Одномерные хаотические модели: с чего начать изучение

№6(12) 2007

Ю.А. Никандрова

Одномерные хаотические модели: с чего начать изучение?

В статье проводится комплексный аналитический обзор наиболее значимых исследований по проблемам хаоса, которые позволяют раскрыть смысл, суть основополагающих понятий, связанных с построением и исследованием одномерных хаотических моделей: одномерные дискретные отображения, неподвижные точки данных отображений, оператор и уравнение Фробениуса-Перрона, модификация оператора Фробениуса-Перрона, количественные меры хаоса (показатель Ляпунова, инвариантная плотность, автокорреляционная функция), понятие «топологическая сопряженность».

Актуальность изучения хаотических моделей в настоящее время определяется несколькими главными факторами: постоянно существует потребность в построении новых моделей, диктуемая прикладными задачами, что зачастую требует усовершенствования существующих методов исследования и разработки новых; свойства далеко не всех известных хаотических моделей исследованы в полной мере. Для ряда хаотических моделей существуют лишь приблизительные оценки, например, для широко известного отображения Гаусса1

хл+1 = — тос11 хл

численно найдены лишь несколько собственных чисел и одна собственная функция эволюционного оператора. Точного решения задачи нахождения собственных чисел и собственных функций эволюционного оператора отображения Гаусса на данный момент нет.

Проблема исследования хаотических моделей и их свойств обусловлена, в част-

ности, тем, что для подобных моделей не применимо траекторное описание, следовательно, возникает необходимость перехода к иному способу описания — к вероятностному. Строится эволюционный оператор, описывающий трансформацию плотностей вероятности во времени, решается спектральная задача — задача нахождения его собственных функций и собственных чисел. Полученные результаты используются для изучения других характеристик рассматриваемой модели (например, автокорреляционной функции). Заметим, что каждая из упомянутых выше задач не является тривиальной.

Думается, что исследование хаотических моделей могло бы пойти быстрее и успешней, если бы студенты уже на фазе усвоения и осмысления полученных результатов яснее представляли себе, что уже сделано в науке и что предстоит сделать, владели терминологическим и понятийным аппаратом, свободно оперировали им в своих работах.

Попытка осветить некоторые из названных выше моментов и предпринята в данной

1 Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) — выдающийся немецкий ученый, внесший огромный вклад в развитие математики, астрономии, физики. Отображение, названное впоследствии в его честь, было получено Гауссом путем применения алгоритма Евклида к разложению случайного числах0, имеющего равномерное распределение, в непрерывную дробь. Гаусс исследовал скорость установления инвариантного распределения.

102

Нв6(12) 2007

статье. Здесь дается комплексный аналитический обзор наиболее значимых исследований по проблемам хаоса. Прежде всего, важно истолковать, что такое хаос, как определить, демонстрирует ли модель хаотическое поведение, выделить критерии сравнения хаотических режимов, количественные характеристики хаотического поведения, а затем познакомиться с существующими методами исследования одномерных хаотических моделей.

Что же такое хаос? Когда модель можно назвать хаотической? Попробуем разобраться.

Существует несколько различных определений хаоса, но, как правило, под хаотичностью, хаосом обычно понимается некоторое свойство детерминированных динамических систем, в частности систем итерированных отображений, отличительной чертой которых является существенная зависимость от начальных условий. Рассмотрим определение хаоса, данное Робертом Девани [16]. Оно включает в себя три составные части: условие существенной зависимости (чувствительности) от начальных условий, условие перемешивания (транзитивности), условие регулярности (плотности периодических точек). Приведем данное определение согласно [16].

Определение. Рассмотрим метрическое пространство (X, б). Отображение (:X ^X называется хаотическим, если выполняются условия:

1. f обладает существенной зависимостью от начальных условий2.

2. fтранзитивно.

3. Периодические точки f плотны в X.

Определение. Отображение f называется транзитивным, если для любой пары открытых множеств и, V 3 п > 0 такое, что f(п)(и) п VФ0 [14, 15].

Определение. Точка xn отображения § f называется периодической точкой перио- а

I =с

да k, если выполняется равенствоxn+k = xn. g

Плотность периодических точек означа- 3 ет, что в любой окрестности любой точки в X существует, по крайней мере, одна периодическая точка (и, следовательно, бесконечно много периодических точек).

Некоторые ученые [7, 13, 16] считают, что данное выше определение хаотичности является определением строгого хаоса. Наиболее часто используется определение простого хаоса: отображение называется хаотическим, если есть существенная зависимость от начальных условий.

Прежде чем говорить о свойствах одномерных хаотических моделей, определим сам объект исследования. В нашем случае это простейшие одномерные модели, заданные разностными уравнениями:

Xпл-1 =ф

где п = 0,1,2,... — номер приближения, или

дискретное время;

x0 — начальное значение, или начальное приближение;

9(xn, p) — кусочно-монотонная функция;

p еШ— параметр.

Все приближения определены на некотором множестве, например, на отрезке xn е[а, b].

Каждое последующее действие функции ф на начальное значение называют итерацией (лат. iteratio — повторение, iter — путь, движение), саму функцию — итеративной функцией, а соотношение (1) — итеративным соотношением. Номер итерации определяется порядковым номером приближения, т.е. номером действия итеративной функции на начальное значение, например, k-я итерация xk представляет собой действие функции ф на xk— k-1-ю итерацию по определению (1), иными словами, k-я итерация xk представляет собой

Подробнее о существенной зависимости от начальных условий см. ниже.

103

№6(12) 2007

результат k-кратной суперпозиции — действия функции ф на x0, повторенное k раз:

(k-1)раз (k-1)раз

Обратим внимание, что понятия «k-я итерация» и «k-я степень» функции не являются синонимами.

Поскольку под действием итеративной функции область определения (например, отрезок [a, b]) переходит в себя, и при этом сохраняются алгебраические операции и отношения, определенные на этом множестве, дискретное отображение (1) называется эндоморфизмом. Отсюда простое определение. Эндоморфизм (греч. endo — внутри и morphe — вид, форма) — отображение множества в себя, сохраняющее алгебраические операции и отношения, которые определены на этом множестве.

Если под действием итеративной функции р k-я итерация xk переходит в себя p(xk) = xk+1 = xk, то говорят, что xk = x* — неподвижная (или инвариантная) точка отображения (1). Неподвижные точки делят на устойчивые (притягивающие) и неустойчи-^ вые (отталкивающие) (см., например, [15, | 16,17]). Если производная в точке x* суще-S ствует, то критериями устойчивости служат g неравенства (3) и (4).

¡2 §

g Определение. Устойчивыми неподвиж-¡2 ными точками называются точки, удовле-^ творяющие неравенству:

§

su неустойчивыми неподвижными точками на-

«S зываются точки, удовлетворяющие следую-

g щему неравенству:

о

«а ф'

и

jff если |p'(x*)| = 1, то о характере неподвижной § точки нельзя сказать ничего определенно-о го: она может быть притягивающей, отталкивающей или нейтральной.

104

Все эти определения помогают разобраться в многообразии моделей, выделить среди них одномерные модели, демонстрирующие хаотическое поведение. Заметим, что, в случае некоторого определенного вида функции ф, одномерные модели, заданные соотношением (1) могут не обладать хаотическими свойствами, например, если итеративная функция ф является линейной или обратимой (монотонная зависимость от х), модели не демонстрируют хаотического поведения. Доказательство данного утверждения можно найти в книге А. Лихтенбер-га и М. Либермана [17]. Одномерные модели, не демонстрирующие хаотического поведения, для нас неинтересны, и рассматриваться далее не будут. Важно отметить, что необратимая итеративная функция ф может трактоваться как качественный признак (не является достаточным условием!) хаотического поведения модели (1). Итак, мы нашли ответ на первый вопрос и выяснили, что понимают, когда говорят: «хаос», «хаотическое поведение», «хаотическая модель»; выяснили, как определить, демонстрирует ли модель хаотическое поведение.

Перейдем к рассмотрению следующих вопросов, как можно оценить степень хаотичности, как сравнить хаотические свойства моделей. Ответы на них уже пытались дать исследователи, определив ряд показателей, которые в литературе называют количественными мерами хаоса (см., например, [13]). Количественные меры хаоса позволяют выявить хаотическое поведение различных моделей, в том числе и одномерных, заданных соотношением (1), охарактеризовать и сравнить хаотические режимы. Каждый показатель отражает какой-то один аспект хаотического поведения рассматриваемых моделей. Рассмотрим, какже представлены основные показатели в литературе.

При исследовании хаотических моделей не применимо траекторное описание и, как упоминалось выше, в этом случае переходят к вероятностному описанию. Понима-

№6(12) 2007

ние общего алгоритма вероятностного описания необходимо для успешного исследования одномерных хаотических моделей, раскроем его суть.

Пусть дан ансамбль случайных начальных значений, заданных начальной плотностью распределения вероятности р0(х), с помощью которой описывают вероятность попадания начальных значений в тот или иной подынтервал области определения [а, Ь]. Будем следить за динамикой отображения (1) с данными начальными значениями. Плотность распределения вероятности будет преобразовываться во времени. Этот процесс может быть описан с помощью соответствующего оператора эволюции и:

р №1

где п = 0,1,2,... — дискретное время;

р0(х) — начальная плотность распределения вероятности (или, для краткости, начальная плотность распределения).

Если плотность распределения асимптотически стремится к некоторой величине р*(х), не изменяющейся при действии оператора эволюции, то эта величина называется инвариантной плотностью распределения вероятности, или, просто, инвариантной плотностью:

р*

В случае, когда независимо от начальной плотности распределения, плотность распределения в процессе эволюции стремится к инвариантной плотности, говорят, что проявляется свойство хаотического поведения модели — перемешивание. С этой точки зрения инвариантная плотность представляет особый интерес. Перемешивание может быть охарактеризовано скоростью сходимости к инвариантной плотности. Инвариантная плотность — это одна из количественных характеристик хаотического поведения, которой исследователи уделяют огромное внимание. В литературе встречаются и другие названия инвариантной плот-

ности: инвариантная мера, инвариантное распределение вероятности или инвариантное распределение плотности вероятности [3, 17, 21].

Вернемся к определению хаоса, данное Робертом Девани, и приведенное выше. Первым условием сформулировано требование о существенной зависимости от начальных условий. Именно существенная зависимость от начальных условий является критерием непредсказуемости в теории хаотических моделей. Это основополагающая черта проявления хаотического поведения моделей, суть которой заключается в экспоненциальном разбегании во времени близких траекторий: две траектории, выходящие из Б-близких начальных значений не остаются 5(Б)-близкими при всех последующих п > п0, а, наоборот, довольно быстро (экспоненциально) «разбегаются» друг от друга. Чувствительность к начальным значениям характеризуется показателями Ляпунова — количественной мерой скорости экспоненциального разбегания траекторий. С этой точки зрения, показатель Ляпунова является важнейшей количественной характеристикой хаотического поведения моделей. Получим расчетную формулу для показателя Ляпунова согласно классическому выводу, представленному в [21].

Пусть даны два Б-близких начальных значения х0 и х0 +б, через N итераций согласно (1) получим ф(х0) и ф(х0 +б), тогда величина, на которую «разбегутся» траектории составит:

ф N (х0 + б) -ф N (хс

Л

Пусть X — показатель Ляпунова, тогда е^ показывает, во сколько раз увеличивается начальное расстояние б между начальными значениями после N итераций, следовательно, расстояние после N итераций между соответствующими значениями фN(х0) и фN (х0 +б) составит:

Бе^.

Поскольку (7) и (8) определяют одну и ту же величину, то мы можем составить со-

105

№>6(12) 2007

отношение, которое в пределе при б — 0 и N — да даст точную формулу для нахождения показателя Ляпунова:

Бе^=|ф N (х0 + б) -ф N (х0)|.

Из (9) выражаем X:

_ ф N (х0 + б) -ф N (хр ~ N Б

Переходим кпределам приб —0иn— да.

X = Нт Нт —1п

N—«1 б—>0 N

ф N (х0 + б) -ф " (х0

= Нт —1п бф^

N—« N бх0

Найдем

dфN (х 0 бх 0

, воспользовавшись фор-

бф1( х0 бх0

бх

ф1

бх

ф

:ф'(х)| х =ф'(х0

еч.

I £

¡2 £

и

I

о

I I

бф 2( ха) б 2 б . ,

^ 4 0/" -ф2

бх0

бх

бх

= ф'(ф( х0)) ф'( х0) = ф'( х )ф'( х0

^ = б ф3( х) = б ф(ф(ф(х))) =

бх0 бх х0 бх х,

= ф'(ф(ф(х0 )))ф'(ф(х0 ))ф'(х0) =

= ф'( х2)ф'( ^)ф'( х0),

бф(х0) = б „

бх0

бх

фN

-1(х0))ф'^-2(х0 )). . . ф'(х0) =

N-1

= ф'( х,Я-1 )ф'( х,Я - 2).. . ф'( х0 ) = П ф'( х, ):

тогда (10) примет вид:

X

= Нт —1п

N—0. N

Пф'( х

1

N-1

Нт — V 1п |ф'( х-,'

Соотношение (11) определяет показатель Ляпунова одномерной хаотической модели (1).

В случае если известна инвариантная плотность одномерной модели, то при вычислении показателя Ляпунова в формуле (11) можно заменить усреднение по времени на усреднение по х [17], тогда получим

Х=| 1п |ф'( £ )| р*( £) б£.

мулой для дифференцирования сложной функции.

Выражение (12) позволяет вычислить показатель Ляпунова одномерной модели (1), определенной на интервале (а, Ь) и имеющей инвариантную плотность р*(х).

В зависимости от значения показателя Ляпунова делают заключение о характере поведения модели: если Х< 0 — регулярное (X < 0 — расстояние между точками сокращается, существует предельный цикл; X = 0 — расстояние между точками сохраняется), X > 0 — хаотическое (расстояние между точками экспоненциально увеличивается).

Определение. Если итерационная функция обладает чувствительностью к начальным условиям х0, то говорят, что траектории (орбиты) х0,хх2,... рассматриваемой модели не обладают устойчивостью по Ляпунову (соответствующие показатели Ляпунова положительны).

При исследовании одномерных хаотических моделей следует обратить внимание на важную количественную характеристику эволюции случайных и хаотических процессов, которая широко применяется для анализа нелинейных явлений [2, 6, 11, 19, 20], на автокорреляционную функцию.

Автокорреляционная функция служит мерой корреляции (лат. воггеШ/о — соотно-

106

!=0

е

а

х 0

/=0

№6(12) 2007

шение, взаимозависимость) между двумя значениями процесса, разделенными во времени. В случае если модель демонстрирует хаотическое поведение, автокорреляционная функция быстро убывает (как правило, экспоненциально) или представляет собой 5-функцию3, в противном случае — она либо постоянна, либо осциллирует.

Определение. Автокорреляционной функцией одномерного хаотического отображения

х„+ = ф

с кусочно-линейной итеративной функцией ф(х), определенной на некотором интервале (а, Ь), будем называть функцию Ж(п) [6, 18], выраженную соотношением:

Ж п)

(хп - хп )(х0 - х0

( х0 - х0

учитывая, что средние значения хп равны для любых допустимых значений п, т.е. хп = х0 [18], получим формулу для автокорреляционной функции:

(хп - хп)(х0 _ х0) Ж( п) =- 2-«

( х0 - х0)2

О Ж( п) = хпх0 - х0( хп + х0 ) + (х0 ) ^

о П

х2 - 2(х0)2 + (х0)2

хпх0 - ( х0 )2

: х| -(х0)2 '

Заметим, что при нахождении математического ожидания и дисперсии х0, х2 не возникает никаких сложностей. Затруднения часто появляются при вычислениихпх0, из-за того, что п-я итерация задана функцией, зависящей в неявной форме от начального значения х 0.

Главная трудность, которую предстоит преодолеть при исследовании одномер-

ных хаотических моделей, обладающих, по определению, чувствительностью к начальным условиям, заключается в проблеме предсказания их поведения. В этом случае одномерная модель (1) демонстрирует квазислучайное поведение, что делает, в принципе, невозможным ее траекторное описание. В настоящее время существует единственный вариант решения проблемы: переход от траекторного описания к вероятностному, а именно, ввод плотности распределения вероятности, с помощью которой описывается вероятность попадания хп, п = 0,1,2,... в тот или иной подынтервал области определения [а, Ь]. Основным математическим аппаратом описания и исследования подобных хаотических моделей является операторный подход, суть которого заключается в построении эволюционного оператора, описывающего трансформацию плотностей вероятности во времени, решении спектральной задачи эволюционного оператора [4, 6-8, 10, 12, 20]. На основе полученных данных осуществляется дальнейшее исследование характеристик одномерных хаотических моделей. И это основной метод исследования хаотических моделей. В случае, когда в качестве моделей выступают одномерные хаотические отображения, эволюционным оператором является линейный несамосопряженный оператор4 Фробениуса-Перро-на и:

1

ирп

0

где р п (х) — плотность вероятности на п-м

шаге итераций (начальное значениех0);

5(х) — дельта-функция Дирака.

Определение. Уравнение, определяющее трансформацию плотностей вероятностей, называется нестационарным уравнением Фробениуса-Перрона:

со

II Л

55

; Дельта-функция (8-функция): 8п

11, п = т [0, п ф т

4 См. определение линейного несамосопряженного оператора, например в [15].

107

Не6(12) 2007

р л+1

еч.

I £

¡2 £

и

I

о

I I

в отличие от «стационарного» уравнения, которому удовлетворяет инвариантная плотность.

Определение. Неподвижная точка оператора Фробениуса-Перрона называется инвариантной плотностью модели (1).

В асимптотике при итерациях начальная плотность распределения стремится к инвариантной, и это соотносится с понятием установления равновесного состояния модели.

Определение. Собственными функциями оператора называют функции, которые под действием данного оператора сохраняются с точностью до постоянного коэффициента. Соответствующие постоянные коэффициенты называют собственными числами, или собственными значениями оператора.

Собственные функции и собственные числа оператора Фробениуса-Перрона (по определению) могут быть найдены из соотношения:

0у к

где к = 0,1,2,...;

ук(х) — к-я собственная функция;

Лк — соответствующее ей собственное

число.

Согласно (17) инвариантная плотность — нулевая собственная функция у0(х) оператора Фробениуса-Перрона с собственным числом Л0 = 1.

В некоторых случаях может быть полезным знание модифицированного оператора Фробениуса-Перрона, например, когда инвариантная плотность не является равномерной, переход к модифицированному оператору может значительно упростить аналитическое исследование модели [19]. Модифицированный оператор Фробениуса-Перрона 0 связан с «классическим»

соотношением (впервые, видимо, модифицированный оператор Фробениуса-Перро-на был введен в рассмотрение Мори и соавторами в [5]):

00

р*

где р*(х) — инвариантная плотность отображения (1);

й(х) — некоторая функция, определенная на некотором интервале.

Решение спектральной задачи для эволюционного оператора представляет собой трудоемкий процесс (см., например, исследование ф-отображения в [19]), не всегда приводящий к положительному результату: не во всех случаях удается найти аналитическое выражение для собственных функций и собственных чисел оператора (вспомним отображение Гаусса, о котором говорилось ранее). Но, важно отметить, что для нахождения автокорреляционной функции, может быть достаточным знание нескольких первых собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса-Перрона, через линейную комбинацию которых выражается х. В этом случае, удается получить в общем виде п-е действие оператора Фробениуса-Перрона на начальное значение х0, и вычисление хпх0, а, следовательно, и формула автокорреляционной функции (14) значительно упрощается:

_ ь 1

хпхо = 1 х — 0п(хр*( х)) р*( х )бх =

а р*

ь

= I х0(п) хбх = х00(п) х0

Иногда приходится сталкиваться с очень «похожими» отображениями, связанными обратимым нелинейным преобразованием. Например, с отображениями, принадлежащими к одному и тому же классу (эргодиче-ских и/или перемешивающих, точных отображений) в иерархии хаотических моделей, но отличающиеся друг от друга важными

108

а

Нв6(12) 2007

характеристиками (областью определения, инвариантной плотностью, видом автокорреляционной функции и т.д.). Возникает вопрос, а можно ли использовать эту взаимосвязь? Да, можно, в случаях, когда исследование хаотических характеристик одного отображения через исследование хаотических характеристик другого отображения оказывается связанным с менее трудоемкими математическими преобразованиями, чем исследование непосредственно самого отображения или когда для рассматриваемого отображения не представляется возможным решение поставленной задачи. Этот метод позволяет исследовать одномерные хаотические модели. Раскроем его суть.

Пусть даны два отображения, связанных взаимнообратным преобразованием и исследуем взаимосвязь соответствующих характеристик.

Определение. Отображение ф называется топологически сопряженным (сопряженным) с отображением ф, если существует такое обратимое преобразование Р, что ф = Р о ф о Р-1. Заметим, что отношение топологической сопряженности симметрично и, если отображение ф топологически сопряжено с отображением ф, то и отображение ф топологически сопряжено с отображением ф: ф = Р- о ф о р.

По-видимому, авторство первого и единственного широко цитируемого на протяжении многих лет примера построения сопряженных одномерных хаотических моделей принадлежит Станиславу Уламу и Джону фон Нейману [9]. Они впервые установили взаимнооднозначную связь между логистическим и пирамидальным отображениями. В [1] проведено обобщение этого результата и установлена топологическая эквивалентность полиномов Чебышева первого рода и обобщенного (итерированного) ку-

сочно-линейного пирамидального отобра- § жения5. Некоторые общие вопросы сопря- § жения отображений рассмотрены в работе | [4].

Рассмотрим пример. Пусть дано одно- ^

мерное хаотическое отображение Ю

а п+1 =ф

где п = 0,1,2,.;

ап е [0,1].

Известны оператор Фробениуса-Перро-на и, инвариантная плотность р*(х), обратимое преобразование р, определяющее сопряженное ему отображение

хп+1 = ф

где п = 0,1,2,.

Найдем взаимосвязь операторов Фро-бениуса-Перрона для сопряженных отображений и и и.

Согласно определению топологически сопряженных отображений, имеет место обратимая замена переменных (для любой итерации):

а = Р

Если исходное отображение определено на отрезке [0,1], то сопряженное ему отображение определено, согласно (21), на отрезке [ Р(0), Р(1)].

Уравнение оператора Фробениуса-Пер-рона исходного отображения имеет вид:

р „+1

Обозначим р(х) — плотность распределения сопряженного отображения, и — соответствующий оператор Фробениуса-Перрона. При замене переменных (21) плотности распределения исходного отображения (19), присутствующие в (22), будут трансформироваться следующим образом:

5 При «перезаписи» логистического отображения с интервала (0,1) на интервал (-1,1) оно совпадает с квадратичным полиномом Чебышева первого рода [2].

109

es.

I

I ¡2 S? S

iS »

u

I

IS

! I

Ия6(12) 2007

p n

dx = p n (x) = p n(F 1(a)) da p*( x) p*(F "1(a))'

Из (22) и (23) получим выражение для нахождения оператора Фробениуса-Перрона сопряженного отображения с помощью оператора Фробениуса-Перрона исходного отображения:

Up n (x) = x )U

p n (F ~1(a)) p*(F "1(a ))'

Таким образом, соотношение (24) определяет алгоритм нахождения явного вида оператора Фробениуса-Перрона сопряженного отображения, если известен оператор Фробениуса-Перрона исходного отображения и обратимое преобразование Р, связывающее сопряженные отображения (19) и (20).

В соотношение (23) подставим инвариантные плотности р *(а) и р *(х) сопряженных отображений (19) и (20) соответственно:

p*(a )da = p*( x )dx.

Получили правило (25), по которому осуществляется преобразование инвариантных плотностей сопряженных отображений.

Таким образом, используя топологическую сопряженность, мы можем исследовать некоторые характеристики одномерных хаотических отображений с помощью сопряженных им отображений.

Подведем итог проведенному аналитическому обзору. Итак, самое важное, что надо иметь в виду при первых шагах в изучении хаотических моделей, это количественные меры хаоса. Именно они позволяют выявить и охарактеризовать хаотическое поведение, сравнить различные хаотические режимы. По данному вопросу следует обратиться в первую очередь к книге Шус-тера, ставшей одной из основополагающих работ в теории детерминированного хаоса [21]. В лекциях Ю.А. Данилова [13] на классических примерах подробно рассмотрены

количественные меры хаоса, что, безусловно, поможет научиться применять полученные теоретические знания на практике при исследовании хаотических моделей. Определение хаоса наиболее полно раскрыто, на мой взгляд, Р. М. Кроновером в [16], приведены соответствующие доказательства, рассмотрены варианты программных реализаций хаотических моделей. В книге «Регулярная и стохастическая динамика» известных американских физиков, профессоров А. Лихтенберга и М. Либермана [17] представлено детальное исследование перехода от простых и хорошо изученных регулярных режимов к различным хаотическим режимам, приведены примеры практического применения описанных методов в различных областях науки, например, в физике, химии. С точки зрения углубленного изучения хаотических моделей и возможности их практического применения в экономической сфере деятельности человека следует обратиться к фундаментальному исследованию А. Н. Ширяева [20]. Отметим, что одномерные хаотические модели находят широкое практическое применение в различных областях науки, например, в физике, химии, экономике, биологии, но это уже тема для отдельного обсуждения, выходящего за рамки данной статьи.

Список литературы

1. AdlerR.L., Rivlin T.J., Ergodic and Mixing Properties of Chebyshov polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. Vol. 15. № 5.

2. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Ni-kandrova) Yu.A. Regression Equations Modelling Diffusion Processes // Applied Surface Science. 2003. Vol. 215.

3. Grossman S., ThomaeS. Invariant distributions and stationary correlation functions of one-dimensional discrete processes//Z. Naturforsh. 1977. Vol. 32a.

4. Hasegawa H.H., Saphir W.C. Decaying eigen-states for simple chaotic systems // Physics Letters A. 1992. Vol. 161.

5. Mori H., So B.-Ch., Ose T. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress in Theoretical Physics. 1981. Vol. 66. № 4.

110

№6(12) 2007

6. Sello S. Auto-Correlation Functions and Solar Cycle predictability // Topic Note Nr. 001004, Los Almos National Laboratories Preprint Arhive, Astro-Ph/0010106. 2000.

7. Tabor M. Chaos and Integrability in Nonlinear dynamics. New York: John Wiley&Sons, Inc., 1989.

8. Tsuchiya T. An exactly solvable difference equation that gives pure chaos for a continuous range of a parameter // Z. Naturforsh. 1983. Vol. 39a.

9. Ulam S.M., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. Vol. 53. № 11.

10. Umeno K. Method of constructing exactly solvable chaos //Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. № 5.

11. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. Автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным распределением // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Т. 9. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2003.

12. Голубенцев А. Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. К решению спектральной задачи для эволюционного оператора отображения Гаусса // 6th International School on chaotic oscillations and pattern formation. Saratov, Russia, October 2-7, 2001. The Book of Abstracts. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2001.

13. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: Постмар-кет, 2001.

14. Де Брейн Н.Г. Математические методы в анализе. М.: Иностранная литература, 1961.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / пер. с англ.; под ред. И.Г. Арамановича. М.: Наука, 1973.

16. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / пер. с англ. Т.Э. Кренкеля и А.А. Соловейчика; под ред. Т.Э. Кренкеля. М.: Постмаркет, 2000.

17. ЛихтенбергА., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика/пер. с англ.; под ред. Б. В. Чирикова. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000.

18. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

19. Никандрова Ю.А. Исследование одномер- § ных хаотических моделей (на основе оператора [| Фробениуса-Перрона). Саратов: Наука, 2007. |

20. Ширяев А. Н. Основы стохастической фи- Sc нансовой математики. В2-хтомах. М.: Фазис, 1998.

о

21. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение / пер. с англ. М.: Мир, 1988.

22. XAOC.RU; www.xaoc.ru

23. Абрахам Ф. Теория хаоса и интернет в эпоху постмодерна // Компьютера. 2000. № 28.

24. Бородкин Л.И. Теория хаоса в социальных науках: проблемы, достижения и открытия 1990-х гг.; http://kleio.asu.ru/aik/bullet/29/25.html

25. БэбкокБ. Теория хаоса и рыночная действительность; http://speculator-fin.ru/page-id-234.html

26. Вильямс Б. Торговый хаос; http://www. forexland.ru/library.php

27. Джексон М. Теория сложности; http://www. dlutskiy.com/theory/systems4.htm

28. Кувшинов В.И. Калибровочные поля и теория детерминированного хаоса. Мн.: Белорусская наука, 2006.

29. Марьясов Д.А. Анализ и прогнозирование финансового рынка на основе модели детерминированного хаоса; http://www.tpu.ru/files/nu/ disser/maryasov.doc

30. НайманЭ. Теория хаоса; http://www.adamaz. ru/?id=122

31. ПайтгенХ.-О, Рихтер П.Х. Красота фракталов. М., 1993.

32. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004.

33. Рогов М.А. Перспективы теории хаоса в портфельном риск-менеджменте; http://www. hedging.ru/publications/132/

34. Теория хаоса; http://ru.wikipedia.org/wiki/

35. Теория Хаоса — Энциклопедия «Круго-свет»; http://www.krugosvet.ru/articles/11/1001178/ 1001178a1.htm

36. Теория хаоса. Ших.Ру; http://cih.ru/a1/e87. html

37. Тугой И. Введение в теорию хаоса; http:// unmask.ru/trash/haos.html

38. Шестакова Э.Г. Проблема хаоса в современных гуманитарных науках: общий обзор литературы; http://www.desa.donbass.com/html_rus/ conferences/mcsd-03/edu_6.htm