Анализ стабилизации системы массового обслуживания с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока

Математическое моделирование

В.О. КАРЕТНИК

Анализ стабилизации системы массового обслуживания с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока

Рассматривается система массового обслуживания (СМО) с бесконечным накопителем, одним обслуживающим прибором, экспоненциальным обслуживанием. С применением метода производящих функций приводится доказательство существования и единственности стационарного режима, стабилизации нестационарного режима СМО.

Ключевые слова: система массового обслуживания, дваждыстохастиче-ский поток, скачкообразный процесс, анализ стабилизации.

Analysis of the stabilization system of mass service with infinite storage and hopping intensity of the input system. V.O. KARETNIK

Considers the system of mass service (SMO) with infinite intermittent process, one operating unit, and exponential service. Data is given from the application of the method of generating functions to prove the existence and the only fixed-raising mode, stabilizing the unsteady regime of SMO.

Key terms: system of mass service, double-stochastic flow, intermittent process, analysis of stabilization.

Системам массового обслуживания с дваждыстохастическим пуассоновским потоком заявок, интенсивность которого представляет собой марковский процесс с конечным или счетным множеством состояний, посвящено достаточно исследований [3, 16 и др.]. В ряде работ (например, [17]) рассматриваются СМО с входными, так называемыми МС-потоками, интенсивность которых представляет собой полумарковский процесс с дискретным пространством состояний. Исследуются и дваждыстохастические потоки, интенсивность которых является процессом с независимыми приращениями, или гауссовским процессом [11]. Указанные СМО с изменяющимися со временем параметрами входных потоков и обслуживания, в особенности со случайно изменяющимися параметрами, в литературе называют «СМО, функционирующие в случайной среде» [10]. Как правило, их изучение связано с изучением матричных инфинитезималь-ных операторов.

Меньше исследован вариант, когда интенсивность входного дваждыстохастического (ДС) пуассоновского потока (ПП) СМО представляет собой случайный процесс с непрерывным пространством состояний, а изучение СМО связано с изучением интегро-дифференци-альных операторов. Для СМО с входным ДС ПП с интенсивностью, которая представляет собой марковский чисто разрывный или - в другой терминологии - скачкообразный [1] случайный процесс, в работе [4] рассмотрены приближенные методы анализа характеристик числа заявок.

Для СМО с конечным накопителем в [5] предложен матричный метод анализа характеристик числа заявок в СМО с входным ДС ПП со скачкообразной интенсивностью. В данной работе для СМО с бесконечным накопителем, скачкообразной интенсивностью входного потока предлагается анализ распределения числа заявок с применением метода производящих функций. Следует отметить, что результаты, полученные в указанной работе, а также в [2, 5], согласуются с приведенным в [В] предсказанием эволюции исследования стохастических систем, при которой пространство состояний параметров систем расширяется от дискретного до непрерывного, вслед за изучением матричных инфинитезимальных операторов следует изучение ин-тегро-дифференциальных операторов. Рассмотренная модель СМО имеет практическое применение для некоторых частных случаев информационных сетей [4]. Авторами исследованы модели СМО для библиотечных серверов, серверов баз данных, Proxy- и Web-серверов в информационных сетях с количеством рабочих станций в сети более 600. С использованием статистических методов показано, что предложенная модель СМО адекватно отражает физические процессы в сети, классифицированы типы возможных входных потоков, законы распределения обслуживания; обслуживание в этих сетях распределено по экспоненциальному закону. Для серверов, имеющих среднюю интенсивность трафика, например библиотечных и серверов баз данных, наблюдался входной пуассоновский поток со скачкообразной интенсивностью.

Необходимо отметить, что в зависимости от того, какие процессы осуществляются на исследуемом узле сети, на каком сетевом уровне проводятся наблюдения, какие маршруты потоков информации изучаются, следует та или иная модель СМО. Соответственно, для различных задач, реализуемых в узле информационной сети, могут строиться различные модели СМО [6]. Так, в последнее время определенный интерес вызывают СМО с групповым марковским входным потоком BMAP (batch markovian arrival process) [15].

Конкретные виды эмпирических распределений и некоторые теоретические обобщения можно найти в работах [9, 12-14]. В общем случае распределение времени обслуживания заявки может не быть экспоненциальным, а входной поток заявок - не являться пуассонов-ским (например, во многих информационных сетях интенсивность

поступления заявок имеет явную периодичность), и, соответственно, для практического описания сетевого обмена с сервером используется модель G / G /1.

В настоящей работе рассматривается СМО типа M / M /1 с одним прибором, бесконечным накопителем, экспоненциальным обслуживанием с параметром ц. На вход СМО поступает ДС ПП, интенсивность которого Л(ґ) представляет собой скачкообразный процесс, изменяющийся на отрезке [а,Ь] с интервалами постоянства Т, распределенными по экспоненциальному закону с параметром а. Предполагаем, что выполняется условие отсутствия перегрузок

Ь < р,

откуда следует a < x < Ь < ц.

Интенсивность Л(ґ) имеет в точках разрыва t0 справа условную плотность распределения <р(x | у) = Р^ < Л(ґ0 + 0) < x +

+ dx | Л(ґ0 - 0) = у}/dx. В настоящей работе приводится анализ характеристик рассматриваемой СМО в случае, когда значения процесса Л(ґ) в точках разрыва ґ0 слева и справа независимы, т. е. выполняется <р(x | у) = <р(x) = P{x < Л(ґ0 + 0) < x + dX} / dx .

Обозначим: через f(t, x) = Р^ < Х(ґ) < x + dx}/dx нестационарную плотность Л(ґ), а через f (ґ^) = P{x < X < x + dx}/ dx - стационарную

плотность Л(ґ), где через Л обозначен процесс Л(ґ) в стационарном режиме; через у(0 - число заявок в СМО в момент ґ, через v - число заявок в стационарном режиме, а через Qk (ґ, x), k > 0, - совместное нестационарное распределение числа заявок v(t) и интенсивности Л(ґ) входного потока: Q к (ґ, x) = Р{у(ґ) = к, х< Х(ґ) < х + dx} /dx . Через qк (x), к > 0, обозначим совместное стационарное распределение числа заявок V и интенсивности Л входного потока в стационарном режиме: qk (x) = Р^ = к, х < X < х+ dx} /dx. Для краткости функции Qk (ґ, x) в дальнейшем будем называть нестационарными характеристиками числа заявок, а функции qк (x) - стационарными характеристиками числа заявок. Если в качестве начального распределения числа заявок в СМО в начальный момент времени ґ = 0 принять стационарное распределение, то будет выполняться Qk (ґ, x) = qk (x), к > 0. Если в качестве начального распределения числа заявок в СМО в начальный момент времени ґ = 0 принято нестационарное распределение, то в качестве qk (x) можно рассматривать пределы

qk

ґ

существование которых будет показано позднее.

Заметим, что интегралы ^к (x)dx = рк, к > 0, представляют собой стационарное распределение числа заявок, удовлетворяющее ус-

ловию нормировки 7 рк=1. Для краткости в дальнейшем совокуп-

к=0

ность уравнений относительно характеристик СМО будем называть моделью СМО. В работе рассматриваются нестационарные и стационарные модели СМО. Отметим различие в обозначении характеристик СМО: нестационарных - прямым шрифтом, стационарных - курсивом.

С применением динамики Колмогорова-Чепмена выводятся уравнения относительно нестационарных характеристик числа заявок СМО Qk (ґ, x), к > 0, которые вместе с начальными условиями и условием нормировки образуют следующую задачу Коши, называемую для краткости 1-й нестационарной моделью СМО:

1) система интегро-дифференциальных уравнений

Ь

—Q0

а

—Qk (Ь ^ = x Qk-l(t, х) - (x + М + а№к (ґ, x) +

Ь

+ р Qk+Дґ, x) + афХ) Д

а

2) начальные условия с начальными плотностями Qk (x):

Qk

3) условие нормировки:

Ь

а

к їв а

Введем производящую функцию Я

Я(ґ, x, г) = 77 Qk (ґ, x), г € С.

к ї

Обозначим Ь(x, г) = xz2 - (x + /и + а)г + /и. Из задачи Коши (3)-(6) следует задача Коши относительно производящей функции Я(ґ, x, г) с ин-тегро-дифференциальным уравнением

Ь

Ь

а

с заданными начальными условиями

Я

к ї

и условием нормировки

Я(ґ, x,1) = ^ґ, x).

Нестационарные вероятности числа заявок в СМО в момент време-

Ь

ни ґ > 0 равны Рк (ґ) = Дк (ґ, x)dx, к > 0. Обозначим области

Dtxz = {(t,x,z): t > 0,x G[a,b],|z| < 1,z GC}, Dz = {(t,z): t > 0,|z| < 1,z GC}. Заметим, что степенной ряд R(t, x, z) сходится, во всяком случае в области Dxz, т. к. |R(t, x, z)| < R(t, x,1) = f(t, x). Аналогично показывает-

b

ся, что степенной ряд jL(t, y, z)dy сходится в области Dz. В дальней-

a

шем области сходимости производящих функций, как степенных рядов, будут уточнены.

Следует отметить, что задача Коши решения системы уравнений (3)-(5) с учетом условия нормировки (6) является неоднородной, хотя сама система уравнений (3)-(5) однородная. Для удобства решения такой неоднородной задачи перейдем к неоднородной системе уравнений с использованием следующей замены:

г

k 5n k50

Суммируя уравнения системы (3)-(4) с учетом условия нормировки (6), получим нестационарное уравнение Колмогорова-Феллера относительно нестационарной плотности f(t, x) [12,13]:

b

- a f(t, x) + аф(x) J(t, y)dy = —f(t, x),

a

из которого вытекает, что нестационарная плотность имеет вид

f(t,x) = Ф) + [f(0,x) - (f{x)]e at,

откуда следует стационарная плотность f (x) щр(x).

Суммируя уравнения системы (4) по k > n, n > 1, получим неоднородную систему уравнений относительно rn (t, x), n > 1:

n

b

xf

а

хгп-1 ^, х) - (х + Ж + а)гп (г, х) + ЖП+1И, х) +

ь д

+ аср

а

Для удобства проведем переобозначение:

О^, х) = гп

С учетом замены (12) из системы (10), (11) следует система

ь д

xf

а

хО п-1 (г, х) - (х + ж + а)О п (г, х) + Ж п+1 (г, х) +

ь д

+ а<р

Бесконечную неоднородную систему разностно-интегральных уравнений (13), (14) будем называть 2-й нестационарной моделью СМО. Заметим, что хотя для системы уравнений (13), (14) отдельно не рассматривается условие нормировки (6), но оно все же выполняется в силу (9). Для решения системы (13), (14) введем производящие функции Р(,, х, 2) и 0(,, 2):

Б(,, х, 2) = & Ок (і, х), 0(,, 2) = & Ок (,),

к 5 к 5

Ь

о, (о= Д (і, у)су, 2| < 1, 2 ее.

а

Области сходимости степенных рядов Р(,, х, 2) и 0(,, г) обозначим соответственно Ви2, 02. Заметим, что

Ь

0(,, х)= /(,, у, 2>яу .

а

Из определения производящей функции Б

Ь

Ь

а

Введем оператор К сдвига коэффициентов степенного ряда:

Щ,,х, 2) = Г('-х-2) ~ °°('•х) =22"0,х) ,

2 п>0

а также оператор интегрирования Ф::

Ь

Ф Б(,, х, 2) = ф(х) /(,, х, 2)Ду ,

а

одинаково действующие на нестационарные и стационарные абсолютно сходящиеся степенные ряды; через I обозначим единичный оператор.

С учетом введенных обозначений интегральное уравнение (15) примет вид

[(х2 - (х + /л + а))1 + /лК + аФ]Б(,, х, 2) = Б'(,, х, 2) - хГ(,, х). (16) Обозначим преобразования Лапласа функций Г и Б:

ад ад

Г*(5, х) = | е^Г (,, х)&, Б*(^, х, 2) = | в~Б(,, х, 2)Л , Яе 5 > 0.

0- 0-

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (16), получим уравнение относительно преобразования Лапласа производящей функции

[(х2 - (х + л + а))І + лК + аФ - 5І]Б* (,,х, 2) = -хГ (5, х) - Б(0, х, 2). (17) Введем операторы

А* = -----

х + л +а - х2

и через Т“1 обратный к Т5 оператор. С учетом данных обозначений из (17) следует уравнение относительно Б*(5, х, 2):

Т,р*

х + л + а — хх х+ л +а — х/

Обозначим область Ох2 = {(х, 2) : х Є [а, Ь], 2 < 1,2 Є С}, через Ь обозначим пространство степенных рядов

И(х, 2) = (х)2П ,

п

п 50

сходящихся равномерно по х, 2 в области Вх2, суммируемых по Лебегу на интервале [а, Ь], имеющих неотрицательные коэффициенты

кп (х), интегралы от которых по х € [а,Ь] строго больше нуля:

ь

/п (x)dx > 0 , п > 0.

а

Относительно стационарной производящей функции Р

Р(x, 2) = Yzkgk (х) , gn (х) = £ Чк (Х) , П > 0

к5° к >п+1

из нестационарного уравнения (16) вытекает стационарное уравнение [(х2 - (х + /и + а))1 + /иК + аФ]Р (х, 2) = - хf (х), из которого выражается стационарная производящая функция

Р

х + и + а - хх

В силу позднее доказанных свойств Т0 и Т-1 существует, ограничен и представляется в виде [7]

Р

п >0

где

А0 =-------1------(иК + аФ).

х + /и + а- х2

Заметим, что степенной ряд

Л( х, 2) = хв[М_= -Ш- Ърп,п ,

х + и + _ 1 - Р х + и + _ п>0

Р = Р( х) = х

х + и + а

принадлежит пространству Ь. Имеем к € Ь А0к € Ь, т. к. У к е Ь ^ (х + и +а - хг)-1 к, Кк, Фк е Ь. Следовательно, степенные ряды А^0(х,2), Уп > 0 принадлежат пространству Ь.

Для исследования сходимости ряда (21) введем норму в пространстве L, позволяющую оценить слагаемые в (21) для значений параметров x, z є Dxz:

11 iil b - a z\z\<і\г>0 1 a /

По норме (22) L является банаховым пространством. Символом O(L) будем обозначать пространство линейных ограниченных в L операторов, отображающих пространство L само в себя. По операторной норме

Мlo(L) = suP = suP IN1L

оно является банаховым пространством.

Л е м м а 1. Из формулировки линейных операторов Ф,К,А0, определенных на элементах пространства L, следуют условия на норму данных операторов в пространстве O(L) при указанных ограничениях на параметр z:

1) норма оператора Ф равна единице:

IMo(L)=1. z. N < “; <2З>

2) норма оператора К ограничена:

ML) < 1 ’ z є {z : N > 0},

3) при условии отсутствия перегрузок в СМО (1) существует такое є0 = є0(и,b,a,a) > 0, что норма оператора А0 ограничена:

IIа oI ln

Доказательство.

b

1. Норма оператора интегрирования ФИ(x, z) = tp(x) Jh(y, z)dy,

a

h є L, равна:

b b b ііФйіі E J (p(- x)dxJ h«(y)dy E J hn(y)dy

ІІ/1ЧІІ Т n>0 a a n>0 a 1

Hlo(L) = suP ы\ = suP —a—b—a--------------------------= suP —b---------=1.

hH NL * 0 INIl 4 hlL *0 E\hn (x)dx fc" h|L * 0 E\K (x)dx

n>0 a n>0 a

2. Для нормы оператора сдвига коэффициентов степенного ряда KE hn(x) zn = E hn+i ( x) z n , определенного на элементах пространства L,

n x ) n

n>0 n>0

выполняется оценка:

Ko(L) = su^^^ = sup

Kni i Ed»lzr i

I IIl _ n>0 _ 1 n>1 ^ 1

o(L) hlN\\L*0 \\h\\L hih!L*0 E dn|z|n N d0 іЕ dn |z|n Iz|

<

n>0 n>1

ь

йп =|кп (х)йх > 0, п > 0.

3. Обозначим:

д = Ы, р = р(х) = х/(х + и + а), вх(д) = 1п

и + а + (1 - д )Ь

в(д) =

/и + ад

д

•^1(д);

г(д) = -

и+ ад

д

• ^1(д) +

а

д

и + а + (1 - д) а

• ^(д).

Из (23), (24) для нормы оператора А0 = (х + /и + а - хы) 1 • (и+аФ), определенного на элементах пространства Ь, получим оценку:

Ао

ПП

1

х + и + а - хы 1

-

П

1

-I

х + и + а - хы

=

-<ик1

ІП(Ь) II 1ю(Ь)/

х + и + а - хы 1

-IМС + а)|0,„ <

П

х + и + а - х^

1

ІРП

х + и + а“ /ид-1 + а

и і

Ь--------------1------------------1

•> V -І- Н 4- ҐУ

Ь Ь - а ох +и + ап>0 1

рп\ыТйх =

Ь - а ох + и + а- хд

йх = 0(д).

Заметим, что в области д є (0,ц/Ь + а/Ь + 1)^ (и/а + а/а +1,да) модуль под знаком логарифма можно опустить для упрощения дальнейших вычислений. С применением правила Лопиталя вычисляются следующие пределы: 1іт в(д) = 1, а также

д —1±0

1іт в'(д) = 1іт

д —1± 0 д —1± 0

/и + ад 91

= 1іт

д—>1±0

д

2

+ г

(1 - д)2

=

+ у

< 0,

д

где последнее неравенство выполняется в силу условия отсутствия перегрузок в СМО (1). Из условий в(1 ± 0) = 1 и в (1 + 0) < 0 вытекает существование такого е0(р,Ь,а,а)>0, что д Є(1,1 + е0) выполняется

Лемма доказана.

Нестационарной системе уравнений (13), (14) соответствует стационарная бесконечная система разностно-интегральных уравнений относительно стационарных характеристик числа заявок gk (х), к > 0, которую для краткости будем называть 2-й стационарной моделью СМО:

Ь

Ь

ь

х/

а

ь

xg„-1

а

Заметим, что хотя для системы уравнений (26), (27) отдельно не рассматривается условие нормировки, но оно выполняется в силу (9). Для решения системы (26), (27) будем использовать производящие функции Р (х, z) и g (г):

Р(х г) = Е zngn(g(г) = Е ^, ёп = { gn(у№.

Области сходимости степенных рядов Р (х, г) и g (г) обозначены соответственно , В,. Заметим, что

g (,) = | р (у, ,)йу.

Из системы интегральных уравнений

ь

Ь

а

Т е о р е м а 1. Для значений а> 0 при условии отсутствия перегрузок в СМО (1) имеют место утверждения:

1) существует и единственна нестационарная производящая функция Б(^, х, г), непрерывная по (г, х, г) ^Вш:

“ ь ~

Б(0, х, г) +1 еи'т° х£(и, х)йи

¥(г, х, г) = е-'т°

2) существует, единственна и ограничена по норме простран-

ства Ь стационарная производящая функция Р(х, г) е Ь, непрерывная по (х, г) е ;

3) имеет место равномерная по (х, г) е ВХ2 сходимость

НтБ

г

причем предел в (30) существует, единственен, ограничен по норме пространства Ь и не зависит от начальных условий (5).

Доказательство.

1. Нестационарное решение (29) для Р(г, х, г) следует из уравнения (16). Единственность решения (29) вытекает из теории дифференциальных уравнений. Непрерывность функции Б(г, х, г) по (г,х,г) ^Ви2 следует из непрерывности по (х,г) ^Вх2 функций Б(0,х,г), /(г,х), оператора Т0 и экспоненциального оператора.

2. Значению а > 0 соответствует классическая СМО с постоянной интенсивностью входного потока равной х £[а,Ь]. Из (28) вытекает

№0

Г(X, 2) =

Так как Г(х, г) по определению является целой функцией, то, следовательно, при г = 1 корень знаменателя компенсируется корнем числителя. Отсюда

&о( х) = р/ (х), Р = —, И

причем из условия отсутствия перегрузок вытекает условие на коэффициент загрузки СМО:

р = - <1. И

Из (31), (32) следует

п+1

/(х)2п

1 - Р2 п>0

откуда gn(х) = рп+1 /(х). Из условия (33) вытекает равномерная по х £[а,Ь] сходимость ряда Г(х,г) в (34).

При а> 0 рассмотрим формальное представление (21) для производящей функции Г(х, г). Так как при условии (1) отсутствия перегрузок в СМО в (21) оператор А0 воздействует на элементы пространства Ь, то из леммы 1 вытекает оценка (25) нормы оператора А0. Следовательно, ряд в (21) сходится равномерно по х £[а,Ь],

12 ^(1,1 + £а), что обусловливает его равномерную сходимость по (х, г) ^Ох2 и ограниченность по норме пространства Ь. Таким образом, производящая функция Г (х, г) существует, единственна, ограничена и принадлежит пространству Ь. Непрерывность функции Г (х, г) по (х, г) £Охг следует из непрерывности по (х, г) £Охг функции /0 (х, г) и оператора А0.

3. Из (19) имеем

Нш Б(?, х, г) = Нш (5, х, г) = Нш Т5"

х5 f * (5, х) х + и + а — хг

+ Нш 5Т_;

5^0 5

Б

х + и + а — хг

= Т"

-*-а

х + и + а — хг

• НшД?, х)

= Т"

•1л

х/

х + и + а — хг

= Г

где последнее равенство следует из (20). Из (35), а также из второго утверждения теоремы вытекает третье утверждение.

Теорема доказана.

Отметим, что первое утверждение теоремы дает нестационарное решение, второе утверждение означает существование и единствен-

х

ность стационарного режима, а третье утверждение означает, что в СМО при условии отсутствия перегрузок в СМО (1) происходит стабилизация нестационарного режима. Из теоремы вытекает равномерная по х, г сходимость в (2), т. к.

11т д к 0, х) = Нт^ (А х) — О к+1 (А х)] = gk (х) — gk+1(х) = як (х), к > 0.

Литература

1. Гихман И.И. Теория случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход. - М.: Наука, 1973.

2. Головко Н.И. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях / Н.И. Головко, В.О. Каретник, В.Е. Танин, И.И. Сафонюк // Сиб. журн. индустриальн. математики. 2008. Т. 11, № 2(34). С. 50-64.

3. Головко Н.И. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока / Н.И. Головко, Н.А. Филинова // Автоматика и телемеханика. 2000. № 9. С. 73-83.

4. Головко Н.И. Системы массового обслуживания со случайно изменяющейся интенсивностью входящего потока / Н.И. Головко, И.А. Коротаев // Автоматика и телемеханика. 1990. № 7. С. 80-85.

5. Горцев А.М. Управление и адаптация в системах массового обслуживания / А.М. Горцев, А.А. Назаров, А.Ф. Терпугов. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1978.

6. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями / Л. Клейн-рок. - М.: Мир, 1979. - 600 с.

7. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1976. - 544 с.

8. Королюк В.С. Стохастические модели систем / В.С. Королюк. -Киев: Наук. думка, 1989. - 208 с.

9. Миллер Б.М. Оптимизация потока передачи данных в TCP/IP методами теории стохастического управления / Б. М. Миллер, К.В. Степанян // Информационные процессы. 2004. Т. 4, № 2.

С.133-140.

10. Таташев А.Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока / А.Г. Таташев // Автоматика и телемеханика. 1995. № 12. С. 78-84.

11. Alvarer-Andrade S. On the increments of doubly stohastic Poisson processes / S. Alvarer-Andrade // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1992. Vol. 92, N 5. P. 609-614.

12. Altman E. Congestion control as a stochastic control problem with action delays / E. Altman, T. Basar, R. Srikant // Automatica. 1999. Vol. 35, N 12. P. 1937-1950.

13. Floyd S. Random early detection gateways for congestion avoidance / S. Floyd, V. Jacobson // IEEE ACM Trans. Networking. 1993. Vol. 1, August. P. 397-413.

14. Hollot C.V. Analysis and design of controllers for AQM routers supporting TCP flows / C.V. Hollot, V. Misra, D. Towsley, W. Gong // IEEE Trans. Automat. Control. 2002. Vol. 47, N 6. P. 945-959.

15. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process / D.M. Lucantoni // Communications in Statistics: Stochastic Models, Marcel Dekker Inc. 1991. Vol. 7, N 1. P. 1-46.

16. Prabhu N.U. Markov-modulated queueing systems / N.U. Prabhu, Yixin Zhu // Queueing systems. 1989. N 5. P. 215-246.

17. Stamoulis G.D. On the setting time of the congested $GI/G/1$ queue / G.D. Stamoulis, J.N. Tsitsiklis // Adv. Appl. Probab. 1990. Vol. 22, N 4. P. 929-956.

© KapeTHHK B.O., 2009 r.