О взвешенном числе целых точек на некоторых многомерных гиперболоидах

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 3

УДК 511.3

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛОИДАХ

Р. А. Дохов, У. М. Пачев

Аннотация

В работе круговым методом получена асимптотическая формула для взвешенного числа целых точек на многомерных гиперболических поверхностях, определяемых прямой суммой неопределённых кватернарных целочисленных квадратичных форм специального вида. При этом взвешивающая функция выбрана как экспонента, в показателе которой стоит целочисленная квадратичная форма, являющаяся прямой суммой положительных бинарных квадратичных форм с одними и тем же дискриминантом. Выбор такого специального вида взвешивающей функции обусловлен возможностью приложения используемого подхода при исследовании вопроса о числе целых точек лежащих в некоторых областях специального вида на рассматриваемых многомерных гиперболоидах.

Опираясь на подход статьи [7], основанный на использовании точных значений двойных сумм Гаусса, мы рассматриваем многомерную задачу о взвешенном числе целых точек на гиперболических поверхностях специального вида.

Речь идёт об асимптотике с остаточным членом для величины

Ih

Е *

p(x,y,z,t)=h

u

n

где n oo — вещественный параметр,

p (x,y,z,t) = {Q(1) (xi,Vi) - Q(2) (Zi,ti)} ,

i=1

Ш (x,y,z,t) =Y^ {Q(1) (xi ,Vi)+ Qi2) (Zi,ti)} ,

i=1

Q(i1), Q(2) — положительные целочисленные бинарные квадратичные формы одного и того же дискриминанта 5f; h = 0 — целое число.

220

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

При выводе асимптотической формулы для Ih (n, s) существенно используются:

1) формула обращения тета-ряда бинарной квадратичной формы

2) формула для

i

q

1

q

e-2nihx

(n +4k2x2YS

dx

3) оценка для суммы Клостермана

K (u,v; q)= Y

x mod q

f 2ni j

e q

где ll' = (mod q).

Полученная асимптотическая формула для Ih (n, s) обобщает один из результатов Куртовой Л. Н. [7] о взвешенном числе целых точек на четырёхмерных гиперболоидах на случай многомерных гиперболоидов соответствующего специального вида. Кроме того, наш результат в случае постоянных коэффициентов уравнения гиперболоида обобщает также один результат Малышева А. В. [10] на случай некоторых недиагональных квадратичных форм, а в сравнении с результатом Головизина В. В. [3] главный член в рассматриваемой задаче получен в явном виде, а в [3] он выражен через некоторый комплексный интеграл W (N), для которого дана только оценка сверху, при этом в нашем случае N = [л/п\.

В дальнейшем результат о величине Ih (n, s) може быть применён при получении асимптотических формул для числа целых точек, лежащих в некоторых областях специального вида на многомерных гиперболоидах.

Ключевые слова: круговой метод, взвешенное число целых точек, гиперболическая поверхность, многомерный гиперболоид, асимптотическая формула, квадратичная форма, тета-ряд квадратичной формы, двойная сумма Гаусса, сумма Клостермана.

Библиография: 16 названий.

ON THE WEIGHTED NUMBER OF INTEGER

POINTS ON SOME

MULTIDIMENSIONAL HYPERBOLOIDS

R. A. Dokhov, U. M. Pachev

Abstract

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

221

In this paper asymptotic formula for weighted number of integer points on multidimensional hyperbolic surfaces defined by direct sum of indefinite quaternary integral quadratic forms of singular kind is obtained. In doing so weighted function is chosen as a real exponent on the index of which there stands integral quadratic form being direct sum of positive binary quadratic forms with the same discriminant equal to the discriminant 5f of imaginary quadratic field F = 0 ^ Vd^ where d is the negative without quadrate number. The choice of real kind of weighting function is conditioned by possibility application used method in investigation of question about the number of integer points lying is some fields of real kind on examining multidimensional hyperboloids. Leaning upon the method of article [7] based on the use of exact meanings of Gauss double sum we examine multidimensional problem about weighted number of integer points on hyperbolic surface of real kind.

The question is about the asymptotic with remainder of series for value

Ih

E <=

p(x,y,z,t)=h

u

n

where n ^ ж — real parameter,

p (x,y,z,t) = |q(1) (xi,yi) - Q(2) (Zi,ti)} ,

i=1

Ш (x,y,z,t) = {Q(1) (xi ,yi)+ Q(2) (Zi,ti)} ,

i=1

— positive integral binary quadratic forms of the same discriminant 5f; h = 0 — integral number.

In deducing the asymptotic formula for Ih (n, s) essentially we use:

1) the formula of turning of theta-series binary quadratic form (in our case it is enough to use double theta-series instead of multidimensional);

2) formula for

1

q

1

q(q+N

e-2nihx

(n~2 +4n2x2)S

dx

3) estimation of sum of Kloosterman

K (u,v; q)= Y

x mod q

/ 2ni i

e q

(vx+vx ^

where xx = 1 (mod q).

Obtained asymptotic formula for Ih (n, s) generalises one of the results of Kurtova L. N. [7] about weighted number of integer points on four-dimensional hyperboloids for the case of multidimensional hyperboloids corresponding real

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

222

kind. Besides our result in case of constant coefficients of hyperboloid equation also generalized one result of Malishev A. B. [10] for a case of some nondiagonal quadratic forms in comparison with the result of Golovizina V. V. [3] the main number in examining problem is obtained in evident kind as in our work exact meanings of Gauss double sums are used and in [3] it is expressed by way of some complex integral W(N), for which only estimation is given over in doing so in our case N = [уП]. Later on the result about value Ih (n,s) can be applied in obtaining asymptotic formulae for the number of integer points lying in some fields of real kind on multidimensional hyperboloids.

Keywords: circle method, weighted number of integer points, hyperbolic surface, multidimensional hyperboloid, asymptotic formula, quadratic forms, theta-series of quadratic form, Gauss double sum, Klosterman sum.

Bibliography: 16 titles.

1. Введение

В предлагаемой работе проводится исследование задачи о взвешенном числе целых точек, лежащих на многомерных гиперболических поверхностях, определяемых прямой суммой кватернарных целочисленных квадратичных форм специального вида.

Мы будем рассматривать гиперболическую поверхность

- )} = h,

i=1

где Qil\xi,yi), Q('-2')(zi, ti) - положительные целочисленные бинарные квадратичные формы дискриминанта d, h = 0 - целое число.

Обозначим для удобства левую часть уравнения (1) через p(x,y,z,t), где x,y,Z,t - s-мерные векторы. С уравнением (1) мы будем связывать функцию

Ih

Е e

p(x,y,z,t)=h

1

n

Е

i=1

5

где n ^ <x> - вещественный параметр.

Будем называть сумму (2) взвешенным числом целых точек на поверхности (1), взятых с весом e-nu(x<y<z<t), где

Ш(х, y, Z,t) = {Q(1) (xi, yi) + Q(2) (zi,ti)}

i=1

Отметим, что рассматриваемые нами поверхности (1) являются ds-мерными. Для гиперболических поверхностей, к которым относится наша работа, известны лишь отдельные частные результаты.

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

223

Первоначальный обзор результатов, связанных с вопросом о взвешенном числе целых точек на поверхностях второго порядка дан в [9, 10]. Первые результаты для гиперболических поверхностей второго порядка были получены в диссертации Долчиани [13].

В наших обозначениях один из её результатов состоит в том, что существует и положителен предел lim Ih2S‘-s1 в случае диагональных форм Q^1"1 (xi,yi) и

n^x n

Q( 2)(zi,ti), при этом ещё предполагается, что сравнение

S

5Z{Qi1)

i=1

разрешимо по любому модулю g (более полные сведения об этих результатах имеются в [10]). Несколько ранее Зигель [16] доказал, что в случае h = 0 конической поверхности существует и положителен lim J°(тг’4^. При этом в [16] рассмотрен только диагональный случай квадратичных конических поверхностей.

В дальнейшем в [9, 10] ставится более общая задача о взвешенном числе целых точек, лежащих в заданной области поверхности и в заданном классе вычетов по данному модулю g. В такой постановке решение этой задачи реализовано в [10, 3] только при g = 1 и для некоторых специальных областей при произвольной размерности s > 4 квадратичной поверхности, причём в [10] рассмотрен только диагональный случай.

В последнее время в случае четырёхмерных гиперболических поверхностей в работе Куртовой Л.Н. [7] используется несколько другой подход, основанный на точных значениях двойных сумм Гаусса.

Пользуясь этим подходом, получаем асимптотическую формулу для взвешенного числа целых точек на некоторых многомерных гиперболоидах, обобщающих один из результатов [7]. При этом наш результат в случае постоянных коэффициентов уравнения гиперболоида даёт также обобщение результата Малышева [10], а в сравнении с результатом Головизина [3] главный член в рассматриваемой задаче вычислен в явном виде, а в [3] он выражен через некоторый комплексный интеграл W(N), для которого дана только оценка сверху, где N = [у/и\.

2. Предварительные результаты

В нашей работе существенно используется следующее вспомогательное утверждение, при этом мы пользуемся соотношением [6]

1

e2namda

о

J 1, если m = 0

[ 0, если m — целое, m = 0

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

224

Лемма 1. Для Ih(n,s) справедливо соотношение

i

Ih(n,s) = l[S(i1){a)S(i2){a)e-2ntha da,

0 г=1

где

Si1\a)= e{-n+2ma')Qi>(mi), S(2\a)= Y

kiGZ2

,(-n+2nia)Q(1)(m,,

' •> ^i

mi^Z 2

Доказательство. Имеем

i s

! f[S(1)(a)S((2)(a)e-2nihada i i=i

Л-n-2nia)Q

I e(-n+2nia)Q11)(ml) e(-n-2nia)Q1i)(ki)x

0 mi€Z2 k1GZ2

^Д e(-n +2nia)Q21)(m2) ^Д e(-n-2nia)Q(2) (k2) x . . .

m2

GZ2

k2GZ2

... x y^ e(-n+2nia)Q(^)(ms) ^ e(-n-2nia)Qs>(ks). e-2nha da =

msGZ2 ksGZ2

1

-n E

(1) (m-)_ Q(2) (k -

/V ^ n (Qi (mi)+ Qi (ki)) 2nia (Qi (mi) Qi (ki)) _2nha i

Y e i=1 e i=1 e 2nha da

0 mi kiGZ2

= j Y e-nш

0 p(m1,k1,...,ms,ks)=h

что и требовалось доказать.

i

i

Лемма 2 (об обращении тета-ряда). Пусть Im r > 0, х Е R2; @(т,х) = ^2 e2mrQ(n’x) - тета-ряд бинарной квадратичной (формы Q, дискриминанта

GZ2

р. Тогда

0

П

—-___v

П n~lA

e т

1n+2nin lx

,

где A - матрица квадратичной формы Q, n

О-’

(’1,’2).

Доказательство. См. [14] (см. также [8] гл. 3).

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

225

Лемма 3. Пусть 1 < q < N, h, s - натуральные числа, N = [у7п]. Тогда

1

q

1

q

-,—2nihx

dx

2s— 1

n 1e

h

n

22s-i

r

r2

+ O((qN )2s-1) + O(n2s—2),

где r(s) - гамма-функция.

Доказательство. Обозначим данный интеграл через I и представим его в виде разности I = I1 — I2, где I1 берётся по промежутку (-то, +то), а I2 по

промежутку, определяемому неравенством

1

\х\ > —---—.

q

Сначала вычислим интеграл

W

ж

— ж

eihx

(a2 + x2)s dxx

где a > 0.

Так как подынтегральная функция имеет в верхней полуплоскости один полюс х = ia порядка s, то применяя теорию вычетов, (см. [12]) будем иметь

W = Resia [(a2 + z2)—;seihz]

(s

1

—1)

lim \(z — ia)s(a2 + z2) s](s 1) =

z^ia L J

(s

1

lim [(z + ia)—seihz](s—1}.

z^ia

По формуле Лейбница для производной произведения двух функции, получаем

W

Тогда

Resia [(a2 + z2)—seiaz]

i -1 e -ha

(2a)2s—1(s - 1)!

• s(s + 1) • • • (2s

1 ha s -2

+

i-e

(2a)s(s — 1)!

У] Ck—1s

k=0

(2ah)k'

1

2ne—ha (2a)s(s — 1)!

W 2ne—h (2s — 2)! +

(2a)2s—1 (s — 1)!2 +

s-2

• ^ CS—1s(s +1) • • •(s +k

k=0

1)

1

(2ah)k

2) +

226

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

^—2nihk

^—2niht

{П + 4пЧ2)

-(-2п) dt

in + 4n2t2)'

dt.

Значит,

h

^—2nih

dt

e n r

• n“-1 + O (n2s-2) .

Теперь оценим сверху интеграл I2. Имеем

-,—2nihx

L2 —

ixi>

1

q

dx — O

( oo \

dx

x

2s

— O

2s— 1

q

Разность I1 — I2 дает доказываемое соотношение.

В следующей лемме используется характер квадратичного поля (см. [1]).

Лемма 4 (точное значение двойной неоднородной суммы Гаусса). Пусть (l,q) — 1, ll* = 1 (modq). Тогда справедливо равенство

G (q,l,n) — cixi(l)q\/(|fo\,q) • e 2”c2*,

где c1 — c1 (q,n,Q ^л/dj j, c2 — c2 (q,n,Q , x1 - характер квадратичного

поля Q ’ причем 0 < \щ\ < 1, c2 (q, O, Q ^л/d^ — 0, c1 (q, O, Q — 0,

2||q, c1 (q, O, Q ^Vd^ — 0, если 4\\q, d = 2(mod4).

если

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство см. [4] (в случае однородных сумм Гаусса точные значения получены в [11]).

Для оценки сверху остаточного члена для Ih(n, s) понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 5 (о сумме Рамануджана). Для суммы Рамануджана

2ni1

q-1

cq(h)— e""q

1=0 (l,q) = 1

справедливы следующие соотношения:

1) cq(h) — M((qn)q)^g^, где u - функция Мебиуса, ф - функция Эйлера;

ф

2) \ cq (h)\ < НОДДЬ).

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

227

Доказательство.

(см. [15], теорема 272), его можно получить, опираясь на то, что cq(h) есть сумма hx степеней всех первообразных корней степени q из l.

Заметив, что сумма Клостермана K(-h, 0, q) = cq(—h), можно уточнить лемму 5 статьи [7] следующим образом.

Лемма 6. Пусть 6F - дискриминант поля F ратное число. Тогда

Q ’ d < 0

бесквад-

Е

-2nil1h

e q

l=0(l,\SF |q) = 1

Ф

6

Cq

5

где 6F = 6  51} (6, q) = 1.

Соответственно этому получаем уточнение следствия 1 из [7]. Следствие 1. Пусть 6F - дискриминант поля Q (^/dj. Тогда

q— 1

e 2т q = O

l=0(l,\SF\q) = 1

где e > 0 - сколь угодно малое число.

ЛЕММА 7 (оценка суммы Клостермана). Пусть

K

q-1

ST' 2ni l-+^-

e q

l=o

где ll*

l(modq); 6F

дискриминант поля

Q (^/dj. Тогда

K(-l,v,q) = O (|6fI r (|6fI) q1+') .

Эту оценку можно вывести, следуя рассуждениям, изложенным в [7].

ЛЕММА 8. Если f — положительно определенная квадратичная форма, то существует такая постоянная K = Kf > 0, что для всех вещественных векторов x справедливо неравенство f (x) > K Ix^, где x = (x]_,..., xn) — набор переменных, т.е. f (x1,... ,xn) > K  (xf + ... + xП).

Доказательство. См. [5], гл. 12, § 5.

228

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

3. Асимптотическая формула для Ih

Цель этой части нашей работы состоит в перенесении некоторых результатов о взвешенном числе целых точек на четырёхмерных гиперболических поверхностях из [7] на некоторые многомерные гиперболические поверхности, определяемые прямой суммой неопределённых кватернарных квадратичных форм, указанной в левой части уравнения (1), где Q(1'l(xi, yi), Q(2) (zi, ti) — положительные целочисленные бинарные квадратичные формы дискриминанта d = 5р.

Теорема 1. Пусть 8F - дискриминант мнимого квадратичного поля F = Q , где d < 0 - бесквадратное число, h = 0, h ^ n£. Тогда справедлива асимптотическая формула

Ih

2n2s

r(2s — 1)n2s le

r2(s) \SF\s

У

— 2ni

e

lh

q x

l=0 (l,q) = 1

X П G1i) (q,l,o) g2 (q

i=1

l,o) + 0(ns—1+£) ,

где r(s) - гамма-функция; £ > 0 - сколь угодно малое положительное число; постоянная входящая в символ О, зависит, от 8F и коэффициентов бинарных квадратичных форм Q (m) и Q (ki), Gk (q, ±l,o), (k = 1; 2) - однородные двойные суммы Гаусса.

Доказательство. Применяя круговой метод, положим N = [л/и\ и разобьём промежуток £o,i = — N, 1 — N\ числами ряда Фарея со знаменателями не

больше N, на попарно непересекающиеся промежутки £i,q = т.е.

i

q+q"

L + _Х_ q q+q'

1

N

1

1

N

N q—1

и и ь

q=11=0 (l,q) = 1

где 1 < l, q < N, ф, q" < N; 4" < - < G - соседние дроби Фарея (по поводу свойств дробей Фарея см. напр. [2]).

Тогда по лемме 1 имеем

q—1

h(n,s) = Yl Y

—2nil1h

e q x

q<N l=0 (l,q) = 1 1

q

X

/ П ^ (q + ^2) ^q + ^ e—2nihx dx.

q

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

229

Как ив [7], пользуясь леммой 2, преобразуем суммы

^

i24 - + x)’ г =1,---,s-

Имеем

W - + x) = E e2niq Q(1) (s) • E

' smod q ™ .^z2 m

e(-n +2nix)q2Q

2^.

mi £Z2, mi—s

Y1e""4^

smod q

2ni l Q

mi&Z 2

E

smod q

e2ni 1 Q(1)(s)fr| | x

4(x+ 2;n)q2-q)-

Полагая теперь в формуле обращения в - ряда

т = | x + -^-J q2, x =

2nn) q

имеем

в

(x+2^) m

E

- П mjA-, 1mi+2ni -

€Z 2

2n

'2n2Q<k1

_________ \ Л e \Sp\q2(n 1-2nix) +2ni q

q2V\sF\ П - 2nix ^ '

(1)/ 1

где Qi (mi) — бинарная квадратичная форма с матрицей 8F A-i, при этом Л1у.

— матрица квадратичной формы Q(1) (mi).

Тогда

г

q

^

2n 1

---;-• 1-----x

q2VW n - 2nix

X

Ee-

mi^Z2

q2\Sp\ (n

^(1) (mi

2nix) ^

smod q

2ni 1 Q(1) (s)+2ni

e q i q

2

2n

Выделяя в (6) слагаемое при mi = о, получаем

Ж1^ q + x) = J? + ф?\

230

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

где

Ф1

2п

Q2V\^f\ П - 2тх

— G?

Ф

2^2Q

q2 I Л n I (n 1 -

—2n • -j-1-- V e  G{fi (q,l,mi),

q\/Ш - - 2шх_ 1 W’ ’ %n

У V \ F \ n mi£Z2,mi=0

/-'i(i) / j — \ 2ni-Q(1) (з)+^^- w -p

где Gj (q,l,mi) = e w q - неоднородная двойная сумма Гаусса,

smod g

отвечающая квадратичной форме Q(1). Аналогично для S(2) ^g + х^ получаем

Sf>

>?>('1 + и = ф2° + фД

где

ф2

2п

2 i + 2  G2)(q,-l,o),

q2GM П + 2nix

Ф

2n

q2GM n + 2nix k ^

2n2Q

e q2\sF\(n-1+'2nix) . q2) (q, -1, ki) ,

ki£Z2, ki=o

где G2i) (q, —l,k^ - неоднородная двойная сумма Гаусса, отвечающая квадратичной форме G(2).

С учетом (7) и (8) формулу (5) можно переписать в виде:

g—1

q{q+q')

—2ni -

Ih(n,s)=Y1 e""q

g<N l=0(l,g) = 1

П (V/V? +

i=1

q

+Ф(/У« + Ф?Ф?) e—2nihx dx.

Перейдем теперь к выводу асимптотической формулы для величины Ih(n, s). Представим эту величину в виде следующей суммы

Ih(n, s) = Ij + I2 +    + I

4s ,

:io)

1

1

1

2

1

1

где только в I1 выделяется главный член, а I2,... , I4s дают вклад в остаток в

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

231

асимптотической формуле для Ih(n,s). При этом имеем

q=1 Ч(-Ч+Ч,) s

I = Е Е е-2"‘ / ПЛ^е"2^ dx

q<N l=0, (l,q) = 1

i=1

ч

q-1

{±Z E E

-2ni^ ^

e ч x

q<N l=0, (l,q) = 1

:n)

x П G1i) ql,o) G2i) q -l,°) •

i=1

Ч

" ч

-, — 2nihx

(£ + 4n2x2)'

dx.

1

1

1

В сумме (10) интеграл I1 вычислим асимптотически, а остальные интегралы I2,... ,I4s оцениваем сверху, при этом сделаем разбиение интеграла в (11) на сумму интегралов

i

ч

1

q

1

q

1

ч

+

+

1 1 1 1 ч

и соответственно этому разбиению, получаем I1 = I41 + I1>2 + I1;3.

Из них только в I-],^ выделяется главный член для Ih(n, s), а I1;1, I1}3 дают вклад в остаток.

Применяя лемму 3 и, учитывая (11), находим

I12 =фф E q-4s Е

q-1

—4s \ л „-2ni

Г

lh

e ' q х

q< N

l=0, (l,q) = 1

x П G1i) (q, l,°) G2i) (q>—1, o) •

n2s 1e n Г

i=1

j n2s 1e \ 22s -1

Г2

+0( (qN )2s-1) + O(n2s-2)} 2n2sr(2s — 1) n2s-1e--

q-1

-4s \ л _-2niЩ- .

r2

* Y,q4s e"qx

q<N l=0, (l,q) = 1

q -1

s (4n2 )s q-1

x П Gf (q,l,o) G2 (q, —;,°^ + L-l E d~4‘ E

i=1

q< N

-2ni lJd

e q x

l=0, (l,q) = 1

x П g() (q,l,o) g2) q

i=1

l,o) • {O ((qN)2s-1) + O(n2s-2)} .

232

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

Из (12) следует, что

I1,2

2n2s r

Ш* r2

n

2s-1

e

—

n

q<N l=0,

x П G1 (q,l,o) g2 (q.

i=1

l,o) + o(ns-1+P) .

-2ni

e

lh

q x

1

13)

где p — сколь угодно малое положительное число.

Действительно, первое слагаемое в (12) при N ^ ж даёт главный член асимптотической формулы для I12 и значит, и для Ih(n, s).

Представим теперь I1>2 в виде

11,2 1 + S2’

где 1 — первое слагаемое, асимптотически равное главному члену; 2 — второе слагаемое в соотношении (12).

При этом сначала в силу леммы 4 получаем, что

G2 (q,l,o) G2i) (q,

l,0)

cx[2) (-l2) q2(\h\ ,q),

где постоянная c не зависит от l и х2 (-l2) = 1 при (l, \4f\) = 1.

В дальнейшем при выводе оценок мы используем символ Виноградова A « B, означающий, что \A\ < c \B\, где c > 0 - некоторая постоянная.

Тогда в силу лемм 5 и 6 будем иметь

У:

(4пУ

\^FГ

q-1

Т.я-4" У

q<N l=0, ( l,q) = 1

— 2ni

hl

e q x

x ПG1) (qJ-0) (q. -10) {O (qNf-1 + O (qN2‘~2)} «

i)

i=1

«У q-is H e-2niq • Х1 (-П q-2s (qN)2s~‘ +

q<N l=0, (l,SF q) = 1

i 2s—2 V"^ —4s V~^ -2ni — ( i2\ „

+ n 2^ q e q X1 [-l ) «

q<N l=0,(l,SFq) = 1

« £ In2s-1 {

q<TN q v

Ф

Cq + O (\6f\ q£)} +

q< N 2s 2

}

q I $f

+ n“~‘ • Yh q-4s0 (\<F\ q£) «

l=0,(l,^F q) = 1

« N2s-1 ln N + n2s-2 « n2s-2 + ns-1+p

где p > 0 - сколь угодно малое положительное число.

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

233

Подставляя это в выражение (*) для I12 получаем при n ^ ж

q-1

_ Г (2s - 1) („2s-1 , 2s-2) _-h ,.-4s

11,2

Ii 2 _^S T(L?, -1} (n2s-1 + n2s-2) e-h ^ q-4s

—2ni

Ih

q<N l=0,(l,q) = 1

\SF\S Г2

s

П g? (q, I o)G? (q,-i,o) + n-2 + _

i=1

2n2s Г (2s - 1) ( 1 4 q-1

e q x

n2s-1e~n (1 + i) t q- t

4 7 q<N l=0,(l,q) = 1

— 2ni

Ih

e q x

41 Gli)

i=1

2n2s Г

q-1

-n e n у q

Y.q~“ £

— 2ni

Ih

eq

q<N l=0,(l,q) = 1

41 Gli) (q, l, o) G? (q, -l,o) + O (n-2 +p) .

i=1

Теперь получаем при N ^ ж (n ^ ж) Il,2

(4n2)s r(2s - 1) n2s-1e-П ~ 22s-1r2(s) ‘ \6f \

^£ q-is- E

-2nilJi „

e q x

q=1 l=0, (l,q) = 1

41 G(ii) (q, l,o) G2(i) (q, -l,o) + O (ns-2+p) + R,

i=1

h

где

R _ (2n2s)r(2s - 1) _ n2s-1e-n E q-4s ^ E

Г2

\$F \

-2nilJh

e q x

q>N l=0,(l,q) = 1

41 G1i)

i=1

Оценивая R сверху с учётом лемм 5 и 6, и применяя при этом рассуждения [7] к многомерному случаю, получаем

R

2s— 1 — h q-1

n e n 4s -2ni lJh 2s ( ]2\ 2s,

^F\'

£ q-i‘ Y. e-2"^  ,\2‘(-l2)  q2s№f\, q) «

q>N l=0, (l,q) = 1

« n2— t q-‘\фтc(h) + O (\^\  q‘)} «

q>N 2 J

234

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

СЮ

< n2s 1 J x 2s+£ dx = O ^ns 2 .

N

Тогда, в силу (11 Il,2

r2(s) \6F\

2s_^_ h Ю g-1

s J^q-4s e 4X

2n2sr(2s - 1) n2s 1e n ^ ^_4s —2niЩ

g=1 l=0, (l,q) = 1

П G1i) (q, i.°) G2i) (q, -i,o) + о (n’_2 +"),

41G

i=1

где p > 0 - сколь угодно малое положительное число, т.е. получилось Теперь оцениваем интегралы I11 и I13. Имеем

13).

q

q<N

4s

h,1 <

q_1

2n2sr(2s - 1) n2s-1e_-~

r2(s) \Sf\s

X

Y e 2m q  П G?

l=0, (l,q) = 1 i=1

1

l')

—2nihx

X

X

q

e

(n- + 4n2x2}

dx

q

При этом

1

'q

i—2nihx

4 + 4n2x2)

dx

q

«У q_4q2s \ ,q).

q< N

Тогда

I1,1 << Y 4 \6F\ q£  O ((qN)2s-1) << N2s-1+p << ns_-2 +p. q< N q

Аналогичными рассуждениями получаем также, что

I1,3 = O (ns_2 +р) .

Таким образом,

h = 2n2sr(2s - 1) _ n2s-11(n) ^ q_4s g

r2

\$F \

-2nillh

e q x

q=1 l=0, (l,q) = 1

41 G1i) (q-l-o) G2i) (q, -i,o) + о (n-_-+p),

i=1

:16)

1

1

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

235

где р > 0 - сколь угодно малое положительное число.

Теперь перейдём к оценке сверху интегралов I2,... , I4s, которые дают вклад в остаточный член асимптотической формулы для Ih(n,s).

Так как они оцениваются одинаковым образом с Ii, то дадим оценку сверху для I4s и для Ik, где 2 < k < 4 s — 1.

Имеем

L^s

q-1

E E

-2ni—

e q

q<N l=0, (l,q) = 1

1

q

1

q

Цф? (x)ф2i) (x)e-2nihx dx.

i=1

Подставляя в I4s значения для Ф^ (x) и ф2^ (x), (i — 1,... , s), получаем 2n2s

I

4s

\$F \

s Eq 4s E e 2mq' П G1i) q l>m^ G2i) {q> —1, y)x

q<N l=0, (l,q) = 1

i=1

X

q

q

e-2nihx dx ^

(± + 4n*x)S -Д^д)}'

__ ^ 2n2Q

_ y, 2n2g

i И-F\q2

X

Ф8)

x у ' e i=i ^\q2

kieZ 2\

1

где Qi (mi), Qi [kq - квадратичные формы с матрицами, обратными матрицам форм Q(1) (mi) и Q(2) {hi).

Обозначая

q-1

V

Е

l=0, (l,q) = 1

-2ni ^

eq

• П G1i)

i=1

равенство (18) можно переписать в следующем виде

2s

q

I4s —

Е

-,—2nihx

(4уу

\^FIs < J

X

~q

xe

mi,...,ms€Z 2\

_ Д 4п2д

j=i \fF\q2

X

_ ^ 4n2Q

^ ' 2(1

x £ e

k1,..,ks€Z 2\

j=1 \q2 (n+2nix) dx  V.

:i9)

1

s

236

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

Переходя в (19) к модулю подынтегральной функции, имеем

q

\h-\«Y. f 71

q<N J1 \ri

-X

q

-

4n2q(1) (т{) 2n2

x ^2 e i=i |5fiq2

mi,...,ms€Z 2\

x £ e 4=1 dx  \ V \.

k1,...,kaeZ 2\

4n2Q

Сначала оценим сверху сумму V. Для этого воспользуемся формулами из [4] (см.также [8]) для неоднородных двойных сумм Гаусса (лемма 4). Имеем

С[г) (д,1,т) = с(1г^А1(1)^/(q, \6F\)е-2тc21l ,

G? (q,l,ki) = c(lAi(—l)q^(q, \6F\)е q c^l

22

где cH, cl-?, с2г1, с(2г2 - константы, не зависящие от l; здесь ll* = 1(mod q). Учитывая, что A1(—l2) = ±1, получаем

q— i

т/ ^ —2ni — 2s ( I г i\s — (c22—C21)1

V = су, e q  q (q, \ dF \)  e q v 22 ; =

l=0, (l,q) = 1

= cq2s (q, \dF\)s к (h, (c22 — c21) S, q) ,

где c - постоянная, зависящая от c(1\), c{2, и s (i = 1,..., s); K(h, (c22 — c21)s,q) -сумма Клостермана. Так как для суммы Клостермана по лемме 7 справедлива оценка

к (h, (c22 — c21) S,q) = O (\5f\) т (\5f\) q2 +£,

то

\ V \ < q2s+1+p,

где £, p - сколь угодно малые положительные числа.

1

q

Рассматривая опять разбиение интеграла J , как в предыдущем случае,

1

q

получаем I^s = I^s,1 + l4s,2 + I4S3.

Сначала оцениваем сверху I4s2. Имеем

\ I4s,2\ « ФФУ q-4

1

q

dx

\ dF \ ^

q<N

(П2 + 4п2х2У

X

1

1

0

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

237

х

Е

- Е

e i=1

2nQ

E

-

e i=1

2nQ{?)'

\V I

mi,...,mseZ2\{(0,0)} k1,...,kseZ2\{(0,0)}

Пусть в > 0 - сколь угодно малое положительное число. Тогда, расширяя

промежуток

0 ___1___

0, q

до

0, qN

, будем иметь

г2 + в

_L_

qN

INM < <

Е q-4s f + Е — f + Е

1 . J 1 J 1

1

qN

—4 s

q

- \V|.

q<n 2

0 q<n 2

qn 2

2+9 n 2-9 <q<N 0

Обозначая каждое слагаемое правой части (21) соответственно через ^24s i, E4S 2 и )С4s 3, получаем

1

, 4s,3.

\l4s,2\ ^ У ] 4s, i + У ] 4s,2 + 'У^^

Оценим сверху сумму У)4s i. Для этого сначала в (21) оценим суммы

2nQj1') (mj) qiT1+2nTn2x2

ai(x) = e j=1 INVN2^^),

m1,...,ms GZ2

_ s 2nQ

a2(x)= e j=1 |5flq2(1+2n2n2x2).

ku...,ks€Z2

Для оценки сумм ai(x) и a2(x) воспользуемся леммой 8 о том, что для любой положительной квадратичной формы f (x), найдётся такая постоянная K = Kf > 0, что f (x) > K Ix^, т.е. f (xi,..., xn) > K - (xi + ... + x"n) (см. [5], гл.12,

лемма 5.2). Тогда

s 2п2 пК^т^2,

ai(x) < e- j=1lSp\q2(1+4n2n2x2).

m1,...,msGZ2

Это неравенство можно записать ещё в следующем виде

2s 2п2пК

ai(x) < e j=1lSF\q2(1+4n2n2x2),

Xj,yjGZ\{0}

аналогично имеем

&2(x) < e

Zj ,tjGZ\{ 0}

2s 2n2nL

£=1 |5f\q2 (1+4n2 n2 x2) ;

238

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

где K, L > 0 - некоторые постоянные. Тогда

г2+в

У4*-1 «ду У

-, — 45

q<n 2 в

\ai(x)a2(x)\

(П2 + 4 n2x2Y

dx • \V\ «

1

«М ^,9

q<n 2 в

qn 2+в S

— 45 / Zi,...,Z2s^Z

✓ N 4 5

/ J |йр\q2 (l+4n2n2x2) |

1 n J

(n2 + 4n2x2)’

dx • \V\ «

1 + в

qn 2

« Y, q45n5

q<n2—Q

+ nx2^ dx • \V\

n

у q“ • у <* (

. 2-в k=o \ / w /

q<n 2

i 35—k

qn 2 +Q

\V\ «

« n^] n—k • q2k— 2 +£' «

q<n2 —Q

« n5—k • nk— 4+1 e'—2Qk— 2 = O (V- 1 +£) ,

где £, 9, £ - сколь угодно малые положительные числа.

Аналогичными рассуждениями получаются также, что

^^4s,2)^^ 4s,3 = O (п5 4 +£^ •

Оценим ещё сверху любое из слагаемых Ik (2 < к < 45 — 1) в сумме (10) для Ih(n,s). Из соотношения (9) следует, что например,

q{q+q')

q- i n 51 52

Ik = У У е-2" ’ П У)ф2и) П

ЛГ 7 Г\ J Л' _1 ,•_1

51 52

ООУУ ТТ ,/,(i2)ff,(i2) —2nihx

q<N l=0

(l,q)=1

1 il = 1

qy+yy

2 11 ф2 е-^dx,

i2 = 1

1

1

1

1

где si + S2 = s.

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

239

Для произведений под знаком интеграла с учётом (71) и (8') после некоторых преобразований получаем

4п2 )s

д

где

s1 s2 /А 2 \ s

(Йй)ц

1

X

q4 \SF\ ('

i1 = l i2 = 1 F ' Vn2

х П G

ii = l S2

O)   g2

i2 = 1

si

— l,0)i | G2

ii = 1

s2

X

П G1i2)

i2 = 1

ii = 1 i2 = 1

,2q

_

ai1 (x) = ^ e \^\q2(n-1+2nix),

ki; ex2\{(0,0)}

_jn!QS2m[L

ai2

m2 ex2\{(0,0)}

Подставляя (23) в (22), будем иметь

2s

Т = (4п ) q_4s V

Тк s Lq 2^

q_1

\^F \

sq

q<N l=0

(l,q) = 1

_ 2 ni h

e q

q

1

' q

-,—2nihx

s1

s1 s2

x J] ah

i1 = 1 i2 = 1 i1 = 1

O) X

X

s2 s1 s2

x П G2i2)

i2 =1 i1 =1 i2 =1

Обозначая

q_i S1

_2ni ^

e q

s2

Vk = e 2ni q П G2i1)

l=0

(l,q) = 1

*1=1

i2 = 1

соотношение (24) примет вид

(4 _2)s s1 s2

Ik = £ <T“ Д Gli1)

sq

q< N i1 =1

l, o)

i2 =1 1

X

q

" q

2nihx

rai

1

s

1

2

n

1

2

n

1

240

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

51 52

где ai(x) = П ^i (х), ^(х) = П ^2 (х).

ii = 1 i2 = 1

Оценим сверху Vk. В силу леммы 4 о двойных суммах Гаусса имеем

q-1

Vk = У

—2ni

e q

x

l=0

(l,q) = 1

‘“ {c1^-0qv4MT9)e—“C2(-l)'}

x {c3X1(0eV(l'sF1 ,q)^l^ =

q-1

У Л —2ni — s /1 c I \ 2 — '2n-

c > e q q (|dF| ,q)2 e qy 14 2;

l=0

(l,q)=1

s

= c • qs

где c — некоторая вещественная постоянная.

Отсюда в силу леммы 7 об оценке суммы Клостермана получаем

s 1 1

V| < qs (|<F| ,q)2 q2 +£(h,q) < qs+2 +£(h,q),

OF

где знак <C означает, что постоянная в этой оценке зависит от 5р.

OF

Для оценок сумм ai1 (х) и ai2 (х) опять воспользуемся леммой 8. При некоторой постоянной K > 0 имеем

2n2n^

„2

Wh

k1,k2&Z\{0}

У

1

2х2пк

(

q2 (1 + 4п2п2х2)4 2

n

)

откуда

s1

i1 =1

[q2 (1 + 4п2п2х2)}2s1

n

2s1

Аналогично

s2

П К(х)| <

i2 =1

[q2 (1 + 4п2п2х2)}2s2

n

2s2

Тогда

Ых),2(х)| < ^ (1 + ^V»4

n

2s

n

4s

Как и в случаях I1 и I4s будем рассматривать представление Ik = Ikq + Ik,2 +

Ik,3.

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

241

Оценивая сверху Ik.2, будем иметь

___1

q(q+

^«Е q-i' / д

q

—4s I 1 vi(x)vi(x)1

(n2 + 4я2х2)'

dx I Vk I.

q<N 0

Интегрирование в этой оценке разобьём на три промежутка. Для этого, выбирая 0 сколь угодно малым положительным числом, будем иметь 1

2 + © qn 2

_1_

qN

_1_

qN

1 4.2 1 « j + j + j -^2k.1 + Y^k.2 + 5Zk,s-

1 © 1 - 1 -

q<n2— © 0 q<n2

qn 2

+e

n2—©<q<N 0

Оценивая сумму k 1 с учетом (25)—(27), будем иметь

qn 2

Еk.i|« Е «"4* j

1___

12+

q<n 2 "

| ai(x)a2(x)|

(n + 4АД

dx iVkI «

2+© qn 2

<

E

q<n2— ©

E

1 — © q<n 2

[q2 (1 + 4n2n2x2)}4s n4s (nj + 4n2x2)s

—4s

1

1

qn 2

+©

4s

1

1 qn 2

+©

n

E

4s

q<n 2 -

0

+ 4n2nx2^ dx lVkI «

ns

Е q

3s

1 —© q<n 2

qn

1 »qs+1+'(M) «

+©

« ns V q4s-

1 qs—2 +p

q6sn6s© 1 +©

q n n2+©

< ns— 2

s-1-©

q

—s— 2 +p

q<n 2

s— 1 —©

n2

E

1

T © qs+2 -

q<n2—©

q<n2—©

s—2—© qp E -«

1 © q2

q<n 2 ©

Е « ns—1+£

1 © q2 q<n2—©

,s— 4 +e

1

©

©

s-1

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

242

где 0,р,£ > 0 — сколь угодно малые числа.

Аналогичные рассуждения приводят также к оценкам У)k 2>^2k з ^ ns-3+

и значит, Ik = O (^ns-з+£^, где постоянная в знаке O зависит от Sf и h, причем оценки будут сохраняться при h ^ и£, где е > 0 — сколь угодно малое число.

Подставляя теперь оценки для Ii, I4s и Ik (2 < к < 4s — 1) в (10) получим асимптотическую формулу (4) для Ih(n,s).

4. Заключение

Для суммы

Ih

Е

p(x , y , ^ , t)=h

(t Qi\x

\i=1

yl+Qfhzi, ti) j

где

s

p {x,V,z,i) = ^{X^(1) (xi,Vi) — q(2) (zi,ti)} ,

i=1

x,y,Z,t — четырёхмерные векторы, выражающей взвешенное число целых точек на 4s-мерной гиперболической поверхности, получена асимптотическая формула

Ih =2п

2s

r(2s — 1)n2s 1

q-1

Y.q-is E

q=i

r2(s) \SF\s

s

41 G1i) G2i)

-2ni ^ w

e q x

l=0, (l,q) = 1 1

i=1

где r(s) — гамма-функция, G(i) (q,l,o) и G2i) (q, —l,o) — двойные суммы Гаусса, 8f — дискриминант мнимого квадратичного поля, е — сколь угодно малое положительное число.

Асимптотическая формула для Ih(n, s) обобщает основной результат Курто-вой Л. Н. [7] на случай о взвешенном числе целых многомерных гиперболических поверхностей, а именно при s = 1 получаем результат из [7]. Кроме того, наш результат в случае постоянных коэффициентов уравнения гиперболоида обобщает результат Малышева А. В. [10] на случай некоторых недиагональных квадратичных форм, а в сравнении с результатом Головизина В. В. [3] главный член в рассматриваемой задаче получен в явном виде, а в [3] он выражен через некоторый комплексный интеграл W(N), для которого дана только оценка сверху, при этом N = [yU].

h

n

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

243

В дальнейшем результат о Ih (n, s) может быть применен к одной задаче Малышева А. В. [10] об асимптотике числа целых точек, лежащих в некоторых областях специального вида на многомерных гиперболоидах.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боревич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. Изд. 3-е., Москва, 1985. 503 с.

2. Виноградов И. М. Основы теории чисел, М.: Изд. «Наука». 1981. 168 с.

3. Головизин В. В. О распределении целых точек на гиперболических поверхностях второго порядка Зап. научн. семин. ЛОМИ, 106 (1981), с. 52-69.

4. Гриценко С. А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле Чебышевский. Сборник, 4, вып. 2(6) (2003), с. 55-67.

5. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: «Мир». 1982. 436 с.

6. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: «Мир». 1983. 240 с.

7. Куртова Л. Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами // Вестник Самарского госуниверситета. Естественно-научная серия. Математика, № 7(57) (2007), с. 107-121.

8. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды Математического ин-та АНССР, 65 (1962), 212 с.

9. Малышев А. В. О представлении целых чисел квадратичными формами // Труды четвёртого всесоюзного математического съезда, 2 (1964), с. 118-124.

10. Малышев А. В. О взвешенном количестве целых точек, лежащих на поверхности второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1 (1966), с. 6-83.

11. Пачев У. М., ДоховР. А. О двойных суммах Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля // Научные ведомости Бел-ГУ, 19(162), вып. 32, (2013), С. 108-119.

12. Свешников С. А., Тихонов А. Н. Теория (функций! комплексной переменной. М.: «Наука». 1967. 304 с.

13. Dolciani M. P. On the representation of integers by quadratic forms // Thesis Ithaca, New York, 1947. P. 1-56.

14. Ogg A. P. Modular Forms and Dirichlet Series. New York, W.A. Benjamin Inc., 1969. 211 p.

244

Р. А. ДОХОВ, У. М. ПАЧЕВ

15. Hardy G. H., Wrigth E. M. An introduction to theory of numbers, Oxford, 1938. 421 p.

16. Siegel C. L. Equivalence of quadratic forms. Amer. I. Math., 63 (1941), P. 658680.

REFERENCES

1. Borevich, Z. I., Shafarevich, I. R. 1985, " Teoriya chisel" , [The theory of numbers] 3rd edition, Nauka, Moscow, 503 pp.

2. Vinogradov, I. M. 1981, " Osnovy teorii chisel" , [Baics of the theory of numbers] 9th edition, Nauka, Moscow.

3. Golovizin, V. V. 1981, "On the distribution of integer points on hyperbolic surfaces of the second order" , Zap. Nauchn. Sem. LOMI, vol. 106, pp. 52-69.

4. Gritsenko, S. A. 2003, "On functional equation for one Dirichlet ariphmetic series" , Chebyshevskii Sb., vol. 4, no. 2

5. Cassels, J. 1982, " Racional’nye kvadratichnye formy" , [Rational quadratic forms], Mir, Moscow, 436 pp.

6. Karatsuba, A. A. 1983, "Osnovy analiticheskoi teorii chisel", [Principles of analytic number theory], Nauka, Moscow, 240 pp.

7. Kurtova L. N. 2007, "On one binary additive problem with quadratic forms" , Vestn. Samarsk. Gos. Univ. Est.-Nauchn. Ser. Mat., no. 7

8. Malyshev, A. V. 1962, "On the representation of integers by positive quadratic forms" , Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 65, 212 p.

9. Malyshev, A. V. 1964, "On the representation of integers by quadratic forms" , Proc. 4th All-Union Mat. Congr., vol. 2, pp. 118-124.

10. Malyshev, A. V. 1966, "On the weighted number of integer points on a quadric" , Zap. Nauchn. Sem. LOMI, vol. 1, pp. 6-83.

11. Pachev, U. M., Dokhov, R. A., 2013, "On Gauss doble sums corresponding to classes of ideals of imaginary quadratic field" , Nauchn. Ved. Bel. Gos. Univ., vol. 19

12. Sveshnikov, S. A., Tikhonov, A. N. 1967, " Teorija funkcij kom,pleksnoj pere-m,ennoj" , [The theory of functions of complex variable], Nauka, Moscow, 304 pp.

О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК ...

245

13. Dolciani, M. P. 1947, "On the representation of integers by quadratic forms" , Thesis Ithaca, New York, pp. 1-56.

14. Ogg, A. P. 1969, Modular Forms and Dirichlet Series. New York, W.A. Benjamin Inc., 211 p.

15. Hardy, G. H., Wrigth, E. M. 1938, An introduction to theory of numbers, Oxford, 421 p.

16. Siegel, C. L. 1941, "Equivalence of quadratic forms" , Amer. I. Math., vol. 63, pp. 658-680.

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова Получено 29.07.2015