О разрушении и о глобальном существовании слабых решений задачи Коши для одного нелинейного уравнения псевдопараболического типа

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

О разрушении и о глобальном существовании слабых решений задачи Коши для одного нелинейного уравнения псевдопараболического типа

И. К. Каташева,1 М.О. Корпусов,1 А. А. Панин1'2' *

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова физический факультет, кафедра математики Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 2 Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Кратко приводятся результаты исследования задачи Коши для одного нелинейного уравнения псевдопараболического типа, являющегося математическим обобщением одной модели из теории полупроводников. В статье разработана теория потенциала для линейной части уравнения, что потребовало развития довольно кропотливой техники, которая может быть применена и при исследовании других уравнений. Интерес представляют и свойства фундаментального решения этой линейной части, поскольку уже первая его производная по времени имеет особенность. Это нехарактерно для уравнений рассматриваемого типа. Также в работе получены достаточные условия глобальной по времени разрешимости уравнения и разрушения его решения за конечное время.

PACS: 02.30.Jr. УДК: 517.957, 517.958.

Ключевые слова: нелинейные уравнения соболевского типа, разрушение, blow-up, локальная разрешимость, нелинейная емкость, оценки времени разрушения

DOI: 10.55959/MSU0579-9392.78.2360103

введение

В настоящей работе кратко приводятся результаты исследования локальной разрешимости, глобальной разрешимости и разрушения за конечное время следующей задачи Коши для уравнения, обобщающего одну модель из теории полупроводников:

д

—А:хи{х,г)-и{х,г) = \и{х,(ж,*) ем3х(о,т], аЬ

u(x, 0) = uo(x), x £ R3.

Уравнение (1) является нелинейным уравнением соболевского типа. Исследованию линейных и нелинейных уравнений этого типа посвящено много работ. В частности, в работах Г. А. Свири-дюка, С. А. Загребиной, А. А. Замышляевой [1-3] были рассмотрены в общем виде и в виде примеров начально-краевые задачи для разнообразных классов линейных и нелинейных уравнений соболевского типа.

У фундаментального решения Е(ж,;) линейной части уравнения (1) при дифференцировании по времени ; появляются особенности, в том числе и неинтегрируемые, что является нетипичным случаем в теории соболевских уравнений, к которым принадлежит и уравнение (1). Этим фактом моти-

a-panin@yandex.ru

вируется построение теории потенциала для линейной части нелинейного уравнения (1) с последующим исследованием задачи Коши для этого нелинейного уравнения.

Насколько нам известно, впервые теория потенциала для неклассических уравнений соболевского типа была рассмотрена в работе Б. В. Капитонова [4]. В дальнейшем теория потенциала изучалась в работах С. А. Габова и А. Г. Свешникова [5, 6], а также в работах их учеников (см., например, работу Ю. Д. Плетнера [7]).

В работе [8] С. И. Похожаева и Э. Митидиери достаточно простым методом нелинейной емкости были получены глубокие результаты о роли так называемых критических показателей. (См. также другие работы С. И. Похожаева, посвящённые применению метода нелинейной ёмкости, например [9].) Отметим, кроме того, работы Е.И. Гала-хова и О. А. Салиевой [10, 11], работы Е. В. Юшкова ([12, 13] и другие). Интересно отметить также работы А. И. Аристова (см., напр., [14]), где получены точные решения нелинейных соболевских уравнений — в частности решения, разрушающиеся за конечное время.

Настоящая работа продолжает исследования, начатые нами в работах [15-17].

1. вывод уравнения

Рассмотрим электрическую часть системы уравнений Максвелла в квазистационарном приближе-

:

Б = 4пеп, Б = еЕ, rot Е = 0,

Символом Съ(М3) мы обозначаем банахово пространство ограниченных непрерывных функций / на М3 с нормой

где п — концентрация носителей заряда (электронов), е — их заряд, Б — вектор индукции электрического поля, а Е — это вектор напряженности электрического поля. В случае поверхностно одно-связной области И С М3 существует потенциал ф электрического поля:

4пе

Е = -Уф, Аф =--п.

Из второго уравнения (4) получаем:

п = — -—Аф.

4пе

При этом для изменения концентрации п носителей заряда верно соотношение [18]

дп по ехр(ф) — по

~ т '

где т — максвелловское время релаксации.Тогда из (5), (6) получаем

О

А-Аф=^(ехр(ф)-1) дг т

с А = —4^ > 0. Раскладывая теперь экспоненту по Тейлору, при малых ф приближённо получаем:

Iо = вир |/(ж)|.

жек3

Под С^^М3) мы понимаем банахово пространство ограниченных непрерывно дифференцируемых функций / на М3 с нормой

вир

жек3

д/(ж

дж

з

Рассмотрим

-ъ

/

подмножество функций

для которых конечна норма

= впр(1 + |ж|2)3/8

3

3=1

д/(х

дж3

Можно доказать, что это множество является банаховым пространством. Обозначим его СЪ1)((1 + |ж|2)3/8;М3). Кроме того, мы будем использовать пространства абстрактных функций С([0,Т]; В), С(1)([0, Т]; В), где В — банахово пространство. Пространство С([0,Т]; В) тоже банахово и определяется следующими условиями:

/(г) е В для всех г е [0,Т],

Полагая единицей не существенные для качественного поведения решения константы, получаем уравнение

д ш

Дф — ф = ф2.

С точки зрения теории нелинейных дифференциальных уравнений интересно рассмотреть обобщение этого уравнения:

д т

чем мы и занимаемся в данной работе.

II/(г) — /(*о)Нв ^ +0 при г ^ ¿0, ¿,¿0 е [0,Т].

Далее, будем говорить, что / е С(1)([0,Т]; В), если / е С([0,Т]; В) и существует сильная

€ С([0 ,Т];1

сле

^ +0 при Дг ^ 0.

производная

¿г

где сильная

производная понимается в следующем смысле:

/

Дг

В частности, мы будем использовать пространства С([0,Т]; Съ(М3)) и С([0,Т]; ^((1 + |ж|2)3/8; М3)).

Кроме того, будем использовать обозначение СЪ2) ((1 + |ж|2)в/2; М3) при в ^ 0 для подпростран-

ства банахова пространства С^ го функциями / с

образованно-

2. обозначения

Перечислим основные обозначения, используемые в работе.

[ж, у] = {г е М3 : г = (1 — в)ж + ву, в е [0,1]}.

[а, 6], если а ^ 6; [6, а], если 6 ^ а.

12,в = вир(1 + |ж|2 )в/2

к=1

д/

джк

+

3,3

+ Е

¿,3=1,1

д2/

дж,дж3

Это подпространство является банаховым пространством относительно нормы ||/1|2,в. Симво-

лами ь1(

1ос(^ х [0,Т]) мы обозначаем пространства измеримых и локально интегрируемых по Лебегу функций. Символами 0(М3),

3

1

X

X

х (-то, Т)) и Я(М3 х (-то, +то)) мы обозначаем пространства основных функций, а символами Я'(М3), Я'(М3 х (-то, Т)) и Я'(М3 х (-то, +то)) — соответствующие пространства обобщенных функций. Символом С2+1 (_0), где Б = П х (0, Т), И С М3 — ограниченная область, мы обозначаем линейное пространство таких функций / (ж, г), что

еС

в € Z+, |а| = «1 + «2 + «3,

причем |а| € {0,1, 2} и в € {0,1} и соответствующие смешанные производные коммутируют.

Отметим (см. формулу 3.321-3 таблиц Градштейна и Рыжика [21]), что

+^

е м ¿и,

2

Из явного вида функции (18) следует ее бесконечная дифференцируемость:

Е

Пользуясь дифференцированием под знаком интеграла, оценками функций Бесселя, равенством (19) и соотношениями типа

3. фундаментальное решение

Получим фундаментальное решение Е линейной части оператора уравнения (1). Для этого рассмотрим следующее уравнение в смысле Я'

Шх,г[Е ](ж,г) = ¿(ж)<*(г),

д

ЗД1^[Е](ж,^) = -ДжЕ(ж,^) - £>{х,1).

дг

Применим к обеим частям уравнения (14) преобразование Лапласа в смысле пространства (М1) (см. [19]) и после элементарных преобразований получим следующее уравнение в смысле &'

ДжЕ

р р

Одним из решений этого уравнения является следующая функция:

Е(х,Р) = -

1 1

^ Ь

где под у/г понимается главная ветвь соответствующей двузначной функции.

Воспользуемся формулой 23.150 таблиц [20] и получим следующее выражение для фундаментального решения уравнения (14):

Е (ж, г) = -

0

1

ехр -

70

Переходя к новой переменной интегрирования А

р =-г=, получим выражение

Е(ж, 1) = -^йтЛх

х ехр

( Jn{z) сЬ V гп

г = 0, п = 0Ш,

можно получить выражения для производных фундаментального решения и следующие утверждения.

Лемма 1 Для всех (ж, г) = (0, 0,0, 0) справедливы коммутационные соотношения

д 2Е

дгджо-

дж^ дг ' дж^ дж г

дж^ дж^-

а3Е(ж,^) _ а3Е(ж,^) _ а3Е(ж,^) дж^ дж^дг дж^дгдж^- дгдж^дж^-

г, = 1,3.

Лемма 2 При ж = (0, 0,0) справедливы следующие оценки:

/|жГ\ если г € [М];

|Е(М)| ^ Со\|ж|-5/4г-1/8, если г ><5, ¿> 0,

|Е(ж,г)| < со|ж|-5/4г-1/8 при = (0,0,0), г > 0,

Е (ж, 0) = -

Лемма 3 При ж = (0, 0,0) имеют место следующие оценки:

дЕ

дг

< со

г-1/2, если г € (0, ¿]; |ж|—3/4г-7/8, если г > £ > 0,

д Е

дг

|-3/4 г-7/8 при г > 0.

Лемма 4 Справедливы следующие 'равенство и неравенства при ж = (0, 0,0) и ] = 1, 2, 3:

<9Е 1 ж,

п

г

д£' джо

д£' джо

< е0<( |ж|-9/4£-1/8 + |ж|-7/4£1/8, если * > £ > 0,

< со (|жГ9/4*-1/8 + М-7/4*1/8) , *> 0,

д£' джо

< со

Лемма 5 Имеют место оценки при ж = (0, 0,0):

д 2Е

джо- д

< со

д 2Е

джо- д*

| 1, если * е [0, ¿];

|^-5/8|ж|-5/4, если *>£, ¿> 0,

< со*—5/8 |ж|—5/4, *> 0.

Лемма 6 Справедливы следующие оценки при ж = (0, 0,0):

д 2Е

дж^дж^

д 2Е

< со

9/4

д 3Е

дж^дж^ д*

д3Е

< со

дж^ джо- д*

< со

*-5/8|ж|-9/4 + *-3/8|ж|-7/4

при г > 0,

|ж|-1 + при * > 0.

4. формулы грина

Введем следующие обозначения:

д д

г) := —Ауи(у, т) - и(у, т),

дт

[и](у,т) :=

д ди{у,-дт дпу

дт дп„

Справедлива следующая цепочка равенств:

«

а

Дуи

при 1 > 0, (36) = -д^ (1>{у, т)Ауи{у, т)) - — сИу(г>(у, т)\7и{у, г))+

дт

дж^дж^

< со

1-1

при * > 0,

д

~ и

С учетом обозначений (40) и (41) для функций и (у, г), и(у, т) € С 2+1(£>4), где Д( = Ох (0, *), а П С М3 — ограниченная область с достаточно гладкой границей дП, интегрированием по частям равенства (42) по цилиндру мы получим следующее равенство:

У У [«(у,т)Му,т М(у,т) - и(у,т)МТ,т М(у,т)] ¿у^т =

о п

= «(У,т)Дуи(у,т) ¿у - «(у,т 3 т=о 3

П дП

ди(у,'

дпу

т=о

+ / / Ку,т[и](у,т) - и(у,т)^т М(у,т^ ¿^у ¿т.

о дП

Таким образом, доказана следующая теорема (о второй формуле Грина):

Теорема 1 Для любых функций и(у,т),г>(у,т) £ С2+1(П х [0, Т]) справедливо равенство (43).

Из (43) стандартным способом получаем третью формулу Грина:

Теорема 2 Для любой функции и(ж, £) (Е С2+1 (Г2 х [0, Т]), где О С К3 - ограниченная область, справедливо равенство

и

П дП

г

.дмо

о П

"7л--1-Г ^'^у —

- У ^(Ж " У, *)^^ ^у + У У [«(г/, - у, * - г)] - — г)(ПУ,Т [«] (у, г)] ^ йг.

дП

о дП

т=г

5. оценки интегралов

Наша техника использует следующие утверждения.

Лемма 7 При в > 3 и 7 € (0, 3) справедлива следующая оценка:

Г 1__1 М1

{Х) У |ж — у\~< (1 + |у|2)/3/2 у ^ (1 + |х|2)7/2-

к3

Лемма 8 При условиях, что ах > 1 и 71 € [0,1), верно неравенство

11, м2

от ^ ——;—77— при

(1 + т)а (4 - г;

71

71

6. третья формула грина во всем пространстве

Вывод третьей формулы Грина во всем пространстве М3 более или менее стандартный, но тем не менее имеются определенные особенности. Прежде всего дадим определения двух классов функций, регулярных в окрестности бесконечно удаленной точки в М3.

Определение 1 Будем говорить, что функция и(х,4) принадлежит классу если

€ СЬ

и выполнены соотношения

при

!МмМ(М)| <

ах > 0, в1 >

Б

01

(1+ ¿)«1 (1 + |х|2)в1/2

4 - 71

71 € [0,1/2]

для всех х € М3 и 4 € [0,Т].

Определение 2 Будем говорить, что функция и(х, 4) принадлежит классу #2", если

ЭДмЫ

и выполнена оценка

Бо2

!х,([и](х,4)! <

г°* (1 + |х|2)в2/2

при условиях

а2 €

0, 1

71

), в2 >

4 - 71

42 для всех х € М3 и 4 € (0,Т].

71 € [0, 1/2]

Определение 3 Будем говорить, что функция и0(х) принадлежит классу -/"№, если и выполнены соотношения

Б 03

Дхио(х) €

Дхио(х)| < при в3 > для всех х £ М3.

4 - 71

71 € [0,1/2]

Определение 4 Будем говорить, что функция и0(х) € сЬ^ (М3) принадлежит классу /N2^, если найдется такая постоянная Б04 > 0, что справедливо неравенство

дио

дх,

при в4 > 1 -

<

Б,

04

71 2 '

для всех х

71 € [0,1/2], э = 1, 2, 3

Определение 5 Будем говорить, что функция и(х,4) € СЬ(М3 х [0,Т]) принадлежит классу Р^, если найдется такая постоянная Б05 > 0, что справедливо неравенство

1

05

в5 > 1 -

XI 2 '

(1+ 4)а3 (1 + |х|2 )в5/2' а3 > 0, Х1 € [-2,1/2]

для всех х € М3 и 4 € [0,Т].

Определение 6 Будем говорить, что функция и(х,4) € СЬ(М3 х (0,Т]) принадлежит классу Р2ТО, если найдется такая постоянная Б06 > 0, что справедливо неравенство

1

Б,

06

^ (1 + |ж|2)/3в/2'

/?б>1-у, XI € [-2, 1/2]

2 3 2 4

для всех х € М3 и 4 € (0,Т].

Определение 7 Будем говорить, что функция

д2и

и(х,1) принадлежит классу А7 , еслг« —-- €

дб дх

СЬ(М3 х [0, Т]) (э = 1, 2, 3) и найдется такая постоянная Б07 > 0, что справедливо неравенство

д2и

<

Б

07

э

(1 + |х|2 )в7/2(1+ г)ав для всех (х, 4) € М3 х [0, Т] при условиях

о, /37>1-Ь 71е [0,1/2].

1, 2, 3

Определение 8 Будем говорить, что функция и(х,4) принадлежит классу N2°, если

0

д2и

дЬдхл

£

х (0, Т]) (] = 1, 2, 3) и найдется

такая постоянная Б08 > 0, что справедливо неравенство

7. объемный и поверхностный потенциалы

Рассмотрим следующие потенциалы с весами:

д2и

дЬдх-1

<

для всех (х, г) £ М3 х (0, Т] при условиях

0 < а6 < 1 -

71 4 '

>1-у, 71 е [0,1/2].

V

Можно установить справедливость следующих теорем.

Теорема 3 Пусть функция и(х,г) £ С|;+1(М3 х [0,Т]) принадлежит классам Н", Р" и N1"" а начальная функция ио(х) £ СЬ(М3) принадлежит классам и /N2°. Тогда для такой функции

справедливо равенство

(х,г) = / Е(х - у, г - т)Шу,т[и](у,т) ¿у ¿т+

=

Справедлива следующая

Теорема 6 Для любой плотности р(х, г) £ С([0,Т]; СЬ(М3)) объемный потенциал и(х,г) £ С(1)([0,Т];; СЬ1)(М3)) при в > 3.

Теперь мы рассмотрим следующий объемный потенциал:

+ [ Е (х - у,г)Ауи0(у) ¿у (61) и (х,г) = и [р\(х,г) = ! УГва(х,у,г,т)Р(у,т) ¿у ¿т

п т, ч

для каждого (х, г) £ М3 х [0, Т].

Теорема 4 Пусть функция и(х,г) £ С2+1(М3 х (0,Т]) принадлежит классам Н2", Р2" и N2", а начальная функция и0(х) £ СЬ(М3) принадлежит классам /N1" и /N2". Тогда для такой функции справедливо равенство

(х,г) = / Е(х - у, г - т)Шу,т[и](у,т) ¿у ¿т+

+ У Е

для каждого (х,г) £ М3 х (0,Т].

Теорема 5 Пусть и(х,г) £ С2+1(М3 х [0,Т]),

ио(х) £ сЬ2)(М3), х(г) £ С(1)[0,Т], х(0) = 1 и функция и(х,г) - и0(х)х(г) принадлежат классам Н", Р", N1". Тогда справедливо 'равенство:

и(х,г) = х(г)ио(х)+ г

+ 1 ¡Е(х - у,г - т)[Му,т[и](у,т) -

о к3

-х'(т)Ауио(у) + х(т)ио(у)] ¿y¿т (63) для каждого (х,г) £ М3 х [0,Т].

Г/3,а(.г', у, т) = (1 + |г/|2)/3/2(1 + т)а 6 ~ У ^ ~ Т)'

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7 Для любой плотности р

при в > 3 и а ^ 0.

Доказательство Утверждение вытекает из теоремы 6, поскольку переход от потенциала и к потенциалу и эквивалентен домножению плотности р на (1-Д-)" и всего потенцала на (1 +*)1/8,, что не влияет на свойства гладкости потенциала.

Теперь рассмотрим поверхностный потенциал с весом:

V (х,г) = ! Св (х,у,г)р(у) ¿у,

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 8 Для любой плотности р(х) £ имеем

V (х,г) £ С([0,Т]; СЬ1)(М3)) П С(1) ([5,Т]; СЦ при в > 3, г > 5 > 0.

о

и

о

и

о

Рассмотрим следующий потенциал:

V

Справедлива следующая

Теорема 9 Для любой плотности р(я) € Сь имеем

V(я,*) € С([0,Т]; СЬ1)(М3)) П С(1)([6,Т]; С^ * > 6 > 0.

Доказательство Утверждение вытекает из теоремы 8, поскольку множитель (1 + *)1/8 не влияет на свойства гладкости.

Введем теперь следующие потенциалы: Цо(я,*) = Цо[ро](я,*) =

Е

V)

к3

Справедлива следующая Теорема 10 Для любых

Ро

и

Мо(я) € Сь((1 + |я|2)в/2;М3) при в > 3 имеем

ио

^(я,*) € С([0,Т]; СЬ1)((1 + |я|2)3/8; М3))П

П С

Доказательство Потенциалы V(я,*) и V(я,*), определенные равенствами (64) и (65), связаны с потенциалами Цо(я,*) и Уо(я,*), определенными равенствами (72) и (73), следующим образом:

(1+ |я|2)3/8' оу ' 7 (1+ |я|2)3/8'

р(я,*) = ро(я,*)(1 + |я|2)в/2 € С([0,Т]; СЬ(М3)),

р

Осталось воспользоваться равенствами (76) и результатами теорем 6 и 8.

Теорема доказана полностью.

Теорема 11 Пусть ро(я,*) € С([0,Т];Сь(1 + |я|2)в/2;М3)) при в > 3. Тогда для потенциала ио(я,*), определенного соотношением (72), справедливо равенство

для всех * € [0, Т]

для всех ф(я) € (М3), где (•, •) — скобки двойственности между Я(М3) и Я'(М3), а оператор Шх,г определен равенством

9Лж,

в котором производные по координатам понимаются в смысле обобщенных функций из 3>'(М3). Кроме того,

ио

Аналогичным образом можно доказать следующую теорему.

Теорема 12 Пусть ро(я) € Сь((1 + |я|2)в/2;М3) при в > 3. Тогда для потенциала V)(я,*), определенного соотношением (73), справедливо равенство

при * € (0, Т]. Пусть

Ь(я, *) = ио [ро ](я, *) + V] [Дмо](я, *). (83) Из теорем 10—12 и равенства

0) = -±Г ¿у = иоШ

к3 для всех я € М3,

верного при ио(я) € С^2)((1 + |я|2)в/2;М3), вытекает следующий основной результат:

Теорема 13 Пусть ро(я,*) € С([0,Т];Сь((1 + |я|2)в1/2); М3), ио(я) € СЬ2)((1 + |я|2)в2/2; М3) при в1 > 3 и в2 > 3. Тогда

Дя,*) € С([0,Т]; СЬ1)((1 + |я|2)3/8;М3))П

П С

для любого 6 € (0,Т), причем имеют место следующие оценки:

дЬ

д*

<

Аз

Р/8 '

д 2£

д*дя,-

<

Аз

Р/8

при * € [6,Т], я € М3

для любого 6 € (0,Т), и справедливо равенство

для всех * € [6, Т]

о

и для всех ф(х) € 0(М3), где (•, •} — скобки двойственности между 0(М3) и 0'(М3), где

Кроме того, имеет место начальное условие

Ь(х, 0) = «о(х) для всех х € М3. Наконец, справедлива следующая теорема. Теорема 14 Пусть

¿1(х,*) = х(*)«о(х) + ио [ро - х'Аж«о + Х«о] (х,*),

ро(х,*) € С([0,Т]; Сь((1 + |х|2 )в1/2; М3)), ио(х) € СЬ2)((1 + |х|2)в2/2;М3), *(*) € С(1)[0,Т], сйг(0) = 1

при в1 > 3, в2 > 3, Цо(х, *) — определенный равенством (72). Тогда

^(х,*) € С(1)([0,Т]; СЬ1)((1 + |х|2)3/8;М3)), (88) причем справедливо равенство

(Мх,е[^1](х,*),ф(х)} = (ро(х,*),ф(х)}

для всех * € [0, Т]

и для всех ф(х) € 0(М3), где (•, •} — скобки двойственности между 0(М3) и 0'(М3), где

ел

Кроме того, имеет место начальное условие ^(х, 0) = «о(х) для всех х € М3.

8. исследование интегральных уравнений

Рассмотрим уравнение

u

+ / / E

U'ojx)

+ 7тг-—— +

(1+ т )7+i (1+ т

которое можно переписать в следующем виде: t

u(x,t) = /o(x,t)^y У E (x - y,t - т)|м(у,т)|9 dydr,

0 R3

f0

Uq{X) (1+Ф

t

+ / E(x - y,t - т)x

Ay u0(y^ u0(y) 7tt-—— + '

(1+ т )Y+1 (1+ т )Y

dy ¿т.

Перейдем к новой функции

«

Тогда уравнение (91) можно переписать в следующем виде:

v(x,t) = /i(x,t) + y J Г(х,у,^т)|«(у,т)|9 dy ¿т,

0 R3

(l + |x|2)3/8(l+i)V8 i № У, t, T) = , I |9VWSM ,—W8 (ж -y^ - r)'

(1 + |y|2)3q/S(1 + т

(1+ t)Y-1/8

+ J I Г1

0

(l + |y|2)/j/2A,a,o(y) 7-——--H

+

dy ¿т,

(1 + 1^)3/8(1+^1/8

Fi(x,y,t,r) =-(1 + |j/|2)/3/2-~y,t~ r).

Будем исследовать локальную по времени разрешимость в классе C([0, T]; Cb(R3)). Справедлива следующая теорема:

Теорема 15 Для любых u0(x ) е C^ ((1 + | x |2 )e/2; R3), в> 3, y > 1 и q > 4 существует такое T0 = T0(u0) > 0, что для всех T е (0,T0) существует единственное 'решение интегрального уравнения (94) в классе C([0,T]; Cb(R3)), причем либо T0 = либо T0 < и в этом последнем случае имеем

lim sup (1 + |x|2)3/8 (1+ t)1/8|u(x,t)| =+то.

TtT0 (x,t)£R3x[0,T]

Доказательство этой теоремы основано на принципе сжимающих отображений и известном алгоритме продолжения решений во времени (см., например, [22]). При этом используется результат теоремы 7. Отметим, что условие q > 4 обусловлено видом веса в (95) с учётом леммы 7.

Теперь рассмотрим следующую функцию:

IMIrc(i) := sup |v(x,t)| =

xeR3

=

t

Y

0

Y

0

x

X

Тогда из интегрального уравнения (94) при t G [0,To) с учетом (26) вытекает оценка

t

11-11» w < тш+С0 J lltX^t-r)^ MUT)dT x ^ I

0 R3

t

(*) < sup |(1 + |x|2)3/%(x)| + 7c0 J {f ,^1/8 drx

oo

X

t

x sup |(1 +|ж|2)/3/2Джи0(.г-)| sup f * \X\2L ]-К^д dy + c0 L 1 u/8 drx

xeR3 xeR3J (1 + |y|2)e/2 |x - y|5/4 J (1+т)Y (t - т)1/8

R3 0

Г (1 + |x|2)3/8 1

x sup 1

xeR3 xeR3 J (1 + |y|2)e/2 |x - y|5/4

R3

где постоянная Ai = Ai(uo) и не зависит от времени t G [0, +то) при 7 > 1. Здесь мы воспользовались результатами лемм 7 и 8. Из тех же лемм с учетом (100) и (101) вытекает оценка

t

HUt)^A1+A2 J

0

В силу известного неравенства Гронуолла-Беллмана-Бихари [23] из (102) вытекает неравенство

"1-1/

t t

Г (1 + 1 ГЦ + 1

= .1 а+г^а-г)^ *т * .1 ¡1 + т)*/*«-т)ч*ат * л4 <

0 0

где постоянная А4 > 0 при д > 8 не зависит от условия малости начальной функции (106) время

t € (0, +то) и от начальных данных. Из неравенства существования 'решения интегрального уравнения

(103) с учетом (104) получаем оценку (94) Т0 = +то.

г 1 ч —1/(9—1) ^

1М|гс(г) < А1 1 - (д - 1)А1—1А4 . (105) Теперь мы рассмотрим следующее интегральное

1 уравнение: Потребуем, чтобы начальная функция ио(х) была

настолько мала, чтобы было выполнено неравен- и(х= ио(х,^) + ^о^^ (109) ство

где потенциалы £/о(ж, £) и У0(ж, £) определены равен-

1 A4 < 1. (106) ствами

Из (105) и (106) вытекает, что существует такая по- г

стоянная А5 > 0, зависящая только от начальной ТТ , [ I , , , , /11П\

. 5 ио

функции и не зависящая от времени, что

0

Отсюда с учетом (99) приходим к выводу о том, что

sup (1+ t)1/8(1 + |x|2)3/8|u(x,t)| < A5 < +то

(x,t)eR+

Vo

R3

Сделаем замену функций

при выполнении условия (106). Таким образом,

справедлива следующая теорема. =

Теорема 16 При выполнении всех условий теоремы 15, дополнительного условия д > 8, а также Тогда из (109) получим следующее интегральное

x

o

уравнение:

где

= y У r(x,y,t,T )|v(y,T )|q dydT+

0 R3

(1 + |y|2)3q/8 (1 + t )q/8

Для интегрального уравнения (113) справедлива следующая теорема:

Теорема 17 Для любых uo

е cb2) ((1 +

|x|2)e/2;R3), в > 3 и q > 4 существует такое T0 = T0(u0) > 0, что для всех T е (0, T0) существует единственное 'решение интегрального уравнения (113) в классе C([0,T]; Cb(R3)), причем либо T0 = либо T0 < и в этом последнем случае имеем

lim sup (1 + |x|2)3/8(1 + t)1/8|u(x,t)| = +то.

TtTo (x,i)eR3x[0,T]

Доказательство Доказательство основано на принципе сжимающих отображений и алгоритме продолжения во времени (см., например, [22]). При этом используются результаты теоремы 10.

Кроме того, справедлива следующая теорема.

Теорема 18 При выполнении всех условий теоремы 17, дополнительного условия q > 8, а также условия малости начальной функции (131) время существования решения уравнения (113) T0 =

Доказательство Введем следующую функцию параметра t > 0:

IMIrc(i) := sup |v(x,t)| =

xei3

= sup

возьмем supremum от обеих частей равенства (113), и тогда с учетом оценок (25), (26) получим неравенство

3(t) < Ai(1+ t)1/8x

(t - T)1/8 (1 + T)q/8

f (1 + |X|2)3/8 1

Ai = c0 sup / i9s3 /8 ]-Шс1'У>

Bi = co sup foi ~

(x,t)eR+

(t) J dy

j|x - y| \ если t G [0,S];

x — y|-5/4t-1/8, если t > S > 0,

где S G (0,To/2),

H/olWt) = sup (1 +1)1/8(1 + |x|2)а/2|Джuo(x)|

xei3

при произвольном фиксированном a G (3,в], а время To > 0 определено в формулировке теоремы 17. Рассмотрим выражение (119) для Ai. С этой целью воспользуемся оценкой (45) при 5

и получим оценку

(1 + Ы 2 )3/8

0 < Аг < со sup ' , = < +оо. (121) хек3 (1 + |x|2)5/8

Получим теперь оценку сверху на величину Bi, определенную равенством (120). Для этого рассмотрим следующие два интеграла:

B

ii =

(1 + |.г'|2)3/8 1 (1 + Ы2)а/2 \х_у\

dy,

B

i2 =

dy.

В силу оценки (45) при

Y =1 и a > 3 приходим к выводу о том, что

Г (1 + |x|2)3/8 1 sup В и = sup / |9Aa/9l-1 dy = Во < +oo.

R3

В силу той же оценки (45) при

7 = — и a > 3 4

имеет место следующая оценка:

Г (1 + |x|2)3/8 1

0 < sup В12 = sup / , ., ,,,-Т^ц cly =

xeR3 xeR3j (1 + |y|2)a/2 |x - y|5/4

R3

= B3 <

t

X

x

t

1

1

X

v

Из оценок (124) и (125) с учетом (120) приходим к оценке при а > 3

гек+

если Ь е [0,6]; л . . ,

1/8 , „ < В4(ио, Дх.о) < + то.

В3Ь-1/8, если Ь > 6 > 0

Таким образом, при д > 8 и а> 3 из (118) с учетом оценок (121) и (126) вытекает следующая оценка:

г

о

1

Определение 9 Глобальным во времени слабым 'решением задачи, в классической постановке имеющей вид

д_

М'

Дхм(х,Ь)-м(х,Ь) = |и(х,Ь)|9, (х,Ь) е М3х (0, +то),

(1+ т )9/8

В силу известного неравенства Гронуолла-Белл-мана-Бихари [23] из

1МЫЬ) < в 1 - (д - 1)В4-1А4(Ь) ,

где

А4(Ь) = Аз У

(1+^)У8 1

(г-т)1/8 (1 + г)9/8

¿т.

Теперь воспользуемся оценкой (46) при

1

д > 8 и 71

8,

получим оценку

0 < вир А4(Ь) < М2 < +то.

Теперь помимо других условий предположим, что

(д - 1)В|-1М2 < 1,

и тогда из (128) с учетом (130) при д > 8 и а > 3 мы получим глобальную во времени априорную оценку

(Ь) < В4 [1 - (д - 1)В|-1 М2

-1/

для всех Ь е М+,

из которой, в частности, следует, что

В5

(1 + |х|2)3/8 (1+ ¿)1/8'

Г Ч 9 1 1 -1/

В = В4 1 - (д - 1)В49-1 М2

9. слабые решения задачи коши

Дадим определение.

и

называется такая функция и(х,Ь) е Ь9ос(М3 х [0, +то)), что для любой функции ф(х,Ь) е ^ш4) выполнено равенство

./ .«мл. «.,„) * ^/|»

причем ио(х) е Ьг1ос

Справедлива следующая теорема.

Теорема 19 Пусть и(х, Ь) — слабое глобальное во времени решение задачи Коши (134), (135) в смысле определения 9. Тогда для таких функций и(х,Ь) и ио(х), что существуют свертки

ио(х,Ь)= / / Е(х - у,Ь - т)|и(у,т)|9 ¿уйт е

е Ь^оСМ3 х

Уо

к3

справедливо следующее представление в виде суммы потенциалов:

для

!(х,Ь) = Ро(х,Ь) + Уо(х,Ь) пи всех (х,Ь) е М3 х (-то, +то),

где Е(х,Ь) — фундаментальное решение оператора Мх,г, определенное равенством (18), причем используется обозначение

и

¿(х,Ь), если Ь ^ 0; ), если Ь < 0.

Доказательство Пусть и(х, Ь) — глобальное во времени слабое решение в смысле определения 9.

V

эс

Тогда справедлива следующая цепочка равенств:

j j w(x,t)MT 4[ф](х, t) dx dt =

= J ио(х)ДХф(х, 0) ¿х+ J ! |и(х, ¿хЛ =

к3 о к3

=

где

д

ЗД^>](х,^) = — Джг>(х,^) + г>(ж,*).

Таким образом, справедливо равенство

М , 4[Й]

В силу результата теоремы 11.3 работы [19] приходим к утверждению теоремы.

Теперь дадим определение локального во времени слабого решения задачи Коши, в классической постановке имеющей следующий вид:

д_

dt'

Дх u(x,t)-u(x,t) = |u(x, t)|q, (x,t) G R3 x (0, T],

и

Определение 10 Локальным во времени слабым 'решением м(х^) задачи Коши (142) и (143) называется такая функция и(х, ¿) е Ьч1ос(М3 х [0,Т]), для которой выполнено равенство

i

//»(мндх.; (м) + ^„н^-

-/ и„МДх ф(х,°) dx = //|u(x,<)|q ф(М) *

dt

для любой функции ф(х, t) G D(R3 x (-to,T)), причем uo(x) G (

Справедлива следующая лемма.

Лемма 9 Глобальное во времени слабое решение задачи Коши в смысле определения 9 является локальным во времени слабым решением задачи Коши в смысле определения 10.

Доказательство Является следствием того, что любая пробная функция ф(х, ¿) е (М3 х (-то,Т)), продолженная нулем при t ^ Т, будет принадлежать Я(М3 х (-то, +то)).

Точно так же, как теорема 19, может быть доказана следующая теорема.

Теорема 20 Пусть м(х^) — слабое локальное во времени решение задачи Коши (134), (135) в смысле определения 10. Тогда для таких функций м(х^) и и0(х), что существуют свертки

Uo(x,t)= / / E(x - y,t - т)|и(у,т)|9 dydr G

G L!oc

VO(x,t)=y E(x - y,t - т)Дуuo(y) dy G

G Lloc

справедливо следующее представление в виде суммы потенциалов:

и

для почти всех (x,t) G R x (-to,T),

где Е(x,t) — фундаментальное решение оператора ШХ}г, определенное равенством (18), причем используется обозначение

u

u(x, t), если t G [0,T];

0,

если t < 0.

Замечание 1 Отметим, что в силу теорем 20 и 19 каждое слабое (соответственно локальное или глобальное) решение в классе C([0,T]; Cb!)((1 + |x|2)3/8;R3)) является решением интегрального уравнения (109).

Наконец, справедлива следующая теорема.

Теорема 21 Для любых uo(x) G Cb2)((1 + |x|2)e/2;R3), в > 3 и q > 4 существует такое TO = To(wo) > 0, что для любого T G (0,To) существует единственное локальное во времени слабое решение u(x, t) G C(!)([0, T]; Cb!)((1 + |x|2)3/8; R3)) в смысле определения 10, причем либо T0 = +to, либо T0 < +to, и в последнем случае справедливо предельное свойство

lim sup (1 + |x|2)3/8 (1+ t)!/8|u(x,t)| =+to.

1 tT (x,i)eR3x[0,T]

Доказательство Шаг 1. Существование и единственность слабого решения класса C([0,T]; Cb!)((1 + |x|2)3/8; R3)). Заметим, что интегральное уравнение (109) можно переписать в следующем виде:

u

где функция L(x,t) определена равенством (83) с po = |u|q, и поэтому в силу результата теоремы 13 справедливо равенство

(МмЫ(х,*),ф(х,*)) = (Км)|9 ,ф(х,Ь)) для всех Ь € [6, Т],

9Лж,(Н(.г-,/) = - Цж,*),

от

и для всех ф(х,Ь) € 0(М3 х (—то,Т)) и 6 € (0,Т). Заметим, что в силу оценок (85) и равенства (86) имеет место оценка

ди

дЬ

<

МТ)

гУ §

при Ь € [6, Т], х € М3.

где Дх понимается в смысле обобщенных функций Справедлива следующая цепочка равенств:

\и(х^)\'1ф(х^) с1х = ф(х^)) = — ! —хф{х,1:)^с1х — ^и{х,1)ф{х,1)с1х

ди

дГ~

Дхф

для всех Ь € [6, Т]. Теперь проинтегрируем обе части равенства (152) по Ь € [6, Т] и получим следующее итоговое равенство:

JУ —^—^Axф

дЬ

г к3 г

Справедлива формула интегрирования по частям

т

——Ахф(х^) dx dt = — и(х, 6)Ахф(х, 6) сЬс—

J ! м(х,Ь)Дхф^(х, Ь) ¿х^Ь = J Т(х, 6)Дхф(х, 6) ¿х — J! Т(х,Ь)Дхф£(х, Ь) ¿х^Ь ^

У Т

при 6 ^ +0. Таким образом, в пределе при 6 ^ +0 в равенстве (153) получим равенство

У У м(х,Ь)Дхф^ (х,Ь) ¿х^Ь — J У и(х,Ь)ф(х,Ь) ¿х^Ь — J ио(х)Дхф(х, 0) ¿х = J ^ |м(х,Ь)|9ф(х, Ь) ¿х ¿Ь

для любой функции ф(х,Ь) € 0(М3 х (—го,Т)). Таким образом, каждое решение, обращающееся в ноль при Ь < 0, интегрального уравнения (149), записанного в виде потенциалов (см. (109)), является локальным во времени слабым решением, что и доказывает существование слабого решения класса С([0,Т]; ^((1 + |х|2)3/8;М3)). Обратно, каждое локальное слабое решение из класса С([0,Т];С^((1 + |х|2)3/8;М3)) является в силу замечания после теоремы 20 решением интегрального уравнения (149), а в силу единственности решения этого интегрального уравнения в классе С([0,Т]; СЬ1)((1 + |х|2)3/8; М3)) приходим к выводу о единственности локального во времени слабого решения задачи Коши в смысле определения 10 в рас-

сматриваемом классе.

Шаг 2. Существование гладкого слабого 'решения.

Заметим, что интегральное уравнение (90) можно представить в виде

и(х, Ь) = ^(х, Ь),

где функция Т1(х,Ь) определена равенством (87). Но тогда в силу равенства (89) имеет место равенство

для всех Ь € [0,Т],

для всех ф(х,Ь) € 0(М3 х (—то,Т)). Далее, поступая

г

г

г

г

о

о

о

о

так же, как на шаге 1, и в силу (88) имеем м(ж,<) = ^(ж,<) е С(1)([0,Т]; сЬ1)((1 + |ж|2)3/8;М3)),

поэтому приходим к выводу о том, что для каждого Т е (0,То) решение интегрального уравнения (90) удовлетворяет равенству (155), т.е. является локальным во времени слабым решением задачи Ко-ши, понимаемым в смысле определения 10.

Таким образом, из сочетания результатов шагов 1 и 2 делаем вывод, что существует единственное локальное во времени слабое решение задачи Коши в смысле определения 10 класса м(ж, <) е С(1) ([0,Т]; СЬ1)((1 + |ж|2)3/8; М3)).

Теорема доказана полностью.

Кроме того, справедлив результат о существовании единственного глобального во времени слабого решения задачи Коши в смысле определения 9.

Теорема 22 Для любых малых мо(ж) е <СГ((1 + |ж|2)в/2;М3), в > 3 и д > 8 существует единственное глобальное во времени слабое 'решение м(ж, <) е С(1)([0,Т];СЬ1)((1 + |ж|2)3/8;М3)) для любого Т > 0 в смысле определения 9.

неравенство:

Доказательство Доказательство повторяет доказательство теоремы 21 с учетом результатов теорем 16 и 18.

Теперь мы получим результат о конечности времени То > 0 из теоремы 21. С этой целью воспользуемся методом нелинейной емкости [8].

Справедлива следующая лемма.

Лемма 10 Существует такая неотрицательная нетривиальная пробная функция ф(ж,<) е Я(М3 х (—то,Т)), что сходится интеграл

фч'/ч{х^)

¿ж <

Доказательство Доказано в работах [8, 24].

Лемма 11 Пусть д > 1 и

мо(ж)Дхф(ж, 0) ¿ж = 0,

где неотрицательная нетривиальная пробная функция ф(ж,<) е Я(М3 х (—то,Т)) при некотором фиксированном Т > 0 удовлетворяет неравенству (158), тогда существует такая достаточно большая по модулю локально интегрируемая функция мо(ж), что будет иметь место следующее

>1 I т >

1 ) [ ПАгфЦх,^

фч'/ч{х^)

дд

т

¿ж

+ JJ Ф(ж, <) ¿ж > — Jмо(ж)Дхф(ж, 0) ¿ж < 0.

о к3 J к3

Доказательство Рассмотрим два случая. Если J мо(ж)Дхф(ж, 0) ¿ж > 0,

к3

то, если вместо функции мо(ж) взять функцию Дмо(ж) при достаточно большом Д > 0, будет выполнено неравенство (160) с заменой мо на Дмо. Если с

J мо(ж)Дхф(ж, 0) ¿ж < 0,

к3

то, если вместо функции мо(ж) взять функцию —Дмо(ж) при достаточно большом Д > 0, будет выполнено неравенство (160) с заменой мо на — Дмо.

Наконец, справедлива следующая теорема:

Теорема 23 Пусть начальная функция мо(ж) е Тг1ое(М3) удовлетворяет неравенству (160), которое выполнимо в силу результатов лемм 10 и 11 для некоторой неотрицательной нетривиальной пробной функции ф(ж,<) е Я(М3 х (—то,Т)). Тогда при д > 1 отсутствует глобальное во времени слабое решение задачи Коши в смысле определения 9 и время существования решения То > 0 из теоремы 21 конечно. Имеет место разрушение слабого решения задачи Коши за конечное время.

Доказательство Справедливы следующие неравенства, основанные на применении неравенства Гельдера: т

J ! м

<

фч'/ч{х^)

1/ч>

¿ж

71/9,

1/?>

о к3 \о к3 /

ст с

7 = J Уф

о к3

Теперь воспользуемся трёхпараметрическим неравенством Юнга

об < ео9 -|--/ \ ,. 59 , о, Ъ > 0, е = -.

д'(ед)9 /9 ' ' 4

Тогда из (161) и (162) вытекает неравенство

о

о

T

J J u(x,t)Axф!г(х,1) dx dt

1 f4\q'/q f f \Ax<f)'t(x,t)\q' J 1

q \q

T

//ф(x't)u(x't) dxdt

<

1 (4

q \q

q'/q

Из равенства (144) с учетом (164) и 165) вытекает следующая оценка:

1/4

0 R3

1

j j ф(x, t) dxdt — J uo(x)Ax ф^, 0) dx ^

0 R3 R3

//i(x-t)|u(x-t)|q dxdt г ,0

0

0

0

2

0

Данное неравенство противоречит неравенству (160). Значит, Т ^ То и То < и, тем самым время, То — время разрушения локального во времени слабого решения задачи Коши.

заключение

В настоящей статье кратко представлены результаты исследования задачи Коши (1-2) для нелинейного уравнения, являющегося обобщением одной модели из физики полупроводников. Рассматриваемая задача Коши была исследована путём сведения к интегральным уравнениям с помощью построения фундаментального решения и потенциалов на его основе, а также применения к инте-

гральным уравнениям принципа сжимающих отображений. При показателе q > 4 установлено существование непродолжаемого решения интегрального уравнения, а следовательно, и рассматриваемой задачи Коши (в слабом смысле). При дополнительном условии q > 8 в случае малости начальных данных и0 удаётся установить глобальную по времени разрешимость задачи Коши. В то же время при всех q > 1 и достаточно больших начальных данных подходящего знака решение, если оно существует, разрушается за конечное время. С физической точки зрения (при q = 2) последнее может означать пробой полупроводника.

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант № 23-11-00069, А.А. Панин).

[2 [3

[4 [5

[6 [7

[8

[9

[10

Свиридюк Г.А. // УМН. 49, №4. 47. (1994). (Sviridyuk G.A. // Russian Math. Surveys, 49, N 4. 45 (1994)).

Загребина С.А. // Мат. заметки ЯГУ. 19, №2. 39. (2012).

Zamyshlyaeva A.A., Sviridyuk G.A. // Bull. of the South Ural State University Ser. Math., Mech., Phys. 8, №4. 5. (2016).

Капитонов Б.В. // Мат. сб. 109 (151), №.4 (8). 607. (1979).

Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М., 1990. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. М., 1998.

Плетнер Ю.Д. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 32, №12. 1885. (1992). (Pletner Yu.D. // Comput. Math. Math. Phys. 32, N 12. 1715. (1992), на русск) Похожаев С.И., Митидиери Э. // Тр. МИАН. 234. 3. (2001).

Похожаев С.И. // СМФН. 39. 141. (2011). Galakhov E.I. // J. Math. Anal. Appl. 251, N1. 256. (2000).

1

Галахов Е.И., Салиева О.А. // СФМН. 63, №4. 573.

(2017).

Юшков Е. В. // Дифф. уравнения. 48, №9. 1234. (2012). (Yushkov E.V. // Diff. Equat. 48, 1212 (2012)).

Корпусов МО, Юшков Е.В. // ТМФ. 191, №1. 3. (2017). (Korpusov M.O., Yushkov E.V. // Theor Math Phys 191, Iss. 1, 471 (2017)). Аристов А. И. // Дифф. уравнения. 56, №9. 1147. (2020). (Aristov A.I. // Diff. Equat. 56, 1113 (2020)). Корпусов М.О. // Изв. РАН. Серия матем. 79, №.5. 103. (2015).D0I: (Korpusov M.O. // Izvestiya: Mathematics. 79, Iss. 5. 955 (2015)). Корпусов М.О. // ТМФ. 194, №.3. 403. (2018). (Korpusov M.O. // Theor Math Phys 194, 347

(2018)).

Korpusov M.O., Ovchinnikov A.V., Panin A.A. // Math. Methods Appl. Sci. 41, N. 17. 8070. (2018). Фурман А.С. // Физика твёрдого тела. 28, №.7. 2083. (1986).

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., 1988.

[20] Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М., 1965.

[21] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. СПб., 2011.

[22] Панин А.А. // Мат. заметки. 97, №.6. 884. (2015).

[23] Демидович Б.П. Лекции по математической теории

устойчивости. М., 1967. [24] Корпусов М.О., Свешников А.Г. // Дифф. уравнения. 45, №. 7. 939. (2009). (Korpusov M.O., Sveshnikov A.G. // Diff. Equat. 45. 951 (2009)).

On blow-up and on global existence of weak solutions to Cauchy problem for some nonlinear equation of the pseudoparabolic type

I. K. Katasheva1, M. O. Korpusov1, A. A. Panin1'2'"

1 Department of Mathematics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University

Moscow 119991, Russia 2Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University) Moscow, 117198, Russia E-mail: a a-panin@yandex.ru

It is a brief exposition of results of the investigation of Cauchy problem for some nonlinear equation of pseudoparabolic type that is a generalisation of some model of semiconductor theory. In the paper, the potential theory for the linear part of the equation is elaborated, which demanded quite intricate technique, which can be used in other equations. The properties of the fundamental solution of this linear part are also of interest, because of the singularity of its 1st time derivative. This is not usual for this type of equations. Also, we obtain sufficiant conditions of solvability and of finite-time blow-up.

PACS: 02.30.Jr.

Keywords: nonlinear Sobolev type equations, blow-up, local solvability, nonlinear capacity, blow-up time estimates.

Received 31 July 2023.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2023. 78, No. 6. Pp. 757-772.

Сведения об авторах

1. Каташева Индира Куатовна — аспирант; e-mail: katascheva.ik15@physics.msu.ru.

2. Корпусов Максим Олегович — доктор физ.-мат. наук, доцент, профессор; тел. (495) 939-13-51, e-mail: korpusov@gmail.com.

3. Панин Александр Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент; тел. (495) 939-13-51, e-mail: a-panin@yandex.ru.