Инвариантное управление энергетическими объектами

М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко

ИНВАРИАНТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Задача инвариантности отдельных режимных параметров работы электроэнергетических систем (ЭЭС) к разнообразным возмущениям в современный период является весьма актуальной. Например, можно указать следующие актуальные проблемы инвариантности в ЭЭС [1, 2]:

1. Поддержание постоянства частоты (50 Гц) в ЭЭС, как в нормальных, так и в аварийных режимах ЭЭС;

2. Поддержание заданных межсистемных перетоков в объединенной ЭЭС, в независимости от режимов в отдельных ЭЭС;

3. Поддержание постоянства напряжения в узлах нагрузки ЭЭС, в независимости от режимов по активной мощности в ЭЭС;

4. Поддержание постоянства пропусков воды в нижний бьеф самой нижележащей ГЭС каскада в период нереста рыб.

Существуют множество других задач, которые можно отнести к инвариантному управлению ЭЭС и энергетических объектов.

Одной из таких актуальных проблем (проблема 4) является оптимальное ведение режимов ГЭС и каскадов ГЭС с учетом условий сохранения запаса рыбных ресурсов в водохозяйственной природно-технической экоихтиосистеме [2 - 7]. Одним из главных требований экоихтиосистемы (наравне с требованиями соблюдения санитарных норм к качеству воды в реках и водоёмах) является поддержание постоянного уровня воды в пойме реки в период нереста рыб. Иначе говоря, в период нереста рыб отметка нижнего бьефа самой нижерасположенной ГЭС (гидроузла) должна быть неизменна (инвариантна) вне зависимости от режима работы всего каскада ГЭС.

Рассмотрим линейную (в том числе и водноэнергетическую) систему

где X - п -мерный вектор состояния системы, и - £ -мерный вектор управления, у - да-мерный вектор выхода, W — г-мерный вектор внешних возмущений.

Сформулируем необходимое и достаточное условие инвариантности линейной системы (1) на основе частотных критериев управляемости и наблюдаемости. В работах [8 - 12] показано, что понятие инвариантности связано с понятием неуправляемости по возмущениям и ненаблюдаемости возмущений. Объединение этих понятий можно осуществить, используя конструкцию матрицы Розенброка [13], которая имеет вид

х(ї) = Ах(ї) + Ви(ї) + ¥^(ї), у = Сх(ї),

х(ї ) = х ,х є О п,и є О !і,у є О т,'№ є О Г, ' 0' 0 *

определяет динамические свойства

Эта матрица имеет размер (n + m) X (n + r) и нормальный ранг [14]

norm rankR(p) = п + min rank(F,C) = n + min (rF,rc).

Наличие неуправляемых и ненаблюдаемых мод колебаний линейной системы с комплексной частотой Л- связывается с понижением нормального ранга матрицы

R (Л ) =

a -Ain

C

F

"о

т.е.

rank

A- — I і n \ F

C \ о

< norm rankR

необходимый и

Данное утверждение имеет для линейной системы достаточный характер.

Итак, условием инвариантности линейной системы к возмущениям W с

комплексными частотами является потеря нормального ранга матрицы (2). Здесь можно выделить три характерных случая:

1. Нормальный ранг матрицы R(p) равен

n + min rank(F,C) = n + rc,

т.е. матрица имеет полный нормальный строчный ранг. Тогда выполнение условия

rankR

можно связать с существованием нетривиального решения матричного уравнения

і xir ]

I F

і n

C 0

= о.

В силу сказанного, матрицу [ -\у ] можно определить как левый делитель нуля [15] матрицы (4) на комплексной частоте и обозначить

а -\In\F

2. Нормальный ранг матрицы р) равен

п + шгп гапк(Р,С) = п + гР,

т.е. матрица имеет полный нормальный столбцовый ранг. Тогда должно существовать нетривиальное решение матричного уравнения

2'

A -Л I

і n

...c....

F

o'

V

= 0

Матрицу ^ УТ J можно назвать правым делителем нуля матрицы

на комплексной частоте А и обозначить

а - А!„

С

о'

3. Нормальный ранг матрицы (4) равен

п + шгп гапк(Ё,С) = п + ^ = п + гс.

В этом случае одновременно существуют нетривиальные решения уравнений (6) и (8).

Определим условия существования делителей нуля (7) и (9).

Начнем с блок-матричного уравнения (4). Раскрывая его с точностью до выделенных блоков, получим

'х (А-\1„) + УС = 0,

ХЁ = 0.

Из последнего уравнения (10) следует, что матрица X, если она существует, должна быть пропорциональной левому делителю нуля Ё" матрицы Е

Х = /лё1, гапкЁ1 = п - гР.

Здесь Ё"Ё = 0 , а ^ - некоторая матрица подходящего размера.

С учетом сказанного, первое уравнение (10) принимает вид

Рассмотрим (11) как уравнение относительно матрицы У. Условие его разрешимости выглядит следующим образом:

ЦЁ1 (А -А1п) С* = 0,

СС* = 0, гапкС* = п - гс.

Таким образом, если условие (12) выполняется, то матрица

Ё (А-А1„) С*

имеет левый делитель нуля

13)

Е1 (А -Л,!,,) С* * О

Повторяя аналогичные рассуждения в отношении уравнения (8), получаем условие существования решения в виде

___________________*

Ё"

Ясно, что объединение (14) и (15) означает соответственно существование одновременно левого и правого делителей нуля и, значит, одновременную неполноту строчного и столбцового рангов матрицы (13) на комплексной частоте

А. Матрица (1) является определяющей для разрешимости уравнений (7),(8).

*

Итак, можно утверждать, что матрица (13) характеризует управляемость и наблюдаемость линейной динамической системы (1) по возмущениям. Если у матрицы (13) существует левый делитель нуля, то система является ненаблюдаемой, если существует правый делитель, то система будет неуправляемой - неуправляемой, и, соответственно, если присутствуют оба делителя - неуправляемой и ненаблюдаемой. Однако в отличие от матрицы Розенброка, налицо снижение размерности решаемой задачи.

Тем не менее в данной задаче соответствующие делители можно не вычислять. Достаточно перейти от матрицы (13) к понятию пучка матриц [16] и связать свойства пучка с инвариантностью.

Для перехода к пучку матриц раскроем скобки в (13):

FL

С формальной точки зрения мы приходим к так называемой несимметрической (обобщенной) задаче на собственные значения [9].

В зависимости от размера матриц FL, CR пучки матриц (16) могут иметь

прямоугольный или квадратный вид. Остановимся на случае, когда матрицы

flacr, flcr имеют вид квадратных матриц размера, скажем,

(n — rp ) X (n — rF ) . Случаи прямоугольных пучков матриц могут быть

приведены к случаю квадратного пучка [17, 18].

Определим обобщенные собственные значения пучка (16) как элементы

множества л(flacr, flcr) , равного

л

Существуют три характерных частных случая [17]:

1) конечное множество собственных значений;

2) пустое множество собственных значений;

3) бесконечное множество собственных значений.

Конечное множество собственных значений А существует тогда, когда

rank

при этом n — rF — число собственных значений.

Пустое и бесконечное множество связывается с неполнотой ранга матрицы FLCR Ф 0 . Если

rank

то множество Л(FLACR, FlCr ) (17) может быть как пустым, так и бесконечным.

В задаче инвариантности ключевую роль играет бесконечное множество собственных значений пучка матрицы. Действительно, соотношение

У А, i = ^•' С

определяет условие обнуления выходного сигнала (1) на фиксированной частоте А. Если же искомое множество собственных значений л(Ё"АС*, Ё"С*) является бесконечным, то тождество (20) строго выполняется на бесконечном

множестве векторов ~^(А) (на всех возможных векторах), а это значит, что

передаточная матрица (1).

С

(Действительно, если уравнение Ах = 0 для любых X, то А = 0). Выражение (21) это не что иное, как известное условие инвариантности линейной системы [1].

Итак, множество (17) соответствует комплексным частотам входного сигнала, на которых «запирается» (аннулируется) передаточная матрица

С

Если же множество таких комплексных частот бесконечно, то, следовательно, выполняется тождество (21), а рассматриваемая система является инвариантной.

На основе сказанного можно сформулировать следующий.

Частотный критерий инвариантности. Для того чтобы линейная система

х

обладала инвариантностью к возмущению ~^(t), необходимо и достаточно, чтобы пучок матриц

ё1аСк -аёС

имел бесконечное множество обобщенных собственных значений А .

Рассмотрим характерный частный случай. Пусть в исследуемой системе выполняются тождества

Сё = 0, ЁС = 0.

Если теперь этот факт соотнести с формой пучка матриц

Ё1АСК -А- 0 ,

то отсюда вытекает достаточное условие инвариантности

СЁ = 0, ЁС = 0 ^ Ё"АС* = 0.

Другими словами, при выполнении условий (23) у инвариантной системы матрица динамики А аннулируется делителями нуля Ё", С* .

Действительно, с учетом условий (23) из уравнения Ё1 АС* = 0 вытекает следующая формула для матрицы А

А = Г]Ё1 + С* )1.

Подстановка (26) в последовательность произведений матриц известного

временного критерия инвариантности [9]

СЁ = 0, САЁ = 0, СА2Ё = 0,..., САп-Ё = 0

приводит к тождествам

= С

САР = С (^Р1 + СК<и) Р = 0, СА2 Р = С (^РЬ + С* и)* Р =

т]РЬ + СКи + лРЬСК и + СК^т1РЬ

Р = 0,...

\ 0 у

Это, собственно, и требовалось доказать.

Проиллюстрируем полученные результаты на примерах.

Рассмотрим абстрактную динамическую систему, заданную тройкой матриц

Л

~1 3 2~ У

0 4 0 , С = [( ) 1 0], Р = 0

1 1 2 1

Необходимое условие инвариантности СР = 0 здесь выполняется. Определим делители нуля матриц С, Р :

РЬ =

Используя (30), получаем

1 0 0

0 1 0

, С* =

1 0

0 0

0 1

“1 0“

0 0

Таким образом, произведение матриц Р^С* Ф 0, но матрица (31) вырождена и условие (19) выполняется. Вычислим теперь Р1 АС*

“1 2"

0 0

РЬЛСК =

и определим пучок матриц

Р1лСк - дРС =

“1 2" 0 “1 0“

0 0 - Д 0 0

Очевидно, что при любых значениях Д в силу определения (17) имеем тождество

с1а (РЬЛСК - АгРьСк ) = с1а

“1 -Д 2"

0 0

= 0.

Итак, пучок матриц (33) имеет бесконечное множество обобщенных собственных значений и согласно частотному критерию инвариантности рассматриваемая система (29) является инвариантной.

Для проверки данного утверждения можно непосредственно убедиться в выполнении условий (20) и (21).

Кроме того, передаточная функция системы имеет вид Пусть теперь матрица А в записи (29) принимает вид

1 3 2

Л = 0 4 3

1 1 2

Новой системе соответствует пучок матриц

ЁЬЛСК - ЛЁЬСК

“1 2" 0 "1 0“

0 3 -Л 0 0

который, в чем нетрудно убедиться, имеет единственное обобщенное собственное значение

А Т^К Т^Ь^К'

л(Ё1ЛСК, Ё1СК) = {1}.

Согласно приведенному критерию инвариантности такая динамическая система не является инвариантной.

Наконец, пусть матрица А задана в виде

1 3 2

Л = 1 4 0

1 1 2

Теперь приходим к следующему пучку матриц:

Ё1ЛСЯ - АЁ1СЯ =

Вычисляя определитель

сієі (Ё1ЛСК - АгЁьСк ) = СІЄІ

1 2" 0 "1 0

1" 0 -Л 0 0

1 -Л 1

формулируем утверждение

л

т.е. множество обобщенных собственных значений является пустым и, значит, третья из рассматриваемых систем не является инвариантной.

Протестируем быстродействие процедур анализа инвариантности на основе вычисления пучков матриц и ранговых критериев. Для этого рассмотрим тройку матриц

А = 1^(100)^, С = [1 0 ••• 0]мм,

Р = [0 0 — 1]г ,

І і 100x1’

где матрица А размера 100 х 100 получена с использованием генератора случайных чисел МаІЬаЬ.

Сравнительный анализ будем проводить с использованием функции єриґішв, позволяющей вычислять процессорное время, затрачиваемое на решение задачи. Для временного критерия вычислялись произведения матриц

СЛР, СЛ2И,... СЛ" И, при этом процессорное время решения задачи составило = 0,926 с. Вычисление делителей нуля И1,СК и

обобщенных собственных значений пучка матриц (ЛС^ ,Р^С^) было

произведено за = 0,077 с. Налицо сокращение на порядок

вычислительных затрат в задаче большой размерности.

Теперь рассмотрим математическую модель каскада ГЭС (см. рис.), включающую четыре гидроузла [2 - 5].

Рис. 1. Схема гидроузла

Возмущенная математическая модель ГЭС имеет вид

0 -т1 0 0 0 0 0 0 X

Хі+1 0 -Т+1 0 0 0 0 0 0 Х+1

х+2 0 т ~1 ті+2 0 -т ^ ті+2 0 0 0 0 X+2

*,+3 0 0 0 -т - т і+3 0 0 0 0 X+3

Х+4 0 0 0 т ~1 ті+4 0 -т ~1 т+ 4 0 0 Х+4

Хі+5 0 0 0 0 0 -т - т і+5 0 0 X+5

Х+6 0 0 0 0 0 т -1 ті+ 6 0 -т -1 ті+6 Х+6

Х+7 0 0 0 0 0 0 0 -т ~1 ті+7 X+7

+

I 0 0 0 0 0 0

0 їг+1 0 0 0 0 0

0 0 1 і+3 0 0 0 0

0 0 0 Їг+З 0 0 0

0 0 0 0 1 і+4 0 0

0 0 0 0 0 1+5 0

0 0 0 0 0 0 1 і+6

0 0 0 0 0 0 0

Ж

w

і+1

Ж

і+2

Ж

і+3

Ж

Ж

Ж

0\0 0 0

1 \0 0 0

010 0 0

0 \ 1 0 0

010 0 0

0 І 0 1 0

0 І 0 0 0

010 0 1

и.

и

і+2

и

и

где X, Х+2, Х.+4, Х.+6 - уровни бьефов, Х.+1, Х.+3, Х.+5, Х.+7 - пропуски через

ГЭС, и - управление расходами ГЭС через гидроагрегаты, Т,..., Т+7 -

постоянные времени.

Из формулы (42) следует, что инвариантность компоненты Хг+7 позволит

поддерживать постоянство нижнего бьефа ГЭС-4. Для исследования инвариантности этой компоненты вектора состояния зададим матрицу С в виде

с = \0\0\0\0\0\0\0\1].

Вычислим правый делитель нуля матрицы С (43) и левый делитель нуля матрицы Р из (42). Получим

/7 _ _______________

7 , ^ = с ^ ¥ЬСК = 0.

Ск =

0

1x7

При этом выполняется условие (25). Таким образом, в рассматриваемой модели ГЭС пропуск ^+7 является инвариантным ко всем возмущениям, действующим на предыдущие гидроузлы.

С другой стороны, собственные значения матрицы А из (42) составляют числа

Л(А) = {-т+1, -т+„ -т-1, -т-1, 0, 0, 0, 0}.

Из (45) вытекает, что исследуемая система является нейтральной (находится на границе устойчивости), поскольку содержит четыре нулевых полюса. Пусть требуется определить условия на управление ГЭС, при котором бы сохранялась

инвариантность компоненты вектора состояний Х.+7 ко всем возмущениям

fjwj(t), ] = Ь I + 6 и, одновременно с этим, обеспечивалось заданное

распределение полюсов Л ^ (А — ВК) системы в целом (здесь К - матрица

коэффициентов обратной связи).

С учетом (25) получаем, что такими условиями являются, во-первых,

~=7—Л

' ~

Р1ВКСк = 0 ^ К = Г1 В ф + рС,

и, во-вторых,

г

{ф, р}: Л А - В

V

ГЬВ ф + рС

= Лзад

Итак, инвариантность и устойчивость водоэнергетической системы (42) будет обеспечено, если управление с обратной связью формируется согласно ограничениям (46), (47).

Если воспользоваться положениями работ [19, 20], то можно получить следующее параметризованное множество инвариантных обратных связей

К =

*1* =

«11 \ П12 \ «13 I «14 \ П15 \ «16 \ «17 I «18

; «26 ; П27 ; П28

П3б\ «И «38

Т п

т1+з-1пзк

П21 \П22 ...«.2.3... \П24 П25

«31 |«32 п33 П34 П35

0 1 0 0 0 0

X-1,

т+1п1*

ТА* (1 - тмл*), 1 - т+,Л

X

( 3+х ),к

\т,

тп

т 1+г+2 ''к

тп

i+t+3 хк

X,

8,1

X,

i+t+2 V

8,7 = 0

1 - т,+х+2\ 1 - т,+х+3Ак

X,

т+7«8

_ 1 - т+7А

к = 178, 3 = {2, 4, 6}, х = {0, 2, 4},

где

[а, Х,, , Л4, Л5, Л6, ^, Д} с Л зад( А - ВК),

а элементы П - произвольны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мисриханов М.Ш., Седунов В.Н., Шунтов А.В. Основы резервирования в системах генерации и транспорта электроэнергии.-М. : Энергоатомиздат. 2002.

2. Мисриханов М.Ш. Многоуровневое иерархическое децентрализованное управление каскадом гидроэнергетических установок.-Махачкала. Дагестанское книжное издательство, 1976.

3. Мисриханов М.Ш. Многокритериальное оптимальное управление

оперативными режимами сложных энерговодохозяйственных комплексов. -Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1977.

4. Мисриханов М.Ш. Аналитическое конструирование комплексной системы адаптивного управления мощностью и возбуждением гидроагрегата по критерию обобщенной работы.-Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1979.

5. Мисриханов М.Ш. Многокритериальное оптимальное управление

оперативными режимами сложных энерговодохозяйственных комплексов. -Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1977.

6. Красовский А.А., Мисриханов М.Ш. Универсальные алгоритмы

оптимального оперативного управления гидроэнергетическими комплексами. -Махачкала. Дагестанское книжное издательство, 1978.

7. Мисриханов М.Ш. Синтез по критерию обобщенной работы группового регулятора мощности многоагрегатной ГЭС.-Махачкала. ДагФАН СССР, 1981.

8. Мисриханов М.Ш. Системный анализ динамических свойств гидроэнергетических установок - как объектов управления.-Махачкала. Дагестанское книжное издательство, 1977.

9. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление матричными системами.

Сравнение подходов (Обзор) // Вестник Ивановского государственного

энергетического университета. № 4. 2002.

10. Мисриханов М.Ш. Ленточные критерии управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. № 4. 2002.

11. Мисриханов М.Ш. Синтез инвариантных систем на основе ленточных

критериев управляемости и наблюдаемости // Вестник Ивановского

государственного энергетического университета. № 4. 2002.

12. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление на основе

модифицированных PBH-тестов // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. № 4. 2002.

13. Rosenbrock H.H. State space and multivariable theory. New York. J. Willey,

1970.

14. Смагина Е.М.Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы.-Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990.

15. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Косьянчук В.В., Зыбин Е.Ю. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации // Вестник Киевского университета. Серия: Физико-математические науки. Вып. 1.-Киев: Изд-во Киевского нац. ун-та. 2002. С. 19 - 28.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.

17. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления.-М: Мир, 1999.

18. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.

19. Мисриханов М.Ш. Аналитические решения уравнения Сильвестра. Первая и вторая форма решений // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова М.: Энергоатомиздат. Вып. 5. 2003.

20. Мисриханов М.Ш. О проблеме устойчивости в инвариантном управлении // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова. М.: Энергоатомиздат. Вып. 6. 2003.

Введение. Известно, что спектром «-мерной линейной электроэнергетической системы (ЭЭС):

где А - матрица динамики ЭЭС, х - вектор состояния ЭЭС, называется множество п комплексных чисел (комплексных частот), являющихся корнями характеристического полинома системы:

Каждое значение такого комплексного числа называется полюсом системы. Поэтому спектр (2) называется также множеством полюсов системы или множеством собственных значений матрицы А.

Элементы матрицы А в реальных динамических системах, каковыми являются сложные ЭЭС, обычно определяются непосредственно из физических наблюдений, и поэтому содержат ошибки, свойственные всем наблюдениям. В этом случае матрица А + Е , которую мы имеем, является только некоторым приближением матрицы, соответствующей точным измерениям. В результате этого, вместо системы (1) приходится иметь дело с объектом вида:

М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко

ПСЕВДОСПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Л( а) = Д: ёй (д1п - а) = 0, і = 1 , п|.

х (?) = ( А + Е) х (?), х є  п, А, Е є

и его спектром:

Л (А + Е) = : ёй (Д1п -[А + Е]) = 0, і = 1 , п|.