Влияние сердечника на индуктивность соленоида

В.А. Быстров

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург

ВЛИЯНИЕ СЕРДЕЧНИКА НА ИНДУКТИВНОСТЬ СОЛЕНОИДА

Объект и цель научной работы. Исследована индуктивность соленоида с сердечником с целью аналитической оценки ее величины.

Материалы и методы. Исследования основывались на ранее полученных соотношениях для соленоида без сердечника, при этом использовались методы магнитостатики.

Основные результаты. Предложен приближенный способ определения зависимости индуктивности соленоида с ферромагнитным сердечником от одного из основных его геометрических параметров - диаметра. Представлены также зависимости индуктивности соленоида от других основных параметров - его длины, количества витков и параметров сердечника при равномерной намотке провода в соленоиде.

Заключение. Полученные соотношения полезны при выполнении конструкторских и проектных работ по созданию или модернизации радиоэлектронных и электротехнических систем.

Ключевые слова: соленоид, основные параметры, диаметр, длина, количество витков, показательная функция, сердечник.

Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.

Для цитирования: Быстров В.А. Влияние сердечника на индуктивность соленоида. Труды Крыловского государственного научного центра. 2017; 3(381): 95-98.

УДК 621.3.072.32 БО!: 10.24937/2542-2324-2017-3-381-95-98

V.A. Bystrov

Krylov State Research Centre, Moskovskoe shosse 44, St. Petersburg, Russia

EFFECT OF CORE UPON SOLENOID INDUCTANCE

Object and purpose of research. This paper investigates the solenoid with a core to analytically estimate its inductance.

Materials and methods. The studies were based on the previously obtained relationships for the solenoid without the core, by means of magnetostatic methods.

Main results. The paper suggests an approximate method for calculation of how the inductance of the solenoid with a ferromagnetic core depends on its other main parameters, i.e. length, number of coils and parameters of the core, wire winding of the solenoid being uniform.

Conclusion. These relationships are useful for the design and engineering activities regarding development or upgrade of radioelectronic and electric systems.

Keywords: solenoid, main parameters, diameter, length, number of coils, exponential function, core. Author declares lack of the possible conflicts of interests.

For citations: Bystrov V.A. Effect of core upon solenoid inductance. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2017; 3(381): 95-98 (in Russian).

УДК 621.3.072.32 DOI: 10.24937/2542-2324-2017-3-381-95-98

Индуктивность является одним из основных параметров, характеризующих электрическую цепь переменного тока.

Понятие индуктивности определяет магнитный поток, сцепляющийся с каким-либо контуром с электрическим током или системой контуров. Собственной индуктивностью контура, называемой обычно просто индуктивностью, считают такую индуктивность, которая обусловлена только током этого контура [1].

Индуктивностью называют отношение потока, проходящего через контур, к величине создающего его тока [2]:

Ь = ф /I,

где Ь - индуктивность (коэффициент самоиндукции); I - величина тока в рассматриваемом контуре; ф - величина потока самоиндукции.

При решении многих практических задач, не связанных с использованием высоких частот, обычно используют величины индуктивности, являющиеся, по сути, статическими значениями, так как в процессе их определения в этих случаях можно допустить, что токи, определяющие рассматриваемый магнитный поток, распределены по сечениям проводов равномерно (плотность тока постоянна, не зависит внутри провода от радиальной координаты). Это является правомерным при относительно низких частотах и слабом влиянии поверхностного эффекта. Такое допущение в области низких частот представляется достаточно обоснованным и существенно упрощает решение.

Существует несколько известных и применяемых на практике способов определения индуктивности систем контуров с токами [2, 7]. Основное отличие этих способов друг от друга обусловлено специализацией назначения. Рациональное использование того или иного способа определяется сложностью рассматриваемой системы контуров.

Для контуров сравнительно простой формы целесообразно непосредственное применение формулы (1).

Алгоритм определения индуктивности с использованием этой формулы (1) достаточно прост. Можно определить величины магнитной индукции в характерных точках плоской фигуры, ограниченной данным контуром, задавшись током в контуре и используя известный закон Био - Савара [2].

Путем суммирования отдельных потоков вокруг выделенных характерных точек, лежащих внутри контура, определяют величину полного

магнитного потока самоиндукции, сцепленного со всем рассматриваемым контуром.

Непосредственное использование указанного соотношения (1) позволяет определять величины индуктивностей контуров с током при различной форме контура [3].

Например, для плоского кругового контура радиусом Я, при круговом сечении образующего этот контур провода, при радиусе поперечного сечения этого провода г для определения величины индуктивности Ь могут быть использованы различные варианты известной формулы, традиционно используемой лишь в одном виде [4]:

Ь = цЯ

где ц - магнитная проницаемость среды (для воздуха ц0 = 4п-10-7 Гн/м).

В указанной формуле (2) величины радиусов имеют размерность [метр], индуктивность - [Гн].

Несмотря на наличие точных формул, представляет интерес оценка качественной зависимости величины индуктивности плоского кругового контура от диаметра этого контура (менее точная, но более наглядная).

В первом приближении величина магнитного потока, проходящего через круговой контур с током, пропорциональна площади поверхности этого контура, а следовательно, квадрату диаметра контура [4].

Величина магнитного потока при оценке индуктивности достаточно наглядно может быть охарактеризована интегральной величиной, называемой дипольным магнитным моментом, или просто - магнитным моментом.

Для кругового соленоида величина его магнитного момента Мс определяется формулой

Мс = пЯ21щ

где V - число витков соленоида; I - величина тока в рассматриваемом соленоиде [2].

Во внутренней части длинного кругового соленоида при равномерном распределении витков с током по его поверхности создается достаточно однородное магнитное поле, напряженность Нс, которого в средней части может быть определена по формуле [5]:

Нс = Щ12 + 4 Я2)-0,5,

где 1 - длина соленоида.

При введении во внутреннюю область соленоида ферромагнитного сердечника увеличение индуктивности рассматриваемого устройства будет

V.A. Bystrov

Effect of core upon solenoid inductance

пропорционально увеличению величины магнитного момента.

При выполнении оценки влияния ферромагнитного сердечника на величину индуктивности достаточно длинной катушки (1 > 5А), ферромагнитный сердечник может быть представлен сплошным вытянутым эллипсоидом вращения, находящимся в продольном внешнем однородном магнитном поле, создаваемом соленоидом.

Обращая внимание на введенное выше ограничение настоящего рассмотрения только областью низких частот, близких к статическому варианту, отметим, что при этом допустимо не рассматривать влияние возникающих в сердечнике вихревых токов, которые будут несколько уменьшать величину индуктивности [3]. При выполнении оценочных расчетов этой незначительной дополнительной погрешностью представляется возможным пренебречь [2].

При решении в сфероидальной системе координат соответствующей граничной задачи магнитостатики для скалярного потенциала может быть получена величина магнитного момента Мэ ферромагнитного сердечника, представляемого в виде эллипсоида вращения, намагничиваемого полем обмотки соленоида, в следующем виде:

Мэ = Нс

где (?1(20) - функция Лежандра второго рода; О '(&) - производная от функции Лежандра второго рода; 20 = а/ц - координата поверхности вытянутого эллипсоида; ц = (а2 - Ь2)0,5; а, Ь - оси эллипсоида, эквивалентного рассматриваемому ферромагнитному сердечнику.

Относительное увеличение индуктивности вытянутого соленоида, вызванное появлением в нем ферромагнитного сердечника, может характеризоваться следующим отношением:

Второе слагаемое в формуле (6) характеризует увеличение индуктивности, вызванное наличием ферромагнитного сердечника. При использовании формул (3), (4), (5) оно может быть представлено в виде

Мэ / Мс = (12 + 4А2)-0,5(ц - 1)ц3х

х[цйЫц/а - Й'Ы]-1

Для оценки реальных границ диапазона влияния ферромагнитного сердечника на величину индуктивности соленоида необходимо выполнить анализ формулы (7).

В процессе проведения анализа должен быть рассмотрен сомножитель, стоящий в квадратных скобках:

[цОЫ^/а - 01'Ы]-1.

При необходимости оценить каждое из двух слагаемых, стоящих в квадратных скобках, следует принять во внимание наличие следующих соотношений, справедливых для функций Лежандра второго рода [6]:

Q x) = д ^0,5 x ln x+1 - ij;

Q'( x) = 0,5 xln --2L-.

1 x-1 x2 -1

Для вытянутых ферромагнитных сердечников могут быть использованы конкретные значения, представленные в таблице.

Анализ результатов, приведенных в таблице, показывает, что в условиях, когда длина соленоида значительно превосходит диаметр (более чем в 3 раза), величина сомножителя, стоящего в квадратных скобках, оказывает на результат значительно меньшее влияние, чем величина другого входящего в формулу сомножителя

(ц - 1)?3.

В случаях, когда в удлиненный соленоид вводят ферромагнитный сердечник с достаточно высокой относительной магнитной проницаемостью (ц > 300), величина индуктивности соленоида резко увеличивается и зависит, прежде всего, от параметров сердечника.

В наиболее часто встречающемся на практике диапазоне изменения исходных данных ферромагнитный сердечник увеличивает величину индуктивности от 10 до 100 раз (на один, два порядка), то есть можно достаточно обоснованно считать, что индуктивность удлиненного соленоида в подобных случаях целиком определяется сердечником.

Изменение в зависимости от аргумента численных значений функций, входящих в формулу

Changes in the relationship due to the argument of numerical values of the functions included in Formula 7

Аргумент (а) 0(20) Й'Ы Qi(l0)q!a

1,01 16,7 47,6 16,5

1,02 13,5 22,9 13,2

1,03 11,7 14,8 11,4

1,04 10,4 10,8 9,9

1,05 9,6 8,4 6,7

Библиографический список

References

1. ВедяевА.В., Лисовский Ф.В. Физика магнетизма и магнитные материалы. Терминология. М.: Наука, 1990. [A. Vedyaev, F. Lisovsky. Physics of magnetism and magnetic materials. Terminology, Moscow: Nauka, 1990. (in Russian)].

2. Каплянский АЕ, Лысенко А.П., Полотовский Л.С. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа,1972. [A. Kapfyansky, A. Lysenko, L. Polotovsky. Theoretical fundamentals of electric engineering. Moscow: Vyshaya Shkola, 1972. (in Russian)].

3. Брунов Б.Я., Гольденберг ЛМ., Кляцкин И.Г, Цейт -лин Л.А. Теория электромагнитного поля. М., Л.: Госэнергоиздат, 1962. [B. Brunov, L. Goldenberg, I. Klyatskin, L. Zeitlin. Electromagnetic field theory. Moscow, Leningrad: Gosenergoizdat, 1962. (in Russian)].

4. Калантаров П.Л., Цейтлин Л А. Расч ет индуктив-ностей. Л.: Энергоатомиздат, 1986. [P. Kalantarov, L. Zeitlin. Calculation of inductances. Leningrad: Energoatomizdat, 1986. (in Russian)].

5. Коваленко А.П. Магнитные системы управления космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1975. [A. Kovalenko. Magnetic con-

trol systems for spacecraft. Moscow: Mashinostroyeniye, 1975. (in Russian)].

6. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М., Л.: ФМ, 1963. [N. Lebedev. Special functions and their applications. Moscow, Leningrad: State Publishing House of Physical & Mathematical Literature, 1963. (in Russian)].

7. Цицикян ГН. Электродинамические силы в токове-дущих частях электротехнических комплексов. СПб.: Издательство ФГУП «Крыловский государственный научный центр», 2016. [G. Tsitsikyan. Electrodynamic forces in live parts of electric systems. St. Petersburg: Publishing House of KSRC, 2016. (in Russian)].

Сведения об авторе

Быстров Владимир Александрович, к.т.н., ведущий научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Телефон: 8 (812) 415-47-91. E-mail: 10_otd@ksrc.ru.

About the author

Bystrov, Vladimir A. Cand. of Tech. Sc., Lead Researcher, Krylov State Research Centre. Address: 44 Moskovs-koye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: 8 (812) 415-47-91. E-mail: 10_otd@ksrc.ru.

Поступила / Received: 21.03.17 Принята в печать / Accepted: 10.04.17 © Быстров В. А, 2017