Расчет геометрических и кинематических характеристик рабочего контакта колесо - рельс

ТРАНСПОРТ

УДК 656.2/4

РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РАБОЧЕГО КОНТАКТА "КОЛЕСО - РЕЛЬС"

© 2003 г. Л.Н. Сорин, Г.А. Бузало, А.А. Зарифьян

При исследовании динамики железнодорожного экипажа необходимо располагать математической моделью процесса качения колесной пары по рельсовой колее. Эта модель должна достаточно точно учитывать основные реально существующие факторы, но быть компактной и сочетаться с другими элементами, составляющими общий комплекс компьютерного моделирования движения экипажа.

Пару тел, имеющих точку контакта, которая может перемещаться по их поверхностям, в динамике систем твердых тел принято называть контактным шарниром [1, 2]. Построение математической модели контактного шарнира «колесо-рельс» включает в себя параметризацию соприкасающихся поверхностей и получение уравнений связей. Существенное значение имеет также определение геометрических (главные кривизны соприкасающихся поверхностей) и кинематических (скорость скольжения в точке контакта) характеристик контактного шарнира.

В настоящей работе при описании геометрических очертаний колес и рельсов будем использовать следующие понятия. Кругом катания колеса и центральной линией на рельсе назовем линии, по которым происходит касание рабочих поверхностей колеса и рельса во время движения колесной пары по прямолинейному участку пути при центральной установке (рис.1).

Рис. 1. Геометрические очертания рабочих поверхностей колес и рельсов: а - круг катания, б - центральная линия рельса

Согласно [3], для задания текущего положения колесной пары на траектории движения будем использовать дуговую координату s и подвижный базис [SC], начало которого перемещается по проекции оси пути на горизонтальную плоскость. Ось пути - это линия, проходящая посередине между центральными линиями рельсов.

Введем в рассмотрение вспомогательную систему координат [SC'], предназначенную для задания возможных изменений уровней рельсов. Она получена переносом базиса [SC] на величину hC (s) в вертикальном направлении и поворотом на угол yc (s) вокруг продольной оси так, чтобы поперечная ось [SCI оказалась направленной по касательной к поверхностям катания на рельсах (рис. 2).

Zc № Uc

Yc' ^ Y

Рис. 2. Задание изменения уровней рельсов в профиле По известным значениям возвышений уровней рельсов слева ^ (5) и справа hR (5) параметры, задающие положение [£С"], определяются следующим образом:

, .ч ^

^ (5) -; 8шус(5) = -КУ '

2

2Ь,

где Ьк - половина расстояния между кругами катания.

Заметим, что возвышение рельса, правого по ходу, означает отрицательный угол ус .

Касательные в продольном направлении к центральным линиям левого и правого рельсов могут быть различно направлены. Поэтому вводятся дополнительные системы координат [Ж] и [Ж] для левого и правого рельсов. Они получены поворотом на углы

R

Хь и Хд (вокруг поперечной оси координатной системы [Ж'] таким образом, чтобы их продольные оси были направлены по касательным к центральным линиям рельсов в сторону движения. Начала систем [Ж'], [Ж] и [Ж] совпадают.

Очевидно, что углы хь (•?) и хд (•?) задают наклон касательных в продольном направлении для левого и правого рельсов соответственно, поэтому

X L =- arctg

dhL

XR = - arctg

dhR

ds ds

Связь между базисами координатных систем [Ж] и [SL]:

e(L) = ALCe_r(C); ALC = ALC'AC'C = G2(xL)G1(yC); [Sq и [SR]:

e/ - A e

(R) = ARC e(°)• ARC = ARC CC

A = G 2 (x r )Gj(y c ),

здесь Gi и G2 - матрица поворота вокруг первого и второго орта:

"10 0 G1(91) = 0 cos ф1 sin ф1 0 - sin ф1 cos ф1

^2(Ф2) =

cos Ф2 0 - sin Ф2 0 1 0 sin Ф2 0 cos Ф2

Отметим три возможных случая.

1. При движении по прямолинейному пути системы координат [Ж], [Ж] и [Ж] совпадают, функции hC (5), yc (5), xL (s) и xR (s) равны нулю.

2. При движении по круговой кривой с постоянным возвышением правого рельса hR = 0,15 м имеем следующие значения функций: hC (s) = 0,075 м, YC (s) = -0,095 рад. Изменений уровней рельсов не происходит, поэтому xL (s) и xR (s) равны нулю.

3. При движении по переходной кривой, имеющей начальную дуговую координату s1 и длину l, с линейным изменением уровня правого рельса от 0 до hmax имеем следующие значения функций

hC (s) = hm^L; Sin yc (s) = - -s - si hmax •

l 2

l 2b,

x l (s) = 0; tg xr (s) = --

hm

I

Параметризация поверхностей, находящихся в контакте, заключается в задании соотношений, определяющих зависимость радиус-векторов поверхностей от криволинейных координат, заданных на этих поверхностях

Г-г = Гг (Жг ),

где г_г - радиус-вектор, м>_г - набор криволинейных координат, г - номер поверхности (г = 1, 2). Здесь и далее подчеркивание снизу обозначает векторную или матричную переменную.

Рассмотрим процесс параметризации соприкасающихся поверхностей на примере рабочих поверхностей новых неизношенных колес и рельсов.

Рабочая поверхность (поверхность катания) колеса электровоза представляет собой конус, параметры которого определяются ГОСТ 11018-87 (рис. 3). Угол между осью конуса и его образующей равен ак = 0,0499584 рад (соответствует подуклонке 1:20). Диаметр круга катания для колесных пар электрово-

зов составляет 2R, = 1250

расстояние между

кругами катания равно 2Ьк = 1580 мм [4].

С колесной парой свяжем систему координат [Ж] с началом в ее центре масс и ортами, направленными по главным центральным осям инерции, причем [Ж] не совершает собственного вращения. При движении углы Кардана между осями координатных систем [Ж] и [Ж] имеют некоторые достаточно малые значения,

соответствующие боковой качке ф

колесной пары.

Рис. 3. Рабочая поверхность колеса электровоза Связь между базисами систем [Ж] и [Ж] имеет вид

г = 1, 2, 3;

е/ - A е/ .

a- = о3

„(F h

где матрица G1 определяется из (1), а G3 - матрица поворота вокруг третьего орта системы [SC]: cos ф3 sin ф3 0 С3(ф3) = - sin ф3 cos ф3 0 0 0 1

Для левого по ходу колеса колесной пары положение некоторой точки K1 на рабочей конической поверхности определяется при помощи криволинейных координат икол1 (угловая координата) и укол1 > 0 (линейная координата), см. рис. 4.

Радиус-вектор точки K1 в локальной системе координат [SF] имеет вид

ГК

где Р1 = Rk — (^кол1 - bk )tg ak - расстояние от оси

колесной пары до К1; Rk - радиус круга катания; bk -половина расстояния между кругами катания; ak - угол, определяющий конусность рабочей поверхности колеса.

мм

[ SF ]

X

Рис. 4. К определению положения точки на рабочей поверхности колеса

На правом колесе радиус-вектор точки K2 в [SF] равен:

rKiiW^Укол2) =

где Р2 = Rk + (кал 2 + bk ) ak - расстояние от оси

колесной пары до K2.

На рабочих поверхностях колес координатные линии u кол 1,2 = const представляют собой прямые (образующие конуса), а координатные линии Укол 1,2 _ const —

окружности радиуса Pi,2 = Rk + (l,2 + bk ) аk , центры которых лежат на оси конуса.

Рабочая поверхность рельса представляет собой цилиндр, радиус которого в поперечном сечении Rp = 300 мм (рис. 5). При параметризации рабочих

поверхностей рельсов, уложенных в криволинейных участках пути, принято допущение о так называемом "локальном" прямолинейном рельсе [5]. Направления «локальных» прямолинейных рельсов задаются введенными выше системами координат [SL] и [SR]. Геометрическая ошибка, связанная с этим допущением, незначительна [5].

В силу однородности «локализованного» пути в продольном направлении, достаточно определить компоненты y и z радиус-вектора точки на рабочей поверхности рельса. Значения этих компонент на левом рельсе в [SL] как функции криволинейной координаты uрел1 (угловая координата, принимающая

положительные значения при отклонении от вертикали наружу) имеют вид (рис. 6):

rQhy (Upenl) = bk + Rp (sin ak + sin Upenl) + AVl

rQbz (U penl) = -Rk ~Rp (C0S ak -C0S U релО - AzL

где Кр - радиус поперечного сечения рабочей поверхности рельса.

Рис. 5. Профили рельсов разных марок

Центральная линия рельса

Левый рельс

Рис. 6. К определению положения точки на рабочей поверхности рельса

Аналогично, на правом рельсе

гд2,у (ирел 2 ) = -Ьк - Яр ак + зт ирел2 ) - ;

(и рел2) = -к -Rр (С03 ак -с03 и рел 2) ~ АЯ

На рабочих поверхностях рельсов координатные линии Upm 1,2 = const представляют собой прямые линии, параллельные оси рельса, в поперечном направлении — окружности радиуса Rp = 0,3 м.

Введенные в (5) и (6) поправки AyL , Azl , AyR и Azr позволяют учитывать такие факторы, как ушире-ние или сужение колеи, деформацию рельсов, локальные вертикальные и поперечные неровности.

Перейдем к получению уравнений связей в контакте «колесо—рельс». Условие касания рабочих поверхностей колеса и рельса означает равенство радиус-векторов точек контакта (3) — (6), записанных в одной и той же системе координат, а также коллинеарность нормалей контактирующих поверхностей.

Вектор нормали к поверхности, заданной в параметрической форме, определяется следующим образом [6]:

1 2 1 n = т х т ; т =

Эг

du

т2 =

Эг

dv

где т1, т2 - касательные векторы, символ "х " обозначает операцию векторного произведения.

Z

На рабочих поверхностях рельсов вектора касательных в продольном направлении, записанные в собственных системах координат, т.е. [5Ь] либо [Ж], равны

,2(L) - Q1

— (10 0)T ; tQ = (10 0)J .

Для записи окончательных уравнений контакта необходимо перевести все векторы в одну систему координат. Для радиус-векторов и нормалей на левом колесе преобразования имеют вид:

Гк1 = А (т _ а + А гко; "к! = А А ,

на правом колесе:

гк 2 =А (г гк +А гк 2 ) ; пк 2 =А А "к 2 ,

где г у - радиус-вектор центра масс колесной пары в

системе координат [С]; г^) =(0 0 ИС ) - вектор

Г!

возвышения точки С на оси пути; п_к1, "к 2 - вектора

нормалей к рабочим поверхностям колес, найденные по формуле (7).

Матрица поворота АСЕ получается транспонированием матрицы АЕС , определяемой выражением (2).

Окончательно уравнения контакта сводятся к восьми независимым скалярным уравнениям связей:

r(L) = r(L) . (R) = r(R) . 'K1, z _ 'Q1,z ' 'K 2,z ~ 'Q 2,z '

r (L) — r (L) * r (R) — r (R) rK1,y ~ Q1,у rK2,y~rQ2,y

n(L) — 0. n(R) — 0. "K1,x u ' "K2,x u'

(nKi) x nQLi))x — 0; (nKR2) x nQR2))x — 0,

где nQ1

K2

- вектора нормалей к рабочим поверхностям рельсов; индексы х, y, z обозначают соответствующую компоненту вектора.

Поскольку символьные выражения уравнений связей весьма громоздки, для их вывода была использована система аналитических вычислений Maple.

Полученные выше уравнения (8), (9) позволяют находить криволинейные координаты левой и правой точек контакта «колесо-рельс» при некотором заданном положении колесной пары на рельсовой колее. Приведем три примера.

1. Колесная пара находится на рельсовой колее в центральной установке. Значения криволинейных координат таковы:

икол1 = П/2 = 1,570796; уКОЛ1 = bk = 0,79; иреЛ1 = - ак = = - 0,049958 (слева),

икол2 = п/2 = 1,570796; утЛ2 = -bk = - 0,79; ЫреЛ2 = = - ак = - 0,049958 (справа).

2. Колесная пара имеет отклонение от центральной установки (смещение на 5 мм влево по ходу):

uml = 1,570796; voaA = 0,784695; ирел1 = - 0,0502879 (слева),

икол2 = 1,570796; укол2 = - 0,795305; ирел2 = - 0,0496289 (справа).

3. Колесная пара имеет отклонение от центральной установки (смещение на 5 мм влево по ходу и поворот на угол 0,01 рад вокруг вертикальной оси):

икол1 = 1,570296; укал1 = 0,784731; ирел1 = - 0,0502904 (слева),

икоол2 = 1,571296; vm2 = - 0,795341; ит2 = - 0,0496314 (справа).

В дальнейшем будут необходимы главные значения кривизн поверхностей, находящихся в контакте. Для этого воспользуемся полученным выше параметрическим заданием этих поверхностей (3) - (6), касательных и нормальных векторов (7).

Единичная нормаль к поверхности находится нормированием:

n

"e = П .

М

Коэффициенты первой дифференциальной формы Гаусса (первой основной квадратичной формы поверхности) E, F, G вычисляются согласно [6]:

E = (ги К), F = (ги' К), G = (ги' К).

Коэффициенты второй дифференциальной формы Гаусса (второй основной квадратичной формы поверхности) L, M, N вычисляются как

l = -(!•; п'и), M = -(!•; <), N = -« "V).

Главные значения кривизны kn 1,2 находятся как корни квадратного уравнения

(EG - F2 )k2 + (2FM - EN - GL)kn + (LN - M2) = 0.

Для конической рабочей поверхности колеса одна из главных кривизн (вдоль координатной линии икол = const) всегда равна нулю: k^^ = 0, а другая (вдоль координатной линии укол = const) определяется выражением

k —

cos

Rk +

напомним, что для левого колеса Укол > 0, а для правого

\ол <

Приведем примеры вычислений.

1. При укол = Ьк , что соответствует центральной установке колесной пары, главные кривизны рабочей поверхности колеса в точке к имеют такие значения

^коли = 0, = = 1,598 м -1. Кк

2. Если колесная пара смещена влево на 5 мм, то главные кривизны рабочих поверхностей колес в точках контакта составят:

k — 0 k

колм ' колу

= 1,597326 м 1 (слева);

— 0, ^олу = 1,598682 м 1 (справа).

k

3. При смещении на 5 мм влево по ходу и повороте на угол 0,01 рад вокруг вертикальной оси главные кривизны равны:

k = 0 k

коли ' ""KQnv

kKO™ = 0 , kK,

= 1,597330 м 1 (слева); = 1,598687 м 1 (справа).

Отметим, что для цилиндрической рабочей поверхности рельсов одна из главных кривизн (соответствующая продольному направлению) всегда равна нулю, а другая постоянна и равна крел = 1/Rp = 3,333 м -1.

Важным этапом при описании качения колесной пары является определение такой кинематической характеристики, как скорость проскальзывания колеса по рельсу. Значение скорости проскальзывания в дальнейшем будет использоваться для вычисления касательных усилий в рабочем контакте "колесо-рельс".

Для нахождения скорости проскальзывания при движении колеса по рельсу введем для колеса дополнительный базис [Ж], полученный поворотом системы координат на рельсе вокруг продольной оси так, чтобы его третий орт оказался сонаправлен с нормалью к поверхности в точке контакта. Например, для точки контакта слева:

(L) ,

Пе = (nx

,n), yel)\ = 1,

Единичную нормаль П'е') можно получить, нормировав вектор-градиент уравнения связи для левого колеса из (8).

Компоненты базисных векторов [Ж] для левого колеса, записанные в системе координат [Ж], имеют вид:

> 0 .

(

„

V

i

0 -

1 - ny

ф

1 - ny

e(V) = Ik ,2

nxny

I

1 - ny

i

1 - ny

nynz

1 - ny

JL) _JL)

Для точки контакта справа дополнительный базис находится аналогично.

Воспользовавшись матрицами поворота, запишем координаты векторов базиса [Ж] в неподвижной системе [50]:

е

i = 1,3.

Скорость точки контакта определяется как

v

K

Радиус-вектор точки контакта определяется

при решении уравнений связей; а скорость полюса

(0) (0) V , угловая скорость вращения ю находятся из

соотношений кинематики движения колесной пары как элемента СТТ.

Значения поперечного Ух, продольного ¥у крипа (линейных скоростей проскальзывания) и спина (угловой скорости) ф определяются как проекции векторов линейной и угловой скоростей на орты [Ж] (10):

V. =((0°,еК0)а), ^у = ((0),^),

ф =

((0), е(0?з).

Приведенное математическое описание геометрических и кинематических характеристик рабочего контакта "колесо—рельс" представляет собой один из составных элементов модели динамики качения колесной пары по пути произвольного начертания.

Литература

1. Пагарелав Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. Брянск, 1997.

2. Бахвалов Ю.А., Зарифьян А.А. и др. Моделирование электромеханической системы электровоза с асинхронным тяговым приводом / Под ред. Е.М. Плохова. М., 2001.

3. Бузала Г.А., Зарифьян А.А., Сарин Л.Н. Макрогеометрия оси рельсового пути // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. № 3.

4. Верига М.Ф., Каган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава / Под. ред. М.Ф. Вериго. М., 1986.

5. Fissette P., Lipinski K., Samin J.C. Dynamic behavior

comparison between bogies: rigid or articulated frame, wheel set or independent wheels // The dynamics of vehicles on roads and on tracks: Vehicle System Dynamics Supplement 25. 1996. P.152-174.

6. Финикав С.П. Дифференциальная геометрия. М., 1961.

ОАО Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт электровозостроения; Южно-Российский государственный технический университет

26 марта 2003 г.