Моделирование вынужденных внутренних капиллярных волн

УДК 532.5:517.9

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ВНУТРЕННИХ КАПИЛЛЯРНЫХ ВОЛН

С.Е. Савотченко

В статье рассматривается моделирование волновых явлений в несжимаемой жидкости внутри цилиндрической трубы с колеблющейся мембраной на одном конце Показано, что под действием внешнего гармонического воздействия на мембрану в трубе за счет капиллярных сил возникают вынужденные внутренние волны, носящие квазипериодический затухающий характер. Приведено аналитическое решение, описывающее распределение давления жидкости в трубе

Ключевые слова: внутренние волны, вынужденные колебания, несжимаемая жидкость, уравнение Эйлера

Проблемы моделирования возбуждения возмущений давления в жидкости под действием внешних колебательных воздействий являются актуальными в связи с возможностью их применения для объяснения механизмов передачи и восприятия звука человеком и животными [1]. Интерес к такой задаче может быть объяснен большим комплексом проблем, затрагиваемых при построении моделей механизмов слуха, определяющих его частотноизбирательные свойства. Попытка учесть при математическом моделировании улитки органа слуха все особенности колебаний в ее структурах приводит к резкому усложнению описывающих их выражений [2]. Попытки количественно описать процесс преобразования звукового сигнала при его прохождении через механическую часть органа слуха сделаны несколькими исследователями (Сиберт, Фланаган и др), каждый из которых исходил из одних и тех же исходных экспериментальных данных, но делал отличные от других допущения и предположения при выводе соответствующих формул [1].

Целью данной работы является формулировка модели возбуждения волновых движений в заполненном жидкостью цилиндре, возникающих при вынужденных колебаниях мембраны, закрывающей один из концов цилиндра, приближенных волновым явлениям в улитке органа слуха. Основное внимание в данной работе уделяется пространственному распределению внутренних волн, возбуждаемых за счет капиллярных сил колеблющейся мембраной.

Рассмотрим заполненную идеальной несжимаемой жидкостью цилиндрическую трубу длины к с круговым сечением, постоянным вдоль всей ее длины. Направим ось Oz вдоль оси цилиндра. Пусть на одном конце в плоскости хОу при z=0 находится гибкая круглая мембрана

Савотченко Сергей Евгеньевич - БелЮИ МВД России, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: savotchenko@bsu.edu.ru

радиуса Я, которая жестко закреплена по краям цилиндра, но может совершать поперечные колебания. Второй конец цилиндра ^=к) закрыт жесткой стенкой. Все стенки цилиндра и мембрана не пропускают жидкость.

Пусть на мембрану снаружи цилиндра действует внешнее давление, изменяющееся по гармоническому закону:

рт

где рт(М2) - распределение внешнего давления по поверхности мембраны, ю - частота внешнего воздействия, ^ - время, М2 - координаты точки на поверхности мембраны, то есть точки из области £={(г, 9): 0 < г < Я, 0 < 9 < 2л} с Я2, г - полярный радиус, 9 - полярный угол.

Будем считать, что распределение внешнего давления по поверхности мембраны является радиально симметричным, то есть не зависит от полярного угла. В этом случае вместо точки М2 в формуле (1) достаточно писать полярный радиус г, то есть Рт=Рт(г, ¿).

В силу радиальной симметрии внешнего распределения вектор скорости точек жидкости в цилиндре в отсутствие силы тяжести в цилиндрических координатах не будет иметь угловой компоненты, а радиальная и z-овая компоненты не будут содержать зависимости от 9. Поэтому вектор скорости будет записываться в виде У=(уг, 0, у) и подчиняться уравнению Эйлера [3,4]

дч _ Ур

--,

д р

где р(М, 0 - давление в жидкости в точке М(г, z) е В = {(г, z): 0 < г < Я, 0 < z < к } в момент времени I, р - плотность жидкости (постоянная величина), V - градиент. В (2) пренебрегли квадратичным членом (V, У)Ч в силу его малости.

В цилиндрических координатах из (2) по компонентам получаем уравнения:

dvr ~dt

1 dp p dr

dvz dt

1 dp p dz

В силу того, что внешнее воздействие изменяется по гармоническому закону (1), будем искать стационарные решения уравнений (3) в виде аналогичных гармонических зависимостей:

\(М, О = \(М)в~ш, р(М, О = р(М)в-ш. (4) Подстановка (4) в (3) приводит к уравне-

ниям:

1 dp ivr =— —;

p dr

1 dp

mvz = — z p dz

Уравнение непрерывности для идеальной несжимаемой жидкости V = 0 в цилиндрических координатах при сделанных предположениях будет иметь вид:

1 д ду

- д

г дг дг

Выразив компоненты скорости из (5) и подставив их в (6), можно получить уравнение Лапласа для определения давления:

Ар = 0,

л 1д( д Л д2 где А =--1 г— Н--- - оператор Лапласа

г дг у дг) дг

в цилиндрических координатах (с учетом отсутствия зависимости от 9).

На неподвижных стенках цилиндра должны выполняться условия обтекания:

л>\ = о, VI = 0.

Пг=Я 2\г=к у 7

Подстановка (8) компонент скорости, выраженных из (5), приводит к краевым условиям для давления на неподвижных стенках цилиндра:

дР =0 дЕ

дг г=Я ' дг

Будем считать, что на подвижной границе при 2=0 выполняется условие Лапласа, связывающее давление в жидкости р с внешним давлением рт и поверхностным натяжением мембрана-жидкость с коэффициентом с:

= 0.

z=h

p — pm= — СА2С(М2, t),

А2 - двумерный оператор Лапласа, ^(М2, () - закон движения мембраны. Таким образом, внешнее воздействие на мембрану за счет поверхностного натяжения, то есть капиллярных сил, передает колебания внутрь жидкости и возбуждает волны, что и отличает их от гравитационных внутренних волн [3,4] и волн в открытых водоемах [5].

Для малых колебаний справедливо соотношение = ^(М2, ¿). Продифференцировав

(10) по t с учетом последнего соотношения, можно получить:

dp ~dt

dpm dt

= -^А2 VzL=0 .

Подстановка в (11) зависимости (4) и 2-вой компоненты скорости из (5) приводит к граничному условию на подвижной границе:

^ с др Л + Р

рш dz

= pm

z =0

Таким образом, математическая постановка предлагаемой модели сводится к краевой задаче для уравнения Лапласа (7) при условиях (9) и (11).

Для нахождения решения краевой задачи (13) в явном аналитическом виде можно воспользоваться методом Фурье. Решение задачи (13) ищется в виде

р(г, 2) = п(т, 2) + рт(г), (13) где новая искомая функция и(г, 2) имеет смысл изменения давления в жидкости за счет внешнего возмущения. Тогда для нахождения и(г, 2) получается краевая задача: д2 и

Аги +—— = —Агрп, 0 < г < Я, 0 < г < к; дг

du

dr du

dp„

dz

dr

= 0, 0 < r < R;

0 < z < h;

f a du ^ —j— + u рш dz

= 0, 0 < r < R,

радиальная часть опера-

. 1 d f d

ГДе Аr = --H

r dr^ dr

тора Лапласа.

Согласно методу Фурье, решение краевой задачи (14) представимо в виде разложения в

ряд по полной системе функций {un(z)}:

u

n

где y„(r) - коэффициенты Фурье.

Полная система функций {un(z)} состоит из собственных функций задачи Штурма-Лиувилля:

'u"n (z) + \nun (z) = 0, 0 < z < h,

<ou'n

u'n (h) = 0.

Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (16) имеют вид [6]:

z=0

/

r =R

h

z

z=0

и„

собственные значения Хп = (ш„ / к)2, где ци -корни уравнения

ркш2

Ш = —

а

Подстановка ряда (15) в (14) с использованием (1 7), приводит к краевой задаче для определения коэффициентов Фурье:

ЛгУп (г) п^п (г) = Л (г) 0 < Г < Я

д^п

дг г=К

где обозначено

= ^ (Я), 0 < 2 < к дР

Рп (Я) = -ап (ш)-

дг

1 д

/(г) = -—{гРп(г)} = -ап(ш)АгРт(г),) г дг

ап (Ш) =

2ркш2^р2к2ш4 + Ш а2

2 2 ч

^па21

Шп {ркш2 (ркш2 - а) + ^па2} Решение краевой задачи (18) имеет вид:

(г) I рп (Я) +1 оШ / к)К Щ / к)/п (Я)Як +

I / к)

+ |к оШ / к)/п (г)п1г\! Ш / к),

где 10, I - функции Инфельда нулевого и первого порядков соответственно, К0 - функция Макдональда нулевого порядка.

Подстановка (17) и (19) в (15), а затем в (13) приводит к решению поставленной задачи:

Р(Г, 2) = Рт (г) -

Р'т (Я) + Я! 0 (Ш пЯ / к)К о (Ш пЯ / к) А Я {Рт (Я)} +

Ш Мш пЯ / к)

+

г (

IК

Ш пг к

Аг {Рт (г)}г& ГХ

X ап (ш)!о

Ш"г .

V

к

к

Выражение (20) описывает распределение давления жидкости в цилиндре, возбуждаемое внешним воздействием на мембрану, задаваемое произвольной функцией с радиальной симметрией.

Было проведено численное моделирование для случаев различного вида внешних воздействий на мембрану. Далее приведены графики изменения давления в жидкости за счет внешнего возмущения и(г, ¿) = р(г, z) - рт(г) на расстоя-

ние трети радиуса мембраны от начала оси цилиндра г = Я/3: и^) = и(Я/3, z).

Выбирались фиксированные значения параметров, ориентированные на упрощенную модель улитки внутреннего уха человека [1]: плотность жидкости р=1002 кг/м3, радиус мембраны Я=1.1510-3 м, длина цилиндрической трубы к=3 10-3 м.

Варьировались такие параметры, как частота внешнего гармонического воздействия на мембрану, коэффициент поверхностного натяжения мембрана-жидкость. Значение частоты внешнего воздействия считается лежащим внутри диапазона частот, воспринимаемых человеческим ухом от 50 Гц до 20 кГц. Выбирались различные профили распределения внешнего давления на мембрану. Здесь приведены три модельных вида радиальных распределений:

рт

рт

рт

где р0 и г0 - модельные параметры.

Ряд в (20) достаточно быстро сходится, что позволяет удерживать порядка п=250 слагаемых, достаточных для удовлетворительной аппроксимации ряда конечной суммой.

Рис. 1. Распределение и(¿) при распределении внешнего давления по поверхности мембраны вида (21) с параметрами ^р0=0Ш м, г0=5-10-4 м, ю=5 кГц

Результаты моделирования показали, что возбуждение представляется в виде нескольких сгруппированных мод, формирующих сигналы. Моды с наибольшими амплитудами формируют основной сигнал. Амплитуды огибающих следующих сигналов существенно ниже основного. Основной сигнал расположен всегда вблизи к колеблющейся мембране (в начале оси z), независимо от вводимых параметров. Затем амплитуда сигнала осциллирует, затухая при удалении от мембраны.

<

г=Я

п=0

V

г

иИ

Рис. 2. Распределение и(2) при распределении внешнего давления по поверхности мембраны вида (22) с параметрами />0=0.01 м, г02=5-1(Г4 м, со=5 кГц

X10J J^l

Рис. 3. Распределение и(2) при распределении внешнего давления по поверхности мембраны вида (23) с параметрами р0=1 м, г0=1 м, ю=5 кГц

Изменение распределения внешнего давления по поверхности мембраны рт(г) влияет на амплитуду возбуждаемого сигнала, при этом

профиль бегущей волны практически не меняется. Так, при распределении вида (21) амплитуда довольно высока (рис. 1), что свидетельствует о том, что порождается сравнительно сильный сигнал. Если же в качестве распределения внешнего давления берутся функции вида (22) и (23), то амплитуда волны мала, т.е. эти функции порождают довольно слабый сигнал (рис. 2 и 3).

Значения коэффициента поверхностного натяжения мембрана-жидкость слабо влияет на изменение структуры сигнала.

При изменении частоты внешнего воздействия профиль основного сигнала не сдвигается. Увеличение ю с 5 кГц на 10 кГц приводит к изменению амплитуды огибающей основного сигнала: она уменьшается более чем в 2 раза для одного и того же вида распределения внешнего давления.

Литература

1. Молчанов, А.П. Электрические модели улитки органа слуха [Текст] / А.П. Молчанов, Л.Н. Бабкина. - Л.: Наука, 1978. - 181 с.

2. Варин, В.П. Математическая модель слуховой улитки человека [Текст] / В.П. Варин, А.Г. Петров // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2008. - № 96. - 26 с. [Электронный ресурс]: Режим доступа: World Wide Web. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2008-96.

3. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Гидродинамика [Текст] / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1986. - Т. VI. - 736 с.

4. Биркгоф, Г. Гидродинамика [Текст] / Г. Биркгоф. -М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 244 с.

5. Савотченко, С.Е. Вынужденные капиллярные волны в покрытом тонкой пленкой бассейне [Текст] / С.Е. Савотченко // Известия вузов. Сер. Физика. - 2008. - Т. 51. -№ 3. - С. 3-6.

6. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 798 с.

Белгородский юридический институт MBД России

THE MODELING OF THE FORCED INTERNAL CAPILLARY WAVES

S.E. Savotchenko

The article is devoted to the problem of the modeling of the wave phenomena in incompressible liquid inside the circular tube with vibrating membrane at one edge. It is shown that under the effect of the external harmonic action on the membrane there can appear forced internal capillary waves in the tube of quasi-periodic fading manner. Analytical solution, describing the distribution of liquid pressure in the tube is derived

Key words: inner waves, forced vibrations, incompressible liquid, Euler equation