Вторые моменты числовых характеристик многоканальных систем массового обслуживания с очередью конечной длины

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, З. Фадхкал

ВТОРЫЕ МОМЕНТЫ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЧЕРЕДЬЮ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь,обслуживающее устройство.

В работе представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины. Проведена подробная математическая формализация модели и впервые вычислены вторые моменты всех важнейших числовых характеристик систем массового обслуживания этого типа.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

The mathematical model of multi-channel queuing system of the open type with queue of the finite length is presented. A detailed mathematical formalization of the model is held; for the first time the second moments of all the important numerical characteristics of queuing system of this type are calculated.

Вторые моменты являются одними из основных числовых характеристик систем массового обслуживания (СМО) различных типов. Между тем даже для систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания аналитические формулы этих величин известны лишь для ограниченного числа моделей. При этом моменты высших порядков сравнительно хорошо изучены лишь для одноканальных моделей различных СМО, в том числе и не обязательно марковского типа [например, Риордан]. Что же касается систем массового обслуживания с большим числом каналов, то в опубликованной к настоящему времени научной литературе можно найти лишь формулы вторых моментов некоторых числовых характеристик для модели с неограниченным объёмом накопителя (в рамках классификации Дж. Кендалла - модель М/М/т).. [2]. Для более же сложных моделей эти характеристики неизвестны. В настоящеё работе впервые вычислены вторые моменты всех основных числовых характеристик СМО наиболее общего типа - многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины в предположении о простейшем входящем потоке заявок и экспоненциальном времени их обслуживания многоканальным устройством.

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания, для которой фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; в частности, предположим, что в очереди одновременно могут находиться не более Е заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания ( заявок в единицу времени. При этом в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем т + Е . Ясно, что при Е = 0 такая система массового обслуживания сводится к СМО с отказами (модель М/М/т/0), а при Е - к системе массового обслуживания с очередью бесконечной длины (модель М/М/т).

Граф состояний такой системы изображен на рис. 1. Отсюда в соответствии с общими формулами для вероятностей стационарных состояний [например, 3] мы сразу можем записать результат решения уравнений Колмогорова для стационарных вероятностей в следующем виде: Рк

Р 1

Рк =—Р0 при к < т ; к!

к

Рк ='

Р

m !m

к -m

Р0 при m < к < E,

и тогда

Р0 =

т jn+1

jp)+V

m mm

m+2

m+E

Р

m!m

m!m

E

-1

em-1(P) +

Р

m

m!

1 + ) +

Р

+ ••• +

Р

E \

m

m

где

e

m

(p) = 1 + Р + Р + • + 1! 2!

Р

m

m

E

-1

m!

- неполная экспонента. Отсюда в силу известной формулы для суммы конечной геометрической прогрессии имеем

Р0 = i em-1

m-1(P)+

Р

1-(p) mf

+1

-1

Заметим также, что последнюю можно переписать ещё и в виде

формулу для po

Р0 =

m

Р

m+1

,-1

m

!

1-

,

e

7

сп

(N

О К Рч

что очевидно. При E = 0 формулы для p§ и pk дают классическую модель А. Эрланга. При E ^ го и р< m получаем аналогичные соотношения для модели M/M/m, поскольку в этом случае

(р/m)E ^ 0. Если же р > m, то при E ^ го

lim' Pol E ^го=РГ (mlр)' р

то есть с ростом Е - стремится к нулю.

Данная модель работает при всех значениях параметра накачки (заявок в систему) р. Случай р — т, однако, должен быть разобран особо, поскольку в этом случае знаменатель в формуле для Р0 содержит неопределенность типа 0/0, раскрыв которую по правилу Лопиталя, имеем

р=т

„m-l

em-1(m) + , (E +lP

(m -1)!

-l

em-2

-2 (m)+

m

m-l

(m -1)!

-l

Заметим, что, как показывает практика, в действительности последняя формула начинает работать, то есть давать более точные значения Р0 , чем формула (1) не только тогда, когда строго выполняются условия равенства р — т , но уже в некоторой окрестности значений параметра р вокруг точки р — т . Для достаточно больших Е и р — т , очевидно,

^ (m -1)!

P=m~ mm-1 E'

Числовые характеристики установившегося режима

Найдем вероятности отказа и ожидания обслуживания для заявок, поступающих в систему. Ясно, что поступившая заявка получает отказ, если заняты все т обслуживающих каналов и все Е мест в очереди, то есть

ротк = pm+ E = '

р

m+E

m! m

E

Po.

Относительная пропускная способность

m+ E

q = 1 ротк = 1

P

E

P0 :

m!m

как обычно, дополняет вероятность отказа до единицы. Абсолютная пропускная способность СМО в этом случае равна

( т+Е Л -Р0

A = Äq = Ä

1 -

m!m

E

у

Вероятность ожидания, как обычно, определяется формулой

m+E-1 „ m+E-1 .k

= v =P0 v p -

^жисг / Pk = . / ,

k=m

m! km m-™

_р Р0

(

т

л р р 1+—+...+

_Е-1 Л

т

тЕ~

-1

р Р0

(т - 1)|(т -р) так что в этом случае

1-

Е

-1

р0 — [ ет- 1(р) + (Рожид + Ротк )/ Р0 ]

то есть вероятность отсутствия заявок в системе

Р0 —

1 Рожид Ротк ет-1

и тогда

Рожид + Ротк — 1 - Ст-1(р) Р0 ;

_т+Е

г-1(р) +

Рожид — 1

ет-1(р) + р Е

Р0-

то есть

или

Рожид + Ротк — 1 Робсл ; Рожид — 1 - Робсл - Ротк

Рожид — Ч Робсл .

При Е ^ го и р< т соотношение (3) переходит в соответствующую формулу модели М/М/т, а при р — т, согласно правилу Лопиталя, даёт

I — -—Е — тт-1

Рожид\р—т - т! Ер0 — (т -1)!

ЕР0.

При значениях параметра р , близких к т , отсюда имеем

рожид^ ' Ер0 х. т!

1-Е~1Г1 р\ ММ [х_р

2 I т) 6

ту

Аналогичную формулу для вероятности отказа можно получить из соотношения (2), представив его как

тЕ Ротк { р+1-11 —

т! I т

т

р Р0 т!

[1 -(1 -р/т Я

Е

и применяя к этому выражению формулу бинома Ньютона:

т

Ротк ^ х т!

т

т

Заметим, что при р — т

Ротк\

т

т+ Е

р-т

Е

т т!

Р0 —

т

„т-1

(т -1)!

Р0-

то есть в этом случае Рожид — Е Ротк . В частности, как видим, при Е — 1 и р — т вероятности ожидания и отказа равны друг другу, при достаточно больших значениях Е вероятность ожидания близка к единице, а вероятность отказа ведет себя

как Е 1. Очевидно также, что рожид — 0 при Е — 0.

Вообще говоря, вероятность отказа максимальна при Е — 0 (вариант А. Эрланга) и равномерно стремится к нулю при Е ^ го . Вероятность ожидания равна нулю при Е — 0 и стремится к некоторой максимальной величине (зависящей от р и

т ) при Е ^ го при условии, что р < т . Если

обозначить величину р/т через X, то отношение

Ротк к Рожид примет вид

/ (х) — х

Е 1 - X

1 - X

Е

Легко проверить, что это всюду неотрицательная функция, монотонно возрастающая с ростом X от

0 до го, проходя значение Е 1 в точке X — 1.

Среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов),

_ т т+Е

т—ЕкРк + ЕтРк —

к=0

к—т+1

рк , Р0 т+Е „ р

-+е

—Р0 Е кТТ I т

к=0

к! т к—т+1 ---

= рР0

—рр0

1 т+е к-1

ет-1 (р) + —! I к т 1

т!, ^ лтк - т-1

к—т+1

1 т+Е-1 р

ет-1(р)+— Е —к

т! к—т т

к-т

х

2

х

к

т+Е-1

Р 2 Рк =Р

к=0

или, что то же самое,

т = А =Л{(-Ротк ) = р(1 - РотК ). Р

Р

В этом случае коэффициент загрузки системы к-з- = (1 - Ротк ) =

( т+Е Л 1--7~ЁР0

к т !т J

соответственно коэффициент простоя к. П. = 1-Р(1 - Ротк ).

т

Дисперсия числа занятых каналов

т т+Е 0

2 хл 12 2 хн ~2

От = 2 к Рк +т 2 Рк - т =

к=0

к=т+1

т ,2 Рк т2 Р0 т+Е рк -2 = Р0 2 к2Т7 2 — т

к=0 к! т! к=т+1 т

т к (к-1 +1) к

= Р0 2^—^рк +

к - т

к=0

„2 „т+1 (

+

т р Р0

т!т

к!

2

Е-1Л

л Р Р Р 1+—+——+...+—-

ч т т2 тЕ-1 J

—2

- т =

= Р2Р0 ет-2 р)+РР0 ет-1р)+

+

т рт+1 Р0

( т-1

1-

Р

т

ЧЕ

—2

- т =

2

=Р

Л т-1 2 Рк - Рт-1 +Р2 Рк +

V к=0 J к=0 _2

+ т РРожид - т , и тогда, в силу тождества (4), в котором

т-1

ет-1(Р) Р0 = 2 Рк , к = 0

имеем

о

т

= Р2 (1-Рожид - Ротк - Рт-1)+

+ Р(1 Рожид Ротк )+т Р Рожид т Но, очевидно,

Рожид + Ротк =

1-(р/т )е+1

Р Р0

и тогда

т Р ((Рожид + Ротк ) Р Рожид =

1-(р/т )е+1

т Рт+1 Р0

т+2 ^

Р Р0

1-

(р/т ^ ]=

т+1 ^

Р Р0 ,

т-т

+1

Р + Р

(р/т ) ] =

„т+1 ^

Р Р0 =Р2 Р

= Р Рт-1,

то есть

(т -1)!

О =Р2 (1-Р,

ожид готк

)-

- т Р( Рожид + Ротк ) +

2

+р Рожид " Рожид Ротк ) +

22

+ т Р Рожид-Р (1- Ротк ) =

= р (1- Рожид - Ротк - т Ротк )+

+ р (1- Ротк ^))?отк =

= т-р[ Рожид +(т - т )Ротк]. Среднее время обслуживания заявки одним каналом

tобсл =1 Р = т/А, его дисперсия О^бт =1Р .

Согласно общей формуле, среднее число требований в очереди

_ т+Е Р т+Е Р

I = 2 (к - т)Рк = т 2 (к - т) Р ~

к=т+1 ' к =т+1

к -т

„т+1 (

Р Р0

т!т

т

2 Е-1 Л

1 + 2 Р + 3 Р +... + Е Е-V т т2 тЕ 1J

и тогда в силу формулы для суммы конечной геометрической прогрессии имеем

X

от+1 ^

I — р Р0 2 х

рт+1 Р0 Е

т!т

2

1 -

\Е+1

Более компактную запись формулы для 1 получим, использовав соотношения для рожид и ротк :

1 —

от+1 ^

р Р0

1-

Е

_т+1

р Р0 -Е (р/т)Е (1-р/т)—

(т - 1)!(т -р)2

р р Р0

т

- р

1 -

Е

-Е

т+Е ^ р р_р0

Е

т - р т т!

р

' (рожид Е ротк ) .

т-р

В том случае, когда р — т, из формулы (5), согласно правилу Лопиталя, имеем

/

т

т Р0

Е

р—т т!

2 (т -1)! 2

Р0

или

Е

р—т

ротк\

Е +1

р—т 2

р—т

Заметим, что при значениях р , близких к т

рожид Е р(

р

т

отк'

т!

Ер0 х

1-Г1 | ^-1)(Е-2)(1-р

т

-1+Е ЕЕ1 и.

т

т

р Р0 т!

2

р

т

Е

2

то есть

2

1 - 3

Дисперсия числа требований в очереди

т+Е _

а! — Е (к -т)2 рк-I1 —

к —т+1

Р) тЕ (к - т)2 рк _12 —

т!

к —т+1

т

„к -т

„т+1 ^ ( р Р0

т!т

1 + 4р + ... + Е2 р

,Е-1Л

V

т

т

Е-1

-

у

откуда в силу формулы для суммы прогрессии имеем

т+1

а2—р Р0 х

—

(т -1)!

.р—Е+^—Зш^'Е-Е|

ее+2

—

р

-Я —р

т+1

р {—+р) 1-(р—) |

(т-1)! (т-р)3

рт+ЕР0 Ер2—+EЕ-р)] т!— (т-р)2

ррожи

д—+р-Ерротк[ 2—+Е(т-р) ]

(т-р)2

-I2—

__р{Рожи_EРотK—+р -Е(Е+1) рРотк—-р " (—-р2

-12 — (т + р)1- рЕ (е +1 Ротк - I2 т-р

В вырожденном случае при р — т

2

аII —

1\р—т

—-1

^р0 Е (Е +1) (2Е +1) 12 ---1

(т -1)!

6

р—т

х

х

х

/

2

2

X

2

6

2

х

_ E (E + 1)((2E +1) , _ - 2

- 6 Ротк\ p_m 1

6

Рожид\

p_m

_ I

p_m 2

p_m

В заключение укажем, что результаты расчётов, полученные в настоящей работе, могут быть полезны при проектировании и эксплуатации достаточно широкого класса объектов и систем, рабо-

тающих по принципу систем и сетей массового обслуживания.

Литература

1. Дж. Риордан, Вероятностные системы обслуживания. Москва, Связь, 1966 184 с.

2. В.Ф. Дьяченко, В.Г. Лазарев, Г.Г. Саввин. Управление на сетях связи, Москва, Связь, 1968. 224 с.

3. Е.С. Вентцель, Исследование операций, Москва, Советское радио, 1972. 408 с.

© А. П. Кирпичников - д-р. физ.-мат. наук, зав. каф. ИСУИР КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru; З. Фадхкал - аспирант каф. ИСУИР КНИТУ.

© A. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, kirpichnikov@kstu.ru; Z. Fadhkal - Graduate Student of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU.