30 лет фпмк-30 лет кафедре теоретической кибернетики

ностей, математической статистики, вычислительной техники, численного анализа и других методов прикладной математики. Поэтому оставаться в рамках учебной специальности «Радиофизика» было не адекватно. Попытка открыть новую специальность «Физическая кибернетика» оказалась неудачной.

К 1968 г. в ТГУ и научно-исследовательских институтах при нем сложились следующие учебные и научные коллективы кибернетического направления. На РФФ - кафедры ЭВТИА (зав. Г.А. Медведев) и статистической радиофизики и общей теории связи (зав. А.Ф. Терпугов). В Сибирском физико-техническом институте (СФТИ) - отделы кибернетики (зав. Ф.П. Тара-сенко), в том числе лаборатория СчРУ (зав. А.Д. За-кревский); адаптивных систем (зав. В.П. Тарасенко), информационно-измерительных систем (зав. В.В. Под-дубный), статистических методов (зав. АЛ. Серых). На механико-математическом факультете (ММФ) - кафедра вычислительной и прикладной математики (зав. Р.М. Малаховская). Соответствующие подразделения были в составе НИИ прикладной математики и механики, кадры для которых готовил физико-технический факультет (ФТФ). В ТГУ функционировал вычислительный центр. В такой ситуации в конце 1968 г. в ТГУ в соответствии с Постановлением СМ СССР была открыта новая специальность «Прикладная математика».

Ректорат пред ложил заняться подготовкой специалистов в этой области РФФ. Такое предложение легло на подготовленную почву и было в русле планов коллектива кафедры ЭВТИА и отдела кибернетики СФТИ. Декан РФФ, которым был тогда Г.А. Медведев, отправился в Москву, и в результате интенсивной работы в Министерстве высшего образования РСФСР ему удалось обеспечить открытие в ТГУ специальности «Прикладная математика» с приемом в 1969 г. 50 человек.

Для обучения студентов по специальности «Прикладная математика» было открыто отделение прикладной математики на ММФ. Заведующим этого отделения был назначен профессор Г.А. Медведев, который был деканом РФФ и заведующим кафедрой ЭВТИА этого же факультета. Понятно, что работать на РФФ и руководить специализацией студентов на ММФ было трудно. Пришлось участвовать в случившимся тогда конкурсе на замещение должности

Статья поступила в научную редакцию 18 апреля 2000 г.

зав. кафедрой вычислительной и прикладной математики ММФ.

Переходным периодом был 1969/1970 учебный год. Это был год формирования учебного плана специальности «Прикладная математика». Учебный план формировался на совещаниях в учебно-методическом управлении Минвуза СССР при активном участии представителей тех университетов, где уже бьша открыта эта специальность. В 1970 г. ректорат ТГУ решил поставить вопрос об организации нового факультета.

Принципиальное решение о создании и структуре факультета принималось ректоратом полностью самостоятельно. Большую роль в принятии этого решения сыграл бывший тогда проректором по учебной работе ТГУ Эрик Сергеевич Воробейчиков, которому принадлежит предложение о структуре факультета. И конечно, это делалось при доброжелательном отношении ректора ТГУ профессора Александра Петровича Бычкова. Таким образом, в 1970 г. был открыт факультет прикладной математики в составе следующих кафедр: прикладной математики (зав. Г.А. Медведев), теоретической кибернетики (зав. В.П. Тарасенко) и математической рогцкр р программирования (зав. А.Д. Закревский). При этом кафедра ЭВТИА на РФФ была ликвидирована. Позже были открыты кафедра теории вероятностей и математической статистики (зав. А.Ф. Терпугов) и кафедра высшей математики (зав. Е.Т. Ивлев). Функции декана первое время выполнял Г.А. Медведев, пока не защитил докторскую диссертацию А.Ф. Терпугов.

Уместно упомянуть также о том, что в 1971 г. в ТГУ был открыт еще один факультет - специальный факультет прикладной математики (СФПМ), предназначенный для переподготовки лиц с высшим и средним техническим образованием, закончивших учебные заведения по другим специальностям. Организацией СФПМ занимался и был первым его деканом тоже Г.А. Медведев. Цель создания этого факультета - удовлетворение резко возросшей потребности в науке и промышленности в кадрах программистов. СФПМ просуществовал 5 лет и был ликвидирован после того, как соответствующая потребность была удовлетворена.

Ф.П. Тарасенко

30 ЛЕТ ФПМК-30 ЛЕТ КАФЕДРЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

Факультет прикладной математики (позднее - «и кибернетики») был образован в 1970 г. в составе шести кафедр, среди которых была и кафедра теоретической кибернетики (ТК). Это широкое понятие отражало необходимость охватить разносторонность новой специальности с момента организации факультета. Уже в первые годы начали происходить процессы специализации кафедр на факультете, развивались старые и возникали новые научные и учебные направления. Первый заведующий кафедрой -проф. В.П. Тарасенко (1970-1972 гг.) - делал акцент на проблемах теории управления, а второй - доц.

Б.А. Гладких (1972-1976 гг.) - на проблемах информатики. Но всегда существенное место в этом занимали статистические методы обработки информации и принятия решений. Важно подчеркнуть, что при этом кафедра всегда работала в тесном контакте с отделом кибернетики Сибирского физико-технического института. Это было формой единения учебной и научной работы.

В 1977 г. кафедрой ТК стал заведовать проф. Ф.П. Тарасенко, до того руководивший отделом кибернетики СФТИ и ранее преподававший на кафедре в порядке совместительства. С этого времени

основное внимание членов кафедры и сотрудничающей с ней лаборатории статистических методов СФТИ было сосредоточено на развитии новых статистических методов обработки результатов наблюдений. С учетом того, что статистический анализ данных является основой для принятия решений в самых разнообразных областях деятельности, мы считали (и продолжаем считать) нашу работу весьма значимой для общества.

Кафедра активно участвовала в развитии факультета. Если того требовало дело, мы делились и самым ценным - учебной нагрузкой. В разное время на другие кафедры были переданы: курсы теории вероятностей и случайных процессов - проф. А.Ф. Терпугову, компьютерная лаборатория имитационного моделирования процессов управления - проф. Ю.И. Параеву. Никаких возражений мы не высказывали, когда другие кафедры стали развивать у себя начатую у нас специализацию актуарной и финансовой математики.

И все-таки основное внимание наш коллектив сосредоточил на проблемах непараметрической и роба-стной статистики. Вскоре эта работа была замечена и отмечена научной общественностью: с 1974 г. стали регулярно проходить организуемые нами всесоюзные школы-семинары по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике. По известным причинам сегодня они стали именоваться международными симпозиумами. В последние годы в организации этого мероприятия активно участвует и красноярская группа профессора A.B. Медведева. Уже состоялось 9 таких симпозиумов: в Шушенском (1977 и 1985 гг.), Томске (1974,1979,1983 и 1987 гг.), Дивногорске (1981 г.), Иркутске (1990 г.), Железногорске (1996 г.).

Характерной особенностью томской группы статистиков является последовательное использование функционального представления статистических процедур, при которой статистики порождаются путем подстановки различных оценок распределений в характеристический функционал рассматриваемой задачи. Опубликовано 5 монографий, более двухсот статей, сделано большое число докладов на конференциях, в том числе зарубежных. Дадим краткий обзор основных результатов.

Первое направление исследований состояло в развитии функционального подхода в синтезе статистик. Это было сделано в монографии ФИ Тарасенко [1] и коллективной монографии [2]. Отметим и работу ФИ Тарасенко и В.П. Шуленина [3], результаты которой позволили обосновать алгоритмический подход в построении ранговых критериев путем замены наблюдений их рангами. В указанной работе исследованы такие характеристики, как количество информации, регрессия и коэффициент корреляции между наблюдением и его рангом. В частности, показано, что коэффициент корреляции пропорционален отношению двух мер масштабного параметра, а именно: средней разности Джини Д(F) и стандартного отклонения a(F), т.е. при «->оо

где a(f)= \§x-y\dF{x)dF{y), 14

сг2(г)= ¡(х-а)24Г(х),а = М(х).

Числовые значения коэффициента корреляцт рля^О близки к единице для широких классов распределений, упорядоченных по степени затянугости хвостов от «легких» до «тяжелых», что частично объясняет высокую эффективность ранговых критериев по сравнению с их классическими конкурентами.

Отметим ещб одну обзорную работу Ф.П. Тарасенко и В Л Шуленина [4]. В ней описываются статистические свойства основных критериев согласия. Дело в том, что исходной информацией, «сырьем» для построения любой статистической процедуры является выборка, однако не менее важную роль играет статистическая модель, а вопрос адекватности модели - это особая забота исследователей. Одним из основных инструментов проверки адекватности статистической модели являются критерии согласия, которых много, что создает проблему выбора подходящего критерия в условиях реального эксперимента. В работе приведены многочисленные результаты по изучению мощности критериев согласия при различных альтернативах, полученные методом статистических испытаний, что позволило упорядочить критерии по их предпочтительности в зависимости от затянугости хвостов распределений и облегчил» выбор подходящего критерия в конкретных условиях.

В дальнейшем интересные результаты по функциональному подходу были получены Ю.Г. Дмитриевым и другими. Получены непараметрические оценки функционалов плотности и ее производных [5-7] (информация по Фишеру, дифференциальная энтропия, интеграл от квадрата плотности). В статистическую практику введен новый класс непараметрических оценок функционалов, названный квази и-статистиками [5] и получивший широкое распространение в отечественной и зарубежной литературе. Применение функционального подхода к синтезу статистик привело к построению непараметрических оценок функционалов с учетом информации, состоящему из двух этапов. На первом этапе исходный функционал представляется в модифицированном виде, на втором этапе строятся оценки модифицированного функционала путем подстановки в него какой-либо непараметрической оценки функции распределения дс-го порядка. Выбор оценки определяется требованиями к вычислительной сложности и ее точности.

Г.М. Кошкиным изучался класс функционалов от условных распределений [8,9]. Такие функционалы представляют собой отношения некоторых величин или функций, что позволяет объединить их в класс функционалов с особенностями. Введение класса функционалов с особенностями позволяет с единых позиций исследовать вероятностные характеристики, задаваемые в виде кривых (функция регрессии, остаточная дисперсия, функция чувствительности) [8], различные расстояния между плотностями распределений (Куль-бак-Лейблер, Бхаттачария, Хи-квадрат) [10], многие классические статистические характеристики (коэффициенты асимметрии и эксцесса, дисперсионные отношения, выборочные коэффициенты корреляции) [11]. Функциональные представления позволяют упростить задачу конструирования статистик. Форма функциона-

ла определяется априорной информацией о задаче, а статистика получается путем замены распределения на его оценку в изучаемом функционале. Представление статистик в виде функционалов от эмпирических распределений упрощает и исследование сложных статистик, так как их структура имеет специфическую форму в виде известного функционала от эмпирического распределения. Таким образом, задача исследования статистик распадается на две части: анализ функциональной зависимости от распределений и анализ сходимости эмпирических распределений к истинным.

Функциональный подход оказывается наиболее эффективным в таких задачах обработки сигналов, как фильтрация, интерполяция и прогноз [8]. В частности, с привлечением функционального подхода эффективно решаются задачи восстановления плотностей распределения, их производных, отношений производных и т.п. для шумов регрессионных процессов с неизвестными параметрами, чему посвящен цикл работ, выполненных совместно с В.А. Васильевым [12-16].

Интересные результаты получены Г.М. Кошкиным в последнее? десятилетие. Им сформуЛировайы' и доказаны общие теоремы, позволяющие находить в асимптотическом случае моментные характеристики функций от статистик как в условиях слабой сходимости, так и в условиях обычной сходимости [8, 11, 17]. Показано, что нахождение моментов функций от статистик в условиях обычной сходимости, в отличие от слабой, требует знания определенных мажорантных последовательностей, причем для функционалов с особенностями выписывание таких мажорант становится принципиально невозможным. Выяснено, что класс кусочно-гладких аппроксимаций функций от статистик, даже имеющих особенности, не требует нахождения мажорант, что позволяет находить главный вклад моментов отклонений таких аппроксимаций [18, И]. Предложены и исследованы различные модификации непараметрических оценок функционалов: рекуррентные аналоги непараметрических оценок функционалов, ядерные оценки функционалов двух типов с улучшенной скоростью сходимости СКО и модификация непараметрических ядерных оценок функционалов плотности с учетом дополнительной информации, выражаемой функционалами от условных и безусловных плотностей [8, 19, 20]. Решена задача идентификации и управления для дискретно-непрерывных стохастических объектов в условиях непараметрической априорной неопределенности [21].

Новое направление - использование дополнительной априорной информации для повышения качества процедур анализа данных - стало бурно развиваться под руководством Ю.Г. Дмитриева. Первые работы по учету априорной информации томских статистиков относятся к 1976 г. В их основе первоначально лежали оценки Ю.Н. Тюрина («Об оценивании функций распределения» ТВ и ЕП, 1970) и метод функциональной интерпретации статистик. При этом использовалась априорная информация о знании моментов, симметрии и квантилей разных уровней функции распределения наблюдаемой случайной величины.

В [22] впервые оценки вероятностных характеристик рассматриваются как функционалы от модифицирован-

ных с учетом априорной информации оценок функции распределения. Изучены предельные свойства модифицированных эмпирических процессов и функционалов от них. В результате получены модифицированные ви-неровские процессы и функционалы от них.

В 1988 г. вышла монография [23] Ю.Г. Дмитриева и Ю.К. Устинова с изложением метода проекций в статистическом оценивании распределений вероятностей при использовании дополнительной априорной информации. Идея метода заключается в том, что по имеющейся априорной информации в классе всех распределений 3 выделяется априорный класс 3°-подкласс тех распределений, которые удовлетворяют данным свойствам. Затем строится проектор П°: З-^З" на априорный класс, являющийся отображением 3 на 3", неподвижным на 3". Построение оценки распределений Р заключается в применении проектора ГГ к эмпирическому распределению Ри, отвечающему выборке объема Ы, при этом получается оценка /У=ГГ/\. Важнейшее достоинство этого метода заключается в том, что он разделяет задачу учета априорной информации на две части: досгатистическую, состоящую из построения и исследования проекторов, и собственно статистическую, состоящую из изучения свойств получающихся оценок распределения и широкого класса функционалов от них. Метод проекций дает возможность строить классы распределений с заданными (нужными) свойствами. Впервые в статистическую практик вводится класс условно-инвариантных распределений, включающий в себя классы симметричных распределений, распределения с известными значениями на заданном наборе множеств и т. д.

Совместно с В.В. Коневым [24] получены неизвестные ранее точные границы погрешности оценок /(-мерных интегралов на классе подынтегральных функций с интегрируемыми в квадрате первыми частными производными с учетом знания значений других интегралов от заданного набора функций. При вычислении интегралов методом Монте-Карло учитывается информация о функции распределения и принадлежности подынтегральной функции заданному классу. В [25] впервые рассматриваются вопросы точности и устойчивости таких оценок к отклонениям распределения выборочных значений от равномерного. Кроме того, в [8, доп] рассмотрено использование априорной информации в критериях проверки статистических гипотез. Строятся статистики критериев, в которых явным образом присутствует имеющаяся априорная информация о функции распределения. Мощносгные свойства таких критериев выше (не меньше) по сравнению с критериями, не учитывающими информацию. Однако не всегда при этом сохраняется свойство непараметричности критериев.

Впервые [19] методы учета априорной информации применяются к непараметрическому оцениванию функционалов от условных плотностей. Это позволило получить новые непараметрические оценки регрессионных зависимостей с использованием дополнительных знаний. Исследованы свойства таких оценок и проведено сравнение с общепринятыми оценками. В [26] разработан метод построения оценок в условиях, когда априорные знания только лишь предполагаются; впервые получены адаптивные оценки, в которых одновре-

15

менно осуществляются проверка априорных знаний и оценка искомого функционала.

Большую актуальность имеют работы А.П. Серых по непараметрической классификации многомерных раз-ношкальных данных. Особо можно выделить три его работы. В [27] рассмотрены вопросы использования непараметрических оценок плотности распределения в задачах распознавания образов. Предлагаемый в ней способ нахождения параметров размытости га условия эмпирического риска так и не был улучшен другими авторами, несмотря на появление около десяти монографий, посвященных этой проблематике.

В задаче непараметрического оценивания регрессии важным является вопрос о скорости сходимости таких оценок. При этом используется метод подстановки наилучших (в смысле минимума среднеквадратичной ошибки) оценок распределений в оцениваемый функционал. В результате оценка функционала сохраняет скорость сходимости оценок плотностей. В [28] показано, что использование специального вида несостоятельных оценок плотностей приводит к Гп -состоятельности оценки функционала регрессии. Этот факт содержит в себе потенциальную возможность пересмотра и модификации оценок условных функционалов с максимально возможной скоростью сходимости.

Классическая математическая статистика, как правило, разрабатывает методы обработки данных, рассчитанные либо на непрерывные, либо на дискретные измерения. В то же время в практически интересных задачах свойства (признаки) объектов представлены в так называемых разнотипных шкалах и пространство наблюдений представляет собой произведение подпространств, в каждом из которых корректными являются преобразования элементов, допустимые для соответствующих шкал.

В случае разнотипности обычно исходное описание огрубляется и дело сводится к аналюу таблиц сопряженности, либо, напротив, данным, имеющим нечисловую природу, необоснованно приписывают числовые значения. В [29] предлагается непараметрическое оценивание распределений разнотипных случайных векторов, лежало« в основе обработки данных. При этом оценивание осуществляется без искажения прцэод ы исход ных д анных.

В.П. Шуленин большую часть усилий направил на обобщение и развитие робастных статистических процедур. В 1993 г. вышла его монография «Введение в робаст-ную статистику» [30], излагающая статистические процедуры, устойчивые (робастные) к отклонениям от статистической модели. Основное внимание уделяется робаст-ным по распределению процедурам. Исследуются асимптотические свойства оценок функционалов, вычислены их функции влияния и числовые характеристики робастно-сги. Приведены результаты сравнения характеристик оценок при различных отклонениях от модели.

Наряду с обобщением и систематизацией результатов из многочисленных публикаций в [30] представлены новые результаты, ранее не публиковавшиеся в монографической литературе. Описаны новые классы Я-оценок, основанных на урезанных выборках. Подробно исследована модификация оценки Ходжеса-Лемана, позволяю-16

шая, в частности, увеличил, значение предельной точки устойчивости с 0,29 до максимально возможного значения, равного 0,5. Подробно исследованы свойства обобщенных L-оценок, основанных на урезанных выборках. Приведены результаты по исследованию асимптотических свойств оценок, построенных методом минимума взвешенного расстояния Крамера-Мизеса. Доказана асимптотическая нормальность MD-оценок для случая, когда опорное распределение в модели и распределение выборки различаются. Приведены результаты по обобщенно теоремы Джекеля, что позволило установил» связи между классом MD-оценок и известными классами робастных M-, L- и R-оценок. Эта результаты позволили указать пути построения асимптотически эффективных MD-оценок и минимаксно-робастных оценок, построенных методом минимума расстояний для моделей с «засорением». В книге также изложены результаты сравнения характеристик различных оценок масштабного параметра. В частности, предложены и исследованы такие оценки масштаба, как медиана абсолютных отклонений и урезанный вариант средней разности Джина Асимптотические свойства робастных оценок функционале» исследуются с помощью подхода Мизеса и понятия функции влияния Хампеля.

В [31-33] приведены результаты по исследованию асимптотических свойств R-оценок, вычисляемых по урезанным выборкам. Получены общие выражения для вычисления функций влияния этих оценок, их асимптотических дисперсий и числовых характеристик робаст-ности, таких как чувствительность к грубым ошибкам и группировке, а также предложена модификация оценки Ходжеса-Лемана, позволяющая увеличить предел устойчивости оценки с величины 0,29 до максимально возможного значения 0,5.

В [34]-[36] приведены результаты по изучению асимптотических свойств оценок, построенных методом минимума расстояний, то есть определяемых в виде е„ = arg mjn d(F„, Fe),

где d{ ) - заданная метрика на множестве функций распределения вероятностей; F„ - эмпирическая функция распределения; Fee Зв - заданное параметрическое семейство функций. В указанных работах подробно исследованы оценки, построенные методом минимума взвешенного расстояния Крамера-Мизеса:

где Wq - заданная весовая функция. Для кратности эти оценки названы MD-оценками. Основные результаты следующие.

1. Доказана асимптотическая нормальность MD-оценок параметра сдвига симметричных распределений для случая, когда опорное распределение модели и функция распределения наблюдений различаются.

2. Найдены условия, при которых MD-оценки асимптотически эффективны.

3. Построены MD-оценки с ограниченной функцией влияния и получены выражения для их асимптотических дисперсий и числовых характеристик робастносги.

4. Установлены связи между MD-оценками и основными классами робастных оценок, таких как M-, L-и R-оценки, что позволило построить минимаксно-робастные MD-оценки для моделей с «засорением».

В [37], [38] изложены результата по исследованию асимптотических свойств обобщенных L-оценок вида

j~ i

где flj.....ал-заданные константы; 0<pj <\,j=l,...,dи

#л>ар '( ) - квантильная функция для эмпирической функции значений для (/\...../т)еСар - заданное множество индексов, зависящее от параметров аир; Hx\,-..jcm) - заданное ядро, симметричное относительно аргументов; т<п и я - объем выборки. Отметим, что семейство (Л^-оценок очень широкое. Конкретизация констант {pj}, способ задания весовых коэффициентов {а,} и выбор ядра h(xu-позволяют определить содержательный смысл функционала, в результате оценивания которого получаем G£ap-оценки. В этот класс, в частности, входят обычные L-оценки в виде линейных комбинаций порядковых статистик, обобщенные оценки Ходжеса-Лемана и их урезанный вариант, медиана абсолютных отклонений и многие другие оценки. Для Giap-оценок получены вледукэщие результаты!

- доказана асимптотическая нормальность GLa$-оценок;

- получены выражения для их функций влияния и числовых характеристик робастности;

- введение класса обобщенных L-оценок позволило исследовать асимптотические свойства различных классов робастных оценок, таких как М-, L- и R-оценки, с единых позиций, используя подход Ми-зеса и понятие функции влияния Хампеля.

Подчеркнем, что кафедра работала не только над теоретическими проблемами статистики. Значительные усилия шли на выполнение прикладных хоздоговорных работ, для крупных заказчиков (например - МИТ, Москва; ВИКИ им. Можайского, Ленинград; АКИН, Москва и др.).

Заслуживает внимания работа Б.С. Лещинского по созданию интеллектуальных программных продуктов. Совместно с медиками проведен статистический анализ ресурсов психиатрической службы на динамику выявленной болезненности и заболеваемости Сибири и Дальнего Востока [39, 40]. Разработаны алгоритмы и программные средства распознавания при разнотипности признаков и сильной пересекаемости классов [41-44].

Совместно с медиками проведена серия работ по выявлению информативных трупп признаков для распознавания больных различными нервно-психическими заболеваниями [45-48]. Построены алгоритмы и программные средства распознавания больных нервно-психическими заболеваниями [45,49-51]. В лаборатории статистики и анализа данных проделана работа по созданию баз знаний н интеллектуальных систем в медицинской (экспертные системы анализа взаимодействий препаратов для лечения больных сердечно-сосудистыми, желудочными и бронхо-легочными заболеваниями) [52], экономической (экспертные системы консультирования по российскому налогообложению [53] и анализу финансовой и хозяйственной деятельности предприятий [54,55]) и математической статистики (интеллектуальная система непараметрического оценивания функционалов распределений) [56].

ЛИТЕРАТУРА К СТАТЬЕ

1. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976.292 с. 2. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.Л., Тара-сенко Ф.П., Шуленин В.П. Непараметрическое оценивание функционалов по стационарным выборкам. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974.93 с. 3. Тарасенко Ф.П., Шуленин В. П. О статистической связи между наблюдением и его рангом II Труды СФТИ. 1971. Вып. 62. С. 220-228.4. Тарасенко Ф.П., Шуленин В.П. Критерий согласия // Труды СФТИ. 1974. Вып. 60. С. 3-69.5. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об оценивании функционалов от плотностей вероятностей и ее производных // Теория вероятностей и ее применения. 1973. Т. XVH Вып. 3. С. 662-668. Ь. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об одном классе непараметрических оценок нелинейных функционалов // Теория вероятностей и ее применения. 1974. Т. XIX. Вып. 2. С. 404-409. 7. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. О непараметрическом оценивании функционалов // Труды VI конгресса ИФАК по стохастическому управлению. Венгрия. 1974. С. 41-47.8.Добровидов А.В., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание сигналов. М.: Наука, 1997. 336 с. 9. Кошкин Г.М. Об одном подходе к исследованию функционалов от условных распределений при статистической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1978. № 8. С. 53-65.10. Кошкин Г.М. Оценивание функционалов расстояний между плотностями распределений // Пробл. передачи информ. 1991. Т. 27. Вып. 3. С. 66-72.11. Кошкин Г.М. Моменты отклонений оценки подстановки и ее кусочно-гладких аппроксимаций // Сибирский математический журнал. 1999. Т. 40. № 3. С. 605-618.11 Васильев В.А., Кошкин Г.М. Оценивание предельной плотности распределения и ее производным по наблюдениям с ослабевающей зависимостью // Пробл. передачи информ. 1997. Т. 33. Вып. 2. С. 66-80.13. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Оценивание функций от плотности распределения по зависимым наблюдениям II Пробл. передачи информ. 1997. Т. 33. Вып. 4. С. 45-60.14. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Непараметрическая идентификация авторегрессий // Теория вероятностей и ее применения. 1998. Т. 43. Вып.З. С. 577-588.15. Koshkin G.M., Vasil'iev V A. Nonparametric estimation of derivatives of a multivariate density from dependent observations II Mathematical methods of statistics. New York: Allerton Press, Inc. 1998. Vol. 7. № 4. P. 361-400.16. Васильев B.A., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание отношений производных многомерной плотности распределения по зависимым наблюдениям // Сибирский математический журнал. 2000. Т. 41. № 2. С. 312-330.17. Кошкин Г.М. Асимптотические свойства функций от статистик и их применения к непараметрическому оцениванию // Автоматика и механика 1990. № 3. С. 82-97.18. Китаева А.В., Кошкин Г.М. Устойчивое с улучшенной скоростью сходимости непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности // Автоматика и телемеханика 1997. № 5. С. 202-214.19. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М. Использование дополнительной информации при непараметрическом оценивании функционалов плотности II Автоматика и телемеханика 1987. № 10. С. 47-58. 20. Булдаков В.М., Кошкин Г.М. О рекуррентных оценках: плотности вероятности и линии регрессии // Пробл. передачи информ. 1977. Т. 13. Вып. 1. С. 58-66. 21. Koshkin G.M., Tarasenko F.P. Non-parametric algorithms for identifying and control of continuous-discrete stochastic objects // 8-th IFAC-IFORS Symposium on Identification and System Parameter Estimation. Beijing: Pergamon Press, 1988. Vol. 2. P. 882-887.22. Дмитриев Ю.Г. О свойствах оценок функций распределения и функционалов при дополнительной априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976. Вып. 4. С. 63-76.23. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Статистическое оценивание распределения вероятностей с использованием дополнительной информации. Томск Изд-во Том. ун-та, 1988. 194 с. U. Дмитриев Ю.Г., Конев В В. О погрешности статистического оценивания кратных интегралов с использованием омега-квадрат критерия // Ж. вычисл. матем. и маггем. физики. 1977. Т. 17. Выл 6. С. 1363-1373. 25.Дмитриев Ю.Г., Титова СЛ. Привлечение априорной информации на основе минимума верхних траниц погрешностей // Математическое моделирование и теория вероятностей: Сб. научных трудов Томского университета / Под ред. В Н. Берцун, А.М. Бубенчикова и Ю.К. Устинова Томск: Изд-во Том. ун-та. 1998. С. 185-190.26.Дмитриев Ю.Г. Непараметрическое условное оценивание функционалов плотности распределения // Математическое моделирование и теория вероятностей: Сб. научных труд ов Томского университета / Под pea В.Н. Берцун, А.М. Бубенчикова и Ю.К. Устинова Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. С. 169-177. 27. Серых А.П. Об использовании непараметрических оценок плотностей в задачах распознавания образов // Проблемы кибернетики. Томск, 1972. № 63. С. 184-195. 28. Серых А.П. О непараметрическом оценивании регрес-

сии // Проблемы компьютерного анализа данных и моделирование. Минск, 1991. С. 161-167.29. Серых А.П. Оценка распределения случайных векторов разнотипных данных. Классификация разнотипных данных // Доклады научной сессии ТГУ. Томск, 1993. С.21-27. 30. Шуленин ВП Введение в робастную статистику. Томск: Изиню Том. ун-та, 1993.227 с. 31. Шуленин В.П. Минимаксные Ra-оценки и их числовые характеристики при конечных выборках // Адаптация и обучение в системах управления и принятия решений. Новосибцхж Наука, 1982. С. 110-122. 32. Шуленин В.П. О некоторых свойствах a-урезанной оценки Хсдосса-Лемана // Стохастические системы управления. Новосибирск: Наука, 1979. С. 54-62. 33. Shukntn V.P., Deeva Т.А. The numerical characteristics of robustness of the class of the Hodges-Lehmann generalized estimators // Proceedings the third Russian-Korean international symposium on science and technology. KORUS'99. Novosibirsk, 1999. Vol. 2. P. 510-513.34. Шулеиш В П. Асимптотические свойства и робастность MD-оценок И Теор. вероят. и ее примен. 1992. Т. 37. Вып. 4. С. 816-818.35. Шуленин В.П. Границы эффективносгей оценок, построенных метсшом минимума расстояний Крамера-Мизеса// Изв. Вузов. Физика 1995. № 8. С. 84-89.36. Shukntn V.P., Tarasenko F.P. Connection of Misestimates with classes of robust estimate of location parameter// 12-th Prague conf inf. theory. Prague, 1994. P. 220-223. 37. Shukntn KP., Deeva T.A. Asymptotic efficiency for the generalized Hodges-Lehmann estimator under the normal mixture distributions // С ADM Minsk, 1998. P. 107-112.38. Shulenin V.P. Asymptotic properties of the trimmed GL- and U-statistics // Prague stochastics'98. Prague, 1998. Abstracts P. 84. 39. Потапов А.И., Красин ЕД, Рицнер М.С., Дригаяенко ЕИ., Лещшюаш ЕС. Многомерный анализ связи ресурсов психиатрической службы с выявлением и распространенностью психически больных в регионах Сибири и Дальнего Востока // Журнал невропатологии и психиатрии. 1987. Т. 87. Вып. 3. 40. Потапов А.И., Красик ЕД, Рицнер М.С., Лещинский ЕС., Дригаяенко Е.И. Корреляционно-регрессионный анализ влияния ресурсов психиатрической службы на динамику выявленной болезненности населения Сибири и Дальнего Востока // Журнал невропатологии и психиатрия 1988. Т. 88. Вып. 10. 41. Лещинский ЕС. Логико-математический алгоритм оценки версмпност возникновения шизофрении // Актуальные вопросы психиатрии. Томас Изд-во ТГУ, 1983. Вып. 1.42. Лещинский ЕС. Алгоритм распознавания, использующий класс логических решающих правил, в условиях пересекаемости классов // Математическая статистика и ее приложения Томск: Изд-во ТГУ, 1986. Вып. 10.43. Лещинский ЕС. Алгоритм распознавания, использующий класс логических решающих правил и случайный поиск с адаптацией, в пространстве разнотипных признаков // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во ТГУ, 1986. Вып. 10. 44. Лещинский ЕС. Комплекс программ выбора информативных групп признаков и построения решающих правил распознавания // Информационный листок о научно-техническом достижения Томск Межотраслевой территориальный ЦНТИ, 1986. № S. 86 с. 45. Запускаяов С.В., Лещинский ЕС. Автоматизированное выявление больных с резидуалыю-органическими расстройствами на крупном промышленном предприятии И Актуальные вопросы психиатрия Томас Изд-во ТГУ, 1985. Вып. 2. 46. Запускаяов С.В., Лещшюаш ЕС., Пояожий B.C., Рицнер М.С. Выделение информативной совокупности факторов для распознавания больных нервно-психическими заболеваниями И Журнал невропатологии и психиатрии. 1986. Т. 86. № 8.47. Лещинский ЕС. Прогнозирование возникновения мультифакториальных заболеваний с использованием методов распознавания образов // Тр. IY Всесоюз. конф. «Актуальные вопросы адаптации человека к климато-географическим условиям и первичная профилактика». Новосибирск, 1986. Т. 2. 48. Лещшюаш B.C., Рицнер М.С. Выделение информативной совокупности факторов возникновения эпилепсии методом распознавания образов // Журнал невропатологии и психиатрии. 1989. Т. 89. Вып. 6. 49. Дригаяенко Е.И., Лещинский ЕС., Рицнер М.С. Программное обеспечение обработки медицинской и генетической информации // Актуальные вопросы психиатрии. Томск: Изд-во ТГУ, 1985. Вып. 2. 50. Лещинский ЕС., Запускаяов С.В. Комплекс программ для автоматизированного выявления больных с нервно-психическими расстройствами среди работников промышленных предприятий // Информационный листок о научно-техническом достижении. Томск: Межотраслевой территориальный ЦНТИ, 1986. N» 2. С. 86. 51. Рицнер М.С., Лещинский ЕС. Методико-генетическое прогнозирование психических заболеваний по алгоритму распознавания образов // Бюллетень СО АМН СССР. Новосибирск, 1987. № 4. 52. Лещинский ЕС., Скрипим С.В. Экспертная система анализа взаимодействия лекарственных препаратов для лечения основных групп заболеваний // Труды IX Междунар симпозиума по непараметрич. методам в кибернет. и информат. Красноярск, 1997.53.Лещшюаш B.C., Кусков В.Е Экспертная система консультирования по российскому налогообложению // Программные продукты и системы. 1995. № 3. 54. Лещинский ЕС., Краснояров Ф.В., Скрипим С.В. Экспертная диагностическая система анализа финансовой и хозяйственной деятельности предприятия // Программные продукты и системы. 1995. № 1.55. Лещинский B.C., Скрипим С.В. Экспертная система сравнительного анализа экономического состояния предприятия // Труды IX Междунар. симпозиума по непараметрич. методам в кибернет. и информат. Красноярск, 1997. 56. Кошкин Г.М., Лещинский B.C.. Краснова И.В., Паникина Т.В., Спиридонова С.Ю. Интеллектуальные системы непараметрического оценивания функционалов распределений // Тр. междунар. конф. «Всесибирские чтения по математике и механике». Томск, 1997.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1 .Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об использовании априорной информации при оценивании линейных функционалов // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976. Вып. 4. С. 52-62. 2. Dmitriev Yu.G., Tarasenko F.P. On the use of a priori information in estimatid linear fimctionals of distribution // Problems control and inform, theory. 1978. Vol. 7. № 6. P. 459-469. i. Дмитриев Ю.Г. Об оценках параметров распределений при дополнительной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987. Вып. 11. С. 39-46. 4.Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П., Устинов Ю.К. Об учете априорной информации методом проекций // Международный симпозиум по теории информации. Ташкент, 1984. С. 27-29. 5. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко П.Ф. Использование априорной информации в статистической обработке экспериментальных данных // Известия Вуэов. Физика. 1992. №. 9. (¡.Дмитриев ЮТ. Метод коррелированных процессов при наличии смещений // Математическое моделирование и теория вероятностей: Сб. научных трудов Томского университета / Под ред. В.Н. Берцуна, А.М. Бубенчикова и Ю.К. Устинова. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. С. 163-168. Т.Дмитриев Ю.Г. Метод коррелированных процессов при многозначности в априорных условиях // Математическое моделирование и теория вероятностей: Сб. научных трудов Томского университета / Под ред. В.Н. Берцуна, А.М. Бубенчикова и Ю.К. Устинова. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. С. 178-184. 8. Дмитриев ЮТ., Шуленин В.П. Об учете априорной информации в задачах согласия и однородности // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976. Вып. 4. С. 77-87. 9. Dmitriev Yu.G., Koshkin G.M. On the use of a priori information in nonparametric regression estimation // Proceeding 2nd IF AC simposium on stochastic control. Oxford e.a.: Pergamon Press, 1987. P. 223-228.

Статья поступила в научную редакцию 25 марта 2000 г.