Исследование динамических характеристик оболочек с отверстиями и присоединенной массой

УДК 624.074.433

С.В. Серёгин

ФГБОУ ВПО «КнАГТУ»

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБОЛОЧЕК С ОТВЕРСТИЯМИ И ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССОЙ

Теоретически и экспериментально-численным методом изучено влияние отверстий и малой присоединенной массы на частоты и формы собственных изгиб-ных колебаний тонких круговых цилиндрических оболочек. Представлена методика расчета оболочек с отверстиями, основанная на уравнениях теории пологих оболочек. Показано, что результаты динамического расчета оболочек с отверстиями при соответствующем подборе величины присоединенной массы, сопоставимы с результатами расчета оболочек, несущих сосредоточенную массу.

Ключевые слова: собственные колебания, цилиндрические оболочки, технические отверстия, присоединенная масса, динамические характеристики.

Тонкие цилиндрические оболочки широко применяются в строительстве, машиностроении и других отраслях техники. В конструкциях резервуара для изотермического хранения сжиженных газов неизбежны случаи, когда в корпусе необходимо наличие различных технических отверстий. А точечная масса на практике может предстать в виде подвешенных прожекторов, радиолокаторов, архитектурных включений в зданиях и сооружениях различного назначения. Известно, что динамическая асимметрия в виде начальных неправильностей геометрической формы, в т.ч. наличие отверстий, и малой присоединенной массы, приводит к специфическим эффектам у оболочек [1—15]. В настоящей работе исследуются частоты и формы собственных изгибных колебаний оболочек, ослабленных отверстиями и несущих сосредоточенную малую массу. Теоретические результаты сопоставлены с численным экспериментом.

1. Исследование динамических характеристик оболочек с отверстиями Методом конечных элементов (МКЭ) в среде пакета MSC Nastran смоделирована модель круговой цилиндрической оболочки со следующими геометрическими и физическими характеристиками: R /h = 200 , L /R = 2,5 , где R = 5 м — радиус оболочки; h — толщина стенки; L — длина; E = 2 • 1011 Н/м2 — модуль Юнга; р = 7800 кг/м3 — массовая плотность. Число конечных элементов — 10000. На торцевых сечениях оболочки реализуются условия свободного опирания.

Положим, что в центре оболочки имеется отверстие прямоугольной формы. Площадь вырезанного отверстия составляет 6,16 м2. Собственные частоты и формы низших колебаний приведены на рис. 1, 2.

Видно, что наличие отверстий приводит к расщеплению частотного спектра в цилиндрической оболочке. Формы сдвинуты на угол л/2«. Также заметим, что контур выреза при изгибных колебаниях подвержен сильной деформации (см. рис. 2).

Рис. 1. Собственные колебания оболочки с отверстием n = 5

Рис. 2. Собственные колебания оболочки с отверстием п = 6 (ю1=11,06 Гц, ю2=П,13 ГЦ).

2. Теоретическое решение задачи о колебании оболочек, ослабленных отверстием

Гипотеза. Сделаем предположение, что динамическое поведение цилиндрических оболочек с отверстием сопоставимо со спецификой влияния присоединенной массы. Для решения такой задачи будем использовать известные уравнения из теории пологих оболочек [3, 9] совместно с вариационным методом Бубнова — Галеркина [7].

Л 4 1 32Ф 52 * Мс ( *

= ^"V""Г5(-*'>-^ ))^ <*>

1 У4Ф = -1 ^,

E R дх2

где D = Eh

12 (1

— цилиндрическая жесткость; h — толщина обо-

лочки; R — радиус; Ф — функция напряжений в срединной поверхности; р — массовая плотность; х, у — продольная и окружная координаты; ц — коэффициент Пуассона; Ыс — масса вырезанного элемента; 5( х, у) — функция Дирака; х у0 — координаты размещения центра выреза у оболочки; t — время; E — модуль Юнга; V4 — бигармонический оператор Лапласа; w( х, у, t) — динамический прогиб, положительный при направлении к оси.

Прогиб шарнирно опертой по торцам оболочки аппроксимируем выражением: w = (f (i)sinßy + f (t)cosßy)sinsx, где x — координата, отсчитываемая вдоль образующей оболочки, ß = n/R, s = mn/l.

В результате соответствующих подстановок и аппроксимации уравнений (1), (2) к форме предполагаемого прогиба оболочки после выполнения процедуры метода Бубнова — Галеркина получим следующую систему модальных уравнений для определения обобщенных перемещений f и f2:

.. 2 4 (М - M .. -, 2

f + of + м—^^ Lf sin ßjo + f C0S ßy° Jsin ßy°;

с

.. 2 4(M -M .. -, 2

f + 0 f + M—- L f sin ßy + fco s ßy Jsin s ßy •

с

Из которого выразим формулу для отыскания низшей из расщепленных частот.

Q= , ,

I _M, (4 cos2 ^ -3)-Mso

v m - m

К с so

где ю0 — частота колебаний идеальной оболочки; Mc — масса вырезанного элемента; M — масса идеальной оболочки.

3. Исследование динамического поведения оболочек, несущих сосредоточенную массу

Для подтверждения выдвинутой гипотезы простыми математическими вычислениями выразим массу удаленного из оболочки тела. Она составит Mc = 0,0157Mso. Смоделировав процесс колебания оболочки с массой с теми же параметрами, что и в предыдущем разделе, получим частоты и формы собственных колебаний (рис. 3).

Рис. 3. Собственные колебания оболочки с присоединенной массой п = 6

Присоединенная масса, как и наличие вырезов в цилиндрической оболочке приводит к расщеплению частотного спектра, а также меняет форму колебаний сдвинутых на угол п / 2п относительно первоначальной формы.

4. Сопоставление результатов. Основные выводы

Результаты теоретических и численных расчетов оболочки, ослабленной вырезом и несущей сосредоточенную массу, приведены на рис. 4. Сплошной

линией обозначена собственная частота колебаний идеальной круговой цилиндрической оболочки. Пунктирной с точкой обозначена низшая из расщепленных частот, полученная по теоретической формуле (3). Точками с кругами — низшая из частот оболочки, несущей присоединенную массу. Пунктирной линией — низшая из расщепленных частот оболочки, ослабленной отверстием.

9.5

5 6

Количество волн н Рис. 4. Собственная частота

При оценке низших частот формула (3) дает вполне удовлетворительные результаты, погрешность составит порядка 5 %. Численные результаты, найденные МКЭ для оболочки с отверстием, практически совпадают с результатами для оболочки, несущей присоединенную массу, что подтверждает сделанные нами ранее предположения. Эффекты, вызванные наличием отверстия, сопоставимы со спецификой колебания оболочек с массой. Так при числе формообразующих волн п = 6 заметен резкий всплеск в сторону уменьшения частот (рис. 5), вызванный как раз изучаемыми нами дополнительными включениями.

Рис. 5. Собственная безразмерная частота

На рис. 5 представлена безразмерная частота колебания оболочек с массой и с отверстием ОлШ = о2г /юш, где ш2. — низшая из расщепленных частот, а ш — частота идеальной оболочки. Обозначения линий сохранены.

В заключение отметим, что теоретическое решение, в силу допущений в выбираемых нами исходных уравнениях движения, не отображает в точности эффекты, вызванные динамической асимметрией, в частности, снижением основной частоты относительно частоты идеальной оболочки, вследствие влияния присоединенных тел, а также колебанием контура отверстия, сопровождающееся также резким снижением основной частоты.

5. Практические рекомендации:

формула (3) дает удовлетворительный результат при оценке низших частот собственных колебаний круговых цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями;

динамическое поведение цилиндрических оболочек с отверстием сопоставимо со спецификой влияния присоединенной массы;

в случае, если создание отверстий неизбежно, кромки выреза следует закрепить ребрами жесткости, что приведет к увеличению основной частоты колебаний оболочки.

Библиографический список

1. Дышко А.Л., Павленко И.Д., Селиванов Ю.М. Исследование резонансных колебаний оболочек с отверстиями // Смешанные задачи механики деформируемых сред : сб. науч. тр. Днепропетровск : Вид-во ДДУ, 1995. С. 58—66.

2. Заруцкий В.А., Телалов А.И. Колебания тонкостенных оболочек с конструктивными особенностями. Обзор экспериментальных исследований // Прикладная механика. 1991. Т. 278. № 4. С. 3—9.

3. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек. Киев ; М. : Наукова думка, 1984. 220 с.

4. Лейзерович Г.С., Тарануха Н.А. Неочевидные особенности динамики круговых цилиндрических оболочек // Изв. РАН МТТ. 2008. № 2. С. 96—105.

5. Лейзерович Г.С., Приходько Н.Б., Серегин С.В. О влиянии малой присоединенной массы на колебания разнотолщинного кругового кольца // Строительство и реконструкция. 2013. № 4. С. 38—41.

6. Лейзерович Г.С., Приходько Н.Б., Серегин С.В. О влиянии малой присоединенной массы на расщепление частотного спектра кругового кольца с начальными неправильностями // Строительная механика и расчет сооружений. 2013. № 6. С. 49—51.

7. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957. 440 с.

8. Тарануха Н.А., Лейзерович Г.С. О влиянии начальных отклонений от идеальной круговой формы цилиндрических оболочек на собственные изгибные колебания // Прикладная математика и техническая физика. 2001. Т. 42. № 2. С. 180—187.

9. Тарануха Н.А., Лейзерович. Г.С. Новые решения в динамике «неправильных» оболочек. Владивосток : Дальнаука, 2007. 203 с.

10. Amabili M., Garziera R., Carra S. The effect of rotary inertia of added masses on vibrations of empty and fluid-filled circular cylindrical shells // Journal of Fluids and Structures. 2005. Vol. 21. No. 5—7. Рр. 449—458.

11. Amabili M., Garziera R. Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part III: steady viscous effects on shells conveying fluid // Journal of Fluids and Structures. 2002. Vol. 16. No. 6. Рр. 795—809.

12. Avramov K.V., Pellicano F. Dynamical instability of cylindrical shell with big mass at the end // Reports of the National Academy of Science of Ukraine. 2006. № 5. Рр. 41—46.

13. Mallon N.J. Dynamic stability of a thin cylindrical shell with top mass subjected to harmonic base-acceleration // International Journal of Solids and Structures. 2008. 45 (6). Pp. 1587—1613.

14. Mallon N.J., Fey R.H.B., Nijmeijer H. Dynamic stability of a base-excited thin orthotopic cylindrical shell with top mass: simulations and experiments // Journal of Sound and Vibration 329. 2010. Vol. 329. No. 15. Pp. 3149—3170.

15. Tobjas S.A. A theory of imperfection for the vibration of elastic bodies of revolution // Engineering. 1951. Vol. 44. No. 70. Pp. 409—420.

Поступила в редакцию в январе 2014 г.

Об авторе: Серёгин Сергей Валерьевич — аспирант кафедры строительства и архитектуры, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «КнАГТУ»), 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Ленина, д. 27, (4217) 24-11-41, Seregin-komsHome@yandex.ru.

Для цитирования: Серёгин С.В. Исследование динамических характеристик оболочек с отверстиями и присоединенной массой // Вестник МГСУ 2014. № 4. С. 52—58.

S.V. Seregin

INVESTIGATION OF DYNAMIC CHARACTERISTICS OF SHELLS WITH HOLES

AND ADDED MASS

Thin cylindrical shells are widely used in construction, engineering and other industries. In case of designing a reservoir for the isothermal storage of liquefied gases such cases are inevitable, when housing requires various technical holes. A point wise added mass can appear into practice in the form of suspended spotlights, radar, architectural inclusions in buildings and structures of various purposes. It is known, that the dynamic asymmetry as an initial irregular geometric shape, including holes, and the added mass leads to specific effects in shells.

In the paper the impact of a cut on the frequency and form of its own vibrations of thin circular cylindrical shells is theoretically examined with the help of the equations of linear shallow shell theory. For modal equations with Nav'e boundary conditions, we used the Bubnov — Galerkin method. The authors have expressed a formula for finding the lowest of the split-frequency vibrations of a shell with a cutout. It is stated, that in case of an appropriate choice of added mass value the lower frequencies are comparable with the case of vibrations of a shell with a hole. By numerical and experimental modeling and finite element method in the environment of MSC "Nastran" oscillation frequencies a shell supporting a concentrated mass and a shell with a cutout were compared. It is shown, that the results of the dynamic analysis of shells with holes with a suitable choice of the attached mass values are comparable with the results of the analysis of shells carrying a point mass. It was concluded that the edges in the holes, significantly affect the reduction in the lowest frequency, and need to be strengthened.

Key words: natural vibrations, cylindrical shells, technical holes, added mass, dynamic characteristics.

References

1. Dyshko A.L., Pavlenko I.D., Selivanov Yu. M. Issledovanie rezonansnykh kolebaniy obolochek s otverstiyami [Investigation of Resonant Vibrations of the Shells with Holes]. Sme-shannye zadachi mekhaniki deformiruemykh sred. Sbornik nauchnykh trudov [Mixed Problems of Deformable Media Mechanics. Collection of Scientific Works]. Dnepropetrovsk, DDU Publ., 1995, pp. 58—66.

2. Zarutskiy V.A., Telalov A.I. Kolebaniya tonkostennykh obolochek s konstruktivnymi os-obennostyami. Obzor eksperimental'nykh issledovaniy [Vibrations of Thin-walled Shells with Constructive Features. Overview of Experimental Studies]. Prikladnaya Mekhanika [Applied Mechanics]. 1991, vol. 278, no. 4, pp. 3—9.

3. Kubenko V.D., Koval'chuk P.S., Krasnopol'skaya T.S. Nelineynoe vzaimodeystvie form izgibnykh kolebaniy tsilindricheskikh obolochek [Nonlinear Interaction of Flexural Vibrations Forms of Cylindrical Shells]. Kiev, Moscow, Naukova dumka Publ., 1984, 220 p.

4. Leyzerovich G.S., Taranukha N.A. Neochevidnye osobennosti dinamiki krugovykh tsilindricheskikh obolochek [Non-obvious Features of the Dynamics of Circular Cylindrical Shells]. Izvestiya RAN MTT [News of RAS Mechanics of Solids]. 2008, no. 2, pp. 96—105.

5. Leyzerovich G.S., Prikhod'ko N.B., Seregin S.V. O vliyanii maloy prisoedinennoy massy na kolebaniya raznotolshchinnogo krugovogo kol'tsa [Effect of Small Added Mass on the Fluctuations of Gage Circular Ring]. Stroitel'stvo i rekonstruktsiya [Building and Reconstruction]. 2013, no. 4, pp. 38—41.

6. Leyzerovich G.S., Prikhod'ko N.B. Seregin S.V. O vliyanii maloy prisoedinennoy massy na rasshcheplenie chastotnogo spektra krugovogo kol'tsa s nachal'nymi nepravil'nostyami [Effect of Small Added Mass on Splitting of the Frequency Spectrum of a Circular Ring with Initial Irregularities]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Structures Calculation]. 2013, no. 6, pp. 49—51.

7. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike [Variational Methods in Mathematical Physics]. Moscow, 1957, 440 p.

8. Taranukha N.A., Leyzerovich G.S. O vliyanii nachal'nykh otkloneniy ot ideal'noy kru-govoy formy tsilindricheskikh obolochek na sobstvennye izgibnye kolebaniya [On the Influence of Initial Deviations from the Perfectly Circular Shape of Cylindrical Shells on their Own Flexural Vibrations]. PMTF [Applied Mathematics and Technical Physics]. 2001, vol. 42, no. 2, pp. 180—187.

9. Taranukha N. A., Leyzerovich. G.S. Novye resheniya v dinamike «nepravil'nykh» obolochek [New Solutions in the Dynamics of Imperfect shells]. Vladivostok, Dal'nauka Publ., 2007, 203 p.

10. Amabili M., Garziera R., Carra S. The Effect of Rotary Inertia of Added Masses on Vibrations of Empty and Fluid-filled Circular Cylindrical Shells. Journal of Fluids and Structures. 2005, vol. 21, no. 5—7, pp. 449—458. DOI:10.1016/j.jfluidstructs.2005.07.018.

11. Amabili M., Garziera R. Vibrations of Circular Cylindrical Shells with Nonuniform Constraints, Elastic Bed and Added Mass; Part III: Steady Viscous Effects on Shells Conveying Fluid. Journal of Fluids and Structures. 2002, vol. 16, no. 6, pp. 795—809. DOI:10.1006/ jfls.2002.0446.

12. Avramov K.V., Pellicano F. Dynamical Instability of Cylindrical Shell with Big Mass at the End. Reports of the National Academy of Science of Ukraine. 2006, no. 5, pp. 41—46.

13. Mallon N.J. Dynamic Stability of a Thin Cylindrical Shell with Top Mass Subjected to Harmonic Base-acceleration. International Journal of Solids and Structures. 2008, no. 45 (6), pp. 1587—1613. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2007.10.011.

14. Mallon N.J., Fey R.H.B., Nijmeijer H. Dynamic Stability of a Base-excited Thin Ortho-tropic Cylindrical Shell with Top Mass: Simulations and Experiments. Journal of Sound and Vibration. 2010, vol. 329, no. 15, pp. 3149—3170. DOI: 10.1016/j.jsv.2010.02.007.

15. Tobjas S. A. A Theory of Imperfection for the Vibration of Elastic Bodies of Revolution. Engineering. 1951, vol. 44, no. 70, pp. 409—420.

About the author: Seregin Sergey Valer'evich — postgraduate student, Department of Construction and Architecture, Komsomolsk-na-Amure State Technical University, 27

Lenin st., Komsomolsk-on-Amure, 681013, Russian Federation, (4217) 24-11-41; Seregin-komsHome@yandex.ru.

For citation: Seregin S.V. Issledovanie dinamicheskikh kharakteristik obolochek s ot-verstiyami i prisoedinennoy massoy [Investigation of Dynamic Characteristics of Shells with Holes and Added Mass]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 4, pp. 52—58.