АРТЕФАКТЫ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ УСТРАНЕНИЯ

УДК 519.2

Артефакты вейвлет-фильтрации и способы

их устранения

Воскобойников Ю.Е. ФГБОУ ВПО НГТУ, ФГБОУ ВПО НГАСУ (Сибстрин) Новосибирск, Россия

Аннотация. Для фильтрации

зашумленных сигналов широко

используются методы, основанные на вейвлет-представлении обрабатываемого сигнала. Большинство алгоритмов вейвлет-фильтрации носят пороговый характер: коэффициент разложения меньший по абсолютной величине некоторой пороговой величины зануляется, в противном случае коэффициент подвергается некоторому (чаще всего нелинейному) преобразованию, которое задается используемой пороговой функцией. При использовании таких алгоритмов для фильтрации контрастных сигналов могут появиться так называемые артефакты - в окрестности скачкообразного изменения амплитуды фильтруемого сигнала появляются импульсы,

отсутствующие в исходном сигнале, что существенно ухудшает качество

фильтрации. Для устранения таких артефактов в научных публикациях предложено несколько способов. В данной работе по результатам вейвлет-фильтрации одномерных сигналов проведен анализ эффективности этих способов. Предлагается метод, который заключается в постобработке результата вейвлет-фильтрации нелинейные алгоритмы пространственной фильтрации. Выполнен обширный вычислительный эксперимент по исследованию этого метода к устранению артефактов различной формы. Результаты исследований позволили сделать вывод, что предлагаемый метод является эффективным способом устранения артефактов вейвлет-фильтрации. В отличие от других способов он легко обобщается для вейвлет-фильтрации изображений.

Ключевые слова: вейвлет-фильтрация, пороговые функции, артефакты вейвлет-фильтрации, способы устранения артефактов, нелинейные алгоритмы пространственной фильтрации

ВВЕДЕНИЕ

В последние два десятилетия для фильтрации дискретных сигналов и изображений часто используются алгоритмы, основанные на представлении фильтруемого изображения в базисе вейвлет-функций. Такие алгоритмы включает три этапа:

• вычисление прямого дискретного вейвлет-преобразования (нахождение коэффициентов разложения по зашумленным значениям сигнала);

• обработка «зашумленных» коэффициентов разложения;

• вычисление обратного дискретного вейвлет-преобразования от обработанных коэффициентов разложения (нахождение «отфильтрованных» значений сигнала).

Совокупность этих трех этапов принято называть вейвлет-фильтрацией. Очевидно, что качество фильтрации зашумленного

изображения определяется алгоритмами обработки, используемыми на втором этапе. Наиболее часто в качестве таких алгоритмов обработки выступают пороговые алгоритмы: коэффициент разложения меньший по абсолютной величине некоторой пороговой величины зануляется, в противном случае такой коэффициент сохраняется или подвергается некоторому (в общем случае нелинейному) преобразованию (в зарубежной литературе такая обработка получила название thresholding). Такие алгоритмы обработки приводят к появлению в отфильтрованном сигнале так называемых артефактов, т.е. новых составляющих (в большинстве случаев это осцилляции), которых не было в не зашумлённом («точном») сигнале. Для устранения артефактов (которые существенно ухудшают качество фильтрации) предложено несколько способов (например, использование двухпараметрических пороговых функций; алгоритмы вейвлет-фильтрации с циклическим сдвигом фильтруемого сигнала и т. д.). В данной работе исследуется эффективность этих способов и предлагается метод, основанный на постобработке результата вейвлет-фильтрации пространственными

алгоритмами фильтрации и позволяющий достаточно хорошо (по сравнению с другими способами) удалить описанные артефакты.

1. ПОРОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ И АРТЕФАКТЫ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ

Алгоритмы вейвлет-фильтрации основаны на многомасштабном (multiresolution) представлении функции f (x) в базисе вейвлет-функции имеет вид [1, 2]:

J

/(х) = X ^,кЫ,к (х) + X X а],к¥],к ( к -=1 к

Функции {jjk (х)} называют масштабирующими (или отцовскими), а функции {у- к (х)} -

вейвлет - функциями (или материнскими). Коэффициенты разложения а- к называют

аппроксимирующими, к - детализирующими и они определяются выражениями:

а-к = | %(х)- (Х)ЛХ ,

К

^-,к = 1%(х)у- к (*)& ,

К

где К - интервал определения функции /(х). Переменная - характеризует уровень разложения и ее часто называют коэффициентом масштаба, переменная к -временной сдвиг той или иной базисной функции, величина J - задает количество уровней разложения. Системы функций {— (х)}, У-кк (х)} составляют

ортогональный базис пространств вейвлет -функций (подробнее см. [2, 3, 4]). Заметим, что чем меньше номер -, тем более «мелкие» структуры исходной функции % (х) могут быть представлены в базисах{(х)}, {У-,к(х)}, и

тем ближе реконструированный сигнал /(х) к исходному. Обозначим коэффициенты разложения зашумленного сигнала %(х) как Заметим,

ajk , j

что

относительные

погрешности аппроксимирующих

коэффициентов на порядок и более меньше погрешностей коэффициентов с1-к (см. [3],

стр. 58-60). Поэтому на практике обработке подвергаются только детализирующие коэффициенты й]к.

Пороговая обработка коэффициентов -

(далее просто й) на втором этапе вейвлет-фильтрации определяется используемой пороговой функцией. На практике широко используются две пороговые функции:

• «жесткая» пороговая функция вида:

Th ( И) = -

10, если < Л; d, если \d\ > Л

» «мягкая» пороговая функция вида:

10, если \d\ < Л,

% Г % о! 1% о

sign(d) • I \d\ — Л I, если \d\ > Л;

где 1 - величина порога, с1 - обрабатываемый коэффициент. Графики функций (1), (2) приведены на рис. 1 для 1 = 1 (1 - график функции (1), 2 - функция (2)).

Рис. 1. Графики пороговых функций

Очевидно, что выбор пороговой величины существенно влияет на ошибку фильтрации и эта пороговая величина, по сути, является управляющим параметром алгоритмов вейвлет -фильтрации. Сравнение различных алгоритмов выбора порога Л выполнено в [3, 4]. Оценивание оптимального значения 1opt, минимизирующего среднеквадратическую ошибку фильтрации, рассмотрено в работах [3, 5]. Далее будем полагать, что величина Л задана равной

1opt

Пороговой характер обработки коэффициентов разложения приводит к тому, что часть

«информативных» коэффициентов dj k

(которые соответствуют ненулевым

коэффициентам разложения точного сигнала) зануляется и соответствующие базисные функции не участвуют в формировании отфильтрованного сигнала. Это обуславливает появление в окрестностях «скачков» амплитуд фильтруемого сигнала новых составляющих -артефактов, отсутствующих в обрабатываемом сигнале - некоторый аналог известному эффекту Гиббса, который проявляется при Фурье-фильтрации.

В качестве иллюстрации рассмотрим результаты вычислительного эксперимента по фильтрации одномерного дискретного «ступенчатого» сигнала (число отсчетов N = 2048 ), представляющего набор прямоугольных импульсов, зашумленные значения которого показаны на Рис. 2. Относительный уровень шума

II/ — fil

составленный из значений «точного» сигнала, f - вектор «зашумленных значений, ||f || -

евклидова норма вектора. На Рис. 3 показан результат вейвлет-фильтрации такого сигнала (пороговая функция (1)). Видна достаточно хорошая фильтрация шума на плоских участках сигнала, но появились артефакты - осцилляции в точках, где происходит резкое (скачкообразное) изменение амплитуды обрабатываемого сигнала. Приведем значение относительной ошибки фильтрации

§i=J

Л" /

II/II

= 0.039, где / - вектор, проекции

которого определяются отфильтрованным сигналом. Вариация пороговой величины 1 в приемлемом (с точки зрения общей ошибки фильтрации) интервале слабо влияет на величину и характер артефактов. Поэтому возникает задача: каким образом можно устранить (или существенно уменьшить) артефакты вейвлет-фильтрации?

Рис. 2. Зашумленные значения ступенчатого сигнала

Рис. 3. Артефакты вейвлет-фильтрации ступенчатого сигнала

2. СПОСОБЫ УМЕНЬШЕНИЯ АРТЕФАКТОВ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ

В соответствующих научных публикациях предложен ряд способов уменьшения артефактов, которые можно условно разделить на следующие группы:

• подбор пороговых функций;

• обработка результатов вейвлет-фильтрации циклически сдвинутого зашумленного сигнала.

Рассмотрим каждый из этих способов в отдельности.

Подбор пороговых функций. Для преодоления известных недостатков

однопараметрических функция (например, они описаны в [3, 4]) и, как следствие, уменьшения величины артефактов в научных публикациях были предложены двухпараметрические пороговые функции, зависящие уже от двух параметров. В работах [6, 7] было выполнено сравнение потенциальной точности четырех таких функций. Наилучшими точностными характеристиками имели две функции: функция

TSS (d,H) (обозначаемая в зарубежной

литературе как semisoft или firm) и функция

THEB (¿Ц). Для конкретности рассмотрим

TSS (<%ЛЛ ),

выражением:

которая

определяется

TSS (d,1,12 ) =

sign

1

1

если d > 12,

если 1 < d £ 1,

где 1,12 - пороговые величины. График этой функции (при 1 = 1,1 = 1) приведен на Рис. 1 (кривая 3). Видно, что функция (3) является «промежуточной» между пороговыми функциями (1), (2). В работе [8] были исследованы статистические характеристики ошибок фильтрации для трех пороговых функций (1), (2), (3). Было показано (аналитически и в вычислительном эксперименте), что функция (1) имеет наименьшее смещение, функция (2) -наименьшую дисперсию, функция (3) -наименьшую СКО фильтрации.

Для исследования эффективности уменьшения артефактов с помощью этой функции был проведен обширный вычислительный эксперимент, показавший незначительное уменьшение (на 3 - 10 %) относительной ошибки фильтрации 8Х по сравнению с функциями (1), (2). Более подробно этот факт будет рассмотрен позже (см. Табл.1, 2). На Рис. 4 показан результат фильтрации сигнала, изображенного на рис. 2 с использованием функции Тж ((¡Ц) при

оптимальных значениях 11 , 12 . Видно наличие остаточных артефактов, хотя и меньшей амплитуды (по сравнению с рис.3). Аналогичное сохранение артефактов

0

наблюдалось и при использовании пороговой функции THEB (d ,1,1).

»

С"" '

f " V

0 1*10* 2" If/

Рис. 4. Результаты вейвлет-фильтрации с использованием функции

Таким образом, использование двухпарамет-рических функций (с более сложным выбором порогов 1,1) не является эффективным способом борьбы с артефактами вейвлет-фильтрации. Этот вывод будет также подтвержден позже по результатам вычислительного эксперимента.

Обработка результатов вейвлет-фильтрации циклически сдвинутого зашумленного сигнала. Эти способы основаны на одном свойстве вейвлет-преобразования, которое можно определить, как вариантность результата вейвлет-преобразования к сдвигу по аргументу (в зарубежной литературе - shift-variant). Это означает, что если обрабатываемый сигнал «сдвинуть» на заданное значений аргумента, подвергнуть этот новый сигнал вейвлет-фильтрации, а затем результат фильтрации «сдвинуть» в обратном направлении на столько же значений аргумента, то полученный таким образом сигнал будет отличаться от результата вейвлет-фильтрации зашумленного сигнала без преобразований сдвига.

Для формализации такой сдвиговой вейвлет-фильтрации введем в рассмотрение несколько векторно-матричных операций. Результат работы порогового алгоритма вейвлет-фильтрации запишем в виде следующей последовательности преобразований:

fx= W-\TX

где W (•), W"'(•) - прямое и обратное вейвлет-преобразование последовательностей,

указанных в круглых скобках, Tx (•) - пороговая

обработка коэффициентов разложения. Используя представление (4), запишем результат вейвлет-фильтрации сдвинутого сигнала. Для этого введем операции циклического сдвига:

• Прямой циклический сдвиг на j значений аргумента

f[j]

Если i + j > N, то берется значение f (i + j - N), т.е. осуществляется циклический сдвиг по модулю N , где N - длина фильтруемой последовательности.

• Обратный циклический сдвиг на j значений аргумента

j

Если i - j < 1, то берется значение

f (N + (i - j)), т.е. осуществляется циклический

сдвиг в «обратную сторону» по модулю N . Тогда, результат вейвлет-фильтрации сдвинутой последовательности можно представить следующим выражением (см. (4), (5), (6)):

Jxj] = F[j]

В общем случае из определенного выше свойства вариантности вейвлет-преобразования

следует неравенство F1 (f) Ф Fx (f). Возникает вопрос: как обработать векторы fp] для уменьшения артефактов вейвлет-фильтрации?

В некоторых публикациях (например, см. [9,10]) в качестве такой обработки предлагается вычислять «средний» вектор по некоторому

ансамблю векторов {fjj]}, j = 1,...,M , т. е. находить вектор

_ 1 M

Jx=мм j <8>

В зарубежной литературе такое усреднение результатов вейвлет-фильтрации сдвинутой последовательности получило название cycle spinning и оно основано на следующем предположении. Так как, в силу вариантности вейвлет-преобразования случайный

«остаточный» шум каждого вектора fl будет

различным, то операция усреднения по

ансамблю {fjj]} может привести к уменьшению

уровня шума в векторе fx . Количество сдвигов (величина M ) рекомендуется определять выражением M = 2J, где J - количество уровней вейвлет-разложения. Ниже исследуется эффективность такого способа уменьшения артефактов.

3. ЛОКАЛЬНО-ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ АРТЕФАКТОВ

Результат локально-пространственной

фильтрации определяется преобразованием

(обработкой) значений исходного фильтруемого сигнала, попавших в апертуру (окно) фильтра. Такими преобразованиями может быть вычисление среднего значения, медианы или других числовых характеристик. Для обработки всего сигнала апертуру фильтра «перемещают» по обрабатываемому сигналу. Изменение размеров апертуры фильтра позволяет «управлять» характеристиками алгоритма сглаживания. Алгоритмы локально-

пространственной фильтрации хорошо зарекомендовали себя при фильтрации сигналов и изображений, особенно фильтры с адаптивной апертурой [11]. Попытаемся применить некоторые из этих фильтров для постобработки

/фСС = ауегк (/_к,

где ауегк ( ) - функция, вычисляющая среднее значение из 2 • К +1 значений, указанных в скобках. Величину к можно интерпретировать как размер апертуры фильтра скользящего среднего. Особенностью фильтра скользящего среднего является хорошее сглаживание однородного шума измерения.

Дисперсия отфильтрованного значения /ф33 (т. е. дисперсия «остаточного» шума) равна

D [ fфСС ] =

s

. Следовательно, чем больше

2К +1

размер апертуры, тем сильнее сглаживание. Однако при этом сильнее сглаживаются и контрастные детали исходного сигнала, которые необходимо сохранить в отфильтрованном сигнале. Это противоречие характерно для всех линейных алгоритмов фильтрации.

Медианный фильтр. Выходной сигнал /Мф

медианного нелинейного фильтра определяется соотношением

/МФ = ше(ь (], /]_ь+1,..., /,..., ] ), (10) где шейЬ ( ) - функция, вычисляющая медиану из 2 • Ь +1 значений, указанных в скобках. Особенностями медианного фильтра являются: хорошая фильтрация импульсных шумов; сохранение в отфильтрованном сигнале контрастных деталей сигнала /]; выходной

сигнал медианного фильтра равен одному из значений /, попавших в апертуру фильтра.

Следовательно, выходной сигнал медианного фильтра содержит «остаточный» шум фильтрации, который определяется

погрешностями исходных данных, что обуславливает его низкую эффективность при фильтрации однородных шумов.

Комбинированный фильтр [12]. Работу такого комбинированного фильтра (КФ) «медианный фильтр + интервальный фильтр скользящего среднего» можно представить

результатов вейвлет-фильтрации с целью уменьшения артефактов.

Для пояснения принципа работы этих фильтров предположим, что даны значения некоторого зашумленного одномерного дискретного сигнала / = / + , ] = 1,..., N , где Ц] - случайный шум (погрешность) с

нулевым средним и дисперсией о2 (такой шум

назовем однородным).

Фильтр скользящего среднего. Выходной

сигнал (ф00 фильтра скользящего среднего

определяется соотношением

f j - к +i,..., f j,..., f j+к) _

2 K +

1 к % Г+1 fj +'

' j - к +1>--> +K

2 K + 1 i = -K

следующими шагами, выполняемыми для

je[1,...,N]:

Шаг 1. Вычисляется вектор

fM0 = medL (f j-L,..., fj,..., f+L ) (11) Шаг 2. Строится оценка ff = averK f0 : j - K £ i £ j+K,\ fMФ - <b),

где L , к размер апертур фильтров, причем K > L . Заметим, что на шаге 2 усредняются

гМФ

только те значения fi , которые попали и в апертуру фильтра и попали в интервал

[ fMФ-b, fM

+

b].

Такое

интервальное

усреднение предотвращает сглаживание контрастных деталей сигнала /]. Для

определения величины Р можно использовать следующий способ. Предположим, что значения

являющееся результатом медианной

/М

фильтрации, содержит «остаточную» случайную ошибку с дисперсией о2. Тогда величину Р вычислим по правилу «двух сигм»: Р = 2 о.

Свойство рассмотренных фильтров (10) -(12) хорошо фильтровать импульсные шумы (при сохранении контрастных деталей сигнала) позволяет надеяться, что, используя эти фильтры, удастся существенно уменьшить величину артефактов вейвлет-фильтрации. Для

этого применим к вектору / (результат

вейвлет-фильтрации) описанные выше алгоритмы (10) - (12) локально-пространственной фильтрации, т. е. выполним постобработку с использованием локально-пространственных фильтров.

Для сравнения эффективности устранения артефактов различными способами был выполнен большой вычислительный

эксперимент, который включал следующие способы обработки сигналов:

• вейвлет-фильтрацию с использованием пороговых функций (1) - (3) (обозначения в первом столбце таблиц Тн, Тх, Т соответственно);

• вычисление «средних» векторов / с использованием пороговых функций (1), (3) (обозначения в таблицах СРн, СР^ соответственно);

• локально-пространственная фильтрация с использованием комбинированного фильтра (11), (12) результатов вейвлет-фильтрации с пороговыми функциями (1), (3) (обозначения в таблицах КФН КФХХ соответственно).

В качестве точностной характеристики принято среднее значение относительной ошибки фильтрации, вычисленное по выборке (объемом 30) значений

/ /II

,I = 1,...,30, где

г

/I' - результат

фильтрации I - ого зашумленного вектора. Значения средних ошибок приведены в таблицах 1 (ступенчатый сигнал), 2 (комбинированный сигнал) для трех уровней шума 0.02, 0.05, 0.10. На Рис. 2 показаны значения зашумленного ступенчатого сигнала, на Рис. 5 - значения зашумленного комбинированного сигнала с относительным уровнем шума 0.10.

Рис. 5. Зашумленные значения комбинированного сигнала

На Рис. 6 показаны результаты вейвлет-фильтрации зашумленного комбинированного сигнала (см. Рис. 5) с пороговой функцией (1). Видно появление в окрестностях точек скачков амплитуды сигнала значительные артефакты. В областях плавного изменения сигнала артефакты отсутствуют.

Таблица 1

Способ фильтрации Уровни шума

0.02 0.05 0.10

Т 8.48 -10-3 0.020 0.039

Т 9.67 10-3 0.022 0.040

Т 7.95 10-3 0.019 0.036

СРн 7.52 -10-3 0.016 0.033

СР 7.0110-3 0.014 0.031

КФн 2.40 10-3 7.12 10-3 0.022

КФхх 2.36 -10-3 6.93 -10-3 0.019

Таблица 2

Способ Уровни шума

фильтрации 0.02 0.05 0.10

Т 7.40 -10-3 0.016 0.031

Т 8.7110-3 0.018 0.034

Т -'хх 7.1110-3 0.016 0.030

СРн 5.86 -10-3 0.014 0.027

СР 5.66 10-3 0.013 0.026

СРн 3.46 10-3 8.87 10-3 0.014

КФх 3.36-10-3 8.6110-3 0.013

Из таблиц видно, что использование двухпараметрической функции Тж

незначительно (на 3-8 %) уменьшает как относительную ошибку вейвлет-фильтрации (сравните строки Тн, Тж Таблиц 1, 2), так и амплитуды артефактов (см. Рис. 3). Поэтому такой способ уменьшения величины артефактов вейвлет-фильтрации нельзя признать эффективным.

-1

1.10 2 10

Рис. 6. Результат вейвлет-фильтрации комбинированного сигнала

Перейдем к рассмотрению алгоритма фильтрации (8) - усреднение результатов фильтрации циклически сдвинутого исходного зашумленного сигнала. В Таблицах 1, 2 приведены средние относительные ошибки фильтрации при количестве сдвигов М = 25 = 32 . Сравнивая значения

относительных ошибок в строках СРн, СРХХ с ошибками пороговых алгоритмов фильтрации видно значительное (на 20-30 %) уменьшения

значений относительных ошибок. Это позволяет рекомендовать алгоритм (8) как способ уменьшения артефактов и повышения точности вейвлет-фильтрации. Однако, следует заметить, что реализация алгоритма (8) требует в М больше вычислительных затрат по сравнению с обычным пороговым алгоритмом вейвлет-фильтрации.

Существенное уменьшение относительной ошибки (в 1.5-2.5 раза) наблюдается при использовании на этапе постобработки результатов вейвлет-фильтрации

комбинированного фильтра КФ (11), (12) -строки таблиц КФН, КФ88 . Этот факт хорошо иллюстрируют Рис. 7, 8, на которых показаны результаты постобработки локально-пространственным фильтром зашумленных сигналов (Рис. 2, 4). Здесь наблюдается не только полное удаление артефактов, но и хорошая фильтрация остаточного шума вейвлет-фильтрации.

6--п

4

2

0

-2--и

0 1,103 2,103

Рис. 7. Результат локально-пространственной фильтрации ступенчатого сигнала

Выводы. Анализ приведенных значений относительных ошибок фильтрации (Таб. 1, 2) позволяет сделать вывод об эффективности предложенного метода устранения артефактов вейвлет-фильтрации, который заключается в добавлении к алгоритмам вейвлет-фильтрации этапа постобработки с использованием нелинейных алгоритмов локально-пространственной фильтрации.

К такому же выводу можно прийти, анализируя результаты вычислительного эксперимента с другими формами сигналов. Этот метод легко обобщается на фильтрацию изображений (двумерных дискретных сигналов). В случаях, когда конечным результатом обработки являются коэффициенты вейвлет-разложения (например, в задаче сжатия информации), то требуемое вейвлет-разложения можно применить уже к результату локально-пространственной фильтрации, тем самым существенно увеличить точность вычисления коэффициентов разложения.

Рис. 8. Результат локально-пространственной фильтрации комбинированного сигнала

ЛИТЕРАТУРА

[1] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of LA2(R) / S. Mallat // Trans. AMS. - 1989. Vol. 315, № 1. - P. 69-87.

[2] Mallat S. A Wavelet tour of signal processing: the sparse way / S. Mallat. - Academic Press, 2008. -621 p.

[3] Воскобойников Ю. Е. Вейвлет- фильтрация сигналов и изображений (с примерами в MathCAD) / Ю. Е. Воскобойников. -Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2015. - 188 с.

[4] Воскобойников Ю. Е. Алгоритмы вейвлет-фильтрации с примерами в пакете MathCAD / Ю. Е. Воскобойников. - Deutschland: Palmarium Academic Publishing, 2016. - 196 с.

[5] Voskoboinikov Yu. Е. Estimating optimum threshold sizes in a wavelet-filtration algorithms / Yu. E. Voskoboinikov, A. V. Gochakov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. - 2011. Vol. 47, № 2. - P. 3-14.

[6] Воскобойников Ю.Е. Вейвлет-фильтрация с двухпараметрическими пороговыми функциями: выбор функции и оценивание оптимальных параметров/ Ю. Е. Воскобойников // Автоматика и программная инженерия. 2016, №1(15). С. 67-73.

[7] Воскобойников Ю.Е. Выбор наилучшей двухпараметрической пороговой функции в алгоритмах вейвлет-фильтрации / Ю.Е. Воскобойников, Д.А. Крысов // Автоматика и программная инженерия. 2016, №3(17) . С. 91-98.

[8] Gao H-Y, Bruce A.G. Waveshrink with firm shrinkage // Statistica Sinica. - 1997. V. 7. P. 855874.

[9] Chang W., Song Y., Feng J. A new image denoising method based on wave atoms and cycle spinning/Journal of software. - 2014. v. 9. - N1. P. 216-222.

[10] Fletcher A.K., Goyal V. Wavelet denoising by recursive cycle spinning//Proc. IEEE Int. Conf. Image Proc. NY. -2002. - v.2. - P. 873-876.

[11] Воскобойников Ю. Е. Алгоритмы фильтрации изображений с адаптацией размеров апертуры / Ю. Е. Воскобойников, В. Г. Белявцев // Автометрия. - 1998. - № 3. - С. 18-25.

[12] Бронников А. В. Нелинейные комбинированные алгоритмы фильтрации зашумленных сигналов и изображения [Текст] /

А. В. Бронников, Ю. Е. Воскобойников // Автометрия.- 1990. - № 1. - С. 21-28.

Wavelet Filter Artifacts and Ways to Eliminate Them

YU.E. VOSKOBOINIKOV

Novosibirsk State Technikal University and Novosibirsk State Architectural and Civil Engeneering University (Sibstrin) Novosibirsk, Russia

Abstract. To filter out noisy signals, methods based on the wavelet representation of the signal being processed are widely used. Most wavelet filtering algorithms are threshold nature: expansion coefficient smaller the absolute value of a threshold value becomes zero, otherwise the coefficient is subjected to some (often nonlinear) transformation, which is given by the threshold function is used. When using such algorithms to filter the contrast signals as called artifacts can appear - in the vicinity of the hopping filtered signal amplitude pulses appear, which are not present in the original signal, which substantially impairs the quality of filtering. To eliminate such artifacts, several methods are suggested in scientific publications. In this paper, based on the results of wavelet filtering of one-dimensional signals, an analysis of the efficiency of these methods is carried out. A method is proposed which consists in post-processing the result of wavelet-filtration non-linear algorithms of spatial filtration. An extensive computational experiment was conducted to study this method to eliminate artifacts of various shapes. The results of the studies made it possible to conclude that the proposed method is an effective method of eliminating wavelet-filtration artifacts. Unlike other methods, it is easily generalized for wavelet filtering of images.

Key words: wavelet filtering, threshold function, wavelet filtering artifacts, how to troubleshoot artifact, nonlinear algorithms for spatial filtering

REFERENCES

[1] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of LA2(R) / S. Mallat // Trans. AMS. - 1989. Vol. 315, № 1. - P. 69-87.

[2] Mallat S. A Wavelet tour of signal processing: the sparse way / S. Mallat. - Academic Press, 2008. -621 p.

[3] Voskobojnikov Ju. E. Vejvlet-fil'tracija signalov i izobrazhenij (s primerami v MathCAD) / Ju. E. Voskobojnikov. - Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2015. - 188 s.

[4] Voskobojnikov Ju. E. Algoritmy vejvlet-fil'tracii s primerami v pakete MathCAD / Ju. E.

Voskobojnikov. - Deutschland: Palmarium Academic Publishing, 2016. - 196 s.

[5] Voskoboinikov Yu. Е. Estimating optimum threshold sizes in a wavelet-filtration algorithms / Yu. E. Voskoboinikov, A. V. Gochakov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. - 2011. Vol. 47, № 2. - P. 3-14.

[6] Voskobojnikov Ju.E. Vejvlet-fil'tracija s dvuhparametricheskimi porogovymi funkcijami: vybor funkcii i ocenivanie optimal'nyh parametrov/ Ju.E. Voskobojnikov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. 2016, №1(15). S. 67-73.

[7] Voskobojnikov Ju.E. Vybor nailuchshej dvuhparametricheskoj porogovoj funkcii v algoritmah vejvlet-fil'tracii / Ju.E. Voskobojnikov, D.A. Krysov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. 2016, №3(17) . S. 91-98.

[8] Gao H-Y, Bruce A.G. Waveshrink with firm shrinkage // Statistica Sinica. - 1997. V. 7. P. 855874.

[9] Chang W., Song Y., Feng J. A new image denoising method based on wave atoms and cycle spinning/Journal of software. - 2014. v. 9. - N1. P. 216-222.

[10] Fletcher A.K., Goyal V. Wavelet denoising by recursive cycle spinning//Proc. IEEE Int. Conf. Image Proc. NY. -2002. - v.2. - P. 873-876.

[11] Voskobojnikov Ju. E. Algoritmy fil'tracii izobrazhenij s adaptaciej razmerov apertury / Ju. E. Voskobojnikov, V. G. Beljavcev // Avtometrija. -1998. - № 3. - S. 18-25.

[12] Bronnikov A. V. Nelinejnye kombinirovannye algoritmy fil'tracii zashumlennyh signalov i izobrazhenija [Tekst] / A. V. Bronnikov, Ju. E. Voskobojnikov // Avtometrija.- 1990. - № 1. - S. 21-28.

Юрий Евгеньевич

Воскобойников,

выпускник кафедры

автоматики НГТУ

(НЭТИ), доктор физ.-мат. наук, профессор,

Заслуженный работник Высшей школы РФ, Соросовский профессор, действительный член МАИ, РАЕ, МАН ВШ, заведующий кафедрой прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), профессор кафедры автоматики НГТУ.Автор более 290 публикаций, 6 монографий, посвященных решению некорректных задач интерпретации данных и обработке сигналов и изображений и большого числа учебников и учебных пособий. E-mail: voscob@mail.ru