Онто-гносеологическое истолкование логических основ математичеcкого знания

Вестник Челябинского государственного университета. 2018. № 9 (419). Философские науки. Вып. 49. С. 12-17.

УДК 16 DOI 10.24411/1994-2796-2018-10902

ББК 87.25

ОНТО-ГНОСЕОЛОГИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ОСНОВ

МАТЕМАТИЧЕCКОГО ЗНАНИЯ

Е. И. Арепьев, В. В. Мороз

Курский государственный университет, Курск, Россия

Предложено краткое описание авторского видения трудностей и недостатков современной философии математики, а также сжатое обозначение путей преодоления этих затруднений. Предлагается также интерпретация природы математических истин и объектов в реалистическом ключе, строится бытийно-познавательная трактовка исходных понятий логической компоненты оснований математики. Предложены оригинальные сущностные трактовки таких центральных понятий, как информация, время, истинность, ложность, возможность, индивид, множество и др.

Ключевые слова: современная философия математики, реализм, существование математических объектов и истин, логическая компонента оснований математики.

Как отмечается многими современными авторами [1; 5; 7], философия математики на сегодняшний день представляет собой обширнейшее поле исследований, обозрение которого выступает для отдельного человека трудновыполнимой задачей. В качестве предисловия к ряду тезисов, излагаемых далее, представляется уместным высказать несколько замечаний о положении дел в этой области. Нам хотелось бы найти отзыв и поддержку со стороны прежде всего отечественных исследователей, обратить их внимание на возможность «сфокусировать» совместные усилия критической и теоретико-конструктивной направленности с тем, чтобы более адекватно определить место и роль отечественной философии математики в мировой картине исследований и, одновременно, увеличить вероятность достижения некоторого «взрыва результатов».

Философия математики, на наш взгляд, это один из разделов философии, успешность развития которого зависит в значительной мере от того, насколько строго и полно в нём удастся воплотить принципы, критерии и требования, действующие в науке. То есть философия математики это не только раздел философии науки, но и, преимущественно, научная философия по своей природе. Таким образом, она должна стремиться к выявлению и обобщению результатов, которые могут считаться объективно адекватными, могут быть признаны большинством, подобно тому, как это бывает в гуманитарных, естественных науках или даже в математике. Стремление к научности предписывает, в свою очередь, и более жёсткие требования к критической деятельности. В частности, важным требованием выступа-

ет требование дополнять обзоры многообразия разрабатываемых подходов и целей, поставленных в различных направлениях данной области, описанием и оценкой результатов, которых удаётся достичь в ходе реализации указанных подходов. Соблюдение этого требования, очевидно, приведёт к существенному упрощению картины исследований, даже такой труднообозримой, как современная философия математики, если не посредством естественного упорядочивания, то уж точно путём заметного сокращения материала, достойного упоминания, подлежащего оценке, описанию, изложению в сжатом виде, популяризации. Тогда, наверное, станет более очевидным и то, что наличие множества разнообразных подходов к решению какой-либо группы задач философии математики далеко не всегда свидетельствует об успешности их решения, или о невозможности их решения, или о снижении их актуальности. Это, на наш взгляд, в полной мере относится к проблемам онто-гносеологического истолкования математических истин и объектов, что, как мы надеемся, может служить в глазах современных исследователей некоторым аргументом в пользу необходимости подобных изысканий.

Сегодня, к сожалению, для большой части критической литературы характерно доминирование установки на описание многообразия подходов, различных способов их классификации, описание нестандартных версий философии математики, оригинальность которых значительно превосходит их перспективность и аргументированность. Эта установка нередко сочетается с заведомым отрицанием возможности значительного

прогресса онтологических результатов. Но вместе с совершенно адекватным признанием полезности многообразия подходов необходимо учесть и другие факторы. А именно, что наличие множества концепций, реализующих подход к философии математики в виде, например, попыток её онто-гносеологического истолкования, совсем не отменяет задачи такого истолкования, её актуальности. Подобными аргументами могли бы служить конкретные результаты, состоящие в формулировках, определениях ключевых понятий, обобщаемых в доступном виде для широкого круга читателя (математиков, философов, представителей естествознания, гуманитариев, методологов и др.), а также в выявлении и обосновании ограниченности какого-либо подхода (как это выявлено, например, в ходе развития идей логицизма и формализма) и пр. Такие аргументы приводятся редко, и это свидетельствует, что сегодня получено мало результатов, заслуживающих статуса безоговорочно значимых, и (или) что недостаточно полно реализуются установки на обобщение, выявление в процессе критического исследования таких результатов. Переводчики и критики, делающие огромную и нужную работу, часто избегают обобщающих выводов, конкретных оценок. Но ведь научная область должна стремиться в выявлению общезначимых, общепризнанных результатов, а не только к неограниченной дифференциации или просто к некоему «существованию в текстах»!?

Многие зарубежные исследования, реализующие те или иные подходы и выступающие в качестве доминирующих (вернее, наиболее обсуждаемых) в настоящее время, приводят лишь к созданию сложных теоретических конструкций, трудно поддающихся обобщению и упрощению, призванных вроде бы прояснять суть математики в том или ином её аспекте, но при этом оказывается, что созданные теории намного менее понятны и последовательны, чем математические системы, и ни о каком прояснении философских вопросов с их помощью говорить не приходится. Поэтому нужно не только развивать альтернативные, нефундаменталистские и пр. версии (что тоже необходимо и важно), но и продолжать упорный штурм традиционных вопросов, искать, надеяться всё же получить сдвиг результатов и в ходе критической работы, имеющей огромное значение, стремиться к обобщению, оценке результатов различных направлений, к оценке их аргументированности, а не только и не столько

к описанию самих течений как таковых и количества их приверженцев.

Итак, на сегодняшний день разработано и продолжает разрабатываться обширное многообразие подходов к проблеме обоснования математического знания. Во многих направлениях, начиная с таких традиционных, как логицизм и формализм, и заканчивая современными течениями, логика рассматривается как основа (пусть и не единственная) математики, несмотря на признание невозможности полного сведения математики к логике. Как бы то ни было, сегодня очевидно, что в математическом знании логика присутствует неотъемлемым образом, начиная с необходимости логических принципов в самых исходных, базисных, а также всех последующих построениях и заканчивая существованием ряда разделов математической логики, имеющих большое влияние на множество других отраслей математики и научного знания вообще. Несмотря на всеобщее признание значимости логики для человеческого знания, для философии, для науки, для её математических разделов, проблема осмысления онтологического и гносеологического статуса самой логики, на наш взгляд, далека от исчерпывающего решения. Нас же эта проблема интересует как часть более общей проблемы — проблемы сущностного истолкования оснований математики. Итак, попытаемся дать предварительную интерпретацию ряда логических понятий и истин в качестве одной из составляющих онто-гносеологического фундамента математического знания.

Если базисом арифметической составляющей математики можно считать аксиоматику арифметики натуральных чисел и, соответственно, ряд её исходных понятий, если то же самое в принципе можно сказать и о геометрической составляющей математического знания, а именно, что её базис составляют исходные аксиомы и понятия евклидовой геометрии, то с логической составляющей математики дело обстоит сложнее. Предположив, что разработку онто-гносеологи-ческого фундамента этой компоненты математики необходимо ориентировать на исчисление предикатов первого порядка, как наиболее универсальное, мы сталкиваемся с рядом определённых трудностей. К ним относится некоторая вариативность и размытость понятийного аппарата этой аксиоматики, традиционные ссылки на понятия из предварительных разделов логики и математики вообще — исчисления высказываний,

исчисления классов, алгебры и пр. Это объясняется, на наш взгляд, прежде всего тем, что математическая логика как таковая является очень молодой дисциплиной по сравнению с арифметикой и евклидовой геометрией. Можно также высказать предположение, что логическая компонента в математике, обладая несомненной собственной онто-гносеологической спецификой, в определённой степени является производной от арифметической и геометрической составляющих, так же как они, в свою очередь, опираются на логику. Это предположение носит скорее проблемно-постановочный, полемический характер и не будет здесь как-либо специально развиваться.

Если исходить из признания установок реалистического, априористского истолкования природы математики и, в частности, природы логической составляющей основ математического знания, то можно сформулировать ряд положений, дополняющих картину этой области в онто-гносеологическом плане. Предлагаемая здесь предварительная интерпретация некоторых вопросов ориентирована на диалог, взаимодействие с достаточно широким спектром подходов к истолкованию математики, то есть не претендует ни на полноту (завершённость), ни на исчерпыва-емость (единственность) решения поставленных проблем. Мы стремимся приоткрыть ещё одну грань математического знания, его сущностного фундамента.

Как указывает В. Я. Перминов, законы логики представляют собой правила обращения с понятиями вообще, независимо от их уровня абстракт -ности и смысла [3. С. 70]. К этому справедливому утверждению можно добавить следующее уточнение: исходные объекты и истины логической составляющей основ математики есть элементы и свойства, есть принципы, формальное выражение возможностей существования и преобразования информации. Поэтому логика не привносится в математику «извне», она есть часть и, одновременно, необходимое условие возможности возникновения математики и любой информационной системы, языка, детерминированное действительностью условие возможности существования разума, также как арифметическая и геометрическая составляющие основ математики. Исходя из этого можно вполне согласиться с наличием связи логических и математических оче-видностей с человеческой социально-коммуникативной практикой [Там же. С. 108-109], в том

смысле, что они есть выражение необходимых условий возможности такой практики.

Признавая адекватным и допустимым разделение понятия логики на три составляющих: реальную логику (система норм, фактически определяющих мышление), математическую логику и логику «реальных отношений» (логика причинности, логика времени и т. п.) [Там же. С. 78], мы попытаемся дать некоторую предварительную онто-гносеологическую интерпретацию понятийного аппарата аксиоматической системы теорий первого порядка (исчисления предикатов первого порядка), поскольку эти теории достаточны для выражения математических теорий, с одной стороны, а с другой — эта система выступает базисом математической логики, возникающей путём экспликации и формального обобщения норм реальной логики. То есть наша задача ограничивается рамками проблем обоснования математики.

Описывая положение дел в связи с проблемой выявления онтологических и гносеологических основ логики (логической составляющей фундамента математики), В. Я. Перминов пишет: «Основные законы логики не врождены, они не являются некоторой исходной сущностью разума, не допускающей обоснования, каковы они у Канта, они также не продукты мистического проникновения человеческого сознания в "идеальное царство истины", как это представлено у Гуссерля. Эти законы гораздо прозаичнее по своим истокам: они навязываются нам необходимостью действовать, они выражают общие требования к качеству понятий и суждений с точки зрения их приемлемости для действия» [Там же. С. 95]. Здесь, на наш взгляд, можно по-другому выразить позитивную часть утверждения. Законы логики не просто выражают общие требования к качеству понятий и суждений в смысле их приемлемости для действий, они являются необходимыми условиями, самой возможностью существования понятий, суждений, информации и разума вообще, с точки зрения их функциональной состоятельности. Таким образом, математика справедливо трактуется как формальная (в нашей терминологии — абстрактно-информационная) онтология мира, выражающая универсальные качества его предметной структуры и не содержащая в себе каких-либо эмпирических констатаций [4. С. 47].

Итак, если рассматривать исчисление предикатов первого порядка как некоторый базис

логической составляющей математики, то для онто-гносеологического истолкования понятийного аппарата этого исчисления самым удобным, по-видимому, будет рассмотрение наиболее сжатой аксиоматики [2. С. 64-67; 6]. В ней содержатся два правила вывода и пять аксиом. Понятийный аппарат этой аксиоматики можно считать минимальным. В него обязательным образом входят понятия предметной переменной, предиката, пропозициональные связки отрицания и импликации, квантор всеобщности [2. С. 65-66]. Помимо этого, можно назвать в качестве вспомогательных обязательных понятий понятия индивида, или предмета, высказывания, истинности, ложности и множества предметов (индивидов, элементов, вещей). В настоящем случае нас интересуют не сами аксиомы, а прежде всего базисные понятия, которые мы и попытаемся определить.

Индивид, предмет — абстрактно-информационное выражение выделяемого при помощи языка (символов) элемента действительности (материальной, идеальной, реализованной, потенциальной, конструируемой).

Переменная (предметная переменная в теориях первого порядка) — абстрактно-информационное выражение возможности наличия элемента действительности, наделённого определённым свойством. Свойство в данном случае задаёт область значений переменной.

Множество — абстрактно-информационное выражение возможности структуры действительности, обладающей некоторым свойством.

Высказывание — абстрактно-информационное выражение свойства некоторого элемента или структуры действительности.

Предикат — абстрактно-информационное выражение возможности определённого свойства (свойств) некоторых структур действительности.

Отрицание — абстрактно-информационное выражение отсутствия определённого свойства (свойств) некоторого элемента, структуры или структур действительности.

Импликация — абстрактно-информационное выражение свойств причинно-следственных связей действительности.

Квантор всеобщности — абстрактно-информационное выражение неизменности некоторого свойства или свойств в определённой структуре или структурах действительности.

Ложность высказывания (предиката) представляет собой абстрактно-информационное вы-

ражение принадлежности некоторого свойства (свойств) определённой структуры к нереализованной части действительности. Если предикат или их конструкция всегда ложны, то он является абстрактно-информационным выражением невозможной структуры (крайний, вырожденный случай возможности), то есть — не имеющей воплощения в действительности, хотя и доступной какому-то формальному, абстрактно-информационному описанию.

Если предикат или конструкция из предикатов общезначима, то есть всегда истинна, то это означает, что он есть абстрактно-информационное выражение принадлежности некоторого свойства определённой структуры к необходимой части действительности (это другой крайний случай возможности). Если предикат или их конструкция выполняются или не выполняются в отдельных случаях, то они выступают абстрактно-информационным выражением возможного свойства в некоторой структуре действительности, причём истинность предиката (высказывания) представляет собой абстрактно-информационное выражение принадлежности свойств структуры к реализовавшейся части возможного, а ложность есть абстрактно-информационное выражение принадлежности свойств структуры к не-реализовавшейся части возможного (то есть действительности).

Таким образом, можно заключить, что процесс перехода от выражения возможного в предикате или их комбинации к выражению реализовавшейся или нереализовавшейся возможности в высказывании, имеющем конкретную истинностную оценку, выступает абстрактно-информационным выражением времени, выражением свойств процесса преобразования и развития действительности.

Важным понятием, лежащим в основе предлагаемого здесь истолкования, выступает понятие информации. Информация — это центральное понятие, необходимое, по крайней мере, для сущностного истолкования основ логической составляющей математики. Информация может быть определена как с той или иной степенью полноты символизируемое (вербализируемое, способное быть сформулированным в языке) выражение (различной степени адекватности) структуры действительности—материальной и идеальной, реализованной и потенциальной, объективной и субъективной. В соответствии с тем, насколько адекватно информация выражает возможную

действительность, настолько она сама включена в объективную нематериальную реальность.

Возможность — наиболее общее наименование действительности в широком смысле этого слова, включающем реализованное, нереализованное и потенциальное сущее.

В связи с вышеприведёнными предварительными определениями можно сделать ряд дополнительных пояснений к некоторым фундаментальным понятиям. Так, например, познание может далее рассматриваться как процесс обретения информации субъектом, разумом, выступаю -щий неотъемлемой (главной) частью мышления. Мышление же — это обретение извне, генерирование (изнутри), обобщение, группировка, комбинирование, преобразование и пр. информации разумом. Разум, трактуемый прежде всего как элемент нематериальной составляющей сущего, характеризующийся способностью к абстрактно-информационному воспроизведению действительности, включает в состав своих атрибутов способность мышления, самоидентификации, самосознания.

В заключение можно отметить, что предложенное описание сущностного фундамента логической составляющей математического знания интерпретирует законы и принципы этой области как абстрактное выражение наиболее общих, универсальных свойств действительности. При этом, однако же, очевидно и то, что, например, каждая вещь материального мира, по крайней мере, макро- и мегамиров, не совпадают сами с собой в абсолютном смысле, так как каждое мгновение миллионы частиц проникают в них и выпадают из них, но закон тождества действует! В этом нет ничего удивительного, так как совершенно аналогичным образом в материальном мире не существует геометрических точек, прямых и пр., по крайней мере, человек ещё не открыл подобных объектов, тем не менее геометрия имеет огромное и «непостижимо эффективное» практическое приложение, как и другие разделы математики. По-видимому, это свидетельствует о существовании диалектического единства материального и идеального, мира идей и вещей.

Список литературы

1. Барабашев, А. Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования / А. Г. Бараба-шев. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991. — 157 с.

2. Меньдельсон, Э. Введение в математическую логику / Э. Мендельсон. — М. : Наука, 1971. — 320 с.

3. Перминов, В. Я. Развитие представлений о надёжности математического доказательства / В. Я. Перминов. — М. : URSS, 2004. — 240 с.

4. Перминов, В. Я. Философия и основания математики / В. Я. Перминов. — М. : Прогресс-Традиция, 2001. — 320 с.

5. Целищев, В. В. Поиски новой философии математики / В. В. Целищев. — URL: http://filosof.historic. ru/books/item/f00/s00/z0000700/index.shtml.

6. Чёрч, А. Введение в математическую логику / А. Чёрч. — М. : Изд-во иност. лит., 1960. — Т. 1. — 485 с.

7. Passmore, J. Recent philosophers / J. Passmore. — Open Court, 1991. — 184 p.

Сведения об авторах

Арепьев Евгений Иванович — доктор философских наук, профессор, заведующий кафедрой философии, Курский государственный университет, Курск, Россия. arepiev@yandex.ru

Мороз Виктория Васильевна — доктор философских наук, профессор кафедры философии, Курский государственный университет, Курск, Россия. victoriamoroz2014@ yandex.ru

Bulletin of Chelyabinsk State University. 2018. No. 9 (419). Philosophy Sciences. Iss. 49. Pp. 12-17.

ONTO-GNOSEOLOGICAL INTERPRETATION OF THE LOGICAL FOUNDATIONS OF MATHEMATICAL KNOWLEDGE

E.I. Arepiev

Kursk State University, Kursk, Russia. arepiev@yandex.ru

V.V. Moroz

Kursk State University, Kursk, Russia. victoriamoroz2014@ yandex.ru

The article offers a brief description of the author's vision of the difficulties and shortcomings of the modern philosophy of mathematics, as well as a concise designation for ways to overcome these difficulties. An interpretation of the nature of mathematical truths and objects in a realistic manner is also proposed. The authors of this article construct a cognitive interpretation of the original concepts of the logical component of the foundations of mathematics. As a logical basis of mathematics, the predicate calculus of the first order is considered and it's most concise axiomatic, in particular, conceptual apparatus, is investigated. The authors offer an original essential interpretations of such central concepts as information, time, truth, falsity, possibility, individual, set and etc.

Keywords: modern philosophy of mathematics, realism, the existence of mathematical objects and truths, the logical component of the foundations of mathematics

References

1. Barabashev A.G. Budushcpeye matematiki: metodologocheskiye aspektyprognozirovaniya [The future of mathematics: methodological aspects of forecasting]. Moscow, 1991. 157 p. (In Russ.).

2. Mendel'son E. Vvedeniye v matematicheskuyu logiky [Introduction to mathematical logic]. Moscow, 1971. 320 p. (In Russ.).

3. Perminov V.Y. Rasvitiyepredstavleniy o nadezhnosti matematicheskogo docazatel'stva [Development of ideas about the reliability of mathematical proof]. Moscow, 2004. 240 p. (In Russ.).

4. Perminov V.Y. Filosofiya i osnovaniya matematiki [Philosophy and the foundations of mathematics]. Mos-cow, Progress-Traditsiya Publ., 2001. 320 p. (In Russ.).

5. Tselishchev V.V. Poiski novoy filosofii matematiki [The search for a new philosophy of mathematics]. Availadle at: http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000700/index.shtml, accessed 26.09.2018 (In Russ.).

6. Church A. Vvedeniye v matematicheskuyu logiky [Introduction to mathematical logic. Vol. 1]. Moscow, 1960. 485 p. (In Russ.).

7. Passmore J. Recent philosophers. Open Court, 1991. 184 p.