Затухание ионного звука в плазме с двумя сортами ионов

УДК 533.951

ЗАТУХАНИЕ ИОННОГО ЗВУКА В ПЛАЗМЕ С ДВУМЯ

СОРТАМИ ИОНОВ

К. Ю. Вагин, К. Н. Овчинников, В. П. Силин

Для плазмы с двумя сортами ионов в модели Батнагара Гросса-Крука получено выражение для ионного вклада в продольную диэлектричекую проницаемость. В приближении, учитывающем столкновения ионов разного сорта, найден спектр и декремент затухания для ионного звука в высокочастотном и низкочастотном пределах. Приведены условия применимости полученных результатов.

Затухание ионного звука в плазме с двумя сортами ионов привлекло к себе внимание как благодаря экспериментальным исследованиям вынужденного рассеяния Манделыптама-Бриллюэна [1], так и благодаря теоретической работе Эпперлейна, Шорта и Саймона [2], в которых было установлено проявление повышенной диссипации тогда, когда отношение заряда к массе различных ионных компонент не совпадает. В работе [2] были сообщены результаты численных расчетов по теории кинетических коэффициентов, которые позволили установить явное проявление различных отношений заряда к массе как меры влияния электрического поля на частицы в столкновитель-ном затухании звука, могущего в существенной мере определяться джоулевым нагревом и термодиффузией. Работа [2] использовала кинетическое уравнение с интегралом столкновений Ландау, что определило приближенность вычислений этой работы. В настоящем сообщении мы пойдем по пути использования точно решаемой кинетической модели, которая использует для описания столкновений ионов интеграл столкновений Батнагара-Гросса-Крука [3-5]. Такой подход позволяет получить общее выражение для ионного вклада в продольную диэлектрическую постоянную, описывающего как динамику, так и диссипацию, обусловленную ионами. При этом становится возможно на основе общего дисперсионного выражения рассматривать как бесстолкновительное, так и столкновительное приближения, а в случае столкновительного приближения проводить описание как низкочастотного, так и высокочастотного звука.

Будем рассматривать плазму, состоящую из электронов и двух сортов ионов. Используя модельный интеграл столкновений для ионов, запишем кинетические уравнения для ионов 1-го и 2-го сорта:

^ + ^ + —= -^(Л - - МЛ - МФ12),

т аг т\ а\

Ш + + = -„21

от аг ш2 о\

где еа,та - заряд и масса ионов сорта а; 1/ар - некоторые постоянные величины, имеющие смысл эффективных частот столкновений частиц сорта а с частицами сорта /3. Для выполнения законов сохранения импульса и энергии необходимо выполнение равенств

таМаиар = трМр 1/ра.

Ставя перед собой задачу определения затухания ионного звука в плазме, обусловленную столкновениями ионов,- будем дальше интересоваться случаем, когда температура ионов двух сортов одинакова и равна Го. Тогда частота рассеяния ионов первого сорта на ионах второго сорта имеет вид:

_ 4 у—/ т2 1/12 ~ гУ («Т0)3/2 V Ытг + т2)'

а частота рассеяния ионов второго сорта на ионах первого г/2х может быть получена заменой 1 н 2 в последнем соотношении, при этом для полученных таким образом частот справедливы соотношения (2). Частоты столкновений одинаковых ионов между собой имеют вид:

4

где Ута = укТо/та - тепловая скорость ионов сорта а. Функции Фар

= ,9 т 1,-

{2ттк1ар/та)

та(у - \РУ

2кТар

входят в систему (1), решение которой определяет следующие моменты:

ШаТр + ГПрТа

К

а = [ ¿V/«, = [ <Ьпг/а,3ЛГа«Га = та / ¿V (V - Уа)2 /а,Тар =

J J J та + тр

В уравнениях (1) продольное электрическое поле Е = — обусловлено ионно-звуковыми колебаниями.

На фоне равновесных значений, определенных как

Уао — 0, Тао — То, ФаР0 — 1аО, /аО —

N.

а О

(2тгкГ0/та)3/2

ехр

2/сТо

будем рассматривать возмущения 6/а,б1р,6Мапё*Уа,8Т,6Фар, зависимость которых от координат и времени примем ~ exp(—i(шt — кг)). Возмущения температуры 8Та и возмущения скорости 6ЛГа приводят к следующему изменению значений функций Фц и Ф12:

/ю

Ф12 =

ь

10

к

10

фц = 1 +

N10 тп\ 8Тг

бТг/гпгУ2 3\ тх .

1+П [2^-2

+ т2 8Тг^ (Шху2 - + —(V 6У ) гпг + т2 Г0 гпх + ш2 Т0 I I 2к,Т0 2 I кТ0

Линеаризуя первое уравнение (1) по малым возмущениям и используя (6), получаем уравнение, связывающее возмущение <5/1 и его моменты $N1,6Т\ и 8У\\

(г/ц + 1/12 - г(ш - клг))6/г = /ю

ге\8у> кТ0

(М)+

/ОД 8Тх(тп^ 3\ ш, \

+ тГ 1 ад " 2;+ арМ)+

+„а + тМ + гпЖ (гп£ _ 34 + ^ :

х N10 ' Т0(гп1 + т2) V 2кТ0 2) кТ0 Уравнение, подобное (7), возникает при линеаризации второго уравнения (1). Интегрируя два эти уравнения с соответствующими весами, получаем алгебраическую систему уравнений для определения моментов 8^,8\а и 6Та. Введем следующие обозначения для безразмерных моментов:

8N0,

Ха =

К, =

8Та

Мао1 "" ку/кТ0/та' ° То ' Возмущение 8N0, может быть записано в виде

8ЛГХ = у ¿у(/10 + 8Г0 - ЛГ10 = | ¿у<5/х.

Выражая 8}\ с помощью уравнения (7) и подставляя в (9), получаем следующее соотношение:

ел86 ( 1 г <1лг(к.у1Лп

= [ 1 ' «То \,ЛГ10 У

^11 + V12 - - ку)у

+(,„+J - ..) +

\iVio J v\\ + V\2 — г

+ f Ul + Yl + Y3] X

L\ m, + m2J mi + mo .

х(лЬ/

dvfw (mx\2 _ 3\\

+ — ¿(w — kv) V 2«To 2

rv 1 сЛг ч Z' 1 [ dv v/io

+ 1/12 <?V2)

(iV10/

kT0 \NW J i/ц + i/i2 — i(u> — kv)/'

Далее удобно использовать следующие обозначения:

fl = ^11 + fl2, г/2 = ^22 + f21,

(а) _ Г dvfco Tnn~ N„J vn - i(u -

¿(a; — kv)'

»b/^ - J_ f П; v)

Wlma -7Va07 — ¿

'JVV

T(c

e) _ J_ f dvfcо / mQv _ 3 \

/T jVa0 ii/„- - kv) V 2kT0 2 J ' ' ''

= J_ [ (k,v)2,

^ * ma Na0 J va - г(и - kv)v 7

ф M = J_ [-v) f ^ -

T \ ma Naо J i/a — i{w — kv) ; \ 2/сГо

n(a) _ Г dvfaQ f m„v2 3N 2 T iVQo J Va — ¿(w - kv) \

r

TT ЛГ / .. . ,„Л 1 2kTq 2/

Преобразуем интегралы в уравнении (10), содержащие (v,<5Va). Предполагая, что вектор к направлен вдоль оси OZ, запишем следующее тождество:

(v,<SV„) = v) + vsya sin Qv sin 0SV cos _ ipsv).

1С к

В соответствии с последним соотношением получаем интегральное соотношение:

Г dvfa0

Используя (13), можно получить алгебраические уравнения для определения моментов (8). Используя обозначения (11), (12) и соотношение (13), перепишем уравнение (10) в виде

- г^) - ( ицХг + 1

7 . 1712 \ У I т1 у]

( ^11 + ^12--- У\ + ^12---Уг тМ =--. Т^. 14

Л тщ + т2/ тп\ + т2 у/гп1к10

Все проделанные с первым уравнением (1) действия применяем ко второму уравнению (1). При этом получаем уравнение, аналогичное (14), и оно может быть получено из последнего заменой индексов 1 <-> 2:

Z2

ГП\

17 . гпх . ГП2 1

Л Ш1 + т2/ Ш1 + т2 1 л/т2кТ0

Возмущение ¿V! определено соотношением

¿VI = !¿УУ«/!. Подставляя сюда 8/\, определенное уравнением (7), находим уравнение

-1/1 Тд^! + - + Ту у

-

\ Ш1 + т2 / у/тп1кТ0

Замена 1 «-»• 2 в уравнении (16) позволяет получить еще одно уравнение:

-1>2т$1г2 + х2- {и22х2 + 1>21^~хЛ

( V , т^ + тгУЛ (2) ¡е2к6(р (2) . .

V Ш1 + т2 / л/т2к10

Оставшиеся уравнения для определения безразмерных моментов Ха, Уа и 2а получим из соотношения (4), определяющего температуру Та. Оставляя только слагаемые, линейные по малым возмущениям, получим соотношение

т0Т0к + ^ = пц/ ¿У^Л.

Последнее соотношение можно переписать в виде

3 ЛГ 6ТХ Г /тхи2 3\ , „„

из которого вытекает следующее уравнение:

. Зл/

+ - "пК + "12-:- ттт = —/ гг тут-

2 \ Ш1+т2 ) у/гпгкТо

Произведя перестановку индексов 1 <-> 2, из уравнения (20) получаем последнее шестое

уравнение для безразмерных моментов:

- (^22Х2 + ^ Тут+

3, ( т2У1 + т1У2\ (2) ге2кв(р (2) .

В полученной системе шести уравнений (14)-(17),(20),(21), содержащей 6 неизвестных Х\, Х2, Ух, У2, и £2, коэффициенты определяются формулами (12). Все эти коэффициенты записываются в явном виде с помощью функции

= } ¿т ет^2 = >Л\ + г Д / ¿т ет*'А = -^гх» (*/>/§),

+«оо I О J

где и>(;г) - интеграл вероятности [6].

Коэффициенты г записываются в виде:

0») _ _

ТЛГУ —

г

ТЛГТ —

(а) » и + гУа [ /аН-и^Ч Д а)_ г" Г/а; + »/0ЧаГ /си + г^Ч 1

т(

т<°) -ТТТ —

Ш -I- iva

(ш + ivay 0 {lo -f ivay fu} + iva\ fu} + iva\2 (ш + гиа^ л

VkVr7) ~2\Wt7) +5 + K~~kVr7) +l

кУТа

Сравнивая отношения (23)-(28) между собой, получим следующие полезные соотношения:

(а) _ ш + гуд (*) г — .,/ TNN - 777 '

kVTa

кУта

(а) _ 1 ГШ + ÍVg Ы (а) NT — - • - - 7 wv ' лг iv

L kVTa

'NV 'NN

Гуу —

¿Ута

'Arv>

ТуТ —

kvTa NT-

Укажем здесь разложения для значений параметров г (23)-(28) в условиях кУтс, <| ш + iva I

г(

"лглг

w + гг/0

тй! = уг

2¿

гм-i

Ш + ÍUaJ

' кУТа '

+ г'|/а ( kVTa

21

21

из + iva

, ш 4- iu0

Та

2Л+1

г( гтт

¿Vi

2/

Та

^Ш +

Вернемся к системе алгебраических уравнений для определения Za,Y0l н Ха. После введения новых обозначений

V\\Xx + \ — V12X2 = Хх,

V m2

V22X2 + ч/-V2\X\ = Х2,

V mi

v\\Y\ + "12 "22^2 + ^21

m2Yi + m-CY-i _ w

-;-— T i)

m i + m2

m2Yi -f miY2

= V2,

тпх + т2

запишем систему уравнений (14)—(17), (20), (21), разбитую на две тройки в виде:

С\-1Ут(а))7 - т(а)Х - ТМУ

ieak6<f ,

-г/ т(а) 7

+ -^а — ТууХа —

(a)V

1/Т • л

rVT

>)7 _ T(")Y Зу -

Va 'NT^ci TVT'^at т 2*а — тТТ 1 а —

Из первых уравнений двух троек (32) выражаем Ха

ieakSw (а) JrnaKT0TW,

ieakSjfi (а) JmaKT0TVT-

1 M

V _ 1 ~ VcT^N у . TNT У ' »а г„л ^а Т ' а ~т~

TNV

TNV

ieakS(p у/тпакТо

и исключаем Ха из двух последних уравнений (32):

-^УУга+Ха + ^Уа = 0, + |ка - = о.

При записи системы уравнений (34) использованы следующие обозначения:

— тТТтЛГ^ тNTтVT)

П _ т(«)т(а) __(а)_(а) а — ТЛГТТЛГУ "ЛГЛМУТ"

В соответствии с соотношениями (29) = 0, а Са = —гт^у/кУта- Эти результаты позволяют из первых уравнений (34) получить

кУта

— ZaSa.

Будем рассматривать вторые уравнения в системах (34). Учитывая, что выражаются через Уа, эти уравнения образуют систему для определения Уа через Za

A1Yl + E1Y2 = Z! —^2Y\ + —- z2

v\D\ + Ty'j*

v2D2 + T~vt

Здесь использованы следующие обозначения:

„ mxvi2 . m2i/2i -I = А\---, ^2 = А2

mi + т2' ш 1 + т2'

vi 2т2

= - Ai

2

Дг = Ztnv - А2 „ .

mi + т2.

^11 + ^22 +

тг + т2 i/2imi

В соответствии с сотношениями (29) получаем Д* = —гт^/кУта, и следовательно, правую часть в уравнениях (37) можно преобразовать к виду

Vc.Dc, + т =

Вводя обозначения для правых частей уравнений (37) Ка — (ш/кУта)тлгг5 из системы уравнений (37) выразим Уа через Z0,:

_ ггкгА2 + z2к2'E\ У2 = +

Д1Л2 — —г—2

Соотношения (36) и (40) позволяют выразить комбинации Ха и Ya через 2а\ V ( ( 1/а2т1 \ „ и12тг 1

Т1 = -Г—Г-Л2 1^11 + --- +"2--- \ +

А1А2 ——1-2 ^ V Ш1 + т2/ 7711

%2К2 [ л ¡^гщ ( У\2т2 \ \ //Мч

+-г—г-4 Аг---+ -1 1/ц +--- > . (41

АхА2 — 2 I т1+т2 \ ml^-m2/J

Х1 = + ,/—1/1252^2.

V т2

Выражения Х2 и У2 через Za могуть быть получены из соотношений (41) заменой 1 2.

Вернемся к анализу первых уравнений из двух "троек" (32). С учетом выражений (41) эти два уравнения представляют замкнутую систему для определения Za:

Q\\Zx-Qi2Z2 --QkZ1+Q22Z2 = -^т<2>.

Здесь коэффициенты Qij имеют вид:

Г> 1 (1) С (1) K1TNT /л f , "12™2 \ , „ ^12тг \

Qu = 1 - "iTkk - "n<SiW - ——-^г^ \ A2 Uli +--- + "—"2-:-> ,

Al A2 — l V 7711 + ' 1711+1712)

П С 0) i K*TNT Г л "Uml , - ( , "I2m2 M

Q12 = W-"12^2^ + ——-Аг--- + -1 l/i 1 + --- \ , 44)

V m2 AiA2 — -1-2 L mi+m2 V mx + m2/ J

/о)

1 (2) с (2) K*TNT { л f . "21 ml \ , „ I/2im2 1 ,

Q22 = 1 - WkN ~ V2lS2TKN{r ~ —Г-Al V22 + -;- + -l-;- > , (45

Ai A2 — ^.1-2 l V mi + m2/ mi +m2)

i-

r> 1712 С (2) , TNT ГА "21m2 , - "21 "Zj \

Ql2 = J-+ ——-^t\A2--- + --- > , 46)

V rrii Al A2 — l mx + m2 mt + m2 J

Za - обезразмеренные их равновесными значениями флуктуации плотности ионов сорта а. Знание флуктуации плотности ионного заряда позволяет получить выражение для ионного вклада в диэлектрическую проницаемость

Sei = SPi = e1N10Z1 + e2N20Z2

в виде

г

Sei =

1_ iifil _(!)/) 4- ^2т(2) Г) 4-

4тге1в2^10 (2) 47ге1б27У2р (1) 1

где = ^47ге2Л^а0/та - ленгмюровская частота ионов сорта а.

Получим разложение выражения (48) в пределе малых к. Будем использовать обо значение ха = кУта/{ш + ¿"а)- Согласно формулам (30) можно получить следующие разложения при < 1:

4У = {1 + 34 + 15Хд + ...} ,

= + + ...},

I 21У

4ат = {1 + 6x1 + 45х*...} ,

ш + и>а а *

ттт = о( , I1+к+,

2(и; + г!/а) 13 J

^ " 20^+ * +И*"}"

Разложения (49) позволяют для параметра Аа (35) получить разложение в виде

3 _ , 87

-?*«+•••}• <5о>

а для параметров Да и Еа (38) в виде

3 17111/12 XI ( 14

^ " 2 т1 + т2(ш + ыху (} + з *0 (51}

Д1 = ^л. Г!.. ^ + у+ +

3 х\ 2(ш + г1/х)2

Выражения для Д2 и Н2 могут быть получены из (51) заменой 1 <-> 2. Формулы (51) позволяют получить разложение комбинации ДгД2 — в виде

„ 9 РУТ1УТ2_

' +

5. к2кТ0 ( V12 1^21

л л — 9 к'УТ1УТ2 Г . л , а/_ 5. \

" ^ = 4 (ы + ги\)г{и + ¿1/2)3 Н" + ^ " + I3" " з"\) +

+*2

V 3 )\ 3 ГП\ + т2 Чо; + гух ш + гу2/]

В формуле (52) использовано следующее обозначение

тпгии + ш21/21 "т = -;-•

7711 + т2

Подставим разложения дробей, входящих в коэффициенты (43)-(46):

К\Т1ЯТ (д / | У\2т2 \ | - ГПХУ12 | _ ДХД2 — Е^з I 2 V 11 7711 + 7712/ 771! + 7712 /

2 1 Г. / , т21/12 \ т2г/211/1 1

= -г^-Г?-— 1гш "и Н----г )

3

Л1)

Д

д Л - Лг---+ "11 +--- \ =

1Д2 — С,1—2 I 7711+7712 V 7711 + ГП2/ )

2 к2Уух г т!1/12

3 (и> + гиху ш + гит т\ + т2 Соотношения (54)-(55) позволяют записать выражения для фи и $12 в следующем виде:

ш(ш + г'1/12) х\ Г. Зг'1/цо; 2 1 Г. / , ^12т2 \ т2у2\У1 1\

Яп = —,  -------+ —-г- + г——— гш и и +------- >,

+ 1У\у ш + гу\ I ш + гУ\ Зи + гУтУ \ т\ + т2/ т!+т2.и

1ШУ\2 Л 1 о . 2 гЧ т1"12 Ч\2 = т-,  ч2 (1 + ох11 + -——--;-.

Заменой индексов 1 <-> 2 из выражений (56) можно получить формулы для <322 и (5г1-Исходя из формул (56), запишем выражение для знаменателя фифгг-<2г2$21 в формуле для диэлектрической проницаемости (48) в виде:

ш

ф11$22 — <512*321 = 7--уГ,-Г~-^ 4 "12"21

(си + 11/1У(ш + ги2у (

.2 , о, .«.2 . 4 РкТо

3шхг + Зшх2 Н—

—а;3 + (^ + ¿г/21) ш2 + ixl

+(ш + 1иХ2) ш2 + гх\

5 . . . 2 Ш11/12(а; + г^)2

3

+

-о"1(ш + г'"1) + о 7-Т-\/ , •—Т -

3 3

5 2 т2г/21(а; + г'1/2)2 „

+ г1/г) + ---—г - Зал/22

3 3 т, + т2)

Выполненное выше разложение формулы (48) по малым параметрам х\, х2 позволяет в нулевом приближении по ха получить следующее выражение для <5г,-:

+ гг/21) + + гг/12) + 47гге1е2Л^1о^2о

0£% =--7Г,-Т.-ГТ-•

ш2

Для удобства дальнейшего изложения, используя соотношение (2), введем определение частоты 1/о:

1/21 = гп^ю^о/рт), 1/12 = гп2М2о{щ1 рт).

В соответствии с (59) г/12 + "21 = "о (Рт — + ш2^2о _ массовая плотность ионов),

формулу (58) перепишем в виде:

б£, = + ^¿2 + 47тг'

ш{ш + гг/о)

Выделяя действительную и мнимую части в последнем выражении, получаем

Ш2Ь1 +ш12 +4тт(1/0/и;)2(р2//9т) .1/0 77117712^10^20 / ех е2\2 ,

0£г —--—2--Ь4хг--т-т——I---) .

ш + "о ^ + "о) Ш2/

Условия применимости формул (58)-(61) в низкочастотной области имеют вид

О/ < «Ь, — < 1,

г/а

а в высокочастотной

и;»г/а, ^<1.

Полученные приближенные выражения (58)—(61) также не учитывают (в отличие от формулы (48)) вклада от бесстолкновительного затухания звука на ионах

/ж ш?0 ( ш2 \ . .

2

существенного при ш >> va и kVja у а- Такой подход оправдан в условиях, когда описываемая последним слагаемым в

у0 NwN20m1m2 / ех _ е2 \2 П[ у" ( ш2 \

47Г а; Рт(ш2 + у2) Ux т2) V 2 РУг3а 6ХР V 2k2VjJ '

Формулы (58)—(61) решают вопрос о нахождении вклада ионов в продольную диэлектрическую проницаемость, обусловленную столкновениями ионов разного сорта. Вклад от столкновений ионов одного сорта возникнет при учете слагаемых следующего порядка малости по параметру k2Vj /(ш2 -f- у2) <С 1 в разложении общего результата (48).

Ионный вклад в диэлектрическую проницаемость (61) описывает как динамику, так и диссипацию ионов. На основе полученных формул (58)—(61) становится возможным изучение свойств звука, когда ионная диссипация определяется столкновениями ионов, а не бесстолкновительным затуханием звука на ионах. Считая электронную диссипацию бесстолкновительной, дисперсионное уравнение для продольных ионно-звуковых колебаний запишем в виде

где Vje - тепловая скорость электронов. Используя найденное выражение для ионного вклада в диэлектрическую проницаемость для решения дисперсионного уравнения (65), получим следующие выражения для спектра ионного звука в плазме с двумя сортами ионов в низкочастотном и высокочастотном пределах

ш3 = < W << ""

kVa, ш > va,

где Vз = гие 4тгр2 /рт - скорость длинноволнового звука; У3 — гц^ш^х + - скорость коротковолнового звука. Выражения для затухания ионного звука имеют вид

Ъ = 7е + 7«

= I (кУ^оНУ*/V* - 1), ш <С Ъ/Ш° \ Ы2кУ3)(1 - У]/У?), ш > „в,

\ фг/8кУ3/УТе, ш > 1/а.

Развитый в настоящем сообщении подход, проиллюстрированный нами в случае столкновений заряженных частиц, рассеяние которых описывается формулой Резерфор-да, пригоден и для иных случаев. Например, он может быть использован и тогда, когда рассматриваются неполностью ионизованные плазмы.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке СИБР (грант ЯР1-2268), РФФИ (проект 02-02-16047), а также в рамках программы государственной поддержки ведущих научных школ (проект 00-15-96720).

ЛИТЕРАТУРА

[1] F е г п a n d е z J. С., Cobble J. A., F a i 1 о г В. Н. et al. Phys. Rev., E55(3), 2747 (1996).

[2] Epperlein E. M., Short R. W., Simon A. Phys. Rev., E49(3), 2480 (1994).

[3] В h a t n a g а г P., Gross E., К г о о k M. Phys. Rev., 94, 511 (1954).

[4] G г о s s E., К г о о k M. Phys. Rev., 102, 593 (1956).

[5] Александров А. Ф., Богданкевич JI. С., Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы, М., Высшая школа, 1988, с. 54.

[6] Справочник по специальным функциям, под редакцией М. Абрамовица, И. Стиган, М., Наука, 1979, с. 120.

Поступила в редакцию 2 апреля 2002 г.