Устойчивость и робастность AQM системы с PID-алгоритмом при изменении нагрузки трафика

УДК 681.5.037

ГОСТЕВ В.И., д.т.н.,профессор (ГУИКТ); ТЕЛЬВИНОВ А.В., аспирант (ГУИКТ); КУЧЕР СВ., ассистент (ГУИКТ).

Устойчивость и робастность AQM системы с PID-алгоритмом при изменении нагрузки трафика

Введение

Для современных телекоммуникационных систем с коммутацией пакетов характерно явление перегрузки, для борьбы с которым используют различные методы. Среди них важное место занимают методы управления очередью пакетов в маршрутизаторах. Существует два вида управления очередью: активное и пассивное. При пассивном управлении происходит отбрасывание пакетов, которые приходят во время, когда в соответствующей канальной очереди отсутствуют свободные места. Это метод отбрасывания хвоста (Tail Drop), который прост в реализации, но имеет ряд существенных недостатков, с которыми успешно справляются методы активного управления очередью - Active Queue Management (AQM). Системы AQM, чтобы избежать переполнения очереди, отбрасывают определённую часть пакетов, которые попадают в маршрутизатор, до момента переполнения соответствующей канальной очереди. При использовании PID-алгоритма поступающие в буфер пакеты случайно отбрасываются/маркируются с вероятностью, которая зависит от длины очереди. В работах [1-4] описаны линеаризованные системы AQM с PID-алгоритмом как системы автоматического управления. При анализе и синтезе систем управления с обратной связью первоочередное значение имеет их устойчивость и робастность, которая определяется устойчивостью системы при изменяющихся параметрах. В данной работе

исследована устойчивость и робастность AQM системы с PID-алгоритмом при изменении нагрузки трафика.

Решение задачи

На рисунке 1 приведена блок-схема системы управления с обратной связью AQM с PID-регулятором. Подробное описание этой системы рассмотрено в работах [2-4]. Динамика объекта описывается передаточной функцией, которая представляет собой отношение по Лапласу переменной "длина очереди" к переменной "вероятность отбрасывания/маркировки пакета". Передаточная функция AQM-системы определена в работах [2-4] как

G (s ) = ТТГ = P( *)e~ R =

óp

( RoC )3_ e~sR0

с2 —<

2N

/ 2 N .. 1 .

(2N)2

2 N

где C - емкость связи (пакеты/сек), Ro = q / C + Tp - время следования туда и

обратно - round trip time RTT (в сек), Tp - задержка распространения (в сек),

N - коэффициент нагрузки (число ТСР сессий).

С2

2Ы Я

1

Ро

и Р11) 4 {

ФО)

Рисунок 1. - ЛОМ с РГО-регулятором

На рисунке 1 q - предполагаемая длина очереди (в пакетах), р - вероятность маркировки/отбрасывания пакетов, 5q = q - qo, р = р0 + 5р, qo, р0 - значения

длины очереди и вероятности маркировки/отбрасывания пакетов в рабочей точке.

Передаточную функцию РГО-регулятора можно представить в виде

(*) =

Кг

' К; К

кг

К.'

Грп (5) = —^-П-

РГО-регулятор с передаточными функциями (2) и (3) можно рассматривать как корректирующее устройство, которое представляет собой последовательное соединение форсирующего звена второго порядка и интегрирующего звена (интегрирующее звено повышает астатизм замкнутой системы на единицу). Диаграмма Боде с асимптотической аппроксимацией амплитудной характеристики для РГО-регулятора с передаточной функцией (2) при Т больше Т2 приведена на

рисунке 2, а, а для РГО-регулятора с передаточной функцией (3) на рисунке 2,б.

а

модуль передаточной функции

Жрю (5).

201^1

А -20^-^^дек + 20*1 дек^.

а> -^

1

1

т7

а)

б)

если передаточная функция имеет действительные нули, или в виде

Рисунок 2. - Диаграммы Боде для РГО-регулятора: а) с передаточной функцией

Передаточная функция системы, скорректированной РГО-регулятором, в разомкнутом состоянии определяется как

если передаточная функция имеет комплексные нули.

Отметим, что РГО-регуляторы достаточно эффективны с точки зрения уменьшения установившейся ошибки и улучшения вида переходной характеристики системы, когда объект управления с

передаточной функцией а(5) имеет

один или два полюса, или система может быть аппроксимирована моделью второго порядка.

Ц5) = ^ (5)Р(5)е

К' (ЯС )3 —

К

2 (—52 + — 5 + 1)е

(2Ы)2 К / Кг '

5

2 N 0

-5Яо

Передаточную функцию звена запаздывания обычно аппроксимируют при помощи функции Паде. Для приближения Паде второго порядка можно записать:

5

5

2 3 3

s2 — s + —г

- sR0 = T T

2 3 3

s2 + — s + —г

T T

T2 2 ,

— s2-tS + 1

t2 2 1

— s2 +ts + 1 3

exp

где т = Я0 / 2 . Подставляя (5) в выражение (4), передаточную функцию системы, скорректированной PID-регулятором, в разомкнутом состоянии можно записать в виде

L(s) = -

3 K K

K (R0CУ (Kd s2 , kp _ , 1)(T2 _2

2 yK,

Ki

3

R 2C T 2

s(—0—s + 1)(R0s +1)(— s 2 +ts +1) 2N 3

При анализе систем управления с обратной связью первоочередное значение имеет их устойчивость. Устойчивую систему определяют как систему, которая имеет ограниченную реакцию при воздействии ограниченного входного сигнала или сигнала возбуждения. Если замкнутая система устойчива, необходимо определить ее относительную устойчивость, которая характеризуется запасом устойчивости по модулю, запасом устойчивости по фазе и ширина полосы пропускания [5]. Необходимость указанных запасов устойчивости обусловлена тем, что уравнения элементов системы, как правило, идеализированы, параметры элементов определяются с погрешностью и имеют технологический разброс, при эксплуатации параметры некоторых элементов изменяются вследствие старения. Относительную устойчивость, наравне с другими показателями, например, показателями точности и быстродействия, относят к основным показателям качества системы.

Для анализа относительной устойчивости целесообразно использовать частотные характеристики системы, которые

можно получить экспериментально путем подачи на вход системы синусоидального воздействия и вариации его частотой. Это позволяет исследовать относительную устойчивость системы даже тогда, когда значения параметров системы неизвестны. Частотный критерий устойчивости также может подсказать, как изменить параметры системы, чтобы увеличить ее относительную устойчивость.

Согласно частотного критерия Найквиста для определения устойчивости замкнутой системы нужно исследовать ее характеристическое уравнение: F(s) = 1 + G(s), где G(s) - передаточная функция разомкнутой системы. Критерий Найквиста имеет то преимущество, что позволяет очень просто учесть влияние запаздывания, которое характеризуется

передаточной функцией e-Ts , на устойчивость системы, поскольку множитель

e-jaT приводит к дополнительному сдвигу фазовой характеристики на угол <Pl(a) = -ют.

При использовании логарифмических амплитудно-частотных характеристик запас по модулю определяется как величина, обратная модулю функции G(ja) на частоте, при которой фазовый сдвиг равен -1800 (или +1800 для неминимально фазовых систем), и показывает во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления системы, прежде чем она окажется на границе устойчивости. Запас по фазе - величина, которая определяется на частоте, при которой |G(ja) = 1, и показывает, какой дополнительный отрицательный фазовый сдвиг допустим в системе, прежде чем она окажется на границе устойчивости. Полоса пропускания определяется частотой, на которой коэффициент усиления принимает значение -3 дБ.

Для оценки робастности системы (рисунок 1) целесообразно использовать следующую методику: при настроенном регуляторе на конкретные параметры объекта управления изменять параметры объекта,

например, на ± 20% от номинальных и исследовать устойчивость в системе. Для анализа устойчивости и робастности системы целесообразно использовать частотные характеристики системы и логарифмический критерий устойчивости, который позволяет очень просто находить запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

Используя пакет Control System Toolbox 5.0 интерактивной системы MATLAB [5], определим логарифмические частотные характеристики ЛЧХ (диаграммы Bode) системы (рисунок 1), скорректированной PID-регулятором, по передаточной функции (6). Эти характеристики при номинальных параметрах схемы (которые определены в работах [24]) Ro = 0,246(сек), С=3750 (пакетов/сек),

параметрах PID-регулятора Ki=3,12*10A(-5); Kd=5,1*10A(-5); Kp=6,2*10A(-5) и числе сессий N, равных 60, 120 и 240, приведены соответственно на рисунке 3. Для этих характеристик приведены запасы устойчивости системы по амплитуде Gm (в децибелах) на частотах среза (c (в радиан/сек) и запасы устойчивости по фазе Pm (в градусах) на частотах ая (в радиан/сек). 1.При N=60 TCP сессий: запас устойчивости по модулю Gm = 3,59 дБ, на частоте 8,07 рад/c; запас устойчивости по фазе Pm = 62,1 град, на частоте 4,38 рад/с. 2. При N=120 TCP сессий: запас устойчивости по модулю Gm = 9,87 дБ на частоте 8,31 рад/с; запас устойчивости по фазе Pm = 107 град., на частоте 0,432 рад/с. 3. При N=240 TCP сессий: запас устойчивости по модулю Gm = 16,4 дБ на частоте 8,75 рад/c; запас устойчивости по фазе Pm = 93,3 град., на частоте 0,107 рад/c.

Программа расчета ЛЧХ в системе MATLAB следующая:

R=0.246; C=3750; N=(60, 120, 240); Ki=3.12*10A(-5); Kd=5.1*10A(-5); Kp=6.2*10A(-5);

alf=Ki*(R*C)A3/(2*N)A2; b=RA2*C/(2*N);

f1=alf* [Kd/Ki Kp/Ki 1]; f2=[(0.123)A2/3 -0.123 1]; f3=[1 0]; f4=[b*R b+R 1]; f5=[(0.123)A2/3 0.123 1];

num=conv(f1,f2); den=conv(f3,conv(f4,f5)); sys=tf(num,den); [mag,phase,w]=bode(sys); [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,ph ase,w);

margin

Рисунок 3. - Логарифмические частотные характеристики ЛЧХ (диаграммы Bode) системы

Из рассмотрения характеристик можно заключить, что система при номинальных параметрах и изменении числа сессий в пределах 60 - 240 обладает достаточной устойчивостью. Более того, как показали исследования, изменение нагрузки не ± 20% от соответствующих значений N, равных 60, 120 и 240, не

приводят систему в неустойчивое состояние. При увеличении нагрузки полоса пропускания системы уменьшается, что говорит о том, что быстродействие системы также уменьшается.

Вывод

AQM система с PID-регулятором при изменении нагрузки трафика, при настройке PID-регулятора, обладает достаточной устойчивостью и робастностью, но с увеличением нагрузки быстродействие системы уменьшается.

Список литературы

1. Ryu, S., and C. Rump. Application of a PID feedback control algorithm for adaptive queue management to support TCP congestion control. Journal of Communications and Networks 6 (2), 2004, pp. 133-146.

2. Yanfei, F., R. Fengyuan, and L. Chuang. Design a PID controller for active queue management. Proceedings of ISCC'2003, 2003, pp. 985-990.

3. Ryu, S., and C. Cho. PI-PD-controller for robust and active queue management for supporting TCP congestion control. Proceedings of the Annual Simulation Symposium'2004, 2004, pp. 132-139.

4. Astrom, K., and T. Hagglund. The future of PID control. Control Engineering Practice, 9, 2001, pp.1163-1175.

5. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления / Пер. с англ. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.- 832 с.

Аннотации:

В работе исследована методом логарифмических частотных характеристик в интерактивной системе МЛТЬЛБ устойчивость и робастность ЛрМ системы с РГО-алгоритмом при изменении нагрузки трафика. Показано, что эта система при выбранных параметрах имеет хорошую относительную устойчивость и робастность в широком диапазоне изменения нагрузки трафика.

Ключевые слова: устойчивость, надежность, РГО-алгоритм, загрузка трафика.

У робот дослщжена методом логу-рiфмiческiх частотних характеристик в штерактивнш системi МЛТЬЛБ устой-чивость i робастшсть ЛрМ системи з РГО-алгоритмом при змш навантаження трафшу. Показано, що ця система при вибраних параметрах мае хорошу вщносну стшшсть i робаст-шсть в широкому дiапазонi змши навантаження трафшу.

Ключовi слова: стшшсть, надшшсть, РГО-алгоритм, завантаження тра-Фжа.

In work stability and robustness AQM systems with PID-algorithm is investigated by a method f logarithmic frequency characteristics in interactive system MATLAB at change of loading of the traffic. It is shown that this system at the chosen parameters has good relative stability and robustness in a wide range of change of loading of the traffic.

Keywords: stability, robustness, AQM systems, PID-algorithm, loading of the traffic