Параметрический синтез системы фазовой автоподстройки синтезаторов частот

М.Н. Тихомиров,

кандидат технических наук, Воронежский государственный технический университет

В.В. Лебедев,

Военный учебно-научный центр

В.Н. Тихомиров,

ОАО «Концерн «Созвездие»

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ СИНТЕЗАТОРОВ ЧАСТОТ

PARAMETRIC SYNTHESIS OF THE FREQUENCY SYNTHESIZER

PHASE-AUTO-TUNING

Получены пространства состояний систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) синтезаторов частот (СЧ), позволяющие исследовать нелинейные свойства ФАПЧ в кусочно-линейном режиме. Предложена методика параметрического синтеза системы ФАПЧ высокого порядка. Представлен ряд структурных схем СЧ с различными видами фильтров нижних частот (ФНЧ) с использованием подсистемы Simulink системы MATLAB.

State-space systems of phase-locked loop (PLL) frequency synthesizers, allowing in piecewise linear mode investigate the nonlinear properties of the PLL in a piecewise-linear mode are gained. The method of parametric synthesis PLL high order is suggested. A number of structural schemes with various types of low-pass filters using Simulink subsystem of MATLAB is presented.

При построении СЧ, определяющих частотный диапазон и динамику перестройки передатчиков САП, работающих на дискретном множестве частот, с высокими требованиями к номинальному значению несущей частоты, чистоте спектра, параметрам модуляции и возможностям управления параметрами сигнала в широких пределах необходимо решать трудную и противоречивую задачу одновременного обеспечения стабильности и управляемости формируемого сигнала. Наиболее важными параметрами СЧ являются спектральная чистота выходных колебаний и время установления частоты [1]. СЧ передатчиков должны обладать высоким быстродействием при достаточно низком уровне паразитных составляющих в спектре выходных сигналов.

Быстродействие СЧ может быть улучшено за счет коммутации структуры и параметров элементов системы ФАПЧ в переходном режиме [2]. Системы ФАПЧ, используемые в СЧ с дробными делителями частоты и коммутируемыми элементами во время ПП при перестройке частоты [3], можно отнести к классу импульсных, нелинейных, нестационарных систем автоматического регулирования. Анализ и синтез таких систем довольно сложен и может проводиться только с применением специализированных пакетов прикладных программ типа MATLAB, Agilen-tADS, LabVIEW, OrCAD Pspice, SystemVue, VisSim и других. Статья ориентирована на использование программной системы MATLAB с предметноориентированными библиотеками Control System Toolbox и инструментом визуального моделирования Simulink [4].

СЧ можно свести к линейной непрерывной системе и проводить ее анализ и параметрический синтез хорошо известными методами, если учитывать импульсный характер работы СЧ и нелинейность импульсного частотно-фазового детектора

[5]. В частотной области используют логарифмические частотные характеристики (диаграммы Боде), запасы устойчивости по амплитуде и фазе, показатели колебательности

1 или Ям [1]. Во временной области удобно использовать четверку матриц

{А, В, С, Б} для описания векторного дифференциального уравнения системы в пространстве состояний в явной форме Коши.

Цель работы — получить четверку матриц {А,В,С,Б} для описания СЧ с наиболее распространенными видами ФНЧ с элементами, являющимися параметрами от таких характеристик системы ФАПЧ в частотной области, как запас устойчивости по фазе рзап и показателей колебательности М или Ям.

На рис. 1 приведена структурная схема варианта СЧ с линейной непрерывной системой с двумя токами накачки. Введены обозначения: ДДПКД — делитель частоты с дробно-переменным коэффициентом деления; ОУ — операционный усилитель; ГУН

— генератор, управляемый напряжением, моделируемый сумматором и усилительно-интегрирующими элементами ^ГУН и 2р/ я ; ФО (/), Ф^) и ФУ (/) — фазы сигналов с

опорного делителя (ОД), ДДПКД и ГУН соответственно; Ф^ (/) — помеха на выходе ГУН; еФ (/) — напряжение на выходе ФНЧ; N — целое значение дробного коэффициента деления ДДПКД; два тока накачки ^(/) и /2(/), равные соответственно ?!(t) = к1ЬМЛФ(/)[1(/)-1(/ -tk)] и /2(/) = /Мк2ЛФ(/)1(/ -tk); к1 и к2 — коэффициенты усиления; ^ — некоторый момент времени выключения тока \(t) и включения тока /2( t);

лф( I)=Фо (t) - Ф„( t).

Напряжение и (t) определяет диапазон перестройки СЧ Л/уг = /уг-в - /уг-н = ^гуним (Лт-в , Лг-н — верхняя и нижняя частоты настройки ГУН соответственно) и представляет собой единичную функцию с уровнем Фу (t и .

Рис. 1. СЧ с линейной системой с двумя токами накачки ЧФД

Передаточную функцию непрерывной линеаризованной разомкнутой системы ФАПЧ (рис. 1) с идеальным ОУ для к2 = 1 можно представить в виде

G

+

_ ФК(s) _ ~kL Srw (T11S + 1) +

Ф0

-iM SrVK

s2 N (Cl + C2)(T2is + 1)[tf4C4ZC3s3 + (LC3 + RC Л3Сз>2 + (R4C3 + R4C4 + Л3Сз> +1]’ CC,

где Til _R2C2, T21 _(R2 + ’ T12 _(R2 + R1)C2-

C2 + Ci

В работе [5] показано, что в зависимости от порядка dsm _order дельта-сигма модулятора (ДСМ), используемого в ДДПКД, порядок системы ФАПЧ m должен соответствовать неравенству m > dsm _order + 1. Предлагаемую схему ФАПЧ 6-го порядка (рис. 1) можно рекомендовать для dsm _ order _ 4 .

Для улучшения качества спектральных и динамических характеристик СЧ большое значение имеет ФНЧ, который должен быть таким, чтобы получить требуемый компромисс между шумовой характеристикой и временем установления частоты (временем ПП). Поэтому правильный расчет параметров ФНЧ важен для оптимальной работы синтезатора. Параметрический синтез системы ФАПЧ сводится к необходимости производить выбор параметров ФНЧ при полностью заданной его структуре до и после момента коммутации tk, когда задана часть значений параметров СЧ (щ , N , iM ,

^гун , k1 и k2, j, M или Rm).

Выражения для параметрического синтеза системы ФАПЧ (рис. 1), имеющей передаточную функцию в разомкнутом состоянии до коммутации t < tk

G

ФАпЛ; ФN

после коммутации t > tk

G

G§An2(s) _ '

iMS ГУН

W2

Фк

где Т22 = Т21 + 3Т23, а Т23 определяется из уравнения

ЯАСА ЬС^3 + (ЬСЪ + Я4С4 ^С^2 + (Я4Сз + Я4С4 + Я£з) я +1 = (1 + 7»3.

1. Параметрический синтез с применением показателя колебательности М:

T, _

1

M,

М, -1

T _

1

(Ml + 1)щ \

M

m, -1

T_

1

M

M 2 -1

T _ T21 + (dsm _ order -1) T _ -

1

M

(М2 + 1)^Б^ М2 -1

где М1, М2 — показатели колебательности [4] для синтеза системы ФАПЧ при ? < ^ и

t > tk соответственно; Ct\Jщ2 _«Jk1 ; Щ _

iM

(С + С2) N

iM STTE

(с, + С2) N

2. Параметрический синтез с применением показателя колебательности RM:

Тлл

L

Дм

т, =

«ім -1

їм_________

- т =

«їм + і)Л,м ’ " V

«2-м + 1

Т =

22

«2м - і

где Л1М , ^2М — показатели колебательности [4] системы ФАПЧ при t < tk и ? > ^.

3. Параметрический синтез с применением расчета на запас устойчивости: по фазе (ржп1 на частоте среза системы ФАПЧ (ОСР1 = ^21Г11

II

_1 0,25

і т ± іі

Щ» 1 2і

Щ2Ті2

_ 0,25

і т ± 12

Щ2 1 22 і

по фазе (рзш2 на частоте среза системы ФАПЧ ЩР2

Ті2 1 Т22 = 1 + 21§2(^зап2) + 4[і + 2ї§2( ^«п2)]2 - 1 , Т12

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом пространств состояний. В качестве состояний примем значения напряжения на конденсаторах и значения тока в индуктивностях ФНЧ

через индуктивность Ь и фаза ГУН ФУ(і)). В качестве выходных сигналов используем

значения отклонений от частоты А/ж = 5^ еФ (і) и фазы ФУ (і) сигнала УГ.

2

2

2

Дифференциальное уравнение, описывающее систему ФАПЧ (рис. і), имеет вид

X = АХ + Ви У = СХ + Би

где Х=[исз(і); ис,(і); ис2(і); ис4(і); К(і); фу(0] — вектор состояния системы ФАПЧ; А — матрица системы ФАПЧ; В — матрица вектора управления и = [Ф0(і); и(і)]; У = [ФУ(і); А/УГ(і)] — вектор выхода; С — матрица выхода; Б — матрица компенсации;

А=

0 0 0 0 -іІс3 /мк2

і -іІ «і2Сі іІ «і2Сі -іІ Я£і 0 -/А

0 іІ «і2С2 -іІ «і2С2 0 0 -/м^і

0 0 0 -іІ «С4 іІ С4 0

іІЬ 0 0 -іІЬ - «3ІЬ 0

0 0 0 0 0

«12 = «і + ^2 , кї(і) = кї[і(і - іЗ ) - і(і - іk )], к 2 (і) = і(і - 4);

в=

/м кг(г)/(2жСъ) 0

ЧАСО^/ (2рЯ12С1) 0

-ІмК(І)К1/ (2рК12Сі) 0

00

00

0 2Р^

Матрицы и векторы для системы ФАПЧ четвертого порядка имеют вид

1 о 0 0 0 0 1" ; о = і О 0 і

10 0 0 0 0 [0 ^ГУН ]

А 4=

-і/ ЯЗСЗ

0

-і/я3с1 -і/дс 0 і / я с2

0

2р^,

ГУН

0 імК

і/ ад -ім *і

-і / ЯІ2С2 -імкі

00

; С4=

00

0

0 і 00

х4=[^ез(і); ^еі(і); ^е2(і); фу(і)]; в4=

і'мк2 (і) / (2рС3 ) 0

-ім к1(і )Я2/(2рЯ12С1) 0

-імк1(І)R1/(2pRlг С2 ) 0

0 2^

На рис. 2 приведена реакция моделей систем ФАПЧ четвертого и шестого порядков на единичные ступенчатые функции ФО(і) = 1(і) и и(і) = 1(і). Параметры

ФАПЧ синтезированы по выше приведенным формулам для значений М1 = М2 = 1,3;

к1 = 32 ; ім = 130 мкА; (Оъг = 104 рад/с; 5ГУН = 15 МГц/В; N = 2210 .

/г

0

-і

-2

-3

/к1 ^

к

А/уг

10

5

\

у2

ІАіУу'

0

0.2

0.4 і, мс

0.2

0.4 і, мс

б

Рис. 2. Реакция линейной системы ФАПЧ четвертого

Из анализа рис. 2 видно, что для предложенной методики синтеза системы ФАПЧ реакция на единичные ступенчатые функции ФО (і) = 1(і) и и (і) = 1(і) слабо зависит от порядка описывающих ее дифференциальных уравнений.

Рассмотрим схему СЧ (рис. 3) с активным коммутируемым ФНЧ и одним током накачки ЧФД. Режим работы такого устройства имеет два интервала времени: на первом интервале і < ік ключи Кл1, Кл2 и КлЗ замкнуты (соответственно резистор Я21 подключен к Я22, резистор Я11 подключен к Я12 и резистор ЯЗ1 подключен к ЯЗ2), ток

0

а

накачки ЧФД і(і) = к1ім1(ї), где к1 > 1. На втором интервале ї > їк ключи Клі, Кл2 и Кл3 разомкнуты (соответственно резистор Я21 отключен от Я22, резистор Яп отключен от Я12 и резистор Я31 отключен от Я32), ток накачки ЧФД і(і) = к2ім1(ї -їк), где к2 > 1.

СЧ обладает повышенным быстродействием на первом интервале времени (до коммутации) и повышенной фильтрующей способностью к помехам с выхода ЧФД на втором интервале времени (после коммутации) [2].

Передаточные функции непрерывной разомкнутой ФАПЧ (рис. 3) с идеальным ОУ до коммутации і < ік можно представить в виде

-ім 5ГЖ к1

Ф0

после коммутации ї > їк

Ф

02 (8) _

Фо

где Т11 _ Я12 || ЯцС1 , Т21 _ Я12 II Я11С1С2/( С1 + С2 ) , Т31 _ Я21 11 Я22С3 , Т41 _ Я51 II Я32С4 -

Т12 _ Я12С2 , Т22 _ Я12С1С2 1 (С1 + С2) > Т32 _ Я22С3 , Т42 _ Я32С4 >

Г> II Г> _ Я12Я !> II Г» _ Я21Я22 Г> || Г» _ Я31Я32

Я12 II Я11 , Я21 II Я22 , Я31 II Я32 .

12 N П ^ 2^ 22 7 31 || 32

Я12 + Я11 Я21 + Я22 Я31 + Я32

Рис. 3. СЧ с линейной системой с коммутируемыми элементами активной схемы ФНЧ

Для схемы СЧ (рис. 3) выражения для параметрического синтеза имеют следующий вид:

1. Параметрический синтез с применением показателя колебательности М:

М

1

М

где

где

Т

22

Я32

ной

1

М

Е Т 2 _

1

М

12 «2 І М2 - V і2 (М2 + 1)«ы\ Мг -1

2. Параметрический синтез с применением показателя колебательности Ям: 1 Д.. + 1 Я1М - 1

Т11 Л

Ч1У

Я +1 *

1М Т _

Я 5 і1

Я1М і _2 «Б

Л( Я1М +1) Я»

Т=

12

V

^мм^І , £ т 2 _ Я ^ і

Я2м - 1

2м ' 2 «Б2^/(Я2м + 1)Я 2м

3. Параметрический синтез с применением расчета на запас устойчивости: по фазе рзап1 на частоте среза системы ФАПЧ юСР1 = ^Тл

4 I----------------------- 1

Т11/2 Т.1 _ 1 + 21§2(^Ш1) + л/[1 + 21§2(^зап1)]2 - 1 , Т11 _

«Б1

і_2

Т,

Е Т1

і к V

'мП0 ГУН

1|(С + С2)#

по фазе ^зап:2 на частоте среза системы ФАПЧ «СР2 _ «2Т12

Т12 / 2 Ті2 _ 1 + 21§2(^зап2) + л/[1 + 21§2(^зап2)]2 - 1 , Ти _

«Б2

і _2

Т

«Б 2

V

Приведем соотношения для элементов ФНЧ четвертого порядка при условии

4

Т »Т =уТ /3:

32 42 * 2 7 ^ •

С1 _ (С1 + С2)Тт2, Я12 _ Т^. «В2^ Т22 12 С2

Если примем Я22 _ Я32 _ Я12, тогда

С3 _ Т32 / Я32 , С4 _ Т42 / Я42 , Я,1 _ Яі2/(Т2 / Т - 1) , * _ 1 + 3.

Для системы ФАПЧ четвертого порядка (при условии Т22 »Т32 _ 0, Т.2 и

і_2

_ 0, С4 _ 0) выражения для параметрического синтеза остаются такими же с заме-

0,52 Т2 на 0,52 Ті2 , Яі1 _

Я

Т2 / Т, -1

і2 і 1

і _ 1 + 2 .

1

0,25

0,25

і _2

2

і=2

і=2

ния для параметрического синтеза остаются аналогичными с заменой 0,5^Та на Т22,

і_2

Яп _------------Я-.

11 Т /Т -1

12 11

Пространства состояний для линейной системы ФАПЧ пятого порядка с таким ФНЧ имеют вид

X5= [иа

Матрицы В имеют два значения для интервалов времени і < ік и і > ік :

Б.

0 0

ім к (і )/(2рС3) 0

00

0 2р

ГУН.

к (і) _ к1 для і < ік и к (і) _ 1 для і < ік

0 0 0 0 1

0 0 0 ^ 0_

матрицы А имеют два значения для интервалов времени I < 1к и I > 1к : '-1/)С1 1/Щг)Сх -1/Я2(г)С1 0 0

А 5 =

1/ Т

00 1/ Т(і) 0

00

0 0 0

-1/ Т3

0 -1/ Т4 (і) 0

0 2р£™ 0

Б _

00 0 V™

где Я1(0 = ^2. ВД = Т11. Т3(0 = Т32. Т4 () = Т42 для ^ > *к и ДО) = Я12 II Я11 , ВД = Т12 .

Т3(0 = Т31, Т4(Г) = Т41 для Г < tk .

Для системы ФАПЧ четвертого порядка

X4=[иС1

Б

-ім к (і )/(2рф 0

00 00

0

С4 =

А 4 =

-1/Я

1/ Т4(і) 0

00

0

0

-1/ Т4

ГУН

-імк (і )/(2РЛС1)' 0 0

0

0

0

Б

-iMk

О

О

О

О

2nSr

' 0 0 1"

, Сз=

_ S ГУН 0 0 _

A 3=

-1/Rl(t)Cl 1/Rl(t)Cl -iMk(t)/(2pNCl)' 1/Tl(t) -1/Tl(t) 0

2 kS,

ГУН

О

О

На рис. 4 приведена реакция моделей систем ФАПЧ третьего, четвертого и пятого порядков на единичные ступенчатые функции ФО (t) = l(t) и U (t) = l(t) как функция MATLAB step(sys_ fap2) для t > tk (третьего порядка — штриховые линии 1, четвертого порядка — штрихпунктирные линии 2, пятого порядка — непрерывные линии 3) и t < tk — непрерывные линии для более быстрых процессов.

Рис. 4. Реакция линейной системы ФАПЧ третьего, четвертого и пятого порядков на единичные ступенчатые функции ФО

а

Модель ФАПЧ яуя_/ар2 подкласса 55 образована функцией из МЛТЬЛВ эуэ_/ар2 = 55(А, В, С, Б). Параметры ФАПЧ синтезированы по выше приведенным формулам для значений М1 = М2 = 1,3; 0\1/0\г = 4; /М = 130 мкА; щ2 = 104 рад/с; = 15 МГц/В; N = 2210.

Рис. 4 позволяет оценить быстродействие системы ФАПЧ в режимах работы до

I < ^ и после I > ^ коммутации. Анализ рис. 4 показывает, что для предложенной методики синтеза системы ФАПЧ реакция на единичные ступенчатые функции ФО(^) = 1(^) и и (7) = 1(^) слабо зависит от порядка описывающих ее дифференциальных уравнений.

В заключение отметим, что в статье получены четверки матриц {А, В, С, Б}

для описания системы СЧ для различных видов ФНЧ (активных и пассивных) и приведены формулы для параметрического синтеза этих систем в частотной области с использованием достаточно популярного частотного критерия качества, гарантирующего устойчивость системы с определенным запасом (задание запаса устойчивости по фазе ФЧХ на частоте среза АЧХ соСР разомкнутой системы) [3, 6]. Результаты теорети-

ческих выкладок проверены в системе MATLAB. Некоторые результаты расчетов для частных случаев проектирования системы СЧ в виде реакции линейной системы ФАПЧ третьего, четвертого, пятого и шестого порядков на единичные ступенчатые функции фазы опорного сигнала и частоты управляемого генератора приведены на рис. 2 и 4, с помощью которых можно оценить быстродействие СЧ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихомиров Н.М., Романов С.К., Леньшин А.В. Формирование ЧМ сигналов в синтезаторах с автоподстройкой. — М.: Радио и связь, 2004. — 210 с.

2. Романов С.К., Тихомиров Н.М., Леньшин А.В. Системы импульсно-фазовой автоподстройки в устройствах синтеза и стабилизации частот. — М.: Радио и связь, 2010. — 328 с.

3. Романов С.К., Леньшин А.В., Тихомиров Н.М. Переходные процессы в синтезаторах с фазовой автоподстройкой частоты при адаптивной компенсации помех дробности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». — 2013. — N° 1 (90). — С. 24—39.

4. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MatLab 7: программирование, численные методы. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 752 с.

5. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки частоты. — М.: Радио и связь, 1989. — 232 с.

6. Hsu C.M., Straayer M., Perrot M.H. A low-noise wide BW 3,6-GHz digital fractional-# frequency synthesizer with a noise-shaping time-to-digital converter and quantization noise cancellation // I F.F.F. Journal of Solid-State Circuits. — 2008. — Vol. 43. — No. 12. — P. 2776-2786.