Квантовая механика векторной частицы в магнитном поле на четырехмерной сфере

dynamics [Text] / L.A. Kondratyuk, M.V. Terent'ev // Sov. J. Nucl. Phys.- 1980.—Vol. 31- P. 561 - 570.

8. Терентьев, M.B. О структуре волновых функций мезонов как связанных состояний релятивистских кварков [Текст] / М.В. Терентьев // Ядерная физика.- 1976.- Т. 24,- С. 207 - 213.

9. Machleidt, R. The Bonn meson-exchange model for the nucleon-nucleon interaction [Text] /R. Machleidt, K. Holinde, Ch. Elster//Phys. Rep.- 1987,-Vol. 149.-P. 1 - 89.

10. Lacombe, M. Parametrization of the deuteron wave function of the Paris N-N potential [Text] / M. Lacombe, B. Loiseau, R. Vinh Mau [et al.] // Physics Letters B. - 1981.—Vol. 101- Iss. 3.-P. 139 - 140.

11. Anselmino, M. The theory and phenomenology of polarized deep inelastic scattering [Электронный ресурс] / M. Anselmino, A. Efremov, E. Leader // arXiv:hep-ph/9501369v2.

12. Anthony, P.L. Measurements of the q2 -dependence of the proton and neutron spin structure functions gf and g" [Электронный ресурс] / P.L. Anthony, R.G. Arnold, T. Averett [et al.] I I arXiv: arXiv:hep-ph/0007248vl.

13. Ciofi degli Atti, C. Spin structure function of the deuteron in the resonance region and the GDH sum rule for the neutron [Электронный ресурс] / С. Ciofi degli Atti, S. Scopetta, A.Yu. Umnikov [et al.] // arXiv:nucl-th/9602026vl.

14. Melnitchouk, W. Deep inelastic scattering from polarized deuterons [Text] / W. Melnitchouk, G. Piller and A.W. Thomas // Phys.Lett. В.- 1995.- Vol. 346.- P. 165-171.

15. Umnikov, A.Yu. Deep inelastic scattering on the deuteron in the Bethe-Salpeter formalism. II. Realistic

NN interaction [Электронный ресурс] / AYu. Umnikov, EC. Khanna, L.P. Kaptari // arXiv:hep-ph/9608459vl.

16. База экспериментальных данных HEPDATA по физике высоких энергий, Университет Дарема, Англия [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF.

17. Glück, М. Models for the polarized parton distributions of the nucleón [Text] / M. Glück, E. Reya, M. Stratmann [et al.] // Phys. Rev. D.- 2001,- Vol. 63,-P. 094005-1-094005-12.

18. de Dorian, D. Sea quark and gluon polarization in the nucleón at NLO accuracy [Text] / D. de Florian, G.A. Navarro, R. Sassot // Phys. Rev. D.- 2005,-Vol. 71- P. 094018-1 - 094018-12.

19. Leader, E. Impact of CLAS and COMPASS data on polarized parton densities and higher twist [Text] / E. Leader, A.V. Sidorov and D.B. Stamenov // Phys. Rev. D.- 2007,- Vol. 75,- P. 074027-1 - 074027-10.

20. Anthony, P.L. Measurement of the deuteron spin structure function gf(jc) for 1 (GeV/c)2< Q2<40 (GeV/c)2 [Text] / P.L. Anthony, R.G. Arnold, T. Averett [et al.] // Phys. Lett. В.- 1999.- Vol. 463,- P. 339 - 345.

21. Abe, K. Measurements of the proton and deuteron spin structure functionsgj andg2 [Text] / K. Abe, T. Akagi, P. L. Anthony [et al.] // Phys. Rev. D.- 1998,- Vol. 58.-P. 112003-1 -112003-54.

22. Adeva, B. Spin asymmetries^ and structure functions gx of the proton and the deuteron from polarized high energy muon scattering [Text] / B. Adeva, T. Akdo-gan, E. Arik [et al.] // Phys. Rev. D.- 1998,- Vol. 58.-P. 112001-1- 112001-17.

23. Берестецкий, В.Б. Квантовая электродинамика [Текст] / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. - М.: Наука, 1989. - С. 109.

УДК 539.12

В. В. Кисель, Е.М. Овсиюк, О.В. Веко, В.М. Редьков

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ВЕКТОРНОЙ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ НА ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

Квантование движения частиц в однородном магнитном поле — классическая задача теоретической физики [1—3]. За последние 25 лет была детально исследована более общая проблема для пространств с неевклидовой геометрией, гиперболической плоскости Лобачев-

ского Н2 и сферической плоскости Римана [4—11]. Система оказалась интересной как в рамках классической механики, так и с кванто-вомеханических позиций. Обобщение анализа на 3-мерные пространства Лобачевского Щ и Римана 53 было проведено относительно не-

давно. В работе [12] были построены точные решения уравнения Шредингера с внешними потенциалами, описывающими магнитное поле в Щ и ,У3; движение частицы в таком поле в рамках классической механики было исследовано в [13]. Вработе [14] (см. также [15]) было решено уравнение Дирака в магнитном поле на фоне пространств #3 и £3.

Разделение переменных в пространстве £3

В настоящей работе мы обращаемся к анализу аналогичной квантовомеханической задачи для частицы со спином 1.

Исходное квантовомеханическое уравнение для частицы со спином 1 в формализме Даф-фина — Кеммера, обобщенное на случай пространства-времени с кривизной, имеет следующий вид (используем обозначения, принятые в монографии [16]):

j

iñ

efc)9ß +\jab4abc

-тс Y = 0,

ПС

Фи-

i+/¿4>

aß'

фа(*) = е(")(*)фа(х)> ФаА(*) = «&(*) е(%(х) Фар(х).

М. Олевским в 1950 году [ 17] были перечислены все разделяющиеся системы координат в трехмерных пространствах постоянной кривизны. В частности, под номером XI приводится следующая система координат:

dS2=c2dt2- р2

где уаЬс — коэффициенты вращения Риччи; Аа - — тетрадные компоненты электромагнитного 4-вектора А^; Jab = (р(я)|3(А) -

обозначают генераторы 10-мерного представления группы Лоренца.

Ниже мы используем сокращенные обозначения: е/ей => е, тс/Н=> М . Уравнение для векторной частицы в матричной форме Даф-фина — Кеммера (1) полностью эквивалентно общековариантной тензорной форме уравнений для этой частицы в форме Прока (см. работу [16]):

[dr2 + sin2 г dq>2 j + dz

ze[-я/2,+я/2], re[0,+7i], сре[0,2я].

Обобщение представления однородного магнитного поля в случае модели S3 дается выражением [12]

Ау — —IB sin2 — В

причем этому потенциалу соответствует неис-чезающая компонента электромагнитного поля

Fvr=\Ar-br\=Bwa.r\

этот тензор удовлетворяет уравнениям Максвелла в пространстве Sv

Рассмотрим уравнение (1) в пространстве S3. Цилиндрическим координатам ха = (t,r,<p,z) соответствует тетрада

Ча)

(х) =

1 0 0 cos-1 z

0 0

0 0

0 0 cos ^sin lr 0

0 0

0

1

символы Кристоффеля и коэффициенты Риччи задаются следующими матрицами:

г'- -1 Д ~

0 0 -tgz

0 -sinreos/" 0 -tgz 0 0

he

л тс ^

Фоф = "Г Фор

если преобразовать уравнения (1) к тетрадным компонентам 10-мерной волновой функции

¥ = (ФО,Ф1,Ф2>ФЗ>ФО1'ФО2>ФОЗ'Ф23'ФЗ1'Ф12)>

согласно формулам

rz -

1 jk-

sinzcosz

о 0

0 ctg г 0 ctg г 0 -tg z 0 -tg z 0

0

Sinz coszsin г

о

0 0:

Yl22=-

1

Уз 11 --z' Уз22 --z-

г cosz

Уравнение (1) примет вид

di cosz

д г

ß<2> /Эф - eB (cos г -1)+i J cos r

cos z

+/ß(3) 9+i.sinz/ß(l)/13+ß(2)/23\ м dz ens z \ /

sinr

cosz

¥ = 0.

0 0 0 0 0 0 ei 0

0 0 i 0 • ß(0 = 0 0 0

0 -i 0 0 j H 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

где х1 следуют выражениям (транспонированная строка обозначается е/):

ех = ^(Ч 0,0; е2 = -^(1,0,1);

e3=(0,/,0);

J_

0 i о

1 0 1 0 1 о

0 -г 0 i 0 0

i 0 -i ; ^з= 0 0 0

0 i 0 0 0 -1

Вход ящий в уравнение (4) генератор У12 диа-гонален, а именно

/2 = ß(1)ß(2)-ß(2)ß(1)=-,

0 0 0 0

0 х3 0 0

0 0 т3 0

0 0 0 т,

= -iS,

Y = e~i£,eim

Ф0

в этом случае уравнение (4) дает (пусть т + В (1 - cos г) - v(r)) уравнение вида

£ß(QW + /ß(l>A_ß(2) V(.)-^3COSr + or sinr

Ниже будем использовать матрицы Даф-фина — Кеммера и генераторы в циклическом базисе (используем блочную запись в соответствии с разбиением 1—3—3—3):

ß<°> =

+/ß

Фj

- Mcosz]

= 0.

После простых вычислений приходим к следующим десяти уравнениям (у =

Э Е1 Э Еъ

Э г дг

—У— [(v-cosr)^ + (v + cosr)is3]-

1 sinr

э

(cos z)--2 sin z E2= МФ0 cos z;

dz )

• ЭЯ2 . v „

+ ieEi cosz + iy—- + iy-H2 +

Э r sinr

+i

(cosz)—-Sinz dz

Hx -МФ1 cosz;

+ ieE2 cos z + iy

дИ] Э#3

дг dr

[(v - cos r) Hx - (v + cos г) Нг ] = МФ2 cos z;

.J1

sinr

• дн2  v „

+ ieE3cosz + iy -H2

dr sinr

-i

(cos z)--sin z H3= МФЪ cos z;

dz )

Разделение переменных в кулоновском поле

Для волновой функции будем использовать подстановку

ЭФр

dr ' sinr ЭФл

- «'n v -/вФ, cos z + у —- + у -— Ф0 = МЕХ cos z;

-геФ, cos z --—- cos z = ME0 cos z: 2 dz 2

ЭФП V

-/еФ3 сое г - у —- + У-Фп = МЕг, сое г;

Э г втг

ЭФ2 . V ^

-1У—+-1У-— ф -

дг япг

-г

д

(соег)—-япг Ф] = МНХ сое

дг )

Ъ Ф0-геф3 =Ме3; г ? . Эф

~дг 2 ЭФ,

сое г

2 Ь(р2+1-^р~ =

-/еф2 - сое г —— = Ме2; дг

гб- ф] -¡а+ ф3 = МИ2;

-1у

ЭФ1 + ЭФ3 дг дг

+ [(V-СОвг) Ф! -

втг

- (у + сое г) Ф3 ] = МН2 сое г\

причем здесь использованы следующие обозначения для шести операторов:

Э у-собг

Э г втг

= а~; у

Э у + совг

дг втг

= а+;

• ЭФ2 . V ^

-гу -^г^ + гу-Ф2 +

дг вт/*

Э V

—+-

дг втг

= о; У

Э ^ V — сое т дг втг

+1

(сое г)—-втг

дг

Ф3 =МНЪ сое г.

Э у + совг

--+ -

дг втг

= Ъ+\ у

д V

--+ -

дг япг

= Ь-\

С помощью подстановок

и - Ь и - Н1 и - Ь

"2 --т ' ~-' -->

сов г сов г сов г

Нерелятивистское приближение

Исключая нединамические переменные Ф0, Н^, къ, получаем шесть уравнений (комбинируем их в пары):

Ф

ф2

2 2 сое г

, Фг

Ф1

Фз .

Фз

соег соег

Е2=—Ех-—Еъ =——; (8) со& г соег созг

систему можно упростить, и она принимает вид

де2 ~дг

-Ъ- ех - а+е3 - = М (сое2 г)Ф0;

-¡Ь- \ + 1а+ + /ее2 = М ф2; -^—ап2+1ее1 = М ф^

соб г г

дг

Ьк2 + г'ее3-г—- = М(р3; (9а) сов г дг

а Ф0 -/еф! - М е^; .Эф!

--г— оф2 -г'—1- = ]Щ;

сое г ог

сое2 г

а (¡Ь- ф! - г А+ф31 + гв Мех +

-

дг

I

сое г 1 /

«Ф2-г-= М Фь

сое2 г

? - <Эе,Л -Ь-ъ-а+е3-—^

дг

— /еЛ/ф1 -М ву,

-1Ъ-

/ - .Эф!Л

V сое г

/

2~а Ф2 ~1

дг

+ ге Ме2 +

+ 1 а+

2 Э 1 -соб г

чсов г

/

Эфэ ^ 1 2 =м Фг;

дг

дг сов2 2

I I де2Л

ч

дг

-/е Мц>2 =М е2;

I Л / Л А \

Ъ \лЪ- ф, - ф31 + ¡еМе3 -

сое2 г

.Ъ'

дг

соб г

сое2 г

-Ь- е3 —

дг

сое2 г

сое2 г

— /е Мф3 = М е3.

1 ( д 2$т.г

— + -

Теперь вводим большие и малые \|/(- компоненты [16]:

ф] +¥]; щ -¥1;

Фз -^з ¡ез=Ъ~Щ

и одновременно выделяем энергию покоя формальной подстановкой е => е + М; в результате приходим к следующим уравнениям:

сов 2 сов 2

4^2 +¥2)"

сое2 г\дг сое г

А2

+(е + ЛГ)Л/(Ч,3 -\|/3) = М1 (Т3 + \|/3);

сое2 г

сое2 г

Ъ д дг

сов 2

сов2 2

' д дг соег

02

+ (е+ М) М (Ч^ - ) = М2 ('+ \|п);

+(е + М)М{х¥3 +Х|/3) = М2 -Х|/3).

Складывая и вычитая уравнения в каждой паре, а также пренебрегая малыми компонентами по сравнению с большими, получаем три уравнения для больших компонент:

-тЧ*.-».)-^-^»-*)-

сов 2 сов 2

2 л л Э2

аЪ- +

сов2 2 дг2'

+ 2 втг

___ аТ

а д дг

со ь г

+(е + ДГ) ЛГ (Ч^ + У!) = М2 (Ч^ - ^);

2 л л

Ьа+ +—^ + дг2

со&2 2

^3 +

со& г

л Э

+ 2^6^=0; с08 г

1 /Л А Л Л\

[Ь-а + а+Ь\ + 2гМ + —+

« ^ * / Эг2

сое г

+2

совгдг ) совг^ '

соб 2

+ а+ (сое2 г) ^--V (^3-¥з) +

Это система уравнений в паулиевском приближении. В случае плоского пространства она становится намного проще:

дг сов 2

, 2 ч Э 1 Э

+ (сОв 2)---5-—,

02 СОв 2 02

+{е + М)М(Ч'2+у2) = М2(Ч'2-\|/2);

-2аЬ-+^г + 2еМ дг2

-2Ьа++^г + 2еМ дг2

^1=0;

Т3=0;

b-a + a+b}+2eM +

dz2

^2=0,

где в определениях для а, Ъ, а~, Ъ~, а+, Ь+ должны быть выполнены соответствующие упрощения.

Уравнения (13а) приводятся к более симметричному виду с использованием простой подстановки Ч^ = cosz *F2; таким образом получаем систему

л л л

2аЪ~ д О IX

+ —z- + 2 еМ

cos2 z dz2

Ч^+ 2-^-^2=0;

COS Z

Вводим факторизованное представление для трех функций:

Оу = ВДВД; С2 = Z2(z)JR2(r);

в3=г3

тогда уравнения (146) запишутся следующим образом:

2 Л Л ^

--г— b-a + —Z- + 2 еМ

у cos z dz ;

ZA +

+2-^у- b~a Z2R2 = 0; cos z

л л n n

2ba+ d _ +—T + 2 eM

cos2 z dz2

cos z

(л л л л \

¿-а + о+й + 2 д2

'- +-^ + 28^ + 1 dz2

cos 2z

y2+

+ + а+*Р3) = 0.

cos zv '

С помощью дифференциальных операторов перейдем к новым функциям:

Ь-Ч^вь Ч2=02, а+Ч>3=03, (14а) тогда уравнения (13а) примут вид

2 - - Э

--=—b-a+—z- + 2eAf

v cos z dz j

<h +

2 Л Л

--z—а+й + —z- + 2 eAf

v cos z 9z ,

Z37?3 +

sifl 7 Л Л

+ 2—fl+6 Z2i?2 = 0; cos z

1 /л л л л v

--z— 6-Й + 0+6 + 2 +—T +

cos z ' Д-2

9zz

+2гМ + l)Z2i?2 + 2-*^- (Z,^ + Z3i?3) = 0. cos z

Замечаем, что первое уравнение в системе (156) не изменится, если подействовать на него слева оператором Ь~а; аналогично не изменяется и второе уравнение при действии на него оператором а+ b. Следовательно, можно предположить, что справедливы следующие соотношения:

b-aRy = XRy, b-aR2 = XR2; Rl=R2=R

smzc -

+ 2-г— 0-0 (j2 = U;

cos z

и

a+bR3 -X' R3; a+bR2=\'R2; R2=R3 =R.

r 2 - - Э2 --a+b+—2+2eM

у cos z dz j

„ sinz Л ? „ + 2—a+b G2= 0;

COS Z

1 (b-a + a+b + 2) + ^r + 2eM+l dz2

G3 +

COS2 z

G2 +

+ 2^(G1+G3) = 0.

COS z

Принимая во внимание ограничения, задаваемые системой (156), приходим к системе уравнений для трех функций, зависящих от г:

d2 о л,

- + —- + 2 гМ

cos2 z dz2

' 2Г d2 о л,

+ —^ + 2 еМ

cos2 z dz2

Zy + Z2 = 0;

COS Z

Z3 + Z2 - 0;

cos z

' 1 d2 "nc " dz

COS Z

Z2 +

+ 2^(Z1+Z3) = 0. cos z

Учитывая явные выражения для операторов а, а+, Ъ, Ь-, легко находим равенства

Ь~а = — 2

а+Ь = — 2

d cos г d v

—-—:--— -В + —т—

dr sin г dr sin г

d cosr d

+B +

v\r)

dr2 sin a* dr sin2 r a+b-b-a-B.

Таким образом получаем уравнение относительно R2:

b~aR2 = XR2

d2 cosr d v2

—^ + ~--r + ^--

dr sin r dr sin r

- + 2Л

B2=0.

Применяем подстановку Я - у" (1 - у) Т7 ; при этом

и Ь = ±\т + 2В\ 2 2

тогда приходим к простому уравнению

у(\-у)р" + \(2а + 1)-2{а + Ь + \)у] ¥'-

- [о (а +1) + 2а6 + £ (6 +1) - Я2 - (Я + 2Л)] ^ = 0,

которое является уравнением гипергеометрического типа:

у (1 - у) ^ + [у - (а +13 +1) у]- «р^ = 0.

Параметры гипергеометрической функции (а, Р, у) определены равенствами

. . , IЛИI \т + 2В\ у = + \т\+1, а = +~у, Ь = +-—-—

a-a+b+—j 2 1

\2

я+-2

+ 2Х;

Уравнение относительно Rx имеет тот же вид, если два параметра А, и Л' подчиняются линейному соотношению:

о+£я2=А'Я2 => b-aR2 ~(k' + B)R2,

т. е.

Х' = Х-В.

Рассмотрим уравнение (18а) детальнее:

dr2 tgr dr v '

--í-y-\m + fi(l-cos r)l2 R = 0.

sin r

В новой переменной 1- cos r = 2y, у e [0, 1] оно трансформируется в уравнение вида

'?L-4B2 + (m + 2Bf

dy t-2 В

R = 0.

P=a+¿+-+1

Я + -

+ 2X.

Чтобы иметь решения в виде полиномов, следует наложить условие а = -л(и = 0, 1, 2, ...); тогда

a+b+^-i

я+А

V 2 у

Л2

+ 2Х = -п;

отсюда следует правило квантования:

2Л +

В + -2

а+Ь+—+п 2

> 0.

Соответствующие решения задаются согласно выражению

' 1 \+т+2В

X

R = | sin -

г

cos-2

•2 г

х Г т | +1 т+2В \ +1+и ,| т \ +1; -вт

Если воспользоваться обозначением X = А - Я/2, формула для спектра запишется в виде

2A + B2=N(N + l); N = a + b + n. (20г) {la2-a-X')A3 + Х'А2 =0;

Поведение решений по переменной г около особых точек

Обратимся к анализу системы (17); в переменной %т.г - х она примет вид

Л

2а2-а-2 + Х + Х \А2+А1+А3=0.

Аналогично рассматриваем уравнения около второй особой точки х —» -1:

Л 2\ d d 2X _ ,, (1—JC2)—=—JC—---+ 2 EM

v 'dx2 1-х2

Z1 +

2Xx =

1-х2

Z2= 0;

и

л 2\ û" d 2X'

1-х2 ^--x----+

v 'dx2 dx 1-х2

2X'x =

2 eM

Z3 +

z,= 0;

V ;ièc2 ¿X 1-х2

x

xZ2+-^-(Z1+Z3) = 0. 1-х

Около точки z = +7i/2(x—>+1) система упрощается:

4 '¿¿с2 1-х v ¿x2 dx 1-х

Z1+^Z2=0;

Z3+£Z2=0;

z^^l + xf; zi = B2{\ + x)b\ Z3=B3(l + x)b

{2b1 -b-X^JBy- XB2 - 0; (2Ь2-Ь-Х')В3-Х'В2=0;

7 +1 + >'Л

2b2-b- \В2-Вх-В3=й.

2 J

^обно ввести новые обозначения: 2о2-а-А; 2Ь2-Ь = В; тогда две линейные системы запишутся как (А-Х)А1+ХА2 =0;

(А-Х')А3+ Х'А2 - 0;

А-

2 + Х + Х

А2+Ау+А3 = 0;

d2 d 2+Х + Х'

dx2 dx 1-х + = 0;

(В-Х)В1-ХВ2=0; (В-Х')В3 -Х'В2 - 0;

z2 +

в-

2 + Х + Х

В2 — Ву — В3 — 0.

возможное решение выглядит следующим образом:

Zl=Al( 1-х)0; z2 = Л2{\-х)а\

Z3=A3

Для параметров Ах, А2, А3 получаем линейную систему

Далее мы получаем одинаковые уравнения для собственных значений А и В:

(А-Х)Х' + (А-Х')Х-

~

/ 2 + Х + Х'л

А-

= 0;

(В-Х)Х' + (В-Х,)Х-

~

в-

2 + 1+Х'

= 0

(2а2 -а-Х}А1+ХА2 = 0;

и соответствующие решения

а = -В2 —В, = -В7 ——.

Построим решения кубических уравнений; для определенности рассматриваем уравнение длят4:

2(А-Х)Х' + 2(А-Х')Х--(А-Х)(А-Х')(2А-2-Х-Х') = 0,

т. е.

-А

- 2А3 + А2 [2 + 3(Х + Х')]-

(;\ + Х')2+2ХХ' +АА'[(Х + Х')-2] = 0.

Учитывая равенство X' -Х-В, введем новый параметр

Х'-- = Х + - = А; Х + Х' = 2А; 2 2

XX'= А2-*-; 4

тогда уравнение (26а) примет вид А3-А2 (ЗА + 1) + Л

д2 ^

ЗА2 - — 4

' Д2Л

А2-?-4

(Л-1) = 0,

т. е. символически

А3 +аА2 +ЬА + с- 0,

где

а - — (ЗА + 1); 6 =

с —

зл2-*-

4

(Л-1).

Введем новую переменную У:

А-У---А~г 3'

затем убираем из кубического уравнения квадратичный член

У3+рУ + 4 = 0;

р =--+ Ь = -

3

о л в2

2Л + — + -4 3

2а3 аЪ

а =---+ с = -

27 3

^2 Я2 2' -Л + — + — 3 3 27

Отмечаем существенные неравенства:

р< 0, ?<0, \р\>\д\. Дальнейший анализ приводит к трем ве-

щественным корням:

у1=4~рТъ

с л

2 сое—

У2 - \1~р/3 -сое—-л/Зкт— ^ 3 3

^ =\1~р/3 -сое—+-у/Зет— 3 , 3 3

где

совф =

-д/2

,3/2 :

. УЬр/3)3-(<?/2)2

вшф = --—^—-

{-Р1Ъ)Ш

К сожалению, к настоящему времени существенного дальнейшего прогресса в решении полученной системы уравнений по г достичь не удалось.

Проведенный анализ без труда обобщается на случай пространства постоянной отрицательной кривизны — пространства Лобачевского Нъ. Также отметим, что развитая схема разделения переменных применима не только для нерелятивистского приближения, но и в релятивистском случае.

Добавим, что задача о поведении частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле решается точно при ограничении на двумерные пространства постоянной кривизны, сферическую и гиперболическую плоскости.

Таким образом, в пространстве с постоянной положительной кривизной исследовано квантовомеханическое волновое уравнение для частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле. Выполнена процедура разделения переменных t, г, ф, г. Решения уравнений по пере-

менной г строятся в гипергеометрических функциях. Исследование зависимости волновой функции от переменной г доведено до системы трех связанных между собой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для трех функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rabi, I.I. Das freie Electron in Homogenen Magnetfeld nach der Diraschen Theorie [Text]/1.1. Rabi// Z. Phys. - 1928. - Vol. 49. - P. 507-511.

2. Landau, L. Diamagnetismus der Metalle [Text] / L. Landau // Ztshr. Phys. - 1930. - Bd. 64. - S. 629-637.

3. Plesset, M.S. Relativistic wave mechanics of the electron deflected by magnetic field [Text] /M.S. Plesset// Phys.Rev. - 1931. - P. 1728-1731.

4. Comtet, A. Effective action on the hyperbolic plane in a constant external field [Text] / A. Comtet, P.J. Houston//J. Math. Phys. -1985. - Vol. 26. - № 1. -P. 185-191.

5. Comtet, A. On the Landau levels on the hyperbolic plane [Text] / A. Comtet, P.J. Houston // Annals of Physics. - 1987. - Vol. 173. - P. 185-209.

6. Aoki, H. Quantized Hall effect [Text] / H. Aoki // Rep. Progr. Phys. - 1987. - Vol. 50. - P. 655-730.

7. Groshe, C. Path integral on the Poincare upper half plane with a magnetic field and for the Morse potential [Text] / C. Groshe // Ann. Phys. (N.Y.). - 1988. -Vol. 187.-P. 110-134.

8. Klauder, J.R. Landau levels and geometric quantization [Text] / J.R. Klauder, E. Onofri // Int. J. Mod. Phys. - 1989. - Vol. A4. - P. 3939-3949.

9. Avron, J.E. Landau Hamiltonians on symmetric spaces [Text] / J.E. Avron, A. Pnueli // Ideas and methods in mathematical analysis, stochastics, and applications / S. Alverio [et al.], eds. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. - Vol. II. - P. 96-117.

10. Plyushchay, M.S. Relativistic particle with torsion and charged particle in a constant electromagnetic field:

Identity of evolution [Text] / M.S. Plyushchay // Mod. Phys. Lett. - 1995. - Vol. A10. - P. 1463-1469.

11. Alimohammadi, M. Quantum group symmetry of the quantum Hall effect on the non-flat surfaces [Text] / M. Alimohammadi, A.Shafei Deh Abad // J. Phys. — 1996.-Vol. A29.-P.559.

12. Bogush, A.A. Schrodinger particle in magnetic and electric fields in Lobachevsky and Riemann spaces [Text] /

A.A. Bogush, V.M. Red'kov, G.G. Krylov // Nonlinear Phenomenain Complex Systems. - 2008. — Vol. 11. - № 4. — P. 403-416.

13. Kudryashov, V.V. Classical particle in presence of magnetic field, hyperbolic Lobachevsky and spherical Riemann models [Text] / V.V. Kudriashov, Yu.A. Kurochkin, E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // SIGMA. - 2010. - Vol. 6,004. - 34 p.

14. Овсиюк, E.M. О решениях уравнения Дирака в однородном магнитном поле в пространстве Лобачевского [Текст] / Е.М. Овсиюк, В.В. Кисель,

B.М. Редьков // Доклады НАН Беларуси. — 2010. — Т. 54. - № 3. - С. 47-54.

15. Red'kov, V.M. Quantum mechanics in spaces of constant curvature [Text] / V.M. Red'kov, E.M. Ovsiyuk. — Nova Science Publishers, 2012 (in press).

16. Редьков, В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца [Текст] / В.М. Редьков. — Минск: Белорус, наука, 2009. — 495 с.

17. Олевский, М.Н. Триортогональные системы в пространствах постоянной кривизны, в которых уравнение д2и+Я U = 0 допускает полное разделение переменных [Текст] / М.Н. Олевский // Матем. сб. — 1950. - Т. 27. - С. 379-426.

УДК 539.12

Е.М. Овсиюк, О.В. Веко, В.В. Кисель, В.М. Редьков НОВЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И УРАВНЕНИЕ ГОЙНА

В настоящей работе мы обсудим некоторые теории поля, приводящие к необходимости неновые и старые задачи квантовой механики и следовать решения дифференциального урав-