Математическое моделирование в задачах с экономическим содержанием

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

I В.И. Алексенцев

Аннотация. В статье показана сущность математического моделирования, отражена его особенность как метода Представлены математические модели в решении задач с экономическим содержанием.

Ключевые слова: математические методы, математические модели, экономико-математические модели, максимум правдоподобия, концентрация, непрерывные проценты, пропедевтика.

Summary. The essence of mathematical modelling is shown, its feature as method is reflected. Mathematical models in the decision of problems with the economic maintenance are presented.

Keywords: mathematical methods; mathematical models; economic-mathematical models; a credibility maximum; concentration; continuous percent; propaedeutics, preliminary study.

Подготовка специалистов в области экономики ставит перед образовательными учреждениями проблему обучения применению математических понятий в экономических дисциплинах, а затем в практической деятельности. С этой целью основные положения математического учебного материала следует отражать в решении задач с экономическим содержанием. В этом раскрывается экономический смысл математических понятий, реализуются приложения математики в экономике. Экономический смысл математических понятий направлен на то, чтобы увидеть математическую формулировку экономических законов.

Математическая форма описания реальных объектов, процессов и яв-

лений радикально не отличается от других форм, но в силу большей абстрактности математических объектов математика может не учитывать несущественные свойства. Вследствие чего математические методы позволяют представить имеющуюся информацию или условия задач в более компактном и обозримом виде. Все указанное способствует формализации экономических ситуаций. Следовательно, математические методы являются составной частью экономической науки [1, 3].

Развитие математики привело к тому, что предметом изучения ее стали математические модели реальных явлений, процессов, объектов, а также необходимый математический аппарат для изучения этих моделей.

67

Математические понятия и определения, объекты и структуры, являясь моделями, служат средством решения прикладных задач, формируют универсальный язык науки и отражают определенные аспекты культуры. Экономическая деятельность охватывает в определенной мере все производственные и непроизводственные отрасли, поэтому математические знания следует рассматривать как очень важную характеристику фундаментальной подготовки специалистов в области экономики [3].

Использование математики в единстве с экономическим анализом развивает экономическую науку, расширяет область ее практического применения. В современной учебной литературе по математическому моделированию в экономике приведены примеры экономического анализа, которые можно учитывать для лучшего использования экономических знаний в выборе математического инструментария и построения экономико-математических моделей.

__ Однако математическое образование

68 призвано обучать умению строить модели по форме математические, а по содержанию экономические. Указанная стратегия образования может быть реализована на практике, т. е. при рассмотрении функционирования реальных экономических объектов в задачах [1].

В таких задачах математическая форма модели для различных экономических ситуаций одинакова, но экономическая интерпретация различна. Это означает, что одни и те же математические модели и методы могут использоваться для решения различных экономических задач. Именно такие модели рассматрива-

ются в учебной литературе по математическому моделированию в экономике.

Закономерности в экономике выражаются в виде связей и зависимостей экономических показателей. Такие зависимости могут быть получены путем обработки реальных статистических данных с учетом внутренних механизмов связи и случайных факторов. Модель может быть получена и апробирована на основе анализа статистических данных. Их изменение в поведении требует необходимость уточнения и развития модели. Особенно важен экономический анализ в макроэкономике, где взаимосвязи величин неочевидны и изменчивы.

В современных условиях развития экономики существенно усиливается роль факторов неопределенности. Это связано со следующими обстоятельствами:

• вероятностным характером природно-климатических условий функционирования производства (землетрясение, наводнение и прочее);

• вероятностным характером некоторых производственных и непроизводственных процессов экономики (взрывы, аварии, транспортные происшествия, эпидемии и т.п.);

• неточностью наших представлений о закономерностях протекания производственных и экономических процессов, в частности с ошибками в прогнозировании их параметров;

• революционными преобразованиями в науке и технике, происходящими под влиянием скачкообразных, трудно прогнозируемых изменений в производстве;

• стихийным характером развития капиталистической экономики, обусловливающей неопределенность экспортно-импортных операций;

• усилением подвижности личных и общественных потребностей.

Когда подлежащие учету факторы неопределенности носят вероятностный характер, т.е. когда известны законы распределения вероятностей экономических показателей, тогда для описания экономических моделей могут быть применены вероятностные методы. Можно рассмотреть экономико-статистические модели, для описания которых применяется аппарат теории вероятностей и математической статистики [5]. Эти модели базируются на широко применяемых в теории вероятностей показательном, экспоненциальном, равномерном и нормальном распределениях вероятностей. Одним из наиболее общих и широко применяемых приемов оценки параметров статистических моделей является метод максимального правдоподобия. В экономических исследованиях приходится выяснять не только характер распределения отдельных экономических показателей, но взаимосвязи между ними. Как правило, связь между исследуемым показателем и влияющими на него другими показателями (факторами) удается представить в виде уравнения регрессии. В задачах такого рода с экономическим содержанием составляются математические модели, в каждой из которых выдвигается гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. При рассмотрении составленных моделей может возникнуть воп-

рос: какая модель лучше соответствует фактическим данным? Принцип максимума правдоподобия позволяет ответить на этот вопрос. Необходимо вычислить величину правдоподобия для каждой модели: более правдоподобен тот случай, для которого величина правдоподобия окажется больше.

Следует различать два уровня анализа в экономике на вероятностной основе: теоретический и эмпирический. На теоретическом уровне предполагается, что известны все возможные реализации интересующих экономических показателей — вся генеральная совокупность. Зная или предполагая статистические свойства генеральной совокупности, можно теоретически определить значения параметров вероятностной модели и, соответственно, рассчитать по ней нужные экономические показатели [1]. На практике неизвестно множество возможных исходов, но наблюдаются только случайно выбранные значения интересующих показателей. Располагая лишь выборочными значениями, можно оценить, а не определить точно параметры модели; эти оценки будут случайными и меняться от выборки к выборке. Поэтому важно не только знать средние оценки параметров, определенных на основе выборочных данных, но и понимать меру надежности их и случайного разброса, осуществленного случайностью процесса формирования выборки.

Если, например, имеются сведения о доходах и расходах жителей некоторой страны, составляющих генеральные совокупности, то можно рассчитать различные статистические характеристики для генеральной

69

70

совокупности: средние доходы и расходы, показатели вариации доходов и расходов. Если же собирать сведения о доходах и расходах части жителей составляющих выборочную совокупность, то найти истинные статистические характеристики или распределение доходов и расходов, вообще говоря, невозможно. Можно лишь оценить их величины, а также оценить неточность оценок, осуществленных случайной природой процесса получения выборочных данных.

Таким образом, математические модели в задачах с экономическим содержанием, построенные на вероятностной основе, носят исследовательский характер [1]. Выбор модели диктуется степенью правдоподобности. Построение нескольких математических моделей на вероятностной основе является исследовательским процессом. Для экономического показателя используются оценки математических моделей, которые являются оптимальными (наилучшими). Так, в задачах математического программирования оптимальной оценкой может служить максимальная прибыль или минимальный убыток.

Рекомендуется строить математическую модель по этапам, тогда ее применение будет в согласии с решаемой задачей. Предлагаются следующие этапы построения математической модели:

1-й этап: формулируются предмет и цели исследования;

2-й этап: выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие поставленной цели, качественные характеристики этих элементов;

3-й этап: описываются взаимосвязи между элементами модели;

4-й этап: вводятся символические обозначения для учета характеристик экономического объекта — формулируется математическая модель;

5-й этап: проводятся расчеты по математической модели и анализируются решения. Если результаты соответствуют действительности, то модель принимается, в противном случае корректируется или строится новая.

Ниже дается построение математических моделей при решении задач с экономическим содержанием. Рассматривается задача на «концентрацию» и «процентное содержание» смесей, математическая модель задачи — неопределенная система двух алгебраических уравнений [4].

Задача. Каждая из трех одинаковых пробирок наполнена до половины растворами спирта. Содержимое третьей пробирки разлили поровну в первые две, в результате объемная концентрация спирта в первой уменьшилась на 20%, а во второй увеличилась на 10% от их первоначального значения. Во сколько раз первоначальный объем спирта в первой пробирке превышал первоначальный объем спирта во второй пробирке?

Решение.

1. Введем обозначения: С\,Сг,Съ — первоначальные концентрации растворов спирта соответственно в первой, во второй и в третьей пробирках; Уо — объем раствора половины про-

бирки;

Уо

— объем раствора спирта

доливаемого в первую и во вторую пробирки из третьей.

2. Первоначальный объем спирта: в первой пробирке Уо ' С\ во второй пробирке Уо ' Сг , в третьей пробирке Уо' Сз.

3. Объем спирта после доливания раствора из третьей пробирки:

1

— в первой: V* + ^

1

— во второй: У0'С2 + 2^о'С3.

4. Концентрация раствора спирта в первой и во второй пробирках после доливания из третьей пробирки:

Уо-С1+2Уо-Сз 2 С1+С3

1

с* =

1

Уо+2Уо 1

У0-С2 + 2Уо-СЗ_2С2+С3

С* =

Уо

5. Из условия задачи известно: С1* = 0,8С1;С2* = 1,1С2.

6. Приравняем концентрации С, * и С,, С2* и С2, получим уравнения:

0,8С1 = 2С^ 1 3

пс^2^

после преобразования имеем систему уравнений

[ 2С1=5С3, , [13С2 =10 с3,

система уравнений неопределенная. Уравнения запишем через отношения концентраций:

с _ 5

~ 2

Сз

с^ 10

~13

Сз

7. Найдем отношение первоначального объема спирта в первой пробирке к первоначальному объему спирта во второй пробирке:

^ г 2 13 и

Уа (2 С г

/ Сз

Первоначальный объем спирта в первой пробирке превышал первоначальный объем спирта во второй проверке в 3,25 раза.

Математической моделью следующей задачи является неравенство с двумя переменными.

Задача. Число приватизированных квартир в доме составляет от 87,7% до 88,4% от общего числа квар- '' тир. Каково минимальное число квартир в таком доме?

Решение.

1. Пусть х квартир в доме. Тогда у — число неприватизированных квартир. По условию задачи неприватизированных квартир от 11,6% до 12,3%, т.е. 0,116.x < .у <0,123*.

2. Пусть у = ] — неприватизированная квартира, тогда ОД 16лт < 1 < 0,123л:. =>

1 „ ~ „ 1

л: < -

0,116

* 8,62; х >

0,123

! 8,13,

т.е. всего в доме квартир от 8,13 до 8,62. Но число квартир натуральное, в интервале от 8,13 до 8,62 нет натураль-

72

ного числа, поэтому решение у = 1 не удовлетворяет условию задачи.

3. Пусть у = 2 — число неприватизированных квартир, при этом число

квартир в доме от х>

0,123

а 6,26

до д;<

0,116

* 17,24, в интервале от

16,26 до 17,24 есть натуральное число X = 17 — минимальное число квартир в доме, неприватизированных 2 квартиры; 17-2=15 квартир приватизированных.

4. Отношение приватизированных квартир к общему минимально возможному числу квартир

« 0,8824 = 88,24% — принадлежит

заданному интервалу числа приватизированных квартир в доме (87,7; 88,4).

Модели ниже решенной задачи «непрерывное начисление процентов», «дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными». Она отражает преемственность обучения решению математических задач с экономическим содержанием в средней школе и вузе [2].

Задача. На счете в банке 30 млн. руб., в том числе 80% для развития первого экономического объекта, 20% для развития второго экономического объекта. На банковский счет поступает 0,2 млн руб. в секунду. Поступающая сумма непрерывно распределяется на финансирование первого и второго экономических объектов. С банковского счета «снимается» такая же сумма — 0,2 млн руб./сек. непрерывно.

Через сколько времени на банковском счете будет 90% средств для развития первого экономического объекта?

Решение.

1. Введем обозначения.

10 1 — время процесса поступления и расходование денежных средств, за которое будет достигнуто 90% средств на банковском счете для первого объекта;

20 у=Г (1 — количество средств для первого экономического объекта в любой момент времени 1;

30 1=0— начальное время процесса, при этом: для первого объекта будет

80

средств у = • 30 = 24 млн!руб;

количество средств для второго объекта 30-24=6 млн руб.; количество средств для первого объекта при 90% средств на банковском счете

90

у ---30 = 27 млн/ руб.

100

2. Решим задачу элементарными методами вычислений.

10 (30—у) млн. руб. средств для второго объекта;

20 а) в начальный момент времени 80% средств, находящихся на банковском счете, для первого объекта, что составляет 24 млн руб.;

б) если х(1) — средства для второго объекта, то в начальный момент времени эти средства составляют

Хо = 30-24 = 6млн руб.;

в) используя формулу непрерывного начисления процентов, для второго объекта средства будут в

количестве х(Я= х е к ' о

100

г) так как средства для второго объекта уменьшаются, то

100 '100 30 150'

у

будет й (млн руб.) для первого

объекта;

50 — изменение средств для первого

д) средства для второго объекта в любой момент времени х{() = 6- е

1

---1

150

(по формуле п. 2в);

30 средства для второго объекта 30-у=х, т.е. 30-27=3 млн руб. при 90% средств на банковском счете для первого объекта. В любой момент време-

ни эти средства составляют

приравняем средства 3 = бе t

бе

150

150

,150 _

= 2.

Найдем искомое время

-= 1п2 => i = 150-1п2 «150-0,69 «1

150

w 103,5сек. 1,1 мин.

Решение задачи методом дифференциального уравнения.

10 — процесс изменения денежных средств непрерывный, время изменяется, его приращение At — dt\

20 — за время At поступает 0,2 dt (млн руб.) для первого объекта;

30 — с банковского счета (30 млн руб.) расходуется 0,2dt (млн руб.), в том числе у (млн руб.) для первого объекта; на 1 млн. руб. банковских

средств приходится (млн руб.) для

первого объекта;

40 — 0,2dtв (млн руб.) на счете банка

объекта dv = 0,2 dt---0,2 dt или

30

1 у

dy = —dt —— dt, полученное дифференциальное уравнение после преобразования с разделенными перемен

dy _ dt ными: ~ — ~~~ ">

-у + 30 150

60 — интегрируем дифференциальное уравнение

r dy г dt I,

I-=--In С , получим

J-j + 30 J 150 11

- lnl- у + 30| = —— lnlcl =>

1 1 150 11

•In

30-j

t

30-у

150

= е 150

у = 30-се

t

150

70 — а) используем начальное условие: Г = 0,Я^ = 0) = 0,8-30 = 24(млн

руб.), подставим в общее решение и

найдем значение постоянной С _ г _ г

24 = 30 - се'150 => се'150 = 6,

при 1=0 =6. Получили количество средств для первого объекта в любой

момент времени в виде функции _ <

у = 30-6е_15°;

б) 90% средств на банковском счете для первого объекта составляют

90

у —--30 = 27 (млн руб.). Подста-

100

73

или

вим значение функции у=27, получим г

27 = 30-бе"150 , откуда г = 150 • 1п 2 «150 • 0,69 я 103,5с. «1,7

мин.

В данной задаче две различные математические модели рассматриваемого процесса привели к одинаковому результату.

Рассмотренные задачи являются пропедевтикой решения задач с экономическим содержанием, их решение необходимо при обучении как в средней школе, так и в вузе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексенцев В.И. Решение математических задач с экономическим содержанием. — Тула: ИПК и ППРО

ТО, НОО ВПО НП «Тульский институт экономики и информатики», 2007.

2. Алексенцев В.И. Преемственность в изучении обыкновенных дифференциальных уравнений в средней школе и вузе // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи: Сборник научных трудов Тульского государственного технического университета. — Тула,1994.

3. Замков О. О. Математические методы в экономике / О.О. Замков, А.В. Толсто-пятенко, Ю.Н. Черемных. — М.: Дело и Сервис,1999.

4. Лурье М.В. Задачи на составление уравнений / М.В. Лурье, Б.И. Александров. — М.: Наука,1990.

5. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер [и др.]. — М.: ЮНИТИ.

74