Алгоритм оценки параметров математических моделей линейных и нелинейных систем

УДК 681.51.015

А.А. Северов, А.А. Львов

АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Представлен метод, с помощью которого можно оценить параметры линейных и нелинейных систем. Линейные системы описаны с помощью

передаточных функций, а нелинейные системы - с помощью рядов Вольтерра. Разработанный алгоритм обладает важной особенностью -при оценке параметров модели учитываются не только шумы на выходе системы, но и ковариационная матрица шумов.

Математическая модель, передаточная функция, ряды Вольтерра, оценка максимального правдоподобия, нижняя граница Крамера-Рао

A.A. Severov, A.A. L'vov

ESTIMATION’S ALGORITHM OF A MATHEMATICAL MODELS’ PARAMETERS

OF LINEAR AND NONLINEAR SYSTEMS

Method, which estimates the parameters of linear and nonlinear systems, is considered. The linear systems are modeled by transfer functions, the nonlinear systems are described using a Volterra series. An important contribution of this method is that it incorporates noise disturbances on the output and the input signals.

Mathematical model, transfer function, Volterra series, maximum likelihood estimator, Cramer-Rao lower bound

Введение. В настоящее время не существует ни одного универсального метода, позволяющего проводить оценку параметров моделей как линейных, так и нелинейных систем. Предлагается оригинальный алгоритм оценки параметров линейных и нелинейных систем, основанный на построении оценочной функции, относящейся к классу оценок максимального правдоподобия (ОМП), что позволяет получить состоятельные, несмещенные и эффективные оценки параметров моделей.

Модель исследуемой системы. Рассматривается система с одним входом и одним выходом. В качестве входного сигнала используется широкополосный сигнал с минимальным отношением между пиковым значением сигнала и его эффективным значением [1]. Сделаем следующие обозначения: m - измеренная величина, 1 - оценочное значение, A и a - коэффициенты Фурье для входных сигнала и шума, B и b - коэффициенты Фурье для выходных сигнала и шума соответственно. Измерения входного и выходного сигналов дают последовательности данных Xm(k) и Ym(k), к = 1,..., N , соответственно. Эти измерения искажаются шумом:

Xm(k) = X (к) + e1 (к) = X (к) + x(k), Ym(k) = Y(к) + e2 (к) + e3 (к) = Y(к) + y(k), где x(k) и y(k) - измеренный шум на входе и выходе соответственно.

Для заданной частоты сок справедливо следующее (F° — преобразование Фурье):

Amk = F°[Xm] = F°[X] + F°[x] = Ak + ak , Bmk = F°[Ym] = F°[Y] + F°[y] = Bk + bk .

Функция плотности вероятности шума a и b является гауссовским распределением, которое полностью характеризуется значением ковариационной матрицы шума. Определим z' = (a1...anib1...bno), где ni и no - количество коэффициентов Фурье для входного и выходного сигналов, соответственно, z -транспонированная матрица z .

Ковариационная матрица шума определяется выражением: Cz = E[ z z'].

Определим модель исследуемой системы в виде комплексной функции F (p - неизвестные параметры модели):

B = F

Алгоритм оценки параметров моделей исследуемых систем. Первый шаг в построении ОМП — определение функции правдоподобия, обусловливающей вероятность реализации эксперимента с результатами Ат и Вт:

Р(2т I И(р1)) =

1

л/

гехр

-(2т - 21)  С;1 (2т - 21)/2

где М = 2(п + по).

Искомые оценки Z1 и р1 находятся из условия максимума функции правдоподобия относительно этих параметров. Учитывая, что Сг не является функцией параметров Z1 и р1, из (2) была получена следующая функция оценки К:

К = ^т - Z1),• С-1^т - Z1).

Используя формулировку Лагранжа [2] и подстановку Г (А1, р1) вместо В1, определяя:

¿( А1, р1) =

Ат ' А1 "

Вт ¥ (А1, р1)_

запишем (3) в виде К = Е,'(А1,р1) • С7 х^(А1, р1).

Используя процедуру Гаусса-Ньютона [3], получим следующее рекурсивное уравнение:

зк с;1 зк лв1к+1 = зк с-1^к,

= ЭZ1

, к =

где 01 - вектор

А1

Р1

101_01 - Якобиан, А 01 - отклонение от 01 на к -м шаге.

Э01 01_01к ,

Уравнение (5) позволяет с помощью ЭВМ найти минимум уравнения (3) - вычислить искомые оценочные значения, являющиеся ОМП. Применяемый для этого алгоритм состоит из к итераций, каждая из которых выполняется в 3 шага: 1) функция К минимизируется относительно р1, значения А1 берутся равными Ат; 2) функция К минимизируется относительно А1, значения р1 берутся равными значениям на предыдущем шаге; 3) функция К минимизируется относительно р1 и А1 , используя значения из второго шага. Окончательные значения А1 и р1 -это оценка для Ат и р , и, используя А1 и р1 , можно найти В1 из уравнения (1).

Изучение погрешности оценки - вычисление нижней границы Крамера-Рао. После оценки параметров необходимо знать погрешность этой оценки. Такую информацию можно получить из ковариационной матрицы параметров: Св = Е[(в1 - в)(в1 - в)' I в].

Для данного набора измерений существует нижняя граница Св. Она определяется

нижней границей Крамера-Рао [4]: С0 > ¥ 1, где ¥ — информационная матрица Фишера:

¥ _ Е

-01п І (2т I 0) 1  Г до 1п / (2т I 0) 1 I 0

Используя (4) и (5), получаем: 1п / (2т I 01) _ -'д— С71% _ С71% . Подставим в

(6) и получим: ¥1 _ Е

д01

д21 - с:1^  (¿'с;1 ^ 1 101

Э01

Э01

Э01

Э01'.

д21

Перепишем в виде: ¥1 _ ] 'С7 ], где ] _----- и Е[Е'Е] _ Е[ г г].

Э 01

Это точно такая же процедура, что и представленная итерационной схемой (5). Инверсия функции ¥1 может быть использована как оценка нижней границей Крамера-Рао. Для линейных систем также доказывается, что нижняя граница Крамера-Рао приблизительно равняется левой стороне матрицы процедуры Г аусса-Ньютона.

Пример оценки параметров нелинейной системы. При оценке параметров квадратичной цепи аналогового умножителя были построены следующие ядра Вольтерра:

2

Т1

1 + р 45 + p5s 2 + рб53 1 + р4( 51 + 52) + р5(51 + 52)2 + рб(51 + 52)3

T3isl.s2.s3) = р9 + р10

1 + р4(51 + 52 + 53) + р5(51 + 52 + 53)2 + рб(51 + 52 + 53)3 Знаменатель схож во всех трех ядрах и может быть истолкован как передаточная функция выходного буфера. Т 2 описывает функцию умножения, Т1 описывает линейный коэффициент передачи, а Т3 — модель искажений третьего порядка в умножителе. Более высокие порядки искажений (>3) не рассматриваются. Входной сигнал состоял из 5 синусов с одинаковыми амплитудами и частотами, равными / = к • 97.6575кГц, где к = 1,...,5 . Результаты статистического анализа 30 экспериментов приведены в таблице.

Статистический анализ масштабированных параметров оценки после 30 экспериментов

Параметр модели Среднее значение °т Нижняя граница

Р1 -0.2040Е-2 0.50Е-3 0.56Е-3

Р2 0.4540Е-3 0.61Е-4 0.62Е-4

Р3 -0.1688Е-4 0.35Е-5 0.21Е-5

Р4 0.3485Е-1 0.72Е-2 0.57Е-2

Р5 0.6246Е-3 0.14Е-3 0.12Е-3

Р6 0.4499Е-5 0.22Е-5 0.17Е-5

Р7 0.1013 0.71Е-3 0.52Е-3

Р8 0.1654Е-2 0.73Е-3 0.59Е-3

Р9 -0.4450Е-4 0.21Е-4 0.21Е-4

Р10 -0.5776Е-6 0.74Е-6 0.61Е-6

выходной сигнал

входная частота (кГц) 001

Рис. 1. Разница между измеренными и посчитанными значениями для 1-й, 2-й

и 3-й гармоник, экстраполяция модели в Рис. 2. Сравнение измеренного и рассчитанного

частотную полосу от 0,5 до 1,0 МГц выходных сигналов

Из таблицы видна очень хорошая согласованность между измеренными стандартными отклонениями и нижней границы Крамера-Рао. Чтобы проверить соответствие модели и оценки, на вход системы был подан сигнал с формой синуса. При этом входной сигнал был измерен, а по результатам измерений и был спрогнозирован выходной сигнал. На рис. 1 изображены рассчитанный и измеренный выходные сигналы. Из рисунка видно, что измеренные и спрогнозированные сигналы хорошо друг с другом совпадают, особенно для частот ниже 500 кГц, так как это и является диапазоном частот, использованным в процессе оценки.

Для тестирования полной модели был рассчитан выходной сигнал из измеренного входного сигнала, используя полученную модель (после оценки ее параметров). На рис. 2 показаны выходной сигнал и разница между измеренным и рассчитанным сигналами. Среднеквадратическое значение сигнала ошибки равно 2,8 мВ, которое является схожим со среднеквадратическим значением выходного шума системы (2,7 мВ).

Заключение. Представлен оригинальный метод оценки параметров как линейных, так и нелинейных систем. В соответствии с общим подходом этот метод может быть применен к большому числу задач, использующих схожие измерительные системы. Ковариационная матрица параметров получается в течение процесса оценки параметров, что исключает дополнительные вычисления, которые обычно нужны для оценки нижней границы Крамера-Рао.

ЛИТЕРАТУРА

1. Schroeder M.R. Synthesis of Low-Peak-Factor Signals, and Binary Sequences with Specified Fourier Amplitude Spectra / M.R. Schroeder // Int. J. Control, 1979. Vol. 30. P. 85-89.

2. Spriet J.A. Computer-Aided Modelling and Simulation / J.A. Spriet, G.C. Vansteenkiste. London: Academic Press, 1982. 363 p.

3. Pintelon R. System Identification - A Frequency Domain Approach / R. Pintelon, J. Schoukens. IEEE Press, New York. 2001.

4. Eykhoff P. System identification. Parameter and state estimation / P. Eykhoff. New York: Wiley & Sons, 1974. 380 p.

Северов Алексей Александрович -

аспирант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Львов Алексей Арленович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 25.09.09, принята к опубликованию 25.11.09