Математическая нелинейная пространственно-двумерная модель транспорта многокомпонентных наносов в мелководных водоемах и ее линеаризация

13. Semenyakina A., Protsenko S. Complex of parallel programs for modeling oil products transport in coastal systems // MATEC Web Conf. XIII International Scientific-Technical Conference «Dynamic of Technical Systems» (DTS-2017) - V. 132. - 2017. - https://doi.org/10.1051/matecconl/201713204016.

14. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Т. 6. - № 4. - С. 351-363.

А.И. Сухинов, В.В. Сидорякина

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ НАНОСОВ В МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМАХ И ЕЕ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ*

Аннотация. В настоящей работе рассматривается построение линеаризованной пространственно-двумерной модели транспорта многокомпонентных наносов, сформированных под воздействием течений и волн в прибрежной зоне. С помощью данной математической модели решаются задачи мониторинга и прогнозирования процессов, происходящих в прибрежной зоне водоема, в частности, оценка подвижности наносов, моделирование переноса наносов и переформирования рельефа дна в случае сложного гранулометрического состава донных отложений.

Ключевые слова: гранулометрический состав, фракции грунта, пространственно-двумерная модель транспорта многокомпонентных наносов, прибрежная зона, нелинейная задача, линеаризованная задача.

A.I. Sukhinov, V.V. Sidoryakina

MATHEMATICAL NONLINEAR TRANSPORTTWO-DIMENSIONAL MODEL OF MULTICOMPONENTBOTTOM SEDIMENT IN SHALLOW WATER BASINS AND ITS

LINEARIZATION

Abstract. Spatially two-dimensional transport model has been considered in this paper for multi-component bottom sediment transport under the influence of currents and waves in the coastal zone and its linearization. The linearized model has been used for the numerical modelling of sediment transport and reformation of the bottom reliefin case of complicated granulometric composition (grain size distribution) bottom sediment.

Keywords: granulometric composition, soil fractions, two-dimensional model of transport of mul-ticomponent sediments, coastal zone, nonlinear problem, linearized problem.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (код проекта 17-11-01286).

ВВЕДЕНИЕ

При создании прибрежной инфраструктуры, связанной с преобразованием рельефа дна прибрежных систем, необходимо прогнозировать его изменения под воздействием движения водной среды. Процессы транспорта наносов относятся к одному из важнейших явлений прибрежной зоны мелководных водоемов, а для их исследования и прогноза, как правило, используют средства математического моделирования. Целью данной работы является построение математической модели транспорта наносов, способной адекватно описывать процессы транспорта наносов, имеющих сложный гранулометрический состав на примере акватории Таганрогского залива Азовского моря.

На основе анализа существующих результатов математического моделирования гидродинамических процессов, протекающих в мелководных водоемах, ранее авторским коллективом была разработана и исследована нелинейная пространственно-двумерная модель транспорта наносов, учитывающая пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна, ветровые течения и трение о дно [1-6] в случае донных отложений, состоящих из частиц, имеющих одинаковые характерные размеры и плотность (состоящих из одной фракции). В настоящей работе описано построение и линеаризация усовершенствованной непрерывной модели транспорта наносов, в которой, в отличие от предыдущей, рассматривается многокомпонентный гранулометрический состав частиц, составляющих донные отложения.

Гранулометрический состав частиц водных наносов является важным физическим параметром, от которого зависят многие аспекты существования и функционирования режима водного объекта. Размер и форма водных частиц, вязкость воды, режим движения воды оказывают существенное влияние на характер движения наносов. Например, сферические частицы осаждаются быстрее, чем частицы неправильной формы, а потому, частицы песка

осаждаются достаточно быстро, а частицы мелкой глины и коллоиды осаждаются медленно, если они не собраны в группы (коагулированные частицы). Распределение размеров частиц является важным признаком, позволяющим делать выводы о процессах переноса, сортировки и осадкона-копления.

Для качественного гранулометрического анализа весь возможный диапазон размеров водных частиц делят на участки, так называемые фракции. Считаем, что размер частиц определяется по диаметру и выражается в миллиметрах. В работе [7] представлены результаты комплексного исследования особенностей гранулометрического состава различных типов частиц акватории Таганрогского залива, которые были получены в ходе натурных экспериментов, в частности, методами сейсмоакустики. В данном водоеме могут находиться частицы с диапазоном диаметров от менее 0,005 мм до 1-2 мм. Процентное содержание гранулометрических фракций существенно зависит от конкретной территории Таганрогского залива. Так, в восточной части залива преобладают илистые мелкозернистые пески с включениями ракушечного детрита; к западу, гранулометрический состав изменяется в сторону уменьшения размера частиц; в центре залива преимущественно аккумулируются глинистые и алевритово-глинистые илы.

Для примера представим результаты гранулометрического анализы донных отложений, полученные на одной из станций в восточной части Таганрогского залива напротив Чумбур-Косы (таблица 1).

Таблица 1

Интервал (см.) Гранулометрический состав в %

>1 мм. 1-0,5 мм. 0,5-0,25 мм. 0,25-0,125 мм. 0,125-0,1 мм. 0,1-0,05 мм. 0,05-0,01 мм. <0,01 мм.

0-14 1,43 0,47 3,52 16,47 10,3 12,34 19,46 36,01

14-67 1,53 0,76 2,06 11,86 2,89 6,02 10,99 63,89

67-95 0,06 0,22 0,63 19,48 11,52 20,14 27,7 20,25

1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Для построения математической модели транспорта многокомпонентных наносов будем использовать прямоугольную декартовую систему координат Оху, где ось Ох проходит по поверхности невозмущенной водной поверхности и направлена в сторону моря. Для простоты рассматривается случай, когда нормаль к береговой линии направлена на север, совпадая с осью Ох ;

ось Оу направлена на восток.

Переформирование прибрежной зоны акваторий за счет движения воды и твердых частиц будем описывать для случая, когда частицы наносов двигаются в одну сторону (сторону берега). В работе, используется допущение, что осадки перемещаются только в одну сторону - результирующего переноса. Движением частиц в направлении противоположном направлению результирующего переноса будем пренебрегать.

Пусть имеются Я типов частиц, образующих донные отложения, каждый из которых характеризуется своим характерным размером б/ , плотностью рг и пористостью ег. Будем также предполагать, что относительное объемное содержание частиц г -ого типа определяется величиной вг, которая, как и предыдущие коэффициенты - постоянная величина, не зависящая от вре-

я

мени / и геометрических координат х и у . Очевидно, что УД=1 .

1=1

Уравнение транспорта наносов, учитывающее сложный гранулометрический состав донных отложений, запишется в виде:

1 ~дН л-

1-е--\-div

&

(в л УУкт. д д Ъ \д=\ У =сИу (в т УГк Ьсл ёгас1Н и=19 ) +1^4 , (9) г=1 Р

в

где ~ усредненная по фракциям пористость донных отложений; сг/ - пористость ц- ой

9=1

фракции донных отложений; ть - вектор касательного тангенциального напряжения на дне водоема; гЬс - критическое значение тангенциального напряжения для ц — ой фракции. ты г=аг^\\\(р(1.

(р0 - угол естественного откоса грунта в водоеме; р - плотность частиц взвешенного вещества

г— го типа, которые перемещаются в соответствии с уравнениями (3); к —к Н.х.у.1 - нелиней ный коэффициент, определяемый соотношением:

АёнЛ

к=-

Рг~Ро '

Р-1

Ть-

-gradH

(/?„-значение плотности водной среды соответственно; g - ускорение силы тяжести; 3 -частота волны; А и р - безразмерные постоянные, А=19,5, /?=3).

Областью, в которой рассматривается уравнение (3), считаем цилиндр /(7=/)х 0.7 ,

Б х,у = 0<х<Ьх,0<у<Ьу .

Дополним уравнение (3) начальным условием предполагая, что функция начальных условий принадлежит соответствующему классу гладкости:

Я х,у,0 =Я0 х,у .

Сформулируем условия на границе области Б , исходя из физических соображений:

' "

N =°>

I I \у=0

Я Ь Л'Л =Н у.! , 0<у<Ь .

Я 0,у,1 =НХ у,1, 0< у</.г. Я х,0,/ =Я, х , 0<х<Ь , я х./:.1 =нл х,/, о<х</.. а <1..

"V" 4 ' ' х~ V V

4 ' " х^ у у'

Считаем, что всегда есть слой жидкости конечной толщины в рассматриваемой области и для указанного временного промежутка не происходит осушения области, т.е.

Я х,у,г >С=соШ>0,0<х<Ьх, 0<у<Ь'у, 0<г<Т.

2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТА МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ НАНОСОВ

Для того чтобы создать линеаризованную модель на временном отрезке 0</<Г построим равномерную сетку а>т с шагом г , т.е. множество точек сот= 1п=пт.п=().\.....N. Ыт=Г и осуществим линеаризацию начально-краевой задачи (3)-(11) методами, изложенными в работах [8—11].

Выполним линеаризацию члена с/п' кть и коэффициента к путем выбора их значений в момент времени 1=1п,п=0,1,...,Ж и рассмотрения уравнения (3) на временном промежутке \п1<1<\п,п=\2,...,Ы. При этом предполагается, что функция Н" х,у,гпЛ =Н" х,у,гпЛ - и ее частные производные по пространственным переменным - известны.

Если п=1, то в качестве Я1 х.у.1и достаточно взять функцию начального условия, т.е.

Я1 х,у,10 =Н0 х,у . Если же п=2,...,Ы, то функция Н" х,у,1п1 =Н" х,у,1п1 предполагается известной, поскольку предполагается решенной задача (3)-(11) для предыдущего временного промежутка I „<¡<1 ,.

п-1 п-1

Введем обозначения:

Аюё

Р~Р0

Р-1

тёН"-1 Х,у1п1

, п =1,2,..., N.

Тогда уравнение (3) после линеаризации запишем в виде:

1-е

_ дН"

( в

д1

-\-div

Л

У Ук

I 1 с

11 V

\9=

( в

=div

Л *

У Ук ¿—! 1 1

\г

Ьс,д

,=1 " " $т(р0

gradH"

м>

г=1 Р

и дополним его начальными условиями:

Я1 =Я0 х,у.....И" =Н"> х,у,^ х,у^ =Н' х,у^ , п=2,...,Ж-1 .

Член вида div к" гл является при такой линеаризации известной функцией правой части; граничные условия (5)—(10) предполагаются выполненными для всех промежутков времени 1 ,</<М=1,2,...Д.

и-1 и' ^ ' '

Ъ

г

Отметим, что коэффициенты к"'. n=\.2.....N зависят от пространственных переменных x,v и временной переменной tn l,n=\2,...,N, определяемой выбором шага т сетки сот. т.е.

к"-1=к"-1 x.vJ , ,«=1,2.....N .

is ? п_\ ? ? ? ?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Авторами предложена нелинейная математическая пространственно-двумерная модель транспорта многокомпонентных наносов. Разработанная модель учитывает прибрежные течения, напряжение вблизи дна, вызванное ветровым волнением, турбулентное движение водной среды, гранулометрический состав и пористость донных отложений,сложную форму береговой линии, рельеф дна и другие факторы. Дальнейшие перспективы работы связаны с исследованием решений линеаризованнойзадачи, соответствующей построенной модели, а также ее численной реализацией.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК:

1. А.А. Sukhinov, A.I. Sukhinov. 3D Model of Diffusion-Advection-Aggregation Suspensions in Water Basins and Its Parallel Realization. Parallel Computational Fluid Dynamics, Mutidisciplinary Applications, Proceedings of Parallel CFD 2004 Conference, Las Palmas de Gran Canaria, Spain, ELSEVIER, Amsterdam-Berlin-London-New York-Tokyo, 2005, 223-230. DOI: 10.1016/B978-044452024-1/50029-4.

2. A.I. Sukhinov, A.A. Sukhinov. Reconstruction of 2001 Ecological Disaster in the Azov Sea on the Basis of Precise Hydrophysics Models. Parallel Computational Fluid Dynamics, Multidisciplinary Applications, Proceedings of Parallel CFD 2004 Conference, Las Palmas de Gran Canaria, Spain, ELSEVIER, Amsterdam-Berlin-London-New York-Tokyo, 2005, p. 231-238. DOI: 10.1016/B978-044452024-1/50030-0.

3. Е. Alekseenko, B. Roux, A. Sukhinov, R. Kotarba, D. Fougere. Nonlinear hydrodynamics in a mediterranean lagoon // Computational Mathematics and Mathematical Physics. Volume 57, Issue 6, 1 June 2017, Pages 978-994. DOI: 10.5194/npg-20-189-2013.

4. A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, E.V. Alekseenko Numerical realization of the three-dimensional model of hydrodynamics for shallow water basins on a high-performance system // Mathematical Models and Computer Simulations, October 2011, Volume 3, Issue 5, pp 562-574.doi:10.1134/S2070048211050115.

5. E. Alekseenko, B. Roux, A. Sukhinov, R. Kotarba, D. Fougere, 2013. Coastal hydrodynamics in a windy lagoon. Computers and Fluids, 2013, 77, pp. 24-35 doi:10.1016/j.compfluid.2013.02.003.

6. Сухинов А.И., Сидорякина В.В., Сухинов A.A. Достаточные условия сходимости положительных решений линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов // Вестник Донского государственного технического университета, №1(88), 2017. - C. 5-17.

7. Матишов Г.Г., Польшин В.В., Дюжова К.В., Сушко К.С., Титов В.В. Результаты комплексных исследований голоцено-вых отложений Таганрогского залива Азовского моря//Наука Юга России. 2017 Т. 13 N° 4 С. 43-59

8. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. О сходимости решения линеаризованной последовательности задач к решению нелинейной задачи транспорта наносов // Математическое моделирование.2017. Том 29. № 11. С. 19-39.

9. В.В. Сидорякина, А.И. Сухинов, "Исследование корректности и численная реализация линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:6 (2017), 985-1002; Comput. Math. Math. Phys., 57:6 (2017), 978-994DOI:https://doi.org/10.7868/S0044466917060138

10. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. О некоторых особенностях решений линеаризованной двумерной начально-краевой задачи, описывающей транспорт наносов в мелководных водоемах // Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. 2017. № 2. С. 246-249.

11. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. О единственности решения линеаризованной двумерной начально-краевой задачи транспорта наносов // Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. 2016. № 2. С. 270-274.

12. A. I. Sukhinov, V. V. Sidoryakina , Andrey A. Sukhinov Sufficient convergence conditions for positive solutions of linearized two-dimensional sediment transport problem//Computational Mathematics and Information TechnologiesElectronic journal, № 1 / 2017, С. 21-35.

И.В. Яковенко

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В ВУЗЕ

Аннотация. В статье рассматривается вопрос применения различных инновационных и информационно-коммуникационных технологий в процессе обучения дисциплине «Математический анализ» на первом курсе математических направлений подготовки. Представлены методические рекомендации для преподавателей в соответствии с возникающими затруднениями студентов по начальным темам курса.

Ключевые слова: инновационные технологии, информационно-коммуникационные технологии, математический анализ.

I.V. Yakovenko

INNOVATIVE INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGIES IN THE PROCESS OF TEACHING MATHEMATICAL ANALYSIS AT THE UNIVERSITY