Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров

УДК 532.529:534.2

РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ГАЗОВЗВЕСЯХ С ЧАСТИЦАМИ РАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ И РАЗМЕРОВ

Д.А. ГУБАЙДУЛЛИН, А.А. НИКИФОРОВ, Е.А. УТКИНА Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань

Изучено распространение акустических волн в смесях газа с фракциями частиц разных материалов и размеров. Представлена математическая модель, получены дисперсионное соотношение и волновое уравнение, рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализировано влияние размеров частиц и параметров дисперсной фазы для двухфракционной газовзвеси с частицами алюминия и льда на диссипацию и дисперсию звуковых волн.

Ключевые слова: многофазные среды, волновые процессы, дисперсионное соотношение.

Значительный интерес к проблемам и задачам механики многофазных сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике, например в энергетике и машиностроении [1]. При этом наиболее распространенными процессами в многофазных средах являются волновые процессы, носящие нестационарный характер. Учет влияния полидисперсного состава взвеси на распространение монохроматических возмущений в однокомпонентных смесях газа с частицами или пара с каплями выполнен в работе [2]. Авторами [3] исследованы особенности распространения монохроматических волн в двухкомпонентных полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости. Распространение сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями рассмотрено в работе [4]. Получена общая дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз. Авторами [5] изучен аномальный эффект немонотонной зависимости диссипации слабых гармонических и импульсных возмущений от массовой концентрации капель т в монодисперсных аэрозолях с тепломассообменом. Достаточно полное изложение линейной теории распространения плоских возмущений в моно- и полидисперсных двухфазных смесях газа с паром и каплями жидкости дано в работе [6].

Реальные дисперсные системы представляют собой смеси газа или жидкости с частицами, каплями или пузырьками разных веществ, часто с существенно различными теплофизическими свойствами, поэтому изучение волновых процессов в таких системах имеет особое значение. Исследование нестационарных волновых процессов в дисперсных смесях газа с твердыми частицами обычно осложняется необходимостью учета полидисперсного состава (неодинаковости размеров включений) взвеси, поскольку реальные газовзвеси являются существенно полидисперсными. При описании движения таких систем следует учитывать реальное распределение диспергированных включений по размерам, а также межфазный обмен массой, импульсом и теплом.

Линеаризованная система дифференциальных уравнений возмущенного движения двухфракционной газовзвеси в системе координат, относительно

© Д.А Губайдуллин, А.А. Никифоров, Е.А. Уткина Проблемы энергетики, 2009, № 1-2

которой невозмущенная среда покоится, записывается аналогично [6], но с учетом различия в составе дисперсной фазы и имеет вид:

Ф1

Л +Р101Г~+Р1О0 ~ = 0, дг дг г

дР2а д

др2Ъ

дг

+

р 20

дг 2

2а

V 2а

дг +Р 2о0 -у-=

+ р Ъ ду 2ъ +р Ъ 0 V 2ъ 0 + р 20 дГ +р200-=

Г

+ тъ-

<М + 1 Ф1 . т Ч- *2а Ч-V2ъ

а.. а та *

дг Р10 дг Тг

дV2а VI - V2а

= 0,

ТгЪ

дг

Т у

^2ъ = Ч - у2ъ

А* * '

д хгЪ

дТ1 1 др1

дг р 0 С , дг р10Ср1

+ таТт1^ + тъТЦЪ = 0,

ТТ1

ТТ1

дТ2а + Т2 - ¡Ъ, = 0,

дг тТ 2а '

ат' т' т'

дТ2Ъ , Т2 - Т2Ъ

дг Ср1

+

= 0,

ТТ 2Ъ Т1 - Ъа

Т' - Т' + таС 2аТа-Та = 0,

С

р1

ТТ1

Т{-ТЬ

*

ТТ1

+ тЪС 2Ъ

ТТ 2а

Т2ъ - Т£Ъ

*

ТТ 2Ъ

0,

Р = С1 Р' + р0 Т'

Р1 =-Р1 + — Т1-

У1«10 Т0

т га = Т га

л/2

-1

-1

1гЪ=1гЪ ---(тц1Ъ

* 1 а 10 ТХ1 * 1 5[3г2а -(з - ^ 1а 2а \

ТТ1 =—-—-, ТТ2а = ТТ\ 2а-^-х-,

3 а 20 1 + У 3 2 2а

* 1 фг 2b -(3 - Z2b }hz-2b J 1 - i ( )) (. л. „л

_T 2b = - 2b '-J, г j =

3 г2b

2° 2 * ° ,2 o 2 o*2

_ P2aa _ = 2 P2bb _ P°a _ P°b Tva ~ n ,Tvb ~ n , тц1а _ ,тu.1b _ ,

9 щ 9 щ щ щ

2 i . a , j P 2a P 2b _V = ' kj =~°-' ma =-' mb =-> m = ma + mb

kj PjCj P1 P1

° 2 _Ta = P2ac2aa

У 1 1 ^

- + -

3i1 15i2a

' _Tb = P°2bc2bb

f

11

+ -

3^1 15i2b

Система уравнений (1) при значениях параметров 0 = 0 описывает плоские волны в декартовой системе координат, при 0 = 1 - цилиндрические волны в цилиндрической системе координат, 0 = 2 - сферические волны в сферической системе координат.

Переменные с индексом "1" относятся к несущей фазе, а с индексом "2" - к дисперсной. Индекс 0 соответствует начальному невозмущенному состоянию. Переменные с индексом "а" относятся к частицам алюминия радиуса а, с индексом "b" - к частицам льда радиуса b, " £ " - к поверхности раздела. Здесь p -

приведенная плотность, р° - истинная плотность, v - скорость, а - объемное

содержание, p - давление, С1 - скорость звука в газе, ср - теплоемкость при постоянном давлении, Т - температура, m - относительное массовое содержание частиц, _т - время релаксации температур, _v - время релаксации скорости, ц,1 - коэффициент динамической вязкости несущей среды.

Система уравнений (1) замкнута и может быть использована для исследования распространения акустических возмущений в двухфракционных смесях газа с твердыми частицами разных теплофизических свойств и размеров в плоском, сферическом и цилиндрических случаях.

Исследуем решения этой системы уравнений, имеющих вид прогрессивных волн для потенциала скоростей фаз ф'12 , когда

, дф'и v1,2 = —, дг

где ф'12 имеет вид

ф1,2 = A12 exp[i(K*х-rat)] - для плоских волн (г = х), A

ф12 = ——exp[i((K*г -rat)] - для сферических волн, г

ф'12 = A12 H 01) (K* г )exp(- irat) - для цилиндрических волн,

ra K

K* = K + iK** , Cp = —, а = 2п-

**

K K

где (К*г) - функция Ханкеля, Л12 - амплитуда, К * - комплексное волновое число, К** - коэффициент затухания, ю - частота колебаний, Ср - фазовая скорость, а - декремент затухания.

Исключая Т%а и Т^ь из системы (1), получаем

Т -

1

Р10Ср1

Р1 + таС2аТ2а + ^Ть = 0.

р1

>1

Выражая Р1, V2а, V2Ь , Р1, Т[, Т2а, Т2Ь через ф1 и подставляя полученные выражения в (2), получаем дисперсионное соотношение

= V

С1К *

ю

где V (ю) = 1 + -

та

ть

Я(ю) = 1 +

- + - *

1 - г'ют *а 1 - г'ют ^ь /

((1 - 1)' _

\у=а,Ь Ср1

Ет]С 2 У . * таС2а . * тЬС2Ь —--гт ть—--Та

р1

р1

л ^ т ]С 2 ] . *

1 + X - гютть

у=а,Ь Р1

1 +

таС 2а

СР1 )

(

гшт Та

1 +

тЬС 2Ь Ср1

2 * * ю тТаТТЬ

В случае линейных длинноволновых возмущений (ю т ш, ю т ^, ютта, ют ть <1) нестационарными эффектами межфазного взаимодействия можно пренебречь [1], тогда:

2 Р2аа т 2 Р2аЬ т ° С 2

--, тvЬ = --, тТа = Р2аС2аа

9 щ 9 щ

1

3Х1

- + -

1

15Я,

2а

тТЬ = Р 2ЬС2ЬЬ

11

- + -

3^1 15^2Ь

Получим волновое уравнение для длинноволновых возмущений в случае плоских волн. Исключая перемененные Р1, р2а , Р2Ь , V2а , V2Ь , Т[, Т2а, Т2Ь, Т^а , Т^ь из системы уравнений (1), получаем следующую систему уравнений:

тvaтvЬ д4Р1 + Т«±ТЬ д3Р1 + д2Р1 +

Р10 дг 2 Эх 2

+ т va т vЬ

д 4 v1

+ й

3 ' 2 2 дг дх дг дх

4„ д 3

3

Р10 д 3 v1

дгдх2 Р10 дх2

+ т1

дгдх

= 0,

д4Р1 , д3Р\ ¡. , \д2Р1 2 д4V!

ТТатТЬ 3 + й3 —+ (1 + У 1й0+ тТатТЬР10С1 2 2 +

^ Л-«« * Д к 4 СЛС/Ик я««

дг3 дх дг2 дх

© Проблемы энергетики, 2009, № 1-2

дг 2дх 2

т va =

дд2 ^ + Р10 сЦ йх —\ + Р10 с2 (1 + й 0 )—2- = 0,

9 ' Г1и~1  -и/ -)

д»дх 2 дх 2

2у тас 2а тъс 2ъ

где Ш1 = 1 + та + тъ; й0 = £ ; й 1 = тТа + тта + а 2а ттъ + ъ 20

]=а,Ъ СР1

й2 = туа + туЪ + татуЪ + тЪтуЪ , й3 =ТТа +тТЪ + У1

ТТа ;

Р1

Р1

/ Л

тас 2а ^тЬс2Ь

ТТЪ +-тТа

Ср1

:Р1

Используя метод сведения системы линейных дифференциальных уравнений с частными производными к одному уравнению из [7], получаем из системы (4) волновое уравнение для случая плоских волн:

4

д_ Ы1

дг

т уа т уЪ тТа т ТЪ

д 2 Р1 г 2 д 2 Р1

— С

2

д»2 1 дх2

+

д2 Р д2 Р

(т уа т уЪй 3 + т Та тТЪй 2 )-— С1 (т уа т уЪй1 + тТа тТЪ (т уа + т уЪ ))-2"

д» 2 дх 2

+

дГ

д2Р

(т уа т уЪ (1 + У 1й 0 — т1тТа тТЪ + й 2 й 3 —-тр —

д^

д2 Р

— С 2 (т уа т уЪ (1 + й 0 — тТа тТЪ + (т уа + т уЪ —1—-^

дх 2

д + —

д»

д2 Р д2 Р (т1й 3 + й 2 (1 + У 1й 0 ))—Г —с12 (й1 +(т уа + т уЪ — + й 0 ))—Г

д»

дх2

+

т1 (1 + У 1й 0 ^-Х-рр1 — С2 (1 + й 0 )Х—р1 = 0,

д»2 дх2

где т1 = 1 + та + тЪ; й0 = £

т7с 2 у тас 2а тъС2Ъ -; й 1 = т Та +т ТЪ +-т ТЪ +-ТТа ;

у=а ,Ъ СР1

Р1

(

СР1 \

й2 = т уа + т уЪ + та т уЪ + тЪ т уЪ ; й3 = ТТа + тТЪ + У1

тас2а _ + тЪс2Ъ _ -тТЪ +-ТТа

Р1

Р1

На рис. 1, 2 показаны зависимости относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний ют уъ

соответственно. Расчетные зависимости построены с помощью дисперсионного соотношения (3). Расчеты выполнены для случаев двухфракционной смеси воздуха с частицами алюминия и льда (сплошные линии) с массовым содержанием частиц алюминия та = 0,1 и льда тъ = 0,2 и для монодисперсной смеси воздуха с частицами алюминия (штриховые линии) и частицами льда (штрихпунктирные линии) при одинаковом массовом содержании частиц

3

д

2

д

та = тЬ = т = 0,3. Радиус частиц алюминия составлял а = 10-6м, частиц льда Ь = 10-5м. Учет двухфракционного состава и различие теплофизических параметров фракций приводит к возникновению характерного перегиба для зависимости относительной скорости звука в области частот, обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз т ха и туь (рис. 1). Как показано на рис. 2, различие размеров включений и теплофизических параметров фракций частиц приводит к возникновению двух пиков для зависимости декремента затухания на длине волны на характерных величинах ютш и ютуЬ = 1.

Рис. 1. Зависимость относительной скорости звука от безразмерной частоты колебаний ют„ь

для двухфракционной смеси газа с частицами льда и алюминия (сплошная линия), монодисперсных газовзвесей с частицами алюминия (пунктирная линия) и с частицами льда

Рис. 2. Зависимость декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний ютуь для двухфракционной смеси газа с частицами льда и алюминия (сплошная линия),

монодисперсных газовзвесей с частицами алюминия (пунктирная линия) и с частицами льда

Рассмотрим теперь эволюцию импульсов давления типа гауссовой кривой, создаваемых на границе газовзвеси, когда начальная форма импульсов описывается функцией вида

p(0, t) = exp[-((t - t*)/N )2],

где t* - половина длительности импульса; N - параметр, определяющий ширину пика импульса. Расчеты проводились с помощью дисперсионного соотношения (3) при использовании подпрограмм быстрого преобразования Фурье [8] по методике, изложенной в работе [6].

На рис. 3 показано влияние учета двухфракционного состава дисперсной фазы на эволюцию импульса давления в смеси воздуха с частицами алюминия и льда (сплошные линии) с массовым содержанием частиц алюминия ma = 0,1 и льда mb = 0.2 и для монодисперсной смеси воздуха с частицами алюминия (штриховые линии) и частицами льда (штрихпунктирные линии) при одинаковом массовом содержании частиц ma = mb = m= 0,3. Радиус частиц алюминия составлял a = 10-6м, частиц льда b = 10-5м. Расчетные профили построены на расстоянии 4м и 8м от места инициирования импульса соответственно. Для одного и того же общего массового содержания частиц в монодисперсной газовзвеси с частицами алюминия меньшего радиуса затухание импульса будет меньше, чем в монодисперсной газовзвеси с частицами льда большего радиуса (штриховые и штрихпунктирные линии). В двухфракционной газовзвеси с частицами алюминия и льда радиусов a = 10-6м и b = 10-5м соответственно и общем массовом содержании частиц m = 0,3 затухание импульса будет меньше, чем для монодисперсной газовзвеси с частицами льда радиуса b = 10-5м и m = 0,3, но больше, чем для монодисперсной газовзвеси с частицами алюминия радиуса a = 10-6м и m = 0,3. Для двухфракционной смеси газа с частицами льда и алюминия и монодисперсной газовзвеси с частицами льда радиуса b = 10-5м наблюдается значительное изменение формы импульса из-за дисперсии скорости звука и диссипации волн.

Рис. 3. Эволюция импульсного возмущения гауссовой формы в двухфракционной газовзвеси с частицами льда и алюминия

Из-за существенного различия в радиусах частиц алюминия и льда время релаксации скорости тva = 3,31 • 10-5 с будет значительно меньше, чем

Tvb = 1,22 • 10-3 с (различие плотностей алюминия и льда примерно в три раза в данном случае не является принципиальным). Вследствие этого частицы алюминия быстрее увлекаются потоком газа, поэтому более крупные частицы льда приводят к более сильному затуханию.

Итак, в настоящей работе представлена замкнутая система линейных дифференциальных уравнений движения для двухфракционной смеси газа с твердыми частицами разных размеров и теплофизических свойств. Выведено дисперсионное соотношение, определяющее распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений малой амплитуды. Получено волновое уравнение для плоских волн. Рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализировано влияние параметров дисперсной фазы для двухфракционной газовзвеси с частицами алюминия и льда на диссипацию и дисперсию звуковых волн.

Работа выполнена при финансовом содействии Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-3483.2008.1) по программе ОЭММПУ РАН№15ОЭ при финансовой поддержки РФФИ (грант № 07-01-00339).

Summary

Propagation of acoustic waves in mixture of gas with fractions of particles of different materials and sizes is investigated. The mathematical model is presented, the dispersion relation and a wave equation are received, and dispersion curves are calculated. Influence of two-factiousness of a composition of a disperse phase, parameters of a disperse phase for a two-fractional gas mixture with particles of aluminum and ice on a dissipation and a dispersion of acoustical waves is analysed.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1,2. М.: Наука, 1987.

2. Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Распространение звука в полидисперсных газовзвесях // Журнал прикл. мех. и техн. физ. 1988. № 5. C. 115-124.

3. Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Влияние полидисперсности на распространение звука в смесях газа с паром и каплями жидкости // Журнал прикл. мех. и техн. физ . 1993. № 4. С. 75-83.

4. Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №5. С. 85-94.

5. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин Д.А. Эффект немонотонной зависимости диссипации звука от концентрации капель в акустике газовзвесей // Докл. АН СССР, 1991. Т. 316. № 3. C. 601-605.

6. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Изд-во Казанского математического общества, 1998. 153 с.

7. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: МИР, 1964. 830 с.

8. Гапонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Препр. АН СССР, Сиб. Отделение: ИТФ, 1976. Т.5. 19 с.

Поступила в редакцию 14 октября 2008 г.

Губайдуллин Дамир Анварович - д-р физ.-мат. наук, член-корр. РАН, директор Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8 (843) 236-52-89. Е-шаИ: gubajdullin@mail.knc.ru.

Никифоров Анатолий Анатольевич - канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8 (843) 236-90-59. Е-шаП: anikiforov@mail.knc.ru.

Уткина Евгения Александровна - научный сотрудник Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8 (843) 523-91-61. Е-mail: teregulova@inbox.ru.