Криволинейные структуры армирования плоских конструкций в биполярной системе координат

used to solve the problem. Solution found by quadrature for a piecewise smooth boundary. Programs have been written to build with any precision plastic and elastic region in a torsion rod. Testing for known solutions gave coincidence of results.

Keywords: conservation law, exact solution, unknown I

Решению задачи о напряженном состоянии упруго-пластического стержня посвящено много работ [1-4]. Внешняя граница стержня известна, в результате кручения между упругой и пластической областями появляется граница L, которая, вообще говоря, заранее не известна.

В предлагаемой работе с помощью законов сохранения определяется напряженное состояние во всех внутренних точках стержня и предлагаются формулы для аналитических вычислений этих напряжений для случая кусочно-гладкой ориентированной границы поперечного сечения.

На основе предложенных формул созданы программы, которые позволяют с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне.

Решение тестовых задач показало хорошее совпадение с известными решениями.

I

Параметр a = -1

ndary, the problem of torsion of a straight rod.

На рисунке представлена расчетная задача для стержня при значении крутящего параметра a = -1. Окружностями выделена пластическая область, треугольниками - упругая область.

Библиографические ссылки

1. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск : Наука, 2010.

2. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН.

3. Senashov S. I., Yachno A. N. Conservation Laws, Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity. SIGMA 8 (2012), 071, 16 p.

4. Сенашов С. И. Законы сохранения в задаче о продольной плоской волне нагрузки в упругопласти-ческом стержне // Вестник СибГАУ. 2011. № 3(36). С. 82-85.

References

1. Annin B. D., Cherepanov G. P. Uprugo-plasticheskaya zadacha. Novosibirsk : Izd-vo «Nauka».

2. Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yahno A. N. Prilozhenie simmetriy i zakonov sohraneniya k resheniyu differentsialnyih uravneniy. Novosibirsk : Izd-vo SO RAN.

3. Senashov S. I., Yachno A. N. Conservation Laws, Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity. SIGMA 8 (2012), 071, 16 p.

4. Senashov S. I. Zakonyi sohraneniya v zadache o prodolnoy ploskoy volne nagruzki v uprugoplasticheskom sterzhne. Vestnik SibGAU, 2011, v.3(36), s.82-85

© Сенашов С. И., Черепанова Н. Ю., Кондрин А. В., 2013

УДК 539.3+539.4

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТРУКТУРЫ АРМИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ В БИПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Н. А. Федорова, Д. А. Панкрац

Сибирский федеральный университет Россия, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26. E-mail: ran@akadem.ru, dapankrats@mail.ru

Получена разрешающая система дифференциальных уравнений относительно компонент деформаций в биполярной системе координат. Рассмотрены примеры частных случаев армирования эксцентрического кольца.

Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории в биполярной системе координат.

Прикладная математика и механика

CURVILINEAR STRUCTURES OF PLANE CONSTRUCTIONS REINFORCEMENT IN BIPOLAR COORDINATE SYSTEM

N. A. Feodorova, D. A. Pankrats

Siberian Federal University 26, Kirenskiy str., Krasnoyarsk, 660074, Russia. E-mail: ran@akadem.ru, dapankrats@mail.ru

The resolving equation system relative to component of deformation vector is obtained in cases of bipolar coordinate system. Examples of special cases of reinforced eccentric ring are considered.

Keywords: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories in bipolar coordinate system.

Круглые пластины, круговые и эксцентрические кольца широко применяются в качестве важнейших элементов конструкций ответственного назначения в различных отраслях промышленности. Использование современных композиционных материалов и возможность управления их внутренней структурой открывает широкие перспективы по улучшению и оптимизации создаваемых конструкций.

Волокнистое армирование позволяет использовать новые принципы проектирования и изготовления изделий, основанные на том, что материал и изделие создаются одновременно в рамках одного и того же технологического процесса. В результате получается материал с новыми свойствами. Изучить и предсказать эти свойства можно с помощью математического моделирования на основе структурного подхода [1].

Структурный подход характеризуется тем, что коэффициенты матрицы упругости являются функционалами от параметров исходного волокнистого композита: углов армирования, интенсивности армирования, размеров эксцентриситета кольца.

Уравнения равновесия в ортогональных криволинейных координатах для плоского случая имеют вид:

д( 2 а„) + ) +

ôÇ

дН дН

+ CT12 "ITСТ22 + Н1Н2ф1 = 0,

дп ôç

д(Н2СТ12 ) + д(Н1СТ22 ) +

ôç

дп

дН

дН

°12--СТ22 + Н1Н2ф2 = 0

Н1 = Н 2 = -

-.

ch | + cos n

Система записана относительно физических компонент тензора напряжений.

Пусть ют - интенсивность армирования m-го семейства волокон, фт - углы армирования. Вводим условие постоянства сечений волокон, что согласуется с технологическим процессом изготовления волокнистого материала. Условие постоянства сечения волокон в биполярной системе выражается формулой

д д дт

Для заданных углов армирования фт (с;,п) интенсивность армирования ют находим из (3). Деформа-

ции в волокне еи дели

определяем по структурной мо-

eç4î1 +Sr/m2 +2eÇn1m11m2 = 6m •

Здесь использованы обозначения: ет = аатТ,

4 =Бт -&Тт , 1т1 = С08 (фт ) , 1т2 = 8т (фт ), Т - температура, аат - коэффициенты линейного расширения материала т-го семейства волокон.

Полная разрешающая система уравнений относительно компонент тензора деформаций примет вид:

д2еп

- + C2

д2е,

+ C-,

cter

ôr

-+C

дп

де

2 + C3

д2е

çr

,çr

ôç

+ Co

дп

+C4

ÔSç

+ C5

ô£ç

дп

+ C6

ôÇ

+ C10eç + Сцеп + = 0'

cteç

деР

деп

деп

де,

-+a

11 ^^ 12 13 ^ 14 15 ^^ 16

ôç дп ôç дп ôç дп

(( Н2 > ю1> Ф1> Ф2> > Ф1,п ' Ф2,^ > Ф2,п ) + Н1Н2ф1 = 0

-+a-

-+a,

-+a.

де

+a

ôeç

деп

двп

де

- + a

22

-+a

^ '23 ^ 24 25 26

дп д^ сп с^ сп +Р2 (( Н2, ^ 2, Ф1, Ф2, ф1,4, Ф1,п, ф2,^, Ф2,п ) + Н1Н2ф2 = 0

где коэффициенты С{ приведены в [2]; ау -коэффициенты, зависящие от дифференциальных коэффициентов Ламе, угла и интенсивностей армирования, физических и химических свойств материала, получены в [2; 3]. Граничная задача для системы (5) в биполярной системе имеет вид

- + a

24

- + a

де

25

+ a

¡;п

"26

дп

где - компоненты тензора напряжений; ф1,

ф2 - контравариантные компоненты вектора массовой силы; Н1, Н2 - дифференциальные коэффициенты Ламе, в биполярной системе координат имеющие вид

1 дН

^ г„

^ г„

1 дм1 ду1 Н1 ôy ôÇ Н1Н2 дп

1 ôu2 ôy2

1 u0,

1 дН,

1

Чп г„

Н1Н 2

Н2 дУ 2 дп Н1Н2 ôÇ

f Н ô^Lô^i+Н д^1

1 дУ 2 °п 2

ôy1 ôÇ

дН

ôHL u0 —

дп ôÇ

2 u0

где u°b u02 - известные функции, задающие кинематические условия на граничном контуре Гм; у2 -функции, обратные к функциям, определяющим контур Ги.

Детерминантным методом установлено, что система (5) является системой эллиптического типа и при задании краевых условий имеет одно решение.

В работе строится численный алгоритм для определения предельных деформаций эксцентрического кольца, армированного вдоль семейств координатных линий биполярной системы координат. Изучается уровень предельных нагрузок для различных вариантов структурных параметров (углов армирования, начальной интенсивности армирования, материалов связующего и армирующих волокон, величины эксцентриситета кольца).

Библиографические ссылки

1. Nemirovsky Yu. V. On the elastic-plastic behaviour of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. No 12. P. 898-903.

2. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск : СФУ, 2010. 136 с.

3. Федорова Н. А. Моделирование деформирования плоских конструкций со сложными криволинейными структурами армирования // Вестник СибГАУ. 2011. Вып. 3(36). С. 92-98.

References

1. Yu. V. Nemirovsky. On the elastic-plastic behaviour of the reinforced layer . Int. J. Mech. Sci., 1970. No 12, pp. 898-903.

2. Nemirovskij Ju. V., Fedorova N. A. Matematicheskoe modelirovanie ploskih konstrukcij iz armirovannyh voloknistyh materialov. Krasnojarsk : SFU, 2010. 136 s.

3. Fedorova N. A. Modelirovanie deformirovanija ploskih konstrukcij so slozhnymi krivolinejnymi strukturami armirovanija // Vestnik Sib. gos. ajerokosmich. un-ta. 2011. Vyp. 3(36). S. 92-98.

© Федорова Н. А., Панкрац Д. А., 2013

УДК 539.3+539.4

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ, АРМИРОВАННЫХ ВДОЛЬ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Н. А . Федорова

Сибирский федеральный университет Россия, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26. E-mail: ran@akadem.ru

На основе структурной модели в рамках плоской неоднородной линейной задачи упругости решена задача рационального армирования криволинейными волокнами. Изучено влияние структурных параметров на предельное нагружение конструкции.

Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории.

MATHEMATICAL MODELLING FOR EXTREME DEFORMATIONS OF PLANAR CONSTRUCTIONS REINFORCED WITH CURVILINEAR TRAJECTORIES

N. A. Feodorova

Siberian Federal University 26, Kirenskiy str., Krasnoyarsk, 660074, Russia. E-mail: ran@akadem.ru

The problem of curvilinear fibers rational reinforcement is solved by reference to the structural model within the heterogeneous liner elasticity problem. The effect of structural parameters for a construction limit stressing is studied.

Keywords: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories.

Предлагается армирование конструкции по криволинейным траекториям проводить на основе трех подходов: по сетке координатных линий ортогональной системы координат, определяемой заданным конформным отображением [1; 2]; по изогональным

траекториям, построенным к данным кривым [3]; по спиралевидным траекториям в осесимметрической постановке задачи [4].

В настоящей работе в качестве примера армированной конструкции рассматривается растяжение