Влияние геометрии начальных неоднородностей на процессы развития неустойчивости Рэлея - Тейлора в экваториальном F-слое ионосферы

УДК 550.388.2

Н. М. Кащенко, С. В. Мациевский, С. А. Ишанов

ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ НАЧАЛЬНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

НА ПРОЦЕССЫ РАЗВИТИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЭЛЕЯ - ТЕЙЛОРА В ЭКВАТОРИАЛЬНОМ F-СЛОЕ ИОНОСФЕРЫ

Приведены результаты численного моделирования неустойчивости Релея — Тэйлора для разных геометрических характеристик начальных неоднородностей для вечерних экваториальных условий на основе электродинамически согласованной математической модели экваториального F-слоя ионосферы. Показано, что увеличение только вертикальных размеров начальной неоднородности существенно ускоряет развитие рэлей-тейлоровского пузыря, тогда как увеличение только горизонтальных размеров начальной неоднородности несущественно замедляет это развитие.

Results of numerical simulation of the Rayleigh — Taylor instability for different geometrical characteristics of the initial irregularities for evening equatorial conditions based on electrodynamically coherent mathematical model of the equatorial ionosphere F-layer are given. It is shown that increase only in the vertical extent of initial irregularity significantly accelerates development a rayleigh-Taylor bubble whereas increase only in lateral dimensions of initial irregularity insignificantly slows down this development.

Введение

Целью работы является дальнейшее исследование процессов развития экваториальной неустойчивости Релея — Тэйлора из начальных неоднородностей с разными геометрическими характеристиками.

Ранее в работах авторов эта тема исследования неоднократно поднималась. Уже при расчетах на небольшой математической двумерной экспресс-модели экваториальной неустойчивости Релея — Тэйлора [1] был сделан вывод о том, что структура рэлей-тейлоровских пузырей зависит от начальных условий.

Интересные результаты были получены при трехмерном моделировании экваториальной неустойчивости Релея — Тэйлора [2], а именно:

1) независимость характерного времени развития неустойчивости Релея — Тэйлора от большого (более 1000 км) продольного (вдоль геомагнитных линий) размера начальной неоднородности;

2) линейная связь между логарифмами малого (менее 1000 км) продольного размера начальной неоднородности и времени развития неустойчивости Релея — Тэйлора.

Теоретически вопрос о возможном влиянии на динамику рэлей-тейлоровских пузырей конечной вытянутости их вдоль силовых линий геомагнитного поля был затронут в работе [3].

© Кащенко Н. М., Мациевский С. В., Ишанов С. А., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.

Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 1. С. 16 — 21.

1. Возникновение неустойчивости Рэлея — Тейлора

Как известно, условия для развития неустойчивости Релея — Тэй-лора в ионосфере Земли возникают в вечернее время при наличии направленного вверх вертикального дрейфа разреженной ионосферной плазмы и могут быть описаны линейным инкрементом нарастания, имеющим вид [4]

У =

( +^ Ь N

V V. В

V от

дх

где vR — частота рекомбинации ионов. Наличие положительных значений параметра у приводит на линейной стадии к экспоненциальному росту обеднения с характерным временем у"1. При этом условия развития неустойчивости Релея — Тэйлора существенно улучшаются во время геомагнитных бурь.

17

2. Уравнения модели

В соответствии с [5] в математической модели развития неустойчивости Релея — Тэйлора использовано квазигидродинамическое приближение, содержащее уравнения непрерывности ионов, уравнения движения ионов и электронов в диффузионном приближении

йУ,

— = о, сИ

уравнения теплопроводности ионов и электронов, уравнения непрерывности электрического тока и три уравнения потенциальности электрического поля [10]:

^+Чпу;)=а, -ц, со

_ Пт + т

пт т и,

—п к 2 ,

^ + ЪУТ, 1 + Р,УУ, + уц, = С, - Р.,

ух Е = 0,

V] = е пр, =0,

где п , V,, Qj, Ьр т, е , р ,, v^n, v,, Т,, ц ,, С,, Р , — соответственно концентрация, дрейфовая скорость, скорости образования и потерь, масса, заряд, давление, частоты соударений с нейтралами, частоты столкновений

18

между заряженными частицами, температура, плотность теплового потока, скорость нагрева и скорость охлаждения частиц сорта у, к — постоянная Больцмана; у — плотность тока; Е — напряженность электрического поля.

Вследствие замагниченности ионосферной плазмы б-области процессы переноса вдоль магнитного поля Земли будут определяться столкновениями, а поперек поля — дрейфовым движением.

Из-за сильной анизотропии, обусловленной магнитным полем Земли, процессы диффузии и теплопроводности в области б и во внешней ионосфере происходят в основном вдоль силовых линий геомагнитного поля [6], а благодаря условию электростатики (5) электрическое поле потенциально:

Е = -уф ,

где Ф — потенциал электрического поля.

Плазма вдоль геомагнитного поля на высотах экваториальной области б является высокопроводящей средой, поэтому будем считать, что силовые линии геомагнитного поля эквипотенциальны, а магнитное поле постоянно по времени и дипольное [7]. Поэтому размерность уравнения для потенциала может быть понижена до двух интегрированием его вдоль силовых линий:

Ух (ст УхФ) = ух А,

где ст — тензор интегральных проводимостей. Для вычисления параметров нейтральных частиц использовалась глобальная термосферная модель мбК [8—9].

Уравнения вышеприведенной модели решались численно конеч-норазностными методами на квазиравномерных сетках, сгущающихся к центру области решения. Начальные значения задавались путем решения низкоширотной модели ионосферы до получения периодического решения.

В работе исследования проводятся в предположении достаточно развитых неоднородностей, что позволяет уравнения модели считать двумерными и записывать их в экваториальной плоскости [10]:

д-п+У± («V)-ц, 2 «к [^Г+(VУх )Т)+руЛ + у ^ = с, - р,

Ух(ст Ухи) = Ух А.

Здесь Ух — поперечная магнитному полю Земли часть оператора У, остальные обозначения те же, что и для системы дифференциальных уравнений (1 — 5).

3. Результаты численного моделирования

Численное моделирование проводилось в области, ограниченной снизу высотой 90 км, а сверху — 1700 км. По горизонтали протяженность области интегрирования составляет 400 км. Сетка выбрана так, что в центральной области шаги равны 2 км.

Условия расчетов соответствовали среднему уровню солнечной активности с F10.7 = 150 и уровню геомагнитной активности kp = 3.

Для потенциала граничные условия заданы через фоновое электрическое поле.

Для концентраций и температур на нижней границе заданы соответственно условия химического равновесия и равенства нейтральной температуре, вверху и на боковых границах задано условие равенства нулю потоков.

Восточная компонента фонового электрического поля задавалась мо-дельно, положительным значением (в представленных расчетах 1 мв/м).

Начальное возмущение задавалось модельно в виде эллипса с пониженной концентрацией, в центре эллипса в 3 раза.

На рисунке 1 приведены зависимости времени развития пузыря (a) и вертикальной скорости в центре развитого пузыря (б) от горизонтального размера начальной неоднородности. При этом вертикальный размер начальной неоднородности равен 10 км. Время развития пузыря определялось достижением его центром высоты 500 км.

19

а б

Рис. 1. Зависимости времени развития пузыря

Результаты, представленные на рисунке 1, показывают, что:

1) время развития рэлей-тейлоровского пузыря незначительно и монотонно увеличивается;

2) скорость плазмы в центре развитого пузыря при увеличении горизонтального размера начальной неоднородности вначале быстро растет, достигая максимума при горизонтальном размере 25 км, а затем быстро падает.

На рисунке 2 приведены зависимости времени развития пузыря (а) и вертикальной скорости в центре развитого пузыря (б) от вертикального размера начальной неоднородности. При этом горизонтальный размер равен 10 км. Время развития пузыря определялось достижением его центром высоты 500 км.

б

20

Рис. 2. Зависимости времени развития пузыря

Результаты, представленные на рисунке 2, показывают, что в этом случае:

1) время развития достаточно сильно зависит от вертикального размера начальной неоднородности, монотонно убывая;

2) вертикальная скорость в центре развитого пузыря при увеличении вертикального размера начальной неоднородности достаточно быстро и монотонно возрастает.

Заключение

я

Относительно зависимости времени развития пузыря от размеров начальной неоднородности можно сделать следующие выводы:

1) вертикальный размер начальной неоднородности влияет на время развития пузыря гораздо сильнее, чем горизонтальный;

2) направления влияния размеров противоположны: увеличение горизонтального размера слабо увеличивает время развития пузыря, а увеличение вертикального размера — сильно уменьшает.

Другими словами, увеличение только вертикальных размеров начальной неоднородности существенно ускоряет развитие рэлей-тейло-ровского пузыря, тогда как увеличение только горизонтальных размеров начальной неоднородности несущественно замедляет это развитие.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту 17-01-00265.

Список литературы

1. Мациевский С. В., Никитин М. А., Пец А. В. О нелинейной стадии развития неустойчивости Рэлея — Тейлора в экваториальной Б-области // Геомагнетизм и аэрономия. 1987. Т. 27, № 6. С. 921 — 924.

2. Кащенко Н. М., Мациевский С. В., Никитин М. А. Исследования нелинейной стадии развития неустойчивости Рэлея — Тейлора в экваториальной Б-об-ласти с учетом продольной диффузии и педерсеновской проводимости Е-об-ласти // Там же. 1989. Т. 29, № 4. С. 577—582.

3. Кащенко Н. М., Мациевский С. В., Никитин М. А. Динамика системы множественных рэлей-тейлоровских ионосферных пузырей // Там же. 1990. Т. 30, № 2. С. 281—286.

4. Ossakow S. L., Zalesak S. T., McDonald B. E., Chaturvedi P. K. Nonlinear equatorial spread-F: Dependence of altitude of the F-peak and bottomside background electron density gradient scale length // J. Geophys. Res. 1979. Vol. A84, № 1. P. 17 — 39.

5. Гершман Б. Н. Динамика ионосферной плазмы. М., 1974.

6. Рыбин В. В., Поляков В. М. Об амбиполярности движений ионосферной плазмы // Ионосферные исследования. 1983. № 33. С. 5—44.

7. Фаткуллин М. Н., Ситнов Ю. С. Диполярная система координат и ее некоторые особенности // Геомагнетизм и аэрономия. 1972. Т. 12, № 2. С. 333 — 335.

8. Hedin A. E., Salah J. E., Evans J. V. et al. A global thermospheric model based on mass spectrometer and incoherent scatter data MSIS 1. N2 density and temperature / / J. Geophys. Res. 1977. Vol. 82, N. A1. P. 2139-2147.

9. Hedin A. E., Reber C. A., Newton G. P. et al. A global thermospheric model based on mass spectrometer and incoherent scatter data MSIS 2. Composition / / Ibid. P. 2148-2156.

10. Кащенко Н. М., Мациевский С. В. Математическое моделирование неус-тойчивостей экваториального F-слоя ионосферы // Вестник Калининградского государственного университета. 2003. Вып. 3. С. 59 — 68.

Об авторах

Николай Михайлович Кащенко — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: kaschtschenko@mail.ru

Сергей Валентинович Мациевский — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: matsievsky@newmail.ru

Сергей Александрович Ишанов — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: sergey.ishanov@ya.ru

About the authors

Dr Nikolay Kashchenko, ass. prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: kaschtschenko@mail.ru

Dr Sergey Matsievsky, ass. prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: matsievsky@newmail.ru

Prof. Sergey Ishanov, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: sergey.ishanov@ya.ru

21

УДК 532.5

А. Я. Шпилевой, В. Н. Худенко, Н. В. Персичкина

ДИНАМИЧЕСКАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОСОБЫХ ТОЧЕК АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ГИДРОДИНАМИКЕ

Построены динамические визуализации математических моделей потенциальных установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости с использованием особых точек аналитических функций.

© Шпилевой А. Я., Худенко В. Н., Персичкина Н. В., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 1. С. 21 — 30.