Уравнение образующей ствола дерева с двумя параметрами формы: структура, модификации и компьютерная программа

УРАВНЕНИЕ ОБРАЗУЮЩЕЙ СТВОЛА ДЕРЕВА С ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ ФОРМЫ: СТРУКТУРА, МОДИФИКАЦИИ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА

Каплина Н.Ф., Лебков В.Ф.

Interpretation is given for the structure of an equation for tree stem taper on the basis of the Weibull function. The equation has been tested in studying the stem shape and drawing up tables for stem volume and taper. Possibilities are considered for modifying the equation by means of parameters release^fixation and a computer program for their calculation is presented.

Аналитическому описанию образующей ствола или функции сбега уделено значительное внимание в научной литературе [1, 2, 3, 12, 13] в связи с её теоретической и практической значимостью. Для описания образующей используются разнообразные функции, как соответствующие различным теориям формообразования, так и не поддающиеся интерпретации (например, полиномиальная). В то же время, изучение разнообразия и классификация стволов по их форме проводятся с использованием коэффициентов формы (соотношений диаметров на разных высотах). Эти коэффициенты не определяют однозначно форму ствола, что требует установления дополнительных закономерностей для перехода к оценкам его объема и сбега.

Уравнения образующей лишены этого недостатка и могут быть использованы в целях систематизации данных по форме ствола при условии (помимо адекватного описания образующей) наличия ограниченного числа параметров формы. Общепринятое представление образующей ствола как функции диаметра (d) от его положения по высоте ствола (h):

d = ЖФ)),

где c - параметр формы, изменяющийся по высоте ствола, не удовлетворяет данному условию. Если поменять местами зависимую и независимую переменные, становится возможным использование функций статистических распределений, содержащих параметр формы. Одна из наиболее перспективных в этом отношении - функция Вейбулла, хотя в своем классическом варианте она не дает требуемой точности. Уравнения на её основе разработаны и апробированы нами на большом фактическом материале, их применение позволило получить ряд научных и практических результатов [5 - 11].

В интегральном выражении двухпараметрическая функция Вейбулла при аппроксимации образующей ствола имеет вид:

h = 1 - 1/e

где e - основание натуральных логарифмов, h - относительное расстояние до вершины ствола, b и c, соответственно, параметры масштаба и формы. У вершины ствола кривая функции Вейбулла фиксирована, а к основанию приближается асимптотически, что соответствует неопределенности точки перехода от ствола к корням; при c>1 она S-образна. Кривые такой формы широко применяются в биологии. В частности, форма образующей ствола рассматривается как результат S-

образного характера роста дерева по высоте [4]. Образующая также может быть представлена как вероятностное распределение элементарных отрезков ствола по диаметру [5], что удобно при изучении сортиментной структуры ствола.

Гибкость уравнения повышается при замене основания степени е на параметр а. Для удобства графического представления, приняв за у относительное расстояние от основания ствола (рк), получаем следующее уравнение:

рн = 1/ар\

где ра = й/Ь, т.е. величина нормированная. Параметр Ь численно равен диаметру ствола й на относительном расстоянии от вершины рн = 1/а.

Однако и данное уравнение недостаточно хорошо описывает образующую ствола, главным образом в его верхней части. Это позволяет предположить, что форма верхней и нижней частей относительно автономна. Влияние кроны на сбег ствола нашло отражение в литературе в ряде уравнений образующей. Немаловажно также, что верхняя часть ствола отличается от нижней своим более молодым возрастом и, следовательно, большей относительной динамикой по длине и диаметру. Так, при увеличении в процессе роста высоты ствола в два раза, верхняя его половина полностью обновляется, в то время как нижняя - в значительно меньшей степени (по высоте только на 1/3). Отсюда понятна отмечаемая более высокая стабильность формы нижней части ствола по сравнению с верхней. Представлению ствола как двух относительно автономных частей соответствует функция образующей как гармонического среднего двух функций (3), различающихся только по параметру формы (с1<с2):

рн = И

При с1=с2 функция (4) идентична функции Вейбулла (3).

На рис. 1, А показан вклад каждой из двух слагаемых функций - (3)а и (3)б в результирующую (4) на примере выравнивания средних чисел сбега для сосны по В.К. Захарову [2] (экспериментальные данные на рисунке не приводятся, т.к. сливаются с аппроксимирующей кривой). Кривые образующей ствола (4) и одного из слагаемых с параметром формы с2 (3)а близки на отрезке ствола ниже рн= 1/а (точка пересечения кривых). Кривая второго слагаемого с параметром формы с1 (3)б вносит коррективы, повышающие точность выравнивания в верхней части образующей. Её более сбежистая форма соответствует влиянию кроны на форму ствола в области кроны.

Точка (Ь,1/а), где исходные кривые (3)а и (3)б пересекаются, для стволов сосны обычно располагается несколько выше рн = 1/2, (а < 2), для стволов ели, напротив, обычно а > 2 и приближается к е (~ 2,7). Очевидно, анализ изменчивости параметра а перспективен при изучении влияния параметров кроны на форму ствола, а также для выявления видовых особенностей деревьев. Сходный принцип характерных точек по высоте ствола применен в [14] (на высотах 1,3 м и у основания кроны), но с использованием функции вида (1).

Как следует из рис.1, А, для практических целей наиболее важна информация о параметре формы с2. Нами установлено [9, 11], что при расчете сбега ствола по диаметру и массе параметр а может быть фиксированным и из практических соображений приравнен к 2 (в этом случае параметр Ь численно равен диаметру на середине ствола):

ph = 2l

Данная модификация уравнения не отражает видовых особенностей формы стволов деревьев и может быть использована для изучения их общих закономерностей [6]. Для совокупности из 176 стволов хвойных и лиственных пород различного возраста и условий произрастания при варьировании второго коэффициента формы q2 от 0,51 до 0,83, c1 и c2 в уравнении (5) изменяются в пределах, соответственно, 0,3-2,1 и 2,8-7,5. Для сравнения: образующая конуса (равномерное распределение элементарных отрезков ствола) аппроксимируется функцией (5) с параметрами c1 = 0,79, c2 = 2,41, а функция нормального распределения в интегральном выражении - c1= c2 = 3,51 (при b = 3,11а, где а - среднеквадратическое отклонение). Возрастная динамика c2 изучена в [7, 8].

Параметр формы с2 уравнения (5) тесно коррелирует со q2 (r = 0,83), в то время как достоверной связи с1 и q2 не обнаружено, между собой параметры формы коррелируют слабо, но значимо на 95%-ном уровне.

При оценке объема ствола параметр с1 может быть зафиксирован на уровне средней величины, по нашим данным близкой к 1 при a =2 [10]. В такой максимально упрощенной модификации функция (5) принимает вид:

ph = 2l

Параметры уравнений вычисляли методом наименьших квадратов (МНК) отклонений как по относительному диаметру (теоретические значения диаметров получали численными методами), так и по относительной высоте. Оба эти подхода дали близкие результаты, в связи с четко выраженной закономерностью, т.е. практическим отсутствием варьирования диаметров относительно выравнивающей кривой. Исключение составляют стволы с большими корневыми наплывами, когда МНК с отклонениями по диаметру не пригоден из -за высокой чувствительности функции в нижней части ствола. По этой причине мы остановились на минимизации квадратов отклонений по высоте -ph. На рис. 1, Б показаны отклонения расчетных данных от экспериментальных (тех же, что на рис. 1, А) для модификаций уравнений образующей (4), (5) и (6). Теоретические значения ph для d0 близки к 0, что видно на рис. 1, Б.

Компьютерная программа вычисления параметров уравнений образующей ствола (4) - (6), реализованная нами в виде книги Microsoft Excel, находится в свободном доступе в интернете на сайте http:llkaplina-tree.narod.rul. МНК аппроксимация реализована на базе надстройки Microsoft Excel «Поиск решений». Вычисляются как теоретические высоты, так и теоретические диаметры на заданных пользователем высотах ствола.

Авторы надеются, что приводимые в настоящей работе рекомендации будут способствовать широкому использованию модификаций функции Вейбулла при исследовании формы древесного ствола.

Рисунок 1- Выравнивание образующей ствола уравнениями (4) - (6): А - образующая (4) как гармоническое среднее двух функций Вейбулла (3)а и (3)б, Б - отклонения теоретических величин от экспериментальных. (3), (4), (5) и (6)  номера уравнений

Литература

1. Анучин Н.П. Лесная таксация. -М.: Лесная промышленность, 1992. -552 с.

2. Захаров В.К. Лесная таксация.- М.: Лесная промышленность, 1967. -405 с.

3. Кофман Г.Б. Рост и форма деревьев. - Новосибирск: Наука, 1986. -211 с.

4. Кофман Г.Б., Попова А.В. Образующая, как следствие динамики абсолютных размеров древесных стволов. I. Вывод уравнений. Сб. Лесная таксация и лесоустройство. -СТА, 1995. -С. 50-57.

5. Лебков В.Ф. Аппроксимация образующей ствола и идентификация его формы функцией распределения // Лесной журнал. -2002.- №5. -С. 5-23.

6. Лебков В.Ф., Каплина Н.Ф. Закономерности формы древесного ствола хвойных и лиственных пород // Лесной вестник. -2001. -№ 5(20). -С. 49-55.

7. Лебков В.Ф., Каплина Н.Ф. Возрастная динамика формы ствола деревьев сосны обыкновенной и кедра сибирского // Лесной вестник. -2003. -№1(26). -C. 18-24.

8. Лебков В.Ф., Каплина Н.Ф. Строение древостоев сосны и ели в чистых и смешанных насаждениях по форме ствола и его возрастная динамика // Лесная таксация и лесоустройство. Красноярск, 2003. -№1(32). - С. 37-41.

9. Лебков В.Ф., Каплина Н.Ф. Сбег древесных стволов различной формы по относительным высотам // Лесная таксация и лесоустройство. -Красноярск, 2003. - №1(32). -С. 55-59.

10. Лебков В.Ф., Каплина Н.Ф. Объемы стволов деревьев хвойных и лиственных пород по разрядам высот и формы ствола // Лесное хозяйство.- 2004.- №3. - С. 24-26.

11. Лебков В.Ф., Каплина Н.Ф. Закономерности вертикальной структуры массы стволов деревьев сосны обыкновенной // Лесное хозяйство. -2005. -№2. -C. 29-31.

12. Chiba Y., Shinozaki K. A simple mathematical model of growth pattern in tree stems // Annals of Botany, 1994.- №73. -P. 91-98.

13. Courbet F., Houllier F. Modelling the profile and internal structure of tree stem. Application to Cedrus atlantica (Manetti) // Ann. For. Sci., 2002. -№59.- P. 63-80.

14. Valentine, H.T., Gregoire T.G. A switching model of bole taper // Can. J. Forest Res., 2001. -№31(8). -P.1400-1409.