Оценка погрешности приближенного решения одной обратной задачи

23. Трынин А. Ю. Одно обобщение теоремы дискретизации // Современные проблемы теории функций и их приложения : тез, докл. 14-й Сарат, зимн, шк,, поевящ, памяти акад. П, Л, Ульянова, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, С, 189-190,

24.Трынин А. Ю. Об одном обобщении теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона // Современные проблемы теории функций и их приложения : тез, докл. 15-й Сарат, зимн, шк,, поевящ, 125-летию со дня рождения В, В, Гол убоин и 100 летию СГУ, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, С, 175-176,

25.Трынин А. Ю. О равносходимости операторов интерполирования по решениям задачи Коши и многочленов Лагранжа-Якоби // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 16-й Сарат, зимн, шк, Саратов : Науч. книга, 2012. С. 178-179.

26. Трынин А.Ю. Функция Грина интерполяционного оператора Лагранжа-Штурма-Лиувилля // Теория функций её приложения и смежные вопросы : Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского : материалы шк.-конф., поевящ. 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. Казань : Изд-во Казан, мат. о-ва, 1999. 228 с.

27. Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций одним интерполяционным оператором // Теория функций её приложения и смежные вопросы : Труды математического центра им. И. И. Лобачевского : материалы Седьмой междунар. Казан, летн. науч. шк.-конф. Казань : Изд-во Казан, мат. о-ва, 2005. Т. 30. С. 155-156.

28. Трынин А.Ю. О константах Лебега интерполяционных процессов по системам Чебышёва // Теория функций её приложения и смежные вопросы : Труды математического центра им. И. И. Лобачевского : материалы Восьмой междунар. Казан, летн. науч. шк.-конф. Казань : Изд-во Казан, мат. об-ва, 2007. Т. 35. С. 248-249.

29. Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций на отрезке //Ряды Фурье и их приложения : тез. докл. Ростов н/Д : Изд-во Южн. федер. ун-та, 2012. С. 36-37.

30. Трынин А. Ю. Сходимость интерполяционных процессов по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1991. 32 с.

31. Трынин А. Ю. Операторы интерполирования и аппроксимация непрерывных функций : автореф. : дис. ... д-ра физ.-мат. наук ; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2013.

32. Bulanova A.V., Sklyarov V.P., Trynin A.Yu On inequalitv connected with laguerre weight // Indian J. of Pure and Applied Mathematics. 2002. Vol. 33, № 8. P. 1183-1186.

УДК 519.642.8

А. А. Хромов

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение:

ао

где а{(ж) Е С[0,1],г = 0,1, 2,и(ж) Е С2[0,1] и удовлетворяет произвольным краевым условиям, лишь бы они обеспечивали существование и единственность решения краевой задачи. Предполагается, что нам известно среднеквадратичное приближенное и (ж) к точному решенню и(х) уравнения (1) и при этом || и$ — и ||^2< 5, требуется по и$(ж) и 5 найти среднеквадратичное приближение к точной правой части /(ж). Это одна из задач, к которым приводят обратные задачи математической физики, например, обратная задача для уравнения теплопроводности [1]. Приближенное решение этой задачи при а2(ж) = а'0(ж) в частном случае краевых условий получено в [2]. Оно состоит из двух этапов. На первом этапе строится последовательность функций:

¡а = ао(ж)Т^]и5 + ах(ж)Таи5 + а2 (ж)щ,

где

Т и = { и ~ Та2и, ж Е [0, 2]

а и = Тали, ж Е [ 1, 1],

(2) 2 оператор Та составлен из квадратов операторов Та2 и Та2, а < |,

1 пх 1 рх+а

Sаl и =— и(1)(И,Ба2 и = — и(Ь)<И,

а «/ х—а а и х

О - оператор дифференцирования. На втором этапе выбирается согласование а = а(5) такое, что а(5) ^ 0 и 5(а(5))~ ^ 0 при 5 ^ 0. Оно обеспечивает сходимость

II /а — / 11^2^ 0при 5 ^ 0.

Пусть теперь нам известна дополнительная информация о точном реше-и

и"(ж) Е Ырмв, 0 < в < 1.

В этом случае мы укажем конкретную формулу для а = а(5) и приведем оценку погрешности приближенного решения поставленной задачи. Теорема. Если и"(ж) Е Ьгрмв, 0 < в < 1, то справедлива оценка

а(А) 2в 2 2+2в

II /а — / I к < С1522+5 + С252+5 + Сз52++5 + А25,

где

а

С = (25(вМ)—2з—222—4в)т*, 74

Ci = Ао22в

5

C2 = A1M1(25(ßM )-2з-126-2в) 2в+5, C3 = A1 (27e+1(ßM3 2 5-1)3) w+5, Aj =|| a(x) ||c, j = 0,1, 2 Mi =|| u"llc . Доказательство. Запишем оценку

в виде

II fS-f Ik< Ao II T^u-u" ||l2 +Aoö II та2) IIb2^b2 +Ai || Tau-u' +

Из ограниченности функции u"(x) следует, что u'(x) Е LipMi 1 (обозначения указаны в формулировке теоремы). Далее, из равенств:

Та. и — и , Т2, и — , и

вытекают оценки:

где С — С[0, 2] при ] — 2, С — С[|, 1] при ] — 1, ш(2а,и'),ш(4а, и") -модули непрерывности функций и'(ж) и и"(х) Но

и

В [2] получены оценки:

Подставляем (4),(5),(6) в (3). Получим:

— n — —5— — — 3

II fa - f IL< Ciae + C2öa- + Сза + CAöa- + A2Ö,

где

Ci = Ao4eM, C2 = Ao2^3, C3 = 2AiMi, C4 = A1V2.

Выделим из правой части оценки (7) «главную» часть. Это будет функция

Ф(а, 6) = Схав + С26а—,

и выберем а = а(6) из условия минимума этой функции. Тогда придем к формуле (2). Подставляем (2) в (7). При этом объединяем первые

6

Проводим вычисления и приходим к оценке в теореме.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Денисов А. М. Ведение в теорию обратных задач. М, : Изд-во Моек, ун-та, 1994. 206 е.

2. Хромов А. А. О решении одной обратной задачи // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 18-й междунар, Сарат. зимн. шк. (Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2016). Саратов : Науч. книга, 2016. С. 305-307.

УДК 517.968

А. А. Хромов, Г. В. Хромова

РЕГУЛЯРИЗУЮЩЕЕ СЕМЕЙСТВО ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

Рассматривается модифицированное уравнение Абеля, содержащее инволюцию:

1-х

Аи = I

0

где 0 < в < 1, Г(в) — гамма функция. Пусть нам известно, что при данной /(х) существует непрерывная функция и(х)7 являющаяся решением уравнения (1), но вместо / (х) нам говеет на (х) такая, что

II/* - / 11ь2 < 6.

В данной работе приводится формула обращения для уравнения (1), а также семейство операторов, позволяющее по /*(х) и 6 получать рав-

и

Теорема 1. Справедлива формула обращения:

1

и = А-1/ = и /

1-х

Доказательство получится, если мы в (1) сначала сделаем замену переменной 1 — х на х1? затем обозначим /(1 — х) = д(х), воспользуемся