Скорость деления возбуждённых ядер

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 4. С. 45-51.

УДК 539

Ю.А. Анищенко, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

СКОРОСТЬ ДЕЛЕНИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ ЯДЕР

Calculations of fission rate of excited compound nuclei are carried out in modeling of fission process using integration of the stochastic Langevin equation. Calculated rates are compared with quasi-stationary Kramer’s rate and the rate derived from mean first passage time approach. It follows from performed calculation that results of dynamical calculation are agreed better with prediction of last approach than with Kramer’s rate.

Введение

Данная работа посвящена расчету скорости деления атомных ядер. Несмотря на столь узкую специфику задачи, сразу отметим, что методы, используемые при ее решении, широко применяются во многих областях химии, физики и биологии, где приходится рассматривать проблемы, связанные с распадом метастабильных состояний. Последние обзоры, посвященные этой тематике, и дальнейшие ссылки можно найти в [1-4].

Впервые формула для скорости деления ядра была получена Бором и Уилером [5]. В этой классической работе парциальная ширина деления Гf определялась как отношение числа фазовых состояний, возможных в седловой точке, к их числу в начальном состоянии. В пределе, когда энергия возбуждения много больше величины потенциального барьера, ширина деления определялась как:

T ( В,. ^

-r-BW

Г f = 2П

T j

где Т - температура ядра, а В^ - высота потенциального барьера. Парциальная ширина деления связана со скоростью деления через постоянную Планка Г^ = НЯ^. Из формулы (1) видно, что скорость деления

сильно зависит от температуры ядра и величины барьера деления. В модели, предложенной Бором, полагалось, что процесс деления ядра является равновесным и недиссипативным. На основе использованного в этой работе метода переходного состояния также было изучено испарение нейтронов и получено выражение для нейтронной ширины Гп .

Годом позднее Крамерсом было рассмотрено решение задачи о прохождении частицы через потенциальный барьер на основе стохастического уравнения Фоккера-Планка [6]. Отметим, что Крамерсом впервые была введена концепция диссипации в ядерной физике, и полу-

© Ю.А. Анищенко, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев, 2007

ченная им формула для парциальной ширины деления в явном виде содержала зависимость от фрикционного коэффициента. Но формула Бора - Уилера, казалось, столь хорошо описывает известные на тот момент экспериментальные данные, что идеи Крамерса не привлекли должного внимания физиков-ядерщиков. Об этой работе напомнил Струтинский, который обобщил формулу Крамерса на случай малой величины потенциального барьера и произвольного расстояния между седло-вой точкой и точкой разрыва [7]. Следует заметить, что делительная ширина по Крамерсу соответствует решению стационарного уравнения, но на самом деле ток через барьер (стационарное равновесие) устанавливается не сразу, а по прошествии времени задержки Тdelay , которое зависит от диссипативных свойств системы.

Впервые понятие времени задержки

Тdelay было введено Гранджем и Вайден-мюллером, в своих работах они находили зависимость ширины деления от времени из нестационарного уравнения Фоккера-Планка, при условии аппроксимации ядерного потенциала двумя сшитыми гармоническими осцилляторами [В].

В наше время наиболее точным и широко используемым методом вычисления скорости деления является метод, основанный на решении стохастического уравнения Ланжевена, который позволяет моделировать процесс деления ядра без введения излишних упрощений и приближений.

1. Модель для ланжевеновских динамических расчетов

В основе ланжевеновского подхода лежит решение системы стохастических уравнений, которые для одномерного случая записываются в виде [9; 10]: p

q=—,

m

дV p = —pp——+#(t) дд

где ^ - обобщенная координата, р - сопряженный ей импульс, V - потенциальная энергия, в = П / т - приведенный коэффициент трения, который находится как отношение фрикционного коэффициента П к инерционному т, и £(ї) - слу-

чайная сила. Поскольку времена релаксации коллективных степеней свободы много больше времен релаксации внутренних, то 4(1) можно аппроксимировать белым шумом. Тогда случайная сила будет обладать свойствами: {4(1)) = о, (№№)> =

= 2О 5(12 —11) . Диффузионный коэффициент удовлетворяет соотношению Эйнштейна О = цТ .

Для осуществления компьютерного моделирования из системы (2), (3) необходимо составить разностную схему. В качестве одного из вариантов можно рассмотреть разностную схему Эйлера:

q

f

, 1 p

+-----—---— т,

2m

p(n+1) = p(n) '

дV I—

pp

(п) Я „ ^ п)>

V

где со(ґ(п)) - случайная величина, удовлетворяющая гауссову распределению с параметрам (ю(і{п))) = 0 и ((Ґ(п))0(Ґ(= 2$пп’-Шаг по времени должен удовлетворять условию Т = 0, 2 / в . Следует отметить, что выбор шага Т индивидуален для различных разностных схем и зависит от свойств среды.

Рассмотрим реакцию 16О + 2Ъ2ТН ^ ШС/, где в результате слияния образуется компаунд-ядро 248 С/ с энергией возбуждения 150 МэВ.

Будем вести расчет для модельного случая без введения параметризации формы ядерной поверхности. Полагаем, что ^ -коллективная координата, отвечающая за степень удлинения ядра. Потенциал для яд-

248

ра С/ можно задать в виде двух сшитых осцилляторов (см. рис. 1):

2q2

—q2 +4q — -

q <

где вершина первой параболы соответствует основному состоянию д^ = 0 фм, а вершина перевернутой параболы соответствует сед-ловой точкед^ = 2 фм . В^ = 2.66 МэВ - высота барьера.

Рис. 1. Модельный потенциал для одномерного случая

Данный выбор модельного потенциала обусловлен тем, что для потенциала, заданного в виде двух сшитых парабол, можно получить точное аналитическое решение уравнения Фоккера-Планка как для стационарного, так и не для стационарного случая.

Инерционный коэффициент выберем

постоянным т = 50 • 10—42МэВ • с2, что соответствует основному состоянию ядра 248С/, если рассчитывать коэффициенты по формуле Вернера-Уилера для с, Н, а параметризации [11]. Поскольку диссипативные свойства ядерных систем до конца не изучены, то значение фрикционного параметра зададим равными

П = 10—19 МэВ • с и п = 25 • 10~2° МэВ • с . Далее значения транспортных коэффициентов будут записываться в единицах измерения, характерных для ядерной физики, без указания размерности.

При моделировании процесса деления проследим за эволюцией коллективных координат, описывающих форму ядра. Примеры эволюции коллективной координаты, отвечающей за степень удлинения, приведены на рис. 2, где в качестве потенциала выбирался модельный потенциал вида (6). Также на рисунке горизонтальными линиями изображены седловая точка (для данного потенциала) и точка деления. Поскольку не рассматривается конкретная параметризация, то точка деления выбирается произвольно: дхс = 4 фм

Рис. 2. Примеры эволюции коллективной координаты для трех стохастических ланжевеновских траекторий

Для исследования интересующих нас физических величин необходимо обладать статистическими данными, состоящими из большого числа промоделированных траекторий. Следует также учесть, что при расчете скорости деления вклад в конечный результат дают только те траектории, которые испытали разрыв. В данной работе для каждого эксперимента набиралась статистика не менее чем из 105 разделившихся траекторий.

Перед тем как перейти к описанию ланжевеновских динамических расчетов, приведем некоторые аналитические формулы, используемые для оценки скорости деления и среднего времени деления.

2. Формула Крамерса

Крамерсом еще в 1940 г. решалась задача о скорости протекания химических реакций. Впоследствии его работы были обобщены на случай описания процесса деления ядерных систем с флуктуа-ционно-диссипативными свойствами.

Значение для стационарного уровня скорости деления определялось из уравнения Фоккера-Планка и в конечном виде записывалось как:

.-х

^КЯ = °КК е V

где °кя =

частота, =

у]тяс1 + в /4 в /2 - Крамерсова

№ /ти о =^1К1 т&

- частоты в седле и точке минимума потенциала соответственно. Формулу (7) можно переписать в виде:

где для удобства вводят фактор Крамерса

/кя = Л + У1 —7, который несет информацию о диссипативных свойствах системы, при этом редуцированный коэффициент трения определяется как у = в /2о^ . Когда у = 1 , фактор Крамерса уменьшает скорость деления на 60 %, по сравнению с формулой (1), не учитывающей явлений диссипации. Также заметим, что при у = 1 система совершает переход из режима затухающих колебаний в режим апериодического затухания.

С помощью формулы (7) можно определить стационарное значение скорости деления, после того как поток через седло уже установился. Существуют аналитические аппроксимации, позволяющие определить функциональную зависимость скорости деления от времени [8], но они применимы только для потенциала определенного вида и для транспортных коэффициентов, не зависящих от коллективных координат.

Следует заметить, что формула Кра-мерса была получена при следующих приближениях: во-первых, высота потенциального барьера намного превосходит энергию теплового движения В/ » Т, во-

вторых, удаленность седловой точки от точки деления, в-третьих, постоянность транспортных коэффициентов. Ввиду большого числа ограничений, накладываемых на формулу (7), желательно обладать методом нахождения стационарного уровня скорости деления, для которого область применения не будет столь узкой.

3. Расчет скорости деления через средние времена достижения границы

В теории вероятности вводится понятие среднего времени первого достиже-

МИРТ

ния поглощающей границы т , которое широко используется во многих об, МИРТ

ластях физики и химии. т характери-

зует среднее время блуждания браунов-ской частицы в ограниченном пространстве. Это понятие было использовано Понтрягиным, Андроновым и Витте [12], которые распространили метод первого достижения границы на задачи о скорости распада метастабильного состояния.

Предложенный Понтрягиным метод, в отличие от формулы (7), не накладывал ограничения на высоту потенциального барьера и удаленность седловой точки.

Изначально поглощающую границу рассматривали в седловой точке д^, что

является неверным, поскольку, перейдя через седло, траектория не обязательно разделится (см. рис. 2). То есть в данном случае не учитывается поток в обратном направлении через седло, что приводит к завышенным значениям скорости деления. Поэтому, для того чтобы учесть поток через седло, границу выбирают после сед-ловой точки, например в разрыве.

Величина обратная тМИРТ интерпретируется как средняя скорость деления

Г)МИРТ г)МИРТ л I _МИРТ

Я : Я = 1/ т . Обладая статистическими данными из N траекторий (реализаций брауновского движения), можно рассчитать времена, необходимые для преодоления границы в первый раз

ТИ, п = 1,..., N , тогда по определению

_MFPTr

1

т

[qgs ^ 4sc ] = limT7ZTF •

N

1 у n=1

В случае сильно вязких ядерных систем (overdamped regime) при постоянной температуре уравнение Ланжевена эквивалентно уравнению Смолуховского. На основе этих приближений в [12] получено аналитическое соотношение для скорости деления, которое можно использовать вместо формулы Крамерса:

R

MFPT

T

Pm

qsc v (у) у _ | dye T I dze

V

qgs

В практических расчетах использование формулы (10), связанное с многократным вычислением двойного интеграла, приводит к дополнительным временным затратам. Поэтому используется приближение на случай, когда у и

дgS ^— 00 [13]:

RM

gssd

2 e exp[(VV_V(q*d))/T]x

2np LV g ’ J

x2 (1 + eV ( V _ qsd Wm /(2T) ]) •

Заметим, что формула (10) включает в себя информацию о положении точки разрыва и учитывает весь ландшафт потенциальной энергии. Из рис. 3 следует,

что когда седловая точка близка к точке разрыва, скорость деления, полученная по формуле Крамерса, оказывается почти в два раза меньше стационарного уровня, рассчитанного динамически. Но когда седловая точка удалена от разрыва, Кра-мерсов уровень совпадает как со значением, полученным по формуле (11), так и с динамически рассчитанным уровнем. Из этого можно сделать вывод, что формула Крамерса плохо описывает случай, когда седловая точка близка к точке разрыва, поскольку в формуле (7) не учитывается ландшафт потенциальной энергии и не выявляется зависимости от точки разрыва.

Рис. 3 Отношение стационарного уровня скорости деления, полученного при динамических расчетах, к аналитически рассчитанному стационарному уровню, в зависимости от расстояния между седловой точкой и точкой разрыва: Е*=150МэВ, т = 50, /7 =100

В [14] для расчета скорости деления вводят понятие среднего времени последнего достижения границы тМ^РТ . Соот-

МЬРТ МИРТ

ношение между т в седле и т в точке разрыва записывается как [15]:

где т^ с - среднее время спуска от седла к разрыву

вт

Т

Яяс V (у) го

sd т

' у

В случае, когда седловая точка удалена от точки разрыва, время спуска оказывает существенное влияние на число испарившихся нейтронов для тяжелых ядер.

4. Динамическое моделирование

Приведенные выше аналитические соотношения позволяют произвести оценку скорости деления. Но эта оценка будет уместна только по прошествии времени задержки тМау, за которое устанавливается стационарный поток через седло. Чтобы проследить поведение до установления равновесия, мы проведем динамические расчеты с помощью ланжевенов-ской модели, описанной выше.

Расчет скорости деления осуществляется по формуле:

1 dNf

Яг

/ ^о1 — N/ (?) Л

где Ntot - общее число смоделированных траекторий. N/ (?) - число траекторий, которые достигли границы ко времени 1. dN/ (?) - число траекторий, достигших

границы за промежуток времени dt = т . Результаты расчета скорости деления различными способами для энергии возбуждения, равной Е* = 150МэВ , представлены на рис. 4.

Стационарный уровень скорости деления, рассчитанный с поглощающей границей, в седле находится выше, чем стационарный уровень, рассчитанный с поглощающей границей в точке деления. Разница между ними рассматривается как величина обратного потока через седло.

Следует отметить, что существует три этапа эволюции делящегося ядра: от начального состояния до седловой точки, блуждание около седла и спуск от седла к точке разрыва. Полное время распада ядра может быть представлено как:

sd ^яс 5

где тосс - среднее время блуждания около седла. Промежуток времени тосс, обусловленный существованием обратного потока через седло, является самым продолжительным. Именно за этот промежуток и испаряется большее число нейтронов.

На рис. 4 горизонтальной линией изображен Крамерсов уровень, рассчитанный по формуле (7). Сравнение с уровнем Крамерса показывает, что седловая точка не является адекватным критерием выбора поглощающей границы и ведет к переоценке скорости деления.

Л(0.1021с_|

0,0040

0,0035

0,0030

0,0025

0,0020

0,0015

0,0010

0,0005

0,0000

ЯА"грг

• .Г _____ .-1 -~Ч/Чгч Г*

*г«и і .г :

* Ч

яд,ьрг(«.л) -

___

! У,ґ

Н ; /яигрт \\1,/

Ні <>

0 100 200 300 400 500

±, 10-г

Рис. 4. Скорость деления, рассчитанная различными методами, для потенциала вида (6) с Е*=150МэВ, т = 50, / =100:

уровень Крамерса

Рис. 5. Скорость деления, рассчитанная как потоки через седло, для потенциала вида рис. (6), Е*=150МэВ, т = 50 при значениях фрикционного

коэффициента /7 =100 и П=250: -------- - уровень

Крамерса,---уровень, рассчитанный по формуле

Также на рис. 4 изображена зависимость скорости деления, рассчитанная с не поглощающей границей, выбранной в седле. Как видно на рисунке, скорость деления, рассчитанная с не поглощающей границей в седле, достигает стационарного равновесия быстрее, чем рассчитанная тем же способом, но с поглощающей границей в точке деления. В данном случае различие между временами перехода в равновесное состояние характеризует время спуска от седла к разрыву т^^сс.

Можно явно учитывать потоки через барьер и определить аналитические соотношения для положительного тока диффузии через барьер (в направлении деления) и отрицательного (в направлении основного состояния):

+го

о

о

Л

—го

где Ж (д, и) - стационарное значение вероятности распределения в пространстве, полученное из решения уравнения Фок-кера-Планка.

На рис. 5 изображена зависимость скорости деления ядра от времени, рассчитанная методом явного учета потоков через седло, для различных значений фрикционного коэффициента.

Стационарный уровень скорости деления, рассчитанный через потоки, хорошо согласуется с уровнем Крамерса, как видно на рис. 5. Однако заметим, что стационарное значение, рассчитанное по формуле (11), находится ближе к уровню, полученному динамическим способом. Из этого рисунка следует, что для более вязких систем времена деления всегда больше.

Заключение

В данной работе проведены расчеты скорости деления динамическим способом с использованием уравнения Ланже-вена. Рассмотрены аналитические формулы, используемые для расчета стационарного значения скорости деления.

Из проведенных исследований можно сделать вывод, что для правильного описания функциональной зависимости скорости деления от времени необходимо проводить динамические расчеты как минимум до тех пор, пока не установится квазистационарный поток через седло. После установления квазистационарного потока через седло, когда скорость деления становится постоянной величиной, в целях экономии времени расчета можно использовать одну из аналитических формул (7), (10) или (11). Для решения большинства задач хорошо применима формула Крамерса, но у нее есть ограничение на высоту барьера и на положение седловой точки относительно точки деления. Поэтому в случаях, когда формула Крамерса неприменима, для расчета стационарного уровня скорости деления не-

обходимо использовать формулу (lO) или её аппроксимацию (11).

В данной статье для описания процесса деления использовалась только одна коллективная координата. Но для правильного описания сильно возбужденных систем необходимо учитывать как минимум три коллективные координаты. Подобные многомерные расчеты подробно описаны в [16], а в [17] приведены результаты расчетов скорости деления для систем разных размерностей.

Авторы выражают глубокую благодарность А. Е. Гегечкори за многочисленные обсуждения и поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Risken H. The Fokker-Plank Equation. 2nd ed. Berlin; Springer, 1989.

[2] Гардинер К.В. Стохастические методы в естест-

венных науках. М.: Мир. 1986.

[3] Ван-Кампен Н.Г Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высш. шк., 1990.

[4] Hangi P. et. al. // Rev. Mod. Phys. 1990 V. 62.

P. 251.

[5] Bohr N., Wheeler J. // Phys. Rev. 1939 V. 56. P. 426.

[6] Kramers H.A. // Physica. 1940 V. 7. P. 284.

[7] Струтинский В.М. // ЯФ. 1974. Т. 19. С. 259;

Phys. Lett. 1973. V. B47. P. 121.

[8] Grange P. et. al. // Phys. Rev. C. 1993 V. 27. P. 2063.

[9] Abe Y. et. al. // Phys. Rep. 1996. V. 275. P. 49.

[10] Frobrich P., Gontchar 1.1. // Phys. Rep. 1998. V.292. P. 131.

[11] Davies K.T. et. al. // Phys. Rev. C. 1976 V. 13. P. 2385.

[12] Pontryagin L.A. et. al. // Zh. Eksp. Teor. Piz. 1993 V. 3. P. 165.

[13] Gontchar I.I., Frobrich P. // Phys. Rev. C. 1993 V. 47. P. 2228.

[14] Jing-Dong Bao, Ying Jia // Phys. Rev. C. 2004 V. 69. P. 027602.

[15] Boilley D., Jurado B. // Phys. Rev. E. 2004 V. 70 P. 056129.

[16] Адеев Г. Д. и др. // ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732.

[17] Nadtochy P.N. et. al. // Phys. Rev. C. 2007 V. 75. P. 064614.