К вопросу о повышении точности расчетов при строительстве транспортных коммуникаций

УДК 65.01 1.56:625.12

А. В. Индейкин, О. Н. Куранова, А. К. Черных, Г. Г. Чентурия

К ВОПРОСУ О ПОВЫШЕНИИ ТОЧНОСТИ РАСЧЕТОВ ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ ТРАНСПОРТНЫХ КОММУНИКАЦИЙ

Дата поступления: 31.05.2018 Решение о публикации: 08.06.2018

Аннотация

Цель: Получение аналитических зависимостей для расчета объемов профильной кубатуры насыпей (полунасыпей), выемок (полувыемок), а также резервов, кавальеров, водоотводных канав и других сооружений. Методы: Применяются интегральное исчисление и стереометрия. Результаты: Выведены новые аналитические зависимости для расчета объемов профильной кубатуры насыпей (полунасыпей), выемок (полувыемок), а также резервов, кавальеров, водоотводных канав. Определены относительные погрешности расчета указанных объемов профильной кубатуры по сравнению с традиционными методами расчета этих величин. Проведены математическое доказательство предлагаемых аналитических зависимостей, а также их анализ. Практическая значимость: На основе рассмотренных зависимостей возможно повышение точности расчета объемов профильной кубатуры насыпей (полунасыпей), выемок (полувыемок), а также резервов, кавальеров, водоотводных канав. Результаты исследований могут быть применены при создании информационных систем, оперативно реализующих предложенные аналитические зависимости более эффективных расчетных показателей, а также при планировании проведения больших объемов земляных работ.

Ключевые слова: Объемы земляных работ, поперечные сечения переменной площади, определенный интеграл, призматоид, погрешности расчетов, повышение точности расчетов.

Andrey V. Indeykin, D. Eng. Sci., professor, tm@pgups.ru; Olga N. Kuranova, Cand. Eng. Sci., associate professor, olga_kuranova@mail.ru (Emperor Alexander I Petersburg State Transport University); *Andrey K. Chernykh, D. Eng. Sci., associate professor, nataliachernykh@mail.ru (Saint Petersburg Army National Guard Military Institute); Georgiy G. Chanturiya, postgraduate student, g-o-g-i-@mail.ru (Emperor Alexander I Petersburg State Transport University) ON THE IMPROVEMENT OF COMPUTATIONAL ACCURACY DURING THE CONSTRUCTION OF TRANSPORTATION LINES

Summary

Objective: To obtain analytic dependences for profile cubage volume calculation of subgrades (side hill fills), ditch cuts (side hill cuts), as well as borrow pits, soil banks, drainage ditches and other structures. Methods: Integral calculus and stereometry was applied. Results: New analytic dependencies for profile cubage volume calculation of subgrades (side hill fills), ditch cuts (side hill cuts), borrow pits, soil banks and drainage ditches were deducted. Relative errors of calculating the given profile cubage volume were determined in comparison with conventional methods for calculating the values in question. Mathematical demonstration of the given analytic dependencies, as well as the analysis of the latter was carried out. Practical importance: Computational accuracy of profile cubage volume of subgrades (side hill fills), ditch cuts (side hill cuts), borrow pits, soil banks and drainage ditches may be improved based on the examined dependencies. Research results may be applied in the design of information systems. The latter promptly implement the introduced analytic dependencies of more effective calculation indices and test planning of large earthwork volumes.

Keywords: Earthwork volumes, cross sections of variable area, definite integral, prismatoid, calculation errors, computational accuracy increase.

Введение

В настоящее время для подсчета объемов профильной кубатуры насыпей (полунасыпей), выемок (полувыемок), а также резервов, кавальеров, водоотводных канав и других сооружений используются аналитические зависимости, номограммы, графики, специальные счетные линейки, таблицы и реализованные компьютерные программы [1-10].

Перечисленные способы базируются на геометрических зависимостях, которые, в силу того, что участки земляного полотна представляют собой сложные геометрические фигуры, не позволяют получить точные, с точки зрения математики, результаты. В практическом аспекте это приводит к возрастанию временных и стоимостных затрат на выполнение земляных работ, включая и выполнение расчетов объемов работ. Поэтому разработка методов, позволяющих уменьшить указанные затраты за счет большей точности расчетов при определении объемов земляных работ и достаточно просто реализуемых в среде существующих

пакетов прикладных программ, является достаточно актуальной.

В статье найдены обоснованные аналитические зависимости для расчетов объемов земляных масс различных видов, которые могут служить основой упомянутых выше методов. Следует подчеркнуть, что полученные с помощью предложенных формул результаты являются точными.

В соответствии с [5] наиболее сложными для расчетов являются участки земляного полотна на местности, имеющей продольный уклон основания насыпи, поэтому вычисления будут проводиться в рамках данного условия.

Расчет объема прямолинейного участка насыпи

Рассчитаем объем участка земляного полотна (насыпи), представляющего собой сложную геометрическую фигуру - призматоид с поперечным сечением переменной площади (рис. 1), который делим на две части: приз-

Рис. 1. Основные показатели участка насыпи (без сливной призмы): Н (И.) - минимальная (максимальная) высота участка насыпи; Ь (Ь2) - ширина основной площадки (основания) участка насыпи; Ь1 - ширина основания призматоида; Ь - длина участка насыпи; т1 и т2 - горизонтальные проекции откосов; а - угол наклона откоса к горизонту; т - характеристика крутизны откоса

матоид с поперечным сечением постоянной площади - ¥2; трапецеидальный клин - V.

Для подсчета объема У2 необходимо вычислить величину т2, которая согласно определению tga рассчитывается по формуле

m2 _

Нь

tga'

S(x) _ ^^ • h(x), V1 = J S(x)dx. 2 0

Таким образом, объем участка насыпи определяется по формуле

Vh = V + V2.

где tga = 1/ т . Далее получаем значения ве-

личин b1 и V2:

Ь = b + 2 • m2, V2 _ b-+bl • H1 • L.

Для подсчета объема V следует вычислить определенный интеграл вида [11]

J S(x)dx.

в котором Б(х) - переменная площадь ортогонального сечения трапецеидального клина. Для нее переменной является высота, которая находится из подобия треугольников, представленных на рис. 2:

h( x) =

(Н2 - Hl) • x L

Проектная линия

x

Н

h

Поверхность земли Рис. 2. Продольное сечение участка насыпи

Далее, используя очевидные зависимости, рассчитаем величины т1, Ь2, 5(х) и V (см. рис. 1):

_ (Н2 - Hl).

tga'

b2 _ b + 2• (m1 + m2),

В случае необходимости сооружения сливной призмы формула (2) корректируется на величину объема сливной призмы

Vcn _^• h • L.

где Ь, Ь3 и къ - соответственно ширина основной площадки, ширина основания и высота сливной призмы (в м), и имеет вид

Vh _ Vi + V2 + Vcn.

Доказательство справедливости формулы

Доказательство справедливости предложенной формулы (1), по которой проводится расчет объема земляного массива, проведем для случая призматоида (см. рис. 1)1.

Рассмотрим часть призматоида (V), содержащуюся между плоскостями х = а и х = Ь (рис. 3), и станем рассекать ее плоскостями, перпендикулярными к оси х. Площадь сечения, отвечающего абсциссе х, обозначим через £ (х), будет непрерывной функцией от х (для а < х < Ь).

Если спроектировать (без искажения) два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси х, то они содержатся одно в другом. В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объем, который выражается формулой

1 Доказательство для остальных типов земляных массивов проводится аналогично.

2

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству формулы

V = J S (x)dx.

Для доказательства разобьем отрезок [a, b] на оси х точками

a = x0 < x1 < ... < xi < xi+1 < ... < xn = b

на части и рассечем плоскостями х = х,, проведенными через точки деления, все тело на слои. Рассмотрим /-й слой, содержащийся между плоскостями:

x = x. и x = x.+1 (i = 0, 1, ..., n - 1).

В промежутке [х{,х{+1] функция £(х) имеет наибольшее значение площади М. и наименьшее т. Если сечения, отвечающие различным х в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, х = х,, то все они при сделанном предположении будут находиться в наибольшем, имеющем площадь М, и содержать наименьшее с площадью т.. Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высотой Ах. = х/+1 - х., то больший из них будет включать в себя рассматриваемый слой тела, а меньший сам будет в этом слое. Объемы таких цилиндров будут соответственно М1Ах1 и т Ах.

Из входящих цилиндров составится тело

Т, а из выходящих - тело U, их объемы равны

соответственно ^ MiAxi и ^ miAxi, и, когда / / стремится к нулю X = max Axi, имеют общий

предел, определяемый формулой (3). В [11, с. 225] доказано: «Если для тела (V) можно построить такие две последовательности, соответственно входящих и выходящих тел {(Tn )} и {(Un )}, которые имеют объемы, причем эти объемы стремятся к общему пределу lim Tn = lim Un = V, то и тело (V) имеет объем, равный упомянутому пределу». В силу сказанного и будет справедлива формула

L b

V = J S(x)dx = J S(x)dx.

Расчет объема криволинейного участка насыпи

Рассчитаем объем участка насыпи с учетом его уширения в кривой (рис. 4).

В данном случае наиболее просто вычислить объем участка насыпи в полярной системе координат с помощью соответствующего определенного интеграла [12-14]. Здесь, применяя метод дифференциалов [12], можно записать, используя обозначения рис. 5, йУ = £ (ф)й1, где £ (ф) - переменная площадь

X

0

a

V = R J £(ф)^ф.

2 Подробные выкладки, доказывающие справедливость использования предлагаемой формулы (4), будут приведены далее.

ди изменяется по линейному закону, то она определяется по следующей зависимости:

£ (ф) = £«+

ß-a

(ф-a),

в которой £а (£р ) - площадь радиального сечения в начале (конце) участка насыпи.

Таким образом, объем участка насыпи находится по формуле

0

Рис. 5. Основание призматоида в полярной системе координат

радиального сечения призматоида, которую необходимо определить, а = Rd ф - дифференциал дуги оси участка насыпи. Таким образом, окончательно имеем dV = £ (ф) Rd ф и, интегрируя последнее выражение, получим формулу для вычисления объема участка насыпи в полярной системе координат - V:

V =

R J £(ф)^ф

R J £(ф)^ф + Vc

при отсутствии сливнои призмы, сп при наличии сливноИ призмы.

где а и в - начальный и конечный углы, задающие координаты начала и конца участка насыпи 2. Поскольку величина данной площа-

Доказательство справедливости предложенной формулы

Согласно [15], объем тела в цилиндрических координатах определяется тройным интегралом вида V = jjj RdRd qdz , где z - вер-

тикальная ось декартовой системы координат.

Рассмотрим криволинейный призматоид (V, см. рис. 4) и положим, что исходящая из оси z полуплоскость, отвечающая ф = const,

пересекает его по некоторой плоской фигуре £(ф) при изменении ф от а до в (рис. 6).

зуют также оценки точности приближенных методов расчетов этих объемов традиционными способами (таблица).

Относительные погрешности приближенных методов расчетов объемов земляных масс [16]

Рис. 6. Иллюстрация к доказательству формулы

Тогда

в

V = RdRdфdz = | dфДО RdRdz,

(V) а £ф

причем фигуру £ф удобно отнести к прямоугольной системе координат Rz, вращающейся вместе с указанной полуплоскостью вокруг оси z.

Как известно (см. [15]), двойной интеграл ДО RdRdz представляет статический момент

фигуры £ф относительно оси z, который равен произведению площади £ (ф) этой фигуры на расстояние Rc (ф) от оси z до ее центра тяжести С: ДО RdRdz = £(ф) • Rc (ф). Подставляя

£

это выражение в формулу для вычисления объема и учитывая, что для рис. 5 Rc (ф) = R, имеем

в в У = | £ (ф) Rd ф =R | £ (ф^ф.

а а

Разработанные на основе предложенных формул в среде пакета прикладных программ «МаШСАБ» программные средства наряду с расчетами соответствующих объемов реали-

Вид расчета Величина погрешности, %

Расчет объема участка насыпи 1-3

Расчет объема участка насыпи с уположением в нижней части откоса 4-7

Расчет объема выемки 6-10

Расчет объема участка насыпи с учетом его уширения в кривой 1-4

Необходимо отметить, что расчеты, проведенные для одного из объектов, показали увеличение объема земляных работ примерно на 12 тыс. м 3, что соответствует относительной погрешности в размере 7 %.

Заключение

Таким образом, повышение точности расчетов объемов работ на основе использования формул (1)-(4), будет способствовать корректному проведению тендера на выполнение сосредоточенных земляных работ за счет более точного описания объектов, структуры и видов работ в конкурсной документации. В результате может быть достигнуто более рациональное расходование выделенных бюджетных ассигнований.

Библиографический список

1. Низов А. С. Организация восстановления железных дорог : учебник / А. С. Низов, Д. И. Попов, Г. А Ложечников. - СПб. : ВАМТО, 2014. - 304 с.

2. Сизов Е. Б. Организация технического прикрытия железных дорог : монография / Е. Б. Сизов. -СПб. : ВТУ ЖДВ, 2008. - 238 с.

z

X

3. Черных А. К. Применение геоинформационных технологий в расчетах трудоемкости путевых работ / А. К. Черных, Д. И. Кошеленко // Научно-техн. сб. - Вып. 12. - СПб. : ВТУ ЖДВ, 2006. -С. 190-201.

4. Черных А. К. Расчет объемов земляных массивов : программа для ЭВМ / А. К. Черных. - М. : ФИПС, 2008. - № 2008613875. - 7 с.

5. Организация, планирование и управление железнодорожным строительством : учебник / под общ. ред. В. П. Химченко. - СПб. : Воен.-транспортн. ун-т железнодорожных войск Российской Федерации; ООО «Вит-принт», 2004. - 480 с.

6. Спиридонов А. М. Технология железнодорожного строительства : учебник для специалистов / А. М. Спиридонов, А. М. Призмозонов. - М. : Учеб.-метод. центр по образованию на ж.-д. транспорте, 2014. - 399 с.

7. Строительство железных дорог. Ч. 2. Технология земляных и путевых работ / под общ. ред. Г. И. Когатько. - М. : Военное изд-во, 1994. - 447 с.

8. Оперативное управление транспортным строительством. Ч. 2. ПРИОР 2 «Сооружение земляного полотна» / сост. : И. С. Козлов, Д. С. Николайтист, А. В. Щукин. - СПб. : ПГУПС, 2012. - 13 с.

9. Краснопёров А. Г. Минимизация графических работ при автоматизированном построении профилей железнодорожного пути / А. Г. Краснопёров, А. К. Черных, П. А. Весёлкин // Изв. Петерб. гос. ун-та путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2007. -Вып. 1. - С. 54-61.

10. Григорьев Б. М. Организация восстановления мостов на железных дорогах. Ч. 1. Организация технического прикрытия и восстановления искусственных сооружений мостовыми частями железнодорожных войск : учеб. пособие / Б. М. Григорьев. -СПб. : ВТУ ЖДВ, 2005. - 257 с.

11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. - М. : Физматлит, 2003. - Т. 2. -810 с.

12. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник : в 3 т. / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Дрофа, 2003. - Т. 1. - 704 с.

13. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа : учебник : в 2 т. / Л. Д. Кудрявцев. -Висагинас : «Alfa», 1998. - Т. 1. - 400 с.

14. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики : учебник для вузов / И. П. Натансон. - СПб. : Лань, 1999. - 736 с.

15. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. - СПб. : Лань, 2009. - Т. 3. -656 с.

16. Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. - М. : Наука, 1970. - 664 с.

References

1. Nizov A. S., Popov D. I. & Lozhechnikov G. A. Organizatsiya vosstanovleniya zheleznykh dorog [Railroads: reconstruction management]. Saint Petersburg, VAMTO

2. Sizov Y. B. Organizatsiya tekhnicheskogoprikry-tiya zheleznykh dorog [Railroads: technical coverage management]. Saint Petersburg, VTU ZhDV

3. Chernykh A. K. & Koshelenko D. I. Primeneniye geoinformatsionnykh tekhnologiy v raschetakh trudoy-emkosty putevykh rabot [The use of geographic information technologies in work labour input of engineering works]. Nauchno-tekhnicheskiy sbornik [Research and engineering coll. papers], 2006, issue 12, pp. 190-201.

4. Chernykh A. K. Raschet obyemov zemlyanykh massiviv: programma dlya EVM [Earth body volume calculation: application software]. Moscow, FIPS

5. Organizatsiya, planirovaniye i upravleniye zheleznodorozhnym stroitelstvom [Railroad construction: organization, planning and management]; under gen. ed. of V. P. Khimchenko. Saint Petersburg, Military Transport University of the Railway Forces of the Russian Federation Publ., ООО "Vit-print" Publ., 2004, 480 p.

6. Spiridonov A. M. & Prizmozonov A. M. Tekhnologiya zheleznodorozhnogo stroitelstva [Railroad construction technology]. Moscow, Uchebno-metodycheskiy tsentr po obrazovaniju na zhelezno-dorozhnom transporte [Learning and teaching educa-

tional centre of railway transport] Publ., 2014, 399 p.

7. Stroitelstvo zheleznykh dorog [Railroad construction]. Ch. 2. Tekhnologiya zemlyanykh iputevykh rabot [Pt 2. Earthwork and permanent way work technology]; under gen. ed. of G. I. Kogatko. Moscow, Military Publ., 1994, 447 p.

8. Kozlov I. S., Nikolaitist D. S. & Shchukin A. V. Operativnoye upravleniye transportnym stroitelstvom. Ch. 2. PRIOR 2 "Sooruzheniye zemlyanogopolotna" [Transport construction: operational control. Pt 2. PRIOR 2 "Subgrade construction"]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2012, 13 p.

9. Krasnoperov A. G., Chernykh A. K. & Vesel-kin P. A. Minimizatsiya graficheskykh rabot pry avtomatizirovannom postroyenii profiley zhelezno-dorozhnogo puty [Graphic work minimization during automated construction of the railroad track profile]. Izvestiya Peterburgskogo Universiteta putey soob-shcheniya [Proceedings of Petersburg Transport University]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2007, issue 1, pp. 54-61.

10. Grigoriyev B. M. Organizatsiya vosstanovleniya mostov na zheleznykh dorogakh. Ch. 1. Organizatsiya tekhnichskogo prikrytiya i vosstanovleniya iskusstven-nykh sooruzheniy mostovymy chastyamy zheleznodoro-zhnykh voisk [Organization of railway bridge reconstruction. Pt 1. Organization of technical protection

and reconstruction of engineering structures by bridge units of the military railway service]. Saint Petersburg, VTU ZhDV

11. Fikhtengoltz G. M. Kurs differentsialnogo i in-tegralnogo ischisleniya. V3 t. [A course on calculus. In 3 vol.]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003, vol. 2, 810 p.

12. Kudryavtsev L. D. Kurs matematicheskogo analiza. V 3 t. [A course on mathematical analysis. In 3 vol.]. Moscow, Drofa Publ., 2003, vol. 1, 704 p.

13. Kudryavtsev L. D. Kratkiy kurs matematicheskogo analiza. V 2 t. [A short course on mathematical analysis. In 2 vol.]. Visaginas, Alfa Publ., 1998, vol. 1, 400 p.

14. Natanson I. P. Kratkiy kurs vysshey matematiky [A short course on higher mathematics]. Saint Petersburg, Lan Publ., 1999, 736 p.

15. Fikhtengoltz G. M. Kurs differentsialnogo i in-tegralnogo ischisleniya. V3 t. [A course on differential and integral calculus. In 3 vol.]. Saint Petersburg, Lan Publ., 2009, vol. 3, 656 p.

16. Demidovich B. P. & Maron B. P. Osnovy vy-chislitelnoy matematiky [The foundations of numerical mathematics]. Moscow, Nauka Publ., 1970, 664 p.

ИНДЕЙКИН Андрей Виторович - д-р техн. наук, профессор, tm@pgups.ru; КУРАНОВА Ольга Николаевна - канд. техн. наук, доцент, olga_kuranova@mail.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I); ЧЕРНЫХ Андрей Климентьевич - д-р техн. наук, доцент, nataliachernykh@mail.ru (Санкт-Петербургский военный институт войск Национальной гвардии); ЧЕНТУРИЯ Георгий Иглаевич - аспирант, g-o-g-i-@mail.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).