Сверхзвуковое обтекание и аэродинамические характеристики острого конуса для различных моделей турбулентной вязкости

2016

Математика и механика

№ 5

МЕХАНИКА

УДК 533.6.011.5

DOI 10.17223/19988621/43/4

В.И. Биматов, Н.В. Савкина, В.В. Фарапонов

СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ И АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСТРОГО КОНУСА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ

Исследования направлены на решение задачи динамического взаимодействия реального газа с движущимся в нем телом в условиях значительного изменения кинематических параметров. Рассмотрена задача расчета нелинейных аэродинамических характеристик острого конуса. Наиболее полной среди численных моделей является модель, описываемая уравнениями На-вье-Стокса, позволяющая учесть эффекты сжимаемости, вязкости и теплопроводности газа с применением нескольких моделей турбулентности и диффузии. Приведены сравнения полученных расчетов с результатами баллистических экспериментов

Ключевые слова: сверхзвуковое обтекание, турбулентный поток, сжимаемая вязкая жидкость, коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы.

В данной работе приведены результаты численного расчета параметров обтекания и аэродинамических характеристик острого конуса с углом при вершине 29к = 30° для различных моделей турбулентной вязкости. Для расчета используется газодинамический подход. Геометрические параметры исследуемого тела представлены на рис. 1. Угол атаки изменялся в диапазоне от 0-40°.

Рис. 1. Геометрия обтекаемого тела Fig. 1. Geometry of the streamlined body

Постановка задачи

Математическое описание течения воздуха около исследуемого тела описывается системой осредненных уравнений Навье - Стокса при следующих основных допущениях.

1. Режим течения воздуха турбулентный. Для описания турбулентного характера движения воздуха используются осредненые уравнения сжимаемой вязкой жидкости и гипотеза вихревой вязкости.

2. Пренебрегаем массовыми силами. Уравнение неразрывности имеет следующий вид:

* ^ )=о

д/

Уравнение сохранения импульса

д

где т - тензор вязких напряжений:

т = ^уи + (уи)Т-35Уи); ^ = Ц + ,

р - давление.

Уравнение сохранения энергии:

^-др + у(ри^) = vт ) + У(и .т), ^ =Х+ ^, (3) д/ д/ Р^

1 2

где - полная энтальпия: Нш = к + — и , к - энтальпия: к = СрТ, р - плотность

газа; и - вектор скорости; Т - температура.

Исходная форма уравнения состояния имеет вид

Р^,

-^Т

мш

где рср - рабочее давление; М№ - молекулярная масса; Я - универсальная газовая постоянная.

В модели турбулентности Спаларта - Аллмареса (8Л) [1] уравнение переноса определено для величины V , которая совпадает с турбулентной вязкостью всюду, кроме пристеночных областей:

дру дри = д Гр(у + V) ду Л

+

д/ дх, дх,

дх, 1 У

СЬ2р ду ду + ^^Т + Рр -Ре\

сту дх1 дх1

х3 у

^ = РVfv\, Лг = 3 , х=-,

х3 + Су3! V

где Ру - скорость генерации турбулентной вязкости, а е„ - скорость её диссипации.

Турбулентная вязкость моделируется слагаемым Pv:

(кё )2 1 +

где ё - расстояние до ближайшей твёрдой поверхности.

Диссипация турбулентности е„ моделируется следующим образом:

8v Cw\fw

fw «

\+C

\\/6

w3

g6 + C6

g = r + Cw2 (r6 + r ) r

w3 J

(Kd )2

к = 0.4187, СЪ1 = 0.1355, Съ2 = 0.622, сту = 2/3, С№2 = 0.3, С№3 = 2.0,

С = Съ1 ,

к2 ^

В к-е-модели используется формула Колмогорова - Прандтля для расчёта турбулентной вязкости [1], а для к и е определяют уравнения переноса. Уравнение для к и уравнение переноса для е представлено в виде

dpk dpUjk = д dt dXj дх-

°к з J дх] J

+ppk -Pcu k ю ;

дре + др U j е = д

(

дt

дх.

дх,

дх

j J

е k2

+ к(Ce\Pk - Се2Ре) , ^t = ÇaP — к е

Для к-е-модели определился стандартный рекомендуемый набор эмпирических констант (10):

Сц = 0.09, Се1 = 1.44, Се2 = 1.92, = 1.0, СТе = 1.3 .

Созданная Ф. Ментером [2] комбинированная модель сдвиговых напряжений (88Т-модель) объединила модель к-е и к-ю-модель Вилкокса [3]. Уравнения 88Т-модели представлены в следующем виде:

ф£ + др Ujk = д дt дх, дх,

CTkз J дхj J

+ ppk -PCukю

дрю + др U, ю = д

дt

дх,-

йх,-

'юз J дх1 J

/, ^ ч „ 1 дk дю ю „ 2

+ (1 -F\ )2р--pPk-рвзю2,

стю2ю дх- дх- k

k

Ht = р— ,

ю

Коэффициенты ak3, стю3, а3 и рз расчитываются как Ф3 = F^\ + (1 - F\)Ф2, где Ф\ и Ф2 - коэффициенты k-œ- и k-е-моделей соответственно. В расчетах применяются следующие значения констант:

C = 0.09, а\ = 5/9, а2 = 0.44, Р\ = 0.075, Р2 = 0.0828,

°k\ = 2, CTk2 = стю\ = 2, affl2 = U0.856, Pij = 2.

Размеры расчетной области выбираются относительно большими, чтобы дальние граничные условия не смогли исказить поле течения вблизи самого тела. Она представляет собой пространство в виде цилиндра, внутри которого находится модель (рис. 2).

Рис. 2. Вид расчетной сетки для острого конуса Fig. 2. View of the computational grid for a sharp cone

Условия на входной границе: величина и направление скорости набегающего потока: U = U0 cos(a); V = 0; W = U0 sin(a); турбулентная интенсивность: I = 5 %;

статические температура и давление: T = 20 °C, P = 1 атм; kInlet = 312U2; k 2

eInlet = рСц —, где || = 1000Iц . На выходной границе задавалось среднее стати-Ii

ческое давление: по всему выходу Риз = 0, если М< 1, т.е. равенство избыточного давления воздуха нулю. По этому условию воздух может только выходить из рас-

d2е d2k

четной области через указанную грань (—- = 0, —- = 0). Если М > 1, то гранич-

dn дп

ные условия на выходе не задаются. На боковой границе задается граничное условие равенства нулю избыточного давления p = 0, при этом через эту грань допускается вход-выход воздуха в расчетную область. При расчете аэродинамических характеристик рассматривается 1/2 конуса. На диаметральной плоскости выставляются граничные условия симметрии:

W = 0, 3^ = 0, ф= {P,U,W,р,к,е>. дп

Результаты расчета

На рис. 3 представлены поля скоростей (в числах Маха), распределение давления и линии тока в плоскости симметрии для углов атаки 0° и 40° для скорости набегающего потока Мт = 3.47.

Отчетливо виден головной криволинейный скачек, отсоединенный от обтекаемого тела. За телом образуется область возвратно-циркуляционного течения. О.М. Белоцерковским [4] отмечается существование внутреннего и внешнего следов при сверхзвуковом обтекании тела вязким газом. Внутренний вязкий след об-

разован вязким пограничным слоем на теле, внешний след - криволинейным головным скачком уплотнения. С увеличением угла атаки происходит искривление этих следов в связи с образованием на наветренной стороне обтекаемого тела зоны отрыва.

Рис. 3. Поля скоростей

В таблице представлена сеточная сходимость по коэффициенту СХ как наиболее значимой аэродинамической характеристики при разных моделях турбулентности и Мш = 3.47. Видно, что наилучшей сходимостью и точностью расчета коэффициента Сх обладает SST-модель.

На рис. 4 представлены зависимости коэффициентов подъемной силы Су и лобового сопротивления Сх от угла атаки. Сплошными линиями представлены результаты, полученные на баллистической трассе ФТИ им. Иоффе РАН [5], пунктирными линиями - результаты, полученные при численном моделировании для SST-модели. Относительное рассогласование не превысило 4-6%. Нелинейный

характер Су проявляется при а > 25°. Для коэффициента Сх при а < 20° наблюдается параболическая зависимость от а. С дальнейшим ростом угла атаки проявляется «завал» характеристики Сх.

Модель турбулентности Cells Cx S Cx, %

SA (Спаларта-Аллмареса)-модель 34080 0.1968 5.7419

133410 0.1914 3.0825

676110 0.1868 0.6959

983030 0.1855

Стандартная ¿-s-модель 32610 0.1896 4.6941

130440 0.18414 1.8681

621760 0.1817 0.5504

902560 0.1807

SST-модель 37860 0.18849 3.2309

151440 0.1824 1.4254

565760 0.1798 0.4449

846780 0.179

Рис. 4. Зависимость Су и Cx от угла атаки для острого конуса Fig. 4. Cy and Cx as functions of the attack angle for a sharp cone

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Снегирёв А.Ю. Высокопроизводительные вычисления в технической физике. Численное моделирование турбулентных течений: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2009. 143 с

2. Wilcox D.C. Turbulence Modeling for CFD. La Canada, California: DCW Industries Inc., 1998. 477 p.

3. Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA Journal. 1994. V. 32. No 8. P. 1598-1605.

4. Белоцерковский О.М., Давыдов ЮМ. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 392 с.

5. Менде Н.П. Обратная задача нелинейной баллистики. I. Плоское движение // Препринт 1326 ФТИ АН ССР, Ленинград, 1989. 44 с.

Статья поступила 01.09.2016.

Bimatov V.I., Savkina N.V., Faraponov V.V. (2016) SUPERSONIC FLOW OVER A SHARP CONE AND ITS AERODYNAMIC CHARACTERISTICS FOR DIFFERENT MODELS OF TURBULENT VISCOSITY. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 5(43). pp. 35-42

DOI 10.17223/19988621/43/4

Creation of reliable methods for calculating the aircraft aerodynamic characteristics with allowance for their essentially non-linear and sometimes ambiguous dependence on the motion parameters is of great interest, both in the aspect of developing non-stationary supersonic aerodynamics and for solving some practical problems of control for the motion of bodies under study. The investigations are intended to solve the problem of dynamic interaction between a real gas and a body moving within it in conditions of a significant change in kinematic parameters. In this paper, the problem of calculating nonlinear aerodynamic characteristics of a sharp cone is considered. The most complete numerical model is that described by Navier-Stokes equations, which allows taking into account the effects of gas compressibility, viscosity, and thermal conductivity with application of several models of turbulence and diffusion. The obtained results of calculations are compared with results of ballistic experiments.

Keywords: supersonic flow, turbulent flow, compressible viscous fluid, drag and lift coefficients.

BIMATOV Vladimir Ismagilovich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University,

Tomsk, Russia)

E-mail: vbimatov@mail.ru

SAVKINA Nadezhda Valer'evna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Tomsk branch), Tomsk, Russia) E-mail: savkina@ftf.tsu.ru

FARAPONOV Valeriy Vladimirovich (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russia) E-mail: fff@ftf.tsu.ru

REFERENCES

1. Snegirev A.Yu. (2009) Vysokoproizvoditel'nye vychisleniya v tekhnicheskoy fizike. Chislennoe modelirovanie turbulentnykh techeniy [High-performance computations in engineering physics. Numerical modeling of turbulent flows]. St. Petersburg: Polytechnic University Publ.

2. Wilcox D.C. (1998) Turbulence Modeling for CFD. La Canada, California: DCW Industries Inc.

3. Menter F.R. (1994) Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications. AIAA Journal. 32 (8). pp. 1598-1605.

4. Belotserkovskiy O.M., Davydov Yu.M. (1982) Metod krupnykh chastits v gazovoy dinamike [Method of coarse particles in the gas dynamics]. Moscow: Nauka.

5. Mende N.P. (1989) Obratnaya zadacha nelineynoy ballistiki. I. Ploskoe dvizhenie [The inverse problem of nonlinear ballistics. I. Plane motion]. Leningrad.