Применение теории марковских цепей для моделирования изнашивания поверхности трения порошковых материалов

УДК 519.217.2: 621.762

О. Н. Попов1, Г. Г. Винокуров2

Применение теории марковских цепей для моделирования изнашивания поверхности трения порошковых материалов

'СВФУ им. М.К. Аммосова, г Якутск, Россия 2 Институт физико-технических проблем Севера им. В.П. Ларионова СО РАН, г. Якутск, Россия

Аннотация. В настоящее время технологии порошковой металлургии широко используются в промышленности для производства износостойких деталей техники и инструментов. При последующей эксплуатации изделий многие износостойкие порошковые материалы работают в условиях трения скольжения. Изнашивание порошковых материалов при трении скольжения определяется фактической площадью контакта, которая зависит от профиля микрогеометрии поверхности трения. На формирование микрогеометрии поверхности трения существенно влияет макроструктура дискретной порошковой среды, которая образуется под воздействием множества случайных факторов технологических процессов порошковой металлургии. Таким образом, статистические закономерности, описывающие дискретное случайное строение -макроструктуру износостойких порошковых материалов, проявляются при их изнашивании. Вместе с тем процессы изнашивания порошковых материалов при трении скольжения также зависят от множества локальных физико-механических, химических, теплофизических и др. свойств контактной поверхности и факторов условий трения, влияющих на деформацию и разрушение поверхностного слоя с образованием частиц износа. Поэтому для описания изнашивания поверхности порошковых материалов при трении скольжения целесообразным является использование статистических подходов. Целью данной работы является разработка статистического описания изнашивания поверхности порошковых материалов при трении скольжения на основе теории марковских цепей. В работе для описания изнашивания порошковых материалов при трении скольжения предложен статистический подход на основе теории марковских цепей. Для этого использована бесконечная дискретная матричная вероятностно-геометрическая модель порошковой среды; удаление частиц является испытанием Бернулли, которое принято единицей пути трения. Математический формализм статистической модели существенно упрощается, вычисления практически сводятся только к алгебраическим операциям умножения матриц. Предложена матрица переходных вероятностей в случае однородных цепей Маркова, которые соответствуют стадии установившегося износа порошковых материалов. Методом производящих функций получено выражение для распределения линейного износа изначально гладкого порошкового материала. Показана перспективность использования теории марковских цепей для описания изнашивания порошковых материалов при трении скольжения.

ПОПОВ Олег Николаевич - к. т. н., доц. каф. алгебры и геометрии ИМИ СВФУ им. М.К. Аммосова. E-mail: ponpon1@mail.ru

POPOV Oleg Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Algebra and Geometry Department, Institute of Mathematics and Informatics, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.

ВИНОКУРОВ Геннадий Георгиевич - к. т. н., в. н. с. Института физико-технических проблем Севера им. В.П. Ларионова СО РАН. E-mail: vin_gg@mail.ru

VINOKUROV Gennady Georgievich - Candidate of Technical Sciences, Leading Researcher, V.P. Larionov Institute of Physical and Technical Problems of the North, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences.

Ключевые слова: вероятностно-геометрическая модель, статистическое моделирование, марковские цепи, матрица перехода, порошковый материал, трение скольжения, износ, поверхность трения, микрогеометрия, профиль.

O. N. Popov1 G. G. Vinokurov1

The Application of the Theory of Markov Chains for Modeling the Wear of the Friction Surface Powder Materials

'M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia 1V.P. Larionov Institute of Physical and Technical Problems of the North, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Yakutsk, Russia

Abstract. Now technologies of powder metallurgy are widely used in the industry for production of wearproof details of the equipment and tools. At the subsequent operation of products many wearproof powder materials work in the conditions of a sliding friction. Wear of powder materials at a sliding friction is defined by the actual area of contact which depends on a profile of microgeometry of a friction surface. Formation of friction surface microgeometry is influenced significantly by a macrostructure of the discrete powder environment which is formed under the influence of a set of random factors of technological processes of powder metallurgy. Thus, the statistical regularities describing a discrete casual structure - a macrostructure of wearproof powder materials, are shown at their wear. At the same time, processes of wear of powder materials at a sliding friction also depend on a set local physicomechanical, chemical, heatphysical, etc. properties of a contact surface and factors of the conditions of friction influencing deformation and destruction of a blanket with formation of particles of wear. Therefore for the description of wear of a surface of powder materials at a sliding friction use of statistical approaches is expedient. The purpose of this work is development of the statistical description of wear of a surface of powder materials at a sliding friction on the basis of the theory of Markov chains. In work for the description of wear of powder materials at a sliding friction statistical approach on the basis of Markov chains theory is offered. The infinite discrete matrix probabilistic and geometrical model of the powder environment is for this purpose used; removal of particles is Bernoulli's test which is accepted unit of friction way. The mathematical formalism of statistical model significantly becomes simpler, calculations practically come down only to algebraic operations of multiplication of matrixes. The matrix of transitional probabilities in case of uniform Markov chains which correspond to a stage of the established wear of powder materials is offered. The method of the making functions has received expression for distribution of linear wear of initially smooth powder material. Prospects of use of the Markov chains theory for the description of wear of powder materials at a sliding friction are shown.

Keywords: probability-geometric model, statistical modeling, Markov chains, transition matrix, powder material, sliding friction, wear, surface of friction, microgeometry, profile.

Введение

С развитием мировой тенденции ресурсосбережения технологии порошковой металлургии широко используются в промышленности для производства износостойких деталей техники и инструментов [1, 2]. При последующей эксплуатации многих видов изделий износостойкие порошковые материалы подвергаются трению скольжения, при котором проявляются механизмы изнашивания, зависящие от структуры материала. Как известно, изнашивание материалов при трении скольжения определяется фактической площадью контакта [3, 4], величина которой зависит от микрогеометрии поверхности трения. На формирование микрогеометрии поверхности трения износостойких порошковых материалов, безусловно, существенно влияет т. н. макроструктура дискретной порошковой среды, представляющая собой форму застывших частиц и поровое

пространство между ними. Поэтому статистические закономерности, описывающие дискретное случайное строение - макроструктуру износостойких порошковых материалов, проявляются и в процессе их изнашивания.

С целью описания случайной макроструктуры порошковых материалов используются разнообразные статистические (вероятностно-геометрические) модели порошковой среды, которые с развитием информационных технологий непрерывно совершенствуются [59]. В настоящее время трехмерное компьютерное моделирование позволяет описывать основные статистические закономерности формирования макроструктуры порошковых материалов в технологических процессах прессования, спекания и др.

Как известно, процессы изнашивания материалов при трении скольжения также зависят от множества локальных физико-механических, химических, теплофизических и др. факторов, влияющих на деформацию и разрушение поверхностного слоя с удалением частиц износа. Поэтому для феноменологического описания изнашивания поверхности трения наряду с известными классическими подходами, основанными на теории усталостного разрушения материалов [3-4], существует направление работ, посвященных исследованию статистических аспектов процесса изнашивания при трении скольжения [10-14]. В работе [14], которая является одной из первых в этом направлении, изложены основные предпосылки для статистического описания процесса изнашивания по усталостному механизму. Как показывает анализ работ, результаты расчетов по статистическим подходам сопоставляются с экспериментальными профилометрическими данными поверхности трения, обработка которых проводится с привлечением известных методов оценки и критериев согласия математической статистики.

Для разработки статистических подходов особый интерес представляют математические модели на основе применения теории случайных марковских процессов. Как известно, математический аппарат теории марковских процессов достаточно подробно разработан и имеет обширные приложения в статистической физике, физической кинетике, радиофизике и др. [15]. Впервые авторами классической работы [14] было выдвинуто предположение о том, что образование частиц износа вследствие усталостного разрушения является случайным марковским процессом. Развитие и реализация идеи использования случайного марковского процесса для описания изнашивания материалов при трении скольжения в настоящее время продолжается [13, 14].

Авторами данной работы ранее для описания формирования и изнашивания макроструктуры порошковых покрытий также была использована теория непрерывных марковских процессов [16]. Актуальным является развитие предложенного статистического подхода с учетом особенностей изнашивания макроструктуры порошкового материала и их проявления в поперечных профилях поверхности трения.

Целью данной работы является разработка статистического описания изнашивания поверхности порошковых материалов при трении скольжения на основе теории марковских цепей.

Биномиальная модель изнашивания сечения порошковых материалов при трении скольжения

Как отмечено выше, авторами ранее для описания формирования и изнашивания макроструктуры порошковых покрытий использована теория вероятностей и теория непрерывных марковских процессов [16]. Дело в том, что для описания изнашивания порошковых покрытий и материалов при трении скольжения возможно использование более простых двумерных вероятностно-геометрических моделей дискретной порошковой среды. При описании процессов трения скольжения материалов путь трения является выделенным направлением (рис. 1, ось /), поэтому в перпендикулярных к данному направлению плоскостях характеристики микрогеометрии поверхности трения предполагаются статистически однородными величинами.

Рис. 1. Схема элемента поверхности трения порошкового материала при трении скольжения

При таком существенном упрощении одномерные характеристики вероятностно-геометрических систем порошковой среды можно описывать на основе классической теории вероятностей и теории случайных марковских процессов (по пути трения). Полученные расчетные данные могут сопоставляться с экспериментальными статистическими характеристиками износа и поперечного профиля поверхности трения порошкового материала.

В данной работе для описания поперечных профилей порошкового материала также использована элементарная модель макроструктуры порошковой среды на основе матричной вероятностно-геометрической системы частиц [5]. Эта модель, как будет показано ниже, позволяет сформулировать статистическое описание процесса изнашивания порошковых материалов в терминах теории марковских цепей. Также вследствие сравнительной простоты выбранная матричная вероятностно-геометрическая система позволяет рассматривать практически неограниченную порошковую среду, между тем более сложные трехмерные компьютерные модели допускают описание только до нескольких десятков тысяч взаимодействующих частиц [7-9]. Поэтому рассмотрим биномиальную модель с матричной вероятностно-геометрической системой более подробно, она будет использована как предельный случай более сложной модели марковских цепей.

Поскольку сопротивление разрушению дискретной порошковой среды определяется в основном когезией частиц, то для учета случайной макроструктуры при трении скольжения необходимо связать ее характеристики с вероятностью удаления отдельной частицы на поверхности трения. В модели предположено, что удаление частиц с поверхности трения при установившемся изнашивании является испытанием Бернулли. За событие принято удаление частицы порошкового материала, второе событие - частица остается в материале, дополнительно к первому. Так как удаления частиц являются независимыми событиями с повторением испытаний, то вероятность удаления из поверхности трения k частиц будет иметь вид биномиального распределения (закон Бернулли) [16]:

Р (к) =

I!

к!(1 - к)!

Рк (1 - Р)-к,

где р - вероятность удаления частицы порошкового материала из всей поверхности трения определяется размерами матрицы вероятностно-геометрической системы; I - общее количество испытаний Бернулли.

Как известно, по теореме Муавра-Лапласа при 1^-<х> биномиальное распределение

В 10 Т. Л1 £

Рис. 2. Распределения линейного износа гладкой поверхности порошкового материала при различных значениях пути трения: 1 - I = 500; 2 - I = 1000; 3 - I = 1500; 4 - I = 2000;

5 - I = 2500; 6 - I = 3000; 7 - I = 3500; 8 - I = 4000; 9 - I = 4500; 10 - I = 5000

стремится к нормальному, что соответствует известной закономерности распределения координат профиля равновесной поверхности трения материалов в трибологии.

Рассмотрим изнашивание порошкового материала при трении скольжения; изначально материал имеет гладкую поверхность. Тогда согласно предложенной модели выражение (1) описывает распределение F(h) линейного износа h поперечного сечения поверхности трения порошкового материала; количество испытаний I соответствует пути трения (рис. 1, оси h, I).

В разработанной модели по закону Бернулли (1) и методом Монте-Карло исследованы распределения линейного износа F(h) в зависимости от пути трения (рис. 2), которые вычислялись для начальной матрицы 1000x500 с усреднением по 100 реализациям. Как видно из графиков на рис. 2, на начальной стадии изнашивания у распределения линейного износа F(h), которая при 1=0 имеет вид 5-функции, при возрастании пути трения увеличивается интервал ненулевых значений, одновременно происходит снижение её максимума (рис. 2). Смещение максимума F(h) вправо вдоль оси h обусловлено систематическим возрастанием случайной величины - линейного износа. Как видно из графиков на рис. 2, примерно с /-3000, когда полностью удалена первая строка матрицы, рост функции распределения F(h) наблюдается с ненулевых значений линейного износа h. Увеличение интервала ненулевых значений функции распределения F(h) характеризуется среднеквадратическим Яд и среднеарифметическим отклонениями Ra случайной величины h относительно прямой среднего линейного износа. Поэтому данные величины Яд, Ra характеризуют микрогеометрию поверхности трения (ее шероховатость). Как установлено вычислениями, результаты расчета распределения линейного износа F(h) по биномиальному закону (1) с большой точностью согласуются с данными статистического моделирования по методу Монте-Карло.

Таким образом, статистическая биномиальная модель (1) изнашивания сечения порошкового материала описывает характеристики профиля поверхности, поперечного пути трения (рис. 1, 2). Основным недостатком аналитического выражения (1) является возможность статистического описания изнашивания только изначально гладкого материала. При наличии начальной шероховатости на поверхности порошкового материала статистическое моделирование следует проводить более трудоемким методом Монте-Карло. Поэтому в данной работе осуществлено развитие статистического описания

изнашивания порошковых материалов при трении скольжения на основе теории марковских цепей, которая позволяет также описывать изнашивание изначально шероховатых порошковых материалов.

Следует отметить, что линейный износ в (1) и полученные результаты задаются в безразмерном виде (рис. 2), который с учетом реальных размеров выбранной вероятностно-геометрической системы можно перевести в обычную размерность [16].

Модель марковских цепей для описания изнашивания порошковых материалов

Как отмечено выше, идея использования случайного марковского процесса для описания изнашивания материалов при трении скольжения в настоящее время развита в работах [13-14]. Рассмотрим статистические предпосылки использования теории марковских процессов в данных исследованиях более подробно. В них контактное взаимодействие двух шероховатых поверхностей % и п сплошных материалов моделируется с учетом упругого и пластического деформирования регулярно расположенных выступов с последующим их усталостным разрушением. Предположена дискретность марковского случайного процесса, обусловленная последовательностью механических контактов отдельных выступов шероховатых поверхностей. В основу модели предположен вероятностный механизм однократного контактного взаимодействия двух выступов с известными высотами % (п) и п(т), где к,1 и п,т - номера элементов контактных поверхностей и дискретных моментов времени соответственно.

Авторами данных работ [13, 14] рассмотрена следующая схема контактного взаимодействия соответствующих противоположных выступов обеих поверхностей. Предположено, что высота %к(п+1) к-го элемента поверхности % в следующий момент времени п+1 определяется высотой % (п) элемента в текущий момент п и высотой Пк1(п) (к -1)-го элемента на поверхности п в момент времени п. Аналогично задаются значения высот элементов движущейся поверхности пк(п+1) в следующий момент времени. Изменения высот элементов в результате сдвига и контактного взаимодействия описываются случайными функциями преобразования, это обусловлено случайностью радиусов кривизны выступов и результата взаимодействия. Авторы данных работ предположили независимость деформаций выступов, поэтому последовательности высот фиксированных выступов {%(п)} и {п(п)} являются марковскими. Далее авторами данных работ построены матрицы переходных вероятностей, которые умножением на векторы распределения высот позволяют получать их изменения. Компьютерное моделирование позволяет по физико-механическим свойствам материалов, исходной шероховатости и величине нагрузки оценивать изменение во времени характеристик трения (площадь контакта, силы трения, износ) и микрогеометрии контактных поверхностей [13, 14].

Статистический подход на основе марковских процессов можно существенно упростить в случае описания изнашивания порошковых материалов с учетом особенностей макроструктуры дискретной порошковой среды.

Как отмечено выше, при статистическом описании процессов трения скольжения порошковых материалов путь трения является выделенным направлением. Таким образом, объектом статистического моделирования остается профиль поверхности порошкового материала, поперечный пути трения (рис. 1). Использование вышеприведенной матричной вероятностно-геометрической модели для описания изнашивания поперечного профиля порошкового материала упрощает дальнейшее развитие статистического подхода на основе теории простых цепей Маркова. Это обусловлено следующими причинами: во-первых, это связано с самой матричной вероятностно-геометрической системой описания порошковой среды, которая является дискретной; таким образом, предполагаются (задаются) векторы распределения линейного износа; во-вторых, в предельной биномиальной модели изнашивания удаление частиц с поверхности трения является испытанием Бернулли, которое есть единица пути трения I (за событие принято удаление частицы

порошкового материала, второе событие - частица остается в материале, дополнительно к первому).

Тогда математический формализм статистической модели изнашивания порошкового материала существенно упрощается, вычисления практически сводятся только к алгебраическим операциям.

Для описания макроструктуры порошковых материалов (в отличие от случая порошковых покрытий) матричная вероятностно-геометрическая система выбирается бесконечной размерности. Обозначим дискретную последовательность линейного износа поперечного сечения h=0,1,2...; имеем множество неотрицательных целых чисел, пусть начальное распределение линейного износа задается вектором-строкой бесконечной размерности х0(.И) с нормировкой элементов:

от

X ) =1

¿=0

В частности, для исходного гладкого порошкового материала имеем х0(И) = (1,0,0,0____),

линейного износа нет; для шероховатого материала начальное распределение х0 можно задать обработкой экспериментальных данных поперечных профилей.

Распределение линейного износа через ' испытаний Бернулли (путь трения) задается произведением вектора на ' степень матрицы:

х

где А - матрица переходных вероятностей.

Матрицы переходных вероятностей А бесконечной размерности, но элементы строк также удовлетворяют условию нормировки (2). В общем случае переходные вероятности зависят от пути трения ', их вид можно задать сложным образом, исходя из анализа экспериментальных поперечных профилограмм порошкового материала (рис. 1). Как видно из выражения (3), вычисления распределения линейного износа сводятся только к алгебраическим операциям умножения матриц.

Для упрощения вычислений в данной работе рассмотрен частный случай однородных цепей Маркова, когда матрица переходных вероятностей не зависит от пути трения ' -количества испытаний Бернулли. Такое допущение соответствует стадии установившегося изнашивания порошковых материалов. Пусть матрица переходных вероятностей А имеет следующий вид (табл. серый фон):

- элементы ниже главной диагонали матрицы равны 0, это обусловлено тем, что линейный износ порошкового материала не может уменьшаться;

- по каждой строке бесконечной матрицы имеем конечное количество ненулевых элементов а0, а1,^а8, это обеспечивает возможность нормировки их суммы (2). Здесь число s соответствует максимальному возможному значению разницы линейного износа порошкового материала при одном испытании Бернулли;

- одинаковые ненулевые элементы расположены по диагоналям матрицы, параллельным главной диагонали.

Таблица

Матрица переходных вероятностей для модели марковских цепей

—^столбцы строки^--- 0 1 8 8+1 8+2

0 а0 а, а 0 0 0 0

1 0 а0 а. а 0 0 0

2 0 0 а0 а. а 0

8+1 0 0 а0 а а 0

Учитывая вид матрицы переходных вероятностей (табл.), для краткости введем обозначение: пусть х'(^п) - элемент вектора-строки h=k при пути трения 1=п. Тогда методом производящих функций можно получить следующее выражение для распределения (3) на п-ом испытании:

^ /1 \ X ' п! к0 к-Ь к2 к.

х

к = £ к , а = ]Г ( - Щ , Ь = ^^ .

где

' =1 1=2 1=2

Формула (4) означает, что суммирование производится по тем переменным, при которых выполняется равенство под знаком суммы. Рассмотрим частные случаи полученной формулы для распределения линейного износа (4).

При s=l имеем k=k, а=Ь=0, тогда, обозначая a0=p, a=q=1-p, можно получить биномиальное распределение вероятностей (1) с известными выражениями для математического ожидания Lq=n(1-p) и среднеквадратического отклонения Rq = ^пр(1 - р).

При s=2 имеем k=k1+2k2, a= k1 , b=2k2, тогда, обозначая a0=p, a =q a2=r, можно получить распределение вероятностей с выражениями для математического ожидания

Lq=n(q+2r) и среднеквадратического отклонения Rq = ^[п(2гТ"(дТ~2г)-"(дТ~2г)2). Из данных соотношений видно, что при г^-0 функции Lq, Rq стремятся к характеристикам предыдущего биномиального распределения.

Для обобщения и сравнения полученных распределений в работе исследованы степенные зависимости переходных вероятностей с общим параметром t и нормировкой:

при s=1 р = -— , q = -—;

1+Г 1+I

1 I t2

при s=2 р =-2 , У =

г = -

9 - * 9 « 9 •

1 + г + г2 1 +1 +12 1 +1 +12

Выбор степенных зависимостей обоснован тем, что при изнашивании вероятность удаления частицы порошкового материала снижается с глубиной ее расположения в поверхностном слое.

В работе исследованы зависимости линейного износа и шероховатости изначально гладкого порошкового материала от изменения основной характеристики статистической модели - вероятности удаления частицы износа р. На рис. 3 приведены графики

Рис. 3. Зависимость среднего линейного износа порошкового материала от вероятности удаления частицы: 1 - 8=1, биномиальная модель, расчет по матрице (3), 2 - 8=1, биномиальная модель, расчет по формуле; 3 - 8=2, расчет по матрице (3), 4 - 8=2, расчет по формуле

Щ

О -I-1-1-1-,-

0.57 0,67 0,77 0,87 0,97 Р

Рис. 4. Зависимость среднеквадратического отклонения профиля поверхности порошкового материала от вероятности удаления частицы: 1 - 8=1, биномиальная модель, расчет по матрице (3), 2 - s=1, биномиальная модель, расчет по формуле; 3 - s=2, расчет по матрице (3), 4 - s=2, расчет по формуле

математического ожидания - среднего линейного износа Ьд, рассчитанные по аналитическим формулам и по выражению (3) с матрицей табл. Видно, что данные, рассчитанные по аналитическим формулам и по выражению (3) с матрицей табл., согласуются с большой точностью. Это свидетельствует о правильности полученной формулы распределения линейного износа (4). Как видно из графиков, при р^-1 результаты расчетов для обоих случаев совпадают. Если в случае биномиального распределения наблюдается линейная зависимость, то при 8=2 имеем некоторое повышение линейного износа при снижении р. Это объясняется вдвое большими значениями возможного линейного износа в данном случае.

На рис. 4 приведены графики среднеквадратического отклонения профиля поверхности порошкового материала Яд, также рассчитанные по вышеприведенным аналитическим формулам и по выражению (3) с матрицей табл.

Данные, полученные по аналитическим формулам и по выражению (3) с матрицей, табл. также согласуются с большой точностью. Как видно из графиков, при р^-1 результаты расчетов для обоих случаев также совпадают. В случае 8=2 при снижении р наблюдаются более высокие значения среднеквадратического отклонения профиля.

Заключение

1. На основе теории марковских цепей предложен статистический подход для описания изнашивания порошковых материалов при трении скольжения. Для этого использована бесконечная дискретная матричная вероятностно-геометрическая модель порошковой среды; удаление частиц является испытанием Бернулли, которое принято единицей пути трения. Математический формализм статистической модели существенно упрощается, вычисления практически сводятся только к алгебраическим операциям умножения матриц.

2. Предложена матрица переходных вероятностей в случае однородных цепей Маркова, которые соответствуют стадии установившегося износа порошковых материалов. Методом производящих функций получено выражение для распределения линейного износа изначально гладкого порошкового материала.

3. Установлено, что биномиальная модель изнашивания порошковых покрытий и материалов является частным случаем предложенного статистического подхода. Рассмотрены частные случаи матриц переходных вероятностей со степенными зависимостями. Показано, что повышение возможных значений линейного износа

приводит к возрастанию его математического ожидания - среднего износа порошкового материала, и среднеквадратического отклонения профиля поверхности трения.

Л и т е р а т у р а

1. Либенсон Г. А. и др. Процессы порошковой металлургии.: Т.1. Производство металлических порошков: Учебник / Г. А. Либенсон, В. Ю. Лопатин, Г. В. Комарницкий. - М: МИСИС, 2001. - 368 с.

2. Самойлов В. С., Эйхманс Э. Ф., Фальковский В. А. и др. Металлообрабатывающий твердосплавный инструмент: Справочник. - М.: Машиностроение, 1988. - 368 с.

3. Справочник по триботехнике / Под общ. ред. М. Хебды, А. В. Чичинадзе. В 3 т. Т.1. Теоретические основы. - М.: Машиностроение, 1989. - 400 с.

4. Крагельский И. В., Добычин М. Н., Комбалов В. С. Основы расчетов на трение и износ. - М.: Машиностроение, 1977. - 526 с.

5. Каминский В. М., Николенко А. Н., Сидоренко И. Я. Двумерная стохастическая модель уплотнения порошковых материалов // Порошковая металлургия, - 1982. - № 2. - С. 29-31.

6. Кадушников Р. М., Бекетов А. Р. Геометрическое моделирование структуры полидисперсных материалов // Порошковая металлургия. - 1989. - № 10. - С. 69-74.

7. Кадушников Р. М., Скороход В. В., Каменин И. Г. и др. Компьютерное моделирование спекания сферических частиц // Порошковая металлургия. - 2001. - № 3/4. - С. 71-82.

8. Нурканов Е. Ю., Кадушников Р. М., Каменин И. Г. и др. Исследование плотностных характеристик трехмерных стохастических упаковок сферических частиц с использованием компьютерной модели // Порошковая металлургия. - 2001. - № 5/6. - С. 34-42.

9. Дик И. Г., Дьяченко Е. Н., Миньков Л. Л. Моделирование случайной упаковки шаров // Физическая мезомеханика. - 2006. - 9, № 4. - С. 63-69.

10. Кордонский Х. Б., Харач Г. М., Артамоновский В. П., Непомнящий Е. Ф. Вероятностный анализ процесса изнашивания. - М.:Наука,1968. - 56 с.

11. Холодилов О. В., Калмыкова Т. Ф. Вероятностный подход к построению количественных критериев оценки состояний фрикционного контакта. // Трение и износ. - 1990. - Т.11, № 5.

- С. 921-925.

12. Кудиш И. И. Статистический расчет износа и усталостного выкрашивания подшипников качения. // Трение и износ. - 1990. - Т. 11, № 5. - С. 933-944.

13. Тигетов Д. Г., Горицкий Ю. А. Марковская модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения. // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2010. - № 3. - С. 3-12.

14. Горицкий Ю. А., Главатских С. Б., Бражникова Ю. С. Марковская модель взаимодействия шероховатых поверхностей. // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2014. - № 2. - С. 11-20.

15. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. - М.: Советское радио, 1977. - 489 с.

16. Vinokurov G., Popov O. Statistical approashes to describe the macrostructure formation and wear of powder coatings and materials obtained by high-energy metods. - Moscow: Academia Publishers, 2013.

- 160 p.

R e f e r e n c e s

1. Libenson G. A. i dr. Protsessy poroshkovoi metallurgii.: T.1. Proizvodstvo metallicheskikh poroshkov: Uchebnik / G. A. Libenson, V. Iu. Lopatin, G. V. Komarnitskii. - M: MISIS, 2001. - 368 c.

2. Samoilov V. S., Eikhmans E. F., Fal'kovskii V. A. i dr. Metalloobrabatyvaiushchii tverdosplavnyi instrument: Spravochnik. - M.: Mashinostroenie, 1988. - 368 s.

3. Spravochnik po tribotekhnike / Pod obshch. red. M. Khebdy, A. V. Chichinadze. V 3 t. T. 1. Teoreticheskie osnovy. - M.: Mashinostroenie, 1989. - 400 s.

4. Kragel'skii I. V., Dobychin M. N., Kombalov V. S. Osnovy raschetov na trenie i iznos. - M.: Mashinostroenie, 1977. - 526 s.

5. Kaminskii V. M., Nikolenko A. N., Sidorenko I. Ia. Dvumernaia stokhasticheskaia model' uplotneniia poroshkovykh materialov // Poroshkovaia metallurgiia, - 1982. - № 2. - S. 29-31.

6. Kadushnikov R. M., Beketov A. R. Geometricheskoe modelirovanie struktury polidispersnykh

materialov // Poroshkovaia metallurgiia. - 1989. - № 10. - S. 69-74.

7. Kadushnikov R. M., Skorokhod V. V., Kamenin I. G. i dr. Komp'iuternoe modelirovanie spekaniia sfericheskikh chastits // Poroshkovaia metallurgiia. - 2001. - № 3/4. - S. 71-82.

8. Nurkanov E. Iu., Kadushnikov R. M., Kamenin I. G. i dr. Issledovanie plotnostnykh kharakteristik trekhmernykh stokhasticheskikh upakovok sfericheskikh chastits s ispol'zovaniem komp'iuternoi modeli // Poroshkovaia metallurgiia. - 2001. - № 5/6. - S. 34-42.

9. Dik I. G., D'iachenko E. N., Min'kov L. L. Modelirovanie sluchainoi upakovki sharov // Fizicheskaia mezomekhanika. - 2006. - 9, № 4. - S. 63-69.

10. Kordonskii Kh. B., Kharach G. M., Artamonovskii V. P., Nepomniashchii E. F. Veroiatnostnyi analiz protsessa iznashivaniia. - M.:Nauka,1968. - 56 s.

11. Kholodilov O. V., Kalmykova T. F. Veroiatnostnyi podkhod k postroeniiu kolichestvennykh kriteriev otsenki sostoianii friktsionnogo kontakta. // Trenie i iznos. - 1990. - T. 11, № 5. - S. 921-925.

12. Kudish I. I. Statisticheskii raschet iznosa i ustalostnogo vykrashivaniia podshipnikov kacheniia. // Trenie i iznos. - 1990. - T. 11, № 5. - S. 933-944.

13. Tigetov D. G., Goritskii Iu. A. Markovskaia model' mekhanicheskogo vzaimodeistviia sherokhovatykh poverkhnostei v protsesse treniia. // Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh. - 2010. - № 3. - S. 3-12.

14. Goritskii Iu. A., Glavatskikh S. B., Brazhnikova Iu. S. Markovskaia model' vzaimodeistviia sherokhovatykh poverkhnostei. // Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh. - 2014. - № 2. - S. 11-20.

15. Tikhonov V. I., Mironov M. A. Markovskie protsessy. - M.: Sovetskoe radio, 1977. - 489 s.

16. Vinokurov G., Popov O. Statistical approashes to describe the macrostructure formation and wear of powder coatings and materials obtained by high-energy metods. - Moscow: Academia Publishers, 2013. - 160 p.

^MSr^Sr