Синтез модели вращательного движения космического аппарата с учетом магнитного поля и атмосферы Земли

УДК 681. 315

СИНТЕЗ МОДЕЛИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С УЧЕТОМ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

И АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ

- Д. Т. Тулекенова, Д. С. Ергалиев, А. Д. Тулегулов, О. С. Ибраев

Основные участки орбит искусственных спутников Земли (ИСЗ) проходят на высотах свыше 200-300 км, где воздух крайне разрежен и поэтому оказывает очень малое сопротивление движению спутника. Однако это воздействие носит постоянный характер и может по истечении достаточного промежутка времени привести к существенному изменению основных параметров движения ИСЗ.

Сравнение моментов, действующих на ИСЗ, показывает, что до высот над поверхностью Земли 200-300 км преобладают аэродинамические моменты сопротивления, на высотах в области 300-500 км сопоставимы между собой по величине гравитационные, аэродинамические и магнитные моменты. На высотах больших 500 км преобладают гравитационные моменты. Таким образом, на низких орбитах ИСЗ следует учитывать гравитационный и аэродинамический моменты.

Исследование аэродинамических эффектов проводится, как правило, в модельной постановке задачи: предполагается, что аэродинамический момент зависит только от высоты орбиты и конструктивных параметров спутника, и что влияние атмосферы сводится к оценке силы сопротивления, приложенной в центре давления и направленной против скорости центра масс спутника. Известно, что аэродинамические моменты оказывают определенное стабилизирующее действие на закрученный спутник, влияние же момента сил аэродинамической диссипации приводит к «опрокидыванию» динамически вытянутого спутника (т.е. к вращению в режиме «кувыркания»), а также к стабилизации динамически сжатого спутника (стремление к вращению объекта вокруг своей оси симметрии).

Для построения уравнения движения спутника вокруг центра масс воспользуемся динамическими уравнениями Эйлера в системе координат, жестко связанной со спутником, а именно, в осях Кенига [1]:

dP

A— + RQ(C - B) = Mg + Mg + Я1Земля, dt

B^Q + PR

dt

dR

C— + PQ(B - A) = Mg + Mg + Н3Земля, dt

где A, B, C - главные моменты инерции; P,Q, R - проекции мгновенной угловой скорости вращения Жабс на оси Кенига; Mg,M2g,M3g - проекции момента гравитационных сил; Ml,Mg,M3g -

tt Земля тт Земля тт Земля

проекции момента аэродинамических сил; H1 , H2 , H3 - напряженность геомагнитного поля Земли, действующего на спутник.

Компоненты углового вращения орбитальной системы координат в осях Кенига имеют вид

К* = Горб(^2 , ¿i) = ГорбР,

wr5 = Горб

^орб = Горб(¿2, ¿3) = V.

Здесь ё1,ё2,ё3 - оси Кенига (ОК), жестко связанные с КА и направленные вдоль главных осей инерции; е°,ё°,ё3° - орбитальная система координат (ОСК); единичный вектор ё3° перпендикулярен к плоскости орбиты; ё° - направлен вдоль радиуса - вектора орбиты; горб - радиус -

вектор центра масс КА; Р,Р,Р" - направляющие косинусы.

Проекции углового ускорения ОСК в осях Кенига определяются отношениями [4, 5]:

СЖорб Сю Сц —1— = —ц + ю—, й й й

СЖ?рб С ю , С ц'

= — ц' + ю—,

т си ш

СЖ2орб С ю ,, С ц'' -2— =-ц + ю—-,

где

Л ~ Г3 Ж ~ Рг3 81П

Ш Горб Ш Р/Горб

С ц

-1 = (008 V8Ш6008ф - 81пV81пф ) V + (008V008ф - 81пV81п681пф)ср + 81пV008 6008ф • 6,

л

а ц

2 _

= -

Л

а ц

-= - 008 V 008 6 • V + 81п V 81п 6 • 0.

Л

С учетом этих соотношений получим систему уравнений для определения вращения КА в орбитальной системе координат:

. сж1орб

Земля

ЛЛ^ = дг(В - С) - | Л^-Л^- + (дЖГрб + гЖ,орб - Ж,орбЖ3орб) • (С - В)| + М( + М? + Я-ВС1 = рг (С - Л) - | В + (рЖ3орб + гЖ°рб - Ж1орбЖ3орб) • (Л - С) 1 + М| +М? + Я2Земля,

аt у а \

С— = 1р(Л - В) -  С+ (рЖ,орб + дЖ1орб - Ж1орбЖ,орб) • (В - Л) 1+М| +М3а + Я3Земля,

аV = р 81п ф + 1008 ф аt 81п 6 Сф 81п ф 008 ф

— = г - р--1-,

аt ^6 1ё6

а6

-= р 008 ф- 181п ф

аt

Си С,

= ю =

аt

= ю =

В эти формулы вместо производных углов Эйлера подставляем их значения, полученные из выражений через (р, д, г), что позволяет сделать эту систему уравнений замкнутой для определения р(0, д(0, КО, ¥(0,е(0, Ф(0 •

Момент гравитационных сил определяется формулами В. Белецкого:

М 1 = М1 е1 + М1 е2 + М1 е3;

м* = з-£(С - в)у2уз; к

М* = з-^

кз

МI = 3-£-(в - Л)У1У2, кз

здесь ц - постоянная гравитации, у1, У 2, У 3 - направляющие косинусы. Момент аэродинамических сил определяется формулой

Ма = 2PaVr2cp[ev хkl],

где Уа - скорость центра масс спутника относительно набегающего потока; ра - плотность потока; ср - коэффициент сопротивления вращению; еУ - орт вектора скорости Уа ; к1 - орт оси

симметрии оболочки спутника.

Момент аэродинамических сил в осях Кенига запишется

1 з

М1 = 2 Ра XVr/P6ß 1Ь к,1

2 j=1

М2а = 2 Ра £ jJK  Ср*2<р2б,

^ j=1

Ма = 0.

Искусственные спутники Земли, двигаясь по орбите вокруг Земли, взаимодействуют с магнитным полем Земли. Момент сил, возникающих от взаимодействия внешнего магнитного поля с напряженностью Н и собственного магнитного поля тела, обладающего магнитным моментом I. Магнитный момент спутника:

I = I0, I0 = /<£„,

7о

где I - постоянный момент.

Напряженность геомагнитного поля Земли определяется формулой В. Белецкого [1]:

HЗемля = R3 $ - 3

где k - орт оси магнитного момента Земли; er - единичный вектор по направлению радиус-вектора орбиты; ц 1 - величина магнитного момента Земного диполя (цl ~8 • 1025 эрстед • см3). Координаты H Земля в осях Кенига:

Hf =

R m=1

Используя (6) и (13), получим систему уравнений для определения вращения КА в орбитальной системе координат [2, 3]:

Adp = qr(B - C) - J A^— + (qW^ + гЖ2орб - Ж2орб Ж3орб )(C - B) 1 + dt [ dt J

+ - B )(sin ¥ cos ф+ cos v sin 0 sin ф)^ ¥ cos 0 + 1 pa ]Г M cp x^f + -^3 к/Д(аы - 3^),

Л

j=i

R3

Bdq = pr • (C - A) - J BdW2^ + (pЖ3орб + гЖ1орб - Ж3орб)(A - С) I + dt I dt I

3-^r(A - C)cos ¥ cos 0(sin ¥ sin ф-cos ¥ sin 0 cos ф) + -2 pa ^VGp6P • cp х2е°Р2 + -^3 k/2(a22 - 3y2c2),

R

j=i

R3

C— = qp(A - B) - J C ^^ + (рЖ2орб + q^^ - Щор%орб)(B - A) L dt [ dt J

+ 3

R3 R3 '

Блок-схема имитационной модели представлена на рис. 1.

Рис. 1. Блок-схема уравнений (14) с учетом гравитационного и магнитного поля и атмосферы Земли для наклонных орбит: 6, ф, ф - углы Эйлера; Л, В, С - главные моменты инерции; Р, Q, Я - проекции мгновенной угловой скорости вращения на оси Кенига

Применяя метод главных моментов инерции и направляющих косинусов, на выходе получим момент гравитационных сил, а также момент аэродинамических сил (рис. 2).

Рис. 2. Схема моделирования моментов гравитационных и аэродинамических сил

Далее возможно определение напряженности геомагнитного поля. На выходе получим Н1, Н2, НЗ (рис. 3).

Рис. 3. Подсистема моделирования напряженности геомагнитного поля

В результате получаем значения проекций мгновенных угловых скоростей (рис. 4, где по оси Ох расположено время ^).

Таким образом, проведенный синтез модели вращательного движения космического аппарата с учетом магнитного поля и атмосферы Земли позволил получить данные, характеризующие долговременный полет ИСЗ по орбитальной орбите.

Рис. 4. Проекции мгновенных угловых скоростей P, Q, R

Список литературы

1. Белецкий, В. В. Вращательное движение намагниченного спутника / В. В. Белецкий, А. А. Хентов. - М. : Наука, 1985. - 288 с.

2. Тулекенова, Д. Т. Математическая модель вращательного движения КА в орбитальной системе координат с учетом магнитного поля и атмосферы земли для наклонных орбит / Д. Т. Тулекенова, Д. С. Ергали-ев, А. Д. Тулегулов // Труды Междунар. симп. Надежность и качество. - 2015. - Т. 1. - С. 117-119.

3. Северцев, Н. А. К вопросу об утрате работоспособности систем / Н. А. Северцев, А. В. Бецков, А. М. Самокутяев // Труды Междунар. симп. Надежность и качество. - 2013. - Т. 2. - С. 268-270.

4. Жилисбаева, К. С. Идентификация динамических параметров намагниченного спутника по угловым измерениям / К. С. Жилисбаева // Известия МОН РК. Серия физ.-матем. - 2012. - С. 237-240.

5. Пассивная магнитная стабилизация первого российского наноспутника ТНС-0 / Н. В. Куприянова, М. Ю. Овчинников, В. И. Пеньков, А. С. Селиванова. - М., 2005. - 32 с.

Тулекенова Дана Толеубековна ассистент,

кафедра систем управления

аэрокосмической техникой,

Алматинский университет энергетики и связи

E-mail: aipet@aipet.kz

dana_tul@mail. ru

Ергалиев Дастан Сырымович кандидат технических наук, доцент, профессор, кафедра космической техники и технологий, Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева,

(010000, Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2) E-mail: eds_kaz67@mail.ru

Тулегулов Амандос Дабысович

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой космической техники и технологий,

Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева,

(010000, Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2) E-mail:TAD62@ya.ru

Tulekenova Dana Toleubekovna

assistant,

sub-department of systems for administration of aerospace technology,

Almaty university of power engineering and connection

Ergaliev Dastan Syrymovich

candidate of technical sciences,

associate professor, professor,

sub-department of space engineering and technology,

Eurasian National University

named after L. N. Gumilyov

Tulegulov Amandos Dabysovich

candidate of physical and mathematical sciences,

associate professor, head of sub-department

of space engineering and technology,

Eurasian National University

named after L. N. Gumilyov

Ибраев Олжас Серикжанович преподаватель,

кафедра космической техники и технологии, Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева

(010000, Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2) E-mail: 7701276767695@yandex.kz

Аннотация. Представлены численные расчеты определения параметров вращательного движения космического аппарата в орбитальной системе координат с учетом магнитного поля и атмосферы Земли для наклонных орбит.

Ключевые слова: метод, надежность, экстенсиональный, интенсиональный, многомерный тест, экспертные знания, шкала, прототип, диагностика, эксперт, признак, пространство.

Ibraev Olzhas Serikzhanovich lecturer,

sub-department of space engineering and technology,

Eurasian National University

named after L. N. Gumilyov

Abstract. Numerical calculations determining the parameters of the rotational motion of the spacecraft in orbital coordinate system with the magnetic field and the Earth's atmosphere for inclined orbits.

Key words: method, extensional, intensional, multidimensional test, expert knowledge, scale, prototype, diagnostics, expert, indication, space.

УДК 681. 315

Синтез модели вращательного движения космического аппарата с учетом магнитного поля и атмосферы Земли / Д. Т. Тулекенова, Д. С. Ергалиев, А. Д. Тулегулов, О. С. Ибраев // Надежность и качество сложных систем. - 2015. - № 3 (11). - С. 10-16.