Асимптотическое возрастание последовательностей коразмерностей тождеств ассоциативных алгебр

3. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

4. Краснова Т.П. Инверсионная сложность самокорректирующихся схем для одной последовательности булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 3. 53-56.

5. Редькин Н.П. Асимптотически минимальные самокорректирующиеся схемы для одной последовательности булевых функций // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. 3, № 2. 62-79.

6. Гринчук М.И. О монотонной сложности пороговых функций // Методы дискретного анализа в теории графов и сложности: Сб. науч. тр. Т. 52, № 2. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1992. 41-48.

Поступила в редакцию 13.04.2012

УДК 512.572

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВОЗРАСТАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ ТОЖДЕСТВ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР А. Джамбруно1, М. В. Зайцев2

Изучаются числовые характеристики тождеств ассоциативных и неассоциативных алгебр. Анонсирован результат о том, что у ассоциативной PI-алгебры последовательность коразмерностей асимптотически возрастает и что для произвольных неассоциативных алгебр это неверно.

Ключевые слова: тождества, коразмерности, монотонный рост.

Numerical characteristics of identities of associative and non-associative algebras are studied in the paper. It is announced that the sequence of codimensions of an arbitrary associative PI-algebra asymptotically increases and that this is not true in the general non-associative case.

Key words: identities, codimensions, monotone growth.

Пусть A — ассоциативная PI-алгебра над полем F нулевой характеристики. Каждой такой алгебре можно сопоставить целочисленную последовательность {cn (A)} n = 1, 2,..., характеризующую количе-

A

ными тождествами можно найти в [1, 2]. Напомним, что

Сп{А) = (ШРпъщау

где Pn — пространство полилинейных многочленов от переменных xi,...,xn в свободной ассоциативной алгебре F < X > со счетным множеством порождающих X = {xi, Х2,...} a Id(A) — Т-идеал тождеств алгебры A в F < X >. Последовательность {cn(A)} содержит важную информацию о тождествах алгебры A

современной PI-теории.

Точное вычисление последовательности коразмерностей — чрезвычайно сложная задача, она решена только в очень частных случаях. Например, если A = G — внешняя алгебра бесконечномерного векторного пространства, то cn(G) = 2n-i, как показано в [3].

Если A = UT2

Cn(UT2(F)) = (n - 1)2n-i +2.

Даже оценка асимптотического поведения {cn(A)} для произвольной PI-алгебры A является сложной аналитической задачей. Одним из первых ключевых результатов в данном направлении стала работа [5] (и альтернативное более позднее доказательство этого факта в [6]), в которой показано, что для любой PI-алгебры A существует вещественная константа а, такая,что

cn

1 Джамбруно Антонио — доктор наук, проф. Департамента математики и информатики Ун-та Палермо (Италия), e-mail: antonio.giambrunoQunipa.it.

2 Зайцев Михаил Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zaicevmvQmail .ru.

для всех п ^ 1. Другим важным замечанием о характере асимптотического поведения коразмерностей явилось доказанное в [7] утверждение о том, что {сп(А)} не может иметь промежуточный рост, т.е. либо {сп(А)} — полиномиально ограниченная функция от п, либо растет те медленнее, чем 2п.

В работе [8] асимптотика для последовательности {сп(А)} вычислена для полной матричной алгебры Ык (^). Было показано, что

к2-1

сп

Более того, был явно вычислен и постоянный множитель а:

к-1 к2-1

«=

Здесь и далее соотношение f(n) ~ д(п) для двух функций / и g означает, что Ни^^оо = 1.

Из условия (1) следует, что последовательность { ^сп(А)} является ограниченной и имеет как верхний, так и нижний пределы. В конце 80-х гг. прошлого века Ш. Амицур выдвинул гипотезу о том, что эта последовательность имеет обычный предел, который является целым числом, т.е.

lim ï/caiA) =deZ.

Позднее А. Регев высказал более сильную гипотезу. Согласно его предположению, для любой Р1-

1, 21

Сп

алгебры А существуют а е К, i G и d G Z, такие, что

К концу 90-х гг. прошлого века были получены отдельные частичные результаты, подтверждающие гипотезу Амицура. Окончательное решение проблемы Амицура было получено в [9], а именно было доказано, что

От91 (п < Сп (А) < С2п92 (п

для некоторых констант О1 > 0,С2,51,52 и некоторого целого ( ^ 1 (при условии, что А ненильпотентна). Очевидно, что соотношение (5) дает более тонкую оценку асимптотического поведения последова-{Сп(А)}

нием гипотезы Регева (т.е. соотношения (5)). Тогда вторым приближением можно считать существование предела

= * е к

а третьим — существование предела Итга_5.оо ^¿п

Как уже отмечалось, одним из первых результатов, подтверждающих гипотезу Регева, было доказанное в [8] соотношение (2). Позднее появились подтверждения при малых Например, в случае ( = 1 последовательность коразмерностей имеет полиномиальный рост. Для таких Р1-алгебр было доказано, что сп(А) = ап* + 0(п*-1) для некоторого ц ел ого £ ^ 1 и а € М (см. [10]). В работе [11] гипотеза Регева подтверждается для алгебр с единицей при ( = 2. Отдельные результаты были получены также в [12].

Ранее [13] положительное решение было получено для некоторого класса многообразий, который с учетом результатов из [14] может быть охарактеризован следующим образом.

Обозначим через иТ((1,...,(т) подалгебру в Ык(^), к = (1 + ... + (т, состоящую из блочно-треугольных матриц с блоками размеров (1,...,(т на диагонали. Тогда сп(иТ((1 , ...,(т)) ~ апй(п, где

1 / 9 \ (9т

(1 = (121 + ... + (111, д = -- ( - Зт + 21 , а = " у

Здесь дг = — ((2 — 1), а аг — константа го (3) для матричной алгебры Ы^(^). Недавно [15] гипотеза Регева была подтверждена для всех алгебр с единицей.

{Сп(А)}

Поскольку коразмерности в общем случае растут экспоненциально, можно предположить, что Сп+1(А) ^ сп(А) для всех п = 1, 2,.... Например, такое неравенство выполняется для алгебры с единицей. Однако

нетрудно заметить, что в общем случае это не так. Например, если A нильпотентна, Ai+1 = 0,At = 0, то ct(A) > 0, a ct+i(A) = 0. Первым из анонсируемых результатов является следующее утверждение.

A

{cn(A)} асимптотически монотонна, т.е. существует такое N ^ 1, что cn(A) ^ cn+1 (A) для всех n ^ N.

Как следствие теоремы 1 мы получаем подтверждение гипотезы Регева "во втором приближении". Следствие. Для любой ненильпотентной Fl-алгебры, A существуют такие конет,ант,ы, 0 < а1,а2 £ М, t е d е N, что am1 (Г < сп(А) < а2пЧп.

В свете теоремы 1 представляет интерес следующее замечание.

Теорема 2. Для любого целого N ^ 0 существуют Pl-алгебра A и набор индексов t1 < t2 < ... < t^v, т,акие, что cti (A) > cti+1(A) для всex i = 1,...,N. В неассоциативном случае теорема 1 неверна.

Теорема 3. Существуют алгебра A и бесконечная последовательность индексов t1 < t2 < ... т,акие, чт,о cti (A) > cti+1(A) для, вс ex i = 1, 2 ....

Работа частично поддержана РФФИ (грант № 13-01-00234-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

2. Giambruno A., Zaicev М. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.

3. Krakowski D., Regev A. The polynomial identities of the Grassman algebra // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. 181. 429-438.

4. Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика. 1971. 10. 393-400.

5. Regev A. Existence of polynomial identities in A  B // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. 77, N 6. 1067-1069.

6. Латышев B.H. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр // Успехи матем. наук. 1972. 27, № 4. 213-214.

7. Кемер А.Р. Шпехтовость Т-пдеалов с полиномиальным ростом коразмерностей // Сиб. матем. журн. 1978. 19. 54-69.

8. Regev A. Codimensions and trace codimensions of matrices are asymptotically equal // Isr. J. Math. 1984. 47. 246-250.

9. Giambruno A., Zaicev M. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. 142. 221-243.

10. Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals // Proc. Int. Conf. on Algebra Honoring A. Malcev; Contemp. Math. 1992. 131. 285-300.

11. Гордиенко А. С. Гипотеза Регева и кохарактеры тождеств ассоциативных алгебр PI-экспоненты 1 и 2 // Матем. заметки. 2008. 83, № 6. 815-824.

12. Gordienko A.S. Regev's conjecture and codimensions of P.I. algebras // Acta Appl. Math. 2009. 108. 33-55.

13. Berele A., Regev A. Codimensions of products and intersections of verbally prime T-ideals // Isr. J. Math. 1998. 103. 17-28.

14. Giambruno A., Zaicev M. Minimal varieties of exponential growth // Adv. Math. 2003. 174. 31-323.

15. Berele A. Properties of hook Schur functions with applications to p.i. algebras // Adv. Appl. Math. 2008. 41, N 1. 52-75.

Поступила в редакцию 25.02.2013

УДК 517.5

ЧЕТЫРЕ ТЕОРЕМЫ О РАВНОМЕРНЫХ ОЦЕНКАХ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ

В. Н. Карпутпкин1

Получены точные по порядку равномерные оценки осциллирующих интегралов с мо-номиальной фазой. Этот результат близок к гипотезе В. И. Арнольда о равномерных оценках осциллирующих интегралов. Именно установлена равномерная по фазе и амплитуде

1 Карпушкин Владимир Николаевич— канд. фнз.-мат. наук, науч. сотр. ИППИ РАН, e-mail: nikvladkarpQyandex.ru.