Геометрические задачи повышенной сложности как средство развития критического мышления школьников

1УДК 372.851 ББК 74.262.21

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ

Н. Д. Кучугурова, И. В. Асланян, А. С. Хорошилова

Аннотация. В статье представлены элементы методики развития критического мышления школьников на уроках геометрии при решении задач повышенной сложности. С этой целью адаптирована известная технология развития критического мышления через чтение и письмо к предмету математике. Авторами проводится анализ сложности и трудности задач, обосновывается необходимость решения задач повышенной сложности для развития критического мышления обучаемых. Выявляются особенности критического мышления и технология его развития на уроках математики. Анализируются различные приемы развития мышления и их возможность использования на уроках математики. Рассматриваются конкретные примеры использования данной технологии в процессе решения разнообразных геометрических задач.

Ключевые слова: задачи повышенной сложности, трудность задач, критическое мышление.

GEOMETRIC PROBLEMS OF HIGH COMPLEXITY AS A MEANS OF STUDENTS' CRITICAL THINKING DEVELOPMENT

N. D. Kuchugurova, I. V. Aslanyan, A. S. Khoroshilova

Abstract. The article presents some methodological elements of students'critical thinking development at geometry lessons when dealing with complex problems. For this purpose a well-known technology of critical thinking development through reading and writing has been adapted to mathematics. The analysis of the complexity and difficulty of the task was conducted by the authors, the necessity of increased complexity problems solving for the development of students' critical thinking was justified. Special features of critical thinking and technology of its development at the math class was considered. Various methods of thinking development and opportunities to use different types of thinking in mathematics were analyzed. Specific examples of applying this technology to the process of solving a variety of geometric problems are considered in the article.

Keywords: problems of high complexity, difficulty of the tasks, critical thinking.

В основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования лежит системно-деятельностный подход, который должен обеспечивать построение образовательного процесса с учетом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся. Это влечет за собой необходимость дифференцирования учебного материала по уровням сложности, в том числе и задачного материала. Математическая задача -один из базовых элементов, выполняющий выжнейшие функции образовательного процесса и играющие в нем ключевую роль.

Математические задачи являются одним из средств формирования у школьников высокой математической культуры и активизации обучения математике, решение этих задач способствует овладению системой знаний, умений и навыков, которые учащиеся приобретают в процессе изучения математики.

При помощи задач могут достигаться разнообразные цели: введение понятий, иллюстрация введенного понятия, контроль уровня усвоения знания, выработка необходимых умений и навыков, развитие познавательного интереса, развитие мотивации к поисковой и творческой деятельности и т. д. Умение решать

математические задачи является наиболее яркой характеристикой математического развития учащихся, уровня их образования. Задачи в обучении математике также обладают рядом важных функций: обучающие, воспитывающие, контролирующие и др.

Однако, чтобы эти функции работали на развитие личности в целом, необходимо активизировать учащихся в процессе решения задачи, добиваясь понимания каждого момента, его аргументации, а также критического отношения к обоснованиям, принимая во внимание разные точки зрения. Особенно это необходимо при решении геометрических задач повышенной сложности.

Какие задачи мы относим к сложным или трудным для школьников? Существуют различные подходы к определению понятий сложности и трудности задач по математике. Одним из первых классифицировал учебные задачи Г. А. Балл. Согласно его исследованию, сложность задачи отождествлялась со сложностью ее решения. Более того, учитывалась реальная сложность решения и нормативная сложность. Отдельно стоит отметить, что реальная сложность задачи определяется после ее решения отдельным обучающимся, поэтому в большинстве случаев реальная сложность оказывается выше нормативной, то есть сложности задачи при решении ее нормативным способом. Трудность задачи, согласно исследованию Г. А. Балла, характеризуется количеством тех усилий, которые решающий прикладывает к решению, то есть расходом его умственных ресурсов. Разделяются интегральная и дифференциальная трудности задачи. Интегральная трудность отражает трудоемкость - объем расходования ресурсов, а дифференциальная - интенсивность расходования [1].

Исследования показывают, что сложность задачи определяется следующими основными характеристиками:

а) в какой форме выражено в условии требование использовать известные знания (прямой, косвенной, или это требование вовсе отсутствует, то есть решающий должен привлечь знания по собственной инициативе);

б) насколько явно в задаче выражено общее (понятие, принцип, закон), на основе которого осуществляется перенос на конкретные случаи [2].

Польский ученый Винценты Оконь, известный своими работами в области проблемного обучения, так определяет трудность и сложность задач: сложность определяется необходимостью расчленения задачи на более простые подзадачи. Трудность - необходимостью учащегося актуализировать определенную часть имеющегося опыта и одновременно изобрести нечто новое, позволяющее данную задачу решить.

А. М. Матюшкин предлагает более структурированные определения. Согласно его взгляду, сложность задачи характеризуется:

• числом условий задачи (числом конкретных данных);

• числом существующих взаимосвязей между данными, между данными и искомым;

• числом опосредованных действий, необходимых для достижения искомого;

• числом преобразований, приводящих к искомому.

Трудность характеризуется соотношением степени новизны и обобщенности усваиваемого неизвестного и интеллектуальными возможностями учащегося [3].

В современной науке нет единой точки зрения на качественное и количественное оценивание трудности школьных математических задач. Авторы многих исследований под трудностью задачи понимают трудность процесса ее решения, хотя Ю. М. Колягин обосновал, что это разные реальности.

При создании теорий не учитывают того, что трудности носят логический и психологический характер и это никак не фиксируется в количественной и качественной оценке трудности задач. Справедлива мысль А. А. Столяра о том, что трудность задачи как понятие носит прагматический характер. Добавим к этому, что проблема количественной оценки трудности задач носит прикладной характер и может решаться по-разному в зависимости от проблемы [4].

Трудность логического обоснования решения задачи и трудность процесса логического поиска ее решения - тоже «разные реальности». В. Г. Болтянский отмечал: «Трудность решения задачи заключается не только и не столько в том, что надо выполнить несколько упражнений; основная трудность состоит в отыскании необходимой последовательности

тех упражнений, выполнение которых ведет к решению задачи. Даже если выполнение упражнений, которые могут понадобиться, доведено до степени навыка» [5]. Вопрос о том, какие упражнения и в какой последовательности (подчас совершенно неожиданной) нужно выполнить для решения задачи, остается основным и нетривиальным.

Подводя итоги, надо отметить, что все авторы сходятся в том, что трудность задачи является ее субъективной характеристикой, то есть зависящей от конкретного решающего, в то время как сложность является объективной характеристикой, которая может быть рассчитана и определена для каждой задачи единственным образом, согласно выбранному определению. Таким образом, данные аспекты необходимо учитывать при подборе задач, в частности, для развития критического мышления обучаемых.

Как показывает опыт работы учителей математики и наш собственный, критическое мышление активно развивается при решении сложных задач, так как ученик больше сосредотачивается на процессе решения задачи. Однако его к этому нужно мотивировать, поэтому надо знать особенности критического мышления и методику его развития.

Формирование критического мышления учащихся в процессе обучения связано не только с новыми задачами, которые поставлены перед школой в современных условиях, но и с тем, что критическое мышление тем или иным образом занимает существенное место в новых, нетрадиционных формах обучения.

Что же такое критическое мышление и почему оно настолько важно? Термин «критическое мышление» известен давно из работ таких известных педагогов и психологов, как Ж. Пиаже, Л. Колберг, Л. Выготский, Б. Блум, Дж. Бру-нер, но в широкое употребление в России он вошел сравнительно недавно.

Развитие критического мышления является одним из значимых направлений и в зарубежной психолого-педагогической науке. Этот вопрос рассматривают К. Мередит, Д. Стил, Ч. Темпл, С. Уолтер, Д. Халперн и другие. В работах Э. Боно, Д. Гудледа, В. Оконь и других рассматриваются не только теоретические вопросы относительно проблемы критического

мышления, но и формулируются методические рекомендации для учителя. Но учителя школ не всегда уделяют должное внимание этому феномену.

В международном сообществе существует множество подходов к определению критического мышления. Так, Михаэль Скривен и Ричард Поул формулируют определение критического мышления как «интеллектуального дисциплинированного процесса активного анализа, синтеза, конкретизации, и/или оценивания собранной, полученной опытным путем или в процессе общения, информации, с последующим применением полученных знаний».

Одно из определений критического мышления также было выдвинуто Д. Халперн. Согласно ей, «критическое мышление - это применение таких когнитивных навыков и приемов, которые увеличивают вероятность получения желаемого результата. Оно подразумевает такой тип мышления, который отличают взвешенность, логичность и целенаправленность» [6, с. 49]. Из этого определения следуют такие свойства критического мышления, как контролируемость, обоснованность, целенаправленность.

Американский педагог-новатор Д. Дьюи еще в 1933 г. сказал, что научить человека мыслить является главной задачей системы образования. Д. Халперн считает, что нельзя научиться лучше думать, просто читая книгу. Существенным компонентом критического мышления является развитие установки на то, чтобы мыслить критически, и готовности к этому. Те, кто по-настоящему умеют думать, знают, зачем им это нужно, и готовы приложить все усилия, которые требуются для планомерной работы, выверенных действий, сбора информации и проявления определенного упорства, когда решение не очевидно или требует нескольких шагов [6, с. 46].

Все перечисленные определения критического мышления различны, но при этом имеют много общего. Так, все они отражают важные свойства мышления: оценочность и рефлективность. Именно эти свойства в дальнейшем и ложатся в основу технологии, позволяющей развивать у учащихся критическое мышление. Критическое мышление открыто, то есть представляет собой процесс непрекращающегося

синтеза новой информации с уже имеющимися знаниями и жизненным опытом. В его оценочном свойстве состоит главное отличие от творческого мышления, которое характеризуется способностью учащихся выходить за рамки уже имеющихся у них знаний для создания чего-то нового. При этом можно говорить о том, что критическое мышление является базой для развития творческого мышления, и в то же время они развиваются одновременно, вза-имообуславливая друг друга [7].

Существуют также и необходимые условия - качества личности, которые должны быть присущи учащемуся для успешного развития критического мышления.

1. Готовность к планированию. Важно помнить, что любое рассуждение не может быть построено бессистемно. Если в нем отсутствует логика, то оно теряет свой смысл и может привести к неверным выводам. Умение выстраивать план своего дальнейшего рассуждения заранее - один из признаков критически мыслящего человека.

2. Гибкость. Это качество выражается в способности учащегося выслушивать и принимать во внимание мнения других и не делать окончательных выводов до тех пор, пока проблема не будет изучена со всех сторон.

3. Настойчивость. Одно из основных качеств, которое формируется у учащихся при решении задач повышенной трудности или сложности. И те, и другие задачи требуют напряжения умственных способностей и силы воли, чтобы, начав решение, довести его до конца.

4. Готовность исправлять свои ошибки. Критически мыслящий человек не будет оправдывать свои неправильные решения, а сделает правильные выводы, воспользуется ошибкой для продолжения обучения.

5. Осознание. Это умение помогает критически мыслящему учащемуся следить за логикой своих рассуждений и корректировать их не интуитивно, а с пониманием причин для этого.

6. Поиск компромиссных решений. Подразумевает под собой коммуникативные умения учащихся и их способность находить решение проблемы, которое будет поддержано большинством.

Все эти качества, безусловно, необходимы как база для развития критического мышления, но и дальнейшее развитие этих качеств является следствием развития критического мышления. Более того, одна из важнейших задач школьного обучения - реализация личностно ориентированного процесса обучения - может быть достигнута благодаря развитию критического мышления учащихся, так как каждый из них, умея оценивать свои результаты и осознавая процесс их достижения, может выбрать именно ту стратегию обучения, которая будет необходима именно ему для достижения наилучших результатов.

Итак, мы в своей работе придерживаемся определения Д. Халперн, а для раскрытия методики формирования критического мышления рассмотрим некоторые аспекты данной технологии. «Развитие критического мышления через чтение и письмо» - это программа, которая в 1997 г. при поддержке Международной ассоциации чтения стала внедряться в России и еще в 11 странах Центральной и Восточной Европы и Азии. Технологией развития критического мышления через чтение и письмо называют базовую модель обучения (вызов - осмысление содержания - рефлексия) в совокупности с целым набором приемов и методов. В некоторых источниках Джинни Стил, Курта Мередита и Чарлза Темпла не совсем корректно называют авторами, но они не столько придумали, сколько сумели обобщить и систематизировать богатейший теоретический и практический опыт, собрать воедино разнообразные успешно применяющиеся в разных странах мира модели, которые сами являются образовательными технологиями (например, «Обучение сообща» Э. Аронсона и Р. Славина или активные стратегии письменной работы, описанные Д. Грейвзом, Д. Мюрреем и их коллегами). Особенно важно, что базовая модель технологии стала практическим отражением закономерностей познавательной деятельности, которые были исследованы в работах классиков - Ж. Пиаже, Л. С. Выготского, Д. Дьюи, Б. Блу-ма, К. Роджерса и др.

И наконец, технологию развития критического мышления можно считать инновационным подходом, потому что его использование предполагает отказ от традиционных пред-

ставлений об обучении. Важна не только технологичность процесса, но и характер работы учеников и учителя: свобода в выборе точек зрения и отсутствие непреложных истин - все можно обсуждать или подвергать анализу, на что и ориентируются современные стандарты обучения.

Как уже было отмечено, для развития критического мышления необходимо создание и применение специальных методических инструментов, одним из которых стала разработанная американскими педагогами Дж. Стил, К. Мередитом и Ч. Темплом педагогическая технология развития критического мышления посредством чтения и письма. Структура данной технологии стройна и логична, так как ее этапы соответствуют закономерным этапам когнитивной деятельности личности (табл. 1).

В рамках данной технологии учитель перестает быть главным источником информации и, используя приемы технологии, превращает обучение - продвижение от незнания к знанию - в совместный и интересный поиск [7, с. 10].

Конструктивную основу технологии составляет базовая модель трех стадий: «вызов - осмысление - рефлексия», поэтому учащемуся первоначально необходимо дать возможность проанализировать собственные знания по заданной теме, что является одной из важнейших задач данной стадии.

Наш опыт работы показывает, что данная педагогическая технология развития критического мышления посредством чтения и письма может применяться на уроках математики и положительно влиять на развитие личности обучаемых. И такие методические приемы, как кластер, инсерт, синквейн и другие, вполне могут быть модифицированы к математике. Тем более что связи между критическим мышлени-

ем и решением математических задач играют важную роль в выявлении закономерностей развития школьников. В этом процессе решение задач и критическое мышление связаны неразрывно. Для того чтобы научиться решать математические задачи, учащийся должен также научиться критически оценивать свою деятельность в процессе ее решения.

При обучении решению задач при помощи технологии развития критического мышления особенно важными являются следующие моменты:

1. Процесс решения задач должен быть направлен не на попытку вспомнить конкретные методы или способы решения и факты, а на генерирование идей, которые могут помочь при решении.

2. Решение задач должно развивать уверенность учащегося в том, что его знания могут быть применены.

3. Обучение при решении задач с использованием технологии развития критического мышления носит для учащихся новый характер и способствует активизации их познавательного интереса.

При работе по обучению решению задач следует руководствоваться определенными принципами. Во-первых, основной целью при решении задач является развитие у учащихся аппарата логических рассуждений, помогающего при решении любой задачи. Более того, важно показать учащемуся, что сложность задачи складывается из сложности ее формулировки и количества действий, которые нужно произвести для получения результата, поэтому выделение структуры задачи является одним из определяющих факторов для ее решения. Во-вторых, каждый логический переход при решении задачи должен быть подвергнут со-

Таблица 1

Этапы технологии развития критического мышления

Технологические этапы

I стадия II стадия III стадия

Вызов: • имеющиеся знания; • интерес к получению новой информации; • постановка учеником собственных целей обучения Осмысление содержания: • получение новой информации; • корректировка учеником поставленных целей обучения Рефлексия: • размышление, рождение нового знания; • постановка учеником новых целей обучения

мнению, а затем либо обоснован при помощи известных фактов, либо опровергнут. Для этого учащиеся должны владеть коммуникативными умениями и активно их развивать. Озвучивание каждого шага решения способствует структурированию решения задачи и позволяет ответить на вопрос: Какие выводы можно сделать на основе полученного промежуточного результата?

Процесс обучения математике складывается из многих этапов, но в основе любого из них лежит развитие умений учащихся делать предположения, а затем обосновывать их при помощи языка математики. В 1938 г. Гарольд Фаусет (Harold Fawcett) выдвинул идею о том, что способствовать этому развитию может критическое мышление учащихся. По его мнению, критическое мышление на уроках математики должно было проявлять себя в готовности учащихся обсуждать поставленные перед ними задачи. При этом должны достигаться цели, определяющие умение учащихся:

1) четко формулировать утверждения и уточнять при необходимости определения понятий;

2) находить доказательства тем фактам, которые они изучают;

3) анализировать основания, на которых проведено доказательство;

4) определять, какие знания необходимы для доказательства, а какие нет;

5) аргументировать свой выбор;

6) после получения результата возвращаться к процессу его получения и оценивать его.

Спустя 50 лет при развитии критического мышления ставятся все те же цели, уточненные и обобщенные в аспекте того, что значит учиться математике, понимать ее и решать задачи. Учащийся должен быть способен:

1) организовывать и укреплять математическое мышление посредствам коммуникативных умений;

2) выражать свои мысли четко и ясно перед другими учащимися и учителем;

3) уметь анализировать и оценивать математические заключения, к которым пришли другие ученики;

4) использовать математический язык для четкого выражения своих мыслей.

Эти цели действительно очень схожи с теми, что выдвигал Фаусет, немного изменилось в представлении о том, как определять критическое мышление в рамках математического образования. От учащихся ожидается их умение находить сильные и слабые стороны любого предложенного логического обоснования того или иного математического факта. Недостаточно просто достигнуть результата при решении задачи, важно, чтобы учащийся был готов к тому, чтобы достигать этого результата в процессе общения с другими, и на уроке задача учителя - обеспечить условия, которые могли бы способствовать этому общению [8].

Во время урока учащиеся должны иметь возможность свободно высказывать собственные мысли, не боясь ошибиться. Более того, они должны развивать умение слушать других учеников и проявлять заинтересованность в том, что они говорят. Организация такого общения обеспечит более высокую степень условия материала и поможет в развитии не только критического, но и математического, и логического мышления.

Для выполнения поставленных условий на уроках геометрии и может быть использована технология развития критического мышления. Каждая из стадий организации урока при помощи этой технологии удовлетворяет необходимым требованиям.

Как пишет Заир-Бек, в первую очередь технология развития критического мышления направлена на работу с текстовыми материалами, учит разбираться в полученной на уроке информации. Но в рамках уроков математики, как алгебры, так и геометрии, это обуславливает и ряд трудностей в применении данной технологии. Основная проблема заключается в том, что тексты учебников, в большинстве случаев, не предназначены для изучения учащимися самостоятельно. Каждая новая тема изобилует новыми понятиями, при этом опирается на весь изученный ранее материал. Поэтому известные приемы технологии развития критического мышления на уроках геометрии должны быть адаптированы для других видов учебной деятельности.

«К сожалению, математические тексты выглядят сухими и, что еще хуже, не всегда являются эффективными на уроках математики. По-

этому первая трудность, которая возникает у учителей математики, - как приспособить приемы, разработанные авторами технологии, к этому предмету. Вторая трудность - это выработка "чутья", какие приемы и стратегии технологии будут наиболее эффективными для конкретных детей и данной темы», - утверждают авторы книги [7].

Более того, авторы отмечают, что и сами учителя, использующие технологию развития критического мышления, отмечают ряд трудностей методического и организационного характера. Среди них:

• нехватка времени на уроке, так как при -менение технологии предполагает активное участие учащихся, но не всегда у них получается достаточно быстро найти ответы на поставленные вопросы;

• трудоемкость подготовки уроков с использованием технологии развития критического мышления;

• недостаточность методической литературы по применению технологии на уроках математики.

Но, несмотря на все возникающие трудности, использование технологии развития критического мышления помогает учителю математики в решении основных образовательных и воспитательных задач, создает на уроках атмосферу творчества и партнерства, развивает математическую речь учащихся, способствует развитию их коммуникативной культуры.

Рассмотрим возможности применения технологии развития при обучении решению геометрических задач повышенной сложности. Исходя из особенностей таких задач, необходимо отметить, что на первых этапах внедрения приемов технологии развития критического мышления для их решения непосредственное участие учителя в организации деятельности учащихся будет необходимым. Это обусловлено тем, что для решения многих задач повышенной сложности необходимо наличие у учащихся знаний по применению метода дополнительных построений. Поэтому одним из основных приемов при реализации стадии осмысления будет являться организация поиска решения задачи, наряду с разбиением задач на подзадачи и решением более легких задач, приводящих к решению задач повышенной сложно-

сти. В дальнейшем на стадии осмысления также могут быть использованы и приемы стадии вызова.

На стадии вызова возможно применение приемов «Мозговой штурм», «Корзина идей», «Концептуальная таблица», «Верные и неверные утверждения», «Зигзаг».

Прием «Мозговой штурм» может быть организован как командная игра на первых минутах урока. Заданиями для такой игры, в соответствии с предполагаемой темой урока, могут быть задачи на готовых чертежах или актуализация знаний по этой теме. По результатам мозгового штурма капитаны команд отчитываются о проделанной работе и формулируют предполагаемую тему урока.

Прием «Корзина идей» по своим целям совпадает с мозговым штурмом, но носит более общий характер. Этот прием предусматривает работу в два этапа. На первом все учащиеся, которые хотят предложить идею, могут высказать ее и записать на доске. На втором этапе, проходящем уже на этапе осмысления, все выписанные идеи должны быть подвергнуты обсуждению с точки зрения задачи, которую решают на уроке. По итогам этого обсуждения должны быть отобраны только те утверждения, которые, по мнению учащихся, будут необходимы при решении задачи.

Прием «Концептуальная таблица» помогает учащимся организовать все имеющиеся знания в виде таблицы, включающей в себя линии, по которым можно сравнить геометрически объекты. Этот прием эффективно развивает умение учащихся в компактной форме записывать свои идеи с использованием математического языка.

Прием «Верные и неверные утверждения» предполагает работу учащихся с заранее подготовленными карточками, которые содержат утверждения такого типа. Особенностью этого приема является обязательность проверки выполнения заданий учащимися друг у друга с последующим обсуждением тех утверждений, в верности или неверности которых учащиеся расходятся во мнении.

Стратегия «Зигзаг» помогает объединить все вышеперечисленные приемы под знаком взаимообучения учащихся. Эта стратегия предполагает работу учащихся в нескольких

группах, где сначала учащиеся выполняют различные задания, а затем перемешиваются так, чтобы в каждой группе оставались учащиеся, выполнявшие задания и не выполнявшие их. Задачей тех, кто сталкивается с заданием в первый раз, является оценить выполнение задания предыдущей группой, а задание «экспертов» - объяснить пришедшим непонятные моменты или доказать правильность своей точки зрения.

На стадии рефлексии, в связи с ее задачами, одним из наиболее подходящих приемов при решении задач повышенной сложности являются два: возвращение к результатам, полученным на стадии рефлексии, и интерпретация их с учетом решенной задачи, то есть отбор тех знаний, которые были использовании при решении, или составление логических цепочек решения для аналогичных задач повышенной сложности или задач из одной темы, решения которых опираются на те факты, которые были выписаны учащимися на стадии вызова. Еще одним возможным приемом может быть «Кластер», который подразумевает составление учащимися после решения задачи графической схемы ее решения, где будут отражены основные этапы решения и связи межу ними.

Таким образом, при организации уроков с использованием технологии развития критического мышления необходимо:

1) ознакомиться с особенностями критического мышления, выявить критерии, по которым можно оценить уровень его развития;

2) рассмотреть все приемы технологии развития критического мышления;

3) изучить методику применения этих приемов при решении задач повышенной сложности.

В частности, необходимо учитывать, что на стадии вызова важно организовать:

• систематизацию известной учащимся информации по теме, к которой относится задача;

• атмосферу, в которой учащиеся смогут свободно высказывать свое мнение и вступать в обсуждение;

• визуальное представление всех фактов, которые были предложены учащимися.

На стадии осмысления основными приемами являются:

• организация поиска решения задачи;

• анализ фактов, полученных на стадии вызова, дополнение перечня теми фактами, которые будут казаться необходимыми для конкретной задачи.

На стадии рефлексии необходимо:

• провести вместе с учащимися анализ решения задачи с учетом тех фактов, которые были использованы для ее решения;

• смоделировать решение аналогичных задач;

• представить решение в графическом виде или в виде логической цепочки.

Покажем особенности развития критического мышления школьников на примере геометрических задач повышенной сложности.

Задача 1. На сторонах параллелограмма АВСД вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата (рис. 1).

Первый этап - вызов.

Прием «Концептуальная таблица».

Для заполнения таблицы проводится беседа с целью актуализации свойств четырехугольников: Какие основные виды выпуклых четырехугольников вам известны?

Полученные ответы выписываются на доске: параллелограмм, трапеция, ромб, прямоугольник, квадрат. Затем учащихся разделяют на пять групп и формулируют задание: Какими свойствами и признаками обладает каждый из названных четырехугольников?

Каждой группе учащихся предлагается в течение нескольких минут выявить свойства одного из четырехугольников. По завершении представитель каждой группы отчитывается о проделанной работе, кратко записывая полученные результаты в заранее подготовленную на доске таблицу (табл. 2).

В процессе беседы учим школьников выслушивать и принимать во внимание мнения других, следить за логикой своих высказываний, выстраивать план дальнейшего рассуждения, то есть учитель активизирует учащихся, мотивирует на дальнейшую работу, пытается создать творческую атмосферу, «вызывая» необходимые для дальнейшей работы знания. Принимается любая инициатива учащихся, поэтому никто не опасается предлагать различные идеи, даже

Таблица 2

Концептуальная таблица по теме «Свойства четырехугольников»

Линия сравнения Параллелограмм Прямоугольник Ромб Квадрат Трапеция

Чертеж

Свойства сторон

Свойства углов

Свойства диагоналей

Признаки

если они не пригодятся. Это дает повод для критической оценки предлагаемых идей.

Задание учащимися было выполнено достаточно быстро, были названы все свойства четырехугольников, некоторые затруднения были в формулировке признаков. И уже на этом этапе школьники стали предлагать разные идеи решения, в частности, использовать признаки равенства треугольников и даже метод поворота.

Второй этап - осмысление.

Еще раз формулируется и осознается условие задачи. Учащимся предлагается среди свойств и признаков, сформулированных на первом этапе, отобрать те, которые могут быть использованы при решении данной задачи, дополнить их другими известными им геометрическими фактами, которые необходимы для поиска решения. Затем учащиеся обсуждают полученные результаты в парах, выдвигают идеи для решения задачи, которые можно фиксировать на доске. Поддерживается любая инициатива учащихся, при затруднениях проводится дискуссия по поиску решения, то есть устанавливаются партнерские отношения между учителем и учащимися. Приветствуется различное расположение параллелограмма на доске или в тетради.

При выборе идей для решения задачи все учащиеся сразу определились с использованием признаков равенства треугольников, нашли равные треугольники, однако для аргументации их равенства возникли трудности при доказательстве равенства тупых углов. Поэтому для ¿КВM рассуждение было проведено в процессе беседы с учителем, а далее было предложено провести самостоятельно аналогичное рассуждение для ¿РДЕ (см. рис. 1), затем обосновать, что KMEP - квадрат и подробно записать решение задачи в тетрадях.

После обсуждения самостоятельной работы проводилась корректировка с выяснением причин непонимания отдельных моментов.

Третий этап - рефлексия.

На данной стадии анализируем процесс решения задачи, выявляем еще раз, какие были затруднения, остались ли неясности в обосновании каждого момента при записи решения. Что нового приобрели школьники, решая данную задачу, и имеются ли другие способы решения. Какие моменты можно взять на вооружение для дальнейшего решения задач повышенной сложности.

Для желающих было предложено выполнить дома другое расположение чертежа, обозначить параллелограмм другими буквами и провести устно доказательство или записать его в тетрадь, то есть здесь мы используем принцип вариативности в решении задач, а также выполнение задания по желанию, что воспитывает личность обучаемых, в частности, формирует чувство ответственности, настойчивости в достижении цели, самостоятельности в принятии решения.

Ниже приводим краткое решение задачи.

Решение:

1) ВМ = МС = DP = АР;

2) ¿МСЕ = 90° + ¿3;

¿КВМ = 360° -90° -¿2 = = 270° -(180° -¿3) = = 90° +¿3

Аналогично, ¿КАР = ¿РВЕ = 90° + ¿3;

Д МВК = Д МСЕ = Д РБЕ = Д РАК;

КМ = МЕ = ЕР = РК;

ZDEP = ZCEM; ZMEP = ZDEP + ZDEM = = ZCEM + ZDEM = ZCED = 90°;

Аналогично, ZPKM = 90°;

KMEP - квадрат ( п. 5, п. 6, п. 7), ч. т. д.

Далее учащимся предлагается вторая задача, в процессе решения которой можно провести аналогичную работу, или эта задача может быть предложена на следующем уроке геометрии.

Задача 2. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, ACTM, BAHK, а затем параллелограммы TCDQ и BKPE. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный (рис. 2).

Решение:

1) AB = BK, BE = BC, AC = CT;

2) KP = BE, TQ = CD;

3) Z8 = 180° - Z7 - Z9;

4) Z2 = 360° - 2 * 90° - Z7 - Z9;

5) Z8 = Z2;

6) Аналогично, Z5 = Z3;

7) APKB = ACBA = ATCQ (из пп. 1-6);

8) PB = AC = CT, CQ = AB, Z1 = Z4 = Z7

(из п. 7);

9) AABP = AQCA (из п. 8);

p

10) АР = AQ;

11) АРАВ = ZAQC = Z11;

12) А11 + А10 + А4 + 90° = 180°;

13) А11 + А10 + А1 = 90° (из пп. 8, 12).

Данная задача более сложная, чем предыдущая, но на стадии вызова трудностей не возникает, так как у школьников уже имеется опыт работы, однако на стадии осмысления содержания нужно стимулировать школьников к более активному выдвижению идей ее решения, не подавлять любую инициативу, корректировать траекторию решения задачи, требуя обоснования каждого шага решения, что способствует совершенствованию коммуникативных и регулятивных действий. На стадии рефлексии выявляем, чему научились учащиеся в процессе решения этой задачи, а также предлагаем по желанию составить дома аналогичную задачу, которая войдет в копилку классных задач. Эти задачи предлагаются на уроке более сильным школьникам для самостоятельной работы, а всем остальным - для дополнительной домашней работы, которая выполняется также по желанию. Результат может отдельно оцениваться учителем или проводиться взаимопроверка, что дает положительный воспитательный эффект.

Для дальнейшей работы по данной технологии предлагаем следующую задачу 3.

Задача 3. В треугольнике ABC угол A равен 180°/7 и угол B равен 360°/7. Докажите, что

BC = AC+AB (рис 3)-

Решение:

1) = а;

2) ZABC = 2а;

yi„n 180°-7 - 540 720 „

3) ZACB =-=-= 4а-

7 7

4) BD, CE - биссектрисы, BD п CE = K;

5) ABDC~AABC (по трем углам);

bc = dc

6) AC ~ BC '

7) ABCK~AABC;

BC KC

8) -= —;

AB BC

BC BC DC KC

9) -+-=-+--

AC AB BC BC

10) M M e BC, CM = DC;

11) ADCK = AMCK;

12) KM = KD = KC,

180°/7 - 180°/4

ZMCK = ZDCK = - = 3a;

7

13) ZBKM = ZBKC-ZMKC = а;

14) BM = KM = KC;

15) BC = BM+MC = KC+DC;

BC BC BC

16) -+-=-;

AC AB BC

1 =

17) BC ~ AC AB •

Как видим, задачи постепенно усложняются, поэтому для решения этой задачи на стадии вызова рекомендуем провести «Мозговой штурм» или использовать прием «Корзина Идей», так как первоначально идея решения задачи не просматривается. Мы советуем разделить учащихся на группы и осуществлять по-

А Ъ С

^с. 3. Рисунок к задаче 3

иск плана решения. После обсуждения в группах можно основные идеи записать на доске и скорректировать итоговый план решения, выяснив, какие дополнительные построения нужно сделать. Затем провести обоснование каждого этапа решения устно, а потом записать в тетрадь.

При подготовке к этому уроку рекомендуем учителю заготовить карточки для устного решения задач для повторения свойств биссектрисы угла, подобия треугольников и др. И если учащиеся будут затрудняться в поиске идей решения, то раздать группам эти задачи, решение которых позволит школьникам найти идеи для решения сложной задачи.

На этапе рефлексии после завершения работы учащиеся получают задание составить кластер. Он должен отражать основные этапы решения задачи, каждый переход между этапами должен быть подписан в соответствии с тем, на каком основание происходит переход.

Кластер может иметь следующий вид (рис. 4).

В процессе решения задачи учащиеся могут выделить другие, важные на их взгляд этапы, поэтому каждый индивидуальный кластер может иметь уникальный вид. После того, как каждый ученик выполнил задание, учащимся предлагается сравнить получившиеся паутинные «графы» в группах по 4-6 человек. Выявить наиболее удачный кластер, прояснить непонятные моменты задачи, отметить наиболее важные приемы для дальнейшего решения сложных задач.

Таким образом, поиск решения приведенных задач требует активного осознания условия, настойчивости в достижении цели, умения планировать свою деятельность, исправлять свои ошибки, прислушиваться к мнению других, находить компромиссные решения и т. д. А все эти аспекты являются составляющи-

Рис. 4. Кластер к задаче 3

ми критического мышления, то есть геометрические задачи повышенной сложности являются фундаментальной базой для развития критического мышления школьников. Процесс решения такого типа задач позволяет с большим эффектом адаптировать к математике известную технологию развития критического мышления.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1 Балл Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М.: Педагогика, 1990. - 184 с.

2. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. I. - М.: Просвещение, 1977. - 110 с.

3. Матюшкин А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. - М.: Педагогика, 1972. - 392 с.

Столяр А. А. Педагогика математики. -Минск: Вышэйшая школа, 1986. - 414 с. Болтянский В. Г., Савин А. П. Беседы по математике. Кн. 1. Дискретные объекты. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с. Халперн Д. Психология критического мышления. - СПб.: Питер, 2000. - 496 с.

4.

5.

6.

7. Заир-Бек С. И., Муштавинская И. В. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2011. - 223 с.

8. Marcut I. Critical thinking - applied to the methodology of teaching mathematics // Educatia Matematica. - 2005. - Vol. 1. - P. 57-66.

REFERENCES

1. Ball G. A. Teoriya uchebnykh zadach: Psik-hologo-pedagogicheskiy aspect. Moscow: Ped-agogika, 1990. 184 p.

2. Kolyagin Yu. M. Zadachi v obuchenii matema-tike. Part I. Moscow: Prosvechshenie, 1977. 110 p.

3. Matyushkin myshlenii i 1972.392 p.

4. Stolyar A. A. Pedagogika matematiki. Minsk: Vysheishaya shkola, 1986. 414 p.

5. Boltyansky V. G., Savin A. P. Besedy po mate-matike. Book 1. Diskretnye obekty. Moscow: FIMA, MTsNMO, 2002. 368 p.

6. Halpern D. Psikhologiya kriticheskogo myshle-niya. St. Peterburg: Piter, 2000. 496 p.

A. M. Problemnie situatsii v uchenii. Moscow: Pedagogika,

7. Zair-Bek S. I., Mushtainskay I. V. Razvitie krit-icheskogo mishleniya na uroke: posobie dly uchiteley obsheobrazovatelnih uchrezdeniy. Moscow: Prosvyashenie, 2011. 223 p.

8. Marcut I. Critical thinking - applied to the methodology of teaching mathematics. Educa-tia Matematica. 2005, Vol. 1, pp. 57-66.

Кучугурова Нина Дмитриевна, доктор педагогических наук, профессор кафедры элементарной математики и методики обучения математике математического факультета Московского педагогического государственного университета e-mail: dnkst@mail.ru

Kuchugurova Nina D., ScD in Education, Professor, Elementary Mathematics and methods of teaching mathematics Department, Mathematics Faculty, Moscow State University of Education e-mail: dnkst@mail.ru

Асланян Ирина Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент ФГАОУ ВО Институт сервиса, туризма и дизайна (филиал) Северо-Кавказского федерального университета в г. Пятигорске, инженерный факультет, кафедра информационной безопасности, систем и технологий e-mail: willow5@mail.ru

Aslanyan Irina V., PhD in Education, Associate Professor, Institute of service, tourism and design (branch) of the North Caucasian Federal University, Pyatigorsk, Engineering Faculty, Information security systems and technologies Department

e-mail: willow5@mail.ru

Хорошилова Анастасия Сергеевна, бакалавр педагогического образования (математика и информатика), студентка 1-го курса магистратуры математического факультета Московского педагогического государственного университета, учитель математики ГБОУ школы № 2094 e-mail: countess0394@yandex.ru

Khoroshilova Anastasia S., Bachelor of Education (mathematics and information technology),first year student, master's course in mathematics, Mathematics faculty, Moscow State University of Education, Mathematics teacher, school No. 2094

e-mail: countess0394@yandex.ru