Поток для Spin(7)-структуры

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

УДК 514.76.2

ПОТОК ДЛЯ SPIN(7)-СТРУКТУРЫ Е. Г. Малькович

FLOW FOR SPIN(7)-STRUCTURE E. G. Malkovich

Мы приводим уравнение потока для Spin(7)-структуры на конусе над 7-мерным 3-сасакиевым многообразием.

We introduce equation of a flow for the Spin(7)-structure on a cone over 7-dimensional 3-Sasakian manifold.

Ключевые слова: группа голономии, Spin(7)-CTpyKTypa, поток Риччи.

Keywords: holonomy, Spin(7)-structure, Ricci flow.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-00598), грантом «Ведущие научные школы» (№ НШ-7256.2010.1.) и грантом Президента РФ (№ МД-249.2011.1).

1. Введение

Одной из задач современной дифференциальной геометрии является поиск метрик со специальными геометрическими свойствами. Как правило, под этим подразумевается существование некоторых геометрических структур или различного рода ограничения на тензор кривизны. Метрики со специальными группами голономии дают ответ на оба вопроса: метрики с исключительными группами голономии имеют нулевой тензор Риччи, и на данный момент неизвестно ни одной риччи-плоской метрики на компактном многообразии, группа голономии которой была бы общего вида.

В последнее время получил распространение метод геометрических потоков. Геометрический поток представляет из себя эволюционное уравнение на метрику, под действием которого метрика должна деформироваться к некоторому требуемому виду. Условно потоки можно разделить на внешние и внутренние. Внешние потоки деформируют геометрию подмногообразий и их вложение в многообразия большей размерности. Например, поток Уилмора должен приводить произвольную поверхность в М3 к минимальной поверхности. Обобщением потока Уилмора является поток средней кривизны, действующий на гиперповерхностях в произвольном многообразии. Из внутренних потоков наиболее известным является поток Риччи:

д9гз

~ж

с помощью которого была доказана гипотеза геометризации Тёрстона, и как следствие, гипотеза Пуанкаре. В 2007 году Бренделом и Шэйном с помощью потока Риччи была доказана дифференциальная теорема о сфере, утверждающая, что если секционная кривизна многообразия принимает значения в полуинтервале (1, 4], то оно диффео-морфно сфере.

Менее известны другие внутренние потоки: поток Калаби и поток Ямабе. Поток Ямабе, рассмотренный Гамильтоном некоторое время спустя по-

сле введения потока Риччи, должен деформировать метрику в ее конформном классе так, чтобы скалярная кривизна стремилась к постоянной величине. Поток Калаби возникает как градиентный поток на кэлеровых многообразиях для решения задачи минимизации функционала скалярной кривизны. Основную проблему при изучении геометрических потоков представляет теорема существования решения. Трудность вызвана тем, что геометрический поток представляет из себя нелинейное уравнение параболического типа. Никаких общих методов для решения подобных задач не существует, и на настоящий момент все результаты касаются тех или иных частных случаев.

Грубо говоря, если можно корректно определить оператор Лапласа от некоторого объекта Ф, то можно исследовать уравнение вида = ДФ. Параллельная £рт(7)-структура однозначно определяет метрику. В свою очередь, существование параллельной £рт(7)-структуры — это существование параллельной 4-формы, а на формах определен оператор Лапласа-Бельтрами. В данной статье мы приводим эволюционное уравнение на £рт(7)-структуру специального вида, определенную на конусе над 3-сасакиевым многообразием, чей кватернионно-кэлеров орбифолд обладает кэлеровой структурой. В разделе 2 содержатся в достаточной полноте необходимые определения и примеры. В разделе 3 мы приводим необходимые обозначения и формулируем основное утверждение.

2.Предварительные сведения

Группа голономии — это инвариант п-мерного многообразия (риманова или псевдориманова), являющийся подгруппой Ли группы О(п) и тесно связанный с геометрией данного многообразия. Дадим строгое определение: пусть 7 : [0,1] ^ М

— кусочно гладкая кривая, такая, что 7(0) = х и 7 (1) = у для некоторых х,у € М. Тогда для любого касательного вектора е € ТХМ существует единственное гладкое сечение в, такое, что

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

V-y(t)s(t) =0 и s(0) = e для некоторой связности V. Определим PY(e) := s(1). Тогда PY : TxM ^ Ty M корректно определенное линейное отображение, называемое параллельным переносом. Петлей называют кривую, у которой начало и конец совпадают: 7(0) = 7(1) = х. Тогда группой голономии называют

Holx(V) = {P7 : 7(0)= 7(1)= х}.

В дальнейшем мы будем рассматривать только связность Леви-Чивита, которая сохраняет длины векторов при параллельном переносе, то есть выполнено Holx(V) С O(n). Кроме того, если многообразие связно, то можно показать, что класс сопряженности Holx не зависит от выбора отмеченной точки х. В дальнейшем будет рассмотрен только односвязный случай, поэтому будем считать, что группа голономии Hol является связной подгруппой Ли в SO(n).

Теорема Берже утверждает, что если римано-во многообразие неприводимо и не является симметрическим пространством, то существует ровно 7 случаев подгрупп в O(n), которые могут быть группами голономии некоторого риманова многообразия. Среди этого списка выделяются группы G2 и Spin(7), определенных соответственно на 7-мерных и 8-мерных многообразиях. Метрики с соответствующими группами называются исключительными. Достаточно долго стоял вопрос о конкретных примерах метрик с данными группами голономии. Основной интерес представляют компактные примеры. Например, в теоретической физике, в теории струн, данные многообразия должны моделировать "пространство скрытых размерностей". Однако один из первых компактных примеров — К3-поверхность с голономией SU(2) — был построен с помощью склейки из некомпактных частей. В дальнейшем пример К3-поверхности был использован Джойсом для построения метрик с голономиями G2 и Spin(7). Поэтому поиск некомпактных примеров также представляет определенный интерес, в особенности если удается отследить поведение метрики на бесконечности.

Далее мы рассмотрим класс 7-мерных 3-сасакиевых многообразий. Они наделены многими вспомогательными структурами, которые можно использовать для поиска интересующих нас метрик. Пусть M — гладкое замкнутое рима-ново многообразие размерности m с метрикой д. Конусом M над M будем называть многообразие R+ х M с метрикой д = dt2 + t2g. Многообразие M называется 3-сасакиевым, если метрика д на M гиперкэлерова, т. е. ее группа голономии содержится в Sp(m+1) (в частности, m = 4n — 1,n > 1). Данное определение эквивалентно классическому: M — 3-сасакиево, если на нем существует три ор-тонормированных киллинговых векторных поля £г, таких что [£“,£Ь] = 2eabc^c и удовлетворяю-

щих условию сасакиевости [3]. Условие сасакие-вости на векторное поле £ говорит, что тензорное (1,1) поле Ф = должно удовлетворять условию (УхФ)(У) = д(У,£)Х — д(Х,У)£ для любых векторных полей X и У на М. Нас интересует поиск метрик со специальными голономиями, и мы будем пользоваться первым определением. Мы будем деформировать конусную метрику на М так, чтобы группа голономии стала исключительной.

В качестве классического примера 3-сасакиева многообразия можно привести 7-мерную сферу. Она естественным образом вкладывается в М8 ~ Н2 как единичная сфера. Векторные по-

ля £г порождаются умножением на мнимые единицы г,і, к. Как известно, 3-мерная сфера действует на 7-мерной, и возникает обобщенное расслоение Хопфа Б3 : Б7 ^ Б4. Аналогичный факт верен и для произвольного 3-сасакиева многообразия М, оно расслаивается над 4п-мерным кватернионно-кэлеровым орбифолдом О, слоем данного расслоения является либо Б3, либо МР3 = Бг/Ъ2. Нас будет интересовать случай, когда орбифолд О может быть наделен кэлеровой формой ш. Это ограничение устраняет из наших рассмотрений 7-мерную сферу, так как вторые когомологии 4-мерной сферы нулевые и на ней нет нетривиальных замкнутых 2-форм. Пространство Алоффа-Уоллаха М = Би(3)/и(1)і,і,-2 — единственное однородное 7-мерное 3-сасакиево многообразие, которое расслаивается над кэлеровым многообразием, в данном случае над СР2. Дальнейшие наши построения могут быть описаны явно для пространства Алоффа-Уоллаха, но они остаются справедливыми и для произвольного 3-сасакиева многообразия с кэлеровым орбифолдом О.

3. Поток для 5рт(7)-структуры

Будем считать, что образующая М+ конуса М задается переменной 0 < Ь < то. Тогда на М определено векторное поле дг. Так как Но1(М) С Бр(2), то на конусе М есть три комплексных структуры Іг, і = 1,2, 3. Рассмотрим поля £г := 1г(дг), несложно проверить, что они будут ортогональны исходному д(, то есть будут касательными к М = = М х {Ь = 1} С М. Сопоставим векторным полям £г 1-формы по правилу щ(Х) = д(Х,£г) для векторных полей X на М. Данные три формы называются характеристическими формами 3-сасакиева многообразия. Далее определим 2-формы:

шг = dnг + ^ £гікПі Л Пк, і = 1, 2, 3. і,к

Можно проверить [1], что данные формы корректно определены на горизонтальном подрасслоении Н 3-сасакиева расслоения. В пространстве 1-форм на Н можно выбрать подходящий ортонормиро-ванный базис {щ, Пв,П,П7}, так что формы шг при-

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

мут вид:

Ш1 ^ Ш2 : Ш3

-- 2(П4 А П5 - П6 А П7),

= 2(^4 А П6 - П7 А щ),

= 2(^4 А П7 - П5 А Пб)-

+в(^)2(п2 + п5) + с (г)2(п1 + п2)-

Эта форма записи довольно естественна, потому что эти формы получаются опусканием индекса операторов кватернионного умножения Р при их ограничении на Н: ші(Х, У) = д(Рг(Х), У) для любых горизонтальных векторных полей X, У [1]. Так как пространство 2-форм на 4-мерном расслоении горизонтальных векторов Н имеет размерность 6, то «оставшаяся часть» пространства 2-форм Л2Н* будет порождена 2-формами вида

Сі = 2(П4 А П5 + П6 А П7),

С2 = 2(^4 А П6 + П7 А П5),

Сз = 2(^4 А П7 + П5 А П6)-

Мы предполагаем существование дополнительной кэлеровой структуры на орбифолде О, поэтому, использовав оставшуюся свободу на выбор базиса {щ,П5,П,П7}, будем считать что форма ш := Сі и есть наша кэлерова форма.

Определим самосопряженную 4-форму на К8 следующим образом:

Ф0 = е0123 + е4567 + е0145 - е2345 - е0167 + е2367+

+ е0246 + е1346 - е0275 + е1357 + е0347 -

- е1247 - е0356 + е1256

где егік1 := ег А е^ А ек А е1. Группа линейных преобразований М8, сохраняющих данную форму, изоморфна Бріп(7). Чтобы перенести данную форму на произвольное риманово многообразие N, необходимо потребовать существование в каждой точке р Є N подходящей изометрии ф, такой, что ф*Ф0 = Ф|р, где Ф — уже форма на N. Также необходимо потребовать параллельность формы Ф. При выполнении данных условий говорят, что Ф задает параллельную Бріи(7)-структуру на N, и Но1N) = Бріп(7). Кроме того, группа Бріп (7) также сохраняет ориентацию и метрику д0 = 5^1=0(ег)2. Таким образом, Ф автоматически определяет метрику на N.

Рассмотрим следующую форму на М:

Ф = е0123 + С2В2щ А п5 А щ А п7+

4

(е01 - е23) А Ш1 +

В2-С2 („01

(е01 - е23) А ш+

+

\ВС(П2 е31\ Л, , I ВС/„03 А2\ Л , ,

+ (е - е ) А Ш2 +-2~ (е - е ) А Ш3,

где

Условие параллельности данной формы исследовалось в статье [2]. Данное условие эквивалентно системе нелинейных дифференциальных уравнений на функции Аі(і), В (і), С (і). Чтобы данный набор функций определял метрику на гладком ри-мановом многообразии, необходимо правильным образом задать начальные данные — разрешить особенность. Ранее было исследовано поведение функций на бесконечности и найдено непрерывное однопараметрическое семейство метрик да, «соединяющее» метрики Калаби:

Теорема [2]. Пусть М — 7-мерное компактное 3-сасакиево многообразие, и положим р = 2 или р = 4, в зависимости от того, равен общий слой 3-сасакиева слоения М либо БО(3), либо БИ(2). Тогда на орбифолде ЛЛ2/Ър существуют следующие полные регулярные римановы метрики д вида (2) с группой голономии Н С Бріп(7) :

1) если А1(0) = 0, -А2(0) = А3(0) > 0 и 2А2(0) = В2(0)+С2(0), то метрика д имеет группу голономии БП(4) С Бріп(7) и гомотетична одной из метрик семейства

да =

+

г4

+(г2 + а2)(п4 + п!) +(г2 - а2)(Пб + п2);

т + г (П2 + П3)+

е = 31,

ег = * = 1, 2, 3,

е3 = Бгц,3 = 4, 5, ек = Сщ,к = 6, 7,

А.1(Ь),А2(Ь),Аз(Ь),Б(Ь),С(¿) — некоторые гладкие функции. Форма Ф соответствует римановой метрике на М:

А2 + А^)2^ + А2(£)2п2 + Aз(t)2nl +

2) если А1(0)=0, -А2(0)=А3(0)<В(0)=С(0), то существует регулярная асимптотически локально коническая метрика д вида (2) с группой голономии Бріп(7).

Более того, любая полная регулярная метрика на пространстве ЛЛ2/Ър вида (2) рассмотренной Бріп(7)-структурой и с группой голономии Н С Бріп(7) изометрична одной из указанных выше.

В формулировке данной теоремы пространство М2 — одно из двух возможных разрешений конусной особенности. За подробностями отсылаем к оригинальной статье.

Если оператор Лапласа-Бельтрами действует на 4-формах 8-мерного пространства, он имеет вид Д = * 3 * 3 - 3 * 3 * , где * — оператор Ходжа. Поэтому для вычисления ДФ необходимо знать форму объема и действие дифференциала на базисных формах. Следующие соотношения были получены в [1]:

¿е0 = 0,

ЙєЄ = Ае° А єЄ + АіШ - Лі+1Лі+2

2 , , л „¿+2 2

2Лі

,¿+1

е

¿+2 ,

¿+2,

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

где i = 1, 2, 3 mod 3.

Напомним, что ш — кэлерова форма, то есть замкнута. Форма объема имеет вид Vol = е01234567 = eoi23 д -в2с2 д ш2. Теперь мы будем предполагать, что функции Ai, B, C зависят не только от переменной t, определенной на образующей конуса R+, но и от дополнительного параметра т, играющего роль времени. Рассмотрим уравнение

Фт = ДФ.

После довольно продолжительных, но не представляющих сложности вычислений, получим, что и левая и правая части уравнения (3) являют-

ся линейными комбинациями следующих десяти 4-форм: ш А е01, ш А е23, Ш1 А е01, Ш1 А е23, ш2 Л

„13 , , Л „02 , , Л „12 , , Л „03 , , Л , , „0123

е , ш2 А е , ш3 А е , ш3 А е , ш1 А ш1 , е .

Коэффициенты линейных комбинаций левой части уравнения зависят от функций А^, В, С и их производных первого порядка по т. Коэффициенты правой части зависят от функций А^, В, С, их производных первого и второго порядков по Ь, причем зависимость от производных первого порядка нелинейная. Это согласуется с общей теорией параболических уравнений и, в частности, с потоком Риччи. Левая часть задается с помощью матрицы М и вектора /:

M

-C \

ta to 1 О to 0 0 f C

4A1 2 2

0 C2 2 C2 2 f C

4A2 4A3 2 2

f2 + C2 4A1 0 0 f 2 C 2

0 C2+f 2 C2 +f 2 f C

4A2 4A3 2 2

fC 0 fC C f

2Ai 2A3 2 2

0 fC 0 C f

2A2 2 2

fC f2C 0 C f

1 2 1 1 c< k |<M 1 2 2

0 0 fC C f

2A3 2 2

0 0 0 fC2 16 f 2C 16

1 1 1 0 0

Ai A2 A3

\

Мы получаем систему уравнений

Mdf =b-

дт

f =

/

Основную сложность в этом уравнении представляет правая часть Ь. Приведем лишь первую коор-(4) динату этого 10-мерного вектора:

bi = 128AfA2A2 (2В3С5А3 - 2В5С3А3 + 32ВС2А?С'А2Аз + +8В3АЗС,А2АзА1 + 4А1В3СА2А2А2 -

- 4А if ВС3 А2А2А2 - 24ВСС,2А2А2 Аі - 16ВС2А3С,А2А3Аі - 8ВС2С"А2А2Аі+ +8В2СВ,,А2А2Аі + 24ВСВ,2А2А3Аі + 16В2В,С,А2А2Аі - 16С2СВ,А2А2Аі + +16В2СА3В,А22А3А1 + 4В3СА2'А2А2Аі - 4ВС3А2'А2А3Аі + 4В3СА3'А2А3Аі--4ВС3А3'А2А3Аі - 4В3С(А2)2А3А1 +4ВС3(А2)2А2Аі - 4В3С(А3)2А2Аі + +4ВС3(А3)2А2А3 - 32В2САіВ,А2А3 - 16В3А2іС,А2А3 + 8В3САіА2А3+ +8В3САіА3А2 - 16В3САіА2А3Аі + 16С3А2іВ,А2А3 - 8ВС3А2Аі2А3--8ВС3А2А3А2 + 16ВС3АіА2А3Аі + 16В2СА2В,А2А2 Аі + 8В3А2С,А2А3 Аі-

-8С3А'2В'А2А2^А1 - 16ВС2А2 0'А2 А\А

-8А1ВС2СА2А2 + 4А1В3СА3А2Аз -

-2В3С4А21С,А2А3 + В5С3А\А'2А3 - В3С

где, как и ранее, Р' = дРдІ’Т^ • Необозримость правой части делает практически невозможным анализ общей ситуации без помощи математических пакетов. Было установлено, что матрица М имеет ранг 5, в то время как ранг расширенной матрицы равен 6. Таким образом, найти решение общего вида не представляется возможным. Мы получаем следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть М — 7-мерное 3-сасакиево многообразие, чей кватернионно-кэлеров орби-фолд может быть наделен кэлеровой структурой. Эволюционное уравнение (3) на Брт(7)-структуру определенную на конусе М, задавае-

- 8C3A3B'A22A3Al + 8A1B2CB'A22A23-4A'1BC3A,3A‘2A3 + 2B4 C3A1B'A2 A3-A2A2A3 + B5C3A2A3A2 - B3C5A2A3A2),

мую формой Ф вида (1); эквивалентно переопределенной системе уравнений (4).

Литература

[1] Базайкин, Я. В. О новых примерах полных некомпактных метрик с группой голономии Spin(7)/ Я. В. Базайкин // Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, № 1. - С. 11 - 32.

[2] Базайкин, Я. В. Spin(7)-структуры на комплексных линейных расслоениях и явные ри-мановы метрики с группой голономии SU(4) / Я. В. Базайкин, Е. Г. Малькович // Математический сборник. - 2011. - Т. 202, № 4. - С. 3-30.

[3] Boyer, C. P. The geometry and topology