Кинематический анализ манипуляционной системы робота

УДК 62-236.58

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАНИПУЛЯЦИОННОЙ СИСТЕМЫ РОБОТА

А.А. Тропина, доцент, к.ф.-м.н., С.Н. Марасов, студент, ХНАДУ

Аннотация. На основе матричного метода исследования проведен кинематический анализ манипуляционной системы промышленного робота. Определены основные кинематические характеристики звеньев манипулятора при заданном управлении, образованном линейной комбинацией рассогласований и их производных.

Ключевые слова: матричный метод, манипуляционная система, кинематический анализ.

Введение

В последнее время большое внимание уделяется роботизации различных технологических процессов. Для этих целей широко используются манипуляционные роботы разнообразных конструкций. Эффективность и надежность работы манипуляционных систем роботов определяется как кинематикой звеньев, так и системой их управления. В этой работе на основе матричного метода исследования проводится кинематический анализ манипуляционной системы промышленного робота с целью выбора управления, решающего задачу захвата манипулятором движущейся по заданной траектории детали.

Анализ публикаций

Решение проблемы управления движением манипуляционных роботов является достаточно сложной задачей, решению которой посвящено большое количество работ. Наиболее распространенным формализованным подходом к моделированию манипуляционных робототехнических систем является матричный подход [1].

На основе этого похода в работе [2] проведено математическое моделирование поведения манипуляционных систем роботов шарнирного типа. В работе [3] динамическая модель манипуляционного робота строится с учетом минимизации динамических ошибок. Аналогичный матричный подход применен

авторами работы [4] для оптимизации управления манипуляционными роботами с помощью алгоритма преследования. В этой работе матричный подход используется в сочетании с линейной теорией управления для проведения кинематического анализа манипуляционного механизма.

Задача исследования состоит в выборе управления, решающего поставленную задачу захвата манипулятором движущейся детали, и в исследовании движения манипулятора при заданном управлении.

Цель и постановка задачи

Объектом исследования является универсальный промышленный робот ПР-350, который представляет собой манипуляционный робот шарнирного типа с шестью степенями свободы (рис. 1). Данный робот используется при выполнении различных технологических операций, таких как контактная сварка, складирование, транспортировка деталей, и является частью сборочного конвейера по выпуску автомобилей ВАЗ.

Манипуляционная система робота представляет собой разомкнутую кинематическую цепь, состоящую из п звеньев, последовательно соединенных вращательными или поступательными кинематическими парами пятого класса. Для определения координат центра масс захватного устройства манипулятора воспользуемся матричным методом.

Рис. 1. Манипуляционный робот ПР-350

При этом с каждым звеном связывается собственная система координат с началом в центре первого шарнира (одна из координатных осей системы направлена вдоль оси шарнира). При таком выборе осей координат (метод Денавита-Хартенберга) матрицы перехода от одной системы координат к другой будут матрицами поворотов вокруг соответствующих координатных осей.

Кинематическое описание схемы манипулятора дополняется векторами переноса, определяющими сдвиг относительной системы координат относительно друг друга. Движение звена / относительно звена (/-1) определяется обобщенными координатами q/ и соответствующей матрицей перехода В(_Г)/.

Движение звена / относительно стойки описывается произведением матриц вида

В0/ (ql5 ^,-^/ ) = В0:Ы ' В12 (Ч2 ) ' ...В(/_1),/ (q/ ).

Если известны координаты центров масс звеньев С/ (/ = 1..п) в локальной системе координат гС , связанной с /-ым звеном, тогда в неподвижной системе координат получим, что

гС = В,

..с,

0,

Целью исследования является выбор управления, решающего задачу захвата манипулятором движущейся по заданной траектории детали, и определение кинематических характеристик манипулятора при заданном управлении.

Результаты исследования

Первым этапом кинематического анализа является задание координат опорных точек в локальной системе координат звена. При этом в качестве опорных точек каждого звена выбираем центр масс звена, граничные точки и точки крепления соседнего звена. Используется метод аффинных преобразований в расширенном пространстве.

Так, в частности для звеньев 1 и 3, соответствующие матрицы опорных точек и1,и3 с учетом конструктивной схемы и размеров манипулятора, приведенных на рис.1, имеют вид

0 -4,5 4,5 0 0 -1,25 1,25

(0 0

0 -4,5

0 0

V 1 1

( 0 0

0 -4,5

0 0

V 1 1

0

3 7 11

0

1

0 0 0 ^

0 -3,5 3,5

0

1

4,6 11,5 11

Матрица В06, задающая перемещения точек захвата манипулятора, равна произведению матриц формы и матриц опорных точек, и для рассматриваемого случая принимает вид

В06 =

ПФД

,=1

и

где иб — матрица опорных точек захватного устройства, Фг- — матрицы формы, связан-

ные с матрицами переходов, задающими ориентацию локальных систем координат относительно стойки, ^ — матрицы поворотов относительно локальных осей координат.

В качестве обобщенных координат выбираются:

1) углы поворота звеньев 1,3,5 вокруг оси

ОХ — Ф2, Ф3;

2) углы поворота звеньев 4,6 вокруг оси

О — ^ V 2;

3) угол поворота звена 2 вокруг оси 02 — 0!.

3

п

Тогда, например, матрицы поворотов Л4, ^ звеньев 4,5 принимают вид

^ cos(y1) 0 sin(y1) 0л

R4 =

О

i

О

О

- sin(yi) 0 - cos(yi) О

О

О

f i

R5 =

О

О

О

i

О cos(ф3) - sin^3) О О sin(ф3) - cos^3) О

О

О

О

i

Из полученной матрицы В06 можно выделить аналитические выражения для координат центра масс захватного устройства, которые в рассматриваемом случае имеют вид

Управление движением манипулятора будем осуществлять по линейной комбинации рассогласований координат движения точки А (детали) и центра масс (точки С) захвата, а также их производных. Координаты точки С захвата определяются выражениями (1). Координаты точки А, движущейся вдоль прямой с постоянной скоростью, зададим параметрическими уравнениями вида

ХА = *4 (0) + УАх • * ,

Уа = Уа

где * - время, УАх ,УЛу ,УАг - проекции вектора скорости точки А на оси неподвижной системы координат.

Рассогласование движения определим следующим образом:

xc = f0 + fi + ^, yC = f3 + f4 + f5 + f6,

Ax = Ха - xC , ДУ = Уа - Ус.

f0 = -15 sin 0j cos Ф2 cos Ф3 +

+/5 cos 01 sin Yj sin Ф3,

f = 15 sin 0j sin Ф2 sin Yj sin Ф3 -—/4 sin 0j cos Ф2,

f2 = 14-J sin 0j cos Ф2 +/3 sin 0j sin Ф2 -

—/2 sin 0j + 1j,

f3 = /5 cos 0j cos Ф1 cos Ф3 cos Ф2 —

—/5 sin Ф1 sin Ф2 cos Ф3,

f4 = /5 sin 01 sin Y1 sin Ф3 cos Ф1 —

—/5 cos Ф1 sin Ф2 sin Ф3 cos 01 cos Y1,

f5 = /5 cos Y1 cos Ф2 sin Ф3 sin Ф1 +

+/4 cos Ф1 cos Ф3 cos 01,

f7 = —/3 sin Ф2 cos 01 cos Ф1 + /3 sin Ф1 cos Ф2 + +/2 cos Ф1 cos 01 + /1,

f6 = —/4 sin Ф2 sin Ф1 — /4—1 cos Ф1 cos Ф2 cos 01 + +/4—1 sin Ф1 sin Ф2,

где / (i = 1..6) — длина звеньев манипулятора. Аналитическое выражение для координаты z центра масс захватного устройства не приводится в силу его громоздкости.

Az = ^а - ZC .

При этом управление движением захвата будем осуществлять по сигналам управления их, иу, иг, образованным линейной комбинацией рассогласований и их производных

ux = Ax + T — Ax, uy = Ay + T2 — Ay ,

где Т1,Т2,Т3— множители размерности времени, которые выбираются по заданному отклонению рассогласований от их начальных значений.

Сигналы их, иу, иг подаются на управление

двигателя манипулятора с коэффициентом усиления k, который в современных высокоточных манипуляторах очень высок, что позволяет считать k ^ да, тогда при условии конечности произведений ких, киу, киг, получим, что их = иу = иг = 0.

Приближенные предельные уравнения, описывающие движение манипулятора с точностью до1/ k, принимают вид

^ХС = ГАх + -1

м тх

^ = УАу + Т

= У-"+Т

Кинематические уравнения (6) - (8) описывают движение центра масс захвата за пределами малого начального интервала времени 5 (за пределами погранслоя [5]). За время 5 сигналы их, иу, иг системой управления

должны сводиться от конечных по величине значений до значений, близких к нулю.

При выполнении условий их = иу = иг = 0

решения уравнений (4), (5) принимают однотипный вид

Дх = Дх

Ду = Ду

Дг = Дг

где Дх(0), Ду(0), Дг(0)— начальные рассогла-

сования.

Учитывая, что к концу заданного временного интервала т рассогласования Дх, Ду, Дг должны быть достаточно малыми по сравнению с начальными рассогласованиями, получим, что

Т =_т /1п(Дх / Дх(0)),

Т2 =_т / 1п(Ду / Ду(0)),

Т3 = _т /1п(Дг / Дг(0)).

При выборе изотропного параметра рассогласования, т.е. при

Дх / Дх(0) = Ду / Ду(0) = Дг / Дг (0) = у,

получаем одинаковый по всем направлениям коэффициент управления Т * = _т /1п у.

Для определения угловых скоростей звеньев манипулятора при заданном управлении и

полученном законе движения центра масс захватного устройства вида (1), используем обратные матричные преобразования

— 6 -

Vk =Е ,

/=1

дв

где Ц / = —— В/0 — матрица аналога скорости /-го звена , <&/ — обобщенные скорости.

Полученную систему уравнений (12) можно разрешить относительно угловых скоростей звеньев с учетом уравнений движения центра масс захватного устройства (1). При этом формируется система уравнений для определения значений угловых скоростей звеньев в данный момент времени при заданном управлении Т * .

Эта система уравнений для угловых скоростей дополняется кинематическими уравнениями, определяющими угловые скорости звеньев как производные от соответствующих углов поворота (обобщенных координат). Таким образом, задавая начальные значения обобщенных координат и обобщенных скоростей, можно найти решение полученной системы уравнений итерационным методом, что позволяет в первом безинерционном приближении оценить диапазон изменения кинематических характеристик звеньев.

В качестве начальных значений обобщенных координат выбирались следующие значения:

Ф10 = Ф20 =Ф30 = п/2,

^10 = У 20 =010 = 0.

Поскольку полученная система уравнений состоит из девяти уравнений первого порядка, а манипулятор является системой с шестью степенями свободы, из начальных значений переменных независимыми являются только шесть, а остальные определяются по значениям (13), (14) для рассматриваемой конструктивной схемы манипулятора.

На рис. 2 представлены расчетные траектории движения центра масс захватного устройства (точки С) и детали А на момент сближения (т = 1,2 с) при следующих значениях параметров:

Рис. 2. Зависимости координат точки С (кривая 2) и точки А (кривая 1) от времени

у = 0,001, УА = 0,4 м/с, хА (0) = 0, уА (0) = 0, гА (0) = 0,6 м, Т* = 0,02.

Варьируя параметр Т *, можно менять характер сближения траекторий точек С и А. На рис. 3 представлены зависимости угловых скоростей звеньев от времени при полученной траектории движения точки С и выбранном управлении.

Рис. 3. Зависимости угловых скоростей звеньев от времени: 1 — ю1; 2 — ю2; 3— ю3

Таким образом, предложенный подход позволяет в первом (безинерционном) приближении определить диапазон изменения кинематических характеристик звеньев при решении задачи захвата манипулятором движущейся детали.

Выводы

На основе матричного подхода и метода управления, основанного на линейной комбинации рассогласований и их производных, проведен кинематический анализ манипуляционной системы промышленного робота.

Определены угловые скорости звеньев манипулятора при заданном управлении с учетом малых отклонений рассогласований и их производных от начальных значений.

Полученные данные являются основой для формирования динамических уравнений движения манипулятора в виде уравнений Лагранжа второго рода, решение которых позволит оценить динамические ошибки и повысить точность системы управления.

Литература

1. Попов Е.П., Письменный Г.В. Основы ро-

бототехники: введение в специальность.

— М.: Высшая школа, 1990. — 286 с.

2. Mladenova C. Mathematical modeling and

control of manipulator systems// J. Robotics and computer-integrating manufacturing. — 1998. — V.8. — №4. — P.233 - 242.

3. Hedjar R., Boucher P. Non-linear receding-

horizon control of rigid link robot manipulators// Int. J. of Advanced Robotic Systems. —2005. — V.2. — №1. — P.15 - 24.

4. Chen W.H., Balance D.J., Gawthrop P.J.

Optimal control of nonlinear systems: a predictive approach // Automatica. — 2003. —V.39. — P. 633 - 641.

5. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптоти-

ческие разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. - М.: Наука, 1973. - 192 с.

Рецензент: А.В. Бажинов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 8 января 2008 г.