Модель формирования обобщенного приема решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в профильном обучении школьников

УДК 372.851 ББК 74.262.7

Веретенникова Ольга Николаевна

соискатель

кафедра математики, теории и методики обучения математике Арзамасский государственный педагогический институт им. А.П. Гайдара

г. Арзамас Veretennikova Olga Nikolaevna Post-graduate

^air of Mathematics, Theory and Methodology of Teaching Mathematics Arzamas State Pedagogical Institute named after A.P. Gaidar

Arzamas

Модель формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в профильном обучении

школьников

Model for Constructive Tasks Solving Generalized Strategy Forming by Means of Geometrical Locus in the Specialized Education of Schoolchildren

В статье рассматривается проблема формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек и обоснована модель данного процесса, реализуемого в профильном (физикоматематическом) обучении школьников математике.

The article considers the problem of generalized strategy of constructive tasks solving by means of geometrical locus and substantiates the model of the process mentioned in the specialized (physical and mathematical) teaching Mathematics to the schoolchildren.

Ключевые слова: модель, обобщённый приём решения задач,

профильное обучение математике, конструктивная задача, метод геометрических мест точек.

Key words: model, generalized strategy of tasks solving, specialized Mathematics teaching, constructive task, method of geometrical locus.

Модель в педагогической и методической литературе определяется обычно как некий объект, исследование которого служит средством для получения новых знаний о другом объекте (оригинале) [3, с. 209]. Поэтому создание модели формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек даёт возможность проследить основные стороны процесса обучения школьников решению геометрических задач на построение в их структурной и функциональной взаимосвязи.

Под конструктивными задачами будем понимать геометрические задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Умение решать задачи на построение является одним из обязательных требований к математической подготовке учащихся. Это объясняется их значимостью в геометрическом

образовании школьников, а именно в формировании и развитии мышления, пространственных представлений, геометрической интуиции, в формировании навыков и умений геометрических построений, исследовательской

деятельности, графической и алгоритмической культуры учащихся.

Одним из самых распространенных методов решения задач на построение в современной школе является метод геометрических мест точек. Понятие «геометрическое место точек» и метод геометрических мест точек явно или неявно входят в содержание всех учебников геометрии. Данное понятие имеет большое значение в геометрии, а метод, основываясь на определении фигур как множеств точек и исследовании их взаимного расположения, способствует обобщению знаний о свойствах геометрических фигур. В связи с этим представляется важным обучение школьников данному методу. Это подтверждают и исследования методистов (О.Б. Епишева, А.А. Мазаник, Г.М. Олифер, Д.И. Перепёлкин, Г.П. Сенников и др.), касающиеся обучения учащихся решению конструктивных задач методом геометрических мест точек. Но, несмотря на наличие различных рекомендаций, эффективной методики обучения учащихся решению таких задач в настоящее время в методической науке не создано. Поэтому необходимо искать пути изменения стратегии обучения учащихся решению задач на построение данным методом.

В современной теории и методике обучения математике одним из способов решения проблемы обучения школьников решению задач является формирование обобщённых приёмов.

В психолого-педагогической и методической литературе имеются различные определения понятия «приём». В нашей работе под приёмом будем понимать, с одной стороны, способ действия, выраженный в последовательности действий [2, с. 8], с другой, частицу содержания учебной деятельности, которую нужно усвоить [4, с. 28]. Правильный приём допускает обобщение, специализацию и конкретизацию; приём обладает свойством переносимости на другую задачу; приём можно перестроить и создать на его основе новый приём [1, с. 73].

Приём деятельности называют обобщённым, если он получен на основе анализа частных приёмов путем выделения общего, неизменного содержания деятельности по решению конкретных (частных) задач [1, с.73].

Формирование обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек целесообразно, так как соответствует положениям развивающей образовательной парадигмы; отвечает целям и задачам геометрического образования школьников; обеспечивает преемственность в обучении планиметрии, стереометрии и элементам сферической геометрии; реализует деятельностный подход к обучению математике; способствует развитию образного мышления школьников.

Вышесказанное позволяет перейти к созданию модели формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в образовательной практике.

Методологической основой модели процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек служат системный, личностно ориентированный, деятельностный и интегративный подходы. Системный подход обеспечивает обоснование компонентного состава модели, раскрывающего специфику процесса формирования обобщённого приёма; установление внутрисистемных связей и характеристику особенностей взаимодействия системы с внешней средой; целостность модели, возможность функционирования и получения запланированных результатов. Согласно личностно ориентированному подходу цели, содержание и технология обучения решению задач на построение методом геометрических мест точек формулируются и отбираются с опорой на индивидуальные способности ребенка, позволяющие ему быть активным участником процесса формирования обобщённого приёма, и тем самым способствовать его развитию. Деятельностный подход предполагает включение ученика в процесс активной деятельности с целью овладения содержанием математического образования. В нашем случае формирование обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек будет происходить в процессе специально организованной деятельности по решению соответствующих задач. Интегративный подход позволяет осуществить преемственность содержательных областей планиметрии, стереометрии и сферической геометрии. Для этого необходимо определить стратегию изменения состава обобщённого приёма и этапов его формирования при переходе из одной содержательной области в другую

(планиметрия - стереометрия; планиметрия - сферическая геометрия; стереометрия - сферическая геометрия).

Анализ многочисленных научных работ по теории и методике обучения математике (учебных пособий, монографий, диссертаций, авторефератов, статей), в которых авторы рассматривают модели различных аспектов процесса обучения (формирования, развития, изучения, организации и др.), показал, что чаще всего он включает в себя компоненты, отвечающие за постановку целей обучения, определение содержания, процесса или технологии (форм и методов) обучения и диагностику его результатов. Поэтому модель формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек целесообразно представить в виде совокупности четырех блоков.

Первый блок данной модели - целевой. Он предполагает определение целей и задач, связанных с формированием обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек у учащихся физикоматематических профильных классов. Сознательная цель в учебной деятельности определяет содержание (состав обобщённого приёма и методическое обеспечение процесса его формирования), технологию процесса формирования обобщённого приёма (выбор степени самостоятельности «открытия» обобщённого приёма, реализацию преемственности

содержательных областей планиметрии, стереометрии и сферической геометрии) и результат этого процесса (уровень сформированности обобщённого приёма).

Результатом формирования обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек у учащихся является не только умение решать геометрические задачи указанным методом, но и достижение развивающих целей обучения.

Второй блок формирующей модели - содержательный - отражает представления о структуре и составе самого обобщённого приёма. Состав приёма включает умственные (определить, сформулировать, доказать) и практические (построить) действия. Структура приёма заключается в шести действиях, записанных в определенном порядке, последовательное выполнение которых ведет к решению задачи. Полученный обобщённый приём можно давать ученикам в готовом виде или же организовать деятельность по его

«открытию». Выбор способа введения приёма зависит от целей обучения, поставленных учителем, от способностей учеников конкретного класса.

Другим важным блоком модели процесса формирования обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек должен стать процессуально-технологический блок. Данный блок предусматривает несколько разноплановых в качественном отношении составляющих.

Первая составляющая - этапы формирования обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек: подготовительный, основной и заключительный. На подготовительном этапе происходит актуализация знаний, на основном - знакомство с приёмом и его применение к стандартным задачам, на заключительном - творческое применение приёма. Здесь важно отметить, что основной этап может быть представлен либо двумя, либо тремя ступенями. Если обобщённый приём даётся учащимся в готовом виде, то этап распадается на две ступени: 1) знакомство с приёмом и 2) усвоение обобщённого приёма в процессе решения стандартных задач. Если же ученики участвуют в «открытии» обобщённого приёма, то основной этап состоит из трёх ступеней: 1) решение задач «по соображению»; 2) построение обобщённого приёма на основе анализа и сравнения частных приёмов; 3) усвоение и закрепление обобщённого приёма в процессе решения стандартных задач.

Содержание каждого этапа процесса формирования приёма зависит от целей этого этапа, от общих целей обучения, от способа введения приёма и от того, рассматривается обобщённый приём решения задач на построение методом геометрических мест точек в первый раз или уже изученный переносится в новую ситуацию (в пространство, на сферу). В зависимости от этого, например, в некоторых ситуациях можно отказаться от подготовительного этапа или считать указанным этапом всю предшествующую работу по теме.

Для реализации процесса формирования обобщённого приёма решения геометрических задач на построение методом геометрических мест точек необходимо наполнить каждый из этапов конкретным содержанием, т.е. разработать методическое обеспечение процесса формирования указанного обобщённого приёма в соответствии с особенностями метода. В этом будет заключаться вторая составляющая процессуально-технологического блока. Задачи Вестник ЧГПУ72011 70

подбираются или составляются исходя из целей каждого этапа, поэтому целесообразно представлять задачи в виде трех (если приём дается в готовом виде) или четырех (если предполагается «открытие» приёма) блоков. Исследования методистов в рамках деятельностного подхода показывают, что важнее организовать самостоятельное открытие приёма учащимися, чем давать его в готовом виде.

Третья составляющая определяет направления переноса и трансформации обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек и обусловлена тем, что профильное физико-математическое образование расширяет возможности изучения метода геометрических мест точек, а именно позволяет реализовать преемственность в формировании обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек при изучении планиметрии, стереометрии и элементов сферической геометрии. Реализация процесса формирования данного обобщённого приёма в условиях профильного обучения возможна в рамках базового образования в 10 - 11 классах и на элективных курсах и курсах по выбору.

Преемственность в изучении метода геометрических мест точек и формировании обобщённого приёма может быть организована двумя способами: 1) по линии «планиметрия - стереометрия - сферическая

геометрия»; 2) по линии «планиметрия - сферическая геометрия -

стереометрия». Конструктивный раздел сферической геометрии в значительной степени аналогичен построениям на плоскости, поэтому реализация второй линии возможна. Выбор одного из способов зависит от предпочтений учителя, от возможностей построения учебного процесса в конкретной школе, от способностей учеников конкретного класса, от целей обучения.

Такая преемственность в изучении данной темы и формировании обобщённого приёма позволяет проводить глубокие сравнения, обобщения, выдвижения гипотез и предположений, переносить знания, умения, навыки и способы деятельности в новую ситуацию. Это, в свою очередь, ведет к более осознанному и глубокому усвоению материала и приобщает учащихся к исследовательской деятельности. Кроме того, единый подход не требует переучивать учащихся, а значит, способствует экономии учебного времени.

Наконец, последним является блок, связанный с представлением о результате и критериями его оценки. Поэтому последним блоком модели

является результативно-оценочный блок, подразумевающий сопоставление планировавшихся и достигнутых результатов, их оценку и анализ собственной деятельности. В нашем случае результат - это сформированность обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек. А его оценка связана с уровнями обобщённости мыслительных операций, которые выражаются в возможности использовать приём в различных условиях, переносить на решение новых задач, осознанно применять по собственной инициативе, варьировать в разных ситуациях [1, с. 73]. Сформированность обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек будем оценивать по следующей шкале: низкий уровень - применение обобщённого приёма к решению задач на построение, не требующих его изменения; средний уровень - применение обобщённого приёма к решению задач на построение, в которых возможно изменение или усложнение операционного состава действий, но не самих действий; высокий уровень -творческое применение приёма в более сложных ситуациях, заключающееся в преобразовании (качественном, количественном) состава действий приёма (которое может привести даже к построению нового обобщённого приёма).

Объединяя все выделенные выше блоки, можно модель формирования обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек у учащихся физико-математического профиля представить в виде следующей схемы (рис. 1).

Предложенная нами модель состоит из совокупности элементов, образующих единую структуру и служащих достижению цели - формированию обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек (у учащихся физико-математических классов). Структурные элементы модели взаимосвязаны между собой и образуют единое образование. Результатом их взаимосвязи является завершенность процесса формирования данного обобщённого приёма.

Модель процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек: построена на основе системного, личностно ориентированного, деятельностного и интегративного подходов; реализуется через целевой, содержательный, процессуальнотехнологический и результативно-оценочный блоки; отражает личностно

ориентируемую позицию обучения; позволяет составить целостное представление об изучаемом явлении (чтобы впоследствии осуществить моделируемый процесс).

ЦЕЛЕВОЙ блок

Основная цель: сформировать обобщённый приём решения задач на построение методом геометрических мест точек

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ БЛОК

Состав обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек

Определить, какие геометрические фигуры заданы условием задачи и какую фигуру требуется построить.

Установить, расположение какой точки необходимо знать и сформулировать условия, определяющие ее.

Назвать геометрические места точек (фигуры), удовлетворяющие каждому из этих условий; построить их.

т

Найти общие точки построенных фигур; построить искомую фигуру.

Доказать, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.

Установить условия разрешимости задачи и определить число решений.

ПРОЦЕССУАЛЬНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ БЛОК

Этапы формирования обобщённого приёма

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ

основной

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ

Средства формирования обобщённого приёма

БЛОКИ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ЗАДАЧ

Направления переноса и трансформации обобщённого приёма

ПЛАНИМЕРТИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

о

РЕЗУЛЬТАТИВНО-РЕФЛЕКСИВНЫИ БЛОК

Сопоставление планировавшихся и достигнутых результатов Оценка результата - уровень сформированности обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек

Л

Рис. 1

Библиографический список

1. Епишева, О. Б. Общая методика обучения математике в средней школе: курс лекций: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов [Текст] /О. Б. Епишева. -изд. 2-е, доп. и перераб. - Тобольск: ТГПИ, 2008. - 203с.

2. Кабанова-Меллер, Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственного развития учащихся [Текст] /Е. Н. Кабанова-Меллер. - М.: Просвещение, 1968. -288 с.

3. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике [Текст]/Л. М. Фридман. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 248 с.

4. Якиманская, И. С. Знания и мышление школьника [Текст]/И. С. Якиманская. - М.: Знание, 1985. - 80 с.

Bibliography

1. Episheva, O.B. General Methodology of Teaching Mathematics in High School: Lecture Course: Textbook for Students of Physics and Mathematics of Spec. Ped. Institutes [Text] / O. B. Episheva. - Tobolsk: TSPI, 2008. - 203 p.

2. Friedman, L. M. Theoretical Foundations of Mathematics Teaching Methods [Text] / L. M. Friedman. - Moscow: Editorial URSS, 2005. - 248 p.

3. Kabanova-Meller, E.N. Forming Techniques of the Students’ Mental Activity and Cognitive Development [Text] / E. N. Kabanova-Meller. - M.: Education, 1968. - 288 p.

4. Yakimanskaya, I.S. Pupils’s Knowledge and Thinking [Text] / I. S. Yakimanskaya. - M.: Knowledge, 1985. - 80 p.