Численное решение задач по расчету зданий c учетом динамического гасителя колебаний

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2010, том 53, №6_________________________________

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УДК 624. 042

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО РАСЧЕТУ ЗДАНИЙ С УЧЕТОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ

Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан

В работе исследуются сейсмические колебания многоэтажных зданий с учетом влияния динамического гасителя колебаний. Разработан алгоритм и получены результаты численного решения дифференциальных уравнений сейсмических колебаний многомассовой системы.

Ключевые слова: гаситель колебаний - многомассовая система - сейсмозащита - метод сосредоточенных деформаций - сейсмическая нагрузка.

Обеспечение сейсмозащиты зданий при интенсивных землетрясениях и снижение сейсмических нагрузок является актуальной проблемой. Оптимизация конструктивных решений зданий с учетом сейсмических воздействий может быть выполнена на основе математической модели рассматриваемого объекта, которая включает в себя разработки алгоритма, составление компьютерной программы и решения задачи. В работе рассматривается реализация метода сосредоточенных деформаций (МСД) для решения задач по расчету зданий с учетом динамического гасителя колебаний.

Достоверность результатов расчета на сейсмические воздействия в значительной степени зависит от выбора расчетной модели и ее соответствия фактическим условиям работы сооружения. При сейсмическом воздействии здание помимо поступательных движений может совершать колебания, сопровождающиеся поворотом перекрытия как в своей плоскости, так и из плоскости. Для описания таких колебаний можно использовать расчетную схему, где массы сооружения сосредоточены на уровнях перекрытий и представлены в виде жестких материальных дисков. В этом случае положение системы описывается поступательными перемещениями и углами поворотов дисков. Податливость основания здания можно учитывать введением упругих опор.

Динамическую модель многоэтажного здания любой конструктивной схемы упрощенно можно представить как многомассовую систему, состоящую из несущих вертикальных элементов, испытывающих деформации растяжения-сжатия, изгиба, сдвига, кручения и горизонтальных абсолютно жестких дисков перекрытия. При этом предполагается, что жесткие диски перекрытия и фундаментная плита имеют по четыре степени свободы.

Системы дифференциальных уравнений сейсмических колебаний многомассовой системы, соответствующие продольным, вращательным, крутильным и поперечным колебаниям без учета гасителя, представляются в виде [1]

Адрес корреспонденции: Низомов Джахонгир Низомович. 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 121, Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: tiees@mail.ru

+ CгUг + Ё = “^0 ^)> С1)

г 3 =1

+ Ё ГчФ] = “3У &0

3 =1

3А + СД + Ё Г 33

3 =1

тг™г + Сг Яг + Ё Гг3

3 =1

Здесь: п — число масс; щ, 3^.., 3 . — масса и моменты инерции вертикальных и горизонтальных элементов (жестких тел); ег — эксцентриситет центра массы относительно центра жесткости; и0, ф0, #0, в — компоненты сейсмического воздействия; с — коэффициенты вязкого сопротивления; Г — коэффициенты жесткости; (рх, в1 — углы поворотов элементов относительно осей X и У соответственно; щ, - продольные и поперечные перемещения.

Предполагается, что динамический гаситель установлен в пределах технического этажа здания с целью снижения амплитуды горизонтальных колебаний. Тогда к системе уравнений (4) добавляются ещё два уравнения, описывающие движения массы перекрытия с присоединенной массой гасителя:

п

тПЯп + щ0™0 + СпЯп + Ё ГП3™3 = —ЩПЯ0

3=1

то Яо + тоЯп + СоЯо + коЯо = —!о — т0Я0

где т* = щ + та, тп — масса покрытия (главная масса), то — масса гасителя.

Системы дифференциальных уравнений движения (1)-(6) представим в матричной форме

[М] {V} + [П]{У} + ШУ} = —да,

где [М], [О], [^] - матрицы масс, демпфирования и внешней жесткости системы; {V}, {V}, {У}-векторы ускорений, скоростей и перемещений.

Массу гасителя рекомендуется принимать не более 5% от приведенной массы здания, которая может быть определена по формуле [2]

Н п

0 3=1

п

где т (х) - погонная масса конструкции здания; Х1 (х) - ординаты нормированной формы собственных колебаний здания по основному тону; т . - масса конструкций и нагрузок, сосредоточенная в точке с координатой х.; Н — общая высота здания.

Согласно гипотезе вязкоупругого деформирования В.Фойгта (W.Voigt) [3], суммарное напряжение, обусловленное упругими и вязкими силами, представляется в виде

а = Ее + кЕе .

К модели частотно-независимого внутреннего трения относится гипотеза Е.С.Сорокина [3], где нормальное напряжение представляется в комплексной форме

а =

что при постоянном значении у является линейной функцией относительно деформации. В работе [4] для системы со многими степенями свободы предложена матрица демпфирования в виде

[О] = у{[М ][Я]}1/2,

где у - постоянный коэффициент неупругого сопротивления.

В работе [5] в предположении, что для каждой формы собственных колебаний известен соответствующий коэффициент неупругого сопротивления ук, матрица затухания представляется в виде

[О] = [М ]{[М П Я]}1/2[Г],

здесь [Г] - диагональная матрица коэффициентов потерь в связях системы.

Для приближенного учета внутреннего сопротивления матрицу [ О] часто задают в виде линейной комбинации матриц жесткости и масс по Релею

[О] = а [ ^]+а [М],

которая удовлетворяет условиям ортогональности.

Таким образом, когда матрица затуханий для сооружения представлена в форме, удовлетворяющей условиям ортогональности, то это приводит к системе несвязанных уравнений. Если матрица

затухания не удовлетворяет условия ортогональности, когда, например, матрица [Г] в (12) не будет диагональной, то динамическая реакция системы должна определяться из совместного решения системы уравнений.

Рассматривая конечный элемент МСД, составим динамические уравнения равновесия, которые для -го элемента можно представить в матричной форме

[Л]№ + {Р} = {0},

где [Л] - матрица коэффициентов уравнений размера 4х8, {£} - вектор внутренних сил, {Р} - вектор внешних сил. Выразив деформации связей через перемещения конечных элементов, для линейно деформируемых систем можно написать следующее уравнение совместности деформаций

[ Л]т {V} + {1} = {0},

где [Л]т - транспонированная матрица [Л] размера 8х4, {V} - вектор перемещений, {Л} - вектор деформаций элемента. Таким образом, матрицы коэффициентов (14) и (15) являются взаимно транспонированными, что соответствует принципу двойственности уравнений равновесия и геометрических уравнений совместности деформаций. Прямоугольная матрица [Л] размера 4п х 4(п +1), где п - число жестких дисков, включая фундаментную плиту, имеет ленточную структуру.

Для конечного элемента МСД, испытывающего продольные деформации, деформации изгиба, сдвига и кручения, исходя из податливости фиктивных связей, установленных между элементами, можно сформировать матрицу податливости. Связь между деформациями и усилиями, действующими в опорной части системы, с учетом упругоподатливых опор, можно записать в виде

и = ^1/к, щ = Ml/kv, = 0^к, в = Мк/kв,

где ки, к , к^, ке — коэффициенты жесткости упругоподатливых опор (задаются на основе экспериментальных данных [6]). Вектор абсолютных деформаций опорного сечения может быть представлен в виде произведения матрицы податливости [В ] на вектор неизвестных сил {^}. Податливость связей по линиям г +1 между смежными элементами г и г +1, в которых возникают продольные деформации, деформации изгиба, сдвига и кручения, можно представить в виде

[В] ,+! = [В], + [ВЦм ,

Далее предположим, что в плоскостях Ог, где 1 = 2, 3, ., п, кроме собственных деформаций

элементов, сосредоточены деформации реальных связей. Следовательно, конечные элементы МСД соединяются между собой таким образом, что создается реальный шов в вертикальных несущих элементах здания. Тогда податливость такого шва выражается следующим образом:

[В]г+1 = [В]г+1, г + [В]г+1, г+1 + [В]0 ,

где [В]0 - податливость реального шва.

Таким образом, матрица внутренней податливости модели МСД формируется из элементарных матриц податливости сечений между элементами и представляется в виде диагональной матрицы

[В] = Жа£х[В]1 [В]2 [В]з — [В]п [В]п+1},

которая является обратной матрицей по отношению к матрице внутренней жесткости системы.

Для упругой системы зависимость между перемещениями и внешними силами представляется в матричном виде

{V} = [*]{Р},

где [^] - матрица внешней податливости. Из (15) с учетом (19) и (14) получаем

{Л} = [Л]т [£][ Л]{£} = [В]{£},

где {В} = [ Л]т [£][ Л] - матрица внутренней податливости упругой системы.

Обратную зависимость вектора внутренних сил от вектора деформаций можно получить из решения

{£} = [В]—'{Л} = [С ]{Л},

где [С ] = [В]—1 - матрица внутренней жесткости упругой системы.

Матрица внутренней жесткости для всей системы записывается в виде

[С] = <*ч{[С]1 [С]2 [С]з .[С]п [С]„1}.

Из (14) с учетом (21) и (15) получаем

{Р} = [ Л][С ][ Л]т {V} = [ К]^},

откуда следует, что матрица внешней жесткости системы строится по формуле

[К] = [Л] [С][Л]т ,

где [С] - квадратная матрица внутренней жесткости 4(п + 1) -го порядка; [Л]т - транспонированная матрица [ Л] .

Далее мы вернемся к уравнению (7) и построим алгоритм численного решения. Для этого аппроксимации (9) и (10) представим в векторной форме

^к=А*тк — ^}к—1)—лг^—1—аЖ—1,

{V}, =a;

где а* = а /т2, а*2 = а2 /т , А* = А /т , Аз* = тАъ, к = 1, 2, 3, ., N, а затем, внося их в (7), получим систему алгебраических уравнений, соответствующую моменту времени ^ (для удобства индекс

к опускаем)

[Я*]^} = {Р*} .

Входящие в (26) обобщенная матрица внешней жесткости и обобщенный

вектор внешнего воздействия представляются так:

[ Я *] = [Я] + а; [М ] + А [ О],

{Р*} = {Р} + [М ]{а} + [О]{Ь} — {Р0},

где приведенные векторы ускорения и скоростей, соответствующие моменту времени , записываются в виде

{а} = а; {V}+а2 {V}+аз {V}, {*} = А V'}+А2 {V}+Аз* { V}.

Здесь {Р} - вектор-столбец заданной динамической нагрузки; {Р0} = [М ]{V0} - вектор-

столбец сейсмических воздействий. К системе уравнений (26) добавляется ещё одно уравнение, описывающее движения динамического гасителя

Гв,4п—1г4п—1 + Г0*ОЯО = Чо — /о — т0Я0 .

Из (29) определяется перемещение массы гасителя в зависимости от перемещения главной массы яп . Построенная обобщенная матрица внешней жесткости [Я ] 4п -го порядка, а также сформированный вектор правой части {Р*} позволяют приступить к решению системы уравнений (26) шаговым методом. На каждом шаге по времени система уравнений (26) решается итерационным методом и определяется вектор перемещений. Затем вычисляются векторы абсолютных деформаций и внутренних усилий:

{Л} = —[Л]т {V}, {£} = [С] {Л} .

Таким образом, предлагаемый алгоритм на основе МСД с использованием шагового способа интегрирования позволяет исследовать динамические задачи свободных и вынужденных колебаний многоэтажных зданий с учетом динамического гасителя, податливости основания и реальных швов.

Сейсмологические данные, полученные на территории Таджикистана [7], свидетельствуют о значительном многообразии типов сейсмического движения грунта: а) от местных очагов с преобладанием в спектре высокочастотных составляющих от 5 до 15 Гц (Т=0.07-0.2); б) так называемые «афганские» землетрясения с низкими частотами от 0.4 до 0.8 Гц (Т=1.25-2.5). На рис.1 приведена акселерограмма Гиссарского землетрясения магнитудой М=5.7, полученная на свободной поверхности грунта в г.Душанбе на расстояние 18 км от эпицентра и оцифрованная с шагом 0.025 с.

С целью численного анализа сейсмической реакции здания были получены результаты динамического расчета при различных кинематических воздействиях с учетом и без учета гасителя. Исследования проводились на модели каркасного здания с различными степенями свободы при шаге интегрирования т = 0.025 с. На рис. 2 показаны графики изменения ускорения главной массы шестиэтажного здания при воздействии, заданном акселерограммой Гиссарского землетрясения (рис. 1). Кривая 1 соответствует зданию без гасителя, а кривая 2 - с учетом гасителя при следующих данных:

/ = 1, у = 0, Л = 0.05 , V = 0.05 . Численные результаты получены без учета затухания при £ = 0.

Рис. 1. Акселерограмма Гиссарского землетрясения 22.01.1989 г.

Рис. 2. Ускорение главной массы: 1 - без гасителя; 2 - с гасителем

В таблице приведены максимальные значения перемещения, скоростей и ускорений главной массы модели здания (числитель - без гасителя, знаменатель - с учетом гасителя) при различных значениях числа этажей. Сравнение показывает, что с увеличением числа степеней свободы реакция модели здания на сейсмическое воздействие в виде акселерограммы землетрясения (рис. 1) имеет сложный характер изменения.

Таблица

Максимальные значения перемещений, скоростей и ускорений главной массы

Кинематические Число этажей пЕ

параметры 6 9 12 15 18

Н , м 0.0156 0.00404 0.00916 0.00729 0.0137

п 5 0.0049 0.00366 0.00603 0.00643 0.0170

• • к с 0.382 0.0677 0.111 0.0803 0.204

0.132 0.0751 0.074 0.0727 0.208

ОІ О а 9.19 1.46 2.37 2.05 4.46

3.38 1.51 2.24 1.84 4.40

Учет работы гасителя приводит к значительному уменьшению реакции здания в случае пя =6, а при других значениях пя колебания главной массы остаются примерно такими же, как в случае без

динамического гасителя. Это объясняется сложностью характера сейсмического воздействия и выбора подходящих параметров динамического гасителя для каждого конкретного объекта.

Поступило 07.04.2010

ЛИТЕРАТУРА

1. Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительной механики. - Душанбе: Ирфон, 2005, 290 с.

2. Поляков В.С., Килимник Л.Ш., Черкашин А.В. Современные методы сейсмозащиты зданий. - М.: Стройиздат, 1989, 320 с.

3. Сорокин Е.С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. - М.: Госстройиздат, 1956, 340 с.

4. Рассказовский В.Т. Основы физических методов определения сейсмических воздействий. - Ташкент: Фан, 1973, 160 с.

5. Цейтлин А.И., Гусева Н.И. Статистические методы расчета сооружений на групповые динамические воздействия. - М.: Стройиздат, 1979, 176 с.

6. Вибрационные испытания зданий (Под. ред. Г.А.Шапиро). - М.: Стройиздат, 1972, 160 с.

7. Айзенберг Я.М. Сооружения с выключающимися связями для сейсмических районов. - М.: Стройиздат, 1976, 229 с.

Ч,.Н.Низомов, И.Каландарбеков

ХДЛЛИ АДАДИИ МАСЬАЛАХ,О ДОИРИ ^ИСОБИ БИНО БО НАЗАРДОШТИ ХОМУШКУНАКИ ДИНАМИКИИ ЛАППИШ

Институти сохтмони ба заминчунби тобовар ва сейсмологияи Академияи илмх;ои Цумхурии Тоцикистон

Дар макола лаппиши сейсмикии бинох,ои бисёрошёна бо назардошти хомушкунаки ди-намикии лаппиш тадкик карда шудааст. Алгоритми х,исоб коркард карда шудааст ва натичах,ои хдлли ададии муодилах,ои дифференсиалии лаппиши сейсмикии системаи бисёрмассагй гирифта шудаанд.

Калима^ои калиди: хомушкунаки лаппиш - системаи бисёрмассагй - уимоя аз замищунбй - методи гуншавии шакливазкунй - бори сейсмикй.

J.N.Nizomov, I.Kalandarbekov

NUMERICAL SOLUTION OF PROBLEMS FOR CALCULATION OF BUILDINGS ACCOUNTING DYNAMIC OSCILLATION DAMPERS

Institute of Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The seismic vibrations of multi-storey buildings with a view of the effect of the dynamic vibration damper are analyzed in this paper. The algorithm are processed and obtained results computational solution of differential equations of seismic vibrations multimass system.

Key words: vibration absorber - multimass system - seismic protection - lumped strain method - seismic load.