Электромагнитные процессы в генераторе импульсов на основе индукона

ВЕСТНИК

ПРИАЗОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2000 г. Вып.№9

УДК 537. 851.001.5

Гейзер А. А.1, Гейзер О. А.2

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГЕНЕРАТОРЕ ИМПУЛЬСОВ НА ОСНОВЕ ИНДУКОНА

На базе основных уравнений теории электромагнитного поля получено дифференциальное уравнение, описывающее электромагнитные процессы в низкочастотной колебательной системе с распределенными параметрами - индуконе. При этом использовались также выражения многофакторной электродинамики. В работе приводится решение полученного уравнения для упрощенной схемы электропитания магнитно- импульсного устройства, которая в своей основе содержит инду-кон. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов дает хорошее совпадение, что свидетельствует о правильности полученных уравнений.

В настоящее время в схемах электропитания различных устройств находят применение индуконы, т.е. такие устройства, которые построены на основе энергетических колебательных систем с распределенными параметрами. Будем называть в качестве таковых системы, в которых циркулирует энергия порядка от нескольких десятков Джоулей и более, и обкладки конденсатора колебательного контура служат одновременно в качестве витков катушки индуктивности. Выше названные колебательные системы находят применение в схемах генераторов, служащих для электропитания различных установок [1 - 5], которые будем называть магнитно-импульсными устройствами (МИУ), в связи с чем возникает задача расчета таких систем.

Для составления уравнений, описывающих электромагнитные процессы в схемах электропитания МИУ, рассмотрим упрощенную принципиальную схему на основе индукона, представленную нарис. 1, где будем считать, что верхняя обкладка конденсатора заряжена положительным электрическим зарядом, а нижняя - отрицательным. При замыкании ключа К по пластинам начинают течь токи Д и 12, направление которых показано на рис.1. Выберем для удобства проводимого анализа декартову систему координат и направим оси х, у, г так, как показано на рис. 1,2.

Вывод уравнений для зарядов и токов, к Считая пластины бесконечными плоскостями, и пре-

небрегая током смещения, находим:

Мй I

О;

" =3

| Й dl = I, откуда Н 2а = I, или В = ¡и0 Н =

2 а

Здесь Н - напряженность магнитного поля, создавае-Рис. 1 - Схема электропитания мая током I протекалощим по элементу контура длиной

МИУ на основе индукона dl \ъ.- ширина пластин индукона; В - индукция созда-

ваемого магнитного поля; /л0 - магнитная постоянная.

Используя эти выражения, определяем величину индукции магнитного поля Ву между

пластинами, учитывая при этом направление векторов индукции магнитного поля В в пространстве между ними, создаваемых токами 15 и Ь,

В, = ^

1111 "ГУ, канд. техн. наук, доцент

2111 ТУ, специалист, аспирант

Выбирая гауссову поверхность в виде бесконечно тонкого параллелепипеда длиной и считая поток напряженности электрического поля Ег через боковую поверхность равным О, находим:

{ Д, сЬ = е0 Е„ 2а = откуда Е„ = —= . 3 е0 2а аг 2 е0

Где Оп - нормальная составляющая индукции электрического поля; си - бесконечно малый элемент заряженной поверхности пластины; е0 - электрическая постоянная; Еи- нормальная составляющая напряженности электрического поля; dq - элемент заряда пластины; ст - поверхностная плотность заряда пластины индукона. Напряженность поля Ех между пластинами получим по принципу суперпозиции

Рис. 2 - Поперечный разрез индукона

Е =---— (ах + о Л.

2еп v 1 2>

В(1)и(2)1и а зависят от координаты г и от времени 1

^ дВ,

Интегрируя уравнение закона электромагнитной индукции [6] roí Е = -

дВ

дг '

площади ограниченной контуром, изображенным на рис. 1 и преобразуя, получим:

ди ^В

+ 1 хгх -12г2 = Естор+А-

по

д1 , . < , схор д1

где и = Ь Ех -напряжение между пластинами в точке с координатой г в момент времени X, рх - удельное сопротивление материала 1-ой пластины, /, - плотность тока в первой пластине, (Жх

1"х - —;— сопротивление единицы длины 1- ой пластины Аналогичные обозначения имеют аг

соответствующие параметры, отнесенные ко 2- ой пластине Подставляя в (3) выражения (1) и (2), получим:

2е,

о V

да, да, -- +-

dz dz .

+ Vi -12^ = Есгор+

2 а

Из закона сохранения заряда (уравнения непрерывности) Л\> у =

деления зарядов и токов на пластинах (учитывая, что только ]г Ф- 0), следует

д\2 di,

dt dt

dp

dt dt

дах _ dix di dz

да

dt

г

dz '

[7] для распре-

• h где ix= —

а

/2 = — - линейные плотности токов на пластинах. а

Дифференцируя (4) по времени и учитывая (5) получим

/д212 чдг2

где с

д21л - '

дг

1

2с'

д212 g0агх д\х ейаг2 д\2 _ е0 а

dt2 dt2 J h ~dt h dT~~h dt~

- - скорость распространения электромагнитных волн.

Л Iй о

Полученное нами уравнение (6) описывает электромагнитные процессы в схемах электропитания МИУ на. основе индукона и является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных с постоянными коэффициентами.

Начальные и граничные условия. Для рассматриваемой схемы, начальными условиями, как видно из рисунка 1, являются: 11(2,0) = 1? (г,0) = 0, и(г,0) = ист.

Соответственно граничные условия запишутся £ виде: 11 (Од) = 0; 12 (¿Л) = 0; I] (¿Д) = ^(ОД). ¡1 и 12 должны быть периодическими функциями по ъ, так как используется приближение бесконечных пластин, а на самом деле длина пластин конечна. Период не может быть равен I, так как в этом случае будет Ь (ОД) = = 0 и 12 (ОД) = II (£Л) = 0, т. е. не будет перетекания зарядов с 1-ой пластины на 2-ю и обратно.

Удовлетворить граничным условиям можно, предположив, что 12(гД) = \\{1-г,Х) (при этом должно быть Г! = г2). Тогда I) и 12 можно разложить в ряд Фурье

w А К • (2и + Х)лг А. . (2и + 1)ят

и п 2£

п=-ао л=0

т/ А • (2Л + 1 )л.. ч А 1Ч„. (2и + 1)тгг

и=-со и=0

II - разлагается только по синусам, так как I] (Од) = 0. Подставляя (7) в (6) получим при Г1 = г2 = г

1 ^ V/ Л» Л, А /л (2п+1)тгг 1 л2 ^ 1Л2 А /Л . (2п+\)лг

(2" + 1) А"(/)С°5 21 + 2 ) 2/ -

2} 2£ 2с2 ¿Й 2£ И % 2£

'±(-1Y 1 COS(2n+l)7rZ = izfifbzL'.

> 1 О U Ai

h 2£ h dt

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решим вначале

однородное уравнение, для чего приравняем к нулю его правую часть.

. (2п + \)лг (2п + Х)лг Собирая коэффициенты при sin--—- и cos-—- в однородном уравнении

и учитывая линейную независимость sin и cos получим

1 V £п аг* 1 л2

2cz h 2 4£ } п

или

•• •

А„ + 2/?А„ +<а2 Аи = 0,

0 е0с2аг аг л с, ,ч . ,, где р =---=-; соп =-(2я + J); А ДО] = 0 - чтобы удовлетворить начальным уело-

/? pt q h

виям.

Составим характеристическое уравнение

Я2+2рЛ + 0)2„ = 0,

решением которого является выражение

х = -Р±4Р2-со2п.

Результат решения зависит от соотношения Р и ov Здесь возможны 3 случая: 1 случай, когда р > ш„, 2 случай, когда Р = ю„, и 3 - ий случай, когда Р < шп, представляющий наибольший практический интерес для схем питания МИУ. Для 3- его случая имеем

аг лс

<

(2п +1), откуда п> —

/

2аг£ _

/л0И 2£ 2 улju0hc

Тогда

Ап=е~'п(апвтПп1 + Ь„со&Пп(). Используя начальные условия Ап (0) = 0 находим что Ьп = 0. В этом случае окончательно имеем

Ап=апе~<" 8тП„Г

где П„ = л]й)2„ - р2 - собственная частота колебаний индукона.

Подставив (9) в (7) получим законы изменения токов в пластинах индукона

(2п + 1)ят

= ^Гапе~1П sinQnt sin-

и=0

I2(z,0 = Z(-l)4^'siníV eos

21 ' (2« + X)nz

21

í

Рис. 3 - Картина Рис. 4 - Картина

силовых линии конденсатора индукона до включения ключа К

силовых линии конденсатора индукона после включения ключа К

Отыскание амплитуды тока. Из выражений (10) видно, что в них неопределенной остается величина амплитуды колебаний а«. Для ее определения подставим величины (10) в неоднородное дифференциальное уравнение (6). При этом предварительно сделаем следующие замечания. В правую часть выражения (6) входит частная производная от напряженности стороннего поля. Для ее нахождения выразим, прежде всего, саму величину напряженности стороннего поля. Ее появление связано с тем, что в результате замыкания ключа К (смотри рисунок 1) возникает тангенциальная составляющая электрического поля конденсатора индукона, которая и будет являться той самой сторонней напряженностью, под действием которой происходит движение электрических зарядов по пластинам индукона. Наглядно это можно схематически изобразить в виде картины силовых линий напряженности поля конденсатора до включения ключа К и после его включения - рисунки 3 и 4.

До включения ключа поле конденсатора однородно (краевыми эффектами пренебрегаем) и изображено на рисунке 3. В этом случае силовые линии перпендикулярны пластинам конденсатора и никакого движения зарядов не будет. После включения ключа, нижний левый конец пластины (см. рисунок 1) приобретает положительный потенциал и силовые линии начинают смещаться вправо, примерно так, как показано на рисунке 4. В результате такого смещения, на пластинах индукона появляется тангенциальная составляющая и по ним начинает протекать электрический ток. Величину этой составляющей, согласно рис. 4, можно определить по формуле

Естор=Ее"/г' sin Q„t ,

где Е - напряженность электрического поля между пластинами индукона в момент времени равном нулю.

Наличие множителя ' в выражении (11) обусловлено тем, что с течением времени амплитуда колебаний в индуконе уменьшается а, следовательно, уменьшается и напряженность стороннего поля.

Естественно, что наличие напряженности стороннего электрического поля подтверждается экспериментально. Так, например, при снятии осциллограммы напряжения между противоположными концами одной из пластин индукона видно, что до замыкания ключа К (см. рисунок 1) разность потенциалов равна нулю, а после его замыкания она становится равной Ucm и изменяется во времени по синусоидальному закону.

В выражения (10) и (11) входит множитель е ~fu , величина которого зависит от постоянной Р и времени t. Так как амплитуда колебаний определяется в момент времени t —¥ 0, следовательно, величина коэффициента e'pt «1 и его можно рассматривать как некий постоянный множитель. С учетом замечаний изложенных выше, неоднородное уравнение (6), при подстановке в него величин (10) будет иметь вид

1 к » / lW„ лг . _ ^ (2w + l);rz 1 тг »/. ,42 • ~ , • {2п+\)лг --г£(~1) (2л + 1) a, siniVfcos---— +-гЕ(2« + 1) smfV sin —---+

+ —-У(-1) П„а„ sinO i cos-------Т Q2o sinf2„ism-----

2c я=о 7 " " " 2t 2c2„To " " " 2*

f0ar » л „ . (2w+lWz s^ar ^ л (2я + 1)ttz ^а^Естор л.ч

cosO / sin---— + ——Y.

h to " " " It h »=o " 2i h dt K '

Значение правой части выражения

Б (Л

по времени, в результате получим: Cln Е cos CIni .

h

В момент времени t —>0 выражение (12), с учетом значения его правой части, будет иметь

вид:

s0ar

J2, . (2п + \)лг е0аг « , Л (2п+\)лг s0a

I &„<** sin --—----1) Ппап cos-^—-f— = -f- Г2„ Е.

И „=о 2£ к ^о 2£ И

Для координаты г —>0 последняя формула запишется следующим образом:

» \ / п п I п

п п-0 п

Для первой гармоники, т.е. при п = 1, получим

И " И Откуда найдем амплитуду этой гармоники

Е г

Выразим её через напряжение между обкладками индукона в начальный момент времени 11ст

= ~~

пг

По формуле (13) можно определять амплитуды токов не только первой гармоники, но и всех остальных, так как на всех частотах индукон представляет собой колебательный контур, который в режиме резонанса обладает только активным сопротивлением [8]. Естественно, что для каждой гармоники в выражении (13) должна фигурировать своя амплитуда напряжения ист.

Подставляя в формулу (10) полученное значение амплитуды из (13), окончательно определим законы изменения токов в пластинах индукона

1,(х.О-¿^.""йпП./

- 2

! ' Д Лг 1 ' " И

Определение законов изменения напряжения. Найдем законы изменения напряжения между пластинами индукона. Для этого воспользуемся выражениями (14), подставив их в (5). Проведя соответствующие преобразования, получим выражение для законов изменения напряжения между пластинами индукона

00 TJ

U

n=О П_

(2n+\)nz , . (2n+\)nz cos-----(-1) sin-

2£ 21 Экспериментальные исследования, проведенные на макете пылеуловителя выполненного в виде индукона и возбуждаемого на частоте первой гармоники, показали правильность полученных в настоящей работе результатов, так как наблюдается совпадение расчетных и опытных

данных. Однако для практического использования предложенной методики расчета схем питания МИУ на основе индукона, необходимы уточнения учитывающие, например, влияние конструкции и используемых электротехнических материалов на параметры возбуждаемых колебаний, в связи с этим необходимы дальнейшие исследования, которые могут быть предметом самостоятельной работы.

Выводы

Использование уравнений многофакторной электродинамики позволило составить довольно простое уравнение, описывающее электромагнитные процессы в схемах электропитания магнитно- импульсных устройств на основе индукона.

Решение полученного уравнения показало, что оно достаточно правильно описывает процессы, протекающие в индуконе, о чем говорит сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

В результате экспериментов нашлось подтверждение наличия напряженности стороннего электрического поля, которую необходимо учитывать при анализе процессов в индуконе, что и было сделано ранее в [6] в виде введения дополнительного члена в уравнение закона электромагнитной индукции.

Перечень ссьиюк

1. А с 943617 СССР, МКИ G 01 R 33/12. Устройство возбуждения электромагнита.

2. А с 1465114 СССР, МКИ В 03 С 3/00. Устройство электропитания пылеуловителя.

3. А с 1252202 СССР, МКИ В 60 М 7/00. Устройство электроснабжения для высокочастотного транспортного средства.

4. Волков И. В , Закревский С. И. Преобразователь с распределенными параметрами для стабилизации тока в переменной нагрузке. //Электричество. - 1984. - N 10. - С. 40 - 43.

5. А с 181753 СССР, МКИ 21g, 36. И 05 h. Электромагнит бетатрона на энергию до 10 Мэв.

6. Гейзер А. А. Использование некоторых выражений закона электромагнитной индукции. // Электричество. - 1996. - N 10. - С.73 - 76.

7. Гейзер А. А. Закон сохранения заряда в классической электродинамике. //Вестник Приазов. гос. техн. ун - та: Сб. науч. тр. - Мариуполь, 1997, - Вып. 3. - С. 261 - 263.

8. ЗерновН. В. Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей. - М,- JL: Энергия. - 1965,- 892 с.

Гейзер Альфред Альбертович. Канд. техн. наук, доцент кафедры физики, окончил Томский институт радиоэлектроники и электронной техники в 1968 году. Основные направления научных исследований - применение импульсных электромагнитных полей в промышленности; электродинамика.

Гейзер Олег Альфредович. Аспирант 111 ТУ, окончил Приазовский государственный технический университет в 1999 году. Основные направления научных исследований - теплофизика, автоматизация и экология тепловых агрегатов в металлургии.