Параметры подобия и моделирование флаттера цилиндрической оболочки

Параметры подобия и моделирование флаттера цилиндрической оболочки

д.ф.-м.н. проф. Кийко И.А., к.ф.-м.н. доц. Показеев В.В.

МГУ им. М.В. Ломоносова, Университет машиностроения

8(495) 223-05-23, vm@mami.ru

Аннотация. Исследуются параметры подобия в задаче флаттера цилиндрической оболочки. В качестве математической теории оболочек принята техническая теория в смешанной форме. Для избыточного давления принимается либо формула поршневой теории, либо формула линеаризованной теории потенциального обтекания. Физические условия моделирования получены из равенства параметров подобия модельного и натурного процессов.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, флаттер, параметры подобия, физическое моделирование.

Исследование сверхзвукового флаттера упругой круговой цилиндрической оболочки ведутся давно и многими авторами; достижения на различных этапах развития прослеживаются по обзору [1], монографиям [2, 3], статье [4]. Все работы посвящены методам расчета критических параметров, среди которых основным является критическая скорость потока; ни в одной из работ не ставилась задача о параметрах подобия и правилах физического моделирования, другими словами - о теории эксперимента. В последние годы опубликованы работы [5-8] о моделировании флаттера упругих и вязкоупругих пластин. В них получен принципиально новый результат: в некоторых случаях оказалось возможным отказаться от полного геометрического подобия натурной и модельной пластин, т.е. установлено, что масштабы моделирования размеров в плане и по толщине могут быть различными.

В предлагаемой работе рассмотрена задача о флаттере упругой цилиндрической оболочки, обтекаемой внутренним или внешним сверхзвуковым потоком газа. В качестве математической теории оболочек принята техническая теория в смешанной форме [9]. Для избыточного давления использована либо линеаризованная теория потенциального обтекания (ЛПТ), либо поршневая теория (ПТ). Предложена упрощённая постановка. Определены безразмерные параметры подобия, их равенство в натурном и модельном процессах доставляет правила физического моделирования в рамках выбранной математической модели флаттера.

Уравнение колебаний оболочки

Оболочка в цилиндрической системе координат занимает область £ = {(х, г,0)\ г = R; 0 <0 < 2р; 0 < х < 1 = /ЗR}; она обтекается сверхзвуковым потоком газа (внутренним или внешним) с невозмущенными параметрами Ро, Ро, ао, Мо - соответственно давление, плотность, скорость звука, скорость потока. Уравнения технической теории в смешанной форме имеют вид:

о^г__1_ д^ (Г__1_ дV д2™ д2Г

R дх2 R2 дх2 дв2 R2 дв2 дх2 R2 дх дв дх дв

ОА ™ — — —^ — + ^ ^ ^ = ^

, 2 „ ЕИ д ЕИ

А2 Г +--- + —-

R дх2 R

2„, ( о^ ^

д д ^

удх дв 0

= 0.

дх2 дв2 ч

,3 //Ю/-1 ..2^

Здесь , Г - функции прогибов и усилий, О = ЕЙ /(12(1 — п )) - цилиндрическая жесткость; Е, п, р - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки, И - её толщина. Нормальное давление q представляет собой сумму трех слагаемых: статического давления Ро, силы инерции — рИд/ сИ2 и избыточного давления р . По теории

ЛПТ для р имеем

(

р = -Ро

дф дф

дх

+ и,

д х

Л

0 г—Я

Потенциал возмущенного потока подчиняется уравнению:

д2ф 1 дф 1 д 2ф

дг2 г дг г2 д02 ^ дх2

-

д2ф 2М д2ф 1 д2ф

а0 дхдг а0 дх

= 0

и граничному условию не проницания:

дф дг

д дw

дх

+и

дх

здесь М — и0 /а0 > 1 - число Маха. По формуле ПТ для р полагаем:

Р =

УРо

(

ап

д w дw

Л

дх

+и

дх

Здесь у - показатель политропы газа. Приведем систему (1)-(5) к безразмерному виду.

Координаты х, г отнесем к радиусу Я, прогиб w - к толщине к, время - к

х, =РЯ>/Я/(Оо4к), с0 = Е / р, функцию усилий - к Я0 = Ек 2 Я, оставим за безразмерными

величинами прежние обозначения; в результате из (1) получим систему:

а2 , д2Я , д2w д2Я , д2w д2Я „ , д2w д2Я , д2w 12(1 -п2)Я4

А2w - А —г - А —2--- - А —---- + 2А--= А - А3—г + —--^— р,

^^ 1 дх д0дх д0 ^ 3

дх1

л-^ д2 w ,

А-Я + —- + А

дх2 1

дх2 д02

д2 w д2 "дх2 аё2"

С д2w V

дх д0

д02 дх2 = 0.

3 дх2

Ек4

0

Здесь введены обозначения:

= 12(1 -п2) Я2 = 12(1 -п2) Я2 . = 12(1 -п2) Ро Я4 к = 12(1 -п2)Я

Ао — , -Ат — , — л , -Ат — , .А? — '

к2

к

Ек4

Я

р2к

В случае, когда р определяется по формуле ПТ (5), последнее слагаемое справа в первом уравнении (6) примет вид:

^ р — - А £ - АМ %

Ек дх дх

в котором обозначено:

. 12(1 -п2)Я . ^ . ,

А4 — —---г-— р — - А4--А5М— .

4 Ек4 4 дх 5 дх

Отнесем потенциал возмущения к ф1 — Яа0, оставив для ф прежние обозначение, уравнение (3) запишем в безразмерном виде:

д2ф , 1 дф 1 д2ф ,Л 1Лд2ф д2ф „2 д2ф

дг2 г дг г2 д02 здесь обозначено:

-

дх

2 - -МВо

дхдг

- В)

дх2

— о,

В( — /(ра^л/Я ).

Граничное условие (4) примет вид:

дф дг

к дw

к дw

— В--+ М--.

г—1

Я дх

Я дх

Для слагаемого с избыточным давлением р в (6) получим в рамках ЛПТ:

12(1 -у2)Я4 Ек4

(

Р =

дф

дф

Л

-в^ - вм—

д1 дх

0г—1

Здесь введены дополнительные параметры:

= 12(1 -у2к Г я У/2 = 12(1 -у2)а2 я4

1 Р С I к 0 ' 2 к4е20

Параметры подобия

Представим себе два процесса - натурный и модельный; под модельным процессом будем подразумевать как правило, лабораторный или промышленный эксперимент. Запишем математическую модель флаттера (ПТ или ЛПТ) для натурного и модельного процессов; решение каждой задач зависит только от безразмерных коэффициентов, следовательно, если соответствующие коэффициенты равны, то решения тождественны (предполагается, что решения существуют и единственны, граничные условия принимаются однородными и не содержащими новых параметров). Это означает, что в соответствующие моменты времени во всех соответствующих точках натуры и модели все безразмерные величины, характеризующие процесс колебаний, равны между собой. Равенства коэффициентов называются условиями подобия, а следствия из них, при определенных дополнительных предположениях, -правилами моделирования или теорией эксперимента. Подчеркнем, что эти правила зависят от принятой математической модели явления. В дальнейшем всем параметрам модельного процесса присвоим индекс т, а параметрам натурного процесса - индекс п .

I. Модель ПТ. Уравнения (6)-(9) содержат следующие независимые параметры:

= аЯ2 = аЯ

Х1 = ,2 , Х2 = '

Хб

к2

аур,я, Г Я

рЕЬо 15,

к

5/2

_ арпС ¡г _ а Я

аур0 Я

Х—~ЕгМ

Я

а = 1 -у2.

Из равенств хЗ =ХП при 5 = 1,2,4 с необходимостью следует ат =ап, т.е. равенство ут =уп, а также кт / кп — Ят / Яп. Из условия хЗЗ =ХП получаем рт =рп, а из равенства

т п

Х3 =Хп - соотношение:

ГЕ) —Г Е 0.

Оставшиеся условия хЗ = Хп, хЗ = Хп приводят соответственно к равенствам (по умол-

т п \

чанию принимаем у =у ):

)т Г ~ )п

, Мт — Мп.

—

V а0 0 V а0 0

Отношение скоростей звука а^ / аЗ по теории одномерного потока выражается через

отношение давлений /аЗ — (рЗ/Рп) , к — (у-1)/(2у), поэтому исключение а0 из уравнений (15), (16) приводит к нетривиальному условию моделирования:

-о

Г Ет

Еп VЕ 0

Значения коэффициентов Пуассона конструкционных материалов и сплавов различа-

I т п I I /* 2 \ т /* 2 \ п I I т п \ / т п \

ются незначительно, поэтому разность | а - а |=| (у ) - (у ) |=| у - у | (у + у ) не превышает нескольких процентов, поскольку ут + уп < 1. Правила моделирования, основанные

п

0

на равенствах (15)-(17) следует признать приближенными; строгое выполнение всех условий хС = хП приводит к тривиальному случаю: оболочки геометрически подобны, сделаны из одного и того же материала, параметры потоков тождественны. Эксперимент в этом случае, по существу, сводится к проверке математической модели. Более интересен случай, когда натурные условия трудно воспроизвести в модельном процессе. Тогда формулы типа (15)-(17) дадут возможность предсказать (хотя и приближенно) поведение оболочки в натуре по измеренным величинам в эксперименте.

2. Модель ЛПТ. Из системы (6) и соотношений (10)-(14) выделяются безразмерные параметры, среди которых первые пять хС = СП (5 = 1,2,...,5) те же, что и в предыдущем пункте, остальные - новые:

сол/й аао ( R У/2 аа0R4

Хб = М, С 7 = 0 г-, С8 = 77^" I т1 , С9 .

ра0>/я' Л8 рсо | И) ' Л9 с02И4

Анализ системы хС = хП (5 = 1,2,...,9), аналогичный проделанному выше, приводит к выводу о том, что условия подобия и правила моделирования остаются теми же, что и в предыдущем пункте. Нам представляется, что основная роль в этом выводе принадлежит сложной нелинейной системе (6) уравнений колебаний оболочки.

Замечание. В граничные условия на торцах оболочки может входить коэффициент Пуассона; это, как отмечено выше, не скажется на результате.

Простейший вариант моделирования

В системе (1) сделаем максимальные упрощения. Во втором уравнении опустим квадратную скобку; в первом уравнении действие давления Р0 представим в форме осесиммет-ричного безмоментного состояния [10], так что нелинейные слагаемые примут вид:

~ ^д^Гд!^ ~ яд!—

R2 дв2 дх2 ~ Ро дх2 , R2 дх2 дв2 ~ 2R2 Ро дв2 . Вместо системы (1) получим:

. ЕИ д2— ^ _.2 1 д2 Г „д2 — 1 „д2 —

А2Г +--- = 0, ОА2—---- — р^—---- р^—- = q .

R дх2 R дх2 Ро дх2 2R Ро дв2

Для избыточного давления примем формулу ПТ, поэтому q будет иметь вид:

, д2— уР0 (дw дw"]

q = —РИ —w — — I -г- + Мо — I.

дг а0 дх 0

Приведем уравнения (18), с учетом выражения (19), к безразмерному виду по правилам, изложенным выше; примем дополнительно — = Ж ехр(шг), Г = Ф ехр(шг), где ш, г - введенные безразмерные параметры. Система (18) преобразуется к виду:

Л д2Ж л

а2ф+—- = о,

дх2

2 д2Г . д2Ж 1 . д2Ж 2 А2Ж — А0—- — А5-----А5-- + Л3ш2Ж + ЛМЖ + Л4шЖ = 0,

дх2 5 дх2 2 ^ дв2 3 5 4

здесь введены обозначения:

Л = 12

И2 р2И

Коэффициенты Л4, Л5 определены в (9). Будем, как и ранее, полагать ут = уп, пт =пп;

после этого из набора коэффициентов (20) выделим четыре безразмерных параметра подобия:

-2 - 2 РоРосо (- У/2 С = 72' С2 = Р-"ш\ Сз = ^ЬтМ' С4 = рг0-I - I ш. к р2к Ек РЕа0 у к 0

Запишем равенства сГ = С и последовательно их проанализируем.

1. СГ = СП, следовательно (7 / к)т = (7 / к)п, радиусы и толщины подобны.

2. СГ = Сг, с учетом предыдущего имеем (ш / Р)Г = (ш / Р)п.

3. СГ = Сз, получим равенство (р0М / Е)Г = (р0М / Е)п.

4. СГ = С4, получим равенство (р0с0 /(Еа0))Г = (р0с0 /(Еа0))п.

Анализ этих соотношений приводит к следующим правилам моделирования. Как видно, параметр Р, определяющий длину оболочки С = р/^, остается свободным, поэтому определим отношение рГ / рп = Р0 . Тогда из второго соотношения получим:

шп = р0шп.

Размерная (физическая) частота ш 1 связана с безразмерной ш соотношением ш = ^ш 1. С учетом (21) отсюда следует:

ш? =

Из третьего равенства получаем:

пп ЕГ

МГ = -Р°- • —Мп.

р0Г Еп

__ п / г / ^ 1 п \к

Четвертое равенство, с учетом соотношения а0 / а0 = (р0 / р0) , приводит к правилу моделирования:

( „Г „п 77Г

р0

р0

л

0

сп • Еп, к, = к+1=31-1.

с0Г Е 1 2у

с0

При организации эксперимента предполагается, что в натурном процессе известны параметры материала и потока. В эксперименте (на модели) находятся значения критических

параметров - шГ и Мт, а затем эти значения пересчитываются для натурного объекта по предлагаемым соотношениям.

Один из вариантов моделирования (организации эксперимента) может быть таким. Задаются к0, материал модели, предполагается также известными Еп , р^, с^ ; из (24) опреде-

т гг /^^ \ -1 / т т -1 ут т у —

ляются параметры потока р0 , а0 , а из (23) - число М и скорость потока = М а0 . Из формулы (22) находится частота колебаний натурной оболочки по измеренной в эксперименте частоте ш1 .

Заметим, что упрощенный (и приближенный!) вариант математической модели естественно доставляет более широкие возможности моделирования.

Выводы

Установлены критерии подобия натурного и модельного процессов в задаче о флаттере цилиндрической оболочки, предложены некоторые возможные параметры моделирования. Физические условия моделирования получены из равенства параметров подобия модельного и натурного процессов. Результаты работы могут оказаться полезными при организации экспериментальных исследований.

Литература

1. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела.

Итоги науки и техники. ВИНИТИ. 1978. Т. 11. С. 67-122.

2. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз. 1961. 399 с.

3. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М. Наука. 2006. 247 с.

4. Квачев К.В. Метод Ляпунова-Мовчана в одной задаче устойчивости колебаний цилиндрической оболочки // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. 2012. № 2 (12). С. 57-66.

5. Кийко И.А., Показеев В.В., Кийко С.И. Подобие и моделирование процесса колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. № 3. С. 87-92.

6. Кийко И.А., Показеев В.В., Кийко С.И. Подобие и моделирование пластины в сверхзвуковом потоке газа // Вопросы машиностроения и автоматизации. 2011. № 4. С. 109-111.

7. Кийко И.А., Показеев В.В., Кийко С.И. Критерии подобия натурного и модельного процессов колебания пластины в сверхзвуковом потоке газа // В сб. Материалы конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула. 2011. Изд. ТулГУ. С. 127-128.

8. Показеев В.В., Кийко С.И. Параметры подобия и моделирования процессов колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Матем. Механ. 2012. № 3. С. 39-45.

9. Григолюк.Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М. Наука. 1976. 359 с. 10. Александров В.М. Гришин С.А. Динамика конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом потоке // ПММ. 1994. Т. 58. № 4. С. 123-132.