Периодические движения в релейных системах с кусочно-линейным объектом управления и цифровым регулятором

DIRECTIONS OF IMPROVEMENT OF ONBOARD BALLISTIC ALGORITHMS

OF TARGETING SYSTEMS OF PERSPECTIVE COMBAT HELICOPTERS

A.B. Belsky

The problem of increasing the effectiveness of the use of unmanaged aviation weapons by combat helicopters has three main aspects - the accuracy of the information support about the parameters of the target and carrier movement, the accuracy of calculating the trajectories of the means of destruction, and the accuracy of the aiming itself. The article considers only the problem of improving the mathematical apparatus for calculating the trajectories of aviation unguided rockets, bombs and cannon shells to ensure the aiming task.

Key words: combat helicopter, unguided aviation weapon of destruction, external ballistics, aiming.

Belsky Alexander Borisovich, deputy general designer for armament and defense complexes, abelskiy@,mi-helicopter. ru, Russia, Tomilino, JSC «Moscow Helicopter Plant them. M.L. Mile

УДК 681.511.4

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ УПРАВЛЕНИЯ И ЦИФРОВЫМ РЕГУЛЯТОРОМ

С.В. Феофилов, А.В. Козырь

Рассматриваются методы анализа периодических движений в непрерывных и цифровых автоколебательных релейных системах управления с кусочно-линейным объектом управления. Показано, что введение дискретизации по времени приводит к дроблению предельных циклов, т.е. к возможности возникновения периодических колебаний с другими параметрами. Симметричные периодические режимы в работе определяются с помощью метода фазового годографа (ФГ). Известно, что для непрерывных кусочно-линейных систем ФГ может быть многозначной вектор-функцией, то есть одному значению полупериода может соответствовать несколько предельных циклов различной формы. В работе предлагается численный метод построения ФГ, который позволяет выделить все ветви неоднозначности. Такой метод построения основан на численном решении нелинейного алгебраического уравнения ФГ, в основу которого положена одна из разновидностей метода продолжения решения по параметру. Применение такого метода позволяет выделить все ветви неоднозначности. Рассматривается численный метод определения симметричных периодических движений в автоколебательной релейной системе с дискретизацией по времени.

Ключевые слова: автоколебания, релейное управление, дискретные системы, предельный цикл, кусочно-линейные системы.

Введение. Анализ кусочно-линейных систем управления является важной задачей во многих технических приложениях. Некоторые из наиболее распространённых нелинейных компонентов, встречающихся в моделях систем управления, такие как реле, насыщение, механический ограничитель [1], являются кусочно-линейными. В электрических схемах

диоды и транзисторы, ключевые компоненты часто моделируются как кусочно-линейные системы. Использование современных адаптивных регуляторов с переменной структурой приводит к кусочно-линейным системам. Также в инженерной практике широкое распространение получила кусочно-линейная глобальная линеаризация, когда весь диапазон нелинейности разбивается на интервалы, в которых допустима линеаризация. К первым работам, в которых исследовались кусочно-линейные элементы в системах управления, можно отнести работу Андронова [2], в которой на основе линеаризованного точечного отображения Пуанкаре исследовались колебания в непрерывных нелинейных системах. Практическое преимущество кусочно-линейных систем управления было отмечено в работе [3]. Поскольку эти системы оказались очень сложными для анализа, их исследование остается очень актуальным и по настоящее время. Кусочно-линейные системы исследуются в работах по оптимальному управлению [4], при рассмотрении вопросов глобальной устойчивости [5], в дифференциальных уравнениях с разрывными правыми частями. При моделировании газовых, пневматических, гидравлических, электрических приводов широко используются математические модели с разрывной динамикой. Математические модели управляющих электромагнитов, распределительных устройств содержат звенья с механическим ограничителем [1, 6]. Математическая модель ограничителя в форме механического упора, представляет собой существенно нелинейное звено специфического вида, которое описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, причем разрывными являются и фазовые траектории [6]. При моделировании систем с механическим ограничителем используют две основные математические идеализации процесса соударения, исходя из которой, такие системы делятся на звенья с жестким и упругим механическим ограничителем. В первом случае считается, что удар является абсолютно неупругим, то есть не происходит «отскока» от ограничителя, во втором случае моделируется затухающий колебательный процесс, сопровождающийся многочисленными соударениями. Хотя упругий механический ограничитель наиболее точно описывает реальную динамику объекта управления, часто бывает достаточно рассмотреть звенья с жестким механическим ограничителем. Общая модель таких объектов приведена в работе [1].

В большинстве известных работ рассматривается анализ кусочно-линейных систем в непрерывном времени, однако в современных системах регулятор реализуется в цифровом виде. При этом важно оценить влияние дискретизации по времени на параметры системы управления с кусочно-линейным ОУ. В работе будут рассмотрены вопросы анализа периодических движений в непрерывных и цифровых релейных системах с кусочно-линейным ОУ. В следующем разделе будут рассмотрены математические модели кусочно-линейных систем.

1. Непрерывные и дискретные кусочно-линейные системы. Кусочно-линейную модель в пространстве состояний можно представить следующим образом:

— = А. х + ВП, ПЛ

Л 1 1 х е 8 г

у = Сх,

где А! ()-матрица непрерывной системы, А^ ( )] = п х п, п - количество переменных состояния, В ^ ()- матрица управления непрерывной системы, Шш[В (•)] = п х 1, С(-)- вектор формирования выхода, Шш[С()] = 1 х п, 8г- (х) - поверхность переключения уравнений динамики. Математическая модель кусочно-линейных систем содержит два основных компонента: разбиение фазового пространства на области 8г- (х) и уравнения, описывающие динамику в каждой области. В качестве примера в работе будет рассматриваться кусочно-линейная система следующего вида

с х

= А х х + В и, если |х 21 > 0.1,

С х

Сг

у = Сх

А 2 х + В и, если х 2 < 0.1

где А1 =

/ -112.0 64.0

19.5312Л 0 0

А 2 =

0

25.0 0

0 32.0

В1 = В2 =(8 0 0)Т С = (0 0 4.8828).

Структурная схема показана на рис. 1.

124.0 - 62.5 64.0 0

64.0

- 39.0625^ 0 0

Рис. 1. Автоколебательная система с кусочно-линейным ОУ

Дискретную реализацию системы (2) можно представить в виде: х[£ +1,Т8] = Ф1х + ,если\х2\ > 0.1,

х[£ +1,Т] = Ф2х + Ч2и,если|х2\ < 0.1, у = Сх,

где Ф = еАТ, Т = | еАТВс8, Т8 = 0.001 (с)- период дискретизации. Тогда:

0

Ф2 =

'0.7087 -0.0661 -0.0496л 0.1627 0.9934 -0.0050 у0.0083 0.0958 0.9998

Ф1

0.6747 0.1593 0.0163

-0.1656

0.9834

0.1909

-0.0973 0.0099 0.9993

Рассмотрим релейную систему с ОУ, содержащим звено типа жесткий механический ограничитель. Причем указанное звено расположено произвольно и может быть охвачено местной обратной связью. Структурная схема модельного примера приведена на рис. 2.

Рис. 2. Замкнутая релейная система со звеном типа механический ограничитель

Параметры модельного примера подобраны таким образом, чтобы рабочей ветвью фазового годографа была одна из ветвей неоднозначности [1]. Они имеют следующие значения К1 = 0,08, Т1 = 0,01, К2 = 1, X — 0.35, К3 = 0,088, Т2 = 0,35, Т3 = 0,011, К4 = 0,12, Т4 = 0,015, А = 10, параметр гистерезиса релейного элемента может принимать следующие значения Ь = 0,001.. .0,009, предел механического ограничителя Б = 0,65.

Динамика звена с жестким механическим ограничителем задается следующей системой [1,6]:

dxr

Ж

— х,

Х3 —

К2х2 - 2ах2 — Т]х2, если\х2| < Б или |х2| — Б и(К2х1 - л)sign(х2) £ 0; 0,1 х2| — Б и (К2х1 - л)мёп(х2) > 0,

где а

X

2

, Л

1

г2

^ Т

Ограничитель является абсолютно неупругим[1], то есть:

х2(г* + 0) — х2(г* -0),

х3( г * + 0) — 0.

Объект управления можно представить как кусочно-линейную систему. На интервале времени, когда ограничитель не достигается, объект управления представляет собой линейную систему. При достижении ограничителя меняются уравнения движения. Таким образом, в пространстве состояний ОУ, представленный на рис. 2, может быть записан в виде матричной системы:

— = А1 х + Шг, йг 1 г

йх

— = А2х + Виг, \х2\ = D и (К2х1 £/£п(х2) > 0, йг

.У = Сх,

где А1 =

- 657.6 - 252.5 -159.9 -80.92 - 20.09Л

512 0 0 0 0

0 128 0 0 0 А 2 = А1

0 0 64 0 0

0 0 0 32 0 ,

В =

В автономной релейной системе периодическое движение определяется любой точкой с предельного цикла. Будем задавать периодическое

*

движение точкой х (Г), где 2Г - период переключения релейного элемента. Будем считать, что в интервале 0 < г < Г сигнал релейного элемента

*

имеет одно переключение, причем х(г + Г) = -х(г). Вектор функция х (Г), (0 £ Г < ¥) выделяет множество всех возможных периодических движений ОУ и называется фазовым годографом релейной системы [7]. Обозначим через х(г) = ^ (х(0), А, г), решение уравнения (2) при иг = А, и начальном

условии х(0). Так как в ФГ включаются только симметричные периодиче-

*

ские движения, то точка х (Г) принадлежит фазовому годографу, если она удовлетворяет уравнению:

*

х

которое называется основным уравнением фазового годографа.

* * * *

ФГ релейной системы есть вектор-функция х (Г) = (х 1,х 2,...,х п), выделяющая все возможные симметричные периодические (периода 2Г) движения в автономной РСУ.

Возможные автоколебания в системе с двухпозиционным релейным

элементом определяются из условия

г *

С • х (Г) = -Ь,

С^ < 0.

йг

Общим способом построения фазового годографа служит численное решение уравнения (4). Для численного построения фазового годографа хорошо зарекомендовали себя метод итераций, метод итераций с принудительным симметрированием, метод Ньютона [1, 7]. Алгоритм построения годографа состоит в задании вектора полупериода на каждом значе-

193

нии которого решается нелинейное алгебраическое уравнение (4). Каждое решение является начальной точкой для решения следующего уравнения. Такой подход позволяет достаточно просто построить годограф, как для линейной, так и для нелинейной систем, содержащих различного рада нелинейности. Однако, такие методы не позволяют выделить все ветви неоднозначности фазового годографа, которые могут наблюдаться в кусочно-линейных системах. На рис. 3 представлен фазовый годограф кусочно-

линейной системы.

Как видно из рис. 3 в фазовом годографе существует область неод-

*

нозначности. Годограф х (Т) был построен при изменении полупериода в прямом направлении Т = 0...0,004 и в обратном направлении Т = 0,04...0, что позволило выделить две ветви неоднозначности, как показано на рис. 3. Для того, чтобы выделить все ветви неоднозначности предлагается использовать следующий численный метод.

0.03

-0.04

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 Т

Рис. 3. Фазовый годограф релейной системы с механическим ограничителем

2. Сферический метод построения фазового годографа. Для численного построения фазового годографа необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений, называемых основным уравнением фазового годографа. Как правило, для численного построения фазового годографа задается вектор полупериода, на каждом значении которого решается уравнение ФГ. Для этого используют простые методы решения нелинейных уравнений

ОД = 0, $е^п ,

такие как метод итераций, метод итераций с принудительным симметрированием [7], метод Ньютона-Рафсона, где в качестве начальной точки используют предыдущее решение. Однако, в случае нелинейного, (кусочно-линейного) объекта управления применение таких методов ограничено. Фазовый годограф таких систем содержит области неоднозначности

(рис. 3). Известно, что метод Ньютона и метод итераций могут не сходиться из-за плохого начального приближения. Эти методы имеют только локальную сходимость. Также, если анализируется система с множеством возможных периодических движений, соответствующих одному периоду, то такие методы являются неэффективными, поскольку они могут найти только одно решение за один «проход». Эта ситуация показана на рис.4, а), где не выделена область неоднозначности. Известен модифицированный метод Ньютона [8], позволяющий находить несколько корней уравнения. При этом в исследуемое нелинейное уравнение вводится некоторый параметр 1, тогда исходная система (1) преобразуется к следующему виду:

Н^

где хг- - стартовая точка траектории.

Эта система обладает следующими свойствами. В начальной точке 1 = 0 имеем Н^(х),0) = f (х) - f (хг-) = 0 .При этом в системе имеется, по крайне мере, решение хг- При1 = 1 имеем исходное нелинейное уравнение

Н^(х),1) = f(х) = 0 . Таким образом, задача поиска корней нелинейного уравнения сводится к задаче численного продолжения решения по параметру, что позволяет найти несколько решений нелинейного уравнения [8]. Недостаток гомотопического метода Ньютона состоит в том, что нет гарантий того, что выбранная траектория изменения параметра 1 будет содержать все решения.

Для построения фазового годографа с областями неоднозначности в работе предлагается использовать сферический алгоритм продолжения решения по параметру, где в качестве параметра будет выступать полупериод автоколебаний Г . Основная идея данного алгоритма состоит в том, что решение уравнения фазового годографа ищется на п- мерной сфере, причем полупериод Г считается также неизвестной величиной, которая находится на сфере радиусом г . Таким образом, предлагается решать следующую систему уравнений

Х*(Г) + Е(х*(Г),Г,А) = 0, х* = (хх,х2,...,хп), ' (х* - СО2 + (х2* - С2)2 +... + (хП - Ся )2 + (Г - Сп+1 )2 - Г = 0.

Центр сферы (С\,С2,...,Сп,Сп+1) на каждой итерации будет смещаться в новую точку решения уравнения (3).Таким образом, имеем п +1 уравнение с п + 1 неизвестными. Для правильного и полного построения фазового годографа сферы строятся с использованием алгоритма предиктор-корректор [9].

Точка предиктора определяется так, как показано на рис 5. Центр текущей сферы О1 и центр следующей сферы О2 используются для задания начальной точки х* решения уравнений (8).

195

Рис. 4. Области неоднородности: а - фазовый годограф с ветвью

неоднозначности при последовательном изменении периода; б - построение фазового годографа с использованием сферического

алгоритма

Рис. 5. Определение начальной точки поиска корня

Предложенный метод позволяет отследить траекторию фазового годографа, выделив все ветви неоднозначности, основываясь только на численном решении уравнении (8).

3. Периодические движения в цифровой автоколебательной системе с кусочно-линейным ОУ. Условие переключения релейного элемента в дискретной системе отличается от непрерывного случая. В непрерывной РСУ автоколебания определяются из условия принадлежности траектории ) поверхности переключения у* = - Ь в момент времени ¿*(5). Однако, в дискретном случае решетчатая функция у[к] может переключить реле только в моменты времени кратные целому значению интер*

вала дискретизации ЫТ8 > ? . На рис. 6 графически представлено условие переключения РЭ в дискретной системе с управлением и [к ] и в непрерывном случае с и реп (I).

Рис. 6. Определение условия переключения в дискретной РСУ

Таким образом, в дискретной РСУ по сравнению с непрерывным случаем переключение релейного элемента происходит с некоторой временной задержкой те [0,Т,). Учесть такую задержку можно, введя эквивалентное фазовое запаздывание в непрерывную часть системы. Определить все возможные симметричные периодические движения в цифровых релейных системах с нелинейным ОУ можно числено решив основное уравнение ФГ с эквивалентным фазовым запаздыванием, которое может принимать значение те (0,Т,],

х*

Уравнение (9) позволяет определить возможные периодические движения в автономной релейной системе с дискретизацией. Симметричные периодические движения определяются из условия:

Сх*(М, е) = -Ь,

С.**(М\) < 0.

Ж

На рис. 7 показано графическое определение периодических движений в непрерывных и цифровых релейных системах, с частотой дискретизации / = 1 кГц.

Как видно из рис. 7 в непрерывной системе возможны два предельных цикла с периодом Т1 = 0,1060 с и Т2 = 0,120 с. В автономной релейной системе, работающей в дискретном времени, возможно существование 12-ти предельных циклов с N = 2 • М, М е [54,57...69].

На рис. 8, 9 приведены реализации периодических движений в непрерывных и цифровых релейных системах.

Как видно из рис. 8, в непрерывной релейной системе существуют два устойчивых периодических режима. Дискретизация приводит к тому, что в системе может установиться целое множество различных периодических движений, в зависимости от начальных условий. При этом множества начальных условий того или иного предельного цикла являются несвязанными.

а

б

Рис. 7. Графическое определение периодических движений

в непрерывных и цифровых релейных системах: а - ФГ непрерывной системы; б - ФГ дискретной системы

1

Рис. 8. Два устойчивых предельных цикла непрерывной системы с периодами Т1 = 0,1060 с и Т2 = 0,120 с

198

Рис. 9. Множество устойчивых предельных циклов в дискретной системе

Таким образом, в работе были рассмотрены периодические движения в непрерывных и цифровых автоколебательных релейных системах с кусочно-линейным объектом управления. Для определения периодических режимов в релейной системе использовался метод фазового годографа. Как известно фазовый годограф для кусочно-линейных систем может иметь области неоднозначности, то есть одному периоду может соответствовать несколько различных по форме периодических режимов. Для построения таких годографов предлагается использовать сферический метод численного решения нелинейных уравнений. Такой подход позволяет выделить все ветви неоднозначности ФГ. Далее, в работе был рассмотрен метод определения периодических движений в релейных системах с кусочно-линейным ОУ для систем, работающих в дискретном времени. Предложенный метод также основан на ФГ. При этом в ОУ вводится переменная

временная задержка ezs\tî (0, Ts ]).Для каждого значения задержки строится ФГ и определяются точки пересечения с прямой y = -b. Таким образом можно определить все возможные симметричные периодические режимы в дискретной релейной системе. Предложенные результаты могут быть полезны при синтезе цифровых автоколебательных систем управления с нелинейным ОУ.

Список литературы

1. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 2. С. 15 - 27.

2. Андронов А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: ОНТИ, 1937.

3. Schwartz J.W. Piecewise linear servomechanisms AIEE Transactions, 72, 1953. P. 401-405.

4. Rantzer A. and Johansson M. Piecewise linear quadratic optimalcon-trol. IEEE Transactions on Automatic Control, 1998.

199

5. Jorge M. Gonc, alves, Megretski A., and Munther A. Dahleh Global analysis of piecewise linear systems using impact maps and surface Lyapunov functions. IEEE Transactions on Automatic Control, 2003.

6. Фалдин Н.В., Моржов А.В., Автоколебания в релейных системах скусочно-линейным объектом управления. Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 2. С.2 - 9.

7. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1 - 4. Автоматическое управление. Теория / Под ред. Е.А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. С. 231 - 253.

8. Wu, T.M.: Solving the nonlinear equations by the Newton-homotopy continuation method with adjustable auxiliary homotopy function. Appl. Math. Comput. 1773 (1), 383-388 (2006).

9. Delia Torres-Muñoz, Luis Hernandez-Martinez Spherical continuation algorithm with spheres of variable radius to trace homotopy curves // International journal of applied and computational mathematics, 2016. V. 2 (3). Р. 421 - 433.

Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, доцент, svfeofilovamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Козырь Андрей Владимирович, аспирант, kozyr_A_Vamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

PERIODIC MODES IN CONTINUOUS AND DIGITAL SYSTEMS WITH A PIECEWISE

LINEAR CONTROL SYSTEMS

S. V. Feofilov, A. V. Kozyr

The paper discusses methods for analyzing periodic motions in continuous and digital self-oscillating relay control systems with a piecewise linear control objects., It is shown that the introduction of time discretization leads to the fragmentation of limit cycles, i.e. the possibility of periodic oscillations with other parameters. Symmetric periodic modes in the work are determined using the phase locus (FG) method. It is known that for continuous piecewise-linear systems, FG can be a multi-valued vector - function, that is, several lateral cycles of different shape can correspond to one half-period value. The paper proposes a numerical methodfor constructing FG, which allows you to select all the branches of ambiguity. Such a construction method is based on the numerical solution of the nonlinear algebraic FG equation, which is based on one of the variations of the method of continuation of the solution with respect to a parameter. The use of this method allows you to select all the branches of ambiguity. Next, we consider a numerical methodfor determining symmetric periodic motions in a self-oscillating relay system with time discretization.

Key words: self-excited oscillations, phase locus, digital relay systems, piecewise linear control systems.

Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, docent, svfeofilova mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kozyr Andrey Vladimirovich, post-graduate student, kozyr_A_ Va mail. ru, Russia, Tula, Tula State University