Феноменологическая стохастическая модель изотермической ползучести поливинилхлоридного пластиката

УДК 539.376

В. П. Радченко, Е. П. Голудин

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ ПОЛИВИНИЛХЛОРИДНОГО ПЛАСТИКАТА

Выполнен статистический анализ экспериментальных данных по ползучести поливинилхлоридного пластиката при T = 24°С. Предложена стохастическая модель одноосной ползучести и проведено обоснование ряда гипотез, используемых при построении модели, на основании экспериментальных данных. Выполнена проверка адекватности стохастических уравнений экспериментальным данным. Наблюдается соответствие данных расчёта и опытных данных.

1. Существенное влияние случайных возмущений механических характеристик материала на поля деформаций и напряжений и необходимость развития вероятностных методов для расчёта на прочность элементов конструкций отмечалась во многих работах (см., например, [1-5]). Одним из этапов решения этой проблемы является разработка соответствующих феноменологических моделей неупругого деформирования статистически неоднородных сред, поскольку они являются основной составной частью решения стохастических краевых задач [6-10]. Особую актуальность эта задача приобретает для деформации ползучести, разброс экспериментальных значений которой, например, для металлов может составлять до 50-70 % , и такие результаты приходится рассматривать как приемлемые [3, 11, 12].

Основы построения стохастических феноменологических уравнений в условиях ползучести были заложены Ю.П. Самариным [13, 14] и получили развитие, например, в работах [15, 16]. В [13] отмечен достаточно широкий спектр факторов, влияющих на разброс деформации ползучести. Поэтому раздельный микроскопический анализ всех этих факторов является крайне сложной задачей и в настоящее время вряд ли возможен. Поэтому предпочтительным является феноменологический подход анализа стохастических закономерностей ползучести, т. е. явление исследуется на уровне наблюдателя без детального выяснения причин, порождающих случайность. При построении феноменологических стохастических теорий полагается, что условия лабораторных испытаний идеальны (все внешние факторы строго калиброваны) и весь разброс деформации ползучести связывается с действием внутренних причин (помех). Если необходимо учесть внешние помехи (факторы), например допуски на напряжения, нагрузки, температуры и т.д., то соответствующий анализ можно выполнить обычными методами теории случайных функций.

Таким образом, в дальнейшем предполагается, что деформация ползучести образца является случайной функцией времени p(t).

Целью настоящей работы является экспериментальное исследование ползучести поливинилхлоридного пластиката, статистический анализ опытных данных, построение феноменологической теории ползучести и проверка её адекватности экспериментальным данным в вероятностной постановке. Здесь следует отметить, что частные исследования этого материала для построения детерминированных теорий выполнялись в работах [13, 15, 17].

2. Экспериментальные исследования поливинилхлоридного пластиката были выполнены при температуре T = 24 ± 0,5 °С. Эксперименты проводились с трубчатыми образцами длинной 1000 мм и сечением 1,2 мм2 в состоянии поставки. Контроль полной относительной деформации осуществлялся с точностью до 2,5  10-4. Величина относительной деформации во всех экспериментах не превосходила 0,1.

Испытания были выполнены при пяти значениях растягивающего усилия Q = {5,59; 7,55; 10,5; 12,46; 14,42} Н (что соответствует номинальным напряжениям а = {4,66; 6,29; 8,75; 10,38; 12,02} МПа) в течение 8 часов, затем производилась разгрузка в течение 20 часов. При первых трёх нагрузках было выполнено по 3 испытания, при последних двух — по 4 испытания. Кривые прямой ползучести всех образцов приведены на рис. 1 и 2 (упругая деформация вычиталась из общей деформации) и являлись базовыми при построении модели ползучести. Кроме этого были выполнены испытания при переменных (ступенчатых) режимах нагружения со сложной программой изменения напряжения (2 образца). Эти экспериментальные данные, представленные на рис. 3, в дальнейшем использовались для проверки адекватности стохастической модели ползучести.

Испытания при различных значениях растягивающего усилия Q (напряжения а) показали, что вся накапливаемая в процессе ползучести деформация является обратимой, т. е. после снятия нагрузки по истечение некоторого времени образцы практически полностью восстанавливаются до

Рис. 1. Экспериментальные (значки) кривые ползучести поливинилхлоридного пластиката при постоянных напряжениях и их расчётные трёхсигмовые доверительные интервалы (штриховые линии) по модели (17): 1 — а = 4,66; 2 — а = 6,29; 3 — а = 8,75 МПа

Рис. 2. Экспериментальные (значки) кривые ползучести поливинилхлоридного пластиката при постоянных напряжениях и их расчётные трёхсигмовые доверительные интервалы (штриховые линии) по модели (17): 4 — а = 10,38; 5 — а = 12,02 МПа

первоначальных размеров.

3. Выполним первичный статистический анализ деформаций ползучести при постоянных напряжениях.

Будем рассматривать деформацию ползучести образца как случайную функцию времени p(t) при фиксированном постоянном напряжении: её значения в дискретные моменты времени представлены на рис. 1 и 2 точками. При t = const деформация ползучести при а = const есть некоторая случайная величина — сечение случайной функции p(t). Набор таких сечений образует случайную последовательность (решетчатую случайную функцию), которая несёт всю наиболее существенную информацию относительно p(t).

Рассмотрим оценки для моментальных функций случайной величины p(t) при различных постоянных напряжениях (1 — номер реализации):

1

т{и) = -J2pi fa);

1=1

Рис. 3. Экспериментальные (значки) кривые ползучести поливинилхлоридного пластиката при переменных режимах напряжениях и расчётные по модели (23) трёхсигмовые доверительные интервалы (штриховые линии): 1 — а = 4,66; 2 — а = 6,29; 3 — а = 8,75; 4-а = 10,38; 5 — а = 6,29; 6 — а = 10,38; 7 — а = 4,66; 8 — а = 0 МПа

K (ti,tj) =

n

n — 1 '

1=1

[pi (ti) - m (ti)] [pi (tj) - m (tj)],

s(tj) = \JК

K

г (ti,tj) =

S (ti) S (tj)’

1

где m, K, S, r — математическое ожидание, корреляционный момент, среднее квадратическое отклонение, нормированный корреляционный момент (соответственно).

Оценки для математического ожидания (1) для каждой группы данных при а = const показаны на рис. 1 и 2 значками. На рис. 4 приведены результаты вычисления оценок для среднего квадратического отклонения S (2), (3), при этом хорошо виден рост величины S, который характеризует разброс деформации с увеличением напряжений. Большую информацию дают значения нормированной корреляционной функции (4) и при обработке реализаций при каждом фиксированном значении напряжения, и при использовании 17-ти реализаций для всех пяти напряжений. Вычисление r(ti,tj) производилось для различных пар, образованных следующими моментами времени (час): 0,25; 0,5; 1; 2; 4; 6; 8. В табл. 1 в качестве примера приведены результаты вычислений значений нормированной корреляционной матрицы для четырёх реализаций при а = 10,38 МПа (в формулах (1)—(4) величина п = 4), а в табл. 2 — для всех 17-ти реализаций при пяти напряжениях (п = 17). Из данных таблиц видно, что все временные сечения находятся в жёсткой корреляционной зависимости, поскольку

Рис. 4. Зависимости среднеквадратического отклонения Б от времени для серии кривых ползучести поливинилхлоридного пластиката при постоянных напряжениях: 1 — а = 6,29; 2 — а = 8,75; 3 — а = 10,38 МПа

4Т

значения r(ti,tj) отличаются от единицы лишь в третьем знаке.

Т аблица 1

Значения нормированной корреляционной матрицы для поливинилхлоридного пластиката при и

10,38 МПа

1 0,949 0,974 0,978 0,952 0,923 0,900

1 0,988 0,940 0,981 0,943 0,960

1 0,981 0,996 0,975 0,973

1 0,977 0,977 0,950

1 0,989 0,990

1 0,991

1

Особенности корреляционных связей, отмеченные в табл. 1 для а = 10,38 МПа, естественно сохраняются и для других напряжений.

Таким образом, поскольку значения корреляционной матрицы для деформации ползучести близки к единице, то это свидетельствует о подобии кривых ползучести отдельных реализаций не только для одного уровня напряжения, но и для реализаций, полученных для различных значений напряжений. Следует отметить, что аналогичный результат для полимеров был отмечен в [18].

4. Переходя к формулировке стохастических уравнений, следует указать на неединственность решения этой проблемы, причём пути обобщений здесь во многом определяются видом детерминированных уравнений ползучести, которые должны получаться из стохастических после операции осреднения. Поскольку деформация ползучести поливинилхлоридного пластиката после разгрузки полностью обратима, то естественно в качестве базовой детерминированной модели можно использовать вариант наследственной теории ползучести с экспоненциальным ядром ползучести в дифференциальной форме [19]:

Таблица 2

Значения нормированной корреляционной матрицы для поливинилхлоридного пластиката по всем напряжениям

1 0,998 0,998 0,997 0,996 0,996 0,995

1 0,999 0,999 0,999 0,998 0,998

1 0,999 0,999 0,999 0,998

1 0,999 0,999 0,999

1 1 1

1 0,999

1

p

nk (t) = Лk

k=1

а

ak ( — ) -Як (t) а

где s, Лk, ak, n, а* —постоянные материала, методика идентификации которых на основе метода последовательного выделения экспоненциальных слагаемых изложена в [ЗО].

При постоянном напряжении а = const решение (Б), (б) имеет вид:

S

p

k=1

Для того чтобы описать весь спектр реализации при постоянном напряжении в качестве стохастического аналога экспоненциального представления деформации ползучести рассмотрим выражение

где коэффициенты разложения Ак (£) являются случайными функциями времени, а Ак, п, а* —по-прежнему считаются постоянными. Таким образом, вид конкретной реализации случайной функции (8) определяется выбором совокупности реализаций случайных функций Ак (£).

Применяя к (8) операцию осреднения, получаем:

S

k=1

Поскольку равенство (9) должно описывать осреднённую кривую ползучести, величины {Ак (£)) приходится считать постоянными:

{Ак ^)) = ак.

4В

n

n

n

n

Условие (10) позволяет представить случайные функции в виде суммы одной случайной величины и одной центрированной случайной функции:

Ak (t) = Ak + Bk (t); (Ak) = ak, (Bk (t)) = 0.

Таким образом, равенство (В) можно записать так:

s

p

k=1

Теперь каждая реализация для (12) определяется выбором значений случайных величин Ак и реализаций случайных функций В к (і).

Представим деформацию ползучести р (і) в виде следующей аддитивной суммы:

p

где

p1 (t) = Ak

і — e

-Лкt

k=1

s / \n

Учитывая (9)—(11), имеем:

<Р

Из равенства (16) следует, что случайная функция (15) может рассматриваться как некоторый «шум», наложенный на случайную функцию (14). Отсюда следует, что можно так подобрать случайные величины Ак в (14), что деформация р1 (£) будет играть главную роль в сумме (13). Таким образом, роль случайной функции (15) сводится лишь к созданию некоторых случайных отклонений во времени каждой из кривых (14). С математической точки зрения это сводится к принятию гипотезы, согласно которой случайные величины Ак в (11) могут быть подобраны таким образом, чтобы

/ \ п

случайные функции В& (£) (1 — е-Л^) ( ) были эргодическими

по отношению к математическому

ожиданию:

— ) dr = 0. а

Такое представление крайне важно для моделирования процесса ползучести, при этом каждая реализация деформации строится следующим образом: производится выбор значений случайных величин Ak и получается кривая (14); затем добавляется какая-либо реализация случайной функции (15) с нулевым средним во времени значением. «Шумовая» добавка (15) относительно невелика и в ряде задач может вообще не учитываться. Более того, происхождение «шума» обусловлено, возможно, не только физическими причинами (например, дискретным характером развития деформации во времени), но и ошибками самого эксперимента (случайные колебания (допуски) температуры и напряжения в процессе испытаний), а также и погрешностями применения тех или иных теорий ползучести (см. рис. 1 и 2). Всё это не оставляет сомнений в том, что главная часть разнообразия деформационных свойств образцов находит свое отражение в выражении (14).

5. В дальнейшем ограничимся построением стохастической модели только для главного слагаемого pi (t), которое при а = const имеет вид (14).

Учитывая (8)—(10), детерминированные определяющие соотношения (5), (6) могут быть обобщены на случай стохастических уравнений для главной части деформации ползучести pi (t) в виде:

pi (t) =Ё nk (t)>

k=1

nk (t) = Лk

Ak

а

n

n

t

n

n

где Ак — случайные величины; в, Лк, п — детерминированные величины. Другими словами, для построения стохастической модели (17), (18), достаточно построить детерминированную модель (5), (6) и в ней заменить детерминированные величины а к на случайные Ак.

Для идентификации параметров 5, Лк, ак, п используются осреднённые кривые ползучести при постоянных напряжениях. Для данного материала они приведены на рис. 5 (точки) и построены на основании информации, представленной на рис. 1 и 2. Согласно методике [21, 22] сначала строится экспоненциальная аппроксимация любой из осреднённых кривых (в рассматриваемом случае это кривая при а = 8,75 МПа), а далее, исходя из подобия осреднённых кривых, строится, например, по методу наименьших квадратов, степенная зависимость от напряжения.

В итоге получено, что в (7) величина в =3, п = 1,53, а значе-Таблица 3 ния ак и Лк представлены в табл. 3.

Значения параметров модели Если обозначить

к 1 2 3

^к 30,68 1,95 0,23

ак • Ю3 25,92 10,28 23,51

K (t) = 25,92  10-3 (1 - e-30’68*) +

+ 10,28 • 10“3

то для поливинилхлоридного пластиката получена следующая двумерная аппроксимация (7) для детерминированной модели (5), (6) при а = const:

p

а

8/75

1,53

На рис. 5 сплошными линиями приведена аппроксимация осреднённых экспериментальных кривых ползучести (точки) на основании (19), (20) для пяти уравнений напряжений, при этом наблюдается хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных.

Для построения стохастической модели вновь обратимся к данным табл. 2, из которой видно, что значения нормированной корреляционной матрицы близки к единице. Отсюда следует, что все кривые ползучести при постоянных (но разных) напряжениях можно считать подобными. Поэтому соотношение (14) можно обобщить для стохастического варианта в виде

pi

а

8/75

1’53

где А — случайная величина с математическим ожиданием (А) = 1. В этом случае будет выполняться условие (р1 (£)) = р (£) (см. формулы (19)-(21)). Используя выражение (18) и минимизируя относительно неизвестного параметра А разность |р* (£) — р1 (£)| для каждой из 17 реализаций, представленных на рис. 1 и 2, определяется выборка случайной величины А, по которой можно найти все её статистические оценки (р* (£) —экспериментальные данные). Обработка полученной выборки позволила выбрать для её описания нормальный закон распределения с математическим ожиданием ша = 1,03 и среднеквадратическим отклонением Ба = 0,071.

Таким образом, стохастическая модель поливинилхлоридного пластиката имеет вид (13) и (14), где случайные величины Ак определяются равенством

Ak = A  ak (k = 1, 2, 3),

Рис. 5. Экспериментальные осреднённые кривые ползучести (точки) и их аппроксимация (сплошные линии) по формулам (19), (20): 1 — а = 4,66; 2 — а = 6,29; 3 — а = 8,75;

4- а = 10,38; 5 — а = 12,02 МПа

где А — случайная нормально распределённая величина, а ак — детерминированные параметры, значения которых приведены в табл. 3.

6. Экспериментальная проверка стохастической модели была выполнена как при постоянных, так и при переменных режимах нагружения.

При постоянных напряжениях имеем стохастическое равенство (21), и поскольку случайная величина А распределена по нормальному закону, то и случайная функция для главной части деформации ползучести р1 (Ь) также будет распределена по нормальному закону. На рис. 1 и 2 штриховыми линиями показаны доверительные трёхсигмовые интервалы (вероятность 0,9973) для деформации ползучести для всех пяти напряжений, рассчитанные по стохастической модели (19), (21).

Хорошо известно, что наиболее контрастно недостатки любой теории проявляются при ступенчатом режиме нагружения [3]. Поэтому и в данной работе были осуществлены испытания двух образцов при сложной программе нагружения, результаты которых приведены на рис. 3. Как следует из этого рисунка, ступенчатое изменение напряжения происходило в моменты Ь = {tj} = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} (час), ] = 1, 2, ..., 8. Для такого режима нагружения решение стохастической системы дифференциальных уравнений (17), (18), (22) имеет вид

N

р1

j=1

( \ 1,53

где £ € ^ = 1, 2, ..., 7; / (а) = ( ) ; К (£ — — задаётся (19); N ^ 8; tj — значения

времени, в которых напряжения претерпевают разрыв первого рода.

На рис. 3 штриховыми линиями показаны трёхсигмовые доверительные интервалы для данного режима нагружения, рассчитанные по соотношению (23).

Таким образом, и для постоянных (рис. 1 и 2), и для переменных (рис. 3) режимов нагружения наблюдается хорошее соответствие расчётных и экспериментальных данных, поскольку опытные данные попадают в соответствующие доверительные интервалы для прогнозируемой деформации ползучести.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Болотин, В. В. Прогнозирование ресурсов машин и конструкций [Текст] / В. В. Болотин. —М.: Машиностроение, 1984.-315 с.

2. Ломакин, В. А. Статистические задачи механики твёрдых деформируемых тел [Текст] / В. А. Ломакин. — М.: Наука, 1970. — 139 с.

3. Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций [Текст] / Ю. Н. Работнов. —М.: Наука, 1966. —752 с.

4. Кукса, Л. В. О законах распределения микродеформаций в двухфазных поликристаллических сплавах при простом и сложном нагружениях [Текст] / Л. В. Кукса, А. А. Лебедев, Б. И. Ковальчук // Проблемы прочности. — 1986. — № 1. — С. 7-11.

5. Богачев, И. И. Статистическое металловедение [Текст] / И. И. Богачев, А. А. Вайнштейн, С. Д. Волков. — М.: Металлургия, 1984. — 320 с.

6. Попов, Н. Н. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести [Текст] / Н. Н. Попов, Ю. П. Самарин // ПМТФ. — 1988. —№ 1. —С. 159-164. —ISSN 0869-5032.

7. Кузнецов, В. А. Ползучесть стохастически неоднородных сред в условиях плоского напряжённого состояния [Текст] / В. А. Кузнецов / Математическая физика: Сб. науч. тр. — Куйбышев: КПтИ, 1977. — С. 69-74.

8. Попов, Н. Н. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды [Текст] / Н. Н. Попов, Ю. П. Самарин // ПМТФ. — 1985. — № 2. — С. 150-155. — ISSN 0869-5032.

9. Должковой, А. А. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра [Текст] / А. А. Должковой, Н. Н. Попов, В. П. Радченко // ПМТФ. — 2006. — Т. 47, № 1. — С. 161-171. —ISSN 0869-5032.

10. Попов, Н. Н. Нелинейная стохастическая задача ползучести неоднородной плоскости с учетом поврежденности материала [Текст] / Н. Н. Попов, В. П. Радченко // ПМТФ. — 2007. — Т. 48, № 2. — С. 140-146. — ISSN 0869-5032.

11. Бадаев, А. Н. К вопросу об определении функции распределения параметров уравнения состояния ползучести [Текст] / А. Н. Бадаев // Проблемы прочности. — 1984. — № 12. — С. 22-26.

12. Радченко, В. П. Экспериментальное исследование и анализ полей неупругих микро- и макронеоднородностей сплава АД-1 [Текст] / В. П. Радченко, С. А. Дудкин, М. И. Тимофеев // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2002. — № 16. — С. 111-117. — ISBN 5-7964-0355-9.

13. Самарин, Ю. П. Основные феноменологические уравнения ползучести материалов: Дисс. . . . докт. тех. наук. — КПтИ/ Куйбышев, 1973. —289 с.

14. Самарин, Ю. П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов [Текст] / Ю. П. Самарин // Изв. АН СССР. МТТ. — 1974. — № 1. — С. 88-94.

15. Радченко, В. П. Разработка структурных и феноменологических моделей деформирования и разрушения материалов и элементов конструкций в условиях ползучести: Дисс ...докт. физ.-мат. наук. КПтИ/ Куйбышев, 1992.— 395 с.

16. Радченко, В. П. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности [Текст] / В. П. Радченко, А. В. Симонов, С. А. Дудкин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2001. — № 12. — С. 7385. — ISBN 5-7964-0229-3.

17. Радченко, В. П. Влияние ползучести на величину упругой деформации слоистого композита [Текст] / В. П. Радченко, Ю. П. Самарин // Механика композитных материалов. — 1983. — № 2. — С. 231-237.

18. Мельников, С. В. Стохастические задачи механики композитов с учетом естественного разброса свойств компонентов: Автореф. дисс ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1978. —16 с.

19. Самарин, Ю. П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. [Текст] / Ю. П. Самарин. — Куйбышев: Куйбышевский госуниверситет, 1979, — 84 с.

20. Самарин, Ю. П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых [Текст] / Ю. П. Самарин // Проблемы прочности. — 1974. — № 9. — С. 2427.

21. Расчётные и расчётно-экспериментальные методы определения несущей способности и долговечности элементов машин и конструкций. Расчётно-экспериментальный метод определения параметров ползучести и длительной прочности при одноосном нагружении в условиях нестационарного нагружения [Текст]: Методические рекомендации (!-я редакция). — М.: Госстандарт, 1982. —С. 39-47.

22. Радченко, В. П. Разработка автоматизированной системы построения моделей неупругого деформирования металлов на основе методов непараметрического выравнивания экспериментальных данных [Текст] / В. П. Радченко, А. В. Симонов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 1999.—№ 7.—С. 51-63.—ISBN 5-79640092-4.

Самарский государственный технический университет, г. Самара Поступила 13.12.2007

га^ЬЗваг^^Ьи. ги

V. P. Radchenko, E. P. Goludin

PHENOMENOLOGICAL STOCHASTIC ISOTHERMAL CREEP MODEL FOR AN POLIVINYLCHLORIDE ELASTRON

The statistical analysis of experimental data on creep polyvinylchloride elastron is executed at T = 24 °C. The stochastic uniaxial creep model is offered and the substantiation of some the hypotheses used at model’s construction on the basis data’s experimental is lead. Check of adequacy of the stochastic equations to experimental data is executed. Conformity of data’s calculation and skilled data is observed.

Samara State Technical University, Russia radch@samgtu.ru

Received 13.12.2007