Осесимметричные тела с минимальным сопротивлением при заданном тепловом потоке к поверхности

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II ' 1971

№ 6

УДК 536.6.011.3/55 629.7.024.36

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЛА С МИНИМАЛЬНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИ ЗАДАННОМ ТЕПЛОВОМ ПОТОКЕ К ПОВЕРХНОСТИ

В. Д. Перминов, Е. Е. Солодкин

Для тел с плоским передним торцом и пологой боковой поверхностью дано приближенное решение вариационной задачи определения оптимальной формы осесимметричного тела, установленного под нулевым углом атаки и обтекаемого вязким газом с гиперзвуковой скоростью, из условия минимального сопротивления при заданном полном тепловом потоке к поверхности. При этом длина тела и диаметр основания считаются заданными, температура поверхности принимается постоянной, течение в пограничном слое — как ламинарное, так и турбулентное. Показано, что требование уменьшения полного теплового потока по сравнению с полученным на теле минимального сопротивления приводит к резкому увеличению сопротивления по сравнению с минимально возможным.

В статье [1] для тел с плоским передним торцом и пологой боковой поверхностью дано приближенное решение вариационных задач определения оптимальной формы осесимметричного тела из условия минимального сопротивления или минимального полного теплового потока к поверхности. В общем случае тела, форма которых определялась в соответствии с различными условиями, имеют различные характеристики. Тепловой поток к поверхности тела минимального сопротивления, достаточно велик. С другой стороны, тело, отвечающее условию минимального теплового потока к поверхности, имеет существенно больший торец по сравнению с телом минимального сопротивления, что приводит к значительному увеличению сопротивления. Поэтому представляет практический интерес определение оптимальной формы тела при удовлетворении одного из этих условий и при задании другого в качестве изопериметрического условия. В этом случае может быть получена серия оптимальных тел, ограниченных, с одной стороны, телом с минимальным сопротивлением, а с другой—телом с минимальным тепловым потоком к поверхности. С помощью этих данных можно выбрать соответствующую форму тела в зависимости от важности каждого из противоречивых условий в данном кон-

кретном случае. В этой статье дается приближенное решение такой изопериметрической задачи в классе тел, имеющих передний торец и пологую боковую поверхность.

Постановка задачи. Выпишем выражения для суммарного сопротивления X и полного теплового потока к поверхности Q осесимметричного тела, установленного под нулевым углом атаки и обтекаемого вязким газом с гиперзвуковой скоростью.

Если начало координат поместить в критической точке тела> ось х направить вдоль оси тела, а ось у—перпендикулярно к оси л, то суммарное сопротивление определяется по формуле

*к _

Х — 2кд00 ^ y{ycp+cf)dx,

о

где хк — полная длина тела, у—у(х)— контур искомого тела, y = dy/dx, qoo — «оо— скоростной напор в невозмущенном потоке, роо и Ыоо — соответственно плотность и скорость невозмущенного потока.

Коэффициент давления

__Р Р<Х> ___ 2 3 3СО

Р Цоо кМ(» 3°° где з—р/ро, р'о — полное давление за прямым скачком,

Ро

7 — отношение удельных теплоемкостей, Мм —число М набегающего потока.

Если для расчета распределения давления при гиперзвуковых скоростях потока воспользоваться модифицированной формулой Ньютона, которая в случае тупоносого тела имеет вид [2]

3 = °оо + 0 — °оо) sin2 0 = Зоо +

1+J/2

где 6 — угол наклона образующей поверхности к оси х, то формула для коэффициента давления может быть записана в виде

* 2(1-000) у*

Р TOoeMi 1+У2 '

Для того чтобы получить выражение для местного коэффициента сопротивления трения сf, воспользуемся интегральным соотношением импульсов, которое устанавливает связь между напряжением трения xw, толщиной вытеснения 51 и толщиной потери импульса 32 и газодинамическими параметрами потока в каждом сечении пограничного слоя на произвольном теле. Для исключения величин и 82 используем гипотезу локального подобия, под которой в этом случае понимается следующее допущение: зависимость Зц 83 от iw и параметров потока в любом сечении пограничного слоя такая же, как при обтекании пластины при том же числе М и той же температуре поверхности Tw. Если, кроме того, использовать предположение об изэнтропичности течения вдоль

3—Ученые записки № 6

33

струйки тока за ударной волной, то формула для величины с^ будет иметь следующий вид [1]:

усг.

Ут-Ъ

4Ф

Здесь:

Ф

Ч 00 (т 1) 5оо _ уУ” фз»я/Т (1 _ аЬ у%12

2/?о

1/я

Ф = (ЛВ.У)*3С1(1 -О*)*, &

о

_т-1

]/Я

2Т У°п ,

—!-------------• С3 == £>сох1

/?0

1-6-

1 * ’

1 ро

^4 = ^-[х(а„ + 2) —х,];

п

Ро УтУк . * ? 1*0

- -_*1_ •

“ Т ’

1

п -

•1 ’

А2 = 0,664

0,45+0,55

'"Г

0,09 (у — 1) Ме Рг1/2

и —1 ’

1/2

Л5 = 0,0592 [1 + (т - ОРг^М^]

-0,55 I ^}ж

К

-0,21

а<у

±-(в,+в^в,

2 В

2 ,

В0 = 2,7261; -в, — 1,3652; В, = 0,1943; В, = 2,8741; £4 = 0,4676; аъ

1,4^; Ьъ = 0,183 +0,245^

* о 'о

В этих выражениях ук -- радиус хвостового сечения тела, р, {а и Т—соответственно плотность, вязкость и температура (Т0=Т0*), со —показатель степени в зависимости вязкости от температуры, Рг — число Прандтля, Лг, — энтальпия на теплоизолированной поверхности и при температуре тела, величина п — 2 при ламинарном течении в пограничном слое и п =5 при турбулентном течении, индекс е относится к параметрам на внешней границе

*

пограничного слоя, а индекс „0“ к параметрам торможения за прямым скачком уплотнения.

Если представить полный коэффициент сопротивления сх в виде отношения силы сопротивления X к скоростному напору в невозмущенном потоке <7оо и площади миделя ку1 и ввести безразмерные координаты х = х1хк иу=у/у«, то формула (1) может быть записана в гаком виде (черточки над безразмерными х и у опущены): сх

— Схр + схГ При этом коэффициент сопротивления давления

-1 _ 4(1 —О^т2 г ууг

" .) 1 4- х2уг

о

' хр •

Т’оо Мо

йх

и коэффициент сопротивления трения

4

'xf

(т-

1/л

где X = ук!хк и ф =

,1/Л

ф.

Полный тепловой поток к поверхности осесимметричного тела определяется по формуле

к

с? = 2тг § у йэ,

где ^ — местный тепловой поток, в - расстояние вдоль образующей тела от критической точки и зк — полная длина образующей тела.

Если воспользоваться интегральным соотношением энергии, связывающим местный поток <7№, толщину потери энергии 82т и параметры потока, гипотезой локального подобия, позволяющей исключить величину 82т из этого соотношения, а также предположением об изэнтропичности течения вдоль струйки тока за ударной волной, которое позволяет выразить газодинамические параметры потока через отношение давлений о, то можно получить выражение для безразмерной величины х, характеризующей полный поток тепла к поверхности тела [1]:

X — (си * — Въ

тп

2

У(\-о»)(\ + X2У) йх,

У ( О — <зЬ) ~~

где

Q

и* (^о К)хкук

в* —

и*.

5,=

Т + 1 .

+ съ

Лп п-\-4 ’

Здесь

соответственно критические значения плотности,

скорости и вязкости за прямым скачком уплотнения, Н0 — полная энтальпия на внешней границе пограничного слоя, вп—коэффициент аналогии Рейнольдса, равный Рг2/3 при п — 2 и Рг3/5 при п = 5.

Известно, что в предположении ньютоновского течения величина теплового потока в критической точке затупления обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса кривизны затупления. Отсюда следует, что при этом предположении телом с минимальным тепловым потоком является цилиндр, обтекаемый с торца, тепловой поток на который равен нулю* .

Будем искать решение вариационной задачи в классе тел, имеющих плоский передний торец, распределение давления на котором

Этот факт был сообщен авторам Г. Л. Гродзовским.

можно найти с помощью простейшего варианта метода интегральных соотношений [3, 4], и пологую боковую поверхность, на которой скорость сверхзвуковая, а распределение давления определяется по формуле Ньютона (2)*. При этом выполняется предположение о звуковой скорости на кромке торца, используемое в статье [4]. Согласно формуле Ньютона (2) это соответствует ограничению на максимальный наклон контура боковой поверхности

.У<-

где О*:

Т + 1

1 /Ъ

Согласно статье [4] распределение скорости на торце осесимметричного тела при Моо = оо определяется из соотношения

У_

У\

= ,

,2Т+1

Т -}- 1 (Зт ~Ь 1) X2 где+=--------47+2------' *-37+7 •

У! — радиус торца, а X = и/и* — коэффициент скорости.

Воспользовавшись этой формулой для вычисления коэффициента сопротивления торца с°хр, теплового потока к торцу /° и

у* _

величины £° = | ф йу и переходя при интегрировании от переменной у о

к переменной X, которая согласно предположению меняется на торце от 0 до 1, получим [1]:

хр

-у\];, 5°“.у}**Л; х°=^}+хЛ;

Л

48й

| X (1 — X2) (ср1/" — О;») фг>»^Х;

•У

О

? = 1

"рса Мю а

1

= тВ3 | (Ап X)* (1 — X2) (рс» (1 — (о)с* ’Iе» с1к• о

Т

<р +РА (!-<?)-

(1 — X2) <рс» (1 — ер)1/2 фс8 (/X;

т

Iх’ 8з — 4т + 2 ,

с6 =<ох1-И1 + х&„)с9; с7 = г9+<вх; с8 =

1 7Т

.2

х(2~г + 1) +5^ + 2

“ 3Т + 1 ’

1 ’

сю —

Зт + 1 '

Для этого класса тел фактически решается и задача в статье [3].

В результате формулы для коэффициента сопротивления сх и величины х можно записать следующим образом:

X

1

С°хр + С\р + Сх/=У\ Jx + с\ + Cxf-

/ == х° -f /} -

--y\+'Jx + Bb

хр

X

2

X

Апу ав -)- Prd«(l — а8) —

т

о /

ас= V

Здесь:

хр

4(1 — Осе)' Т°О0 Мао

I

0

1

XV3 dx

7 + т2У”

.. г* і / л

(т “ 1)^00 Moo/?0 т

I7FT7* J (АпУ)% °с‘ (1 aS)Ca X

X

_У|+* h + J (А„у)х °Сз (1 — °в)с‘ У1 +• t2y2 dx

-1/л

dx\

cl =

1 -j- xt _

T ’

:x + Xj

Поставленная выше изопериметрическая задача о форме осесимметричного тела заданных размеров с плоским передним торцом и пологой боковой поверхностью, обладающего минимальным сопротивлением в гиперзвуковом потоке вязкого газа при заданном полном тепловом потоке к поверхности, может быть сформулирована следующим образом: среди допустимых функций найти такую функцию у = у(х), которая минимизирует функционал (4) при наличии интегрального условия связи (5) и удовлетворяет условию j;(l)=l и неравенству (3).

Численные результаты. Сформулированная вариационная задача численно решалась модифицированным методом локальных вариаций [5, 6] при значениях Моо = 6, 10, 30 и числе /?0 —Ю6. При этом принималось, что Рг = const = 0,7; ш = 0,5 и Гто/Г0 = 0,1. Все расчеты проводились как для ламинарного, так и для турбулентного течения в пограничном слое в диапазоне изменения относительной толщины т от 0,1 до 0,5.

На фиг. 1 приведены для т = 0,2 формы тел минимального сопротивления cxwin и тел минимального полного теплового потока (Xmin) При Моо = 6, 10, 30, п = 2 И при Мсо=10, п = 5. Видно, что изменение характера течения в пограничном слое довольно заметно сказывается на форме тела с минимальным тепловым потоком к поверхности и практически не изменяет формы тела минимального сопротивления (кривые сливаются).

Изменение числа также практически не влияет на форму тел минимального сопротивления (это остается верным при всех

относительных толщинах). Формы же тел с минимальным тепловым потоком существенно зависят от величины числа Моо и, как показывают расчеты, тем сильнее, чем меньше относительная толщина тела.

Изменение формы тел в зависимости от числа Мт проиллюстрировано на примере ламинарного течения в пограничном слое, но*

f,0

0,5

О

качественно оно носит такой же характер и при турбулентном течении. Заметим, что тела с xmm ПРИ числах Мсо = 6 и 10 являются слабовогнутыми, а при Моо = 30 — выпуклыми.

Как это видно из фиг. 1, размер торца тела с минимальным тепловым потоком к поверхности значительно превышает размер торца тела минимального сопротивления. Так как при больших числах Моо сопротивление пропорционально квадрату размера торца,

то естественно, что тела с Xmin обладают при той же относительной толщине значительно большим сопротивлением, чем тела с сх min. Это видно из приведенных на фиг. 2 зависимостей сх(х) для тел,, полученных из условий минимального сопротивления и минимального теплового потока при Моо = 6, 10,30 для ламинарного’ и при Моо = Ю для турбулентного режима течения в пограничном слое. Так как форма тела с минимальным тепловым потоком к поверхности существенно зависит от числа Моо, то и характер зависимости cx(i) для этих тел должен изменяться с изменением числа Моо. Характерной особенностью приведенных зависимостей является существование для каждого Ми такой относительной толщины Х=Ткр(Моо), при которой кривые сх(ъ), полученные при решении задач о схтт и xmin> пересекаются. В данной постановке при х<;ткр тела, найденные из условия минимального теплового потока к поверхности, имеют в носовой части „иглу“. Решения для таких тел здесь не рассматриваются, поскольку распределение давления и напряжение трения на них неправильно описываются в рамках принятых в настоящей работе допущений.

Фиг. 2

Анализ зависимостей ея*(х)> приведенных на фиг. 3 и 4, показывает, что при т, близких к ткр, значения Ся*, достигаемые на

7*1

на телах

с минимальным

телах минимального сопротивления и тепловым потоком к поверхности, близки.

Различия в значениях с#» при турбулентном течении в пограничном слое больше, чем при ламинарном (см. фиг. 3). В то же время сопротивление тел с Хтш заметно больше минимально возможного. Изменение числа М^ не приводит к качественному изменению характера зависимости Ся»(т) и сводится лишь к некоторому уменьшению Ся* С ростом

0,5

to3 /

/

/

Г L Я /Лслі t

V

/ У

✓ /

і J У

л=5^ / /

V / V с л /ттщ j

* /

//

/ mirt

числа Моо(см. фиг. 4).

0J5 Фиг. 3

0,25

fJ п=2 CxrrtLrt у4- У

М**-Ё 10 — 30 А '//

// И '/

У ✓

* '

Л V X

/ / У*т1п

У

' 0,25 Г O.S

Фиг. 4

Ю

0,5

I M^tO —яамтярме течение течеме

f «If* я

4k

P

1 *4 A $ і \ \

* \

Г4 1 =д *=» \

Л 4S\ \

І / \ k \

\ ' .lA \ 'ч 'v.

- * 7 N4 і \ ч V- ail' ЄНИ*

Тне* 0 опри"‘

; і I 1

0,5

Фиг. 5

tff

г,о

45

п=2 —м^=о — to — 30

"Х-тія . л

V л Л 1 1

\> 1 А

/ I Л \\ А ft \

А X Ъ / \ 1 \

>‘\ / л \ \

/ ч / 4 1

/ ( 1 і 0,2 V I oJ U^4 У>0,5

t \ ч\

/ 11 А

1 1- и **

0,25 Фиг. 6

?0*

Наглядное представление о полученных результатах решения изопериметрической задачи дают зависимости сх(сн», t) при заданном числе Моо Для п = 2 и 5 (фиг. 5) и заданном п при различных числах Моо (фиг. 6). Видно, что для каждого заданного т требование уменьшения полного теплового потока по сравнению с тепловым потоком на теле минимального сопротивления приводит к резкому увеличению сопротивления как при ламинарном, так и при турбулентном течении в пограничном слое. При этом сопротивление растет тем сильнее, чем меньше ЧИСЛО Моо.

При малых 1 (близких ткр) полный тепловой поток к поверхности тел минимального сопротивления близок к минимально возможному, что качественно подтверждает вывод [7] о том, что тонкие тела минимального сопротивления являются близкими к оптимальным и в смысле полного теплового потока.

Сделаем в заключение несколько замечаний о точности приближенных формул и допущений, использованных при решении задачи. Проведенное в статье [1] сравнение распределений напряжения трения и местного теплового потока, рассчитанных по использованным приближенным формулам, с точными численными решениями уравнений пограничного слоя на сферически затупленных конусах показало, что приближенные формулы в целом правильно описывают распределения этих величин вдоль поверхности тела. При этом наибольшее расхождение между точными и приближенными результатами наблюдается вблизи точки разрыва кривизны, где точное распределение давления существенно отличается от рассчитанного по формуле Ньютона (2).

В силу предположения [см. неравенство (3)] о сверхзвуковом характере течения на боковой поверхности оптимальные тела имеют угловую точку, за которой распределение давления может отличаться от рассчитанного по формуле (2). Поэтому полученные решения вариационных задач следует рассматривать в качестве оценок зависимости характеристик оптимальных тел от различных параметров.

Авторы благодарят Г. Л. Гродзовского за ряд ценных замечаний по постановке задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Перминов В. Д., Солодкин Е. Е. Осесимметричные тела минимального сопротивления и минимального потока тепла к поверхности при различном характере течения в пограничном слое. Изв. АН СССР — МЖГ, 1971, № 2.

2. Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959

3. Белянин Н. М. Определение формы тела с минимальным тепловым потоком при ламинарном режиме течения в пограничном слое. Изв. АН СССР — МЖГ, 1967, № 6.

4. Черный Г. Г. Гиперзвуковое обтекание крыльев при больших углах атаки. Доклады АН СССР, т. 155, № 2, 1964.

5. Ч е р н о у с ь к о Ф. Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач., Журн. вычисл. матем. и матем. физики", т. 5, № 4, 1965.

6. Перминов В. Д. Осесимметричные тела минимального сопротивления в вязком гиперзвуковом потоке. Изв. АН СССР—

МЖГ, 1971, № 1.

7. Гродзовский Г. Л. О телах вращения с минимальным коэффициентом лобового сопротивления и малой теплопередачей при больших сверхзвуковых скоростях. Изв. АН СССР —

МЖГ, 1968, № 5.

Рукопись поступила 2ЦХ11 1970 г.