Диагностирование математической задачи

УДК 510.8 К.Н. Лунгу, Н.В. Измайлова, Н.Л. Борисова,

Московский политехнический университет, г. Москва

ДИАГНОСТИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ЗАДАЧИ

Поставим целью построить для некоторой математической задачи диагностическую модель. Для этого будем использовать три параметра: информационная ёмкость учебных элементов задачи, логическая связь между ними и трудоёмкость задачи. В статье приводятся примеры задач с разными параметрами.

Ключевые слова. Математическая задача, элементы математической задачи, учебные элементы, системная модель задачи, стандартная задача, обучающая задача, поисковая задача, проблемная задача. Параметры математической задачи и их измерение.

We set a goal to build for some mathematical problem diagnostic model. To do this, we use three parameters: the information capacity of educational task items, a logical link between them and the complexity of the problem. The article gives examples of tasks with different parameters.

Key words: mathematical problem, elements of mathematical problem, educational elements, the system model of the task, the standard task, the task of teaching, the search task, a challenging task. Parameters of mathematical problem and their measurement.

Основной вид учебной математической деятельности студентов, в процессе которой усваивается, закрепляется, запоминается математическая теория, развиваются их способности, самостоятельность мышления, формируются математические компетенции, представляет собой решение задач. Задача является одним из главных факторов повышения познавательной и практической активности студента в процессе учебы, через задачи усваиваются способы деятельности, которые реализуются в содержании обучения через

их носителя. Вот почему так важно и правильно, с научной точки зрения, подобрать и использовать в обучении задачу. Именно такой научно-обоснованный подбор является весьма эффективным путем освоения математики на основе современных подходов (деятельностный, компетент-ностный, системный, контекстный, личностно-ориентированный и др.) к математическому образованию.

Роль и место задач в обучении математики были подробно рассмотрены в работах В.Г. Болтянского, М.Б.Воловича, В.А. Гусева, Г.Д.

Глейзера, Ю.М.Колягина, В.И. Кру-пича, В.М. Монахова, К.И. Нешкова, А.Д. Семушина, Л.М.Фридмана и др. учёных [1].

В педагогической психологии признана пятикомпонентная структура учебной деятельности: побудительная причина; учебная задача; конкретные учебные действия; проверка; оценка собственных результатов. (И.А.Зимняя; [2]; стр. 196) И в этой системе задача занимает вторую позицию.

Анализ деятельности человека показывает, что и в учебной деятельности, и в жизни, как таковой, определяющим является момент постановки задачи и связано это с желанием и необходимостью открыть самому себе то, что человек еще не знает, не видит непосредственно в рассматриваемом предмете, а потому для решения этой проблемы ему необходимо выполнять какое-то определённое действие с этим предметом. Человеку нужно понимать те или иные качества, свойства предмета, связи и отношения между его элементами.

Для построения диагностической модели математической задачи мы будем использовать системную модель задачи Колягина Ю.М. [3]. С этой целью введем основные понятия, которые будем применять. Пусть И, которое мы назовем задачной системой, есть совокупность некоторых

учебных элементов, связанных между собой и обладающих единством. Это единство может быть выражено общими для всех элементов интегральными свойствами. Совокупность значений структурных свойств элементов этой задачной системы И представляет собой состояние этой системы в определенный момент времени. Математическую задачу будем рассматривать по отношению к субъекту Б, которому эта задача предъявляется. Таким образом, задача представляет собой двухкомпонентную систему (Б, И) и ее можно трактовать как контакт некоторого субъекта Б и задачной системы И.

Система И может быть для субъекта в двух вариантах: она может быть стационарной (это когда субъекту известны все ее элементы, их свойства и связи между ними) и проблемной (если хотя бы один из элементов множества И неизвестен). Решение такой задачи состоит в том, что бы преобразовать проблемную задачную систему в стационарную.

Выделим в системной модели задачи те компоненты, которые определим как объекты мыслительной деятельности: У (условие задачи) -элементы предмета задачи и связи между ними; О (обоснование решения задачи) - переход от начала к конечному состоянию; Р (решение) - объем действий, который требуется совершить для этого перехода;

З (заключение) - конечное состояние данной задачи..

После введения этих символов, системная модель задачи становится четырехкомпонентной и ее можно представить вот в таком виде: (У; О; Р; З). Взяв за основу данную структуру, мы можем выстроить модель особенностей задачи. Эта модель будет дидактически направле-на.Согласно ей, все математические задачи можно классифицировать в зависимости от того, какие из компонентов У,О,Р,З неизвестны студенту в момент начала решения данной задачи, т.е. по степени проблемности (эти компоненты будем обозначать через х, у и г).

Задача будет называться стандартной, если ее условие определено, способ решения известен и обоснован. Кроме этого, известен алгоритм получения неизвестного; символическая модель такой задачи имеет вид (У; О; Р; З).

Задача 1. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями 4х+2у-7=0 и 3х-5у+6=0.

Для определения искомого угла необходимо знать, что искомый угол равен углу между направляющими векторами данных прямых; нужно знать также формулу вычисления угла между двумя векторами. Это пример стандартной задачи.

Если же один из компонентов (У;О;Р;З) плохо определен или вооб-

ще неизвестен, то такая задача называется обучающей.

Задача 2. Дана прямая 3х+4у-7=0. Составить уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии d=6.

Данная задача является обучающей, т.к. для определения параметров искомого уравнения нет специальных формул, а потому нужно ориентировать студента на их получение. Ввиду параллельности прямых, очевидно, можно ограничиться определением одного параметра р уравнения 3х + 4 у + р = 0. Его значение следует найти из формулы расстояния от точки до прямой. При этом можно получить уравнения двух прямых.

Если в системной модели неизвестны два из четырех компонента,то она называется поисковой.

Задача 3. Даны вершины треугольника А (0; 3), В (5; 7) и С (10; 5). Требуется составить уравнения сторон ромба АМЕР, если М лежит на стороне АВ треугольника, Е - на стороне ВС и Р - на стороне АС.

Поисковый характер задачи заключается в определении уравнений двух сторон МЕ и ЕР ромба. Обойтись одним параметром для этого нельзя. Два параметра задачи можно определить, используя параллельность противоположных сторон и равенство их длин. Задача сводится к определению двух параметров, а системная модель имеет вид (У; х; у; З).

Проблемной называем задачу, если три компонента системной модели неизвестны и для получения решения задачи нужны принципиально новые идеи, которые основаны на понимание связи условий и требования задачи.

Задача 4. Боковые грани тетраэдра SABC принадлежат плоскостям 4x+8y+5z+53=0, 10x+11y-z-34=0, 10x+47y-z+146=0. Точка М(3, 2, -4) расположена внутри пирамиды, а длины боковых ребер равны 2а/10Г . Найти объём тетраэдра.

Проблемность состоит в том, что в данных условиях нельзя однозначно определить ни один элемент задачи, позволяющий найти искомый объём, а системную модель задачи представим в виде (У; х; у; z).

Одно из условий решения заключается в составлении уравнения плоскости АВС - основания тетраэдра. Вершины А, В и С расположены на рёбрах пирамиды. Проблемность заключается в определении положения относительно вершины S точек А, В и С на соответствующих рёбрах. Преодолеть затруднение можно только пониманием роли точки М и умением использования этого условия. Достижение события понимания происходит в результате применения системы приёмов мыслительной деятельности, которое выражается позитивным эмоциональным подъёмом: «я понял, как решить задачу!» [4].

Системная модель задачи может быть с большой пользой и эффективностью использована для составления целой системы учебных задач, причем уровень сложности будет варьироваться от очень простых до очень сложных. Задачи такой классификации могут применяться для интерпретации формул, теорем или закреплении метода решения, алгоритма, приёма модификации условий задачи и т.д. Обучающие и поисковые задачи помогают эффективно формировать новые приемы и методы как в коллективных так и в индивидуальных формах обучения. Для усиления самостоятельной работы студентов вне аудитории хорошо зарекомендовали себя проблемные задачи, т.к. именно они связаны с обсуждением возникающих при решении трудностей и проблемных ситуаций. Однако системную модель практически невозможно использовать для контроля уровня знаний и достижений студента, в особенности, для текущего контроля.

Требования к специалисту любого профиля диктуются требованиями стандартов обучения по этой специальности. На основании этих же стандартов формулируются и цели обучения математическим наукам. Такими целями, если определять их в терминах результатов учебного процесса, являются: наиболее полное усвоение материала (насколько

глубоко); степень абстракции и автоматизма навыков усвоения; соответствие собственных знаний тем требованиям, которые являются эталонными; своевременное исправление ошибок восприятия и прогноз качества усвоения учебного материала.

Состав и структура задания определяют то, насколько качественно это задание сформировано. Одним из главных показателей качества является трудоемкость задачи. Это количество выполняемых мыслительных операций и время их выполнения. Для тестирования, например, чаще всего используют задания, в которых количество умственных операций не очень велико, вычисления небольшие, а временные затраты минимальны [5].

Современная наука позволяет говорить о количественных отличиях учебных элементов. Например, исходя из того, что одно слово родного языка несёт информацию примерно в 12 бит (по В.П. Беспалько), представляется возможным измерять информационную ёмкость того или иного объекта, определения, утверждения, метода и даже формулы, если они представлены в словесной форме.

Для учебных элементов можно ввести понятие информационной ёмкости следующим образом. Рассмотрим, например, три учебных элемента: «определение принадлежности данной точки данной линии»,

«определение линейной зависимости данной системы векторов» и «определение предела последовательности».

1) Точка М(х0,у0) принадлежит линии F(x; у)=0, если при подстановке её координат в данное уравнение, оно становится тождеством F(х0,у0)=0.

2) Система векторов А, В, ..., К называется линейно зависимой, если равенство нулю их линейной комбинации аА+ЬВ+ ...+кК=0 с произвольными числами возможно только при условии, что не все коэффициенты этой комбинации равны нулю.

3) Число А называется пределом последовательности ап при п ^ , если для любого е>0 найдется натуральное число Ы, зависящее от е такое, что при всех п таких, что п>Ы, имеет место неравенство | ап - А |< е.

Информационная ёмкость этих определений существенно различна. Соответствующим учебным элементам, а именно: понятиям, правилам, свойствам и т.д. припишем (условно): вес 1, если их описание или определение представляют собой простое предложение или действие; вес 2, если их описание состоит из двух простых предложений или действий; вес 3, если их определение состоит из трёх и более простых предложений или действий. Перенесем эти веса на действия, связанные с проверкой определения или идентификацией учебного элемента.

Это приводит нас к тому, что учебные элементы разбиваются на

три класса по весу их информационной ёмкости.

1. Диагностирование задачи будем осуществлять по трём параметрам: 1) информационная ёмкость задачи; 2) структура логических связей между её элементами; 3) трудоёмкость выполняемых действий.

Информационную ёмкость V задачи определим как информационную ёмкость её текста или как сумму информационных ёмкостей её элементов. Например.

Задача 5. ^=1) Составить уравнение касательной к кривой о = 5о2 - 3о +1) и проходящей через точку А(1; 5).

Задача 6. ^=2) Установить, являются ли векторы А=(1, -2, 3), В=(2, -3, 4) и С=(3, 1, -1) линейно независимыми или нет.

Задача 7. ^=3) Доказать равен-

3о2 + о - 30 19 ство ит —--= —

х^3 о2 - о - 6 5

Любой задачи на доказательство предела, например, Пт ап = А или

п

Пш /(х) = А (согласно условию) при-

х ^ а

пишем информационную ёмкость V= 3.

Информационная ёмкость задачи является не абсолютной величиной, а лишь её относительной мерой, она имеет смысл для сравнения условий разных задач данной системы. Это числовой параметр, по которому студент ориентируется в том, насколько он знаком с теми или иными учебными элементами, она отражает ориен-

тировочную основу действия и влияет на понимание условий задачи и поиск приёмов решения.

2. Диагностирование логических связей Б элементов задачи.

Диагностика задачи по этому параметру основывается на логической структуризации учебных элементов, вопросов, тем, разделов, частей, дисциплин. Логическая структура учебных вопросов характеризуется тремя параметрами: важность, широта и глубина. Процедура установления логических связей изоморфна процедуры метризации топологического пространства учебных элементов. Мы используем более упрощённый способ различения трёх видов задач по параметру «логические связи», который состоит в следующем.

Исходим из следующей условной структуры курса «Математика» для студентов нематематических специальностей. Раздел 1. 1) Линейная алгебра. 2) Аналитическая геометрия. 3) Линейное программирование. Раздел 2. 4) Введение в анализ. 5) Дифференциальное исчисление. 6) Интегральное исчисление. Раздел 3.

7) Функции нескольких переменных.

8) Многомерные интегралы. Раздел 4.

9) Дифференциальные уравнения.

10)Степенные ряды. 11) Теория рядов Фурье. Раздел 5. 12) Теория функции комплексной переменной. 13) Операционное исчисление. Раздел 6. 14) Те-

ория вероятностей. 14) Математическая статистика [6].

Задачам, содержащим учебные элементы одного раздела, сопоставим вес 8=1; задачам, содержащим учебные элементы соседних разделов, сопоставим вес 8=2; задачам, содержащим учебные элементы не соседних разделов, сопоставим вес 8=3. Например.

Задача 8. (8=1). Решить систему уравнений

2х\ - Х2 + 3%з = -9, < 3x1 + 2Х2 - 3Х3 = 10, х\ - 2Х2 - 3Х3 = -6.

Задача_9. (8=2) Найти

|(52 + 5 - 6) • а2 5йх.

Задача 10. (8=3). Решить систему дифференциальных уравнений х' = 5х - 2у,

<

у' = х + 5 у.

Для того, чтобы логические связи не были препятствием к решению задач, студент должен владеть системным знаниями, а педагог должен специально организовать работу по систематизации знаний, умений и приёмов учебной деятельности [7], [8], [9].

3. Количество и качество применяемых методов и приёмов выполнения действий, необходимых для решения задачи, определяет трудоемкость Т. Ей также ставится в соответствие вес 1, 2 или 3, в зависимости от объ-

ёма вычислений, которые необходимы фактически для решения задачи.

В качестве примера рассмотрим задачи трёх уровней по параметру трудоёмкости Т по теме «Интегрирование».

Задача 11. (Т=1). Найти интеграл

г йХ

I 2

х( х + 2 5 +16) Задача 12. (Т=2) Найти интеграл

г 3х +1 йХ.

3\2 х - 5

Задача 13. (Т=3). Найти интеграл

, йХ

Ч 2 х + 3 - л/ 2 х + 5

Параметр «трудоёмкость решения» Т ориентирует студентов на технологизацию процесса решения задач, свёртываемость действий этого процесса и в полной мере использует концепцию фундирования базовых знаний, умений и личного опыта как средство формирования математических компетенций.

В данном случае мы привели примеры диагностики задачи по трем параметрам. Это позволяет составить 27 контрольных заданий разной степени сложности. Конечно, данное деление весьма условно, но оно позволяет обосновать оценку в баллах построенной системы задач, и эта оценка объективна, она принимается студентами. Зная соответствующую диагностику, студенты, выбирают для решения подходящие им тип и уровень задач из предлагаемых си-

стем для контроля и оценке уровня усвоения.

Литература.

1. Лунгу К.Н. Диагностическая модель математической задачи // Вестник Московского государственного областного университета. Серия «Педагогика». - № 3. - М.: Изд-во МГОУ, 2009. - С. 135-139.

2. Зимняя И. А. Педагогическая психология: Учебник для вузов. — М.: Издательская корпорация «Логос», 2000.

3. Колягин Ю.М. Математические задачи как средства обучения и развития учащихся средней школы. Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М. 1977.

4. Лунгу К.Н. Понимание как системный компонент усвоения знаний. // Школьные технологии. №2, 2008. - С. 115-120.

5. Аванесов В.С. Основы теории педаго-

гических заданий. //Школьные технологии, №1, 2007. - С. 146-167.

6. Лунгу К.Н., Макаров Е.В., Нефедова И.В. Основы проектирования учебно-методического комплекса по математике для студентов технических специальностей // Наука и современность. - 2014. -№ 27. - С. 70-74.

7. Лунгу К.Н. Систематизация приёмов учебной деятельности студентов при обучении математике студентов. -М, URSS, 2010.

8. Лунгу К. Н., Измайлова Н. В., Борисова Н. Л., Ересов В. Д. Образовательный эффект фундирования преподавания математики в ВУЗе // Наука и современность. - 2016. - № 44. - С. 32-36.

9. Лунгу К. Н., Измайлова Н. В., Борисова Н. Л., Адам Е. И., Роганова А.П. Некоторые вопросы модернизации математического образования студентов//Наука и современность. - 2016. - № 42. - С. 28-32.