Аналитическое определение сил инерции, действующих на груз при качке судна

УДК 656.614.3.073:629.5.017.21/26 ББК 39.48

А. О. Чепок

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ГРУЗ ПРИ КАЧКЕ СУДНА

A. O. Chepok

ANALYTICAL DETERMINATION OF INERTIA FORCES ACTING ON CARGO EN ROUTE

Описан аналитический метод определения сил инерции, действующих на тарно-штучные грузы и возникающих в результате колебательного движения судна на волнении. В рамках данной задачи обосновывается применение линейных моделей бортовой, килевой и вертикальной качки, что позволяет получить выражения углов крена, дифферента и амплитуды вертикальной качки. Продифференцировав полученные функции дважды, можно выразить силы инерции на основании второго закона Ньютона.

Ключевые слова: качка судна, силы инерции, тарно-штучный груз, линейная модель качки, несвязанные дифференциальные уравнения, вынужденные колебания.

The paper presents the analytical method of defining inertia forces acting on package cargo and generating as a result of the oscillatory motion of the vessel exposed to the effect of ambient forces.

Within the given problem the use of the linear models of rolling, pitching and heaving oscillations is considered; it helps derive the values of the angles of heel, the angle of pitch and the amplitude of heaving. Having differentiated the obtained functions twice, the inertia forces are determined by means of applying the Newton's second law.

Key words: ship oscillations, inertia forces, package cargo, linear models of oscillations, decoupled differential equations, forced oscillations.

Введение

При перевозке тарно-штучных грузов нередко необходимо производить их крепление, учитывая массу груза и действующие на него силы инерции. Для расчета сил инерции следует знать линейные ускорения, воздействующие на груз, которые зависят от закономерностей изменения линейных перемещений груза вместе с палубой судна относительно опорной системы координат. В общем случае движение судна характеризуется шестью степенями свободы и описывается шестью дифференциальными уравнениями. Все виды качки судна взаимосвязаны [1]. В [2] показано, что для расчета линейных ускорений в первом приближении можно применить линейные модели бортовой, килевой и вертикальной качки, используя соответствующие изолированные уравнения.

Для того чтобы найти силы инерции, действующие на единицу груза в инерциальной системе отсчета, достаточно применить второй закон Ньютона, при условии, что масса этой единицы груза и соответствующего ускорения известны. Тогда ускорения будут определены как вторая производная по времени функций угла крена, угла дифферента и амплитуды вертикальной качки. Выражения для углов и амплитуды могут быть выведены из решения уравнений бортовой, килевой и вертикальной качки. Это возможно на основании утверждения о том, что уравнения поперечной, продольной и вертикальной качки в ситуации поиска сил инерции, воздействующих на груз, можно рассматривать независимо [3].

Параметры качки

Так как бортовая качка порождает доминирующие силы инерции, вначале рассмотрим уравнение поперечной качки для определения выражения угла крена 9. Для этого воспользуемся исходным дифференциальным линейным уравнением, описывающим угол крена 9 судна, которое приведено в [4]:

где Jx - момент инерции судна относительно продольной оси Х-Х; тх - обобщенные присоединенные массы воды относительно оси Х-Х; цх - коэффициент демпфирования относительно оси Х-Х; D - водоизмещение судна (сила тяжести); к0 - поперечная начальная метацентрическая высота; Хд - редукционный коэффициент при бортовой качке; Юк - кажущаяся частота волнения.

Разделив все члены уравнения (1) на коэффициент при старшей производной, получим

0 + °к0 + ю°0 = х0ю° sin юкґ.

где к - коэффициент затухания.

к = -

2

ю0 - собственная частота судна при бортовой качке.

ю2 Dko

ю„ = -

./ + т

Уравнение (2) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, и его решение является суммой частного решения 9Г, описывающего вынужденные колебания судна относительно оси Х-Х под воздействием регулярного волнения, и решения соответствующего однородного уравнения, которое характеризует собственные затухающие колебания судна. Так как амплитуда собственных затухающих колебаний судна достаточно быстро обращается в нуль, то уравнение бортовой качки, как стационарный процесс, согласно [4], можно характеризовать только вынужденными колебаниями, т. е.

0 = -

Хвюо

“8Ш

(

юкі - агС£

0кюк

°°

V ю0 - юк )

В [3, 4] показано, что, в случае продольной качки, судно совершает вынужденные колебания с частотой качки ю^ так же как и при поперечной.

Изолированное уравнение продольной качки, а равно и его решение, по своей структуре аналогично уравнению поперечной качки, т. е. описывает как собственные затухающие колебания судна, так и вынужденные гармонические колебания с частотой качки.

Вследствие этого выражение для текущего значения угла дифферента в также описывается вынужденными гармоническими колебаниями с частотой качки Ю£

в =

Хрюор

юкі - агС£

( °крюк ^

° ° юор - юк

где Хр - редукционный коэффициент при килевой качке; ю0р - собственная частота судна при

килевой качке; Лр - коэффициент затухания при килевой качке.

Отметим, что вертикальная поступательная качка, согласно [3, 5], вызвана орбитальным движением судна, которое считается круговым с радиусом, равным половине высоты волны. Вертикальное поступательное движение ^ носит гармонический характер с частотой качки Юk и описывается выражением

С = Со^пюЛ

где = 0,5 ^ - амплитудное значение вертикального перемещения, причем ^ - высота волны.

Выражения (3)-(5) позволяют рассчитать угловые ускорения от килевой и бортовой качки, а также найти линейные ускорения и силы инерции, воздействующие на груз.

0,5

Формализация сил инерции

Найдем силы инерции, возникающие от бортовой, килевой и вертикальной качки, которые действуют на груз с массой тс.

Наиболее значительной является поперечная сила инерции от бортовой качки F9. Очевидно, что

К =-тсау,

где ау - линейное ускорение при бортовой качке.

В свою очередь, линейное ускорение ау является произведением углового ускорения 9 на радиус кривизны Гу относительно продольной оси, проходящей через центр тяжести судна G,

Т. е. ау = Гу9 .

Угловое ускорение 9 найдем как вторую производную угла крена, для чего дважды дифференцируем выражение (3) и получим

9 = -9ою0 sin (ю^ - у),

где

2 ( 2Ию Л

9о =7-----------------------------гбт, У = агс^

0 / - 2 _2\2 , л 7-2 2>0,5

к

2 2 V юо - ю& у

Следовательно, сила инерции К9 равна:

К9 = тсГу90Ю1^П (Ю/ - У) .

Продольную силу инерции Кр рассчитываем аналогично, т. е.

=-тсах ,

где ах - линейное ускорение при килевой качке.

Линейное ускорение ах = гхР, причем Гх - радиус кривизны относительно поперечной оси. Угловое ускорение р получим, дважды дифференцируя выражение (4):

р = -Рою2 ^п (ю/ - Ур ) ,

где

2 / \

Хрюор________ _ 2крю&

ро = 7------------------------^-^0Т, Ур = агс£

‘ ' ,2 „2Ч2 , /11.2 2 ^,5 р

22

((ю2 -ю2)2 + Щюк)"' Vю0р ю& у

Поэтому сила инерции Кр описывается выражением

Кр = ^ГАЮ^ (Ю/ - Ур ) .

Сила инерции от вертикальной поступательной качки определяется из выражения К = -тс £, причем линейное ускорение £ получаем с помощью двойного дифференцирования выражения (5):

С = -Сою2 ^пю/,

поэтому с учетом того, что ^0 принимается равным половине высоты волны ^, т. е. ^0 = 0,5^ , окончательно получим

К = 0,5к„тсю2 ^ПЮ&^

На рисунке приводится взаимосвязь опорной (невозмущенной) системы координат OXYZ, относительно которой получены выражения сил инерции, и судовой ОХ^^1, в которой будет производиться расчет реакций в связях крепления груза.

Связь систем координат

Вследствие этого для расчета реакций в связях крепления груза силы инерции F^,, Fp, FZ и силу тяжести Pc необходимо спроектировать на судовую систему координат, которая отклонена от опорной на углы крена е и дифферента р.

Заключение

Таким образом, нами описан метод определения сил инерции, действующих на груз, для последующего учета их значений в расчетах максимальной рабочей нагрузки для креплений тарно-штучного груза. Метод основан на предположении, что в рамках указанной задачи линейные модели бортовой, килевой и вертикальной качки применимы и могут считаться независимыми. Полученные выражения угла крена, угла дифферента и амплитуды вертикальной качки на волне позволяют рассчитать соответствующие угловые и линейные ускорения. Силы инерции определены в невозмущенной системе отсчета и могут быть легко перенесены в судовую систему координат, т. к. соотношение между двумя системами координат известно. Определенные зависимости в дальнейшем будут применяться нами в математической модели процесса безопасной укладки и крепления тарно-штучных грузов на судне.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kornev N. Ship dynamics in waves I N. Kornev. Rostock: University of Rostock, 2011. 57 p.

2. Бородай И. К. Качка судов на морском волнении I И. К. Бородай, Ю. А. Нецветаев. Л.: Судостроение, 1969. 326 с.

3. Сизов В. Г. Теория корабля I В. Г. Сизов. Одесса: Феникс, 2003. 282 с.

4. Справочник по теории корабля: в 3 т. Т. 2: Статика судов. Качка судов I Под ред. Я. И. Войткунского. Л.: Судостроение, 1985. 544 с.

5. Шиманский Ю. А. Динамический расчет судовых конструкций I Ю. А. Шиманский. Л.: Судпромгиз, 1948. 284 с.

REFERENCES

1. Kornev N. Ship dynamics in waves. Rostock: University of Rostock, 2011. 57 p.

2. Borodai I. K., Netsvetaev Iu. A. Kachka sudov na morskom volnenii [Ship oscillations in sea waves]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1969. 326 p.

3. Sizov V. G. Teoriia korablia [Marine theory]. Odessa, Feniks Publ., 2003. 282 p.

4. Spravochnikpo teorii korablia. V 3 t. T. 2: Statika sudov. Kachka sudov [Ship static. Ship oscillation]. Pod redaktsiei Ia. I. Voitkunskogo. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1985. 544 p.

5. Shimanskii Iu. A. Dinamicheskii raschet sudovykh konstruktsii [Dynamic calculation of ship constructions]. Leningrad, Sudpromgiz, 1948. 284 p.

Статья поступила в редакцию 14.11.2013

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Чепок Алексей Олегович — Одесская национальная морская академия, Украина; старший преподаватель кафедры «Морские перевозки»; alexey.chepok@gmail.com.

Chepok Alexey Olegovich — Odessa National Maritime Academy, Ukraine; Senior Lecturer of the Department "Sea Transportation"; alexey.chepok@gmail.com.