Нечеткое математическое программирование: краткий обзор

о

бзоры

УДК 519.85

НЕЧЕТКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ: КРАТКИЙ ОБЗОР

A.C. Шведов

Дан обзор ряда разделов нечеткого математического программирования. Отмечено, что к нечеткому математическому программированию относятся задачи математического программирования, при постановке которых тем или иным способом применяется аппарат теории нечетких множеств. Рассмотрены задачи с расплывчатыми неравенствами, задачи с нечеткими параметрами, ранжирующие функции, меры возможности. На примере выбора портфеля ценных бумаг обсуждены задачи нечетко-случайного математического программирования.

Ключевые слова: нечеткое математическое программирование, меры возможности, нечетко-случайные величины.

ВВЕДЕНИЕ

С утверждением, что оптимизационные задачи, содержащие в своей постановке неопределенность, имеют большое практическое значение, согласны все. Основные подходы введения неопределенности в математическую модель связаны с применением, прежде всего, теории вероятностей и теории нечетких множеств. И здесь речь идет о двух разных видах неопределенности. В случае теории вероятностей неизвестная величина может принимать различные значения, и с каждым значением или с каждой группой значений связывается некоторая вероятность. В случае теории нечетких множеств сами значения являются расплывчатыми, неопределенными. Например, для конкретной задачи может быть важно, как наилучшим образом определить «малые», «умеренные», «большие» значения той или иной величины и как осуществить плавный (или не плавный) переход от одного состояния к другому. Поведение системы может задаваться разными правилами для каждого из этих трех состояний. При этом, разумеется, можно говорить и о вероятности, например, умеренных значений. Задачи, включающие в себя и элементы нечеткого математического программирования, и элементы стохастического математического программирования, относятся к нечетко-случайному математическому программированию.

При подготовке обзора того или иного научного направления ставятся задачи отделить важное от существенного, существенное от рядового; следить за соблюдением равновесия между различными частями этого научного направления при представлении их в обзоре. Но стало уже обычным делом, когда число публикаций, относящихся к данному научному направлению, из трехзначного превратилось в четырехзначное и продолжает быстро расти. Представительный обзор должен быть даже не пятидесятистраничной статьей, а книгой. Остаются ли люди, которые такие обзоры могут и хотят писать? Ответом на возникший вызов м ожет быть увеличение числа относительно небольших обзоров, подготовленных различными авторами. Сопоставление точек зрения на научное направление разных специалистов может дать картину, приближающуюся к объективной. При этом присутствующие в каждом таком обзоре пропуски необходимо признавать неизбежными. С другой стороны, какие-то объяснения, более уместные для учебника, чем для обзора (при обычном понимании этого жанра), в таких кратких обзорах должны допускаться. Учебников много, некоторые из них труднодоступны, и даже единый взгляд на терминологию часто отсутствует. Разумеется, если какая-то работа в таком кратком обзоре не упомянута, то это не означает, что автор не считает ее важной.

Классическая задача математического программирования состоит в максимизации критерия

/(х) ^ тах

при ограничениях

^(х) < ..., gm(x) < Ът.

Здесь х = (хр ..., хп) е К"; функции/, g1, ..., gm действуют из К" в К и являются известными; Ър ..., Ът — заданные действительные ч исла. В области точек х, удовлетворяющих приведенным ограничениям, требуется найти точку (или точки), в которой функция / достигает максимума. В данной задаче математического программирования максимизируется один критерий. Однако может присутствовать и несколько критериев.

Методы математического программирования применяются во многих прикладных областях. В ряде случаев оправдано включение в модель нечеткости; при этом существуют различные способы, которыми нечеткость включается. Среди книг, в которых рассматривается нечеткое математическое программирование, назовем работы [1—5]. Имеется также большое ч исло журнальных публикаций. Среди них можно назвать обзоры [6—11].

В работе [8] выделяется пятнадцать типов задач нечеткого математического программирования. Мы будем придерживаться другой классификации и считать, что задачи нечеткого математического программирования можно разделить на типы по следующим девяти признакам. Первые два признака относятся и к обычным задачам математического программирования.

1. Один или несколько критериев в задаче. Из задач с несколькими критериями можно выделить те, где критерии имеют различную важность или различные приоритеты.

2. Все критерии и ограничения являются линейными функциями аргументов х1, ..., хп (это задачи линейного программирования) либо среди критериев или ограничений присутствуют нелинейные функции аргументов х1, ..., хп.

3. Симметричная постановка задачи, где критерии и ограничения выступают как равноправные, или несимметричная (обычная) постановка задачи, где критерии и ограничения играют различные роли.

4. Наличие или отсутствие желаемых уровней для критериев. Желаемые уровни, в свою очередь, могут быть четкими или нечеткими.

5. Наличие или отсутствие расплывчатых неравенств для критериев и/или для ограничений.

6. Наличие или отсутствие нечетких параметров в критериях и/или в ограничениях.

7. Наличие или отсутствие ранжирования нечетких чисел.

8. Наличие или отсутствие критериев и ограничений, связанных с мерой возможности или с мерой необходимости (или с другими сходными мерами).

9. Типы аргументов х1, ..., хп: действительные, целые, бинарные, нечеткие.

Если следовать такой классификации и считать, что любая задача может относиться к той или иной группе по каждому из признаков, то число различных типов задач нечеткого математического программирования равняется нескольким тысячам. Хотя некоторые признаки и не совсем независимы. Например, задачи с расплывчатыми неравенствами для ограничений и задачи с ограничениями, задаваемыми с помощью меры возможности, достаточно похожи.

В приведенную классификацию не включены некоторые классы задач. Прежде всего, это задачи интерактивного нечеткого программирования, где в процессе решения задачи м ожно изменять функции принадлежности и желаемые уровни (см. книгу [2] и последующие работы). Не включены задачи, в которых используются интуиционистские

нечеткие множества1. Не включены многокритериальные задачи, где решения принимаются на нескольких уровнях подчиненности (см., например, [15]), а также задачи нечеткого линейного физического программирования (см., например, [16]). Не включены работы по робастному нечеткому математическому программированию (см., например, [17]). Отдельные группы исследований, также не затрагивающиеся в настоящем обзоре, это работы по симплекс-методу для задач нечеткого линейного программирования (см., например, [18]); работы по анализу чувствительности (см., например, [19]); работы по условиям оптимальности, таким как теорема Куна — Таккера (см., например, [20]); работы по двойственным задачам нечеткого линейного программирования [11].

Публикаций по применению методов нечетко -го математического программирования в различных прикладных задачах очень много. В качестве примера назовем работы [21—28].

В § 1 настоящей работы приводятся необходимые определения. В § 2 рассматриваются задачи математического программирования с расплывчатыми неравенствами, описывается симметричный подход к проблеме оптимизации. В § 3 рассматри-

1 Если обычное нечеткое множество определяется своей функцией принадлежности, то интуиционистское нечеткое множество определяется двумя функциями — функцией принадлежности и функцией непринадлежности. Сумма этих функций во всех точках не больше 1. См. работу [12] и другую литературу по интуиционистским нечетким множествам. Из недавних работ по интуиционистскому нечеткому программированию можно назвать статьи [13, 14].

ваются задачи с нечеткими параметрами, обсуждается дефаззификация как способ сведения задачи нечеткого математического программирования к задаче обычного м атематического программирования. В § 4 дается описание мер возможности, необходимости, уверенности; формулируется задача возможностного программирования. В § 5 на примере задачи о составлении портфелей из различных активов затрагивается более широкое научное направление — нечетко-случайное программирование.

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВАХ

Понятие нечеткого множества введено в работе [29]. Впоследствии теория нечетких множеств была существенно расширена многими авторами.

Рассмотрим некоторое множество и, которое будем называть универсальным множеством.

Определение 1. Любая функция ц:и ^ [0, 1] называется функцией принадлежности.

Определение 2. График функции принадлежности ц, т. е. множество пар (и, цА(и)), и е и, называется нечетким множеством. ♦

Если нечеткое множество обозначить через А, то функция принадлежности этого нечеткого м но-жества обычно обозначается цА(и). Иногда о числе цА(и) говорят, как о степени принадлежности элемента и нечеткому множеству А.

Определение 3. Пусть А — обычное подмножество множества и. Индикатором множества А называется функция 1А: и ^ [0, 1] такая, что 1А(и) = 1 при и е А и 1А(и) = 0 при и £ А. ♦

Очевидно, что индикатор является функцией принадлежности и, следовательно, график индикатора — это нечеткое множество; если обычное множество обозначено А, то и нечеткое множество в этом случае часто обозначается А. Такое двусмысленное использование обозначения требует определенного внимания. Формально обычные подмножества множества и не являются частным видом нечетких множеств. Нечетким множеством является график индикатора обычного подмножества множества и.

Определение 4. Носителем нечеткого множества А называется множество {и е и : цА(и) > 0}.

Определение 5. Нечеткое множество А называется нормализованным, если существует элемент и е и такой, что цА(и) = 1.

Определение 6. Пересечением нечетких множеств А и В называется нечеткое множество с функцией принадлежности

ЦАгВ(и) = тш{цА(и), цВ(и)}, и е и.

Определение 7. Объединением нечетких множеств A и B называется нечеткое множество с функцией принадлежности

lAuB(u) = max{|A(u), |B(u)|, u е U

Определение 8. Дополнением нечеткого множества A называется нечеткое множество с функцией принадлежности

|A (u) = 1 - |A(u), u е U.

Определение 9. n-срезом нечеткого множества А называется множество

Ап = {u е U: |A(u) > nl,

0 < n < 1. ♦

При U = [R вместо термина «нечеткое множество» в ряде случаев удобнее употреблять термин «нечеткая величина». Тогда вместо обозначения A используется, например, обозначение Для каждого множества B с [R определяется

sup |(u).

u е B

Об этом значении говорят как о возможности того, что нечеткая величина § принадлежит множеству В.

Подчеркнем, что терминология, употребляемая при работе с нечеткими множествами, достаточно сильно различается от публикации к публикации. Разумеется, мы говорим лишь о тех определениях, которые используются в настоящей работе.

Определение 10. Пусть и = К. Нечеткое множество А называется выпуклым, если существует точка иА е [К. такая, что функция цА(и) является монотонно неубывающей на полупрямой (—да, иА] и является монотонно невозрастающей на полупрямой [иА, да).

Определение 11. Пусть и = К, А — выпуклое нормализованное нечеткое множество с ограниченным носителем. Функции

¿(п) = шЦ, /(п) = вирАл, п е (0, 1],

называются, соответственно, левым и правым индексами нечеткого множества А. ♦

Можно было бы сказать, что если А — это выпуклое нормализованное нечеткое м ножество с ограниченным носителем, то будем называть А нечетким числом. Однако для определения нечетко-случайных величин удобнее считать, что нечеткое число — это компактное подмножество плоскости, лежащее между таким нечетким множеством А (графиком функции принадлежности) и осью абсцисс. Подробнее о так определенных нечетких числах и об операциях над ними см. в работах [30, 31].

2. ЗАДАЧИ С РАСПЛЫВЧАТЫМИ НЕРАВЕНСТВАМИ.

СИММЕТРИЧНЫЙ ПОДХОД

Симметричный подход к принятию решений, при котором критерии и ограничения играют похожие роли, предложен в работе [32]. Идея этого подхода может быть выражена так. В качестве решения нужно выбрать тот элемент универсального множества, степень принадлежности которого к пересечению нечетких множеств, задающих желаемые уровни для всех критериев и для всех ограничений, максимальна. Подход, предложенный в работе [32], был развит в работе [33]. К задаче линейного программирования симметричный подход применен в работе [34]. Близкие вопросы рассматриваются в работе [35].

Классическая задача линейного программирования имеет вид cx ^ max при условиях ax > b, xj > 0, ..., xn > 0. Здесь c = (cj, ..., cn) — «-мерный

T

вектор, b = (bp ..., bm) — m-мерный вектор, a — m x n матрица. Элементы матрицы и координаты векторов в классической задаче линейного программирования считаются действительными числами. Требуется найти n-мерный вектор с действительными координатами x = (xj, ..., xn) , для которого при выполнении приведенных выше неравенств достигает максимума функция cx.

В нечетком математическом программировании рассматриваются задачи с расплывчатыми неравенствами. Пусть g0 — желаемый уровень для рассматриваемого критерия. В данном случае g0 —

действительное число. Требуется найти n-мерный

т

вектор x = (xj, ..., xn) такой, что

cx й

ax £ b,

хх > 0, ..., хп > 0. Матрица а и векторы Ъ, с те же, что и выше. Для обычного неравенства «>» или «<» степень его выполнения либо 1 (неравенство выполняется), либо 0 (неравенство не выполняется). Для расплывчатого неравенства «й» или «^» степень его выполнения может принимать любое действительное значение от 0 до 1. В этом сходство с функцией принадлежности нечеткого множества, которая также показывает степень принадлежности каждого элемента некоторого универсального множества к нечеткому множеству. Строго математически смысл расплывчатого неравенства следующий.

Предположим, что выбрано положительное действительное число в0. Степень выполнения /0(сх й g0) расплывчатого неравенства сх й g0 определяется следующим образом: /0(сх й g0) = 1,

если cx > g0; f0(cx > g0) = 1 - (g0 - cx)/e0, если g0 - e0 < cx < g0; f0(cx > g0) = 0, если cx < g0 - e0.

Предположим, что e1, ..., em — положительные действительные числа. Пусть a{ — i-я строка матри-

n

цы a, a{x = ^ а{х,. Степень выполнения f (ax ^ b) j = 1

расплывчатого неравенства ax ^ b определяется при i = 1, ..., m следующим образом: f(ax ^ b) = 1,

если ax < b.; f(ax ^ b) = 1 - (ax - b.)/e., если bl < a{x < bl + e; f(ax ^ b) = 0, если a{x > bl + e.

Требуется максимизировать степень выполнения всех расплывчатых неравенств в смысле:

Y ^ max

при условиях

1 - (g, - cx)/e0 > Y, 1 - (ax - b)/et > y,

i = 1, ..., m, y > 0, x1 > 0, ..., xn > 0.

Теперь задача поставлена математически строго и является обычной задачей линейного программирования, в которой требуется найти решение y,

x

Xr

Очевидно, что данный подход легко обобщается на случай нескольких критериев. Возможно обобщение и на случай, когда степень выполнения каждого расплывчатого неравенства определяется при помощи нелинейной функции, и различным критериям даются различные веса; по этим вопросам см., например, работу [36]. Применение интуиционистских нечетких множеств в данном подходе описывается в работе [37].

Сходную задачу можно рассматривать и в рамках несимметричного подхода, когда критерий максимизируется при заданной степени выполнения расплывчатых неравенств, задающих ограничения [38]. В работе [38] также показана двойственность задач линейного программирования с четким критерием и с расплывчатыми неравенствами для ограничений и задач линейного программирования с нечетким критерием и с обычными ограничениями.

3. ЗАДАЧИ С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Задачи линейного программирования с нечеткими параметрами изучаются, например, в работах [39—41]. Далее рассматриваются лишь подходы к упорядочению нечетких чисел, основанные на ранжирующих функциях. Произвольная функция ЭТ, действующая из м ножества нечетких ч исел в множество действительных чисел, может быть выбрана в качестве ранжирующей функции. Для

нечетких чисел х и у устанавливается отношение порядка: х у тогда и только тогда, когда

ЭТ

Например, в качестве ранжирующей функции ЭТ может быть выбрана функция

Ш(X) = 2- (jxL(n)dn + Jx%)dn

где х^(п) и хй(п), соответственно, левый индекс и

правый индекс нечеткого ч исла х. Используются и другие ранжирующие функции.

Пусть вместо условия ах < Ь, рассмотренного в § 2, требуется использовать условие с матрицей

{<а. } и с вектором (Ь1, ..., Ьт), где а, Ь{ — нечеткие ч исла; координаты вектора х — действительные числа. Тогда в качестве условий можно принять

п

Е а¡¡х. <эт ЬI, I = 1, ..., т.

j = 1

Для многокритериальных задач остановимся на методе ограничений [42, 43, 44, с. 36—39]). Сначала рассмотрим задачи обычного (не нечеткого) математического программирования. Приводимое описание дает удобную форму для перехода к нечеткому случаю.

Рассмотрим многокритериальную задачу

c1

где множество V с К" может определяться системой равенств и неравенств для значений некоторых функций.

Определение 12. Точка

x0 е

V называется эффективным решением задачи (1), если не существует точки x е Vтакой, что c,(x) > c,(x0) при всех i = 1, ..., k, и Cj(x) > Cj(x0) хотя бы при одном j, 1 < j < k.

Определение 13. Точка x0 е V называется слабо эффективным решением задачи (1), если не существует точки x е V такой, что ci(x) > ci(x0) при всех i = 1, ... , k. ♦

Ясно, что любое эффективное решение задачи (1) будет и слабо эффективным решением задачи (1).

В методе ограничений рассматривается следующее семейство однокритериальных задач математического программирования. При каждом j, 1 < j < k, и при каждом наборе действительных чисел e, где i = 1, ..., k, i ф j, рассматривается задача

Семейство задач (2) можно назвать двухпарамет-рическим. Один параметр — это ч исло ¡, другой параметр — это точка (ех, ..., е._ х, е. + р ..., ек) е [&к 1.

Для полноты изложения приведем три известные теоремы, доказательства которых можно найти, например, в книге [2].

Теорема 1. Если существует задача из семейства (2), имеющая единственное решение х0, то х0 является эффективным решением многокритериальной задачи (1).

Теорема 2. Если существует задача из семейства (2), имеющая решение х0, то х0 является слабо эффективным решением многокритериальной задачи (1).

Теорема 3. Пусть х0 является эффективным решением многокритериальной задачи (1). Тогда существует однокритериальная задача из семейства

(2), для которой х0 является решением. ♦

Рассмотрим задачу нечеткого линейного программирования

c1x ^ max,

., ckx ^ max, ax < b,

Cj(x) ^ max, c,(x) > e,, i = 1, ..., k, i ф j, x е V.

х1 > 0, ..., хп > 0. Здесь с1, ..., ск — п-мерные векторы, координаты которых являются нечеткими числами, вектора Ь и х имеют действительные координаты, а — матрица с действительными элементами.

Используя ранжирующие функции ЭТр ..., ЭТк и применяя метод ограничений, можно заменить рассматриваемую многокритериальную задачу нечеткого линейного программирования на семейство однокритериальных задач математического программирования :

Ш.(c, x) ^ max c, x e,,

J • J 1 i i

i = 1, ..., k, i ф j, ax < b,

х1 > 0, ..., хп > 0. Здесь ег-, I = 1, ..., к, I ф] — нечеткие числа.

В работе [38] приводится пример, показывающий, что эти однокритериальные задачи математического программирования могут не быть задачами линейного программирования.

4. МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ, НЕОБХОДИМОСТИ, УВЕРЕННОСТИ. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ВОЗМОЖНОСТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Далее даются определения и некоторые свойства мер возможности, необходимости, уверенности. Приводится одна из постановок задачи возмож-ностного программирования. Подробнее о мерах,

отличных от вероятностной см., например, в работах [4, 45—47].

Пусть U — произвольное множество. Через A, B, будем обозначать подмножества множества U.

Определение 14. Система R подмножеств множества U называется кольцом, если из условия A е R, B е R следует, что A n B е R и А Д В е R. ♦ Напомним, что симметрическая разность множеств A и B определяется как АД В = (A u B)\(A n B). Из соотношений A u B = (АДВ) Д (A n B) и А\В = = АД^ n B) вытекает, что вместе с любыми двумя множествами A и B кольцу принадлежат также их объединение A u B и разность A\B. Из соотношения 0 = A\A следует, что 0 е R.

Определение 15. Функция Pos, определенная на кольце R и принимающая значения в отрезке [0, 1], называется мерой возможности, если Pos(0) = 0 и для любых двух множеств A е R, B е R Pos(A u B) = max(Pos(A), Pos(B)).

Пример 1. Пусть непустое м ножество C е R и пусть для любого A е R выполняется Pos(A) = 1, если A n C ^ 0, и Pos(A) = 0, если A n C = 0. Этот пример объясняет и название меры. Подмножество A является возможным, если оно пересекается с подмножеством C, и является невозможным, если оно не пересекается с подмножеством C.

Определение 16. Кольцо R называется алгеброй, если U е R. ♦

В дальнейшем, будем считать, что все рассматриваемые кольца являются алгебрами и Pos( U) = 1. Отметим два свойства меры возможности.

• Если A с B, то Pos(A) < Pos(B). Действительно, B = A u (B\A), поэтому Pos(B) = max(Pos(A), Pos(B\A)).

• Для любого A е R выполняется Pos(A) + Pos( A) > > 1. Действительно, 1 = Pos( U) = Pos(A u A) = = max(Pos(A), Pos(A )).

Пусть выбрана некоторая мера возможности. Определение 17. Функция Nec, определенная на кольце R и принимающая значения в отрезке [0, 1],

задаваемая формулой Nec(A) = 1 — Pos( A), называется мерой необходимости. ♦

Из определения (17) следует, что Nec(0) = 0, поскольку Pos( U) = 1.

Отметим три свойства меры необходимости.

• Если A с B, то Nec(A) < Nec(B). Действительно,

B с A , поэтому Pos( B) < Pos( A ).

• Для любых A е R, B е R выполняется Nec(A n B) = min(Nec(A), Nec(B)). Имеем

Nec(A n B) = 1 - Pos( A n B) =

= 1 - Pos(A u B) = 1 - max(Pos( A), Pos( B)) =

= min(1 - Pos( A), 1 - Pos( B)) = = min(Nec(A), Nec(B)).

• Для любого A e R выполняется Nec(A) +

+ Nec(A) < 1. Действительно, 0 = Nec(0) =

= Nec(A n A ) = min(Nec(A), Nec(A )).

Покажем, что любого A e R имеет место соотношение Nec(A) < Pos(A). Неравенство очевидно, если Pos(A) = 1. Если Pos( A) = 1, то Nec(A) =

= 1 — Pos(A) = 0, и неравенство также имеет место.

Определение 18. Функция Cr, определенная на кольце R и принимающая значения в отрезке [0, 1], задаваемая формулой Cr(A) = 0,5(Pos(A) + Nec(A)), называется мерой уверенности. ♦

Нетрудно увидеть, что для любого A e R выполняется Cr(A) + Cr( A) = 1. Действительно,

Cr(A) + Cr(A) = 0,5(Pos(A) + 1 - Pos( A) + + Pos( A) + 1 - Pos(A)) = 1.

Из доказанного неравенства Nec(A) < Pos(A) следует, что

Nec(A) < Cr(A) < Pos(A).

Пример 2. Пусть U — конечное множество, и кольцо R состоит из всех подмножеств множества U. Функция |i:U ^ [0, 1], и maxц(и) = 1. Если при любом u e Uпо-

u e U

ложить Pos({u}) = |(u), то тем самым задается мера возможности на кольце R. При этом для любого подмножества {u1, ..., un} с U выполняется Pos({u1, ..., un}) = = max(|(u1), ..., |(un)). ♦

Аналогично м ожно связать меру возможности с функцией принадлежности нечеткого множества и в случае произвольного множества U.

Когда в рамках одной задачи математического программирования разрешается использовать и меру возможности, и меру необходимости, связанные с различными функциями принадлежности, это открывает перспективы для тонкого учета многих реальных требований. Достаточно общая мера изучается в работе [48]; при каждом X e [0, 1]

MX(A) =f XPos(A) + (1 - X)Nec(A).

Если в задаче математического программирования, сформулированной во Введении, присутствуют нечеткие параметры, то вместо нее может быть рассмотрена задача возможностного программирования:

при условиях

Y ^ max

И, ( f(x) > y) > а0

Mx,(g(x) < b) > a. j = 1, ..., m;

' j j

здесь a0, ap ..., am, X0, ..., Xm — заданные числа.

Отметим, что среди ограничений исходной задачи математического программирования может быть, например, ограничение х1 > 0, ..., хп > 0, не содержащее никаких нечетких параметров. Такое ограничение остается в задаче возможностного программирования в своем первоначальном виде.

5. ЗАДАЧА ВЫБОРА ПОРТФЕЛЯ В НЕЧЕТКО-СЛУЧАЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ

Рассматривается задача составления портфеля из п активов; х1, ..., хп — параметры портфеля, т. е. действительные числа, удовлетворяющие условию

п

IX = 1.

I = 1

Пусть х1 > 0, ..., хп > 0. Тогда х1 — это доля капитала, вложенная в 1-й актив.

Пусть 1 — стоимость единицы 1-го актива в момент времени I, ( + д — стоимость единицы 1-го актива в момент времени I + Д1, Д1 > 0; й. — доход, полученный от владения единицей 1-го актива с момента времени I до момента времени I + Д1. Например, если активом является акция, то й. — это дивиденды, выплачиваемые на одну акцию. Будем предполагать, что > 0 при любом I = 1,..., п. Доходностью 1-го актива называется число

= I+д I ~ I + ; I .

Математической моделью для доходностей г1, ..., гп могут быть случайные величины Я1, ..., Яп,

нечеткие числа r

гп , нечетко-случайные

величины R1 , ..., Rn .

В работах [53, 54] рассматривается вероятностная модель и предлагается определять портфельные параметры x1, ..., xn путем решения двухкри-териальной задачи

M^XxRij ^ max, D^^xR-j ^ min.

Если первый из критериев, максимизация ожидаемой д оходности, не вызывает вопросов, то правильность второго критерия, минимизации дисперсии, не так очевидна. Тем не менее, это обоснованный критерий; подробнее см., например,

Говоря нестрого, нечетко-случайная величина — это измеримая функция, значениями которой являются нечеткие числа. Первые определения нечетко-случайных величин даются в работах [49—51]. Подробнее см. в работах [30, 31, 52].

работу [55], где обсуждается также экономический смысл отрицательных портфельных параметров.

Работы Марковица в значительной степени определили направления развития портфельной теории на последующие десятилетия. Например, в ряде последующих работ используются моменты

п

случайной величины I х^ более высоких поряд-

I = 1

ков, чем второй. Вместо дисперсии могут рассматриваться и другие меры риска: семидиспер-сия, сумма под риском.

Значительное внимание в современной портфельной теории уделяется моделям, включающим в себя нечеткость.

Пусть г — нечеткое число, ^(п) и гй(п) — соответственно, левый и правый индексы нечеткого

числа г, 0 < V < 1. В работе [56] предлагается использовать v-среднее нечеткого числа г:

J ((1 - v)/(n) + v/(n))dn,

0 < V < 1. Для нечетко-случайной величины Я через М (Я) обозначим v-среднее нечеткого ожидания этой нечетко-случайной величины3.

Будем считать, что моделью для доходностей г1, ..., гп служит набор нечетко-случайных величин

Я1 , ..., Яп . Тогда доходность портфеля моделируется нечетко-случайной величиной

кр = I хД.

I=1

Определения суммы нечетко-случайных величин и произведения действительного числа и нечетко-случайной величины даются, например, в работе [30]. Результатом в обоих случаях является нечетко-случайная величина. Ковариация двух нечетко-случайных величин — это действительное число; определение дается в работах [30, 52]. Для математического ожидания и дисперсии нечетко-

случайной величины Я„ имеют место формулы

M(Rp ) = I xM(R ),

i = 1

D(Rp ) = I ¿xi.x.Cov(R, R).

i = 1 j = 1

3 ,

1 Ожиданием нечетко-случайной величины является действительное число, нечетким ожиданием нечетко-случайной величины является нечеткое число.

0

Двухкритериальная задача для нахождения параметров портфеля ставится следующим образом:

n

X (Ri) ^ max, i = 1 nn

X X XfXpov( Ri, Rj) ^ min.

i = 1 j = 1 J

Значение v, 0 < v < 1, считается выбранным; v = 0 соответствует пессимистичному сценарию, v = 1 — оптимистичному.

В соответствии с определением 12 эффективного решения многокритериальной задачи портфель называется эффективным, если нельзя изменить параметры портфеля так, чтобы дисперсия доходности портфеля уменьшилась, а ожидание доходности портфеля не уменьшилось, и нельзя изменить параметры портфеля так, чтобы ожидание доходности портфеля увеличилось, а дисперсия доходности портфеля не увеличилась.

Задача портфельной теории в нечетко-случайной постановке рассматривается в ряде работ, причем не только в виде двухкритериальной задачи. Например, в работе [57] в качестве третьего критерия максимизируется ликвидность портфеля. В этой же работе приводится достаточно подробный список публикаций, в которых задача портфельной теории рассматривается в нечеткой постановке. В работе [58] изучается подход, близкий к максимизации ожидаемой полезности. Могут рассматриваться и задачи, где параметры портфеля являются нечеткими числами [59]. Составление портфелей с применением методов возможност-ного программирования изучается, например, в работах [60, 61].

Разумеется, методы нечетко-случайного математического программирования применяются не только в портфельной теории. Например, в работе [62] обсуждается использование нечетко-случайных величин при оболочечном анализе данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За неполные пятьдесят лет своего существования нечеткое математическое программирование превратилось в большое и разветвленное научное направление, стало одним из основных подходов к решению задач оптимизации. В настоящее время прикладные задачи из самых разных областей решаются с помощью методов нечеткого математического программирования.

В работе дана классификация задач нечеткого математического программирования. Оказывается, что число различных типов задач нечеткого математического программирования оценивается несколькими тысячами. Рассмотрены задачи с нечеткими параметрами, задачи возможностного

программирования. Представлен симметричный подход, при котором критерии и ограничения выступают как равноправные. Затронуты задачи нечетко-случайного программирования.

Прямым обобщением нечетких множеств являются нечеткие множества типа 2. Окажутся ли нечеткие множества типа 2 настолько же востребованными в математическом программировании, насколько востребованными они оказались в теории систем? Ответ на этот вопрос принадлежит будущему.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lai Y.J., Hwang C.L. Fuzzy mathematical programming. — Berlin: Springer, 1992. — 306 p.

2. Sakawa M. Fuzzy sets and interactive multiobjective optimization. — N.-Y.: Plenum Press, 1993. — 308 p.

3. Carlsson C., Fuller R. Fuzzy reasoning in decision making and optimization. — Heidelberg: Physica-Verlag, 2002. — 338 p.

4. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. — 416 с.

5. Bector C.R., Chandra S. Fuzzy mathematical programming and fuzzy matrix games. — Berlin: Springer, 2005. — 248 p.

6. Luhandjula M.K. Fuzzy optimization: an appraisal // Fuzzy Sets and Systems. — 1989. — Vol. 30. — P. 257—282.

7. Rommelfanger H. Fuzzy linear programming and applications // European J. of Operational Research. — 1996. — Vol. 92. — P. 512—527.

8. Bayakasoglu A., Gogken T. A review and classification of fuzzy mathematical programs // Journal of Intelligent and Fuzzy Systems. — 2008. — Vol. 19. — P. 205—229.

9. Verdegay J.L. Progress on fuzzy mathematical programming: A personal perspective // Fuzzy Sets and Systems. — 2015. — Vol. 281. — P. 219—226.

10. Luhandjula M.K. Fuzzy optimization: Milestones and perspectives // Fuzzy Sets and Systems. — 2015. — Vol. 274. — P. 4—11.

11. Schryen G, Hristova D. Duality in fuzzy linear programming: a survey // OR Spectrum. — 2015. — Vol. 37. — P. 1—48.

12. Atanassov K.T. Intuitionistic fuzzy sets: Theory and applications. — Heidelberg: Physica-Verlag, 1999. — 324 p.

13. Rani D., Gulati T.R., Garg H. Multi-objective non-linear programming problem in intuitionistic fuzzy environment: Optimistic and pessimistic view point // Expert Systems with Applications. — 2016. — Vol. 64. — P. 228—238.

14. Razmi J., Jafarian E., Amin S.H. An intuitionistic fuzzy goal programming approach for finding Pareto-optimal solutions to multi-objective programming problems // Expert Systems with Applications. — 2016. — Vol. 65. — P. 181—193.

15. Arbaiy N., Watada J. Building fuzzy goal programming with fuzzy random linear programming for multi-level multi-objective problem // Int. J. on New Computer Architectures and Their Applications. — 2011. — Vol. 1. — P. 911—925.

16. ElSayed A., Kongar E., Gupta S.M. Fuzzy linear physical programming for multiple criteria decision-making under uncertainty // Int. J. of Computers Communications & Control. — 2016. — Vol. 11. — P. 26—38.

17. Pishvaee M.S., Khalaf M.F. Novel robust fuzzy mathematical programming methods // Applied Mathematical Modelling. — 2016. — Vol. 40. — P. 407—418.

18. Liu Q.-M., Shi F.-G. Stratified simplex method for solving fuzzy multi-objective linear programming problem // J. of Intelligent and Fuzzy Systems. — 2015. — Vol. 29. — P. 2357—2364.

19. Ebrahimnejad A., Verdegay J.L. A novel approach for sensitivity analysis in linear programs with trapezoidal fuzzy numbers // J. of Intelligent & Fuzzy Systems. — 2014. — Vol. 27. — P. 173—185.

20. Nehi H.M., Daryab A. Saddle point optimality conditions in fuzzy optimization problems // Int. J. of Fuzzy Systems. — 2012. — Vol. 14. — P. 11—21.

21. Bilgen B. Application of fuzzy mathematical programming approach to the production allocation and distribution supply chain network problem // Expert Systems with Applications. — 2010. — Vol. 37. — P. 4488—4495.

22. Mula J., Peidro D., Poler R. The effectiveness of a fuzzy mathematical programming approach for supply chain production planning with fuzzy demand // Int. J. Production Economics. — 2010. — Vol. 128. — P. 136—143.

23. Mahapatra G.S., Mahapatra B.S., Roy P.K. Fuzzy variable based fuzzy non-linear programming approach for optimization of complex system reliability // J. of Intelligent and Fuzzy Systems. — 2015. — Vol. 28. — P. 1899—1908.

24. Zhong S., Chen Y, Zhou J. Fuzzy random programming models for location-allocation problem with applications // Computers & Industrial Engineering. — 2015. — Vol. 89. — P. 194—202.

25. Afzali A., Rafsanjani M.K., Saeid A.B. A fuzzy multi-objective linear programming model based on interval-valued intuitionistic fuzzy sets for supplier selection // Int. J. Fuzzy Syst. — 2016. — Vol. 18. — P. 864—874.

26. Ebrahimnejad A. Fuzzy linear programming approach for solving transportation problems with interval-valued trapezoidal fuzzy numbers // Sadhana. — 2016. — Vol. 41. — P. 299—316.

27. Lin C.-C., Liu Y.-T., Chen A.P. Hedging an option portfolio with minimum transaction lots: A fuzzy goal programming problem // Applied Soft Computing. — 2016. — Vol. 47. — P. 295—303.

28. Chen F., Huang G.H., Fan Y.R., Chen J.P. A copula-based fuzzy chance-constrained programming model and its application to electric power generation systems planning // Applied Energy. — 2017. — Vol. 187. — P. 291—309.

29. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — Vol. 8. — P. 338—353.

30. Шведов А.С. Оценивание средних и ковариаций нечетко-случайных величин // Прикладная эконометрика. — 2016. — Т. 42. — С. 121—138.

31. Шведов А. С. Квантильная функция нечетко-случайной величины и выражения для ожиданий // Математические заметки. — 2016. — Т. 100. — С. 455—460.

32. Bellman R., Zadeh L.A. Decision making in a fuzzy environment // Management Science. — 1970. — Vol. 17. — P. 141—164.

33. Tanaka H., Okuda T, Asai K. On fuzzy mathematical programming // J. of Cybernetics. — 1974. — Vol. 3. — P. 37—46.

34. Zimmermann H.J. Fuzzy programming and linear programming with several objective functions // Fuzzy Sets and Systems. — 1978. — Vol. 1. — P. 45—55.

35. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981. — 207 с.

36. Lin C.-C. A weighted max-min model for fuzzy goal programming // Fuzzy Sets and Systems. — 2004. — Vol. 142. — P. 407—420.

37. Dubey D., Chandra S., Mehra A. Fuzzy linear programming under interval uncertainty based on IFS representation // Fuzzy Sets and Systems. — 2012. — Vol. 188. — P. 68—87.

38. Verdegay J.L. A dual approach to solve the linear programming problem // Fuzzy Sets and Systems. — 1984. — Vol. 14. — P. 131—141.

39. Cadenas J.M., Verdegay J.L. Using ranking functions in multi-objective fuzzy linear programming // Fuzzy Sets and Systems. — 2000. — Vol. 111. — P. 47—53.

40. Mahdavi-Amiri N., Nasseri S.H. Duality in fuzzy number linear programming by use of a certain linear ranking function // Applied Mathematics and Computation. — 2006. — Vol. 180. — P. 206—216.

41. Maleki H.R., Tata M, Mashinchi M. Linear programming with fuzzy variables // Fuzzy Sets and Systems. — 2000. — Vol. 109. — P. 21—33.

42. Haimes Y.Y., Lasdon L., Wismer D. On a bicriteria formulation of the problems of integrated system identification and system optimization // IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics. — 1971. — Vol. 1. — P. 296—297.

43. Haimes Y.Y., Hall W.A. Multiobjectives in water resources systems analysis: the surrogate worth trade-off method // Water Resources Research. — 1974. — Vol. 10. — P. 614—624.

44. Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Многокрите-риальность. Динамика. Неопределенность. — 2-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2011. — 420 с.

45. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. — М.: Радио и связь, 1990. — 288 с.

46. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. — М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 192 с.

47. Язенин А.В. Основные понятия теории возможностей. — М.: Физматлит, 2016. — 143 с.

48. Yang L, Iwamura K. Fuzzy chance-constrained programming with linear combination of possibility measure and necessity measure // Applied Mathematical Sciences. — 2008. — Vol. 2. — P. 2271—2288.

49. Kwakemaak H. Fuzzy random variables — I. Definitions and theorems // Information Sciences. — 1978. — Vol. 15. — P. 1—29.

50. Kwakernaak H. Fuzzy random variables — II. Algorithms and examples for the discrete case // Information Sciences. — 1979. — Vol. 17. — P. 153—178.

51. Puri M.L., Ralescu D.A. Fuzzy random variables // J. of Mathematical Analysis and Applications. — 1986. — Vol. 114. — P. 409—422.

52. К анализу нечетко-случайных временных рядов. — Препринт WP2/2015/01. — М.: НИУ ВШЭ, 2015. — 28 с. — URL: http://www.hse.ru/data/2015/02/04/1105772662/WP2_ 2015_01_f.pdf (дата обращения 25.03.2017).

53. Markowitz H.M. Portfolio selection // Journal of Finance. — 1952. — Vol. 7. — P. 77—91.

54. Markowitz H.M. Portfolio selection: Efficient diversification of investments. — N.-Y.: Wiley, 1959. — 344 p.

55. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. — М.: Высшая школа экономики, 1999. — 144 с.

56. Campos J.M., Gonzalez A. A subjective approach for ranking fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems. — 1989. — Vol. 29. — P. 145—153.

57. Li J., Xu J.P. Multi-objective portfolio selection model with fuzzy random returns and a compromise approach-based genetic algorithm // Information Sciences. — 2013. — Vol. 220. — P. 507—521.

58. Yoshida Y. A risk-sensitive portfolio with mean and variance of fuzzy random variables // in: LNAI 5227. — Berlin: Springer, 2008. — P. 358—366.

59. Ammar E.E. On solutions of fuzzy random multiobjective quadratic programming with applications in portfolio problem // Information Sciences. — 2008. — Vol. 178. — P. 468—484.

60. Inuiguchi M, Ramik J. Possibilistic linear programming: a brief review of fuzzy mathematical programming and a comparison with stochastic programming in portfolio selection problem // Fuzzy Sets and Systems. — 2000. — Vol. 111. — P. 3—28.

61. Mehlavat M.K., Gupta P. Credibility-based fuzzy mathematical programming model for portfolio selection under uncertainty // Int. J. of Information Technology & Decision Making. — 2014. — Vol. 13. — P. 101—135.

62. Шведов А. С. Нечетко-случайные методы в оболочечном анализе данных. — Препринт WP2/2014/05. — М.: НИУ ВШЭ, 2014. — 28 с. — URL: http://www.hse.ru/da-ta/2014/09/19/1315864820/WP2_2014_05.pdf (дата обращения 25.03.2017).

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Ф. Т. Алескеровым.

Шведов Алексей Сергеевич — д-р физ.-мат. наук, профессор,

Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики», г. Москва, И ashvedov@hse.ru.