Регулярный метод синтеза базовых бент-квадратов произвольного порядка

DOI: 10.21122/2227-1031 -2016-15-4-345-352 УДК 681.3.06

Регулярный метод синтеза базовых бент-квадратов произвольного порядка

Канд. техн. наук А. В. Соколов4

^Одесский национальный политехнический университет

© Белорусский национальный технический университет, 2016 Ве1агш1ап National Technical University, 2016

Реферат. Рассматриваются вопросы конструирования классов максимально нелинейных булевых бент-функций произвольной длины N = 2к (к = 2, 4, 6, ...) на основе их спектрального представления - бент-квадратов Агиевича. Данные совершенные алгебраические конструкции являются основой для построения многих криптографических примитивов, таких как генераторы псевдослучайных ключевых последовательностей, криптографические S-блоки подстановки и т. д. Бент-функции находят свое применение для построения С-кодов в системах с кодовым разделением каналов, которые обладают минимально возможным значением пик-фактора к = 1, а также для построения систем ортогональных бифазных сигналов и помехоустойчивых кодов. Все многочисленные применения бент-функций связаны с теорией их синтеза. Однако регулярные методы синтеза полных классов бент-функций произвольной длины N = 2к в настоящее время неизвестны. В статье предложен регулярный метод синтеза базовых бент-квадратов Агиевича произвольного порядка n на основе регулярного оператора диадного сдвига. Выполнена классификация полного множества спектральных векторов длин (l = 8, 16, ...) на основе критерия максимального абсолютного значения и набора абсолютных значений спектральных компонент. Показано, что любой спектральный вектор может быть основой для построения бент-квадрата. Обобщены результаты синтеза бент-квадратов Агиевича порядка n = 8, показано, что существуют только три базовых бент-квадрата для данного порядка, тогда как еще пять могут быть получены с помощью операции ступенчато циклического сдвига. Синтезированы все базовые бент-квадраты порядка n = 16, позволяющие построение бент-функций длиной N = 256. Полученные базовые бент-квадраты могут служить как для непосредственного синтеза бент-функций и их практического использования, так и для проведения дальнейших исследований с целью синтеза новых структур бент-квадратов для порядков n = 16, 32, 64, ...

Ключевые слова: бент-функция, бент-квадрат, преобразование Уолша - Адамара, спектральный вектор

Для цитирования: Соколов, А. В. Регулярный метод синтеза базовых бент-квадратов произвольного порядка / А. В. Соколов // Наука и техника. 2016. T. 15, № 4. С. 345-352

Regular Method for Synthesis of Basic Bent-Squares of Random Order

A. V. Sokolov1)

^Odessa National Polytechnic University

Abstract. The paper is devoted to the class construction of the most non-linear Boolean bent-functions of any length N = 2k (k = 2, 4, 6...), on the basis of their spectral representation - Agievich bent squares. These perfect algebraic constructions are used as a basis to build many new cryptographic primitives, such as generators of pseudo-random key sequences, crypto graphic S-boxes, etc. Bent-functions also find their application in the construction of C-codes in the systems with code division multiple access (CDMA) to provide the lowest possible value of Peak-to-Average Power Ratio (PAPR) k = 1, as well as for the construction of error-correcting codes and systems of orthogonal biphasic signals. All the numerous applications of

Адрес для переписки

Соколов Артем Викторович

Одесский национальный политехнический университет

пр. Шевченко, 1,

65044, г. Одесса, Украина

Тел.: +38 048 734-85-21

radiosquid@gmail.com

Наука

иТ ехника. Т. 15, № 4

Address for correspondence

Sokolov Artiom V.

Odessa National Polytechnic University 1 Shevchenko Ave., 65044, r. Odessa, Ukraine Tel.: +38 048 734-85-21 radiosquid@gmail.com

bent-functions relate to the theory of their synthesis. However, regular methods for complete class synthesis of bent-functions of any length N = 2k are currently unknown. The paper proposes a regular synthesis method for the basic Agievich bent squares of any order n, based on a regular operator of dyadic shift. Classification for a complete set of spectral vectors of lengths (l = 8, 16, ...) based on a criterion of the maximum absolute value and set of absolute values of spectral components has been carried out in the paper. It has been shown that any spectral vector can be a basis for building bent squares. Results of the synthesis for the Agievich bent squares of order n = 8 have been generalized and it has been revealed that there are only 3 basic bent squares for this order, while the other 5 can be obtained with help the operation of step-cyclic shift. All the basic bent squares of order n = 16 have been synthesized that allows to construct the bent-functions of length N = 256. The obtained basic bent squares can be used either for direct synthesis of bent-functions and their practical application or for further research in order to synthesize new structures of bent squares of orders n = 16, 32, 64, ...

Keywords: bent-function, bent-square, Walsh - Hadamard transform, spectral vector

For citation: Sokolov A. V.

Введение

Бент-функции как эталон нелинейности всего множества булевых функций нашли свое применение в виде основных компонентов многих современных систем передачи и обработки информации. Высокие значения нелинейности булевых бент-функций, а значит, их максимальное удаление от множества аффинных функций обусловливают их широкое использование в современных криптографических алгоритмах [1-3]. Равномерность абсолютных значений спектральных коэффициентов Уолша - Адамара делает бент-функции уникальным классом сигналов для применения в системах с технологией кодового разделения каналов (CDMA - Code Division Multiple Access) с точки зрения снижения пик-фактора передаваемых в системе сигналов до минимально возможного уровня к = 1 [4]. Булевы бент-функции также находят свои многочисленные применения в теории помехоустойчивого кодирования информации, криптоанализа и других областях науки и техники [1].

Со времени открытия бент-функций О. Рот-хаусом [5] сегодня можно говорить о вполне сформировавшейся теории бент-функций [1], которая в последние десятилетия получила стремительное развитие. Тем не менее все еще не существует механизмов построения полных классов этих совершенных алгебраических конструкций для произвольного четного числа переменных k. Принимая во внимание крайне высокую непредсказуемость структуры бент-функций, неизвестно, могут ли такие механизмы быть созданы в принципе. Однако для числа переменных k = 4 предложен регулярный метод синтеза полного множества бент-функ-

ций на основе специальных опорных матриц [6], тогда как для числа переменных к = 6 предложен метод, основанный на ограниченном переборе в области преобразований Рида -Маллера [7].

Основные положения

Одной из наиболее удачных попыток построения регулярных методов синтеза бент-функций для числа переменных к = 6 является предложенный С. Агиевичем метод, основанный на бент-квадратах. Суть его - классификация полного множества бент-функций на подмножества эквивалентных, относящихся к определенному, соответствующему всему подмножеству, опорному бент-квадрату. Все функции внутри подмножества могут быть синтезированы путем применения к опорному бент-квадрату операций перестановок по строкам и столбцам, а также знаковых кодирований.

Цель настоящей статьи - разработка регулярного метода синтеза базовых бент-квад-ратов любого наперед заданного порядка п. Определение бент-функций через их спектральные коэффициенты заключается в их представлении в виде экспоненциальной таблицы истинности - бент-последовательности.

Определение 1. Бинарная последовательность В = [Ъ0, •••, Ъ,., •••, Ъы_!] (где Ъ е{±1), г = 0,1,2,...,N -1 - коэффициенты) четной

длины N = 2к = п2 (к = 2, 4, 6, ...) называется бент-последовательностью, если она имеет равномерный по модулю спектр Уолша - Адамара ЖВ (ю), который представим в матричной форме [1, 6]

Наука

итехника. Т. 15, № 4

WB (ш) = BAn, ш = 0,N -1,

где An - матрица Уолша - Адамара порядка N, которая строится для каждого следующего порядка 2i+1 в соответствии с рекуррентным правилом [1]

A2I+1 -

A*

- A

Исходя из определения бент-функций, каждый спектральный коэффициент бент-после-довательности Жв(ю = 0), Жв(ю = 1), ..., Жв (ю = = N -1) принимает значение из множества {±п}, где п = .

Исследователем С. Агиевичем показано, что для каждой бент-последовательности может быть найден соответствующий бент-квадрат. Бент-квадратом назовем матрицу порядка п, каждой строкой и каждым столбцом которой является спектральный вектор, полученный в результате умножения сегмента бент-последо-вательности длины п на матрицу Адамара порядка п [8]

5 = Б1Лп, п =

где - /-я строка бент-квадрата Бi - 7-й сегмент бент-последовательности.

В соответствии с эквивалентностью полного множества бент-квадратов, с точки зрения операций перестановок по строкам и столбцам и операции знакового кодирования, среди всех бент-квадратов могут быть выделены восемь базовых структур порядка п = 8 [8]

S-

Г800000001 Г-4 4 4 4 0000"

08000000 4 -4 4 4 0000

00800000 4 4 -4 4 0000

00080000 ; S2 — 4 4 4 -40000 ;

00008000 0 0 0 0 8000

00000800 0 0 0 0 0800

00000080 0 0 0 0 0080

00000008 0 0 0 0 0008

S3 -

S4 -

-44 4 4 0 000 4 -4 4 4 0 0 00 0 0 -4 4 4 4 00 0 0 4 -4 4 4 00 4 4 0 0 -4 4 00 4 4 0 0 4 -400 0 0 0 0 0 080 0 0 0 0 0 008

Наука

иТ ехника. Т. 15, № 4

-4 4440000 4 -4 004400 40 -4 04040 400 -4 0440 0 4 4 0 0 4 -40 0404 -4 040 00444 -4 00 0 0 0 0 0 0 08

S5 —

S7 -

4 4 4 4 0 0 0 0 4 -4 440000 44 -4 40000 444 -4 0000 0000 -4 444 00004 -4 44 000044 -4 4 0000444 -4

-4 4440000 4-4 004400 40 -4 04040 400 -4 0440 0440 -4 004 04040 -4 04

0 0 4 4 0 0 0 0

0 0 -4 4 4 4 4 -4

S -

4 4 4 4 0 0 0 0 4 -4 440000 00 -4 44400 004 -4 4400 0000 -4 444 00004 -4 44 440000 -4 4 4400004 -4

-6 2222222 2 -6 222222 22 -6 22222

2 -62 2 2 2 2 2 -62 2 2 2 2 -6 2 2 2 2 2 -6 2 2 2 2 2 -6

С. Агиевичем также указана возможность построения полного класса бент-последова-тельностей длины N = 64 с помощью операций перестановок по строкам и столбцам и знакового кодирования бент-квадратов (1). Тем не менее методы построения самих бент-квадратов для произвольного порядка п указаны не были.

Для разработки регулярного метода синтеза базовых бент-квадратов рассмотрим классификацию полного множества спектральных векторов. Пусть V - линейное векторное пространство векторов и7, 7 = 0, 1, ..., 21 -1 длины I.

Тогда полное множество J = 2 элементов этого пространства в бинарном виде можно записать

Vn -

Для каждого вектора элемента линейного векторного пространства может быть найден его спектральный вектор путем выполнения преобразования Уолша - Адамара

Щ = V/. • Л,.

Например, пусть 1 = 8, тогда для вектора элемента линейного векторного пространства У1 и155 =[---1----+ + -] спектральный вектор имеет вид Ж155 =[-2 2 -2 -6 -2 2 -2 2].

Определение 2 [9]. Элементарной структурой спектрального вектора Щ назовем набор абсолютных значений его спектральных компонент. Например, рассмотренный выше вектор Ж155 имеет элементарную структуру {6(1), 2(7)}, где

в круглых скобках указано количество раз, которое встречается приведенная спектральная компонента в спектральном векторе.

Определение 3. Параметр у = max {abs (Wi)} спектрального вектора Wi определяется как его максимальное абсолютное значение. Например, вектор W155 имеет максимальное абсолютное значение ymax = 6. Установлено, что все множество спектральных векторов Wi для каждого значения N может быть разделено на классы в зависимости от элементарной структуры векторов.

Определение 4. Эквивалентным классом спектральных векторов назовем множество таких векторов {Wjкаждый из которых имеет

одно и то же значение параметра у max и состоит

из одного и того же набора абсолютных значений спектральных компонент. Так, при l = 8 множество векторов W, i = 0,1, ...,28 -1 разделяется на три эквивалентных класса (табл. 1).

Таблица 1

Классификация полного множества спектральных векторов Wi длины l = 8

Classification for complete set of spectral vectors Wi of length l = 8

Номер класса спектральных векторов Значение параметра Tmax = = max {abs (W )} Набор абсолютных значений спектральных компонент Объем класса

1 8 {±8(1), 0(7)} 16

2 6 {±6(1), ± 2(7)} 128

3 4 {±4(4), 0(4)} 112

Выберем из каждого класса по одному спектральному вектору, например:

W

W0 =[8 0 0 0 0 0 0 0]; W254 =[-6 2 2 2 2 2 2 2]; W238 =[-4 4 4 4 0 0 0 0].

Установлено, что на базе каждого из спектральных векторов (2) возможно построение базового бент-квадрата на основе регулярной операции диадного сдвига.

Определение 5. Две бент-функции называются квадратно-эквивалентными, если бент-квадрат одной из них может быть получен из бент-квадрата другой изменением знаков элементов и перестановкой строк и столбцов.

Определение 6. Базовыми (первичными) бент-квадратами назовем такие, которые строятся прямым методом на основе диадного сдвига и не являются эквивалентными.

Определение 7 [10]. Оператор диадного сдвига представим в виде квадратной матрицы порядка п, которая строится по рекуррентному правилу

Diad(n)=

Diad(n /2); Diad(n /2) + n /2;" Diad(n /2) + n /2; Diad(n /2),

где Diad(2)=

1,2 2,1

Например, для n = 8 в соответствии с (3) получаем

Diad(8) =

12345678 21436587 34127856 43218765 5678 1234 65872143 78563412 87654321

Выполняя с помощью (4) кодирование позиций (индексов) каждого из векторов (2), получаем три базовых бент-квадрата:

§8 =

80000000" 08000000 00800000 00080000 00008000 00000800 00000080 00000008

;§8 =

-6 2 2 2 2 2 2 -62222 2 2 -6 2 2 2 2 2 -6 2 2 2 2 -6 2

22 22 22 22 22 2 2 2 -6 2 2 2 2 2 2 -6 2 2 2 2 2 2 -6

§3 =

-4 4 4 4 0 0 0 0" 4 -4 440000 44 -4 40000 444 -4 0000 0000 -4 444 00004 -4 44 000044 -4 4 0000444 -4

соответствующих $8, $5 из (1). Остальные базовые по С. Агиевичу бент-квадраты могут быть получены из Б путем знаковых кодирований, перестановок строк, столбцов, ступенчато циклических сдвигов, суперпозиции с сегментами из Б [8].

Аналогичным образом все множество спектральных векторов Wi, г = 0, 1, ..., 216 -1, длины I = 16 можно разделить на восемь эквивалентных классов (табл. 2).

Наука

итехника. Т. 15, № 4

Таблица 2

Классификация полного множества спектральных векторов Wt длины l = 16 Classification for complete set of spectral vectors Wt of length l = 16

Номер класса спектральных векторов Значение параметра Ymax = max {abs (Wi)} Набор абсолютных значений спектральных компонент Объем класса

1 16 {16(1), 0(15)} 32

2 14 {14(1), 2(15)} 512

3 12 {12(1), 4(7), 0(8)} 3840

4 10 {10(1), 6(3), 2(12)} 17920

5 8 {8(2), 4(8), 0(6)} 26880

6 8 {8(4), 0(12)} 1120

7 6 {6(6), 2(10)} 14336

8 4 {4(16)} 896

Из каждого эквивалентного класса выберем по одному спектральному вектору:

W0 =[16000000000000000]; W16384 = [l4 -22222 -2 -222 -2 -2 -2 -222] ; W257 =[12 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -400000000]; W49280 =[1026 -26 -2 -6222 -2 -2 -2 -222]; W54655 =[-8-8000000-44-44-444-4]; W61166 =[-8888000000000000];

W63395 =[-62 -622 -6 -6266 -2 -2 -2 -2 -2 -2] ;

W49258 =[444444-4-4-44-44-444-4].

С учетом (3) возможно построить матрицу диадного сдвига для n = 16

Diad(16) =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 15

3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10 15 16 13 14

4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13

5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 9 10 11 12

6 5 8 7 2 1 4 3 14 13 16 15 10 9 12 11

7 8 5 6 3 4 1 2 15 16 13 14 11 12 9 10

8 7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 13 12 11 10 9

9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8

10 9 12 11 14 3 16 15 2 1 4 3 6 5 8 7

11 12 9 10 15 16 3 14 3 4 1 2 7 8 5 6

12 11 10 9 16 15 14 13 4 3 2 1 8 7 6 5

13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4

14 13 16 15 10 9 12 11 6 5 8 7 2 1 4 3

15 16 13 14 11 2 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2

16 15 14 13 12 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

на основе которой для каждого вектора (5) может быть построен соответствующий ему базовый бент-квадрат

Наука

иТ ехника. Т. 15, № 4

§1 = 0^^(16)); Б6 = 016384 (Diad(16));

Б36 = Ж257 ^аа(16));

Б46 = Wr4528o(Diad(16)); §56 = ^5(^(16));

Б/ = ^1166(^(16));

§76 = 063395 (Diad(16)); Б/ = 049258(^(16)).

Отметим, что бент-квадрат §16 представляет собой спектральное отображение конструкции Майорана - МакФарланда [1], которая основана на рекуррентном построении бент-функ-ций на основе перестановок строк и знаковых кодирований матрицы Адамара. Конструкция Б}6 нашла свое применение также и для по-

строения криптографических высоконелинейных ^-блоков подстановки, которые соответствуют строгому лавинному критерию [11, 12].

Для краткости приведем пример построенного бент-квадрата в виде структуры §36;

§36 =

12 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 0 0 0 0 0 0 0 0

-412 -4 -4 -4 -4 -4 -4 0 0 0 0 0 0 0 0

-4 -412 -4 -4 -4 -4 -4 0 0 0 0 0 0 0 0

-4 -4 -412 -4 -4 -4 -4 0 0 0 0 0 0 0 0

-4 -4 -4 -412 -4 -4 -4 0 0 0 0 0 0 0 0

-4 -4 -4 -4 -412 -4 -4 0 0 0 0 0 0 0 0

-4 -4 -4 -4 -4 -412 -4 0 0 0 0 0 0 0 0

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -412 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 12 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

0 0 0 0 0 0 0 0 -412 -4 -4 -4 -4 -4 -4

0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -412 -4 -4 -4 -4 -4

0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -4 -412 -4 -4 -4 -4

0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -4 -4 -412 -4 -4 -4

0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -4 -4 -4 -412 -4 -4

0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -412 -4

0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -412

для которой путем ее матричного произведения над алфавитом {±1} с матрицей Адамара А16

порядка п = 16 (двумерного преобразования Уолша - Адамара) и последующей конкатенации строк результирующей матрицы получаем бент-последовательность длины N = 256

В3 =^п(Б\6 А16) = [-

Рассмотрим также бент-квадрат §76 из

Б76 =

-6 2 -6 2 -6 2 -6 2 -6 2 -6 2 2 -6 -6 -6 2 2-6 2 22 -6 -6 6 6 -2 6 6 -2 -2 -2 6 -2 -2 6 -2 -2 -2 --2 -2 -2 --2 -2 -2 --2 -2 -2 -

2 2 -6 -6 -6 2 2 -6 2 -6 2 -6 2 -6 2-6 2 -6 -6 -6 2 2 2 -6 -2 -2 -2 --2 -2 -2 -6 -2 -2 -6 -2 -2 --2 6 6 -2 6 6 -2 -2 -2 -2 -2 -2

-6 2

2 -6

2 -6 -6 2 -6 2

2 -6 -6 2

2 -6

-2 -2 -

-2 -2

-2 -2 -

-2 -2

-2 -2

-2 -2 -6 6 6 6

6 6

6 6

-2 -2

-2 -2

-2 -2 -

-2 -2 -

-2 -2 -

-2 -2 -

-6 2

2 -6

-6 2

2 -6

2 -6

-6 2

-6 2

2 -6

-2 -2 -2 --2 -2 -2 -6 6 -2 6 6 -2 -2 -2 6 -2 -2 6 -2 -2 -2 --2 -2 -2 --6 2 22 -6 -6 -6 2 -6 2 -6 2-6 2 -6 2 -6 22 -6 -6 -6 2 2-

-2 -2 -2

-2 -2 -2

-2 -2 -2

-2 -2 -2

6 -2 -2

6 -2 -2

-2 6 6

-2 6 6

-6 -6 2

2 2 -6

2 2 -6

-6 -6 2

2 -6 2

-6 2 -6

2 -6 2

-6 2 -6

для которого бент-последовательность имеет вид 350

Наука

итехника. Т. 15, № 4

Баепсе & ТесИп^ие. V. 15, N0 4

Отметим, что на основе построенных базовых бент-квадратов Б|6,..., Б^6 путем применения операций ступенчато циклического сдвига по строкам, суперпозиции сегментов §|6,..., БД операций циклических сдвигов по строкам и столбцам, а также знаковых кодирований может быть получено множество бент-квадратов порядка п = 16 и соответственно множество бент-функций длины N = 256. Тем не менее разработка регулярных правил построения новых бент-квадратов на основе базовых представляется важной, но все еще нерешенной задачей теории бент-функций.

ВЫВОДЫ

1. Разработан регулярный метод синтеза бент-квадратов С. Агиевича на основе операции диадного сдвига, позволяющий синтезировать базовые бент-квадраты любого порядка п.

2. Дальнейшее развитие получил метод синтеза бент-функций на основе бент-квадратов Агиевича, в рамках чего синтезирован полный класс из восьми базовых бент-квадратов порядка п = 16.

3. Предложена классификация полного множества спектральных векторов длины I = 8, 16 на основе критерия максимального абсолютного значения и набора абсолютных значений спектральных компонент, что позволило разделить все множество спектральных коэффициентов на эквивалентные классы.

4. Предложенный регулярный метод синтеза базовых бент-квадратов на основе оператора диадного сдвига позволяет расширить область применения метода синтеза бент-функций на основе бент-квадратов Агиевича на большие их длины N, что является необходимым для современных информационных технологий, использующих бент-функции для своего функционирования.

Наука

иТ ехника. Т. 15, № 4

ЛИТЕРАТУРА

1. Токарева, Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения: обзор работ / Н. Н. Токарева // Прикладная дискретная математика. 2009. № 1 (3). С. 15-37.

2. Мазурков, М. И. Генератор ключевых последовательностей на основе дуальных пар бент-функций / М. И. Мазурков, Н. А. Барабанов, А. В. Соколов // Труды Одесского политехнического университета. 2013. № 3 (42). С. 150-156.

3. Соколов, А. В. Быстродействующий генератор ключевых последовательностей на основе клеточных автоматов / А. В. Соколов // Пращ Одес. полггехн. ун-ту. 2014. № 1 (43). С. 180-186.

4. Paterson, K. G. Sequences for OFDM and Multi-Code CDMA: Two Problems in Algebraic Coding Theory // Sequences and their Applications. Seta 2001. Second Int. Conference (Bergen, Norway, May 13-17, 2001). Proc. Berlin: Springer, 2002. P. 46-71.

5. Rothaus, O. S. On "Bent" Functions / O. S. Rothaus // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 1976. Vol. 20 No 3. P. 300-305.

6. Мазурков, М. И. Регулярные прaвила построения полного класса бент-последовательностей длины 16 / М. И. Мазурков, А. В. Соколов // Пращ Одес. полггехн. ун-ту. 2013. № 2 (41). С. 231-237.

7. Meng, Qingshu. A Novel Algorithm Enumerating Bent Functions / Q. Meng [et al.] // Discrete Mathematics. 2008. Vol. 308, Iss. 23. P. 5576-5584.

8. Agievich, S. V. On the Representation of Bent Functions by Bent Rectangles / S. V. Agievich // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics: Proceedings of the Fifth International Petrozavodsk Conference (Petrozavodsk, June 1-6, 2000). Utrecht, Boston: VSP, 2002. P. 121-135.

9. Соколов, А. В. Алгоритм устранения спектральной эквивалентности компонентных булевых функций S-блоков конструкции Ниберг / А. В. Соколов, Н. А. Барабанов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2015. T. 58, № 5. С. 41-49.

10. Мазурков, М. И. Быстрые ортогональные преобразования на основе бент-последовательностей / М. И. Мазурков, А. В. Соколов // 1нформатика та математичш методи в моделюванш. 2014. № 1. С. 5-13.

11. Соколов, А. В. Новые методы синтеза нелинейных преобразований современных шифров / А. В. Соколов. Германия: Lap Lambert Academic Publishing, 2015. 100 с.

12. Соколов, А. В. Конструктивный метод синтеза нелинейных S-блоков подстановки, соответствующих строгому лавинному критерию / А. В. Соколов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2013. T. 56, № 8. С. 43-52.

Поступила 14.09.2015 Подписана в печать 17.11.2015 Опубликована онлайн 28.07.2016

REFERENCES

1. Tokareva N. N. (2009) Bent-Functions: Results and Applications. Review of Papers. Prikladnaia Diskretnaia Ma-tematika [Applied Discrete Mathematics], 3 (1), 15-37 (in Russian).

2. Mazurkov M. I., Barabanov N. A., Sokolov A. V. (2013) Generator of Key Length on the Basis of Bent-Function Dual Pairs. Pratsi Odes. Politekhn. Un-tu [Proceedings of Odessa Polytechnical University], 42 (3), 150-156 (in Russian).

3. Sokolov A. V. (2014) Fast-Acting Generator of Key Length on the Basis of Cellular Automaton. Pratsi Odes. Politekhn. Un-tu [Proceedings of Odessa National Polytechnical University], 43 (1), 180-186 (in Russian).

4. Paterson K. G. (2002) Sequences for OFDM and MultiCode CDMA: Two Problems in Algebraic Coding Theory. Proc. SETA 2001 (Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Series). Berlin, Springer, 46-71.

5. Rothaus O. S. (1976) On "Bent" Functions. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 20 (3), 300-305 DOI: 10.1016/ 0097-3165(76)90024-8

6. Mazurkov M. I., Sokolov A. V. (2013) Regular Rules for Development of Complete Class of Bent-Sequential Length 16. Pratsi Odes. Politekhn. Un-tu [Proceedings of Odessa Polytechnical University], 41 (2), 231-237 (in Russian).

7. Qingshu Menga, Min Yangb, Huanguo Zhanga, Jing-song Cuia (2008) A Novel Algorithm Enumerating Bent

Functions. Discrete Mathematics, 308 (23), 5576-5584 DOI: 10.1016/j.disc.2007.10.024.

8. Agievich S. V. (2002) On the Representation of Bent Functions by Bent Rectangles. Probabilistic Methods in Discrete Mathematics: Proceedings of the Fifth International Petrozavodsk Conference (Petrozavodsk, June 1-6, 2000). Boston: VSP, 121-135.

9. Sokolov A. V., Barabanov N. A. (2015) Algorithm for Removing the Spectral Equivalence of Component Boolean functions of Nyberg-Design S-Boxes. Radioelectronics and Communications Systems, 58 (5), 220-227. DOI: 10. 3103/S0735272715050040.

10. Mazurkov M. I., Sokolov A. V. (2014) Fast Orthogonal Transformations on the Basis of Bent Sequences. In-formatika ta Matematichni Metodi v Modeliuvanni [Informatics and Mathematical Methods in Simulation], (1), 5-13 (in Russian).

11. Sokolov A. V. (2015) New Methods for Synthesis of NonLinear Transformations in Modern Codes. Germany, Lap Lambert Academic Publishing. 100.

12. Sokolov A. V. (2013) Constructive Method for the Synthesis of Nonlinear S-Boxes Satisfying the Strict Avalanche Criterion. Radioelectronics and Communications Systems, 56 (8), 415-423. DOI: 10.3103/S0735272 713080049.

Received: 14.09.2015 Accepted: 17.11.2015 Published online: 28.07.2016

Наука

итехника. Т. 15, № 4