Моделирование деформации фронтов грозовых волн в воздушных линиях вследствие потерь в земле с помощью дискретных неоднородностей

Б.В.Ефимов, Н.И.Гумерова

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ФРОНТОВ ГРОЗОВЫХ ВОЛН В ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЯХ ВСЛЕДСТВИЕ ПОТЕРЬ В ЗЕМЛЕ С ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ*

Аннотация

Подробно рассмотрены вопросы расчета микросекундных волновых процессов в линиях электропередачи методом бегущих волн с учетом влияния частотных зависимостей матрицы продольных параметров. На примере трехпроводной линии выполнен анализ погрешностей моделирования сопротивлений, вычисленных в приближении Карсона, цепными схемами, состоящими из RL-звеньев. Впервые с помощью этих схем учтены потери в междупроводных волновых каналах. Получено очень хорошее совпадение результатов расчетов частотным и волновым методами, а также расчетов по программе АТР.

Ключевые слова:

бегущие волны, искажающие узлы, потери в земле, частотные зависимости параметров, моделирование схемами с постоянными параметрами.

B.V.Efimov, N.I.Gumerova

SIMULATION OF SURGE FRONTS DEFORMATION ON OVERHEAD LINES DUE TO LOSSES IN THE GROUND USING DISCRETE INHOMOGENEOUS MODEL

Abstract

Describes how to calculate the microsecond wave processes in the transmission lines using traveling waves under the influence of frequency dependence of longitudinal parameters. On the example of three-wire line of the errors analysis of RL-chain circuits models calculated in the Carson approximation are carry out. For the first time using these schemes are taken into account losses in interconductor wave channels. Obtained very good agreement between wave and frequency methods and ATP program calculations.

Keywords:

traveling waves, distorting nodes, frequency dependence of the parameters, circuit models with constant parameters.

При напряжении ниже начала короны на проводах наиболее точным методом анализа волновых процессов в многопроводных линиях электропередачи с учетом сложных частотных зависимостей матрицы продольных сопротивлений является алгоритм, основанный на интегральном преобразовании Фурье. Будем называть этот алгоритм частотным методом. Он, вместе с результатами расчетов для линий с различным числом проводов (тросов) при варьировании параметров однослойного и двухслойного грунта, подробно описан в работе [1]. При этом поперечные параметры линии, то есть собственные и взаимные частичные емкости проводов, принимались постоянными, не зависящими от напряжения.

Частотный метод, основанный на переходе в комплексную плоскость, крайне затруднительно обобщить на случай нелинейной матрицы

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-08-00690).

проводимостей на землю, то есть произвести одновременный учет влияния импульсной короны и поверхностного эффекта в земле. При высоких удельных сопротивлениях грунта (р>1000 Ом м) влияние обоих факторов вполне сопоставимо, и поэтому необходимо иметь алгоритм, позволяющий вести расчет непосредственно в функции времени, то есть методом бегущих волн. Постановка этой задачи не нова, и в настоящее время разработаны различные алгоритмы решения этой задачи. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Частично они описаны в работе [1]. Существует эффективный и достаточно точный алгоритм, разработанный 1.Маг11 [2]. Он включен в комплекс расчета переходных процессов АТР [3]. Как показано далее, этот алгоритм дает хорошее приближение к результатам расчета частотным методом. По мнению авторов настоящей статьи, основной недостаток использования этого достаточно сложного алгоритма в АТР для целей анализа грозозащиты подстанций от волн, набегающих с подходящих линий, состоит в следующем. При крутых фронтах токов молний (десятые доли микросекунды) узлы с динамическими емкостями (или динамическими потенциальными коэффициентами) нужно расставлять не реже, чем через 15-30 м. При ударе молнии на расстоянии, например в 3 км от подстанции, число таких узлов составит 200-100. Между ними нужно включать 200-100 моделей многопроводных линий с потерями. Дополнительно нужно включать узлы с моделями опор с учетом их заземлений и вольт-секундных характеристик линейной изоляции. При всех преимуществах расчетов

с помощью АТР это делает задачу моделирования подхода линии к подстанции крайне трудоемкой, а исследование погрешностей, связанных с изменением частоты расстановки искажающих узлов, просто не реальным.

Далее излагается методика, в конечном счете приводящая к очень простому и быстродействующему алгоритму учета потерь в земле как в волновом канале «все провода - земля», так и в междупроводных каналах. Она естественным образом вписывается в общий алгоритм многовариантного анализа показателей надежности грозозащиты подстанций.

Методика основана на развитии известного способа моделирования исходных частотных характеристик продольных сопротивлений линии схемами с постоянными параметрами, а именно произвольным числом последовательно включенных ЯЬ-звеньев с параллельным соединением Я и Ь.

Все расчеты выполнены применительно к одной линии класса 110 кВ без грозозащитных тросов с горизонтальным расположением проводов. Поэтому выводы и рекомендации, данные в конце статьи, имеют ограниченный характер и требуют проверки для линий с тросовой защитой разных конструкций и классов напряжения.

Рассматриваем следующую задачу. Трехпроводная линия, начинающаяся при х=0 и уходящая в бесконечность, с проводами радиусом г=1см, расположенными через 4 м по горизонтали и подвешенными на одинаковой для всех проводов постоянной высоте Л=10м. Грунт однородный, с р=10000 Омм. Провода нумерованы в естественной последовательности так, что второй провод оказывается средним. Тогда координаты по оси у (горизонтальной оси в поперечном сечении линии) равны у1=-4 м; у2=0; у3=4 м. Расстояния между проводами Ь^=4 м; Ь23=4 м; Ь 13=8 м.

В начале линии на первый провод подается волна напряжения, описываемая разностью двух экспонент

и = exp

где t задается в микросекундах. Во всех расчетах приняты: тВ=1000 мкс; тф=0.2 мкс. Расчеты форм напряжений на проводах ведутся до времени 10 мкс после прихода сигнала в данную точку линии со скоростью света в вакууме (300 м/мкс). Для фиксированного далее х=3000 м запаздывание сигнала составит ровно 10 мкс. При использовании частотного метода это запаздывание учитывается на уровне расчетов в комплексной плоскости.

Для линии, бесконечной по х, вопрос об отражении от дальнего конца в частотном методе не возникает. Просто принимается, что волн, отраженных от конца линии, нет. При использовании метода бегущих волн в линии с дискретными неоднородностями волны, распространяющиеся от всех неоднородностей к началу линии, являются существенным обстоятельством, во многом определяющим точность расчетов. Поэтому далее расчеты ведутся для линии удвоенной длины, то есть 6 км. В точку 3 км от начала первые отраженные волны от конца линии придут через 20 мкс, что определяет предельное время расчета. Вместе с запаздыванием на участке (0^3) км это время составляет 30 мкс. Режим работы линии в конце линии может быть любой. Принят холостой ход.

Параметры волны при х=0 определяют пределы диапазона частот, в которых необходимо рассчитывать процесс частотным методом. Простым изменением верхнего и нижнего предела интегрирования при обратном преобразовании Фурье установлено, что для заданной волны необходимо вести расчет от /тт=100 Гц до /тах=1.5 МГц. Последнее значение определяет верхнюю границу, для которой (в данных расчетах) необходимо моделировать матрицу продольных сопротивлений. Нижняя граница может быть значительно выше. Расчет частотным методом в пределах от 100 Гц до 10 кГц нужен только для правильного учета скорости спада волны при временах в десятки микросекунд. В волновом методе этот вопрос не стоит, поскольку искажения волн при больших временах минимальны, а волны любой длительности, распространяющиеся без искажения в численной модели линии, моделируются простым перемещением их значений из одних ячеек памяти в другие. Практика расчетов с подобранными параметрами линии показала, что для целей грозозащиты можно выбирать начальную частоту не ниже 5-10 кГц. Далее будем считать, что минимальный диапазон частот, значимых для достижения достаточной точности счета, составляет две декады (от 104 до 106 Гц) с возможным расширением в обе стороны.

В качестве эталонных кривых, приближение к которым будет исследоваться в дальнейшем, на рис.1 приведены результаты подробного расчета частотным методом, где представлены исходные волны в начале линии, рассчитанные по формуле (1), результаты контрольного интегрирования их частотных характеристик и напряжения после пробега по линии 3 км. Запаздывание 10 мкс вычтено.

При выборе диапазона частот от 100 Гц до 10 МГц с логарифмическим шагом 100 точек на декаду изменения частоты исходные и контрольные кривые при х=0 совпадают с точностью до 3-4 знаков. При расчете до 1.5 МГц в кривой

контрольного интегрирования появляются незначительные синусоидальные затухающие колебания, вызванные обрезанием значимой части частотных характеристик. При этом снижение верхнего предела интегрирования на напряжениях при х=3000 м никак не сказывается. Дальнейшее снижение /тах начинает сказываться и на кривых напряжений при х=3000 м.

Рис.1. Расчет частотным методом деформации волны на проводе 1

и наведенные напряжения на проводах 2 и 3:

а - провода 2 и 3 изолированы; б - провода 2 и 3 заземлены при х=0

Отличие рис.1а от рис.1б состоит в том, что в первом случае провода 2 и 3 считаются изолированными от земли по всей длине. Из-за влияния поверхностного эффекта в земле на них наводятся напряжения, значительно превышающие электростатические коэффициенты связи. Этот вопрос подробно обсуждается в монографии М.В.Костенко с соавторами [4]. Здесь лишь отметим, что правильная реализация метода бегущих волн, сочетающая распространение волн в линиях без потерь с расчетом отражений в искажающих узлах, должна дать тот же результат.

Во втором случае (рис.1б) провода 2 и 3 при х=0 заземлены. Видно, что наводки на обоих проводах практически одинаковы. Они вызваны только влиянием проникновения поля в землю. При идеально проводящей земле напряжения на параллельных заземленных проводах будут равны нулю по всей длине. Небольшое отличие в наведенных напряжениях заметно только на фронте. И это при резко несимметричном расположении проводов 2 и 3 относительно первого провода. Понятно, что при треугольном расположении проводов линии формы наводок будут еще ближе.

Напряжения на первом проводе при х=3 км имеет резко выраженную ступень. Эта ступень определяется резким различием скоростей распространения напряжений в волновом канале «все провода - земля» и двух междупроводных каналах трехпроводной линии. Последние распространяются по линии почти со скоростью света в вакууме, что и определяет начальную часть кривой напряжения, на которую (с запаздыванием в 2-3 мкс) накладывается сильно деформированная волна земляного канала. Поэтому напряжение в точке х=3 км начинает нарастать почти точно через 10 мкс, то есть на рис.1а и б почти при 1=0. При пренебрежении потерями в междупроводных каналах часть напряжения до прихода волны по каналу «все провода - земля» просто повторяет в уменьшенном масштабе исходную волну. Однако расчеты частотным методом показывают, что это не совсем так. Все-таки потери

в междупроводных каналах оказывают сглаживающее действие на начальную часть фронта волны, что имеет существенное значение при точном анализе грозозащиты. Желательно, чтобы метод бегущих волн учитывал и этот фактор.

Еще одно отличие рис.1а и рис.1б состоит в изменении соотношения между каналами при изолировании и заземлении параллельных проводов, то есть в изменении высоты ступени. Естественно метод бегущих волн должен повторять это изменение.

При расчете частотным методом использовались обычные формулы для определения матрицы Z П продольных собственных и взаимных активноиндуктивных параметров многопроводной линии [5]. Для текущей частоты / и соответственно круговой частоты ю=2%/ они определяются как сумма трех составляющих.

ZП = Ь + Z

где Ь - квадратная матрица собственных и взаимных индуктивностей линии без потерь, равная

Ь = -^° N,

2%

где N - матрица, названная в работе [1] матрицей логарифмов линии; Z(ПР) -диагональная матрица собственных сопротивлений многожильных витых

гш

проводов с учетом магнитных потоков, проникающих в эти провода; Z -квадратная матрица собственных и взаимных вносимых сопротивлений, вызванных изменением геометрии поля, проникающего в проводящий грунт.

Для проводов линии электропередачи можно принять осесимметричное распределение плотности тока внутри проводов. При этом внутреннее сопротивление провода будет [6]:

7(ПР) = т^ • 10 (т1г1) •

11 2%г1 1г

где г1 - радиус 1-го провода; р1 - удельное сопротивление материала проводов; si=1.4-1.7 - поправочный коэффициент, учитывающий многожильную структуру

витых проводов; т1 « ^т^0 - волновое число материала провода; 1о (), /1 () -

V р1

функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка.

Коэффициенты матрицы Z(3), найденные Карсоном, имеют вид:

V Рз

где Нк и Н1 - высота подвеса к-го и 1-го проводов; Ъы - расстояние между проводами по горизонтали.

Для цепи “-й провод - земля” 71(3) определяется по этой же формуле при Ък1 =0 и Нк=Иг.

Решение Карсона дает хорошую точность только до частот в сотни килогерц и при удельных сопротивлениях грунта не выше 1000 Омм [6]. Для р=10000 Ом-м и частотах 106 Гц и выше нужно использовать более точные и

сложные выражения. Несмотря на это, для упрощения далее используется приближение Карсона во всем исследуемом диапазоне частот вплоть до 107 Гц. При необходимости более точного моделирования влияния поля в земле на высокочастотные параметры линии соответствующие выражения можно вводить без каких-либо принципиальных изменений алгоритма. Кроме того, высокочастотные составляющие быстро затухают при распространении по линии. Их правильный учет носит характер малых поправок.

В методе бегущих волн первое слагаемое определяет параметры схемы замещения линии без потерь. Она строится стандартным образом [1]. Выбирается шаг по длине линии Ах (например, 3 м), что задает шаг по времени At= Ах/c, где с=300 м/мкс (при Ах=3 м Аґ=0.01 мкс). Для линии конечной длины (например, /=6000 м) каждый провод моделируется в памяти машины двумя массивами длиной п/=1/Ах+1 (в примере п/=2001). В одном из них хранятся значения волн, распространяющихся в сторону возрастания координаты х, во втором записываются волны, бегущие в обратную сторону. Переход к следующему шагу по времени производится простым перемещением значений всех волн в следующий элемент массива для прямых волн или в предыдущий для обратных волн. Волны в каждом проводе распространяются независимо от наличия других проводов. В начале и конце линии на каждом шаге по времени определяются падающие волны, рассчитываются напряжения на проводах и находятся значения волн, уходящих в линию. Только здесь нужны волновые параметры линии, которые находятся как Zш = 60N, где Z ш -

матрица собственных и взаимных волновых сопротивлений линии. Фактически элементы всех массивов с одинаковыми номерами можно трактовать как узлы схемы замещения п-проводной линии. В целом такой алгоритм моделирует первое слагаемое в формуле (2). Будем называть такие узлы «пустыми» узлами. Вместо некоторых из них схема замещения линии может содержать узлы, моделирующие влияние искажающих факторов: потери в земле и проводах, корону на проводах, размещение опор, транспозиции и т.п. В частности, узлы, учитывающие изменения матрицы продольных параметров линии из-за проникновения поля в проводники, будем называть, как это принято в работе [6], ^-узлами.

В настоящей статье анализируется только влияние поверхностного эффекта в земле, то есть моделирование совместного воздействия первого и третьего слагаемого в выражении (2). Влияние второго слагаемого (потерь внутри проводов) может быть очень существенным при расчете распространения волн по линии длиной в десятки километров [8]. При длинах пробега волн в единицы километров, рассматриваемых в настоящей работе, этим слагаемым можно пренебречь (рис.1а). Тогда верхний индекс

третьего слагаемого можно опустить и матрицу Z( З) далее обозначать как Z. Для рассматриваемой трехпроводной линии, симметричной относительно вертикальной оси, с одинаковыми высотами подвеса проводов, в Z будут различными три коэффициента 2П=222=233, 212=221=223=232, и 213=231. При этом всегда выполняется соотношение 2ц=2і2=2і3. На рис.2 приведены вещественные и мнимые части 2ци 2і3, рассчитанные на 1 км линии. Видно, что они близки в широком диапазоне частот. На рис.3 дано превышение собственного сопротивления над взаимным, а на рис.4 разности собственного и взаимного сопротивления приведены в процентах к текущему значению взаимного сопротивления.

Ом/км

4800

3600

2400

1200

0

Ке2 а)

*-/

/

Ом/км

8000

6000

4000

2000

10

10

10

Гц

0

\тг б)

// //

7 // 11 //

Г7 '-\г

Ї

10

10

10

ІII

Рис.2. Частотные характеристики вещественной (а) и мнимой (б) частей добавок к собственному (2п) и взаимному (213) продольным сопротивлениям линии

Ом/км

150

100

50

Ке^іг^із) а)

/

Ом/км

800

600

400

200

10

10'

10

Гц

0

\гс\

/

10

10

10

Гц

Рис.3. Разности частотных характеристик вещественной (а) и мнимой (б) частей добавок к собственному (2п) и взаимному (213) продольным сопротивлениям линии

%

к^ги-г,у)и О О г*'. N си а) /

/

%

8

6

4

2

Іт(ги-2ІЗУ1 гп ¿п4 100 б) у

У

10

10

10

Гц

10

10

10

Гц

Рис.4. Относительные величины разности частотных характеристик вещественной (а) и мнимой (б) частей добавок к собственному (2и) и взаимному (213) продольным сопротивлениям линии

Из рис.2 и 3 видно, что все коэффициенты матрицы Z близки друг к другу, что позволяет в первом приближении считать их одинаковыми [8], равными некоторому среднему значению 2. Тогда матрица Z становится скалярной матрицей, у которой все коэффициенты равны 2. На этом были построены алгоритмы [1, 8]. В программах задавался провод на некоторой

«средней высоте», для которого вычислялась частотная характеристика составляющей собственного сопротивления, вызванная проникновением поля в землю. Вопрос о том, что такое «средняя высота» для линии с разными высотами подвеса проводов не обсуждался. Теперь положим, что для рассматриваемой линии базовым является наименьший из коэффициентов матрицы Z, то есть Z13. Тогда Z можно представить виде двух слагаемых:

X — Ъ1ъ + \Х —

7 13 7 13 7 ~ 13 ' 711 _ 7 13 712 -7 13 0 '

7 ^ 13 7 13 7 ^13 + 212 _ 7 13 7ц -7 13 712 - 7 ^13

7 ^ 13 7 13 7 ^13 ^ 0 712 -7 13 7ц _ 7 ^13 ^

где все вещественные и мнимые части коэффициентов во втором слагаемом больше нуля или равны нулю.

Предварительно, положим второе слагаемое равным нулю. Максимальные погрешности этого допущения на частоте 1.5 МГц составляют примерно 1.1% для активного сопротивления и около 5.7% для индуктивной составляющей. При снижении частоты эти погрешности быстро уменьшаются. Поэтому допущение о равенстве нулю ЛZ кажется вполне естественным для расчетов деформации фронтов волн. Более подробно этот вопрос обсуждается ниже.

Все рассуждения о параметрах линии велись в комплексной плоскости. Один из вариантов перехода к расчетам непосредственно в функции времени состоит в подборе схем с параметрами, не зависящими от частоты. Частотные характеристики всей схемы должны прибижаться к данным рис.2. Именно это и позволяют сделать схемы с цепочкой ЯЬ‘-звеньев.

Методики нахождения параметров этих звеньев описаны в статье [7]. Речь идет о решении системы нелинейных уравнений вида

Ке1

для некоторых заданных значений юк .Число заданных (опорных) частот может быть больше числа ЯЬ-звеньев. Однако практика расчетов показала, что оптимальным для данной задачи является моделирование исходной зависимости в логарифмическом масштабе по частоте с шагом на целую декаду ее изменения и числом звеньев, равным числу заданных частот. Тогда для моделирования в выбранном выше диапазоне (от 10 кГц до 1 МГц) достаточно выбрать три опорных частоты /1=104 Гц, /2=105 Гц и /3=106 Гц. Соответственно, нужно принять схему замещения, состоящую из трех звеньев. Для волн с очень крутыми фронтами можно добавить еще одну опорную частоту и четвертое звено.

На рис.5 приведены результаты решения системы (6) с помощью процедуры Міпегг() системы МаШса^ которая в данном случае работает очень эффективно. Начальные приближения для всех Я и Ь задавались по статье [7].

Рис.5. Результаты подбора параметров цепных схем замещения продольных сопротивлений трехпроводной линии на 1 км длины

Определялись параметры четырех- и трехзвенных схем замещения Z із, трехзвенных схем замещения Z11 и Z12. Дополнительно были вычислены поэлементные разности между всеми тремя трехзвенными схемами. На светлом фоне приведены звенья, которые использованы в дальнейших расчетах.

Как и следовало ожидать, близость частотных характеристик анализируемых составляющих собственных и взаимных сопротивлений приводит к близости параметров их схем замещения. Тем не менее, следует отметить, что активные сопротивления третьего звена отличаются вполне заметно. Разности составляют от 161 до 596 Ом, что сравнимо с волновыми сопротивлениями линии без потерь.

На рис.6 приведены частотные характеристики сопротивления Z13 и четырехзвенной и трехзвенной схем. Здесь видно, что подобранные схемы хорошо аппроксимируют исходные частотные зависимости в диапазонах от 104 до 106 Гц. При этом четырехзвенная схема дает хорошее совпадение и в следующей декаде частот, а вещественная часть частотной характеристики трехзвенной схемы при частотах выше 1 МГц начинает заметно превышать параметры сопротивлений, вычисленных непосредственно через интегралы Карсона. В рассмотренном далее алгоритме увеличение числа звеньев схемы замещения с постоянными параметрами, вообще говоря, не принципиально. Тем не менее, в дальнейшем применяется трехзвенная схема по следующим соображениям.

В волновом методе необходимо рассчитывать преломленные и отраженные волны от любого искажающего узла (рис.7а).

Ом/км

1200

900

600

300

а)

ж- І

/

*13 /

10

10

10

Гц

Ом/км

2400

1800

1200

600

ітг б)

У

10

10

10

Гц

Рис.6. Сопоставление вещественных (а) и мнимых (б) частей частотных характеристик сопротивлений, вычисленных по (4), и частотных характеристик:

А - четырехзвенной схемы замещения; Б - трехзвенной схемы замещения

Рис. 7. Варианты схем замещения в узлах, учитывающих потери в земле:

а - схема замещения с распределенными и сосредоточенными параметрами для однопроводной линии; б - схема замещения Z-узла с источником напряжения; в - схема замещения Z-узла с источником тока

Обычно для этого применяется правило эквивалентной волны, предложенное М.В.Костенко, которое состоит в том, что подходящая многопроводная линия заменяется матрицей ее волновых сопротивлений с источниками напряжений, равными удвоенному значению падающей волны (для однопроводной задачи схема дана на рис.7б). При пренебрежении AZ в выражении (5) и заданных токах имеем для падения напряжения в 2-узле:

Аи = г13т =

1 1 3 3 3 1  к  213 • (11+12 + 13) ~Аи1'

213 213 213 12 = 213 • (11+12 + 13) = А^2

1 1 3 3 2 3 1 1 3 1 213 • (11+12 + 13)_ Ш3 _

Отсюда следует, что дополнительное падение напряжения одинаково на всех проводах и оно вызывается алгебраической суммой всех токов. Эта сумма равна току, текущему в земле, то есть она определяет потери и деформацию фронта волны в волновом канале «все провода - земля». Волны в междупроводных каналах при пренебрежении АZ распространяются без искажения. На самом деле токи заранее не известны. Их нужно определять из расчета в схеме рис.7б, что может быть целесообразно в дальнейшем для оптимизации числа искажающих узлов. В задачах, для которых большое число Z-узлов не критично, можно поступить следующим образом [7]. Волновое сопротивление линии для канала «все провода - земля» определяется по формулам параллельного сложения волновых сопротивлений всех проводов с учетом взаимосвязи между ними:

-1 3 3 1

^ = Z , ; у, = 2 2 Уі,} = .

і=1} = 1 Ум К ’

Для рассматриваемой линии гм=208 Ом.

Рассмотрим эквивалентную схему рис.7б. Для волн с крутым фронтом в первый момент все индуктивности представляют собой разрывы и последовательно с 2, будет включено сопротивление Я=Яі+Я2+Я3.

Для этого момента времени ток в схеме равен:

( \

2ип

1

22м +

22,

1

22,

• 2ип

Сумма активных сопротивлений трехзвенной схемы замещения 2^ (рис.5) равна Я£~6500 Ом/км. Пока предположим, что шаг по искажающим узлам очень маленький -5 м. В каждом узле включено активное сопротивление 6500/200= 32.5 Ом. Тогда раскладывая в ряд выражения в скобках формулы (9), можно получить:

2ип

і =-

1 -

А

22,.

- +...

При г,=208 Ом второй член ряда в формуле (10) будет равен 32.5/416=0.078. Погрешность пренебрежения остальными членами ряда составит менее 1%. Тогда в первый момент времени волна, возникающая после 2-узла, равна:

1-------— +...

27

V у

Яь Дм

= Мп ад — 27 ип ад = Мп ад

где Дм = -А- мп ад = Яь7,

~ /у п ад ь

27™

причем 7 определено в предположении, что Я ь = 0.

Используя эти допущения, можно сформулировать алгоритм расчета преломленных волн в 7-узле.

1. Определяется суммарный ток во всех проводах 7£ без учета влияния 7-узла. Для этого находится вектор волн, приходящих к 7-узлу с любой из сторон, он умножается на обращенную матрицу волновых сопротивлений, и коэффициенты полученного вектора суммируются.

2. Определяется падение напряжения на ЯХ-звеньях схемы.

3. Вычисляются преломленные волны как разности исходных волн на 7-м проводе и половины найденного падения напряжения.

4. Можно показать, что при тех же допущениях отраженная волна равна Ди/2, причем ее знак совпадает со знаком падающей волны.

Погрешности, связанные с пренебрежением высшими членами ряда в формуле (10), с течением времени будут становиться еще меньше, индуктивности начнут шунтировать Я7. В результате придем к схеме рис.7в, где вместо 2мпад включен источник тока 7. Общее падение напряжения будет составлять Дм = Дм1 + Ди2 + Ди3 . Это следующий принципиальный момент алгоритма, поскольку теперь система дифференциальных уравнений разделилась на независимые уравнения, число которых равно числу двухполюсников. Поскольку суммарный ток теперь задан, то для напряжений на каждом (например, первом) звене можно записать:

+ Я • и = Я • 7ь .

<И i ь

В правой части содержится заданная функция. При ступенчатой аппроксимации этой функции, естественной в дискретном методе бегущих волн, и некотором начальном токе в индуктивности 7Ь н решение уравнения (12) будет:

7/Д

д X

где к1 = е т ; к2 = 1 - к1; т = —; Д7 - постоянный шаг расчета.

Я

Падение напряжения Дм1 в первом звене будет:

Дм1 = Я • 7Я = Я • [7ь- гь

Аналогично вычисляются Ди2 и Ди3. При увеличении числа звеньев

алгоритм не усложняется. Таким образом, сделанные допущения позволяют перейти в методе бегущих волн от расчета преломлений и отражений волн в сложных многополюсных схемах с постоянными параметрами к простейшему алгоритму, содержащему два умножения и одно сложение на каждое ¿Я-звено. Наиболее трудоемкой здесь оказывается выборка текущих значений падающих волн из общих массивов волн, бегущих в различных направлениях, и нахождение тока в канале "все провода - земля".

Мп ад

Теперь введем ЛZ>0. Из выражений (5) и (7) получим:

+ (212 - 2:3)1, + (2„ - ^13 )12 + (^12 - 2,3)13

(212 - 213 )^ 2 + (211 - 213)13

или:

213 •

Аи = (Z 13 + ^)1 = 213 • (11+12 +13) +

_213 • (11 +^ + 13)_

(212 - 213 )(11 + 12) (211 - 212 )11

+ (212 - 213)(11 + 12 +13) + (211 - 212)12

_ (212 - 213)(12 + 13) _ _(211 - 212)13

то есть для рассматриваемой симметричной относительно оси опоры линии теперь нужно ввести в расчеты всего два сопротивления (212-213) и (211-212).

Непосредственное вычисление разностей исходных сопротивлений и последующее моделирование цепными схемами с помощью упомянутой выше процедуры Мтегг

Ом/км

7.5

5,0

2.5

а) /

/

/' У/— -Яі г

10

10

10

Ґц

Ом/км

80

60

40

20

\rr\Z б) і

г

7 -7 А 12^13 // //

А- // // ~~ т

/

10

10'

10

Гц

Рис.8. Сопоставление вещественных (а) и мнимых (б) частей частотных характеристик разности собственного и взаимного сопротивлений, вычисленных по формуле (4), и начальной части частотной характеристики третьего ЯЬ-звена схемы замещения (212-213) из рис. 5

Из рис.8 видно, что, несмотря на большие активные сопротивления третьих звеньев на рис.5, при расчетах влияния ЛZ>0 вещественная часть дополнительного сопротивления не превышает 10 Ом/км, то есть используется только начальный участок значимой части частотной характеристики этих звеньев. Поэтому вопрос о погрешности моделирования дополнительных потерь схемами с источником тока не возникает. Это существенно, поскольку не ясно, что понимать под волновыми сопротивлениями для различных комбинаций токов в уравнении (16). Все сказанное о вычислении падения напряжения на каждом из звеньев при постоянном шаге расчета относится и к расчету влияния ЛZ>0.

В целом, для рассматриваемой трехпроводной линии с горизонтальным расположением проводов в Z-узлах нужно рассчитывать падения напряжения на 5 звеньях: трех для моделирования канала «все провода - земля» ^13) и двух для моделирования потерь в междуфазных каналах - (212-213) и (211-212). При этом учет последнего фактора практически не увеличивает общей трудоемкости алгоритма.

Практика счета волновым методом показала, что ограничение на допустимую частоту расстановки ^-узлов по критерию пренебрежения высшими членами ряда в выражении (10) излишне жесткое. Действительно, постоянные времени всех третьих звеньев составляют сотые доли микросекунды. При малом шаге по длине (3 м) шаг по времени составляет 0.01 мкс. Поэтому уже к концу первого шага индуктивности заметно шунтируют большие значения сопротивлений всех Я£-звеньев. Реально, при шаге по времени 3-6 м, даже для грозовых волн с очень крутыми фронтами, искажающие узлы можно расставлять через 30 м без заметных изменений кривых напряжений. Для волн с фронтами 1 мкс и более вполне допустим шаг 50-60 м.

В заключение на рис.9 приведено наложение результатов расчетов, выполненных тремя независимыми методами. Для фиксации незначительных расхождений кривые выполнены тонкими линиями, а рисунки даны в большем масштабе, чем предыдущие графики.

а

б

Рис. 9. Сопоставление результатов расчетов частотным методом (ЧМ), волновым методом (ВМ) и по программе АТР (АТР) деформации фронта волны при подаче напряжения:

а - на все три фазы; б - на провод 1 и изолированных проводах 2 и 3; в - на провод 1 и заземленных при х=0 проводах 2 и 3

Расчеты выполнены при следующих исходных данных. Потери в земле учитывались в приближении Карсона для однослойной земли с р=10000 Ом-м. Внутреннее сопротивление проводов полагалось равным нулю. Геометрические размеры линии и параметры волны на первом проводе при х=0 описаны выше.

Частотный метод (ЧМ). Диапазон частот от 100 Гц до 10 МГц. Число точек на декаду 100. Шаг расчета интегралов Фурье по времени - 0.01 мкс. Линия начинается при х=0 и уходит в бесконечность. Время счета на компьютере с тактовой частотой 2.5 ГГц ~ 3 с.

Волновой метод (ВМ). Шаг по длине - 3 м. Шаг по времени 0.01 с. Искажающие узлы с учетом ЛZ>0 расставлены в каждом пятом узле или через 15 м. Опорные частоты при моделировании потерь в земле 10, 100 кГц и 1 МГц. Общая длина линии 6 км. В конце линии - холостой ход. Общее число узлов 2000. Число искажающих узлов 400. Результаты выводятся в середине линии в тысячном узле или после прохождения 200 искажающих узлов. Расчет проводился до 20 мкс от момента прихода появления напряжения в первом узле (10 мкс от момента прихода волны в 1000 узел). Время расчета на том же компьютере примерно 1 с.

Расчеты, выполненные по программе АТР (АТР). Шаг по времени - 0.01 с. Модель учета влияния земли по Т.МаП Общая длина линии - 2 участка по 3 км. В конце линии - холостой ход. Вывод напряжений - в конце первого участка. Время счета менее 1 с.

Из рис.9 видно, что совпадение расчетов по все трем методам очень хорошее. Получено практически полное совпадение результатов расчетов по трем программам, основанным на совершенно различной математической и алгоритмической базах. Можно отметить, что при использовании волнового метода двойное увеличение шага по длине, двукратное увеличение шага по узлам, а также двойной сдвиг опорных частот лишь малозаметно изменяют графики напряжений на экране ПЭВМ, которые трудно отобразить в масштабе рис.9.

Дополнительно были выполнены расчеты волновым методом напряжений при пренебрежении потерями в междупроводных каналах. Как и следовало ожидать, изменение коснулось лишь фронтовой части ступени на графиках напряжений при х=3 км (пунктир на рис.9б, в). При всей кажущейся незначительности изменения форм напряжений в масштабе по времени, крутизна начального участка фронта волн меняется весьма заметно (рис.9б, в). Это, в принципе, может быть существенным при анализе грозовых перенапряжений на продольной изоляции трансформаторов. Хотя надо отметить, что введение в расчеты распространения волн по междупроводным каналам без потерь идет в запас. С другой стороны, выполненные расчеты показывают необходимость учета многопроводности на подходах линий электропередачи к подстанциям. Однопроводная постановка задачи при пробеге волнами расстояний в несколько километров и при высоком удельном сопротивлении грунта не может дать форму фронтов напряжений, приведенную в настоящей работе. Естественно, что корона на проводах существенно сгладит различие между однопроводной и многопроводной постановкой задачи, но такой анализ выходит за рамки статьи.

Выводы

1. На основе метода бегущих волн разработан усовершенствованный быстродействующий алгоритм расчета деформации фронтов волн микросекундной длительности в многопроводных воздушных линиях электропередачи с учетом потерь во всех волновых каналах, вызванных влиянием скин-эффекта в земле.

2. Получено хорошее совпадение форм кривых при временах от 0.01 до

10 мкс при расчетах по трем независимым методам, алгоритмам и программам, а именно: по методу, основанному на применении интегрального

преобразования Фурье, и методу бегущих волн с моделированием изменения параметров линии Я£-звеньями; по одному из алгоритмов, включенных

в комплекс АТР. Каждый из этих алгоритмов имеет свои области применения. В частности, моделирование потерь в земле путем установки искажающих узлов с RL'-звеньями наилучшим образом вписывается в общий алгоритм расчета волновых процессов коронирующих линий с неоднородностями по длине и многовариантных расчетов показателей надежности грозозащиты подстанций.

3. В работе все расчеты выполнены для простейшей трехпроводной линии класса 110 кВ без грозозащитных тросов. Для обобщения полученных результатов на линии любых классов напряжения и конструктивных исполнений необходимо развитие методики учета потерь в междупроводных каналах для несимметричных относительно оси опоры линий и выполнение многовариантных расчетов влияния геометрии линии на форму фронта волны.

Литература

1. Ефимов Б.В. Грозовые волны в воздушных линиях. Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2000. 134 с.

2. Marti J.R. Accurate modelling of frequency-dependent transmission lines in electromagnetic transient simulations // IEEE Trans. Power App. Syst. 1982. Vol. PAS-101. Р. 147-157.

3. Elektromagnetic Transients Program Rule Book // Bonneville Power Administration. Oregon, 1982. April.

4. Волновые процессы и электрические помехи в линиях высокого напряжения / М.В.Костенко, Л.С.Перельман, Ю.П.Шкарин. М.: Энергия, 1973. 270 с.

5. Гумерова Н.И., Ефимов Б.В. Влияние многослойности грунта на параметры многопроводной линии и деформацию фронтов грозовых волн. СПб.: НТВ СПбГПУ, 2009. 4-1 (89). С. 188-201.

6. Перенапряжения и защита от них в воздушных и кабельных электропередачах высокого напряжения / М.В.Костенко, К.П.Кадомская, М.Л.Левинштейн, И.А.Ефремов Л.: Наука, 1988. 302 с.

7. Анализ деформации грозовых волн при их распространении по ВЛ на расстояние более 100 км / Б.В.Ефимов, Н.И.Гумерова, Я.А.Стогова // Труды КНЦ РАН. Энергетика. 2011. 2 (4). С. 43-59.

8. Анализ надежности грозозащиты подстанций / М.В.Костенко, Б.В.Ефимов, ИМ.Зархи, Н.И.Гумерова. Л.: Наука. 1981. 127 с.

Сведения об авторах

Ефимов Борис Васильевич,

директор Центра физико-технических проблем энергетики Севера КНЦ РАН, д.т.н. Россия, 184209, Мурманская область, г. Апатиты, мкр. Академгородок, д. 21А Эл. почта: efimov@ien.kolasc.net.ra

Гумерова Натэлла Идрисовна,

доцент кафедры «Электроэнергетика, техника высоких напряжений» Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, к.т.н., ст.н.с.

Россия, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д.29 Тел. 8-911-257 3809,

Эл. почта: nigumerova@mail.ru