B-сплайн разложение нелинейных сигналов в электроэнергетических системах

Оригинальная статья / Original article УДК: 621.311

DOI: 10.21285/1814-3520-2016-7-151-161

B-СПЛАЙН РАЗЛОЖЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИГНАЛОВ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

© Л.А. Семенова1

Оренбургский государственный университет, 460018, Россия, г. Оренбург, пр. Победы. 13.

Резюме. Цель. Разработка алгоритмической модели B-сплайн разложения нелинейных сигналов в электроэнергетических системах и ее программная реализация. Это позволит проводить корректный анализ регистрограмм для выявления колебаний параметров энергосистемы с целью выбора необходимого управляющего воздействия. Методы. Предложенный в статье алгоритм B-сплайн разложения нелинейных сигналов базируется на методе эмпирической модовой декомпозиции (Empirical mode decomposition - EMD). Результаты. Представлены разработанные алгоритмическая модель и математические модели процедур алгоритма. Обосновано преимущество применения B-сплайн разложения регистрограмм по сравнению с классическим методом эмпирической модовой декомпозиции. Приведены результаты программной реализации предложенного алгоритма B-сплайн разложения нелинейных сигналов. Заключение. Программная реализация B-сплайн разложения нелинейных сигналов повышает быстродействие получения результатов идентификации регистрограмм электроэнергетических систем в 1,4 раза по сравнению с классическим алгоритмом EMD.

Ключевые слова: нелинейные сигналы, эмпирическая модовая декомпозиция, B-сплайн разложение.

Формат цитирования: Семенова Л.А. B-сплайн разложение нелинейных сигналов в электроэнергетических системах // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. № 7. С. 151-161. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-7-151-161

B-SPLINE DECOMPOSITION OF NON-LINEAR SIGNALS IN ELECTRIC POWER SYSTEMS L.A. Semenova

Orenburg State University,

13, Pobedy pr., Orenburg, 460018, Russia.

Abstract. The purpose of this paper is development of the algorithmic model of B-spline nonlinear signal decomposition in electric power systems and consideration of its software implementation. This will enable the correct analysis of records for power system oscillation parameter revelation in order to choose the required control action. Methods. The algorithm of B-spline nonlinear signal decomposition proposed in the article is based on the method of empirical mode decomposition (EMD). Results. The developed algorithmic model and mathematical models of algorithm procedures are presented. The advantage of using B-spline function decomposition records is proved as compared with the classical method of empirical mode decomposition. The results of software implementation of the proposed algorithm of B-spline nonlinear signal decomposition are provided. Conclusion. Software implementation of B-spline decomposition of nonlinear signals increases the high speed response in obtaining the results of electric power system record identification by 1.4 times as compared with the classical empirical mode decomposition algorithm. Keywords: non-linear signals, empirical mode decomposition, B-spline decomposition

For citation: Semenova L.A. B-spline decomposition of non-linear signals in electric power systems. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, no. 7, рp. 151-161 (in Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2016-7-151-161

Семенова Людмила Анатольевна, кандидат технических наук, доцент кафедры электро- и теплоэнергетики, e-mail: l_sem@mail.ru

Semenova Lyudmila, Candidate of Engineering, Associate Professor of the Department of Electrical and Thermal Engineering, e-mail: l_sem@mail.ru

Наиболее перспективным в настоящее время для исследования и анализа различных сигналов (процессов) является метод эмпирической модовой декомпозиции (Empirical mode decomposition - EMD),

Введение

применяемый как в кардиологии, геофизике, радиофизике, экономике, сфере 1Т-технологий, так и в электроэнергетике. Этот метод основан на предположении, что любые сигналы представляют собой совокупность различных внутренних колебаний

- IMF (Intrinsic Mode Functions), обладающих одновременно и амплитудной, и частотной модуляциями. В результате исследуемый сигнал f (t) может быть представлен суммой модовых функций c(t), количество которых определяется в ходе вычислений, и результирующего остатка rN (t), представляющего собой либо тренд,

N-1

либо константу f (t) = ^ c. (t) + rN (t ). Иден-

г=1

тификация модального состава нелинейных сигналов, регистрируемых в энергосистемах (ЭС), позволит выявлять низкочастотные колебания и определять их параметры в целях предотвращения нарушения устойчивости работы электрических станций и энергосистем.

Актуальность использования метода EMD для анализа регистрограмм, в том числе переходных процессов в ЭС, заключается в том, что для разложения не требуется априорных знаний о наличии в них шумовых, трендовых и сигнальных компонент, вся информация извлекается непосредственно при разложении на эмпирические моды. Формирование адаптивного базиса, функционально зависимого от исследуемых данных, позволяет проводить корректный анализ нелинейных сигналов для выявления колебаний параметров энергосистемы с целью выбора необходимого управляющего воздействия. Так как режимное и противоаварийное управление ЭС происходит в режиме on-line, то одним из требований к методу декомпозиции (разложения) регистрограмм на модовые функции является быстродействие получения результата.

Классический алгоритм EMD [1] представляет собой итерационный процесс с выполнением следующих процедур:

1. Идентификация экстремумов етах и етт сигнала f (t).

2. Построение огибающих: верхней, аппроксимирующей локальные максимумы (emax (t)), и нижней, аппроксимирующей локальные минимумы (emn (t)).

3. Определение средней m(t) в каждый момент времени между огибающими m(t) = Umax(t) + umin(t) .

2

4. Отсеивание прото-IMF h(t) = f (t ) - m(t).

5. Проверка на завершение отсеивания прото-IMF и выделение моды c(t).

6. Определение остатка r (t ) = f (t ) - c(t ) и повтор процедур 1-5 к r (t ) .

7. Проверка на завершение процесса разложения.

Алгоритм B-сплайн разложения

Представляемый алгоритм реализован в прикладной программе «Декомпозиция нелинейных сигналов на эмпирические моды» [2] и включает два вложенных цикла, внутри которых выполняются указанные процедуры 1-7. Внешний цикл предназначен для фиксации выделенных эмпирических мод и определения остатков, а внутренний - для формирования конкретной эмпирической моды в процессе отсеивания прото-IMF.

Необходимо отметить, что количество итераций четвертой и шестой процедур определяется эмпирически в процессе разложения, причем количество итераций отсеивания прото-IMF для каждой моды в отдельности может отличаться.

Как отмечено в работах [3, 4], при неравномерном распределении исходных (анализируемых) данных вдоль оси абсцисс или наличии погрешностей в исходных данных, использование интерполяции кубическими сплайнами в классическом алгоритме EMD может привести к некорректному разложению сигнала и, как следствие, выбору неадекватного воздействия на ЭС. В связи с этим автором предложено выделение модовых функций осуществлять посредством б-сплайнов, основным свойством которых является формирование кривых сглаженной формы. Это позволит нивелировать погрешности, в том числе осцилляции модовых функций, и, как следствие, повысить эффективность спектрально-временного анализа процессов, проте-

кающих в электроэнергетических системах.

На основании вышеизложенного автором предложен новый алгоритм, названный В-сплайн разложением, включающий следующие процедуры (рис. 1):

1. Определение экстремумов.

2. Определение среднего В-сплайна.

3. Отсеивание прото-!МР.

4. Критерий Э-номера.

5. Формирование остатка.

6. Монотонность остатка.

Рассмотрим более подробно каждую

из перечисленных процедур при исследовании нелинейного сигнала / {г).

Определение экстремумов. Программная реализация этой процедуры состоит из следующих операционных действий:

1) локализация экстремумов в относительных единицах интервала временного ряда {г);

2) отсеивание экстремумов;

3) определение абсцисс экстремумов в абсолютных единицах.

Выполнение первого действия

предложено осуществлять с помощью метода парабол на скользящем интервале Та [5]. Данный метод основывается на пошаговом перемещении (скольжении) интервала Та вдоль Н]{г) с одновременным вычислением экстремума на каждом шаге переноса интервала.

В качестве аппроксимирующей функции временного ряда ^ {г) на скользящем интервале Та используется полином второй степени:

y(x ) = ax + ax + a ,

У V отн / 2 отн 1 отн 0 '

где а, а, а - коэффициенты, полученные по результатам расчета аппроксимирующей параболы [5]; хотн - относительные

единицы скользящего интервала Та.

В рамках этого же операционного действия выполняется проверка условия

XL е Ta.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма B-сплайн разложения Fig. 1. A flowchart of the B-spline decomposition algorithm

Если выражение (2) ложно, то полагаем, что временной ряд (г) на данном

интервале не имеет локальных экстремумов.

Если выражение (2) истинно, то Н] (г) на данном интервале имеет локальный экстремум в точке экстремума параболы, абсцисса которого определяется приравниванием к нулю первой производной выражения (1): у' = 2а2хотн + а = °. В этом случае, координаты локального экстремума в относительных единицах (хе0^н) определяются выражениями:

а

степени:

xext ~ —

отн

2a

Y(Xext ) = aX 2 + aX + an.

v отн s 2 отн 1 отн 0

Выявление всех экстремумов осуществляется путем последовательного сдвига (скольжения) интервала аппроксимации Та на шаг т вправо до тех пор, пока не будет достигнут конец временного ряда

Ъ (г).

Качество локализации экстремумов зависит от длины скользящего интервала аппроксимации и шага его переноса. Использование длинного интервала Та , как и широкого шага т , ведет к пропуску экстремумов, а короткого Та и малого т влечет за собой появление ложных экстремумов. Для исключения ложных экстремумов автором предложено операционное действие «Отсеивание экстремумов».

Сущность второго действия состоит в том, что на каждом интервале Та определяется среднеквадратичное отклонение, позволяющее судить о точности аппроксимации исходных данных полиномом второй

,

где I - длина скользящего интервала аппроксимации; АО - значение / -й погрешности аппроксимации; О - среднее арифметическое значение погрешности.

Экстремумы, обладающие

наибольшим среднеквадратичным отклонением на скользящем интервале аппроксимации Та, отсеиваются.

Поскольку по результатам выполнения первых двух процедур определяются абсциссы экстремумов в относительных единицах скользящего интервала Та (от 0 до целой части |Та/ 2|), то для их перевода в абсолютные единицы требуется определение абсцисс экстремумов в абсолютных единицах, которое осуществляется в соответствии с выражением:

хоб=х£+

где хабс - координата абсциссы середины скользящего интервала Та в абсолютных единицах; х - округленное до меньшего

целого хТ.

По результатам выполнения первой процедуры В-сплайн разложения формируется массив охгс, с = 0... р, локализованных экстремумов временного ряда (г).

Графическое представление результатов выполнения процедуры «Определение экстремумов», включающей рассмотренные операционные действия, приведено на рис. 2.

333 33333

0 400 800 1.2х103 1.6х103 2х103 2.4х103 2.8х103 32х103 3.6х103 4х103

Рис. 2. Иллюстрация выполнения процедуры «Определение экстремумов» Fig. 2. "Extrema determination"procedure

Определение среднего В-сплайна.

Программная реализация этой процедуры состоит из следующих операционных действий:

1) адаптивно-логическая коррекция экстремумов на концах исходного сигнала;

2) определение вершин сплайна;

3) формирование воображаемых вершин сплайна;

4) определение средней кривой на основе ß-сплайн-базиса;

5) интерполяция среднего ß-сплайна.

Необходимость выполнения адаптивно-логической коррекции экстремумов на концах исходного сигнала связана с тем, что в большинстве случаев «края» функции не содержат экстремумов. Это вносит неопределенность при построении средней кривой, которая в свою очередь влияет на корректность выделения эмпирических мод. Сущность адаптивно-логической коррекции заключается в анализе поведения сигнала в начальный и конечный моменты времени исследования [6]. Возможны две ситуации.

Первая: в крайних точках временного ряда функция h.(t) увеличивается или

уменьшается без зафиксированных экстремумов. В этом случае крайним точкам присваивается статус экстремума:

- для начальной точки:

если

Y > Y и Y > Y

h ext„ h _ ext.

Y —Y Y —Y

или

Y < Y И Y < Y

< Yext0 И < Yex^ ,

T0 Xext__ Xh, > Yext, - Yh, ^

ext_

если

или

- для последней точки:

Y > Y и Y > Y

ht extp hk — extp_ l

Y < Y, и Y < F

Вторая: крайние точки временного ряда располагаются между двумя крайними локализованными экстремумами: - для начальной точки:

если

К > ^ и К < Г

или

если

или

Y < Y И Y > Y '

< Y ext, И > Y ext, ;

- для последней точки:

Y > ^ и Y < Y

Y < и Y > Y

В этих случаях коррекция экстремумов не производится.

Определение вершин сплайна - это определение опорных вершин кубического сплайна \ , которые вычисляются как биномиальные средние значения локализованных экстремумов (вхгс):

2 2!

• .

К =-

1 2

1

ext„

4 £0п!(2-п)!

Определить биномиальные средние значения экстремумов непосредственно в крайних точках временного ряда невозможно, поскольку первая и последняя вершины, определенные по (9), будут располагаться в треугольниках ех^ех^ех^

(рис. 3, а) и (рис. 3, б) соот-

ветственно. Учитывая, что Хк используются

для построения среднего В-сплайна, принято допущение о совпадении положений Я0 и Хт с абсциссами крайних точек временного ряда, тогда ординаты вершин определяются как полусумма значений крайних экстремумов:

- для начальной вершины (рис. 3, в):

т0

Y (К) = -

Y + Y

2

а б

3 3 3 3 3 3 3

0 200 400 600 800 1х1033 х103 3.2 х103 3.4 х103 3.6х103 3.8х103 4х103

в г

Рис. 3. Иллюстрация определения вершин сплайна на концах временного ряда Fig. 3. Spline vertices determination at the ends of the time series

- для последней вершины (рис. 3, г):

Y (Л ) =

Y.,

2

Формирование воображаемых вершин сплайна обусловлено одним из основных свойств В-сплайновой кривой: ее начало располагается в треугольнике (рис. 4, а), а конец - в треугольнике Л А А (рис. 4, б). Неопределенность В-сплайна на интервалах [Л^.-.Л^ и [/}.,„_!.../1,л] приводит к искажению (непредсказуемости) модовой функции на начальном и конечном интервалах.

Исключение непредсказуемости выделения модовых функций осуществляется посредством вычисления среднего В-сплайна с учетом вспомогательных (во-

ображаемых) вершин.

Воображаемые вершины Х_х и

в дополнении к массиву А0,..., Лт, как отмечено в [7], определяются как

Л_1 - 2Л0; Лт+1 - -Л

т-1

В результате кубический В-сплайн строится по новому массиву: Л_и Л0, ... , Лт, Лт+1, начинаясь в вершине

Л0 и заканчиваясь в вершине Лт.

Определение средней кривой на основе В-сплайн-базиса выполняется для вычисления средней кривой, которая на интервале , ] представляет собой кубический В-сплайн-базис, описываемый выражением [7]

«3

„ „ , „з 0 ,„з

^ J  J

0 200 400 600 800 1х10 12х10 2.8х10 3х10 32х10 3.4х10 3.6х10 3.8х10 4х10 а б

Рис. 4. Фрагменты среднего B-сплайна на начальном

интервалах без вспомогательных вершин Fig. 4. Fragments of the average B-spline at the original (a) and terminal (b) interval without additional vertices

т-Л

в

к=0

где N (0 - весовые множители ^-го кубического В-сплайн базиса, определяемые по

г <\+1; ^ - ордината среднего В-сплайна в точке Як.

На рис. 5 приведены результаты построения среднего В-сплайна Ь(г) (* = 0, 7 = 1) на исследуемом сигнале.

333 33333

0 400 800 1.2х103 1.6х103 2х103 24х103 2.8х103 3.2х103 3.6х103 4х103

Рис. 5. Иллюстрация выполнения процедуры «Определение среднего В-сплайна» Fig. 5. "Average B-spline determination" procedure

следующим выражениям:

(1 _ t )3

N,(t ) = -

N,(t ) =

N2(t ) =

6

3t3 _ 6t2 + 4

_3t3 + 3t2 + 3t +1

N3«) — • 6

Значения среднего В-сплайна, вычисленные по (13), будут определены в моменты времени, не совпадающие с регистрируемыми моментами времени исследуемого сигнала, что не позволит определить разность между (г) и средним

В-сплайном в следующей процедуре разложения. В связи с этим предложено осуществлять интерполяцию среднего В-сплайна, позволяющую определять значения среднего В-сплайна в моменты времени исследуемого сигнала.

В указанном действии реализована кусочно-линейная интерполяция, позволяющая на каждом интервале , ] представить функцию в виде

y(t)=К(t _К)+yk -

где kk = ———; t - регистрируемые мо-

К+1 - К

менты времени исследуемого сигнала,

Отсеивание прото-IMF. В рамках этой процедуры определяется прото-IMF:

hj+1 (t) = h (t) _ b, (t).

где h.+1(t), hj(t) - прото-IMF (компоненты

отсеивания) на текущей и предыдущей итерациях соответственно; b (t) - средний

В-сплайн на текущей у-й итерации.

Критерий S-номера. С помощью этой процедуры осуществляется проверка на остановку итерационного процесса отсеивания компонент h-+1(t) и выделение

модовой функции c

Из возможных критериев остановки итерационного процесса [8, 9, 10] в работе использован критерий S-номера. Выбор данного критерия обусловлен одной из характеристик эмпирической моды, сущность которой заключается в том, что число локальных экстремумов и число переходов IMF через ноль должны быть равными или отличаться не больше, чем на единицу. Число S определяется как номер итерации отсеивания, на которой прото-IMF h.+1(t),

7=1 ...Б, будет соответствовать определению эмпирической моды.

Критерий Э-номера программно реализован посредством двух операционных действий:

- определение количества экстремумов и нулевых пересечений;

6

6

3

- проверка на соответствие IMF.

Сущность определения количества экстремумов и нулевых пересечений заключатся в подсчете опорных вершин Лк

и переходов через ноль среднего В-сплайна.

В рамках проверки на соответствие IMF выполняется сравнение количества экстремумов и нулевых пересечений:

N _ Л = N _ zero или |N _ Л-N _ zero\ = 1,

где N_Л, N_zero - число опорных вершин и переходов через ноль среднего В-сплайна соответственно.

Если условие (17) не выполняется, то для прото-IMF hy+1(t) повторяются процедуры 1-4.

Если условие (17) выполняется, то S = j и прото-IMF (компонента отсеивания) h (t) принимается за модовую функцию и обозначается как

i) = hs

где S - эмпирически определенное количество итераций для данной моды.

Формирование остатка. В ходе программной реализации этой процедуры осуществляется удаление выделенной (извлеченной) функции IMF из текущего остатка и формирование нового остатка, содержащего низкочастотные составляющие:

r+1

где r (t) - текущий остаток; r+1 (t) - новый остаток.

Монотонность остатка. Согласно [10] итерационный процесс выделения модовых функций должен быть завершен при максимальном «выпрямлении» остатка rw (t), i = N, т.е. превращении его в тренд временного ряда f (t). Поэтому в рамках данной процедуры осуществляется анализ результатов выполнения процедуры

«Определение экстремумов»:

N _ ext = 0,

где N_ext - количество локализованных экстремумов.

Если условие (20) не выполняется, то остаток ri+1 (t) обрабатывается как новые

данные по приведенному алгоритму (процедуры 1-6).

Если условие (20) выполняется, т.е. не зафиксировано ни одного экстремума, то результирующий остаток обозначается как

rN

и итерационный процесс выделения модовых функций считается завершенным.

На рис. 6 представлены: смоделированный нелинейный исследуемый сигнал; выделенные модовые функции и остаток rw (t), полученные в результате классического EMD (рис. 6, а - левая колонка графиков) и В-сплайн разложения (рис. 6, б - правая колонка графиков).

Программная реализация классического алгоритма EMD и предложенного в работе алгоритма В-сплайн разложения с апробацией на сигнале, содержащем 200 точек, позволила установить идентичность результатов разложения при классическом алгоритме EMD и с применением В-сплайнов, а также уменьшение машинного времени разложения нелинейного сигнала на модовые функции с использованием В-сплайнов (t = 1,02 c) по сравнению с классическим разложением EMD (t = 1,43 c).

Выводы

1. Предложен алгоритм В-сплайн разложения нелинейных сигналов, регистрируемых в электроэнергетических системах, отличающийся от классического алгоритма EMD:

- использованием кубической В-сплайновой аппроксимации для построения средней b (t);

Смоделированный нелинейный сигнал / Simulated nonlinear signal

50

_ 50 _ 100

0

3 3 3 3 3 3 3

400 800 1.2х103 1.6х103 2х103 2.4х103 2.8х103 3.2х103 3.6х103 4х1

Выделенные модовые функции

40 0

_ 40

1 400_

3 3 3 3

0 800 1.6х103 2.4х103 3.2х103 4х103

40 40

20 0

_ 20

3 3 3 3

0 800 1.6х103 2.4х103 3 2х103 4х103

40 0

_ 40

3 3 3 3

0 800 1.6х103 2.4х103 3.2х103 4х103

3 3 3 3

0 800 1.6х103 2.4х103 3 2х103 4х103

20 0 20

„3 „ , , „3 „ „ , „3 „ , „3

3 „ , , „3 „ „ , „3 „ , „3

0 800 1.6х10 2.4х10 3 2х10 4х10 0 800 1.6х10 2.4х10 3 2х10 4х10

Остаток / Remainder

_ 12

_ 14 _ 16

0 800 1.6х103 2.4х103 3.2х103 4х103 0 800 1.6х103 2.4х103 3 2х103 4х103

Рис. 6. Сравнительный результат разложений Fig. 6. Comparative results of expansions

- уменьшением количества процедур алгоритма.

2. Разработана алгоритмическая модель В-сплайн разложения, ядром которой являются два вложенных цикла, внутри которых происходит обращение к процедурам:

1) определение экстремумов;

2) определение среднего В-сплайна;

3) отсеивание прото-!МР;

4) критерий Э-номера;

5) формирование остатка;

6) монотонность остатка.

На базе алгоритмической модели разработана программная модель, зарегистрированная в УФЭР [11].

3. Разработаны математические модели каждой процедуры алгоритмической модели В-сплайн разложения.

4. Программная реализация В-сплайн разложения нелинейных сигналов повышает быстродействие получения результатов идентификации регистрограмм электроэнергетических систем в 1,4 раза по сравнению с классическим алгоритмом БМР.

0

б

а

1. Norden E. Huang, Samuel S.P. Shen. The Hilbert-Huang transform and its applications. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005. 309 p.

2. Семенова Л.А., Паршков А.А. Декомпозиция нелинейных сигналов на эмпирические моды: прикладная программа; свидетельство о регистрации от 29.02.2016 г. № 1230; Университетский фонд электронных ресурсов Оренбургского государственного университета.

3. Бердин А.С., Семенова Л.А., Захаров Ю.П., Коваленко П.Ю. Кубическая сплайновая интерполяция и аппроксимация для мониторинга переходных режимов в энергетических системах // Электроэнергетика глазами молодежи: науч. тр. III Междунар. науч.-техн. конф. (Екатеринбург, 22-26 октября 2012 г.). В 2 т. Екатеринбург: Изд-во УрФУ, 2012. Т. 1. С. 139-143.

4. Chen Q., Huang N.E., Riemenschneider S., Xu Y. A B-spline approach for empirical mode decompositions // Advances in Computational Mathematics. 2006. Vol. 24. Р. 171-195.

5. Ерохин П.М., Семенова Л.А., Захаров Ю.П., Коваленко П.Ю. Алгоритм локализации экстремумов в обобщенном методе эмпирической модовой декомпозиции // Электроэнергетика глазами молодежи: науч. тр. III Междунар. науч.-техн. конф. (Екатеринбург, 22-26 октября 2012 г.). В 2 т. Екатеринбург:

ий список

Изд-во УрФУ, 2012. Т. 1. С. 209-213.

6. Давыдов В.А., Давыдов А.В. Уменьшение краевых эффектов при выполнении эмпирической модовой декомпозиции сигналов преобразования Гильберта-Хуанга // Электронное издание «Актуальные инновационные исследования: наука и практика». 2011. № 1. URL: http://www.actualresearch.ru (05.10.2015).

7. Шикин Е.В., Плис Л.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. 240 с.

8. Huang N.E., Wu M.C., Long S.R. [et al.]. A confidence limit for empirical mode decomposition and Hilbert spectral analysis // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 2003. Vol. 459. P. 2317-2345.

9. Flandrin P., Rilling G., Gongalves P. Empirical mode decomposition as a filter bank // IEEE. Signal Processing Letters. 2004. Vol. 11. No. 2. P. 112-114.

10. Huang N.E., Shen Z., Long S.R. [et al.]. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1998. Vol. 454. P. 903-995.

11. Семенова Л.А., Паршков А.А. B-сплайн разложение нелинейных сигналов: прикладная программа; свидетельство о регистрации от 15.01.2016 г. № 1216; Университетский фонд электронных ресурсов Оренбургского государственного университета.

References

1. Norden E. Huang, Samuel S.P. Shen. The Hilbert-Huang transform and its applications. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005. 309 p.

2. Semenova L.A., Parshkov A.A. Dekompozitsiya nelineinykh signalov na empiricheskie mody: prikladna-ya programma; svidetel'stvo o registratsii ot 29.02.2016 no. 1230; Universitetskii fond elektronnykh resursov Orenburgskogo gosudarstvennogo universiteta [Decomposition of nonlinear signals on empirical modes: application software; Certificate of registration from 29 February 2016, no. 1230; Orenburg State University Fund of electronic resources] (in Russian).

3. Berdin A.S., Semenova L.A., Zakharov Yu.P., Ko-valenko P.Yu. Kubicheskaya splainovaya in-terpolyatsiya i approksimatsiya dlya monitoringa perekhodnykh rezhimov v energeticheskikh si-stemakh [Cubic spline interpolation and approximation for transition regime monitoring in power systems]. Nauchnye trudy III Mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi kon-ferentsii "Elektroenergetika glazami molodezhi" [Scietific works of III International scientific and technical conference "Electrical power engineering through the young people's eyes", Ekaterinburg, 22-26 October 2012]. Ekaterinburg, UrFU Publ., 2012, vol. 1, pp. 139-143 (in Russian).

4. Chen Q., Huang N.E., Riemenschneider S., Xu Y. A B-spline approach for empirical mode decompositions. Advances in Computational Mathematics, 2006, vol. 24, pp. 171-195.

5. Erokhin P.M., Semenova L.A., Zakharov Yu.P., Ko-

valenko P.Yu. Algoritm lokalizatsii ekstremumov v obobshchennom metode empiricheskoi modovoi dekompozitsii [Extrema localization algorithm in the generalized method of empirical mode decomposition]. Nauchnye trudy III Mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii "Elektroenergetika glazami molodezhi" [Scietific works of III International scientific and technical conference "Electrical power engineering through the young people's eyes", Ekaterinburg, 22-26 October 2012]. Ekaterinburg, UrFU Publ., 2012, vol. 1, pp. 209-213 (in Russian).

6. Davydov V.A., Davydov A.V. Umen'shenie kraevykh effektov pri vypolnenii empiricheskoi modovoi dekompozitsii signalov preobrazovaniya Gil'berta-Khuanga [Reduction of edge effects under empirical mode decomposition of Hilbert-Huang transform signals]. On-line journal "Aktual'nye innovatsionnye issle-dovaniya: nauka i praktika" [Topical innovation issues: research & implementation]. 2011, no. 1. Available at: http://www.actualresearch.ru (accessed 05 October 2015).

7. Shikin E.V., Plis L.I. Krivye i poverkhnosti na ekrane komp'yutera. Rukovodstvo po splainam dlya pol'zovate-lei [Curves and surfaces on a computer screen. Spline guide for users.]. Moscow, DIALOG-MIFI Publ., 1996. 240 p. (in Russian).

8. Huang N.E., Wu M.C., Long S.R. [et al.]. A confidence limit for empirical mode decomposition and Hilbert spectral analysis. Proc. R. Soc. London, Ser. A, 2003, vol. 459, pp. 2317-2345.

9. Flandrin P., Rilling G., Gongalves P. Empirical mode decomposition as a filter bank. IEEE. Signal Processing Letters, 2004, vol. 11, no. 2, pp. 112-114.

10. Huang N.E., Shen Z., Long S.R. [et al.]. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proc. R. Soc. London, Ser. A, 1998, vol. 454, pp. 903-995.

11. Semenova L.A., Parshkov A.A. В-splajn razlozhenie

Критерии авторства

Семенова Л.А. полностью подготовила статью к публикации и несет ответственность за плагиат.

Автор заявляет об

nelinejnyh signalov: prikladnaya programma; svi-detel'stvo o registratsii ot 15.01.2016 no. 1216; Univer-sitetskii fond elektronnykh resursov Orenburgskogo gosudarstvennogo universiteta [B-spline decomposition of nonlinear signal: application software; Certificate of registration from 15 January 2016, no. 1216; Orenburg State University Fund of electronic resources]. (in Russian).

Authorship criteria

Semenova L.A. is the sole author of the article and bears the reponsibility for avoiding the plagiarism.

нфликт интересов

отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interest

The author declares that there is no conflict of interests regarding the pulication of this article.

Статья поступила14.04.2016 г.

The article was received on 14 April 2016