О выборе параметров метода «Предиктор - корректор»

О ВЫБОРЕ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДА «ПРЕДИКТОР - КОРРЕКТОР»

А. А. Пономарев

Рассматривается проблема устойчивости линейной стационарной системы, заг-мкнутой управлением «предиктор - корректор» (MPC). Получены критерии устойчивости в зависимости от выбора параметров метода, а также достаточные условия в виде оценок допустимого диапазона выбора параметров. При ограничении на величину управления предложен метод оценки снизу области асимптотической устойчивости в пространстве начальных данных.

1. Введение. Метод «предиктор — корректор» (Model predictive control, MPC) в различных модификациях успешно применяется для управления подвижными объектами и технологическими процессами (примеры можно найти в [2, Р. 207-226]). Моделирование таких процессов реализовано в среде MATLAB, где имеется набор инструментов Model Predictive Control Toolbox. Тем не менее, вопрос устойчивости замкнутой системы исследован недостаточно, и поэтому на практике часто ограничиваются численными экспериментами. Приведенные в монографии [3, Р. 1561-1572] способы обеспечения устойчивости накладывают достаточно строгие ограничения на выбор управления. Это может приводить к неразрешимости оптимизационной задачи. Поэтому существует необходимость в описании множества параметров метода, при которых замкнутая система устойчива, а также в наилучшем выборе параметров исходя из качества стабилизации и оптимизации. В данной работе рассматривается проблема изучения связи между параметрами метода MPC и свойством устойчивости замкнутой линейной стационарной системы при такой формулировке метода управления, которая оставляет возможность неограниченно варьировать параметры. Здесь получены критерии экспоненциальной устойчивости при данных значениях параметров, а также некоторые достаточные условия существования таких параметров, при которых стабилизация достигается. Эти результаты могут быть

полезны для дальнейших исследований в области качества стабилизации.

Работа состоит из шести частей. За введением следует описание метода MPC и постановка задачи стабилизации линейной стационарной системы этим методом. В третьей части рассматривается случай кусочно непрерывного управления без ограничений, выводятся достаточные условия, при которых существуют параметры метода, обеспечивающие экспоненциальную устойчивость. В четвертой и пятой частях исследуется метод MPC при кусочно постоянном управлении без ограничений и с ограничением на величину управления, указаны методы оценки множества стабилизирующих значений параметров и области асимптотической устойчивости. Завершается работа демонстрацией полученных результатов на примере скалярной системы.

2. Постановка задачи. Рассмотрим управляемую линейную стационарную систему

x

где х G Rn, и G Rm ,i>0c наблюдением полного вектора состояния x(t). Существует проблема стабилизации нулевого положения равновесия данной системы. Для стабилизации будем использовать схему управления MPC в следующей формулировке.

Применение метода MPC в момент времени t = to начинается с решения оптимизационной задачи

j{x(-,t0,x(0\u(-)),u(-),t0) -> inf.

© А. А. Пономарев, 2010

Здесь х(-, - решение задачи Ко-

ши для системы

есть квадратичный интегральный функцио-

нал вида

to+T

(х T(t)Mx(t) + uT(t)Nu(t)^dt,

to

где M и N - симметрические матрицы: M неотрицательно определена, N положительно определена. Выберем некоторое оптимальное в указанном смысле управление и применим его на отрезке [¿о; ¿о + h], где h - второй параметр метода, называемый шагом, 0 < h < Т. По достижении времени to + h из системы наблюдения извлекается значение x(to + h), и процесс повторяется снова с теми же параметрами Тик, но новым начальным условием.

Задача состоит в том, чтобы исследовать замкнутую систему на предмет асимптотической устойчивости по Ляпунову при различных значениях параметров Т и h. Мы ограничимся теми ситуациями, когда множество Ut0 не зависит от ¿о- Система (1) и функционал качества J стационарны, поэтому достаточно исследовать, например, первый шаг метода MPC, который соответствует £0 = 0, ведь отображения х(0) (-> x(h), x(h) x(2h) и т. д. идентичны. При исследовании этого первого шага множество допустимых управлений обозначим Ы.

3. Кусочно непрерывное управление. В качестве класса допустимых управлений Ы рассмотрим класс кусочно непрерывных функций, заданных на отрезке [О;Т].

Пусть определено начальное условие х(0) = Прежде всего требуется найти кусочно непрерывное управление иопт(-)> которое удовлетворяет условию оптимальности

Л*опт(-)^опт(-),0) < J(x(-),u(-), 0),

где ïï(') - произвольное кусочно непрерывное на отрезке [О;Т] управление; х(-) и хОПт(-) -

решения системы (1) с начальным условием х(0) = Хопт(0) = подчиненной соответ-

ственно управлению и(-) и гб0пт(-)- Предположим, что оптимальное управление существует. Пользуясь известным методом вариации управления, докажем следующий результат.

Теорема 1 [1]. Управление и0пт(-) оптимально тогда и только тогда, когда вместе с соответствующим движением я0пт(-) оно удовлетворяет условию

и

опт

N

1

'в1 у>Т(-

-t)

M X опт {r)dr

при всех значениях t из отрезка [0;Т]. Это оптимальное управление единственно.

Доказательство. Рассмотрим произвольное управление и(-), отличное от г£0пт(-)-Представим это управление в виде

и(Ь) = иОПТ(¿) 4- /хг>(£),

где - кусочно непрерывная функция, заданная на отрезке [0; Т] и не равная тождественно нулю; [I - некоторое вещественное число. Движение системы (1), соответствующее управлению й(-), с начальным условием

х(0) = представимо в виде

*

х(¿) = хОпт(0 + ^¿J ем*~т)Ву(т) ¿т.

о

Теперь можно связать значение функционала 3 на неоптимальной траектории с его оптимальным значением:

= Ляопт(-),иопт(-),0) +

т г

+2/i J (xJonT(t)M j eA^-T)Bv(r) dr

+

0

0

+

uonT(t)Nv(t)) dt

+

V J (JvT(T)BreAJ^drx

о

0

xM J eMt~T)Bv(r) dr +vT(t)Nv(t)^dt.

о

Управление гх0пт(*) тогда и только тогда является оптимальным, когда при любом выборе

кусочно непрерывной функции и(-), не равной тождественно нулю на отрезке [0;Т], минимум правой части последнего равенства до-

2

стигается в точке /х = 0. Коэффициент при /х положителен, поэтому это условие сводится к равенству нулю коэффициента при ¡1. Меняя порядок интегрирования в кратном интеграле, это можно записать так:

о

опт

(г)МеЛ(т-° drB + ulnT(t)N х

xv(t)dt = 0.

Благодаря произволу в выборе функции у(-) это условие эквивалентно условию (2). Оптимальное управление единственно, так как в противном случае минимум по о котором идет речь выше, мог бы достигаться более чем в одной точке, что невозможно. Теорема 1 доказана.

Следствие. Если оптимальное управление иОТ1Т(-) существует при любом выборе начального вектора то оно линейно зави-

сит от компонент этого вектора:

Uonrit) = S (t)x

5

причем элементы матрицы £(£) бесконечное число раз непрерывно дифференцируемы на отрезке [0 ;Т].

Доказательство. Линейность - очевидное следствие условия (2). Гладкость матрицы следует из того, что если управление 1х0пт(-) кусочно непрерывно, то движение Яопт(-) непрерывно как решение системы (1), но тогда управление п0пт( ), будучи определено формулой (2), непрерывно дифференцируемо, благодаря чему движение хопт(-) дважды непрерывно дифференцируемо, а управление иОПт(-) - трижды и т. д. Утверждение доказано.

Вопрос существования оптимального управления при произвольном начальном векторе равносилен проблеме существования матрицы которая это оптимальное управление порождает. Обратимся к решению задачи о построении матрицы в предположении, что она существует. Подставим управление и0пТ(Ь) = в систему

(1) с начальным условием х(0) = Получим оптимальную траекторию

Хопт (t) = R(t)x

1

г

где R(t) = eAt + J eA(t"r) BS{r)dr.

о

Из условия (2) получается выражение матрицы S{t) через R(t), которое вместе с указанным только что выражением R(t) через S(t) образует систему

S

N

Г

1ВТ |едТ(г

-t)

MR(r)dr,

t t

m

At

+J eMt-T)BS(r)dr.

о

относительно 2п2 неизвестных компонент матриц и R{t).

С целью решения этой системы введем но-

вую матрицу R(t) по формуле

m

г

н

MR(r)dr.

Матрица R(t) связана с S(t) равенством

S(t) = N'1BTR(t).

Кроме того, справедливы тождества

dR(t) dt

AR

и

Щр- = -ATR(t) + Affi(t),

dt

которые вместе с предыдущим приводят к системе линейных дифференциальных уравнений

А ( Щ

dt I Я

Ф

R(t)\ R(t) J '

-1 nT

где Ф

A BN~LB M -Ат

Общее решение этой системы записывается формулой

еф*К,

где К - постоянная 2п х п-матрица. вия R(0) = Е видно, что матрица

Из усло-К имеет

вид

К

где К\ - тг х п-матрица, причем согласно равенству R(T) = О ее элементы удовлетворяют неоднородной системе из п2 линейных алгебраических уравнений

(О Е ) е

ФТ

Е К!

О

Если матрица Кг известна, то, пользуясь

соотношением

О Е

получаем выражение для матриц S(t) и R(t):

( S(t) \

V m )

О N^B1 Е О

ФЬ

Е Кг

Существование матрицы S(t) равносильно, таким образом, существованию решения К\ системы линейных алгебраических уравнений (4). Если матрица К\ существует, то она определяет матрицу R(h), которая ответственна за отображение ^опт(^) • Спектр матрицы R(h) позволяет судить об устойчивости замкнутой системы, т. к. имеет место следующий факт.

Теорема 2. Пусть существует решение К\ системы (4)- Система (1), замкнутая кусочно непрерывным MPC, экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы

R(h) = (Е О) е

ФН

Е Кг

по модулю меньше единицы.

Матрица R(h) при малых h допускает раз-

ложение

R(<h) = E+R'(Q)h + o(h),

где Д'(0) = А + В^гВТКг,

откуда вытекает условие того, что при фиксированном горизонте прогноза Т и некотором достаточно малом значении шага Н достигал ется экспоненциальная устойчивость. Точнее говоря, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть система (4) имеет решение Кг- Если все собственные числа матрицы А -(- BN~l ВТ Кг имеют отрицательные вещественные части, то существует такое число h* > 0, что при всех значениях шага h из промежутка (0; /г+) система (1), замкнутая кусочно непрерывным MPC, экспоненциально устойчива.

Пусть существует оптимальное управление при произвольном начальном векторе и бесконечном горизонте прогноза, т. е. управление, минимизирующее функционал J при Т — оо. Это значит, что система (4) имеет решение К оо при Т = оо. В силу непрерывности она имеет решение и при конечном, но достаточно большом значении Т, причем соответствующее решение Кт стремится к Коо, когда Т —» оо. Зафиксируем какое-либо значение шага h > 0. Если определить матрицы

RT(h) = ( Е О ) е

ФЬ

Е

Кт

и

Roo(h) = (Е 0)е

ФЬ

можно утверждать, что Rr(h) —» Roo(h) при Т —> оо. В то же время при Т — оо опти-

мальное управление, как утверждает принцип Беллмана, имеет вид u(t) = Sx(t) при некоторой постоянной матрице S. Если это управление является стабилизирующим, то матрица замкнутой системы А+В S имеет все собственные числа в левой полуплоскости,

поэтому спектр матрицы Roo(h) = e(A+BSîh лежит внутри единичного круга. Следовательно, при достаточно большом Т все собственные числа матрицы Rr(h) также меньше единицы по модулю. Приходим к следующему выводу.

Теорема 4. Пусть при Т = оо оптимальное в смысле минимизации функционала J управление существует и является стабилизирующим. Тогда для каждого данного значения шага h найдется такой горизонт прогноза Т, что система (1), замкнутая кусочно непрерывным MPC, экспоненциально устойчива.

Кроме того, можно заметить, что при условиях теоремы 4 условие теоремы 3 заведомо выполняется, когда горизонт прогноза

достаточно велик, поскольку при Т = оо мат-

рица

A + BN~lBT К,

ОО

А + BS( 0) = A + BS

имеет все собственные числа в левой полуплоскости.

4. Кусочно постоянное управление без ограничений. Рассмотрим множество допустимых управлений вида

Ы = И-) = Щ-)£ : £ в Ег}.

Здесь £/(•) - матрица кусочно непрерывных функций размерности га х г с линейно независимыми на промежутке [0; Т] столбцами. В данный класс входят и кусочно постоянные управления с фиксированными точками разрыва. Обозначение и(Ь) = 1/(Ь)£ используется далее для краткости, но не для общности.

По формуле Коши решение системы (1) с управлением = и(Ь)£ и начальным условием х(0) = может быть представлено в виде

x

Atx

t

-h J eMt~T)BU(r)drL

о

Тогда функционал качества J примет вид

j(x(;0,xio\U(.)£),U(')t,0) =

Jo + 2£тРх(0) 4- £TQ£,

где

Р

i

J Ul(i)MeAt

dt,

о

Q = J (UJ(t)MUi(t) + UT(t)NU(t)) dt,

о

t

U!(t) = J eMt~T)BU{r)dr,

о

а слагаемое Зъ от вектора £ не зависит.

Столбцы матрицы £/(£) линейно независимы на отрезке [0; Т], поэтому матрица (2 положительно определена. Следовательно, значение ¿опт, доставляющее минимум функционалу определится из условия равенства

нулю градиента:

£

Sc#(°\ где S<

опт

Q~lP.

Применение управления zt(-) = U{-)£опт на отрезке [0; h] переводит систему в состояние

x

Rrx

где Rc = е

Ah

Е 4- I е~Ат BU(r)drSt

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 5. Система (1), замкнутая кусочно постоянным MPC, экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы Rc по модулю меньше единицы.

Теперь получим условие, при выполнении которого асимптотическую устойчивость системы (1), замкнутой MPC, можно обеспечить выбором достаточно малого шага h. Будем рассматривать только такие значения h, при которых компоненты матрицы U(t) ана-литичны на отрезке [0 ;/г]. В случае кусочно постоянного управления это значит, что величина шага не превосходит интервала постоянства управления. Зависимость матрицы Rc от шага h обозначим Rc(h). Благодаря представлению

Rc(h) = Е + R'c(0)h + o(h), где #с(0) = А + BU(0)SC1

имеем следующий результат.

Теорема 6. Если все собственные числа матрицы А + BU(0)Sc имеют отрицательные вещественные части, то существует такое число /г* > 0, что при всех значениях шага h из промежутка (0;/г*) система (1), замкнутая кусочно постоянным MPC, экспоненциально устойчива.

Оценку числа h* можно получить следующим образом с помощью метода функций Ляпунова.

В предположениях теоремы 6 спектр матрицы R'c(0) лежит в открытой левой полуплоскости. Выберем произвольную положительно определенную п х n-матрицу W. Известно, что тогда существует положительно определенная матрица V, удовлетворяющая матричному уравнению Ляпунова

W.

Можно гарантировать, что спектр матрицы Яс(Ь) лежит внутри единичного круга, если

Тогда неравенство (5) принимает вид

матрица

Rj(h)VRc(h) - V

II л и h

1))

отрицательно определена. Достаточно показать, что значение квадратичной формы с этой матрицей на произвольном векторе г (||г|| = 1) отрицательно:

гт{Р?С(К)УRc{h) - У)г < 0.

1 — 2a/l) Amax(V) < 0,

где ос — ||А + Ви(0)5С||. Имеем следующее утверждение.

Теорема 7. При выполнении условия теоремы 6 в качестве числа /г* достаточ-

Используя разложение матрицы Rc(h) в но взять такое число, меньшее интервала

ряд Тейлора по степеням Л, получим последнее неравенство в виде

+ 1

Г^о m!(fc-m)!

x(Ä<m)(0))TFÄ<fc_m)(0)/ifc)z < 0

Оно заведомо выполнено, если

~\min{W)h+

X

+

fbnPk-m hbXfV) < 0,

—' ' т\(к — т)\

=2 т=О v '

где ps > ||Я^(0)|| при всех s > 0, а символы Amin(-) и Лтах(•) используются для обозначе-ния соответственно наименьшего и наибольшего собственного числа. Полученное неравенство эквивалентно следующему:

Аотот (И0Л+

+

Ро - 2po/9l/l I X

ХАотах(^) < 0.

Матрица U(t) кусочно постоянна, поэтому производные R(ce) (0) подчиняются правилу

Яс( 0) = Е,

Я<в)

А3'1 (А + BU(Q)Sc) при з > 1.

Следовательно, можно положить

Ро = 1,

р, = ЦАЦ^'И + ВС/^сЦ при 3 > 1.

постоянства управления, что при всех значениях h из промежутка (0; h*) справедливо неравенство (6).

5. Кусочно постоянное управление с ограничением. Пусть в отсутствие ограничений система (1), замкнутая кусочно постоянным MPC, экспоненциально устойчива. Наложим ограничение на выбор вектора I, который определяет управление u(t):

U = «) = U(-)£ : £ G L},

здесь L - выпуклое замкнутое множество в пространстве Rr, содержащее точку £ = 0 в качестве внутренней точки.

Рассмотрим в качестве простого примера ограничение в виде эллипсоида:

L = {£ е Rr : £ТС£ < р},

где С - положительно определенная г х г-матрица, р > 0. В данном случае вопрос сводится к исследованию области асимптотической устойчивости в пространстве {х}: очевидно, что, вообще говоря, не при всяких начальных условиях решение может быть устремлено к 0 при ограниченной величине управления.

Будем использовать метод функций Ляпунова: пусть V - положительно определенная n х n-матрица; g - положительное число; х^ - любой вектор из области

{х G Rn : xVx < g},

x(h) - решение системы (1), замкнутой кусочно постоянным MPC, с начальным условием х(0) = х^ и ограничением i 6 L. Если величина

xT

отрицательно определена при всех х указанной выше области, то эта область является оценкой снизу требуемой области асимптотической устойчивости.

Рассмотрим произвольную положительно определенную матрицу IV размером пхп. Поскольку спектр матрицы Ес согласно теореме 1 лежит внутри единичного круга, уравнение

из где fi - некоторое положительное число. Вы-

RjVRr - V

W

относительно матрицы V имеет положительно определенное решение. Далее будем под матрицей V понимать именно такое решение.

Допустим, что известна положительная величина /3 такая, что при всех х из области

X

х в шп : xVx < /Зр } ,

где р > р, вектор £ = Scx принадлежит обла-

сти

L = G Rr : £JC£ < p j

Например, можно взять

Amm

Очевидно, что в силу линейного характера связи £ и х нет необходимости выбирать число (3 зависимым от р.

Когда р = р, приращение (7) отрицательно определено при х^ £ X благодаря тому, что х(Н) — Rcx('0\ а матрица V выбрана так, как указано выше. Станем увеличивать число р и потребуем, чтобы величина (7) оставалась

отрицательной при всех х^ Е дХ, где

дх

х е Rn : xVx

0р}.

Если *(0> Е дХ, то соответствующий оптимальный вектор ^опт — ^ может быть как

допустимым, так и нет. В первом случае разность (7) отрицательна. Если же £ОПт ~ не допустимый вектор, то^использоваться в управлении будет вектор £, наилучший из допустимых. Он удовлетворяет равенству

Лх(; о, хт, щ-)£),щ-)е, 0)|,=,~ =

числив градиенты, это уравнение можно за-

писать в виде

Рх{0) + Q£

fiC£

В то же время известно, что

Рхw + Q£ ОПТ —

Следовательно, £

О

£ = iiQ-lC£, и

ОПТ

{Ci ) (^опт

Î) > 0.

Используя полученное неравенство, а также

условия

L^Ci

ОПТ^^ОПТ

р и £ТС£ = Р,

выводим оценку

il i-i

ОПТ

р-р Amin

Применение управления U(-)£ на промежутке [0; h] приводит к значению

x

лнх

+ Н£ = Rcx(0) + Н(£ - £опт),

п

где Я = J eMh~T) BU{r)dT.

о

Поэтому разность (7) допускает оценку

xT(h)Vx(h)-x(0>TVxm <

(О) Il 2

< —Ар + ВуД^р- р + С(р — р),

где

Атах(К) '

чА min

С

Теорема 8. Пусть система (1), замкнутая кусочно постоянным MPC без ограничений, экспоненциально устойчива. Тогда если при всех значениях р из отрезка [р;р*] верно, что

tiv t{iJ сг)\ы2.

Ар + B\fp\/p - р + С{р - р) < 0,

то множество {х Е Шп : xTVx < /Зр* } является оценкой снизу области асимптотической устойчивости системы (1), замкнутой кусочно постоянным MPC при ограничении

£ е L.

Пример. Рассмотрим скалярную систему. Матрицы А и В при этом вырождаются в вещественные числа, будем считать, что В Ф 0. Положим также M = N = 1, этого всегда можно добиться заменой переменных, если M ф 0 и N ф 0. Следовательно, функционал качества принимает вид

to+T

J

J (;X2(t)+U2(t))dt.

to

Можно вычислить следующие величины:

Ki

shXT

ВсЦХТ - т)5

m

X V ; ВсЦХТ - т)

Я'(0) - А

BshXT

К

1

оо

А — X1

ch(A Т -

A + BS

У

А,

где Л ло S

VA2 + В2. ehr = shr = Чис-

В Jo

iV-1 ВтКоо определяется как значе-

ние 5(0) при Т = оо и связано с оптимальным на бесконечном горизонте управлением и<х>(Ь) и соответствующим движением £оо(0 равенством гбоо(£) = <&Соо(£)? поэтому из того, что А -Ь В в < 0, следует выполнение условий теоремы 4.

Неравенство \Я(Ь)\ < 1 - необходимое и достаточное условие экспоненциальной устойчивости при данных значениях горизонта Т и шага /1. Отрицательность числа Я'(0) -достаточное условие того, что при данном горизонте Т и любом достаточно малом шаге Н замкнутая система экспоненциально устойчива. Справедливость неравенства А + В Б < 0 свидетельствует о том, что при данном значении шага к можно указать достаточно большой горизонт Т так, чтобы добиться экспоненциальной устойчивости.

В случае кусочно постоянного управления рассмотрим ситуацию, когда управление постоянно на всем промежутке прогнозирова-

ния. Это позволит избежать громоздких выкладок. Положим II(¿) = 1, и £ будет вещественным числом, определяющим величину управления на горизонте прогноза. Имеют место равенства

Я

В(е

AT

1)

В2(еАТ - 3)(е

AT

1) +А2Т'

и предельные соотношения

5,

» S

С, оо

J_ ß'

Яс

* я

с,оо

Если |Яс,оо| < 1, то при данном шаге h и достаточно большом горизонте Т система экспоненциально устойчива. В частности, это условие не выполнено ни при каком h, если А > 1, и выполнено при всех h > 0, если >1 < —1. Если А < 1, то условие |Äc,oo| < 1 выполняется при всех достаточно малых h, т. к. при этом R'Ci00 (0) — А — 1 <0. Если зафиксировать Т, то при выполнении неравенства R'c(Q) < 0 можно явно выписать неравенство (6) и с помощью теоремы 7 численно оценить, насколько малый шаг h гарантирует экспоненциальную устойчивость. При этом V и W превращаются в положительные числа. Наконец, если допустимые значения £ ограничены областью типа \£\ < р, то при условии Rc < 0 теорема 8 позволяет найти область в пространстве ж, при попадании в которую решения замкнутой системы гарантированно притягиваются к началу координат.

Итак, приведенные выше утверждения позволяют сделать некоторые выводы относительно возможности выбора параметров метода MPC, гарантирующих стабилизацию. С помощью численного анализа получающихся при этом неравенств можно судить о том, какие конкретно параметры допустимо выбирать. Однако остается проблема выбора параметров, наилучших в том или ином смысле, исходя из качества стабилизации. Решение этого вопроса составляет предмет ближайших исследований.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. - М. : Наука, 1975. - 496 с.

2. Camacho С. F. Model Predictive Control / С. F. Camacho, С. Bordons. - Springer-Verlag,

1999.

3. Maciejowski J. M. Predictive Control with Constraints / J. M. Maciejowski. - Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 2002.

Поступила 01.11.10.