Математическое моделирование процесса пленочной конденсации

УДК 517.958:66.021.3:532.72

Ф. Г. Ахмадиев, М. И. Фарахов, А. А. Ахмитшин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЛЕНОЧНОЙ КОНДЕНСАЦИИ

Ключевые слова. Математическая модель, сопряженный тепломассообмен, пленочная конденсация.

Построена математическая модель пленочной конденсации в виде уравнений сохранения массы, импульса и энергии для хладагента в ограниченной области, стекающей пленки конденсата по поверхности стенки и газовой фазы в двухмерной постановке. Учитывается изменение физических свойств хладагента и пленки конденсата в зависимости от температуры в уравнениях сохранения импульса. Граничные условия сопряжения записаны на внутренней стенке области течения хладагента, на внешней стенке, по которой течет пленка конденсата, а также на границе раздела пленка — газ. Полученная краевая задача решается приближенными и численными методами совместно с условием для определения неизвестной толщины пленки для различных постановок гидродинамической задачи.

Keywords. Mathematical model, coupled heat-and-mass transfer, film condensation.

The mathematical model of the film condensation was formed in the form of equations of conservation of mass, impulse and energy for the cold fluid in bounded area, for the condensate film flowing over the wall surface and for the gas phase in bidimensional arrangement. A change in physical properties of the cold fluid and the condensate film was considered in according to the temperature in the equations of conservation of impulse. The boundary conditions of conjugacy was written down on the inner wall of the area of condensate flowing, on the outer wall in which condensate film flows, at the interface of the film-gas. Achieved boundary value is solvable by approximate and numerical solution together with condition for definition of unknown thickness of the film for the several arrangement of the hydrodynamic problem.

Введение

Тепломассообменные процессы при конденсации, испарении широко используются в различных областях техники и технологии при охлаждении различных рабочих поверхностей, в технологических процессах, энергетике. Конденсация принадлежит к одному из наиболее распространенных технологических процессов. Процессы с конденсацией занимают большой удельный вес в химической технологии и смежных отраслях промышленности. Изучению различных аспектов процессов конденсации посвящены многочисленные работы, в том числе обзорные работы [1-4].

Первой теоретической работой по теплообмену при пленочной конденсации является работа Нуссель-та [5] при целом ряде упрощающих допущений. В результате определялись толщины пленки, коэффициент теплоотдачи и количество сконденсированного газа (расход конденсата). Данная работа дала вполне удовлетворительные результаты и служила базой для дальнейшего развития теории расчета плёночной конденсации. В данной работе [5] не учитывались выделение теплоты аккумуляции при охлаждении пленки, неизотермичность поверхности охлаждения и изменение физических свойств жидкости.

Несмотря на многочисленные теоретические и экспериментальные исследования процессов пленочной конденсации в различных постановках сопряженный тепломассообмен при пленочной конденсации с учетом неизотермического течения хладагента внутри конденсатора, пленки конденсата и газовой фазы (пара) исследован недостаточно полно.

Целью данной работы является математическое моделирование пленочной конденсации с совместным учетом термогидродинамической обстановки в хладагенте в ограниченной области, стекающей пленке конденсата и газовом потоке при изменении их физических свойств.

Математическая модель

Рассматривается ламинарный установившийся режим пленочной конденсации, который может быть реализован, например, в конденсаторах типа [6]. Конденсатор (теплообменник) состоит из блоков, тепло-обменные элементы которых выполнены в форме прямой полой призмы из тонких металлических листов, с образованием внутреннего щелевого канала для теплоносителя (хладагента) (рис. 1,2). Теплооб-менные элементы расположены друг к другу с образованием наружных вертикальных щелевых каналов для перемещения в аксиальном направлении теплоносителя - газа (пара).

При работе конденсатора хладагент течет внутри щелевого канала полой призмы. За счет охлаждения стенок канала и теплообмена через стенки канала с вертикально движущейся газовой фазой образуется пленка конденсата, которая стекает по поверхности канала (рис. 2).

В области течения хладагента и газа (рис. 2) выполняются соотношения Ц » Ц  2Ь(Н>2Ь) . Тогда

Рис. 1 - Модель теплообменника конденсатора

Рис. 2 - Схема течения рабочих сред при пленочной конденсации

исходная система уравнений, описывающая установившееся плоское ламинарное течение хладагента внутри призмы, пленки конденсата и газовой фазы (пара) в декартовой системе координат х, у, z записывается в виде дЦх ,

- = о,

дх ду V. ^ + V ^

Эх

ду

^ * + Р„ + £ М ^) ,

р дх ду ду

т-+^ =0,

Р ду

--! ** + Р, - 0 , Р д2 12

... дТ дТ- д .. дТ1 рс^ (Цх ^ + Цу —4 = — (А —4, р дх у ду ду ду

у +

ду

дг

- 0 ,

д^

V у^+V2Z

д^

1 др

д

дV,

--1^ + Р2х - 0 ,

ду

1_ дР р2 дх

Л р2 дх

дг

--1 ^ + р г ),

Р2 д2

у 2 у

^ + Р2у - 0 ,

дТ

дТ

дТ

Р2С2. ^2у -Г2- + V?г -Г2-) - — (А ,

2Р2 (*2у дУ> у + д^

ду

у

дг

у 2 у

дг

- 0 ,

V ^ + V Ж

^3 у

у

Рз дх

_1 дрз

Рз дх

3 г  "з ---1 ^ + Рз г М

а

д^

дг

Рз дг

ду з ду

--1 ^ + Рз, - 0 ,

1 дрз

---— + Рз у - 0 ,

4,

/1/ дТз дТз д .. дТз Рз°з^у "ду" + ^= ^(А ^ ,

А д2Т4 _ 0 А "ду^ - 0.

Здесь уравнения (1.1) - (1.5) описывают движение хладагента внутри полой прямой призмы, уравнения (2.1) - (2.5) течение стекающей пленки, а уравнения (3.1) - (3.5) движение газа (пара), а (3.6) - теплопередачу через стенку. Р^ - Ри - 0, Р^ - д ; Р2у - Р2х - 0,

р2г - 9 ; Рз х - Рз г - 0 , Рз г - 9 ; М, - М, (Т), , - 1,3 (учитывается только изменение вязкости от температуры), индексы 1,2,3 соответственно относятся к хладагенту, пленке жидкости и газовой фазе.

Данная система уравнений решается при соответствующих граничных условиях, причем граничные условия на поверхности конденсации могут иметь разные формулировки в зависимости от реальных условий работы конденсаторов, которые имеют вид:

ду

- 0

ду

- 0 , - 0 при у - 0 ,

Цх - Цу - 0 , Т1 - Т4, А при у - ±й ,

Т4 = Т2 9 А4 дТ^ - А2 2

дТ1

ду

-А

дТ,

ду

у

у

V у - ^2 г - 0

А2 ^ут - ^

при у - й + £0,

! ду

.-Мз ^ + ^ , ^ г - \/з г

з ду дг 2г зг б 28

р2 - Рз +^262г при у - Ь + 50 + S,

дТз - 0 , ^ - 0 , Цу - 0

Т2 - Тз ,

у

у

н

при у -31 - й + £0 + £ + у,

Цх - Цхвх , Т1 - Т1вх , Р - Р1вх при х - хв Vг - Vгвх , Т2 - Т2вх при г - гвх - , V» г - V, гвх , Тз - Тз вх , V» у - 0 , Рз - Рз вх

при г - ^,

где а- коэффициент теплоотдачи (с учетом термического сопротивления стенки), сг2 - коэффициент поверхностного натяжения пленки, Т10 - температура охлаждающей среды (хладогента), Тст - температура стенки,

Л2

1 Л Л 2

Тср -11 = +с..

1 Л+^0 ^ е \ л

=-1 { Т,бу-с4[Йс5ег-

Тст Т4ср

1 [ 2 ) Решение краевой задачи (1.1) - (1.5), (2.1) - (2.5), (3.1) - (3.6), (4.1) - (4.5) и (5.1) - (5.3) представляет собой сложную математическую задачу. Поэтому

рассмотрим решение этой задачи в некоторых конкретных частных случаях.

Конденсация при медленных режимах течения ^<< 1)

В этом случае задача существенно упрощается и в уравнениях сохранения импульса можно пренебречь левыми частями (инерционными членами). Такие режимы течения выполняются во многих случаях пленочной конденсации и уравнения сохранения (1.1) -(1.5), (2.1) - (2.5), (3.1) - (3.6) удается проинтегрировать (решить) при граничных условиях (4.1) - (4.5) и (5.1) - (5.3).

Алгоритм решения уравнений (1.1) - (1.5), (2.1) -(2.5), (3.1) - (3.6):

1. Из уравнений (1.3) - (1.4), (2.3) - (2.4), (3.3) -(3.4) соответственно следует, что

р (х, 2) = рд2 + р1 (х), р2 = р2 (2), рз = рз( г), (6) где р1(х), р2(2), р3(2) - пока неизвестные функции,

которые будут определены в дальнейшем.

2. Для интегрирования уравнений сохранения энергии (1.5), (2.5), (3.5) используем приближенный метод Слезкина [7], согласно которому соответственно вводятся функции

рС1Р1 Г л/ д71 +У д71'

ВДх ) =

я, 0/ 1х ах 1у ду7 у

ад=рКТ^у 572 +^22

Я2 Д аУ 52

р3а Г+е° +/+" 57 57

Вз(2) = ^ Г (Цу д7А+Узг ^у,

где В1(х),В2(2),В3(2) и ¿(2) - пока неизвестные функции.

Тогда после интегрирования уравнений

ВД х) =

а2 71

5у2

В^)=

5272

527л

5у

- В3(2) = ^и

5у2

при соответствующих граничных условиях получаются следующие выражения для температур 71,72 и

73,74:

у2 у2 ~

7 = В1( х) ^ + С1, 72 = ад + С2 • у + СС2,

.2

73 = 63(2 -^1(2) • у ) + С3 , 74 = С4 • у + С5 -

н

¿(2) = Г + ¿0 + + -

где С1, С2 С2, С3, С4, С5 постоянные интегрирования, которые были определены из граничных условий (4.1) - (4.5):

С2( х, 2) = А В.Л - В2(Г + ¿0).

С 4(х,2) = Я61Г ,

С1( х, 2) = р [В^й + ¿0) + С2 ]-С4

ь ¿0 Г2'

Г + —--

2 ¿0

+В1

Г2 ^ 6 • 2^

-1

С5( х, 2) = - С4 Г + С1,

2 ( х, 2) = С4 (Г + ¿0 )+ С5 -

б2 +С2

С3 ( х, 2) = В2

+ С2 (Г + ¿0 +5)+ С2

-В,

(Г + ¿0 +¿)2 2

- ¿!

,

3. Из уравнений (1.1) - (1.2), (2.1) - (2.2), (3.1) -(3.2) определяются поля скоростей

У1х ,У1уУ2у ,У22 ,У3у ,У32 при известных зависимостях температуры 71,7273 (8.1). При этом были использованы полиномиальные зависимости вязкостей м, (7,-) от температуры

^ = 1 + £*,

м (7-) *=1

3.1. Например, из уравнения

Ух (х, у)=} «Мк ^ =

Г Р1 •М1

Г Р,'( х) • у -¡1

В^ + С - 7„

В^+С - 70 [

V ^ 11_/

Су :

: Р'

+

2 1

В1

В12

2

+

24

:

+ 2В1

2

где Р'(х) =

Р1

п = 2 в зависимости (9.1).

Р1М1

3.2. При известном У1х (х, у) из уравнения (1.1) после соответствующих операций дифференцирования и интегрирования с учетом граничного условия У1у (х, Г) = 0 определяется поперечная скорость

У1у (х, у) в виде

У1у (х,у)=Г [ Г [ ]*у =

-}{№)

2

(Г - у3) 6

;

+

2

ч (у4 - Г4 ) + 2В1(С1 - 710 +

+ (С1 - 710 )2

2

+ а

+

11

г

2

6

+

12

8

В

+

11

+

12

Г

+

2

2

+Pí(X ) ^11

Bí(h3 - y3)+Cí (У^ 1 6 1 2

,(У6 - h6) . . (y4 - h4) '- + 2B|(Ci -Ti0)-v >

24

ЛУ4 - h4)

+2Bi(Ci -T¡o)Л 8 ' +

8

+2c;

dy =

= ( pÍ(x )A¡(y) + j5¡( x )A2(y ))| y = = PÍ( x) [ A¡ (h) - A¡ (y)] + pp¡( x) [ A2(h) - A2( y)],

где

A,( y) = í Ц - ¿| +a„

+w- т. )-i4 - ^

+a,.

B^ - ^ | + 11 6 24 1

6 2 B ^ - ^] +

1 í168 24 |

+2Bi (Ci - T. ).| £ - ^

U 1 10 / I 4. 8

+(C,- т. M¿ -h •"

Л(У) = a¡.

2

11 6 24 1 1

h2 y

+a..

2B1B1| 1 11 168

y7 h6 • y

+2B1(C1 - T10 )| ^ -

+2B1 (C1 - T10 )| ^ -

+2C1(C1 - Tw )| ^ -

24 h4 • y

8

h4 • y

8

h2 • y

2

ния, освобождаемой во время конденсации пара (уравнение баланса энергии в пленке конденсата):

— - о -массовая скорость конденсации, сСг г

О - р2 | ^Су - расход конденсата в пленке, (11.1) где Ог - определяется из соотношения:

А (т25 - Т№ )-

, 372,

q=-4 -г2-

5y

S

= Q3CP2 (T - T2s) + h2Qs =

= h2Qs

1 + gp2 (T3 - T2s ) h2

знак «'» - означает производную по x.

3.3. Аналогичным образом определяются поля скоростей V2y ,V2z ,V3y ,V3z по уравнениям (2.1) - (2.2),

(3.1)-(3.2) при соответствующих граничных условиях.

4. Во всех полученных выражениях для определения полей скоростей и температур присутствуют пока неизвестные величины B(x), B2(z),вз(z) и S(z). Для их определения используются зависимости (7.1) - (7.3) и условие изменения расхода конденсата по длине конденсатора (теплообменника) z с учетом потока массы при конденсации и равенства теплового потока к стенке к тепловым потокам при охлаждении пара (газа) и выделенного скрытой теплотой парообразова-

© Ф.Г. Ахмадиев - д-р техн. наук, проф., зав. каф. Прикладная математика КГАСУ, Akhmadiev@kgasu.ru; М. И. Фаррахов - д-р техн. наук, проф., директор ООО Инженерно-внедренческий центр «Инжехим», info@ingehim.ru; А. А. Ахмитшин - аспирант, сотрудник ООО Инженерно-внедренческий центр «Инжехим», info@ingehim.ru.

T2s ,Tw = Tcm - температура пленки на межфазной поверхности пленки (температура насыщения) и стенки соответственно.

Полученная система из четырех нелинейных дифференциальных уравнений решается численными методами.

5. Неизвестные величины перепадов давлений пе-ресчитываются из условий баланса (сохранения) массы хладагента, конденсата и газовой фазы с учетом процесса конденсации.

Заключение

Построенная математическая модель в конкретных частных случаях переходит в результаты работы [5] и согласуется с ранее известными, приведенными в работах [1,2] решениями.

Она позволяет определить все характеристики процесса пленочной конденсации для аппаратов типа [6] и решить вопросы оптимального аппаратурного оформления соответствующего процесса конденсации.

Литература

1. Теплопередача в двухфазном потоке/Под ред. Д. Баттервор-са, Г. Хьюитта. Пер. с англ. Энергия,Москва. 1980. 328 с.

2. Михалевич А.А. Математическое моделирование массо-теплопереноса при конденсации. Наука и техника.Минск, 1982. 216 с.

3. Кутателадзе С.С. Теплопередача при конденсации и кипении. Машгиз.Москва-Ленинград, 1952, 232 с.

4. Справочник по теплообменникам/ Под. ред. Б.С. Петухо-ва, В.К. Шикова. Пер. сангл. Т. 1. Энергоатомиздат. Москва, 1987. 560 с.

5. Nusselt W. Surface condensation of water vapours// Z. Ves. Dt. Ing. 1916. V. 60(26). P. 569-575; V. 60(27). P. 541-546.

6. Фарахов М.И., Ахмитшин А.А., Кузнецов В.А, и др. Теплообменник радиально-спирального типа (варианты)// Патент RUS №2583316. 2016. Бюл. №13 от 10.05.2016.

7. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. ГИТТЛ.Москва, 1951. 420 с.

© F. G. Ahmadiev - doctor of technical sciences, professor, head of the department Applied Mathematics KSUAE, Akhmadiev@kgasu.ru; M. I. Fa-rakhov - doctor of technical sciences, professor, directorof Engineering Promotional Center «Ingehim», info@ingehim.ru; A. A. Akhmitshin - graduate student, employeeof Engineering Promotional Center «Ingehim», info@ingehim.ru.

+

12

2

+

+

3

+

5

+

5

+

3