и их отрицаний в силлогистике // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 44- 51.

32. Сидоренко О. И. Силлогистика и аналитический метод // Российско-китайский научный журнал «Содружество» № 1. Часть 1. Новосибирск, 2016. С. 126-132.

33. Сидоренко О. И. О традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество» № 2. Часть 3. Новосибирск, 2016. С. 7-15.

34. Сидоренко О. И. О процессе познания в традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество» № 3. Часть 1. Новосибирск, 2016. С. 107-112.

35. Сидоренко О. И. Об исследовании дедуктивных возможностей суждений с фиксированной степенью неопределённости в квазиуниверсальной силлогистике // Научно-образовательное содружество «ЕуоМю» № 1. М., 2016. С. 61-68.

36. Сидоренко О. И. О сравнении силлогистик с ограничениями на термины // Национальная ассоциация учёных. № 11 (6). Часть 2. Екатеринбург, 2015. С. 85-91.