Об эффективности использования методических подходов при изучении элементарных функций будущими учителями математики

УДК 37.013.75

ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ БУДУЩИМИ УЧИТЕЛЯМИ МАТЕМАТИКИ

В статье описаны методические особенности изучения спецкурса «Элементарные функции в школьном курсе математики» студентами-бакалаврами направления подготовки «Педагогическое образование». Предметная подготовка будущих учителей математики по указанной дисциплине предполагает углубленное изучение методики преподавания математики в общеобразовательной школе. Анализ результатов проведенной экспериментальной работы со студентами подтверждает эффективность использования методической системы обучения, внедренной одним из авторов в учебный процесс вуза.

Ключевые слова: педагогический эксперимент, изучение элементарных функций, обучение студентов математике.

Результаты международных исследований качества образования, олимпиад и конкурсов разного уровня отражают высокий уровень знаний российских школьников и студентов по различным направлениям, в частности, по физико-математическим и техническим наукам. Государственная программа РФ «Развитие образования на 2013-2020 годы» направлена на «улучшение результатов российских школьников по итогам международных сопоставительных исследований качества общего образования; повышение удовлетворенности населения качеством образовательных услуг, а также привлекательности педагогической профессии и уровня квалификации преподавательских кадров» [1]. При этом серьезное внимание уделяется не только формированию знаний школьников, но и уровню знаний педагогов-предметников. Об особой значимости обучения математике написано в распоряжении Правительства РФ «Концепция развития математического образования в Российской Федерации». В документе отмечается: «Изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин. Качественное математическое образование необходимо каждому для его успешной жизни в современном обществе» [2].

Несмотря на то внимание, которое уделяется математическому образованию, многие ученые с тревогой отмечают снижение качества знаний учащихся и студентов. В частности, В. А. Далингер [3] ссылается на собственный опыт работы со студентами, а также приводит слова других авторов - как школьных учителей, так и преподавателей вузов, отмечающих низкий уровень знаний школьников и студентов вузов, в том числе физико-математических направлений подготовки. Сказанное тесно взаимосвязано со следующей ситуацией: абитуриенты с недостаточным багажом знаний

Н. И. Попов, Е. Н. Шустова N. I. Popov, E. N. Shustova

ON THE EFFICIENCY OF USING METHODICAL APPROACHES IN STUDYING ELEMENTARY FUNCTIONS BY FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS

The article describes the methodological peculiarities of studying the special course "Elementary functions in the school course of mathematics" by bachelor students in the field of direction Pedagogical education. The subject training of future mathematics teachers in this discipline assumes an in-depth study of the methodology of teaching mathematics in a comprehensive school. The analysis of the results of the experimental work carried out with students confirms the effectiveness of using the methodical system of instruction introduced by one of the authors in the educational process of the university.

Keywords: pedagogical experiment, study of elementary functions, training of students in mathematics.

не отличаются в учебе в педагогическом вузе, впоследствии становятся учителями с невысоким уровнем знаний, а затем обучают уже своих учеников. Очевидно, что указанная глобальная проблема должна решаться на различных уровнях, в том числе в школе и вузе. Улучшение предметной и методической подготовки будущих учителей математики обеспечит образовательные учреждения высококвалифицированными кадрами, которые способны будут поднять уровень знаний школьников, следовательно, абитуриентов и затем студентов.

Российское образование в течение многих лет претерпевает изменения, связанные с реформированием [4]. Вузы перешли на многоуровневую ступенчатую систему обучения. Негативным результатом такого перехода стало изменение количества часов, отводимых на предметную подготовку будущих учителей математики и информатики. В таблице 1 приведены статистические данные учебных планов Коми государственного педагогического института (КГПИ) и Сыктывкарского государственного университета им. Питири-ма Сорокина (СГУ), объединившихся в один университет в 2014 г. В настоящее время в СГУ осуществляется двух-профильная подготовка бакалавров, обучение ведется в течение пяти лет, что позволяет провести сравнение в часах объемов изучаемых дисциплин в двух указанных вузах (мы провели сравнение количества часов, предусмотренных на изучение математики и методики ее преподавания будущими учителями математики (с дополнительной специальностью «информатика» или «физика»)).

Анализ данных таблицы 1 показывает уменьшение количества часов предметной подготовки (по сравнению с 1995 г.) как в абсолютных числах, так и в долях к общему количеству часов для подготовки специалиста. Положительным моментом является увеличение числа часов на изучение методики преподавания математики за счет

курсов по выбору. Отметим, однако, что в таблице приведено общее количество часов, а доля аудиторной нагрузки при переходе на пятилетнюю систему бакалавриата уменьшилась с 70 % до 50 %, следовательно, изменения еще более существенные.

Таблица 1

Общее количество часов, предусмотренных на дисциплины предметной и методической подготовки по математике в кгпи и сгу

Дисциплины Кол-во часов Доля от общего количества часов

Специалитет, 1995 г.

Дисциплины предметной подготовки, в том числе курсы по выбору (350 ч.) и факультативы (50 ч.) 4324 51,3 %

Методика преподавания математики, в том числе курсы по выбору (135 ч.) 335 4 %

Специалитет, 2005 г.

Дисциплины предметной подготовки, в том числе курсы по выбору (300 ч.) и факультативы (450 ч.) 3450 38,8 %

Методика преподавания математики 320 3,5 %

Бакалав риат, 2012 г.

Дисциплины предметной подготовки, в том числе курсы по выбору (756 ч.) 3600 36,2 %

Методика преподавания математики 720 7,2 %

Бакалав риат, 2017 г.

Дисциплины предметной подготовки, в том числе курсы по выбору (900 ч.) 3924 40,8 %

Методика преподавания математики 972 10,1 %

Анализ результатов единого государственного экзамена по математике абитуриентов педагогического направления подготовки СГУ показывает, что средний балл поступающих в указанный вуз выше, чем по Российской Федерации, но, на взгляд авторов, недостаточный для качественной подготовки будущих учителей математики. В таблице 2 приведены средние баллы абитуриентов СГУ за последние 4 года, очевидно, что студентам требуется не только подготовка по вузовской программе, но и углубление, систематизация знаний по школьному курсу математики.

Проблемы предметной и методической подготовки будущих учителей математики вызывают озабоченность у большинства преподавателей педагогических вузов. Один из авторов статьи на протяжении более чем 10 лет занимался исследованием знаний студентов по разделу математики «Элементарные функции». Функциональная линия - одна

из основных содержательных линий школьного курса математики, в то же время именно по ней существует множество проблем в знаниях обучающихся, которые зачастую носят формальный характер и не систематизированы. Часто студенты применяют математические знания без глубокого понимания и анализа, испытывают трудности при их переносе на нестандартные ситуации.

Таблица 2

средний балл ЕТЭ по математике

Год По Российской Федерации Абитуриенты СГУ направления подготовки «Педагогическое образование»

2014 46,4 56,7

2015 49,6 53,16

2016 46,3 60,18

2017 47,1 52,55

Для оценки уровня знаний по указанному разделу математики было проведено тестирование студентов 1-5-х курсов Института точных наук и информационных технологий (ИТНИТ) СГУ, обучающихся по направлению подготовки «Педагогическое образование» (профиль «Математика с дополнительной специальностью»). В тестировании приняло участие 82 студента. В рамках непрерывного образования в системе «школа - вуз» в исследовании приняли участие 22 учащихся 10-го класса естественно-научного профиля Физико-математического лицея-интерната (ФМЛИ) г. Сыктывкара.

Для проверки знаний тестируемых было предложено 12 заданий на исследование основных свойств элементарных функций, упражнения методического характера, а также анкета для самооценки знаний и умений обучаемых. Каждый вопрос оценивался от 0 до 10 баллов, тестируемый мог набрать максимальный суммарный балл 120.

На рисунке 1 показаны средние баллы студентов академических групп 1-5-х курсов ИТНИТ. По оси абсцисс указаны номера заданий (последнее значение является средним итоговым баллом тестирования по курсу), а по оси ординат -соответствующее значение среднего балла по заданию для конкретного курса.

Анализ результатов тестируемых показывает, что студенты имеют недостаточные знания по разделу математики «Элементарные функции», средний показатель выполнения заданий находится на уровне 30 %. С использованием диаграммы отметим примеры, которые вызвали наибольшие затруднения у большинства обучаемых: упражнения на выделение элементарных функций (№ 2) и способы задания функций (№ 3), примеры на нахождение области значений функции (№ 9), асимптоты (№ 11), обратимость функций (№ 12). Достаточный уровень знаний обучающиеся продемонстрировали при решении задач на распознание функциональных зависимостей (№ 1), нахождение области определения функции (№ 5), изучение монотонности (№ 7) и четности или нечетности функций (№ 8). Сравнение результатов тестирования студентов ИТНИТ позволяет

сделать вывод о том, что наилучшие показатели у студентов 2-го курса, а худшие - 3-го курса, тем самым получаем

Теоретические вопросы, предложенные в упомянутом тесте, также вызвали затруднения у студентов. В частности, сложными оказались задания на определение понятия функции и элементарных функций, на свойства выпуклости, непрерывности, обратимости, дифференцируемости и интегрируемости функций, примеры на определение экстремума и нахождение наименьшего и наибольшего значений функций.

При тестировании школьников ФМЛИ по теме «Функции. Свойства функций» проверочные задания были адаптированы для уровня учащихся 10-го класса. Было предложено 10 примеров и упражнений, которые оценивались по десятибалльной шкале. По результатам исследований средний балл школьников составил 2,4, что несколько ниже среднего балла студентов (по всем курсам ИТНИТ - 3,3), но в целом сопоставим с ним.

После тестирования студентов было проведено анкетирование обучаемых. По десятибалльной шкале предлагалось оценить следующие характеристики: знания испытуемых по теме «Функции», важность получения знаний по разделу «Функции» для будущего учителя математики, уровень сложности изучения темы «Функции» в общеобразовательной школе,

- также и корреляцию результатов проверочной работы и ЕГЭ тестируемых по математике при поступлении в вуз.

- уровень сложности заданий теста, желание повысить уро-

- вень знаний по изучаемой теме. На рисунке 2 представлены результаты анкетирования студентов 1-5-х курсов ИТНИТ.

- Результаты анкетирования показали, что студенты критически подошли к оценке уровня своих знаний и считают их

! недостаточными. Желание получить новые математические знания у всех обучаемых достаточно высокое (на уровне . 9 баллов из 10). Отметим, что задания теста, которые пока- зались студентам сложными, сыграли роль мотивационно-| го компонента [5]. В. М. Монахов в своей монографии [6]

- отмечает важность указанной составляющей учебно-педагогического процесса.

| Как было упомянуто, увеличение количества часов на методическую подготовку будущих учителей произошло за счет курсов по выбору. Тематика таких курсов определяет- ся преподавателями совместно с руководителями основных профессиональных образовательных программ. Следует | отметить, что наличие пробелов в знаниях студентов по

- элементарным функциям требует необходимого дополнительного изучения данного раздела, что и предпринималось

, ранее сначала в КГПИ, а затем и в СГУ.

Рис. 1. Результаты тестирования студентов

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

и

" I

Iя 1

О) >-

I 1 курс I 2 курс I 3 курс I 4 курс I 5 курс

I I

Рис. 2. Результаты анкетирования студентов

На основании опыта педагогической деятельности одним из авторов статьи была предложена методическая система обучения по дисциплине «Элементарные функции в школьном курсе математики», которая позволяет одновременно повысить знания обучаемых по математике и уровень методической подготовки будущих учителей. Согласно учебному плану на указанную дисциплину выделяется 108 часов, в том числе 54 часа аудиторной нагрузки: 18 часов лекций и 36 часов практических занятий. Формирование приемов учебно-познавательной деятельности студентов осуществлялось с применением объяснительно-иллюстративного, проблемного, частично-поискового, модульного и исследовательского методов обучения [7]. Изучаемая дисциплина была разделена на пять модулей:

1. Понятие функции, элементарные функции и их свойства.

2. Методика изучения элементарных функций в общеобразовательной школе.

3. Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств с использованием свойств функций.

4. Применение метода преобразований при построении графиков функций.

5. Различные методы определения функций.

Первый из указанных модулей в учебном процессе

реализуется на лекциях-повторениях, которые проводятся в формате эвристической беседы, позволяющем активизировать познавательную деятельность студентов. Второй

модуль осуществляется в виде семинаров-бесед, на которых под руководством преподавателя студенты выступают с докладами. По некоторым изучаемым темам предлагаются бинарные доклады, предполагающие выступление двух студентов, дополняющих и контролирующих изложение учебного материала друг друга. При изучении третьего и четвертого модулей обучаемым также отводится активная роль, но уже в форме проведения имитационных уроков с использованием конспектов, с предложенными заданиями для самостоятельного решения и домашней работы. Пятый модуль включает блок новых математических знаний. После характеристики традиционного способа определения функций преподаватель объясняет другие методы введения и изучения свойств различных функций, при этом основное внимание уделяется аксиоматическому методу как универсальному методу математики.

Наиболее важным и интересным, на наш взгляд, для использования в профильных математических классах средней школы является аксиоматический метод определения экспоненциальной функции и функций у = smх, у = ^х. Экспоненциальная функция вводится с помощью двух аксиом [8, с. 269]:

Р(х).Р(у) = Р(х + у), \/х,уеШ, Р(х)>\+х, УхеМ.

Свойства решения указанной системы при Р(х) = ехр х изучаются в предположении его существования. После оценки нескольких значений исследования функции Р(х) целесообразно построение ее графика. Такое определение экспоненциальной функции позволяет ввести в последующем обратную ей натуральную логарифмическую функцию у = In х, х> 0. С помощью композиции функций определяется общая степенная функция:

у = xa = ехр (a In х), х> 0.

В процессе изучения вышеуказанной дисциплины кроме итогового тестирования было предусмотрено выполнение обучаемыми контрольной работы. Один из вариантов проверочной работы приведен на рисунке 3.

1. Кратко изложите методику изучения в школе функции

2n+1

y = x ,n e N

2. Решите уравнение:

log x 3- log3x 3 = log9 x 3.

3. Решите неравенство:

2 x—1 2 x—3 2 x—5 7—x 5—x 3—x 2 + 2 — 2 >2 + 2 — 2 .

4. Постройте график функции: y = arcsin (I x| — 2).

Рис. 3. Контрольная работа

Каждый вариант проверочной работы содержал четыре задания, первое из них предполагало краткое изложе-

ние методики изучения одной из элементарных функций в общеобразовательной школе. При выполнении указанного задания студент должен был раскрыть следующие аспекты: в каком классе средней школы изучается предложенная тема, какие свойства функции и графика при этом рассматриваются, перечислить основные типы используемых практических заданий и упражнений. Второе и третье задания контрольной работы предполагали умения решать уравнения, системы уравнений и неравенств (например, логарифмических, показательных, иррациональных). Последнее контрольное упражнение было предложено для проверки умения студентов строить графики функций с помощью различных преобразований.

В проверочной работе первое задание оценивалось в 4 балла, а остальные - по 2 балла. При правильном выполнении всех примеров и упражнений контрольной работы обучаемый мог набрать максимальный балл 10. Итоги контрольной среза знаний в 1415-й группе ИТНИТ показали, что средний балл студентов составил 7,08.

На рисунке 4 представлены результаты анкетирования студентов по самооценке знаний по теме «Функции» до начала изучения и после усвоения материала спецкурса «Элементарные функции в школьном курсе математики».

Анализ диаграммы на рисунке 4 показывает, что студенты подчеркивают положительную тенденцию в росте уровня своих знаний, возрастание значимости изучения элементарных функций в школьном курсе математики. Можно также сделать вывод о том, что обучаемые желают продолжить изучение раздела математики, углубить свои математические знания и осознают важность темы для программы общеобразовательной школы.

Рис. 4. Результаты анкетирования студентов 1415-й группы

В 2017/2018 учебном году по указанной дисциплине для студентов 1415-й группы ИТНИТ СГУ проводились лекционные и практические занятия. После изучения спецкурса обучаемым было предложено выполнить итоговые тестовые задания по тем же вопросам, что и во входном тесте, но

Для проверки значимости экспериментального исследования была выдвинута нулевая гипотеза о случайности, статистической незначимости различий между значениями средних баллов испытуемых, для проверки которой использован критерий Стьюдента для связных выборок. В процессе педагогического эксперимента вычислено эмпирическое значение t = 2,51, а также критическое значение 1 = 2,2

эмп. ' ' ~ кр. '

для уровня значимости а = 0,05. По результатам исследования получили, что 1 > 1 , следовательно, нулевая гипо-

эмп. кр.

теза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о неслучайности различий в средних баллах тестируемых. Последний вывод дает основание полагать, что указанная дисциплина значимо повысила уровень знаний студентов по разделу математики «Элементарные функции».

В. А. Далингер отмечает, что в высшей школе «требует изменения содержание и структура математической и методической подготовки в направлении усилении школьного компонента математического образования с последующей фундаментализацией знаний» [3]. Аналогичной концепцией один из авторов статьи руководствуется при изучении студентами дисциплины «Элементарные функции в школьном курсе математики». При этом школьный учебный материал повторяется и изучается с упором на методику преподавания математики, рассматриваемые темы дополняются вопросами, задачами и примерами повышенного уровня сложности. Мы считаем целесообразным практическое использование предложенной методической системы обучения при предметной подготовке будущих учителей математики и информатики.

1. Развитие образования: государственная программа Российской Федерации № 295 от 15.04.2014 г. на 2013-

с измененными для повышения достоверности исследования формулировками. На рисунке 5 представлены средние баллы по каждому из 12 вопросов по итогам тестирования и суммарный средний балл.

2020 годы // Официальный сайт Министерства образования и науки Российской Федерации. URL: httpV/минобрна-уки.рф/документы/4720 (дата обращения: 18.12.2017).

2. Концепция развития математического образования в Российской Федерации: распоряжение Правительства Российской Федерации № 2506-р от 24.12.2013 г. // Официальный сайт Министерства образования и науки Российской Федерации. URL: httpV/минобрнауки.рф/документы/ 3894 (дата обращения: 20.12.2017).

3. Далингер В. А. Подготовка учителей математики в условиях новых государственных стандартов по направлению «Педагогическое образование», профиль «Математическое образование» // Современные проблемы науки и образования. 2017. № 1. URL: http://science-education.ru/ru/article/ view?id=26089 (дата обращения: 18.12.2017).

4. Попов Н. И. Фундаментализация университетского математического образования : моногр. Йошкар-Ола : Мар-ГУ, 2012. 135 с.

5. Родионов М. А. Мотивация учения математике и пути ее формирования : моногр. Саранск : Изд-во Мордов. гос. пед. ин-та им. М. Е. Евсевьева, 2001. 252 с.

6. Монахов В. М. Введение в теорию педагогических технологий. Волгоград : Перемена, ВГПУ, 2006. 318 с.

7. Попов Н. И. Об эффективности использования модели обучающей технологии по тригонометрии при обучении студентов-математиков // Образование и наука. 2013. № 9. С. 138-153.

8. Шустова Е. Н. Методика изложения курса «Теория элементарных функций». Вестник Коми государственного педагогического института. 2010. № 8. С. 268-270.

© Попов Н. И., Шустова Е. Н., 2018