Формализация солитона волны коллективного экономического поведения

Т.В. Огородникова

ФОРМАЛИЗАЦИЯ СОЛИТОНА ВОЛНЫ КОЛЛЕКТИВНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ

Анализ сложившихся научных подходов к определению и оценке устойчивости нелинейных экономических систем, позволяет выделить два фундаментальных положения:

- Устойчивая экономическая система, безусловно, не стоит на месте, она эволюционирует, т.е. меняет свое состояние плавно, без внезапных скачков, фазовых переходов и катастроф. В этом смысле ее поведение прогнозируемо. А требование устойчивости соответствует принципу рациональности, который, как известно, составляет основу анализа поведения субъектов экономики.

- Устойчивая экономическая система слабо чувствительна к «шумам».

Определив коллективное поведение субъектов экономики как волновое нелинейное, мы ставим задачу обеспечения его структурной и локальной устойчивости на фоне глобальной неустойчивости. Это означает сохранение функциональной формы волновой динамики, обеспечение нечувствительности коллективного поведения к случайным воздействиям, и в то же время наличие возможности целенаправленного воздействия на него.

Устойчивая нелинейная волна, имеющая и сохраняющая форму локализованного образования, принимает вид и качественные характеристики соли-тона.

Экономический солитон представляет собой форму коллективного поведения микросубъектов экономики, характерной чертой которой является устойчивая склонность микроэлементов к определённым видам деятельности и непрерывное воспроизводство функциональных качеств данного коллективного формирования.

Необходимость формализации экономического солитона обусловлена целью преодоления неопределенности в коллективном поведении микросубъектов экономики и создания предпосылок для обоснованного прогнозирования динамики экономической системы.

Исходя из того, что возникновение экономического солитона может иметь различную природу, в основу формализации солитона волны коллективного экономического поведения положим следующие концептуальные положения:

1. Солитон может возникнуть сам в ходе «естественной» взаимной эволюции волновых функций микроэкономических субъектов и потенциала коллективных воздействий, т.е. как результат взаимодействия индивидуальных и коллективного экономических полей.

2. Солитон может быть создан «искусственно», посредством управления эволюцией потенциала коллективных воздействий.

3. Экономическая политика по отношению к коллективному волновому поведению микросубъектов экономики выполняет двоякую функцию: а)обеспечивает создание и сохранение его устойчивой формы - солитона; б)осуществляет изменение структуры дислокации множества солитонов в экономическом пространстве в соответствии с целевыми общественно-экономическими установками.

4. Первая функция экономической политики реализуется посредством перманентной коррекции регулярных экономических воздействий коллективного экономического поля на индивидуальные поля.

5. Вторая функция реализуется в ходе осуществления целевых нерегулярных воздействий.

Таким образом, исследователь волнового экономического поведения микросубъектов экономики может поставить перед собой две задачи:

- Формализовать процесс образования солитона;

- Формализовать процесс передислокации солитона в экономическом пространстве.

Ограничим предмет формализации процессом образования солитона коллективного поведения микроэкономических субъектов.

Формализация любого экономического явления или процесса предполагает создание модели, адекватно описывающей объективную реальность. Выдвинутая нами ранее гипотеза о волновом характере поведения микросубъектов экономики и цель его солитонизации позволяет в качестве базового инструмента формализации экономического солитона использовать известное уравнение Кортвега де Фриза (КдФ), которое вместе с уравнениями Шредингера, sine-Gordon, Бюргерса и др. образует класс нелинейных эволюционных уравнений.

В нашем случае уравнение КдФ имеет вид:

дш д V дш —+ —^ + ш— = 0

dt дПъ dU

Где: у - волновая функция, описывающая состояние микросубъекта экономики; U - потенциал коллективных экономических взаимодействий; t -фактор времени. Подчеркнем, что в уравнении КдФ t выполняет функцию трансформационного параметра1.

Напомним, что экономический смысл волновой функции состоит в том, что квадрат ее модуля ш(r, t) есть плотность вероятности пребывания микроэкономического субъекта в данной точке экономического пространства в данный момент времени:

2

p

Величина волновой экономической у -функции равна амплитуде вероятности нахождения микроэкономического субъекта в конкретной точке экономического пространства в каждый момент времени t.

Потенциал коллективных экономических взаимодействий U представляет собой характеристику коллективного экономического поля, которое в свою

1 Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике: Пер.с англ. - М.:Эдиториал УРСС, 2001. с. 251

очередь является результатом агрегирования индивидуальных экономических полей.

Уравнение КдФ является одним из числа уравнений, описывающих такое изменение потенциала и, при котором собственные значения ^функции (Аь А2,... Ап) остаются неизменными. Это означает, что трансформация ^-функции задается изменением и - потенциала коллективных взаимодействий, изменение которого в свою очередь обусловливается эволюцией ^-функции.

В контексте задачи придания устойчивости коллективному поведению микросубъектов экономики решение уравнения КдФ имеет следующий экономический смысл: оно определяет такое изменение потенциала коллективных экономических воздействий во времени и соответствующее ему изменение коллективной ¡-функции, при которых амплитуда вероятности попадания микросубъектов экономики в конкретную часть экономического пространства (А) останется постоянной. Визуально это выглядит как устойчивая локализация плотности вероятности в определенной области пространства. Именно так в экономическом пространстве возникнет уединенная волна коллективного поведения микросубъектов - экономический солитон.

Таким образом, решение уравнение КдФ задает такие эволюции коллективной волновой функции поведения микроэкономических субъектов и потенциала коллективных экономических воздействий во времени, при которых собственные значения {¡/-функции (А) останутся неизменными, т.е. А = 0.

Действительно, устойчивость локализации плотности вероятности попадания экономических субъектов в конкретную область экономического пространства, которая сохраняется в процессе эволюции - очевидное свидетельство наличия экономического солитона коллективного поведения. Экономический смысл уравнения КдФ очень удобно проиллюстрировать на примере прямой и обратной задачи рассеяния.

Явление рассеяния нелинейной волны2, как известно, трактуется как последствия ее попадания на некий «потенциальный барьер», или препятствие, обладающее потенциалом и, который эволюционирует во времени. Энергия, с которой рассеивается волна, пропорциональна собственным значениям волновой функции (А). В нашем случае роль потенциального барьера, на который падает волна коллективного поведения микросубъектов, будет выполнять коллективное поле экономических взаимодействий.

В одномерных задачах деятельность этого барьера - «рассеивателя» обычно проявляется через отражение и прохождение падающей волны. Т.е. при взаимодействии волны коллективного поведения с коллективным полем экономических взаимодействий, потенциал которого эволюционирует определенным образом, будут возможны два сценария.

Первый сценарий. Отражение волнового пакета, соответствующего нелинейной волне коллективного поведения. В этом случае устойчивые (связанные) состояния функции коллективного поведения не образуются. Эволюции у- функции в этом случае соответствует непрерывный спектр собственных значений (А). Т.е. собственные значения волновой функции коллективного экономического поведения изменяются вместе с потенциалом коллективного поля экономических взаимодействий и самой волновой функцией. Этому варианту эволюции волны соответствует спектр непрерывных значений у - функции (А( ^0).

Второй сценарий. Свободное прохождение волны через потенциальный барьер поля коллективных взаимодействий. Ему соответствует спектр связанных состояний у-функции. В этом случае на фоне эволюций волновой функции коллективного экономического поведения и потенциала поля коллективных экономических взаимодействий собственные значения ) остаются неизменными. Происходит солитонообразование, волна приобретает устойчивую форму,

2 В одномерном случае.

т.е. приобретает способность преодолевать препятствие и сохранять при этом свою ориентацию в экономическом пространстве.

Решение нелинейного эволюционного уравнения методом прямой задачи рассеяния заключается в том, что по заданному исходному значению потенциала и(0) восстанавливаются так называемые данные рассеяния, т.е. все собственные значения (Я) и характеристики также будут изменяться. При этом, связанные состояния, или солитон будет образовываться только в том случае, если потенциал и деформируется в соответствии с уравнением КдФ.

Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) оказался возможным благодаря свойству инвариантност, которым обладает уравнение КдФ. Суть его состоит в восстановлении исходного потенциала и0 по данным рассеяния, т.е. по собственным значениям и соответствующим им собственным функциям без непосредственного решения КдФ.

Если приложить метод прямой и обратной задачи рассеяния к экономической проблематике, то они будут соответствовать реализации либо нормативного, либо позитивного подходов к экономической политике.

Так, в частности, требование оценить последствия реализации каких-либо предварительно заданных перманентных экономических действий, например, бюджета, формально соответствует решению прямой задачи рассеяния. Т.е. означает восстановление собственных значений ^-функции по заданному заранее потенциалу поля коллективных взаимодействий. Такая интерпретация метода прямой задачи рассеяния согласуется с позитивным аналитическим подходом в экономике.

Нормативный вариант экономической политики, можно описать МОЗР. Он предполагает, например, определение пространственно-временной структуры бюджета по спектру собственных значений функции коллективного поведения субъектов экономики. Решение уравнения КдФ, позволит выявить такой вариант пространственно-временной структуры бюджета, который задаст устойчивую форму этому экономическому поведению.

Главная особенность уравнения КдФ заключается в том, что оно объединяет две противоположные тенденции:

1. «Формирование» волны, обусловленное нелинейностью.

2. «Распыление» волны, обусловленное дисперсией.

Устойчивая волна может возникнуть только в том случае, когда эти воздействия компенсируются. Визуально влияние факторов нелинейности и дисперсии на волну выглядит как процесс ее «сжатия» и «растяжения». Преобладание одного из эффектов, например, нелинейности, неизбежно приводит к изменению профиля волны: ее передний фронт «укручивается» и она может «опрокинуться». Налицо - форма проявления неустойчивости нелинейного волнового процесса. Когда же в действие вступают силы дисперсии, происходит оформление волны в устойчивое образование, сохраняющее свою форму и качества - солитон.

Идентификация воздействий, оказываемых коллективным экономическим полем на функцию коллективного волнового поведения по признаку дисперсии и нелинейности имеет принципиальное значение для исследования динамики нелинейных волн в экономике. Во-первых, это позволит отойти от совершенно бесперспективной в аналитическом плане оценки этих воздействий, как оказывающих «хорошее» или «плохое» влияние на состояние экономической системы. Во-вторых, обеспечит понимание механизма и формализацию условия образования устойчивой формы волнового поведения микросубъектов.

В этой связи неизбежно возникает серьезная методическая проблема: определение дисперсионных и нелинейных коллективных воздействий в экономике. По этому поводу можно высказать в качестве гипотезы следующее соображение: «сжимающее» воздействие (нелинейность) на волну коллективного экономического поведения микросубъектов3, осуществляемое со стороны коллективного поля взаимодействий, идентифицируется по совпадению на-

3 В самом простом случае, т.е., если рассматривать ее как плоскую одномерную волну, частицы которой испытывают колебания только в одном направлении, например, в продольном.

правлений эволюции у-функции и эволюции конкретного воздействия. Соответственно, то воздействие, которое «растягивает» волну коллективного поведения (дисперсия) изменяется в противоположном направлении относительно эволюции у-функции. При таком подходе техническая задача будет состоять в стратификации (по направлению эволюции) конкретных форм экономических импульсов, которые в совокупности образуют потенциал коллективного поля взаимодействий.

В целом же задача «сортировки» всех воздействий, обусловливающих пространственно-временную волновую динамику индивидуальной и коллективной у-функций по направлению их эволюции относительно эволюции у-функции (нелинейность и дисперсия), представляется очень сложной в методическом и техническом плане и предполагает проведение специальных исследований и экспериментов.

Экономическая волна амплитуды вероятности, формирующаяся в соли-тон в результате взаимодействия индивидуальных и коллективного полей, относится к числу очень сложных нелинейных явлений. Наличие полевых и вероятностных характеристик поведения микросубъектов экономики задает такие высокие требования к инструментам их анализа, что едва ли можно говорить о реальной возможности полной формализации условия устойчивости нелинейных волновых процессов в экономике существующими методами. Однако, понимание таких перспектив не должно препятствовать постановке проблемы и попыткам ее решения хотя бы в первом приближении, с использованием упрощающих предположений. Это позволяет привлечь к исследованию хорошо изученные инструменты описания условия солитонообразования.