Обратная задача с интегральным условием переопределения для волнового уравнения

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ1

© 2008 Н.В. Бейлина2

В работе рассматривается обратная задача для волнового уравнения с неизвестной функцией, входящей в граничное условие. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи. Для доказательства существования обобщенного решения была построена, с помощью метода Галеркина, последовательность приближенных решений, а затем, с помощью полученной априорной оценки, доказана сильная сходимость построенной последовательности к искомому решению. Доказательство единственности обобщенного решения базируется на полученной априорной оценке.

Ключевые слова: интегральное условие переопределения, нелокальная задача, обратная задача.

Введение

К настоящему времени появилось значительное количество работ, посвященных исследованию обратных задач с интегральным условием переопределения. В большинстве работ, посвященных исследованиям в этой области, изучались обратные задачи для уравнений параболического типа. Среди них работы таких авторов, как Кэннона [1, 2], А.И.Прилепко и А.Б. Костина [11, 12], А.И.Прилепко и Д.С. Ткаченко [13, 14], А.И. Кожанова [8], В.Л. Камынина [6, 7], Н.И. Иванчова [4, 5]. В предлагаемой работе рассмотрена обратная задача с интегральным условием переопределения для гиперболического уравнения.

1. Постановка задачи

Пусть П е Яп — ограниченная область с гладкой границей дП е С2. Рассмотрим в цилиндре Q = П X (0, Т), Т < то, с боковой поверхностью S =

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Л.С.Пулькиной.

2Бейлина Наталья Викторовна (natalie@samdiff.ru), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

= дПX(0, Т) следующую обратную задачу: найти пару функций (и(х, г), р(г)), удовлетворяющих уравнению

игг

начальным условиям

и

граничному условию

ди

= р

ди дп

и интегральному условию переопределения

^ К

П

Функции ф(х), у(х), К(х) заданы в П, Н(х, г), с(х, г) — в Q, Е(г) задана на [0, Т].

2. Разрешимость поставленной задачи

Теорема: Если К(х) е С2(П), Е(г) е С3[0, Т], с(х, г) е С1(()),

1 - дК

дп

дП_

= 0, /(х, і) є Ьг(О), /(х, і) є ЬгШ), ф(х) є ^(П), ¥(х) є Ь^П), „(х, і) є С\0),

/„с., т-^їО, то суцествует ед„™„ое обобщенное РЄН.ЄННЄ нз про-

дП

странства задачи (1.1)—(1-4).

Прежде всего уточним, что понимается под обобщенным решением задачи (1.1)—(1-4). Заметим, что условие (1-4) эквивалентно следующему усло-

вию:

р(і) =

і)К (x)ds

V дП

1‘

-1

Е"(і) - J АК(х)и(х, і)dx +

П

+ /К( х)с(х,і)и(х, ^х-/К (х) /(х, ^

ПП

Действительно, дифференцируя (1-4) дважды по г и учитывая, что и(х, г) удовлетворяет (1-1), получим (2.1). Обратное показывается прямым вычислением-

Обозначим

]&2 = Мх, г) : у(х, г) е W},(Q), у(х, Т) = 0}.

Умножим уравнение (1-1) на функцию у(х, г) е W},(Q) и проинтегрируем по

цилиндру Q. После интегрирования по частям получим т

Я [Уи

—Я / (х, г)у(х, г)йхйг + Я р(г)Н(х, г)у(х, г)д,8& + ^ у(х)у(х, 0)йх.

о п о дП п

Определение: Пару функций (и(х, г), р(г)) будем называть обобщенным решением задачи (1.1)—(1.4), если и(х, г) е W1(Q), и(х, 0) - ф(х), р(г) е W},(0, Т), р(0) — 0 и (и(х, г), р(г)) удовлетворяет (2.1) (в смысле равенства функций в Ь2) и тождеству (2.2) для любой функции у(х, г) е W},(Q).

Доказательство: Доказательство сформулированной теоремы разобьем на несколько этапов.

1) Построим последовательность приближенных решений;

2) Покажем, что последовательность имеет предел;

3) Покажем, что найденный предел и есть искомое обобщенное решение.

Не ограничивая общности будем считать, что ф(х) — 0. Это предположение избавит от излишней громоздкости вычислений.

Будем искать приближенное решение (ит(х, г), рт(г)) из следующих соотношений

Т

^ ^ [Уит (х, г)Чу(х, г) - ит(х, г)уг (х, г) + с(х, г)ит(х, г)у(х, г)\ йхйг —

0п

Т т

я / (х, г)у(х, г)йхйг + Я рт (г)Н( х, г)у( х, г)й&йг + ^ >

, г)у(х, ()йхйг + J J рт(г)Н(х, г)у(х, 1)й5йг + / у(х)у(х, 0^х.

0 п 0 дп п

ит

рт(г) —

г)К( x)ds

дп

-1

/

Е”(г) - J ДК(х)ит-1(х, г^х+ п

+ ^ К(х)с(х, г)ит 1(х, г^х — J К(х)/(х, г^х пп рт (0) — 0.

Прежде всего заметим, что для каждого т существует единственная функция ит(х, г), удовлетворяющая тождеству (2.3) и условию (2.4), если рт(г) известно.

,.т-1/

Г

Действительно, тождество (2.3) и равенство (2.4) определяют обобщенное решение из W^(Q) второй начально-краевой задачи с неоднородными условиями:

ит

ит

дыт

дп

= Н( х, г), Н( х, г) = рт(г)к( х, г).

Доказательство разрешимости этой задачи было проведено стандартным методом. Для доказательства единственности обобщенного решения из W2(Q) в тождестве (2.3) с /(х, г) = 0, Н(х, г) = 0, у(х) = 0 полагается

у(х, г) =

Т

/

0,

йт(х, п)іїп 0 ^ г < т,

что позволяет получить неравенство

/

п

(йт(х, т))2 йх ^ 0,

из которого и вытекает единственность решения.

Для доказательства существования обобщенного решения поставленной задачи применим метод Галеркина. Пусть {^к(х)} —фундаментальная система в W2L(п), причем ('Мк(х), №](х))Ь2(п) = 8«.

Приближенное решение будем искать в виде

N

йт,м (х, г) = ^ йк (г^к (х), к=1

где йи(г) подлежат определению, из соотношений

(х, г^і(х) + Чйт,!4 (х, г)У'№і (х) + с( х, г)йп’14 (х, г^і( х)| йх =

= ^ /(х, г)м>і(х)йх + ^ Н(х, г)м^і(х, г)dS’ п дп

йк (0) = 0, й'к (0) = вк,

где |3к = (у, wk)L2(a).

Подставляя (2.9) в (2.10) и меняя порядок суммирования и интегрирования приходим к выражению:

N

л” к (0 I Ык(х^1( х)йх + йк (0 1 Уык (х)Ч,^1 (х)йх+ п п

X

к=1

+йк(г) с(х, г)м>к(х^і(х)йх

п

г)м>і (х)йх + Н(х, г)м>і( х, г)йа.

дп

S

й

Обозначим

flit) =

J' f (x, t)wiix)dx + J' J

, t)wiix)dx + I H(x, t)wiix, t)ds; да

Yklit) = iVwkix), Vwiix))l2(q.) + icix, t)wkix), wiix)^^),

получим

N

d" lit) + 2 dk it)Ykiit) = flit),

k=1

Ф(0) = о, й'(0) = ві.

Заметим, что (2.11) представляет собой задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций йк(ґ), которая однозначно разрешима и йк(ґ) є С2[0, Т] [10].

Таким образом, для любого натурального N существует единственная функция (х, ґ) вида (2.9), удовлетворяющая тождеству (2.10), то есть построена последовательность (ы1”’1^(х, ґ)}. Исследуем сходимость этой последовательности. Для этого умножим (2.10) на й'к(ґ) и просуммируем по і от

1 до N, а затем проинтегрируем по ґ от 0 до т. После преобразований получим

J"

dx = 2

t)utm,Nix, t)dxdt-

О а

т

О а

И f i x"

т

If

О да

J u,Nix, О))2 + (Vum,N ix, О))2

-2 J' J' c(x, t)um,Nix, t)umNix, t)dxdt + 2 j j H(x, і)щ ’Nix, t)dsdt+

dx.

а

т

+

Применяя к первым двум слагаемым в правой части элементарное неравенство 2аЬ ^ а2 + Ь2, третье слагаемое интегрируя по частям, а затем оценивая интегралы по границе с помощью неравенства [7]

^ у2

дП П

получим следующую цепочку неравенств:

йх <

^

п

т т

^ ^ ^ /2(х, ґ)йхйґ + ^ ^ (ит^(х, О) йхйґ+ о п о п

т т

+ ^ ^ с2(х, ґ) [ыт^(х, ґ)^ йхйґ + ^ ^ (ут^(х, ґ)^ йхйґ+ о п о !

+ ^ И2

дП П

т

т

+ЯК

о п

о п

\2

дп о дп

ы^(х, о)\2 + {Чы"1’14(х, о)\

йхйґ | Иг (х, ґ)й&йґ+ о дп

о п

Заметим, что

и"'^(х, т) = І (х, ґ)йґ,

т

I'

о

откуда нетрудно получить неравенство

lm’N /

о п

о п

Учитывая (2.14), и полагая в (2.13) є = —, получим

і ^ (и™’ы(х, т))2 + \Уит’М(х, т)| п

т

< мJJ (ЫтN(х, ґ))2 +\Чыт^(х, 0|

йхйґ+

о п

+ ^ ^ /2(х, ґ)йхйґ + ^ И2(х, т)ds + ^ ^ И^(х, t)dsdt + ^ (и"^(х, о^ йх.

о п

дп

И2

о дп

Применяя к (2.15), неравенство Гронуолла [3], а затем интегрируя по т от

т

т

т

т

о до Т приходим к следующей оценке: т

о п

<

е2МТт [IIгиЪ^ + \\Н)\\12(8) + тин\\12(8) + ||^П|2(П^ • Заметим, что с помощью (2.14) нетрудно получить неравенство

^ ^ (Ыт^(х, ґ)^ + |Уыт^(х, ґ)^ + (ит,:к(х, ґ)^

о п

^ (1 + 2Т2)ff Ы^(х, О)2 + |Уыт,1Я(х, ґ)|

йхйґ.

о п

Тогда из (2.16) и (2.17) следует оценка

ии"'К'%а « М'(Т) [»+ инИ12(5, + Ин,И2ы,) + !!<<*].

где М1(Т) = шах{(1 + 2Т2)Те2МТ, 2(1 + 2Т2)Т2е2МТ}.

Поскольку все нормы справа ограничены, то ясно, что последовательность {ыт,м(х, г)} ограничена в пространстве W1(Q); следовательно, из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность {ыт,Мп (х, г)} [7]. Покажем, что ее предел при N {ыт(х, г)} е W^(Q) и есть искомое обоб-

щенное решение.

Умножим (2.10) на Нг(г), Нг(г) е W1(0, Т) и Ъ{(Т) = 0, просуммируем по г от 1 до N и проинтегрируем по г от 0 до Т. Обозначив

N

^(х, г) = ^ х),

І=1

а через NN — совокупность всех таких п, получим Т

1 ’1Яп г? + УытЛ У^ + с(х, ґ)ит^ ^] йхйґ

о п

0 П 0 дП

Проинтегрировав первое слагаемое слева по частям, мы для каждой функции п е NN получим равенство

о п

Уыт^п У^ - ы^п ^ + с(х, ґ)итЛ йхйґ

^ ^ /(х, ґ)п^йхйґ + ^ ^ И(х, t)пNdsdt + / ыт^п (х, о)^ (х, о)йх.

о п

о дп

п

т

2

т

2

Т

т

Зафиксировав произвольно выбранную п е NN, перейдем в (2.18) к пределу при Ип ^о. Тогда в силу доказанной слабой сходимости будем иметь

т

^ ^ \Уит(х, г)Уп(х, () - Ц”(х, г)п<(х, 0 + с(х, ОЦ”(х, Оп(х, dxdt —

0 п

т т

-я /(х, Оп(х, t)dxdt + Я Н(х, Оп(х, t)dsdt + ^ у(х)п(х, 0)dx.

0 П 0 дП П

Таким образом, тождество, определяющее обобщенное решение, выпол-

ОО

няется для всех п е NN. Так как и NN всюду плотно в ^1(0), то тожде-

N-1

ство выполняется для произвольной у(х, £) е У^},(О).

Итак, доказали, что предельная функция является обобщенным решением задачи (2.6)—(2.8).

Заметим, что в силу условий на входные данные решение имеет вторую производную ип(х, 0 е Ь2(О) и их1 (х, г) е Ь2(О), а существование Аи(х, г) е Ь2(О) гарантирует условие гладкости границы дП [7].

Так как все сказанное выше справедливо для любого ”, то, учитывая явное представление функции рт(0, можно считать, что последовательность {ит(х, 0, рт^)} построена.

Для обоснования сходимости этой последовательности рассмотрим разности

zm(х, 0 - ит(х, 0 - ит-1(х, О, гт(0 - рт(0 - рт-1(0.

Заметим, что для z^т(х, {) справедливо тождество т

Я [гт (х, 0у(х, 0 + 'Ч£т (х, £)'Чу(х, {) + с(х, (х, {)у(х, t')\ dxdt —

0п

т

Я-

г (0к(х, 1)у(х, t)dsdt.

0 дп

Положим у(х, () — ^т(х, 0 и, интегрируя по частям интегралы в левой части, получим

\ J[(zГ(x,т))2 + |Vzm(x,т)|2 п

т т

dx —

1/Гт (ф(х, ж(х № с( х ОГ(х >К(х №.

0 дп 0 п

Выполним некоторые преобразования в (2.19), интегрируя по частям:

/ / г"

дп

//(Ш, .V (О). ^">»“> - г'ы/^ <х-т)^-

0 дп

т

0 дп

дп

- Ъ(х, ’)г”(’)гт(х, t)dsdt - Я Ъ.(х, ’)Г"(’)гт(х, t)dsdt.

0 дп 0 дп

Оценим полученное выражение, используя неравенство (2.12):

2гш(т) ^ 1г(х,1)гт(х,х)с1$ ^ 6(гш(т))2 + ^ ^ й2(х)(гш(х, т))2й?5

дп

дп

т)) ds *

2 \дП\н1 Г . |2

^ 6

-т'- т42

dx,

2! гтю1 ъ( х ^ (х ,ш’ *

0 дп

т 0 т

2 \dn\h1

\ (гта))2л+ 1

dxdt,

0

0п

2 \г"(0/Ъ’(х,’)г"(х, t)dsdt * 0 дп

т о

2 \дп\ъ2

КЬ \ (Г(1))2с11+ 2

J

dxdt.

0п

Тогда справедлива оценка

^ (г"(х, т))2 + \^г""(х, т)|2 dx * ^ ^ (г"(х, ’))2

dxdt +

п

0п

т

+ ^ ^ с2(х, ’) (гт(х, ’))2 dxdt + ^ ^ (г"(х, ’))2 dxdt 0п

+

0п

т

т

2

т

т

2

т

т

2 \дП\к!

+6 (гш(т))2 + 1

+6

6

^ є \^тт(x, т)|2 + с(є) (тт(х, т)) п

т 2 т

J

0 0 п

т 2 т

J

dxdt+

+6 J (гш(г))2Л+^

0 0 п

Заметим, что выполняется неравенство

dxdt,

dxdt.

0п

следовательно, (2.20) примет вид

^ (т-(х, т))2 + (х, т)|2 dx ^ Аі ^ ^ (т-(х, О)2 dxdt + 6 (гп(т))2 +

п

0п

II т

^ (гт(0)2 dt + 6 ^ (г—(О)2 dt + А2 ^ ^ |Утп(х, t)|2 dxdt,

+6 і /.-т

0

0п

где А1 и А2 зависят только от входных данных.

6

Выберем е = ----------применим к (2.22) неравенство Гронуолла [3], а

2\дп\Ъ11

затем интегрируя по т от 0 до т , придем к оценке

2\о) ' ' * ' ' ' ' -''2(0,Т)’

где 6 > 0 произвольно.

Оценим теперь значение Г"(’), для которого справедливо равенство

( \ -і

гт(ґ) = 1 hKds

и \ дП /

/К(х)ф, V--1 „х -/ АК(х)Г- „х

пп

Возводя (2.24) в квадрат, учитывая условия теоремы, а также что г!" 1(х, ’) е ^2(О) нетрудно получить неравенство

1Г

Далее продифференцируем (2.24) по ’ и, повторяя предыдущие рассуждения приходим, к оценке

\\гТт\ыо,Г) < Ф^\кт-\х,гЩш

Из (2.23), (2.25) и (2.26) вытекает, что

№,0%

2

т

llr

где L = Ni(N2 + N3)b.

Пользуясь произволом 6, выберем его так, чтобы л[Ь = q < 1. Тогда неравенства (2.27) и (2.28) означают, что последовательность (um(x, t), pm(t)) фундаментальна.

Так как W^(Q) — полное пространство, то фундаментальная последовательность (um(x, t), pm(t)) сходится к элементу (u(x, t), p(t)), где u(x, t) e W^(Q), p(t) e W^(0, T). Но тогда, переходя к пределу в (2.3) и (2.5), мы получим соответственно тождества (2.1) и (2.2), так как из сильной сходимости следует слабая.

Таким образом, пара функций (u(x, t), p(t)), полученная в результате предельного перехода в (um(x, t), pm(t)) и эквивалентных преобразований, является обобщенным решением задачи (1.1)—(1.4).

Единственность задачи (1.1)—(1.4) непосредственным образом следует из оценок (2.27) и (2.28).

Литература

[1] Cannon, J.R. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation / J.R. Cannon, S.Y. Lin // J. Austral.Math. Soc. Ser. B - 1991. - Vol. 33. - P. 149-163.

[2] Cannon, J.R. Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations / J.R. Cannon, Y. Lin // Inverse Problems - 1998. - Vol. 4. - P. 35-45.

[3] Гординг, Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. / Л. Гординг

- М.: Иностр. лит., 1961. - 120 с.

[4] Иванчов, Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости / Н.И. Иванчов // Сибирский мат. журнал. - 1994. - Т. 35. - №3. - С. 612-621.

[5] Иванчов, Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении / Н.И. Иванчов // Сибирский мат. журнал. - 1998. - Т. 39. - №3. - С. 539-550.

[6] Камынин, В.Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопределения / В.Л. Камынин // Матем. заметки - 2003. - Т. 73. - Вып. 2. -С. 217-227.

[7] Камынин, В.Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения / В.Л. Камынин // Матем. заметки - 2005. - Т. 77. - Вып. 4. -С. 522-534.

[8] Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А.И. Кожанов // Сибирский мат. журнал. - 2005. - Т. 46. - Вып. 5. - С. 1053-1071.

[9] Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики. / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973. - 408 с.

[10] Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. - М., 1961. - 311 с.

[11] Прилепко,А.И О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А.И. Прилепко, А. Б. Костин // Мат. сборник - 1992. - Т. 183. -№4. - С. 49-86.

[12] Прилепко, А.И Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении II / А.И. Прилепко, А. Б. Костин // Сибирский мат. журнал. - 1993. - Т. 33. - №3. - С. 146-155.

[13] Прилепко, А.И Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // ЖВМиМФ -2003. - Т. 43. - №4. - С. 562-570.

[14] Прилепко, А.И Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // ЖВМиМФ - 2003. - Т. 43. -№9. - С. 1329-1401.

Поступила в редакцию 12/77/2008; в окончательном варианте — 27/77/2008.

AN INVERSE PROBLEM WITH AN INTEGRAL OVERDETERMINATION CONDITION FOR WAVE EQUATION3

© 2008 N.V. Beilina4

In the paper we study an inverse problem with an integral overdetermination condition for a wave equation with an unknown coefficient in boundary condition is considered. The existence and uniqueness of a solution is proved with help of an a priori estimate and the Galerkin procedure.

Keywords and phrases: inverse problem, non-local problem, integral condition of overdetermination.

Paper received 12/77/2008.

Paper accepted 27/77/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. L.S.Pulkina.

4Beilina Natalya Viktorovna (natalie@samdiff.ru), Dept. of Mathematical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.