Несколько замечаний об изложении метода математической индукции в школьных учебниках по математике

1УДК 372.851 ББК 74.262.21

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ ОБ ИЗЛОЖЕНИИ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ В ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ ПО МАТЕМАТИКЕ

И. Л. Тимофеева

Метод математической индукции часто используется в доказательствах математических теорем как в средней общеобразовательной, так и высшей школе. Однако многие преподаватели и авторы учебников не всегда уделяют должное внимание логической корректности изложения и использования этого метода. В статье приведены различные варианты изложения метода математической индукции, которые детально проанализированы как с логической, так и с методической точки зрения. Отмечены часто встречающиеся недостатки изложения этого метода, которых следует избегать в преподавании. Предложена логически корректная формулировка метода математической индукции и приведен пример, иллюстрирующий корректное использование этого метода. Материал статьи будет полезен учителям математики, преподавателям математики в вузах, преподавателям методики обучения математике и студентам педвузов.

Ключевые слова: метод математической индукции, принцип математической индукции, переменная, квантор общности, некорректное изложение метода.

SOME COMMENTS ON MATHEMATICAL INDUCTION METHOD PRESENTATION IN SCHOOL MATHEMATICS TEXTBOOKS

I. L. Timofeeva

Mathematical induction method is often used in mathematical theorem proofs in secondary and high schools. Nevertheless many teachers and authors of textbooks don't pay due attention to logical correctness of presenting and using that method. The article describes different approaches to mathematical induction method presentation. All approaches are deeply analyzed both from logical and methodological viewpoints. There are notes of typical drawbacks often used in presenting this method. Logically correct mathematical induction method formulation is proposed in the article. Correct using of this method is illustrated by practical example. Given article will be useful for secondary school math teachers, high school lecturers of mathematics, lecturers in mathematics teaching methods and students of pedagogical institutes.

Keywords: mathematical induction method, mathematical induction principle, variable, universal quantifier, incorrect presentation method.

Метод математической индукции всем хорошо известен и очень часто используется в математике для доказательства теорем вида ««Для любого натурального числа п выполняется A(n)», где A(n) - предложение с натуральной переменной п. Однако имеются некоторые проблемы, связанные с изложением и применением этого метода.

Приведем часто встречающиеся в учебной литературе не вполне корректные варианты формулировки принципа математической ин-

дукции и описания метода математической индукции.

Например, в учебнике [1, с. 164] предлагается такой вариант. Метод математической индукции «основан на следующем положении, известном под названием принцип математической индукции:

утверждение о том, что некоторый факт имеет место при любом натуральном п, верно, если выполняются два условия: а) утверждение верно при п = 1;

б) из справедливости утверждения для n = к следует его справедливость для n = к + 1.

Доказательство некоторого утверждения методом математической индукции состоит из двух частей. Сначала проверяют его справедливость при n = 1. Затем, предположив, что утверждение верно при n = к, доказывают, что оно верно и при n = к + 1».

Оставим без комментариев использование слова «факт» в словосочетании «факт имеет место при любом натуральном n».

В учебнике [2, с. 32] предлагается похожий вариант: метод математической индукции «основан на так называемом принципе математической индукции, который состоит в следующем.

Утверждение A(n) считается истинным для всех значений n е N, если выполняются следующие условия:

1) утверждение A(n) истинно при n = 1;

2) из предположения, что A(n) истинно при n = к (к - любое натуральное число), следует, что оно истинно и при n = к + 1».

Подобные варианты изложения принципа и метода математической индукции не лишены некоторых неявных недостатков, которые нельзя оставить без внимания. Сделаем по этому поводу несколько замечаний.

Первое замечание связано с тем, что в шаге индукции при изложении этого метода, а также при его использовании часто происходит некорректное обращение с переменными.

Когда в базисе индукции говорят: «Докажем, что A(n) верно при n = 1», то понятно, что свободной переменной n в предложении A(n) придается значение 1. А вот что означают следующие совершенно загадочные фразы в шаге индукции: «Из предположения, что A(n) истинно при n = к (к - любое натуральное число), следует, что оно истинно и при n = к + 1» и «Из справедливости утверждения A(n) для n = к следует его справедливость для n = k + 1»?

Что означают равенства n = к и n = к + 1? Что означает предложение «A(n) справедливо при n = к»?

В предложении с одной (свободной) переменной этой переменной можно придавать значения из области ее допустимых значений, получая при этом однотипные высказывания.

Так, переменной n в предложении1 A(n) можно придавать значения из множества всех натуральных чисел N, например, 1, 2, 3 и т. д., получая при этом соответственно высказывания A(1), A(2), A(3) и т. д. Поэтому можно сказать «Докажем, что A(n) справедливо при n = 1» или, другими словами, «Докажем A(1)».

В то же время, некорректно говорить «A(n) справедливо при n = к» и «A(n) справедливо при n = к + 1». Что означают эти фразы? А именно, что значит «n = к» и «n = к + 1»? Придать переменной n в качестве значения другую переменную - переменную к? Абсурд! Такое изложение искажает представление о переменной, поэтому так говорить недопустимо. Как уже отмечалось, переменной n в предложении A(n) можно придавать в качестве значений только натуральные числа.

Возможно, это неудачная попытка переименовать переменную. Действительно, при определенных условиях переименовать переменную можно, но только если эта переменная связанная. Так, в утверждении Vn A(n) можно переименовать переменную n, связанную квантором, заменив ее, например, переменной к, если переменная к нравится больше, чем переменная n. Только такое переименование следует сделать сразу и доказывать утверждение Vк A (к). Но какой смысл в такой замене? Зачем нужна другая переменная? Чем переменная к лучше переменной n?

Можно предположить, что кто-то хочет использовать переменную к, а не n, именно в шаге индукции, т. е. переименовать связанную переменную n в предложении Vn (A(n) ^ A(n + 1)), доказываемом в шаге индукции. Тогда это предложение будет заменено предложением Vk (A(к) ^ A (к + 1)). Математического смысла в этой замене по-прежнему нет, но если кому-то хочется сделать именно так, то это вполне допустимо, тем более что определенный методический смысл в этом есть. Однако и в этом случае следует говорить иначе, а именно: «Докажем, что для любого натурального числа к верно следующее: если справедливо A(^, то справедливо и A (к + 1)» (как, например, в [3, с. 48]).

Почему же так часто используют этот некорректный вариант изложения метода мате-

1 Для простоты будем считать, что предложение A(n) не содержит никаких свободных переменных, кроме п.

матической индукции? Видимо, дело в привычке. Познакомившись с таким вариантом изначально, когда собственный опыт еще не позволяет усмотреть в нем некорректность, учащийся (да и учитель) начинает пользоваться именно такой формулировкой, привыкает к ней и в дальнейшем не задумывается, что здесь что-то не так. Если все же возникает сомнение «Что-то здесь не так!», то привычка уже сформирована и отказаться от нее сложно.

Часто в качестве «оправдания» некорректности в случае метода математической индукции приводят следующий «методический» аргумент: «Ученикам так понятнее!» Но стоит ли воспитывать у учащихся привычку к «пониманию» некорректных формулировок? Тем более что рассматриваемый вариант изложения является не более понятным, а скорее более привычным преподавателю, а значит, и ученику. А с плохими привычками следует бороться, а не закреплять их, хотя это бывает очень нелегко.

Заметим, что такого рода ситуации, когда привычка становится критерием правильности, не столь уж редки. Напомним о привычном для многих, но недопустимом сочетании слов «Обратная теорема неверна». Иногда в качестве оправдания таких ситуаций можно услышать: «Но ведь и так всем понятно, о чем речь!» Разумеется, если писать «инциндент» и «окресность» вместо «инцидент» и «окрестность», тоже будет понятно, о чем идет речь. Однако оправдывает ли это безграмотное написание слов? Вряд ли.

Второе замечание связано с тем, что, проводя доказательство утверждения Vn A(n) методом математической индукции, нередко допускают неточность и неоднозначность в использовании слова «утверждение», понимая под ним то доказываемое утверждение Vn A(n), то - предложение A(n).

Когда методом математической индукции доказывают утверждение вида Vn A(n), нередко в базисе индукции говорят следующее: «Докажем (проверим), что утверждение верно при n = 1», а в шаге индукции - «Предположим, что утверждение верно при n = к, и докажем, что утверждение верно при n = к + 1». С учетом того, что доказываемое утверждение имеет вид Vn A(n), т. е. от n не зависит, такого рода высказывания вызывают недоумение. На самом деле, речь должна идти не об утверждении

Vn A(n), а о предложении A(n). Получается, что думают о предложении A(n), а говорят об утверждении Vn A(n). Несомненно, подобная неоднозначность недопустима.

В базисе индукции правильно говорить «Докажем, что верно предложение A(1)» или «Докажем, что предложение A(n) верно при n = 1», а в шаге индукции можно сказать (если очень хочется заменить переменную) так: «Зафиксируем произвольное натуральное число к. Допустим, что верно предложение A(k), и докажем, что верно предложение A(k + 1)».

Третье замечание связано с некорректным опусканием квантора общности в предложении, доказываемом в шаге индукции. Речь идет о довольно распространенной небрежности, допускаемой при формулировке принципа математической индукции и при доказательстве утверждений с помощью рассматриваемого метода. В шаге индукции требуется доказать предложение «Для любого натурального числа n из A(n) следует A(n + 1)» (или «Для любого натурального числа n, если A(n), то A(n + 1)»). Символически это предложение записывается так: Vn (A(n) ^ A(n + 1)). Квантор общности по переменной n здесь принципиально важен. Однако и в формулировке принципа математической индукции, и при изложении метода математической индукции, и в самих доказательствах этим методом указанный квантор общности часто опускают (см., например, [1, с. 164]). Поскольку этот квантор общности не является внешним в принципе индукции, то его опускание противоречит нормам опускания кванторов (см. [4, с. 124]). Опускание этого квантора искажает смысл принципа индукции и метода индукции.

Четвертое замечание тоже связано с квантором общности в шаге индукции и заключается оно в следующем. Предложение, доказываемое в шаге индукции, иногда формулируют так: «Из справедливости утверждения A(n), где n - любое натуральное число, следует справедливость утверждения A(n + 1)» (подобным образом сформулирован шаг индукции в [2, с. 32; 3, с. 49]). Эта формулировка может быть истолкована неоднозначно. Например, учащиеся иногда понимают ее так: «Если для любого n верно A(n), то верно и A(n + 1)», относя квантор общности не ко всей импликации A(n) ^ A(n + 1), а только к ее посылке (символически:

Vn A(n) ^ A(n + 1)). Очень часто именно такую ошибку допускают учащиеся в шаге индукции, когда сами пользуются методом математической индукции. При этом доказываемое на этом шаге предложение Vn A(n) ^ A(n + 1) является тривиально верным, и шаг индукции теряет смысл. Фактически в этом случае только лишь из базиса индукции делается вывод, что доказано утверждение Vn A(n). Чтобы избежать неоднозначности, предложение, доказываемое в шаге индукции, можно сформулировать так: «Из справедливости утверждения A(n) следует справедливость утверждения A(n + 1), где n -

любое натуральное число».

***

Мы предлагаем в [4, с. 219] следующий вариант изложения метода математической индукции и принципа математической индукции.

Пусть A(n) - произвольное предложение с натуральной переменной n, и требуется доказать утверждение «Для любого натурального числа n верно A(n)» (символически: Vn A(n) ).

Доказательство утверждения Vn A(n) методом математической индукции состоит из двух частей. Сначала доказывают предложение A(1). Затем доказывают, что для любого натурального числа n из A(n) следует A(n + 1). После этого считают доказанным, что для любого натурального числа n верно A(n).

Доказательство предложения A(1) называют базисом индукции. Доказательство предложения Vn (A(n) ^ A(n + 1)) называют шагом индукции. Предложение A(n) в шаге индукции называют предположением индукции.

Таким образом, доказательство утверждения Vn A(n) методом математической индукции сводится к доказательству двух предложений:

1) A(1);

2) Vn (A(n) ^ A(n + 1)).

Схема доказательства методом математической индукции такова:

A(1) Vn (A(n) ^ A(n+1)) Vn A(n) .

В основе метода математической индукции лежит так называемый принцип математической индукции, который является одной из аксиом арифметики. Этот принцип заключается в следующем:

Пусть A(n) - произвольное предложение с натуральной переменной n.

Если 1) верно A(1) и

2) для всякого натурального числа n из A(n) следует A(n + 1), то для всякого натурального числа n верно A(n).

Принцип (аксиому) математической индукции можно записать символически так:

A(1) & Vn (A(n) ^ A(n + 1)) ^ Vn A(n).

Вернемся к методу математической индукции. Доказательство утверждения «Для любого натурального числа n из A(n) следуетA(n + 1)» на шаге индукции следует начинать так: «Зафиксируем произвольное натуральное число n (Пусть n -произвольное натуральное число). Допустим, что верно A(n), и докажем, что верно A(n + 1)».

Рассмотрим пример. Докажем, что для любого натурального числа n справедливо неравенство

(1 + a)n > 1 + na, где a - произвольное действительное число, большее или равное -1.

Доказательство. Пусть a - произвольное действительное число такое, что a > -1. Обозначим через A(n) предложение «(1 + a)n > 1 + na». Докажем индукцией по натуральному параметру n, что для любого натурального числа n верно A(n).

Базис индукции. Проверим, что A(1) верно. Действительно, (1 + a)1 > 1 + 1a.

Шаг индукции. Зафиксируем произвольное натуральное число n. Предположим, что верно A(n), т. е. (1 + a)n > 1 + na (предположение индукции).

Докажем, что верно A(n + 1), т. е.

(1 + a)n + 1 > 1 + (n + 1)a. Действительно, (1 + a)n+1 = (1 + a)n(1 + a) > (1 + na)(1 + a) =

= 1 + a + na + na2 = 1 + (n + 1)a + na2 > > 1 + (n + 1)a.

При обосновании этой цепочки следует особо отметить, что неравенство

(1 + a)n(1 + a) > (1 + na)(1 + a) верно в силу предположения индукции, а также неравенства(1 + a) > 0.

Таким образом, для любого действительного числа a, такого что a > -1, и для любого натурального числа n справедливо неравенство (1 + a)n > 1 + na.

***

Еще раз отметим, что в предложении, которое доказывается в шаге индукции, можно переименовать связанную переменную n, то есть заменить предложение Vn (A(n) ^ A(n + 1)), например, предложением Vk (A(k) ^ A(k + 1)). Методически это целесообразно, поскольку учащимся легче воспринимать сложное предложение со связанными переменными, каковым является принцип математической индукции, если в разных его частях используются разные связанные переменные. В этом случае в шаге индукции можно говорить так: «Докажем, что для любого натурального числа k из A(k) следует A(k + 1)».

Тогда схема доказательства методом математической индукции такова:

A(1) Vk (A(k) ^ A(k+1)) Vn A(n) .

В заключение отметим следующее. Во-первых, следует корректно использовать переменные. Во-вторых, следует очень аккуратно действовать с кванторами, в частности, не опускать их там, где этого нельзя делать. И наконец, не стоит забывать, что бывает полезно критически взглянуть даже на привычное использование известных средств в математике, в том числе такого средства, как метод математической индукции.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Макарычев, Ю. Н. Алгебра: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Не-шков, С. Б. Суворова; под ред. С.А. Теляков-ского. - М.: Просвещение, 2010. - 271 с.

2. Шабунин, М. И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень [Текст]: учебник для 10 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 424 с.

3. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень): в 2 ч. / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. -Ч. 1. - 4-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.

4. Тимофеева, И. Л. Вводный курс математики [Текст]: учеб. пособие для студентов учрежд. высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова. - М.: Академия, 2011. - 240 с.

REFERENCES

1. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Algebra: Uchebnik dlya 9 kl. obshcheobrazovat. uchrezhdeniy. Moscow: Prosveshchenie, 2010. 271 p.

2. Shabunin M. I., Prokofyev A. A. Matematika. Algebra. Nachala matematicheskogo analiza. Profilnyy uroven: uchebnik dlya 10 klassa, Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy, 2007. 424 p.

3. Mordkovich A. G., Semenov P. V. Algebra i nachala analiza. 10 klass. In 2 part. Part 1. Uchebnik dlya obshcheobrazovatelnykh uchrezhdeniy (profilnyy uroven). Moscow: Mne-mozina, 2007. 424 p.

4. Timofeeva I. L., Sergeeva I. E., Lukyanova E. V. Vvodnyy kurs matematiki: ucheb. posobie dlya studentov uchrezhd. vyssh. ped. prof. obra-zovaniya. Moscow: Akademiya, 2011. 240 p.

Тимофеева Ирина Леонидовна, доктор педагогических наук, профессор кафедры математического анализа математического факультета Московского педагогического государственного университета e-mail: iltimofeeva@mail.ru

Timofeeva Irina L., ScD in Education, Professor, Mathematical Analysis Department, Mathematics Faculty, Moscow State Pedagogical University e-mail: iltimofeeva@mail.ru