Оценка параметров компенсаторов реактивной мощности методом псевдоинверсии Мура-Пенроуза

В. В. Сахаров,

д-р техн. наук, проф., СПГУВК

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ КОМПЕНСАТОРОВ РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТИ МЕТОДОМ ПСЕВДОИНВЕРСИИ МУРА-ПЕНРОУЗА

ESTIMATION OF PARAMETERS OF REACTIVE POWER COMPENSATORS USING THE MOOR-PENROSE PSEUDOINVERSE METHOD

В статье предлагаются алгоритм и компьютерная программа для оценки параметров компенсатора реактивной мощности в трехфазных цепях. Оценка оптимальных параметров статического компенсатора основывается на концепции псевдоинверсии Мура-Пенроуза. Для параметрической оценки представляется программа, составленная в кодах MatLAB.

In this paper we suggest algorithm and a computer program to estimate the parameters of reactive power compensators for 3-phase circuits. Optimal parameters estimation for static compensator is based on the MoorePenrose pseudoinverse concept. The MatLAB codes are used for solving this problem.

Ключевые слова: компенсаторы реактивной мощности, реактивные токи, псевдоинверсия, метод Мура-Пентроуза

Key words: reactive power compensators, reactive currents, pseudoinversion, Moor-Penrose method

И

m

СПОЛЬЗОВАНИЕ на судах статических преобразователей различного назначения с нелинейными элементами и накопителями энергии, а также потребителей электроэнергии, создающих несимметричную на грузку по фазам трехфазной системы с линейными токами, содержащими в своем составе, кроме основной гармоники, ряд высших гармоник, связано с необходимостью улучшения рабочих параметров сети [1]. Наличие повышенных значений токов электрической сети, вызванных реактивным характером нагрузки, приводит к увеличению плотности тока и, как следствие, к повыше -нию вероятности возникновения локальных источников нагрева в местах контактных соединений и повреждений сети.

Реактивные токи могут быть существенно уменьшены за счет компенсаторов реактивной мощности, фактически представляющих собой параметрические оптимизаторы, содержащие реактивные элементы, величины которых должны выбираться в зависимости от конкретного стационарного режима [1; 2].

Наиболее просто статический компенсатор может быть выполнен в виде соединения реактивных элементов по схеме «треугольник». В этом случае процесс оптимизации должен состоять в оценке величин трех элементов,

доставляющих минимум целевой функции (критерий качества) в форме суммы квадратов линейных токов трехфазной системы.

Остановимся на данном вопросе более детально. Рассмотрим трехфазную систему, представленную на рис. 1.

Токи нагрузки 1А , 1В и 1С, кроме основной гармоники, содержат высшие гармоники и могут быть представлены уравнениями:

iA iA1 + ^ iAk,

k-2

n

iB - +x ^,

k-2

p

iC - iCX + ^ iCk, k-2

где m, n, и p — целые числа.

m

С учетом токов через элементы компенсатора (рис. 1), линейные токи можно представить системой уравнений:

IАХ = IА + САВ “ТТ

ш т

d ( \ d dt (BC )— dt

dd dt (CA )— dt

iBX i-B + CBC ^

i-CX iC + CCA ^

Получив мгновенные значения линейных токов с помощью системы уравнений (3, 4, 5), мы можем вычислить их квадраты в любой момент времени и ввести интегральный

квадратичныи критерии качества:

T J(iAX + *BX + iCX)dt T 0

отнесенный к периоду основной гармоники.

Очевидно, независимо от формы кривых токов i , iBX и iCX , мы можем выбрать такие значения емкостей (индуктивностей) компенсатора, которые доставляют минимум (7).

Заметим, что в систему уравнений (3, 4, 5) параметры CAB, CBC и CCA входят линейно и, следовательно, могут быть оценены по экспериментальным данным с помощью статистических методов оценки. Поскольку задача параметрической оптимизации не содержит ограничений на переменные состояния, она может быть решена путем взятия частных производных от (7) по переменным CAB, CBC и CCA и приравнивания их к нулю. После преобразований результирующие уравнения для оценки численных значений емкостей будут равны:

^Vm (4CAB + CBC + CCA )= _(3lAlm Sin Wl —

- lA1m COS Wl + ^3IBlm Sin Wl + 1 Blm COS Wl ^

Vm (CAB + 4CBC + CCA )= -(3lBlm Sin Wl —

- 1 Blm COSWl + V3IClm Sin Wl + 1 Clm COSWl ),

^Vm (C AB + CBC + 4CCA )= (F31 Clm SinWl —

- 1 Clm COS Wl + S1 Alm Sin Wl + 1 Alm COS Wl ),

где 1 Alm , IB1m и IC1m — амплитудные зна-

чения токов первых гармоник токов нагрузки IА, 1В и ¡С соответственно;

¥ l, ¥ 2 и у 3 — фазовые углы между векторами токов и векторами соответствующих напряжений.

Решение системы уравнений (8, 9, 10) относительно искомых параметров может быть получено средствами символьной математики и имеет вид:

C =--

C AB

l

CoV_

l Т

^31 Alm SinWl - 1 Alm COS Wl +

+ V3 1 Blm Sln^l + 1 Blm COSWl

C =-

CBC

l

CoV„

l i-

1 Blm SinWl - 1 Blm COSWl +

+ ^ß 1 Clm SinWl + 1 Clm COSWl

C = -

CCA

l

CoVm

^3 1 Clm SinWl - 1 Clm COS Wl +

+ 73 1 Alm SlnWl + 1 Alm COS Wl

Если любая из оцениваемых с помощью системы уравнений (11, 12, 13) величин будет иметь отрицательные значения, это означает, что в качестве соответствующего элемента компенсатора должна использоваться индуктивность.

Если теперь рассчитанные по уравнениям (11, 12, 13) емкости установить между линейными проводами (рис. 2), можно получить линейные токи исследуемой трехфазной системы:

iAX = 1 cm )

iBX = 1 cm Sin

iCX = 1 cm Sin

' C ^

cot —n

У 3 J

' C '

ot + — n

У

3

J

где Icm = 3 (lAlm C0S ¥l + IB1m C0S ¥2 + 1 C1m C0S ¥3 )•

Представляет интерес процедура минимизации критерия качества (7), основанная на

l

Выпуск 1

последовательном анализе тока каждой линии. С этой целью основная задача подразделяется на ряд простых подзадач, решение которых сопряжено с меньшим объемом вычислений, что важно для реализации компьютерного управления судовым электроэнергетическим комплексом. Значения искомых параметров компенсатора на конечном этапе вычислений определяются по промежуточным расчетам с помощью простых соотношений.

Рассмотрим трехфазную систему с раздельной компенсацией линейных токов, представленную на рис. 2. Такое разделение возможно согласно соотношениям (11, 12, 13). Исходя из рис. 2, а и уравнений (1, 2, 3), линейный ток ? :

IАХ = А + ^ ^Ак + САВ~Г

к-2 Ш Ш

т

106]

Рис. 2. Трехфазная система с раздельными компенсаторами токов нагрузки

Предположим, напряжения УАВ, УВС и УСА равны:

УАВ =У>п

УВС =У^п

УСА =УмЫп

Тогда параметрическая минимизация квадрата тока (17) приводит к необходимости решения следующей системы уравнений:

оУ„ (2САв + С"а )= -2/а1„5!п (<Р1 - Ф1) (20

оУ. Сав + 2ССа )= -2/а1„=!п

Пусть ф1 - 30°, ф2 --90° и ф3 - 150°. Тогда составляющие компенсатора можно записать следующим образом:

С = -

САВ

С = -

ССА

А1т

соУ„ I

т V

с

А1 т

Тз

81П у/1 - 008 /

оУт

V

л/3

Если теперь подключить С'АВ и С''СА согласно рис. 2, а, нетрудно убедиться в равенстве нулю первой гармоники х .

Аналогично можно получить компенсирующие емкости, требуемые для минимизации среднеквадратичных значений токов ¡В и ¡С . Для цепей, представленных на рис. 2, б и 2, с они определяются с помощью формул:

С' _ -

^ ВС

I

В1 т

юУ

вту 2 - сову 2

С' 1В1т

АВ ~ юУ.

а также:

С' _ С1т

СА _

юУ,

С" — С1т

^ВС

юУ

1

73 1

13

—^вту 3 - сову 3 л/ 3

вту 1 - сову 1

вту 3 - сову 3

Сравнивая уравнения (8)—(10) и (23)-(27), мы видим, что

Сав =Сав + САв)/2,

СВС = (с'вс + СВС)12,

Сса =(С’Са + С'са)/ 2.

1

Эти значения обеспечивают сбалансированность линейных токов трехфазной системы и напряжений, определенных системой уравнений (14)-(16).

Для получения значений параметров (28)-(30) предлагается вычислительный алгоритм оценки оптимальных параметров по результатам измерений (экспериментальным данным). Задача параметрической оптимизации фактически состоит в оценке параметров модели, полученной для переопределенной системы уравнений методом Мура-Пенроуза. Система уравнений составляется следующим образом.

Разделим период основной частоты Т на N интервалов. Тогда интегральный критерий качества (7) для тока г 'АХ может быть представлен в виде суммы:

Л =1 j-i

iA,+ Сав^,

где под знаком суммы в (31) согласно (17) содержатся значения тока г'АХ в дискретные моменты времени ] = 1, 2, ..., N.

Обратим внимание на то, что i' Aj , V

ABj

CAj

являются известными величинами для

всех ] _ {1, . Кроме того, исключая ] _ 0,

мы можем определить значения производных для напряжений и, таким образом, записать переопределенную систему уравнений в векторно-матричной форме:

иА=d dt

Ua

Ua

- UcAX -Uc

U ABN

Uс

Ca -Cab CCaУ

~A=1

lA\ lA2

*AN

Г.

Тогда IА _ иА • СА и, следовательно, оптимальная оценка СА определится с помощью формулы:

Ca = (UA  Uа )-1  ¿~А  ~а =

AB

CA

Аналогично можно записать оценки параметров, относящихся к линейным токам

1 в и 1С :

Cb = (UB  ив )-1  UB  ~в = Сс = (UC  Uc)-1  итс  ~с =

C

BC

C

AB .

C

CA

C

BC

которые на заключительном этапе позволяют получить параметры компенсатора CAB , CBC и ССА согласно системе уравнений (28)-(30).

Для реализации процедуры оценки параметров компенсатора с помощью соотношений (35)-(37) рассмотрим следующий пример [2]. Предположим, что токи нагрузки равны:

iA = 11,695  sin(t - 86,07°}- sin(5t),

iB = 9,580  sin(t + 154,8°)+ 2  sin(5t + 120°),

iC = 10,999  sin

а напряжения определяются уравнениями:

uAB = 42 *43  sin (t + 30°), uBC = 42 *43  sin(t - 90°) uCA =42 *43  sin (t+150°).

Разделим период T = 1 на N = 50 равных частей, и для решения задачи составим скрипт-файл sah222.m в среде MatLAB:

% sah222.m

% Parameter estimation for 3-phase circuit compensator.

N=50;

t1=1:N;

t=(2*pi/50)*t1;

% Data for estimation: Ia=11.695*sin(t-86.07*(pi/180))+sin(5*t); Ib=9.580*sin(t+154.8*(pi/ 180))+2*sin(5*t+120*(pi/180));

Ic=10.909*sin(t+43.97*(pi/180))+3*sin(5*t-

120*(pi/180));

I=Ia+Ib+Ic;

plot(t,Ia,t,Ib,t,Ic,t,I,’*’),grid

pause

Vca=sqrt(2)*sqrt(3) *sin(t+150*(pi/180));

Vab=sqrt(2)*sqrt(3)*sin(t+30*(pi/180));

Vbc=sqrt(2)*sqrt(3)*sin(t-90*(pi/180));

% Voltage derivatives: Uca=sqrt(2)*sqrt(3)*cos(t+150*(pi/180));

2

и

T

Выпуск 1

Uab=sqrt(2)*sqrt(3)*cos(t+30*(pi/180));

Ubc=sqrt(2)*sqrt(3)*cos(t-90*(pi/180));

% Параметрическая оценка методом псевдоинверсии Мура-Пенроуза.

L1=[Uab’ -Uca’]; a1=L1\(-Ia’);

L2=[Ubc’ -Uab’]; a2=L2\(-Ib’);

L3=[Uca’ -Ubc’]; a3=L3\(-Ic’);

% Optimal parameters: Cab=(a1(1)+a2(2))/2;

Cbc=(a2(1)+a3(2))/2;

Cca=(a3(1)+a1(2))/2;

% Modeling:

Iax=Ia’+L1*[Cab Cca]’;

Ibx=Ib’+L2*[Cbc Cab]’;

Icx=Ic’+L3*[Cca Cbc]’;

% Graphics:

plot(t,Ia’,’k’,t,Ib’,’k’,t,Ic’,’k’,t,Iax,’k’,t,Ibx,’k’ ,t,Icx,’k’), grid

'42))/N

% Cost before parametric optimization: Jo=(sum(Ia.A2)+sum(Ib.A2)+sum(Ic.A2))/N % Cost after parametric optimization: Jopt=(sum(Iax.A2)+sum(Ibx.A2)+sum(Icx.

i

% Ratio:

K=Jo/Jopt

Величины UAB, UBC и UCA есть производные напряжений VAB, VBC и VCA. Принятые в файле обозначения полностью соответствуют вышеприведенным соотношениям.

В результате расчетов получены следующие параметры: C = 2,5001, C = 1,9987

и CCA= 2,9966.

Кривые токов трехфазной системы приведены на рис. 1.

Критерий качества для системы без компенсации составил J0 _ 180,7779, а для системы с параметрической оптимизацией

'1оРг _ 9,9918 . Отношение к _ J0/ Jopt _18,1.

Параметрическая оптимизация компенсатора

*

о

к

£

к

cd

В

108]

Рис. 3. Токи трехфазной системы без компенсатора

Список литературы

1. Арриллага Дж., Брэдли Д., Боджер П. Гармоники в электрических системах: пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 320 с.

2. Гринкевич Я. М., Сахаров В. В. Наблюдатели и оцениватели состояния в судовых системах управления. — СПб.: СПГУВК, 2001. — 193 с.