Модель двухжидкостного квазиравновесия плазмы с течениями

УДК 533.9

А. Ю. Чирков

МОДЕЛЬ ДВУХЖИДКОСТНОГО КВАЗИРАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ С ТЕЧЕНИЯМИ

Для замыкания системы уравнений двухжидкостного магнито-гидродинамического равновесия плазмы с течениями предложена модель, учитывающая влияние бесстолкновительного переноса на распределение параметров плазмы. Отклонение от термодинамического равновесия считается слабым, что позволяет использовать совместно уравнения равновесия и бесстолкновительного переноса, а также первый закон термодинамики для равновесных течений плазмы. Приведены примеры расчетов плазменных конфигураций с неоднородными течениями и магнитным широм.

Необходимость расчета равновесия плазменных конфигураций с течениями возникает при анализе микронеустойчивостей и режимов удержания высокотемпературной плазмы в магнитном поле. Решая задачи о неустойчивостях, турбулентности, улучшенном удержании, формировании транспортных барьеров и др., необходимо знать статическое электрическое поле в плазме, а также скорости течения как ионов, так и электронов [1-4 и др.]. Чтобы определить указанные параметры плазменной конфигурации, необходимо пользоваться двухжидкостной магнитной гидродинамикой (МГД), т.е. рассматривать уравнения динамики (или равновесия) ионного и электронного компонентов плазмы.

Часто электрическое поле определяется из уравнения равновесия ионов [1-3], что возможно сделать, если скорости течения ионов известны (например, из эксперимента).

Недавно Л. Штейнхауером была предложена модель двухжидкостного равновесия [5], рассматривающая уравнения динамики ионов и электронов, уравнение адиабаты, а также термодинамические функции и параметры (энтальпия, энтропия и др.). В рамках такого подхода возможно получить общее решение, описывающее некоторое семейство термодинамически равновесных конфигураций. При рассмотрении состояния с минимальной энергией для нахождения однозначного решения в модели Штейнхауера необходимо задать константы (по две для ионов и электронов), которые определяют энтальпию и так называемые поверхностные функции ионов и электронов [6].

Для предельных оценок термодинамических и гидродинамических параметров неравновесной турбулентной плазмы можно воспользоваться законами и методами равновесной термодинамики [7]. В режиме слабой плазменной турбулентности отклонение от термодина-

мического равновесия сравнительно невелико, так как функции распределения ионов и электронов близки к максвелловским, и, следовательно, возможно применить законы термодинамики совместно с МГД-уравнениями.

В бесстолкновительной плазме ионы и электроны могут взаимодействовать через электромагнитные поля колебаний, связанных с развитием неустойчивостей. Поэтому в настоящей работе предлагается систему двухжидкостной МГД дополнить уравнениями аномального бесстолкновительного переноса, пренебрегая бесстолкновительными потоками в уравнениях динамики (равновесия). Предположение о том, что степень отклонения плазменного течения от термодинамического равновесия невелика, позволяет в рассматриваемую систему включить также соотношения равновесной термодинамики.

Аномальный перенос поперек силовых линий магнитного поля является результатом взаимодействия частиц плазмы с электромагнитными (или электростатическими) волнами, возникающими в плазме при развитии микронеустойчивостей [1-3]. Используемый нами термин "квазиравновесие" подчеркивает, что модель включает элемент слабой неравновесности, связанной с бесстолкновительными турбулентными потоками, уносящими из плазмы частицы, энергию и импульс. Уравнения аномального переноса позволяют замкнуть систему уравнений и получить решение, соответствующее заданным граничным условиям, а также источникам частиц, энергии и импульса.

Система уравнений. В уравнениях равновесия плазменных течений мы пренебрегаем скоростями, связанными с турбулентными потоками. Эти потоки направлены перпендикулярно поверхностям Фа = const

Предлагаемый подход к рассмотрению равновесия заключается в том, чтобы разделить уравнения переноса частиц энергии и импульса поперек адиабатических поверхностей и уравнения, описывающие равновесные течения вдоль адиабатических поверхностей. Это приводит к следующей системе уравнений для частиц сорта а: (а = i, e).

V±

V±

Ka 1

maNa

u± = V±p" _

a ZaeNaB B ,

Ka keTa + + + ZaeU = hoa

Ka - 1 D a 2 2

1

V x B = j = V ZteNtut - eNeUe,

^

%

Za Na = 0.

Здесь e — заряд электрона; kB — постоянная Больцмана; — магнитная постоянная; B и E = —VU — статические магнитное и электрическое поля; U — электростатический потенциал; ma, Za, Na, Ta, pa = NakBTa, ua и ja = ZaeNaua — масса, заряд, концентрация, температура, давление, скорость течения и плотность тока частиц сорта а; ка — показатель адиабаты; h0a (Фа) — некоторая поверхностная функция; D±a, — коэффициенты диффузии, теплопроводно-

сти и вязкости; V±a — скорость конвективного потока; sNa и sTa — источники частиц и тепла; F^ — сила, связанная с передачей импульса частице от инжектируемых быстрых частиц и нагревом; нижний символ ± означает направление, перпендикулярное адиабатической поверхности; верхние символы ± и || означают перпендикулярное и параллельное магнитному полю направления для компонент векторов, параллельных адиабатической поверхности.

Отметим, что в простых случаях (например, конфигурация в виде бесконечного цилиндра, для которой поверхности Фа = const совпадают с поверхностями r = const) Na, Ta, pa, u[[, u^, U и другие величины могут являться функциями только Фа.

Уравнения (1)-(3) — это уравнения переноса частиц, энергии и продольного импульса поперек адиабатических поверхностей.

Из условия квазинейтральности (7) следует равенство потоков положительных и отрицательных зарядов поперек адиабатических поверхностей и источников sNe = ^^ ZiSNi. Это означает, что условие

г

квазинейтральности позволяет не рассматривать уравнение (1) для одного из сортов частиц, например, для электронов. Если конвективные потоки равны нулю (как правило это выполняется в сердцевине плазмы), то D±e = D±i (D±i — средний по всем сортам ионов коэффициент диффузии).

Для конфигураций, однородных вдоль магнитного поля, в уравнении (3) ненулевыми могут оставаться только слагаемые No.Fi! и

Бесстолкновительный перенос можно рассматривать как результат рассеяния частиц на волновых полях (флуктуациях), возникающих при развитии в плазме неустойчивостей [8-11]. Исходя из анализа результатов ранее проведенных численных расчетов взаимодействия частицы с одиночным локализованным волновым пакетом [10], а также учитывая характер движения и переноса частицы под действием многих флуктуаций [8, 9], рассеяние можно рассматривать как "столкновение" частиц (ионов, электронов) с волновыми пакетами. Такой подход позволяет для связи коэффициентов переноса использовать соотношения молекулярно-кинетической теории

= 7-^Т ,

= Ша^В±а.

Выражение (4) следует из уравнения равновесия в направлении, перпендикулярном адиабатической поверхности.

Уравнение (5) представляет собой закон сохранения энергии (уравнение Бернулли) для течения вдоль адиабатической поверхности. В уравнении (5) подразумевается, что ка = 1. Обычно можно принять ка = 3 (одномерная адиабата), так как плазма может двигаться свободно только в направлении магнитного поля. Для случая ка = 1 уравнение Бернулли принимает вид

, т (Nа\ та(иа)2 та(п^)2 „ .

квТа 1п

где величина, помеченная знаком *, введена для согласования размерности.

В стационарном состоянии суммарная теплота, подводимая и отводимая от какой-либо компоненты плазмы, равна нулю. При этом в направлении, перпендикулярном адиабатической поверхности, энтропия может изменяться из-за неравновесности, связанной с поперечными потоками. Следовательно,

где Ба — суммарная энтропия частиц сорта а и окружающей среды (для частиц сорта а окружающая среда включает системы нагрева и отвода энергии, а также частицы всех других сортов), — энтропия, производимая частицами сорта а в неравновесных процессах [12]. Так как рассматриваемое квазиравновесие — стационарное состояние, то

в выражении (11) ё,Ба = 0 (в этом выражении энтропия также взята в расчете на одну частицу).

В бесстолкновительной плазме частицы могут генерировать электромагнитные волны, передавая им свою энергию при раскачке плазменных неустойчивостей. Поэтому к0а характеризует производство энтропии и эту энергию. Величину

а = -^¿коа

можно рассматривать как плотность энергии, затраченной частицами на генерацию электромагнитных волн (колебаний). В стационарном случае средний уровень амплитуды колебаний достигает насыщения и, следовательно, Р,ша со временем не меняется. При этом производство энтропии в единице объема

аа = -^Т"1 ^ = -Т~1Г±а коа,

где Г^а — поток частиц поперек адиабатической поверхности.

В сформулированной модели (1)-(7) для получения однозначного решения помимо граничных условий необходимо задать показатели адиабаты (ка), источники частиц (зда), тепла (вТа) и импульса (^1!), а также коэффициенты диффузии (В±а).

Коэффициент бесстолкновительной диффузии В±а определяется параметрами развивающихся в плазме неустойчивостей, которые, в свою очередь, зависят от параметров плазменной конфигурации, магнитного поля, скоростей течения, статического электрического поля и других факторов (см., например, [4]). Поэтому самосогласованное решение для равновесия плазменных течений и коэффициентов переноса в конкретных конфигурациях плазмы и магнитного поля может быть получено в результате итераций. Во-первых, должны быть заданы граничные условия, а также физические условия (показатели адиабат и источники). Во-вторых, задается начальное распределение какого-либо параметра, например, концентрации. Заданным величинам соответствует определенное решение для течений плазмы, которое далее используется для анализа неустойчивостей и определения коэффициента диффузии. Зная параметры неустойчивости, коэффициенты переноса в плазме можно оценить, например, по длине смешения [13] или по усредненным турбулентным пульсациям [14]. Получив коэффициент диффузии, можно уточнить распределение концентрации. Дальнейшие уточнения можно получить путем итераций.

Примеры. В качестве примеров рассмотрим две конфигурации, результаты расчетов для которых приведены на рис. 1 и 2. Предполагаем, что плазма имеет форму бесконечного цилиндра и удерживается

NJN* T, кэВ ß q

Рис. 1. Распределения параметров конфигурации с гладким профилем концентрации и нормальным широм

винтовым магнитным полем с широм и в ^ 1 (в — отношение давления плазмы к давлению магнитного поля; магнитный шир — это неоднородность магнитного поля, связанная с перекрещенностью силовых линий). Первый пример моделирует конфигурацию с нормальным широм (монотонно возрастающим от центра к периферии) и гладкими профилями концентрации и температуры плазмы без так называемых транспортных барьеров, второй — конфигурацию с обращенным широм (немонотонным с минимумом), транспортным барьером и ин-жекцией ионов вдоль магнитного поля. Инжекция создает быстрое течение ионов, локализованное в достаточно узкой области. В этой области резко снижаются коэффициенты поперечного переноса, т.е. формируется транспортный барьер.

В примерах не задавались распределения источников и какие-либо зависимости коэффициентов переноса от параметров плазмы. Принято, что распределения концентраций известны (рис. 1, а и 2, а). Известно распределение продольной скорости ионов в случае с ин-жекцией (рис.2,в), а также отношение коэффициентов диффузии во втором и первом случаях (рис. 2, е). На рис. 2, в приведена величина

Ne/Ne* T, кэВ ß q

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Г 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Г

д е

Рис. 2. Распределения параметров конфигурации с обращенным широм, инжек-цией и транспортным барьером. Б0 — коэффициент диффузии без транспортного барьера, Б — с транспортным барьером

у3 = \/квТе/т,ь, часто используемая при анализе низкочастотных дрейфовых неустойчивостей [4].

Полагается, что источники частиц и тепла, поддерживающие стационарные распределения концентрации и температуры, находятся на оси цилиндра, а в основном объеме конфигурации источники отсутствуют. Тогда термодинамические параметры связаны уравнением

адиабаты

p (N \Ка iT

У а / а\ а

р* ип >

У а \ а

где ка = 3 (одномерная адиабата, отражающая то обстоятельство, что частицы плазмы могут двигаться свободно только вдоль линий магнитного поля); р*а, N и Та — значения параметров на оси.

Из уравнений (4) для ионов и электронов и уравнения Максвелла (6) следует связь суммарного давления плазмы р = р,ь + ре с индукцией магнитного поля:

др „ 1 —Вг Вг д \

/ = Зв-г - Зг-в =---г дВ + ——тБЛ .

дг \ дг т дт )

После интегрирования получаем

а

р +В2 = Д + - [^Ь,

г

где В0 — индукция магнитного поля на границе плазмы (при г = а). Если Вв известна (в примерах Вв находится по заданному току Зг) и известно распределение параметра в, то модуль магнитного поля В и компоненту Вг можно определить по формулам:

В = -о^1 - в + вь

В г = -го^1 - в + в1,

где

в =2Б2р,

Во

а

2 Г Б 2

А = -2 / Т

г

В расчетах связь Вг и Вв задавалась величиной, называемой запасом устойчивости

«<г)=Б^,

где А > 1 — некоторая постоянная. В расчетах задано А = 3, что соответствует характерному значению аспектного отношения классических токамаков. Распределения параметров в (г) и д(г) показаны на рис. 1, б и 2, б.

В расчетах принято для ионов Р^ = 0, т.е. полагалось, что развивающиеся в плазме неустойчивости получают энергию от электронов. В этом случае, согласно расчетам, Р,ше имеет вид, показанный на рис. 1, г

к

а

Ка- 1

и 2, д, где для сравнения приведена также плотность тепловой энергии электронов 1,5ре. Кроме того, на рис. 1, г и 2, д приведено рассчитанное распределение радиального статического электрического поля Ег. Пунктирная кривая Ег0 на рис. 2, д соответствует расчету для второго примера без учета инжекции.

Обращает на себя внимание то, что в примере с транспортным барьером в области резких градиентов концентрации и температуры, соответствующей значительному уменьшению коэффициента диффузии, согласно полученным решениям, распределения радиального электрического поля, поперечной и продольной скоростей течения сильно неоднородны. Это вполне соответствует теориям подавления дрейфовых неустойчивостей неоднородными течениями и электрическим полем [1-4, 13-16].

Отметим, что при рассмотрении конкретной плазменной конфигурации с заданными системами нагрева и инжекции частиц расчет коэффициентов турбулентной диффузии требует анализа всех возможных неустойчивостей в данной системе. Приведенные примеры можно рассматривать как начальное приближение, дающее связанные вполне определенным образом распределения параметров плазмы и магнитного поля. Полностью самосогласованное решение может быть получено при дальнейших итерациях, включающих уравнения для не-устойчивостей.

Заключение. Анализируя возможные решения, полагали, что движение электронов существенно ограничивается движением более массивных ионов. То обстоятельство, что электроны не могут двигаться независимо от ионов, должно приводить к раскачке неустойчивостей. Поэтому представляется вполне логичным, что при Ршь = 0 в результате расчетов получается Р,ше > 0, т.е. электроны генерируют электромагнитные поля. На наш взгляд, величина Р,ше должна включать не только плотность энергии неустойчивости, вызывающей перенос, но и плотность энергии всех волновых движений (включая так называемые шумы). Отметим, что для адекватного определения величин Ршь и Раде необходимо располагать информацией о всех волновых процессах в рассматриваемой конфигурации. Присутствие этих величин в обсуждаемой системе уравнений и учет энергии электромагнитных волн в законе сохранения энергии (5) согласуется с тем обстоятельством, что в предлагаемом подходе флуктуации являются сортом "частиц", определяющим поперечный перенос и радиальные распределения параметров.

Автор выражает искреннюю благодарность за полезные обсуждения профессору В.И. Хвесюку, способствовавшему выполнение настоящей работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. B u г г e l K. H. Effect of E x B velocity shear and magnetic shear on turbulence and transport in magnetic confinement devices // Phys. Plasmas. - 1997. - V. 4. -P. 1499-1518.

2. W o l f R. C. Internal transport barriers in tokamak plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2003. - V. 45. - P. R1-R91.

3. Connor J. M., Fukuda T., GarbetX., Gormezano C., Mukho vatov V., Wakatani M., et al. A review of internal transport barrier physics for steady-state operation of tokamaks // Nucl. Fusion. - 2004. - V. 44. - P. R1-R49.

4. Artun M., Tang W. M. Gyrokinetic analysis of ion temperature gradient modes in the presence of sheared flows // Phys. Fluids. - 1992. - V. B4. - P. 1102-1114.

5. Steinhauer L. C. Formalism for multi-fluid equilibria with flow // Phys. Plasmas. - 1999. - V. 6. - P. 2734-2741.

6. Steinhauer L. C. Equilibrium equations for a flowing plasma in 1D cylinder, 2003.

7. Фаулер Т. Термодинамика неустойчивой плазмы: В кн. Успехи физики плазмы. Физика высокотемпературной плазмы / Под ред. А. Саймона и У. Томпсона. М: Мир, 1972. - С. 77-111.

8. Khvesyuk V. I., C h i r k o v A. Y u. Stochastic drift wave model for anomalous transport in tandem mirror and FRC // Fusion Technol. - 2001. - V. 39, № 1T. - P. 398-401.

9. Хвесюк В. И., Чирков А. Ю., Ковалев А. В. Некоторые особенности стохастической динамики частиц в замагниченной плазме // Физика плазмы. -2002. - Т. 28, № 9. - С. 854-857.

10. Хвесюк В. И., Чирков А. Ю. Анализ закономерностей рассеяния частиц плазмы на нестационарных флуктуациях // ЖТФ. - 2004. - Т. 74. - Вып. 4. -С. 18-26.

11.Чирков А. Ю. О влиянии слабых электростатических возмущений на траектории пролетных частиц в магнитном поле токамака // ЖТФ. - 2004. -Т. 74. - Вып. 12. - С. 47-51.

12. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. - М.: Мир, 2002.

13. W a n g X.-H., Diamond P. H., Rosenbluth M. N. Stability of ion-temperature-gradient-driven modes in the presence of sheared poloidal flows // Phys. Fluids. - 1992. - V. B4. - P. 2402-2413.

14. D o n g J. Q., H o r t o n W., B e n g t s o n R. D., Li G. X. Momentum-energy transport from turbulence driven by parallel flow shear // Phys. Plasmas. - 1994. -V. 1. - P. 3250-3261.

15. Migliuolo S., Sen A. K. Effect of a nonuniform equilibrium electric field on ion temperature gradient instabilities // Phys. Fluids. - 1990. - V. B2. - P. 3047-3051.

16. T i m o f e e v A. V., T u p i k o v S. E. Drift instability in non uniform electric field // Fusion Technol. - 1999. - V. 35 (1T). - P. 253-257.

Статья поступила в редакцию 19.09.2005