Расчет тонких пластин и оболочек с применением многосеточных конечных элементов со свободными границами

УДК 539.3 АД. Матвеев

РАСЧЕТ ТОНКИХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С ПРИМЕНЕНИЕМ МНОГОСЕТОЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ *

В статье рассматриваются многосеточные конечные элементы со свободной границей для трехмерного анализа деформирования однородных и композитных тонких упругих пластин и оболочек постоянной толщины. Конечные элементы описывают трехмерное напряженное состояние в пластинах и оболочках, учитывают их неоднородную структуру, сложный характер закрепления и нагружения, порождают дискретные модели малой размерности.

Ключевые слова: композиты, упругость, пластины, оболочки, метод конечных элементов, многосеточные конечные элементы.

A.D. Matveev

CALCULATION OF THIN PLATES AND SHELLS USING MULTI-GRID FINITE ELEMENTS WITH FREE

BOUNDARIES

The multi-grid Unite elements with free boundary for the deformation three-dimensional analysis of the deformation of homogeneous and composite thin elastic plates and shells with constant thickness are considered in the article. Finite elements describe the three-dimensional strained state in plates and shells, take into account their heterogeneous structure, the complex character of fastening and loading, generate discrete models of small dimension.

Key words: composites, elasticity, plates, shells, finite element method, multi-grid finite elements.

При расчете тонких однородных (композитных) пластин и оболочек постоянной толщины используют приближенные теории [1, 2, 3]. Общий недостаток этих теорий заключается в том, что в их основе лежат гипотезы, которые порождают неустранимую погрешность в решениях. Существующие теории оболочек и панелей не учитывают сложный характер их закрепления и нагружения (например, закрепление и нагружение оболочки, панели частично по толщине), не всегда точно описывают поведение панелей и оболочек под действием локальных нагружений.

В данной работе при анализе по методу конечных элементов (МКЭ) деформирования однородных и композитных тонких пластин и оболочек предложены многосеточные конечные элементы (МнКЭ) со свободной границей, в которых реализуется трехмерное напряженное состояние. Многосеточные конечные элементы (КЭ) формы прямоугольного параллелепипеда для анализа деформирования упругих тел однородной и неоднородной структуры рассмотрены в работах [4, 5]. Существуют два типа МнКЭ [4]. Для проектирования т-сеточного однородного и композитного конечного элемента используются т вложенных узловых сеток. Самая мелкая сетка порождена базовым разбиением, которое учитывает форму и неоднородную структуру т-сеточного КЭ. Для т-сеточного КЭ первого типа т -1 сетка определяются на всей его области, для т-сеточного второго типа - на его границе. С помощью аппроксимирующих функций перемещений, построенных на крупных сетках, все неизвестные мелкой сетки МнКЭ первого типа выражаются через узловые неизвестные крупных сеток. При построении МнКЭ второго типа вначале с помощью метода конденсации [6] исключаются неизвестные внутренних узлов мелкой сетки. Затем неизвестные граничных узлов мелкой сетки МнКЭ представляются через узловые неизвестные крупных сеток.

Расчеты показывают, что в дискретных моделях тонких однородных и композитных пластин и оболочек постоянной толщины целесообразно по толщине пластины, оболочки использовать один МнКЭ, т.е. толщина МнКЭ равна толщине пластины, оболочки. В этом случае верхняя (нижняя) граница многосеточного элемента совпадает с верхней (нижней) границей пластины, оболочки. Используя метод конденсации, узловые неизвестные мелкой сетки исключаем внутри области, на верхней и нижней границах многосеточного элемента. Крупные сетки определяем на боковых границах МнКЭ. С помощью аппроксимаций перемещений,

*

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01 -0053).

построенных на крупных сетках, выражаем неизвестные узлов мелкой сетки, лежащих на боковых границах МнКЭ, через узловые неизвестные крупных сеток.

Процедура построения МнКЭ со свободными границами. Многосеточный конечный элемент, у которого с помощью метода конденсации неизвестные мелкой сетки исключаются во всех ее внутренних узлах и в граничных узлах, лежащих на той части (свободной) границы данного МнКЭ, которая совпадает с частью не закрепленной границей тела, для краткости будем называть МнКЭ со свободной границей. На рис. 1, а, б свободные верхние и нижние границы ЛИСП, КЫМЬ пластинчатого и оболочечного МнКЭ совпадают соответственно с верхними и нижними поверхностями пластины, оболочки постоянной толщины к, к = СМ. На рисунке 1, а боковые границы пластинчатого МнКЭ есть прямоугольники ЛБЬК, ЛКЫБ, БСМЫ, ЬБСМ, оболочечного МнКЭ (рис. 1, б) - прямоугольники ЛКЫБ, ЬБСМ и криволинейные грани АБЬК, ВСМИ.

Рис. 1. Пластинчатый МнКЭ

Процедуру построения МнКЭ со свободными границами покажем на примере построения пятисеточного КЭ (ПтКЭ) Ур формы прямоугольного параллелепипеда, который применяется для расчета тонких однородных (композитных) пластин постоянной толщины к (рис. 1, а). Область ПтКЭ Ур представляем мелким (базовым) разбиением, состоящим из однородных известных односеточных КЭ Уг 1-го порядка формы куба [7]. Базовое разбиение оболочечного МнКЭ состоит из однородных криволинейных шестигранных КЭ 1-го порядка [6, 7]. Функции перемещений, напряжений и деформаций КЭ Уе удовлетворяют закону Гука и

соотношениям Коши, которые отвечают трехмерной задачи теории упругости [7], т.е. в КЭ Уе и, следовательно, в ПтКЭ Ур реализуется трехмерное напряженное состояние. Базовое разбиение учитывает неоднородную структуру ПтКЭ Ур и порождает мелкую сетку Ук. С помощью метода конденсации исключаем неизвестные во внутренних узлах мелкой сетки Ук и во внутренних узлах свободных границ ЛБСЭ и КЫМЬ (рис. 1, а, б). В результате получаем суперэлемент У*, узловые неизвестные которого определяются только в узлах мелкой сетки боковых граней. Полную потенциальную энергию П* суперэлемента У* представим в матричной форме:

Пs = 0,5

где [К* ] - матрица жесткости суперэлемента У*; Р*, ч * - векторы узловых сил и неизвестных суперэлемента У*; Т - транспонирование.

На четырех боковых гранях (рис. 1, а) грани ЛБЬК, ЛКЫБ, БСМЫ, ЬБСМ) суперэлемента У* определяем две крупные различные прямоугольные узловые сетки У0 , I = , вложенные в мелкую

сетку Ук. В общем случае крупные сетки У0г имеют различное число узлов либо различные шаги по сторонам КЫ, КЬ, ЫМ, ЬМ (рис. 1, а). Узлы крупных сеток пластичного и оболочечного многосеточных КЭ

на рис. 2, а, б отмечены точками. С помощью полиномов Лагранжа [6] на крупной сетке У0г для перемещений u, v, w строим соответственно аппроксимирующие функции ы1, vi, wi, которые запишем в виде

и, = І, V, = XNlpqvp , wl = XВД р=1 р=1 р=1

где N 1р - базисная функция р -го узла крупной сетки ; д’и,- значения функций иі, V,,в в -м узле сетки V) ; 3п, - общее число неизвестных крупной сетки V) (і = ).

Обозначим через q 0 вектор узловых неизвестных МКЭ всех крупных сеток Р0, і = 1,...,4. Используя (2), вектор q, узловых перемещений суперэлемента V, выражаем через узловые неизвестные вектора q 0. В результате получим равенство

где [ Л, ] - прямоугольная матрица.

Рис. 2. Крупные сетки МнКЭ: а - пластинчатого; б - оболочечного Подставляя (3) в выражение (1), из условия дП* / дч0 = 0 получаем матричное уравнение [К 0] ч 0 = р0-

где

[*0] = [Л, Г [К, ] [Л.], ^ = [Л, ]г Р,;

[ К 0 ], Р0 - матрица жесткости и вектор узловых сил ПтКЭ

При построении ПтКЭ Ур используем одну мелкую сетку Ук и две (в общем случае) различных крупных сетки У0г, I = 1,...,4 . Процедура построения матриц жесткости и векторов узловых сил криволинейных

оболочечных МнКЭ со свободными границами аналогична вышеописанной.

Многосеточные элементы сложной формы. Расчеты показывают, что построение полиномов Лагранжа [6], связанное с операцией последовательных умножений чисел, при больших значениях п

порождает погрешность вычислений ЭВМ, которая приводит к численной неустойчивости решений, построенных по МКЭ. В связи с этим используем локальные аппроксимации [8], суть которых состоит в следующем. Области боковых граней МнКЭ представляем непересекающимися подобластями. На подобластях определяем (локальные) крупные узловые сетки, вложенные в мелкую сетку. На крупных сетках подобластей стро-

им локальные аппроксимирующие функции перемещений. На общей границе двух подобластей узлы крупных сеток совпадают. На подобластях прямоугольной формы локальные аппроксимации перемещений строим с помощью полиномов Лагранжа малого порядка. Грани пластинчатых и оболочечных МнКЭ сложной формы (в плане) представляем подобластями вида треугольных, четырехугольных КЭ 1-, 2- и 3-го порядков, узловые сетки которых являются локальными крупными сетками. На рис. 2, а, б узлы локальных крупных сеток боковых границ отмечены точками. Криволинейная граница ЛБЬК (рис. 2, б) представлена четырехугольными КЭ второго порядка (имеют 8 узлов), узловые сетки которых являются локальными крупными сетками. На боковых прямоугольных гранях ЛБЫК, ЭСЫЬ (рис. 2, б) для аппроксимации перемещений можно использовать полиномы Лагранжа. На рисунке 3 показано разбиение боковых границ пластинчатого и оболочечного МнКЭ сложной формы на подобласти, на которых определяются крупные локальные сетки.

Рис. 3. МнКЭ сложной формы: а - пластинчатый: б - оболочечный

Особенности предлагаемых пластинчатых и оболочечных МнКЭ состоят в том, что они имеют две свободные верхние и нижние границы (границы ЛБСО и КЬЫЫ (рис. 1, а, б)) и при этом неизвестные определяются только в узлах крупных сеток, которые построены на боковых гранях МнКЭ (рис. 2, а, б).

Достоинства предлагаемых конечных элементов состоят в следующем. Пластинчатые и оболочечные многосеточные КЭ со свободными границами:

- описывают трехмерное напряженное состояние в тонких пластинах и оболочках;

- учитывают сложную форму, сложные условия закрепления и локальный характер нагружения тонких пластин и оболочек;

- учитывают неоднородную структуру тонких пластин и оболочек;

- порождают дискретные модели тонких пластин и оболочек, размерности которых на несколько порядков меньше размерностей их базовых дискретных моделей. Поэтому реализация МКЭ для дискретных

моделей тонких пластин и оболочек (состоящих из МнКЭ со свободными границами) требует меньше вре-

менных затрат и памяти ЭВМ, чем для базовых моделей.

Литература

1. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Наука, 1976.

2. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. - М.: Изд-во МГУ, 1969.

3. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания. - Новосибирск: Наука, 2001.

4. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов: деп. в ВИНИТИ. - М., 2000. - № 2990-В00. - 30 с.

5. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - № 3. - С. 161-171.

6. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.

8. Матвеев А.Д. Построение многосеточных конечных элементов сложной формы с применением локальных аппроксимаций // Вестн. КрасГАУ. - 2013.- № 1. - С. 28-34.