Составление геометрических задач как средство активизации умственной деятельности учащихся

УДК 372.851

СОСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО АКТИВИЗАЦИИ УМСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Е.Е. Алексеева

В статье рассматривается составление задач как средство активизации умственной деятельности учащихся, направленной на развитие познавательных учебных действий при обучении геометрии, и приведён пример формирования приёма «Составление задач с использованием метрической определённости фигур». Ключевые слова: умственная деятельность, познавательные действия, составление геометрических задач, приём, метрическая определённость.

Умственная деятельность понимается как система взаимодействующих психических познавательных процессов, благодаря которым учащиеся осваивают элементы науки, культуры, социального опыта и результатом чего является развитие ума [9]. Математические задачи являются общепризнанным средством умственного развития, с помощью которого усваивается теория, показывается практическая и прикладная значимость математической науки [6; 7]. В процессе решения математических задач активизируется умственная деятельность ученика, благодаря использованию таких мыслительных операций, как: анализ, синтез, аналогия, обобщение, конкретизация, абстрагирование [13]. Исследуя роль задач в развитии математических способностей школьников, В.А. Крутецкий установил, что в процессе решения готовых математических задач, в отличие от процесса их составления, не происходит полного осознания структуры математической задачи [6].

Процессу составления задач посвящены диссертационные исследования Г.П. Недогарок, А.Я. Цукарь, А.В. Шатиловой, Э.А. Ясинового и др. учёных. Так, Г.П. Недогарок рассматривает этот процесс как средство формирования у учащихся общих умений решения задач: анализ условия и заключения, поиск плана решения [8]. А.Я. Цукарь исследует этот процесс в плане повышения качества знаний [11]. В работе А.В. Шатиловой установлено, что составление геометрических задач по готовым чертежам является средством формирования умений и навыков решения задач [12]. Э.А. Ясиновым установлено, что составление задач учителем способствует развитию его творческих способностей, а обучение этому процессу учащихся активизирует их познавательную деятельность [13]. Учёный рассматривает использование для составления задач «тривиальной» аналогии.

Анализ диссертационных работ по теме исследования показал, что, во-первых, составлению задач на основе приёмов, активизирующих умственную деятельность учащихся и предполагающих владение действиями: «выведение следствий» из условия, «выведение следствий» из требования, «раскрытие термина понятия» и др. не уделяется внимания; во-вторых, не используется понятие метрической определённости фигуры. Рассмотренные исследования, безусловно, внесли вклад в достижение целей обучения математике, но они проведены в конце XX века, и в них не могли быть отражены идеи, заложенные в ФГОС основного общего образования, в частности - достижение учащимися метапредметных результатов [10].

В нашем исследовании ставится задача формирования у учащихся познавательных универсальных учебных действий, относящихся к метапредметным результатам, посредством составления и решения геометрических задач, что способствует достижению предметных результатов освоения геометрии [4]. Рассматривая процесс составления геометрических задач как одно из средств интеллектуального воспитания учащихся при обучении геометрии, Л.И. Боженкова [2] систематизировала и сконструировала приёмы составления задач, которые используются в нашем исследовании. На основе варьирования компонентов задачной системы (терминология Ю.М. Колягина) нами выделены учебные задачи, результатом решения которых являются составленные учениками геометрические задачи. К числу учебных задач, например, относятся - составить геометрическую задачу: 1) по готовому чертежу; 2) по данному условию («словесному», «символьному»); 3) по данному требованию («словесному», «символьному»); 4) обратную задачу; 5) используя аналогию и др.

Для решения каждой учебной задачи используется соответствующий приём умственной деятельности, в содержание которого входят определённые мыслительные операции. Процесс формирования этих приёмов происходит в единстве с освоением содержания геометрии 7-9 классов и строится в соответствии с этапами: подготовительным, ознакомительным, совершенствующим и

рефлексивно-оценочным. Для каждого этапа сформулированы цели, отобраны действия учителя и учащихся (таблица 1).

На подготовительном этапе учитель, на основе анализа приёма для составления задач, который будет вводиться на ознакомительном этапе, подбирает задания, обеспечивающие мотивацию приёма, актуализацию знаний учащихся; осознание каждой отдельной операции, входящей в приём; создаёт проблемную ситуацию. В частности, в качестве актуализированной или новой учебной информации, необходимой для выполнения отдельных операций приёма, могут выступать познавательные логические УУД: выведение следствий, сравнение, анализ, синтез, подведение под понятие и др. [10]. На ознакомительном этапе вводится определённый приём составления задач. Учитель ставит перед учениками проблему в виде учебной задачи: «Составить геометрическую задачу и обобщить деятельность по её составлению». На этом этапе проблема решается в процессе фронтальной работы, в результате чего, посредством обобщения, «открывается» определённый приём составления задач. Таким образом, постепенно формируется познавательное УУД - постановка и решение проблем. На формирующем этапе происходит становление познавательных логических и общеучебных УУД, т.к. процесс составления задач обучающимися сопровождается самостоятельным формулированием познавательной цели; знаково-символическими действиями; построением речевых высказываний; выбором способов составления и решения задач. На этом этапе осуществляется проверка правильности составленной задачи: во-первых, ученики проверяют выполнимость условий метрической определённости главной фигуры, входящей в условие задачи; во-вторых, решают задачу, если первое верно.

Таблица 1.

Структура процесса^ формирования умений составления геометрических задач

Этапы

обучения

составле

нию

задач

I этап

подготов

ительный

II этап

ознакоми

тельный

III этап

формиру

ющий

IV этап

совершен

ствующи

V этап

рефлекси

вно-

оценочны й

Цели этапов

Осознание необходимости приёма, осмысление его состава

Введение приёма составления задач, его восприятие в целом, развернутость при выполнении заданий, обобщение

I

Осознание приёма, автоматизм отдельных операций действия при решении учебных задач

Применение ПУД в измененных условиях при решении учебных задач

Контроль, оценка, коррекция УПД по составлению геометрических задач

Деятельность учащихся

Выполняют задания, необходимые для осознания отдельных действий, входящих в состав приёма, изучают необходимую информацию, в т. ч., познавательные УУД

Принимают проблему; осмысливают приём и составляют простейшие задачи под руководством учителя в соответствии с введённым приёмом

I

Используют приём составления задач с помощью учителя или самостоятельно в зависимости от степени сформированности умений составления задач; перечисляют использованные познавательные УУД

Составляют задачи, используя все известные приёмы, решают их; контролируют правильность составленных и решённых задач, используемых познавательных УУД

Проверяют составленные задачи; оценивают собственную деятельность и деятельность товарищей, при необходимости

корректируют её. Обосновывают использование познавательных УУД

Деятельность учителя

I

На основе анализа приёма подбирает задания, мотивирующие и актуализирующие знания учащихся, связанные с осознанием отдельных операций приёма

Формулирует проблему, связанную с необходимостью использования

определённого приёма составления задач; организует составление задач в соответствии с вводимым приёмом и их решение, используя фронтальную работу

Организует составление задач учащимися, используя фронтальную или групповую работу; доводит до сознания учащихся перечень используемых учащимися познавательных УУД

т

Выполняет отбор учебных задач, связанных с составлением задач; предъявляет их учащимся; организует самостоятельную работу учащихся, взаимоконтроль и взаимопроверку задач и УУД

Обеспечивает промежуточный, итоговый контроль, оценку и коррекцию деятельности по составлению и решению задач

Переход учащихся на совершенствующий этап зависит от степени обученности и обучаемости учащихся, происходит в разное время и не всегда заметен. Деятельность учащихся на этом этапе характеризуется знанием всех изученных (к определённому времени) приёмов составления задач и познавательных УУД, умением их использовать для создания собственных образовательных продуктов, осознанностью процесса собственной мыслительной деятельности.

Контроль и оценка учебно-познавательной деятельности (УПД) учащихся осуществляется на всех этапах, однако в полной мере контрольно-оценочная деятельность учителя и учащихся реализуется на рефлексивно-оценочном этапе на уроках развивающего контроля, уроках коррекции, которые включаются в тематическое планирование. На этом этапе ученики выполняют рефлексию способов и условий действия, анализ собственной УПД, связанной с составлением задач, с использованными в этом процессе познавательными УУД, осознают ценность выполненной деятельности для собственного умственного развития.

Обучение учащихся составлению задач является неотъемлемой частью изучения новой учебной информации курса геометрии 7 - 9 классов: все приёмы составления задач включены, в соответствии с этапами формирования, в определённую тему (таблица 2). Кроме этого дополнительно к основному курсу геометрии, нами разработан учебный модуль «Составление геометрических задач», который вводится за счет вариативной части Базисного учебного плана, согласно которому время, отведённое на изучение курса геометрии, может быть увеличено до трех часов в неделю (таблица 2). Последовательность введения приёмов для составления геометрических задач представлена в таблице 2 фрагментом для 7-го класса. На подготовительном этапе учитель организует актуализацию или изучение новой учебной информации, относящейся к метазнаниям, например, компоненты задачной системы, и метаумениям - логические познавательные УУД, которыми, согласно ФГОС ООО, должны владеть учащиеся начальной школы и 5 - 6 классов. Из таблицы видно, что в 7-м классе введено шесть приёмов составления задач, становление которых продолжится в 8-м классе при освоении геометрии.

Таблица 2.

Кол-во уроков Введение приемов составления задач № задач,

№ Темы курса геометрии (с учётом учебного модуля «Составление и решение геометрических задач») основно го курса дополнительн ого модуля Подготовитель ный Ознакомительн ый Формирующ ий тексты которых (условие, требование, чертёж) можно использовать для составления учащимися задач

7КЛАСС

ГЛАВА I. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1 Прямая и отрезок. Луч и 2

угол а) Компоненты задачной системы

2 Сравнение отрезков и углов. Биссектриса угла 1

3 Измерение отрезков 2 1 30, 31, 34, 37, 38

4 Измерение углов 1 1 б) Раскрытие термина понятия а); 1) Сост. задач на 47, 48, 50, 51, 52

5 Смежные и вертикальные углы. Перпендикуляр ные прямые 2 1 доказательство по готовому чертежу (ГЧ) 58, 62, 64, 66, 67, 68

1 - 5 Составление и решение задач по теме «Начальные 2 Составление задач по ГЧ 76, 77, 78, 79, 80, 82

геометрически

| е сведения» I I I I 1

ГЛАВА П. ТРЕУГОЛЬНИКИ

6 Треугольник. Первый признак равенства треугольников 3 2 в) Выведение следствий из условия б); 2) Сост. задач на доказательство по данному условию 1); а) 90, 91, 93, 94, 95, 96, 97, 98

7 Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренны й треугольник 3 3 в) 1); 2) а); б); 105, 107, 108, 109, 111, 112, 117, 118, 119, 120

8 Второй и третий признак равенства треугольников 4 2 г) Выведение следствий из требования 3) Сост. задач на доказательство по данному требованию а); б); в) 1), 2) 122, 124, 125, 126, 136, 137, 138, 139

68 Составление задач по теме «Признаки равенства треугольников» 1 г) а); б); в); 1), 2), 3) 123, 127, 129, 130, 131, 132, 133, 140, 141, 142

9 Окружность. Задачи на построение 5

69 Составление задач по теме « Треугольники» 2 а);б);в);г) 1); 2); 3) 156, 157, 158, 161,162 -168, 169, 175

ГЛАВА Ш. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

10 Параллельные прямые. Признаки параллельности двух прямых 4 2 д) Понятие обратной задачи для данной 4) Составление обратных задач для данной 187, 190, 192, 193

11 Аксиома параллельных прямых 3 2 д) 200, 202, 205, 209, 211

10 11 Составление задач по теме «Параллельные прямые» 2 а);б);в);г);д) 1);2);3);4) 213, 215, 216, 221

ГЛАВА IV. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

12 Сумма углов треугольника 2 2 е) Определение понятия через ближайший род и видовые отличия а); б); в); г); д); 1); 2); 3); 4) 223, 224, 228, 229, 230, 231, 233,234

13 Соотношения между сторонами и углами треугольника 3 2 5) Сост. задач на вычисление по данному условию 240, 241, 242, 243, 244, 246, 247, 250,

14 Прямоугольные треугольники 4 3 ж) Метрическая определённость треугольников а);б);в);г); д); е); 1); 2); 3); 4); 5) 254, 255, 258, 261, 262, 263, 264,265

15 Построение треугольника по трём элементам 4 е); ж); 6) Составление задач на построение с использованием метрической определённости треугольников Использован ие таблицы метрической определённо сти треугольнико в

12 15 Составление задач по теме «Расстояние от точки до прямой. Расстояние 2 а), б), в), г), д); е); 1), 2), 3), 4); 5); 6) 296, 297, 298, 299, 307, 308, 310

между параллельными прямыми»

ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ ЗА 7 КЛАСС

Повторение курса геометрии 7 класса 6 Все приёмы 328, 329, 332, 333, 337, 344

Составление задач по темам курса 4

Приведём, пример формирования умений приёма «составления задач с использованием метрической определённости треугольников» (приём № 6) на подготовительном и ознакомительном этапах. Успешное решение учебных задач предполагает знание учащимися условий метрической определённости геометрических фигур, поэтому необходимо организовать знакомство учащихся с этим понятием на подготовительном этапе, что совпадает с началом изучения «Построения треугольника по трём элементам» (таблица 2, п.14 или п.15) темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Учитель ставит перед учениками проблему: «Выявить число элементов однозначно определяющих треугольник». Выдвинутая гипотеза (для произвольного треугольника - три элемента, среди которых хотя бы один -линейный) требует подтверждения или опровержения. В процессе обсуждения ученики под руководством учителя выясняют, что базисом доказательства являются признаки равенства треугольников, а метод доказательства - метод равных треугольников (по Л.С. Атанасяну). После этого учитель сообщает, что условия, определяющие фигуру единственным образом (с точностью до её положения на плоскости) называют условиями метрической определённости фигуры. Число (к) таких условий для произвольного треугольника равно трём: кд = 3.

Таблица 3.

Таблица метрической определённости треугольников_

Вид треугольника Ближайшее родовое понятие Число видовых отличий Число £д Некоторые варианты наборов элементов для метрической определённости треугольника

Произвольный треугольник АВС

Равнобедренный треугольник треугольник 1

Равносторонний треугольник равнобедренный треугольник 1

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник 1 1) гипотенуза; 2) катет; 3) медиана; 4) - 5) биссектриса; 6) высота к гипотенузе; 7) -8) медиана

Так как в ходе выдвижения и подтверждения гипотезы выяснилось, что число таких элементов зависит от вида треугольника, то учитель предлагает учащимся дозаполнить таблицу (таблица 3) [3]. Для заполнения таблицы 3 ученикам следует вспомнить определения видов треугольников и их классификацию; установить закономерность: если в определении вида треугольника добавляется одно видовое отличие, то число условий для метрической определённости треугольника на одно уменьшается. При заполнении последнего столбца развиваются комбинаторные способности школьников.

На ознакомительном этапе вводится приём «Составление задач на построение с использованием метрической определённости треугольников». Фактически, деятельность учащихся на этом этапе уже началась при заполнении четвёртого столбца таблицы 3. Учащимся только осталось осознать тот факт, что каждый набор элементов является условием задачи, требование которой - построить треугольник. Полученные задачи на построение целесообразно дифференцировать по уровням сложности и предоставить ученикам выбор задач для решения. В

дальнейшем, по мере накопления теоретических знании, понятие метрической определённости треугольника используется для составления учащимися задач на вычисление (8, 9 классы).

Приведём пример организации деятельности учащихся на формирующем умение этапе при освоении по темы «Параллельные прямые». Учитель предлагает учащимся решить учебную задачу: составить геометрическую задачу, используя следующий текст: «Докажите, что прямые параллельны».

Учащиеся проводят рассуждения: 1) данный текст может быть требованием задачи, следовательно, нужно составить геометрическую задачу на доказательство, используя приём составления задачи по данному требованию. Так как на данном этапе учащимся уже знаком этот приём, они выполняют действия в соответствии с этим приёмом: 1) анализируя данное требование, делают вывод, что главными фигурами являются прямые, параллельность которых нужно доказать; 2) изображают две не пересекающиеся прямые. Затем, ученики используют поисковую область понятия «параллельные прямые»: прямые параллельны, если они: а) не имеют общих точек; б) перпендикулярны к третьей прямой; в) при пересечении их третьей прямой накрест лежащие или соответственные углы равны; г) при пересечении их третьей прямой сумма односторонних углов равна 180°. Далее учащиеся в зависимости от степени обученности: 1) достраивают чертеж на основании выявленных отношений; 2) составляют условие задачи; 3) формулируют задачи в соответствии с выявленным условием и данным требованием (таблица 4).

Возможные формулировки составленных задач и чертежи к ним

_Составленные задачи_

Таблица 4.

1 вариант

2 вариант

3 вариант

По данным рисунка докажите, что прямые a и b параллельны

При пересечении двух прямых секущей биссектрисы накрест лежащих углов параллельны. Докажите, что прямые _параллельны_

Угол между прямой, проведённой через вершину равнобедренного прямоугольного треугольника, и катетом равен 135°. Докажите, что данная прямая параллельна прямой, содержащей гипотенузу

Ученики обмениваются составленными задачами и решают их, проверяя тем самым, работу товарища по классу и при необходимости корректируя её.

Таким образом, в процессе составления задач учащиеся анализируют условие, переводят условие, представленное в виде одной модели в другую, сравнивают, выводят следствия из условия (требования), обобщают, оформляют текст задачи в письменной и устной форме, т.е. выполняют мыслительные операции, активизирующие их собственную умственную деятельность.

The article considers the drafting tasks as a means of activation of students' mental activity aimed at the development of cognitive learning activities in teaching geometry, and is given an example of the formation of reception "The drafting of tasks with using of metric certainty of figures."

The key words. Mental activity, cognitive actions, drafting of geometric tasks, reception, metric certainty.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. Геометрия , 7-9: Учебник для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М. Просвещение, 2005. 384 с.

2. Боженкова Л.И. Интеллектуальное воспитание учащихся при обучении геометрии. Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2007. 281 с.

3. Боженкова Л.И. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии. - М.: БИНОМ, 2013. 205 с.

4. Боженкова Л.И., Алексеева Е.Е. Составление задач учащимися, как средство достижения предметных и метапредметных результатов при обучении геометрии. [Текст] /Л.И. Боженкова, Е.Е. Алексеева. //Наука и школа. № 5.2013. С. 103 - 107.

5. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. В 2 ч., Ч. 1.М.: Просвещение, 1977. 144 с.

6. Крутецкий В.А. Психология математических способностей /Под редакцией Н.И. Чуприковой. М.: Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 1998. 416 с.

7. Менчинская H.A. Мышление в процессе обучения. М.: Наука, 1976. 103 с.

8. Недогарок Г.П. Составление геометрических задач учащимися как средство формирования и развития общих умений решения задач: дисс. ... канд. пед. наук. М., 1989. 191 с.

9. Психологический словарь /Под ред. В.В. Давыдова, А.В. Запорожца, Б.Ф. Ломова и др. М.: Педагогика, 1983. 448 с.

10. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования/ Министерство образования и науки Российской Федерации. М.: Просвещение, 2011. 48 с.

11. Цукарь А.Я. Самостоятельная работа учащихся по решению и составлению задач как средство повышения качества знаний по математике (на материале геометрии): дисс. ... канд. пед. наук. М., 1984. 196 с.

12.Шатилова А.В. Обучение школьников составлению геометрических задач по готовым чертежам: дисс. ... канд. пед. наук. Саранск, 1997. 205 с.

13.Якиманская И.С. Психологические основы математического образования. М.: ИЦ «Академия», 2004. 320 с.

14. Ясиновый Э.А. Составление математических задач учащимися как средство активизации их познавательной деятельности (на материале 9 - 10 кл.): дисс. ... канд. пед. наук. Ярославль, 1974. 156 с.

Об авторе

Алексеева Е.Е.- аспирант Московского педагогического государственного университета, ealekseeva.ok@gmail.com