Обратные задачи для упругого неоднородного стержня

МЕХАНИКА

УДК 539.3

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ

© 2008 г. О.В. Бочарова, А. О. Ватульян

The problems about reconstruction different characteristics of elastic inhomogeneous rod while exciting longitudinal oscillations are considered in the work. The unicity theorems are proved for formulated problems. For its analysis the iteration algorithm based on the aparatous of integral equations is proposed. Concrete examples of reconstruction smooth, step and piecewise functions are examined.

Основы современной математической теории упругости были сформированы в XIX в. и базируются на положении, что свойства упругих тел характеризуются двумя упругими постоянными - модулем Юнга и коэффициентом Пуассона, которые определяются из простых макроэкспериментов. Эта модель сыграла огромную роль в механике деформируемого твердого тела, в становлении на научную основу расчетов по определению напряженно-деформированного состояния различных конструкций и сооружений. В то же время интерес к задачам теории упругости с переменными модулями упругости продиктован новыми актуальными задачами геофизики, био- и наномеханики для адекватного описания изучаемых объектов, технологическими проблемами контроля свойств функционально-градиентных материалов. При этом физические свойства (модули Ляме или компоненты тензора упругих постоянных, а также плотность среды) уже должны быть заданы при помощи функциональных зависимостей, которые предварительно определяются из некоторых макроэкспериментов. Наиболее распространенным способом определения таких зависимостей является анализ колебаний исследуемого объекта при варьировании способа нагружения и частоты колебаний, приводящий к исследованию довольно сложных нелинейных некорректных проблем. Главная трудность при исследовании таких проблем состоит в сложной процедуре построения операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции при анализе нестационарных процессов в таких структурах [1]. Это обусловлено переменностью коэффициентов дифференциальных операторов и невозможностью построения в явном виде общих представлений решений для соответствующих операторов, как это имеет место для операторов с постоянными коэффициентами. Особую сложность представляют случаи, когда модули резко меняются (на один или два порядка), имеют разрывы первого рода в достаточно малой области. В ситуации, когда коэффициенты дифференциальных операторов переменны, методы решения прямых задач опираются либо на аппарат интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода (для стержней и пластин), либо на конечно-элементные технологии. Что же касается построения операторных соотношений в обратных задачах, то эту сложность можно преодолеть, формулируя итерационные процессы при отыскании неизвестных функций, основанные либо на обобщении теоремы взаимности,

либо на использовании условия ортогональности и сведении исходной задачи к поэтапному решению интегральных уравнений Фредгольма 1 -го рода с суммируемыми ядрами.

Постановка задач и построение разрешающего уравнения

Рассмотрен ряд одномерных обратных задач об установившихся продольных колебаниях с частотой а прямолинейного упругого неоднородного стержня длины I, колебания в котором возникают под действием периодической во времени силы.

Соответствующая краевая задача после отделения временного множителя имеет вид [2]

d (E( x)F (x) ) + p( x)F (x)a2u( x) = 0, dx dx

u(0) = 0,

du

Е(1 )Е(I)—(!) = -Р. dx

Здесь Е(х) - модуль упругости; р(х) - плотность; Е(х) - площадь поперечного сечения. Будем считать, что известна дополнительная информация об амплитудно-частотной характеристике торца стержня

и

Целью решения задачи является восстановление неизвестных функций Е(х), р(х), Е(х) по известной информации (2).

Задача (1), (2) представляет собой коэффициентную обратную задачу для дифференциального оператора 2-го порядка и является нелинейной и некорректной проблемой [3]. Отметим, что при решении таких задач обычно ранее использовался аппарат обратных задач Штурма-Лиувилля [4, 5], который требует знания всего спектра оператора, что практически нереализуемо в реальных экспериментах. Формулировка дополнительной информации о решении вида (2) легко реализуема в экспериментах, по крайней мере, для некоторого набора частот.

Для решения поставленной задачи использован метод линеаризации. Пусть известно некоторое начальное приближение, которое может быть определено стандартным методом наименьших квадратов в достаточно простом классе функций (линейные, постоянн-ные). Далее искомые функции представлялись в виде

разложения по формальному параметру s в окрестности начального состояния

F(x) = F0(x) + sFi(x) ,

E

P(x) = Po(x) + spi(x), u(x) = Uo (x) + SUi (x).

Подставляя представление (3) в краевую задачу (1) и приравнивая операторные слагаемые при одинаковых степенях s , получим 2 краевые задачи нулевого и 1-го приближения:

d(Eo(x)Fo(x)+ а2Po(x)Fo(x)uo(x) = О , (4) dx dx

uo(o) = o, Eo(l)Fo(l)-

duo

dx

= - P,

d

dx dx dx

+ Fi(x)Eo (x)+ со2(Po,(x)Fo(x)ui(x) + dx

+pi (x)Fo (x)uo (x) + Fi (x)po (x)uo (x)) = o , u1(o) = o,

Ei(l )Fo(l ) ^ + Eo(l )Fo(l) ^ +

+ Fi

dx

duoo

dx

dx

= o.

Задача (4) решалась путем сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода (6) на основе способа, изложенного в [6],

2^2 1 2 2 -а I^0(х)ы0(Х))Р!(х)ёх(а Ро(х)ы0 (х) -

0 о

- Ео

Отметим, что построенное интегральное уравнение содержит 3 неизвестные функции F^(x), Ац(х),р(х), поэтому в рамках одной задачи о продольных колебаниях невозможно восстановить все три функции Е(х), р(х), F(x) на основе информации (2). Упростим постановку, рассматривая следующие 3 более простые постановки обратной задачи:

1 тип. F(x), р(х) - известные функции, требуется найти Е(х) из условия (2).

2 тип. F(x), Е(х) - известные функции, требуется найти р(х) из условия (2).

3 тип. Е(х), р(х) - известные функции, F(x) неизвестна и определяется из условия (2).

Задача 3-го типа подробно проанализирована в [6].

В настоящей работе остановимся на задачах 1-го и 2-го типов.

Исследование единственности обратных задач

Исследуем вопрос о единственности сформулированных упрощенных постановок задач.

Для простоты рассуждений далее будем считать, что F(x) = F - постоянна. Тогда задача (1), (2) будет иметь вид

^ ч du

Uq ( x) -a2 j Fq (t )pq (t)uo (t)W (t, x)dt = 0

= -PX dp ,

причем ядро представимо в виде

mn(t, x) dP

W (t, x) = j --.

Уравнение (6), в свою очередь, при помощи метода коллокаций [7] сводилось к решению системы линейных алгебраических уравнений, которая решалась численно на основе стандартной процедуры метода Гаусса.

Для решения однотипной краевой задачи (5) необходимо связать функцию смещения 1 -го приближения и поправки 1-го приближения. При этом можно использовать общую теорию, основанную на теореме взаимности [8], либо условие ортогональности [9]. Применение условия ортогональности состояло в том, что дифференциальное уравнение в (5) умножалось на Uq и интегрировалось от 0 до l. Далее использовались граничные условия из (4) и (5). Задача сводилась к операторному уравнению (7), которое представляет собой интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с суммируемым ядром и порождает вполне непрерывный оператор в пространстве суммируемых с квадратом функций l

j(Fq(x)(uo'(x,a)) Щ(x)dx-o

— (E ( x)-dx dx

) + p(x)a> u(x) = o . du

и(0) = 0, Е(I) — (1) = -Ро , dx

Р

где Ро =— •

F

Требуется определить одну из функций Е(х), р(х) из условия (2).

В условиях, когда функции Е(х), р(х) бесконечно дифференцируемы, имеют место следующие результаты. Для задачи 1-го типа справедлива

Теорема 1. В рамках постановки (2), (8), когда отрезок [Ю]_Ю2 ] не содержит резонансных частот, решение обратной задачи об определении Е(х) единственно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть при известном р(х) задача (2), (8) имеет два решения: щ(х,ю\ Е1(х) е и2(х,ю\ Е2(х) Составим дифференциальное уравнение относительно разностей, у(х,ю) = щ(х,ю)-и2 (х,ю), Q(x)= Е-^^х)-Е2 (х), которое будет иметь вид

Е

Кроме того, имеем следующие дополнительные граничные условия:

^Ю^О юе\юЬю2\,

ех{1 у

Задача (9)-(11) весьма специфична и представляет собой дифференциальный оператор 2-го порядка относительно функции у(х,а) и дифференциальный оператор 1-го порядка относительно Q(x) (9) при наличии трех граничных условий (10), (11), заданных на некотором отрезке изменения параметра а .

Поскольку в силу гладкости характеристик стержня щ(х,а) - аналитическая функция от а и отрезок [а^,а2] не содержит резонансных частот, то правая часть дифференциального уравнения (10) - аналитическая функция от а и, следовательно, в силу известных свойств решений дифференциальных уравнений [10], у(х,а) - аналитическая функция от x, а . Тогда в силу граничных условий (10) у(х,а) = 0. Таким образом,. отсюда для нахождения функции Q(х) получим задачу Коши

Поскольку и2 (I, к0, то из (12) следует, что Q(l) = 0. Интегрируя уравнение (12), получаем Q = 0, и теорема единственности доказана. Для задачи 2-го типа справедлива Теорема 2. В рамках постановки (2), (8), когда отрезок [а]_а2 ] не содержит резонансных частот, решение обратной задачи об определении р(х) единственно, при условии, что р(0) = р0 известно.

Доказательство. Пусть задача (2), (8) имеет два решения: щ(х,а) р(х) е и2(х,а), р2(х). Составим дифференциальное уравнение относительно разностей, у(х,а) = щ(х,а)-и2(х,а), Я(х)= Р\(х)— Р2(х), которое будет иметь вид

Кроме того, введенные функции должны удовлетворять следующим граничным условиям:

у(0,а) = 0 у{1,а)= 0

Задача (13), (14) также весьма специфична. Дифференциальное уравнение содержит вторую производную относительно функции у(х, а). Аналогично рассуждениям предыдущей теоремы получим у(х, а) = 0. Тогда для нахождения функции Я(х) имеем уравнение

Я

На основании (15) можно сделать вывод, что функция Я(х) = 0 всюду, кроме точек, где и2(х,а) = 0. Если отрезок а е[а^,а2] выбран до первого резонанса стержня, то в этом случае единственной такой точкой будет точка х = 0. Значит, для единственности нахождения функции р(х) необходимо иметь априорную информацию о ее значении в точке х = 0 .

Численная реализация

Опишем схему решения задач 1-го и 2-го типов. Задача 1-го типа. На основе системы уравнений (6), (7) можно построить итерационный процесс. Для

задачи 1-го типа 1-й шаг итерационного процесса описывается системой операторных уравнений

ryiiu VJIV^J IVllfXlltl 1 ^/uiul llllllltl J VJ1VUI1/J

0 , v'(,ю) = 0, юе[ю1,ю2] .

u0(x) -a2 JF(t)p (t)u0 (t)W(t,x)dt = -PJ

d4

0

min

d4

W1 (t, x) = J г

0 E0

u1 (l, ю) = f (ю) - U0 (l,a),

0 E0

du0 (x,ю) dx

F(x)El (x)dx = Pu{ (l), a e [а^,Ю2],

Е0г+1(х) = Е0 (х) + Е{ (х) .

Отметим, что первый этап итерационного процесса, как указано выше, требует знания начального приближения. В настоящей работе начальное приближение Е0 (х) строилось в классе линейных положительных ограниченных функций вида Е0 (х) — @0 + ах. Из априорной информации об ограниченности модуля упругости 0 < Е— < Е0 (х) < Е+ можно получить следующие ограничения на константы а^ и а1: Е—< а0 < Е+ Е—< а0 + а1 < Е+, которые определяют компактное множество на плоскости изменения параметров (а0,а^ и позволяют этап отыскания начального приближения определять традиционными методами, основанными на минимизации функционала невязки. Значения постоянных а0 и а\ находились из условия минимума следующего функционала невязки на построенном компактном множестве:

I I

О = J \u(l,a>) - f (ю)\ da,

а

где и(1,а) - функция смещения на свободном конце стержня при линейном законе изменении модуля Е(х) = а0 + а\х.

На каждом шаге построенного итерационного процесса посредством решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода находилось новое значение и^1, с помощью которого вычислялись правая часть интегрального уравнения Фредгольма 1 -го рода и его ядро. После решения этого уравнения вычислялась поправка к модулю упругости, и с ее учетом производился следующий этап итерационного процесса.

Проведена серия вычислительных экспериментов для различных законов изменения модуля упругости.

На рис. 1 представлены результаты восстановления безразмерной функции, характеризующей модуль

упругости Е(х) = 1 + х в стержне постоянного поперечного сечения с законом изменения безразмерной плотности р(х) = 1 + 0,5х . Здесь и далее сплошной линией показан график исходной функции, квадратиками - для восстановленной в соответствии с описанным выше итерационным процессом. Прерывистой линией показано начальное приближение, найденное из условия минимума функционала невязки Ф.

2

0

2

На рис. 2 представлены результаты восстановления кусочно-постоянной функции. В этом эксперименте на каждом шаге итерационного процесса выполнялось следующее действие. Вычислялась норма полученного вектора г , если она оказывалась больше некоторого наперед заданного числа 3, то каж-дый элемент этого вектора нормировался путем домноже-

ния на величину 3/| . В серии расчетов

щий множитель 3 был принят равным 0,03. Серия вычислительных экспериментов показала достаточно хорошие результаты реконструкции при небольшом (4-5) числе итераций, однако негладкий закон восстанавливается значительно хуже.

Рис. 1

Рис. 2

Задача 2-го типа. 1-й шаг итерационного процесса для второй постановки описывается системой операторных уравнений

и0' (х) -а21F(гV (I)рО (1)Шг {I,х^ = о

х

= ~P О .

0 F

min(t, x) W (t, x) = о

0 E

u{ (l, m) = f (m) - u0 (l, m) .

l

ш2](и0(х,ю)УF(х)р'(x)dx = -Рщ (I) , а е\а1,а2\, 0

Р01+\х) = Р01 (х) + р1 (х,) •

Особенностью 2-й постановки задачи является то обстоятельство, что в ядро интегрального уравнения

Фредгольма 1-го рода входит множитель (и0(х,ю))2, а из краевого условия задачи (4) известно, что и0(0,ю) = 0 . Поэтому, как это было показано выше, интегральное уравнение будет иметь неединственное решение. Значит, для того чтобы решить поставленную задачу, необходимо знать значение функции плотности в месте защемления стержня, т.е. в точке х = 0 • На рис. 3 приведены результаты восстановления немонотонной безразмерной функции плотности

р( х) = 1 + (х - 0,5) в стержне постоянного

поперечного сечения, безразмерный модуль упругости которого изменяется по закону Е(х) = 3 + 2х . Квадратиками показан график восстановленной функции, когда дополнительная информация о значении функции на защемленном конце стержня не задана, крестиками - график восстановленной функции при известном в точке х = 0 значении функции плотности.

0 0,2 0,4 0,6

Рис. 3

0,8

1,0

Из рис. 3 видно, что когда информация о значении функции плотности на защемленном конце стержня не задана, погрешность восстановления функции на этом конце составляет около 20 %.

На рис. 4, 5 представлены результаты восстановления кусочно-линейной и кусочно-постоянной функций соответственно. В этих экспериментах на каждом шаге итерационного процесса происходила нормировка вектора аналогично тому, как это было сделано при восстановлении модуля упругости, нормирующий множитель 3 принимал значения 0,8 и 2 соответственно. Отметим, что в этих вычислительных экспериментах обычно точность реконструкции хуже, чем для гладких зависимостей, и восстанавливается некоторая усредненная функция, близкая к искомой в среднеквадратичном.

Рис. 4

/>00 I

£ 0- 4 * *

1 \ • 1

0,9 \ '" 1

0,8

0.7 X

0,6

0,5 А * > *

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 .

Рис. 5

Во всех приведенных экспериментах рассматривался стержень единичной длины, отрезок измерения амплитудно-частотной характеристики по безразмерной частоте к = к! = а!у[р~~/Ео принимал значения 1 - 1, 2,

причем при увеличении или уменьшении этого отрезка результаты восстановления обычно ухудшались. Необходимо заметить, что для достижения хороших результатов было достаточно измерений в трех частотах внутри выбранного диапазона.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 05-01-00734).

Литература

1. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск, 1990.

Южный федеральный университет_

2. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.,

1970.

3. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.,

1994.

4. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.,

1984.

5. Потетюнко Э.Н. и др. Свободные колебания и обрат-

ные спектральные задачи. Неоднородные движения неоднородной жидкости. М., 2001.

6. Бочарова О.В., Ватульян А.О., Жарков Р.С. // Изв. вузов.

Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. № 2. С. 28-32.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., 2002.

8. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируе-

мого твердого тела. М., 2007.

9. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М., 1984.

10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариа-

ционное исчисление. М., 1969.

18 июля 2007 г.