Реализация дискретного вейвлет-преобразования в режиме реального времени. Алгоритм скользящего

УДК 53.083

В. В. Алексеев, В. С. Коновалова, И. В. Калякин

РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РЕЖИМЕ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ. АЛГОРИТМ СКОЛЬЗЯЩЕГО

V. V. Alekseev, V. S. Konovalova, I. V. Kalyakin

REALIZATION OF DISCRETE WAVELET TRANSFORM IN REAL TIME. MOVING ALGORITHM

Аннотация. Рассмотрен скользящий алгоритм, реализующий вейвлет-преобразование в режиме реального времени. Предложены схема работы алгоритма и его математическое описание. Определены требования к динамическим характеристикам измерительного канала, базирующиеся на значениях выражений, полученных для оценки объемов вычислений алгоритмов скользящего дискретного вейвлет-преобразования.

Abstract. Moving algorithm implementing wavelet transform in real time surveyed. The scheme of operation of algorithm and its mathematical exposition is offered. Demands to dynamic characteristics of the measuring channel, basing on meanings of the expressions obtained for an estimation of sizes of evaluations of algorithms of moving discrete wavelet transform are defined.

Ключевые слова: дискретное вейвлет-преобразование, алгоритм скользящего, измерительный канал.

K e y words: discrete wavelet transform, moving algorithm, measuring channel.

В настоящее время как в нашей стране, так и за рубежом наблюдается активное внедрение дискретного вейвлет-преобразования (ДВП) во все отрасли науки и техники. Современные информационно-измерительные системы представляют собой сложный аппаратно-программный комплекс, включающий в себя большое количество измерительной, обрабатывающей и управляющей техники. Хранение всей измерительной информации (для последующей обработки) зачастую требует слишком больших аппаратных затрат, а иногда и вовсе не возможно, так как требуется принимать управляющие решения незамедлительно. Классическое ДВП работает с конечной выборкой, т.е. не может быть реализовано в режиме реального времени [1]. В связи с этим возникла необходимость разработки алгоритма, работающего в режиме реального времени, сокращающего объемы вычислений и не теряющего точности по отношению к классическому ДВП.

Разработанный скользящий алгоритм ДВП можно разделить на три части:

1. Скользящий алгоритм дискретного вейвлет-разложения.

2. Алгоритм выделения и обработки пороговыми функциями нужных коэффициентов разложения (аппроксимирующих и детализирующих).

3. Скользящий алгоритм дискретного вейвлет-восстановления.

Скользящий алгоритм дискретного вейвлет-разложения

Для исключения влияния краевого эффекта на результаты анализа производится набор «Начального участка» - массива измерений, необходимого для первого шага анализа по всем уровням. Длительность «Начального участка» Qn r определяется размером вейвлета nv и необходимым уровнем разложения r. Объем выборки измерительного сигнала, необходимый для получения первого неискаженного отсчета на r-м уровне разложения, может быть получен на основе следующих рассуждений.

2012, № 2

19

На первом шаге разложения длина достоверных векторов аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов составляет

а —^.

где О - длительность исходного сигнала. Первое значение аппроксимирующего или детализирующего коэффициента получается при использовании пу отсчетов исходного сигнала, дальнейшие коэффициенты рассчитываются с включением двух следующих отсчетов исходного сигнала. Значение Ql округляется в меньшую сторону. Второй шаг разложения:

О - пу _ Q2 = - 2 _ ^

О -(1 + 2 )пу О _(20 + 21);

2 2 2 22 22

Третий шаг разложения:

О _

0 02 - п ---п О _

03

2 2 23 ' Четвертый шаг разложения

О _

0 23 _п О _

04 2 2 24

Некоторый к-й шаг разложения

к-1

О - 12'

пу

0 0к-1 - п О-(20 + 21 + ... + 2к-1Ь ;-0 2 2к 2к '

Таким образом, если предположить, что при разложении г-го уровня вычисляется только одна точка, можно получить искомое 0п г:

0пу,г - 2Г + 2 2Ч . ] — 0

Алгоритм скользящего ДВП разложения 1-го уровня в режиме реального времени:

1. Для каждого второго отсчета выборки X = {хг} формируется вектор длительностью пу :

— {Хг-п„ +1, Х1-пу+2,..., Х1} .

2. Осуществляется свертка вектора Xi с базисными функциями - вычисление одного отсчета 1-го уровня разложения [2, 3]:

/1 — X хфт; И — X т,

где \ — (i - пу ))2; фт и ¥т - векторы базисных функций разложения.

Полученные результаты: /) является элементом вектора аппроксимирующих коэффициентов разложения 1-го уровня — ...,/11; И* - элементом вектора детализирующих коэффициентов разложения 1-го уровня Н1 —{й1, И,,..., И |.

Схематически алгоритм разложения представлен на рис. 1.

Рис. 1. Схема алгоритма скользящего дискретного вейвлет-разложения

На следующих уровнях разложения алгоритм аналогичен первому уровню разложения, т.е. для каждого второго рассчитанного значения аппроксимирующего коэффициента предыдущего уровня выделяется выборка длительностью пу, после чего производятся свертка с базисными функциями вейвлет-разложения и вычисление по первому отсчету аппроксимирующего и детализирующего коэффициентов. Пропуск одного отсчета после свертки позволяет сократить ненужные вычисления, так как в классическом варианте результаты этих вычислений отбрасываются при «прореживании».

Рассчитанные значения детализирующих и аппроксимирующих коэффициентов объединяются в векторы. Для удобства возможен следующий вариант записи:

Ж {Х} =

Н1 Н 2

Ь г Н г

Ц = X хф, Ь г = Ь г _1 хф; Н1 = X хТ, Нг = Ьг _1 хТ.

Алгоритм выделения и обработки пороговыми функциями нужных коэффициентов разложения

Соотношение исследуемого сигнала и базовой функции вейвлета определяет индексы нужных для восстановления детализирующих коэффициентов разложения. Исходя из этого вводятся множители в: для нужных детализирующих коэффициентов множитель в = 1, для остальных в = 0:

0 0 0

Ь Г РГ +1

НА

Н 2Р2

Н г Р г

Для постоянной подстройки под изменяющийся сигнал пороговые значения находятся скользящим образом. Определяется объем скользящего окна па , в котором производится вычисление среднеквадратического отклонения для значений к-го детализирующего коэффициента:

2012, № 2

21

а , =2

п —

о ='к —па V

к] — 1 ^ кк

, 2 ку

0 1 ='к —па )

Пороговой обработке подвергаются только детализирующие коэффициенты. Пороговая обработка для некоторого к-го детализирующего коэффициента будет выглядеть следующим образом:

«к {И) } =

если к] >\к , к] =кк;

1к к 'к 'к

к <1г , кк 'к ^'к' 'к

если кк < ^ , кк =0,

'к -''к' 'к '

где значение порога ^ = gk , а значение множителя gk выбирается после анализа функции

распределения шумовой составляющей исследуемого детализирующего коэффициента и устанавливается исходя из вероятности отсечения шума.

После проведения пороговой обработки реализуется скользящий алгоритм вейвлет-восстановления.

Скользящий алгоритм дискретного вейвлет-восстановления

Алгоритм восстановления аналогичен алгоритму разложения. Восстановление происходит после обработки пороговыми функциями, следовательно, начальная выборка будет набрана. Алгоритм восстановления к-го уровня в режиме реального времени: 1. Из рассчитанных аппроксимирующих и обработанных пороговой функцией детализирующих коэффициентов уровня набираются выборки длительностью :

т *к ,*к ,*к ,*к тт*к , *к

Ь' = *1 п„ ,1 п„ 4 Г и Ик = \к. П ,к п„ к

*к

*к

'к ——+1 'к ——+2

'к ——+1 'к ——+2

2 " 2 J I * 2 " 2

Схематически алгоритм восстановления представлен на рис. 2.

Рис. 2. Схема алгоритма скользящего дискретного вейвлет-восстановления

2. Выборки дополняются нулями до объема пу :

Ьк 0 = \ 0, ¡к V ,0, ¡к V .. ,0,...,0,¡к\ и Нкк 0 = \ 0, Ик ^ ,0, Ик ^ ,0,...,0, И*};

•к_—+1 4_—+1 к к к_—+1 4_—+1

Ьк0,к = ик пу _,0,¡к ^ Л...,0,¡1,0} и Н*к = \Ик Пу 0,Ик пу _,0,...,0,Ик,0 к [ !к_1Г+1 ^ к | к \ гк_1Т+1 !к_пг+1 к |

3. Производится свертка с обратными базисными функциями (ф_1 ) и (т_1) - вычисляются два аппроксимирующих коэффициента предыдущего уровня:

¡:= х(ф_1)' + Н¡к х(т_)' и Ч= Ь*;о х(ф-)' + Нк0 х(т-)'.

Из рассчитанных коэффициентов формируется вектор аппроксимирующих коэффициентов (к-1)-го уровня:

т* = \ /*(к _1) 1 *(к _1) ,*(к _1) ¡*(к _1) "I Ьк _1 ^ /i(k_l)_1, '(к_1) , ¡(к_1) +1].

После восстановления разложенного сигнала можно произвести измерение искомых параметров.

Оценка объемов вычислений

Для реализации разработанного алгоритма на процессоре необходимо предъявить некоторые требования к вычислительной мощности процессора. Для этого требуется оценить объем вычислений за заданный интервал времени (шаг дискретизации).

При данном методе разложения максимальное значение операций для вычисления всех аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов до г-го уровня (между двумя отсчетами измерительного сигнала) может быть выражено следующей формулой (для удобства оценки под одной операцией подразумеваются одна операция сложения и одна операция умножения):

О = 2п г

гр •

Оценить максимальный объем вычислений при восстановлении сигнала, которые должны быть произведены при вычислении одной новой точки на к уровне, можно по следующей формуле:

= К 2 2к .

к=1

Таким образом, объем вычислений, которые должны быть произведены между двумя отсчетами измерительного сигнала,

Ог = 2пуг + 4п„ 2 2к = 2п„ (1 + 22 2к).

к =1 к=1

Пример: Рассмотрим объем необходимых вычислений для реализации 7-уровневого ДВП при длительности базисной функции вейвлета в 14 отсчетов, при частоте измерений 4 кГц.

пу = 14, г = 7, /= 4 кГц;

г 7

Сгр = 2пуг = 2-14• 7 = 196; Сгв = 4пу22к = 4-14• 22к = 14 224; Ог = Сгр + Огв = 14420.

к=1 к=1

Допустим, что на выполнение управляющих операций требуется приблизительно 30 % от общего количества вычислений: Ог = 18 746.

Таким образом, необходимо выполнять операции с частотой: 18 746-4 кГц ~ 75МГц.

Тактовая частота современных процессоров в основном составляет 1,0-4 ГГц, следовательно, реализацией разработанного алгоритма процессор не нагружен и на 10 %.

2012, № 2

23

Выводы

1. Разработан алгоритм скользящего, позволяющий реализовать ДВП в режиме реального времени в информационно-измерительных системах.

2. Предложена методика определения требований к динамическим характеристикам измерительного канала, обеспечивающая проведение вейвлет-анализа в режиме реального времени.

Список литературы

1. Алексеев, В. В. Применение вейвлет-преобразования в измерительном канале / В. В. Алексеев, В. С. Коновалова // Труды Международной научно-технической конференции «Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации "Шляндинские чтения-2010"» (Пенза, 20-22 октября). - Пенза, 2010. - С. 18-22.

2. Алексеев, В. В. Алгоритм скользящего вейвлет-преобразования для обработки сигнала в реальном времени / В. В. Алексеев, В. С. Коновалова, И. В. Калякин // Сборник докладов XIV Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (23-25 июня 2011 г.). - СПб. : Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - С. 75-81.

3. Алексеев, В. В. Алгоритм измерения параметров аномального сигнала с использованием скользящего вейвлет-преобразования / В. В. Алексеев, В. С. Коновалова, И. В. Калякин // Материалы Международного конгресса «Цели развития тысячелетия и инновационные принципы устойчивого развития арктических регионов России» // Наукоемкие и инновационные технологии в решении проблем прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий : науч.-практ. конф. - СПб., 2011. - С. 66-73.

Алексеев Владимир Васильевич

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информационно-измерительных систем и технологий, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) E-mail: VVAlekseev@mail.eltech.ru

Коновалова Вера Сергеевна

ассистент,

кафедра информационно-измерительных систем и технологий, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) E-mail: VSKonovalova@inbox.ru

Калякин Иван Валерьевич

аспирант,

кафедра информационно-измерительных систем и технологий, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) E-mail: VSKonovalova@inbox.ru

Alekseev Vladimir Vasil'evich

doctor of technical sciences, professor,

head of sub-department of information-measuring

systems and technologies,

Saint-Petersburg State

Electrotechnical University «LETI»

Konovalova Vera Sergeevna

assistant, sub-department of information-measuring systems and technologies, Saint-Petersburg State Electrotechnical University «LETI»

Kalyakin Ivan Valer'evich

postgraduate student, sub-department of information-measuring systems and technologies, Saint-Petersburg State Electrotechnical University «LETI»

УДК 53.083 Алексеев, В. В.

Реализация дискретного вейвлет-преобразования в режиме реального времени. Алгоритм скользящего / В. В. Алексеев, В. С. Коновалова, И. В. Калякин / / Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 2. - С. 18-23.