Расчет величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины

№4

2006

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ

531.8

РАСЧЕТ ВЕЛИЧИНЫ КРИТИЧЕСКОГО КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА ИЗОГНУТОЙ В ПОЛУОКРУЖНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ПРУЖИНЫ

Асп. Р.Н. БАДИКОВ, д-р техн. наук, проф. Ф.Д. СОРОКИН

С использованием решения, полученного с помощью уравнений механики стержней, находится приближенное выражение для величины критического крутящего момента цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность.

The theory of a thin elastic rod was used for screw cylindrical spring which bent in a half of circle to find an approximate equation for a value of the critical torsion moment.

Для целей просеивания и измельчения сухого сыпучего материала применяются так

♦

называемые «спиральные грохоты». Это установки, рабочим органом которых являются цилиндрические пружины, вращающиеся вокруг собственной продольной оси и просеивающие рабочий сыпучий материал сквозь зазоры между витками, а также дробящие крупные фракции рабочего сыпучего материала (захватываемые вследствие изменения межвиткового расстояния, обусловленного изгибом пружины). Цилиндрические пружины в подобных установках, как правило, изогнуты в дугу окружности, К одному концу пружины приложен крутящий момент от двигателя, в то время как другой конец пружины свободно вращается в подшипнике, нагруженный моментом сил трения подшипника (рис. 1). При определенной скорости вращения момент трения достигает величины, при

Рис. L Схема мельницы циклического действия

которой пружина теряет устойчивость. Ось пружины, лежащая до момента потери устойчивости в одной плоскости, деформируется, выходя из плоскости, и принимает пространственную форму (рис. 2). При этом, в зависимости от длины пружины и величины крутящего момента, может произойти «перехлест» пружины, т.е. пружина повторит тра-

2006

Рис. 2. Потеря устойчивости с выходом из плоскости оси пружины

Ж

5

О 2

угол относительного поворота концов пружины

Рис. 3. Типовая упругая характеристика кручения пружины, изогнутой в полуокружность

екторию на подобие движения скакалки (рис. 4) либо образуется петля у конца пружины, ближнего к свободному подшипнику (рис. 5).

Попробуем получить выражение для критического крутящего момента цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность. Предположим, что половину витка пружины можно рассмотреть как криволинейную полосу с радиусом кривизны Я , жесткостью изгиба Вх , жесткостью кручения С и применим к нему выражение для критического значения момента криволинейной полосы [1—4]

Мт= х

кр

в, +с

27?

+

Вхс

я2

Для проволоки круглого поперечного сечения диаметром с1

жесткости изгиба Вх и

кручения С равны соответственно

В

Е т!4

х

Е]х =Е— и C = GJB= —

64 " 2(1 +и) 32

и их отношение

В

х _

С

= (1 + ц).

Для половины витка угловая координата = —.

2

Подставляя в (1), получим

з

№4

2006

Ось пружины

ось перехлеста

трения

м

двигателя

Рис. 4. Схема перехлеста

Ось пружины

петля

трения

М

двигателя

Рис. 5, Схема петлеобразования

кТ 2/?

Или, раскрывая параметр С,

м ы4

Ма ~ К-

кр £)

где К — коэффициент пропорциональности, £) = 2/?

Для определения коэффициента К решали нелинейную краевую задачу для системы 12 нелинейных дифференциальных уравнений механики стержней [1]

ЖУ),

УТ =(бр йг&^Мх, мг№^и^и^и^.Ъ^Л^Ът) ,

где <2, — внутренние силы, М,- — внутренние моменты, и{ — перемещения, О,- — повороты.

Один край пружины принимался жестко защемленным. На втором краю пружины расположен цилиндрический шарнир (рис. 1), И на этом краю задавали поворот пружины вокруг оси шарнира. Решение краевой задачи позволило найти зависимость реактивного момента на краю пружины от относительного угла закручивания (рис. 3). Указанная зависимость содержит точку экстремума, которая соответствует критическому со-

6 Известия вузов. М

№4

2006

стоянию пружины. Полученный таким способом критический момент позволяет найти

коэффициента

Мй Её*

Неоднократные численные эксперименты были систематизированы и на их основе была получена приближенная формула (3), обобщающая результаты для довольно большого интервала изменения параметров пружины: / = (20...200);

л

— = (0,01...0,12) ;а0 =(2,5...5) град, где О0 — диаметр витка пружины; <!0 — диаметр про-£)0

волоки пружины; а0 — угол подъема витка пружины; / — число витков пружины; Е — модуль упругости 1-го рода.

I с!аЕ

эмпнр _ ±_____ 0 ^

кр 9 О0/ сон а0

В таблице показаны результаты расчета по эмпирической формуле и численной ме-

тодике механики стержней [ 1 ].

Таблица

Параметры пружины Момент

1, шт. угол краевая приближен- Разница,

с1, м О, м подъема, град задача, И • м ный. И • м ел.

50 6.0Е-03 1.18Е-01 2^78 4,9740 4,8871 2

50 6.0Е-03 5.90Е-02 5,56 10,1490 9,8089 3

50 6.0Е-03 5.90Е-02 2,78 9,6600 9.7742 1

100 6.0Е-03 5.90Е-02 2.78 5.1650 4.8871 6

50 1.0Е-03 5.90Е-02 2,78 0,0072 0.0075 5

50 3.0Е-03 5.90Е-02 2,78 0,5800 о.б 1 т 5

Полученное выражение для критического момента скручивания цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность, будет полезно знать на этапе конструирования рабочих органов спиральных мельниц, пружинных муфт и других конструкций, содержащих цилиндрические пружины, изогнутые в полуокружность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. С в етл и ц к и й В. А, Механика стержней: Учеб. для втузов, В 2-х ч. — 4.1. Статика. - М.: Высшая школа, 1987,-320 с.

2. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. Для втузов. В 2-х ч. - Ч. 2. Динамика. — N1.: Высшая школа, 1987. — 304 с.

3. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. — М.: Машиностроение, 1981. 392 с.

4. Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман и др...........М.: Машиностроение,

1959. —Т. 3,—1120с.