Условия возникновения отрицательной рефракции света в фотонных кристаллах

УДК 535.326

Е. И. БАРЫКИНА, Р. А. БРАЖЕ

УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ РЕФРАКЦИИ СВЕТА В ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ

Рассмотрены условия возникновения явления отрицательной рефракции света в фотонных кристаллах.

Ключевые слова: отрицательная рефракция, фотонные кристаллы.

Фотонные кристаллы - это материалы, структура которых характеризуется периодическим изменением показателя преломления в I, 2-х или 3-х пространственных направлениях [1]. Период чередования слоев с различным

показателем преломления обычно соответствует условию брэгговской дифракции света, т. е. соизмерим с длиной световой волны. Благодаря этой периодичности в фотонных кристаллах существуют разрешённые и запрещённые зоны для энергии фотонов, аналогичные разрешённым и запрещённым зонам для энергии свободных носителей заряда в проводниках, диэлектриках и полупроводниках. Поэтому в зависимости от ширины оптической запрещённой зоны фотонные кристаллы можно разделить на оптические проводники, оптические диэлектрики, оптические полупроводники и оптические сверхпроводники - материалы, в которых благодаря коллективным явлениям фотоны могут распространяться практически на неограниченные расстояния. Различают одномерные фотонные кристаллы, в которых показатель преломления периодически изменяется в одном пространственном направлении, двумерные и трёхмерные фотонные кристаллы.

Возникновение запрещённых зон в фотонных кристаллах обычно объясняется [1] тем, что пучности интенсивности электрического поля низкочастотных стоячих электромагнитных волн концентрируются в областях с большим показателем преломления, а пучности высокочастотных стоячих волн - в областях с меньшим показателем преломления. Число запрещённых зон, их положения в спектре и ширина зависят от размера областей с разным показателем преломления, величины этих показателей, а также симметрии созданной кристаллической решётки. Используя нелинейные эффекты, показатели преломления можно изменять посредством внешних полей [2], перестраивая

Е. И. Барыкина, Р. А. Браже, 2009

ширину запрещённых зон и изменяя оптические свойства фотонных кристаллов.

Существует несколько основных способов изготовления фотонных кристаллов:

- самосборка из коллоидных частиц (главным образом, монодисперсных силиконовых или полистереновых) [3];

- травление методами фотолитографии и электронно-лучевой литографии [4];

- голографические методы, основанные на многолучевой интерференции лазерных лучей с записью пространственно-периодической структуры изменений показателя преломления в фоточувствительных материалах [5];

- ионно-лучевая литография [6], преимущество которой по сравнению с электроннолучевой литографией состоит в том, что фоторезист более чувствителен к ионному пучку, чем к пучку электронов, и, кроме того, здесь отсутствует «эффект близости», ограничивающий минимальный размер области травления.

Отрицательная рефракция электромагнит-ных волн возникает в средах с дисперсией электрических и магнитных свойств. В определённом частотном диапазоне диэлектрическая и магнитная проницаемости принимают одновременно отрицательные значения е < 0 и //<0, в среде возникает так называемая

обратная волна или волна, в которой фазовая и групповая скорости направлены противоположно [7]. В фотонных кристаллах эффект отрицательной рефракции возникает исключительно благодаря их периодичности, при этом в них отсутствуют магнитные свойства (р = I).

Кроме того, в фотонных кристаллах отрицательная рефракция напрямую не связана с существованием обратных волн. Возможна отрицательная рефракция без обратных волн, равно как и обратные волны без отрицательной рефракции [8].

С физической точки зрения рефракция электромагнитных волн в фотонных кристаллах аналогична дифракции рентгеновского излучения в обычных кристаллах [9]. Проще всего это пояснить на примере одномерного фотонного кристалла с периодически чередующимися слоями, имеющими разный показатель преломления (аналоги атомных слоев), на который под углом скольжения в падает плоская электромагнитная волна.

Максимумы интенсивности складываемых волн, отражённых от разных слоев, возникают в направлениях, для которых эти волны имеют одинаковые фазы. Это возможно, если разность хода волн, отражённых от соседних слоёв, равная 2(1ь\\)0, кратна целому числу длин волн:

2с1$\п6 = пХ,

где (1 - расстояние между соседними слоями -период кристаллической решётки, а п = 1,2,3,... -порядок отражения (не пугать с показателем преломления). При большой длине взаимо-

действия, когда ЯЬ/й >\, имеет место двухлучевая дифракция, т. е. существуют лишь падающий луч и один дифрагированный луч (п = 1). Условие (1) называют условием Брэгга-Вульфа, а определяемый им угол 0 при п = 1 -углом Брэгга (&Б).

Дальнейшее зависит от того, как слои фотонного кристалла ориентированны относительно поверхности среды вложения. Если угол (р

между плоскостями слоёв и поверхностью кристалла острый, то возникает брэгговское отражение, когда падающий и дифрагированный лучи находятся по одну сторону кристалла (рис. 1, а). Если угол тупой, то имеет место

лауэвское прохождение, когда указанные лучи располагаются по разные стороны кристалла (рис. 1, б).

При (р — 0 брэгговское отражение становится симметричным, а при (р = я)2 имеет место

симметричное прохождение Лауэ.

Всё сказанное справедливо, когда падающий и дифрагированный лучи являются обыкновенными лучами. В действительности же одномерный фотонный кристалл с оптической точки зрения является одноосным кристаллом, оптическая ось которого параллельна плоскостям слоёв. В этом случае падающий и дифрагированный лучи могут' удовлетворять условию Брэгга-Вульфа (1), имея различную поляризацию. На рис. 2, а изображена векторная диаграмма закона сохранения квазиимпульса при анизотропной дифракции света в оптически отрицательном одноосном фотонном кристалле, когда падающий луч необыкновенный, а дифрагированный - обыкновенный. На рис. 2, б показаны зависимости угла падения 0) и угла

дифракции 0С} от волнового числа обратной

решётки с/, д - вектор обратной решётки

кристалла {\q\-2jrld).

В общем случае, когда оптическая ось не лежит в плоскости падения, возникает ситуация, изображенная на рис. 3.

Из рис. 2, 3 видно, что при анизотропной дифракции:

1. Дифрагированный луч может отклоняться относительно нормали к поверхности как в ту же самую сторону, что и падающий луч

(0,-<0,6^ > 0), так и в противоположную

сторону ( в,- > 0 , вд < 0).

5

Рис. 1. Брэгговское отражение (а) и лауэвское прохождение (б) электромагнитных волн в одномерном

*

фотонном кристалле. вБ - угол Брэгга; 8^с,3(гат,Бсцу - соответственно плотности потоков энергии

падающей (входной), проходящей и дифрагированной волн

Рис. 2. Сохранение квазиимпульса (а) и зависимость углов падения и дифракции от волнового числа обратной решётки (б) при анизотропной дифракции в одноосном фотонном кристалле

Рис. 3. То же, что и на рис. 2, для случая, когда оптическая ось не лежит в плоскости падения

необыкновенным, рис. 2, б; 3, б будут правильно отражать геометрию дифракции, если поменять местами обозначения кривых.

При падении света на поверхность фотонного кристалла волновое число обратной решётки уже задано технологией его изготовления (с/ = const), поэтому сам факт существования

дифракции и её геометрия зависят от длины волны (волнового числа) падающего света и угла падения. Согласно условию Брэгга-Вульфа (1) в общем случае многолучевой дифракции

¿(1 Kj mjn

и

Из (2) видно, что kimin соответствует kd max и

*

К

Ятах ~ • При П- 1 МЫ ИМееМ ДвЛО С ПерВОЙ

d

2. Существуют минимальное и макси-

мальное ¿7тах значения волнового числа

обратной решётки, при которых возможна дифракция. При д = <7тах имеет место встречная

дифракция, когда дифрагированный луч направлен в противоположную сторону по отношению к падающему лучу.

3.. Возможна коллинеарная дифракция (ч~Ясо1^ когда дифрагированный луч

«догоняет» падающий луч.

4. Возможен случай дифракции при нулевом

угле падения (д = ).

5. В диапазоне значений (дт\п,дсо/) возможны две геометрии дифракции, соответствующие двум парам углов падения и преломления.

Отметим, что в случае, когда падающий луч является обыкновенным, а дифрагированный -

зоной Бриллюэна, при п = 2 - со второй и т. д. Причём в высших зонах Бриллюэна дифракция становится многолучевой. Понятие о зонах Бриллюэна широко используется в физике твёрдого тела [10]. Там они соответствуют разрешенным значениям энергии носителей заряда, здесь - разрешенным значениям энергии фотонов. В двумерных фотонных кристаллах разрешённые зоны становятся двумерными, а в трёхмерных кристаллах - трёхмерными. Из рис. 2, б видно также, что разрешённые фотонные зоны могут разделяться запрещёнными зонами.

Таким образом, в случае фотонных кристаллов фактически речь идёт не о рефракции в

классическом смысле этого явления, а о

лауэвском пропускании. Однако, ввиду того, что проходящий через множество слоёв фотонного кристалла луч сильно ослабля-ется, а

дифрагированный луч, наоборот, при каждом отражении от этих слоёв усиливается (в

максимумах дифракции), говорят о рефракции падающего луча. При этом в диапазоне волновых чисел обратной ячейки от с/0 до цтях

наблюдается отрицательная рефракция (см. рис.

2, б; 3, б).

В теоретическом плане отрицательная

рефракция на границе раздела свободного

пространства и фотонного кристалла на частотах, близких к границам запрещённых зон, была

впервые описана М. Нотоми (Япония, 2000) [11].

Хотя рефракция электромагнитных волн в фотонных кристаллах на самом деле является пропусканием Лауэ, тем не менее, с феноменологической точки зрения она выглядит как преломление кристаллом падающей волны. Такая рефракция может быть как

положительной, так и отрицательной в зависимости от условий падения и длины волны, но показатель преломления среды при этом остаётся положительным. В действительности здесь сложно говорить о показателе преломления, так как у вмещающей среды он один, а у среды включения другой, и, кроме того, из-за анизотропии показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей различны.

Тем не менее ряд исследователей занимался теоретическим анализом существования в них отрицательной рефракции, прежде всего с точки зрения возможностей создания совершенных линз со сверхразрешением для передачи и обработки изображений [12]. Теоретические работы получили, в целом, и экспериментальное подтверждение [13]. К сожалению, как следует из условия Брэгга-Вульфа (1), разрешение совершенных линз на основе фотонных

кристаллов ограничено периодом кристалла. Данный вопрос специально рассматривался в работе [14].

Действительно, для субволнового разрешения длина волны излучения в кристалле À/n должна быть возможно меньше. Для этого эффективный показатель преломления кристалла п должен быть большим. Даже если вмещающая среда была бы вакуумом, то показатель преломления среды включения должен был бы быть порядка 100. Но так как включения создаются в диэлектрической матрице, требуемый показатель преломления материала, из которого сделаны включения, должен быть ещё больше. В природе отсутствуют оптически прозрачные материалы со столь большим показателем преломления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ивченко, Е. Л. Резонансные трёхмерные фотонные кристаллы / Е. Л. Ивченко,

A. Н. Поддубный // ФТТ. - 2006. - Т. 48. -Вып. 3. - С. 540-547.

2. Vujic, D. Pulse reshaping in photonic ciystal waveguide and microcavities with Kerr nonlinearity: Crystal issues for all-optical switching / D. Vujic, S. John // Phys. Rev. A. - 2005. - V. 72.

- P. 013807.

3. Vlasov, Y. A. On-chip natural assembly of silicon photonic bandgap crystals / Y. A. Vlasov et al. // Nature. - 2001. - V. 414. - No.6861. - P. 289 -293.

4. Yao, P. Fabrication of three-dimensional photonic crystals with multilayer photolithography / P. Yao et al. // Optics Express. - 2005. - V. 13. -No. 7.-P. 2370-2376.

*

5. Liang, G. Q. Fabrication of two-dimensional coupled photonic crystal resonator arrays by holographic lithography / G. Q. Liang et al. // Appl. Phys. Lett. - 2006. - V. 89. - P. 041902.

6. Arshak, K. Focused ion beam lithography-overview and new approaches / K. Arshak et al. // Proc. 24th International Conference on Microelectronics (MIEL 2004). - V. 2. - P. 459—462.

7. Агранович, В. М. Пространственная дисперсия и отрицательное преломление света /

B. М. Агранович, Ю. Н. Гартштейн // УФН. -2006. - Т. 176. - № 10.-С. 1051 - 1068.

8. Белов, П. А. Эффекты обратных волн и отрицательной рефракции на оптических частотах /11. А. Белов, К. Р. Симовский // [Электронный ресурс]. - Режим доступа: ysa.ifmo.ru/ data/publications /ВООКООб/ paperOOl .pdf.

9. Пинскер, 3. Г. Рентгеновская кристаллооптика / В. Г. Пинскер. - М. : Наука, 1982. -389 с.

10. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. - М. : Мир, ) 978. - 792 с.

11. Notomi, М. Negative refraction in photonic crystals / M. Notomi // Opt. and Quant. Electronics.

- 2002.-V. 34.-P. 133 -143.

12. Zhang, X. Image resolution depending on slab thickness and object distance in a two-dimensional photonic-crystal-based superlens / X. Zhang // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 70. - P. 195110.

13. Chien, H.-T. Directed diffraction without negative refraction / H.-T. Chien et al. // Phys. Rev.

B.-2004.-V. 70. - P. 113101.

14. Kuo, C.-H. Optical transmission of photonic crystal structures formed by dielectric cylinders: Evidence for non-negative refraction / C.-H. Kuo, Z. Ye // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 70. - P. 056608.

Барыкина Елена Ивановна, аспирант кафедры «Физика» УлГТУ, имеет публикации в области математического моделирования.

Браже Рудольф Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика» УлГТУ. Имеет публикации в области нелинейных волновых процессов.

УДК 621.01

В. К. МАНЖОСОВ, Д. А. НОВИКОВ

МОДЕЛЬ ПЛОСКОГО РЫЧАЖНОГО МЕХАНИЗМА

Рассмотрены обобщённые параметры движения плоского рычажного механизма на примере кинематического анализа шарнирного четырёхзвенного механизма.

Ключевые слова: модель механизма, плоский рычажный механизм, параметры движения механизма, кинематический анализ механизма, шарнирный четырёхзвенный механизм.

Анализ механизмов предполагает расчёт параметров движения звеньев механизма, определения их положения в заданный момент времени, траектории движения заданных точек, определение скорости и ускорения характерных точек механизма. Для более широкого использования результатов анализа важно, чтобы эти результаты были представлены в обобщённых параметрах движения.

Рассмотрим модель движения плоского рычажного механизма, схема которого представлена на

рис. 1. Обозначим расстояние между точками В и D как S (рис. 1); угол DAB как 8 — К — (рх\

(р^ —угол, определяющий положение шатуна; угол DBC как С(; (ръ — угол, определяющий положение коромысла.

Угол (ръ представляет сумму двух углов - угла ADB, который обозначим как (р\, и угла В DC, который обозначим как ф” {(ръ = (р\ + (р\ ). Обозначим угол DCB между коромыслом и шатуном как у2Ъ.

Механизм имеет одну степень свободы. Предполагается, что закон

движения кривошипа задан: (p^—cp^t).

Требуется определить параметры движения остальных звеньев механизма: шатуна

ВС, коромысла CD. Длина кривошипа /], длина шатуна /9, длина коромысла

L. Расстояние AD между опорами

© В. К. Манжосов, Д. А. Новиков, 2009

Рис, 1. Положение звеньев и углы механизма