О некорректной задачи Коши для нелинейной системы с запаздыванием

2. Дильман В.Л., Остсемин А.А. Напряженное состояние и статическая прочность пластичной прослойки при плоской деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2005. № 4. С. 38-48.

3. Дильман В.Л. О напряженно-деформированном состоянии при растяжении пластического слоя с двумя осями симметрии // Изв. РАН. MTT. 2001. № 6. С. 115-124.

4. Дильман В.Л., Носачева А.И. Математическое моделирование критических состояний пластического слоя // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2502-2504.

5. Дильман В.Л. Напряженное состояние и прочность неоднородной пластической полосы с дефектом в более прочной части // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 89-102.

Поступила в редакцию 25 мая 2015 г.

Dilman V.L., Trunova D.A. CLASSIFICATION OF CRITICAL STATES OF HETEROGENEOUS PLASTIC LAYER BASED ON THE STUDY OF A FUNCTIONAL EQUATION

The boundary value problem for a system of nonlinear partial differential equations modeling the stress state of the heterogeneous plastic layer is studied. The layer is under a tensile load in a plane strain conditions. Assuming the separation of variables for the tangential stress, the problem is reduced to a system of nonlinear ordinary differential equations. The reduction is based on the obtained in the research complete classification of solutions to some purely functional equation.

Key words: heterogeneous plastic layer; stress state; the hypothesis of separation of variables; the system of nonlinear partial differential equations; functional equation.

Дильман Валерий Лейзерович, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладной математики, e-mail: dilman49@mail.ru

Dilman Valery Lazerovich, South-Ural State University, Chelyabinsk, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, the Head of the Applied Mathematics Department, e-mail: dilman49@mail.ru

Трунова Дарья Анатольевна, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, магистрант кафедры прикладной математики, e-mail: prima@prima.susu.ru

Trunova Daria Anatolevna, South-Ural State University, Chelyabinsk, the Russian Federation, Master's degree Student of the Applied Mathematics Department, e-mail: prima@prima.susu.ru

УДК 517.929

О НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© Ю.Ф. Долгий, П.Г. Сурков

Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения с запаздыванием; некорректные задачи.

Для неавтономной нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием рассматривается некорректная задача Коши на отрицательной полуоси. Для ее решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова со стабилизирующим функционалом, применяемым в случае отсутствия априорной информации о гладкости решений системы с запаздыванием. Получена сингулярная краевая задача, одна из компонент решения которой определяет регуляризованное решение системы с запаздыванием на конечном отрезке отрицательной полуоси.

Рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений с запаздыванием

= /- г)), Í е м- = 0],

где х: М- ^ Мп , г > 0, функция /(, ): М- х Б х Б ^ Мп локально суммируема по первому аргументу, непрерывно дифференцируема по второму и третьему аргументам, Б — открытая область пространства Мп .

Требуется найти решение задачи Коши для начального момента ¿о = 0 и заданной начальной функции <(£) , £ е [-г, 0] , для системы (1) на отрицательной полуоси. При решении аналогичной задачи на положительной полуоси получены условия ее корректной разрешимости [1, 2].

Задача нахождения решений системы (1) на отрицательной полуоси является некорректной. В линейной постановке она решалась в работах [3-6] и интерпретировалась как обратная задача к задаче построения решений в сторону возрастания времени. С помощью пошаговой процедуры исходная задача заменялась серией задач для операторных уравнений первого рода. Задача нахождения их регуляризованных решений с помощью метода А.Н. Тихонова [7] сводилась к нахождению решений сингулярных краевых задач для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Указанные подходы к решению некорректной задачи на отрицательной полуоси в настоящей статье реализуются для нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. В настоящее время нелинейные некорректные задачи Коши изучались только для специальных систем с запаздыванием [8, 9].

В работе предлагается метод нахождения решения х(-,<) задачи Коши на конечном отрезке [-Кг, 0] отрицательной полуоси для начальной функции < е Н. Здесь К ^ 2 — натуральное число, Н = ([-г, 0), Мга) х Мп — сепарабельное гильбертово постранство со скалярным произведением (<,ф) = фТ(0)<(0) + /°г фТ (з)<(5) ^ и нормой ||<|| = д/(<, <) .

Введем обозначения Хк(§) = х(кг + §, <), -К ^ к ^ 0 , х0(§) = <(§), § е [-г, 0] . Рассмотрим задачу Коши на отрезке [-г, 0] для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

= /к+1

/к(, , ) = /(кг + , , ), -К < к < -1.

Предполагаем выполнеными для системы (3) условия продолжимости решений задачи Ко-ши на отрезок [-г, 0] [10], а также условия непрерывной дифференцируемости решений в смысле Гато по Хк, -К ^ к ^ -1. Будем называть их условиями корректности прямой пошаговой процедуры.

Прямую пошаговую процедуру определим формулами

Хк+1

Нелинейные операторы Ик+1 : Н ^ Н, -К ^ к ^ -1, определены неявно. При фиксированном к ( -К ^ к ^ -1) значения оператора "Ок+1 являются решениями задачи Коши на отрезке [-г, 0] для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2).

Обратную пошаговую процедуру определим с помощью регуляризованных решений Хка, -К ^ к ^ -1, а > 0, некорректных задач для уравнений первого рода (3). Используя ре-гуляризирующие операторы некорректных задач, опишем обратную пошаговую процедуру

Хка(§)= Як+1(Х(к+1}а(-),а)(§), -К < к < -1, Хоа (§) = <(§), § е [-г, 0], < е Н.

Для нахождения регуляризующих операторов используем метод регуляризации А.Н. Тихонова [7]. Выбираем стабилизирующие функционалы вида

П [х

где хрк(), —К ^ к ^ —1, — пробные решения [11] для уравнений (3). Вид стабилизаторов Пк, —К ^ к ^ —1, свидетельствует об отсутствии априорных сведений о гладкости решениий уравнений первого рода (3). В отличии от стабилизирующих функционалов, используемых в работе [4], эти функционалы не порождают компактные множества в Н. Стабилизаторы вида (4) без учета пробных решений использовались при решении некорректной задачи Коши для линейной автономной системы с запаздыванием в [6].

Для фиксированного значения к (—К ^ к ^ —1) и параметра регуляризации а > 0 значения Хка регуляризующего оператора И,к+1 (х(к+1)«(-), а) минимизируют сглаживающий функционал

2

ма [х(.)]= ик+1(х(.)) — хк+1(-) + аПк [х(0].

При решении экстремальной задачи используются методы вариационного исчисления [12]. Применение пробных решений для уравнений (3) позволяет свести задачи вариационного исчисления к нахождению локальных минимумов для сглаживающих функционалов. При выборе пробных решений можно использовать двусторонние решения для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием [13].

Теорема. Пусть функция f (, ): [—Кг, 0] х Б х Б ^ Мга локально суммируема по первому аргументу, непрерывно дифференцируема по второму и третьему аргументам и выполнены условия корректности прямой пошаговой процедуры. Тогда значение хка регуляризующего оператора является компонентой решения гибридной системы алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений

а(х — хрк(«» + (хдх-1)а("'ха )Т^к+1 = 0,

#к+1 _ дЛ+1(хк+1(^),

d$ dx,

k+i

x)

—^fc+1 - Xfc+1 + Xfc+i(tf),

^ = /k+i

с краевыми условиями

^fc+i(-r) + a(x(0) - Xpfc(0)) =0, Xfc+i(—r) = x(0)-

Здесь —K ^ k ^ —1, xoa($) = $ € [—r, 0], у € H, a — малый положительный

параметр.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

3. Долгий Ю.Ф., Путилова Е.Н. Продолжение назад решений линейного дифференциального уравнения с запаздыванием как некорректная задача // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 8. C. 1317-1323.

4. Долгий Ю.Ф., Сурков П.Г. Асимптотика регуляризованных решений линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений с опережением // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 2. С. 467-485.

5. Dolgii Yu.F., Surkov P.O. Asymptotics of regularized solutions of an ill-posed Cauchy problem for an autonomous linear system of differential equations with commensurable delays // Proc. Steklov Inst. Math. 2014. V. 287. Suppl. 1. P. 55-67.

6. Сурков П.Г. Регуляризация некорректной задачи Коши для автономной системы с запаздыванием при использовании одного класса стабилизаторов // Тр. ин-та математики и механики. 2014. Т. 20. № 3. С. 234-245.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

8. Долгий Ю.Ф., Сурков П.Г. Некорректная задача восстановления численности популяции в математической модели Хатчинсона // Тр. ин-та математики и механики. 2011. Т. 17. № 1. С. 70-84.

9. Surkov P.O. Asymptotic behavior of regularized solutions of one model of economic growth with delay // Computational mathematics and modeling. 2014. V. 25. № 4. P. 484-499.

10. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

11. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Уральская издательская фирма «Наука», 1993.

12. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.

13. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ № 13-01-00094 .

Поступила в редакцию 24 апреля 2015 г.

Dolgii Yu.F., Surkov P.G. ON THE ILL-POSED CAUCHY PROBLEM FOR A NONLINEAR RETARDED SYSTEM

The ill-posed Cauchy problem on the negative half-line is considered for an nonlinear non-autonomous system of retarded differential equations. The Tikhonov's regularization method is used for solving it. We choose a special stabilizing functional which is used in the absence of a priori information about smoothness of solutions of the retarded system. We obtain a singular boundary value problem, and the solution of which could be defined as regularized solution of the retarded system on the finite interval of the negative half-plain.

Key words: nonlinear differential equations with delay; ill-posed problem.

Долгий Юрий Филиппович, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики и математического моделирования; Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, ведущий научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений, e-mail: jury.dolgy@urfu.ru

Dolgii Yurii Filippovich, Ural Federal University, Ekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mechanics and Mathematical Simulation Department, e-mail: j ury. dolgy@urfu. ru

Сурков Платон Геннадьевич, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры моделирования управляемых систем; Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений, e-mail: platon.surkov@gmail.com

Surkov Platon Gennadievich, Ural Federal University, Ekaterinburg, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Control Systems Simulation Department, e-mail: platon.surkov@gmail.com