Моделирование орбитального управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 3

УДК 521.1

Д. В. Шиманчук

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОКРЕСТНОСТИ КОЛЛИНЕАРНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ Lx

1. Введение. Пусть космический аппарат (КА) движется в гравитационном поле двух притягивающих тел Солнца и Земли. Для описания движения КА используем математическую модель круговой ограниченной задачи трех тел [1], в которой предполагается, что КА движется в гравитационном поле двух притягивающих центров конечных масс Земли и Солнца и не оказывает влияния на их движение, поскольку его масса пренебрежимо мала по сравнению с массами центров притяжения. Траектория движения (орбита) Земли вокруг Солнца предполагается круговой.

Как показали Эйлер и Лагранж (см. [2]), существуют решения данной задачи, связанные с точками космического пространства, координаты которых сохраняют свое положение в пространстве конфигураций. В окрестности таких точек КА может находиться в состоянии равновесия и сохранять свое положение по отношению к двум другим, притягивающим центрам Земли и Солнца. В небесной механике такие точки называют точками либрации или точками относительного равновесия. В системе Солнце-Земля точки либрации L1-L5 располагаются в плоскости орбиты Земли. Три из них L1-L3, называемые коллинеарными, находятся на прямой, соединяющей центры инерции Солнца и Земли, L4, L5, в силу их геометрического расположения, называют треугольными точками либрации.

Необходимо отметить, что координаты точек L1-L3 являются неустойчивыми стационарными решениями уравнений движения, поэтому КА через некоторое время может существенно уйти из окрестности данных точек, вследствие чего возникает вопрос управления движением. Напротив, L4, L5 - устойчивы, и находящийся в их окрестности КА будет вечно двигаться (в рамках принятой математической модели), сохраняя вполне определенное положение относительно Солнца и Земли. В реальных же условиях под действием возмущений КА покинет окрестность любой из таких точек, но удержать его здесь гораздо «легче», т. е. со значительно меньшими затратами энергии, чем в любой другой точке космического пространства.

С использованием теоретических свойств точек либрации связаны многие проекты как освоения космического пространства, так и защиты Земли от потенциально опасных космических объектов.

В настоящее время существует актуальная проблема астероидно-кометной опасности, где первоочередным шагом для ее решения может оказаться перехват

Шиманчук Дмитрий Викторович — аспирант факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. А. С. Шмыров. Научные направления: небесная механика, управление движением космических объектов, оптимальное управление движением. E-mail: shymanchuk@mail.ru.

© Д. В. Шиманчук, 2010

космического объекта с целью получения фотоснимков его поверхности. Такая задача может быть решена с помощью КА, расположенного в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\, который может быть многократно использован для исследования космических объектов, пролетающих около Земли. В результате, зная информацию о строении, физическом составе, рельефе поверхности, можно будет оптимизировать действия по предотвращению угрозы, применяя наиболее эффективные технические средства с целью изменения траектории либо расщепления астероида или кометы на достаточно мелкие фрагменты.

Поскольку точка либрации Ь\ неустойчивая, то КА через некоторое время покинет окрестность данной точки космического пространства. Поэтому возникает вопрос удержания или стабилизации движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ь-1, хотя в некоторых случаях неустойчивость может являться положительным свойством для перехода на другие орбиты или при решении задачи астероидно-кометной опасности.

В настоящей работе приводятся законы управления для удержания КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ъ\, даются численные характеристики стабилизирующих управлений и траекторий движения КА.

2. Уравнения движения и их характеристика. Уравнения управляемого движения КА во вращающейся системе координат 0x1 Х2Х3 имеют вид [3]

Х1= х2+ 2/1, (у 1 = —рГр ^х1 + У2 + и1,

Х2 = -Х1+У2, < У2 = ~{щз - Х2 - У1 + «2,

*3 = Уз] [ Уз = -рр - Х3 + из,

где центр инерции Земли совпадает с началом системы координат, а ось 0x1 соединяет центры масс Земли и Солнца, здесь (х1; х2; хз) - вектор координат КА, (у1; у2; у3) -вектор скоростей. Точка либрации во вращающейся системе неподвижна и имеет координаты х* = (1; 0; 0), у* = (0; 1; 0). За единицу расстояния принята величина, равная

10~2 а. е. « 1.5 • 106 км, за единицу времени - 58.0916 суток, так как в принятой

модели Земля совершает полный оборот вокруг Солнца за одну единицу. Поскольку компоненты вектора управления представляют собой ускорения, то следует отметить, что единица ускорения равна 5.93844 • 10~5 м/с2.

Приведем линеаризованные уравнения системы (1) в окрестности коллинеарной точки либрации 1/1'.

х 1 = Х2 + У1, ( У1

Х2 = х1 + У2, < У2

хз = Уз; [ Уз

Неуправляемая линейная система (2) (и значений:

^1,2 = =Ь \/1 + 2 л/7, Л34 = ±*-\/2а/7 — 1, Л56 = ±2*.

Из положительности собственного значения = л/1 + 2а/7 следует неустойчивость точки либрации 11.

Последние два уравнения в системе (2), соответствующие пространственным переменным (хз; уз), не зависят от остальных, поэтому удобно рассмотреть задачу нахождения законов управления отдельно для системы плоского движения

= 8(х1 — 1) + (У2 — 1) + ^,

= —4х2 — У1 + П2,

= —4хз + из.

= и2 = из = 0) имеет набор собственных

Х1 = Х2 + У1,

Х2 = -Х1 + У2; 1 У2 = -4x2 - У1 + «2

и системы пространственных переменных

Х з = Уз

Уз = -4хз + «з-

Для оценки расхода энергии, необходимой для совершения маневра на промежутке времени [0; Т], будем рассматривать функционал

3 т

3 =X) [\«к\М-

к=1{

Замечание 1. Для неуправляемой системы (2-2) (из = 0), в силу интеграла энергии, имеет место устойчивость по Ляпунову стационарного решения.

3. Управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость по Ляпунову. Рассмотрим компоненты вектора управления в виде

«1 = Я1(Х1 - 1) + Ь1 у 1,

«2 = а2Х2 + &2

из = азхз + Ьзуз;

«1 = а1(х1 - 1) + Ь1Х1,

«2 = а2Х2 + Ь2Х2,

«з = азхз + ЬзХз,

где а*, Ьг, г = 1, 2, 3, - некоторые вещественные константы.

Пусть коэффициенты в управлениях (4), (5) Ь1 = а2 = 0, тогда для асимптотической устойчивости стационарного решения системы (2) (х*; у*) по переменным

(х1; У1; Х2; У2; хз; уз) необходимо и достаточно, чтобы действительные части корней характеристического полинома линеаризованной системы (2) были отрицательными [4]. В силу критерия Рауса-Гурвица, это условие будет выполнено при следующих ограничениях на коэффициенты компонент вектора управления:

а1 < -9,

Ь2 < 0,

аз < 4, Ьз < 0-

З а м е ч а н и е 2. По теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению это влечет за собой асимптотическую устойчивость нелинейной системы (1).

На рис. 1, 2 и в табл. 1 приведены результаты численного интегрирования нелинейной системы (1) на промежутке времени [0; 100] с начальными условиями х0 = (0-99; 0; 0-01), у0 = (0; 1;0) и видом управлений (4), (5), обеспечивающих асимптотическую устойчивость стационарного решения (х*; у*):

«1 = -12-5(х1 - 1),

«2 = -0-15

«з = хз - уз;

Рис. 1. Пространственное движение КА в случае управления

Рис. 2. Пространственное движение КА в случае управления

( ui = -12.5(xi - 1),

< U2 = -0.15(-xi + У2), [ uз = xз - уз.

Таблица 1. Численные характеристики управления

Управление

max litil = 0.125, 0<t<100 max \и2I = 0.00232176, O^t^lOO max ІггзІ = 0.0175141 O^t^lOO max |ггі| = 0.125, 0<t<100 max \u2 \ = 0.00260634, 0<t<100 max ІггзІ = 0.0175144 O^t^lOO

J = 1.4236 J = 1.78187

4. Управление, демпфирующее «функцию опасности». Рассмотрим «функцию опасности» [5]

di = Ъ\{х\ — 1) + Ъ\х2 + b\y\ + bl

где bi = (Ъ1; Ъ2; bf; Ъ|) - собственный вектор, соответствующий собственному значению

линеаризованной неуправляемой системы (2.1) Ai = \Jl + 2а/7:

h — О2 I с;- _ 3 - + 3 -

о 1 — (А1 + 5, —----, —----, 2).

Ai Ai

В силу системы (2.1), для «функции опасности» можем записать

di = Aidi,

тогда di = сexp(Ait), где с = const. Легко видеть, что решение di ^ ж при t ^ ж (когда с = 0).

Для управляемой системы (2.1) производная «функции опасности» имеет вид

di = Aidi + b\ui + b4U2.

Таким образом, получаем задачу нахождения управления, при котором решение (7) di ^ 0 при t ^ ж, т. е. нахождения управления, демпфирующего «функцию опасности» (6).

Примером таких управлений могут быть управления с компонентами

ui = fcidi, , -Ai - bfki f s

1 а 2 ----Та------

U2 = k2di, Ъ4

] I b

u\ = к

(xi - 1) + yi

0- < k< -Лі,

u2 = k[ %x2 +

где к, к1 и к2 - некоторые вещественные константы.

На рис. 3, 4 и в табл. 2 приведены результаты численного интегрирования нелинейной системы (1) на промежутке времени [0; 100] с начальными условиями

Рис. 3. Пространственное движение КА в случае управления

Рис. 4. Пространственное движение КА в случае управления

х0 = (0-99; 0; 0-01), у0 = (0; 1; 0) и видом управлений (8), (9), демпфирующих «функцию опасности» (6):

«1 = -0-01^1, «2 = -1-5^1;

С / bui — —5 тз

U2

Ъ\

-5(ЬЛ

Таблица 2. Численные характеристики управления

Управление

шах Ы = 0.00112915, 0<t<100 max \u2\ = 0.169373 0<t<100 max \u± 1 = 0.15241, O^t^lOO max \u21 = 0.0176413 O^t^lOO

J = 1.07393 J = 0.11716

5. Заключение. Проведенное исследование управляемых уравнений движения КА (1) показывает, с помощью какого выбора управления возможно обеспечить устойчивость движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации ^. Рассмотренные законы управления демонстрируют теоретическую возможность стабилизации КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ь1 при условии, что вектор управления обеспечивает асимптотическую устойчивость по Ляпунову стационарного решения (х*; у*) или демпфирует «функцию опасности» (6). Таким образом, можно поставить задачу нахождения оптимального управления, например такого, которое обеспечивает минимум функционалу (3).

Литература

1. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета: учеб. пособие. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1990. 448 с.

2. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

3. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\ // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 193—199.

4. Маркеев А. П. Теоретическая механика: учеб. пособие для университетов. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1990. 416 с.

5. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Оптимальная стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\ // Четвертые Поляховские чтения: избр. труды. СПб.: ВВМ, 2006. С. 296-300.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 1 апреля 2010 г.