ТИПИЗАЦИЯ НЕПРАВИЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАЗБИЕНИЙ

УДК 167.3 + 168.2 DOI: 10.19110/2221-1381-2018-8-46-50

ТИПИЗАЦИЯ НЕПРАВИЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАЗБИЕНИЙ

Ю. Л. Войтеховский

Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург Геологический институт ФИЦ КНЦ РАН, Апатиты woyt@geoksc. apatity. ru

В статье предложен способ типизации неправильных пространственных разбиений, использующий равновесия Харди — Вайнберга, а также алгебраические квадратичные и кубические формы. Предложенный подход затрагивает проблемы целого ряда естественных наук, но более всего перспективен в петрографии для классификации структур горных пород. К одному классу предложено относить структуры, обладающие индикатрисой того же топологического типа.

Ключевые слова: неправильные пространственные разбиения, равновесие Харди — Вайнберга, алгебраические квадратичные и кубические формы.

TYPIZATION OF IRREGULAR SPATIAL TILINGS

Yu. L. Voytekhovsky

Saint-Petersburg Mining University, Saint-Petersburg Geological Institute of KSC RAS, Apatity

A method of typization of irregular spatial tilings that uses the Hardy — Weinberg equilibria, as well as algebraic quadratic and cubic forms is suggested in the article. The proposed approach affects the problems of many natural sciences, but seems to be more effective in petrography to classify the rock textures. The textures are suggested to belong to the same class if they have the indicatrices of the same topological type.

Keywords: irregular spatial tilings, Hardy — Weinberg equilibrium, algebraical quadratic and cubic forms.

Введение

Размещения разнотипных случайных точек в 2D, 3D и многомерных пространствах с точки зрения «тяготения или отталкивания» имеют отношение к целому ряду дисциплин и требуют для анализа синтетического метода. Так, для проверки «тяготения» точек двух типов (б и ч) в работе Ю. А. Ткачева [15] использован частотный анализ «сочетаний типов ближайших точек». Компьютерным моделированием установлено, что границей «тяготения» и «отталкивания» является соотношение сочетаний (бб, чч, бч), отвечающее независимым случайным распределениям точек разных типов. Оба аспекта — метод ближайших точек и проблема равновесия противоположных тенденций — вызывают ассоциации из разных дисциплин, которые рассматриваются и обобщаются в этой статье. Логика рассуждения следующая. Вначале от точек совершается переход к разбиению пространства по Вороному — Дирихле и вслед за этим к более широкому классу разбиений, сохраняющих те же контакты полигонов (полиэдров, политопов — здесь и далее). Затем обсуждается задача определения границ между тенденциями «тяготения» и «отталкивания» разнотипных полигонов. В разных терминах она имеет место в химии, популяционной биологии, генетике и лучше всего разрешается в виде бинарных равновесий Харди — Вайнберга. Применительно к типизации петрографических структур (это основной акцент статьи) они обобщены на тернарные и куотернарные контакты минеральных зёрен. По сути, равновесия Харди — Вайнберга (и их обобщения) задают классифика-

ционные границы между разбиениями, отличающиеся от «равновесных». Возникает задача их типизации, решаемая с помощью алгебраических квадратичных и отчасти кубических форм. К одному типу отнесены разбиения, обладающие топологически эквивалентными структурными индикатрисами.

Разбиения

Метод «ближайших точек» наводит на мысль о разбиении пространства по Вороному — Дирихле, которое порождается любой точечной (г, R)-системой Делоне [2, с. 60—62, 158—160; 6, с. 40—49]. На рис. 1 разбиение показано на примере простейшей К-модели (модели Колмогорова) кристаллизации горной породы с постоянными скоростями роста кристаллов, обусловившими прямолинейность межзерновых границ [1]. Применительно к нашим задачам процедура преобразует анализ «ближайших точек» в анализ «ближайших окружений» полигонов. Фундаментальное свойство разбиений Вороного — Дирихле хорошо известно: все точки полигона располагаются ближе к порождающей его точке, чем к любой другой такой точке. Реже отмечается, что при случайном расположении точек соответствующие им полигоны (в 2D) контактируют по 3, полиэдры (в 3D) — по 4 в одной точке. Геометрическая вероятность иного исхода равна нулю [7]. Уже в 2D это позволяет получить интересный результат.

Границы полигонов Вороного — Дирихле образуют граф. Пусть N,3 — число его вершин (точек схождения по-

лигонов), N — рёбер (границ полигонов), N — самих полигонов. Средняя координация полигона равна так как каждое ребро принадлежит двум полигонам. По теореме Эйлера:

N0 - N + N2 = 2.

Но 3^ = 2^, так как из каждой вершины выходят три ребра, а каждое из них принадлежит двум полигонам. Из совместного рассмотрения соотношений получаем:

2^ / N = 6 (1 - 2 / N2) ^ 6 при N ^ да.

Как инвариант полигонального разбиения среди природных объектов лишь в пчелиных сотах 6 достигается строгим построением, все клетки — гексагоны, разбиение правильное. В иных весьма разнообразных неправильных разбиениях (рис. 2, «точками» являются центры кристаллизации, контракции и т. д.) 6 достигается в среднем в результате компенсации более высоких и низких координа-ций, с теми или иными моментами статистического распределения. Они могут быть рассчитаны и, по-видимому, содержат информацию о генезисе полигональной (полиэдрической) структуры. Несколько более сложное рассуждение можно провести и для 3D-разбиений [17, 19].

Таким образом, имеет смысл характеризовать и сравнивать пространственные распределения точек

Равновесия

Задача определения границ между тенденциями «тяготения» и «отталкивания» в разных формах возникала в естественных науках как частный случай проблемы классификации [12, 13]. Удивительным образом, несмотря на специфику, во всех частных решениях прослеживается сходная логика — анализ взаимодействий (контактов, столкновений, встреч...) агентов.

Химия. При динамическом равновесии обратимой химической реакции тА + пВ = рС + qD скорости прямой и обратной реакций равны:

к1 [А]т [В]п = к2 [С]р ,

где к1 и к2 — константы прямой и обратной реакций [8]. Для нашего рассмотрения важно, что равновесие определяется через произведения концентраций реагирующих веществ. Чем они выше, тем чаще столкновения молекул в каждой единице объёма.

Биология. Модель эволюции популяций типа «хищник — жертва» имеет вид:

dx / dt = а х — р х у , dy / dt = — у у + 8 х у ,

где х и у — число травоядных и плотоядных; а, р, у, 8 > 0 — параметры модели [5, 16, 18]. Уравнения прироста травоядных (при отсутствии хищников) и убыли плотоядных

Рис. 1. (г, R)-CHCTeMa Делоне и соответствующее разбиение Вороного — Дирихле

Fig. 1. The Delaunay (г, R)-system and related Voronoy — Dirichlet

tiling

Рис. 2. Полигональные разбиения поверхностей в природе: пчелиные соты, снежник

Fig. 2. Polygonal tilings of the surfaces in the nature: honeycomb, snowfield (authors photo), takyr, salt marsh, petrographic thin section, basaltic parting, modern and fossil corals. I-net, unless otherwise specified

(при отсутствии жертв) связаны через произведение х • у, пропорциональное числу встреч, влекущих убыль жертв и прирост хищников в ареале обитания.

Генетика. Английский математик Дж. Х. Харди и немецкий врач В. Вайнберг независимо получили формулу, описывающую равновесие генотипов в потомстве [9, с. 362—368; 10, с. 126—128]. Если р и q — частоты (вероятности) конкурирующих генов А и В (в условной записи рА + qB = 1), то равновесные частоты генотипов АА, АВ (то же, что ВА) и ВВ среди потомков могут быть рассчитаны по формуле:

(рА + qB)2 = р2 АА + 2pq АВ + q2 ВВ = 1.

Отклонения от равновесных частот указывают на генетический дрейф — результат естественного или искусственного отбора. В самом общем смысле формула Харди — Вайнберга характеризует идеальное перемешивание двух сочетаемых (сталкивающихся, конкурирующих, контактирующих...) разнородных сущностей, что роднит приведенные примеры. Она обобщается по числу слагаемых:

(Р1А1 + ... + РПАП)2 = Е р- АА,- = 1, где 1, - = 1, ..., п.

Типизация

Анализ противоположных тенденций с точки зрения равновесий Харди — Вайнберга содержит любопытный методологический нюанс. Представим, что статистический критерий (например, %2) показал на требуемом уровне значимости согласие эмпирических и теоретических вероятностей р- (руЬ РуИ). (Автором получено такое согласие для бинарных и тернарных межзерновых контактов в нескольких шлифах двуполевошпатовых среднезернистых гранитов.) Естественное стремление исследователя — интерпретировать установленное равновесие в категориях термодинамики или естественного отбора в зависимости от специфики системы. Но в самой ситуации не всё так просто. Ведь для природных систем равновесие Харди — Вайнберга представляет классификационную границу, на которую попасть невозможно. Всякое состояние системы находится по ту или иную сторону от неё, в том или ином классе неравновесных состояний. Применительно к пространственным разбиениям эвристичное решение проблемы дают алгебраические квадратичные и кубические формы.

Квадратичные формы. Формула Харди — Вайнберга, обобщённая на произвольное число слагаемых, допускает двоякое рассмотрение. С одной стороны,

(р1А1 + ... + рпАп)2 = 1, что равносильно р1А1 + ... + рпАп = ± 1.

Формально в фазовом пространстве (А1, ..., Ап) равновесие Харди — Вайнберга выражается парой параллельных прямых (п = 2), плоскостей (п = 3) или гиперплоскостей (п > 3). С другой стороны, небольшое варьирование коэффициентов р1 приводит к уравнению:

Е- р- А1А,- = 1,

где квадратичные формы уже не являются полными квадратами, но определяют структурные индикатрисы — поверхности центрального типа, так как точки (А1, А-) и (—А1, —А-) принадлежат им одновременно. Это эллипсы и гиперболы (эллипсоиды и гиперболоиды), легко распознаваемые приведением квадратичной формы к каноническому диагональному виду. Теория опубликована нами ранее [3, 4] и применима для типизации бинарных отно-

шений в разбиениях пространства на разнотипные полигоны. (Заметим, что среди индикатрис возможны лишь те, которые обладают ненулевым детерминантом. Поэтому невозможны цилиндры, хотя они и являются центральными поверхностями второго порядка.) Для горных пород структурные индикатрисы столь же информативны, сколь и оптические индикатрисы, характеризующие совокупный эффект взаимодействия света с кристаллом.

Для п = 2 поле вероятностей генотипов А1А1 (р11 = р12), А1А2 (2р12 = 2р1р2) и А2А2 (р22 = р22) удобно показать на барицентрической диаграмме (рис. 3, для удобства разнесена на три уровня), так как их сумма равна 1. Здесь равновесие Харди — Вайнберга — линия S23. Разделяемые ею области по конфигурации напоминают поля составов различных минеральных серий. И это позволяет усомниться в правильности прямолинейных границ между минеральными видами согласно «правилу 50 %». Здесь же можно показать эффект «непрерывного перехода» между структурными типами горных пород. Из одного класса в другой в поле диаграммы можно пройти по непрерывному пути 1—5. Но это не противоречит радикальной перестройке структуры в точке 3, отмечаемой изменением типа индикатрисы (эллипс в точках 1 и 2, гипербола в точках 4 и 5).

Рис. 3. Барицентрическая диаграмма (ри, 2р12, р22) Для n = 2 Fig. 3. Barycentric diagram (р11, 2р12, р22) for n = 2

Кубические формы. Формула Харди — Вайнберга обобщается по степеням на тернарные:

(Р1А1 + ... + рпАп)3 = Е р, А—к = 1, где 1, , к = 1, ..., п

и куотернарные отношения:

(р1А1 + ... + рпАп)4 = Е , АААЛ = 1, где 1, , к, 1 = 1, ..., п.

По-видимому, в генетике эти обобщения смысла не имеют. Иное дело — в петрографии. О технической труд-

ности анализа куотернарных межзерновых контактов говорилось выше. Но анализ тернарных контактов в п-мине-ральных горных породах вполне может быть выполнен в шлифах, например, ради ответа на вопрос, отвечают ли массивные текстуры равновесию Харди — Вайнберга. При кажущейся очевидности ответа с этой точки зрения они ранее не изучались. В принципе, изучение петрографических структур следует выполнять в 3D. Анализ в 2D оправдывается лишь тем, что их классификация и номенклатура сформировались также по наблюдениям в 2D.

Для типизации тернарных отношений в разбиениях пространства на разнотипные полигоны можно использовать кубические формы, относя разбиения с топологически эквивалентными структурными индикатрисами к одному типу. Проблема состоит в том, что фундаментальная алгебраическая теория весьма сложна [11]. Для наших целей она может быть адаптирована при п = 2, то есть представлена в кубических кривых на плоскости благодаря их ньютоновой классификации [14]. Их разнообразие намного больше, чем для квадратичных кривых (рис. 4, из квадратичных кривых на плоскости в качестве индикатрис допустимы лишь эллипс и гипербола). Но остаётся вопрос, какие из них отвечают реальным системам, например статистикам тройных контактов зёрен в биминераль-ных горных породах. Повышение размерности пространства до п = 3, то есть изучение разнообразия кубических поверхностей, отвечающих статистикам тройных контактов зёрен в триминеральных горных породах, можно ожидать от методов компьютерной графики.

Заключение

Таким образом, проблема описания размещений разнотипных случайных точек в 2D, 3D и многомерных пространствах с точки зрения их «тяготения или отталкивания» есть во многих естественных науках. Она легко трансформируется в проблему описания соответствующих неправильных разбиений пространства, сохраняющих особенности разбиений по Вороному — Дирихле. (Так, в 3D два полиэдра граничат по поверхности, три — по ребру, четыре — в точке. Таково строение горных пород, металлов и сплавов.) Равновесия Харди — Вайнберга, обобщённые на тернарные и куотернарные межзерновые отношения, представляют собой классификационные границы в многообразии статистически неравновесных петрографических структур. Последние предложено типизировать по структурным индикатрисам — соответствующим поверхностям 2-го и 3-го порядков. К одному классу предложено относить структуры, обладающие индикатрисами одного топологического типа. Наличие теории алгебраических форм 3-го порядка лишь для двух переменных (ньютонова классификация плоских кривых) вынуждает ограничиться здесь лишь описанием биминеральных петрографических структур. В целом междисциплинарный подход к решению проблем представляется весьма продуктивным.

Автор благодарит рецензента, профессиональные замечания которого весьма способствовали улучшению статьи.

Литература

1. Беленький В. 3. Геометрико-вероятностные модели кристаллизации. Феноменологический подход. М.: Наука, 1980. 88 с.

Рис. 4. Некоторые из плоских кубических кривых Fig. 4. Some of the flat cubic curves

2. Вайнштейн Б. К. Современная кристаллография. Т. 1. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии. М.: Наука, 1979. 384 с.

3. Войтеховский Ю. Л. Приложение теории квадратичных форм к проблеме классификации структур полиминеральных горных пород // Известия вузов. Геология и разведка. 1995. № 1. С. 32—42.

4. Войтеховский Ю. Л. Количественный анализ петрографических структур: метод структурной индикатрисы и метод вычитания акцессориев // Известия вузов. Геология и разведка. 2000. № 1. С. 50—54.

5. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

6. Галиулин Р. В. Кристаллографическая геометрия. М.: Наука, 1984. 136 с.

7. Кендалл М, Моран П. Геометрические вероятности. М.: Наука, 1972. 192 с.

8. Кнорре Д. Г., Эмануэль Н. М. Курс химической кинетики. М.: Высшая школа, 1984. 463 с.

9. Коренева Л. Г. Генетика и математика // Математика и естествознание. М.: Просвещение, 1969. С. 326— 383.

10. Лайтхилл Дж, Хиорнс Р. У., Холлингдейл С. X. и др. Новые области применения математики. Минск: Вышэй-шая школа, 1981. 496 с.

11. Манин Ю. И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика. М.: Наука, 1972. 304 с.

12. Мирошников Ю. И., Покровский М. П. (ред.) Новые идеи в научной классификации. Екатеринбург: УрО РАН, 2010. 632 с.

13. Покровский М. П. Введение в классиологию. Екатеринбург: УрО РАН, 2014. 484 с.

14. Савелов А. А. Классификация Ньютона // Плоские кривые: систематика, свойства, применения. Москва — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. C. 44—53.

15. Ткачёв Ю. А. Случайность и пространственная кор-релированность разнотипных геологических объектов в пространстве. Метод сочетаний типов ближайших точек // Вестник ИГ Коми НЦ УрО РАН. 2014. № 5. С. 19—22.

16. Lotka A. J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams & Wilkins, 1925. 460 p.

17. Meiering J. L. Interface area, edge length and number of vertices in crystal aggregates with random nucleation / / Philips Res. Rep. 1953. No. 8. P. 270—290.

18. Volterra V. Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically // Nature. 1926. V. 188. P. 558—560.

19. Watson D. F. The number of edges per face in a large aggregate of space-filling, random-sized, randomly arranged polyhedra // Math. Geol. 1975. V. 7. No. 4. P. 349—354.

References

1. Belenkiy V. Z. Geometriko-veroyatnostnye modeli kristallizatsii. Fenomenologichesky podhod (Geometric-probabilistic models of crystallization. Phenomenological approach). Moscow: Nauka, 1980. 88 pp.

2. Vainshtein B. K. Sovremennaya kristallografiya. Т. 1. Simmetriya kristallov. Metody strukturnoy kristallografii (Modern crystallography. V. 1. Symmetry of crystals. Methods of structural crystallography). Moscow: Nauka, 1979, 384 pp.

3. Voytekhovsky Yu. L. Prilozheniye teorii kvadratichnyh form kprobleme klassifikatsiistruktur polimineralnyh gornyhporod (Application of the quadratic form theory to the problem of classification of the polymineral rock structures). Izvestiya vuzov. Geologiya i razvedka. 1995, No. 1, pp. 32—42.

4. Voytekhovsky Yu. L. Kolichestvenny analiz petrographicheskih struktur: metody «strukturnoy indikatrisy» i «vychitaniya akzessoriyev» (Quantitative analysis of petrographic structures: «structural indicatrix» and «subtraction of accessories» methods). Izvestiya vuzov. Geologiya i razvedka. 2000, No. 1, pp. 50—54.

5. Volterra V. Matematicheskaya teoriya borby za suschestvovaniye (Mathematical theory of struggle for existence). Moscow: Nauka, 1976. 286 pp.

6. Galiulin R. V. Kristallographicheskaya geometriya (Crystallographic geometry). Moscow: Nauka, 1984, 136 pp.

7. Kendall M., Moran P. Geometricheskiye veroyatnosti (Geometric probabilities). Moscow: Nauka, 1972, 192 pp.

8. Knorre D. G., Emanuel N. M. Kurs khimicheskoy kinetiki (Lecture course of chemical kinetics). Moscow: Vyshaya shkola, 1984, 463 pp.

9. Koreneva L. G. Genetika i matematika. Matematika i estestvoznaniye (Genetics and mathematics. Mathematics and natural sciences). Moscow: Prosvescheniye, 1969, pp. 326—383.

10. Lighthill J., Hiorns R. W., Hollingdale S. H. etal. Novye oblasti primeneniya matematiki (Newer uses of mathematics). Minsk: Vysheishaya shkola, 1981, 496 pp.

11. Manin Yu. I. Kubicheskiye formy: algebra, geometriya, arifmetika (Cubic forms: algebra, geometry, arithmetic). Moscow: Nauka, 1972, 304 pp.

12. Miroshnikov Yu. I., Pokrovsky M. P. (Eds.) Novye idei v nauchnoy klassifikatsii (New ideas in scientific classification). Ekaterinburg: Ural division of RAS, 2010. 632 pp.

13. Pokrovsky M. P. Vvedeniye v klassiologiyu (Introduction to classiology). Ekaterinburg: Ural division of RAS, 2014. 484 pp.

14. Savelov A. A. Klassifikatsiya Nyutona. Ploskiye krivye: sistematika, svoystva, primeneniya (Newtons classification. Flat curves: systematics, properties, applications). Moscow — Izhevsk: NIC «Regular and chaotic dynamics», 2002, pp. 44—53.

15. Tkachev Yu. A. Sluchaynost i prostranstvennaya korrelirovannost raznotipnyh geologicheskih obyektov v prostranstve. Chast 1. Metod sochetaniy tipov blizhayshih tochek (Randomness and spatial correlation of diverse geological objects. Part 1. Method of the nearest point type combination). Vestnik IG Komi SC UD RAS, 2014, No. 5, pp. 19—22.

16. Lotka A. J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams & Wilkins, 1925, 460 pp.

17. Meiering J. L. Interface area, edge length and number of vertices in crystal aggregates with random nucleation. Philips Res. Rep., 1953, No. 8, pp. 270—290.

18. Volterra V. Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically. Nature, 1926, V. 188, Pp. 558—560.

19. Watson D. F. The number of edges per face in a large aggregate of space-filling, random-sized, randomly arranged polyhedra. Math. Geol., 1975, V. 7, No. 4, pp. 349—354.