Метрические задачи в методе ps-коллинеации

М. М. Харах

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В МЕТОДЕ РБ-КОЛЛИНЕАЦИИ

Одним из актуальных вопросов современной начертательной геометрии является разработка способов построения конструктивных моделей пространств любых измерений и с любыми метриками.

В работах [1-3] рассматривалось отображение элементов трехмерного евклидова расширенного до проективного пространства Я3, решались позиционные и аффинные задачи методом полярного соответствия и стереографического проецирования. Суть его состоит в следующем. В аппарат проецирования входит сфера Р1, плоскость экватора которой совпадает с плоскостью изображения П . За центр S проецирования принят южный полюс сферы. Тогда каждой точке А1, расположенной вне сферы Р1,

сопоставляется окружность а2, по которой сфера пересекается с полярной

плоскостью точки А1. Стереографической проекцией окружности а2 из £ на П является окружность а2. Окружность а2 будем как обычно называть проекцией точки А1. Прямой линии будет соответствовать пучок окружностей, плоскости - связка окружностей и т. д. Ниже рассматриваются решения метрических задач методом Р8-коллинеации.

Известно, что вопросы метризации модели проективного пространства в евклидовом смысле завершены, если задана несобственная плоскость и абсолютная полярность в этой плоскости. Рассмотрим отображения в нашей модели взаимно перпендикулярных элементов пространства.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Пусть задана плоскость в и перпендикулярная ей прямая а1. Несобственная точка РШ1 этой прямой изобразится окружностью рш2, а ее центр Рш есть центральная проекция Р^1 на П, т. е. точка схода. Несобственная прямая плоскости в изобразится эллиптическим пучком V окружностей. Линия центров (линия схода) пучка ЁЬ11 является главной полярой р точки схода Рш относительно мнимой фундаментальной окружности (или антиполярой точки схода Рш относительно ее действительного представителя - окружности 5 ). Центры О и Н пучка ЁЬ11 находятся в обратной инверсии относительно 52 и в инверсии гиперболического типа относительно окружности рш2.

Перпендикулярность двух прямых. Если две прямые перпендикулярны между собой, то всякая плоскость, перпендикулярная к одной из них, должна быть параллельна другой. Пусть даны две взаимно перпендикулярные прямые: прямая а1 (ЕХ11) с точкой схода Рш и прямая Ь1 (Е^11) с точкой схода Тш. Плоскость, перпендикулярная к прямой Ь1, должна иметь линией схода (линией центров эллиптического пучка, являющегося изображением несобственной прямой плоскости) антиполяру точки Тш относительно 52. А так как эта плоскость должна быть параллельна прямой а1,

то ее линия схода должна проходить через точку Р¥ схода прямой а ’. Отсюда следует: чтобы две прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы антиполяра t (главная поляра) центра Т¥ (точка схода) одной из этих прямых проходила через центр Р¥ (точку схода) другой.

Перпендикулярность двух плоскостей. Если две плоскости перпендикулярны между собой, то всякая прямая, перпендикулярная к одной из этих плоскостей, будет параллельна другой. Пусть даны две взаимно перпендикулярные плоскости: плоскость а(а2) с линией схода р, являющейся линией центров эллиптического пучка е 1}1 , и плоскость Р(Р2) с линией схода t, являющейся линией центров эллиптического пучка , (пучки е 1}1 и ем! - изображения несобственной прямой плоскостей а и Р соответственно).

Прямая, перпендикулярная к плоскости а(а2), имеет своей точкой схода (центром Р¥ окружности р¥) антиполюс линии схода р относительно окружности 52. А так как эта прямая должна быть параллельна плоскости Р(Р2), то точка Р¥ должна лежать на линии схода t плоскости Р. Отсюда следует: чтобы две плоскости были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы антиполюс Р¥ линии схода р (линии центров эллиптического пучка) одной из них лежал на линии схода t (линии центров эллиптического пучка) другой.

Рассмотрим решение соответствующих задач.

Задача 1. Через данную точку А (а) провести прямую, перпендикулярную к данной плоскости о(о2) .

Решение. Построим изображение несобственной прямой данной плоскости 5. Пусть О и Н - вершины найденного пучка е 1)1. Строим точку схода Р¥ как главный полюс линии схода (линии центров пучка е 1)1) относительно мнимой фундаментальной окружности, действительным представлением которой является 52. Для этого отмечаем точку Т¥ пересечения

линии р центров пучка е 1)1 с прямой ОН и соединяем ее с точкой М, где М есть точка пересечения перпендикуляра в точке О к ОН с 52. Через точку М проводим перпендикуляр к прямой Т¥ М до пересечения с ОН и получаем точку Р¥ . Точку схода Р¥ можно найти так же, как антиполюс линии схода относительно действительной окружности 52 путем обычного построения по нахождению полюса прямой и симметричного отражения его от точки О. Наконец, описываем из точки Р¥ окружность р¥ радиусом, равным Р¥ М. Окружность р¥ вместе с данной а2 определяют искомую прямую.

Задача 2. Через данную точку А1 провести плоскость а, перпендикулярную к данной прямой В1 С1. Пусть точка А1 задана р -окружностью

а2, а прямая - пучком еL11 (Ь2, с2).

Решение. Строим окружность р¥, являющуюся изображением несобственной точки Р¥ прямой В1 С1. Центр Р¥ этой окружности является точкой схода прямой.

Находим главную поляру точки схода Р¥. Она пересекает прямую Р¥ О в точке Т¥ . Опишем из точки Т¥ как из центра окружность радиуса Т¥ М. Эта окружность пересечет линию Р¥ О в точках G и Н, являющихся вершинами искомого эллиптического пучка, представляющего собой изображение несобственной прямой искомой плоскости. Этот пучок вместе с

2 2 данной окружностью а2 определяет связку, базисная окружность а которой

есть изображение искомой плоскости, перпендикулярной к данной прямой.

Задача 3. Из данной точки А'(а2) опустить перпендикуляр на данную прямую В^С1^^1, с2), до пересечения с последней.

Решение. Через данную точку проводим плоскость, перпендикулярную к данной прямой, и находим точку пересечения с этой прямой. Это будет вторая точка искомой прямой.

Задача 4. Через данную прямую В1С1 (Х11) провести плоскость р,

перпендикулярную к данной плоскости а(а2) .

Решение. Через какую-либо точку данной прямой проводим прямую, перпендикулярную к данной плоскости. Плоскость, проходящая через эту прямую и через данную, - искомая.

Угол между двумя прямыми. Пусть даны две прямые а1 и Ь1, каждая из которых изображается на П пучком окружностей еі}х и соответственно. Проведем через точку £ прямые, параллельные а’ и Ь’. Каждая из таких прямых изображается пучком концентрических окружностей с центрами Р¥ и Т¥. Соединим точки Р¥ и Т¥ с точкой С, где С - одна из

вершин эллиптического пучка, образуемого окружностями р¥ и /¥. Докажем, что этот угол есть искомый.

1. Элементарно-геометрическое доказательство. Нетрудно заметить, что отрезок СР¥ есть натуральная величина отрезка Ор¥ (ОР¥ -проекция этого отрезка на П, а отрезок СТ¥ - натуральная величина отрезка ОҐ (ОТ¥ - проекция отрезка ОТ¥ на П). Действительно, С р¥ = ОР¥2 +1 по построению, аналогично С Т¥2 = ОТ¥2 +1. Следовательно, угол Р¥ СТ¥ есть натуральная величина угла Р¥ ОТ¥ (своей проекции).

2. Доказательство методом совмещения. Прямая, на которой лежит отрезок Р¥ Т¥, является следом плоскости А Р¥ £ Т¥ на П. Найдем истинную величину А Р¥ £ Т¥, совместив А Р¥ О£ и А Т¥ О£ с плоскостью П

вращением вокруг следов Р¥ О и Т¥ О. Для этого в точке О восстановим перпендикуляры к Р¥ О и Т¥ О и отложим на них величину, равную радиусу сферы, т. е. 1. Радиусом Р¥ К из точки Р¥ и Т¥ Р из точки Т¥ опишем дуги до пересечения в точке С. Угол Р¥ СТ¥ - искомый.

3. Проективное доказательство. Полезно дать этой задаче проективное истолкование, т. к. подобные задачи могут возникнуть и при других мероопределениях, применяемых в начертательной геометрии. Будем опираться на проективные понятия и на тот аппарат геометрии кругов, который разработан нами.

Известно, что по формуле Лагера евклидов угол между двумя прямыми может рассматриваться как умноженный на И2 логарифм двойного отношения, определяемого сторонами угла и обеими, проходящими через их точку пересечения, изотропными прямыми. Поэтому проведем через точку £ две прямые, соединяющие ее с циклическими точками плоскости. При проецировании на П пара циклических точек становится мнимой. Возникает необходимость задания этих мнимых образов их действительным представителем. На плоскости угол между прямыми £ Р¥ и £ Т¥ будет

равен ф = 1п(0Р¥0Т¥011012). Точки Р¥ , Т¥, 11 и 12 являются центрами окружностей эллиптического пучка. Через мнимые точки 11 и 12 проходят все окружности гиперболического пучка, сопряженного данному эллиптическому. Такие точки называются точками Понселе. Чтобы можно было определить угол, необходимо преобразовать точки 11 и 12 в циклические точки плоскости при помощи преобразования инверсии. Тогда радикальная ось Р¥ Т¥ гиперболического пучка становится несобственной прямой

плоскости П, а гиперболический пучок преобразуется в пучок М1 концентрических окружностей.

Для простоты принимаем за центр инверсии точку С, а за окружность инверсии - окружность, проходящую через точку В. Тогда эллиптический пучок окружностей переходит в пучок прямых с собственным центром В, а гиперболический пучок - в пучок концентрических М1 окружностей с центром в точке В. Точки Р¥ и Т¥ перейдут при этом в точки Р и Т, расположенные на окружности инверсии.

Если теперь соединить точки Р и Т с любой точкой окружности (для простоты - с точкой В), то угол РВТ или я- РВТ будет искомым, т. к. он равен умноженному на И2 сложному отношению четырех прямых, из которых две ВР и ВТ - действительные, а две другие - изотропные, соединяющие точку В с двумя циклическими точками плоскости.

Аналогичным образом, на основе проективного мероопределения могут быть решены и другие задачи на определение углов.

Задача 5. Построить биссектрису угла А'В1 С1.

Пусть дан угол А1В1С1 с вершиной В1(Ь2) и требуется разделить его пополам. Проведем через точку £ прямые, параллельные сторонам угла А1В1С1 и найдем его истинную величину. Построим биссектрису £К того угла, где К с МЫ (МЫ - след плоскости угла М£Ы, стороны которого параллельны сторонам угла А'В1 С1).

Наконец, проведем через вершину В1 данного угла прямую, параллельную £К, являющуюся биссектрисой угла А'В1 С1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харах М. М. Геометрическое моделирование в пространстве Я методом Р8-коллинеации // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Механика. - Астрахань: Изд-во АГТУ,1998. - С. 80-85.

2. Харах М. М. Конструктивное решение позиционных задач методом Р8-коллинеации // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Механика. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2000. - С. 161-163.

3. Харах М. М. Конструктивное решение аффинных задач методом полярного преобразования и стереографического проецирования // Материалы междунар. науч. конф., посвященной 70-летию АГТУ. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2000. -С. 60-62.