Расчет цилиндрической оболочки переменной жесткости, взаимодействующей с нелинейно-деформируемым основанием

УДК 539.3

Н.Ф. Синева, Ф.С. Селиванов, Д.В. Никитюк

РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С НЕЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫМ ОСНОВАНИЕМ

Предложена методика расчета оболочечных конструкций с локальной неоднородностью, взаимодействующей с многослойным основанием. Математическая модель для материала слоев основания строится на основе деформационной теории пластичности. Построен алгоритм численных исследований и приводятся результаты расчета деформации оболочечной конструкции, взаимодействующей с двухслойным основанием, с учетом неоднородности в конструкции.

Конструктивный элемент, цилиндрическая оболочка, основание, воздействие агрессивных сред на материал, неоднородные сплошные среды, упругопластическое деформирование, наведенная неоднородность

N.F. Sineva, Ph.S. Selivanov, D.V. Nikityuk CALCULATION OF THE CYLINDRICAL SHELL VARIABLE STIFFNESS INTERACTING WITH NONLINEAR DEFORMED BASIS

The authors present a technique for calculating shell structures possessing local heterogeneity and interacting with a multilayer substrate. The mathematical model for the material base layers is based on the deformation theory of plasticity. The algorithm of numerical studies and the calculation data of the deformation in the shell structure are presented coupled with the double-layer basis, and with due consideration of the design heterogeneity.

Structural element, cylindrical shell, base, effect of corrosive media on the material, inhomogeneous medium, elasto-plastic deformation induced by the heterogenity

Развитие эффективных моделей и методов расчета сооружений с учетом реальных условий деформирования является актуальной научной проблемой в области математического моделирования и строительных наук. Подъем грунтовых вод и подтопление оснований строительных сооружений при-

водят к изменению их деформационных свойств. При этом важное значение приобретает развитие исследований, позволяющих учитывать изменение внешних факторов при построении теорий расчета. Появляется возможность прогнозировать поведение конструкции, которая уже построена, и предсказать гарантированное время ее безопасной эксплуатации. При проектировании нового строительства возможно уточнение расчетных моделей для реальных условий.

С целью описания изменения свойств оснований в результате природных и техногенных воздействий может быть использована теория наведенной неоднородности [2,3]. Согласно положениям этой теории, уравнения состояния материала записываются в инкрементальном виде, в основе физических соотношений приняты гипотезы деформационной теории пластичности в скоростях и кинетические уравнения для описания деградации материала с течением времени. Уравнения модели носят связанный характер - деградация зависит от напряженно-деформированного состояния в точке тела, а напряженно-деформированное состояние зависит от уровня деградации материала в данной точке. Таким образом, в отличие от деформационной теории в процессе деформирования изображающая точка меняет положение не только на диаграмме деформирования, она описывает траекторию в «пространстве», переходя с одной диаграммы на другую в результате изменения самой диаграммы.

Для получения замкнутой системы дифференциальных соотношений, описывающей процесс деформирования, необходимо иметь уравнения равновесия, граничные условия, уравнения состояния и соотношения для изменений параметров уравнений состояния от параметров внешнего процесса. Может приниматься инвариантная форма уравнений состояния, тогда в качестве параметра выступает время взаимодействия. Если воздействие однопараметрическое, то параметр один, как в данном примере влажность основания.

Рассматривается упругая круговая цилиндрическая оболочка радиуса И, неоднородная по высоте, взаимодействующая со слоистой средой основания, в которую она заглублена. Глубина основания изменяется по координате Z. В качестве граничных условий примем шарнирное опирание (рис. 1).

Оболочка изотропна по координате 0 (угол в цилиндрической системе координат).

Рис. 1. Неоднородная цилиндрическая оболочка, неравномерно нагруженная изнутри и взаимодействующая с нелинейно деформируемой слоистой средой

В качестве модели основания рассмотрим модель, аналогичную модели В.З. Власова, но запи санную в приращениях. При этом приращение перемещения точки М(х, г) запишем в виде следую щих конечных разложений:

Ли(х,г) = £ Аи; (х)-ф. (г) (1 = 1..т);

1=1

п

^(х,г ) = £ ^(х )-у к (г) (к = Ьл),

I к=1

Сами перемещения точки М(х, г) определяются как накопленная сумма всех приращений, то есть в виде

Ги (х,г ) = £ Аи(х,г); (х,г) = £ Лw (х,г).

Функции Л и (х) и Л (х) являются неизвестными, а ф. (г) и ^к (г) - линейно независи-

мыми, безразмерными функциями, подлежащими выбору в соответствии с кинематическими условиями задачи.

16

<

Уравнения состояния, согласно теории наведенной неоднородности, записываются в приращениях [1, 2]:

До у = ЕуИ Дек1 + Г ¿|к1ек1,

Здесь 1..к1, {., - функции переменных состояния, которые в инкрементальных теориях приращения отсчитываются от текущих значений переменных состояния.

Для случая плоской задачи уравнений состояния определяются (в матричной форме) [2, 3]:

б4 < 3 иГ иГ иГ аТ Д 3 и"4 2 и"4 иГ е11

До 33 = Е21 Е22 Е23 Де33 + Г Г Г А 21 А 22 А 23 3 3

До1з Е31 Е32 Е33 Де13 3 Г3 2 Г3 Г31 е13

{Е.. } | характеризуют изменение свойств материала слоистой среды с наведенной неодно-

родностью, а

, а {Г.}

1 Ч -^=1,3

свойства материала слоистой среды с наведенной неоднородностью на дан-

ном шаге инкрементальной теории.

Получаем разрешающие уравнения относительно приращений перемещений для деформаций оболочечной конструкции, взаимодействующей со слоистой средой в случае плоской деформации будут иметь вид

Эх2

Б

Э 2Д^

Эх2

У

+Д^ _ I

к=1

1 -Vоб К2

| Е33¥ к^1^2

дw;+

2

I

к=1

Н

н эе н н эе

^_33 ^ к ^ | Ез2^ к ^ 23 V к № _ I Е23^к

о Эх о о Эz о

Н

2

_ I

к=1

НЭЕ НЭЕ

I -т32 V/k¥ldz _ I -т21 V/k¥ldz _ I Е22¥>^

о Эх о Эz о

'Н

IГ33^ к

ДWk =

:ДР+1

к=1

w;+

2

+1

к=1

"Н ЭГ33 Н Н ЭГ23 , Н , ,

Vк V 1dz + I Г32 Vк Vldz _ Vк V1^ _ I Г23 Vк Vldz

о Эх о о Эz о

Wk/ +

и

о

2

+ I

к=1

Н ЭГ Н ЭГ Н

1 -Г2 V; ^ _ I -г2 V; ^ _ IГ22 V к ^

о Эх о —2 о

Wk,

2

I

к=1

IE33V к V 2dz

дw;+

2

+1

к=1

Н ЭЕ Н Н ЭЕ Н

I -Т33 VкV2dZ + I E32V,kV2dZ _ I "Г23 VкV2dZ _ IЕ23VкV,2dZ

о Эх о о Эz о

ДWk'

2

+1

к=1

Н ЭЕ Н ЭЕ Н

I ^ ¥кV2dz _ I V/kV/2dz _ I Е22¥>2^

_о Эх о Эz о

Н

IГ33VкV 2dZ ^

ДWk =

2

=_1

к=1

2

I

к=1

Н ЭГ Н Н ЭГ Н

VкV2dZ + I Г32VкV2^ _ Vк¥2^ _ I Г23Vк¥2^

о Эх о о ЭZ о

Wk

и

о

о

2

I

к=1

Н "Г н "г н

I ^Г2 V/kV2^ _ I -Г2 <V2dz _ I

о Эх о Эz о

w,

при этом

Н = И1 + и2

Компоненты матриц {—.. }.. 1 з и {ГЛ,|=1,3 имеют следующие выражения:

Ео . 9-(1 _ 2-V)’ Ег

р 8 Е, (2 1

Ец =--------------------------+ Р  \ _  е,,-------------е33

11 9 1 + ^ 13 11 3 33

+

Е12 = \ 3 ’ е11 _ 3 ’ е

33

1 2 Л _ Е0 Ес

3 е11 + 3- е33)в+9-(1 _ 2-V) _ ЙГ+О;

E13 = \ 3  el1 3  ^3 |  ^3  Р;

Е = 1 Ес

Е01 =----------

"21

9 1 + V

+ Р-1 т е11 _Т езз

1

2

Е

о

с

3

3

3  еп + 3 е331 + 9 (1 _ 2-V)’

Е

23

1 2 Л «• ^ 8 Ес

_ 3 - е11 + 3 - е33 I - е13 в ; Е22 = “

1

2

+ \--------е„ +— е33

9 1 + ^ I 3 11 3 33

2

в +

Е

9-(1 _ 2-V)’

Е31 = \ 2 - е11 3 - е33 1 - е13 Р ’

Е

1

2

Г11 = 3

_ 3 -е11 + 3 -езз I-е13 в’ Е33 =

Е

+ в- е

2 - V _ 1 Ес

1 _ с

Л

X-

V

Е1 _ Е

2-(1 + Vс) Е

о У

Ек Ес -(1 _1 -(1 + Vс)-(2-V_ 1)х 1 + ^ I 3 с

с

Е

- 3 -

о

(1 + Vс)- (2-V_ 1)-

Е* _ Е

Е

+ 2 + 2 - V,-

ЛЛ

УУ

-Л

Г =_1 -

12 3

2-(1 + Vс) Е

Е^ _ Ег

оУ

-(1 _1 -(1 + v с )-(2 v_ 1)х

х

Е. _ Е,

(1 + Vс)- (2-V_ 1)-"к "с + 2 + 2-V,

Е

уУ

У

Г

21

2 - V _ 1 Е,

Л

х

Е

о J (

Ек Ес -(1 _1 -(1 + Vс)-(2-V_ 1)х 1 + ^ I 3 с

Е* _ Е

V

Е

+ 2 + 2-V,

Л

УУ

Г = 2 ^

22 3

(

1 _ 2 - v _1 ^ —с

2-(1 + Vс) Е

Л

Е*

х

-* _ Е*

Ек Ес ^ 3 ^

Г - -

оУ

/

1 + V

Е* ( 1

с (1 _3-(1 + Vс)-(2^_ 1)х

с

Тч _Тч

(1 + Vс)- (2-V_ 1)-с + 2 + 2-V,

V

Е

\\

УУ

_А

2-(1 + Vс) Е

л

с

о У

Е** _ Е

1 + V

с V

1 _ 3-(1 + V с )-(2 - V _ 1)х

*

*

с

1

3

*

с

*

с

X

ЕК - ЕС „

----- • 3 •

Е

Г С Е* - Е* ЛЛ

(1 + V С )• (2 •у-!)• С + 2 + 2 •у

-Л

Е

} . характеризуют изменение свойств материала слоистой среды с наведенной неоднородностью, а {Г.}. . 13 - свойства материала слоистой среды с наведенной неоднородностью на данном шаге инкрементальной теории.

Е*К , ЕС - переменные касательный и секущий модули деформаций в возмущенном влиянием внешнего воздействия состоянии, а также V с = 0,5 - Ес/Е° • (0,5-у), Е° = Е/(1 -V2), V° = V /(1 - у), при этом Е - модуль деформации среды основания, а V - коэффициент Пуассона.

Неоднородность оболочки связана с разрывом жесткости В. Для описания разрывов жесткости оболочки используем единичную функцию Хевисайда:

Г1, х < х°;

«°

[°,х > х°.

Для решения задачи применяем метод Бубнова-Галеркина. Координатные функции в соответствии с граничным условием шарнирного опирания выбирались в виде синусов.

Длина оболочки Ь = 6 м, толщина стенки И° = °,5 м, радиус оболочки R = 4 м. Модуль упругости материала Е = Е(х), в верхней трети оболочки Еоб1 = 18°°° МПа, в нижней трети оболочки Еоб3 = 18°°° МПа, в средней трети оболочки Еоб2 = 27°°° МПа, коэффициент Пуассона Voб = °,35. Толщина 1-го слоя основания И1 = 1 м, 2-го слоя - И2 = 3 м. Начальный модуль деформации 1-го слоя основания Е1 = 35481 кПа, 2-го слоя - Е2 = 9845 кПа, коэффициент Пуассона основания V = °,35. К оболочке приложена нагрузка интенсивностью q = 3°° кН/м (с шагом 1° кН/м), которая увеличивается от ° (х = ° м) до 1°° кН/м (х = 6 м).

Функций будет две, для х° = 2 и х° = 4. Подставляя в интегралы по длине и производя инте-

грирование, реализуем разрывы жесткости.

Функции у к (7) примем следующие:

¥1 (г) =

^ 1и у 2 (2) =

°, И1 < 7 < И1 + И2,

7

—, ° < 7 < Ь1;

V 1

И1 + И2 - 7 ,

1 . 2------, ^ < 7 < ^ + Ь2.

Ь2

Графики перемещений срединной поверхности оболочки, поверхности контакта 1-го и 2-го слоев основания, а также изгибающего момента представлены на рис. 2.

Рассмотрим модель неоднородной цилиндрической оболочки, взаимодействующей со слоистой средой с учетом деградации свойств этой среды вследствие увлажнения 2-го слоя основания.

При зависимости модуля деформации 2 слоя от влажности [2]:

с

Е2

2 2ьс-а

где ь = 2,°687, а = 5°,752.

Параметр влажности С, представленный в процентах, изменяется от начального значения С° = 25,8 до значения, соответствующего полному водонасыщению СВ = 32,8.

Графики перемещений срединной поверхности оболочки, поверхности контакта 1-го и 2-го слоев основания, а также изгибающего момента представлены на рис. 3.

0.0000 0.0010 0.0020 0.0030 -0.0030 -0.0020 -0.0010 0.0000 0.0010

"к

2

\ 1

\ЛЛ м

9- м,

/

(

N

—в -

кН*м

а б

Рис. 2. Неоднородная цилиндрическая оболочка с неравномерным по х внутренним давлением qФconst а - перемещения срединной поверхности оболочки (график 1) и поверхности контакта 1-го и 2-го слоев основания (график 2); б - изгибающий момент

0.0000 0.0010 0.0020 0.0030 -0.0030 -0.0020 -0.0010 0.0000 0.0010

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

\ 1

м

е- } м,

6-

кН*м

а б

Рис. 3. Графики для неоднородной цилиндрической оболочки (q=const), взаимодействующей с нелинейно деформируемым основанием: а - перемещения срединной поверхности неоднородной цилиндрической оболочки (1) и поверхности контакта 1-го и 2-го слоев основания (2); б - изгибающий момент

ВЫВОДЫ

1. Предложенная в работе методика расчета цилиндрической оболочки, взаимодействующей со слоистой средой, позволяет решить широкий спектр практически важных задач. При этом могут варьироваться различные свойства среды (физический закон, влияние влажности), геометрия и свойства материалов оболочки и нагрузка.

2. Варьирование толщины и модулей материалов оболочки служит регулированию ее жесткости, следовательно, величин ее перемещений и изгибающих моментов, а также перемещений основания, что может быть положено в основу создания рациональных проектов конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Власов В.З. Избранные труды / В.З. Власов. М.: Наука, 1964. Т. 3. 407 с.

2. Петров В.В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 1996. 312 с.

3. Петров В.В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к расчету конструкций на неоднородном основании / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 2002. 260 с.

Синева Нина Федоровна -

доктор технических наук, профессор кафедры «Инженерные изыскания и информационные технологии в строительстве» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Селиванов Филипп Сергеевич -

кандидат технических наук, доцент, кафедры «Инженерные изыскания и информационные технологии в строительстве» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Никитюк Дина Владимировна-

аспирант кафедры «Инженерные изыскания и информационные технологии в строительстве»

Саратовского государственного

технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья пос

Nina F. Sineva -

Dr. Sc., Professor

Department of Engineering Investigations

and Information Technologies in Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Philipp S. Selivanov -

Ph. D., Associate Professor

Department of Engineering Investigations

and Information Technologies in Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Dina V. Nikityuk -

Postgraduate,

Department of Engineering Investigations

and Information Technologies in Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

типа в редакцию 15.10.11, принята к опубликованию 01.12.11