Моделирование гравитационного поля сложной конфигурации

УДК 629.76

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

© 2015 А.Ю. Шорников, О.Л. Старинова

Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П.Королева

Поступила в редакцию 17.02.2015

В данной статье рассмотрен способ моделирования гравитационного поля сложной конфигурации барицентрическим методом на примере астероида Эрос 433, проведен сравнительный анализ результатов, полученных в рамках предлагаемой модели и результатов полученных при разложении гравитационного потенциала по сферическим функциям.

Ключевые слова: математическая модель, гравитационное поле сложной конфигурации, астероид, задача п-тел.

Астероидная и кометная опасность является общепризнанной реальной угрозой космического пространства, которая требует постоянного внимания со стороны мировой общественности. В настоящий момент остро стоит проблема разработки методов мониторинга и противодействия потенциально опасным объектам. Для моделирования возможных схем исследования и уничтожения астероидной и кометной опасности, требуется решить задачу моделирования гравитационного поля объекта, которое часто имеет сложную конфигурацию.

В силу принципа аддитивности гравитационных сил в нерелятивистской небесной механике понятие гравитационного потенциала распространяется на дискретные точечные распределения тяготеющих масс. Элементарное для малого числа точечных масс определение потенциала трансформируется в серьезную математическую задачу для сложно организованных протяженных тел, примером которых могут служить планеты. Теорию гравитационного потенциала, история которой восходит к работам Ньютона, Клеро, Лапласа и Лежандра, следует рассматривать как один из наиболее разработанных и мощных разделов математической физики, тесно связанный с соответствующими разделами математического анализа, теории поля, функционального анализа и теории специальных функций.

Таким образом, существует ряд методов позволяющих математически описывать гравитационные поля сложной конфигурации с разной степенью точности. В данной работе, для описания гравитационного поля астероида, предлагается использовать два подхода к формированию математической модели несферического

Старинова Ольга Леонардовна, доктор технических наук, профессор кафедры космического машиностроения. E-mail: solleo@mail.ru

Шорников Андрей Юрьевич, магистрант, старший лаборант кафедры космического машиностроения. E-mail: serandru33@mail.ru

гравитационного поля:

- моделирование потенциала астероида в сферических функциях, используемое для описания гравитационных полей планет;

- модель гравитационного поля, образованная суперпозицией гравитационных полей двух условных тел различной массы, вращающихся относительно общего барицентра:

U (х, y, z) = G

R, R2

R, = v

R2 =4 (х - X2)2 + (y - У2)2 + (z - Z2)2 , (3) где m,,m2 - массы условных притягивающих центров, x¡, y¡, z¡ - соответствующие координаты притягивающих центров, G - гравитационная постоянная. Для удобства анализа результатов, получаемых в рамках данной модели, перейдем от декартовой барицентрической системы координат к сферической барицентрической системе координат. В качестве фундаментальной плоскости сферической системы координат пусть выступает плоскость эклиптики. Формулы перехода определим следующим образом:

х = r  sin Л  cosp < y = r  sin Л  sin p

z = r  cos Л , где Л - зенитный угол, p - азимутальный угол, r - расстояние от барицентра системы до заданной точки пространства.

В качестве объекта анализа выберем астероид Эрос (433), физические характеристики, которого представлены в табл. 1 [1].

Расстояние между условными притягивающими центрами, определяется исходя из периода вращения астероида, по формуле полученной [3, с.22]:

d = 3

G

а

m

m

2

Таблица 1. Физические характеристики астероида Эрос

Геометрические размеры, км 34,4x11,2x11,2

Средний диаметр, км 16,8

Масса, кг 6,69 -1015

Период вращения, ч 5,27

Таким образом, модель астероида в задаче представляет собой гравитационное поле двух условных притягивающих центров с массами: 4,356-1015 кг, 2,334-1015 кг и вращающихся вокруг барицентра с угловой скоростью 5,6-10-4 рад/сек. Точные значения масс были выбраны исходя из геометрии формы астероида.

На рис. 1 представлен астероид Эрос [1] и линии уровня гравитационного потенциала полученные в результате использования предлагаемой модели.

эффициенты гравиметрическими методами затруднительно, согласно работе [2] предлагается определять сферические гармонические коэффициенты двумя методами: трех-координатным эллипсоидным приближением и методом многогранников. Ошибка при использовании трех-координатного эллипсоидного метода составляет в среднем около 17,5%, но при расчёте коэффициентов методом многогранников погрешность снижается до 0,23% - рис. 2.

Рис. 1. Астероид EROS и линии уровня гравитационного потенциала, полученного в рамках предлагаемой модели

Для того, чтобы объективно исследовать точность предлагаемой математической модели, сравним ее с моделью гравитационного потенциала в сферических функциях, которая представлена в работе [2]. Определим выражение для гравитационного потенциала в сферических функциях:

и.

a

n=l m=0 V r

1 + ¿¿

,

где: - сферические координаты точек;

ц=СМ -гравитационный параметр; а - средний радиус тела; Р^ - присоединенные функции Лежандра степени п, порядка т ;

Ст , Бт - сферические гармонические коэффициенты (определяются распределением масс астероида) [2], [4, с.36].

В случае когда определить сферические ко-

Рис. 2. Модель астероида Эрос (433), полученная при расчете сферических гармонических коэффициентов методом многогранников [2]

Проведем сравнительный анализ математических моделей гравитационного потенциала, полученного методом сферических функций и предлагаемым барицентрическим методом. Ограничимся четвертым порядком точности для зональных сферических функций и гармонических коэффициентов. На рис. 3 представлены кривые гравитационного потенциала, полученного в рамках предлагаемой модели и модели потенциала, полученного при его разложении по сферическим функциям при различных значениях аргументов. Таким образом, норма отклонения предлагаемой модели от модели потенциала в сферических функциях значительно уменьшается с увеличением расстояния от объекта моделирования, однако при этом, в зависимости от геометрии конкретного объекта, наблюдаются отклонения от реального гравитационного поля для различных значений углов широты и долготы.

r

и[г] 1 - ' 1........... — Потсищщл р сферических функциях - БйрмцСш'рнчОСкнй иСтТСлдиал при.

арн цс з ггричсс «к потенциал при Л=11А£

..... . . . Г, КМ II .1

Рис. 3. Значения гравитационного потенциала при увеличении расстояния от барицентра до заданной точки для двух моделей потенциала

Из рис. 5 видно, что основное отклонение предлагаемой модели от модели гравитационного потенциала в сферических функциях наблюдается при предельных значениях широты ф е [0;2ж] и среднем значении долготы Я е [0; ж]; для прочих углов норма погрешности барицентрической модели минимальна. Таким образом, следует отметить, что сферические зональные функции создают более четкую картину в распределении потенциала в пространстве, что подтверждается более равномерным распределением значений потенциала (рис. 4). Однако расчетная максимальная погрешность в данном случае не превышает 10% (рис. 5). Очевидно, что при увеличении расстояния от барицентра системы до заданных точек пространства значение погрешности будет только уменьшаться.

Таким образом, исходя из полученных результатов, можно сделать вывод о том, что пред-

лагаемая барицентрическая модель может быть использована при моделировании перелетов и маневров вблизи тел с гравитационным полем не сферической формы достаточно с высокой степенью точности. С увеличение расстояния модель все точнее отражает реальное положение вещей. Однако использование модели в каждом конкретном случает требует проведения дополнительных исследований, с целью выявить предельные отклонения от реальной картины гравитационного потенциала. Следует отметить, что полученная модель может применятся и при моделировании гравитационных полей космических объектов с более сложной геометрией, а количество притягивающих центров может варьироваться для обеспечения требуемой точности. Тогда задача моделирования перелета в гравитационном поле сложной конфигурации сводится к задаче перелета в системе п-тел.

Рис. 4. Поверхности изменения гравитационного потенциала двух моделей при изменении значений широты и долготы при фиксированном значении расстояния от начала координат

до заданной точки пространства

Рис. 5. Поверхность относительной погрешности для модели гравитационного потенциала с точечными притягивающими центрами

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. База данных астероидов: [Электронный ресурс]. URL: http://space.frieger.com/asteroids/ (дата обращения 14.01.2015).

2. The Method to Determine Spherical Harmonic Model of Asteroid based on Polyhedron / Zhang Zhenjiang, Yu Meng, Cui Hutao, Cui Pingyuan. Deep Space Exploration

Research Center, Harbin Institute of Technology, China 2010.

3. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел [пер. с англ, под ред. Дубошина Г.Н.]. М.: Наука, 1982. 656 с.

4. Нариманова Г.С., ТихонравоваМ.К. Основы теории полета космических аппаратов. М. : Машиностроение, 1972. 610 с.

SIMULATION OF NON-SPHERICAL GRAVITATIONAL FIELD

© 2015 O.L Starinova, A.Y. Shornikov

Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov

This article describes a simulation method of the non-spherical gravitational field by barycentric method for an asteroid, a comparative analysis of the results obtained within the proposed model and the results obtained by the decomposition of the gravitational potential in spherical functions. Keywords: mathematical model, the gravitational field of a complex configuration, asteroid, n-body problem.

Starinova Olga, Doctor of Technics, Professor at the Space Engineering Department. E-mail: solleo@mail.ru Shornikov Andrei, Magister, Research Assistant in Space Engineering Department. E-mail: serandru33@mail.ru