Исследование социального неравенства с помощью многоагентных моделей для различных типов сетей связей

УДК 519.248: [33+ 301] ИССЛЕДОВАНИЕ СОЦИАЛЬНОГО НЕРАВЕНСТВА С ПОМОЩЬЮ МНОГОАГЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ СЕТЕЙ СВЯЗЕЙ

Ежов А.А., Терентьева С. С.

Работа посвящена развитию предложенной в 2005 г. модели [6], позволяющей исследовать влияние неравенства на характеристики памяти агентов, стремящихся сохранить два существенных для их жизни ресурса. Агенты различаются базовыми стратегиями, выделяющими в качестве главной задачи сохранение одного из этих ресурсов - материального или нематериального (статусного, профессионального) - эти стратегии связываются с доминированием одного из полушарий мозга агента. Взаимодействие агентов описывается на основании правил, определенных в теории рефлексивных систем В. Лефевра. Анализ критических явлений в системах агентов разных типов осуществляется с помощью оценки степени ультраметричности множества историй агентов, при этом степень неравенства предложения материального ресурса описывается с помощью эффективной температуры, что позволяет использовать при анализе методы квантовой статистики и физики низких температур (последние соответствуют высокой степени неравенства). Модель имеет много потенциальных сфер применения -от исследования социальных явлений, до проблем управления, теории памяти, и медицины. В представляемой работе впервые приводятся аргументы, которые объясняют, почему степень ультраметричности позволяет выявить дополнительность двух неполных кодировок историй агентов при низких температурах. Кроме того, впервые показывается, что ранее выявленные свойства модели, выражаемые в появлении специфических кодировок памяти

при превышении степени неравенства критического значения особенности в случае полносвязной сети отношений агентов, сохраняются и в случае сетей агентов со случайными связями.

Ключевые слова: неравенство, эмерджентность, многоагентные модели, эконофизика.

THE RESEARCH OF SOCIAL INEQUALITY WITH THE MEAN OF MULTI-AGENT MODELS FOR DIFFERENT TYPES OF COMMUNICATION NETWORKS

Ezhov A.A., Terentyeva S. S.

This paper is devoted to development of the model [6] formulated in 2005, which allows to investigate the effect that inequality has on characteristics of agents’ memory. These agents strive to preserve two resources that are meaningful for agents’ existence. Agents are differentiated by basic strategies aimed to conserve one of the two resources - either tangible or intangible (i.e. linked to status, professionalism). These strategies are associated with domination of one of the two parencephalons of agent’s brain. Agents’ interaction is described by virtue of rules identified within the theory of reflexive systems by V. Lefebvre. The analysis of critical events in systems of agents of various types is conducted using the estimate for the degree of ultrametricity among agents’ histories set. The degree of inequality for the supply of tangible resource is described with effective temperature, allowing to apply methods of quantum statistics and low temperature physics (with low temperatures corresponding to pronounced inequality).

The model can be potentially applied in many areas - from social to control, memory, and medical studies. The arguments explaining why the degree of ultrametricity enables to detect complementarity of the two incomplete encodings for agents’ histories under low temperatures are presented for the first time. Moreover, it is shown for the first time that model’s properties revealed previously, which are

reflected in emergence of specific memory encodings as a result of exceedance of a critical value for the degree of inequality in the case of fully connected network of agents’ relations, remain unchanged in the case of agents’ networks with random connections.

Keywords: multi-agent models, inequality, emergence, econophysics.

1. Введение

Неравенство, экономическое и социальное, является ключевым фактором, определяющим текущую ситуацию в мире в целом, и в различных странах, в отдельности. Как показывают последние исследования, увеличение неравенства в обществе сопровождается ростом его неблагополучия, а также является главным фактором, препятствующим экономическому росту [5]. Согласно Стиву Кину [11] немаловажную роль в росте неравенства играет распространение в обществе мифов «экономикс» - неоклассической экономики, требующей максимальной дерегулированности рынков. Выход из тупика экономисты видят в отказе от неоклассической парадигмы и развитии неортодоксальных подходов к экономике, в т.ч. эконофизики [3].

По мнению Фейгенбаума [8], одним из ключевых отличий эконофизики от «экономикс» заключается в том, как в их рамках представляется экономический агент. В «экономикс» экономическая система проста и свойства коллектива - это простая сумма свойств агентов. В эконофизике решающую роль имеет взаимодействие между агентами, экономическая система сложная, и проявляет эмерджентность (возникновение) свойств и структур. В этом случае строгий математический анализ становится чрезвычайно трудным, и большую роль приобретает математическое моделирование таких систем, например, с помощью многоагентных моделей. Взаимодействие между агентами выбираются в этих моделях на основе экспериментальных исследований того, как ведут себя люди при экономическом взаимодействии. В этих исследованиях, в частности, и была

выявлена роль отношения человека к неравенству. Поведение людей в ситуации несправедливого распределения, противоречащее свойствам рационального агента «Экономикс» было выявлено при исследовании «Ультимативной Игры» - Ultimatum Game (UG) [9]. В этой игре неприятие несправедливого раздела реальными людьми может быть подавлено воздействием магнитного поля на правую префронтальную зону головного мозга играющего [12]. Последние исследования передних долей и стриатума мозга выявило отвращение к несправедливой оплате как у незаслуженно обделенных, так и у незаслуженно вознагражденных людей [15].

Одной из моделей, которая включает перечисленные аспекты и позволяет исследовать влияние неравенства на коллективы является модель, описанная в работе [6]. В ней, в отличие от упоминавшихся, неравенство не является характеристикой отношений двух агентов при их взаимодействии, а характеризует неравномерность распределение предложения экономических благ в различных профессиональных нишах. Бинарные отношения между агентами присутствуют и здесь, но имеют другой характер, определяемый рефлексивной теорией Лефевра [13], и аналогичны обменному взаимодействию в физике. В целом, модель имеет скорее социофизический характер и может быть использована для описания процесса возникновения памяти.

Таким образом, в рамках модели [6] можно рассматривать влияние неравенства на изменения собственно агентов, которые сами оказываются при этом сложными системами. Такое определение экономики как сложной системы, состоящей из сложных агентов, принимается авторами в данном исследовании.

Целями представляемой работы являются:

• исследование зависимости свойств модели [6] от уровня неравенства;

• обобщение модели с полной матрицей связей между агентами на случаи

основных типов сетей связей: случайных, сетей малого мира и

безмасштабных.

Для достижения этих целей используется ультраметрический анализ данных об историях агентов [14]. В первом разделе кратко описывается исходная модель [6] и зависимость ультраметрических свойств множеств историй агентов от неравенства предложения ресурсов. Во втором разделе рассматриваются обобщения модели на случай не полносвязных матриц связей между агентами, в частности, соответствующих более реалистичным моделям общества, а именно, описываемых сетями со случайными связями, сетями малого мира и безмасштабными сетями. В заключении обсуждаются различные интерпретации модели, позволяющие использовать результаты ее изучения при анализе различных систем.

2. Исследование критических явлений в многоагентной модели [6]

2.1 Содержательное описание модели

Экономические агенты во многих случаях вынуждены решать противоречивую задачу удержания двух ресурсов. Первый из них (материальный) связан просто с их биологическим выживанием. С другой стороны, как личность, и профессионал, агент не может быть безоглядно конъюнктурен, и должен отказываться от выгодных предложений улучшающих его материальное положение с тем, чтобы не потерять квалификацию, профессию, самоуважение. Иными словами, у агента есть еще и некий нематериальный ресурс, который ему также нельзя потерять. Достижение обеих целей - удержание обоих ресурсов - часто находится в остром конфликте. В работе [6] было показано, что у таких агентов могут быть только две фундаментальные стратегии. 1) абсолютный конформизм и неизменное согласие на получение первого, материального ресурса, в надежде, что предложения эти не будут часто противоречить его профессиональной самоидентификации; 2) абсолютный профессиональный консерватизм и сохранение нематериального ресурса в надежде на то, что предложение материального ресурса не противоречащее профессиональной самоидентификации агента будет происходить достаточно часто. Две эти

стратегии могут быть представлены в виде двух булевых функций, которые были названы в [6] лево- и правополушарными, соответственно. Такое соотнесение с доминантностью одного из полушарий головного мозга имеет определенные основания, подробно описанные в [6].

Однородные ансамбли агентов, имеющих описанные фундаментальные стратегии, малоинтересны. Правополушарные агенты сохраняют начальное случайное распределение по «профессиональным нишам», а левополушарные принимают форму распределения, которым описывается предложение первого (материального) ресурса [6].

Для получения нетривиальных свойств модели необходимо ввести взаимодействие между агентами. Обоснованная форма взаимодействия получается при обращении к теории рефлексивных систем [6], [13]. Введение, таким образом, определенного взаимодействия между агентами, приводит к интересным результатам [6]. Ансамбли левополушарных агентов описываются некоторым вариантом статистики Ферми-Дирака, а ансамбли правополушарных агентов - статистикой Бозе-Эйнштейна (такая связь становится достаточно естественной, если заметить, что функция, описывающая решения левополушарных агентов антисимметрична, а решение правополушарных -симметрична). Это также может трактоваться как наличие эффективного взаимного отталкивания левополушарных агентов и эффективного взаимного притяжения правополушарных. Самовоздействие агентов формально приводит к смене их доминантности. Такая же смена может быть естественно введена в модель в случае, когда используемая агентом стратегия должна быть немедленно изменена из-за возникновения риска потери того из ресурсов, на сохранение которого данная стратегия не ориентирована.

2.2 Формализация модели

Модель, описанная в [6] и исследованная в [7], рассматривает мир, состоящий из п ячеек, по которым распределены N агентов. Эти ячейки аналогичны энергетическим состояниям, которые могут быть упорядочены по

значениям (псевдо) энергии. Каждый агент имеет два типа ресурсов, объем которых требуется поддерживать положительным. Первый ресурс деградирует во времени, но может пополняться потреблением пищи, которая предлагается агенту в случайно выбранной ячейке окружающей средой. Второй ресурс уменьшается каждый раз, когда агент меняет свою ячейку. Предполагается [6], что начальное значение второго ресурса достаточно велико для того чтобы считать его величину неисчезающей на всем рассматриваемом временном интервале. Таким образом, агенты не погибают, их число сохраняется. Появление первого ресурса может быть описано вероятностью fi и энергией ячейки £1 =-Т 1пfI, где параметр Т характеризует температуру среды. Предполагается, что энергетические уровни ячеек эквидистантны. Таким образом, вероятности могут быть вычислены при заданных значениях энергий как fi = I 1 exp(-реi), где 2 - статистическая сумма. Факт появления пищи в клетке, не занимаемой агентом, интерпретируется, как предложение среды увеличить ему запас первого ресурса с одновременным уменьшением второго. Предложение ее в ячейке занимаемой агентом рассматривается, как предложение увеличить первый ресурс, сохраняя второй. Кроме того, что среда предлагает агенту сохранить ячейку, такое предложение ему во всех смыслах выгодно и любой агент будет принимать его безусловно. В [6] предполагалось, что каждый агент может принять или отвергнуть предложение изменить ячейку, в которой он находится, взаимодействуя со случайно выбранным партнером (включая себя!). Именно, предполагается, что если пища предлагается агенту а, он предполагает, что она также предлагается агенту в, с которым он взаимодействует. В соответствии с теорией рефлексивных систем [13], предполагается также, что агент может рассматривать два типа отношений с другим агентом - дружественные или конкурентные. Правополушарный агент принимает предложение среды получить пищу в новой ячейке, только если в ней находится его друг. Конкуренты не влияют на намерения такого агента: то же самое верно для

левополушарных агентов, взаимодействующих с их друзьями. Напротив, левополушарный агент не принимает предложение среды получить пищу в новой ячейке, если в ней находится его конкурент, с которым он в данный момент взаимодействует. В случае, когда агент взаимодействует сам с собой, левополушарный агент отвергает предложение перейти в новую ячейку, а правополушарный принимает его. В [6] было показано, что подобные правила приводят к тому, что распределение дружественных правополушарных агентов описывается статистикой Бозе-Эйнштейна:

n

exp((s, - ц)/ T) -1 w

Аналогичным образом, конкурирующие между собой левополушарные агенты описываются статистикой Ферми-Дирака с высокой степенью вырождения энергетических состояний.

n,

Л •' exp((s, -ц)/T) +1 w

В работе [6] было показано, что такая модель обладает интересными

свойствами, которые выражаются в совпадении некоторых специфических

характеристик множеств специальным образом кодированных историй дружественных правополушарных агентов и конкурирующих левополушарных агентов в термодинамическом пределе.

Эти специальные коды определяются следующим образом: выбор целевой ячейки рассматривается, как предложение среды перейти в эту ячейку. Агент может принять (A - “Accept”) или отвергнуть (R - “Reject”) это предложение. В результате, агент может остаться (S - “Stay”) в прежней ячейке или перейти в новую (G - “Go”).

Возможны только три различные ситуации:

• Предлагаемая ячейка отличается от той, в которой находится агент и последний принимает предложение перейти в новую ячейку. Такую ситуацию можно описать используя пару символов AG (Accept и Go).

• Предлагаемая ячейка отличается от той, в которой находится агент и последний отвергает это предложение и остается в прежней ячейке. Такую ситуацию можно описать используя пару символов RS (Reject и Stay).

• Предлагаемая ячейка совпадает с той, в которой уже находится агент. В этом случае агент безусловно принимает предложение и остается в прежней ячейке Такую ситуацию. можно закодировать парой символов AS (Accept и Stay).

Для неполного описания динамики модели можно получить два специальных бинарных кода, опуская вторую или первую буквы двухбуквенного кода. В первом случае останутся буквы A и R - такой код называется кодом {A,R} [6]. Во втором случае, останутся буквы S и G - код {S,G}. Если описывать историю данного агента, используя коды {A,R} или {S,G}, то некоторая информация о событиях с ними будет утеряна. Оба описанных кода могут рассматриваться как проекции полного трехсобытийного описания истории на две ортогональные плоскости. Как было показано ранее [6], возможность кодирования историй агентов с использованием двух различных схем дает способ установления связи между статистиками бозонов и фермионов путем вычисления степени ультраметричности множеств историй агентов [14]. В частности, было установлено, что при высоких температурах рассматриваемые бинарные коды дополнительны для лево- и правополушарных агентов. Это означает, что ультраметрические характеристики множеств историй правополушарных агентов при {A,R} кодировке совпадают с таковыми для левополушарных агентов при {S,G} кодировке, и наоборот.

2.3 Ультраметрический анализ данных об историях агентов Первым приложением ультраметрики в науке была таксономическая классификация видов живых организмов Карлом Линнеем, изложенная в Systema Naturae в 1735 году, задолго до возникновения понятия ультраметрики и неархимедова анализа.

Ультраметрические пространства характеризуются сильным неравенством треугольника d(x,z) < max{d(x,y),d(y,z)} для любой тройки х,у,2. Отсюда следует одно из наиболее главных свойств ультраметрических пространств: любой треугольник, сформированный любой тройкой, является равнобедренным с равными большими сторонами, или же равносторонним. В работе [6] исследовалось, как множество памяти агентов может быть вложено в ультраметрическую топологию. Рассматривался вопрос о том, какова степень ультраметричности данного метрического пространства. Используя две различные неполные схемы кодирования, описанные выше, вычислялась степень ультраметричности множеств памяти, возникающих различных реализациях математической модели. В отличие от достаточно сложных подходов к определению степени ультраметричности, предложенных, например в [14], для ее представления использовалась доля троек, удовлетворяющих сильному неравенству треугольника. В многоагентной модели [6] степень ультраметричности использовалась для установления симметрии (и ее нарушения) между наборами памяти ансамблей агентов различных типов. Однако, почему именно ультраметричность оказывается полезным свойством, которое позволяет выявить такую симметрию, выяснено не было. При рассмотрении низкотемпературного приближение (высокая степень неравенства) можно, однако, дать некоторое качественное объяснение этому обстоятельству. Приведем некоторые соображения в пользу того, что вплоть до самых низких температур степень ультраметричности наборов историй правополушарных агентов (бозонов) в {AR} кодировке, остается такой же, как у левополушарных (фермионов) в {SG} кодировке, но не наоборот. Для простоты будем считать, что есть всего две ячейки (п=2), соответствующая им энергия е1=0 (основное состояние) и с = А (возбужденное состояние). Такое предположение оправдано при низких температурах (высоких степенях неравенства). Пусть Т = 0. В этом случае все правополушарные агенты (бозоны) сконденсируются в основном состоянии. Внешняя среда будет предлагать им

только это состояние, и они его будут сохранять. Истории всех бозонов длиной т будут одинаковыми. В {А^ кодировке они будут иметь вид: {т(А), 0^)}. В SG кодировке: {т^)}, 0^)} (здесь {ЦА), т^^)} обозначает историю,

содержащую k символов (А) и т^ символов ^)), и все возможные треугольники окажутся вырожденными - с нулевыми сторонами. Степень ультраметричности определить в этом случае невозможно - весь набор историй сжимается в одну точку. Основное состояние фермионов при нулевой температуре устроено по-другому. Они сконденсируются в основном состоянии

- все, кроме одного. Фермион с возбужденного уровня не может перейти на основной уровень. Другие частицы его отталкивают, а самовоздействие превращает его в бозон, и он вынужден сохранить свое состояние. Поэтому, истории всех фермионов, находящихся на основном уровне, будут такими же как и у бозонов, а история фермиона оставшегося на возбужденном уровне

будет другой: в {А^ кодировке {0(А), т^)} и такой же в SG кодировке {т^), 0^)}. По сути, это ничего не меняет - все треугольники вновь оказываются вырожденными, хотя в {AR} кодировке набор историй будут уже представлять две точки. Если немного нагреть систему, так что 0 < Т << А, то агентам будет иногда предлагаться перейти на возбужденный уровень (или остаться на нем), но вероятность такого предложения очень мала

Р2 = I 1 exp

рк =

Бозоны основного уровня, которые получат такое предложение, в большинстве случаев принимать его не будут, так как на возбужденном уровне бозонов нет (или почти нет). Только если реализуется случай самовоздействия и бозон станет фермионом - он перейдет на возбужденный уровень -вероятность этого мала - К1. Поэтому, в большинстве историй очень редко будет появляться символ R ({А^ кодировка). Вероятность его появления

рк =

Здесь множитель (N-1)^ - это вероятность бозону притянуться другим бозоном основного уровня и остаться на нем, а \/N -вероятность ухода с этого уровня при самовоздействии.

Теперь среди историй бозонов можно будет собрать тройки, содержащие одну букву <^» {т-1(А), 1^)}. Очевидно, они будут случайно разбросаны среди символов «А». Это означает, что расстояния Хэмминга между любыми парами таких историй будет равно 2. Другим типом невырожденных треугольников здесь окажутся составленные из двух историй содержащих буквы <^» и одной - не имеющих ее. Такие треугольники равнобедренные, но их основание (2) больше двух других сторон (1) (т.е они не ультраметрические). Поэтому, степень ультраметричности с высокой точностью определится числом равнобедренных треугольников. Если все-таки найдется история (а их длина конечна) с двумя буквами R, то вместе с парой историй с одной буквой R они образуют первый ультраметрический равнобедреный треугольник со сторонами (3,3,2), который даст вклад и в степень ультраметричности и в степень равнобедренности. Но мы будем пренебрегать их числом.

Перейдем теперь к фермионам. Напомним, что 0 < Т << А. Фермионам с основного состояния (а их подавляющее число) теперь также предлагается иногда перейти на возбужденный уровень с вероятностью:

Р2 = I 1 exp

Они действительно пойдут туда, если случайно не провзаимодействуют сами с собой или с единственным фермионом, который находится на этом уровне. Вероятность перехода ^о)

N - 2

р° = 1*г exp

Заметим, что эта вероятность очень близка к вероятности отказа бозонов перейти на возбужденный уровень:

N -1

Рк =-exp(-А / Т) << 1.

КШ

Разница лишь в множителях и (N-1)^, но оба они стремятся к 1 с

ростом числа частиц. Поэтому у фермионов истории вида {т-1^), 1^)} будут появляться также часто, как и истории {т-1(А), 1^)} у бозонов.

Вероятность обнаружения равносторонних треугольников среди невырожденных треугольников и, следовательно, степень ультраметричности в пределе N ^ да совпадут! Эта степень может быть найдено как отношение числа равносторонних треугольников (образованных тремя историями с одной буквой R) к полному числу невырожденных треугольников (образованных двумя историями с одной буквой ^) и одной без таких букв плюс число треугольников из трех историй с одной буквой R). Так как ожидаемое число историй с одной буквой R может быть оценено как п = т^к , то

п

и = п(1,1,1) + п(1,1,0) _ п(1,1,0) = Сп2 = 3 = 3 ,

где п(а,Ь,с) - число треугольников, образованных историями, в которых символ R встречается а, Ь,с раз.

При противоположном выборе кодировок так не получится. Действительно, бозоны с основного уровня пойдут на возбужденный при самовоздействии. Вероятность этого события

Ра = NЧ 1 exp

У фермионов в кодировке{А^ в множестве символов А (а

подавляющему числу их чаще всего предлагается остаться в основном состоянии) появятся буквы R, возникающие тогда, когда фермион отказывается перейти из основного состояния в возбужденное. Это возможно в двух случаях

- когда он взаимодействует с собой или с одиноким фермионом на

возбужденном уровне. Вероятность отказа для фермиона

Рк = 2N 11 1 exp

в два раза выше, чем вероятность перехода на возбужденный уровень у бозона

Ра = NЧ 1 exp

Вот почему степени ультраметричности историй бозонов в {SG} кодировке и у фермионов в {AR} кодировке окажутся разными, по крайней мере, при достаточно низких температурах!

Приведенные аргументы поддерживают возможность использования степени ультраметричности для обнаружения симметрий между наборами историй агентов двух типов. Однако, они не свидетельствуют о необходимости ее использования. Для этих целей вполне возможным было бы использовать лишь совпадения вероятности появления различных символов при различных системах кодирования. Однако, как показывает моделирование [6], совпадение параметров ультраметричности (особенно степени равнобедренности) может быть более выраженным, чем близость вероятностей. С другой стороны, анализ именно симметрий свойств множеств историй агентов оказывается эвристически предпочтительным, так как позволяет интерпретировать результаты в терминах свойств памяти агентов.

2.4 Исследование зависимости свойств модели от уровня неравенства

Дальнейшие исследования, описанные в работе [7], показали, что при низких температурах наблюдается существенно новое явление: средние значения степени ультраметричности и доли равнобедренных треугольников для правополушарных агентов (бозонов) при {S,G} кодировке и левополушарных агентов (фермионов) при {A,R} кодировке, которые совпадают в высокотемпературном пределе, становятся существенно различными. В то же время эти характеристики для правополушарных агентов при {A,R} кодировке и для левополушарных при {S,G} кодировке остаются практически совпадающими. Это означает появление специфических кодировок -{A,R} для бозонов и {S,G} для фермионов, в том смысле, что при низких температурах характеристики, получаемые при {A,R} кодировках для бозонов, эквивалентны таковым при {S,G} кодировке историй фермионов, но не наоборот! Достаточно удивительно, что можно придать интересный смысл, почему при низких температурах именно {A,R} кодировка могла быть

полезной для правополушарных агентов, а {S,G} - для левополушарных. Дело в том, что при высоком неравенстве правополушарным агентам становится особо важным считать случаи отказа от получения пищи (и запоминать это число), т.е следить за неприоритетным для них ресурсом, потеря которого может привести их к физической гибели - а это возможно именно при использовании кодировки {A,R}. В тех же обстоятельствах левополушарным агентам становится особо важным считать случаи смены профессиональной ниши (и запоминать это число), следить за неприоритетным для них нематериальным ресурсом, потеря которого может привести их к гибели личностной - а это возможно именно при использовании кодировки {S,G}.

3. Обобщение модели на случай сетей разных типов

Для дальнейшего изучения модели была использована программа, реализующая алгоритм, описанный в [10] и позволяющий генерировать сети четырех типов: полносвязные, сети тесного мира, случайные и безмасштабные.

3.1 Сети со случайными связями Свойства модели с полносвязными сетями связей были подробно изучены в работе [7]. Результаты исследований сетей со случайными связями приводятся ниже. Для сетей с произвольной матрицей связей между агентами получение известных квантовых распределений уже оказывается невозможным, так как эффективное притяжение бозонов и эффективное отталкивание фермионов (в физике считающихся результатом обменных взаимодействий) осуществляется в них лишь частично. Ниже ограничимся рассмотрением случая случайных сетей Эрдеша-Реньи, для которого простейшее обобщение квантовых распределений дает достаточно хорошее приближение. Отметим, что получаемые при этом результаты справедливы также для полносвязных сетей, в которых лишь ограниченное число агентов рассматриваются данным как соперники (сотрудники). Поскольку для правополушарных агентов их решения не зависят от взаимодействия с агентами-соперниками, а для левополушарных - с агентами-сотрудниками, результаты оказываются

эквивалентными для случая неполносвязной сети. Такое приближение может быть получено из принципа детального баланса. Предположим, что каждый агент может взаимодействовать только с аN (0<а<1) другими агентами. Упрощая еще больше, предположим, что в равновесии любой агент при взаимодействии обнаруживает в каждой возможной ячейке агента, с которым он связан, с вероятностью а. Для правополушарных агентов принцип детального равновесия, отражающего баланс переходов между .-м и 7-ми ячейками

п

приводит к равновесному распределению

1

п. (а.) =----

exp((£г. - и)/Т) -а

Для левополушарных (фермионов) аналогичное приближение имеет вид

N -1

п. (а.) =------------------.

exp((£г. - и)/Т) + а

Статистики Бозе и Ферми (обобщенная) получаются в случае полносвязных (а=1) сетей сотрудничающих и конкурирующих агентов, соответственно. Для несвязных сетей (а =0) распределения становятся классическими. В этом смысле влияние параметра связности а аналогично температуре - малая связность аналогична высокой температуре.

Неполная связность существенно усложняет модель. То, что степень ультраметричности оказалась хорошим параметром порядка для полносвязных моделей, было достаточно неожиданным. То, что она останется таковой и для не полносвязных сетей, было изначально неясно. Наблюдать в этом случае такое же нарушение симметрии не приходится. Действительно, при стремлении связности к нулю - при отсутствии взаимодействий - распределения агентов двух типов становится совершенно различными, в том числе при высокой температуре. “Бозоны” вообще сохраняют любое начальное распределение,

“фермионы” подчиняются распределению Гиббса [6]. Если ввести самовоздействие “бозонов”, то они также будут описываться распределением Г иббса, но установление распределения будет очень долгим, а истории агентов будут содержать длинные участки одинаковых символов, что приведет к вырождению большинства изучаемых треугольников. Однако численное исследование модели показывает, что симметрия {AR} кодировки историй бозонов и {SG} кодировки фермионов все-таки наблюдается и для модели со случайными связями между агентами. Выделяется она не в ходе нарушения более общей симметрии дополнительных кодировок, как в случае полносвязных систем (при этом сама она сохраняется во всем интервале изменения температуры), а появляется в ходе фазового перехода при понижении температуры до критического значения (Рис. 1,2).

Рис.1. При высоком значении параметра связности а=0.8 симметрия между степенью ультраметричности бозонов при AR кодировке и фермионов при SG кодировке появляется уже при достижении достаточно высокой

критической температуры Т~1,0

Рис. 2. При промежуточном значении параметра связности а =0.6 симметрия между степенью ультраметричности бозонов при {AR} кодировке и фермионов при {SG} кодировке возникает при заметно меньшем значении

критической температуры Т~0,4

Этот фазовый переход наблюдается не для всех значений параметра связности а: при снижении этого параметра ниже порогового значения дополнительность кодировок исчезает в ходе фазового перехода по параметру связности.

При более низких значениях этого параметра в системе наблюдаются другие симметрии - изучение этой более сложной области выходит за рамки нашего рассмотрения. Сосредоточимся на возникновении симметрии {AR} кодировки историй бозонов и {SG} кодировки фермионов в результате фазового перехода для значений параметра связности выше пороговой. В работе [6] приводились доводы в пользу того, что выделение этой симметрии в полносвязных системах связано с квазиконденсацией фермионов. Ниже мы

приведем довод в пользу того, что появление такой кодировки в случайной сети агентов, скорее всего, связано с квазиконденсацией бозонов. Для этого рассмотрим, как зависит температура квазиконденсации бозонов и фермионов от параметра связности. Заметим вновь, что параметр связности оказывает на распределение агентов влияние, похожее на влияние температуры. При стремлении связности к нулю эффективное притяжение и отталкивание ослабевают, и распределения стремятся к классическим, как и при повышении температуры. Рассмотрим вначале случай бозонов (правополушарных агентов). Для а ^ 0 нормировка на полное число частиц

а *=о а 1 ехр

=1 т-------------------1-------------’

а к~0 ехр((ек - и)/Т - 1па) -1

1

Ыа = т ехр

ад

= Т ехр

/=1 к=0

Учитывая эквидистантность уровней энергии Аек = кА

ад

Ыа = Т ехр((и + Т 1па)1 / Т )Т ехр(-к/А / Т) =

/=1 к=0

ад 1

= Т ехр((и + Т 1па)/ / Т)-------------------

£ 1 - ехр

Если температура высока, Т >> /А, то

1 1 Т

1 - ехр(-/А / Т) 1 -1 + /А / Т /А

Тогда

ад гг гг ад 1

Ыа = Техр

/=1 /А А /=1 /

Учитывая разложение

/х

- 1п

/=1 /

получаем

Ыа = - Т 1п

Химический потенциал и(Т) является решением этого уравнения.

Рассмотрим заселенность основного состояния при температуре квазиконденсации Т0

п0

еХр(-и(Т0)) - а

где условие квазиконденсации: у = 0(1). Соотношение (23) запишем в

виде

ехр

уЫ

Из соотношений (24) и (22) (при Т = Т0), исключая и(Т0), получим:

1----— = 1 - ехр

ауЫ

Из этого соотношения мы находим температуру квазиконденсации

Т0 = АаЫ .

1п

Функция Т0(а) является монотонно возрастающей. Это означает, что уменьшение связности сети приводит к понижению критической температуры или же повышению степени неравенства, при котором происходит квазиконденсация. Аналогичное рассмотрение может быть проведено для обобщенных «симметричных» фермионов. Для а ^ 0 нормировка на полное число частиц

N = Т---------—----------.

к=0ехр((ек - и)/Т) + а

При высоких температурах имеем

а = Т 1п

Критическая температура Т0 =---------------является в этом случае

1п

монотонно убывающей функцией параметра связности. Это означает, что уменьшение связности сети приводит к повышению критической температуры или же понижению степени неравенства, при котором происходит квазиконденсация. Учитывая то, что критическая температура, при которой появляется совпадение {AR} кодировки историй бозонов и {SG} кодировки фермионов растет с ростом связности сети, мы можем предположить, что такой переход связан главным образом с квазиконденсацией бозонов, а не фермионов. Оценка критической температуры квазиконденсации бозонов для а = 0,8 : Т0 = 1

достаточно близка к наблюдаемой температуре появления симметрии. Однако при меньших значениях параметра связности такая оценка чересчур завышена, что может свидетельствовать о более сложной картине явления.

Реальные сети, описывающие многие социальные, технические и биологические системы, часто имеют тип сетей тесного мира. Эти сети характеризуются высокой степени кластеризации и малым значением среднего минимального пути между вершинами. Высокая кластеризация означает высокую степень транзитивности - высокую вероятность того, что если вершины А и В, а также А и С связаны между собой, то связаны и вершины В и С. Сети тесного мира занимают промежуточное положение между регулярными сетями, для которых степень кластеризации и средний минимальный путь велики и случайными сетями, для которых они малы. Для сетей тесного мира велика степень кластеризации и мал средний минимальный путь. Полносвязные сети являются частными случаем регулярных, поэтому тот факт, что выделенные кодировки появляются и для них и для случайных сетей внушает надежду, что они будут наблюдаться и в случае более реалистичных сетей тесного мира.

После нахождения исследуемой симметрии и в модели со случайным взаимодействием, была надежда, что исследуемая симметрия будет обнаружена

и в сетях, описывающих реальный мир. А именно в сетях тесного мира и безмасштабных.

3.2 Сети тесного мира

Сети тесного мира - весьма специфический вид сетевых структур. Формально сети со свойством «тесного мира» имеют бесконечную размерность. Реальные сетевые структуры, как правило, имеют и высокий коэффициент кластеризации.

Надежда на интерполяцию свойств для случая сетей такого вида не оправдалась. Изучаемая симметрия не обнаружена, но другие явно присутствуют. Поскольку их интерпретация неизвестна, они не рассматриваются.

3.3 Безмасштабные сети

Во многих реальных сетях небольшое число узлов содержит очень большое число связей, а огромное число узлов содержит лишь несколько связей. Такие сети получили название безмасштабных сетей (scale free networks).

Для безмасштабных сетей /да log log N, где N - число узлов в сети, что значительно меньше, чем для случайных сетей Эрдеша-Реньи, в которых, напомним, /да log N .

Недавно получены свидетельства того, что функциональные связи в мозге человека образуют безмасштабные сети. Каждая такая сеть, объединяющая нейронные ансамбли из разных отделов мозга, создается для реализации определенной функции мозга - поведенческой, когнитивной и т. п.

Для безмасштабных сетей, изучаемая симметрия нами также не была обнаружена. Более того, стационарное распределение агентов по ячейкам, в общем случае, вообще не устанавливается.

При низких температурах близкими (но не очень) становятся степени ультраметричности историй бозонов и фермионов в одинаковых кодировках.

4. Заключение

Описанная модель нашла приложение в различных областях науки. Так, медицинская интерпретация была предложена Ю.В.Никоновым в работах [1]. В его работах показано, что модель позволяет учитывать влияние алкогольной и наркотической зависимости на поведение человека.

Кроме этого, авторами была предложена экономическая интерпретация описанной в главе 2 модели, на примере изменения поведения инвестора. Причем, в этой работе рассматривается вариант модели со случайной сетью. Авторы показывают, что данная модель помогает объяснить поведение инвесторов в кризисных ситуациях.

Модель нашла применение и в управлении коллективами сотрудников. Так, в работе [2], показано, как меняются стратегии поведения сотрудников в кризисных условиях. И, следовательно, она позволяет подобрать адекватные меры мотивации для удержания сотрудников в компании в условия кризиса.

В одной из последних работ, было опытным путем подтверждено, что в разных полушариях мозга обезьян присутствует своя память [4].

Наличие ряда различных по направлению приложений модели позволяет надеяться, что ее нетривиальные свойства могут позволить изучать эмерджентные свойства различных коллективов агентов, учитывая влияние неравенства на их поведение.

Список литературы

1. Никонов Ю.В. Межполушарная асимметрия головного мозга и квантовые статистики при алкогольной зависимости при алкогольной зависимости. Асимметрия. 2010. Т.4. С. 12-23.

2. Терентьева С.С., Рыжов А.П., Ежов А.А. Моделирование поведения сотрудников операционных и проектных департаментов в условиях изменения бюджетной политики с помощью многоагентных систем. Системы управления бизнес процессами, 2011. Ц^: http://jouma1.itmane.ru/node/485

3. Ball P. Culture crash, Nature, 441, PP. 686-688, 2006.

4. Buschman T.J., Siegel M., Roy J.E. and Miller E.K. Neural substrates of cognitive capacity limitations. Proceedings of the National Academy of Sciences. 108(27):11252-5.

5. Easaw J., McKay A., Savoia A. Inequality, Democracy, and Institutions. World Development. 2010. V.38. P.142-154.

6. Ezhov A.A, Khrennikov A.Yu. Agents with left and right brain dominant hemispheres and quantum statistics. Physical Review E 71, 016138, 2005.

7. Ezhov A.A., Khrennikov A.Yu., Terentyeva S.S. Indication of a possible symmetry and its breaking un a many-agent model obeying quantum statistics. Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 031126: 1-12.

8. Feigenbaum J. Financial Physics, Reports on Progress in Physics, 66, 2003

9. Guth, W., Schmittberger, and Schwarze (1982). "An Experimental Analysis of Ultimatum Bargaining". Journal of Economic Behavior and Organization 3 (4): 367-388

10. Kawachi Y., Murata K., Yoshii S., Kakazu Y. The structural phase transition among fixed cardinal networks. Complexity International, 2004

11. Keen S. Debunking economics. The naked Emperor of the social sciences. Zed Books, London, NY, 2004.

12. Knoch D., Gianotti, L.R., Pasquale-Leone A., Treyer V., Regard M., Hohmann M., and Brugger P. Disruption of right prefrontal cortex by low-frequency repetitive transcranial magnetic stimulation induces risk-taking behavior. J. of Neuroscience. 2006. V. 26. P.6469-6472.

13. Lefebvre V.A. Algebra of Conscience. Dordrecht, Holland: Reidel, 1982

14. Murtagh F. J. of Classification 21, 167, 2004.

15. Tricomi E. et al. Neural evidence for inequality-averse social preferences. Nature. 2010. № 463. P.1089-1091.

References

1. Nikonov Yu.V. Asimmetriya, no.4 (2010): 12-23.

2. Terent'eva S.S., Ryzhov A.P., Ezhov A.A. Sistemy upravleniya biznes protsessami, 2011. http://journal.itmane.ru/node/485

3. Ball P. Culture crash, Nature, 441, PP. 686-688, 2006.

4. Buschman T.J., Siegel M., Roy J.E. and Miller E.K. Neural substrates of cognitive capacity limitations. Proceedings of the National Academy of Sciences. 108(27):11252-5.

5. Easaw J., McKay A., Savoia A. Inequality, Democracy, and Institutions. World Development. 2010. V.38. P.142-154.

6. Ezhov A.A, Khrennikov A.Yu. Agents with left and right brain dominant hemispheres and quantum statistics. Physical Review E 71, 016138, 2005.

7. Ezhov A.A., Khrennikov A.Yu., Terentyeva S.S. Indication of a possible symmetry and its breaking un a many-agent model obeying quantum statistics. Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 031126: 1-12.

8. Feigenbaum J. Financial Physics, Reports on Progress in Physics, 66, 2003

9. Guth, W., Schmittberger, and Schwarze (1982). "An Experimental Analysis of Ultimatum Bargaining". Journal of Economic Behavior and Organization 3 (4): 367-388

10. Kawachi Y., Murata K., Yoshii S., Kakazu Y. The structural phase transition among fixed cardinal networks. Complexity International, 2004

11. Keen S. Debunking economics. The naked Emperor of the social sciences. Zed Books, London, NY, 2004.

12. Knoch D., Gianotti, L.R., Pasquale-Leone A., Treyer V., Regard M., Hohmann M., and Brugger P. Disruption of right prefrontal cortex by low-frequency repetitive transcranial magnetic stimulation induces risk-taking behavior. J. of Neuroscience. 2006. V. 26. P.6469-6472.

13. Lefebvre V.A. Algebra of Conscience. Dordrecht, Holland: Reidel, 1982

14. Murtagh F. J. of Classification 21, 167, 2004.

15. Tricomi E. et al. Neural evidence for inequality-averse social preferences. Nature. 2010. № 463. P.1089-1091.

ДАННЫЕ ОБ АВТОРАХ

Терентьева Светлана Сергеевна, ведущий специалист

АКБ «Абсолют Банк»

Россия, 127051, г. Москва, Цветной б-р, д.18 e-mail. Terenteva_lana@mail.ru

Ежов Александр Александрович, к.ф.-м.н., ученый секретарь

ФГУП «Государственный Научный Центр Российской Федерации Троицкий Институт Инновационных и Термоядерных Исследований»

Россия, 142190, Московская обл., г. Троицк, ул. Пушковых, владение 12 e-mail, ezhov@triniti.ru

DATA ABOUT THE AUTHORS Terentyeva Svetlana Sergeevna, lead specialist

Commercial Bank "Absolut Bank"

18 Tsvetnoy Boulevard, Moscow, 127051, Russia e-mai/: Terenteva_lana@mail. ru

Ezhov Alexander Alexandrovich, Ph.D., Scientific secretary

State Research Center of Russian Federation Troitsk institute for innovation & fusion research

12, Pushkovykh str., Troitsk, Moscow Region, 142190, Russia e-mail: ezhov@triniti.ru

Рецензент:

Трощиев В.Е, главный научный сотрудник, профессор, доктор физ.-мат. наук, ФГУП «Государственный Научный Центр Российской Федерации Троицкий

Институт Инновационных и Термоядерных Исследований», Россия, 142190, Московская обл., г.Троицк, ул. Пушковых, владение 12