Влияние неравномерной нагрузки на характер распространения волн в изотропном трехмерном слое с тонкой накладкой

УДК 539.3.

ВЛИЯНИЕ НЕРАВНОМЕРНОЙ НАГРУЗКИ НА ХАРАКТЕР РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ИЗОТРОПНОМ ТРЕХМЕРНОМ СЛОЕ

С ТОНКОЙ НАКЛАДКОЙ

© 2006 г. А.В. Белоконь, О.А. Белоконь, А.И. Болгова

The problem of the wave and energy stream propagation in three-dimensional layer from the load irregularly distributed by the line is examined. The solution is found using the method of boundary integration. For the first time the theoretical substantiation is given. It is proved that the final form of solution may contains the integrals in the term of principal value by Cauchy.

Введение. Изучению кинематики и энергетики волновых полей в трехмерном слое от действия на его поверхности в области S неосесимметричной нагрузки представляет собой довольно сложную задачу, решение которой может быть получено только численно [1]. Однако, если область S представляет собой прямоугольник, изучение асимптотики волновых полей и построение решения внутри области S можно провести, используя метод контурного интегрирования [2]. В [2] нагрузка распределена равномерно в области S. В предлагаемой работе, использующей метод контурного интегрирования, впервые изучается волновое движение в слое при действии неравномерной нагрузки, распределенной по линии. Основное внимание уделяется изучению распространения волн вне области действия нагрузки.

Методика получения решения приводит к исследованию интегралов, подынтегральная функция которых не является аналитической и может содержать особенности, которые не смещаются с вещественной оси при использовании принципа предельного поглощения [3]. Следствие этого - необходимость специального выбора контура. В работе впервые дается теоретическое обоснование выбора контура, и при этом доказано, что окончательный вид решения может содержать интегралы, понимаемые в смысле главного значения по Коши.

Выяснено асимптотическое поведение решения, позволившее проанализировать как кинематику, так и энергетику волновых полей, выявить влияние неоднородности нагрузки на их формирование. Результаты, полученные в работе, легко обобщаются на случай, когда неравномерная нагрузка распределена в прямоугольной области.

1. Постановка задачи. Пусть упругая среда занимает область П = {|x < \y\ < 0 < z < H }. На границе z=H упругой среды расположена бесконечная пластина, лежащая без отрыва и трения. В этом случае требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

+ jUi )(ddivu),k + j Auk = pu&k, k = 1,2,3 ,

DA2~3 + P2h = p

dt

Граничные условия и условия сопряжения пластины и слоя имеют вид

р(,*)=К,()е 5'

[0, ( ) 5,

<?(*, *) = стзз (х, н, *) , (х, *)=из (х, н, *) ,

ак3 (х,у, Н, *)= 0, к = 1,2

ик3 (х,0, *) = 0, к = 1,2 , и3 (х ,0, *)= 0 ,

где 8 - некоторая ограниченная область с кусочно-гладкой границей.

Рассматривается установившийся режим колебаний. Решение системы (1) ищем в виде

и(х,х, *) = их(х ,у,х,

гЙ *

~з, ~, t) = V, ~У"', = akte

Вводим безразмерные величины

х - — y - z - — U - U

iQt

Q--

D -

H QH

С1

H

H

H

v - V,

H

H

H2h

6H Vi(l -V2 )'

£2.

ci 1 P2

2 + 2Hl

c1 --

Pi

с2 = «1, «=«2, р =^ . 2 р\ Р1 '

Будем искать решение поставленной задачи (1) -(3), применяя принцип предельного поглощения [3], который фактически приводит к замене ^ на и при условии и(х, у, г, *) —— 0 ,

Qs - Q-is, 0 < s << 1

4

х2 + y 2 ^ да

если г = -

Рассматривается неравномерная нагрузка, заданная на отрезке у е [- ¿1, Ь^ четной функцией. Разложив ее в ряд Фурье, получим

f (х, y)- ¿(х) ao + 2 an cos ППУ

Л

где Р\,Р2,р2>у2 - постоянные, соответственно

характеризующие слой и пластину; Д - оператор Лапласа в трехмерной области; Д2 - квадрат оператора Лапласа в двумерной области х,у,

В = («2к3 )/(б(1 -V )) .

, Ь=Ь1/Н.

п=1 Ь

В силу линейности задачи достаточно рассмотреть нагрузку вида f (х, у)= р£(х)соБ ту, причем для дальнейшего необязательно совпадение т с пп/Ь. В этом случае преобразование Фурье от нагрузки имеет вид:

р(а, у) = р( ™(т -Г> + 51п(т + ^ 1 = рф(т, у, Ь).

^ т-у т+ у )

h

Применяя к системе дифференциальных уравнений (1) и условиям (2), (3) двойное преобразование Фурье по координатам х и у, подставляя выражение для нагрузки и решая преобразованную систему уравнений с соответствующими граничными условиями, найдем выражения для перемещений в слое:

1аЛ(1,0.Е,2)(т,у,Ь) _,

4п2

I I

— со — о

А,

4п

U2S =

" Q,, z)p(m,y,b)e-

— со —ct.

А,

'Ydady,

e-iaxe~1Ydadr,

4n

U3s =

j j Qg;z)(mY,b)e-'^ady

— an — о

А,

где

A(,Q, z) = -Elshß2chßz + 2ß,ß2shß1chß2z, С(, Q, z) = E,shß2shß,z - 212shß,shß2z А = E^chßxshß2 - 412ß,ß2shßlchß2 --ß, shß, shß2 (Dl4 - L2Q2 )Q Vс2 ,

2 ,2

ßl = 1

E,

Q2, ß22 = = 212 -Q2/c2,

Q2/,

2 2

12 = a2 +y2, L = c2

U,e= A( , и 2,= A(o,

Q,,z) )ф(т,у,b)e

~'a0sxe

'Ydy,

Q,, z))

yp(m,y,b) _

ao£

e 'ao,xe~'Ydy,

и 3, =-'С ((

, z)"" p^mYbile, -t

' -j a0£

e~'Ydy,

где A(o, Q, z ) = РП^ьМ,

0 2ПА/4=1 o

с (( Q, z )= Р1 oß!g (10,Q,z),

0 ' 2ПАН1=1 o

ao, = <[1 o, -72

1, = 1o - js, o < S<< l,

1ша0г < 0 .

Параметр 5 характеризует смещение полюса а0£ с вещественной оси в комплексную область и в рас-

сматриваемом случае равен S = -

V

'

V{1 o )> o,

где 0. = ^(£ о) - уравнение первой дисперсионной поверхности.

Для получения асимптотического представления перемещения из (6) будем использовать метод контурного интегрирования. Поскольку подынтегральные функции в интегралах (6) неаналитические, так как содержат точки ветвления ±ао£ , то для правильного построения контура необходимо провести разрез в комплексной плоскости (5), при этом точки ветвления и уравнения для разреза определяются из системы уравнений 1шао£ = 0, Яеао£ = 0 [4]. Откуда

rjc =

•o'

2 2 «2 CT -П =1o •

Окончательное решение рассматриваемой краевой задачи получим из (4) с помощью предельного перехода [3]: lim U, = U • -

2. Построение решения вне области действия нагрузки при х>0, y>b. Основное внимание в дальнейшем уделим построению асимптотического решения в слое при больших значениях x и у, имея в виду исследовать как энергетические характеристики в слое, так и отличия в асимптотическом поведении решения при действии сосредоточенной силы и рассматриваемой в работе нагрузки. Асимптотические решения будем строить, вычисляя вначале внутренние интегралы, а затем внешние в формулах (4).

Вычислим внутренние интегралы, входящие в (4), для x>o, используя теорию вычетов, для чего замкнем контур интегрирования в нижней комплексной плоскости

у=о+'П

и учтем лишь один полюс, лежащий вблизи вещественной оси и стекающий на нее при e^o. Остальные полюса, которые всегда остаются комплексными, даже при e=o, не учитываются, поскольку дают решения, экспоненциально убывающие на бесконечности. В этом случае получим:

Следует однако заметить, что в [4] приведено утверждение о достаточно произвольном выборе разрезов на комплексной плоскости, которое на самом деле не имеет места. И легко показать [5], учитывая неравенство (8), что разрез необходимо проводить единственным образом (рис. 1).

Рис. 1

Из уравнений (9) вытекает, что контур интегрирования, внутри которого подынтегральная функция является аналитической, имеет вид, изображенный на рис. 1 и представляет собой петлю Ь и полуокружность радиуса Я. Таким образом, для вычисления интегралов, входящих в формулы (6), можно использовать выражение:

|^(у)с1у = -\^(у)1у- |^(у)с1у- |^

-Я Ь ся ся

Принимая во внимание, что интегралы по контурам СЯ, С2Я при Я^-да стремятся к нулю, интеграл по контуру Ь стекается при е^0 на вещественную и мнимую оси (пунктирная линия на рис. 1), переходя к пределу при Я^-да и е^0, найдем, что формулы для определения перемещений для у>Ь принимают вид:

ь

2

1

со

со

U1 «-2A

-Jp(m,-in,¿)sinc?oх• e nydtf +

+ i J <p(m,y,¿)sin«ox• e iyydy

U2 « 2A

^W^nHnb) cosao Xe+

o ao

1 ro yp(m,y,b) -iy

+ j U-i——l cosao xe ry dy

o ao

U3 «-2C

- Jp(m,~-1'n,b)cos^oxe nydn + o ao

p(m, y, b) —iyy

+1J—1-1 cosaoxe " dy

o

a

o

При получении формул (10) учтено, что должно выполниться неравенство (8).

Найдем асимптотику полученных решений, учитывая, что полубесконечные интегралы, и это легко показать, не дают вклада в поток энергии, если х^-да и у^да одновременно. Для оценки интегралов в конечных пределах перейдем к полярной системе координат Xi = х = r cos в, yi = y - b = r sin в и применим

метод стационарной фазы, используя формулу из [6]:

хЬ

I(R) = J f (x)eiRg(X)dx «

xa

«V2n/(Rg"(xs))/X)iRg(Xs)/4s'gn(g"()) , (11) g" (xs 0, R^ro, где xs - седловая точка, являющаяся решением уравнения g' (x) = 0 .

Определив седловую точку ys = 1о sine , получим главные члены асимптотических выражений для перемещений:

U1 = A(l 0, Q, z)) (r, 10, в, m, b)cos в + 0(1/ r), U 2 = A(l 0, Q, z)) (r, 10,e, m, b)sine + 0(1/r), (12) U 3 = -C (l 0, Q, z )S (r, 10,e, m, b)l 0 + 0(1 r ), где S (r, 10,в, m, b) =

2п1

o p(m, 1 osinö, b ) -1 ob sin^e o П

Аналогично можно получить асимптотические формулы для перемещений в областях x<0, y>b; x>0, y<b; x<0, y<-b. Таким образом, получено асимптотическое решение при |x|>0, |y|>b.

Применяя (12), определим поток энергии в слое, который через цилиндрическую поверхность 0< z < 1,0 <в < П2, r = const в направлении r при фиксированном в имеет вид при r^ да [7]:

P =Q2 CgB(U,U))2 , Cg

r g V > / ' g д1/ dQ

точке,

B(U,U) = rl((1 U1 + U2U2 + U3U3)dz .

Из (12), (13) вытекает, что поток энергии через указанную цилиндрическую поверхность при г^ж будет равен

Рг = -Й2р2102 р2(т,10 sin6>,Ь)/{4лс2 дА/31 -дА/дй)х

х ¡

0

Таким образом, получена расчетная формула для определения потока энергии в слое в секторе х>0, у>Ь. Для получения полного потока, уходящего на бесконечность, проинтегрируем равенство (14) по в от нуля до п/2 и умножим на четыре:

Pr =--

Q2 p 21 o2

пс2 ÖA/51 • SA/öQ

I (1 o, Q)>

п/ 2

x J p2 (m, 1 osin0,b)d0, o

I(0,й) = |(10а!2(10,Й, г)+ в2С2(0,Й, г) .

0

Численный анализ (14) показывает существенное влияние параметра т на распространение потока энергии. В случае почти равномерно распределенной по линии нагрузки (т - мало) при Ь<1 график потока энергии совпадает со случаем сосредоточенной силы. Взяв слой из стали, а пластину из вольфрама, положив ^=0,5, ^=0,01, найдем величину потока энергии для различных значений параметра т. В таблице приведены значения потоков энергии: Рг1 - для первой (т=п/Ь) и Рг2 - для второй (т=2п/Ь) гармоник соответственно, Ь=0,1; 5; 10.

е Pri Pr2

o o o o o o o

п/6 ЗД-io-12 1,5io-5 1,11o-4 2,o-1o-13 6,8-1o-7 4,o-1o-7

п/4 U-io-11 4,5-1o-5 1Д-Ю-4 7,5-1o-13 1,3-Ю-6 6,3-Ю-5

п/3 2,6-1o-11 7,6-1o-5 5,8-1o-5 1,6-Ю-12 1r2-1o-s 4,o-1o-5

п/2 4,8-1o-11 1,o-1o-4 1,6-Ю-5 2,9-1o-12 5,o-1o-7 9,o-1o-5

где Cg- групповая скорость, вычисленная в седловой

Поток энергии при Ь=0,1 очень мал по величине, но по направлению сильно отличается от случая сосредоточенной силы, и величина потока энергии для второй гармоники примерно в 10 раз меньше, чем для первой. Если увеличить параметр Ь, положив, например, Ь=5, то картина распространения потока изменится. Для первой гармоники величина потока растет, а распределение по направлениям примерно такое же, как и для Ь=0,1. Для второй гармоники величина потока энергии примерно в 10 раз меньше, чем для первой, но картина направлений потока уже другая. При Ь=10 величины потока энергии для первой и второй мод приблизительно равны, а направления распространения основного потока энергии отличаются.

Если вернуться к размерным переменным, то из таблицы видно, что для фиксированной длины линии Ь\ с уменьшением толщины Н величина потока Рг существенно увеличивается, и направление распространения потока также сильно изменяется. Таким образом, существенное влияние на распространение потока энергии оказывают параметры т и Ь.

r

3. Построение решения в канале П = {х >0 у < Ь}.

Процесс построения решения внутри области действия нагрузки оказывается более сложным. Это связано не только с тем, что интеграл приходится разбивать на два, но и с тем, что при некоторых т вопрос о предельном переходе при е^0 оказывается достаточно сложным. Для построения решения в канале П воспользуемся формулами (6), которые необходимо преобразовать для вычисления входящих в них интегралов. Представим их в виде суммы интегралов, когда один их них можно вычислить при у >-Ь, а другой - при у < Ь . Проиллюстрируем это на примере

вычисления асимптотики U ¡F:

UiE = -A(¿ ае, Qe, z) i

b+

b ~

2 2

xm -у

J

~laoex„-i

Y

x U + +1

22

Xm -y

е~1а0ехе~'т{у +b)dy

dy +

-r

l+

l-

cR

cr

+ т^

Таким образом, формулы для перемещений при Я^-да и е^0 принимают вид:

U1 = 2 A

п cos my  e

-m-i

- 2i X b- e nbchny sin a xdn -

0 m

2l0 b+(y) -lb . d

- 2 J—2 2 e cosyysina0xdy

0 m -y

Аналогично получим формулы для U2 и U3:

U 2 = 2 A

oo

+ 2i J

m

Í

22

rsin my  e

-Jm2-.  e '

m2-l 02 x

m 2 -1

0

V:b

e n shnycoS(~0xdn-

10 у b + (y) - Yb

- 2 J—I 2 2\ e lr° sin yy cosa0 xdy 0 «0

2 J-b \cosaxchr¡y  e vbd-q-

0 0)

U3 =-2iC

Л" 2b+(y) -y ,

- 2i J—ii 2\cosa0x cos Yy  e ' dy +

- ~

0 a0

+n

y¡m2 -102

cos my e

m 2 -

m2-l02 x

Лемма 1. Асимптотическая оценка выражений (18), (19) при больших значениях х с помощью формулы (11) имеет вид:

и1 = 2Л(0,0,75'ПтЬ е~'(0х-П4) + о( Г|,

\ х т ^ х)

U 2 = 01-x

Ь+(у) = im sin mb + y cos mb , b~(y) = im sin mb -y cos mb .

Из (7) следует, что подынтегральные функции в (16) содержат точки ветвления, одна из которых смещается в верхнюю, а другая - в нижнюю комплексную полуплоскость (5). Принимая во внимание это обстоятельство, вычисление интегралов проведем аналогично предыдущему с учетом того, что при m>l0 подынтегральные функции содержат еще и обычные полюса. Тогда для каждого из интегралов имеет место выражение: r

J F(y)dy = -\ F(y)dy- J F (y)dy- J F(y)dy - J F(y)dy +

U3 =-2iC(l0,Q,z^e-i(0

\l 0 x -

П 4)

+ 0

m

При этом вклад в асимптотику дают оба интеграла, входящие в выражения для перемещений.

Как видно из (20) и (12), все компоненты перемещений ик, к=1,2,3, имеют одинаковый асимптотический порядок 1/л/Т внутри области х>0, у>Ь; в канале х>0, У|<Ь компоненты перемещений убывают по-разному. При этом на границе у=Ь формулы (20) и (12) совпадают. Кроме того, из (20) следует, что при х^да поток энергии в канале равен нулю.

Аналогично можно получить асимптотические формулы для перемещений в канале х<0, У|<Ь.

Рассмотрим более сложный случай, когда т<10. Тогда точка у=т уже не является полюсом, поскольку ее нельзя окружить окружностью малого радиуса, внутри которой функция была бы аналитической. В этом случае контур интегрирования для вычисления интеграла следует изменить. Поясним выбор контура интегрирования на примере вычисления первого интеграла в формуле (16) при у<Ь. Контур интегрирования изображен на рис. 2.

Рис. 2

Он расположен на вещественной оси от -Я до -т-Д (Д>0, -т - особая точка подынтегральной функции), затем контур выходит в комплексную плоскость на кривую в, проходящую через точки: -т-Д, а, Ь, -т+Д. Далее контур интегрирования снова проходит по вещественной оси, обходит точку т по

1

x

0

полуокружности СД2 и дальше идет по вещественной оси до точки Я. Затем переходит в комплексную область: идет по полуокружности Сд1 до разреза, спускается по берегу разреза Ь+ до точки ветвления А и переходит на берег разреза Ь_. Далее проходит по берегу разреза Ь. и обходит по кривой СД точку В, которая при е^0 смещается на вещественную ось в точку о=-т. Затем проходит по берегу разреза до полуокружности СЯ2 и по полуокружности СЯ2 до -Я. Все деформации контура возможны в силу того, что подынтегральная функция аналитическая внутри области, ограниченной контуром. Интеграл, вычисляемый по контуру (рис. 2), принимает вид:

IР (у)с1у =

= lim

К^ю

-JFiy]dy- JF(r)dr- JFiy]dy- JF{r)dr- JF(r)dr

ß CR L+ L- ci

-ю -m+A

0

-m-A

-10

-m+A

- JF(/)dy - J f (in)eia0eXidn - JF(y)dy ,

Ca1 0 CA2

где F(y) = f (y)e~ia0s iy)x. Устремляя A^-0 и учитывая (17), получаем:

ю 0 ~

J F (y)dy = - J f (in)e~ia0^xidn-

- v.

-10 t \ 0 .p. J f (а)->а0Л^а- v.p. J f (a)e'a0cx((T)da

-1 0

U 2 = 2 A (1 0, Q , z ) x

2iJ П

e n shrjycosc?0xdtf-

0 a0

1

2 '0 y-b +(y) -lrb  d

- 2v.p. J —j 2 4 y 'ie ' sin yycos axdy -

0 »0

- n

m . /. 2 2

- sin-^ 10 - m x

-¡l 02 - m2

sinmy -

С 1 С 2

СД СД

Заметим, что при таком обходе контура путь аЬ по Ь+ обходится в прямом и обратном направлении, а путь сё по Ь- вообще не проходится. Кроме того, при стремлении е^0 разрез Ь стекается соответственно на вещественную и мнимую оси и, таким образом, при Я^-да, а е^0 (21) принимает вид:

х 0 ~

IР (у)ёу = -\ / (п)-га0*х1ёл-

X

Ч+Д I \ -10 1 \

| /(а)- га0А°)с1а- | /(а)- 1а0ех(а)са-0 -т-Д

ч-Д / ч 0 / ч

| (а) а0ех\а)са - | / (а)1 а0Аа)Са-

U3 =-2С(10, Q, z ) x

„ ю b~(irn ~ -пь , 2iJ —p-2—^-erCOsa0xe ' chnydn +

0<~0

„ 10 b +(y) -iyb ,

+ 2v.p. J —/ 2V 7 \cos^0x cos yy - e ' dy +

0 »0

-¡10 - m2

22 cosmy -sin у 10 - m x

где интеграл, имеющий особенность на вещественной оси, понимается в смысле главного значения по Коши.

Из сравнения формул (18) и (22) видно, что их отличие заключается лишь в том, что свободный член в (18) экспоненциально затухает на бесконечности, а в (22) свободный член ограничен при х^-да. Кроме того интегралы в конечных пределах понимаются в смысле главного значения по Коши. При этом в результате численного анализа показано, что эти интегралы выходят на асимптотику, совпадающую со свободным членом формул (22). Из изложенного вытекает

Лемма 2. Асимптотика главного значения интегралов по Коши при х^да с точностью до

совпадает со свободным членом соответствующих формул, имея при этом противоположный знак.

Лемма 3. Асимптотика решения внутри канала имеет вид:

и1=2 A

+ О

1

U 2 = О|-. х

U3 =

ю ~ „ „(„ ^ \ \2л sinmb -iiоx) J1 ^

- J f

Таким образом, из изложенного выше вытекает Теорема 1. Компоненты перемещений при x>0, \y\<b имеют вид+

U =-2 A(l 0, Q, z )х

2iJ Ь (П2 sin^j102 +n2x• e"nbcAny^n + о да +n

1 о b+(y) -bh

+ 2v.p. J—2 v 72 sina0x• e iYb cosyydy-о да -у

12 2 -ncosmy - cos-^ 10 - m x

Лемма 3 доказывается с помощью метода стационарной фазы и леммы 2.

Следует отметить, что при вычислении асимптотики (23), как и ранее, учитывались не только интегралы в конечных пределах, но и бесконечные.

Сравнивая (21) и (23), приходим к важному выводу, что получено совпадение асимптотики решения внутри канала х>0, |у|<Ь при т<10 и т>10.

Замечание. Асимптотические выражения для компонент перемещений при т=0 могут быть получены из формул (23) предельным переходом и совпадают с асимптотикой, полученной в [2] для равномерно распределенной нагрузки.

x

j.

71

m

X

-ю

ю

Из лемм 1,3 и замечания вытекает следующая теорема.

Теорема 2. В случае т=пп/Ь главный член асимптотики решения внутри канала х>0, У|<Ь, 0<г<1 определяется нулевым коэффициентом разложения нагрузки в ряд Фурье, а остальные коэффициенты дают вклад в решение порядка О(1/х).

Из изложенного выше вытекает, что полный поток энергии, протекающий из трехмерного слоя на бесконечность, определяется при помощи формулы (15).

Заключение. Впервые изучено влияние неравномерно распределенной по линии нагрузки на формирование волновых полей и потоков энергии в трехмерном слое, подкрепленном тонкой пластиной. При этом в трехмерном слое получены асимптотические формулы поведения решения на бесконечности, позволившие вычислить поток энергии, переносимый от источника возмущений на бесконечность; показано, что в канале х>0, |у|<Ь в случае нагрузки, задаваемой четной функцией, асимптотика перемещений на бесконечности убывает как О(1/х), а поток энергии не распространяется.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта СКОБ ИБС - 004.

Литература

1. Бабешко В.А., Глушков Е.В,, Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М., 1989.

2. Белоконь А.В., Болгова А.И. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 2. С. 31-35.

3. Свешников А.Г. // Докл. АН СССР. 1951. Т. 80. №3. С. 1011-1013.

4. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981.

5. Белоконь О.А. Применение метода контурного интегрирования в задачах о распространении волн в анизотропной полуплоскости: Автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук. Краснодар, 2001.

6. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М., 1978. Т. 2.

7. Белоконь А.В., Болгова А.И. // Тр. VIII Междунар. конф. Ростов н/Д, 2003. Т. 2. Современные проблемы МСС. С. 30-35.

Ростовский государственный университет_4 сентября 2006 г.