Построение и анализ аналитического решения уравнений, описывающих рабочий процесс инерционного трансформатора

УДК 519.622.2

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ РАБОЧИЙ ПРОЦЕСС ИНЕРЦИОННОГО ТРАНСФОРМАТОРА

С.Л. Блюмин, А.В. Галкин, А.М. Казьмина

В статье представлено приближенное аналитическое решение систем дифференциальных уравнений, описывающих рабочий процесс инерционного трансформатора вращающего момента (ИТВМ), полученное методом малого параметра. Также приведено сравнение полученного решения с решениями, получаемыми приближенными численными методами

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод малого параметра, инерционный трансформатор вращающего момента

Математическое моделирование большинства современных технических устройств предполагает решение сложных составных систем нелинейных дифференциальных уравнений. При исследовании подобных систем может возникнуть необходимость в получении не только численного решения, но и аналитического с некоторой степенью точности. Аналитическое решение может быть использовано в задачах оптимизации параметров таких устройств. Многие методы оптимизации [1, 5, 7, 9, 11] используют для определения направления значения градиента по оптимизируемым параметрам. В случае если решение уравнений, описывающих модель, получают численными методами, определение градиента затруднено. В частности для определения производных по параметрам требуется получить численно несколько решений при разных значениях параметров, после чего вычислить производную с использованием конечно-разностных аппроксимаций [3, 4, 6]. Это связано с большими вычислительными затратами и потерей точности. Аналитическое даже приближенное решение позволяет избежать этих проблем.

Примером технического устройства, математическая модель работы которого представляет системы дифференциальных уравнений, не имеющие точного аналитического решения, является ИТВМ. Это автоматическая бесступенчатая коробка передач механического типа. Передаточное отношение от двигателя к выходному валу в таком устройстве передается автоматически. Подробно устройство ИТВМ рассмотрено [10]. Изменение передаточного отношения определяется изменением

Блюмин Семен Львович - ЛГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: sabl@lipetsk.ru Галкин Александр Васильвич - ЛГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: avgalkin82@mail.ru Казьмина Александра Михайловна - ЛГТУ, студент, email: alexandrakazmina@yandex.ru

угловой скорости выходного вала, а также зависит от нагрузки внешнего сопротивления. Рабочий процесс ИТВМ меняется циклически. На первом этапе цикла реактор и ведомый маховик движутся раздельно. Переход на второй этап происходит при достижении угловой скоростью реактора угловой скорости ведомого маховика. После чего реактор и ведомый маховик двигаются совместно. На втором этапе реактор разгоняет ведомый маховик. После разгона ведомого звена реактор начинает торможение до своей остановки. Это является третьим этапом цикла работы ИТВМ. Четвертый этап начинается, когда угловая скорость реактора становится нулевой. Этот этап называется выстоем реактора. После чего снова начинается разгон реактора.

Каждый этап цикла рабочего процесса ИТВМ описывается своей системой дифференциальных уравнений. В качестве неизвестных функций, входящих в эти уравнения, обобщенные угловые координаты поворота ведущего и ведомого вала, а также соединяющего их реактора. В уравнения также входят угловые скорости вращения и ускорения.

Модель первого этапа представлена уравнением

2

В\ (у)ф21 + В2 (^)ф22 - В 4 (<У)(ф21 -Ф22) + 2

+= М д ; ф

2

В2 (у)?21 + В3Ф22 - Вб (<У)<Р2.1 = 0;

^Пф1 = -МС -

При достижении угловой скоростью реактора угловой скорости ведомого маховика заканчивается первый этап.

Модель второго участка представлена уравнением

2

В1

• 2

В2(¥)Ф21 + В5Ф22 - Вб(^)ф2.1 =-Мс -

Изменением угла поворота сателлита в относительном движении на п радиан

Ф21 2)- Ф 22 2) = — заканчивается второй

а

этап.

На третьем этапе происходит торможение реактора, т.е. реактор и ведомое звено вновь движутся отдельно. Модель третьего участка представлена уравнением (1). Третий завершается, когда скорость реактора становится нулевой ф21(/2) - ф22(?2) = —. После чего проис-

а

ходит переход на четвертый участок.

Модель четвертого участка представлена уравнением

I р21 - B4Íw) Фи = M Д;

lJП Я\ = -MC > где pi, фi - обобщенные координаты и обобщенные скорости,

2 2 Bi(w) = J21 + nme + 2nmed(1 + a)cosw + nJг(1 + a) ,

B2 (w) = -anJ г (1 + a) - nmaed cos w, 2

B3 = J22 + nJ г a , B4(w) = nmaed (1 + a) sin w, B5 = B3 + Jn, B6(w) = nmaed sin w, W(t) = a(p21 - P22),

а - внутреннее передаточное отношение; n -число грузовых звеньев; m - масса грузового звена; d - расстояние от оси вращения грузового звена до его центра тяжести; e - расстояние от оси вращения ИТВМ до оси вращения грузового звена; J21 - приведенный момент инерции ведущих элементов; J22 - приведенный момент инерции ведущей части реактора; Jn - приведенный момент инерции ведомых элементов; J г - приведенный момент инерции грузового звена. Начальные условия для первого участка ры(0) = Р210, Ф21 (°) = р210,

Р22(0) = Р220 , р22(0) = pp220, Р1(0) = Р10> p¿1 (0) = PP10. В качестве начальных значений для последующих участков используются конечные значения предыдущих участков, что вытекает из непрерывности процесса.

Системы (1)-(3) не имеют точного аналитического решения. Для моделирования рабочего процесса ИТВМ обычно используют численные методы решения дифференциальных уравнений. Но для задачи выбора параметров, обеспечивающих оптимальный режим работы устройства, желательно иметь аналитическое представление решения. Искать такое аналитическое приближенное представление решения можно с помощью метода малого пара-

метра [8]. Выделим в коэффициентах B^) и ВгСл) переменные части

B (У) = лх + a (ty), B2 (ty) = A2 + B3 = A3,

B4 (ty) = A4 (ty), B5 = A5, B6 (ty) = Ag(^), где

2 2 Aj = J21 + nme + nJ г (1 + a) ;

a\ (ty) = 2nmed(1 + a)cos y/; A2 = -anJг (1 + a);

a2 (ty) = -nmaed cos

Система (1) примет вид

(A\ + a\(ty))Ф21 + (A2 + a2(ty))Ф22 -

2 2

- A4(ty)( ^21 - P22) + A,(w)<P^2 = M Д,

2

(A2 + a2(ty)) P21 + A3 (P22 -A6(w)<P21 = 0.

Малый параметр в уравнения, явно его не содержащих, можно ввести искусственно на основе априорных знаний о параметрах. Подробно вопросы ввода малого параметра обсуждаются в работе [2]. Значения величин a1(ty), a2(ty), A4(ty), A6(ty), Mд в сравнении с

другими параметрами являются малыми. В этом случае ввод малого параметра преобразует систему (1) к виду

A1 p21 + A2p22 + М(a1(ty)p21 + a2(ty) p22 -

- a4 - ф22)2 + a6

2

a2(v) P21 + A3 P22 + М(a2(ty) P21 - A6ty) ip21) =

Решение системы

0 1 2 <Р21 (t) = <Р°1 (t) + М <Р21 (t) + М <21 (t) + • •

0 12 Р22 (t) = Р22 (t) + М Р22 (t) + М Р22 (t) + •

Для поиска порождающего решения ряды (5) подставляются в уравнения (4). Малый параметр М приравнивается нулю

u р21 + а2 р22 = 0,

|^-а2 р21 + a3 p22 = 0.

Точное аналитическое представление решения уравнений (6) при заданных начальных условиях имеет вид

P21(t) = Р210 + р210^

[ Ф22(0 = Ф220 + р220?.

Используя полученное порождающее решение (7), можно дальше уточнять следующие приближения. В рядах (5) оставляем два слагаемых и подставляем их в уравнения (4). Коэффициенты при малом параметре /и в уравнении (4) должны быть одинаковыми. Приравниваем их, получаем

4^1 + A2p12 - A40(р21 -р22)2 + 4,0р22 = МД

1 1 0 2 A2 PP11 + A3 P22 - A60 PP22 = 0

где А40, Аб0 - первые члены разложений в ряды коэффициентов А4, Аб

А40 = птаЖе(1 + а^т а(ф°1 - Ф22),

Ао = nmade б1П а(ф\ -ф2)-

Система уравнений (8) относительно Ф21

и Ф22 является линейной алгебраической. Решая ее, получаем

Ф21({) =1 А+ ао) - А М д ,

А А

фХ22(г) = — Б2 5т(е? + ао) + АМд,

АА

где

2

А1 = [-А3птаЖе(1 + а)ф210 -Ф220) +

22 + пта^(А2ф210 + А3ф220 Л

2

В2 = [ А2пта^(1 + а)ф210 - Ф220 ) -

22 -nmade(Alф2lо + А2Ф220 )],

2

А = А2. - A1A3, а0 = а(Ф210-Ф220\ е = а(ф210-ф22о)-Находим решение дифференциальных уравнений (10). Для первого из них общее решение

однородного Ф211(0 = С^ + С2- Для первого слагаемого частное решение имеет вид

Ф1212(0 = —А—$.1п(ег + а0). Для второго слагае-

Ае2

мого частное решение имеет вид ф\13

Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из начальных условий и имеют вид

г А п °1

С =—^ообао, С2 =—^-бшао. Ае Ае2

Решение второго уравнения (9) ищется

таким же образом, что и первого. Оно имеет

1 Ао Ао 2

вид ф22(г) = Су + С4--^Бт(5 + а0) +— Мдг .

Ае

2А

Постоянные интегрирования С3 и С4 находятся из начальных условий и имеют вид

А

Ае Ае2

Ограничиваясь двумя членами в рядах

^ А2 „ А2 .

С3 =~2005ао, С4 =—^та0.

А

Ф1(г) = ф21о + С2 + (Ф21о + С1)--^т^ ао) -

- А М Д г \

2А

Ае2

А9

Ф22(г) = Ф22о + С4 + (Ф22о + С3)--2-51п(ег + ао) +

Ае2

+А М Д г2.

2А

В системе (1) третье уравнение решается отдельно. Его точное аналитическое решение

М,

м^с 2

имеет вид ф^) = ф0 +ф-^ТС1 .

2 П

Таким же образом решаются системы уравнений

Ф21(г) = Ф21о + С2 + (Ф21о + С)--А—-Sln(d + ао) -

Ае2

- А2, МгГ2 - А М ^

2

2А

2А

Д1

Ао

Ф22 (г) = Ф22о + С 4 + (Ф22о + С3 )--~5т(& + ао) +

Ае2

А

А2

+—l мгг2 м д г 2.

2А

2А

Решение системы

ж Мд 7

Ф1 (О = Ф1о + С2 + (Ф1о + С1) —2и1п(е + ао) + —Дг ,

е2 2 А1

МС 2

ф(Г) = фо + Ф.ог,

2и П

где =--— птаЖе(1 + а) .

Сравним полученные методом малого параметра решения систем (1)-(3) с решением, получаемым численным интегрированием дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Рассматривался ИТВМ для автобуса ЛИАЗ-677М со следующими значениями параметров

' = о-5, ф21о = 0, ф21о = 334 сф22о = 0, ф22о = о с_1,

2 2 фо = о, фо =' ф2\о,^21 = 3-15 кг• м , j22 = о.о75кг• м ,

ж = 0.03 м, М Д = 383 Н • м, МС = 8оо Н • м, JГ = о.оо121 кг • м 2.

На рис. 1 и 2 представлены графики координат и графики угловых скоростей для метода малого параметра и метода Рунге-Кутта.

2

п = б, т = 1 кг, а = 1.б, е = о.14 м, J п = 19 кг • м

Рис. 1. График координат, рассчитанных методом Рунге-Кутта и методом малого параметра для второго ИТВМ.

Рис.2. График угловых скоростей, рассчитанных методом Рунге-Кутта и методом малого параметра для второго ИТВМ.

В таблице приведены значения угловых скоростей реактора и ведущего звена, полученные методом малого параметра и методом Рунге-Кутта.

Рассчитанные значения угловых скоростей

t Ф21

0,0001 334,021 0,132 334,022 0,135

0,0002 334,067 0,538 334,065 0,534

0,0003 334,136 1,217 334,130 1,195

0,0004 334,228 2,167 334,215 2,116

0,0027 339,913 81,688 340,802 80,659

0,0028 340,175 86,660 341,209 85,571

0,0029 340,428 91,672 341,618 90,503

0,003 340,673 96,717 342,027 95,441

Окончание первого участка

0,0047 343,236 166,915 347,952 166,544

0,0048 343,307 166,933 348,027 166,563

0,0049 343,377 166,951 348,100 166,58

0,005 343,447 166,969 348,173 166,600

0,0072 344,692 167,245 349,425 166,871

0,0073 344,732 167,251 349,462 166,877

0,0074 344,770 167,256 349,498 166,881

0,0075 344,806 167,261 349,532 166,885

Окончание второго участка

0,0081 344,986 167,275 349,693 166,894

0,0082 345,009 167,275 349,713 166,893

0,0083 345,030 167,274 349,731 166,891

0,0084 345,050 167,273 349,747 166,888

0,0107 344,901 139,397 349,228 132,248

0,0108 344,850 136,498 349,168 129,066

0,0109 344,793 133,462 349,105 125,762

0,011 344,728 130,289 349,039 122,337

Окончание третьего участка

0,014 338,580 166,802 346,622 166,573

0,0141 338,911 166,798 346,634 166,569

0,0142 339,232 166,794 346,645 166,565

0,0143 339,544 166,789 346,657 166,561

0,0154 342,084 166,743 346,784 166,514

0,0155 342,217 166,739 346,795 166,510

0,0156 342,331 166,735 346,807 166,506

0,0157 342,427 166,730 346,818 166,502

Полученные результаты показывают, что отклонения решений, полученных двумя способами, укладываются в 8 %. Таким образом, полученные методом малого параметра решения могут быть использованы как при моделировании рабочего процесса ИТВМ, так и в задачах оптимизации параметров. В случае решения задачи многомерной оптимизации по различным параметрам ИТВМ аналитическое решение, полученное методом малого параметра, может быть использовано для вычисления градиента, определяющего направление поиска.

Работа поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации в рамках перечня научно-исследовательских работ базовой части государственного задания, проект № 970.

Литература

1. Барабанов, В.Ф. Рационализация выбора алгоритмов межмодульного взаимодействия компонент распределенных программных систем [Текст] / В.Ф. Барабанов, С.Ю. Белецкая, В.К. Зольников, М.Л. Лапшина, А.К. Погодаев // Системы управления и информационные технологии - 2013 - Т. 52. № 2. - С. 46-50.

2. Блехман, И.И. Синхронизация динамических систем [Текст] / И.И. Блехман - М.: Наука, 1971. - 894 с.

3. Блюмин, С.Л. Нечеткие сети Петри как окрест-ностные системы [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, И.А. Седых // Системы управления и информационные технологии - 2008. - Т. 33. № 3.2. - С. 233-238.

4. Блюмин, С.Л. Оптимизация параметров неявной модели инерционного трансформатора вращающего момента [Текст] / С.Л. Блюмин, А.В. Галкин // Сборник трудов Междунар. науч. конф. «Сложные системы управления и менеджмент качества». Материалы. - 2007. - Старый Оскол: ООО «ТНТ». - С.8-10.

5. Блюмин, С.Л. Суперпозиционная регрессия [Текст] / С.Л. Блюмин, А.К. Погодаев // Журнал вычислительной математики и математической физики - 1995 -Т. 35. № 10. - С. 1576.

6. Галкин, А.В. Математическое моделирование и оптимизация рабочего процесса инерционного трансформатора вращающего момента [Текст] / А.В. Галкин // Системы управления и информационные технологии -2008. - 1.3(31) - С. 345-349.

7. Галкин, А.В. Оптимизация работы сложных динамических систем [Текст] / А.В. Галкин. // Вести выс-

ших учебных заведений Черноземья. - 2012. - №1(27). -С. 29-32.

8. Галкин, А.В. Применение метода малого параметра для решения систем уравнений, описывающих работу ИТВМ [Текст] / А.В. Галкин, С.П. Баженов // Известия ТулГУ. Спец. вып. - 2006. - С. 117-122.

9. Кудинов, Ю.И. Применение эволюционного алгоритма для идентификации нечеткой модели [Текст] / Ю.И. Кудинов, Н.А. Архипов, И.Ю. Кудинов, М.И. Полухина, А.Ю. Келина // Системы управления и информационные технологии - 2004. - Т. 14. № 2. - С. 15-18.

10. Леонов, А.И. Инерционные автоматические трансформаторы вращающего момента [Текст] / А.И. Леонов - М.: Машиностроение, 1978. - 224 с.

11. Сараев, П.В. Обучение нейронных сетей прямого распространения на основе декомпозиции вектора весов и псевдообращения [Текст] / П.В. Сараев // Нейрокомпьютеры: разработка, применение - 2010 - № 1. - С. 65-74.

Липецкий государственный технический университет

CONSTRUCTION AND ANALYSIS OF ANALYTICAL SOLUTIONS OF EQUATIONS, DESCRIBING THE PROCESS OF INERTIA TORQUE TRANSFORMER

S.L. Blyumin, A.V. Galkin, A.M. Kazmina

The article presents an approximate analytic solution of systems of differential equations describing the process of inertia torque transformer prepared by the small parameter. Also compares of the solution the decisions of the approximate numerical methods

Key words: differential equation, small parameter method, the inertial torque transformer