Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки электромагнитного источника излучения при несанкционированном сканировании его электромагнитного поля

УДК 519.65

В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов

НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ НЕСАНКЦИОНИРОВАННОМ СКАНИРОВАНИИ ЕГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Предложена процедура оптимизации линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения с позиции минимальной наблюдаемости интенсивности его электромагнитного поля в заданных точках трехмерного континуума (точках зондирования). Основа решения — представление ковариантными тензорами фиксированной валентности дистанционной интенсивности излучения в зависимости от пространственно-угловой ориентации его источника.

Ключевые слова: нелинейная регрессия, ковариантный тензор конечной валентности, задача квадратичной оптимизации.

Введение. Регрессионный анализ первоначально приобрел значительный теоретико-прикладной интерес в задачах определения оптимальных параметров линейных стационарных статических систем типа „вход—выход"; в большинстве случаев исследователи ограничивались применением этого анализа к конечномерным системам (см., например, [1, 2]). При этом задача регрессии формулировалась в терминах вычисления оптимальной (как правило, квадратичной) оценки этих параметров по методу наименьших квадратов с последующим применением [3] алгоритма построения соответствующей псевдообратной матрицы.

Способ представления регрессионного анализа в настоящей работе отличается от традиционного, поскольку авторы стремились выявить геометрическую, качественную сторону нелинейного регрессионного моделирования и его приложений. В соответствии с этим ниже приведен (в отличие от работы [2]) ряд понятий, которым ранее не уделялось должного внимания; поэтому пришлось представлять их достаточно подробно в рамках стандартных элементов тензорной алгебры [4] и функционального анализа [5]. Прикладной задачей в настоящей работе является определение (вычисление) линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения (ЭИИ) в целях его минимальной „взвешенно-осредненной электромагнитной наблюдаемости" в некоторых фиксированных точках возможной пеленгации сигнала ЭИИ. Такая постановка вопроса позволяет решать физическую задачу электронной защиты ПЭВМ от внешнего несанкционированного сканирования его побочных электромагнитных излучений и наводок (при этом в техническом плане проще всего решается задача перехвата информации, отображаемой на экране дисплея [1]).

Постановка задачи. Пусть Я — поле вещественных чисел, Я" — "-мерное векторное пространство над Я с евклидовой нормой ||-||Я", со1(у1,.,уп)еЯ" — вектор-столбец с элементами у1,.,упеЯ, Мп,т(Я) — пространство всех (пхт)-матриц с элементами из Я и фробениусовой матричной нормой =(2й/)1/2, ^=[4,]. Через Ттк обозначим пространство всех ковариант-ных тензоров к-й валентности (вещественных полилинейных форм/ к,т: Ят 'х...хЯт^Я) с тензорной нормой ||/к,т\\Т =02г...7)1/2, где — коэффициенты (координаты [4, с. 96]) тензора /к'т, значения которых заданы относительно стандартного базиса в Ят.

Пусть ше Ят — некоторый фиксированный вектор линейно-угловых координат ЭИИ. Выделим к рассмотрению класс многомерных нелинейных систем „вход—выход" [6], описываемых векторно-тензорным уравнением регрессии вида

w(ш+v)=C+Av+COl(2J=2.,kfjm(v,.,v),.,2J=2.,kfnJ'm(v,.,v))+г(ш,v), w(ш+v)еRn, vеRm, сеКп, АеМ„т(Я), /еТ«/, вектор-функция в(ш, V): Ят^Яп класса ||в(ш,У)||/=о((У12+.. .+УИУ2), У=ео1(У1,_,Ут).

Пусть {¿¿}1<г<п^/ — совокупность точек возможного несанкционированного зондирования электромагнитного сигнала ЭИИ, vеRm — вектор пространственно-угловой ориентации ЭИИ1 (с началом в ш), w(ш+v) — вектор выходных сигналов ЭИИ (интенсивность электромагнитного поля ЭИИ в точках ¿¿, 1</<п).

Задача

1. Для заданного аргумента шеК вектор-функции w(•): (интенсивность ЭИИ в точках ¿¿, 1 <г<п), — открытая окрестность точки ш и фиксированного индекса к определить аналитические условия, при которых w(•) удовлетворяет системе (1) с некоторыми значениями с, А, Лт, 1</<п, 1</<к.

2. Построить векторно-матрично-тензорные апостериорные оценки для с, А, Лт, 1</<п, 1</<к из решения двукритериальной задачи параметрической оптимизации (параметрическая идентификация нелинейной регрессионной модели (1)):

( q ( ( к

ш1п 2 П/)- с - АП /)- со1 2 т

/=1 V V V г2

Л

.П/)},..£Лт ((/),

.1=2

У( /),

2

Л

Кп )

И2

Ш1П

1С11 Кп +1А11

2

У +

п к ..

2211 Л

1=1 /=2

Л/2

Здесь W(l)еRn, У(/)еКт, 1</<^ — векторы экспериментальных данных (w(^) — „реакция" на „вариацию" У(1) относительно координат вектора ш еКт), q — число экспериментов (ограничений на величину q не накладываем; см. примечание 1);

3. Для заданного вектора ш еК определить линейно-угловые координаты ЭИИ V* еКт, обеспечивающие из решения задачи нелинейной „^-оптимизации" минимальную взвешенно-осредненную интенсивность сигнала ЭИИ в точках Ь, 1<1<п:

ш1п{У

п

у(у):=2(ш + 1=1

где координаты вектора col(w1(ш+v),.,wn(ш+v))=w(ш+v)еRn имеют аналитическое представление согласно идентифицированной в силу п. 2 задачи, г — весовые коэффициенты, отражающие „приоритет" точек зондирования ¿¿, 1<1<п.

Векторная регрессия с переменными в тензорных классах Тт , Кратко исследуем некоторые аналитические свойства нелинейных векторных регрессий многих переменных, которые „внешне" похожи на поведение голоморфных функций (см. задачу). В связи с этим изложение будет основываться на понятии сильной производной (производной Фреше) [5, с. 481], что ставит задачу определения остальных аналитических понятий, и в частности дифференциалов высших порядков, через конструкции сильных производных. Известно [5, с. 491], что данные производные по существу можно (и удобно) трактовать как некоторые математические конструкции со специальной геометрической полилинейной структурой.

1 Случай vе VcRm, где V — ограниченная невыпуклая область, может составить предмет отдельной задачи.

О п р е д е л е н и е 1 [5, с. 480]. Пусть О — открытая область в Ят, w — отображение множества О в Я" и ш — некоторая точка из О. Если существует такая матрица АеМ",т(Я), что имеет место соотношение

Нш

^0

У)-ш)-Ау\Я" ^ЯП

1м1я"

= 0,

то данная матрица А называется производной Фреше от функции w в точке ш.

З а м е ч а н и е 1. Нетрудно установить, что производная Фреше определяется матрицей частных производных дwi/дvj (1</<п, 1</<т) в точке ш (матрица Якоби); отметим, однако, что факт существования в точке ш частных производных функций w1, w2, ..., W" (здесь w=co1(w1,.,W")) не обеспечивает еще наличия производной Фреше, как показывает следующий достаточно простой пример:

2 2 2

П р и м е р 1. Пусть "=1, т=2, w(v1,v2)=v1v2/(v1 +v2 ) и w(0,0)=0, ш=(0,0). Ясно, что дw(0,0)/дv1=дw(0,0)/дv2=0. Поэтому, если бы соответствующая производная Фреше существовала, то, очевидно, это дало бы ее нулевой оператор и, следовательно, из соотношения (4) вытекает следующее положение:

Нш

г^0

^2 \\ с Я ( 2 + 2 )1/2 , 1---1е Я, ( + v2) =1

=0.

между тем в действительности этот предел равен бесконечности, если только v1^0 и v2^0.

Производную Фреше от w в точке ш будем обозначать через w(ш)(1). При этом если производная w(ш)(1) существует для каждой точки шеО и если кроме того

ш^w

есть непрерывное отображение из области О в Мп т(Я), то отображение w называется непрерывно дифференцируемым в О. В силу отмеченного имеет смысл говорить о производной для отображения w(-1"): О^М",т(К) в точке шеО, которую, если она существует (при очевидном изоморфизме пространств Мп,т(Я) и Я"хт), называют второй производной отображения w и обозначают w(ш)(2).

Если вторая производная существует в каждой точке множества О, то тем самым математически корректно определен оператор w(-2), производная которого называется третьей производной отображения w. Производная w(ш)(k) порядка к в точке ш есть, по определению, производная оператора w(-k-1): О^Я"х(к-1)т, при этом можно каждой производной w(ш)(k) естественным образом поставить в соответствие элемент пространства к-линейных (при к=2 билинейных) отображений из Ятх...хЯт в Я" [5, с. 488]. В такой постановке дифференциал к-го

порядка допускает более удобную (и наглядную) интерпретацию в конструкциях ковариант-

7> к т.

У т в е р ж д е н и е 1. Пусть О — открытая область в Ят, w — отображение множества О в Я" и ш — некоторая точка из О. Если существует производная w(ш)(k) порядка к, то дифференциал к-го прядка в точке шеЯт имеет аналитическое представление (при vеЯm) вида

w(ш)(k)(v,...,v) =со1^1к>,.. . ./"к>,.. .V)),

где /ктеТтк, 1=1,...,п.

Установим важное аналитическое свойство, которым должна обладать вектор-функция w, с целью прояснения: когда отображение w удовлетворяет (при некоторых разумных дополнительных предположениях о нем) понятию нелинейной тензорной регрессии класса (1).

У т в е р ж д е н и е 2. Пусть О — открытая область в w — отображение множества О в К и ш — некоторая точка из О. Если существует производная w(ш)(k), которая суть равномерно непрерывная функция от ш в О, то векторное отображение w: О^-К удовлетворяет системе (1) с некоторыми тензорами Л{'т, 1<1<п, 1</<к, вектором c=w(ш) и (пхт)-матрицей A=w(ш)(1).

Утверждение 2 формулирует некоторый качественный факт для существования нелинейной регрессии класса (1), если не накладывать чрезмерно слабых требований (по образцу приведенных в примере 1) на конструкцию вектора-функции w.

Параметрическая идентификация билинейно-тензорной структуры нелинейной векторной регрессии. Начнем с уточнения конструкции уравнения (1); это уточнение имеет довольно специальный (частный) характер, но его использование позволяет не привлекать сложных вычислительных алгоритмов в оценке оптимального вектора координат установки ЭИИ.

Рассмотрим случай к=2. В такой постановке уравнение (1) примет вид

Т Т

w

где ВгеМт,т(К), /=1,.,п, Т — операция транспонирования, при этом считаем, что каждая В, — суть верхняя треугольная матрица [7, с. 38]; в силу утверждения 2 полагаем, что c=w(ш), A=w(ш)(1).

Параметрическую идентификацию в многокритериальной векторно-матрично-тензорной постановке (2) для многосвязной стационарной статической нелинейной модели типа „черный ящик" [6] в классе регрессий (5) свяжем с понятием нормального псевдорешения (канонического решения по методу наименьших квадратов) для конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.

О п р е д е л е н и е 2 [7, с. 501]. Нормальным псевдорешением системы линейных алгебраических уравнений вида

Бх=й, ПМ^р(Я), йеК

называется вектор хеКр, имеющий наименьшую евклидову норму ||х||Кр среди всех векторов, приносящих минимум величине нормы ЦПх-йЦК1.

Далее, обозначим через Eq единичную (qхq)-матрицу и пусть БеМяр(К). Через обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу Мура—Пенроуза [7, с. 500] для матрицы Б. Известно, что асимптотическая конструкция псевдообратной матрицы имеет следующий аналитический вид:

Б+=11ш{БТ(ББТ+тЕ^-1: т^0}.

Условимся, что везде далее знак „+" означает операцию псевдообращения соответствующей матрицы.

Л е м м а [7, с. 501]. Вектор х=Б й — суть нормальное псевдорешение линейной системы: Бх=й, ВеМ^р(Я), йеК4.

Для взаимоувязывания параметров системы (5) и данных генеральной выборки обозначим через й(/)еК1+т(т3)/2 вектор, имеющий (с учетом верхней треугольной структуры матриц В,, /=1,...,п) следующее координатное представление:

й

1<т<8<т, со^ц/), ..., Vm(l)) =^1)еКт, 1</^.

Назовем U =[%), ..., W(q)] eMq;1+m(m+3y2(R) полной матрицей экспериментальных данных входных воздействий2, p;:=col(w;(1), ..., w;(q))eRq — полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала w7 (i=1,...,n). Далее, стремясь к линейно-параметрическому описанию коэффициентов нелинейной модели „вход—выход" для выходного ЭИИ-сигнала wi выпишем (согласно системе (5)) линейно-квадратичную форму правой части уравнения его регрессии

С+ ^ aijvj+ ^ bigf^ i=1,.,n.

1< j<m 1<g< p<m

Теперь введем в рассмотрение (1+т(т+3)/2)-вектор zi параметров модели ЭИИ

ai 1, aim, bi Ц.,...., bigp, ...., bimm

для модели регрессии (7). Ясно, что в силу уравнений (7) любой фиксированный набор из n таких векторов полностью определяет (задает) аналитическое представление модели относительно некоторой системы „вход—выход" типа (5):

Zi =со1(сг, alh аш, bnh bgp, bimm)eR1+m(m+3)/2,

1<g<p<m.

У т в е р ж д е н и е 3. Параметрическая идентификация (2) в терминах регрессионной модели (5) имеет алгебраическое решение

z/=U% 7=1,...,n.

Здесь U — полная матрица экспериментальных данных входных воздействий (6), рг- — полный вектор экспериментальных данных выходного сигнала w7 (i=1,...,n), индуцированного воздействиями (6).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (5) для каждого l-го эксперимента, согласно (6), (7), приобретает компактный вид

Wi([)=U (l)Zi+Si(i), i'=1,...,n.

Таким образом, если переформулировать оптимизационную задачу вида (2) в векторно-матричных терминах z7, Pi, U, то приходим к следующей многокритериальной постановке относительно векторов z7, i=1,...,n:

min||p1 -Uz1\\Rq ,

Ш1П z

1 IR1+m(m+3)/2 ,

m1n||Pi-Uzi\Rq ,

min

Очевидно, что в силу леммы данная многокритериальная система имеет единственное нормальное псевдорешение (8) относительно переменных г7, /=1,...,".

С л е д с т в и е 1 [8, с. 263]. Пусть г, =и+Рг- (/=1,...,и). Тогда каждый вектор г параметров регрессионной модели (5) (характеризующей интенсивность ЭИИ), такой, что

*

имеет место , удовлетворяет одному из следующих двух условий:

а) \\вг-иг\Я > НР,-^*!^

2 Здесь „модель входных воздействий" — некоторый набор тестовых координат ЭИИ при его „эталонном" излучении. Точная зависимость модели (1) от координатной ориентации ЭИИ, как правило, неизвестна, и ее желательно представить приближенно в линейной или квадратичной аппроксимации, что выражено моделью (5), при этом аппроксимация (5) более обоснована для небольших отклонений аргумента V относительно координат ш.

или' в противном случае'

З а м е ч а н и е 2. Качественные оценки следствия 1 в основном зависят от „объема" апостериорной информации (количества экспериментов q), а именно: если q>1+m(m+3)/2, то, как правило, реализуется пункт а, если q<1+m(m+3)/2 — весьма вероятно, что имеет место методологическая позиция б.

Далее приступим к многомерному геометрическому исследованию „минимаксных" свойств решений нелинейной векторной регрессии (5); важной чертой полученных ниже аналитических результатов в решении оптимизационной задачи (3) является их явная алгебраическая зависимость от идентифицированных параметров билинейно-тензорной структуры системы (5).

Ориентация ЭИИ на базе билинейно-тензорной интерполяции его функциональной модели. Параметрическая идентификация функциональной модели ЭИИ класса (5), исследовавшаяся выше, является необходимым требованием при выборе вектора ориентации V. Однако вариантов подобной ориентации, очевидно, много, и необходимо выбрать среди них оптимальный с точки зрения некоторого формального критерия, характеризующего определенное „физико-техническое" качество данной геометрической установки ЭИИ. Рассмотрим критерий оптимальности (3) (с приоритетным выбором коэффициентов г7, 1</<п, согласно, например, [9]) и обсудим для него алгоритмическую технику получения оптимальных координат V*.

У т в е р ж д е н и е 4. Пусть б, =(В7+В7 ) где матрица Вi идентифицирована согласно билинейно-тензорной регрессионной модели (5). Тогда при варьировании координат вектора vеRm показатель интенсивности ЭИИ (в точке Ь) вида

Jl(v) =wг(ш+v), 7=1,...,п

может в силу идентифицированных уравнений (5) иметь внутренний экстремум только в точке vi*еRm:

vl*=-DlrlATel,

где {е1,.,еп} — стандартный базис в Кп.

Т

Если V

V — суть отрицательно определенная квадратичная форма, то функционал качества Ji(v) имеет в точке V,* максимум, если V — положительно определенная квадратичная форма' то Ji(v) претерпевает в V* минимум; в обоих случаях V* — стационарная точка эллиптического типа.

Наконец, если V может принимать как положительные, так и отрицательные

Т

значения (с V

при №0), то экстремум отсутствует, а V,* — точка гиперболического

типа (седловая).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для показателя качества Ji(v) на множестве значений линейно-квадратичной модели (5) необходимое условие локального экстремума определяет следующее условие:

д

со1

дУп

= 0е К

в пространстве К [5, с. 500] геометрические координаты (9) для стационарной точки vi* относительно функционала Ji(v), в то время как знак второго дифференциала

й2Jl(v*)= V V д2 Ji(v)/дvgдvp | V* vgVp

/ ; / ; - - 'V /• - • 5- -У • -

1<g<m 1< р<т

в точке размещения ЭИИ с координатами (9) определяет достаточные условия [5, с. 504] экс-

тремума для стационарной точки V*.

З а м е ч а н и е 3. Координаты стационарной точки (9) позволяют ответить на вопрос о значении функционала Ji(v), когда данная точка является точкой относительно минимума или максимума.

С л е д с т в и е 2. Если матрица П, является положительно (отрицательно) определенной, то минимальное (максимальное) значение равно

с1-е?ЛП-1ЛТе1/2,

где с, — ,-я координата вектора с^Я" системы (5).

Каждый функционал Ji(v), ,=1,.,", при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай комплексного целевого функционала (3), который рассмотрим ниже. Таким образом, утверждение 4 и формула (9) позволяют за конечную последовательность простых действий вычислять геометрические координаты стационарной точки задачи оптимизации (3); данные координаты V определяют в терминах идентифицированных стационарных коэффициентов системы (5) геометрические параметры режима защиты функционирования ЭИИ.

У т в е р ж д е н и е 5. Пусть Д =(В+ВД ,= 1,...,". Тогда стационарная точка V* &Ят задачи (3) (задача минимизации „взвешенно-осредненной" интенсивности сигнала ЭИИ в комплексе точек зондирования {Ь,}1<,<„) имеет вид

v*=-

при этом достаточным условием, что решение V* обеспечивает качество

ш1и{^): veЯm},

является следующее: стационарная точка V* имеет эллиптический тип, т.е.

ёе! [4-]р>0, р=1,.. ,,т,

где [ёу]р<аМрр(К) — главные подматрицы [7, с. 30] матрицы

п=(пп1+.+г"п"), собственные числа X, матрицы П отвечают неравенствам

^>0, /=1,..„т.

З а м е ч а н и е 4. Если алгебраические условия (11), (12) не выполняются, то критическая точка (10) является либо гиперболической (т.е. седловой), либо параболической, и следовательно, требуется дополнительный геометрический анализ „параметров-координат" ЭИИ (10). Говоря более формально, наличие седловой точки гарантирует замена хотя бы в одном (но не во всех) отношении неравенства „>" из (11), (12) на „<", при этом аналогичная замена „>" на „>", возможно, вызывает структуру параболической точки.

Изложенный подход методологически расширяет [10] стандартную процедуру планирования эксперимента [2]. При этом если расчетные (прогнозируемые) координаты стационарной точки (10) по каким-либо физико-техническим параметрам выходят за область адекватности идентифицированной модели (5), то необходимо провести дополнительный натурный эксперимент, т.е. осуществить замер (с вектором V, максимально близким к точке (10)) координат ЭИИ с внесением полученного результата в расширенную матрицу экспериментальных данных и. После этого необходимо сделать пересчет [3] всех вышеизложенных этапов процесса оптимизации координат ЭИИ. При необходимости подобный эксперимент, параметрическую идентификацию (5) и оптимизацию (3) необходимо повторить.

Заключение. В работе дано точное и удобное определение нелинейной векторной регрессии на языке тензорной алгебры, чтобы нелинейные регрессионные модели были компактны и удобны в обращении. При этом определена процедура построения нелинейной модели, описывающей взвешенно-осредненную интенсивность электромагнитного поля ПЭВМ в точках возможного несанкционированного приема его сигнала; получен алгоритм расчета оптимальных координат установки ПЭВМ.

Изложенные в статье идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-прикладных изысканий по совершенствованию предложенных выше алгоритмов оптимальной пространственно-угловой ориентации ЭИИ, а также расширению рамок адекватности

регрессионных уравнений дистанционной интенсивности ЭИИ за счет дополнительного исследования факторов ее нелинейности:

— на разработку процедуры выбора весовых коэффициентов г7, 1<7<п, критерия (3), обеспечивающих эллиптический характер стационарной точки (10) целевого функционала Г^) исходя из алгебраических условий (11), (12);

— на расширение, согласно утверждению 2, билинейно-тензорной формы уравнений регрессии (5) „тейлоровским разложением" вектора-функции v^w(ш+v) ковариантными тензорами ранга к>2;

— на задачу оптимизации (3) в постановке невыпуклого нелинейного программирования, когда к>2 и ve V^Rm, где V — ограниченная, несвязная, невыпуклая область (возможно, с квазифрактальной границей [11]).

Работа поддержана программой фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, грантом Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (№ НТТТ-1676.2008.1).

1. Жигунова Я. А., Носков С. И. Определение гармоник информативного сигнала монитора на основе методов регрессионного анализа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 4. С. 89—90.

2. Бернштейн А. В., Кулешов А. П., Бурнаев Е. В. Об одной методологии построения аппроксимаций многомерных зависимостей // Докл. IV Междунар. конф. „Параллельные вычисления и задачи управления" РАС0'2008. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2008. С. 56—62.

3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах МАТЬАБ и 8С1ЬАБ. СПб: Наука, 2001. 288 с.

4. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979. 624 с.

5. Колмогоров А. Н.Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

6. МесаровичМ.ТакахараЯ. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978. 312 с.

7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.

8. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 268 с.

9. Макаров И. М.Виноградская Т. М., Рубчинский А. А., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982. 328 с.

10. Патент РФ № 2009612490. Регрессионно-тензорный анализ „РЕТАН" / С. Н. Думнов, Д. Б. Лабаров, В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых. 19.05.2009 г.

11. Потапов А. А. Фракталы и хаос как основа прорывных технологий в современных радиосистемах // Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. С. 374—457.

Сведения об авторах

Владимир Александрович Козырев — аспирант; Институт динамики систем и теории управления СО РАН,

Иркутск

Антон Евгеньевич Куменко — канд. техн. наук, старший научный сотрудник НПО „ОРИОН", Крас-

список литературы

Алексей Геннадьевич Рудых

Вячеслав Анатольевич Русанов

нознаменск

аспирант; Иркутское высшее военное авиационное инженерное училище

д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск; E-mail: V.Rusanov@mail.ru

Рекомендована институтом

Поступила в редакцию 29.10.09 г.