Численная реализация моделей Фойгта и Максвелла для моделирования волн в грунте

ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ.

МЕХАНИКА ГРУНТОВ

УДК 624.131:004

С.В. Шешенин, И.М. Закалюкина*, С.В. Коваль**

ФГБОУВПО «МГУ», *ФГБОУВПО «МГСУ», **26ЦНИИ — филиал ОАО «31ГПИСС»

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ФОЙГТА И МАКСВЕЛЛА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВОЛН В ГРУНТЕ

Рассмотрен грунт с погруженным в него бетонным сооружением. Для моделирования применена явная схема по времени типа схемы Уилкинса. Она успешно себя зарекомендовала, в т.ч. применением в известной программе LS-DYNA. На основе описываемого ниже моделирования создана собственная программа на базе метода конечных элементов. Приведен пример практического применения.

Ключевые слова: модель Фойгта, модель Максвелла, метод Уилкинса, воздействие на грунт, моделирование, конечные элементы, волны.

Моделированию динамических процессов деформирования в грунте и подземных конструкциях посвящено много работ. Например, в [1] изучается распространения волн в подземных газопроводах для построения системы мониторинга вибраций. В [2] изучаются теоретические и алгоритмические аспекты эффективной реализации реалистичного затухания сейсмических колебаний за счет проявления вязкости с помощью метода конечных разностей. Разностная схема применяется для моделирования распространения сейсмических волн в средах с разрывами материальных свойств. В [3, 4] рассматривается динамическое деформирование мерзлых грунтов. При рассмотрении взрывных процессов мерзлый и мягкий грунты моделируются сжимаемой средой с необратимыми объемными и сдвиговыми деформациями и с учетом геометрической нелинейности деформирования. Так, в [5, 6] для моделирования больших деформаций применяется метод сглаженных частиц (SPH). Известно, что для моделирования особенно мягких грунтов требуется применение более точных определяющих соотношений, чем линейная теория упругости [7—11]. Конечно, есть работы, в которых применяются модели нелинейной вязкоупру-гости, так, в [12] предлагается механическая модель для описания нелинейного вязкоупругого поведения грунта, но только в случае изотропного материала. Модель вязкоупругости применяется и для моделирования пороупругости. В [13] предложен приближенный метод решения динамической задачи пороу-пругости на основе определения эквивалентных вязкоупругих свойств.

Нами описывается разработанное численное моделирование волновых процессов в грунте на основе линейной теории вязкоупругости. Целью явилось описание малых по величине вибраций в твердом грунте, которые тем не менее могут вызывать нежелательное воздействие на объекты, погруженные в грунт или находящиеся на его поверхности.

Задача рассмотрена в предположении о малости деформаций. Даже в этом случае, как отмечается в [14], выбор соответствующего вязкоупругого уравнения состояния (в дифференциальной или интегральной форме), остается сложной проблемой. Ниже используются модели Фойгта и Максвелла для описания деформаций в грунте и погруженной в него бетонной конструкции. Конечно, возможно использование обобщенных моделей Фойгта и Максвелла. Для дискретизации по времени начально-краевой задачи возможны две схемы: явная и неявная. Неявная схема позволяет описывать процесс на длительном отрезке времени. С механической точки зрения такая схема вполне подходит для описания удара мягким телом по бетонному сооружению или скальному грунту [15], такой подход рассматривался, например, в [8]. С математической точки зрения основной вычислительной особенностью неявной схемы является необходимость решать систему алгебраических уравнений на каждом временном шаге. Правда, в случае линейной упругости факторизовать матрицу можно один раз и затем хранить треугольную матрицу. Но этот прием невозможен в случае нелинейных определяющих соотношений или при наличии геометрической нелинейности. Ясно, что при разработке моделирования следует иметь в виду возможность учета нелинейностей в будущем.

Явная схема вынуждает интегрировать малым шагом по времени, что уже ограничивает длительность исследования волнового процесса. Зато схема не требует решения линейной системы, а использует только умножение матрицы на вектор. Последняя операция выполняется существенно быстрее и хорошо распараллеливается. Ниже описываются некоторые результаты разработки собственной компьютерной программы, реализующей явную схему по аналогии с интегрально-разностной схемой Уилкинса [16]. Разработанная программа является полностью, как говорят, home-made, что придает ей вполне понятные преимущества. Для пространственной дискретизации используется МКЭ. В похожей работе [17] для выполнения численного моделирования распространения волн в 3D гетерогенных многомасштабных вязкоупругих средах используется техника конечных разностей с параллельной реализацией на основе декомпозиции области. В данной статье мы рассматриваем вариант компьютерной программы для линейных упругих и вязкоупругих соотношений. В последующих статьях предполагаем рассмотреть вопрос реализации для упруго-пластических процессов и больших деформаций.

Несмотря на то что в большинстве работ применяются численные методы для моделирования волнового воздействия на грунт и наземные и подземные сооружения, имеется множество работ, в которых исследуются относительно простые волновые движения, например волны в бесконечной среде [18—20]. Так, в [18] аналитически исследуются свойства плоских волн, распространяющихся в произвольном направлении в неограниченной вязкоупругой анизотропной среде.

Итак, рассматриваются две теории вязкоупругости. Первая — это модель Фойгта, записываемая в виде

с = C + h e ,

j ijkl ijkl kl

где C — модули упругости; h — коэффициенты вязкости. Для изотропной

ijkl ijkl

среды

СРМ = 15з5и + ц(5л), Я]к! = Л5з 5Й + ^ +5,7^),

где 1 = —2цп—; т = ^ = —Е—; Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона;

Л, Л — сдвиговая и объемные вязкости. Модель Максвелла записывается для анизотропной среды в виде

= са +л-й си,

где / = С-1 — тензор модулей податливости; п — тензор вязкостей. Для изотропной среды проще записать модель Максвелла в виде отдельных соотношений для сдвиговых и объемных частей:

1 • 1 А К 1

еа =-Яц +-Яц, 9 =—с + — С

3 2ц 3 2л 3 К 2Л

где е, х — девиаторы напряжений и деформаций; 9 — относительное изменение объема; с — среднее давление.

Вводим дискретизацию по времени, т.е. моменты с шагом дискретизации т. Оба определяющих соотношения после дискретизации можно переписать в виде

ат = С

Причем, для модели Фойгта С^ = С + ц/т , С(2) = -ц/т , С(3) = 0, а для модели Максвелла выражения немного сложнее. Поэтому выпишем уравнения только для изотропной среды:

С(П3 = К)5к + ц(») (^537 + 5,7Ъзк ), К(и) = К(П) - 2/3ц(и) П = 1, 2 3, ,

к = К к = _ к к = 1 -

где К(1) = 1 + (К/Л) (т /2) , К(2) _ ^ К(3) = 1 + (К/Л) (т /2) •

т 1 -

Аналогично ц(1) =-, ц = _ ц ц (3) =-.

Естественно, следующим шагом следует сформулировать вариационное уравнение, определяющее решение ит1 краевой динамической задачи в момент С*1 в области V с границей Е. В области V действуют массовые силы Е, а часть поверхности Е2 нагружена поверхностными силами 8:

V V £

где ат = (ит+1 - 2ит + ит-1 )/т2 — ускорение в момент {"; ит — перемещение; V — пробная функция. Считается, что все величины: перемещение, напряжение и деформация известны во все дискретные моменты времени вплоть до момента ("• Алгоритм реализации явной схемы решения вариационного уравнения выглядит следующим образом. Из вариационного уравнения (2) находится ит1, а затем вычисляются ет+1 и от+1, с использованием определяющего соотношения (1). Далее осуществляется переход к следующему шагу. Такой алгоритм удобен для обобщения на случай вязко-упруго-пластического деформирования.

Пространственная дискретизация уравнения (2) осуществлена методом конечных элементов. Здесь важным моментом является тот факт, что перемещения относятся к узлам конечного элемента, а напряжения и деформации вы-

числяются в Гауссовых точках элемента. Это соответствует оригинальной схеме Уилкинса [16], в которой также использовались разные узлы для скоростей и напряжений. В остальном, конечно-элементная аппроксимация осуществляется стандартным образом с использованием трех линейных функций формы для перемещений.

Опишем, например, как аппроксимируется интеграл |стт : е(у)dV . Ис-

V

пользуем стандартное обозначение для функции формы N (х), ассоциированной с узлом р. Тогда энергия деформации в области элемента аппроксимируется выражением

z £ s ( x  ( x * )'

s=1 p=1 VX

\ * 1 p 1 J J

VP ;

где V — область элемента; х* — гауссовы точки; п — число узлов элемента; па — число гауссовых точек. Аналогично приближаются все члены вариационного уравнения.

Ниже приводится пример применения разработанной программы для расчета усиленного фундамента для установки оборудования, предназначенного для высокоточных измерений. Чтобы обеспечить малость влияния колебаний на оборудование, возникла необходимость исследования вибраций от внешних источников (городские транспортные магистрали и другие факторы). По результатам расчетов можно разработать конструктивные решения по расположению, размерам каждого фундамента.

Для оценки влияния посторонних воздействий на фундамент проведены численные расчеты фундамента и прилегающих контрфорсов на гармоническое нагружение.

Конструкция (рис. 1) подвергалась гармоническому динамическому воздействию поверхностной силой, приложенной на площадке в центре верхней горизонтальной плоскости фундамента. Показана (рис. 1) расчетная область, моделирующая фундамент с двумя контрфорсами и песчаной подложкой.

Рис. 1. Общий вид фундамента с изображением вертикальной компоненты ускорения в м/с2. Процесс начала колебаний фундамента

ВЕСТНИК

МГСУ-

11/2014

В качестве исходных данных модели грунтового основания принят песок со следующими характеристиками: модуль Юнга: Е = 20 МПа; коэффициент Пуассона V = 0,3. Константы Фойхта песка: л = 0,131 МПас и Л = 0,159 МПас. Фундамент — железобетонная конструкция, бетон марки В25. Константы Фойхта бетона: л = 0,028 МПас, Л = 0,045 МПас.

Колебания, изображенные на рис. 2, а, являются предельно допустимыми с амплитудой перемещений 4Е-4 м. Колебания, показанные справа (рис. 2, б), имеют запредельную амплитуду перемещений 4Е-3 м.

ощи:

0 №В2

О 0003

0ДЮ4:

О ДМ

ода

-ода

-ода

а б

Рис. 2. Вертикальные перемещения при воздействии нагрузкой с частотой 70 (а) и 80 рад/с (б). По оси абсцисс отложено время, с

Таким образом, в результате моделирования было обнаружено, что на частоте 80...82 рад/с возникают единичные резонансные скачки с увеличением амплитуды перемещений до 10 раз.

В заключение можно заметить, что созданная собственная конечно-элементарная программа является инструментом, позволяющим проводить динамический анализ напряженно-деформированного состояния объектов, погруженных в грунт, как и самого грунта. Примененная разностная дискретизаций по времени дает возможность проводить расчет в широком диапазоне частот, а используемая пространственная дискретизация годится как для вязкоупругого грунта, так и для вязко-упруго-пластического. Анализ, проведенный с учетом пластических свойств, будет описан в следующей статье. Таким образом, анализ напряженно-деформированного состояния, доступный разработанной компьютерной программе, может оказаться полезным для инженерного применения при проектировании подземных сооружений. Такой вывод подтверждается приведенным примером.

Библиографический список

1. Цветков Р.В., Шардаков И.Н., Шестаков А.П. Анализ распространения волн в подземных газопроводах применительно к задаче проектирования систем мониторинга // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т. 6. № 3. С. 364—372.

2. Kristek J., Moczo P. Seismic-Wave Propagation in Viscoelastic Media with Material Discontinuities: A 3D Fourth-Order Staggered-Grid Finite-Difference Modeling // Bulletin of the Seismological Society of America. 2003. Vol. 93. No. 5. Pp. 2273—2280.

3. Кочетков А.В., Повереннов Е.Ю. Применение метода квазиравномерных сеток при решении динамических задач теории упругости в неограниченных областях // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. С. 81—92.

4. Глазова Е.Г., Кочетков А.В., Крылов С.В. Численное моделирование взрывных процессов в мерзлом грунте // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2007. № 6. С. 128—136.

5. Потапов А.П., Ройз С.И., Петров И.Б. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц (SPH) // Математическое моделирование. 2009. № 7. т. 21. С. 20—28.

6. Потапов А.П., Петров И.Б. Моделирование волновых процессов при высокоскоростных соударениях методом сглаженных частиц (SPH) // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2009. № 10. С. 5—20.

7. Замышляев Б.В., Евтерев Л.С. Модели динамического деформирования и разрушения грунтовых сред. М. : Наука, 1990. 215 с.

8. Киселев Ф., Шешенин С.В. Моделирование контакта подземных сооружений с упруговязкопластическим грунтом // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2006. № 3. С. 61—65.

9. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М. : Наука, 1990. 207 с.

10. Рыков Г.В., Скобеев А.М. Измерение напряжений в грунтах при кратковременных нагрузках. М. : Наука, 1978. 168 с.

11. Тухватуллина А.В., Кантур О.В. Математические модели деформирования мягких грунтов // Совершенствование методов расчета и конструкций подземных сооружений. М. : 26 ЦНИИ МО РФ, 2000.

12. Delepine N., Lenti L., Bonnet G., Semblat J.-F. Nonlinear viscoelastic wave propagation: an extension of Nearly Constant Attenuation (NCQ) models // Journal of Engineering Mechanics (ASCE). 2009. 135. Issue 11. Pp. 1305—1314.

13. Morochnik V., Bardet J.P. Viscoelastic approximation of poroelastic media for wave scattering problems // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 1996. Vol. 15. No. 5. Pp. 337—346.

14. Keunings R. Progress and challenges in computational rheology // Rheologica Acta. 1990. Vol. 29. No. 6. Pp. 556—570.

15. Brandes K. Blast — resistant structures // Proceedings of the International Workshop on Blast — Resistant Structures. Tsinghua Univ. Beijing. China. 1992.

16. Wilkins M.L. Calculation of Elastic-Plastic Flow // Methods of Computational Physics. New York. Academic Press. 1964. Vol. 3.

17. Reshetova G., Tcheverda V., Vishnevsky D. Parallel Simulation of 3D Wave Propagation by Domain Decomposition // Journal of Applied Mathematics and Physics. 2013. No.1. Pp. 6—11.

18. Cerveny М., Psencik I. Plane waves in viscoelastic anisotropic media — I. Theory. Geophysical. Jornal International. 2005. Vol. 161. No. 1. Pp. 197—212.

19. Daley P.F., Krebes E.S. SH wave propagation in viscoelastic media // CREWES Research Report. 2003. Vol. 15. Pp. 1—25.

20. Radim C., Saenger E.H., Gurevich B. Pore scale numerical modeling of elastic wave dispersion and attenuation in periodic systems of alternating solid and viscous fluid layers // Journal of the Acoustical Society of America. 2006. Vol. 120 (2). Pp. 642—648.

Поступила в редакцию в октябре 2014 г.

Об авторах: Шешенин Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры механики композитов, Московский государственный университет (ФГБОУ ВПО «МГУ»), 119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, 8 (495) 939-43-43, sheshenin@mech.math.msu.su;

Закалюкина Ирина Михайловна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики и аэродинамики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-01, irina.zakalyukina@mail.ru;

Коваль Сергей Всеволодович — доктор технических наук, главный научный сотрудник научно-исследовательского отдела специального строительства и сейсмостойкости, 26 ЦНИИ — филиал ОАО «31ГПИСС», 119121, г. Москва, Смоленский бульвар, д. 19, стр. 1, 8 (499) 241-22-48, lavrik2811@yandex.ru.

Для цитирования: Шешенин С.В., ЗакалюкинаИ.М., Коваль С.В. Численная реализация моделей Фойгта и Максвелла для моделирования волн в грунте // Вестник МГСУ 2014. № 11. С. 82—89.

S.V. Sheshenin, I.M. Zakalyukina, S.V. Koval'

NUMERICAL IMPLEMENTATION OF VOIGT AND MAXWELL MODELS FOR SIMULATION OF WAVES IN THE GROUND

A lot of papers have been dedicated to simulation of dynamic processes in soil and underground structures. For example, some authors considered wave distribution in underground water pipes for creation of vibration monitoring system, others considered theoretical and algorithm aspects of efficient implementation of realistic seismic wave attenuation due to viscosity development with the help of Finite Difference Method, etc.

The paper describes the numerical simulation, designed for simulation of the stressstrain state in the ground subjected to wave processes. We consider the ground with a concrete structure immersed in. The purpose of the work is the description of small vibrations in hard soil, which can nevertheless make undesirable impact on the objects in the ground or on the surface. Explicit Wilkins type scheme is used for time integration. It has proven to be successful, including the use in a well-known LS-DYNA code.

As a result we created our own computer code based on the finite element method (FEM). An example of its practical usage is given.

Key words: Voigt model, Maxwell model, Wilkins method, impact on the ground, modeling, finite elements, waves.

References

1. Tsvetkov R.V., Shardakov I.N., Shestakov A.P. Analiz rasprostraneniya voln v podzem-nykh gazoprovodakh primenitel'no k zadache proektirovaniya sistem monitoringa [Analysis of Wave Propagation in Underground Pipelines in Relation to Monitoring Systems Design]. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred [Computational Mechanics of Continuous Media]. 2013, vol. 6, no. 3, pp. 364—372. (In Russian).

2. Kristek J., Moczo P. Seismic-Wave Propagation in Viscoelastic Media with Material Discontinuities: A 3D Fourth-Order Staggered-Grid Finite-Difference Modeling. Bulletin of the Seismological Society of America. 2003, vol. 93, no. 5, pp. 2273—2280. DOI: http://dx.doi. org/10.1785/0120030023.

3. Kochetkov A. V., Poverennov E. Yu. Primenenie metoda kvaziravnomernykh setok pri reshenii dinamicheskikh zadach teorii uprugosti v neogranichennykh oblastyakh [Application of Quasi-uniform Nets Method in the Process of Solving the Dynamic Problems of the Elasticity Theory in Unbounded Domains]. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Simulation]. 2007, no. 19, pp. 81-92. (In Russian).

4. Glazova E.G., Kochetkov A.V., Krylov S.V. Chislennoye modelirovanie vzryvnykh protsessov v merzlom grunte [Numerical Simulation of Explosive Processes in Frozen Soil]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela [News of the Russian Academy of Sciences. Solid Mechanics]. 2007, no. 6, pp. 128—136. (In Russian).

5. Potapov A.P., Royz S.I., Petrov I.B. Modelirovanie volnovykh protsessov metodom sglazhennykh chastits (SPH) [Modeling of Wave Processes Using Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)]. Matematicheskoye modelirovaniye [Mathematical Modeling]. 2009, no. 7. Vol. 21. Pp. 20—28. (In Russian).

6. Potapov A.P., Petrov I.B. Modelirovanie volnovykh protsessov pri vysokoskorost-nykh soudareniyakh metodom sglazhennykh chastits (SPH) [Modeling of Wave Processes in High-Speed Collisions by Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)]. Vestnik Baltiyskogo federal'nogo universiteta im. I. Kanta [Proceedings of Immanuel Kant Baltic Federal University]. 2009, no. 10, pp. 5—20. (In Russian).

7. Zamyshlyaev B.V., Evterev L.S. Modelidinamicheskogo deformirovaniyairazrusheni-ya gruntovykh sred [Models of Soil Dynamic Deformation and Destruction]. Moscow, Nauka Publ., 1990, 215 p. (In Russian).

8. Kiselev F., Sheshenin S.V. Modelirovanie kontakta podzemnykh sooruzheniy s upru-govyazkoplasticheskim gruntom [Modeling of Underground Structures Interaction with Elastic Ground]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1. Matematika i mekhanika [Proceedings of Moscow University. Series 1. Mathematics and Mechanics]. 2006, no. 3, pp. 61—65. (In Russian).

9. Kondaurov V.I., Nikitin L.V. Teoreticheskie osnovy reologii geomaterialov [Theoretical Foundations of Rheology Theory for Geomaterials]. Moscow, Nauka Publ., 1990, 207 p. (In Russian).

10. Rykov G.V., Skobeev A.M. Izmereniye napryazheniy v gruntakh pri kratkovremen-nykh nagruzkakh [Measurement of Stress in the Soil under Impulse Loadings]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 168 p. (In Russian).

11. Tukhvatullina A.V., Kantur O.V. Matematicheskie modeli deformirovaniya myagkikh gruntov [Mathematical Models of Soft Soil Deformation]. Sovershenstvovanie metodov rascheta i konstruktsiy podzemnykh sooruzheniy [Advancing Calculation Methods and Structures of Underground Constructions]. Moscow, 26 TSNII MO RF Publ., 2000. (In Russian).

12. Delepine N., Lenti L., Bonnet G., Semblat J.-F. Nonlinear Viscoelastic Wave Propagation: an Extension of Nearly Constant Attenuation Models. Jornal of Engineering Mechanics. 2009, vol. 135. Issue 11, pp. 1305—1314. DOI: http://dx.doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2009)135:11(1305).

13. Morochnik V., Bardet J.P. Viscoelastic Approximation of Poroelastic Media for Wave Scattering Problems. Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 1996, vol. 15, no. 5, pp. 337—346. http://dx.doi.org/10.1016/0267-7261(96)00002-4.

14. Keunings R. Progress and Challenges in Computational Rheology. Rheologica Acta. 1990, vol. 29, no. 6, pp. 556—570.

15. Brandes K. Blast — Resistant Structures. Proceedings of the International Workshop on Blast — Resistant Structures. Tsinghua Univ., Beijing, China, 1992.

16. Wilkins M.L. Calculation of Elastic-Plastic Flow. Methods of Computational Physics. 1964, Academic Press, New York, vol. 3.

17. Reshetova G., Tcheverda V., Vishnevsky D. Parallel Simulation of 3D Wave Propagation by Domain Decomposition. Journal of Applied Mathematics and Physics. 2013, no. 1, pp. 6—11. DOI: http://dx.doi.org/10.4236/jamp.2013.14002.

18. Cerveny V., Psencik I. Plane Waves in Viscoelastic Anisotropic Media—I. Theory. Geophysical. Jornal International. 2005, vol.161, no. 1, pp. 197—212.

19. Daley P.F., Krebes E.S. SH Wave Propagation in Viscoelastic Media. CREWES Research Report. 2003, vol. 15, pp.1—25.

20. Radim C., Saenger E.H., Gurevich B. Pore Scale Numerical Modeling of Elastic Wave Dispersion and Attenuation in Periodic Systems of Alternating Solid and Viscous Fluid Layers. Journal of the Acoustical Society of America. 2006, vol. 120 (2), pp. 642—648. DOI: http://dx.doi.org/10.1121/1.2216687.

About the authors: Sheshenin Sergey Vladimirovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Composite Mechanics, Moscow State University (MSU), 1 Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation; +7 (495) 939-4343; sheshenin@mech.math.msu.su;

Zakalyukina Irina Mikhaylovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assosiate Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-24-01; irina.zakalyukina@mail.ru;

Koval' Sergey Vsevolodovich — Doctor of Technical Science, Ciief Research Worker, Department of Special Construction and Seismic Resistance, 26 Central Research Institute, branch of 31 State Project Institute of Special Building (31 SPISB), 19 Smolenskiy Bul'var, Moscow, 119121, Russian Federation; +7 (499) 241-2248; lavrik2811@yandex.ru.

For citation: Sheshenin S.V., Zakalyukina I.M., Koval' S.V. Chislennaya realizatsiya modeley Foygta i Maksvella dlya modelirovaniya voln v grunte [Numerical Implementation of Voigt And Maxwell Models for Simulation of Waves in the Ground]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 11, pp. 82—89. (In Russian).