Формации конечных унаров

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 512.577

ФОРМАЦИИ КОНЕЧНЫХ УНАРОВ

Расстригин А. Л.

Formations of finite monounary algebras

Rasstrigin A. L.

Аннотация

В работе описывается решетка подформаций произвольной конечной формации унаров по включению. Показано, что любая конечная формация унаров является наследственной.

In this paper we characterize the lattice of subformations of an arbitrary finite formation of monounary algebras. It is proved that every finite formation of monounary algebras is a hereditary formation.

1 Определения и вспомогательные результаты

Понятие формации появилось в 1963 г. в работе В. Гашюца и в последующие годы получило широкое распространение в теории групп ([1]). В конце 70-х годов активные исследования по теории формаций перешли на другие классические алгебры (кольца, алгебры Ли), а позже и на универсальные алгебры (см.

И).

Многообразия и квазимногообразия являются наиболее исследованными и некоторым образом близкими понятию формации. В то же время известно, что ненаследственные классы, а так же классы с условиями конечности не являются ни многообразиями, ни квазимногообразиями.

Далее речь пойдет о конечных формациях унаров (или формациях конечных унаров). Будет дано абстрактное описание решетки подформаций произвольной конечной формации унаров.

Формацией называется класс алгебраических систем, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных (с конечным числом множителей) подпрямых произведений. Для произвольного класса алгебраических систем X обозначим через sX множество всех подпрямо неразложимых систем этого класса (в классе всех систем данной сигнатуры), а через form X — формацию порожденную X. Далее через HX, R0X и SX обозначаются, соответственно, классы всех гомоморфных образов, конечных подпрямых произведений и всех подсистем X-систем, Класс X называется наследственным, если SX = X, По лемме 3,2 из [2] известно, что form X = HR0(X),

Очевидно, что для формаций Fi,F2, из Fi С F2 следует sFi С sF2-Если F1, F2 _ конечные формации алгебр, т,е, содержат только конечные алгебры, то для них верна и обратная импликация, i.e.

Действительно, пусть 8$^ С 8$2 И А Є Утверждение очевидно, если А Є 5^1-Если А Є 8$ 1, то по теореме Биркгофа о подпрямом разложении А разложима в конечное подпрямое произведение подпрямо неразложимых алгебр, которые принадлежат 8^1 (см. [4], след, 8.7). Таким образом А Є Ло(8^1) С До(8^2) С $2-Используя те же рассуждения можно убедиться также, что для конечной формации $ алгебр имеет место

Далее рассматриваются унарные алгебры с одной операцией / (унары). Множество целых неотрицательных чисел обозначается N0, N = N0 \ {0}, Через С'т = (а | /п(а) = /п+т(а)) обозначается унар с образующим а и определяющим соотношением /п(а) = /п+т(а), где п,т € т > 0, В этом обозначении унар С° называют циклом длины т. Через С^ обозначается объединение возрастающей цепи С1 С С2 С ... упаров Ст для всех Ь € N. Элемепт а унара называется периодическим, если /п+т(а) = /п(а) для некоторых п,т € т > 0. Глубиной ¿(а) периодического эле мента а называется наименьший из показателей п € N^5 для которого эле мент / п(а) принадлежит некоторому конечному циклу. Периодом, р(а) периодического элемента а называется наименьший показатель т € N Для штор ого / *(“)+т (а) = / *(а)(а), Через обозначается свободный однопорожденный унар. Если А, В — унары, причем А П В = 0, тогда унар А и В обозначается А + В и называется прямой суммой упаров А и В, Сформулируем несколько используемых далее результатов.

Следующие две леммы приведены в [3].

аА

уравнению /п(а) = /п+т (а) (п,т € N0 т > 0), когда ¿(а) ^ пи р(а) | т.

Лемма 2 ([3]). Пусть А», г € I — произвольные унары. Элемент, а € Пгв1 А» является периодическим тогда, и только тогда, когда, порядки | (а») |

Fi с F2 ^ sFi с sF2

form(sF) = F

моногенных подунаров (a*) ^ Ai; порожденных проекциями a*элемента а ограничены в совокупности, при этом,

t(a) = max{t(a*) | i G I}, p(a) = НОК{р(а*) | i G I}.

В [5] описаны все подпрямо неразложимые у нары:

Теорема 1 ([5]). С точностью до изоморфизма подпрямо неразложимыми унарами в классе всех унаров являются, Cf (h ^ 1), C°°, C0k (p — простое, k G N0J и C°pk + C0.

2 Конечные формации унаров

Заметим, что в утверждениях (1) и (2) условие конечности алгебр существенно, Для случая бесконечных унаров эти замечания не всегда верны. Например, если формация F содержит у пар Fi, то для нее (2) уже не верно. Если предположить, что Fi G form(sF) = HR0(sF), то должны найтись унары A* G sF, где i = 1,..., n, и такое подпрямое произведение B унаров A*, что существует эпиморфизм : B ^ F^, По теореме 1 все элементы унаров A* являются

B

Fi

противоречит определению. Поэтому Fi G form(sF).

Пусть F _ конечная формация алгебр. Нетрудно проверить, что множество LF(F) всех подформаций формацнп F образует полную решетку по включению. Определим па булеане множества sF всех конечных подпрямо неразложимых алгебр из F оператop с по правилу:

c(X) = s(form X),

для любого X С sF-

Очевидно, что для произвольного множества X С sF для данной формации F X С с

c(c(X)) = s(form(s(formX))) = s(formX) = c(X) согласно (2). Таким образом с

— оператор замыкания.

Для описания решетки LF (F) подформаций данной конечной формации унаров F, достаточно описать решетку Lc замкнутых подмножеств множества sF

F

Лемма 3. Пусть F - конечная, формация алгебр. Тогда, LF(F) = Lc.

Доказательство. Зададим отображение у : LF(F) ^ Lc по правилу: для произвольной M G Lf (F) пусть <^(M) = sM, Определение <р корректно, так как c(sM) = s(form sM) = sM для любого M G LF(F). Пусть X G Lc, тогда формация form X G LF (F) согласно (1) и

^(form X) = s(form X) = c(X) = X.

Далее ^ будет изоморфизмом решеток по (1),

Докажем лемму, которая понадобится впоследствии.

Лемма 4. Если унар вида A + В принадлежит классу унаров X, то унары A и В принадлежат формации form X.

Доказательство. Сначала заметим, что для унаров A, В, C, где AпВ = 0 непосредственная проверка показывает C х (A+В) = C х A+C х В, (A+В) х C = A х C + В х C,

Пусть A+В G X. Обозначим Ai = A2 = A+В, тогда Ai х A2 = (A+В) х (A + В ) = A х A + В х A + A х В + В х В. Далее обозначим через D = A х В + В х Ah покажем, что D является подпрямым произведением унаров A1, A2, Очевидно, что D Ç A1 х A2, Возьмем произвольный элемент x G A1 и тогда, если x G A, то для произвольного y G В элемент d = (x,y) G A х В Ç D, a если x G В, то для произвольного y G A элемент d = (x,y) G В х A Ç D, T.e. существует такой элемент d G D, что dn1 = x, где п1 — проектирование A1 х A2 на A1, Ввиду произвольности выбора x получаем Dn1 = A^, Аналогично и Dn2 = A2 с проектированием п2 произведения A1 х A2 па A2, Таким образом D является конечным подпрямым произведением унаров A1, A2 g X и поэтоmv D G form X,

Зададим отображение ^ : D ^ A, из D на A, по правилу:

I x, если (x, y) G A х В (x,y)<^ = < , тогда для унар ной операции f из сигнату-

I y, есл и (x, y) G В х A

ры класса X и произвольной пары (x,y) G A х В имеем f ((x,y)^) = f (x) = (f (x),f (y))<£ т.к, (f (x),f (y)) G A х В, Аналогично (x,y) G В х A, Таким образом ^ — эпиморфизм D на A и поэтому A G form X. Аналогичн о и В G form X,

В следующей лемме дается описание замкнутых множеств оператора с.

Лемма 5. Пусть F - конечная формация унаров. Имеют место следующие равенства

1- c({C0 }) = c({C0 + C0}) = {C0 + CO,C0 | 0 ^ s ^ k} есл и p — простое, k g N и {C0} ç sF;

2. c({Ch}) = {C | 0 ^ t ^ h}, если h G No и {Cf} Ç sF;

5. c(X) = U{c({A}) | A G X}, X Ç sF

Доказательство. 1) Пусть X = {C° + C0}. Унары C0 + CO для всех 0 ^ s ^ k являются гомоморфными образами C0 + C0 и поэтому принадлежат c(X), Унары C°s для всех 0 ^ s ^ k также принадлежат c(X) по лемме 4.

с

X

на унарах из X верпа формула (Vx) fp (x) = x, истинность которой сохраняется

при переходе к прямым произведениям, подалгебрам и гомоморфным образам. Следовательно эта формула верна и на унарах из с(£). Допустим € с(Х) для некоторого т \ рк, Период р(а) порождающего элемента а равен т, но тогда по лемме 1 получаем т | рк, Противоречие, Откуда + С? € с(Х) для т \ рк невозможно ввиду леммы 4, На С* для любого Ь € N формула (Уж) fp (ж) = х также является ложной. Согласно теореме 1, никакие другие подпрямо неразложимые унары не принадлежат с(Х) и окончательно имеем

с({С0 + С?}) = {С? + С?,^ | 0 ^ 8 ^ к}.

Далее, для равенства с({С0к}) = с({С0к + С?}) достаточно лишь заметить, что С? + С? € с({С°}). Рассмотрим С? х С? € £огш{С°}. По лемме 2 получаем, что унар С? х С? изоморфен прямой сумме рк циклов С0, Конгруэнция, объединяющая в один класс элементы произвольных рк — 1 циклов, а остальные элементы оставляющая в одноэлементных классах, указывает гомоморфизм, отображающий С0 х С0 па + С?. Таким образом С0 + С? € с({С0}),

2) Пусть теперь X = {С^}, Упары С* для всех 0 ^ ^ к являются гомоморф-

ными образами С^ и поэтому принадлежат с(Х). Других в с(Х) пет. Действительно, на унарах из X верна формула (Уж) f^+1(ж) = f^(ж), которая является ложной как на С^+й для любого в € N так и на С? для всякого простого р и к € N. Согласно теореме 1 получаем так им образом с({С^}) = {С* | 0 ^ ^ к}.

3) Пусть А € с(Х). Тогда найдутся у пары А* € X, где г = 1,..., и, и такое

подпрямое произведение В унаров А*, что существует эпиморфизм ^ : В ^ А. На всех унарах А* истинна формула (Уж) f^+т(ж) = f^(ж), вде т есть наименьшее общее кратное периодов всех элементов из каждого у пара А*, к — максимальная глубина этих элементов. Эта формула сохраняется на прямых произведениях, на подалгебрах и на гомоморфных образах. Поэтому она верна на А. Тогда по лемме 1, глубина элементов А те превышает к, а периоды элементов А делят т. Таким образом А € с({А*}) для некоторого г. Обратное включение очевидно.

Следствие 1. Решетка подформаций конечной формации унаров является алгебраической решеткой.

Следствие 2. Любая конечная, формация унаров является, наследственной формацией.

Доказательство. По лемме 5 замечаем, что для конечной формации унаров множество подпрямо неразложимых унаров, принадлежащих данной формации, вместе с каждым своим унаром содержит и все его подалгебры. Учитывая (2) и то, что наследственная формация, порожденная классом алгебр X совпадает с классом (X) ([2], лемма 3.5), получаем требуемое утвержде-

На множестве непустых конечных формаций унаров определим следующие соответствия, характеризующие множество подпрямо неразложимых унаров (замкнутое подмножество подпрямо неразмложимых унаров, соответствующее

формации):

для конечной формации 5

шах{к € N | С" € 5}, если максимум существует

го, если С" € $ для всех к € N

шах{к + 1 € N | С?к + С? € 5}, если максимум существует

Рк

/*(5) Н 0, еСЛИ С? + С? € $

го, если С? + С? € $ для вс ех к € N

Р г

для всех р*, где р* — г-тое простое число.

Определенные выше / для всех г € N0 являются отображениями во множество N^5 дополненное наибольшим элементом го, и определяют последовательность (к?, к1, к2,.. .) ГДе к = /*(5) (г € ^), такую, что

если к = 0 для некоторого г € N,10 к* = 0 для всех г € N

Если Ь — произвольная решетка, то через Ь* (соотв, Ь*) будем обозначать решетку Ь, дополненную внешним образом наибольшим (наименьшим) элементом, Для произвольной конечной формации $ унаров будем определять следующие решетки:

1, Если /13(50 € N^5 тогда определим 5? = ({и € N | 0 ^ и ^ /0(5)}, ГДе ^ — естественный порядок; если /0(5) = го, тогда 5? = (N0)*,

2, Если /*(5) € N (г € тогда определим 5* = ({и € N | 1 ^ и ^ /*(5)}, ^), где ^ — естественный порядо к; если /¿(5) = го, тогда 5* = (^*

Теорема 2. Пусть 5 - конечная формация унаров. Тогда,

Ь^ (5)= (5? х Щ 5*

V \ген

Доказательство. Отметим, что если у двух конечных формаций унаров совпадают значения отображений / для вс ех г € то у них совпадают и множества подпрямо неразложимых алгебр, а значит по (2) равны и сами форма-

52

формацию 51 тогда и только тогда, когда /*(51) ^ /*(52) для всех г € N0, т.е. когда (/0(51),/1(51),...) ^ (/0(52),/1(52),...), где ^ — естественный порядок на прямом произведении (^*)м° (наибольший элемент в ^* обозначавтея го).

Произвольной подформации М формации 5 соответствует последовательность (к0, к1, к2,...) € (^*)м°, где к = /*(М) (г € ^), со свойством (3). Если задана последовательность (к0, к1, к2,...) € (^*)м° со свойством (3) и к* ^ /г(5) для всех г € N^5 то определим множество X следующим образом:

1. С*к° € X, если к0 < го;

2, C G X для всех t G N0, если к0 = го;

3, C0fc._ 1 + Cl0 G X если 0 < к < го;

Pi1

4, C°t + C° G X для всех t G N0, есл и к = го;

p г

X

Тогда M = form X — конечная формация унаров. Если какой-то из показателей к (г G N0) последовательности равен го, то то определению X немедленно получаем равенство го для соответствующего отображения / (г G N0), Пусть кг G N0 (г G N0), тогда по лемме 5 получаем /¿(M) = кг.

Для данной последовательности (к0, fci, к2,...) нашлась формация M такая, что /¿(M) = fcj для всех г G N0,

Таким образом, для любой непустой подформации M данной конечной формации 5 унаров, отображение M м-

На образе <£, т.е. на множестве последовательностей (к0, k1, к2,...) G (N0*)No со свойством (3) таких, что (к0, k1, к2,...) ^ (/0(5), Л (5),...) определим отображение ф : Im<^ ^ S0 х по правилу:

*

ередетвенная проверка показывает, что ф является изоморфизмом решеток. Расширим композицию изоморфизмов о ф, установив пустой подформации

в соответствие присоединенный к S0 х внешним образом наименьший

Класс всех конечных систем некоторого многообразия является конечной формацией, также как и само многообразие является формацией. Обратное не верно. Пусть нам дана конечная формация унаров 5; тогда не обязательно найдется такое многообразие, что 5 состоит из всех его конечных унаров и только из них. Например, пусть X = (C°fc | к G N0}, где p — фиксированное 5 = form X

комого многообразия могут быть только тождества вила, (Vx) /n(x) = /n+m(x), (Vxy) /n(x) = /n+m(y), n, m G N0. Всегда найдется такое s G N чт0 Ps > m. Ни одно из этих тождеств не истинно на C°s G 5 есл и m > 0, Поэтому среди определяющей совокупности тождеств искомого многообразия остаются лишь (Vx) / n(x) = /n(x), которые истинны и на упарах не при надлежащих 5-

(к0, (0, 0,...)), если к = 0 (г G N),

(к0, (к1, к2,...)), если кг > 0 для всех г G N

элемент 0, Получаем искомый изоморфизм.

Любая конечная формация унаров F замкнута относительно взятия гомоморфных образов, конечных прямых произведений и подалгебр. Таким образом класс F является псевдомногообразием (см. [6], ср. теор, 4,4 из [2]). Если Fi

— подформация в F то существует бесконечная последовательность тождеств e1,e2,..., такая что F1 представляет го себя класс всех таких унаров A из F для которых найдется такое t G N чт0 в A истинны все тождества из Uí>í 1ег}-

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.

|2| Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.

[31 Карташов В. К. Квазимногообразия унаров // Матем. заметки. 1980. Т. 27, № 1. С. 7-20.

[4] Burris S., Sankappanavar H. P. A Course in Universal Algebra. Graduate Texts in Mathematics no. 78. Springer-Verlag, 1981.

[5] Wenzel G. H. Subdirect irredueibilitv and equational compactness in unary algebras (A; f), // Archiv der Mathematik. 1970. Vol. 21. Pp. 256-264.

[6] Ash C. J. Pseudovarieties, generalized varieties and similarly described classes. // J. Algebra. 1985. Vol. 92. Pp. 104-115.

Волгоградский государственный социально-педагогический университет Поступило 17.10.2011