Построение математической модели течений в тонком слое жидкости на основе классических уравнений конвекции и обобщенных условий на границе раздела

УДК 519.87

Построение математической модели течений в тонком слое жидкости на основе классических уравнений конвекции и обобщенных условий на границе раздела*

О.Н. Гончарова1 2, Е.В. Резанова12

1 Алтайский государственный университет

2 Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения Российской академии наук

Construction of a Mathematical Model of Flows in a Thin Liquid Layer on the Basis of the Classical Convection Equations and Generalized Conditions on an Interface

O.N. Goncharova1,2, E.V. Rezanova1,2

1 Altai State University

2 Kutateladze Institute of Thermophysics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Изучены течения в тонком слое жидкости, стекающей по наклонной неравномерно нагреваемой подложке. Математическое моделирование подобных течений проводится на основе длинноволнового приближения уравнений. Основой математической модели являются классические уравнения конвекции и уравнения на термокапиллярной границе, представляющие собой обобщение на случай испарения жидкости с границы раздела кинематического, динамического и энергетического условий. Проводится параметрический анализ данных условий. Приведены значения характерных величин и безразмерных параметров задачи для различных пар «жидкость — газ» типа «этанол — азот», «НЕЕ7100 — азот», «ЕС72 — азот». Односторонняя математическая модель течений тонкого слоя жидкости по наклонной подложке представлена в работе в двумерном случае для умеренных чисел Рейнольдса. Выведено эволюционное уравнение для толщины слоя, которое учитывает эффекты гравитации, капиллярности и термокапиллярности, вязкости и испарения, а также действия дополнительных касательных напряжений со стороны внешней среды.

Ключевые слова: течение жидкости, граница раздела, испарение, уравнения тонкого слоя, математическая модель. БОТ 10.14258/^уа8и(2015)1.1-12

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-08-00163) и Минобрнауки России (идентификатор проекта RFMEFI61314X0011).

In this paper, fluid flows in a thin layer, flowing down an inclined nonuniformly heated substrate, are studied. Mathematical modeling of the fluid flows is carried out on the basis of the long-wave approximation of the equations. In the present case, the basis of the mathematical model is the classical convection equations and equations on a thermocapillary interface. The last equations are a generalization in the case of evaporation at the interface of kinematic, dynamic, and energetic conditions. The parametric analysis of these conditions is performed. Values of characteristic scales and dimensionless parameters of different pairs of "liquid — gas" systems like "ethanol — nitrogen", "HFE7100 — nitrogen", "FC72 — nitrogen" are presented. The one-sided mathematical model of flows in a thin liquid layer flowing down an inclined wall is presented in the paper in the two-dimensional case for moderate Reynolds numbers. An evolution equation for the layer thickness is derived. It takes into account effects of gravitation, capillarity and thermocapillarity, viscosity and evaporation, and also an action of additional tangential stresses of an external gas phase.

Key words: fluid flow, interface, evaporation, equations of a thin liquid layer, mathematical model.

Введение. Изучаются течения вязкой несжимаемой жидкости в условиях, когда на границе раздела требуется учесть перенос массы в результате испарения. В настоящее время имеется ряд работ, где течение жидкости с учетом испарения изучается в приближении тонкого слоя [1-7]. При построении математических моделей для описания течения тонкого слоя или пленки жидкости в длинноволновом приближении исходят из того, что могут быть выбраны два масштаба длины и скорости. В качестве поперечной характерной длины d выбирают максимальную толщину слоя в начальный момент времени (max ho), а в качестве продольной l — наименьший из периодов функции ho [8]. Характерные масштабы длины выбирают также исходя из заданного расхода жидкости [9] d = (3ГМо/(рsinа)1/3), где l = (aod2/(pU2)1/3); U = p0/pd — характерная продольная скорость; Г — заданный расход жидкости; р0,а0 — значения коэффициентов динамической вязкости и поверхностного натяжения при некотором относительном значении температуры; р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения; а — угол наклона подложки, по которой стекает пленка, к горизонту.

В данной работе предложена новая математическая модель для описания течений тонкого слоя жидкости в условиях испарения на границе раздела. Математическое моделирование проводится на основе длинноволнового приближения уравнений Обербека — Буссинеска и обобщенных кинематического, динамического и энергетического условий на свободной границе [10-12]. На твердой непроницаемой подложке выполняются условия прилипания для скорости, и задано распределение температуры, зависящее от времени и продольной координаты так, чтобы обеспечить неоднородный нагрев. Кинетическое уравнение Герца — Кнудсена (см.: [1; 5; 6]) используется для задания зависимости локального потока массы испаряющейся жидкости от температуры на границе раздела.

Поскольку решение системы уравнений и граничных условий, описывающих течение тонкого слоя, строится в виде рядов (разложений) по степеням малого параметра е (е = d/l), то задача сводится к поиску главных и первых членов разложений и решению эволюционного уравнения для толщины слоя h. Течение жидкости описывается в терминах толщины слоя.

Представлены результаты параметрического анализа задачи о термокапиллярных течениях в тонких слоях с учетом испарения. Приведены значения характерных величин и безразмерных параметров задачи для различных пар «жидкость — газ» типа «этанол — азот», «HFE7100 — азот», «FC72 — азот». Построенная односторон-

няя математическая модель позволяет изучать течения тонких слоев жидкости с учетом испарения на термокапиллярной границе. Дополнительные касательные напряжения, создаваемые спутным потоком газа, учитываются в граничных условиях. Представленное эволюционное уравнение, определяющее толщину слоя жидкости, учитывает также эффекты гравитации, вязкости, капиллярности и термокапиллярности, а также испарения на границе.

Рис. 1. Геометрия области течения

1. Основные уравнения. Пусть l — продольная характерная длина, d — поперечная характерная длина, причем l ^ d, так что е = d/l представляет собой малый параметр системы. Отметим, что характерные продольная и поперечная скорости u* и wt также связаны между собой: w* = eu*. Пусть характерное время процесса t* связано с другими параметрами задачи следующим образом: l = u*t*, а характерное давление задается выражением p* = pu*vl/d2, T* — характерный перепад температуры.

Систему уравнений Обербека — Буссинеска в безразмерном виде представим следующим образом:

Ree2(ut + uUx + wuz) = -p'x + e2uxx+

+Uzz - 7i T sin a;

Ree4(wt + uwx + wwz) = -p'z + e4Wxx+

+e2wzz + 72T cos a;

ux + wz =0;

RePre2

Здесь v = (u, w) — вектор скорости жидкости; p' — модифицированное давление (p' = p— —Y1(eT*)-1 x sin a + Y2(eT* )-1z cos a); T — температура; p — плотность жидкости (некоторое относительное значение плотности); Re = u*l/v — число Рейнольдса; Pr = v/x — число Прандтля; Y1 = Gr/(Ree), y2 = Gr/Re, Gr = d3g/3T*/v2 —

число Грасгофа; v — коэффициент кинематической вязкости жидкости; х — коэффициент температуропроводности; в — коэффициент теплового расширения жидкости. Система координат выбрана так, чтобы ось Ox была направлена вдоль твердой границы z = 0, g = |g|, вектор силы тяжести имеет вид: g = (gi,g2) = (g sin a, —g cos a) (см. рис. 1).

Уравнение границы имеет вид: z = h(x,t). Вектор нормали к границе n и касательный вектор s имеют координаты (п\,п2) и (ri2,—n{) соответственно, п\ = —ehx/yl+е^Щ., п2 = = 1 /\J\ + £2/i2 . Кривизна свободной границы и скорость ее перемещения по направлению внешней нормали задаются соотношениями 2Н = = ehxx/y/(l + e4l)3, Dn = -eht/y/1 + eWx.

На термокапиллярной границе раздела z = = h(x, t) должны быть выполнены кинематическое, динамическое и энергетическое условия [10-12]. Представим кинематическое условие

в виде:

-e{ht + hxu - w)/Vl + £2h~1 = EJev.

Динамические условия в безразмерной форме имеют вид:

0.2

2£ г 2 7 2

-р + ~Г~Г~~Iе nxux+wz-

1 + e2hX

— hx(uz + e2wx)] = — p9 +

2e2pi/vh \ou2

+wg — £hx(uZ + w9g )] +

[e2hXuX+

E 2 ¿2

+(l-(l/p)) —+ ;

0

1 + e2hX

1 — e2h. + -

— £ hxUx + e hxWz +

0

2pPPh-1£

(1 + ¿2hx) +

x x x z

1- e2hx

2

Mae

RePr^/l + £2/i2 dT

(Tx + hxTz),

dn

+ e2{Td¿vrv} = вз^ +

+в4 Jev ( — P +

2e2

2£ г 2 7 2

1 + £2fe2 [£ K^x+Wz-

-hx(uz + e2wx)]j + ^p5Jev +

ehx

Jev •

Предполагая линейную зависимость коэффициента поверхностного натяжения а от температуры,

МаСа сгтТУ

получим а = 1—аа1 , а^ = „ „—, та

ДеРг '

число Марангони, Ca =

u^pv

PvX

капиллярное чис-

ло, ао — значение коэффициента а при некотором значении температуры, ат — температурный коэффициент поверхностного натяжения). дТ/дп и ¿¿«г« вычисляются по формулам

дТ/дп = (—e2hxTx + Tz)/^l+e4,l

22 d¿vrv = dvj/dxj — n¿(n •Vvj) = (ux + Wz)|r —

i=i

i=i

-(£2^Х- Нж(м2 + + ^)/(1 + £2Л4).

Здесь введены обозначения: Р, р — отношение коэффициентов кинематической вязкости и плотностей газа и жидкости соответственно; Р = м*/м* — отношение характерной продольной скорости газа к характерной скорости жидкости и*; — давление в газе (безразмерное); Н — отношение ха-

Мае

рактерного размера слоя газа к I; р2 =

вз = 1; в4

-1/Й)2

E2

((V.) - >7^: А

RePrEU (1—

г; /36 =

1

ReCaU

. При этом

Де2[/£2'

£/ = —Е = -——, где Е — коэффициент испа-

«2 Лир^

рения (см.: [1; 5; 6]); Лу — скрытая теплота парообразования; к — коэффициент теплопроводности жидкости. Характерная величина потока мас-

кТ*

сы пара вычисляется как ——.

аЛу

Величину локального потока массы пара на границе раздела будем определять с помощью уравнения Герца — Кнудсена (см.: [2; 5; 6]), записанного в безразмерной форме:

Jev = aJT |z=h(x,í) •

Здесь коэффициент а/ вычисляется следующим образом: а/ = аряЛиТ*(М/(2пД3Т83))1/2 [2; 12], где а — коэффициент аккомодации; ря — плотность пара; М — молекулярный вес; Дд — универсальная газовая постоянная; Тя — температура насыщенного пара.

На твердой подложке г = 0 потребуем выполнения условия прилипания для скорости

«|*=о = 0, н2=о = 0.

Пусть также задано распределение температуры Т |г=о = во

Для дальнейшего рассмотрения положим Де = = 1 (математическая модель течения тонкого слоя жидкости будет предложена, если числа Рей-нольдса достаточно умеренные и Де = 0(1)).

2. Параметрический анализ задачи.

Если члены более высокого порядка, чем е2, будут опущены, то результатом упрощений уравнений (5)—(8) станут следующие соотношения на границе раздела:

Таблица 3

Физические параметры задачи

(ht + hxu - w) + (E/e) Jev = 0;

-p + 2e2(wz - hxUz) = -pg + «e Л + a (1 - aCTT);

e hx

= aT ehx(wg - uX) + 0.5(ug + wg) -

-0.5aMa(TX + hxTz);

-Tz + e2hx Tx + e2{TdiVrv} = = вз Jev + в4 Jev [-p + 2e2(wz - hxUz)] +

+0.5,^4, + вб £hxx

Здесь введены дополнительные обозначения:

^з "¿/Ue

аЕ = (1 - (1 /р))Е2; аСа = «т = —; Mae

«Ма = ——• Для проведения параметрического Pr

анализа представим значения физических параметров задачи для тех систем «жидкость — газ», которые используются в эксперименте [13]. Это этанол и азот, HFE7100 и азот, FC72 и азот. Физические характеристики жидкостей и газа приведены в таблице 3. Значения безразмерных параметров в соотношениях (12)—(15) представлены в таблицах 1, 2 в случае, если характерный перепад температуры равен T* = 10 K (см.: [11-13]). В таблицах показаны порядки некоторых коэффициентов, чтобы стали понятны последующие возможные упрощения.

Таблица 1

Значения параметров a

"a" Этанол — азот HFE7100 - азот FC72 -азот

a<j 1СГ2 1СГ1 1СГ1

аса e3106 e3106 е310Б

CUE -10~3 -1СГ2 — Ю-2

a.T el0~2 el0~2 el0~2

CXMa elO3 elO4 elO3

Таблица 2

Значения параметров /

"a" Этанол — азот HFE7100 - азот FC72 -азот

/32 е е е

/Зз 1 1 1

/34 1СГ3£~2 1СГ3£~2 1СГ3£~2

/Зб 10-6£-2 1(ГБе-2 10-Бе-2

/36 —102 —102 —102

Параметр Этанол HFE7100 FC72

р, г/см3 0.79 1.5 1.68

V, см2/сек 0.015 0.0038 0.0038

(То, дин/см 22 12.4 11.91

ат, дин/(см К) 0.08 0.114 0.09

А и, кал/г 217 26.5 21

к, калДсексмК) 4 • Ю-4 1.67-10"4 1.4 • 10~4

X, см2/сек 0.89-10"3 0.4 • 10~3 0.32 • 10~3

Ср, кал/(г К) 0.71 0.312 0.26

3. Уравнения тонкого слоя. Задача нахождения компонент скорости u, w, температуры T, давления p' будет решена, как только будет найдена толщина слоя жидкости h. Если ограничиться постановкой задач для главных членов разложений искомых функций по степеням малого параметра е исходя из уравнений, которые следуют из (1)-(4) и (12)-(15), то уравнение для толщины слоя h можно записать в виде:

ht + hx[(1/24)72 cos aAxh4 + (1/6)(y2 cos a(©o)x+ +Y1 sin aA)h3 + (1/2)((Co)x + Yi sin a©o)h2 + Cih] + + [(1/120)y2 cos aAxxh5 + (1/24)(y2 cos a(©o)xx+ +Yi sin aAx)h4 + (1/6)((Co)xx + Yi sin a(©o)x)h3+ +(1/2)(Ci)x h2 ] + Ee-1aj (Ah + ©o) = 0. (16) Здесь

Jev = aj [A(x, t)h + ©o(x,t)].

Функции A и ©o определяют тепловой режим течения. Функция ©o задана (см.: (11)). Для функции A имеет место следующее дифференциальное уравнение:

-A + /2 (Ah + ©o) ((1/24)y2 cos aAxxh4+

+ (1/6)y2 cos a(©o) xx h3+ + (1/2)(Co)xxh2 + (1/6)yi sin aAxh3+ +(1/2)yi sin a(©o)xh2 + (Ci)xh) --/2 (Ah + ©o)h^(1/6)Y2 cos ah3+ + (1/2)h2[(©o)xY2 cos a + Ayi sin a] + +h[(Co)x + ©oYi sin a] + C^ =

= aj (вз + eehxx )(Ah + ©o).

Здесь /б = вбе. Функции Co, Ci выражаются через функции h и A:

Co(x,t) = pg - aCahxx(1 - aCT(Ah + ©o))-

-Y2 cos a(1 /2)Ah2 - y2 cos a©oh-

—71(вТ*) 1x sin a + Y2h cos a;

Ci (x,t) = —aMa (Ah + ©o)x — —h( — aCa hxxx(1 — aCT (Ah + ©o))+ +ac a hxx (Ah + ©o)x — (1/2)72 cos a(Ah )x — —72 cos a(©oh)x — 71(вТ )-1 sin a + 72 cos ah^ —

—71 sin a ( (1 /2)Ah2 + ©oh) —

—72 cos a ((1/6)Axh3 + (1/2)(©o)xh^ •

При этом влияние касательных напряжений т (x, t) со стороны внешней среды не учитывается (т(x, t) = 0, 5(uz + wx)). Коэффициент испарения E и коэффициент aj (9) есть величины порядка 10-3, 10 — для этанола и 10-2, 1 — для HFE7100 и FC72 соответственно. Главные члены разложений искомых функций (компонент вектора скорости, давления, температуры) uo, wo, po,

То представляют собой полиномы относительно поперечной координаты г. При этом является полиномом четвертой степени, и>о — полиномом пятой степени, а То — полиномом первой степени. Их коэффициенты есть фактически функции, зависящие от х и Если функция Н известна, то скорость, давление и температура также определяются с учетом соответствующих формул.

Заметим, что для замыкания постановки задачи следует задать начальное положение термокапиллярной границы раздела Н(х, 0) = Но(х), начальные условия для компонент вектора скорости и температуры, условия на бесконечности.

Эволюционное уравнение (16) для толщины Н слоя жидкости, стекающей по неравномерно нагретой подложке, выведено с целью исследовать конвективные течения тонких слоев в поле силы тяжести с учетом действия термокапиллярных сил, эффектов капиллярности и испарения на границе раздела.

Библиографический список

1. Oron A., Davis S.H., Bankoff S.G. Long-Scale Evolution of Thin Liquid Films // Reviews of Modern Physics. - 1997. - Vol. 69 (3).

2. Miladinova S., Slavtchev S., Lebon G., Legros J.-C. Long-Wave Instabilities of Non-Uniformly Heated Falling Films //J. Fluid Mech. — 2002. — Vol. 453.

3. Shklyaev O., Fried E. Stability of an Evaporating Thin Liquid Film // Journal of Fluid Mechanics. — 2007. — Vol. 584.

4. Кабов О.А., Кабова Ю.О., Кузнецов В.В. Испарение неизотермической пленки жидкости в микроканале при спутном потоке газа // ДАН. — 2012. — Т. 446, №5.

5. Гончарова О.Н., Резанова Е.В., Тарасов Я.А. Математическое моделирование термокапиллярных течений в тонком слое жидкости с учетом испарения // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — №1/1 (81).

6. Гончарова О.Н., Резанова Е.В. Математическое моделирование термокапиллярных течений в тонком слое жидкости с учетом испарения // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — №1/2 (81).

7. Тарасов Я.А. Математическая модель конвективных течений жидкости с учетом испарения

в приближении тонкого слоя : магистерская диссертация. — Барнаул, 2014.

8. Копбосынов Б.К., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в тонком слое жидкости // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости : сб. научн. трудов. — Свердловск, 1983.

9. Кабова Ю.О., Кузнецов В.В. Стекание неизотермического тонкого слоя жидкости с непостоянной вязкостью // ПМТФ. — 2002. — №6 (43).

10. Iorio C.S., Goncharova O.N., Kabov O.A. Study of Evaporative Convection in an Open Cavity under Shear Stress Flow // Microgravity Sci. Technol. — 2009. — Vol. 21(1).

11. Iorio C.S., Goncharova O.N., Kabov O.A. Heat and mass transfer control by evaporative thermal pattering of thin liquid layers // Computational Thermal Sci. — 2011. — №3 (4).

12. Гончарова О.Н. Моделирование течений в условиях тепло- и массопереноса на границе // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2012. — №1/2 (73).

13. Lyulin Yu., Kabov O. Evaporative convection in a horizontal liquid layer under shear-stress gas flow // Int. J. of Heat and Mass Transfer. — 2014. — No. 70.