Расчет температурного поля при воздействии излучения на полупрозрачные среды на основе энтальпийного метода

РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ПОЛУПРОЗРАЧНЫЕ СРЕДЫ НА ОСНОВЕ ЭНТАЛЬПИЙНОГО МЕТОДА

Арутюнян Роберт Владимирович,

МТУСИ, Москва, Россия, Rob57@mail.ru

Ключевые слова: лазерный нагрев, полупрозрачные среды, температурное поле, моделирование, влияние теплофизических параметров.

Исследовано влияние нелинейностей теплофизических параметров и фазовых переходов плавления и испарения на тепловые процессы при лазерном нагреве полупрозрачных сред на примере двухслойной системы кварц-железо. Целью работы является выяснение характера влияния нелинейностей теплофизических параметров, фазовых переходов плавления и испарения. В предлагаемой статье результаты известных исследований лазерного нагрева конденсированных сред развиваются на основе учета нелинейности теплофизических характеристик материала, фазовых переходов (плавления, испарения), радиационного и конвективного охлаждения поверхности материала для случая полупрозрачных и двухслойных сред типа кварц-металл. Для решения поставленной задачи сформулирована математическая модель, а также разработаны конечно-разностный метод и программы для ЭВМ, позволяющие эффективно осуществлять компьютерное моделирование тепло- и электрофизических процессов при воздействии лазерного излучения как на полупрозрачные, так и на непрозрачные среды. Решение задачи Стефана находится при помощи сквозного "энтальпийного" метода. Расчет электрического поля осуществляется итерационным методом Зейделя. Вычислительная погрешность контролируется при помощи теплового баланса и сравнения с результатами решения модельных задач. В исследуемой двухслойной системе подложкой является металл, в конкретном расчете - железо. В результате исследований установлено значительное влияние нелинейностей тепло-физических параметров, фазовых переходов плавления и испарения, вида краевых условий и геометрических размеров системы на значения температурного поля, тогда как влияние потерь на радиационное излучение и конвективное охлаждение пренебрежимо. Рассмотрены два типа диапазона излучений: оптический диапазон излучения, для которого кварц является полупрозрачным, а металл - непрозрачным, а также инфракрасный диапазон излучения, в котором кварц, как и металл, является непрозрачным. Исследование выявило потребность в совершенствовании конечно-разностного энтальпийного метода для решения задачи Стефана с целью повышения его точности, в частности при расчете фронта фазового перехода. Представляет интерес дальнейший детальный анализ тепло- и электрофизических процессов в области температуры кипения, выяснение степени адекватности модели спокойного испарения, дополнительный учет газо-, гидро- и электродинамических факторов.

Для цитирования:

Арутюнян Роберт Владимирович. Расчет температурного поля при воздействии излучения на полупрозрачные среды на основе энтальпийного метода // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №2. - С. 57-62.

For citation:

Harutyunyan R.V. Calculation of the temperature field in the effects of radiation on a translucent media based on enthalpy method. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.2, рр. 57-62. (in Russian).

T-Comm Vol.10. #2-2016

Введение

Когерентное излучение является эффективным инструментом многих передовых технологий и используется для получения новых материалов, при обработке материалов, сварке и т.д. [1-7]. Теоретические основы тепловых процессов, имеющих место при взаимодействии излучения с конденсированными веществами, и соответствующие современные модели лазерной обработки материалов анализируются в работах [1-7]. Среди них можно отметить диссертационную работу [7], направленную на теоретическое исследование воздействия лазерного излучения на конденсированные вещества с целью разработки физических основ лазерной технологии получения материалов с определенными свойствами.

В [5] построена трехмерная модель теплофизических процессов при лазерной сварке металлов и сплавов. В ней теплоперенос в пластинах описывается уравнением теплопроводности с конвективными членами, В модели учитывается наличие парогазового канала в зоне воздействия лазерного луча на металл. При численном решении краевой задачи для трехмерного уравнения теплопроводности используется консервативный метод коллокаций и наименьших квадратов. Расчеты проведены на нерегулярных сетках, сгущающихся в окрестности парового канала. Сравнением с экспериментом показано, что предложенная модель адекватно описывает теплофизические процессы, протекающие в области сварки.

В статье [6] рассматривается математическая модель нагрева системы пленка-подложка лазерным импульсом на-носекундной длительности. Модель учитывает влияние фазовых переходов плавления и испарения материалов системы на развитие температурных полей в ней и вынос массы легирующего вещества из зоны облучения. Приводятся результаты расчетов для случая лазерного нагрева системы Аи{100 нм)-М в вакууме и под прозрачным слоем. Полученные данные используются для анализа экспериментальных результатов по наносекундному лазерному легированию поверхностного слоя никеля атомами золота.

В работе [I] изучалось температурное поле, созданное при лазерном воздействии на вещества с различным характером поглощения излучения. Отмечено, что ряд вопросов вышел за рамки исследования, так как неясными остается влияние таких факторов, как нелинейность теплофизических свойств материалов, влияние охлаждения поверхности.

В предлагаемой статье результаты отмеченного исследования развиваются на основе учета нелинейности теплофизических характеристик материала, фазовых переходов (плавления, испарения), радиационного и конвективного охлаждения поверхности материала для случая полупрозрачных сред.

Математическая модель

Предполагается, что поглощение лазерного излучения е веществе происходит по закону Бугера-Ламберта; /(х) = 10е~Ьх, где 1{х) ~ интенсивность излучения, * — координата рассматриваемой точки тела (расстояние от его поверхности), 10 - граничная интенсивность лазер-

ного излучения, Ь - характерная длина поглощения излучения веществом.

При относительно малых длительностях импульса согласно данным [I] теплофизические процессы в веществе приемлемо моделировать на основе одномерной модели теплопроводности.

При математическом моделировании рассматриваются три этапа теплового процесса:

1) Нагрев материала до температуры плавления (твердая фаза);

2) Нагрев расплава и дальнейшее проплавление твердой части материала (жидкая фаза).

3) Нагрев расплава, проплавление твердой части и начало интенсивного испарения и кипения материала (фаза испарения и кипения).

Рассматривается двухслойная система, образованная полупрозрачным слоем, нанесенным на слой металла. Соответствующим примером является система пленка-подложка используемая при лазерном легировании [6].

Лазерное излучение

III'

__ Поверхность полупрозрачного слоя

и >

--2-я межфазная граница

и ^ иш

--1-я меж фазная граница

--Поверхность подложки

Рис. I. Схема процессов при лазерном нагреве двухслойной среды

На первом этапе температура тела на поверхности изменяется от начальных значений порядка 300 К до температуры плавления (порядка 1500 К) и появления межфазной границы (фронта плавления). На этом первом этапе решается обычное уравнение теплопроводности для двухслойной среды:

/>0, 0<х<1г

от от )

/ > 0, <*</., +Л,,

с начальным условием:

«¡"00 = и,,/=1.2; при / = 0,

и граничными условиями:

- я1," ^=-«;]+кПиг еИ

х = 0,

Т-Сотт Том 10. #2-2016

г =Фрг -]+^ - и.)+ч^и

я„М

йс Ш

= Р\ X

,(()„[/> „о) _ „со _ „10.

<#

и = «Г = и;

где индекс внизу относится к номеру фазы (I- твердая, 2 - жидкая), а индекс вверху - К номеру слоя (I - полупрозрачный слой, 2 - металл); прочие обозначения (индексы для краткости опущены): с - удельная теплоемкость, р - плотность, Л. - теплопроводность, и - температура материала; г - время, х - координата (абсцисса) точки, <Т - постоянная Стефан а-Больцман а, к - коэффициент конвективного теплообмена, ц - удельная мощность лазерного нагрева.

Считается, что отражение от верхнего слоя отсутствует, а от подложки отражается г-тая часть излучения. Соответствующие плотности тепловыделения для верхнего слоя равны:

/11. г ,:о_ .'-^ь. -л »1

= - + ъ> "> = 1,2; А3 = ОД* '/(ЗД,),

где г - коэффициент отражения излучения, - энергия, а tF ~ время импульса, 50 ~ площадь основания луча; соответственно для нижнего слоя (подложки):

и условиями сопряжения на границе слоев {нижние индексы I и; соответствуют имеющим место в рассматриваемый момент времени фазам):

' я- 'дх '

(50

их

где априорно неизвестные функции д = *;/,'(/),/1,2 определяют положение границы плавления и находятся в процессе решения системы дифференциальных уравнений; гш ~ скрытая теплота плавления; ц -г- удельные потери на испарение с поверхности материала: ц ^ = /• V , где ? - скрытая теплота испарения, У11СП— скорость

фронта испарения в вакуум, определялась уравнением Герца-Кнудсена;

м р,(и5) 2иЯи£ р2

,

(1),

(х.О = А0(Х^г)е~ь1 = 1,2;

На втором и третьем этапах решается система уравнений теплопроводности с учетом плавления и испарения {то есть многофазная задача Стефана) вида:

д! дх I дх

1> 0, 0 < д < д ^' (?),

О/ & I " 1

т, х

Для области подложки при отсутствии плавления справедливо уравнение (16), а при наличии плавления имеет место система:

8 ( ,3! (51 б ^

Ш дх I дх

оО, х™

С начальными условиями и2 = и„,,и, = %> условиями на внешних границах двухслойной системы:

ох

X -О,

л<2' ^=-[с;11)4 -«;]+^«г -«»)+

л- = ¿, + ¿,, условиями Стефана:

где рп - давление насыщенного пара, соответствующее температуре поверхности и, = и(0,1), М - масса моля и ^ - газовая постоянная. Давление насыщенного пара получено из уравнения Клаузиуса-Клапейрона, которое интегрировалось в предположении независимости теплоты испарения от температуры:^^) = щеХр _

где р0 - давление газа окружающей тело среды, ит - температура кипения при давлении р„. Толщина испаренного слоя *(„{г) определяется как интеграл: хиса(0 = £ГИСК(Н'

Метод решения

Для целей компьютерного моделирования применялся метод сквозного счета [9,10], основанный на преобразовании системы (4}-(5) к энтальпийному виду с сосредоточенной теплоемкостью:

ЯП1'1 Я2 Л"'1

Вг дх где Q - энтальпия:

О (и) = Г + р1{иил)гал\{и-'и^У

1(и) — единичная функция Хевисайда,

Л - тепловой потенциал, Д(и) = Л(у)(1р,

при такой системе обозначений: = Л1 .

Конечно-разностный метод

Дифференциальные соотношения рассматриваемой краевой задачи приближенно заменяются системой конечно-разностных уравнений вида:

т Лг

= 0.1.-;

+ <;(*.- 1,....71 - 1;р

Т-Сотт Уо1.10. #2-2016

где /I — шаг по пространственной координате, = ОС X—шаг по времени, = рт; р — номер временного

слоя, / - номер узла сетки пространственной координаты; - сеточная функция, к* и гфс^),! = 0, ...,п;р = ОД,

Начальное условие запишется в виде:

и? = и0,1 = 0, „.,71-

Краевое условие на поверхности тела:

лГиГ1)-лСиГ1 ,, . л г ч ,

4 1 * \ / _ - Л,,'"  1 I,. 14 | , „г - - I . I ---I «

^ ~ ° К^О ! '"О"' ) ' *1И0 4исл\."-о )гР

= 0.1, = 0.

По этому же принципу выписываются конечно-разностные аналоги условий сопряжения на границе слоев.

Необходимости формулировать в конечно-разностном виде краевые условия Стефана нет необходимости - в этом преимущество сквозного энтальпийного метода.

Значения шагов интегрирования выбираются исходя из требований точности конечно-разностного решения.

Конечно-разностный метод является явным и условно устойчивым. Устойчивость контролировалась при помощи известных условий для явных схем.

Для каждого внутреннего узла сетки система решалась методом Ньютона относительно сеточного значения энтальпии:

< = 0"Ч<?Г)Д = 1.-,п - 1 ;р = ОД,...;

где ф"1 - функция, обратная к функции ф(и)< вычислялась методом Ньютона как решение нелинейного уравнения относительно у вида: ф(у) = 2-

Контроль погрешности численного решения осуществлялся на основе сравнения с аналитическим решением для модельной задачи, а в остальных случаях по значениям теплового баланса {погрешности порядка 5%).

Результаты моделирования

В качестве конкретного примера рассматривалась система, в которой верхний слой состоял из кварца, а материалом подложки служило железо. Характерная длина поглощения энергии оптического диапазона для кварца равна около 50 м"', при температуропроводности

3___6* 10 м2/с; отражение от поверхности кварца считается

равным нулю, а от подложки отражается 90% излучения, плотность излучения порядка 100 дж/сми выше. Температура окружающей систему среды равна 300 К.

Основные теплофизические параметры кварца, учитываемые в расчетах: плотность (при н. у.) - 2651 кг/м1 температура плавления - 1610 К (в литературе есть данные около 1700 К); температура кипения - 2950 К; удельная теплота плавления - 142 кДж/кг; удельная теплота испарения - I 1630 кДж/кг; теплоемкость при н.у. -836 Дж/(кг'К); теплопроводность - (при 300 К) 7,2 Вт/(м К); молярная масса - 60 г/моль, коэффициент внешнего теплообмена ЮВт/(м1К).

В качестве основного материала подложки рассмотрено железо. Материалы на основе железа - стали, являются наиболее употребительными из металлов как в промыш-

ленности в целом, так и в области лазерных технологий (например, сварка стальных пластин и т.п.). При этом железо характеризуется сильной нелинейностью теплофизи-ческих характеристик.

Основные теплофизические параметры железа, учитываемые в расчетах: плотность (при н. у.) - 7874 кг/мп температура плавления - 1812 К (1538,85 °С); температура кипения - 3134 К; удельная теппота плавления -247,1 кДж/кг; удельная теплота испарения - 6088 кДж/кг; теплоемкость при н.у. - 444 Дж/{кгК); теплопроводность - (300 К) 80,4 Вт/{мК); молярная масса - 55,847 г/моль, коэффициент внешнего теплообмена 50 Вт/(мг К),

Удельная теплоемкость железа, как и любого другого элемента, определяется его структурой и изменяется в зависимости от температуры; среднее значение теплоемкости железа при О-1000°С равно 640,57 Дж/(кгК).

Зависимость теплоемкости железа от температуры характеризуется выраженной нелинейностью

{http://steelcast.ru/iron_heat_capacity).

Таблица I

Значения теплоемкости железа для различных интервалов температур

т. к г, °с Тип

273... 1033 0...760 6

1033.. .1181 760...908 в

N81.. .1674 908... 1401 г

1674.. .18(0 140!...1537 Д

1810,. .1873 1537... 1600 Жидкость

С, кДж/ С, кДж/

17,50082 + 0,31335 +

24,78586 10* Т 0,4438 Ю 3 Т

37,6812 0,6747

7,70371 + 0,1397 +

19,51049 105Т 0,3493 103Т

43,96140 0,7870

41,868 0,7495

На рис. 2 представлены в относительных единицах основные теплофизические параметры железа (с - теплоемкость, 0. ~ энтальпия, I - тепловой потенциал, I - теплопроводность, о - температуропроводность).

В области фазового перехода характеристики железа претерпевают скачки. Плотность расплава железа при температуре 1535°С равна 6900 кг/м'|, т.е. на 12% ниже, чем при н.у. Вблизи температуры плавления имеют место следующие скачки параметров железа: теплоемкость - от 450 до 710 Дж/(кг К), теплопроводность - от 17 до 29 Вт/(м-К), температуропроводность примерно от 310 й до 8-10"' м1/с [8].

Характерный размер расчетной области, длительность и мощность излучения:

Вт

| — Т ми- ' — 1 пг. м г — 3.1 ПО_. г ^ — и 3 ли = № и ЬЬ — I Лбы 1

— ^ * "О ^ и!' ^ ' 1 ' ""

м

Параметры конечно-разностного метода выбирались в соответствии с требованиями точности на основе сравнения с аналитическим решением и учета теплового баланса; п = 20-1000, т = 10".

Т-Сотт Том 10. #2-2016

MATHEMATICS

Выводы

Разработаны математическая модель, конечно-разностный метод и программы для ЭВМ, позволяющие эффективно осуществлять компьютерное моделирование теплофизических процессов при лазерном нагреве двухслойных систем.

Осуществлена серия расчетов для информативного случая слоев из кварца и железа, являющегося основой наиболее употребительного металла - стали. Исследовано влияние нелинейностей теплофизических параметров и фазовых переходов плавления и испарения на значения температурного поля при лазерном нагреве данной двухслойной системы.

Литература

1. Руденко В.Н. Изменение температуры среды под действием лазерного импульса // Оптика и спектроскопия, том 20, 1965. -С. 370-371.

2. Слепцов СД Однофазная задача Стефана в слое полупрозрачной среды: Дне.... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. 2006. - 89 с.

3. Кондратенко В.С., Борисовский В.Е, Лазерная обработка кварцевого стекла. - М.: Изд. МГУПИ, 201 I. - 157 е.

4. Лазерная резка стекла [Электронный ресурс] - Электрон, дан. - Справочно-информационный интернет-портал

proceramic.ru, 2007. - Режим доступа: http://proceramic.ru/ full/4699/laz ernaya_rezka_stekla, свободный. - Загл. с экрана,

5. Шапеев В.П. и др. Численное моделирование лазерной сварки стальных пластин // Физическая мезомеханика, № 2, т. 14, 2011.-С. 107-114.

6. Гусаров A.B., Марценюк КО., Смирное АЛ., ФоминскиО В.Ю. Моделирование температурных полей в металлах при наносе-кундном лазерном легировании // Сб. науч. статей «Научная сессия МИФИ-2002», т.4, 2002. - С. 172-173.

7. Гусаров A.B. Физические модели воздействия лазерного излучения на конденсированные вещества в лазерной технологии получения материалов: Автореф. дис. ... доктора физ.-мат. наук. M.t 2011.-44 с,

8. Теплофизические свойства расплавов [Электронный ресурс] - Электрон, дан. - Справочно-информационный интернет-портал ebibl/umkd/Mamina, 2009, - Режим доступа: http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/Mamina/u_lectures.pdf, свободный. - Загл. с экрана.

9. Самарский A.A., Моисвенко Ь.Д. Экономичные разностные схемы решения задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики, №6, т. 5, 1965. - С. 11-19.

10. Ьудак Б.М., Соловьева E.H., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики, №5, т. 5, 1965. - С. 828-840.

CALCULATION OF THE TEMPERATURE FIELD IN THE EFFECTS OF RADIATION ON A TRANSLUCENT MEDIA BASED ON ENTHALPY METHOD

Robert V. Harutyunyan,

Moscow Technical University of Communications and Informatics, Department of"Mathematical Analysis", Moscow, Russia, Rob57@mail.ru

Abstract. The paper studied the effect of nonlinearities and thermal parameters of the phase transitions of melting and evaporation, thermal processes during laser heating of translucent media on the example of a two-layer system of quartz-iron. The aim is to clarify the nature of the influence of nonlinear thermal parameters of phase transitions of melting and evaporation. In this article the results of research known laser heating of condensed matter developed by taking into account the nonlinearity of thermal characteristics of the material, phase transitions (melting, evaporation), radiative and convective cooling of the surface of the material in the case of translucent and dual-layer media such as Quartz metal. To solve the problem formulated a mathematical model, and developed finite-difference method and a computer program to effectively carry out computer simulations of thermal and electrical processes during laser irradiation as translucent and opaque on the environment. The solution of the Stefan problem is using through "enthalpy" method. Calculation of the electric field is carried out by Seidel iteration. Computer error is monitored by the heat balance and comparing the results of model problems. In the studied system, the two-layer substrate is a metal, in particular based - iron. As a result of studies found a significant effect of nonlinearities thermal parameters of phase transitions of melting and evaporation, the type of boundary conditions and geometry of the system to the values of the temperature field, while the impact of the loss to radiation and convection cooling is negligible. Two types of radiation range: the range of the optical radiation, for which quartz is translucent and metal - non-transparent and infrared radiation, in which quartz, as the metal is opaque. The study revealed the need to improve the enthalpy finite difference method for solving the Stefan problem in order to improve its accuracy, in particular in the calculation of the phase transition front. Of interest is a further detailed analysis of the thermal and electrical processes in the boiling point, determination of the degree of adequacy of model of quiet evaporation, additional accounting gas, hydro and electro factors.

Keywords: laser heating, translucent medium temperature field simulation, the effect of thermal parameters. References

1. Rudenko VN Changing the temperature of the medium under the influence of the laser pulse // Optics and Spectroscopy, Volume 20, 1965. Pp. 370-371.

2. SD Sleptsov Phase Stefan problem in a layer of semitransparent medium: Dis. ... Cand. Sci. Sciences. Novosibirsk. 2006 - 89.

3. Kondratenko VS, VE Borisov Laser treatment of quartz glass. Moscow: Publishing House. MGUPI, 2011. 157 p.

4. Laser cutting glass [electronic resource] Electron. dan. Reference and information portal proceramic.ru, 2007. Access: http://proceramic.ru/full/4699/laz ernaya_rezka_stekla / free. Caps. from the screen.

5. Shapeev VP et al. Numerical simulation of laser-welded steel plates / Fiz, number 2, t.14, 2011. Pp. 107-114.

6. AV Gusarov, Martsenyuk NO, AL Smirnov, VY Fominsk Modelling of temperature fields in metals with a nanosecond laser alloying / Coll. scientific. articles "Scientific session of the MiFi 2002", v.4, 2002. Pp. 172-173.

7. AV Gusarov Physical models of laser irradiation on condensed matter in the laser technology of materials: Author. Dis. ... Dr. Sci. Sciences. Moscow, 2011. 44 p.

8. Thermal properties of melts [electronic resource] Electron. dan. Reference and information portal ebibl / umkd / Mamina, 2009. Access: http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/Mamina/u_lectures.pdf, free. Caps. from the screen.

9. Samara AA, BD Moiseenko Efficient difference schemes for solving the problem of Stefan / Zh. Mat. and Math. nat., №6, v.5, 1965. Pp. 11-19.

10. BM Budak, Soloviev EN, Assumption, AB A difference method with smoothing coefficients for solving the Stefan problem // Journal calculated. Mathematics and Math. Physics, №5, v.5, 1965. Pp. 828-840.

T-Comm Том 10. #2-2016