Навигационная информативность геофизических полей и выбор траекторий в задаче уточнения координат с использованием карты

УДК 629.05

НАВИГАЦИОННАЯ ИНФОРМАТИВНОСТЬ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ И ВЫБОР ТРАЕКТОРИЙ В ЗАДАЧЕ УТОЧНЕНИЯ КООРДИНАТ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАРТЫ

А.С. Носов, О. А. Степанов, А. Б. Торопов

Обсуждается проблема оценки информативности геофизических полей, используемых для решения задачи навигации. Приводится постановка этой задачи и анализируются методы оценки навигационной информативности. Акцент делается на методах, позволяющих установить связь вычисляемых характеристик с ожидаемой точностью решения задачи навигации, в частности, методах, основанных на использовании неравенства Рао - Крамера. Предлагаются процедура исследования информативности, учитывающая необходимость уточнения двух координат подвижного объекта, и алгоритм выбора кусочно-линейных информативных траекторий, позволяющий эффективно использовать доступную навигационную информацию.

Ключевые слова: информативная траектория, навигационная информативность, корреляционно-экстремальная навигация, навигация по геофизическим полям, неравенство Рао - Крамера, геофизическое поле.

Введение

При решении задач навигации нередко используется метод уточнения координат, основанный на сопоставлении измеренных и вычисленных по данным карты значений физических полей Земли [1 - 15]. В отечественной литературе его часто называют корреляционно-экстремальным методом навигации, или методом навигации по геофизическим полям (ГФП), в зарубежной за ним закрепились несколько названий, как правило, отражающих не только факт привлечения данных с карты, но и конкретный вид используемых полей. Так, в случае использования поля рельефа местности или поля глубин метод навигации называется terrain aided (referenced) navigation [16 - 19], если привлекается информация о гравитационном или магнитном полях - соответственно gravity или geomagnetic navigation [14, 20 - 22].

Рассматриваемый способ навигации актуален в условиях невозможности применения спутниковых навигационных систем (НС) или при необходимости обеспечения повышенной помехоустойчивости НС. Первоначально применение метода навигации по геофизическим полям было ограничено военными приложениями, в частности, для наведения ракет и аналогичных им подвижных объектов [19, 23]. Стимулом к его широкому применению в последнее время послужило широкое распространение автономных робототехнических систем, в том числе наземных, воздушных и подводных, а также развитие методов навигации внутри помещений [8,2474

28]. Применительно к таким приложениям для этого метода также нередко используется термин «map-matching method» (метод согласования с картой). Более подробный обзор истории развития методов навигации с использованием карты можно найти, например, в [14,19].

Как правило, метод уточнения координат с использованием карты применяется совместно с некоторой НС в качестве средства коррекции ее показаний. Кроме этого, он обладает еще целым рядом отличительных особенностей, среди которых значительную роль играет изменчивость самого поля, так что выбор "удачного" с точки зрения решения задачи коррекции, участка поля представляется весьма важным. Такой выбор может быть сделан на основании количественной характеристики, определяющей эффективность использования поля для уточнения координат. Эта характеристика далее называется навигационной информативностью поля.

Анализу методов оценивания навигационной информативности геофизических полей, а также разработке предложений по выбору информативных траекторий и посвящена предлагаемая работа.

Задача навигации по геофизическим полям

Кратко изложим суть рассматриваемой задачи и используемую для ее решения постановку. Не нарушая общности, будем считать, что уточнению подлежат координаты подвижного объекта на плоскости в некоторой прямоугольной системе координат и задача рассматривается в дискретном времени. Предположим, что на борту объекта имеется НС, вырабатываю-

T

в i-е моменты време-

НС

щая измерения его координат у

yi1 yi 2

ни, и датчики, обеспечивающие измерения одного или нескольких геофизических полей (параметров) у^, которые могут быть представлены в виде [14, 15]

уНС = X + АуНС,

у = ф

т

где Xi

Xi1 Xi 2

истинные координаты подвижного объекта в не-

T

НС

которой прямоугольной системе координат; Dy

DyT DyHf

погрешности выработки координат места НС; ф(Х^) - вектор-функция векторного аргумента, с помощью которой описывается зависимость параметров измеряемых геофизических полей от координат; Ауг- - суммарные погрешности измерений датчиков и карт полей. Обычно информация о ф(XI) формируется в результате предварительной съемки поля и пред-

75

ставляется с помощью функции, определяющей карту используемого поля и позволяющей с некоторой погрешностью вычислять их значения в произвольной точке заданного района.

Суть задачи заключается в том, чтобы, располагая набором измерений (1), (2) при / = 1,2..., уточнить координаты объекта. В математическом плане решение задачи сводится к оцениванию вектора состояния по измерениям, нелинейным образом зависящим от этого вектора. При этом оцениваемый вектор состояния обычно условно разделяют на две составляющих. Одна из них описывает небелошумные погрешности построения карт геофизических полей и датчиков поля, а другая связана либо непосредственно с параметрами движения объекта [3], либо с погрешностями их определения НС [14]. В первом случае при решении задачи непосредственно оцениваются координаты объекта и показания навигационной системы используются для формирования входных сигналов щ, которые фигурируют в правой части уравнений для вектора состояния, записываемого как

X = X _1 + Щ = X _1 + щ - дуНС,

где АХ, = X - Х-1, щ = уНС - уН-С = АХ, + ЗуНС, ЗуНС = АуНС - Ау^ . В качестве модели измерений при решении задачи оценивания выступает уравнение (2).

Во втором варианте, соответствующем оцениванию ошибок НС

НС

Ау, , вектор состояния описывает эти ошибки, а сами показания навигационной системы фигурируют как известные входные сигналы в уравнениях для измерений (2), поскольку используется представление

X = уНС-АуНС , т.е. у, = ф(уНС-АуНС ) + Ауг [14].

В общем случае, как отмечается в [14], точность решения задачи навигации с использованием ГФП зависит от многих факторов: характера движения объекта, свойств погрешностей навигационной системы и суммарных погрешностей карты и измерителей, свойств поля и ряда других факторов. Поскольку в содержательном плане анализ навигационной информативности сводится к исследованию влияния свойств поля на точность решения задачи, разумно соответствующим образом сформулировать задачу, позволяющим подчеркнуть влияния именно свойств поля на точность решения задачи навигации. С этой целью при анализе навигационной информативности, как правило, используют простейшие модели для погрешностей построения карт и внешних датчиков и простейшие модели движения объекта и ошибок НС. В частности, полагают, что суммарные

ошибки карты и измерителя Ау, представляют собой дискретный «белый» шум, а ошибки навигационной системы либо постоянны в течение времени решения задачи, т.е.

X = X-ъ

либо описываются с помощью винеровских последовательностей, т.е. последовательностей с независимыми приращениями:

XI = X -1 + цI.

При сделанных предположениях можно сформулировать следующую постановку задачи в рамках байесовского подхода.

Найти оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку двумерного вектора х^, представляемого в виде

XI = XI-1 + щ + ,

по т -мерным измерениям

У1 = к

где м?1, VI - вектор порождающих шумов и шумов измерений, которые считаются гауссовскими центрированными «белыми» шумами с известными матрицами ковариаций Qi , Я| , щ - известный сигнал управления; к (•) - известная вектор-функция, определяющая зависимость вектора оцениваемых параметров от параметров измеряемого ГФП. Состав вектора состояния и вид функции к | (XI) определяются упомянутым выше вариантом постановки задачи.

В первом варианте, когда непосредственно оцениваются координа-

НС НС

ты объекта, хI = XI, к . (х^) = ф(Х^), щ = уI С - у¡_( . Во втором варианте,

С

соответствующем оцениванию ошибок НС, х^ = Ауг- ,

кг (хг ) = ф(уНС - АуНС), щ = 0 [14].

Хорошо известно, что оценка, минимизирующая среднеквадратиче-ский критерий, и соответствующая ей текущая характеристика точности в виде условной матрицы ковариаций определяются с помощью следующих соотношений (см., например, [2,3]):

х

Р Ъ ) = МХ1 Ъ {

- ' X,

Здесь YI =

У1,..., Уi

т

накопленные к текущему моменту времени изме-

рения; /(XI / Ъ ) - условная апостериорная плотность. В приведенных выражениях интегралы понимаются как многократные с бесконечными пределами, а М - знак математического ожидания с нижним индексом, поясняющим, по какой плотности распределения вероятности оно вычисляется. В настоящее время накоплен ряд методов, позволяющих вычислять

77

оптимальные оценки (8) и соответствующие им матрицы ковариаций (9). Рассмотрение алгоритмов, применяемых при решении обсуждаемой задачи, выходит за рамки настоящей работы, с ними можно ознакомиться, например, в работах [2,3,14,19,29,30].

Располагая алгоритмом вычисления х^ (У] ) и используя метод статистических испытаний, можно получить оценку безусловной матрицы кова-риаций

оТ»L z

L J=1V

L

xí

xi Y) T x¡ - Y ) T-

характеризующей потенциальную точность оценивания. Здесь х} -реализации случайных векторов, соответствующие принятым моделям (6), (7), а х/(У^ ) - оценка, вырабатываемая алгоритмом для _/ -й реализации

измерений.

Вычисление значений безусловной матрицы ковариаций, как правило, сопряжено с высокими вычислительными затратами, которые обусловлены необходимостью проведения многократного решения задачи вычисления оценок XÍ (у/). Их удается значительно снизить при использовании неравенства Рао - Крамера (Cramer Rao Lower Bound-CRLB), определяющего нижнюю границу для безусловной матрицы ковариаций ошибки оценки, т.е. > J—1 [2,31,32]. Для модели (5) алгоритм вычисления CRLB сведется к следующему:

Jr

Qi + J—-1

-1

+

т7

dhi

dxi

dxi

T

f (xi) dxi

>-1

где J о = Px 1, Px - априорная матрица ковариаций для вектора состояния,

T

dhi

dxi

- производная от векторной функции векторного аргумента,

/ () - функция плотности распределения вероятности для х^, описываемого с помощью уравнения (5).

Замечание 1. Если ошибки НС принимаются постоянными, т.е. х!-1 = х, то в первом варианте задача сведется к оцениванию началь-

x7-

НС

ного положения траектории объекта Хо, поскольку 8у1 С = 0, а во втором

НС НС

- к оцениванию постоянной ошибки НС А, поскольку Ауг- С = Ауг-С = А. Выражение для матрицы нижней границы в этом случае можно записать как

3 I = 31-1 +

где / (X) - функция плотности распределения вероятности для начальной

точки траектории или ошибки НС соответственно. В ряде работ для таких моделей при решении задачи оценивания вместо условного математического ожидания при получении оценок координат используется небайесовский подход и соответствующий ему метод максимума функции правдоподобия.

Замечание 2. Можно показать, что для принятых моделей ошибок алгоритмы вычисления оптимальных оценок будут практически одинаковыми, чего нельзя сказать о безусловных матрицах ковариаций. Так, для частного случая, о котором говорится в первом варианте, разным реализациям у будут соответствовать истинные траектории, начинающиеся в разных точках. Во втором варианте траектория будет всегда одной и той же, а варьированию подлежат точки, используемые при вычислении

(НС НС\

у I -Ау ^Ау! . Отмеченное обстоятельство следует иметь в

виду при анализе точности и интерпретации получаемых результатов.

Информативность геофизического поля и методы ее оценивания

Как было отмечено во введении, под навигационной информативностью обычно понимают некоторую количественную характеристику (меру), определяющую эффективность использования поля для уточнения координат. При этом в современной литературе отсутствует единый взгляд на математическую формализацию этого понятия. Например, информативность может быть определена для отдельной точки, плоской кривой (траектории) или некоторой площади. Нередко такую характеристику представляют в виде карты, соответствующей карте исследуемого участка [22, 33 - 36]. Это позволяет выявлять информативные области и использовать их в дальнейшем, например, для выбора траектории движения. Рассмотрим далее некоторые известные методы оценивания навигационной информативности.

Один из подходов при исследовании навигационной информативности основан на вычислении характеристик, отражающих свойства самого поля. Для этого, как правило, вводится предположение о его стохастической природе, то есть поле и его реализации вдоль траектории рассматриваются как случайные. Назовем далее такой подход классическим.

В работе [33] в качестве показателей информативности используется понятие условной энтропии, заимствованное из теории информации. При этом карта поля рассматривается в качестве передатчика, а измерения - в качестве приёмника. Корреляция между этими величинами трактуется

т

щ

dx

dx

т

/ (X) dx

как процесс передачи информации. Авторами исследуется пространственная спектральная плотность поля и предлагается численная процедура построения карты распределения энтропии по исследуемому участку.

Нередко анализ информативности сводится к вычислению статистических характеристик, таких, как коэффициенты асимметрии и эксцесса [37] или радиус корреляции и дисперсия поля [35]. Указанные характеристики могут вычисляться как вдоль определенных направлений, так и для заданной площади. Рассчитывая их значения с помощью скользящего окна, удается построить карты информативности по направлению, траектории или площади, как это сделано, например, в [35].

Отдельно можно отметить оригинальную работу [22], в которой для расчета информативности, помимо статистических характеристик, привлекаются фрактальная размерность и коэффициент изотропности поля, характеризующий его неоднородность по различным направлениям.

Полученные значения характеристик обычно сравниваются с некоторым порогом (порогами), и на этом основании делается вывод о пригодности или непригодности участка для навигации. Достоинствами описанного подхода являются наглядность и простота вычисления требуемых характеристик. Вместе с тем, этот метод обладает несколькими существенными недостатками. Во-первых, зачастую отсутствует методика выбора пороговых значений для указанных характеристик. Во-вторых, из эвристических соображений нередко вместо исходных величин используются оригинальные функционалы, физический смысл которых сложно обосновать. Из этого вытекает основной недостаток «классического» подхода: с его помощью затруднительно получить адекватную оценку ожидаемой точности навигации. Не удается также сопоставить эффективность использования полей, различных по своей физической природе. Преодолеть указанные недостатки удается только в ряде случаев, введя в рассмотрение информацию об ошибках измерителя и карты поля Ау .

Вполне естественным представляется анализировать навигационную информативность с помощью характеристики, непосредственно определяющей точность решения задачи навигации по ГФП, т.е. безусловной матрицы ковариаций. В силу указанных выше причин вместо этой матрицы разумно использовать СКЬБ.

Анализ информативности на основе неравенства Рао - Крамера предлагался в работах [2, 3, 34, 36, 38 - 41].

Так, в работе [36] используется приведенная выше рекуррентная форма для вычисления информационной матрицы в случае, когда оцениваемый вектор содержит погрешности НС, изменяющиеся во времени. В ходе анализа предлагается упростить задачу, введя предположение о неизменности ошибок НС, а затем перейти к небайесовской (параметрической) форме неравенства Рао - Крамера, характеризующей, как известно, точность для фиксированного значения вектора неизвестных параметров [42].

80

В рассматриваемом случае такими параметрами являются координаты траектории объекта. Для анализа информативности в отдельных точках карты авторы вводят навигационный критерий:

NC

1

tr

С

2

где Сп

С(1) п

С 2)'

п

T

п

1,2... - точки исследуемой карты; Rn - матрица

ковариации суммарных ошибок карты и измерителя в исследуемой точке; V - дифференциальный оператор; ||*|| - знак нормы. Для полученной характеристики используется термин «navigability», который можно перевести как пригодность к навигации. По существу, критерий (13) представляет собой квадрат модуля градиента поля, деленный на величину, характеризующую суммарные ошибки карты и измерителя.

Карта информативности в [34] строится в рамках небайесовского подхода на основе предположения о существовании установившегося значения для матрицы ковариаций P (cn) в некоторой окрестности e исследуемой точки карты. Вектор состояния при этом описывает координаты подвижного объекта. Значения P(cn) вычисляются на основе информационной матрицы J , которая формируется путем осреднения информационных матриц Фишера в окрестности e согласно уравнениям

J

v ' M k=1 v '

Jk

где Ck удовлетворяют

Xn Xk

< е; М - количество точек осреднения. В

результате с использованием матрицы Р (%п) вычисляются значения навигационного критерия в виде радиальной среднеквадратической погрешности, определяемой как фг(Р (%п)). Из полученных значений формируется

карта информативности.

Важно заметить, что применяемые в работах [34,36] критерии являются скалярными. Это означает, что с их помощью не удается отразить особенности уточнения двух координат на получаемой карте информативности. Кроме того, на практике нередко встречаются участки поля, на которых, несмотря на осреднение, матрица J (%п) остается вырожденной

или плохо обусловленной при малых значениях е, что затрудняет ее обращение и не позволяет говорить о существовании установившегося значения для матрицы ковариаций Р

радиальная среднеквадратическая погрешность в этом случае будет монотонно возрастать. Характерный пример карты с такими участками можно найти в работе [43]. При этом актуальным остается вопрос: можно ли уточнить обе координаты объекта, и если да, то с какой точностью?

В сущности, в последнем случае задачу анализа информативности можно свести к поиску таких областей с различными направлениями градиентов, чтобы результирующая матрица (14), формируемая при их использовании, была обратимой и хорошо обусловленной.

Ниже описывается предлагаемая авторами процедура анализа навигационной информативности. В ее основе лежит уравнение (12), и при этом учтены особенности, связанные с необходимостью уточнения двух координат.

1. Для каждой точки карты в соответствии с выражениями (14), (15) при использовании модели (4) рассчитываются информационные матрицы Фишера и вычисляются их числа обусловленности Сп по формуле

/ ч Лпах

Сп () =-;—г, где 1тах,Лтп - максимальное и минимальное соб-

Лшп

ственное число матрицы Зп соответственно. Используя заданный порог для Сп, полученные значения разделяются на два класса: хорошо и плохо

обусловленных матриц (Сте1 и С*/1 соответственно); т, I - количество матриц в каждом классе. Значение порога может быть получено исходя из требуемой точности навигации. Если т /1 > 1, то обе координаты удается уточнить на большей части карты. В этом случае можно достаточно эффективно использовать скалярные навигационные критерии, например, предложенный в [36]. Если же т /1 £ 1, то для эффективной коррекции НС целесообразно выделять отдельные информативные участки для каждой из координат.

2. Для выбора информативных участков вычисляются Лу, у = 1,2 -

собственные векторы априорной матрицы ковариаций вектора х. Для полученных собственных векторов могут быть найдены соответствующие им производные поля по двум ортогональным направлениям. Критерий информативности по заданному направлению в этом случае примет вид

1 2

ХСлАХп)

^Л ДСп)

К

Выражение (16) позволяет получить две карты информативности, соответствующие осям априорного эллипса неопределенности.

3. Следующим этапом анализа является выделение на карте информативных областей, то есть тех, для которых значение критерия (16) превышает заданный порог. Его величина может быть выбрана на основе за-

данных требований к точности навигации или автоматически на основе методов, используемых, например, при обработке изображений. В настоящей работе для выделения областей использовался метод Оцу, в котором порог бинаризации выбирается по критерию минимума внутриклассовой выборочной дисперсии [44].

Поясним сказанное на примере. Рассмотрим карту геофизического поля, представленную на рис. 1.

О 5 10 15 20 25 30

Kinn

Рис. 1. Изолинии карты геофизического поля

Зададимся значением в = 100 м, используемым в выражении

Рис. 2. Карты информативности по направлениям и соответствующие им бинарные области

Предложенная процедура позволяет выделить наиболее информативные области для направлений, соответствующих собственным векторам априорной матрицы ковариаций вектора х (осям эллипса априорной неопределенности ошибок НС). При необходимости эти области могут быть охарактеризованы с помощью матриц Ja, а = 1...А, где А - выделенное количество информативных областей, рассчитанных в соответствии с (14), где осреднение проводится по всем точкам информативной области. Отметим, что в силу суммируемости информационных матриц Фишера указанный анализ может проводиться как для одного, так и для нескольких полей. В совокупности это создает предпосылки для выбора информативной траектории.

Выбор информативных траекторий

Задача выбора информативных траекторий тесно связана с задачей анализа навигационной информативности. В сущности, ее можно сформулировать так: требуется найти траекторию, на которой уточнение координат объекта происходит с достаточной или наилучшей точностью. При этом, как правило, должны быть учтены особенности, обусловленные динамикой объекта, длиной траектории и другими условиями.

Вполне естественно, что основой для построения таких траекторий являются карты информативности, полученные с помощью одного из рассмотренных выше методов.

В работе [33] траектория движения формируется на основе широко известного алгоритма A* [45]. Он является модификацией классического алгоритма Дейкстры, позволяющего выбрать кратчайший путь на графе. Алгоритм предполагает задание начальной и конечной точек маршрута, а траектория между ними оптимизируется по критерию минимизации суммарной энтропии. Учет ограничений, накладываемых динамикой объекта, производится путем замены «поворотов» вычисленной траектории на допустимые дуги, определяемые динамикой объекта.

В работе [46] рассматривается поход к выбору траектории движения объекта, основанный на использовании марковского процесса принятия решений (Markov decision process). Этот подход предполагает, что оптимальная траектория представляет собой марковскую цепь, в которой переход от предыдущего состояния в текущее осуществляется исходя из максимизации некоторой функции стоимости. Она, по сути, выбирается пропорциональной изменчивости поля в окрестности движения. Для проверки качества предложенного подхода используется нижняя граница точности, вытекающая из неравенства Рао - Крамера. Достоинством работы можно считать то, что динамические ограничения на траекторию накладываются непосредственно в процессе ее формирования.

Авторы работы [36] используют «Fast marching method» - один из подходов к формированию траектории, основанный на известном алгоритме распространения волны [47]. Скорость волны в каждой точке карты принимается пропорциональной значению информативности, полученному по критерию (13), а искомая траектория формируется как нормаль к изолиниям фронта распространения волны. Как и в работе [33], динамические ограничения накладываются на траекторию уже после ее формирования.

Указанные выше подходы обладают одним общим недостатком: для построения траекторий они используют скалярную карту навигационной информативности. При этом не учитывается «векторная» природа задачи, т.е. необходимость уточнения двух координат. В некоторых случаях, когда направление градиента поля часто меняется вдоль любой произвольной траектории, такое упрощение не приводит к существенному снижению качества решения задачи навигации. Если же информативность используемой карты «низкая» и информативные области, пригодные для уточнения различных координат, находятся на существенном расстоянии друг от друга, такие алгоритмы могут работать недостаточно эффективно. Поэтому необходим более тщательный способ выбора траектории.

Информативную траекторию предлагается искать в классе кусочно-линейных (ломаных). Такой тип траектории нередко предпочтителен для широкого класса объектов. Кроме того, для некоторых датчиков, в частности, для измерителей гравитационного поля, маневры могут приводить к значительному снижению точности измерений. Параметрами искомой тра-

ектории будет служить набор путевых точек С\ N, которые задают плоские координаты вершин ломаной. При планировании траектории будем опираться на модель (4), то есть считать, что погрешности навигационной системы неизменны во времени.

Воспользуемся бинарными картами информативности по направлению, полученными на основании предложенной ранее процедуры. Напомним, что они содержат в себе области, наиболее благоприятные для уточнения линейных комбинаций компонент вектора х, соответствующих собственным векторам его матрицы ковариаций. Вполне естественным представляется выбирать путевые точки благоприятной траектории внутри информативных областей. Например, для этого могут быть использованы их геометрические центры. С учетом табличного представления карты, а, следовательно, конечного числа точек, формирующих информативную область, путевые точки могут быть вычислены по формуле

1 М . ,

С1 = м1С>

где С^ - вершина ломаной, соответствующая информативной области;

г»

сп - М точек, принадлежащих информативной области.

Для формирования траектории полученные точки соединяются прямолинейными отрезками, например, с помощью алгоритмов решения задачи коммивояжера [48]. Описанная процедура гарантирует использование информативных областей для каждой из двух ортогональных линейных комбинаций компонент вектора х, соответствующих собственным векторам его матрицы ковариаций. Иллюстрация ее применения приведена на рис. 3.

а б в

Рис. 3. Путевые точки и траектория движения: а - информативные области в направлении оси абсцисс; б - информативные области в направлении оси ординат; в - информативная траектория на фоне изолиний геофизического поля

86

Предложенный простой алгоритм выбора траектории может быть легко усовершенствован. Очевидно, что для получения более точной оценки координат желательно произвести большее количество измерений в информативных областях. С учетом ограничений на траекторию движения для этого необходимо найти отрезок с максимальной длиной, лежащий внутри информативной области. Однако в связи с тем, что информативные области в общем случае представляют собой произвольные невыпуклые многоугольники, решение такой задачи может быть затруднительно.

Преодолеть указанную проблему можно путем аппроксимации границ исходных информативных областей эллипсами. Такое представление зачастую справедливо для «гладких» полей, таких, как гравитационное поле и поле рельефа дна. Аппроксимация информационной области эллипсом упрощает вычисление прямой траектории, поскольку ее можно выбрать совпадающей с большой осью эллипса. Параметры этих эллипсов - координаты центра, размеры малой и большей полуосей, а также угол наклона большей оси можно рассчитать следующим образом. Будем считать, что точки, принадлежащие информативной области, представляют собой реализацию некоторого случайного двумерного вектора. Используя метод статистических испытаний, нетрудно рассчитать выборочные первые два момента этого вектора - математическое ожидание и матрицу ковариаций. Тогда полученное значение первого момента будет представлять координаты центра аппроксимирующего эллипса, а остальные параметры можно найти с использованием формул вычисления параметров предельного эллипса погрешностей, располагая матрицей ковариа-ций [49].

Прямые отрезки, соответствующие большой оси аппроксимирующего эллипса, можно рассматривать как пару путевых точек. Поэтому, используя для планирования информативной траектории алгоритм решения задачи коммивояжера [48], нетрудно получить требуемую траекторию, иллюстрация которой приведена на рис. 4.

Описанный алгоритм планирования траектории целесообразно использовать в сочетании с анализом информативности на основе неравенства Рао - Крамера. Это позволяет легко оценить эффективность использования отдельных участков и принять решение об их включении в алгоритм планирования траектории. Такой подход позволяет эффективно использовать имеющуюся навигационную информацию даже для карт, в которых информативные области для разных координат находятся на значительном расстоянии друг от друга.

Отметим, что при снятии ограничения на кусочно-линейность полученная траектория может быть дополнительно оптимизирована, как например, это делается в работах [36, 46].

87

в г

Рис. 4. Требуемая траектория: а, б - информативные области для различных направлений, их аппроксимация и найденные прямолинейные участки; в - прямолинейные информативные участки на фоне изолиний геофизического поля; г - итоговая информативная

траектория

Заключение

Проведен обзор основных методов, используемых для оценки навигационной информативности карты геофизического поля и построения информативных траекторий. Предложена основанная на неравенстве Рао -Крамера, процедура исследования информативности, учитывающая необходимость уточнения двух координат подвижного объекта и создающая предпосылки для выбора информативных траекторий движения.

Исследование выполнено при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 18-19-00627).

Список литературы

1. Белоглазов И.Н., Джанджгава Г.И., Чигин Г.П. Основы навигации по геофизическим полям. М.: Наука, 1985. 327 с.

2. Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 1998. 370 с.

3. Bergman N. Recursive Bayesian estimation: Navigation and tracking applications. Sweden: Linkoping University, 1999. 219 p.

4. Бердышев В.И., Костоусов В.Б. Экстремальные задачи и модели навигации по геофизическим полям. Екатеринбург: ИММ, 2007. 270 с.

5. Современные информационные технологии в задачах навигации и наведения беспилотных маневренных летательных аппаратов / К.К. Веремеенко [и др.]; под ред. М.Н. Красильщикова, Г.Г. Себрякова ФИЗМАТЛИТ, 2009. 556 с.

6. Сырямкин В.И., Шидловский В.С. Корреляционно-экстремальные радионавигационные системы. М., 2010. 316 с.

7. Павлов Б.В., Волковицкий А.К., Каршаков Е.В. Низкочастотная электромагнитная система относительной навигации и ориентации // Гироскопия и навигация. 2010. № 1. C. 3-14.

8. A survey on Terrain Based Navigation for AUVs / S. Carreno [et al.] // OCEANS 2010 MTS/IEEE SEATTLE. IEEE, 2010. P. 1 - 7.

9. Щербинин В.В. Построение инвариантных корреляционно-экстремальных систем навигации и наведения летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ, 2011. 220 с.

10. Белоглазов И.Н., Казарин С.Н., Косьянчук В.В. Обработка информации в иконических системах навигации, наведения и дистанционного зондирования местности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 368 с.

11. Джанджгава Г.И., Герасимов Г.И., Августов Л.И. Навигация и наведение по пространственным геофизическим полям // Известия Южного Федерального университета. Технические науки. 2013. № 3 (140). C. 74 - 84.

12. Торопов А.Б. Алгоритмы фильтрации в задачах коррекции показаний морской навигационной системы с использованием нелинейных измерений: дис. ... канд. техн. наук. СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2013. 147 с.

13. Клюева С.Ф., Завьялов В.В. Синтез алгоритмов батиметрических систем навигации / Морской государственный университет им. адм. Г. И. Невельского, 2013. 132 с.

14. Степанов О. А., Торопов А.Б. Методы нелинейной фильтрации в задаче навигации по геофизическим полям. Ч. 1. Обзор алгоритмов // Гироскопия и навигация. 2015. № 3. (23). C. 102 - 125.

15. Современные методы и средства измерения параметров гравитационного поля Земли / под ред. В.Г. Пешехонова, О. А. Степанова СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 390 с.

16. Campbell J., de Haag M.U., van Graas F. Terrain Reference Navigation using Airborne LAser SCAnner (ALASCA). Preliminary Flight Test Results // Proceedings of the 60th Annual Meeting of The Institute of Navigation. 2004. P. 671-678.

17. Acquisition and tracking improvement by an enhanced comparison based terrain referenced navigation method / J. Metzger [et al.] // Proceedings of the Annual Meeting - Institute of Navigation. 2005. P. 970 - 975.

18. Carlstrom J., Nygren I. Terrain navigation of the Swedish AUV62F vehicle // Int. Symp. Unmanned Untethered Submersible Technol. UUST. 2005.

19. Vaman D. TRN history, trends and the unused potential // IEEE/AIAA 31st Digital Avionics Systems Conference (DASC). IEEE, 2012. P. 1A3-1-1A3-16.

20. Goldenberg F. Geomagnetic Navigation beyond the Magnetic Compass // IEEE, 2006. P. 684-694.

21. Kato N., Shigetomi T. Underwater Navigation for Long-Range Autonomous Underwater Vehicles Using Geomagnetic and Bathymetric Information // Adv. Robot. 2009. Vol. 23, № 7-8. P. 787-803.

22. The Gravity Matching Area Selection Criteria for Underwater Gravity-Aided Navigation Application Based on the Comprehensive Characteristic Parameter / B. Wang [et al.] // IEEEASME Trans. Mechatron. 2016. Vol. 21. № 6. P. 2935 - 2943.

23. Hostetler L. Optimal terrain-aided navigation systems. Palo Alto, CA: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1978. P. 20 - 30.

24. Nygren I. Terrain navigation for underwater vehicles. Stockholm, Sweden: Royal Institute of Technology, 2005. 270 p.

25. Anonsen B. Advances in Terrain Aided Navigation for Underwater Vehicles. Trondheim: Norwegian University of Science and Technology, 2010.

26. Multi-floor map matching in indoor environments for mobile platforms / C. Ascher [et al.] // 2012 International Conference on Indoor Positioning and Indoor Navigation, IPIN 2012 - Conference Proceedings. 2012.

27. A survey of parametric fingerprint-positioning methods / P. Müller [et al.] // Gyroscopy Navig. 2016. Vol. 7. № 2. P. 107 - 127.

28. Л.И. Августов [и др.]. Навигация летательных аппаратов в околоземном пространстве. М.: Научтехлитиздат, 2015. 592 c.

29. Степанов О.А., Торопов А.Б. Методы нелинейной фильтрации в задаче навигации по геофизическим полям. Ч. 2. Современные тенденции развития // Гироскопия и навигация. 2015. № 4 (91). С. 147 - 159.

30. Karlsson T. Terrain Aided Underwater Navigation using Bayesian Statistics / Institutionen för systemteknik. 2002.

31. Tichavsky P., Muravchik C.H., Nehorai A. Posterior Cramer-Rao bounds for discrete-time nonlinear filtering // IEEE Trans. Signal Process. 1998. Vol. 46. № 5. P. 1386 - 1396.

32. Степанов О.А., Васильев В.А. Предельно достижимая точность оценивания по Рао-Крамеру в задачах нелинейной фильтрации при наличии порождающих шумов и ошибок измерения, зависящих от оцениваемых параметров // Автоматика и телемеханика. 2016. № 1. С. 104 - 133.

33. Bar-Gill A., Ben-Ezra P., Bar-Itzhack I.Y. Improvement of terrain-aided navigation via trajectory optimization // IEEE Trans. Control Syst. Tech-nol. 1994. Vol. 2. № 4. P. 336 - 342.

34. Karlsson R., Gustafsson F. Bayesian Surface and Underwater Navigation // IEEE Trans. Signal Process. 2006. Vol. 54. № 11. P. 4204 -4213.

35. Конешов, В.Н., Непоклонов, В.Б., Августов, Л.И. Оценка навигационной информативности аномального гравитационного поля Земли // Гироскопия и навигация. 2016. № 2 (93). C. 95 - 106.

36. Reynaud S., Louis C. A universal navigability map building approach for improving Terrain-Aided-Navigation accuracy // Proceedings of IEEE/ION Position, Location and Navigation Symposium. IEEE, 2010. P. 888896.

37. Data map characteristic in aided navigation / H. Feng [et al.] // PLANS 2004. Position Location and Navigation Symposium (IEEE Cat. No. 04CH37556). IEEE, 2004. P. 771 - 774.

38. Степанов О. А. Приближенные методы анализа потенциальной точности в нелинейных навигационных задачах. Л.: ЦНИИ "Румб," 1986. 88 с.

39. Степанов О.А. Методы оценки потенциальной точности в корреляционно-экстремальных навигационных системах. М., 1993.

40. Бикеева М.М. Выбор информативных траекторий в задаче корреляционно-экстремальной навигации // Материалы докладов VIII Конференции молодых ученых. 2006. С. 192 - 196.

41. Выбор информативных траекторий в задаче корреляционно-экстремальной навигации с учетом погрешностей карты и измерителей / О.А. Степанов [и др.] // Материалы XXIX Конференции памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н.Н. Острякова. 2014. С.217 - 225.

42. Van Trees H.L., Bell K.L., Tian Z. Detection Estimation and Modulation Theory, Detection, Estimation, and Filtering Theory. 2nd Edition. 2013. P. I.

43. Anonsen K.B., Hagen O.K. Terrain aided underwater navigation using pockmarks // OCEANS 2009. 2009. P. 1 - 6.

44. Otsu N. A Threshold Selection Method from Gray-Level Histograms // IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 1979. Vol. 9. № 1. P. 62 - 66.

45. Hart P., Nilsson N., Raphael B. A Formal Basis for the Heuristic Determination of Minimum Cost Paths // IEEE Trans. Syst. Sci. Cybern. 1968. Vol. 4. № 2. P. 100 - 107.

46. Paris S., Le Cadre J.-P. Planning for terrain-aided navigation // Proceedings of the Fifth International Conference on Information Fusion. FUSION 2002. (IEEE Cat.No.02EX5997). Int. Soc. Inf. Fusion. 2002. Vol. 2. P. 1007 -1014.

47. Sethian J.A. Level Set Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science. Cambridge University Press, 1996. 237 p.

48. The traveling salesman problem: a computational study/ D.L. Applegate [et al.]. Princeton University press, 2011. 608 p.

49. Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1. Введение в теорию оценивания. 3-е изд. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 509 с.

Степанов Олег Андреевич, д-р техн. наук, проф., нач. отдела, soalaxamail.ru, Россия, Санкт-Петербург, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО,

Носов Алексей Сергеевич, инж., aleksey. sinosagmail. com, Россия, Санкт-Петербург, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО,

Торопов Антон Борисович, канд. техн. наук, ст. научн. сотр., toropov aamail.ru, Россия, Санкт-Петербург, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»

NAVIGATION INFORMA TIVITY OF GEOPHYSICAL FIELDS AND PATH PLANNING

IN MAP-AIDED NA VIGA TION

A.S. Nosov, O.A. Stepanov, A.B. Toropov

This paper deals with an analysis of the fields used in map-aided navigation. The variability of these fields plays the key role in the performance of map-aiding, thus the choice of an "appropriate " area of the field is prerequisite to accurate navigation. This choice can be made relying on a quantitative characteristic that determines the efficiency of using a geophysical field for navigation. The formulation of the map-aided navigation problem is given and methods for estimating the navigation informativity are analyzed. We discuss known characteristics and observe the relationship between them. Furthermore, a technique for selecting piecewise-linear informative trajectories is presented.

Key words: map-aided navigation, informative path, Cramer-Rao bound, geophysical field, navigability, navigation informativity.

Stepanov Oleg Andreevich, doctor of technical sciences, professor, head of dpt., soalaxa mail.ru, Russia, Saint Petersburg, JSC «Concern «CSRI Elektropribor», ITMO University,

Nosov Aleksei Sergeevich, engineer, aleksey.sinosagmail.com, Russia, Saint Petersburg, JSC «Concern «CSRIElektropribor», ITMO University,

Toropov Anton Borisovich, candidate of technical sciences, senior scientist, toro-pov aamail. ru, Russia, Saint Petersburg, JSC «Concern «CSRI Elektropribor»

92