Математическое моделирование эрозионного горения металлизированных твердых топлив

2019 Математика и механика № 58

УДК 536.46+536.24

Б01 10.17223/19988621/58/10

В.А. Порязов, Д.А. Крайнов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭРОЗИОННОГО ГОРЕНИЯ МЕТАЛЛИЗИРОВАННЫХ ТВЕРДЫХ ТОПЛИВ1

Представлены математическая модель и методика расчета нестационарной скорости горения смесевого металлизированного твердого топлива в условиях обдува. В постановке рассматривается горение плоской поверхности металлизированного топлива в неограниченном обдувающем потоке. Модель эрозионного горения металлизированных твердых топлив строится в погранслойном приближении, в рамках которого факт обдува учитывается через турбулентный тепломассоперенос. Проведен расчетно-теоретический анализ влияния добавок порошка металла на скорость горения металлизированных твердых топлив в условиях обдува. Проведено исследование зависимости скорости горения от скорости обдувающего потока.

Ключевые слова: металлизированное твердое топливо, математическая модель, скорость горения, обдув, эрозионный эффект, частицы алюминия.

Известно, что при тангенциальном обдуве поверхности горения твердого топлива при некотором соотношении параметров потока и характеристик топлива изменяется линейная скорость горения. Изменение происходит как в большую, так и в меньшую сторону в зависимости от скорости обдувающего потока.

В 1942 г. при изучении горения пороха Н в условиях обдува О.И. Лейпунским был обнаружен эффект увеличения скорости горения. В работах Я.Б. Зельдовича предложена физическая модель, объясняющая увеличение скорости горения увеличением теплового потока, подводимого к поверхности горения, за счет роста турбулентного слагаемого коэффициента теплопроводности [1]. Большое развитие теория эрозионного горения получила в работах В.Н. Вилюнова [2, 3]. Большое внимание уделено изучению эффекта отрицательной эрозии [4]. Общую теорию эрозионного горения твердых ракетных топлив разработали академик А.М. Липанов и профессор В.К. Булгаков [5]. В монографии изложены физико-математические модели и результаты численного моделирования эрозионного горения твердых ракетных топлив. Дано объяснение положительного и отрицательного эрозионного эффекта. Проведен анализ влияния взаимодействия химической реакции с турбулентностью. Проведено исследование горения в условиях обдува нитроглицеринового пороха и смесевого твердого топлива на основе перхлората аммония без добавок порошков металлов. В работах [6, 7] представлены результаты исследований внутрикамерных процессов для твердотопливных ракетных двигателей. Учет эффекта эрозии для изучения внутрикамерных процессов для твердотопливных ракетных двигателей носит важнейшую роль. Все современные сме-севые твердые топлива в своем составе содержат добавки порошков металлов, которые добавляются для повышения теплоты сгорания топлива. Добавки порошков металлов в состав твердого топлива, влияют на характеристики зажигания и горения топлива [8].

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Президента РФ МК-1763.2017.8.

Актуальным является вопрос о влиянии обдува на скорость горения металлизированного твердого топлива. Расчетно-теоретические исследования эрозионного эффекта при горении в условиях обдува металлизированного твердого топлива не проводились.

Постановка задачи

В представленной работе рассматривается горение плоской поверхности металлизированного топлива в неограниченном обдувающем потоке. Модель эрозионного горения строится в погранслойном приближении в предположении асимптотического режима течения, в рамках которого факт обдува учитывается через турбулентный тепломассоперенос, пульсации температуры и концентрации реагентов. На основе нестационарной модели горения металлизированного твердого топлива в сопряженной постановке [9] построена модель горения металлизированного твердого топлива в условиях обдува. На поверхности топлива учитывается газификация компонентов твердого топлива и записывается условие сохранения потоков массы и энергии компонентов. В твердой фазе, под поверхностью газификации записывается уравнение переноса тепла и разложения топлива. Над поверхностью топлива записываются уравнения течения двухфазной реагирующей среды, учитывающие межфазный обмен импульсом и энергией, конвективный и кондуктивный теплоперенос, зависимость коэффициентов переноса от температуры и интенсивности турбулентности. Для описания характеристик динамической турбулентности в пограничном слое использовалась модель турбулентности Ван Дриста, являющаяся обобщением результатов экспериментов и широко распространенной в инженерных расчетах, так как справедлива во всей внутренней части пограничного слоя [5].

Математическая модель горения металлизированного твердого топлива состоит из уравнений:

Для твердого топлива топлива, при -ж < х < хх:

1 + <2

Для газовой фазы, при х^ < х < ж :

(дТ дТ Л д ( дТ Л ^ К ^

С2Р2+ихгХ 2 ^) + ^2YP2к2ехР ^ + 4пагз2п

V /V У V V 2 )

ЗУ ЗУ л зг ЗУ -

+ ^ & )=дх ^ + ^ ^ I-Ук2еХР

(- е л

2

ЯТ7

V V 2 )

СзРз Р7" + ^ Л = -4пагз2п

V 31 дх ) 3^

5р2 +5(р^ = -е ; (

дt дх

дР3 , д(Р3 ^3) = G .

дt

дw3

дt

дx дw3 дх

дn + д(nw3) дt дx

= 0;

P = р2 RT2 = сош1; Рс = У^м/ Ра1 +а п/ Рп )!

du

у dx

дp

РГп'

-(т, +р^у х);

ду

х 4 =

с2-, ф Рг, 1 -5

Ф = 1 -ехр

Г-B • 0.09kp2 Л

-4 •W

5 = 2^& Ш , W = Р2 ехр р2k ^ dT2

2

Rgт2

V я 2 у

ck = 0.3, х* = 26 , В = 5,

I = Хх

1 - ехр(-—л/г^

Х* -т J

,2 ^У ,1 Г V, >

Vt = 1 - =Р2Vt, к =—\-Г I

dx с, V I У

В системе уравнений (1) - (12): (1), (3), (5) - уравнения энергии для твердого топлива, газовой фазы и частиц алюминия; (2) - уравнение глубины превращения конденсированной фазы; (4) - уравнение выгорания окислителя в газовой фазе; (6) - уравнение сохранения массы газовой фазы; (7) - уравнение сохранения массы частиц; (8) - уравнение движения частиц; (9) - уравнение числа частиц; (10) -уравнение состояния идеального газа; (11) - уравнение движения тангенциальной составляющей обдувающего потока; (12) - выражение для турбулентного коэффициента теплопроводности, полученного из модели турбулентности Ван Дриста.

Координата х, соответствует поверхности горения. На границе х, граничные условия выражают законы сохранения массы и энергии:

д2Т (х,, t) дТ2 (х,, t) , , , ,

х 1 д =х2 2 д; ;, т (х^, t)=т2 (х^, t),

дх дх

аА1Р1и = Р3 w3(х,, ) , (1 -аА1)Р1и = Р2 (х, , ) их (х, ,) ,

Т3 (х, , t ) = Т (х, , t) , п(х, , Г) = Р,3^ , 0 , Р2(хх , t) = р-^Т2(х, , t)!

/3 ЛГА1,0рк

,дГ

дх

дТ (-», t) = 0 дТ2 (», t) = 0 д7 (», t) = 0.

дх

дх

дх

Начальные условия:

Для -ж < х < хх:

7 (х,0) = Т0, п(х,0) = 0.

Для хх < х < ж :

72 (х,0) = Тщ , Т3 (х,0) = Тщ , У (х,0) = 0, их (х,0) = 0, (х,0) = 0, п (х,0) = 0, Р2 (х,0) = рпц/, Р3 (х,0) = 0.

В уравнении (8) сила взаимодействия частиц алюминия с газом вычисляется по формуле

Кг

^г =

Р2 (- и ) Iм -

, 3 И Л ш г.

Ф ПГ3 РА1 2

24/, ____П68^\ „ 2Р2Г3 |м -м^

Ск = — (1 + 0.15Яе 0 682), Яе:

Sш = пг3'

Яе У ' Цш

где Яе - число Рейнольдса; 5Ш - площадь миделева сечения; Ск - коэффициент трения; РА1 - плотность алюминия; п - коэффициент динамической вязкости.

Коэффициент теплоотдачи а определяется по формуле

№(Х 2 +Х,) „ / 2 2

—^-Ми = 2 + Ми,2 + Nut2

2г3

Ми, = 0.664Яе , Ми1 = 0.037 Яе0

где Ми - число Нуссельта.

Скорость изменения массы частиц алюминия при их горении, а также уравнения, определяющие текущие значения размеров частиц и алюминия в частице имеют вид

О =

3Цо пРА14па09гА1/2кА1,

2ц

А1

где кА1 - константа скорости горения частицы алюминия в среде окислителя; а -коэффициент избытка окислителя.

А1

ЦА1 + V2 Цо

Р3

ЦА1

А1,0

( 4/3 ) ппРА1 ) 3Ц

2ц

А1

1/3

ЦА1 + V2 Цо

А1

цА1

13

Система уравнений (1) - (10), с начальными и граничными условиями (13) -(15), выражениями для правых частей (16) - (19), дополненными выражением сохранения движения для тангенциальной составляющей обдувающего потока (11) и моделью турбулентности Ван Дриста (12), описывает горение твердого ракетного топлива с добавлением частиц алюминия в погранслойном приближении.

В модели (1) - (19) приняты обозначения: с2, сс, сА1 - удельные теплоемкости газа при постоянном давлении пороха Н и алюминия; Б - коэффициент диффузии; Е2 - энергия активации химической реакции в газе; G - скорость изменения массы частиц при их горении; к0 - предэкспоненциальный множитель в законе Аррениуса скорости химической реакции в газе; п - число частиц в единице объема; Р - давление; Q2 - тепловой эффект реакции в газовой фазе; QA\ - эффективная теплота сгорания алюминия; R - газовая постоянная; Ry - универсальная газовая постоянная; гА1 - радиус алюминия; г3 - радиус частицы; t - время; Т - температура; их, иу - нормальная и тангенциальная компоненты скорости газа; и - скорость горения; w3 - скорость частиц; х - координата; У - относительная концентрация окислителя в газовой фазе; а - коэффициент теплоотдачи; аА1 - массовая доля алюминия в составе СТТ; X - коэффициент теплопроводности; рк - плотность металлизированного твердого толпива; р2 - плотность газа; р3 - приведенная плотность частиц (масса частиц в единице объема); рА -плотность алюминия; х& - сила трения; -а1 , -0 - молярные массы молекул алюминия и кислорода, -т, — - коэффициенты динамической вязкости молекулярный и турбулентный.

Индексы: 2 - газовая фаза; 1 - турбулентный; /' - номер фракции частиц; 3 - конденсированная фаза продуктов горения; А1 - алюминий; с - относится к конденсированному веществу (твердому топливу); ign - воспламенение.

Методика решения

Система уравнений (1) - (10), с начальными и граничными условиями (13) -(15), выражениями для правых частей (16) - (19) решалась методами, описанными в [9]. После установления стационарного распределения параметров над поверхностью горения твердого топлива система решаемых уравнений дополняются уравнениями (11) - (12) [5]. Счет шага по времени повторяется необходимое число раз для нового установления стационарного распределения параметров газодисперсной среды над поверхностью горения при решении системы уравнений (1) - (19). При расчетах, в уравнении (11) принималось, что др / ду = 0 , и уравнение

имеет аналитическое решение.

Расчеты проводились для значений теплофизических и формально-кинетических параметров, характерных для пороха Н:

Х1 = 0.25 Вт/(м • К), Х2 = 0.066 Вт/(м • К), Q1 = 556800 Дж/кг , Q2 = 2435300 Дж/кг , QAl = 36.51 •Ю6 Дж/кг , Е1 = 80000 Дж/моль , Е2 = 186107 Дж/моль ,, = 2-109 с-1, к2 = 3.92-1010 с-1, кА1 = 2.22•Ю-5 м15/с ,

а = 0.5 , с = 1465 Дж/(кг • К), с2 = 1466 Дж/(кг • К), с3 = 760 Дж/(кг • К), р1 = 1600 кг/м3 , рк = 2600 кг/м3 , рА1 = 2600 кг/м3 , R = 8.31 Дж/(моль • К),

Т0 = 293 К, Тщ = 1300 К .

Коэффициент диффузии вычисляется через число Льюиса Ье : Б2 = Ье X2/(с2р2), число Льюиса принято Ье = 1. Температура воспламенения частиц алюминия

принята равной 1300 К. Величина начального радиуса частицы в расчетах гА10 = 3 мкм , массовая доля порошка алюминия принята равной 9 % массы топлива. Формально-кинетические параметры взяты из [5].

Результаты расчетов

С использованием изложенной методики расчета проведены численные исследования влияния скорости обдувающего потока на величину скорости горения. Было проведено тестирование разработанной методики и программы ЭВМ решения системы уравнений (1) - (19). В процессе вычислений контролировалась выполнимость законов сохранения массы и полной энергии, которые выполнялись с точностью не менее 99 %.

Расчеты зависимости скорости горения пороха Н с добавлением порошка алюминия проводились при гА10 = 3 мкм , аА1 = 0.09.

На рис. 1 представлена зависимость скорости горения пороха Н с добавлением 9%масс порошка алюминия начального радиуса гА10 = 3 мкм в зависимости от

скорости обдувающего потока.

0 100 200 300 400 500 м/с

Рис. 1. Зависимость скорости горения пороха Н с добавлением порошка алюминия от скорости обдувающего потока при различных давлениях Fig. 1. Combustion rate of the powder N with aluminum powder additive as a function of the blowing air velocity at various pressures

Видно, что с увеличением скорости обдувающего потока и давления над поверхностью СТТ скорость горения увеличивается. Характер зависимости скорости горения твердого топлива от скорости обдувающего потока не зависит от давления и соответствует характеру зависимости, описанному в научной литературе [2, 5].

На рис. 2 представлено распределение профиля температуры топлива и газа при горении без обдува и в условиях обдува. Начальный радиус частицы алюминия в расчетах гА10 = 3 мкм , массовая доля порошка алюминия 9 % массы топлива, давление над поверхностью горения Р = 10 МПа. Видно, что профиль температуры газа существенно деформируется за счет увеличения турбулентного коэффициента теплопроводности и увеличивает тепловой поток к поверхности горения. Профиль тангенциальной составляющей скорости газа и турбулентного коэффициента теплопроводности над поверхностью горения представленного на рис. 3. Полученные зависимости соответствуют предсказанным в научной литературе [1, 2, 5].

5000-

4000-

3000-

«

2000-

1000-

1

1 . . . Температура газа без обдува Температура газа с обдувом иж = 320 м/с

2

-1-1-1-1-1-1-1-г

0,0004 0,0008 0,0012 0,0016 x, м

0,002

Рис. 2. Распределение температуры металлизированного твердого топлива и газа без обдува (кр. 1) и при обдуве (кр. 2) поверхности горения; P = 10 МПа, U« = 320 м/с

Fig. 2. Distribution of the temperature of a metallized solid pro-pellant and gas under conditions with (curve 1) and without (curve 2) blowing at P = 10 MPa and U« = 320 m/s

400

30

300

200-

100-

Турбулентный коэффициент теплопроводности

Тангенциальная составляющая скорости газа

20

0,0002

"1 1 Г

0,0004 0,0006

x, м

«

н

m

J

10

0

0,0008 0,001

Рис. 3. Распределение тангенциальной составляющей скорости газа и турбулентного коэффициента теплопроводности над поверхностью горения; P = 10 МПа

Fig. 3. Distribution of the gas tangential velocity and turbulent coefficient of thermal conductivity over a burning surface at P = 10 MPa

0

0

Заключение

В работе представлены разработанная математическая модель, методика и результаты расчета нестационарной скорости горения смесевого металлизированного твердого топлива в условиях обдува. Факт обдува учитывается через турбулентный тепло - массоперенос.

Проведен расчетно-теоретический анализ влияния добавок порошка алюминия на скорость горения металлизированных твердых топлив в условиях обдува. Проведено исследование зависимости скорости горения от скорости обдувающего потока.

В постановке рассматривается горение плоской поверхности металлизированного топлива в неограниченном обдувающем потоке. Данная модель не позволяет учесть особенности обдувающего потока на начальном участке или реальную геометрию канала РДТТ, но позволяет учесть физические особенности влияния добавок порошка алюминия в состав твердого ракетного топлива при горении в условиях обдува.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зельдович Я.Б. К теории горения пороха в газовом потоке // Физика горения и взрыва. 1971. Т. 7. № 4. С. 463-476.

2. Вилюнов В.Н. К теории эрозионного горения порохов // ДАН СССР. 1961. Т. 136. № 2. С. 381-383.

3. Вилюнов В.Н., Дворяшин А.А. О закономерности горения пороха Н в потоке газа // Физика горения и взрыва. 1971. Т. 7. № 1. С. 45-51.

4. Булгаков В.К., Липанов А.М., Вилюнов В.Н., Карпов А.И. О механизме отрицательной эрозии при горении твердых топлив // Физика горения и взрыва. 1989. Т. 25. № 4. С. 32-35.

5. Булгаков В.К., Липанов А.М. Теория эрозионного горения твердых ракетных топлив. М.: Наука, 2001. 138 с.

6. Minkov L.L., Shrager E.R. and Kiryushkin A.E. Two Approaches for Simulating the Burning Surface in Gas Dynamics // Key Engineering Materials. 2016. V. 685. P. 114-118. DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.685.114.

7. Глазунов А.А., Еремин И.В., Жильцов К.Н. и др. Численное исследование определения величин пульсаций давления и собственных акустических частот в камерах сгорания с наполнителем сложной формы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 53. C. 59-72. DOI: 10.17223/19988621/53/6.

8. Архипов В.А., Бондарчук С.С., Коротких А.Г. и др. Влияние дисперсности алюминия на характеристики зажигания и нестационарного горения гетерогенных конденсированных систем // Физика горения и взрыва. 2012. Т. 48. № 5. С. 148-159.

9. Порязов В.А., Крайнов А.Ю. Математическая модель и расчет нестационарной скорости горения металлизированных твердых ракетных топлив // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. C. 99-111.

Статья поступила 21.10.18 г.

Poryazov V.A., Krainov D.A. (2019) MATHEMATICAL MODELING OF THE EROSIVE BURNING OF METALLIZED SOLID PROPELLANTS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 58. pp. 119-127

DOI 10.17223/19988621/58/10

This paper proposes a mathematical model and a computational method for unsteady combustion rate of a composite metallized solid propellant under conditions of blowing. A flat surface of the metallized propellant burning in an unlimited blowing flow is considered. The

model of erosive burning for metallized solid propellants is developed using the boundary layer approximation on the assumption of asymptotic flow regime which accounts for a blowing process in terms of turbulent heat and mass transfer, temperature pulsations, and reagent concentrations. The paper provides a computational and theoretical analysis of the impact of metal powder additives on the combustion rate of metallized solid propellants under conditions of blowing. The combustion rate is presented as a function of the blowing stream velocity.

Financial support.This work was supported by the Grant of the President of the Russian Federation (MK-1763.2017.8).

Keywords: metallized solid propellant, mathematical model, combustion rate, blowing effect, erosive burning, aluminum particles.

PORYAZOV Vasiliy Andreevich (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: poryazov@ftf.tsu.ru

KRAINOVDmitriy Alekseevich (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: kraynov@tpu.ru

REFERENCES

1. Zel'dovich Ya.B. (1971) Theory of propellant combustion in a gas flow. Combustion, Explosion, and Shock Waves. 7(4). pp. 399-408. DOI: 10.1007/BF00740666.

2. Vilyunov V.N. (1961) K teorii erosionnogo goreniya porokhov [On the theory of erosive combustion of gunpowders]. Dokl. Akad. Nauk. 136(2). pp. 381-383.

3. Vilyunov V.N., Dvoryashin A.A., Margolin A.D., Ordzhonikidze S.K., Pokhil P.F. (1972) Burning of ballistite type H in sonic flow. Combustion, Explosion, and Shock Waves. 8(4). pp. 410-413. DOI: 10.1007/BF00741194.

4. Bulgakov V.K., Lipanov A.M., Vilyunov V.N., Karpov A.I. (1989) The negative-erosion mechanism in solid-fuel combustion. Combustion, Explosion, and Shock Waves. 25(4). pp. 410-412. DOI: 10.1007/BF00751543.

5. Bulgakov V.K., Lipanov A.M. (2001) Teoriya erozionnogo goreniya tverdykh raketnykh topliv [Theory of erosive combustion of solid rocket propellants]. Moscow: Nauka.

6. Minkov L.L., Shrager E.R., Kiryushkin A.E. (2016) Two approaches for simulating the burning surface in gas dynamics. Key Engineering Materials. 685. pp. 114-118. DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.685.114.

7. Glazunov A.A., Eremin I.V., Zhil'tsov K.N., Kostyushin K.V., Tyryshkin I.M., Shuvarikov V.A. (2018) Chislennoe issledovanie opredeleniya velichin pul'satsiy davleniya i sobstvennykh akusticheskikh chastot v kamerakh sgoraniya s napolnitelem slozhnoy formy [Numerical investigation of the pressure pulsation magnitude and natural aeroacoustic frequencies in the combustion chambers with a charge of a complex shape]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 53. pp. 59-72. DOI: 10.17223/19988621/53/6.

8. Arkhipov V.A., Bondarchuk S.S., Korotkikh A.G., Kuznetsov V.T., Gromov A.A., Volkov S.A., Revyagin L.N. (2012) Influence of aluminum particle size on ignition and nonstationary combustion of heterogeneous condensed systems. Combustion, Explosion, and Shock Waves. 48(5). pp. 625-635. DOI: 10.1134/S0010508212050140.

9. Poryazov V.A., Krainov A.Yu. (2017) Matematicheskaya model' i raschet nestatsionarnoy skorosti goreniya metallizirovannykh tverdykh raketnykh topliv [Mathematical model and calculation of the unsteady combustion rate of the metallized solid rocket propellants]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 50. pp. 99-111. DOI: 10.17223/19988621/50/9.