Разработка алгоритма обнаружения импульсного радиосигнала с флуктуирующей амплитудой на фоне негауссовских помех

втором этапе применяются как статистические, так и детерминированные методы описания процессов.

Литература: 1. Радиолокационные системы: Основы построения и теория. Справочник / Под ред. Я.Д. Ширмана. М.: Маквис, 1998. 828 с. 2. Репин Б.Г., Тар-таковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио. 430 с. 3. Стратонович Р.Л. Существует ли теория синтеза оптимальных адаптивных, самообучающихся и самонастраивающихся систем // Автоматика и телемеханика. 1968. 1. С. 96-107. 4. Колмогоров А.Н., Фомин С.Б. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 622 с. 5. Фалькович С.Е. Прием радиолокационных сигналов на фоне флуктуационных шумов. М.: Сов. Радио, 1961.

300 с. 6. Матюхин Н.И. Методы математического описания поведения локационно-голографической системы повышенной многофункциональности и динамичности при наблюдении потока целей в ситуациях радиолокационного конфликта / / Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. 8. С. 62-77.

Поступила в редколлегию 21.01.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Купченко Л.Ф.

Матюхин Николай Иванович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник ХНУ. Научные интересы: радиолокационная системотехника, конфликтное управление, радиоголография. Адрес: Украина, 61204, Харьков, проси. Свободы, 32, кв. 6, тел. 37-07-35, 45-73-17.

УДК 621.391

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ОБНАРУЖЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО РАДИОСИГНАЛА С ФЛУКТУИРУЮЩЕЙ АМПЛИТУДОЙ НА ФОНЕ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ

МАРТЫНЕНКО С.С.

Решается задача синтеза оптимального обнаружителя импульсного радиосигнала с флуктуирующей по реле-евскому закону амплитудой на фоне гауссовской помехи. Рассматривается более общая задача построения обнаружителя радиоимпульса с флуктуирующей по произвольному закону амплитудой, когда помеха негауссовская и осуществляется когерентный прием.

Пусть при осуществлении гипотезы Hj производится независимая выборка объемом n значений случайной величины:

| v = Arvcos(ra 0v + ф0) v = 1, n,

а при осуществлении гипотезы Ho — n значений

случайной величины ‘%v = nv, v = 1,n, где nv —

случайная величина с нулевым математическим ожиданием, описываемая последовательностью

кумулянтов Xi порядка i, i = 2,3,...; a — случайная величина, описываемая последовательностью кумулянтных коэффициентов pv порядка

i, i = 2,3,...; rv — известные значения огибающей радиоимпульса с единичной амплитудой, взятые в моменты времени v; юо — частота несущей радиоимпульса; фо - начальная фаза.

Необходимо по выборке объемом n определить, какая из гипотез реализовалась.

Рассматривается когерентный случай, когда полагается, что фаза несущей известна. При этом не

нарушая общности, можно предположить, что Ф о = 0 •

В общем случае для построения в данной постановке алгоритма обнаружения радиоимпульса используется стохастический полином от выборочных значений. Так как последние независимы, то согласно [1] решающее правило для различения гипотез задается в классе степенных полиномов степени S и имеет вид:

s n

EEhiv

i=1v=1

Sv

-

<<

Ho

где miv и Uiv — моменты і -го порядка случайной

величины |v при гипотезе H1 и Ho соответственно.

Неопределенные коэффициенты hiv находятся оптимальными по критерию КУ [1], согласно которому hiv определяются из минимума функционала:

Qs

(Es1 _ Es0^

здесь Esr, Gsr — математическое ожидание и дисперсия левой части (1) при гипотезе Hr, r = 0,1.

Показано [ 1], что решающее правило (1) с коэффициентами hiv , оптимальными по критерию КУ, при s ^ ж эквивалентно решающему правилу сравнения логарифма отношения правдоподобия с нулем.

Легко показать, что если коэффициенты hiv находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений

n ___ _______

Е hivF(i,j)v = miv - uiv, i = ^ v = 1,n ,

j=1

где

F(i,j)v = F(i, j)v (H0 ) + FijvW F(i,j)v (H1) = m(i+j)v - mivmjv , F(i,j)v (H0 ) _ u(i+j)v _ uivujv ,

РИ, 2000, № 3

33

то они обеспечивают минимум правой части (2), т.е. являются оптимальными по критерию КУ. При этом минимальное значение Qsmin будет равно:

Q

= j _1

smin Js ’

где Js — так называемое количество информации о различии гипотез Hi и Но, извлекаемое с помощью решающего правила (1) и равное:

Js = Z Z ZhivhjvF(i,j)v = Z ZhiV(miV — Ui,v) i =1j=1v=1 i=1v=1

Исследуем обнаружители радиосигналов, построенные с помощью алгоритма (1) при S = 1 и 2.

Найдем начальные моменты случайной величины % v при гипотезе и0 и H1 , используя моментно-кумулянтное описание случайной величины [1,2], которые соответственно будут равны:

u1v = 0 , u2v = Х 2 , u3v = Х 3 , U4v = Х 4 + 3Х 2 ,

m1v = as(v), m2v = (a2 + Х2)s(v)2 +х2 , 33

m3v = (a + 3aX2 + Х3)s(v) + 3as(v)x2 + X3 ,

m4v — (a + 6a X2 + 3aX3 + X 4 + 3X2) s(v) +

+ 6(a2 + X2)s(v)2x2 + 4as(v)x3 + x4 + 3x2 •

Зная начальные моменты, легко можно найти корреляционные при гипотезе и альтернативе та совместные моменты:

F(1,1)v(H1) = s(v) X2 + Х2 ,

F(1,2)v(H1) = s(v)3(2aX2 + Х3) + 2as(v)X2 + Х3 ,

F2,2)v (Hi) = s(v)4 (4a2 X 2 + 3aX 3 + 2X22) +

+ 4s(v)2 x 2 (a 2 + X 2) + 4as(v)x 3 + X 4 + 2x 2,

F(1,1)v(H0) = X 2 , F(1,2)v(H0) = X 3 , F(2,2)v(H0) = X4 + 2X2 , F(1,1)v = s(v)2X2 + 2X2 , F(1,2)v = s(v)3(2aX2 +X3) + 2as(v)X2 + 2X3 ,

Из полученного выражения видим, что чем больше p (отношение мощности флюктуаций к мощности помех), тем меньше количество извлекаемой информации о различии гипотез.

Если p = 0, т.е. амплитуда импульса не флюктуирует, то получим точно такое выражение для Q1, как и для полностью известного радиосигнала:

Q1 =

2 С n

z iv

q ^ v=1

У1

При S=2 решающее правило имеет вид:

Z h1v

v=1

v

-

+

+ Z h2v

v=1

H1

>

<

H0

0.

Оптимальные коэффициенты находятся из решения системы уравнений:

|h1vF(1,1)v + h2vF(1,2)v - m1v _ u1v ,

[h1vF(2,1)v + h2vF(2,2)v = m2v _u2v .

Опуская громоздкие вычисления, в данном случае

получим: h _ k1v h1v “7“, v h _ k2v h2v - . A v

где

F1v = х 2/2iv(p[pqV2 х 4 + 2qp12 х 3 + 2q32 - p3/2 х 3 ]iv+

+ 2q1/2(p + q)iv - 2y 3(p - q)lv + 2q1/2(y 4 + 2)},

k2v = x 2lv{p(p1/2q1/2X3 + q - p)iv - 2p1v + 2q1/2 r з},

a v =x 32{[p3(^ 4 + 2-^3) - p5/2 X 3]iv + 2p[p(4 + + X4) + +q(2 + X3p12q_1/2)]iv -4py3У2 +

+ X 3p12)iv + 2(py 4 + 6p + 2q)l2 + 4(y 4 + 2 -y 3)}.

F(2,2)v - s(v)4(4a2X 2 + 3aX 3 + 2X22) +

+ 4s(v)2X2(a2 + X2) + 4as(v)X3 + 2(X4 + 2X2) .

Используя полученные выражения, синтезируем оптимальное решающее правило при S=1, т.е. линейное решающее правило:

n г . iH1

Z h1v £ v - /2 (m1v + u1v^ < 0 ,

v=1 H0

X 2

где h1v = V ( 2 Л, iv = rvCOS0v , p =— -/X2\p1v + 2 X 2

отношение мощности флуктуирующей амплитуды импульса к мощности помехи.

Определим значения критерия качества Q1 = J1

-1.

Q1 =-q

(

n l2

Ё—v—

v=1ply + 2

У

-1

где q

x 2

отношение

мощности импульса к мощности помехи.

В последних выражениях у r = X х/ , цr = Xх/ ,

/ X 2 / X 2

— кумулянтные коэффициенты r -го порядка случайной амплитуды и помехи соответственно.

При этих коэффициентах количество извлекаемой информации равно:

nn

J2v = Z h1v (m1v _u1v) + Z h21v (m21v _u2v) v=1 v=1

Тогда окончательно имеем:

J2 = £ іУ-{piyipqT4 + q1/2p1/2(q - 2p) + q2 + p2] +

v=1 [p3 (X4 + 2 — X3) — p5/2X3]iv + 2p[p(4 + X4) +

________+ 21У(p + q)2 ~ 4lvpY3q12 +_

+ q(2 + X3p1/2q-1/2)]iv -4py3(q12 +X3p12)13v + ... _________+ 2q(Y4 + 2)}_____

+ 2

34

РИ, 2000, № 3

Значение критерия качества в данном случае будет равно Q2v = .

Отметим следующие две особенности обнаружения сигнала при S = 2 . Первая — коэффициенты hlv, и

h2V сложным образом зависят от кумулянтных коэффициентов до 4-го порядка случайной амплитуды и помехи. Все эти кумулянтные коэффициенты в общем случае влияют на количество извлекаемой информации, а следовательно, и на критерий качества Q2v .

Вторая особенность состоит в том, что коэффициенты hiV, и h2V зависят от удвоенной, утроенной и учетверенной частоты несущего колебания.

Проведем анализ данного обнаружителя. Для этого

q2

найдем отношение Q2/Q1 в дБ, т.е. Q = 10 lg ,

Qi

В приведенных выражениях GiV и GoV — дисперсии решающего правила для степени полинома S=2 при гипотезах Hi и Н0 соответственно. В свою

очередь GiV и GoV определяются по формулам:

Giv = Е Е EhivhjvF(i,j)v(Hi) i=1j=1v=1

G0v = Е Е EhivhjvF(i,j)v(H0) i=1j=1v=1

Тогда сумма вероятностей ошибок будет равна:

а2 + Р2 -

1 “

. J exp(-x2 / 2)dx

\2п Ci

+

-C2

І

exp(- x2 /2)dx

Для определения суммы вероятностей ошибок при степени полинома S = 1 можно привести аналогичное выражение:

в зависимости от у 3 и у 4 при различных значениях p и q . Кроме того, в данной задаче полагаем, что флюктуация амплитуды — гауссовская величина (ц 3 = ц 4 = 0), а помеха — негауссовская величина

(У3 4 ф 0 ). При этом выполняется соотношение

[1] У 4 + 2 > у 2 .

Численные расчеты показывают, что при заданных p, q и у4 отношение Q2/Q1 с ростом у3 уменьшается до —8-10 дБ. Это говорит о том, что при S = 2 и при негауссовской помехе (у 3 ф 0 ) вероятности ошибок первого и второго рода могут быть меньше, чем в случае S = 1. Этот факт наиболее сильно проявляется для малого q (отношения сигнал/помеха). При большом q отношение Q2 /Q1 с ростом Y3 изменяется слабо. Еще можно отметить, что коэффициент эффективности для колоколообразной огибающей несколько лучше прямоугольной в пределах (-0.05; -0.4 дБ).

При большом объеме выборки n левая часть решающего правила примерно будет распределена по гауссовскому закону, поэтому можно найти асимптотические значения самих вероятностей ошибок первого и второго рода. Эти вероятности ошибок представляют интерес. Легко показать, что асимптотически при n вероятность ошибки второго рода b2 будет равна:

1 -c2

Р2 =-/= J exp(-x2 / 2)dx ,

У 2^ —<х

где ^2

c9 =

J

2v

г-,— , а вероятность ошибки первого 2VG1v

рода определятся выражением:

і “

1 Г -2

ai = .— J exp(-x2/2)dx у12% c1 '

где

Ci =

J2v

^/G0V.

РИ, 2000, № 3

ai +Pi -

1 “ 9 1 -C4

+ ^= J exp(-x9 / 2)dx + f exp(-x9 /2)dx

v2^ C3 уі2п '

Проведем анализ отношения:

«Р = 10 log

a1 +Pi

в зависимости от у 3 и у 4 при различных значениях p и q — полагая, что флюктуация амплитуды— гауссовская величина (ц 3 = ц 4 = 0), а помеха — негауссовская величина (у3 Фу4 ф0 ).

Учет негауссовости помехи позволяет также уменьшить сумму вероятностей ошибок по сравнению с линейным обнаружителем(-10; —15 дБ) .

При этом между у 3 и у 4 должно выполняться

соотношение [1] у 4 + 2 > У 2 .

Литература: 1. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых случайных процессов и преобразований. М.: Сов. радио. 1979, 376 с. 2. Купченко Ю.П., Мельянов-ский Ї.А., Слюсаренко В.М. Применение функциональных полиномов для обнаружения радиосигналов на фоне негауссовских шумов. Харьков, 1988. 48 с./ Препринт №363.Институт радиофизики и электроники АН УССР.

Поступила в редколлегию 16.04.2000

Рецензент:

Мартыненко Сергей Станиславович, ассистент кафедры радиотехники Черкасского инженерно-технологического института. Научные интересы: разработка алгоритмов обработки сигналов при обнаружении и оценке параметров сигналов с использованием математического моделирования. Увлечения: спортивные игры (футбол, хоккей, настольный теннис, шашки), чтение детективов. Адрес: Украина, 18006, г. Черкассы, ул. Чехова, 42, кв. 219. тел.: (8-0472) 43-51-71, 43-30-22.

35