Формула Смита - Бельерса

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Математика. Механика. Информатика.

Выпуск 1 (21). 2016

УДК 537.622

ФОРМУЛА СМИТА - БЕЛЬЕРСА В. А. Устюгов

В статье дан краткий исторический обзор исследований ферромагнитного резонанса и приведен вывод формулы Смита - Бе-льерса для расчета положения и ширины резонансной линии. Приведен пример расчета резонансной частоты однодоменной частицы эллипсоидальной формы.

Ключевые слова: ферромагнетизм, резонансная частота.

Методы радиоспектроскопии, в том числе метод ферромагнитного резонанса (ФМР) позволяют выяснить тонкие детали внутренних свойств атомных образований, взаимодействий, происходящих в кристаллических структурах магнетиков [5]. Начало этой области физики положило открытие П. Зееманом в 1896 году эффекта расщепления внешним однородным полем Н0 энергетических уровней изолированного атома. В эксперименте это наблюдается в виде расщепления спектральных линий, возникающего при оптических квантовых переходах между различными зеемановскими мультиплетами. Объяснение явления в рамках классической физики дал Х. Лоренц и в 1902 году разделил с Зееманом Нобелевскую премию.

1. Общая формула для резонансной частоты

Как известно, поведение намагниченности в ферромагнетике обусловлено конкуренцией внутренних и внешних полей. Однако внутренние взаимодействия (среди которых поля обмена, кристаллической анизотропии, анизотропии формы, т.е. различной природы и действия) можно учесть феноменологически, полагая, что вектор намагниченности прецессирует не в композиции внутренних и внешнем поле Но, а в некотором эффективном внутреннем поле Нэфф. Уравнение движения в этом случае принимает вид

М = -7[М, Нэфф].

© Устюгов В. А., 2016.

Отличие эффективного поля от внешнего постоянного обусловливает отличие резонансной частоты вектора намагниченности от частоты лар-моровской прецессии ш0. Смит [4] и Сул [3] в 1954-1955 годах независимо предложили удобный метод вычисления резонансной частоты.

Перейдем к сферической системе координат, в которой ориентация вектора M определяется полярным и азимутальным углами $ и Переход от декартовых координат (ж1,ж2,жз) осуществляется следующим образом:

Mxi = M sin $ cos Mx2 = M sin $ sin Mx3 = M cos $. (2) Распишем покомпонентно систему уравнений (1):

Отсюда

exi exi ex3

M = —y[M, Нэфф] = Mxi Mx2 Mx3

Hxi HX2 Hx3

M^xi = — Y(Mx2 Hx3 — Mx3 Hx2 ) =

Mx2 = - Y(Mx3 Hxi - Mxi Hx3) =

— y(M cos $HXi — M sin $ cos ^Hx3),

Л^хз = — Y(Mxi Hx2 — Mx2 Hxi) =

— y(M sin $ cos ^Hx2 — M sin $ sin ^Hxi).

При переходе к сферическим координатам радиальная Hm , полярная H и азимутальная H^ — составляющие эффективного поля, выражаются через декартовы компоненты следующим образом:

HM = Hxi sin $ cos + Hx2 sin $ sin ^ + Hx3 cos $, H = Hxi cos $ cos ^ + Hx2 cos $ sin ^ — Hx3 sin $,

H = — Hxi sin ^ + Hx2 cos

Учитывая это, преобразуем систему уравнений (1). Найдем производную компоненты Mx3:

Принимая во внимание, что M = const, получим закон изменения полярного угла:

— sin $  $ = —y(sin $ cos ^Hx2 — sin $ sin ^Hxi),

$ = y

В состоянии термодинамического равновесия направление вектора намагниченности М совпадает с направлением внутреннего эффективного поля Нм, величина которого может быть определена через плотность свободной энергии и>:

Нм = - т

В этом случае составляющие эффективного поля Н и Н? отсутствуют. Углы -$0 и равновесной ориентации вектора намагниченности могут быть найдены из уравнений

dw _ dw

dV =0; = д^

wj = — = 0; wv = — = 0.

Поскольку задача нахождения равновесной ориентации ветора намагниченности приводит к существенным математическим затруднениям, на практике применяют методы численного (в том числе компьютерного) моделирования либо проводят аналитический расчет резонансной частоты только в некоторых предельных случаях.

В случае малого отклонения намагниченности от равновесия условия (9) не выполняются и ориентация вектора M будет изменяться под действием отличных от нуля компонент поля:

H = wi}; H = nm

Hi) = —ñ7; HtP = —a •

M M sin V

Если отклонения угла вектора намагниченности от положения равновесия малы, т.е.

óV

то, вычисляя производные свободной энергии, можно ограничиться линейными членами:

wj = wjjóV + w^ó^; wv = w^j óV + wwó<£,

где вторые производные вычисляются для положения равновесия.

Учитывая (10) и (12), получаем систему линейных уравнений, описывающих малые колебания вектора намагниченности около положения равновесия:

—y 1M sin Vo  óV = w^jóV + w^óif;

7-1M sin V0  ó(p = w^óV + wjlfóp.

Система однородных уравнений (13) имеет периодические решения ~ ехр(г^), если определитель характеристической системы уравнений равен нулю:

Отсюда найдем выражение для резонансной частоты колебаний:

Выражение (15) известно, так же как формула Смита - Бельерса.

2. Расчет резонансных частот частицы эллипсоидальной формы

В качестве примера использования методики Смита - Бельерса рассмотрим задачу нахождения резонансных частот однодоменной частицы эллипсоидальной формы. Выберем систему координат так, чтобы равные полуоси эллипса лежали в плоскости х — у, как показано на рис. 1. Пусть подмагничивающее поле направлено вдоль оси г.

ад^ — ш^ад^ + ш27 1Ы2 ят2 = 0.

х

Н

Фн

Но г

Рис. 1. Геометрия задачи

Плотность магнитной свободной энергии частицы в этом случае можно представить в виде суммы энергии анизотропии формы (энергии

размагничивающего поля) и энергии взаимодействия со статическим внешним полем [1]:

w

где m = M/M — вектор направляющих косинусов намагниченности, N = diag (Nx, Ny, Nz) — тензор размагничивающих факторов.

Для удобства дальнейших расчётов перейдём к сферическим координатам [6]. Полярные углы будем отсчитывать от оси x, азимутальные — от оси y. Тогда свободная энергия частицы в общем виде запишется следующим образом:

w($, p) = — MsH0 (sin $ sin 6H cos(0H — p) + cos $ cos 6H) +

+ 1 Ms2

где углы ($, p) определяют ориентацию вектора M, углы , фя) — ориентацию вектора H.

Обозначим оси рассматриваемого эллипсоида следующим образом:

В этом случае

N = Ny = N±, Nz = N||.

Обозначим также разность продольного и поперечного размагничивающих факторов (фактор анизотропии формы) как AN = N|| — Nx, а

отношение полуосей эллипса как n = —.

Аналитические выражения для размагничивающих факторов могут быть получены по формулам Осборна [2]. Для вытянутого вдоль оси z эллипсоида вращения (овоида) n > 1, AN < 0 и

„ n / 1 п / n + Vn2 — 1 \\ , N Nn = ——-- n--, x ln -V ,

1 2 (n2 — 1Д 2V/n2—г Vn ^ v/n2—гyy v ;

Nx = ^^ x ln

n2 — 1 VVn2 — 1 Vn — Vn2 — 1

lx

где n = ---отношение полуосей эллипса.

Для сплюснутого эллипсоида п < 1, Д N > 0 и справедливы форму-

лы:

N11

2(1 - n2Цv/Г-

п2

х агевт

п2

v/Г—

п2

п

1

N

п

±

1 п2

1

v/Г—п

х агевт

v/Г—П2

п

Зависимость фактора формы от соотношения осей эллипсоида приведена на рис. 2.

< 1=

<1 ^

1

0.75 0.5 0.25

0

-0.25 -0.5 -0.75

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

П =

к 1±

Рис. 2. Зависимость разности продольного и поперечного размагничивающих факторов эллипсоида вращения от отношения его полуосей

Определим положение равновесия вектора намагниченности для эллипсоида. Согласно поставленной задаче, углы, определяющие направ-

п п

ление вектора Но, равны 9н = ^, Фн = 2' В этом случае свободная энергия запишется в виде:

ф) = — М3И0 вт V вт 1

+ 2М2

Положение равновесия соответствует минимуму свободной энергии,

1

1

т.е. может быть найдено из условия [5]:

dw дф

w^ = — = 0,

dw ,

w, ^ — =

Полагая для простоты, что вектор M лежит в плоскости x — z, получим следующие выражения для частных производных:

w^ = 0,

w, = —ЯоМ5 cos V + Ms sin V cos V

Таким образом, получаем следующие условия равновесия:

ф = 2, sin Vo = Ms

для

и

П П

фо = 2, Vo = 2 для Ho >Ms

Находя вторые производные в положениях равновесия, для случая (28) можно получить уравнение, связывающее резонансную частоту и подмагничивающее поле (формула Киттеля):

Ures = Y

Рассмотрим в качестве предельных случаев эллипсоида бесконечно тонкий диск (n = то, AN = 4п) и бесконечно длинный цилиндр (n = 0, AN = — 2п). Графики зависимости резонансных частот от uo = yHo (рис. 3) иллюстрируют влияние формы на резонансные свойства частиц.

3. Заключение

Рассмотренная методика позволяет рассчитывать резонансные частоты ферромагнитных частиц, однако обладает рядом ограничений, связанных с трудностью вычисления равновесных углов, записью выражений для составляющих внутренних полей в сферических координатах. Также в оригинальном варианте не учитываются процессы затухания. Для проведения точных расчетов резонансных частот частиц сложной формы требуются расширенные версии методики, рассмотрение которых выходит за рамки настоящей статьи.

1.5 1.25 1

I f 0.75

0.5 0.25

0

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

та

Щм

Рис. 3. Зависимость резонансной частоты от w0 (в единицах

= 4nYMs) для образцов различной формы: (1) — продольно намагниченный цилиндр, (2) — параллельно намагниченный диск, (3) — сфера, (4) — поперечно намагниченный цилиндр

Список литературы

1. Coey, J. Magnetism and Magnetic Materials / J. Coey. Cambridge University Press, 2010. 633 p.

2. Osborn, J. A. Demagnetizing factors of the general ellipsoid / J. A. Osborn // Phys. Rev. B. 1945. vol. 67. Pp. 352-357.

3. Suhl, H. Ferromagnetic resonance in nickel ferrite / H. Suhl // Phys. Rev. 1954. Vol. 97. Pp. 555-557.

4. Smith J., Beljers H. J. Ferromagnetic resonance absorbtion in BaFei2Oi9, a highly anisotropic crystall // Philips Res. Rep. 1955. Vol. 10. Pp. 113-130.

5. Ферромагнитный резонанс / под ред. С. В. Вонсовского. М.: Государственное издательство физико-математической литературы,

1961. 344 с.

6. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.:

Физматлит, 1994. 464 с.

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 01.10.2016

Summary

Ustyugov V. A. Smith - Beljers formula

The article gives a brief historical overview of ferromagnetic resonance studies and describes a derivation of the Smith - Beljers formula. An example of the calculation of the resonance frequency of single-domain ellipsoidal particles is given. Keywords: ferromagnetism, resonance frequency.

References

1. Coey, J. Magnetism and Magnetic Materials / J. Coey. Cambridge University Press, 2010. 633 p.

2. Osborn, J. A. Demagnetizing factors of the general ellipsoid / J. A. Osborn // Phys. Rev. B. 1945. vol. 67. Pp. 352-357.

3. Suhl H. Werromagnetic resonance in nickel ferrite / H. Suhl // Phys. Rev. 1954. Vol. 97. Pp. 555-557.

4. Smith J., Beljers H. J. Ferromagnetic resonance absorbtion in BaFei2Oi9, a highly anisotropic crystall // Philips Res. Rep. 1955. Vol 10. Pp. 113-130.

5. Ferromagnetic resonance / Ed. by S. V. Vonsovsky. Moscow: Gosu-darstvennoe izdatelstvo fiziko-tekhnichskoi literatury, 1961. 344 p.

6. Gurevich A. G. Magnetic oscillations and waves / A.G. Gurevich, G.A. Melkov. Moscow: Fizmatlit, 1994. 464 p.

Для цитирования: Устюгов В. А. Формула Смита - Бельерса // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 1 (21). C. 77-85.

For citation: Ustyugov V. A. Smith-Beljers formula // Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics. 2016. №1 (21). Pp. 77-85.