Анализ контактного взаимодействия цилиндрического ролика с кольцами подшипника на основании конечно-элементного моделирования

Машиностроение и машиноведение

УДК 621.822.831, 004.942 doi: 10.18698/0536-1044-2018-11-4-13

Анализ контактного взаимодействия цилиндрического ролика с кольцами подшипника на основании конечно-элементного моделирования

Ф.Д. Сорокин, Хао Чжан

МГТУ им. Н.Э. Баумана

An Analysis of Contact Interaction of the Cylinder Roller with the Bearing Races Using the Finite Element Method

F.D. Sorokin, Hao Zhang

Bauman Moscow State Technical University

Для уточнения зависимостей, применяемых при описании контактного взаимодействия в цилиндрическом подшипнике, проведена большая серия численных экспериментов для ролика конечной длины, сжатого упругими плитами, имитирующими кольца подшипника. На основании анализа результатов численных экспериментов методом наименьших квадратов получена уточненная зависимость поджатия от нагрузки с учетом влияния диаметра, длины ролика и толщины плит. Верификация разработанной зависимости по известным результатам натурных экспериментов продемонстрировала ее хорошую точность. Выполнено сопоставление предложенной формулы с аналогичными зависимостями, полученными другими авторами. Влияние кривизны дорожек качения учтено корректирующим множителем.

Ключевые слова: контактное взаимодействие, цилиндрический подшипник, метод конечных элементов, метод наименьших квадратов

In order to clarify the relationships used to describe contact interaction in a cylindrical bearing, a large series of numerical experiments was performed for a roller of finite length compressed by elastic plates imitating bearing rings. Based on the analysis of the results of numerical experiments, a load-displacement relationship is obtained that takes into account the influence of the diameter, length of the roller, and thickness of the plates. Verification of the developed relationship against the known experimental results demonstrated its accuracy. The proposed formula is compared with similar dependencies obtained by other authors. Using the correction factor, the developed formula is refined taking into account the influence of the curvature of the raceways.

Keywords: contact interaction, cylindrical bearing, finite element method, least square method

Подшипниковые узлы — важнейшие структурные элементы машин и приборов. Одним из самых распространенных элементов подшипниковых узлов является цилиндрический подшипник. При решении задач роторной динамики вращающихся машин большое значение имеет расчет упругих характеристик такого подшипника. Специфика моделирования упругих свойств роликовых подшипников в первую очередь связана с контактными явлениями между роликами и кольцами. Схема цилиндрического роликового подшипника показана на рис. 1, где L и D — длина и диаметр ролика; T — толщина плиты.

По расчету роликовых подшипников существует множество работ, в которых проанализированы различные аспекты контактного взаимодействия элементов подшипника [1-8]. Ранние исследования линейного контакта выполнены Т. А. Харрисом (T.A. Harris) [1], A. Палмгреном (A. Palmgren) [2] и многими другими учеными. В этих работах обобщены результаты натурных экспериментов об обжатии цилиндра плитами и получены простые эмпирические формулы для сближения плит в зависимости от прикладываемой к ним нагрузки. Большинство из этих формул нелинейные и содержат длину цилиндра (ролика) в качестве параметра.

Другой подход к той же проблеме основан на аналитических вычислениях с использованием теории упругости и теории Герца [3-6] и приводит к замкнутым выражениям лишь в простейших случаях.

Главным недостатком теоретических разработок является то, что они построены на решении двухмерных контактных задач, т. е. не учитывают длину ролика и краевые эффекты в окрестности его торцевых поверхностей (наличие длины ролика в формуле, выражающей распределенную нагрузку q через внешнюю силу Q (q = Q/L), не является существенным).

Некоторые из широко используемых на практике формул получены в работах М.Р. Хеп-рича (M.R. Hoeprich) [3] и Л. Хуперта (L. Hou-pert) [4]. Эти зависимости приближенно учитывают влияние диаметра цилиндра, толщину колец, кривизну дорожек качения, но являются довольно громоздкими.

Цель работы — получение простых (инженерных), но в то же время достаточно точных зависимостей, в которых на основе анализа методом наименьших квадратов более по-

Рис. 1. Схема цилиндрического роликового подшипника

дробно, чем в предыдущих исследованиях, учтены различные аспекты контактного взаимодействия.

Вместо натурных экспериментов проведена серия численных экспериментов в программном комплексе ANSYS с использованием трехмерных конечных элементов [9-12]. Большой объем результатов численного моделирования обработан по той же методике, что и результаты натурных экспериментов, т. е. методом наименьших квадратов, и получена уточненная зависимость поджатия от нагрузки.

Сопоставление показало, что найденная зависимость значительно лучше согласована с результатами натурных экспериментов, чем аналогичные разработки других авторов.

Численные эксперименты с использованием трехмерной конечно-элементной модели.

Целью численных экспериментов являлось построение уточненной инженерной зависимости поджатия от нагрузки. Для достижения поставленной цели выполнена большая серия численных экспериментов с роликом, сжатым упругими плитами, имитирующими кольца подшипника при различных значениях толщины плит T, длины L и диаметра D ролика (рис. 2).

Вследствие симметрии рассматривали 1/8 часть исходной модели. Диаметр ролика D варьировали от 10 до 50 мм, длину ролика L от 20 до 100 мм, толщину плит T от 10 до 25 мм. Ролик и плиты разбивали на гексаэдральные восьмиузловые конечные элементы SOLID 185. Сетка сгущалась в окрестности места контакта. Для учета контактного взаимодействия использовали элементы TARGE170 и CONTA174.

Рис. 2. Физическая модель исследуемого сопряжения

Трехмерная конечно-элементная модель и заданные граничные условия показаны на рис. 3. Нагрузку прикладывали кинематическим способом, т. е. задавали перемещения внешней поверхности плиты. Для всех численных экспериментов на поверхности 2 задавали перемещение 5 = 0,01 мм вдоль оси Y, а в плоскостях симметрии — условия симметрии. Упругие постоянные для плит и цилиндра принимали одинаковыми: модуль упругости E = 2,06-105 МПа; коэффициент Пуассона V = 0,3.

Как известно, количество элементов является важным параметром и влияет на время расчета и точность результатов. Для получения уточненных результатов в приемлемое время первоначально выясняли необходимое количество элементов. С этой целью рассматривали четыре варианта разбиения на различное количество элементов при одних и тех же параметрах: 5 = 0,01 мм, D = 50 мм, L = = 100 мм и T = 25 мм. В табл. 1 показана связь между количеством элементов N и вычисленной с помощью метода конечных элементов нагрузкой Q.

Из табл. 1 следует, что значение нагрузки для вариантов 2, 3 и 4 различается только в четвертом знаке (для варианта 1 решение получить не удалось), при этом время расчета для варианта 4 гораздо больше, чем для вариантов 2 и 3. Поэтому для всех последующих расчетов было выбрано количество элементов такое же, как в варианте 3.

Результаты моделирования при D = 30 мм, L = 40 мм и T = 10 мм представлены в графиче-

ском виде на рис. 4, а-в. На рис. 4, а показаны перемещения по оси Y (с увеличением Х125), где штриховая линия указывает форму до деформации. На рис. 4, б приведены нормальные напряжения Оу (в сечениях, перпендикулярных оси У). На рис. 4, а и 4, б заметны краевые эффекты, возникающие у торцов ролика, которые влияют на значение поджатия. Кроме того, максимальные напряжения наблюдаются у торцов ролика.

На рис. 4, в приведено распределение контактного давления в модели и площадка контакта на поверхности плиты, т. е. на поверхности XOZ (с увеличением Х125). Два вспомогательных вида на том же рисунке показывают распределение контактного давления в области середины цилиндра, где нет краевого эффекта, и в области торца цилиндра, где краевой эффект присутствует.

Оценка точности решения контактной задачи выполнена по значениям проникновения контактных точек, которые показаны на рис. 5. Из рисунка видно, что максимальное значение проникновения составляет 0,00274 мкм, что гораздо меньше, чем допускаемая погрешность, равная 0,1 мкм. Это означает, что контактная задача решена с высокой точностью.

Рис. 3. Конечно-элементная модель и заданные граничные условия: 1 — условия симметрии; 2 — поверхность кинематического нагружения

Таблица 1

Влияние количества элементов на нагрузку

Параметр Номер варианта

1 2 3 4

N 6256 14 985 43 291 86 250

о>, Н - 28 357 28 336 28 346

0 0,001121 0,003363 0,005605 0,007847 0,010089 -1133,07 -858,375 -583,676 -308,977 -34,2778

0,002242 0,004484 0,006726 0,008968 -995,725 -721,026 - 446,327 -171,627 103,072

а б

-850,892

-612,401

-373,91

-135,419 103,072

Рис. 4. Результаты моделирования при Б = 30 мм, Ь = 40 мм и Т = 10 мм: а — перемещения по оси У, мм; б — нормальные напряжения оу, МПа; в — распределение контактного давления, МПа,

в модели и площадка контакта на поверхности плиты

Также проведена большая серия численных экспериментов при заданном перемещении внешней поверхности плиты § = 0,01 мм, результаты которых приведены в табл. 2.

Обработка численных результатов методом наименьших квадратов. При построении различных моделей подшипников самой важной является зависимость поджатия от нагрузки. Обобщить теорию Герца на случай контакта конечной длины пока не удалось, что привело к

возникновению множества эмпирических зависимостей. Среди них сравнительно простыми и в то же время часто используемыми являются зависимости, полученные Т.А. Харрисом [1] и А. Палмгреном [2]. На основании этих зависимостей другие исследователи принимают, что поджатие связано с нагрузкой соотношением

8 ~ д°>9.

Из выполненного численного анализа (см. табл. 2) следует, что поджатие зависит не только от нагрузки, но и от других факторов:

0 0,610Е-06 0Д22Е-05 0Д83Е-05 0.244Е-05

0,305Е-06 0,915Е-06 0Д52Е-05 0Д13Е-05 0,274Е-05

Рис. 5. Распределение проникновений, мм, в модели

Таблица 2

Расчетные значения нагрузки Q при поджатии 5 = 0,01 мм и различных параметрах модели

Диаметр цилиндра Нагрузка Q, Н, при длине цилиндра L, мм

D, мм 20 40 60 80 100

Т = 10 мм

10 7450 14 542 21 809 29 040 36 355

20 7424 14 537 21 768 28 951 36 276

30 7366 14 452 21 752 28 944 36 224

40 7308 14 417 21 698 28 937 36 172

50 7270 14 376 21 601 28 932 36 156

Т = 15 мм

10 6879 13 466 20 039 26 613 33 152

20 6841 13 382 20 023 26 586 33 077

30 6786 13 312 19 960 26 534 33 069

40 6779 13 280 19 916 26 460 33 040

50 6770 13 246 19 863 26 418 33 017

Т = 20 мм

10 6475 12 512 18 513 24 592 30 653

20 6416 12 440 18 490 24 547 30 614

30 6394 12 387 18 471 24 515 30 582

40 6387 12 351 18 434 24 470 30 563

50 6370 12 344 18 398 24 447 30 533

Т = 25 мм

10 6124 11 729 17 295 22 868 28 500

20 6072 11 650 17 272 22 847 28 463

30 6056 11 604 17 221 22 809 28 440

40 6032 11 562 17 180 22 779 28 378

50 6020 11 549 17 150 22 746 28 336

толщины плит Т, длины Ь и диаметра Б ролика, влияние которых довольно существенно. Таким образом, уточненная зависимость поджатия от нагрузки должна иметь следующий вид:

О = К 510/9ЬаБЬТс,

где К, а, Ь и с — неизвестные константы.

Для определения указанных констант по данным, представленным в табл. 2, формула (1) была преобразована в линейное соотношение

1п О = 1п

С учетом линейности формулы (1) константы К, а, Ь и с были найдены методом наименьших квадратов [13, 14], суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений от расчетных (теоретических). С использованием данных, приведенных в табл. 2, определение коэффициентов в формуле (2) выполнено встроенными процедурами математического пакета МАТЬАВ [15].

После подстановки найденных коэффициентов в формулу (1) и преобразований выражение для вычисления поджатия приобретает вид

5 = 2,7124-10

О0,9Б 0,0054т 0,2182

Ьр,8797

При этом все размеры должны задаваться в мм, а нагрузка в Н.

Результаты сопоставления разработанного соотношения (4) с результатами натурных экспериментов приведены на рис. 6 в виде расчетных и экспериментальных зависимостей под-жатия 5 от нагрузки О.

Как видно из рис. 6, формула (4) очень хорошо описывает результаты экспериментов. Кроме того, в работе [3] М.Р. Хеприч сделал вывод о том, что при его допущениях диаметр ролика не влияет на поджатие 5, а длина ролика связана с поджатием соотношением 5 ~ 1/Ь0,88.

Анализ формулы (4) позволяет сделать аналогичные заключения. Показатель степени у диаметра ролика Б равен 0,0054, следовательно, даже с учетом краевого эффекта этот параметр очень слабо влияет на поджатие. А зависимость между поджатием и длиной в формуле (4) имеет очень близкий к указанному в работе [3] вид 5 ~ 1/ Ь0,8797.

Как уже отмечалось, для решения контактной задачи в случае ролика конечной длины используется множество эмпирических и приближенных аналитических зависимостей. Самые известные из них: • формула Палмгрена [2]

О 0,9

5 = 5е + 5; =2-3,84-10"5^—

Ь0,8

(5 и Ь выражены в мм, О в Н);

Верификация полученной зависимости и ее сопоставление с другими формулами. В работе [3] кроме теоретического анализа контактного взаимодействия представлены результаты натурных экспериментов. Экспериментально исследовали контактное взаимодействие между стальным роликом и двумя пластинами. Диаметр ролика варьировали от 3,2 до 25,4 мм, а его длину от 21,8 до 50,3 мм. Размеры пластин составляли 51x76x19 мм.

Для верификации предложенной зависимости (3) выполнено ее сопоставление с результатами натурных экспериментов, приведенных в работе [3]. Так как в экспериментах измерялось полное поджатие (сближение плит), результаты, полученные по формуле (3), были удвоены:

5, мкм

5 = 5е + 5; =2-2,7124-10

О0,9 б0,0054Т 0,2182 Ь0,8797

где 5е, 5г — составляющие полного поджатия; здесь и далее индекс «е» помечает наружное кольцо, индекс «г» — внутреннее.

е,кн

Рис. 6. Расчетные (кривые) и экспериментальные (точки) зависимости поджатия 5 от нагрузки О:

1 — Б = 3,15 мм, Ь = 21,8 мм;

2 — Б = 6,32 мм, Ь = 21,8 мм;

3 — Б = 12,7 мм, Ь = 21,8 мм;

4 — Б = 25,4 мм, Ь = 24,9 мм;

5 — Б = 25,4 мм, Ь = 50,3 мм

10

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

#11(704) 2018

• формула Хеприча [3]

«.«.«. А1 4Те-1/[2(1"у)] 4(1 -v2)Q 5 = 5е + 5; =Л1п-, Л=-

Л

формулы Хуперта [4] 2Q (1 -V2

кБЬ

5е = + 1п

5, =

+ 1п

кБЬ 4Т

1п

4__1

1 + у е У 8 Ае /к 2

0,3

у еВел/Ай 1,4 2Q (1 -V2

кБЬ 4

у Л8 А, /к 5 = 5е + 5,,

1п

I

2

4__1

1 -у, )78АТй 2 +

а = 2Q(1 -V2) а = 2Q(1 -V2

Ае = ; А =

У е =

У еББеЬ В

У гБВЬ

Ве - В

; у ,=

В

В, + В

Здесь уе, у, и Ве, Вi — коэффициенты кривизны и диаметры дорожек качения соответственно; Ае, А, — безразмерные коэффициенты.

Сопоставление значений поджатий 5(4)-5(7), рассчитанных по формулам (4)-(7), с экспериментальными данными 5экс выполнено при различных параметрах модели (табл. 3).

Как видно из табл. 3, формулы (4) и (5) при равных условиях дают результаты, хорошо совпадающие с экспериментальными данными.

Таблица 3

Сопоставление значений поджатий, рассчитанных по формулам (4)-(7), с экспериментальными данными

Нагрузка

Поджатия, мкм

Q, Н 5экс 5

В = 6,32 мм, Ь = 21,8 мм, Т = 19 мм

697 2,50 2,51 2,36 2,20 2,17

1801 5,86 5,89 5,55 5,25 5,24

4360 13,03 13,06 12,31 11,71 11,91

В = 25,4 мм, Ь = 50,3 мм, Т = 19 мм

448 0,80 0,81 0,81 0,68 0,66

1258 1,96 2,05 2,06 1,76 1,73

3349

5,00 4,97 4,97 4,31 4,29

Однако формула (3) получена с учетом большего количества параметров и поэтому имеет более широкую область применения.

Учет кривизны дорожек качения. Некоторым недостатком формулы (3) является то, что она не учитывает влияние кривизны дорожек качения. Во всех описанных численных экспериментах ролик контактировал с плоскими границами плит. Непосредственный учет кривизны дорожек качения путем проведения дополнительных численных экспериментов привел бы к неоправданно большим вычислительным затратам. Однако почти все авторы работ [1-5] отмечают, что указанное влияние невелико.

В связи с этим предлагается учитывать влияние кривизны дорожек качения аналогично приближенной зависимости из работы [5]:

5 =

= 2Q

1п-

кБЬ2

кБЬ Q (1 -V2 )(1 + у)'

где у — коэффициент кривизны дорожек качения, у = В/(Ве - В) или у = В/(В, + В), при этом для контакта ролика с наружным кольцом использован знак «+», а с внутренним — знак «-».

Введем выражение, связывающее значения поджатия с учетом и без учета кривизны дорожек качения на основе соотношения (8):

Х =

5

51у=0

:1 +Ц1 + У);

1п Q

кБЬ2

где X — корректирующий множитель; С2 — безразмерная нагрузка.

Разумно предположить, что множитель X может быть распространен и на другие приближенные формулы. То есть, чтобы учесть кривизну дорожки качения, достаточно вычислить 5 для плоских контактных поверхностей и затем умножить полученный результат на коэффициент X из формулы (9).

Таким образом, окончательный вариант уточненного соотношения для поджатия с учетом кривизны дорожки качения имеет вид

5 = 2,7124-10"5 X

Q0,9 В0,0054 Т 0,2182

Ь0,8797

где все размеры заданы в мм, а сила в Н.

Рис. 7. Конечно-элементная модель, учитывающая реальную геометрию дорожек качения: а — уе = 0,19; б — у, = 0,167

Для контроля соотношения (10) выполнен дополнительный численный эксперимент с реальной геометрией дорожек качения. В этом исследовании цилиндр (Б = 20 мм, Ь = 20 мм) обжимается на наружное кольцо (Т = 10 мм, Бе = 250 мм и Бе = 125 мм, что соответствует Уе = 0,087 и уе = 0,19) и внутреннее кольцо (Т = = 10 мм, Б« = 200 мм и Б« = 100 мм, что соответствует у,- = 0,091 и у,- = 0,167). Модифицированная конечно-элементная модель с сеткой показана на рис. 7. Граничные условия и условия нагружения заданы такими же, как и в ранее представленных расчетах.

Результаты расчета перемещений в проекции на ось У для модели с параметрами Б = 20 мм, Ь = 20 мм, Т = 10 мм приведены на рис. 8.

Сопоставление значений поджатий 5(3) и 5(ю), рассчитанных по формулам (3) и (10), с результатами моделирования в среде ANSYS 5лшу8, приведено в табл. 4.

Как видно из табл. 4, формула (3) дает в худшем случае погрешность около 2 %, что еще раз подтверждает незначительное влияние кривизны дорожек качения на поджатие. При учете этой кривизны с помощью множителя X (формула (10) и последний столбец в табл. 4) результат отличается от ANSYS не более чем на 0,5 %. Численные эксперименты показали, что формула (10) тем точнее, чем меньше значение у. Для реального подшипника кривизна дорожки качения обычно не превышает 0,19, и при таких у формула (10) дает практически точный результат.

-0.339Е-05 0,002238 0,004478 0,006719 0,00896

-0,001117 0,003358 0,005599 0,00784 0,01

а

-0,317Е-05 0,002249 0,0045 0,006752 0,009004

-0,001123 0,003374 0,005626 0,007878 0,01

б

Рис. 8. Вертикальные перемещения, мм, в модели, учитывающей реальную геометрию дорожек качения: а — уе = 0,19; б — у« = 0,167

Таблица 4

Сопоставление значений поджатий, рассчитанных по формулам (3) и (10), с результатами моделирования в среде ANSYS

Коэффициент кривизны дорожек качения Нагрузка О, Н Поджатия, мкм

5лNSYS 5

уе 0,087 7564 0,01 0,01011 0,01003

0,190 7596 0,01 0,01015 0,00999

у«- 0,091 7392 0,01 0,00991 0,01000

0,167 7284 0,01 0,00978 0,00995

Выводы

1. Выполнен большой объем численных экспериментов по решению трехмерной контактной задачи о взаимодействии ролика конечной длины и двух плит при различном сочетании параметров. По результатам численного моделирования методом наименьших квадратов найдена уточненная зависимость поджатия от нагрузки.

2. Верификация разработанной зависимости по данным натурных экспериментов подтвер-

Литература

дила ее хорошую точность. Выполненное сопоставление с аналогичными формулами других авторов показало, что наиболее близкие результаты дает формула Палмгрена, но разработанное в статье соотношение имеет более широкую область применения.

Для учета влияния кривизны дорожек качения предложена методика с корректирующим множителем X, которая приводит практически к тем же результатам, что и расчет в среде ANSYS.

[1] Harris T.A. Rolling bearing analysis. USA, CRC Press, 2006. 760 p.

[2] Palmgren A. Ball and roller bearing engineering. Philadelphia, S.H. Burbank and company

Inc., 1959. 50 p.

[3] Hoeprich M.R., Zantopulos H. Line contact deformation — a cylinder between two flat

plates. Journal of tribology, 1981, vol. 103, is. 1, pp. 21-25, doi: 10.1115/1.3251609

[4] Houpert L. An engineering approach to hertzian contact elasticity — part I. Journal of tribo-

logy, 2001, vol. 123, is. 3, pp. 582-588, doi: 10.1115/1.1308043

[5] Lundberg G., Sjovall H. Stress and deformation in elastic contacts, Pub. 4. Gothenburg, Insti-

tute of Theory of Elasticity and Strength of Materials, Chalmers Inst. Tech., 1958. 47 p.

[6] Houpert L. An enhanced study of the load-displacement relationships for rolling element

bearings. Journal of Tribology, 2014, vol. 136, is. 1, no. 011105, doi: 10.1115/1.4025602

[7] Дегтярев С.А., Кутаков М.Н., Попов В.В. Учет контактных взаимодействий при моде-

лировании жесткостных свойств роликового подшипников. Вестник Московского авиационного института, 2015, т. 22, № 2, c. 137-141.

[8] Antoine J.-F., Visa C., Sauvey C., Abba G. Approximate analytical model for Hertzian ellipti-

cal contact problems. Journal of Tribology, 2006, vol. 128, is. 3, pp. 660-664, doi: 10.1115/1.2197850

[9] Лукьянова А.Н. Моделирование контактной задачи с помощью программы ANSYS.

Самара, СамГТУ, 2010. 52 с.

[10] Лукьянова А.Н. Моделирование контактного взаимодействия деталей. Самара, СамГТУ, 2012. 87 с.

[11] Басов К.А. ANSYS в примерах и задачах. Москва, Компьютер Пресс, 2002. 224 с.

[12] Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. Москва, Машино-строение-1, 2004. 512 с.

[13] Горяинов В.Б., Павлов И.В., Цветкова Г.М. Математическая статистика. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 424 с.

[14] Freedman D.A. Statistical models: theory and practice. Cambridge, Cambridge University Press, 2005. 414 p.

[15] Ревинская О.Г. Основы программирования в MatLab. Санкт-Петербург, БХВ-Петер-бург, 2016. 208 с.

References

[1] Harris T.A. Rolling bearing analysis. USA, CRC Press, 2006. 760 p.

[2] Palmgren A. Ball and roller bearing engineering. Philadelphia, S.H. Burbank and company

Inc., 1959. 50 p.

[3] Hoeprich M.R., Zantopulos H. Line contact deformation — a cylinder between two flat

plates. Journal of Tribology, 1981, vol. 103, is. 1, pp. 21-25, doi: 10.1115/1.3251609

[4] Houpert L. An engineering approach to Hertzian contact elasticity — part I. Journal of Tri-

bology, 2001, vol. 123, is. 3, pp. 582-588, doi: 10.1115/1.1308043

[5] Lundberg G., Sjovall H. Stress and deformation in elastic contacts, Pub. 4. Gothenburg, Insti-

tute of Theory of Elasticity and Strength of Materials, Chalmers Inst. Tech., 1958. 47 p.

[6] Houpert L. An enhanced study of the load-displacement relationships for rolling element

bearings. Journal of Tribology, 2014, vol. 136, is. 1, no. 011105, doi: 10.1115/1.4025602

[7] Degtyarev S.A., Kutakov M.N., Popov V.V. Consideration of contact interactions when mo-

delling stiffness characteristics of roll bearings. Vestnik Moskovskogo aviatsionnogo insti-tuta, 2015, vol. 22, no. 2, pp. 137-141 (in Russ.).

[8] Antoine J.-F., Visa C., Sauvey C., Abba G. Approximate analytical model for Hertzian ellip-

tical contact problems. Journal of Tribology, 2006, vol. 128, is. 3, pp. 660-664, doi: 10.1115/1.2197850

[9] Luk'yanova A.N. Modelirovaniye kontaktnoy zadachi s pomoshch'yu programmy ANSYS

[Modeling a contact problem using ANSYS]. Samara, Samara Polytech publ., 2010. 52 p.

[10] Luk'yanova A.N. Modelirovaniye kontaktnogo vzaimodeystviya detaley [Modeling of contact interaction of parts]. Samara, Samara Polytech publ., 2012. 87 p.

[11] Basov K.A. ANSYS v primerakh i zadachakh [ANSYS in examples and tasks]. Moscow, Komp'yuter Press publ., 2002. 224 p.

[12] Chigarev A.V., Kravchuk A.S., Smalyuk A.F. ANSYS dlya inzhenerov [ANSYS for engineers]. Moscow, Mashinostroyeniye-1 publ., 2004. 512 p.

[13] Goryainov V.B., Pavlov I.V., Tsvetkova G.M. Matematicheskaya statistika [Mathematical statistics]. Moscow, Bauman Press, 2002. 424 p.

[14] Freedman D.A. Statistical models: theory and practice. Cambridge, Cambridge University Press, 2005. 414 p.

[15] Revinskaya O.G. Osnovy programmirovaniya v MatLab [The basics of programming in MatLab]. Sankt-Petersburg, BHV-Peterburg publ., 2016. 208 p.

Информация об авторах

СОРОКИН Федор Дмитриевич — профессор кафедры «Прикладная механика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: sorokin_fd@mail.ru).

ЧЖАН Хао — аспирант кафедры «Прикладная механика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: zhang274234111@yandex.ru).

Статья поступила в редакцию 05.09.2018 Information about the authors

SOROKIN Fedor Dmitrievich — Professor, Department of Applied Mechanics. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: sorokin_fd@mail.ru).

ZHANG Hao — Postgraduate, Department of Applied Mechanics. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: zhang274234111@yandex.ru).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Сорокин Ф.Д., Чжан Хао. Анализ контактного взаимодействия цилиндрического ролика с кольцами подшипника на основании конечно-элементного моделирования. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2018, № 11, с. 4-13, doi: 10.18698/0536-1044-2018-11-4-13

Please cite this article in English as: Sorokin F.D., Zhang Hao. An Analysis of Contact Interaction of the Cylinder Roller with the Bearing Races Using the Finite Element Method. Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2018, no. 11, pp. 4-13 (in Russ.), doi: 10.18698/0536-1044-2018-11-4-13