Общий алгоритм определения экономической эффективности инвестиционных проектов с использованием двухфакторных моделей производственной функции и детальных экономикоматематических моделей

УДК 330.45:303.713:338.31

Л. И. Цейтлин, В. Е. Кантор, Н. Б. Лезунова

Общий алгоритм определения экономической эффективности инвестиционных проектов с использованием двухфакторных моделей производственной функции и детальных экономико-математических моделей

В статье предпринимается попытка разработки алгоритма производственно-экономического анализа, который бы позволял принимать решение не только на основе результатов моделирования объекта. Для достижения этой цели предлагается на базе анализа моделируемой системы провести расчет производственной функции Кобба-Дугласа; построить характеристические функции в рамках двухфакторной модели Кобба-Дугласа; рассчитать и построить вектор производственно-экономического развития исследуемого объекта (изоклиналь); провести сравнение результатов детального моделирования с результатами исследования производственной функции.

The aim of this work is to find such an algorithm of the production and economic analysis, which would allow us to take a decision not only on the basis of the object modeled results. To achieve this purpose it is offered to calculate the Cobb-Douglas production function on the basis of the analysis of the system modeled; to build the characteristic functions within the Cobb-Douglas 2-factor model; to calculate and build the production and economic development vector of the object (the isoclinal line); to compare the results of the detailed modeling with the results of studying the production function.

Ключевые слова: управление, моделирование, эффективность принимаемых управленческих решений, производственная функция, бизнес-планирование.

Key words: management, modeling, effectiveness of management decisions, production function, business planning.

Переход на рыночную экономику обусловил возрастающую заинтересованность предприятий в совершенствовании прогнозных методов, позволяющих определить наиболее вероятные пути экономического развития и предсказывать результаты на будущие периоды. Особенно востребованными такие методы оказались в бизнес-планировании. Экономико-математическое моделирование исследуемых объектов стало основным инструментом проведения анализа. Развитие аппаратного и программного обеспечения позволили выполнять как задачи непосредственного расчета производственных и финансово-экономических показателей экономического

© Цейтлин Л. И., Кантор В. Е., Лезунова Н. Б., 2013

77

прогнозирования, так и прогнозирования рисков. Растущий уровень аппаратных и программных средств позволил использовать многофакторные модели и проводить финансово-экономические исследования объектов экономической системы различного уровня. Все это привело к созданию нового класса закрытых программ, использование которых позволяет моделировать состояние, развитие и конечные результаты производственно-экономического процесса на предприятиях. Понятно, что программные экономические модели являются следствием разработанных математических моделей, отражающих поведение исследуемого объекта в заданных или реальных условиях деятельности. Таким образом, программные модели как прикладные получили широкое применение в хозяйственной практике для обобщения качественной и количественной информации об объекте исследования и управления.

Принимая моделирование в качестве метода оптимизации принимаемых решений в самом процессе создания модели, можно выделить три основных этапа: анализ моделируемой системы, построение обобщенной модели и построение детальной модели. На первом этапе формулируются цели моделирования, определяются границы и принципы функционирования исследуемой системы, выделяются наиболее существенные переменные и определяются причинно-следственные связи между ними. На втором этапе проводится разделение переменных на подмножества, характеризующие состояние исследуемой системы, составляются уравнения взаимодействия переменных, расчеты числовых значений основных параметров системы по этапам развития ситуации. На основе результатов, полученных на этих этапах, отрабатывается и апробируется детальная модель исследуемого объекта.

Как показывает практика, значительная часть проводимых исследований относится к инновационно-инвестиционной тематике, имеющей прямое отношение к развитию действующих предприятий. Моделирование предполагает получение ответа на вопрос о целесообразности проводимой инвестиционной политики и рисках, связанных с реальными производственно-экономическими процессами и изменениями внешних факторов.

Необходимо отметить, что при использовании апробированных закрытых программных моделей (например, Project Expert) необходимость в укрупненном моделировании отпадает, так как этот этап уже выполнен на стадии разработки программы и заложен в алгоритм ее функционирования. В силу этого выполняется анализ моделируемого объекта в части принципов функционирования, границ использования и определения наиболее существенных переменных. Этот этап носит подготовительный характер для ввода данных

в программную модель. При таком алгоритме анализа полученные на модели результаты являются, в определенном смысле, абсолютными параметрами, по которым делается вывод о состоятельности или несостоятельности инвестиционного проекта. Выводы по сравнительным результатам возможны только в том случае, когда анализу подвергаются альтернативные проекты. Поэтому необходимо разработать такой алгоритм производственно-экономического анализа, который бы позволял принимать решение, в том числе и на основе сравнения результатов, и окончательно определять способы развития производства.

Для достижения этой цели предлагается следующее:

• на базе анализа моделируемой системы провести расчет производственной функции Кобба-Дугласа;

• построить характеристические функции в рамках двухфактор-ной модели Кобба-Дугласа;

•рассчитать и построить вектор производственно-экономического развития исследуемого объекта (изоклиналь);

•провести сравнение результатов детального моделирования с результатами исследования производственной функции.

Последовательность решения задач при определении экономической эффективности и риска инвестиционного проекта показан на рис. 1.

При анализе исследуемого объекта и подготовке данных для построения модели целесообразно придерживаться последовательности, рекомендованной UNIDO для разработки бизнес-планов. Выполнение этих рекомендаций обеспечивает полную информацию по состоянию самого исследуемого объекта, рынка и отрасли, к которой он относится. Анализ деятельности предприятия позволяет оценить направленность инвестиционного плана с производственно-технических позиций. Расчеты финансово-экономических показателей деятельности и производственного плана служат отправными точками для постановки задачи исследования на моделях.

Анализ деятельности объекта на основе модели двухфакторной производственной функции позволяет найти оптимальное соотношение между основными производственными факторами (капиталом и затратами труда) и на этой базе определить вектор развития предприятия.

Анализ детальной модели дает возможность определить не только экономическую эффективность проекта, но и провести качественную и количественную оценку рисков в процессе реализации проекта. Оценка проекта в целом, выводы и рекомендации должны следовать из анализа обеих моделей.

Рис. 1. Последовательность решения задач при определении экономической эффективности и риска инвестиционного проекта

Определяя целевую функцию деятельности предприятия как поиск такого сочетания затрат и выпуска, которое обеспечивает наибольшую прибыль, производственная функция в обобщенном виде может быть представлена в виде

ПР = 1 (К, З, Т, П),

где ПР - предусматриваемый объем производства продукции (товаров, услуг);

К - объем задействованного капитала;

З - объем задействованных природных ресурсов (земли);

Т - объем задействованных трудовых ресурсов (труда);

П - объем задействованных прочих ресурсов.

Экономическая сущность производственной функции состоит в формировании альтернативных комбинаций производственных факторов для обеспечения заданного объема выпуска продукции.

Наиболее известной прикладной моделью является двухфак-торная производственная функция Кобба-Дугласа (ПФКД), которая характеризует взаимозаменяемость таких производственных факторов, как капитал и труд в процессе промышленного производства. Модель производственной функции ПФКД имеет вид

ПР = а К V,

где ПР - предусматриваемый объем производства продукции (товаров, услуг);

К - объем инвестированного капитала;

Т - объем затрат труда;

а - постоянный коэффициент, характерный для выпуска определенного продукта;

х, у - показатели эластичности по ресурсам рассматриваемых факторов производства, удовлетворяющие требованию х + у = 1.

ПФКД применяется для решения задач на микроэкономическом и макроэкономическом уровне. ПФКД относится к мультипликативным функциям, что дает возможность формулировать основные свойства производственной функции:

без затрат ресурсов выпуск невозможен: ПР= 1(0, 0) = 0;

с увеличением затрат любого из ресурсов выпуск растет, т. е. производственная функция по любому из факторов является возрастающей;

при одинаковых увеличениях затрат по любому ресурсу прирост объема производства тем меньше, чем больше выпуск продукции, т. е. функция по каждому аргументу является выпуклой.

Характеристики ПФКД имеют следующий вид:

• средняя производительность по каждому ресурсу

Ак =а К Т / К или Ак = а Кх"1Ту Ат = а К Т / Т или Ат = а КхТу"1;

• предельная (маржинальная) производительность по каждому ресурсу

М. = дПр или Мк = Л(а К Т) / АК

к дК

Мт = — или Мт = Л(а К ТО / АТ; т дТ ту/,

• частная эластичность по каждому ресурсу

Ек = Мк / Ак =х Ет = Мт / Ат = у.

Необходимо отметить, что предельную производительность по каждому ресурсу можно интерпретировать, используя близкое отношение малых величин ДПР / ДК или ДПР /ДТ. Таким образом, предельная производительность показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска, если объем затрат одного ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Для средней производительности капитала Ак и оплаты труда Ат используются термины капиталоотдачи и производительности труда соответственно. Частная эластичность по ресурсу показывает увеличение выпуска при повышении затрат на этот ресурс на 1 % при неизменных затратах другого ресурса.

Уравнение производственной функции дает возможность определить кривую безразличия производства или изокванту. Изокванта -это геометрическое место всех векторов затрат, которое приводит к одному и тому же объему выпуска продукции, т. е. это линия уровня производственной функции. Точки, принадлежащие изокванте, показывают различные сочетания объема затрат капитала и труда на выпуск заданного количества продукции. Наклон изокванты выражается через отношение маржинальных продуктов tg а = d К / d Т.

Наряду с анализом возможности взаимозамещения факторов производства представляет интерес комбинации производственных факторов, при которых совокупные затраты по их привлечению будут равны. Геометрическое место таких затрат в осях принятых действующих производственных факторов (в нашем случае затраты капитала К и затраты на оплату труда Т) составляют линию, которая в экономической теории называется изокостой. Наклон изокосты показывает соотношение стоимости привлечения рассматриваемых факторов производства и может быть выражен такой же формулой, как и для изокванты:

tg а = d К / d Т.

Совпадение наклонов изокванты и изокосты имеет место только в одной точке - точке касания этих двух кривых. Точка касания изокванты и изокосты определяет состояние, при котором совокупные затраты производственных факторов модели предприятия будут минимальными.

Пространство затрат на действующие факторы заполняется изоквантами для различных объемов выпуска продукции, и для каждого такого варианта найдется собственная иозокоста в виде касательной. Соединяя точки касания изоквант и изокост, можно получить линию экономического роста предприятия - изоклиналь.

Таким образом, модель на основе двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа формирует условия взаимозаменяемости инвестируемого капитала и средств на оплату труда и

позволяет максимизировать экономическую эффективность производства при минимальном объеме совокупных затрат производственных факторов. Также возникает возможность прогнозирования темпов экономического развития предприятия в условиях рационального сочетания факторов производства.

В предлагаемом примере рассматриваются ПФКД-модели полиграфического производства. Актуальность примера объясняется тем, что производство полиграфической продукции в настоящее время проходит в сложных условиях рыночной конъюнктуры, когда тиражность и объемы выпуска снижаются, номенклатура изданий и требования по качеству возрастают, сроки изготовления минимизируются. Перечисленные условия производства сопровождаются активной ценовой конкуренцией. Кроме того, традиционное полиграфическое производство вынуждено конкурировать с электронными изданиями, распространяемыми по действующим коммуникационным каналам и сетям. Применение теории ПФКД для укрупненной модели дают возможность определить оптимальные соотношения между основными производственными факторами -капитальными вложениями и затратами на оплату труда, а также сформулировать показатели производственно-экономического развития предприятия.

В процессе работы был выполнен расчет ПФКД, определение характеристических зависимостей и построение вектора развития производства для многопрофильной типографии, имеющей следующие годовые производственно-экономические показатели, млн р./год:

• валовой объем производства - 115,0;

• материальные затраты - 16,0;

• затраты на оплату труда (вкл. ЕСН) - 20,2;

• прочие издержки - 8,1;

• амортизационные отчисления - 14,6;

• оплата заемных средств (% за кредиты) - 8,1.

С учетом показателей, приведенных выше, объем чистой продукции составит 76,3 млн р. Объем капиталовложений определяется исходя из уровня амортизационных отчислений при равномерной амортизации и среднем амортизационном сроке 10 лет. Тогда для определения ПФКД принимаем К = 154,1 млн р. и Т = 20,2 млн р.

Выражение ПФКД примет вид

76,3 = а(154,1х • 20,2У).

При этом средняя производительность по капиталу составит АК = 0,49, а средняя производительность по оплате труда - АТ = 3,78.

Анализ действующего полиграфического производства показывает, что при увеличении вложений капитала на 15,0 млн р. объем чистой продукции возрастает до 80,5 млн р., а при росте уровня оп-

83

латы труда на 4,3 млн р. объем чистой продукции составит 84 млн р. Результаты анализа экономических показателей сведены в таблицу.

Таблица

Результаты анализа показателей производственно-хозяйственной

деятельности предприятия

Затраты капитала К, млн р. 154,1 169,1

Оплата труда Т (млн р.) 20,2 24,5

Значение ПФКД 76,3 80,5 82,1

По данным таблицы находим значения Х и У (эластичность по каждому производственному фактору):

(80,5-76,3)/80,5 4,2/80,5 _ 0,052

X =

(169,1-154,1)/169,1 15/169,1 0,088

_ 0,59

У =

(82,1-76,3)/82,1 _ 5,8/82,1 _ 0,071 (24,5-20,2)/24,5 _ 4,3/24,5 _ 0,175

_ 0,4.

Подставляя значения Х и У в исходное выражение ПФКД, находим значение коэффициента:

а = 76,3 / 154,10 59 • 20,204 = 1,17.

Выражение производственной функции Кобба-Дугласа в общем виде для анализируемого многопрофильного полиграфического производства примет вид

ПР = 1,17 К0,59 • Т3'4.

Используя реальные экономические показатели, приведенные в таблице, и полученное выражение для производственной функции, можно сделать расчеты маржинальной производительности по каждому фактору и определить угол наклона изокванты и изокосты:

м.

80,5 - 76,3 169,1 - 154,1

0,28

ЛЛ 82,1 - 76,3

Мт _ —!-— _ 1,35.

т 24,5 - 20,2

Учитывая, что углы наклона изокванты и изокосты равны и определяются как

tg а = Мк / Мт ,

находим tg а = 0,207.

Полученные значения предельных показателей свидетельствуют о том, что предельная производительность фактора «оплата труда» в 4,8 раза превышает аналогичную величину фактора «капитал». Совпадение наклонов изокванты и изокосты имеет место только в одной точке, которая характеризует оптимальное сочетание производственных факторов «капитал» и «оплата труда». Эта

точка является точкой касания изокосты и изокванты. Соединяя точки касания изокост и изоквант, заполняющих все пространство затрат, можно получить изоклиналь, определяющую путь расширения производства и показывающую оптимальный сценарий развития производства. Изоклиналь описывает, с одной стороны, затраты, максимизирующие прибыль предприятия при фиксированном уровне издержек, а с другой - затраты, минимизирующие издержки при заданном объеме производства.

Графическая интерпретация выполненных расчетов производственной функции и характеристических кривых исследуемого многопрофильного полиграфического предприятия показана на рис. 2.

Рис. 2. Интерпретация выполненных расчетов производственной функции и характеристических кривых исследуемого многопрофильного полиграфического предприятия

Таким образом, как итог представляемой работы получена изоклиналь - линия развития производства действующего многопрофильного полиграфического предприятия, определяющая, с одной стороны, затраты, максимизирующие прибыль при фиксированном уровне издержек, а с другой - затраты, минимизирующие издержки при заданном объеме производства. Продолжением этой темы явится определение экономических показателей инноваций на детальной программной модели (Project Expert) исследуемого предприятия, сравнение результатов и окончательное определение способов развития производства.

Список литературы

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: учеб. - М.: ДИС, 1997.

3. Курс экономической теории: учеб. - Киров: АСА, 1999.

4. Микроэкономика / под ред. проф. Е.Б. Яковлевой - М.; СПб.: Поиск, 2002. б.Мировая экономика. Варианты аудиторных работ для преподавателей. -

М.: ВЗФЭИ, 2001.