Падение капли магнитной жидкости во вращающемся магнитном поле

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №1, 2013 г.

УДК 537.9 Ю. И. Диканский [Y. I. Dikansky],

М. А. Беджанян [M. A. Bedzhanyan] О. В. Борисенко [O. V. Borisenko],

ПАДЕНИЕ КАПЛИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Falling of a magnetic fluid drop in a rotating magnetic field

Экспериментально исследовано движение капли ферромагнитной жидкости в жидкой немагнитной среде под воздействием вращающегося магнитного поля. Обнаружено отклонение падающей капли от вертикального направления в полях, превышающих некоторое критическое значение. Также обнаружен экстремум зависимости величины отклонения капли от частоты вращающегося поля. Приведён теоретический анализ полученных результатов, предложен алгоритм численного решения исследуемой задачи.

Motion of a ferrofluid drop in a liquid nonmagnetic medium under the action of a rotating magnetic field is studied experimentally. The falling drop deviation from the vertical direction is observed when it is subjected to the action of fields which exceeds some critical value. The extremum of the dependence of the deviation value on the rotating field frequency is also observed. The theoretical analysis of the obtained results is presented and the algorithm of numerical solution of the studied problem is proposed.

Ключевые слова:

магнитная жидкость, эффект Магнуса, вращающееся магнитное поле. Key words: magnetic fluid, Magnus effect, rotating magnetic field.

Исследованию процессов деформации капель и микрокапель жидких намагничивающихся сред (магнитных жидкостей) посвящено достаточно много работ, обзор большинства которых можно найти в монографиях [1]. Интерес к этой проблеме возрос после создания на основе магнитных жидкостей магниточувствительных эмульсий и аэрозолей [2], поведением которых можно управлять с помощью воздействия магнитными полями. Вместе с тем особенности движения капель магнитных жидкостей при воздействии на них деформирующих магнитных полей изучены недостаточно. При этом в немногочисленных работах, посвященных этой проб-

леме, рассматривается, как правило, движение капель в стационарном магнитном поле [3]. В настоящей работе предприняты исследования падения капли магнитной жидкости в жидкой среде при воздействии на нее вращающегося магнитного поля.

Методика и техника эксперимента

Схема экспериментальной установки представлена на рисунке 1. Вращающееся магнитное поле создавалось двумя парами катушек Гельмгольца, расположенными взаимно перпендикулярно. На обмотки катушек подавалось переменное напряжение одинаковой частоты, регулируемой в диапазоне от 1 № до 30 со сдвигом фаз 90° от низкочастотного звукового генератора Г3-123 и двух усилителей мощности LV 103 с возможностью плавной регулировки коэффициента усиления. Сила тока в катушках регулировалась таким образом, что амплитудные значения напря-женностей поля, создаваемых каждой из катушек были одинаковы. Вектор напряженности магнитного поля вращался в вертикальной плоскости, его величина могла достигать 7,2 кА/т, а скорость вращения варьировалась от 5 до 30 8Г1.

В области однородности магнитного поля располагалась стеклянная кювета с плоскопараллельными стенками, наполненная водой. В кювету с помощью медицинского шприца вводилась капля магнитной жидкости типа магнетит в керосине с олеиновой кислотой в качестве стабилизатора. Диаметр капли варьировался в диапазоне от 1 тт до 5 тт. Движение капли фиксировалось с помощью видеокамеры при частоте съёмки 300 кадров в секунду, что позволяло в последующем воспроизводить полученные видеозаписи на мониторе компьютера в замедленном режиме с целью анализа поведения исследуемого объекта. Координаты центра капли в каждый момент времени измерялись с помощью прозрачной миллиметровой сетки, которая располагалась на передней стенке кюветы.

Экспериментальные результаты и их обсуждение

Было обнаружено, что при воздействии на падающую в жидкой среде каплю магнитной жидкости однородного вращающегося магнитного поля капля, обретая форму эллипсоида вращения, отклоняется от вертикального направления влево, если вектор напряжённости магнитного поля вращается по часовой стрелке, и вправо, если вектор напряжённости вращается против часовой стрелки.

На рисунке 2 графически представлены результаты исследования зависимости величины отклонения х капли от напряжённости Н магнитного поля в диапазоне от 80 А/т до 4,8 кА/т, соответствующие частотам вращения вектора напряжённости магнитного поля 5, 10 и 15 №. Анализ полученных кривых позволяет сделать вывод о том, что отклонение капли от вертикали наблюдаются при достижении напряженности вращающегося поля 1,6 кА/т. По мере дальнейшего увеличения напряжённости магнитного по-

Рис. 1. Схема экспериментальной установки.

ля наблюдается монотонный рост величины отклонения капли от вертикали. Как следует из анализа видеозаписей, в полях напряжённостью менее 1,6 кА/т капля сохраняет сферическую форму, при превышении этого значения начинается трансформация сферической формы капли в форму слабо вытянутого эллипсоида вращения.

На рисунке 3 представлены результаты исследования зависимости величины отклонения капли от частоты f вращения вектора напряжённости магнитного поля в диапазоне частот от 5 до 25 Нг, соответствующие полям напряжённостью 4; 4,6 и 5,1 кА/т. Как можно видеть, полученные кривые имеют ярко выраженный максимум в области 10-12 Гц.

Анализ полученных результатов позволяет предположить, что отклонение падения капли от вертикали происходит в случае, когда капля начинает деформироваться под воздействием поля. Как известно [4], величина деформации капли в магнитном поле и критическое значение напряженности поля ее развития зависят как от напряженности поля, так и от величины межфазного натяжения на границе «капля - среда». В связи с этим были проведены эксперименты, аналогичные вышеописанным, но при уменьшении межфазного натяжения на границе капли, которое осуществлялось путем добавления в воду некоторого количества поверхностно-активного вещества. На рисунках 4 и 5 представлены полевые и частотные зависимости величины отклонения капли в такой среде.

Сравнительный анализ представленных кривых позволяет говорить о том, что характер исследуемых зависимостей при добавлении в воду ПАВ

Рис. 2. Зависимость величины отклонения капли от напряженности поля при движении капли в воде при частотах вращения поля: 1 — f = 5 Нъ 2 — f = 15 3 — f = 10

Рис. 3. Зависимость величины отклонения капли от частоты вращения поля при движении капли в полях величиной: 1 — Н = 4 кА/т; 2 — Н = 4.64 кА/т; 3 — Н = 5.12 кА/т.

сохраняется. Однако минимальные отклонения капли от вертикали в этом случае наблюдаются в полях величиной уже порядка 800 A/m. Кроме того, величина отклонения капли во второй серии исследований оказывается значительно большей, а положение экстремума частотной зависимости смещается в область меньших частот.

По всей видимости, обнаруженные особенности движения капли магнитной жидкости во вращающемся магнитном поле обусловлены проявлением эффекта Магнуса. Действительно, появление поперечной силы, приводящей к отклонению капли от вертикали может быть связано с увлечением вращающейся каплей окружающей ее воды. При этом капля начинает вращаться только при нарушении сферичности ее формы, т. е. при ее трансформации в эллипсоид вращения под воздействием поля. Этим может быть объяснено наличие критического значения напряженности поля, с которого происходит отклонение движения капли от вертикали. Понижение межфазного натяжения на границе «капля — среда» приводит к уменьшению критической напряженности поля, соответствующей началу деформации, а также увеличению ее степени при заданном значении напряженности поля, что может служить объяснением отличия результатов первой и второй серии экспериментов, в последней из которых было уменьшено межфазное натяжение.

Природа экстремумов, наблюдаемых на зависимостях отклонения капли от вертикали от частоты вращения поля может быть объяснена, по всей видимости, тем, что с ростом частоты вращения магнитного поля возрастает скорость вращения капли, в результате чего возрастает величина поперечной силы, обусловленной проявлением эффекта Магнуса.

При дальнейшем увеличении скорости вращения капли в результате проявления вязких сил окружающей среды большая ось капли отстает на не-

который угол от вектора напряжённости магнитного поля. При этом составляющая магнитного поля вдоль большой оси капли уменьшается, и эксцентриситет капли убывает, стремясь к нулю при частотах порядка 20-25 Нг, о чём свидетельствует анализ полученных видеозаписей. В результате величина поперечной силы убывает, и угол отклонения капли уменьшается до нуля.

Теоретическая интерпретация результатов

Уравнение движения капли в горизонтальном направлении может быть представлено в виде:

где Рт — сила Магнуса, Fs — сила сопротивления окружающей

среды, т — масса капли, V — скорость капли в горизонтальном направлении.

Величина силы Магнуса определяется на основании теоремы Жуковского [5]:

Р = Ьо { М) ,

ь

где р — плотность окружающей среды, V ¥ — скорость среды

на бесконечности (скорость набегающего потока), Ь0 — параметр, определяемый размерами и формой тела (малая

полуось капли), ^ (уШ ) — циркуляция.

ь

Определение величины силы Магнуса в условиях данного эксперимента осуществляется численным путём. Для этого мысленно разобьём каплю на бесчисленное множество бесконечно малых фрагментов секущей плоскостью, параллельной плоскости вращения капли. В результате этого каждый фрагмент будет представлять собой эллиптический цилиндр высотой к1 с большой и малой полуосями основания аг и Ь соответственно. Это позволяет вращение капли рассматривать как синхронное вращение эллиптических цилиндров, на каждый из которых действует элементарная сила Магнуса

АР = р V 41,

м/ г ср 00 / Т ?

. Ь

где % — линейная скорость вращения капли.

Так как V = сог1 и сС1 = ггйф, где о — циклическая частота вращения капли, г г — радиус-вектор точек поверхности элемента разбиения, а ф — угол поворота радиус-вектора г, то

2 п

Щгп- = рФъЫУе)

О

Из геометрических соображений получим:

К =Ь0(со$у1.-со$у1+г), где у = 0 + я , Ь0 — малая полуоси капли.

Тогда для силы Магнуса, действующей на элемент разбиения, окончательно получим:

2ж

= рФ^Ш = рУ^О)Ь0(сок7[ - С()8ум )|г2((р)Жр.

I О

Таким образом, сила Магнуса, действующая на каплю, может быть представлена в виде скалярной суммы

F.=УЛF.

тг / а т\

Путём несложных математических операций, получим

Величины а, Ь и к1 могут быть определены из геометрических соображений:

а1 - 81П у.

С08 / $ 1П у

V К

, 6/ =Ь0мпу.

О /

Тогда окончательно

ж 12 2 ж

Рч=роара>Ъ оХЕ

/=0 <р=о

2 „V

/ Л СОЭ (О 81П (р

Д ^(соэ у - сое ум ] —— +

а,.

' /

Зависимость величины силы Магнуса от напряжённости магнитного поля найдем из следующего. Очевидно, что величина силы ¥т определяется эксцентриситетом капли, который связан с напряжённостью магнитного

поля выражением вида

Зет

Н2 = -

1 +

агевт е

/2

-1

2е3

1 + Ж--—I 1п---2е

1-е

мох2п

1 1-е'

2е"

, 1 + <? „ 1п--2е

1-е

Решение этого уравнение относительно эксцентриситета осуществлялось численно методом половинного деления отрезка [6].

Величину силы сопротивления окружающей среды определим формулой Адамара — Рыбчинского, учитывающей вязкие свойства как окружа-

ющей среды, так и капли:

1 +

Fs =6лт;0 КеРх

3

1 + Ъ

Л

где

Г)о — коэффициент вязкости внешней среды, // — коэффициент вязкости магнитной жидкости, V — скорость капли в горизонтальном направлении, Яе — эквивалентный радиус капли.

Очевидно, что в условиях данного эксперимента величина эквивалентного радиуса является функцией угла поворота капли а и может быть представлена выражением вида

[7, 8]:

2 2 Здесь величины и 7?тап определяются известными выражениями

к = I__Щ_

3 — 2/3 2(32 — 1 р + ^р2-\

Р2+(р2-\)'2 Ыр-^Г\

р _

шах

8ап

где

3 \з/2 1п/7 + — 1

Р2-1 (р>-\)12 и ^

Р = а0/Ь0.

Таким образом, решая уравнение (1), окончательно получим:

где

V =

1 +

7]

3 V

1 - ехр

с \

V т0 у

1+

т

=

1

6я-770 Яэкв 1+2То. '

3 7

представляет собой время установления скорости движения капли.

Зависимость координаты х центра капли от времени определится интегралом ^ 770

х = \УХЛ = —^---

3 7

Проведенный анализ полученных экспериментальных результатов позволяет объяснить обнаруженные особенности падения капли магнитной жидкости возникновением поперечной силы (силы Магнуса), возникающей вследствие вращения капли за счет воздействия вращающегося магнитного поля. При этом вращение капли реализуется только в случае ее деформации, величина которой зависит от напряженности магнитного поля и частоты его вращения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баштовой В. Г., Берковский Б. М., Вислович А. Н. Введение в термодинамику магнитных жидкостей. М.: Институт высоких температур АН СССР, 1985. 188 с.; 2. Диканский Ю. И., Киселёв В. В. Магниточувствительные аэрозоли и перспективы их применения // Магнитная гидродинамика. 1998. Т. 34. № 3. С. 263-266. 3. Копылова О. С. Особенности движения микрокапель магнитной жидкости в магнитном и электрическом полях: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ставрополь, 2006. 150 с.; 4. Блум Э. Я., Майоров М. М., Цеберс А. О. Магнитные жидкости. Рига: Зинатне, 1989. 386 с.; 5. Прандтль Л. Эффект Магнуса и ветряной корабль // УФН. 1925. Т. 5. Вып. 1-2. С. 1-27. 6. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. 192 с.; 7. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с.; 8. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. М.: Издательство академии наук СССР, 1955. 351 с.

ОБ АВТОРАХ

Диканский Юрий Иванович, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общей физики Института естественных наук. Dikansky@mail.ru.

Беджанян Марита Альбертовна, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей физики Института естественных наук. maritabedzhanyan@mail.ru

Борисенко Олег Васильевич, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», инженер кафедры общей физики Института естественных наук. borsgu@gmail.com.

Dikansky Yuri Ivanovich, North-Caucasian Federal University, Institute of Natural Sciences, Head of General Physics Department, Doctor of physical and mathematical sciences, professor. Dikansky@mail.ru.

Bedzhanyan Marita Albertovna, North-Caucasian Federal University, Institute of Natural Sciences, Department of General Physics, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor. maritabedzhanyan@mail.ru.

Borisenko Oleg Vasil'evich, North-Caucasian Federal University, Institute of Natural Sciences, Department of General Physics, engineer. borsgu@gmail.com.

t + r0 exp

r0 J \

+ c.