О пересечениях Т-радикалов в категории абелевых групп

Е.А. Тимошенко

О ПЕРЕСЕЧЕНИЯХ ^РАДИКАЛОВ В КАТЕГОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Доказана теорема, устанавливающая связь между пересечением «непериодических» Х-радикалов категории абелевых групп и тензорным произведением групп, порождающих эти Т-радикалы.

Все встречающиеся в работе группы - абелевы. Буква р обозначает некоторое простое число; Г - множество всех простых чисел; Z(p) - циклическая группа порядка р Периодическая часть и _р-компонента группы А обозначаются ¿(А) и Ар соответственно.

Сначала напомним ряд определений и фактов из теории радикалов [1. Гл. 1]. Говорят, что в категории абелевых групп задан идемпотентный радикал р, если всякой группе А поставлена в соответствие её подгруппа р(А) так, что для любого гомоморфизма групп ф: А ^В справедливо включение ф(р(А)) ср(В), причём выполнены свойства:

Р1. р(р(А)) = р (А) для любой группы А.

Р1*. р(А/р(А)) = 0 для любой группы А.

Пусть р - идемпотентный радикал. Класс ^(р) всех групп А, для которых выполнено равенство р(А)=А, называется р-радикальным; класс Г(р), определяемый равенством р(А) = 0, - р-полупростым. Идемпотентный радикал однозначно определяется как своим радикальным, так и своим полупростым классом. Заметим, что всякий радикальный класс замкнут относительно расширений, прямых сумм и гомоморфных образов, а всякий полупростой - относительно расширений, прямых произведений и подгрупп.

Идемпотентные радикалы можно естественным образом частично упорядочить: р<а тогда и только тогда, когда р(А)са(А) для любой группы А. В этом случае всякое множество идемпотентных радикалов имеет точную нижнюю и точную верхнюю грань. Например, радикальный класс пересечения (точной нижней грани) р л а двух идемпотентных радикалов р и а совпадает с пересечением радикальных классов ^(р) П ^(а). Отметим также, что большему идемпотентному радикалу соответствует больший радикальный и меньший полупростой класс.

Пусть Г - некоторая группа. Через Шр(А) мы обозначим сумму всех подгрупп В группы А таких, что ВГ =0. Тогда Шр - идемпотентный радикал, а его радикальный класс Л(Шр) содержит те и только те группы А, для которых А  Г=0 [2. С. 203]. Далее этот радикал называется Т(Г )-радикалом.

Зафиксируем ещё одну группу V. Через И^ (А) будем обозначать пересечение всех подгрупп В группы А таких, что Иош(К, А/В) = 0. В этом случае Иг также является идемпотентным радикалом, а его полупростой класс Г(И^) содержит в точности все те группы А, для которых Иош(К, А) = 0 [2. С. 203]. Далее, его радикальный класс ^(И^) содержит группу А тогда и только тогда, когда всякий ненулевой гомоморфный образ этой группы содержит некоторый ненулевой гомоморфный образ группы V; следовательно, И^ есть наименьший идемпотентный радикал, радикальный класс которого содержит группу V [3. С. 110]. Таким образом, можно сказать, что этот радикал порождается группой V.

Предложение 1. Для любых групп Г и G справедливо равенство Шр л Шо=Шр о.

Доказательство следует из очевидного равенства

Я(Шр е о )=Я (Шр) П ВДг).

В [4. С. 299-300] дано описание всех Т(Г)-ради-калов категории абелевых групп. В частности, радикальный класс ^(Шр) содержит непериодические группы тогда и только тогда, когда группа Г периодическая. Все такие радикалы Шр находятся во взаимно однозначном соответствии со всевозможными разбиениями множества простых чисел Г на три попарно непересе-кающиеся множества: Ь (те р, для которых Гр=0), М (те р для которых Гр - ненулевая делимая группа) и N (те р для которых _р-компонента Гр не является делимой). Соответствующий этому разбиению радикал Шр можно описать следующим образом: класс Л(Шр) содержит группу А тогда и только тогда, когда А/?(А) является _р-делимой группой для всех _реМ, а сама группа А является рделимой для всех />еЖ Таким образом, Шр (А) - это наибольшая подгруппа группы А, имеющая данные свойства.

Убедимся, что всякий такой Т(Г)-радикал можно представить в виде радикала И^.

Предложение 2. Пусть Г - периодическая группа, (Ь, М, N - соответствующее разбиение множества Г. Тогда Шр=И, где V=X У (при этом X - аддитивная группа рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты со всеми ^еЬ, а У есть прямая сумма групп Z(p) по всем _реМ).

Доказательство. Ясно, что Шр(V)=V; поэтому И^< Шр. Допустим, что И^ <Шр, т.е. существует группа А такая, что Ае^(Шр) и Ай^(И^). Тогда среди всех ненулевых гомоморфных образов группы А найдётся группа В такая, что Иош(Р, В)=0 (при этом, очевидно, ВеЯ(Шр)).

Пустьр - простое число. Рассмотрим три случая.

1. />еЬ. Из Иош(Р, В)=0 следует Вр=0, так как X имеет Z(p) своим гомоморфным образом.

2. ^еМ. Из равенства Иош(^ В) = 0 получаем Иош^(р), Вр) = 0, а это возможно лишь в случае Вр=0.

3. />еЖ Условие Ве^(Шр) означает, что ^-компонента Вр делима. В этом случае из равенства Иош(Х, В) = 0 сразу следует Вр=0.

Получили, что В - группа без кручения. Следовательно, она рделима для всех _р^Ь. Поэтому равенство Иош(Х, В)=0 возможно лишь при В=0. Полученное противоречие доказывает требуемое равенство Шр=И.

Теорема 1. Пусть Г и G - периодические группы, Шр=И и Шо=ИУ (где группы V=Xl  У1 и Ц=Х2  У2 выбираются так, как это делалось в условии предложения 2). Тогда Шр л Шо=И^ и.

Доказательство. Пусть идемпотентным радикалам Шр, WQ и Шр л Шо=Шр о соответствуют разбиения (Ь1,

М1, ^), (Ь2, М2, N2) и (Ь, М, ^). Тогда, как нетрудно видеть, имеем

Ь = Ь1 П Ь2, N=N1 и N2,

м = (М1П М2) и (Ь1П М2) и (МП Ь2), и остаётся показать, что Шр  о=И * и.

В самом деле, Х1 Х2 = X, где X есть аддитивная группа рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты со всеми _реЬ. Далее группа У1  У2 изоморфна прямой сумме групп Z(p) по всем _реМ1 П М2. В свою очередь группа Х1  У2 (У1 Х2) изоморфна прямой сумме групп Z(p), где р пробегает множество Ь1П М2 (соответственно М1П Ь2). Таким образом, V и=X0 У, где У есть прямая сумма групп Z(p) по всем />еМ. Отсюда, по предложению 2, следует равенство Шр  о=И^* и. Теорема доказана.

Чтобы усилить утверждение теоремы 1, нам понадобится следующая

Лемма. Пусть V, и и С - абелевы группы, причём Г(ИК) =Г(ИС). Тогда Г(Иу* и) =Г(ИС* и).

Доказательство. Если АеГ(И^ * и), то имеем Иош( V, Иош( и, А))=Иош( V и, А )=0,

т.е. Иош(и, А)єР(Ик). Отсюда Иош(и, А )єР(Ис) и, следовательно,

Нот(С  и, А)=Иош(С, Иош( и, А)) = 0.

Таким образом, Р(Ик  и) с Р(ИС  и). Обратное включение доказывается аналогично.

Теорема 2. Пусть ґи G - периодические группы, ШР=ИС и =Ио. Тогда ^УР а =Ис  о •

Доказательство. Пусть V и и - «канонические» (см. теорему 1) группы, для которых ШР=Ик и Ш'о= Ии. Тогда нам достаточно показать, что из равенств Ик=Ис и Ии=Н> следует Ик и=И  о.

В самом деле, учитывая коммутативность тензорного произведения абелевых групп, из равенств Р(Ик)=Р(Ис) и Р(Ии)=Р (Ио) по предыдущей лемме получаем

р(Ик  и )=р(Ис  и )=р(Ис  о).

Следовательно, Ик  и=ИС  о. Теорема доказана.

Отметим, что результат теоремы 2 легко обобщается (по индукции) на случай пересечения любого конечного семейства «непериодических» Т-радикалов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кашу А.И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 1983.

2. Тимошенко Е.А. T-радикалы и E-радикалы в категории модулей // Сибирский математический журнал 2004. Т. 45, № 1. С. 201-210.

3. Gardner B.J. Torsion classes and pure subgroups // Pacific J. Math. 1970. Vol. 33, № 1. P. 109-116.

4. Timoshenko E.A. T-radicals in the category of modules // Acta Appl. Math. 2005. Vol. 85, № 1-3. P. 297-303.

Статья поступила в редакцию журнала 28 июня 2006 г., принята к печати 5 июля 2006 г.