Графический образ и графическое представление математического понятия

УДК 372.851

ГРАФИЧЕСКИЙ ОБРАЗ И ГРАФИЧЕСКОЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОНЯТИЯ

Г.И. Ковалева, Н.Ю. Милованов

Аннотация. В статье выделяется инвариант в процессе формирования математических понятий в школьном курсе математики. Сравниваются графический образ и графическое представление математического понятия, при этом раскрываются их сущности. Доказывается необходимость использования графического представления понятия. Приводятся конкретные примеры понятий курса алгебры, геометрии и начал математического анализа с позиций наличия графического образа и возможного графического представления.

Ключевые слова: математическое понятие, формирование математических понятий, графический образ понятия, графическое представление понятия.

GRAPHICAL IMAGE AND A GRAPHICAL

REPRESENTATION OF MATHEMATICAL CONCEPTS

G. Kovaleva, N. Milovanov

Abstract. The article highlighted the invariant in the process of formation of mathematical concepts in the school mathematics course. Compares the graphical image and a graphical representation of mathematical concepts, while reveal their essence. The necessity of using graphic presentation concepts. Specific examples of the course concepts of algebra, geometry and mathematical analysis started from the position of a graphics image and a possible graphical representation.

Keywords: mathematical concept, the formation of mathematical concepts, a graphic image concepts, a graphic representation of the concept.

Термин «понятие» применяется для логически оформленной мысли о классе предметов или явлений, обозначения мысленного образа некоторого класса процессов.

Общая методика обучения математике рассматривает вопросы логико-математического анализа определения понятий (виды и структура определений, требования к определениям, ошибки учащихся при определении понятий и пр.), классификации понятий (виды и требования к классификациям, примеры неправильных классификаций), этапы формирования понятий в школьном курсе математики, действия учителя на этапе подготовки к введению нового понятия, описывает приемы организации изучения математических понятий при реализации современных подходов обучения - системно-деятельностного, диалогового, задачного, технологического и др.

Так, Ю.М. Колягин [2], говоря о методах введения математических понятий в школьном курсе математики, раскрывает сущность конкретно-индуктивного метода для введения нового понятия и абстрактно-дедуктивного метода для введения понятий, связанных с ранее изученными понятиями.

Н.Л. Стефанова и Н.С. Подходова [5] говорят, что процесс формирования математических понятий проходит следующие этапы: перцепт

(образ восприятия), представление (вторичный образ, создаваемый в отсутствии наглядной основы), предпонятие (обобщенное

представление), понятие и их система.

Г.И. Саранцев [3] в качестве этапов формирования математических понятий выделяет мотивацию, выявление существенных свойств понятия, усвоение определения понятия, использование понятия в конкретных ситуациях, систематизацию, логические операции с понятиями.

Многочисленные исследования вопросов формирования математических понятий добавляют друг друга, развивают, уточняют, конкретизируют. Но в частной теории и методике обучения математике формирование понятий остается одной из открытых проблем, так как не существует универсального способа

формирования понятий по всем изучаемым темам школьного курса математики. Вследствие этого, в практике обучения зачастую формирование понятия подменяется формулировкой учителем определения и работой с ней.

Что же является инвариантом при формировании математических понятий, описывающих как реально существующие объекты, так и абстрактные? На наш взгляд, это графический образ и (или) графическое представление математического понятия.

Е.И. Смирнов [4] в своих трудах приходит к выводу, что с учетом доминанты зрительного анализатора в восприятии обучающимся учебной информации, образы, основанные на наглядности, могут достаточно эффективно влиять на формирование представлений обучающихся о различных математических объектах.

В.А. Далингер [1] предлагает строить процесс обучения математике на основе зрительно-познавательного подхода к формированию знаний, умений и навыков, основное положение которого - широкое и целенаправленное использование познавательной функции наглядности.

А.Я. Цукарь [6] утверждает, что формирование понятий, выявление их сущностных свойств требует обращения к содержательной стороне, то есть к их образам.

Возникает вопрос, в чем различие графического образа и графического представления математического понятия?

В основном, образ возникает благодаря ощущениям и восприятию. Представление -форма отражения в виде наглядно-образного знания, одно из проявлений памяти, следовой образ ранее бывшего ощущения или восприятия.

Приведем нематематический пример отличия наглядного образа от представления. Пусть необходимо объяснить человеку с отсутствием зрения, что перед ним находится кошка. Показать мы ее не можем в силу обстоятельств, тем самым констатируется отсутствие наглядного образа животного. Но у данного человека может быть сформировано представление о кошке, если разрешено притронуться к ней, то есть

проанализировать тактильно, и сделать выводы, что у такого животного есть особенность в строении скелета, шерсти и т.д. Если человек узнает, как кошка карябается, мяучит, шипит и пр. Таким образом, у человека с ограниченными возможностями по зрению формируется представление о данном животном после проведенных манипуляций и совокупности мыслительных операций, при этом первичный наглядный образ отсутствует.

Графический образ математического понятия несет в себе совокупность изобразительных элементов, имеющих условное значение. Заметим, в силу абстрактности многих понятий школьного курса математики (например, дискриминант квадратного уравнения, предел последовательности на бесконечности, производная функции и др.), образ восприятия понятия может отсутствовать, следовательно, необходимо переходить на его графическое представление.

Графическое представление понятия - это наглядно-образное знание о его существенных признаках, открывающихся в ходе анализа отношений данного понятия с другими понятиями.

Рассмотрим некоторые примеры понятий школьного курса математики с позиций наличия графического образа и графического представления:

1. Понятие равнобедренного треугольника относится к геометрии - разделу математики, который богат на понятия с графическими образами.

Рисунок 1. - Графический образ равнобедренного треугольника

Графический образ равнобедренного треугольника - это треугольник с уже известными равными сторонами, см. рис. 1 - не совпадает с его графическим представлением. Обучающимся предлагают провести биссектрису из вершины угла к основанию равнобедренного треугольника и доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, а данная биссектриса является медианой и высотой.

То есть выделяются признаки равнобедренного треугольника, см. рис. 2.

Данные признаки равнобедренного треугольника могут быть получены в результате практической работы по доказательству равенства его сторон. При успешном формировании графического представления данного понятия, полученном в результате мыслительных операций, обучающиеся могут сделать вывод, что какой бы не рассматривался

треугольник, если, например, у него есть два равных угла, то он обладает всеми другими существенными свойствами равнобедренного треугольника.

2. Графический образ ромба - наглядное

знание о параллелограмме с равными сторонами, см. рис. 3. А графическое представление ромба включает наличие у параллелограмма взаимно перпендикулярных диагоналей, которые делят его углы пополам, см. рис. 4.

Рисунок 2. - Графическое представление равнобедренного треугольника

Рисунок 3. - Графический образ ромба

Рисунок 4. - Графическое представление ромба

3. Дискриминант квадратного уравнения - это выражение О = Ъ2 — 4ас, составленное из коэффициентов полного квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0, при а Ф 0 . Данное понятие изучается в курсе алгебры и, в отличие от понятий геометрии, является абстрактным, то есть отсутствует графический образ. Обучающиеся вычисляют дискриминант для нахождения корней полного квадратного уравнения, не задумываясь о его геометрическом смысле.

Заметим, что значения дискриминанта можно разделить на три группы: дискриминант больше нуля - квадратное уравнение имеет два

различных действительных корня; дискриминант равен нулю - квадратное уравнение имеет два одинаковых действительных корня;

дискриминант меньше нуля - действительные корни квадратного уравнения отсутствуют.

Так как перед учителем стоит задача создать графическое представление данного понятия в силу отсутствия его образа, то следует рассмотреть квадратичную функцию у = ах2 + Ъх + с. Если приравнять функцию к нулю, то можно найти ее точки пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай, когда а > 0, см. табл. 1.

Таблица 1. - Графическое представление дискриминанта квадратного уравнения

Получается, что обучающиеся визуально видят смысл дискриминанта и его влияние на нахождение корней квадратного уравнения.

4. Арифметическая прогрессия -последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Графический образ данного понятия отсутствует, а методика его формирования сводится к уяснению формул по вычислению члена прогрессии с определенным номером и сумм первых п членов. При этом обучающиеся приходят к выводу утверждения, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида ап = кл+Ь, где к и Ь - некоторые

числа. Таким образом, графическое представление арифметической прогрессии -линейная функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Рассмотрим пример арифметической прогрессии, у которой выписаны первые три члена: 3; 1; -1; ...

Составим формулу п-го члена: а = а + ^-(л -1) = 3 - 2-(л-\) = -2л + 5. Получается, что к = -2, Ь = 5 , а линейная функция у = -2х + 5 на множестве натуральных чисел является графическим представлением рассматриваемой арифметической прогрессии, см. рис. 5.

5 3

1

0

у = -2х + 5 V"

ч

\

12 ^

Рисунок 5. - Графическое представление арифметической прогрессии

5. Рассмотрим особенный случай несуществования производной функции в точке X у непрерывной на всей области определения функции у = /(х), см. рис. 6.

В школьном курсе математики не дается классификация точек, в которых не существует производная функции.

у = №

Рисунок 6. - Непрерывная функция на всей области определения

у = №

Рисунок 7. - Графическое представление несуществования производной функции в точке

У

х

X

X

Чтобы объяснить, почему у рассматриваемой функции у = f (х) в точке х0 не существует

производной, достаточно предложить обучающимся провести касательные к функции на числовых промежутках левее х , правее х и

в самой точке х0. Следует перейти на правдоподобные рассуждения, к примеру,

вспомнить геометрический смысл производной функции - тангенс угла наклона и вспомнить при каком значении угла тангенс не существует, см. рис. 7.

Таким образом, обучающиеся будут иметь графическое представление несуществования производной функции в точке, что если касательная не выражается линейной функцией,

то в ней не существует производная функции, то есть касательная перпендикулярна к оси абсцисс.

Следует помнить, что школьный курс называется «Алгебра и начала анализа» и является пропедевтическим по отношению к математическому анализу. Перед учителем стоит задача сформировать первоначальное представление о понятиях данного курса, а строгость и точность изложения курса обучающихся ожидает в вузе.

6. Определенный интеграл. Графический образ данного понятия отсутствует, и его

формирование следует начинать через графическое представление.

Обучающимся следует предложить рассмотреть непрерывную функцию у = f (х) на отрезке [а; Ъ] .Так как из курса геометрии им известна формула нахождения площади прямоугольника, то образованную

криволинейную трапецию заполняют прямоугольниками и замечают, что чем больше происходит разбиение прямоугольниками, тем значение все ближе стремится к значению площади криволинейной трапеции, см. рис. 8.

Такой особенный предел и называют определенным интегралом. При таких рассуждениях, у обучающихся формируется графическое представление определенного интеграла - площадь криволинейно трапеции.

Из приведенных выше рассуждений и примеров следует вывод, что необходимо различать графический образ математического понятия и его графическое представление, так

как первое может вообще отсутствовать в силу абстрактности понятия. При формировании понятий учителю следует делать акцент на их графические представления. При этом перед ним стоит задача адекватного выбора того или иного представления в зависимости от конкретного понятия школьного курса математики.

Литература:

1. Далингер В.А. Обучение математике на основе когнитивно-визуального подхода / В.А. Далингер // Вестник Брянского государственного университета. - 2011. - №1. - С.299-305.

2. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

3. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике / Г.И. Саранцев. -Саранск, 2001. - 144 с.

4. Смирнов Е.И. Наглядное моделирование в обучении математике: теория и практика: учебное пособие / Е.И. Смирнов. - Ярославль: ИПК «Индиго», 2007. - 454 с.

5. Стефанова Н.Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова. -М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

6. Цукарь А.Я. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием образного мышления: дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02 / Цукарь Анатолий Яковлевич. - Новосибирск, 1999. - 430 с.

Сведения об авторах:

Ковалева Галина Ивановна (г. Волгоград, Россия), доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры теории и методики обучения математике, Волгоградская государственная академия последипломного образования, профессор кафедры физики, методики преподавания физики и математики, ИКТ, Волгоградский государственный социально-педагогический университет, e-mail: kovaleva-gi@mail.ru

Милованов Николай Юрьевич (г. Волгоград, Россия), кандидат педагогических наук, учитель математики, средняя школа № 92 Краснооктябрьского района г. Волгограда, e-mail: milovanoff89@yandex.ru

Data about the authors:

G. Kovaleva (Volgograd, Russia), doctor of pedagogical Sciences, associate Professor, Professor, Department of theory and methodology of teaching mathematics, Volgograd State Academy of postgraduate education, Professor of physics, teaching physics and mathematics, ICT, Volgograd State social-pedagogical University, e-mail: kovaleva-gi@mail.ru

N. Milovanov (Volgograd, Russia), candidate of pedagogical Sciences, the mathematics teacher, Secondary school № 92 of the Krasnooktyabrskiy district of Volgograd, e-mail: milovanoff89@yandex.ru