Программное обеспечение и алгоритмы для моделирования нелинейной динамики полиномами Вольтерра

2. Kalnibolotsky Yu.M., Sunduchkov K.S., Solodovnik A.I.,

Avtomatizirovannoe proektirovanie elektronnykh skhem [Computer-aided design of electronic circuits], Kiev, Tekhnika, 1987, 301 p.

3. Beshelev S.D., Gurvich F.G., Matematiko-statisticheskie metody ekspertnykh otsenok [Mathematical-statistical methods of

expert evaluation], Moscow, Statistika, 1980. 263 p.

4. Lisetsky Yu.M., Matematicheskie mashiny i sistemy, 2006, no. 2, pp. 141-146.

5. Lisetsky Yu.M., Upravliayushchie sistemy i mashiny, 2007, no. 3, pp. 22-25.

УДК 519.6

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И АЛГОРИТМЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ПОЛИНОМАМИ ВОЛЬТЕРРА

С.В. Солодуша, к.ф.-м.н., доцент, зав. лабораторией

Статья посвящена проблеме математического моделирования нелинейных динамических систем типа «вход-выход» полиномами Вольтерра. Универсальность применения данного математического аппарата позволяет создавать программное обеспечение для проведения экспериментов на компьютере. Работа продолжает исследования в области идентификации ядер Вольтерра, начатые в Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН. В ней описаны алгоритмы для построения квадратичных интегральных моделей в случае векторных входных сигналов, базирующиеся на использовании метода интегрирования произведения (product integration method). Кроме того, рассмотрен программно-вычислительный комплекс для построения и тестирования квадратичных интегральных моделей эталонной нелинейной динамической системы. Эталоном послужило описание процесса теплообмена в элементе теплообменного аппарата с независимым подводом тепла. Вычислительный комплекс создан в объектно-ориентированной среде программирования Borland C++ Builder и основан на функционально-модульном принципе. Приведены иллюстрации основной части пользовательского интерфейса. Разработанный комплекс применялся для обработки реальных экспериментальных данных.

Ключевые слова: нелинейная динамическая система, математическое моделирование, полиномы Вольтерра, программный комплекс.

SOFTWARE AND ALGORITHMS OF MODELING OF NONLINEAR DYNAMICS BY VOLTERRA POLYNOMIALS

Solodusha S. V., Ph.D., Associate Professor, Head of Laboratory (Melentiev Energy Systems Institute SB RAS, 130, Lermontova St., Irkutsk, 664033, Russia, solodusha@isem.sei.irk.ru) Аbstract. The paper is devoted to the problem of mathematical modeling of nonlinear dynamic input-output systems by Volterra polynomials. The flexibility of this mathematical approach makes it possible to create software for performing experiments on computer. This paper is a continuation of studies on Volterra kernel identification that were initiated by the researchers from L.A. Melentiev Energy Systems Institute SB RAS. The first part of this paper provides information about the algorithms for constructing quadratic integral models for the case of vector input signals. These algorithms are based on the product integration method. The second part of the paper describes a software package for constructing and testing the quadratic integral models of the standard nonlinear dynamic system. The description of heat exchange process in a component of the heat exchanger with independent heat supply served as the standard. The software package is created in an object-oriented programming environment Borland C++ Builder and based on functional modularity. Illustrations of the main part of the user interface are provided. The developed software package was used to process real experimental data. In this paper a software package of mathematical modeling of nonlinear dynamic objects such as «input-output» based on Volterra polynomials is presented. Realized algorithms for constructing integral models are given. Software testing is performed on the reference model of heat exchange.

Keywords: nonlinear dynamic system, mathematical and computer modeling, Volterra polynomials, software package.

Хорошо известный подход к математическому моделированию нелинейной динамической системы типа «вход-выход» основан на представлении отклика системы на внешнее воздействие в виде интегростепенного ряда (полинома) Вольтерра. Построить интегральную модель в виде полинома Вольтерра - значит решить задачу идентификации ядер Вольтерра, так как основная проблема при аппроксимации непрерывного отображения вход-

ного сигнала в выходной заключается в идентификации многомерных переходных характеристик системы.

В настоящее время разработано довольно много способов определения динамических характеристик, а универсальность применения этого математического аппарата позволяет создавать ПО для проведения экспериментов на компьютере. В частности, пакет VoltaireXL (компании Applied

Wave Research) показал свою эффективность при описании электронных схем конечными суммами ряда Вольтерра. Один из наиболее известных способов решения задачи идентификации ядер Воль-терра основан на задании импульсных входных сигналов, однако многие физические процессы не допускают импульсных входов. Кроме того, как отмечено в [1], построение интегральных моделей в виде полиномов Вольтерра затрудняется неприемлемо большим объемом вычислений. В связи с этим разработка конструктивных методик моделирования нелинейной динамики с помощью полиномов Вольтерра по-прежнему является актуальной прикладной задачей.

В Институте систем энергетики им. Л.А. Ме-лентьева (ИСЭМ) Сибирского отделения РАН с начала 1990-х годов развивается методика идентификации во временной области, основанная на использовании физически реализуемых тестовых входных сигналов в виде функций Хевисайда с отклоняющимися аргументами. В работе [2] описана программная реализация алгоритмов идентификации, использующая эталонную модель теп-лообменного аппарата и созданная с целью построения квадратичных полиномов Вольтерра в случае скалярных и векторных входных возмущений. Проверка адекватности работы программы проводилась на реальных данных, полученных в ходе натурных экспериментов на высокотемпературном контуре ИСЭМ СО РАН.

Недостаток подхода [2] заключается в том, что многомерные интегральные уравнения Вольтерра I рода, к которым сводится задача восстановления ядер, имеют решения в нужных классах функций при весьма обременительных условиях разрешимости. Отметим, что для прогнозирования реакции системы на то или иное внешнее возмущение нет необходимости в знании ядер.

Рассмотрим новые алгоритмы идентификации, основанные на использовании метода интегрирования произведения [3]. Основное достоинство этого подхода в том, что исходная задача сводится к нахождению не самих ядер, а соответствующих интегралов от них.

Новые алгоритмы идентификации динамических характеристик

Пусть входной сигнал x(t) есть вектор-функция времени, состоящая из p>2 компонент x,(t), i = 1,p, отклик y(t) - скалярная (что не уменьшает общности) функция времени, непрерывно зависящая от x(t), кроме того, система стационарна в том смысле, что ее динамические характеристики не меняются за исследуемый промежуток времени te[0, T]. Тогда математическая модель системы типа «вход-выход» может быть представлена в виде полинома Вольтерра N-й степени:

y(t) = Z Z >U (t),

n=1 1<i <...</„ <p t t

Г,

0 0 т=1

где >>(0)=0, у() е Сг], /е[0, Т]. Ядра Вольтерра К 1 в (2) симметричны лишь по тем переменным, которые соответствуют совпадающим индексам.

Ограничимся наиболее важным в приложениях случаем N=2. Вместо (1), (2) имеем

Р Р Р ц-1

У

Ц=1 Ц=1 ,= 2 v=1

VI,цх, - \ К ^х,

0 t t

Х1 = 11 > К

0 0

t t

V2,vц

0 0

причем ядра Вольтерра , ц = 1, р, в (4) симметричны по переменным 5Ь &'2, /е [0, Т].

Введем равномерную сетку узлов /,=/й, / = 1, п, пИ=Т. При достаточно малом шаге сетки И можно аппроксимировать многомерные свертки в (4)-(6) согласно методу интегрирования произведения [3] и перейти от (3)-(6) к сеточному аналогу квадратичного полинома Вольтерра:

Р г

, „ x I x +

'Ц ¿—I Ц , 1 Ц 1

ц=1 j=1 v k=1 ' " ' "

ут=XX Яц, + X я

V

Р Ц-1 г г

Ц=2 V = 1 ] = 1 к=1 + 2 + 2

]к

gЦJ= | , (8) 0'-1)А

№Н кН

= | Í К» ' ^ )ЙМ52 ,

О'-1)Н (к-1)Н У* к*

^ = / / Кц , ^^ ,

(У-1)А (к-1)*

/', у, к = 1, п .

Задача идентификации для (7) состоит в определении массивов (8)-(10). Отметим, что вектор-ность входного сигнала дает некоторую степень свободы, позволяющую варьировать формы тестовых сигналов для отдельных компонент вектора х(/). Выберем тесты, отличающиеся от введенных ранее в [2].

Для решения задачи идентификации gv, gml (при фиксированном значении ц) зададим наборы сигналов:

(х^ (?) = а1>ц (е(?) - е(г - ]Н)),

1хл (?) = о, о < ^ < г < т,

[х^ (г) = а2,ц (е(?) - е(? - Щ)),

и О = о, о < г < т,

где И - шаг дискретизации отрезка [0, Т]; е(?) -функция Хевисайда; X = 1, р, X Ф ц . Вещественные числа а; ц Фа 2 ц Ф 0 , ц = 1, р, характеризуют

высоту возмущающих воздействий по входу хщ.

Отметим, что тестовые возмущения вида (11), (12) реализуют процедуру разделения отклика моделируемой системы на составляющие уа, г=1,

2, обусловленные индивидуальным влиянием ц-й компоненты вектора х(?). Подстановка сеточного аналога (11), (12) в (7) приводит к системе линейных алгебраических уравнений:

/ / /

уГ/ =а1,ц X X X ,

/=/-]+1 /=/-]+1 т=/-] +1

ЛГ = Я, + а, 1<3<*&,

относительно неизвестных gv, gml. В (13), (14) УУ = , ), уЧОГ = &, И). Число уравне-

п

ний в (13), (14) равно п +--^—, что совпадает с

количеством неизвестных (в силу симметричности КщЩ). Прямой подсчет дает, что

2 а1 а 2 а2 а

а2, ц Уц -а1,ц У,Г

'ЦI 2 2

а2, ца1, ц — а1,ц а2, ц

Яц. =

я,

а2 а а1а

а у ,2 - а у га — -, / = 1, п ,

ццгу2 Г/ -п/2 т

а2, ца1, ц а1,ц а2, ц

уа^. , - уа1Л . - уа^. + у"1;^. . ,

У i,i-_/ + 1 У i-1,i-] ' i,i-] ' i — 1,i — ]-1

2а1

Я = я ,1 ^ I < 1 ^ п

Перейдем к поиску оставшихся

п р(Р - 1) 2

не-

известных в

2

диагональных элементов £ обеспе-

чивают тестовые сигналы вида

(?) = (- е(/ - А)),

х?" ) = с2,ц (е(?) - е(? - А)), хл (?) = 0, 0 < ? < Т,

где ц = 2,р, V = 1, ц-1, Х = 1,р, у^ц^Х.

Для идентификации gvц к (при /^к) из (10) введем две группы тестовых сигналов с носителем

ширины И, имеющих следующее аналитическое представление:

х^ (?) = с1у (е(/ - Щ - е( - kh - к)),

К2" С) = с2,ц (е(Г) - е(Г - к)), хх (?) = 0, 0 < kк < t < Т,

х;- (г) = С,,V (в(Г) - в(Г - ^),

(?) = с2 ц (е(( - Ай) - - kh - h)), (17) хл (?) = 0, 0 < kh < ? < Т,

где С1>у^0, - высота входных воздействий

по входам хч, и хц с разной физической природой, ц = 2,р, V = 1, ц-1, Х = 1,р, Согласуя

точки разрывов в тестовых сигналах с узлами равномерной сетки = Иг, 0 < к < / < п, пк = Т), переходим к сеточным аналогам (15)-(17) и подставляем их в (7)-(10). В результате приходим к следующим формулам:

gv\

1 = 1, п ,

VI

С2, ц

•У i,k gv ,-к + С1.V gvv

С1, vC2, ц

, + С2,ц ёцц,,

1 < к < /' < п.

я,

У , + С1,у ,,,

1,1-*

С ,.с„

С1,уС2, ц

^ ,-к + С2,ц Яцц С,,,

С2,ц

1 < к < 1 < п.

определяющим элементы массива gv^. В (18) У'Г' 2,м = Х'^, Щ есть отклик системы на входные возмущения вида (15). В (19), (20) отклики

У1 к = У ('Ь, kh) и у 1 к = у (к, М) получены при входных сигналах (16) и (17) соответственно.

Замечание. Модификация изложенного в данной статье подхода для скалярной функции х(?) была с успехом применена в работе [4] при моделировании нелинейной динамики теплообмена в производственном процессе.

Программно-вычислительный комплекс

для моделирования нелинейной динамики

С целью построения и тестирования интегральных моделей нелинейной динамики теплообмена был создан программно-вычислительный комплекс, использующий эталонную модель. Эталоном послужило описание процесса теплообмена

С1, vС2,ц

С

1, V

С

1. V

в элементе теплообменного аппарата (теплообменнике) с независимым подводом тепла, представленное в [5]. Рассматривалось изменение энтальпии Д/(т) (кДж/кг) на выходе при произвольных законах возмущений расхода вещества AD(x) (кг/с), при полной тепловой нагрузке ДQ(t) (кВт) и отклонении энтальпии Дгет(т) (кДж/кг) на входе теплообменника (т - время, Д - приращение к соответствующему параметру начального стационарного режима).

В данном комплексе реализованы алгоритмы, разработанные ранее в [2], а также алгоритмы, базирующиеся на использовании метода интегрирования произведения [3] и задании новых типов тестовых возмущений (11)-(12), (15)-(17). Вычислительный комплекс создан в объектно-ориентированной среде программирования Borland C++ Builder и основан на функционально-модульном принципе. Комплекс включает модули построения интегральных моделей в виде линейных и квадратичных полиномов Вольтерра для скалярных и векторных входных сигналов, вычисления откликов эталонной и интегральных моделей при произвольном возмущающем воздействии, а также модуль подсчета управляемого входного воздействия, обеспечивающего желаемый (заданный) отклик интегральной модели (такая задача возникает в связи с задачами автоматического регулирования техническими объектами).

Архитектура системы показана на рисунке 1.

Блок настройки входных данных

V

Блок моделирования

V

Блок визуализации

Рис. 1. Структурная схема программного комплекса

После запуска программы пользователь вводит данные для моделирования (блок настройки входных данных), отправляет команду на построение моделей с выбранными параметрами (блок идентификации), а затем приступает к вычислительным экспериментам (блок моделирования).

В блоке настройки входных данных пользователь имеет возможность изменять в диалоговом

режиме параметры эталонной модели, задавать шаг дискретизации, длину временного отрезка [0, T], высоту тестовых входных сигналов.

В блоке идентификации вычисляются сеточные аналоги откликов эталонной модели на наборы тестовых входных сигналов. Полученные данные используются для аппроксимации переходных характеристик динамического объекта. Процедуры идентификации базируются на разностных аналогах формул обращения, что обеспечивает быстродействие в режиме on-line.

Затем в блоке моделирования с помощью интегральных моделей проводится расчет динамических процессов для входных сигналов произвольного вида. Результаты сравниваются с выходным сигналом эталонной модели.

Взаимодействие пользователя и системы происходит через интуитивно понятный интерфейс, который отправляет запросы блокам системы. Основную часть пользовательского интерфейса составляют окна ввода исходных данных для эталонной и интегральных моделей (рис. 2) и основное окно для проведения вычислительного эксперимента (рис. 3).

Рис. 2. Диалоговые

окна для ввода начальных данных

Рис. 3. Задание входных возмущений AD, МQ и вывод результатов моделирования М

На рисунке 3 приведены графики входных возмущений расхода воды ДО и теплоподвода Д<2, а также результаты моделирования энтальпии А/ по эталонной модели (I) и интегральным моделям (II, III) на заданные входные сигналы. Процедуры вычисления откликов интегральных моделей основаны на использовании метода средних прямоугольников и метода интегрирования произведения. Расчет выходных значений эталонной модели проводится с помощью метода трапеций. Достоверность результатов моделирования проверялась на наборе сигналов, использованных для построения модели (7)-(10).

В блоке визуализации реализованы функции ввода и оцифровки входных воздействий, отображения результатов вычислительного эксперимента в графической форме. Пользователь имеет возможность проводить исследование интегральных моделей, выбирая входные возмущения из БД или задавая сигналы с помощью манипулятора «мышь». Вся выходная информация хранится в соответствующих файлах на диске и может использоваться для подробного ознакомления и анализа. В дальнейшем предполагается модификация программного комплекса, реализующая построение кубичного отрезка ряда Вольтерра в векторном случае.

В заключение отметим, что автором разработан программно-вычислительный комплекс, использующий эталонную модель теплообмена. Внедрены новые алгоритмы для моделирования, основанные на использовании метода интегрирования произведения. Описанные в работе алгоритмы в силу их универсальности могут использоваться при математическом моделировании самых разнообразных нелинейных систем, допускающих задание тестовых сигналов вида (11)-(12), (15)-(17). Для адаптации ПО к задаче моделирования других объектов потребуется введение дополнительных процедур, вычисляющих отклики

исследуемых динамических систем на наборы тестовых входных сигналов.

Литература

1. Пупков К.А., Цибизова Т.Ю. Реализация фильтра Вольтерра второго порядка для идентификации нелинейных систем управления // Наука и образование. 2006. № 6. URL: http://technomag.edu.ru/doc/58741.html (дата обращения: 19.01.2012).

2. Солодуша С.В. Построение интегральных моделей нелинейных динамических систем с помощью рядов Вольтерра: дисс... канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1996. 153 с.

3. Linz P. Product Integration Method for Volterra Integral Equations of the First Kind // BIT. 1971. Vol. 11, pp. 314-421.

4. Щербинин М.С. Оптимизация потребления энергоресурсов турбокомпрессором М-1 ЭП-300 с использованием программно-вычислительного комплекса // Науч.-технич. вестн. ОАО «НК «Роснефть». 2010. № 3. С. 36-39.

5. Таиров Э.А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале с однофазным теплоносителем // Изв. АН СССР: Энергетика и транспорт. 1989. № 1. С. 150-156.

References

1. Pupkov K.A., Tsibizova T.Yu., Nauka i obrazovanie, 2006, no. 6, Available at: http://www.technomag.edu.ru/doc/ 58741.html (accessed 19 January 2012).

2. Solodusha S.V., Ph.D. Thesis, Irkutsk, 1996, 153 p.

3. Linz P., BIT, 1971, Vol. 11, pp. 314-421.

4. Shcherbinin M.S., Nauchno-tekhnichesky Vestnik «NK «Rosneft», 2010, no. 3, pp. 36-39.

5. Tairov E.A. Izvestiya ANSSSR, 1989, no. 1, pp. 150-156.

УДК 621.38:536.24

МАТРИЧНО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ

В ЭЛЕКТРОННЫХ МОДУЛЯХ: ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС STF-ELECTRONMOD

А.Г. Мадера, д.т.н., профессор, зав. отделом; П.И. Кандалов, аспирант

В статье рассматривается новый подход к математическому и компьютерному моделированию трехмерных температурных полей электронных систем, а также электронных модулей и его элементов. Подход основан на матрич-но-топологическом методе моделирования, позволяющем проводить расчеты трехмерных температурных полей сложных конструкций электронных модулей с учетом их реальных конструктивных особенностей и монтажа. Компьютерное моделирование на основе разработанного метода реализовано в виде программного комплекса STF-ElectronMod для персональных и суперкомпьютеров, имеет развитую сервисную оболочку и удобный пользовательский интерфейс. Результаты моделирования температурных полей представляются в виде полей цветных изотерм с высоким разрешением. Разработанный программный комплекс STF-ElectronMod показал свою адекватность, работоспособность и эффективность при тепловом проектировании реальных конструкций электронных модулей.

Ключевые слова: программный комплекс, математическое моделирование, температурное поле, электронный модуль, микросхема.

MATRIX-TOPOLOGICAL METHOD FOR MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELING OF TEMPERATURE FIELDS IN ELECTRONIC MODULES: PROGRAMMING COMPLEX STF-ELECTRONMOD

Madera A.G., Ph.D., Professor, Head of Department; KandalovP.I., Postgraduate