Методы оптимальной субполосной обработки сигналов

удк 621.391.1: Е. Г. Жиляков [E. G. Zhilyakov], 621.396 С. П. Белов [S. P. Belov]

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОЙ СУБПОЛОСНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ*

Methods of optimal subbands signal processing

Разработан подход к анализу и синтезу сигналов на основе вариационных принципов, сформированных на языке частотных представлений, что позволяет достичь адекватности с точки зрения отражения физической сущности решаемых задач: определение точных значений долей энергий анализируемых сигналов в заданных частотных интервалах; в результате оптимальной фильтрации векторов получаемые компоненты определяются только энергией сигнала в соответствующем частотном интервале; формирование сигналов с минимальной долей просачивания энергии за пределы выделенной частотной полосы.

Ключевые слова: частотные представления, анализ распределения энергии в частотной области, собственные числа субполосных матриц, метод оптимальной фильтрации, сигналы с высокой спектральной эффективностью.

The approach has been developed for analysis and synthesis of signals based on variational principles, formed in the language of the frequency representation , which allows for adequacy in terms of reflecting the physical nature of tasks: determining the exact proportion of the energy values of the analyzed signal at predetermined frequency intervals; optimal filtering resulting vectors derived components are determined only by the energy of the signal in the relevant frequency interval; generation of signals with a minimum of leakage of energy outside the selected frequency band.

Key words: frequency representation, analysis of the energy distribution in the frequency domain, the eigenvalues of the matrix of subband, optimal filtering method, signals with high spectral efficiency.

Субполосная обработка сигналов предполагает отражение их свойств в соответствии с некоторым разбиением частотной полосы на подобласти (интервалы).

Разбиение на интервалы осуществляется в рамках конкретной решаемой задачи и определяется ее целью. Вместе с тем можно указать некоторые достаточно общие аспекты анализа и синтеза сигналов, для которых естественно использовать субполосные представления.

* Исследование финансировалось в рамках Федеральной целевой программы (ФЦП) «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 20142020 годы», соглашение 14.575.21.0020

Исследование распределения энергии в частотной области

N

Пусть г

к =1

является трансформантой Фурье (спектром) сигнала конечной длительности/(?), где а> - нормированная круговая частота (предполагается эквидистантная дискретизация).

Тогда справедливо равенство Парсеваля

2 Т п

= {М2 йа/2п,

к =1

которое нетрудно преобразовать к виду

2 *

2 ¿/2п,

^2

г=1 ше7;

где интервалы Вк определяют разбиение оси частот вида

V; =[-7г2,-7л)и[^), 7,-12 = 7^ V! = 0, 7Д2 = п.

Таким образом, оказывается возможным осуществить частотный анализ энергетических характеристик исследуемой функции, так как интегралы

рг = Ц ^ 2 с1а/2п

ше7г

определяют доли энергии, попадающие в выбранные частотные интервалы. В частности можно выделить частотные интервалы, в которых сосредоточена подавляющая доля энергии, либо почти периодические компоненты исходной функции, энергии которых сосредоточены в разных интервалах, если последние достаточно узкие по сравнению со значением В = 2п.

Подынтегральная функция в правой части соотношения (2) часто называется спектральной плотностью мощности, что подчеркивает «физический» смысл этой характеристики. Вместе с тем представляется более обоснованно в качестве физической характеристики сигналов использовать интегралы вида (5).

Компьютерная обработка сигналов приводит к необходимости дискретизации областей определения исследуемых функций. В дальнейшем

предполагается применение эквидистантной дискретизации с постоянным шагом. Таким образом, одной из важнейших задач анализа сигналов является определение точных значений долей их энергий в заданных частотных интервалах на основе вариационного принципа минимизации погрешностей.

Эту характеристику можно вычислить на основе соотношения

ше¥г

где Аг - субполосная матрица,

а=а}

а[ = (зт(Гг2(, - г) - - к)))( - к)),,,к = 1,..,N.

Некоторые свойства субполосных матриц Аг.

Очевидно, что субполосная матрица является симметричной и неотрицательно определенной. Поэтому [1] она обладает полной системой ортонормальных собственных векторов, соответствующих неотрицательным собственным числам и удовлетворяющих соотношениям

= АгЧ к ;

N

{чг, Чг ) = Е як. * як =11 = к;

т=1

(я, Яг )=0,' * к;

Л1г > Яг >... > я > 0;

Аг = = ОьО ;

ё=1

О = {Чг },к = 1,...,N;

ь = ,я2г -.А).

Кроме того, трансформанты Фурье собственных векторов обладают двойной ортогональностью

| ()6г (¥ = 0,1 Ф к;

—п п

I | дк (а) |2 с1а/2л = 1,к = 1,2,..,И,

—п

| & (а)в, (У = 0,1 Ф к, Л = | 1& ()|2 Зю/2п

Таким образом, и в дискретном случае собственные числа количественно равны сосредоточенным в выбранных частотных интервалах долям энергий соответствующих собственных векторов, что важно для синтеза сигналов.

Как следствие получаем неравенство, которое определяет диапазон изменений значений собственных чисел:

0 < \ < 1,к = 1,...,N.

Из соотношений (7) нетрудно получить важное равенство

N

КвсАг = = N / Бг,

к=1

где Я = п/ (у г+1 — уг).

В силу свойств субполосной матрицы выполняется неравенство

N

det Аг = П Л < 1/Я?,

из которого и неравенства (8) следует, что некоторые из собственных чисел будут очень малыми.

Вычисления показывают, что величина собственных чисел, индексы которых превосходят значение

3 г = 2[ N/Щ ] + 4 = М + 4,

пренебрежимо мала по сравнению с единицей (квадрат-

ные скобки означают целую часть числа). Поэтому представление субполосной матрицы с достаточной степенью точности можно заменить следующей аппроксимацией

] г

А = слАг.

ё=1

/ г

Поэтому Рг « р/ = ^ л, а2 где а:

&=:. 7).

Относительная погрешность вычислений долей энергий определяется выражением

N N N

8Т = 1 - Рг / Р = !Л а2к/ а- * N / Я XЛ .

к=/: +1 г =1 к=/: +1

Для иллюстрации теоретических выводов были проведены некоторые вычислительные эксперименты по анализу свойств собственных значений субполосных матриц (таблица). Эта таблица содержат выборочные значения собственных чисел. Строки, соответствующие единичным значениям собственных чисел (кроме первой и последней) для краткости представления данных исключены.

Данные таблицы подтверждают факт того, что начиная со значения индекса ^ упорядоченные по убыванию собственные числа субполосных матриц пренебрежимо малы по сравнению с единицей. При этом значения первых ^ - 2 собственных чисел весьма близки к единице.

Оптимальная фильтрация

Другим примером даже более часто применяемой процедуры слгжит разделение (фильтрация) сигнала /(О на аддитивные компоненты / = / + / которые определяются с использованием частотных представлений.

Первая из этих компонент обладает трансформантой Фурье, которая удовлетворяет условиям

риИ = ^(),е Ук;

/ = (/

Таблица. ЗНАЧЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ЛК СУБПОЛОСНЫХ

МАТРИЦ ДЛЯ N = 512, Я = 16, J = 32 И СООТВЕТСТВУЮЩИХ ЧАСТОТНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

k Ak

u1 = 0, u2 = п/16 u1 = 7п/16, u2 = 8п/16 u1 = 15п/16, u2 = п

1 1 1 1

26 0,99999 0,99805 0,99999

27 0,9999 0,98513 0,9999

28 0,99931 0,98511 0,99931

29 0,9956 0,91419 0,9956

30 0,97569 0,91413 0,97569

31 0,89221 0,68006 0,89221

32 0,66413 0,68001 0,66413

33 0,33546 0,31913 0,33546

34 0,10787 0,31909 0,10787

35 0,024506 0,086159 0,024506

36 0,0044981 0,086097 0,0044981

37 0,00072021 0,01528 0,00072021

38 0,00010401 0,015256 0,00010401

39 1,3762e-005 0,0020964 1,3762e-005

40 1,6837e-006 0,0020909 1,6837e-006

Эти требования в реальных условиях можно аппроксимировать условием минимизации погрешности приближения к ним

S2(f, f) = f \F (m) - ^()\2 dm + f \^()\2 dm = min,

где

d ^

N

Fdi(m)=Z /нехр(-j(k-1)m)-

Используя выражения трансформант Фурье, данный функционал можно преобразовать к виду

Я2(/,Г) = /Аг/ — 2/;Аг/ +| /|2.

k =1

Решение сформулированной выше вариационной задачи фильтрации (оптимальная фильтрация) определяется выражением

/= А/.

Решение

Таким образом, компоненты получаемых в результате оптимальной фильтрации векторов определяются только энергией сигнала в соответствующем частотном интервале. В противоположность этому отклик (выходной вектор) КИХ-фильтра

м

ук1 = X ру-

г=-М

в виду неизбежного наличия переходных областей между областями пропускания и подавления будет определяться и энергией сигнала в соседних частотных интервалах.

Для иллюстрации основных теоретических выводов о свойствах получаемых в результате предложенного метода оптимальной фильтрации векторов были проведены вычислительные эксперименты по обработке модельных отрезков сигналов.

В ходе вычислительных экспериментов определялись величины относительной доли «просачивания» энергии результатов фильтрации на основе соотношения (9) за пределы выбранных частотных интервалов.

Указанные характеристики результатов фильтрации на основе соотношения (9) целесообразно сравнить со значениями аналогичных характеристик результатов КИХ-фильтрации [2] тех же входных данных.

Генерирование значений модельного сигнала осуществлялось на основе соотношения

х

= 0.8 ) + эт(а2к) + 0.5эт(ю3к),

0)1 = 0.3461; = 0.3682; = 0.4418

Рисунок 1. Модули трансформант Фурье: исходного сигнала (пунктир); выход-

ных последовательностей КИХ-фильтра

а) б)

Рисунок 2. Исходный сигнал (пунктирная линия) и выходные последователь-

ности фильтров

а) КИХ-фильтра; б) оптимального фильтра

Легко понять, что рисунки 1 и 2 иллюстрируют справедливость вывода о независимости левой части (9) от энергии сигнала в соседней частотной полосе, тогда как выходная последовательность КИХ-фильтра реагирует на ее повышенное значение.

Синтез оптимальных сигналов

Одной из важнейших задач обработки сигналов в связи и управлении является синтез сигналов и, в частности, формирование сигналов с минимальной долей энергии за пределами выделенной частотной полосы, что можно отобразить с помощью следующего вариационного принципа:

где Vr = [-Vr+1,-Vr) ^ [vr, Vr+1) V0 = 0 - заданная час-

тотная полоса.

Использование субполосных матриц позволяет преобразовать левую часть выражения (12) к виду

где акг - коэффициенты разложения искомого сигнала по базису собственных векторов субполосной матрицы

а = (Як, /),

так что, представление для оптимального в смысле (12) вектора имеет вид

г N

^ = X акЧк ,

к=1

где количество слагаемых может быть согласовано с допустимой долей просачивания

N1 N1

^ = X

к=1 к=1

Коэффициенты суммы в (13) определяются исходя из конкретной задачи передачи сообщений, например, являются отсчетами

оaeVr

передаваемого сигнала. Тогда количество слагаемых равно количеству передаваемых параллельно отсчетов.

Уровень просачивания будет определяться близостью к единице значений собственных чисел субполосной матрицы, которые соответствуют используемым в (13) собственным векторам. Используя соотношения

для заданной ширины частотной полосы vr + 1 - vr мож-

но подобрать такую длительность передаваемого сигнала, чтобы все собственные числа в (14) были практически равны единице, что позволит полностью исключить просачивание энергии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004. 560 с.

2. Рабинер Л., Гоулд Б.. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Жиляков Евгений Георгиевич - д.т.н., профессор, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, заведующий кафедрой Информационно-телекоммуникационных систем и технологий, тлф. 8- 915-562-34-68, zhilyakov@bsu.edu.ru Белов Сергей Павлович - д.т.н., с.н.с., Белгородский государственный национальный исследовательский университет, профессор кафедры Информационно-телекоммуникационных систем и технологий, тлф. 8-980-323-61-04, belov@bsu.edu.ru

Zhilyakov Eugene G., Belgorod State University, Belgorod. Ph.D., professor, Head of the Department of Information and Telecommunication systems and technologies. Tel. 8 (4722) 30-13-92. E-mail: zhilyakov@bsu.edu.ru.

Belov S.P, Ph.D., Senior Research Fellow, professor of the department of information and telecommunication systems and technologies. Belgorod State University. E-mail: Belov@bsu.edu.ru.

J r = 2[ N / 2Rr ],