О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования

УДК 539.3

О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования

П.В. Трусов, А.И. Швейкин, А.Ю. Янц

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Рассмотрены широко распространенные подходы к обобщению геометрически линейных определяющих соотношений на случай больших градиентов перемещений, основанные на замене материальных производных тензоров напряжений и деформаций на независимые от выбора системы отсчета (индифферентные) коротационные или конвективные производные. Вопрос о корректном выборе индифферентных производных анализируется с более общих позиций разложения движения на квазитвердое и деформационное. Показано, что использование в определяющих соотношениях коротационной производной Зарембы-Яуманна соответствует разложению движения с помощью теоремы Коши-Гельмгольца, согласно которой мгновенное жесткое вращение материальной частицы с малой окрестностью описывается тензором вихря. Анализируются соотношения, полученные при применении разложения движения с помощью так называемого «логарифмического спина». Отмечено, что входящие в указанные разложения тензоры спинов не связаны с материальными волокнами (в том числе с осями симметрии анизотропных материалов) на протяжении всего исследуемого процесса деформирования, вследствие чего эти спины не описывают вращение системы координат (для металлов — кристаллографической), в которой определен тензор свойств материала. На базе двухуровневого (макро- и мезоуровни) подхода для моно- и поликристаллических металлов предложен новый способ разложения движения. На мезоуровне спин определяется скоростью ротации жесткой подвижной системы координат, связанной с кристаллографическим направлением и кристаллографической плоскостью; с использованием предложенного спина записаны в скоростной форме определяющие соотношения мезоуровня. Спин представительного макрообъема устанавливается осреднением спинов кристаллитов, составляющих этот объем. С использованием этого спина сформулированы упругие определяющие соотношения в скоростной форме. Приведены иллюстративные примеры по определению напряженного состояния для нагружений по замкнутым траекториям деформации и нагружений по двухзвенным ломаным изотропных и анизотропных (с кубической симметрией, ГПУ) упругих материалов, а также упруго-вязкопластического ГЦК-кристаллита при использовании в определяющих соотношениях коротаци-онных производных, основанных на различных способах разложения движения.

Ключевые слова: большие упругопластические деформации, определяющие соотношения в скоростной форме, разложение движения на квазитвердое и деформационное, двухуровневые модели, спины мезо- и макроуровней

Motion decomposition, frame-independent derivatives and constitutive relations at large displacement gradients from the viewpoint of multilevel modeling

P.V. Trusov, A.I. Shveykin, and A.Yu. Yanz

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

Widespread approaches to generalizing geometrically linear constitutive relations for the case of large displacement gradients are considered. These approaches are based on the replacement of the material derivatives of stress and strain tensors by frame-independent indifferent (corotational or convectional) derivatives. The correctness of choosing the indifferent derivatives is analyzed from a more general standpoint of motion decomposition into rigid and strain-induced one. It is shown that the use of the Zaremba-Jaumann derivate in constitutive relations corresponds to motion decomposition by the Cauchy-Helmholtz theorem according to which instantaneous rigid rotation of a material particle with small neighborhood is described by the vorticity tensor. Relations derived with the use of a so-called "logarithmic spin" are analyzed. It is noted that the spin tensors entering into these relations are not related to material fibers (in particular to the symmetry axes of anisotropic materials) during the entire studied process of deformation and hence these spins do not describe the rotation of the reference frame (crystallographic one for metals) in which the tensor of material properties is defined. A new method of motion decomposition is proposed on the basis of a two-scale (macro and meso) approach for single- and polycrystalline metals. The spin on the mesoscale is determined by the rotation rate of the corotational coordinate system associated with the crystallographic direction and plane. Mesoscale constitutive relations are formulated using the proposed spin. The spin of a representative macrovolume is determined by averaging the spins of crystallites contained in this volume. This spin is used to formulate elastic constitutive equations in the rate form. Examples are given to illustrate the stress state determination for loading along closed strain paths and two-segment paths for isotropic and anisotropic (with cubic symmetry, hcp) elastic materials and an elastoviscoplastic fcc crystallite. The determination is carried out by using corotational derivatives in constitutive relations which are obtained by different motion decomposition methods.

Keywords: high elastic-plastic strains, constitutive relations in the rate form, motion decomposition into rigid and strain-induced one, two-scale models, macro- and mesoscale spins

© Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю., 2016

1. Введение

В последние годы наблюдается постоянно возрастающий интерес к процессам переработки материалов методами интенсивной пластической деформации, позволяющим получать изделия, обладающие высокими рабочими характеристиками (с ультрамелкозернистой структурой, текстурированные и др.). Указанные свойства являются следствием существенного изменения внутренней структуры материала. Для теоретического анализа и установления оптимальных режимов подобных процессов требуется разработка соответствующих математических моделей, «сердцевиной» которых являются определяющие соотношения (или конститутивные модели (constitutive models/relations)) материалов.

К настоящему времени существенное развитие получил многоуровневый подход к построению определяющих соотношений материалов, в рамках которого дается явное описание изменения внутренней структуры материала. Значительный вклад в развитие данного направления внесли В.А. Лихачев [1], В.В. Рыбин [2], В.Е. Панин с коллегами [3-9] и др.

Отметим, что, в силу реализации технологических процессов интенсивного пластического деформирования в условиях больших градиентов перемещений, необходимые для их описания определяющие соотношения (всех масштабных уровней) относятся к классу геометрически нелинейных конститутивных моделей, проблема корректного построения которых весьма сложна и не решена окончательно до настоящего времени [10-12]. В цитируемых монографиях рассматривались макрофеноменологические модели пластичности. Предлагаемая статья посвящена рассмотрению вопроса о построении геометрически нелинейных соотношений с позиций многоуровневого моделирования.

В рамках настоящей работы ограничимся рассмотрением твердых деформируемых поликристаллических тел, сохраняющих локальную топологию [13] (две материальные частицы тела, бесконечно близкие в отсчетной конфигурации K0, остаются бесконечно близкими в любой актуальной конфигурации Kt). Кроме того, материалы полагаются простыми (первого порядка); упру-гопластические тела обладают свойством медленно затухающей памяти [14]. Для построения конститутивных моделей материала используется подход, основанный на введении внутренних переменных и многоуровневом (для определенности двухуровневом) моделировании [15, 16]. Объектом исследования является представительный объем, на макроуровне — поликристаллический агрегат, состоящий из большого количества (порядка 400-1000) кристаллитов (зерен, субзерен), каждый из которых является представительным объемом ме-зоуровня. «Родственные» параметры состояния на макро- и мезоуровнях обозначаются одинаковыми буквами: на мезоуровне — строчными, на макроуровне —

заглавными. В силу принятого предположения о простом материале представительный объем каждого уровня полагается испытывающим в каждый момент процесса нагружения (деформирования) однородное напряженно-деформированное состояние.

Всплеск интереса к построению определяющих соотношений для описания геометрически нелинейных процессов деформирования наблюдался в 70-80-х гг. XX века, с обзором литературы можно познакомиться в цитированных выше монографиях [10-12]. Были предприняты многочисленные попытки построения макрофеноменологических определяющих соотношений, основанные, как правило, на обобщении соответствующих геометрически линейных соотношений. В качестве базовых в большинстве случаев использовались определяющие соотношения в дифференциальной форме (обычно квазилинейные), связывающие материальную скорость изменения тензора напряжений с тензором скорости той или иной меры деформации. Наиболее распространенными исходными физическими уравнениями были определяющие соотношения, связывающие скорость изменения тензора напряжений Коши Е с тензором деформации скорости D (симметричной частью градиента скорости перемещений VV, определенного в актуальной конфигурации К). Для удовлетворения принципа независимости от выбора системы отсчета [14] неиндифферентную меру Е заменяли на индифферентную (конвективную или коротационную) производную тензора напряжений Коши Е. Чаще всего предлагалось использовать производную Яуманна (Зарем-бы-Яуманна) [17, 18]: Е= Е ^ • Е + Е • W, где W — тензор вихря (антисимметричная составляющая градиента скорости перемещений). Реже применялись коро-тационная «нейтральная» производная Грина-Нагхди [19] и конвективные производные (типа Олдройда [20] или Коттера и Ривлина [21]).

Напомним физический смысл коротационных и конвективных производных [12]. Для некоторой тензорной характеристики материала (например тензора напряжений) подвижный наблюдатель в жесткой (для корота-ционной) или деформируемой (для конвективных производных) системе координат определяет скорость изменения компонент данной характеристики и относит их к текущему базису «своей» системы координат, считая его неизменным. При этом даже если компоненты тензора в базисе подвижной системы координат не изменяются, в общем случае движения последней производная по времени тензорной характеристики с позиций наблюдателя в условно неподвижной лабораторной системе координат будет отлична от нулевого тензора. Заметим, что при использовании деформируемых (с позиций наблюдателя в лабораторной системе координат) систем координат (например лагранжевой) возникает дополнительная сложность в установлении физического смысла конвективной производной: изменения компо-

нент тензорной характеристики, обусловленные теми или иными воздействиями (например приложенными нагрузками), трудно отделить от их изменения за счет деформирования базиса.

Конечно, в этом случае полученные определяющие соотношения удовлетворяли принципу независимости от выбора системы отсчета, однако физическое обоснование подобных соотношений, как правило, даже не обсуждалось в известных авторам работах. Вероятно, данное обстоятельство явилось одной из основных причин проявления «нефизичных» результатов, например появления осциллирующих напряжений в задаче монотонного деформирования простым сдвигом [22-24].

2. О разложении движения

Как представляется, одной из основных проблем построения геометрически нелинейных определяющих соотношений является не выполнение принципа независимости от выбора системы отсчета (ему можно легко удовлетворить множеством (мощности континуум) способов замены производной по времени Е на индифферентную конвективную или коротационную производную тензора напряжений Коши Е [12]), а выделение в общем произвольном движении деформируемой среды составляющей, отвечающей за движение тела как жесткого целого. Иначе говоря, необходимо ввести некоторую подвижную систему координат, которая при наложении чисто жесткого движения будет воспроизводить именно это движение. В дальнейшем движение материала относительно подвижной системы координат считается деформационным, отклик на которое определяется с позиций подвижного наблюдателя. Свойству воспроизведения жесткого движения, конечно, удовлетворяет лагранжева вмороженная система координат (использование такой системы приводит к производным Олдройда [20] или Коттера и Ривлина [21]). Однако для того чтобы иметь возможность сопоставлять между собой изменения мер напряженного и деформированного состояния на различных этапах нагружения, что в реальных расчетах возможно только по компонентам данных мер, введенная подвижная система координат должна быть жесткой, недеформируемой (желательно, декартовой ортогональной). С другой стороны, для материалов с памятью используемая подвижная система координат должна быть связана с материалом, для которого формулируются определяющие соотношения. Поскольку в произвольно деформируемой среде для представительного объема любого уровня (за исключением некоторых частных случаев, например растяжений-сжатий вдоль одной и той же тройки ортогональных материальных волокон) отсутствует единая на протяжении всего исследуемого процесса жесткая система координат с векторами базиса, направленными вдоль одних и тех же взаимно ортогональных материальных волокон, два последних требования противоречат друг другу.

В связи с вышесказанным, в механике деформируемого твердого тела разложение движения на жесткое (корректнее называть его квазитвердым) и деформационное осуществляется по соглашению. При этом собственно о разложении движения, введении подвижной системы координат ничего не говорится, обсуждаются только кинематические аспекты принимаемого соглашения. Наиболее распространенным является разложение движения на основе теоремы Коши-Гельмгольца. Заметим, что именно этот способ приводит к необходимости использования производной Зарембы-Яуманна. Из физического смысла разложения движения по теореме Коши-Гельмгольца следует, что мгновенное движение представляется растяжением-сжатием вдоль трех материальных волокон, совпадающих в рассматриваемый момент с главными осями тензора деформации скорости D, и мгновенным вращением, определяемым тензором вихря W [25]. Казалось бы, оси подвижной системы координат можно направить вдоль главных осей тензора D, однако в общем случае движения в следующий момент времени с главными осями D будет совпадать совсем другая тройка материальных волокон, а оси подвижной системы координат для выполнения требования жесткости должны будут изменить свое положение относительно первоначально связанных с ними материальных волокон. Из этого обстоятельства следует, что данный способ разложения движения может быть применен только для материалов с мгновенно затухающей памятью (например вязких жидкостей), когда отклик (напряжения и/или скорость изменения напряжений) зависит только от текущих параметров и/или скоростей изменения параметров воздействия (деформаций, скоростей деформаций, температур и т.д.), на него не влияет предыстория воздействий, и поэтому в ее корректном определении нет необходимости.

Для описания поведения деформируемых сред с памятью требуется знание истории параметров воздействий (например деформаций) на довольно продолжительных интервалах времени. Как уже отмечалось выше, история воздействий должна быть отражена в терминах компонент соответствующих тензоров, определяемых в одном и том же на протяжении исследуемого процесса жестком базисе, связанном с материалом. Из вышесказанного следует, что разложение движения по теореме Коши-Гельмгольца неприемлемо для таких сред.

Возникает вопрос о конкретном выборе подвижной системы координат, пригодном для описания поведения материалов с длительной памятью. На настоящий момент отсутствуют строго регламентированные правила определения таких подвижных систем координат и нет уверенности, что они могут быть установлены. По мнению авторов, для любого конкретного материала (или класса материалов) данный выбор должен опираться на тщательный физический анализ структуры исследуе-

мой среды и рациональные рассуждения. Представляется целесообразным выбирать подвижные системы координат связанными с материальными элементами, наименее всего подвергаемыми искажениям в процессе деформирования. При этом желательно, чтобы оси подвижной системы координат наилучшим образом отражали симметрийные свойства материала. Следует подчеркнуть, что подвижные системы координат вводятся для каждого представительного объема на каждом масштабном уровне.

Для большинства кристаллических материалов относительно правильное строение кристаллитов (зерен, субзерен, фрагментов) сохраняется при значительных неупругих деформациях (порядка сотен процентов) и температурах [2]. В связи с этим для данного класса материалов (моно- и поликристаллов) на мезоуровне в качестве подвижной системы координат представляется обоснованным использовать систему координат, связанную с кристаллической решеткой. Конкретный способ «привязки» жесткой подвижной системы координат к искажаемой (хотя и незначительно) кристаллической решетке будет подробно рассмотрен ниже. Спин (тензор, ассоциированный с вектором скорости вращения) подвижной системы координат мезоуровня далее будет обозначаться как ю. Более сложным является способ введения жесткой подвижной системы координат для представительного макрообъема поликристаллического материала; возможный вариант определения подвижной системы координат макроуровня также рассмотрен ниже; спин этой системы координат будет обозначаться как О.

Следует заметить, что заманчивым, на первый взгляд, представляется формулировка определяющих соотношений в терминах отсчетной конфигурации К0. Действительно, в этом случае не возникает проблемы разложения движения, используемые меры напряжений и деформаций, равно как их производные, являются инвариантными по отношению к наложенному жесткому движению [12]. Однако обычно используемые при построении определяющие соотношения в терминах К0 меры напряжений и скорости деформаций не имеют ясного физического смысла, что затрудняет анализ получаемых соотношений и их идентификацию. Кроме того, для материалов с памятью в этом случае необходимо будет учитывать всю предысторию деформирования, что требует использования в качестве определяющих соотношений функциональных или операторных уравнений. В то же время практически все неупруго деформируемые материалы обладают другим весьма важным свойством — затухания памяти [14]. Это позволяет при построении определяющих соотношений в терминах актуальной конфигурации К учитывать только незначительную часть предыстории деформирования. В связи с этими обстоятельствами в дальнейшем рассмотрение будет ограничено определяющими соотношениями,

формулируемыми в терминах актуальной конфигурации

К.

3. Независимые от выбора системы отсчета меры напряжений и деформаций и их производные

В геометрически нелинейных теориях упругости и пластичности используется широкий спектр мер напряжений и деформаций, подробное изложение этих вопросов приведено в монографиях [25, 26]. В теориях пластичности (вязкопластичности) большинство исследователей применяют в качестве меры напряжений тензор Коши 2, меры скорости деформаций — тензор деформации скорости D. Обе меры обладают свойством индифферентности, они энергетически сопряжены, т.е. 2 : D определяют мощность напряжений на единицу объема в актуальной конфигурации. Геометрически нелинейные определяющие соотношения упруго(вязко)-пластических сред формулируются как связи между мерами напряжений, скоростей напряжений, деформаций и скоростей деформаций.

При этом, хотя тензор напряжений Коши 2 является независимым от выбора системы отсчета (индифферентным), его материальная производная данным свойством не обладает. В связи с этим в качестве меры скорости напряжений обычно используются те или иные коротационные производные 2 [10-12]. Напомним физический смысл коротационных производных: они определяют относительную скорость изменения тензорных функций времени, фиксируемых наблюдателем в жесткой подвижной системе координат [12]. Заметим, что на выбор подвижной системы накладывается единственное требование: при наложении на движение деформируемой среды абсолютно жесткого движения подвижная система координат должна воспроизводить последнее. Отсутствие жестких ограничений на выбор подвижной системы координат порождает множественность возможных коротационных производных, применимых для построения определяющих соотношений. В [12] отмечается, что подвижные системы координат могут быть выбраны множеством (мощности континуум) способов. Как уже сказано выше, наиболее часто используемой является производная Зарембы-Яуманна. В ряде работ в качестве альтернативного варианта предлагается применять «нейтральную» (Грина-Нагхди [19]) производную, детально рассмотренную в [10, 11].

Как уже сказано выше, неупруго деформируемые твердые тела обладают свойством памяти, в связи с чем для определения отклика материала (напряжений или скоростей напряжений) требуется знание не только скорости деформации, но и предыстории деформации (часто — довольно длительной). Иначе говоря, необходимы знания о мере деформации, согласованной с используемой мерой скорости деформации, т.е. последняя должна быть скоростью изменения (в большинстве случаев в смысле коротационной производной) введенной меры

деформации. Коротационная производная вводится с тем же спином, который используется для коротацион-ной производной меры напряжений. В качестве меры скорости деформации, как правило, применяется тензор деформации скорости D. При этом возникает проблема: упомянутые выше коротационные производные известных голономных мер деформации (для этих мер известен их геометрический смысл, определяемый в терминах изменения длин материальных волокон и углов между ними, они однозначно выражаются через градиенты перемещений) со спинами, применяемыми для определения коротационных производных мер напряжений, не совпадают с D.

В связи с вышесказанным исследователи стали вводить в обращение так называемые неголономные (т.е. не выражаемые через градиенты вектора перемещений) меры деформации, определяемые коротационным интегрированием (т.е. интегрированием с позиций наблюдателя в жесткой подвижной системе координат) тензора деформации скорости D. Следует подчеркнуть, что физический (геометрический) смысл известных него-лономных мер не известен и, как правило, даже не обсуждается.

Отметим, что при установлении требуемых связей меры деформации и ее скорости используются три составляющие: мера деформации, ее скорость и спин подвижной системы координат. Конкретный выбор любых двух составляющих сводит задачу определения третьей к чисто математической [27]. В качестве альтернативы выбору неголономной меры деформации авторы [2832] приняли известным класс тензоров деформаций Сетха [26] и тензор деформации скорости D, определению подлежал спин подвижной системы координат. В качестве дополнительных условий корректности выбора спина приняты условие отсутствия гистерезиса напряжений и условие отсутствия диссипации энергии при чисто упругом деформировании по замкнутым траекториям деформации, т.е. связь тензора напряжений и полученного коротационным интегрированием D тензора деформации должна быть упругой по Грину [26]. Было показано, что единственной мерой деформации из класса мер Сетха, согласующейся (в смысле корота-ционного интегрирования) с мерой D, является тензор логарифмических деформаций Генки, определенный в актуальной конфигурации. Установленный из решения отмеченной выше задачи спин был назван «логарифмическим», он же был использован при определении коротационной производной тензора напряжений Кирх-гоффа в определяющих соотношениях в скоростной форме. В дальнейшем для краткости данную производную будем называть «логарифмической». Отметим, что все обоснования выбора спина авторы цитируемых статей приводили для изотропного упругого материала.

В статье [33] показано полное соответствие закона Гука в скоростной и конечных формах при условиях

существования материального базиса, в котором свойства тела остаются неизменными, и использования однотипных коротационных производных от мер деформаций и напряжений. Были рассмотрены различные меры деформационного состояния и их коротационные производные (Зарембы-Яуманна, Грина-Нагхди, логарифмическая) для анализа кинематического нагружения по замкнутым циклам в пространстве деформаций. Для изотропных упругих материалов при использовании в определяющем соотношении одинаковых коротацион-ных производных тензора напряжений и тензора деформаций показывается замкнутость траекторий напряжений. Если при этом на меры напряжено-деформированного состояния наложено условие энергетической сопряженности, то выполняется и требование отсутствия диссипации энергии. Результаты свидетельствуют о том, что исключительность выбора логарифмического спина можно поставить под сомнение (даже для изотропных упругих материалов).

Кроме того, физический смысл логарифмического спина совершенно не понятен [33] и даже не обсуждается предложившими его авторами [28-32]. Вследствие этого не представляется возможным установить физический смысл подвижной системы координат, движение которой определяется введенным спином, ее «связность» с материалом (поэтому, в частности, возникает вопрос о возможности считать свойства произвольного анизотропного (в смысле симметрийных свойств) материала неизменными в базисе подвижной системы координат), физический смысл компонент тензора деформации в базисе подвижной системы координат. Отсюда, в свою очередь, следует невозможность использования этих компонент для построения траектории деформации [34], позволяющей оценить сложность процесса на-гружения, а следовательно, приемлемость той или иной теории пластичности.

В механике деформируемого твердого тела традиционно применяются симметричные меры деформаций и скоростей деформаций. Однако симметризация мер исключает из меры деформации любое ротационное движение, так что задание мер деформации или скорости деформации, определенных в актуальной конфигурации, не позволяет полностью восстановить движение представительного объема рассматриваемого масштабного уровня. В связи с этим В. Прагер отмечал [35], что введение мер и тензоров деформации ничего не добавляет (в смысле полноты информации о деформировании) к градиенту места V г, где V — оператор Гамильтона, определенный в К0; г — радиус-вектор частицы в актуальной конфигурации К1. В качестве меры скорости деформации при построении определяющих соотношений в терминах К тогда можно было бы использовать градиент скорости перемещений, определенный в актуальной конфигурации однако данная мера не обладает свойством индифферентности

[26]. В связи с этим авторами ранее была предложена несимметричная индифферентная мера скорости деформации [36, 37]. На мезоуровне указанная мера определяется соотношением г = = VVх - ю, где V, V — операторы Гамильтона, выраженные в терминах подвижной системы координат и лагранжевой системы координат, нижний индекс г означает относительные характеристики (определяемые наблюдателем в соответствующей подвижной системе координат); ю — спин подвижной системы координат. На мезоуровне подвижная система координат полагается связанной с кристаллографической системой координат, детально определение подвижной системы координат и спина ме-зоуровня рассмотрено ниже.

Заметим, что Vг = гг, где гг — «относительный» радиус-вектор частицы, т.е. радиус-вектор, определяемый наблюдателем в подвижной системе координат, с позиций этого же наблюдателя определяется полная производная по времени, обозначаемая точкой сверху. При этом подвижный наблюдатель не «ощущает» движения «своей» системы координат, она для него неподвижна. Однако при этом подвижный наблюдатель пользуется жесткой системой. По сути, речь идет об описании движения в локальной эйлеровой системе отсчета. В силу этого

duг Эиг =

^ =17+^ или

^ = ^ • (I - Уиг) Л

где иг = гг - гг0 — вектор перемещения в относительном движении; I — единичный тензор второго ранга. Указанное соотношение для меры скорости деформации (г = Vvх = VVх - ю) не удалось проинтегрировать в квадратурах, вследствие чего не представляется возможным определить интегральную меру деформации через градиент вектора относительных перемещений и г.

Для введенной меры скорости деформации г используется аддитивное разложение на упругую и неупругую составляющие: г = ге + гт. Первое слагаемой правой части характеризует искажения решетки, второе определяется скоростями сдвигов по системам скольжения, оставляющих решетку инвариантной. Напомним, что рассматриваются модели материалов первого порядка, для которых характеристики напряженно-деформированного состояния в пределах представительного объема соответствующего уровня полагаются однородными, т.е. в каждый момент процесса независимыми от координат. В этом случае аналогичное аддитивное разложение может быть введено не только для тензора скорости деформаций, но и для полей (относительных) ско-

^ ^ е . т е ^ е

ростей перемещений: vг = vг + vг , так что г =Vvг, гт = Vv¡n. При этом «упругое» и «неупругое» движения можно рассматривать отдельно друг от друга.

Определим тензор деформации, его упругую и неупругую составляющие коротационным интегрированием

(т.е. интегрированием по времени с позиций подвижного наблюдателя) соответствующих мер скоростей деформации:

I t t

е = Сог| zdт, ее = Сог| гedx, е™ = Сог| гindx.

0 0 0 Нетрудно показать индифферентность меры е (равно как г): любое наложенное жесткое движение среды «поглощается» движением подвижной системы координат. С использованием тензора деформации е по компонентам в базисе подвижной системы координат может быть построена траектория деформации (в 9-мерном пространстве деформаций [34]), для которой также справедливо требование независимости от выбора системы отсчета. Длина дуги траектории деформации может при этом использоваться в качестве меры «накопленной» деформации. Как отмечено выше, получить соотношение для е в квадратурах не удается, в связи с чем обратимся к анализу упругой и неупругой составляющих е. Ранее [38] было показано, что неупругая составляющая тензора деформации ет в каждом кристаллите полностью определяется накопленными сдвигами по системам скольжения и ориентацией кристаллографической системы координат в текущий момент времени t, которые устанавливаются с помощью используемой модели упруго-вязкопластичности [36, 39]. Таким образом, ет действительно характеризует только учитываемые в модели мезоуровня неупругие моды деформирования (внутризеренное дислокационное скольжение), а составляющая ее характеризует упругие искажения решетки кристаллита. Определение меры скорости деформаций и тензора деформаций для представительного макрообъема (поликристаллического агрегата) рассмотрено ниже.

4. Упругие геометрически нелинейные определяющие соотношения в скоростной форме

Как отмечено выше, в качестве определяющего соотношения в работах по геометрически нелинейным проблемам большинство исследователей используют так называемый упругий закон Гука в скоростной релаксационной форме, который в терминах переменных мезо-уровня имеет вид

осг = п: dе,

где о — тензор напряжений Коши, верхний индекс сг означает ту или иную коротационную производную; п — тензор 4-го ранга упругих характеристик; dе — упругая составляющая тензора деформации скорости. При этом для упругопластических или упруго-вязко-пластических сред используется аддитивное разложение тензора деформации скорости на упругую и неупругую составляющие: d = dе + Неупругая составляющая на мезоуровне определяется по скоростям сдвигов в системах скольжения [36], причем для согласования с входящими в аддитивное разложение тензорами

d и de тензор также симметризуется. Далее полагается, что d является коротационной производной некоторой меры деформации, причем спин в этой коротационной производной принимается совпадающим с используемым при определении ясг. Поскольку при этом (по крайней мере, в явной форме) не обсуждается разложение движения, установить физический (геометрический) смысл получаемой коротационным интегрированием d меры деформации не представляется возможным.

Исходной посылкой к формулировке определяющего соотношения в виде (1) является классический закон Гука, справедливый, вообще говоря, только для случая малых градиентов перемещений: я = п : £, где £ = 1/2 х х(Уи + Уит) — тензор малых деформаций; и — вектор перемещений; различием между операторами Гамильтона в отсчетной и актуальной конфигурациях прене-брегается. Далее, поскольку данный закон справедлив для любого момента деформирования, предполагая непрерывность и дифференцируемость тензоров напряжений и деформаций, от него переходят к скоростной форме: Я = п: £ = п: d. После этого и осуществляется обобщение последнего соотношения на случай упругоплас-тического материала и больших градиентов перемещений. Следует отметить, что при переходе к скоростной форме неявным образом принято, что П = 0. Это предположение может быть принято либо для случая малых градиентов перемещений, либо в предположении изотропии упругих свойств материала. Вероятно, данное обстоятельство и является причиной того, что большинство исследователей пользуются моделью изотропного материала. Остановимся несколько подробнее на возникающих вопросах о переходе к скоростной форме упругого закона.

Предположим, что для монокристаллического материала справедливо упругое определяющее соотношение вида

я = П: £,

где £ — произвольный, в общем случае нелинейный тензор деформации (например тензор Генки, определенный в актуальной конфигурации). Следует подчеркнуть, что упругий закон (2) устанавливает однозначную связь между тензорами напряжений и деформаций в произвольный момент деформирования. Дифференцируя (2), получаем

я = П :£ + п: £.

Рассмотрим первый член правой части. При записи (3) в компонентах произвольной подвижной системы координат изменяются как векторы базиса, так и компоненты тензора п, причем закон изменения этих компонент определяется законом движения выбранной подвижной (в общем случае деформируемой) системы координат. В то же время для системы координат, жестко связанной

с материалом (например с решеткой кристаллического тела), компоненты п можно считать неизменными. Заметим, что неявным образом это предположение используется при формулировке гиперупругих соотношений в терминах К0.

Введем декартову ортонормированную жесткую подвижную систему координат с базисом кг-, связанную с кристаллической решеткой. В данном базисе компоненты тензора п можно считать неизменными, однако сами векторы базиса по отношению к условно неподвижной лабораторной системе координат изменяются, при этом к 1 = ю • к 1 = к 1 • ют, где ю — спин подвижной системы координат (антисимметричный тензор 2-го ранга). Тогда, производя некоторые алгебраические выкладки, учитывая (2), можно показать, что

п: £ = ю • я + я • ют + п :(£ • ю) + п :(ют •£). Внося последнее соотношение в (3) и группируя члены левой и правой частей, получаем

Я + я• ю-ю• я = п:

Таким образом, показано1, что при выполнении для материала упругого определяющего соотношения в конечной форме (2) для него справедливо упругое соотношение в скоростной форме (4), где для мер напряжений и деформаций используются идентичные коротацион-ные производные. Заметим, что в более ранних работах, подготовленных с участием одного из авторов [12], это положение формулировалось как требование «корота-ционности» мер скоростей напряжений и деформаций. При этом выбор жесткой подвижной системы координат должен обеспечивать неизменность компонент тензора свойств п в базисе введенной подвижной системы координат. При переходе к процессам неупругого деформирования в (4) вместо £сг следует использовать упругую составляющую меры скорости деформации.

Нетрудно показать справедливость и обратного утверждения: при принятых ограничениях (на определения подвижной системы координат и коротационной производной) из определяющего соотношения в скоростной форме (4) следует определяющее соотношение в конечной форме (2). Для этого достаточно перейти в (4) к записи закона в компонентах подвижной системы координат. Учитывая физический смысл коротационной производной, последняя переходит в полную производную по времени. Интегрируя полученное соотношение с позиций наблюдателя в подвижной системе координат, считающего «свою» систему неподвижной, получаем (2). Таким образом, показана эквивалентность упругих законов в конечной (2) и скоростной форме (4), подробно доказательство описано в [33].

1 Доказательство эквивалентности соотношений (2) и (4) осуществлено П.В. Трусовым и А.Ю. Янцем.

5. Разложение движения, основанное на теореме Коши-Гел ьмгол ьца

Как отмечалось выше, авторам не встречались работы, в которых построение геометрически нелинейных определяющих соотношений основывалось бы явным образом на разложении движения. В то же время большинство исследователей, специализирующихся по данной тематике, неявным образом пользуется разложением движения, основанным на теореме Коши-Гельмголь-ца. Действительно, в этих работах используется коро-тационная производная Зарембы-Яуманна тензора напряжений, тензор деформации скорости d полагается равным аналогичной производной некоторой неголо-номной меры деформации, определяемой коротацион-ным интегрированием (в том же смысле) тензора d. Таким образом, процесс деформирования рассматривается с позиций наблюдателя в некоторой жесткой подвижной системе координат, требование «коротационности» соблюдается. Однако, как уже отмечалось выше, введенная подвижная система координат не связана с материалом (на мезоуровне — с решеткой), в связи с чем компоненты тензора п в базисе подвижной системы координат в общем случае будут изменяться, и это должно быть учтено в записи упругого закона в скоростной форме, что в известных авторам работах не делается. Как показано в цитируемых выше работах [28-32], при использовании производной Зарембы-Яуманна не выполняется и требование отсутствия гистерезиса при чисто упругом деформировании. Аналогичные замечания справедливы и для ряда других известных коротацион-ных производных (например, Грина-Нагхди).

В качестве примера отсутствия «привязки» подвижной системы координат с материалом при использовании разложения движения на основе теоремы Коши-Гельмгольца рассмотрим задачу сдвига полосы прямоугольной в поперечном сечении формы (в К0) в плоскости ОХ 1Х 2 лабораторной системы координат. Нижняя грань (X1 е [0, а], X2 = 0) полагается неподвижной, верхняя (в отсчетной конфигурации (X1 е [0, а], X2 = Ь)) — движущейся параллельно оси ОХ1 с постоянной скоростью V = с; деформирование принимается аффинным. Совместим в начальной конфигурации оси подвижной системы координат Ох1х2х3 с соответствующими осями лабораторной системы координат. Несложно показать, что при использовании в качестве спина тензора вихря подвижная система координат будет совершать непрерывное вращение вокруг оси OX3 (Ох3) с угловой скоростью, пропорциональной с. Вращение приведет к тому, что на определенных этапах деформирования обе оси Ох1 и Ох2 будут расположены вне области, занятой деформируемым материалом. Заметим, что наложение на сдвиг однородного одноосного или двухосного растяжения-сжатия вдоль осей OX1 и/или OX2 никак не отразится на движении рассмат-

риваемой подвижной системы координат, хотя очевидно, что движение материальных волокон в плоскости OX1X 2 при наложении растяжения-сжатия будет отличаться от движения при простом сдвиге. Для корректного описания квазитвердого движения в общем случае деформирования необходимо связать подвижную систему координат с материальным волокном и материальной площадкой, содержащей данное волокно [12]. Например, для рассмотренных случаев простого сдвига и сдвига с наложением растяжения-сжатия возможным вариантом является совмещение оси Ох1 подвижной системы координат с осью OX1 лабораторной системы координат, т.е., как это ни парадоксально звучит для специалистов в области геометрически нелинейных задач, полное совпадение подвижной системы координат и лабораторной системы координат в течение всего процесса деформирования.

Кратко остановимся на разложении движения с использованием предложенного в [28-32] логарифмического спина. В этом случае подвижная система координат также не будет связана с материальными волокнами, в силу чего упругое соотношение (для анизотропного в общем случае материала) в конечной форме, записанное в терминах логарифмической меры деформации Генки, определенной в актуальной конфигурации, не будет эквивалентно упругому закону в скоростной форме, записанному в терминах логарифмической коротацион-ной производной тензора напряжений и тензора деформации скорости. Приведенное в [29] доказательство отсутствия гистерезиса при чисто упругих деформациях основано на применении изотропного тензора свойств. Понятно, что при этом компоненты тензора п в любой ортонормированной системе координат будут неизменными, однако даже для кристаллических материалов высшего класса (кубической) симметрии данное свойство будет выполняться только в подгруппе ортогональных преобразований, образующих группу равноправности материалов с кубической симметрией [14].

6. «Решеточный спин» и разложение движения на мезоуровне

Рассмотрим предлагаемый способ разложения движения на основе «привязки» к материалу более подробно. В качестве материальных волокон, к которым осуществляется «привязка», следует выбирать такие, которые испытывают наименьшие искажения в процессе деформирования, при этом введенная подвижная система координат должна наилучшим образом отражать сим-метрийные свойства материала. Поскольку большинство кристаллических материалов способно испытывать только незначительные искажения (деформации в десятые и сотые доли процентов) решетки, а кристаллографические оси наилучшим образом представляют сим-метрийные свойства, вводимую подвижную систему ко-

ординат представляется обоснованным связать именно с кристаллографической системой координат.

Введем декартову кристаллографическую систему

12 3

координат Оу у у с базисом qг, «вмороженную» в решетку. В отсчетной конфигурации примем эту систему декартовой ортогональной, совместив базис, например, с кристаллографическими направлениями [100], [010], [001] для кубической неискаженной решетки. При произвольном движении деформируемого кристалла этот триэдр qi будет претерпевать как повороты, так и искажения, т.е. его ортонормированность будет нарушаться. Заметим, что для кристаллических металлов и сплавов собственно искажения будут малыми.

Наряду с кристаллографической системой координат введем жесткую декартову ортогональную подвижную систему координат Ох1х2 х3 с ортонормированным базисом Ц-, в отсчетной конфигурации совпадающую с кристаллографической системой координат и связанную с ней в течение всего процесса деформирования. Связь осуществим следующим образом: оси Оу1 и Ох1 будем считать совпадающими в каждый момент времени (вектор к1 направлен вдоль вектора q1); вектор к2

в каждый момент деформирования будем располагать

1 2

в плоскости Оу у . Зная в каждый момент времени положение векторов к1; к 2, легко определяется положение третьего базисного вектора подвижной системы координат: к3 = к1 х к2. Поскольку оси подвижной системы координат в данном случае связаны с материалом, для определения положения осей Ох1х2х3 в произвольной актуальной конфигурации К достаточно знать начальную ориентацию кристаллографической системы координат относительно лабораторной системы координат и соответствующий рассматриваемому моменту

о

времени t градиент места V г. Однако для поставленных в работе целей больший интерес представляют скоростные характеристики движения подвижной системы координат, поэтому обратимся к определению спина подвижной системы координат ю относительно условно неподвижной лабораторной системы координат.

Рассмотрим произвольный момент времени процесса, для которого известны текущее положение триэдра к  и градиент скорости перемещений. Заметим, что в настоящей работе основным механизмом неупругой деформации принимается скольжение краевых дислокаций, не приводящее к изменению ориентаций кристаллографической системы координат [2], в связи с чем для определения скорости ротации подвижной системы координат необходимо использовать только упругую составляющую градиента скорости перемещений Vve.

Тензор спина определяется соотношением

ю = к-к, юТ= к-к.

Используя физический смысл градиента скорости перемещений [12], несложно определить скорость изме-

55

нения материальных отрезков, совпадающих в данный момент времени с ортами к г. Однако следует иметь в виду, что движение материальных отрезков не идентично движению векторов ортонормированного базиса. Действительно, для базиса подвижной системы координат должны выполняться условия:

к г 'к  = 1 ^ к  •к} = §у > У = 1,3

откуда следует

к г- • к г- = 0, ^, к г- • к} + к г • к} = 0, г, ] = 1,3.

Для определения кг можно воспользоваться различными алгоритмами. Например, можно вначале по определить к 1 при наложении условия (6)1 (или (7)1), откуда с учетом (7)2 — проекции к2 и к3 на к1. Далее по Vve определяется проекция к2 на к3, одновременно из (7)2 устанавливается проекция к 3 на к 2, что и завершает определение кСледует подчеркнуть, что если скорость изменения вектора базиса к1 совпадает со скоростью изменения направления материального волокна, совпадающего в данный момент времени с к1, то аналогичное утверждение не справедливо для к2 и к3. Действительно, на базис кг наложено требование ортогональности (кроме того, нормированности), которое не выполняется в случае произвольного движения для тройки материальных волокон, совпадающих в текущий момент времени с векторами кг: уже в следующий близкий момент времени длины материальных волокон могут отличаться от единичных, а углы между ними — от прямых. Другой возможный вариант — определение вначале по описанному выше способу к 1, затем к 3 как нормали к материальной площадке, составляемой векторами к1 и к2 [12]; нетрудно показать, что оба способа эквивалентны. В результате получаем к 1 = (I -ЦЦ) -VveT • к1,

к2 = -(к2 • • к1) к + (к3 • VveT • к2) к3, (8) к3 = -к3 • (I - к3к3), где I — единичный тензор. Таким образом, в каждый момент деформирования тензор спина полностью определяется ориентациями векторов базиса подвижной системы координат и упругой составляющей градиента скорости перемещений:

ю = кгкг = -(к2 VУ^ • Ц)Цк2-

- (к3 • к1) к1к3 + (к2 VVeT • к1) к2к -

- (к3 • • к2) к2к3 + (к3 • • к1) к3к1 +

+

Используя полученные выше результаты, для монокристаллического материала можно сформулировать аналог теоремы Коши-Гельмгольца: скорость произвольной частицы г (с малой окрестностью) однородно (аффинным образом) деформируемого монокристалла

56

в каждый момент времени можно представить совокупностью квазитвердого поступательного (V0) и вращательного ю • (г - г0) движения и деформационного движения х • (г - г0), где г0 — радиус-вектор материальной частицы, выбранной за полюс:

V = Vo + ю •

В случае произвольного движения монокристаллического тела для материалов первого порядка аналогичное разложение следует вводить для любой выделенной частицы с малой окрестностью (представительного объема).

С учетом приведенных выше соотношений определяющее соотношение в скоростной форме для элемента мезоуровня (кристаллита) запишется в виде

_ст „ /„ечсг „ / „тч /11\

а = п:

т V '

где г = ^ у Ь п , у , Ь^ , п '— скорость сдви-

к=1

га, единичные векторы направления скольжения и нормали ^й системы скольжения [16]. Как показано выше, соотношение (11) эквивалентно закону в конечной форме:

а = п :

где физический смысл ее обсужден выше. Напомним, что неупругая составляющая ет тензора деформации е, как показано в [38], определяется соотношением

е™ = £ у( к )Ь( к )п( к), к=1

где у( к) — накопленный в ^й системе скольжения сдвиг. Заметим, что векторы Ь(к), п(к) жестко связаны с кристаллографической системой координат (а в силу малых искажений решетки и с введенной подвижной системой координат кристаллита), следовательно, при известной ориентации подвижной системы координат они полностью определены.

7. Разложение движения на макроуровне

Определение способа разложения движения на макроуровне представляет собой гораздо более сложную проблему прежде всего в силу неоднозначности ее решения. Один из возможных вариантов ее решения был предложен в [12] и аналогичен рассмотренному выше для кристаллита с заменой кристаллографических осей на оси лагранжевой системы координат. Конечно, такой способ введения подвижной системы координат макроуровня будет отражать квазитвердое движение деформируемого тела, при наложении абсолютно жесткого движения на представительный объем это движение будет «поглощаться» движением подвижной системы координат. Однако он опирается прежде всего на отражение деформирования представительного макрообъема и будет косвенно описывать изменение формы входящих в последний кристаллитов. Изменение формы зерен (субзерен), естественно, влияет на свойства предста-

вительного макрообъема, но в значительно меньшей степени, чем ориентация кристаллитов. Действительно, на макроуровне определяющее соотношение также записывается в форме упругого закона в скоростной форме, тензор упругих характеристик при этом определяется осреднением соответствующих характеристик кристаллитов. Симметрийные свойства представительного объема макроуровня определяются симметрийными свойствами и распределением ориентаций кристаллитов (зерен, субзерен). Анизотропия пластических свойств представительного макрообъема также определяется распределением ориентаций кристаллитов, образующих этот объем. При достижении устойчивых текстур дальнейшее изменение ориентаций кристаллитов происходит согласованно. В идеале при однородном деформировании представительного объема спины всех кристаллитов становятся равными друг другу. С физической точки зрения представляется корректным такое определение движения подвижной системы координат, чтобы ее спин в этом случае был равен спину согласованного движения кристаллитов. Поскольку оси симметрии кристаллитов при этом будут неизменны по отношению к осям подвижной системы координат макроуровня, то и оси симметрии представительного макрообъема будут жестко связаны с подвижной системой координат («вморожены» в нее).

В связи с вышесказанным предлагается определять спин подвижной системы координат макроуровня П как осредненный спин кристаллитов, составляющих представительный макрообъем:

П =

Начальную ориентацию координатных осей декартовой ортогональной подвижной системы координат макроуровня можно выбрать произвольно, в частности, совмещая оси подвижной системы координат с осями лабораторной системы координат. При наличии начальной текстуры для упрощения записи упругого закона в скоростной форме оси подвижной системы координат можно совместить с осями симметрии материала.

Меру скорости деформации на макроуровне определим аналогично мере мезоуровня:

Z = = VVх - П = VVт- П,

где V — вектор относительной (относительно подвижной системы координат макроуровня) скорости перемещений; V, V, V — набла-операторы в подвижной, текущей лагранжевой и лабораторной системах координат. Заметим, что при аффинных преобразованиях представительного объема нетрудно показать равенство операторов Гамильтона над произвольным векторным полем t в лабораторной и лагранжевой системах координат: V t = Vt (конечно, при условии, что в отсчетной конфигурации лагранжева система предполагается декартовой).

Определяющее соотношение на макроуровне также записывается как упругий закон в скоростной форме:

ЕCR = П : Ze = П : (Z - Zm), ЕCR = ЕЕ - П • Е + Е • П,

nCR

где Е — коротационная производная тензора напряжений Коши макроуровня; Ze, Zln — упругая и неупругая составляющие меры скорости деформации Z (равной средней скорости деформации по кристаллитам, входящим в представительный объем макроуровня).

Входящие в (15) внутренние переменные [16] макроуровня связаны с переменными мезоуровня соотношениями

П = <п>, П = <ш>,

Zln = ^1п> + П-1 : <п': zln/>-

- П-1 : (<ш' • а'> - <а' • ш'>) + П-1: <п': ш'>, где <> — оператор осреднения; а' — отклонение значения величины а в кристаллите (индекс кристаллита в соотношениях опущен) от среднего значения по поликристаллическому агрегату <а>. Данные связи получены, исходя из необходимости обеспечения согласования определяющих соотношений «соседних» масштабных уровней [39].

Составляющая скорости неупругих деформаций < z 1П > определяется как среднее тензоров скоростей сдвигов по всем кристаллитам, составляющим представительный объем макроуровня [38]. Отметим, что проведенные вычислительные эксперименты показывают, что вклад остальных членов из правой части (163) в Zln мал по сравнению с < zln >.

В случае если компоненты тензора П являются неизменными в базисе подвижной системы координат, можно показать аналогично рассмотрению соотношений для монокристалла эквивалентность упругих соотношений в скоростной форме (15) и упругого закона в конечной форме:

Е = П :

где Е, Е 1П — тензор деформации макроуровня и его неупругая составляющая, определяемые коротационным интегрированием соответствующих составляющих скоростей деформации. Заметим, что предположение о неизменности компонент тензора П в базисе подвижной системы координат справедливо при изотропии свойств на макроуровне и при формировании устойчивой текстуры.

8. Некоторые иллюстрирующие примеры

Рассмотрим результаты применения различных вариантов разложения движения (различных коротацион-ных производных) в определяющих соотношениях при моделировании некоторых кинематических (жестких) нагружений. В примере 1 рассматривается циклическое нагружение упругих материалов, во втором примере

рассматривается нагружение упругих материалов по различным траекториям, приводящим в одну точку в пространстве деформаций, в примере 3 рассматривается нагружение упруго-вязкопластического материала по двухзвенной ломаной в пространстве деформаций.

Пример 1. Циклическое деформирование по замкнутой траектории упругого материала (изотропный, с кубической решеткой, с ГПУ-решеткой). В [40] рассматривается циклическое нагружение (комбинация растяжения вдоль оси Ox2 условно неподвижной лабораторной системы координат Ox1x2x3 и сдвиг в плоскости

12 1 Ox x в направлении x , рис. 1) с лагранжевым законом

движения:

sin ф r/H

x1 = Xj +

1 + (1 - cosФ) r/H

-X

2'

= (1 + (1 - cos Ф)r/H) X2, x3 = X3

Л2 — (1 т (1 — cus r i п ) X 2, x^ — х 3,

где X¡ — лагранжевы координаты; ф — увеличивающийся со временем параметр, ф(0) = 0; r/H — постоянный параметр.

Закону движения

sin ф r/H

F = Ffa) = I + -

: PiP 2 +

1 + (1 - cos ф) r/H

+

где — фиксированный базис лабораторной системы координат.

В [40] приведены результаты определения напряжений при нагружении (19) для упругого изотропного материала с использованием в определяющих соотношениях коротационных производных Зарембы-Яуманна, Грина-Нагхди и логарифмической (при расчетах авторы [40] принимали r/H = 0.5). Авторами настоящей статьи для нагружения (19) также были проведены вычисления с использованием изотропного упругого зако-

Рис. 1. Схема [40] однородного циклического деформирования по закону

Рис. 2. Зависимость ^12

на с модулями Е = 110 ГПа, G = 40 ГПа и с применением различных коротационных производных. Например, при г/Н = 0.5 в случае использования производной За-рембы-Яуманна получена зависимость а (ф), приведенная на рис. 3.

Результаты, полученные авторами этой статьи, согласуются с приведенными в работе [40]: использование производной Зарембы-Яуманна приводит к отличию напряжений от нулевых в конце циклов, причем это отличие возрастает практически линейно в зависимости от числа пройденных циклов. Применение логарифмической коротационной производной приводит к отсутствию напряжений в конце циклов.

При значении г/Н = 0.5 имеют место большие деформации (рис. 2), при которых упругое поведение могут демонстрировать только материалы типа полимерных, для металлов подобный уровень чисто упругих деформаций представляется физически нереализуемым. Поэтому далее рассматриваются результаты при г/Н = = 0.005 (хотя такой расчет тоже сугубо модельный, в реальных металлах невозможно достижение полученных значений компонент девиатора напряжений, т.е. в реальности для металлов упругие циклы реализуются при еще меньшем значении г/Н).

При г/Н = 0.005 рассмотрены четыре варианта коротационных производных (рис. 4):

1) с решеточным спином на основе предложенного разложения движения, «ведущим» принималось материальное волокно, расположенное в отсчетной конфигурации вдоль оси Ох1 лабораторной системы координат;

2) с решеточным спином, «ведущим» принималось материальное волокно, расположенное в отсчетной конфигурации вдоль оси Ох ;

3) производная Яуманна;

4) логарифмическая производная.

На рис. 5 приведены зависимости компонент а (ф), полученные при г/Н = 0.005 в случае использования «решеточной» коротационной производной (вариант 1). Так как при принятом значении г/Н деформации и повороты осей подвижных систем координат во всех случаях незначительны, то отличия зависимостей а(ф), полученные при использовании всех четырех рассматриваемых коротационных производных, невелики. Заметим, что амплитудные значения компонент тензора напряжений близки, поэтому визуально графики, получаемые при использовании различных производных, неотличимы друг от друга. Полученные на момент окончания третьего цикла деформирования (при ф/(2п) = 3) напряжения оценивались по максимальной по модулю компоненте (для всех рассмотренных вариантов ею оказалась диагональная компонента а22) и по ее отношению к максимальному значению за цикл. Получены следующие значения указанных величин: при использовании решеточной производной со спином варианта 1 — 9.28 МПа (0.77 %), решеточной производной со спином варианта 2 — 9.28 МПа (0.77 %), производной Зарембы-Яуманна — 0.046 МПа (0.004 %), логарифмической производной — 6.7 • 10-4 МПа (5.6•Ю-5 %). Интегрирование проводилось численно, поэтому присутствует незначительное отклонение напряжений от нулевых при применении логарифмической производной. Однако и

Рис. 3. Зависимость компонент тензора напряжений в лабораторной системе координат от параметра ф при использовании производной Зарембы-Яуманна

Рис. 4. Зависимость F12

гГ.. МГТя

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 ср/

Рис. 5. Зависимость компонент тензора напряжений в лабораторной системе координат от параметра ф при использовании решеточной производной

отклонения напряжений, полученные при применении других производных, малы в сравнении с амплитудными значениями (менее 1 %).

Следует заметить, что для реальных конструкций циклическое нагружение может реализовываться только в упругой области. В силу малости упругих деформаций для известных конструкционных металлов и сплавов реализуемые градиенты перемещений также малы, поэтому в расчетах вполне допустимо применение геометрически линейных соотношений. При использовании линейной теории с учетом близости лабораторной и лаг-ранжевой систем координат операторы Гамильтона в отсчетной и актуальной конфигурациях принимаются равными, тогда градиент скорости деформации определяется как

° d ° d d

>7 у = У V = —(V и) = — ^ -1) = — К dt dt dt

При применении линейных соотношений получены зависимости компонент а (ф), приведенные на рис. 6.

При использовании линейных соотношений в момент окончания третьего цикла деформирования (при ф/(2я) = 3) максимальная компонента тензора напряжений (а22) равна 3-10-8 МПа (2.5-10-9 %), что почти на 5 порядков меньше, чем для логарифмической производной.

Результаты моделирования поведения изотропного материала свидетельствуют в пользу применения логарифмической производной (при ее использовании напряжения в конце циклического упругого деформирования становятся нулевыми) по сравнению с другими. Однако при малых деформациях использование линейных соотношений дает существенно более точный результат.

Кроме того, еще раз стоит заметить, что логарифмическая производная никак не связана с осями симметрии анизотропных материалов (далее будут рассматриваться кристаллиты с различным типом решетки), она не описывает вращение кристаллографической системы координат, в которой определен тензор свойств. Если при моделировании анизотропных металлических мате-

аг/, МПа

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 ф/

Рис. 6. Зависимость компонент тензора напряжений в лабораторной системе координат от параметра ф при использовании линейных соотношений

риалов с использованием предложенного подхода с привязкой к материальным волокнам можно говорить о том, что соответствующая коротационная производная описывает и движение подвижной системы координат, в которой определены свойства материала (иначе говоря, с учетом малости искажений решетки можно говорить о том, что подвижная система координат совпадает с кристаллографической), то при использовании логарифмической производной (и производной Зарембы-Яуманна) данное положение не выполняется, в этом случае движение подвижной системы отсчета полностью определяется кинематикой и будет одинаковым для любых типов решетки. В связи с вышесказанным для случаев использования этих коротационных производных в определяющем соотношении дополнительно проведены расчеты, в которых для описания вращения кристаллографической системы координат использовалось описание на основе предложенного разложения движения (вариант 1, ведущее волокно начально расположено вдоль Ох1).

Таким образом, для анизотропных материалов рассматривались следующие расчетные варианты с использованием:

1) решеточной коротационной производной на основе предложенного разложения движения («ведущим» принималось материальное волокно, расположенное в отсчетной конфигурации вдоль оси Ох1 лабораторной системы координат);

2) решеточной коротационной («ведущим» принималось материальное волокно, расположенное в отсчет-ной конфигурации вдоль оси Ох );

3) производной Яуманна;

4) логарифмической производной;1

5) геометрически линейных соотношений без введения подвижной системы координат;

1 В вариантах 1-4 соответствующий производной спин использовался и в определяющем соотношении, и для описания движения системы координат, в которой определены свойства материала.

6) производной Яуманна в определяющем соотношении, спина из варианта 1 для описания движения системы координат, в которой определены свойства материала (далее обозначается как вариант 3.1);

7) логарифмической производной в определяющем соотношении, спина из варианта 1 для описания движения системы координат, в которой определены свойства материала (вариант 4.1).

Было рассмотрено циклическое деформирование по закону (19) при г/Н = 0.005 упругого материала с кубической решеткой. Независимые модули в кристаллографической системе координат соответствуют меди [41]: п1111 = 168.4 ГПа, п1122 = 121.4 ГПа, п1212 = 75.4 ГПа. Начальные ориентации кристаллографической и подвижной систем координат совпадают и определяются путем последовательных поворотов начально совмещенной с лабораторной системой координат кристаллографической системы координат вокруг оси Ох1 на угол ф1 = 0.63, вокруг оси Ох2 на угол ф2 = 0.52, вокруг оси Ох3 на угол ф3 = -0.85.

На рис. 7 приведены результаты расчета напряжений при использовании решеточной коротационной производной на основе привязки к материальному волокну и материальной площадке (вариант 1 из вышеприведенного списка).

Отметим, что при «плоском» деформировании (19) для неизотропного материала реализуется трехмерное напряженное состояние (нетривиальны все компоненты тензора напряжений). При расчетах по всем вариантам получаемые напряжения близки к полученным для варианта 1 (графики визуально неотличимы). Полученные в момент окончания третьго цикла деформирования (при ф/(2 я) = 3) максимальная по модулю компонента тензора напряжения и ее отношение к максимальному значению (на всем интервале нагружения) соответствующей компоненты равны: при использовании варианта 1 — 14.2 МПа (0.64 %), варианта 2 — 10.6 МПа (0.48 %), варианта 3 — 0.058 МПа (0.0027 %), варианта 3.1 — 8.99 МПа (0.41 %), варианта 4 — 0.058 МПа (0.0027 %), варианта 4.1 — 8.99 МПа (0.41 %), варианта 5 — 3.78•Ю-8МПа (1.73 •Ю-9 %). Следует отметить, что максимальные в момент окончания третьго цикла деформирования компоненты тензора напряжений оказываются различными в рассматриваемых вариантах. Для всех вариантов расчета результаты достаточно близки, несколько меньшие «остаточные напряжения» после циклического упругого деформирования получаются при использовании вариантов 3 и 4. Действительно, при использовании предположения о движении системы координат, в которой определены свойства материала, с логарифмическим спином в соответствии с вышеприведенным доказательством использованное определяющее соотношение в скоростной форме эквивалентно определяющему соотношению в конечной форме (с ме-

гг МГТя

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 ф/

Рис. 7. Зависимость компонент тензора напряжений в лабораторной системе координат от параметра ф при использовании предложенного разложения движения (вариант 1 — ведущее волокно расположено вдоль Оу1 кристаллографической системы координат); графики а11(ф) и а33(ф) близки

рой деформации Генки, определенной в актуальной конфигурации). Однако, как отмечено выше, предположение о возможности определения свойств материала в такой подвижной системе координат представляется весьма спорным. Заметим, что отличие конечных напряжений от нулевых связано с вычислительными погрешностями при численном определении логарифмического спина. Используемые соотношения [33] достаточно сложны, подразумевают вычисление собственных чисел и векторов тензора деформации Фингера. Также отметим, что при рассматриваемом на-гружении тензоры логарифмического спина и вихря близки, что согласуется с аналитическим выражением для логарифмического спина [33], в связи с чем для варианта 3 также получены меньшие напряжения, чем для вариантов 1 и 2. Но при этом также возникает вопрос о возможности определения свойств материала в используемой подвижной системе координат. При использовании линейных соотношений «остаточные напряжения» имеют порядок вычислительной погрешности.

Далее было рассмотрено циклическое деформирование по закону (19) при г/Н = 0.005 упругого материала с ГПУ-решеткой (независимые модули соответствуют ТЮ2 [41]: п1111 = 273 ГПа, п1122 = 176 ГПа, п1133 = = 149 ГПа, п3333 = 4 84 ГПа, п1313 = 125 ГПа, п1212 = = 194 ГПа). Начальная ориентация кристаллографической системы координат определяется путем последовательных поворотов начально совмещенной с лабораторной кристаллографической системой координат вокруг оси Ох1 на угол ф1 = 0, вокруг оси Ох2 на угол ф2 = 0.75, вокруг оси Ох3 на угол ф3 = 0.9.

На рис. 8 приведены результаты расчета напряжений при использовании решеточной коротационной производной (вариант 1 из вышеприведенного списка). При расчетах по всем вариантам получаемые напряжения близки к полученным для варианта 1 (графики визуально неотличимы). Полученные в момент окончания третьего цикла деформирования (при ф/(2я) = 3) мак-

(F2(t) = E + &23 (t- 0.5) p2p3), закон изменения градиента места:

Рис. 8. Зависимость компонент тензора напряжений в лабораторной системе координат от параметра ф при использовании предложенного разложения движения

симальные компоненты тензора напряжений и их отношения к максимальным значениям на всем интервале деформирования равны при использовании варианта 1 — 20.2 МПа(0.483 %), варианта 2— 21.99 МПа (0.525 %), варианта 3 — 0.0993 МПа (0.0024 %), варианта 3.1 — 14.24 МПа (0.34%), варианта 4 — 0.0016 МПа (3.82 -10-5 %), варианта 4.1 — 14.25 МПа (0.34 %), варианта 5 — 6.497 • 10-8 МПа (1.55 -10-9 %). Результаты расчета напряжений по всем вариантам близки, при этом и для логарифмической производной с учетом более строгого описания движения кристаллографической системы координат (вариант 4.1) наблюдается отклонение напряжений от нулевых, сопоставимое с другими вариантами. При использовании линейных соотношений «остаточные напряжения» имеют порядок вычислительной погрешности.

Таким образом, результаты расчетов подтверждают то, что при малых деформациях, при которых возможно циклическое упругое деформирование в металлах (эти деформации должны быть меньше задаваемых в рассмотренном модельном примере), использование различных коротационных производных не приводит к существенному отличию получаемых результатов (между собой и от получаемых при применении линейных соотношений). В частности, при моделировании анизотропных материалов получаемые при использовании логарифмической производной с корректным описанием движения кристаллографической системы координат результаты не представляются предпочтительными по сравнению с результатами, получаемыми при использовании предложенной решеточной производной.

Пример 2. Упругое деформирование по различным траекториям, приводящим в одну точку. Рассмотрим результаты применения различных коротационных производных в определяющих соотношениях для ГПУ-кристаллита (модули и начальные ориентации кристаллографической и подвижной систем координат описаны выше) для нагружений по двум различным траекториям.

Траектория 1 — сдвиг в плоскости Ох1 х2 в направлении х1 до t = 0.5 ^^) = Е + &12 t р1р 2), затем сдвиг в плоскости Ох2х3 в направлении х2 до t = 1

F (t) =

iFi(t), t е [0,0.5],

V v(t) =

^(t)• Fi|t=05, tе (0.5,1]

E + Y12 t PiP2, t е [0,0.5], < (E + &23 (t - 0.5) p2P3) • (E + 0.5 & 12 PiP2), ^ tе (0.5,1]

[E + Y12 t P1P2, t е [0,0.5], (E + у23 (t - 0.5) p2P3 + 0.5 Y12 P1P2, t е (0.5,1], градиент скорости перемещений (Y 12 P1P2, t е [0,0.5],

1Y23 P2P3, tе (°.5,1].

Траектория 2 — в обратной последовательности. Значения кинематических характеристик &12 = 0.005 c-1, Y23 = 0.005 c-1. На рис. 9 приведены рассматриваемые траектории кинематического нагружения.

На рис. 10 приведены результаты расчета напряжений при использовании решеточной коротационной производной (вариант 1 из вышеприведенного списка).

Отметим, что напряжения, получаемые в конечной точке при нагружении по первой траектории деформации, близки к напряжениям при нагружении по второй траектории деформации. Для всех рассмотренных вариантов расчета результаты близки, графики зависимостей компонент напряжений от времени визуально неотличимы друг от друга. В табл. 1 приведены значения компонент напряжений в конечной точке нагружения.

Результаты свидетельствуют о малом отличии получаемых при использовании различных коротационных производных напряженных состояний. При этом наиболее точное совпадение итоговых напряжений при двух видах нагружения наблюдается при использовании линейных соотношений.

Пример 3. Упругопластическое деформирование ГЦК-кристаллита. Рассмотрим неупругое деформирование ГЦК-кристаллита (начальные ориентации крис-

Рис. 9. Зависимость F23

а у, МПа 300-

100-

-100

1 а

У

е, , ,о -X о

0.0

0.2 0.4 0.6 о.;

а11  а12 " а13 " а22 а23 а33

а у, МПа

300

100

-100

-

0.0 0.2 0.4 0.6

0.8

Рис. 10. Зависимость компонент тензора напряжений в лабораторной системе координат от времени при использовании предложенного разложения движения

таллографической и подвижной систем координат описаны выше) при нагружении по описанной в примере 2 первой траектории деформации с параметрами у 12 = = 0.0005 с-1, у23 = 0.0005 с-1, расчетное время 1000 с,

переход между звеньями при I = 500 с. При расчетах использована модель мезоуровня, учитывающая внут-ризеренное скольжение, описанная в [39], упрочнение не учитывалось.

Таблица 1

Использованная в расчете коротационная производная

Компоненты тензора напряжений при t = 1 в лабораторной системе координат

°11 °12 °13

°21 °22 а23

°31 а32 °33

Траектория 1

' 33.5 138.85 -87.183^ 138.85 20.336 251.85 -87.183 251.85 -129.36 Ч У

г 33.681 138.97 -87.051" 138.97 19.974 251.85 -87.051 251.85 -129.18 V )

г33.845 138.89 -87.06 л 138.89 20.253 251.94 -87.06 251.94 -129.46 V У

' 33.792 138.84 -87.057' 138.84 20.105 251.96 -87.057 251.96 -129.42 Ч у

'33.845 138.89 -87.06 л 138.89 20.253 251.94 -87.06 251.94 -129.46 V У

' 33.792 138.84 -87.057' 138.84 20.105 251.96 -87.057 251.96 -129.42 Ч у

' 33.927 139.06 -86.682" 139.06 19.741 251.97 -86.682 251.97 -129.31 Ч У

Траектория 2

1. Решеточная производная на основе предложенного разложения движения

34.219 138.85 -86.239

138.98 19.651 251.65

-86.239 251.65 -129.75

2. Решеточная производная

33.681 138.97 -86.517

138.97 20.118 251.96

-86.517 251.96 -129.68

3. Производная Яуманна

33.962 138.81 -86.181

138.81 19.982 251.81

-86.181 251.81 -129.66

3.1. Производная Яуманна в определяющем соотношении + решеточный спин (вариант 1) для описания движения кристаллографической системы координат

34.241 138.86 -86.048

138.86 19.567 251.72

-86.048 251.72 -129.69

4. Логарифмическая производная

33.962 138.81 -86.181

138.81 19.982 251.81

-86.181 251.81 -129.66

4.1. Логарифмическая производная в определяющем соотношении + решеточный спин (вариант 1) для описания движения кристаллографической системы координат

34.241 138.86 -86.048

138.86 19.567 251.72

-86.048 251.72 -129.69

5. Без коротационной производной

33.929 139.06 -86.682

139.06 19.741 251.97

-86.682 251.97 -129.31

Рис. 11. Зависимость компонент тензора напряжений в лабораторной системе координат от времени при использовании предложенного разложения движения

Рис. 12. Зависимость компонент тензора напряжений в лабораторной системе координат от времени при использовании логарифмической производной

Рассматривались вышеописанные варианты 1 и 2 применения решеточных коротационных производных. В качестве варианта 3 рассматривалось использование разложение движения по теореме Коши-Гельмгольца (производная Зарембы-Яуманна), что для упруго-вязко-пластической модели мезоуровня соответствует использованию в качестве спина подвижной системы координат разности тензора вихря и антисимметричной части тензора пластических сдвигов [42] (модель стесненного поворота Тейлора):

ю = ^(Уу1 -УУ) 1У (Ьп ^ - пЪ ^).

2 I=1 2

На рис. 11 приведены зависимости компонент тензора напряжений при использовании решеточной корота-ционной производной (вариант 1).

Результаты расчета показывают, что нетривиальны все компоненты тензора напряжений, описывается эффект запаздывания векторных свойств (изменение направления вектора напряжений происходит спустя некоторое время после перехода между звеньями на траектории деформации). Для расчетных вариантов 1, 2, 3, 3.1, 4.1 полученные зависимости напряжений от времени близки.

При использовании логарифмической производной (вариант 4) получена зависимость тензора напряжений от времени, представленная на рис. 12.

Авторы [28-32] рекомендуют к использованию в определяющих соотношениях и для неупругих материалов [43] логарифмического спина в исходной форме (определенного по известному полному градиенту деформации и полному вихрю). Однако стоит заметить, что все построения в [43] приводятся для изотропного материала. Как можно заметить из результатов, приведенных на рис. 12, при применении логарифмической производной в исходной форме для анизотропных материалов получаемые результаты не соответствуют физическим соображениям — после перехода на другое звено траектории деформации не наблюдается значимого изменения компонент напряжений, хотя очевидно, что при столь существенной смене направления нагружения

(рис. 9) должен измениться набор активных систем скольжения, при этом изображающая точка в пространстве напряжений должна переместиться (что и наблюдается по результатам, приведенным на рис. 11).

В табл. 2 приведены значения компонент напряжений для конечной точки рассматриваемого кинематического нагружения. Наблюдается малое отличие в получаемых при использовании различных коротационных производных напряженных состояниях (кроме варианта с использованием логарифмической производной, в этом случае результаты представляются не соответствующими рассматриваемому процессу деформирования).

Таким образом, результаты моделирования свидетельствуют о незначительных отличиях получаемых напряжений при использовании в определяющих соотношениях рассмотренных коротационных производных и линейных определяющих соотношений теории малых деформаций (примеры 1 и 2), поэтому при малых упругих деформациях представляется возможным использование линейных определяющих соотношений. Кроме того, отмечено, что разложения движения, приводящие к применению производной Зарембы-Яуманна и логарифмической производной, никак не связаны с осями симметрии материалов. Это приводит для производной Зарембы-Яуманна к известному физически необоснованному эффекту осцилляции компонент тензора напряжений при монотонном нагружении упругого материала простым сдвигом [22-24], а для логарифмической производной — к нефизичному изменению напряжений при деформировании анизотропного упруго-вязкоплас-тического материала по траекториям с изломом (пример 3). Если же использовать спины, которые определяют эти производные, только для определения корота-ционных производных мер напряжений и деформаций, а для описания вращения кристаллографической системы координат (в ней определены упругие свойства) использовать предложенный решеточный спин, то результаты близки к получаемым при использовании только этого спина для формулировки скоростной формы

Использованная в расчете коротационная производная

Таблица 2

Компоненты тензора напряжений при t = 1000 в лабораторной системе координат

п. п _ п - А

п11 п12 п13

п21 п22 п23

О31 п32 О33

1. На основе предложенного разложения движения

Г-29.523 12.941 18.317

-12.941 -18.317 ^ 15.887 15.12 15.12 13.636

2. На основе предложенного разложения движения

Г-29.603 -12.911 -18.215

-12.911 -18.215 ^ 15.968 15.15 15.15 13.635

3. Производная Яуманна

Г -29.59 -12.916 -18.238

-12.916 -18.238 ^ 15.949 15.143 15.143 13.637

3.1. Производная Яуманна в определяющем соотношении (модель поворота Тейлора) + решеточный спин (вариант 1) для описания движения кристаллографической системы координат

Г-29.523 -12.941 -18.317 ^ 12.941 15.887 15.12 18.317 15.12 13.636

4. Логарифмическая производная

Г-34.646 -11.953 2.609 ^ -11.953 16.265 0.8227 2.609 0.8227 18.381

4.1. Логарифмическая производная в определяющем соотношении + решеточный спин (вариант 1) для описания движения кристаллографической системы координат

Г-29.508 -12.938 -18.341^ -12.938 15.867 15.115 -18.341 15.115 13.641

определяющих соотношений. Однако стоит отметить, что с точки зрения теории использование различных спинов в скоростном определяющем соотношении и для описания вращения системы координат, в которой определены упругие свойства, не позволяет говорить о существовании эквивалентного определяющего соотношения в конечной форме.

9. Заключение

Приведено краткое описание известных способов обобщения геометрически линейных определяющих соотношений на случай больших градиентов перемещений, используемых независимых от выбора системы отсчета производных

спин квазитвердого движения устанавливается вращением жесткой подвижной системы координат, «привязанной» к кристаллографическим оси и плоскости; спин представительного макрообъема определяется осреднением спинов элементов мезоуровня. Анализируется связь между конечной и скоростной формами упругого закона, получены условия их эквивалентности. Введены индифферентные несимметричные меры деформации и скорости деформации, обсуждается их физический смысл. С использованием указанных мер сформулированы законы упругости в скоростной релаксационной форме на мезо- и макроуровнях. Приведены примеры, иллюстрирующие корректность предлагаемых определяющих соотношений.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, № гос. регистр. 01201460535), гранта Президента РФ по поддержке молодых кандидатов наук № МК-4485.2014.1, РФФИ (гранты №№ 14-01-00069-а, 15-08-06866-а).

Литература

1. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.

2. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия. 1986. - 224 с.

3. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой

// Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 5-18.

4. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

5. Панин В.Е., Балохонов Р.Р., Деревягина Л.С., Романова В.А. Влияние эволюции пластического течения в шейке на масштабные уровни разрушения поликристаллов. Эксперимент и моделирование // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 2. - С. 11-19.

6. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных материалов // Изв. вузов. Физика. - 1992. - № 4. - С. 42-58.

7. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 109-130.

8. Макаров П.В., Романова В.А., Балахонов Р.Р. Моделирование неоднородной пластической деформации с учетом зарождения локализованных пластических сдвигов на границах раздела // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 5. - С. 29-39.

9. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. -2003. - Т. 6. - № 4. - С. 111-124.

10. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.

11. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. - Киев: Наукова думка, 1987. - 232 с.

12. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопласти-ческие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

13. Трусов П.В. Некоторые вопросы нелинейной механики деформируемого твердого тела // Вестник ПГТУ Мат. моделирование систем и процессов. - 2009. - № 17. - С. 85-95.

14. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

15. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 327-344.

16. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Моделирование эволюции структуры поликристаллических материалов при упругопластическом деформировании // Ученые записки Казанского университета. Физ.-мат. науки. - 2010. - Т. 152. - Кн. 4. -С. 225-237.

17. Jaumann G. Geschlossenes System physikalischer und chemischer Differential-gesetze // Sitzber. Akad. Wiss. Wien. Abt. lia. - 1911. -В. 120. - S. 385-530.

18. Zaremba S. Sur une for meper fectionnée de la théorie de la relaxation // Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie. - 1903. - Р. 595-614.

19. Green A.E., Naghdi P.M. A general theory of an elastic-plastic continuum // Arch. Ration. Mech. Analysis. - 1965. - V. 18. - P. 251-281.

20. Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1950. - V. 200. - P. 523-541.

21. CotterB.A., Rivlin R.S. Tensors associated with time-dependent stress // Q. Appl. Math. - 1955. - V. 13. - P. 177-182.

22. Dienes J.K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies // Acta Mech. - 1979. - V. 32. - P. 217-232.

23. Lehmann T. Anisotrope plastische Formänderungen // Romanian J. Tech. Sci. Appl. Mech. - 1972. - V. 17. - P. 1077-1086.

24. Nagtegaal J.C., de Jong J.E. Some Aspects of Non-Isotropic Work Hardening in Finite Strain Plasticity // Plasticity of Metals at Finite Strain, Theory, Computation and Experiment / Ed. by E.H. Lee, R.L. Mallett. - Stanford: Stanford University, 1982. - P. 65-106.

25. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. - М.: ГИФМЛ, 1962. - 284 с.

26. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. -512 с.

27. Reinhardt W.D., Dubey R.N. Coordinate-independent representation of spins in continuum mechanics // J. Elasticity. - 1996. - V. 42. -P. 133-144.

28. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Logarithmic strain, logarithmic spin and logarithmic rate // Acta Mech. - 1997. - V. 124. - P. 89-105.

29. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. The choice of objective rates in finite elastoplasticity: general results on the uniqueness of the logarithmic rate // Proc. R. Soc. Lond. A. - 2000. - V. 456. - P. 1865-1882.

30. Bruhns O.T., Xiao H., Meyers A. New results for the spin of the Eulerian triad and the logarithmic spin and rate // Acta Mech. - 2002. -V. 155. - P. 95-109.

31. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Objective stress rates, path-dependence properties and non-integrability problems // Acta Mech. -2005.- V. 176. - P. 135-151.

32. Bruhns O.T. The Prandtl-Reuss equations revisited // Z. Angew. Math. Mech. - 2014. - V. 94. - No. 3. - P. 187-202. - doi 10.1002/zamm. 201300243.

33. Трусов П.В., Кондратьев Н.С., Швейкин А.И. О геометрически нелинейных определяющих соотношениях упругого материала // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2015. - № 3. - С. 182-200.

34. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: АН СССР, 1963. - 272 с.

35. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 312 с.

36. Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 2. - С. 15-31.

37. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к оценке справедливости постулата изотропии Ильюшина в случае больших градиентов перемещений // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 1. - С. 23-37.

38. Трусов П.В., Янц А.Ю. О физическом смысле неголономной меры деформации // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 2. - С. 13-21.

39. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. - С. 33-56.

40. Meyers A., Xiao H., Bruhns O. Elastic stress ratcheting and corotational stress rates // Tech. Mech. - 2003. - B. 23. - H. 2-4. - S. 92-102.

41. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

42. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - P. 589-624.

43. Bruhns O.T., Xiao H., Meyers A. Large simple shear and torsion problems in kinematic hardening elasto-plasticity with logarithmic rate // Int. J. Solids Struct. - 2001. - V. 38. - P. 8701-8722.

Поступила в редакцию 10.08.2015 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Швейкин Алексей Игоревич, к.ф.-м.н., доц., снс ПНИПУ, alexsh59@bk.ru Янц Антон Юрьевич, ассист. ПНИПУ, maximus5.59@gmail.com