Эмпирические истоки математических знаний и представлений коренных малочисленных народов Севера-Востока Российской Федерации

УДК 51(076.1) Г. Д. Терешкина, М. Д. Дьячковская

ЭМПИРИЧЕСКИЕ ИСТОКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОРЕННЫХ МАЛОЧИСЛЕННЫХ НАРОДОВ СЕВЕРА-ВОСТОКА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Рассматривается проблема изучения истоков математических знаний и представлений коренных малочисленных народов Севера. Основное содержание исследования составляет анализ научной, учебной и художественной литературы по теме исследования. На основании анализа выделяются и описываются характерные особенности накопленного многими поколениями запаса знаний (астрономических, географических, фенологических, хозяйственно-экономических). Данное направление дополняется также рассмотрением элементарных вопросов развития нумерации чисел, математической терминологии, возникновения мер.

Ключевые слова: эмпирические истоки математических знаний, этноматематика, коренные малочисленные народы Севера, нумерация чисел, математическая терминология.

G. D. Tereshkina, M. D. Dyachkovskaya

Empirical Origins of Mathematical Knowledge and Understanding of Indigenous Peoples of the North-East of the Russian Federation

This article shows the problem of studying the origins of mathematical knowledge and understanding of indigenous peoples of the North. The main content of this research is the analysis of scientific, educational, fiction literature relating to the study. On the basis of the analysis characteristics of the stock of knowledge which is saved up by many generations are allocated and described (astronomical, geographical, phenological, domestic economic). This direction is supplemented also with consideration of elementary questions of development of numbering of numbers, mathematical terminology, emergence of measures.

Key words: empirical origins of mathematical knowledge, ethno mathematics, indigenous peoples of the North, sequence of numbers, mathematical terminology, emergence of measures.

Введение

Каждый народ складывается в результате своей многовековой истории в определенных географических, природно-климатических, социально-экономических условиях и имеет не только своеобразный образ жизни, культуру, быт, но и присущие ему миропонимание, мышление. Как замечает А. И. Петрова «Мудрость и фольклор каждого народа есть вечное интеллектуальное наследие и незаменимое средство воспитания подрастающего поколения» [1, с. 289]. В настоящее время в программу изучения математики в вузах и в школах широко внедряется

ТЕРЕШКИНА Галина Дмитриевна - к. п. н., доцент кафедры методики преподавания математики Института математики и информатики СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: tgd-imi@yandex.ru

TERESHKINA Galina Dmitrievna - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Department of Methods of Teaching Mathematics of the Institute of Mathematics and Informatics of the M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

E-mail: tgd-imi@yandex.ru

национально-региональный компонент для обеспечения формирования представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о социальных, культурных и исторических факторах становления математики. Истоки математической культуры якутов с точки зрения развития понятия числа и измерения величин, а также задачи на материале фольклора народа саха широко представлены в работах Т. П. Аммосовой [2] и А. И. Петровой [1, 3]. Математические представления у коренных малочисленных народов Севера (эвенов, эвенков, чукчей, юкагиров, долганов) до сих пор не получили одинаково полного отражения

ДЬЯЧКОВСКАЯ Мотрена Давидовна - старший преподаватель кафедры методики преподавания математики Институт математики и информатики СВФУ имени М. К. Аммосова.

E-mail: ter_rena777@mail.ru

DYACHKOVSKAYA Motrena Davidovna - the senior teacher of the Department of a technique of teaching mathematics of Institute of mathematics and informatics of M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

E-mail: ter_rena777@mail.ru

в научной литературе. В своей работе мы попытались систематизировать накопленный многими поколениями запас знаний (астрономических, географических, фенологических, хозяйственно-экономических), элементарные вопросы развития нумерации чисел, математической терминологии, возникновения мер, связанных с самобытной традиционной хозяйственной деятельностью коренных народов Севера.

Астрономические знания и представления

В книге «История математики в древности», изданной в 1961 г., Э. Кольман пишет: «Уже племена первобытных кочевников-скотоводов при передвижении по бескрайним степям нуждались в ориентирах. Так начались их наблюдения за движением звезд» [4, с. 29]. В работе «Чукчи. Религия» В. Г. Богораза затрагивается вопрос и об астрологических представлениях чукчей. Они занимались наблюдением неба, следили за движением небесных тел и зимой, когда солнце не появляется совсем, пользовались ими как ориентирами. В схематических рисунках чукчей можно узнать небесную карту [5-6]. Расположенность звезд относительно друг друга в этих рисунках поражает точностью. В работе В. А. Кейметинова «По тропам тысячелетий» отмечается, что все небесные тела, созвездия и звезды имели у северных народов свои названия и были связаны с визуально наблюдаемым положением объекта [7]. Например: эвенское слово ньелтин 'солнце', буквально «восходящее», «нечто восходящее», «нечто появляющееся». В отличие от предков славянских народов, отметивших в данном космическом объекте то, что дает тень или сильно печет, предки эвенов отмечают, что этот объект постоянно восходит. Названия планет и звезд связаны также с деятельностью субъекта или положением этого объекта в определенный период: так, тер 'земля' «то, на что мы наступаем», илан 'луна' означает буквально «сохраняющееся до того, как люди вставали после ночного отдыха». Семантика термина «Венера» сводится к тому, что данная звезда еще ярко виднеется до утра. Астрономические представления эвенов отражают особенности их мышления. Воздушное пространство эвены называют ньанин, околоземную атмосферу и все визуально видимое пространство вне этой атмосферы эвены называли ньэлюэн, что в переводе означает «бесконечно расширяющееся», «бездонное», «бесконечное». В этом ньэлбэндулэ 'бесконечно расширяющемся, бездонном пространстве' в темные ночи наблюдаются осикатал 'звезды'. Предки современных эвенов (также и эвенков) в звездах отметили главную, визуально заметную особенность, а именно то, что они как бы скачут, прыгают, отлетают, иначе говоря, мигают. Поэтому слова осикат (эвенский), осикта (эвенкийский) означают «скачущая», «прыгающая», «мигающая». Названия звезд чаще всего связаны с мифическими

представлениями древних людей о возникновении этих звезд: Хэвэк Нвтаранни 'следы от лыж охотника' - Млечный путь, Дьвлэкэчэн удьан 'заячий след' -группа звезд Малой медведицы и т. д. Таким образом, названия небесных тел, созвездий и звезд связаны с визуально наблюдаемым положением объекта и с мифическими представлениями малочисленных народов Севера, когда человек еще не выделял себя из окружающей среды.

Географические знания и представления

В работе «Якутские математические задачи», вошедшей в коллективную монографию «Фольклорные и краеведческие математические задачи народов России», А. И. Петрова пишет: «Умение коренных жителей Якутии и Северо-Востока Сибири ориентироваться на местности всегда поражало путешественников и исследователей..., кроме того, отдельные представители коренных жителей Якутии умели воспроизводить топографию местности на схематическом чертеже (на бересте)» [3, с. 242]. Вплоть до недавнего времени у верхнеколымских юкагиров существовало рисуночное письмо «тосы» (от якутского слова туос 'береста', юкагирское название - шаанаар шерилэ 'письмо на коже дерева', обычно любовного содержания или с информацией об охотничьем маршруте, соединявшее в себе пиктографию и навыки топографирования [8].

Фенологические знания и представления

Северные народы имели свою систему знаний о сезонных явлениях, имели представление о пространственно-временных закономерностях циклических изменений природы. Им были известны основные меры времени: век, год, месяц, сутки. По У. А. Винокуровой, счет времени у оленеводческих народов ведется по природно-хозяйственному принципу и начинается с последней декады августа-сентября. Год подразделялся на шесть сезонов, характерных для естественно-климатических условий региона и связанных с основными циклами выпаса оленей: ранняя осень (август - сентябрь), поздняя осень (октябрь - ноябрь), зима (конец ноября - апрель), ранняя весна (апрель - июнь), поздняя весна (июнь), лето (июль - август) [9].

Эвены, как и долганы и якуты, делили год на четыре основных времени года - аннани: тугэни 'зима', нэлкэни 'весна', дьугани 'лето', болони 'осень'. Термин аннани 'год' образован в эвенском языке от существительного анна 'ночевка', означает «множество ночевок» или «множество ночей». По наблюдениям В. А. Кейметинова, термин тугэни 'зима' в более точном переводе на русский язык означает «время оседания или отсидки». Термин нэлкэни 'весна' образован от существительного нэл 'нагрудник' и означает «время пребывания с распахнутым нагрудником», или «время, когда можно ходить с

распахнутым нагрудником». Слово дьугани 'лето' возникло путем объединения слов дьу 'дом' и основы глагола гадай 'брать', 'снять' и присоединением аффикса ни, означает «время снятия или смены домов (юрт)». Болони 'осень' в переводе на русский язык означает «время обильного забивания оленей» или «время удачной охоты» [7, с. 67-70].

Анализ источников показывает, что у северных народов существуют три основных вида календарных систем, основанных на чередовании фаз луны, а также на природно-хозяйственном принципе. У некоторых народов существовало исчисление месяцев с помощью различных частей своего тела [1, 7, 9].

По лунному календарю новый год начинался, скорее всего, с конца апреля, с начала отела оленей. При этом названия периодов года связывались с оленеводством. К примеру, конец апреля - хонничан иланни «месяц появления оленят», с конца мая до начала третьей декады июня - ньочэлдэ иланни, что связано с линькой оленей, т. к. слово ньочэлдэ означает «только что появившийся пух», сезон со второй декады августа до конца первой декады сентября называют иркин иланни, что в переводе означает «месяц обдирания кожи рогов», со второй декады сентября до конца первой декады октября -корбо онтиснин илан, что буквально означает «месяц хорькания самцов» или «месяц спаривания оленей и лосей».

В этой связи приведем счет месяцев у долган, отражающий процесс ежегодного обновления природы в растительном и животном мире: кун таксар ыйа 'месяц, когда встает солнце', уолэс ыйа 'месяц дымового отверстия (дымохода)', кырай кылыйаар ыйа 'месяц, греющий лицо', таба эмийдир ыйа 'месяц молочной оленухи', тугут торуур ыйа 'месяц рождения оленят', комуол ыйа 'месяц ледохода', кумаар тукэр ыйа 'месяц падения комара', ыргакта ыйа 'месяц овода', булкаакын ыйа 'месяц добычи пищи', буус тонор ыйа 'месяц ледостава', кун тукэр ыйа 'месяц захода солнца', карана кыкын ыйа 'месяц темной зимы', карана кэм 'темная пора' - первая половина декабря, кутуйак каамар кэмэ - 'пора движения мышей' - вторая половина декабря [10].

Кроме календаря, близкого к лунному календарю, у эвенов существовало исчисление месяцев с помощью различных частей своего тела. Исчисление месяцев начиналось с макушки головы по кругу, строго следуя визуальному солнечному движению вокруг земли, с перечислением названия основных частей человеческих рук и плечей, что, на взгляд В. А. Кейметинова, было доступно каждому в тот период исторического развития: «Счет начинается с января: тугэни кэйэн «разгар, макушка, вершина земли», эври мир «спускающееся плечо», эври ечэн «спускающаяся локоть», эври билэн «спускающиеся запястья», эври

унма «спускающиеся кисти рук», эври каялра «спускающиеся пальцы рук», дьугани кэйэн «разгар, макушка, вершина лета», ойчири каялра «восходящий сустав пальцев», ойчири унма ««восходящие кисти рук», ойчири билэн «восходящее запястье», ойчири ечэн «восходящий локоть», ойчири мир «восходящее плечо» [7, с. 70]. Эвену достаточно вспомнить, до какой части своего тела он дошел при подсчете месяца и, воспроизведя счет, начиная с макушки, вновь найти искомый месяц. Таким образом, фенологические знания и представления малочисленных народов Севера связаны с образом жизни или деятельностью человека в тот или иной отрезок времени.

Хозяйственно-экономические знания

Традиционная хозяйственная деятельность народов Севера требовала эмпирического обобщения чувственного счета в оленеводческой терминологии, связанного с фиксацией пола и возраста оленей. Данное утверждение можно проиллюстрировать на следующих примерах: «энкэн 'олененок до 6 месяцев', нямукан 'важенка - телка до 1 года', эни 'важенка, отелившаяся, 1 год', хатти 'важенка - самка оленя 1-2 лет', иавкан 'теленок домашнего оленя 1-2 лет', иитээн 'трехлетка', мойка 'олень самец 2-3 лет', ньоркан 'олень-самец 4 лет', неркан 'четырехлетка', хавди корбэ 'олень-самец старше 6 лет'» [9, с. 90].

«Гяври дюптар '7-летний олень-самец' (букв. пребывающий вторым, находящийся в двойном возрасте), илаври дюптари 'олень-самец 9 лет', тунуаври дюптари 'олень 10 лет', нюуэври дюптари 'олень-самец 11 лет'» [11, с. 36-58]. Практический опыт оленеводов способствовал образованию слов, означавших одновременно конкретный предмет и числительное.

Как указывает К. А. Рыбников, по мере перехода на более высокий уровень развития «чувственный» счет оказывается недостаточным. «Появляется необходимость сравнивать множества, сопоставляя, например, их численность поэлементно. Проявлялась эта необходимость преимущественно в процессе общения людей и выполнения ими операций обмена [12, с. 7-8] (табл. 1).

Первоначально обмен не носил характера сделки. Только постепенно обмен стал строиться на стоимостной оценке обмениваемых продуктов [4, с. 14].

Неравночисленность множеств предметов вынуждает к выработке понятий «больше», «меньше» и «равно».

К примеру, до 1931 г. торговли у долган между собой не существовало. «Нуждающийся в какой-либо вещи шел к тому, у которого эта вещь имеется, выпрашивал ее и обязательно получал эту вещь безвозмездно. Но впоследствии отдавший вещь, в случае какой-либо надобности, мог обратиться к получившему, и тот должен отдать просимое». Если

Таблица 1

Таблица ценности обмениваемых предметов (вещей) у долган

Название предметов обмена Название и количество материала, израсходованного на изготовление предмета Количество времени, затраченного на выделку Цена Примечание

Инкрустированная железка для поводка оленя ^^а&ка) Ножка одного железного капкана и 5 г меди 1 рабочий день 1 олень 1 рабочий день 5-6 ч

Навершье женского оленьего посоха, инкрустированного медью Часть ножки одного железного капкана и 5 г меди 1 рабочий день 1 олень

Летняя оленья упряжь: 1) пара вьючных ум; 2) покрышка седла (Чспппс); 3) подпруга; 4) седло вьючное, не орнаментированное 12 камусов 1 оленья шкура 3-4 шкуры оленьих голов % выделанной шкурки Обшивка шкуры и деревянный остов 1 рабочий день 1 олень Все перечисленные предметы даются вместе

Охотничьи лыжи, обшитые шкурами 16 камусов Дерево и клей 4-5 рабочих дней 1 олень

вещь недорогая, не равноценная оленю, то долгане обычно говорят при продаже «Не знаем, сколько дашь, столько и ладно» [13, с. 128-129]. Из приведенного примера видно, что сравниваемые предметы при обмене уже представляют собой зачатки понятий «больше», «меньше», «равно». Получается взаимный обмен, не ограниченный временем и не обусловливаемый равной ценностью обмениваемых предметов (вещей). Выделяется числовая характеристика множеств, неравночисленность множества предметов обмена вынуждает к поиску множеств, играющих роль эталона при этих сопоставлениях. В роли эталона при сопоставлении предметов обмена может выступать не только олень, мерило богатства северных народов, но и белка, фунт табака, кирпич чая и т. п. К примеру, в 1908 г. визит губернатора И. И. Крафта в Среднеколымск совпал с чукотской ярмаркой на урочище Пантелеиха в 50 верстах от Средне-колымска. «На ярмарку съехались около 100 чукчей. На ярмарке торговля (обмен) шла бойко. В качестве денег служила белка. Например, за фунт табака надо было отдать от десяти до двадцати белок, за кирпич чая - 20 белок, кремниевое ружье - 200 белок, нож якутский - 10 белок, годовалый олень - 20 белок» [9, с. 134].

Таким образом, хозяйственно-экономические знания малочисленных народов Севера способствовали образованию математических представлений и даже понятий. Во время обмена при сравнении обмениваемых множеств первоначально не считали количество их элементов, а чувственно-наглядно устанавливали взаимно-однозначное соответствие этих элементов. Представление о качестве обмениваемых предметов, их массе, размерах, весе и т. п. еще не играло решающей роли.

Развитие нумерации чисел

«Число» - эмпирически первое понятие математики - лежит в основе математических знаний малочисленных народов Севера. История нумерации берет свое начало с первых попыток человека систематизировать окружающие его числа. «Были перепробованы различные группировки чисел. Так появлялись двоичная, троичная, пяти- и шестеричная системы, десяти- и двенадцатеричная, шести-десятеричная системы счисления и другие» [14, с. 5].

Как показывает анализ литературы, для северных народов характерны третичная (юкагиры), пятеричная (юкагиры, чукчи), десятичная (эвены, эвенки) и двадцатеричная (чукчи) системы счисления. К примеру, по сведениям В. И. Иохельсона, юкагирская система счета базируется на двух принципах -пятеричной и третичной. С одной стороны, за основу берется число три. Четыре (йэ'локун и йа'лохлои) означает три и один; шесть (малги'йалои) - это дважды три; семь (пурки'ои) - на один больше, чем шесть; восемь (малги'йэлоклои) означает дважды четыре; но пять (ньаханбой) имеет отношение к слову ханбо (ладонь, запястье, кисть руки, т. е. пять пальцев). Кунэл (десять) означает "пальцы все вместе", т. е. десять. Ньахани-бои (пять) -предположительно запястье, кисть руки [15]. «Двадцатеричная система возникла у народов, считающих не только с помощью пальцев рук, но и пальцев ног» [16, с. 14]. Яркий пример использования пальцев рук и ног при счете передал Н. И. Спиридонов - Текки Одулок, ученый-экономист, талантливый писатель, основоположник юкагирской литературы, в повести «Жизнь Имтеургина старшего», описывающего жизнь тундреных людей - чукчей Колымского округа [17].

Каждый из северных народов постепенно пришел к необходимости обратиться к пальцам своей руки как счетному инструменту. Э. Кольман писал: «всякий счет есть, таким образом, в своей основе первоначально счет двигательный, совершающийся с помощью конечностей, пальцев и их суставов. Ручной счет сыграл в развитии счета столь же важную роль, как и открытие огня в общем развитии первобытного человека» [4, с. 17]. Б. В. Болгарский предполагает, что, возможно, «первым актом счета по пальцам было указание предмета указательным пальцем; тут палец сыграл роль единицы» [15, с. 9]. К примеру, в состав слов «иркин» (один), «атахун» (два), «йэлокун» (четыре) и «кунэл» (десять) на юкагирском языке входит слог кин/кун/хун, который обозначает «палец». Так, пять (ньаханбой) имеет отношение к слову ханбо (ладонь, запястье, кисть руки, т. е. пять пальцев). Ньахани-бои (пять) - предположительно запястье, кисть руки. Кунэл (десять) означает «пальцы все вместе», т. е. десять [19].

Малочисленные народы Севера при счете в основном оперировали только целыми положительными числами. Весьма интересным является описание А. М. Анисимовой одежды будущей невестки у оленекских эвенков, из которого следует, что эвенки понимали, что нечетное число - «чорбо^тоох буолар» (букв. бывает с остатком). Так, «Невестка должна носить платья в три слоя. Низ верхней одежды (пальто) невестки должен быть обшит тремя меховыми шкурками. От будущей невестки требовалось нечетное число меховых шуб 7-9, нечетное число оленей - 117 или 201» [20, с. 155].

В табл. 2 нами приведены названия чисел от 1 до

10 включительно (в именительном падеже) на языках коренных малочисленных народов Севера.

Из дробных чисел народам Севера были известны половина и четверть. Например, в чукотском языке существуют понятия ынунчывипът, лыгэчыуапът 'половина', гынунэтэ 'пополам', пытвыгынончывэпыт, пытвычывипыт - 'четверть', чывиптыгивин - 'полгода' [21]. Юкагирам из дробных чисел была известна половина - «валь^арэ», «охольэ» (одна из двух частей или сторон предмета; один из парных предметов). Позже «чэтвиэр» - четверть [22].

Так же как и якуты, большое количество предметов, для которых не было соответствующих терминов - названий чисел, юкагиры исчисляли путем сравнения с количеством звезд на небе [3]. Например, в юкагирских преданиях говорится о том, что некогда юкагиры были столь же многочисленны, как звезды во мраке полярной ночи. В связи с отсутствием письменности у народов Севера специальных знаков для обозначения чисел не было.

Развитие математической терминологии

Суровые условия жизни на Крайнем Севере способствовали тому, что сложилась своеобразная система математических знаний. Математическая терминология кочевых народов выражает вполне конкретные вещи и абстрактные понятия: имеется запас слов для обозначения арифметических терминов и для некоторых пространственных образов, элементарных геометрических понятий, что является естественной опорой для изучения основ наук.

В качестве примера, приведем юкагирские слова-термины, обозначающие некоторые основные арифметические понятия. Так, Г. Н. Курилов в слове

Таблица 2

Названия чисел от 1 до 10 включительно на языках коренных малочисленных народов Севера

Чукотские Юкагирские на таежном диалекте (совр. фонетика) Юкагирские на тундренном диалекте Эвенкийские Эвенские Долганские

Один ыннэн Иркиэй маархуонь Умун, умукэн емэн биир [бирь]

Два дэръа (дирэ^) Атахлой кийуонь Дюр дер икки [ики]

Три дырок; (дыръо) Йалой йалуонь Илан илан Чс ['усь]

Четыре дыраз (дыръа) Илыклой йалаклань Дыгин дыгэн тчерт[тёрт']

Пять мытлыдэн ньаханбой имдалдьань Тунда Тундан биэс [бесь]

Шесть ыннанмытлыдэн малгийалой маалайлань Нюдун Нюдан алта [алта]

Семь дэръамытлыдэн (дирэзмытлыдэн) пуркийэй пускийань Надан надан hэттэ [хятт'а]

Восемь амдырооткэн (дэръомытлыдэн) малгийилыклой маалайлаклань Дяпкун дяпкан агыс [агыс]

Девять зонъачгынкэн кунаиркильдьой валь§рамкруонь Егин уюн тогус [тогус]

Десять мынгыткэн кунальой кунальань дян мян уон [он]

чунрэ 'ум', 'мысль' выделил глагольную основу чун, что означает читать, считать, сосчитать [23]. «Чукиичэ - идти куда-либо считать, сосчитать что-либо; идти куда-либо, читать [24, с. 332]. «Слово чалдьэ 'рука' образовано от глагольной основы чала - 'прибавить', 'добавить'» [23, с. 28]. «Существительное прибавление переводится как чалиэл - добавить, прибавить, приумножить, чалаа - прибавляться, увеличиваться (в количестве), чалиэ - увеличиться, прибавиться» [24, с. 316].

«Пойуму - увеличиться, стать больше (в количественном отношении), пойумул - увеличение, пойумусуол - быть увеличенным, ал§амлар - уменьшить (в количестве) [21, с. 24], льукурэ - уменьшить, убавить что-либо [21, с. 135], савасэл - разделение, деление чего-либо [21, с. 250]; от слова сава-сэ - 'делить', 'распределять' корень слова сава ~ сави» (савриндьэ тот, кто распределяет что-либо между людьми) [22, с. 28].

Материальная культура коренных малочисленных народов схожа, о чем свидетельствуют их жилища, хозяйственные постройки, произведения декоративно-прикладного искусства, предметы быта, посуда и т. п. Свои изделия они украшали орнаментами, сложными сочетаниями треугольников, кругов, различных линий. В геометрических орнаментах можно найти равные, подобные и симметричные фигуры.

В юкагирско-русских словарях приведены следующие геометрические понятия-термины: «пура^а» -'поверхность', «сабирха» -'плоскость', «сабархаа» -'нечто плоское', «йатарха» - 'прямая часть чего-либо' (например, дороги), «чархальуу» - сущ. 1) кривой, изогнутый; 2) извилистость, извилина, «чугунмэ» -сущ. 'угол', «чугунмэндьэ» - (атриб. ф. от чугуньмэнь) 'угольный', «ейчэ» - сущ.1) верхушка, макушка вершина; 2) кончик, конец, «вахчэ» - сущ. 1) грань, острая сторона; 2) край, сторона, бок чего-либо; 3) край окраина глаза, «кичил» - сущ. 1) край, конец чего-либо; 2) край, окраина, сторона, «поморкэ» - сущ. 1) кольцо, круг; 2) застежка, петля, «помнэйрукун»

- сущ.'нечто круглое', «понхатаа» - сущ. 'нечто выпуклое как шар', «ордьалалданут» - в роли сущ.'тот, кто в центре (в середине), находящийся в середине, в центре', «ордьан» - 'по середке; в центральной части чего-либо', «самнэ» - 'быть плоским', «самнэйдэримэ»

- сущ. 'пятиконечная широкая снежинка', «тильбачэнь»

- 1) быть плоским, расплющенным; 2) перен. быть плоским (как доска), «эвчэ» - сущ. 1) острие чего-либо; 2) вершина пик; 3) кончик чего-либо [22, 24].

Возникновение мер

Изыскания этнографов, историков и лингвистов показывают, что коренные народы Севера имели представления об измерении длины, площадей, объемов, веса.

Малочисленные народы Севера при выборе единиц измерения интуитивно пользовались частями

человеческого тела, хотя неточность, неустойчивость такого рода единиц очевидна. Так, самой мелкой единицей измерения длины у долган является чернота ногтей - величина полоски грязи под ногтем (Олонго «Отважный Окуолай») [13, с. 227].

При измерении высоты (глубины) единицей измерения долган также используются части тела: «при этом гора настолько, чтобы одному мизинцу уместиться, приоткрылась»; «при этом гора на ширину ладони раскрылась; волчонок при этом до поясницы высунулся, а медвежонок так высунулся, что спина показалась»; «о восьми суставах хвощ-траву пощипать» [12, с. 170]; «в мерзлую землю уходя по колено» [13, с. 169-170].

У эвенов мерами длины выступают следующие единицы измерения: «тогар» 'расстояние между большим и указательным пальцами при их вытянутом положении', «ечэн» 'расстояние, равное локтю человека', «дар» 'расстояние, равное длине распростертых рук', «дар гадан» 'расстояние от середины груди до конца какой-либо вытянутой руки', «твмкэ» 'расстояние, равное одному шагу' [19].

Для измерения длины большой протяженности единицами измерения служили расстояния, которые примерно можно было проходить за определенный (но не точный) отрезок времени. Такой мерой длины у эвенов, например, были: «нулгэ» расстояние в одну кочевку, «чауат» расстояние, пройденное без остановки, около 30 км, «куникич» 'расстояние, куда доходит крик' [25]. Единицей измерения объема для северных народов служила вместимость предметов домашнего обихода. Для примера приведем несколько мер, известных юкагирам: 'саанхавархэ', «саанчаасэ» - деревянная чаша, изготовленная из бревна с углублением, «чуораскэ» - котел, кастрюля, «чохоль» - сосуд из бересты для сбора ягод, «вэльичэ» - вместилище, сума для перевозки вещей на спине, рюкзак, «мамнандьэдоной» - сума для нарт (укладывают на всю длину нарты: имеет отверствие сверху, которое затягивается ремнем). Масса жидких и сыпучих веществ определяется по объему. «Туул»

- содержимое чего-либо, груз, «тудул» - содержимое сумы или посуды. Например, «парул», «чуораскэдуун»

- содержимое одного котла, «лугурубултуул» -содержимое подноса (т. е то, что вмещается на подносе из сшитых друг с другом камусов), «пигэтуул» -содержимое берестяной коробки предназначенной для кипячения воды, «онойтуул» - содержимое сумы, мешка, куля (например: онойенидьэлэгул - 'мешок муки'). Была распространена примерная оценка тяжести путем сравнения с тягловой силой оленя: «параа» - содержимое нарты, которую с трудом тащат два оленя, «вэлиль» или «ньумурдоной» - олений вьюк (переметная сума), имеется в виду груз, который может вести вьючной олень, «тудэньэл» - воз,

который может вести олень, запряженный на нарты.

Заключение

Таким образом, целенаправленный анализ накопленного многими поколениями запаса эмпирических знаний (географических, фенологических, астрономических, хозяйственно-экономических) коренных малочисленных народов Севера показывает, что он составляет естественную основу математических знаний. Включение в профессиональную подготовку будущих учителей математики дисциплины «Этноматематика коренных народов Севера-Востока Российской Федерации» дало бы возможность использовать знания, веками накопленные в истории северного народа, в математическом образовании подрастающего поколения.

Л и т е р а т у р а

1. Петрова А. И., Кайгародов С. П., Ильина Е. А., Ченянова Н. И ., Терентьева М. Д. Народные математические задачи как средство учебно-познавательной деятельности// Казанская наука. - 2012. - № 11 - С. 288-293.

2. Аммосова Т. П. Математические знания и представления якутов / Якутск «Бичик» нац. Книжн. Изд-во - 1994.

3. Фольклорные и краеведческие математические задачи народов России / Мерлина Н. И. [и др.]. / под общ. Ред. Мерлиной Н. И. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2012. - 290 с.

4. Кольман Э. История математики в древности / Кольман Э. / отв. ред. Розенфельд Б. А. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. - 235 с.

5. Богораз В. Г. Чукчи. Религия [электронный ресурс] / Богораз В. Г.; авторизованный пер. с англ. ред. Францов Ю. П.

- Ленинград: Главсевморпути, 1939. -.- Режим доступа: http:// www.sakhamemory.ru/liter/book/chukotika/32.pdf 194 с.

6. Богораз В. Г. Чукчи. Часть I [электронный ресурс] / Богораз В. Г.; авторизованный пер. с англ. ред. Францов Ю. П. - Ленинград: Издательство институтов севера ЦИК СССР. -.- Режим доступа: http://www.sakhamemory.ru/ liter/book/chukotika/31.pdf

7. Кейметинов В. А. По тропам тысячелетий: (геогр. лексика эвенского яз. и топонимика как свидетельство специф. духовности предков соврем. эвенов) / М-во образования РС(Я), Науч.-исслед.ин-т нац. школ, М-во по делам народов РС(Я) и федер. отношениям. - Якутск: Изд-во ИРО МО РС(Я), 2000. - 180 с.

8. Фольклор юкагиров Верхней Колымы : хрестоматия / М-во высш. и сред.спец. образования РСФСР, Якут. гос. ун-т, М-во нар. образования ЯАССР ; под ред. Николаевой И. А.; [сост.: Жукова Л. Н., Николаева И. А., Демина Л. Н.].

- Якутск : Изд-во ЯГУ, 1989. - 21 см. Текст парал. на рус., юкаг. яз. I. Жукова, Людмила Николаевна, сост. II. Якутский государственный университет. - 1. Юкагирский фольклор -Верхняя Колыма - Хрестоматии Ч. 1. - 160 с.

9. Культура и искусство оленеводческих народов: материалы междунар. науч. конф./ [отв.ред. Винокурова У. А.].

- Якутск, 2006. - 180 с.

10. Аксенова Е. Е. и др. Словарь долгано-русский и русско-долганский: Пособие для уч-ся нач.шк. / Аксенова Е. Е., Бельтюкова Н. П., Кошеверова Т. М. - СПб.: отд-ние изд-ва «Просвещение», 1992. - 192 с.

11. Дуткин Х. И. Термины оленеводства в эвенском языке // Актуальные вопросы языков народов Севера. -Якутск.

12. Рыбников К. А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 496 с.

13. Попов А. А. Долганы Сборник трудов по этнографии. Т. II / Сост. Барболина А. А. - Издательство СПб: «Дрофа», 2003. - 40 с.

14. Мерлина Н. И. История математики: нумерация различных народов мира: учеб. пособие / Мерлина Н. И., Попова Н. Я., Мерллин А. В. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. - 116с.

15. Иохельсон В. И. Материалы по изучению юкагирского языка и фольклора, собранные в Колымском округе / Иохельсон В. И.; [сост. к. и. н. Жукова Л. Н.; предисл. искусствоведа Ивановой-Унаровой З. И.]. - Репринт.изд. -Якутск : Бичик, 2005. - 271 с.

16. Депман И. Я. История арифметики. - М.:У.: Просвещение, 1965. - 14 с.

17. Тэки Одулок. Жизнь Имтеургина старшего: повесть / Спиридонов Н. И. - Якутск: Якутское книжное издательство, 1976. - 112 с.

18. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики / Болгарский Б. В.; под ред. Чистякова В. Д. - Мн.:Вышзйш. шк., 1974. - 288 с.

19. Шадрин В. И. Страна Юкагирия. Знакомьтесь: Нелемное [электронный ресурс] / Книгакан. Документальная память малочисленных народов Севера. Режим доступа: http:// www.nlib.sakha.ru/knigakan/index.php/tematicheskie-kollektsii/ territorii-kompleksnogo-prozhivaniya-mns/respublika-sakha-yakutiya/568-strana-yukagiriya.html

20. Анисимова М. А. Олоон-Урэн Хоьуун араана (Оленек - стойбище Юрэн Хосуна) / Анисимова М. А.- НКИ «Бичик» РС (Я), 2010. - 212 с.

21. Шарль Венстен. Чукотский язык, чукотская литература [личный сайт] / Ш. Венстен; концепция и компьютерное оформление Венсан Б. - Лаборатория ИПК ИНАЛКО Париж, Франция. - Режим доступа: http://charles.weinstein.free.fr/ chukches/index.html

22. Улуро Адо. Юкагирско - русский словарь / Кури-лов Г. Н.; отв. ред. Слепцов П. А.; Рос. Акад. наук. Сиб. Отделение Ин-т проблем малочисленых народов Севера. -Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 2001. - 606 с.

23. Курилов Г. Н. Образование именных слов в юкагирском языке / Курилов Г. Н. - Л.: Институт проблем малочисленных народов Севера ЯНЦ СО РАН, 1999. - 104 с.

24. Курилов Г. Н. Юкагирско-русский словарь / Курилов Г. Н.; отв. ред. Слепцов П. А.; Якутский институт языка, литературы и истории СО АН СССР. - Якутск: Якутское книжное изд-во, 1990. - 356 с.

25. Шарина С. И. Лексические средства выражения количественности в эвенском языке. //«Инновации в науке»: материалы XVII международной заочной научно-практической конференции. (25 февраля 2013 г.) - Новосибирск: Изд. «СибАК», 2013. — 176 с.

26. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики.

Пер. с нем. - 5 изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат.лит., 1990. - 256 с.

27. Убрятова Е. И. О языке долган // Убрятова Е. И. Языки и фольклор народов сибирского Севера. - М.-Л; Наука, 1966. - С. 42-46.

28. Худяков И. А. Краткое описание Верхоянского округа. - Л.: Наука, 1968.

R e f e r e n c e s

1. Petrova A. I., Kajgarodov S. P., Il'ina E. A., Chenjanova N. I., Terent'eva M. D. Narodnye matematicheskie zadachi kak sredstvo uchebno-poznavatel'noj dejatel'nosti// Kazanskaja nauka.

- 2012. - № 11 - S. 288-293.

2. Ammosova T. P. Matematicheskie znanija i predstavle-nija jakutov / Jakutsk: nac. Knizhn. izd-vo «Bichik», 1994.

3. Fol'klornye i kraevedcheskie matematicheskie zadachi narodov Rossii / Merlina N. I. [i dr.]. / pod obshh. red. Merlinoj N. I. Cheboksary: Izd-vo Chuvash. Un-ta, 2012. - 290 s.

4. Kol'man Je. Istorija matematiki v drevnosti / Kol'man Je. / otv. red. Rozenfel'd B. A. M.: Gos. izd-vo fiz.-mat. lit., 1961.

- 235 s.

5. Bogoraz V. G. Chukchi. Religija [jelektronnyj resurs] / Bogoraz V. G.; avtorizovannyj per. s angl. red. Francov Ju. P. -Leningrad: Glavsevmorputi, 1939. -.- Rezhim dostupa: http:// shhshhshh.sakhamemory.ru/liter/book/chukotika/32.pdf 194 s.

6. Bogoraz V. G. Chukchi. Chast' I [jelektronnyj resurs] / Bogoraz V. G.; avtorizovannyj per. s angl. red. Francov Ju. P. - Leningrad: Izdatel'stvo institutov severa CIK SSSR. -.- Rezhim dostupa: http:// shhshhshh.sakhamemory.ru/liter/book/chukotika/31.pdf

7. Kejmetinov V. A. Po tropam tysjacheletij: (geogr. leksika jevenskogo jaz. i toponimika kak svidetel'stvo specif. duhovnosti predkov sovrem. jevenov) / M-vo obrazovanija RS(Ja), Nauch.-issled.in-t nac. shkol, M-vo po delam narodov RS(Ja) i feder. otnoshenijam. - Jakutsk: Izd-vo IRO MO RS(Ja), 2000. - 180 s.

8. Fol'klor jukagirov Verhnej Kolymy : hrestomatija / M-vo vyssh. i sred.spec. obrazovanija RSFSR, Jakut. gos. un-t, M-vo nar. obrazovanija JaASSR ; pod red. Nikolaevoj I. A.; [sost.: Zhukova L. N., Nikolaeva I. A., Demina L. N.]. - Jakutsk : Izd-vo JaGU, 1989. - 21 sm. Tekst paral. na rus., jukag. jaz. I. Zhukova, Ljudmila Nikolaevna, sost. II. Jakutskij gosudarstvennyj universitet. - 1. Jukagirskij fol'klor - Verhnjaja Kolyma - Hrestomatii Ch. 1. - 160 s.

9. Kul'tura i iskusstvo olenevodcheskih narodov: materialy mezhdunar. nauch. konf./ [otv.red. Vinokurova U. A.]. - Jakutsk, 2006, 180 s.

10. Aksenova E. E. i dr. Slovar' dolgano-russkij i russko-dolganskij: Posobie dlja uch-sja nach.shk. / Aksenova E. E., Bel'tjukova N. P., Kosheverova T. M. - SPb.: otd-nie izd-va «Prosveshhenie», 1992. - 192 s.

11. Dutkin H. I. Terminy olenevodstva v jevenskom jazyke // Aktual'nye voprosy jazykov narodov Severa. - Jakutsk.

12. Rybnikov K. A. Istorija matematiki: Uchebnik. - M.:

Izd-vo MGU, 1994. - 496 s.

13. Popov A. A. Dolgany. Sbornik trudov po jetnografii. T.II / Sost. Barbolina A. A. - Izdatel'stvo SPb «Drofa», 2003. - 40 s.

14. Merlina N. I. Istorija matematiki: numeracija razlichnyh narodov mira: ucheb. posobie / Merlina N. I., Popova N. Ja., Merllin A. V. Cheboksary: Izd-vo Chuvash. un-ta, 2009. - 116 s.

15. Iohel'son V. I. Materialy po izucheniju jukagirskogo jazyka i fol'klora, sobrannye v Kolymskom okruge / Iohel'son V. I.; [sost. k. i. n. Zhukova L. N.; predisl. iskusstvoveda Ivanovoj-Unarovoj Z. I.]. - Reprint.izd. - Jakutsk: Bichik, 2005. - 271 s.

16. Depman I. Ja. Istorija arifmetiki. - M.: U.: Prosveshhenie, 1965. - 14 s.

17. Tjeki Odulok. Zhizn' Imteurgina starshego: povest' / Spiridonov N. I. - Jakutsk: Jakutskoe knizhnoe izdatel'stvo, 1976.

- 112 s.

18. Bolgarskij B. V. Ocherki po istorii matematiki / Bolgarskij B.V.; pod red. Chistjakova V. D. Mn.:Vyshzjsh. shk., 1974. - 288 s.

19. Shadrin V. I. Strana Jukagirija. Znakomtes': Nelemnoe [jelektronnyj resurs]/ Knigakan. Dokumental'naja pamjat' malochislennyh narodov Severa. Rezhim dostupa: http://shhshhshh. nlib.sakha.ru/knigakan/indeh.php/tematicheskie-kollektsii/ territorii-kompleksnogo-prozhivanija-mns/respublika-sakha-jakutija/568-strana-jukagirija.html

20. Anisimova M. A. Oloon-Urjen Ho'uun araana (Olenek

- stojbishhe Jurjen Hosuna) / Anisimova M. A. - NKI «Bichik» RS(Ja), 2010. - 212 s.

21. Sharl' Vensten. Chukotskij jazyk, chukotskaja literatura [lichnyj sajt]/ Sh. Vensten; koncepcija i komp'juternoe oformlenie Vensan B. - Laboratorija IPK INALKO Parizh, Francija. - Rezhim dostupa: http://charles.shheinstein.free.fr/ chukches/indeh.html

22. Uluro Ado. Jukagirsko - russkij slovar' / Kurilov G. N.; otv. red. Slepcov P. A.; Ros. Akad. nauk. Sib. Otdelenie In-t problem malochislenyh narodov Severa. - Novosibirsk: Nauka. Sib. Otd-nie, 2001. - 606 c.

23. Kurilov G. N. Obrazovanie imennyh slov v jukagirskom jazyke / Kurilov G. N. - L.: Institut problem malochislennyh narodov Severa JaNC SO RAN, 1999. - 104 s.

24. Kurilov G. N. Jukagirsko - russkij slovar' / Kurilov G. N.; otv. Red. Slepcov P. A.; Jakutskij institut jazyka, literatury i istorii SO AN SSSR. - Jakutsk: Jakutskoe knizhnoe izd-vo, 1990. - 356 s.

25. Sharina S. I. Leksicheskie sredstva vyrazhenija kolichestvennosti v jevenskom jazyke. // «Innovacii v nauke»: materialy HVII mezhdunarodnoj zaochnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. (25 fevralja 2013 g.); Novosibirsk: Izd. «SibAK», 2013. - 176 s.

26. Strojk D. Ja. Kratkij ocherk istorii matematiki. Per. S nem.

- 5 izd., ispr. - M.: Nauka. Gl. Red. fiz.-mat.lit., 1990. - 256 s.

27. Ubrjatova E. I. O jazyke dolgan // Ubrjatova E. I. Jazyki i fo'klor narodov sibirskogo Severa. M.-L; Nauka, 1966. - S. 42-46.

28. Hudjakov I. A. Kratkoe opisanie Verhojanskogo okruga. -L.: Nauka, 1968.

^SNSr^r