Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях в условиях меняющегося пространства взаимодействия и электрического поля

УДК 53.097

А.С. Розов, В.Б. Байбурин, А.С. Ершов АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДОВ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ В УСЛОВИЯХ МЕНЯЮЩЕГОСЯ ПРОСТРАНСТВА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Проведён анализ траекторий зарядов в скрещенных полях в условиях изменяющегося во времени электрического поля ,расстояния между электродами.

Траектории зарядов, поперечное магнитное поле, подвижные электроды

A.S. Rozov, V.B. Baiburin, A.S. Ershov

ANALYTICAL SOLUTION FOR EQUATIONS OF MOTION CHARGES IN CROSSED FIELDS UNDER THE CHANGING SPACE AND ELECTRIC FIELD

Analysis has been made of the trajectories for charges in crossed fields under the time-varying electric field, and the distance between the electrodes.

Trajectories of charges ,transverse magnetic field, movable electrode

Как правило, при анализе процессов в устройствах со скрещенными полями геометрические параметры пространства взаимодействия принимаются неизменными во времени. Вместе с тем в ряде случаев, например в вакуумно-дугогасительных камерах (ВДК), расстояние между электродами меняется при разрыве контактов.

Целью данной работы, является получение аналитических решений для траекторий зарядов в скрещенных полях при меняющемся расстоянии между электродами и переменном во времени электрическом поле. Анализ проводился применительно к схеме на рис. 1.

В основе анализа лежит система уравнений движений зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях [1]:

у = nEy - & x

.. . (1) x = 1]EX + ^ y

где Ex, Ey - составляющие электрического поля (в общем случае переменные в пространстве и времени), Q = tfB - циклотронная частота, jj=-q - отношение заряда частицы к его массе. В нашем

случаеE (Г) = 0,E (Г) = —0--- -----— ,где / - величина переменного потенциала на электродах

х 51 й(0

С = 2П — круговая частота переменного электрического поля , ф - начальная фаза, й (0 = - из-

меняющееся во времени расстояние между электродами, - скорость раздвижения электродов.

Примем следующие начальные условия у(0) = 0,Уу 0 = 0.

mG

Рис 1. Схема с меняющемся во времени расстоянием катод-анод С учётом начальных условий проинтегрируем второе уравнение системы (1) и получим :

X = &у.

Подставив полученное выражение в первое уравнение системы (1),будем иметь:

5 +^2 5 =цЕу (і),

Как известно из [2], общее решение однородного уравнения для дифференциального уравнения (3) имеет вид

у

Используя метод Лагранжа [3] для нахождения общего решения уравнения (3), получим

Пи08т

у(і) = С08(Пі )| —:

- 8Іп(Пі)йі + 8Іп(Пі) |-

-С08(Пі)йі,

Приняв существенную медленность изменения ^

й

Зная у(t) найдём из уравнения (2) х(t) : х(і) =

У(і) = 0—7 8іп(г (^ + с) + ф) + со8(^г).

й

п/о— і 8іп(і(^ + с) + ф) + 0 со8(Ш).

й

й

На рис. 2, 3 представлены траектории зарядов, рассчитанные по соотношениям (6), (7), соответствующие менявшимся во времени расстояниям между электродами, а также разным начальным фазам переменного потенциала на электродах. На рисунках серым цветом представлены траектории, полученные чнсленным методов [4]. Также на рисунках чёрной линией показано текущее положение анода.

Рис. 2. Траектории, полученные численным методом в [4] и аналитически по по соотношениям (6), (7) ф = 0

П

Рис. 3. Траектории, полученные численным методом в [4] и аналитически по по соотношениям (6), (7) ф = у

Как видно, полученные результаты согласуются с результатами численных расчётов, полученных в [4]. Как и следовало ожидать, траектории в случае ф = 0 , имеют более пологий вид, что связано с минимальным значением электрического поля.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике / Л.А. Вайнштейн,

В.А. Солнцев. М.: Сов. радио, 1986.

2. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Механика / Л.Д Ландау, Е.М Лифшиц. М.: Наука, 1988. Т. 1.

3. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. М.: Высш. шк., 1967.

4. Розов А.С. Анализ траекторий в вакуумных дугогасительных камерах (ВДК) при разрыве контактов / А.С. Розов, В.Б. Байбурин, В.В. Муллин // Электронная техника. Сер. 1. СВЧ техника. М., 2012.

Розов Александр Станиславович -

студент кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Байбурин Вил Бариевич -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Ершов Алексей Сергеевич -

ассистент кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Aleksander S. Rozov -

Undergraduate

Department of Software, Computer Engineering

and Automated Systems

Gagarin Saratov State Technical University

Vil B. Baiburin -

Dr. Sc., Professor

Head: Department of Software,

Computer Engineering and Automated Systems Gagarin Saratov State Technical University

Aleksey S. Ershov -

Assistant Lecturer

Department of Automated Information System Security

Gagarin Saratov State Technical University

УДК 004.518 (681.518); 539.216

Статья поступила в редакцию 13.04.12, принята к опубликованию 06.09.12