Нелокальная задача с дробными производными для уравнения третьего порядка

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2019. Том 26, № 1

УДК 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА А. Г. Езаова, А. И. Кожанов, В. Н. Лесев

Аннотация. Исследована однозначная разрешимость одной нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа третьего порядка. Краевое условие поставленной задачи содержит линейную комбинацию операторов дробного в смысле Римана — Лиувилля интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса от значений решения на характеристиках, поточечно связанных со значениями решения и производной от него на линии вырождения. Формулируются и доказываются теоремы существования и единственности решения поставленной задачи для различных случаев показателя степени в рассматриваемом уравнении. Единственность решения задачи при определенных ограничениях типа неравенств на заданные функции и порядки дробных производных в краевом условии доказывается методом интегралов энергии. Выписываются функциональные соотношения между следом искомого решения и производной от него, принесенные на линию вырождения из гиперболической и параболической частей смешанной области. При выполнении условий теоремы единственности доказывается существование решения задачи путем эквивалентной редукции к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода относительно производной от следа искомого решения. Определены промежутки изменения порядков операторов дробного интегродифференцирования, при которых решение задачи существует и единственно. Установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной в исходном уравнении на однозначную разрешимость поставленной задачи.

Б01: 10.25587/8УРи.2019.101.27243 Ключевые слова: нелокальная краевая задача, операторы дробного интегродиф-ференцирования, интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Введение. В последние несколько десятилетий модели дробного порядка оказались более эффективными, чем модели целочисленного порядка для некоторых реальных мировых проблем. Дробные производные обеспечивают адекватное средство для описания памяти и наследственных свойств различных материалов и процессов. Это главное преимущество дифференциальных уравнений с дробной производной по сравнению с классическими целочисленными моделями. Возникают дробные дифференциальные уравнения во многих инженерных и научных дисциплинах, таких как математическое моделирование систем и процессов в области физики, химии, аэродинамики, электродинамики сложных средних, реологии полимеров, и т. д.

Необходимость рассмотрения уравнений гиперболо-параболического типа замечена в 1959 г. И. М. Гельфандом при исследовании задачи, связанной с

© 2019 Езаова А. Г., Кожанов А. И., Лесев В. Н.

движением газа в канале, окруженном пористой средой. В канале движение описывается волновым уравнением, вне его — уравнением диффузии. Смешанные гиперболо-параболические уравнения лежат в основе математических моделей различных природных явлений. Локальные и нелокальные задачи для таких уравнений встречаются в теории распространения электромагнитных полей, при изучении математических моделей, описывающих влияние растительного покрова на теплообменные процессы в почве и приземном воздухе, при котором возникает необходимость исследования задачи для двух уравнений: уравнения Аллера переноса влаги, предполагающего бесконечную скорость распространения возмущения, и уравнения А. В. Лыкова [1], учитывающего конечную скорость.

В настоящее время актуальность исследований нелокальных краевых задач для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа второго и более высокого порядков можно обосновать внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики получением новых результатов в теории дробного интегродифференцирования, а также их прикладным значением.

Исследованию нелокальных краевых задач посвящены работы [2-8]. В [3,4] исследованы нелокальные краевые задачи для гиперболического уравнения с дробной производной в краевом условии. Найдены промежутки порядков дробной производной, в которых поставленная задача однозначно и неоднозначно разрешима. В работах [5-8] исследованы нелокальные краевые задачи для гиперболических, элиптико-параболических и гиперболо-параболических уравнений. Доказывается существование и единственность поставленных задач.

В данной работе авторами рассматривается смешанное гиперболо-параболическое уравнение третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования в краевом условии. Путем редукции задачи к интегральному уравнению Фредгольма второго рода доказывается однозначная разрешимость и исследуется влияние коэффициента при младшей производной на однозначную разрешимость задачи.

Подобного типа задачи были рассмотрены в работах О. А. Репина [9], С. К. Кумыковой [10], А. Сопуева и К. Г. Кожабекова [11], Т. Д. Джураева, А. Сопуева и М. Мамаджанова [12].

Цель исследования: доказать однозначную разрешимость задачи с дробными производными в краевом условии для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

где a 1 = const = 0 — вещественная постоянная.

Уравнение (1) рассматривается в односвязной области О, ограниченной отрезками AAq, AqBq, BqB прямых x = 0, y =1, x =1 соответственно, лежащих

Uxxx - Uy + b2(x,y)uxx + bi(x,y)ux + b0(x,y)u, y> 0, ( y)mUxx - Uyy + ai(-y)(m/2-1)Ux, y< 0, m > 2,

'XX

в полуплоскости у > 0, и характеристиками

2 , т + 2 2 , т+2

АС:х-——(-у)-*-= 0, ВС : х +——(-у)-*~ = 1

то + 2 то + 2

уравнения (1) при у < 0.

Пусть О+ = О П (у > 0), О- = О П (у < 0), I = АВ — интервал 0 < ж < 1 прямой у = 0.

Задача. Найти функцию и(ж, у) удовлетворяющую следующим условиям:

1) и(ж, у) е С(О) П СХ;1(0+) П С2;2(0-);

2) и(ж, у) — регулярное в О решение уравнения (1) удовлетворяющее условиям:

и

где ^¿(у) (г = 1, 2, 3), а(ж), в(ж), /(ж) — заданные функции, такие, что а2(ж) + /32(ж) ф 0, а(ж), /3(ж), /(ж) € С1 (7) П С3(/), ао(ж,у),а1(ж,у),а2(ж,у) е С2(О+);

0о(ж),01(ж) — точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (ж, 0) е I с характеристиками АС и ВС соответственно; -О^,, — 1 — операторы дробного интегро-дробного дифференцирования [13].

Обозначим

то — 2а^ то + 2а1 то

а= 2(то + 2)' ( 2(то + 2)' а + /^=^Т2=е'

Пусть | сг-11 < тогда имеет место

Теорема. В области О решение задачи (1)—(3) существует и единственно,

если

Ьг

Ь2'х

а также либо

а = а, Ь = ¡3, 5

А1

либо

а =1 — в, Ь =1 — а, ¿

Аг

^)У<0,

А2

причем а(1) = в(0) = 0.

Доказательство. Пусть т(х) = и(х, 0) и и(х) = иу (х, 0). Устремляя у ^ +0 в уравнении (1), получим основное функциональное соотношение между функциями т(ж) и 1у(х), принесенное на I из области в виде

Кх) = т '''

С учетом условий (4), (5) из (12) получаем, что 1 1 I* = J т(х)ь'(х) Ах = — — (т'(1))2 — J Ь2(х, 0)т/2(ж) Ах о о

1

+ ^ 1(Ь1(Х,0)-Ъ1(Х,0)+2Ъо(Х,0))Т2(Х)С1Х<0. (13) о

Выписывая решение задачи Коши для (1) [14-16] и удовлетворяя его условию (3), получим основное функциональное соотношение между функциями т(х) и и(х), принесенное на линию АВ из гиперболической части О- смешанной области О, вида [14]

2

Г

+ 4T-kß{x)DxMx){1 ~ x) — Djx-«{l - х)а-1т{х) = /(ж).

Г (1 - а)\ 4

"П/ \ ^ Г

Пусть выполнены условия (6), (7) теоремы, тогда выражение (14) после громоздких, но несложных преобразований [13,17-19] принимает вид

где

т

2 Г

=---Ji{x) = B{a,ß)-

• + 2 [Г(1 - а)Г(1 - в)]2' ",1W v Ai(x)'

2 \ k m + 2

1[) \B(i-a,i-ß)\2 + mJ J ( P)A1(x)' / 2 \ fei

В(1 - а, 1 - в) \2 + т) к А1(х)'

Выражение (14) есть основное функциональное соотношение между функциями т(х) и ^(х), принесенное на АВ из О-.

Умножая (14) на V(ж), при /(ж) = 0 рассмотрим интеграл

1

I* = J т(ж^(ж) ¿ж. о

При выполнении условий (7) и (8) теоремы получаем, что

I* > 0.

Следовательно, с учетом неравенств (13) и (16) выводим, что I* = 0. Стало быть, v(x) = 0 и из (12) при f (ж) = 0 получаем т(ж) = 0.

Из приведенных рассуждений вытекает, что и(ж, у) = 0 в О- как решение задачи Коши для уравнения (1) с нулевыми данными, а в будет и(ж, у) = 0 как решение однородной задачи (1), (2).

Для доказательства существования решения задачи проинтегрируем трижды соотношение (12) от 0 до 1. С учетом краевых условий (2) получим

2 1 x

т(ж) = у J K{l,t)r{t) dt~\ j K(X> ¿И*) dt

0 0

1 x

J

ж ~2

где

к (ж, г) = 2Ь2(г, 0) + 2(ж — г)Мг, 0) — 2Ь2(г, 0)] + (ж — г)2[Ьо(г,0) — Ь1 (¿, 0) + Ь2'(г, 0)],

д(ж) = (1 — ж2 + Ь2(0, 0)(ж — ж2))<^(0) + ж2<^(0) + (ж — ж2)^з(0).

Подставляя значения т(ж) из (15) в (17) и проделав некоторые преобразования, получим

где

K

K1(x,t), 0 < t < ж, К2(ж, t), ж < t < 1;

Ki

1

ki

С1

. ,

+

(z - t)6

dz +

2 J (t - z)6 0

dz — —

2 k1

-

e+2

2(ж - t)6

k(1, t)ci(t) +

к

Г(1 - e)J (z - t)6 t

dz

i

l

i

k

l

+

к

Г (1 — е)У (г — г )*

^ + (1 — г)2

К2(ж,г) =

С1

2(г — ж)г

Р1(ж) +

(г — г )£

¿г

¿1(1,г)с1(г) +

¿1

¿

Г (1 — е)У (г — г)-

¿г

+

¿1

_ [К 1,гЩг)

¿г + (1 — г)2

ад = д(х)-/1(х) + ^

1

^ ^ 2 у С1(ж)'

оо

Уравнение (18) есть уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи.

Единственное решение уравнения (18) находится по формуле [13,16,18,19]

1

I ¿г,

где Д(ж,г) — резольвента ядра К (ж, г).

При выполнении условий (9)—(11) теоремы доказательство единственности и существования решения задачи проводится аналогичным образом.

Заключение. В работе исследован вопрос однозначной разрешимости нелокальной задачи со смещением, содержащей дробные производные Рима-на — Лиувилля в краевом условии, для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Методом интегралов энергии доказана теорема единственности при определенных ограничениях типа неравенств на известные функции. Для доказательства существования решения поставленной задачи получены функциональные соотношения между следом искомой функции и производной от него, принесенные на линию вырождения из параболической и гиперболической частей смешанной области. При выполнении условий теоремы единственности задача эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно следа производной искомого решения, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения поставленной задачи. Установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной на однозначную разрешимость задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

г

к

1

1

1

ж

1

X

2

ж

2. Езаова А. Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // Изв. Кабардино-Балкар. гос. ун-та. 2011. Т. 1, № 4. С. 26—31.

3. Репин О. А., Кумыкова С. К. Задача с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка // Изв. вузов. Математика. 2012. Т. 12. C. 59-71.

4. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Изв. вузов. Математика. 2015. Т. 4. С. 60-64.

5. Repin O. A., Kumykova S. K. Interior-boundary value problem with Saigo operators for the Gellerstedt equation // Differ. Equ. 2013. V. 49. P. 1307-1316.

6. Islomov B., Baltaeva U. I. Boundary-value problems for a third-order loaded parabolic-hyperbolic equation with variable coefficients // Electron. J. Differ. Equ. 2015. N 221. P. 1-10.

7. Utkina E. A. Boundary value problems for a third-order hyperbolic equation on the plane // Differ. Equ. 2017. V. 53, N 6. P. 818-824.

8. Korzyuk V. I., Mandrik A. A. Classical solution of the first mixed problem for a third-order hyperbolic equation with the wave operator // Differ. Equ. 2014. V. 50, N 4. P. 489-501.

9. Репин О. А. О нелокальной краевой задаче с оператором М. Сайго для обобщенного уравнения Эйлера — Пуассона — Дарбу // Интегральные преобразования и краевые задачи: Сб. науч. тр. Черновцы: Институт математики Украины, 1996. Вып. 13. С. 175181.

10. Кумыкова С. К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 1. C. 78-88.

11. Сопуев А., Кожабеков К. Г. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гипер-болического типа третьего порядка с младшими членами с характеристической линией изменения типа // Тр. Междунар. науч. конф. «Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики». Ташкент, 2004. Т. 1. C. 14-16.

12. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамаджанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986.

13. Самко С. Г, Килбас А. А, Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

14. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

15. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

16. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985.

17. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.; Л.: Физматгиз, 1963.

18. Маричев О. И., Килбас А. А., Репин О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными с разрывными коэффициентами. Самара: Изд-во Самарского гос. эконом. ун-та, 2008.

Поступила в редакцию 15 февраля 2019 г. После доработки 15 февраля 2019 г. Принята к печати 1 марта 2019 г.

Езаова Алена Георгиевна, Лесев Вадим Николаевич

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, ул. Чернышевского, 173, Нальчик 360004 alena_ezaova@math. nsc. ru Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 kozhanov@math.nsc.ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2019. Том 26, № 1

UDC 517.95

A NONLOCAL PROBLEM WITH FRACTIONAL DERIVATIVES FOR THIRD-ORDER EQUATIONS A. G. Ezaova, A. I. Kozhanov, and V. N. Lesev

Abstract: The unique solvability of a nonlocal boundary value problem for the equation of mixed hyperbolic-parabolic type of the third order is investigated. The boundary condition of the problem contains a linear combination of fractional, in the sense of Riemann—Liouville, operators of integro-differentiation with hypergeometric Gauss function on the values of the solution on the characteristics pointwise associated with the values of the solution and its derivative on the degeneration line. Theorems of existence and uniqueness of the solution to the problem in various cases of the exponent in the equation under consideration are formulated and proved. The uniqueness of the solution of the problem, under certain restrictions of the inequality type on the given functions and orders of fractional derivatives in the boundary condition, is proved by the method of energy integrals. Functional relations between the trace of the desired solution and its derivative brought to the degeneration line from the hyperbolic and parabolic parts of the mixed domain are written. Under the conditions of the uniqueness theorem, we prove the existence of a solution to the problem by equivalent reduction to Fredholm integral equations of the second kind with respect to the derivative of the trace of the desired solution. Also, the intervals of changing the orders of fractional integro-differentiation operators are determined, at which the solution of the problem exists and is unique. The effect of the coefficient at the lower derivative in the original equation on the unique solvability of the problem is established.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.101.27243

Keywords: nonlocal boundary value problem, fractional integro-differentiation operators, Fredholm integral equation of the second kind.

REFERENCES

1. Nahushev A. M., Problems with Shifts for Partial Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (2006).

2. Ezaova A. G., "On some nonlocal problem for mixed type third-order equations," Izv. Kabard.-Balkar. Gos. Univ., 1, No. 4, 26-31 (2011).

3. Repin O. A. and Kumykova S. K., "A problem with generalized fractional integro-differentia-tion operators of arbitrary order," Russ. Math., 56, No. 12, 50-60 (2012).

4. Repin O. A. and Kumykova S. K., "Boundary-value problem with Saigo operators for mixed type equation of the third order with multiple characteristics," Russ. Math., 59, No. 7, 44-51 (2015).

5. Repin O. A. and Kumykova S. K., "Interior-boundary value problem with Saigo operators for the Gellerstedt equation," Differ. Equ., 49, No. 10, 1307-1316 (2013).

6. Islomov B. and Baltaeva U. I., "Boundary-value problems for a third-order loaded parabolic-hyperbolic equation with variable coefficients," Electron. J. Differ. Equ., No. 221, 1-10 (2015).

7. Utkina E. A., "Boundary value problems for a third-order hyperbolic equation on the plane," Differ. Equ., 53, No. 6, 818-824 (2017).

© 2019 A. G. Ezaova, A. I. Kozhanov, V. N. Lesev

8. Korzyuk V. I. and Mandrik A. A., "Classical solution of the first mixed problem for a third-order hyperbolic equation with the wave operator," Differ. Equ., 50, No. 4, 489—501 (2014).

9. Repin O. A., "On nonlocal boundary-value problem with Saigo operator for generalized Euler—Poisson—Darbu equation [in Russian]," in: Sb. Nauch. Tr. Integral Transformations and Boundary-Value Problems, No. 13, pp. 175—181, Inst. Mat. Ukr., Chernovtsy (1996).

10. Kumykova S. K., "On some boundary-value problem with nonlocal boundary conditions on characrestics for mixed-type equations [in Russian]," Differ. Uravn., 10, No. 1, 78—88 (1974).

11. Sopuev A. and Kozhabekov K. G., "Boundary value problems for mixed-type parabolic-hyperbolic third-order equations with lower-order terms with characteristic line of type change [in Russian]," Tr. Mezhdunar. Konf. Partial Differential Equations and Related Problems of Analysis and Informatics, 1, pp. 14—16, Tashkent (2004).

12. Dzhuraev T. D., Sopuev A., and Mamadzhanov M., Boundary Value Problems for Parabolic-Hyperbolic Equations [in Russian], Fan, Tashkent (1986).

13. Samko S. G., Kilbas A. A., and Marichev O. I., Fractional Integrals and Derivatives and Their Applications [in Russian], Nauka i Tekhnika, Minsk (1987).

14. Bitsadze A. V., Some Classes of Partial Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1981).

15. Smirnov M. M., Degenerate Elliptic and Hyperbolic Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1966).

16. Smirnov M. M., Mixed-Type Equations [in Russian], Vysshaya Shkola, Moscow (1985).

17. Lebedev N. N., Special Functions and Their Applications [in Russian], Fizmatgiz, Moscow; Leningrad (1963).

18. Marichev O. I., Kilbas A. A., and Repin O. A., Boundary Value Problems for Partial Differential Equations with Discontinuous Coefficients [in Russian], Izdat. Samar. Gos. Ekonom. Univ., Samara (2008).

Submitted February 15, 2019 Revised February 15, 2019 Accepted March 1, 2019

Alyona G. Ezaova, Vadim N. Lesev Berbekov Kabardino-Balkarian State University, 173 Chernyshevsky Street, Nal'chik 360004 alena_ezaova@math.nsc. ru

Alexander I. Kozhanov

Sobolev Institute of Mathematics,

4 Acad. Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia

kozhanov@math.nsc.ru