УСТАНОВКА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
DEVICE FOR SIMULATING ELECTROSTATIC FIELD AT INTERFACE BETWEEN TWO DIELECTRICS

Изобретение относится к учебным приборам и может быть использовано в лабораторном практикуме в высших и средних специальных учебных заведениях по курсу физики для получения и углубления знаний физических законов и явлений.
Известна установка для исследования электростатического поля (RU патент №2504017. Бюл. №1 от 10.01.2014 г. Авторы: Ковнацкий В.К., Бардина М.В., Меркулова С.П.). Эта установка содержит прямоугольный планшет, на котором уложена электропроводящая бумага (ЭПБ) с установленными на ней электродами круглого сечения, подключенными к источнику постоянного тока. Электроды создают на ЭПБ стационарное электрическое поле, потенциалы которого можно измерять с помощью зонда и вольтметра с большим входным сопротивлением. Установка содержит систему координат и прямоугольный треугольник, позволяющий переносить координаты измеренных потенциалов на ЭПБ на документальный лист. Однако на ней нельзя исследовать методом моделирования на ЭПБ электростатическое поле на границе раздела двух диэлектриков.
Известна также установка для исследования электростатического поля методом моделирования (RU патент №2507590. Бюл. №5 от 20.02.2014 г. Авторы: Ковнацкий В.К., Бардина М.В., Меркулова С.П.). Эта установка содержит прямоугольный планшет, на котором уложен прямоугольный лист ЭПБ с электродами, установленными на противоположных сторонах листа ЭПБ. На документальном листе можно запомнить координаты измеренных на листе ЭПБ потенциалов с помощью зонда и вольтметра с большим входным сопротивлением. Однако на ней также нельзя исследовать методом моделирования на ЭПБ электростатическое поле на границе раздела двух диэлектриков.
Наиболее близкой к предлагаемой установке является установка для исследования пассивных элементов электрических цепей (прототип, RU патент №2507591. Бюл. №5 от 20.02.2014 г. Авторы: Ковнацкий В.К., Бардина М.В., Меркулова С.П.). Она содержит прямоугольный планшет, зонд; источник постоянного тока, переключатель, установленный на планшете, вольтметр с большим входным сопротивлением, первый ввод которого соединен с зондом, а второй ввод - с общим контактом переключателя. Эта установка позволяет исследовать на ЭПБ сопротивление, емкость, индуктивность, провести широкий круг измерений характеристик электрического тока, а также экспериментально проверить теорему Гаусса и теорему о циркуляции вектора электростатического поля. Однако на ней нельзя исследовать методом моделирования на ЭПБ электростатическое поле на границе раздела двух диэлектриков.
Техническим результатом изобретения является расширение функциональных возможностей прототипа.
Указанный технический результат достигается тем, что в известную установку для моделирования электростатического поля на границе раздела двух диэлектриков, содержащую прямоугольный планшет, зонд, источник постоянного тока, переключатель, установленный на планшете, вольтметр с большим входным сопротивлением, первый ввод которого соединен с зондом, а второй ввод - с общим контактом переключателя, согласно изобретению, введены два прямоугольных листа и два фигурных листа электропроводящей бумаги с прямолинейной границей между двумя областями с разными удельными электрическими сопротивлениями, уложенные на прямоугольном планшете, длинные металлические электроды, установленные параллельно на противоположных горизонтальных сторонах первого прямоугольного листа электропроводящей бумаги, короткие металлические электроды, установленные параллельно на противоположных вертикальных сторонах второго прямоугольного листа электропроводящей бумаги, фигурные металлические электроды, установленные на верхней и нижней сторонах первого фигурного листа электропроводящей бумаги, прямые металлические электроды, установленные на левой и правой сторонах второго фигурного листа электропроводящей бумаги, при этом все первые металлические электроды установки соединены с плюсовой клеммой источника постоянного тока, а все вторые металлические электроды - с соответствующими контактами переключателя, реостат, один концевой контакт которого соединен с минусовой клеммой источника постоянного тока, а подвижный контакт - с общим контактом переключателя, прямоугольные системы координат, установленные на планшете рядом со всеми листами электропроводящей бумаги и оси которых параллельны сторонам прямоугольного планшета, документальный лист, содержащий изображения всех прямоугольных систем координат и соответствующих металлических электродов, которые установлены на прямоугольном планшете, прямоугольный треугольник из диэлектрика для переноса координат зонда с листа электропроводящей бумаги на документальный лист, крепления металлических электродов, установленные на  планшете.
На фиг. 1 изображен общий вид предлагаемой установки; на фиг. 2-4 - чертежи, поясняющие принцип ее работы.
Предлагаемая установка (фиг. 1) содержит: 1 - прямоугольный планшет; 2 - прямоугольные листы электропроводящей бумаги; 3 - фигурные листы электропроводящей бумаги; 4 - длинные металлические электроды; 5 - короткие металлические электроды; 6 - фигурные металлические электроды; 7 - прямые металлические электроды; 8 - переключатель; 9 - источник постоянного тока; 10 - реостат; 11 - вольтметр с большим входным сопротивлением; 12 - зонд; 13 - прямоугольные системы координат; 14 - документальный лист; 15 - прямоугольный треугольник; 16 - крепления металлических электродов.
Рассмотрим теоретические положения, которые легли в основу построения предлагаемой установки. Моделирование электрического поля особенно просто осуществить в случае плоских полей, когда распределение потенциалов во всех параллельных плоскостях тождественно. Примером плоского поля может служить поле в листе электропроводящей бумаги. Для таких полей достаточно изучить распределение векторов напряженности  и потенциалов ϕ лишь в одной плоскости, например на поверхности ЭПБ. На основе построенных графиков линий ϕ и  на модели можно исследовать электростатическое поле на границе раздела двух диэлектриков.
Линии вектора напряженности электростатического поля  или вектора электрического смещения  исходят из положительных зарядов и оканчиваются на отрицательных зарядах. Источниками вектора  могут служить как свободные заряды, скапливающиеся на поверхности ЭПБ, так и связанные заряды на границе поляризованных диэлектриков. Линии вектора  могут начинаться и оканчиваться только на свободных зарядах. Через точки, в которых помещаются связанные заряды, линии вектора  проходят, не прерываясь. Благодаря этому на границе двух диэлектриков происходит изменение потока силовых линий электрического поля.
Запишем первую пару условий для электростатического поля на границе раздела двух диэлектрических сред. Из условия потенциальности электростатического поля по теореме о циркуляции вектора  напряженности поля можно получить первое условие для тангенциальной составляющей напряженности поля:
Итак, тангенциальная к поверхности раздела двух сред составляющая напряженность поля не изменяется при переходе через эту поверхность из одной среды в другую.
Согласно зависимости  и равенства (1) первое условие для электрического смещения имеет вид:
1
2
где ε и ε - диэлектрическая проницаемость соответственно первой и второй сред.
Для получения второй пары условий для электростатического поля на границы раздела двух диэлектрических сред применяют теорему Гаусса и полагают, что на поверхности раздела сред нет поверхностных свободных зарядов, тогда первое условие для вектора  имеет вид:
т.е. при переходе через границу двух сред, на которой нет поверхностных свободных зарядов, нормальная составляющая электрического смещения не изменяется. Соответственно второе условие для нормальной составляющий напряженности электрического поля имеет вид:
1
2
1
lτ
1n
2
2τ
2n
При переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии напряженности электростатического поля преломляются (фиг. 2). Углы α и α, образуемые линиями напряженности с нормалью n-n к поверхности раздела сред в точке A, удовлетворяют условиям: tgα=E/Е, tgα=Е/Е.
Поэтому из граничных условий (1) и (4) следует, что закон преломления силовых линий стационарного электрического поля на поверхности раздела двух диэлектрических сред при условии отсутствии на этой поверхности свободных зарядов имеет вид:
Соотношения (1), (2), (3) и (4) определяют условия, которым удовлетворяют векторы  и  на границе раздела двух диэлектриков. Из этих условий вытекает, что тангенциальная составляющая вектора  и нормальная составляющая вектора  при переходе через границу раздела изменяется непрерывно. Нормальная же составляющая вектора  и тангенциальная составляющая вектора  при переходе через границу раздела изменяются скачком, т.е. претерпевают разрыв.
На границе раздела двух поляризованных внешним полем диэлектриков скапливаются связанные заряды, плотность которых равна σ. Выбрав определенное направление нормали  к границе раздела, например, направив ее из первой среды во вторую, можно вывести выражение для скачка нормальных составляющих вектора :
n
2n
1n
0
ΔE=Е-Е=σ/ε.
0
Здесь ε - диэлектрическая постоянная.
Из последнего выражения и формулы (4) получим:
1
2
Для того чтобы на модели из ЭПБ осуществить граничные условия (1) и (4), по обе стороны моделируемой границы ЭПБ должна иметь различные удельные электрические сопротивления ρ и ρ. Для этого, например, по одну сторону границы можно положить второй или третий слой такой же бумаги, склеив их между собой тушью или специальным клеем. Слой ЭПБ двойной или тройной толщины будет иметь удельное электрическое сопротивление соответственно в два или три раза меньшее одинарного слоя.
Непрерывность электрического потенциала при переходе через границу слоев ЭПБ разной толщины выполняется автоматически при хорошем контакте на этой границе. Тем самым также автоматически выполняется условие (1).
n
Ток, текущий через границу перпендикулярно последней, имеет, естественно, одинаковую величину с обеих сторон границы. Величина плотности тока в каждой среде пропорциональна нормальной составляющей электрического поля E и обратно пропорциональна удельному электрическому сопротивлению ρ. Условие равенства плотностей тока можно записать в виде:
Сопоставляя выражения (7) и (4), видим, что распределение потенциала на модели из ЭПБ совпадает с распределением потенциала на натуре, если подобрать удельные электрические сопротивления участков модели обратно пропорциональными диэлектрическим проницаемостям натуры:
n
Из выражения (7) видно, что нормальная составляющая напряженности стационарного электрического поля изменяется пропорционально удельному электрическому сопротивлению, испытывая скачок ΔE, что указывает на присутствие стационарных зарядов, покрывающих поверхность раздела двух сред, и поверхностная плотность которых
Представление о стационарных зарядах имеет принципиальное значение. Оно необходимо для физического истолкования скачка напряженности стационарного электрического поля на границе двух разнородных диэлектриков и связанных зарядов на ней.
2
1
1
2
2
1
На фиг. 3 показана модель для случая ρ=2ρ, соответствующая ε=2ε. Поле во второй среде усиливается в два раза и линии равного потенциала (ϕ=const) при одинаковых интервалах потенциала будут во второй среде отстоять друг от друга на вдвое меньших расстояниях Δn, чем в первой среде Δn, т.е. будут идти гуще, чем в первой среде. Благодаря изменению нормальных составляющих на границе раздела происходит преломление силовых линий и линий равного потенциала.
1
2
Из фиг.2 видно, что отношение тангенсов углов α и α, соответствующих данной силовой линии, есть вполне определенная величина, равная
1
2
Построив с помощью зонда с вольтметром распределение потенциала в такой неоднородной модели на ЭПБ, можно измерить углы α и α, а по ним проверить соотношение (9).
Соотношение (9) представляет собой закон преломлений силовых линий стационарного электрического поля. При входе в среду с большим удельным электрическим сопротивлением (фиг. 2) они приближаются к нормали n-n к границе раздела двух диэлектриков. Поскольку вектор  увеличивается, густота силовых линий возрастает. Это происходит в результате появления новых силовых линий, берущих начало у стационарных зарядов, покрывающих поверхность раздела. При переходе в среду с меньшим удельным электрическим сопротивлением силовые линии откланяются от нормали n-n. Густота их уменьшается, т.к. часть линий обрывается у стационарных зарядов.
Для построения силовых линий электрического поля необходимо расположить металлические электроды на модели, как показано на фиг. 4. При этом следует учитывать, что линии ϕ=const на модели будут характеризовать вектор электрического смещения , а не вектор напряженности электрического поля . Поэтому для получения правильного значения густоты линий электрического поля надо интервалы Δϕ в каждой среде выбирать различными так, чтобы
Рассмотрим состав и взаимодействие элементов предлагаемой установки (фиг. 1). Она включает в себя прямоугольный планшет 1, на котором уложены два прямоугольных листа электропроводящей бумаги (ЭПБ) 2 с прямолинейной границей между двумя областями с разными удельными электрическими сопротивлениями. На прямоугольном планшете 1 уложены также два фигурных листа ЭПБ 3 с прямолинейной границей между двумя областями с разными удельными электрическими сопротивлениями. Длинные металлические электроды прямоугольного сечения 4 установлены параллельно на противоположных горизонтальных сторонах первого прямоугольного листа ЭПБ 2. Короткие металлические электроды прямоугольного сечения 5 установлены параллельно на противоположных вертикальных сторонах второго прямоугольного листа ЭПБ 2.
Фигурные металлические электроды прямоугольного сечения 6 установлены на верхней и нижней сторонах первого фигурного листа ЭПБ 3. Прямые металлические электроды прямоугольного сечения 7 установлены на левой и правой сторонах второго фигурного листа ЭПБ 3.
На прямоугольном планшете 1 установлен переключатель 8 для подключения к источнику постоянного тока 9 раздельно прямоугольные листы ЭПБ 2 и фигурные листы ЭПБ 3. При этом все первые металлические электроды установки соединены с плюсовой клеммой источника постоянного тока 9 и общим контактом переключателя 8, а все вторые металлические электроды установки соединены с соответствующими контактами переключателя 8.
Необходимое напряжение на листах ЭПБ устанавливается реостатом 10, один концевой контакт которого соединен с минусовой клеммой источника постоянного тока 9, а подвижный контакт - с общим контактом переключателя 8.
Для измерения потенциалов на ЭПБ служит вольтметр с большим входным сопротивлением 11, первый ввод которого соединен с зондом 12, а второй ввод - с общим контактом переключателя 8. Вольтметр с большим входным сопротивлением 11 не искажает линии тока в ЭПБ и, соответственно, силовые линии моделируемого электрического поля.
Для определения координат точек на ЭПБ, к которым прикасаемся острием зонда 12, предлагаемое устройство снабжено прямоугольными системами координат xOy 13, установленными на прямоугольном планшете 1 рядом со всеми листами ЭПБ 2 и 3, а оси которых параллельны сторонам прямоугольного планшета 1.
Для переноса при эксперименте координат острия зонда 12 с прямоугольной системой координат xOy 13 на документальный лист 14 введен прямоугольный треугольник из диэлектрика 15. Документальный лист 14 содержит изображения всех прямоугольных систем координат xOy с соответствующими металлическими электродами 4, 5, 6 и 7, установленными на прямоугольном планшете 1.
Все металлические электроды установки плотно прижимаются к ЭПБ с помощью креплений металлических электродов 16, установленных на прямоугольном планшете 1.
Рассмотрим порядок проведения исследований на предлагаемой установке. Поставить переключатель 8 во второе положение. В этом случае к источнику постоянного тока 9 подключается первый прямоугольный лист ЭПБ 2 с помощью пары длинных металлических электродов 4. Прикоснуться зондом 12 к нижнему (плюсовому) длинному металлическому электроду 4. С помощью движка реостата 10 установить на вольтметре 11 требуемое напряжение, например 5 В, и в дальнейшей работе движок реостата 10 не передвигать.
1
2
Прижимая зонд 12 перпендикулярно к ЭПБ, найти точку, имеющую требуемый потенциал, например 0,5 В. Прямым углом прямоугольного треугольника из диэлектрика 15 прикоснутся к острию зонда 12. Стороны прямоугольного треугольника 15, исходящие из прямого угла треугольника, направить параллельно осям x, y прямоугольной системы координат 13 и с треугольника 15 снять значения координат x, y. Затем эти координаты переносим на соответствующую прямоугольную систему координат документального листа 14. Для этого прямоугольный треугольник 15 накладываем на соответствующую систему координат документального листа 14, как показано на фиг. 1. В окрестности прямого угла треугольника 15 делаем на документальном листе 14 отметку цветным карандашом координат x, y. Двигая острие зонда 12 по ЭПБ, найти ряд точек, имеющий такой же потенциал 0,5 В, и перенести координаты этих точек на документальный лист 14. Найденные точки на документальном листе 14 соединить прямой линией цветным карандашом. Таким же образом построить линии равного потенциала до 5 В, снимая данные через каждые 0,5 В с ЭПБ для области двойной толщины (с удельным электрически сопротивление ρ) и области одинарной толщины ЭПБ с ρ.
Поставить переключатель 8 в третье положение. В этом случае к источнику постоянного тока 9 подключается второй прямоугольный лист ЭПБ 2 с помощью пары коротких металлических электродов 5. Нарисовать в соответствующей системе координат линии равного потенциала на документальном листе 14 карандашом другого цвета. Сравнить первый и второй случаи. Для первого случая эквипотенциальные линии следует рассматривать как силовые линии электрического поля, а для второго случая - как эквипотенциальные линии, которые перпендикулярны силовым линиям. Из сравнения видно, что там, где силовые линии гуще, напряженность электрического поля больше, соответственно, гуще будут и линии равного потенциала этого поля.
1n
2n
n
Подсчитать напряженность электрического поля соответственно для двух областей E и E для трех пар точек по формуле E=-(Δϕ/Δn), где Δϕ - разность потенциалов между точками, a Δn - расстояние между измеряемыми потенциалами на ЭПБ.
1n
2n
1n
2n
Для модели с границей раздела, перпендикулярной линиям напряженности электрического поля, и зная значения E и E для трех пар точек, определить поверхностную плотность стационарного электрического заряда σ на границе раздела по формуле (8). Погрешность измерений для E, E и σ определить с учетом трех пар измеряемых величин.
1
2
1
2
Для определения векторов напряженности  и  для неоднородной среды и измерения углов α и α следует использовать первый фигурный лист ЭПБ 3 и фигурные металлические электроды 6 (первое положение переключателя 8), а также второй фигурный лист ЭПБ 3 и прямые металлические электроды 7 (четвертое положение переключателя 8). В первом и четвертом положениях переключателя 8 применить метод построения эквипотенциальных линий тот же, что и во втором и третьем положениях переключателя 8. Таким же образом измерить векторы напряженности электрического поля  и . По построенным на документальном листе 14 в соответствующих системах координат силовым линиям (фиг. 2) и эквипотенциальным линиям измерить углы α и α и проверить соотношение 9.
Погрешность измерений определить с учетом трех пар измеряемых величин.