О задаче приоритетного оптимального управления движением и управляемости линейных систем

2006 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 10. Вып. 1

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 62.50 В. Р. Барсегян

О ЗАДАЧЕ ПРИОРИТЕТНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ И УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

1. Рассматривается задача приоритетного оптимального управления движением несколькими управляющими воздействиями и управляемость этих линейных систем. При исследовании многих прикладных задач управления движением несколькими управляющими воздействиями возникает необходимость учитывать присутствие таких характеризующих параметров, выбором которых можно определить приоритетность управляющих воздействий. Поэтому предполагается, что в рассматриваемой линейной системе присутствуют параметры, характеризующие управляющие воздействия. В настоящей работе сформулированы условия вполне управляемости таких систем. Показано, что отдельно по каждому управляющему воздействию линейная стационарная система может быть не вполне управляемой, однако в совокупности этих управляющих воздействий она может стать вполне управляемой. Решая поставленную задачу оптимального управления известными способами, полученное минимальное значение критерия качества и оптимальные управляющие воздействия будут зависеть от параметров приоритетности. Далее, проведя повторную минимизацию критерия качества по данным параметрам, находим их приемлемые оптимальные значения. В качестве приложения рассмотрена задача управления движением материальной точки переменной массы в гравитационном поле. Используя полученные результаты, на числовом примере показано, что минимизация критерия качества по приоритетному принципу приводит к меньшему значению критерия качества, чем минимизация в обычном смысле.

2. Рассмотрим линейную систему

к

Х = +

г=1

где х 6 — (п х — (п х ^-мерные матрицы, элементы которых из-

меримые ограниченные функции; и— ^-мерные вектор-столбцы управляющих воздействий (г-й управляющий орган). Предполагается, что управляющие воздействия и€ Рг С Яг', где Рг ( г = 1,2,..., к) - замкнутые ограниченные множества, а параметры с*{ € [0,1] характеризуют г-й орган управления (ии являются коэффициентами его приоритетности.

Задачу приоритетного выбора оптимального управления движением сформулируем следующим образом [1, 2].

© В. Р. Барсегян, 2006

Требуется найти оптимальные управляющие воздействия и^ на отрезке времени [¿0,^1] и параметры щ € [0,1] (г = 1,2,..., к), с помощью которых система (1) переводится из заданного начального положения ж(£о) в заданное конечное положение х(Ь) и доставляет функционалу

XI«,..,«.] = (/ЕЙ'*] = И Е (¿(^Л *\ <2>

наименьшее возможное значение.

Определение. Систему (1) назовем вполне управляемой на отрезке времени ¿гЬ если из совокупности {г/1',..., и^} управлений могут быть найдены такие управления, под воздействием которых систему (1) можно перевести из любого начального положения х(Ьо) в любое конечное положение

Для исследования управляемости системы (1) целесообразно ввести такие обозначения:

В

и{к) к

В (2) матрица В{Ь,а) имеет размерность (п х т), т — ^ гг: через а обозначена со-

г=1

вокупность параметров (ах, ...,ссд;), размерность вектор-столбца II равна т. Учитывая введенные обозначения, уравнение (1) примет вид

х = А

Если система (4) стационарна, т. е.

¿ = Ах + В

то матрица вполне управляемости имеет следующий вид:

К

Теорема. Для того чтобы стационарная система (5) была вполне управляемой на любом отрезке [¿(ь^Ь необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости К (а) (6) имела ранг, равный п.

Необходимо отметить, что при наличии возможности управления системой несколькими управляющими органами и^ (г = 1,2,..., к), свойство полной управляемости приобретает более особенное значение. Так, в задачах приоритетного выбора управления, например при двух управляющих органах, возможно, что система будет вполне управляемой по одному управляющему органу, а по другому - не вполне управляемой. Или отдельно по каждому управляющему органу система может быть не вполне управляемой, однако в совокупности этих двух управляющих органов такая система может стать вполне управляемой.

Рассмотрим стационарную систему

х — Ах +

№ п

По каждому управляющему органу (по управлениям и^ и и^ при оц ф 0, а2 Ф 0) матрицы управляемости имеют вид

к.(пл _ [ агЬ[г) а<(оцЬ[0 + а12Ь{2г)) \ _ 1 „х

- (г) , (г) , ,(г)ч

\ агЬу оц(а21Ъ\' +02262 ) / а по совокупности обоих управляющих органов матрица управляемости

„ч_ «хЬ^ «2Ь[2) в^апб^+аха^) Ы^иЬ? + а12Ь^) \ а2ЬЫ а1(о21ь11)+а2241)) а2(а21Ь? + а22Ь^) )'

Чтобы система (7) по каждому управляющему органу была не вполне управляемой, а по совокупности обоих органов была вполне управляемой, параметры этой системы должны удовлетворять таким условиям:

гапдК^оц) ф 2 (г - 1,2), гапдК(а!,а2) — 2.

В частности, для системы (7) справедлива следующая лемма.

Лемма. Пусть выполнены следующие условия: оц = а22, <212 = а2\, ац + 021 ф 0, а\ ф 0, а2 ф 0; — —Ъ^ Ф 0, Ь^ — Ь^ ф 0. Тогда система (7) по отдельным управлениями^, и^ не вполне управляема, а по совокупности управлений и^ вполне управляема. Примером этой системы является

¿1 = хх + 2х2 + ацщ — а2и2, х2 = 2x1 + х2 + ах«! + а2и2,

для которой матрицы управляемости

К\{ах) = ( ), К2(а2) = ( ~а2

1 «1 За1 I V а2 -а2

К(а1уа2) = ^

«х —а2 3а1 а2 а\ а2 За! с* 2

3. Для решения задачи приоретного выбора оптимального управления движением, записывая формулу Коши для системы (1) (или системы (4)) и учитывая начальное и конечное значения фазового вектора, получим следующее интегральное соотношение:

¿1

I Н[Ь,т,а\ 17<й = С,

¿0

к

в котором матрица Я[^,г,а] = Х\Ь\,т]В(т,а) = X) оцВ^(г), ,т] - фун-

¿=1

даментальная матрица решений однородной части системы (1), а

С = х

Элементы матрицы Н\Ь\,т, а] линейно зависят от параметров сх{ (г = 1,2,..., к). Учитывая введенные обозначения (3), функционал (2) можно записать так:

1 1 2 / ¿1 / \ \2

Рассматривая задачу отыскания минимума (10) с условием (8) как проблему моментов [3], вычислим

п

ро

¿/<с,-=1 1,3=1

где

т

&;(«) = Е / Л^[<1,г,а]Л^[«1,г,а](Й (м - 1 ,...,п);

- вектор-строка матрицы #[<1,т,а]. Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, относительно неизвестных 1х,...,1п,Х будем иметь следующую систему алгебраических уравнений:

п

= =

¿=1

п

с условием — 1- Решение этой системы представим в виде

г=1

10А*(а) (а) = ц-»

Е сАМ)

з=1

где определители А^а) получаются из главного определителя с1е1;{/?^(а:)} системы (12) заменой г-го столбца вектор-столбцом С (9). Имея из (11) находим

рЦа) = £ Рф)1°(а)1Ч(а). г,3=1

Оптимальные управляющие воздействия

1 п

= -^щН^а) и = 1 ,...,т), где Л,-(*,а) = ^¿°(о)Лу

Минимальное значение функционала (10) зависит от параметров а^ е [0,1]

Х2[С/°

С помощью выбора подходящего коэффициента приоритетности органов управления а, (г = 1, 2,..., к) можно обеспечить более минимальное значение для выражения (13), т. е.

= min xV^Vi, ак),..., ..., оск)\

а,- 6 [0,1]

Найденные значения а,..., а°к соответствуют приоритетным оптимальным управляющим воздействиям а,..., а) (г = 1 ,...,к). 4. В качестве приложения рассмотрим систему

¿1 - х2,

х2 - -ах\ + Ьх3 + ащ,

¿з = ßu2•

Требуется на промежутке времени [io, при помощи выбора вектора управляющего воздействия u(t) — {ui (t), (i)} и параметров а и ß систему (15) перевести из заданного начального положения x(to) в заданное конечное положение x(ti), минимизируя функционал

Х[и] = J (uj+uDdr \t0

Система уравнений (15) в векторно-матричной форме запишется так:

х — Ах + Ви,

где

/ ' 0 1 0 \ / 0 0

—а 0 6 , 5=1 а 0

\ К о 0 0 / Vo ß

Матрица Калмана (6) будет

(0 0 а 0 0 ßb

К = {В,АВ,А2В} = а 0 0 ßb -аа 0

V о ß 0 0 0 0

Нетрудно заметить следующее: если а = 0, /3 ф 0, система (15) вполне управляема, а если /5 = 0, а Ф 0, то она не является вполне управляемой.

Пусть ¿о = 0, = а = 1, Ь = 0,2. Начальное и конечное состояния фазового вектора выберем в следующем виде: ж(0) = (0,2; —0,2; 1), х (|) = (0; 0; 0). При а = 0, согласно (14), находим

Х2 [иЧ (0, /3°) , и°2 (0, /3°)] = тт к 4,028848, где /3° к 0,5975.

Для оптимальных управляющих воздействий получаем

м?(г,0,/?°) =0, и (т,0,/3°) = 1,5155 + 0,892 соет -0,905 опт.

Рассмотрим систему уравнений

Xl - Х2, ¿2 = —ах 1 + Ьх з, ¿з = и,

т. е. а = 0, = 1 с функционалом

1

2

хМ

При вышеуказанных числовых значениях, начальных и конечных состояниях фазового вектора для минимального значения квадрата (16) получим

при тех же численных значениях, начальных и конечных состояниях фазового вектора для минимального значения квадрата (17) будем иметь

Рассмотренные числовые примеры показывают, что минимизация квадрата критерия качества по параметру /3 приводит к более малому его значению. Это указывает на важную практическую роль оптимальных управляющих воздействий, выбранных по приоритетному принципу.

Summary

Barseghyan V. R. About problem of priority optimal control and controllability of linear systems.

On the problem of priority optimal control of the motion by several control actions and controllability of these linear systems is considered. In investigating many applied problems of the motion control of by several control actions the necessity occurs to take into consideration the existence of such characteristic parameters by whose selection it is possible to determine the priority of control actions. So it is supposed that in considered linear system there exist parameters characterizing the control actions. Conditions of full controllability in such systems axe formulated. It is shown that a linear stationary system may not be fully controlled in separately of each control action, but this system may be fully controlled in case of these control actions totality. By solving the formulated problem of optimal control by the known ways the obtained minimal value quality criteria and

X2 [u°] = 5,4588. Теперь, рассматривая вместо системы (15) систему

xi - х2, х2 = —ах 1 + Ьх з + V\ ¿з = V2

с функционалом

Х2[У1°,У2°] = 16,2865.

optimal control actions will depend on parameters of priority. Then by passing double minimization of quality criteria by these parameters we find the optimal acceptable values. As an appendix the problem of control of variable-mass particle motion in a gravitational field is considered. Using the results obtained, is shown on a numerical example that the minimization of quality criteria by the priority principle brings to the less value of quality criteria than the minimization in general.

Литература

1. Барсегян В. P. Задача приоритетного оптимального управления движением и управляемости линейных систем // Докл. НАН Армении. 2005. С. 48-50.

2. Габриелян М. С., Барсегян В. Р. О приоритете выбора управляющих воздействий // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VIII Междунар. семинар памяти Е. С. Пятницкого: Тез. докл. М., 2004. С. 36-37.

3. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2005 г.