2018. 03. 008. Фридман М. , Ружтэ Л. Сворачивание в развлекательной математике XVII-XVIII веков: между геометрией и развлечением. Friedman M. , rougetet L. folding in recreational Mathematics during the 17 th-18 th centuries: between geometry and entertainment // Acta Baltica historiae et philosophiae scientiarum. - Tallinn, 2017. - Vol. 5, n 2. - p. 5-34

2018.03.008. ФРИДМАН М., РУЖТЭ Л. СВОРАЧИВАНИЕ В РАЗВЛЕКАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ XVII-XVIII ВЕКОВ: МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЕЙ И РАЗВЛЕЧЕНИЕМ.

FRIEDMAN M., ROUGETET L. Folding in recreational mathematics during the 17 th-18 th centuries: Between geometry and entertainment // Acta Baltica historiae et philosophiae scientiarum. - Tallinn, 2017. -Vol. 5, N 2. - P. 5-34.

Ключевые слова: XVII-XVIII в.; концепт науки Бэкона; математические правила; складывание салфеток; складывание бумаги; развлекательная математика.

Авторы Майкл Фридман1 и Лиза Ружтэ2 посвятили свою статью демонстрации того, как занятия сворачиванием различных фигур из бумаги вошли в развлекательную математику XVII-XVIII вв., которая задумывалась не только как способ пробудить любопытство к математике, но и для распространения математических знаний среди грамотного населения. Начиная с 1624 г. в развлекательной математике, которая до этого не содержала каких-либо упражнений в отношении сгибания бумаги, начинают появляться подобные упражнения. Авторы показывают, что в это время в Германии и, в меньшей степени, во Франции сворачивание из бумаги было переосмыслено как способ передачи математических знаний. Популярность данных занятий особенно возросла с подведением под них геометрических основ, которые зиждились скорее на непосредственных осязательных ощущениях, нежели были чисто визуальны-

1 Майкл Фридман - научный сотрудник междисциплинарной лаборатории университета Гумбольдта в Берлине. Он защитил докторскую диссертацию по математике в Университете имени Бар-Илана в Израиле и магистерскую - по философии в Тель-Авивском университете. В центре его научных интересов находится история математизации геометрических складываний из бумаги в период с XVI по XXI в., а также история методов визуализации математических объектов в XX в.

Лиза Ружтэ - старший преподаватель Центра Франсуа Виета Лаборатории истории науки и техники Университета Западной Бретани в Бресте, Франция. Ее докторская диссертация по истории математики (PhD), защищенная в 2014 г. посвящена истории комбинаторной теории игр. Исследовательские интересы Ружтэ включают историю развлекательной математики и историю первых комбинаторных игровых машин. Она также интересуется связью между настольными играми, компьютерными алгоритмами и их применением в математическом образовании.

ми и умозрительными. Эта их тактильность (эмпиричность) отражает в полной мере концепцию науки и научного эксперимента того времени, предложенных, в частности, Фрэнсисом Бэконом

(с. 6).

Развлекательные математика и физика - литературный и редакционный жанр, которые начиная с XVII в. побуждали читателей к практическим занятиям, а не просто к чтению, призывая заниматься наукой в игровой форме. Основываясь на том, что иногда может показаться иллюзией и трюком, этот жанр бросил вызов читателям - разобраться, что же происходит в такого рода вещах. Согласно современному американскому математику Дэвиду Сингма-стеру, одной из первых книг данного жанра стала работа Луки Пачоли «О силе чисел» (De viribus quantitatis) 1508 г. В соответствии с гуманистическими идеями того времени, основной целью данной книги было не столько исследование свойств чисел, сколько стремление показать, что их понимание возможно через непосредственное соприкосновение с ними в игровой форме. Несмотря на то что данный труд был затерян в архивах Болонского университета, оставаясь неопубликованным на протяжении более 500 лет, многие проблемы, содержащиеся в нем, можно найти в более поздних книгах по развлекательной математике (с. 6).

В XVII-XVIII вв. в рамках развлекательной математики сложилось два основных направления: традиция сворачивания бумажных салфеток, популярная прежде всего в Италии, и идея построения сложных многогранников, возникшая в Нюрнберге под влиянием Альбрехта Дюрера (1471-1528) и его последователей. Как отмечают авторы статьи, если задачей первых работ по развлекательной математике было возбуждение интереса к науке, то для более поздних работ, например, XIX-XX вв., было свойственно три других основных цели: первая - обучение математике; вторая -распространение новых идей математики; третья - обучение науке при помощи обращения к ее историческому исследованию (с. 7).

Книга с таким названием - «Развлекательная математика» -была впервые опубликована в 1624 г. во французском Понт-а-Муссоне иезуитом Жаном Лерешоном (Jean Leurechon). Эта работа сыграла важную роль в иезуитском сообществе, в ней пропагандировались кроме арифметики и геометрии, космография, механика, оптика и военно-инженерное дело. В результате эти науки сыграли

значительную роль в образовании «городской элиты», умеющей читать по-французски. При подаче материала иезуитами была использована форма «городского театра», в котором науки были «поставлены на сцене» (с. 9). Развлекательная математика посредством иллюзорных трюков и магических эффектов приглашала читателя принять участие в увлекательной практике, демонстрирующей удивительную силу науки. Трюки были созданы для того, чтобы удивлять публику, показывая интеллектуальное превосходство математики. Указанная книга объединила в себе две традиции XVI в. -коммерческую арифметику и натуралистическую магию, а также создала две новые - развлекательную математику и популярную науку. Копии книги и ее многочисленные переиздания (более девяти в период с 1628 по 1660 год, а также не менее 43 французских книг, содержащих в своем заглавии слова «развлекательная математика», изданных между 1624 и 1790 гг.) помогли жанру развиться и распространиться по всей Европе (с. 9).

К моменту, когда в Европе появилась бумага, там уже существовала давняя традиция сворачивания (сгибания) салфеток и различных тканей. В XVI и XVII вв. сворачивание салфеток было важным и высоко ценимым элементом придворной культуры. Искусство сгибания салфеток стало средством репрезентации власти и великолепия высшего общества. В эти столетия салфетки изменили свою традиционную роль защиты дорогой одежды при приеме пищи на декоративную функцию. В эпоху барокко эта конкретная форма искусства достигла наивысшей точки и стала важнейшим элементом подготовки прислуги. Возникли совершенно новые направления в сфере профессионального обслуживания, стали востребованы специалисты, способные сворачивать сложные и удивительные формы, например, фигуры животных. В начале XVII в. в Падуанском университете даже появилась дисциплина по сворачиванию тканей. Среди выдающихся мастеров данного искусства был М. Гигер, приехавший из Баварии. Молодой Гигер отправился из Баварии в Италию в 1616 г. и поселился в Падуе, где стал мастером-резчиком. Благодаря его знаниям в искусстве сервировки стола и сворачивания салфеток, он стал преподавателем в университете Падуи и написал среди прочих рукопись «Три трактата» (Ы

1629), в которой впервые показал модели сложенных форм (в основном фигуры животных) (с. 10).

Другой традицией сворачивания, интегрированной в развлекательную математику, является складывание многогранников из разверток их поверхностей, введенное и популяризированное Альбрехтом Дюрером. Дюрер был одним из самых универсальных немецких художников эпохи Возрождения. Его книга «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt), опубликованная в 1525 г., состоит из четырех частей. В последней систематически изложен ряд рисунков многогранников и их геометрических разверток на плоскости1. Дюрер изобразил «платоновы»2 и «архимедовы тела»3 пользуясь двумя различными способами их построения - широко распространенным в то время методом линейной перспективы, и почти неизвестным тогда способом развертки трехмерного многогранника на плоскости (с. 12). Художник дал развертку всех платоновых тел и части архимедовых. Его метод изображения стал альтернативным перспективе, причем если перспектива позволяла лишь визуализировать объект на плоскости, то с помощью развертки можно было уже собрать реальную объемную фигуру, сделав ее «осязаемой», что относит построения разверток многогранников к развлекательной математике с ее принципом делать объекты своего изучения «тактильными» (хотя сам Дюрер не рассматривал свои

1 Разверткой поверхности многогранника называется плоская фигура, полученная при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике.

2 Платоново тело, или правильный многогранник, - это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией, всего их пять: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Платон, в честь которого они получили свое название, описал их в своем трактате «Тимей» (360 г. до н.э.), где сопоставил каждую из четырех стихий с определенным правильным многогранником: огонь - тетраэдром (треугольной пирамидой), воздух - октаэдром, землю - гексаэдром (кубом), воду - икосаэдром. Аристотель добавил пятый элемент - эфир, отождествив его с додекаэдром.

Архимедово тело (архимедов многогранник) - высокосимметричный полуправильный выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянном трактате, на который ссылался греческий математик Папп Александрийский, утверждая, что Архимед перечислил 13 подобных фигур. Во времена Возрождения художники и математики переоткрыли их все.

исследования в этом контексте). Как отмечают авторы статьи, технические рисунки Дюрера могут считаться посредниками между практическим и теоретическим знанием. Его методы развертки многогранников быстро распространились по всей Европе. Ими, в частности, пользовался Вольфганг Шмид в своем труде «Первая книга по геометрии» (Das erste Buch der Geometria) 1539 г., и Августин Хиршфогель в книге «Геометрия» (Geometria), опубликованной в 1543 г. (с. 13).

В рамках развлекательной математики XVII-XVIII вв. традиция сгибания бумаги обеспечила как явный, так и неявный способ передачи геометрических знаний. Неявный, так как упражнения по складыванию салфеток напрямую не объявлялись направленными на обучение геометрии; явный, так как введение методов Дюрера в руководства по развлекательной математике имели очевидную математическую направленность - построение разнообразных многогранников. Авторы развлекательной математики подчеркивали, что в их занятиях нет ничего «оккультного», они лишь обеспечивают собой интерес к математике через развлечения, которые относили к трем типам знаний: символически-лингвистическому, визуальному и тактильно-осязательному. Последний тип соответствовал концепции экспериментальной науки Бэкона и декартовскому представлению об открытии геометрических закономерностей через ремесленную работу с конкретными материалами и формами. Являясь малой частью развлекательной математики, складывание бумаги стало в XVII-XVIII вв. ее наиболее репрезентативной частью, способствуя популяризации науки (с. 30).

Р. С. Гранин

2018.03.009. ТВЕРИТНИКОВА Е. ИННОВАЦИОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УЧЕНЫХ УКРАИНСКОЙ ССР В СФЕРЕ АНАЛИЗА, ОПТИМИЗАЦИИ И АВТОМАТИЗАЦИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ ХХ ВЕКА. TVERYTNYKOVA E. The innovative research of Ukrainian scientists in the field of analysis, optimization and automation of energy systems modes in the second half of the 20 th century // Acta Baltica historiae et philosophiae scientiarum. - Tallinn, 2017. - Vol. 5, N 2. - P. 100-107.