Математические методы и стратегии решения нестандартных задачпо алгебре в профильном классе (элективный курс)

УДК 371.214:512.1

М.В. Васильева

J Ч

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И СТРАТЕГИИ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ В ПРОФИЛЬНОМ КЛАССЕ

Л___г

Аннотация: Программа элективного курса «Математические методы и стратегии решения нестандартных задач по алгебре в профильном классе» представляет собой практический материал, предназначенный для интенсивной математической подготовки учащихся, а так же как средство для продолжения математического образования в высшем учебном заведении. В программе предусматривается использование различных форм организации деятельности учащихся, которые обеспечивают комфортный характер обучения.

Ключевые слова: ЕГЭ, методы решения нестандартных задач, систематизация опыта и знаний учеников, системность, целостность, научность.

Abstract: The program is an elective course «Mathematical methods and strategies to address non-standard problems in algebra class in profile» is a practical material for intensive mathematical training of students, as well as as a means to continue the mathematical education in higher education. The program provides for the use of various forms of organization of the students who provide a comfortable nature of learning.

Keywords: CSE, methods for solving non-standard problems, ordering experience and knowledge of students, consistency, integrity, scientific.

«Математика - это то, посредством чего люди управляют наукой и собой»

Н. А. Колмогоров

Курс «Математические методы и стратегии решения нестандартных задач по алгебре в профильном классе» предназначен для интенсивной математической подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ, а также необходим учащимся как подготовка к продолжению математического образования в высшем учебном заведении. Т.е. данный курс предназначен для изучения в классах физико-математического профиля.

В программе использованы наиболее простые методики обучения решению задач, особое внимание уделяется решению неалгебраическим методам решения: геометрическому и графическому. Материалы курса содержат применение метода минимаксов, метод отделяющих констант, метод геометрической подстановки. Перечисленные методы решения задач помогут учащимся успешно сдать Единый государственный экзамен в школе и продолжить обучение в различных вузах.

В программе данного предметно-ориентированного курса рассматриваются вопросы направленные не только на расширение и углубление знаний учащихся по темам, которые содержатся в школьной программе, но и на знакомство учащихся со спецификой математики и особенностями математической дея-тельностит.

Курс рассчитан на 68 часов. Вопросы, рассматриваемые в нём, выходят за рамки обязательного содержания, вместе с тем, они тесно связаны с основным курсом алгебры.

Пояснительная записка

Курс «Математические методы и стратегии решения нестандартных задач по алгебре в профильном классе» является элективным курсом (курсом по выбору учащихся), который целесообразно реали-зовывать на этапе профильного обучения.

Современный этап реформирования школьного математического образования характеризуется, в частности, появлением элективных курсов для пред-профильной и профильной подготовки учащихся. Основная задача последних - профориентация. А также систематизация опыта и знаний школьников,

как база для дальнейшего изучения математики в высшей школе. Кроме того, содержание курса должно позволить проявить учащимся познавательную активность, упорядочить опыт самостоятельной математической деятельности [2,3,4].

Целью данного курса является систематизация опыта и знаний учеников об основных стратегиях поиска решения задач. Знакомство с геометрическим, графическим и алгебраическим методами решения нестандартных задач. Предлагаемый курс построен на решении задач (набор задач в каждом разделе учитель формирует по своему усмотрению). Обусловлено это тем, что специфика математической деятельности в основном это и есть деятельность по решению различных математических задач.

В качестве содержания курса выбрано описание некоторых методов и способов решения нестандартных задач. Поэтому данный курс становиться доступным в его реализации как учителю со стажем работы, так и начинающему учителю. Для учащихся элективный курс будет не только доступным и достаточно сложным, но и интересным. Это достигается использованием различных форм организации деятельности учащихся, которые обеспечивают комфортный характер обучения: например, предлагается широко использовать групповую и проектную деятельность, рейтинговую систему оценивания учащихся и др. [1,5,6,7,10,11].

Данный элективный курс является естественным продолжением школьного курса алгебры, что на практике не является редкостью [8].

Общими принципами отбора содержания программы являются;

1. Системность.

2. Целостность.

3. Научность.

4. Доступность, согласно психологическим и возрастным особенностям учащихся профильных классов.

Программа содержит материал необходимый для достижения запланированных целей. Данный курс является источником, который расширяет и углубляет базовый компонент, обеспечивает интеграцию необходимой информации для формирования математического мышления, логики и изучения смежных дисциплин.

Программа является модернизированной, составлена на основе программы автора Г. Н. Кузнецовой для общеобразовательных школ, лицеев и гимназий и дополненной учебно-методическим комплексом авторов: А. С. Будакова, Ю. А. Гусмана, А. О. Смирнова «Сборник методических указаний и задач для абитуриентов» [9].

Место данного курса определяется необходимостью подготовки к профессиональной деятельности, учитывает интересы и профессиональные склонности старшеклассников, что позволяет получить более высокий конечный результат.

Курс рассчитан на 68 часов с регулярностью 2 часа в неделю.

На занятиях используются различные формы и методы работы с учащимися:

• при знакомстве с новыми способами решения - работа учителя с демонстрацией примеров;

• при использовании традиционных способов - фронтальная работа учащихся;

• индивидуальная работа;

• анализ готовых решений;

• самостоятельная работа с тестами.

Методы преподавания определяются целями курса, направленными на формирование математических способностей учащихся и основных компетентно-стей в предмете.

В тематическом планировании выделяется практическая часть, которая реализуется на знаниях учащихся, полученных в ходе курса теоретической подготовки.

По окончанию каждого раздела предполагается промежуточный контроль в форме срезовых и тестовых заданий и других активных методов.

Результативность курса определяется в ходе итогового зачёта с последующей записью элективного курса в аттестат о среднем образовании.

Материал программы построен с учётом использования активных методов обучения, а рациональное распределение разделов программы позволит получить качественные знания и достичь запланированных результатов. Программа обеспечивается необходимым для её реализации учебно-методическим комплексом.

Цель изучения курса:

Создание условий для изучения математики на профильном уровне и подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ в старшей школе; создание условий для развития логического мышления, математической культуры и интуиции учащихся посредством решения задач повышенной сложности нетрадиционными методами.

Задачи:

• формирование у учащихся правильного представления о специфике осуществления математической деятельности с объектами алгебраической природы;

• развитие способности к осуществлению поисково-исследовательской деятельности при работе с математическими объектами (уравнениями, неравенствами);

• систематизация и углубление знаний учащихся (о тождественных преобразованиях аналитических выражений, о функциях и их свойствах, об элементах теории, способах решения уравнений, неравенств);

• освоение способов решения задач, конкретных приёмов реализации этих способов, теоретических знаний, обосновывающих приёмы;

• выделение основных видов задач, решение которых основано на знании рассматриваемых методов;

• привитие интереса учащихся к математике;

• развитие математического кругозора, мышления, исследовательских умений учащихся;

• воспитание настойчивости, инициативы.

Актуальность элективного курса «Математические методы и стратегии решения задач по алгебре в профильном классе» определяется тем, что данный курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.

В результате изучения курса учащиеся должны

Знать:

• содержание методов решения «нестандартных задач» в математике;

• основные теоретические факты, связанные с методами решения «нестандартных задач»;

• практические приложения тем данного курса.

Уметь применять:

• общие приёмы осуществления поисково-исследовательской деятельности при решении «нестандартных задач»;

• приёмы анализа математических выражений, для применения необходимого метода решения «нестандартных задач»;

• проводить доказательство методом математической индукции.

Понимать:

• идею применения изученных методов данного элективного курса к решению «нестандартных задач»;

• сущность изученных методов;

• специфику выбора стратегии решения «нестандартных задач».

Прогнозируемый результат:

• осознанный выбор учащимися дальнейшего профиля обучения;

• представление творческих работ учащихся на конференциях;

• участие учащихся в математических олимпиадах соответствующих интересам и уровню математической подготовки учащихся.

Текущая аттестация учащихся

Цель: оценка личных достижений учащихся Структура итоговой оценки

Оценка работы на занятиях суммируется из:

• результативности работы учащихся на занятиях;

• подготовки и презентации проектов в процессе изучения данного профиля;

• оценок, полученных в ходе рубежного контроля;

• результатов выполнения работ, проводимы в рамках самообразования.

Рубежный контроль осуществляется в тестовой форме, каждый тест оценивается от 15 до 30 баллов, проводится два раза в год.

Самооценка: проводится анкетирование (набор вопросов и заданий).

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

№ п/п тема занятия Кол-во часов Дата

Раздел 1 Метод мини-максов. 6

Раздел 2 Дискриминантный метод. 4

Раздел 3 Метод отделяющих констант. 6

Раздел 4 Метод тригонометрической подстановки. 6

Раздел 5 Метод «геометрической» подстановки. 4

Раздел 6 Симметрия алгебраических выражений. 4

Раздел 7 Координатная плоскость «переменная-параметр» и решение относительно параметра. 4

Раздел 8 Решение нестандартных задач с использованием общих свойств функций. Тест № 1 (промежуточный). 6

Раздел 9 Задачи со свободным параметром. Презентации, реклама творческих работ учеников. 5

Раздел 10 Использование теоремы Виета. 4

Раздел 11 Задачи с заменой условия. 5

Раздел 12 Решение «нестандартных задач». Олимпиада: смотр УУД. 4

Раздел 13 Решение «нестандартных задач». Презентации, реклама творческих работ учеников. 4

Раздел 14 Решение задач группы ЕГЭ. Тест № 2 (итог) Определение рейтинга ученика в группе. 6

Примерное содержание курса

Под словами «нестандартные задачи» подразумеваются такие задачи, которые хотя и сформулированы с использованием только обычных понятий элементарной математики, тем не менее, не могут быть решены стандартными приёмами. Порой такие задачи трудно отличить от стандартных задач, опираясь только на их формулировку, и «нестандартность» задачи выявляется только в ходе её решения. Тем не менее, из ряда имеющихся публикаций по данной теме накопленный опыт в этой области позволил провести некоторую классификацию «нестандартных» задач по методам их решения.

№ п/п Виды работ Максимальная оценка в баллах

1 Посещаемость 10

2 Работа на занятиях 30

3 Рубежный контроль 30

4 Самообразование 30

Итого: 100

Контроль посещаемости:

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%

10 10 9 8 7 4 3 2 0 0

РАЗДЕЛ 1

Метод мини-максов

Данный метод применим к широкому классу «нестандартных задач».

Если требуется решить уравнение f (х) ^ (х) и на общей области определения Е функций f (х) и h (х) выполняются неравенства: f (х) <А; (f (х) >А) и h (х) >А; (h (х) <А), то уравнение f (х) =h (х) равносильно системе:

f (х)=А h (х)=А

Если нужно решить уравнение f (х, у) ^ (х, у) и на области определения Е функции f (х, у) и h (х, у) выполняются неравенства: f (х, у) <А; (f (х, у) >А) и h (х, у) >А; (h (х, у) <А), то уравнение f (х, у) ^ (х, у) равносильно системе:

f (х, у)=А h (х, у)=А

Конечно, следует понимать, что предложенные схемы не является догмой, а скорее служат руководством к действию.

Замечание;

1. Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод минимаксов, является наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы, что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.

2. Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения (неравенства).

РАЗДЕЛ 2

D-метод (дискриминантный метод).

Данный метод минимаксов, в основе которого лежит выделение полных квадратов в выражении относительно какой-либо из функций (иногда это требует предварительного преобразования выражения) выделяется среди прочих методов ввиду простоты его применения и широкого распространения в практике вступительных экзаменов.

Схема применения D-метода

Если уравнение f (х) =0 или f (х, у) =0 и т.п., можно привести к виду ^ (х) ^ (х) +f2 (х) h (х) +fз (х) =0 (или аналогично в уравнении с двумя неизвестными), причём D=f22-4f1xfз<0, при всех допустимых значениях переменных, то уравнение равносильно системе: D=0 и h (х) = ^ (х) /2^ (х).

D-метод применим в «нестандартных задачах», которые начинаются словами «Решить уравнение (систему) и т.п.» без дополнительных требований к числу решений, их специальному расположению или других требований.

Если D-метод не удается применить сразу, то стоит попробовать тождественными преобразованиями добиться, чтобы уравнение или неравенство приобрело вид квадратного трехчлена, относительно какой-либо функции.

Если после предварительного анализа условия задачи не выбран метод решения - можно применить D-метод, как универсальный метод с широким спектром применений.

РАЗДЕЛ 3

Метод отделяющих констант

Данный метод решения очень похож на метод минимаксов.

Чтобы доказать, что на подмножестве EeR своей области определения уравнение f (х) =д (х) (неравенство f (х) <д (х)) не имеет решений, достаточно, например, найти такую константу А, что для всех хе Е справедлива система:

f (х) > А д (х) < А

Наоборот, если на множестве Е выполняется указанная система неравенств, то все точки этого множества удовлетворяют неравенству f (х) >д (х). Метод отделяющих констант применяется в уравнениях и неравенствах, которые одновременно содержат алгебраические и тригонометрические функции, если попытки применить стандартные приемы не приводят к цели.

РАЗДЕЛ 4

Метод тригонометрической подстановки

Решение некоторых уравнений, неравенств и систем существенно упрощается, если заменить неизвестные переменные подходящими тригонометрическими функциями. Т.к. тригонометрические функции связаны между собой множеством соотношений, это позволяет после замены упростить структуру выражения.

Метод тригонометрической подстановки удобно применять в том случае, когда алгебраическая структура выражения напоминает строение каких-либо известных тригонометрических формул.

РАЗДЕЛ 5

Метод геометрической подстановки

Решение некоторых алгебраических уравнений, неравенств, систем и т.п. упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл.

Это можно сделать разными способами, например:

• Изобразить соответствующие уравнениям или неизвестным кривые или области в декартовой системе координат и рассмотреть их взаимное расположение.

• Истолковать уравнение или неравенство как алгебраическое соотношение между длинами сторон и углами в каких-либо геометрических фигурах, пользуясь теоремами геометрии.

• Интерпретировать уравнение или неравенство в виде соотношения между векторами.

РАЗДЕЛ 6

Симметрия алгебраических выражений

Иногда уравнение, неравенство, система и т.п. обладает свойством алгебраической симметрии, то есть не меняет своего вида при какой-либо циклической замене переменных местами, изменения их знаков и т.п. Иногда, чтобы выявить симметрию выражения, требуется предварительно его преобразовать (задачи со скрытой симметрией). Метод симметрии удобно применять, когда в формулировке задачи присутствует требование единственности решения задачи или точное указание числа решений. Следует помнить: симметрия позволяет установить лишь необходимые условия, и затем требуется проверка их достаточности.

РАЗДЕЛ 7

Координатная плоскость «переменная-параметр» и решение относительно параметра

В задачах с параметром удобно рассматривать переменную и параметр как равноправные величины. В таких задачах бывает нужно рассматривать уравнение или неравенство графически, проводя построения в координатной плоскости с осями «переменная-параметр». Иногда удается разрешить уравнение или неравенство относительно входящего в него параметра. Следует уделить внимание задачам, в которых роли переменной и параметра намеренно поменяны местами. Метод решения относительно параметра удобно применять, когда выражение имеет высокую степень, как многочлен относительно переменной Х и одновременно является линейным или квадратным выражением относительно параметра. Или если формулировка задачи подсказывает, что переменную по смыслу задачи удобно считать параметром, а параметр считать переменной. Данный метод применим, если геометрическое место точек, определяемое заданным в условии неравенством, удается изобразить на координатной плоскости «переменная-параметр». Бывают и другие случаи использования рассмотренного метода.

РАЗДЕЛ 8

Решение нестандартных задач с использованием общих свойств функций

Решение некоторых нестандартных задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, чётности или нечётности и т.п., входящих в них функций. Бывает удобно использовать следующие замечания.

1. Пусть функция f (х) монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда уравнение f ^ (х)) =х равносильно на Е уравнению f (х) =х. (можно провести доказательство, определив его ученикам в самостоятельную разработку, но обязательно затем оформить схему доказательства в классе).

Аналогичное утверждение справедливо и в случае неравенств.

2. Пусть функция f (х) монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство f ^ (х)) >х, х 6 Е, равносильно f (х) >х, х 6 Е. Доказательство ученики проводят самостоятельно, опираясь на схему доказательства 1 замечания.

Данный метод удобно применять, когда алгебраическое выражение в условии задачи разбивается на группы одинаковых по виду членов, которые можно выразить с помощью одной и той же функции f (Ц, обладающей простыми свойствами.

Или если в уравнении, неравенстве участвуют функции с хорошо известными свойствами (монотонность, периодичность, ограниченность и т.п.).

РАЗДЕЛ 9

Задачи со свободным параметром

В условии некоторых нестандартных задач одному из параметров или переменной разрешается принимать всевозможные значения из некоторого множества (свободный параметр, переменная). При этом обычно требуется отыскать такие значения другого параметра, при которых выполняется определенное условие.

Задачи такого вида часто решаются по следующей схеме:

1. Придавая свободному параметру специальные значения, добиваемся упрощения выражения, после чего находим необходимое условие на искомый параметр.

2. Подстановкой найденных значений искомого параметра и проверкой требуемого условия изучаем достаточность полученных значений.

3. Метод свободного параметра (переменной) имеет смысл применять, если в вопросе задачи требуется, чтобы некоторые условия выполнялись при всех значениях этого параметра из заданного множества. Обычно удобно выбирать такие специальные значения свободного параметра, при которых рассматриваемое выражение имеет особенно простой вид - это позволяет найти необходимые условия на искомый параметр.

4. Проверка найденных значений параметра заканчивает решение задачи.

РАЗДЕЛ 10

Использование теоремы Виета

В некоторых задачах, связанных с квадратным трёхчленом, бывает удобно, не находя самих корней трёхчлена, использовать формулы теоремы Виета. При этом важно помнить, что выполнение соотношений теоремы Виета ещё не обеспечивает существование самих корней.

Теорему Виета следует использовать в тех случаях, когда непосредственное отыскание корней многочлена затруднено и в то же время формулы Виета позволяют образовать замкнутую алгебраическую систему, которая оказывается разрешимой.

При этом не следует забывать, что алгебраические соотношения между корнями и коэффициентами мно-

гочлена, вытекающие из формул Виета сами по себе еще не обеспечивают существование действительных корней. Наличие действительных корней следует проверять отдельно (обоснование достаточности найденных значений).

РАЗДЕЛ 11

Задачи с заменой условия

Решение некоторых нестандартных задач существенно упрощается, если заменить условие задачи некоторым другим условием и показать, что выполнение этого условия влечёт за собой выполнение условия задачи, а сделанная замена не сужает множество решений.

Метод замены задачи следует использовать, если в процессе решения заданной задачи есть ситуация, которая явно не имеет простого аналитического решения, либо содержит неудобные для исследования выражения. При этом обычно видно, что замена неудобных выражений, либо соответствующее изменение постановки задачи приводит к ее существенному упрощению и позволяет решить новую задачу. Важно убедиться, что произведенное изменение не проводит к сужению множества решений.

Примечание:

РАЗДЕЛЫ 12, 13, 14 используются по усмотрению учителя.

Приложение

Перечень дополнительной литературы для подготовки к ЕГЭ

1. Денищева Л. О., Глазков Ю.А. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. М.: Интеллект-центр, 2004.

2. Дорофеев Г. и др. «Математика. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы. М.: Дрофа, 2001.

3. Саакян С.М. 11 класс. Экзамен по алгебре и началам анализа. М.: Вербум, 2001.

4. Сборник задач по математике (для поступающих в ВУЗы). Учебное пособие. СПб., 2000.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / под ред. М. И. Сканави. М.: Высшая школа, 1988.

6. Шадрив И. П. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике. Челябинск, 2002.

7. Шамшин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд. 3-е. Ростов на Дону: Феникс, 2004.

Перечень Интернет ресурсов

1. Коллекция ссылок по школьным предметам для каждого класса, дистанционному образованию и экстернату, программному полному обеспечению, досугу подростков. http://www.school.mos.ru

2. Информационно-энциклопедический проект. Здесь можно получить свободный доступ к электронным версиям энциклопедий, изданных за последние сто лет в России. http://www.rubricon.ru

3. На сайте представлены рациональные алгебраические уравнения, иррациональные уравнения, иррациональные неравенства, показательные уравнения и системы уравнений, показательные неравенства, планиметрия, стереометрия и многое другое. http://www.mathprog. narod.ru/

4. Московский центр непрерывного математического образования. http://www.mccme.ru

5. Образовательный математический сайт. Задачи по математике с решениями, справочник по математике, электронные консультации. Конкурсы. http://www.exponenta.ru

Литература

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в математике. М., 1970.

2. Васильева М. В. Единый государственный экзамен: как подготовиться? // Эксперимент и инновации в школе. 2012. № 4. С.49-55.

3. Васильева М. В. Формирование универсальных учебных действий учащихся во внеклассной работе по математике // Муниципальное образование: инновации и эксперимент. 2013. № 3. С.18-22.

4. Васильева М. В. Формирование универсальных учебных действий ученика средствами открытого тематического зачета по математике в старших классах // Муниципальное образование: инновации и эксперимент. 2011. № 3. С.29-36.

5. Иванова Т. А. Гуманизация общего математического образования. М.,1998.

6. Кравцов С. В. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. М.: Изд-во «Экзамен». 2005.

7. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.

8. Макарычев Ю. Н. и др. Дополнительные главы к учебнику, 9 класс. М., 2004.

9. Математика: сборник методических указаний и задач для абитуриентов СПБГУАП. Части 1-3. Составители: А. С. Будаков, Ю. А. Гусман, А. О. Смирнов. СПб.: СПБГУАП, 1999.

10. Мордкович А.Г. Беседы с учителем математики. М., 2004.

11. Шибасов Л. П. От единицы до бесконечности. М., 2004.