Алгоритм компоновки составных объектов (на примере зеркала)

УДК 658.512.2

АЛГОРИТМ КОМПОНОВКИ СОСТАВНЫХ ОБЪЕКТОВ (НА ПРИМЕРЕ ЗЕРКАЛА) А.Ю. Рабыш, А.В. Демин

В статье представлен алгоритм имитационного моделирования процесса юстировки составных зеркал с поверхностями второго порядка. Получены имитационные модели позиционирования зеркальных сегментов на несущей поверхности относительно расчетной второго порядка.

Ключевые слова: составные зеркала, поверхность 2-го порядка, имитационные модели, алгоритм

Введение

Повышение информационных возможностей и разрешающей способности оптико-электронных комплексов дистанционного зондирования Земли (ОЭКдзз) в связи с требованиями по всестороннему сбору информации является актуальной задачей. Возможные пути решения этой задачи - расширение спектрального диапазона работы от 0,2 мкм до 11 мкм и увеличение диаметра входного зрачка приемной оптической системы ОЭКд33.

Расширение спектрального диапазона работы ОЭКд33 возможно за счет применения зеркальных объективов с последующим разделением по спектру относительно фотоприемных устройств и соответствующей системой приема и передачи информации. Решение задачи по увеличению диаметра входного зрачка зеркальных объективов в настоящее время реализуется путем создания облегченных зеркал. Следует отметить основные требования к материалам зеркального объектива для ОЭКд33:

- малый коэффициент термического расширения (ТКР);

- соответствующие механические характеристики.

Основными материалами для создания облегченных зеркал являются ситалл, легированный кварц и бериллий. При этом ТКР для легированного кварца составляет (0,5-1)-10 К- 1, а бериллий обладает самыми высокими механическими характеристиками. Создание облегченных зеркал диаметром свыше 2 м ограничено из-за сложностей получения изотропного бериллия больших размеров, а для ситалла и кварца это ограничение связано с изготовлением монолитных заготовок. Наиболее перспективным путем является создание составных зеркал, что в последнее время и развивается. Технология изготовления зеркал больших диаметров, составленных из зеркальных сегментов (ЗС), снимает ограничения, указанные для облегченных зеркал, и позволяет достигнуть показателя менее 300 кг/м2.

Основные проблемы при реализации технологии изготовлении составных зеркал состоят в следующем:

- позиционирование ЗС заданного профиля поверхности на несущей поверхности (НП) должно быть выполнено из условия эквивалентности оптических параметров составного зеркала параметрам расчетной зеркальной поверхности;

- реализуемая технология изготовления составных зеркал должна предусматривать возможности корректировки положения ЗС на НП и периодического контроля качества изображения составного зеркала в процессе его эксплуатации.

Решением задачи позиционирования ЗС на НП является обеспечение минимума отступления параметров, определяющих качество изображения составного зеркала от расчетного значения. В этой связи следует рассматривать две задачи.

1. задача геометрического позиционирования - позиционирование ЗС на НП относительно их расчетного положения;

2. задача оптотехнического позиционирования - корректировка положения ЗС на НП по результатам сравнения качества изображения составного зеркала с расчетным

значением (в качестве критерия качества изображения могут быть выбраны параметры волнового фронта).

В работе авторы ограничиваются рассмотрением первой задачи. В качестве предварительного условия полагается, что с технологической точки зрения параметры ЗС выдержаны с требуемой точностью. В этой связи достаточно рассматривать только влияние позиционирования каждого ЗС на НП относительно расчетного значения.

Основная часть

В качестве критерия выберем минимум разницы координат положения ЗС на НП относительно расчетных значений этих координат на НП.

^Начало ^

^

РП= У Кцк , Кц =С01131

Закрепляем С^ вКц^

Рис. 1. Алгоритм позиционирования зеркальных сегментов

Поскольку поверхность сегмента определяется кривизной поверхности и нормалью к ней, то можно показать, что положение ЗС в пространстве эквивалентно положению касательной плоскости, построенной относительно центра симметрии этого сегмента в выбранной системе координат. Тогда алгоритм позиционирования ЗС на НП определим как алгоритм совмещения каждой касательной плоскости, определяющей ЗС, с касательными плоскостями, построенными к точкам на расчетной поверхности в ее системе координат. С точками на расчетной поверхности должны совпадать центры симметрии ЗС. Расчетная поверхность определяет и несущую поверхность. При этом касательная плоскость в пространстве определяется тремя координатами либо декартовыми, либо сферическими.

Алгоритм позиционирования ЗС на НП представлен на рис. 1. Здесь Кп0 - параметры касательной плоскости центрального ЗС, Кпт - расчетные параметры основной поверхности, Вф0 - реальный волновой фронт центрального ЗС, Вфт - расчетный волновой фронт ЗС, Кп/к - параметры касательной плоскости /-го ЗС к-го кольца, Вф/к - реальный волновой фронт /-го ЗС к-го кольца, Вфк - реальный волновой фронт к-го кольца, Вфзеркала - реальный волновой фронт сегментированного зеркала, Вфт зеркала - расчетный волновой фронт сегментированного зеркала, в - поле допуска для корректировки положения ЗС в 0ХУ2, в - поле допуска волнового фронта ЗС, рзеркала - поле допуска волнового фронта сегментированного зеркала.

Входными данными для алгоритма позиционирования ЗС на НП являются:

• уравнение расчетной зеркальной поверхности (РЗП) для несоставного зеркала;

• уравнение волнового фронта;

• координаты точек на расчетной поверхности, с которыми должны быть совмещены центры симметрии ЗС;

• уравнения касательных плоскостей, построенных к точкам позиционирования центров симметрии ЗС;

• допуск на положение ЗС относительно РЗП;

• допуск на отклонение волнового фронта составного зеркала от расчетного значения для РЗП.

Рассмотрим решение задачи позиционирования ЗС на НП на примере сфероида вращения диаметром 4,5 м. Учитывая технологические возможности изготовления ЗС, определим диаметр описанной окружности каждого сегмента 0,45 м. Несложный расчет показывает, что для покрытия поверхности сфероида вращения необходимо 127 ЗС шестигранной формы (как наиболее технологичной формы ЗС). На рис. 2 приведено составное зеркало (вид сверху).

Вводится основная система координат 0ХУ2, вершина которой совпадает с вершиной РЗП. Ось 02 направлена по оптической оси из вершины в сторону центра кривизны поверхности, образуя с координатными осями 0Х и 0У правую тройку. РЗП разбивается на Ь колец Кцк равной ширины с центральным кругом. диаметром, равным ширине кольца:

5 = Кц0+Кц1+...+Кц к,

где 5Лк=соп81 - ширина к-го кольца. Каждое кольцо Кк разбивается на / зон З¡. равной конфигурации и равной площади, при этом центральный круг тоже принимает такую же форму по границе

Кк = З0+З1+...+З/ , причем 5рк=сопБ1 - площадь /-ого сегмента.

Координаты точек на РЗП, с которыми должны быть совмещены центры симметрии ЗС/к (форма ЗС/к -шестигранная) рассчитываются в соответствии со следующими соотношениями в системе координат 0ХУ2 (начало координат совмещено с вершиной РЗП, Х0У - касательная плоскость к вершине РЗП):

Х/к = К/к  С0Щк  С0*Ф/к ,

У/к = Кгк • С08а¡к

БШф

2/к = К/к • ^Пагк ,

где а/к - угол в полярной системе координат, лежащей в плоскости Х0У; К/к - величина нормали к касательной плоскости ЗС/к ; ф/к - угол в полярной системе координат, лежащей в квадранте, где расположен и К/к;

Рис. 2. Составное зеркало

Координаты ЗС;к (х/к; 0/к; £/к) в системе координат 0ХУ2 совмещаем с помощью системы управления ЗС;к с координатами (х/к; у/к; 2/к) по каждой координате таким образом, чтобы разница между ними не превышала допуска на положение (в):

Х/к ^ Х/к ^ Iх/к Х/к\ <

в/к ^ У гк ^ Кк - У к\ <

£к ^ 2 гк ^ \^Нк - 2 гк\ <

Проиллюстрируем это на примере расчета для сфероида вращения, в частности, для первого кольца (см. рис. 3).

Рис. 3. Первое кольцо

Сначала рассчитываются углы в плоскости ХОУ. Значения углов для 1-го кольца представлены в таблице.

а1 = 0° а2 = 90° = -2 2 п а 3 = 30° = — 3 6 а4 = 330°= 1Ь п 4 6

а5 = 270° = 3 •П 5 2 а 6 = 210° = 7 •П 6 6 а 7 = 150° = 5 •П 7 6 2 • п а8 = 120° = 8 3

Таблица. Значения углов в плоскости ХОУ

Теперь перейдем к рассмотрению отдельных ЗС. Необходимо вычислить координаты до их центров в трехмерном пространстве. Для упрощения задачи будем рассматривать сегменты, расположенные на одинаковом расстоянии от центра большого зеркала, таким образом, получается 14 колец ЗС. Угол между соседними центрами ЗС составляет а = 60° , т.е. (90°, 30°, 330°, 270°, 210°, 150°). Исходными данными служат два

параметра: радиус зеркала R и размер сегмента a = 2 • r6 = h .

Для отыскания координат каждого ЗС в системе координат XYZ необходимо рассмотреть рис. 4, а из рис. 5 можно определить угол отклонения центра ЗС №3 от вертикали. В результате расчетов будем иметь следующие выражения для нахождения координат центров ЗС первого кольца: х = 2 • g • cosa • соБф,

< y = 2 • g • cosa • si^,.

z = 2 • g • sinai

Рис. 4. Проекция на плоскость XOZ

Рис. 5. Расчет угла у

Из рис. 4 сторона g = R • siny и угол Za = 90° - zp = 90° - (180° - 90° - Zy) = Zy,

f

из рис. 5 угол у = arcsin

a/ 2

VR2 + (a/ 2)2

. Под углом Zф будем понимать угол до центра

каждого из сегментов в плоскости ХОУ, т.е. Zф2 = 90°, Zфз = 30°, Zф4 = 330°, Zф5 = 270° , Zф6 = 210° , Zф7 = 150°. При подстановке полученных зависимостей в выражение (1) получаем формулы (2)-(3):

а

Х/к = 2 • Я • б1п у • С0Б у • С0Б ф, у/к = 2 • Я • б1п у • С0Б у • б1п ф,

г/к =7

х/к = 2 • Я • б1п

( ( агсБт

а/2

Ук = 2 •Я • б1п

агСБт

л/Я2 + (а/2 )2 а! 2

С0Б

/У

агСБт

л/Я2 + (а/2)2

а/2

• С0Б

агСБт

л/Я2 + (а/2 )2 а/2

л/я 2 + (а/2)2

• С0Б ф,

• Б1П ф,

2 • Я • б1П

агСБт

а/2

л/Я2 + (а/2 )2

1 - С0Б аГСБ1п

V

а/2

л/Я2 + (а/2 )2

Так как заданы а = И = 2 • г6, г6 =

л/3 „ л/3

• Я6 =

х = 2 • Я

1/2

У = 2 • Я •

л/Я2 + (а/2 )2

а/2

• С0Б

агСБт

2

а/2

а6, а = л/3 • а6 получаем:

л/я 2 + (а/2 )2

С0Б

агСБт

л/Я2 + (а/2 )2

а/2

//

л/Я2 + (а/2 )2

• С0Б ф,

• Б1П ф,

//

2 =

2 • Я

а/2

Л 2 (

л/Я2 + (а/2 )2

1 - С0Б

агСБт

1/2

л/Я2 + (а/2 )2

Далее используется касательная плоскость к каждому ЗС, так как касательная плоскость максимально точно повторяет положение плоскости ЗС в пространстве. Тем самым вся расчетная поверхность при моделировании может быть представлена совокупностью касательных плоскостей всех ЗС.

Заключение

Реализовать полностью идентичные зеркальные сегменты невозможно, и их нормали сходятся не в точке двойного фокусного расстояния зеркального сфероида, а в некоторой области этой точке. Задача дальнейшей работы - минимизация этой области сходимости таким образом, чтобы она совпадала с некоторой заданной областью сходимости, а также минимизация разницы между реальным и расчетным волновыми фронтами как для всего составного зеркала, так и для каждого ЗС в отдельности.

Литература

1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1979. - 512 с.

Рабыш Александр Юрьевич

Демин Анатолий Владимирович

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, cwar@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, dav_60@mail.ru

2

2,к =

2