Метод итераций неявного типа решения операторных уравнений в гильбертовом пространстве

УДК 519.6 + 517.983.54

О.В. Матысик

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ НЕЯВНОГО ТИПА РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Брестский государственный университет им. А. С. Пушкина, Беларусь

Рассматривается задача приближенного решения в гильбертовом пространстве линейного некорректного уравнения. Задача решается методом итераций неявного типа. Исследована сходимость метода с априорным выбором числа итераций в энергетической норме гильбертова пространства и изучен случай неединственного решения.

Ключевые слова: неявный итерационный метод, регуляризация, некорректная задача, гильбертово пространство, операторное уравнение первого рода, самосопряженный оператор, энергетическая норма.

Настоящая работа посвящена итерационному методу решения операторных линейных уравнений в гильбертовом пространстве с ограниченным, положительно определённым, самосопряжённым оператором в предположении, что погрешности имеются в правой части уравнения. Такими операторными уравнениями задаются некорректные задачи, которые были сформулированы в начале прошлого столетия [1-2] и долгое время не изучались, поскольку считалось, что они не могут отвечать никакой физической реальности и поэтому их решение не имеет смысла.

Однако потребности практики привели к необходимости решать некорректные задачи. Для их решения предложены и широко применяются метод регуляризации А. Н. Тихонова [3], метод квазирешений В. К. Иванова [4], метод невязки Д. Л. Филлипса [5] и В. К. Иванова и их модификации. Систематическое изучение некорректных задач и способов их решения началось в 50-х годах ХХ века, но особенно широкий размах оно приняло в последние 50 лет. Основные результаты отражены в монографиях М. М. Лаврентьева [6], А. Н. Тихонова и В. Я. Арсенина [7], В. К. Иванова, В. В. Васина и В. П. Тананы [8], О. А. Лисковца [9], Г. М. Вайникко и А. Ю. Веретенникова [10].

Наибольшее распространение получили итерационные методы решения некорректных задач [12-22]. Их частое использование связано с тем, что эти методы сравнительно легко программируются на ПЭВМ.

В статье предлагается регуляризующий алгоритм для некорректных задач, описываемых операторными уравнениями первого рода, в виде неявного итерационного метода, обладающим более высокими скоростными качествами, чем ранее известные методы.

В [23] для предлагаемого метода при решении уравнения с приближенной правой частью исследована сходимость в исходной норме гильбертова пространства, получены априорные оценки погрешности и априорный момент останова, обоснована возможность применения к методу правила останова по поправкам.

В данной статье продолжено изучение предложенного метода. Исследована его сходимость в энергетической норме гильбертова пространства, получены априорный момент останова и условия, когда из сходимости итераций в энергетической норме гильбертова пространства следует их сходимость в исходной норме, доказана сходимость метода в случае неединственного решения.

Сравнение предлагаемого метода с хорошо известным явным методом итераций [6, 10-16] хп+1,5 = хп5 + а(у5 - Ахп &), х05 = 0 показывает, что порядки их оптимальных оценок одинаковы. Достоинство явных методов в том, что явные методы не требуют обращения оператора, а требуют только вычисления значений оператора на последовательных прибли-

© Матысик О.В., 2016.

жениях. В этом смысле явный метод [6, 10-16] предпочтительнее рассматриваемого неявного метода. Однако предлагаемый неявный метод обладает следующим важным достоинством. В явном методе [6, 10-16] на параметр а накладывается ограничение сверху - неравенство 0 < а < что может привести на практике к необходимости большого числа итераций. В предлагаемом неявном методе ограничений сверху на а > 0 нет. Это позволяет считать а > 0 произвольно большим (независимо от А), в связи с чем оптимальную оценку

для неявного метода можно получить уже на первых шагах итераций.

Рассмотренный в статье итерационный метод может быть использован для решения прикладных некорректных задач, встречающихся в теории оптимального управления, математической экономике, геофизике, синтезе антенн, акустике, диагностике плазмы, в наземной или воздушной геологоразведке, автоматической обработке результатов физического эксперимента, сейсмике, спектроскопии и медицине (томографии).

Работа выполнена в рамках темы «Итерационные процедуры решения операторных уравнений первого рода»

Постановка задачи. В действительном гильбертовом пространстве Н рассматривается уравнение первого рода

Ах = у,

где А - положительно определенный, ограниченный и самосопряженный оператор, для которого нуль не является собственным значением, однако принадлежит спектру оператора А, и, следовательно, задача некорректна. Пусть у е Я(А), т.е. при точной правой части у уравнение (1) имеет единственное решение х. Для отыскания этого решения предлагается итерационная процедура неявного типа

В случае приближенной правой части _у§ (||у — у§||<8) соответствующие методу (2) итерации примут вид

Е + а 2 А 2к )хп+1,5=Е — аАк ^хп, 5+ 2аАк—1 у5, х0,5= 0, к е N.

Далее, как обычно, под сходимостью метода (3) понимается утверждение о том, что приближения (3) сколь угодно близко подходят к точному решению уравнения при подхо-

дящем выборе n и достаточно малых 5, т.е. если lim I inf х - хп 8 I = 0 .

5^0 V n ' )

Сходимость метода в энергетической норме. В предположении, что точное решение уравнения (1) истокообразно представимо, ранее [23] для метода (3) получены априорные оценки погрешности и априорный момент останова. В случае, когда нет сведений об истокообразной представимости точного решения, затруднительно получить априорные оценки погрешности и априорный момент останова. И тем не менее, метод (3) можно сделать вполне эффективным,

если воспользоваться энергетической нормой гильбертова пространства ||х||^ (Ax, х) , где

х е H ([21-22]). Докажем сходимость метода (3) в энергетической норме гильбертова пространства и получим для него в энергетической норме априорные оценки погрешности. Рассмотрим разность

х " хп,5 =

Запишем первое слагаемое в виде:

х - xn = A(e + а 2 A2k )"" (e - aAk J" y = (e + а2 A2k )"" (e - aAk J" x. Как было показано в [23], х-хп бесконечно мало в исходной норме гильбертова про-

странства Н при п — да, но скорость сходимости при этом может быть сколь угодно малой, и для ее оценки делалось предположение об истокообразной представимости точного решения. При использовании энергетической нормы нам это дополнительное предположение не понадобится. Действительно, с помощью интегрального представления самосопряженного

м

оператора А = ^хОЕх , где М = ||А|| и Ех - соответствующая спектральная функция, имеем

0

{е + а 2 А 2к )- П (е- аАк ^(е + а 2 А 2к " (е- аАк ^ ) =

м

= 1^(1 - ахк уп (1 + а 2 х2к )-2п а (Ех х, х).

х - X

0

Для оценки интересующей нас нормы найдем максимум подынтегральной функции

/ (х)=х

(1-а^к )4п (1 + а 2 х2к

при х е [0, М]. Функция /(х) - частный случай при ^ = 1 функций,

оцененных в [23]. Там показано, что при условии а > 0 тах /(X) < (4кпое) 1к . Следова-

Хе[0,М ]

ч-1/(2к )|

п11А

п\\А

х .

Таким образом, переход к энергетической норме как бы заменяет предположение об истоко-представимости порядка ^ = 1/2 для точного решения.

Оценим второе слагаемое в (4). Нетрудно показать, что

хп хп,5 А

-1

Е-Е + а 2 Л2к )- п (е-аАк )2п

(У-У5).

Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, по-

2

М

2

лучим

хп-хп,5 II = I Х

1- (1-аХк )2п

а (Ех (у - У5 ), У-У5). Обозначим через

Е (Х)=Х

-1

(Х) = Х

-1

1- аХк )2П

(1 + а 2Х2к ) (1-аХк )2

подынтегральную

функцию,

через

-аХк/ 1 + а 2 Х2^

, тогда е

1- ('-оХк)2

-аХки_

1 + а 2 Х2^ 1 к

. Функция ^^(х) была оце-

нена в [23] : при условии а> 0 Е1(х)< 2к(па)1 . При этом же условии имеем

Ьохк! < 1

(-а Ткк Г 1к

< 1, Ух е[0,М], поэтому 1--^-н— < 1, откуда ^(х)< 2к(по)' . Таким обра-

1 + а х

< 2к(па)1 к 5 2 , отсюда ||хп - х^Ц < 212 к12 (па)1(2к^ 5 , п > 1. Поскольку

х - х

п,5

А

<1 х-х^А +||хп -хп4А <1 |х-хЩа + 212 к12 (па)1(2к} 5

и ||х- хп||^ — 0, п — да, то для сходимости ||х - хп 5—^ 0, п — да, достаточно, что-

бы п1(2к) 5 — 0 при п — да, 5 — 0 . Итак, доказана

0

2

а

п

зом, \\хп - хп,5

Теорема 1. При условии а > 0 итерационный метод (3) сходится в энергетической

норме гильбертова пространства, если число итераций п выбирать из условия п1(2к5 ^ 0 при п ^ да, 5 ^ 0.

Запишем теперь общую оценку погрешности для метода (3) в энергетической норме

\х-хп55\А<{4кпае)-11

Оптимизируем оценку (5) по п. Для этого при заданном 5 найдем такое значение числа итераций п, при котором оценка погрешности становится минимальной. Приравняв нулю производную по п от правой части неравенства (5), получим

попг = 2-

Подставив попт в оценку (5), найдем ее оптимальное значение

||х-хй>817 < 2^5к-2^

Таким образом, справедлива

Теорема 2. Оптимальная оценка погрешности для метода (3) при условии а > 0 в энергетической норме имеет вид (7) и получается при попт из (6).

Отметим тот факт, что для сходимости метода (3) в энергетической норме достаточно выбирать число итераций п = п(5) так, чтобы п1(2к)5^ 0, п ^да, 5^ 0. Однако

попт = 0(5-к), т. е. попт относительно 5 имеет порядок 5-к, и такой порядок обеспечивает сходимость метода (3).

Замечание 1. Из неравенства (7) вытекает, что оптимальная оценка погрешности не зависит от параметра а. Но попт зависит от а и, поскольку на а нет ограничений сверху

(а > 0), то за счет выбора а можно получить попт = 1, т.е. оптимальная оценка погрешности будет достигаться уже на первых шагах итераций. Для этого достаточно взять а опт = 2 - (к+2)/2 к "(к+1)/ 2е "125 -к||х||к.

Рассмотрим вопрос о том, когда из сходимости в энергетической норме следует сходимость в обычной норме гильбертова пространства Н. Эти условия дает

8

Теорема 3. Если выполнены условия 1) ^8 Ып,5 = 2) е8Х = где ¿8 = | ,

0

8- фиксированное положительное число (0<8<||Л\|), то из сходимости хп,5 к решению х

в нергетической норме следует сходимость в обычной норме гильбертова пространства.

Доказательство. Так как по условию теоремы Е8хп 5= 0 и Е8х = 0, то

8

Е8 (хп,5 - х) = 0 и (Е8 (хп,5 - x), хп,5 - х)= 0» т- е |ё(ЕХ (хп ,5 - x), хп ,5 - х) = 0 • След°ва-

0

8

тельно, справедливо записать I — ё(Е^ (хп 5 - х), А(хп 5 - х)) = 0. Тогда получим, что

Л X

м

11 ё(ЕХ (хп,5 - х) А(хп,5 - х)) = 0

8 м

|1 ё(ЕХ (хп,5 - x), А(хп,5 - х)) + 11 ё(ЕХ (хп,5 - х) А(хп,5 - х)) =

0 8

0

м

II II2 - 14

хп,5 - х =

м

г 1 1

: I - ё(Ех (х§ -х), А(х§ -X)) < -

Л К 8

-|1хи,5 -х

Теорема 3 доказана.

Замечание 2. Так как хп § = А

-1

Е-(е + а 2 А2*)- П (е-аАк^

у§

то для того, что-

бы хп§ удовлетворяло условию Е8хп§ = 0, достаточно потребовать, чтобы Е8у§ = 0. Таким образом, если Е8 х = 0 и Е8у§ = 0, то из сходимости метода итераций в энергетической норме следует его сходимость в обычной норме пространства Н. Следовательно, для получения оценки погрешности не потребуется предположения истокопредставимости точного решения.

Сходимость метода в случае неединственного решения. Покажем, что метод пригоден и в случае, когда К = 0 является собственным значением оператора А (случай неединственного решения уравнения (1)).

Обозначим через N (А) = {х е И\Ах = 0}, М (А) - ортогональное дополнение ядра n (а) до Н. Пусть Р(А)х - проекция х е И на n (а), и П (А)х - проекция х е И на М (А). Справедлива

*

Теорема 4. Пусть А = А > 0 , у е Н, а> 0, тогда для итерационного метода (2) верны следующие утверждения:

а) Ахп ^ П(А)у,\Ахп - у|| ^ I(А, у) = 1п/ ||Ах - у||;

хеИ

б) итерационный метод (2) сходится тогда и только тогда, когда уравнение Ах = П(А)у

разрешимо. В последнем случае хп ^ Р(А)хо + х*, где х - минимальное решение. Доказательство. Применим оператор А к формуле (2), получим

а(е + а 2 А2* )хп = а(е- аАк ^ хп-1 + 2аАку,

где у = Р(А)у + П (А)у.

Так как АР(А)у = 0, то получим а(е + а2А2к )хп = а(е - аАк ^ хп-1 + 2аАкП(А)у, (е + а2А2* )(Ахп - П(А)у) = (е - аАк ) (Ахп - П(А)у). Обозначим Ахп - П(А)у = ип,

(е + а 2 А2к )ъп =(е-аАк ^ип-1. Отсюда

отсюда

и п е М(А),

тогда

ип = (е + а 2 А2к ) 1 (е-аАк ^ип-1, следовательно, ип = (е + а 2А2к ) п (е-аАк и0. Имеем А > 0 и А -положительно определен в М(а), т.е. (Ах,х)> 0 Ух е М (А). Так как

а > 0, то

(е + а 2 А2к )-1 (е- аАк )2

< 1. Поэтому справедлива цепочка неравенств

е + а 2 а2^)"п (е-аАк )2п и

(1- а К )2п

(1 + а )п

<

<

8 (1- аК Г

1 (1 + а 2К2^ )п

+

I

(1- а К Г

-4Е и

Ки0

8 А

< I ¿Еки0 + Я" (8) I ^Еки0

0 8

(1 + а 2К2^ )п

<11Е8и01+цп НЫ ^

2

8

п

«п =

0

8

п * (1-ахк )2

при п — да, в — 0. Здесь л--1— <

1 + а 2х2

д(в)< 1 при хе[в, ЦЦ]. Следовательно,

п — да,

откуда

Ахп — П (А)у

и

П(А)у е А(Н) .

о„ — 0,

Отсюда

Докажем б. Пусть процесс (2) сходится. Покажем, что уравнение Ах = П(А)у разрешимо. Из сходимости {хп }е Н к 2 еН и из а следует, что Ахп — Az = П(А)у, следовательно, п(А)у е А(Н) и уравнение П(А)у = Ах разрешимо.

Пусть теперь П(А)у е А(Н) (уравнение П(А)у = Ах разрешимо), следовательно,

П (А)у = Ах *, где х - минимальное решение уравнения Ах = у (оно единственно в М (А)). Тогда (2) примет вид

(Е + о 2 А2к )хп = (е - аАк f хп + 2оАк-1П (А)у = = (е- аАк У хп-1 + 2аАкх* = (е + о 2 А2к )хп-1 -

)хп-1 + 2о|к (х* -хп-1). ) (х - хп-1). Последнее равенство разобьем на два: Р(А)хп = Р(А)хиЧ + 2о(е + о2А2к)-1 АР(А)(х* -хи-1 )= Р(А)хиЧ = Р(А)х0, АР(А)(х* - хп-1 )=0.

П (А)хп = П (А)хп+ 2о(е + а 2 Л2к) 1 Ак П(А)(х*-хп) = = П(А)хп+ 2о(е + а2А2к)-1 Ак (п(а)х* -П(А)хп) = = П(А)хп+ 2о(е + а2А2к)-1 Ак (х* -П(А)хп),

так как х е М (А).

Обозначим через ап = П(А)хп - х , тогда

-2аАкхп-1 + 2аАкх* = (е + о2А2к х«-л + 2оАк (х* -х,

Отсюда хп = хп-1 + 2аАк (е + а 2 А2к

так как

П

из

получим

равенства

ап = ап-1-2о(е + а2а2к ) 1 Акш„_! =

1

= (е + о 2 А2к ) 1 (е- аАк )2ши-1 =(е + а 2 А2к* п

п-1

)- п (е- аАк )п а0.

(1-ахк )2п

Г

Тогда

а =

<

(е + а 2 А 2к ) п (е- аАк У а

I

2 2к (1 + а х

аЕха0

<

н 1

(1- охк )"

2 2к (1 + а х

)п

ОЕхШ,

+

И1 (1-ох' ^

1

2 2к (1 + а х

< 1 аЕха0 +/п(н) 1 аЕха0

0 н

<

Ена0

)п

+

аЕхш(

<

0

0

0

н

(l-aT j2

*

при n ^ œ, | 0. Здесь -(— T ' < l(|д) < 1 при Te[| IЦ]. Таким образом, П(Л)хп ^ х

1 + a 2 T2

Отсюда xn ^ Р(Ахп + П(Ахп ^ Р(Л)хо + х*. Теорема 4 доказана.

*

Замечание 3. Так как у нас Х0 = 0, то xn ^ x , т.е. итерационный метод (2) сходится к нормальному решению, т.е. к решению с минимальной нормой.

В работе изучены некоторые свойства предложенного неявного итерационного метода решения некорректных задач: доказана сходимость метода в энергетической норме гильбертова пространства, получены априорная оценка погрешности и априорный момент останова, изучена сходимость метода в случае неединственного решения.

Библиографический список

1. Hadamard, J. Sur les problèmes aux derivees partielles et leur sig-nification physique / J. Hadamard // Bull. Univ. Princeton. 1902. Vol. 13. P. 49-52.

2. Hadamard, J. Le problème de Cauchy et les é quations aux dérivées partielles liné aires hyperboliques / J. Hadamard. - Paris: Hermann et cie, 1932. - 542 p.

3. Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. - 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

4. Иванов, В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода / В. К. Иванов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1966. Т. 6. № 6.

C. 1089-1094.

5. Phillips, D. L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind /

D. L. Phillips // J. Accoc. Comput. Mach. 1962. Vol. 9. № 1. P. 84-97.

6. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. - Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 92 с.

7. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 288 с.

8. Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задач и её приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. - М.: Наука, 1978. - 206 с.

9. Лисковец, О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач / О. А. Лисковец. - Минск: Наука и техника, 1981. - 342 с.

10. Вайникко, Г.М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г.М. Вайникко, А.Ю. Веретенников. - М.: Наука. - 1986. - 178 с.

11. Bialy, H. Iterative Behandlung Linearer Funktionsgleichungen / H.Bialy // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1959. Vol. 4. N. 2. P. 166-176.

12. Константинова, Я. В. Оценки погрешности в методе итераций для уравнений I рода / Я. В. Константинова, О. А. Лисковец // Вестник Белорус. ун-та. Серия 1. - 1973. № 1. С. 9-15.

13. Samarsky, A. A. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics / A. A. Samarsky, P. N. Vabishchevitch. - Berlin : De Gruyter, 2007. - 480 p.

14. Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач / А. М. Денисов. - М.: МГУ, 1994. - 207 с.

15. Vogel, C. R. Computational methods for inverse problems / C. R. Vogel. - Philadelphia: SIAM, 2002. - 183 p.

16. Gilyazov, S. F. Regularization of ill-posed problems by iteration methods / S. F. Gilyazov, N. L. Gol'dman. - Dordrecht ets.: Kluwer Acad. Publ., 2000. - 340 p.

17. Kilmer, M. E. Choosing regularization parameters in iterative methods for ill-posed problems / M. E. Kilmer, D. P. O'Leary // SIAM J. Matrix Anal. & Appl. 2001. Vol. 22. N. 4. P. 1204-1221.

18. Vasin, V. V. Ill-posed problems with a priori information / V. V. Vasin, A. L. Ageev. - Utrecht : VSP, 1995. - 239 p.

19. Kabanikhin, S. I. Inverse and Ill-Posed Problems. Theory and Applications / S. I. Kabanikhin. - Berlin: De Gruyter, 2011. - 459 p.

20. Bakushinsky, A. B. Iterative methods for ill-posed problems / A. B. Bakushinsky, V. Yu. Kokurin, A. B. Smirnova. - Berlin : De Gruyter, 2011. - 136 p.

21. Matysik, O. V. M. A. Krasnosel'skii theorem and iterative methods for solving ill-posed linear problems with a self-adjoint operator / O. V. Matysik, P. P. Zabreiko // Comput. Methods Appl. Math. (De Gruyter). 2015. Vol. 15. N. 3. P. 373-389.

22. Матысик, О. В. Итерационная регуляризация некорректных задач / О. В. Матысик. - Deutschland: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. - 188 с.

23. Матысик, О. В. Итерационная регуляризация некорректных уравнений первого рода / О. В. Матысик // Тр. Нижегород. гос. техн. ун-та им. Р.Е. Алексеева. - 2015. № 4 (111). С. 52-61.

Дата поступления в редакцию 01.04.2016

О.V. Маtysik

THE ITERATION METHOD OF IMPLICIT TYPE FOR SOLVING OPERATOR

EQUATIONS IN HILBERT SPACE

Brest State University n. a. A. S. Pushkin, Belarus

Purpose: Suggest regularizing algorithm for ill-posed problems, study its properties and to compare it with the previously known methods.

Design/methodology/approach: To construct the iteration method used is the most common of the currently known approaches to solving ill-posed problems - an approach based on the entered academician A.N. Tikhonov regularizer concept, as well as the general theory of ill-posed problems, the theory of functional analysis and computational mathematics.

Findings: Designed and studied effective implicit iteration method for ill-posed problems described by operator equations of the first kind.

Research limitation/implication: There are some unresolved questions - the study of convergence of the method in the case is not exactly given operator.

Originality/value: The research results can be applied for solving applied incorrect problems encountered in economics, spectroscopy and tomography, geophysical, engineering and management.

Key words: Implicit iteration method, regularization, ill-posed problem, Hilbert space, operator equation of the first kind, self-adjoint operator, the energy norm.