ГЕНЕРАТОР ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
CHAOTIC OSCILLATION GENERATOR

Предлагаемое изобретение относится к радиотехнике и может быть использовано в качестве источника хаотических электромагнитных колебаний.
Известен Генератор хаотических колебаний (S. Sampath, S. Valdyanathan, Ch. K. Volos and V.T. Pham. An Eight-Term Novel Four-Scroll Chaotic System with Cubic Nonlinearity and its Circuit Simulation // Journal of Engineering Science and Tecnology Review, 2015, No.8(2), p. 4, fig. 6), содержащий первый, второй и третий резисторы, первые выводы которых соединены с первым выводом первого конденсатора и инвертирующим входом первого усилителя напряжения, выход которого соединен с вторыми выводами первого конденсатора и второго резистора, первым входом первого аналогового перемножителя напряжений и вторым входом второго аналогового перемножителя напряжений, выход которого соединен с первым выводом четвертого резистора, второй вывод которого соединен с первыми выводами пятого резистора и второго конденсатора и инвертирующим входом второго усилителя напряжения, выход которого соединен с вторым выводом второго конденсатора, первым выводом шестого резистора и вторыми входами первого и третьего аналоговых перемножителей напряжений, второй вывод шестого резистора соединен с первым выводом седьмого резистора и инвертирующим входом третьего усилителя напряжения, выход которого соединен с вторыми выводами пятого и седьмого резисторов, выход первого аналогового перемножителя напряжений соединен с первым выводом восьмого резистора, второй вывод которого соединен с первыми выводами девятого и десятого резисторов, первым выводом третьего конденсатора и инвертирующим входом четвертого усилителя напряжения, выход которого соединен с вторым выводом третьего конденсатора, первым выводом одиннадцатого резистора, первыми входами второго, третьего и четвертого аналоговых перемножителей напряжений, первым и вторым входами пятого аналогового перемножителя напряжений и вторым выводом девятого резистора, выход пятого аналогового перемножителя напряжений соединен с вторым входом четвертого аналогового перемножителя напряжений, выход которого соединен с вторым выводом десятого резистора, второй вывод одиннадцатого резистора соединен с первым выводом двенадцатого резистора и инвертирующим входом пятого усилителя напряжения, выход которого соединен с вторыми выводами первого и двенадцатого резисторов, выход третьего аналогового перемножителя напряжений соединен с вторым выводом третьего резистора.
Также известен генератор хаотических колебаний (Guo Hui Li, Shi Ping Zhou, Kui Yang. Controlling chaos in Colpitts oscillator // Chaos, Solitons and Fractals, 2007, No.33, p. 583, fig. 1), содержащий первый конденсатор, первый вывод которого соединен с первыми выводами второго конденсатора и первого резистора и эмиттером транзистора, коллектор которого соединен с вторым выводом первого конденсатора и первым выводом индуктивности, второй вывод которой соединен с первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с шиной питания и первым выводом третьего резистора, второй вывод которого соединен с базой транзистора, первыми выводами четвертого резистора и третьего конденсатора, вторые выводы которых соединены с вторыми выводами первого резистора и второго конденсатора и общей шиной.
Недостатком этих генераторов является незначительная возможность изменения хаотического аттрактора, что ограничивает возможности перестройки параметров генерируемого хаотического сигнала.
Наиболее близким по технической сущности к заявляемому устройству является генератор хаотических колебаний (Патент РФ №2625520, Опубл. 14.07.2017, Бюл. №20), содержащий первый двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением, первый вывод которого соединен с первым выводом двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым выводом первого резистора и первым выходным выводом нелинейного преобразователя импеданса, второй выходной вывод которого соединен с вторым выводом первого резистора.
Недостатком этого генератора хаотических колебаний, является то, что его хаотический аттрактор является унитарным, что ограничивает пределы его видоизменения и соответствующей перестройки параметров генерируемого хаотического сигнала.
Целью изобретения является расширение пределов регулирования параметров хаотических колебаний путем увеличения возможностей видоизменения соответствующего им хаотического аттрактора.
Цель изобретения достигается тем, что в генератор хаотических колебаний, содержащий первый двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением, первый вывод которого соединен с первым выводом двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым выводом первого резистора и первым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй выходной вывод которого соединен с вторым выводом первого резистора, введены второй резистор, второй двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением и линейный преобразователь тока, вход которого соединен с первым выводом второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, второй вывод которого соединен с вторым выводом первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с первым входным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй входной вывод которого соединен с общей шиной линейного преобразователя тока, первый и второй выходы которого соединены соответственно с первым и вторым выводами двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, причем передаточная характеристика первого нелинейного преобразователя импеданса определена уравнением
вx
вх
0
1
L1
2
L1
L1
1
2
1
L1
0
1
L1
где i - ток, протекающий через входные выводы первого нелинейного преобразователя импеданса, i(i) ток, протекающий через выходные выводы первого нелинейного преобразователя импеданса, I - граничный ток между средним и боковыми сегментами передаточной характеристики первого нелинейного преобразователя импеданса, а и b - вещественные константы, напряжение на первом входном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на первом выходном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса, напряжение на втором входном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на втором выходном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса, ток, втекающий в первый выход линейного преобразователя тока равен ki, ток, вытекающий из второго выхода линейного преобразователя тока равен ki где i - ток, втекающий во вход линейного преобразователя тока, k и k вещественные константы, напряжение на входе линейного преобразователя тока равно напряжению на общей шине линейного преобразователя тока, первый двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит первый линейный индуктивный элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами второго нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, второй двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит второй линейный индуктивный элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами третьего нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит линейный емкостной элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами четвертого нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, переменное напряжение между выводами первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением равно переменному напряжению на первом линейном индуктивном элементе, ток, протекающий в цепи первого двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, равен i(i)=IН(х), где i - переменный ток, протекающий в цепи первого линейного индуктивного элемента,
1
1
1
1
1
1
2
L2
0
2
L2
d, h и s - вещественные коэффициенты, причем d>>1, M и N - целые неотрицательные числа, переменное напряжение между выводами второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением равно переменному напряжению на втором линейном индуктивном элементе, ток, протекающий в цепи второго двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, равен i(i)=IH(y), где i - переменный ток, протекающий в цепи второго линейного индуктивного элемента,
2
2
2
2
2
2
C
0
3
C
0
0
d, h и s - вещественные коэффициенты, причем d>>1, М и N - целые неотрицательные числа, переменный ток, протекающий в цепи двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, равен переменному току, протекающему в цепи линейного емкостного элемента, напряжение между выводами двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением равно u(u)=UH(z), где u - переменное напряжение на линейном емкостном элементе, U=IR1, R1 - сопротивление первого резистора,
3
3
3
3
3
3
d, h и s - вещественные коэффициенты, причем d>>1, М и N - целые неотрицательные числа.
1
1
2
2
3
3
С целью получения повышенной точности и температурной стабильности, первый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, неинвертирующий вход которого соединен с первым выходным выводом первого нелинейного пребразователя импеданса и первым выводом первого резистора, второй вывод которого соединен с выходом усилителя напряжения и первым выводом первого активного четырехполюсника, третий вывод которого соединен с первым выводом второго активного четырехполюсника, третий вывод которого соединен с первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с четвертым выводом второго активного четырехполюсника, второй вывод которого соединен с четвертым выводом первого активного четырехполюсника, второй вывод которого соединен с выходом генератора тока, инвертирующим входом усилителя напряжения и первым входным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй входной и второй выходной выводы которого соединены с общей шиной, второй нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, инвертирующий вход которого соединен с вторым входным выводом второго нелинейного преобразователя импеданса и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с вторым выходным выводом второго нелинейного преобразователя импеданса и неинвертирующим входом усилителя напряжения, второй выход которого соединен с первым входным и первым выходным выводами второго нелинейного преобразователя импеданса, построение третьего нелинейного преобразователя импеданса идентично построению второго нелинейного преобразователя импеданса, четвертый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, неинвертирующий вход которого соединен с первым входным и первым выходным выводами четвертого нелинейного преобразователя импеданса, второй входной вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с инвертирующим входом усилителя напряжения и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с вторым выходом усилителя напряжения и вторым выходным выводом четвертого нелинейного преобразователя импеданса, каждый нелинейный двухполюсник содержит 1+2Max(Q,R) последовательно включенных активных четырехполюсников, где Max(Q,R) - большее из чисел Q и R, которые равны соответственно М и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав второго нелинейного преобразователя импеданса, М и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав третьего нелинейного преобразователя импеданса, М и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выводы первого активного четырехполюсника соединены соответственно с первым и вторым выводами нелинейного двухполюсника и выходами соответствующих первого и второго генераторов тока, общие шины которых соединены с первой шиной питания, третий и четвертый выводы каждого предыдущего активного четырехполюсника соединены соответственно с первым и вторым выводами последующего активного четырехполюсника, третий и четвертый выводы последнего, 1+2Max(Q,R)-го, активного четырехполюсника соединены с соответствующими первым и вторым выводами резистора, каждый активный четырехполюсник содержит первый и второй транзисторы, эмиттеры которых, являющиеся соответствующими первым и вторым выводами активного четырехполюсника, соединены с соответствующими первым и вторым выводами первого резистора, коллектор первого транзистора соединен с эмиттером третьего транзистора и базой четвертого транзистора, эмиттер которого соединен с коллектором пятого транзистора и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с базой пятого транзистора и первым выводом третьего резистора, второй вывод которого соединен с эмиттером пятого транзистора, базой второго транзистора и выходом первого генератора тока, общая шина которого соединена с первой шиной питания и общей шиной второго генератора тока, выход которого соединен с базой первого транзистора, эмиттером шестого транзистора и первым выводом четвертого резистора, второй вывод которого соединен с базой шестого транзистора и первым выводом пятого резистора, второй вывод которого соединен с коллектором шестого транзистора и эмиттером седьмого транзистора, база которого соединена с коллектором второго транзистора и эмиттером восьмого транзистора, база и коллектор которого соединены с четвертым выводом активного четырехполюсника и выходом третьего генератора тока, общая шина которого соединена с коллекторами четвертого и седьмого транзисторов, второй шиной питания и общей шиной четвертого генератора тока, выход которого соединен с базой и коллектором третьего транзистора и третьим выводом активного четырехполюсника, каждый усилитель напряжения, входящий в состав второго, третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса, содержит первый и второй транзисторы, базы которых являются соответствующими неинвертирующим и инвертирующим входами усилителя напряжения, эмиттер первого транзистора соединен с коллектором третьего транзистора и базой четвертого транзистора, эмиттер которого соединен с выходом первого генератора тока и эмиттером третьего транзистора, база которого соединена с коллектором четвертого транзистора и эмиттером второго транзистора, коллектор которого соединен с базой пятого транзистора и эмиттером шестого транзистора, база и коллектор которого соединены с выходом второго генератора тока и базой седьмого транзистора, эмиттер которого соединен с коллектором первого транзистора, эмиттер пятого транзистора соединен с коллектором восьмого транзистора и первым выводом первого резистора, второй вывод которого соединен с базой восьмого транзистора и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с эмиттером восьмого транзистора, выходом третьего генератора тока и первым выходом усилителя напряжения, коллектор пятого транзистора соединен с выходом четвертого генератора тока и эмиттером девятого транзистора, коллектор которого соединен с выходом пятого генератора тока и вторым выходом усилителя напряжения, база девятого транзистора соединена с третьей шиной питания, общие шины первого, третьего и пятого генераторов тока соединены с первой шиной питания, общие шины второго и четвертого генераторов тока соединены с коллектором седьмого транзистора и с второй шиной питания, линейный преобразователь тока содержит усилитель напряжения, инвертирующий вход которого соединен с входом линейного преобразователя тока, выходом первого генератора тока и входом первого токового зеркала, общая шина которого соединена с выходом усилителя напряжения, неинвертирующий вход которого соединен с общей шиной линейного преобразователя тока, первый выход первого токового зеркала соединен с выходом второго генератора тока и первым выходом линейного преобразователя тока, второй выход которого соединен с выходом третьего генератора тока и выходом второго токового зеркала, вход которого соединен с вторым выходом первого токового зеркала, общие шины первого и второго генераторов тока соединены с общей шиной второго токового зеркала и второй шиной питания, общая шина третьего генератора тока соединена с первой шиной питания, первое токовое зеркало содержит первый транзистор, коллектор которого соединен с входом первого токового зеркала и базой второго транзистора, эмиттер которого соединен с базами первого, третьего и четвертого транзисторов, эмиттеры которых соединены с первыми выводами соответственно первого, второго и третьего резисторов, вторые выводы которых соединены с общей шиной первого токового зеркала, первый и второй выходы которого соединены с коллекторами соответственно третьего и четвертого транзисторов, коллектор второго транзистора соединен с второй шиной питания, второе токовое зеркало содержит первый транзистор, коллектор которого соединен с входом второго токового зеркала и базой второго транзистора, эмиттер которого соединен с базами первого и третьего транзисторов, эмиттеры которых соединены с первыми выводами соответственно первого и второго резисторов, вторые выводы которых соединены с общей шиной второго токового зеркала, выход которого соединен с коллектором третьего транзистора, коллектор второго транзистора соединен с первой шиной питания.
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
1
2
2
3
3
1
2
2
1
1
3
3
2
3
3
1
1
2
2
3
1
1
2
2
3
3
1
2
1
1
3
3
2
2
1
3
2
2
3
3
1
1
2
3
Заявляемый генератор хаотических колебаний поясняется фиг. 1, на которой изображена его схема электрическая принципиальная, фиг. 2, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме генератора при его работе, фиг. 3, на которой приведена схема электрическая принципиальная первого нелинейного преобразователя импеданса, фиг. 4, на которой приведена схема электрическая принципиальная второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 5, на которой приведена схема электрическая принципиальная четвертого нелинейного преобразователя импеданса, фиг. 6, на которой приведена схема электрическая принципиальная нелинейных двухполюсников, фиг. 7, на которой приведена схема электрическая принципиальная активных четырехполюсников, фиг. 8, на которой приведена схема электрическая принципиальная усилителей напряжения, входящих в состав второго, третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 9, на которой приведена схема электрическая принципиальная линейного преобразователя тока, фиг. 10, на которой приведена безразмерная передаточная характеристика второго, третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 11, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора на плоскость (х, у) при M=N=М=N=М=N=0, А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, фиг. 12, иллюстрирующей механизм образования простейшего составного мультиаттрактора при М=1, N=M=N=M=N=0, А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, h1=2.6, d=10, фиг. 13, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при M=N=2, M=N=М=N=0, А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, h1=2.6, d=10, фиг. 14, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при M=N=2, M=N=M=N=0, А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, h2=1.0, d=10, фиг. 15, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при М=N=2, M=N=M=N=0,A=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, h3=1.45, d=30, фиг. 16, на которой приведен пример проекции мультиаттрактора на плоскость (х, у) при M=N=M=N=2, M=N=0, А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, h1=2.6, h2=1.0, d=d=10, фиг. 17, на которой приведен пример проекции мультиаттрактора на плоскость (x,z) при M=N=M=N=2, M=N=0, А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, h1=2.6, h3=1.45, d=10, d=30, фиг. 18, на которой приведен пример проекции мультиаттрактора на плоскость (y,z) при M=N=M=N=2, M=N=0, А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, h2=1.0, h3=1.45, d=10, d=30, фиг. 19, 20 и 21, на которых приведены примеры временных зависимостей безразмерных переменных x, у и z, фиг. 22, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса при их работе, фиг. 23, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме четвертого нелинейного преобразователя импеданса при его работе.
Генератор хаотических колебаний содержит первый 1 и второй 2 двухполюсные элементы с индуктивным сопротивлением, двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением 3, первый 4 и второй 5 резисторы, первый нелинейный преобразователь импеданса 6 и линейный преобразователь тока 7, первый двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит линейный индуктивный элемент 8 и второй нелинейный преобразователь импеданса 9, второй двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит линейный индуктивный элемент 10 и третий нелинейный преобразователь импеданса 11, двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит линейный емкостной элемент 12 и четвертый нелинейный преобразователь импеданса 13, первый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения 14, первый 15 и второй 16 активные четырехполюсники, первый 17 и второй 18 резисторы и генератор тока 19, второй и третий нелинейные преобразователи импеданса содержат усилитель напряжения 20, резистор 21 и нелинейный двухполюсник 22, четвертый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения 23, резистор 2 4 и нелинейный двухполюсник 25, нелинейный двухполюсник содержит резистор 26, активные четырехполюсники 27, первый 28 и второй 2 9 генераторы тока, каждый активный четырехполюсник содержит первый 30, второй 31, третий 32, четвертый 33, пятый 34, шестой 35, седьмой 36 и восьмой 37 транзисторы, первый 38, второй 39, третий 40, четвертый 41 и пятый 42 резисторы, первый 43, второй 44, третий 45 и четвертый 4 6 генераторы тока, каждый усилитель напряжения, входящий в состав второго, третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса, содержит первый 47, второй 48, третий 49, четвертый 50, пятый 51, шестой 52, седьмой 53, восьмой 54 и девятый 55 транзисторы, первый 56 и второй 57 резисторы, первый 58, второй 59, третий 60 четвертый 61 и пятый 62 генераторы тока, линейный преобразователь тока содержит усилитель напряжения 63, первое 64 и второе 65 токовые зеркала, первый 66, второй 67 и третий 68 генераторы тока, первое токовое зеркало содержит первый 69, второй 70, третий 71 и четвертый 72 транзисторы, первый 73, второй 74 и третий 75 резисторы, второе токовое зеркало содержит первый 76, второй 77 и третий 78 транзисторы, первый 79 и второй 80 резисторы.
Запишем уравнения, описывающие работу данного генератора (см. фиг. 2):
L2
L2
L1
L2
C
C
где R1 и R2 - сопротивления соответственно первого 4, и второго 5 резисторов; u и u - переменные напряжения на первом 8 и втором 10 линейных индуктивных элементах, соответственно; i и i - переменные токи, протекающие в цепях первого 8 и второго 10 линейных индуктивных элементов, соответственно; u и i - переменное напряжение на линейном емкостном элементе 12 и протекающий через него переменный ток, соответственно.
Учитывая, что  где L1 и L2 - индуктивности первого 8 и второго 10 линейных индуктивных элементов, С - емкость линейного емкостного элемента 12, и разрешив уравнения (1) относительно производных  и  получим следующую систему дифференциальных уравнений:
Вводя безразмерные переменные  и безразмерное время  представим полученные уравнения в безразмерном виде:
1
2
3
где  безразмерная передаточная характеристика первого нелинейного преобразователя импеданса, H(x) - безразмерная передаточная характеристика второго нелинейного преобразователя импеданса, H(y) - безразмерная передаточная характеристика третьего нелинейного преобразователя импеданса, H(z) - безразмерная передаточная характеристика четвертого нелинейного преобразователя импеданса.
j
j
1
2
3
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Изображение функции H(w), где j=1,2,3, w=x, w=y, w=z, приведено на фиг. 10. Видно, что она представляет собой кусочно-линейную многосегментную функцию, содержащую M+N+1 сегментов с единичным наклоном и M+N сегментов с наклоном -d. Протяженность по аргументу (х, у или z) сегментов с единичным наклоном равна 2h, протяженность по аргументу сегментов с наклоном -d равна 2h/d. Коэффициент s задает величину смещения функции H (w) относительно начала координат вдоль проходящего через начало координат сегмента с единичным наклоном.
Такая нелинейность вольт-амперных характеристик реактивных элементов схемы генератора необходима для того, чтобы обеспечить условия формирования составного мультиаттрактора.
1
1
2
2
3
3
1
2
3
В случае линейных первого и второго двухполюсных элементов с индуктивным сопротивлением, а также двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением (т.е. при M=N=M=N=M=N=0, когда H(х)=х, Н(у)=у, H(z)=z) заявленный генератор хаотических колебаний генерирует хаотические колебания, соответствующие уравнениям:
1
1
2
2
3
3
На фиг. 11 показан хаотический аттрактор, существующий в системе (4) при А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7, M=N=M=N=M=N=0.
1
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
Положим теперь М=1, d=10, оставив N=М=N=М=N=0. При этом функция H(x) примет вид, показанный на фиг. 12. В этом случае вид колебаний в генераторе будет зависеть от значений коэффициентов h и s, задающих положение границ между сегментами нелинейной функции Н(х).
1
1
1
1
Пока границы не пересекаются с аттрактором, колебания в генераторе ничем не отличаться от случая линейной функции Н(х)=х, так как движение по координате х происходит на сегменте функции H(x) с единичным наклоном, проходящем через начало координат. Однако при уменьшении h до 2.6, когда максимальные размеры аттрактора по координате х превысят соответствующие размеры этого сегмента, фазовые траектории будут иногда пересекать границу между сегментами и переходить на сегмент с наклоном -d и далее на соседний сегмент с единичным наклоном.
При нахождении рабочей точки в пределах второго линейного сегмента с единичным наклоном, колебания в генераторе происходят в соответствии с уравнениями:
1
1
так как второй линейный сегмент с единичным наклоном смещен относительно первого такого сегмента по оси х на интервал [2h-s].
1
1
Если произвести замену переменных x1=x-2h+s, и учесть, что  получим систему уравнений
1
1
которая ничем не отличается от уравнений (4). Поэтому при движении на соседнем (втором) сегменте с единичным наклоном воспроизводится исходный хаотический аттрактор, смещенный относительно исходного аттрактора на интервал [2h-s] по оси х.
1
Когда траектория вновь пересечет границу между сегментами, движение возвратится на исходный хаотический аттрактор и т.д. В результате образуется составной хаотический мультиаттрактор, объединяющий два одинаковых аттрактора (фиг. 12). Аналогично образуется составной мультиаттрактор при большем числе сегментов в составе функции H(x) (фиг. 13).
Таким же образом происходит образование составных мультиаттракторов, состоящих из копий исходного аттрактора, упорядоченных вдоль осей у и z, - для этого служат нелинейности третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса (фиг. 14, 15).
j
j
Если одновременно нелинейными являются две функции H(w), описанным образом реализуются «двумерные» составные мультиаттракторы (фиг. 16, 17, 18).
j
j
И, наконец, когда все три функции H(w) содержат несколько сегментов с единичным наклоном, образуется «трехмерный» составной мультиаттрактор.
Значения старшего характеристического показателя Ляпунова при различных значениях коэффициентов уравнений (3), соответствующих рассмотренным выше ситуациям равны:
При А=2, В=0.5, D=0.2, а=1, b=-3, k1=3, k2=2.7,
1
1
2
2
3
3
- в случае M=N=M=N=M=N=0, В=0.4…0.52 и В=0.55…0.6, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.12…0.15 и 0.15…0.18;
1
1
2
2
3
3
1
1
1
- в случае M=N=2, M=N=M=N=0, d=10, h≈2.6, s=0, B=0.4…0.6, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.12…0.21;
2
2
1
1
3
3
2
2
2
- в случае M=N=2, M=N=M=N=0, d=10, h≈1, s=0, B=0.4…0.6, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.19…0.25;
3
3
1
1
2
2
3
3
3
- в случае M=N=2, M=N=M=N=0, d=30, h≈1.45, s=0, B=0.4…0.57 и B=0.59…0.6, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен соответственно 0.12…0.22 и 0.25;
1
1
2
2
3
3
1
2
1
2
1
2
- в случае M=N=M=N=2, М=N=0, d=d=10, h≈2.6, h≈1, s=s=0, B=0.4…0.6, старший характеристический показатель Ляпунова равен 0.19…0.27;
1
1
3
3
2
2
1
3
1
3
1
3
- в случае M=N=М=N=2, M=N=0, d=10, d=30, h≈2.6, h≈1.45, s=s=0, B=0.4…0.57 и B=0.59…0.6, старший характеристический показатель Ляпунова равен 0.11…0.22 и 0.25;
2
2
3
3
1
1
2
3
2
3
2
3
- в случае М=N=М=N=2, M=N=0, d=10, d=30, h≈1.0, h≈1.45, s=s=0, B=0.4…0.6, старший характеристический показатель Ляпунова равен 0.18…0.30;
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
- в случае M=N=М=N=М=N=2, d=d=10, d=30, h≈2.6, h≈1.0, h≈1.45, s=s=s=0, B=0.4…0.6, старший характеристический показатель Ляпунова равен 0.20…0.31.
j
j
j
j
j
При данных значениях коэффициентов А, В, D, а, b, k1, k2, M, N, d, h, s, j=1,2,3 в заявленном генераторе наблюдаются хаотические колебания, характеризующиеся наличием композиционного странного мультиаттрактора, состоящего из нескольких копий хаотического аттрактора системы (4).
Параметры передаточной характеристики первого нелинейного преобразователя импеданса равны:
1
2
1
2
1
3
3
1
2
где R3 - сопротивление резистора 18, R4 - сопротивление первого резистора 38, входящего в состав активного четырехполюсника 16, R5 - сопротивление первого резистора 38, входящего в состав активного четырехполюсника 15, R6 - сопротивление резистора 17, I - значение выходных токов генераторов тока 45 и 46, входящих в состав активного четырехполюсника 16. Значение I выходных токов генераторов тока 45 и 46, входящих в состав активного четырехполюсника 15, устанавливаются в несколько раз большими тока I: I=(2…10)I. Выходной ток I генератора тока 19 устанавливается равным I=I+I.
j
j
j
j
j
Параметры передаточной характеристики второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса равны  при том, что  где j=1 в случае второго и j=2 в случае третьего нелинейных преобразователей импеданса; R7 - сопротивление резистора 21; R8 - сопротивление первого резистора 38, содержащегося в первом активном четырехполюснике 27, входящем в состав нелинейного двухполюсника 22, R9 - значение входящего в состав нелинейного двухполюсника 22 сопротивления резистора 26 и сопротивлений первых резисторов 38, содержащихся в остальных, со второго по 1+2Мах(М,N)-й, активных четырехполюсниках 27, входящих в состав нелинейного двухполюсника 22.
j
j
1j
1j
2j
2j
3
1j
1j
3j
j
j
j
3j
3j
1j
1j
1j
1j
1j
1j
3j
1j
1j
При M=N токи I и J равны значениям выходных токов соответственно четвертых 46 и третьих 45 генераторов тока, входящих в состав нечетных, за исключением первого, активных четырехполюсников 27, и значениям выходных токов соответственно третьих 45 и четвертых 46 генераторов тока, входящих в состав четных активных четырехполюсников 27, содержащихся в нелинейном двухполюснике 22. При этом значение выходных токов I генераторов тока 28 и 29, содержащихся в нелинейном двухполюснике 22, определяются выражением I=K(I+J)+I, где K=Max(M,N), I - значение выходных токов третьего 45 и четвертого 46 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 22, причем ток I в несколько раз больше тока Max(I,J), где Max(I,J) - наибольший из токов I и J, то есть I=(2…5)Max(I, J).
j
j
j
j
j
j
3j
1j
Случай M<N отличается от случая M=N тем, что выходной ток третьего 45 генератора тока, входящего в состав 1+2(N-M)-гo активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 22, устанавливается равным току I, а выходной ток третьего 45 генератора тока, входящего в состав первогого активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 22, устанавливается равным току J.
j
j
j
j
j
j
3j
1j
Случай N<M отличается от случая M=N тем, что выходной ток четвертого 46 генератора тока, входящего в состав 1+2(М-N)-го активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 22, равен току I, а выходной ток четвертого 46 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 22, устанавливается равным току I.
3
3
Параметры передаточной характеристики четвертого нелинейного преобразователя импеданса равны  при условии, что  R10 - сопротивление резистора 24, входящего в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса; R11 - сопротивление первого резистора 38, содержащегося в первом активном четырехполюснике 27, входящем в состав нелинейного двухполюсника 25; R12 - значение сопротивления резистора 26, входящего в состав нелинейного двухполюсника 25 и сопротивлений первых резисторов 38, содержащихся в остальных, со второго по 1+2Max(M,N)-й, активных четырехполюсниках 27, входящих в состав нелинейного двухполюсника 25.
3
3
13
13
23
23
3
13
13
33
3
3
3
33
33
13
13
13
13
13
13
33
13
13
При M=N токи I и J равны значениям выходных токов соответственно третьих 45 и четвертых 46 генераторов тока, входящих в состав нечетных, за исключением первого, активных четырехполюсников 27, и значениям выходных токов соответственно четвертых 46 и третьих 45 генераторов тока, входящих в состав четных активных четырехполюсников 27, содержащихся в нелинейном двухполюснике 25, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса. При этом значение выходных токов I генераторов тока 28 и 29, содержащихся в нелинейном двухполюснике 25, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса, определяются выражением I=K(I+J)+I, где K=Max(M,N), I - значение выходных токов третьего 45 и четвертого 46 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 25, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса, причем ток I в несколько раз больше тока Max(I, J), где Max(I,J) - наибольший из токов I и J, то есть I=(2…5)Max(I,J).
3
3
3
3
3
3
3j
13
Случай М<N отличается от случая М=N тем, что выходной ток третьего 45 генератора тока, входящего в состав 1+2(N-М)-го активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 25, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току I, а выходной ток третьего 45 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 25, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току I.
3
3
3
3
3
3
33
13
Случай N<М отличается от случая M=N тем, что выходной ток четвертого 46 генератора тока, входящего в состав 1+2(М-N)-гo активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 25, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса, равен току I, а выходной ток четвертого 46 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 25, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току J.
4
бэ
4
бэ
Сопротивления второго 39, третьего 40, четвертого 41 и пятого 42 резисторов и выходные токи первого 43 и второго 44 генераторов тока, содержащихся в каждом активном четырехполюснике, связаны следующими соотношениями IR14=(1.2…2)U, R13=(1…10)R14, где R13 -значение сопротивлений второго 39 и пятого 42 резисторов, R14 - значение сопротивлений третьего 40 и четвертого 41 резисторов, I - значение выходных токов первого 43 и второго 44 генераторов тока, U - значение базо-эмиттерного напряжения пятого 34 и шестого 35 транзисторов, входящих в состав активного четырехполюсника.
у1
у2
у3
у5
у4
у1
у2
у3
у4
у5
у3
у5
Выходные токи генераторов тока, содержащихся в усилителе напряжения, должны удовлетворять следующим соотношениям I=2I, I+I=I, где I - выходной ток первого 58 генератора тока, I - выходной ток второго 59 генератора тока, I - выходной ток третьего 60 генератора тока, I - выходной ток четвертого 61 генератора тока, I - выходной ток пятого 62 генератора тока. Причем значения токов I и I должны быть в несколько раз больше значения выходных токов первого 28 и второго 29 генераторов тока, содержащихся в нелинейном двухполюснике, входящем в состав нелинейного преобразователя импеданса вместе с данным усилителем напряжения.
y3
бэ
бэ
Сопротивления первого 56 и второго 67 резисторов и выходной ток третьего 60 генератора тока, содержащихся в усилителе напряжения, связаны следующими соотношениями IR16=(1.2…2)U, R15=(1…15)R16, где R15 и R16 - значения сопротивлений первого 56 и второго 57 резисторов, соответственно, U - значение базо-эмиттерного наряжения восьмого 54 транзистора.
Второй и третий нелинейные преобразователи импеданса (фиг. 4) представляют собой преобразователи импеданса, изменяющие импеданс путем преобразования тока (I-ПИ), которые работают следующим образом (фиг. 22). Каждый из них содержит дифференциальный усилитель напряжения с высоким коэффициентом усиления, имеющий дополнительный токовый выход. Усилитель имеет высокие входные сопротивления по обоим входам и низкое выходное сопротивление по первому выходу. Дополнительный (второй) выход представляет собой выход повторителя тока, с высоким выходным сопротивлением. Его назначение - генерировать ток, равный току, протекающему через первый, низкоомный, выход усилителя, так, чтобы переменный ток втекающий в первый выход усилителя, был равен переменному току, вытекающему из второго выхода усилителя.
НЛ
L
L
НЛ
L
L
L
L
L
С учетом того, что разность потенциалов между входами усилителя напряжения и его входные токи пренебрежимо малы, напряжение между выходными выводами нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на линейном индуктивном элементе (например, катушке индуктивности), кроме этого равны падения напряжений на линейном 21 и нелинейном 22 резисторах. Через нелинейный резистор 22 протекает ток, равный току в цепи линейного индуктивного элемента. В результате на нелинейном резисторе 22 возникает зависящее от величины тока в линейном индуктивном элементе падение напряжений u(i), под действием которого в цепи линейного резистора 21 протекает ток i(i)=u(i)/R*. При этом на первый, низкоомный, выход усилителя поступает ток i-i(i), этот же ток вытекает из второго выхода усилителя и в сумме с током i поступает во внешнюю цепь. То есть, во внешнюю цепь поступает ток i(i), протекающий в цепи линейного резистора 21.
L
L
Таким образом, при подключении линейного индуктивного элемента к внешней цепи через второй или третий нелинейный преобразователь импеданса, через выходные выводы преобразователя протекает ток i(i) а между ними падает напряжение u. То есть совокупность линейной индуктивности и второго или третьего нелинейного преобразователя импеданса образует эквивалентный нелинейный индуктивный элемент с требуемой вольт-амперной характеристикой.
Четвертый нелинейный преобразователь импеданса (фиг. 23) представляет собой преобразователь импеданса, изменяющий импеданс путем преобразования напряжения (U-ПИ). Он содержит дифференциальный усилитель напряжения с высоким коэффициентом усиления, имеющий дополнительный токовый выход. Усилитель имеет высокие входные сопротивления по обоим входам и низкое выходное сопротивление по первому выходу. Дополнительный (второй) выход представляет собой выход повторителя тока, с высоким выходным сопротивлением. Его назначение - генерировать ток, равный току, протекающему через первый, низкоомный, выход усилителя, так, чтобы переменный ток втекающий в первый выход усилителя, был равен переменному току, вытекающему из второго выхода усилителя (фиг. 23).
C
НЛ
НЛ
С
С учетом того, что разность потенциалов между входами усилителя напряжения и его входные токи пренебрежимо малы, падение напряжений на линейном резисторе 24 равно падению напряжений на линейном емкостном элементе (конденсаторе), следовательно, ток i*, протекающий в этом резисторе, равен u/R*; этот же ток протекает в цепи нелинейного резистора 25, напряжение на котором зависит от величины протекающего через него тока i*, а следовательно от напряжения на конденсаторе u(i*)=u(u/R*).
НЛ
C
НЛ
С
Вследствие пренебрежимо малой разности потенциалов между входами усилителя, напряжение между первым и вторым выходами нелинейного преобразователя импеданса равно падению напряжений на нелинейном резисторе u(u/R*). При этом ток, протекающий через конденсатор, равен сумме тока i*, протекающего в цепи резисторов R* и R, и тока i-i* протекающего в цепи первого и второго выходов усилителя. Поэтому через выход нелинейного преобразователя импеданса протекает ток, равный току, протекающему через линейный емкостной элемент (фиг. 23).
НЛ
C
Таким образом, при подключении линейного емкостного элемента к внешней цепи через четвертый нелинейный преобразователь импеданса, через выходы преобразователя протекает ток, равный току, протекающему в линейном емкостном элементе, а падение напряжений между выходами преобразователя равно u(u/R*). То есть совокупность конденсатора и четвертого нелинейного преобразователя импеданса образует эквивалентный нелинейный емкостной элемент с заданной вольт-амперной характеристикой.
1
2
П2
П1
1
П3
П1
2
П1
П2
П3
П1
П1
32
32
Коэффициенты передачи линейного преобразователя тока по первому k и второму k выходам равны соответственно  и  где R17 - сопротивление резистора 73, R18 - сопротивление резистора 74, R19 - сопротивление резистора 75, R20 - сопротивление резистора 79, R21 - сопротивление резистора 80. Токи генераторов тока 66, 67, 68, входящих в состав линейного преобразователя тока связаны соотношениями I=Ik,I=Ik, где I - выходной ток генератора тока 66, I - выходной ток генератора тока 67, I - выходной ток генератора тока 68. Величина тока I выбирается исходя из соотношения I≥I, где I - значение выходных токов третьего 45 и четвертого 46 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 27, содержащегося в нелинейном двухполюснике 22, входящего в состав второго нелинейного преобразователя импеданса.
Примером практической реализации заявленного генератора хаотических колебаний может служить электрическая схема, имеющая следующие параметры.
0
1
2
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
11
11
21
31
2
2
12
12
22
32
13
13
22
32
у1
у2
у3
у5
у4
П1
П2
П3
Пусть R1=1 кOm, С=1 мкФ, R5=10 кOм, R6=1 кОм, I=600 мкА, R9=1 кOм, R9=3 кOм, R12=1 кOм. Тогда в случае M=N=M=N=M=N=1, d=d=10, d=30, h≈2.6, h≈1, h≈1.45, s=s=s=0, при A=2, B=0.5, D=0.2, a=1, b=-3, хаотические колебания, соответствующие этим параметрам уравнений (3), наблюдаются при следующих номиналах колебательной системы генератора: L1≈125 мГн, L2≈62.5 мГн, первого нелинейного преобразователя импеданса: R3≈750 Ом, R4≈2.3 кOм, I≈0.8 мA, I≈1.5 мА, I≈2.3 мА; второго нелинейного преобразователя импеданса: R7≈1.1 кOм, R8≈11 кОм, I=J≈1.72 мА, I≈6.04 мА, I≈2.6 мА; третьего нелинейного преобразователя импеданса: R7≈3.3 кОм, R8≈33 кОм, I=J≈0.66 мА, I≈2.72 мА, I≈1.4 мА; четвертого нелинейного преобразователя импеданса: R10≈1.03 кОм, R11≈31 кОм, I=J≈0.44 мА, I≈1.88 мА, I≈1 мА; элементов цепей смещения постоянного напряжения в нелинейных преобразователях импеданса: R13≈5 кOм, R14≈1 кОм, 14≈2 мА; усилителя напряжения: R15≈5 кОм, R16≈1 кОм, I≈1 мА, I≈0.5 мА, I=I≈5 мА, I≈10 мА; линейного преобразователя тока: R17=R19=R20=1 кОм, R18≈333 Ом, R21≈370 Ом, I≈1.5 мА, I≈4.5 мА, I≈4.05 мА.
Повышенная точность и температурная стабильность нелинейных преобразователей импеданса обусловлена тем, что их передаточные характеристики практически не зависят от параметров транзисторов, вследствие взаимной компенсации эмиттерных сопротивлений транзисторов 30 и 32, а также 31 и 37 в составе активных четырехполюсников, а также благодаря повышению коэффициента усиления и минимизации разности постоянных напряжений на инвертирующем и неинвертирующем входах усилителя напряжения за счет введения транзисторов 47, 48 и 49, 50.
Таким образом, заявленный генератор хаотических колебаний выгодно отличается от прототипа и аналогов, в которых перестройка хаотического сигнала возможна только за счет изменения параметров унитарного хаотического аттрактора, тем, что он позволяет реализовать составной хаотический мультиаттрактор, получаемый объединением исходного хаотического аттрактора с одной или более его копиями, вследствие чего его перестройку можно дополнительно осуществлять изменением количества и взаимного расположения входящих в его состав компонентов, благодаря чему заявленный генератор обладает значительно большими возможностями перестройки параметров генерируемого хаотического сигнала.