Методика математической подготовки на довузовском этапе

Методика математической подготовки на довузовском этапе

Г. Г. Битнер

В статье излагается опыт и раскрывается методика математической подготовки на довузовском этапе в университете, обеспечивающей качество образования.

Ключевые слова: Центр предвузовской подготовки, допрофессиональный этап, математическая подготовка, методика, классификация, систематизация.

The Technique of Mathematical Education on a Pre-University Stage

G. G. Bitner

Experience and technique of the mathematical education on a pre-university stage at university to provide a quality of education are presented.

Key words: a centre of pre-higher school, on a pre-university stage, mathematical training, the Technique, classification, systematization.

Современная ситуация в области образования характеризуется общим снижением уровня математической подготовки учащихся массовой школы. Это привело, в свою очередь, к снижению уровня подготовки абитуриентов технических вузов. Учитывая данные обстоятельства, изучение основного курса «Высшая математика» целесообразно начинать с изучения вспомогательного раздела «Введение в математику» в Центре предвузовской подготовки (ЦПП), ведущими функциями которого являются систематизация знаний школьного курса и формирование

- осознанного и прочного владения определенным набором знаний, умений и навыков, необходимых для продолжения образования;

- навыков самостоятельного изучения учебной математической литературы;

- понимания единой основы профессионально значимых математических методов;

- представления о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений.

Формирование основ математической культуры учащихся на допрофессиональном этапе особенно актуально, поскольку это направление является начальной и сравнительно новой ступенью непрерывного профессионального образования. Такая дополнительная подготовка закладывает фундамент для продолжения образования по выбранной профессии и для формирования профессиональной культуры будущих инженеров. В связи с этим уже во многих технических вузах созданы ЦПП, в частности, в филиале «Восток» КГТУ им. А. Н. Туполева работает ЦПП и заоч-

ная физико-техническая школа (ЗФТШ) при Московском физико-техническом институте (МФТИ), где обучаются ученики 9-11 классов в течение всего учебного года. В сентябре проводится входное тестирование. Один из вариантов проверочного теста приведен в таблице 1. Учащиеся, показавшие хорошие и отличные результаты, зачисляются в ЗФТШ. Став студентами, они принимают активное участие в олимпиадах, конференциях, выбирают темы курсовых, в последующем - дипломных работ с математическим уклоном, обучаются в аспирантуре. Учащиеся, показавшие удовлетворительные и неудовлетворительные результаты, обучаются в ЦПП. При получении положительных результатов (контрольных и самостоятельных работ) и активно работая в течение учебного года, они могут перейти в ЗФТШ. Работа в ЗФТШ проводится по соответствующей программе при МФТИ.

Для работы в ЦПП составлена программа и написано учебное пособие (Н. М. Иванов, Г. Г. Битнер «Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы») с грифом НМС по математике Министерства образования и науки РФ. В пособии представлен учебный курс, направленный на систематизацию, расширение знаний учащихся по математике, формирование математического мышления, выработку практических навыков и подготовку ко вступительным экзаменам в вузы. Пособие содержит необходимый теоретический и справочный материал. Излагаемые темы сопровождаются большим количеством задач с решениями. Кроме того, в пособие включены задачи для самостоятельной рабо-

ты учащихся, расположенные в порядке возрастания трудности, и тесты. Все задания для самостоятельного решения и тесты сопровождаются ответами. В основу пособия положены лекции и семинарские занятия, проводимые авторами в Центре предвузовской подготовки филиала «Восток» КГТУ им. А. Н. Туполева, где обучаются 9-11 классы. Пособие дополняется электронной версией.

В большинстве случаев школьники любого уровня не готовы к самостоятельной работе; они привыкли работать на запоминание, а не на понимание, поэтому необходимо активизировать их учебно-познавательную деятельность, способствовать усилению мотивации к изучению математики. С этой целью могут использоваться различные способы. Целесообразно использовать постоянно действующий режим консультирования, которое может осуществляться в индивидуальном режиме, по мере возникновения вопросов у отдельного учащегося, или с группой учащихся.

С учетом состояния математической подготовки учащихся школ и задач формирования основ математической культуры инженера довузовская подготовка будущих абитуриентов должна носить коррекционно-развивающий характер. Сначала определяется уровень математической подготовки, цели и группы задач, позволяющих ликвидировать имеющиеся пробелы, систематизировать знания,

закрепить и углубить умения и навыки решения задач. С этой целью подбираются вариативные задачи - обычные, поисковые и творческие, которые должны быть интересны, значимы для учащихся, соответствовать уровню притязаний, знаний и развитию каждого учащегося. Такие задачи и задания способствуют повышению умственной и творческой активности школьников и становятся важным условием их психологической подготовки к труду, как умственному, так и физическому. Через развитие этой активности происходит становление важных качеств личности: ответственности за свой труд, умения организовать его, критически осмыслить и оценить. Важно обеспечить представление задач в логической последовательности в зависимости от поставленной цели.

Математическая подготовка школьников чаще всего характеризуется фрагментарностью и является недостаточной для продолжения обучения в вузе. Заученная, но не осмысленная информация быстро забывается; учащиеся теряют интерес к математике. В связи с этим при изучении тем целесообразно проводить классификацию и систематизацию материала с соответствующим подбором задач, тестов, после чего рассматривать нестандартные, творческие задачи. Например, при изучении темы «Показательные уравнения» проводится следующая классификация методов решения:

1. Выравнивание оснований:

a

жx) = af2(x) (a №1, a > 0) Ю f1(x) = f2(x).

2. Выравнивание показателей:

af(x) = bf(x) (a № b №1) Ю f (x) = 0.

3. Замена с одним видом основания:

ax = t, t > 0 (a > 0, a t 1).

4. Замена с двумя видами оснований:

'a'

vb/

t, t > 0 (a > 0, b > 0, a t b t 1). I. Уравнения первого типа (два слагаемых):

2

x2 - 6 x- 2,5

= 16 V2.

Выравниваем основания:

2

1

xz - 6x— 2,5 = 24 22 .

Это уравнение равносильно уравнению

или

x2 - 6x - 2,5 = 4,5

x2 - 6x - 7 = 0 ^ xt = - 1; x2 = 7.

П.Уравнения второго типа (два слагаемых):

7 x = 3x

или

' 7 = 1- ' 7 х ' 7'

. 3 = 1; 3 3 .

х = 0.

III. Уравнения третьего типа (три и более слагаемых и один вид оснований):

5х + 5

3- х

30.

Перепишем уравнение в виде

и произведем замену:

5

5х + — = 30 5 х

5х = t, t > 0.

,2

Подставим в последнее уравнение

125

t+—= 30 ^ - 30t+ 125= 0 ^ t1 = 5, t2 = 25.

Возвратимся к замене

5х = 5 ^ х = 1; 5х = 25 ^ х = 2.

IV. Уравнения четвертого типа (три и более слагаемых, два и более видов оснований):

52 х-1 + 22 х 52 х + 22 х+ 2 = 0

Перепишем уравнение в виде

-2 х

5"

+ 22х - 52х + 4 422х = 0 .

2х

2х

5

Разделим обе части уравнения 22х :

2

v /

+ 1

^^2 х

2

V У

+ 4 = 0.

Замена:

х

v2/

= t, t > 0.

Подставим в последнее уравнение Возвратимся к замене:

1 . . _ 25

-t+ 1 -t+4= 0^ t= — 5 4

t 5 \2х

v2/

25

= — ^ х = 1. 4

Отработав навыки классификации и решения уравнений, необходимо для развития логического и творческого мышления постепенно расширять и усложнять класс рассматриваемых уравнений. Далее, например, предложить произвести логический анализ и решение уравнения вида: 6 = 2 3.

Проведем логический анализ:

1) в уравнении два слагаемых, следовательно, уравнение первого или второго типа;

2) в уравнении основания не выравниваются, следовательно, уравнение не первого типа;

3) приведем уравнение к виду второго типа, для этого выделим два вида оснований:

22х+4.32Х+4 = 2^+8.33Х .

4) выравниваем показатели:

22

33

,2х+ 4 ’

; 2

х - 4

3

х - 4 .

2 х+ 8 32

5) равносильное уравнение х-4 = 0 ^ х = 4 .

В завершение следует рассмотреть нестандартные уравнения, которые можно классифицировать только после некоторых преобразований и проявления математической смекалки.

Показательные уравнения связаны с логарифмическими уравнениями. При рассмотрении темы «Логарифмические уравнения» целесообразно произвести сначала классификацию свойств логарифмов, применяемых к соответствующему типу уравнения, а затем классификацию уравнений.

Классификация свойств логарифмов:

3

2х

5

' 1°. loga 1 = °(a > °, a Ф 1);

2°. log a a = 1(a > °, a Ф 1);

3°. x = lg x; logex = ln x (x > °);

4°. loga (xf x2) = logflx1 + loga %2 (a > °, a Ф 1);

I, II / .. 1

5°. loga Л1 = logflx1 - loga %2 (a > °, a Ф 1);

x2

6°. loga x = k loga x, где k - нечетное (a > °, x > °, a Ф 1);

7°. loga xk = kloga\x\, где k - четное (a > °, a Ф 1);

III

8°. log„ X :

1

l0g xa

(a > °, x > °, а Ф 1);

1

9. log atx = - log ax (a > °, x > °, а Ф 1); a k

1°°. loga x = l0gb X (a > °, b > °, x > °, a Ф b Ф 1);

IV

logba

11°. alogax = x (a > °,x > °, a Ф 1);

12°. alogbx = xlogba (a > °, b > °, x > °, a Ф 1);

13°. aloglax = (alQ%ax)logax = xlogax (a > °, x > °, a Ф b Ф 1).

Можно предварительно отработать эти свойства на примерах. Вычислите:

1 ~(log612 + log6 3); 3. 10lg7+ lg7 ;

2. log7196 - 2log72;

4. log29 - 2log2-3 - 4log23;

2 3

5 71^27 - 9log29 .

6 2tog35 - 5log3 2

Далее классифицируем логарифмические уравнения согласно проведенной классификации свойств, при этом следует акцентировать внимание на логике классификации и логике решения. В дальнейшем это пригодится для выбора оптимального решения и для решения творческих задач.

I. Уравнения первого типа (логарифмы с одинаковыми основаниями и в первой степени):

log afl(X) = loga f2(X) Ю f1( X) = f2( x)^ Q > 0 Q №1, f x) > 0, fi x) > 0

Рассмотрим на примере:

log1- x (2 x2 + x + 1) = 2 .

Запишем область допустимых значений уравнения (ОДЗ):

2x2 + x +1 > 0;1 - x > 0;

| 4 x < 1; x ф 0 .

1 - xф 1.

Заменим правую часть уравнения через логарифм:

log1- x (2x2 + x + 1) = log1- x (1 - x)2

или

2x2 + x + 1 = (1 - x)2 4 x2 + 3x = 0 4 x1 = 0; x2 = - 3 .

Корень x1 = 0 не удовлетворяет ОДЗ. Решение уравнения: x = - 3.

II. Уравнения второго типа (логарифмы с одинаковыми основаниями, но с разными степенями). Замена: log ax = t (a > 0, a ф 1, x > 0).

О о

Рассмотрим уравнение: 3lgx2 - lg (- x) = 9.

ОДЗ: x < 0 . Используя свойство 7, и так как при x < 0 | x | x, получаем

lg x2 = 2lg| x | = 2lg ( - x) , поэтому данное уравнение можно записать в виде:

6lg(-x) - lg2(-x) = 9.

Полагая lg( - x) = t, получим 6t - t2 = 9 Ю t = 3. Для определения x получим простей-

О

шее уравнение lg (- x) = 3 Ы - x = 103 Ю

III. Уравнения третьего типа (логарифмы с разными основаниями). Рассмотрим на примере:

log4x+ 17 + log9x 7 = 0.

Найдем ОДЗ:

x :

1000.

4x 11 > 0; x > 0; 4x 1111; 9 x (1.

„ 1

4 x > 0; x ф —.

9

Используя свойство 8, исходное уравнение можно записать в виде:

1  + -—1-----= 0 Ю log7(9x) + log7(4x + 1) = log7l

log7

или

9x(4x + 1) = 1 ^ 36x2 + 9x - 1 = 0 ^ x1 = - 3

посторонний корень; x2

IV. Уравнения четвертого типа (показательно-логарифмические):

5lg x + xlg5 = 50.

1_ 12 '

Ко второму слагаемому уравнения применим свойство 12:

5lgx + 5lgx = 50 ^ 5lgx = 25 ^ 5lgx = 52 ^ lg x = 2 ^ x = 100.

И в завершение рассмотрим уравнения, решаемые методом логарифмирования обеих частей уравнения, то есть когда в основании x, а в показателе логарифм. Можно подобрать разные уравнения такого вида, чтобы обобщить все типы уравнений и все свойства.

Например, уравнение вида: x^g x = 1000 x2 .

ОДЗ: x > 0 . Это уравнение решается методом логарифмирования по основанию 10 обеих частей уравнения. В результате логарифмирования получим уравнение:

lgxlgx = lg(1000x2) Ы lg2x = lg1000 + lgx2 Ы lg2x- 2lgx- 3 = 0.

Полагая lg x - t, получим

t2 - 2t - 3 - 0 Ю t1 - 3, t2 - - 1.

Следовательно, lg x - 3 Ю x1 - 1000 и lg x - - 1 Ю x2 - 0,1.

По такой же классификации следует рассмотреть показательные и логарифмические неравенства. Фактически все разделы математики можно организовать по следующей методике:

1. Актуализация опыта математической деятельности школьника (например, решение квадратных уравнений, действия над степенями).

2. Создание нового, то есть фактологической системы ЗУН (классификации показательных и логарифмических уравнений и методика их решения).

3. Развитие умения:

а) логического мышления (логический анализ уравнения и определение его типа);

б) алгоритмического мышления (алгоритм решения соответствующего типа уравнений, алгоритм классификации уравнений).

4. Развитие творческого мышления (решение усложненных и нестандартных уравнений, которые, как правило, имеют несколько вариантов решения).

5. Развитие навыков самостоятельной работы

(для закрепления ЗУН и развития умений самостоятельного приобретения знаний предлагаются учебные пособия, домашнее задание, дифференцированное по сложности, тестовые задания).

При таком подходе школьник систематизирует свои знания, развивает математическое мышление: анализ, синтез, сравнение, суждение, умозаключение, понятие. Такая методика формирует вкус к исследованию, способность сосредоточиться, настойчивость, склонность к творчеству, любознательность, удовлетворенность процессом работы и ее результатами. Ученик не приступает сразу к решению задачи. Он сначала анализирует задание, классифицирует, определяет метод решения, осмысливает полученный ответ, что способствует развитию гибкости, активности, целенаправленности, критичности ума. Систематизированное и осмысленное знание закладывается в долговременную память, в результате вырабатываются методы математической деятельности: наблюдение, опыт, применение аналогии, моделирование.

Таблица 1

А1. Частное от деления наименьшего общего кратного чисел 308 и 264 на их наи¬ 1) 21;

больший общий делитель равно 2) 12;

3) 6;

4) 42;

5) 84

a3/2 - 4a12 „ 1) -4а;

In 2) 0;

А2. Выражение 2 после упрощения при a < 4 примет вид 3) 4а;

i f a + 4 j -4 4) 1;

1 2^ J 5) -1

А3. Сумма кубов корней уравнения x2 + 5x + 5 = 0 равна 1) -125;

2) -50;

3) -25;

4) 25;

5) 50

А4. На одном станке партию деталей можно изготовить за 5 часов, а на другом - за 4 1) 1,5 часа;

часа. Сколько времени нужно для изготовления 90 % деталей этой партии, если вклю¬ 2) 2,1 часа

чить оба станка? 3) 1,2 часа;

4) 2 часа;

5) 2,2 часа

А5. Сумма координат точки пересечения графиков функций y = 3-x и 1) 1;

y = л/ x + 10 равна 2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) 5

x 1) p/3; 2) 2л/3;

А6. Наименьший период функции y = 2 + 5 sin x + cos 3 равен 3) 3p 4) 4p 5) 6л

А7. Произведение корней уравнения (x2 + 2x - 5) (x2 + 2x + 5) = 24 равно 1) 5; 2) -5;

3) 7; 4) -7;

5) 14

А8. Корень уравнения 2 -у/ 2 - x = yj2 x - 4 + 3 x + 6 принадлежит промежутку 1) (-1; 0); 2) [2;3];

3) (3; 5); 4) [5;6];

5)

А9. Результат вычисления выражения tg 9° - tg 27° - tg 63° + tg 81° равен 1) 0; 2) 1; 3) 4;

4) 2; 5)5

А10. Вычислить tg a , если 15cos2 a - 2cosa - 1 = 0и - p < a < - p / 2 1) - 2л/б ; 2) 2л/б ;

3) Тб ; 4) 1; 5) 2

А11. Среднее арифметическое всех корней уравнения 1) л/2; 2) 2л/3;

2 cos x ( cos x - V8 tgx ) = 5 , принадлежащих промежутку [ - p ; 2p ], равно 3) л/4; 4) л/6;

5) л/3

А12. Найти a + b , если вектор a = ( 3; - 1;a) перпендикулярен вектору 1) -10;

b =( 2; b;1), b = 3 и b < 0 2) -4;

3) -2;

4) -1;

5) 0

А13. Если в двух подобных треугольниках длины меньших сторон равны 35 и 21, а раз¬ 1) 90;

ность периметров равна 40, то сумма периметров равна 2) 100;

3) 120;

4) 160;

5) 200

А14. Если сфера проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда с ребра¬ 1) 62л;

ми 2, 3 и 7, то площадь сферы равна 2) 64p;

3) 66л;

4) 68p;

5) 72л