Ограничения геометрии образцов для измерения удельного сопротивления методом Ван дер Пау

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 2. С. 28-31.

УДК 621.382 Р.Б. Бурлаков

ОГРАНИЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ ОБРАЗЦОВ

ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

МЕТОДОМ ВАН ДЕР ПАУ

На основе использования теоремы Птолемея получены ограничения геометрии образцов для измерения удельного сопротивления методом Ван дер Пау.

Ключевые слова: метод Ван дер Пау, измерение удельного сопротивления.

Введение

Метод измерения удельного сопротивления р и коэффициента Холла Ян на плоскопараллельных пластинах с контуром произвольной формы был предложен Ван дер Пау в 1958 г. в работах [1; 2]. Этот метод используется в большом числе экспериментальных работ при исследовании электрических свойств различных материалов [3-6].

Для реализации метода Ван дер Пау требуется однородный по толщине образец произвольной формы, снабженный четырьмя точечными омическими контактами, расположенными на боковой поверхности пластины в произвольных точках по периметру. Именно произвольная форма образца и, соответственно, кажущаяся простота измерений обусловили большой интерес и большое количество публикаций, посвященных разным аспектам этого метода. Однако, как отмечал Кучис в обзорах [7; 8], большая часть этих работ посвящена изучению влияния формы и размеров как самих образцов, так и контактов на результаты измерений на образцах «произвольной» формы [9], так как погрешности измерений могут достигать 40 % для р и 100 % для Ян [7], и даже 600 % для Ян [10], причем в [10] ставится под сомнение возможность применения образцов произвольной формы. Поэтому практика применения метода Ван дер Пау привела к тенденции широкого использования образцов не произвольной, а правильной формы. При этом в отдельных случаях используются образцы с зеркальной симметрией, но наиболее часто - образцы симметричной структуры, инвариантной по отношению к вращению на 90° [11]. Этот переход к использованию образцов правильной формы (особенно при холловских измерениях) обоснован экспериментальными результатами.

В данной работе рассмотрены ограничения метода Ван дер Пау при измерении удельного сопротивления на пластинах с произвольной формой. Невыполнение требований этих ограничений является дополнительным источником погрешности при измерении удельного сопротивления на пластинах с такой формой методом Ван дер Пау.

1. Основные соотношения метода Ван дер Пау

В этом разделе использованы обозначения и формулы, относящиеся к методу измерения р, в основном из работы [2], так как в ней кроме основных соотношений приведены также некоторые промежуточные математические выкладки.

Итак, в работах Ван дер Пау [1; 2] в качестве образца рассматривается однородная по толщине плоская пластина произвольной формы, которая не имеет изолированных дыр (отверстий), выполнена из проводящего материала и снабжена четырьмя достаточно малыми контактами М, И, О и Р, расположенными в произвольных точках по периметру пластины (рис. 1).

© Бурлаков Р.Б., 2016

P

O

Рис. 1. Образец произвольной формы с четырьмя маленькими контактами в произвольных местах по периметру [2]

Через образец пропускается ток , втекающий в контакт М и вытекающий из контакта И, измеряется разность потенциалов ^ — У0 между контактами Р и О, и определяется величина:

V -V

vp V o

Аналогичным образом определяется величина:

V -V

. vm vp

Метод Ван дер Пау основан на утверждении (теореме), согласно которому между величинами ор и ЯШРМ существует простое

соотношение:

exp (-dnRMN oOp/ р) +

+ exp (-d ж  Rno,pm/ р) = 1 >

где ё - толщина пластины, р - удельное сопротивление материала. Если ё и величины ор и &ыорм известны, то тогда соотношение (1) есть уравнение, в котором р является единственной неизвестной величиной.

Решение уравнения (1) относительно р записывается в виде:

Р =

dn R

mn op + rno,pm

f ,

1п2 2

где / - поправочный коэффициент, который является функцией только отношения ^мм ор / ^мо рм и определяется из уравнения:

cosh

1 ln2

= — exp-.

2 Р f

№ш,ор /^ио,рм) 1 1п2 №ш,ор /^о,рм ) + 1 У Таким образом, для определения р сначала измеряются величины ор и ЯШРМ, потом рассчитывается на основе уравнения (3) соответствующее значение /, и затем находится р из (2).

Доказательство того, что соотношение (1) имеет силу для общего случая пластины произвольной формы выполнено в [1]. При этом сначала соотношение (1) получено для пластины в форме бесконечной вещественной

полуплоскости с четырьмя контактами, расположенными на ее линейной границе. Затем в [1] использовано предположение, что рассмотренный полубесконечный образец с теми же контактами совпадает с верхней частью комплексной г-плоскости. Далее рассмотрен образец произвольной формы с четырьмя контактами, лежащий в другой комплексной ^плоскости. После этого на основе ссылки на хорошо известную теорему, согласно которой (цитируем из [1]): «всегда возможно найти аналитическую функцию Цх) такую, что верхняя полуплоскость в г-плос-кости отображается в образец в Р плоскости», показано, что величины (ё/р) ОР и

( d/ р) Rn

инвариантны относительно ком-

формного преобразования, и следовательно, уравнение (1) имеет силу в общем случае.

2. Ограничения метода Ван дер Пау при измерении удельного сопротивления на пластинах с произвольной формой

В этом разделе использовано более детальное изложение материала данной статьи, чтобы упростить сравнение получаемых в ней формул с соответствующими соотношениями в работах [1; 2]. Рассмотрим в качестве образца однородную по толщине (равную 1) плоскую пластину произвольной формы, которая не имеет отверстий, выполнена из проводящего материала и снабжена четырьмя контактами 1, 2, 3 и 4, расположенными на боковой поверхности пластины в произвольных местах по ее периметру (рис. 2). Контакты 1, 2, 3 и 4 выполнены в виде тонких линий длиной ( , перпендикулярных плоской поверхности образца (т. е. плоскости) (рис. 2), а их расположение по его периметру соответствует расположению контактов М, К, О и Р на рис. 1, т. е. точки М, К, О и Р на рис. 1 переобозначены соответственно цифрами 1, 2, 3 и 4 на рис. 2.

Г21 Г24

Рис. 2. Образец произвольной формы с четырьмя контактами в произвольных местах по периметру

Пусть ток /12 втекает в образец через контакт 1 и вытекает через контакт 2. Так как в рассматриваемом случае ток /12 вте-

no

30

Р.Б. Бурлаков

кает в образец и вытекает из него через контакты в виде тонких линий, то можно приближенно считать, что распределение потенциала в образце имеет цилиндрическую симметрию. Поэтому для определения потенциалов р и р в точках 3 и 4, а затем и разности потенциалов У43 = р—р на контактах 4 и 3 достаточно решить в цилиндрической системе координат уравнение Лапласа, в котором оставлен лишь член, зависящий от расстояния г до токового контакта:

у2<( г ) = IЛ ( г- ё£\ = о.

г ёг I ёг

Решение уравнения (4) имеет вид:

р

где С и С - константы интегрирования, причем константу С можно определить, если известна напряженность электрического поля Е при некотором г. Действительно, так как

Е = —

ёр

ёг

С

то С = —гЕ

Так же, как и в работах [1; 2], будем считать, что ток /12 втекает и вытекает из образца через половину боковой поверхности цилиндра с высотой й. Тогда на расстоянии г от токового контакта плотность тока _/ и напряженность электрического поля Е определяются равенствами:

] =

ёл-г

Е = ]Р =

ёл-г

Подставляя последнее равенство в (6), найдем константу С , а затем р (г) :

—Р-

С =

<(г ) =

—Р-ёл

ёл -1п г + С, •

Пусть г13 и г23 есть расстояния от потенциального контакта 3 до токовых контактов 1 и 2 соответственно (рис. 2). Тогда, согласно формуле (8), потенциалы р(г13) и р( г23) полей, создаваемых в точке 3 током (+ /12), втекающим в образец через контакт 1, и током (- /12), вытекающим через контакт 2, соответственно равны:

р( 13 ) = —РТ22 -1п Пз + С,

ёл

р. I

<( г23 ) = ~ТЛ2-1П г23 + С2 •

ёл

Так как потенциал в любой точке образца равен сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке током каждого контакта 1 и 2, то для системы, состоящей из

двух источников тока (+/12) и (—/12 ) , резуль-

тирующий потенциал р в точке 3 образца определяется выражением:

г..

р =р( ги ) + р( г?з ) = р112-1п ^ + 2С

лё

Если г14 и г24 есть расстояния от потенциального контакта 4 до токовых контактов 1 и 2 соответственно (рис. 2), то таким же образом по формуле (8) находятся потенциалы р( г14) и р( г24) полей, создаваемых в точке 4

токами

(+112 ) и (— ) :

р(г14 ) = Р 7'2 -1п г14 + С2 ,

р(г24 ) =

ёл Р-112 ёл

- 1п г24 + С2 ,

суммирование которых дает результирующий потенциал р4 контакта 4:

р4 = р(г14 ) + р(г24 ) = - 1п ^ + 2С2

ё л г.

Поэтому выражение для разности потенциалов У43 = р— р на контактах 4 и 3 имеет вид:

У43 =р4 —р =

Р ' ^12 г24 - г13

ёл гл-г^

Соотношение (11) позволяет записать формулу для величины Д12 34 , имеющей размерность сопротивления:

» = ^=Р- 1п г±:г1

ёл

В том случае, когда ток /23 втекает в образец через контакт 2 и вытекает через контакт 3, потенциалы р и р4 в точках 1 и 4 и соответствующая разность потенциалов У14 =р— р на контактах 1 и 4, а также величина Д23 41 находятся описанным выше способом на основе формулы (8). При этом выражения для У4 =р—р и Д23 41 имеют вид:

У14 =р—р4 =

ёл

23 - 1п г31 ' г24

п _ У14 _ Р 1„ г31 - г24 Я23,41 =— = ~Т~ - 1п-

123 ал г21 - гз4

Соотношения (12) и (14) можно записать в виде:

или

—ёл- Я

Р

(—ёл- Я,

= 1п -

ехр

-ёл- Я

23,41 _ г21 - г34

Р

Г

12

44 - г23

г21 - г34

exp

(-dn R23 41 ^

Суммирование уравнений (15) и (16), содержащих экспоненциальные части, с учетом равенства г13 = г31 приводит к следующему уравнению:

exp

(-dn Ri2_34^

+ exp

(-dn R23_4^

Из рис. 2 видно, что отрезки прямых r14

и

и r,„

,34 являются противоположными сторонами четырехугольника с вершинами в точках 1, 2, 3 и 4, а отрезки прямых г24 и г13 есть диагонали этого четырехугольника. Следовательно, в уравнении (17) произ-

ведение

является

произведением

диагоналей четырехугольника 1, 2, 3, 4, а сумма (г14 • г23 + г21 • г34) есть сумма произведений его противоположных сторон. Согласно известной теореме Птолемея [12], в выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Следовательно, правая часть уравнения (17) равна единице только в том случае, если четырехугольник 1, 2, 3, 4 является выпуклым четырехугольником, вписанным в окружность.

Таким образом, если сравнить соотношение (1), на котором основан метод Ван дер Пау, с уравнением (17) и при этом учесть, что правая часть уравнения (17) равна единице только при выполнении условий теоремы Птолемея, то можно сформулировать ограничение метода Ван дер Пау следующим образом: при измерении удельного сопротивления на образце произвольной формы четыре контакта должны располагаться в точках пересечения (или касания) контура образца с окружностью произвольного радиуса, допускающего четыре пересечения (или касания) окружности с контуром.

Если это ограничение, вытекающее из теоремы Птолемея, будет удовлетворено, то соотношение (1), на котором базируется метод Ван дер Пау, будет иметь силу для образца произвольной формы, и поэтому измерение р такого образца может выполняться на основе использования остальных соотношений этого метода, представленных в разделе 1.

Заключение

Таким образом, в данной работе на основе решения уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат для проводящей пластины произвольной формы, снабженной четырьмя контактами в виде линий на ее боковой поверхности, получено соотно-

шение, которое связывает толщину пластины и расстояния между контактами с удельным сопротивлением и двумя отношениями напряжения между двумя соседними контактами к току через два других контакта. Применение к этому соотношению теоремы Птолемея позволило сформулировать ограничение метода Ван дер Пау относительно расположения контактов на контуре образца: при измерении удельного сопротивления на образце произвольной формы четыре контакта должны располагаться в точках пересечения (или касания) контура образца с окружностью произвольного радиуса, который допускает четыре пересечения (или касания) окружности с контуром. Если это ограничение не удовлетворяется, то не выполняется базовое соотношение, на котором основан метод Ван дер Пау.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Van der Pauw L. J. A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape // Phil. Res. Rep. 1958. Vol. 13. № 1. P. 1-9.

[2] Van der Pauw L.J. A method of measuring the resistivity and Hall coefficient on lamellae of arbitrary shape // Phil. Techn. Rev. 1958-1959. Vol. 20. № 8. P. 220-224.

[3] Seung Jin Lee and Shinho Cho. Effect of Deposition Temperature on the Properties of ZnO-doped Indium Oxide Thin Films // Journal of the Korean Physical Society. 2014. Vol. 64. P. 1488-1493.

[4] Ri K. H., Wan Y. B., Zhou W L., Gao J. X., Wang X. J., J. Yu J. The effect of SiO2 buffer layer on the electrical and structural properties of Al-doped ZnO films deposited on soda lime glasses // Applied Surface Science. 2011. Vol. 257. P. 54715475.

[5] Hong-Biao Zhou, Hua-Yu Zhang, Li-Wei Han, Jie-Cai Han. Effects of sputtering power on the properties of Al-doped ZnO films deposited on amorphous silicon films substrate // Superlattices and Microstructures. 2013. Vol. 64. P. 563-568.

[6] Zhu B. L., Li K., Wang J., Wu J., Zeng ^ D. W, Xie C. S. Modification of structure and properties of AZO thin film by introducing H2 in sputtering atmosphere at low substrate temperature // Superlattices and Microstructures. 2013. Vol. 64. P. 460-469.

[7] Кучис Е. В. Методы исследования эффекта Холла. М. : Совет. радио, 1974. 328 с.

[8] Кучис Е. В. Гальваномагнитные эффекты и методы их исследования. М. : Радио и связь, 1990. 264 с.

[9] Lim S. H. N., McKenzie D. R, M. Bilek M. M. Van der Pauw method for measuring resistivity of a plane sample with distant boundaries // Review of scientific instruments. 2009. Vol. 80. 075109.

[10] Boerger D. M., Kramer J. J., Partain L. D. Generalized Hall-effect measurement geometries and limitations of van der Pauw-type Hall-effect measurements. // J. Appl. Phys. 1981. Vol. 52. № 1. P. 269-274.

[11] Blood P., Orton J. W. Recent developments in the characterisation of semiconductors by transport measurements // Acta Electron. 1983. Vol 25. № 2. P. 103-121.

[12] Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 412 с.

или

V

Г23 + Г21

r