Инкрементальные модели расчета пластинок, взаимодействующих с агрессивными средами

ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ПЛАСТИНОК, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С АГРЕССИВНЫМИ СРЕДАМИ

В. В. Петров, О. В. Пенина, П. В. Селяев

В работе рассматриваются инкрементальные математические модели упругопластического деформирования пластин средней толщины, работающие на изгиб в агрессивной среде, позволяющие исследовать изменения напряженно-деформированного состояния (НДС) пластины на основе деформационной теории

А. А. Ильюшина. Предлагается оценивать степень воздействия агрессивных сред на элементы конструкций с помощью деградационных функций секущего и касательного модулей, определяемых на основании экспериментальных данных.

Влияние агрессивной (рабочей) среды приводит к значительному изменению внутренней структуры и физико-механических свойств материала конструктивных элементов, работающих в этой среде [2; 6]. Экспериментальному исследованию зависимости скорости коррозии от напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкции посвящено большое количество исследований. Многие авторы указывают на значительную сложность физико-механических процессов и невозможность создания универсальной математической модели.

При совместном действии эксплуатационной нагрузки и агрессивной среды появляется синергетический эффект, в результате которого НДС конструкции изменяется, а время от начала эксплуатации до наступления опасного состояния значительно уменьшается [1]. Проведенный анализ опубликованных работ, а также результатов обследования конструкций в различных условиях эксплуатации показывает, что при расчете необходимо учитывать воздействие агрессивных сред.

До настоящего времени общего метода расчета прочности и долговечности строительных конструкций с учетом воздействия внешней среды пока не существует. Известные нам методы основаны на различных экспериментальных данных, а выводы часто противоречат. В работе [5] показана методика создания частных моделей изгиба пластинок с нелинейно-упругими свойствами материала, учитывающая влияние величины концентрации агрессивной среды в материале. Опасным состоянием конструктивного элемента счита-

ется момент достижения напряжениями в любой точке неповрежденной и поврежденной агрессивной средой частей сечения некоторого опасного уровня. Диапазон применимости модели — до момента наступления опасного состояния.

Для описания развивающейся неоднородности прочностных и деформационных свойств используется феноменологический подход. Феноменологические модели используют внешние признаки изменения (ухудшения) кого-либо свойства (прочности, жесткости) в результате деградации материала с течением времени или с ростом концентрации агрессивной среды в точке материала.

агресшвнаясреда

Рисунок 1 Расчетная схема

На рис. 1 показана схема работы пластинки в агрессивной среде в момент времени Ї = /.. Среда действует на пластинку с двух сторон. Здесь В0 — концентрация ра-

бочей среды на поверхности материала, ё (Г) — глубина проникновения агрессивной среды в толщу материала. В дальнейшем принимаем, что ё (Г) = а4 Г, где а — экспериментальный коэффициент, зависящий от пары «материал—среда», д — интенсивность поперечной нагрузки, В (2) — концентрация агрессивной среды в произвольной точке материала, г — расстояние от срединной плоскости до текущей ординаты. Граница, где В (Н/2 - 2) = 0, называется фронтом воздействия агрессивной среды.

Интегральной характеристикой свойств материала следует считать кривую деформирования, по характеру изменения которой можно судить о пределе прочности, деформационных свойствах материала, способности к разупрочнению и характере взаимодействия с агрессивной средой. Для построения модели необходимо иметь экспериментальные кривые деформирования при отсутствии агрессивной внешней среды, что позволит установить зависимость между интенсивностью напряжений а. и интенсивностью деформаций е.. Результатом второй группы экспериментов является построение диаграмм деформирования для образцов, различное время взаимодействующих с агрессивной средой при несходных уровнях предварительного нагружения [5].

П. В. Селяевым [8] разработана методика экспериментальных исследований, позволяющая построить кривые деформирования для различных точек поперечного сечения образцов, которые взаимодействовали с агрессивной средой. Концентрация агрессивной среды, диффундирующей в материал образца в различных точках по направлению от поверхности образца к его центру, была различной, как и время взаимодействия образца со средой.

При проведении экспериментальных исследований варьировались состав полимербетона, концентрация и вид агрессивной среды. Результаты испытаний, проведенных по методике П. В. Селяева, представлены на рис. 2 в виде кривых деформирования материала а - е , а на рис. 3 — в виде изменений секущего и касательного модулей в зависимости от концентрации агрессивной среды в точке материала.

Из графиков видно, что наблюдаются резкое уменьшение секущего и касательного модулей при малых концентрациях всех рас-

ТО))

Рисунок 3 Результаты испытаний, проведенных по методике П. В. Селяева

смотренных агрессивных сред и практически линейная зависимость при повышенных концентрациях этих сред.

За основу берем деформационную теорию пластичности для несжимаемого материала, в соответствии с которой имеем следующее физическое уравнение:

где йа — девиатор напряжений, й£ — деви-атор деформаций, Б’’с — секущий модуль, Б* = а. / е,, а. — интенсивность напряжений,

С I Г I Г ’

е — интенсивность деформаций.

Для того чтобы получить инкрементальные физические уравнения, необходимо построить дифференциал Гато применительно к уравнению (1), который позволяет получить следующие физические соотношения в инкрементальной форме [5]:

До,

Дя, =|£І Де,

2

1 .

+—Дє 2

ь)

-Ь)

дВ дВ '

ДВ;

АВ;

АД,

” 3 * 3 дВ

где Ас, Ас , Ат — нормальные и касательные

х^ у^ ху і

напряжения, Ае , Ае , Ау — линейные и угло-

х у ху

вые деформации, Б’’к = йа. / йе. — касательный модуль, АВ — приращение концентрации агрессивной среды.

Запишем дифференциальное уравнение равновесия пластинки Софи Жермен в инкрементальной форме:

82АМх

дх2

+ 2-

. оШху а2ДМ„

дхду ду2

=-д?,

где ДМ, ДМу, ДМу — приращения изгибающих и крутящего моментов, Дд — приращение поперечной нагрузки.

Для приращений моментов справедливы формулы:

Л/2 Ь/2

АМХ - | Д<5хгсЬ\ АМу = | Ааугйг;

Е

В

где к — толщина пластинки.

Считая справедливой гипотезу Кирхгофа, запишем деформации и приращения деформаций в срединной плоскости пластинки через прогиб и приращения прогиба по формулам:

е2ж

2 дх2 ’

82Ж * ду2 ;

= —2г

. д2 АЖ . 32АЖ . ,

Аег=-г г—: Деи=-г г—: Ауп=-2г ,

’ дх ' ду2 дхду

где W — суммарный прогиб, ДW — приращение прогиба.

В соответствии с [8] в зоне деградации свойств материала концентрация среды изменяется от значения В0 на поверхности материала до нуля на границе фронта деградации. В зоне повреждения изменение прочностных свойств материала происходит от начального значения этого модуля на границе фронта деградации до наименьшего (на поверхности образца). Вид этой кривой определяется из решения уравнения массопереноса. Ввиду малой толщины поврежденного слоя и в запас прочности полагаем, что по толщине поврежденного слоя концентрация изменяется по закону треугольника. Из рис. 1 имеем:

В{.

»(?)=-

ев В0(к- 2г)г.,5 ді 4а

-ХВ{7)-

=И~в1 -те?,

где Б0 — начальный модуль упругости материала, т — коэффициент, получаемый при обработке экспериментальных данных.

Выражение для секущего и касательного модулей примут вид:

тег, Ек = Е -Зтгг.

д2Ж.

а2 аж

При использовании технической теории изгиба пластинок выражение для интенсивности деформаций имеет вид:

е,= ^Т^2+Е'+Ех8"+^'

Подставляя выражения (5) в (13), получим:

2 Г Г ^ в, = ,/п1а«Ч +[^:

Введем условное обозначение подкоренного выражения в (14):

Г<д2№ '

>8x2 _

Тогда выражения для секущего и касательного модулей можно записать в виде:

Е° =Е°-^у-1ж

Г д2ж) дЧГдЧГ (а2ж"| ^ ф2 J йх2 ё)у2 J

(5):

Перепишем (4) с учетом выражений (2) и

Скорость роста концентрации рабочей среды в произвольной точке материала определяется по формуле:

1 82АиЛ*г

2 ау2 Я;

Гз’д» 102ДмЛ‘р„. , 4 Л

21^11^ *-3{

А( ЪгЬж

"з

4

2, 4 (а2ж і д2іг) г дЕе . _ 2,

а!г— —г-н-----------у I —-АВг <Ь\

'-иг А&2 2 ду2и128В ’

аУ іа2гУг2.

^2+2&2Д2

- з&фі/ ъьву^ав

Учитывая деградацию свойств материала во времени, выражения секущего и касательного модулей принимаем в виде:

г; = £“ ^

В результате обработки экспериментальных исследований П. В. Селяев предложил записать функцию деградации в виде [8]:

^

где А — экспериментальный коэффициент, характеризующий степень деградации конструкционного материала.

На основании выражения (6) можно записать:

-Щ . А

Приращение концентрации агрессивной среды можно вычислить по формуле:

ДД =—Д*.

ді

С учетом (10) отдельно рассмотрим интегралы, входящие в (17). После всех необходимых преобразований возможна следующая запись переменных интегральных характеристик:

и £ І ПИ ПИ Л

ІЕ'„г2& = еьЦ Е" | е“(,>  г2* - 4т[ж(*, у)] | е“(,> • г4аЬ ;

1^ = а

[А/2 А/2

А |е"(,>2г&-2 |е“(,),г3а!г

-*/2 -А/2 ,

Ґ А/2 А/2 Л

~ — \ж(х,уц А |е“(|>2*<гг-2

_ ^ \ -Л/2 -А/2 /

Примем зависимость с.- е. в точке материала в виде:

Введем дополнительные условные обозначения для коэффициентов:

е‘

-А/2

А/2

А/2

А/2

с(?,г)= | е“(,> сі({,г)= |е“^-г5(&.

Переменные числовые коэффициенты (20) зависят от времени / и ординаты г, что позволяет описать условную жесткость в различные моменты времени по всей толщине материала.

Тогда интегральные характеристики переменных жесткостей обозначим:

ыг

К = | Е'Угіг = е‘(,)(Е0а(г)- 4т[ж(х, у)]- с(/));

-Л/2

,ав

4а

х{£°[Аа(,)-2Ь(,)У 4” [ж(^)][Ас(<)-мЦ = - Г«Д, -

С учетом (21) перепишем выражение (17):

О

ДМ.

6 1 & Ам> ] * 4і

дх2 +2 ф2 J ‘ + з!

дх 2 J 4а

4Га^+іа^^г1,!дг.е1(0 3^ф>2 2 йх ^ 4а ‘

Для решения задачи используем метод последовательных нагружений (МПН) [3], в соответствии с которым разбиваем процесс нагружения пластинки на ряд этапов (шагов). На каждом шаге задаем малое приращение нагрузки или приращения времени и решаем линейную задачу при известных накопленных за предыдущие шаги параметрах НДС пластины. Полное решение задачи по всем параметрам НДС пластин для заданного уровня нагрузки / концентрации среды получается как сумма решений на отдельных этапах нагружения.

Рассмотрим задачу изгиба пластинки, взаимодействующей с агрессивной средой, при использовании обобщенной кинематической модели С. П. Тимошенко (ОТ). Для этой модели считаем, что слои пластинки, параллельные срединной плоскости, не давят друг на друга, а прогиб пластинки не зависит от координаты г. Кроме того, нормальный элемент не меняет длины, но искривляется и поворачивается относительно срединной плоскости пластины.

При использовании модели ОТ напряженно-деформированное состояние пластинок за-

_2д^Ш^2д^Щг^еЬЧ 3 дхду 3 д)еду 4а

После всех преобразований уравнение равновесия (3) пластинки в агрессивной среде можно записать в виде:

висит от трех функций: прогиба пластинки

(23) ^ (х, у) и двух углов поворота нормали на уровне срединной плоскости Щх (х, у), щу (х, у).

где Ддф — «фиктивная» нагрузка, отражаю- В этом случае удобно применять вывод соот-

щая влияние агрессивной среды. ветствующих разрешающих уравнений задачи

и граничных условий с помощью принципа Га-

(24) мильтона — Остр°градског°.

Численная реализация уравнения (24) производится в два этапа. На первом производится пошаговое нагружение пластинки до заданного уровня нагрузки. При этом последовательно решаем уравнения вида:

д2 [(д2Ам? 1 52ДмЛ Г.1 д2 (д2Ли» д2 [(д2Амг 1 <32ДиЛ Т.1 3. . .

На втором этапе по деформированной схеме производим расчет от достигнутого уровня нагружения при последовательном возрастании времени воздействия агрессивной среды на конструкционный материал. Вследствие этого прогиб пластинки растет, меняется ее НДС в соответствии с решением уравнения:

Для применения этого принципа необходимо иметь выражения полной энергии деформирования пластинки и работы внешних сил. Чтобы получить выражение полной энергии изгиба пластинки, необходимы выражения для линейных и сдвиговых деформаций, которые в модели ОТ имеют вид:

_ Эу, 42? (ду, а2^\ _

* дх ЗЛ2^ дх дх1 / у ду

4г3 ( д\гу д2}У ду ду2

ЗА2

4г2

дух

ду

1-

4г2

дчО 4г3Г^г | | 2^-']

дх ) ЗА2

ду дх дхду)'

Все математические выражения запишем в полных значениях напряжений и деформаций. Это позволяет получить разрешающие урав-

нения задачи и граничные условия в полных функциях, т. е. в наиболее информативном виде, а затем использовать метод последовательных нагружений (МПН) для инкрементального подхода к решению рассматриваемой задачи.

При использовании гипотез теории малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина физические соотношения для несжимаемого тела (при V = 0,5) с учетом деградации свойств материала Б (/) принимают вид [9]:

°*=Нв1+Ь} ^=зЧЕу+Ы

т =-Е'у , т =-Е'у , т = -Е'у ,

лу ^ с/^ с1 уг> хх ^ с! хх '

где а, а, т , т , т — нормальные и касатель-

х7 у7 хуу хгу уг 1

ные напряжения.

В соответствии с принципом Гамильтона — Остроградского записываем для статической задачи уравнение:

V

С учетом пределов интегрирования 0 < х < а, 0 < у < Ь, -к / 2 < х < к / 2 имеем:

А/2 а Ь

8П = I№*

-А/2 О О

Варьируя в (30) функцию щх, входящую в ех, Уху, Ух, и применяя интегрирование по частям, находим:

№1І4_£)*Ч:"ЇІМ,"їЬ

-А/2 0 А/2 а Ъ

'х<Ьсдус1гЛ \dxdydz +

ЗА

Варьируя в уравнении (30) функцию ^, входящую в еу, у у, у , и применяя интегрирование по частям, получим:

,<Ьх1у<Ь. +

I К[ *-^2 П1^[

дхдуйг.

А/2 в 6 ^ „ ЭЛ

+ 1

-А/2 0 0 V *"* )

Варьируя в (30) функцию W, входящую в ех, е, у у, Ухг, у , после применения интегрирования по частям записываем:

^-ім-тндаї>

Щ(1у(Ы1 +

-А/2 0

“-гЛт.Г 4г

+ пга-

4г

А/2 а д э2.

+

->(5

“г?ЗЧГ_4г

-А/2 0

-ЗШХЇН* і,!!^«

А/2 а

ЦГсШуёг 4

ІІЧ-Ш

Вариацию работы внешних сил по прогибу Ш запишем в виде:

Подставляя уравнения (31), (32), (33) и

(34) в уравнение (30) и в дальнейшем считая вариации ёШ, ёщх, ёщу произвольными, получаем систему разрешающих уравнений задачи изгиба физически нелинейной пластинки с учетом деградации свойств материала во времени [7]:

|2„ !Л( . 3^ !/> д\ ({)( Л.З'!

к? “ МГ-^4]&+2‘12 |*.

за2 I -я/2 I зл2

і

Кроме того, применение принципа Гамильтона — Остроградского позволяет также получить естественные граничные условия задачи.

При использовании допущений ОТ формула для вычисления интенсивности деформаций приобретает вид:

£,- = ^ ^1 + ь1+*£у+^%+у1+у%)

Введем условное обозначение подкоренного выражения (36):

.

В соответствии с деформационной теорией ческой параболой выражение секущего модуля

пластичности считаем, что зависимость а. - е. для модели ОТ можно записать в виде:

1 1

аналогична экспериментально полученной

диаграмме деформирования, т. е. зависимости с 3 ^

а - е. При аппроксимации экспериментальной Рассмотрим °тдельн° гаждьш интеграл, диаграммы деформирования материала куби- входящий в (35):

-А/2 аг

9А

А/2 дЬу 1б і

-А/2 8у2 9*2

ЬП я2 г-0 / 1 N А/2

*І/"Ч&+5&Ь

А/2 гтО ґ і \ А/2

0£“ Г 0єг 1 <

'<Ь +

дЕ° (Єє. 1 Эе

'сіг +

Ч2 д2тху(0( 4г3^

ЗА

-А/2

сЬ = — 9А

А/2 52£° - А/2 5£0^

,аг„ ,, г Лаг____с ,3Л

А/2

л02 рО________2-3 л

Г е°2у -------„с гЛ/г + 2 Г 6' ^ Г е“*Еи-----

-1/2 * дх2 -А/2 & & -А/2 С -2

дх*

Ч2 йв(») [>-41 «О II *9

-А/2 & ЗА2 \ У 3

А/2 діу2(і) “О II

-А/2 ^ , ЗА2, 3

гО

А/ 2 0£'

-А/2 & в

А/2 с©0

Г е02—^у -А/2 * ^

4г

ЗА2

А/2

&+ г ^

-А/2 '

„02

с дх

( ?> с/г

ч ЗА2,

1-

4г

ЗА2

А/2

&+ | еа2Е° уг

-А/2 С *

1-

4г

ЗА2

с/г

бо.&У 4г3 , йх г_3^

& = е‘

?^>М(віДЛ,-^иЛ^Ґ^+І

і2 аД* 2 'Д М ) -І/2 и 2

/

у мог _^ л,Т е.(Л +£о^Уг-

І Эу ^ ЗА^ 3 _^/2 0 Я» I и2 I ’

2 & А ЗА7

6у А ЗА2

ш;

да ДОГ 4г:

>А/2 = е‘{ -А/2

"(О*

ду

Э£° Г 1

Че.+^еї +£" -^ +

9е„ 1 дє.

ду 2 ду

4^

'за2

Иг :

іг-+^4і

4г

& ЗА2

Введем условные обозначения переменных жесткостей в виде:

-й/2 Ч *"* У -А/2

і= І ^2-ёЬ; /=

После необходимых преобразований выражений (39) систему уравнений равновесия (35) пластинки, работающей в агрессивной среде, для модели ОТ на этапе нагружения пластинки малыми ступенями распределенной поперечной нагрузки МПН можно записать в виде:

+ 2

Д + !&¥ Д) + (А/і(^Д + Д) + + |(Діуїк] +

+(^1(^1+|^)+П^1+К1>^Х^.1+(кД> +^М^Ъ.+(Д"Х,><А4^)и+(^>/[(Д'кЛ+|^1)+ +"[^Х+^,|,)+^(Д^+^(Д^)й]+л/[(^+^(^]+

+4^ Д+|(А^д]+(^[(к Д+^ д)++^д^і)+ +(^і[(^1+\^'і)+і'Ла^уі+(д^1>(д/Х^Д+^,і>

+ Л + № > (^1 &Г)Ш + (№\у > і[(а^Х + * <ДЧ^) +

+^,І+^і)+^№+|(д^)+д/((^+^№) ^ ( ^Сд^ д+(ду д X (дд,^ д+(/ д X +2(/;(д«і+(д/і(^і+-/(д^+д/(^>/;(ду х+^д >

+мС'хі+^ Д )-^(ду.Х,+Д X +^ Д X

(/.№+(л/)>Хг,+/;М^ + (д/)Д^1, + /(дно; + V

^^><М><^><Ю>*С^Д+<М,> '

+о*%,\+(^1>^;(К>(д4> (д^1,С'> (НУ + 1Г^У Д + м;> (АК%,\ + (ІГІ) /

^^

МІ+^(д^)+(л/(№+^(^)+^Сл^ ,1+^Д> (ді)і^);+^Д>2^(д^і+(д/Х(^і>(ді^і+(/Д>

+Ф^і+(& д №(а*1у+ш^ьУ

- к

^(^Д+|(ду д^+(4£^(/Д+^д]+/;[м;+і(а>^і^+

+(дД[(ГІ++^у Д++(д/.^ Д+

+ + 2(Л^) + (А1{(№1> + 2^Ь] + 4^,1 + ^ Д )-

+ (Д^ Д + ^)>2^і + (Д/К^і> (Д^І Д + н>

+і(^Д+(ду,і>2^(дш£,+(д/х^хД *((ду>м;>

,-

= ЗАд;

+/

= 0

Для аналитического исследования и со- тании времени воздействия агрессивной средь

кращения в дальнейшем объема записи пере- на конструкционный материал. После достиже-

пишем уравнения (41) в символическом виде, ния нагрузкой заданного уровня q и решения

где смысл введенных обозначений ясен из системы уравнений (41) становятся известны

анализа этих уравнений: значения функций Ш, ух, щу, что позволяет да-

4А + 2В - С = 3Дq; В = 0; Е = 0. (42) лее исследовать задачу изгиба пластинки от

На втором этапе по деформированной схе- воздействия агрессивной среды во времени,

ме производим расчет для достигнутого уров- которое меняется с шагом Д: в соответствии с

ня нагружения при последовательном возрас- решением системы уравнений (43).

4А + 2В-С = АА(4 А + 2 В- С)+

+ ДДе"

+ ААеш

+ Мке“

+2С/К^+

О = АЮХ + Ы\еш

^^ + (кДХ

Е = МЕХ + МХе“*ьу.

4(4^> + <4^1 + ^(^1] + 4Л^1+

+4%1+^Д>2(4(^1+

Д Д -к(цу+ИЗ

Поставленная задача изгиба физически-нелинейной пластинки с учетом величины концентрации агрессивной среды в материале при соответствующих граничных условиях, при применении метода конечных разностей

(МКР) описывается замкнутой системой линейных алгебраических уравнений, записанных в инкрементальной форме.

На каждом шаге расчета производится проверка наступления опасного состояния в

Таблица

Результаты расчета пластинки на изгиб, работающей при воздействии агрессивной среды для модели Кирхгофа — Лява

Шаг Величина нагрузки, P Концентрация агрессивной среды, B Прогиб, W

0,0240 0,0000 0,0000

3 0,0720 0,0000 0,0160

6 0,1440 0,0000 0,0300

8 0,1920 0,0000 0,0430

1Q 0,2400 0,0000 0,0610

11 0,2400 0,0209 0,0624

13 0,2400 0,0Б22 0,0682

16 0,2400 0,1148 0,0976

18 0,2400 0,1Б13 0,1271

2Q 0,2400 0,1878 0,1Б06

наиболее нагруженной точке материала конструкции. В случае возникновения опасной величины напряженного состояния расчет прекращается. Результаты расчетов по предложенной выше методике с использованием модели Кирхгофа представлены в табл. На рис. 4 приведен трехмерный график, иллюс-

трирующий предложенную методику решения поставленной задачи.

В заключение отметим, что на основе шагового МПВП В. В. Петрова и МКР разработан универсальный эффективный алгоритм расчета нелинейно-упругих пластин, работающих в агрессивных средах.

библиографический список

1. Наумова Г. А. Анализ экспериментальных данных по кинетике коррозионных повреждений конструкций с защитными покрытиями / Г. А. Наумова // Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами : сб. науч. тр. межвуз. научн. конф. — Саратов, 2000. — С. 76—83.

2. Овчинников И. Г. Определение долговечности элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивной средой / И. Г. Овчинников, В. В. Петров // Строительная механика и расчет сооружений. — 1982. — № 2. — С. 13—18.

3. Петров В. В. Метод последовательного нагружения в нелинейной теории пластин и оболочек /

В. В. Петров. — Саратов : Изд-во СГУ, 1975. — 119 с.

4. Петров В. В. Алгоритм расчета элементов конструкций с учетом физической нелинейности материала / В. В. Петров // Вестн. регионального отд-ния РААСН [Н. Новгород]. — 2002.— Вып. 5.

5. Петров В. В. Уравнения изгиба пластинки, учитывающие влияние концентрации агрессивной среды в ее материале / В. В. Петров // Вестник РААСН [Белгород]. — 2005. — Вып. 9. — С. 315—320.

6. Петров В. В. Построение инкрементальных соотношений для физически нелинейного материала с развивающейся неоднородностью / В. В. Петров // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. — Саратов : Сарат. гос. ун-т, 2005. — С. 6—10.

7. Петров В. В. / В. В. Петров, И. В. Кривошеин, О. В. Пенина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. — Саратов : Сарат. гос. ун-т, 2005. — С. 22—30.

8. Селяев П. В. Диаграммы деформирования композитных материалов при воздействиях жидких агрессивных сред / П. В. Селяев // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. — Саратов : Сарат. гос. ун-т, 2006. — С. 46—52.

9. Timoshenko S. P. On the correction for shear of the differential eguation for Transverse vibration of Prismatic Bars / S. P. Timoshenko. — Phil. Magaz. — 1921. — № 41. — P. 6.

Поступила 16.09.08.