НАТУРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ЛОГИКИ С ОПЕРАТОРАМИ ИСТИННОСТИ И ЛОЖНОСТИ

вестн. моск. ун-та. сер. 7. философия. 2019. № 6

ЛОГИКА

Я.И. Петрухин*

НАТУРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ЛОГИКИ

С ОПЕРАТОРАМИ ИСТИННОСТИ И ЛОжНОСТИ*

В статье формулируется натуральное исчисление линейного типа, формализующее четырехзначную логику С.А. Павлова FL4 с операторами истинности и ложности.

Ключевые слова: неклассическая логика, четырехзначная логика, логика обобщенных истинностных значений, натуральный вывод, оператор истинности, оператор ложности.

Ya.I. P e t r u k h i n. The natural deduction system for the logic with truth and falsehood operators

In this paper, we formulate linear-type natural deduction system for S.A. Pavlov's four-valued logic FL4 with truth and falsehood operators.

Keywords: non-classical logic, four-valued logic, logic of generalized truth values, natural deduction, truth operator, falsehood operator.

Введение

В статье рассматривается логика FL4 с операторами истинности и ложности, описанная С.А. Павловым в его монографии [С.А. Павлов, 2004]. Эта логика также порой именуется логикой ложности, поскольку ее базовыми связками являются импликация и оператор ложности, а остальные связки (включая оператор истинности) через них выражаются. Гильбертовское и секвенциальное исчисления для FL4 (в языке с оператором ложности и импликацией) построены в: [там же]. Однако натуральные исчисления для этой логики ранее не были изучены. В статье для FL4 предлагается исчисление такого типа. Кроме того, предлагаемое нами исчисление строится в языке, содержащем все связки FL4, а не только оператор ложности и им-

* Петрухин Ярослав Игоревич — аспирант кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (119234, Москва, Ленинские горы, МГУ, учебно-научный корпус «Шуваловский», г. Москва, Россия), тел.: +7 (495) 939-18-46; e-mail: yaroslav.petrukhin@mail.ru

** Статья подготовлена в рамках деятельности Выдающейся научной школы МГУ имени М.В. Ломоносова «Трансформации культуры, общества и истории: философско-теоретическое осмысление».

пликацию, что делает его более удобным для работы. Помимо того, натуральные исчисления являются гибким дедуктивным аппаратом, способным формализовать естественные рассуждения человека ближе к действительности, чем другие логические исчисления1. С учетом наличия в языке FL4 операторов истинности и ложности натуральное исчисление для этой логики позволит моделировать естественные рассуждения об истинности и ложности тех или иных утверждений. Предлагаемое нами натуральное исчисление является исчислением линейного типа или типа Яськовского [S. Jaskowski, 1934]. Вывод в нем определяется как линейно упорядоченная последовательность формул, удовлетворяющих ряду условий, а не как древовидная структура, как это имеет место в случае исчислений типа Генцена [G. Gentzen, 1934, 1935]2. Отметим, что наша статья является продолжением исследований [Я.И. Петрухин, В.О. Шангин, 2017; Я.И. Петрухин, 2017, 2018; Y.I. Petrukhin, 2016, 2017], посвященных формализации многозначных логик с помощью натуральных исчислений.

Логико-философское обоснование логики FL4 подробно представлено в монографии [С.А. Павлов, 2004]. Поскольку нашей задачей является построение натурального исчисления для FL4, мы лишь кратко отметим основные логико-философские особенности этой логики. Павлова интересует вопрос: «как употребляются в языке логики понятия истинности и ложности?» [там же, с. 8]. Пытаясь найти на него ответ, он строит логику FL4, в языке которой содержатся операторы истинности и ложности, что позволяет изучить их дедуктивные свойства. Чтобы избежать возникновения семантических парадоксов, которые могут появиться из-за введения в язык логики вышеупомянутых операторов, Павлов, основываясь на идеях Тар-ского [A. Tarski, 1933], предлагает ограничить их действие, а именно применять эти операторы не к самим высказываниям, а к их именам. В результате в логике FL4 не допускается использование выражений вида «высказывание S1 истинно» и «высказывание S2 ложно». Зато в ее языке можно сформулировать выражения вида «высказывание

1 Натуральные исчисления появились независимым образом в работах С. Яськовского [S. Jaskowski, 1934] и Г. Генцена [G. Gentzen, 1934, 1935] (см. перевод на русский в: [Г Генцен, 1967]). Как писал Генцен, «моя исходная точка зрения заключалась в следующем: формализация логических выводов, проведенная, в частности, Фреге, Расселом и Гильбертом, очень далека от тех способов рассуждений, которые применяются в действительности при математических доказательствах. Этим достигаются значительные формальные преимущества. Я хотел прежде всего построить такой формализм, который был бы как можно ближе к применяющимся в действительности рассуждениям. Так возникло "исчисление натуральных выводов" ("NJ" для интуиционистской логики предикатов, "NK" — для классической)» [Г Генцен, 1967, с. 9-10].

2 Сравнение этих двух подходов к построению натурального вывода приведено в: [A.P Hazen, F.J. Pelletier, 2014].

"8!" истинно» и «высказывание "82" ложно». Более формально эти выражения можно записать следующим образом: Т^(8^) и Б^(82)), где Ти Б — операторы истинности и ложности соответственно, а q — оператор, преобразующий высказывания (в том числе, 8! и 82) в их имена. Таким образом, удается избежать семантической замкнутости языка логики FL4, а как следствие и семантических парадоксов.

Отметим, что логика Павлова является двухуровневой: одни ее связки моделируют объектный язык, а другие (операторы истинности и ложности) — метаязык. Такое же решение применяется в знаменитой трехзначной логике Бочвара B3 [Д.А. Бочвар, 1938], призванной решить ряд семантических парадоксов, в частности парадокс Рассела. Один из операторов B3, внешнее утверждение, играет роль оператора истинности. Одной из особенностей FL4 и B3 является то обстоятельство, что их связки, моделирующие метаязык ведут себя классически, в то время как связки, соответствующие объектному языку, являются неклассическими. К этой же линии исследований относится логика истины Тг [А.С. Карпенко, 2015; А.С. Карпенко, А.В. Чагров, 2016].

Статья структурирована следующим образом. Часть 1 посвящена изложению семантики логики FL4, Часть 2 — формулировке натурального исчисления для этой логики. Часть 3 — доказательству теоремы об адекватности исчисления семантике. Подведению итогов и направлению будущих исследований посвящено заключение.

1. Логика FL4

Алфавит пропозиционального языка Ь логики FL4 содержит счетно-бесконечное множество {р1, р2,...} пропозициональных переменных, -^(импликацию), — (оператор ложности3), а также правую и левую круглые скобки. Определение формулы языка Ь стандартно. Символы А, В и С обозначают произвольные формулы языка Ь. Символ Г обозначает произвольное множество формул языка Ь. Выражение -А понимается как сокращение для Б^(А)). В качестве сокращения для Т^(А)) используется выражение |А. Остальные связки логики FL4 определяются следующим образом:

±А = -А ^ -А («ложь»);

—А = а(А ^ ±А (отрицание);

|А = - —А (оператор истинности);

11А = - (|А ^ -А) (оператор строгой истинности 0гоператор));

3 Как станет ясно из дальнейшего изложения, более точно было бы называть символ «-» сокращением для оператора ложности. Однако ради краткости, вслед за Павловым, мы будет называть его, как и символ «Б», оператором ложности.

A^ B = afJiA ^ JjB (D-импликация)4;

Ал B = df—(A ^ —B) (конъюнкция);

Av B = df—A ^ B (дизъюнкция).

Напомним, что логической матрицей называется упорядоченная тройка <V, C, D>, где V — множество истинностных значений, C — множество логических связок, заданных на V, а D — множество выделенных значений. В классической логике формула является тавтологией, если и только если при любой интерпретации ее нелогических символов (иными словами, при любой оценке) она принимает значение «истина». Однако в многозначной логике нередко сразу несколько значений претендуют на роль классического значения «истина». Такие значения и называют выделенными. В случае логики FL4 выделенное значение только одно, но нередко встречаются логики с несколькими выделенными значениями.

Итак, логическая матрица логики FL4 имеет вид <{1, b, n, 0},^, -, {1}>. Истинностные значения интерпретируются так же, как в семантике Белнапа [N.D. Belnap, 1977а] для логики FDE, т.е. 1 — истинно, b — одновременно истинно и ложно, n — одновременно не истинно и не ложно, 0 — ложно. Это обстоятельство позволяет рассматривать FL4 как логику обобщенных истинностных значений. В качестве самостоятельного направления исследований такие логики впервые начали изучаться в: [Y Shramko, J.M. Dunn, T. Takenaka, 2001; Y Shramko, H. Wansing, 2005]. Подробнее об этих логиках см. монографию: [Y Shramko, H. Wansing, 2011]. Отметим недавно защищенную диссертацию [A.A. Беликов, 2018], посвященную логикам обобщенных истинностных значений и являющуюся первым отечественным диссертационным исследованием по этой теме.

Значения связок логики FL4 определяются следующим образом:

А —

1 0

b 1

n 0

0 1

1 b n 0

1 1 b n 0

b 1 b 1 b

n 1 1 n n

0 1 1 1 1

Отношение следования понимается таким образом: из множества формул Г следует формула А тогда и только тогда, когда при любой оценке если всякая формула из Г принимает значение 1, то и формула А принимает это же значение.

4 Буква "D" является сокращением от Deduction. Для D-импликации, в отличие от справедлива теорема дедукции.

Значения остальных связок задаются следующим образом:

А I J1 1 —1

1 1 1 0 0

b 1 0 0 b

n 0 0 0 n

0 0 0 0 1

л 1 b n 0

1 1 b n 0

b b b 0 0

n n 0 n 0

0 0 0 0 0

3 1 b n 0

1 1 0 0 0

b 1 1 1 1

n 1 1 n n

0 1 1 1 1

v 1 b n 0

1 1 1 1 1

b 1 b 1 b

n 1 1 n n

0 1 b n 0

Как мы видим, оператор ложности может принимать только два значения: «истина» и «ложь». Эта особенность сближает его с метаязыком, хотя он является частью объектного языка (напомним, что при этом он применяется не к самим высказываниям, а к их именам). Оператор ложности констатирует, присутствует ли компонента ложности в формуле A. В самом деле, -A принимает значение 1 в двух случаях: когда значение A равно b (одновременно истинно и ложно) и когда значение A равно 0 (ложно). В остальных случаях -A принимает значение 0. С другой стороны, оператор истинности отмечает наличие компоненты истинности в формуле А. Иными словами, |А принимает значение 1, когда значение А равно 1 (истинно) и когда значение А равно b (одновременно истинно и ложно). В остальных случаях оператор истинности принимает значение 0. Как и оператор ложности, он принимает только два значения. Этой же особенностью обладает оператор строгой истинности (он же ^-оператор Россера и Тюркетта [J.B. Rosser, A.R. Turquette, 1952]), принимающий значение 1, только если значение A равно 1, т.е. когда A только истинно (исключается случай, когда A одновременно истинно и ложно).

Отметим, что {—, л, vj-фрагмент FL4, а также его модификации с другим количеством выделенных значений изучаются в литературе в качестве самостоятельных логик:

- <{1, b, n, 0},—, л, v, {1}> является матрицей логики ETL [A. Pietz, U. Rivieccio, 2011],

- <{1, b, n, 0},—, л, v, {1, b}> является матрицей логики FDE [N.D. Belnap, 1977b],

- <{1, b, n, 0},—, л, v, {1, b, n}> является матрицей логики NFL [Y. Shramko, D. Zaitsev, A. Belikov, 2017].

Подробнее об этих логиках и их формализациях см.: [A.A. Беликов, 2018]. Логика FL4 является, таким образом, расширением ETL операторами истинности и ложности, а также двумя импликациями.

2. Натуральное исчисление для FL4

Зададим правила вывода натурального исчисления для БЬ4. Правила для одноместных связок:

Правила для конъюнкции и дизъюнкции:

Правила для импликаций:

Прежде чем дать определение вывода, скажем несколько слов о приведенных выше правилах. Особого внимания заслуживают

правила удаления дизъюнкции — (vER) и (|vE). Оба они не являются стандартными. Правило (vER) является ограничением, а точнее говоря, частным случаем стандартного правила рассуждения по случаям (vE), приведенного ниже:

Правило (|vE) является, по сути дела, правилом удаления не самой дизъюнкции, а оператора истинности, примененного к ней. Почему же в системе не используется привычное правило (vE)? По той причине, что в логике FL4 оно является некорректным. Этой же необычной особенностью обладает {—, л, v}-фрагмент FL4 — логика ETL, что создает серьезные затруднения при ее формализации. Двухуровневая формализация (с двумя различными типами выводов) была представлена в работе: [A.A. Беликов, 2018]5. В случае с FL4 благодаря наличию в языке операторов истинности и ложности мы можем предложить более простое решение — стандартную систему натурального вывода с одним типом выводов и правилами (vER) и (|vE).

Кроме того, при формализации ETL одной из проблем является нахождение адекватного определения канонической оценки. В отличие от логики FDE, для которой найдено простое и элегантное определение (см., например: [J.M. Dunn, 2000]) и в которой значение b является выделенным, в ETL значения b и n оказываются неразличимыми, поскольку они оба не являются выделенными. В случае FL4 этой проблемы удается избежать благодаря операторам истинности и ложности.

Определение 1. Выводом формулы F из множества посылок Г в натуральном исчислении для FL4 называется непустая конечная последовательность формул А1, А2,..., Ak (k больше или равно 1), такая, что Ak есть F, а каждая формула есть либо посылка (т.е. элемент Г), либо допущение, либо получена из предыдущих по одному из FW-правил; при применении правила (vER) все формулы, начиная с допущенияА и вплоть до формулы В, и все формулы, начиная с допущения -А и вплоть до формулы B, исключаются из дальнейших шагов вывода (т.е. к ним запрещено применять правила вывода); при применении правила (|vE) все формулы, начиная с допущения |А и вплоть до формулы C, и все формулы, начиная с допущения |B и вплоть до формулы C, исключаются из дальнейших шагов вывода.

5 При этом важную роль играет так называемый дизъюнктивный силлогизм — ниже показана его выводимость в системе натурального вывода для FL4 в качестве примера вывода.

Доказательством формулы F называется ее вывод из пустого множества посылок.

Приведенное нами определение вывода является стандартным для исчислений этого типа. Его более точная формулировка изложена в: [V.O. Shangin, 2017].

Пример вывода p2 из -р1 и p1vp2 в натуральном исчислении для FL4 приведен ниже.

1 -ipj.

2 pj V р2

3 (рх V р2) * I Pi 5 Рй

Рз

Рй V р, Р_2

Л р2

10 Pj

Pi Л -ра

12 -

13 р2

14 р2 16 р2

посылка поеылка

(Iii): 2

допущение (EFQj): 1, 4 допущение

(|Е3): 6

допущение допущение

(-Is): 1

(AI): 9, 10

(-AI): 11

(EFQ2): 2, 12

(VEr): 7, 8, 13 [81 [9-131

(| VE): 3, 5, 14 [4-51, 16-141

3. Теорема об адекватности исчисления семантике

Теорема 1. (О корректности). Для всякого множества формул Г и всякой формулы А верно, что если Г ЬА в исчислении для FL4, то Г 1=А в семантике FL4.

Стандартное индуктивное доказательство (по длине вывода) теоремы 1 здесь не приводим. Для доказательства теоремы о полноте воспользуемся методом Хенкина. При этом мы следуем обозначениям, введенным в: [Б. Kooi, A. Tamminga, 2012; A. Tamminga, 2014].

Определение 2. Для всякого множества формул Г и всяких формул А и B называем Г FLA-теорией, если выполняются следующие условия:

(Г1) Г не равно Form, где Form — множество всех формул языка L;

(Г2) Г ЬА влечет Ае Г;

(Г3) если Av -Ае Г, то Ае Г или -Ае Г; (Г4) если |(AvВ) е Г, то |Ае Г или |Ве Г.

Определение 3. Для всякого множества формул Г и всякой формулы А называем е (А, Г) оценивающей функцией и определяем ее следующим образом:

Условимся обозначать таблицу истинности f для связки c через fc.

Лемма 1. Для всякого множества формул Г и всякой формулы A справедливы следующие утверждения:

1. e(A, Г) не равно 01, e(A, Г) не равно 02, e(A, Г) не равно 03, e(A, Г) не равно 04;

2. f|(e(A, Г)) = e(|A, Г);

3. f(e(A, Г)) = e(-A, Г);

4. f^(e(A, Г)) = e(-A, Г);

5. fn(e(A, Г)) = e(JjA, Г);

6. f±(e(A, Г)) = e(!A, Г);

7. f^(e(A, Г), е(В, Г)) = e(A^B, Г);

8. f3(e(A, Г), е(В, Г)) = e(A^B, Г);

9. fv(e(A, Г), е(В, Г)) = e(AvB, Г);

10. fA(e(A, Г), е(В, Г)) = e(AAB, Г).

Доказательство. (1) Пусть Ae Г и -Ae Г. Тогда по правилу (EFQ2) Be Г, т.е. Г = Form, что противоречит (Г1). Следовательно, e(A, Г) не равно 01 и e(A, Г) не равно 03. Пусть |Ае Г, -Ag Г и Аё Г. По правилу (|E2) и (Г3) Ае Г или -Ae Г. Противоречие. Следовательно, e(A, Г) не равно 02. Пусть |Ag Г, -Ag Г и Ae Г. По правилу (|I1) |Ае Г. Противоречие. Следовательно, e(A, Г) не равно 04.

(2) (А) e(A, Г) = 1. Тогда |Ae Г, -Ag Г и Ae Г. По правилу (|I1) ||Ae Г. Пусть -|Ae Г. Тогда по правилу (EFQ2) Be Г, т.е. Г = Form, что противоречит (Г1). Итак, -|Ag Г, e(|A, Г) = 1 = f|(1) = f|(e(A, Г)).

(Б) e(A, Г) = b. Аналогично (А).

и (Г3) -|Ае Г или |АеГ. Так как |Аё Г, -|Ае Г. Итак, е(|А, Г) = 0 = ^п) = Ще(А, Г)).

(Г) е(А, Г) = 0. Аналогично (В).

(3)-(6) Аналогично (2).

(7) (А) е(А, Г) = х, где хе{1, Ь, п, 0}, е(В, Г) = 1. Тогда |Ве Г, -Вё Г и Ве Г. По правилу (^11) А^Ве Г. По правилу (|11) |(А^В) е Г. Пусть -(А^В) е Г. Тогда по правилу (-^Е1) -В е Г. Противоречие. -(А^В) ё Г. Итак, е(А^В, Г) = 1 = 4(х,1) = £»(е(А, Г), е(В, Г)).

(Б) е(А, Г) = 1, е(В, Г) = 0. Тогда |Ае Г, -Аё Г, Ае Г, |Вё Г, -Ве Г и Вё Г. По правилу (-^1) -(А^В) е Г. Пусть А^Ве Г. Тогда по правилу (МР^.) Ве Г. Противоречие. А^Вё Г. Пусть |(А^В) е Г. Тогда по правилу (|^Е) -А V |Ве Г. По правилу (|11) |(-А V |В) е Г. Отсюда, используя (Г4), получаем, что | -Ае Г или ||Ве Г. Если | -Ае Г, то по правилу (-11) -Ае Г. Противоречие. Если ||Ве Г, то по правилу (|12) |Ве Г. Противоречие. Следовательно, |(А^В) ё Г. Итак, е(А^В, Г) = 0 = ^(1,0) = £*(е(А, Г), е(В, Г)).

(В) е(А, Г) = 0, е(В, Г) = х, где хе {1, Ь, п, 0}. Тогда |Аё Г, -Ае Г, Аё Г. По правилу (|^12)|(А^В) е Г. Пусть -(А^В) е Г. Тогда по правилу (—>Е2) |Ае Г. Противоречие. -(А^В) ё Г. По правилу (|Е2) (А^-В^-(А^В)е Г. Используя (Г3), получаем, что А^Ве Г или -(А^В)е Г. Так как -(А^В) ё Г, имеем А^Ве Г. Итак, е(А^В, Г) = 1 = ^(0, х) = ^(е(А, Г), е(В, Г)).

Остальные случаи доказываются аналогично.

(8)-(10) Аналогично (7).

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть Г есть произвольная БЬ4-теория и уг есть функция, такая, что для всякой пропозициональной переменной р имеет место равенство уг (р) = е(р, Г). Тогда для всякой формулы А имеем Уг (А) = е(А, Г).

Доказательство ведется индукцией по построению формулы с использованием леммы 1 и здесь не приводится.

Лемма 3. (Лемма Линденбаума). Пусть Г — произвольное множество формул и А — произвольная формула. Допустим, что Г / А. Тогда существует такое множество формул Г#, что (1) Г £Г#, (2) Г#/ А и (3) Г# — БЫ-теория.

Доказательство. Пусть В1, В2, ... есть пересчет всех формул языка Ь. Определим последовательность множеств формул Г1, Г2, ... следующим образом: Г1 = Г; Гп+1 = Гпи {Вп+1}, если Гпи {Вп+1 / А, в противном случае Гп+1 = Гп. Г# есть объединение всех Г;.

(1) Г £Г# — следует из определения Г#.

(2) Индукцией по 1 докажем, что Г#/ А. Базис: по условию Г / А.Так как Г = Г1, имеем Г1/ А. Индуктивное допущение: Г1 / А. Если Г1+1 = Г1, то Г1+1 / А. Если Г1+1 не равно Г1, то Г1+1 = Г1и {В1+1}. Допустим,

что Г;и |Б;+1| ЬЛ. Но тогда Г;+1 = Г;. Противоречие. Следовательно, Г;и |Б;+1}^Л. Итак, если Г;+1 не равно Г;, то Г^Ц А. Снимая индуктивное допущение, получаем, что если Г;1/ А, то Г^ЦА. Таким образом, Г#| А.

(3) Чтобы показать, что Г# — FL4-теория, докажем следующие утверждения (3.1)-(3.4):

(3.1) Г# не равноБогш;

(3.2) Г# | Б влечет Бб Г#;

(3.3) если Bv -Бе Г#, то Бб Г# или -Бб Г#;

(3.4) если |(В V С) б Г#, то |Бб Г# или |Сб Г#.

Утверждение (3.1) следует из того, что Г#| А.

Докажем утверждение (3.2). Допустим, что Г#Ь В. Тогда для некоторого 1 имеем Б = Б1 и найдется Г;, такое, что Г;Ь В;. Предположим, что В1€ Г1. Значит, Г1-1и |Б1} Ь А. Но тогда Г#Ь А, так как Г1-1£ Г# и Г#ЬВ. Тем не менее в (2) доказано, что Г#| А. Следовательно, В1б Г1. Снимая допущение, получаем, что если Г#Ь В, то В1б Г1. Утверждение (3.2) доказано.

Докажем утверждение (3.3). Допустим, что Вv -Бб Г#, но В€ Г# и -Б€ Г#. Из утверждения (3.2) и того, что Вv -Бб Г#, получаем, что Г#Ь Вv -Б. С другой стороны, для некоторых чисел 1 и л' имеем В = В1, -В = Б', кроме того, найдутся Г1-1 и Г'-1, такие, что Г1-1и |Б1}Ь А и Гн11 |Б'}Ь А. Так как Г1-1с Г# и Гл-1с Г#, Г#и |Б1}Ь А и Г#и |Бл}ь А. Отсюда и из того, что Г#Ь В^ В' по правилу (vЕR) получаем, что Г#Ь А, что противоречит ранее доказанному утверждению (2). Таким образом, если если Вv -Вб Г#, то Вб Г# или -Вб Г#. Утверждение (3.3) доказано.

Утверждение (3.4) доказывается аналогично утверждению (3.3) с использованием правила (^Е). Утверждение (3) доказано.

Лемма 3 доказана.

Теорема 2. (О полноте). Для всякого множества формул Г и всякой формулы А верно, что если Г 1=А в семантике FL4, то Г Ь Л в исчислении для FL4.

Доказательство. Допустим, что Г | А. Тогда, согласно лемме 3, существует множество формул Г#, такое, что Г £Г#, Г#| А и Г# — FL4-теория. Но тогда, согласно лемме 2, найдется оценка уг, такая, что для всякой формулы В, принадлежащей Г, уг(В) = 1, но уг(А) не равно 1. Но тогда из Г не следует Л. Снимая допущение, получаем, что если Г | А, то из Г не следует А. Отсюда, по контрапозиции, получаем, что если Г =А, то Г ЬЛ. Теорема 2 доказана.

Очевидным следствием теорем 1 и 2 является следующая теорема 3.

Теорема 3. (Об адекватности исчисления семантике). Для всякого множества формул Г и всякой формулы Л верно, что Г = А в семантике FL4, если и только если Г ЬЛ в исчислении для FL4.

Заключение

В статье представлено натуральное исчисление для логики FL4. Темой будущих исследований является проблема поиска вывода в этом исчислении в духе работ: [A. Bolotov, V. Shangin, 2012, 2014; Y.I. Petrukhin, V. Shangin, 2017, 2019]. Кроме того, представляет интерес рассмотрение аналога FL4 с тремя выделенными значениями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Беликов А.А. Отношения следования в логиках с обобщенными истинностными значениями и их формализация: Кандидатская диссертация / МГУ имени М.В. Ломоносова, философский факультет. На правах рукописи. 26 сентября. 2018.

Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. 1938. № 4 (2). С. 287-308.

Карпенко А.С. Решетки четырехзначных модальных логик//Логические исследования, 2015. № 21 (1). С. 122-137.

Карпенко А.С., Чагров А.В. Модальная пропозициональная логика истины Tr и ее полнота // Логические исследования. 2016. № 22 (1). С. 13-31.

Павлов С.А. Логика с операторами истинности и ложности. М., 2004.

Петрухин Я.И. Натуральное исчисление для логики Юрьева // Челябинский физико-математический журнал. 2017. № 2 (1). С. 46-52.

Петрухин Я.И. Система натурального вывода для трехзначной логики Гейтинга // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2017. № 3. С. 63-66.

Петрухин Я.И. Натуральные исчисления для трехзначных логик бессмысленности Z и E // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2018. № 1. С. 60-63.

Петрухин Я.И., Шангин В.О. Корреспондентский анализ для паране-противоречивой слабой логики Клини // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 7. Философия. 2017. № 6. С. 52-62.

Belnap N.D. A useful four-valued logic // Modern uses of multiple-valued logic / Ed. by J. M. Dunn, G. Epstein, D. Reidel. 1977a. P. 8-37.

Belnap N.D. How a computer should think // Contemporary aspects of philosophy / Ed. by G. Ryle. 1977b. P. 30-55.

Bolotov A., Shangin V. Natural deduction system in paraconsistent setting: Proof search for PCont // Journal of Intelligent Systems. 2012. N 31 (1). P. 1-24.

Bolotov A., Shangin V. Natural deduction in a paracomplete setting // Логи-ческиеисследования. 2014. № 20. C. 224-247.

Dunn J.M. Partiality and its dual // Studia Logica. 2000. N 66 (1). P. 5-40.

Gentzen G. Untersuchungenüber das logischeschliessen. I, II. Mathem. Zeit. 1934. N 39 (2). P. 176-210; 1935. N 39 (3). P. 405-431 (русский перевод: Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода / Под ред. А.В. Идельсона, Г.Е. Минца. М., 1967. C. 9-74).

Hazen A.P., Pelletier F.J. Gentzen and Jaskowski natural deduction: Fundamentally similar but importantly different // Studia Logica. 2014. N 102 (6). P. 1103-1142.

Jaskowski S. On the rules of suppositions in formal logic // Studia Logica. 1934. N 1. P. 5-32.

Kooi B., Tamminga A. Completeness via correspondence for extensions of the logic of paradox // Review of Symbolic Logic. 2012. N 5 (4). P. 720-730.

Lukasiewicz J. O logice trojwartosciowej // Ruch Filozoficzny. 1920. Vol. 5. P. 170-171

Petrukhin Y.I. Correspondence analysis for first degree entailment // Логические исследования. 2016. №. 22 (1). С. 108-124.

Petrukhin Y.I. ^rrespondence analysis for logic of rational agent // Челябинский физико-математический журнал. 2017. № 2 (3). С. 329-337.

Petrukhin Y. Natural deduction for three-valued regular logics // Logic and Logical Philosophy. 2017. N 26 (2). P. 197-206.

Petrukhin Y., Shangin V. Automated correspondence analysis for the binaryextensions of the logic of paradox // The Review of Symbolic Logic. 2017. N 10 (4). P. 756-781.

Petrukhin Y., Shangin V. Automated proof-searching for strong Kleene logic and its binary extensions via correspondence analysis // Logic and logical philosophy. 2019.

Pietz A., Rivieccio U. Nothing but the truth // Journal of Philosophical Logic. 2013. N 42 (1). P. 125-135.

Priest G. Paraconsistent logic // Handbook of Philosophical Logic (2 ed.) / Eds D.M. Gabbay, F. Guenthner. Dordrecht, 2002. Vol. 6. P. 287-393.

Rosser J.B., Turquette A.R. Many-valued logics. Amsterdam, 1952.

Shangin V.O. A precise definition of an inference (by the example of natural deduction systems for logics I<ap>) // Logical Investigations. 2017. N 23 (1). P. 83-104.

Shramko Y., Dunn J.M., Takenaka T. The trilattice of constructive truth values // Journal of Logic and Computation. 2001. N 11 (6). P. 761-788.

ShramkoY., Wansing H. Some useful 16-valued logics: How a computer network should think // Journal of Philosophical Logic. 2005. N 34 (2). P. 121-153.

Shramko Y., Wansing H. Truth and falsehood: An inquiry into generalized logical values // Springer Science & Business Media. 2011. Vol. 36.

Shramko Y., Zaitsev D., Belikov A. First degree entailment and its relatives // Studia Logica. 2017. N 105 (6). P. 1291-1317.

Tarski A. Poj^cie prawdy w j^zykach nauk dedukcyjnych // Wydawca. Warszawa, 1933, Op.VII.

Tamminga A. Correspondence analysis for strong three-valued logic // Logical Investigations. 2014. N 20. P. 255-268.