О влиянии температуры поверхности на структуру длинноволновых вихрей Гертлера

Том XXXIV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 3

№ 1—2

УДК 532.526.011.55.011.6

О ВЛИЯНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ НА СТРУКТУРУ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ВИХРЕЙ ГЕРТЛЕРА

В. В. БОГОЛЕПОВ, М. Е. ГОЛУБЦОВ

Исследовано влияние температуры поверхности на структуру длинноволновых вихрей Гертлера в сжимаемом пограничном слое при больших числах Гертлера. Показано, что по мере охлаждения поверхности уменьшается длина волны вихрей и перестают действовать механизмы взаимодействия между различными частями возмущенной вихревой области, которые определяют их характерные размеры. При некотором значении температурного фактора длина волны достигает предельной величины, равной толщине пограничного слоя.

Дальнейшее охлаждение поверхности уже не приводит к ее изменению.

Характеристики вихрей вблизи сильно охлажденной поверхности рассчитаны в линейном приближении. Получено, что инкременты амплитуды вихрей уменьшаются с ростом номера моды, а увеличение числа Маха набегающего потока только незначительно повышает значение инкремента для первой моды и практически не сказывается на величинах инкрементов для старших мод. Получено также, что с увеличением числа Маха вихри не смещаются к внешней границе пограничного слоя, как это происходит в пограничном слое около нехолодной поверхности.

Асимптотическая теория вихрей Гертлера [1] в пограничном слое жидкости около вогнутой поверхности при больших числах Рейнольдса и Гертлера была построена в [2]—[8]. Изучениевихрей Гертлера в сжимаемом пограничном слое требует дополнительно учитывать влияние числа Маха набегающего потока, температуры поверхности, числа Прандтля, протекание физико-химических процессов в газе и т. д. Особый интерес вызывают исследования влияния охлаждения поверхности, так как без этого невозможно обеспечить необходимую прочность конструкций гиперзвуковых летательных аппаратов.

В [9] было получено, что в гиперзвуковом пограничном слое на теплоизолированной поверхности наиболее быстро растущие коротковолновые вихри располагаются около его внешней границы, в так называемом температурном слое согласования (temperature adjustment layer), где температура быстро убывает от ее значения в пограничном слое до величины в набегающем потоке. Однако в [10], [11] было показано, что при нулевой температуре поверхности нейтральные коротковолновые вихри располагаются непосредственно на ней, а при ее нагреве, как в жидкости, всплывают в основную часть пограничного слоя. Растущие же вихри всегда располагаются вблизи поверхности. Влияние охлаждения поверхности на структуру вихрей Гертлера в гиперзвуковом пограничном слое рассматривалось в [12].

Результаты численных расчетов динамики вихрей в линейном приближении не дают однозначного ответа о влиянии температуры поверхности на скорость роста вихрей [13]—[16]. В [17] впервые аналитически показано, что когда длинноволновые вихри образуют трехслойную возмущенную структуру течения [18], нагрев поверхности оказывает на них стабилизирующее воздействие.

В настоящей работе показано, что охлаждение поверхности «замораживает» механизмы взаимодействия различных частей возмущенной вихревой области и уменьшает длину волны вихрей до величины, соизмеримой с толщиной гиперзвукового пограничного слоя. Представлены также результаты расчетов характеристик вихрей в линейном приближении.

1. Рассматривается обтекание вогнутой поверхности равномерным потоком вязкого совершенного газа. Предполагается, что ее безразмерная кривизна мала к = Ь / Я << 1 (Я — радиус кривизны поверхности; Ь — расстояние от ее передней кромки до точки зарождения вихрей), число Маха в набегающем потоке велико М?  1, а число Рейнольдса большое, но докрити-ческое Яе^р^и?Ь/ 1 (т. е. пограничный слой около поверхности остается ламинарным). Здесь р?, и? е — значения плотности газа, его скорости и коэффициента

вязкости в набегающем потоке. В дальнейшем все линейные размеры относятся к Ь, давление р и

2 2

энтальпия к — к величинам р?и? и и?, а остальные функции течения — к своим значениям в набегающем потоке и используются только безразмерные переменные.

Принимается также, что возмущения давления за счет вытесняющего действия пограничного слоя Др5 и за счет искривленности поверхности Арк малы по сравнению с давлением в набегающем потоке:

Я 1 7 1

Др5 ---------- Дрк --------------------------------------------------------

5 Мм м2 Рк Мм м2

где 5 — толщина пограничного слоя. Поэтому в пограничном слое с характерными размерами А * 1 и Ду^ 5 (ось х направлена вдоль поверхности, ось у — по нормали к ней) для функций течения справедливы оценки режима слабого гиперзвукового вязко-невязкого взаимодействия

[19]:

иЖ 1, 5, р^ р^ ^ М2, 5^ -М-

М2 Яе?2

где и и у — компоненты скорости вдоль осей х и у. При получении этих оценок использовались

линейная зависимость коэффициента вязкости от энтальпии и уравнение состояния для

совершенного газа:

ц=АМ2к, ур=

где А — некоторая постоянная; у — отношение удельных теплоемкостей.

Использование оценок (1.2), соотношений (1.3) и введение вертикальной координаты типа Лиза — Дородницына

1 Уу

п

V2X 0

позволяют получить известные автомодельные уравнения пограничного слоя:

п к’ 2

и"+фи'=0, ф=| иёп,-------+фк'=-и' ,

J Рг

и

(У-1) М00

где ( ) = ё/ёп; индекс <^» относится к величинам на поверхности, а число Прандтля Рг постоянно. Решением краевой задачи (1.5) являются автомодельные профили продольной компоненты скорости щ (п) и энтальпии к (п) в некотором сечении Х0  1 невозмущенного пограничного слоя.

2. Хорошо известно, что при превышении критической величины числа Гертлера С„= 2 ( Яе?7М2)( Ь/Я ) двумерный ламинарный пограничный слой около вогнутой поверхности может потерять устойчивость [1]. Тогда внутри него появляются вытянутые в направлении потока

стационарные вихри Гертлера, и течение из двумерного становится трехмерным. Ниже исследуется развитие таких вихрей с длиной волны, превышающей толщину пограничного слоя, при больших значениях числа Гертлера ОотПх/8П 1, к=хК, КП1, 80 хП 1, когда они заведомо существуют.

Рассматривается возмущенная вихревая область течения с характерными поперечными размерами ДуП 8 и ДгП 8 (ось г перпендикулярна плоскости ху) на конечном расстоянии х0П1 от передней кромки поверхности. То есть принимается, что возмущенная вихревая область занимает всю толщину пограничного слоя, что вихри локализованы внутри него и что сохраняются оценки (1.2) для следующих функций течения:

При построении многослойных схем течения эта область — основная часть пограничного слоя — в отечественной литературе обычно отмечается номером 2 [20], номером 1 обозначается внешняя по отношению к ней слабовозмущенная область равномерного набегающего потока, а номером 3 — внутренняя пристеночная часть пограничного слоя.

Предполагается, что образование вихрей вызывает нелинейные возмущения в пограничном слое (Ди ~ и ~ 1, например). Тогда в поле центробежных сил возникает дополнительное возмущение давления Др, которое индуцирует компонент скорости V в направлении оси г:

Так как возмущенная вихревая область является существенно трехмерной, то из уравнения неразрывности получаются оценки для ее характерного поперечного размера Дг и вертикальной компоненты скорости V:

Сопоставление порядков величин основных конвективных и диссипативных членов уравнений

Навье — Стокса показывает, что вязкость в возмущенной вихревой области

необходимо учитывать только при Дх ~ 1, а при Дх  1 вязкие эффекты в ней несущественны.

При рассмотрении трехмерных возмущенных областей пограничного слоя с характерными поперечными размерами Дг^ 5 необходимо учитывать их возможное взаимодействие с внешними слабовозмущенными областями равномерного набегающего потока, где р и 1 (например, [21]). Для существования взаимодействия между такими областями необходимо, чтобы в них сохранялся постоянным порядок величины вертикальной компоненты скорости у

12

[20]. В данном случае внешней будет область 1 с характерными размерами (5/х)  Дх<1 и

12

Ду^ ДгП(х5) Дх^ 5. Оценки показывают, что в ней индуцируется возмущение давления

Др^ риуДу/Дх^ х12532/Дх , которое при Дх^ (5/х)12 меньше по порядку величины, чем то,

которое индуцируется около внешней границы возмущенной вихревой области 2 (см. оценки (2.2)). Это означает, что во внешней области 1 только затухают возмущения, которые индуцируются в возмущенной вихревой области 2, и нет обратного на нее воздействия.

Оценки (2.1)—(2.3) позволяют сформулировать краевую задачу, решение которой

112

описывает развитие длинноволновых вихрей Гертлера при Дги (х5)' Дх^ 5 и О^х/5^ 1,

когда они локализованы внутри пограничного слоя. Это решение в локально-невязком линейном приближении получено в [17], где показано, в частности, что при увеличении длины волны вихрей (или поперечного размера возмущенной вихревой области Д г), как и в пограничном слое

иОИО 1, рП ~Кг, ЦП М2. М2

ДрП к ри 2ДуП -^, ^П ^Др 1 П(х8)1/2.

М2 I р )

где (5/х)^ Дх<1 — характерный продольный размер возмущенной вихревой области.

жидкости [5]—[8], первая мода отделяется от последующих и ее линейное развитие должно происходить на меньших характерных расстояниях А x.

Теперь рассматривается развитие длинноволновых вихрей с Аz 5, которые вызывают линейные возмущения (Ам^ u 1, например) в основной части пограничного слоя (в области 2) при Ау^ 5 и могут индуцировать нелинейные возмущения (Ам^м^ 1, например) в его пристеночной части (в области 3) при Ау^ 5. Принимается, что в этой области коэффициенты

напряжения трения ст и теплового потока с

5 ц Г ди Л 5 В ц

Г дк Л

с9 =-

дУ ), Ы2 Рг Рг I

у,

где В и С — некоторые постоянные, сохраняют порядки своих величин. Тогда при учете первого соотношения из (1.3) удается получить профили продольной компоненты скорости м и энтальпии к в этой части невозмущенного пограничного слоя:

^1/2

•л

С Г и =—I 2 В Ау +* Г - С К,, к=1 '2 В Ау

В1 ~Л Т м) В м * ЧТ т

С и « Ау В к « к., + АУ - а' — 1 ое г

Акм , 5 ’ 5 1 5 )

К <1.

Полагая, что течение в области 3 вязкое пространственное и нелинейное, из сопоставления порядков величин основных членов уравнений Навье — Стокса (Яе^рмдм/& д(цдм/ду)/ду,

д(рм)/ дх^ д(ру)1 ду^ д(рм>)/дz, Ар^ р^2 ) при использовании приближенных соотношений для продольной компоненты скорости м и энтальпии к (2.4) удается получить оценки для ее толщины Ау, продольной компоненты скорости м и возмущения давления Ар:

2

Ау^Ах13, Ах13, Ар^ 2 АZ ... .

М2 К Ах I

В основной части пограничного слоя (в области 2) с характерной толщиной Ау^ 5, где порядки величин продольной компоненты скорости м, энтальпии к, плотности р и вязкости ц определяются из оценок (2.1), возмущение давления Ар создается за счет центробежных эффектов и имеет тот же порядок величины, что и в пристеночном слое 3:

Ар^крмАмАу^ А

Ы2 Ы2 к,Аг4/3 '

<&' р,і-

Из этого соотношения и из сопоставления порядков величин членов уравнения неразрывности получаются следующие оценки для возмущений компонент скорости Ам и V:

Л7 2 ^ 2

Ам^------47^, v----------—.

К Ах 4 х5 К Ах / X

В [17] было показано, что за счет центробежных эффектов в области 2 возмущение давления Ар увеличивается по порядку величины по мере приближения к внешней границе пограничного слоя, и в возмущенной области 1 внешнего равномерного набегающего потока с характерными размерами 5^ Ау^ Аг^ Ах^ 1, где продольная компонента скорости м «1,

плотность газа р«1 и его энтальпия к «1/м2 , оно будет иметь следующий порядок величины:

АрП-

КАх* '

Сопоставление порядков величин членов уравнения сохранения вертикального импульса позволяет тогда оценить вертикальную компоненту скорости V

Аг

vП

к, Ах13 '

Оценки (2.5) и (2.6) позволяют получить следующее условие нетривиального сращивания решений в областях 3 и 2:

а оценки (2.6) и (2.7) — соответствующее условие сращивания решений в областях 2 и 1

АгП хАх .

Первое соотношение из (2.3), (2.8) и (2.9) (соответственно линии 1—3 на рис. 1) образуют треугольник на плоскости хг, характерных протяженности Ах и поперечного размера Аг возмущенной вихревой области. Совместное выполнение условий (2.3) и (2.9) определяют точку А, где первая длинноволновая мода отделяется от последующих,

А хП

Г 5 Л12

х

А гП 5.

При выполнении одновременно условий (2.8) и (2.9) (точка В) для возмущенной вихревой области с характерными размерами

Г5Л3/7 АхПк6/71-

а.

АгПк, ?У756/7

реализуется полная трехслойная структура течения [5]—[8], [17], [18]. В [17] было аналитически показано, что для такого режима нагрев поверхности оказывает стабилизирующее воздействие на развитие вихрей. И, наконец, совместное удовлетворение условий (2.3) и (2.8) (точка С) определяет максимальные характерные размеры вихрей

АгП/76, АгП й6 (х5)1/2 •

Легко убедиться, что по мере охлаждения поверхности (уменьшения величины к,) точки В (2.11) и С (2.12) приближаются к точке А (2.10) и при

Ах

к,П

Г5Л112

чХ)

сливаются с ней. Следует отметить, что при таком охлаждении поверхности остается справедливым ограничение (2.4) и пристеночная область 3 является изотермической. Кроме того, при выполнении соотношения (2.13) перестают действовать механизмы взаимодействия различных частей возмущенной вихревой области, которые определяют ее предельные

Рис. 1

характерные размеры (2.10). Поэтому дальнейшее охлаждение поверхности уже не будет менять их, а может приводить только к каким-то изменениям внутри возмущенной вихревой области.

3. Теперь рассматривается возмущенная вихревая область с характерными размерами

Ах^ (5/х)12 и Ау^ Аг^ 5 вблизи сильно охлажденной поверхности при 0<кщ <(5/х)112 . То есть

возмущенная вихревая область занимает всю основную часть 2 пограничного слоя около вогнутой поверхности. Оценки (2.1)—(2.3) позволяют ввести для этой области новые переменные и асимптотические разложения функций течения:

х=х0 +

^1/2

х2, у=5у2 , г = 5г2,

м=м2 +..., V=(х5)12 V2 +..., щ=(х5)12 ^2 +...

12.

р=-

ум2

Х5 1

— р2 +..., р=—^Р2

М:

М2

к=к2 +•••, Ц=Мооц2 +••• .

Здесь, как обычно, в разложении для давления р опускаются несущественные для дальнейшего члены, которые не участвуют в создании поперечной компоненты скорости w. Подстановка разложений (3.1) в уравнения Навье — Стокса и в (1.3) и осуществление предельного перехода

М2

сю, 5^0, х^0, Мот5^0, М^Х^О, 5^ £ 1

показывают, что в первом приближении течение в области 2 описывается следующей системой «невязких» уравнений:

д

дх,

ду2

дгг,

=0,

дм дм9 дм^

'Л2—2+V^—2+wr 2

дх,

^2

дгп

(

Р2

дУ2

дхп

м2

V дх2

(

Р2

дv-

У2-----------Г УУ2

ду2

м

дщ ^ др. дг

др2 ду2

=0,

V

дх

У 9-------------Г УУ 9

ду? &.

2 4/2 2 У

дк дк дк

_1_л 1 _1_ -и >

2 = 0, 2

^ ^ дх,

С^2

- +

дгг,

=0,

(У-1)р2 к2 =1.

Так как в области 2 оказываются несущественными диссипативные члены, то на вогнутой поверхности может выполняться только условие непротекания

v2 = 0 ( у2 = 0).

Начальные условия получаются из сращивания с решением для невозмущенного пограничного слоя

у2

м2 ^0 (у2 ), V2, »2 ^0, р2 ^-К | Р0м02дуг,

0

Р2 ^Р0 (у2 ), к2 ^к0 (у2 ) (х2 ^-ю),

на внешней границе возмущенной вихревой области принимаются такие же краевые условия, как на внешней границе двумерного пограничного слоя,

так как отсутствует взаимодействие с внешней областью 1, а в поперечном направлении задаются условия периодичности

где X — длина волны вихрей.

Решение краевой задачи (3.3)—(3.7) описывает нелинейное «невязкое» развитие вихрей Гертлера с поперечными размерами, соизмеримыми с толщиной пограничного слоя Ау^ Аг^ 5 ,

когда число Гертлера велико Ою^х/5^ 1. Так как характерная протяженность возмущенной вихревой области Ах^ 1 мала по сравнению с характерной длиной, на которой происходит изменение функций течения в пограничном слое, то эволюция вихрей происходит в плоскопараллельном потоке. Такой же режим развития вихрей Гертлера около теплоизолированной поверхности рассматривался в [22]. Для удовлетворения условий прилипания вблизи поверхности можно дополнительно рассмотреть вязкий подслой.

Последующая линеаризация краевой задачи (3.3)—(3.7) относительно начальных условий

(3.5), использование нормально-модового представления решения [23] и введение вертикальной координаты п (1.4) позволяют преобразовать ее к одному дифференциальному уравнению в обыкновенных производных для функции V =^/^0

Решение краевой задачи (3.8) позволяет определить ее собственные функции V(п) — вертикальную компоненту вихревой скорости и собственные значения в — инкремент амплитуды вихря.

Результаты расчетов (3.8) в широком диапазоне изменения чисел Мю и Рг, значений кщ и отношений толщины невозмущенного пограничного слоя и длины волны вихрей представлены в [17], [24]. В рассматриваемом случае развития вихрей Гертлера около сильно охлажденной поверхности их поперечные характерные размеры являются предельными в том смысле, что они равны по порядку величины толщине пограничного слоя и в переменных задач (1.5) и (3.8) они относились к одним и тем же величинам:

Сильное охлаждение вогнутой поверхности означает, что в краевой задаче (1.5) при расчете

м2 щ2 ^ ^ к2 ^

/(*2, у2, г2 ) = /(*2, у2, г2 +Х), /=м„ V2, р2, р2, к2,

1 2м0 к0 м0 к

П'( 0 )=Vl (ю)=0.

функций течения в невозмущенном пограничном слое м0 (п) и к0 (п) в качестве внутреннего краевого условия следует принимать

к ( 0 )=0.

Из [17], [24] известно, что изменение числа Прандтля Рг оказывает незначительное влияние на характеристики вихрей Гертлера. Поэтому число Маха в набегающем потоке Мю является фактически единственным параметром краевой задачи (3.8).

Расчеты собственных решений (3.8) выполнены методом обратных итераций со смещением [25] при у = 1,4 и Рг= 1. На рис. 2 представлены зависимости инкремента амплитуды вихрей в от Мю для первых трех мод (кривые 1—3 соответственно). Заметно, что с ростом номера моды

величина в существенно уменьшается, а вот увеличение числа Маха вызывает некоторое возрастание инкремента для первой моды и практически не влияет на величину инкрементов старших мод.

На рис. 3—5 представлены профили вертикальной компоненты вихревой скорости V для первых трех мод при значения числа Мю = 5, 10, 15 и 20 (кривые 1—4 соответственно). Из вида этих профилей можно сделать вывод, что увеличение числа Мю практически не приводит к смещению вихрей (экстремумов функций V(n)) к внешней границе пограничного слоя около сильно охлажденной поверхности, как это происходит при конечных значениях кщ [26]. Заметно только, что с ростом числа Мю существенно ослабляется затухание собственных функций при

п ^ ю. Это происходит из-за того, что к  1/МЮ при п ^ ю. Однако при этом же происходит соответствующее растяжение координаты п. В физических же переменных затухание собственных функций не зависит от величины числа Мю [17], [24].

4. Схема, представленная на рис. 1, при к^ 1 является «длинноволновой частью» общей асимптотической схемы развития вихрей Г ертлера в пограничном слое жидкости около вогнутой поверхности [8]. Тогда точке С соответствуют вихри с максимальными характерными размерами

112,

Ах^ 1 и Аг^ (х5) . Краевая задача, решение которой описывает развитие таких вихрей,

содержит диссипативные члены и, соответственно, управляющий параметр подобия, являющийся аналогом местного числа Рейнольдса. При определенных значениях этого параметра удается получить в линейном приближении нейтральные длинноволновые решения (при нулевых значениях инкремента амплитуды вихрей в = 0) для различных вихревых мод. Для меньших значений этого параметра (или больших характерных размеров вихрей) инкременты амплитуды вихрей будут отрицательными, а при его увеличении решение для первой моды переходит в решение для полной трехслойной структуры течения (линия 2 и точка В), а решения для всех последующих мод переходят в соответствующие решения для вихрей, локализованных внутри

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

пограничного слоя (линия 1 и точка А). Тем самым выстраивается нейтральный длинноволновый предел для вихрей Гертлера в жидкости и замыкается вся асимптотическая теория их развития.

В рассматриваемом случае развития вихрей в сжимаемых течениях около холодной

поверхности при hwU 1 их максимальная характерная протяженность AxUhWu 1 и

соответствующая краевая задача уже не будет содержать диссипативных членов и столь необходимого для замыкания асимптотической теории вихрей Гертлера управляющего параметра подобия. Поэтому пока проблематичной остается задача построения решений для нейтральных длинноволновых вихрей.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 01-01-00189) и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта 00-15-96070).

ЛИТЕРАТУРА

1. Gortler H. Uber eine dreidimensionale Instability laminarer Grenzschichten an kon-kaven Wanden//Nachr. Geselsch. Wiss.— Gottingen, Math.—Physike, Fachg. 1.— 1940, B. 2, N 1.

2. Hall P. Taylor — Gortler vortices in fully developed or boundary-layer flows: linear theory//J. Fluid Mech.— 1982. Vol. 124.

3. Hall P. The linear development of Gortler vortices in growing boundary layers//

J. Fluid Mech.—1983. Vol. 130.

4. Боголепов В. В., Дегтярев Л. М., Дроздова О. М.,

Липатов И. И . Асимптотическая структура вихрей Тэйлора — Гертлера в пограничном слое.— М.: ИПМ АН СССР им. М. В. Келдыша.— 1988. Препринт № 156.

5. Боголепов В. В., Липатов И. И. Асимптотический анализ развития вихрей Гертлера в пограничном слое жидкости около вогнутой поверхности.— Жуковский:

ЦАГИ.— 1990. Препринт № 8.

6. Тимошин С. Н. Асимптотический анализ пространственно-неустойчивого спектра вихревой Г ертлера// Изв. АН СССР, МЖГ.— 1990, № 1.

7. Denier J. P., Hall P., Seddougui S. On the receptivity problem for Gortler vortices: vortex motions induced by wall roughness//Phil. Trans. Roy. Soc.— London, Ser. A.—

1991. Vol. 335.

8. Боголепов В. В., Липатов И. И. К асимптотической теории вихрей Гертлера в пограничном слое жидкости// ПМТФ.— 1992, № 3.

9. Hall P., Fu Y. On the Gortler vortex instability mechanism at hypersonic speeds//

Theoret. Comput. Fluid Dynamics.— 1989. Vol. 1, N 3.

10. Bogolepov V. V. Investigation of surface temperature influence on Goertler vortices incipience// AIAA Paper.— 1995, N 95-2297.

11. Боголепов В. В. Исследование спектра коротковолновых вихрей Гертлера в газе// ПМТФ.— 1998. Т. 39, № 5.

12. Elliot J. W., Bassom A. P. The effect of wall cooling on compressible Gortler vortices// Eur. J. Mech., B— Fluids.— 2000. Vol. 19.

13. Kobayashi R., Kohama Y. Taylor — Gortler instability of compressible boundary layers// AIAA J.— 1977. Vol. 15, N 12.

14. E l - H a d y N. M., V e r m a A. K. Gortler instability of compressible boundary layers//

AIAA J.— 1984. Vol. 22, N 10.

15. Spall R. E., Malik M. R. Goertler vortices in supersonic and hypersonic boundary layers// Phys. Fluids, A.— 1989. Vol. 1, N 11.

16. F u B. Y., Hall P., B l a c k ab y N. On the Gortler instability in hypersonic flows: Sutherland law fluids and real gas effects// Phil. Trans. Roy. Soc.— London, Ser. A.— 1993.

Vol. 342, N 1665.

17. Боголепов В. В. Асимптотический анализ структуры длинноволновых вихрей Гертлера в гиперзвуковом пограничном слое// ПМТФ.— 2001. Т. 42, № 5.

18. Боголепов В. В., Липатов И. И. Влияние сжимаемости на развитие вихрей Тейлора — Гертлера при больших числах Рейнольдса// Изв. РАН, МЖГ.— 1997, № 1.

19. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: Изд. иностр. лит.— 1962.

20. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений//

Труды ЦАГИ.— 1974. Вып. 1529.

21. Боголепов В. В. Исследование режимов пространственного течения около искривленной поверхности// ПМТФ.— 1989, № 1.

22. Dan do A. H., Seddougui S. O. The compressible Gortler problem in twodimensional boundary layers // IMA J. Appl. Math.— 1993. Vol. 51.

23. Smith A. M. O. On the growth of Taylor — Gortler vortices along highly concave walls// Quart. Appl. Math.— 1955. Vol. 13, N 3.

24. Боголепов В. В. О развитии вихрей Гертлера в гиперзвуковом пограничном слое// Изв. РАН, МЖГ.— 1999, № 5.

25. Воеводип В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления.— М.: Наука.— 1984.

26. W a d e y P. On the linear development of Goertler vortices in compressible boundary layers// Eur. J. Mech., B — Fluids.— 1992. Vol. 11.

Рукопись поступила 4/II2002 г.