Модель связи упруго-вязкого смещения поверхности колеса относительно рельса с тяговыми характеристиками

УДК 681.5.017+681.5.075

Модель связи упруго-вязкого смещения поверхности колеса относительно рельса с тяговыми характеристиками

В. П. Лапшин, И. А. Туркин, С. В. Носачёв

Представлена модель учёта деформаций в узлах трения типа колесо — опора. Модель позволяет оценить влияние динамики тангенциальных деформаций в контакте колеса и рельса на динамику тяговых усилий, прилагаемых к центру масс колеса. Полученный математический аппарат описывает динамику системы в узле трения до момента срыва сцепления.

Ключевые слова: силы трения, позиционирование, точность.

Введение. В современном описании движения железнодорожного транспорта присутствует понятие проскальзывание, которое в общем случае [1] определяется как разность угловой скорости вращения колеса (с учётом радиуса колеса) и скорости линейного движения центра масс колеса. Сила тяги, под действием которой возникает линейное перемещение центра масс колеса и всего железнодорожного состава, определяется как функция от величины проскальзывания (крипа) [1—7]. Возникновению эффекта проскальзывания и его связи с тангенциальной силой посвящены многие работы, в том числе и современных исследователей [1—7], но, к сожалению, результаты моделирования показывают расхождение между расчётными и экспериментальными данными [8—9]. Одна из причин такого расхождения заключается в том, что тангенциальная сила, по определению, зависит от разности скоростей, а не от позиционного смещения поверхностей друг относительно друга. Такой подход противоречит современной механике, в которой скорость движения характеризует диссипативные составляющие сил. В результате этого в теории, описывающей формирование сил в контакте колеса и рельса, отсутствует составляющая, описывающая рассеивание энергии в процессе фрикционного взаимодействия. Рассеивание энергии в условиях движения подвижного состава косвенно подтверждается наличием продольных деформаций в материале рельсов [7].

Таким образом, проблема анализа эффекта проскальзывания и синтеза систем управления движения с учётом этого явления представляет собой актуальную научную задачу.

Длина площадки контакта. Площадка контакта колеса и рельса имеет эллиптическую форму [7]. При этом продольная ось площадки значительно длиннее поперечной. В дальнейшем будем использовать термин «длина площадки контакта», имея в виду длину продольной оси.

Эксплуатация автомобильной техники доказывает, что чем больше длина площадки контакта, тем лучше сцепление. С другой стороны, не требует доказательства тот факт, что чем больше деформация колеса под действием нормальной силы, тем больше длина площадки контакта. Введём переменную, характеризующую степень деформации колеса, и определим зависимость длины площадки контакта от этой переменной. Для наглядности рассмотрим деформационные изменения на рис. 1, где Я — радиус колеса, х2 — величина деформационных изменений колеса под действием нормальной силы, I — длина площадки контакта.

Используя простые геометрические рассуждения, определим зависимость длины площадки контакта от величины деформационных изменений колеса под действием нормальной силы:

Рис. 1. Влияние нормальной деформации колеса на длину площадки контакта

Эффект проскальзывания. На рис. 1 показано, что реальный радиус колеса при нормальной нагрузке меньше радиуса колеса, не имеющего вертикальной нагрузки, на величину х2. Во время движения колёсного транспорта всегда происходит обкатка колеса, то есть путь, пройденный центром масс колеса, будет меньше расчётного (с учётом недеформированного радиуса колеса). Связывая путь, пройденный колесом, с угловой мерой этого пути, можно получить две зависимости 51 = аЛ и ^ = а(Л-Аг), отличающиеся друг от друга только наличием или отсутствием деформации х2. Отметим при этом, что всегда будет справедливо неравенство 51 > 5г. Разницу между 51 и ^ в железнодорожной технике обозначают как «псевдоскольжение» [6]. Псевдоскольжение называется так потому, что присутствует даже в условиях чистого качения. Вместе с тем тангенциальная сила (сила тяги), приводящая к линейным перемещениям локомотива и подвижного состава, не зависит от псевдоскольжения, так как в условиях чистого качения сила тяги равна нулю. При описании движения железнодорожной техники зависимость силы тяги от проскальзывания представляют в виде нелинейной падающей характеристики [1,10,15].

Принято разделять действующую в зоне контакта тангенциальную силу, возникающую в условиях вращательного движения колеса, как совокупность следующих сил:

— сила трения сцепления (покоя) Ртр,сц:,

— сила трения скольжения Ртр,ск:,

— сила трения качения Ртр,к,.

Величину проскальзывания (крипа) в железнодорожной технике принято обозначать Л [1]. Она определяется как разность угловой скорости колеса, приведённой к линейной через радиус колеса, и скорости линейного движения центра масс колеса [7]. В такой интерпретации одной из составляющих проскальзывания выступает и псевдоскольжение, но величина, характеризующая скорость псевдоскольжения, постоянна, а скорость проскальзывания — величина переменная, следовательно, псевдоскольжение не является крипом. Крип — это упруго-пластинчатые деформации в материалах рельса и колеса, результат которых — накопление продольных деформаций в материале рельса и колеса [7, 10]. Схематичное изображение таких деформаций и вид реально деформированного рельсового пути представлены на рис. 2 [7].

Отслаивание, трещины

Однонаправленные сдвиговые деформации

Материал рельса

Слои микроструктуры а) 6)

Рис. 2. Пояснение к возникновению продольных деформаций в зоне контакта колеса и рельса (а), пример продольной

деформации пути

Продольные деформации в материале рельса вызваны тангенциальной составляющей силы, действующей со стороны колеса навстречу линейному движению центра масс колеса. Уравнение связи сил, действующих в контакте колеса и рельса на материал рельса, с учётом деформации колеса под действием нормальной нагрузки, можно записать в виде следующего уравнения:

М _7 с!2 Ах , хс1Ах ,

т------г = т-----г---ч- + ^

(Л-х2) (Л-*2) Л2 2У 2) Л Л 21

где Ах — переменная, характеризующая степень продольной деформации материала рельса;

*1 (Х2) ~ функция, характеризующая упругие свойства материала рельса; ^ (х2) — функция,

характеризующая диссипативные свойства материала рельса; .7 — момент инерции колеса;

М— внешний момент, приложенный к колесу.

В выражении (2) отсутствует инерционная составляющая сил сопротивления деформации рельса в связи с малостью массы, участвующей в этом движении.

Проскальзывание в условиях продольного движения центра масс колеса. Длина площадки контакта, как отмечалось выше, зависит от величины нормальных деформаций х2, но площадка контакта имеет помимо длины ещё и время существования, которое зависит от скорости продольного движения центра масс колеса — 14 Сила тяги, приводящая центр масс колеса в движение, связана с величиной продольных деформаций в материале рельса — позиционная составляющая сил в правой части выражения (2). Так как время существования площадки контакта ограничено, то также ограничено время формирования позиционной составляющей силы, противодействующей продольной деформации рельса. Исходя из этого, определим зависимость величины продольных деформаций от длины площадки контакта — I, скорости реального (с учётом проскальзывания) продольного движения центра масс колеса — Ух и скорости движения центра масс колеса без учёта проскальзывания — 1/а в следующем виде:

^ =

где а — угол поворота колеса,

Дґ = —,

V 4 '

X

Найдём интеграл (3):

Ах = ха{1)-ха

1/

-ХЛ*)

+ х.

t-

1/

= *Д0-Х1(0+Х1

1/

-X

1/

где >га (^) = (/? — лг2) а — координата, характеризующая идеальное (без проскальзывания) продольное движение центра масс, х1 — координата, характеризующая реальное продольное движение центра масс колеса. В условиях стабилизации параметров движения, когда 14 и 1/а постоянны, значение проскальзывания можно определить как

ЛИ

Ьх = \1_1_(Уа-Ух)(Л = М

V,

В выражении (2) помимо значения Ах присутствует также первая производная по времени от Ах, которая может быть определена из выражения (3) следующим образом:

с1 Г , „/г'л/ ,/ иЛ с/\ Г'

с!Ах (Л

Цлк-ю*} </

Л

Л

Л

о

V V

Л А

Л

л

- — с!

г*--

сЬ

\ V

/ А

1/,.

Л

Л

Л

Л

'’г-—'1

К,,

сЬ

1/

Л А

Л

/ у (

1<л =

Ь--

1/

Л

Л

Используя выражение (8), определим вторую производную от Лх :

с/2а í -

Л

Л

Л Л

/

г

где

Л

к)

Л2

*21 £ -

Л2

с/а2^- — I. } 1 и.

л

= 1 + -

V,) л "П" V,) л2

í -

с/2*, í

Л

л2

с!х1

Л

с!х1

Л

Модель взаимодействия сил с учётом проскальзывания. Для построения модели, описывающей движение системы колесо — рельс с учётом эффекта проскальзывания, определим оси координат и силы, действующие на систему.

С учётом существования площадки контакта передача тангенциального усилия связана с соотношением длины площадки контакта и величины проскальзывания. Рассмотрим передачу тангенциального усилия в условиях различных соотношений площадки контакта и величины проскальзывания.

Рис. 3. Оси координат и силы, действующие в контакте колеса и рельса

а)

б)

Рис. 4. Связь величины проскальзывания и длины площадки контакта: нет проскальзывания

В рассматриваемом на рис. 4, б случае величина проскальзывания не превосходит поло-

I

вины длины площадки контакта Ах <—, поэтому контакт можно свести к точечному представлению и модель, описывающая взаимодействие сил, будет выглядеть следующим образом [11—13]:

М _7 с!2 Ах , хс1Ах ,

+ ГП (*2)-^+М*2)Д*

(Я - х2) (Я - х2) Л

(х2) Ах - Ртп к Хі + /7

11 V 2/ тр.к. £/£ СІІ

дхх

Р = т

Л2 Л 21{л] 2

где Р = тд — сила тяжести, действующая через колесо на площадку контакта, Ртр,к, = кткР (*„.«0,01 — для железнодорожного транспорта) — сила трения качения.

В случае, представленном на рис. 4, в, величина проскальзывания больше половины площадки контакта и сила, передаваемая на центр масс колеса, будет иметь не только тангенциальную, но и нормальную составляющую. Величину угла отклонения правой точки контакта от точки, определяемой нормалью, опущенной из центра масс колеса к поверхности рельса, можно приближённо определить как

I

Да

Ах-

Л

Значение угла отклонения, при котором происходит срыв контакта, с учётом (1) будет приближённо равно

Ла„

С учётом вышеизложенного, модель, представленная выражениями (10), примет вид

М

_7 с!2Ах , , ,с1 Ах , , Чя

+ /12

(Л - х2) (Л - х2) А

* / \ л / л \ г— с12х. , о!*-.

ґп (х2)Ах.С05(Ла) -Ртрл. = ™-¿¡г + К.

Н^х

Р = ГП--------=2- + г

л2 2Ч л л

сЬ'\сіх2

+ Л,

Упростим модель, представленную системой (13), предположив наличие линейной зависимости функций ^2, /г11, от своих аргументов [14]:

М

_7 ¿2Лл- . с1Ах . .

--------Г + М2-^- + №

(Л - л-2) (Л - л-2) Л

/л \ <. сіх,

/гп*2Л* • С05 (Ла) - =т~^г + Пазр.

Р = т

с/2хп

+ 1 + /с

сЬ

Л

Л2 ""4“ "~а‘и А) А

Подставив (14) в выражения (6, 8, 9), получим модель, описывающую динамику контактного взаимодействия колеса и рельса с учётом эффекта проскальзывания 15:

¿2а

А2

= Л

с!а

‘-V.,

А Л

СГ

Л1

СГ

К,

V х У

сіі

'г-—

V,,

, сЬ

н:

V__х /

Л

к,,

£*12

И!

V х У

сГ

Г / А' ^ хі Ґ- —

V К,,

V ХУ

сГ

к,,

к12х2

Ж

сЬ

Ґ--

1/

£#

£#

л

л

+ хп

к,,

£*1

Ґ-;

1/

бхл

Ґ-;

1/

£#

£#

V Ку

Л - л-.

( / ЛА (

Ґ- —

1/ ,,

V X уу

Л 1

Ґ- —

V Ку

м_

ж

¿4 кПХ2

Л2 т

(Я-х2)а(1)-х1 (і) + Хі \і-±-1-

/? - х А ґ------------------------------

а^-^]гС05(Ла)-

Ртр.к. Ьаэр. <1х1

/77 /77 Л

А2 т т Л

О, при Ах < ^

х.

т

і = 2^2-(Я-х2)2 ?тР,. =5ідп^^-О,О1-я70

Результаты моделирования. Для оценки реализуемости полученного математического аппарата разработана программная реализация модели в среде МаАаЬ. Привести внешний вид модели не представляется возможным из-за её громоздкости, но некоторые результаты моделирования представлены на рис. 5.

При реализации модели в качестве источника внешнего момента использовался стандартный двигатель постоянного тока, на который подавалось линейно нарастающее напряжение до момента насыщения. В результате, как видно на рис. 5, система в целом устойчива. При этом на рис. 5 представлены следующие характеристики системы: а) х1 — тангенциальное перемещение,

(1х. . дх2

б) —- — скорость тангенциального движения, в) —- — скорость нормального движения центра Л Л

масс колеса, г) х2 — нормальное перемещение центра масс колеса, д) I — площадь контакта,

е) Ах — проскальзывание, ё) а — угол поворота колеса, ж) — — угловая скорость.

Л

Заключение. В современном описании движения железнодорожного транспорта оценивают эффект проскальзывания как разницу скоростей между линейным движением центра масс колеса и соответствующим ему угловым движением недеформированного колеса [1]. Отличие рассматриваемой модели от существующего подхода и других описаний эффекта проскальзывания [2—9] заключается в том, что вместо разницы скоростей вводится интегральная характеристика смещения за единицу времени контактного взаимодействия. В статье учтены предварительные авторские наработки в области оценки влияния нормальных деформаций в контакте колеса и рельса на длину площадки контакта и, как следствие, на время контактного взаимодействия.

Библиографический список

1. Розенфельд, В. Е. Теория электрической тяги / В. Е. Розенфельд и др. — Москва, Транспорт, 1995. — 294 с.

2. Carte, F. W. On the action of a locomotive driving wheel / F. W. Carte // Proc. R. Soc. — London, 1926. — 112 A. — P. 151—157.

3. Nielsen, J. B. Tangential contact problem with friction coefficients depending on sliding velocity / J. B. Nielsen, A. Theiler // Proc. 2nd miniconf. on contact mechanics and wear of rail (wheel) systems. — Budapest, 1996. — P. 44—51.

4. Knothe, K. Normal and tangential contact problem with rough surfaces / K. Knothe, A. Theiler // Proc. 2nd miniconf. on contact mechanics and wear of rail (wheel) systems. — Budapest, 1996. — P. 34—43.

5. Коган, А. Я. Взаимодействие колеса и рельса при качении / А. Я. Коган // Вестник ВНИ-ИЖТ. — 2004. — № 5. — С. 33—40.

6. Марков, Д. П. Взаимосвязь коэффициента трения с проскальзыванием в условиях взаимодействия колеса с рельсом / Д. П. Марков // Вестник ВНИИЖТ. — 2003. — № 3. — С. 31—33.

7. Харрис, У.-Дж. Обобщение передового опыта тяжеловесного движения: вопросы взаимодействия колеса и рельса / У.-Дж. Харрис и др. — Москва, Интекст, 2002. — 408 с.

8. Мугинштейн, Л. А. Нестационарные режимы тяги / Л. А. Мугинштейн, А. Л. Лисицын. — Москва, Интекст, 1996. — 176 с.

9. Марков, Д. П. Коэффициенты трения и сцепления при взаимодействии колёс с рельсами / Д. П. Марков // Вестник ВНИИЖТ. — 2005. — № 4. — С. 3—9.

10. Малинин, Н. Н. — Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. — Москва, Машиностроение, 1968. — 400 с.

11. Крагельский, И. В. Трение и износ / И. В. Крагельский. — Москва, Машиностроение, 1968. - 408 с.

12. Младов, А. Г. Системы дифференциальных уравнений и устойчивость движения по Ляпунову / А. Г. Младов. — Москва, Издательство МГУ, 1966. — 222 с.

13. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — Москва, Гос-издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 783 с.

14. Лапшин, В. П. Модель связи вертикальных деформаций с возникновением циркуляционных сил / В. П. Лапшин // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2011. —Т. 11. — № 8 (59). — Вып. 2. — С. 1424—1432.

15. Туркин, И. А. Повышение точности позиционирования ротора турбины за счёт учёта свойств фрикционного контакта / И. А. Туркин // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2011. — Т. И. — № 8 (59). — Вып. 2. - С. 1432—1436.

Материал поступил в редакцию 24.04.2012.

References

1. Rozenfel'd, V. Е. Teoriya e'lektricheskoj tyagi / V. E. Rozenfel'd i dr. — Moskva, Transport, 1995. — 294 s. — In Russian.

2. Carte, F. W. On the action of a locomotive driving wheel / F. W. Carte // Proc. R. Soc. — London, 1926. — 112 A. — P. 151—157.

3. Nielsen, J. B. Tangential contact problem with friction coefficients depending on sliding velocity / J. B. Nielsen, A. Theiler // Proc. 2nd miniconf. on contact mechanics and wear of rail (wheel) systems. — Budapest, 1996. — P. 44—51.

4. Knothe, K. Normal and tangential contact problem with rough surfaces / K. Knothe, A. Theiler // Proc. 2nd miniconf. on contact mechanics and wear of rail (wheel) systems. — Budapest, 1996. — P. 34—43.

5. Kogan, A. Ya. Vzaimodejstvie kolesa i rel'sa pri kachenii / A. Ya. Kogan // Vestnik VNIIZhT. — 2004. — № 5. — S. 33^0. — In Russian.

6. Markov, D. P. Vzaimosvyaz' koe'fficienta treniya s proskal'zy'vaniem v usloviyax vzai-modejstviya kolesa s rel'som / D. P. Markov // Vestnik VNIIZhT. — 2003. — № 3. — S. 31—33. — In Russian.

7. Xarris, U.-Dzh. Obobshhenie peredovogo opy'ta tyazhelovesnogo dvizheniya: voprosy' vzai-modejstviya kolesa i rel'sa / U.-Dzh. Xarris i dr. — Moskva, Intekst, 2002. — 408 s. — In Russian.

8. Muginshtejn, L. A. Nestacionarny'e rezhimy' tyagi / L. A. Muginshtejn, A. L. Lisicy'n. — Moskva, Intekst, 1996. — 176 s. — In Russian.

9. Markov, D. P. Koe'fficienty' treniya i scepleniya pri vzaimodejstvii kolyos s rel'sami / D. P. Markov // Vestnik VNIIZhT. — 2005. — № 4. — S. 3—9. — In Russian.

10. Malinin, N. N. — Prikladnaya teoriya plastichnosti i polzuchesti / N. N. Malinin. — Moskva,

Mashinostroenie, 1968. — 400 s. — In Russian.

11. Kragel'skij, I. V. Trenie i iznos / I. V. Kragel'skij. — Moskva, Mashinostroenie, 1968. —

408 s. — In Russian.

12. Mladov, A. G. Sistemy' differencial'ny'x uravnenij i ustojchivost' dvizheniya po Lyapunovu / A. G. Mladov. — Moskva, Izdatel'stvo MGU, 1966. — 222 s. — In Russian.

13. Vy'godskij, M. Ya. Spravochnik po vy'sshej matematike / M. Ya. Vy'godskij. — Moskva, Gos-izdatel'stvo texniko-teoreticheskoj literatury', 1957. — 783 s. — In Russian.

14. Lapshin, V. P. Model' svyazi vertikal'ny'x deformacij s vozniknoveniem cirkulyacionny'x sil / V. P. Lapshin // Vestnik Don. gos. texn. un-ta. — 2011. —T. 11. — № 8 (59). — Vy'p. 2. — S. 1424— 1432. — In Russian.

15. Turkin, I. A. Povy'shenie tochnosti pozicionirovaniya rotora turbiny' za schyot uchyota

svojstv frikcionnogo kontakta / I. A. Turkin // Vestnik Don. gos. texn. un-ta. — 2011. — T. 11. —

№ 8 (59). — Vy' p. 2. — S. 1432—1436. — In Russian.

BOND MODEL OF VISCOELASTIC WHEEL SURFACE SHIFT RELATIVE TO RAIL WITH PULL CHARACTERISTICS V. P. Lapshin, I. A. Turkin, S. V. Nosachev

The model for accounting deformations occurring in the wheel - bearing friction units is presented. The model permits to estimate the effect of the tangential deformation dynamics in the wheel - rail system on the pulling force dynamics applied to the wheel centre of inertia. The obtained mathematical apparatus describes the friction unit system dynamics before the grip break.

Keywords: frictional forces, positioning, precision.