Финслерово обобщение структуры Римана-Картана

ИЗВЕСТИЯ

Ф

ПГПУ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO

PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA

IMENI V.G. BELINSKOGO

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

№26 2011

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

№26 2011

УДК: 514.76

Паньженский В. И. — Финслерово обобщение структуры Римана-Картана // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 155—159. — Предлагается финслерово обобщение структуры Римана-Картана. Приводится пример такой структуры.

Ключевые слова: структура Римана-Картана, финслерова структура, связность Картана

Panzhenskij V. I. — Finsler generalization of Riemann-Cartan structure // Izv. Penz. gos. pedagog.

univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 155—159. — It is considered Finsler generalization of Riemann-Cartan structure. The example of such structure is resulted.

Keywords: Riemann-Cartan structure, Finsler structure, Cartan connection

Введение. В дифференциальной геометрии одним из основных объектов изучения до сих пор остается геометрия римановых пространств, введенных Б.Риманом еще в середине 19 века. В начале 20 века Э.Картан вводит понятие псевдориманова пространства, которые затем интенсивно исследуются в связи с открытием А.Эйнштейном общей теории относительности (ОТО), согласно которой пространство-время является четырехмерным псевдоримановым пространством. Вслед за открытием ОТО Леви-Чивита вводит понятие параллельного перенесения векторов (связность Леви-Чивита). Основной инвариантной характеристикой пространства-временного многообразия со связностью Леви-Чивита становится кривизна, которая больше в тех точках, где больше плотность материи. Как известно, произвольная линейная связность пораждает два фундаментальных тензора: тензор кривизны и тензор кручения. Связность Леви-Чивита не имеет кручения, поэтому, оставаясь в рамках римановой геометрии, не имеет смысла говорить и о кручении пространства. В первые на этот факт обратил внимание Э.Картан, обсуждая геометрические аспекты ОТО и попытки построения единой теории поля. Э.Картан предложил при построении теории поля в качестве модельных использовать пространства в которых параллельное перенесение векторов осуществляется связностью с кручением, при этом оставляя естественное требование сохранения длины вектора и угла между векторами (метричность связности). В этом случае, метрика не определяет однозначно связность, т.е. аффинная часть геометрии однозначно не определяется ее метрической частью. Таким образом, структура Римана-Картана задается двумя дифференциально- геометрическими объектами: (псевдо) римановой метрикой и связностью с кручением, согласованной с этой метрикой. многообразие, наделенное такой структурой, называется многообразием Римана-Картана.

Различные варианты построения теории поля с необходимостью приводят к учету кручения, например, в теории компенсаций (гравитационное поле ОТО как калибровочное, электромагнитное поле

как компенсирующее, ковариантная производная спинора как компенсирующая и т.п.). С другой стороны имеются теории поля основанные на финслеровой геометрии. При этом привлекаются как специальные финслеровы метрики (Рандерса, Кропиной, Мацумото - (а, в)-метрики), так и специальные метрики финслерова типа.

Имея в виду оба эти подхода, в настоящей работе предлагается финслерово обобщение структуры Римана-Картана, в которой риманова метрика заменяется на финслерову (или метрику финслерова типа), а усеченная связность Картана заменяется аналогичной связностью с кручением. Приводится пример такой структуры. Метрика в этом примере получается из римановой с помощью некоторой финслеровой деформации, а связность возникает как деформация связности Картана с помощью финслерова тензора специального вида.

1. Пусть М - гладкое п - мерное многообразие, д - риманова метрика на М, V - метрическая связность с кручением. Метрика д и связность V задают на М структуру Римана-Картана

__ О _ О

Римана-Картана. Связность V можно представить в виде: V = V + 1 Б, где V - сопутствующая симмет-

имеем: V = V+T, где V - связность Леви-Чивита метрики д, а Т - тензор деформации связности V. Введем ковариантный тензор деформации Т, однозначно определенный равенством: Т(Х,У,2) = д(Т(Х,У),2). Из метричности связности V: Vд = 0 следует, что Т(Х,У,2) = —Т(Х,2,У). Заметим, что структура Римана-Картана однозначно определяется парой тензоров (д, Т), первый из которых симметричен по своим аргументам, а второй кососимметричен по последней паре аргументов. Отметим также, что тензор деформации однозначно определяется тензором кручения и наоборот, а симметрическая часть связности V совпадает со связностью V Леви-Чивита тогда и только тогда, когда тензор Т кососиметричен по своим аргументам [1]. В этом случае Т = 1 Б? (или Т = 2Б), где Б-контравариантный тензор кручения: Б(Х,У,2) = д(Б(Х,У),2)). Такую связность называют кососимметрической [1].

2. Пусть (Xі) - локальные координаты на М, Зі = - локальный базис гладких векторных полей

на М, ¿Xі - дуальный ему локальный базис дифференциальных 1-форм. Тогда имеем:

Компоненты всех рассматриваемых полей дифференциально-геометрических объектов являются гладкими функциями локальных координат. В локальных координатах условие согласованности связности

V с метрикой д: Vд = 0 (метричность связности) имеет вид

дід]к — дрк — Грк д0Р = 0

1. Структура Римана-Картана

рическая связность, а Б(Х, У) = VхУ — VуХ — [Х, У] - тензор кручения связности V. С другой стороны

д = діі ¿Xі <8> ¿ххі, Б = Б к ¿Xі  ¿ххі <8> дк ,Т = Тк ¿х1  ¿хР  дк Біік = Брдкр,Трк = Трдкр, Vдіді = дк

Ті дкр, V ді ді = г% дк

или

откуда

а

§2. Метрические пространства финслерова типа

1. Пусть как и выше М - гладкое п - мерное многообразие, ТМ - касательное расслоение над М, п : ТМ ^ М - каноническая проекция расслоения, (Xі) - локальные координаты на М, (х1,у1) -естественные локальные координаты на ТМ. Финслерова структура на М определяется заданием на ТМ скалярной функции (лагранжеана) Ь(х,у), удовлетворяющей следующим условиям [1]:

а) функция Ь(х,у) положительна однородна первой степени по слоевым координатам:

Ь(х, Ху) = ХЬ(х, у), X > 0

б) функция Ь(х, у) положительна:

Ь(х,у) > 0,у = 0

в) квадратичная форма ^(С) = дІі(х,у)СІСі является положительно определенной, т.е. ^(С) > 0 при всех С = 0, где функции діі = 1Кі.і, Кі = ддуут = ді К локальных координат (Xі, уІ) являются компонентами финслерова тензорного поля д - метричекого тензора.

Многообразие М, наделенное финслеровой структурой, называется финслеровым многообразием (пространством).

2. В аналитической механике наиболее общая формулировка механической системы дается так называемым принципом наименьшего действия (принцип Гамельтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется некоторым лагранжеаном К(х,у,Ь), Ь Є К т.е. скалярной функцией на ТМ х К. Причем часто встречаются лагранжеаны не зависящие от времени Ь. На лагранжеан К(х, у), как правило, накладывается лишь условие невырожденности: ¿еЬ У Кі.і ||= 0, обеспечивающее переход от уравнения Эйлера-Ланранжа с помощью преобразований Лежандра к каноническим уравнениям Гамильтона. Задание такого лагранжеана на ТМ превращает М в лагранжево многообразие (пространство).

Наиболее общая метрическая структура финслерова типа определяется заданием на М поля метрического тензора д финслерова типа

д = діі(х, у)Лхг  ¿Xі

требуя лишь его невырожденность: ¿еЬ || д^ ||= 0.

Многообразие М наделенное метрическим тензором д называют обобщенным лагранжевым многообразием (пространством). Если компоненты метрического тензора діі(х,у) являются функциями, однородными нулевой степени по координатам касательного вектора у, то многообразие М называется обобщенным финслеровым пространством. Если в частности, существует функция К(х,у), такая что дІі = 2 К і • і, то мы имеем финслерово пространство.

Многообразие М на котором задано невыражденное финслерово тензорное поле д будем называть метрическим пространством финслерова типа Кп = (М,д).

Пространство Кп может быть обобщенным лагранжевым, лагранжевым, обобщенно финслеровым или финслеровым пространством.

3. Далее будем предпологать, что пространство Кп является регулярным, т.е. существует единственная усеченная связность Картана V*, согласованная с д: V* д = 0. Необходимым и достаточным условием регулярности пространства Кп является невырожденность матрицы Н [8]

Якт _ <гк гш , 1 кр Хт „кр т 1 кт в

и = ді ді + 2 д двр•1 у °і + 2д ір• — 2 д дві• у,

0, если І = І; к

- символ Кронекера, дкр - контрвариантные компоненты метрического тензора:

1, если і = і.

дкрдрі = дк.

где ді =

Для явного выражения коэффициентов Г*к связности Картана V* надо иметь матрицу обратную к матрице Н, что существенным образом осложняет задачу. Однако, для некоторых классов пространств Еп удается найти явное выражение коэффициентов связности Картана через компоненты метрического тензора [8]. В частности, финслеровы пространства Еп являются регулярными [1]. Заметим, что связность Картана пространства Еп = (М,д), является аналогом связности Леви-Чивита риманова пространства Vп = (М,д).

§3. Многообразия Римана-Картана-Финслера

1. Пусть Еп = (М,д) - регулярное метрическое пространство финслерова типа, V* - связность Картана. Коэффициенты Гэтой связности симметричны по нижним индексам Г= Г*к, т.е. связность

V* не имеет кручения. Пусть теперь на М задана связность V* картановского типа с кручением, т.е. ТЗ = Г*к — Г*к = 0, где Г*к - коэффициенты этой связности, Т* - компоненты тензора кручения. При этом, как и в случае связности Картана мы требуем согласованности V* с д: V*д = 0.

Многообразие М наделенное метрическим тензором д и связностью V* будем называть многообразием (пространством) Римана-Картана-Финслера, а пару (д, V*) структурой Римана-Картана-Финслера (РКФ).

2. Условие согласованности связности V* с метрическим тензором д означает, что ковариантная производная от д в этой связности обращается в нуль, т.е.

д1 дзк — ГрУРдвдзк — ^здрк — Т,*1дзр = 0

Коэффициенты Г*к связности V* очевидно можно представить в виде

Г* к Г* 1 Гк

=1{ч) + 2,

где Г**) = 1 (Г*к +Г*к) - симметрическая часть связности, определяющая сопутствующую симметриче-

скую связность.

С другой стороны

Г* =г*к + Тк,

где Тк - компоненты тензора деформации связности Картана V*. Подставив (3) в (1) и учитывая, что ковариантная производная от д в связности Картана равна нулю, получим

Т:рурд8д*к + % дрк + Т’к д*р = 0

Таким образом, имеет место

Теорема 1. Для того чтобы связность V* была согласована с метрикой д необходимо и достаточно, чтобы компоненты тензора деформации удовлетворяли алгебраическим соотношениям (4).

Из (3) следует, что

Тк Тк Т к

Если в частности, сопутствующая симметрическая связность совпадает со связностью Картана V*, то как следует из

Тк = 2 Т*

3. В качестве примера рассмотрим обобщенное финслерово пространство Еп с локально конической

метрикой [8]:

дз

урур

где 'Уї = Ні (х) - компоненты риманова метриченского тензора, а = а(х) = — 1 - скалярная функция, у і = Нр'ур.

Компоненты связности Картана V* метрики (7) имеют вид

Г** = Гк + 2{а +11)у^ур

где Гкі - коэффициенты связности Леви-Чивита V римановой метрики 7.

Для построения связности V* тензор деформации возьмем в виде

Т = (дк У1 — 7«

где Ь = Ь(х) - скалярная функция. Непосредственной проверкой убеждаемся, что тензор (9) удовлетворяет условию (4), т.е. построенная связность согласована с метрикой. Таким образом справедлива

Теорема 2. Локально коническая метрика д (7) вместе с связностью V*, определенную связностью Картана V* (8) и тензором деформации Т (9) задает структуру Римана-Картана-Финслера.

Замечание. Тензор кручения построенной связности имеет вид

Бкі = -

і (п — іу урур

Из алгебраической структуры тензора кручения (10) следует, что построенная нами связность V* является аналогом классической линейной полусимметрической связности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яно К, Бохнер С. Кривизна и числа Бетти// М.- 1957.

2. Рунд Х. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств// М.: Наука, 1981. — 501с.

3. Паньженский В.И. Инфинитезимальные автоморфизмы метрических структур финслерова типа// Итоги науки и техники. М. 2009. Т. 123. с.81-109.