О вариационных принципах механики консервативных и неконсервативных систем

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 2 (23). 2017

УДК 531.011, 51-72

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ КОНСЕРВАТИВНЫХ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ

СИСТЕМ

П. А. Макаров

На основе принципа Гамильтона - Остроградского, применённого к движению консервативных и неконсервативных систем, составлены однородные и неоднородные уравнения Эйлера—Лагранжа. Рассмотрен пример плоского движения материальной точки. Определено влияние диссипативных сил на характеристики движения.

Ключевые слова: механическое действие по Гамильтону, вариационные принципы движения, уравнение Эйлера - Лагранжа, прямой и окольный путь, диссипация энергии.

1. Введение

Вариационные принципы играют огромную роль как непосредственно в аналитической механике, так и во многих разделах теоретической физики, строящихся на её основе [1-5]. Вместе с тем опыт преподавания теоретической механики в университете показывает, что аудиторных занятий для практического освоения этих принципов недостаточно. Имеется существенная необходимость демонстрации применения вариационных принципов на конкретных примерах.

Очевидно, что для развития навыков студентов следует подбирать такие задачи, которые являются достаточно наглядными, относительно простыми в решении и вместе с тем могут быть несколько усложнены с целью демонстрации трудностей, возникающих при решении задач, приближенных к реальным научным расчётам.

© Макаров П. А., 2017.

В качестве демонстрационной задачи, иллюстрирующей основные приёмы аналитической механики Гамильтона - Остроградского, возьмём за основу один из классических примеров движения материальной точки, предложенный Ф.А. Слудским [6].

2. Основные принципы

Как известно [1-5], положение механической системы можно задать вектором в конфигурационном пространстве обобщённых координат q = (<ь ... , Е Я5, где в — число степеней свободы системы.

С течением времени Ь состояние системы изменяется, а значит, вектор ((¿) описывает в конфигурационном пространстве некоторую кривую — траекторию движения. Вектор ( = (<1,... , Е Я3 называют обобщённой скоростью системы.

Механическим действием Б по Гамильтону называют функционал на конфигурационном пространстве состояний:

где лагранжиан Ь — функция, равная разности кинетической энергии системы Т и обобщённой потенциальной функции П:

Основу вариационной формулировки механики составляет принцип Гамильтона - Остроградского, утверждающий, что действительное движение системы при её переходе из положения ((¿1) в положение ((¿2) происходит таким образом, что механическое действие (1), вычисленное по прямому пути, имеет стационарное значение по сравнению со значениями, которые действие принимает при движении системы по окольным путям, близким к прямому и проходящим через те же точки ((¿1) и ((¿2). Известно, что при достаточной близости начального и конечного положений на действительной траектории достигается минимум действия [1-5].

Таким образом, вариационная производная (а значит, и вариация) действия на истинной траектории движения в кофигурационном пространстве равна нулю:

(, ¿) = Т((, () - (, ¿)-

^гт = 0 5

Хорошо известно [1-5], что принцип стационарного действия (3) эквивалентен уравнениям движения системы в форме дифференциальных уравнений Эйлера - Лагранжа:

й дЬ дЬ ^ . 1

/Лдд, дqi ' >•••>•

Все сказанное выше относилось непосредственно к движению механической системы. Задача о движении тела в среде выходит за рамки «чистой» механики [4,5]. Это связано с тем, что среда оказывает сопротивление движению тела, в результате чего энергия движущегося тела постепенно переходит в немеханические виды энергии. Для оценки этого влияния необходимо рассматривать движение среды, внутреннее тепловое состояние как среды, так и тела. Вместе с тем известно [1-4], что вариационный принцип Гамильтона - Остроградского справедлив и в случае неконсервативной системы. В этом случае он формулируется следующим образом:

¿2 ¿2

^Ьйг + у = о,

¿1 ¿1

где — виртуальная работа неконсервативных сил, приводящая к изменению полной энергии механической системы:

n

SW =

i= 1

здесь и далее N — число материальных точек системы.

В случае склерономной системы (г = г,(£), г = 1,..., N) имеет место равенство

n 8

= £ Sqj,

¿=1 3=1

где обобщенная неконсервативная сила Qj, соответствующая обобщенной координате qj•, может быть представлена с помощью функции &, удвоенное значение которой имеет физический смысл скорости изменения энергии системы:

дд:

Qj = - — •

Принцип (5) позволяет получить уравнения движения в форме неоднородных уравнений Лагранжа:

^dL dL

dt dc¡i dq

HT^ —^T = Qj, i = l,...,s.

Существует достаточно большое количество задач, в которых сопротивление, оказываемое средой, пропорционально скорости движущегося тела. В этих случаях силы трения могут быть выражены через диссипативную функцию Рэлея:

1 N

R = 2 S

2

i= 1

При этом очевидно, что

Fi = -VviR.

3. Демонстрационная модель

3.1. Консервативная система R = 0. Рассмотрим тело массы m и настолько малых размеров, что в условиях нашей задачи его можно считать материальной точкой. Пусть тело брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью vo и движется в однородном поле силы тяжести с ускорением свободного падения g. Введем систему координат Oxz в плоскости траектории, так что ось Ox горизонтальна, а Oz противоположно направлена ускорению g.

Очевидно, что в данном случае число степеней свободы системы s = 2. В качестве обобщённых координат удобно выбрать декартовы координаты центра тяжести тела q = (x, z), при этом обобщенные скорости q = (X, Z). Функция Лагранжа (2) при наших соглашениях имеет вид:

L

Начальные условия при t0 = 0:

x

Решение этой части задачи хорошо освещено в учебной литературе [1-5], поэтому ограничимся здесь лишь кратким перечислением тех основных результатов, которые потребуются нам в дальнейшем.

Составив и решив систему дифференциальных уравнений Лагран-жа (4) с лагранжианом (12), получим известный закон движения тела по параболической траектории, который с учётом начальных условий (13) имеет вид:

X(t) = v0t cos a,

1 2

Z(t) = v0t sin a — 2gt2-Из уравнений движения (14) очевидно, что в момент времени

T = vosn^

g

материальная точка оказывается на максимальной высоте:

22

h = vo>sn_a.

2g 1 ;

Также несложно определить, что в момент времени

To = 2T =

g

тело пересекает ось Ox в некоторой точке A, так что горизонтальная дальность полёта вычисляется так:

^ i ^ V i V2 sin 2a , ,

g

Дифференцируя уравнения движения (14), определяем скорость движения тела

VX

V (t) = v0 sin a — gt.

3.2. Система с однородной и изотропной диссипацией. Рассмотрим случай, когда сопротивление среды обладает свойствами изотропии и однородности по отношению к направлению перемещения тела, т.е. коэффициенты функции Рэлея (10) совпадают k% — kz — k и не являются функциями координат и скоростей тела. Тогда

k

R =2

Составим уравнения Лагранжа в форме (9) для нашего случая и запишем их в канонической форме:

X

х + - = 0,

Т

z + - = -g, т

где введён параметр т = m/k — характерное время диссипации энергии для тела массы m, движущегося в среде с коэффициентом сопротивления k.

Общие решения уравнений (21) имеют вид: 'x(t) = C1e-t/T + C2,

z

где CI, C2, C3, C4 — произвольные константы. Для их определения используем начальные условия (13), что даёт:

fCi = -C2,

Сз = -С4,

C1 = -v0T cos а,

^Сз = -т(vo sin а + gT). Окончательно получаем уравнение траектории в следующем виде:

x

z(í) = (v0r sin а + gT2) (1 - e-t/T) - grt.

О степени влияния сопротивления на движение тела качественно можно судить по соотношению величин т и T2. Будем считать трение достаточно слабым, если т ^ T2, и весьма существенным в обратном случае: т ^ T2.

Рис. 1 демонстрирует траектории движения тела в бездиссипатив-ной среде, даваемые уравнениями (14), а также траектории (24) тела, движущегося под действием сильного, слабого и промежуточного трения.

Как и предполагалось выше, из рис. 1 видно, что сопротивление среды существенно искажает траекторию движения тела при т < T2. Вместе с тем временные параметры движения этот рисунок не иллюстрирует, поэтому более подробную информацию о влиянии трения на

х/ V

Рис. 1. Траектории тела в средах без трения и с трением

характер движения тела с течением времени можно получить из рис. 2.

Время подъёма тела до максимальной высоты Н = zmax получаем из известных условий:

dz

<И

= 0 —

^ = ' dt2

< 0,

г=г1

tl = т 1пМ + ^ ) = т 1пМ + -у).

Из соотношения (26) очевидно, что

Ь < Т = Т,

причём равенство имеет место только в отсутствии диссипации, т. е. при т ^ то. Зависимость ^(т) в нормированном виде, определяемая уравнением (26), представлена кривой (а) на рис. 3(а). Максимальное значение высоты при этом равно:

/ \ • 9 т Л у0 вт а\ .

Н = z

V дт )

Анализ (28) показывает, что Н ^ Н при любых значениях времени диссипации т £ [0, +то). График зависимости Н(т) в нормированном виде представлен кривой (а) на рис. 3(Ь).

5

0.8

0.6

0.4

0.2

т = т = т=Т — 5Т2 ....... Т Т2 / /'

Г2/5 --- / /

/у у

/у

£

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 V Т2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 V Т2

(Ь) г

Рис. 2. Временные зависимости координат тела в средах без трения и с

трением

Время падения груза ¿2 можно определить из условия ¿(¿2) = 0) которое в нашей задаче может быть приведёно к виду:

¿2

1 - е-^

т + Т1.

Решение трансцендентного уравнения (29) удобно представить с помощью следующей специальной функции:

&

£

1 -

- £о.

Семейство кривых & (£; £0) при различных значениях параметра £0 и переменной £ приведено на рис. 4. Анализ функции (30) и рис. 4 показывают, что &(£; 0) = £, &(£; то) = £/2 и £/2 < &(£; £о) < £ для всех промежуточных значений £0.

С помощью функции (30) уравнение (29) можно представить в виде:

& (¿2; т) = Т1,

откуда время падения тела выражается следующим образом:

¿2 = &-1(Т; т).

1

0

т / Т2 т / Т2

(а) время подъёма и падения (Ъ) максимальная высота и дальность

Рис. 3. Влияние диссипации на основные характеристики движения

В решение (32) введена обратная к F(£; £0) функция, такая, что F-1(F(£; £0); £0) = £. Зависимость t2(r) в нормированном виде, определяемая уравнением (32), представлена кривой (b) на рис. 3(a). Для времени падения t2 характерно то, что в случае «критической» диссипации энергии lim t2(r) = T1, в то время как время подъёма lim t1 (т) = 0.

Горизонтальная дальность полёта, определяемая из условия d = x(t2), равна:

d = v0t cos a

t + Ti

График зависимости d(T) в нормированном виде, определяемым соотношением (33), представлен кривой (b) на рис. 3(b). Из рисунка очевидно, что на дальность полёта d сопротивление среды оказывает более существенное влияние, чем на высоту подъёма h, однако при «критической» диссипации энергии lim h(T) = lim d(T) = 0.

Скорость движения тела в среде с диссипацией определим, дифференцируя уравнения движения (24):

Vx

vz(t) = (v0 sin a + дт) e-t/r — дт.

20

16 -

^ 12 и5*

^ 8

S0 = 0 -

So = 2 — S0 = 5

So = 10 —

So = ~ -

0 4 8 12

16

20

18

16

14

12

«у

10

к 8

6

4

2

0

20

1

2

4

8 .........

14

10- 2 1 0-1 100 1 01 102 1 03

Рис. 4. Семейство кривых F

4

0

10- 3

S

4. Об экстремальности действия

В данном разделе рассмотрим консервативную систему & = 0. Вычислим действие (1) на истинном движении, происходящем по закону (14):

S = m

Vx2

2

- gZ

mvQ.% Л 4 -21

at = —2—

Вместе с тем, материальная точка может попасть из начального положения в конечное и по другим траекториям. Исследуем подробнее несколько типов таких траекторий.

1. В своей оригинальной работе Ф.А. Слудский [6] предложил равномерное прямолинейное движение:

X(t)= vot cos a,

Z(t) = const = 0. V 7

2. Кроме того, исследуем движение, происходящее по гармоническому закону:

XT(t) = v0t cos a,

zr(t) = нsin( —1).

3. Следуя работе [2] также рассмотрим движение, заданное степенным законом:

'*(() = at,

ZT(t) = bt - ctY, v У

где a, b, c, y — const, 7 > 0.

Начальные положения материальной точки для движений (38) и (14) совпадают. Запишем условия, обеспечивающие совпадение её положений в момент окончания движения:

a = v° cos a, c = bT21-Y, T2 = T = 2v° 8Ш a.

g

Параметр b при этом может быть произвольным, но если выбрать значение b = v° sin a, что обеспечит совпадение начальных скоростей на истинной и рассматриваемой траекториях, то семейство траекторий (38), (39) будет зависеть только от параметра 7. В этом семействе при 7 =2 содержится истинное движение (14), а при 7 =1 — траектория сравнения (36), предложенная Слудским.

На прямолинейном движении (36) действие имеет значение

^ = шг^

На движении, происходящем по гармоническому закону (38), действие равно

S mv°T2

2 V 32п

Анализ выражений (35), (40) и (41) показывает, что 5 ^ 5 ^ 5, причём равенство имеет место только в случае прямолинейного горизонтального движения, т. е. когда а = 0.

Таким образом, на первый взгляд примеры 1 и 2 подтверждают принцип стационарного действия Гамильтона - Остроградского (3).

Теперь рассмотрим подробнее пример 3. Для этого вычислим скорости точек, движущихся по траекториям сравнения:

VX(t) = a,

V (t) = b - c7tY

-1

составим функцию Лагранжа и найдём значение действия на траектории (38) при условиях (39):

~ mv02T2

Составим разность действия на траекториях сравнения (43) и на истинном движении (35):

5 - 5 = . - 1)

2 3(7 +1)(27 - 1) 1 '

В диапазоне значений параметра 1/3 < 7 < 1/2 разность (44) принимает отрицательные значения. Следовательно, действие на соответствующих кривых сравнения меньше, чем на траектории истинного движения.

Несмотря на кажущийся парадокс, данный пример не противоречит принципу стационарного действия. Дело в том, что траектории (38), (39), предложенные в работе [2], не являются окольными путями, так как не находятся в слабой окрестности траектории истинного движения (14).

При построении семейства сравнения в слабой окрестности истинного движения при линейной зависимости от параметра в должно выполняться:

5гМ)= &

т. е.

%(£)= в^г (*), %(£)= вПг(*)-

Время Ь не варьируется. В общем случае возможно п = £г.

Несмотря на то что кривые (38), (39) не являются окольными путями, из (44) видно, что движение по квадратичной параболе обеспечивает локальный минимум действия по параметру 7.

Траектории (36) и (37), рассмотренные в примерах 1 и 2, являются окольными путями, так как для любого параметра в всегда можно определить функции £1, £2, П1 и П2, обеспечивающие условия изохронной близости траекторий (45). Поэтому в полном соответствии с принципом Гамильтона - Остроградского действие (35), вычисленное на прямом пути, принимает минимальное значение по сравнению со значениями (40) и (41), вычисленными на окольных путях.

5. Выводы

Таким образом, в данной работе продемонстрировано применение основополагающих принципов аналитической механики к движению консервативных и неконсервативных систем. На примере нескольких траекторий сравнения обсуждены условия, при которых их можно считать окольными путями. Для окольных путей установлено, что механическое действие по Гамильтону имеет минимум в случае достаточно близкого положения начальной и конечной точек траектории. Кроме того, рассмотрено влияние диссипативных сил на важнейшие характеристики движения: горизонтальную дальность и высоту полёта, а также времена подъёма и падения.

Список литературы

1. Веретенников В. Г., Синицин В. А. Метод переменного действия. 2-е изд., исправ. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 272 с.

2. Веретенников В. Г., Синицин В. А. Теоретическая механика (дополнения к общим разделам). М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 416 с.

3. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е. изд., исправ. М.: Наука, 1966. 300 с.

4. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975. 416 с.

5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : учеб. пос.: в 10 т. Т. I. Механика. 5-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 224 с.

6. Слудский Ф. А. Заметка о начале наименьшего действия // Вариационные принципы механики / под ред. Л. С. Полака М.: Физ-матгиз, 1959. C. 388-391.

Summary

Makarov P. A. On the variational principles of the mechanics of conservative and non-conservative systems

On the basis of the Hamilton—Ostrogradsky principle, applied to the motion of conservative and non-conservative systems, homogeneous and inhomogeneous Euler—Lagrange equations was compiled. An example of a plane motion of a material point is considered. The influence of dissipative forces on the characteristics of motion is determined.

Keywords: Hamilton's mechanical action, variational principles of motion, the Euler—Lagrange equation, straight and circuitous paths, energy dissipation.

References

1. Veretennikov V. G., Sinitsin V. A. Metod peremennogo dejstviya (Method of variable action), 2 ed, M.: FIZMATLIT, 2005, 272 p.

2. Veretennikov V. G., Sinitsin V. A. Teoreticheskaya mekhanika (Theoretical mechanics (additions to the general sections)), M.: FIZMATLIT, 2006, 416 p.

3. Gantmacher F. R. Lekcii po analiticheskoj mekhanike (Lectures in analytical mechanics), 2 ed, M.: Science, 1966, 300 p.

4. Goldstein G. Klassicheskaya mekhanika (Classical mechanics), M.: Science, 1975, 416 p.

5. Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoreticheskaya fizika (Theoretical physics: V.I, Mechanics), 5 ed, M.: FIZMATLIT, 2007, 224 p.

6. Sludsky F. A. Zametka o nachale naimen'shego dejstviya (A note on the principle of least action), Varational principles of mechanics, M.: FIZMATGIZ, 1959, pp. 388-391.

Для цитирования: Макаров П. А. О вариационных принципах механики консервативных и неконсервативных систем // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 2 (23). C. 46-59.

For citation: Makarov P. A. On the variational principles of the mechanics of conservative and non-conservative systems, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, 2 (23), pp. 46-59.

Санкт-Петербургский национальный

исследовательский академический университет Поступила 06.05.2017