О некоторых свойствах частичных полурешеток

Раздел I. Алгебра и геометрия

УДК.512.53(043) ББК 22.14

Е. С. Арапина-Арапова О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ЧАСТИЧНЫХ ПОЛУРЕШЕТОК

Аннотация. В статье изучены свойства частичных полурешеток. В этих терминах описывается строение категорийных в нуле полугрупп, являющихся 0-объединением полугрупп Брандта. Полугруппа Брандта является наиболее естественным аналогом понятия группы. В терминах частичных полурешеток можно рассматривать и градуированные алгебры. Результаты работы обобщают некоторые известные факты теории частичных группоидов и теории полугрупп.

Ключевые слова: частичные группоиды, полугруппы Брандта, частичные полурешетки.

E. S. Arapina-Arapova ON SOME PROPERTIES OF PARTIAL SEMI-LATTICES

Abstract. The article studied the properties of the partial semi-lattices. In these terms describes the structure of the category semigroups allowing decomposition in association of semigroups of Brandt with the general zero. Brandt's semigroup is the most natural analogue of the notion of group. In terms of the partial semi-lattices can be viewed and graded algebra. The results of the work, generalize some well-known facts of the theory of partial groupoids and the theory of semigroups.

Key words: partial gruppoids, Brandt's semigroups, partial semi-lattices.

Как известно, один из способов изучения той или иной алгебраической системы состоит в разложении ее на подсистемы из некоторого достаточно изученного класса. В теории полугрупп широко применяются разложения в объединение попарно непересекающихся подполугрупп или, иногда, попарно пересекающихся в общем нуле. В этом направлении известны работы А. Клиффорда, В. Манна, М. Петрича, Р. Круазо, Д. Хауи, Л. Н. Шеврина, А. В. Келарева и многих других.

Основным объектом исследования, является класс категорийных полугрупп, допускающих разложения в объединение полугрупп Брандта с общим нулем. Заметим, что всякое утверждение о полугруппах с нулем влечет в качестве очевидного следствия некоторое утверждение о полугруппах без нуля, если предположить, что в рассматриваемой полугруппе ноль является внешним.

Изучение полугрупп, являющихся 0-объединением полугрупп Брандта, представляется актуальным, так как в классе полугрупп с нулем полугруппа Брандта есть наиболее естественный аналог понятия группы. К примеру, Вехлер и Фихтнер при помощи группоидов Брандта и Эресма-на описывают симметрию кристаллов, а нулевое расширение фундаментального группоида любого неориентированного графа также является прямым объединением полугрупп Брандта. Еще пример. Пусть М={М, | /е/} - множество попарно не пересекающихся непустых множеств. Тогда множество всех биекций, область определения и область значения которых принадлежат М (эти области могут совпадать), относительно обычной суперпозиции отображений является частичным группоидом, нулевое расширение которого является полугруппой, являющейся 0-объединением полугрупп Брандта. Например, в качестве М можно взять множество открытых граней (без ребер) многогранника, в частности, какого-нибудь кристалла.

Формулировки полученных результатов становятся намного короче, а доказательства их значительно упрощаются, если вместо исследуемой полугруппы с нулем рассматривать тот частичный группоид, который получается из данной полугруппы удалением нуля.

Основной метод исследования состоит в использовании операции над классами частичных группоидов, которая близка умножению классов полных группоидов, впервые рассмотренному А. И. Мальцевым. В этих терминах можно рассматривать также и понятие градуированной алгебры. На частичных группоидах с некоторыми условиями типа ассоциативности исследуются [6] конгруэнции, смежные классы которых являются группоидами Брандта. На изучаемых частичных группоидах единственной конгруэнцией, удовлетворяющей этому требованию, является эквивалентность Грина . При помощи выявления различных свойств этой эквивалентности и последующего перехода к нулевому расширению рассматриваемых частичных группоидов описывается строение категорийных в нуле полугрупп, являющихся 0-объединением полугрупп Брандта в тер-

минах частичных полурешеток. В настоящей работе рассматриваются свойства частичных полурешеток.

Так как понятие частичного группоида встречается в настоящей работе очень часто, то представляется оправданным вместо "частичный группоид" употреблять термин "группоид". Чтобы избежать при этом терминологической путаницы, обычный группоид (то есть частичный группоид, операция в котором всюду определена) будем называть полным группоидом. Именно так понимается термин "группоид" в теории графов или, скажем, при рассмотрении группоидов Брандта или Эресмана.

Понятие катенарного полугруппоида ввел в геометрических целях В. В. Вагнер [1]. Группоид ($',•) называется идемпотентным (коммутативным, слабо ассоциативным, ассоциативным, катенарньш), если а2=а (аЬ=Ьа; из того, что (аЬ)с Ф 0 Ф а(Ъс) следует (аЪ)с=а(Ъс); (аЬ)с=а(Ьс); из того, что аЬф0фЬс следует (аЬ)с Ф0Ф афс)) для любых С/, Л, с е Л'. Ассоциативный группоид называется связным, если х5у Ф 0 для любых х,уе8.

Полугруппоидом называется ассоциативный группоид. Если произведение и - V не определено в , то пишем и  V = 0.

Частичной полурешеткой назван идемпотентный коммутативный слабо ассоциативный группоид.

Очевидно, группоид (»Учесть полугруппоид тогда и только тогда, когда его нулевое расширение [3] Я =Я и {0} является полугруппой. Поэтому всякое свойство полугруппоидов влечет очевидное следствие для полугрупп (с нулем).

Поскольку идемпотентный ассоциативный полный группоид называется связкой, то идемпотентный слабо ассоциативный группоид естественно назвать частичной связкой. Коммутативную частичную связку назовем частичной полурешеткой. Очевидно, что всякая полурешетка является частичной полурешеткой, но не наоборот. Например, группоид 5", определяемый таблицей (табл. 1) есть частичная полурешетка, но (5";-) не является полурешеткой.

Таблица 1

Пример частичной полурешетки, не являющейся полурешеткой

а Ь с

а а а -

Ь а Ь -

с - - с

Частичная полурешетка является полурешеткой только в случае, когда операция везде определена. Из сказанного следует, что всякое утверждение о частичных полурешетках влечет в качестве очевидного следствия некоторое утверждение об обычных полурешетках.

Лемма 1. Связная ассоциативная катенарная частичная полурешетка является полурешеткой.

Доказательство. Пусть (.V: •) - ассоциативный идемпотентный коммутативный катенарньш связный группоид. Согласно условию, для любых а,Ье£найдется такое се8, что

асФ-0, сЬф0,

откуда, благодаря катенарности и коммутативности,

(са)Ьф0.

В силу ассоциативности,

с(аЬ)ф0,

значит аЬф0. В виду произвола выбора элементов а,ЬеБ заключаем, что (.V:) - полный ассоциативный группоид, а потому является полурешеткой.

Группоид (5"; ) назовем группоидом, отвечающим частично упорядоченному множеству (£;<), если

Чгш£"{а, Ь}, если ш£"{а, Ь} существует, [0, в противном случае,

Отметим, что несвязный ассоциативный идемпотентный коммутативный катенарный группоид, вообще говоря, полурешеткой не является. Таковым является группоид из предыдущего примера.

Рис. 2. Группоид, отвечающий частично упорядоченному множеству

Группоид, отвечающий нестрого частично упорядоченному множеству, в котором любые

различные элементы несравнимы, называется антицепью [2].

Пусть (. I :•) - частичная полурешетка. Подмножество В множества . I назовем частичной подполурешеткой частичной полурешетки . !. если В является частичной полурешеткой относительно ограничения () на множестве В.

Каждый подгруппоид частичной полурешетки является частичной подполурешеткой. Иными словами, класс частичных полурешеток является наследственным.

Обозначим через Ф класс всех частично упорядоченных множеств (Л':<). обладающих свойством: если существуют в т£{а,Ь}, шГ{Ь,с}, то существуют в шДадпДЬ.с}}, \п£{{та£{а,Ь},с}.

Заметим, что далеко не всякое частично упорядоченное множество принадлежит Ф. Таковыми, к примеру, являются частично упорядоченные множества, определяемые диаграммами

Важный класс частичных полурешеток устанавливает следующая

Лемма 2. Группоид, отвечающий произвольному частично упорядоченному множеству (ч.у. множеству класса Ф) является частичной полурешеткой (катенарной частичной полурешеткой).

Если (.V:•) - обычная полурешетка, то система (Л':<). где <={(я,й)е5'х>$'| аЪ=а}, есть частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует точная нижняя грань.

Для частичных же полурешеток это утверждение не имеет места: если (.V:-) - частичная полурешетка, то бинарное отношение (<), указанное выше, вообще говоря, даже не является частичным порядком. Такова, к примеру, частичная полурешетка

. а Ь с

а а а -

Ь а Ь Ь

с - Ь с

Однако, если частичная полурешетка (.V:-) катенарна, то, можно доказать, что бинарное отношение <={а,Ь)е¥х¥ \ а-Ь=а} является частичным порядком.

С каждым частично упорядоченным множеством можно естественным образом связать и другую, нежели в формулировке леммы 2, частичную полурешетку.

Например, пусть (Л':<) - частично упорядоченное множество. Тогда группоид (5"; °), частичное действие, в котором определяется правилом:

Чгшт {а,Ь}, если а и Ь сравнимы, [ 0, если а и Ь не сравнимы,

является частичной полурешеткой.

Группоид (А;-) называется ограничением (внутренним ограничение) группоида (В;*), если ()с(*) иАсВ (А=В).

Нетрудно видеть, что группоид (5"; °) из предыдущего примера является внутренним ограничением группоида, отвечающего частично упорядоченному множеству (Л':<).

Рассмотрим еще один важный пример частичной полурешетки. Пусть (Л':-) - произвольная полурешетка. В таблице Кэли этой полурешетки зачеркнем некоторое, возможно пустое, количество клеток так, что

1) диагональные клетки не зачеркиваются;

2) если зачеркивается клетка (а,Ь), то зачеркивается и клетка (Ь,а).

Полученная таким образом таблица определяет некоторый группоид (5; °), являющийся частичной полурешеткой.

Однако не любая частичная полурешетка есть внутреннее ограничение обычной полурешетки. Например, частичную полурешетку, отвечающую частично упорядоченному множеству

Рис. 4. Частичная полурешетка

Ь

а

с

е

нельзя доопределить до полурешетки, поскольку элементы с и ё не сравнимы.

Лемма 3. Всякая катенарная частичная полурешетка является ограничением частичной полурешетки, отвечающей некоторому частично упорядоченному множеству класса Ф.

Доказательство. Пусть (.V:-) - катенарная частичная полурешетка, тогда, есть (S:<) - ч.у. множество. Докажем, что (Л':<)еФ. Пусть тГ{д./> |. \ni\b.c\ существуют. Обозначим

т£{а,Ь}=8, ш¡{Ь,с}=е

откуда, в силу равенств 8-а=8=8Ь, е-Ь=5=е-с и коммутативности 5", имеем Ь-в£0, поэтому, благодаря катенарности, (8-Ь)-бф0 и при этом (8-Ъ)-е=8-е: Докажем, что

8-5=т£{а,1п£{Ь,с}}.

Имеем а-8^0, 8-5^0, тогда (а-8)-е£0, а-(8е)Ф0, ибо группоид катенарен, и потому, в виду слабой ассоциативности,

Согласно коммутативности, а-8=8а=8, значит из равенства (2) следует (а-8)-з=8-е и, снова применяя коммутативность, имеем: (8е)-а=8-е, то есть

8-е<а.

Аналогично, 8-е<Ь, 8-е<с. Следовательно, 8-е - нижняя граница множества {Ь,с}, но т[{Ь,с\=е. поэтому

$£<£.

Из (3), (4) следует, что элемент <р=8-е есть нижняя граница множества {а,е}. Осталось показать, что <р=т£ {а,е}.

Пусть >//<а. у/<е. Докажем у/<(р. Так как &</). то, ввиду транзитивности, ///</>. Таким образом, ц/—нижняя граница {а,Ь}, но д=\г£{а,Ь}, поэтому 1//<д. Поскольку !//</:. 1//<д. то

ц/-б= щ у/-д= у/.

Так как ц/-8ф0, &еФ0, то, благодаря катенарности группоида, ц/-(3-£)Ф0, (у/-д)-£Ф0 и, применяя слабую ассоциативность, получим

1//-(5-£)=(Ц/-3)-£ Учитывая (5), из последнего равенства заключаем, что

ц/-{д-е)=щ

то есть у/-(р=у/ и, значит (//<<р. Отсюда следует <р=\\\({алп({Ь.с\ |. Аналогично, (р=\\\[{и\[{а.Ь\.с\. Итак, тГ{длпГ{/>х| тГ{тГ{д./>|х| существуют и, следовательно, (Л':<)еФ.

Согласно лемме 2, группоид, отвечающий частично упорядоченному множеству класса Ф является катенарной частичной полурешеткой. Пусть (5"; °) - группоид, отвечающий (Л':<). Покажем, что (-)с(о).

Пусть а,ЬеБ, а-Ьф0, то есть а-Ъ=с. Поскольку группоид (.V:-) идемпотентен, то а-аФ0, откуда, благодаря, катенарности, имеем а-(а-Ь)Ф0, (а-а)-Ьф0, а ввиду слабой ассоциативности, а-(а-Ь)=(а-а)-Ь=а-Ь=с, откуда а-с=с, значит с<а. Аналогично, с<Ъ. Таким образом, с является нижней границей {а,Ь}. Покажем, что с=и\({а.Ь |. Пусть с1<а, й<Ъ, тогда с1-а=й=с1-Ь. Ввиду катенарности и слабой ассоциативности, й-с=й-(а-Ъ)=(й-а)-Ъ=й-Ъ=й, поэтому с1<с, что влечет с=т£{а,Ь}=а° Ь. Итак, (-)с(о), то есть катенарная частичная полурешетка (.V:-) есть ограничение частичной полурешетки (5"; о), отвечающей частично упорядоченному множеству (Л':<) класса Ф, что и требовалось.

Лемма 4. Если (£;) - катенарная частичная полурешетка, а,Ье8, аЬф0, < - бинарное отношение, определяемое формулой <={а,Ь)&БхБ| а-Ь=а}, то

аЬ<а, аЪ<Ъ.

Доказательство. Поскольку аЬф0, то, благодаря коммутативности, аЬ=ЬаФ0, а ввиду катенарности и слабой ассоциативности группоида 5", имеем (аЬ)аФ0, а(Ьа)Ф0 и

(аЬ)а=а(Ьа)=а(аЬ).

Так как ааФ0, то

а(аЬ)=(аа)Ь=аЬ,

откуда следует (аЪ)а=аЪ, таким образом, аЪ<а. В виду коммутативности, отсюда получаем аЪ<Ъ.

Как показывает следующая лемма, интересующее нас условие связности можно сформулировать в терминах частичного порядка <.

Лемма 5. Для произвольной катенарной частичной полурешетки S следующие условия равносильны:

1. Б - связный группоид.

2. (Уа,ЬеБ)(ЗхеБ)(х<а)&(х<Ь).

Доказательство. 1=>2. По определению связности, для любых д./>еЛ' найдется такой элемент се5", что асФ0, сЪф0, откуда, согласно лемме 3, ас=т£{а,с}, сЬ=и\({с.Ь | и существуют

\п£{\п£{а,с},Ь}, М{а,шТ{с,Ь}}.

Обозначимх=тГ{тГ{дх|.Ь|. тогдах<а их<Ъ.

2=>1. Пусть - катенарная частичная полурешетка и для любых д./>еЛ' существует такой элемент хеБ, что

х<а, х<Ь.

Значит ха=х. хЬ=х. откуда хаФ0, хЬф0. В виду коммутативности, ахФ0.

Из леммы 5 следует, что любые два элемента катенарной связной частичной полурешетки имеют нижнюю границу (в смысле отношения порядка, определяемого формулой (1)). Отметим, что существуют такие катенарные связные частичные полурешетки, у которых не для любых двух элементов существует точная нижняя грань.

Пусть, например, где еье2гЖ Определим частичное действие (° ) на Л", полагая:

п о т=гтп{т,п}, ei ° п=п=п ° е,, ei ° е¡=еи ° е2=0=е2 °

Рис. 5. Пример катерной связной частичной полурешетки

Легко проверить, что (5; °) катенарная связная частичная полурешетка, но шТ{еье2} не существует.

В заключение отметим еще один важный пример частичной полурешетки.

Непустое подмножество Т группоида называется [4] правым идеалом группоида 5", если Т-БаТ. Аналогично определяется левый идеал. Множество 7. являющееся одновременно и левым и правым идеалом группоида 5, называется двусторонним идеалом. Вместо термина «двусторонний идеал» далее используется термин «идеал».

Обозначим через /(5) множество всех идеалов группоида 5". Если - полный группоид, то (í(S).r^). очевидно, является полурешеткой. Если же - произвольный группоид, то (¡(К).г\) - частичная полурешетка. Кроме того, группоид (/(Л').п) ассоциативен. Действительно, если /| ./2е/(Л'). /,п/2*0. то /| п/2 является идеалом в 5", а потому /|П/2е/(Л'). Идемпотентность, коммутативность и ассоциативность группоида /(5) очевидны.

Заметим, что группоид (/(Л').п). будучи ассоциативным, полным группоидом (то есть полурешеткой), вообще говоря, не является. Например, в любой антицепи каждое одноэлементное подмножество является идеалом, но их пересечение пусто, а потому идеалом не является.

Если - частичная полурешетка, деЛ". то, согласно определению частичной полурешетки, множество

[а]={хг(х2(х3...(х„а)...))|хь...,хие5', пеЩ является наименьшим идеалом в 5, содержащим элемент а.

Называется [а] главным идеалом частичной полурешетки S, порожденным элементом а. Имеет место следующий аналог известного свойства обычных полурешеток.

Теорема. Для любого элемента а катенарной частичной полурешетки S

[а]={хе5' | х<а}.

Доказательство. Согласно лемме 4, для любых условие иуф0 влечет и\'<и. Поэтому для произвольного элемента х=(х1 (х2.. ,(х„а)...)), имеем

х<х2(х3    (Хп0)    • • • ^ хяа<а,

откуда, ввиду транзитивности отношения (<),заключаем х<а. Таким образом, \а\<^{х&8\х<а}. Пусть >>е{хе5'| х<а}, тогда >'е\ и у<а. поэтому 1-ше\а\. Значит, [а]={хе5' | х<а}, что и требовалось.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Вагнер, В. В. Диаграммируемые полугруппоиды и обобщенные группоиды // Известия вузов. Математика.

- 1967. - № 10. - С. 11-23.

2. Гретцер, Г. Общая теория решеток / Г. Гретцер. - М.: Мир, 1982.

3. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп / А. Клиффорд, Г. Престон. - М.: Мир, 1972. - Т. 1.

4. Ляпин, Е. С. Частичные алгебраические действия / Е. С. Ляпин, А. Е. Евсеев. - СПб., 1991.

5. Кожевников, О. Б. Об одной операции на классах полугруппоидов // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные науки. - 2009. - № 1.

6. АрапинаАрапова, Е. С. О катерных инверсных полугруппоидах // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные науки. - 2010. - № 1. - С. 3-5.

УДК 514.75/.77 ББК 22.151

Е. А. Коломыцева

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ARG-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ВНЕШНЕЙ СВЯЗИ

Аннотация. Автор доказывает существование счетного множества коэффициентов рекуррентности ARG -деформаций поверхностей положительной внешней кривизны с краем в рима-новом пространстве при условии, что вдоль края поверхность подчинена обобщенной втулочной связи, для которой существуют нетривиальные ARG -деформации поверхностей.

Ключевые слова: риманово пространство, поверхность, внешняя кривизна, обобщенная втулочная связь, ARG -деформация.

E. A. Kolomytseva

INFINITESIMAL ARG -DEFORMATIONS OF THE SURFACES WITH THE EXTERIOR RELATION

Abstract. Author proved the existence of the denumerable set of the coefficients of the recurrent of ARG -deformations of the surfaces of the positive exterior curvature with boundary in a Riemannian space provided that the surface is subjected to the generalized hub relation along boundary for which the nontrivial ARG -deformations of the surface exist.

Key words: Riemannian space, surface, exterior curvature, generalized hub relation, ARG -deformation.

§ 1. Предварительные сведения и формулировка результата )3

Пусть R - трёхмерное риманово пространство с координатами (у" ) и метрикой

'apdyadyp, где aaf}

ds2 = aaBdyadyp, где а в e С4,у (Q), 0 < v < 1.

Рассмотрим поверхность F^ в R^ , заданную уравнениями

уа =уа(х\х2), (x\x2)gD,

где у" - функции класса С '"(D), 0<к<1, D - некоторая замкнутая область евклидовой

плоскости Е^. Пусть, далее, граница 3D области D принадлежит классу С2'К, 0 < V < 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности F2 в R3 .

Поверхность F2 является (т +1) -связной и имеет положительную внешнюю кривизну

К > к0 > 0, к0 = const.

Z72

Подвергнем поверхность г бесконечно малой деформации

F2 : уае (х\х2) = Уа (х\х2) + £Za (х\х2), (x\x2)eD

где 2 - векторное поле смещения точек поверхности при деформации, £ - малый параметр,

ее(-е0,е0), £0>0.