Об одном дополнении к результату М. А. Акивиса

УДК 514.756.2

А. В. Столяров

Об одном дополнении к результату М. А. Акивиса

Приведено дополнение к результату М. А. Акивиса относительно семейства циклид Дарбу, имеющих с гиперповерхностью конформного пространства соприкосновение 2-го порядка.

Ключевые слова: конформное пространство, гиперквадрика Дарбу, полное оснащение гиперповерхности, циклида Дарбу.

Индексы принимают следующие значения:

Л, ц, р = 0, п +1; I, К, Ь = Щ I, К, I = 1, п +1;

1, у, к = 1, п - 1; 1, у, к = 0, п -1; а, Ь, с = 0, п -1, п + 1.

1. В докторской диссертации Акивиса М. А. «Конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей» (Москва, 1964) найдено семейство циклид Дарбу, имеющих с гиперповерхностью Уп_1 конформного пространства Сп соприкосновение второго порядка. Но следует при этом заметить, что найденное семейство автору не удалось построить внутренним образом, то есть не все коэффициенты уравнения соприкасающейся циклиды оказались охваченными компонентами фундаментальных геометрических объектов гиперповерхности Уп_1 с Сп; он пишет: «... аналогичным путем могли бы быть найдены и остальные коэффициенты уравнения соприкасающейся циклиды. Однако их отыскание приводит к довольно громоздким выкладкам». Настоящую статью мы и посвящаем устранению этого пробела в дифференциальной геометрии гиперповерхности Уп_1 с Сп.

2. Рассмотрим «-мерное конформное пространство Сп; образующими элементами пространства Сп являются гиперсферы, гиперплоскости и точки евклидова пространства Еп с одной присоединенной к нему несобственной точкой, причем гиперплоскости считаются гиперсферами, проходящими через несобственную точку; точки пространства Еп отождествляются с гиперсферами радиуса Я = 0. Известно [1], что существует отображение пространства Сп на проективное пространство Рп+1, при котором:

1) образы всех точек пространства Сп заполняют овальную гиперквадрику Q1n сРв+1 (абсолют пространства Рп+1);

2) образом гиперсферы действительного радиуса выступает точка пространства Рп+1, находящаяся вне гиперквадрики

Q2n; образом гиперсферы мнимого радиуса — точка пространства Рп+1, находящаяся внутри гипервадрики Q2n .

Такое отображение элементов конформного пространства Сп в точки проективного пространства Рп+1 называется отображением Дарбу, а сама гиперквадрика Q2n с Рп+1 — гиперквадрикой Дарбу.

Так как в пространстве Рп+1 система из п+2 линейно независимых аналитических точек А 0, Ак, А п+1 составляет проективный репер, то репером в пространстве Сп называется система, состоящая из п+2 линейно независимых гиперсфер А0,

AK, Ап+1.

Отнесем конформное пространство Сп к полуизотропному реперу Я = {Ал} [2]: в проективном пространстве Рп+1 п вершин Ак лежат в (п-1)-мерной плоскости Пп-1, не пересекающей абсолют Q«; через Пп-1 проведем две гиперплоскости Пп и Пп, касательные к абсолюту; за вершины А0 и Ап+1 проективного репера {Ад} в Рп+1 принимаем точки касания этих гиперплоскостей с гиперквадрикой Дарбу.

В случае полуизотропного репера вершинам А 0 и А п+1 в конформном пространстве Сп соответствуют точки А0 и Ап+1, а вершинам Ак — линейно независимые гиперсферы Ак , проходящие через точки А 0 и А п+1 .

Если скалярные произведения (АЯАМ) обозначить через ёяр(= §м) и выбрать нормировку точек А0 и Ап+1 так, чтобы (А0 Ап+1) = 1, то справедливы следующие равенства:

§00 = §0К = §К,п+1 = § п+1,п+1 = 0, §0,п+1 = 1.

Любую гиперсферу Р е Сп можно разложить по элементам полуизотропного репера Я = {Ал } в виде

Р = х А0 + х Ак + х Ап+1; если Р — точка пространства Сп, то ее координаты в силу (РР) = 0 удовлетворяют уравнению

Уравнение (1) есть уравнение гиперквадрики Дарбу Ql сРп+1 в проективном репере {Ад}, соответствующем полуизотопному реперу Я = {Ал}.

При бесконечно малом конформном преобразовании элементы конформного репера Я = {Ал} получают бесконечно малые приращения, главную часть которых определяют дифференциалы , являющиеся гиперсферами:

Мх=а$Ам>

где < — дифференциальные формы Пфаффа от параметров группы L конформных преобразований. При этом число линейно независимых форм <ал равно числу независимых параметров этой группы; все линейные зависимости, которым удовлетворяют формы <ал , имеют вид

= <0+1 = 0, <0 + п+1 = 0, < + §< = 0,

<+' + §1к< = 0 ^11 - §1к< - §к< =

Следовательно, число независимых параметров группы L

конформных преобразований равно 2 • Уравнения

из группы проективных преобразований пространства Pn+i выделяют стационарную подгруппу гиперквадрики Дарбу (1), изоморфную группе конформных преобразований пространства Cn.

Кроме уравнений (3) формы Пфаффа удовлетворяют уравнениям структуры конформного пространства Cn: Drn^ = юрр ^Юр, которые являются условиями полной интегрируемости системы уравнений (2).

3. В конформном пространстве Cn рассмотрим гиперповерхность V„_1, отнесенную к полуизотропному реперу первого порядка; дифференциальное уравнение гиперповерхности V„_1 с Cn [1; 4] в этом репере имеет вид

ю0" = 0. (4) Продолжая уравнение (4), находим

с? =ЛПю0', АЪ ] = 0; (5) уап +АПю00 -gcn+1 =лпс,ЛП[Jk] = 0.

Репер первого порядка частично специализируем требованием

gin = 0.

Геометрически последнее означает, что «касательная плоскость» Tn-1(A 0) гиперповерхности Vn_1 в точке А 0 с Vn_1, которая есть ^-^-параметрическая связка гиперсфер P = ^A + A0 с центром в точке А0, и пучок соприкасающихся в точке А0 с Vn_1 гиперсфер Q = r"An + r°A0 взаимно ортогональны: (PQ) = 0.

В этом полуизотропном полуортогональном репере матрица ||g^u| имеет строение

1Ы1:

0 0 0 1

0 g1] 0 0

0 0 gnn 0

1 0 0 0

> g Л/ g /Л '

где метрический тензор gij и относительный инвариант gnn являются невырожденными и в силу (36), (6) удовлетворяют

соотношениям

- gС - gС = 0, glkgkз = 3, аГ + ¿кСк + g^k^k = 0,

gnngnn = 1, а 1пgnn - 2: = 0, а 1пgnn + 2< = 0.

с =^пк0к.

В полуортогональном репере первого порядка справедливо

Каждая из систем функций (Л;, g у},{Лгпк} на гиперповерхности Уп_1 с Сп образует геометрический объект второго порядка. Из дифференциальных уравнений (36) для равенств (6) в силу выражений (5), (8) находим

g1k лкп] + gnn л: = 0.

Замыкая уравнение (75), получим

С Ак" = 0, то есть Лк:[,ЛП]к = 0.

В случае гиперповерхности Уп_! с Сп в предположении невырожденности симметричного тензора а; :

а: Л: -^ gjgksЛпк, Уа; + а^ = аПкск -

т п I

возьмем относительный инвариант 2-го порядка а = \а1}- :

А 1па + (п - 1)(00 +С) - 2ю£ = асС, ак = а^а^.

Продолжая последнее уравнение, с использованием выражений (3), (10) получим

Чак + ака0 +

4. Согласно [3], гиперповерхность У„_1 с Сп называется нормализованной (или вполне оснащенной [1]), если задано дифференцируемое точечное соответствие А0 ^ Хп+1, Х п +1 Ф А0 (А0 — нормализуемая точка гиперповерхности Уп_ 1, Хп+1 - нормализующая точка пространства Сп). Нормализация А0 ^ Хп+1 гиперповерхности У^ с Сп (то есть ее полное оснащение) равносильна [4] тому, что к каждой точке А0 е Уп-1 присоединено п гиперсфер

Р = Аг + хг0 А0, Рп = Ап + х0 А0,

проходящих через точки А0 и Хп+1; последнее эквивалентно [4] заданию на Уп_1 с Сп двух полей квазитензоров хг°, х° :

dx

ах°п + Хп0

Нормализующая точка Хп+1 е Сп имеет разложение [4]: Хп+1 = "2 к**,0х0 + gnn (хУ А - Р - gnnx0nPn + Ап+1. (14) Точки А0, Хп+х и проходящие через них гиперсферы РК образуют конформный полуортогональный репер Я = {А0, , Рп, Хп+1}.

Если в (13) выполняется лишь одна из групп уравнений — (13а) или (13б) — то говорят [1], что задано частичное оснащение гиперповерхности Уп_1 с Сп. Например, если выполнена только система уравнений (13а), то имеем частичное (нормальное) оснащение гиперповерхности полем нормальных окружностей [Рг] (при отображении Дарбу образ окружности [Рг] лежит на гиперквадрике (1)); при этом в каждой точке А0 е Уп_ 1 окружность [Рг] проходит через точки А0 и

Хп+1 = ^glkx¡х°А0 - gkx0Рк + Ап+г.

Нормальное оснащение гиперповерхности Уп_1 с Сп эквивалентно тому, что в пространстве Сп задано дифференцируемое точечное соответствие A0 ^ Xп+1.

Аналогично, если выполнено только уравнение (13б), то имеем частичное (касательное) оснащение гиперповерхности Уп-1 с Сп полем касательных гиперсфер Pn (гиперсфера Pn касается «касательной гиперплоскости Тп_1 к Ут-1» (см. п. 3) в соответствующей точке A0 е Уп_1). Касательное оснащение подмногообразия Уп_1 с Сп эквивалентно тому, что в пространстве Сп задано дифференцируемое точечное соответствие

Ao ^ Кгде

X":+1 = ^ gnn

Заметим, что квазитензор

Л0п ^ПтgJkgnnЛ% — п-гЛп]

в силу соотношений (52), (7), (9) удовлетворяет уравнению (13б); следовательно, поле этого квазитензора во 2-й дифференциальной окрестности внутренним образом определяет касательное оснащение гиперповерхности Уп-1 с Сп.

Доказано [4], что в дифференциальной окрестности ниже 3-й не существует внутреннего нормального оснащения подмногообразия Уп_1 с Сп. В силу уравнений (11), (13а) поле охвата

Л0^ а,

в 3-й дифференциальной окрестности внутренним образом задает нормальное оснащение гиперповерхности Уп-1 с Сп.

Таким образом, поля квазитензоров Л0, Л0п в 3-й дифференциальной окрестности внутренним образом определяют нормализацию А0 ^ Хп+1 (то есть полное оснащение) гиперповерхности Уп-1 с Сп.

5. Рассмотрим гиперповерхность Уп-1 с Сп, нормализованную полями квазитензоров х0, хП (см. п. 4). При этом, как из-

вестно [4], касательное оснащение гиперповерхности Уп_1 полем квазитензора х°п индуцирует пространство конформной

0

связности без кручения Сп-1,п-1, определяемое системой форм

Пфаффа {О аь}.

Известно [4], что:

1) поле квазитензора х0 определяет нормализацию про-

0

странства конформной связности Сп-1,п-1, ибо

dx0+х0 - х° Ь;+Ь = [ х0 + -2 gnn Ю2 gч - х0я л; ] <

2) система функций

аг0 **0 + -2g| Уьх°кх0 + gnn

образует тензор (вообще говоря, несимметричный); тензор а° называется основным тензором нормализации пространства

00

Ся-1,я-1 полем квазитензора х0. В случае невырожденности

тензора а° будем говорить, что нормализация пространства

0

С я—1,и—1 и полное оснащение гиперповерхности Уя_1 с Ся являются невырожденными.

6. Известно [1], что циклидой Дарбу называется гиперпо-

0

верхность слоя Си.1(м) пространства Сп-1,п-1, уравнение которой в репере Я = {А0, Ai, ХЯ+1} имеет вид

е : раЪ^ае = 0, Раь = Рьа,

где - координаты точек М е Сп.1(м), принадлежащих цик-лиде. Будем считать, что циклида е не проходит через точку А0 е Сп.1(м): р00 Ф 0; за счет нормировки коэффициентов уравнения (20) можно добиться, чтобы Р00 = -1.

Показано [4] (с использованием условия инвариантности циклиды (20)), что при полном оснащении (необязательно невырожденном) гиперповерхности конформного пространства Сп уравнение циклиды (20) в репере Я = [Ая] запишется в виде

4 {х' + g\0 хп+1 )хк + gktxС хп+1) + + [^^^ -Х0 --2gnn(Хп0)2хп+1 + -2^кх0х0хп+1 ]2 = 0, (21) хп + gnnxС хп+1 = 0.

Очевидно, что точка Хп+1 (см. (14)) принадлежит циклиде (21), соответствующей точке А0 е Уп-1 с Сп.

При перенесении Дарбу образы всех точек циклиды (21), соответствующей точке А0 е Уп-1 с Сп, лежат на гиперквадрике Дарбу Q: сРп+1 (см. (1)), а именно на квадрике Дарбу Q2n-1, получающейся пересечением гиперквадрики Дарбу (1) с полярой хп + gnnxn0 хп+1 = 0 точки Рп относительно этой гиперквадрики; следовательно, в проективном пространстве Рп+1 при п > 3 в каждой точке А0 е Уп-1 образом циклиды (21) при перенесении Дарбу является (п-2)-мерная поверхность, вообще говоря, 4-го порядка, лежащая на квадрике 01п-1 и проходящая через точку X п+1 е 01п-1. Можно показать, что уравнение этой (п-2)-мерной поверхности 4-го порядка в репере Я = (А 0, р, Рп, X п+1} запишется в виде

^^'г1 + 2 Х0 2П+1 = 0,

а

п А

г = 0.

Уравнение

внутренним образом определяется в дифференциальной окрестности не ниже четвертого порядка.

Действительно, если в уравнении (21) в качестве функций

х° х0 взять квазитензоры Л0п (см. (17)) и ак (см. (18)) соответственно второго и третьего порядков, то основной тензор нормализации а° (см. (19)) внутренним образом определяется

в 4-й дифференциальной окрестности.

Можно показать, что циклида Дарбу (21) имеет соприкосновение второго порядка с гиперповерхностью (Хп+1), описываемой нормализующей точкой Хп+1 е Сп.

Если нормализация Хп+1 ^ А0 гиперповерхности ( Хп+1 ) е Сп невырождена, то, повторяя рассуждения и выкладки п. 5 и 6, можно найти внутренним образом определенное поле циклид Дарбу на гиперповерхности (Хп+1), имеющих с исходной гиперповерхностью Уп-1 с Сп соприкосновение второго порядка. Само собой разумеется, что решение этой задачи повышает дифференциальные окрестности участвующих при этом функций, определяемых внутренним образом. Поэтому вывод М. А. Акивиса о том, что отыскание ряда коэффициентов уравнения соприкасающейся циклиды Дарбу гиперповерхности Уп-1 с Сп приводит к довольно громоздким выкладкам, является вполне оправданным.

Список литературы

1. Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства // Матем. сб. М., 1952. Т. 31, № 1. С. 43—75.

2. Бушманова Г. В., Норден А. П. Элементы конформной геометрии. Казань, 1972.

3. Норден А. П. Конформная интерпретация пространства Вейля // Матем. сб. М., 1949. Т. 24, № 1. С. 75—85.

4. Столяров А. В., Глухова Т. Н. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий. Чебоксары, 2007.

A. Stolyarov About one addition to result of M. A. Akivis

An addition to result of M. A. Akivis concerning the set of Darboux cyclides which have the contact of the second order with a hypersurface of conformal space is given.

УДК 514.764.3

А. В. Христофорова

Нормальные связности на оснащенной в смысле Нордена — Картана гиперповерхности в пространстве аффинной связности

Работа посвящена геометрии нормальных связно-стей, индуцируемых на оснащенной в смысле Нордена — Картана гиперповерхности в пространстве аффинной связности.

Ключевые слова: гиперповерхность, пространство аффинной связности, нормальная связность, оснащение в смысле Нордена — Картана.

В работе индексы принимают следующие значения:

I,1, Ь, К, Т, 5 = Т/п; 1,1 = 0;; ', ], I, к, г, 5 = 1, п - 1.

Рассмотрим пространство аффинной связности Ап,п, заданное системой п(п +1) форм Пфаффа ^ ,#К }, подчиненных структурным уравнениям [1]