Метод множителей Лагранжа для решения модельной задачи с трещиной

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

УДК 519.853

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ

ЗАДАЧИ С ТРЕЩИНОЙ А. В. Жильцов, Р. В. Намм

Аннотация. Рассматривается метод решения модельной задачи с трещиной, построенный на основе модифицированных функционалов Лагранжа. Доказывается слабая полунепрерывность снизу функционала чувствительности. На основе доказанного свойства строится двойственный метод решения модельной задачи. Приводятся результаты численных расчетов.

Ключевые сдлва: модельная задача с трещиной, функционал Лагранжа, методы двойственности, функционал чувствительности, седловая точка, выпуклое программирование, минимизация, численный эксперимент.

A. V. Zhil'tsov and R. V. Namm. The Method of Lagrange Multipliers for Solving a Model Crack Problem.

Abstract: We consider a method for solving a model crack problem constructed from modified Lagrange functionals. The weak lower semicontinuity of the sensitivity functional is proved. Basing on the proven property, a dual method for solving the model problem is constructed. The results of numerical computations are given.

Keywords: model crack problem, Lagrange functional, duality method, sensitivity functional, saddle point, convex programming, minimization, numerical experiment.

Введение

Классический подход к описанию задачи о равновесии упругого тела с трещиной состоит в том, что на берегах трещины задаются краевые условия вида равенств. Исследованию таких краевых задач посвящено большое число работ. В то же время хорошо известно, что с точки зрения приложений получаемые линейные модели обладают очевидным недостатком: противоположные берега трещины могут проникать друг в друга.

В монографии [1] рассматривается более сложная модель, в которой берега трещины не могут проникать друг в друга. Взаимное непроникновение берегов трещины достигается за счет того, что на берегах задаются нелинейные краевые условия.

Анализ подобных задач можно найти в [2-6]. Для их решения в этих работах используются различные подходы и приемы. Там же приводятся и численные расчеты.

В настоящей работе рассматривается возможность применения модифицированных функционалов Лагранжа для решения задачи с трещиной при условии взаимного непроникновения берегов. В общем случае решения подобных

© 2015 Жильцов А. В., Намм Р. В.

задач обладают лишь Нр-гладкостью, это не позволяет доказать существование седловой точки лагранжиана. Однако можно доказать, что в случае разрешимости двойственной задачи алгоритм типа Удзавы будет сходиться по функционалу к решению. Для классических функционалов Лагранжа разрешимость двойственной задачи таких гарантий не дает.

1. Модифицированная схема двойственности

Рассмотрим задачу о равновесии мембраны, содержащей разрез, на берегах которого заданы нелинейные краевые условия [1, с. 58]. Полагаем, что О С М2 — ограниченная выпуклая область с границей Г, 7 С О — непрерывная незамкнутая кривая без самопересечений (для определенности рассматривается случай, когда 7 — прямолинейная трещина, параллельная оси х2). Обозначим Щ = 0\7.

В области О7 требуется найти функцию и такую, что

—Ди = / в О7, и =0 на Г,

[и] > 0, [иХ2] = 0, иХ2 < 0, иХ2 [и] = 0 на 7.

Здесь / (Е Ьг(^) — заданная функция; иХ2 = — производная по нормали к трещине; [и] = и+ — и- — скачок функции и на 7 (в каждой точке х € 7 функция принимает два значения: и+ и и-, соответствующие верхнему и нижнему берегам трещины).

Пусть Нр(О7) = {V € Нр(О7) : V = 0 на Г}. Задача (1) соответствует задаче минимизации функционала энергии

J(v) = — [ \Х7у\2 ¿х — [ /"г> ¿ж ^ тш, У ^ 2 ./ 1 1 У veк,

П п

К = {V € Нр(О7) : [V] > 0 п. в. на 7}.

Для произвольного т € Ь2(7) введем множество

Кт = {V € Н1 (О7) : —[V] < т п. в. на 7}.

Если функция ограничена снизу, то множество Кт непусто. Но если функция т € Ь2(7)\Н 1/2(7) не является ограниченной снизу, то множество Кт может оказаться пустым.

Определим для функции т € ¿2(7) функционал чувствительности

{Ш J(V), если Кт = 0,

уЕКт

если Кт = 0.

Его эффективная область (Аэтх = {т € ¿2(7) : х(т) < является выпук-

лым, но не замкнутым множеством в ¿2(7), причем с1отх = ¿2(7).

При условии, что т € (Аэт х, в силу коэрцитивности функционала J(V) задача

J(v) = — ^г>|2 йх — / /г> ¿х —> тш , 2 У } У£Кт

Кт = {V € Н1 (О7) : —[V] < т п. в. на 7},

имеет единственное решение, которое обозначим ит = а^шш 7(г>). Тогда по

— [-и]<т

определению х(т) = 7(ит), а х(0) = И 7(-у) = 7(и).

— [и]<0

Покажем, что х(т) — выпуклый на doшх функционал. Пусть т',т'' € ¿2(7) и х(т') = J(V), х(т'') = JВыполняются неравенства

— [г>'] < т', — [г>''] < то".

Домножив их соответственно на (1 — А) и Л (при 0 < А < 1), а затем сложив, получим

— (1 — А)И — А[и"] < (1 — А)т' + Ат'', А € (0,1).

Тогда имеем х

— [»]<(1 —А)т'+Ат"

< J

= (1 — А)х(т') + Ах(т'').

Лемма 1. Если — ограниченная последовательность в Н 1(О7), то |[иг]| является компактной последовательностью в ¿2(7).

Доказательство Будем считать, что 7 может быть продолжена до пересечения с внешней границей Г так, что область О разбивается на две подобласти О', О'', с липшицевыми границами дО', дО'' соответственно и при этом 7 + = дО'' П 7, 7— = дО' П 7 (рис. 1). Вложения Н 1(О') С Н 1/2(дО') С Н1/2(7—) и Н 1(О'') С Н 1/2(дО'') С Н 1/2(7+) непре-

О"

Рис. 1.

^ О'

О рывны, значит, справедливы следующие оценки для

норм:

^ \\и'\\и1/2(7-) < С^КУи1 (О'),

Уи''УЯ1/2(7+) < С2\и''Уи1(п»),

где и', и'' — сужения некоторой функции и (возможно, принимающей на 7— и 7 + разные значения) на области О' и О'' соответственно.

Возведя эти неравенства во вторую степень и сложив, получим

\\и''\\И1/2(7+) + \\и'\\И1/2(7-) < С2\и''\И1 (О'') + С1\\и'\\Н1 (О'), С1,С2 > 0, или, иначе, \ \ и+ \ \ И1 /2 (7) + \\и— \\И1/2 (7) < ШаХ{С1,С2}\и\И1(О^ ).

Из известного неравенства \\и — г>\\Х < 2(\\и\\Х + \М\Х) получаем

||и+||^1/2(7) + \\и-\\2н1/2{1) > и+ ~и-\\2Н1/2ЬГ

Здесь в правой части получена норма скачка функции. Таким образом, пришли к неравенству ||[и]||Я1/2(7) < С\\и\\Н1(щ), где С = тах{Сь С2}.

Это означает, что если {и^} является ограниченной последовательностью в Н 1(О7), то {[иг]} — ограниченная последовательность в Н1/2 (7).

Пространство Н1/2 (7) компактно вкладывается в Ь2(7), из чего следует, что {[иг]} является компактной последовательностью в Ь2(7).

Необходимо уточнить, что [u] £ hJ(/2(y). Норма в H0/2(y) определяется следующим образом [1, с. 53]:

где p(x) = dist(x, ^7).

Теорема 1. Функционал чувствительности x(m) слабо полунепрерывен снизу на L2(y).

Доказательство. Так как функционал x(m) выпуклый, для доказательства теоремы достаточно показать, что он полунепрерывен снизу (в смысле сходимости по норме) в L2(y). Возьмем произвольную сходящуюся последовательность {rrii} С L2(y), пусть то = lim rrij. Функционал чувствительности

i—

x(m) будет полунепрерывным снизу, если выполняются условия

1) lim x(mi) = ПРИ ™ t domx,

i—УЖ

2) lim x(mi) ii x(™) ПРИ ™ G domx-

i—

Рассмотрим поочередно оба случая. При проведении доказательства можно ограничиться последовательностью {mi} из эффективной области x(m), mi £ dom х, так как вне этой области функционал принимает значение и неравенство полунепрерывности снизу выполняется.

1. Пусть то ф dom х- Рассмотрим последовательность {umi}, где umi = argmin J (v).

vEKmi

Докажем, что lim ||umi||#i (о ) = Допустим противное, т. е. пусть

у последовательности {umi} существует ограниченная подпоследовательность. Без ограничения общности полагаем, что сама последовательность {umi} является ограниченной в H°(07). В силу леммы 1 {[umi]} — компактная по-

1 /2

следовательность в L2(y). Пусть t £ H0(/ (y) — слабая предельная точка этой последовательности, которую, не ограничивая общности, будем считать слабым пределом. Тогда {[umi]} сходится к t по норме в L2(y).

Так как пгц —> то в L2(y) и umi —> t в L2(y), из условия —\umJ < пгц следует, что —i < то, а это означает, что Km ф^ 0 или то £ domx- Полученное противоречие показывает, что lim ||umi||h(о ) =

В силу коэрцитивности функционала J(v) получаем

lim x(mi) = lim J(umi) =

i—i—

2. Пусть теперь то £ domx- Из последовательности {то^} выделим подпоследовательность {mj} С {mi}, для которой

lim x(mj) = lim x(mi)-

7—>00

Как и выше, рассмотрим последовательность {umj}, где umj = argmin J(v).

veKm-

Если последовательность {umj} не является ограниченной в H°(07), то в

1

силу коэрцитивности функционала J(umi) —> а тогда lim x(mi) =

i—

и требуемое неравенство полунепрерывности снизу выполняется.

В случае, если последовательность {иТОз-} ограничена в Н 1(О7), вновь проведем рассуждения из первого пункта доказательства и получим —£ < то. Пусть и = а^шш 7(г>). Имеем

[-и]=£ на 7

•Пит]) ~ = ^ I \Уи„ч\2<т- ! ¡и„чс1П-^ I |Уй|2сгО + У /йсгО = 11 № + {иП] - й))|2 ¿о - ^ I |Уй|2 ¿о - I ¡(и„ч -п)<т = = !УйУ{и„ч -й)ш + - J \У{и„ч - й)\2¿о - J¡{и„ч -й)¿о

= <е,Къ--й]> + ^ I |У(

(е, [«]) = у уиу^^О — у /«¿О,

Umj - U) 12 '

2 , ¿о,

где

при этом В G Hto1/2(y) [1,7].

i /2

Так как {[umj ]} слабо сходится к t в HO (7), в силу единственности слабого предела имеем

lim (В, [um_. - ü]) = 0.

j^to

Поэтому справедлива оценка

lim J(um ) > J(ü) > х(то),

следовательно,

lim x(mj) ii x(™)- 1—'

В пространстве H 1(0Y) x L2(y) определим модифицированный функционал Лагранжа

мк 0 = J(«) +1 у (((г - ф])+)2 - г2) Ar,

Y

где r = const > 0, (? — r[v])+ = max{0, ? — r[v]}.

Определение 1. Пара (v*,?*) G Hx(07) x L2(y) называется седловой точкой функционала M(v, ?), если выполняется двустороннее неравенство

M(v*, l) < M(v*, ?*) < (v, ?*), (v, l) G H!(07) x L2(y).

Двойственный функционал для M(v, ?) имеет два эквивалентных представления [8]:

Mil) = mIj

+ )2 - 72) d^k

М{1)= inf

Y Y

где x(m) — определенный ранее функционал чувствительности.

Пользуясь той же схемой, что ив [9], можно доказать следующие теоремы.

Теорема 2. Двойственный функционал М_(1) непрерывен в ¿2(7).

Теорема 3. Двойственный функционал MJI) дифференцируем по Гато в ¿2(7) и ег0 производная УМ(7) удовлетворяет условию Липшица с константой 1/r, т. е.

HM(ii) " М.(Шь2М < hh ~ Ы\l2(7), hM G ¿2(7)-

Рассмотрим двойственную задачу

М —> max, ZgL2

Для решения задачи (6) можно использовать градиентный метод максимизации [9-11]

1k+i = + ), k = 0,1, 2,...

где

r

m(lk) = argmin < x(«i) + / lkmda + Г- Im2 d<j\, 9k G [/3, 2r - /3], /3 G (0, г].

теЫт) I ^ 2 J

- —^ 1 у lkmd<т + -J ™2

7 7

Теорема 4. Для алгоритма (7) выполняется предельное равенство [9]

11т |М1к)|и2(7) =0.

Алгоритм (7) переписывается следующим образом [8]:

1

«ен1

ik+1 = argmin + ^ ¡\{{lk-r\v\)+)2-{lk)2)d,A

veHi (Oy) I 2r J J

Y

= + 6>fe max j ¿°GL2(7), вк G [/3, 2r - /3], /3G(0,r],

При условии разрешимости задачи (6) алгоритм (8) сходится по функционалу, т. е.

lim J(uk) = min J(v) = J(u*),

здесь u* — решение задачи (2).

Действительно, x(m) — слабо полунепрерывный снизу на L2(y) функционал. Поэтому

lim [X{m{lk)) + [ lkm{lk)d<J+r- f m2(lk)da\ = lim xiM^)) > x(0) = J{u*).

k—>-oo L «/ 2 «/ J k—>-oo

С другой стороны,

M(lk) = x(m(lk)) + J lkm(lk)d(j+r- J m2(lk) da

Y Y

= inf ivM + / lkmda+ - / m2 da\ < y(0), = 0,1,2,....

mgL2(y) Г" J 2 7 J

Поэтому

Jim jx(m(Z*)) + J lkm(lk)d(j+r- J m2(lk)daj < x(0).

Y

Следовательно, существует предел

Шп IX{m(lk)) + J lkm{lk) da + Г- J m2(lk) da j = *(0) = J(u*).

k— ч

Y

Тогда из теоремы 4 следует, что

lim J(uk) = lim x(m(1k)) = x(0) = J(u*).

k—k—

В предположении, что решение исходной задачи и* принадлежит H2 (QY), можно доказать [9], что метод (8) сходится к седловой точке (u*, 1*) Е H1 (QY) х L2 (7) функционала Лагранжа.

2. Численный эксперимент на основе метода конечных элементов

Пусть Q = {(xi,Х2) Е R2 : 0 < xi < 1, 0 < Х2 < 1}, Y = {(xi,X2) Е R2 : 0.2 < x1 < 0.8, x2 = 0.4}. Триангуляция области Q проведена с помощью равномерной сетки с шагом h = 1/20. Критерии остановки счета на внутренних и на внешних итерациях таковы:

I (n+1) (n) i ^ \j(n+1) i(n)\ ^ i f\2

max \u- — u- ; I < e, max \¿> ; — ¿> ; \ < 102e,

i i

соответственно, где e = 10-8. Параметр r Е {1,10,102,103, 104}. В качестве стартовой точки (u(0),1(0)) взята точка (0, 0).

№

0.2

-0.2

(a)/i

-0.2

0.2

Ха

(b)/2

Х2

-0.2 0.2

0.2 -0.2

(с) /з

Рис. 2.

Рис. 3. Вид пластины при /1.

Рис. 4. Вид пластины при /2.

Рис. 5. Вид пластины при /3.

В качестве функции / выбирались кусочно постоянные функции. Рассмотрено три различных варианта функции / (рис. 2), дающих принципиально различные решения.

Рассмотрен эффект, оказываемый каждым из вариантов задания функции f, приведено количество внешних и внутренних итераций, а также время выполнения для демонстрации сложности решаемых задач друг относительно друга (табл. 1).

Таблица 1. Относительная сложность решаемых задач

г / Число внутренних Число внешних Время

итераций итераций выполнения

Л 438 1 11

1 /2 5172 125 134

/з 4510 124 117

Л 348 1 11

10 /2 1277 22 33

/з 1108 22 28

/1 438 1 11

102 /2 644 6 17

/з 536 6 14

/1 438 1 11

103 /2 484 4 12

/з 404 4 10

/1 438 1 11

ю4 /2 394 3 11

/з 342 3 9

Значение параметра г

Рис. 6. Зависимость числа внутренних итераций от г.

В первом варианте берега трещины полностью расходятся (рис. 3), а это значит, что двойственная переменная, соответствующая значению скачка производной по нормали на 7, равна нулю во всех точках 7. Так как изначально для двойственной переменной I взята нулевая функция, совершается лишь одна итерация внешнего цикла.

Для второго примера ограничения задачи не позволяют берегам разойтись (рис. 4), так что скачок функции и на 7 равен нулю, при этом двойственная переменная принимает ненулевые значения.

Рис. 7. Зависимость числа внешних итераций от г.

Рис. 8. Зависимость времени выполнения от г.

В третьем варианте берега разошлись на части трещины (рис. 5).

При исследовании модифицированных методов двойственности параметр г можно задавать любым, причем в силу теоремы 3 с увеличением параметра г увеличивается скорость сходимости решения двойственной задачи. На рис. 6-8 представлены графики количества внутренних и внешних итераций, а также времени выполнения алгоритма в зависимости от г. Графики представлены в логарифмическом масштабе. Использовалось значение функции /, изображенное на рис. 4. Решение искалось с точностями е1 = 10-8, е2 = 10-10, £3 = 10-12.

Из графиков видно, что увеличение г стабильно приводит к асимптотическому уменьшению количества итераций и времени работы алгоритма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

2. Kovtunenko V. A. Numerical simulation of the non-linear crack problem with nonpenetration // Math. Meth. Appl. Sci. 2010. V. 27, N 2. P. 163-179.

3. HintermUller M., Kovtunenko V., Kunisch K. The primal-dual active set method for a crack problem with non-penetration // IMA J. Appl. Math. 2004. V. 69, N 1. P. 1-26.

4. Вторушин Е. В. Численное исследование модельной задачи для уравнения Пуассона с ограничениями типа неравенств в области с разрезом // Сиб. журн. индустр. математики. 2005. Т. 8, № 1. С. 41-49.

5. Вторушин Е. В. Численное исследование модельной задачи деформирования упруго-пластического тела с трещиной при условии возможного контакта берегов // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 4. С. 301-310.

6. Рудой Е. М. Метод декомпозиции области для модельной задачи теории трещин с возможным контактом берегов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, № 2б. С. 310-321.

7. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986.

8. Вихтенко Э. М., Ву Г., Намм Р. В. О сходимости метода Удзавы с модифицированным функционалом Лагранжа в вариационных неравенствах механики // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2010. Т. 50, № 8. С. 1357-1366.

9. Вихтенко Э. М., Ву Г. С., Намм Р. В. Методы решения полукоэрцитивных вариационных неравенств механики на основе модифицированных функционалов Лагранжа // Дальневост. мат. журн. 2014. Т. 14, № 1. С. 6-17.

10. Гроссман К., Каплан А. А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск: Наука, 1981.

11. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

12. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

13. Гольштейн Е. Г., Третьяков Н. В. Модифицированные функции Лагранжа. М.: Наука, 1989.

Статья поступила 5 февраля 2015 г.

Жильцов Александр Владимирович Дальневосточный гос. университет путей сообщения, ул. Серышева, 47, Хабаровск 680021 egrevid@gmail.com

Намм Роберт Викторович Вычислительный центр ДВО РАН, ул. Ким-Ю-Чена, 65, Хабаровск 680000 rnamm@yandex.ru