Расчет металлических гофрированных оболочек при осесимметричном нагружении

Расчет металлических гофрированных оболочек при осесимметричном

нагружении

А.С. Чепурненко, Б.М. Языев, М.С. Турко Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону

Аннотация: В статье рассматривается методика расчета металлических гофрированных конструкций при помощи метода конечных элементов на осесимметричную нагрузку. Используются одномерные конечные элементы в виде усеченных конусов. Вычисления выполняются при помощи разработанной авторами программы в пакете МайаЬ. Приведен пример расчета грунтового колодца.

Ключевые слова: металлические гофрированные конструкции, цилиндрическая оболочка, метод конечных элементов, осесимметричная задача, грунтовый колодец, теория оболочек, краевой эффект.

Задачи расчета осесимметричных оболочек представляют существенное практическое значение, поэтому существуют особые подходы к их моделированию. Хотя анализ напряженно-деформированного состояния рассматриваемых конструкций может быть выполнен в трехмерной постановке при помощи треугольных или четырехугольных оболочечных конечных элементов, решение можно значительно упростить, приняв во внимание осевую симметрию сооружения [1-6]. Если оболочка и нагрузка осесимметричны, то элементы становятся одномерными [7-8].

В настоящей статье рассматривается цилиндрический колодец под действием давления грунта, расчетная схема которого приведена на рис. 1.

X

I

^ ШГ

Рис. 1. - Расчетная схема колодца, выполненного в грунте

ч

В осесимметричной оболочке (рис. 2) смещение точки срединной поверхности однозначно определяется перемещениями и и w по направлению меридиана и нормали к поверхности оболочки [9-10].

Рис. 2. - Осесимметричная оболочка - перемещения в результате нагружения

и результирующие внутренние усилия Внутренние усилия: изгибающие моменты Ms и Мв, а также нормальные усилия Ns и Ne единственным образом определяются как функции от обобщенных деформаций, которые включают в себя изменения кривизн Xs и Хв, а также деформации срединной поверхности ss и sq. Вектор обобщенных деформаций связан с перемещениями следующим образом:

d2w sin ф dw I

( чг I du wcosф + usinф (s) = {Ss se X s Xe} = jds -r-

& Г & \

Связь между внутренними усилиями и обобщенными деформациями для упругой оболочки запишется в виде:

{о} = {#, N И, М е}г =[ Б ]{е}.

Матрица [Б] в случае изотропного материала имеет вид:

[D ] =

Eh

1 -v2

1 v 0 0

v 10 0

0 0 h2 /12 vh2/12

0 0 vh2 /12 h2 /12

Оболочка разбивается с помощью узловых поверхностей на ряд усеченных конусов, как показано на рис. 3.

И', "

Рис. 3. - Элемент осесимметричной оболочки Функции формы для перемещений и и м принимаются в виде:

и ) = а0 + а15; м ) = а2 + а35 + а4 52 +а5 53. Коэффициенты а0,.. ,,а5 определяются из условий:

дм

дм

= Ф1;

= Ф2>

и (0 ) = и1; м (0 ) = ф(0 ) = и (/) = и2; м (/) = м2; ф(/) =

где / = ^(г2 -Г )2 + ( - )2 .

Представим соотношения (5) в матричном виде:

{и } =

и1 а0 1 0 0 0 0 0

а2 0 0 1 0 0 0

ф1 а3 0 0 0 1 0 0

и2 а0 +а1/ 1 / 0 0 0 0

м2 а 2 +а3/ + а 4/2 +а5/3 0 0 1 / /2 /3

Ф2, а3 + 2а 4/ + 3а5/2 0 0 0 1 2/ 3/2

а0

а,

а3 у а

а5

= [С]{а},

откуда {а} = [С ]-1{и} = [Ф]{и}.

Подставляя (4) в (1), получим:

0 10 0 Бт ф ^ Бт ф соб ф 5 соб ф

г 0

г 0

г 0

г 0

Бт ф

0 0

52С0Б ф 53 СОВ ф

г г

-2 -65

25 Бт ф 352 Бт ф

{а} = [А] -{а} = [ В]{и},

где [ В] = [А][Ф].

Матрица жесткости [К] определяется следующим образом: [К] = ]Т [Бр]йУ = 2п[Ф]Т }[X] [Б][Х]тсЬ[Ф].

Для определения элементов матрицы [К] используется численное интегрирование. Выражение (9) записано в локальной системе координат элемента. Преобразование координат выполняется по формулам:

{и} = [!]{и}; {^} = [Ь]{Ё}; [К] = [Ь]Т [К][Ь],

где [Ь ] =

р СОБ р 0

соб( - ътр 0

0 0 1

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 Бтр СОБ( 0

0 соб( - Бтр 0

0 0 0 0 0 1

В формулах (9) [К], },{и} - соответственно матрица жесткости,

вектор нагрузки и вектор перемещений в глобальной системе координат.

Расчет оболочки выполнялся при I = 4 м, Я0 = 2 м. Удельный вес грунта засыпки принимался равным у = 26.5 кН/м . Поперечное сечение листов показано на рис. 4. Параметры, определяющие геометрию листа, приведены в табл. 1.

Рис. 4. - Поперечное сечение гофрированных листов

Таблица № 1

Параметры, определяющие геометрию листа

Толщина Длина Угол Длина Радиус Амплитуда

листа, ? прямой о а, волны, кривизны волны, А,

мм вставки, X, мм криволинейной мм

т, мм вставки Я, мм

5 28.5 46.33 200 53 27.5

Результаты расчета гофрированной оболочки при помощи

разработанной авторами программы в пакете МайаЬ приведены на рис. 5 - 6.

При расчете количество конечных элементов принималось равным 600. Для

гладкой оболочки той же толщины изгибающий момент в защемлении

оказался на 30.3% выше по сравнению с гофрированной, а максимальная

величина кольцевой силы - на 15.7% выше. 0.1

0.05

0

^ -0.05 Щ -0.1 ^ -0.15 -0.2 -0.25 -0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

X, М

Рис. 5. - Распределение меридионального изгибающего момента по высоте

оболочки в приопорной зоне

-Ч 1 \ 1 v А. ч. Ч. ч ч. 1 ч, ! 1

_ _ гофрированная оболочка гладкая оболочка

ч, "Ч W ч. \___ S \ ч. ^Чч Ч, ч.

. s 4—. ч. ч •ч Ч ч, V- ч. ч

. ч. ^—.4 Хч N4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

X, м

Рис. 6. - Распределение кольцевой силы по высоте оболочки

Литература

1. Литвинов С.В., Труш Л.И., Дудник А.Е. Моделирование термоползучести неоднородного толстостенного цилиндра в осесимметричной постановке // Инженерный вестник Дона, 2016, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2016/3560

2. Языев Б.М., Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф. Плоская деформация элементов цилиндрических конструкций под действием физических полей // Инженерный вестник Дона, 2013, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1616

3. Литвинов С.В., Труш Л.И., Аваков А. А. Напряженно-деформированное состояние тел вращения в вязкоупругой постановке // Строительство и архитектура-2017. Факультет промышленного и гражданского строительства. Материалы научно-практической конференции. 2017. С. 186-194.

4. Litvinov S.V., Trush L.I., Yazyev S.B. Flat axisymmetrical problem of thermal creepage for thick-walled cylinder made of recyclable PVC // Procedia Engineering. 2016. Vol. 150. pp. 1686-1693.

5. Труш Л.И., Литвинов С.В., Пищеренко Е.Н., Дудник А.Е. Оптимизация решения плоской задачи полимерного цилиндрического тела в термовязкоупругой постановке // Новые полимерные композиционные материалы Материалы XIII Международной научно-практической конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ и КБР, проф. Микитаева А.К. 2017. С. 246-253.

6. Литвинов С.В., Труш Л.И., Пищеренко Е.Н., Аваков А.А. Прогнозирование прочности адгезионного соединения в течение длительного периода времени // Новые полимерные композиционные материалы Материалы XIII Международной научно-практической конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ и КБР, проф. Микитаева А.К. 2017. С. 162-167.

7. Chepurnenko A.S, Neumerzhitskaya N.V, Turko M.S. Finite Element Modeling of the Creep of Shells of Revolution Under Axisymmetric Loading // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2018. Vol. 692. pp. 808-817.

8. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И. Плоская осесимметричная задача термовязкоупругости для полимерного цилиндра // Инженерный вестник Дона, 2015, № 1-2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816

9. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 543

с.

10. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. 240 с.

References

1. Litvinov S.V., Trush L.I., Dudnik A.E. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2016/3560

2. Yazyev BM, Litvinov SV, Kozelsky Yu.F. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1616

3. Litvinov S.V., Trash L.I., Avakov A.A. Stroitel'stvo i arkhitektura-2017. Fakul'tet promyshlennogo i grazhdanskogo stroitel'stva. Materialy nauchno-prakticheskoy konferentsii. 2017. pp. 186-194.

4. Litvinov S.V., Trush L.I., Yazyev S.B. Procedia Engineering. 2016. Vol. 150. pp. 1686-1693.

5. Trush L.I., Litvinov S.V., Pisherenko E.N., Dudnik A.E. Materialy XIII Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii, posvyashchennoy pamyati zasluzhennogo deyatelya nauki RF i KBR, prof. Mikitayeva A.K. 2017. pp. 246253.

6. Litvinov S.V., Trush L.I., Pisherenko E.N., Avakov A.A. Novyye polimernyye kompozitsionnyye materialy Materialy XIII Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii, posvyashchennoy pamyati zasluzhennogo deyatelya nauki RF i KBR, prof. Mikitayeva A.K. 2017. pp. 162-167.

7. Chepurnenko A.S, Neumerzhitskaya N.V, Turko M.S. Advances in Intelligent Systems and Computing. 2018. Vol. 692. pp. 808-817.

8. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 1-2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816

9. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike. [Finite Element Method in Engineering]. Moscow: Mir, 1975. 543 p.

10. Zenkevich, O. Metod konechnykh elementov v teorii sooruzheniy i v mekhanike sploshnykh sred. [Finite Element Method in Structural Theory and in Continuum Mechanics]. Moscow: Nedra, 1974. 240 p.