Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (часть 1)

УДК 519.63

И.С. Полянский

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ПУАССОНА ДЛЯ МНОГОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ СКАЛЯРНОГО ПОТЕНЦИАЛА ВНУТРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

В первой части статьи проведен краткий обзор существующих методов задания барицентрических координат внутри произвольной (выпуклой или вогнутой) области. Определено геометрическое представление нахождения барицентрических координат Пуассона, являющихся псевдогармоническими внутри выпуклого полигона. Приведены результаты аппроксимации потенциала внутри произвольных областей на основе заданного представления.

Барицентрические координаты Пуассона, геометрическое представление, аппроксимация скалярного потенциала

I.S. Polyansky

POISSON BARYCENTRIC COORDINATES FOR MULTIVARIATE APPROXIMATION OF SCALAR POTENTIAL WITHIN AN ARBITRARY AREA

The article presents the existing methods for specifying barycentric coordinates within an arbitrary convex or concave region. The geometric representation of the Poisson barycentric coordinates being pseudoharmonic inside a convex polygon is defined. The results of approximation of the potential inside the arbitrary domains based on the given representation are presented.

The Poisson barycentric coordinates, geometric representation, approximation of the scalar potential

Введение

Барицентрические координаты (БЦК) на сегодняшний момент являются «... одним из фундаментальных понятий компьютерной графики и геометрического моделирования» [1]. Их применение распространяется на широкий класс задач электродинамики, теплопроводимости, упругости и др., что обусловлено возможностью в приближении метода Галеркина [3] выполнять приближенное решение краевых задач в N-мерной барицентрической системе Zi,Z2,. .,ZN (однородных/неоднородных уравнений Лапласа, Гельмгольца и др. [2]) с учетом заданных граничных условий Дирихле и Неймана для всей области анализа Q в целом без ее дискретизации на конечные (как правило, треугольные) элементы. Размерность N формируемой барицентрической системы определяется числом вершин анализируемой области Q, заданной в виде многоугольника.

Определению БЦК внутри выпуклых и вогнутых многоугольников в приложении к методам компьютерной графики посвящено большое количество зарубежных работ [1, 3-10 и др.] с учетом заданных требований на то, что формируемая система должна удовлетворять условиям [11]:

1) положительной определенности £ j > 0 при j = 1, N и равенства суммы барицентрических

N

координат единице ^ £  =1;

j=1

2) линейной полноте (линейная точность) ^ Z )Р = Р, определяющей то, что функции

j=1

формы zj (Р) (барицентрические координаты) могут точно воспроизвести линейную функцию, например координату р = (x; y)T в двумерном пространстве;

3) интерполяции узловых координат Pm многоугольника по правилу zj (Pm ) = J1' если^ m;

I О, если n Ф m, при j, m = 1, # ;

4) на ребрах ={Pj ; Pj+l} многоугольника интерполяционное значение, например координата

P, определяется кусочно-линейной зависимостью p = tPj +(l -1)Pj+i, где t e [0,l].

На сегодняшний момент известны следующие основные методы определения БЦК:

1) Wachspress (WP) координаты - одни из первых БЦК, введенные для выпуклых многоугольников (строятся через полярные двойники выпуклого многоугольника для произвольной точки P внутри анализируемой области) [3];

2) Mean value coordinates (MVC) - БЦК, введенные Флотером [4] для произвольного многоугольника без самопересечений, и Positive (положительные) MVC (PMVC) [12];

3) Gordon-Wixom (GP) [6] и Positive (положительные) GP (PGP) координаты [7];

4) Maximum entropy coordinates (максимальной энтропии - MCE) [8];

5) Moving least squares coordinates (перемещающихся наименьших квадратов - MLSC) [9];

Беляевым в [5] доказано, что ни WP, ни MVC барицентрические координаты не являются

псевдогармоническими (интерполяция в n-мерной системе координат называется псевдогармонической, если ее воспроизводят гармонические функции на n-мерном шаре). БЦК GP, MCE, MLSC являются всегда положительными и гладкими, однако их определение для произвольной точки P внутри области анализа Q сопряжено со значительными вычислительными затратами, соизмеримыми с заданием гармонических координат [13], что нивелирует предполагаемый положительный выигрыш применения барицентрического метода для решения краевых задач в сравнении с методом конечных элементов [14]. Вычисление PGP координат сопряжено с меньшими вычислительными и емкостными затратами, однако они не являются псевдогармоническими [10].

Для достижения компромисса между вычислительной сложностью определения барицентрических координат и точностью псевдогармонической аппроксимации потенциала внутри вогнутого многоугольника в [10] предложены пуассоновские координаты (Poisson coordinates - PC) для двухмерного пространства. Целью первой части статьи является задание геометрического представления определения БЦК Пуассона для последующего формирования обобщения процедуры их нахождения внутри произвольных дискретных областей анализа, заданных в трехмерном пространстве.

Геометрическое представление дискретных барицентрических координат Пуассона внутри выпуклого многоугольника в двухмерном пространстве

PC БЦК для выпуклой непрерывной области в Rn определяются с учетом сформированного Пуассоном решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в некотором шаре Br радиуса R , заданного в n-мерной системе координат Rn. Решение, определяющее распределение потенциала для некоторой точки P внутри шара, формируется в виде интеграла Пуассона [2] :

u

VÎBr f л f ;

где Vn-1 - площадь единичной сферы в Rn; BBr - граница шара Br ; Uo (V) - функция, задающая

значение потенциала на границе шара.

Выражение (1) определяет представление непрерывных гармонических координат для шара Br , представляемых в виде [10]:

2 lRl 2 1 ( lR R n

r2 im I / I In „I

H

Рис. 1. Отображение шара Вц на единичный шар ВЯ для произвольной точки Р внутри области П при определении непрерывных барицентрических координат Пуассона

Предполагая, что в геометрическом центре некоторой области анализа О с непрерывной границей ЭО , определенной в Я", задан центр к2 шара Вц, покрывающего О (рис. 1), аналогично геометрической интерпретации метода МУС в [1] вводят для О аппроксимацию потенциала [10]:

и

?'еЭв; 7 ( У / ?'еЭВ;; ( у

где элемент площади ¿Б(V') единичного шара В'я с центром в Кх =Р + (К2 - Р)/Я, ограниченного

ЭВ' и определяемого проекцией шара Вц для произвольной точки Р внутри области О, задается выражением [10]

-1

¿Б (?) =

ео8 а

Р,?1

Р-?1 /I 008Рр-Р-? I¿Б(V).

а ?

В выражении (4) Рр ^ - угол между векторами (V'-Р) и (Кх -Р); 1Ар V внешней нормалью к границе ЭО области О в точке V и вектором (?-Р).

угол между

Рис. 2. Геометрическое представление определения проекции ребер ëj ={Ру; Рj+1} многоугольника О на дугу единичной окружности В'я для барицентрических координат Пуассона

С учетом заданных отношений в [10] в явном виде определяется правило нахождения РС БЦК для выпуклого Л-угольника (дискретные Пуассоновские БЦС) в двухмерном пространстве Я2. При этом авторы работы оставляют открытым вопрос задания в явном виде выражений, определяющих

Г

дискретные БЦК Пуассона для п > 3. Затруднения связаны с решением интеграла для п > 3 вспомогательной функции / -го ребра ё / = {Р/; Р/+1} многоугольника О [10]:

У—Р

Для этого по аналогии с [1] введем геометрическое представление определения БЦК Пуассона для произвольной точки Р с учетом следующих соображений.

По сути, задача нахождения БЦК Пуассона для произвольной точки Р заключается в проекции ребер ëj = {Р/;Ру+1} многоугольника О на дуги ё/ = {р/;Ру+1} единичной окружности В^ с

центром в кх (рис. 2).

БЦК Пуассона задаются через значения весовых функций ^у (р) /-х вершин многоугольника отношением

' N

£у

т=1

где весовые функции Wj (Р) определяются четверкой треугольных областей д(Р,Р/,Р/+1), Д(Р Р/—1 Р/) и д(кх, р/, р/+!), Д (к х, Р/-1, Р/) в виде суммы:

Wj

В выражении (7) Г/—1 и Г/ - внешние единичные нормали к дугам ё/ = {Р/; Ру+1} и ё/—^ ={Р/—¡;Р/} единичной окружности В^ , определяемые через внутренние нормали сторон советующих треугольных областей Д(кх,Р/, Р/+1) и д(кх,Р/—1,Р/), которые можно задать через единичные нормали треугольников д(р, р /, р/+1) и д(р, р/—1, р /) выражением

1 2

Г/ = П/ё/ + п/ й/+1.

В выражении (8) й/ = (Р/ — Р) (Р/ — Р)/ Р/ — р задает расстояние между точкой Р и точкой

Р/ проекции вершины Ру многоугольника на единичную окружность В^ с центром в кх. Точка

т

проекции р/ = (X'/ У/) определяется решением системы двух уравнений пересечения вектора (р/ — р) с окружностью В'к . Корнями этой системы являются координаты:

1);

X/ =(tg(0)х + (кх)2 — >>)tg(0) + (кх±уГБ/(tg2 (9) +1);

У/ =( X/ — х) tg (0) + у,

где tg(0) = (У/ — УУ(Х/ — х); Б = tg2 (0) +1—[(х—(кх)1)tg(0) — (у—(кх)2)"

Поскольку выражение (9) определяется двумя корнями, точкой проекции Р/ выбирается ближайшая к вершине Р / .

Рис. 3. Пример аппроксимации потенциала БЦК Пуассона внутри области анализа, заданной: а - выпуклым правильным шестиугольником; б - шестиугольником, содержащим один тупой угол; е - вогнутым семиугольником

о

б

Рис. 4. Пример аппроксимации потенциала гармоническими координатами внутри области анализа, заданной: а - выпуклым правильным шестиугольником; б - шестиугольником, содержащим один тупой угол;

в - вогнутым семиугольником

а

в

Рис. 5. Зависимость минимизируемой энергии Дирихле от числа дискретизирующих элементарных подобластей при аппроксимации скалярного потенциала внутри области анализа, заданной: а - выпуклым правильным шестиугольником; б - шестиугольником, содержащим один тупой угол; в - вогнутым семиугольником

На рис. 3 и 4 приведены примеры аппроксимации потенциала БЦК Пуассона и гармоническими координатами [13] (методом конечных элементов) соответственно внутри: 1) выпуклой области без тупых углов (рис. 3а и 4а); 2) выпуклой области, содержащей один тупой угол (рис. 3 б и 4 б); 3) вогнутой области (рис. 3в и 4в) в случае задания значения потенциала единицы в одной вершине и нулю для всех остальных. При аппроксимации гармоническими координатами дискретизация исходных областей выполнена путем разбиения на 400 треугольных элементов.

На рис. 5 представлена зависимость энергии Дирихле [2, 10] от числа дискретизирующих область треугольных элементов для аппроксимации потенциала внутри заданных многоугольниках гармоническими координатами и БЦК Пуассона.

Заключение

Из полученных результатов (рис. 3-5) следует, что применение БЦК Пуассона для решения краевых задач внутри выпуклой области позволяет сформировать гладкую, аналогичную гармоническим координатам аппроксимацию скалярного потенциала. При этом не требуется дискретизация области анализа на как можно меньшее число конечных элементов. Последнее с позиции вычислительных и емкостных затрат определяет предпочтительность применения БЦК Пуассона, особенно для случаев анализа выпуклых многоугольников, содержащих тупые углы (рис. 3б, 4б и 5б). Распределение потенциала внутри вогнутой области анализа (рис. 3в) определяется ошибочно (рис. 4в), что приводит в сравнении с аппроксимацией гармоническими координатами к большим значениям энергии Дирихле (рис. 5в). При этом в некоторых точках вогнутой области БЦК Пуассона принимают отрицательные значения (рис. 3в), что не удовлетворяет условию положительного определения БЦК.

В целом полученные результаты определяют направления дальнейших исследований, отраженных во второй части статьи: на основе заданного геометрического представления определить БЦК Пуассона внутри выпуклой области в трехмерном пространстве и сформировать способ аппроксимации потенциала внутри вогнутой области БЦК Пуассона.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ju T. A general geometric construction of coordinates in a convex simplicial polytope / Tao Ju, Peter Liepa, Joe Warren // Computer Aided Geometric Design. 2007. № 3 (24). P. 161-178.

2. Иванов В.И. Камфорные отображения и их приложения / В.И. Иванов, В.Ю. Попов. Москва: Эдиториал УРСС, 2002. 324 с.

3. Wachspress E.L. A Rational Finite Element Basis / E.L. Wachspress. N.Y.: Academic Press, 1975.331 p.

4. Floater M.S. Mean value coordinates / Michael S. Floater // Computer Aided Geometric Design. 2003. № 1(20). P. 19-27.

5. Belyaev A. On Transfinite Barycentric Coordinates / A. Belyaev // Proc. Fourth Eurographics Symp. Geometry Processing (SGP '06), 2006. P. 89-99.

6. Gordon W. J. Pseudo-Harmonic Interpolation on Convex Domains / W. J. Gordon, J. A. Wixom // SIAM J. Numerical Analysis. 1974. Vol. 11, № 5. P. 909-933.

7. Manson J. Positive Gordon-Wixom Coordinates / J. Manson, K. Li, S. Schaefer // Computer Aided Design. 2011. Vol. 43, № 11. P. 1422-1426.

8. Hormann K. Maximum Entropy Coordinates for Arbitrary Polytopes / K. Hormann, N. Sukumar // Computer Graphics Forum. 2008. Vol. 27. № 5. P. 1513-1520.

9. Manson J. Moving Least Squares Coordinates / J. Manson, S. Schaefe // Proc. Symp. Geometry Processing. 2010. P. 1517-1524.

10. Xian-Ying Li. Poisson Coordinates / Xian-Ying Li, Shi-Min Hu // IEEE Transactions on visualization and computer graphics. 2013. Vol. 19. № 2. P. 344-352.

11. Sukumar N. Recent Advances in the Construction of Polygonal Finite Element Interpolants / N. Sukumar, E. A. Malsch // Arch. Comput. Meth. Engng. 2006. Vol. 13, № 1. P. 129-163.

12. Lipman Y. GPU-assisted Positive Mean Value Coordinates for Mesh Deformations / Yaron Lip-man, Johannes Kopf, Daniel Cohen-Or, David Levin //. Geometry Processing, Eurographics Symposium Proceedings / A. Belyaev and M. Garland editors. Barcelona, Spain, 2007. P. 117-123.

13. DeRose T. Harmonic Coordinates / T. DeRose, M. Meyer // Technical report, Pixar Animation Studios, 2006.

14. Сильвестр П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-энергетиков: пер. с англ. / П. Сильвестр, Р. Феррари. М.: Мир, 1986. 229 с.

Полянский Иван Сергеевич -

кандидат технических наук, научный сотрудник Академии Федеральной службы охраны Российской Федерации

Статья п

Ivan S. Polyansky -

Ph.D., Research Fellow

Academy of Federal Security Guard Service

of the Russian Federation

пила в редакцию 11.01.15, принята к опубликованию 10.02.15