Об одном подходе к проблеме Адамара

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 1

УДК 621.372

А.И. Литвин ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПРОБЛЕМЕ АДАМАРА

Указаны алгоритмы построения матриц Адамара в виде разреженных матриц.

Ключевые слова: матрица Адамара, кронекеровское произведение

Определение 1. Матрицей Адамара называется квадратная матрица порядка N элементами которой являются числа ±1, удовлетворяющие условию

И (Я) Яйг (N) =ЫЕН ,

где Иь(Щ - матрица Адамара, НI (Я) - сопряжённая матрица для Иь(Щ, N - порядок матрицы, EN - единичная матрица порядка N [1 - 6]. Термином КПМ обозначаем кронекеровское произведение матриц.

Матрицу Адамара можно нормализовать, т.е. элементарными действиями (перестановкой строк и столбцов, умножением на -1 строк и столбцов) привести к матрице, у которой первая строка и первый столбец состоят из единиц.

В одной из работ Ж. Адамара было установлено: если

А = (щ) %=1,

где |ау| < 1, ау - вещественные числа, то

N

причём равенство достигается только для матриц Адамара и только для них. Очевидно, что с этим результатом связано название матриц Адамара.

Позже было установлено, что порядки матриц Адамара кратны четырём, кроме одной матрицы

(см.[6,7]). Некоторые проблемы, связанные с матрицами Адамара, до сих пор не решены. Так, неизвестно, существуют ли матрицы Адамара порядка N для всех N, кратных четырём. Эта задача получила название проблемы Адамара.

В данной работе указаны алгоритмы построения матриц Адамара порядков кратных четырём, а также способы их факторизации.

Рассмотрим сначала способы построения матриц Адамара порядков N=2", где п - натуральное число. В этом случае матрицы Адамара можно получить, используя кронекеровские и обобщённые кронекеровские произведения матриц. Например, существует рекуррентный способ построения матриц Уолша - Адамара порядка N = 2":

^(N1= "И(2)=И(2) И(2)...И(2), где " - п-я кронекеровская степень матрицы И(2) [1 - 3, 7].

В работах [1 - 3] описан аналогичный алгоритм Уолша - Пэли и Уолша -Качмана.

Обозначим строки матрицы В через Вь В2,...,В№ а столбцы - символами В(1), В(2),...,Вте .

Определение 2 ([1 - 3]). Кронекеровским произведением матриц А и В по строкам называется матрица вида

Если матрица А имеет порядок и, а матрица В - порядок и, то матрица С имеет порядок ии.

Определение 3 ([1 - 3]). Кронекеровским произведением матриц А и В по столбцам называется матрица С вида

С = А  В = [ А  В(1)А  В(2)...А  В(ж) ].

Определение 4. Почти кронекеровским произведением матриц А и В по строкам называется матрица С вида С=АВ, в которой матрица А кронекеровски перемножается на первую строку матрицы В в прямом порядке, а на вторую строку матрицы В в обратном порядке и.т.д.

"1 1" "1 1" 11 -1 -1

0 =

1 -1_ 1 -1_ 1 -1 -1 1

1111

Пример.

^1 -1 1 -1 Теорема 1 [1 - 3, 7]. Справедливы равенства

ЩЛ) = " И(2),

ИДЖ) =  "И(2) =  "И(2),

ИД^) = "И(2),

где И^^), И^^), - матрицы Уолша - Адамара, Уолша - Пэли, Уолша -

Качмара соответственно.

Более подробно построение и факторизация матриц Адамара описаны в работах [1 - 4].

Определение и свойства кронекеровских произведений матриц имеются в работах [5 - 7].

Построение матриц Адамара при N Ф 2" представляет определённые трудности (см. [4, 6]).

Будем производить построение матриц Адамара в факторизованном виде, то есть

Щ#) = Х1И1^Х2И2, где И1 и И2 - матрицы Адамара второго порядка, удовлетворяющие условию

н Т я2+я 2 н1 = о,

а XI и Х2 - разряженные матрицы, которые удовлетворяют условию

Х1Х2 - Х2Х[ = 0.

Выберем пары матриц Адамара второго порядка, удовлетворяющие условию Например,

н Т н2+н 2 н1 = о.

н1 =

н1 =

-1 г 1 1

1 1' 1 -1

и н2 =

и н2=

-1 -1

-1 1

1 -1'

-1 -1

Лемма 1. Указанные выше пары матриц удовлетворяют равенству

И Т И2 + И 2 И1 = 0.

Справедливость этой леммы проверяется непосредственно. Заметим, что эти матрицы являются симметричными.

Можно указать и другие пары таких матриц. Например,

И1=

"1 1" "-1 1"

и н2=

1 -1_ _ 1 1_

Образующие матриц Х1 и Х2 выберем в виде

Х1=

" А Е " " 0 В

, Х2=

_ Е - А_ -В 0 _

N

где матрицы А, В и Е - матрицы порядка — (напомним, что N кратно четырём).

4

Рассмотрим следующие последовательности чисел:

П1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

N / 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54

N 12 20 28 36 44 52 60 68 76 84 92 100 108

и т.д.

Замечание к таблице. Пусть п1=1, тогда N=4. Матрица И^(4) имеет вид

1 1 1 1

1 -1 1 -1

1 1 -1 -1

1 -1 -1 1

Последовательность чисел и1 состоит из всех нечётных чисел, начиная с 3. Очевидно, что этого множества чисел достаточно для построения матриц Адамара порядка N где NФ 2", N кратно четырём. Если и1 = 2, 4, 8,..., то N = 8, 16, 32,., т.е. N = 2". Если и = 6, то Щ24) = Щ12)  н(2), если и = 10, то Щ40) = нй(20)н(2), и т.д.

Матрица Х1 по построению является симметрической, а Х2 - кососимметрической. Обе они - блочные матрицы. Блоки А и В будем выбирать симметрическими

и циркулярными (со сдвигом влево или вправо). Пусть матрицы Я1 и Я2 удовлетворяют лемме 1. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Имеют место равенства

'2 0'

0 2

Доказательство:

Я^ЯТ (^)=(Х10Я1^Х2Я2) (Х10Я1^Х2Я2)Г=

= (Х10Я1^Х20Я2)(ХТ  ЯТ +Х2  Я2).

В этом выражении используется тот факт, что (АВ)Т = АТВТ. Воспользуемся также основным свойством КПМ: (АВ)(СВ)=АСВВ при условии, что выражения АС и ВВ существуют. Таким образом,

ЯА(^) ЯТ (#) = XXТ  Я1ЯТ +Х2ХТ  Я2ЯТ +ХХ2  Я1Я2 +Х2ХТ  Я2Я2 =

0 2'

-2 0 2 0'

0 2

= [X 2 - X 2 ]

"2 0"

) 0 0 2_ +да т

"2 0" " 0 2"

+0

0 2_ -2 0_

= [X 2 - X 2 ]

При этом, в силу построения матриц Х1 и Х2, получаем соотношение

х2х Т - хх 2 =х2х1+х1х2=о.

Обратим внимание на равенство [ХХ2+Х2Х1] =

о В 0

+

і -В 0 _ -В 0 _ і

- в АВ" + " В - ВА

_ АВ В _ - ВА - В _

Полученное выражение равно нулю при условии, что матрицы А и В перестановочны. Но это свойство у матриц А и В имеется, так как по предположению эти матрицы симметрические и циркулярные. С другой стороны,

X 2 - X 2 =

А2 + В2 + Е 0

0

А2 + В2 + Е

Матрица правой части этого равенства должна иметь вид

' N

0

N

о о ... N

2 .

-у

2

Теперь задача построения матриц Адамара сводится к построению матриц А и В определённого вида. Предположим дополнительно, что матрицы А и В таковы, что

' N 4 а ' а Г- -1 4 -а . . -а

А2 = а N 4 ' ' а , В 2 = -а N -1 . 4 . -а

а а. N ' 4 _ -а -а . . N -1 4 _

При этих предположениях, как легко проверить, справедливо равенство

X 2 X 2 — Е Л г — х 2 ~~ ЕШ2.

Указанные выше матрицы А и В найти не так уж трудно. Покажем это на примерах.

Пусть

«1=3, А =

" 1 -1 -1" " 0 -1 -1"

-1 1 -1 , В = -1 0 -1

-1 -1 1 _ -1 -1 0 _

" 3 -1 -1" "2 1 1"

тогда А2 = -1 3 -1 , В2 = 1 2 1

-1 -1 3 _ _1 1 2_

X 2 - X 2 — 6Е6.

Матрицы А и В - циркулярные, то есть их строки получаются из первой строки сдвигом вправо или влево. При сдвиге влево получим

" 1 -1 -1" " 0 -1 -1"

А = -1 -1 1 , В = -1 -1 0

-1 1 -1_ -1 0 -1_

Матрицы А и В будем записывать, указывая только первую строку. Матрицы А формируются просто, а в отношении матриц В сделаем следующее замечание. В матрице В на первой позиции первой строки стоит 0, а на второй и последней позициях (кроме «1=3) находиться 1, а величины «—1» расположены с таким расчётом, чтобы из первой строки получить при сдвиге вправо симметрическую матрицу. Число элементов «—1» должно быть чётным и равняться целому чётному

числу

Например, при «1 = 5 чётное число

равно 2.

п

Вообще, при различных значениях п получим такие значения:

- 7 '

« = 7 « = 9

«1 = 11

«і = 13

и т.д.

2

9

2

11'

.2,

13

2

= 2 , = 4,

= 4,

= 6

Приведём примеры формирования матриц А и В.

г

г

г

г

щ = 5 Тт Тт сТ ==

щ = 7 А = [1, -1, -1, -1, -1, -1, -1] В = [0, 1, -1, 1, 1, -1, 1]

щ = 9 Ьэ ^ == 0, 1, тх ^ 1 1 1 1

щ = 11 7 7 7 7, ТЛ ЛТ 7 7, ТЛ ЛТ [1, [0, ==

щ = 13 Ьэ ^ == 0, 1, "И і і і і И ^ і і і

щ = 15 7 7 1-т 7 7 7 7, ті- 7 7 7 7, ТЛ Лт [1, [0, ==

и т.д.

Из леммы и теоремы 2 и вышеприведённых рассуждений следует Теорема 3. Справедливы равенства

Я^ЖЯ Т (N0 = (Х1Я1^Х2Я2) (Х1Я1+Х2Я2)1’=

2 0 0 2

=Ж„.

Алгоритмы формирования матриц А и В, а следовательно, и матриц Хь Х2, могут быть различными.

Пример.

"1 1" "-1 1"

X  + X, 1 =

1 -1_ _ 1 1_

1 -1 -1 1 0 0 " '0 0 0 0 -1 -1

-і -1 1 0 1 0 0 0 0 -1 -1 0

-і 1 -1 0 0 1 '1 1  0 0 0 -1 0 -1

+

1 0 0 -1 1 1 1 -1_ 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 -1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 -1 1 _ 1 0 1 0 0 0

-1 1' 1 1

Для получения матриц Уолша - Пэли и Уолша - Качмана можно использовать обобщенное кронекеровское произведение матриц:

И (N) = X  Н1 + X 2 Н2, (N) = X  И + X2  И2.

Представление матриц Адамара в факторизованном виде сокращает количество операций. Например, алгоритм быстрого преобразования Адамара для вычисления спектральных коэффициентов последовательности длиной N=12 требует всегда 72 операции (сложений и вычитаний) вместо 177 [7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Быков В.И., Литвин А.И., Иванов В.А., Росошек С.К. и др. Обобщенные кронекеровские произведения матриц и их применения // Электронное моделирование. 1991. Т. 13. № 5. С. 14 - 19.

2. Литвин А.И., Писаренко Н.А., Росошек С.К. Обобщенные кронекеровские произведения матриц и их применения// Исследованиея по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во ТГУ, 2001. Вып. 3. С. 240 - 251.

3. Литвин А.И., Симонженков С.Д. Ортогональные дискретные преобразования и их применение для решения научно-технических задач. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. 150 с.

4. Лабунец В.Г. Алгебраическая теория сигналов и систем. Красноярск: Изд-во КГУ, 1984. 244 с.

5. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 424 с.

6. Агаян С.С. Оптимальные алгоритмы быстрых ортогональных преобразований и их реализация на ЭВМ // Кибернетика и вычислительная техника. М.: Наука, 1986. С. 231 -319.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1967. 315 с.

Принята в печать 10.04.08.