Условия предельной ограниченности решений нелинейных механических систем с доминированием гироскопических сил

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 4

УДК 531.36 С. С. Фадеев

УСЛОВИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДОМИНИРОВАНИЕМ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ

1. Введение. Изучение движений механических систем часто сводится к исследованию систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что нередко подобные системы имеют высокую размерность или содержат большое количество параметров. Оба этих фактора затрудняют, а в некоторых случаях и вовсе делают невозможным качественный анализ системы. Наиболее естественный выход из такой ситуации дает метод, основанный на идее декомпозиции: данная система разбивается на несколько более простых, и каждая из них рассматривается по отдельности, затем полученные результаты переносятся на исходную сложную систему (см. [1]).

В работах [2, 3] подобный подход был использован для определения достаточных условий асимптотической устойчивости линейных систем вида

Ax + hPx + Cx = 0

и

AX +

соответственно. Здесь x G K", h - большой положительный параметр, матрицы A, P, C, B, G - постоянные вещественные и имеют размерность n х n. В системе (2) симметричная, положительно-определенная матрица B характеризует влияние диссипативных сил (имеет место полная диссипация), а кососимметрическая матрица G является матрицей гироскопических сил, которые в данном случае будут доминирующими.

В результате декомпозиции динамика сложной системы (1) сводится к взаимодействию двух независимых систем меньшего порядка: системы «нутационных» колебаний

Ax + hPx = 0 и системы «прецессионных» колебаний

hPx + Cx = 0,

которые полагаются асимптотически устойчивыми. В [2] доказано, что при больших значениях h исходная система также будет асимптотически устойчива. Аналогичное утверждение для систем вида (2) дано Д. Р. Меркиным [3].

Фадеев Сергей Сергеевич — аспирант кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. А. Ю. Александров. Количество опубликованных работ: 1. Научное направление: теория устойчивости. E-mail: sfdv@yandex.ru.

© С. С. Фадеев, 2010

Заметим, что указанные системы могут рассматриваться как линейные приближения нелинейных моделей, а также описывать динамику механических систем с действующими линейными силами. Применение декомпозиции в случае существенно нелинейных позиционных сил можно найти в работе [4].

Объектом исследования данной статьи является класс существенно нелинейных систем с доминированием гироскопических сил. Основная цель работы - получить условия, при которых решения подобных систем являются предельно ограниченными. В [5] аналогичное исследование было проведено для систем с доминированием скоростных сил.

Напомним, что предельная (финальная) ограниченность подразумевает, что для каждого решения системы x(t) существует некоторый момент времени, начиная с которого справедливо ||x(t)|| ^ D, причем число D > 0 строго фиксировано и не зависит от начальных данных. Проблема определения числа D, равно как и задача оценки времени попадания решения в указанную область, также будет освещена в соответствующих разделах статьи.

2. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную систему вида

x +

где x G K"; h - положительный параметр; B и G - постоянные невырожденные матрицы с вещественными элементами, причем B - симметрична и положительно определена; G = -G*. В силу того, что матрица G полагается неособой, кососимметричность влечет дополнительное ограничение: будем считать, что число уравнений системы n - четное. Пусть вектор-функция Q(x) непрерывно дифференцируема на K". Кроме того, будем предполагать, что для любых x выполнены следующие условия:

Здесь и далее || • || - евклидова норма вектора. Норму матрицы определим как ЦСЦ = у/\{С*С) , где Х() - максимальное собственное число матрицы.

Обозначим A = B + hG и проведем декомпозицию системы (3), используя замену переменных по формулам

x + Ax = Ay, x = z.

С учетом равенства

hA-1 = G-1 - G-1 BA-1

получим

( Z = -Az + Si,

\ 1 (6) { hy = -G-1Q(y)+S2,

где S1 = -Q(y - A-1z); S2 = G-1BA-1Q(y) + hA-1 (Q(y) - Q(y - A-1z)). Можно по-

казать, что предельная ограниченность решений системы (6) влечет предельную ограниченность решений (3). Отбрасывая теперь вектор-функции S1 и S2, приходим к изолированным подсистемам

z = -Az,

hy = -G-1Q

Следует отметить, что система (6) может быть интерпретирована как математическая модель системы, состоящей из двух объектов, внутреннее поведение которых

описывается системами уравнений (7) и (8), а вектор-функции Б1, 52 характеризуют взаимодействие между ними.

Следуя методу декомпозиции, исходная система (3) порядка 2п сводится к двум независимым подсистемам порядка п. Решения линейной системы (7) являются предельно ограниченными при любых значениях к > 0. Теперь, полагая, что решения системы (8) также предельно ограничены, необходимо выяснить, при каких условиях решения «возмущенной» системы (6), а следовательно, и системы (3) будут предельно ограниченными.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х = Г

где х € К", а вектор-функция Г(Ь,х) определена и непрерывна на декартовом произведении [0;+сю) х К". Приведем формулировку теоремы Йосидзавы (см. [6]) с учетом результатов, полученных в [7].

Теорема Йосидзавы.

Если существует функция Ляпунова V(Ь, х), определенная и непрерывно дифференцируемая в области {Ь ^ 0, ||х|| ^ Я}, для которой выполнены условия

1) V(Ь,х) ^ +то при ||х|| ^ +то равномерно по Ь, и существует такая непрерывная положительная функция V1(x), что V(Ь,х) < У1(х);

2) V1(9) ^ —Ш(х), где функция Ш(х) непрерывна и положительна, то решения системы (9) предельно ограничены.

Будем далее считать, что произвольная функция /(х) принадлежит множеству Ск(и), к € М, если она непрерывна в области и вместе со всеми своими частными производными до порядка к включительно.

3. Теорема о предельной ограниченности. Сформулируем и докажем теорему, дающую достаточные условия предельной ограниченности решений систем вида (3). Для доказательства будем использовать подход, предложенный в работе [8], который предписывает осуществлять выбор функции Ляпунова V для исходной системы на основе функций Ляпунова для изолированных систем. Искомые условия следуют из требований, накладываемых теоремой Йосидзавы на функцию V.

Теорема 1. Пусть существуют неотрицательная скалярная функция У(у) € С1 (К") и вещественное число Я > 0 такие, что на множестве ||у|| > Я выполняются

соотношения

\т

2)

< «з 1ЫГ 1, «з > 0;

< \^(у) < «2 ||у|| , «1,«2 > 0,т> 1;

дУ ду

3) {%)* а4|ЫГ-\а4>0.

Тогда можно указать к0 > 0 такое, что при любых к > к0 решения системы (3) предельно ограничены.

Доказательство. Функции V (г) = ||г||2г, I > 1, и У(у) удовлетворяют теореме Йосидзавы для систем (7) и (8) соответственно. Пусть тогда

V =1 + у + кХ21 V, Х> 0.

Легко убедиться, что V ^ +то при ||г|| + ||у|| ^ +то. Обозначим через т-1, т-2 минимум и максимум У(у) на компакте ||у|| ^ Я. Введем в рассмотрение функции /1, /2 такие, что /г(у) = «г||у||т при ||у|| > Я и /г(у) = тг при ||у|| < Я, где г = 1, 2.

Далее, обозначим через Г\, Г2 функции, ограничивающие V снизу и сверху соответственно:

Г^г,у) = И21 + кХ21 Ш + 1, г = 1, 2.

Можно построить непрерывную функцию /(у) такую, что /2 (у) ^ /(у) при любых

у € М". Но тогда V < Г, где Г(г,у) = ||г\\21 + кХ21 /(у) + 1 непрерывна и положительна. Следовательно, V удовлетворяет первому условию теоремы Йосидзавы. Вычислим теперь ее производную, в силу системы (6). Получим

У|(6) = -21\\г\\21-2г*Вг - 21\\г\\21-'2г*Я{у - А~1г) - X21 {%)*С-^{у) +

+ Х21ф*С-1ВА-^(у) + к\21{%)*А^ {СЦу) - СЦу - А~1г)} .

Проведем оценку слагаемых правой части в области ||у|| > К. Пусть выполнено условие к > к > ||С-1В||. Из соотношения (5) следует, что ||А_1\| ^ с/к, где

с = ||1 \ (1 — \\С-1В\\/к') . Используя формулу конечных приращений Лагранжа

и свойство однородных функций [9, с. 100], имеем

У|(6) < -21К\\г\\21 - X21 (а4 - \\у\\т+^1 + 21а ЦзЦ2'-1 +

2Щ\гГ~ЪГ + - Х21Ц,\\уГ-1 + Х1^\\уГ-%\\

Здесь Ма = а3 ||С-1В|| са, Мь = а3 ||С-1В|| сЬ, N = а3с2М, а К,Ь - некоторые положительные постоянные.

Произведем замену переменных ||у1 \21 = Х21 ||у||т+м 1. В результате отрицательные слагаемые станут одного порядка 21:

си г о ? 1 л л я 21и 21

+ -щг\\г\\ +-^Л-+А‘-1 ||У1||^+7^Т + ХЛ-+А‘-1 11^111^+^112:11.

Условия теоремы Йосидзавы должны выполняться во внешности некоторого шара -в таком случае хотя бы один из векторов г или у1 должен быть достаточно большим по норме. Потребуем, чтобы отрицательные слагаемые в правой части соотношения (11) имели порядок не меньший, чем все остальные. Приходим к следующей системе неравенств:

21 > 21 — 1 +

21/л,

І 2/>^^ + 1.

V. т+^—1

Отсюда 21ц = т + ц — 1. Перепишем оценку (11) с учетом однородности соответствующих функций:

У|(6) < -21К\\г\\21 - (а4 - Мь) ||Уі||2г + Ш (М21 + ЫП +

+ XА (Ы21 + \\У1\П + 21а\\г\\2^ + Щг\\21^ + ^Х\\У1\\21-\

Здесь Ь = ріЬ, N = р2N рі, р2 - некоторые положительные константы. Отсюда находим условия на параметры к и А:

Г IV! = 21К - ^ - £X > 0,

=а4-Ц^-{(Мь + N А) > 0.

Потребуем теперь, чтобы в обоих неравенствах положительное слагаемое было вдвое больше, чем каждое из оставшихся. Тогда полученные условия определяют множество допустимых значений параметров Л и h:

Л>2Ьтах|1Д|, *>тмШ,3^±М\.

[ K a4 ) [ IK a4 J

Зафиксируем некоторое допустимое значение Л = Л. Окончательно имеем

, (;/ NX 2(Mb + NX)}

h0 = max h , ——, -------------} .

[ IK a4 J

Далее

Пб) < -Nil2'-1 (^i|N| - 2la - ™\\zr) - bill2'-1 (W2\\yi\\ - *fr\) .

Произведем обратное преобразование переменных по формуле ||yi|| = Л||у||м и потребуем выполнения условий

Wi\\z\\-2la-j^\\zr>0,

w2\\yr-*fr>o.

Тогда при h > h0 производная функции Ляпунова V |(6) будет отрицательна в области ^1 = {(y,z) : ||у|| > Ry, ||z|| > Rz}, где

|4ia J ( Ma ’ '

ti7 = max < ~тгг~ 1 T77-;— > , it?, = max < it,

; у у I ’ \кш2

Для того чтобы дополнить ^1 до множества, содержащего внешность шара, рассмотрим еще два случая. В области {(г, у) : ||г|| > Ег, ||у|| ^ Ку} из непрерывной дифференцируемости функции У(у) на компакте ||у|| ^ Ку следует, что

dV

ду

где ! - некоторое вещественное неотрицательное число. Оценку производной функции Ляпунова V, в силу системы (6), проведем аналогично тому, как это было сделано ранее с учетом (12). Получим

У|(6) < -2/^|И|2г + 21 (а + Щ) 1И12'-1 + Щ\\г\\^+^+

+ Х21Ц^\\г\\+Х21йс(а + ЪЩ) .

Для того, чтобы V|(б) была отрицательна в указанной области, достаточно, чтобы выполнялось неравенство ||г|| > тах {Ег, Е'г} = рг, где

1 _____________ 1 1

' " ' 1 /'Ог!г(п -и ЬРАМ\ 21

А{а + ЬЩ) ( 4L У" ^ (2dc2MX\21-1 - (2dc{a + ЬЩ) \

—тг^Лш -л “шН -Ч—ш

У|(6) < -А2г (ал - *£) 1МГ+**-1 + Х21М^^\\у\\т-1+

Здесь для отрицательности V|(6) достаточно, чтобы ||у|| > ша^Ду,Д'у} = ру, где

у

. - 1. - 1 о/ \(0Ma + NRzy ( ЫЬН т>21-^т-г

Д„, = тах < ( 3--------- ------—— , =тгт---л,

— Мь ) \Х21

(6т27У1{аМ + ЪЩ) \ т+^-г \

V ^-1Л2г(а4/г-Мь) ) ] '

Пусть До > тах | ^/р2 + Д2, ^р2у + Д21. Тогда при Ъ, > ко в области

функция Ляпунова V удовлетворяет условиям теоремы Йосидзавы. Следовательно, решения системы (3) предельно ограничены. Теорема доказана.

4. Оценка области предельной ограниченности. Согласно определению предельной ограниченности, для каждого решения системы существует момент времени, после которого оно навсегда погружается в некоторую фиксированную ограниченную область. Перейдем к оценке этой области.

Пусть 1+ = {Ь I Ь ^ 0} и В(г) = {и € М2" | ||м|| < г}. Прежде всего докажем, что решения с начальными данными (Ьо; (го, уо)*) € 1+ хВ(До) не выходят за пределы некоторой сферы радиуса Б ^ До при Ь ^ Ьо. Пусть в момент времени ^ Ьо данное решение попадает на границу В(До), причем г\ = г (Ь1), у1 = у (Ь1) и Ц(х1,у1)* || = До. (Если такого не существует, то решение целиком содержится в В(До) и можно утверждать, что Б = До.) Выберем произвольный момент времени Ь > с тем лишь условием, чтобы (г(Ь),у(Ь))* € В^(До) (символом С будем обозначать дополнение множества). В силу того, что вне указанного шара выполнены условия теоремы Йосидзавы, справедливо соотношение

г4 < VI < Vк < ^ •

Заметим, что

тт — 1 (1 \

21 — то =-------Н 1 — т = (т — 1)1-------1 >0 ==>• 21 > то.

И \И )

Преобразуем правую часть (13) следующим образом: при ||у|| > Д

Г2|(1 = 1Ы12' + 1г\21т2 + 1 < >с2 (\\ziW21 + |Ы|20 + >С2^ • + 1-

Далее, применяя свойство однородных функций

Ы12г + Ы12ЧЛ

и"

21 д21

= > о,

находим, что

Г2| <^Д2г + 1,

'^1 и"

где г = шах{г', г"}, а число г" таково, что и"ш2/а2 = (г" — 1)Д21.

Пусть кі = шіп {1, НХ21 аі}; перепишем (13) в виде

+ = Д.

аі Кі и”

Можно показать, что множество точек, определяемое сооношением (15), может быть заключено в сферу 8 радиуса

О = ^тах | Д2 + [Д — гпі/аі]1 , Д т + [Д — Дт] 1 |

с центром в начале координат. Ввиду произвольности выбора момента времени і, соотношению (15) будет удовлетворять каждая точка данного решения. Тем самым, очевидно, в 8 будет содержаться и все решение целиком.

Далее рассмотрим произвольное решение (г(Ь),у(Ь))* с начальными данными

Пусть в некоторый момент времени і і > іо выполнено || (,гі,уі)* || < До, где г і = г (іі), Уі = у (і і). Тогда при і ^ іі, в силу единственности, это решение будет совпадать с решением, начальные данные которого (іі; (гі, у і)*) Є 1+ х В(До), что приводит к уже рассмотренному выше случаю и означает, что данное решение будет находиться в сфере 8, по крайней мере, начиная с момента времени іі.

Теперь будем предполагать, что такое решение все время своего существования

не выходит из множества (16), другими словами, при і ^ іо

Ранее было показано, что в В^(До) производная функции Ляпунова, в силу системы (6), удовлетворяет оценке

у\ < _щ

у 1(6) ^ щ,

где функция Ж = Ж (| г(і) |, 11 у (і) ^ непрерывна и положительна. Пусть іМ Ж = в > 0, инфимум здесь берется по множеству (17). Тогда

* 1(6) < —в.

Интегрируя данное дифференциальное неравенство по времени на отрезке [іо; і], получим \ \

VІ* < V 1*0 — в(* — іо).

Отсюда вытекает, что при достаточно большом £ значение функции Ляпунова на выбранном решении V|( станет отрицательным, однако, по построению, функция Ляпунова положительна всюду в В^ (Ко). Это противоречие доказывает, что решение не может полностью находиться в кольце (17) и в некоторый момент времени > £о переходит в область В(До). Следовательно, по крайней мере при £ ^ Ь\, оно будет содержаться в сфере 8.

5. Оценка времени попадания решений в область предельной ограниченности. Помимо задачи определения области предельной ограниченности, рассмотренной в п. 4, большое значение имеет вопрос оценки времени, за которое решение попадет в эту область. Если полученное время окажется достаточно велико, то свойство предельной ограниченности решения в большинстве случаев не представляет интереса на практике.

Рассмотрим функцию Ляпунова (10) и ее производную по времени, в силу системы (6). Из доказательства теоремы видно, что в области П2 = {||у|| ^ Ку; ||г|| > Д} справедливо

2К

21Ь \21 с1с2М

11 т: 11 Ь. 11 т: 111 — 0 Ъ. 11 т: 11 2 ^ — 1

л21 <1с

— Ап ------II ..1197-

где а> 0. Пусть т2 - максимум У(у) на компакте ||у|| ^ Ку. Тогда

Существует пг > 0 такое, что П1||г||2г ^ НХ21 т'2 + 1 для любых ||г|| > Д. Тогда

1 + Пг

Отсюда, полагая £ = 1_^ , получим

Аналогично проведем вывод соответствующего дифференциального неравенства для области Пз = {|у| > К'у; \\г|| ^ . Легко убедиться, что в Пз имеет место оценка

Пз) < -|Ы|т+м_1 А2г (ал -*£)- Х201Мг^ ~ 2ПК:

V-1

а-г

тэ21 — 1

_ 07_________£Ь__________

II II т.+

а +

)

\у\\=К

= -в\

цт+^-1

где в > 0. Нетрудно проверить, что

V < ||г||2' + НХ21 а2ЦуЦт + 1 < (К21 + 1) + ЬХ21а2ЫГ < (п2 + НХ210,2) Здесь п2 > 0 такое, что п2 ЦуЦГ ^ К2 + 1 для любых ||у|| > К'у. Следовательно,

Р тл1 — ^^ /эм . .мт+м—1

-V1

<

1-и

Обозначая дробь в левой части неравенства за С > 0, получим

V < -(V1-™.

Наконец, рассмотрим область П\ = {||у|| > Еу; ||г|| > Ег}. Прежде всего заметим, что из соотношения 21р = т + р — 1 следует, что т/р > 21 > 1. Тогда справедливы оценки

где

Е11 + 1 Д? ’

(5 21ц =

На2

Л — — 21 •

Л ^

Отсюда, полагая ф = шах{7, ё}, имеем

У^^(1И12г + 1Ы12г)-

Далее

121

21а 21Ь

^^1 — м—17 —

\г\\ №\\х\\1-^

— ьл21

^2 —

Тогда

у^-^

Заметим, что во внешности цилиндра и = 1+ хВс(Ео) с 1+ х иП* всегда справедливо V ^ 1. Следовательно, принимая е = шш{С, <р/ф}, можно считать, что всюду в и

выполнено неравенство

V-

--1

ЗУ ^ —е <М.

Пусть Е\ - произвольное вещественное неотрицательное число. Выберем начальные данные (Ьо; (го, у0)*) € 1+ х В(Е\) и рассмотрим решение системы (6) (г(Ь), у(Ь))* такое, что г (Ьо) = го, у (Ьо) = уо. Ранее было доказано, что решения такой системы являются предельно ограниченными. Это означает, что для данного Е\ существует число Т ^ 0 такое, что при Ь ^ Ьо + Т выбранное решение будет содержаться в фиксированной сфере 8 радиуса В > Ео.

Можно показать (см. п. 4), что любое решение с начальными данными из В(Ео) заведомо будет заключено в сфере 8, т. е. в случае Е\ ^ Ео справедливо Т = 0. Положим Е\ > Ео и будем выбирать начальные данные из области В(Е\) \ В(Ео).

Пусть в момент времени > Ьо выполнено г\ = г(Ь\), у\ = у(Ь1) и || (гх, ух)* | < Ео, причем (г(Ь),у(Ь))* € Вс(Ео) при Ь € [Ьо;Ь\_). Очевидно, Т ^ — Ьо. Проинтегрируем

неравенство (18) по Ь на отрезке [Ьо;Ь\]:

1 — р

У~

г=г0

Теперь, полагая а = е, приходим к соотношению

-г;

Я

г

т

!-ц

Рассмотрим Г\|. = ||г\|21 + НЛ21 /\(у\) + 1. Нетрудно убедиться, что при ||у|| > Е

справедлива оценка

+

\\y-i

p2l

R0

K1 r-1

где т'1 = шш{1, (Е™ +1)/Ео1}, а ш/ - положительная константа. В случае

Г1

ai

mi

R2l

Kiri'

Здесь т" = шш{1, (т1/а1 + 1)/Е21}. Пусть т\ = ш1п{т/1 ,т/1/}. Тогда

21

Г1

Ki ri

1*1

Далее, преобразуя выражение (14), можно получить оценку для Г21

21

2 ^ ^ ш"

Здесь т2 = шах{т2, т^'}, т'2 = шах{1, (Ет + 1)/Е21}, а постоянная т// находится из уравнения ш"(т2/а2 + 1) = (т2 — 1)Е21. Наконец, подставим (20), (21) в неравенство (19) и разделим обе его части на а:

/к2г2\ -

V и" )

21

Rn

21

Правая часть соотношения (22) является оценкой времени попадания решений с начальными данными из В(Е1) в сферу 8.

6. Условия предельной ограниченности решений возмущенной системы.

Наряду с системой (3) рассмотрим возмущенную систему

х +

Здесь вектор-функция Е(Ь, х, X) непрерывна на 1+ х М" х М". Кроме того, будем предполагать, что справедлива оценка

где а > 0, а в, р, ц - некоторые неотрицательные числа.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1, р < р и ц < 1. Тогда можно указать Но > 0 такое, что при любых Н > Но решения системы (23) предельно ограничены.

Доказательство. Проведем декомпозицию системы (23), используя замену переменных (4). Для полученной системы будем использовать функцию Ляпунова (10). Тогда

11(23) = 11(3) + ф,

где

2li

+ А аз \

\\ш— i\

a \\z\\q + k\\y\\p + к-

hP

+ в

к - положительная постоянная. Как и при доказательстве теоремы 1, можно показать, что при заданных значениях р и ц выполнены оба условия теоремы Йосидзавы.

!-ц

!-ц

Замечание. Сушествует ао > 0 такое, что при р = ^ =1 и а < ао утверждение

теоремы остается справедливым.

Литература

1. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 384 с.

2. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.

3. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

4. Александров А. Ю., Косов А. А. Об устойчивости и стабилизации положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. № 4. С. 13-23.

5. Фадеев С. С. Качественный анализ движений нелинейных механических систем на основе декомпозиции // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2008. С. 170-175.

6. Йосидзава Т. Функция Ляпунова и ограниченность решений // Математика. 1955. Т. 9, № 5. С. 95-127.

7. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 253 с.

8. Косов А. А. Исследование устойчивости сингулярных систем методом вектор-функций Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 4. С. 123-129.

9. Зубов В. И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). М.: Высшая школа, 1984. 232 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 10 июня 2010 г.