СПОСОБ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО УСКОРЕНИЯ МАКРОЧАСТИЦ
METHOD FOR ELECTROSTATIC ACCELERATION OF MACROPARTICLES

Изобретение относится к области ускорительной техники и может быть использовано для решения научных и прикладных задач.
Область техники
Известен [1] способ ускорения магнитных диполей, заключающийся в том, что магнитные диполи ориентируют в пространстве так, чтобы ось намагничивания совпадала с осью ускорения, и ускоряют полем токового импульса.
Однако дипольное взаимодействия является по своей природе значительно менее эффективным, чем зарядовое. Это связано с тем, что дипольное взаимодействие является разностным. Действительно, например, если один из полюсов диполя отталкивается от ускоряющего его импульса тока, то другой в это же время притягивается к импульсу тока и результирующая ускоряющая сила является разностью этих двух сил. Поэтому однородное магнитное поле на диполи не действует, диполи можно ускорять градиентом магнитного поля.
-10
Кроме того, удельный магнитный момент - магнитный момент, приходящийся на один нуклон, для наиболее подходящего для ускорения материала - железа, мал. Удельный магнитный момент для железа равен: m=2*10 эВ/(Гс*нуклон). Соответственно, темп набора энергии железным магнитным диполем m*∂В/∂z в градиентном магнитном поле с разумным градиентом ∂В/∂z=500 Гс/см получается равным:
mag
-10
-7
ΔW=m*∂B/∂z=2*10*500=10 эВ/см.
-7
-7
4
-3
el
Набор энергии частицей, имеющей удельный заряд, заряд выраженный в единицах заряда электрона и приходящийся на один нуклон, может достигать величины: e(Z/A)=10 и в электрическом поле с напряженностью Е=10 кВ/см темп набора энергии при зарядовом ускорении получается равным: ΔW=10*10=10 эВ/см, что составляет величину, на четыре порядка большую, чем темп набора энергии для дипольного взаимодействия.
Известен [2] способ электростатического ускорения макрочастиц, заключающийся в том, что макрочастицы электрически заряжают, передавая им контактным способом часть заряда от высоковольтного выпрямителя.
-10
-16
3
Этот метод, при ускоряющем потенциале на электростатическом ускорителе Ван де Графа U=1,5-2 MB, обеспечивает ускорение частиц с m=10-10 г до десятков км/с. Одна загрузка инжектора металлической пылью ~1 см обеспечивает его работу в течение нескольких сотен часов. Используемые в эксперименте металлические заряженные пылинки имеют размеры 0,1-5 мкм. Используемые в эксперименте металлические заряженные пылинки имеют размеры 0,1-5 мкм (смесь Аl<1 мкм и Cr>1 мкм).
При ускоряющем напряжении на инжекторе 10 кВ выбрасываемые из инжектора частицы Аl с r~0,1 мкм имеют скорости в пределах до 1-2 км/с, что соответствует заряду отдельной частицы 0,2-100 фКл. Скорость заряженных частиц определяется по промежутку времени пролета между двумя кольцеобразными электродами, на которых индуцируются импульсы напряжения. Заряженные частицы при работе с инжектором и при ускорении частиц на ЭГ-8 регистрируют при помощи вторичного электронного умножителя (ВЭУ) или фотоэлектронным умножителем (ФЭУ).
Этот способ может быть выбран за прототип.
Недостатки прототипа
Однако прототип имеет существенный недостаток - передаваемый от кондуктора к макрочастице электрический заряд мал, что ограничивает конечную скорость. Для увеличения скорости макрочастиц приходится увеличивать высоковольтный потенциал на кондукторе до значений ~2 MB, что в свою очередь увеличивает габариты устройства.
Сферическая форма макрочастиц не является оптимальной с точки зрения прохождения их сквозь атмосферу и проникновения в вещество.
Техническая задача, которую решает данный способ, состоит в устранении указанного недостатка, то есть в увеличении передаваемого макрочастице заряда, увеличении темпа набора энергии, уменьшении габаритов устройства, увеличении глубины проникновения макрочастиц в вещество.
cone
Сущность настоящего изобретения заключается в том, что макрочастицы электрически заряжают и ускоряют электростатическим полем, при этом ускоряемые макрочастицы, имеющие цилиндрическую форму конической головной части с диаметром цилиндра D=6 микрон, с длиной конической части l=3 мм и общей длиной l=10 мм, изготавливают из вольфрама, предварительно покрывают платиной и пассивируют кислородом, в состав макрочастиц предварительно вводят атомы железа в количестве 3.3% от количества атомов вольфрама, макрочастицы намагничивают в направлении продольной оси, ориентируют в пространстве так, чтобы их ось намагничивания совпадала с осью ускорения, и предварительно ускоряют импульсным магнитным полем.
Связь отличительных признаков с положительным эффектом
Сферическая форма частиц, используемая в прототипе, не является оптимальной по многим причинам, прежде всего ускорительным. С увеличением радиуса макрочастиц резко падает эффективность ускорения. Для того чтобы лучше понять принципиальные недостатки ускорения частиц сферической формы, составим сравнительную таблицу основных параметров ускоряемых шариков в зависимости от их диаметра для случая железных шариков.
Основные параметры ускоряемых объектов
D, мк
А
Z
Z/A
ЕФ, МэВ
М, г
β<sub>i</sub>
2
2*10<sup>13</sup>
6*10<sup>7</sup>
3*10<sup>-6</sup>
0.1
3.2*10<sup>-11</sup>
4*10<sup>-5</sup>
20
2*10<sup>16</sup>
6*10<sup>9</sup>
3*10<sup>-7</sup>
1
3.2*10<sup>-8</sup>
1.2*10<sup>-5</sup>
200
2*10<sup>19</sup>
6*10<sup>11</sup>
3*10<sup>-8</sup>
10
3.2*10<sup>-5</sup>
4*10<sup>-6</sup>
2*10<sup>3</sup>
2*10<sup>22</sup>
6*10<sup>13</sup>
3*10<sup>-9</sup>
10<sup>2</sup>
3.2*10<sup>-2</sup>
1.2*10<sup>-6</sup>
поверх
i
inj.
i
9
5
Во всех случаях напряженность электрического поля на поверхности объектов составляет величину Е=10 В/см. В первом столбце расположен D - диаметр шарика в микронах, во втором столбце А - атомная масса шарика в единицах атомной массы нуклона, в третьем столбце находится предельный заряд Z, посаженный на объект в единицах заряда электрона, в четвертом столбце Z/A - отношение заряда, расположенного на шарике, к его массе, в пятом столбце - потенциал Ф объекта - энергия, которую должен иметь электрон, чтобы преодолеть отталкивание ранее размещенных на объекте электронов, в шестом М - масса шарика в граммах, в седьмом β - начальная скорость шариков, приобретенная ими после ускорения в электростатическом поле с напряжением U=250 кВ, выраженная в единицах скорости света β=V/c, где с=3*10 км/сек, скорость света в вакууме.
поверх
9
13
Из сравнения данных, приведенных в таблице, видно, что при увеличении диаметра шариков атомный вес и масса (столбцы 1, 6) растут, как куб радиуса, как квадрат радиуса, увеличивается необходимый заряд, который надо разместить на шарике для достижения напряженности поля Е=10 В/см. Для шарика с диаметром D=2 мм заряд (в единицах заряда электрона) Q=I*τ=2А*5 мкс=6*10, уже близок к предельному заряду, ускоряемому за один импульс в линейных ускорителях. Отношение заряда, размещенного на шарике, к его массе (столбец 4) линейно уменьшается с увеличением диаметра, и это значит, что с ростом диаметра линейно уменьшается эффективность ускорения, то есть в поле одной и той же напряженности, при одной и той же длине ускорителя, шарики большего диаметра наберут меньшую скорость.
Для макрочастиц цилиндрической формы параметр Z/A вообще не зависит от длины цилиндра, так как и заряд, размещенный на макрочастице, и ее масса растут линейно с ростом длины цилиндра. Покрытие макрочастицы платиной и пассивирование ее кислородом значительно увеличивает поверхностный барьер, препятствующий утеканию электронов с макрочастицы.
Цилиндрическая форма макрочастицы с острым конусом в головной части позволяет получить значительно лучшие баллистические характеристики, чем у прототипа, а именно, острый конус позволяет достичь очень малого коэффициента аэродинамического сопротивления, что важно для преодоления атмосферы без потери скорости. Использование вольфрама вместо железа значительно улучшает аэродинамическое «качество» макрочастиц.
Наконец, вытянутая цилиндрическая форма макрочастицы позволят получить значительную глубину проникновения в вещество, во много раз большую, чем у прототипа, что представляет интерес для ряда практических приложений.
Осуществление изобретения. Работа устройства
1. Введение 3.3% железа в состав вольфрама
-12
Введем в состав макрочастицы, состоящей из вольфрама, железо в количестве 3.3% по концентрации и намагнитим макрочасттицу так, чтобы ось намагничивания совпадала с продольной осью цилиндра и осью ускорения. Поскольку атомная масса вольфрама примерно в 3.3 раза больше, чем у железа, а собственным магнитным моментом вольфрам не обладает, то получившийся удельный магнитный момент будет примерно в 100 раз меньше, чем у железа, и будет равен: m=2*10 эВ/(Гс*нуклон).
2. Покрытие вольфрамовой проволоки платиной и пассивирование кислородом
Чтобы создать поверхностный барьер для электронов, «разместившихся» на макрочастице, нужно возможно больше увеличить работу выхода для электронов из макрочастицы. Наибольшей известной работой выхода обладает платина, пассивированная кислородом [3], стр.445. Размещенный на макрочастице заряд будет с нее стекать, путем автоэлектронной эмиссии, в соответствии с формулой [3], стр.444:
где θ(у) - функция Нордгейма, в которой аргументом является относительное снижение работы выхода внешним электрическим полем по Шоттки.
3. Пространственная ориентация и предварительное ускорение макрочастиц
Оценим скорость макрочастиц, ускоренных катушкой, ток в которой выключается при достижении макрочастицей середины катушки. Напряженность поля на оси катушки описывается формулой:
0
где R - радиус витка с током, Iφ - ток в витке, z - расстояние от центра витка.
-12
2
2
z
z
0
Пусть макрочастица предварительно намагничена и имеет удельный магнитный момент на 2 порядка меньше, чем у железа, а именно: m=2*10 эВ/(Гс*нуклон). Найдем из формулы (2) градиент магнитного поля ∂В/∂z=В*3z/[z+R ] и приращение энергии макрочастицы, полученное в результате взаимодействия магнитного момента макрочастицы с градиентом магнитного поля витка с током:
acc
z
inl
jnl
-8
которое для l=10 cm и градиента магнитного поля (∂B/∂z)=500 Гс/см может быть оценено как ΔW=10 эВ/нуклон, так что скорость макрочастицы, после предварительного ускорения в таком витке (coil gun), составит V=1.5 м/с и отрезок будет ориентирован вдоль оси ускорения.
4. Облучение макрочастиц пучком электронов. Энергия электронов
Таким образом, мы чуть-чуть ускорили макрочастицу за счет ее слабой намагниченности и, главное, ориентировали ее вдоль оси ускорения. Дальнейшее ускорение макрочастицы будет происходить за счет ее взаимодействия с электрическим полем, поэтому макрочастицу необходимо электрически зарядить. Такую «зарядку» можно произвести, облучая макрочастицу пучком электронов.
surf
e
surf
Будем исходить из поверхностной напряженности поля: E=40 МВ/см, позднее мы подробно проанализируем выбор этого очень важного параметра. Тогда, для диаметра проволоки d=6µ, получим, что минимальная энергия электронов, способных преодолеть кулоновское отталкивание ранее размещенных на макрочастице электронов, должна быть: W>eE*d/2=12 кэB.
5. Облучение макрочастиц пучком электронов. Длина пробега
2
3
3
Al
Al
tung.
e
Электроны с энергией 12 кэВ имеют пробег в алюминии, примерно равный 2 мг/см [3], стр.957. Принимая плотность алюминия равной: ρ=2.7 г/см, найдем, что экстраполированный пробег электронов в алюминии равен: l≈7µ. Поскольку плотность вольфрама, ρ=19.35 г/см, более чем в 7 раз превышает плотность алюминия, то длина пробега электронов с энергией 12 кэВ в вольфраме примерно равна 1µ. Таким образом, электроны с энергий W=12 кэВ не смогут пересечь диаметр макрочастицы 6µ, будут терять свою энергию на ионизацию вещества, и будут останавливаться в толще макрочастицы.
6. Облучение макрочастиц пучком электронов. Плотность облучающего пучка
ch
ch
ch
ch
ch
irr
e
10
Оценим время пролета макрочастицей расстояния, равного собственной длине, то есть l=1 см. Для скорости макрочастицы V=1.5 м/с это время будет равно: t=l/V=7 мс. Пусть длительность облучения макрочастицы электронным пучком равна t=300 мкс, ниже будет показано, что за это время, при полном заряде макрочастицы электронами, менее одного процента покинут макрочастицу за счет автоэлектронной эмиссии. Общее число электронов, которые должны быть размещены на макрочастице, пусть составляет величину N=4*10.
irr
e
irr
Поперечные размеры ленточного облучающего пучка возьмем равными: S=5µ*1 см, где величина поперечного сечения пучка 5µ выбрана такой, чтобы длина хорды, проведенной через поперечное сечение макрочастицы, превышала 1µ, глубину экстраполированного пробега электронов с энергией W=12 кэВ в вольфраме. Учтем, что коэффициент отражения медленных электронов от вольфрама равен примерно: k=0.35 [3], стр.957, и из соотношения
irr
2
найдем, что требуемая плотность тока облучающего пучка электронов составляет величину, примерно равную: j=0.1 А/см, что много меньше, например, плотности эмиссионного электронного тока, получаемой от оксидных катодов.
7. Облучение макрочастиц пучком электронов. Вносимый импульс
е
e
-3
10
Оценим поперечную скорость, которую будет иметь макрочастица из-за импульса, вносимого электронами. Скорость электронов, которыми облучается макрочастица: β=V/c=5*10, где с=3*10 - скорость света в вакууме. Полученная в результате облучения электронами поперечная скорость макрочастицы будет равна:
e
a
а
е
n
e
a
a
-7
где N - число некомпенсированных (посаженных на макрочастицу) электронов, N - число атомов, содержащихся в макрочастице, А - атомный вес вольфрама, m - масса электрона, M - масса нуклона. При малом числе избыточных электронов в макрочастице (N/AN)=(Z/A)=1.8*10 и отношении массы электрона к массе нуклона 1/2000, поперечная скорость будет мала. В случае если она будет создавать проблемы, облучение макрочастицы надо будет вести двумя встречными пучками электронов.
8. Облучение макрочастиц пучком электронов. Автоэлектронная эмиссия
7
«Посадить» несколько зарядов на макрочастицу не составит проблемы, но дальше, когда электронов на макрочастице будет много, они начнут стекать с нее за счет автоэлектронной эмиссии. Пусть напряженность поля для автоэлектронной эмиссии составляет: Е=4*10 В/см. После достижения этой напряженности поля, сколько бы новых электронов не сажали, они утекут с макрочастицы собственно за счет кулоновского расталкивания.
После того как посажено достаточно много электронов, для того чтобы посадить последующие, надо преодолеть отталкивание тех, которые уже там сидят. И это значит, что энергия электронов, которые мы хотим посадить на макрочастицу, должна быть достаточно большой, такой, чтобы они могли преодолеть этот кулоновский барьер, долететь до макрочастицы и на ней остаться.
Кулоновский барьер растет для частиц сферической формы линейно с ростом радиуса и для частиц с диаметром d=2 мм и может достигать десятков МэВ, так что для его преодоления потребуется ускорять электроны в специальном ускорителе.
«Посадить» большой электрический заряд будет мешать автоэлектронная эмиссия. Часть заряда за счет туннельного эффекта будет непрерывно утекать с макрочастицы. Зависимость плотности автоэмиссионного тока от напряженности электрического поля для поверхностей с различным значением работы выхода.
W
tr
object
W
surf
surf
3
2
-7
2
-7
3
-6
-3
2
7
Примем следующими параметры макрочастицы: плотность ρ=19 г/см, диаметр макрочастицы d=6µ, длина l=1 см. Площадь поперечного сечения макрочастицы: S=πd/4=3*10 см, объем V=3*10 см, масса отрезка вольфрамовй проволоки, макрочастицы равна: m=6*10 г. Площадь боковой поверхности макрочастицы: S=πd*l=10 см, поверхностная напряженность поля на макрочастице равна: E=4*10 В/см.
surf
7
Определим заряд, который должен быть расположен на макрочастице, для создания напряженности электрического поля E=4*10 В/см, из выражения, связывающего напряженность поля на цилиндре с линейной плотностью заряда на нем:
e
10
откуда N=4*10.
9. Ускорение макрочастиц электростатическим полем
Вычислим теперь получившиеся отношения Z/A. Составим пропорцию для вольфрама:
23
6*10 nucleons - 1 г
W nucleons
17
Откуда находим, что в макрочастице содержится N=1.67*10нуклонов и отношение Z/A для нее равно:
асс
-7
Пусть напряженность ускоряющего макрочастицу электростатического поля составляет величину Е=10 кВ/см. Уравнение движения макрочастицы с удельным (приходящимся на один нуклон) зарядом Z/A=2.4*10 может быть записано в виде:
n
5
где М - масса нуклона. Считая начальную скорость макрочастицы равной нулю, получим выражение для зависимости безразмерной скорости β=V/c, где с=3*10 км/с - скорость света в вакууме, от времени в виде:
fin
fin
fin
fin
acc
-5
6
-4
Пусть конечная скорость ускорения V равна V=3 км/с, что соответствует безразмерной скорости β=10. Из уравнения (10) можем найти, что выражение ct равно: ct=4.16*10. Следовательно, время ускорения от начальной нулевой скорости до конечной скорости, V=3 км/с, равно: t=1.38*10 с.
acc
Длина ускорения L может быть найдена по формуле равноускоренного движения, которая в нашем случае может быть записана в виде:
acс
acc
acc
Подставляя цифры в формулу (11) найдем, что длина ускорения L равна L=21 см, соответственно, для ускорения макрочастиц требуется приложить электростатическое напряжение U, равное:
10. Утечка электронов
-4
2
Найдем количество электронов, покинувших макрочастицу за время ускорения. Для напряженности поля Е=40 МВ/см и работы выхода: еφ=6.5 эВ из графика [3], стр.461, найдем, что плотность тока утечки равна j=10 А/см.
Утечка заряда ΔQ будет равна:
-4
2
-3
2
-4
8
surf
acc
где j=10 А/см - ток утечки, S=1.88*10 см - площадь боковой поверхности макрочастицы, t=1.38*10 с - время ускорения. Подставляя цифры в формулу (13), найдем, что ΔQ=2*10 электронов, и это составляет менее 1% от числа электронов, посаженных на макрочастицу.
Вольфрамовую проволоку, покрытую золотом, с диаметрами от 5 до 500 микрон уже десятки лет выпускает шведская фирма LUMA [4].
11. Выпуск макрочастиц в атмосферу
1
1
-9
3
Макрочастицы должны облучаться пучком электронов и затем ускоряться в довольно глубоком вакууме. P≈10 мм рт.ст., в то же время применение их предполагается при нормальных атмосферных условиях: P≈10 мм рт.ст., так что разница давлений составляет примерно 12 порядков. Для создания такого градиента давления можно использовать несколько буферных полостей, представляющих собой, например, цилиндрические камеры, разделенные торцевыми стенками, в которые встроены импульсные диафрагмы. Каждая полость должна иметь индивидуальную вакуумную откачку.
0
1
11
0
1
0L
-4
4
19
3
Рассчитаем количество частиц воздуха, которые проникнут в первую, ближайшую к атмосфере, полость. Пусть радиус раскрытия диафрагмы составляет r=1 см и время, на которое она открывается, составляет t=10 с. Тогда линейная скорость движения лепестков ирисовой диафрагмы будет составлять V=r/t=10 см/с, что не должно представлять большой проблемы для работы механизма. Среднюю скорость теплового движения молекул воздуха  будем считать примерно равной скорости звука в воздухе , из всевозможных пространственных ориентаций скорости только 1/6 (1/6 - это одна грань куба) направлена в сторону диафрагмы. Число молекул в сантиметре кубическом воздуха при нормальных условиях, число Лошмидта, равно ρ=2.7*10 молекул/см. Тогда число молекул, прошедших из атмосферы в первую буферную полость за время, пока диафрагма находится в открытом состоянии, равно:
0
01
0
19
4
3
15
3
Подставляя численные значения в формулу (14), найдем, что общее число частиц, прошедших из атмосферы в первую буферную полость, равно: N=4*10 частиц. Пусть объем первой полости составляет величину, равную V=10 л=10 см. Тогда плотность молекул в ней после срабатывания диафрагмы будет равна n=4*10 молекул/см.
Плотность частиц (и давление: р=nkT) в первой буферной полости примерно на 4 порядка меньше плотности частиц в атмосфере при нормальных условиях, так что потребуется, по крайней мере, 3 такие полости для создания соответствующего градиента давления.
1
2
3
2
-2
Рассмотрим теперь динамику плотности частиц в полости в течение времени между срабатываниями устройства. Пусть полость откачивается через отверстие с площадью S=10 см. Будем считать, что все молекулы, попавшие на эту площадь, удаляются из объема. Будем считать, что время между выстрелами составляет t=10 с, то есть частота срабатывания устройства равна F=100 Гц. Уравнение, описывающее уменьшение плотности частиц при откачке, может быть записано в виде:
Решение этого уравнения может быть записано в виде:
2
0
1
0L
-3
15
-3
13
3
19
3
для времени откачки t=t показатель экспоненты примерно равен 5, так что за счет откачки плотность молекул в первой буферной полости уменьшается более чем в 100 раз, n=n*7*10, и плотность частиц в первом буферном объеме перед следующим выстрелом будет составлять величину: n=4*10*7*10=3*10 молекул/см, на 6 порядков меньше, чем число Лошмидта: ρ=2.7*10 молекул/см, соответствующее числу молекул в сантиметре кубическом воздуха при нормальных условиях.
Видно, что перед следующим выстрелом полость можно считать пустой.
Предложенный способ можно реализовать с помощью устройства
1
0
асс
асс
acc
На Фиг.1 приведена схема устройства. Устройство состоит из подающей кассеты 1, откуда макрочастицы 2 направляются в область импульсного магнитного поля, создающегося катушкой 3. Этим импульсным полем макрочастицы предварительно ускоряются до скорости V=1.5 м/с и ориентируются в пространстве так, чтобы их ось совпадала с осью ускорения. Макрочастицы облучают пучком электронов, инжектированных из пушки 4, электрически их заряжая, после чего они ускоряются до конечной скорости V=3 км/с в ускорительной трубке 5 электростатическим полем Е с напряженностью, Е=10 кВ/см на длине L=21 см. Выпуск частиц в атмосферу осуществляется через три буферные полости, представляющие собой отрезки трубы, разделенной торцевыми стенками, в которые встроены импульсные диафрагмы 6. Каждая буферная полость имеет индивидуальную откачку 7.
Возможное применение в военном деле
1. Баллистика
Рассчитаем движение макрочастицы, ускоренной электростатическим полем и выпущенной под углом Θ к горизонту с учетом сопротивления воздуха. Уравнение движения макрочастицы можно записать в виде:
2
-3
3
2
-7
2
0
0
tr
tr
х
где m - масса макрочастицы, V - скорость, g - 0.01 км/сек - ускорение силы тяжести,  - барометрическая формула изменения плотности атмосферы с высотой, ρ=1.3*10 г/см - плотность воздуха у поверхности Земли, Н=7 км - значение высоты, на которой плотность падает в е раз, Θ - угол наклона траектории к горизонту, в нашем случае Θ=70°, sinΘ=0.94, cosΘ=0.34, S - поперечное сечение макрочастицы, в нашем случае это цилиндр, S=πd/4=3*10 см, С - аэродинамический коэффициент.
Аэродинамическим коэффициентом или коэффициентом аэродинамического сопротивления называется безразмерная величина, учитывающая «качество» формы макрочастицы:
0
В нашем случае, поскольку начальная скорость V=3 км/с, то второй член в уравнении (17) больше первого, то есть первым членом в уравнении (17), а именно mg*sinΘ, можно пренебречь, по сравнению со вторым.
Тогда уравнение (17) упрощается и выглядит так:
Решение уравнения (19) может быть записано в виде:
х
Для того чтобы можно было вычислять изменение скорости макрочастицы со временем, необходимо найти аэродинамический коэффициент С.
2. Расчет коэффициента аэродинамического сопротивления макрочастиц для воздуха
Будем считать, что макрочастица имеет форму цилиндрического стержня с конической головной частью. Тогда, при ударе молекулы азота по конусу, изменение продольной скорости молекул равно:
t
где Θ - угол конуса при вершине. Молекулы газа передают макрочастице импульс:
Изменение импульса в единицу времени - сила, сила лобового торможения.
x1
Разделив F на  получим коэффициент аэродинамического сопротивления для острого конуса при зеркальном отражении молекул от конуса (формула Ньютона):
cone
t
х air
-3
-6
Пусть длина конусной части макрочастицы равна l=3 мм. Это означает, что угол при вершине конуса равен: Θ=2*10 и С=4*10.
ind
Примером того, как быстро с ростом скорости для цилиндра с конической головной частью коэффициент аэродинамического сопротивления становится постоянным и соответствующим формуле (24), может служить график, приведенный в [5]. Видно, что обтекание воздухом цилиндра с конической головной частью перестает зависеть от скорости для числа Маха М=5, то есть для скорости, примерно равной V=1.6 км/с.
3. Прохождение макрочастиц сквозь атмосферу
х air
0
х air
tr
in
0
-6
-6
-7
2
5
-6
-3
3
Проведем расчет прохождения макрочастицы, имеющей коэффициент аэродинамического сопротивления С=4*10, через атмосферу Земли. Уменьшение скорости со временем из-за сопротивления воздуха описывается формулой (17). Выберем следующие параметры: , где Н=7 км, С=4*10, S=3*10 см, V=3*10 см/с, m=6*10 г, ρ=1.3*10 г/см. За первые секунды полета уменьшение скорости составит очень маленькую величину.
0
В дальнейшем, с увеличением высоты подъема, вклад этого слагаемого будет экспоненциально уменьшаться. Так, для высоты подъема z=2 км, сомножитель  равен 0.75, для z=4 км равен 0.57 и т.д. Это означает, что потерей скорости как при подъеме макрочастицы, так и при спуске можно пренебречь и считать, что полет макрочастицы проходит в безвоздушном пространстве. После спуска, вблизи поверхности Земли, скорость макрочастицы будет примерно такой же, как и при старте: V=3 км/с.
4. Глубина проникновения макрочастиц в воду, связанная с лобовым сопротивлением
х water
s
s
Определим, какой при движении макрочастицы в воде будет сила торможения, связанная с лобовым сопротивлением. В воде, в отличие от воздуха, отражение молекул от макрочастицы надо считать диффузным, это приводит к коэффициенту гидродинамического сопротивления С≈1. Зависимость уменьшения скорости от времени будет описываться формулой (16). Обозначим скорость V как скорость, которую будем считать скоростью остановки макрочастицы в воде. Пусть V=0.1 км/с. Из формулы (16) найдем время движения макрочастицы в воде до остановки:
0
W
s
0
3
где V - скорость вхождения макрочастицы в воду, ρ=1 г/см - плотность воды, m - масса макрочастицы. Определим длину до остановки макрочастицы как l=V*t/2, тогда:
0
s
0
s
s
Коэффициент, стоящий перед сомножителем (V/V-1), имеет размерность длины, и для выбранных параметров он равен 20 см. В нашем случае V/V=30, и из уравнения (20) получается глубина проникновения макрочастицы в воду, связанная с лобовым сопротивлением: l=6 м. Это означает, что определяющий вклад в торможение макрочастицы в воде будут вносить другие процессы, в частности вязкость воды, связанная с трением о боковую поверхность макрочастицы.
5. Глубина проникновения макрочастицы в воду, связанная с вязкостью воды
Уравнение движения макрочастицы при вхождении в воду можно записать в виде:
Сила сопротивления, связанная с вязкостью,
-2
-4
s
где η=10 пуаз - вязкость воды, r=3*10 см - радиус макрочастицы, l=1 см - длина макрочастицы, dV/dr - радиальный градиент продольной скорости воды возле макрочастицы, δ - характерная длина изменения скорости по радиусу.
Уравнение (27) с вязкостной силой торможения в виде (28) можно преобразовать к виду:
которое имеет решение
Теперь можно найти путь, проходимый макрочастицей до остановки в воде:
Чтобы найти глубину проникновения макрочастицы в воду, надо найти δ - характерную длину изменения скорости воды вблизи макрочастицы по радиусу.
Найдем ее из уравнения Навье:
x
x
ch
x
x
x
ch
x
x
ch
x
x
x
x
ch
e
e
e
2
2
2
2
2
2
2
2
Посмотрим, в каком случае член V∂V/∂x будет много больше, чем η/ρ∂Vx/∂x. Пусть ∂х=l - характерная длина, на которой изменяется скорость. Тогда V∂V/∂x=V /l, η/ρ∂V/∂x=(η/ρ)V/l . Чтобы выполнялось условие: V∂V/∂x>>η/ρ∂V/∂x, необходимо, чтобы ρVl/η=R>>1, где R - число Рейнольдса, и соотношение R>>1 в нашем случае заведомо выполняется.
Преобразуем теперь уравнение (32) к виду:
х
где мы заменили ∂/∂t+V∂/∂х - частную производную по времени и координате, на d/dt - полную производную по времени.
x
x
s
x
Подставляя в уравнение Навье выражение для dV/dt, определенное из уравнения движения (30) dV/dt=-(η/m)*2πrl*(dV/dr), получим:
которое, после сокращения на η - вязкость воды, и переносов преобразуется к виду:
x
Заменяя rdV/dr на у, получим:
или
1v
Чтобы найти константу интегрирования C, проинтегрируем выражение (37) еще раз, получим:
1
z
s
s
s
water
tungsten
∞
2
где E(z)=∫ exp(-t)dt/t - expint(z) - интегральная показательная функция. Здесь мы провели замену переменной 2πrlρr/m=t, пределы интегрирования по r от r=r до бесконечности, нижний предел интегрирования по t, соответственно, равен: t=2πr lρ/m=2ρ/ρ=0.1.
1
Функция E(z) через элементарные функции не выражается, ее можно аппроксимировать следующим образом [6]:
2v
s
0
1v
Выражение (38) описывает радиальную зависимость скорости среды при движении в ней макрочастицы со скоростью V. На больших расстояниях от макрочастицы V=0, откуда C=0. Граничное условие на поверхности тела обычно берется как условие «прилипания» частиц среды к телу, то есть при r=r скорость среды равна V=V, откуда можно определить константу C.
и
Выражение (29) для градиента скорости на поверхности макрочастицы теперь можно записать в виде:
Таким образом, характерный размер радиального изменения скорости δ равен:
и согласно формуле (30) длина пробега макрочастицы в воде равна:
Окончательно,
0
1
-6
-2
Подставляя в (44) числа: V=3 км/с, m=6*10 г, η=10 пуаз, l=1 см, E(0.1)=2.6, exp(0.1)=1.1, найдем:
6. Выводы
Если угол наклона скорости макрочастиц к горизонту составляет Θ=70°, sinΘ=0.94, cosΘ=0.34, то:
max
0
2
максимальная высота подъема макрочастиц, h=VsinΘ/2g=400 км, получается выше траекторий полета баллистических ракет.
max
0
2
Дальность стрельбы, S=2V sinΘ*cosΘ/g=570 км, такова, что с трех-четырех эсминцев, расположенных в Аденском заливе, можно простреливать весь залив. Габариты и система питания устройства таковы, что их можно размещать на воздушных судах и на подвижных сухопутных платформах.
water
Глубина проникновения в воду, l=0.7 м, такова, что это представляет интерес для ряда приложений.
Литература
1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Пушка_Гаусса.
2. А.И.Акишин. Космическое материаловедение. Методическое и учебное пособие, 2007, Москва, НИИЯФ МГУ, с.154.
3. Таблицы физических величин. Справочник под ред. И.К.Кикоина, Москва, Атомиздат, 1976.
4. http://www.luma-metall.se/.
5. http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/130514/Сверхзвуковое.
6. http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral.