Метод синтеза неизбыточных схем, допускающих короткие единичные диагностические тесты при константных неисправностях на выходах элементов

УДК 519.718

DOI 10.21685/2072-3040-2016-2-8

Д. С. Романов, Е. Ю. Романова

МЕТОД СИНТЕЗА НЕИЗБЫТОЧНЫХ СХЕМ, ДОПУСКАЮЩИХ КОРОТКИЕ ЕДИНИЧНЫЕ ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ПРИ КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Тестирование схем из функциональных элементов -это важная теоретическая задача, имеющая практические приложения к тестированию и верификации СБИС. Целью данной работы является демонстрация возможности построения для произвольной булевой функции схемы из функциональных элементов, реализующей эту функцию и допускающей короткий единичный диагностический тест при произвольных константных неисправностях на выходах элементов.

Материалы и методы. При получении основных результатов использовались методы синтеза схем, основанных на разложении булевой функции в полином Жегалкина.

Результаты. В статье устанавливается, что для произвольной булевой функции f, зависящей от n переменных, существует неизбыточная реализующая функцию f схема из функциональных элементов в базисе {x&y, x©y, 1}, допускающая единичный диагностический тест константной длины при произвольных константных неисправностях на выходах элементов.

Ключевые слова: схема из функциональных элементов, диагностический тест, произвольная константная неисправность на выходе элемента, функция Шеннона, легкотестируемая схема.

D. S. Romanov, E. Yu. Romanova

A METHOD OF SYNTHESIZING IRREDUNDANT CIRCUITS, ADMITTING SMALL SINGLE FAULT DIAGNOSTIC TEST SETS AT STUCK-AT FAULTS AT OUTPUTS OF GATES

Abstract.

Background. Testing of combinational circuits is an important theoretical problem with applications in testing and verification of VLSI. The aim of this work is to demonstrate that for an arbitrary Boolean function it is possible to construct a circuit realizing this function and allowing small single fault diagnosing test set (at stuck-at faults at outputs of gates).

Materials and methods. Circuit design methods based on Zhegalkin polinomials (canonical Reed-Muller polinomial forms) were used.

Results. It is established that for an arbitrary Boolean function f depending on n variables there exists an irredundant combinational circuit (in the basis {x&y, x©y, 1}) realizing f and admitting a single fault diagnosing test set (at stuck-at faults at outputs of gates) with constant cardinality.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 15-01-07474-а и № 16-01-00593-а и Государственного задания № 2014/601 от 06.02.2014.

Key words: combinational circuit, fault diagnostic test set, stuck-at fault at output of gate, Shannon function, easily testable circuit.

Схемы из функциональных элементов (СФЭ) - одна из классических моделей управляющих систем без памяти. Анализ функционирования СФЭ при возникновении в них неисправностей традиционно осуществляется с помощью тестового подхода, предложенного в работах С. В. Яблонского и И. А. Чегис [1, 2] в середине 1950-х гг. В рамках этого подхода предполагается, что на схему S с входами xi, %2,... , xn, реализующую булеву функцию или систему булевых функций f (xi, Х2,..., xn), действует источник неисправностей U, способный преобразовать схему S к одной из СФЭ (с такими же входами и выходами, что и у S) некоторого заранее известного списка H конечной длины, содержащего и исходную схему. Действие источника неисправностей однократное в том смысле, что во время исследования схемы источник неисправностей уже перестал действовать на схему. Исследование схемы заключается в подаче на входы схемы входных наборов и в изучении выходных значений на этих наборах. Множество T входных наборов называется проверяющим тестом для схемы S относительно источника неисправностей U тогда и только тогда, когда для любой схемы Si из списка H имеет место импликация: если S2 реализует некоторую булеву функцию или систему булевых функций f, неравную f, то найдется набор а из T такой, что f2(a) Ф f (a). Множество T входных наборов называется диагностическим тестом для схемы S относительно источника неисправностей U тогда и только тогда, когда для любых двух схем Si, S2 из списка H имеет место импликация: если S1 и S2 реализуют неравные булевы функции или системы булевых функций f и f соответственно, то найдется набор а из T такой, что fi(a) Ф f2 (aa) . Тест минимальной длины называется минимальным, число наборов в тесте T называется длиной теста и обозначается L(T) . Источник неисправностей U , способный вызвать поломку не более чем одного элемента схемы, называется единичным; тесты относительно такого источника также называются единичными. Тесты относительно источника, способного вызвать произвольное число поломок элементов, называются полными. Нетривиальной будем называть такую неисправность схемы S, в результате которой значение на выходе какого-то хотя бы одного функционального элемента E (схемы S) на некотором хотя бы одном входном наборе an не равно значению на выходе элемента E на наборе an при отсутствии неисправностей в схеме S. Схема S, при любой нетривиальной неисправности под действием источника неисправностей U реализующая функцию или систему функций, неравную функции или системе функций, реализуемой схемой S при отсутствии неисправностей, называется тестопригод-ной относительно источника неисправностей S. Схема, тестопригодная относительно единичного источника неисправностей, называется неизбыточной. Под длиной минимального проверяющего (диагностического) теста для булевой функции или системы функций f , реализованной с помощью СФЭ в ба-

зисе B, относительно источника неисправностей U понимается величина LdBetect (U, f) (LdBagn (U, f)), равная минимуму по всем тестопригодным реализующим f СФЭ S в базисе B минимума по всем проверяющим (соответственно диагностическим) тестам T для S относительно U величины L(T) . Пусть P2(n) - множество всех булевых функций, существенно зависящих от всех своих n переменных Х1, Х2,... , xn . Функцией Шеннона длины проверяющего (диагностического) теста для реализованной с помощью СФЭ в базисе B булевой функции f относительно источника неисправностей U называется величина Lb (U,n) = max LaBeieci (U, f) (соответ-

f £Pi

ственно, LdBagn (U, n) = max LdBagn (U, f)).

f eP2

Неисправность в некотором месте схемы (на входе схемы или функционального элемента или на выходе функционального элемента) называется константной, если для каждого входного набора значение, вычисляемое в этом месте, заменяется на какую-то константу. Неисправность в некотором месте схемы называется инверсной, если значение, вычисляемое в этом месте при отсутствии данной неисправности (все остальные неисправности в схеме, если они есть, при этом сохраняются), заменяется на противоположное. Условимся о следующих обозначениях для источников неисправностей

в СФЭ. Обозначение для источника неисправностей будет иметь вид , где X - это одна или несколько заглавных латинских букв, указывающих на место возможной неисправности (P - неисправности на входах схем, I - неисправности на входах функциональных элементов, O - неисправности на выходах функциональных элементов), y - это название типа неисправности (const, 0, 1 - константные неисправности, константные неисправности типа 0 и константные неисправности типа 1 соответственно, inv - инверсные неисправности), z указывает на число возможных неисправностей ( k , если неисправностей не больше k ; нижний индекс отсутствует, если ограничений на число неисправных элементов в схеме нет).

Приведем обзор некоторых работ, связанных с оценками функций Шеннона длин диагностических тестов для СФЭ. Н. П. Редькиным были получены следующие результаты:

1) LdBagn (O?,n) = LdBagn (O1,n) < 2n +1 [3];

B0 B0

2) в бесконечном базисе B0° = {x}и^ {x1 & &xt,%1 v...vxt} имеет

i >2

место неравенство [4]:

Liajr(O0,n) = Ldiiagn(O1,n) < 2 [log2(n + 1)] + 1.

B0 B0

В работе [5] доказано, что LdBagn (Ofv ,n) < n +1, LdBagn (Oinv ,n) < 2 ,

в [6] доказано, что в любом полном конечном базисе B имеют место нера-

„ „„ „ 1 rdetect /r^const \ ^ л венства 2 < Lb (O1 , n) < 4.

Установлено, что L^^ (O0, n) = LBagn(O\,n) = 2 и для каждой функции указана длина ее минимального единичного диагностического теста [7]. В статье [8] установлено, что ¿Bmdiagn (O{nv, n) = 1. В работе [9] доказано, что

LdBagn (Of , n) = 2 (и для каждой функции указана длина ее минимального

единичного диагностического теста).

Отметим, что константные неисправности элементов, рассматриваемые в настоящей работе, изучаются также в задачах о возможности сколь угодно надежной реализации произвольной булевой функции схемами из ненадежных элементов. Как было показано в работах [10-15], в ряде базисов для всех булевых функций при константных неисправностях удается достигать асимптотической оптимальности схем по надежности, зачастую сочетая ее для почти всех функций с порядковой оптимальностью схем по сложности [12, 13].

В данной работе доказывается, что функция Шеннона длины единичного диагностического теста относительно произвольных константных неисправностей на выходах элементов в базисах B' = {x & y, x © y, x © y © 1},

$1 = {x& y, x © y, 1} не превосходит константы.

Теорема 1. При всех n е N и {0} имеет место неравенство

Tdiagnconst

LB' (O1 ,n) < 22.

Доказательство. Пусть f (xn) - произвольная булева функция, зависящая от переменных x1,x2,...,xn . Неизбыточные схемы в этом базисе для всех функций, зависящих не более чем от двух переменных, описаны в работе [6, рис. 6 и случай 2 в доказательстве теоремы 1]. Пусть теперь функция f существенно зависит не менее чем от трех переменных. Запишем полином Жегалкина функции f в виде Pf = K1 © K2 ©... © Kt © ao , где K - монотонные конъюнкции различных переменных или переменные (i = 1, t), ao е {0,1} . Пусть далее K - слагаемое минимального ранга в полиноме Жегалкина функции f, отличное от константы. Будем, не ограничивая общности, считать, что K = x^2 • • • xs (1 < s < n).

Построим схему S , реализующую функцию f и допускающую единичный диагностический тест длины не более 20.

В работе [6, теорема 1] строилась реализующая функцию f (xn) неизбыточная СФЭ S$' в базисе B', допускающая единичный проверяющий тест

Тп = {a(1) = (0n), a(2) = (1,0n-1), a(3) = (1s, 0n-s), a(4) = (ln)} длины, не превосходящей четырех, относительно произвольных константных неисправностей на выходах элементов. Добавим к множеству Tn еще два набора a(5) = (0,1,0n-2), a(6) = (1,1,0n-2), получим множество Tn .

Обозначим через g(xxn) булеву функцию, для каждого набора a = (a1,a2 ,.,an) определяемую так:

g (а) =

если а й Tn

© 1 иначе.

Случай 1. Пусть/€ { х1(g © х2), х1(g © х2) © 1}.

Опишем некоторые схемы, которые будут использоваться в качестве подсхем в итоговой схеме Б .

Построим сначала трехвходовую схему SV (рис. 1) с входами л У2 и Х1, реализующую дизъюнкцию У1 V У2 .

Затем построим четырехвходовую схему Бт (рис. 2) с входами л У2 , У3 и Х2, реализующую функцию т(УЬУ2,Уз) = У1У2 ©У1 Уз ©У2У3. Далее построим четырехвходовую схему Бт©х (рис. 3) с входами У1, У2 , Уз и Х2 , реализующую функцию

т(У1 > У2. У3) © х2 = У1У2 © У1У3 © У2У3 © х2 .

Рис. 1. Схема «V

Рис. 2. Схема Б„

Рис. 3. Схема Sm@ x

n-3 V,1 =

SV,2:

пП - S-1

sv,2

Теперь с использованием подсхем 1, «V 1,- , Б вида SV построим схему Бт (рис. 4; третьи входы х1 подсхем вида SV подведены с боков) с входами х1, х2 , ..., хп , специальным образом распознающую принадлежность входного набора к множеству Тп , а именно: на выходе такой схемы появляется значение переменной х2 в том и только том случае, когда входной набор не входит в Тп . Схема Бсотр (рис. 5) с входами У1, У2 , х1 , х2 играет роль схемы сравнения значений, подаваемых на ее входы У1 , У2 : при отсутствии неисправностей значение на выходе Бсотр совпадает со

значением х1 © х2 тогда и только тогда, когда значения на входах У1, У2 равны друг другу.

Схема ( рис. 6) с входами у^, у^, х^, х2 играет роль схемы пе-

редачи на выход сигнала о том, что на один из ее входов у^, у2 подано значение, отличное от значения х^ © Х2 : при отсутствии неисправностей значение на выходе 8^е{ес1: совпадает со значением х^ © Х2 тогда и только тогда, когда значения на входах у^, у2 равны друг другу и значению х^ © Х2 (в этом легко убедиться, заметив, что вектор описанной функции от переменных у1, у2 , х^, х2 имеет вид (0000100110011111), а полином Жегалкина -вид у1 у2 © у1 х1 © у1 х2 © у © у2х1 © у2х2 © у2 ).

Х\ X2 Х3 X4 Xg ,TS_|_2 хп

СП

Рис. 4. Схема

Рис. 5. Схема «

comp

Рис. 6. Схема «¿егесг

Построим, наконец, искомую неизбыточную схему « .

Возьмем три копии Б(1), Б(2), Б(3) схемы Б^?, у которых общими являются лишь входы х1, х2 , ... , хп . Выходы этих подсхем обозначим как Ь, ¿2, Ь3 соответственно.

Далее, возьмем три копии Б^), БТ \ Б( ) схемы Б^, у которых общими являются лишь входы. Выходы этих подсхем обозначим как dl, d2, dз соответственно.

Построим подсхему ^сотр, состоящую из подсхем Бсотр , следующим образом. На первые два входа (У1, У2 на рис. 5) первой подсхемы Бсотр подадим Ь и ¿2 соответственно (на последние два входа данной подсхемы Бсотр подаются переменные х1 , х2 в этом порядке; при этом если на всех наборах из Тп на выходах верхнего элемента сложения по модулю 2 возникает одно и то же значение, то переменные х1 , х2 следует поменять местами). Аналогичным образом для ¿1 и ¿3 строится еще одна подсхема вида Бсотр . Точно также для каждой пары дублирующих друг друга элементов Е', Е'' из

подсхем и 8Т2) (из подсхем 8^ и 8Т3)) строится своя подсхема 8сотр : на первые два входа (у1, у2 на рис. 5) подаются выходы Е', Е", на последние два входа подаются переменные х1 , х2 в этом порядке (при этом, если на всех наборах из Тп на выходах верхнего элемента сложения по модулю 2 в данной подсхеме 8сотр возникает одно и то же значение, то переменные х1, х2 следует поменять местами). Все эти подсхемы вида 8сотр и составляют подсхему £сотр; выходы подсхем 8сотр и только они являются выходами подсхемы £сотр.

Построим подсхему '^¿егесг. Эта подсхема представляет собой цепочку подсхем 8^е{ес1:, причем количество подсхем 8^е{ес{ в этой цепочке на 1 меньше количества выходов подсхемы £сотр . На последние два входа каждой подсхемы 8^е{ес1: подаются переменные х1, х2 в этом порядке. На первый вход каждой подсхемы в цепочке, начиная со второй, подается выход предыдущей подсхемы в цепочке. На остальные входы подсхем подаются (вообще говоря, в произвольном порядке) выходы подсхемы £сотр . Выход последней подсхемы 8^е{ес{ в цепочке считается выходом подсхемы £^егесг - обозначим его е .

Наконец, выходная подсхема ХомГ изображена на рис. 7 (обозначения входов £омГ совпадают с названиями выходов подсхем, подающихся на эти входы в итоговой схеме 8). Блочная структура неизбыточной схемы 8 изображена на рис. 8.

Рис. 7. Схема

оы(

/">> /Y* /V*

1 Х2 хг,

\ I-

St1) 5

bi b 2 63 di d2 d3 V * * * 1

• 'r

- +

& o ut v ^comp

-r 1 f  Г

1' / у ^detect 1 -

Рис. 8. Схема Б

Покажем, что при отсутствии неисправностей схема Б реализует функцию / . На любом входном наборе а = (а^,а2,---,(Хп) из Тп (при отсутствии неисправностей в схеме Б) на проводниках Ь, , Ь3 возникает значение /(а), на выходе подсхемы Бт в Бои{ возникает значение /(а), на проводниках й, , dз - значение а2 © 1, на левые два входа каждой подсхемы Бсотр внутри подсхемы Xсотр поступают одинаковые значения, так что на каждом выходе Хсотр возникает значение а1 © а2 , на выходе е подсхемы тоже возникает значение а1 © «2 , на выходе каждой подсхемы Бт © х в Бои1 возникает значение 1, поэтому в соответствии с рис. 7 на выходе схемы Б появляется значение

/(а) © а1 & 1 ©(а2 ©(а1 © а2)) & 1 = /(а).

На любом входном наборе а = (а1,а2,--,ап) не из Тп (при отсутствии неисправностей в схеме Б ) на проводниках Ь1 , Ь2 , Ь3 возникает значение /(а), на выходе подсхемы Бт в Боиг возникает значение /(а), на проводниках , ^2, йз - значение а2, на левые два входа каждой подсхемы Бсотр внутри подсхемы Хсотр поступают одинаковые значения, так что на каждом выходе Хсотр возникает значение а1 © а2, на выходе е подсхемы

тоже возникает значение а1 © а2 , на выходе каждой подсхемы Бт©х в Бои{ возникает значение 0, поэтому в соответствии с рис. 7 на выходе схемы Б появляется значение

/(а) © а1 & 0© (а2 ©(а1 © а2)) &0 = /(а).

Значит, при отсутствии неисправностей схема 8 реализует функцию / .

Заметим: если одиночная константная неисправность на выходе элемента в схеме 8 произошла вне выходной подсхемы 8оШ , то на любом входном наборе а = (а1,а2,...,ап) не из Тп на выходе схемы 8 появляется значение /((X). Докажем это. Среди значений на проводниках ¿1, ¿2 , ¿3 не более чем одно может отличаться от /(а), поэтому на выходе подсхемы 8т в 8ои: возникает значение /(а). Аналогично, среди значений на проводниках dl, d2, ^з не более чем одно может отличаться от а2, поэтому на выходе каждой подсхемы 8т©х в 8ои1 возникает значение 0, и на выходах конъ-юнкторов Е12 и Е15 в подсхеме 8ои1 (см. рис. 7) возникают нули, так что на выходе всей схемы 8 формируется значение /(а).

Покажем, что каждую одиночную константную неисправность на выходе элемента в схеме 8 можно обнаружить.

1. Пусть неисправность произошла в подсхеме , а именно в неко-

торой подсхеме 8' вида 8detect. Тогда ясно, что на первые два входа этой подсхемы подаются функции х1 © х2 , а на выходах элементов 8' при отсутствии неисправностей в 8 реализовывались бы следующие функции (см. рис. 6): х1 © х2 - на выходе Е1, х1 © хх - на выходе Е2 , х2 © х1х2 - на выходе Е3, х1 © х1х2 - на выходе Е4 , х2 © х1х2 - на выходе Е5, х1 © х2 - на выходе Еб, х2 © х1х2 - на выходе Е7, х1 © х1х2 - на выходе Е8, х2 © хх - на выходе Е9, х1 ©х1х2 - на выходе Ею, х1 ©х2 - на выходе Ец. Поскольку на наборах а(1) = (0п), а(2) = (1,0п-1), а(5) = (0,1,0п-2), а(6) = (1,1,0п-2) переменные х1 , х2 принимают произвольные пары значений, а функции, реализуемые на выходах Е1, ..., Ец, существенно зависят от х^ х2, имеем: хотя бы на одном из указанных четырех наборов из Тп при константной неисправности одного из элементов 8 на выходе неисправного элемента возникнет неверное значение. Поскольку от места неисправности к выходу 8' ведет цепочка элементов сложения по модулю 2 с неветвящимися выходами, то на данном наборе а = (а1,а2,.,ап) и на выходе 8' окажется неверное значение а1 © а2 © 1. Следовательно, и на выходах всех последующих подсхем 8detect будут на этом наборе возникать значения а1 © а2 © 1 (в том числе на выходе е ). Как и при работе в отсутствие неисправностей, на выходе подсхемы 8т в 8ои: возникает значение /(а), на выходе каждой подсхемы 8т©х в 8ои{ возникает значение 1, поэтому в соответствии с рис. 7 на выходе схемы 8 появляется значение

f (а)©а1 &1 ©(а2 ©(а1 ©а2 © 1))&1 = /(а)© 1.

2. Пусть неисправность произошла в подсхеме £сотр, а именно в неко-

и Г.// О гр г<//

торой подсхеме 8 вида 8сотр . Так как на выходе каждого элемента 8 при отсутствии неисправностей в 8 на наборах из Тп встречаются оба значения, а сама подсхема представляет собой цепочку элементов сложения по модулю 2 с неветвящимися выходами (см. рис. 6), то хотя бы на одном наборе а = (а1,а2,-,ап) из Тп при константной неисправности одного из элемен-

О*

тов 8 на выходе неисправного элемента возникнет неверное значение, а на выходе 8" возникнет неверное значение а1 © а2 © 1. Далее, и на выходе е подсхемы 8detect возникнет неверное значение а1 © а2 © 1. Аналогично предыдущему случаю на выходе схемы 8 окажется значение f (а) © 1.

3. Пусть неисправность произошла в одной из подсхем 8(1), 8(2), 8(3). Тогда на наборах из Тп (даже на наборах из Тп ) по теореме 1 из [6] эта неисправность будет обнаружена, и хотя бы на одном наборе а = (а1,а2,-,ап) из Тп ровно на одном из выходов этих подсхем (Ь , ¿2 или ¿3) возникнет неверное значение, тогда неверное значение а1 © а2 © 1 возникнет на выходе хотя бы одной подсхемы вида 8сотр , а также на выходе е подсхемы £detect. Аналогично случаю 1 (поскольку на выходе 8т будет значение f (а)) на выходе схемы 8 окажется значение f (а) © 1.

4. Пусть неисправность произошла в одной из подсхем 8^, 8^ , 8^

(см. рис. 1, 4). Поскольку выход неисправного элемента подается вместе с выходом дублирующего его исправного на левые входы одной из подсхем вида 8сотр, достаточно удостовериться, что на наборах из Тп на выходах

всех элементов подсхем вида 8т возникают оба значения (тогда, как и в предыдущих случаях, на проводнике е окажется неверное значение а1 © а2 © 1, а на выходе схемы 8 окажется значение f (а) © 1). На рис. 4 рядом с каждым элементом (и каждой подсхемой 8У) указаны четыре значения

на выходе этого элемента (подсхемы) на наборах а(1), а(2), а(3), а(4) (в этом порядке). Изучив эти значения, можно заметить, что, действительно, на выходе каждого элемента на рис. 4 и на выходе каждого элемента Е^ в подсхемах 8У (см. рис. 1) внутри подсхем вида 8т возникают оба значения. Остается убедиться в том же для элементов Е^, Е^, Е^, Е^ в подсхемах 8У внутри подсхем вида 8т . В табл. 1 приведены значения на выходах указанных элементов на наборах а(1), а(2), а(4) (в верхней строке заголовка таблицы указывается диапазон подсхем вида 8У в подсхеме 8т , которым принадлежат элементы, см. рис. 4). Как видно из табл. 1, требуемое выполнено.

5. Пусть, наконец, неисправность произошла в подсхеме 8ои1 (см. рис. 2, 3, 7). В отсутствие неисправностей в схеме 8 на каждом входе Ъ\, ¿2, ¿3 подсхемы 8ои: реализуются функции f, на каждом входе dl, d2, dз под-

схемы Бои1 реализуются функции g (см. определение g перед началом рассмотрения случая 1), на входе е - функция х © . При неисправностях элементов подсхемы Бт следующие функции неисправностей возникают на выходе Б, что легко видеть: 0, 1, х2 , х2 © 1, / © х2 , / © х2 © 1. При неисправностях элементов подсхем вида Бт©х и элементов с Е12 по Е16, что также легко видеть, на выходе Б возникают следующие функции неисправностей: 0, 1, / © х^ © Х2), / © Xl(g © Х2) © 1, х^ © Х2), Xl(g © Х2) © 1, / © (х1 © 1)(g © х2), / © Xl(g © 1), / © Xlg , / © Xl(g © х2 © 1), / © хЛ, / © х1(х2 © 1). С использованием того, что функция / существенно зависит не менее чем от трех переменных, нетрудно проверяется: все перечисленные функции неисправностей не равны / , если/й { х^g © х2), х1(g © х2) © 1}. С учетом функции / всего получаем не более 17 функций.

Таблица 1

el c<n-3 - ¿v,1 гЛ c<n - 5-1 "v,2 - "v,2

E1 v E2 E3 E4 E1 E2 E3 E4

a(1) = (0,0,..., 0) 0 0 0 0 0 0 0 0

a(2) = (1,0., 0) 0 1 1 1 0 1 1 1

a(4) = (1,1,., 1) 1 0 1 0 1 0 1 0

Оценим сверху длину минимального единичного диагностического теста для схемы Б . Все функции неисправностей элементов, лежащих вне подсхемы Бои{, могут отличаться от / и друг от друга только на шести наборах из Тп . Удалив строки, соответствующие наборам из Тп , из таблицы неисправностей схемы Б получим таблицу с не более чем 17 классами эквивалентности столбцов (по равенству). Для диагностики этих классов эквивалентности, очевидно, достаточно шестнадцати наборов не из Тп . Добавление множества Тп завершает построение искомого единичного диагностического теста длины не более 22.

Случай 2. Пусть теперь/е { х^g © х2), х^g © х2) © 1 }. Построим, как

это делалось в случае 1, схему Б, но не для функции / а для функции /© XI. Выход этой схемы подадим на левый вход нового элемента Е17 сложения по модулю 2, на правый же вход Е17 подадим переменную х1. Выход элемента Е17 объявим выходом схемы, а сам элемент будем считать принадлежащим видоизмененной подсхеме Бои{. Обозначение Б перенесем на полученную в итоге схему; эта схема, очевидно, реализует / В полной аналогии со случаем 1 доказывается, что если одиночная константная неисправность на выходе элемента в схеме Б произошла вне выходной подсхемы Бои{, то на любом входном наборе а = (а1,а2,---,ап) не из Тп на выходе схемы Б появляется значение /(а). Аналогично случаю 1 устанавливается, что всякая неисправ-

ность вне выходной подсхемы 8ои1 обнаруживается на множестве Тп . Остается рассмотреть неисправности элементов подсхемы 8ои1. В отсутствие неисправностей в схеме 8 на каждом входе ¿1, ¿2, ¿3 подсхемы 8оШ реализуются функции f © х1, на каждом входе dl, d2, dз подсхемы 8ои: реализуются функции g , на входе е - функция х1 © х2 . При неисправностях элементов подсхемы 8т следующие функции неисправностей возникают на выходе 8: х1, х1 © 1, х1 © х2, х1 © х2 © 1, f © х2 , f © х2 © 1. При неисправностях элементов подсхем вида 8т ©х и элементов с Е12 по Е17 на выходе 8 возникают следующие функции неисправностей: 0 , 1 , х1, х1 © 1, f © (х1 © 1)(g © х2), f © Хl(g © 1), f © х1х2, f © х1(х2 © 1), Хl(g © х2), х1(g © Х2) © 1, f © x1g , f © Х1(g © Х2 © 1). Видно, что все перечисленные функции неисправностей не равны f . С учетом функции f всего получаем не более 17 функций и, по аналогии со случаем 1, строим единичный диагностический тест длины не более 22.

Теорема доказана.

Теорема 2. При всех п е N и {0} имеет место неравенство

1Ла^п (0сош1, п) < 22.

В1

Доказательство следует из того, что при замене в схеме 8 из доказательства теоремы 1 каждого элемента эквивалентности на подсхему из элементов сложения по модулю 2 и элемента «константа 1» в соответствии с тождеством у! ~ у! = (у © у!) © 1 из схемы 8 получается эквивалентная неизбыточная схема в базисе Жегалкина В1, допускающая такой же, как и схема 8, единичный диагностический тест длины не более 22.

Теорема 3. Существует такой конечный полный базис В, что при всех п е N и {0} имеет место неравенство рВ^^1 (О00"8*,п) < 6 .

Доказательство. Базис В получается из базиса В' добавлением четы-рехвходового элемента Еве:ес: , имеющего такое же функционирование, как и подсхема 8ве:ес: (рис. 6), и добавлением девятивходового элемента Еои:, имеющего такое же функционирование, как и подсхема 8ои{ (рис. 7). Будем строить схему 8 для функций из случая 2 доказательства теоремы 1 так же, как и для функций из случая 1. Заменим в схеме 8 из доказательства теоремы 1 (случай 1) каждую подсхему 8ве:ес: (внутри подсхемы ^мс) на элемент Евеесг, а подсхему 8ои: - на элемент Еои: (необнаруживаемые для функций из случая 2 неисправности при этом исчезнут). Преобразуем каждую подсхему 8Т схемы 8 следующим образом. Добавим одну подсхему 8У1 вида 8У

(см. рис. 1), отсоединим от первого входа 8^1 переменную Х3, подадим на первый и второй входы подсхемы Лу 1 переменные Х2 , Х3, а выход подсхемы 8^ 1 подадим на первый вход 8^ 1. На выходе полученной подсхемы при

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион отсутствии неисправностей на входном наборе а = (а1,а2 ,--,ап) будет возникать значение а2 тогда и только тогда, когда а е Тп . В полной аналогии с доказательством теоремы 1 все функции неисправностей элементов, отличных от выходного элемента Еои1, могут отличаться от f и друг от друга

только на четырех наборах из Тп (напомним, что наборы а(5) и а(6) использовались в доказательстве теоремы 1 лишь для диагностики внутренних элементов подсхем вида 8ве:ес:, а здесь эти подсхемы полностью заменены на элементы Еве:ес:). А неисправности выходного элемента Еои: дают еще две функции неисправности - константы 0 и 1, так что для диагностики всей схемы достаточно шести наборов. Теорема доказана.

Поскольку (см. [16]) при любых натуральных п имеет место равенство

рюш!,п) = 2п , то в силу теорем 1-3 справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. При п ^^, п е N, имеют место асимптотические равенства: ьс1шт (, п) = 2п + О (1),

ьВ^ (тС0м!, п) = 2п + О (1),

В1

(РОГп*, п) = 2п + О (1).

Отметим, что схемы, строящиеся в теоремах 1-3, являются неизбыточными и в более жестком смысле, чем это описано в начале статьи: необнару-живаемыми являются лишь неисправности типа «константа а» функциональных элементов типа «константа а » или неисправности типа «константа а » выходных элементов схем, реализующих константу а .

Авторы выражают глубокую благодарность профессору С. А. Ложкину, доктору философии Е. Г. Былининой, Д. А. Неяглову и И. Г. Любичу за обсуждение работы и ценные замечания.

Список литературы

1. Яблонский, С. В. О тестах для электрических схем / С. В. Яблонский, И. А. Чегис // Успехи математических наук. - 1955. - Т. 10, вып. 4 (66). - С. 182184.

2. Чегис, И. А. Логические способы контроля электрических схем / И. А. Чегис, С. В. Яблонский // Труды МИАН СССР. - 1958. - Т. 51. - С. 270-360.

3. Редькин, Н. П. О единичных диагностических тестах для однотипных константных неисправностей на выходах функциональных элементов / Н. П. Редькин // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 1992. -№ 5. - С. 43-46.

4. Редькин, Н. П. О синтезе легкотестируемых схем в одном бесконечном базисе / Н. П. Редькин // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 2007. - № 3. - С. 29-33.

5. Коваценко, С. В. Синтез легкотестируемых схем в базисе Жегалкина для инверсных неисправностей / С. В. Коваценко // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. - 2000. - № 2. - С. 45-47.

6. Романов, Д. С. Метод синтеза легкотестируемых схем, допускающих единичные проверяющие тесты константной длины / Д. С. Романов // Дискретная математика. - 2014. - Т. 26, вып. 2. - С. 100-130.

7. Попков, К. А. О точном значении длины минимального единичного диагностического теста для одного класса схем / К. А. Попков. - М. : Изд-во ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2015. - 20 с.

8. Романов, Д. С. Метод синтеза неизбыточных схем в базисе Жегалкина, допускающих единичные диагностические тесты длины один / Д. С. Романов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 4 (36). - С. 38-54.

9. Попков, К. А. О единичных диагностических тестах для схем из функциональных элементов в базисе Жегалкина / К. А. Попков. - М. : Изд-во ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2016. - 16 с.

10. Алехина, М. А. О надежности схем в базисах {x | y}, {x t y} при однотипных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. - 2001. - Т. 8, № 2. - С. 3-14.

11. Алехина, М. А. Нижние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при однотипных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. - 2002. -Т. 9, № 3. -С. 3-28.

12. Алехина, М. А. Синтез и сложность надежных схем в базисе {v,&,—} при однотипных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина // Дискретная математика. - 2003. - Т. 15, вып. 1. - С. 98-109.

13. Алехина, М. А. О сложности надежных схем из ненадежных элементов при однотипных константных неисправностях / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. - 2004. - Т. 11, № 2. - С. 3-17.

14. Алехина, М. А. О надежности схем в произвольном полном конечном базисе при однотипных константных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина // Дискретная математика. - 2012. - Т. 24, вып. 3. - С. 17-24.

15. Алехина, М. А. О надежности схем в базисе «антиконъюнкция» при константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина, В. В. Курышева // Известия вузов. Математика. - 2016. - № 7. - С. 3-9.

16. Носков, В. Н. О длинах минимальных единичных диагностических тестов, контролирующих работу входов логических схем / В. Н. Носков // Методы дискретного анализа в синтезе управляющих систем. - 1978. - № 32. - С. 40-51.

References

1. Yablonskiy S. V., Chegis I. A. Uspekhi matematicheskikh nauk [Advances of mathematical sciences]. 1955, vol. 10, iss. 4 (66), pp. 182-184.

2. Chegis I. A., Yablonskiy S. V. Trudy MIAN SSSR [Proceedings of the Institute of Mathematics of AS USSR]. 1958, vol. 51, pp. 270-360.

3. Red'kin N. P. VestnikMoskovskogo universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics, Mechanics]. 1992, no. 5, pp. 43-46.

4. Red'kin N. P. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics, Mechanics]. 2007, no. 3, pp. 29-33.

5. Kovatsenko S. V. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 15. Vychislitel'naya matematika i kibernetika [Bulletin of Moscow University. Series 15. Calculus mathematics and cybernetics]. 2000, no. 2, pp. 45-47.

6. Romanov D. S. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2014, vol. 26, iss. 2, pp. 100-130.

7. Popkov K. A. O tochnom znachenii dliny minimal'nogo edinichnogo diagnosticheskogo testa dlya odnogo klassa skhem [On exact values of lengths of a minimal single fault

diagnostic test set for one class of circuits]. Moscow: Izd-vo IPM im. M. V. Keldysha RAN, 2015, 20 p.

8. Romanov D. S. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 4 (36), pp. 38-54.

9. Popkov K. A. O edinichnykh diagnosticheskikh testakh dlya skhem iz fugktsional'nykh elementov v bazise Zhegalkina [On single fault diagnostic test sets for circuits consisting of functional gates in the Zhegalkin basis]. Moscow: Izd-vo IPM im. M. V. Keldysha RAN, 2016, 16 p.

10. Alekhina M. A. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. Seriya 1 [Discrete analysis and research of operations. Series 1]. 2001, vol. 8, no. 2, pp. 3-14.

11. Alekhina M. A. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. Seriya 1 [Discrete analysis and research of operations. Series 1]. 2002, vol. 9, no. 3, pp. 3-28.

12. Alekhina M. A. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2003, vol. 15, iss. 1, pp. 98-109.

13. Alekhina M. A. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. Seriya 1 [Discrete analysis and research of operations. Series 1]. 2004, vol. 11, no. 2, pp. 3-17.

14. Alekhina M. A. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2012, vol. 24, iss. 3, pp. 17-24.

15. Alekhina M. A., Kuysheva V. V. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 2016, no. 7, pp. 3-9.

16. Noskov V. N. Metody diskretnogo analiza v sinteze upravlyayushchikh sistem [Discrete analysis methods in control systems synthesis]. 1978, no. 32, pp. 40-51.

Романов Дмитрий Сергеевич кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математической кибернетики,Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

E-mail: romanov@cs.msu.ru

Романова Елена Юрьевна кандидат педагогических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Российский государственный социальный университет

E-mail: klenar2001@mail.ru

Romanov Dmitriy Sergeevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematical cybernetics, Lomonosov Moscow State University

Romanova Elena Yur'evna Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of applied mathematics, Russian State Social University

УДК 519.718 Романов, Д. С.

Метод синтеза неизбыточных схем, допускающих короткие единичные диагностические тесты при константных неисправностях на выходах элементов / Д. С. Романов, Е. Ю. Романова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. -№ 2 (38). - С. 87-102. БОТ 10.21685/2072-3040-2016-2-8