Математическая взаимосвязь некоторых физико-механических и геометрических характеристик в задачах технической теории пластин

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 539.3

В.И. Коробко, А.А. Черняев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЗАИМОСВЯЗЬ НЕКОТОРЫХ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧАХ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН

На основе вариационного представления собственного значения дифференциального уравнения свободных колебаний мембраны и конформного представления внутренности ее области при отображении на единичный круг, а также математической аналогии задач колебаний, устойчивости и поперечного изгиба пластин и мембран установлена математическая взаимосвязь некоторых физико-механических характеристик напряженно-деформируемого состояния с конформными радиусами.

Техническая теория пластин, устойчивость, свободные колебания, поперечный изгиб, пластины в виде круга, правильного многоугольника, треугольника и ромба, конформные радиусы

V.I. Korobko, A.A. Chernyaev

MATHEMATICAL RELATIONSHIP BETWEEN THE PHYSICAL, MECHANICAL AND GEOMETRICAL CHARACTERISTICS RELATING THE TECHNICAL THEORY OF PLATES

The paper identifies a mathematical relationship between the physical and mechanical characteristics of the stress-strain state with conformal radii on the basis of variation representation of the eigenvalue to the differential equation of free oscillations in the membrane and con-formal representation of its inner side when displayed on the unit circle, as well as the mathematical analogy to the fluctuations, stability and transverse-bend of the plates and membranes.

Technical plate theory, stability, free vibrations, cross-bending, round plate, regular polygonal, triangular and rhombus forms, conformal radiuses

Введение

Все задачи технической теории пластинок сводятся к решению краевых задач для одного или нескольких дифференциальных уравнений с двумя переменными. Нахождение точных решений этих уравнений возможно лишь в ряде частных случаев, наиболее элементарных: круглая и кольцевая пластинки под осесимметричной нагрузкой; прямоугольная пластинка, две стороны которой шарнирно оперты, а две другие имеют произвольные граничные условия, эллиптическая пластинка, жестко защемленная по контуру, под равномерно распределенной нагрузкой и ряд других задач. Во всех остальных случаях используют приближенные методы.

Вариационные методы В. Ритца - С.П. Тимошенко, И.Г. Бубнова - Б.Г. Галеркина, Е. Треффца, Л.В. Канторовича - В.З. Власова и другие применимы в основном для пластинок в виде прямоугольника, правильного треугольника или в виде сектора. Они достаточно сложны и трудоемки и дают приближение к искомой функции с одной стороны.

Численные методы: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), метод последовательных аппроксимаций (МПА) и другие достаточно эффективны. Однако для обеспечения высокой точности решений, как правило, требуют из-

мельчения сетки, что вызывает необходимость привлечения мощных ЭВМ. При их использовании производится однократный расчет, при котором теряется физический смысл задачи, и отсутствует возможность отследить поведение искомого решения, при изменении геометрических параметров и формы пластинки.

Метод Я-функций Рвачёва, методы коллокаций, метод компенсирующих нагрузок и другие в некоторых случаях являются более предпочтительными по сравнению с вариационными и численными. Однако они так же являются достаточно трудоемкими и во многих случаях неприменимы к задачам, связанным со сложными формами пластинок и комбинированными граничными условиями.

В тех случаях, когда необходимо оперативно получить оценку некоторой интегральной физико-механической характеристики (ФМХ) или не требуется высокая точность решения, что особенно актуально на начальной стадии проектирования, часто применяют геометрические методы. Такие методы позволяют избежать решения сложных дифференциальных уравнений, не требуют мощных ЭВМ и сводятся к геометрическому моделированию формы плоской области (пластинки). При этом выбирается, геометрическая характеристика формы области, выступающая в роли основного аргумента-критерия, по которому оцениваются искомые решения. Среди геометрических методов следует отметить изопериметрический метод (ИЗПМ), примененный впервые всемирно известными математиками Г. Полиа и Г. Сёге для решения некоторых задач математической физики [1], а для решения двумерных задач строительной механики и теории упругости - одним из авторов настоящей статьи [2]. Более перспективным является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) [3], разработанный профессором А.В. Коробко, являющийся логическим развитием ИЗПМ. В этих методах в качестве геометрического аргумента для определения интегральных ФМХ пластинок используется интегральная характеристика формы плоской области, названная одним из авторов термином «коэффициент формы». Подробнее с этой характеристикой ее изопериметрическими свойствами и закономерностями изменения при различных геометрических преобразованиях области можно познакомиться в работах [2, 3].

В настоящей статье для решения задач технической теории пластин предлагается использовать новые интегральные геометрические характеристики формы - внутренний и внешний конформные радиусы и их отношение.

Конформные радиусы как аргументы по отдельности широко используются при решении многих прикладных задач математической физики, гидро- и аэродинамики, магнитогидродинамики и др. [1, 4], а в технической теории пластин впервые было использовано в 1994 году как их отношение при исследовании задач устойчивости [5].

Конформные радиусы

Конформные радиусы - это радиусы, получаемые при конформном отображении плоской области на внутренность и внешность круга [1, 4]. Формулы для нахождения внутреннего Г (здесь и далее подразумевается его максимальное значение) и внешнего Т конформных радиусов для ряда од-носвязных областей с выпуклым контуром имеют следующий вид [1, 6]:

- для круга радиуса а -

Т = а, Т = а ;

- для правильных «-угольников -

г = 2 Г

1-- ( 1 ^ ( 1 1 ^ 1+- ( 1 ^ ( 1 1

2 " ГУ - -„) 2 " ГУ +«

где " - число сторон; Ь - здесь и далее периметр; Г(х) - здесь и далее Г-функция (Гамма-функция);

- для произвольных треугольников с углами яа, яР, лу -

г = 4л- /

1 Г Х ] 12

где /(х) = г( ) |"(-уТХ| ; Р - радиус описанного круга, где А - площадь;

- для равнобедренных треугольников с углами а = Р выражения (3) примут следующий вид:

г = 4л- /2 (а)/ (у)-р; г = С*§ а'Л

лг

где а - равный угол при основании; Л - высота;

- для прямоугольных треугольников (а = л/2) из выражения (3) следует

2

_ 81п2а- с г = -

4лг

где а - угол при гипотенузе; с - гипотенуза; - для ромбов с углом ла

л

12

г =

л ^ г^сс

- для эллипсов с полуосями а и Ь

Ь, г =

л

12

8ГЦ -а) Г[

Ь

г = г ! Е ^

г (и+1) I

-1

-1

I п=0

1 + 2 Е

I п=1

а + Ь

г =

где q = (а - Ь)2/(а + Ь) ;

- для прямоугольников со сторонами а и Ь

. 2

г1 = — Ь л

1 + 2 Е

п=1

-2

а 2 £ ((2к -1)!!)2 2к

— = л соб2 а Е^^—Ч— соб а; г к=о22к (к +1)!к!

Ь .2 £ ((2к-1)!!)2 . 2к

— = л Б1П2 а Е -^77—^-г— эт а,

г к=о2 (к + 1)!к!

ла

где q = е Ь , а - аргумент комплексных чисел (точек окружности, образами которых при конформном отображении служат вершины прямоугольника); (-1)!! = 1.

Для круга, правильных и-угольников, треугольников и ромбов площадь А областей указанных форм можно представить через внутренний г и внешний г конформный радиусы

А = л г г .

Для правильных и-угольных и ромбических областей равенство (9) следует из выражений для г и г как данных, которые выводятся из формулы Э.Б. Кристоффеля - Г.А. Шварца, для треугольных установлено Х.Р. Хиги.

Далее будем рассматривать только эти области.

2

2

2

Задачи технической теории пластин, решаемые геометрическими методами. Их взаимосвязь

Рассматриваемые в работе задачи технической теории пластинок описываются дифференциальными уравнениями эллиптического типа четвертого порядка [7]: - устойчивость пластин

Б

("ч4

Э w

+2

+

4

Э w

Эх4 Эх2Эу2 Эу2)

- свободные колебания пластин

= ^0

22 Э w Э w

+

Эх2 ду2;

В

(э4^ „ э4^ э4^

Эх4

+ 2

Эх2Эу2 Эу2)

+ -

-т-

Э2^ Эг2

- поперечный изгиб пластин

В

(Э4^ „ Э4^ э4^^

• + 2

+

Эх4 Эх 2Эу2 Эу2)

Ч

где В = Ек3/12(1 - V2) - цилиндрическая жесткость пластины; Е - модуль упругости материала первого рода; к - толщина пластины; V - коэффициент Пуассона; д0 - интенсивность сжимающей нагрузки; т - масса единицы площади пластины; Ч - интенсивность поперечной нагрузки; w = ^(х, у) = w0/(х, у) - функция прогибов.

Выражения (10)-(12) можно записать в сокращенном виде:

В А2 А2 w - а А2 w = 0,

^ о '

ВА2 А2w -ю 2mw = 0, ВА2 А2 w - а = 0,

где А - оператор Лапласа; ю - частота свободных колебаний пластины.

Из (13) видна математическая аналогия приведенных дифференциальных уравнений. Представим функцию прогибов в виде произведения максимального прогиба w0 на единичную функцию /х, у), удовлетворяющую условию 1 >/х; у) > 0:

w = w(x, у) = Wо/(х, у) .

Подставив (14) в дифференциальные уравнения (10)-(12) и проинтегрировав их по площади А, получим следующие выражения для определения соответствующих интегральных физико-механических характеристик (ФМХ) в рассматриваемых задачах [2, с. 231]:

Wо = "ВА/[1 А2 А2/dA,

(ю0)2 = ВЦ А2А2/dA I[[/dA,

т

= ВЦ А2 А2^А/Ц А2/dA,

где w0 - максимальный прогиб пластины; ю0 - основная частота свободных колебаний; а0,сг - критическое усилие при потере устойчивости.

Математическая аналогия интегральных физико-механических характеристик пластин с конформными радиусами

В [1, с. 139] с помощью вариационного представления собственного значения дифференциального уравнения свободных колебаний мембраны

I2 = ю 2тт1р,

где ют - частота свободных колебаний мембраны; т - масса единицы площади мембраны; р - интенсивность равномерного растяжения мембраны и конформного представления внутренности ее области при отображении на единичный круг, получено следующее неравенство:

2 /2

12 ~Г"|2--П2—'

Ы +У 2 +У з Ы + к

где j = 2,4048... - первый положительный корень бесселевой функции J0(x); ск - коэффициенты разложения в степенной ряд функции, осуществляющей взаимно однозначное конформное отображение области мембраны на единичный круг < 1;

Ю = /

ук - отношение интегралов, вычисляемых через квадраты бесселевых функций:

1 /1 Ук = к21 [лор)]2 Р^Ф/| [ЛОР)]2 Р Ф,

где р = t/r (j) - переменная функция прогибов f= g(p) с линиями уровня, подобными контуру мембраны и подобно расположенными; t = г(ф) - полярное уравнение контура мембраны.

В выражении (17) равенство достигается для круглой мембраны. При к ^ œ параметр в этом выражении стремится к своему действительному значению. При этом скорость сходимости ряда в знаменателе существенно зависит от степени «правильности» (в смысле близости формы мембраны к круглой): чем «правильнее» форма мембраны, тем быстрее сходится этот ряд.

С учетом известной мембранной аналогии [5], согласно которой собственное значение дифференциального уравнения свободных колебаний мембраны с точностью до размерного множителя равно собственному значению дифференциального уравнения устойчивости пластины полигональной формы с шарнирно опертым контуром

Ь2 = w2 m/D ,

от действия усилия равномерного всестороннего сжатия, форма которой совпадает с формой мембраны, неравенство (17) можно переписать применительно к задаче устойчивости пластин [5, с. 88]:

j2 в

Ч КР -у,

г2 • [1+1 у с)

где Г - внутренний конформный радиус области, равный модулю первого коэффициента разложения (18): г = |с] |.

Выражение (20) позволяет находить значения критического усилия шарнирно опертых полигональных пластин, равномерно сжатых по контуру, с высокой точностью при удержании большого числа членов в разложениях (18) (порядка 5.8).

Определение коэффициентов с является крайне сложным и трудоемким процессом, в особенности для пластин сложных форм [8], что существенно снижает эффективность использования выражения (20). Однако этот недостаток можно преодолеть.

Для круга, правильных «-угольных, треугольных и ромбических областей справедливо равенство (9). Преобразуя выражение (20) с учётом (9) [5, с. 96-97] для таких областей получим

кБ г рк В 40, кр £---к-у - Т  Т-к-у 'А' <22)

r2

1 +1 g С I ' 1 +1 g кС

v 1

Гк^2

где к - некоторая числовая константа, обращающая это выражение в равенство для круглых пластин (в случае шарнирного опирания к = j2 = 5,783, в случае жесткого защемления к = 14,79).

Неравенство (22) дает асимптотически точные значения. Удерживая в разложении отображающей функции лишь первый член ряда и записав для удобства дальнейшего анализа отношение конформных радиусов в обратном виде, получаем менее строгое выражение [5, с. 97]:

1

& ^ 1 В

Ч0,* <Рк{-=) • А <23)

Выражение (23) устанавливает следующую закономерность в задаче устойчивости равномерно сжатых по контуру пластин: отношение конформных радиусов г/г , подсчитанное для области, ограниченной контуром пластины, является единственным аргументом, определяющим верхнюю величину критического усилия при потере устойчивости (цилиндрическую жесткость В и площадь А считаем заданными). Эта закономерность позволяет, не решая дифференциального уравнения устойчивости пластины (10), а рассматривая лишь элементарную геометрическую задачу, связанную с анализом изменения отношения конформных радиусов Г/г , оценивать и качественную, и количественную

стороны рассматриваемой задачи.

Следует отметить, что выражение (23) является предпочтительнее выражения (21), поскольку в нём имеется безразмерный параметр Г/г , в то время как в (21) имеется размерная величина & . При использовании формулы (23) необходимо анализировать лишь форму пластины, а при использовании (21) требуется учитывать ещё и масштаб (размеры) пластины.

На основании математической аналогии (15) можно получить аналогичные выражения для двух других рассматриваемых задач:

, & \л/В/т

ю0 <Ркх -^А-,

&Л дА2

Wо <Рк2 ) -В 5

где к\ и к2 - числовые константы, обращающие эти выражения в равенство, и сделать аналогичные выводы. В этих неравенствах при шарнирном опирании по контуру правильных «-угольных пластин (п ^ да) кг = 5,783, к2 = 1,964; при жестком защемлении круглых пластин кг = 10,21, к2 = 0,504.

Заключение

Выражения (23)-(25) устанавливают следующие фундаментальные закономерности в задачах устойчивости, свободных колебаний и поперечного изгиба пластин. Отношение внутреннего к внешнему конформных радиусов, подсчитанных для областей, ограниченных их контуром, является единственным геометрическим аргументом, полностью характеризующим их форму и определяющим величины критического усилия, основной частоты колебаний и максимального прогиба (цилиндрическую жесткость, погонную массу и площадь считаем заданными или равными единице).

Эта закономерность позволяет, не решая дифференциальных уравнений (10)-(12), а рассматривая лишь элементарную геометрическую задачу, связанную с анализом изменения отношения конформных радиусов, оценивать и качественную, и количественную стороны соответствующих интегральных физико-механических характеристик.

ЛИТЕРАТУРА

1. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: КомКнига, 2006. 336 с.

2. Коробко В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода. М.: АСВ, 1997. 390 с.

3. Коробко А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. М.: АСВ, 1999. 320 с.

4. Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 324 с.

5. Коробко В.И., Хусточкин А.Н. Изопериметрический метод в задачах устойчивости пластинок. Ростов-н/Д.: Северо-Кавказский научный центр высшей школы, 1994. 146 с.

6. Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В. Электростатика на плоскости. Нормировка потенциала. Емкости уединенного проводника и линии относительно точки. Конформные радиусы // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2005. № 1. С. 32-38.

7. Коробко В.И., Коробко А.В. Строительная механика пластинок: Техническая теория. М.: Спектр, 2010. 410 с.

8. Власов В.И., Пальцев А.Б. Аналитико-численный метод конформного отображения сложных областей // Доклады Академии наук. 2009. Т. 429. № 1. С. 12-14.

Коробко Виктор Иванович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Строительные конструкции и материалы» Орловского государственного университета

Черняев Андрей Александрович -

доцент кафедры «Строительные конструкции и материалы» Орловского государственного университета

Viktor I. Korobko -

Dr. Sc., Professor,

Department of Building Structures and Materials, Orel State University

Andrew A. Chernyaev-

Associate Professor,

Department of Building Structures and Materials, Orel State University

Статья поступила в редакцию 15.12.15, принята к опубликованию 10.06.16