Моделирование процесса осаждения и исследование морфологии тонких плёнок

Моделирование процесса осаждения и исследование морфологии тонких плёнок

Васильев В.А., Чернов П.С.

Пензенский государственный университет

При современном уровне производства нано- и микросистемной техники поверхностные эффекты оказывают значительное влияние на характеристики устройств. В связи с этим большой интерес вызывает проблема получения поверхностей тонких плёнок с заданными характеристиками и связанная с ней задача изучения процесса роста поверхности. Благодаря развитию методов сканирующей зондовой и электронной микроскопии, рост поверхностей тонких плёнок интенсивно изучается экспериментально. Математическое моделирование предоставляет альтернативу экспериментальным методам изучения и имеет ряд преимуществ, как с теоретической, так и с экономической точек зрения.

Большое количество подходов, моделей и аппроксимаций посвящено проблеме моделирования роста поверхности тонких плёнок [1 - 4]. Теоретически процесс роста поверхности главным образом изучается тремя путями: аналитическим решением дифференциальных уравнений, описывающих процесс роста, численным решением этих уравнений и компьютерным моделированием дискретных моделей.

Одними из первых моделей, получивших широкое распространение, являются модели роста поверхности, основанные на стохастических дифференциальных уравнениях.

В моделях данного типа дифференциальное уравнение описывает динамику роста поверхности в терминах скалярной непрерывной функции h(x, t) -толщины плёнки. Так модель Эдвардса-Вилкинсона описывается следующим дифференциальным уравнением [5]:

= V0 + ц

at

где h(x, t) - толщина пленки в точке x в момент времени t; v0 - скорость осаждения; ц(х, t) - шум с нормальным распределением.

Шум имитирует поступление частиц к поверхности плёнки. Слагаемое vV2h(x, t) отражает процесс сглаживания поверхности и играет роль поверхностного натяжения.

Уравнение (1) является простейшим линейным дифференциальным уравнением, описывающим процесс роста поверхности. Впоследствии Кар-дар, Паризи и Занг предложили нелинейное уравнение для описания процесса роста поверхности [6]:

ah

at 2

Наличие нелинейного слагаемого в уравнении (2) приводит к отклонению от гауссова распределения толщин тонких плёнок, характерного для мо-

дели Эдвардса-Вилкинсона, и к получаемым в результате моделирования поверхностям, более соответствующим экспериментальным данным.

В связи со сложностью решения стохастических дифференциальных уравнений, при исследовании роста поверхности получили распространение модели, представляющие собой клеточный автомат [7 - 9]. Большинство таких моделей включают в себя простые детерминированные правила осаждения и диффузии осаждённых частиц по поверхности. Наиболее изученной моделью этого класса является модель случайного осаждения.

Случайное осаждение представляет собой простейшую модель роста поверхности. В рамках этой модели осаждаемые частицы попадают в случайно выбранные точки поверхности, закрепляются там и не имеют возможности диффундировать в соседние точки. Частица, попавшая в определенную точку поверхности, увеличивает её толщину на одну относительную единицу. Математически эта модель сходна с моделью броуновского движения частиц и интенсивно изучается аналитическими и численными методами.

Недостатками моделей, основанных на стохастических дифференциальных уравнениях, является сложность их анализа, связанная со сложностью решения уравнений, и невозможность исследования влияния температуры подложки, оказывающей значительное влияние на морфологию растущей поверхности. В отличие от моделей, представляющих собой детерминированный клеточный автомат, предлагается модель, представляющая собой стохастический (вероятностный) клеточный автомат. В отличие от детерминированных клеточных автоматов, состояние которых в следующий момент времени однозначно определяется состоянием в предыдущий момент времени, состояние стохастического клеточного автомата определяется на основе определенным образом вычисляемых вероятностей. Предлагаемая модель заключается в следующем:

- поверхность тонкой плёнки в модели представляет собой прямоугольную сетку из L2 точек, где L - линейный размер поверхности;

- на границы сетки накладываются периодические граничные условия;

- новые частицы считаются идентичными и места их осаждения выбираются случайно, а скорость осаждения частиц F определяется количеством частиц попавших на поверхность за один шаг моделирования (шаг Монте-Карло) и измеряется в единицах [монослой / шаг Монте-Карло (MC/МК)].

- для каждой из точек поверхности [/, j], в которую попадает новая частица и её ближайших соседних точек [/±1, j±1] вычисляются вероятности Pj диффузии частицы;

- для каждой из вновь попавших на поверхность частиц генерируется случайное число и осуществляется диффузия частицы в соответствии c вычисленными вероятностями Pij.

- после осуществления диффузии попавших на поверхность частиц происходит переход к следующему шагу Монте-Карло (осаждение новых частиц и повторение описанных действий).

Вероятность pij диффузии частицы в соседнюю точку [/, j] определяется по формуле:

Pij = pexp

aGj (t) kT

где Ty(t) - коэффициенты, зависящие от толщины поверхности h в точке [i, j] и ближайших к ней точек; р - нормирующий коэффициент, обеспечивающий равенство единице суммы вероятностей; а - коэффициент, зависящий от осаждаемого материала; k - постоянная Больцмана; Т - температура.

Коэффициенты rij(t) включают в себя два члена:

G (t)-G +G2

Первое слагаемое определяется по формуле:

G - hi+i,j + hi-\j + hi,j+i + hij-i - 4hij

Оно соответствует конечноразностному выражению, аппроксимирующему лапласиан V2 h. Его физическим смыслом является сила поверхностного натяжения, обеспечивающая сглаживание поверхности. Второе слагаемое является конечно-разностной аппроксимацией квадрата градиента X /2(Vh)2:

-Mhi.,, - k-i, j)2 + (hu+i - h,,i)2 ]

где X - коэффициент, зависящий от осаждаемого материала.

Это слагаемое вносит нелинейность в модель, степень которой характеризуется коэффициентом X.

Предложенная модель роста поверхности представляет собой стохастический клеточный автомат, поскольку правила перехода в следующее состояние не детерминированы, а имеют вероятностный характер. Морфология поверхности в следующий момент времени зависит от её состояния в данный момент времени, а также выбираемых случайным образом мест осаждения новых частиц и вычисленных вероятностей диффузии частиц.

Рисунок 1 - Контурный график поверхности, полученной моделированием.

L = 150; F = 0,1 МС/МК.

На рисунке 1 показан контурный график поверхности тонкой плёнки, полученной в результате численного моделирования процесса роста согласно

описанной модели.

Основным количественным параметром морфологии плёнок, характеризующим неоднородность поверхности, является шероховатость W, определяемая как отклонение толщины пленки h от своего среднего значения h [10].

W =

L

11

где L - линейный размер; d - размерность моделируемой поверхности; ht -толщина пленки в ,-й точке; h - пространственная средняя толщина поверхности, определяемая по формуле:

h = -1 I h, Ld ^ '

Зависимость шероховатости поверхности, полученной численным моделированием процесса роста согласно предложенной модели и модели случайного осаждения, от времени осаждения представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Зависимость шероховатости поверхности от времени осаждения.

L = 50, F = 0,1 МС/МК.

Известно, что шероховатость поверхностей, получаемых в рамках модели случайного осаждения, пропорциональна квадратному корню от времени осаждения [10]. В логарифмическом масштабе эта зависимость представляет собой прямую линию (пунктирная линия на рисунке 2). Шероховатость поверхностей, получаемых согласно предложенной модели, в отличие от модели случайного осаждения, не растет безгранично, а стремится к определенному значению - шероховатости насыщения. Это происходит благодаря учитываемой моделью поверхностной диффузии осаждённых на поверхность частиц.

Для анализа поверхностей, получаемых при моделировании процесса роста, целесообразно использовать аппарат Фурье-анализа. При анализе дискретных моделей удобно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье. Преобразование Фурье поверхности можно представить в виде амплитудно-частотной характеристики, усредненной по всем направлениям. На

рисунке 3 представлено усреднённое по направлениям Фурье-

преобразование поверхности, полученной численным моделированием согласно предложенной модели. Прямая линия представляет собой линейную аппроксимацию данных по методу наименьшего квадратичного отклонения.

Рисунок 3 - Усреднённое по направлением Фурье-преобразование поверхности, полученной численным моделированием.

Поверхность тонкой плёнки представляет собой пример случайного фрактала, поэтому важной её характеристикой является фрактальная размерность. Наклон прямой, аппроксимирующей усреднённое по направлениям Фурье-преобразование поверхности в логарифмическом масштабе, связано с фрактальной размерностью d структуры формулой [11]:

d = 2-5

где s - наклон прямой среднеквадратичного отклонения.

В технологическом процессе напыления тонких плёнок основными контролируемыми параметрами при заданном составе осаждаемого материала и методе напыления являются температура подложки, время и скорость осаждения. Изменяя эти параметры можно получить большое разнообразие морфологий поверхности, от гладких поверхностей, получаемых при послойном росте, до возникновения сложных фрактальных структур. Исследование зависимостей параметров, характеризующих морфологию поверхности от температуры подложки, скорости и времени осаждения открывает возможность получения поверхностей тонких плёнок с заданной морфологией.

На рисунке 4 представлены зависимости шероховатости поверхности от времени осаждения, полученные численным моделированием при различных относительных температурах T. Из рисунка видно увеличение шероховатости поверхности при увеличении температуры подложки. Это можно объяснить уменьшением влияния силы поверхностного натяжения, имеющей тенденцию к сглаживанию поверхности, из-за увеличивающихся температурных флуктуаций.

Рисунок 4 - Зависимость шероховатости поверхности от количества шагов МК для различных относительных температур.

При увеличении температуры T показатель экспоненты (формула 3) стремится к нулю, значение экспоненты к единице, а сами вероятности оказываются равными друг другу. При больших температурах T поступающие на поверхность частицы диффундируют равновероятно по всем направлениям, что с учетом случайного выбора мест осаждения частиц эквивалентно отсутствию диффузии. Таким образом, при T предлагаемая модель сводится к известной модели случайного осаждения со степенной зависимостью шероховатости поверхности от времени осаждения.

В рамках предложенной модели исследовалось влияние скорости осаждения на шероховатость поверхности. На рисунке 5 приведены зависимости

Рисунок 5 -Зависимость шероховатости поверхности от толщины при различных скоростях осаждения F [МС/МК].

шероховатости поверхности от толщины пленки при различных скоростях осаждения F. Установлено, что увеличение скорости осаждения имеет тенденцию к уменьшению шероховатости.

На рисунке 6 показана зависимость средней фрактальной размерности d поверхности тонкой плёнки от температуры подложки, полученная с помощью аппарата Фурье-анализа и формулы (9). По мере увеличения температуры, наклон прямой, аппроксимирующей усреднённое по направлениям Фурье-преобразование поверхности, стремится к нулю, а фрактальная размерность приближается к двум.

Этот результат согласуется с известным фактом равенства двум фрак-

Рисунок 6 - Зависимость фрактальной размерности поверхности плёнки

от

температуры подложки T [отн.ед.].

тальной размерности поверхности тонкой плёнки, полученной моделированием процесса случайного осаждения.

Для сопоставления теоретических результатов, полученных с помощью изложенной модели, и экспериментальных данных проведено исследование методами атомно-силовой микроскопии образцов тонких плёнок никеля и хрома, осажденных на ситалл методом магнетронного напыления. На рисунке 7 а представлено изображение тонкой плёнки никеля, полученной с помощью атомно-силового микроскопа. На рисунке 7 б представлена поверхность, полученная численным моделированием согласно предложенной модели.

а)

б)

Рисунок 7 - а) Атомно-силовое изображение поверхности никеля; б) поверхность, полученная численным моделированием.

Одной из основных морфологических характеристик, предоставляющих важную информацию о распределении толщин тонкой плёнки, является гистограмма. Она является хорошим индикатором гладкости поверхности. Так гладкие поверхности характеризуются высокими и узкими пиками на гистограмме. На рисунке 8 а представлена гистограмма толщин участка поверхности образца хрома, полученная с помощью численной обработки данных атомно-силовой микроскопии. На рисунке 8 б показана гистограмма распределения толщин поверхности хрома, полученной численным моделированием согласно предложенной модели.

толщина, нм толщина, нм

а)

б)

Рисунок 8 - а) гистограмма толщин поверхности образца пленки хрома; б) гистограмма толщин поверхности хрома, полученной численным моделированием.

На рисунке 9 а представлены экспериментальные данные шероховатости поверхности образцов хрома, полученных при различных скоростях осаждения (токах разряда магнетрона), и их линейная аппроксимация по методу наименьшего квадратичного отклонения. На рисунке 9 б представлена зависимость шероховатости поверхности хрома от скорости осаждения, полученная в результате численного моделирования процесса роста поверхности согласно предложенной модели.

а)

б)

Рисунок 9 - а) шероховатость поверхности хрома при различных скоростях осаждения; б) шероховатость поверхности хрома, как функция скорости осаждения.

Из рисунков видно хорошее соответствие результатов моделирования с экспериментальными данными.

Таким образом, разработанная модель роста поверхности тонких плёнок, основанная на теории клеточных автоматов, учитывает поверхностную диффузию осаждённых частиц и позволяет исследовать влияние температуры подложки, скорости и времени осаждения. Анализ изображений поверхностей полученных численным моделированием и атомно-силовой микроскопией показал достаточно хорошее их сходство. Данная модель может быть использована для моделирования процесса осаждения и исследования влияния физических параметров осаждения на морфологию поверхности тонких плёнок.

Литература

1. Venables, J. Introduction to Surface and Thin Film Processes. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 372 p.

2. Oura, K., Lifshits V.G., Saranin A.A., Zotov A.V., Katayama M. Surface Science: An Introduction. - Springer, 2010. - 440 p.

3. Hans B., Krause D. Thin Films on Glass (2nd Edition). - Springer, 2010. - 432

p.

4. Mahan J. E. Physical Vapor Deposition of Thin Films. - Wiley-Interscience.

2000. - 336 p.

5. Wilkinson S. F., Edwards D. R. //Proc. R. Soc., 17, 1982. - P. 17-31.

6. KardarM., Parisi G., Zhang Y.-C. // Phys. Rev. Lett., 56, 1986. - P. 889.

7. Vicsek M., Vicsek T. Fractal Growth Models // ERCIM News No.29 - April 1997, P. 36.

8. Mattos T.G., Moreira J.G., Atman A.P.F. A discrete method to study stochastic growth equations: a cellular automata perspective // J. Phys. A: Math. Theor., vol.40, 13245, 2007.

9. Bhattacharyya P. Growth of Surfaces Generated by Probabilistic Cellular Automation // International Journal of Modern Physics C, №1 1999, P. 165181.

10. Barabasi A. L., Stanley H.E. Fractal concepts in surface growth. - Cambrige University Press, 1995. - 388 р.

11. Russ J. C. The Image Processing Handbook (6 edition). - CRC Press, 2011. -885 p.