Математическое моделирование процессов модифицирования древесины

элементов мебели, а также следит за передачей готовых изделий заказчику.

Библиографический список

1. Босинзон М. А. Современные системы ЧПУ и их эксплуатация. - М.: Ака-

демия, 2009 г. 435 с.

2. Мурзинов Ю.В., Малышев В.В, Петровский В.С. Модели, алгоритмы САПР ускоренного выращивания сосновых древостоев // Вестник Воронежского государственного технического университета, Т. 6. № 5. 2010. С. 90-92.

УДК 674.048:674.812

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МОДИФИЦИРОВАНИЯ

ДРЕВЕСИНЫ Н. В. Губанова

ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»

Gubanova@freemail. ги

В настоящее время в области использования древесины на первый план выдвигаются задачи получения материалов из древесины с заданными свойствами, поскольку древесина является единственным природным возобновляемым материалом. Для широкого развития модифицирования древесины необходимо искать пути решения проблемы математического моделирования процессов модифицирования с целью совершенствования технологических процессов.

Одним из путей решения проблемы математического моделирования в гидромеханике является использование конечно-элементного подхода. В рамках данного подхода в последние 30-40 лет с применением компьютеров неоднократно успешно решался ряд важных теоретических задач гидравлики и гидромеханики. С использованием этого подхода можно создавать модели в высокой степени адекватные, универсальные, быстро реализуемые, лег-

ко корректируемые и надежные (позволяющие со стопроцентной вероятностью пройти от начала расчета до конца расчета без тупиков, частых для аналитических методов). В рамках метода конечных элементов сложная система разбивается на большое число однотипных подсистем, взаимодействующих между собой. При этом сложность системы сводится к просчету кооперативных явлений взаимодействия элементов между собой.

Применительно к моделированию процесса пропитки древесины предлагается разбить весь объем движущейся жидкости на большое количество шаров (в трехмерном случае) или кругов (в двухмерном случае), представляющих собой элементы жидкости и взаимодействующих между собой. Диаметр элементов может составлять порядка 1-10 мкм (в зависимости от решаемой задачи), при этом достаточно хорошо моделируется течение жидкости и одновременно обеспечивается высокая

скорость компьютерных расчетов. Шаровидная (или круговая) форма элементов принята, чтобы добиться изотропии свойств модельной жидкости. Основные свойства жидкости (плотность, модуль упругости, теплопроводность, и т.п.) пере-считываются на один элемент жидкости. Введение различных типов шаров (с соответствующими свойствами) позволяет рассматривать в модели одновременно различные среды: жидкости различных типов, газы, модификаторы, элементы древесины.

Для повышения универсальности модели древесина и жидкость состоят из кругов одинакового диаметра. Однако круги-элементы древесины выдерживаются неподвижными в процессе моделирования. Распределяя в пространстве элементы древесины можно добиться воспроизведения как структуры хвойных пород (сосны, рис. 1, а), так и структуры лиственных пород (дуба, рис. 1, б). Модель воспроизводит основные структурные элементы древесины: сосуды, перегородки, окаймленные и неокаймленные поры, лестничную перфорацию и др.

Для оценочных расчетов достаточно учесть минимум свойств жидкости, в частности, только ее механические свойства. В этом случае необходимо описать ньютоновское движение большого количества тел (элементов жидкости), взаимодейст-

вующих между собой вязкоупругими силами.

Принято решение использовать двухмерную модель, так как при этом значительно ускоряются расчеты, что важно на первом этапе.

Состояние каждого элемента-круга г определяется четырьмя переменными: декартовыми координатами его центра X у^ и декартовыми составляющими скорости (^хь Взаимодействие элементов между собой будем считать вязкоупругим, что позволяет адекватно учитывать возникновение упругости при сжатии жидкости и потери энергии при течении жидкости.

Расчет сил, действующих на элементы, производится следующим образом. Некоторый элемент г испытывает силовое воздействие со стороны каждого из окружающих его элементов j: мэ

F1 }

]=1

где ГУг] и - силы упругого и вязкого

взаимодействия элементов г и];

ЫЭ - общее количество элементов в модели жидкости.

При расчете сил для каждой пары элементов предварительно вычисляется расстояние Гу между их центрами Sj(хj, уг) и

у}) (рис. 2):

Г] = .

а б

Рис. 1. Представление в модели древесины хвойных пород

ся и в диапазоне dЭ<ri]<dО (где dО - расстояние, при котором происходит отрыв элементов).

F]

Рис. 2. Вязкоупругое взаимодействие двух элементов модели

От способа задания силы между элементами Fij(rij) зависят свойства жидкости или газа. В простейшем случае, можно считать взаимодействие упругим и подчиняющимся закону Гука (рис. 3). Этого достаточно для решения большинства задач о пропитке древесины.

При внедрении элементов друг в друга возникает возвращающая сила, пропорциональная величине их внедрения (ветвь графика при 0<Гу^Э, где dЭ - диаметр элемента). Для того чтобы учесть склонность элементов жидкости соединяться между собой и обеспечивать неразрывность объему жидкости, то же самое пропорциональное взаимодействие сохраняет-

0

dэ

N

do

п

Рис. 3. Зависимость силы взаимодействия двух элементов г и] от расстояния между ними

При этом попытка удалить элементы друг от друга также вызовет возвращающую силу, стремящуюся вернуть элементы в состояние касания. Таким образом, упругое взаимодействие подчиняется следующему закону:

Fl =

ЕУ. =

Уг]

№э " Г)(хг - х,)/г], если < ^;

0, если Г] > dO;

№э - г,)(у - у,)/г,, если г, < ^;

0, если г, > dО,

где FXyj и Fуyj - декартовы составляющие силы Fy; с - жесткость упругого взаимодействия элементов. Для расчета Fj выбрана общепринятая прямо-пропорциональная зависимость вязкой силы от скорости движущегося в среде тела, при этом введен дополнительный коэффициент (г,-Яо}, представляющий собой величину взаимного проникновения элементов друг в друга

7В х,

ренциальными уравнениями, составляемыми на основе второго закона Ньютона. Для г-го элемента можно записать

d2х ^ < -

т

Э Ш2

:у (гу + FВ. )+YF

V XI] XI] ) X

-Я

(7}

]=1

т

Ш2 у

Э Я2

2 ,, N

]=1 Nя

¥В = к(Г] - Яо }К - Ух,}; (5} К = к(Г] - ЯО }(Ууг - ^ }. (6}

где к - коэффициент демпфирования.

Движение элементов в рамках классической механики описывается диффе-

I + F!В - тэЕ, (8}

]=1 ]=1

где тэ - масса элемента; t - время; g -ускорение свободного падения; FЯj

- сила действующая со стороны ]-го элемента древесины на 1-й элемент жидкости.

Расписывая силы FУ, FВ и получим следующие дифференциальные уравнения, описывающие движение 1-го элемента:

//

ш

Я х

Nэ

1 = 1

]=1

ЧЧ //

с(Яэ - Г] }

(х, - х/ }

Г] < Яо

0, Г] Ь Яо

+ щ - Яо }(ухг - Ух; }

+

NД

+1

]=1

чч

Яэ+ Яд Л х - х]} .л

сд(—^ - Г }--, Г < Я

2

] од

°, Г] Ь Яод

ш

Я2 у э Я?

Nэ

-^ + 1

]=1

Г Г

чч

с(Яэ - Г]}(Уг У]}, Г] < Яо

+ кД (Г] - ЯОД >х,

+ Щ - ЯО )(Ууг - }

0, Г] ь Яо

УТ

(9}

+

//

Nд

+1

]=1

чч

СД ("

э I д

2

- Г]}

(У,--У]}

Г] < Яод

°, Г] Ь Яод

+ кД (Г] - ЯОД К

где N4 - количество элементов древесины; Яд - диаметр элемента древесины; сд - коэффициент жесткости взаимодействия элемента жидкости с элементом древесины; кд - коэффициент вязкости взаимодействия элемента жидкости с элементом древе-

У

сины.

Совокупность большого количества уравнений последнего вида для всех ^ элементов описывают эволюцию жидкости с течением времени. В целом окончательную систему уравнений можно записать следующим образом:

((

т

d2 х,

Э

1 = Х

1=1 з*1

\\ (

(X, - X: ) с(Лэ - Г:)-, Г: < do

0, г, ^ > d0

+ к

N

Д

+ Х

dЭ + dД ^ - х,) СД (-.--Г: )—-, Г: < Лод

2

а гу > Лод

\ \ + кД (г,1 - doд )ух1

(

т

d 2 У,

Э Л2

_Э

=-тЭ§+Х

1=1 1*1

Л

с(Лэ - Г1,)-—, Г1, < Л

0, г, > Ло

1, ^^о

+ к

(

+х

,=1

лэ + ЛД лУ1 - У,) СД --ги:)—-=

Г1, < Лод

\ \ + кд (ги - ЛОД )Уу1

\\ (

Л Х2 N Ч

=X

1Э 1

Э Л?

1=1 1*2

0, г1, > Лод

(х2 - X,) с(лэ -г2,)-, г,. <Лг

\\

Л

0 Г2,, > Л0

2, О

'2 1

+ к

(

+х

,=1

\\

С ( Лэ + ЛД г ЛХ2 х1) Г < Л

Сд (-Г--Г2,)-, Г, < иг

^ 2 21 г

'2, ^ "ОД

2

0 Г2,, > Л0Д

+ кД (Г21 - ЛОД )У х2

(

л2у2 ^

тЭ —т- = -тЭ2 + у

Э л? р

с(Лэ - г21 )<(У1—У>1, гх, < Ло

Л

2

N

Д

+ Х =1

1*2

+Л 2

0 Г21 > Лод

0, Г23 > Ло

+ к(Г21 -ЛО )(Уу2

СД --Г21)—-=

Г21 < ЛоД

2

\ Л

+ кД (Г21 -ЛОД >у2

+

+

+

+

• • •

т

Э Ж2

=1

(

(

\\

с(Лэ -гм Л—Э-,

0, ГМЭ] > Ло

Nэj ^^о

+ к

1=1

Лэ + ЛД Лхмэ-х1-) ,

Сд (-)—Э--, Л г.

2

г,

N31 од

а ^ > лод

+ кД -ЛОД )ухмэ

(

т

Л 2 Уыэ Э Л?

_Э

= -тэё + X

1=1

с(Лэ-Гщ1)———, гм,.< Лг

^ гм31 > Ло

N31 о

+ к

(

N

Д 1=1

\Л

Лэ + Лд ЛУщ-У1) , Сд(—)—3--, Лп

2

0, ГЫЭ1 > Лод

г

N31 од

N31

+ кД (ГМ31-ЛОД >уыэ

+

+

Необходимо отметить, что вращение элементов-кругов вокруг их центров в модели не учитывается, при этом практически не вносится погрешность, так как элементы образуют более крупные элементы жидкости (капли, слои). При движении таких крупных фрагментов учет их вращения происходит автоматически - движением элементов друг относительно друга.

При исследовании тех или иных специфических явлений разработанная модель легко позволяет вносить необходимые коррективы. Таким образом, разработанная модель, несмотря на простоту реализации, позволяет добиться высокой степени адекватности, легко корректируется в зависимости от решаемых задач и гарантированно дает конечный результат при любой постановке задачи.

Разработанная модель в целом представляет собой систему из большого количества дифференциальных и алгебраических уравнений, а также условий включения тех или иных сил. Решение системы дифференциальных уравнений производится численно. Используется модифицированный метод Эйлера-Коши [5], который особенно эффективен при решении дифференциальных уравнений второго порядка. При этом координаты и скорости рассчитываются по формулам вида

х,+1 = X, + У1  At + а1  ^ )2 /2;

уг+1 = уг + а, -Л^

где х, V, а - координата, скорость и ускорение элемента;

г - номер шага интегрирования (г -текущий шаг, г +1 - последующий шаг);

Дt - шаг интегрирования.

Шаг численного интегрирования Дt системы дифференциальных уравнений определяется путем многократного проведения экспериментов с последовательно уменьшающимся в 2 раза шагом. Останавливаются на том шаге, после которого результаты моделирования практически не изменяются (изменение составляет не более 1-2 %). Определенный таким образом шаг составил Дt=10-6 с и был использован во всех расчетах в данной работе.

Компьютерный эксперимент заключается в просчете проникновения жидкости в структуру древесины в течение некоторого промежутка времени (1 000 шагов интегрирования). В процессе компьютерного эксперимента выводятся распределения концентрации жидкости внутри древесины С(х) и С(у), а также распределение давления в направлении пропитки Р(х).

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. В рамках данной работы разработана математическая модель пропитки древесины жидкостью. Модель обладает высокой степенью универсальности и позволяет оценивать эффективность пропитки древесины различных пород в зависимости от параметров процесса пропитки.

2. С увеличением диаметра сосуда dС скорость движения жидкости vЖ возрастает приблизительно по следующему закону:

Vж = V0 + , где v0 - скорость дви-

жения жидкости в самом малом сосуде; в -коэффициент пропорциональности.

3. Чем меньше диаметр сосуда, тем больше давление жидкости в нем. Из-за

этого, несмотря на то, что положение фронта жидкости в сосуде зависит от диаметра сосуда, масса жидкости, находящейся в сосудах, при движении практически не зависит от диаметра сосуда (за исключением очень малых диаметров сосудов поздней зоны).

4. Массовая концентрация жидкости в заполненной жидкостью древесине уменьшается в направлении пропитки (по слабому линейному закону).

Библиографический список

1. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. - М.: Изд-во Мир, 1990. Т. 2. 400 с.

2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: учеб. пособие для студентов вузов. - М.: Высш. шк., 1998. 319 с.

3. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. - М.: Наука, 1990. 176 с.

4. Шамаев В.А. Модифицирование древесины: учеб. пособие для студентов вузов. - Воронеж: Изд-во ВГЛТА, 2005. 197 с.

5. Шамаев В.А. Подшипники скольжения из модифицированной древесины // Самара: Вестник машиностроения, 2010. № 7. С. 62-68.

УДК 674.77

ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ ШЛИФОВАНИЯ МЕБЕЛЬНЫХ ЩИТОВ НА ЦИЛИНДРОВЫХ СТАНКАХ И. В. Новоселова

ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»

mtd.vm.@mail.ru

Выбор оптимального режима шлифования - сложная задача, для решения которой необходимо знать, как влияют параметры режима на оценочные показатели процесса шлифования (качественные, силовые, экономические).

Шероховатость поверхности щитовых деталей, облицованных натуральным шпоном, после обработки на трехцилиндровых шлифовальных станках в среднем составляет 25-30 мкм [1]. Для тонкослойной лаковой отделки шероховатость под-

ложки регламентируется значением

К 16 мкм.

При этом дополнительное шлифование увеличивает затраты времени, трудозатраты, а также расход шлифовального материала. Если не производить доработку деталей, то впоследствии качество отделки щитов будет снижено. Выбор оптимального режима шлифования затруднителен без глубокого изучения данного вопроса, поэтому на практике далеко не всегда удается получить желаемые результаты. Одним