Новая порядковая структура действительных симметричных (2*2)-матриц

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2004, Том 6, Выпуск 3

УДК 517.98

НОВАЯ ПОРЯДКОВАЯ СТРУКТУРА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ (2 х 2)-МАТРИЦ

М. А. Бердикулов

В работе построена теория, аналогичная теории В(Н)ао, в частном случае пространств действительных симметричных (2 х 2)-матриц — М2(К)ао и исследована их новая порядковая структура. Для этой цели введены понятия «р-собственного значения» матрицы и «р-порядка» в М2(К)ао, в отличие от обычного порядка. Доказано, что М2(К)ао с новым р-порядком является пространством с порядковой единицей типа 12, которое по порядковой структуре «почти» операторная алгебра, но не допускает структуры упорядоченной алгебры.

Теория пространств с сильной порядковой единицей, построенная Е. М. Альфсеном и Ф. В. Шульцем [1], близка к теории операторных алгебр. Эрмитовы части С*-, Ш*-алгебр, а также йордановых банаховых алгебр являются примерами пространств с порядковой единицей.

Если К — компактное выпуклое множество в некотором локально выпуклом пространстве, то АЬ(К) — пространство всех ограниченных аффинных функций также является пространством с порядковой единицей.

Классификационная теория пространств с порядковой единицей хорошо развита [2], однако не построены примеры пространств типа 1п (п > 2), отличных от выше перечисленных алгебр. В настоящей работе построена операторная реализация пространств с порядковой единицей типа ¡2.

Как известно, собственные значения оператора определенного в конечномерном гильбертовом пространстве играют очень важную роль. Так, например, имеют место утверждения:

1) если все собственные значения действительны, то оператор самосопряжен;

2) если все собственные значения положительны, то оператор положителен (этот факт эквивалентен понятию положительной определенности оператора);

3) если все собственные значения самосопряженного оператора лежат в множестве { — 1; 1}, то оператор является унитарным;

4) если все собственные значения положительного оператора лежат в множестве {0; 1}, то оператор является проектором;

5) порядковая норма и норма оператора совпадают и равны модулю наибольшего собственного значения оператора.

Все эти понятия согласованы с алгебраической структурой В(Н) — алгебры ограниченных операторов в конечномерном гильбертовом пространстве Н. Например, произведение двух положительных, коммутирующих элементов — положительный элемент. В пространстве с порядковой единицей нет, вообще говоря, операции умножения. Пусть р > 1. Введем следующие определения.

© 2004 Бердикулов М. А.

Определение 1. Для Т = ^ ^ ^ ^ £ М2(Ж)5а определим следующие числа:

А1 = 1

и назовем их р-собственными значениями матрицы Т.

При р = 2 эти числа совпадают с обычными собственными значениями матрицы Т:

А1,2 = 2 (а + с ± \/|2Ъ|2 + |а - с|2) .

Определение 2. Матрицу Т = ^ а ^ ^ £ М2(Ж)5а назовем р-положительно определенной, если А12 ^ 0, т. е.

Га + с +

В этом случае будем писать Т ^р 9, где 9 — нулевая матрица.

Если Т — р-положительно определенная матрица, то легко показать, что а ^ 0 и с ^ 0.

При р = 2, в силу (2) имеем а + с ^ 0 и (а + с)2 ^ (2Ъ)2 + (а - с)2. Отсюда ас ^ Ъ2. Это означает, что Т ^ 0 в обычном смысле.

( 4 1 А

Пример 1. Пусть Т =1 1^1 и р> 1. Находим р-собственные значения А^:

4 + 2 + 2  2р = 6 + 2  2р > 0, 4 + 2 - 2  2р = 6 - 2  2р > 0.

Значит, Т — р-положительно определенная матрица. Пример 2. Матрица

Т =

у 1 2 3 - 1 )

р-положительно определенная для всех р ^ 3, но неположительно определенная в обычном смысле.

Заметим, что произвольная положительно определенная матрица будет р-положи-тельно определенной для всех р ^ 2. Это вытекает из известного неравенства: (а2+Ъ2) 2 ^ (ар + Ър) р для всех р ^ 2 и а, Ъ £ М+.

Через М+ обозначим множество р-положительно определенных матриц. Лемма 1. МР+ является конусом в пространстве М2(Ж)5а.

а Ъ а1 Ъ1

< Пусть Т = I ъ с ) и 5 = I ъ с ) — р-положительно определенные матрицы,

т. е. имеем

\ а + с + (|2Ъ|р + |а - с|р)р ^ 0, \ а1 + с1 + (|2Ъ1 |р + |а1 - с1 |р)р ^ 0, < 1 и < 1

[ а + с - (|2Ъ|р + |а - с|р)р ^ 0 [а! + с1 - (|2Ъх |р + |ах - с1 |р)р ^ 0.

Нужно установить соотношения

Т + 5 ^р 9; АТ ^р 9 при А ^ 0; М+ п (-М+) = {9}.

гр т , с ( а +Ь + Ь1 Л

Так как Т + о = I , то мы должны доказать, что имеют место нера-

у Ь + 01 с + С1 у

венства

а + а1 + с + С1 + (|2(Ь + Ь1)|р + |а + а1 - с - С1 |р)р ^ 0, а + а1 + с + с1 - (|2(Ь + Ь1)|р + |а + а1 - с - с1|р)р ^ 0.

Первое неравенство очевидно, так как все слагаемые положительны в силу условий леммы. Второе равносильно неравенству

а + а1 + с + с1 ^ (|2(Ь + Ь1)|р + |а + а1 - с - с1 |р)р . Из положительности Т и Б имеем

а + а1 + с + с1 ^ (|2Ь|р + |а - с|р)р + (|2Ь1 |р + К - с1 |р)р . В силу неравенства Минковского, выполнено

Из двух последних неравенств вытекает Т + Б ^р 0. Если А ^ 0, то очевидно, что АТ 0.

Пусть М+ П (-М+) = {0}. Тогда для ненулевого элемента Т этого множества неравенства Т 0 и -Т 0 выполняются одновременно. Из них имеем, что а + с ^ 0 и а + с ^ 0, т. е. а + с = 0, а также |2Ь|р + |а - с|р = 0, из которого следует, что 20 = 0 и а - с = 0. Следовательно, а = Ь = с = 0, т. е. Т = 0. >

Как обычно, с помощью конуса М+ определяется порядок в М2 (М)5а, который назовем р-порядком: Т Б, если Т - Б 0.

Определение 3. Проективной единицей (аналог проектора) назовем р-положитель-но определенную матрицу, если все ее р-собственные значения лежат в множестве {0; 1}. Это определение согласовано с теорией пространств с порядковой единицей [1]. Лемма 2. Проективными единицами в М2(Ж)5а являются единичная матрица Е, нулевая матрица 0 и матрицы, имеющие вид

и = 1

где числа 4 и 4' удовлетворяют условию |4|р + |4'|р = 1.

< Пусть р-собственные значения матрицы и = ^ Ь ° ^ лежат в множестве {0; 1}. Если предположить, что А1 = А2, то из определений 1 и 2 имеем А1 = 1, А2 = 0, т. е.

2 (а + с +(|2Ь|р + |а - с|р)=1 и 2 (а + с - (|2Ь|р + |а - с|р)= 0. Отсюда вытекает, что

Введем следующие обозначения: а - с = 4, 20 = 4'. Тогда имеем, что |4|р + |4'|р = 1 и а = 2(1 + 4), с = 2(1 - 4), Ь = 14'. Следовательно, и имеет вид (3). Если А1 = А2 = 1, то из (1) вытекает

а + с = 2, а - с = 0, 20 = 0,

т. е. а = 1, с = 1, Ь = 0. Значит, и = Е. Если А1 = А2 = 0, то имеем

а + с = 0, а - с = 0, 2Ь = 0.

Отсюда а = 0, с = 0, Ь = 0. Значит, и = 9. >

Очевидно, что если и — проективная единица, то матрица

и'=Е -и=!

также будет проективной единицей.

Множество проективных единиц в М2(М)5а обозначим через Р.

Лемма 3. Множество Р является ортомодулярной решеткой с нулем 9 и единицей Е, т. е. логикой относительно р-порядка и ортодополнения (4).

< Очевидно. >

Все элементы Р, отличные от 9 и Е, являются атомами (минимальными элементами) логики Р. Оказывается, что любую матрицу Т £ М2(М)5а можно разложить по атомам.

Лемма 4. Для каждой симметричной матрицы Т существуют атомы ит, и'т и числа а, в такие, что имеет место разложение:

Т = аит + ви^.

< Предположим, что для симметричной матрицы Т = ^ ас) существуют числа

Ь и Ь' с условием |Ь|Р + |Ь'|Р = 1, определяющие ит, и'т, и числа а, в такие, что имеет место разложение (5). Подставляя данные в (5) и переходя к поэлементным равенствам, приходим к системе

а + в = а + с,

к (а — в К = 2Ь.

Можно считать, что sgnЬ = sgn(a—с) и sgnЬ = sgn(2Ь). В противном случае (Ь, Ь') заменим на (—Ь, — ¿') (это приведет лишь к тому, что ит и и^ поменяются местами).

Если к = |(а — в)-1|, то из последних двух равенств системы (6) выводим Ь = к (а — с), Ь' = к(2Ь) для некоторого положительного числа к. Так как |Ь|Р + |Ь'|Р = 1, то кр(|2Ь| + |а — с|р) = 1, и находим

к =-1-г.

Тем самым можно найти Ь и Ь', а из первых двух уравнений системы (6) выразить а и в:

а с ' 2Ь

Ь =-г, Ь' =

а = ^ (а + с + (|2Ь|Р + |а — с|р), в = ^ (а + с — (|2Ь|Р + |а — с|р). > Из полученного разложения Т вытекает следующая лемма.

Лемма 5. Конус М+ является порождающим в пространстве М2(Ж)5а, т. е.

М2(М)5а = М+ - м+.

Разложение (5) показывает естественность введения определения 2, так как в определении р-порядка требуется положительность коэффициентов в (5), которое можно рассматривать как «спектральное разложение» матрицы. Эти коэффициенты и есть р-соб-ственные значения матрицы.

Пространства М2(Ж)5а с новым р-порядком обозначим через Мр (Ж)5а.

Лемма 6. Отображение Т ^ ||ТЦр, определенное равенством

ЦТЦр = 2

является нормой в Мр (Ж)5а.

< 1. Если ЦТЦр = 0, то а + с = 0, 26 = 0 и а — с = 0. Следовательно, а = Ь = с = 0, т. е. Т = 0.

2. ЦАТЦр = |А| ||ТЦр для любого А £ Ж — очевидно.

отг гГ[аЬ\0[а1 Ь1 А гр

3. Пусть Т =1 ь с / и 5 = I ь с ) — произвольные матрицы. Тогда

ЦТ + 5 Цр = |а + а1 + с + с11 + (|2(Ь + 61) |р + |а + а1 — с — с1 |р) Р

Нетрудно заметить, что если Т £ Мр2(Ж)5а имеет разложение Т = аЦт + в^Т, то ЦТ Цр = тах{|а|, |в |}.

В силу единственности разложения (5) можно определить модуль матрицы Т:

2

Как обычно, с помощью следа матрицы определяется ¿1-норма в Мр

Лемма 7. Отображение Т ^ ЦТЦ1, определенное равенством

является нормой в М^ (М)5а.

< Доказательство аналогично доказательству леммы 6. >

™ние т = аи„ 1 вг

Нетрудно заметить, что если Т £ Мр2(Ж)5а имеет разложение Т = аЦт + в^т, то

Напомним некоторые понятия из теории пространств с порядковой единицей [1, 3]. Определение 4. Порядковой единицей в упорядоченном векторном пространстве А называется такой положительный элемент е, что для любого а £ А, — Ае ^ а ^ Ае, при некотором А > 0.

Определение 5. Пространством с порядковой единицей называется упорядоченное нормированное пространство с порядковой единицей е, порядок на котором архимедов (= (V п £ Н) па ^ е ^ а ^ 0) и норма определяется по формуле

ЦаЦ = {А > 0 : —Ае ^ а ^ Ае}.

Эту норму называют порядковой нормой.

Определение 6. Норму, определенную в Mp^M.)^ с помощью р-порядка, назовем р-порядковой нормой.

Несложной проверкой доказывается следующая

Лемма 8. Единичная матрица E будет р-порядковой единицей в M2(M)sa и норма, определенная в лемме 6, совпадает с р-порядковой нормой.

Пусть р и q — такие числа, что 1 + 1 = 1. Через M^ (R)sa обозначим пространство M2(R)sa с q-порядком.

Теорема 1. Пространства (M2(M)sa, ||  ||p) c р-порядковой нормой и (M2(M)sa, ||  ||i) c Li-нормой находятся в отделимой, порядковой и нормированной двойственности относительно линейной формы (T, S) = tr(TS). < Пусть

т=(a"), s=(aiс;)£M2

Тогда tr(TS) = aa1 + 2bb1 + сс1.

Если (T, S) = tr(TS) = 0 для всех S, то при a = ai, b = bi, с = ci имеем, что a2 + 2b2 + с2 = 0, значит, T = 0.

Проверим, что если для T £ M2(M)sa верно (T, S) ^ 0 при всех S £ M+, то T ^p 0. Сначала рассмотрим случай проективных единиц. Пусть

U = К1 +' 1 -0 £M2(»)"• V = 2(1S+s 1 -.) €M2<R>~

tr

В силу неравенства |ts + t's'| ^ (|t|p + |t'|p)(|s|q + |s'|q) = 1, имеем, что 1+ ts + i's' ^ 0. Значит, tr(UV) ^ 0.

Так как произвольный элемент S £ M(2(R)sa имеет разложение S = 5vs + yvs и S ^q 0 лишь в том случае, когда 5 ^ 0 и 7 ^ 0, то достаточно проверить выполнение

неравенства tr

)sa

Пусть Т € М2(Ж)5а имеет разложение Т = аПт + в^т• Тогда Т ^р в равносильно а ^ 0, в ^ 0.

Предположим ^(ТУ) = а 1г(ПтV) + в 1г(ПТV) ^ 0 для любой проективной единицы V € М|(Ж)5а. Это означает

1 а

В силу произвольности V можно считать в = ^¡р- и в' = ^-¡г- в (11) и имеем, что а ^ 0. Аналогично, полагая в = -|£|р/£ и в' = -|£'имеем, что в ^ 0.

Точно таким же путем доказывается, что будет выполнено условие: для любого Б € М2(Ж),а из (Т, 5) ^ 0, Т € М+, вытекает Б ^ в. Теперь докажем, что имеют место утверждения:

Из (10) вытекает, что 0 ^ (U, V) ^ i для всех проективных единиц U G M2(M)sa и V G M2(M)sa.

Пусть T G M2(M)sa и T = aUT + ^Uy — его разложение. Тогда ||T||p = max{|a|, |в|}, по определению. В силу вышесказанного, в равенстве |(T, V)| = |a(Ur, V) + в(U^, V)| можно выбрать V G M2(M)sa так, чтобы в правой части остался max{|a|, |в|}.

Пусть теперь T G M2(M)sa, S G M2(M)sa — произвольные и T = aU + eUS = ¿V + yV'. Тогда

|(T,S)| = |a5(U,V) + aY(U,V') + e<*(U', V) + eY(U',V')| = 2 |a£(i + ts + t's') + aY(1 - ts - t's') + - ts - t's') + eY(i + ts + t's')|

< ¿

Как сказано выше, из того, что логика P атомична и ее единичный элемент E есть сумма только двух ортогональных U и U' следует, что пространство с порядковой единицей M2(M)sa имеет тип /2 [2]. Так как разложение (5) есть ортогональное разложение матрицы T, то пространства M2(M)sa и M2(R)sa находятся в спектральной двойственности [3].

Итак, доказана следующая

Теорема 2. Пространство M2 (R)sa является спектральным пространством с порядковой единицей типа I2 относительно р-порядка.

Так как разложение (5) в M2(M)sa ортогонально, т. е. является «спектральным разложением», то можно определить любую степень матрицы, возводя в эту степень, коэффициенты разложения. Например, рассмотрим «квадрат»:

a b \(2) 1 / i

и, и \ / , in , I m\ - \

T(2) = ( a с) =i (a + с +(|2b|p + |a - СП') 2 Ut

Ь с У 4

1 / 1 \ 2 , + 4 (а + с - (|2Ь|Р + |а - с|р)?) ЦТ.

Подставляя в эту формулу значения Цт и ЦТ = Е — Цт из леммы 4 после некоторых выкладок имеем

т

4 \ 4Ь(а + с) — а2 + 2ас + 3с2 + (|2Ь|Р + |а — с|р)р ) '

Этот «квадрат» действительно есть обобщение обычного квадрата, так как при р =2 Т(2) = Т2, т. е. новый «квадрат» совпадает с квадратом в обычном смысле при р = 2. Насколько разные эти квадраты для р = 2, показывает следующий факт. Известно [4], что пространство М2(Ж)5а с помощью обычного квадрата превращается в /В-алгебру, так как верно равенство (С*-свойство нормы): ||Т21| = ||Т||2 (Т С М2(Ж)5а). Здесь ||  || — операторная норма матрицы.

Это равенство не имеет место для р-порядковой нормы, а именно, существуют элементы Т £ Мр2(М)5а, для которых ||Т2\\р = ||Т||р.

Непосредственным вычислением можно показать, что равенство ||Т2||р = ||Т(Т £ М2(Ж)за) равносильно следующему

для всех а, Ь, с £ Ж, которое верно только при р = 2. Это означает, что М2(Ж)за нельзя превратить в /В-алгебру при р = 2.

Но надо отметить, что и в этом случае (с новым «квадратом») верно соответствующее равенство:

Из этого следует, что р-порядковая структура (Ж) за очень близка к алгебраической структуре М2(Ж)за.

Например, имеет место, следующее простое

Утверждение 1. Матрица Т £ М2(Ж)за является проективной единицей тогда и только тогда, когда Т(2) = Т. < Легко проверить, что

и

= и для всех проективных единиц. Пусть Т(2) = Т. В

силу (12) это означает, что

2

3а2 + 2ас — с2 + (|2Ь|Р + |а — с|р) Р = 4а, Ь(а + с) = Ь,

2

—а2 + 2ас + 3с2 + (|2Ь|Р + |а — с|р)р = 4с.

Из второго уравнения имеем а + с = 1. Учитывая это и сложив два остальных, имеем (|2Ь|Р + |а — с|р)р = 1. >

Аналогичными рассуждениями, как и при доказательстве леммы 2, получим, что Т — проективная единица.

Определение 4. Симметричную матрицу назовем симметрией (или самосопряженной унитарной матрицей), если все ее р-собственные значения лежат в множестве {—1;1}.

Лемма 9. Симметриями в М2(Ж)за являются единичная матрица Е, — Е и матрицы, имеющие вид

5=

где числа Ь и Ь' удовлетворяют условию |Ь|Р + |Ь'|Р = 1.

< Доказательство аналогично доказательству леммы 2. >

Нетрудно проверяется, что 5 (2) = Е для всех симметрий 5.

Пространство с порядковой единицей М2(Ж)за обладает свойством «положительного квадратного корня»:

Для каждой р-положительно определенной матрицы Т £ М2(Ж)за существует р-по-ложительно определенная матрица 5 £ М2 (Ж)за такая, что 5(2) = Т.

Этот «квадратный корень» обозначим через Таким образом мы получаем

более простую формулу для определения модуля матрицы, чем в (9):

|т| = (^УТ(2), т £ м2(

за

Теорема 3. Пусть Т — р-положительно определенная матрица и А1, А2 — ее р-соб-ственные значения. Тогда ее квадратный корень вычисляется по формуле

(2^Ут = 2 2

( VÂT + УЛ2 + " - c

2b

\/Âï + УЛ2

лАТ + Ул2

\

V

2b

УлТ +

< Предположим, что существует р-положительно определенная матрица 5 = (у г ) такая, что 5(2) = Т. Тогда х + г ^ 0 и, в силу (12), имеем следующую си-

У z стему уравнений

3x2 + 2xz - z2 + (|2y|p + |x - z|p)p = 4a, y(x + z) = b,

2

-x2 + 2xz + 3z2 + (|2y|p + |x - z|p)p = 4c.

Решая эту систему получим требуемое. >

Литература

1. Alfsen E. M., Shultz F. W. Non commutative spectral theory for affine function spaces on convex sets // Mem. Amer. Math. Soc., 172. Providence R.I.: AMS, 1976.—122 p.

2. Chu C. H., Wright J. D. A theory of types for convex sets and ordered Banach spaces // Proc. London Math. Soc.—1978.—V. 36.—P. 434-516.

3. Alfsen E. M., Shultz F. W. State spaces of Jordan algebras // Acta Math.—1978.—V. 140, № 3/4.— P. 155-190.

4. Аюпов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр.—Ташкент: ФАН, 1986.—124 с.

Статья поступила 11 марта 2004 г-

Бердикулов Мусирмонкул Абдиллаевич, к. ф.-м.н. Узбекистан, г. Ташкент, Институт математики АН Узбекистана E-mail: mathinst@uzsci.net