Кручение многослойного призматического анизотропного стержня, составленного из ортотропных материалов

Теоретическая механика

УДК 539.9

Кручение многослойного призматического анизотропного стержня, составленного из ортотропных материалов

А. У. Нуримбетов

Кафедра механики машин и механизмов

МАТИ — Российский государственный технологический университет им. К.Э.

Циолковского Россия, 117513, Москва, ул. Оршанская, 3

Проведено исследование особенности распределения напряжений и перемещений в отдельных слоях многослойного анизотропного стержня. Полученные результаты позволяет оценить работоспособность слоистой конструкции при кручении.

Ключевые слова: кручение; анизотропный ортотропный слоистый стержень.

1. Введение

Известно, что отыскание точного решения задачи о кручении анизотропных слоистых стержней произвольной формы поперечного сечения сопряжено с большими математическими трудностями.

В работах [1-3] изложены общие методы решения задач о кручении составных стержней, приведены решения ряда конкретных задач и дана обширная библиография. В [1] решена задача о кручении многослойного стержня, составленного из изотропных материалов, а в [2,3] — из ортотропных материалов для прямоугольного сечения. При решении задач о кручении многослойного стержня с поперечным сечением сложной формы в [2,3] материал стержня представляется в виде однородного анизотропного тела с «эффективными» по всему поперечному сечению механическими характеристиками. При этом, не учитывается слоистая структура материала стержня, не позволяя, тем самым, оценить влияние на характеристики деформирования при кручении месторасположения слоя с теми или иными свойствами. Интегральные характеристики не позволяют сформулировать и решить задачу о выборе оптимальной структуры сечения, обеспечивающей, например, ему наибольшую жёсткость на кручение. Формулировка задач об определении н.д.с. цилиндрических стержней, работающих на кручение, весьма мало отличается друг от друга [1-3]. Тем не менее в литературе трудно отыскать решения и формулировки этих задач для слоистых анизотропных стержней произвольного сечения. Поэтому в работе рассматривается общая постановка задачи о кручении составных анизотропных стержней произвольного поперечного сечения.

2. Постановка задачи

Пусть дано постоянное по длине поперечное сечение составного стержня, образованного из N слоев К\, Л2,..., Лн, которым соответствуют различные упругие постоянные С'14 и С'55 (г = 1, 2,..., N). Боковая поверхность стержня свободна от нагрузки [4]

Х„ = У, = г„ = 0,

а нагрузка, действующая по торцам, статически эквивалентна крутящему моменту М(. Обозначим через Ь внешний контур всего сечения, Ьг — контуры слоя Лг и Ьц линия раздела между слоями Л^ и Щ. Линия раздела смежных слоев Ь^

Статья поступила в редакцию 19 марта 2009 г.

внутри сечения или пересекает внешний контур Ь под углом, не равным нулю (рис. 1). В этом случае граничные условия на боковой поверхности запишутся в виде [4]

ац1\ + Ч 12^2 = Хи, Ч 12^1 + 022^2 = Уи, + 023¿2 = "¿V,

и на торцевых поверхностях [4]

^зз А! = Р, Л ха-зз а$ = -М1, Л уазз df = М2,

Е Е

0"1з а/ = 0, JJ 02з а/ = 0, JJ(ха2з - уягз А/ = Ми ^ ^ ^

где Р, М1, М.2, — силы и моменты, действующие в поперечном сечении стержня, 11 = соз^,ж), 12 = cos(v,y) — направляющие косинусы.

Рис. 1. Цилиндрический стержень

Для решения задачи, описываемой уравнениями [5]

^тпг+ Ртп^ ,

с граничными условиями (1)—(3), используется полуобратный метод Сен-Венана [4].

Исходя из граничных условий (1) предполагается, что в слоистом стержне качественная картина распределения напряжений не отличается от картины в случае однородного тела, т. е. из шести компонент тензора напряжений агк^ (к, ] = 1, 2, 3), входящих в выражение (4), по-прежнему только две не равны нулю в любой точке сечения стержня — и агу;,. Тогда уравнения равновесия для слоя % запишутся в виде [6]

д2ш% с* д2ш%

-д* + Щ1ЙГ = ^

^ 2С'з%5а'зз м 2С'%5 д2и% 2С'1б д2и% С'^ + 2С* д2У%

¿з(Х, У) = г,,% Т% Ш1

ОД 1 с55 дх2 с^ ду2 с^ дхду

Разница между уравнениями (5) и уравнениями для однородного тела с такой же упругой симметрией заключается в том, что в (5) параметры жёсткости С44 и С55 — для каждого слоя г имеют различные значения, тогда как у однородного тела они постоянны. Поэтому при переходе от слоя к слою скачком могут изменяться отдельные компоненты тензоров деформации и напряжений.

Таким образом, задача о кручении анизотропных составных стержней сводится к задаче определения N функции Wг(х, у), удовлетворяющих внутри Щ уравнениям (5) и условиям на боковой поверхности [6]

дwг + С44 дwг *

11 + оТ44 я77~ '2 = 2*,

дх 2C5Î ду

Z* =

C55

zv - C35MIh - 05(c5byh - c'i^xi2)т-

dU*, C46 dU \ / „ dVi, CL дУг

(c,i dU + C46 dU \ f dVl C46 dVl \

и линиях раздела слоев [6]

Uk = U, Vk = Vj, Wk = Wj.

Сравнивая методы решения задачи кручения в напряжениях [1,2] ив перемещениях [3], следует заметить, что оба метода обладают достоинствами и недостатками. Введение функции напряжений U(х, у) приводит к неоднородному дифференциальному уравнению в частных производных, решение которого представляет большие трудности, в частности, для нерегулярных слоистых сечений, чем решение однородного уравнения, к которому сводится задача при решении в перемещениях. Граничные условия проще записываются через функцию напряжений. Кроме того, с помощью результатов, полученных для слоистых стержней, составленных из изотропных материалов, легче построить решение в напряжениях для регулярных сечений с изотропными слоями, чем в перемещениях. Однако решение в перемещениях для неоднородных анизотропных стержней нерегулярного сечения выгодно отличается от решения в напряжениях, в связи с простым условием на линиях раздела анизотропных слоев.

Решение задачи о кручении составных стержней с помощью функции кручения приведены в работах [1,2,7], а при применении функции напряжений получило отражение в обширной библиографии, приведённой в работах [1,8].

Имеется довольно много приближённых методов решения задачи о кручении анизотропных слоистых стержней с поперечным сечением произвольной формы (МКЭ, метод сеток, метод малого параметра, энергетический метод, и др.). Однако для доказательства достоверности результатов, полученных приближёнными методами решения задачи о кручении анизотропных слоистых стержней, следует сопоставить их с точными решениями для регулярных многослойных сечений (в частности, с изотропными или ортотропными слоями) или с экспериментальными результатами. Поэтому в работе более подробно рассматриваются и обсуждаются результаты решения задачи о кручении многослойного стержня прямоугольного сечения, составленного из ортотропных материалов.

Аналитическое решение задачи о кручении призматического стержня прямоугольного сечения, составленного из различных ортотропных слоев, имеющих одинаковую ширину и удовлетворяющих условию непрерывности перемещений иг, ьг, и>г и касательного напряжения агуг (рис. 2) при переходе от слоя к слою, было получено Лехницким С.Г. [7]. В этой задаче сначала напряжения в каждом слое % выражаются через контактные усилия. В свою очередь, контактные усилия определяются из условия непрерывности перемещения w% при переходе от слоя к слою. При этом решается вспомогательная задача о равновесии стержня прямоугольного сечения, деформируемого касательными усилиями. В этом случае

1

касательные напряжения агуг на двух поверхностях слоя % не равны нулю, а задаются в виде тригонометрических рядов с неопределёнными коэффициентами. Коэффициенты определяются из условий (7) на поверхностях контакта. В результате для определения трёх коэффициентов усилий, получается рекуррентная система уравнений. Для ^-елойного стержня, составленного из ортотропных материалов, при определении контактных усилий решается система алгебраических уравнений N — 1 порядка.

Рис. 2. Слоистый стержень прямоугольного сечения

В [7] касательные напряжения агхг, ауг, функция кручения ц>г(х, у) в слое г определяются из соотношений

Е

к=1,3

8С14ат

В кг В*

кттх

соя

к2тт2

а

а.

уг

Е

к=1,3

гдт

(Акг + 1) + ЦгА

к

кттх

<рг(х,у) = — ^

к=1,3

8а а *

Акг + 1 Аы

_к3тт3 ц

кк/гт

кттх

соя

Здесь Ь = Ьг — Ьг-1 — толщина, С44, С'55 — модули сдвига г-го слоя в плоскости ух и хх соответственно (см. рис. 2), Ьг — расстояние от оси х до линии раздела слоев с номерами % — 1 и г; а — ширина стержня; т — относительный угол закручивания на единицу длины стержня. Кроме того,

А

Акг = Вкг =

кпЫ

г, к

а

г

- 2 _ °44 г2 _ ^/г ^/г

иг, иг — гиг , ¡г — °44°55, °55

1

йЬ Рг,к 1

сЬ ^г

яЬ — Ы) — яЬ — Ьг-1)

А* = лкг —

Б* _

кг =

1

вЬ Рг,к 1

вЬД

йЬ ¡Зг,к

тг- 1,к сЬ — Ы) — п,к сЬ — Ьг-1)

П-1,к йЬ — Ьг) — тг,к йЬ — Ьг-1)

, к

к2к

2

а

а

В выражения (11) входят параметры жёсткости определяющиеся по формулам [4]:

с.% =

Ск5 = — ак5Ск' /аЪЪ, С55 = (1 — акс5С'к5)/а55, 711 712 713

А

712 722 723

713 723 733

А

166

¿46

А46

А44

В определителе А — 7гк' = ^^ — а'^а'^/а'55 (к,] = 1,2, 3); Ак' — миноры определителя А по элементам 7''. Параметры упругости СЦ' изотропного материала г-го слоя определяются через технические постоянные формулами

С-1 = Н  Е1

13

Сг _ 1

44 = ^23,

Съ _ 1

55 = ^13,

1V 12

С1 _ /"Ч' 1

66 = ^12,

Н = (1 — V112 v21 — V113 v31 — v2 3^2 — 2Vl2 v2 3 v31) 1.

Контактные усилия между слоями Т1, . находятся из решения системы N — 1 алгебраических уравнений

¡1-1 яЬ Р1-1,кП,к + 81кП-1,к + ¡1 вЬ Р1,кП-2,к = в*',

где г = 2,33,..., N; к =1, 3,...; т0и = тм. = 0;

8 ат

1 к =

2 к2

к

к = —(/1-1 вЬ@1-1,к сЬ@1,к + ¡1 1312101131-1'); С414С515 йЬ 31,2(^31-1,2 — 1) + М1-1 вЬ 31-1,2(пк31,к — 1) .

Определение касательных напряжений 7хг и 7гух, а также функции кручения ^>1(х, у) и жёсткости на кручение С каждого слоя % и всего сечения в целом требует решения подобной системы алгебраических уравнений (14). Например, в [1,2,9] решается система из 2N алгебраических уравнений (г = 1, 2,..., N). В этой связи в [1,2,9] приближённые оценки значений распределения касательных напряжений 7гхг, 7гуг приведены для сечения только с тремя чередующимися изотропными слоями. Это означает, что не достаточно подробно изучены особенности распределения касательных напряжений и перемещений в сечениях многослойных стержней.

На основе соотношений (8)—(14) впервые была составлена программа расчёта на алгоритмическом языке Фортран и на её основе исследовались распределения касательных напряжений, перемещений в многослойных стержнях прямоугольного сечения, составленных из изотропных и ортотропных материалов. Следует отметить, что значения А.1, В.1 из уравнения (8)—(11) зависят от значения контактных усилий, которые предварительно определяются из решения системы уравнений (14).

3. Особенности напряжённо-деформированного состояния (н.д.с.) многослойных стержней с изотропными слоями

На основе описанной выше программы были проведены исследования распределения касательных напряжений, перемещений и определены жёсткости на кручение многослойных стержней прямоугольного сечения со сторонами а = 120 мм,

Н = 20 мм. Изотропные слои, изготовленные из мягкого материала А типа эпоксидной смолы (С = С"б5 = О а = 1,1 ГПа, зачернённые на рисунках слои) и жёсткого материала Б типа стали (С'44 = С'5 = С а = 78,74 ГПа, светлые слои), чередовались. Каждый слой имеет свою постоянную толщину, подобранную таким образом, что относительное объёмное содержание материала А из эпоксидной смолы в обсуждаемых здесь результатах соответствовало уа = 0,3. Ввиду симметрии изучаемого напряжённого и деформированного состояния на рисунках изображена лишь четверть сечения стержня.

На рис. 3-4 приведены результаты расчётов для трёхслойных стержней в случаях, когда мягкий слой находится внутри (случай а) и снаружи (случай б) сечения.

Рис. 3. Распределение касательных напряжений аХг в сечении трёхслойного стержня с мягким (случай а) и жёстким (случай б) наружными слоями

Рис. 4. Распределение касательных напряжений ауг в сечении трёхслойного стержня с мягким (случай а) и жёстким (случай б) наружными слоями

Результаты расчётов показывают, что касательные напряжения агхг при переходе от слоя к слою претерпевают разрыв первого рода. При переходе от слоя к слою значения разрыва увеличиваются или уменьшаются пропорционально отношению модулей 0%а/ОБ+1 < 1 или ОА/О1^1 < 1 (рис. 3). При более жёстких наружных слоях наибольшие напряжения ахг достигаются на серединах длинных сторон внешнего контура (рис. 3,а). При менее жёстких наружных слоях наибольшие значения получаются в точках соприкосновения слоев на середине длинных сторон прямоугольника (рис. 3,б). Для стержня с жёсткими наружными слоями (рис. 4,а) наибольшие значения напряжений аУг реализуются на серединах

жесткого слоя коротких сторон внешнего контура, а при менее жестких наружных слоях наблюдается неравномерное распределение по сечению (рис. 4,б). При более жестких наружных слоях осевые перемещения тг достигают наибольших значений на контуре (рис. 5,а), а при менее жестких наружных слоях ее значения как на контуре, так и во внутренних точках сечения увеличиваются (рис. 5,б).

Рис. 5. Распределение осевых перемещений в сечении трёхслойного стержня с жёстким (случай б) и мягким (случай а) наружными слоями

Качественная картина распределения касательных напряжений и осевых перемещений находится в соответствии с общими представлениями о кручении изотропных стержней прямоугольного сечения [4]. Однако, если учесть незначительность модуля мягкого слоя, то в этих слоях градиенты напряжений (рис. 4,а) являются довольно большими. С изменением положения мягких и жестких слоев характер распределения, а также величины касательных напряжений и осевых перемещений изменяются.

Характер распределения величин касательных напряжений агхг, ауг и осевых

перемещений тг по сечению 39-й слойного стержня с более жестким наружным слоем незначительно отличается от их распределения в стержне с менее жестким наружным слоем. Однако здесь более наглядно демонстрируется скачкообразное изменение касательных напряжений агхг при переходе от слоя к слою (см. рис. 6).

Из-за непрерывности касательных напряжений огуг и осевых перемещений тг при переходе от слоя к слою и малой толщины мягких слоев в многослойных стержнях уровень напряжений огуг и значение перемещений тг в этих слоях достаточно высок (рис. 7, 8). Это может привести к тому, что мягкие слои с относительно низкой прочностью на сдвиг достаточно быстро (уже при малых углах относительного угла закручивания т) достигают предельных состояний или пластических деформаций. Жесткость мягких слоев при этом уменьшается и эффект разрыва градиентов напряжений ауг и значений усиливается.

4. Особенности н.д.с. многослойного стержня с ортотропными слоями

На основе разработанной программы проведены исследования распределения касательных напряжений, перемещений в многослойных стержнях прямоугольного сечения со сторонами а = 120 мм, к = 20 мм. Изотропные слои изготовлены из материала А типа алюминия (С44 = С55 = С а = 26,31 ГПа, зачерненные на рисунках слои), а ортотропные слои — из композиционных материалов Б (упругие свойства, которых приведены в [10] табл. 1, заштрихованные на рисунках слои). Каждый слой имеет свою постоянную толщину, подобранную

Рис. 6. Распределение касательных напряжений ахг в сечении 39-й елойного стержня мягким наружными слоями

а) б)

Рис. 7. Распределение касательных напряжений ауг в сечении 39-й елойного стержня с жёстким (случай б) и мягким (случай а) наружными слоями

таким образом, что относительное объёмное содержание материала матрицы А из алюминия в обсуждаемых результатах соответствовало V = 0,2. Ввиду симметрии напряжённо-деформированного состояния на рисунках изображена лишь четверть прямоугольного сечения стержня.

На рис. 9 приведены результаты расчётов касательных напряжений и перемещений в виде поверхностей для трёхслойных стержней в случаях, когда слой из материала А находится внутри (случай а) и снаружи (случай б) сечения. Качественная картина распределения касательных напряжений находится в соответствии с представлениями о кручении слоистых стержней прямоугольного сечения, составленных из изотропных материалов (см. пункт 1).

Результаты расчётов показывают, что с изменением положения слоев из материала А и Б характер распределения, а также величины касательных напряжений агхг, агуг и осевых перемещений тг изменяются незначительно в связи с малым отличием значений модулей сдвига материалов слоев С а и Об (рис. 9).

а) б)

Рис. 8. Распределение осевых перемещений в сечении 39-и елойного стержня с жёстким (случай б) и мягким (случай а) наружными слоями

Таблица 1

Упругие постоянные некоторых типов композиционных материалов

Свойства Материалы

углепластик САЬ БАЬ СРИР ОРИР ТЖ-07 и ЭТД-13

Е1, ГПа 15,7 27 104 30 4 29,3

Е1, ГПа 15,7 427 104 30 4 18,3

Е3, ГПа 112,5 300 213 140 20 35,9

&12, ГПа 3,3 103,85 32,6 11,28 1,52 6,29

в1з, ГПа 5,3 21,6 25,4 9,38 1,37 7,62

^23, ГПа 5,3 21,6 26,1 9,38 1,37 6,64

^13 0,48 0,03 0,529 0,33 0,33 0,371

^23 0,03 0,18 0,226 0,3 0,3 0,144

^12 0,03 0,18 0,226 0,3 0,3 0,157

На рис. 10-11 приведены распределения величин касательных напряжений по сечению 29-й елойного стержня. Здесь более наглядно демонстрируется скачкообразное изменение касательных напряжений агхг при переходе от слоя к слою (рис. 10). Из-за малой толщины слоев из материала матрицы А в многослойных стержнях уровни напряжений &гух в этих слоях большие (рис. 10, 11), что может привести слои из материала с относительно низкой прочностью на сдвиг к предельному состоянию или пластическим деформациям. Поэтому для уменьшения градиентов касательных напряжений агуг и значений осевых перемещений тг в слое с малой толщиной необходимо для этих слоев подбирать материалы со свойствами более прочными на сдвиг.

На рис. 12 приведены результаты расчётов для трёхслойного стержня, когда наружные слои из материала Б армированы под углом ±45° (случай а) относительно центра кручения. Результаты расчётов показывают, что с изменением положения слоев из материала Б характер распределения, а также величины касательных напряжений агхг, ауг изменяются (рис. 12). В связи с тем, что отношение

модулей сдвига СД/ОгБ1 значительно и из-за малой толщины слоя из материала матрицы А в этих слоях, значения касательных напряжений агхг (рис. 13,б) и

ауг достаточно высоки в сравнении со случаем (рис. 9,б), когда угол армирования слоя из материала Б был равным нулю (фг = 0). Для того, чтобы не было предельных состояний или пластических деформаций в этих слоях, необходимо чередующиеся слои из материала Б армировать под углом фг так, чтобы отношение СА/СБ1 было не столь большим.

На рис. 13-14 приведены распределения касательных напряжений агхг, агуг для 29-и слойного стержня, когда слои из материала Б армированы под углом ±45°, ±30°, ±15°, 0° относительно центра кручения (случай а, когда наружные слои из материала Б, и случай б, когда наружные слои из материала А). С изменением положение слоев из армированного материала Б характер распределения касательных напряжений агхг, ауг (рис. 13, 14) изменяется.

Здесь скачкообразное изменение касательных напряжений агхг при переходе от слоя к слою существенно в слоях, армированных под углом ±45° и ±30° (рис. 14). Поэтому в слоях из материала, чередующегося со слоями, армированными под углами фг = ±45° и фг = ±30°, достигается предельное состояние или возникают

Рис. 12. Распределение касательных напряжений ахг в сечении трёхслойного стержня с ортотропными (угол армирования ±45°, случай а) и изотропными

(случай б) наружными слоями

пластические деформации (т = 0,001). Из-за непрерывности касательных напряжений ауг при переходе от слоя к слою и малой толщины слоя из материала А, чередующегося с армированными слоями под углом ±45°, ±30°, градиенты напряжений аг в этих слоях велики.

5. Выводы

Из-за непрерывности касательных напряжений о1 и осевых перемещении тг при переходе от слоя к слою и малой толщины мягких слоев в многослойных стержнях мягкие слои с относительно низкой прочностью на сдвиг достаточно быстро (уже при малых углах относительного угла закручивания т) достигают предельных состояний или пластических деформаций, и жёсткость мягких слоев при этом уменьшается, а эффект разрыва градиентов напряжений о1 и значений

а)

б)

Рис. 13. Распределение касательных напряжений ауг в сечении 29-й елойного стержня с ортотропными (угол армирования ±45°, ±30°, ±15°, 0°, случай а) и изотропными (случай б) наружными слоями

а) б)

Рис. 14. Распределение касательных напряжений ахг в сечении 29-й елойного стержня с ортотропными (угол армирования ±45°, ±30°, ±15°, 0°, случай а) и изотропными (случай б) наружными слоями

тг усиливается. Для того, чтобы не было предельных состояний или пластических деформаций в этих слоях, необходимо чередующиеся слои из материала Б армировать под углом -фг так, чтобы отношение

Са/Сб+1 было не столь большим. Для уменьшения градиентов касательных напряжений &гух и значений осевых перемещений тг в слое с малой толщиной необходимо подбирать материалы со свойствами более прочными на сдвиг.

Чтобы заметно уменьшить градиенты касательных напряжений в слоях из материала матрицы А, чередующихся со слоями, армированными под углами ±45°, ±30°, для этих слоев необходимо подобрать материалы, модули сдвига которых близки по значению с модулями сдвига материала Б, армированного под определённым углом -фг.

Исследование особенности распределения напряжений и перемещений в отдельных слоях стержня позволяет оценить работоспособность слоистой конструкции при кручении.

Литература

1. Арутюнян Н. Х., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. — М.: Физматгиз, 1963. — 636 с.

2. Саркисян В. С. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. — Ереван: Изд. Ер.ГУ, 1970. — 443 с.

3. Лехницкий С. Т. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. — М.: Наука, 1971. — 240 с.

4. Сен-Венан Б. Мемуары о кручении призм. Мемуары об изгибе призм. — М.: Мир, 1961. — 530 с.

5. Нуримбетов А. У. Особенности деформирования естественно-закрученных многослойных анизотропных стержней // Механика и моделирование процессов технологии. — 2000. — № 1. — С. 92-97.

6. Нуримбетов А. У. Решение задачи обобщенного кручения многослойных стержней, составленных из анизотропных материалов // Механика и моделирование процессов технологии. — 2002. — № 1. — С. 3-25.

7. Лехницкий С. Т. Кручение многослойного стержня прямоугольного сечения // Инженерный сборник. — 1956. — Т. XXIII. — С. 63-76.

8. Чудаев Я. Ф. Приближённый метод расчета призматических стержней на кручение. — Новокузнецк, 1975. — 244 с.

9. Дехтярь Л. И., Шпигель Б. М. Упрощение расчета на кручение неоднородных стержней прямоугольного сечения // Изв. АН Молд.ССР, сер. Физ.-тех.-мат. — 1984. — № 9. — С. 71-72.

10. Лехницкий С. Т. Теория упругости анизотропного тела. — М.: Наука, 1975. — 415 с.

UDC 539.9

Torsion of a Multilayer Prismatic an Anisotropic Rod of Rectangular Cut, Composed from Orthotropic Materials

A. U. Nurimbetov

Mechanics of machines and mechanisms Department «MATI» — the Russian state technological university of K.E.Tsiolkovsky 3, Orshansky str., Moscow, 117513, Russia

Properties of distribution of pressure and displaycements is carried out for separate layers of a multilayered anisotropic rod. Efficiency of a layered design under the torsion can be estimated through the received results.

Key words and phrases: torsion, anisotropic orthotropic layered rod.