Онтологические допущения и математическое описание реальности

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2014. № 1

Г.Б. Гутнер*

ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕАЛЬНОСТИ

Обсуждается проблема применимости математики к научному описанию реальности. Показано, что применимость математики зависит от определенных онтологических допущений, прежде всего от того, как представляется связь целого и частей. Математическое представление возможно, если целое рассматривается как соединение независимых частей. Если же части зависимы от целого и определяются им, то математическое описание невозможно. Этот тезис демонстрируется на примерах из истории науки.

Ключевые слова: применимость математики, онтологические допущения, целое и части.

G.B. G u t n e r: Ontological assumptions and mathematical description of reality

The problem of applicability of mathematics for scientific description of reality is discussed. It is demonstrated that the applicability of mathematics depends on certain ontological assumptions, first of all, on the way of consideration of the whole and parts. Mathematical presentation is possible when the whole is considered as a junction of autonomous parts. When the parts are dependent on the whole but are determined by the whole, any mathematical description is not possible. This thesis is demonstrated by examples from the history of science.

Key words: applicability of mathematics, ontological assumptions, the whole and parts.

Вопрос об использовании математики для описания реальности, о математизации научных теорий продолжает интриговать философов. Однако уже кажется неприличным повторять фразу о «непостижимой эффективности математики». Необходимо констатировать, что использование математических моделей в научных исследованиях все же имеет свои границы и эти границы желательно определить.

В работе В.Я. Перминова [В.Я. Перминов, 2013] предпринята интересная попытка ответить на эти вопросы. Вначале хочу обратить внимание на некоторые ходы мысли, сделанные в этой работе и представляющиеся весьма продуктивными.

* Гутнер Григорий Борисович — доктор философский наук, ведущий научный сотрудник Института философии РАН, тел.: 8 (916) 505-93-46; e-mail: goutner@ yandex.ru

Речь идет о двух важных различениях, сделанных Перминовым. Первое касается теоретизации и математизации. На первый взгляд оно кажется вполне очевидным. В самом деле, не всякая научная теория является математической. Наряду с полностью математизированными теориями, развитыми в физике, мы имеем, например, биологические, психологические или социальные теории, построенные без всякого математического аппарата или использующие его лишь для некоторых теоретических задач. Но Перминов идет дальше. Различие теоретического и математического аспектов существует в любой теории. Физические теории можно считать полностью математизированными, но не математическими. Физика, утверждает Перминов, первична по отношению к математике. Но что именно первично? Что следует называть физикой? Судя по всему некий собственно физический концептуальный каркас, представляющий собой теоретизацию, но не математизацию реальности.

Второе различие, проведенное Перминовым, касается типов теорий. К первому типу относятся физические теории, которые «аддитивны» по своей структуре. Ко второму типу относятся теории, развиваемые в других науках, в частности в биологии, психологии, социологии. Эти теории аддитивностью не обладают. Аддитивность состоит в том, что «сложные системы, составленные из простых элементов, не изменяют свойств этих элементов». Тем же самым свойством обладает и математика: «Математические понятия аддитивны в том смысле, что входящие в них элементы не теряют своих первоначальных свойств из соединения данного понятия с другими понятиями в некотором более сложном определении. Натуральное число, присутствующее в определении понятия интеграла или канторовского множества, — это то же самое число, которое присутствует в элементарных арифметических действиях: оно не претерпело никаких содержательных изменений через включение его в понятие, находящееся за пределами арифметики» [В.Я. Перминов, 2014, с. 47]. Это структурное совпадение и делает физические теории математизируемыми. Сложный идеальный объект физической теории может быть сконструирован как математический объект. По-видимому, я не искажу мысль Перминова, если скажу, что между физическими концептуальными конструкциями и математическими конструкциями устанавливается своего рода изоморфизм. Для теорий второго типа такой изоморфизм невозможен, поскольку в них сложные объекты или системы не собираются из автономных простых элементов, введенных независимо от целого. Свойства частей существенно зависят от целого. Такая зависимость возникает тогда, когда функционирование системы связано с телеологией.

Введенное Перминовым понятие аддитивности/неаддитивности, как я уже сказал, весьма продуктивно, однако нуждается, на мой взгляд, в существенном уточнении. Приняв указанное различие в качестве рабочей гипотезы, я намерен далее посмотреть, как оно работает в разных теоретических конструкциях. Для этого я рассмотрю три сюжета из истории мысли, в каждом из которых представлены две альтернативные онтологии.

Сюжет первый: мера и энтелехия

Этот сюжет обусловлен противостоянием двух теоретических стратегий, развитых в Античности. В нем мы рассмотрим научные теории, разработанные в рамках пифагорейской школы, с одной стороны, и в рамках аристотелевской — с другой. Вместо привычного для историков философии противопоставления школ Платона и Аристотеля мы обратимся именно к пифагорейской школе, поскольку в ней интересующий нас тип онтологии представлен более однозначно, чем у Платона. Последний, конечно, достаточно близок к пифагорейцам, чтобы в значительной части его текстов увидеть тот же самый тип онтологии. Но у пифагорейцев интересующие нас ходы мысли выделить, пожалуй, проще.

Попробуем прежде всего выделить способы рассуждения, которыми пифагорейцы пользуются при исследовании природы. Я рассмотрю две основных науки, развитые в этой школе: музыку и космологию. Первая из названных кажется более важной с точки зрения методологии, ибо в ней прежде всего разработана идея гармонии, распространенная далее на другие науки.

Гармония — это числовая пропорция, вносящая порядок в нечто неупорядоченное. В первую очередь это касается музыки, где с помощью числовых отношений организовано правильное звучание, т.е. вносится порядок в беспредельный континуум звуков. Достигается это прежде всего тем, что в этом континууме обнаруживаются консонансные интервалы: октава, квинта и кварта. Эти интервалы создают некую организацию в непрерывной совокупности звучаний. Исходя из них, можно найти некий элементарный музыкальный интервал — тон (он составляет разницу между квинтой и квартой). Его можно использовать как меру, т.е. как единицу измерения всех музыкальных интервалов, не обязательно консо-нансных.

Однако главным открытием пифагорейцев в теории музыки следует считать то, что они сумели свести звуковые интервалы к отношениям длин, т.е. весьма точно измеряемых величин. Эти отношения, собственно, и получили название гармоний.

Рассмотрим четыре струны — А, В, С, D, звучание которых различается на указанные интервалы. Октава соответствует отношению 1:2, т.е. если звук D на октаву выше А, то струна D в два раза короче струны А.

Соответственно отношения длин струн А к В составляет 4:3 (кварта); отношение А к С составляет 3:2 (квинта).

Иными словами, каждый консонансный интервал определяется числовым отношением. Присмотримся к этим отношениям внимательнее. Чтобы лучше описать их свойства, разделим А на 12 равных частей. В таком случае двенадцатая часть А окажется единицей измерения, т.е. общей мерой для всех остальных струн. Легко видеть, что при измерении этой единицей А = 12; В = 9; С = 8; D = 6. Получается, что отношение С к D составляет 4:3, а отношение В к D — 3:2, что, как и следовало ожидать, соответствует кварте и квинте.

Промежуточные длины — В и С — получаются из крайних как среднее арифметическое и среднее гармоническое.

Легко видеть, кроме того, что один тон определяется отношением В к С, т.е. 9:8. Это значит, что можно строить и другие звуковые интервалы. Выбрав тон в качестве меры для интервала звучаний, можно подобрать требуемые отношения длин для любого интервала в пределах октавы. При этом всякий раз будет сохраняться соразмерность длин. Правда, использовать двенадцатую часть А (самой длинной струны) в качестве общей меры уже не удастся. Всякий раз нужно будет выбирать другую единицу измерения. Тот факт, что именно для трех консонансных интервалов существует общая мера, как будто говорит об их особой природе.

Существование числовых отношений определяется соизмеримостью, т.е. наличием общей меры. Величины, соответствующие звукам, измеряются одной и той же единицей, что и создает их особую связь друг с другом. Все они могут быть представлены как части, складывающиеся в некоторое целое: каждая из величин В, С или D составляет часть А, причем часть, соразмерную с целым [А. Щетников, 2012].

Космология пифагорейцев построена на тех же основаниях, что и теория музыки. Впрочем, здесь наряду с наблюдениями они прибегают и к весьма произвольным построениям, позволяющим им перенести на Космос те самые числовые гармонии, которые они открыли, исследуя музыку. Утверждается, что Пифагор первым назвал Вселенную «космосом», имея в виду порядок, который ему присущ. Однако этот порядок существует наряду с неопределенно-

стью, беспредельностью, пустотой. Беспредельность и пустота не только объемлют космос, но и проникают внутрь его. Что означает проникновение пустоты внутрь порядка? Я думаю, это можно понять по аналогии с только что рассмотренной теорией музыки. Мы видели, что музыкальная гармония вносит упорядоченность в континуум звуков. Отдельные («точечные») звуки, ограничивающие интервалы и образующие консонанс, создают определенную структуру, порядок, определяемый числовыми отношениями. Однако эта структура, во-первых, объемлется неупорядоченным континуумом звуков, а во-вторых, наполнена им изнутри. Как бы мы ни ограничивали музыкальные интервалы, создавая упорядоченную звуковую структуру, между границами всегда будет оставаться континуум, бесконечная, неупорядоченная совокупность потенциальных звуков.

Таков, по-видимому, и космос. Он образован телами правильной геометрической формы, расположенными друг относительно друга в строгом порядке. Однако эти тела разделены пустотой. Между ними и внутри них остается пустота, нечто неопределенное, бесконечно делимое, неупорядоченное. Эта пустота разделена границами тел (подобно тому, как звуковой континуум разделен голосами, т.е. «точечными» звучаниями), а потому сам космос есть единство предела и беспредельного. Принципом организации Космоса выступает, как и в музыкальной теории, гармония. Расстояния между сферами находятся в тех же самых отношениях, которые связывают длины струн, звучащих в консонансе. Числовая гармония (т.е. пропорция), соединяя предел и беспредельное, создает организованное целое. Мы постигаем Космос именно как целое, сложенное из соразмерных частей.

Близкие идеи мы находим в пифагорейских исследованиях по геометрии и арифметике.

Ведущая идея в греческой (прежде всего, в пифагорейской) геометрии — идея равенства фигур. Основной операцией здесь является наложение линий и/или фигур и их сопоставление. Важным результатом геометрического рассуждения становится заполнение одной линии или фигуры организованной совокупностью других. Рассмотрим, например, задачу об удвоении квадрата, решение которой приведено в диалоге Платона «Менон».

Сама задача состоит в том, чтобы построить квадрат вдвое больший данного. Решение сводится к демонстрации, что именно таким квадратом будет квадрат, сторона которого равна диагонали исходного квадрата. Это видно из приводимого рисунка.

Мы видим, что исходный квадрат — ABCD — составлен из двух равных треугольников. Квадрат DBFE, построенный на диагонали исходного, составлен из четырех точно таких же треугольников. Поэтому он вдвое больше исходного.

Здесь мы видим общий метод решения задач: разделение некоторого целого на равные части и составление нового целого из тех же частей. При этом достигается возможность соизмерения двух целостностей. В приведенном примере прямоугольный треугольник, полученный при делении исходного квадрата диагональю, представляет собой общую меру для двух квадратов. Сопоставление двух целых предметов достигается благодаря их составленно-сти из соизмеримых частей, в конечном счете, из многократно воспроизведенной части, являющейся общей мерой.

Не все, как известно, оказывается так гладко. Во-первых, не существует универсальной меры. Для каждой задачи необходимо находить собственную меру, измеряющую только те линии или фигуры, которые в ней рассматриваются. Более того, пифагорейцам пришлось иметь дело с задачами, которые вообще не решаются подобным способом. В таких задачах ни при каком разбиении на части одного целого не удается составить из этих частей другое. Иными словами, существуют несоизмеримые величины. Таковы, например, сторона и диагональ квадрата.

В арифметике такого рода неприятности невозможны. Здесь мы имеем как раз то, что отсутствовало в геометрии — общую меру. Все числа соизмеримы, поскольку составлены из единиц. В этом, собственно, и состоит определение числа. По Евклиду, «число есть множество, составленное из единиц» (Евклид, Начала, VII, опр. 2). Если же пользоваться пифагорейскими источниками,

то сходное, по сути, хотя и несколько более сложное определение дает Никомах из Герасы: «Число есть ограниченное множество, или собрание единиц, или поток составленного из единиц количества» [Никомах из Герасы, 2009, с. 106.].

Заметим, что Никомах настаивает на неравноправном положении наук, почитая арифметику более значимой, чем все остальные, и даже называя ее «матерью всех наук» [там же, с. 104]. Аргументирует он это тем, что «с ее уничтожением уничтожаются все науки, сама же она не уничтожается вместе с ними». Ни геометрия, ни астрономия, ни музыка не могут изучаться без знания чисел. Числа же, упорядочивая и организуя все остальное, не зависят ни от чего. О числах при этом достигается наиболее ясное знание.

Чтобы понять, с чем связано столь привилегированное положение арифметики, нужно вновь обратить внимание на основной методологический ход. Попробуем увидеть его на простейших примерах — классификации чисел.

Числа прежде всего разделяются на четные и нечетные. Первые делятся на два равных, вторые же не могут быть разделены на два.

Четные числа, в свою очередь, разделяются на три вида: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-четные. Определения этих видов таковы.

Четно-четные числа, по определению Никомаха, делятся на две равные части так, что получившиеся доли, в свою очередь, делятся пополам и это деление пополам можно продолжать до тех пор, пока не получится единица. Иными словами, речь идет о степенях двойки, т.е. о числах 2, 4, 8, 16, 32, 64...

Четно-нечетное число таково, что его половины уже не делятся на два. Таковы, например, 6, 10, 14, 18, 22, 30. Этот вид четных чисел Никомах называет противоположным первому.

Наконец, третий вид, который Никомах считает средним между двумя противоположностями, — нечетно-четные числа — это числа, половины которых делятся пополам и даже у некоторых половины половин делятся надвое, а у некоторых это деление можно продолжить и далее. Однако в отличие от четно-четных чисел это деление невозможно продолжить до единицы. Его конечным итогом всегда будет какое-то нечетное число. Таковы, например, числа 24, 28, 36, 40, 44.

Заметим, что такая классификация четных чисел для современной математики не очень интересна, тогда как пифагорейцы явно придают ей большое значение. Чем же она важна? Я думаю, что некоторую подсказку мы получим, если посмотрим, как определяет эти виды чисел Евклид (Евклид, Начала, VII, определения 8, 9, 10).

«Четно-четное число есть четным числом измеримое четное число раз.

Изучая свойства чисел, пифагорийцы заняты прежде всего их соизмеримостью. Практически все арифметические задачи связаны с поиском числа, которое было бы общей мерой для ряда других чисел. Помимо того что все числа измеримы единицей и, следовательно, соизмеримы, между числами определенного вида можно найти дополнительную соизмеримость, т.е. можно измерить их общей мерой, отличной от единицы. Измеримость же есть составленность целого из частей, более того, определенная организация частей, составляющих целое.

Однако, говоря о числе, мы должны обратить внимание на другую пару понятий, более общих, чем часть и целое. Эти понятия — единство и множество. Число, как мы видели, было определено как множество, составленное из единиц. Такое множество, конечно, есть нечто целое, состоящее из частей. Но оно представляет собой предельный случай такого целого. В геометрии, космологии и музыке части были сложны и соразмерны. Но общая мера, воспроизводимая много раз в пределах целого, все же есть нечто сложное. Она также имеет собственное устройство. Число — идеальная модель целого, состоящего из соразмерных частей. Общая мера чисел предельно проста и уже не имеет никакой собственной организации. Всякая общая мера в других науках есть усложненная единица, т.е. нечто, играющее в данной задаче ту же роль, что единица в арифметике. Число, следовательно, лежит в основе всех других целостностей. Всякая организованная, упорядоченная сложность имеет в своей основе число. Оно являет эту сложность (сложенность) в самом чистом виде. Можно сказать и иначе: всякое целое, состоящее из частей, есть, по своей сути, число, усложненное, обремененное какими-то дополнительными, нечисловыми характеристиками. Поэтому истинное знание всякого сущего представляет собой знание его числовой структуры. Поэтому арифметика есть главная наука, без которой невозможна никакая другая.

Обратимся теперь к аристотелевской концепции науки. Здесь мы увидим прежде всего иные онтологические допущения, определяющие иной статус математики. Замечу сразу, эти допущения относятся к способу отношения между целым и его частями. Именно организация частей в пределах целого отличает аристотелевскую науку от пифагорейской.

В аристотелевской науке несколько смещен предмет исследования. Если пифагорейцы рассматривают преимущественно «ставшее», т.е. неизменную и ясно постигаемую структуру, то Аристотеля интересует само «становление», генезис, структурирование. Поэтому знание состоит прежде всего в понимании цели. Чтобы увидеть это, достаточно указать несколько ключевых концептов, лежащих в основании аристотелевской научной программы. Эти концепты

(являющиеся, собственно, базовыми онтологическими допущениями) хорошо известны, поэтому нам не нужно сейчас предпринимать подробное исследование философии Аристотеля.

Первый из них — гилеоморфизм. Завершенное и познаваемое целое есть единство формы и материи. Из разнообразных характеристик материи, приводимых Аристотелем, выделим прежде всего такую: материя есть то, из чего состоит целое. Материя не обязательно материал, как медь или камень. Материей дома, например, являются кирпичи, из которых он сложен, материей слова — звуки, из которых оно составлено. В таком случае к материальному субстрату следует отнести совокупность частей, рассмотренную в отвлечении от того, что их объединяет, т.е. от формы. Я не утверждаю, что материя представляет собой только это. Неорганизованная совокупность частей — лишь один из аспектов или видов материи. Но именно он важен для нас сейчас, коль скоро мы хотим увидеть отличие аристотелевской эпистемологии от пифагорейской.

Итак части, рассмотренные независимо от целого, есть материя этого целого. Ясно, что такое рассмотрение не дает никого знания. Рассматривать совокупность частей можно, как я упомянул ранее, лишь временно забыв о целом, в которое они входят. Это, собственно, не акт познания, а акт философской рефлексии. Познание же требует одновременного рассмотрения целого и его частей. В аристотелевской парадигме это означает одновременное рассмотрение материи и формы. Невозможно понять, что представляют собой части, не зная, как они организованы в рамках целого. Можно, конечно, изучать кирпич сам по себе. Но это изучение даст нам очень мало, поскольку основные свойства кирпича обусловлены его предназначением — войти в состав дома.

Уже в этом видно существенное отличие от пифагорейских построений. Число не может быть моделью такого целого, которое определяет свои части. Понимание целого не сводится к измерению. Мера, чтобы измерять, должна быть частью, постигаемой независимо от целого.

Знание целого представляет собой знание формы, а не составление его из соизмеримых частей. Форма же стоит у Аристотеля в ряду с такими категориями, как сущность и действительность. Ранее я уже упомянул, что в центре внимания в его философии находится не ставшая структура, а ее генезис. Выражается это, в частности, в том, что пару «материя и форма» необходимо дополнить парой «возможность и действительность». В качестве примера сопоставим строительство дома и уже построенный дом. Пока идет строительство, дома еще нет. Однако правильно будет сказать, что он существует лишь в возможности. Построенный дом — это дом в действительности. С другой стороны, строительство есть процесс

обретения материей формы, а готовый дом представляет собой уже оформленную материю. Именно построенный, действительный дом являет в себе сущность дома. При этом по отношению к строящемуся дому построенный представляет собой цель. Возможно, впрочем, более точно будет сказать, что цель — это та форма, которую должен обрести в будущем строящийся дом. В таком случае для действительного дома уместно понятие энтелехии, т.е. достигнутой цели.

Важен здесь безусловный приоритет действительности над возможностью, цели — над изменением, формы — над материей, целого — над частями. Знание предмета предполагает взгляд со стороны энтелехии. Характер движения и свойства материи определяются именно завершенным целым, т.е. целью. Доминирование целого подразумевает телеологию, части существуют ради целого, они бессмысленны и непонятны вне целенаправленного движения, собирающего их воедино. Этот взгляд неизбежно приводит к понятию о действующей причине. Части не могут сами собой собраться в целое. В них нет ничего, что предопределяло бы их будущую организацию. Она должна быть получена извне. Чтобы построить дом, нужен строитель, заранее мыслящий форму дома. Действующая причина, следовательно, представляет собой это внешнее (по отношению к материи, к субстрату изменения) действие, направляющее изменение к цели. Поскольку цель — это форма, то действующей причиной может быть только ум, мыслящий эту форму. Тогда, когда непосредственный источник изменения не является мыслящим существом (как, например, в случае роста дерева), действие ума осуществляется через систему опосредований.

Вернемся еще раз к сопоставлению с пифагорейскими представлениями. Ум (неважно какой — божественный или человеческий) мыслит форму не математически. Конечно, можно (как, по-видимому, предполагал Платон) рассматривать форму или эйдос как числовую структуру, как математический принцип организации материи. Иными словами, можно предложить пифагорейский вариант гилеоморфизма, рассматривая оформление материи как собирание геометрически правильных элементов в более сложную, но также геометрически правильную конструкцию. Но тогда будет невозможна телеология. Если форма представляет собой числовую структуру, то части создаваемого целого независимы от него. Они познаваемы самостоятельно, как измеримые некоей мерой математические объекты. Если же форма есть цель становления материального субстрата, то собираемые сообразно ей части несамостоятельны, они определяются этой целью и познаются только в рамках целого. Например, геометрически выстроенный и рассчитанный проект дома не есть форма дома в аристотелевском

понимании. В самом деле, числовые отношения, положенные в основание проекта, не составляют сущность или энтелехию дома. Дом строят не ради числовых отношений, а для того, чтобы в нем жить. Именно дом, в котором живут, и есть дом в действительности. Но такая действительность невыразима математически, хотя и присутствует в уме строителя.

Сюжет второй: механизм и организм

Этот сюжет относится к Новому времени. Мы коснемся многократно обсужденной темы — научной революции XVII в. и рождения математического естествознания. Здесь для начала интересно упомянуть об одном аспекте этой революции, точнее, о произошедшей в то время «смены парадигм». Естествознание позднего средневековья, как известно, строилось на философии Аристотеля и наследовало ее существенные черты. Эти черты мы только что обсудили: (1) телеология, т.е. апелляция к целевой причине, как основа понимания; (2) действие Божественного ума как конечный объяснительный принцип; (3) исключительно качественное описание всех изучаемых явлений.

Можно искать разные объяснения того исторического факта, что эта парадигма уступила место другой. Однако весьма важным мне кажется указание А. Койре, что это событие сопровождалось сменой философских предпочтений среди европейских интеллектуалов. Дело в том, что еще до описываемых событий (главным образом, в XV в.) в Западной Европе стали появляться иммигранты из одолеваемой турками Византии. Эти иммигранты привезли с собой тексты Платона и платоновской школы, которые прежде на Западе либо не знали, либо игнорировали. Начиная с XV в., эти тексты приобретали все большее влияние, что и выразилось, в конечном счете, в «смене оптики», в изменении взгляда на мир. Платоновская школа, как известно, вполне разделяла пифагорейский подход к науке. Именно этот подход и пришел на смену томистскому (т.е. базирующемуся на аристотелевской философии) подходу к исследованию природы. В самом общем смысле эта смена состояла в переопределении того, что значит понять. Для аристотелевской эпистемологии понимание состоит в нахождении цели изменения, для платоновской (и пифагорейской) — в выявлении числовых отношений, определяющих структуру явления [А. Койре, 1985].

Необходимо, с одной стороны, заметить, что рождающееся естествознание вовсе не заимствовало у платоников и пифагорейцев все их эпистемологические и онтологические допущения. Речь может идти лишь о некоем начальном импульсе, об изменении

ориентиров. С другой стороны, мы можем предполагать, однако, что некоторая общность оснований все же существует. Действуя в рамках собственных онтологических допущений, математическое естествознание Нового времени развивает свою собственную математику, мало похожую на математику пифагорейцев. Но все же и то и другое остается математикой. Далее мы попытаемся выявить эту общность.

В чем прежде всего состоят онтологические допущения, на которых строится классическая наука Нового времени? В самом лапидарном выражении они, на мой взгляд, могут быть представлены так: природа есть совокупность твердых тел, движущихся в однородном пространстве по математически правильным траекториям. Попробуем, однако, конкретизировать этот образ.

Первый его элемент, как мы только что отметили, составляет однородное пространство. Не прослеживая генезиса этой идеи и не рассматривая дискуссий, связанных с пониманием пространства1, мы сформулируем понятие однородности так, как оно предстает, например, у Локка. Согласно его воззрениям, идея пространства формируется в нашем уме в результате мысленного присоединения одной пространственной области к другой. Наблюдая некоторую замкнутую часть пространства (например, пространство комнаты, в которой мы находимся), мы можем присовокупить к этой конечной области другую такую же. Подобную операцию можно повторять сколь угодно долго, двигаясь в разных направлениях и неограниченно расширяя пределы пространства. Соединяемые области (части пространства), с одной стороны, ничем друг от друга не отличаются, а с другой стороны, они никак друг от друга не зависят. Они связаны лишь тем, что находятся рядом друг с другом.

Ясно, что так описанное пространство уже представляет собой математический объект. Оно не наблюдаемо физически, а сконструировано геометрически. Создав такую конструкцию, мы можем выявлять различные ее свойства: метрические, топологические, алгебраические. В нем можно определять расстояния, площади, объемы. В нем можно фиксировать точки, задавая их координатами. Всякий объект, помещенный в такое пространство, также имеет чисто математическое описание — это прежде всего геометрический объект, наделенный числовыми характеристиками. Такой объект, иными словами, есть прежде всего протяженная субстанция.

Далее мы упомянули о движении по математически правильным траекториям. Исходное допущение, описывающее эту карти-

1 В частности, следует упомянуть дискуссию о том, существует ли пустое пространство. Пустота, как известно, отрицалась Декартом. Его оппонентами были Локк и Ньютон. Я здесь буду ориентироваться на них, поскольку именно у Ньютона математическое естествознание предстает в окончательно оформленном виде.

ну мира, состоит в утверждении, что всякое тело, не испытывающее внешних воздействий, двигается прямолинейно и равномерно. Из этого сразу следует другое допущение: всякое иное движение может происходить лишь под воздействием некоторой причины. Иными словами, необходимым элементом картины мира является всеобщая причинная связь. В рамках таких допущений основная задача познания состоит в описании и объяснении движений. Под объяснением понимается выяснение причин.

Следует сразу заметить, что понятие причины в этом понимании совершенно иное, чем в аристотелевском. Под причиной в науке Нового времени подразумевается совсем не то же самое, что действующая причина у Аристотеля. Последняя, как мы видели, направляет изменение к цели, т.е. формирует материю, сообщает возникающей вещи ее сущность. В новом понимании причина не связана с сущностью того субстрата, который подвергается воздействию, но лишь меняет характер его движения. Говоря проще (т.е. переходя с метафизического жаргона на физический), она изменяет скорость движущегося тела.

Представленные допущения уже подразумевают математику. Движение в однородном пространстве благодаря успехам аналитической геометрии описывается числовой функцией. Так же точно должна быть представлена и причина этого движения (точнее, причина изменения его характера). Наиболее адекватным выражением причины оказывается сила в уравнениях классической механики.

Сделаю одну оговорку. Только что рассмотренные нами онтологические допущения представляют собой предпосылки математического естествознания. Но едва ли они есть предпосылки математизации как таковой. Они сами уже задают математические объекты. Онтология науки Нового времени есть математическая онтология. Иными словами, едва ли верно, что в этой науке исходно формировались физические понятия, которые затем подверглись математизации. В XVII в. возникает новая математика, релевантная принятым допущениям. Но в этих допущениях уже присутствует математический взгляд на вещи. Если следовать гипотезе Койре, то этот взгляд сформировался в результате рецепции платоновской и пифагорейской философии. Ни пифагорейская математика, ни платоновская онтология не восприняты математическим естествознанием Нового времени. Но вполне можно указать определенный ход мысли, формирующий этот «математический взгляд».

Чтобы выявить этот ход мысли, попробуем рассмотреть найденные нами предпосылки немного подробнее. Они, как мы видели, относятся к характеру движения тел в пространстве. Поэтому развиваемая на их основании наука безразлична к собственной природе тел. Она будет учитывать лишь те свойства, которые относятся

к движению. Парадигмальный объект такой науки — движущаяся частица, вообще не обладающая никакими собственными качествами. Иными словами, образ мира, лапидарно охарактеризованный нами выше, может быть уточнен. Не твердые тела, а неделимые частицы, движение которых управляется дифференциальными уравнениями, составляют основу этого мира. Тот факт, что уравнения должны быть именно дифференциальными, вытекает из тех же онтологических допущений, поскольку речь в них идет об изменении характера движения (об изменении скорости).

Онтология, основанная на понятии неделимой (т.е. не имеющей никакого внутреннего строения) частицы, движущейся в пустом однородном пространстве, представлена, например, у Локка. Эта онтология имплицирует эпистемологическую альтернативу, сводящуюся к выбору между редукционизмом и агностицизмом. Речь идет о том, что видимое многообразие природных явлений не сводится к перемещению частиц в пространстве. Следовательно, мы обязаны предполагать, что все это многообразие есть лишь видимость, лишь наблюдаемый эффект скрытого от нас движения частиц. В таком случае нам нужно принять одну из двух стратегий. Либо мы должны направлять свои усилия на познание этого движения, т.е. на его математическое описание и последующее выведение из него наблюдаемых качеств. Это означало бы полную математизацию нашего знания, построение математической теории всего. Либо мы должны признать, что такое движение скрыто от нас навсегда, и удовлетворится качественным описанием явлений. В последнем случае нам никогда не следует забывать, что наше знание принципиально ограничено. Именно такую позицию занял, как известно, Локк. Интересно, что Риккерт уже в начале ХХ в. считал справедливым сведение всех явлений природы к «простым элементам», т.е. к движущимся частицам, идеалом естествознания [Г. Риккерт, 1997].

Тем не менее естествознание не пошло по пути столь жесткого редукционизма и, с другой стороны, не остановилось на качественном описании наблюдений. По-видимому, следует признать, что представленные только что допущения не разделяются в полноте наукой более позднего времени. Например, развитые в XIX в. термодинамика или теория электоромагнитного поля не опираются на допущение о движущихся частицах. Однако я полагаю, что и в этом случае сохраняются исходные допущения, принятые при зарождении математического естествознания. Заметим прежде всего, что все развитые в последующем теории опираются на принцип причинности. При этом речь всякий раз идет не о действующей причине аристотелевской науки, а о причине изменения измеримых параметров. Таковыми могут быть характеристики распро-

странения волны, термодинамические характеристики газа, электромагнитные характеристики поля и т.д. В любом случае будет осуществляться один и тот же ход мысли: изменение одних числовых функций объясняется их связью с другими числовыми функциями. Естественно, что эта связь выражается некоторым уравнением (как правило, дифференциальным). При этом сам объект не претерпевает никаких сущностных изменений. Более того, его сущность вообще не имеет значения. Важен не он, а меняющиеся числовые характеристики. Идеальный газ, волна, теплопроводная среда не характеризуются ничем, кроме функций, входящих в соответствующие уравнения, и коэффициентов этих же уравнений. Подобного рода концептуальные образования уместно назвать математическими идеальными объектами2. Движущаяся частица, в таком случае, есть лишь один из его видов.

Заметим теперь, что понимание в математическом естествознании требует конструирования определенного вида целостностей. Понять что-либо, как мы видели, значит найти причины изменения. Иными словами, причины и следствия должны быть соединены в нечто целое, которое, как мы видели, описывается дифференциальным уравнением. Здесь необходимо различить эпистемологический и онтологический аспекты этой целостности. С эпистемологической точки зрения, познание, ориентированное на причинное объяснение, представляет собой конструирование. Дифференциальное уравнение, связывающее причины и следствия, есть в таком случае схема, посредством которой устанавливаются связи между характеристиками создаваемого комплекса. Решение каждой задачи сводится к применению этой схемы (т.е. уже известного уравнения) к частным условиям.

С точки зрения онтологии, такое целое есть результат взаимодействия частей. Оно не предполагается заранее и не определяет каждую часть. Скорее части определяют целое. Во всяком случае, они совершенно независимы как от целого, так и друг от друга. Свойства целого вторичны по отношению к свойствам частей. Целое собрано, как конструктор, из вполне самостоятельных деталей, которые, в принципе, могли бы соединиться и по-другому или вообще никак не соединяться. При этом важны только реляционные свойства частей, способность взаимодействовать друг с другом. Их

2 Возможно, это не самое удачное название, но я не могу подобрать лучшего. Ясно, что это и есть именно идеальные объекты в том смысле, в котором этот термин уже закрепился в философии науки. Они при этом не совпадают с собственно математическими объектами (такими, как число, функция или линейное пространство). Однако для нашего исследования важно отличить их от другого типа идеальных объектов (таких, например, как организм или целе-рациональное действие), о которых речь пойдет далее.

сущность (природа, внутренняя структура) не имеет значения. Классический пример такого целого — Солнечная система в ньютоновской механике. Свойства Солнечной системы как целого (например, эллиптическое движение планет такое, что Солнце находится в фокусе каждого эллипса) вытекают из реляционных свойств частей — их способности притягиваться друг к другу (по закону тяготения) и менять свою скорость пропорционально величине действующей силы (по второму закону Ньютона).

Такого рода целостности вполне подпадают под понятие «механизм природы», введенное Кантом в «Критике способности суждения». Механизм, т.е. устроение на основании закона причинности, как мы видели, может быть описан математически. Коль скоро закон причинности есть универсальный принцип, определяющий все явления природы, естествознание должно руководствоваться именно им, чтобы достичь полного (в пределах своих границ) объяснения природы. Мы видели, что причинное объяснение (т.е. раскрытие механизма природы) достигается с помощью математики. Возможно, этим и инспирировано известное высказывание Канта: «В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики». Однако сам Кант, как известно, полагал невозможным полное раскрытие механизма природы. Но в таком случае едва ли возможна и полная математизация естествознания.

Следующая часть нашего сюжета посвящена кантовскому понятию организма. Именно при описании организма оказывается невозможным применение принципа причинности3. Само понятие организма требует обращения к телеологии. Позволим себе несколько цитат из «Критики способности суждения», выражающих важные для нашего исследования аспекты данного понятия.

«Организм не есть просто машина, ибо машина обладает только движущей силой; он же обладает и формирующей силой, причем такой, которую он сообщает материи, ее не имеющей (он ее организует), следовательно, обладает распространяющейся формирующей силой, не объяснимой одной способностью движения» [И. Кант, 1994, с. 247].

«Этот принцип (принцип суждения о внутренней целесообразности в организмах. — Г.Г.) гласит — и это есть одновременно его дефиниция: органический продукт природы — это продукт, в котором все есть взаимно цель и средство. В нем нет ничего лишнего, бесцельного, ничего, что можно было бы приписать слепому механизму природы» [там же, с. 249].

3 «Ведь не вызывает сомнения, что мы не способны даже достаточно точно познать, а тем более объяснить организмы и их внутреннюю возможность по чисто механическим принципам природы» [там же, с. 274—275].

«Известно, что те, кто расчленяет растения и животных, чтобы исследовать их структуру и понять, почему и для какой цели необходимы именно эти части, почему им даны такое положение и такая связь, а также именно эта внутренняя форма, должны принимать как непреложную названную максиму...» [там же, с. 249].

Приведенные цитаты весьма точно описывают совершенно иные онтологические допущения, чем те, которые лежат в основании математического естествознания. Эти допущения, как легко видеть, также определяют отношения целого и частей. Целое (в противоположность механизму) не собирается из частей, которые сами собой вступили во взаимодействие. Тогда это целое и его форма были бы случайностью: оно возникло лишь потому, что соответствующие части почему-то сложились вместе. Здесь же, напротив, целое собирает части сообразно своей собственной форме. Каждая часть предназначена для чего-то в пределах целого. Это предназначение определяет не только расположение и связь частей, но и внутреннюю форму каждой из них. Вспомним, что именно внутренняя форма части совершенно не важна в механизме, где взаимодействие частей определяет лишь их движение (или — в более общем случае — изменение их измеримых характеристик). Такой подход очень близок к аристотелевскому, представленному нами в первом сюжете. Наука, базирующаяся на указанных предпосылках, всегда будет качественной наукой, не укладывающейся в математические теории. Дело здесь, по-видимому, в том, что она не может ограничиться числовыми характеристиками, а вынуждена описывать внутреннюю форму, т.е. сущность своего предмета. К этому обязывает телеологический подход: целое определяет цель существования каждой части.

Необходимо, впрочем, указать два существенных отличия Канта от Аристотеля. Первое состоит в том, что такой подход у Канта распространяется лишь на часть естествознания, а именно на науку о живых организмах, тогда как для Аристотеля он универсален. Второе же отличие, более тонкое и более существенное, связано с оценкой статуса введенных допущений. Для Аристотеля они описывают реальную основу космоса. Для Канта — это лишь максимы рефлектирующей способности суждения. Я не буду подробно разбирать, что это значит, поскольку не в этом состоит цель проводимого исследования. Замечу лишь, что упомянутая способность не раскрывает реальные структуры природы. Последние, по Канту, всегда подчинены принципу причинности. Рефлектирующая способность суждения только примысливает свои (ею самой созданные) понятия к эмпирически данному, чтобы лучше объяснить его [там же, с. 273]. Иными словами, телеология природы

есть своего рода фикция, позволяющая исследователю эффективно описывать жизнь организмов.

Представленные допущения имплицируют еще одно важное замечание. Коль скоро каждая часть в пределах целого имеет цель, то неизбежно возникает понятие об исходном замысле. Цель должна быть заранее установлена. Иными словами, целое как основание для частей предполагает некую мысль, замыслившую это целое, «преднамеренно действующую высшую причину» [там же]. Максима, исключающая из понятия организма случайность, приводит нас к мысли о намерении, согласно которому создано столь совершенное целое, как организм. Здесь вполне уместна аналогия с соответствующим ходом мысли Аристотеля, приводящим к идее Ума-Перводвигателя. При этом, конечно, необходимы те же оговорки, которые были только что сделаны. Полагая в основании природы разумно действующее существо, мы должны помнить, что мысль о таком существе порождается нашими познавательными способностями, коль скоро мы прибегаем к телеологическому объяснению.

Сюжет третий: мыслящий индивид и автоматический регулятор

Третий сюжет, который я намерен представить, несколько более рискованный, чем первые два, поскольку в нем сталкиваются концепты, относящиеся к разным дисциплинам и даже к разным традициям мысли. Речь пойдет о социологических концептах, с одной стороны, и кибернетических моделях4 — с другой. Впрочем, основания для сопоставления все же есть, поскольку подход, развитый в теории управления, может быть уместен и при рассмотрении социальных явлений. Здесь открывается широкое поле для философских исследований, связанных с приложением математики к социологии. Я попробую сопоставить лишь два, уже ставших классическими концепта. В этом сопоставлении меня будет интересовать не их правильность и приемлемость с точки зрения современной науки, а, как и в предыдущих сюжетах, характер онтологических допущений. Как и ранее, противопоставляемые концепты будут различаться тем, что один из них предполагает математическое представление, а другой такого представления не допускает.

Сейчас мы начнем с последнего случая, т.е. с примера качественного социологического описания. Дело хотя бы в том, что это описание появилось раньше, чем его математизированный аналог. Кроме того, здесь легко будет продемонстрировать то движение мысли, которое позволяет перейти от качественного описания к формальному математическому представлению.

4 Точнее, о моделях, развитых в теории автоматического регулирования.

Итак, первый наш пример — теория рационального действия, развитая Максом Вебером. Я представлю ее на хрестоматийном примере, взятом из работы «Протестантская этика и дух капитализма» [М. Вебер,1990].

Напомню общую канву этого исследования. Автор для начала приводит факт, установленный с помощью статистики, что в экономике современной ему Европы наиболее активной и продуктивно действующей группой являются люди, принадлежащие к протестантским исповеданиям. Все последующее исследование можно рассматривать как объяснение этого факта, хотя, как мы попробуем показать, значение его оказывается гораздо шире. Далее Вебер работает не со статистикой, а с текстами протестантских авторов XVI—XVIII вв. Из этих текстов он последовательно извлекает ряд понятий: «дух капитализма», «призвание», «предопределение к спасению», «избранничество», «мирская аскеза», «трудовая этика». Нам нет необходимости раскрывать содержание этих понятий. Достаточно лишь заметить, что каждое из них достаточно точно определено и может быть идентифицировано как в текстах, так и в поведении. Работа Вебера, однако, заключается не только в их определении, но и преимущественно в том, что он устанавливает логическую связь этих понятий и показывает, как разработанная в реформатской теологии доктрина предопределения рождает особую установку сознания, определяемую как «дух капитализма». Можно сказать, что в работе установлена определенная причинная зависимость: признание доктрины предопределения приводит к появлению «духа капитализма» и самого капиталистического производства. Результат, однако, не сводится к установлению этой зависимости. Нам представлен особый тип человека, который, будучи инспирирован мыслью о своем избранничестве (предопределении к спасению), развивает специфическую экономическую активность, рационально организованную и максимально эффективную. Важно, что связь введенных понятий существует не только в работе исследователя. Подразумевается, что она присутствует в сознании описываемого человека. Понятно, что это не конкретный человек, а «идеальный тип», т.е. идеальная конструкция. Исключительно важно, что для создания этой конструкции требуется одно существенное допущение: предполагается, что человек, о котором идет речь, ясно сознает свои цели и рационально подбирает средства для их достижения. Если речь идет об экономически активном протестанте, то его цель определена доктриной предопределения и избрания к спасению. Ему нужно — и это жизненно важный вопрос — удостовериться в своей избранности, т.е. в своем грядущем спасении. Единственная возможность для такого удостоверения — обнаружить в себе способность вести благочестивую жизнь, достой-

ную избранного, т.е. жизнь, наполненную строгой мирской аскезой, воздержанием, рационально организованным трудом. Отсюда и все добродетели, необходимые для организации капиталистического производства или для упорного и производительного труда.

Для нас здесь важно, что логическая связь понятий достигается Вебером благодаря использованию общей схемы — схемы целе-рационального действия. Ее мы, собственно, только что описали. Именно она и позволила произвести упомянутую нами дедукцию понятия «дух капитализма». Поэтому концепция Вебера не основана на идее причинно-следственной зависимости, объяснение явлений достигается вовсе не указанием на причины. Существенным элементом этой концепции является телеологическая установка, которая позволяет увидеть целостность, во многом подобную тем, которые были представлены в предыдущих сюжетах. В рассмотренном случае речь должна идти даже о нескольких целостно-стях. Во-первых, есть целостная концепция, возникшая благодаря связи понятий. Я имею в виду не концепцию Вебера, а этическую концепцию, определяющую деятельность рационального индивида. Во-вторых, целостным является сам этот индивид, сформированный названной этической установкой и подчиняющий всю свою жизнь определенной задаче. Наконец, благодаря деятельности таких индивидов возникает целостное сообщество, в котором формируются капиталистические отношения. Все эти целостности подобны организму, по крайней мере, в одном существенном аспекте: части в них подчинены целому. Само существование жизненных практик и этических норм, определяемых понятиями «мирская аскеза» и «дух капитализма», определено идеей призвания. Немаловажно и то, что формирование такого целого, как органического единства частей, требует усилия мыслящего существа, способного ставить цели. В данном случае это уже не Божественный Ум, а рационально действующий индивид.

Зададим теперь вопрос: можно ли построить математическую модель целе-рационального действия? Такая попытка в принципе может быть осуществлена в рамках теории управлении, развитой во второй половине ХХ в. Для этого нужно сформулировать цель так, чтобы ее достижение означало минимизацию (или максимизацию) некоторого функционала (целевой функции), а деятельность индивида представить как стратегию управления, т.е. как функцию, доставляющую минимум (максимум) этому функционалу. Чтобы понять, как это можно сделать, представим себе человека, стоящего под душем. Поворачивая ручки кранов, он пытается сделать температуру воды максимально комфортной. При этом он, естественно, ориентируется на свои ощущения, добавляя или убавляя горячую или холодную воду в зависимости от температуры воды 88

в душе. Эту нехитрую ситуацию вполне можно описать в терминах целее-рационального действия: зная свою цель, индивид осознанно находит наиболее адекватные средства для ее достижения. С другой стороны, эту же ситуацию можно описать как систему с обратной связью, формирующую управляющее воздействие, чтобы минимизировать целевую функцию. Управляющим воздействием будет поворот крана, а целевой функцией — отклонение температуры воды от требуемого значения. Однако, представив дело таким образом, мы можем забыть о рационально действующем индивиде. На его место можно поставить датчик температуры с регулятором напора воды. Для формального описания такой системы нам не нужно знать, что происходит в каждом ее звене. Нам достаточно лишь определить, как это звено преобразует входной сигнал. В теории автоматического регулирования это означает задать передаточную функцию звена. У человека, кожей ощущающего температуру воды и рукой крутящего ручку крана, передаточная функция может быть точно такой же, как у регулятора с встроенной термопарой5.

Описанная система с обратной связью есть целостность иного рода, чем рационально действующий индивид, осуществляющий социальные практики. Во-первых, система собрана из автономных звеньев, и функционирование системы полностью определяется характеристиками этих звеньев. Иными словами, целое никак не определяет части, а, напротив, определяется ими. Во-вторых, мы, как и в предыдущем сюжете, совершенно не интересуемся сущностью или внутренней формой частей. В кибернетике для таких, лишенных собственной природы объектов придуман отличный термин: «черный ящик». Я думаю, что он вполне аналогичен движущейся частице в классической механике. Оба объекта, функционируя в рамках некоторого целого, лишь меняют измеримые характеристики, не затрагивающие их сущность. Сущность объекта безразлична к целому, а потому не важна для исследования. Ее как будто бы нет.

Заключение

В каждом из трех рассмотренных сюжетов прослеживается одна и та же мысль: математическая теория создается при определенных онтологических допущениях, определяющих прежде всего отношения целого и частей. В каждом из сюжетов мы уже описали характер этих отношений, а потому вряд ли стоит повторяться. Заметим лишь, что пифагорейская единица, механическая частица,

5 Этот пример привел мне мой отец Борис Герцевич ГГутнер, объясняя основы теории автоматического регулирования.

черный ящик — это все предметности, не имеющие сущности. Верно ли, что математическое описание возникает только там, где не затрагивается сущность частей, составляющих целое? Три примера из истории науки, конечно, еще не доказывают этот тезис. С другой стороны, сама математика создает целостности подобного рода. Если математическое описание реальности представляет собой некий изоморфизм между математической структурой и исходной (нематематической) концептуализацией, как это было представлено в начале статьи, то предъявленный тезис выглядит правомерным. Впрочем, он может быть оправдан и иным способом. Не исключено, что никаких исходных концептуализаций вовсе нет, а описание реальности сразу представляет собой математическую теорию. Иными словами, исследователь видит в мире именно математические объекты (прямые, точки, числа, функции и их производные и т.п.), не прибегая к изначальному качественному моделированию. В таком случае мы можем считать, что представленный здесь тип отношения целого и частей выражает собственно математическую онтологию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Вебер М. Протестантская этика и дух капитализма // Вебер М. Избр. произв. М., 1990.

Кант И. Критика способности суждения. М., 1994.

Койре А. Галилей и Платон // Койре А. Очерки истории философской мысли: о влиянии философских концепций на развитие научных теорий. М., 1985.

Никомах из Герасы. Введение в арифметику // £ХОЛН. Философское антиковедение и классическая традиция. 2009. Т. 3. Вып. 1.

Перминов В.Я. Математика и реальность: гносеологические проблемы математизации знания // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 7. Философия. 2014. № 1.

Риккерт Г. Границы естественно-научного образования понятий: Логическое введение в исторические науки. СПб., 1997.

Щетников А.И. Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита // £ХОЛН. Философское антиковедение и классическая традиция. 2012. Т. 6. Вып. 1.