Мультисервисная модель Эрланга с потоковым трафиком и пороговой стратегией доступа для эластичного трафика

Мультисервисная модель Эрланга с потоковым трафиком и пороговой стратегией доступа для эластичного трафика

Быстрый прогресс высоких технологий в сфере телекоммуникаций, начавшийся с конца 20в., ставит перед теорией телетрафика новые задачи. Конвергенция сетей различных типов породила множество классов сетевого трафика, которые различаются своими характеристиками, объемом необходимых сетевых ресурсов, а также требованиями к качеству обслуживания. Наличие разнородных потребительских запросов в сочетании с множеством предоставляемых интерактивных услуг и высокоскоростным доступом в интернет приводит к необходимости совместного обслуживания различных классов трафика, большую долю которого составляет эластичный трафик. На рубеже 20 и 21 вв. технический прогресс привел к появлению многоскоростных систем передачи, позволяющих обслуживать эластичные потоки заявок с переменной скоростью, зависящей от того, сколько на данном отрезке времени одновременно с этим обслуживается приоритетных потоковых заявок. Применение классической мультисервисной модели Эрланга для расчетов параметров качества обслуживания в современных системах становится затруднительным в силу специфических особенностей эластичного трафика. В работе представлена мультисервисная модель типа Эрланга с потоковым и эластичным трафиком, где последнему соответствует целый набор требований к ширине полосы пропускания (ШПП) и реализован пороговый доступ к передаточным ресурсам. Результаты работы в дальнейшем буду применяться в анализе вероятностно-временных характеристик сети с топологией Клоса, которая находит широкое применение в современных сетях телекоммуникаций.*

Ключевые слова: мультисервисная модель Эрланга, эластичный трафик, потоковый (реального времени) трафик, пороговая стратегия доступа, вероятностно-временные характеристики, рекуррентный алгоритм типа Кауфман-Робертса.

Башарин Г.П.,

Дт.н., профессор кафедры систем телекоммуникаций РУДН, gbasharin@sci.pfu.edu.ru

Клапоущак С.Н.,

К.ф.-м.н., системный аналитик ООО 'Тотал Систем Сервисез-Рус", sergey.klapouschak@gmail.com

Русина Н.В.,

Системный аналитик ЗАО "Сфера", шягю nadezda@inbox.ru

Введение

В ходе быстрого прогресса высоких технологий в сфере телекоммуникаций в конце 20 в. конвергенция сетей различных типов породила множество классов сетевого трафика [1,2]. Эти классы различаются своими характеристиками, объемом необходимых сетевых ресурсов, а также требованиями к качеству обслуживания. Среди них можно выделить две крупные категории — потоковый (streaming traffic, real-time traffic) и эластичный (elastic traffic, data traffic). При этом первоначально доминировало изучение потокового трафика [ 11, порождаемого в основном передачей речи, а в начале 21 в. большую роль стал играть эластичный график, порождаемый интерактивными приложениями, электронной почтой, передачей файлов и др., где требования к задержкам значительно ниже, чем в случае потокового трафика.

Па рубеже 20 и 21 вв. технический прогресс привел к появлению многоскоростных систем передачи данных, обслуживающих одновременно эластичный и потоковый график. При этом для эластичного трафика доступно изменение скорости его передачи в силу того, что данный тип трафика терпим к задержкам [3, 4, 5].

В работе представлена мультисервисная модель Эрланга со смешанным типом трафика, состоящего из потоковых и эластичных заявок, где последним соответствует целый набор требований к ширине полосы пропускания (ШПП) и реализован пороговый доступ к передаточным ресурсам. При этом рекуррентный алгоритм вычисления ВВХ построен так, чтобы процесс вычисления ее равновесных вероятностей был принципиально ближе к процессу их вычисления по рекуррентному алгоритму типа Кауфмана-Робертса для классической мультисервисной модели Эрланга

м м V о

Л,Ь -

Описание математической модели

В исследуемой СМО имеется V каналов. Система поддерживает К различных типов услуг. Разделим все к -заявки, к = \,К, на два класса и упорядочим их таким образом, что к -заявки, к = \,т, - заявки

м V

р

потокового трафика, а к -заявки, к = ТП + \,К , - заявки

эластичного трафика. Потоки поступления к -заявок любого класса пуассоновские с постоянными

интенсивностями А. о<д, < СХ 9 к = \,К, и

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10-07-00487-а).

независимы в совокупности. Для эластичных к -заявок устанавливается 1,к > 1 различных значений требуемой

1ППП Ьи > ... > Ьк1 > ... > , к = т + \,К . В то время

как для потоковых к -заявок существует только одно требование (¿к =1) к ШПП Ьк[, к = \,т  Также для эластичной к -заявки задается 1^к - 1 пороговых

матрицы размерности

KxL

из

Î2-Ü

Ü(nML){N+Ew:NeQj

N-Eu N N + E„

значений Vkl, 0 <Vkl<V-bkl, l = \,Lk-1, ¿*>1, к =m + l,K. Если в момент поступления новой к-заявки, к = \,К , в СМО оказались заняты больше, чем V - bkL каналов, то поступившая к -заявка получает

отказ и теряется, не влияя на интенсивность поступления породившего ее пуассоновского потока. Построим вектор пороговых значений для к -заявки

К ~(Ги.Уп'-.Ущ ),к = ЇК,глеущ=У-bUt.

Время занятия эластичной к -заявкой Ьк1 канатов распределено по экспоненциальному закону с параметром (лк1, так что ц~^ и

ЪиЦи = constк, l = \,Lk , Lk> I. к = т + \, К  Время занятия потоковой А'-заявкой Ьк] каналов распределено по экспоненциальному закону с параметром ц , к = \,т- Если в момент поступления А:-заявки любого типа число занятых каналов V находится в интервате **„_,)<у: Кг I-07» к = 1К, то при обслуживании

поступившей к -заявки будет использоваться пара (bkl,jUy)- Для единообразия дальнейших обозначений примем ук0 = - | .

Описание СтМП и пространства состояний

Функционирование системы будем описывать с помощью СтМП матричной формы х(/)=

Рис. 1. Схема переходов между состояниями системы по к -услуге, к = \, К

Здесь и далее коэффициент ¿к(х) и<> (д-) рассчитываются по формулам (1,2):

[1,У* = о7,*=Пш,

[О, в противном случае.

V.)+>

О, в противном случае.

Яи(х)=

Рекуррентный алгоритм расчета макровероятностей

СУГБ системы имеет сложную структуру, для которой нс выполняется свойство мультипликативности. Поэтому для расчета вероятности блокировки

поступающей в систему к -заявки процесса х(/) и

среднего коэффициента использования ШПП применяется рекуррентный алгоритм типа Кауфман-Робертса. Пусть С](\) - равновесная вероятность того, что в СМО занято V каналов. Тогда рекуррентный алгоритм типа Кауфман-Робертса описывается следующими шагами:

1. Определяем V, Ц, Уи; Ьы, р •="*_, 1 = йТк,

' Аи

к= IX где ~У- ьщ.

2. Пусть с/’(0)<г I и ¡/(у)«- 0, при у<0.

3. Рекуррентно по у = 1,К, используя формулы (1, 2), вычисляем:

-

^ I А=| *=/»>♦! /=1

4. q - Y ^'(v)  нормирующая константа.

SLÎï), v = 1,F - нормированное распределение

/^0, Г = вд(А,). *»,(/) = 0 ДЛЯ / = ^+ \Х, к = \,К, где Хы (/) - число к -заявок в СМО в момент времени /, каждая из которых занимает Ьк/ каналов.

Пространство состояний процесса х(/) составляют

множества

где

Я*, =^1Ч:^(/_1,<£/(1Ч): Уи\. Здесь / = 1,1,, к=1,К, Еи -матрица, у которой стоит 1 на пересечении к -ой строки и / -ого столбца, а все остальные элементы равны 0, а

»А/ ’ °°щее число занятых каналов в

СМО в состоянии IV, причем 0££/(1Ч)<К. Введем £2, ?=^е и :и(У): V- Ьк1 к = 1К, - подпространство

приема к -заявок.

Схема переходов между соседними состояниями процесса Х(/) по к -услуге, к = \,К, при наличии частичного базанса представлена на рис. 1.

вероятностей.

6. п^f/(v), k = \,K - вероятность блокировки

поступающей в систему к -заявки.

I

7. ути = £Vi?(v) • среднее число занятых каналов.

V-I

Пример численного анализа

Рассмотрим пример описанной выше системы со следующими параметрами: К = 2 (потоковая к -заявка для £ = 1, эластичная к -заявка для к =2), К = 32, ¿,=1, ¿,=2, ¿»„=1, ¿,=(4,2), V„= 31, К = (х,30), где X -изменяемый параметр при построении графиков. Также даны значения нагрузок для каждого типа трафика: Р\\ =2 И р2 =(4,8).

Исследуется зависимость вероятностей блокировок и коэффициента использования ШПП от . На рис. 2 представлен график зависимости вероятностей блокировки 71 к, к = \,К, от значения порога для эластичной 2-заявкн.

0.020

Зависимость вероятностей блокировки 71 к , к = \, К ,

2. Далее управляющая система определяет коммутатор третьего каскада, у которого в заданном направлении имеется линия с числом свободных каналов, необходимых для обслуживания к -заявки. Согласно данному алгоритму система работает в режиме группового искания, когда одновременно с поступлением к -заявки на первом шаге становится известно направление выхода с коммутатора третьего каскада.

3. На последнем шаге система управления устанавливает соединение между коммутаторами, определенными на первом и втором шагах, при этом число

*»• попыток равно 5. Порядок занятия соединительных путей между первым и третьим каскадом может быть случайным и равновероятным, или последовательным.

от V,.

На рис. 3 представлен график зависимости коэффициента использования ШПП от значения порога для эластичной 2-заявки.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Рис. 3. Зависимость коэффициента использования ШПП от

Из графиков следует, что за счет настройки пороговых значений для эластичных к -заявок, к = т +1, К , можно гибко регулировать вероятности блокировки обоих типов трафика и оптимизировать использование ШПП.

Выводы и задачи дальнейших исследований

Полученные результаты и формулы в дальнейшем будут применяться для анализа ВВХ в сетях с топологией Клоса [5, 6], которые находят широкое применение в современном мире высоких технологий. Схема трехкаскадной сети Клоса приведена на рис. 4. На каждом каскаде имеется 5 коммутаторов, каждый из которых имеет 5 входов и Л выходов. Каждая входная и выходная линия имеет емкость V каналов.

На выходе из сети Клоса образуются направления, в которые сгруппированы линии по принципу: направление /, / = 1,5, состоит из совокупности /-линий, исходящих из каждого коммутатора 3-его каскада.

Алгоритм функционирования сети состоит из трех шагов:

1. Система, управляющая сетью, определяет - на какой коммутатор первого каскада поступила к -заявка.

1 — 1

8—

1 — в

5—

,-Лл,: иХя-ОС

направлена

направлени!

каскад 1 каскад 2 каскад 3

Рис. 4. Трехкаскадная сеть Клоса

В представленной системе определены два типа блокировок заявок: внутренние и внешние блокировки. Внутренняя блокировка - вероятностью того, что на третьем шаге между коммутаторами не удалось установить соединение за 5 попыток. Внешняя блокировка определяется вероятностью того, что на втором шаге нет ни одной линии требуемого направления, в которой существует количество свободных каналов, необходимых для обслуживания к -заявки.

Внешняя блокировка к -заявки зависит от того, каким образом распределены по линиям требуемого направления уже обслуживающиеся в сети заявки. Для этого рассмотрим мультисервисную модель Эрланга О

м

А,В

М V

Р

для коммутатора 3-его каскада сети

Клоса с параметрами - К = 2, 5 = 2, V =3, Ь = (1,2),

А = (А},А2), ¡¡ = (р„р2). На рис. 5 представлены

частные случаи состояния системы, в которых к -заявка принимается на обслуживание или отклоняется не только в зависимости от занятого канального ресурса каждой линии, но и от распределения обслуживающихся заявок по линиям на момент поступления к -заявки.

На рис. 5а представлено состояние системы, в котором свободно 2 канала, по одному на каждой линии. Если при таком состоянии системы поступает I-заявка, то она может быть принята на обслуживание на любую из линий. Если поступает 2-заявка, то она будет заблокирована.

На рис. 56 представлено состояние системы, в котором также свободно 2 канала, но на одной линии. Если при таком состоянии системы поступает 1 или 2-заявка, то она может быть принята на обслуживание.

а)

# Щ о

# # о

б)

- каналы, обслуживающие 1-заявку

- каналы, обслуживающие 2-заявку

Рис. 5. Распределение обслуживающихся заявок по линиям требуемого направления

Литера1ура

1. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика. Изд.З-е, перераб. и доп. — М.: Изд-во: РУДН, 2009. - 342 с.

2. Наумов В.А, Самуилов К.Е., Яркина Н.В. Теория телетрафика мультисервисных сетей. Монография. — М.: Изд-во: РУДН, 2008,- 191 с.

3. Башарин Г.П., Кланоущак С.Н., Ммтькина Н.В.

Математическая модель адаптивной многоскоростной системы с эластичным трафиком // Вестник РУДН. "Математика. Информатика. Физика". - 2008. - № 3. - С.58-66.

4. Кламоушак С.Н. Математическая модель соты ССПС 3G с эластичным трафиком и пороговой стратегией доступа // Труды LXIV конференции РНТОРЭС им. А.С. Попова. -2009. - С.356-358.

5. Glabowski М., Sobieraj М. Point-to-Group Blocking Probability in Switching Networks with Threshold Mechanisms // Proc. of Fifth Advanced International Conference of Telecommunications (AICT '09). - Venice: 2009. - P. 95-100.

6. Гринфилд Д. Оптические сети. - Киев.: Изд-во: ООО “ДиаСофтЮП”. Пер. с англ., 2002. - 256 с.

Erlang multi-rale loss model for the analysis of streaming traffic and threshold admission control for elastic traffic Basharin G.P., Doctor of Sciences, Full Professor of Telecommunication Systems Department at PFUR, gbasharin@sci.pfu.edu.ru Klapouschak S.N., PhD, Technical Account Manager at TSYS International, sergey.klapouschak@gmail.com Rusina N.V., Systems Analyst at "Sphaera" CC, rusina_nadezda@inbox.ru

Abstract: Rapid progress in telecommunications which started in the end of 20th century raises new teletraffic problems. The result of the convergence of different networks is that set of different traffic types should be served by the system. These types differ by their characteristics, in network bandwidth and Quality of Service (QoS) requirements. Diverse consumer needs, variety of on-line services and high-speed Internet access joined in the same system generate large amount of traffic most part of which consist elastic traffic. Multi-rate communication systems, developed at the beginning of 21th century as a result of engineering progress, are able to serve elastic traffic with variable rate depending on the number of prioritized streaming requests being processed in parallel. Specific characteristics of elastic traffic do not allow us to use Erlang multi-rate loss model for simulation of modern telecommunication systems. This paper is concerned with Erlang-like multi-rate loss model for streaming and elastic traffc, where a set of bandwidth requirements corresponds to each type of elastic traffic and threshold admission control is implemented. The results obtained in the paper will be applied to calculation of QoS parameters of the Clos network topology which is widely used in modern switching networks.*

Keywords: Erlang multi-rate loss model, elastic traffc, streaming (real-time) traffic, threshold admission control, blocking probability, network performance, Kaufman-Roberts recursion.

* This work was supported in part by the Russian Foundation for Basic Research (grant 10-07-00487-a).