О механизме сверхпроводимости в наноразмерных структурах

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 88-94.

УДК 539.9 К.Н. Югай

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

О МЕХАНИЗМЕ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ В НАНОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ

Рассматривается новый механизм сверхпроводимости в наноструктурах. Показано, что связанное состояние к-электронов в некотором эффективном потенциале является сверхпроводящим состоянием. Если длина когерентности объёмного материала больше размера наночастицы, длина когерентности совпадает с размером этой наночастицы. В этом случае энергия связанного состояния является сверхпроводящей щелью.

Ключевые слова: сверхпроводимость, куперовская пара, длина когерентности, связанное состояние, 71-электрон, сверхпроводящая щель.

Объёмные металлические сверхпроводники хорошо описываются микроскопической теорией сверхпроводимости Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) [1]. Однако открытие Беднорзом и Мюллером [2] сверхпроводящих купратов - высокотемпературных сверхпроводников - с температурой перехода в сверхпроводящее состояние порядка 100 К и выше выявило со всей очевидностью несостоятельность теории БКШ при попытке объяснить столь высокие критические температуры, а также слабо выраженный изотопический эффект. Появление сверхпроводящих купратов поставило под сомнение фундамент теории БКШ: определяющее значение электрон-фононного взаимодействия, ответственного за образование куперовских пар - связанного состояния двух электронов с противоположно направленными спинами и импульсами. Многочисленные попытки заменить фононы -переносчик притягивательного взаимодействия между электронами в БКШ - на другие квазичастицы не увенчались успехом: теории высокотемпературной сверхпроводимости до сих пор нет [3-27].

Ситуация усугубилась при обсуждении проблем сверхпроводимости в наноразмерных структурах: нанокластерах, нитях, наноплёнках, границы раздела - интерфейса. Действительно, например, в нанокластерах, содержащих всего несколько десятков атомов, была обнаружена оболочечная структура делокализованных электронов. Впервые этот факт был установлен в работе Knight с соавторами [28] для кластеров А1 с числом атомов N = 2-100 (обзор по оболочечным структурам кластеров приведён в работах [29, 30]). Оказалось, что наличие оболочечной структуры в нанокластерах приводит к сверхпроводимости с высокими значениями критической температуры, превышающими 100 К. Так, для кластера Ga с 56 атомами вычисленная критическая температура Tc(Ga 56)= 145 К, для кластера Zn с 190 атомами Tc(Zn 190)= 105 К. Критические температуры для объёмных образцов

КН. Югай, 2010

равны Tc(Ga bulk) = 1,1 К, Tc(Zn bulk) = 0,87 К соответственно. В работе [32] критическая температура для кластеров А1, содержащих по 45 атомов, определялась по скачку теплоёмкости, она составила ТС(А1 45) = 200 К. Для сравнения приведём ТС(А1 bulk) =1,17 К. Следует обратить внимание ещё на один важный факт: размеры кластеров, приведённых выше, составляют не более 20 А, тогда как длина когерентности, интерпретируемая также как размер куперовской пары, составляет около 1 мк, т. е. примерно на три порядка больше размера наночастицы. Следуя логике БКШ, наночастицы не могут быть сверхпроводящими из-за невозможности образовать куперовские пары в объёме одной наночастицы, что противоречит наблюдениям. Ниже это противоречие будет обсуждено в рамках другой модели, позволяющей его снять.

Поскольку размер наночастицы существенно меньше также и глубины проникновения магнитного поля, то сверхпроводящее состояние не может быть идентифицировано с помощью эффекта Мейс-снера-Оксенфельда. Остаётся ещё один критерий сверхпроводимости: сопротивление R = 0. Для проверки этого критерия, т. е. измерения сопротивления наночастицы, к ней необходимо присоединить два электрода, причём электроды должны быть сверхпроводящими, чтобы эффект близости в случае нормальных электродов не разрушил сверхпроводящее состояние в наночастице. Итак, допустим, что сверхпроводящие электроды подсоединены к сверхпроводящей наночастице и через неё протекает ток. Поскольку граница между наночастицей и электродом является потенциальным барьером для носителей, то ток будет иметь две составляющие: сверхпроводящую и нормальную в случае, если протекающий полный транспортный ток больше критического тока границы электрод - наночастица. Если транспортный ток меньше критического, ток будет сверхпроводящим и джозефсоновским. Иными словами, критерий сверхпроводимости в виде характера тока - сверхпроводящий, несверхпроводящийили есть сопротивление - нет сопротивления - не является надёжным критерием. Однако исследования транспорта через наночастицу, проведённые группой М. Tinkham [33-35], дают основание ввести для нано-

частиц надежный критерии сверхпроводимости - эффект чётности: свойства

сверхпроводящей наночастицы существенно отличаются в случаях чётного и нечётного числа электронов в ней. Эффект чётности отсутствует, если наночастица находится в нормальном состоянии. Заметим, что в работах [33-35] использовались наночастицы А1 размером 5-10 нм.

В случае сверхпроводящих наночастиц обратим внимание на одно общее для всех наночастиц свойство, не зависимое от их химического состава, - геометрическое квантование, обусловленное ограничением по размеру. Это квантование будет определяться для спиновых частиц четырьмя квантовыми числами. Связана ли оболочечная структура нанокластеров с геометрическим квантованием? Связано ли геометрическое квантование со сверхпроводимостью нанокластеров? Ниже мы попытаемся дать ответ и на эти вопросы.

В 2D системах - тонких плёнках, проводящих при обычных температурах, при низких концентрациях электронов и при понижении температуры сопротивление возрастает и достигает значений, соответствующих изолятору, т.е. происходит фазовый переход металл-диэлектрик. Возрастание сопротивления обусловлено локализацией носителей на узлах кристаллической решётки (механизм Мотта) или на беспорядке (механизм Андерсона). Однако при повышении концентрации электронов, как оказалось, может происходить процесс прямо противоположный вышесказанному: сопротивление резко

падает вплоть до нуля, т. е. происходит фазовый переход нормальный металл-сверхпроводник [36-39]. Этот переход можно объяснить следующим образом. В семействе температурных зависимостей сопротивления плёнки, полученных при различных концентрациях электронов Пе, всегда существует кривая, называемая сепаратрисой, которая разделяет область изолятора от сверхпроводника [38]. Сепаратрисе соответствует равенство концентрации делокализованных носителей ru и ловушек nt при достаточно высокой температуре, когда локализация носителей не приобрела массовый характер, ns = п,. Если концентрация электронов Пе < п,, то при понижении температуры все электроны окажутся локализованными. Если,

однако, ne > пt, то часть электронов, пе -п,, не могут быть локализованы и при понижении температуры сопротивление будет уменьшаться. Для плёнок TiN сопротивление падает до нуля, плёнка переходит в сверхпроводящее состояние [40-43]. По мнению авторов [40-43], в этой системе при понижении концентрации электронов и температуре, близкой к нулю, происходит квантовый фазовый переход сверхпроводник-изолятор. Причём утверждается, что этот изолятор необычный -это сверхизолятор, в нём локализованы куперовские пары. Это утверждение, однако, вызывает сомнения по следующим соображениям. К точке на плоскости R-T, определяющей состояние «сверхизолятора», можно придти двумя путями. Во-первых, двигаясь вдоль температурной кривой над сепаратрисой при Пе < п,. Тогда конечная точка при Т = 0 определяет обычное состояние изолятора. Во-вторых, двигаясь при Т = 0 от сверхпроводящего состояния при понижении концентрации электронов. При таком движении происходит перебор разных образцов с разными концентрациями электронов. Образец, достигший конечной точки «сверхизолятора», - это уже совсем иной образец, чем первоначальный сверхпроводящий. В основном состоянии при отсутствии внешних воздействий куперовские пары не должны разрушаться. Отсюда делается предположение о наличии куперовских пар в диэлектрическом состоянии, но, правда, в локализованном состоянии. Но энергия электрона в локализованном состоянии превышает энергию связи электронов в паре на четыре порядка. В этих условиях говорить о куперовских парах вряд ли уместно. Но 2D системы обладают важным свойством: в любой по глубине потенциальной яме может образоваться связанное состояние, причём оно представляет собой состояние, получающееся при геометрическом квантовании. Мы вернёмся к обсуждению этих вопросов немного позднее.

2D системы проявляют неожиданные свойства, обнаруженные в последние несколько лет: высокую подвижность носителей вплоть до возникновения сверхпроводимости на поверхности раздела изолятор/изолятор, нормальный металл/изолятор, полупроводник/полупроводник (см., например, [44-51]). Высокая подвижность

электронного газа на границе гетероструктуры ЬаАЮз/ЭгТЮз была впервые обнаружена в работе [44]. Важно, что рассмотренная 2D система образована изоляторами типа перовскита. Позже высокая подвижность носителей на границе LaA103/SrTi03 была подтверждена в работе

[45]. И наконец, в работе [46] в этой системе была обнаружена сверхпроводимость.

В работе [47] представлены результаты обширных исследований границ раздела металл/изолятор, металл/сверхпроводник. В качестве диэлектрика использовалась плёнка (I) La^CuOi, металла (М) -плёнка Lai.55Sr0.45CuO4, сверхпроводника (S) - La2Cu04+6- Плёнки выращивались методом молекулярно-лучевой эпитаксии. Эффект сверхпроводимости проявляется при отсутствии дефектов на границе между плёнками. Критическая температура границы раздела металл/изолятор зависит от последовательности слоёв, выращиваемых на подложке LaSrA104, она равна 15 К для I/М и 30 К для М/I. В случае M/S критическая температура достигает 50 К, она больше, чем у однофазного сверхпроводника (40 К).

Эти необычные свойства - сверхпроводимость границы в гетероструктурах -обнаружены и в случае полупроводников: PbTe/PbS, PbTe/PbSe, PbTe/PbS [48]. Кроме того, металлическая проводимость обнаружена на границе между органическими полупроводниками TTF/TCNQ [49], а также между плёнками диэлектрического полимера полидифениленфталида [50].

К настоящему времени нет чёткого толкования обнаруженного эффекта. Ясно только, что в случае двух изоляторов, образующих сверхпроводящий интерфейс, должен появиться механизм, приводящий к делокализации электронов. Некоторые (первые) предположения, сделанные авторами ряда работ (см., например, [51, 52]) относительно делокализации электронов, не могут претендовать на адекватное объяснение этого явления. Следует особо отметить, что оно очень чувствительно к дефектности границы. Вопрос о возможном механизме интерфейсной сверхпроводимости также обсуждается в настоящей работе.

Известно, что в одномерной системе имеет место пайерлсовская неустойчивость фононного спектра, в результате которой возникает диэлектрическое со-

стояние: электроны локализуются на узлах одномерной решётки. При этом период решётки увеличивается в два раза. Иными словами, если одновременно по всей длине нити период решётки увеличится в два раза, то вероятность захвата электронов ловушками станет определяющей и нить разрушится из-за ослабления связи между атомами - металлическая связь сменится ковалентной. Разрушение нити может происходить не сразу по всей длине, а по мере распространения волны зарядовой плотности [53]. Однако, если нить не будет изолированной, а находится в некоторой матрице, то механического разрушения нити может не произойти, но в этом случае вряд ли возможна и сама пайерлсовская неустойчивость.

Известно, что одномерное уравнение Гинзбурга-Ландау в нестационарном варианте [54] описывает динамику центров проскальзывания фазы. В математическом плане это уравнение описывает сверхпроводящую нить или цепочку атомов. И из модели Гинзбурга-Ландау переход сверхпроводящей нити в диэлектрическое состояние не просматривается. Любая микроскопическая модель, не имеющая тем более надёжной экспериментальной базы, не должна противоречить выводам, вытекающим их термодинамических соображений. Именно они лежат в основе теории Гинзбурга-Ландау.

Таким образом, модель, претендующая на описание сверхпроводимости в наноразмерных системах, должна ответить на следующие вопросы: 1. Почему существует сверхпроводящее состояние в системах, размеры которых меньше длины когерентности или размера куперов-ской пары? Существует ли ограничение снизу на размер сверхпроводящей структуры? 2. Почему оболочечная структура играет определяющую роль в сверхпроводимости «малых» наночастиц? Какова природа сверхпроводимости в «больших» наночастицах, не обладающих оболочеч-ной структурой? 3. Какова роль геометрического квантования в сверхпроводимости наноразмерных структур? 4. Возможно ли построение теории сверхпроводимости наноразмерных систем без привлечения куперовских пар? 5. Не связаны ли трудности создания теории высокотемпературной сверхпроводимости с привязкой к куперовским парам как о необходимом и достаточном условии

сверхпроводимости, хотя их непосредственного экспериментального наблюдения никогда не было?

Модель сверхпроводимости, предлагаемая в настоящей статье, основана на идее Н. Бора о существовании стационарных состояний атома, находясь на которых электрон не излучает и не поглощает энергии [55]. Речь здесь идёт о связанных, квантовых, состояниях электрона в атоме. Эти состояния в атоме, можно сказать, представляют собой также следствие геометрического квантования. Состояние электрона, принимающего участие в сверхпроводимости, тоже должно быть стационарным, а оно возможно, если это состояние является связанным, квантовым. Если бы связанное состояние электрона возникало на атоме решётки, то мы имели бы известный механизм локализации электронов по Моту и переход в диэлектрическое состояние. Мы полагаем, что связанное состояние возникает на некотором эффективном потенциале У<:[[ , обусловленном взаимодействием электрона со всеми остальными частицами системы. Электрон в связанном состоянии в ХГец не принадлежит определённому атому и поэтому является п-электроном. Это состояние электрона, мы полагаем, и является сверхпроводящим.

Рассмотрим в качестве эффективного потенциала модельный двумерный потенциал !/,://'(к) = -Ун = - Ца2, где а - характерный размер потенциальной ямы (нанопроволока). Гамильтониан системы запишем в виде:

Н = ^\ёг^(г)\^-^а(г)~

.*о

2

^\<^«

а,р

где Ч^(/;).Ч^(/;) - полевые операторы

уничтожения и рождения электрона с проекцией спина а в точке г, р - химический потенциал. Такого рода гамильтониан был использован в своё время Горьковым [60]. В однородной системе в отсутствие внешнего магнитного поля получаем уравнения Горькова для нормальной й и аномальной Р*" функций Грина:

( Я Х72 ^

&

.К

2т

+А-Р+(г1,г2; 0 = 5(0 8{гх-г2),

д УГ

1----------~~ М

дt 2т

\

^+(^,г2;0 +

+А* С

где щелевая функция определяется с помощью аномальной функции Грина ^0):

А = 1Т0Р

Переходя в (2) и (3) к фурье-

представлению и используя уравнение согласования (4), получаем

^ 1 ^ „ Г 1 ^

ЕЩи

и  ехр

ЕЩи

Здесь ЩО) - плотность состояний на уровне Ферми.

Эффективный потенциал можно найти с помощью поляризационного опера-

тораП(А;,£у):

У^

Введём обобщённую диэлектрическую проницаемость:

£0с ,со) = \-У

Отсюда вытекает условие, при выполнении которого эффективный потенциал будет иметь притягивательный характер:

е

Притягивательный характер потенциала, определяемый (3), говорит нам об образовании связанного состояния электрона в У<:[[ . Условие (3) будет заведомо выполнено, если поляризационный оператор обладает полюсами, Действительно, запишем поляризационный оператор в следующем виде:

П (к,со) =

= _2/ [+ ~ ,

' (2ж) > 2п

где одночастичные функции Грина определяются обычным образом:

С~1(е,к + р) =

=

Ъ(к,е) - собственно энергетическая часть. Таким образом, полюса поляризационного оператора совпадают с полюсами функций Грина. В полюсах поляризационного оператора условие (8) заведомо выполняется. О возможности выполнения условия (8) было указано в работе [56], а о

ее использовании при описании сверхпроводимости - в [57,58].

Разлагая собственно энергетическую часть вблизи полюса, получаем другое условие связанности состояния:

дЪ{к, со)

осо

>0.

о)=Ек

Для наноразмерных систем условия (8) и (11) эквивалентны. Покажем, что

Ъ{к,е) = УеГГ{к,со).

Для этого воспользуемся уравнением для ^оператора [59]:

1{к,со) = УеЖ(к,со) +

+¥^

Здесь учтено, что рассеяние происходит на эффективном потенциале

Ус11(к, СО ). Известно, что каждому связанному состоянию отвечает полюс ^оператора. Видно, что полюсы г-оператора совпадают с полюсами функции Грина. Умножая уравнение (13) слева на функцию

Грина свободного движения О0(к,со), получим

С0

Здесь функция Грина О (к, со) подчиняется уравнению [59]:

0(к,со) = 00(к,со) +

+О0

Сравнивая уравнение (14) с уравнением Дайсона для О (к, со), получаем (12). Энергия связанного состояния находится из полюса ^оператора [61]. Она равна

Ео~~

Г

та

-ехр

2 Л

2жН

та2и

Введём обозначение: е = Н2/та2. Если е = и, то (16) может быть записано в виде:

( 1 ^

Е0 ~ -II  ехр

Б(0)и

т. е. А0 = —Е0. Иными словами, величина

щели в основном состоянии и энергия связанного состояния совпадают. В выражении (17) -0(0) = (2леу1.

Рассмотрим одномерную яму (наноплёнка). Эффективный одномерный потенциал смоделируем в виде

¥^{к) = -иа.

Энергия связанного состояния п-элек-трона в такой яме равна [61]:

Е 0 = -

mU2 a2

2Н 2е

Если 2а = и , то Е0 = -II, а

В этой системе энергия основного состояния равна:

Е0ху = Е0

р1

2т 2т

В стационарном состоянии она постоянна, Е0ху = const .

В нанопроволоке энергия основного состояния п-электрона

Е00х — Е00 +

= const.

2т

В наночастице эффективный потенциал можно моделировать потенциалом Вуда-Саксона [28]:

Veff(r) =

Vn

exp

Г - rn

b

где У0, г0,О - некоторые постоянные.

Аналитического решения задачи с таким потенциалом нет. Из численного решения задачи с потенциалом Вуда-Саксона [28] следовало, что малые наночастицы обладают оболочечной структурой электронов. Наночастицы, обладающие оболочечной структурой, обладают сверхпроводящими свойствами с высокими критическими температурами, о чём говорилось выше. Предлагаемая модель сверхпроводимости позволяет объяснить сверхпроводимость нанокластеров. Состояние п-электрона в этом случае характеризуется тремя квантовыми ЧИСЛаМИ Е = Еп1т. В основном состоянии Е = Егоош Д0 « Ет .

В заключение отметим следующее. Длина когерентности объёмных материалов ограничена величиной

О .1ЦПур)

квТ

где v„ — фермиевская

скорость, кв — постоянная Больцмана. Можно предположить, что при размере наносистемы, меньше §,, длина когерент-

ности совпадает с размером этой системы. Поэтому, возможно, ограничения снизу на размер сверхпроводящей системы нет. В соответствии с предлагаемой моделью высокотемпературные сверхпроводники отличаются большей величиной эффективного потенциала У.я. И последнее. Куперовскую неустойчивость обычно демонстрируют с помощью двух электронов: они образуют связанное состояние, т. е. куперовскую пару, при любом слабом притяжении между ними. Однако было показано [62], что в случае четырёх электронов образование связанного состояния между всеми четырьмя электронами термодинамически выгоднее, чем образование двух куперовских пар.

ЛИТЕРАТУРА

1]

Bardeen J., Cooper L. N., and Schrieffer J. R. Phys. Rev. 108, 1175 (1957).

Bednorz J. G. and Müller K. A. Z. Phys. B: Con-dens. Matter 64, 189 (1986).

Bulut N. and Scalapino D.J. Phys. Rev. B 54, 14971 (1996).

Tsuei C. C. and Kirtley J. R. Rev. Mod. Phys. 72, 969 (2000).

Schrieffer J. R., Wen X. G. and Zhang C. Phys. Rev. Lett. 60, 944 (1988).

Schrieffer J. R., Wen X. G., and Zhang S. C. Phys. Rev. B 39, 11663 (1989).

Kampf A. P. and Schrieffer J. R. Phys. Rev. B 42, 7967 (1990).

Anderson P. W. Phys. Rev. 109, 1492 (1958).

Ren Y. and Anderson P. W. Phys. Rev. B 48, 16662 (1993).

10] Tao R., Zhang X., Tang X. and Anderson P. W. Phys. Rev. Lett. 83, 5575 (1999).

11] Anderson P.W. Phys. Rev. Lett. 96, 017001 (2006).

12] Emery У. J. Phys. Rev. Lett. 58, 2794 (1987).

13] Emery V. J. and Reiter G. Phys. Rev. B 38, 4547 (1988).

14] Emery V.J., Kivelson S.A. and Lin H.Q. Phys. Rev. Lett. 64, 475 (1990).

15] Carlson E. W., Orgad D., Kivelson S. A. and Emery V. J. Phys. Rev. B 62, 3422 (2000).

16] Chakravarty S., Laughlin R. B., Morr D. K. and Nayak C. Phys. Rev. B, 63, 094503 (2001).

17] Dogatto E. Rev. Mod. Phys. 66, 763 (1994).

18] Van Harlingen D. J. Rev. Mod. Phys. 67, 515

(1995).

19] Lee P.A., Nagaosa N. and Wen X.-G. Rev. Mod. Phys., 78, 17 (2006).

20] Овчинников С. Г. УФН, 167, 1043 (1997).

21] Изюмов Ю. А. УФН, 169, 225 (1999).

22] Anderson P.W. Phys. Rev. Lett., 64, 1839 (1990).

[23] Anderson P. W. Phys. Rev. B 42, 2624 (1990).

2

y

1

[24] Ogata M. and Anderson P.W. Phys. Rev. Lett. 70, 3087 (1993).

[25] Anderson P. W., Ramakrishnan T. V., Strong S., and Clarke D. G. Phys. Rev. Lett. 77, 4241

(1996).

[26] Anderson P. W. Phys. Rev. B 55, 11785 (1997).

[27] Belyavsky V. I., Kopaev Yu. V. and Smirnov M. Yu, Phys. Rev. B 72, 132501 (2005).

[28] Knight W. D., Clemender K., de Heer W. A., Saunders W. A., Chou M. Y., Cohen M. L. Phys. Rev. Lett. 52, 2141 (1984).

[29] Kresin V. Z. Ovchinnikov Yu. N. Phys. Rev. B 74, 024514 (2006).

[30] de Heer W. A., Rev. Mod. Phys. 65, 611 (1993).

[31] Brack M. Rev. Mod. Phys. 65, 677 (1993).

[32] Cao B., Neal C. M., Starace A. K., Ovchinnikov Yu. N., Kresin V. Z., Jarrold M. F. arXiv: 0804.0824.

[33] Ralph D. C., Black C. T., Tinkham M. Phys. Rev. Lett. 74, 3241 (1995).

[34] Black C. T., Ralph D. C., Tinkham M. Phys. Rev. Lett. 76, 688 (1996).

[35] Ralph D. C., Black C. T., Tinkham M. Phys. Rev. Lett. 78, 4087 (1997).

[36] Kravchenko S. V., Mason W. E., Bowker G. E., Furneaux J. E., Pudalov V. M. D'Iorio M., Phys. Rev. B 51, 7038 (1995).

[37] Simonian D., Kravchenko S. V., Sarachik M. P. Phys. Rev. B 55, 13421 (1997).

[38] Abrahams E., Kravchenko S. V., Sarachik M. P., Rev. Mod. Phys. 73, 251 (2001).

[39] Aguiar M.C.O., Dobrosavijevic V., Abrahams E., KotiiarG. Phys. Rev. В 74, 115117 (2006).

[40] Fistul M. V., Vinokur V. M., Baturina T. I. Phys. Rev. Lett. 100, 086805 (2008).

[41] Sacépé B., Chapelier C., Baturina T. I., Baklanov M. R., Sanquer M. Phys. Rev. Lett. 101, 157006 (2008).c

[42] Baturina T. I., Mironov A. Yu., Vinokur V. M., Baklanov M. R., Strunk C. Phys. Rev. Lett. 99, 257003 (2007).

[43] Vinokur V. M., Baturina T. I., Fistul M. V, Mironov A. Yu., Baklanov M. R., Strunk C. Nature 452, 613 (2008).

[44] Ohtomo A., and Hwang H. Y. Nature 427, 423 (2004).

[45] Herranz G., Basletic M., Bibes M., Carretero C., Tafra E., Jacquet E., Bouzehouane K., Deranlot C., Hamzic A., Broto J.-M., Barthelemy A., Fert A. Phys. Rev. Lett. 98, 216803 (2007).

[46] Reyren N., Thiel S., Caviglia A.D., Kourk-outis L. F., Hammerl G., Richter C., Schneider C. W., Kopp T., Rüetschi A.-S., Jaccard D., Gabay M., Müller D. A., Triscone J.-M., Mannhart J, Science 317, 1196 (2007).

[47] Gozar A., Logvenov G., Kourkoutis L.F., Bollinger A.T., Giannuzzi L.A., Müller D.A., Bozovic I., Nature 455, 782 (2008).

[48] Fogel N. Ya., Buchstab E. I., Bomze Yu. V., Yuzephovich O. I., Mikhailov M. Yu., Sipa-tov A. Yu., Pashitskii E. A., Shekhter R. I., Jon-son M., Phys. Rev. B 73, 161306 (2006).

[49] Alves H., Molinari A. S., Xie H., Morpurgo A. F. Nature Materials 7, 574 (2008).

[50] Лачинов A. H., Югай K. H., Гадиев P. M., Корнилов В. М. Физика молекул и кристаллов : сб. статей. Вып. 1. Уфа, 2009.

[51] Loktev V. М. and Pogoreiov Yu. G., Phys. Rev. В 78, 180501 (2008).

[52] Koerting V., Yuan Q., Hirschfeld P. J., Kopp T., Mannhart J, Phys. Rev. B 71, 104510 (2005).

[53] Grüner G. Rev. Mod. Phys. 66, 1 (1994).

[54] Николаев C. S., Югай K. H. ЖЭТФ 129, 371 (2006).

[55] Bohr N. Phil. Mag., 26, 1-25, 476-502, 857-875 (1913).

[56] Веселаго В.Г. УФН 92, 517 (1967).

[57] КиржницД.А. УФН 119, 357 (1976).

[58] Dolgov О. V., Kirzhnits D. A., Maksimov E. G. Rev. Mod. Phys. 53, 81 (1981).

[59] Taylor J. R. Scattering Theory. The Quantum Theory on Nonrelativistic Collisions. NY: John Wiley & Sons, 1972.

[60] Горькое Л. П. ЖЭТФ 34, 735 (1958).

[61] Левитов Л. С., Шитов A.B. Функции Грина. Задачи и решения. М. : Физматлит, 2003.

[62] Югай К. Н. Вестн. Ом. ун-та. №. 2. 109 (2009).