C.В. Дужин, "Введение в гипотезу БСД"

C.В. Дужин, "Введение в гипотезу БСД"

Введение в гипотезу БСД
С.В.Дужин

Время: пятница, с 16 до 18.
Место: ПОМИ, аудитория 311.
Первая лекция 14 сентября.
Время и место могут быть изменены в соответствии с пожеланиями большинства
желающих прослушать этот курс. Просьба записываться и высказываться.

Курс посвящен алгебраическим кривым над полем рациональных чисел и над
конечными полями. Основное внимание будет уделено эллиптическим кривым.
Конечной целью курса является формулировка гипотезы Бёрча и
Суиннертона-Дайера, связывающей ранг группы рациональных точек эллиптической
кривой, определенной над Z, и числа точек той же кривой над конечными
полями. Эта гипотеза объявлена институтом Клэя одной из семи "проблем
тысячелетия". Она опирается на аналог гипотезы Римана в конечной
характеристике, а технически примыкает к доказательству Уайлза великой
теоремы Ферма.

Я планирую дать именно введение в предмет, ибо подробное изложение для
начинающих невозможно уместить в семестровый курс.
Поэтому большей частью будут излагаться конструкции, примеры и факты.
Лишь для некоторых теорем будут даны наброски доказательств.
От слушателей предполагается лишь знание стандартных университетских
сведений из алгебры, анализа и топологии.

Курс рассчитан приблизительно на 12 лекций.

Примерная программа:

1. Краткий обзор классической теории комплексных кривых.

2. Основы теории полей (расширения, группы автоморфизмов, построение
конечных полей).

3. Группа рациональных точек на эллиптической кривой.

4. Дзета-функции и L-функции кривых над конечными полями.

5. Гипотеза Бёрча--Суиннертона-Дайера.

6. Задачи арифметики и анализа, связанные с гипотезой БСД.