Определение взвешенных отрезков для специального класса интервальных нечетких чисел второго типа и операций с ними

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

и в какой-то момент совпадет с собственной частотой слоя жидкости (которая по формуле (3) увеличивается с единиц Гц до десятков Гц по мере уменьшения толщины перемычки). В настоящее время ведутся работы по получению количественных условий проявления указанного эффекта с целью получения устойчивого пузырькового режима кипения в условиях, близких к невесомости.

Библиографический список

1. Савичев, В.В. О влиянии эволюции вектора остаточных ускорений на гидродинамические системы / В.В. Савичев, А.В. Корольков, А.М. Ветошкин //

IV российский симпозиум «Механика невесомости. Итоги и перспективы фундаментальных исследований гравитационно-чувствительных систем» 11-14 апреля 2000 г. Москва. Тезисы докладов.

- М., 2000. - С. 47-49.

2. Ветошкин, А.М. Об особенностях кипения в условиях невесомости. Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии / А.М. Ветошкин, А.В. Корольков, В.В. Савичев // Науч. труды МГУЛ. - Вып. 308. - 2000. - С. 54-66.

3. Корольков, А.В. Исследование механизма отрыва паровой фазы при поверхностном кипении жидкости / А.В. Корольков, С.К. Коротаев, В.В. Савичев и др. // Поверхность, рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2001.

- № 9. - С 90-95.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗВЕШЕННЫХ ОТРЕЗКОВ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОГО КЛАССА ИНТЕрВАЛЬНЫХ

нечетких чисел второго типа и операций С НИМИ

О.М. ПОЛЕЩУК, проф. каф. высшей математики МГУЛ, д-р техн. наук,

Н.Э. МАЛОЛЕПШАЯ, асс. каф. высшей математики МГУЛ

Нечеткая логика чисел второго типа становится все более популярной областью исследований и применений. [1]. Нечетким числом второго типа называется нечеткое подмножество универсального множества X, если значениями его функции принадлежности являются нечеткие подмножества интервала [0,1]. Нечеткие числа второго типа как расширение нечетких чисел первого типа были введены Л. Заде. Первоначально, Л. Заде пользовался словом «fuzzy» (нечеткий) применительно к категориям языка и мышления, но не для описания природы явлений. Однако позже он разработал типологию границ (граничных или краевых условий протекания явлений) в терминах описывающих их категорий. Хорошо различимые границы могут быть описаны нечеткими функциями принадлежности. Это - основа теории нечетких множеств типа 1. Однако, когда границы плохо различимы, например, выражены некоторыми зонами, их можно выразить нечеткими множествами типа 2 и выше. Так у нечетких чисел второго типа отдельные значения принадлежности задаются функциями

olga.m.pol@yandex.ru

принадлежности, т.е. учитывается неточность определения принадлежности. Они могут выражать лингвистическую неопределенность, связанную с различными оттенками смысла слов. В реальном общении людей слова имеют неточные значения, порой интерпретируемые как двусмысленность размытость, и пр. Это справедливо даже в случае одного заданного контекста, например, процессов принятия решений или описания природных явлений. В частности, нечеткими словами второго типа и выше можно выражать величины рисков, связанных с принятием управленческих решений (модели исследования операций и менеджмента). Итак, преимущество нечетких чисел второго типа состоит в их способности выражать больше информации, они обеспечивают формализацию большего количества дополнительных степеней неопределенности, по сравнению с нечеткими числами первого типа. Но в то же время с нечеткими числами второго типа работать достаточно сложно (из-за наличия дополнительной размерности), поэтому, как правило, рассматриваются их специальные классы.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013

147

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рисунок. Интервальное нечеткое числа второго типа с

LMF Рл и UMF Рл

Рассмотрим частный случай интервального нечеткого числа второго типа (interval type-2 fuzzy sets (IT2 FS)), представленный на рисунке.

Это число определено нижней функцией принадлежности LMF и верхней функцией принадлежности UMF, которые обозначены Рл и P;j соответственно, \x.k=(aL,af ,а^\ Щ=(аи ,ctf Первый параметр в скобках

- это абсцисса вершины треугольника, который является графиком соответствующей функции принадлежности, а два последних параметра - это длины правой и левой боковых сторон треугольника.

В настоящей работе осуществляется попытка облегчить операции с нечеткими числами второго типа, для чего вводятся взвешенные отрезки для нижней и верхней функций принадлежности.

Определение взвешенных отрезков для нечетких чисел первого типа (в дальнейшем будем говорить просто нечетких чисел) берет свою историю с работы [2], в которой для нормального треугольного числа В = (b,bl,br) дано определение взвешенной точки

В=^ ,2 ’-----=J(S!+B><Za=

j2aJa 0

о

- [(й-(1-а)й/+й+(1-а)йг )ada-b-F-(br-bj). о 6

Согласно этому определению два нормальных симметричных (bl = br) треугольных числа независимо от значений коэффициен-

тов нечеткости bp br преобразуются в одно четкое число b.

Например, рассмотрим два нечетких треугольных числа: А = (2,2,2), В = (2,1,1).

Взвешенные точки для чисел А, В, обозначенные через А, B, равны 1

A- j(4—2(l-a)+2(l-a))a da-2,

о

i

В= |(4-(1-а)+(1-а))аб/а=2.

о

Чтобы устранить подобный недостаток и разделить два разных числа, в работе [3] было введено новое понятие - взвешенное множество. Взвешенное множество треугольного нечеткого числа А = (a,a,ar) представляет собой объединение взвешенных точек всех треугольных чисел В = (b,bl,br), принадлежащих числу, и определяется следующим образом

А1=j(a-(l-a)a; +a)da=a—at,

А1=J(a+a+(l-a)ar )da=a+—ar,

Таким образом, взвешенным множеством для треугольного нечеткого числа А = (a,al,ar) является отрезок [A1, A2], где A1 = a - 1/6al, A2 = a - 1/6ar, который был назван взвешенным отрезком треугольного числа А.

Рассмотрим снова два треугольных нечетких числа, о которых шла речь выше: А = (2,2,2), В = (2,1,1), и определим взвешенные отрезки [A1, A2], [B1, B2] для чисел А, В.

1 12 4 = J(4-2(l-a))cu/a = 2-2x- = l-, о 6 3

V 1 1

А2 = j(4 + 2(l-a))arfa = 2 + 2x- = 2-, о 6 3

V 1 5

В1= |(4 - (1 - a))ada = 2 — = 1-,

о 6 6

V 1 1

В2 = j(4 + (l-a))ou/a = 2 + - = 2-,

» п п

[4.Л]=

1—,23 3

1—,2— 6 6

Таким образом, два разных нечетких числа имеют два разных взвешенных отрезка.

148

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Взвешенные отрезки [АД A2L], [АД, A2U], для LMF vMaL,af,aLr) и UMF

-- / и и U\

,я, дг ) треугольного интервального нечеткого числа второго типа определим следующим образом

A1L = aL - (1/6)аД A2l = aL - (1/6)аД A1U = aU - (1/6)аД A2u = aU - (1/6)аД.

В качестве примера рассмотрим треугольное интервальное нечеткое число второго типа с LMF = (5,3,3) и UMF = (5,4,4)) и определим взвешенные отрезки [АД A2L], [АД A2u] для этого числа А.

At =5--хЗ = 4-,

1 6 2

At =5 + -хЗ = 5-,

^ 6 2

А"=5-—х4=4—,

1 6 3

£= 5+-х4=5-. ^63

Согласно [3], сумма треугольных нечетких чисел А и В с взвешенными отрезками соответственно [A1, А2] и [Bp B2] имеет взвешенный отрезок [A1 + B1, А2 + B2].

Утверждение 1. Сумма треугольных интервальных нечетких чисел второго типа А (LMF VikH.aL ,af ,я£ ) и UMF Щ^аи $ )) и В

с взвешенными отрезками соответственно ИД A2L], [AjU, A2U] и [BjL, B2L], [BjU, B2U] имеет взвешенные отрезки [A^ + B1L, A2L + B2L], [AXU + BU A U + B U]

1 > 2 2 J*

Доказательство утверждения 1. Обозначим взвешенные отрезки A + В через [СД

C2L], [C,u, C2U]. Тогда

1

Cf = J(2(aL +bL)-( 1 -a)flf -(1 -a)# )ш/а =

0

1

= j(2aLa + 2bLa-afa + afa2 -bfa + bfa2)da = о

I L 2 , i_L 2 £ 01. . £«, , £ u. , » £ »“

— | flf (X +0 (X — —--------——h

a

T

_£

a

T

a

3>\

i ,£ of af

= aL+bL—- + —--=

_ L 1 L . iL ^ _ aL . nL

— a-----Qj ~\~ b----Dj — A1 + ,

6 6

1

Cl2 = j(2(aL +bL) + (l-a)af + (1 - a)ada =

0

1

= J(2aza + 2bLa + af a - af a2 + 6rza - bfa2)da =

з Л

[ L 2 i L 2 г Ot г (X 11 a 7 /• 01

= era2 +bLa2 +a:-----af— + 6:------b.—

2 r 3 r 2

L _£ ii ii

2 3 2 3

= a£+Z>£-^ + ^-^ + ^ =

6 6

1

Cf = J(2 (<Д + 6U)-(1-a)af - (1 - a)tf)ada =,

з \

аиаг+Ъиаг-£- + (£—-bf —+ bf — v 2 '3 7 2 7 3 ^

= ^+^_^_ + fL_^L + ^L =

2 3 2 3

„£/ 1 „С/ , T £/ 1 jU AU , ntf

— a — ci] + b — b] —Aj + -О, ,

6 6

l

Cu2 = \{2(au +bu) + {\-a)aur + (1 - a)b")ada =.

з Л

.tU^I .U a ^C/ a , t f/ a r [/ a

2 ct + b a +flL — flL —h br--------b —

и . a. a.

u bu bu

= au +bu —^ + ^----^ + -^ =

2 3 2 3

„и I 1 „и . rU . 1 rU Au I nu

= a + — a + b + — br = A, +B-. .

6 6

Таким образом,

[CjL, C2L] = [AjL + BjL, A2 + B2L],

[CjU, C2U] = [AjU + BjU, A2U + B2U].

Утверждение 1 доказано.

В [3] доказано, что границы взвешенного отрезка для нечеткого числа первого типа D = Ах В определяются линейными комбинациями параметров А, В.

Рассмотрим треугольное неотрицательное IT2 FS Ас LMF \Xjj=(aL ,af ,a£) и UMF Щ={аи ,aur) и треугольное число а = (b,b,,b).

Утверждение 2. Границы взвешенных

отрезков [0^,0^] и ] для произведе-

ния треугольного нечеткого числа а = (b,b br) и треугольного неотрицательного IT2 FS А с

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013

149

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

LMF \^={аи UMF \iA=(au,а, ,аиг) находятся следующим образом

Q\L =b

ал

Q2L=b

ал

aL+(-lf-a

6 Мр

J V6 Л (

+Ь,

12

?*+(-! lh°L

12 Мр

еН^-О’к. Нк+(-i/k

12 Mq

6% =b

aA

°u+(-i)" \“lr )+*, к"+(-iy ik

12 Mp

ri,b-b,^o r/,^1

[2,6 +6r <0 ? [r,g=2

2,6 -b,>0 J l,p=l

y [1,6 +br<0 p \r,p—2

Доказательство утверждения 2.

Обозначим LMF IT2 FS А через AL. Выпишем множество а-уровня AL AaL = [AaL, AaL] = [aL - (1 - a)a2, aL + (1 - a)arL] и множество а-уровня a

aa = ОЛ aa2] = [b - (1 - ab Ь + (1 - a)br]

Если a = (b,bpbr) неотрицательное нечеткое число (b - b > 0), то согласно операции умножения для нечетких чисел [3], множество а-уровня aAL имеет вид [Ca1L, Ca2L], где Ca1L = baL - (1 - a)baL - (1 - a)bpL + (1 - a)2bpL-Ca2L = baL + (1 - a)barL +

+ (1 - a)ba2L + (1 - a)2barL.

Тогда

0“ = J(6a+Oou/a=

=baL -—baL -—b, aL +—b, aL 6 6 12

1 £ 1 Л

—a----a,

6 12 1

f

=b

„‘-iafU

в£ = /(6а+С)аЛх=

=6a‘ +-baL, +-b, aL +—6, at =

6 6 u

=fv'

+b

1 L.Il) —a +—ar

V6 12 J

Если a = (b,b br) отрицательное нечеткое число (b + b < 0), то согласно операции

умножения для нечетких чисел, множество а-уровня aAL имеет вид [Ba1L, Ba2L], где Ba1L = baL + (1 - a)barL -- (1 - a)b aL - (1 - a)2b arL,

Ba2L = baL - (1 - a)ba L +

+ (1 - a)baL - (1 - a)2ba L-Тогда

«й = рх/-+В^а=

0

=6aL +-baLr --b, aL -—b, aLr =

6 r 6 1 12 1 r

=b

aL+-aA-b, 6 r 1

1 L , 1 L

—a +—ar

y6 12 ’ j

e2=J(^+C)«rf«=

0

=baL --baL +-b aL -—b aL = 6 1 6 r 12 r 1

=b\aL--af

l 6 \

Или

+6.

1 , 1 L

—a-----a,

6 12 1

9-2=6

aA

+6.

f 1 i Л

—aL+(—lJ—aLM 6 V ' 12 Mp

|2,6+6,<0 * \r,q=2

кь-ь,ы

[1,6+6, <0 ' \r,p=2

Обозначим UMF IT2 FS А через AU. Выпишем множество а-уровня AU

A U = [A 1U, A 2U] =

= [aU - (1 - )a U, aU + (1 - )arU] и множество а-уровня a

aa = ОЛ aa2] = [b - (1 - a)bpb + (1 - a)br].

Если a. = (b,bpb) неотрицательное нечеткое число (b - bt > 0), то согласно операции умножения для нечетких чисел [3], множество а-уровня аАи имеет вид [Ca 1U, Ca2U], где Ca 1U = baU - (1 - a)ba t U -- (1 - a )b pU + (1 - a )2b pU.

C2U = baU + (1 - a )baU +

+ (1 - a)b a2U + (1 - a)2b a U.

150

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Тогда

Щ = /(йа+Ош/а=

=bau -—baf ——bt аи +—bt = 6 1 6 1 12 1 1

=Ъ

f 1 Л (\ \ \

1 и 1 и

и 1 U I I

я —я, -о,

V

—я-----я,

6 12 '

e!? = J(ia+Cf)ada=

=bav +-ba" +-b, au+—b a” = 6 6 \2 f i Л (\

1 IT 1+, 1

=6

!7 , 1 !7

а +—a

V

6 r

1

и , 1 JJ

—я н—я„

у

12 r

Если a. = (b,bpbr) отрицательное нечеткое число (b + br < 0), то согласно операции умножения для нечетких чисел, множество а-уровня aAU имеет вид [Ba1U, Ba2U], где Ba'U = baU + (1 - a)barU - (1 - a)bpU - (1 - dfbpU, BaU = baU - (1 - a)baU + (1 - a)baU - (1 - а)2Ьаги.

Тогда

0S = J(ta"+Bf)arfa=

=6яи +—бя)7 -—6, яи ——ty (F 6 6 12 Г л \ л \

=b

аи+-аП-Ь1

V

и . 1 „и —я н—я.

V'

12 г

9!? = J(fe"+5f)ac/a=

0

=йяр --йя? +-6Г яи --6г я? = 6 1 6 г 12 г 1

=Ъ

V

Или

' 1 Л

я —я,

+Ь

1

—я-----я,

6 12 1

е1-; =ь

аА

0^=6

ал

1 Л 61 1

„с/ ,/ 1 \? 1 я г, 1 п ,/ i\? 1 j

а +(-1) 7*4 ~Ь1 7а +(-1) 7^а‘

v6

Л

12 Mq

a“<-V\al]+b,^+{-y^

|2,*+J,<0 5 [r,«=2

ЛР=1

ll,6+*,<0 ' \r,p=2

Утверждение 2 доказано.

Возьмем треугольное неотрицательное IT2 FS А с LMF М^=(5,3,3) и UMF =(5,4,4) и треугольное число я= (2,1,1) определим взвешенные отрезки для произведения а на А.

0^ =Ъ

аА

L 1 Г

я —я,

г 1

—я —

f 1 } 5--x3

=2 —

l 6 J V

V'

1

12

Л

я.

—х5----хЗ

6 12

=8—,

12

9!i=ifaI+

I 4 ' 6 J U v ’ 12 '

( 1 ) 5+-x3 f

2 +

l 6 J V

1

Л

—х5+—хЗ

6 12 у

=12—,

12

01? =ъ ЗА

Л

я —я,

“6/

У

1 и 1

—я —

12

я,

Г i ) 5—x4

2 —

l 6 J \

1

Л

-х5----х4

6 12 у

4

02? =£>

яЛ

6 1 Л (л 1 Л

flu+(-lYV И V+MY-V v ' 6 г J \6 к J 12 г

( 1 ) 5+-x4

2 +

l 6 J V

1

-х5+—х4 6 12

-4

В данной работе предлагается метод определения взвешенных отрезков для специального класса интервальных нечетких чисел второго типа, нижней и верхней функциями принадлежности которых являются треугольные числа. Применение нечетких чисел второго типа обычно увеличивает вычислительную сложность по сравнению с нечеткими числами первого типа из-за наличия дополнительной размерности, поэтому в настоящей работе осуществляется попытка облегчить операции с нечеткими числами второго типа, чтобы обеспечить их успешное применение в моделях нечеткого анализа данных.

Библиографический список

1. F. Liu and J. M. Mendel, «Encoding words into interval Type-2 fuzzy sets using an interval approach», IEEE Tranns. Fuzzy Systems, vol. 16, № 6, 2008.

2. Y.-H.O. Chang, «Hybrid fuzzy least-squares regression analysis and its reliabity measures», Fuzzy Sets and Systems, 2001, vol. 119, pp. 225-246.

3. O.M. Poleshuk, E.G. Komarov, «New defuzzification method based on weighted intervals», Proceedings of the 27th International Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society, NAFIPS’2008, New York, New York, May 19-22, 2008.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2013

151