Необратимые деформации в анизотропных материалах

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2505-2507

2505

УДК 539.3

НЕОБРАТИМЫЕ ДЕФОРМАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛАХ © 2011 г. М.Ю. Соколова, Д.В. Христич

Тульский госуниверситет

sokolova@tula.net

Поступила в редакцию 24.08.2011

Для нелинейных анизотропных материалов предложено обобщение частного постулата А. А. Ильюшина, позволяющее получить асимптотически корректные определяющие соотношения. При упругопластическом деформировании анизотропных материалов выделяется обратимая составляющая деформаций, направляющим вектором которой в шестимерном пространстве является вектор температурных деформаций. Предложены варианты теории течения и деформационной теории пластичности для анизотропных материалов, в рамках которых описываются эффекты наведенной анизотропии, вращение главных осей анизотропии, необратимые деформации при приложении гидростатического давления.

Ключевые слова: частный постулат, анизотропия, термоупругость, пластичность, нелинейность.

В настоящее время актуальной является разработка моделей деформирования анизотропных тел с учетом влияния термических воздействий, поскольку обладающие ярко выраженной анизотропией свойств пластические материалы все чаще используются при изготовлении ответственных деталей машин, работающих в условиях больших силовых и термических нагрузок. Модели идеальной пластичности, исходящие из гипотезы о несжимаемости Хилла, не описывают особенности поведения анизотропных материалов, связанные с возможностью их пластического деформирования при воздействии гидростатического давления. Различными авторами предлагались гипотезы о квазинесжимаемости, в соответствии с которыми ось поверхности текучести в пространстве напряжений отклонена от оси гидростатического давления. В работах [1, 2] предложены модели идеальной термопластичности анизотропных материалов, основанные на предположении о разбиении деформаций таких материалов на обратимую и необратимую составляющие, введение которых связано с построением системы термомеханических соотношений.

Процессы деформирования рассматриваются в шестимерном пространстве, построенном по компонентам тензора деформаций, определенным в главных осях анизотропии материала. В теории процессов А. А. Ильюшина используется понятие образа процесса как совокупности траектории деформирования с построенным в каждой ее точке вектором напряжений и соответствующей температурой. Одним из основных положений теории процессов является частный постулат изо-

тропии. В [3, 4] предложено обобщение частного постулата на анизотропные материалы. Это обобщение может быть построено исходя из рассмотрения собственных подпространств, определяемых в соответствии с работами Я. Рыхлевского и Н.И. Остросаблина. Для анизотропных материалов с различными типами симметрии свойств определены собственные значения тензоров линейной упругости. Изотропные материалы, а также материалы, относящиеся к кубической, гексагональной, тригональной и тетрагональной син-гониям, имеют кратные собственные значения и соответствующие им неодномерные собственные подпространства. Каждое такое подпространство порождает единичный базисный тензор, изотропный относительно всех ортогональных преобразований этого подпространства. Такие преобразования будем называть собственными. Отметим, что к собственным преобразованиям относятся и преобразования из группы симметрии анизотропного материала. Данное обстоятельство позволяет сформулировать следующее обобщение частного постулата А.А. Ильюшина на нелинейные анизотропные материалы: образы термомеханического процесса с траекторией, расположенной в неодномерных собственных подпространствах тензора начальной упругости, изотропны относительно группы собственных ортогональных преобразований. Это обобщение позволяет строить асимптотически корректные нелинейные определяющие соотношения для анизотропных материалов.

Из данного обобщения следует, что процесс нагружения в каждом неодномерном собственном подпространстве определяется только внутренней

траекторией процесса деформации в этом подпространстве и не зависит от ориентации данной траектории относительно базисных векторов этого подпространства. Это позволяет уменьшить ко -личество материальных функций, входящих в определяющие соотношения для нелинейного анизотропного материала.

Рассмотрены процессы необратимого равновесного деформирования анизотропных материалов, сопровождающиеся производством диссипации. Если материал является изотропным, то чаще всего полагается, что при приложении гидростатического давления материал деформируется упруго, то есть объемные деформации всегда остаются обратимыми. Для анизотропных мате -риалов также может быть выделена обратимая составляющая деформаций, определяемая в шестимерном пространстве некоторым единичным направляющим вектором. С этим вектором связывается шестимерный ортонормированный базис, так что его пятимерное подпространство ортогонально направляющему вектору обратимых деформаций, который назовем термомеханическим. Предполагается, что термомеханический базис связан с базисом шестимерного пространства ортогональной матрицей, не изменяющейся в процессе деформирования. В частности, в изотропном материале направляющий вектор обратимых деформаций совпадает с гидростатической осью, а ортогональное ему подпространство является девиаторным.

Разложение векторов деформаций и напряжений по термомеханическому базису позволяет представить мощность напряжений в виде суммы двух слагаемых по аналогии с изотропным материалом. Связь между напряжениями, деформациями и температурой в произвольном анизотропном материале получается исходя из основного термомеханического соотношения, связывающего свободную энергию, удельную мощность напряжений, энтропию и производство диссипации. Для построения модели материала требуется конкретизировать выражения для свободной энергии и производства диссипации. Свободная энергия представляется в виде суммы двух функций, первая из которых зависит от обратимой составляющей деформаций и температуры, а вто -рая - только от составляющей деформаций, лежащей в ортогональном к обратимой составляющей пятимерном подпространстве. Представление первой из функций в виде векторного много -члена второй степени относительно обратимой составляющей деформаций и температуры позволяет проанализировать температурные напряжения и температурные деформации в анизотроп-

ном материале, а также установить термомеханический смысл введенного понятия обратимой составляющей деформаций. Оказывается, что направляющий вектор обратимых деформаций совпадает в шестимерном пространстве с направлением температурных деформаций, что эквивалентно предположению об их обратимости. Исследования показали, что направляющий вектор обратимых деформаций расположен в подпространстве, образованном собственными векторами, соответствующими однократным собственным значениям тензора упругости материала, в связи с чем построенная функция свободной энергии инвариантна относительно преобразований, характеризующих симметрию свойств анизотропного материала, а получающиеся определяющие соотношения удовлетворяют сформулированному обобщению частного постулата.

Предполагается, что мощность составляющей напряжений, лежащей в ортогональном пятимерном подпространстве, полностью рассеивается, поэтому вторая из составляющих свободной энергии тождественно равна нулю. Это предположение соответствует рассмотрению жесткопластического материала. Для неупрочняющегося материала связь между необратимыми составляющими деформаций и напряжений строится в рамках теории течения, а для упрочняющихся материалов - в рамках деформационной теории. В первом случае вводится поверхность обратимости в виде цилиндра Мизеса-Хилла, ось которого определяется направляющим вектором обратимых деформаций. В направлении оси цилиндра пластические деформации не происходят. Построенные соотношения позволяют описать появление пластических деформаций при воздействии на анизотропный материал гидростатического давления, что подтверждается опытными данными П. Бриджмена, А.М. Жукова, Е.К. Ашкенази.

В случае упрочняющегося материала предложен вариант квазилинейных соотношений, применение которых позволяет описать изменение типа анизотропии в процессе пластического деформирования, а также изменение ориентации главных осей анизотропии. В рамках предложенных соотношений изменение типа анизотропии материала не может быть вызвано только температурным воздействием. Описано вращение главных осей анизотропии в двух процессах однородного деформирования полосы из трансверсально-изотропного материала — двухосном растяжении-сжатии и простом сдвиге. Характер вращения зависит от начальной ориентации осей. При растяжении оси анизотропии стремятся совпасть с направлением деформирования, а при простом сдви-

ге - асимптотически приближаются к направлению, в котором происходит сдвиг.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-01-97501-р_центр_а) и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект №2.1.1/941).

Список литературы

1. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования

анизотропных тел // Проблемы прочности. 2002. №6. С. 5—13.

2. Маркин А.А., Соколова М.Ю. // Изв. ТулГУ Серия Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 130—137.

3. Маркин А. А., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 587—594.

4. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. 268 с.

IRREVERSIBLE DEFORMATIONS IN ANISOTROPIC MATERIALS M. Yu. Sokolova, D. V Khristich

A generalization of the particular A.A. Il'yushin's postulate is suggested for non-linear anisotropic materials, which allows obtaining asymptotically correct constitutive relations. In the case of elastic-plastic deformation of anisotropic materials, a reversible component of the deformations is taken, the direction vector of which in a six-dimensional space is a temperature strains vector. Variants of the yield theory and deformational theory of plasticity for anisotropic materials are proposed, in the frames of which induced anisotropy effects, rotation of the main axes of anisotropy, irreversible deformations under the applied hydrostatic pressure are described.

Keywords: particular postulate, anisotropy, thermoelasticity, plasticity, nonlinearity.