Расчёт параметров вихретоковых преобразователей при контроле нескольких изделий цилиндрической формы

УДК 620.179.14+ 621.314

РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ ВИХРЕТОКОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПРИ КОНТРОЛЕ НЕСКОЛЬКИХ ИЗДЕЛИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

© 2011 Г. М. Гайнуллина, А. В. Полулех

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва

Получено аналитическое выражение для векторного потенциала вторичного электромагнитного поля двух эллиптических цилиндров, расположенных в переменном однородном магнитном поле. При решении использованы граничные условия Леонтовича с последующим применением метода граничной коллокации. Расчёт векторного потенциала сводится к решению конечной системы алгебраических уравнений. Полученное выражение позволяет упростить расчёт вносимых параметров вихретоковых преобразователей перемещений изделий с прерывистой формой поверхности.

Математическая модель, вихретоковый преобразователь, векторный потенциал, эллиптический цилиндр, электромагнитное поле.

Основу построения электромагнитных средств неразрушающего контроля составляет информация, содержащаяся в характере и величине искажений первичных электромагнитных полей объектами контроля. Поэтому

необходимым условием повышения эффективности средств контроля является исследование вторичных электромагнитных полей локальных проводящих тел. Математически это формулируется в виде краевых электродинамических задач, решаемых с заданной степенью точности. Основным методом упрощения математического описания электромагнитных процессов в проводящих средах является использование расчётных моделей.

Как показано в работе [1], модель в виде двух протяжённых эллиптических цилиндров наиболее полно соответствует задачам контроля изделий прерывистой структуры вихретоковыми преобразователями (ВТП). Выбранная однородная структура первичного поля позволяет использовать эту модель для ВТП различных форм.

Полученное в работе [1] аналитическое выражение для векторного потенциала вторичного поля позволяет по известным методикам рассчитать распределения напряжённости магнитного и электрического полей, а также вносимые параметры измерительных преобразователей различной формы.

Непосредственное использование этого выражения представляет известные трудности, связанные с решением трёхчленных рекурсивных уравнений [2] для нахождения значений функций Матье при комплексных значениях частотного параметра дг-. Для упрощения решения задачи и анализа полученных выражений воспользуемся приближёнными граничными условиями Леонтовича с последующим применением метода граничной

коллокации [3].

Для нахождения коэффициентов разложения Ъ1, Ъ^2 векторного

потенциала в ряд по гармоническим функциям эллиптического цилиндра используем граничные условия

Леонтовича, связывающие тангенциальные

компоненты векторов электрического Е и

магнитного Н полей [3]:

п,Е

(1 + *),

2а

п,Н

п

где п - единичныи вектор нормали к поверхности цилиндра, 7=1,2 - номер

цилиндра, / = >/-1 .

Правомерность применения

приближённых граничных условий

определяется тем, что при контроле используются достаточно высокие частоты (0,1^10МГц). В скалярной форме для рассматриваемого случая уравнение (1) запишется следующим образом:

Ег=

Запишем граничные условия (2) через векторный потенциал, воспользовавшись известными соотношениями [1]:

Е2=~тЛз; Н

дЛ3

Ро/^сЬ2£з-сої2п}- -*]

Подставляя (3) в (2), получим дЛ

/^сИ'£1 -0 Пз х Лз = 7з

д£

3 пРи £;= ,

где

1+І

Юр0 ^

тро Р з

2о.

Векторный потенциал Л3 поля вне цилиндров определяется суперпозицией

Аз-Ао+Ар,

где Л0 = р0/Н0сИ£соїц - векторный

потенциал первичного поля,

Лр = Лр, + Лр2 = Ъ1 х єІ1соїц1

р1 р2

X ІЇ^є^соїщ, + X

Ъ(2)Г+1 х п

п___________

Ґ ж^ п

V 2,

2т х їіп

Ґ г \

/

Vі,

Ґ г \

/

Vі,

х ёсИ ( п£1 ) сої ( п + 1)х (р21

+

їИ (п£1 ) X їіп (п + 1)хф21 J ,

векторный потенциал вторичного поля цилиндров [1].

Уравнения для определения коэффициентов Ъп(1, Ъп(22 получаются подстановкой (5) в (4) и имеют вид:

/^сИ2£01-со$2п, х \-pfl,0сИ£°1сощ

+Х Ъп)гп£°с™ (пП1 )+Х ъ?х

п=1 п=1

х і X Іп+т (п+т-1) !2п+тх

\т=2,4,6...

і

і

008

(т-1)!22т~1сої

22п(п-1)!

1сИ(т£01 )сої(тц1)сої(п+т)ф21 т

(3) +тїИ(т£01 )эт(тц1)эт(п+т) (р21 ] +

+ X Іп+т+1 (п+т-1) !2т+пх

т=1,3,5...

А

і

і

008

22т~1 (т-1)!їіп т 22п (п-1)!

V 2 0

х ёсИ(т£0° )сої (тц1 )сої (п+т)ф21 +їИ (т£0) їіп (тц1 )яіп (п+т) ф21 ]} =7, [-Р0Н0сИ£0ісоїПг (5) ~Х Ъ^пГ^соэ (пп,)+X Ъ(2)х

X Іп+т (п+т-1) !2п

і

і

008

( ж \

(т-1)!22т-1сої т- 22п (п-1)!

V 2

х |сИ сої (тщ,) сої (п+т) )21 +

+т2їИ (т(01 )) (тц,) їіп (п+т) )21 ]

+ X Іп+т+1 (п+т-1) !2т+пх

т=1,3,5...

1

п=1

п=1

X

т=2,4,6.

п=1

A

\m / / л" J0

І

cos

n

2

( п Л

02m~l (m-l) !sin m — 02n (n-l)!

V 0

x | mch (m%0) cos ( mn, ) cos (n+m) j2l + +msh (mi,) sin ( mn, ) sin (n+m) j2l ]}. /2^ch0c0-cos0Пі [-И0Hoch^°2cosno +

+ X Ь((°0і~П(° cos ( "По )+X bn] x

n=l

n=l

X i"+m (n+m-l) !0n

/ / \mf f\n J0 Jl

l

cos

п

n

2

(m-l) !00m-lcos

п

m

v 0,

02n (n-l)!

—ch (m£°) cos (mq2) cos (n+m) j m

+msh [m^02 ) sin (mn2) sin (n+m)(pl2 ] + X i"+m+l (n+m-l) !0m+nx

n=l,3,5...

A

m

n

L

i

cos

п

n

2

( п Л

02m~l (m-l) !sin m — 02n (n-l)!

V 0

x |ch (m£2) cos (mn2) cos (n+m) jl2 +sh (m£°2) sin (mn2) sin (n+m)jl2 ]}

=У2 [-И0H0ch^°2cosn0 --X b(n2)nl~^cos ("По )+X b(nx

n=l

n=l

X in+m (n+m-l) !0n

\m=2,4,6...

f Г \m f f \

l

І

cos

п

n

2

( п Л

(m-l) !02m~lcos m — 02n (n-l)! V 0

x \ch (mi°2 ) cos (mn2) cos (n+m )q>l2 + +m2sh (m^°2 ) sin (mn2) sin (n+m) jl2 ]

+ X in+m+l (n+m-l) !0m+nx

/ j \m / -c \n

J2

І

A

і

cos

п

n

2

( п Л

02m~l (m-l) !sin m 02n (n-l)!

V 0

x ^ mch (m^°2 ) cos (mn2) cos (n+m) jl2 +msh (m^2 ) sin (mn2) sin (n+m) jl2 ]}.

При выводе (6) использовалась формула сложения, полученная в [1], позволяющая записать гармонические функции 7-ого цилиндра в координатах ї-ого цилиндра (/, ї - 1,2):

-mi j

e J cos

sin

п

m

2

n

sin

п

n

v 0z

fs

І

m

fj

І

V У

x ^ch (n£s) cos (nns) cos (n+m) cpJs) +

+sh (n£s) sin (nns) sin (n+m) cpJs J.

Система уравнений (6) позволяет определить коэффициенты Ъп(1), bn(2 с любой наперёд заданной точностью. Для решения таких уравнений получил распространение метод граничной коллокации [3]. Решение краевой задачи находится в виде ряда, точно удовлетворяющего дифференциальному уравнению задачи. Для нахождения неизвестных постоянных коэффициентов bn(1, bn(2) используются граничные условия, которые удовлетворяются не на всём контуре [0<П/<2п], а в особых, наперёд заданных точках (точках коллокации). Таким образом, задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно

m=l.3.5

X

m=2.4.6.

X

Z-^сЩ -2

к

1+cos

2п

dn;

где к,

Oj

ch2{0

Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета искомых коэффициентов Ъп(1), Ъп(2). Выбор закона распределения точек коллокации на контуре (границе раздела) имеет существенное значение. Число точек коллокации, а, следовательно, и число уравнений в системе (6), которую необходимо решить, определяется

геометрией области и требуемой точностью приближения. Отметим, что число точек коллокации определяет число членов рядов в выражениях для вторичного поля (5).

Как показано в работе [3], выбор точек коллокации в нулях полинома Чебышева первого или второго рода обеспечивает эффективное с точки зрения сходимости решение задачи.

Корни (нули) полиномов Чебышева располагаются в следующих точках:

кп

n-l

Окончательно запишем

=1,<Е (j

1+cos

кп

n-1

1+cos

s=-

кп

n-1

где к=1,2,3,...,п; Е(к0/) - полный

эллиптический интеграл 2-ого рода в нормальной форме, щ - модуль

интеграла.

Далее необходимо определить

значение углов ц,, соответствующих дуге

г,,,-:

1

2

z*

1 fj4ch2t0-cos2 n jdn-

0

___________

--fjcH0 dnj=

0

f cht0E(п,,^),

где sк - длина дуги контура от начала отсчёта; к - номер точки коллокации, к=1,2,.. ,,n; n - число точек коллокации.

Таким образом, получаем n

неравномерно расположенных точек,

рассеянных по всему контуру. При таком распределении нулей получается номинальное приближение, погрешность

которого колеблется практически где E(nkj, %) - неполный эллиптический

одинаково ко всему заданному интервалу. интеграл 2-ого рода в нормальной форме

Для удобства вычислений перейдём Лежандра. Приравнивая (12) и (11),

в системе уравнений (6) к интервалу получим

[0...1]. Длину дуг, соответствующих (8), определим следующим образом:

fschZoE

2Ж ( \

Zj-s, 1 f^ch2^0-cos2п,dn= -f.ch(pE(к0 ) 2

0j

/

кп

1+cos--------

n-1

откуда

Приведём интервал в (9) к \1к1’ °) V °) 2

нормальной форме

E (пК],ко] )-E (коj) 2 где к = 1, 2, 3, ..., n.

^ кп ^

1+cos-------

v n-1 /

Значения щ могут быть определены из уравнения (13) следующим образом: вычисляется правая часть уравнения (13) при к = 1, 2, 3, ..., п; затем по найденному значению правой части, модулю к0, и таблице значений Е(щ, к, определяется щ. Найденное значение Пк, подставляется в систему уравнений (6), из решения которой находятся искомые

коэффициенты Ъп(1), Ъп(2). Размерность получаемой системы уравнений

определяется числом точек коллокации к. Как показано в работе [3], достаточно ограничиться числом к=8. При этом погрешность вычислений векторных

потенциалов Ар1 и Ар2 по формулам (13), (14) для широко используемого в электромагнитной технике диапазона

частот (50 Гц - 10МГц) составит не более 1% во всей используемой области изменения геометрических параметров

расчётной модели.

Следовательно, для определения коэффициентов Ъп

необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений 16 порядка:

Р2к

72

н1+Уъ

0к п пк п тпк

п=1 п=1 т=1

п=1 п=1 т=1

Н(2+Хъ(2)ъ(2)+Х ±Ъ(1)с(1>

0к п пк п тп

п=1 п=1 т=1

где к-1,2,3,...,8.

В (14) введены следующие обозначения:

Н0І=-Р0Н0СИ£°СОїпк ,

( н0) ) = ш°к

д£г

вПІ=і~п£ соп;

(в6))" = ^3-;

V пк) д£

С'1, - X !"+" (п+т-1))х

т=2,4,6,8 і

Ґ Г \т / / \п

сої

(т-1) !22т-1 сої

^ пх т

V 2,

22п (п-1(!

—сИ (т£ ( (сої (тпк (сої (п+т )р т

+тсИ

+ X Гт+1 (п+т-1)!2т+пх

п=1,3,5,7

( / ^ ( / "V

м V10

сої

п

22т~1 (т-1) !сої т П 22п (п-1)!

х ^ сИ (£0) сої {тпк) сої (п+т) (р^ + [сИ (£0) їіп {тцк) їіп (п+т))); ( V ас”к

тпк

Если в (14) устремить і  ¥ и считать сИ2£ 0>>1, то получим

/сИ2£ гуМ _

Лр1 =/1 РоНо , ’ 0+-----.

/сНі +у,

Полученное выражение (15) для векторного потенциала полностью совпадает с известным для одного цилиндра, что подтверждает правильность полученного решения.

Полученные в [1] аналитические выражения для векторных потенциалов вместе с системой уравнений (14) определяют поле вне цилиндров. Вторичное поле может быть записано в любой локальной системе координат. Так, например, в локальных координатах первого цилиндра выражение для

векторного потенциала вторичного поля будет иметь следующий вид:

• • • Библиографический список

Ар=Ар1 +Ар2 =

=Ё b(ne~nilCOS () +Х b(n2)>

n=1 n=1

\ X in+m (n+m-l) !2n+m x

cos

(m-l) !2

2m-1

cos

П

\

m

22n (n-1)!

—ch (m^1) cos (mn1) cos (n+m) j m

+mch (n^1) sin (щ1) sin (n+m) j21 ] +

+ x in+m+1 (n+m-1) !2m+nx

1. Гайнуллина, Г. М. Моделирование изделий с прерывистой поверхностью при электромагнитном контроле [Текст] / Г. М. Гайнуллина, А. В. Полулех // Естественные и технические науки. -2009. - №6(44). - С. 502-506.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные

функции [Текст] / Г. Бейтмен, А.

Эрдейн. - М.: Наука, 1978. - 296 с.

3. Альтшуллер, И. Б. Расчёт

электромагнитных полей в

электрических машинах [Текст] / И. Б. Альтшуллер. - М.: Энергия, 1968. -88 с.

References

1. Gainullina, G. M. Modelling items with a discontinuous surface during electromagnetic control [Text]/ G. M. Gainullina, A. V. Polulekh // Natural and technical sciences. - 2009. - No.6(44). - pp. 502-506.

2. Beytmen, G. Highest transcendental functions [Text]/ G. Beytmen, A. Erdeyn. -Moscow: Nauka, 1978. - 296 p.

Таким образом, получено з. Altschuller, I. B. Calculation of

аналитическое выражение для векторного electromagnetic fields in electric devices

потенциала вторичного электромагнитного [Text]/ I. B. Altschuller. - Moscow:

поля двух эллиптических цилиндров, Energiya 1968 -88p

расположенных в переменном однородном магнитном поле. При этом расчёт векторного потенциала сводится к решению конечной системы алгебраических уравнений.

n=1,3,5,7 /

Л

l

cos

22m-1 (m-1)!cos

п

\

m

22n (n-1)!

x ^ch (m^1) cos (mn1) cos (n+m) j21 +ch (m^1) sin (щ1) sin (n+m) j21 ]}.

CALCULATING THE PARAMETERS OF EDDY CURRENT CONVERTERS WHEN TESTING SEVERAL SAMPLES OF CYLINDRICAL SHAPE

© 2011 G. M. Gainullina, A. V. Polulekh

Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov

Analytical expression for the vector potential of a secondary electromagnetic field of two elliptical cylinders located in an alternating homogeneous magnetic field is obtained. Leontovich boundary conditions have been used in the process of deriving, with subsequent use of the boundary collocation method. The calculation of the vector potential amounts to the solution of a finite system of algebraic equations. The expression obtained makes it possible to simplify the calculation of the parameters being introduced, i. e. the parameters of eddy-current converters of displacement of samples having discontinuous surfaces.

Mathematical model, eddy-current converter, vector potential, elliptical cylinder, electromagnetic field.

Информация об авторах

Гайнуллина Гелия Мухаматкамиловна, ведущий инженер, ассистент кафедры общей информатики, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет), (846) 2674837. Область научных интересов: математическое моделирование, комплексы программ.

Полулех Александр Владимирович, доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры электротехники, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет), (846) 2674837. Область научных интересов: математическое моделирование, комплексы программ.

Gainullina Gelia Mukhamatkamilovna, leading engineer, assistant of the general information science department, Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University), (846) 2674837. Area of research: mathematical modeling, software complexes.

Polulekh Alexander Vladimirovitch, associate professor, candidate of technical sciences, associate professor of the electrical engineering department, Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University), (846) 2674837. Area of research: mathematical modeling, software complexes.