Равновесные состояния обобщенной ньютоновской жидкости

Настоящая работа посвящена определению скорости вращения втулки в подшипнике, заполненном маслом, с учетом центробежных сил. Интегрированием компонент тензора напряжений по поверхности зазора были получены явные выражения для сил и моментов, действующих как на ротор, так и на втулку подшипника. Определено распределение положений равновесия ротора в смазочном слое в подвижных осях. По аналогии проведен динамический анализ для зазора между втулкой и корпусом подшипника. Рассмотрена пробле-

ма определения угловой скорости вращения втулки в подшипнике скольжения; она важна для определения сил, действующих на ротор, зависящих от указанной скорости. Угловая скорость вращения втулки в подшипнике скольжения получена в рамках теории короткого подшипника из условия равенства моментов, действующих на втулку со стороны масла извне и изнутри. Численным расчетом показано, что угловая скорость вращения втулки в подшипнике скольжения может меняться в достаточно широких пределах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л.Г. Лойцянский.- М.: Наука, 1987.- 840 с.

2. Dubois, G.B. Analytical derivation and experimental evaluation of short-bearing approximation for full journal bearing [Text] / G.B. Dubois, F.W. Ocvirk // Cornell Univ. Report.-1953.- No. 1157.- P. 119-127.

3. Hatakenaka, K. A theoretical analysis of floating bush journal bearing with axial oil film ruptures being considered [Text] / K. Hatakenaka, M. Tanaka, K. Suzuki // Journal of Tribology.- 2002.- Vol. 124(3).- P. 494-505.

4. Максимов, С.П. Автоколебания роторов, вызванные масляным слоем подшипников скольжения [Текст] / С.П. Максимов // Труды ЦКТИ. Котлотур-бостроение.- 1964.- № 44.- С. 87-96.

5. Коровчинский, М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения [Текст] / М.В. Коровчинский.- М.: Машгиз, 1959.- 405 с.

6. Belyaev, A.K. Forces and moments acting on the rapidly rotating floating bearing [Text] / A.K. Belyaev,

Nguyen Van Thang // 36th International Summer School-Conference APM' 2008. Repino, Saint Petersburg, Russia.- P. 104-111.

7. Нгуен Ван Тханг. Силы и моменты, действующие на ротор в упорном подшипнике скольжения, с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / Нгуен Ван Тханг // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2011.- № 1(116).- С. 116-122.

8. Пешти, Ю.В. Проектирование подшипников скольжения с газовой смазкой [Текст] / Ю.В. Пешти. -М.: МВТУ им. Баумана, 1973.- 171 c.

9. Boyaci, A. Analytical bifurcation analysis of a rotor supported by floating ring bearings [Text] / A. Boyaci, H. Hetzler, W. Seemann // Nonlinear Dynamics. Berlin: Springer, 2009.- Vol. 57.- P. 497-507.

10. Lang, O.R. Gleitlager [Text] / O.R. Lang, W. Steinhilper.-Berlin: Springer, 1978.- P. 253.

УДК 532.501.32

А.В. Перминов

РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ОБОБЩЕННОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ

Если градиент температуры, приложенный к ньютоновской жидкости, направлен вдоль поля тяжести, то в жидкости возможно состояние равновесия. Существует большое количе-

ство работ, в которых исследуется устойчивость равновесного состояния [1]. Вибрации — один из эффективных способов управления устойчивостью равновесного состояния жидкости

при ее подогреве. В работах [2, 3] было сформулировано условие квазиравновесия ньютоновской жидкости, находящейся в поле высокочастотных вибраций. Под квазиравновесием понимается такое состояние, при котором на фоне быстрого периодического пульсационно-го движения в жидкости отсутствует осреднен-ный тепло- и массоперенос.

При описании термовибрационной конвекции в несжимаемой ньютоновской жидкости используются уравнения Зеньковской—Симо-ненко. Систематическое описание основных положений термовибрационной конвекции можно найти в монографии [4].

В работе [5] было предложено обобщение уравнений термовибрационной конвекции на случай обобщенной ньютоновской жидкости. Это класс неньютоновских жидкостей, для которых тензор напряжений сдвига Ту в каждой точке представляет некоторую функцию только от тензора скорости сдвига еуу в той же точке [6]:

ТУ = / {12 ) еу; еу =

дщ дху

дЩу дХ;

12 = 2 еУеЛ'

Т у =

*

12 = 0,

еу, Ы >То;

кривой течения (зависимость напряжений сдвига от его скорости) в области малых скоростей сдвига. В работах [8-10] при моделировании конвективных течений вязкопластичных жидкостей для учета нелинейных эффектов было предложено использовать неразрывную модель Уильямсона:

Т у =

А

в+Л/72

е у,

где А, В — реологические параметры жидкости Уильямсона; — вязкость при больших скоростях сдвига.

При малых значениях параметра В жидкость Уильямсона близка по своим свойствам к бингамовскому пластику, тогда А приобретает смысл динамического предела текучести [11].

Псевдопластики и дилатантные жидкости описывают степенным уравнением Освальда де Виля:

ту=к 2 )

п-1

еу'

где щ — компонента скорости жидкости вдоль координаты х.

Жидкости с реологическим соотношением вида (1) удобно подразделять на три группы [7]: вязкопластичные (бингамовские пластики); псевдопластичные (псевдопластики); ди-латантные.

Вязкопластичные жидкости принято описывать реологическим уравнением Бингама:

где т2 = Туту /2 ; т0 — предельное напряжение сдвига; ц р — сдвиговая вязкость.

Из уравнения (2) видно, что сдвиговое течение в вязкопластичных жидкостях возникает, если приложенные к жидкости напряжения больше некоторого порогового значения.

При реометрических исследованиях вязко-пластичных тел обнаружилась нелинейность

где k — консистентность жидкости, п — показатель ее неньютоновости.

Для описания реологических свойств псевдопластичных жидкостей можно применять уравнение (3).

В работе получен общий вид осредненно-го тензора вязких напряжений для обобщенной ньютоновской жидкости, находящейся в поле высокочастотных вибраций. Приведены выражения для осредненных тензоров вязких напряжений реологических моделей Бингама, Уильямсона и Освальда де Виля. Сформулированы условия равновесного и квазиравновесного состояний для обобщенной ньютоновской жидкости, находящейся в замкнутой полости произвольной формы. Для вязкопластичной жидкости Бингама сформулировано условие существования жесткого состояния. Показано, что в поле высокочастотных вибраций реализация такого состояния возможна, когда вибрации происходят вдоль направления градиента температуры.

Уравнения термовибрационной конвекции

Пусть имеется однородная жидкость, целиком заполняющая замкнутую полость, совершающую линейно-поляризованные (возврат-

Т

0

но-поступательные) вибрации с амплитудой смещения а и частотой ш в направлении единичного вектора п; тогда аш — амплитуда скорости пульсаций. Пусть вибрации высокочастотные, малоамплитудные, но не акустические, т. е. а << L, ш>>\е/¿г , где L — характерный размер гидродинамических структур, — эффективная кинематическая вязкость. Жидкость считается несжимаемой и находится в неоднородном температурном поле.

В работе [5] на основании метода осреднения [12] получена система уравнений, которая описывает медленное осредненное конвективное движение жидкости. При этом вводилась иерархия времен Х_ = ¿0 = I, ^ = Х2 = = ш_21,.... Все физические поля расщеплялись на пульсационную часть, зависящую от t_ , и медленную осредненную часть, зависящую от «медленных» (конвективных) времен t0, t2,.... «Быстрое» время t_ имеет один порядок с малым параметром ш-1. Амплитуда скорости пульсаций аш считается конечной.

— + (uV)u = - - Vp+—DivT + gpT y + dt p p

1 2 +^(ашр) wV(Tn-w);

-1,

eij = e0ij + ш e1ij + >

12 =

ejeji 1

2 2'

Можно показать, что для жидкостей с реологическим соотношением вида (1) разложение тензора вязких напряжений примет вид

Tij = f0 (ho) e0j + -1 (f1 (I00.101)e0ij +

+f0

+ ;

^00 - 2 e0ije0 ji; 101 = e0je1 ji

В этом разложении учтена симметричность тензора скоростей сдвига еу. Вид функций У0, ^ определяется выбором конкретного реологического уравнения.

В разложении (6) необходимо ограничиться только первым слагаемым, так как остальные слагаемые имеют более высокий порядок малости. После его осреднения по быстрому времени t_ получаем выражение

1 2п

Ту = 2-1[f (100) > _;

2 п

e0j - a^eewii sin t-+ euii

— + uVT -xAT; div u - 0;

dt

div w - 0; rot w - V T x n,

где u, T, p - функции медленного времени t, описывающие осредненное конвективное течение; v - pw - безразмерная амплитуда пуль-сационного поля скорости.

Система (5) совпадает с системой уравнений термовибрационной конвекции для ньютоновской жидкости, за исключением вязкого слагаемого DivT , вид которого определяется реологической моделью.

Следуя работе [5], выпишем разложение для тензора скорости сдвига и второго инварианта

-1

этого тензора по степеням малого параметра ш :

Тензор скоростей сдвига разделяется на две части, одна из которых —

=

определяется амплитудой скорости пульсаций, вторая —

еиу =

— скоростью осредненного конвективного движения. Функция /(/00) для жидкостей Бингама, Уильямсона и Освальда де Виля, соответственно, принимает значения

f+ Цр; f-

A

Лр00 Р B + ^

f - k )"-1

;

На твердых границах для медленно меняющейся скорости и выполняется условие прилипания, а для амплитуды пульсационной скорости — условие непротекания.

Введем масштабные множители: для разности температур и поля w — 9, для координат — к, для времени — к2/\е, для скорости — цр!рк и для давления — ру2/к2 . Уравнения (5), (7) и (8) в безразмерных переменных примут вид

— + (uV)u = _Vp + Dívt + GrT у +

dt

+~Gv • wV(Tn - w);

— + uVT =—AT; div u = 0; dt Pr

div w = 0; rot w =VT x n.

л 2п

L Í J

Tj 2n

700 = 0

Bh

i 2n

L Í J

Xl} 2n 0 = K'

T lj = 2n

+1

D

0 j

|т2| > Bh; It J < Bh;

b+4k0

+1

0 j

гГ/ I-\"-1

J (V700) e0j

e0 j

vewlj sin t_ + e, 2

u j'

Частным случаем квазиравновесного состояния жидкости является квазитвердое состояние. В этом случае в жидкости отсутствуют какие-либо течения, т. е. жидкость вместе с сосудом как единое целое совершает гармонические колебания. Приравнивая амплитуду пуль-сационной скорости к нулю, получим условия для квазитвердого состояния жидкости:

rot Div t + GrVT xy = 0; AT = 0; VT x n = 0.

где Gv = (aropQph/ ц p) — вибрационное число Грасгофа; Gr = gP0p2h3/цр — гравитационное число Грасгофа; Pr = цр/ (хр) — число Прандт-ля; Bh = ph2 т0// ц2р — число Бингама; D = ph2 A Цю — динамический предел текучести; b = рк2в/цю ; K = k (цр/ph2) — реологические параметры моделей.

Равновесные состояния жидкости

Под квазиравновесием жидкости, находящейся в замкнутой полости в поле высокочастотных вибраций, будем понимать такое ее состояние, при котором на фоне быстрого пуль-сационного движения отсутствует медленное осредненное течение жидкости, т. е. u = 0, d/dt = 0. В этом случае система уравнений (9) после применения к ней операции ротора и исключения давления, примет вид

rot Div т +1 GvV

AT = 0; div w = 0; rot w = VT х n.

Уравнения (11), описывающие состояние квазиравновесия, являются обобщением условий, полученных в работе [2], на рассматриваемый класс неньютоновских сред.

Видно, что вибрационное число Грасгофа не влияет на квазитвердое состояние. Для обобщенной ньютоновской жидкости (1), кроме вязкопластичной жидкости Бингама, либо rot Div т = 0 , т. е. квазитвердое состояние возможно в невесомости, либо когда все три вектора VT, n,у направлены вдоль одной прямой:

VT xj=VT x n = 0.

При отсутствии вибраций для неизотермической обобщенной ньютоновской жидкости (1) выполняется условие равновесия GrVTxj= 0 , которое для обычной ньютоновской жидкости приведено в работе [1]. Там же обсуждается ряд задач по исследованию устойчивости равновесия.

Особняком стоят вязкопластичные жидкости Бингама, для которых характерно наличие предельных напряжений сдвига. Если напряжения, возникающие в жидкости, меньше предельных, то она находится в твердом или жестком состоянии. Напряжения сдвига подлежат определению из уравнения (12).

Жесткое состояние наклонного слоя жидкости Бингама

На рис. 1 показан наклонный слой жидкости Бингама, находящийся в поле тяжести Земли. Единичный вектор у имеет компоненты (_sin a, 0, cos a). Равновесный градиент температуры задается единичным вектором V T0 = m. Единичный вектор n определяет направление вибраций. Для реализации жесткого состояния необходимо, чтобы m x n = 0.

При указанных на рис. 1 условиях вязкие напряжения, возникающие в слое, зависят только от поперечной координаты. Уравнение (12) принимает вид

0

Рис. 1. Наклонный слой жидкости Бингама, находящийся в поле тяжести Земли: 7, п, УТ0 — единичные векторы

д2 т

+ Gr (mz sinа + mx cos а) = 0,

дх

где т^тхг (х).

Решение (13) имеет вид

о

т = С0 х2 + С1х + С2,

где С0 =-Gr (mz sinа + mx cos а)/2 .

Жидкость находится в жестком состоянии, если в любой точке слоя выполняется условие |т|< Bh.

Вершина параболы (14) находится в точке с координатой х* = -Q/2А . Полагаем, что вершина параболы расположена в пределах слоя -1 < х* < 1. В этом случае экстремальные напряжения сдвига возникают на границах слоя и в точке х*. Для выполнения условия существования жесткого состояния необходимо потребовать выполнения следующих неравенств:

С0 - C1 + C2 > -Bh; С0 -C1 + C2 < Bh (х = -1);

С0 + C1 + C2 > -Bh; С0 + C1 + C2 < Bh (х = -1);

4С

+ C2 > -Bh;

C2

4С

+ C2 < Bh (х = х*).

На рис. 2,а заштрихована область существования совместного решения неравенств (15)- (17).

Очевидно, что наличие заштрихованной области на рис. 2,а говорит о реализации жесткого состояния бингамовской жидкости. Жесткое состояние не реализуется, если площадь указанной области равна нулю. Это возможно, если |С0| > 2Bh.

Пусть вершина параболы (14) находится на

* 1

границе слоя, например при я = +1, тогда С1 = _2С0. В этом случае, неравенства (15) и (17) примут вид

С2 >_

Система (15), (17) не имеет решений, т. е. в слое бингамовской жидкости не реализуется жесткое состояние, если |С0| > Bh/2. Данное неравенство оказывается справедливым и для х *=_1.

Рассмотрим случай, когда вершина параболы находится за пределами слоя. Для реализации жесткого состояния необходимо потребовать выполнения неравенств (15), (16) и еще двух:

С < -2С0, С > 2С0.

Графический анализ системы неравенств (15), (16) и (20) представлен на рис. 2,б. Прямая 4 соответствует х* >1. В области I левее линии 4 обсуждаемая система неравенств имеет решение при положительных С0. В области II правее 4 эта система справедлива, если С0 < 0. Очевидно, что жесткое состояние жидкости не реализуется, если выполняется неравенство |С0| > Bh/2. Путем аналогичных рассуждений убеждаемся в справедливости этого условия для х* < -1.

Подставляя в неравенства |С0| > 2Bh и |С0| > Bh/2 выражение для С0, окончательно выпишем условия перехода жидкости Бингама из жесткого состояния в жидкое:

Gr >

4Bh

\mz sin а + тх cos а

m х n = 0.

Неравенство (21) определяет границу области существования жесткого состояния в слу-

а)

) С2

V ^^

2\\ У ¡4-с0 // ^

-(ВЬ+сХ /С /вк+С0 С

г

/.г \ нвь+с0)

Л

В ь+с0 С1

Рис. 2. Графический анализ систем неравенств (15) — (17) (а) и (15), (16), (20) при х* > 1 (б). Области существования совместных решений заштрихованы. Представлены границы выполнения неравенств (15) (1,7); (16) (2, 2); (17) (3, 3); (20) (4). I, II - случаи С0 >0 и С0 <0 соответственно

чае, когда экстремум функции (14) находится в пределах слоя.

Если вершина параболы (14) попадает на границы слоя или оказывается за его пределами, то область параметров, при которых реализуется жесткое состояние, уменьшается, а ее размеры определяются условием

Gr >

бШа + шх cosа

т х п = 0.

Положение экстремума функции (14), т. е. форма профиля вязких напряжений определяется условиями подогрева слоя и состоянием его границ. Отметим, что условия (21), (22) справедливы в отсутствие вибраций. При наличии вибраций в неравенствах вектор m можно заменить на п.

Известно, что в бесконечном слое после потери устойчивости равновесного состояния, как правило, возникает плоскопараллельное течение, состоящее из двух встречных потоков [1, 5, 13]. Экстремальные значения вязких напряжений реализуются на границе встречных потоков и границах слоя. Координата экстремума функции (14) располагается в пределах слоя. Следовательно, область параметров, при которых существует жесткое состояние вязкопластичной жидкости, будет определяться условием (21).

Итак, в настоящей работе приведены уравнения термовибрационной конвекции и осред-ненные выражения для тензоров вязких напряжений жидкостей, у которых напряжения сдвига в каждой точке представляет некоторую функцию только от скорости сдвига в той же точке. На основании этих уравнений можно исследовать устойчивость равновесных состояний таких жидкостей, а также конвективные режимы, которые возникают после потери равновесным состоянием устойчивости.

При исследовании устойчивости равновесного состояния обобщенной ньютоновской жидкости следует учитывать вид реологического уравнения жидкости и, следовательно, тип равновесного состояния, которое реализуется в ней при данных условиях подогрева и вибрационных воздействиях.

Так, в псевдопластичной, дилатантной и ньютоновской жидкостях при отсутствии вибраций реализуется состояние равновесия. Оно возможно, если жидкость находится в невесомости, либо градиент температуры направлен вдоль поля тяжести. Включение вибраций расширяет спектр равновесных состояний. В вибрационном поле в таких жидкостях возможно квазиравновесное состояние, при котором на фоне пульсационного движения в жидкости не возникает осредненного конвективного тепло-

и массопереноса. Частным случаем квазиравновесного состояния является квазитвердое, которое реализуется, когда все три вектора п, у, т направлены вдоль одной прямой. В квазитвердом состоянии в жидкости отсутствуют пульсационное и осредненное движения, т. е. жидкость совершает колебания вместе с сосудом как твердое тело.

Вязкопластичная жидкость Бингама — это особый тип обобщенной ньютоновской жидкости, в которой сдвиговое течение возникает, если приложенные к жидкости напряжения больше некоторого порогового значения. В такой жидкости, кроме указанных выше равно-

весных состояний, наблюдается твердое или жесткое состояние.

Так, в отсутствие вибраций существует пороговое значение числа Грасгофа, ниже которого жидкость находится в жесткой фазе. Это равновесное состояние возможно при произвольном направлении градиента температуры.

При включении вибраций жесткая фаза бингамовской жидкости реализуется, только когда вибрации происходят вдоль градиента температуры. В остальных случаях в жидкости возможно состояние квазиравновесия, аналогичное тому, что имеет место в остальных типах обобщенной ньютоновской жидкости.

1. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости [Текст] / Г.З. Гершуни, Е.М. Жу-ховицкий. — М.: Наука, 1972.- 392 с.

2. Deiiiin, V.A. Mechanical quasi-equilibrium and thermovibrational convective instability in an inclined fluid layer [Текст] / V.A. Demin, G.Z. Gershuni, I.V. Verk-holantsev // Int. J. Heat Mass Transfer.—1996.—Vol. 39. -№ 9. — P. 1979-1991.

3. Демин, В.А. Вибрационная конвекция в наклонном слое жидкости при подогреве снизу [Текст] / В.А. Демин // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2005. — №6. — С. 38-48.

4. Gershuni, G.Z. Thermal vibrational convection [Текст] / G.Z. Gershuni, D.V. Lyubimov. — New York: Wiley, 1998. — 358 p.

5. Перминов, А.В. Воздействие высокочастотных вибраций на конвективное движение неньютоновской жидкости [Текст] / А.В. Перминов, Е. В. Шу-лепова // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия «Физико-математические науки». - 2011. — № 3(129). — С. 169—175.

6. Литвинов, В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости [Текст] / В.Г. Литвинов. — М.: Наука, 1982.— 376 с.

7. Уилкинсон, У.Л. Неньютоновские жидкости: Ги-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

8. Любимова, Т.П. Конвективная устойчивость жидкости Уильямсона в вертикальном слое [Текст] / Т.П. Любимова, Н.И. Лобов, Д.В. Любимов // Уч. зап. Пермск. ун-та. Гидродинамика. -1976.-Вып. 8. — С. 31—43.

9. Любимова, Т.П. Численное исследование конвекции вязкопластичной жидкости в замкнутой области [Текст] Т.П. Любимова // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1977. — № 1. — С. 3—8.

10. Любимова, Т.П. О конвективных движениях вязкопластичной жидкости в прямоугольной области [Текст] / Т.П. Любимова // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1979.— № 5. — С. 141—144.

11. Тетельмин, В.В. Реология нефти [Текст]: Учебное издание / В.В. Тетельмин, В.А. Язев. — М.: Граница, 2009. — 256 с.

12. Любимов, Д.В. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях [Текст] / Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, А.А. Черепанов. — М.: Физматлит, 2003. — 216 с.

13. Любимов, Д.В. Стационарная конвекция вязкопластичной жидкости в вертикальном слое [Текст] / Д.В.Любимов, Т.П.Любимова // Изв. АН

дромеханика, перемешивание и теплообмен [Текст] / У.Л. Уилкинсон. — М.: Мир, 1964. — 216 с.

СССР. Механика жидкости и газа. — 1980. — № 2. — С. 118-123.