Анализ уравнений СМО со скачкообразной интенсивностью входного потока

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3

УДК 519.872:519.21:517.958:004.7

АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ СМО СО СКАЧКООБРАЗНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДНОГО ПОТОКА О. В. Бондрова, Т. А. Жук, Н. И. Головко

Аннотация. Исследуется стационарный режим системы массового обслуживания (СМО) с бесконечным накопителем, одним обслуживающим прибором и экспоненциальным обслуживанием. На вход СМО поступает дважды стохастический пуас-соновский поток, интенсивность которого является скачкообразным процессом с интервалами постоянства, распределенными по экспоненциальному закону. Предполагается, что значения интенсивности входного потока в точках разрыва слева и справа независимы.

В работах, ранее опубликованных по данной тематике, получено достаточное условие существования и единственности стационарного режима СМО. В данной работе выполнен операторный анализ интегральных уравнений относительно характеристик стационарной СМО, показано необходимое и достаточное условие существования, единственности и неотрицательности решения системы интегральных уравнений, эргодичности СМО. Найдена стационарная производящая функция решения в виде сходящегося ряда.

Отличительной особенностью настоящей работы является построение 2-й модели СМО и применение оператора сдвига коэффициентов производящей функции для стационарного распределения числа заявок.

БСТ: 10.25587/SVFU.2018.99.16948

Ключевые слова: скачкообразный процесс, дважды стохастический пуассонов-ский поток, система массового обслуживания, метод производящих функций.

1. Введение

Достаточно хорошо исследованы системы массового обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским потоком заявок, интенсивность которого представляет собой марковский процесс с конечным или счетным множеством состояний, например, в [1—6].

Меньше исследован случай, рассмотренный в [7-10], когда интенсивность входного дважды стохастического (ДС) пуассоновского потока (ПП) СМО с экспоненциальным обслуживанием и бесконечным накопителем представляет собой случайный процесс с непрерывным пространством состояний. Такие СМО используются в качестве моделей информационных систем, развитие которых в настоящее время является актуальной проблемой. Системы обслуживания со скачкообразной интенсивностью входного потока используют при моделировании узлов локальных вычислительных сетей [11].

© 2018 Бондрова О. В., Жук Т. А., Головко Н. И.

Для анализа стационарных решений систем дифференциальных и интегральных уравнений применяются различные методы и приемы, приведенные например, в [1,10].

В [12] приводится доказательство достаточного условия существования и единственности стационарного режима в СМО с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока с применением операторного анализа. Аналогичный подход рассматривается в настоящей работе для уточнения условия существования стационарного решения системы интегральных уравнений в указанной СМО.

В данной работе рассматривается СМО типа М/М/1 с одним обслуживающим прибором, бесконечным накопителем и экспоненциальным обслуживанием с параметром м. На вход СМО поступает ДС ПП, интенсивность которого А(£) является скачкообразным процессом, изменяющимся на отрезке [а, 6] с интервалами постоянства Т, распределенными по экспоненциальному закону с параметром а.

Интенсивность А(£) имеет в точках разрыва ¿о справа условную плотность распределения ^(х | у) = Р{ж < А(£о +0) < ж + ¿ж | А(£о — 0) = у}/^х. В настоящей работе приводится анализ характеристик рассматриваемой СМО в случае, когда значения процесса А(£) в точках разрыва ¿о слева и справа независимы, т. е. выполняется ^(ж | у) = ^(ж) = Р{ж < А(£о + 0) < х + ¿х}/^х.

Введем следующие обозначения: / (ж) = Р {ж<А<ж + ¿ж} /¿ж — стационарная плотность А, где через А обозначен процесс А(£) в стационарном режиме, V — число заявок в стационарном режиме, дк(х) = Р{^ = к, ж<А<ж + ¿х}/^х — совместное стационарное распределение числа заявок V и интенсивности А входного потока в стационарном режиме. Для краткости функции дк (ж) в дальнейшем будем называть стационарными характеристиками числа заявок.

ь

Заметим, что интегралы § дк(х) ¿ж = рк, к > 0, представляют собой ста-

а

ционарное распределение числа заявок, удовлетворяющее условию нормировки

ж

Е Рк = 1 к=о

В [13] получены уравнения относительно стационарных характеристик числа заявок дк(ж), k > 0. В [12] приводится доказательство достаточного условия существования и единственности стационарного режима в рассматриваемой СМО:

6<М

для значений а > 0.

В данной работе для значений а > 0 показано, что условие

А < м

является необходимым и достаточным условием существования стационарного ь

режима, где Л = / ж/(ж) ¿ж — среднее значение интенсивности входного потока,

а

а также необходимым условием неотрицательности стационарных характеристик числа заявок (х), к > 0.

2. Основные результаты

Согласно [13] нестационарные характеристики числа заявок Qk(t,x), к > 0, в СМО с бесконечным накопителем удовлетворяют следующим уравнениям: 1) системе интегродифференциальных уравнений:

ь

д Г

—Qo

д

— = жСЬ_1

ь

+ ^*+1

а

2) начальным условиям с начальными плотностями < (х):

Qk

3) условию нормировки:

ь

= 1

к> о а

Суммируя уравнения системы (2.1), (2.2) с учетом условия нормировки (2.4), получим нестационарное уравнение Колмогорова — Феллера относительно нестационарной плотности 1(г,х) [5]:

ь

д

—х) + а<р(х) / 1(£, г>) сЬ = —1(£, ж),

а

из которого вытекает, что нестационарная плотность имеет вид

1(г,х) = р(х) + [1(0, х) - р(х)]е-а*,

откуда следует стационарная плотность /(х) = р(х).

Из (2.1), (2.2), (2.4) получаются уравнения относительно стационарных характеристик числа заявок (х), к > 0: 1) система интегральных уравнений

ь

—

ь

а

2) условие нормировки:

ь

хдк-1

^дк

к>о

Систему уравнений (2.5), (2.6) назовем 1-й стационарной моделью СМО. Введем вспомогательные стационарные характеристики СМО:

д„

к>п+1

Исходные стационарные характеристики СМО выражаются через вспомогательные следующим образом:

до (ж) = / (ж) — до (ж), 91 (ж) = до (ж) — д1(ж), д„(х) = д„_1(х) — д„_2(х), п > 2. Действительно,

дп+1(х) = 9к(х),

к>п+2

откуда дп+1(х) — дп(х) = дп+2(х). После замены I = п + 2 получим д;_1(х) — дг_2(ж) = дг(ж), I > 2, или д„(х) = д„_1(х) — д„_2(х), п > 2. Далее, так как

до(х) = 9к(х) = $39к(х) — 9о(х) = /(х) — 9о(х), к>1 к>о

отсюда следует, что до(х) = /(ж) — до(ж). Поскольку

д1(х) = $3 9к(х) = 9к(х) — 9о(х) — 91(х) = /(х) — 9о(х) — 91(х),

к>2 к>о

получаем, что 91 (ж) = /(ж) — д1(ж) — до(х) = до(х) — д1(х). Просуммируем уравнения системы (2.5), (2.6) по к > 0:

^9к_1(х) — (ж + м + а) ^ дк (ж) + ^^дк+1(х) + а^(х) / ^ дк (у) ¿у = 0. к>1 к>1 к>1 а к>1

Просуммируем уравнения (2.6) по к > 1:

ь

^дк_1(х) — (ж + м + а)^ дк(ж) + м^фк+^ж) + а^(х) / ^ дк(у) ¿у = 0.

к>2 к>2 к>2 а к>2

Затем просуммируем уравнения (2.6) по к > 2, и т. д.

Из полученной системы уравнений с учетом условия нормировки (2.7) для 1-го выведенного уравнения и обозначений (2.8) вытекает система уравнений относительно стационарных характеристик числа заявок дп(ж):

ь

ж/

a

0

жд„_1

а

которую назовем 2-й стационарной моделью СМО.

Для решения стационарной системы уравнений (2.9), (2.10) типа Колмогорова — Чепмена с интегральным оператором введем производящую функцию

^ (ж, 2) = 53 г"дп(ж),

п>0

определенную в области = {(ж, г) : ж € [а, 6], |г| < 1,2 € С}. В дальнейшем в теореме 2 будет показана равномерная сходимость функции ^(ж, г) в области

Решение системы (2.9), (2.10) будем искать в множестве неотрицательных функций, интегрируемых на отрезке [а, 6]. При фиксированном 2 через обозначим пространство степенных рядов

Л.(ж,£) = 53 Л.„(ж),гп,

п>0

сходящихся равномерно по ж, 2 в области и суммируемых по Лебегу на [а, 6].

Через обозначим нетривиальное подмножество линейного пространства ^. Элементы

подмножества * имеют неотрицательные коэффициенты /¿п(ж), интегралы от которых по ж € [а, 6] строго больше нуля:

о

/.„(ж) .ж> 0, п > 0.

Получим уравнение относительно производящей функции F(ж,г). Умножим (2.9) на z, (2.10) на zn+1 и сложим полученные уравнения:

0 o

жг/

go

a „=1

OO OO 0 oo

- z(x + д + a) 53 g„(x)zn + ^53 g„+1(x)zn+1 + / 53 g„(y)zn dy

n=1 n=2 a n=1

0

F(ж, z)(z2x — г(ж + д + a) + д) + az^(x) j F(y, z)dy — ддо(ж) + жг/(ж) = 0.

Преобразуем полученное уравнение к виду

ь

Г

а

Введем оператор Ж сдвига коэффициентов степенного ряда: Ж¥{х,г) =- = у г дп+1{х),

у —*

n> 0

а также оператор интегрирования Ф:

b

ФЕ(ж, z) = ^(ж) У F(y, z) dy,

одинаково действующие на нестационарные и стационарные абсолютно сходящиеся степенные ряды. Через I обозначим единичный оператор. Введем операторы

М) =---{цЖ + аФ), % = 1-£/0.

х + ^ + а — хг

Из (2.11) с учетом введенных обозначений для операторов следует уравнение для производящей функции ^(х, г):

[

или

%Р

ж + ^ + а — хг

из которого выражается стационарная производящая функция

^(ж, г) = ^Г7о(х,г) (2.14) и следует формальное представление для нее

F

n>0

Для исследования сходимости ряда (2.15) введем норму в пространстве , позволяющую оценить слагаемые в (2.15) для значений параметров ж, г € при фиксированном значении г:

1

I V 'П

b — a

n>0

= 7-- 7 . И /

Ь

По указанной норме Jzfz является банаховым пространством. Символом "^(Jz?z) будем обозначать пространство линейных ограниченных в Jzfz операторов, отображающих пространство Jzfz само в себя. По операторной норме

\\U\\n^)= sup sup

h:\\h\\^z =0 llhll h:\\h\\sez = 1

пространство ) банахово.

Заметим, что степенной ряд

/„(11г) = ^ = в = е(х) = —?—,

х + д + а 1 — х + д + а ">о ж + д + а

принадлежит нетривиальному подмножеству линейного пространства «Й^. Так как (х+д+а — х* )-1Н, Ж Н, ФН € для любого Н € , то Н € ^?г*С для любого Н € Степенные ряды «2*0"/0 (ж, г) принадлежат «2?.* С п > 1. Следовательно, оператор «2^0 отображает пространство в себя.

Теорема 1. Из определения линейных операторов Ф, Ж, л/о, заданных на элементах пространства следуют условия на норму данных операторов в пространстве "У () при указанных ограничениях:

(1) норма оператора Ф равна единице:

(2) норма оператора ограничена:

г е {z:\z\X)};

(3) для значений а > 0 при условии (1.2) существует такое £о = £о(д, Ь, а, а) > 0, что норма оператора л/о ограничена:

1К1к

Доказательство. (1) Норма оператора интегрирования

о

ФН(х,*)=<,(х)/ Н(у,*) Н

равна

= зпр —-= зпр ---

п>о а

Е /МуМУ

п>о а

= 8иР -~ь-=

г=о Е /|Н„(х)|¿х

п>о а

(2) Для нормы оператора сдвига коэффициентов степенного ряда ^^ Н"(х)*" = ^ Н„+1(х)*"

п>о п>о

выполняется оценка

= эир ——-

= 8Ир

эир

п>о а

п>о а

Е

п> 1 1

МИ*, =о Е ¿"И" N | № +Е |П) И'

">о п>1

= У |Нп(х)| ¿х > 0, п > 0.

а

(3) Обозначим д = |*|, р = р(х) = х/(х + д + а),

%) = (М/ + !(ж)п ^

д / 7 д + а + х

¿х.

Из (2.17), (2.18) для нормы оператора л/о получим оценку

)

1

х + д + а — х* 1

<

(д^Т + аФ) I

<

х + д + а — х* 1

д + аФ

х + д + а — х* <

1

дд 1 + а Ь — а

х + д + а — х*

о

1

х + д + а — хд

с1х = —-

¿х

Ь — а У д + х(1 — д) + а

Получили оценку

) <

¿х

Если

1

Ъ—а

Ь — а У д + а + х

а

о

^

д + а + х

¿х <

д + а + х

¿х,

^ +а

д

¿х

Ь — а У д + а + х

< ( — +а

^

д + а + х

¿х = 0(д).

1

о

о

о

о

о

о

д

Выясним, при каких условиях e(q) < 1.

Найдем предел функции e(q) в точке q =1 справа и слева:

b

lim e(q)= lim /-- fafÜ + a\ = 0±£L = i T. e. 0(1) = 1.

g^i±o q^i±oJ p + а + x(1 - q) \q у p + а

a

Найдем производную функции e(q) в точке q =1 слева и справа:

lim в (q) = lim

b b

x^(x) dx /p \ f ^(x) dx / p -+a +

(x + p + а — xq)2 у q у J x + p + а — xq у q2

a

- p + а p А — p

= A-

(р + а)2 р + а р + а

Из условия (1.2) следует, что производная функции 0(д) в точке д = 1 слева и справа отрицательна. Таким образом, в случае (2.21) при выполнении условия (1.2) из того, что 0(1 ± 0) = 1 и 0'(1 ± 0) < 0, вытекает существование такого £о(р, Ь, а, а) > 0, что для любого д € (1,1 + £о) выполняется 0(д) < 1, т. е.

МУг^*) < 1

Если

ь ь 1

[-Щ-,-Т ^ < I-Щ-,-Т

} р + а + ж

аа

то возникают две возможности: либо

ь

V \ [ ^

- (g +а) /

q у У p + а + x

dx

u b

в + ol г f]T

0

b — a J p + а + x

либо

b

V \ f ^

+ а

p + а + x(1 —

— dx = e

u b

£ + а /• dx

- / + n-\ =

b — a j p + а + x

В случае (2.23) проводится аналогичным образом, как показано выше, доказательство существования такого £о(р, Ь, а, а) > 0, что для любого д € (1,1 + £о) выполняется 0(д) < 1, т. е. ) < 1.

В случае (2.24) выясним, при каких условиях ||^г«о||-г(^?г) < 1.

q

Найдем предел функции 01 (д) в точке д = 1 справа и слева:

о

Ит 01 (а) = Ит /

г^1±0 ' д^1±0 у

(6 - а)"

<Ы — + а) =^±^ = 1, т. е. 01(1) = 1.

М + а + ж(1 — д) Уд У М + а

а

Найдем производную функции 01(д) в точке д =1 слева и справа:

Ишп 01

Иш

д^1±0

Ь

ж(6 — а) 1 ¿ж /д (ж + м + а — жд)2 \ д

о

/(6 — а)-1 ¿ж ж + м + а — жд

а

= (а + 6)2

+ а

1 М + а

М (а + 6)2-1 — м

(М + а)2 м + а

М + а

Потребуем, чтобы производная функции 01(д) в точке д =1 слева и справа была отрицательной. С учетом этого условия из оценки нормы получим условие на параметры СМО:

^ < М-

Покажем, что если выполняется достаточное условие существования и единственности стационарного режима СМО (1.1), то отсюда следует (2.25). Действительно, м > 6 = (26)/2 = (6 + 6)/2 > (а + 6)/2, т. е. (2.25) выполняется.

Таким образом, в случае

0

при выполнении системы условий

А < м,

а + 6

< д.

Пересечением условия (2.27) и достаточного условия (2.28) будет условие (2.27).

Подводя итог, отмечаем, что доказано существование такого £0 > 0, что для любого д £ (1,1 + £0) выполняется ) < 1. Следовательно,

1К0|к(^) < 1

Теорема 1 доказана.

Для системы уравнений (2.5), (2.6) введем производящую функцию

г(ж,,г) = 53 дк(ж), (ж, г) £ г. к>0

В силу условия нормировки (2.7) г(ж, 1) = /(ж), т. е. производящая функция г(ж,г) сходится равномерно по ж на границе области г при | = 1. Следовательно, производящая функция г(ж, г) сходится равномерно по ж, г внутри области г.

1

д

Теорема 2. 1. Условие (1.2) является необходимым условием неотрицательности стационарных характеристик (ж), к > 0.

2. Условие (1.2) является необходимым и достаточным условием существования и единственности решения ¥(ж, г) уравнения (2.13), представленного в виде равномерно сходящегося ряда в (2.15) для любых ж, г из области 'Зхх.

Доказательство. Докажем необходимость условия (1.2) существования и единственности решения ¥ (ж, г) уравнения (2.13). Из системы уравнений (2.5), (2.6) следует уравнение относительно производящей функции г(ж, г):

ь

^ - (Ж + Р + ^ + М)Г(Ж' ^) + ^(Ж) / Г(У' ^ = (1 - 2)М90(Ж)'

а

Преобразуем данное уравнение к виду

ь

(1 — 2)(р — жг)г(ж, 2) — агг(ж, 2) + У г(у, 2= (1 — 2)рдо(ж).

а

Проинтегрировав последнее уравнение по ж € [а; Ь] и разделив все уравнение на

1 — получим

ь ь

/

аа

приравняв затем 2 = 1, в силу условия нормировки (2.7) получим равенство

ь ь

/(М — ^ ^ = ^?0(ж) ^

аа

откуда

ь ь

Р0=/ д0(ж) ¿ж =/(1—ж/рмж) ¿ж >0.

аа

Покажем, что вероятность Р0 того, что в СМО в стационарном режиме нет заявок, строго положительна. Если Р0 = 0, т. е. А = р, то либо фз(ж) = 0, либо д0(ж) принимает отрицательные значения для ж € [а; Ь]. Из последнего следует, что условие А = р не является необходимым условием неотрицательности стационарных характеристик дк(ж), к > 0.

Пусть д0(ж) = 0. Из (2.29) при к = 0 следует

ь

РРк+1 = J ждк(ж) ¿ж,

откуда с учетом дк (ж) = 0 получаем Рк+1 = 0. Отсюда следует, что либо ^к+1(ж) = 0, либо дк+1(ж) принимает отрицательные значения для ж € [а; Ь]. Из последнего

вытекает, что условие Л = ^ не является необходимым условием неотрицательности стационарных характеристик qk(ж), k > 0.

Продолжая аналогичные рассуждения для k > 1, получим qk(ж) = 0, k > 0,

т. е. pk = 0, k > 0, что противоречит условию нормировки Е Pk = 1.

k>0

Таким образом, доказано, что po > 0. Из положительности вероятности po следует необходимое условие Л < ^ существования и единственности системы уравнений (2.5), (2.6), следовательно, и эквивалентной ей системы уравнений (2.9), (2.10), а значит, и производящей функции F(ж, z). Необходимость условия (1.2) существования и единственности решения F(x,z) доказана. Доказано также, что условие Л < ^ является необходимым условием неотрицательности стационарных характеристик qk(x), k > 0.

Докажем достаточность условия (1.2) существования и единственности решения F(ж, z) уравнения (2.13). Так как (2.15) получено из (2.13), отсюда следует, что F(ж, z) в (2.15) является решением уравнения (2.13). При выполнении условия (1.2) в силу теоремы 1 следует

IKolk

Из этого вытекают существование, единственность и ограниченность оператора J0, ряд (2.15) сходится равномерно по ж, z из области z, а следовательно, существует и единственно решение F(ж^) уравнения (2.13).

Таким образом, условие (1.2) является необходимым и достаточным условием существования и единственности решения уравнения (2.13). Теорема 2 доказана.

Из теоремы 2 следует, что условие (1.2) является необходимым условием неотрицательности стационарных характеристик qk(ж), k > 0. Так как дп(ж) ££ -S^z , n > 0, отсюда вытекает, что условие (1.2) является необходимым и достаточным условием неотрицательности стационарных характеристик дп(ж), n > 0.

Заметим, что так как правая часть (2.15) не зависит от начальных условий, отсюда следует эргодичность СМО, т. е. независимость стационарного решения уравнений СМО со скачкообразной интенсивностью входного потока от начальных условий.

3. Заключение

В работе доказано необходимое и достаточное условие Л < ^ существования и единственности стационарного режима в рассматриваемой СМО, эргодичности СМО. Найдено стационарное решение уравнения для стационарной производящей функции в виде сходящегося ряда. Получены необходимые и достаточные условия неотрицательности стационарных характеристик числа заявок

СМО.

ЛИТЕРАТУРА

1. Purdue P. The M/M/1 queue in a Markovian environment // Oper. Res. 1974. V. 22. Р. 562569.

2. Горцев А. М., Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск. Изд-во Том. ун-та, 1978.

3. Zhu Y. A Markov-modulated M/M/1 queue with group arrivals // Queueing Syst. 1991. V. 8. P. 255-264.

4. Таташев А. Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 1995. № 12. С. 78-84.

5. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М: Физматгиз, 1961.

6. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М: Наука, 1973.

7. Головко Н. И., Коротаев И. А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1989. № 2. С. 36-39.

8. Головко Н. И., Коротаев И. А. Системы массового обслуживания со случайно изменяющейся интенсивностью входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1990. № 7. C. 80-85.

9. Головко Н. И., Филинова Н. А. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Автоматика и телемеханика. 2000. № 9. C. 73-83.

10. Головко Н. И., Катрахов В. В., Писаренко Т. А. Краевые задачи в стационарных системах массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока // Дифференц. уравнения. 2002. № 3. C. 305-312.

11. Головко Н. И., Каретник В. О., Танин В. Е., Сафонюк И. И. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т. 2. № 34. С. 50-64.

12. Головко Н. И., Каретник В.О., Пелешок О. В. СМО с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 2009. № 3. C. 131-143.

13. Бондрова О. В., Головко Н. И., УКук Т. А. Вывод уравнений типа Колмогорова — Чеп-мена с интегральным оператором // Дальневост. мат. журн. 2017. № 2. C. 135-146.

Статья поступила 28 мая 2018 г.

Бондрова Олеся Васильевна, Жук Татьяна Алексеевна, Головко Николай Иванович, Дальневосточный федеральный университет, ул. Суханова 8, Владивосток 690091

bondrova.ov@dvfu.ru, Tatyana_zhukdv@mail.ru, golovko.ni@dvfu.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3

UDC 519.872:519.21:517.958:004.7

ANALYSIS OF A QUEUING SYSTEM EQUATIONS WITH A JUMP INTENSITY OF INPUT STREAM O. V. Bondrova, T. A. Zhuk, and N. I. Golovko

Abstract: We consider the queuing system (QS) with an infinite storage, one service device and exponential service. At the input of QS comes double stochastic Poisson flow whose intensity is a jump-like process with intervals of constancy distributed according to the exponential law. It is assumed that the input flow intensity values at the break points on the left and right are independent.

In the earlier published works a sufficient condition of existence and uniqueness of the QS stationary regime was obtained. In this paper, the operator analysis of integral equations is performed with respect to the characteristics of the stationary SMO, the necessary condition of existence of the system of integral equations solution is obtained and the existence and uniqueness of the solution is proved. A stationary generating function of the solution in the form of a convergent series is found.

A distinctive feature of this work is the construction of the 2nd model of QS and the use of the shift operator of coefficients of the generating function for stationary distribution of the customers number.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.99.16948 Keywords: jump-like process, double stochastic Poisson stream, queuing system, generating functions method.

REFERENCES

1. Purdue P., "The M/M/1 queue in a Markovian environment," Oper. Res., 22, 562-569 (1974).

2. Gortsev A. M., Nazarov A. A., and Terpugov A. F., The Control and Adaptation in the Queueing Systems [in Russian], Izdat. Tomsk. Univ., Tomsk (1978).

3. Zhu Y., "A Markov-modulated M/M/1 queue with group arrivals," Queueing Syst., 8, 255-264 (1991).

4. Tatashev A. G., "Queueing systems with variable input flow rate," Autom. Remote Control, No. 12, 78-84 (1995).

5. Gnedenko B. V., Probability Theory Course, Fizmatgiz, Moscow (1961).

6. Gichman I. I. and Skorokhod A. V., The Theory of Random Processes, Moscow, Nauka (1973).

7. Golovko N. I. and Korotaev I. A., "Message delay time at network node for the case of incoming traffic of variable intensity," Autom. Control Comput. Sci., No. 2, 36-39 (1989).

8. Golovko N. I. and Korotaev I. A., "A queueing systems with randomly varying arrival rate," Autom. Remote Control, No. 7, 80-85 (1990).

9. Golovko N. I. and Filinova N. A., "Matrix analysis of Queuing systems with finite storage device at a jump-like intensity of the input flow," Autom. Remote Control, No. 9, 73-83 (2000).

10. Golovko N. I., Katrakhov V. V., and Pisarenko T. A., "Boundary value problems in stationary queueing systems with diffusion intensity of the input flow," Differ. Equ., No. 3, 305-312 (2002).

11. Golovko N. I., Karetnik V. O., Tanin V. E., and Safonuyk I. I., "Research of queueing systems models in information networks," J. Appl. Ind. Math., 11, No. 2, 50-64 (2008).

© 2018 O. V. Bondrova, T. A. Zhuk, and N. I. Golovko

12. Golovko N. I., Karetnik V. O., and Peleshok O. V., "Queuing system with infinite buffer and stepwise inflow intensity," Autom. Remote Control, No. 10, 75—96 (2009).

13. Bondrova O. V., Golovko N. I., and Zhuk T. A., "Derivation of Kolmogorov—Chapman type equations with integral operator," Dal'nevost. Mat. Zh., 17, No. 2, 135—146 (2017).

Submitted May 28, 2018

Olesya V. Bondrova, Tatyana A. Zhuk, and Nikolay I. Golovko Far Eastern Federal University, 8 Sukhanova Street, Vladivostok 690091, Russia

bondrova.ov@dvfu.ru, Tatyana_zhukdv@mail.ru, golovko.ni@dvfu.ru