Полуэмпирическая модель расчета потребляемой мощности в резервуарах при перемешивании продуктов в турбулентном режиме

УДК 653.093

Полуэмпирическая модель расчета потребляемой мощности в резервуарах при перемешивании продуктов в турбулентном режиме

Канд. техн. наук Б.Л. НИКОЛАЕВ СПбГУНиПТ

On the basis of experimental data and semi-empirical theory of turbulent transfer, the author suggests a mathematical model, allowing to calculate the power consumed for agitating in reservoirs with agitating devices.

В процессе производства кефир, ряженка, простокваша, сметана, животные жиры, майонез и другие вязкие пищевые продукты подвергаются охлаждению при перемешивании. В связи с этим актуальным вопросом является затрата энергии на перемешивание продукта.

Возможны различные режимы движения вязких пищевых продуктов в резервуарах при охлаждении, в том числе и турбулентный режим. Поэтому математическая модель, позволяющая рассчитать затраты мощности при турбулентном режиме, имеет значительную практическую ценность.

Ряд авторов получили теоретические формулы для расчета мощности при ламинарном режиме [1 — 3,6 — 9]. Однако ввиду сложного характера движения при турбулентном режиме теоретически вывести формулу мощности для него невозможно.

Известна полуэмпирическая формула для турбулентного режима, предложенная в [1]. Недостатком данной формулы является то, что при расчете гидравлического сопротивления установленных под углом к радиусу скребков предлагается рассматривать их как плоские пластины, размеры которых равны проекции фактических размеров на меридиональную плоскость. Такое допущение трудно считать корректным: очевидно, что более узкая лопасть, установленная к радиусу под меньшим углом, будет иметь больший коэффициент лобового сопротивления, чем более широкая лопасть, установленная под большим углом, при условии равенства проекции их площадей на радиус.

В данной работе указанный выше недостаток устранен. Предлагаемая автором полуэмпирическая модель для расчета мощности основана на коэффициенте лобового сопротивления скребка.

Примем в первом приближении, что линейная скорость скребка относительно стенок резервуара много больше линейной скорости движения продукта относительно стенок резервуара. Тогда средняя скорость обтекания скребка продуктом равна линейной скорости движения скребка:

и = 2яп£>/2 = ппО,

где и- средняя скорость обтекания скребка жидкостью, м/с;

п - частота вращения лопасти мешалки, с-1;

Б - диаметр резервуара, м.

Проекция площади скребка на радиус

= ^со5

где проекция площади скребка на радиус, м2;

Ь - длина скребка, м;

Ь - ширина скребка, м;

Р - угол между скребком и радиусом, град. Проекцию давления на нормаль к радиусу вычислим по формуле

р = £лрм2/2,

где р - проекция давления на нормаль к радиусу, Па; £л- коэффициент лобового сопротивления, отнесенный к проекции скребка на радиус; р - плотность перемешиваемого продукта, кг/м3. В формуле (3) наибольшую сложность представляет определение коэффициента лобового сопротивления £л. Ранее при изучении этой проблемы [1, 3, 9] не уделялось должного внимания выявлению зависимости от геометрических и гидромеханических параметров. В данной же работе была предпринята попытка установить эту зависимость.

Априорно можно предположить, что зависит от трех величин: кинематической вязкости V, ширины скребка Ь и угла между скребком и радиусом (3. Автором были проведены сотни опытов на модельных средах и реальных продуктах, и в результате обработки опытных данных была получена следующая зависимость: £„=21145 V0 957 [(2,4576 + 0,378)/( 1,138Ь115 +

+ 0,125)]-{[0,457(90 - (З)0’356 + 0,561]/16,34 +

+ 0,31 соз

где V- кинематическая вязкость продукта, м2/с. Погрешность формулы (4) не превышает ±5 %. Подставив (4) в (3), определяем р, после чего можно рассчитать силу давления продукта на лопасть в проекции на нормаль к радиусу:

Р= рБк = £лр

где Р- сила, Н.

Момент от силы /'равен:

М = Л)/2 - £лр

где М - момент, Нм.

Далее рассчитываем мощность, затрачиваемую на преодоление сопротивления трения продукта о скребок: N1 = 2ппМ1 = пп1 £лр

где - мощность, затрачиваемая на преодоление трения о продукт, Вт;

Z - число скребков.

Входящая в зависимость (4) кинематическая вязкость

V рассчитывается по общеизвестной формуле

V = м/р,

где ц - динамическая вязкость, Пах.

Большинство вязких пищевых продуктов представляют собой неньютоновские жидкости. Поэтому их динамическая вязкость ц зависит от градиента скорости и определяется по формуле

Ц = ^

где к - коэффициент Оствальда; у - градиент скорости, с-1; т - показатель неньютоновского поведения.

Для определения градиента скорости у используем методику, разработанную автором на основании полу-эмпирической теории турбулентного переноса [5].

В работе [10] на основании гипотезы о вязком затухании турбулентных пульсаций у твердой стенки приводится следующее уравнение:

5/у = {1 + [1 + 0,64г|2[1 - ехр

где 8 - коэффициент турбулентного обмена, м2/с;

Г) - безразмерное расстояние от стенки. Безразмерное расстояние от стенки Г) вычисляется по формуле ц = и.у/V,

где и *— динамическая скорость, м/с;

у - расстояние от стенки в направлении радиуса кривизны поверхности, м.

Максимальное безразмерное расстояние от стенки определяется по формуле

Т1м = «*>'м/ум>

где Г|м - максимальное безразмерное расстояние от стенки;

ум - расстояние от стенки до точки с наименьшей или наибольшей (в зависимости от направления теплового потока) температурой жидкости, м.

И.В. Доманский и В.Н. Соколов, разработав полуэм-пирическую теорию турбулентного переноса, в работе [4] приводят следующие формулы: а V Рг

¥ ’

X I у/У-4 ХІІ

рпГГИ

где а - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 К);

X - коэффициент теплопроводности перемешивае-

мого продукта, Вт/(м-К);

Н - высота резервуара, м;

Рг = С-Ц./А. - критерий Прандтля; с - удельная теплоемкость продукта, Дж/(кг К); X- коэффициент;

\|/ - безразмерная разность температур. Безразмерная разность температур у вычисляется по формуле

п

V-

1 5

0 0---------1-----

Рг V

При увеличении г| подынтегральная функция в формуле

В диапазоне 100 < Рг < 106 максимальная относительная погрешность формулы (15) не превышает 5 %. Таким образом, наиболее сложная и трудоемкая работа -вычисление двойного интеграла - свелась к одной формуле.

И.В. Доманский и В.Н. Соколов в работе [4] приводят уравнение

Е0 = М2,

где Е0- диссипация энергии у твердой стенки, Вт/м3. В этой же работе приводится формула Е0 = Х%

где средняя по объему диссипация энергии, Вт/м3. Из работы [4] известно, что

Ё= 4ЛУ

Приравняв правые части уравнений (16) и (17), получим

цу2 = Х4£\

Подставив в

Решаем уравнение (20) относительно у:

У = [4 АЪ?/{пОНк)]1Лт + ».

Из формулы

X = [

Подставим в уравнение (13) уравнения (22), (8) и (9), в результате серии последовательных преобразований получим

О^оу0,5'"-') Рг

V5 ~ V '

С учетом уравнения (15) получим

а*о,.уо,рг

Хр°

11 Рг°

Подставим в формулу (24) значение критерия Пран-дтля и решим полученное уравнение относительно у:

N — ппі^„р[(ппО)2/2]L6cos(P)D [1 +0,5 fc. /sin(P)|

Y =

I la*0

Общеизвестна теоретическая формула для определения коэффициента теплоотдачи а резервуара со скребковым перемешивающим устройством:

а =

Тогда из(25)получим

Y =

0,23 0.5 0,5 к 0.23

Теперь, зная у, имеем все необходимые данные для

расчета по формуле (4) и, следовательно, для расче-

та /V, по формуле (7).

Далее необходимо определить мощность, расходуемую на трение скребка о стенку цилиндра резервуара. С довольно большой степенью точности можно допустить, что сила Р приложена в центре скребка. Тогда уравнение равенства моментов относительно оси вращения скребка запишется следующим образом:

РЬ/2 = Ь 5іп

где Роп - реакция стенки цилиндра резервуара, Н. Общеизвестно, что

^тр =

где /1, - сила трения, Н;

ктр - коэффициент трения. Тогда из (28), сократив Ь, имеем

F/2 ~ /rTp/^rpsin(P), откуда

Fip = (//2)[Vsin(P)].

Подставив (5) в (31), получим

= £лр

Момент от силы Р^ равен:

М2 = Р^ Я/2 = £лр

Тогда мощность, расходуемая на преодоление трения скребка о поверхность цилиндра резервуара, будет равна:

Ы2 = 2пщМ2 = я/ц£лр( 1^/4)ЬЬсов(Р) [/стр/51п(р)) Д (34) где Ы2 - мощность, расходуемая на трение скребка о стенку, Вт.

Суммарная мощность (Вт), расходуемая на перемешивание, представляет из собой сумму и ЛГ2:

N= N^ + УУ2,

Подставим в формулу (35) уравнения (7) и (34) и вынесем за скобки общие множители:

N2 = пп1^„р(и2/2)ЬЬсо$ф) И + п/7^лр(м2/4)/.6со5(Р)х Х[ктр/51п(Р)] И = ЛА7^лР(М2/2)/-6С05(Р)£>х

х[1 + 0,5^1п

Подставив в (36) формулу (1), получим

= 0,5я3«3^лр16со5

Градиент скорости у рассчитан по формуле (27) для теоретического резервуара со скребковыми перемешивающими устройствами. В реальном резервуаре коэффициент теплоотдачи может отличаться от рассчитываемого по формуле (26), следовательно, и значение градиента скорости может быть несколько иным. Для определения истинного значения градиента скорости объединим полуэмпирическую теорию турбулентного переноса с полученной автором полуэмпирической формулой (4).

Распишем формулу

Список литературы

1. Бегачев В.И., Гурвич А.Р., Брагинский JI.H. Обобщенный метод расчета мощности при перемешивании высоковязких ньютоновских и неньютоновских сред // Теоретические основы химической технологии. 1980. Т. 14, № 1.

2. Глуз М.Д., Павлушенко И. С. Затраты мощности на перемешивание неньютоновских жидкостей // ЖПХ. 1967. Т. 40, №7.

3. Глуз М.Д., Павлушенко И.С. О мощности, затрачиваемой на перемешивание скребковыми мешалками // Теоретические основы химической технологии. 1969. Т. 3, № 5.

4. Доманский И.В., Соколов В.М. Обобщение различных случаев конвективного теплообмена с помощью полуэмпирической теории турбулентного переноса // Теоретические основы химической технологии. 1968. Т. 2, № 5.

5. Николаев Б.Л. Полуэмпирическая методика определения коэффициента теплоотдачи и градиента скорости в аппаратах со скребковыми перемешивающими устройствами // Теоретические, экспериментальные исследования процессов, машин, агрегатов, автоматизаций, управления и экономики пищевой технологии: Межвуз. сб. науч. тр. — СПб.: СПбТИХП, 1994.

6. Регер Э.О., Лацер И. О расходе энергии, теплообмене и времени пребывания в реакторах со скребковыми мешалками в области ламинарного течения // Теоретические основы химической технологии. 1981. Т. 15, № 1.

7. Розанов Л.С., Ластовцев А.М. Мощность мешалки со скребками при работе в высоковязких ньютоновских жидкостях // Химическое и нефтяное машиностроение. 1969. № 4.

8. Фройштетер Г.Б., Скурчинский В.А., Кравченко В.Р., Мам-ченко С.Д. Исследование закономерностей ламинарного течения и затрат мощности в скребковых аппаратах // ЖПХ. 1978. Т. 51, вып. 1.

9. Фройштетер Г.Б., Скурчинский В.А., Мамченко С Д., Кравченко В.Р. Распределение окружной скорости и затраты мощности при перемешивании скребковых аппаратов // Труды 3-й Всесоюзной конференции по теории и практике перемешивания в жидких средах. — М., 1976.

10. Vermeulen Т., Williams G., Langlois G. Interfacial area in liquid-liquid and gas-liquid agitation // Chem. Eng. Crogr. — 1955, V. 51.

D.23

0.23-WI-0.73