Использование электронных средств обучения при изучении тригонометрических функций

УДК 372.851

Е. А. Горский

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Тригонометрические функции — один из сложнейших разделов школьного курса математики, при изучении которого школьники и учителя, как правило, сталкиваются с рядом трудностей. В данной статье рассмотрены некоторые затруднения, часто возникающие у учащихся в процессе изучения тригонометрического материала, а также — возможные пути их преодоления

Ключевые слова: функция, динамическая модель, электронные образовательные ресурсы, электронные средства обучения, тригонометрия.

Понятие «функция» является одним из ключевых понятий математики, а идея функциональной зависимости находит свое отражение не только в математике, но и в ряде других наук, таких как физика, химия, биология, медицина и т. д., что делает ее основополагающей для понимания и изучения процессов и явлений, происходящих в природе и обществе.

Важность изучения функциональной линии в математике отмечали и отмечают многие исследователи. Например, А. Я. Хинчин рассматривал функциональную зависимость как основной стержень, проходящий от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии. Он говорил, что только понятие «функция» воплощает в себе подвижность, динамичность реального мира, взаимную обусловленность реальных величин и «диалектические черты современного математического мышления» [6]. Очевидно, функциональная зависимость — основное понятие всей «высшей математики» и, прежде всего — математического анализа. Таким образом, качество подготовки выпускников школы во многом зависит от полноты и глубины усвоения содержания функциональной линии школьного курса математики.

Однако, анализ школьной практики ознакомления учащихся с понятием «функция» показывает, что они в значительной степени формально усваивают суть этого понятия. У учащихся не формируются целостные представления о функциональной зависимости, а следовательно, они не могут применять свои знания о функциях к решению математических и практических задач, связывают функцию исключительно с аналитическим выражением, в котором переменная у выражается через переменную х. В дальнейшем школьники столь же формально заучивают определение понятия функция, не могут интерпретировать представления о функциях на разных моделях, затрудняются при построении графиков функций, свойства которых им «известны» [1].

Особенно много проблем как у учащихся, так и учителей математики, возникает в период изучения тригонометрического материала. Вместе с тем, именно тригонометрический материал имеет большую практическую направленность, что требует от учащихся прочного овладения основными понятиями, умения выполнять различного рода преобразования тригонометрических выражений, исследовать тригонометрические функции, строить их графики. А. Г. Мордкович в своей статье «Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе» [4] сформули-

Серия «Естественные и физико-математические науки». 7/2015

ровал три основных тезиса, которыми следует руководствоваться при организации изучения тригонометрического материала в школе:

1. Основное внимание на пропедевтическом этапе изучения материала надо уделить модели «числовая окружность на координатной плоскости».

2. Времени на изучение в школе собственно тригонометрических уравнений практически не остаётся, потому что непреодолимые трудности у учащихся возникают уже на этапе формирования умений осуществлять тождественные преобразования тригонометрических выражений.

3. Тригонометрическими формулами целесообразно заниматься только после того, как учащийся овладеет двумя «китами», на которых базируется все изучение тригонометрического материала: числовой окружностью и простейшими тригонометрическими уравнениями.

Одна из первых трудностей, с которой сталкиваются многие учащиеся при изучении тригонометрического материала — глубокое осознание факта соответствия каждому действительному числу точки числовой окружности. Возможности современных электронных средств обучения позволяют сочетать различные представления математических объектов, исследовать связь между ними, определять свойства отдельно взятых математических объектов с помощью их моделей.

Рис. 1. ЭОР «Числовая окружность в координатной плоскости»

Рассмотрим, в какой мере указанные выше затруднения помогает преодолеть применение электронного образовательного ресурса (далее ЭОР) «Числовая окружность в координатной плоскости. И1» (рис. 1) [5]. Данный ресурс знакомит учащихся с «числовой окружностью», свойствами точек, дает возможность учащимся находить положение точки, соответствующей заданному числу и наоборот, определять число, соответствующее данной точке числовой окружности. В данном ресурсе представлена анимированная модель, демонстрирующая «наматывание» числовой прямой на числовую окружность [3].

Недооценка важности методической проработки изучения самого понятия «числовая окружность», как правило, приводит к возникновению существенных затруднений у учащихся. Числовая окружность, тригонометрический круг — это универсальные «помощники» учащихся и учителей математики не только на первых этапах изучения тригонометрических функций (при определении точек на числовой окружности, определении их декартовых координат), но и в дальнейшем в практике решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Современные электронные средства обучения, направленные на использование в процессе освоения тригонометрического материала, содержат в себе графические представления математических объектов. Наиболее важным свойством этих средств обучения следует признать свойство динамичности преставлений математических объектов, они могут изменяться с изменением задаваемых параметров, регулируемых учащимися. Таким образом, применение современных электронных средств обучения позволяют учащимся самостоятельно выявлять различные закономерности, что способствует, в частности созданию более прочных связей между ранее изученным материалом и новыми для учащихся знаниями, умениями, компетенциями. Кроме того могут быть созданы благоприятные условия для реализации системно-деятельност-ного подхода, позволяющего обеспечить высокую степень самостоятельности при изучении математического материала, «открытии» новых математических фактов.

Рис. 2. Динамическая модель «Числовая окружность»

Для работы с числовой окружностью учителя могут воспользоваться готовыми электронными образовательными ресурсами или создать собственную модель. Рассмотрим пример модели «Числовой окружности», разработанной в среде динамической геометрии GeoGebra. Исследуя данную модель (рис. 2), учащиеся смогут закрепить ранее полученные знания, связанные с поиском на числовой окружности точки,

п п п п

соответствующей заданным числам ("2'"4и др.). При «клике» на выбранную «точку» на экране появляется соответствующее ей число — значение тригонометрической функции. При проведении «компьютерных экспериментов» с данной моде-

Серия «Естественные и физико-математические науки». 7/2015 лью ученикам также могут быть предложены следующие задания: по заданному чис-

п 7п 3п

лу определить, декартовы координаты заданных точек M(—) M(—) M(-—)..., сначала по двум координатам найти соответствующую точку на окружности, затем по известному значению синуса или косинуса определить точки на окружности. Исследуя модель числовой окружности, учащиеся вполне способны заполнить таблицу значений тригонометрических функций, определить знаки тригонометрических функций по четвертям, а также выявить некоторые свойства этих функций.

Несоответствие между достаточно большим объемом тригонометрического содержания, которое требуется освоить, и относительно небольшим количеством часов, отводимых на это, заостряет вопрос об эффективности домашней работы учащихся, их самостоятельной деятельности по изучению тригонометрических функций. Как отмечают психологи [7], первичное восприятие и закрепление знаний на уроке должно обязательно подкрепляться последующим обдумыванием, применением нового знания, увязыванием нового со старым, его творческой переработкой. Все выше сказанное делает необходимым применения такой формы обучения, как выполнение домашних лабораторных работ с использованием математических моделей.

На начальном этапе обучения решению простейших тригонометрических уравнений учащиеся, прежде всего, опираются на графический способ их решения. При этом не следует ограничиваться только работой с единичной окружностью, нужно использовать и график тригонометрической функции. Рассмотрим, например графические интерпретации решения уравнения COS X = 2 (рис. 3).

Рис. 3. Графический способ решения уравнения cos х = 1

Содержанием лабораторной работы по математике, выполняемой в компьютерном классе, может быть решение учащимися простейших тригонометрических урав-

V2

нений, таких как cos x = 1, cos x = -1, cos x = 0 , cos x ^ и др. Исследование уже выполненных решений простейших тригонометрических уравнений с применением графического способа создает благоприятные условия для того, чтобы учащиеся смогли самостоятельно вывести общую формулу записи ответа того или иного простейшего тригонометрического уравнения.

Методический принцип многообразия представлений одного и того же математического объекта можно выделить как необходимое условие эффективного усвоения учащимися математического материала. При изучении тригонометрических функций и применении их свойств в решении разнообразных задач как учащимся, так и учителям математики необходимо иметь в своем арсенале различные способы представления одного и того же математического объекта. В частности, с помощью графических представлений удобно осуществлять сравнение математических объектов. На графической основе учащиеся легче выявляют, воспринимают основные свойства тригонометрических функций: периодичность, четность (нечетность), монотонность на данном интервале области определения и др. Возможности электронных средств обучения позволяют учителю во время урока использовать различные формы представления тригонометрического материала, при этом не затрачивая лишнего времени на его воспроизведение.

Помимо важности формирования графических представлений изучаемых тригонометрических функций, не менее существенно раскрытие перед учащимися связей между аналитическими и графическими представлениями этих функций и их свойств. Систематическое и целенаправленное использование электронных средств обучения, позволяющее эффективно демонстрировать свойство динамичности изучаемых математических объектов помогает учащимся понять, как графические интерпретации этих объектов видоизменяются по мере изменения аналитического задания функции. Для установления связей между аналитическим и графическим способом задания функции учащиеся могут выполнять задачи на определение аналитического задания математического объекта по его графическому представлению, обратные задачи, определение графического представления математического объекта по его аналитическому представлению. Эти виды математической деятельности оказываются важными в решении задач на использование свойств тригонометрических функций, таких как ограниченность, наличие асимптот к графику и др. Однако, необходимо отметить, что современные учебники содержат мало таких задач, что побуждает учителей обращаться к использованию электронных образовательных ресурсов.

Рассмотрим пример математической модели «Преобразование графиков тригонометрических функций», разработанной в среде динамической геометрии GeoGebra. Интерактивность осуществляется перемещением положения ползунков a, b, c и m (см. рис. 4). При изменении положения ползунка видоизменяется аналитическое и графическое представление функций f(x) и g(x):

f (x) = c • sin(m • x + b) + a ,

g(x) = c • cos(m • x + b) + a .

Серия «Естественные и физико-математические науки». 7/2015

Осуществляя различные манипуляции с данной моделью, учащиеся осваивают практические навыки правильных преобразований графиков тригонометрических функций в зависимости от изменения их аналитического задания. Данную модель целесообразно использовать во время урока при решении задач на преобразование графиков функций, на этапе закрепления материала, при выполнении самостоятельных исследований учащимися. Опираясь на динамическую модель «Преобразование графиков тригонометрических функций», учитель может пополнять систему задач, решение которых требует знания определений, владения различными представлениями тригонометрических функций и их свойств, проявления способностей применять эти определения, представления, свойства в решении разнообразных, в том числе — практических задач.

Рис. 4. Динамическая модель «Преобразование графиков тригонометрических функций»

Практика показывает, что современные учителя активно используют электронные средства обучения в своей профессиональной деятельности. При этом в обучении математике применяются как уже готовые ресурсы, так и собственные разработки учителей. Однако не стоит забывать, что включение того или иного ресурса в процесс обучения должно быть методически целесообразно и обоснованно.

Литература

1. Марушенко Л. Ю. Организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М., 2009. 131 с.

2. Михайлова Т. А. Пропедевтика как основа процесса обучения функциям на уроках математики в 7-11 классах. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. СПб., 2015. 24 с.

3. Молоткова Б. Б. Методика использования электронных образовательных ресурсов при изучении тригонометрии как средства повышения уровня осознанности знаний. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. СПб., 2014. 272 с.

Вестник Псковского государственного университета

4. Мордкович А. Г Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. № 6. С. 32-38.

5. Федеральный центр информационно — образовательных ресурсов [Электронный ресурс]: URL: http://fcior.edu.ru

6. Хинчин А. Я. Основные понятия математики и математические определения. М.: Учпедгиз, 1940. 499 с.

7. Шабалина З. П. Домашняя учебная работа школьников. М.: Знание, 1982. 96 с.

Об авторе

Горский Егор Александрович — учитель информатики МБОУ «СОШ № 1 им. Л. М. Поземского», г. Псков; аспирант кафедры математики и методики обучения математике, физико-математический факультет, Псковский государственный университет, Россия.

E-mail: egor.bench@mail.ru

E. Gorsky

THE USE OF E-LEARNING IN THE STUDY OF THE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS

Studying of trigonometric functions is usually one of the most difficult topics in the school course of mathematics; students and teachers, who are dealing with it, usually face a number ofdifficulties. This article considers some of the difficulties that students typically encounter in the process of studying of trigonometry; the article also focuses on possible ways of overcoming them.

Key words: function, dynamic model, electronic educational resources, e-learning, trigonometry.

About the author

E. Gorsky, teacher of Informatics at L. M. Pozemsky School No. 1, Pskov; PhD student of the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Faculty of Physics and Mathematics, Pskov State University, Russia. E-mail: egor.bench@mail.ru