Исследование классических моделей магнито- и электроэнцефалографии методом интегральных уравнений

УДК 519.612:632.4

Е. В. Захаров, Р. Е. Зимоздра2

ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАГНИТО-И ЭЛЕКТРОЭНЦЕФАЛОГРАФИИ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Работа посвящена двум основным методам регистрации активности нейронных источников мозга — магнитоэнцефалографии (МЭГ) и электроэнцефалографии (ЭЭГ). Рассматриваются однородная и сферическая модели головы. Получены граничные интегральные уравнения для прямой задачи МЭГ/ЭЭГ и приведены их аналитические решения в обоих случаях. Показана зависимость решений от входных данных (положение и ориентация источника).

Ключевые слова: МЭГ, ЭЭГ, сферическая модель, интегральные уравнения.

1. Введение. Магнитоэнцефалография (МЭГ) — сравнительно новый неинвазивный метод исследования активности головного мозга. Возможность регистрации данных МЭГ появилась благодаря применению специальных магнитометров, обладающих достаточной чувствительностью для регистрации малых полей мозга.

В то же время появление МЭГ никак не сказалось на распространении другого неинвазивного метода — электроэнцефалографии (ЭЭГ). Поскольку мозг представляет собой проводящую среду с точки зрения теории электрических и магнитных явлений и МЭГ, и ЭЭГ решают одну и ту же токовую задачу [1]. Оба метода направлены на функциональное картирование головного мозга. Результатом как МЭГ, так и ЭЭГ являются большие массивы данных, которые содержат информацию о мозговых процессах.

Магнитные поля порождаются теми же мозговыми токами, которые генерируют и потенциальные поля. Однако есть существенные различия между методиками ЭЭГ и МЭГ. Так, например, в МЭГ возможна бесконтактная регистрация на расстоянии до 2 см, в то время как ЭЭГ записывается с электродов на поверхности головы.

В настоящей работе рассматриваются две классические модели головы — однородная и сферическая. Конечная цель состоит в сравнении двух альтернативных подходов в энцефалографии, а также оценке их границ применимости.

2. Постановка задачи. Прямая задача ЭЭГ состоит в определении скалярного потенциала г>(г) электрического поля на поверхности головы. Прямая задача МЭГ в свою очередь состоит в определении векторного магнитного поля В (г) и отличается тем, что допускает наблюдения во внешней области (вблизи поверхности головы).

С физической точки зрения мозговая активность описывается с помощью классической электродинамики сплошных сред [2]. Для исследования биологических сигналов, как правило, используется квазистатическое приближение, при котором в уравнениях Максвелла можно пренебречь производными по времени, т. е. в любой момент времени электрическое и магнитное поля определяются мгновенным распределением всех зарядов и токов в системе, как если бы они были стационарными [3].

Таким образом, приходим к уравнениям

V х В (г) = ^(г), V • В(г) = 0, геО,

другими словами, ротор индукции магнитного поля В (г) внутри объема П пропорционален плотности тока j(г), создаваемой нейронной активностью (/¿о — магнитная проницаемость среды), а дивергенция равна нулю. За пределами П проводимость и плотность тока принимаются равными нулю.

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: zspecQcs.msu.ru

2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: bigzimQyandex.ru

Для расчета магнитного поля можно использовать закон Био-Савара-Лапласа [4, 5]

Но [ Яг') х К

В

п

где К = г — г'; интегрирование ведется по г' — всем точкам распределения источника.

Плотность тока можно разделить на две компоненты — первичный ток .р(г), создаваемый непосредственно нейронной активностью, и объемный ток ,р(г) = ст(г)Е(г), создаваемый макроскопическим электрическим полем. В отличие от первичного тока, локализованного в небольшой области головного мозга, объемный ток распределен по всему объему головы.

В квазистатическом приближении электрическое поле Е(г) можно представить как градиент скалярного потенциала:

Е(г) =

Воспользовавшись данным представлением, а также применив разделение тока = .р(г) — ст(г)\7г>(г) к закону Био-Савара-Лапласа (1), получим

= 4тг У -Д5-

п

Зачастую голова моделируется однородным объемом П с постоянной проводимостью а, окруженным непроводящей средой (воздухом). Таким образом, объемный интеграл в (2) можно переписать в виде поверхностного интеграла

В

дп

где Во(г) — первичное поле, генерируемое ,р (г'); п(г) — внешняя нормаль к поверхности дО,.

Для вычисления магнитного поля по формуле

J(uAv - vAu) dV = J (uVv - vVu) • n dS, n an

запишем аналогичное соотношение для функции и = 1 /R во всех точках, где R не обращается в ноль

S\ дПе

где П£ = П \ В£.

В квазистатическом приближении V-j(r) = 0, причем для j(r) применимо разделение тока на первичный и объемный. Таким образом, оAv = V • (aVv) = V • jp. Учитывая это, а также равенства V(1 /R) = ^R/i?3, Д(1 /R) = ^47r5(R), геО, получим следующее граничное интегральное уравнение для потенциала, устремив е к нулю:

а i \ а f v(r')n(r') • R

2^

an

где vo(r) — первичный потенциал, генерируемый jp в однородной среде с единичной проводимостью ctq.

Уравнения (3), (4) образуют систему граничных интегральных уравнений для прямой задачи МЭГ/ЭЭГ.

3. Решения прямой задачи в неограниченной однородной среде. В настоящее время модель неограниченной однородной среды используется наиболее редко, поскольку она менее всего физиологически реалистична. С другой стороны, данная модель требует минимального количества

машинного времени и потому использовалась в первых работах по ЭЭГ и продолжает использоваться до сих пор [6]. Несмотря на все ее ограничения, модель позволяет получить данные оценочного характера для дальнейшего сопоставления.

Первичное поле В0(г) и потенциал г>о(г), участвующие в формулах (3), (4), являются решением прямой задачи в неограниченной однородной среде:

fiQ [ №) х R

Во

п

If р(г') • R ,

п

Распределение первичного тока jp(r) сильно локализовано в небольшой области головного мозга, поэтому допускает моделирование при помощи токового диполя с моментом т, расположенного в точке г0. В предположении дипольного источника плотность тока задается 5-функцией Дирака [4, 5]:

jp(r) = mS(r - г0), а формулы (5), (6) можно переписать следующим образом:

uo m х R 1 m • R

4. Решения прямой задачи для сферической модели головы. Чаще всего в работах, посвященных МЭГ/ЭЭГ, использовалась слоистая сферическая модель [6, 7]. В этом случае определялась сфера, наилучшим образом аппроксимирующая поверхность головы, и центр этой сферы принимался за начало сферической или декартовой системы координат.

При моделировании головы совокупностью сферических слоев прямую задачу как МЭГ, так и ЭЭГ можно решить аналитически. Другие модели (например, эллипсоид [7]) допускают численное решение. Однако в большинстве случаев сферическая модель оказывается применимой для решения прямых и обратных задач.

4.1. Решение прямой задачи МЭГ (сферически-симметричная модель). В общем случае, чтобы решить прямую задачу МЭГ (3), необходимо решить (4) для нахождения поверхностного потенциала v(r). Исключением является сферически-симметричная модель, когда задача нахождения В (г) может быть решена напрямую.

Рассмотрим радиальную компоненту магнитного поля Вг(г) = В(г) -г/г. Из формулы (3) следует, что вклад объемных токов в Вг( г) исчезает, так как векторы г, п(г') = г '/г', R = г — г' компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю. Таким образом, вклад в Вг(г) дает только первичный ток, так же как и в (5).

Если источником является диполь, то, учитывая свойства векторного произведения, формула (5) превращается в

=

47Г |г — Г0 I*3

где ег = г/г — единичный вектор, сонаправленный с радиусом-вектором г.

4.2. Решение прямой задачи ЭЭГ (сферически-симметричная модель). Интегральное уравнение (4) в предположении дипольного источника может быть решено аналитически, если потенциал представить в виде суммы v(r) = vr(r) + vt(r) радиального и тангенциального потенциалов, причем, согласно [5],

, . т cos a /2(rcos7^r0) 1 1 vr(r) =

Ana \ R3 raR rr0

, msina (2r R + r

vt(r) = —-cosp sin7

4na \R3 rR

где а — угол между векторами г(, и т. 7 — угол между г и г(). о ванной г0 и т, и плоскостью, образованной г и г0. Проведя соответствующие преобразования

го • т г • г0 .

С0Ба=-, С0Б7 =-, ят а соя/3 81117

г0т гг0

запишем суммарный потенциал в виде

у(г\ = г° ' т (— (г ' г° _ ГЛ + Л___+

47ГОТ0 \-й3 \ г о ) ГоК гг0/

1 /г • т г • г0 г0 • т\ /2г Д + г

4па \ г гг0 г0 / \ /23 Щг2 — г • г0 + г К)

Потенциал, вычисленный по формуле (8), соответствует потенциалу, полученному в [7] с помощью метода коллокации.

Помимо однородной модели головы, существуют и многослойные модели, которые учитывают разницу в проводимостях мозговой ткани и черепа. Такие модели требуют решения соответствующей системы граничных интегральных уравнений типа (4). Впрочем, как было установлено в [7], влияние внутренних слоев на локализацию источников ЭЭГ аппроксимируется линейной функцией, а потому не является решающим фактором в выборе модели.

угол между плоскостью, образо-

г • т

--соя 7 соя а,

гт

)•

5. Результаты расчетов. Для вычисления Вг(г) и г>(г) по формулам (7), (8) введем на поверхности сферической модели трехмерную сетку, предложенную в [7]. Количество узлов (80) соответствует числу точек измерения в современной клинической практике.

5.1. Зависимость от ориентации диполя. Поместим диполь на оси г декартовой системы координат с началом в центре сферы. Меняя ориентацию диполя, последовательно найдем экстремумы Вг (г) и у(г) на поверхности модели:

МЭГ ЭЭГ

для ж-ориентированного диполя,

для у-ориентированного диполя.

Положение экстремумов того или иного знака в проекции на плоскость ху иллюстрирует тот факт, что магнитное и электрическое поля взаимно перпендикулярны.

Отдельно стоит отметить случай ^-ориентированного диполя. При такой конфигурации Вг(г) обращается в ноль во всех точках. Таким образом, МЭГ лучше регистрирует источники, расположенные тангенциально относительно поверхности, и крайне плохо улавливает радиальные источники, в то время как ЭЭГ справляется и с теми и с другими.

5.2. Зависимость от расстояния до поверхности. Рассмотрим относительную амплитуду сигнала МЭГ, посчитанного в точках трехмерной сетки, отстоящих от поверхности модели на равные расстояния. Если амплитуда достаточно мала, то с учетом различных шумов физиологической природы, помех в аппаратуре, а также погрешностей измерения велик риск ошибки при нахождении экстремума, а следовательно, и локализации источника.

Табл и ца 1

Расстояние, ДСф 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

Амплитуда МЭГ, % 94.4 72.9 54.9 40.3 28.1 18.5 10.4 3.8

Как видно из табл. 1, максимальное расстояние, на котором рекомендуется проводить измерения, составляет треть радиуса сферы, аппроксимирующей поверхность головы. Приняв средний радиус за 8-9 см (для взрослого человека), получим оценку верхней границы в 2.5-3 см.

5.3. Зависимость от глубины расположения диполя. На практике приходится иметь дело как с поверхностными, так и с глубинными источниками. Вычислим дискретные величины Вг{г) и г>(г) в точках поверхности для одних и тех же тангенциальных диполей, меняя их эксцентриситет (табл. 2).

Табл и ца 2

Эксцентриситет 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60

Амплитуда МЭГ, % 150.4 123.6 94.4 66.3 42.0 22.0 6.3

Амплитуда ЭЭГ, % 192.1 163.1 130.8 99.7 72.3 49.5 31.2

Как видно из табл. 2, с ростом глубины источника амплитуда МЭГ падает значительно быстрее, чем ЭЭГ. Таким образом, МЭГ улавливает в основном поверхностные источники, тогда как на ЭЭГ отражаются и поверхностные, и глубинные.

6. Заключение. Магнитоэнцефалография — современная методика, требующая использования специальных камер, экранирующих внешние магнитные поля. Регистрация МЭГ не требует расположения датчиков непосредственно на поверхности головы; на МЭГ не влияют неоднородности, искажающие картину ЭЭГ; в МЭГ не требуется референтного электрода, в отличие от ЭЭГ, где всегда измеряется разность потенциалов.

В то же время МЭГ сильнее, чем ЭЭГ, зависит от глубины расположения источника, вследствие чего улавливает в основном кортикальные (поверхностные) источники. Также МЭГ, в отличие от ЭЭГ, почти не улавливает радиальные источники.

Из этого сравнения видно, что запись магнитных и электрических полей дает взаимодополняющую информацию об искомом источнике. При этом некорректным будет считать, что одна из методик лучше другой. Совместная конфигурация магнитного и электрического полей может показать, сосредоточенный источник или распределенный, а при дипольной модели можно предсказать и приблизительную ориентацию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: Изд-во АН СССР, 1948.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л. П. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005.

3. Попов А. М. Решение обратной задачи ЭЭГ с помощью стохастических методов распознавания образов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2006. № 3. С. 91-100.

4. Hamalainen М., Hari R., Ilmoniemi R.J. et al. Magnetoencephalography — theory, instrumentation, and applications to noninvasive studies of the working human brain // Rev. of Modern Phys. 1993. 65. N 2. P. 413-497.

5. Mosher J.C., Leahy R.M., Lewis P. S. EEG and MEG: forward solutions for inverse methods // IEEE Trans, on Biomed. Eng. 1999. 46. N 3. P. 245-259.

6. Гнездицкий В. В. Обратная задача ЭЭГ и клиническая электроэнцефалография (картирование и локализация источников электрической активности мозга). М.: МЕДПресс Информ, 2004.

7. Захаров Е. В., Зимоздра Р.Е. О границах применимости сферической модели для решения задач электроэнцефалографии // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2014. № 3. С. 14-18 (ZakharovE. V., ZimozdraR. Е. Limits of applicability of a spherical model for solving problems of electroencephalography // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2014. 38. N 3. P. 100-104).

Поступила в редакцию 17.11.14

INVESTIGATION OF CLASSICAL MODELS OF MAGNETO- AND ELECTROENCEPHALOGRAPHY BY METHOD OF INTEGRAL EQUATIONS

Zakharov E. V., Zimozdra R. E.

Methods are developed for the registration of neural brain sources activity via magneto-encephalogram (MEG) and electroencephalogram (EEG). Homogeneous and spherical head models are considered. Boundary integral equations for the MEG/EEG problem are deduced, and the analytical solutions in both cases are shown. Results from a number of computing experiments are given.

Keywords: MEG, EEG, spherical model, integral equations.