АНАЛИЗАТОР СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ И КОМПОНЕНТ СИГНАЛА

Область техники.
Айгеноскоп-анализатор собственных векторов и компонент сигнала (кратко - айгеноскоп) - измерительный и исследовательский прибор (устройство), отдельное или встраиваемое, общего и специального назначения (подобно осцилографу), предназначение которого - визуальный и (или) автоматизированный, в т.ч. автоматический, анализ исследуемых сигналов и принятие решений с использованием базиса собственных векторов матриц смешанных моментов сигнала (сигналов) - безотносительно к их физической природе.
Айгеноскоп (Eigenoscope) от англ. Eigenvector, eigenvalue (собственный вектор и собственное значение) позволяет разделять анализируемый сигнал (сигналы) на аддитивные ортогональные компоненты в широком диапазоне их относительных энергетических вкладов в энергию анализируемого сигнала и открывает новые возможности при решении задач радиофизики, акустики, звуко-, радио и гидролокации, медицинской и др. диагностики, обнаружения новых физических и астрофизических явлений.
Структуры предлагаемого устройства показаны на фиг.1-5.
Уровень техники. Аналоги и их недостатки.
Во введении к классической работе А.А.Харкевича [2], первое издание которой вышло в 1952 году, отмечалось «Долгое время спектральные представления применялись и развивались лишь относительно узким кругом физиков-теоретиков. Начиная с двадцатых годов, в связи с бурным развитием радиотехники, акустики, колебательной механики и вообще отраслей техники, опирающихся на теорию колебаний, спектральные представления распространились широко. Была установлена прямая связь между спектральным разложением и поведением реальных колебательных систем. Спектральный способ описания явления получил всеобщее признание. Более того, спектральный язык стал всеобщим языком, на котором объясняются между собой все, имеющие дело с техническими применениями разного рода колебаний. На спектральном (частотном) языке стали описывать не только явления, но и свойства аппаратуры».
Бурное развитие радиотехнических приложений после второй мировой войны (прежде всего радиолокации и связи) привело к еще более широкому распространению и к обобщению подходов спектрального анализа. Под обобщенным спектральным анализом стали понимать представление (разложение) исходного сигнала в сумму компонент известной формы (в случае классического спектрального анализа - в сумму синусоид и косинусоид).
Большинство известных устройств, которые осуществляют обобщенный спектральный анализ сигналов (осуществляют представление сигнала в виде линейной комбинации известных компонент), отвечают обобщенной структурной схеме прототипа (см. фиг.6), включающей в свой состав перемножители, интеграторы и местные гетеродины. В общем случае, следуя изложению [1], обобщенный спектроанализатор можно представить схемой фиг.7, включающей в свой состав местные гетеродины и вычислитель скалярных произведений.
Для классического случая, когда в качестве компонент анализируемого сигнала рассматриваются синусоиды и косинусоиды, известны (в числе прочих) следующие устройства:
- Дискретный анализатор квадратурных составляющих гармонического спектра [9];
- Анализатор спектра [12];
- Анализатор спектра частот радиосигнала [8];
- Ортогональный анализатор спектра [26] и многие другие.
Другие анализаторы используют разложение по функциям Уолша, например:
- Устройства для октавного анализа спектра в базисе Уолша [14];
- Цифровой анализатор спектра по функциям Уолша [15];
- Анализатор спектра в базисе Уолша [16];
- Анализатор квазипериодических сигналов [13];
- Перестраиваемый анализатор спектра Уолша [17].
Для анализа стационарных случайных процессов широко используются анализаторы энергетического спектра, осуществляющие разложение корреляционной функции случайного процесса по косинусам, например:
- Электронный анализатор спектра [25];
- Дискретный статистический анализатор [7];
- Анализатор энергетического спектра [18];
- Устройство для исследования спектра мощности случайного процесса [19];
- Анализатор энергетического спектра [20];
- Анализатор спектра мощности случайных сигналов [21];
- Цифровой анализатор спектра [10];
- Адаптивный анализатор спектра [23];
- Устройство для измерения спектральной плотности случайных сигналов [22].
Известны также устройства, осуществляющие определение производных характеристик от спектральных характеристик, например:
- Способ измерения спектра Меллина сигналов [11];
- Устройство для классификации случайных сигналов по форме энергетического спектра [24].
Успехи развития техники цифровой и смешанной обработки сигналов в значительной степени видоизменили области как классического, так и обобщенного спектрального анализа. В настоящее время наиболее широко распространенная схема классического спектрального анализа является алгоритмической (с использованием быстрого преобразования Фурье - БПФ) и реализуется на цифровых сигнальных процессорах (ЦСП) - см., например [34]. Это в полной мере относится и к использованию других ортогональных базисов (Уолша, Хаара, ортогональных полиномов, например, Лежандра, Чебышева и т.д.).
Доступность и дешевизна цифровых сигнальных процессоров открывает возможность использования при анализе сигналов и других ортогональных базисов, которые формируются «под решаемую задачу». К числу таких методов относится метод ортогонализации Грама-Шмидта - см. например [1, стр.42, 59]. Этот метод позволяет из любой последовательности линейно независимых векторов (далее слово вектор обозначает упорядоченную последовательность чисел, которая имеет определенную длину) построить ортогональный базис; особенностью этого метода является то, что получаемый в результате его применения базис становится другим, если порядок исходных векторов поменять.
Спектральный анализ также широко применяется и при анализе случайных процессов. Известно, что стационарный случайный процесс может быть разложен в гармонический ряд со случайными коэффициентами, дисперсия которых совпадает с отсчетами энергетического спектра. Широкое применение ЦСП позволяет использовать БПФ и при анализе энергетических спектров.
В случае, когда случайный процесс нестационарен, рекомендуется использовать разложение Карунена-Лоэва [1 стр.187 и 282] - ортогональное представление сигнала, базис которого получается из решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для корреляционной функции нестационарного процесса. В [3] применение этого метода рассматривается как основное средство представления сигналов, используемое при построении широкого класса обнаружителей.
При дискретном представлении сигнала на конечном интервале анализа базис разложения Карунена-Лоэва совпадает с базисом собственных векторов ковариационной матрицы сигнала.
Современное состояние ЦСП позволяет строить различные полезные модели использования представлений сигнала в базисах собственных векторов.
Предлагаемое устройство позволяет использовать современный уровень развития смешанной и цифровой обработки сигналов для представления и анализа сигналов в базисах, которые строятся на основе корреляционных свойств самого сигнала. Как будет далее показано, устройство позволяет вести обобщенный анализ, всключающий в себя не только анализ коэффициентов разложения исходного сигнала по базисным функциям, но и анализ самих базисных функций, что несет дополнительную (а иногда и более важную) информацию об анализируемом сигнале.
Прототип.
На фиг.6 приведена схема обобщенного спектроанализатора из [1, стр.63], в котором коэффициенты разложения получаются путем вычисления скалярного произведения между входным сигналом и базисными функциями, задаваемыми «местными гетеродинами».
Эту схему можно представить в обобщенном виде, представленном на фиг.7. Под эту структуру подпадает большинство приведенных в предыдущем разделе аналогов. Различия, как правило, состоят в том, что меняется тип скалярного произведения и вид базисных ортогональных функций.
В состав айгеноскопа в явном виде входит вычислитель скалярных произведений - блок 4 на фиг.1 и фиг.2. В неявном виде в айгеноскоп входит и блок 28 местных гетеродинов прототипа - один из сигналов блока 3 на фиг.1 и фиг.2 представляет собой ортогональные базисные векторы (также как и на выходе блока 28 прототипа). Отличие состоит в том, что эти базисные векторы не являются заранее заданными (как в прототипе), а определяются в блоке вычислителе собственных векторов и собственных значений 3 из матрицы смешанных моментов анализируемого сигнала, получаемой блоком 2 айгеноскопа. Что предлагается.
i
Пусть имеется дискретный анализируемый сигнал S, , который имеет длительность N. Предположим, что нам необходимо вести анализ сигнала на интервале анализа с длительностью M≤N, который (интервал анализа) полностью принадлежит интервалу значений дискретного времени i, отвечающему условию r≤i≤r+M-1, где r - номер интервала анализа. Дискретный сигнал на любом из N-M+1 различных интервалов анализа длительности M может быть представлен в базисе собственных векторов ковариационной матрицы (матрицы вторых смешанных моментов), которые определяются соотношением
где
K - ковариационная матрица, имеющая размер M×M,
i
i
ϕ, λ, - i-ый собственный вектор и i-ое собственное значение, соответственно. Собственные вектора ковариационной матрицы ортонормированы [32], поэтому представление сигнала в базисе (1) на любом из интервалов анализа будет иметь вид
r≤i≤r+M-1
k
r≤i≤r+M-1
k
где (S, ϕ) - скалярное произведение сигнала S на r-ом интервале анализа и собственного вектора ϕ, .
r
Последовательность сигналов s,  может быть интерпретирована как последовательность точек в M-мерном унитарном пространстве [33], поэтому матрицу
принято называть траекторной матрицей. Траекторная матрица имеет размер (N-M+1)×M.
Ковариационная матрица может быть получена из траекторной матрицы (3) с использованием соотношения
i
Соотношения (1-4) задают алгоритм построения базиса собственных векторов сигнала S, .
Нетрудно показать, что средняя энергия сигнала, наблюдаемого на интервале анализа, определяется соотношением
где
i, i
k - диагональный элемент ковариационной матрицы K,
tr(K) - след (сумма диагональных элементов) матрицы K, в соответствии с [32] равный сумме собственных значений ковариационной матрицы.
Собственные вектора, таким образом, представляют собой ортогональные, некоррелированные компоненты анализируемого на интервале M сигнала, вносящие в среднюю энергию анализируемого сигнала относительный вклад
Последовательность чисел, задаваемую соотношением (6), будем называть нормированным спектром собственных значений. Практически все известные программные системы, вычисляющие собственные вектора и собственные значения, упорядочивают собственные значения в порядке убывания. Поэтому далее будем полагать, что нормированный спектр собственный значений - невозрастающая последовательность чисел (длина которой совпадает с интервалом анализа), значения которых не превышают 1.
i,j
0
В случае многоканального наблюдения за объектом, когда на вход анализатора одновременно поступает Q сигналов для каждого r-го интервала анализа имеем матрицу наблюдений [A], каждая i-ая строка которой представляет собой сигнал наблюдения по i-ому каналу на r-ом интервале анализа. Такая матрица имеет M=M·Q элементов и с использованием любой взаимнооднозначной функции преобразования номеров  и  в  может быть преобразована в матрицу строку, что позволяет использовать все вышеприведенные соотношения.
При решении некоторых задач анализа сигналов (например, при обнаружении эффектов, которые не связаны непосредственно с амплитудой сигнала) целесообразно перед осуществлением анализа исключить влияние амплитуды путем масштабирования обрабатываемого сигнала на интервале анализа. В том случае, когда масштабирование приводит к единичной норме (под нормой понимается квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя - [32]), нормированный таким образом сигнал на интервале анализа можно рассматривать как волновую функцию и применять при анализе все те понятия, которые использутся в квантовой механике (см. главу 1 в [36]). В этом случае перед использованием соотношения (4) строки траекторной матрицы нормируются, а в результате применения соотношения (4) получается матрица вторых смешанных моментов нормированного сигнала на заданном интервале анализа.
i,j
-1/2
В случае многоканального наблюдения операция нормирования носит двухступенчатый характер. На первом этапе нормируются элементы каждой строки матрицы наблюдений [A], а на втором - полученная из нее матрица строка умножается на Q.
Использование метода собственных векторов не исключает использования классического спектрального анализа или каких-либо других методов анализа, но они используются не в отношении исходного сигнала, а применительно к ортогональным (независимым) друг от друга собственным векторам и/или коэффициентам разложения исходного сигнала в базисе собственных векторов. Использование метода собственных векторов потенциально повышает чувствительность и селективность любого известного метода анализа (в том числе и спектрального), поскольку последние будут применяться не ко всему сигналу, а к его ортогональным составляющим, в том числе тем, которые не обладают энергетическим доминированием и представляют собой «тонкую» структуру сигнала.
Так как собственные вектора в общем случае имеют более сложную, чем гармонические сигналы, структуру, то в айгеноскопах осуществляется анализ (и визуализация):
- самих собственных векторов (например, с помощью классического спектрального анализа и/или различных критериев подобия),
- коэффициентов разложения исходного сигнала в базисе собственных векторов,
- нормированного спектра собственных значений,
- изменений вышеописанных объектов.
Остановимся на этих способах визуализации более подробно.
Визуализация и анализ собственных векторов с помощью критерия максимума коэффициента корреляции (МКК) и спектрального анализа собственных векторов
В настоящее время использование при анализе сигналов и времянных рядов функции cos(ω·t+ϕ) стало настолько привычным (безотносительно к решаемой задаче), что это изменило ситуацию, описанную во введении к [2], на противоположную. Классический спектральный подход пытаются применять везде, хотя еще в классической работе «Теория звука» - [35] Рэлей предупреждал о необходимой осмотрительности при использования разложения сигнала по синусоидам «в чистом виде». Действительно, решение многих задач теории колебаний и статистической радиофизики приводит к собственным функциям, отличным от гармонических. В то же самое время, в «усложненном» виде эти функции появляются в задачах статистической радиофизики достаточно часто, например, в виде модулированных по амплитуде, частоте и фазе гармонических колебаний.
С этой точки зрения, выявлять «похожесть» собственных векторов на cos(ω·t+ϕ) кажется разумным.
В качестве критерия близости собственных векторов к гармоническим функциям можно использовать величину критерия максимума коэффициента корреляции (МКК), который определяется по формуле
где  - максимум по ϕ,
t,  - дискретное время (на интервале анализа M),
i
ϕ(t) - i-ый собственный вектор  анализируемого сигнала,
дискр
f - частота, Т - время дискретизации.
max(ϕ)
В случае, если собственные вектора нормированы, ρ(f, i)≤1,.
i
Как видно из (7), критерий МКК совпадает с отсчетом амплитудного спектра собственного вектора ϕ(t), определенного на частоте f с помощью дискретного преобразования Фурье.
Формула (7) удобна для автоматической селекции собственных векторов, содержащих признаки известных частот, на предварительном (автоматизированном) этапе анализа. На втором (визуальном) этапе для собственного вектора может быть вычислен с помощью БПФ амплитудный спектр (этап «панорамного» визуального анализа); на третьем этапе (визуальном уточняющем этапе) анализа - проведено детальное изучение поведения значения критерия МКК в некоторой малой окрестности f.
Ниже, в качестве примеров визуализации будут приводиться (с максимально кратким описанием) результаты, полученные при использовании айгеноскопа в конкретных исследованиях - как для реальных физических сигналов, так и для сигналов, полученных в ходе вычислительных имитационных экспериментов, проводимых с целью исследования рабочих характеристик айгеноскопов.
z
В качестве примера реальных физических рядов, которые подвергаются обработке с помощью айгеноскопа, будем рассматривать времянные ряды вертикальной электрической составляющей электрического поля E и составляющие геомагнитного поля в приземном слое атмосферы. Неослабевающий интерес физиков к этим полям в последние годы еще более возрос в связи с тем, что астрофизиками предсказан ряд физических эффектов [43], в соответствии с которыми в этих полях могут присутствовать энергетически не доминирующие компоненты, продуцируемые гравитационным взаимодействием с удаленными двойными звездными системами. При взаимодействии с двойными звездными системами у этих компонент должны наблюдаться частоты, связанные с периодом обращения таких двойных систем, а также модуляции этих периодических компонент с частотой, совпадающей с частотой обращения Земли вокруг Солнца (последние косвенно указывают на внеземное происхождение продуцирующих источников). Обнаружение таких отличных от шумовых, энергетически не доминирующих компонент может повлечь далеко идущие выводы в фундаментальной науке и поэтому является чрезвычайно актуальным.
Ниже в качестве примеров приводятся некоторые частные результаты, полученные при использовании айгеноскопа в анализе таких времянных рядов.
z
0.9
0.5
0.99
0.5
z
В таблице 1 (1 строка) приведена (в качестве характерного примера) функция непревышения (функция, получаемая вычитанием из единицы функции распределения случайной величины) для критерия (7), вычисленная для собственных векторов времянного ряда (E, интервал анализа 1000 часов, длина времянного ряда - сотни тысяч отсчетов) для периода T=24.67 ч, который совпадает с периодом обращения одной из известных двойных звездных систем (задача исследования гравитационного влияния на электрическое поле Земли удаленных астрофизических объектов). По оси абсцис указано значение критерия МКК, по оси ординат - в полулогарифмическом масштабе - доля собственных векторов, для которых величина МКК превышает значение, приведенное на оси абсцис. Как видно из графика, лишь малая доля собственных векторов имеет значение МКК значительно превышающее медиану. Во второй строке приведен график функции непревышения, построенный для отрезков гауссовского шума и отрезка гармонического сигнала имеющего тот же период. Величины интерквантильных расстояний (для квантилей уровня 0.5; 0.9; 0.99) составляют (q/q)=2-6 дБ и (q/q)=4 дБ соответственно, что существенно меньше, чем в случае E. В таблице 2 приведены результаты для других двойных звездных систем. Сравнение интерквартильных расстояний с аналогичными, полученными в имитационной эксперименте, свидетельствует о том, что собственные вектора, имеющие высокий МКК, - не «вычислительный шумовой эффект».
z
z
Таким образом, у нас нет достаточных оснований полагать, что приведенные в таблице 2 интерквартильные расстояния (а следовательно и 1% собственных векторов, близких к гармоническим сигналам с частотами двойных звездных систем) наблюдаются случайно и, следовательно, айгеноскопия времянных рядов E дает косвенное подтверждение наличия гравитационного влияния двойных звездных системна E.
На фиг.8 приведены амплитудные спектры (в полулогарифмическом масштабе) для собственных векторов, отобранных по критерию МКК, вычисленному для частоты, соответствующей периоду (3.383904 часа) - для одной из двойных звездных систем. Как видно из рисунков, максимумы амплитудных спектров (соответствующего периоду обращения двойной системы) имеют значительное превышение над средним уровнем амплитудных спектров.
На фиг.9б, 10б представлены амплитудные спектры собственных векторов, отрезки которых (собственные вектора не приводятся полностью потому, что это не позволяет разглядеть «тонкую» структуру и визуально оценить отличия собственного вектора от синусоидального времянного ряда.) представлены на фиг.9а и 10а, и которые имеют наибольшее (по критерию МКК) подобие гармоническим сигналам с частотами, совпадающими с частотами лунных приливов (графики представлены в линейном масштабе). И в этом случае максимумы амплитудного спектра совпадают с искомыми частотами. Амплитудные спектры в приведены в линейном масштабе, чтобы подчеркнуть «качество» выявления искомой частоты с помощью китерия МКК. В других случаях при «панорамной» визуализации предпочтительней использовать полулогарифмический масштаб, позволяющий выявлять «тонкую» структуру спектра собственного вектора.
Из приведенных кривых видно, что способ визуализации, основанный на использовании критерия МКК, функции непревышения и графиках амплитудных спектров, может эффективно использоваться в айгеноскопах.
Таблица 1
Сравнение функций непревышения значений критерия МКК для реального физического ряда и для нормального некоррелированного шума
№ пп
Функция непревышения для значений МКК собственных векторов (полулогарифмический масштаб)
1
Времянной ряд E<sub>z</sub> в некоторой конкретной точке наблюдения (эксперимент)
Период 24.67 часа
Комментарий - Функция непревышения для всех периодов имеет характерную «ступеньку», отделяющую векторы с «высоким» МКК от векторов с «низким» МКК. (q<sub>0.9</sub>/q<sub>0.5</sub>) и (q<sub>0.99</sub>/q<sub>0.5</sub>) высокие - 14.6 дБ и 27 дБ
<img file="00000019.tif" he="112" wi="159" img-content="undefined" img-format="tif" />
2
Времянной ряд - имитационный эксперимент (некоррелированный нормальный шум)
Период 24.67 часа
Комментарий - Кривая выпукла. «Ступенька» отсутствует.(q<sub>0.9</sub>/q<sub>0.5</sub>) и (q<sub>0.99</sub>/q<sub>0.5</sub>)
низкие - 2.6 и 4 дБ
<img file="00000020.tif" he="116" wi="164" img-content="undefined" img-format="tif" />
Таблица 2
Значение интерквантильного расстояния (в дБ) для критерия МКК, вычисленного для собственных векторов ковариационной матрицы времянного ряда составляющей E<sub>z </sub>электрического поля Земли в приземном слое атмосферы и для частот обращения двойных систем f<sub>ГИ</sub>,(Гц)
f<sub>ГИ</sub>, (Гц)
(q<sub>0.9</sub>/q<sub>0.5</sub>) дБ
(q<sub>0.99</sub>/q<sub>0.5</sub>) дБ
2.250299399374е-5
14.6
27
3.828211138105е-5
13.6
27.5
5.501805538757е-5
11.9
24.6
6.06253904577е-5
11.8
25.2
6.904082103431е-5
11.7
24.9
7.16666560145е-5
11.6
24.1
16.4175900935е-5
9.4
20.6
19.18381315887е-5
10.8
19.6
Визуализация и анализ нормированного спектра собственных значений
В таблице 3 собраны вместе нормированные спектры собственных значений для различных примеров сигналов, рассмотренных в данном описании. Как видно из сравнения, визуальный анализ спектров собственных значений позволяет по вполне определенным признакам «узнавать» различные сигналы.
Таблица 3
Признаки различных типов сигналов, выявляемых айгеноскопом при визуальном анализе нормированного спектра собственных значений ковариационной матрицы
№ пп
Признаки для разных типов сигнала
1
Сигнал - синусоидальный
Признак - Два практически равных собственных значения (двухкратное собственное значение)
<img file="00000021.tif" he="116" wi="147" img-content="undefined" img-format="tif" />
2
Сигнал - синусоида, амплитудно-модулированная синусоидой
Признак - двухкратное и четырехкратное собственные значения
<img file="00000022.tif" he="111" wi="154" img-content="undefined" img-format="tif" />
3
Сигнал - синусоида, амплитудно-модулированная периодическим сигналом
Признак - двухкратное собственное значение и серия четырехкратных собственных значений
<img file="00000023.tif" he="109" wi="154" img-content="undefined" img-format="tif" />
4
Сигнал - сумма синусоид с постоянными (на интервале анализа) амплитудами и фазами
Признак - серия двухкратных собственных значений
<img file="00000024.tif" he="116" wi="154" img-content="undefined" img-format="tif" />
5
Сигнал - реальные физические времянные ряды для трех точек наблюдения
Признаки - «непрерывный» (без значительных скачков); большинство собственных значений лежат ниже линии Кайзера (ниже среднего). Медиана собственных значений многократно меньше среднего собственного значения.
<img file="00000025.tif" he="122" wi="154" img-content="undefined" img-format="tif" />
6
Сигнал - универсальность Фейгенбаума при параметре λ=3.57; 3.6; 3.7; 3.76
Признаки - медиана собственных значений ниже среднего. Чем меньше медиана, тем сильнее режим отличается от хаотического.
<img file="00000026.tif" he="116" wi="152" img-content="undefined" img-format="tif" />
7
Сигнал-генератор псевдослучайного шума с нормальным распределением (команда MATLAB randn(1,10000))
Признаки - медиана собственных значений совпадает с их средним значением. Нормированный спектр собственных значений экспоненциален.
<img file="00000027.tif" he="124" wi="155" img-content="undefined" img-format="tif" />
8
Сигнал - генератор псевдослучайного шума с равномерным распределением на интервале [-.5; .5] (команда MATLAB rand(1,10000)-.5)
Признаки - медиана собственных значений совпадает с их средним значением. Разброс собственных значений больше, чем для типа сигнала 7.
<img file="00000028.tif" he="107" wi="150" img-content="undefined" img-format="tif" />
Визуализация коэффицентов разложения
Коэффициенты разложения так же могут быть (в свою очередь) подвергнуты, если это необходимо, классическому спектральному анализу. С другой стороны, если был произведен отбор (например по критерию МКК) собственных векторов, которые соответствуют какой-либо фиксированной частоте, то в подпространстве, задаваемом этими собственными векторами, может быть определена длина вектора проекции исходного сигнала на подпространство, задаваемое этими собственными векторами. Эту величину (по аналогии с амплитудой отдельной частотной составляющей сигнала) уместно назвать амплитудой компоненты исходного сигнала, вычисленной в базисе отобранных по критерии МКК собственных векторов. Ее также можно анализировать с использованием классического спектрального анализа или каких-либо иных методов. Приведем пример.
z
На фиг.11a показана схема айгеноскопа для такого анализа амплитуды компоненты времянного ряда составляющей E электрического поля в приземном слое атмосферы, вычисленной в подпространстве, задаваемом собственными векторами, частоты которых по критерию МКК близки к частоте обращения двойной звезды. Классический спектральный анализ таким образом вычисленной амплитуды указывает на максимумы амплитудного спектра на частотах, совпадающих с частотой обращения Земли вокруг Солнца (астрономический год), что является косвенным подтверждением того, что источник, продуцирующий данные компоненты, имеет внеземное происхождение.
Остановимся на других формах визуализации в айгеноскопах.
Визуализация собственного вектора и оценки плотности вероятностей его отсчетов
Оценка плотностей вероятностей значений собственного вектора может осуществляться как с помощью гистограммы (когда интервал анализа M составляет несколько сотен), так и с помощью ядерных оценок плотностей вероятностей [37] (если M<100). На фиг.12 показаны гистограммы (12б, 12д) и ядерные оцнки (12в, 12е) для двух собственных векторов (12а, 12г), вычисленных для случая М=168. Как видно из ядерных оценок (лучше чем из гистограмм), для 167-го собственного вектора оценка плотности вероятностей унимодальна и близка к гауссовской, а для 15-го - бимодальна, что может служить косвенным признаком колебательного характера его отсчетов собственного вектора.
До сих пор мы рассматривали реализацию процедуры айгеноскопии, производящейся с использованием айгеноскопа, структурная схема которого приведена на фиг.1. В следующе подразделе рассматривается использование айгеноскопа, реализающего структурную схему фиг.2. Как будет показано, это целесообразно тогда, когда исследуемый времянной ряд порождается динамической системой, находящейся в режиме детерминированного хаоса.
Визуализация эффективности использования дополнительных координат с использованием нормированных спектров собственных значений
Если при айгеноскопии используется структурная схема айгеноскопа, которая приведена на фиг.2, то вместе с исходным времянным рядом айгеноскопии подвергаются и искуственно созданные времянные ряды (дополнительные координаты), получаемые из исходного с использованием нелинейных функциональных преобразований (например с использованием структурной схемы, приведенной на фиг.4).
Проиллюстрируем использование дополнительных координат при работе айгеноскопа на примере времянного ряда, отвечающего универсальности Фейгенбаума [38]. В качестве модели такого времянного ряда возьмем ряд, задаваемый соотношением
где λ - параметр, при увеличении которого (до критического значения) времянной ряд проходит последовательно множество режимов удвоения периода и вступает в режим детерминированного хаоса.
На фиг.13а приведен отрезок времянного ряда длительностью 1000 дискретов для λ=3.077.
Рассмотрим в качестве дополнительной координаты , где i - дискретное время. Для этого случая траекторная матрица будет иметь вид
где
, T - расширенная (за счет ведения дополнительных координат) и исходная траекторные матрицы, соответственно,
∧
T.2 - матрица, элементы которой получаются путем возведения в квадрат элементов матрицы T. Квадратные скобки при обозначении матриц и знак «;» здесь используется в нотации определения матриц в Matlab [42].
На основании траекторией матрицы (9) с использованием соотношения (4), вычисляется ковариационная матрица
Аналогично могут быть введены и другие дополнительные координаты.
На фиг.13б показаны два спектра собственных значений, вычисленные для ковариационной матрицы без дополнительных и с одной квадратичной дополнительной координатой. Сравнение показывает, что введение дополнительной квадратичной координаты существенно меняет нормированный спектр собственных значений - появляется превалирующий собственный вектор, вносящий энергетический вклад 37%.
i
Теперь каждый k-ый собственный вектор задает взаимоствязи между отсчетами сигнала X,  и квадратами отсчетов сигнала  (дополнительными координатами) на интервале анализа
где
k, i
ψ - отсчеты k-го собственного вектора.
Соотношения (11) задают квадратичные модели компоненты сигнала, которые в совокупности (для заданных дополнительных координат) наилучшим образом его описывают. Соответствующее данному к собственное значение определяет относительный энергетический вклад каждой из компонент. Так например, в рассмотренном примере введение одной дополнительной координаты позволяет повысить относительный энергетический вклад первой компоненты с 2.7% до 37%.
Рассмотренный пример показывает большую эффективность айгеноскопии по структурной схеме фиг.2 по отношению к схеме фиг.1 при анализе сигналов, подчиняющихся универсальности Фейгенбаума (детерминированный хаос).
Диаграмма рассеяния в координатах «отношение максимума и среднего значения амплитудного спектра собственного вектора» - «частота максимума амплитудного спектра собственного вектора»
На фиг.14а приведен пример диаграммы рассеяния. По оси ординат отложена величина отношения, по оси абсцисс - частота. Алгоритм построения диаграммы рассеяния следующий:
- рассчитываются БПФ для всех собственных векторов;
- находятся амплитудные спектры собственных векторов и определяются их максимумы (откладывается по оси ординат) и номера дискретов, на которых наблюдается максимум (откладывается по оси абсцисс);
- на фигуру наносятся вертикальные визиры, соответствующие искомым фиксированным частотам (на графике приведены частоты двух двойных звездных систем);
- кружочками обозначаются точки (их число совпадает с числом собственных векторов - в данном случае - 1000), получаемые при анализе собственных векторов ковариационной матрицы поля в приземном слое атмосферы;
- звездочками обозначены точки, полученные при обработке времянного ряда, представляющего собой некоррелированный нормальный шум.
На фиг.14б и 14в приведены в линейном - 14б и полулогарифмическом - 14в масштабе ядерные оценки плотности вероятностей отношения максимума к среднему для реального физического ряда (правая кривая) и нормального некоррелированного шума (левая).
Абсцисса точки пересечения кривых на рис.14в соответствует величине 13.7 дБ. Эта точка соответвует минимальной ошибке различения реальных сигналов и сигналов, возникающих вследствие шума; по критерию «идеального наблюдателя» [3] эта величина равна 0.00013. Точке 13.7 дБ соответствует пренебрежима малая вероятность ложной тревоги 4.4е-16 и вероятность пропуска реального физического эффекта 0.00026.
На фиг.15 приведены четыре графика амплитудных спектров, отобранных с использованием диаграммы рассеняия (по паре для каждой из двух двойных звездных систем), с максимумами, соответствующими частотам обращения двойных звездных систем; 15а и 15б - соответствуют частоте первой двойной системы, 15в и 15г - второй.
На фиг.16а, 16б, 16в и 16г приведены амплитудные спектры собственных векторов нормального некоррелированного шума, отобранные для тех же частот - также с использованием диаграммы рассеяния. Как видно из графиков, ярко выраженные спектральные составляющие, соответствующие двойным звездным системам отсутстуют.
Сравнительный анализ серий графиков на фиг.15 и 16 говорит о том, что у нас нет достаточных оснований для утверждения о том, что максимумы в амплитудных спектрах собственных векторов могут возникнуть случайно. Вероятность такого случайного события пренебрежимо мала.
При визуальном анализе в айгеноскопии часто возникает необходимость сранения полученных результатов с результатами, получаемыми для какого-либо модельного случая. Так при рассмотрении диаграммы рассеняими мы сравнивали результаты, полченные для реального времянного ряда, с результатами для некоррелированного гауссовского шума. В связи со сказанным в функциональную схему, представленную на фиг.20 и блок 5 айгеноскопа (фиг.5) вводится имитатор времянных рядов, позволяющий генерировать ряды, отвечающие заданной модели.
Диаграмма рассеяния в координатах «Порядковая статистика МКК» - «частота»
i
БПФ
дискр
i
Если предыдущий тип диаграмм целесообразно использовать на этапе «панорамного» визуального анализа, то эту диаграмму лучше использовать на третьем - визуальном «уточняющем» этапе анализа. По оси абсцисс откладывается частота f=f±i·Δf,  (с некоторым шагом Δf, который определяется соотношением Δf=Δf/k=1/(k*M*T), k>1), в окрестности искомой частоты f, по оси ординат - какая-либо порядковая статистика, определенная для полного набора собственных векторов и частоты f. В качестве таких статистик могут быть использованы:
- максимальное значения МКК,
- квантиль заданного порядка.
БПФ
БПФ
На фиг.17 приведены зависимости максимального МКК от частоты в окрестностях частот обращения звездной системы 2.250299399374е-5 Гц - 17а и для частоты обращения 3.828211138105е-5 Гц - 17б. Дискрет Δf выбран Δf/4. Вертикальными линиями обозначены частоты обращения и границы f±Δf. Диаграммы иллюстрируют, что локальные максимумы МКК находятся в пределах одного дискрета БПФ относительно частот обращения.
Таким образом, анализ диаграмм этого вида также не дает достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть наличие частот, совпадающих с частотами обращения двойных звездных систем среди некоррелированных составляющих сигнала. Указанным частотам обращения соответсвуют энергетически недоминирующие компоненты с энергетическими вкладами 1.5928е-05 и 8.1926е-06, соответственно. На фиг.18 и 19 приведены амплитудные спектры этих собственных векторов, имеющие (как и ожидалось) превалирующие значения в области частот, близких к частотам обращения.
На фиг.20 и в таблице 4 представлена функциональная схема айгеноскопа многоканального сигнала, представленная с учетом способов визуализации, которые были описаны выше.
Таблица 4
Пояснения к функциональной схеме, представленной на фиг.20
Nпп
Элемент
Функциональное назначение
1
АК
Вычисляет величину амплитуды компоненты времянного ряда в подпространстве отобранных собственных векторов, определяемую по формуле <img file="00000038.tif" he="13" wi="29" img-content="undefined" img-format="tif" />, где <i>a</i><sub>i</sub>=(x<sub>M</sub>, ϕ<sub>i</sub>) - скалярное произведение исходного многомерного ряда x<sub>M</sub>, заданного на интервале анализа M и отобранных K собственных векторов.
2
АПСВ
Реализует три режима:
1. Вычисляет АС собственных векторов для каждого вектора набора и сравнивает их сплайны по какому-либо критерию близости.
2. Вычисляет огибающие собственных векторов из одного набора и сравнивает их по какому-либо критерию близости.
3. Вычисляет сплайны собственных векторов из разных наборов и сранивает их по какому-либо критерию близости.
3
AC
Вычисляет амплитудный спектр как модуль БПФ
4
АЦП
Аналого-цифровое преобразование
5
БПФ
Быстрое преобразование Фурье
6
ДК
Вычисляет дополнительные координаты. Если дополнительные координаты связаны с исходными безынерционным преобразованием, то при вычислении дополнительных координат может использоваться функциональное преобразование траекторией матрицы. Расширенная дополнительными координатами траекторная матрица определится соотношением <img file="00000039.tif" he="7" wi="27" img-content="undefined" img-format="tif" />, где <img file="00000040.tif" he="5" wi="3" img-content="undefined" img-format="tif" />, T - расширенная (за счет ведения дополнительных координат) и исходная траекторные матрицы, соответственно, G(T) - матрица, элементы которой получаются путем вычисления функции G(.) от элементов матрицы T.
7
ИВР
Имитатор времянных рядов. Предназначен для моделирования времянных рядов с заданными динамическими и статистическими характеристиками, осуществляемым с целью проверки работоспособности айгеноскома и для сранительного айгеноскопического анализа.
8
Интерфейс
Обеспечивает визуализацию результатов в айгеноскопии и управление айгеноскопом в диалоге с пользователем.
9
МКК
Вычисляет значение критерия МКК с использованием соотношения (7)
10
Память
Хранит исходные ряды, промежуточные и окончательные результаты анализа, а также историю операций, производимых пользователями. Хранит программное обеспечение.
11
ПАРС
Вычисляет параметрические статистики.
12
ПОРС
Вычисляет порядковые статистики.
13
СВ и СЗ
Вычисляет собственные вектора и собственные значения.
14
СП
Вычисляет скалярные произведения.
15
ФН
Вычисляет функции непревышения.
16
ШОИиП
Осуществляет обмен интерфейса и памяти
17
ШУВ
Осуществляет управление вычислениями
18
ЯО
Вычисляет ядерные оценки плотностей вероятностей
Все описанные выше и многие другие способы айгеноскопического анализа могут быть реализованы в рамках функциональной схемы, приведенной на фиг.20. Мы остановились в предыдущем разделе достаточно подробно на способах использования собственных векторов и собственных значений для анализа одномерных и многомерных времянных рядов. Теперь остановимся более подробно на преимуществах, которые открывает использование айгеноскопии.
Преимущества.
Продемонстрируем преимущества предлагаемого технического решения на примерах.
В качестве первого примера, рассмотрим выявление в одномерном времянном ряде вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое крайне низкочастотного диапазона составляющих, вызываемых лунными приливами и двойными звездными системами.
1
2
В таблице 5 приведены некоторые характерные частоты связанные с действием лунных приливов и две частоты обращения двойных звездных систем из таблицы 2. На фиг.21 приведены амплитудные спектры, полученные из одномерных времянных рядов с использованием прототипа. На фиг.21а вертикальная линия, соответствующая M, находится в непосредственной близости от максимума амплитудного спектра, а на фиг.21б - вертикальная линия, соответствующая 2N, находится в области спектрального минимума. Это свидетельствует о том, что выявление частот не является уверенным. То же самое (но в большей мере) относится и к частотам обращения двойных звездных систем - (см. 21в и 21г).
Таблица 5
N пп
Частота, Гц
Период, час.
Символьное обозначение
1
1.9389е-5
14.3261
2N<sub>2</sub>
2
1.11681е-5
24.8724
M<sub>1</sub>
3
2.250299399374е-5
12.344
-
3
3.828211138105е-5
7.2561
-
Ранее на фиг.11а и 11б были приведены структурные схемы виртуального прибора, используемые при выявлении фиксированных частот, соответствующих периодам обращения двойных звездных систем. Состав блоков виртуального прибора представлен в таблице 6 и 7.
1
2
1
2
Рассмотрим результаты анализа тех же времянных рядов с целью выявления частот лунных приливов M и 2N, но проведенные уже с использованием айгеноскопа, конкретная реализация которого совпадает с виртуальным прибором фиг.11б. На фиг.9а и 10а представлены отрезки (отрезок, а не весь собственный вектор, приведен потому, что в приводимом масштабе особенности приведенного «полностью» собственного вектора теряются) собственных векторов ковариационной матрицы времянного ряда (выход блока 2) отобранные в анализаторе 3 по критерию МКК для частот, совпадающих с частотой M (фиг.9а) и 2N (фиг.10а). Сравнение графиков амплитудных спектров собственных векторов, представленных на фиг.9б и 10б, и амплитудных спектров, полученных с использованием прототипа, представленных на фиг.21, показывают преимущества, которые открывает использование заявляемой схемы айгеноскопа.
На фиг.22а-22г представлены отрезки четырех собственных векторов на выходе блока «Селектор СВ» (фиг.11а), отобранные по критерию МКК для одной из двойных звездных систем с периодом 3.833904 часа, имеющие нормированные собственные значения от -37.3 до -37.8 дБ. На фиг.8 приведены амплитудные спектры этих же собственных векторов, представленные в полулогарифмическом масштабе. Как видно из графиков, все четыре собственных вектора, отобранные по критерию МКК, имеют максимум амплитудного спектра, совпадающий с частотой обращения двойной звездной системы. Отношение максимума амплитудного спектра к его среднему значению лежит для четырех отобранных по критерию МКК собственных значений в пределах от 49.4 до 51.8 дБ.
Таким образом, и в этом случае простейшая схема айгеноскопа (фиг.11б) демонстрирует преимущества по отношению к прототипу и обеспечивает уверенное выделение частот обращения двойных звездных систем.
На фиг.23 представлен отрезок времянного ряда на входе блока «БПФ» - 23а и амплитудный спектр на выходе блока «БПФ» - 23б (схемы фиг.11а). Как видно на фиг.23б, частоте, совпадающей с чатотой обращения Земли вокруг Солнца (астрономический год), соответстует максимум амплитудного спектра. Таким образом, схема айгеноскопа, представленная на фиг.11а, позволяет выявлять модуляции амплитуды компоненты исходного ряда, вычисленной в подпространстве собственных векторов, подобных по критерию МКК синусоидальному сигналу с частотой обращения двойной звездной системы.
Рассмотрим еще два примера, иллюстрирующие работу айгеноскопа. Эти примеры получены в ходе имитационного моделирования работы айгеноскопа, имеющего целью анализ его рабочих характеристик (прежде всего - чувствительности).
Первый пример иллюстрирует анализ с помощью айгеноскопа, имеющего функциональную схему, представленную на фиг.20, гармонического времянного ряда, модулированного по амплитуде периодической функцией. Проиллюстрированы два варианта периодической модулирущей функции:
- гармоническая модулирующая функция,
- меандр.
Полагалось, что исходный времянной ряд или зашумлен нормальным шумом, или подвергается аналого-цифровому преобразованию (действуют шумы квантования).
На фиг.24 представлены:
- нормированный спектр собственных значений - 24а
- амплитудный спектр отрезка гармонического времянного с гармонической амплитудной модуляцией - 24б,
- первые 4 собственных вектора - 24в и 24г.
Таблица 6
Назначение блоков айгеноскопа, представленного на фиг.11а, предназначенного для обнаружения в полях приземного слоя атмосферы компонент с частотами, совпадающими с частотами обращения двойных звездных систем, и их амплитудных модуляций с частотой астрономического года
Номер пп
Наименование блока
Назначение блока
1
Вычислитель КМ и СВ и СЗ
Вычисляет траекторную матрицу, далее на ее основе - ковариационную матрицу, далее - ее собственные вектора и собственные значения
2
Вычислитель АПСВ
Отбирает 4 собственных вектора, которые (по критерию МКК) наиболее близки к отрезку гармонического времянного ряда с частотой f<sub>i</sub>.
3
Нелинейный фильтр
Состоит из фильтров, согласованных с отобранными собственными векторами, квадраторов, сумматора и вычислителя квадратного корня, на выходе которого получается амплитуда (длина вектора) компоненты времянного ряда с частотой, близкой к f<sub>i</sub>.
4
БПФ и АС
Осуществляет вычисление модуля быстрого преобразования Фурье (амплитудный спектр) и сравнение его с искомой частотой модуляции F<sub>мод</sub>.
Таблица 7
Назначение блоков айгеноскопа, представленного на фиг.11б, предназначенного для обнаружения в полях приземного слоя атмосферы компонент с частотами, совпадающими с частотами обращения двойных звездных систем и частотами лунных приливов
Номер пп
Наименование блока
Назначение блока
1
Вычислитель КМ и СВ и СЗ
Вычисляет траекторную матрицу, далее на ее основе -ковариационную матрицу, далее - ее собственные вектора и собственные значения
2
БПФ и АС
Осуществляет вычисление модуля быстрого преобразования Фурье (амплитудный спектр) и сравнение его с искомой частотой модуляции F<sub>мод</sub>.
Как видно из фиг.24, айгеноскоп позволяет уверенно выявлять амплитудные модуляции гармонических времянных рядов.
На фиг.25 показан случай предельно низкого индекса модуляции (-46 дБ), при котором еще удается выявить 3-6 собственные вектора (при отношении сигнал-шум 40 дБ). Фиг.25а иллюстрирует для этого случая нормированный спектр собственных значений, а фиг.25б - амплитудный спектр исходного сигнала. Как видно из графиков, нормированный спектр собственных значений еще позволяет выявлять собственные вектора, несущие информацию об амплитудной модуляции, тогда как на амплитудном спектре исходного времянного ряда составляющих, отвечающих за амплитудную модуляцию уже не видно (сравните фиг.25б и фиг.24б).
На фиг.25в и 25г показаны полученные с использованием имитационного моделирования:
- зависимость среднего относительного уровня 3-6 собственных значений от индекса модуляции;
- зависимость минимального выявляемого индекса модуляции от разрядности АЦП (аддитивные шумы отсутствуют).
Следует отметить, что для AM сигнала отношение суммы собственных значений 3-6 сосбтвенных векторов к сумме собственных значений 1-2 собственных векторов на 3 дБ меньше индекса модуляции. Имитационное моделирование позволяет утверждать, что айгеноскоп для случая анализа гармонических рядов, имеющих амплитудную модуляцию периодическим сигналом в шумах, имеет чувствительность (по индексу модуляции) примерно на 5-6 дБ лучше чем отношение сигнал-шум. Так например, если отношение сигнал-шум 50 дБ, то айгеноскоп будет иметь чувствительность от -55 до -56 дБ.
Ситуация несколько осложняется когда модулирующий сигнал имеет периодическую, но не гармоническую природу. На фиг.26 представлен нормированный спектр собственных значений ковариационной матрицы и амплитудный спектр исходного времянного ряда для случая, когда модулирующий сигнал имеет форму меандра. Как видно из графиков, каждой гармонике на нормированном спектре собственных значений соответствует своя четверка собственных векторов, которые остаются различимыми вплоть до 7 гармоники.
В случае отсутствия амплитудной модуляции айгеноскоп может использовать первые два собственных вектора. Это иллюстрируется фиг.27, на которой приведены:
- спектр собственных значений - 27а,
- первые 2 собственных вектора - 27б,
- амплитудный спектр первого собственного вектора - 27в.
Айгеноскоп может быть использован и при анализе полигармонических сигналов вида
где
i
A,  - случайны и распределены по закону Релея,
i
ϕ,  - случайные начальные фазы равномерно распределенные в интервале [0,2π|,
i
T,  - случайные заранее неизвестные периоды равномерно распределенные в интервале ,
0
T - заранее известный период, принадлежащий интервалу  - для выявления их составляющих.
0
0
0
Фиг.28 иллюстрирует использование айгеноскопа для случая сигнала (8) при N=6; ; T=11.07, интервале анализа 100 и длительности времянного ряда 1000. На фиг.28а показан спектр собственных значений. Фиксированной частоте соответствуют 13 и 14 собственные значения, отстоящие от первых 12 собственных значений и 15-50 собственных значений. На фиг.28б приведен амплитудный спектр полигармонического сигнала, а вертикальной линией обозначен дискретный отсчет амплитудного спектра, соответствующий T=11.07. Пары графиков на 28в, 28г и 28д, 28е показывают, собственные вектора и их амплитудные спектры, на которых вертикальными линиями обозначены отсчеты, соответствующие T=11.07. Как видно из графиков амплитудных спектров для 13 и 14 собственных векторов, максимумы совпадают с известной частотой и имеют (по крайней мере) 20 дБ превышение над другими локальными максимумами амплитудных спектров.
Проведенная серия имитационных экспериментов в рамках модели сигнала (8) свидетельствует о том, что при разрядностях 10, 12, 14, 16, используемых в блоке вычисления собственных векторов и собственных значений, с высокой вероятностью обнаруживаются составляющие с уровнями -75, -90, -100, -110 дБ по отношению к среднему уровню времянного ряда, соответственно. В то же самое время, при тех же разрядностях гарантированно выявляются составляющие с уровнем -50 дБ.
z
ф
1
Фиг.29 иллюстрирует выявление с помощью айгеноскопа периодической синусоидальной с известной частотой из реального времянного ряда. В качестве реального времянного ряда рассматривался ряд E с временем дискретизации 1 час и длиной 2111 часов, в который была искуственно введена составляющая с периодом Т=е=2.7183 и уровнем -30 дБ. На фиг.29а представлен нормированный спектр собственных значений для вреенного ряда, использованного в этом эксперименте.
ф
88
91
z
Фиг.29б демонстрирует невозможность выявления такой составляющей в амплитудном спектре времянного ряда, тогда как фиг.29г и 29е демонстрируют наличие составляющей с периодом Т в 88 и 91 собственных векторах, имеющих собственные значения λ=-33.18 дБ и λ=-33.28 дБ. Таким образом, мы видим, что айгеноскоп обладает достаточной чувствительностью для того, чтобы выявлять энергетически не доминирующие гармонические составляющие из реальных времянных рядов E.
Как мы видим, айгеноскоп обладает значительными преимуществами при выявлении периодических составляющих и их модуляций в том случае, когда эти периодические составляющие не являются энергетически доминирующими, а индексы модуляции малы. Таким образом, айгеноскоп расширяет возможности выявления периодических и периодических модулированных составляющих сигнала до значений, которые недоступны классическому спектральному анализу.
Описание полезной модели.
На фиг.1 приведена первая структурная схема айгеноскопа. На вход блока 1 масштабирования поступает многомерный времянной ряд (несколько дискретных сигналов, поступающих - в едином дискретном времени - по нескольким каналам приема); для заданного интервала анализа в блоке 2 вычисляется матрица смешанных моментов (в простейшем случае ковариационная матрица); затем в блоке 3 производится вычисление собственных векторов и собственных значений матрицы смешанных моментов; в блоке 4 осуществляется вычисление скалярных произведений исходного сигнала и собственных векторов (обобщенный спектралный анализ в базисе собственных векторов) и анализ структуры самих собственных векторов и нормированного спектра собственных значений - с целью выявления характерных признаков искомых физических явлений.
На фиг.3 представлена структурная схема блока 1. В блоке 7 определяется коэффициент масштабирования, на который в блоке 6 перемножается исходный сигнал. В частном случае коэффициент может оставаться постоянным, в другом - быть обратным по отношению к норме сигнала на интервале анализа, так что в блоке 2 вычисляется матрица смешанных моментов на основе нормированного на интервале анализа сигнала.
N×N
N×N
На фиг.2 представлена вторая схема айгеноскопа, в которой блок масштабирования заменен на блок нелинейного преобразования с помощью которого к исходному многомерному времянному ряду добавляются дополнительные составляющие (дополнительные координаты), так что размерность многомерного времянного ряда на выходе 5 больше, чем размерность исходного многомерного времянного ряда. В блоке 2 осуществляется оценка (на некотором интервале неизменности характеристик времянного ряда) матрицы смешанных многомерного времянного ряда. Матрица смешанных моментов K оценивается на некотором заданном интервале анализа. Размерность ковариационной матрицы равна N=M·G, где M - интевал анализа, G - размерность времянного ряда на выходе блока нелинейного преобразования 5. На выходе блока 3 получаются N собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы K. Третий (сверху) выход блока 4 содержит собственные значения, а четвертый (сверху) - собственные вектора. Собственные значения и собственные вектора остаются неизменными на интервале неизменности характеристик времянного ряда. Блок 4 - как и в первой схеме айгеноскопа осуществляет обобщенный спектральный анализ в базисе собственный векторов и анализ признаков искомых физических явлений.
Структура блока нелинейного преобразования 5 представлена на фиг.4 и состоит из ряда блокой функционального преобразования и блока объединения координат.
На фиг.5 представлена структурная схема блока 4, которая обеспечивает многообразие как описанных выше способов анализа, так и их всевозможные сочетания и комбинации. Она остается неизменной для первой и второй структурных схем айгеноскопа.
Описание фигур-чертежей.
Фиг.1. Структурная схема айгеноскопа по п.1 формулы полезной модели: 1 - блок масштабирования, 2 - блок вычислителя матрицы смешанных моментов, 3 - блок вычислителя собственных векторов и собственных значений, 4 - блок вычислителя скалярных произведений и анализатора признаков.
Фиг.2. Структурная схема айгеноскопа по п.2 формулы полезной модели: 2 - блок вычислителя матрицы смешанных моментов, 3 - блок вычислителя собственных векторов и собственных значений, 4 - блок вычислителя скалярных произведений и анализатора признаков, 5 - блок нелинейного преобразования.
Фиг.3. Структурная схема блока 1 масштабирования по п.3 формулы полезной модели: 6 - блок перемножения, 7 - блок вычислителя коэффициента масштабирования.
Фиг.4. Структурная схема блока 5 нелинейного преобразования по п.4 формулы полезной модели: 8.1…8.К - блоки функционального преобразования, 9 - блок объединения координат, К - число дополнительных координат.
Фиг.5. Структурная схема блока 4 вычислителя скалярных произведений и анализатора признаков по п.5 формулы полезной модели: 10 - блок памяти, 11 - блок программного управления, 12 - блок визуализации и ручного управления, 13 - блок вычислителя критерия максимума коэффициента корреляции, 14 - блок вычислителя амплитуд компонент в подпространстве собственных векторов, 15 - блок вычислителя быстрого преобразования Фурье, 16 - блок вычислителя амплитудного спектра, 17 - блок вычислителя функции непревышения, 18 - блок вычислителя ядерных оценок плотности вероятностей, 19 - блок вычислителя параметрических статистик, 20 - блок вычислителя порядковых статистик, 21 - блок анализатора подобия собственных векторов, 22 - блок вычислителя скалярных произведений, 23 - блок линейной фильтрации, 24 - блок нелинейной фильтрации, 25 - блок имитации времянных рядов.
Фиг.6. Прототип. Структурная схема спектроанализатора из [1]: 26 - блок премножения, 27 - блок интегрирования, 28 - блок местных гетеродинов.
Фиг.7. Прототип. Обобщение схемы спектроанализатора [1]: 4 - вычислитель скалярных произведений, 28 - блок местных гетеродинов.
Фиг.8. Амплитудные спектры отобранных по критерию МКК собственных векторов (составляющая D геомагнитного поля, Мемабецу, 1950-1999) для частоты, имеющей период 3.383904 часа (частота 8.2090е-05 Гц) - масштаб полулогарифмический. По оси абсцисс - частота в Гц. По оси ординат - нормированные к максимуму амплитудные спектры 534, 535, 614 и 615 собственных векторов (M=1000). Отношения максимального значения амплитудного спектра к среднему значению для 534, 535, 614 и 615 собственных векторов равны 312.8; 308.4; 293.8 и 388, соответственно. Вертикальной пунктирной линией показана частота 8.2090е-05 Гц.
1
Фиг.9а. Фрагмент 76 и 77 собственных векторов для составляющей D геомагнитного поля, Мемабецу, 1950-1999: сегменты (отсчеты 1-36, M=1000). Отобранны по критерию МКК, для частоты прилива M. По оси абсцисс - дискретное время в часах. По оси ординат - значения отсчетов собственных векторов.
Фиг.9б. Амплитудные спектры 76 и 77 собственных векторов составляющей D геомагнитного поля, Мемабецу, 1950-1999. По оси абсцисс - частота в Гц. По оси ординат нормированный амплитудный спектр (масштаб - линейный). Вертикальной пунктирной линией показана частота 1.11681е-05 Гц.
2
Фиг.10а. Фрагменты 185 и 186 собственных векторов для составляющей Н геомагнитного поля, Мемабецу, 1950-1999: сегменты (отсчеты 1-21, M=1000). Отобранны по критерию МКК, для частоты прилива 2N. По оси абсцисс - дискретное время в часах. По оси ординат - значения отсчетов собственных векторов.
Фиг.10б. Амплитудные спектры 185 и 186 собственных векторов составляющей Н геомагнитного поля, Мемабецу, 1950-1999. По оси абсцисс - частота в Гц. По оси ординат нормированный амплитудный спектр (масштаб - линейный). Вертикальной пунктирной линией показана частота 1.93896е-05 Гц.
Фиг.11а. Конкретная реализация айгеноскопа для выявления модуляции амплитуды сигнала в подпространстве собственных векторов, близких по критерию МКК к частоте обращения двойных звездных систем (соответствует структурной схеме фиг.1):
Блок масштабирования - отсутствует;
Блоки 2 и 3 имеют программную реализацию в виде вычислителя ковариационной матрицы, собственных векторов и собственных значений. {EV}, {EZ} - совокупности собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы;
i
мод
В блок 4 входят селектор собственных векторов, вычислитель амплитуды в подпространстве собственных векторов, вычислитель быстрого преобразования Фурье. Селектор собственных векторов выявляет собственные вектора, которые близки по критери МКК к отрезкам синусоид с частотой f, совпадающей с частотой обращения конкретной двойной звездной системы. Вычислитель амплитуды сигнала в подпространтстве (отобранные в селекторе по критерию МКК) собственных векторов реализован в виде набора согласованных с собственными векторами фильтров (CcEV1Ф-CcEV4Ф), квадраторов (KB), сумматора (СУМ) и вычислителя квадратного корня (КК). Выявление амплитудной модуляции (с частотой F) осуществляется с помощью БПФ и анлизатора амплитудного спектра (АС).
Фиг.11б. Конкретная реализация айгеноскопа для выявления собственных векторов, близких по критерию МКК к частоте обращения двойных звездных систем (соответствует структурной схеме фиг.1).
z
Фиг.12а. Использование оценок плотности вероятностей отсчетов собственного вектора (в качестве примера рассмотрен времянной ряд E, M=168): 15 собственный вектор - имеет колебательный характер. По оси абсцисс - дискретное время - в часах, по оси ординат - отсчеты собственного вектора.
z
Фиг.12б. Использование оценок плотности вероятностей отсчетов собственного вектора (в качестве примера рассмотрен времянной ряд E, M=168): гистограмма отсчетов 15 собственного вектора.
z
Фиг.12в. Использование оценок плотности вероятностей отсчетов собственного вектора (в качестве примера рассмотрен времянной ряд E, М=168): гауссовская ядерная оценка плотности вероятностей значений отсчетов 15 собственого вектора. Бимодальность оценки плотности вероятности - следствие колебательного характера собственного вектора.
z
Фиг.12г. Использование оценок плотности вероятностей отсчетов собственного вектора (в качестве примера рассмотрен времянной ряд E, M=168): 167 собственный вектор - имеет «шумовой» характер. По оси абсцисс - дискретное время - в часах, по оси ординат - отсчеты собственного вектора.
z
Фиг.12д. Использование оценок плотности вероятностей отсчетов собственного вектора (в качестве примера рассмотрен времянной ряд E, М=168): гистограмма отсчетов 167 собственного вектора.
z
Фиг.12е. Использование оценок плотности вероятностей отсчетов собственного вектора (в качестве примера рассмотрен времянной ряд E, M=168): гауссовская ядерная оценка плотности вероятностей значений отсчетов 167 собственого вектора. Оценка плотности вероятностей унимодальна и по форме походит на гаусовскую кривую.
i+1
i
Фиг.13а. Анализ с помощью айгеноскопа времянного ряда, подчиняющегося универсальности Фейгенбаума: времянной ряд, подчиняющийся рекуррентному соотношению X=λ·sin(X), λ=3.077, i=1:1000. По оси абсцисс - дискретное время. По оси ординат - отсчеты времянного ряда.
Фиг.13б. Анализ с помощью айгеноскопа времянного ряда, подчиняющегося универсальности Фейгенбаума: нормированные спектры собственных значений для исходного времянного ряда (*) и времянного ряда, в который введены дополнительные вкадратичные координаты (o). По оси абсцисс - номер собственного значения. По оси ординат - нормированное собственное значение.
Фиг.14а. Диаграмма рассеяния в координатах «отношение максимума к среднему значению амплитудного спектра собственного вектора» - «частота максимума амплитудного спектра собственного вектора». По оси абсцисс - номер отсчета быстрого преобразования Фурье, при котором наблюдается максимум амплитудного спектра собственного вектора. По оси ординат - отношение максимума амплитудного спектра к его среднему значению - в децибеллах. (o) - значения для реального времянного ряда, (*) - значения для времянного ряда, полученного в имитационном эксперименте. Вертикальные пунктирная и штрих-. пунктирная линии соответсвуют частотам обращения двух двойных звездных систем, приведенных в легенде.
Фиг.14б. Ядерная оценка плотности вероятностей (линейный масштаб по ординате) отношения максимума и среднего значения амплитудного спектра собственного вектора (в децибеллах). По оси абсцисс - значение отношения в дБ. По оси ординат - ядерная оценка. Левая кривая соответствует шуму, правая - исследуемому времянному ряду.
Фиг.14в. То же, что и на фиг.14б), но в случае логарифмического масштаба по оси ординат.
Фиг.15а, 15б. Амплитудные спектры собственных векторов времянного ряда вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы, отобранных в айгеноскопе с использованием диаграммы рассеяния фиг.14а для частоты обращения двойной звездной системы 2.250299399374е-5 Гц. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр. Пунктирными вертикальными линиями показаны частоты обращения двух двойных звездных систем (2.250299399374е-5 Гц и 3.828211138105е-5 Гц).
Фиг.15в, 15г. Амплитудные спектры собственных векторов времянного ряда вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы, отобранных в айгеноскопе с использованием диаграммы рассеяния фиг.14а для частоты обращения двойной звездной системы для частоты 3.828211138105е-5. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр. Пунктирными вертикальными линиями показаны частоты обращения двух двойных звездных систем (2.250299399374е-5 Гц и 3.828211138105е-5 Гц).
Фиг.16а, 16б. Амплитудные спектры собственных векторов нормального некоррелированного шума, отобранных в айгеноскопе с использованием диаграммы рассеяния фиг.14а для частоты обращения двойной звездной системы для частоты 2.250299399374е-5. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр. Пунктирными вертикальными линиями показаны частоты обращения двух двойных звездных систем (2.250299399374е-5 Гц и 3.828211138105е-5 Гц).
Фиг.16в, 16г. Амплитудные спектры собственных векторов нормального некоррелированного шума, отобранных в айгеноскопе с использованием диаграммы рассеяния фиг.14а для частоты обращения двойной звезднойх системы для частоты 3.828211138105е-5. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр. Пунктирными вертикальными линиями показаны частоты обращения двух двойных звездных систем (2.250299399374е-5 Гц и 3.828211138105е-5 Гц).
Фиг.17а. Диаграмма «Максимум МКК» - «частота», построенная для окрестности частоты обращения двойной звездной системы 2.250299399374е-5 Гц. Вертикальными пунктирными линиями показаны частота 2.250299399374е-5 Гц и границы, задаваемые частотным дискретом БПФ (2.250299399374е-5±2.7778е-7) Гц. По оси абсцисс - частота в Гц, по оси ординат - максимум коэффициента корреляции (7).
Фиг.17б. Диаграммы «Максимум МКК» - «частота», построенная для окрестности частоты обращения двойной звездной системы 3.828211138105е-5 Гц. Вертикальными пунктирными линиями показаны частота 3.828211138105е-5 Гц и границы, задаваемые частотным дискретом БПФ (3.828211138105е-5±2.7778е-7) Гц. По оси абсцисс - частота в Гц, по оси ординат - максимум коэффициента корреляции (7).
Фиг.18. Амплитудный спектр собственного вектора, отобранного с использованием диаграммы фиг.17а. Максимум амплитудного спектрав соответствует частоте обращения двойной звездной системы 2.250299399374е-5 Гц. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр. Пунктирными вертикальными линиями показаны частоты обращения двух двойных звездных систем (2.250299399374е-5 Гц и 3.828211138105е-5 Гц).
Фиг.19. Амплитудный спектр собственного вектора, отобранного с использованием диаграммы фиг.17б. Максимум амплитудного спектрав соответствует частоте обращения двойной звездной системы 3.828211138105е-5 Гц. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр. Пунктирными вертикальными линиями показаны частоты обращения двух двойных звездных систем (2.250299399374е-5 Гц и 3.828211138105е-5 Гц).
Фиг.20. Функциональная схема айгеноскопа:
АЦП - аналого-цифровой преобразователь,
АК - амплитуда компонент в подпространстве СВ,
АПСВ - анализатор подобия собственных векторов,
АС - амплитудный спектр,
БПФ - быстрое преобразование Фурье,
ДК - дополнительные координаты,
ИВР - имитатор времянных рядов,
МКК - критерий максимума коэффициента корреляции,
ПАРС - параметрические статистики,
ПОРС - порядковые статистики,
СВ и СЗ - собственные вектора и собственные значения,
СП - скалярное произведение,
ФН - функция непревышения,
ЯО - ядерная оценка плотности вероятностей,
ШОИиП - шина обмена интерфейса и памяти,
ШУВ - шина управления вычислителями.
1
Фиг.21а. Амплитудные спектры времянного ряда, полученный с использованием прототипа. Вертикальной пунктирной линией указана частота лунного прилива M - 1.11680819445е-5 Гц - выявление неуверенное. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр.
2
Фиг.21б. Амплитудные спектры времянного ряда, полученный с использованием прототипа. Вертикальной пунктирной линией указана частота лунного прилива 2N - 1.9389513889е-5 Гц - выявление неуверенное. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр.
Фиг.21в. Амплитудные спектры времянного ряда, полученный с использованием прототипа. Вертикальной пунктирной линией указана частота обращения двойной звездной системы 2.250299399374е-5 Гц - выявление еще более не уверенное, чем при выявлении лунных приливов. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр.
Фиг.21г. Амплитудные спектры времянного ряда, полученный с использованием прототипа. Вертикальной пунктирной линией указана частота обращения двойной звездной системы 3.828211138105е-5 Гц - выявление еще более не уверенное, чем при выявлении лунных приливов. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр.
z
Фиг.22а. 534-ый собственный вектор (M=1000, показаны первые 168 отсчетов) для времянного ряда E, отобранные по критерию МКК для периода 3.383904 часа (частота 8.2090е-05 Гц) с целью последующего выявления амплитудных модуляций, соответствующих астрономическому году с помощью айгеноскопа, представленного на фиг.11а. Нормированное собственное значение равно 1.8570е-4 и МКК=0.4806. По оси абсцисс - дискретное время в часах. По оси ординат отсчеты значений собственного вектора.
z
Фиг.22б. 535-ый собственный вектор (М=1000, показаны первые 168 отсчетов) для времянного ряда E, отобранные по критерию МКК для периода 3.383904 часа (частота 8.2090е-05 Гц) с целью последующего выявления амплитудных модуляций, соответствующих астрономическому году с помощью айгеноскопа, представленного на фиг.11а. Нормированное собственное значение равно 1.8570е-4 и МКК=0.4806. По оси абсцисс - дискретное время в часах. По оси ординат отсчеты значений собственного вектора.
z
Фиг.22в. 614-ый собственный вектор (М=1000, показаны первые 168 отсчетов) для времянного ряда E, отобранные по критерию МКК для периода 3.383904 часа (частота 8.2090е-05 Гц) с целью последующего выявления амплитудных модуляций, соответствующих астрономическому году с помощью айгеноскопа, представленного на фиг.11а. Нормированное собственное значение равно 1.6671е-4 и МКК=0.4613. По оси абсцисс - дискретное время в часах. По оси ординат отсчеты значений собственного вектора.
z
Фиг.22г. 615-ый собственный вектор (М=1000, показаны первые 168 отсчетов) для времянного ряда E, отобранные по критерию МКК для периода 3.383904 часа (частота 8.2090е-05 Гц) с целью последующего выявления амплитудных модуляций, соответствующих астрономическому году с помощью айгеноскопа, представленного на фиг.11а. Нормированным собственным значением 1.6647е-4 и МКК=0.4291. По оси абсцисс - дискретное время в часах. По оси ординат отсчеты значений собственного вектора.
z
z
Фиг.23а. Сигналы на выходе блока «КК» и блока «БПФ и АС» айгеноскопа, представленного на фиг.11а, полученные при обработке времянного ряда E: отрезок времянного ряда амплитуды компоненты E, вычисленной в подпространстве собственных векторов, представленных на фиг.22а, 22б, 22в и 22г. По оси абсцисс - дискретное время в часах. По оси ординат - амплитуда. Вертикальными пунктиными линиями обозначены интервалы равные астрономическому году.
Фиг.23б. Амплитудный спектр сигнала, представленного на фиг.23а. Вертикальной пунктирной линией показана частота, соответстующая астрономическому году. По оси абсцисс - частота в Гц. П оси ординат - нормированный к своему максимуму амплитудный спектр.
Фиг.24а. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного времянного ряда (модуляция синусоиды синусоидой): нормированный спектр собственных значений. По оси абсцисс - номер собственного значения (1-17). По оси ординат - нормированный спектр собственных значений в дБ. Пунктирной и штрих-пунктирной горизонтальными линиями показазаны средние для 7-17 и 3-6 собственных значений, соответственно. Параметры модулируемой и модулирующей синусоид и айгеноскопа:
Период модулируемой синусоиды ТС=10.07 дискрета;
Период содулирующей синусоиды ТМ=100 дискретов,
интервал анализа М=100;
длительность анализируемого сигнала N=1000;
Индекс амплитудной модуляции MI=-10 дБ;
Отношение сигнал-шум SNR=40 дБ;
Отношение среднего для 3-6 собственных значений к 7-17 собственным значениям MSZ(3:6)/MSZ(7:17)=36.11 дБ.
Фиг.24б. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного времянного ряда (модуляция синусоиды синусоидой): амплитудные спектры отрезка синусоиды (AS Carier Sygnal) и амплитудно модулированного отрезка синусоиды (AS AM Sygnal for…) длительностью N=1000. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму значение амплитудного спектра в дБ. Параметры модулируемой и модулирующей синусоид и айгеноскопа:
Период модулируемой синусоиды ТС=10.07 дискрета;
Период содулирующей синусоиды ТМ=100 дискретов,
интервал анализа М=100;
длительность сигнала N=1000;
Индекс амплитудной модуляции MI=-10 дБ;
Отношение сигнал-шум SNR=40 дБ;
Отношение среднего для 3-6 собственных значений к 7-17 собственным значениям MSZ(3:6)/MSZ(7:17)=36.11 дБ.
Фиг.24в. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного времянного ряда (модуляция синусоиды синусоидой): 3 и 4 собственные векторы. По оси абсцисс - дискретное время. По си ординат - отсчеты значений собственных векторов. Коэффициент корреляции между амплитудными спектрами этих сосбтвенных векторов KAS(3,4)=0.9845. Параметры модулируемой и модулирующей синусоид и айгеноскопа:
Период модулируемой синусоиды ТС=10.07 дискрета;
Период модулирующей синусоиды ТМ=100 дискретов,
интервал анализа М=100;
длительность сигнала N=1000;
Индекс амплитудной модуляции MI=-10 дБ;
Отношение сигнал-шум SNR=40 дБ;
Отношение среднего для 3-6 собственных значений к 7-17 собственным значениям MSZ(3:6)/MSZ(7:17)=36.11 дБ.
Фиг.24г. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного времянного ряда (модуляция синусоиды синусоидой): 5 и 6 собственные векторы. По оси абсцисс - дискретное время. По оси ординат - отсчеты значений собственных векторов. Коэффициент корреляции между амплитудными спектрами этих сосбтвенных векторов KAS(3,4)=0.9898. Параметры модулируемой и модулирующей синусоид и айгеноскопа:
Период модулируемой синусоиды ТС=10.07 дискрета;
Период содулирующей синусоиды ТМ=100 дискретов,
интервал анализа М=100;
длительность сигнала N=1000;
Индекс амплитудной модуляции MI=-10 дБ;
Отношение сигнал-шум SNR=40 дБ;
Отношение среднего для 3-6 собственных значений к 7-17 собственным значениям MSZ(3:6)/MSZ(7:17)=36.11 дБ.
Фиг.25а. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного времянного ряда (модуляция синусоиды синусоидой): нормированный спектр собственных значений. По оси абсцисс - номер собственного значения (1-17). По оси ординат - нормированный спектр собственных значений в дБ. Пунктирной и штрих-пунктирной горизонтальными линиями показаны средние для 7-17 и 3-6 собственных значений, соответственно. Отношение среднего для 3-6 собственных значений к 7-17 собственным значениям MSZ(3:6)/MSZ(7:17)=2.738 дБ.
Фиг.25б. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного времянного ряда (модуляция синусоиды синусоидой): амплитудный спектр отрезка времянного ряда на интервале анализа для этого случая. Сравнение с фиг.24б) показывает, что боковые частоты уже не наблюдаются.
Фиг.25в. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного времянного ряда (модуляция синусоиды синусоидой): зависимость среднего значения 3-6 собственных значений от индекса модуляции. По оси абсцисс - индекс модуляции в дБ. По оси ординат - среднее значение в дБ. Отношение сигнал-шум 40 дБ.
Фиг.25г. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного времянного ряда (модуляция синусоиды синусоидой): зависимость предельно обнаруживаемого индекса модуляции от разрядности АЦП на входе айгеноскопа. По оси абсцисс - разрядность. По оси ординат - индекс модуляции в дБ. При моделировании использовалась формула (2.14) для дисперсии шумов квантования [34, стр.103].
Фиг.26а. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного сигнала (синусоида модулирована меандром): нормированный спектр собственных значений. По оси абсцисс - номер собственного значения (1-50). По оси ординат - нормированное собственное значение в дБ. Хорошо наблюдаются серии из четверок собственных значений - вплоть до седьмой.
Фиг.26б. Анализ с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) амплитудно модулированного сигнала (синусоида модулирована меандром): амплитудные спектры отрезка синусоиды (AS Carier Sygnal) и амплитудно модулированного отрезка синусоиды (AS AM Sygnal for…) длительностью N=1000. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимуму значение амплитудного спектра в дБ.
Фиг.27а. Анализ отрезка синусоиды с помощью айгеноскопа: нормированный спектр собственных значений. По оси абсцисс - номер собственного значения (1-17). По оси ординат - нормированный спектр собственных значений в дБ. Параметры синусоиды и айгеноскопа:
Период модулируемой синусоиды ТС=10.07 дискрета;
Период содулирующей синусоиды ТМ=100 дискретов,
интервал анализа М=100;
длительность сигнала N=1000;
Отношение сигнал-шум SNR=40 дБ.
Фиг.27б. Анализ отрезка синусоиды с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы): 1 и 2 собственные вектора. По оси ординат - отсчеты значений собственных векторов. Собственные вектора близки к отрезкам синусоиды и косинусоиды. Коэффициент корреляции между амплитудными спектрами собственных векторов KAS(1,2)=0.999.
Фиг.27в. Анализ отрезка синусоиды с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы): амплитудный спектр одного из превалирующих собственных векторов. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимальному значению амплитудный спектр в дБ. Вертикальной пунктирной линией показана частота синусоиды.
Фиг.28. Результаты имитационного эксперимента по обнаружению с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) синусоидальной составляющей в полигармоническом времянном ряде: нормированный спектр собственных значений для полигармонического сигнала. По оси абсцисс - номер собственного значения (1-50). По оси ординат - нормированные собственные значения в дБ.
Фиг.28б. Результаты имитационного эксперимента по обнаружению с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) синусоидальной составляющей в полигармоническом времянном ряде: амплитудный спектр полигармонического сигнала, в котором не наблюдаются (присутствующая в этом ряде с уровнем -60 дБ) составляющие с частотой 11.07; по оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимальному значению амплитудный спектр. Вертикальная пунктирная линия соответствует частоте 11.07.
Фиг.28в, 28д. Результаты имитационного эксперимента по обнаружению с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) синусоидальной составляющей в полигармоническом времянном ряде: выявленные 13 и 14 собственные векторы с частотой 11.07; по оси абсцисс - дискретное время. По оси ординат - значение отсчетов собсвенных векторов.
Фиг.28г, 28е. Результаты имитационного эксперимента по обнаружению с помощью айгеноскопа (по п.1 формулы) синусоидальной составляющей в полигармоническом времянном ряде: нормированные к своим максимальным значениям амплитудные спектры 13 и 14 собственных векторов. По оси абсцисс - номера отсчетов быстрого преобазования Фурье. По оси ординат - нормированные к своим максимальным значениям амплитудные спектры 13 и 14 собственных векторов.
z
ф
1
Фиг.29а. Айгеноскопия (по п.1 формулы) времянного ряда E с искусвенно введенной аддитивной синусоидальной составляющей с периодом Т=е=2.7183 и уровнем -30 дБ. Дискрет равен 1 часу. Интервал анализа - 168 часов (две недели). Длина времянного ряда 2111 часов: нормированный спектр собственных значений. По оси абсцисс - номер собственного значения (1-168). По оси ординат - спектр в дБ.
z
ф
ф
1
1
Фиг.29б. Айгеноскопия (по п.1 формулы) времянного ряда E с искусвенно введенной аддитивной синусоидальной составляющей с периодом Т=е=2.7183 и уровнем -30 дБ. Дискрет равен 1 часу. Интервал анализа - 168 часов (две недели). Длина времянного ряда 2111 часов: амплитудный спектр времянного ряда. По оси абсцисс - номер отсчета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - нормированный к своему максимальному значению амплитудный спектр времянного ряда. Вертикальной линией показан номер дискрета, соответствующий периоду Т=е=2.7183.
z
ф
ф
1
1
Фиг.29в. Айгеноскопия (по п.1 формулы) времянного ряда E искусвенно введенной аддитивной синусоидальной составляющей с периодом T=е=2.7183 и уровнем -30 дБ. Дискрет равен 1 часу. Интервал анализа - 168 часов (две недели). Длина времянного ряда 2111 часов: 88 собственный вектор, отобранный по максимуму амплитудного спектра, соответствующего периоду T=е=2.7183. По оси абсцисс - дискретное время. По оси ординат - значения отсчетов собственного вектора.
z
ф
1
Фиг.29г. Айгеноскопия (по п.1 формулы) времянного ряда E с искусвенно введенной аддитивной синусоидальной составляющей с периодом T=е=2.7183 и уровнем -30 дБ. Дискрет равен 1 часу. Интервал анализа - 168 часов (две недели). Длина времянного ряда 2111 часов: нормированный к своему максимальному значению амплитудный спектр 88 собственного вектора. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - амплитудный спектр в дБ.
z
ф
ф
1
1
Фиг.29д. Айгеноскопия (по п.1 формулы) времянного ряда E с искусвенно введенной аддитивной синусоидальной составляющей с периодом T=е=2.7183 и уровнем -30 дБ. Дискрет равен 1 часу. Интервал анализа - 168 часов (две недели). Длина времянного ряда 2111 часов: 91 собственный вектор, отобранный по максимуму амплитудного спектра, соответсвующего периоду T=е=2.7183. По оси абсцисс - дискретное время. По оси ординат - значения отсчетов собственного вектора.
z
ф
1
Фиг.29е. Айгеноскопия (по п.1 формулы) времянного ряда E с искусвенно введенной аддитивной синусоидальной составляющей с периодом T=е=2.7183 и уровнем -30 дБ. Дискрет равен 1 часу. Интервал анализа - 168 часов (две недели). Длина времянного ряда 2111 часов: нормированный к своему максимальному значению амплитудный спектр 91 собственного вектора. По оси абсцисс - номер дискрета быстрого преобразования Фурье. По оси ординат - амплитудный спектр в дБ;
Промышленная применимость полезной модели.
Предлагаемый в заявке айгеноскоп может эффективно использоваться и давать не обнаруживаемые ранее данные, например, при анализе характеристик вибраций:
- зданий и сооружений,
- двигательных установок различного назначения, а также в диагностике:
- сложных динамических систем разной природы,
- медицинской диагностике (кардиология, состояния кровеносного русла, заболеваний нервной системы),
а также в системах звуковой, гидро- и радиолокации (включая пассивные), - в том числе для автоматизации принимаемых решений.
Айгеноскоп может применяться и в научных исследованиях времянных рядов разной природы как для обнаружения новых явлений и эффектов так и для экспериментального подтверждения выдвинутых гипотез.
Айгеноскоп может быть реализован с использованием в ряде блоков стандартных компонент, например, National Instruments, Bittware, Kontron и других производителей встраиваемых систем [39, 40, 41].
Источники информации
1. Френкс Л. Теория сигналов. Нью-Джерси, 1969 г. Пер. с англ., под ред. Д.Е.Вакмана. М., "Сов. радио", 1974, с.344.
2. Харкевич А.А. Спектры и анализ. Изд. 5-е М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
3. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции: Теория обнаружения оценок и линейной модуляции. Пер. С англ. / Под ред. В.И.Тихонова. М.: Сов. радио, 1972.
4. Бор Г. Почти периодические функции: Пер. с нем. / Под ред. А.И.Плеснера. Изд. 3-е М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
5. Гуревич М.С. Спектры радиосигналов. М.: Связьиздат, 1963. 312 с.
6. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: 1990.
7. А/с 657368 Дискретный статитический анализатор. В.И.Якименко
8. А/с 661391 Анализатор спектра частот радиосигнала. О.Н.Денисов, Б.А.Пузанов, В.В.Ветер, Н.А.Симкин
9. А/с 610026 Дискретный анализатор квадратурных составляющих гармонического спектра. В.М.Чернышев
10. А/с 653575 Цифровой анализатор спектра. П.А.Бакулев, В.И.Литюк. Б.А.Юфряков
11. А/с 1158944 Способ измерения спектра Меллина сигналов. В.А.Сапрыкин, С.П.Рокотов, А.К.Волошин, С.И.Тынянкин
12. А/с 1145296 Анализатор спектра. А.Г.Ситник
13. А/с 1166007 Анализатор квазипериодических сигналов. М.В.Шахматов
14. А/с 612180 Устройства для октавного анализа спектра в базисе Уолша. М.А.Брамсон, Ю.Е.Захаров, И.И.Канатов, А.М.Спиваковский
15. А/с 636554 Цифровой анализатор спектра по функциям Уолша. А.В.Зеленков
16. А/с 720369 Аналзатор спектра в базисе Уолша. М.А.Брамсон, М.А.Быкова, Ю.Е.Захаров, Л.Г.Кулакова, Л.А.Сокерчук, В.Ф.Терещенко, Л.С.Тимофеева
17. А/с 572718 Перестраиваемый анализатор спектра Уолша. Л.Н.Павлов
18. А/с 871097 Анализатор энергетического спектра. В.А.Добрыдень, Г.М.Чекалин
19. А/с 789877 Устройство для исследования спектра мощности случайного процесса. В.М.Кудрявцев, А.Н.Осипов
20. А/с 706793 Анализатор энергетического спектра. В.А.Добрыдень, Г.М.Чекалин
21. А/с 620909 Анализатор спектра мощности случайных сигналов. В.Д.Гусев, И.С.Кузнецов, В.Б.Моисеенко
22. А/с 572717 Устройство для измерения спектральной плотности случайных сигналов. В.М.Кодрянский, М.В.Закута, Ю.А.Масюренко, М.М.Таран, А.Д.Ниженский
23. А/с 1257547 Адаптивный анализатор спектра. Ю.В.Шубс, В.Е.Бочаров, А.В.Майструк, В.А.Гудым
24. А/с 758785 Устройство для классификации случайных сигналов по форме энергетического спектра. И.Б.Баздрова, А.И.Кундин, В.А.Павлова, И.В.Разин, В.В.Тетерин
25. А/с 652501 Электронный анализатор спектра. В.В.Нестеров
26. А/с 580522 Ортогональный анализатор спектра. Н.Ф.Воллернер, Ю.В.Шубс
27. Грунская Л.В., Ефимов В.А., Мишин В.А., Никитин О.Р. Повышение достоверности спектральной оценки, получаемой с помощью корреляционного квадратурного приемника // Проектирование и технология электронных средств. Специальный выпуск 2004 г., стр.66-71.
28. Гаврилов И.Н., Грунская Л.В., Исакевич В.В. Статистический и спектральный анализ экспериментальных вариаций электрического поля приземного слоя в крайненизкочастотном диапазоне // Проектирование и технология электронных средств. Специальный выпуск 2003 г., стр.53-58.
29. Грунская Л.В., Исакевич В.В., Исакевич Д.В., Батин А.С., Ефимов В.А. Разработка программно-аппаратного комплекса для исследования воздействия геофизических и техногенных факторов на электрическое поле приземного слоя атмосферы. Биомедицинская радиоэлектроника 6,2008, с.42-47.
30. Батин А.С., Исакевич Д.В., Исакевич В.В. Программное обеспечение для анализа собственных векторов ковариационных матриц времянных рядов. Свидетельство №2008614391.
31. Батин А.С., Исакевич Д.В., Исакевич В.В. Программное обеспечение для анализа времянных рядов с использованием собственных векторов ковариационных матриц. Свидетельство №2008612115.
32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения, теорема, формулы: Пер. с англ. М.: Наука, 1970. 720 с.
33. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 575 с.
34. Проектирование систем цифровой и смешанной обработки сигналов / Под. Ред. У.Кестера М.: Техносфера, 2010. - 328 с.
35. Дж. В. Стретт (Лорд Рэлей). Теория звука, т.1: Пер. с англ. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955.
36. Ландау Д.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. Пособ.: Для вузов. В 10 т. Т III. Квантовая механика. - 8-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
37. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. - М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
38. Фейгенбаум М., Универсальность нелинейных систем, пер. с англ., Успехи физических наук, 1983, т.141, в.2. с.343.
39.
40.
41.
42. Дьяконов В., Абраменков И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2002.
43. Balakin А.В. Extended axion electrodynamics and dark matter finger-prints. 14-th Rissian Gravitation Conference - International Conference on Gravitation, Cosmology and Astrophysics. June 27-July 2, 2011. Ulyanovsk State University, p.27