О моделировании дискретно"=слоистого покрытия упругого шара радиально"=неоднородным слоем в задаче рассеяния звука

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 170-177

Механика =

УДК 539.3:534.26

О моделировании дискретно-слоистого покрытия упругого шара радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния

звука *

Л. А. Толоконников, И. М. Свечников

Аннотация. Определены законы неоднородности непрерывно-неоднородного слоя, аппроксимирующего дискретно-слоистое покрытие упругого шара. На основе аналитического решения задачи о рассеянии плоской звуковой волны однородным упругим шаром с радиально-неоднородным покрытием проведены численные расчеты диаграмм направленности рассеянного поля.

Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий шар, неоднородное упругое покрытие.

Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью неоднородных покрытий. Технически наиболее просто создать дискретно-неоднородные покрытия в виде системы однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров (плотности и упругих постоянных). Однако в ряде случаев, например, при решении обратных задач многослойное покрытие удобнее моделировать с помощью покрытия в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя с соответствующими законами неоднородности. Такое представление эквивалентно аппроксимации кусочно-постоянных функций, описывающих механические параметры однородных слоев, непрерывными функциями, характеризующими переменные параметры неоднородного слоя.

Исследование звукоотражающих свойств тел разной формы с непрерывно-неоднородными покрытиями проведено в работах [1-14]. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием изучено в [15]. Моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука проведено в [16]. Расчеты частотных характеристик и диаграмм на-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

правленности рассеянного акустического поля показали хорошее совпадение для дискретно-неоднородного и радиально-неоднородного покрытий.

В настоящей работе оценивается возможность моделирования покрытия упругого шара, состоящего из системы однородных упругих слоев, непрерывно-неоднородным покрытием.

Рассмотрим однородный изотропный упругий шар радиуса r0, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и jo. Шар имеет покрытие в виде системы N тонких коаксиальных сферических слоев радиусов rj (j = 1,2,...,N). Каждый j-й однородный изотропный упругий слой имеет плотность pj и модули упругости Aj и jj. Окружающая тело жидкость является идеальной с равновесной плотностью р и скоростью звука с.

Из внешнего пространства на шар падает плоская звуковая волна. Свяжем с шаром сферическую систему координат r, 9, ф. Без ограничения общности будем полагать, что волна распространяется в направлении 9 = 0. Тогда в сферической системе координат потенциал скоростей падающей волны запишется в виде

Ф0 = A0 exp[i(kr cos 9 — ut)],

где Ао — амплитуда волны, k = и/с — волновое число в окружающей жидкости, и — круговая частота, t — время. В дальнейшем временной множитель е-гшt будем опускать.

Пусть для определенности дискретно-слоистое покрытие состоит из семи слоев (N = 7), толщины и расположение которых представлены на рис. 1. Буквами обозначены виды материалов шара и сферических слоев. Физико-механические характеристики материалов приведены в таблице. А, Б, В, Г, Д — металлы, Е — полимер. Полагаем, что тело находится в воде (р = 103 кг/м3, с = 1485 м/с). Радиус шара ro = 1. Отношение внешнего и внутреннего радиусов покрытия r7/r0 = 1.2.

Рис. 1. Геометрия задачи

Таблица

Физико-механические характеристики материалов

Материал р, кг/м3 А, Н/м'2 х 10ш /х, Н/м* х 10ш

Алюминий (А) 2700 5.3 2.6

Медь (Б) 8900 9.5 4.1

Сталь (В) 7850 12.0 7.9

Никель (Г) 7800 10.4 8.2

Цинк (Д) 7150 4.8 4.8

Поливинилбутираль(Е) 1070 0.39 0.098

Аппроксимируем дискретно-неоднородное покрытие, составленное из системы однородных упругих слоев, радиально-неоднородным слоем, имеющим плотность р(г) и модули упругости Л (г), /¿(г). При этом модули упругости А (г) и /х(г) материала неоднородного цилиндрического слоя должны являться дифференцируемыми функциями сферической радиальной координаты г, а плотность р(г) — непрерывной функцией координаты г, так как при этих предположениях получено аналитическое решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны упругим шаром с непрерывно-неоднородным покрытием [8].

С помощью регрессионного анализа, используя данные таблицы, были найдены следующие наилучшие теоретические функции:

р(г) = -513329г2 + 1099218г - 579048,

А (г) = (-55095г2 + 115908г - 59811)108

/х(г) = (-32682г2 + 69176г - 35908)108.

Графики функций, аппроксимирующих эмпирические данные, приведены на рис. 2-4.

Рис. 2. Закон изменения плотности р по толщине покрытия

Рис. 3. Закон изменения А по толщине покрытия

Рис. 4. Закон изменения /х по толщине покрытия

При построении теоретических кривых на отрезке аппроксимации [1,1.2] была введена сетка

X1<X2<X3<X4<X5<X6< ГС7,

где XI = ——Гг-1 (г = 1,2,...,7.), то есть узлы Х{ являются усреднен-

ными значениями границ слоев (х\ = 1.01, Х2 = 1.04, х% = 1.075, хд = = 1.095, хъ = 1.12, = 1.16, х7 = 1.19).

Определив законы неоднородности упругого слоя, моделирующего покрытие с многослойной системой, можем исследовать акустическое поле, рассеянное шаром, воспользовавшись результатами работы [8].

Потенциал скоростей акустического поля, рассеянного упругим шаром с радиально-неоднородным покрытием, определяется выражением

те

= £ Anhn(kr)Pn(cos в),

n=0

где hn(x) — сферическая функция Ганкеля первого рода порядка n, Pn(cos в) — многочлен Лежандра степени n, An — коэффициенты разложения, определяемые в [8].

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическое представление сферических функций Ганкеля при больших значениях

gikr

аргумента (kr >> 1) [17] hn(kr) ~ (-i)n+1 ——, получаем

kr

Ф5 = 20 exp(ikr)F(в), 21

где

2

F (в) = — £ (-i)n+1AnPn(cos в).

kr0 „ n=0

Были проведены расчеты амплитуды рассеяния \F(в)| для радиально-неоднородного покрытия с найденными выше законами неоднородности. Полагалось, что падающая волна имеет единичную амплитуду.

На рис. 5-7 представлены зависимости амплитуды рассеяния \F(в)\ от полярного угла в при различных значениях волнового размера тела (krj = 1, krj = 5 и krj = 7). На лучах диаграмм отложены значения безразмерной амплитуды рассеяния \ F\ , вычисленной для соответствующих значений полярного угла в (0° ^ в ^ 180°). Стрелкой показано направление распространения падающей плоской волны.

Рис.

5. Диаграмма направленности при krj = 1

60'

Рис. 6. Диаграмма направленности при кгт = 5

60'

Рис. 7. Диаграмма направленности при кг7 = 7

Таким образом, представляется возможным моделирование покрытия упругого шара, состоящего из системы однородных слоев, непрерывно-неоднородным сферическим слоем.

Список литературы

1. Толоконников Л.А., Юдачев В.В. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 219-226.

2. Скобельцын С.А. Рассеяние звуковых волн конечной упругой криволинейной пластиной с неоднородным покрытием и полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 93-101.

3. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

4. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

5. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 4. С. 102-109.

6. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 74-86.

7. Ларин Н.В. Рассеяние звука упругой цилиндрической оболочкой с неоднородным покрытием и неконцентрической эллиптической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 146-163.

8. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519-526.

9. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки.

2014. Вып. 2. С. 181-193.

10. Толоконников Л.А., Родионова Г.А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131-137.

11. Толоконников Л.А Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 43-53.

12. Толоконников Л.А Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 76-83.

13. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика.

2015. Т. 79. Вып. 5. С. 663-673.

14. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неоднородным покрытием в присутствии подстилающей поверхности // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 64-75.

15. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.

16. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 194-202.

17. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.; Л.: Физматгиз, 1963. 358 с.

Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Свечников Илья Михайлович (statistik@bk.ru), магистрант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

About modelling of a discrete-layered coating of the elastic sphere by a radially non-uniform layer in a sound scattering

problem

L.A. Tolokonnikov, I.M. Svechnikov

Abstract. Inhomogeneity laws for a continuous non-uniform layer which approximates discrete-layered coating of elastic sphere are defined. Based on an analytic solution to the problem of scattering plane sound wave by the homogeneous elastic sphere with a radially non-uniform coating, numerical calculations of directional diagrammes of scattering field are carried out.

Keywords: scattering, sound waves, elastic sphere, non-uniform elastic coating.

Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Svechnikov Ilya (statistik@bk.ru), undergraduate, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 01.10.2015