Алгебра физико-технических преобразований

Микульская О.М., Шикульский М.И., Константинова О.А. АЛГЕБРА ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Обоснована необходимость разработки нового математического аппарата для описания физикотехнических преобразований на основе фрактального подхода, который позволил применить объектноориентированный подход к их моделированию.

Прогресс науки и техники ведет к постоянному усложнению технических систем (ТС). Многообразие открытых физических эффектов и возможных их сочетаний в технических устройствах делает невозможным полный перебор всех возможных вариантов принципов действия ТС при синтезе новых технических решений без использования математических методов, алгоритмов и средств вычислительной техники. Существует множество подходов к автоматизации поискового проектирования. Одним из наиболее удачных является метод, основанный на теории энерго-информационных моделей цепей (ЭИМЦ) и аппарате параметрических структурных схем (ПСС) [1].

В соответствии с энерго-информационным методом любая конструкция преобразователя может быть исследована с помощью модели, описывающей её физический принцип действия (ФПД) в виде совокупности цепей различной физической природы, взаимодействующих между собой. Цепь любой физической природы представляет собой соединение элементов преобразования, основанных на унификации представления информации о различных классах физических явлений. Все элементарные преобразования делятся на внутрицепные и межцепные. Элементарные явления определенной физической природы (оптической, электрической, тепловой, магнитной, механической, диффузионной, акустической и т. д.) представляют собой внутрицепные эффекты. Для внешнего описания процесса служат величины. Они характеризуют внешнее воздействие на цепь данной природы и ее реакцию на это воздействие. Параметры характеризуют относительную неизменность материальной среды, в которой протекают физические процессы. Энерго-информационная модель оперирует следующими величинами: и - воздействие, / - реакция, 0 -

заряд; Р - импульс. В качестве обобщенных параметров информационной модели приняты: К - сопротивление, (О = 1/К - проводимость, С - емкость, Щ = 1/С - жесткость, Ь - индуктивность, Б = 1/Ь -дедуктивность (Приложение 1). Выявление величин и параметров в цепях различной физической природы происходит на базе основ теории подобия и аналогий. Для этого используются шесть прямых и шесть производных критериев, которые представляют собой элементарные зависимости между величинами и параметрами внутри цепи одной физической природы (табл. 1). Используя критерии ЭИМЦ, можно представить все возможные преобразования величин внутри одной цепи. Взаимодействие цепей различной физической природы в технических устройствах отражается с помощью межцепных зависимостей, которые в рамках энерго-информационной модели обозначаются собственно как физико-технические эффекты (ФТЭ). Использование четырех величин и шести параметров позволяет формализовать описание ФПД технического устройства в виде параметрической структурной схемы (ПСС). Каждое элементарное звено такой схемы отражает одно преобразование. Элементарное звено структурной схемы изображается в виде прямоугольника с обозначением входной и выходной величин. Внутри прямоугольника записывается коэффициент передачи звена для межцепного эффекта или параметр для внутрицепного. Энергоинформационный метод позволяет описывать явления и процессы различной физической природы с помощью уравнений, инвариантных к самой природе.

Таблица 1 Критерии, связывающие величины и параметры ЭИМЦ

Критерий Прямой Производный

Первый критерий: энергетический — произведение величины воздействия и на величину реакции I независимо от природы цепи должно измеряться в единицах мощности [Вт]: N = и  I

Второй критерий: статический — произведение величины реакции I на индуктивность Ь равно импульсу Р = I  Ь I = Р  в

Третий критерий: статический — произведение величины воздействия и на емкость С равно величине заряда Є = и  с и=е-г

Четвертый критерий: статический — произведение величины реакции I на сопротивление К равно величине воздействия и и = I  я I = и  о

Пятый критерий: динамический — первая производная от величины импульса по времени равна величине воздействия и и = &Р & II а.

Шестой критерий: динамический — первая производная от величины заряда по времени равна величине реакции I II и е II I

Однако, в настоящее время в связи с появлением новых уникальных возможностей, предоставляемых использованием современных технологий и материалов, возникли задачи, которые нельзя решить на основе теории ЭИМЦ. Это является следствием устанавливаемых ограничений на синтез: только после-

довательное и параллельное соединение звеньев синтезируемого технического устройства (ТУст), недопустимость дублирования при синтезе одинаковых величин одной и той же физической природы, приближенное описание элементарных преобразований линейной зависимостью.

Ограничение на синтез технических систем (ТС) только с последовательным и параллельным соединением звеньев связано с практической невозможностью автоматизации синтеза всех возможных вариантов ТС топологии структуры сетевого типа, которой может быть описан ФПД любого преобразователя. Теоретически возможен структурно-параметрический синтез такой системы на основе применения оргра-

0у 2

фов. Число возможных орграфов, содержащих V вершин, составит 2 . В теории ЭИМЦ количество воз-

можных вершин такого орграфа, определяемое как произведение количества видов величин на количество видов физической природы явлений, равно 36. Практически синтезировать соответствующее количество графов современными средствами вычислительной техники в обозримые сроки невозможно. Второе ограничение обусловлено тем, что повторное использование при синтезе одинаковых величин одной и той же физической природы может привести к зацикливанию программы. Приближенное описание элементарных преобразований линейной зависимостью позволяет использовать простой универсальный алгоритм расчета критериев качества синтезированных ТУст.

Следствием устанавливаемых ограничений является невозможность синтеза систем сложной структуры, в частности, многофункциональных датчиков; синтеза преобразователей с улучшенными эксплуатационными характеристиками на основе схемных решений; синтеза структур, содержащих аналогичные фрагменты цепей, например, элементов с распределенными параметрами. Приближенное описание элементарных преобразований одной физической величины в другую линейной зависимостью в отдельных случаях значительно снижает точность определения критериев качества ТС и может привести к ошибкам при

выборе лучших решений. Выявленные проблемы ограничивают область получаемых решений и делают невозможным синтез преобразователей нового поколения.

Для снятия перечисленных ограничений был разработан метод анализа и синтеза технических систем на основе фрактального подхода [2 моя диссертация]. Использование такого подхода позволило повысить эффективность и качество проектирования преобразователей за счет применения простых эффективных алгоритмов синтеза, расширения области синтезируемых решений, повышения точности вычисления критериев качества, обусловленного учетом нелинейности преобразований, и сокращения объема макетирования и натурных испытаний.

Платой за упрощение синтеза стало значительное усложнение формализации входной информации системы автоматизированного синтеза. В связи с этим актуальной стала проблема разработки инструментальной среды анализа и синтеза новых технических решений, обеспечивающей автоматизацию процесса формализации входной информации о физико-технических преобразованиях.

С целью математического обеспечения процесса формализации информации о физико-технических преобразованиях были проанализированы исходные понятия теории ЭИМЦ — элементарные преобразования (звенья), которые проиллюстрированы в таблице 2 [1].

Таблица 2 Элементарные звенья параметрических структурных схем_______________________________________

№ | Элементарные звенья

Уравнения

Примечания

Звенья внутрицепных преобразований

73 ___ 73 . 7Т

Bi въък и Bi вx ' Пі

Bi — величина определенной физической природы; П — параметр цепи

Bj выи Пі ex ' Bj О

±±j вх в^\од,ноу! параметр

Bj 0 = const

B,

d

i вътк

dt

Дифференцирование по

времени входной величины

d

B

i вътк

dx

Дифференцирование по

координате входной величины

Bi бык J Bi ex dt

Интегрирование по времени входной величины

Bi 6Mx Bi 0 ' ПІ

и Bi ex ' KBi Пі ' Bi О

K

Bj П

— коэффициент внутрицепного ФТЭ между величиной и параметром i-ой физической природы

Звенья межцепных преобразований

ешх

в,

.1 EEDC

Bj бЫК Bi ex ' KBi Bj

K

BiBj —

межцепного

величинами

физической

коэффициент ФТЭ между i- ой и j- ой природы_________

K

ПJ и KB, Пj ' Bi

Bi П J

коэффициент межцепного ФТЭ между величиной и параметром i-ой физической природы

Дополнительные элементарные звенья параметрических структурных схем

Bi бЫК Bi 6x1 ^ Bi 6x2

суммирование;

вых вых1 вых2

вычитание

Разветвление

Умножение величин, K — постоянный числовой коэффициент

Элементарные звенья

Уравнения

Примечания

В

В

г вх1

г вых

В

• К

г вх 2

Деление величин, К -постоянный числовой коэффициент

П

г 2

П

г1

Параметры, обратные по значению

О _ Г7 # О

В1 вых ~ П1 • В1 вх

П ±Щ )• В,

г вх

Суммирование постоянной составляющей параметра

№

1

При этом необходимо учитывать следующие особенности. Одно физическое явление может быть предоставлено как несколько ФТЭ в зависимости от того, какие и в каком соотношении величины и параметры различной физической природы участвуют в описании физического явления. Для каждого эффекта должны быть четко указаны входные и выходные величины.

Анализ элементарных звеньев, используемых в теории ЭИМЦ, позволил сделать следующие выводы:

Не все «элементарные» преобразования являются элементарными, некоторые из них (табл. 1. строки 6, 8, 15) могут быть представлены как сочетание преобразований.

Описание параметров универсально для физической природы, но для ФТЭ существует жесткая зависимость от физической природы величины.

Для всех элементарных преобразований должны быть конкретизированных входные и выходные величины.

Эти обстоятельства делают исходные понятия теории ЭИМЦ не достаточно универсальными для автоматизации такого сложного процесса, как формализация информации о физико-технических преобразованиях. В связи с этим встает вопрос о разработке нового математического аппарата, который позволил бы создать базовые классы и использовать объектно-ориентированный подход к моделированию первичных преобразователей.

Для описания пространства отображений определим множество I величин различной физической природы.

Элементарные преобразования могут быть представлены, как операции над величинами - операторы преобразований.

Операции над величинами.

Все операции на множестве величин делятся на унарные и бинарные.

Унарной операцией или одноместной операцией на множестве М называется отображение множества в себя I ^I , которое каждому элементу множества I , называемому операндом, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества, называемый результатом. Примеры унарных операций — 1, 7,

11, 14 из таблицы 2.

Определение бинарной операции.

Пусть 1, 12, !3 — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуместной операцией в паре Л, 12 со значениями в 1Ъ называется отображение I ^ 1Ъ , где IС11 х 12 .

Примеры бинарных операций:

Умножение величины на передаточное число. В теории ЭИМЦ может быть представлено такими элементарными преобразованиями, как «параметр» — внутрицепное преобразование, и ФТЭ - межцепное преобразование.

Сложение и вычитание величин. В теории ЭИМЦ — это дополнительные звенья суммирования, вычитания (внутрицепные преобразования).

Соответствие между элементарными преобразованиями по теории ЭИМЦ и операциями над величинами на основе алгебры физико-технических преобразований приведено в табл. 3.

Таблица 3 Соответствие между элементарными преобразованиями по теории ЭИМЦ и операциями над величинами на основе алгебры физико-технических преобразований____________________________________________

№ п/п

Элементарные преобразования по теории ЭИМЦ

Операции над величинами на основе алгебры физико-технических преобразований

№ п/п

Элементарные преобразования по теории ЭИМЦ_____________________________________

Операции над величинами на основе алгебры физико-технических преобразований

В і вых Ві вх 1 Ві

вх2

вых Ві вх1 [Ві вх2 КВі Ці )

Ві вых = П] ' Ві 0 П] = В, вх • КВгПг ВІ вых = КВі Пі • Ві вх • Ві 0

!) Ві выи =(Пі 0 ±АПі )• Ві:

б)

Ві в„іх =( Пі 0 ± Кіі • Ві вх )• Ві І = Пі 0 • Ві вх ± Кіі • Ві вх • Ві вх

Вывод выражений строки 6:

Вг вв1х = П г • Д- вх = (П г 0 ± АПг ) • Вг:

АП = К • В вх

Ві ввіх = (Пі 0 ± Кі •Ві вх ) • Ві вх = Пі 0 • Ві вх ± Кі •Ві вх • Ві

Часть элементарных соединений являются неделимыми, часть — можно разбть, чтобы число элементов было минимальным. В таблице 4 приведены унарные и бинарные операции над величинами.

Таблица 4

Операции над величинами в алгебре физико-технических преобразований

Вид операции

Действия над

величинами

Коэффициенты

В;

Пі

Ві,

Умножить на коэффициент

Унарные

Совпадение

Разветвление

параметр

ФТЭ

Вспомогательные звенья

Последовательное

звеньев

соединение

Бинарные

Слияние

Произведение

величин

вх2

Произведение

величин

Введение операций позволяет при определении структуры системы абстрагироваться от конкретных свойств элементарных звеньев и величин. Структура системы определяется последовательностью операций над величинами, независимо от операндов отображения. Операнды могут быть как простыми (элементарными звеньями), так и составными (фрагментами цепи). С точки зрения алгебры физикотехнических преобразований жесткое самоподобие функционального фрактала означает идентичность структуры независимо от масштаба, т.е. одинаковую последовательность операций для вложенных фрагментов цепей.

Такое представление физико-технических преобразований позволяет применить объектноориентированную парадигму к их моделированию.

Объектно-ориентированный подход позволяет выделить ряд объектов, относительно независимых друг от друга. Готовая модель преобразователя создается из этих объектов. Следует отметить, что объекты (и компоненты) модели, разработанные только один раз, могут быть использованы многократно.

Структура объектной модели описываются с помощью трех ключевых понятий инкапсуляция, наследование и полиморфизм.

Инкапсуляция — каждый объект обладает некоторым внутренним состоянием, а также набором методов - процедур, с помощью которых можно получить доступ к данным, определяющим внутреннее состояние объекта, или изменить их. Таким образом, объекты можно рассматривать как самостоятельные сущности.

Инкапсуляция позволяет повысить гибкость модели за счет:

представления фрагментов системы в виде относительно независимых объектов;

возможности скрывать многочисленные детали объекта от внешнего мира;

ограничения последствий изменений, вносимых в систему.

Объект - это экземпляр некоторого класса объектов или просто класса.

Для разработки объектно-ориентированной модели преобразователя были определены два основных объекта модели, которые могут быть использованы как базовые классы: величина и операция. Были

определены свойства и методы, связанные с объектами.

процесс и стрелка. Процесс представляет собой преобразование входа в выход. К процессу можно отнести такие ключевые понятия энерго-информационного моделирования, как параметр, физикотехнический эффект (ФТЭ), перекресток (или сумматор), а также составные объекты - обобщенный прием, и фрагмент цепи. В таблице 5 приведены объекты, используемые при моделировании преобразователей на основе фрактального подхода, и классы, на основе которых они строятся.

Таблица 5 Объекты и классы для моделирования преобразователей на основе фрактального подхода.

№ п/п Название класса Родительский класс Свойства Методы

Величина 0 Физическая природа

Операции над величинами 0 Тип (унарная/ бинарная), Для бинарной - аксиомы ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности

Звено од 1—1 Внутрицепное / межцепное преобразование Простое/составное Набор эксплуатационных характеристик Преобразование входной величины в выходную

Типовое соединение 2 Вид соединения Набор расчетных соотношений для определения критериев качества. Расчет критериев качества

На основе разработанных теоретических положений построена диаграмма сущность-связь графической инструментальной среды для моделирования чувствительных элементов на основе фрактального подхода [3] (рис. 1).

Рис.1. Диаграмма сущность-связь физико-технических преобразований

Таким образом, с целью обеспечения возможности автоматизации формализации информации о физикотехнических преобразованиях для анализа и синтеза новых технических решений на основе фрактального подхода разработан математический аппарат, который позволил применить объектно-ориентированный подход к моделированию преобразователей информации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петрова, И.Ю. Энерго-информационный метод анализа и синтеза чувствительных элементов систем управления: дис. докт. тех. наук. - Самара, 1996. - С. 109-120

2. Шикульская О. М. Метод моделирования чувствительных элементов датчиков на основе фрактального подхода: дис. докт. тех. наук. - Астрахань, 2009. - С. 53-81

3. Графическая инструментальная среда для моделирования чувствительных элементов на основе фрактального подхода: Св. об офиц. рег. прогр. для ЭВМ № 20 0 9610 0 93 Россия, ГОУВПО «Астраханский государственный университет» / О.С. Константинова, О.М. Шикульская. - Заявл. 27.10.2008, зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ 11.01.2009