Методы определения и оценки структурных сдвигов в эконометрических моделях

УДК 338.27

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОЦЕНКИ СТРУКТУРНЫХ СДВИГОВ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

Е.Ю. Преображенская

В работе содержится обзор современных методов обнаружения и оценивания структурных сдвигов в эконометрических моделях. Приведена непараметрическая постановки задачи обнаружения структурных сдвигов, а также основные теоретические результаты, полученные в рамках этой постановки. Экспериментальное тестирование метода преследует цель анализа эффективности обнаружения и оценивания структурных сдвигов. Рассматриваются некоторые применения исследуемого метода в реальных задачах эконометрического моделирования.

Ключевые слова: структурные сдвиги, единичные корни, непараметрический

метод.

1. Введение

В течение последних трех десятилетий произошли существенные изменения в методах оценивания нестационарных эконометрических моделей. Из результатов [13, стр. 73-82] известно об опасности принятия процесса типа 1(1) за процесс типа 1(0) и применения к нему обычных процедур метода наименьших квадратов. Если применять к нестационарным рядам обычные формулы регрессионного анализа, то это приводит к так называемой «кажущейся регрессии», т.е. получается некий статистический артефакт вместо эконометрической модели.

Одной из целей данной работы является обзор методов статистического анализа нестационарных эконометрических моделей, в частности моделей с единичными корнями и структурными сдвигами.

Тесты на наличие единичного корня при возможном наличии структурного сдвига

При рассмотрении классов моделей, которые содержат структурные изменения параметров, время структурного сдвига может быть, как известным (экзогенный сдвиг) так и не известным (эндогенный сдвиг). [11] показали, что если в нулевую гипотезу о наличии единичного корня теста Дикки - Фуллера ввести структурный сдвиг, то возникают некоторые трудности при проведении данного теста. А именно, в случае, если случайный процесс является интегрированным первого порядка со структурным сдвигом, то нулевая гипотеза при использовании теста Дикки - Фул-лера довольно часто отвергается в пользу альтернативной о том, что процесс является стационарным вокруг сегментированного тренда, приводя к заключению о кажущейся стационарности. В работе [17, стр. 13611401] предложен тест, в котором была учтена нестационарность такого типа, точнее то обстоятельство, что случайный процесс может быть стацио-

нарным около детерминированного тренда с экзогенным структурным сдвигом. Перрон рассмотрел три типа моделей, которые соответствуют трем различным типам структурного сдвига:

1. Изменение свободного члена скачком в некоторый момент времени;

2. Излом наклона линии тренда;

3. Общий случай, когда происходят оба изменения.

Слабым местом подхода Перрона является предположение о том, структурный сдвиг задан экзогенно, т.е. время сдвига в тестах такого типа выбирается исследователем исходя из содержательных представлений о динамике конкретной экономической системы. Это обстоятельство является недостатком такого рода моделей, поскольку структурный сдвиг не обязан совпадать со временем шока, т.е. может иметь место некий лаг между шоком и предполагаемым структурным сдвигом. В продолжение данного направления исследования, [21, стр. 251-270] показано, что момент структурного сдвига не может быть предопределен заранее. Они предложили обобщение подхода Перрона на случай эндогенного структурного сдвига, т.е. структурного сдвига, момент которого оценивается совместно с оценкой коэффициентов модели. Авторы разработали последовательный тест на наличие единичного корня (нулевая гипотеза) против альтернативной гипотезы о том, что временной ряд является стационарным около тренда с эндогенным структурным сдвигом, и определили критические значения тестовой статистики. [12, стр. 212-218] расширен тест Эндрюса - Зивота на случай двух эндогенных структурных сдвигов. В работах [15, стр. 435448], [6, стр. 559-575], а также [20, стр. 1073-1100], [10, стр. 535-558] доказано, что если шумовая компонента содержит единичный корень и структурный сдвиг присутствует в тренде функции, то тестовые статистики Эндрюса - Зивота не являются инвариантными к параметрам сдвига. Однако, несмотря на этот недостаток, метод Зивота Эндрюса остается популярным при проведении эмпирических работ, отчасти, по причине отсутствия надежных статистических методов, которые могли бы решить проблему учета структурных сдвигов в тренде функции, происходящих в неизвестные моменты времени. На основе использования достижений в области тестирования структурных сдвигов, связанных с нестационарностью данных, [8, стр. 1-13] создали методологию для разработки новых тестовых процедур, которые предусматривают эндогенный структурный сдвиг в тренде функции в рамках нулевой и альтернативной гипотез. В работе [9, стр. 27-43] были расширены полученные ранее результаты по нескольким направлениям. В частности,

1. Допускается произвольное количество структурных сдвигов тренде функции.

2. Используется квазиобобщенный метод наименьших квадратов, в результате чего, тесты имеют локальную асимптотическую мощность функции близкую к локальной асимптотической гауссовской мощности.

Модели временных рядов со структурными сдвигами

Во-первых, такие модели дают возможность выявить статистически значимые изменения динамики экономических показателей во времени: смены периодов падения периодами роста или стагнации, изменений темпов роста или падения и т.д. То есть, данные модели определяют моменты времени и направления структурных сдвигов, в том числе и в случаях, когда точный момент структурного сдвига неизвестен и выявляют устойчивые долгосрочные тенденции.

Во-вторых, проблема наличия структурных сдвигов во временных рядах тесно связана с проблемой нестационарности временных рядов. Как показано в работе [14, стр. 47-63] большинство макроэкономических рядов являются нестационарными (13 из 14 основных макроэкономических рядов США, рассмотренных за столетний период, не являются слабо стационарными). В этой связи естественным образом встает вопрос о том, как лучше моделировать нестационарную компоненту случайного процесса.

На сегодняшний день проблема структурных сдвигов остается недостаточно разработанной. Наиболее слабым звеном в эконометрических исследованиях является отсутствие надежного научного аппарата, что не позволяет эффективно различать нестационарности экономических временных рядов. Мало изучен механизм осуществления структурных сдвигов, представляющий собой сложную совокупность различных факторов и являющийся внутренним источником развития экономической структуры. Так же одной из важных практических задач в эконометрическом моделировании является проверка адекватности моделей в реальном времени, т. е. оперативное обнаружение моментов изменения набора регрессионных коэффициентов, параметров функциональных зависимостей.

2. Постановка задачи. Непараметрические методы

Проведенный обзор современных исследований в области статистического анализа нестационарных моделей временных рядов с единичным корнем и(или) структурным сдвигом позволяет сформулировать следующую общую постановку задачи обнаружения структурных сдвигов в эконометрических зависимостях регрессионного и коинтеграционного типа.

I. Пусть модель наблюдений имеет следующий вид:

Уп = с±х1п + - + скхкп + п = 1,..., N

где - случайная последовательность «шумов» в зависимой переменной Уп; с= (с1, скУ - вектор неизвестных коэффициентов в модели (1), описывающийся кусочно-постоянной функцией:

С = Ш1 Щхт-хЩ <п< [0^])

где 61 - неизвестные параметры структурных сдвигов в модели (1), Хп = (х1п,...,хкп)* - случайный вектор предикторов в (1).

Практически важные приложения рассматриваемой модели включают класс моделей

- авторегрессии уп = с0 + с1уп_1 + - + скуп_к + ;

- авторегрессии скользящего среднего

Уп — с1уп-1 + \- Скуп_к + йгип_А + \- йнип_н_А+1 + , где Л - запаздывание; ип - вход; уп - выход некоторой системы в момент п.

- многофакторные регрессионные и коинтеграционные модели вида:

Уп = С1уп~1 + - + Скуп-к + 1%! ¿цХ^П - ]) + , где т,к,11 > 1, предикторы X; могут порождаться стационарными процессами авторегрессии скользящего среднего и процессами с единичным корнем.

Задача состоит в оценке параметров / = 1, ..., т структурных сдвигов в модели (1) по наблюдениям (уп, х1п,хкп), п= 1, ..., Ы; коэффициенты с(п) = (с1(п), ...,ск(п))* предполагаются неизвестными.

II. Другой класс моделей описывается системами одновременных эконометрических уравнений вида: Вуг + Гх1: = £г

где уг = (у1С, ...,утс)' - вектор эндогенных переменных; хг = (х1С, ...,хк1)' - вектор предетерминированных переменных; £г = (£1С, ...,£тс)' - вектор случайных статистически зависимых ошибок; В - матрица тхт; Г - матрица тхк.

Структурная форма (3) может быть записана в следующей приведенной форме: уг = -В_1Гхс + В_1£с = Пд:с + .

Под структурными сдвигами понимаются резкие изменения в коэффициентах матрицы П. Предикторы хъ предполагаются детерминированными или стохастическими.

2.1. Априорные неравенства

На вероятностном пространстве (й,Т,Рд) рассмотрим последовательность независимых случайных величин х1,.,хы со следующей плот-

Г/о(*п,£), 1 <П<№],

ностью распределения: /(хп) = < . .

(/1 (хп,, №]<п<Ы,

1 >6 > 0 - неизвестный параметр структурного сдвига; /0 (х, £) Ф ДСх, О в некоторой окрестности £ е Г(и) и функции /О(0 — £о1п(/о(*> О/ ДСх, £)) и (С) = Е11п(/1(х, t)//o(x, £)) существуют и непрерывны.

Теорема 1. Для каждого 1>0>ОиО<£<0Л(1 — в):

в+£ в

ИтМЫ'11п inf Рв{\вм-в\ > е] > -min( I I

N впеМп ) )

в в-е

Мм - класс всех оценок вм параметра в, построенных по выборке X = {х±,..., хм].

Теорема 1 обобщается на случай нескольких структурных сдвигов в последовательности независимых наблюдений с плотностью распределения /(xn) = ft aei_1N] <n< [0ftf]), n = 1.....N, i = 1.....P + 1.

Теорема 2 (О множественных структурных сдвигах). Для каждого 0 <£ <5,

liminfN-1 Ininf sup Ри{{р Ф р} U {(р = р) П i max löj — #¿1 > £ j >

N MN Dp

> -min1<i<pmin(/0e.i+£yi-1(T)dT, /ее.1_еЛ(т)^т).

где p - оценка числа структурных сдвигов р в выборке, в = ...,6р) -оценки координат моментов структурных сдвигов, - класс всех оценок структурных сдвигов в, Dp(6) - множество всех моментов структурных сдвигов в = ...,6V), разделенных параметром 5, min — >

S > 0, информационные количества Кульбака /¿(t) = £"jln(/j(x, t)/ /¿_1(x,t)) и yi_1(t) = £'i_1ln(/i_1(x,t)//i(x,t)), i = 1,...,p, существуют и непрерывны по 0 <t < 1.

2.2. Асимптотически оптимальные методы

1. Детерминированный регрессионный план. Для оценки момента структурного сдвига используется следующая статистика: yN

где z(n1,n2) = F(i/N)y'i - (kxm) матрица; s

= F (£) 1 < n2 <

произвольная точка n множества arg тахх<п<^УУ^(п)У принимается в качестве оценки параметра структурного сдвига; и^ = n/N - оценка параметра структурного сдвига.

Теорема 3 (сильная состоятельность и асимптотическая оптимальность оценки в). Оценка 6N сходится к параметру структурного сдвига в. Для каждого конечного N выполнено неравенство:

SUpPe{\§N-e\ >£}

и£0

(

exp

< Ш0

(i^)) tr((tt " ЪУ{а ~ b)D)) ' С(£) > 37 exp ( - (л Ne , tr2((a - Ь)'(я - ft)D)|,СО) < дТ

\4дтп0

где постоянная матрица В положительно определена, СО) = е£г((а — Ь)'(а-Ь)Д).

Следствие 4. Пусть С - порог принятия решения о наличии структурного сдвига, мера Р0 соответствует статистически однородной выбор-

ке, мера Рд - выборке с параметром структурного сдвига 0 6 0. Тогда для конечного объема выборки Ы:

- оценка вероятности ошибки первого рода:

Р0{тах|У^

ехр

\ \4т0

), С>дТ

п

С <дТ

- оценка вероятности ошибки второго рода: Ри{тах|У^(п)| < С}

п

< Ш0(Ю

ехр

-(5£Усг((а-ь),(а-ь)0))' с(а)>аТ

к4т0(й) N6} \

ехР I " I «5)) ^ "«'(«"»« I, С№ <

Вероятности ошибок первого и второго рода экспоненциально стремятся к нулю при N

2. Стохастический регрессионный план. Пусть предикторы х(п) являются 1(0) стационарными. Для оценивания момента структурного сдвига используется следующая статистика:

ум = ы-\и(1,п) - тдт/г^а т

где и(п1,п2) = , ^п? = ЪЦп^Ш'Ш 1<п1<п2<Ы.

Теорема 4 (сильная состоятельность оценки вы). Оценка параметра структурного сдвига сходится к его истинному значению в. Для каждого конечного N выполнено неравенство:

060

< Ш0

ехр

ехр

/ Ые2 \

3. Множественные структурные сдвиги. Предложен следующий метод обнаружения и оценивания множественных структурных сдвигов:

1). По выборке данных в диапазоне [1, построить статистику Ум(п) = Ы~1(г(1,п) - ^(^"^(^М)). Если тахп||£л(п)|| > С (где С = С(_Ы) - порог принятия решения), вычислить точку птах = агдтахЦ1и(п)Ц, в противном случае выборка считается статистически однородной.

2). По выборке данных в диапазоне [1,..., птах] построить статистику Ум(п) = Ы~1(г(1,п) - при N = птах. Цикл по-

вторяется до тех пор, пока не будет получена однородная выборка в диапазоне [1, ...,птах]. Тогда принимаем п1 = птах в качестве оценки момента структурного сдвига и перейти к шагу 3.

3). По выборке данных в диапазоне [п1,..., N] построить статистику — N_1(z(1, п) — N)). Повторять цикл до тех пор, пока

не будет получена однородная выборка в диапазоне [п1, ..., N].

4). Точки пг = n1(1),n2 = п1(п1),... принимаются в качестве оценок истинных моментов структурных сдвигов [и^],..., [ирЩ; порог принятия решения C(N) = Const//¡N', где Const калибруется на основе экспериментов с исходной однородной выборкой данных.

3. Имитационное моделирование

3.1. Детерминированный регрессионный план: yt = с0 + c^Xj +

Ы = 1.....N.

1. Оценка пороговых границ для статистически однородных выборок (с0 = 0,с1 = 1):

N 100 200 300 400 500 700 1000 1200

p=0.95 0.401 0.257 0.202 0.182 0.150 0.125 0.103 0.081

p=0.99 0.450 0.300 0.247 0.211 0.187 0.162 0.138 0.102

2. Оценка параметров структурных сдвигов (до разладки с0 = 0, с± = 1, после разладки с0 = д, с± = 1) в = 0. 30:

N 300 400 500 700 1000

S = 0.3 C 0.179 0.177 0.168 0.157 0.151

wN 0.64 0.55 0.33 0.13 0.03

BN 0.340 0.322 0.332 0.324 0.307

6 = 0.4 C 0.220 0.211 0.208 0.195 0.192

wN 0.28 0.24 0.11 0.02 0.005

oN 0.315 0.312 0.308 0.305 0.304

в = 0.50:

N 300 400 500 700 1000

S = 0.3 C 0.194 0.184 0.175 0.168 0.164

wN 0.62 0.50 0.25 0.05 0.01

BN 0.456 0.485 0.501 0.502 0.499

6 = 0.4 C 0.231 0.221 0.215 0.214 0.211

wN 0.26 0.22 0.003 0.02 0

oN 0.495 0.495 0.489 0.501 0.499

3.2. Стохастический регрессионный план: у^ = с0 + с-^х^ + о^, 1 =

1. Оценка пороговых границ для статистически однородных последовательностей (с0 = 0, с± = 1):

N 100 200 300 400 500 700 1000 1200

р=0.95 0.355 0.291 0.230 0.188 0.150 0.132 0.103 0.082

р=0.99 0.401 0.332 0.273 0.218 0.192 0.171 0.141 0.100

2. Оценка параметра структурного сдвига (до разладки с0 = 0, с^ = 1, после разладки с0 = 0, с± = 1.3):

N 500 700 1000 1200

5 = 0.3 С 0.167 0.157 0.152 0.152

% 0.32 0.21 0.02 0

0.481 0.495 0.498 0.499

6 = 0.4 С 0.156 0.148 0.142 0.140

% 0.45 0.30 0.03 0

вИ 0.312 0.310 0.308 0.301

3.3. Множественные структурные сдвиги в системе одновременных уравнений:

У1 = С0 + C1y¿_1 + с2г1_1 + с3Х; + е^; = + б,1у1 + &2 XI + о^ Х1 — 0.5Х^_1 + х;

= 0.3е^_! + з;,

Динамика этой системы характеризуется вектором коэффициентов: и = [c0;c1;c2;cз;d0;d1;d2]. Исходная стационарная динамика: [0.1; 0.5; 0.3; 0.7; 0.2; 0.4; 0.6]; первый структурный сдвиг происходит в момент времени вг = 0.3 и и= [0.1; 0.5; 0; 0.7; 0.2; 0.4; 0.6]; второй структурный сдвиг - в2 = 0.7 и и= [0.1; 0.5; 0; 0.7; 0.2; 0.4; 0.9].

1. Оценка порога С для статистически однородных последовательностей:

N 200 400 500 700 900 1000 1200 1500

р=0.95 0.28 0.20 0.19 0.18 0.16 0.15 0.145 0.14

р=0.99 0.36 0.33 0.28 0.24 0.23 0.21 0.19 0.17

2. Оценка параметров структурных сдвигов (р = 2, 0Х = 0.3, 02 = 0.7):

N 200 400 500 700 900 1000 1200 1500

w 0.96 0.54 0.39 0.21 0.04 0.03 0.02 0.01

Л 0.02 0.05 0.04 0.02 0.03 0.02 0.01 0.005

4. Практические применения

Рассматриваются следующая макроэкономическая зависимость в российской экономике: модель инфляции на потребительском рынке.

4.1. Модель инфляции на потребительском рынке. Для построения модели была использована выборка квартальных данных за период 1995(1) - 2014(2). Регрессионная модель для показателя «темп инфляции на потребительском рынке» содержит следующий набор предикторов:

- Pi = loo _ 1 - темп инфляции на потребительском рынке;

• -1 PI0LP 1 а

- pioilp = — 1 темп роста цен на бензин;

- eps = Е — 1 темп изменения обменного курса доллара;

Е{-1)

• , PIEL

- piel = — 1темп изменения цен на электроэнергию, газ и воду

для конечных потребителей;

- Seas - сезонная дамми - переменная.

Было проверено, что все переменные имеют порядок 1(0) и, следовательно, для построения модели можно использовать методологию линейного регрессионного анализа. Полученная регрессионная модель имеет следующий вид:

р/ = 0.0034 + 0.2924eps + 0.4107piel + 0.0951pioilp - 0.0242Seas - 0.0240Seas

Показатели качества зависимости: R2 = 0.87; DW = 1.72 - свидетельствуют о ее приемлемом качестве.

Фактор eps - темп изменения обменного курса доллара - является, по существу, монетарным фактором. Факторы piel, pioilp отражают воздействие немонетарных шоков на динамику инфляции на потребительском рынке по факторам piel, pioilp.

Для анализа структурных сдвигов использовался предложенный в работе метод. В результате были выявлены следующие моменты структурных сдвигов:

п1 = 19 - кризис на рынке межбанковских кредитов в России (август 1995 г.);

п2 = 57 - макроэкономический и финансовый кризис в России (сентябрь 1998 г.);

п3 = 82 - переход к политике сдерживания инфляции посредством ограничения темпов роста курса доллара и тарифов естественных монополий (ноябрь 2000 г.);

п4 = 115 - начало «нефтяного бума» (июль 2003 г.).

Таким образом, предложенный метод позволяет выявлять моменты структурных сдвигов в регрессионной модели, которые допускают содержательную экономическую интерпретацию.

7. Выводы

1. Предложенный метод обнаружения структурных сдвигов является более робастным в отношении возможных ошибок.

2. Установленные априорные границы снизу для вероятности ошибки оценивания параметра структурного сдвига позволяют утверждать, что оптимальная скорость сходимости оценок к истинному значению является экспоненциальной по объему выборки данных.

3. Установлена асимптотическая оптимальность предложенных методов.

4. Предложенные методы могут быть использованы для решения актуальных практических задач - повышения качества эконометрического моделирования.

Список литературы

1. Dickey D.A., Fuller W.A. (1979) Distributions of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of American statistical association, 74, 427 - 481.

2. Dickey D.A., Fuller W.A. (1981) Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root. Econometrica, 49, 1057 - 1072.

3. Dickey D.A., Pantula S.G. (1987) Determining the order of differencing in autoregressive processes. Journal of business and economic statistic, 5, 455 - 461.

4. Diebold F.X., Nerlove M. (1990). Unit roots in economic time series: A selective survey. Advances in econometrics, 8, 3 - 69.

5. Dolado J.J., Jenkinson T., Sosvilla - Rivero S. (1990). Cointegration and unit roots. Journal of economic survey, 4, 249 - 273.

6. Harvey D.I., Leybourne S.J., Newbold P. (2001). Innovational outlier unit root tests with an endogeneously determined break in level. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 63, 559 - 575.

7. Johnston, DiNardo J. (1977) Econometric methods. Fourth edition.

8. Kim D., Perron P. (2007). Unit root tests allowing for a break in the trend function under both the null and alternative hypotheses. Journal of Econometrics. 148, 1 - 13.

9. Kim D., Perron P. (2009) Unit root tests allowing for a break in the trend function under both the null and alternative hypotheses. Forthcoming in Journal of Econometrics, 35, 27 - 43.

10. Lee J., Strazicich M.C. (2001). Break point estimation and spurious rejections with endogenous unit root tests. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 63, 535 - 558.

11. Leybourne S.J., Mills T.C., Newbold P. (1998) Spurious rejections by Dickey - Fuller tests in the presence of a break under the null. [Electronic resource]. - Mode access: http://www.upo.es/RevMetCuant/art34.pdf

12. Lumsdaine R.L., Papell D.H. (1997). Multiple trend breaks and the unit root hypothesis. Review of economics and statistics, 79, 212 - 218.

13. Nelson C.R., Kang H. (1984) Pitfalls in the use of time as an explanatory variable in regression. Journal of business and economic statistics, 2, 73 -82.

14. Nelson C., Plosser C (1982). Trends and random Walks in Macroe-conomic Time Series: Some Evidence and Implications. J. of Monetary Econ., 10.

15. Nunes L.C., Newbold P., Kuan C.M. (1997). Testing for unit root with breaks: evidence on the great crash and the unit root hypothesis reconsidered. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 59, 435 - 448.

16. Patterson K. (2000). An introduction to applied econometrics: A time series approach. Palgrave.

17. Perron P. (1989a). The great crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis. Econometrica, 57, 1361 - 1401.

18. Said S.T., Dickey D.A. (1984) Testing for unit roots in autoregressive moving - average models with unknown order. Biometrica, 71, 599 - 607.

19. Schwert G.W. (1987). Effects of model specification on tests for unit roots in macroeconomic data. Journal of monetary economics, 20, 73 - 105.

20. Vogelsang T.J., Perron P. (1998). Additional tests for a unit root allowing for a break in the trend function at an unknown time. International Economic Review, 39, 1073 - 1100.

21. Zivot E., Andrews K. (1992). Further evidence on the great crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis. Journal of business and economic statistics, 10, 251 - 270.

Преображенская Евгения Юрьевна, аспирант ЦЭМИ РАН, риск - аналитик Управления по внедрению стандартов Базель II Альфа-Банка, Россия, Москва, ЦЭМИ РАН

METHODS OF DETECTION AND ESTIMATION STRUCTURAL CHANGES

IN ECONOMETRIC MODELS

E.Y. Preobrazhenskaya

The research contains the review of modern methods of detection and estimating structural changes in econometric models. There is parametric formulation of the problem of the detection of structural changes and main theoretical results was obtained in those formulation in the article. The aim of the simulation modeling is analysis efficiency of detecting and estimating structural changes. Some applications of the method in real tasks econometric modeling were considered.

Keywords: structural change, unit root, non-parametric method.

Preobrazhenskaya Evgeniya Iurievna, postgraduate CEMIRAS, risk - analyst Basel II Division Alfa-Bank, Russia, Moscow, CEMI RAS