К проблемам спрямляемости и единственности некоторых нешестиугольных пространственных тканей, образованных тремя пучками и связкой плоскостей Т4

Б. П. Рудаков

К ПРОБЛЕМАМ СПРЯМЛЯЕМОСТИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ НЕКОТОРЫХ НЕШЕСТИУГОЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТКАНЕЙ, ОБРАЗОВАННЫХ ТРЕМЯ ПУЧКАМИ И СВЯЗКОЙ ПЛОСКОСТЕЙ ТА

Изучен специальный класс пространственных нешестиугольных тканей, имеющих важное прикладное значение. Найдены условия и эффективные методы их спрямляемости, исследован вопрос единственности. Показано, что известная гипотеза В. Бляшке не находит подтверждения.

Один из виднейших геометров, руководитель Гамбургской математической школы В. Бляшке [1] совместно со своими многочисленными сотрудниками и последователями в 30-х гг. прошлого века заложили основы новой области математики — так называемой «геометрии тканей». В Советском Союзе это направление стало развиваться с 60-х гг. и с тех пор были получены серьезные результаты, прежде всего в трудах С. В. Смирнова [13, 14], П. В. Николаева [7, 8] и ряда их учеников. Однако многие поставленные В. Бляшке проблемы не решены, ими интересуются немало исследователей.

Рассматривается совокупность четырех семейств поверхностей

определяющая ткань трехмерного пространства. Известно, что исключение х, у, 2 из (1) приводит к уравнению ткани. Возьмем его в виде

Особый интерес [1] представляют условия и эффективные методы спрямляемости тканей, проблемы допустимых преобразований и канонические формы уравнений ткани (2), вопросы единственности.

Для определенности среди нешестиугольных тканей с уравнением (2) рассмотрим ткани, образованные семейством плоскостей г4, принадлежащим

связке, и тремя пучками плоскостей гг (г = 1,2,3), таких, что семейства плоскостей г1, г2 принадлежат одной, а семейства плоскостей г3, г4 — другой связке. Такую ткань в дальнейшем будем обозначать Т4.

Двойственным образом такой ткани Т4 будет пространственная номограмма (назовем ее также Т4 ), состоящая из четырех плоских шкал, лежащих в двух плоскостях, причем шкала переменной г4 — криволинейная. Для определенности будем считать, что шкалы переменных г1, г2 лежат в плоскости у = 0, а шкалы переменных г3, г4 — в плоскости г = 0. При этих условиях, как показал Соро [16], уравнение такой номограммы принимает вид

/ ) , 0, /12

/к\ ((к ) , /к2 (к ) , 0 ,

1

= 0

Эта пространственная номограмма допускает плоский эквивалент — составную номограмму из двух подномограмм с общей прямолинейной немой шкалой а:

=0,

/к1 (к )> /к 2 (4 К 1

а 0 1

=0,

(3*

Заметим, что такие номограммы (составные номограммы из выравненных точек) нашли самое широкое применение в науке и технике [2, 3].

Подобными вопросами занималось немало исследователей, но многие проблемы так и остались нерешенными [1. § 40].

В дальнейшем будем считать, что однозначная функция /(, г2, г3) обладает в области О непрерывными частными производными достаточно вы-

д/

сокого порядка и отличными от нуля производными -------= /'ф 0 (, = 1 ^3).

дг,

Отсюда следует, что вводимые всюду далее функции

будут достаточно гладкими и не обращающимися в нуль в точках области О. Относительно неизвестных функций /, уравнения (3) полагаем, что они обладают непрерывными производными необходимого порядка.

Каждой ткани Т4 приведем в соответствие граф (назовем его также Т4), состоящий из четырех прямых: оси а пересечения плоскостей у = 0, г = 0 (т. е. оси Ох) и трех прямых — носителей шкал переменных г1, г2, г3. Проведя проективную классификацию тканей Т4 [10], видим, что оказалась справедливой

Теорема 1. Существует точно пять проективно различных графов тканей Т4 (рис.):

I

II,

III,

соответственно с символами:

к форме ^4) приводит, по крайней мере, граф [, г2, г3)]:

к форме II(4) — графы [, г3), (2)], [2, Ц), ()];

к формам III (4), 1У(4) — соответственно графы [, г 2), (г3)],

[) (г 2) (гз)].

При этом два графа Т4 называем проективными, если существует колли-неация пространства, переводящая прямые одного графа в соответствующие прямые другого графа. Ясно, что из проективности двух тканей Т4 следует проективность их графов; обратное, вообще говоря, не имеет места.

Каждое из уравнений Соро (3) при условии, что элементы только его последней строки линейно независимы, может быть представлено в виде ¥(( , F2, F3, F4, Ф4) = 0, где ¥} = ¥} (ґ;), Ф4 = Ф4 (г4) , а Т — линейная

функция относительно каждой из переменных Fj, Ф4 .

Уравнение , F2, F3, F4, Ф4 )= 0 назовем канонической формой

уравнения (1).

Определение 1. Две канонические формы , F2, F3, F4, Ф 4 )= 0 и , F2, F3, F4, Ф4 )= 0 будем называть эквивалентными, если существует замена переменных Fj = фі ^), Ф 4 = ф4 (Ф 4), переводящая одно из

уравнений в другое.

Теорема 2. Существует [5, 6, 10, 11] не более четырех следующих канонических форм уравнений (2), спрямляемых тканью Т4 :

1

Fз • F4 +Ф4 = Fl • F2,

F3 • F4 +Ф4 =----------------------------.

3 4 4 F1 • F2 +1

Чтобы оттенить основные идеи методов исследований, поставленные выше вопросы рассмотрим для случаев тканей Т4 с графами [,гз), (г2)],

[2, гз), ()]. Нетрудно показать [10], что их уравнения (3) приводятся к одной и той же канонической форме (II).

Поскольку в номограмме Т4 с уравнением (3) носителями шкал переменных гх, г2, г3 являются прямые линии, то для удобства введем следующие обозначения элементов уравнения (3):

/г,

Для определенности рассмотрим ткань Т4 с графом [2,г3), (г1)]. После

надлежащего проективного преобразования можно считать, что в детерми-нантном уравнении Соро

/р_= 1, /,1 = 0

Для уравнения (3) с условиями (6) справедлива [8] следующая теорема, дающая предварительные условия спрямляемости.

Теорема 3 (типа Гронвэлла). Уравнение (2) тогда и только тогда представимо тканью Т4 с уравнением (3) с условиями (6), когда при заданных функциях М, М (4) существует решение относительно функций /г (г = 1 3) (5) следующей системы дифференциальных уравнений:

/ (л( М (/1 (1 ел(; |(п Мг 0 (/1X./1 / - к  M, М / (пМ(=0'

Шз. - 2(/±к+/(-М + МА — (п М )3 = 0.

(/3 )3 /з /1

Следствие 1. Элементы последней строки уравнения (3) определяются по формулам:

л = /Л/2

41 (1 - /1 )1 /зм - /1 г/ )3 ], 42(/ )1 /зм - /1 е/з )з.

Для удобства дальнейших исследований введем обозначения:

МА - (пМ)'

Теорема 4. Если уравнение (2) спрямляется тканью (3) с условиями (6), то функции М , М (4) удовлетворяют в области G условиям:

М3 = 0,

Условие М 3 = 0 следует из первого уравнения (7). Остальные условия (10) получаются из следующих соображений.

На плоскостях любого семейства tJ ткани Т4 плоскости остальных трех семейств высекают прямолинейные ткани, кривизны которых в силу условия М 3 = 0 определяются по формулам:

= (пМ) (1пМ), = (1пМ)11 , ’ ,

1 "С/11 )2 • М • М • 1 = (/102 • М • 3--(/11 )2. М • 4 =-"

На плоскостях каждого из семейств 13, 14 плоскости других трех семейств высекают прямолинейные шестиугольные ткани [1]. Следовательно, к3 = к4 = 0. Отсюда нетрудно [10. С. 171] получить и остальные из условий (10).

Условия (11) получаются из следующих исследований.

Система (7), очевидно, равносильна системе уравнений в частных производных:

где

2

г1 = / - УіОпМУі, У2 = / /2 (( - 1)М, Л /і

У М + МА -(пМ )3 /і

г3 = 2 / - У

/3

д/, дк — символы Кронекера.

Из условия интегрируемости (г3) = 0 системы (12), подставив вместо производной ее значение из (13), получим [15] новое уравнение

У = /1 ^ ,

налагающее условие на неизвестные функции системы (12). Дифференцировав это уравнение по t1 и подставив вместо производных у1 их выражения из (12), (14), получим условие (11): (п МБ) = 0. Второе из условий (11): Б13 = 0 — получается дифференцированием уравнения (14) по 13.

Заметим, что условие (п МБ) = 0 предполагает, что в области G функция Б Ф 0 . В противном случае из (14) имели бы, что у1 = (/) = 0 . Это при-

водит к несуществованию функции М

, что видно из (12). Последнее

противоречит условиям, наложенным на функцию /(, і2, і3).

Теорема 5. Условия (10-11) являются не только необходимыми, но и достаточными для спрямляемости ткани с уравнением (2) тканью Т4 с графом [і2, і3) (і1)]. При этом уравнение (2) допускает, с точностью до

коллинеаций, единственную ткань с указанным графом, и элементы этих тканей находятся с помощью лишь квадратур.

Проективные преобразования пространства ткани Т4 , автоморфные относительно плоскостей у = 0, г = 0 и прямых У Г0’}, У = 0’} X = 0’1 — носителей осей связок плоскостей (3) с условиями (6), имеют вид:

X :

а11 х

а42у + (а33 - 1) +1

У:

а22 У

а33 г

а42у + (а33 -1) +1

а42у + (а33 - 1) +1

.

г

Это дает возможность присоединить к системе (7) с неизвестными / ( = 1 3) начальные условия. Возьмем их в виде:

при : Л = 1Л = -1, С/3X =1

где ti = til — любая точка области С.

С помощью уравнения (14) от системы (12) можно перейти к системе, не содержащей в правых частях [15] функции_у1; получим:

где

= / •£ , у2 = /2 (С2 - 1)М^ ,

У1

^ = 2/-УЪ —

/ 3

Из метода получения системы (19) ясно, что решения исходной системы (7) (в случае их существования) являются и решениями системы (19). Обратно, подставив в (7) вместо производных (/.), (/,) ( = 1,2; j = 1,3) их зна-

1 ] ]]

чения из системы (19), получим, что в силу условий теоремы [8] левые части уравнений (7) тождественно равны правым частям. Следовательно, система (19) эквивалентна исходной системе (7).

Можно было бы показать, что при условиях (10-11) система уравнений (19) является вполне интегрируемой. Отсюда следует полная интегрируемость системы Пфаффа [9] соответствующей системе (19). Вполне интегрируемая система Пфаффа при заданных начальных условиях имеет решение, и оно единственно [9]. Следовательно, имеет решение и исходная система (7). В силу теоремы 3 (типа Гронвэлла) заключаем, что условия (10-11) являются не только необходимыми, но и достаточными для представления уравнения

t4 = / ( t2, t3 ) номограммой Т4 с графом —2, t3), ()].

При начальных условиях (18) из системы (19) определяются (однозначно

и с помощью лишь квадратур) функции / ( = 1 3):

/1 = С'1 . /2 =-----------------------------------------------------=-, / =--—.

|МЯЛ2 t3 - | — — 5)-(1пМ ) —

1 - 21 '21 1 - 11 '31

31

Элементы /41, /42 последней строки определителя (3) найдутся из уравнений (8).

Из однозначности решений системы (11) следует, что номограммы Т4 с графом — 2,t3) (t1)] уравнения t4 = /(t1,12,t3) проективны.

Рассмотрим теперь номограмму Т4 с графом [(t1, t3), (t2)]. Без нарушения общности можно положить в уравнении (3):

/л = 0 , /22 = 1

Как и в предыдущем случае, использовав теорему типа Гронвэлла для данного случая, придем к следующей системе уравнений:

/ (-1)(л )2 = М М -f'Щ М V = 0'

(/ )/ " ,(/ Х - /1 (/1 -1) ( )= '

^З^.-2СЛ)^ + () ^М + МА-(1пМ) = 0.

(/3 ) /3 /1 (/1 -1) ' ;3

Нетрудно доказать, что и в данном случае остаются справедливыми выводы теоремы 4:

Теорема 6. Если уравнение (2) спрямляется тканью (3) с условиями (22), то функции М , М (4) удовлетворяют в области С условиям:

М3 = 0,

Аналогично предыдущему случаю систему (23) при условиях (10-11) можно привести к вполне интегрируемой системе

где

:2 / - У3 |М (А + 8)-(1пМ)1

/ 3

Проективные преобразования пространства номограммы (3) с условиями (22) имеют вид:

7 = а"Х у = а22У 2 = а332

7 / \ 5 У — / \ , 2 / , .

а42у + (а33 -1) +1 а42у + (а33 -1)2 +1 а42у + (а33 -1)) +1

Это позволяет присоединить к системе (23) начальные условия; возьмем их в виде:

при tг = tn : = -1, /к = 1

где 1п — любое значение переменных ^. При этих начальных условиях из уравнений (24) однозначно и с помощью лишь квадратур найдутся функции fi (в отличие от решений (21) обозначим их /^):

г21

1 - Г м • я • ^2

1 =--------;---, /?’ = 1 '21 , /з ---------------ТТ-1------------------—.

- Г Я • — Г М (а+5 )-(пМ ) )й1

1 - 21 111 1 - Г1 131

23

Следовательно, все номограммы Т4 с графом [, t3) (t2)] уравнения t4 = f 1 t2 ’ t3 ) проективны.

Заметим, что рассмотренные номограммы T4 с уравнением (3) при условиях (6) и (22), соответственно с графами [t2,t3), (t1)], [,13), (t2)], не проективны (теорема 1). Однако по элементам одной из этих номограмм можно указать элементы другой. Действительно, сравнивая решения (21) с решениями (28), получаем:

fl121 = f--Т, f t' = f2f-T  /з121 = /з

Jl - 2 /2 - 1

При этом отметим, что подобные преобразования не входят в совокупность проективных преобразований (17) или (26), что еще раз подчеркивают непроективность тканей с рассмотренными графами тканей. Наконец, заметим, что

/442 ' = J 4, 1 = 1,2).

Замечание о гипотезе В. Бляшке

Выше указывалось, что уравнение (2) t4 = f tt1, t2, t3) можно рассматривать как уравнение пространственной ткани [1], полученное исключением х, у, z из уравнений совокупности четырех семейств поверхностей

tj

Для номографии представляет особый интерес [1] случай, когда ткань (1) с известным уравнением (2) является спрямляемой, т. е. когда существует топологическое преобразование пространства, переводящее каждое из семейств поверхностей (1) в семейство плоскостей. В этом случае коррелятивное преобразование пространства преобразует ткань из плоскостей в пространственную номограмму из выравненных точек [1].

Для пространственной ткани В. Бляшке [1. С. 111] формулирует следующую «гипотезу, аналогичную гипотезе Гронвэлла [4]:

Образованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до коллинеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостей».

В статье указывалось, что коррелятивным образом номограммы Т4 является нешестиугольная пространственная ткань. При исследовании канонической формы (II) оказалось, что одно и то же уравнение (2) при условиях (9-10) допускает две номограммы Т4 с непроективными графами [t2, t3) ()],

[, t3) (t2)]. Тем самым гипотеза В. Бляшке не получает подтверждения.

Основные выводы:

1. Найдены условия спрямляемости рассматриваемых тканей.

2. Указаны эффективные методы решения проблемы с помощью лишь квадратур.

3. Определен вид канонического уравнения рассмотренных тканей.

4. Найдены топологические преобразования пространства тканей.

5. Решен вопрос о единственности. Гипотеза В. Бляшке оказалась несостоятельной.

6. Найдены преобразования детерминантных уравнений рассмотренных тканей, переводящие одну из них в другую, с ней непроективную.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бляшке В. Введение в геометрию тканей. — М., 1959.

2. Дураков (Рудаков) Б. П. О представлении уравнений с четырьмя переменными составными номограммами первого жанра с прямолинейной ответной шкалой // Материалы I Межвуз. конф. СССР. — М., 1965. — С. 24-25.

3. Дураков (Рудаков) Б. П. Составные номограммы первого жанра с четырьмя переменными // Уч. зап. Свердл. гос. пед. ин-та. — 1965. — Вып. 31. — С. 50-72.

4. Дураков (Рудаков) Б. П. К вопросу единственности спрямляемости некоторых пространственных нешестиугольных тканей // Тр. Тюм. индустр. ин-та «Бурение скважин и трубопроводный транспорт нефти и газа». — Тюмень, 1969. — С. 264-280.

5. Дураков (Рудаков) Б. П. О приведении уравнений с четырьмя переменными к каноническим формам пятого номографического порядка // Номогр. сб. № 6. — М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1969. — С. 190-199.

6. Дураков Б. П. К вопросу о приведении уравнений с четырьмя переменными к некоторым каноническим формам // Номогр. сб. № 10. — М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1975. — С. 178-185.

7. Николаев П. В. О представлении уравнений номограммами второго жанра // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 157, № 6.

8. Николаев П. В. О номограммах второго жанра с ответной криволинейной шкалой // Уч. зап. Свердл. гос. пед. ин-та. Сер. Математика. — Сб. 79. — 1969. — С. 56-65.

9. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. — М.: ВЦ АН СССР, 1964.

10. Рудаков Б. П. Условия и методы спрямляемости некоторых пространственных тканей, номографирования уравнений и приведения их к каноническим формам. — Тюмень: Вектор Бук, 2003. — 246 с.

11. Рудаков Б. П. О приведении уравнений с четырьмя переменными к некоторым каноническим формам, допускающим представление составными шкальными номограммами первого жанра // Вестн. Тюм. ун-та. — 2005. — № 4. — С. 112-121.

12. Рудаков Б. П. О предварительных условиях спрямляемости некоторых пространственных тканей // Вестн. Тюм. ун-та. — 2006. — № 5. — С. 250-258.

13. Смирнов С. В. Многомерные номограммы и ткани // Успехи мат. наук. — 18, № 3. — М., 1963. — С. 238-240.

14. Смирнов С. В. Номограммы и ткани // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 149, № 1. — С. 36-39.

15. Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. — М., 1947.

16. Soreau R. Nomographie ou Traite des Abaques. — P., 1921. — Т. 1. — Р. 345.

B. P. Rudakov

ON RECTIFIABILITY AND UNIQUENESS OF CERTAIN NON-HEXAGONAL SPATIAL GRIDS FORMED BY THREE CLUSTERS AND T4 PLANAR BOND

Subject to investigation being a special class of spatial non-hexagonal grids to be of considerable practical importance. The author managed finding conditions and efficient methods of their rectifiability, together with studying a question of uniqueness. It is shown that a famous hypothesis by V. Blyashke proves to find no confirmation.