Задача размещения сельскохозяйственного производства

The problem of locating agricultural production Abdullayev A.1, Aliyeva B.2 Задача размещения сельскохозяйственного производства Абдуллаев А. Х.1, Алиева Б. M.2

'Абдуллаев Абдулла Худаят / Abdullaev Abdulla — доцент, кафедра информационной экономики и технологии; 2Алиева Басти Махар /Aliyeva Basti - старший преподаватель, кафедра экономики и бизнес администрирования, турецкий факультет менеджмента, Азербайджанский государственный экономический университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: предложен эффективный метод и алгоритм для решения задачи размешения сельскохозяйственного производства, сформулированной как задача частично-целочисленного программирования большой размерности, на основе модификации декомпозиционной схемы Бендерса. Для решения известной подзадачи Бендерса использованы идеи ограниченного метода ветвей и границ и предложена схема ветвления. При этом для проверки вершин и отбраковки неконкурентоспособных вариантов применены два критерия и стратегия их использования. Для решения оценочных задач на вершинах также предложен эффективный метод.

Abstract: an efficient method and algorithm for solving the problem of agricultural production announcement is formulated as a problem of mixed integer programming of large dimension, based on the modification of the decomposition Benders scheme. To solve the subtasks known Benders used the idea of a limited branch and bound method and the proposed branch circuit. At the same time to check the peaks and rejection of non-competitive options applied two criteria and strategy for their use. To solve valuation problems on the tops also provides an effective method.

Ключевые слова: частично-целочисленного программирования, метод ветвей и границ, декомпозиционный метод Бендерса, задача размещения.

Keywords: mixed integer programming, branch and bound, Benders decomposition method, placing the task.

Регулирование сельскохозяйственного производства в республике является одной из основных функций государства в условиях перехода к рыночной экономике. Для решения таких задач, как оптимизация структуры сельскохозяйственного производства, исследование возможности республики в области производства продовольствия, определение экспортного потенциала требуются специальные методы и инструментарий. С другой стороны, для корректного ведения таких исследований нужны соответствующие математические методы решения задач большой размерности.

В даной работе дается алгоритм решения задачи размещения сельскохозяйственного производства, сформированный в [1]:

с'х + qv + dy^ min

Qv + D2y > b2

у ей

x, v > 0, y - булевый вектор (5) где с, q, d, b1,b2 - векторы, A, Q, Db D2 матрицы соответствующей размерности (Db D2 < 0), x -вектор непрерывных, v - вектор транспортных переменных.

Множество определяется из ограничений:

Y X^fifr-0 EMBED Equation.DSMT4 ШШвУ^.цеМ

k -

Пj -££hnky^ -ПJ>jG J

- г;еМ k=1 J

K k

£ £ к - !> j ^j

M^M k=1 J

где RMk, ^fik: ' положительные коэфициенты. Ограничения (6) - это есть ограничение по плану производства животноводческой продукции, причем, к-я возможная мощность ц-й, отрасли. Ограничения (7) - корма с пастбищ используются в хозяйстве, в котором они находятся. Ограничения

(8) - это условия специализации производства. Булева переменная укц равно 1, если в j- MM v пункте

размещается предприятие ц-й отрасли мощности R^k, и равно нулю в противном случае. 1. Основные подзадачи

Решение задачи методом, изложенным в [2], сводится к последовательному решению следующих задач:

- задачи линейного программирования при фиксированных значениях булевых переменных у:

C' x^min

- транспортной задачи, также при фиксированных знаниях у:

qV ^ min

- Задачи нахождения допустимого решения системы неравенств:

d y + (b1 - D1 y)V + (b2 - D2y)' p1 < Z'e.

i = СU

y=fi (16) y - булевый вектор (17) где u1 и p1 является двойственными оценками соответственно задач (9) - (11), (12) - (14) на 1 -й итерации декомпозиционного метода. Введем следующие обозначения:

a1 = d - u1.D1 - p1D2, b1 = b'1.u1 + b^p1 (18) Задачу (15) - (17) перепишем в виде

aiy + bi<ZtE,i = Ü7t

y=fi

У е йд]

- Задачи линейного программирования для формирования оценочной задачи:

mm z

а1 у + b1 < Z

У

y > 0

Число оргоничений этой задачи увеличивается на единицу на каждой итерации декомпозицонной схемы.

- оценочная задача следующего общего вида, которая формируется через двойственные оценюI задачи (22) - (25):

Хц >0 Л = 1 .Л,/

Отметим,что для решения линейных задач большой размерности можно использовать пакет программы составленных на основе методов изложенных в [3, 4, 5]. 2. Пошаговое описание общего декомпозиционного алгоритма

В этом параграфе дается алгоритм решения исходной задачи размещения сельскохозяйственного производства.

Пошаговое описание итерационного процесса выглядит следующим образом:

Шаг 0. Ввод исходной информации. Генерация неизменяемых матриц условий для задач (9) - (11) и (22) -(25). Запись сгенерированных матриц на диск. Присвоить £=0.

Шаг 1. Считывание с диска сгенерированных неизменных матриц и получение решения х' и двойственных оценок и' задачи (9) - (11) при у = у'.

Шаг 2. Оформление и решение транспортной задачи (12) - (14) при фиксированном у = у', у' -решение транспортной задачи, р' - ее двойственные оценки.

Шаг 3. Вычисление коэффициентов а', Ь' по формуле (18). Если

а' у' * Ь' > Ze' то перейти к шагу 6.

Шаг 4. Обновление рекорда. Решение (х', у',у') запоминается. Вычисляется значение: F' =а'у' + Ь' и обновляется рекорд Т}ъ =Е' / (1+£).

Шаг 5. Добавление к системы неравенств (19) ограничения

а' у + Ь' < гЕ'

Шаг 6. Считывание с диска сгнерированной матрицы для задачи (22) - (25). Добавление одной строки в матрицу ограничений, запись на диск.

Шаг 7. Проверка: если t < Т (Т - заранее выбранное число), то перейти к шагу 10.

Шаг 8. Решение задачи (24) - (27). Пусть: Z - Решение задачи (24) - (27). Проверка: если Z ' > Z'E, то перейти к шагу 12.

Шаг 9. Формирование оценочной задачи с помощью двойственных оценок задачи (22)-(25).

Шаг10.Отыскание допустимого решения системы неравенства (21) - (32). Если допустимого решения нет, тогда перейди к шагу 12.

Шаг 11. Подготовка к следующей итерации. Положить £= t + 1,

через у' обозначить найденное допустимое решение системы неравенства, положить ZE': = 7Е'-1. Перейти к шагу 1.

Шаг 12. Конец решения задачи.Текущее рекордное решение принимается в качестве £ решения задачи.

3. Алгоритм нахожденния допустимого решения системы неравенства.

В описанном в предыдущем параграфе алгоритме наиболее трудоемким является шаг 10 -нахождение допустимого решения системы неравенств. Опишем по шагам алгоритм решение задачи(19) - (23).

Для удобства изложения введем следующие обозначения:

Ы

где векторы а0,...,а' и числа Ь0,..., Ь' фигурируют в ограничениях (19) задачи.

Шаг 1. Проверка номера итерации. Если t > 0 - номер итерации), то перейти к шагу 10.

Шаг 2. I: = 0 (I - номер уровня), А0 записать на диск.

Шаг 3. Выбор отрасли для ветвления.

Шаг 4. Выбор вариантов по пунктам размещения.

Шаг 5. Если К(1) =0 (К(1) - количество вариантов на уровне (I), то перейти к шагу 12. Шаг 6. Упорядочивания вершин в группе. На последующих шагах рассматриваем крайнюю левую вершину.

Шаг 7. Проверка выполнения плана по всем отраслям. Если ограничения (6) удовлетворяется, то перейти к шагу 18.

Шаг 8. Проверка: если t < Т перейти к шагу 9.

Решение оценочной задачи. Проверка вершины на возможность отбраковки. Если проверка не прошла, то перейти к шагу 15.

Шаг 9. Переход на следующий уровень 1:= 1+1. Перейти к шагу 3. Шаг 10. Считать с диска матрицу А'-1, добавить новую строку, записать А' на диск. Шаг 11. Отбраковка заполненных на предыдущей интеграции (Ы) вершин (начиная с корня дерева) по последнему добавленному ограничению. Переход к шагу 5.

Шаг 12. Проверка. Имеется ли следующий вариант мощности, для рассматриваемой отрасли. Если имеется, тогда перейти к шагу 16.

Шаг 13. Возврат на предыдущий уровень I: = 1+1 и переходит к следующему шагу. Шаг 14. Проверка: Если I = 0 то перейти к шагу 19. Шаг 15. Отбраковка вершины, из которой спустились: К (I): = К (I) - 1, перейти к шагу 5.

Шаг 16. Выбор следующего варианта мощности для рассиматриваемой отрасли.

Шаг 17. Проверка вершины по допустимости мощности. Если мощность допустима, то перейти к шагу 4, в противном случае - к шагу 13.

Шаг 18. Найдено допустимое решение

Шаг 19. Останов. Допустимого решения не имеется.

4. Метод и алгоритм решения оценочной задачи

Оценочная задача (26) - (29) решается для каждой вершины дерева вариантов в процессе ветвление и, следовательно, затраты времени на ее решение могут занимать значительную часть от общего времени решения всей задачи. В данном параграфе будет изложен эффективный алгоритм решения оценочные задачи. Это задача линейного программирования с одним ограничением общего вида (27) и п ограничениями специального вида (28). Воспользуемся спецификой этой задачи. Задача двойственная к (26) - (29), имеет вид:

b.to - £ ti ^

max

i=1

ajj. t0 - tj > Cjj, i= 1, n , j=1, m

ti > 0, i=1, n (32) Систему ограничений (30)-(32) перепишем следующем эквивалентном виде:

t = max

max(a ,t0 - c ),0

1< j <m j j

Преобразуем теперь (33), используя известные свойства операции max и min

t = max

- min(c - a ,t0 ),0

1< j <m

- min

min(c - a tn ),0

1< j<m j j 0

= min

0<j<m j j

1 П

Где ai0 = ci0 = 0, i = ' ,

таким образом, задача (30) - (32) преобразуется в задачу с одной переменной - t>0 следующего вида

n

, £ min

* (t)= b • t+ i= 0<j <m (cij - aij • t) ^ max (34).

Известно следующее свойство * (t) - непрерывная, кусочно-линейная, вогнутая функция.

Максимум функции * (t) достигается в той точка излома, в которой угловой коэффициент меняет знак

с плюса на минус. Из свойств функций * (t) следует алгоритм решение задачи (34). Для нахождения

точки максимума функции * (t), начиная с точки t0=0, последовательно находятся точки излома t1,...,tq до тех пор, пока не выполняется условие: углевой коэффициент kq-1 >0 и kq<0. Тогда точка t=tq принимается за решение задачи (34).

Опишем теперь подробно метод решения оценочном задачи, предварительно переписав ее в более удобном виде. Обозначим

, min

*i

Тогда задача (34) примет следующий вид:

*

Очевидно, что точки излома функции ф (^ находятся среди точек излома функция ф ¡(1), 1=1, П .

i=1

ф (t)=(b- 2 j + X

Опишем метод отыскания точки излома функции ф 1(t), следующим за точкой t. Назовем этот метод алгоритмом T1(t). Пусть известна точка излома t функция ф 1(t). Найдем следующий точка излома t1>t. Уравнения

ф 1

0< j < m ji j

есть уравнение прямой в правой окрестности точки t. Найдем точки пересечения этой прямой с прямыми

Y

для которых a1j < a1j

Наименьший корень

t1 = m1n{(c1j . C1j)/(a1j - a1j)| j * jj, aj < aj }

является ближашей к t точка излома функции ф 1(t).

Зная теперь алгоритм T1(t), изложим алгоритм решения задачи (35).

Составим список t=(t1,t2,t3,^,tn). С помощью алгоритма T1(t) для всех 1= 1, n найдем следующую за нулем точку излома функции

ф 1(t). Эти значения t1 занесем в список t. Положим p=1.

Шаг 1. Найдем такой t1p в списке t, что t1p = mm { t1 | t1S t }.

Шаг 2. Определим уравнение функции ф (t) на отрезке [t1p-1, t1p]

n n

+

i=1 i=1

Шаг 3. Если коэффициент при t в (37) отрицательно, то t1p-1 является искомой точкой. В противном случае перейдем к шагу 4.

Шаг 4. С помощью алгоритма T1(tp) для t=t1p найдем следующую за t1p точку излома функции ф 1p(t) и занесеи это значение в список t на место 1p

Шаг 5. Увеличим значение p на единицу, т. е. p: = p+1 и придем к шагу 1.

В заключение сделаем одно замечание, позволяющие ускорить работу алгоритма. Если в процессе отыскания максимума ф (t) окажется, что ф (t) > ze,TO следует остановиться, т. к. исследуемая вершина дерева вариантов исходной задача должна быть отбракована.

Проведены вычислительные эксперименты. Метод решения позволяет достаточно быстро находить решения, близкие к оптимальному, точность которых в большинстве случаев является вполне достаточной для лиц, принимающих практические решения.

Литература

1. Абдуллаев А. Х., Киселев В. Г.Задача размещения сельскохозяйственного производства в объединении хозяйств мелиоративной системы. Москва, ВЦ АН СССР, 1985.

2. Абдуллаев А. Х., Киселев В. Г. Метод решения целочисленной подзадачи Бендерса в некоторых задачах размещения производства. Москва, ВЦ АН СССР, 1985.

3. Малков У. Х. Обзор путей повышения эффективности мультипликативного алгоритма симплекс метода. В кн.: Математические методы решения экономических задач. М: Наука, 1977 г., вып. 7.

4. Станевичюс А.-И. A., Шкляр П. Э. Замечания к алгоритму симплекс метода для задач больших размеров ЖВМ. 1982. N 1.

5. ЫуртафБ. Современное линейное программирование М.: Мир, 1984.

6. Уздемир А. П. Декомпозиция при решении комбинаторной задачи определения моментов ввода предприятий. Автоматика и телемеханика, 1977, № 10, с. 110-121.

7. Уздемир А. П. Метод решения комбинаторной задачи определения моментов ввода предприятий. Автоматика и телемеханика,1978, № 10, с. 142-152.

8. МатБюро, Математические методы в экономике Решение контрольных и задач, http://www.matburo.ru/sub_subject.php?p=emm (дата обращения: 14.05.2016).

9. Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2005.

10. Кузнецов А. В. Холод Н. И., Костевич Л. С. Руководство к решению задач по математическому программированию. Мн.: Вышэйш. шк., 1978.

11. Кузнецов Б. Г. Математические методы и модели исследования операций: учебное пособие для студентов ВУЗов, обучающихся по специальности «Математические методы в экономике».

Tax revenues in the budget of the Nizhniy Novgorod region Mysyagina A.

Налоговые поступления в бюджет Нижегородской области Мысягина А. Ф.

Мысягина Анастасия Федоровна /Mysyagina Ana.sta.siya - студент магистратуры, кафедра экономики фирмы, Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, г. Нижний Новгород

Аннотация: в данной статье рассмотрена роль налогов в формировании бюджета Нижегородской области. Проведен горизонтальный анализ налоговых поступлений в бюджеты разных уровней бюджетной системы в период 2013-2015 годов и сформулированы предложения по их увеличению. Abstract: in this article the role of taxes in formation of the budget of the Nizhny Novgorod Region is considered. The horizontal analysis of tax revenues for the treasury of different levels of the budgetary system during 2013-2016years is carried out and offers on their increase are formulated.

Ключевые слова: налоги, бюджетная система, областной бюджет, налоговые доходы, сборы, местный бюджет.

Keywords: taxes, budget system, oblast budget, tax revenues, fees, local budget.

УДК 336.22

На сегодняшний день налоги представляют собой особую роль в формировании механизма аккумулирования бюджетом денежных средств и укрепления эластичности экономики области на местах при сбалансированном общегосударственном взаимофинансировании [7].

На данном этапе экономического кризиса 2013-2015 г. в РФ наблюдается тенденция ухудшения индексов поступлений в бюджет, что обусловлено резким снижением налоговых поступлений в государстве, спадом оборотов торговли из-за санкций России, Турции и стран ЕС [5]. Поэтому разрешение данных проблем имеет важное значение на сегодняшнее время, включая в себя поиск путей и новых ниш для наполнения местного областного бюджета и экономии бюджетных средств.

На данный момент в Нижегородской области действует принятая на государственном уровне двухуровневая система бюджетирования:

- первый уровень состоит из областного бюджета области за текущий год и бюджета территориальных государственных внебюджетных фондов;

- во второй уровень входят все местные бюджеты [3].

К областному бюджету Нижегородской области относится часть денежных средств, которая предназначается для решения и обеспечения определенного круга задач и функций, отнесенных к предметам ведения органов государственной власти Нижегородской области. К налоговым доходам областного бюджета Нижегородской области относятся: собственные налоговые доходы областного бюджета Нижегородской области от региональных налогов и сборов, а также отчисления от федеральных регулирующих налогов и сборов.

Таблица 1. Основные виды налогов, поступающие в бюджет Нижегородской области за 2013-2015 гг., %

Показатели 2013 г. 2014 г. 2015 г.

Внутренний НДС 5,7 5,3 5,5

НДС на импорт 3,0 2,8 3,1

Налог на прибыль 2,7 2,5 2,5

НДФЛ 3,6 3,8 3,8

Социальные взносы 6,6 7,1 6,7

В табл. 1 приведена динамика поступлений рассматриваемых налогов в бюджетную систему и соответствующих налоговых баз за последние три года. Как показывают эти данные, заметное снижение