О структуре булевозначного универсума

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 2, С. 38-48

УДК 517.98

1Э01 10.23671 /УГГС.2018.2.14718

О СТРУКТУРЕ БУЛЕВОЗНАЧНОГО УНИВЕРСУМА1

А. Е. Гутман

Анатолию Георгиевичу Кусраеву в связи с его 65-летием

Аннотация. Уточнен логический механизм, стоящий за объявлением гипотез. В том числе, уделено внимание гипотезам и заключениям, представляющим собой бесконечные наборы формул. Приведены формальные определения булевозначной алгебраической системы и модели теории, определение системы термов булевозначной оценки истинности формул, подъема и перемешивания. Описаны логические взаимосвязи между принципами подъема, перемешивания и максимума. Показано, что перемешивание с произвольными весами может быть преобразовано к перемешиванию с постоянным весом. Введено и исследовано понятие сужения элемента булевозначной алгебраической системы. Установлено, что всякая булевозначная модель теории множеств, удовлетворяющая принципу подъема, имеет многоуровневую структуру, аналогичную кумулятивной иерархии фон Неймана.

Ключевые слова: теория множеств, булевозначная модель, универсум, кумулятивная иерархия.

1. Формализм объявления гипотез

В математических текстах часто используются «объявления гипотез» — когда на протяжении фрагмента рассуждений (определений и доказательств) предполагаются выполненными определенные условия или за какими-либо переменными закрепляется роль объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Примером объявления гипотезы служит фраза «всюду ниже В — полная булева алгебра», с которой начинается следующий параграф данной статьи. В определенном смысле эта фраза «фиксирует» букву В и добавляет «временную» аксиому 7(В), формализующую утверждение «В — полная булева алгебра».

В подавляющем большинстве случаев эффект, производимый объявлением гипотезы, вполне понятен на неформальном уровне, но использование бесконечных наборов формул в качестве гипотез или заключений принуждает к определенной аккуратности.

1.1. Рассматриваемая нами проблематика характерна наличием «бесконечных утверждений», представляющих собой бесконечные множества формул. Таковыми являются, например, утверждения «система X является моделью теории Т» или «система X удовлетворяет принципу максимума».

© 2018 Гутман А. Е.

1 Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № 1.1.2., проект № 0314-2016-0005.

Логические связки «бесконечных утверждений» обретают смысл благодаря механизму формального вывода. Например, если хотя бы одно из утверждений Г или А бесконечно, то импликация Г ^ А сама по себе смысла не имеет, но фраза «Г влечет А в теории Т» поддается формализации в виде выводимости: Т, Г Ь А.

1.2. Пусть Т — какая-либо теория (множество предложений) сигнатуры £ и пусть Г и А — произвольные множества формул сигнатуры £. (Множества Г и А могут быть бесконечными и содержащиеся в них формулы могут иметь вхождения свободных пере-

А Г Т

в виде Т, Г Ь А и определяется посредством понятия формального вывода в исчислении предикатов: для любой формулы 5 £ А существует последовательность формул Р1,..., рп такая, что рп = 5 и каждая формула рг либо принадлежит Т и Г, либо получается из предшествующих формул р1,..., Рг— с помощью классических правил вывода,

Г

1.3. Приведенный ниже факт непосредственно вытекает из теоремы о полноте.

Следующие утверждения равносильны:

(1) Т, Г Ь А;

(2) Т, Г Ь 5 для всех 5 £ А;

(3) для любой формулы 5 £ А существует такой конечный набор 71,...,7п £ Г, что Т Ь (Vу)(71 Л    Л 7п 5), где с — перечень свободных переменных, входящих

В71,...,7п,5;

(4) для любой модели X теории Т и любого означивания V: V ^ X свободных переменных V, входящих в Г и А, из истинности X \= 7[V] для всех 7 £ Г вытекает истинность X \ 5^] для всех 5 £ А.

1.4. Механизм объявления конечной гипотезы Г = {71,... ,7п} поддается более простой формализации. В этом случае с помощью замены свободных переменных формулы 7 := 71 Л    Л 7п на константы можно обойтись формальными выводами, задейству-ющими лишь предложения. Формализм, стоящий за «фиксацией» объектов удовлетворяющих условию 7(^1, ...,гт), раскрывается следующим фактом, легко проверяемым с помощью теоремы о полноте.

Пусть V := г>1,..., Ут — перечень свободных переменных, входящих в формулу 7(0). Рассмотрим сигнатуру £*, полученную из £ добавлением констант с := С1,..., ст, и теорию Т* сигнатуры £*, полученную из Т добавлением аксиомы 7(с).

(1) Для любой формулы 5(с) сигнатуры £

Т* Ь 5(с) ^ Т, 7(0) Ь 5(с) ^ Т Ь (VС)(7(с) ^ 5(с)).

(2) Если Т Ь (3 с) 7(0), то Т* консервативно расширяет Т, т. е. для любого предложения р сигнатуры £

Т* Ь р ^ Т Ь р.

1.5. Например, в рамках гипотезы «Б — полная булева алгебра» выражение

ZFC Ь (¥(в) \ 2ЕС),

символизирующее доказуемость в 2¥С бесконечного утверждения «У(Б) является моделью 2РС», формально эквивалентно выводимости

ZFC, Б — полная булева алгебра Ь (У(в) \ ZFC),

которая, в свою очередь, означает что для всякого предложения являющегося теоремой 2¥С, выполняется любое из следующих трех равносильных условий:

(1) ZFC, В — полная булева алгебра Ь (¥(в) n

(2) ZFC Ь (VВ)(В — полная булева алгебра ^ У(в) N И;

(3) ZFC* Ь (У(в) n и,

где ZFC* — расширение 2¥С константой В и аксиомой «В — полная булева алгебра». 2. Булевозначные алгебраические системы

В

2.1. Пусть X, [=]х [е]х — определяемые в 2¥С термы или классы. Говорят, что (X, [=]х, [е]х) является булевозначной (точнее, В-значной) алгебраической системой сигнатуры £ := {=, е} или, более коротко, В-системой, имея в виду конъюнкцию следующих формул:

X = 0, [=]х : X2 ^ В, [е]х: X2 ^ В,

[=]х

[=]х

для всех ж, у, г е X. Вместо (X, [=]х, [е]х) пишут про сто X.

2.2. Предположим, что X — В-система. Для каждой формулы ^(ж) сигнатуры £, где ж = ж1,..., жп — полный список свободных переменных введем п-местный функциональный символ [^>(ж)]х, условимся записывать терм [^>(ж)]х(ж) в гаде [Нх и расширим теорию определениями

[ж = у]х = [=]х(ж, у), [ж е у]х = [е]х(ж, у),

[^ V ф]х = Мх Vв [ф]х, [^ Л ф]х = [Их Лв [ф]х, [-Их = -в Мх, [(3ж) Их = йиРв{Мх : ж е X}, [(Vж) Их = 1пММх : ж е X},

где ^ и ф — формулы сигнатуры £, —в — операция дополнения в булев ой алгебре В.

Формально говоря, приведенные выше формулы корректно определяют функциональные символы [Иж)]х в рамках теории, полученной из 2¥С добавлением гипотез «В — полная булева алгебра» и «X — В-система». Определения этих символов, в свою очередь, расширяют сигнатуру и аксиоматику, приводя к консервативному расширению ZFC* исходной теории. (Соответствующий формализм более подробно рассмотрен в [1].) При этом для любой формулы Иж) сигнатуры £ в ZFC* выводима формула (Vж е X) [Иж)]х е В. В дальнейшем мы будем писать ЪГС вместо ZFC*, неявно присоединяя к аксиоматике все сформулированные гипотезы и определения.

2.3. Говорят, что формула иж) сигнатуры £ истинна в X, и пишут X n ^>

Систему X называют булевозначной (В-зна,ч,ной) моделью множества Ф предложений сигнатуры £, и пишут X n Ф, если X n ^ для всех ^ е Ф. Под булевозначной В

Отметим, что в случае бесконечного множества Ф условие X \ Ф является бесконечным утверждением (см. § 1), представляющим собой набор формул {X \ р : р £ Ф}.

Как известно, в булевозначной системе истинны все тавтологии, а правила вывода сохраняют истинность. Точнее говоря, в предположении, что X является Б-системой, справедливы следующие факты:

(1) ZFC Ь (X \ Ф), где Ф — совокупность всех тавтологий сигнатуры £;

(2) если множества предложений Г и А сигнатуры £ таковы, что ZFC Ь (X \ Г) и Г Ь А, то ZFC Ь (X \ А).

Таким образом, в записи X \ ZFC под 2¥С можно понимать как совокупность специальных аксиом 2¥С, так и совокупность всех теорем 2¥С.

2.4. Пусть X — Б-система и пусть р(ж, у) — произвольная формула сигнатуры £, где у = у1,..., уп. Тогда в 2¥С доказуемо, что для любых ж1, ж2, у £ X иЪ £ Б

[Ж1 = Ж2] ^ Ъ ^ [р(Ж1,0)] Л Ъ = [р(Ж2,у)] Л Ъ.

< Согласно 2.3 (1) справедливо соотношение

[р(ж, у) Л (ж = Жг) ^ р(Жг, у) Л (ж = Жг)] = 1В .

Следовательно,

[р(Ж1,у)] Л [Ж1 = Ж2] = [р(Ж2, у)] Л [Ж1 = Ж2], а значит, в случае [Ж1 = Ж2] ^ Ъ мы имеем

[р(Ж1, у)] Л Ъ = [р(Ж1, у)] Л [Ж1 = Ж2] Л Ъ = [р(Ж2, у)] Л [Ж1 = Ж2] Л Ъ = [р(Ж2, у)] Л Ъ. >

2.5. В случае ZFC Ь (X \ ZFC) записи [р(Ж)]х и X \ р(Ж) обретают смысл не только

р£

р

под [р(Ж)]х понимается [ф(Ж)]х, вде ф — результат элиминации определяемых символов, т. е. такая формула ф сигнатуры £, что ZFC Ь (р ^ ф). В частности, рассматривая булевозначную модель X теории 2¥С, мы имеем возможность употреблять такие термы и формулы, как [ж П у = 0]х или X \ (/: Ж ^ у).

Кроме того, в конструкциях вида [   ]х и X \ (  ) допускается неформальное употребление «внешних» термов, определяемых в 2¥С. Например, в контексте /: А ^ X запись [/(а1) = /(а2)]х = Ъ служит сокращением формулы

(3 Ж1,Ж2КЖ1 = /(й1) Л Ж2 = /(й2) Л [Ж1 = Ж2]х =

2.6. Система X называется отделимой, если

(VЖ,у £ X)([=]х(ж,у) = 1в ^ Ж = у).

В случае 2-системы, где 2 := {0,1} — простейшая булева алгебра, отделимость означает стандартность интерпретации равенства: [=]х (ж, у) = 1 ^ ж = у.

3. Принципы подъема, перемешивания и максимума

Всюду ниже B — полная булева алгебра, X — отделимая B-значная алгебраическая система сигнатуры £ := {=, е}, причем в X истинна аксиома экстенсиональности:

X N (Vx,y)((Vz)(z е x ^ z е y) ^ x = y).

Сразу отметим, что элементы x такой системы X однозначно определяются значениями [z е x]X (z е X): если x, y е X и [z е x]X = [z е y]X для всex z е ^ox = y.

BX

волах supB, Лв, [... ]X, ascX, tX, mixX и т. п.

3.1. Пусть C — подмножество B х X. Элемент x е X называют подъемом соответствия C и обозначают сим волом asc C, если

[z е x] = sup (6 Л [z = y]) для вс ex z е X. (b,y)eC

В случае соответствия, заданного парой семейств (6i)iei С B, (xi)iei С X, вместо

asc{(6i,xi) : i е I} используется более компактная запись asc 6^. Таким образом, выра-

iei

жение x = asc 6^ означает iei

[z е x] = sup (6i Л [z = x^) для вс ex z е X. iei

Для 6 е B и Y С X подъем asc({6} х Y) называется подэ&мсш множества Y с весом 6 и обозначается символом 6Yt Элемент x = 6Yt определяется соотношениями

[z е x ] = 6 Л sup [z = y ] z е X.

yeY

В случае 6 = 1B подъем 6Yt обозначают Yt и называют подъемом множества Y. X

(VC С B х X)(3x е X)(x = ascC), (Vx е X)(3 C С B х X)(x = ascC).

3.3. Пусть Y — подмножество или подкласс X. Символом Prt(B, Y) условимся обозначать класс всех функций P: D ^ Y, определенных на разбиениях единицы булевой алгебры B, т. е. на таких подмножествах D С B, что

supD = 1B, (Vdbd2 е D)(di = d2 ^ di Л d2 = 0B).

Элемент x е X называется перемешиванием функции P е Prt(B,X) и обозначается символом mix P, если

[x = P(d)] ^ d для всех d е D. Иногда под разбиением единицы удобно понимать семейство (di)iei С B такое, что

sup di = 1в, (Vi, j е I)(i = j ^ di Л dj = 0B). iei

Для разбиения единицы (di)iei С B и семейст ва (xi )iei С X символ ом mix di xi обозна-

iei

x е X

[x = xi] ^ di для вс ex i е I.

Как легко видеть, mix di xi = mix{(di, xi) : i е I, di = 0}. ie i

Совокупность перемешиваний всевозможных функций P G Prt(B,Y) называется циклической оболочкой подмножества Y С X и обозначается сим волом cyc Y.

3.4. Говорят, что X удовлетворяет принципу перемешивания, если

(VP G Prt(B,X))(3 x G X)(x = mix P).

3.5. Пусть p(x, у) — формула сигнатуры S, все свободные переменные которой содержатся в списке x, у, где у = yi,..., yn. Система X удовлетворяет принципу максимума для формулы р, если

(Vу G X)(3 Хо G X) [(3 x)p(x,y)] = [p(xo,у)]. Как легко видеть, если X удовлетворяет принципу максимума для р, то (Vу G X)(X n (3x)p(x, у) ^ (3x G X) X n p(x,y)).

XX

максимума для любой формулы сигнатуры S.

3.6. Согласно [2, 1.10, 1.11] (см. также [3, 6.1.7, 6.1.8]) в ZFC доказуемы следующие соотношения между сформулированными выше принципами.

Пусть X — произвольная B-система сигнатуры S. X X

X

xG у X

XX

ципу максимума.

BX

любых (bj)je/ С B и (xi)ie/ С X найдутся b G B и (у^е/ С cyc{xj : i G I} такие, что

sup (bj Л [z = x^j) = b Л sup [z = у^] для всех z G X. je/ je/

< В случae I = 0 утверждение леммы очевидно. Пусть I = 0.

Положим b = supje/ bj, I* = I U {I}, d/ = —b и рассмотрим произвольный элемент x/ G {xj : i G I}. Согласно принципу исчерпывания (см. [3, 2.1.10(1)]) существует такое разбиение единицы (dj)je/* С B, что dj ^ bj для всex i G I*. Заметим, что supje/ dj = b. Благодаря принципу перемешивания в X имеется элемент x = mixje/* djxj, характеризующийся соотношениями

[x = xj] ^ dj для всех i G I*.

По той же причине для каждого i G I в X имеется элемент yj = mix{(bj,xj), (—bj,x)}, удовлетворяющий неравенствам

^ = xj] ^ bj, ^ = x] ^ —bj.

Покажем, что семейство является искомым. Очевидно, ^j)je/ С cyc{xj : i G I}.

zGX

sup (bj Л [z = xj]) = sup (bj Л [z = yj]) ^ b Л sup[z = yj]. je/ je/ je/

С другой стороны, благодаря (1) и 2.4 справедливы соотношения

6 Л [z = x] = sup (di Л [z = x]) = sup (di Л [z = xi]) ^ sup (6i Л [z = xi]), iei iei iei

откуда с учетом (2) и 2.4 следует, что для всех i е I

6 Л [z = yi] =

^ (6i Л [z = xi]) V sup (6i Л [z = xi]) = sup (6i Л [z = xi]),

jei iei

и поэтому 6 Л supiei [z = yi] = supiei (6 Л [z = yi]) ^ supiei (6i Л [z = xi]). >

XB

тенсиональности.

(1) X C С B х X найдутся 6 е B и Y С cyc C [B] такие, что в X существование asc C равносильно существованию 6Yt причем asc C = 6Yt

(2) Если X удовлетворяет принципу подъема, то для любого x е X существуют 6 е B и Y С X такие, что x = 6Yt При этом 6 = [x = 0] и [y е x] = 6 для всех y е Y.

4. Иерархическая структура булевозначной системы

Всюду ниже B — полная булева алгебра, X — отделимая B-значная алгебраическая система сигнатуры £ := {=, е}, причем система X удовлетворяет принципу подъема и

X

также принципам перемешивания и максимума (см. 3.6).

4.1. Обозначим символом 0X подъем ascX 0 пустого соответствия 0 С B х X. Элемент 0X е X играет внутри B-системы X роль пустого множества, т. е. X n (0X = 0) или, что то же самое, X n (V y) — (y е 0X).

Для x е X и 6 е B перемешивание mix{(6, x), (—6, 0X)} условимся обозначать символом x|b и называть су же нием x на 6:

[x|b = x] ^ 6, [x|b = 0] ^ —6.

4.2. Лемма. Для любых a, 6, 6i е B, x, xi, y, yi е X, Y С X справедливы соотношения:

(1) [^(xi, ...,xn,yi ,...,ym)] Л 6 = [^(xi |b, ...,xn|b,yi,...,ym)] Л 6, ГДв ^ — ПрОНЗВОЛЬ-ная формула сигнатуры £;

(2) [y е x|b] = [y е x] Л 6;

(4) ж|ь = y|ь ^ [x = y] ^ 6;

(5) (asciei 6ix^ = asciei (6i Л 6)xi = asciei (6i Л 6)xi|b;

(6) (aYt)|b = (a Л 6)Yt

< Утверждение (1) следует го 2.4 благодаря неравенствам [xi = xi|b] ^ 6. Равенство (2) вытекает из следующих оценок:

[y е x|b] ^ [y е x] Л [x = x|b] ^ [y е x] л 6;

[y е x|b] < [x|b = 0] = —[x|b = 0] < ——6 = 6;

[y е x|b] = [y е x|b] л 6 ^ [y е x|b] л [x|b = x] ^ [y е x].

(3) Из (2) следует, что [у £ (ж|а) |ь] = [у £ ж|а] Л Ь = [у £ ж] Л а Л Ь =[у £ ж|аЛЬ].

(4) Если ж|ь = у|ь, то благодаря (1) мы имеем [ж = у] Л Ь = [ж|ь = у|ь] Л Ь = Ь, откуда [ж = у] ^ Ь. Наоборот, из [ж = у] ^ Ь следует

[ж|ь = у|ь] ^ [ж|ь = ж] Л [ж = у] Л [у = у|ь] ^ Ь; [ж|ь = у|ь] ^ [ж|ь = 0] Л [у|ь = 0] ^ -Ь,

а значит, [ж|ь = у|ь] = 1В и тем самым ж|ь = у|ь благодаря отделимости.

(5) С учетом (1) и (2) для всех у £ X мы имеем

y е asc b¿x, v ¿e/

bJ

y е asc b¿x¿ Л b = sup [y = x¿] Л b¿ Л b ¿e/ J ¿e/

y е asc(b¿ Л b)x¿ = sup [y = x¿|b] Л b¿ Л b = y е asc (b¿ Л b)x¿|b ¿e/ J ¿e/ L ¿e/

Равенство (6) является частным случаем (5). >

4.3. С помощью трансфинитной рекурсии (см. [3, 1.5.9, 1.6.1]) определим класс-функцию, сопоставляющую каждому ординату а е On подмножество Xa С X, полагая

Xa = {asc C : C С B x U^<a X^}.

Как легко видеть, Xa С X^ при а ^ в X0 = {0X} Xa+1 = {asc C : C С B x Xa} для всех а е On.

4.4. Обозначим класс UaeOn Xa символ ом X^.

Лемма. Элемент x е X принадлежит X^ тогда и только тогда, когда x = asc C для некоторого C С B x X^.

< Необходимость обеспечивается определением класса X^. Поясним достаточность. Если x — asc C, вде C С B x X^, то выбирая для каждого элемента y е Y := im C ординал a(y^, удовлетворяющий условию y е Xa(y), заключаем, что Y С (Jyey Xa(y) С Xa, где а = supyeY a(y^, а значит, C С B x Xa и тем сам ым x е Xa+1 С X^. >

4.5. Определим класс-функцию ш из X в B, полагая

w(x) = sup{b е B : x|b е X^}, x е X.

Лемма. Для любых b е B, x е X имеет место эквивалентность

x|b е X^ ^ b ^ w(x).

< Рассмотрим произвольный элемент x е X и положим fi(x) = {b е B : x|b е X^}. Покажем, что множество fi(x) насыщено вниз: если а е fi(x) и b ^ ^о b е fi(x).

Действительно, пусть a е fi(x), т. е. x|a е X^. Согласно 4.4 справедливо представление x|a = asc C для некоторого C С B x X^. Тогда в случае b ^ ас учетом 4.2 (3),(5) и 4.4 мы имеем

где Cb = {(c Л b, y) : (c, y) е C} С B x X^, a значит, x|b е X^.

Остается доказать, что w(x) е fi(x), т. e. x|w(x) е X^. Для всякого b е fi(x) из включения x|b U X^ с учетом 4.4 следует, что x|b = asc Cb для некоторого Cb С B x X^. Положим C = Uben(x) Cb- Ясно, что C С B x X^, а значит, в силу 4.4 для обоснования

включения ж|цж) £ X^ достаточно показать, что asc C = ж|цж). Действительно, для всех z £ X с учетом 4.2 (2) мы имеем

[z £ asc C] = sup

= sup [z £ x|b] = sup

откуда asc C = x|w(x) благодаря отделимости системы X и истинности в ней аксиомы экстенсиональности. >

4.6. Лемма. Для любого x £ X существует z £ X такой, что

[z £ x] ^ —o>(x), —o>(z) ^ —o>(x).

< Рассмотрим произвольный элемент x £ X. Согласно 3.8 (2) найдутся b £ B и Y С X такие, что x = bYt, причем b = [x = 0] и [y £ x] = b для всех y £ Y.

Положим c = infyey w(y). В силу 4.5 для всех y £ Y справедливо включение y|c £ X^. Кроме того, из 4.2(5) следует, что x|c = ascyey (b Л c)y| с откудa x|c £ X^ согласно 4.4, а значит, c ^ o>(x). Таким образом, supyeY —o>(y) ^ —o>(x).

По принципу исчерпывания в булевой алгебре B существует антицепь (dy)ygy такая, что supyey ^ —o>(x) и ^ —^(y) Для всех y £ Y. Покажем, что z := mixyey y является искомым элементом X, т. е. [z £ x] ^ — o>(x) и —o>(z) ^ —o>(x).

Для всех y £ Y мы имеем [z = y] ^ и [y £ x] = [x = 0] ^ — o>(x), откуда с учетом 2.4 следует, что

[z £ x] Л = [y £ x] Л ^ — o>(x) Л .

Взяв супремум по y £ Y, получаем [z £ x] ^ — o>(x).

Для доказательства неравенства — o>(z) ^ — o>(x) положим а = o>(z) Л — o>(x) и допустим вопреки доказываемому, что а = 0B. Поскольку 0B = а ^ —o>(x) ^ supyey найдется такой элемент y £ Y, что Л а = 0B. Согласно 4.5 неравенство Л а ^ o>(z) обеспечивает включение z|dyЛа £ X^. С другой стороны, из 0B = Л а ^ — o>(y) следует, что неравенство Л а ^ w(y) те имеет места, а значит, y|dyЛа £ X^. Для получения противоречия остается заметить, что в силу 4.2 (4) из [z = y] ^ вытекает равенство

z|dyЛа = y|dyЛа- >

BB

если она удовлетворяет принципу подъема и в ней истинны аксиома экстенсиональности и аксиома регулярности (фундирования):

ИЛИ) чт0 т0 же самое, (V x) (x = 0 ^ (3 y £ x)(y П x = 0)).

BB

универсум. Точнее, имеются такие определяемые с параметром B классы V(B), [=] и [£],

ZFC b (VB)(B — полная булева алгебра ^ (V(B), [=], [£]) — B-значный универсум). Более того, классический B-значный универеум V(B) оказывается моделью ZFC: ZFC, B — полная булева алгебра b (V(B) n ZFC).

4.7. Теорема. Если X — булевозначный универсум, то X = |JagQn Xa.

< Рассмотрим В-значный универсум X и предположим вопреки доказываемому, что существует элемент yi G X, не принадлежащий X^. Положим b = —Из 4.5 следует, что b = 0B. Согласно 4.6 имеется элемент G X, удовлетворяющий неравенствам [У2 G y 1 ] ^ b ж —ш(у2) ^ b. «Итерируя» эти рассуждения (а строго говоря, применяя рекурсию и аксиому выбора), получаем последовательность (yn)neN элемент ob X такую, что [yn+1 G yn] ^ b для всех n G N.

Рассмотрим подъем x := {yn : n G N}t- Благодаря истинности в X аксиомы регулярности из [x = 0] = 1B следует [(3 y G x)(yHx = 0)] = 1B, а значит, по принципу максимума существует элемент y G X, удовлетворяющий равенствам [y G x] = [y П x = 0] = 1B.

Поскольку supn€N [y = yn] = [y G x] = 1B, согласно принципу исчерпывания в булевой алгебре В найдется разбиение единицы (dn)neN такое, что dn ^ [y = yn] для всex n G N, т. е. y = mixneN dnyn. Положим z = mixneN dnyn+b Тогда с учетом 2.4 мы имеем

[z G y] = sup Л [z G y] = sup Л [yn+1 G yn] ^ sup d„ Л b = b

neN neN neN

[z G x] = sup dn Л [z G x] = sup dn Л [yn+1 G x] = sup dn = 1B ^ b,

neN neN neN

откуда [y П x = 0] ^ [z G y П x] ^ b > 0B, что противоречит равенству [y П x = 0] = 1B. >

Литература

1. Гутман А. Е. Пример использования Д1-термов в булевозиачиом анализе // Владикавк. мат. журн.-2012.-Т. 14, вып. 1.-С. 47-63. DOI: 10.23671/VNC.2012.14.10953.

2. Гутман А. Е., Лосенков Г. А. Функциональное представление булевозначного универсума // Мат. тр.-1998.-Т. 1, № 1.-С. 54-77.

3. Кусраев А. Г., Кутатедадзе С. С. Введение в булевозначный анализ.—М.: Наука, 2005.

4. Solovay R. М., Tennenbaum S. Iterated Cohen extensions and Souslin's problem // Annals of Math. 1971.—Vol. 94, № 2.—P. 201-245. DOI: 10.2307/1970860.

Статья поступила 6 марта 2018 г.

Гутман Александр Ефимович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4 заведующий лабораторией функционального анализа; Новосибирский государственный университет РОССИЯ, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 1 профессор кафедры математического анализа E-mail: gutman@math.nsc.ru https://orcid.org/0000-0003-2030-7459

48

I'yrMan A. E.

Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 2, P. 38-48

ON THE STRUCTURE OF THE BOOLEAN-VALUED UNIVERSE

Gutman A. E.1'2 1 Sobolev Institute of Mathematics; 2 Novosibirsk State University

Abstract. The logical machinery is clarified which justifies declaration of hypotheses. In particular, attention is paid to hypotheses and conclusions constituted by infinitely many formulas. The formal definitions are presented for a Boolean-valued algebraic system and model of a theory, for the system of terms of the Boolean-valued truth value of formulas, for ascent and mixing. Logical interrelations are described between the ascent, mixing, and maximum principles. It is shown that every mixing with arbitrary weights can be transformed into a mixing with constant weight. The notion of restriction of an element of a Boolean-valued algebraic system is introduced and studied. It is proven that every Boolean-valued model of Set theory which meets the ascent principle has some multilevel structure analogous to von Neumann's cumulative hierarchy.

Key words: set theory, Boolean-valued model, universe, cumulative hierarchy.

References

1. Gutman A. E. An example of using Ai terms in Boolean valued analysis, Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal [Vladikavkaz Math. J.], 2012, vol. 14, no. 1, pp. 47-63 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC. 2012.14.10953.

2. Gutman A. E., Losenkov G. A. Function Representation of the Boolean-Valued Universe, Siberian Adv. Math., 1998, vol. 8, no. 1, pp. 99-120.

3. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Vvedenie v bulevoznachnyj analiz [Introduction to Boolean Valued Analysis], Moscow, Nauka, 2005, 529 p. (in Russian).

4. Solovay R. M., Tennenbaum S. Iterated Cohen Extensions and Souslin's Problem, Annals of Math., 1971, vol. 94, no. 2, pp. 201-245. DOI: 10.2307/1970860.

Received March 6, 2018

Gutman Elexander Efimovich Sobolev Institute of Mathematics,

4 Academician Koptyug av., Novosibirsk 630090, Russia; Novosibirsk State University, 1 Pirogova st., Novosibirsk 630090, Russia E-mail: gutmanOmath.nsc.ru https://orcid.org/0000-0003-2030-7459