Напряженно-деформированное состояние слоистых анизотропных лопаток из композиционного материала в поле центробежных сил

Расчет конструкций из композитных материалов

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЛОПАТОК ИЗ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ

А.У. НУРИМБЕТОВ, канд. фи?.-мат. наук, доцент

«МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского, г. Москва

Очертание лопаток турбомашин в перспективных двигателях становятся более сложными. Наблюдается переход в конструкциях лопаток вентиляторов, компрессоров и турбин от очертаний, близких к стержням с закруткой и большим относительным удлинением, к очертаниям типа пластин с малым относительным удлинением, большой закруткой и кривизной. Вместо современных металлических сплавов начинают применять интерметаллические соединения, композиты с металлической матрицей и композиты с керамической матрицей. По мере совершенствования методов расчета современных реактивных двигателей геометрические характеристики, аэродинамические и температурные нагрузки облопаченных дисков и барабанов становятся более определенными, что дает возможность применять численные методы для определения напряженно-деформированного состояния (н.д.с.) лопаток. Перспективные, модели воздушных винтов имеют лопасти с большим углом стреловидности, закрученные по размаху и изогнутые, относительно оси вращения. Эти лопасти должны работать в весьма сложных и тяжелых аэромеханических условиях.

Подобные конструкции известны уже давно, но до сих пор отсутствовали средства для их расчета и материалы для их изготовления. В настоящее время благодаря появлению быстродействующих ЭВМ и сложного инженерного программного обеспечения, а также наличию современных композиционных материалов стало возможным более тщательный и точный анализ лопастей перспективных турбовинтовых двигателей. Поэтому, используя полученные в [1] материалы, была составлена программа расчета на ЭВМ, которая позволяет численно определить н.д.с. лопаток из композиционного материала (к.м.).

Составлена программа, предназначенная для исследования н.д.с естественно-закрученных слоистых стержневых конструкций, которые находятся под совместным действием растягивающих сил, изгибающих и крутящих моментов или под действием центробежных сил. Каждый слой исследуемого сечения стержня состоит из ортотропного материала с 9 независимыми упругимый постоянными. При этом целенаправленное регулирование общих свойств конкретного материала может быть осуществлено путем выбора как схемы укладки волокон в отдельном слое, так и расположением слоев с известными свойствами в сечении. Это достигается изменением углов ф; между главными направлениями упругой симметрии материала в слое и осями, в которых исследуется н.д.с. тела. При этом количество независимых упругих постоянных материала слоя в общем случае будет равно 13 (см.[ 1 ]).

Поперечное сечение рассматриваемых стержневых конструкций является произвольным. Входными параметрами программы являются координаты линии, ограничивающей отдельное произвольное плоское сечение, обычно задаваемое в рабочих чертежах проекта. Это линия разбивается на две части (ус-

ружные в сечении слоя. Координаты наружной поверхности упомянутых слоев задаются. Исходя из этих начальных данных с помощью специальной процедуры, сечение произвольной конфигурации разбивается на отдельные слои по заданной толщине Гс монослоя [2]. При этом формируются номера начала и конца каждого слоя. Такие построения проводятся для ряда следующих друг за другом сечений стержня (см. рис. 1), Так как размеры сечения могут меняться вдоль длины стержня, то и число слоев в каждом сечении может оказаться различным. Это предопределяет появление коротких слоев внутри сечения. Взятые из разных сечений координаты начала и конца одного слоя определяют длину лепестка в текущем сечении стержня.

Следовательно, в программе решается технологическая задача "раскроя" каждого слом стержня на лепестки в плоскостях, параллельных оси стержня. Координаты и номера построенных точек слоев сохраняются в оперативной

памяти ЭВМ.

Для исследования н.д.с. слоистого стержня используются основные соотношения разработанной технической теории слоистых стержней (см. [1]). На основе этой теории для каждого сечения вычисляются деформации растяжения е, изменения кривизны XI и раскрутка г, а также напряжения

сг/,, 67*22 > 0"зз' °2з> <7|'з, <У\г в отдельных точках слоя 1.

Входными параметрами для программы являются растягивающее усилие Р, изгибающие Ми М2 и крутящий Мх моменты, а также 13 упругих постоянных каждого слоя в соответствии с формулой (1) (см. [1]) для текущего слоя. Координаты и номера построенных точек слоев также являются входными параметрами для текущего сечения.

Для исследования НДС стержня в поле центробежных сил, растягивающее усилие, действующее в текущем сечении, вычисляется по формуле

Я

Рг=Р=со2\{ \pdrii\dr\ .

г

Здесь /*"(г|) - площадь поперечного сечения; г, Я - расстояние от оси вращения до центра тяжести текущего г и периферийного Я сечения соответственно (см. рис. 2); со - лЛВОО угловая скорость (рад.обор./сек.), где N частота вращения (обор./мин.); гх - переменная интегрирования; р - плотность материала слоя сечения. Таким образом, усилие Р в текущем сечении г равно по величине центробежной силе инерции, развиваемой частью слоистого стержня, заключенной между рассматриваемым сечением г и периферийным сечением Я.

Для вычисления центробежного усилия по формуле (1) и координат центра тяжести текущего сечения необходимы данные о геометрических характе-

ристиках всех сечений. Для этого сначала вычисляются с помощью специальной процедуры 15 геометрических характеристик и приведенные плотности всех сечений.

Вычисляются центробежное усилие для текущего сечения г по приближенной аппроксимацион-

ной для (1) формуле к г,+1

Рг=а>1

М Г;

К

Рис.2

в которой площадь и плотность текущего сечения изменяются линейно относительно предыдущего сечения, т.е.

F = Fi+(rl-ri)(FM-Fl)/(rM~ri),

Р = Р,+ (l ~ П )(рм - Pj) l(rM - г,-).

Далее для текущего сечения исследуется н.д.с. слоистого стержня. Определяются деформации растяжения £, изменения кривизны ^ и раскрутка т, вычисляются физико-геометрические характеристики сечения.

Программа, используемая в описанных ниже расчетах, в настоящее время используется для анализа н.д.с. лопастей на этапе эскизного проектирования.

1. Описание исследуемой лопатки. Рассматриваемая модель лопасти является уменьшенным вариантом натурной компрессорной лопатки. Это лопасть была спроектирована и изготовлена с таким расчетом, чтобы соблюдалась конструктивная и аэродинамическая - эквивалентность реальной лопасти. Лопасть, исследуемая в данной работе, представлена восемью сечениями (рис.1). На рис. 3 приведены изменения площади (на рис. кривая 2), наибольшей толщины (на рис. - 1), хорды в (на рис. - 3) лопатки и отношение cw/в зависимости от r/R0. Корневое сечение лопатки состоит из 12 слоев одинаковой толщины tc= 0,4 мм, а периферийное сечение из 6 слоев. Относительный угол закрутки на единицу длины лопатки ц - равен 0,006 рад/мм.

2. Расчетные варианты. В качестве примера по описанной программе была рассчитана лопатка из композиционного материала в поле центробежных сил. При этом было проведено исследование - для трех различных вариантов сочетаний упругих постоянных в пакете слоев композиционной лопатки.

В первом варианте рассматривалась лопатка, состоящая из чередующихся со стороны спинки и корытца слоев бороалюминия (BAL) и чистого алюминия. В этом случае относительное объемное содержание бороалюминия в пакете слоев составляло 0,55, а алюминия - 0,45.

Во втором варианте рассматривалась лопатка, состоящая из чередующихся со стороны спинки и корытца слоев бороалюминия (BAL, Vi= 0,45), керамики (Sic, v2 - 0,45) и чистого алюминия (v3 =0,1).

В третьем варианте рассматривалась лопатка, состоящая из чередующихся со стороны спинки и корытца слоев бороалюминия, уложенных под углами ±45°, ±30°, ±15° к оси лопатки. В этом случае относительное объемное содержание слоев бороалюминия уложенных под углами ±45° к оси лопатки, составляло 0,4, а при ±30° - 0.4 и ±15° - 0,2.

1 1,03 1,07 1Д7 1,26 1,35 1,44 133гЖч] Рис.3. Изменение стах, площади Р, хорды в и стах/в по длине компрессорной лопатки

М4~

Рис. 4. Изменение деформации раскрутки ги жесткости на кручение

по Сен-Венану С0 (пунктирные линии) по длине лопатки

Р,Ю2кг з до"шт

1 1,03 1,07

1,44 1.53 г/Яп

Рис. 5. Изменение деформации растяжения е и растягивающих усилий Р от центробежных сил (пунктирные линии) по дшне лопатки

3. Анализ результатов расчетов. По результатам расчетов на рис. 4-5 построено семейство кривых, отражающих зависимости деформации раскрутки т, растяжения £ и жесткости на кручение по Сен-Венану Со (пунктирные линии на рис. 4), а также растягивающего усилия Р от центробежной силы (пунктирные линии на рис. 5) и осредненного напряжения стср = Р№ для каждого сечения ЛОПаТКИ Г/7?;;.

Растягивающее усилие Р при вращении лопатки вычислено по формуле (1) для каждого ее сечения г/Ко (рис. 5). Объемное содержание волокон бора и алюминиевой матрицы в 1 и 3 лопатках совпадают. Это и явилось причиной совпадения растягивающих усилий (кривые 1, 3) для этих лопаток. Повышенная плотность карбида кремния, используемого в лопатке 2-го типа, обуславли-

вает более высокий уровень центробежных нагрузок (кривая 2). Как видно из рис. 6, осредненные значения растягивающих напряжений £Тср в условной неза-крученной лопатке достигают наибольшего значения в четвертом сечении.

Это связано с тем, что усилие Р в четвертом сечении отличается от усилия в корневом на 15% (см. рис. 5), в то время как их площади отличаются на 20% (см. рис. 3), Для лопаток 2-го типа осредненные напряжения <тср превышают соответствующие величины в лопатках 1. 3 типов. Это связано с тем, что в лопатке 2-го типа имеется более высокий уровень центробежных нагрузок. Деформация растяжения я в 1 и 3 лопатках отличаются незначительно и с приближением к периферийному сечению они практически совпадают (кривая 1, 3). В справедливости этого нетрудно убедиться из следующих рассуждений. Действительно, для лопаток деформация растяжения £, и раскрутка г при растяжении связаны приближенным соотношением

Р-гк14

При этом оценки по соотношению (3) для седьмого сечения лопатки 1-го

168+ 5.2-10^4.2 106 386 . , 1Л-4 типа дают £ =---=-— = 1.6 10 мм,

2.4-106 2.4 106

168 + 4.7-10~53.2-106 318 . -п 1А-4 а для лопатки 3-го типа - £ =---= --- = 1.5910 мм .

2 -10 2-10

Нетрудно видеть, что раскрутка t для лопатки 1-го типа в 1.1, коэффициент 1с\ | в 1,2, ¿и - 1,3 раза превышают аналогичные значения для лопатки 3-го типа. Это и привело к совпадению деформации растяжения е в седьмом сечении для этих лопаток.

Аналогичные оценки для корневог о сечения лопатки 1-го типа приводят

615 + 8.8-10~4106 ЛО _4 £ =----= 2.8-10 *мм,

3.5 • 10

615 + 4.6 • 10-43.8  106 . . _4 ,

а для лопатки 3-го типа к £ =----= 2.3 • 10 мм., т.е. дефор-

3.4-106

мация растяжения е лопатки 1-го типа больше деформации е лопатки 3-го типа. Как видно из проведенного анализа это обусловлено взаимосвязанностью кручения с растяжением. Так как раскрутка г лопатки 1-го типа в 1,6 раза больше раскрутки г лопатки 3-го типа. Максимальная деформация £ лопатки 2-го типа в 1,2 - 1,5 раза меньше деформации растяжения 1 и 3-го типов (рис. 5).

Как видно из рис. 4 жесткость на кручение С0 лопатки, составленной из чередующихся слоев однонаправлено-армированного бороалюминия и чистого алюминия (кривая 1) в 2,5 раза меньше жесткости С0 лопатки, состоящей из чередующихся слоев бороалюминия, уложенных под углами ±45°, ±30°, ±15° к оси лопатки (кривая 3). Благодаря этому, максимальная раскрутка т пера лопатки, состоящей из слоев однонаправленного материала, в 1.6 раза превосходит раскрутку пера лопатки, состоящей из чередующихся слоев бороалюминия, уложенных под углами ±45°, ±30°, ±15° к оси лопатки.

Однако, если отдельные слои лопатки заменить более жестким материалом (например, в нашем случае, карбидом кремния Sic ), то можно достичь такого

Рис. 6. Уровни нормальных напряжений СУгг в отдельных сечениях (а -2 сечение, 6-4 сечение, с - 6 сечение) лопатки, составленных из слоев армированных волокнами боралюминия чистого алюминия ().

же эффекта увеличения жесткости на кручение С0 (кривая 2), как и в случае использования перекрестного армирования материала слоев и, тем самым, достигается более низкий уровень раскрутки пера лопатки г (кривая 2). Очевидно, варьируя углами укладки более жестких волокон, можно достичь еще более высоких уровней жесткости на кручение пера лопатки и меньших углов раскрутки три растяжении.

Таким образом, в исследованных примерах показано, что путем выбора материала отдельных слоев или способа армирования в них можно в широких пределах управлять уровнями напряжений и деформаций при одних и тех же физических оборотах ротора. Для лопаток из изотропного материала такой широкой возможности регулирования не имеется.

На рис. 6-8 приведены уровни нормальных напряжений о7г для отдельного сечения (а - 2-сечение, б - 4-сечение, с - 6-сечение) лопаток из различных материалов.

На рис.6 приведены нормальные напряжения для лопатки 1-го типа. Как правило, наибольшие значения напряжений о/7 достигаются в средней части сечения лопатки и они уменьшаются по мере приближения к кромкам сечения. Наименьшие значения напряжений о7/ по сечению наблюдаются на кромках, где имеет место сжимающие напряжения. На рисунках нулевые уровни напряжений в сечении отмечены пунктирными линиями.

В средней части сечения наибольшее значение напряжений достигается на корытце (точка А). Оно постепенно уменьшается по мере приближения к спин-

ке. На рисунках гонками В отмечены точки спинки, в которых достигаются максимальные значения напряжения о2г. При переходе от слоя к слою, которые отличаются уровнем характеристик жесткости, значения напряжений о77 изменяются скачкообразно.

Рис. 7. Уровни нормальных напряжений <7~г в отдельных сечениях

В корневом сечении наибольшее напряжение огг достигается в двух точках В спинки (см. рис. 6, а; 7, а; 8, а). С приближением к периферийному сечению эти точки приближаются к средней части спинки (см. рис. 6, б, с; 7, б, с; 8, б, с). Напряжения аг2 изменяются от корневого сечения к периферийному по такой же кривой, как кривая - изменения осредненных напряжений о77 и принимают наибольшее значение в четвертом сечении лопатки.

Наибольшее значение сжимающих напряжений <згг достигается в четвертом сечении лопатки. При этом, по мере приближения к периферийному сечению протяженность зон сжимающих напряжений <5г1 на кромках увеличивается. Это обусловлено влиянием на н.д.с. лопатки уменьшения .максимальной толщины и увеличения хорды, а также увеличения раскрутки на периферийных сечениях (см. рис. 6, б; 8 б, с).

На рис. 8 приведены уровни напряжений ог7 лопатки 1-го типа (на рис. уровни напряжений для слоя чистого алюминия зачернены). В этом случае, в отдельных слоях при переходе от слоя к слою уровни напряжений огг резко уменьшаются. Например, во 2-ом сечении (рис. 6, б) в слоях из алюминия в

точке А огг = 45 МПа, а в слоях бороалюминия с22 = 105 МПа. С увеличением растягивающего усилия напряжения огг в слое алюминия возрастают, что может привести к разрушению этого слоя. В средней части корытца (рис 6, б) возникают напряжения в три раза превышающие осредденную величину аср, а на кромках появляются сжимающие напряжения, превышающие по абсолютной величине осредненное напряжение сср. Воздействия сжимающих напряжений в тонких слоях кромки может привести к локальной потере устойчивости кромки.

На рис. 7 приведены уровни напряжений Огг, для лопатки 3-го типа (на рис. уровни напряжений слоя бороалюминия при укладке ±30° затемнены, а при укладке ±15 - зачернены). Напряжения а„ в сравнении с предыдущим примером распределены более равномерно по сечению. Это связано с тем, что параметры упругости с'хтп при переходе от слоя к слою изменяются в меньшей мере. В сечениях, близких к корневому, наибольшее напряжение достигается в наиболее жестких на растяжение слоях бороалюминия, уложенных под углами ±15° (рис. 7, а, б). С приближением к периферийному сечению максимальные напряжения о7г имеют место в слоях бороалюминия, уложенных под углами ±45° (рис. 7, с). Это связано с тем, что в периферийных сечениях отсутствуют слои бороалюминия, уложенные под углами ±15°. Незначительные сжимающие напряжения агг на кромках появляются только в сечениях, близких к периферийному (см. рис. 7, с). По сравнению с предыдущим примером (рис. 6) уровень максимальных напряжений а7г, в этом случае уменьшился в два раза

(рис. 7). Это обусловлено тем, что параметры упругости С33 однонаправленно-

армированного бороалюминия в 1,6 раза превышают параметры С33 бороалюминия, уложенных под углами ±45°. С другой стороны, как обсуждалось выше, деформация растяжения е лопаток 1-го типа больше деформаций е лопаток 3-го типа (рис. 5).

Таким образом, при заданной геометрической форме лопатки, выбираемой из аэродинамических, соображений, посредством перекрестного армирования ее слоев уровень напряжений Ог7 можно уменьшить, одновременно избежав больших сжимающих напряжений на кромках профиля и достичь более равномерного распределения их (о71) но сечению.

На рис. 8 приведены уровни нормальных напряжений для лопатки 2-го типа (на рис. уровни напряжений для слоя чистого алюминия зачернены, а для карбида кремния - затемнены). В этом случае общая картина, обсужденная в предыдущих примерах, сохраняется. Однако здесь более наглядно демонстрируется неравномерность распределения напряжений а/7 по сечению. Уровни напряжений а22 в слоях бороалюминия и алюминия в 1,2 1,4 раза меньше, чем в случаях рассмотренных в первом примере (см. рис. 6). Это связано с применением в пакете слоев материала с более жесткими характеристиками на растяжение. Например, карбид кремния имеет параметр упругости С33 в два раза больше, чем чистый алюминий. Несмотря на это при увеличении рабочих оборотов и соответственно усилия Р слой из алюминия может разрушится. Однако, если армирующие слои уложить под определенными углами, то возможно заметное уменьшение неравномерности распределения напряжений о77. Для лопатки из изотропного материала такой возможности управления уровнями напряжений не имеется.

Рис. 8. Уровни нормальных напряжений <7_, в отдельных сечениях (а -2 сечение,

6-4 сечение, с - 6 сечение) лопатки, составленных из слоев бороапюминия с различными углами армирования -45°' +зо°,в- +15°).

На рис. 9, 10 приведены уровни касательных напряжений ауг, ох2 для лопаток 3-го типа, обусловленные начальной закрученностью лопатки. Наибольшего значения касательные напряжения достигают на кромках и по мере приближения к середине сечения уменьшаются. Касательные напряжения оуг, Си принимают максимальное значение в четвертом сечении лопатки.

Уровни касательных напряжений оу2, для лопаток 1-го типа распределены равномерно и наибольшее значение достигается в менее жестких слоях чистого алюминия. Уровни максимальных касательных напряжений в сравнении с напряжениями растяжения и осредненным напряжением оср, лопатки незначительны. Значения касательных напряжений аХ2 в два-три раза превышают значения напряжений суг.

Уровни напряжений ох2 для лопатки изменяются скачкообразно по сечению лопатки. При переходе от слоя к слою напряжения ох2 меняют знак. Это

обусловлено тем, что при угле укладки бороалюминия +45°, +30°, +15° параметр упругости [3] с'з +с'3'5тcosa имеет отрицательное значение.

К

• j 2 ' и : -* i 5 : 6

i> -45

Рис. 9. Уровни касательных напряжений сгу2 в лопатках, составленных из слоев бороалюминия с различными углами армирования

Уровни касательных напряжений ауг, для лопатки 3-го типа распределены равномерно. Уровни максимальных касательных напряжений охг в три раза меньше осредненных напряжений Сср. Однако, малая сдвиговая прочность, присущая перекрестно-армированным материалам под действием нагрузки может привести к разрушению материала. Кроме того, в тонких слоях кромки лопатки, где размещены 2-3 слоя арматуры, при использовании перекрестно-армированных материалов возникают напряжения межслоевого сдвига, равные 10-15 МПа. Как известно величина прочности при межслоевом сдвиге для слоистых материалов очень мала. Вследствие этого возникновение вышеуказанных величин касательных напряжений в лопатках может оказаться не допустимым. Экспериментально установлено, что запас прочности по касательным напряжениям между слоями в настоящее время не должно быть меньше трех [4].

Проведенные расчеты лопаток конкретных типов показали, что угол раскрутки периферийного сечения лопатки можно уменьшить, как увеличивая жесткость на кручение посредством перекрестного армирования слоев, так и применяя в пакете материала слоев из жесткого материала на растяжение.

При возрастании уровня отношения характеристик жесткости слоев, неравномерность нормальных напряжений в поперечном сечении и величина касательных напряжений между слоями увеличиваются.

Рис. 10. Уровни касательных напряжений <7хг в лопатках, составленных из слоев бороалюминия с различными углами армирования

Наличие больших касательных напряжений между слоями возникает из-за различной жесткости контактирующих слоев. Необходим плавный переход свойств материала от слоя к слою. Численные исследования естественно- закрученных стержней из к.м. выявили зависимость угла раскрутки и степени неравномерности распределения нормальных напряжений в поперечном сечении от коэффициента упругости с^п слоя /, а также взаимосвязанность деформации растяжения и раскрутки при растяжении. Анализ работы многослойных к.м., в условиях близких к рабочим условиям лопаток компрессоров позволил

выявить ряд особенностей распределения напряжений в армированных материалах. Установлено, что при растяжении лопаток из композитных материалов, в поле центробежных сил во внешних слоях происходит увеличение нормальных напряжений в 2-4 раз по сравнению со средними их величинами.

Литература

1. Нурнибетов А. У. Особенности деформирования естественно-закрученных многослойных анизотропных стержней - Механика и моделирование процессов технологии, Тараз. - 2000, №1, с.92-97.

2. Киршбаев Т.Д., Нуримбетов Л.У., Луппов А.А.. Автоматизированное проектирование составных элементов загатовок деталей из слоистых композиционных материалов. - Механика и моделирование процессов технологии, Тараз. - 1999, №1, с.31-34.

5. Kapuv.oass Т.Д., Нуримбетов А.У. Кручение и растяжение слоистых анизотропных стержней. - Алматы: 2006. «Казак университет!». - 160 с.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. - М.: 1961.

THE STRESS-STRAIN STATE OF LAYERED ANISOTROPIC SHOVELS FROM COMPOSITE MATERIAL IN THE FIELD OF CENTRIFUGAL

FORCES

A.U. Nurimbetov

Using the presented technical theory of the twirled cores the calculation program on the IBM is made which allows to define numerically stress-strain state of shovels from composite material. This is a natural-twirled layered rod which is under joint action of the stretching forces, bending and the twisting moments or under the influence of centrifugal forces. In the program the technological problem "opens" each layer of a core on petals in the planes parallel to an axis of a core. Observed constructive and aerodynamic - equivalence of the real blade is presented. The blade investigated in the manuscript is presented by eights in sections.

-0- 4- -0-

ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ РАЗРЕЗНЫХ ЛЕНТ ИЗ КОМПОЗИТА ПРИ РЕМОНТЕ ВНУТРЕННИХ ДЕФЕКТОВ ГАЗО- И НЕФТЕПРОВОДНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ТРУБ

*А.Б. КОЗАЧЕНКО, д-р техн. наук, проф. *Е.В. ДИКОВА, аспирант

**И.А. ЕГОРЕНКОВ, ст. науч. сотрудник, заслуженный изобретатель *Московский государственный вечерний металлургический институт **ЦНИИСМ

В статье [1] определено выражение контактного давления между разрезной лентой из композита и внутренней поверхностью металлической трубы за счет того, что оправка при полимеризации ленты выбиралась большего диаметра, чем внутренний диаметр трубы:

Р> - - 2/? - 8Л -8т)8уЕл

9(2/?+ 5Т)4

где R внутренний диаметр металлической трубы, г - внешний диаметр оправки, 5Х - толщина трубы, 8Л - толщина ленты, ЕЛ - приведенный модуль

упругости ленты.