Математическое моделирование тяговых цепей

140

Реконструкция тяговых средств

использованием сверхпроводимости на транспорте. Среди важных проблем, требующих решения, следует назвать: необходимость разработки конструкций СПЭМ с пониженным уровнем ВМП, оптимизацию сверхпроводящих катушек по массе и габаритам, разработку СПИН с возможностью регулирования энергоемкости в зависимости от условий движения и ряд других.

5. Литература

Глебов И.А., Шахтарин В.Н., Антонов Ю.Ф. Проблема ввода тока в сверхпроводниковые устройства. Наука, 1985.

Глебов И.А., Лаверик Ч., Шахтарин В.Н. Электрофизические проблемы использования сверхпроводимости. Наука, 1980.

Криогенные электрические машины. Под ред. Шереметьевского Н.Н. Энергоатомиздат, 1985.

Кочетков В.М., Ким К.И., Трещев И.И. Теория электродинамической левитации. Основные результаты и дальнейшие задачи. Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1981, № 1.

Хожаинов А.И., Никитин В.В. Автономная тяговая электрическая передача со сверхпроводниковыми электрическими машинами и индуктивным накопителем энергии. Электричество, 1996, № 10.

Хожаинов А.И., Никитин В.В. Электромагнитная совместимость сверхпроводниковых и традиционных электрических машин. Электричество, 2003, № 5.

Никитин В.В. Проблема электромагнитной совместимости сверхпроводникового и традиционного оборудования на транспорте. V международный симпозиум по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии. Сборник научных докладов. Санкт-Петербург, 2003.

Хожаинов А.И. и др. Цикл статей по применению сверхпроводимости на транспорте. Железнодорожный транспорт, 1987, № 7; 1992, № 6; 1996, № 5; 1998, № 5; 1999, № 7; 2003, № 7.

УДК 621.331:621.311

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЯГОВЫХ ЦЕПЕЙ

Е.Ф. Жигалко, А.Н. Бестужева

Аннотация

Рассматриваются алгоритмы расчёта параметров электроснабжения участка электрической железной дороги, учитывающие новые схемотехнические решения, вычислительные ресурсы и направления применения результатов. Моделирование квазистационарных режимов электроснабжения участка с тяговыми и

2004/2

Известия Петербургского университета путей сообщения

Реконструкция тяговых средств

141

рекуперирующими электровозами проводится с целью подготовки обобщенных зависимостей для анализа неучтенного потребления и потерь электроэнергии и для расширения пределов автоматического управления процессами в системе.

Ключевые слова: система электроснабжения, имитационное

моделирование, ориентированный граф, уравнения Кирхгофа, пакет Mathematica

Введение

Рационализация графика движения на одном участке

рекуперирующего и потребляющего электровозов, может опираться на расчет режима электроснабжения в сети “в реальном времени”. Алгоритмы такого расчёта нужны также при программировании и применении процессоров в автоматической системе управления движением. Это оправдывает интерес к совершенствованию существующих алгоритмов.

Расчёт параметров квазистационарной электрической цепи не является сложной задачей. Известна теория, на основе законов Кирхгофа и классические методы решения, такие, как метод узловых потенциалов. И всё же, существует потребность обновления оптимального алгоритма, вследствие модернизации моделируемых систем и вычислительных ресурсов.

При использовании классического подхода программные системы MATCAD и MATLAB применимы как средство расчёта (Новгородцев А., 2004, Асенчик О.Д. и др., 2003). Ниже показано, какие дополнительные выгоды при моделировании электрических цепей можно получить, обращаясь к специфичным ресурсам математических пакетов Mathematica и MATLAB (Дьяконов В., 2001).

1. Постановка задачи

Тяговая сеть может быть в математической модели интерпретирована как система с сосредоточенными параметрами, то есть, множество электрически связанных узлов, в которых сосредоточены функции снабжения и потребления электрической энергии. При этом она гомоморфна некоторому графу.

Граф G(V,E) - неоднородное множество, состоящее из множества вершин K={Vj}, i = 1,2,...,s и множества “рёбер” - пар е, = (у, , уЛ), у,Ае {1,2,...,5}, E={et}, i = 1,2,...,/7

Граф является удобным для применений математическим понятием с развитой теорией возможных структур. Вершины графа изображают конкретные устройства снабжения и потребления электрической энергии, в то время как ребра (дуги) олицетворяют проводники - контактный провод, рельсы или, если есть, фидерный провод. Структуру графа представляют не только списком элементов, но также матрицей смежности - квадратной

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/2

142

Реконструкция тяговых средств

таблицей sxs значений характеристической функции смежности вершин, или матрицей инциденций sxp, строки которой соответствуют вершинам, столбцы рёбрам, а элементами служат значения характеристической функции инцидентности вершины и ребра. Для извлечения возможной выгоды из упорядоченного представления матрицами топологических свойств цепи, электрические её свойства в уравнениях Кирхгофа также представляют векторами и матрицами (Зевеке Г.В. и др., 1975; Kim K.K., 2002).

Дугам приписываются соответствующие им значения величин сопротивления, проводимости, э.д.с. и узловые токи: R - диагональная матрица сопротивлений размерности рх /?, Е - вектор заданных э.д.с., J - вектор узловых токов (эти вектора имеют размерность /?х1). Пусть

требуется определить Ф - вектор потенциалов в узлах цепи.

Задача сводится к решению уравнений Кирхгофа для Ф , которые представляют для заданной электрической схемы систему из s уравнений, и в матричной форме выглядят следующим образом:

А  R1 -Ат  Ф = А  J - А  R1  Е

Матрица этой системы всегда вырожденная. Это объяснимо с позиции вычисления потенциалов в узлах, они вычисляются в разностях, с точностью до значения в каком либо узле. В конкретной схеме о m элементах известно, что их потенциалы равны (нулю), в графе их может представлять один узел (Ч>\ =0).

Символьное решение в пакете Mathematica, с которым возможно решение задач, связанных с графами, эффективно при числе узлов до рс =10. Существенно снизить вычислительный объем задачи при р> рс

можно, представляя часть параметров в символьном виде, а остальные - в численном. Этот ход перспективен, поскольку позволяет получить в аналитической форме функциональные связи между важнейшими параметрами системы, что много ценнее обобщения в постпроцессоре данных численного эксперимента.

2. Простейшие цепи

Наиболее наглядны результаты, полученные для простых цепей. Схема электрической цепи для случая, в котором на перегоне длиной L между двумя тяговыми подстанциями (ТП1 и ТП2) движется электровоз, приведена на рис. 1 (на схемах использованы следующие обозначения: Ei -напряжение холостого хода, a pi - внутреннее сопротивление /-й тяговой подстанции; Ш = уг/г - текущее сопротивление /-го отрезка рельсовой цепи, a ri = уЭ, - контактной; Л- ток электровоза).

2004/2

Известия Петербургского университета путей сообщения

Реконструкция тяговых средств

143

E1

РХ

r1

r2

о 3 А

R1

R2

Рис. 1. Схема для двух ТП и одного электровоза

Рассмотрим тестовые результаты моделирования процесса при условии, что ток, потребляемый электровозом J, постоянен и E1=E2. Для J1, доли тока, потребляемой от ТП1, в зависимости от расстояния до неё х, получается следующая формула:

Jl =

J

Р2 + Ук+Уг L~x Р1+Р2 + Ук+Гг 1

Рассчитанное падение напряжения на электровозе в функции от х, показано на рис. 2 (J= 1000А, L = 20 км, Е\ = Е2 = 3500 В, р1= 0.1 Ом, jk =

0.1 Ом/км, уг = О.ОЮм/км).

Рис. 2. Напряжения на электровозе в функции от х, расстояния до первой ТП

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/2

144

Реконструкция тяговых средств

3. Одновременное движение электровозов в тяговом и рекуперирующем режимах

При расчёте задач с рекуперацией рассматриваются более сложные электрические цепи (рис. 3). Такая задача характеризуется большим числом координат. В простейшем случае, это будут расстояния от первой ТП1 до тягового электровоза (x) и рекуперирующего электровоза (xr).

Рис.3. Цепь, включающая две ТП и три электровоза, а - схема цепи, б - ориентированный граф для схемы

Полезной для анализа функционирования системы электроснабжения при одновременном движении одного электровоза в режиме тяги ТЭ и другого, в режиме рекуперации РЭ, считают модель, в которой ток J , подаваемый в сеть рекуперирующим электровозом - постоянен (Павлов Л.Н., 2001).

Если xr < x , а параметры цепи такие же, как в предыдущем примере, то для доли тока, потребляемой от ТП1, получается следующая формула (в сегменте, в котором J , J > 0, соответствующие соотношения могут быть получены и для других сегментов):

Jl =

J 0.1 + 0.11 L — x 0.1 + 0.11 L-xr

0.2 + 0.11Z

Следующие графики отображают более обобщённые результаты расчётов параметров тяговых цепей. При их рассмотрении следует учитывать, что электрические свойства элементов цепи представлены в численной модели приближённо и результаты несут отпечаток упрощений. Величины токов, напряжений и расстояний отнесены к номинальным значениям J, U и L , соответственно. В примерах, J=1500 А.

2004/2

Известия Петербургского университета путей сообщения

Реконструкция тяговых средств

145

Рис. 4. Параметры электроснабжения в сети с тяговым и рекуперирующим электровозами: xr = 0.3, 1 - напряжение на РЭ; 2 - ток левой ТП; 3 - ток правой ТП; 4 - сбрасываемый ток рекуперации

На рис.5, правее изолинии 0 подстанция ТП1 - “заперта”, полоса корпоративного действия обеих подстанций находится между уровнями 0 и 0.666, левее которого “заперта” ТП2. В модели, ТП является генератором напряжения E1, РЭ - генератором тока, поэтому тяговая подстанция запирается, как только напряжение на РЭ, находящемся между нею и ТЭ становится выше E1.

4. Выводы

Тестирование, расчёты эталонных задач, анализ результатов позволяют считать, что разработанные алгоритмы и программы на их основе позволяют проводить расчётное моделирование тяговых цепей с электровозами в режиме тяги и рекуперации. Возможно количественное определение эффектов утилизации рекуперированной энергии, “запирания” тяговой подстанции и сброса тока рекуперации.

5. Литература

Новгородцев А. Расчёт электрических цепей в MATLAB. - М.: Питер, 2004-10-17 Асенчик О.Д., Стародубцев Е.Г., Токочаев В.И. Проектирование визуальных приложений для модернизирования электрических сетей с использованием пакетов VisSim и Simulink. Exponenta. pro 3/2003.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/2