Прогнозирование параметров цунами у побережий Сахалинской и Камчатской областей методом оценивания вероятностей катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий

УДК 519.2, 556

В. Ю. Королев, Е.В. Арефьева, Р. A. Лазовский

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЦУНАМИ У ПОБЕРЕЖИЙ САХАЛИНСКОЙ И КАМЧАТСКОЙ ОБЛАСТЕЙ МЕТОДОМ ОЦЕНИВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КАТАСТРОФ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОТОКАХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СОБЫТИЙ

В статье рассматривается задача прогнозирования вероятностей параметров цунами в неоднородных потоках экстремальных событий. Эта задача решается с помощью метода, основанного на предельной теореме для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин и теории Балкемы-Пикандса-Де Хаана. Эффективность метода иллюстрируется на примере его применения к прогнозированию цунами у побережий Сахалинской и Камчатской областей.

Ключевые слова: цунами, катастрофа; экстремальное событие; случайная сумма; геометрическая сумма; закон больших чисел; распределение Вейбулла-Гнеденко.

V. Korolev, E. Aref'eva, R. Lazovsky

PREDICTION PARAMETERS OF TSUNAMI OFF THE COAST OF SAKHALIN AND KAMCHATKA REGION METHODS FOR ESTIMATING PROBABILITY OF DISASTER-

UNIFORM FLOW OF EXTREME EVENTS

This article is devoted to the problem of forecast of the probability parameters of the tsunami in inhomogeneous rows of the extreme events. This problem is solved by the probability method based on the limit theorem for geometric random sums of independent identically distributed random variables, and also based on the Balkemy-Pikandsa De Haan theory. The effectiveness of the method is illustrated for prediction of the random parameters of tsunami along the coasts of Sakhalin and Kamchatka regions.

Key words: tsunami disaster; extreme event; random amount; geometric sum; theorem of large numbers; Weibull-Gnedenko distribution.

Данная статья, посвященная вопросам вероятностного прогнозирования параметров цунами, является третьей в серии статей по применению вероятностного метода к прогнозированию параметров опасных процессов природного и техногенного характера, основанного на предельной теореме для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин и теории Балкемы -Пикандса - Де Хаана [1-4]. Рассмотрена конструкция, в рамках которой в качестве предельного распределения геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин возникает распределение Вейбулла - Гнеденко [1-4]. В предыдущих работах этой серии [5,6] подробно приведено описание предлагаемого метода и его практическое приложение к решению задач прогнозирования параметров сильных наводнений [5], техногенных аварий [6].

Под цунами понимается океаническая волна, вызванная, как правило, подводным землетрясением, подводным оползнем. Цунами рождаются в Курило-Камчатском желобе каждые 2-3 года, сильные цунами, вызывающие катастрофические бедствия - каждые 15 лет. По разным оценкам около 85% цунами вызваны подводными землетрясениями. Например, известные мощные цунами произошли на Приморском побережье России в 1940, 1964, 1983, 1993, гг. В зонах потенциального воздействия цунами в 5 субъектах РФ ДВФО расположено более 120 населенных пунктов (включая 14 городов), расположено более 90 потенциально опасных объектов, места массового отдыха. Волна цунами у берегов может достигать 30 и более метров. В Тихом океане, скорость цунами может составлять около 700 км/ч. Заметить цунами в открытом океане практически очень сложно, так как при высоте 1 -2 м волны имеют длину от нескольких десятков до сотен километров. Для предотвращения цунами в настоящее время в России действуют службы предупреждения о цунами, которые способны дать своевременный прогноз опасности цунами и объявить тревогу.

Система предупреждения о цунами (СПЦ) в России создана в 1958 году после катастрофического цунами 4 ноября 1952 г. с охватом Дальневосточного региона. СПЦ базируется на Федеральной службе России по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды (Росгидромет), Геофизической службе РАН, МЧС России, Мининформсвязи России, администрации субъектов РФ ДВФО. Современная служба предупреждения о цунами в ДВФО включает сеть пунктов сейсмических наблюдений (5 опорных и 6 вспомогательных автоматических сейсмических станций) и сеть гидрофизических наблюдений, состоящей из более 20 автоматизированных постов (АП) инструментальных наблюдений за уровнем моря и глубоководной буйковой станции открытого океана. Информационно-обрабатывающие центры в Петропавловске-Камчатском, Южно-Сахалинске и Владивостоке одновременно и параллельно решают задачи по оценке возможности возникновения цунами по данным всех сейсмических станций, определяя координаты, глубину, магнитуду сильного землетрясения и его цунамиопасность. На новом техническом уровне созданы три центра цунами, которые получают информацию от сети АП и взаимодействуют с сетью сейсмологических информационно-обрабатывающих центров Геофизической службы РАН. Технологической базой функционирования центров является оперативная автоматизированная система информационного обеспечения системы предупреждения о цунами. При этом естественно возникает задача более достоверного прогнозирования катастроф. Однако без применения специализированных математических методов, ориентированных на прогнозирование рисков, практически никогда нельзя абсолютно точно предсказать силу воздействия фактора на систему в каждый момент времени в будущем. Другими словами, будущее развитие угрожающего фактора непредсказуемо, вследствие чего значение числа, характеризующего силу воздействия фактора на систему, рассматриваемое как функция времени, целесообразно рассматривать как случайный процесс. Поэтому задача прогнозирования самого момента катастрофы сводится к прогнозированию значения случайного процесса (т. е. его значения на вполне определенном элементе множества элементарных исходов) специальными вероятностными методами, что чрезвычайно трудоемко и при рассмотрении современных сложных стохастических систем практически не реализуемо с приемлемой точностью. В то же время возникает вполне реальная и важная задача прогнозирования распределения указанного случайного процесса в те или иные моменты времени, т. е. задача прогнозирования его

статистических свойств, в данном случае высоты волны цунами. В результате решения этой задачи появляется возможность правильно оценить уровни угрозы цунами в каждой конкретной ситуации.

Рассматривается задача прогнозирования распределения случайного процесса в те или иные моменты времени, т. е. задача прогнозирования его статистических свойств. Будем рассматривать не все изменения случайного процесса, а лишь такие, величина которых превышает некоторый потенциально опасный порог [1]. Будем говорить, что моменты превышений изменениями случайного процесса потенциально опасного порога в совокупности с самими значениями этих превышений образуют экстремальный случайный процесс. Другими словами, экстремальным процессом будем называть маркированный точечный процесс {(г;, XI )}гй1, где (гг }гй1 - точечный

случайный процесс, а {Xi }гй1 - случайные величины. Далее по смыслу задачи будет предполагаться,

что X > 0,, = 1,2,... [1-4].

Суть метода, описанного в [1-4], заключается в следующем.

Обозначим величину превышения исходным процессом потенциально опасного порога в момент гг символом Xi, , = 1,2,. Будем считать что Х1, Х2, ... - независимые и одинаково

распределенные случайные величины. Это означает, что значения этих случайных величин подчиняются одним и тем же статистическим закономерностям, характеризуемым функцией распределения ¥(х) = Р(X < х), - < х < , = 1,2,. Будем считать, что последовательность

X, X, . • • статистически независима от последовательности . тх ,т2,.

Пусть хо - критический порог, превышение которого значением X и есть «катастрофическое событие» (то есть «катастрофическое событие» формально записывается в виде неравенства X — х0). Очевидно, что время Т наступления катастрофы (то есть время первого превышения уровня х0 какой-либо из величин ) можно представить в виде геометрической случайной суммы

ж

Т = ]Г

]=1

где случайные величины ^ определены соотношением

С, =тг , I = 1,2,..., г0 = 0,

а ж - это случайная величина, имеющая геометрическое распределение с параметром Р(X < х0) = ¥(х0). Это означает, что Р(N = к) = (¥(х0 -1 (1 - ¥(х0)), к = 1,2,. При этом в силу независимости последовательностей X, , . и тх ,т2,. число N слагаемых в сумме (1) независимо от самих слагаемых С, С г,. При этом принципиальным отличием геометрических случайных сумм, рассматриваемых здесь, от геометрических сумм в традиционном понимании является то, что в данном случае слагаемые имеют неодинаковое распределение, тогда как в классических методах изучались геометрические суммы одинаково распределенных слагаемых и, соответственно, использовались методы, ориентированные именно на такую ситуацию.

В рамках подхода, рассматриваемого в данной статье, краеугольными камнями являются два теоретических результата. Первый из них - версия закона больших чисел для случайных сумм неодинаково распределенных случайных величин, обосновывающая использование распределения Вейбулла-Гнеденко в качестве модели распределения интервалов времени между катастрофами.

Второй - теорема Балкема-Пикандса-Де Хаана, обосновывающая использование обобщенного распределения Парето в качестве модели распределения критических значений неблагоприятного фактора. Эти два общих результата являются основой предлагаемого метода[1-4].

Описанный в работах [1-4] метод был применен к прогнозированию вероятностных характеристик цунами у побережий Сахалинской и Камчатской областей на основании данных, опубликованных на сайте http://tsunamis.ru. Представленный каталог цунами содержит информацию о 2400 цунами, которые произошли на Земле за последних несколько тысяч лет. Для данных по Сахалинской и Камчатской областям был взят потенциально опасный порог в - высота волны цунами, равная 1 метру. При таком значении порога получились следующие оценки максимального правдоподобия параметров обобщенного распределения Парето:

параметр формы 5 = 0,074036; параметр масштаба а = 8,09793 ; параметр сдвига в = 1.

Оценки наименьших квадратов для параметров Ь и у оказались равными: Ь « 2032,65 дней « 5,57 лет, у = 0,8978 . Гистограмма и плотность распределения Парето, подогнанного к данным с порогом в = 1 метров изображены на рис. 1 слева, а соответствующая кривая у(^)=Ь^, подогнанная к R(k) по тем же данным изображена на рис. 1 справа.

Рис. 1: Плотность распределения Парето, подогнанного к данным с порогом в = 1 м (слева) и кривая у(к)=^, подогнанная к R(k)по тем же данным (справа).

В таблице приведены значения t(s) - времени, вероятность наступления катастрофы до которого равна е,

I (е) = Ь

1п

Р(х0) -1

Для некоторых х0 (высота волны цунами, м) и е = 0,001, 0,999 и 0.5. выполнены расчеты, которые сведены в таблицу.

Таблица.

Значения времени наступления события - цунами с вероятностями е = 0,001; 0,999;0.5. для

различных значений высоты волны цунами

г

е = 0,001 е = 0,999 е = 0,5

Х0 дни годы дни годы дни Годы

5 6 0,02 18 106 50 2 298 6,29

10 12 0,03 32 646 89 4 144 11,35

15 22 0,06 60 663 166 7 700 21,09

20 40 0,11 116 550 319 14 790 40,52

25 80 0,22 232 400 637 29 500 80,82

30 170 0,47 483 120 1 324 61 320 168

50 6000 16,44 15 519 000 42 518 1 970 000 5 397,26

Из таблицы видно, что среднее время между катастрофическими цунами с высотой волны не менее 15 метров равно примерно 21 годам, а среднее время между цунами с высотой волны не менее 30 метров (такое цунами было 2 января 1996 года) равно примерно 170 годам.

Полученные результаты являются основанием для заблаговременного принятия управленческих решений, направленных на принятие своевременных мер.

Литература

1. Королев В. Ю., Соколов И. А. Некоторые вопросы анализа катастрофических рисков, связанных с неоднородными потоками экстремальных событий // Системы и средства информатики. Спец. вып. Математические методы и модели информатики. Стохастические технологии и системы. - М.: ИПИ РАН, 2005. С. 109-125.

2. Королев В. Ю., Соколов И. А., Гордеев А. С., Григорьева М. Е., Попов С. В., Чебоненко Н. А. Некоторые методы анализа временных характеристики катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий // Системы и средства информатики. Спец. вып. Математические методы в информационных технологиях. - М.: ИПИ РАН, 2006. С. 5-23.

3. Королев В. Ю., Соколов И. А., Гордеев А. С., Григорьева М. Е., Попов С. В., Чебоненко Н. А. Некоторые методы прогнозирования временных характеристик рисков, связанных с катастрофическими событиями // Актуарий, 2007. № 1. С. 34-40.

4. Григорьева М. Е., Королев В. Ю., Соколов И. А. Предельная теорема для геометрических сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин и ее применение к прогнозированию вероятности катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий // Информатика и ее применения, 2013. Т. 7. Вып. 4. С. 66-74.

5. Королев В. Ю., Арефьева Е.В., Нефедова Ю. С., Рыбаков А.В., Лазовский Р.А. Прогнозирование рисков наводнений на основе метода оценивания вероятностей превышения критических значений в неоднородных потоках экстремальных событий

6. Королев В. Ю., Арефьева Е.В., Нефедова Ю. С., Рыбаков А.В., Токешева А.С. «Прогнозирование рисков техногенных чрезвычайных ситуаций на основе оценки вероятностей ущербов в результате ЧС, рассматриваемых как неоднородный поток экстремальных событий».//«Научные и образовательные проблемы гражданской защиты» № 2. - Химки: ФГБОУ ВПО «Академия гражданской защиты МЧС», 2015.

* Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований

Рецензент: доктор технических наук, профессор Воскобоев В.Ф.