Верификация инженерной модели разрушения вихревого следа за самолетом с помощью метода моделирования больших вихрей

УДК 532.527

И. С. Босняков1'2, Г. Г. Судаков1

Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н. Е. Жуковского 2 Московский физико-технический институт

Верификация инженерной модели разрушения вихревого следа за самолетом с помощью метода моделирования больших вихрей

Представлены результаты верификации инженерной модели ЦАГИ разрушения вихревого следа за самолетом с помощью метода моделирования больших вихрей (LES). Инженерная модель разрушения вихревого следа за самолетом разрабатывалась коллективом авторов на протяжении ряда лет. Эта модель описывает все этапы эволюции следа и опирается на весь имевшийся у авторов модели экспериментальный и расчетный материал по разрушению вихревого следа за самолетом. В данной работе рассматривается уточненная математическая модель исследуемой задачи, и с учетом этих уточнений проводится глубокое тестирование инженерной модели разрушения вихревого следа по всем параметрам: «потеря» циркуляции; максимальная окружная скорость вихря; положение вихрей, включая разброс, вызванный турбулентностью атмосферы; время до касания вихрей.

I. S. Bosnyakov1'2, G. G. Soudakov1

1 Central Aerohydrodynamic Institute

Verification of an engineering model for vortex wake decay behind a plane by large eddy simulation

This paper is devoted to computations of vortex wake decay behind a large civil aircraft. The simulations are performed by large eddy simulation. The results obtained by this contemporary mathematical model are compared with predictions of the engineering decay model obtained in numerous experiments and previous computations.

Key words: vortex wake decay, LES, wake encounter. 1. Введение

Разрушение вихревого следа за самолетом является весьма важным как с теоретической, так и с практической точки зрения разделом механики жидкости. Несмотря на кажущуюся простоту постановки задачи (отсутствие тел, наличие только вихрей следа и турбулентной атмосферы), ее решение представляет существенную сложность. Воспроизводство разрушения вихрей включает в себя ряд нетривиальных задач (моделирование развитой турбулентности, генерацию турбулентности вихрями следа, процесс взаимодействия вихрей следа с турбулентной атмосферой и т.д.).

Процесс разрушения дальнего вихревого следа включает в себя следующие физические эффекты:

• Синусоидальная неустойчивость Кроу (описывается линейной теорией устойчивости Кроу-Бейта [7]). Этот вид неустойчивости приводит к касанию вихрей при Т = Тцп\. и образованию вихревых колец.

• «Потеря» циркуляции. Обусловлена взаимодействием вихрей следа и фоновой атмосферной турбулентности

Для описания этих эффектов в России рядом авторов была разработана инженерная полуэмпирическая модель разрушения вихревого следа за самолетом на посадочном режиме, опубликованная в работах [2,4,6]. Эта модель состоит из следующих блоков:

• Модель однородной и изотропной турбулентной атмосферы.

• Модель приземного слоя атмосферы.

• Двухфазная модель диффузии вихря в турбулентной атмосфере.

• Модель динамики вихревой пары с учетом эффекта «потери» циркуляции.

• Модель синусоидальной неустойчивости Кроу. Оценка зон опасности.

• Оценка безопасной дистанции.

В работе [5] в качестве инструмента исследований вихревого следа использован метод моделирования больших вихрей (LES), который должен описывать все перечисленные выше физические эффекты без каких-либо дополнительных предположений. Этот подход, наравне с другими методами, является сейчас одним из инструментов изучения вихревого следа. В работе [5] обсуждаются детали постановки исследуемой задачи на основе LES и содержится обзор современных подходов к ее решению. Как было отмечено в [5], при использовании LES для решения задачи о вихревом следе необходимо учитывать влияние диссипативных свойств выбранного численного метода. Известно, что схемы второго порядка аппроксимации обладают существенной схемной вязкостью. Приемлемую диссипацию можно достичь либо с использованием более подробных расчётных сеток, либо с помощью расчётных схем высокого порядка аппроксимации. В настоящей работе предлагается использовать численный метод конечного объема второго порядка аппроксимации (промышленный пакет ANSYS CFX) на структурированных сетках размером порядка 100 млн узлов.

Постановка задачи о разрушении вихревого следа с помощью LES в данной работе изменена по сравнению с [5]. Изменение касалось начального условия для модели Проктора [8], в которой вместо двухвихревой системы следа была предложена четырехвихревая система. Такая модификация вызвана тем, что двухвихревая система недостаточно точно описывает первую фазу разрушения вихрей следа (фаза медленной турбулентной диффузии). Анализ расчетов с помощью LES показал, что учет наличия второй пары слабых вихрей противоположного знака, которые образуются от внутренней части отклоненных закрылков и фюзеляжа, позволяет более точно описывать эту фазу.

2. Модифицированная модель Проктора

Инженерная модель Проктора [8] для двухвихревой системы следа непосредственно за самолетом (ближний след) на режиме посадки описывается следующими формулами:

Ь=ж4- г= 40

4 Тг/рУпол г

= - ехр И0(Гс/г)0'75)] [! - ехР М-2527(г/Гс)2)] , г < Гс,

г

= 1-42Т - ехр (-Ю^с/О0'75)] , г >гс,

где Ь - размах вихрей, I - размах крыла, С - вес самолета, р - плотность воздуха, Упол - скорость полета, гс - радиус ядра вихря. В работе [8] величина гс не определена, и ее рекомендуется брать из эксперимента. В работе [2] показано, что можно принять гс = 0.05/.

На рис. 1 приведена картина распределения завихренности в следе за пассажирским самолетом. Видно, что кроме основного вихря вблизи плоскости симметрии и на несколько

меньшей высоте присутствует слабый вихрь обратного знака, порожденный внутренней боковой кромкой отклоненного закрылка и фюзеляжем. Как будет показано ниже, этот вихрь быстро распадается. В результате осколки этого вихря попадают в окрестность основного вихря, образуя турбулентный фон с некоторым преобладанием отрицательных турбулентных вихрей. Понятно, что это обстоятельство влияет на начальную фазу разрушения основного вихря, порождая процесс «потери» циркуляции основного вихря без выноса его осколков за пределы вихревой пары, что характерно для последующей фазы разрушения вихря. Для модели дополнительного отрицательного вихря приняты следующие параметры:

• циркуляция равна Г = -0.15  Го, где Го - циркуляция основного вихря,

• размер ядра - гс = 0.007I,

• распределение скорости в отрицательном вихре описывается моделью ламинарного вихря:

Г1 Г ( r2\ 1 Г1 vT = -— 1 - exp —1.25—^ J , Vr max = 0.7135--.

2nr \ ri I 2nrr

VORT

Plane 1

-1,643е+002

1,062е+002

- 4.803е+001

- -1.010в+001 [Al

-6.824е+001

[зЛ-1] #

Рис. 1. Распределение завихренности за пассажирским самолетом в посадочном режиме в сечении х = 5/, где I - размах крыла. Внизу виден слабый вихрь обратного знака

3. Метод генерации турбулентного поля

Исходными данными для задания случайных скоростей турбулентных порывов ветра являются форма спектральной плотности и два параметра - масштаб и дисперсия. В данной работе используется модель спектральной плотности Кармана. Энергетическая функция спектральной плотности имеет вид [8]:

55 ,г (акЬ • П)4

Е «:) = —  Л

1 +

17

/6

где L - масштаб турбулентности, а2 = (u12 + v'2 + 2/2) - среднеквадратичное отклонение, Q = (Qx, Qy, Qz) - вектор пространственной частоты, ак ~ 1.339 - постоянная Кармана. Волновое число Qo, соответствующее масштабу турбулентности L, определяется из вышеприведенной формулы следующим образом:

QoL = 1.

2

Функция Е(П) задаёт величины компонент случайного вектора скорости порыва ветра. Корреляция и дисперсия этих компонент выражаются корреляционным тензором Sik(П) по формуле [3]:

с Е

Sik(П) = ---П4-•

Следует подчеркнуть, что в П пространстве корреляция между частотами отсутствует (следствие однородности и изотропности турбулентности), но имеются корреляции между фурье-компонентами скорости в отдельно взятой точке в П-пространстве (следствие уравнения неразрывности). Наиболее общим способом задания реализаций является представление скоростей ветра в виде рядов Фурье по дискретному набору частот:

М К N

Wj (Х, = Y1 A3mkn COS (2ж • (ПхтХ + Qyk У + tiznZ)) +

т=1k=ln=l

+Bmkn SÍn (2ж • (ПхтХ + üykУ + ttznZ)),

где ^mkn, Bjmkn - независимые по индексам т, к,п случайные величины с гауссовым распределением вероятности, с матрицей ковариации Sj¡(П), j,l = 1, 2, 3.

M

Aj А1

ткп ткп

— M

jdJ Ы

— ^jl (^хтч Qyki п) i

где М [А] - математическое ожидание случайной величины А. При генерации поля описанным выше способом стоит учитывать, что число операций и, как следствие, время их выполнения растут по закону N6 , где N - характерное число разбиений по каждой оси в физическом и волновом пространствах.

В качестве примера на рис. 2 представлено поле ю-компоненты скорости для одной из реализаций.

Рис. 2. w-компонента скорости. Параметры турбулентности: q — 1 м/с, L — 200 м

4. Численный метод

В настоящей работе использован стандартный численный метод конечных объемов вто-

рого порядка аппроксимации как по пространству, так и по времени (промышленный пакет ANSYS CFX). Расчет с помощью LES производился для случая несжимаемой жидкости. В качестве модели турбулентности использована стандартная модель LES Смагоринского с константой Cs = 0.1.

5. Постановка задачи о разрушении вихревого следа в турбулентной атмосфере

Предлагается рассмотреть эволюцию следа за самолетами Вое1^-747 (В-747) (тяжелый класс) и Вое1^-757 (В-757) (средний класс) в турбулентной атмосфере в области 0 <х < 700 м, 0 <у < 300 м, -100 < г < 100 м.

Размеры области определяются:

• по оси X - длиной волны Кроу Ьсгот = 300 м [7]. Необходимо иметь хотя бы 2 • Ьсгот.

• По оси у - расстоянием, которое вихревая пара преодолевает по вертикали за время своей жизни.

• По оси г - размахом вихрей.

Параметры газа берутся для воздуха постоянной плотности при Т = 25 °С, уравнение энергии не используется. На основе данных тестирования [5] для следа за самолётом В-747 было выбрано разбиение расчетной области с общим количеством ячеек ~ 90 млн, размер ячеек составил Ау = Аг = 0.6 м; для следа за В-757 - двухзонное разбиение расчетной области с общим количеством ячеек ~ 110 млн, размер ячеек во внешней зоне составил Ау = Аг = 0.6 м, Ах = 1.2 м, во внутренней зоне - Ау = Аг = 0.3 м, Ах = 1.2 м (рис. 3).

Рис. 3. Расчетные области для самолетов B-747

Удлинение ячеек получается равным 2 и 4, что удовлетворительно для решения задачи с помощью LES. Такое разбиение приемлемо для решения на имеющемся высокопроизводительном компьютере (потребная оперативная память для этой задачи составляет 150 ГБ при использовании пакета программ ANSYS CFX). Радиус вихря для самолета B-747 составляет ~ 3м, для самолета B-757 ~ 1.8 м, то есть на радиусе вихря во внутренней зоне укладываются примерно 5-6 узлов, что является минимально допустимым.

Опишем граничные условия. На торцах расчётной области по оси х использовалось циклическое граничное условие (условие периодичности). На всех остальных границах задавалось постоянное (по времени) распределение скорости, полученное в начальный момент с помощью генератора турбулентности. Такое граничное условие обеспечивает отсутствие затухания фоновой турбулентности в течение всего времени расчета эволюции следа. Правомерность использования «замороженного» граничного условия обосновывается тем фактом, что характерное время изменения граничных условий для параметров La = 200 м, q = 0.1 ^ 1 м/с имеет порядок

La

---- = 200 ^ 2000 с,

Q

что значительно больше времени существования вихревого следа (время жизни следа Т^ ~ 20 ^ 70 с в зависимости от уровня турбулентности q = 0.1 ^ 1 м/с).

Переменный шаг по времени был выбран из условия, чтобы максимальное число Куранта Ситах = 2.

6. Верификация инженерной модели разрушения вихревого следа за самолетом В-747 с помощью LES

Все расчеты производились для случая посадочного режима полета при следующих значениях параметров задачи:

• масса самолета G = 260 000 кг,

• размах крыла I = 65 м,

• начальный радиус ядра вихря гс = 2.92 м,

• посадочная скорость V = 70 м/с,

• плотность воздуха р = 1.21 кг/м3,

• начальная циркуляция Го = 591 м2/с.

На рис. 4 показано поведение максимума поперечной компоненты скорости в расчетном объеме в зависимости от времени. Видно, что спокойное затухание этой величины при t ~ 20 — 30 с сменяется резким нарастанием пульсаций, что свидетельствует о наличии двух существенно разных стадий разрушения вихрей следа.

W, м/с

0 20 60 SO LIXI 120 , НО

t, С

Рис. 4. Результаты расчета затухания максимума поперечной компоненты скорости в расчетном объеме для вихревого следа самолета В-747 при уровне турбулентности q = 0.5 м/с, масштабе турбулентности L = 200 м

Далее рассмотрим результаты расчета разрушения вихревого следа за самолетом В-747-400 для двух случаев начальных данных: двухвихревая (Проктор) и четырехвих-ревая системы. Сравнение этих двух случаев, а также предсказание инженерной модели следа представлено на рис. 5.

О 30 60 90 Цс] 120 0 30 60 90 I [с] 120

Рис. 5. Сравнение результатов расчета затухания циркуляции вихревого следа самолета В-747 при уровне турбулентности д = 1 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м для двух случаев начальных данных: двухвихревой системы - слева, четырехвихревой системы - справа

600

500

77 400

: 300

200

100

четырехвихревая система

—с—Инженерная модель —*—LES. x=200m

S, -♦-LES, х= 500m

30

60

90

120 t [с] 150

Рис. 6. Результаты расчета затухания циркуляции вихревого следа самолета В-747 при уровне турбулентности д = 0.5 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м

600 500

£ 300 lT

200 100

четырехвихревая система

—о—Инженерная модель

-о-с^. -»-LES.X=500 m

ч

30

60

90

120 t [с] 150

Рис. 7. Результаты расчета затухания циркуляции вихревого следа самолета В-747 при уровне турбулентности q = 0.25 м/с, масштабе турбулентности L = 200 м

На рис. 6-7 приведены данные по падению циркуляции в вихре следа при разных уровнях турбулентности и масштабе турбулентности L = 200 м. Видно, что на всех режимах имеется хорошее согласие данных LES и предсказаний инженерной модели следа. Следует отметить, тем не менее, что с уменьшением уровня турбулентности согласие постепенно ухудшается, то есть инженерная модель нуждается в некоторой подстройке при малых

уровнях турбулентности атмосферы. На рис. 8-10 для тех же случаев приведены аналогичные данные для максимальной окружной скорости в ядре вихря.

Рис. 8. Результаты расчета максимальной окружной скорости в ядре вихревого следа самолета В-747 при уровне турбулентности д = 1 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м

четырехвихревая система

—О—Инженерная модель -*-1_ЕЗ, х=200т -»-I.es. х=500т

\ V

0 30 60 90 120 1[с] 150

Рис. 9. Результаты расчета максимальной окружной скорости в ядре вихревого следа самолета В-747 при уровне турбулентности д = 0.5 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м

Рис. 10. Результаты расчета максимальной окружной скорости в ядре вихревого следа самолета В-747 при уровне турбулентности д = 0.25 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м

Для верификации предсказаний инженерной модели следа по идентификации опасных зон на рис. 11 представлены положения ядер вихрей (кружки) в различных сечениях следа,

полученных с помощью LES. Опасные области в соответствии с инженерной моделью следа показаны красной кривой.

Процесс развития синусоидальной неустойчивости показан на рис. 12.

Рис. 11. Идентификация опасных зон за самолетом В-747 при уровне турбулентности q =1 м/с, масштабе турбулентности L = 200 м. Кружки - LES (положение центров ядер вихрей в разных сечениях следа), красная кривая - инженерная модель

Рис. 12. Синусоидальная неустойчивость Кроу (В-747). Вид сверху. Уровень турбулентности ц = 1 м/с, масштаб турбулентности Ь = 200 м

Как было указано выше, процесс «потери» циркуляции определяется на начальной стадии процессом дробления отрицательного вихря и попаданием его осколков в сферу действия основного вихря, а затем механизмом дробления основного вихря следа на более

мелкие вихри и выносом этих вихрей за пределы области влияния вихревой пары. Это положение проиллюстрировано на рис. 13. Видно, что отрицательный вихрь быстро распадается на мелкие вихри, образуя фон с повышенной отрицательной завихренностью. Затем начинает распадаться основной вихрь.

Рис. 13. Картины х-компоненты завихренности за самолетом В-747 в сечении х = 500 м в последовательные моменты времени I = 0,16, 24,32,48, 88 с. Уровень турбулентности д = 1 м/с, масштаб турбулентности Ь = 200 м

7. Верификация инженерной модели разрушения вихревого следа за самолетом В-757 с помощью LES

Рис. 14. Результаты расчета затухания циркуляции вихревого следа самолета В-757 при уровне турбулентности д = 1 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м

Ниже представлены результаты расчета разрушения вихревого следа за самолетом В-757 на посадочном режиме в сравнении с результатами инженерной модели следа. Все расчеты производились при следующих значениях параметров задачи:

• масса самолета С = 90 000 кг,

• размах крыла I = 65.9 м,

• начальный радиус ядра вихря гс = 1.6 м,

• посадочная скорость V = 70 м/с,

• плотность воздуха р = 1.21 кг/м3,

• начальная циркуляция Го = 350 м2/с.

четырёхвихревая система

^^Инженерная модель

О 30 60 90 120 t[c] 150

Рис. 15. Результаты расчета затухания циркуляции вихревого следа самолета В-757 при уровне турбулентности ц = 0.5 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м

четырехвихреваясистема

1 —С—Инженерная модель -*-LES. x=200m

-•-L —*—L .ES. x=450m .ES. x=500m

0 30 60 t [с] 90

Рис. 16. Результаты расчета максимальной окружной скорости в ядре вихревого следа самолета В-757 при уровне турбулентности ц = 1 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м

На рис. 14-15 приведены данные по падению циркуляции в вихре следа за самолетом В-757 при разных уровнях турбулентности и масштабе турбулентности L = 200 м. Видно, что на всех режимах имеется вполне удовлетворительное согласие данных LES и предсказаний

инженерной модели следа. Следует отметить, тем не менее, что с уменьшением уровня турбулентности (аналогично п. 6) согласие постепенно ухудшается, то есть инженерная модель нуждается в некоторой подстройке при малых уровнях турбулентности атмосферы. На рис. 16-17 для тех же случаев приведены аналогичные данные для максимальной окружной скорости в ядре вихря.

25

!о 20

СИ £

>-15

10

четырехвихревая система

1 1 —О—Инженерная модель -±-LES, х=200т

-#-LES,x=50 От

30

60

90

120 t [с] 150

Рис. 17. Результаты расчета максимальной окружной скорости в ядре вихревого следа самолета В-757 при уровне турбулентности д = 0.5 м/с, масштабе турбулентности Ь = 200 м

t(s)=16 t(s)=32

-100 -50 0 50 100

Рис. 18. Идентификация опасных зон за самолетом В-757 при уровне турбулентности q =1 м/с, масштабе турбулентности L = 200 м. Кружки - LES (положение центров ядер вихрей в разных сечениях следа), красная кривая - инженерная модель

Рис. 19. Синусоидальная неустойчивость Кроу (В-757). Вид сверху. Уровень турбулентности д = 1 м/с, масштаб турбулентности Ь = 200 м

Рис. 20. Картины х-компоненты завихренности за самолетом В-757 в сечении х = 500 м в последовательные моменты времени Ь = 0,16, 24, 32, 48, 88 с. Уровень турбулентности ц = 1 м/с, масштаб турбулентности Ь = 200 м

Для верификации предсказаний инженерной модели следа по идентификации опасных зон на рис. 18 представлены положения ядер вихрей в различных сечениях следа, полу-

ченных с помощью LES. Опасные области в соответствии с инженерной моделью следа показаны красной кривой.

Развитие синусоидальной неустойчивости проиллюстрировано на рис. 19.

Как было указано выше, процесс «потери» циркуляции определяется механизмом дробления вихря следа на более мелкие вихри и выносом этих вихрей за пределы области влияния вихревой пары. Это положение проиллюстрировано на рис. 20. Видно, что отрицательный вихрь быстро распадается на мелкие вихри, образуя фон с повышенной отрицательной завихренностью. Затем начинает распадаться основной вихрь.

На рис. 21 показаны времена до касания вихрей в соответствии с инженерной моделью следа и вычисленные с помощью LES. Видно, что обе модели не противоречат друг другу.

TLink

ч °

о

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 q

Рис. 21. Время до касания вихрей. Кружки - LES, сплошная кривая - инженерная модель

8. Заключение

Расчет в рамках LES описывает все характерные механизмы разрушения вихрей. Наиболее аккуратно описывается процесс синусоидальной неустойчивости Кроу, так как он инициируется большими длинами волн и описывается уравнениями Эйлера. Поэтому время образования вихревых колец и зоны опасности по вихревому следу получаются с хорошей точностью. Менее точно описывается процесс «потери» циркуляции и связанные с ним характеристики следа (например, максимальная окружная скорость вихря), что связано с ограничениями по размерам ячеек расчетной сетки. Тем не менее LES-модель распада вихрей следа может считаться эталонной для верификации и настройки инженерной модели наряду с летным экспериментом (лидар, летающая лаборатория). Эксперименты в АДТ имеют весьма ограниченную область применения (ближний след, формирование двухвихревой системы) из-за невозможности в АДТ моделировать фоновую атмосферную турбулентность (применение турбулизирующих сеток позволяет моделировать только уровень турбулентности, но не масштаб и, тем более, спектральный состав). Моделирование процесса разрушения вихревого следа с помощью LES позволило не только получить численные результаты, но прояснить физику процессов, происходящих в вихре следа. Так, например, выяснилась важная роль отрицательных вихрей, порожденных внутренней частью закрылка и фюзеляжем, на начальной стадии процесса «потери» циркуляции основного вихря. По результатам верификации инженерной модели разрушения вихревого следа можно сделать следующие выводы :

• инженерная модель хорошо предсказывает время до касания вихрей;

• инженерная модель хорошо предсказывает положение вихрей с учетом их разброса из-за влияния фоновой турбулентности атмосферы;

• инженерная модель вполне удовлетворительно описывает процесс «потери» циркуляции и связанный с этим эффект уменьшения максимально окружной скорости вихря для тяжелых самолетов;

• для самолетов среднего класса блок «потери» циркуляции в инженерной модели необходимо несколько скорректировать.

Работа была выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках договора № 700013728 от 21.11.2012 «Разработка моделирующего комплекса реалистичного восприятия оператором (летчиком) сложных режимов полета и оценки его психофизиологического состояния» по 218 Постановлению правительства РФ.

Литература

1. Босняков И.С., Судаков Г.Г. Расчет разрушения вихревого следа за пассажирским самолетом с помощью метода моделирования больших вихрей второго порядка аппроксимации // Труды МФТИ. 2014. Т. 6, № 3. С. 3-12.

2. Вышинский В.В., Судаков Г.Г. Вихревой след самолёта и вопросы безопасности полетов // Труды МФТИ. 2009. Т. 1, № 3. С. 73.

3. Гайфуллин А.М., Свириденко Ю.Н., Судаков Г.Г. Инженерная математическая модель вихревого следа за пассажирским самолетом // Труды ЦАГИ. 2014. Т. 2730. С. 21-37.

4. Гарбарук А.В., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Моделирование турбулентности в расчетах сложных течений: учебное пособие. СПб: Изд-во Политехн. университета, 2012.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

6. Bobylev A.V., Vyshinsky V.V., Soudakov G.G., Yaroshevsky V.A. Aircraft vortex wake and flight safety problems // Journal of Aircraft. 2010. V. 47, N 2. P. 663-674.

7. Crow S.C., Bate E.R. Lifespan of trailing vortices in a turbulent atmosphere // Journal of Aircraft. 1976. V. 13, N 7. P. 476-482.

8. Etkin B. Dynamics of Atmospheric Flight. New York: John Wiley & Sons Inc., 1972.

9. Shen S.H., Ding F., Han J., Lin Y.L., Arya S.P., Proctor F.H. Numerical modeling studies of wake vortices: real case simulations. 1999. AIAA Paper 0755.

10. Thornber B., Mosedale A., Drikakis D. On the implicit large eddy simulations of homogeneous decaying turbulence // Journal of Computational Physics. 2007. V. 226, N 2. P. 1902-1929.

References

1. Bosnyakov I.S., Soudakov G.G. Computation of the vortex wake decay behind a passanger aircraft by the large vortex second-order method. Proceedings of MIPT. 2014. V. 6, N 3. P. 3-12. (in Russian).

2. Vyshinsky V.V., Soudakov G.G. Aircraft vortex wake and flight safety issues. Proceedings of MIPT. 2009. V. 1, N 3. P. 73. (in Russian).

3. Gaifullin A.M., Sviridenko Yu.N., Soudakov G.G. Engineering mathematical model for vortex wake behind civil aircraft. Trudy TsAGI. 2014. V. 2730. P. 21-37. (in Russian).

4. Garbaruk A.V., Strelets M.Kh., Shur M.L. Turbulence modeling in complex flow computation. St.Petersburg: Politechnical University Publishing House, 2012. (in Russian).

5. Landau L.D., Lifshitz E.M. Theoretical Physics. V. 6. Hydrodynamics. Moscow: Nauka, 1986.

6. Bobylev A.V., Vyshinsky V.V., Soudakov G.G., Yaroshevsky V.A. Aircraft vortex wake and flight safety problems. Journal of Aircraft. 2010. V. 47, N 2. P. 663-674.

7. Crow S.C., Bate E.R. Lifespan of trailing vortices in a turbulent atmosphere. Journal of Aircraft. 1976. V. 13, N 7. P. 476-482.

8. Etkin B. Dynamics of Atmospheric Flight. New York: John Wiley & Sons Inc., 1972.

9. Shen S.H., Ding F., Han J., Lin Y.L., Arya S.P., Proctor F.H. Numerical modeling studies of wake vortices: real case simulations. 1999. — AIAA Paper 0755.

10. Thornber B., Mosedale A., Drikakis D. On the implicit large eddy simulations of homogeneous decaying turbulence. Journal of Computational Physics. 2007. V. 226, N 2. P. 1902-1929.

Поступила в редакцию 19.06.2015.