Роль шланговой неустойчивости в ускорении заряженных частиц ударными волнами

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hofmann, W. Status of the High Energy Stereoscopic System (H.E.S.S.) Project [Текст] / W. Hoffman // Proceedings of 27th ICRC, Hamburg, Germany. — 2001. — Vol. 7. - P. 2785 - 2788.

2. Fonseca, V. The MAGIC telescope project [Текст] / V. Fonseca // Acta Physica Polonica B. - 1999. - Vol. 30.-No. 7.- P. 2331 - 2349.

3. Weekes, T.C. VERITAS: Very Energetic Radiation Imaging Telescope Array System [Текст] / T. C. Weekes, C. Akerlof, S. Biller [et al.] // Proceedings of the 25th ICRC. -Durban, South Africa. - 1997.- Vol. 5.- P. 173 - 176.

4. Mori, M. The CANGAROO-III project [Текст] / M. Mori, S.A. Dazeley, P.G. Edwards [et al.] // GeV-TeV Gamma Ray Astrophysics Workshop, AIP Conference Proceedings. Melville, N.Y. , USA. - 2000.- Vol. 515.-P. 485 - 491.

5. de Naurois, M. The CTA Project [Текст] / M. de Naurois // Société Francaise d'Astronomie et d'Astrophysique (SF2A). - 2008. - P. 195 - 198.

6. Vincent, P. H.E.S.S. Phase II [Текст] / P. Vincent // Proceedings of the 29th ICRC. Pune, India. - 2005. -Vol. 5 - P. 163 - 166.

7. Supanitsky, A.D. Earth magnetic field effects on the cosmic electron flux as background for Cherenkov telescopes at low energies [Электронный ресурс] / A.D. Supanitsky, A.C. Rovero // arXiv:1204.1865v1 [astro-ph. IM] - 2012.

8. Hillas, A.M. Cherenkov light images of EAS produced by primary gamma-rays and by nuclei [Текст] / A.M. Hillas // Proceedings of the 19th ICRC. Goddard

Space Flight Center, USA. - 1985. - Vol. 3 - P. 445 - 448.

9. Aptekar, R.L. KONUS-W gamma-ray burst experiment for ISTP wind spacecraft [Текст] / R.L. Aptekar, I.V. Dementyev, D.D. Frederiks [et al.] // AIP Conference Proceedings, Huntsville, Alabama, USA. - 1991. -Vol. 265. - P. 359 - 362.

10. Acciari, V.A. VERITAS observations of gamma-ray bursts detected by Swift [Текст] / V.A. Acciari, E. Aliu, T. Arlen [et al.] // The Astrophysical Journal. - 2011. -Vol. 743. - Iss. 1. - art. id. 62.

11. Manual of the ICAO Standard Atmosphere (extended to 80 kilometres (262 500 feet)) [Электронный ресурс]: Doc 7488-CD, Third Edition, ICAO. - 1993. ISBN 92-9194-004-6.

12. Васильев, Г.И. Особенности пространственного распределения черенковских фотонов в стволе широкого атмосферного ливня, вызванного гамма-квантом с энергией 5 ГэВ [Текст] / Г.И. Васильев, Е.Е. Холупенко, Д.А. Байко [и др.] // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011.-№ 4 (134). - С. 79 - 86.

13. Allison, J. Geant4 developments and applications [Текст] / J. Allison, K. Amako, J. Apostolakis [et al.] // Nuclear Science. - 2006.- Vol. 53.- P. 270 - 278. http:// geant4.cern.ch

14. Ona-Wilhelmi, E. Determination of the night sky background around the Crab pulsar using its optical pulsation [Текст] / E. Ona-Wilhelmi, J. Cortina, O.C. de Jager, V. Fonseca // Astroparticle Physics. - 2004. - Vol. 22. -Iss. 1. - P. 95 - 102.

УДК 524.3-6

А.М. Быков, П.Е. Гладилин, С.М. Осипов, Г.Г. Павлов

РОЛЬ ШЛАНГОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В УСКОРЕНИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ

Величина магнитного поля в предфронте ударных волн определяет максимальные энергии заряженных частиц, ускоренных волной, и характеристики наблюдаемого синхротронного излучения оболочек остатков сверхновых звезд. Спектр магнитных полей определяет длины свободного пробега частиц, ускоряемых

на ударной волне. Величина магнитного поля вблизи фронта ударной волны может превышать на несколько порядков величину магнитного поля в окружающей межзвездной среде, что следует из анализа рентгеновского излучения ряда остатков сверхновых, в которых происхождение рентгеновских фотонов обу-

словлено синхротронным излучением частиц, ускоренных до энергий порядка 1014 эВ. Механизм усиления магнитного поля в предфрон-те ударной волны, по-видимому, обусловлен МГД-неустойчивостями анизотропного распределения ускоренных частиц. Долгое время основным механизмом усиления поля считалась резонансная неустойчивость [1]. В работе А.Р. Белла [2] было продемонстрировано наличие эффективной нерезонансной токовой неустойчивости, усиливающей коротковолновые моды с масштабами, меньшими гироради-уса релятивистских частиц. Коротковолновые моды, однако, неэффективны как рассеиватели частиц максимальных энергий. Поэтому в работе [3] была исследована токовая длинноволновая неустойчивость, развивающаяся на фоне мелкомасштабной турбулентности Белла. В связи с проблемой формирования длинноволновых флуктуаций магнитного поля в работе [1] обсуждалась шланговая неустойчивость, связанная с наличием анизотропии давления. В этой работе неустойчивость рассмотрена в МГД-приближении. Последовательный анализ шланговой неустойчивости должен быть выполнен в рамках кинетической теории. В кинетическом подходе указанная неустойчивость для изотропного распределения частиц в системе покоя ударной волны рассматривалась в работе [4]. В подходе, близком к используемому в статье, шланговая неустойчивость рассматривалась в работе [5].

Кинетическая модель шланговой

неустойчивости релятивистских частиц

В данной работе мы приводим расчет шланговой неустойчивости, связанной с наличием анизотропии давления ускоренных частиц, в кинетическом бесстолкновительном случае в условиях предфронта ударной волны в остатке сверхновой звезды. Мы решаем кинетические уравнения для возмущений функций распределения холодных фоновых электронов и протонов, а также ускоренных частиц. Мы рассматриваем в системе покоя предфронта (система покоя фоновых протонов) возмущения, распространяющиеся вдоль направления постоянного магнитного поля В 0, и предполагаем, что ток ускоренных частиц сонаправлен с магнитным полем.

Мы рассматриваем функцию распределения ускоренных частиц следующего вида:

for _

/о _

_ ncrN

4п

, 3us 5

1 + — Ц + "

c 2

где ncr— концентрация ускоренных частиц; д = cos 9 (9 — угол между направлением постоянного магнитного поля и импульсом частицы); us — скорость ударной волны; 5 — параметр, определяющий анизотропию давления; N (p) — спектр ускоренных частиц, нормированный на единицу;

N (p) _

_ («-3) P

1 -

' Po л

V rm /

i-ЗЛ

, po ^ P ^ p,

(а — показатель спектра, р0, рт — минимальный и максимальный импульсы ускоренных частиц).

Неустойчивость, вызванная током ускоренных частиц (второе слагаемое в квадратных скобках выражения (1)), в данной геометрии рассматривалась в работах [2, 3, 6]. В данной работе мы вводим в функцию распределения (1) анизотропию давления (третье слагаемое в квадратных скобках выражения (1)). Линеаризованные уравнения Максвелла и бесстолкновительные кинетические уравнения дают следующее дисперсионное соотношение в геометрии задачи (см. [2, 3]):

2 k2v2\ E ^ 4я encr kus ) v2

(ш2 - к2vfl2 ) E ±

c Во

v2E +

+ 4%ijcr _0,

где va _ B (p — плотность фоновой

V4

плазмы); Е — электрическое поле возмущения; е — единичный электрический заряд; с — скорость света; i — мнимая единица; ш , k — частота волны и волновой вектор волны возмущения; jcr — возмущение тока ускоренных частиц;

jcr _ -Ei—J dp J dцХ

2  1

P 2v (

(P )(1 V);

ю-kv ( p +

2

c

о

1

X = -га

га

-ц

1 f , f

p ф dp

kv ( P ) P 5ц

га = +,

v2 _ Pi_PL y a

raBG

{ Usk"y^ "f A (xm ) -

jcr = <( Msk---| 1 --

-ra

(a-3)[1 -2 )a>

(V(р) — скорость ускоренной частицы, еВ

О. = —0 — гирочастота).

Р

Знаки плюс-минус в выражениях (3), (4) соответствуют различным циркулярным поляризациям мод. Второе слагаемое в выражении (3) соответствует вкладу фоновых электронов и возникает в данном выражении ввиду равенства нулю суммарного по всем компонентам электрического тока в невозмущенном состоянии.

Дисперсионное соотношение для шланговой неустойчивости, полученное в МГД-рассмотрении плазмы [1], имеет вид

1 -

( Y P0

-3 А

>( P0 )"

( п Л p0

a-3

СТ,

V-f m /

Вклад, связанный со слагаемыми, пропорциональными д2, в функции распределения (1), имеет вид

jf = т Ei6-^ 8fl1 ^М (Х0, Xm ) +

fflBn

a

+ kcA2 ( xq, xm ) +

1 -

Ira

f \w ' P0

-3 Л

где p - P1 - разность продольного и поперечного (относительно направления магнитного поля) давления, то есть анизотропия давления.

Соотношение (5) верно на масштабах, больших гирорадиусов частиц плазмы. Неустойчивость возникает, когда выражение под корнем в формуле (5) отрицательно. Выражение для анизотропии давления ускоренных частиц, имеющих функцию распределения (1), имеет вид

3

per _ per = 3 5pcr.

i да

Pcr = -ncr J v

30

Вычислим возмущение тока ускоренных частиц по формуле (4), используя функцию (1). В дальнейшем будем предполагать, что v[p) « c. Вклад в ток, связанный со слагаемыми, пропорциональными 1 и Д, в функции распределения (1), имеет вид

i( pg )"

' pg л

a-3

.

AG,1,2 Xm ) = J °G,1,2

pG

.(p)=4 i

-

4 _1 1 + хц

d ц;

3 1 (1 V W

i(p) = 3 i d К

4 _1 1 + хц

:( p ) = 41

31 (1V V

4 _1 1 + хц

d ц,

кср kcр0 ксрт

где х = , х0 = —0 , хт = —т. еВ0 еВ0 еВ0

В выражения (7), (8), в фигурные скобки,

входит ряд слагаемых, пропорциональных

частоте ю . Поскольку при интегрировании

выражения (4) пренебрегалось величиной ш

в знаменателе подынтегрального выражения,

то данные слагаемые верны только в первом

порядке по ш , то есть уже отброшен вклад,

2

пропорциональный ю . В дальнейшем слагаемыми, пропорциональными ш , мы будем пренебрегать в предположении малости фазовой скорости мод по сравнению с и8. Формулы (10), (11) и (12) имеют в

3

2

m

m

знаменателе подынтегрального выражения полюс. Интегрирование в этих выражениях производится по правилу Ландау. В результате интегрирования получаем следующие соотношения:

м 31 3

ап I х) =---+—

2 х2 4х

/

1

\

V х2 у

1п

х +1

х -1

+

3т 4х

/

1

\

1 -

V х*)

бесконечности верхнего предела интегрирования по импульсу).

Второе слагаемое правой части соотношения (16) соответствует неустойчивости Белла [1] при х0 > 1 (рис. 1, а). Данная неустойчивость есть пороговая, и область усиления мод данным механизмом определяется следующим соотношением:

кп> k >

1

а

1 (х) =

3 1 1

2 х4 3т

„3

а

4х 1.31

х2 + 4 х3

V х2 )

1п

V х

х +1

= +-

х 2 х3 4х

0(1 х| -1);

1 -V х*)

1п

х -1

х +1

(14) 18{1ш[ш/(уЛ-')]}

х -1

+

3т

4х4

1 -

1

V х J

0(1 х -1),

где 0 — функция Хевисайда.

Формула, аналогичная выражению (13), получена в работах [2, 3].

Если фазовая скорость мод много меньше скорости ударной волны, то основной вклад в дисперсионное соотношение будут вносить слагаемые из выражения (7), пропорциональные волновому вектору. Аналогичное утверждение относится к выражению (8), поскольку фазовая скорость много меньше скорости света. Таким образом, мы пренебрегаем в выражениях (7), (8) слагаемыми, пропорциональными частоте. Необходимо также пренебречь частотой во втором слагаемом выражения (3). Мы получаем, преобразуя (3) с использованием (7), (8), следующее дисперсионное соотношение:

22 ю = ^

k2 ± {1 _ ^ (хп, )} +

+ -

еВ{

4пепсгк 8

^2

В работах [2, 3] делались вычисления в предположении, что хт >> 1 (то есть максимальный гирорадиус ускоренных частиц много больше длины волны возмущения, что математически эквивалентно приравниванию

а)

1 о

-1 -2 -3 -4

Г ---->

/ г \

у/ / ч

/ / / N

2/ / / / 1 1 1

3 1

б)

1 0 -1 -2 -3 -4 -5

у-

V 7

// / / г

V / / X у •у г

з/7 / / / / 1

1 • \

-3 -2-10123

Рис. 1. Зависимость показателей роста неустойчи-востей от величины кг^, (к — волновой вектор) для правой (а) и левой (б) циркулярных поляризаций и

различный значений %: 0 (1), с/и (2), 2 (3). Использовано выражение (17) с параметрами к0 0 = 100 ,

и,/ с =0,01, рт/р0 = 100 , « = 4 8

3

1

1

3

2

где к0 =

4% тсгщ с В0

еВ0

При х0 < 1 второе слагаемое правой части выражения (16) соответствует резонансной неустойчивости, а третье слагаемое—шланговой неустойчивости.

Параметр анизотропии давления ускоренных частиц можно оценить в условиях предфронта ударной волны в остатке сверхновой как

2

5 = х-Ь с2

где X — параметр, равный нескольким единицам; его точное значение зависит от модельного интеграла столкновений ускоренных частиц с магнитными неоднородностями.

Перепишем дисперсионное соотношение (16) в более компактной форме:

22  = V*

к 2 + кк0 {А0 (x0, хт )"1"

+х ^¿2 (x0, хт )}

выражение (17) дает вклад только мнимая часть А0 (х0) при х0 ^ 1, поскольку

Re (¿0 (Х0))-1 = О (Х02),

а

1т (¿0 (х0)) = 0 (х0 ) (использовано значение а = 4).

Приведем формулы для мнимых частей выражения (9) при х0 < 1 и хт >> 1, а = 4 (формулы аналогичны полученным в работе [2]):

1т (¿0 (х0))~ + ут х0; 1т (¿2 (х0))~10 х0.

Приведем более точное, чем (18), выражение для 1т(А0 (х0, хт)), которое отвечает за резонансную неустойчивость. В области параметров х0 < 1, хт > 1

1т (¿0 (x0, хт)) =

а-3

= + -

Скорости роста неустойчивости

На рис. 1 приведены кривые для различных параметров анизотропии давления, построенных на основе выражения (17) при характерном значении показателя спектра ускоренных частиц а = 4 и параметрах к0гг0 = 100; ыя/ с =0,01; рт/р0 = 100 . Вблизи фронта ударной волны остатка сверхновых звезд значение рт/р0 может быть на несколько порядков больше ста, но при удалении от фронта в сторону невозмущенной межзвездной среды минимальный импульс ускоренных частиц растет и отношение постепенно стремится к единице. Для наглядности графиков на рис. 1 мы берем рт/р0 равным 100.

При показателе спектра а = 4 интеграл в выражении (9) для А0 (х0) берется аналитически (см. [1]), а для А2 (х0) аналитически берется интеграл только от мнимой части (15). Нас в основном интересует предел длинных волн ( х0 < 1 ), где может быть важен вклад анизотропии давления. В данной области длин волн вещественная часть А0 (х0) стремится к единице, то есть в

1 -

' Р0 Л

-3 Л

0т 3г'% ха-3

л х0

-4-1V

а-2 а )

(а-2);

ах„

1 /у

при хт < 1 1т (А0 (х0, хт )) = 0 и резонансная неустойчивость исчезает в этой области (нет резонансных частиц в спектре для данного значения к).

Основной вклад в дисперсионное соотношение при х0 < 1, хт > 1 и параметрах, характерных для предфронта ударной волны, а именно к00 =100 , ы8/ с =0,01, рт/р0 = 100, дает величина 1т (А0 (х0)) (резонансный вклад, выраженный формулой (20)). Указанная величина значительно превышает вклад от анизотропии давления при 5. Резонансный вклад (18) пропорционален величине к, поэтому в данной области по волновому числу показатель роста 1т (о) пропорционален к, когда резонасный вклад является основным. Вклад анизотропии давления Re (А2 (х0)) превышает резонансный при % us|c « 1 (см. рис. 1, а, б, кривые 2).

т

1

1

т

Шланговая неустойчивость определяется величиной Re (Л2 (х0)), которая прямо связана с вещественной частью (15). Поскольку последняя содержит знаки плюс-минус и перед А2 (х0) в соотношении (17) стоят те же знаки, то модуль вещественной части |Яе(А2 (хп ))|, входит с одинаковым знаком для обеих циркулярных поляризаций в дисперсионное соотношение (17), как и |1т (А, (хп ))|, в отличие от |Яе(А,(хп)) — 1|. Это приводит к тому, что белловский вклад усиливает только одну циркулярную поляризацию, а резонансный и шланговый — обе.

Приведем полезные асимптотики вещественных частей выражений (13), (14) и (15).

При х = 1 они имеют вид

Re (оп) ^ 1 +1 х2 + 35 х4 + О (х6);

О (х6);

Re

13 2 14 а, +—х +—х + 1 5 35 21

При х >> 1 асимптотики выражаются как

<24)

м- <25)

Re (а2 + 1 + -3 + -1 + 0 \\

х х3 х5 I х7

Получим асимптотику дисперсионного соотношения (17) в области параметров хт = 1 при показателе спектра а = 4. Для вычисления интегралов (9) возьмем два первых слагаемых ряда асимптотики (21) и одно слагаемое (23) (мнимые части а 0 и а 2 равны нулю в этой области параметров) и, подставляя их в выражение (9), получим следующие формулы:

1

Ап (х0, хт ) 1 + 7 х0 хт ;

А2 (х0'хт ) = ±"

5

1 -

Рп

Рп

т

Подставляя полученные формулы (27) и (28) в (17), получим следующее выражение:

2 2,2 га =

1 + кпг& п5

1п-

хт -X

Рп

1 -

Рп

т

.

Из этого равенства видно, что в области параметров хт < 1 и до «завала» при х = 0 одна из циркулярных поляризаций усиливается и показатель роста пропорционален к3/2 (см. рис. 1, б, кривая 1). При этом циркулярная поляризация этих мод противоположна поляризации мод белловской неустойчивости (см. рис. 1, а, кривая 1, х0 > 1), другая поляризация не усиливается (см. там же). При ненулевом вкладе анизотропии давления (% ф 0) начинают усиливаться обе циркулярные поляризации (см. рис. 1, а, кривые 2, 3).

Итак, шланговая неустойчивость может играть важную роль при росте возмущений, имеющих больший масштаб, чем максимальный гирорадиус ускоренных частиц. Возмущения данного масштаба вносят существенный вклад в рассеяние частиц с наибольшей энергией. Существенное влияние оказывает анизотропия давления ускоренных частиц на показатели роста неустойчивости в области параметров, превышающих минимальный гирорадиус ускоренных частиц; в случае, если параметр анизотропии давления близок к параметру токовой анизотропии или превышает его. При параметре анизотропии давления в с/и:! раз меньшем, чем параметр токовой анизотропии, существенное влияние анизотропия давления ускоренных частиц оказывает на показатели роста неустойчивости в области параметров выше максимального гирорадиуса ускоренных частиц.

х

п

с

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Blandford, R. Particle acceleration at astrophysical shocks: A theory of cosmic ray origin [Text] / R. Blandford, D. Eichler // Physics Reports. - 1987. - Vol. 154. -P. 1-75.

2. Bell, A.R. Turbulent amplification of magnetic field and diffusive shock acceleration of cosmic rays [Text] / A.R. Bell // Monthly Notices Royal Astronomical Society. - 2004. - Vol. 353. - P. 550-558.

3. Bykov, A.M. Cosmic ray current driven turbulence in shocks with efficient particle acceleration: The oblique, long-wavelength mode instability [Text] / A.M. Bykov, S.M. Osipov, D.C. Ellison // Monthly Notices Royal Astronomical Society. - 2011. - Vol. 410. - P. 39-52.

4. Shapiro, V.D. Non-resonant firehose instability: Consequences for the theory of cosmic ray acceleration [Text] / V.D. Shapiro, K.B. Quest, M. Okolicsanyi // Geophysical Research Letters. - 1998. - Vol. 25. -P. 845-848.

5. Noerdlinger, P.D. Persistence of the firehouse instability in highly relativistic plasmas [Text] / P.D. Noerdlinger, A. Ko-Min Yui // Astrophysical Journal. - 1968. - Vol. 151. - P. 901-905.

6. Amato, E. A kinetic approach to cosmic-ray-induced streaming instability at supernova shocks [Text] / E. Amato, P. Blasi // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2009. - Vol. 392. - P. 1591-1600.

УДК 524.3-1 7, 524.354

Ю.А. Уваров, А.М. Быков, Г.Г. Павлов, К.П. Левенфиш, Ю.А. Кропотина

ПУЛЬСАРНАЯ ТУМАННОСТЬ ВЕЛА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНИЗОТРОПИИ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УСКОРЕННЫХ ЧАСТИЦ

Современные наблюдения пульсаров в оптическом, радио- и рентгеновском диапазонах показали, что многие молодые пульсары окружены компактными туманностями, излучение которых обладает нетепловыми спектрами. Эти спектры хорошо аппроксимируются степенными функциями энергии излучаемых фотонов [1]. Особенно выделяются пульсары Вела (рис. 1) и Краб, поскольку благодаря их яркости удалось не только измерить спектры излучения их пульсарных туманностей, но и построить детальные изображения их ближайших окрестностей в оптическом, радио- и рентгеновском диапазонах [2—4]. Оказалось, что ближайшие к пульсару окрестности этих пульсарных туманностей обладают сложным внутренним строением, включающим джеты и торообразные структуры. Указания на существование подобных структур имеются и в данных наблюдений других пульсарных туманностей ^54,1 + 0,3; G106,65 + 2,96; 3С58 и др. [1, 5]), но в настоящее время только для пульсарных туманностей

Рис. 1. Рентгеновская карта пульсарной туманности Вела, построенная по данным наблюдений обсерватории Чандра Отчетливо видна двойная торообразная структура, которая образована арками — наиболее яркими частями двух кольцевых образований, наклоненных к наблюдателю и смещенных относительно друг друга