Численное моделирование процессов теплообмена в твердотельном термостатирующем устройстве

1

МЕХАТРОНИКА

УДК 615.478.5

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА В ТВЕРДОТЕЛЬНОМ ТЕРМОСТАТИРУЮЩЕМ УСТРОЙСТВЕ О.В. Белова, М.А. Корнеева, Д.А. Мустафина

Представлены результаты расчетных исследований теплового состояния термостатирующего устройства на термоэлектрических элементах Пельтье. Для проведения исследований был разработан метод расчета в динамическом режиме, включающий расчет на основе одномерной модели, уточненный на основе трехмерной модели. Метод позволяет решать различные задачи совершенствования конструктивных параметров и разработки новых устройств подобного рода.

Ключевые слова: полимеразная цепная реакция, теплопроводность, термоэлектрические элементы Пельтье, радиатор, численное моделирование.

Введение

Термостатирующие устройства широко применяются в технике для поддержания заданной температуры в течение определенного промежутка времени. Иногда, помимо термостатирования объекта, необходимо изменять его тепловое состояние в соответствии с требуемым законом. Тогда возникает задача разработки методики, которая позволяла бы реализовывать программы управления с необходимыми скоростями нагрева/охлаждения и точностью поддержания температур.

Конструктивные схемы термостатирующих устройств в зависимости от используемого рабочего тела (газ, жидкость или твердое тело) можно разделить на пневматические, гидравлические и твердотельные. В данной работе рассматривается твердотельное термостатирующее устройство на термоэлектрических элементах Пельтье (рис. 1) для проведения медико-биологических исследований. Такой прибор обладает возможностью расширения рабочего диапазона температур и удобством эксплуатации. Пробирки с образцами 1 объемом 0,2 мл устанавливаются на пластине-держателе 2, содержащей 96 лунок под пробирки и цилиндрические углубления для снижения массы и инерционности детали. Подвод и отвод теплоты осуществляется с помощью термоэлектрических элементов Пельтье 3. Производится дополнительное конвективное охлаждение системы с помощью радиатора 4.

Рис. 1. Твердотельное термостатирующее устройство: 1 - пробирки с образцами; 2 - пластина-держатель; 3 - термоэлектрические элементы Пельтье;

4 - воздушный радиатор

Устройство работает по циклу, примерный вид которого представлен на рис. 2. Цикл состоит из четырех периодически сменяющих друг друга режимов: 1 - нагрев; 2 -охлаждение; 3 - выдержка при верхней температуре; 4 - выдержка при нижней температуре. В соответствии с каждым режимом изменяются величина и направление вектора плотности тока в термоэлементах. Закон изменения вектора плотности тока представляет закон управления термостатирующим устройством. Подбором этого закона можно добиться получения требуемой точности поддержания температур и скоростей нагрева/охлаждения.

Рис. 2. Режим работы амплификатора: 1 - нагрев до Т1, 2 - охлаждение до Т2, 3 - выдержка при Т1, 4 - выдержка при Т2

Известные методы расчета подобных термостатирующих устройств [1, 2] исследуют только статические тепловые состояния, что не позволяет эффективно рассмотреть тепловое состояние в динамическом режиме работы и оценить неоднородность теплового поля отдельных элементов устройства.

Целью работы является разработка метода расчета твердотельных термостати-рующих устройств в динамическом режиме для проведения оценок влияния различных параметров и определения величины неоднородности элементов конструкции, а также закона управления.

При моделировании предполагалось, что рабочей температурой устройства является температура пластины-держателя в реперной точке; все материалы элементов конструкции однородны по составу и изотропны по свойствам; контакты между элементами идеальны; боковые поверхности теплоизолированы. Пробирки с образцами в рассмотрение не принимались.

Теплофизические свойства материалов, которые считаются постоянными, приведены в табл. 1. Теплопроводность полупроводника, а также некоторые его термоэлектрические свойства (удельное сопротивление и коэффициент Зеебека) являются функциями от температуры и приведены в [3].

Схема расчетной области изображена на рис. 3. Уравнение нестационарной теплопроводности для теплового блока записывается следующим образом:

ТI т<

г

Математическая модель

д

Наименование Материал Теплопроводность, Вт/(м-К) Теплоемкость, Дж/(кг-К) Плотность, кг/м3

1 Пластина-держатель Алюминий 200 953 2750

2 Подложка Поликор А1203 32 79.04 3970

3 Спай Медь 360 410 8900

4 Полупроводник Б12Теэ .ЛТ) 390 7860

5 Радиатор Алюминий 200 953 2750

6 - Воздух 0,025 1006 1.205

Таблица 1. Теплофизические свойства материалов

Начальное условие: Т (Ц )| т=0 = То. Граничные условия:

( • T, п)) = а1 • (( - ^ 1 )) ,

(5 • ёГа^ T, п)) = а5 • (Т5 - Т/5 )) ,

где ТГг, К - температура окружающей среды; аi, Вт/(м -К) - средний по поверхности

коэффициент теплоотдачи воздуха со стороны соответствующего элемента; п - единичный вектор внешней нормали. На остальных поверхностях устройства тепловые потоки отсутствуют. Источниковые члены в уравнении теплопроводности (1) записываются в виде [4]

яп= Т , Вт/м3,

но для пластины-держателя ( 01), радиатора ( О 5) и подложек ( О 2) - в виде

0, /=1, 2, 5,

а для полупроводника (О 4) и спаев (О 3) объемная плотность мощности тепловыделения источника является функцией величины силы тока и определяется эффектами, возникающими в термоэлементах, т.е. эффектами Пельтье, Томсона и Джоуля [5].

Рис. 3. Схема расчетной области: О1 - пластина-держатель; О 2 — керамические подложки; О 3 — медные спаи; О 4 — полупроводник; О 5 — радиатор

Особенности моделирования термоэлементов Пельтье

Эффект Пельтье, возникающий в спае, заключается в том, что при пропускании постоянного тока через термоэлемент в месте контакта двух металлов выделяется или

поглощается некоторое количество теплоты. Выделение или поглощение теплоты зависит от направления тока: для горячего спая

0Р = е• Т• 7о • Вт,

для холодного спая

Ор =-е •Т • 7о А, Вт,

где е = ер + е"\, В/К - коэффициент Зеебека (е", В/К - коэффициент Зеебека для п-ветви; ер, В/К - коэффициент Зеебека для р-ветви); Т, К - температура соответствующего спая; у0, А/м2 - величина плотности тока; А0, м2 - площадь сечения ветви. Таким

образом, в объеме полупроводника высотой Н4 возникает градиент температур, который при пропускании тока приводит к появлению эффекта Томсона:

От =Тт

( де Л

где тТ = ТI — I, В/К - коэффициент Томсона. Кроме того, в объеме полупроводника

\дТ )

выделяется теплота под воздействием эффекта Джоуля:

= ]02 гн4• Вт,

где удельное электрическое сопротивление ветвей термоэлемента складывается из сопротивления п- (г", Ом/м) ир-ветвей (гр, Ом/м):

г =

При моделировании процессов использовалась эффективная модель, для которой считается, что выделение и поглощение теплоты происходит по всему объему соответствующего слоя. Тогда источники пересчитываются для полученного эффективного объема. Таким образом, слагаемые, входящие в состав источникового члена для спая, примут следующий вид:

0, для холодного спая;

^ 3 =

£рз =

к

• е • у0 •Т, Вт/м3, для горячего спая,

3 £

• е• у0, Вт/(к • м3), для холодного спая;

0, для горячего спая,

где У3, м3 - эффективный объем спая; N - число ветвей в нагревательном элементе. Тепловые источники и стоки, возникающие в объеме полупроводника (У4, м3 - эффективный объем полупроводника), имеют вид

АС 3 =

N•5*0 • Н4

V,

• 72 •г,Вт/м3, если [ —I — > 0;

дТ) дг

N•50• Н 4 Ул

2 +( де Л дТ . Т

7 -г+[дТ^•аГ--7^74

,Вт/м3, если

де Л дТ

5Р3 =

N•£0 • Н4 (де Л дТ / 3 ч (де Л дТ

дТ\It-J,Вт/(м -к),если I дТ [ц:>0;

ул

\дТ) дг де Л дТ

дТ) дг Т

дТ ) дг

< 0,

0, если I — I--< 0.

I дТ ) дг

Решение задачи в одномерной постановке

Для сокращения затрат времени работоспособность системы охлаждения исследовалась в одномерной постановке (рис. 4). Для этого вводились эффективные коэффициенты, характеризующие такие параметры радиатора, как его размеры и поверхность теплообмена. Этими коэффициентами являются эффективный коэффициент теплоотдачи1, показывающий изменение площади радиатора при переходе к одномерной модели, р

а = а

и коэффициент преобразования объема V

К5 = -Ц

5 V/

где V, кг - приведенный объем радиатора; V5, кг - реальный объем радиатора. Тогда плотность этого элемента конструкции можно представить в виде эффективной плотности р5, кг/м3:

Р5= К5 • Р5 ,

где р5 , кг/м3 - плотность материала радиатора.

Рис. 4. Построение одномерной модели

Кроме того, для учета изменения геометрии пластины-держателя был введен коэффициент преобразования его объема, и плотность элемента рассчитывалась по следующей формуле:

Р1 = К

3 V

где р1, кг/м - плотность пластины-держателя; К1 = — коэффициент преобразования

объема, У1, кг - приведенный объем пластины-держателя; У1, кг - реальный объем. Для

определения закона изменения вектора плотности тока в термоэлементах, или закона управления, необходимо решить обратную задачу, где неизвестным является источни-

ковый член (у0) (/ =3, 4).

Обратная задача теплопроводности в рассматриваемом случае выражается следующим функционалом [7]:

1 Использование эффективного коэффициента теплоотдачи возможно при малых числах Био; в данном

случае [6] Вг =0^ = 10,64'0,031 = 0,00165<<1.

200

ф

0

где Тм (х), К - температура в реперной точке, равная соответственно температуре верхней или нижней выдержки; Т (х, 70), К - температура, получаемая при решении уравнения теплопроводности. На каждом к-м шаге по времени имеем:

Р

Таким образом, решение обратной задачи сводится к отысканию минимального значения функции Р (хк, 70), которым в данном случае является ноль, тогда можно перейти к уравнению вида

/х,X) = Т

Для решения уравнения (19) использовался метод половинного деления [8]. Для этого необходимо выбрать диапазон изменения плотности тока [7тт, 7тах ], на котором функция непрерывна, причем

Р

Р

Если условие (20) не выполняется, то плотность тока равна 70 = 7тт, и уравнение (19) не решается. Аналогично для условия (21), тогда плотность тока равна 70 = 7тах . В таком случае температура становится больше или меньше температуры выдержки на величину, большую, чем погрешность вычисления в . Это отклонение определяет точность поддержания температур. Отрезок [7тт,7тах] был выбран из возможностей термоэлементов: 7тах-

максимальная плотность тока, которую можно подать на термоэлементы, 7тт - минимальная плотность тока, с которой способна работать установка без прекращения подачи тока.

Величина Обозначение Значение Размерность

Граничные и начальные условия

Коэффициент теплоотдачи со стороны пластины-держателя а1 5 Вт/

Температура окружающей среды со стороны пластины-держателя T 1f i 308 K

Температура окружающей среды со стороны радиатора T 1f 5 308 K

Начальное условие То 293 К

Параметры циклирования

Верхняя температура выдержки Ti 367 К

Нижняя температура выдержки Т2 318 К

Время выдержки т' = т'' 10 с

Геометрические параметры

Коэффициент преобразования объема пластины-держателя 0.6215 -

Эффективный объем спая 3,18Т0-6 м3

Эффективный объем термоэлемента V%4 15,94-10-6 м3

Таблица 2. Исходные данные для моделирования

Для проведения численного исследования использовалась программа, написанная на языке FORTRAN для решения одномерных нестационарных уравнений теплопроводности [9] методом контрольного объема [4]. Цель моделирования - показать рабо-

тоспособность разработанного метода. Исходные данные для проведения моделирования представлены в табл. 2.

а

б

Рис. 5. Результаты расчета термостатирующего устройства: а) изменение температуры пластины-держателя и радиатора по времени; б) изменение силы тока во времени

Рис. 6. Изменение силы тока и температуры во время выдержки

Задача решалась с шагом по времени 1 с. Время расчета - 1200 с, время циклиро-вания - 600 с (после чего происходит захолаживание, т.е. ток направляется таким образом, что верхний спай охлаждается, охлаждая пластину-держатель). Изменение температуры во времени приведено на рис. 5, а. Из рисунка видно, что за 600 с проходит 4 цикла. Скорость нагрева равна 2 °С/с, скорость охлаждения - 1,5 °С/с. Общий закон управления термоэлектрическими элементами представлен на рис. 5, б (для удобства изображен закон изменения силы тока, а не плотности).

На рис. 6 более подробно показаны закон управления для наиболее нагруженного цикла во время режима выдержки, а также график изменения температуры, соответствующий этому режиму. Точность выдержки при этом составила 0,1 К.

Проведение трехмерного моделирования

Благодаря большому количеству команд встроенного препроцессора в ПК STAR-CD [10] возможно автоматизированное создание компьютерной модели, для чего основные параметры модели записываются в отдельный файл (INPUT_DATA.inp). В дальнейшем это позволяет без значительных усилий со стороны пользователя формировать подобные расчетные модели, а также проводить необходимую настройку сетки расчетной области и задавать значения изменяемых параметров модели (свойства материалов). Кроме того, в среде ПК STAR-CD пишутся скрипты, составляющие программное обеспечение. Скрипты дополняются подпрограммами, написанными на языке FORTRAN. С помощью этих подпрограмм задаются источниковые члены в уравнении энергии и свойства полупроводника в зависимости от температуры.

Созданию сетки предшествовало построение твердотельной модели с помощью пакета PRO-E wildfire 2.0. Модель термостатирующего устройства представлена на рис. 7.

Рис. 7. Твердотельная модель термостатирующего устройства

Рис. 8. Фрагмент сетки термостатирующего устройства

ЭТА И

В

рга-ЭТАИ 3,2

Рис. 10. Температурное поле пластины-держателя в режиме выдержки при 367 К

в момент времени 80 с

Рис. 11. Разрез пластины-держателя

На рис. 8 представлен фрагмент сетки расчетной области. Сначала строились сетки отдельно для каждого элемента, а затем при помощи специальных интерфейсов они объединялись в общую неструктурированную сетку размером около 1 000 000 контрольных объемов.

Для термостатирующего устройства проведено трехмерное моделирование теплообмена при указанных выше параметрах решения (см. табл. 2). Коэффициент теплоотдачи со стороны радиатора принимался равным а5 = 10,64 Вт/(м2 • К) [6]. Закон изменения силы тока в термоэлементах задавался предварительно.

На рис. 9 представлены результаты моделирования в виде циклов изменения температуры пластины-держателя и радиатора по времени (использовались значения температуры в выбранных точках пластины-держателя). Как видно из графиков, результаты одно- и трехмерного расчетов находятся в хорошем соответствии, что подтверждает правомерность использования одномерной модели для проведения серии вариационных вычислений. Расхождение по времени не превышает 3 % (20 с), по температуре -2 % (8 К). Эти расхождения связаны с влиянием особенностей конструкции держателя и радиатора.

На рис. 10 приведено поле температур пластины-держателя во время режима выдержки при температуре 367 К. Как показывает рисунок, неравномерность температурного поля составляет около 1,5 К. Температура центра выше температуры выдержки, так как реперная точка располагается в центре пластины-держателя.

Выводы

Разработан метод расчета твердотельных термостатирующих устройств в динамическом режиме работы. Метод включает в себя, во-первых, программное обеспечение на языке FORTRAN для проведения одномерных оптимизационных расчетов, и, во-вторых, модель для исследования трехмерного температурного поля, созданную в ПК STAR-CD,. В рамках одномерного расчета решена обратная задача для определения закона изменения силы тока в термоэлементах во время режимов выдержки.

Проведено численное моделирование процессов теплообмена в тепловом блоке ам-плификатора ДНК в одномерной и трехмерной постановках. Результаты расчета находятся в хорошем соответствии - разница не превысила 3 %. Получено трехмерное температурное поле пластины-держателя. Неоднородность температуры по пластине-держателю не превышает 1,5 К, что соответствует реальным данным для подобного рода устройств.

Литература

1. Чернышев А.В. Создание теории рабочих процессов, методов расчета и разработка оборудования для ПТЦР-диагностики- Автореф. дис. ... докт. техн. наук. - М., 2000. - 32 с.

2. Белова О.В. Разработка метода расчета и исследование прецизионных устройств нагрева и охлаждения- Автореф. дис. ... докт. техн. наук. - М., 2000. - 15 с.

3. Чернышев А.В., Белова О.В. Разработка, расчет и проектирование пневмоэлектро-механического и электровакуумного лабораторного оборудования. - М.- Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 40 с.

4. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М.- Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

5. Сакун И. А. Холодильные машины. - Л. - Машиностроение, 1985. - 510 с.

6. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы / Пер. с англ. - М.- Мир, 1987. - 592 с.

7. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. - М.- Машиностроение, 1988. - 280 с.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.- Наука, 1978. - 512 с.

9. Куракин А. А., Скибин А.П., Югов В.П. Программный комплекс для расчета тепломассообмена в пограничных слоях. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 32 с.

10. Methodology STAR-CD version 3.24 CD adapco group 2004.

Белова Ольга Владимировна — Московский государственный технический универ-

ситет им. Н.Э. Баумана, кандидат технических наук, доцент, ovbelova@yandex.ru

Корнеева Мария Александровна — Московский государственный технический универ-

ситет им. Н.Э. Баумана, студентка, makorneeva@mail.ru

Мустафина Дарья Александровна — Московский государственный технический универси-

тет им. Н.Э. Баумана, студентка, dmustafina@yandex.ru

УДК 629.3.052.6

СИСТЕМА ЛОКАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ ДЛЯ НАЗЕМНЫХ

МОБИЛЬНЫХ РОБОТОВ В.А. Черноножкин, С.А. Половко

Предлагается проект системы локальной навигации, в дальнейшем - составляющей универсального навигационного комплекса для наземных мобильных роботов. Система учитывает особенности движения мобильных роботов, что позволит решать навигационные задачи в этой области наиболее эффективно. Ключевые слова: инерциальная навигационная система, локальная навигация, автономные мобильные роботы, обработка информации.

Введение

Мобильные робототехнические системы применяются сегодня в самых разных отраслях. Чем обширнее область их применения в промышленности, в военных и спасательных приложениях, в медицине и в быту, тем жестче становятся требования к их исполнению для конкретных задач. Одни из самых актуальных таких требований относятся к автономности робота и его навигационным возможностям [1].

Навигация в робототехнике имеет ряд существенных особенностей, не позволяющих использовать навигационное оборудование для иных объектов (автомобилей, кораблей, самолетов и пр.) с достаточной эффективностью. Поэтому каждый раз, обеспечивая навигационными возможностями мобильный робот, приходится применять несколько различных навигационных средств, заново решая задачи комплексирования и обработки информации, учета особенностей кинематики и динамики объекта и т.д. Таким образом, необходимо создание сложного универсального навигационного комплекса, готового к применению на мобильных роботах любых размеров, комплектации и назначения.

В данной работе предлагается проект системы локальной навигации (ЛН) для наземных мобильных роботов - первый шаг к созданию такого комплекса.

1. Локальная навигация мобильных роботов

Говоря о навигации автономных мобильных роботов, выделяют два основных типа систем - глобальной навигации и ЛН. Основная задача систем глобальной навигации - формирование плана перемещения на основании заданной карты. Системы ЛН планируют и контролируют выполнение маневров, составляющих движение по сформированному маршруту.