Математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной обратной связи

УДК 621.372:621.375 Г.Н. Якушевич

Математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной обратной связи

Получена математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной обратной связи на основе заданных коэффициентов передачи, отражения и структуры двухполюсников комбинированной обратной связи (ОС). Получена обобщенная структурная схема активного четырехполюсника, представленного активным элементом, на входе и выходе которого включены фазирующе-трансформирую-щие цепи (ФТЦ) и симметрирующие цепи (СЦ).

Ключевые слова: математическая модель, активный четырехполюсник, широкополосный усилитель, двухполюсник, комбинированная ОС.

В настоящее время современные технологии позволяют на этапах проектирования и разработки получить требуемые параметры активных элементов (транзисторов). Поэтому актуальной задачей является определение требуемых параметров активных элементов для широкополосных усилителей с двухполюсниками ОС.

В работе [1] была получена математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного СВЧ-усилителя с двухполюсником параллельной обратной связи и показано, что прежде, чем ввести параллельную ОС, необходимо приблизить параметры активного элемента к требуемым параметрам активного четырехполюсника без параллельной ОС.

Постановка задачи. Определение в виде аналитических выражений математической модели активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС, на основе которых по заданным коэффициентам передачи, отражения и структуре двухполюсников комбинированной ОС рассчитываются требуемые параметры активного элемента без двухполюсников комбинированной ОС.

Математическая модель. Определение математической модели активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС (рис. 1) проведем в матричном виде. Для этого примем следующие обозначения:

51100 >$1200 ] г ,

; [ 5ач ] -

] =

>$2100 $2200

$11 АЧ $12 АЧ $21 АЧ $22 АЧ

1 1 0о і і Я о ; [гдоо] = і і N N О О О о г00 гоо _ ; [Е ] = "1 0] 0 1

[ 500 [7Дое ] -

где [$0с], [$АЧ], [РДОО], [2ДОО], [-£] - матрицы параметров рассеяния широкополосного усилителя с комбинированной ОС и активного четырехполюсника, матрица проводимости двухполюсника параллельной ОС, матрица сопротивлений последовательной ОС и единичная матрица.

Считая матрицу [50с ] заданной, перейдем на основе соотношений перехода от 5-параметров к 7-параметрам -от матрицы [50с ] к матрице проводимости широкополосного каскада с комбинированной ОС и вычтем из полученной матрицы проводимости матрицу проводимости двухполюсника параллельной ОС рос], затем на основе

соотношений перехода от 7-параметров к 2-параметрам, перейдем к матрице сопротивлений, из которой вычтем матрицу сопротивлений двухполюсника последовательной ОС [2ос ] и на основе соотношений перехода от 2-пара-

1 1

Активный

четырехполюсник 9 V

гп

Рис. 1. Активный четырехполюсник с двухполюсниками комбинированной ОС

метров к 5-параметрам запишем в матричном виде алгоритм определения матрицы рассеяния активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с комбинированной ОС:

[ач] = -

Из выражения (1), с учетом введенных выше обозначений, получим аналитические выражения для требуемых параметров активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с комбинированной ОС:

„ 2 51100 + (500 - г00) 5А

$11 ач---------------------------------------------------;

2+(5оо+гоо) 5в - (5оо - гоо) $о+25оо гоо 5А

„ _2 $12 00 + (500 + г00) 5Б - (500 - г00) $0 + 2500 г00 5А , .

019 ач-------------------------------------------------------------;

2 + (5оо + гоо) 5в - (5оо - г00) $0 + 2 5оо гоо 5А

„ 2 $2100 + ( 500 + г00 ) 5Б- ( 500 - г00) $0 + 2 500 г00 5А

091 ач = ------------------------------------------------------------------------ ;

2 + ( 5оо + гоо) 5в- ( 5оо - гоо) $0 + 2 5оо гоо 5А

2 $22 00 + ( 500- гоо ) 5А

099 АЧ = ------------------------------------------------------------------ ;

2 + ( 5оо + гоо ) 5в - ( 5оо - гоо ) $0 + 2 5оо гоо 5а

где 5А = ( $12 00 - 1 ) ( $2100 - 1 ) - 51100 $22 00 , 5В = $2100 + $12 00 - 2;

$0 = $11 оо + $22 00 , 5Б = $12 00 $2100 - 51100 $22 00 -1 .

Полученные соотношения (2)—(5) позволяют рассчитывать требуемые 5-параметры активного четырехполюсника для широкополосного усилителя на основе заданных коэффициентов прямой 59lo0 и обратной 5l9o0 передачи, коэффициентов отражения по входу и выходу 51100 и 599o0, заданной структуры двухполюсников 500 и г00 параллельной и последовательной ОС.

Коэффициент обратной передачи 51200 удобнее не задавать, а рассчитать из полученного соотношения (3) с учетом 512 на основе заданных значений 52100, 51100, 52200, 500 и г00 по следующему выражению:

(500 + г00)(1 + 5110052200) + (500 -г00)50 + 2500г00(52100 + 51100$2200 -1)-512АЧ5Е

51200 =-

2 + (500 + г00)52100 + 2500 г00(52100 -1)-512АЧ 5Г

где 5Е = (500 + гоо )(2 - 52100) + (500 - г00 )50 + 2500 гоо (52100 + 511 оо522 00 -1) - 2 ,

5Г = 500 + г00 + 2 500 г00 (52100 -1) .

Тогда с учетом выражения (6) соотношения (2), (4) и (5) запишутся

„ 251100 + [500

$11 ач =---------------------------------------------------------------------;

2 - 500

„ 4$2100 - 2500 50 -2гОО 5Н - 4500 г00 5К + 512 АЧ 5Ь _

521 ач =---------------------------------------------------------------------;

„ 2522ОО + [500

S99 АЧ =--------------------------------------------------------------------- ,

2-500

где

50 = (1+51100)(1+^22ОО)-52100; 5Н = (1-51100)(1-52200)-52100; 5К = 51100 $2200-(1-52100)2;

5Ь = [(500 + г00 )51100 + (500 - г00 )(1 - 52100 )][(500 + гОО )522 ОО + (500 - г00 )(1 - 52100)].

Полученные соотношения (7)—(9) определяют математическую модель в виде аналитических выражений для требуемых параметров активного четырехполюсника для каскада широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС.

Задавая значения 51100, 52200, 52100, 500 и г00 для заданной структуры двухполюсников комбинированной ОС, по соотношениям (7)-(9) можно рассчитать требуемые 5-параметры активного четырехполюсника без двухполюсников комбинированной ОС.

Требуемые ^-параметры идеально однонаправленного активного четырехполюсника для согласованного широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС

Для идеально однонаправленного активного четырехполюсника 512АЧ=0, а для согласованного широкополосного усилителя 5цОС=522ОС=0. Тогда согласно (7)-(9) требуемые 5-параметры и номинальный коэффициент передачи по мощности СНОМ определятся выражениями:

„ „ (уОС -^ос)(!-5210С) ,1ЛЧ

*11АЧ = *22АЧ = 2-(Уос + 2ос)(1-*2,ОС> ' ^

45210С -2(УОС + ^оС)(1-521 ОС) + 4УОС20С(1 -5210С)2

521АЧ =

[2 - (7ос + гОС )(1 - 521ОС )] ^ИОМ АЧ = |521 АЧ | I(1-|511Ач| 2 ) 2

Полученная математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с комбинированной ОС позволяет определить требуемые 5-параметры для любой заданной структуры двухполюсников комбинированной ОС и заданных параметров широкополосного усилителя. При условии 7ОС=0 или 2ОС=0 соотношения (10)—(12) определяют требуемые параметры однонаправленного активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с двухполюсником параллельной или последовательной ОС [1].

Из (10) следует, что при условии 70С=20С требуемые коэффициенты отражения по входу и выходу однонаправленного активного четырехполюсника для согласованного широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС 511АЧ=522АЧ=0 и 521АЧ (дБ)=ЄНОМ(дБ).

Считая широкополосный усилитель с комбинированной ОС идеальным, обладающим равномерной амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и линейной фазочастотной характеристикой (ФЧХ), т.е.

где /- текущая частота; /в - частота нормировки; задавая значение коэффициента передачи в виде

521ОС =| 52ЮС|ехР(г'21ОС) для заданных структур двухполюсников комбинированной ОС по

соотношениям (10)-(12), можно рассчитать требуемые 5-параметры активного четырехполюсника без двухполюсником комбинированной ОС.

Для Л-двухполюсников комбинированной ОС проводимость параллельной ОС и сопротивление последовательной ОС определим из выражения

^ОСЯ = ^ОСЯ =^

для последовательного ^^-двухполюсника проводимость параллельной ОС и параллельного ЛС-двухполюсника последовательной ОС находим

^ОСяь = ^ОСЯС=^осяД1+Л1 -©2юс/180°)] ;

для параллельного ЛС-двухполюсника проводимость параллельной ОС и последовательного ЛЬ-двухполюсника последовательной ОС находим

^ОСЯС = ^ОСЯЬ = ^ОСЯ-[1 + І •

Результаты расчета требуемого коэффициента передачи однонаправленного активного четырехполюсника для двухполюсников комбинированной ОС, рассчитанные на основе выражений (14)-(16) для коэффициента передачи широкополосного усилителя |821ОС| = 12 дБ и

021ОС = 180°, 135°, 90°, 45°, 0°, -45°, -90°, -135°, -180° , приведены в табл. 1-3.

Таблица 1

|^211, ©21 активного четырехполюсника для двухполюсников Уоск и ZOC-R комбинированной ОС

©21ОС, ° 180 135 90 45 0 -45 -90 -135 -180

|521^ дБ >90 18,1 12,6 10,0 9,2 10,0 12,6 18,1 >90

© 21, ° 90 69,1 47,4 25,2 0 -25,2 -47,4 -69,1 -90

Таблица 2

S211, ©21 активного четырехполюсника для двухполюсников FOCRL и ZOCRC комбинированной ОС

©21ОС, ° 180 1З5 90 45 0 -45 -90 -1З5 -180

S21 , дБ >90 15,5 10,8 9,4 10,2 12,9 17,0 17,0 1З,5

©21, ° 90 74,0 5б,2 З5,0 9,0 -25,4 -80,8 -159.б 148

Таблица З

S211, ©21 активного четырехполюсника для двухполюсников FOCRC и ZOCRL комбинированной ОС

©21ОС, ° 180 1З5 90 45 0 -45 -90 -1З5 —180

S21 , дБ >90 22,1 15,4 11,2 8,7 7,4 7,1 7,5 8,б

©21, ° 90 бЗ,З З7,0 11,2 -1З,1 -З4,0 -50,2 —б1,5 -б8,2

Полученные результаты показывают, что максимальный выигрыш в коэффициенте передачи 521ОС широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС по отношению к коэффициенту прямой передачи 521 активного четырехполюсника за счет положительной ОС при идеальном согласовании получается с УОсж и 7ос^_ двухполюсниками комбинированной ОС при ©21ОС = 0 (см. табл. 1), с У0Скх и 2ос^с двухполюсниками комбинированной ОС при ©21ОС > 0 (см.

табл. 2), т. е. увеличение задержки по фазе в цепи ОС приводит к уменьшению требуемого значения фазы по цепи прямого усиления, с У0СкС и 2осьь двухполюсниками комбинированной ОС при ©21ОС < 0 (см. табл. 3), т. е. уменьшение задержки по фазе в цепи ОС приводит к увеличению требуемого значения фазы по цепи прямого усиления.

В общем случае зависимости пара- ^

У ос

Рис. 2. Обобщенная структурная схема широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС

метров активного элемента отличаются от требуемых параметров активного четырехполюсника приведенных в табл.

1-З и для их сближения на входе и выходе активного элемента необходимо включать ФТЦ и СЦ [2, З]. Обобщенная структурная схема широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС на основе активного элемента с ФТЦ и СЦ на входе и выходе, образующими активный четырехполюсник, представлена на рис. 2.

Математическое моделирование широкополосного усилителя с комбинированной ОС. Математическое моделирование проведем на основе приведенной на рис. З эквивалентной схемы кристалла, отражающей в широком диапазоне частот частотные свойства биполярного транзистора.

Максимальная частота генерации кристалла биполярного транзистора на основе данной эквивалентной схемы определяется выражением

fmax~Va0 т/тк/4п ,

где ю т = 2п/т = 11(гэ Cэ); ют - круговая граничная частота; /т - граничная частота, на которой коэффициент передачи по току схемы с общим эмиттером равен 1; a0 - коэффициент передачи по току схемы с общей базой; гэ = 25,б [мВ] I 1э [siA] - сопротивление эмиттера для данного значения тока 1э, C-э - емкость эмиттерного перехода; тК = ^CK - постоянная времени коллекторного перехода; гБ - сопротивление базы; CK - емкость коллекторного перехода.

Рис. З. эквивалентная схема кристалла биполярного транзистора

Из выражения (17) следует, что при сохранении условия юТ!тК = const максимальная частота генерации для различных значений сопротивления базы тоже будет оставаться постоянной. При этом на высоких частотах реальные составляющие входного Re(ZBX) и выходного сопротивлений Re(ZBbiX) приближенно определяются из следующих выражений:

Re

На рис. 4-б приведенні принципиальные схемы и результаты расчета S-параметров для различных эквивалентных схем кристалла транзистора из табл. 4 и токе эмиттера 1э = 50 i^A. Номиналы элементов ФТЦ, СЦ и YOC рассчитаны по соотношениям, приведенным в [1-З].

12

11

1G

S11, S22 0,0б G,G4 G,G2

- S S /

1 — 22

0 0,2 0,4 0,б 0,8 1,0 F, ГГц

в

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 F, ГГц

б

Рис. 4. Принципиальная схема (а), коэффициенты 521 (б), 511 и 522 (в) для кристалла типа УТ1

Рис. 5. Принципиальная схема (а), коэффициенты 521 (б), 511 и 522 (в) для кристалла типа УТ2

0,54

S2b дБ, дБ

"Г

12 11 1G

0 0,2 0,4 0,б 0,8 1,0 F, ГГц

S11, S22 б

0,б

G,4

G,2

_ S„

Г" N. /

, ‘“’22 . \ Д-

0,2 0,4 0,б 0,8 1,0 F, ГГц

Рис. 6. Принципиальная схема (а), коэффициенты 521 (б), 511 и 522 (в) для кристалла типа УТ3

в

а

Результаты расчетов показывают, что чем точнее приближены 5-параметры кристалла транзистора (см. табл. 4) к требуемым параметрам активного четырехполюсника (см. табл. 1-3), тем равномернее частотная зависимость коэффициента передачи и меньше коэффициенты отражения широкополосного усилителя с комбинированной ОС (см. рис. 4, б, в). Отклонение от требуемых 5-параметров приводит к появлению неравномерности коэффициента передачи и увеличению коэффициента отражения на средних частотах (см. рис. 5, б, в и рис. 6, б, в).

Таблица 4

Тип ./max, ГГц Юттк гб, Ом Zвx, Ом ZВЫХ, Ом S11 1S 2, Б S21, дБ S22

VT1 З 1 50 50—1,6i 49—10i 0,016/-840 -45,8/-З,50 9,4/860 0,10/-910

VT2 З 0,25 50 50—1,2i 180—6Зі 0,012/-880 -5З,7/-2,50 7,5/870 0,61/-110

УТЗ З 0,25 12,5 12,6—0,8i 45—16i 0,6/-1780 -42,0/-8,20 7,4/810 0,18/-970

Экспериментальная проверка аналогичных теоретических исследований и математического моделирования была приведена автором в предыдущих статьях [1-3].

Полученные результаты:

- определена математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС в виде аналитических выражений (10)—(12), на основе которых рассчитываются требуемые 5-параметры активного четырехполюсника, к которым необходимо приблизить параметры активного элемента, прежде чем ввести двухполюсники комбинированной ОС;

- получена обобщенная структурная схема широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной ОС, представленного активным элементом, на входе и выходе которого включены ФТЦ и СЦ;

- приведены результаты математического моделирования широкополосных усилителей с ком -бинированной ОС для различных значений сопротивления базы гБ и произведения юттк эквивалентной схемы кристалла транзистора при постоянной максимальной частоте генерации /шах, при этом на верхних частотах получается выигрыш в коэффициенте передачи по отношению к номинальному коэффициенту передачи по мощности за счет положительной ОС (см. рис. 4, б - 6, б, заштрихованные области).

Литература

1. Якушевич Г.Н. Математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного СВЧ-усилителя с двухполюсником параллельной обратной связи // Доклады Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. - 2009. - №2 (20). - С. 32-37.

2. Якушевич Г.Н. Алгоритм расчета транзисторного широкополосного усилителя с двухполюсником параллельной обратной связи // Доклады Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. - 2010. - №1 (21), ч. 2. - С. 63-68.

3. Якушевич Г.Н. Проектирование транзисторных широкополосных усилителей с двухполюсником параллельной обратной связи // Докл. Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. -2011. - №1 (23). - С. 65-70.

Якушевич Геннадий Николаевич

Канд. техн. наук., доцент каф. средств радиосвязи ТУСУРа

Тел.: (382-2) 41-37-09

Эл. почта: mrc@main.tusur.ru

Jakushevitch G.N.

A mathematical model of an active four-port device for a wideband amplifier with the two-port serial and parallel feedback

There are given a mathematical model of an active four-port device for a wideband amplifier on a basis of provided forward coefficients, reflection coefficients and the structure of the combinatory feedback two-port. There is also given the structure circuit of the active four-port described by the active element with phase-forming and providing symmetry circuits at the input and output.

Keywords: Mathematical model, active four-port device, wideband amplifier, serial and parallel feedback two-port.