Притчевые миниатюры в курсе математики (Часть 1)

Педагогическая мастерская

Клепиков Валерий Николаевич,

к.п.н.,

заместитель директора по инновационной работе МОУ «Лицей» г. Обнинск mou.06@mail.ru

«Именно в иносказании или притче развёртываются, в конце концов, последние и самые глубокие познания»

В. Гейзенберг

В процессе формирования культурно-нравственной л ичности ребёнка очень важно выявить ценности, идеи, проблемы, образы и понятия, которые задают его целостную культуру. Общеизвестно, что ничто так не подавляет творческих способностей человека, как знание большого количества верных, но разрозненных фактов. В этом случае его культура уподобляется мозаике.

Но дело не так безнадёжно, так как в любой информации существуют особые «узловые точки», или «монады», которые как бы собирают, стягивают информацию в единое целое и в круге которых наблюдается более интенсивная духовная жизнь. Такие точки и концентрируют в себе в неразрывном и интегрированном единстве те ценности (интеллектуальные, этические и эстетические), которые накопило человечество за тысячелетия своего существования.

Такие точки М.К. Мамардашвили назвал «точками интенсивности», В.С. Библер - «точками удивления», В.И. Загвязинский - «горячими точками», А.В. Хуторской «узловыми точками», а некоторые мыслители говорят о «точках роста». Расширяя смысловое значение точки до символа, можно говорить об «онтологической точке» (С.В. Гальперин). О «точках» говорится, наверное, потому, что она (точка) содержит в себе два фундаментальных и парадоксальных свойства: она есть одновременно определённость и неопределённость, «всё» и «ничто». Точка обладает способностью развернуть из «ничто» «всё». Другими словами, в природе точки заложена неисчерпаемая потенциальность, внутренний импульс рождения бытия из небытия (Н. Кузанский).

Опорными точками мысли могут стать ключевые проблемы наук, великие произведения искусства или судьбоносные события истории, а может быть на первый взгляд и совсем неприметные тексты, которые повлекут за собой дальнейшие открытия. Метод «точек интенсивности» предполагает подробное изучение одного феномена, но так, чтобы через него просматривалась некая целостность. Каждое событие, проблема или произведение входит в культурную целостность, вырастает из неё, несёт её в себе.

Умение построить обсуждение проблемы так, чтобы через неё просмотреть и увидеть её как единое целое, органично выводящее на другие проблемы, и означает приобщить учеников к силовым точкам напряжения духовной жизни человечества. Метод организации диалога вокруг «точек интенсив-

ности» позволяет не только продуктивно использовать учебное время, но главное даёт возможность соединить содержание знания с духовным миром ребёнка.

Поговорки, притчи, мифы и легенды умудрённых жизнью людей были всегда квинтэссенцией культуры народа, к которым приобщались новые поколения. В древних сообществах это были своего рода обряды инициации. Вспомним в этой связи диалоги Платона, где тщательно обсуждаются проблемы и понятия, но однозначного и окончательного вывода не делается, -здесь важно погрузиться в проблему, приобщиться к идее. Все перечисленные тексты и являются такими «точками интенсивности», благодаря которым и пробуждались к духовной жизни всё новые и новые поколения людей.

Общеизвестно, например, что если мифы и легенды сыграли основополагающую роль в возникновении и развитии фольклора, литературы и искусства, то притчи («премудрость») - в формировании духовных и нравственных законов общества. Многие литературоведы указывают, что притче особенно «повезло» в отношении широты, безграничности понимания термина: этим понятием обозначаются самые разные произведения, если в них обнаруживается притчевая суть.

Притчи, как драгоценные камни, отшлифованные веками, передаются от одного поколения к другому, от одной культуры к другой, являясь универсальным языком духовного общения народов. Первые притчи были записаны уже 3-2 тыс. лет до н.э. Как считает исследователь А. Княжицкий:

1) притча при всех различиях в трактовке жанра обязательно должна обладать двумя чертами, по которым её можно отличить от любых других произведений, - поучительностью и аллегоричностью;

2) притча - это одновременно и мудрость и путь к мудрости;

3) притча имеет бесконечно много значений и толкований;

4) притча - это слово, поступок, жизнь и искусство;

5) притча тонко отражает всю удивительность и непредсказуемость человеческой жизни и истории человечества [Княжицкий А.И. Притчи. М., 1994]. Все эти качества притчи нужны именно в школьном

возрасте, когда происходит пробуждение человека к душевной и духовной жизни. Принципиально важно,

Инновационные проекты и программы в образовании 2009/1

105

Педагогическая мастерская

что притча - это не только итог обобщения опыта человеческой жизни, но и пространство порождения и бесконечного объяснения этого опыта. Что больше всего отталкивает ученика? Конечно, морализирование, сентенции, поучения, какими бы мудрыми они не были. Дать возможность ребёнку в любой притче найти свой смысл - вот главная цель любого учебного диалога.

Для притчи очень важно, что она «одета» образным содержанием, а сюжетный образ наполняет её живыми персоналиями, реальными жизненными ситуациями. Поэтому притча даёт ребёнку пластичную форму реакции на различные жизненные ситуации, лепит линию его поведения, инициирует адекватные поступки, задаёт нравственные категории, удерживает его в поле этой пластичной формы, а значит, формирует и держит его культуру.

Притягательная сила текстов, в которых проявлена притчевость, заключается в том, что это не просто развлекательные рассказы, побасенки и анекдоты, а социально-психологические тесты, нравственные задачи, духовные прозрения. Это и определяет их историческое долголетие, делает их актуальными на протяжении долгих лет. Притчи - полная противоположность любой идеологии с её диктатом и провозглашением истин в конечной инстанции.

Просматривая труды известных мыслителей (Пифагора, Аристотеля, Платона, Кузанского, Гейзенберга, Эйнштейна, Пуанкаре и т.д.), можно отметить следующий факт: многие великие учёные в той или иной мере в своих высказываниях тяготели к афористичности и притчевости, особенно, когда стремились объяснить суть своей концепции в научно-популярной форме. Например, А. Эйнштейн так объяснял своему девятилетнему сыну Эдуарду, почему он так знаменит: «Видишь ли, когда слепой жук ползёт по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь изогнут, мне же посчастливилось заметить это» [Кузнецов Б.Г Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. М., 1979. с.173]. Таким образом, обычно мыслители продумывают свои мысли настолько, что они волей-неволей тяготеют к притче.

Примечательно и то, что многие мыслители, такие как Пифагор, Платон, Кузанский, Декарт, Лейбниц, Паскаль и многие другие, на протяжении истории развития человечества ставили главной целью своих трудов - духовное совершенствование человека. Например, Декарт первоначально планировал своё сочинение «Рассуждение о методе» назвать так: «Проект Универсальной Науки, могущей возвысить нашу природу на высочайшую ступень совершенства».

Поэтому, на наш взгляд, основные темы даже по математике, физике, химии, биологии, имеющие принципиальное значение для развития личности ребёнка, можно преподносить как своего рода притчи. Получается так, что при глубоком продумывании изучаемого материала он постепенно «завязывается» в притчу. Очень трудно удержаться и не придумать притчу, например, на закон всемирного тяготения Ньютона, связавшего воедино яблоко, ракету и движение планет, или притчу на закон инерции, который является одним из самых безумных законов в истории науки, так как никто и никогда на Земле не видел равномерного движения без действия внешней силы. Л.Н. Толстой придумал следующий образ с использованием свойства дроби. Человек есть дробь: числитель - это совокупность объективных достоинств,

которые человек имеет, а знаменатель - это то, на сколько он свои достоинства субъективно оценивает, при этом гармония - это тот случай, когда дробь стремится к единице, т.е. когда субъективное и объективное уравновешиваются [Толстой Л.Н. Полн. собр. соч. В 90 томах. М., 1952. т.39-40. С. 143].

Ещё лучше, если тексты, тяготеющие к притче, будут сочинять сами дети вместе с учителем. Конечно, определённая строгость таких уроков отчасти пострадает, но зато будет приобретена их смысловая глубина, сопряжённая с духовным миром ребёнка. В этой связи необходимо отметить, что иногда точность и однозначность смысловому развитию урока мешают, т.е. наблюдается картина, которую точно выразил Рене Том: «Чем больше строгости, тем меньше смысла» [Вопросы философии, №4, 1996, с.144]. Общеизвестно, что не все дети могут выразить свои мысли ясным языком, тем более, когда понимание только устанавливается. Поэтому точность и строгость часто придают уроку авторитарные черты. Здесь следует различать понимание и знание. Именно точное и однозначное знание Мишель Фуко назвал «власть-знание»: тот, кто обладает знанием, всегда находится «над» тем, кто им не обладает.

Среди ответов ребят, например, на уроке математики также можно найти такие, которые содержат странность, интригу, противоречие, парадокс и наталкивают на разработку притч. И это не удивительно, осмыслить многие, даже очевидные вещи, можно только через их сознательную или бессознательную проблематизацию. Особенно часто это получается тогда, когда диалог по какой-либо проблеме ведётся в свободной форме.

Смысловому пониманию естественно-математических предметов способствует и тот факт, что основные научные понятия, такие как число, атом, заряд, свет, притяжение, жизнь, точка, множество, пространство, время и т.д. - это нерешённые и вечные проблемы, которые можно постигнуть только благодаря образам, метафорам, символам. Лауреат нобелевской премии физик В. Гейзенберг, сближая квантовую теорию и художественное произведение, писал: «... именно в иносказании или притче развёртываются, в конце концов, последние и самые глубокие познания» [Визгин В.П. Вернер Гейзенберг и Габриэль Марсель: резонанс творческой мысли // Визгин В.П. На пути к другому. М., 2004. С. 424]. Другой знаменитый математик Герман Вейль считал, что мышление по своему характеру есть нечто универсальное: «Влекомое глубочайшим внутренним светом, оно не сводится к набору механически применяемых правил и не может быть разделено водонепроницаемыми переборками на такие отсеки, как мышление историческое, философское, математическое и другое» [Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989. С. 6]. А русский математик В.В. Налимов, который работал вместе с гениальным А.Н. Колмогоровым, пишет: «Мне представляется, что быть научным - это быть метафоричным, способным создавать плодотворные метафоры, возбуждающие воображение и тем самым расширяющие наше взаимодействие с миром» [Налимов В.В. В поисках иных смыслов. М., 1993. С. 21].

Однако возникает закономерный вопрос: а не является ли сочинение нравственно ориентированных

106

Инновационные проекты и программы в образовании 2009/1

Педагогическая мастерская

притч с использованием понятий и образов различных наук некоторой профанацией этики? На наш взгляд, нет, если придерживаться следующего взгляда отношения морали к бытию: нравственность укоренена в бытии и является его закономерным и наивысшим эволюционным продуктом.

Как известно, бытие имеет качественные различия, в нём наличествуют более низкие и более высокие уровни. Нравственность же вырастает из этой неоднородности, представляя собой постепенное или революционное движение от низших уровней к высшим. К нравственной жизни мы поднимаемся, восходим, прорываемся. Прорываемся потому, что невозможно постоянно или заочно быть моральным. Высший уровень достигается лишь через громадные напряжения и усилия, которые у человека, конечно, не безграничны.

В данном контексте плодотворно выделить четыре качественных уровня бытия:

• физический уровень - мир существования физических тел и процессов (притяжение - отталкивание, сила - инерция, тёплое - холодное, мокрое - сухое, целостное - ущербное, тяжёлое - лёгкое и т.д.);

• биологический уровень - жизнедеятельность растительных и животных организмов (старое - молодое, сытость - голод, влечение - удовлетворение, инстинкт - рефлекс, забота - конкуренция, подражание - коммуникация и т.д.);

• психический уровень - душевная жизнь животных и человека (желание, общение, удовольствие, сотрудничество, целенаправленность, стыдливость, влюблённость и т.д.);

• духовно-нравственный уровень - жизнь человека в соответствии с определёнными общечеловеческими ценностями (совесть, ответственность, истина, любовь, достоинство, взаимопонимание, диалог и т.д.).

Очевидно, что человек зависит от всех перечисленных уровней. Его сознание как бы вбирает и отражает эти уровни. Моральная жизнь человека возникает именно на переходе от душевно-психического уровня к духовно-нравственному, но предпосылки её возникновения и развития видны уже на предыдущих уровнях. И это для нас принципиально важно. Поэтому в деле культурно-нравственного становления человека в той или иной степени участвуют все бытийные уровни, а значит и все школьные предметы. В каждой предметной области, используя соответствующие понятия и образы, можно придумать притчи, способствующие нравственному становлению человека.

При этом язык притчи - это не то, с помощью чего что-то обосновывается, описывается, доказывается, а сам является источником порождения истины. Поэтому каждое слово притчи незаменимо, в каком-то смысле самодостаточно, в каждом слове заложена память об идее всей притчи. Более того, в слове, предложении, притче заложена память о всём мироощущении, мировидении и мировоззрении человека.

Конечно, в художественных текстах часто сразу видна их духовная глубина, над текстами же точных наук требуется поработать: обогатить их дополнительной исторической информацией, найти про-блемность, парадоксальность, антиномичность в уже известном содержании, но в результате они также могут заговорить и раскрыть целое поле смыслов. В таком поле повышается возможность для ребёнка

нахождения индивидуальных, жизнеопределяющих смыслов.

В математике можно придумать притчи связанные с такими понятиями, как «целое», «число», «дробь», «прямая пропорциональность», «обратная пропорциональность», «пропорция», «золотая пропорция», «геометрическая прогрессия», «окружность», «теорема Пифагора», «дифференциация», «интеграция» и т.д. Все перечисленные понятия, на наш взгляд, несут в себе тысячелетнюю мудрость развития человечества, поэтому они значимы для становления культурно-нравственной личности школьника. Подобные же понятия можно выявить в любой другой науке. Поэтому здесь открываются широчайшие возможности для интеграционных процессов даже между точными и гуманитарными предметами.

Уроки, нацеленные на культурно-нравственное развитие ребёнка, должны разрабатывать не абстрактные проблемы, а те, которые, например языком математики, говорят что-то о его внутреннем мире, формируют, расширяют и углубляют этот мир. По нашему мнению, процесс развития ребенка средствами математики отражают и направляют следующие понятия: единое и многое, идеальное -реальное, соответствие - подобие, равенство - тождество, конечное - бесконечное - континуум, рациональное - иррациональное, пропорциональное -гармоничное, целое - доля - часть, интеграция -дифференциация, логика - софистика, моделирование - проектирование, симметрия - асимметрия, мнимое - действительное и т.д. Все перечисленные понятия - это не только математические понятия, но и символы (точнее при определённых условиях они могут стать символами), с помощью которых формируется духовная сфера ребёнка. Когда Пифагор говорил, что «всё есть число», то число он рассматривал как символ, который приобщает его к чему-то высшему и через который он понимает мир.

Итак, в процессе культурно-нравственного становления личности ребёнка важно нащупать узловые проблемы, идеи, парадоксы и раскрыть их в форме текста, тяготеющего к притче. Содержание урока при этом строится не как некий логически выстроенный линейный поток информации, который часто уходит в дурную бесконечность, а как рассказ, притча, которые имеют сюжет, несколько уровней толкования и понимания. Именно благодаря притчевым миниатюрам, на наш взгляд, постепенно формируется и обогащается культура, а также более или менее непротиворечивое мировоззрение юного человека.

Предлагаемые ниже притчевые миниатюры различны по степени совершенства: одни - близки к завершению, другие - находятся в стадии разработки. Поэтому работа над ними продолжается, и в этом процессе заключается особая радость творчества. Приглашаем Вас к со-творчеству! Находите, создавайте притчи и щедро делитесь ими с другими!

Притчи в курсе математики 1. «Мировоззрение»

Изучение математики подразумевает формирование научно ориентированного мировоззрения человека. Для этого необходимо, чтобы изучаемые понятия в системе

Инновационные проекты и программы в образовании 2009/1

107

Педагогическая мастерская

взаимосвязей доводились до уровня философского обобщения. Это возможно с помощью таких математических категорий, как: единое - многое, идеальное - реальное, равенство - тождество - подобие, конечное - бесконечно, рациональное - иррациональное, пропорциональное - гармоничное - дисгармоничное, целое - доля - часть, интеграция - дифференциация, логика - софистика, пространство - время - континуум и т.д. И это не пустые слова, если вспомнить, что большинство учёных с помощью науки решали в первую очередь мировоззренческие проблемы (Аристотель, Фалес, Декарт, Паскаль, Кузанский, Лейбниц, Ньютон, Лобачевский, Колмогоров, Пуанкаре, Циолковский, Эйнштейн и многие другие). К.Э. Циолковский, который обосновал теоретическую возможность полёта человека в космос, писал: «Многие думают, что я хлопочу о ракете и беспокоюсь о её судьбе из-за самой ракеты. Это было бы глубокой ошибкой... Не достигшие до такого понимания вещей люди говорят о том, чего не существует, что делает меня каким-то однобоким техником, а не мыслителем».

2. «Притчевые миниатюры»

Внимательно просматривая труды известных мыслителей (Пифагора, Аристотеля, Платона, Кузанского, Гейзенберга, Эйнштейна, Пуанкаре и т.д.), можно отметить следующий факт: многие великие учёные в той или иной мере в своих высказываниях тяготели к афористичности и притчевости, особенно, когда стремились объяснить суть своей концепции в научно-популярной форме. На наш взгляд, основные темы по математике можно преподносить как своего рода притчи. Получается так, что при глубоком продумывании изучаемого материала он постепенно «завязывается» в притчу. Например, Л.Н. Толстой придумал следующий образ с использованием свойства дроби. Человек есть дробь: числитель - это совокупность объективных достоинств, которые человек имеет, а знаменатель - это то, на сколько он свои достоинства субъективно оценивает, при этом гармония - это тот случай, когда дробь стремится к единице.

3. «Уравнение»

Как известно, уравнение - это равенство с одной неизвестной, которую нужно найти. В нашей жизни также очень много неизвестных, которые мы ищем порою всю жизнь. Отрадно сознавать, что в школе мы чаще всего решаем уравнение с одной неизвестной.

4. «Качественно новые черты»

В одной и той же системе развития при взаимодействии элементов, процессов, явлений создаются качественно новые черты, не присущие их отдельным компонентам. В математических операциях комбинации компонентов, по-разному связанных, дают другой результат. Например, 3 - 3 = 0; 3 : 3 = 1; log3 3 = 1; 3 + 3 = 6; 3 • 3 = 9; 33 = 27. Как и какими средствами успешнее и быстрее всего добиться, чтобы огромное многообразие жизни духовно обогащало и личность, и общество? Как всегда добиваться самого продуктивного эффекта умножения и возведения в степень?

5. «окружность, вписанная в треугольник»

- Вы мне нравитесь, - искренне призналась окружность треугольнику.

- Но мы с вами не пара, милочка, ведь я такой разносторонний, к тому же у меня целых три вершины, а вы однообразно круглая, - отрезал высокомерно треугольник.

- Какой вы наивный, - мягко парировала окружность, - по секрету сообщу вам, что окружность. вписывается в любой треугольник.

6. «Бесконечный миг»

Рассказывают, что один скупердяй обратился как-то к Богу:

- Господи, ты велик и всемогущ! - молвил скупердяй. - Что для тебя тысяча лет?

- Один миг, - ответил Бог.

- А тысяча золотых?

- Один грош.

- Так подари мне его.

- Хорошо, подожди один миг.

Миновал миг. Глядит Бог по сторонам да затылок чешет. Нет скупердяя, один тлен остался. Мораль? С бесконечностью следует обходиться очень и очень деликатно.

7. «притча о нуле»

Алиса сунула руку в карман: может быть, найдётся хотя бы одна конфетка?

- Конфет у тебя в кармане нуль! - важно сказало какое-то существо. - И не только конфет.

Нуль вишневых пирогов,

Нуль ореховых тортов,

Нуль коробок шоколада,

Нуль бутылок лимонада.

- Кто вы?

- Я и есть Нуль! - ударяя себя в грудь, воскликнуло существо.

Алиса сказала:

- Мы с вами встречались: я часто видела вас в разных числах. В миллионе, например, целых шесть нулей.

- Вот-вот! - подхватил Нуль - именно мы, нули, и делаем единицы миллионами! Единица без нулей -что король без свиты.

- Так вот почему у короля всегда большая свита! - подумала Алиса. - Чем больше в свите нулей, тем важнее кажется король!

- Некоторые думают, - сказал Нуль, многозначительно посмотрев на Алису, - что нуль - это ничто.

- А разве то не так? - удивилась Алиса.

- Нули бывают разные, - загадочно произнес Нуль. - Нуль как число - это действительно ничто, а нули - цифры всё время работают: они показывают, что чего-то нет.

- Тоже мне работа, - пренебрежительно сказала Алиса, - вот другие цифры действительно работают: они показывают, что что-то есть.

- Показывать, что чего-то нет, гораздо труднее, - серьезно возразил Нуль. - Ты когда-нибудь пробовала держать пустое место?... Соседи так и норовят занять это место, и каждому надо говорить: «Занято! Занято!». Ты представь себе, что было бы, если бы мы, нули, ушли со своих мест. Многие числа изменились бы до неузнаваемости - даже от миллиона ничего не осталось бы!

Ну не совсем ничего!?

8. «Алиса и точка»

Однажды Алиса встретилась со странным существом.

- Кто ты? - сгорая от любопытства, спросила Алиса.

- Я - Точка, - сказала существо.

- Точка? - удивлённо переспросила Алиса. - Но точки я видела много раз. Они стоят в конце каждого предложения!

108

Инновационные проекты и программы в образовании 2009/1

Педагогическая мастерская

- Я - Геометрическая Точка, - уточнил голос.

- Вы хотите сказать, что вы точка из учебника геометрии?

- Не совсем так, - сказал голосок. - Я точка без размеров.

- Без размеров? - удивилась Алиса.

- Я бесконечно маленькая, - сказала Точка.

- Бесконечно маленькая? - переспросила Алиса. -Мне казалось, что бесконечность всегда большая!

- Бесконечно малое можно понять с помощью бесконечно большого, - после недолгого молчания сказала Точка. - Сейчас я попробую объяснить тебе...

- Представь себе, - продолжала Точка, и голос её зазвенел, - что ты уменьшаешься с такой скоростью минута за минутой, час за часом, день за днём, месяц за месяцем, год за годом. Каждые секунду - в миллион раз!

Бедной Алисе никогда ещё не приходилось так напрягать своё воображение: все сказки про зверей и драконов показались ей бледной выдумкой по сравнению с тем, о чём говорила Точка.

- Я продолжаю! - загремел голос Точки. Проходят века и тысячелетия, гаснут и зажигаются звёзды, а ты всё уменьшаешься и уменьшаешься. И только через бесконечно большое число тысячелетий ты сможешь стать точкой!

Точка помолчала и потом добавила, но уже значительно тише и загадочней:

- Сможешь стать, но никогда не станешь! Прощай, мы ещё встретимся.

У Алисы голова пошла кругом: в ней перепутались звёзды и тысячелетия, и Алисе почудилось, будто она увидела бездну звёздного неба. Алиса тряхнула головой, но видение не исчезло. Над Алисой, и по сторонам, и под ней было бесконечное звёздное небо.

9. «Точка зрения на мир»

В плоскости проходило много линий - и прямые, и кривые, и ломаные. И у всех были свои точки зрения на мир.

- Всё в мире делится на прямое и кривое, - резала правду одна прямая.

- Нет, - отрубила другая, - всё в мире или правое, или неправое.

- Не ссорьтесь, девочки, плавно изогнувшись, вмешивалась кривая, - всё в мире иерархично: здесь ты возвышен, а тут - унижен.

Ломаные своё мнение высказывать пока стеснялись, а окружность формулировала так:

- Весь мир - или внутренний, или внешний. Ну, о внешнем мне говорить неинтересно, зато мой внутренний мир очень богат. Только такие духовно богатые, как я.

- Плоские личности так много болтают, - прервала её спираль, - а что касается мира - то он всего лишь прослойка между моими витками, чтоб они не перепутались.

- Девочки, не надо спорить, - наконец решилась высказаться одна ломаная линия, - ведь у всех нас есть что-то общее. Хотя бы то, что все мы геометрические фигуры.

Наступило глубокое молчание. Однако никто из спорящих не замечал маленькой, незаметной точки, которая иногда появлялась на пересечении фигур, когда у них возникало столь редкое согласие.

Говорят подлинное от неподлинного отличается на чуть-чуть, на один «штрих». Может быть этот столь важный «штрих» и воплощается в геометрии в форме точки?

10. «Мудрость»

Однажды юный человек провёл отрезок и попросил мудреца, чтобы тот сократил его, не урезывая и не касаясь. Мудрец параллельно провёл более длинный отрезок, и тем самым первоначальный отрезок был умалён. «Так можно относиться к своим недостаткам и достоинствам, - заметил мудрец, - увеличивая достоинства, мы тем самым умаляем недостатки». В свою очередь мудрец задал юноше следующую задачу: на листе бумаге находятся две различные точки, как эти точки совместить, если исключить возможность соединения точек линией? Юноша, подумав, сложил листок и совместил точки. «Так часто бывает в жизни, - подметил юноша, - когда проблема не решается в “плоском измерении”, то легко решается “многомерном”».

11. Математические головоломки

Порой математические головоломки помогают решать вполне этические проблемы. Например: как сократить отрезок, не урезывая и не прикасаясь к нему? Или: как из трёх спичек, лежащих на столе параллельно, удалить из середины среднюю, не трогая её? Все данные головоломки помогают понять, что бороться с негативными явлениями можно, не прикасаясь к ним (ведь нельзя преумножать зло). Здесь важно только кардинально изменить иерархию или расположение объектов, и тогда позитивное начало будет явно преобладать.

12. «правда числа»

Пифагореец Филолай говорил: «Ложь ни в каком виде не обитает в числе, поскольку она чужда и ненавистна его сущности; наоборот, истина испокон веков родственна и сопричастна числу». Казалось бы, разве можно соотносить математический объект и нравственную ценность? Однако давайте представим себе следующую ситуацию. Вдруг неожиданно человечество утрачивает понимание сути числа. Вследствие этого, во-первых, утрачивается понимание законов природы, во-вторых, человек лишается способности определять точное время, в-третьих, исчезают универсальные эталоны и меры (1 м, 1 градус и т.д.). Разве не повлияет такой внешний хаос на душу человека и его нравственную жизнь?

13. «Скорость жизни»

Существует формула: vt = s - время, умноженное на скорость, равно расстоянию. Будучи распространена на жизненный путь человека, эта формула означает, что чем с большей скоростью «идёт», «бежит» или «летит» человек по жизни, тем длиннее его жизненный путь. Скорость и пройденный путь - прямо пропорциональные величины. Можно прожить короткую по времени жизнь, но пройти за это время в своём развитии громадное расстояние. Таким образом, скорость жизненного движения зависит от способности человека развить нужную скорость. Пушкин прожил всего 37 лет, но за свою жизнь он сделал столько, сколько другой человек не сделал бы за несколько жизней, например, за 300 лет. Конечно, многое зависит от врождённых способностей, но многое зависит и от самого человека. Так будем же двигаться по жизни с оптимальной скоростью!

14. «великодушие платона»

Однажды друзья упрекнули Платона в том, что он подал милостыню человеку дурного нрава, он ответил:

Инновационные проекты и программы в образовании 2009/1

109

Педагогическая мастерская

«Я подаю не нраву, а человеку». На языке математики можно было бы сказать: когда смотришь на окружность, не смотри только на неровность линии, а увидь целое умственными очами, ведь человек никогда не сможет нарисовать идеально ровную окружность. Платон считал, что нарисованные фигуры «служат лишь образным выражением того, что можно видеть лишь мысленным взором» [Платон, т.3, с.293]. Можно добавить, что и прямую мы никогда не увидим обычными глазами, хотя бы потому, что она устремлена в бесконечность, но мы всё же представляем всю прямую умственными очами. Тем самым, Платон верил в человека и видел скрытые в нём потенциальные возможности.

15. «Пропорция отношений»

Древнегреческий математик Фалес говорил: «Помните, что дети ваши будут обходиться с вами так же, как вы обходитесь со своими родителями». В данном высказывании Фалес использует те знания о пропорции, в которых утверждается, что пропорция - это равенство двух отношений: а / b = с / d. Учитывая знания о пропорции, мысль Фалеса можно сформулировать и так: моё отношение к родителям будет равным отношению моих детей ко мне. Также в высказывании Фалеса присутствует золотое правило нравственности: относись к другим так, как ты хотел бы, чтобы они относились к тебе.

16. «Свято место пусто не бывает»

Говорят, что «свято место пусто не бывает». Действительно, если мы не прилагаем необходимых нравственных усилий, то в пространство нашей жизни заползает зло. Получается так, что для возникновения зла - нужно просто прекращать творить добро, то есть быть пассивными. Таким образом, между добром и злом существует обратная зависимость: чем больше сотворяется добра, тем меньше остаётся места злу.

17. «целое»

В Древней Греции жили остроумные и хитрые мыслители - софисты. Один из них рассуждал следующим образом: «Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». Одна из ошибок в этом рассуждении возникает из-за пренебрежения следующим фактом: добра не может быть больше или меньше, добро всегда есть полнота, то есть оно есть целиком или его нет. Когда мы пренебрегаем целостным пониманием явления, то сразу же получаем смешные выводы. Подобные ошибки легко найти и в математике. Например, иногда по той же причине получаются следующие результаты: 2,4 машины, 1,5 человека, 3/4 ручки и т.д. Поэтому в математике, как и во всех других науках, играет большую роль понятие «целое». «Целое» может быть любым числом. Однако самым важным является тот факт, что все измерения в точных науках производятся относительно универсального эталона: 1 м, 1 час, 1 кв. м. и т.д., а эталон и есть «целое». В этой связи можно проникнуть и в глубокий смысл фразы Пифагора: «Всё есть число», если под числом понимать универсальную единицу или целое.

18. «Целое - Доля - Часть»

Однажды на уроке этики мы столкнулись с такой ситуацией, когда нужно было «наглядно» продемонстрировать, почему нравственно растущий человек должен дружить

не только с духовно богатой личностью, но и помогать более слабому. На помощь пришла триада - целое, доля и часть. Напомним некоторые знания по математике 5 класса. Как найти часть от целого? Нужно часть поделить на целое, в результате получается доля (20 минут от 1 часа - 1/3 от целого, или 1 часа). Как найти долю от целого? Необходимо долю умножить на целое, в результате получится часть (1/3 от 1 часа - 20 минут). Как найти целое, если известно, какую долю составляет часть? Нужно часть разделить на долю (20 минут есть 1/3 часа - в 1 часе 60 минут). Спустя некоторое время ученик 5 класса на вопрос: «чем отличаются целое, доля и часть?», ответил, что «доля всегда помнит о целом». Позже ребята его уточнили: «доля помнит не только о целом, но и о части». В чём же состоит нравственный смысл данного утверждения? Почему доля (1/3) помнит и о части (20 мин.), и о целом (60 мин.) одновременно? Да просто потому, что без них она не сможет существовать: именно часть и целое конструируют долю. Вот так и любой человек должен помнить одновременно о слабом и сильном, то есть тянуться к более мудрому, но и помогать тем, кому он нужен. Такая вот уж у человека его «доля».

19. «Половина больше целого»

Царь Питтак справедливо правил Метиленами десять лет, потом сложил власть. Народ наградил его большим земельным наделом. Питтак принял только половину и сказал: «Половина больше целого» [Гаспаров М.Л. Занимательная Греция. М.,1995. с.72]. Почему же тогда так сказал Питтак? По сути Питтак высказал мысль, что доля бывает больше целого. В математике за целое обычно берётся 1, тогда доли 3/2, 5/4 больше 1. Тем самым доля может быть больше целого. Но Питтак сказал, что 14 > 1. Поэтому, скорее всего, Питтак рассуждал не в математическом, но и в нравственном смысле. Представим себе такую ситуацию. Вам друг при всех дарит коробку конфет, вы её раскрываете, сами пробуете и угощаете всех присутствующих. В коробке остаётся часть - пусть половина. Разве не ценнее эта часть для вас полной коробки? Эта доля-часть напоминает вам о двух важных событиях: о целом, то есть о подарке, который вам подарили, и о том, что вы поделились частью подарка с друзьями. Вот и выходит, что в данном случае доля больше целого. Вывод: царь Питтак, скорее всего, был честным человеком, и поэтому оценил свой труд по справедливости. Поэтому в данном случае оказалось, что справедливость для Питтака ценнее народной щедрости.

20. «Единица как целое»

Символом целого является единица. Но не та единица, которую мы используем при счёте. Великий древнегреческий философ Платон считал, что без единицы невозможны никакие «мерные отношения, никакая пропорция». Математик Евклид в «Началах» так понимал единицу: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым» [Евклид «Начала». М., 1949. Кн. VII-X. С. 9]. Великий математик эпохи Возрождения Николай Кузанский писал: «Число не есть единица, хотя всякое число свёрнуто в единице» [Кузанский Н. Т.2, С. 19, 295]. А И. Ньютон утверждал: «... под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлечённое отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу» [ЭСЮМ, с.114]. Другими словами, едини-

110

Инновационные проекты и программы в образовании 2009/1

Педагогическая мастерская

ца для них не просто число, а нечто божественное, к чему всё приобщается. Поэтому следует различать качественную характеристику единицы и количественную: единица одновременно является цифрой, числом и «целым». Наведением на качественное свойство единицы может служить действие возведения любого числа в нулевую степень или возведение единицы в любую степень: в данном случае мы всегда получаем в результате единицу; а также нахождение для единицы обратного числа: обратным числом является та же единица. Приобщение к целому, или единице, иногда помогает при счёте. Например. Как сравнить дроби 2/3 и 3/4 с помощью целого? Дополняем эти дроби до единицы, получаем 1/3 и 1/4, сравниваем их, 1/3 > 1/4, то есть до единицы 2/3 не хватает больше, чем 3/4, поэтому получаем, что 2/3 < 3/4.

21. «Божественное число»

Возникновение гармонического порядка и всякой определённости происходит из «беспредельного, связанного пределом», это есть согласие противоположных начал, определяемое числом. Постигнув, что всё есть число (Пифагор), древние греки установили возможность не только познавать мир, но и сотворять его, отыскивая и воспроизводя меру всех вещей. Отсюда важная роль, которая придавалась математике для овладения всей суммой наук в античной Греции - арифметикой, геометрией, астрономией, грамматикой, философией. При входе в Платоновскую академию имелась надпись: «Не геометр - да не войдёт». Диоген Лаэртский упоминает о том, что возглавляющий академию Ксенократ сказал однажды человеку, не знакомому ни с одной из этих наук: «Иди, у тебя нечем ухватиться за философию». Всё это обусловлено тем, что греки понимали число и числовую пропорцию не в практически-прикладном плане, но в его космическом значении, как универсальный принцип мироздания. Математика как созерцание универсальной гармонии служила для пифагорейцев способом возвышения души до божественного. Так Прокл в «Платоновской теологии» пишет, что «математические науки были изобретены пифагорейцами для припоминания о божественном; посредством них как посредством образов они пытались приобщиться к потусторонним началам... они посвящали богам числа и фигуры». Таким образом, математика, согласно мнению древних, научает душу человека отвращаться от всего хаотического, беспорядочного и приобщаться к миру вечного бытия, где царят порядок, гармония и симметрия.

22. «Треугольник - символ духовной жизни»

Несомненно, что жизненное, человеческое понимание треугольника восходит к многовековой истории развития человечества. С давних времён треугольник является геометрическим образом триады и в числовом символизме эквивалентен числу «три». В высшем смысле треугольник имеет отношение к божественной Троице. В обычном положении, с основанием внизу, треугольник символизирует огонь и стремление всех вещей к высшему единству, к Истоку или Точке, из которой исходит сияние. Точка означает Единство, Происхождение и Центр; она представляет принципы завершения, сосредоточения, собранности, проявления, порождения, эманации, творческой эволюции. В Индии треугольник понимался как первая космическая форма, появившаяся из хаоса.

Два треугольника, один в нормальном положении и один перевёрнутый, будучи наложенными друг на друга так, что образуют шестиконечную звезду, составляют символ человеческой души. Египетские пирамиды также состоят из треугольников.

Вот как описывает духовное значение треугольника для жизни человека художник В. Кандинский. «Большой остроконечный треугольник, разделённый на неравные части, самой острой и самой меньшей своей частью направленный вверх - это схематически верное изображение духовной жизни. Чем больше книзу, тем больше, шире, объёмистее и выше становятся секции треугольника. Весь треугольник медленно, едва заметно движется вперёд и вверх, и там, где «сегодня» находился наивысший угол, «завтра» будет следующая часть, то есть то, что сегодня понятно одной лишь вершине, что для всего остального треугольника является непонятным вздором - завтра станет для второй секции полным смысла и чувства содержанием жизни. На самой вершине верхней секции иногда находится только один человек. Его радостное видение равнозначаще неизмеримой внутренней печали. И те, кто к нему ближе всего, его не понимают. Они возмущённо называют его мошенником или кандидатом в сумасшедший дом. Так, поруганный современниками, одиноко стоял на вершине Бетховен. Да и один ли он? Сколько понадобилось лет, прежде чем большая секция треугольника достигла вершины, где Бетховен когда-то стоял в одиночестве. И, несмотря на все памятники, - так ли уж много людей действительно поднялось на эту вершину?» [Кандинский В.В. О духовном в искусстве. М., 1992. С. 17.]

23. «Сократ и эпикуреец»

Однажды к Сократу подошёл эпикуреец и заметил, что, если он предложит его ученикам множество различных удовольствий, то они от него уйдут. Сократ неожиданно согласился: может быть так и произойдёт, ведь с горы скатиться гораздо легче, чем на неё подняться. В контексте данной истории интересен следующий математический факт: если искомое число уменьшить на 50%, то затем полученное число до первоначального необходимо увеличить уже на 100%. Проценты здесь выступают в роли «долей». А доли -это самые пластичные и живые числа, которые помнят о целом и части, чутко реагируя на различные изменения величин. Данная математическая операция показывает, что в жизни очень легко нечто утратить, но гораздо сложнее восстановить.

24. «Уважение к Учителю»

Уважительное расстояние, отделяющее ученика от Учителя, является в определённом смысле абсолютным и представляет собой яркое воплощение известной математической апории Зенона. «Существо более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше придти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество» [Аристотель, «Физика», VI, 9]. Таким образом, если человек стал настоящим учеником, то между ним и Учителем всегда будет существовать известная дистанция, которую он никогда не позволит себе перешагнуть, даже если Учитель устал и остановился.

Инновационные проекты и программы в образовании 2009/1

111