Слабонелинейный анализ длинноволновой неустойчивости системы двух слоев жидкостей в полости с низкой теплопроводностью стенок

Конвективные течения..., 2015

СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ДЛИННОВОЛНОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛОЕВ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛОСТИ С НИЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ СТЕНОК

Т.П. Любимова, Я.Н. Паршакова

Институт механики сплошных сред УрО РАН 614013, Россия, г. Пермь, ул. Академика Королёва, 1

Изучены крупномасштабные конвективные движения в двухслойной системе при небольших надкритичностях. Для изучения процессов, имеющих различный временной масштаб, применен метод многих масштабов. Рассмотрены длинноволновые возмущения. Решения строились в виде рядов по малому параметру - волновому числу. Получено амплитудное уравнение для возмущений температуры второго порядка. Показано, что конвекция возбуждается жестким образом. Стационарные подкритические решения являются неустойчивыми. Ниже критического числа Рэлея малые возмущения затухают, а возмущения с амплитудой, большей некоторого порогового значения, неограниченно нарастают, что приводит к выходу за пределы применимости уравнения.

Ключевые слова: длинноволновая неустойчивость, слабонелинейный анализ, конвекция.

ВВЕДЕНИЕ

Исследованию гравитационной конвекции в двухслойных системах несмешивающихся жидкостей посвящено большое число работ. Так, в работе [1] на основе обобщенного приближения Бус-синеска исследована устойчивость механического равновесия

© Любимова Т.П., Паршакова Я.Н., 2015

Конвективные течения..., 2015

двухслойной системы несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами в случае жидкостей с близкими плотностями. Считалось, что толщины слоев и все параметры жидкостей, за исключением плотностей, одинаковы. Найдены монотонная и колебательная моды неустойчивости с конечной длиной волны. Позднее та же задача решалась для жидкостей с разными свойствами [2]. Обнаружена монотонная длинноволновая мода неустойчивости, связанная с деформируемостью поверхности раздела (в частном случае, рассмотренном в [1], эта мода отсутствует). Показано, что в широком диапазоне параметров длинноволновые возмущения являются наиболее опасными.

В случае одиночного горизонтального слоя жидкости с заданным тепловым потоком на внешних границах неустойчивость равновесия при подогреве снизу возникает в результате развития монотонных длинноволновых возмущений [3]. В работе [4] исследована устойчивость механического равновесия двухслойной системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с заданным тепловым потоком на внешних границах и недеформируемой границей раздела. Показано, что если отношение толщин слоев жидкостей близко к нулю или единице, т.е. система близка к одиночному слою с заданным тепловым потоком на внешних границах, то реализуется длинноволновая монотонная неустойчивость. Обнаружено также наличие области длинноволновой монотонной неустойчивости при промежуточных значениях отношения толщин слоев, близких к 0.5. Для двухслойной системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах обнаружены две моды длинноволновой неустойчивости: монотонная и колебательная [5, 6].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим двухслойную систему горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела. Слои ограничены твердыми поверхностями z = -h1, h2, на которых задан постоянный тепловой поток: dT1 / dz = const и dT2 / dz = const. Выберем систему координат так, чтобы ось z была направлена вертикально вверх, а оси x и у - в плоскости невозмущенной поверхности раздела. В силу симметрии задачи в плос-

6

Любимова Т.П., ПаршаковаЯ.Н. Слабонелинейный анализ...

кости х и у (изотропность задачи), рассматривается двумерная задача в плоскости х - z . Рассматриваются слои одинаковой толщины h1 = h2 = h .

Будем исследовать жидкости с близкими плотностями. В этом случае можно корректно учесть деформации поверхности раздела, решая задачу в рамках модели Буссе - Любимова. В соответствии с этой моделью плотность каждой из жидкостей предполагается зависящей лишь от температуры. Вариации плотности, возникающие за счет теплового расширения, считаются малыми и удовлетворяющими линейному закону pj = р0j [d -bj (Tj - T0 , где b - коэффициент теплового расширения b = -р~1др / дТ , а р0j - значение плотности j-й жидкости при температуре Т0, принятой за начало отсчета и равной равновесному значению температуры поверхности раздела жидкостей. В соответствие с выбранным подходом наряду со слабой температурной зависимостью плотности (Ь, |т, | ^ 1) предполагается малой и относительная разность плотностей:

S= 2р02 р01, Id <<1.

Р02 + р01

Число Галилея Ga = gh /п*2 предполагается в данном подходе асимптотически большим параметром, а его произведение на каждый из малых параметров конечным: Ra = b*(i -Q2)Ga v*j2c* -число Релея и Ga = dGav* / с* - модифицированное число Галилея, где b, n,, с* - средние значения коэффициентов теплового расширения, кинематической вязкости и температуропроводности.

Таким образом, в рамках модели Буссе - Любимова плотности обеих жидкостей предполагаются постоянными и равными среднему значению р* всюду, кроме слагаемых, описывающих массовые силы. Положительные модифицированные числа Галилея соответствуют потенциально неустойчивой стратификации жидкостей (внизу более легкая жидкость), а отрицательные - устойчивой.

Система уравнений свободной тепловой конвекции в рамках заданной модели записывается в виде:

7

Конвективные течения..., 2015

1 (dv, , . ^

+ (vjV) vj = -VP] + V Dvj + Raf]T] Y,

Pr

dTt , \

-L +(vyV) T = X]DTJ, divvy = 0.

Здесь ] = 1,2, индексом 1 отмечены величины, относящиеся к нижней жидкости, индексом 2 - к верхней; у - единичный вектор, направленный вдоль оси z . Уравнения записаны в безразмерной форме, в качестве единиц измерения времени, расстояния, скорости, температуры и давления использованы h2/c*, h , X*lh , A*h , pv*C*lh2 соответственно.

В качестве единиц измерения вязкости, теплопроводности, теплового расширения, температуропроводности и равновесных градиентов температуры приняты их средние арифметические значения: v* = (v1* + v2*)/2, k* = (k1* + k2*)/2, f* = (f* + f2*)/2,

C* = (Ci* +C2*)/2, A* = (Aj* + A2*)/2. При таком выборе единиц измерения выполняются соотношения:

V + V2 = 2, k1 +k2 = 2, f +f2 = 2 C +C2 = 2.

На твердых внешних границах ставятся условия прилипания и задан теплой поток:

z = ±1:

дТ,

v= 0, —- = const.

] dz

Кинематическое условие, условия непрерывности скорости, температуры и теплового потока на границе раздела имеют вид:

z = Z: — + (vv)z = vy, [v] = 0, [T] = 0, [kVT] n = 0, dt

где [f] - скачок величины f на поверхности раздела, т.е. [ f ] = (f ~ f2 )z=z , n - вектор нормали к границе раздела, направленный из первой среды во вторую; Z = z (x, t) - уравнение границы раздела ( z= 0 в случае плоской поверхности раздела).

Условия непрерывности нормальных и тангенциальных напряжений на границе раздела, записанные в предположении, что по-

8

Любимова Т.П., ПаршаковаЯ.Н. Слабонелинейный анализ...

верхностное натяжение линейно зависит от температуры, имеют вид:

-[ P] + [s„„ ] + GaZ = CaK,

где K — кривизна поверхности.

Краевая задача (2) — (6) содержит следующие безразмерные параметры: число Прандтля Pr; число Релея Ra ; параметр капиллярности Ca; модифицированное число Галилея Ga :

Pr = —, Ra =

С*

g&A,h4 v*C* ’

Ca = a°h Ga = (r °2 r<)l) gh

v*Z*P°’ h*C*

Здесь h* = P°v* — среднее значение динамической вязкости, а° — значение коэффициента поверхностного натяжения при температуре, выбранной за начало отсчета.

Задача (2) — (6) допускает стационарное решение, соответствующее механическому равновесию жидкостей с плоской горизонтальной границей раздела v°j = °, Z° = ° , при этом распределения температуры в слоях соответствуют теплопроводному режиму:

z2

Т°j = -z Aj, p°j = -Rab A у,

A1 = k2, A2 = k1.

ДЛИННОВОЛНОВАЯ неустойчивость равновесия

Исследуем устойчивость механического равновесия системы по отношению к малым нормальным возмущениям вида exp (It + z'kr).

Для исследования устойчивости по отношению к длинноволновым возмущениям разложим все поля и инкремент Я в ряды по волновому числу:

Я = к Я + к2 Я +..., qj = qj° + kqf +..., uj = kuf + к 2u j2) +..., Wj = kwj1 + к2 w(2) +...,

ej=qo)+kef+..., c=c(0)+kc{1)+...

9

Конвективные течения..., 2015

Вычисления показали, что в разложении инкремента Я1 тождественно обращается в нуль, а для Л2 получается квадратное уравнение

коэффициенты которого являются громоздкими функциями параметров задачи и их явный вид здесь не приводится.

Рассматриваемая задача содержит большое число безразмерных параметров, поэтому расчеты проводились для конкретной пары жидкостей: «муравьиная кислота - трансформаторное масло», исследование устойчивости такой системы проведено в [5].

Проведем слабонелинейный анализ крупномасштабных конвективных течений в исследуемой двухслойной системе. Рассмотрим поведение решений вблизи порога длинноволновой монотонной неустойчивости. Для простоты будем рассматривать плоскую задачу. Пусть движение совершается в плоскости xz (ось х - горизонтальная, ось z - вертикальная), запишем проекции уравнений и граничных условий на соответствующие оси:

12 + бл2 + с = о,

СЛАБОНЕЛИНЕИНЫИ АНАЛИЗ РЕЖИМОВ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

1 э

-------и. =

Pr Э/1 1

Э _ _1

Эх^ Pr

10

Любимова Т.П., ПаршаковаЯ.Н. Слабонелинейный анализ...

z = ±1: u. = w. = 0, — T. = 0,

1 1 0z 1

z = 0 : u, = u., w = w, k— T = k — T,

0z 0z

Э Э

П1 -v u1 = П2 -v UL ,

0z 0z

-( P1 - Pl )-GaZ+ 2 ^ n1 ^°zW1 П L

J Э э л oz ^ oLz

-L| n—^-nL—uL = -Ca.

0z 1 2 0z 2) 0x

Здесь u. - горизонтальная компонента скорости, w. -вертикальная.

Целью данной работы является построение пространственнопериодических решений системы (9) - (13) при небольших превышениях порогового числа Релея Ra - Ra0 и их анализ.

При малых надкритичностях Ra - Ra0 мала величина отклонения волнового числа km от критического (нулевого), поэтому может быть использована длинноволновая асимптотика.

Для разделения пространственных масштабов, крупного - вдоль продольного направления и мелкого - вдоль поперечного направления по отношению к слоям системы, введем новую переменную X = kmx и проведем замену в уравнениях

— = k — Эх “ km ЭХ'

Для рассмотрения процессов, имеющих различный временной масштаб, применим метод многих масштабов [7]. Будем считать функции vj, Tj зависящими от времени tn = knmt; n = 0,1, L,; при этом

0t

2 km Эт

n=0 0tn

Рассмотрим монотонные возмущения, при этом функции u. , w. , T. не зависят от tn с n < 3 . Зависимость Ra от km имеет вид:

11

Конвективные течения..., 2015

Ra = X С Ra2

Решения будем строить в виде рядов по параметру km :

uj = X k"mUJ{n), Wj = X Kw?,

n=0 n=0

T = X knmTJin), n=0 Z = X k"mZ„. n=0

Подставим разложения (14) - (17) в (9) - (13) и будем приравнивать слагаемые одного порядка по km . При этом потребуем ограниченности решений при t и £  ±¥ .

Из нечетных порядков разложения определяются продольные компоненты скорости, а четные порядки разложения позволяют определить температуру, давление и поперечные компоненты скорости. На нечетных временах для монотонной конвекции получаются нулевые решения.

Из уравнений нулевого порядка по km находим:

w}0) = u(0) = 0, r(0) = -AjZ,

(о) _

= -AjRaob Zo = 0.

2

В первом порядке по km получаем нулевое решение. Во втором порядке, как было сказано ранее, функции не зависят от t1 и определяются следующими выражениями:

w/2> = u/2) = о, T/2) = Qj (£), j = RaobjQjZ + Pj (£), Z = Z(£),

где Qj (£) - возмущения температуры, Pj (£) - возмущения давления, константы интегрирования (не зависящие от вертикальной координаты). Введем среднюю величину возмущения температуры двух жидкостей Q (x) :

Qj = Q +—Z, Q2 = Q-—£.

1 2 2 2

Из уравнений третьего порядка следует независимость функций от t3 , получаем выражение для горизонтальной компоненты скоро-

12

Любимова Т.П., ПаршаковаЯ.Н. Слабонелинейный анализ...

сти, а остальные функции равны нулю, что характерно для уравнений нечетных порядков по km .

и) = -

Э0,

ЭР,

j v

ЭХ 6 ЭХ 2

2 ^ Э0.

+ fi—rr-z + d

ЭХ

i

где константы интегрирования f и d. зависят от Х и определяются из условий прилипания на твердых границах и условий непрерывности скоростей и теплопотоков жидкостей на границе раздела.

Из уравнений четвертого порядка малости по km находим выражения для вертикальной компоненты скорости, температуры и давления. Горизонтальная компонента скорости равна нулю. Условие разрешимости и кинематическое условие позволяют найти Ra0, которое для системы жидкостей «муравьиная кислота -трансформаторное масло» имеет вид:

Gao

Ra0 (Ra0- 8.826) 1013.4 -5.132Ra0 '

Также можно определить связь между возмущениями температуры и поверхности раздела жидкостей, она оказывается линейной.

Уравнения пятого порядка позволяют найти горизонтальную компоненту скорости, остальные функции равны нулю.

Наконец, условие разрешимости уравнений шестого порядка и кинематическое условие дают замкнутое уравнение для 0(Х, t4):

Э0

Э/4

(-(a)Ra20 + b02 + )0xx)xx ,

где индексами t4, Х обозначены дифференцирования по времени и продольной координате соответственно; a, g - положительные численные коэффициенты.

Амплитудное уравнение вида (21) в одномерном случае получено и исследовано в [8]. Анализ коэффициентов уравнения (21) показал, что конвекция в двухслойной системе возбуждается жестким образом. Стационарные подкритические решения (21) являются неустойчивыми, а само уравнение не дает информации о режимах конвекции вблизи порога. Ниже критического числа Релея малые возмущения затухают, а возмущения с амплитудой, большей неко-

13

Конвективные течения..., 2015

торого порогового значения, неограниченно нарастают, что приводит к выходу за пределы применимости уравнения (21).

Заключение. Проведено исследование устойчивости механического равновесия системы двух горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей близкой плотности в рамках слабонелинейного анализа. Изучены крупномасштабные конвективные движения в исследуемой системе жидкостей при небольших превышениях порогового числа Релея. Для изучения процессов, имеющих различный временной масштаб, применен метод многих масштабов. Рассмотрены монотонные возмущения. Решения строились в виде рядов по малому параметру - волновому числу. Установлено, что конвекция в двухслойной системе возбуждается жестким образом.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 14-01-00148 А).

СПИСОК БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК

1. Rasenat S., Busse F.H., Rehberg I. A theoretical and experimental study of double-layer convection // J. Fluid Mech. 1989. Vol. 199. P. 519-540.

2. Lobov N.I., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Convective instability of a system of horizontal layers of immiscible liquids with a deformable interfaces // Fluid dynamics. 1996. Vol. 31. P. 186-192.

3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. M: Наука, 1972. 392 с.

4. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной неустойчивости равновесия двухслойной системы с теплоизолированными границами // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1986. № 2. С. 22-28.

5. Lyubimova T.P., Parshakova Y.N. Stability of equilibrium of a double-layer system with a deformable interface and a prescribed heat flux on the external boundaries // Fluid Dynamic. 2007. Vol. 42. P. 695-703.

6. ^nvection in a two-layer system with deformable interface in low gravity conditions / D. Lyubimov, T. Lyubimova, Y. Parshakova, A. Ivantsov // Microgravity Science and Technology. 2011. Vol. 23, No. 2. P. 143-150.

7. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М: Мир. 1984. 535 с.

14

Любимова Т.П., ПаршаковаЯ.Н. Слабонелинейный анализ...

8. Long-wave instability of a differently heated two-layer system with a deformable interface / D. Lyubimov, T. Lyubimova, J. Alexander, S. Shklyaev // Proc. 3rd Int. conf. on multiphase flow, ICMF-98. Lyon, France, 1998. (CD).

WEAKLY-NONLINEAR ANALYSIS OF LONG-WAVE INSTABILITY OF TWO FLUID LAYER SYSTEM IN THE CAVITY WITH LOW THERMAL CONDUCTIVITY WALLS

T.P. Lyubimova, Ya.N. Parshakova

Abstract. Large-scale convective motions in the two-layer system for small supercriticality is studied. The method of multiple scales is implemented for study of processes having different time scales. We consider long-wave perturbations. The solution is constructed in the form of a series of the small parameter - the wave number. The second-order equation for the perturbation of temperature amplitude is obtained. It is shown that the convection could be subcritical. Stationary subcritical solutions are unstable. Below the critical Rayleigh number small perturbations are damped, and perturbations with finite amplitude greater than certain threshold value indefinitely increase, which leads to the exceeding of applicability limits of the equation.

Key words: long-wave instability, weakly-nonlinear analysis, convection.

15