Применение программы EViews для анализа защищенных систем связи на основе хаотических сигналов на основе BDS-статистики

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММЫ EVIEWS ДЛЯ АНАЛИЗА ЗАЩИЩЕННЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ НА ОСНОВЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ BDS-СТАТИСТИКИ

В настоящее время одним из перспективных направлений в области защищенных систем связи является использование хаотических сигналов. Значительный интерес представляют вопросы анализа систем связи на основе хаотических сигналов. Среди основных методов анализа выделяют линейные и нелинейные методы. Среди перспективных методов для анализа передаваемых хаотических сигналов рассматривается один из нелинейных методов - BDS-статистика, которая базируется на статистических свойствах корреляционной размерности исследуемого процесса в фазовом пространстве, которая в свою очередь определяется корреляционным интегралом. Описан математический аппарат BDS-статистики. Отмечено, что во многих публикациях не указывается в явно виде программное обеспечение, с помощью которого вычисляется BDS-статистика. Данное обстоятельство ограничивает применение BDS-статистики для решения различных задач, например анализа систем связи на основе хаотических сигналов. Авторами указаны программные реализации, с помощью которых возможно вычислить BDS-статистику. В качестве программного обеспечения для вычисления BDS-статистики был выбран эко-нометрический пакет программ EViews 10 Student Version Lite. На примере моделирования одной из систем связи на основе хаотических сигналов в среде ScicosLab и анализа полученных данных в пакете программ EViews 10 Student Version Lite, подтверждено, что BDS-статистика является достаточно мощным инструментом для анализа хаотических сигналов. Для этого с помощью рассматриваемой схемы системы связи и двух генераторов хаотических сигналов (аттрактор Рёсслера и возмущенный осциллятор Ван дер Поля) на основе моделирования, были получены различные временные реализации передаваемых в канале связи сигналов. На основании данных временных реализаций получены фазовые портреты и значения BDS-статистики. Анализ полученных данных показывает, что формируемые сигналы в целом относятся к хаотическим процессам. Для уменьшения вероятности успешного применения BDS-статистики, как метода анализа систем связи на основе хаотических сигналов, следует либо усложнять структуру передаваемого сигнала, делая его похожим на белый шум, либо использовать потенциально бесконечное количество наборов различных классов хаотических последовательностей и их периодическую смену.

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10175

Гавришев Алексей Андреевич,

ФГАОУ ВО "СКФУ", г. Ставрополь, Россия, alexxx.2008@inbox.ru

Жук Александр Павлович,

ФГАОУ ВО "СКФУ", г. Ставрополь, Россия, alekszhuk@mail.ru

Ключевые слова: беспроводной канал связи, BDS-статистика, защищенные системы связи, хаотические сигналы.

Информация об авторах:

Гавришев Алексей Андреевич, аспирант, ФГАОУ ВО "СКФУ", г. Ставрополь, Россия Жук Александр Павлович, профессор, к.т.н., ФГАОУ ВО "СКФУ", г. Ставрополь, Россия

Для цитирования:

Гавришев А.А., Жук А.П. Применение программы Eviews для анализа защищенных систем связи на основе хаотических сигналов на основе БЭБ-статистики // Т-Сотт: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №11. С. 43-50.

For citation:

Gavrishev A.A., Zhuk A.P.

Постановка задачи

В настоящее время одним из перспективных направлений в области защищенных систем связи является использование хаотических сигналов, которые обладают следующими характеристиками [1]: большим объемом генерируемых последовательностей, высокой структурной скрытностью, легкостью программно-аппаратного воспроизведения, необходимостью передачи для синхронизации только ограниченного набора начальных условий. Применение в защищенных системах радиосвязи хаотических сигналов позволяет повысить помехоустойчивость систем передачи информации и конфиденциальность информационного обмена [ 1 ].

Значительный интерес представляют вопросы анализа систем связи на основе хаотических сигналов [2-4]. В настоящее время набор традиционных (линейных) методов анализа процессов в радиотехнических системах существенно расширен нелинейными методами, полученными и теории нелинейной динамики, например методы нелинейного анализа процессов в псевдофазовом пространстве; метод, основанный на фундаментальном свойстве диссипативных динамических систем - рекуррентности (повторяемости состояний) и другие [3]. Эти методы позволяют выявлять закономерности и поведении (зависимости в значениях) процессов там, где ранее считалось, что их не существует. Нелинейные (непараметрические) методы анализа процессов позволяют отличать хаотические колебания от случайных и регулярных процессов [3]. Вместе с тем, широко используемый в настоящее время для анализа процессов в радиотехнических системах энергетический критерий, не использует информацию о «форме процесса» или зависимости его значений. В результате можно говорить о недостаточной корректности классификации разных классов сигналов и процессов [2-4]. Различия в «наполняемости» фазового пространства аттракторами разных классов процессов и, как следствие, в зависимостях корреляционной размерности от размерности пространства вложения указывает на один из способов классификации наблюдений. Проявление структурированности аттрактора указывает на наличие взаимосвязей элементов наблюдаемого процесса. В такой интерпретации классы процессов (случайные, хаотические, регулярные) можно классифицировать. Следовательно, понятие «форма процесса» можно формализовать и рассматривать его как более информативный признак, чем энергия сигнала. Упомянутые классы (хаотические, случайные и регулярные) будут иметь различную «форму процесса», которую удобно характеризовать с помощью числовых показателей их корреляционных размерностей [3].

На основании этого в работах [2-4] для анализа передаваемых хаотических сигналов предлагается использовать BDS-статистику, которая базируется на статистических свойствах корреляционной размерности исследуемого процесса в фазовом пространстве, которая в свою очередь определяется корреляционным интегралом. Эти данные дают больше информации о классе процесса (случайные, хаотические, регулярные), чем энергетические показатели [3],

BDS-статистика была предложена в результате анализа финансовых рынков экономистами Brock, Dechert и Sheinkman [2, 4]. BDS-статистика основана на статистической величине Цд:)[4, 5]:

„, . ПГг — . C*Jl(£) ^i..v-лг (£У

(0

c^jvO)

где Ст л,(г) и С, к_„(е) - корреляционные интегралы, а сг (г) - среднеквадратическое отклонение.

Задача анализа передаваемого сигнала рассматривается как непараметрическая проверка одной из гипотез: Н{1 -

наблюдаемые данные Х = (Х] je,,,..,.* ) независимы и одинаково распределены (белый шум) и Я, - данные не относятся к белому шуму, что возможно в случае, когда они являются смесью шума и сиг-нала. В качестве теста на достоверность гипотезы //(| об отсутствии в наблюдении хаотического процесса принимается выполнение неравенства и'™ N (£•)[ < ] ,96, для значения статистики H'(JI lV (<г) .что соответствует уровню значимости а - 0.05, тогда с 95% вероятностью можно принять гипотезу Н0 (белый шум). Критическая область уровня а = 0.05 состоит из двух бесконечных полуинтервалов (—<ю,-].96] и [].96,°о). В отсутствии шумов наблюдения применение критерия значимости к статистике wm N(е) позволяет эффективно решать задачу по

классификации наблюдения (wm v (í1) < 11,9б|) [4].

Вместе с тем, во многих публикациях по BDS-статистике не указывается в явном виде программное обеспечение, с помощью которого она вычисляется. Данное обстоятельство ограничивает применение BDS-статистики для решения различных задач, например анализа систем связи на основе хаотических сигналов. Анализ литературы, проведенный авторами, показывает, что в настоящее время для вычисления BDS-статистики, как для экономических задач (подавляющее большинство), так и для технических, используются следующие программные реализации; «авторская» реализация от Brock, Dechert и Sheinkman [6, 7], реализация для Matlab [6, 8], эконометрии ее кий пакет ирО]рамм EViews [6, 9], статистический пакет программ SAS/ETS [10] и некоторые другие.

Авторами для анализа с помощью BDS-статистики системы связи на основе хаотических сигналов предлагается использовать эконометрический пакет программ EViews 10 Student Version Lite [9, 11], который отличается интуитивным графическим интерфейсом, стабильностью и быстротой работы. Также Eviews позволяет корректно вычислять BDS-статистику для маленьких и больших наборов значений, не отвечающих нормальному закону распределения [6].

Задачи и цель статьи

Задачами данной статьи является:

1. Экспериментальное моделирование системы связи на основе хаотических сигналов и анализ передаваемых сигналов на основе BDS-статистики;

2. Обоснование возможности использования пакета программ EViews для анализа систем связи на основе хаотических сигналов на основе BDS-статистики,

7ТТ

У

Т-Сотт Уо!.12. #11-2018

Dimension BDS Slalistlc Sid Error г-Statistic Prob.

2 0.110111 0.001106 93.59613 o.oooo

3 0.133230 0.001746 104 9417 0.6000

4 0 231378 0.00 2 Q66 112.0033 0.0000

5 0 264412 0 002138 123.6535 0 0000

8 0 238633 0.002046 140.9674 0.0000

Raw epsilon 14 04864

Pairs within epsilon 2947204 V-Statistic 0.702668

Triples wiltil n epsilon 4.46Ê+Û9 ^Statistic 0.518753

Dimension Cim.nl t(rri,n) C(1 n-(m-1)) c(1 ,n-(m-1)) cd.rv;m-i )Ук

: 1263664 0603446 1470836. 0 762378 0.483335

3 1107872 0.523567 1469116. 0 702243 0 346307

4 931 444.0 0 474377 1467390. 0.702104 0.243000

5 907943.0 0 434350 1465653 0.701362 0.170433

e 851302.0 0403122 1463900. 0.761806 0.119482

Рис 8. BDS-статнстика передаваемого в канале связи сигнала при с= 13

В таблице 1 приведены значения усредненных значений

-M 'IS 4É 4 О S 1й IS Я

КТО

Рис, 5. Фазовый портрет передаваемого в канале связи сигнала при с=13

Как видно из рис. 3-5, фазовый портрет фрагментов передаваемых в канале связи сигналов при различных значениях переменной с, имеет хоть и сложный, но несколько структурированный вид, что указывает на некоторую детерминированность исследуемого процесса.

Рассмотрим далее применение для данных временных реализаций непосредственно BDS-статистики (рис. 6-8).

ВОЗ-статиегшш №(£) для передаваемых в канале связи сигналов, созданных с помощью рассматриваемой схемы системы связи (рис. 1) и аттрактора Рёсслера, представленного (2), Анализ ВОЭ-статистики будет проведен ниже.

Dimension BDS Statistic Std. Error 2- Stati stic Prob.

2 0.085442 0 000389 96 12873 0.0000

3 0.138160 0 001405 98.30058 0 0000

4 0.171008 0.001664 102.7619 0.0000

5 0.193459 0.001724 112.2101 o.oooo

6 0.211336 0 001652 128 2995 0.0000

Raw epsilon 9153603

Pairs within apsllon 2953392 V-Stati stic 0 704144

Triples within epsilon 4.43E+0S V-Statistic 0.515925

Dimension C(m.n) c(m.n) C(t,n-(m-1)) t(1.n-(m-D) e(1 .n-(nv1 ))*k

2 1216120. 0 580742 1473762 0 703775 0 495299

3 1018112. 0 486661 1472212. 0 703722 0 348501

4 869469.0 U416011 1470406. 0.703546 0 245003

5 763300.0 0 365575 1468532 0 703338 0172116

в 694373.0 0 332391 1466770. 0.703132 0.120395

Рис 6. BDS-статистика передаваемого в канале связи сигнала при с=6

Таблица 1

Усредненные значения BDS-етатистики w

№ Значенне с Значение i^)

1 6 107.5

2 12 120.3

3 13 116.2

В работе [¡6] на основе возмущенного осциллятора Ван дер Поля [15], как генератора хаотических сигналов, и схемы системы связи, изображенной на рис. 1, в среде БскозЬаЬ авторами при изменении в уравнении (3), описывающем возмущенный осциллятор Ван дер Поля, переменной А, была обоснована практическая возможность получить различные временные реализации передаваемых в канале связи сигналов.

У

Т-Сотт Уо!.12. #11-2018

В таблице 2 приведены значения усредненных значений

ВОЗ-статистики и'(,<г) для передаваемых в канале связи сигналов, созданных с помощью рассматриваемой схемы системы связи (рис. 1) и возмущенного осциллятора Ван дер Поля, представленного (3). Анализ ВОЗ-статистики будет проведен ниже.

Таблица 2

Усредненные значения ВОЗ-статисгики и'

№ Значение А Значение

1 1.97 7.71

2 1.984 4.81

3 1.988 6.12

Для интерпретации полученных данных (фазовые портреты и усредненные значения BDS-статистики) обратимся к работе [3], в которой предложена классификация различных наблюдений в радиотехнических системах с применением

BDS-статистики w(f) {с ее помощью потенциально можно анализировать передаваемые в канале связи сигналы). В соответствии с этой классификацией значения w(<?) из таблицы 1 потенциально относятся к детерминированным хаотическим процессам. Следует заметить, что в данном случае критерием отнесения к детерминированным хаотическим

процессам является значение BDS-статистики и'(^)> 200. Однако, как видно из таблицы I, усредненные значения

н'() передаваемых в канале связи сигналов находятся около значений 107-120. Полученные фазовые портреты (рис, 3-5) не схожи с приведенными в данной классификации фазовыми портретами детерминированных хаотических

процессов, однако усредненные значения u'ffi1) говорят о близости полученных данных к детерминированным хаотическим процессам. Далее рассмотрим значения vvff) из табл. 2. В соответствии с описанной в [3] классификацией

значения w(s) потенциально относятся к нерсистентным

процессам (черный шум), В данном случае критерием отнесения к переистентным процессам является значение BDS-

статистики 3 < и-'(£) i 19 . Полученные фазовые портреты (рис. 10-12) схожи с приведенным в данной классификации фазовым портретом персистентных процессов (черный шум).

Таким образом, на основании экспериментального моделирования подтверждено, что ВDS-статистика является достаточно мощным инструментом для анализа защищенных систем связи на основе хаотических сигналов. Для уменьшения вероятности успешного применения ВОЗ-статистики, как метода анализа систем связи па основе хаотических сигналов, следует, например, усложнять структуру передаваемого сигнала [2, 17], делая его похожим на белый шум, либо использовать потенциально бесконечное количество набо-

ров различных классов хаотических последовательностей и их периодическую смену [12, 13], при предъявлении определенных требований к хаотическим сигналам.

Далее, для того чтобы обосновать использование потенциально бесконечного количества наборов различных классов хаотических сигналов и периодическую смену, как потенциальную меру противодействия ВDS-статистике, рассчитаем количество возможных реализаций хаотических процессов для уравнений (2) и (3). Так известно [18], что генерируемые хаотические сигналы очень чувствительны к изменениям начальных условий: малейшей их изменение влечет за собой генерирование нового набора хаотических сигналов. На основании этого в работе [18] предложена обобщенная оценка количества уникальных реализаций хаотических сигналю» па примере логистического уравнения с 2 параметрами, с помощью которого происходит кодирование передаваемой информации на основе хаотических сигналов для целей защиты от несанкционированного доступа:

N - (10"):

В формуле (4), п - это точность введения параметров (количестно знаков после запятой), а «2» - это количество изменяемых параметров в уравнении, описывающем хаотический процесс. В приведенном примере количество уникальных реализаций хаотических сигналов составляет 10 " [18J. Для того, чтобы применить формулу (4) для нашего случая, необходимо определить, сколько параметров присутствует в уравнениях (2) и (3), которые возможно изменять. Для простоты расчетов возьмем параметры a, b и с для уравнения (2), описывающего аттрактор Рёсслера. В случае уравнения (3), описывающего возмущенный осциллятор Ван дер Поля, возьмем параметры А и Т. В качестве п возьмем любое минимальное число, например 10. Количество уникальных реализаций хаотических сигналов, созданное с помощью аттрактора Рёсслера. составляет Ю30, а созданное с помощью возмущенного осциллятора Ван дер Поля - (0"°, что, в соответствии с [18], является приемлемыми значениями для вопросов обеспечения защиты передаваемых данных от несанкционированного доступа. Следует заметить, что это минимальные расчеты и их можно рассматривать в качестве примера, так как использование большого количества знаков после запятой, а также большего количества изменяемых параметров, значительно может увеличить количество уникальных реализаций хаотических сигналов, а, следовательно, и защищенность от несанкционированного доступа [18].

Выводы

Таким Образом, в данной етатье был рассмотрен один из перспективных нелинейных методов анализа хаотических сигналов - BDS-статистика, которая базируется на статистических свойствах корреляционной размерности исследуемого процесса в фазовом пространстве, которая в свою очередь определяется корреляционным интегралом [2-4|. Так же был описан ее математический аппарата 12-4J. Отмечено, что во многих публикациях не указывается в явном виде программное обеспечение, с помощью которого вычисляется BDS-статистика. Данное обстоятельство ограничивает при-

щ

менение ВDS-статистики для решения различных задач, например анализа систем связи на основе хаотических сигналов. Авторами указаны программные реализации, с помощью которых возможно вычислить ВDS-статистику.

В качестве программного обеспечения для вычисления BDS-статистики был выбран эконометрический пакет программ ЕViews 10 Student Version Lite. На примере моделирования схемы системы связи па основе хаотических сигналов 112,13], изображенной на рис. !, подтверждено, что BDS-статистика является достаточно мощным инструментом для анализа систем связи на основе хаотических сигналов. С помощью рассматриваемой схемы системы связи (рис. 1) и двух генераторов хаотических сигналов (аттрактор Рёссле-ра и возмущенный осциллятор Ван дер Поля) на основе моделирования [14,16], были получены различные временные реализации передаваемых в канале связи сигналов. Па основании данных временных реализаций получены фазовые портреты (рис. 3-5, рис. 10-12) и значения BDS-статистики (таблицы I и 2).

Анализ полученных данных показывает, что формируемые сигналы в целом относятся к хаотическим процессам. Для уменьшения вероятности успешного применения BDS-статистики, как метода анализа систем связи на основе хаотических сигналов, следует либо усложнять структуру передаваемого сигнала, делая его похожим на белый шум, либо использовать потенциально бесконечное количество наборов различных классов хаотических последовательностей и их периодическую смену, при предъявлении определенных требований к хаотическим сигналам.

Литература

1. Колееое ВВ., Пояубехин А.И., Чигин Е.И.. Юрии А,Д. Применение дискретных хаотических алгоритмов в широкополосных телекоммуникационных системах // Вестник СибГУТИ. 2016. № 3 С. 77-92.

2. Васюта КС., Кушнир А.И.. Озеров C.B. Анализ методов обнаружении хаотических сигналов // Прикладная радиоэлектроника. 2013,Т. !2,№4. С. 553-558,

3. Васюта К.С. Классификация процессов в инфокоммуника-ционных радиотехнических системах с применением BDS-статистики // Проблемы телекоммуникаций. 2012. № 4(90). С. 63-71.

4. Васюта К.С. Новым подход к оценке параметров хаотических сигналов, наблюдаемых на фоне шума, с использованием «нелинейной динамической статистики» У/ Проблемы телекоммуникаций. 2010. № 1(1). С. 109-114.

5. Барышева E.H.. Никишов В Н. Модели оценки финансовых показателей с учетом их стохастичмости и хаотичности // Вестник СамГУ. 2012. № 4 (95). С. 115-126.

6. Jorge Belaire-Franch. Dulce Contreras-Bayarri. The BDS Test: A Practitioner's Guide. Working paper. University of Valencia. 2002. 22 P. URL: https://www.researchgate.net/publication/28l4220l_ TheBDSTestAPractitionersGuide (дата обращения: 30.04.2018).

7. Смирнов А.А.. Дрейс Ю.А.. Даниленко Д.Д. Статистические свойства трафика на основе bds-тестов для реализации системы обнаружения и предотвращения вторжений в телекоммуникационные сети //Захнст ¡нформаци. 2014. Т. 16. №2. С. 158-167.

8. Kanzler !.. «BDS: MATLAB module to calculate Brock, Dcchert & Sclteinkman test for independence». IDEAS: Economics and Finance Research. 1998. University of Connecticut. URL: http://ideas.repec.0rg/c/boc/bocode/t871803.htm]#provider (дата обращения: 31.03.2018).

9. Mohammad Nabi Shahiki Tash, Mosayeb Pahlvani. A Study on Non-Linear and Chaotic Behavior of Iran's Economic Growth // International Journal of Academic Research in Business and Social Sciences. 2012. V.2. No. 10, pp. 373-382.

10. SAS/ETS 14.1 User's Guide The AUTOREG Procedure. URL: https://suppon.sas.com/documentation/onlinedoc/ets/14l/autorcg.pdf (дата обращения: 31.03.2018).

11. EViews 10 Student Version for Windows & Mac. URL: http://www.eviews.com/EViewslO/EViewslOSV/evstudlO.html (дата обращения: 31,03.2018).

12. jПаркетов СВ., Жук А.П.. Сазонов ВВ., Авдееико СИ.. Жук Е.П., Лохов В.И.. Голубь Ю.С. Когерентная система передачи информации хаотическими сигналами. Патент РФ № 2326500. 2008. 6 с.

13. Осипов ДЖ, Жук А.П.. Гавришев А.А. Устройство нмитоза-щиты контролируемых объектов с повышенной структурной скрытностью сигналов-переносчиков. Патент РФ № 2560824. 2015. 15 с.

14. Гавришев А.А.. Жук А.И. Моделирование устройства имито-защиты контролируемых объектов с повышенной структурной скрытностью сигналов-переносчиков // Прикладная информатика. 2017. Т. 12. № I (67). С. 68-78.

15. layec A. «Modnum», Scilab toolbox for the communication systems. User's guide. 1RCOM Group. 2006. 100 p.

16. Гавришев А.А.. Жук А.П. Моделирование устройства имито-защиты контролируемых объектов с новым набором хаотических сигналов // Прикладная информатика. 2017. Т. 12. № 4 (70). С. 122-132.

17. Трунов А.Ю.. Кущ С.М. Управления параметрами ВИХЩНИХ сигнал ¡в генераторт хаотичних коливань // Матер) ал и XIII ВсеукраТнськоТ н ау ко во-п ра кг и ч ноТ конферен ци студенев, aenipaHTiB та молодих вченнх «Теоретичт i прикладш проблеми фЬикн, математики та информатики». КиТв: ПТУУ «КП1», 2015. С. 184-186.

18. Политаискии Р.Л., Шпатарь П.М., Гресь А.В . Верига АД. Система передачи данных с шифрованием хаотическими последовательностями И Технология и конструирование в электронной аппаратуре, 2014. № 2-3. С. 28-32.

APPLICATION OF THE EVIEWS PROGRAM FOR THE ANALYSIS OF SECURE COMMUNICATION SYSTEMS

BASED ON CHAОTIC SIGNALS BASED ON BDS STATISTICS

Aleksei A. Gavrishev, Stavropol, Russia, alexxx.2008@inbox.ru Aleksandr P. Zhuk, Stavropol, Russia, alekszhuk@mail.ru

Abstract

Currently, one of the promising areas in the field of secure communication systems is the use of chaotic signals. Great interest are the analysis of communication systems based on chaotic signals. Among the basic methods of analysis, linear and nonlinear methods are distinguished. Among promising methods for analyzing transmitted chaotic signals, one of the nonlinear methods, BDS statistics, is considered, which is based on the statistical properties of the correlation dimension of the process under study in phase space, which in turn is determined by the correlation integral. The mathematical apparatus of BDS-statistics is described. It is noted that many publications do not explicitly indicate the software used to calculate BDS statistics. This circumstance restricts the use of BDS statistics for solving various problems, for example, analysis of communication systems based on chaotic signals. The authors indicate software implementations, with the help of which it is possible to calculate BDS statistics. As the software for calculating BDS-statistics, the econometric package of programs EViews 10 Student Version Lite was chosen. Using the example of modeling one of the communication systems based on chaotic signals in the ScicosLab environment and analyzing the received data in the EViews 10 Student Version Lite software package, it is confirmed that the BDS-statistics is a powerful tool for the analysis of chaotic signals. To do this, using the scheme of the communication system under consideration and two generators of chaotic signals (the Ressler attractor and the perturbed Van der Pol oscillator), various temporal realizations of the signals transmitted in the communication channel were obtained. Based on these temporal realizations, phase portraits and BDS statistics are obtained. An analysis of the obtained data shows that the signals formed generally refer to chaotic processes. To reduce the likelihood of successful use of BDS statistics as a method of analyzing communication systems based on chaotic signals, one should either complicate the structure of the transmitted signal, making it similar to white noise, or use a potentially infinite number of sets of different classes of chaotic sequences and their periodic change.

Keywords: wireless link, BDS-statistics, secure communication systems, chaotic signals. References

1. Kolesov V. V., Polubekhin A. I., Chigin E. P., Yurin A. D. Application of discrete chaotic algorithms in broadband telecommunication systems (2016). Vestnik SibGUTI. No. 3. Pp. 77-92 (In Russian).

2. Vasyuta C. S., Kushnir A. I., Ozerov S. V. Analyzing methods for detection of chaotic signals (2013). Prikladnaja radiojelektronika. V. 12. No. 4. Pp. 553-558 (In Russian).

3. Vasyuta C. S. Classification of process in infocomunication radiotehnic systems using BDS-statistics (2012). Problemy telekomunikatsiy. No. 4(90). Pp. 63-71 (In Russian).

4. Vasyuta C. S. A new approach to estimation of the parameters of chaotic signals observed on the background noise, using the "nonlinear dynamic statistics" (2010). Problemy telekomunikatsiy. No. l(l).Pp. 109-114 (In Russian).

5. Barysheva E. N., Nikishov V. N. Models of an estimation of financial parameters in view of their stochasticity and chaotic condition (2012). Vestnik of Samara State University. No. 4 (95). Pp. 115-126 (In Russian).

6. Jorge Belaire-Franch, Dulce Contreras-Bayarri The BDS Test: A Practitioner's Guide. Working paper. University of Valencia. 2002. 22 P. URL: https://www.researchgate.net/publication/28l4220l_The_BDS_Test_A_Practitioners_Guide (date of access: 30.04.2018).

7. Smirnov A., Dreis Y., Danilenko D. Statistical properties of traffic based on BDS-tests for realizing system of intrusion detection and prevention in a telecommunications network (2014). Ukrainian Information Security Research Journal. V. 16. No. 2. Pp. 158-167 (In Russian).

8. Kanzler L. "BDS: MATLAB module to calculate Brock, Dechert & Scheinkman test for independence". IDEAS: Economics and Finance Research. 1998. University of Connecticut. URL: http://ideas.repec.org/c/boc/bocode/t87l803.html#provider (date of access: 31.03.2018).

9. Mohammad Nabi Shahiki Tash, Mosayeb Pahlvani A Study on Non-Linear and Chaotic Behavior of Iran's Economic Growth (20l2). International Journal of Academic Research in Business and Social Sciences. V.2. No. l0. Pp. 373-382.

10. SAS/ETS l4.l User's Guide The AUTOREG Procedure. URL: https://support.sas.com/documentation/onlinedoc/ets/l4l/autoreg.pdf (date of access: 3l.03.20l8).

11. EViews l0 Student Version for Windows & Mac. URL: http://www.eviews.com/EViewsl0/EViewsl0SV/evstudl0.html (date of access: 3 l.03.20l8).

12. Barketov S.V., Zhuk A.P., Sazonov V.V., Avdeenko S.I., Zhuk E.P., Lokhov V.I., Golub' J.S. Kogerentnaja sistema peredachi informacii haoticheskimi signalami [Coherent data transmission system using random signals]. (2008). Patent RF. no. 2326500. 6 p. (In Russian).

13. Osipov D.L., Zhuk A.P., Gavrishev A.A. Ustrojstvo imitozashhity kontroliruemyh ob'ektov s povyshennoj strukturnoj skrytnost'ju signalov-perenoschikov [Apparatus for protection against imitation of controlled objects with high structural security of carrier signals]. (20l5). Patent RF. no. 2560824. l5 p. (In Russian).

14. Gavrishev A.A, Zhuk A.P. Simulation of apparatus for protection against imitation of controlled objects with high structural security of carrier signals. (20l7). Prikladnaya informatika - Journal of Applied Informatics. V. l2. No. l (67). Pp. 68-78 (In Russian).

15. Layec A. "Modnum". Scilab toolbox for the communication systems. User's guide. IRCOM Group. 2006. l00 p.

16. Gavrishev A.A, Zhuk A.P. Simulation of apparatus for protection against imitation of controlled objects with new set of chaotic signals. (20l7). Prikladnaya informatika - Journal of Applied Informatics. V. l2. No. 4 (70). Pp. l22-l32 (In Russian).

17. Trunov A.Ju., Kushh S.M. Upravlinnja parametrami vihidnih signaliv generatoriv haotichnih kolivan' [Control of parameters of output signals of the generators of chaotic oscillations]. Materiali XIII Vseukrains'koi naukovo-praktichnoi konferenci'i' studentiv, aspirantiv ta molodih vchenih "Teoretichni i prikladni problemi fiziki, matematiki ta informatiki" [Proceedings of the XIII all-Ukrainian scientific-practical conference of students, postgraduates and young scientists "Theoretical and applied problems of physics, mathematics and Informatics".]. (20l5). Kyiv: NTUU "KPI" Publ. Pp. l84-l86 (In Ukrainian).

18. Politans'kyy R.L., Shpatar P.M., Hres A.V., Verigha A.D. Data transmission system with encryption by chaotic sequences. (20l4). Tekhnologiya i Konstruirovanie v Elektronnoi Apparature. No. 2-3. Pp. 28-32 (In Russian).

Information about authors:

Aleksei A. Gavrishev, Ph. D. Student, North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia Aleksandr P. Zhuk, Ph. D., professor, North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia