Об арифметической сложности вычисления линейных преобразований

3. Becherer D. The numéraire portfolio for unbounded semimartingales // Finance Stochast. 2001. 5. 327-341.

4. Essche F., Schweizer M. Minimal entropy preserves the Levy property: how and why // Stochast. Proc. Appl. 2005. 115, N 2. 299-327.

5. Jeanblanc M., Klöppel S., Miyahara Y. Minimal f ^-martingale measures for exponential Lévy processes // Ann. Appl. Probab. 2007. 17. 1615-1638.

6. Hurd Т.К. A note on log-optimal portfolios in exponential Lévy markets // Statistics and Decisions. 2004. 22. 225-236.

7. Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Ann. 1998. 312, N 2. 215-260.

8. Kallsen J. Optimal portfolios for exponential Lévy processes // Mathematical Methods of Operations Research. 2000. 51. 357-374.

9. Göll T., Kallsen J. A complete explicit solution to the log-optimal portfolio problem // Ann. Appl. Probab. 2003. 13. 774-799.

10. Karatzas I., Kardaras C. The numéraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stochast. 2007. 11. 447-493.

11. Takaoka K. On the condition of no unbounded profit with bounded risk // Graduate School of Commerce and Management. Hitotsubashi University, 2010. Working Paper N 131; http://hdl.handle.net/10086/18812.

12. Kardaras C. No-free-lunch equivalences for exponential Lévy models under convex constraints on investment // Math. Finance. 2009. 19. 161-187.

13. Eberlein E., Jacod J. On the range of options prices // Finance Stochast. 1997. 1. 131-140.

14. Jacubénas P. On option pricing in certain incomplete markets // Proc. Steklov Inst. Math. 2002. 237. 114-133.

15. Cherny A. S., Shiryaev A.N. Change of time and measure for Lévy processes // Lectures for the Summer School "From Lévy processes to semimartingales: Recent theoretical developments and applications in finance". Aarhus, 2002.

16. Селиванов A.B. О мартингальных мерах в экспоненциальных моделях Левн // Теория вероятностей и ее применения. 2004. 49, № 2. 317-334.

17. Sato K.-I. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

18. Jacod J., Shiryaev A.N. Limit Theorems for Stochastic Processes. 2nd ed. N.Y.: Springer, 2003.

19. Jacod J. Calcul stochastique et problèmes de martingales. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1979.

Поступила в редакцию 24.09.2012

УДК 519.95

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СЛОЖНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

С. Б. Гашков1

Получены точные по порядку квадратичные и чуть более высокие оценки сложности вычисления некоторых линейных преобразований схемами в базисе {x + y}"0{ax : |a| ^ C}, состоящем из операции сложения и скалярных умножений на ограниченные константы, а также верхние оценки O(n log n) для сложности вычисления в базисе, состоящем из всех линейных функций {ax + by : a,b € К}. Нижние оценки вида ©(nlogn) получены для базиса из всех монотонных линейных функций {ax + by : a,b > 0}.

Ключевые слова: биномиальное преобразование, преобразования Стирлинга, преобразование Лаха, треугольник Паскаля, треугольник Паскаля по простому модулю, матрица Серпинского, матрица Адамара-Сильвестра, треугольники Стирлинга 1-го и 2-го рода, коэффициенты Гаусса, коэффициенты Галуа, сложность вычисления, схемы в базисах из арифметических и линейных операций.

Quadratic and superquadratic estimates are obtained for the complexity of computations of some linear transforms by circuits over the base {x + y}^{a,x : |a| < C} consisting of addition and scalar multiplications on bounded constants. Upper bounds O(n log n) of computation complexity are obtained for the linear base {ax + by : a,b € R}. Lower bounds ©(n logn) are obtained for the monotone linear base {ax + by : a,b > 0}.

1 Гашков Сергей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sbgashkovQgmail .com.

Key words: binomial transform, Stirling's transforms, Lah's transform, Pascal's triangle, Pascal's triangle modulo p, Stirling's triangles, Serpinsky's matrix, Hadamar-Silvester matrix, Gauss's coefficients, Galois's coefficients, computational complexity, schemata over bases of arithmetical and linear operations

В комбинаторике (см. fl, 2]) известны биномиальное преобразование Rn определяемые формулами

^ Rn и обратное к нему,

Vk

£

m=0

к

m

Xk

E(-D

k-m

m=0

к

m

Vm, к = 0,...,n - 1,

где = к!/(т!(к — т)!) — биномиальные коэффициенты. Представляет интерес вопрос о сложности вычисления биномиального преобразования с помощью различных наборов элементарных операций. Легко вычислить числа, образующие треугольник Паскаля порядка п, выполни в (п-1) операций сложения.2 Этот алгоритм оптимален в случае базиса элементарных операций {х + у, 1}. Используемая модель вычислений в этом случае известна как аддитивные цепочки (см. [3]). Обобщение этой модели — векторные аддитивные цепочки. Последние можно представлять как схемы с входами хо,... ,хт в базисе {х + у, 1} (подобные схемы для базиса {х + у,ху, 1} рассматривались в [4]).

Используя аналог треугольтика Паскаля, можно вычислить3 биномиальное преобразование в базисе В+ = {х + у} СО СЛОЖНОСТЬЮ (П) .

п

ограниченными константами Вгс = {х + у}^ {ах : |а| ^ С} по порядку не меньше п2.

Доказательство. Воспользуемся следующей леммой из работы [5] (которую приводим без доказательства) .

Лемма 1. Для любой последовательности линейных форм ¡г(х1,...,хп), такой, что ¡г = хг, г =

1,...,n, и для всякого j > i либо lj = alm

^ C, m < j, либо lj = ls

+ lm, s, m < j, рассмотрим

(Ь х п)-матрицу А, строки которой образованы коэффициентам,и указанной последовательности линейных форм ¡з, ] = 1,.. .,Ь. Для любого к ^ п обозначим через максимум модулей миноров порядка, к этой матрицы. Тогда, А^ ^ тах(С, 2)ь~п.

п Ь.

что нижняя часть матрицы А совпадает с матрицей биномиального преобразования. При г = [п/3\ эта матрица содержит минор (г + 1)-го порядка

. (2Г) . (2^Ч

(2r\ 2r

Vr) Vr+lJ

'2r+1\ /2r+1

. r ) V r+1

(3r\ ( 3r ]

r Vr+1J

Согласно [6, задача 317], этот минор равен ¡tri    т?+тг = 2 V/o-1У • • • ч~Tiv • Применяя формулу Стир

ет СЙ) ~ 2г!(2г-1)! •••г!(г+1)|-

( 3r ) (2r+1) 2 2

линга, получаем ... Vr+i\ ^ (27/16)г _в(г)) значит, Ar+i ^ 2е(га ) (здесь и далее а = 6(6) означает,

Vr + 17 Vr+17

что cb ^ a ^ Cb, где c,C — некоторые константы). Применяя лемму 1, имеем L ^ B(logAr+i) ^ 0(n2), что доказывает теорему 1.

Если расширить базис до линейного Bi = {x+y}U{ax : a E R}, включив в него скалярные умножения на любые константы, то будет справедлива

n Bi

O(n log n), а в базисе B+,*,/ = {x + y,xy, 1/x} равна, O(n log n log log n). Такая же оценка, справедлива и для базиса Bi,* ,/ = {x ± y}^ {nx : n E N} U{x/n : n E N}. Сложность вычисления, биномиального преобразования порядка, n над полем характеристики p в бази се {x+y mod p} не боль ше ((p-l)/2)n logp n. Доказательство. Биномиальное преобразование порядка п можно представить в виде свертки =

(ге-1)! ) ' Значит) Для вычисления

Е.

k

1

т=0 (к—т)\ т).

T^f, k = 0,... ,п — 1, векторов ..., (^гтут) , (f,

2 В силу симметрии реальное число сложений почти вдвое меньше.

3Это сделано в дипломной работе М. Цыганкова.

X

m

a

k = 0,...,n — 1, достаточно найти младшие n коэффициентов произведения полиномов

Если обозначить через M(n) сложность умножения двух полиномов степени n — 1 в базисе = {x + у, ху, —1}, то в базисе -В+,*,/ сложность вычисления Щ, к = 0,..., п — 1, оценивается сверху как М(п) + 4п, значит, сложность вычисления биномиального преобразования порядка n оценивается сверху как M (n) + 5n. Метод умножения Кантора-Калтофена [7] дает оценку M(n) = O(n log n log log n). Так как один из сомножителей состоит из констант, а алгоритмы Кантора-Калтофена и Шёнхаге (см. [7-9]) билинейные, то ту же оценку можно получить и в базисе В базисе Bi в полях R, С справедлива оценка O(n log n).

Действительно, умножение полиномов сводится к трехкратному применению быстрого преобразования Фурье (БПФ) [9-11]. Сложность вычисления БПФ равна O(n log n) уже в базисе Bi,При доказательстве последнего утверждения теоремы можно ограничиться конечным полем GF (p), а треугольник Паскаля определять с помощью тождества Паскаля по модулю p. Достаточно доказать, что при n = pk сложность вычисления преобразования Fn : yk = kn=0 Ck)xm, k = 0,...,n — 1, оценивается как ((p — 1)/2)n logp n. Матрица Pn этого преобразования представима в виде кронекерова произведения Pn = Pp  Pn/p, значит, преобразование y = Fn(x) можно вычислить, применив вначале p раз преобразование Fn/p к векторам (x0,..., xn/p-1), ..., (x(p-\)n/p,..., xn-1) и вычислив p штук n/р-мерных векторов z0,..., zp-i, а потом применить к этим векторам покомпонентно n/p раз преобразование Fp. Отсюда по индукции имеем

L(n) < (k — 1)n(p — 1)/2 + pk-1L(p) = kn(p — 1)/2 = ((p — 1)/2)n logp n.

Замечание 1. Задачу о вычислении преобразования Fn, матрица которого состоит из чисел j mod p, можно рассмотреть и над полем характеристики нуль в базисе B+. В этом случае L(n) = O(p2n log2 n). В случае p = 2 рекуррентное правило построения матрицы Mk = P2k выглядит так: Mk 0

Mk+1 =

Mk Mk

, M0 = 1. Матрица Mk размера n х n, где n = 2k, в [12] называется матрицей Сер-

пинского, и для соответствующего линейного преобразования там доказана нижняя оценка (п/2)^2 п сложности вычисления в булевом базисе Бф при некотором ограничении на класс используемых схем4.

Определим индуктивно последовательность f (п) = f (2к) + f (п — 2к) + п — 2к, 2к < п < 2к+1, f (0) = f (1) = 0. По индукции выводится явное выражение f (п) по данной двоичной записи п = ^"=1 2kS < к2 < ... <кт:

т т— 1

f (п) = ^2к—1кг + (т — г),

г=1 г=1

в частности f (2к) = 2к—1к, f (п) = в(п log2 п).

п

тонном линейном базисе Бт,[ = {ах + Ьу : а,Ь € М+} не меньше (п), сложность вычисления р-ичного линейного биномиального преобразования порядка п с коэффициентами аг^ = (*) шоё р, аг^ = 0, г < ], в базисе Вт1 не меньше £0-п1(щрп, а в случае р = 2 сложность линейного преобразования порядка п с коэффициентами аг , ^ = (р шоё 2 в базисах Бт, ¡и Б+ равн а f (п).

Доказательство. Докажем (модифицируя рассуждения из [12]) нижнюю оценку для линейного биномиального преобразования и для линейного преобразования Серпинского Сп индукцией по п. База (п = 1, 2) очевидна. Шаг индукции: пусть дана схема 5 с входами Х1,... ,хп, вычисляющая преобразование Сп. Выделим в ней подсхему 51, состоящую из элементов, связанных только с входами Х1,... ,Х2к, 2к < п ^ 2к+1. Эта подсхема содержит выходы у1 ,...,у2к и вычисляет преобразование С2к. Поэтому сложность 51 не меньше f (2к). Рассмотрим подсхему 52, состоящую из всех элементов, не входящих в 51. Подставим нули вместо входов хг, г ^ 2к. На выходах у^, ^ > 2к, будет вычисляться преобразование Сп—2к(х2к+1,...,хп). На выходах всех элементов из 51 появятся нули. Обозначим через 53 множество

52, ах

ляр и могут быть удалены. Число оставшихся элементов 52 не меньше f (п — 2к). Пусть число элементов 5з

4А. В. Чашкин обратил мое внимание, что в [13] фактически при том же ограничении на те же схемы доказана та же оценка для той же матрицы (матрица Серпинского, она же матрица Паскаля по модулю два, в [13] явно не выписывается, а появляется как матрица линейного преобразования, превращающего значения булевой функции в коэффициенты ее полинома Жегалкина, называемого также алгебраической нормальной формой этой функции).

равно m и zi,...,zm — линейные функции от xi,..., xn, реализуемые на выходах этих элементов. В силу монотонности все Zi должны зависеть от каких-то xj, j > 2к. Подадим на входы xi, i > 2к, нули. Функции Zi превратятся в фу нкции zi (xi,..., x2k), а функции y2k+i,. ..,yn — в функц ии yj (xi,..., x2u), j = 1,...,n- 2к. Обозначим все ненулевые функции, которые реализуются на выходах элементов из S2 при этой подстановке нулей, через ui. Для произвольного элемента, реализующего ui, рассмотрим подсхему, образованную им самим и всеми его "предками". На каждой цепи, соединяющей этот элемент с входами xi, Si .

шественник на этой цепи принадлежит S3 и ревизует некоторую функцию zi. Выберем на каждой цепи

ui

ходах этих элементов, т.е. линейной комбинацией функций zi. Все функции yj, j = 1,... ,n — 2к, линейно выражаются через zi, i = 1,. ..,m. Функции yj, j = 1,... ,n — 2к, линейно независимы, так как совпадают с функциями yj, j = 1,.. .,n — 2кпреобразования Cn. Поэтому m ^ n — 2к, согласно известной лемме линейной алгебры. Из доказанного имеем, что сложность схемы S не меньше f (2к) + f (n — 2к)+n — 2к = f (n).

По индукции можно построить схему S сложности f (n), реализующую преобразование Cn. Для биноми-

p

ния Серпинского указанное выше доказательство можно видоизменить, доказав нижние оценки L(n) ^ (1 — 1/p)n logp n при n = рк.

Замечание 2. Верхняя оценка сложности биномиального преобразования в базисе Bm, ^^нa O(n2). В базисе B+ ее улучшить нельзя согласно теореме 1, а в базисе Bl — можно согласно теореме 2. Если рассматривать биномиальное преобразование в поле характеристики p, то для базиса {x+y mod p} можно аналогичным образом получить такие же оценки, если наложить на схемы такое же ограничение, как в [12, 13]. Доказательство нижней оценки указанного вида проходит для любого треугольного линейного преобразования, в котором подходящие миноры отличны от нуля. В [14] для схем в линейном базисе с определенными ограничениями и для линейных преобразований с треугольными матрицами вида Мк+i =

Мк ^ указаны рекуррентные нижние оценки вида L(Mк+l) ^ L(Mk) + L(Tk) + rank Qk. Аналогичные Чк T к

о о Bm i.

Ак —Ак

Ak+i —

Ak Ak

Ao — 1, где —Ak обозначает булеву матрицу, состоящую из отрицаний элементов

булевой матрицы Ак, то получим булеву матрицу Адамара-Сильвестра. Для нее в базисе Вф = {х  у},

где операция сложения есть сложение по модулю два, сложность реализации соответствующего линейного преобразования не больше (п/2)^2 п, п = 2к. Обычная матрица Адам ара-Сильвестра получается из

Зк —3к

булевой заменой нулей на (—1) и вычисляется по рекуррентному правилу Sk+i —

Sk Sk

So — 1.

Теорема 4. В базисе Bi,с сложность вычисления линейного преобразования с (n x n)-матрицей Адамара-Сильвестра Sk, n — 2k, по порядку равна n log2 n. То же верно и для матрицы Ak.

Доказательство. Верхние оценки доказываются так же, как в теореме 2. Они справедливы для базиса B- — {x — y}. Анадогично теореме 1 для линейного преобразования с матрицей Sk можно получить и нижнюю оценку 0(n log n). Для этого достаточно заметить, что log2 det Sk — (n/2) log2 n. Нижняя оценка для преобразования с матрицей Ak выводится из оценки для матрицы Sk.

Замечание 3. Справедливы равенства Ьв_(Ак) = flog2п + 0(п), Ls_(Sk) = flog2п + 0(п). Для Вф — {x  y}, где операция сложения есть сложение по модулю два, в [15] было доказано, что Lb9 (Ak) — O(n), n — 2k.

n

Теорема 5. В базисе В+,* сложность вычисления n-й строки треугольника Паскаля равна O(n log n log log n).

Доказательство. Вычисление , k — 0,.. .,n, равносильно вычислению коэффициентов полинома

Pn(x) = (1 + х)п. Так как рп(х) = р\{х) или рп(х) = р2п_1(х)(1 + х), то сложность Ь(п) вычисления

2

коэффициентов полинома pn рекуррентно оценивается как L(n) ^ L(|_n/2_|) + M(|_n/2_|) + O(n). Для оценки M (n) в бази ce В+, * можно применить адгоритм Кантора-Кал тофена. Тогда M (n) ^ 2M (n/2). Применяя индукцию, имеем

L(n) < M (n/2) + M (n/4) + ... + M (1) + O(n + n/2 + ... + 1) < M (n) + O(n).

5Для базиса В+ М. Цыганков в дипломной работе показал, используя [16], что эта сложность асимптотически не больше

n /4lnn.

Рассмотрим задачу вычисления преобразований Стирлинга 1-го рода y = s(x) и 2-го рода x = S(y), взаимно обратных друг к другу:

k к yk } ^ smxm, хк ^ ^ Smym, к = 0,...,П — 1,

^mb

m=0 m=0

где sm, Sm— числа Стирлинга 1-го и 2-го рода соответственно, а также монотонного преобразования Стирлинга 1-го рода yk = Y2m=i \sm\xm, к = 1,... ,n. Число Bn = S'kn всех разбиений n-элементного множества на непустые подмножества называется числом Белла. Композиция преобразований yk = ^2 m=o\sm\zm, zk = ^2 m=o Smxm, к = 0,...,n — 1, называется преобразованием Лаха y = L(x) n

(x)n = £ Lnk(x)k, Lnk = (n - 1 + k)Lnk-1 + Lnkz\, n,k> 0, L0 = 1, Ln k=0

Теорема 6. Сложность вычисления n-u строки треугольника Cmирлинга 2-го рода в базисе B+,*,/ есть O(n log n log log n). Сложность вычисления n-u строки треугольника Cm ирлинга 1-го рода, в базисе B+,* есть O(n log2 n log log n). Для сложности вычисления линейного преобразования, Стирлинга 1-го рода (и монотонного преобразования Стирлинга 1-го рода) в fa,зисе Bic и в базисе B+ справедливо равенство 0(n2 log2 n).

Доказательство. Для доказательства первого равенства используем теорему 2, тождество

m=0 ,n

и тот факт, что сложность вычисления 1n, 2n,...,nn в бази се B+, * равн a O(n log n).

Для вычисления n-й строки треугольника Стерлинга 1-го рода в базисе B+, согласно тождеству

(x)n = x(x + 1)... (x + n - 1) = J]\sn\

n \xk k\x

k=0

достаточно вычислить коэффициенты полинома (x)n = x(x + 1)... (x + n — 1). Для этого применяем метод "деления пополам" (см. [9, 10]), в котором вычисление рекуррентно сводим к вычислению коэффициентов полиномов (x) Ln/2J, (x + [n/2\ynW и их последующему умножению со сложностью M (|~n/2~|). Рекуррентная оценка сложности всего вычисления есть L(n) ^ 2L(|n/2|) + M(|_n/2_|) + O(n), и из нее по индукции, используя алгоритм Кантора-Калтофена, с помощью неравенства 2M(n/2) ^ M(n) получаем

L(n) = log nM (n) + O(n) = O(n log2 n log log n).

Докажем третье утверждение. Верхняя оценка справедлива для базиса {x + y,x — y}, а в случае монотонного преобразования и для базиса B+. Действительно, пусть yk = ^2m=i \sm\xm, к = 1,...,n. Так как \sn\ = + (n — \, то yn = (n — 1)yn-i + yn-i,i, Уп-i,i = YTm=2\sm--i\xm, Уп-1 =

(n — 2)yn-2 + Уп-2,i, Уп-i ,i = (n — 1)yn-2,i + Уп-2,2, Уп-2,2 = ^^=3 \sm--2\xm, и т.д. Для ВЫЧИСЛенИЯ yn = (n — 1)yn-i + yn-i,i требуется O(log2 n) операций сложения. На произвольном к-м ярусе схемы число операций равно O(k(1 + log2(n — к))), и поэтому верхняя оценка сложности всего вычисления равна O(n2 log n). Доказательство нижней оценки подобно теореме 1: достаточно вычислить определитель

An = det

S1 n 0П\ 0П , 1 \ \ s2 \ \sn\

\sn+1\ \sn+1\ ... \sn+1\

\s2n-1\\s2n-1\...\s2nn-1 \

= (sn)n = ((n - 1)!)n

Применяя лемму 1, имеем нижнюю оценку log An = B(n2 log n).

Теорема 7. Сложность вычисления, преобразования Лаха порядка, n в базисе Bi по порядку не больше O(n log n), а в базисе B+^j по порядку не больше O(n log n log log n). Для базиса Bm,i справедлива нижняя оценка, f (n) для, сложност,и преобразования, Лаха, порядка, n. Для базиса Bi,с сложность преобразования Лаха порядка, n равн a 0(n2 log2 n).

m

Доказательство. Преобразование Лаха

ym

Y.L? Xk,

т m Lk

k=i

m — 1 k1

m!

~fcT'

m — 1,

,n,

можно записать в виде композиции "растяжения" ym = m!Ym, m = 1,...,n, биномиального отображения Ym = m=i Cfc-i)Xk, m = 1,...,n, и "сжатия" Xk = Xk/k!, k = 1,...,m. Если обозначить сложности преобразования Лаха и биномиального преобразования соответственно через Li(n),L2(n), то отсюда вытекает равенство |L1 (n) — L2(n)| = O(n) для любого из базисов Bl, B+^j, Bml, Bl^j. Из этого равенства и теорем 2, 3 получаются верхние оценки для этих базисов и нижняя оценка f (n) — O(n) = B(n log2 n) для базиса Bm,l. Для базиса Bl,с аналогично находим, что L1(n) ^ L2(n)+O(n2 log2 n) = O(n2 log2 n). Оценку f (n) — O(n) можно усилит ь до f (n), a для базиса Bi, с получить нижнюю оценку B(n2 log2 n) аналогично теореме 1.

Аналогом биномиальных коэффициентов являются ^-коэффициенты Гаусса

qn — 1 qn-i — 1

q

n-k+i _ 1

qk - 1 qk~l - 1

q—1

— 1.

Числами Галуа называют суммы Gn(q) = Y1 П=о © . Для известно тождество Gn+i(q) =

2Gn(q) + (qn — 1)Gn-i(q), из которого следует, что сложность вычисления в базисе B+,* всех чисел Галуа Gi, ...,Gn равнa O(n + logq).

Рассмотрим преобразование Гаусса yk = ^m=0 Ск) qxm, k = 0,...,n — 1, и обратное к нему xk =

Em=o( —1)к-т q(k-m) (m )q ym, к = 0,...,n — 1.

q Bi

O(n log n), в базисе Bi,c при нечет HOMq^eHaQ(n3 log q), а в базисе B+* * , / равн a O(n log n log log n + log q). Такая же оценка, справедлива и для ба,зиса, Bi * * , /. Для базиса Bm, i сложмость преобразования Гаусса по порядку не меньше n log2 n. В базисе B+,* сложность вычисления, n-u строки q-6iM0M,UMbH0S0 треугольника Гаусса равна, O(n log2 n log log n + log q).

Доказательство. Первое утверждение доказывается аналогично теореме 2: достаточно представить

n

yk

Е

1

xm

, k — 0,...,n — 1.

Доказательство нижней оценки в случае базиса В1,с аналогично теореме 1: при г = 2к ^ [п/3\ < 2к+1 для

log det

/ 2r \ f 2r \ [2r\

WiZ q \r+2J q ... \2r) q (2r+i\ (2r+i\ (2r+i\

r+i q r+2

q

2r

q

/3r-i\ /3r-i\

r+i q r+2 q

3r-i 2r q

получаем нижнюю оценку

в log

(3r"4

v r J q

-72y

rq

— e(log(((qr )r )r ))—e(n3 log q).

Bi,i

k

yk —

m=o

xm —

qn2 q-

m=o

m

k — 1,...,n,

q-

-.-n2 ( k ^

€ (0,1), к = 1,...,п. Для обратного преобразования все аналогично. Нижняя оценка в базисе Вт,1 доказывается анадогично теореме 3 и равн а, как и в ней, f (п). Для доказательства

q

q

k

2

x

m

q

q

последнего утверждения теоремы 8 понадобится лемма о коэффициентах в интерполяционной формуле Ньютона, в формулировке которой используются два семейства полиномов. Пусть fn(x) = (x + ai)... (x + an) — последовательность полиномов, fo(x) = 1. Для каждого i < log2 n определим последовательность полиномов

2l 2l n-2i\n/2i J

fi, 0(x) = n(x + aj ), fi > i(x) = II(x + а21 +j ), ..., fi, \n/2i J(x) = П (x + a2i\n/2i J+j) j=i j=i j=i

(если n кратно 2i, то последний полином равен 1). Пусть p(x) = bo + bix + ... + bnxn — произвольный полином и p(x) = cofo(x) + ... + cnfn(x) — его разложение по системе определенных выше полиномов

{fo, ..^ fn}.

Лемма 2. Для вычисления коэффициентов Ck, к = 0,...,n, можно применить следующий рекуррентный алгоритм, в котором для простоты обозначений полагаем n = 2k .Разделим p(x) на fn/2(x) с остатком: p(x) = po(x) + pi(x)fn/2(x), degpo < n/2 = 2k-i, degpi ^ 2k-i. Тогда коэффициенты Ci, i < n/2 = 2k-i, можно найти, рекурсивно применив описываемый алгоритм к полиному po(x) и системе полиномов {fo,... fn/2-i}, а остальные коэффициенты Cj, j = n/2,...,n, можно найти, рекурсивно применив описываемый алгоритм к полиному pi(x) и системе полиномов {ho = 1,hi = x + an/2+i,..., hn/2 = (x + an/2+i) ...(x + an)}.

Доказательство можно провести по индукции. Для обоснования шага индукции достаточно заметить, ЧТО если po = Cofo + ... + Cn/2-ifn/2-i, pi = Cn/2ho + ... + Cnhn/2, TO p = po + pifn/2 = Cofo + ... + Cn/2-i fn/2-i + fn/2(Cn/2 ho + ... + Cnhn/2) = Co fo + ... + Cn/2-i fn/2-i+ Cn/2fn/2ho + ... + Cnfn/2hn/2 =

Co fo + ... + Cnfn. В процессе рекурсивного развертывания алгоритма вычисляются коэффициенты полиномов fi,o(x),..., fin/2i-i(x) и выполняются для каждого полинома fi,2j, j = 0,... ,n/2i+i — 1 деления с остатком на эти полиномы некоторых полиномов степени 2i+i — 1.

Оценим сложность вычислений в базисе B+,*, выполняемых в алгоритме леммы 2 в случае ai = qi-i. Сложность вычисления констант ai не больше n + log q. Для вычисления каждого полинома fij нужно перемножить fi-i , 2j и fi-i , 2j+i. Это делается со сложностью M(2i-i). Полная сложность вычисления всех этих полиномов оценивается как 2k-iM(1)+2k-2M(2)+.. .+2M(2k-i) < kM(2k) = O(lognM(n)). Известно

2n — 1 n

базисе B+,* со сложностью D(n) = O(M(n)). Поэтому для сложности вычислений в алгоритме леммы 2 имеем следующую рекуррентную оценку L(n) ^ 2L(n/2) + D(n/2), из которой по индукции получается при n = 2k ^^етка: L(n) ^ D(2k-i) + 2D(2k-2) + ... + 2k-iD(1) = O(lognM(n)). В общем случае она остается такой же. Используя алгоритм Кантора-Калтофена, получаем, что сложность вычисления в базисе B+,* всех коэффициентов (П)д, к = 0,...,n, равна O(log nM (n)) = O(n log2 n log log n + log q).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты № 11-01-00508 и 11-01-00792а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.

2. Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. М.: Наука, 1990.

3. Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. М.: Вильяме, 2000.

4. Гашков С. Б. О сложности вычисления некоторых классов многочленов нескольких переменных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1988. № 1. 89-91.

5. Morgenstern J. Note on lower bound of the linear complexity of the fast Fourier transform // J. Assoc. Comput. Mach. 1973. 20, N 2. 305-306.

6. Фаддеев Д.К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. СПб.: Лань, 1999.

7. Cantor D., Kaltofen Е. On fast multiplication of polynomials over arbitrary algebras // Acta Inform. 1991. 28. 693-701.

8. Schonhage A. Schnelle multiplikation von polynomen iiber korpern der charakteristik 2 // Acta Inform. 1977. 7. 395-398.

9. von zur Gathen J., Gerhard J. Modern computer algebra. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

10. Ахо Ф., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Проектирование и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979.

11. Cooky J., Tukew J. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Math. Comput. 1965. 19. 297-301.

12. Boyar J., Find M.C. Cancellation-free circuits: An approach for proving superlinear lower bounds for linear Boolean operators // 2012. ArXiv.org > cs > arXiv. 1207.5321.

13. Селезнёва С.Н. Нижняя оценка сложности нахождения полиномов булевых функций в классе схем с разделенными переменными // 11-й Междунар. семинар "Дискретная математика и ее приложения". М.: Изд-во МГУ, 2012. 216-218.

14. Григорьев Д-Ю. Нижние оценки в алгебраической сложности вычислений // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1982. 118. 25-82.

GF

16. Гашков С.Б., Кочергин В.В. Об аддитивных цепочках векторов, вентильных схемах и сложности вычисления степеней // Методы дискрет, анализа в теории графов и сложности. Вып. 52. Новосибирск, 1992. 22-40.

17. Гашков C.B., Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М.: Высшая школа, 2000.

Поступила в редакцию 10.10.2012

УДК 517.5

СВОЙСТВА СМЕШАННОГО МОДУЛЯ ГЛАДКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ПОРЯДКА В СМЕШАННОЙ МЕТРИКЕ М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе рассматриваются основные свойства смешанного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике.

Ключевые слова: смешанный модуль гладкости, смешанная метрика.

Basic properties of the mixed modulus of smoothness of positive order in a mixed metric are considered.

Key words: mixed modulus of smoothness, mixed metric.

C.M. Никольский fl] и H.C. Бахвалов [2] ввели в рассмотрение классы функций с доминирующим смешанным модулем гладкости натурального порядка. С тех пор появилось довольно много работ, в которых изучаются как вложения классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости, так и свойства самих смешанных модулей гладкости, особенно большое внимание уделяется исследованию модулей гладкости любых положительных порядков.

В данной работе рассматриваются свойства смешанного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике LPlP2, 1 ^ pi ^ те, i = 1, 2. Аналогичные вопросы рассмотрены для случая 1 ^ pi = p2 ^ те в работе [3].

1. Определения. Введем обозначения:

Lpip2, 1 ^ pi ^ те, i = 1,2, — множество измеримых функций двух переменных f (xi,x2), 2п-

периодических по каждому переменному, таких, что \\f\\Pi,p2 = \\{\\f\\Pi}\\P2 < те, где \\F\\Pi = i

/2тг \ щ

I f \F\Pidx^ , если 1 ^ pi < те, и \\F\\Pi = sup vrai|F|, если pi = те; Vo / o^i^

2n 2n

LP1P2""""""""' множество функций f £ LP1P2, таких, что J f (xi,x2)dxi = 0 для п.в. x2 и J f (xi,x2)dx2 = 0

o o

для п.в. xi;

Vmi,oo(f ),V»,m2 (f ),Vmi,m2 (f) — суммы Вадле-Пуссена ряда Фурье функции f (xi,x2), т.е.

2п 2п

Vmu0o (/) = ^ J f(x1+t1,X2)V^(t1)dt1, Voo ,m2(f) = \ j f{xl,X2+t2)V^{t2)dt2, 0 0 2п 2п

Vmum2(f) = ^ J J f(x1+t1,x2+t2)V^i(ti)V^(t2)dt1dt2 (ггц = 0,1,2,..., i = 1,2), 0 0

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич— канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.