Математическое моделирование принятия решений в гостиничном бизнесе в условиях неопределенности

Математическое

В статье рассматриваются различные критерии принятия решений в условиях неопределенности и возможности применения этих критериев с разной степенью риска. Предлагается математическая модель и анализ вероятных последствий принятия того или иного решения на примере из сферы гостиничного бизнеса.

Ключевые слова: прикладная математика, статистика, методы принятия решений в условиях неопределенности.

The authors analyse various criteria for taking decisions under uncertainty and possibilities of implementing these criteria with different levels of risk. The article suggests a mathematic model and the analysis of probable consequences of taking this or that decision on the example from lodging business.

Key words: Applied Mathematics, Statistics, Methods of Raking Decisions under Uncertainty.

В настоящее время мировой туристский рынок характеризуется высокой степенью конкуренции, и специалист, работающий в сфере туризма и гостиничного бизнеса,

моделирование принятия решений в гостиничном бизнесе в условиях неопределенности

Ветохин А. Н.,

к. ф.-м. н, доцент ИТиГ

должен быть готов к принятию решений в условиях неопределенности конкурентной среды. В то же время современные условия требуют совершенствования содержания прикладных аспектов математики в системе профессиональной подготовки студентов профильных туристских вузов. Прикладная математическая подготовка будущего специалиста — это не только система знаний по прикладной математике, но и профессионально значимые умения применять аппарат и методологию прикладной математики в сфере туризма и гостеприимства.

В данной работе рассматриваются методы построения и анализа математических моделей принятия решений в условиях неопределенности. Считаем, что описанные методы могут быть предложены для изучения в курсе «Прикладная математика» (специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии» и 080507 «Менеджмент организации»).

Одним из важнейших профессиональных умений менеджера и экономиста является умение принятия управленческих решений. Управление предприятием гостиничного бизнеса в условиях рыночной экономики характеризуется наличием боль-

шого количества факторов неопределенности и риска. Эти факторы многократно возрастают в период кризиса и нестабильности в экономике, когда значительная часть решений принимается в условиях постоянного изменения факторов внешней среды. Проблему принятия решений можно рассматривать как проблему анализа сложных систем. Принимая решения, современные руководители, функциональные менеджеры, экономисты-аналитики должны опираться не только на опыт и интуицию, но прежде всего использовать научные методы принятия решений.

Математическая теория принятия решений позволяет специалисту глубже понять сущность проблемы и избежать ненужных ошибок. В теории принятия решений есть специальный термин: ЛПР — лицо, принимающее решение. Это субъект управления, в качестве ЛПР может выступать менеджер, экономист, предприниматель, руководитель или группа лиц.

ЛПР в процессе принятия решения оперирует следующими понятиями: неопределенность, случайность, вероятность, и может быть склонным к различной степени риска.

Неопределенность — это неполное или неточное представление о значениях различных параметров в будущем, связанное с неполнотой или неточностью информации об условиях реализации решения. Неопределенность представляет собой более широкое понятие, чем случайность, при этом не все случайное можно измерить вероятностью. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик, отличается от нео-

пределенности того, каким будет состояние российской экономики через 15 лет.

Коротко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера. Кроме того, неопределенность не является абсолютной.

ЛПР взаимодействует с внешней средой и имеет представление о множестве возможных состояний среды. Неопределенность, связанная с возможностью возникновения в ходе реализации принятого решения неблагоприятных последствий, характеризуется понятием риск.

Риск — это деятельность, связанная с преодолением неопределенности в ситуации неизбежного выбора, в процессе которой имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения желаемого результата. Риск связан с выбором определенных альтернатив. Можно выбрать решение, содержащее меньше риска, но при этом меньше будет и получаемая прибыль. При самом высоком риске прибыль имеет наиболее высокое значение.

В процессе принятия решения в условиях неопределенности ЛПР необходимо определить цель решения, найти возможные варианты решения проблемы, просчитать возможные исходы каждого решения, оценить каждый исход и выбрать оптимальное решение на основе поставленной цели в зависимости от допустимой степени риска (табл. 1).

В статье рассматриваются следующие критерии, которые рекомендуются при принятии решения в зависимости от степени риска.

Таблица 1

Степень риска Рекомендуемый критерий

наибольшая осторожность правило Вальда

минимальный риск правило Сэвиджа

компромисс в решении (зависит от коэффициента пессимизма) правило Гурвица

равная возможность всех альтернатив правило Лапласа

Выбор критерия принятия решений является наиболее сложным и ответственным этапом. При этом не существует каких-либо общих рекомендаций. Если принимается очень ответственное решение и даже минимальный риск недопустим, то следует использовать правило Вальда — гарантированного результата. Если же определенный риск допустим, то выбирают привило Сэвиджа. С точки зрения математической теории моделирования принять решение — это значит решить некоторую экстремальную задачу, т. е. найти экстремум функции, которую называют целевой, при некоторых ограничениях.

Предположим, что ЛПР рассматривает несколько возможных решений i=1, ..., m. Ситуация неопределенна, понятно лишь, что наличествует какой-то из вариантов j=1, ..., п. Если будет принято ье решение, а ситуация есть j-я, то фирма, возглавляемая

ЛПР, получит доход Цу. Матрица Q= ^у) называется матрицей последствий (возможных решений).

Построим математическую модель принятия решений в условиях неопределенности на примере из сферы гостиничного бизнеса.

Пример 1

Предприниматель намерен взять в аренду отель сроком на один год. Имеются отели четырех типов: на 20, 30, 40, 50 комнат. По условиям аренды предприниматель должен оплатить все расходы, связанные с содержанием отеля. Эти расходы (в некоторых денежных единицах) приведены в табл. 2. Доход предпринимателя составляет 200 у. е. в сутки с каждой занятой комнаты. Требуется определить оптимальный размер арендуемого отеля с целью получения максимальной прибыли.

Таблица 2

Затраты предпринимателя Число комнат

20 30 40 50

1. Расходы, не зависящие от выбора проекта отеля

а) затраты на благоустройство территории 10 000 12 000 20 000 40 000

б) затраты на текущий ремонт и содержание отеля 1 500 3 000 6 000 10 000

в) оплата труда сотрудников службы безопасности 6 000 6 000 12 000 12 000

г) оплата труда сотрудников службы приема и размещения 8 000 8 000 14 000 16 000

д) арендная плата 200 000 300 000 400 000 500 000

2. Расходы, зависящие от числа комнат отеля

а) затраты на оборудование номера (меблировка, установка сантехники и т. д.) 2 000 2 000 2 000 2 000

б) затраты на содержание одной комнаты 150 150 150 150

Окончание

Затраты предпринимателя Число комнат

20 30 40 50

в) страхование на случай пожара для одной комнаты 25 25 25 25

г) оплата труда сотрудников службы обслуживания номеров (1 горничная на 10 комнат) 6 000 6 000 6 000 6 000

3. Расходы, зависящие от числа занятых комнат

а) хозяйственные затраты (стирка, уборка) 25 25 25 25

б) коммунальные платежи (электричество, водоснабжение и т. д.) 25 25 25 25

Решение поставленной задачи начнем с составления матрицы последствий. Альтернативами здесь являются типы отелей, поэтому в качестве множества альтернатив можно взять I = {20,30,40,50}. В рассматриваемом примере в качестве исхода можно рассматривать прибыль, которую получит предприниматель за год аренды отеля. При фиксированной альтернативе I £ I его прибыль полностью определяется средним числом 7 занятых комнат (т. е. в качестве единственного параметра, характеризующего состояние среды, здесь выступает среднегодовой спрос). Поэтому в качестве множества ситуаций в данной задаче можно взять 3 = {1,2,..., 50} . Целевая функция q имеет здесь следующий содержательный смысл: — это прибыль, которую

получит предприниматель за год в ситуации, когда он арендует отель из г комнат, а среднегодовой спрос равен у. Найдем целевую функцию в явном виде.

Расходы, не зависящие от выбора проекта отеля, составляют

10 000+1500+6000+8000+200 000=225 500 (для 20 комнат),

12 000+3000+6000+8000+300 000=329 000 (для 30 комнат),

20 000+6000+12 000+14 000+300 000=452 000 (для 40 комнат),

40 000+10 000+12 000+16 000+500 000=57 800 (для 50 комнат).

Расходы, зависящие от числа I комнат отеля, равны

2000г + 6000 г + 150г + 25г = 21151.

10

Расходы, зависящие от числа ] занятых комнат, таковы

365(25у + 25/) = 18 250/

Доход предпринимателя определяется числом ] занятых комнат и составляет в год

365 х 200у = 73 ООО/.

Отсюда прибыль предпринимателя за год в ситуации j)

_ Г73 000)-(2775/ +18250/ + 225500), ] = \, ...,20 [814000, у = 21,..., 50

(для 20 комнат),

Яг

Яг

73 ООО j - (2775г +18 250; + 329 ООО), у = 1.30

123 0250, у = 31....50

(для 30 комнат),

73 ООО j - (2775І +18250у + 452 ООО), у = 1,..., 40 1627000, j = 41,. ..,50

(для 40 комнат),

а =73 ООО/-(27751+ 18250/ + 578 ООО), / = 1.50

1 и

(для 50 комнат).

Таким образом, таблица последствий имеет следующий вид (табл. 3).

Таблица 3

Тип отеля О 1 5О

2О номеров -281 ООО -226 25О 814 ООО

ЗО номеров -412 25О -357 5ОО 1 23О 25О

4О номеров -563 ООО -5О8 25О 1 627 ООО

5О номеров -716 75О -662 ООО 2 О2О 75О

Какое же решение нужно принять ЛПР? В ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет г'-е решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали,

то выбрали бы наилучшее решение, т. е. приносящее наибольший доход. Иначе говоря, если ситуация есть j-я, то было бы принято решение, дающее доход qs = maxq ч. Значит, принимая г'-е решение, мы рискуем получить не q, а только q., значит, принятие i-го решения несет риск недобрать r.=q-q... Матрица R= (r.j) называется матрицей рисков. В примере с арендой отеля матрица рисков представлена в табл. 4.

Таблица 4

Тип отеля О 1 5О

2О номеров О О 1 2О6 75О

ЗО номеров 131 25О 131 25О 79О 5ОО

4О номеров 282 ООО 282 ООО 393 75О

5О номеров 435 75О 435 75О О

Заметим для дальнейшего, что здесь мы в первый раз встретились с количественной оценкой риска.

Некоторым ориентиром при принятии решений могут служить следующие правила-рекомендации.

1. Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая і-е решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т. е. приносящая самый малый доход а, = шіп#,. Но теперь уж выберем решение і0 с наибольшим аі. Итак,

правило Вальда рекомендует принять решение .О, такое, что

а, 0 = maxai = max ^min Так, в вышеуказанном примере имеем: а1=—281 ООО, а2 =-412 25О, аЗ =-563 ООО, а4-=-716 75О. Теперь из чисел а1, а2, аЗ, а4 находим максимальное. Это — а1. Значит, правило Вальда рекомендует арендовать отель из 2О комнат.

2. Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков R = (г.). Рассматривая .-е решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска Ь, = max r,j . Но теперь уж выберем решение ІО с наим ень-шим b.. Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение .О, такое, что

/ Л

bj = min bt=min max ru

0 ; j • J

Так, в вышеуказанном примере имеем Ь1=1 206 750, Ь2=790 500, Ь3=393 750, Ь4= =435 750. Теперь из чисел Ь1, Ь2, Ь3, Ь4 находим минимальное. Это Ь3. Значит, правило Сэвиджа рекомендует арендовать отель из 40 комнат.

3. Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение і, на котором достигается максимум

Я minqt + (1 -Я)maxq,

где 0< X <1. Значение X называется коэффициентом пессимизма и выбирается из субъективных соображений. Если X приближается к единице, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении X к нулю правило Гурвица приближается к правилу «розового (крайнего) оптимизма». В примере, при X = 0,5 получаем следующие значения (табл. 5).

Таблица 5

Количество комнат minq, j maxq„ j0,5 min q +(i - °5) max q„}

2О -281 ООО 814 ООО 266 5ОО

3О -412 25О 1 23О 25О 4О9 ООО

4О -563 ООО 1 627 ООО 532 ООО

5О -716 75О 2 О2О 75О 652 ООО

Следовательно, в этом случае правило Гурвица рекомендует арендовать отель

из 50 комнат. При X = 0, 74 получаем значения, представленные в табл. 6.

Таблица 6

Количество комнат minq, j 7 max#,, j |o,74 min qt] + (1 - 0,74) max qj

2О -281 ООО 814 ООО 3 7ОО

3О -412 25О 1 23О 25О 14 8ОО

4О -563 ООО 1 627 ООО 6 4ОО

5О -716 75О 2 О2О 75О -5 ООО

Следовательно, в этом случае правило Гурвица рекомендует арендовать отель из 30 комнат.

4. Правило Лапласа (правило равновоз-можности), когда вероятности всех ситуаций считают равными - . После этого можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных ниже правил-рекомендаций принятия решений.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Средний ожидаемый доход, получаемый фирмой, определяется при реа-

лизации г-го решения, определяется формулой , п

м [0 ] = - £ Я •

п~[ 1,1

Правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

В примере максимальный средний ожидаемый доход соответствует 3-му решению, т. е. в данном случае лучше всего арендовать отель из 40 комнат (табл. 7).

Таблица 7

Тип отеля 0 1 50 ы 501Ч.

20 номеров -281 000 -226 250 814 000 588 558,8

30 номеров -412 250 -357 500 1 230 250 731 058,8

40 номеров -563 000 -508 250 1 627 000 746 705,8

50 номеров -716 750 -662 000 2 020 750 652 000

Правило минимизации среднего ожида емого риска. Средний ожидаемый риск фирмы при реализации ьго решения, определя-

1 п

ется формулой м[К.] = -£у..

' п >1 4

Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск. Вычислим средние ожидаемые риски в примере.

Таблица 8

Тип отеля 0 1 50 1 50 м [ = 50 5 Г

20 номеров 0 0 1 206 750 340 147,0

30 номеров 131 250 131 250 790 500 197 647

40 номеров 282 000 282 000 393 750 182 000

50 номеров 435 750 435 750 0 276 705,8

Минимальный средний ожидаемый риск соответствует 3-му решению, т. е. в дан-

ном случае лучше всего арендовать отель из 40 комнат (табл. 8).

Представим в табл. 9 возможные варианты принятия решения в рассмотренном

примере в зависимости от степени риска.

Таблица 9

Степень риска Рекомендуемый критерий Тип отеля

наибольшая осторожность правило Вальда 20 комнат

минимальный риск правило Сэвиджа 40 комнат

коэффициент пессимизма ^ = 0,5 правило Гурвица 50 комнат

коэффициент пессимизма Х = 0,74 30 комнат

максимальный средний ожидаемый доход правило Лапласа 40 комнат

минимальный средний ожидаемый риск 40 комнат

Выше рассмотрены сценарии принятия решения в случае отсутствия какой-либо информации о вероятностях исходов. Теперь предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Имен-

но такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение?

Доход, получаемый фирмой при реализации г-го решения, является случайной величиной Qi с рядом распределения

Qi Яп Чп я і іт

Вероятность Рі Р 2 Р і т

математическим ожиданием (ожидаемый доход) п

м=1Ч,х Р.

1=1

и средним квадратичным отклонением

(д,,-мШ) *р,

Пример 2

Предприниматель намерен взять в аренду отель сроком на один год. Условия аренды и доходов предпринимателя описаны в условии примера 1. Определить оптимальный размер арендуемого отеля с целью получения максимальной прибыли, если ряд распределения вероятностей исходов имеет вид, представленный на рис. 1.

Рис. 1. Распределение вероятностей

Найдем ожидаемые доходы и риски (в их новом определении) доходов Qi. Результаты

вычислений представлены в табл. 10.

Таблица 10

Тип отеля м [0=1ди х р. = (Яу-МЮ;])2 ХР,

20 номеров 75 833 732 204

30 номеров 876 708 195 200

40 номеров 805 745 193 569

50 номеров 652 000 193 570

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость — доход откладываем по горизонтали, а риски — по вертикали (рис. 2). Получили четыре точки. Чем правее точка (М ,о), тем более доходное решение, чем точка выше — тем более оно рисковое.

Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Ма') доминирует точку (М ,&) если М' > М , о' < О . В нашем случае 1 решение доминирует 2, 3 доминирует 2 и 3 доминирует 4. Но 1 и 3 решения несравнимы — доходность 3 больше, но и риск ее тоже больше.

800000 -700000 -600000 -500000 -

*

и

400000 -300000 -200000 -100000 -

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1Е+06

Ожидаемый доход

♦ 20 номеров

40 номеров

50 номеров 30 номеров

Рис. 2. Множество точек оптимальных по Парето Я в Моем Мире

Точка, которая не доминируется никакой другой, называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных решений надо выбрать лучшее, то его обязательно надо брать из решений, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшего решения иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (М, с) дает одно число, по которому и определяют лучшее решение. Рассмотрим в качестве обобщенного критерия ц(Ы,а) = М — Ха,

где Л — некоторая постоянная. Фактически этот критерий представляет собой взвешенную сумму частных критериев М и О с весовыми коэффициентами 1 и —Я. При Я > 0 оценка случайной величины с помощью обобщенного критерия ц(М, о) меньше, чем ее среднее значение, что характерно для осторожного человека, т. е. человека, не склонного к риску. Напротив, при X < 0 оценка ц(М,а) больше, чем ее среднее значение, что характеризует человека, склонного к риску. Наконец, при

При этом решении вероятность того, что случайный доход «не опустится» ниже оценки М — 3а, будет не менее 1 —1/9 = 8/9 ~ 0,9, т. е. почти 90 %. Такую степень риска можно считать невысокой.

Рассмотренные в статье методы показывают возможности применения математических моделей и оценок при анализе вероятностных последствий принятия решений

Литература

1. Розен В.В. Модели принятия решений в экономике. М.: Высшая школа, 2002.

Я = 0 оценка д(М, ст) случайной величины совпадает с ее средним значением (т. е. возможные отклонения случайной величины от ее среднего значения от ее среднего игнорируются) — это характеризует человека, безразличного к риску. Для оценки величины показателя Я воспользуемся неравенством Чебышева. Пусть принимающий решение не склонен к риску, т. е. Я > 0. Так как оценкой случайного дохода Q служит число М — Лет, то «неприятность» для принимающего решение наступает тогда, когда Q < М — Я С. Оценим вероятность этого события. В этом случае выполняется неравенство следовательно

|М-0|>Аа В силу неравенства Чебышева, вероятность последнего соотношения меньше, чем

Л(б)/ (Я о)=сг2/ (Я сг)" = 1/я2.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина Q примет значение, меньшее ее оценки М — Ясс не превосходит 1 Я. Пусть в примере с отелем Я = 3, тогда обобщенный критерий рекомендует арендовать отель из 30 номеров.

в сфере туризма и гостеприимства. Гостиничная индустрия характеризуется высокой степенью риска ввиду сезонного характера спроса и высокой зависимости от капиталовложений. Знание принципов оптимального поведения в условиях неопределенности дает необходимую научную обоснованность и позволяет в определенной мере оптимизировать процесс принятия управленческих решений.

2. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: ЮНИТИ, 1997.

Таблица 11

Тип отеля М а q(M,<т)- М - Зет

20 номеров 75 833 732 204 -2 120 779

30 номеров 876 708 195 200 291 108

40 номеров 805 745 193 569 225 038

50 номеров 652 000 193 570 71 290