Новое условие ортогональности для радиальных компонент дираковских биспиноров в кулоновском поле

Сер. 4 2007 Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 539.192

Л. Н. Лабзовский, А. М. Пучков, Н. К. Шевякина

НОВОЕ УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДЛЯ РАДИАЛЬНЫХ КОМПОНЕНТ ДИРАКОВСКИХ БИСПИНОРОВ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

Магнитодипольные переходы между состояниями гу1 и в атоме водорода и легких водородоподобных ионах являются одними из наиболее запрещенных в оптической области. Интерес к таким переходам возник в связи с теоретическими и экспериментальными исследованиями эффектов несохранения четности в атомах. Величина эффекта несохранения четности на таких переходах оказывается пропорциональной отношению амплитуд вероятностей разрешенного электрического дипольного перехода, открывающегося благодаря несохранению четности и запрещенного магнитодипольного перехода. Если последний является сильно запрещенным, эффект растет [1]. В принципе, эксперименты на водороде имеют важное преимущество по сравнению с экспериментами на всех других атомах. Это связано с тем, что только в атоме водорода отсутствуют Р-нечетные взаимодействия между нуклонами внутри ядра, следовательно, вклад в эффект несохранения четности от взаимодействия электронного векторного тока с ядерным аксиальным током не замаскирован [2]. Однако проведение таких экспериментов на водороде представляет собой технически сложную задачу, и для их планирования необходимо знать вероятности запрещенных М1-переходов между уровнями с квантовыми числами гу1 и где п — главное квантовое число, ) — полный угловой момент электрона, 1—орбитальный момент:

Здесь (иу/Цу^'Ци//) —редуцированный матричный элемент оператора магнитного дипольного излучения, а—постоянная тонкой структуры, со — частота фотона. В релятивистских единицах (Н =с= 1) оператор излучения магнитного фотона с частотой со, угловым моментом I и проекцией момента М., имеет вид [3, 4]:

где е — заряд электрона (в релятивистских единицах е =л/а), п-г I (Я) —век-

торная сферическая функция,

gJ

© Л. Н. Лабзовский, А. М. Пучков, Н. К. Шевякина, 2007

•Аы/г (Юг) —функции Бесселя. Редуцированный матричный элемент в (1) представляется в следующем виде:

П/1 {Г)+ёп'Л

Здесь У^// —верхняя и нижняя радиальные компоненты дираковского

биспинора в кулоновеком поле [4]:

3/2

*

т\ г

(т±Еп/)г (2у+пг + \) 42атг(2от X

-к

п !

У'1 „-Хг

х

2ат

~Х~

где верхние знаки относятся к нижние — к /; Х = \1т2 -Е2 ,у = -у/к2 -2аг ,к —угловое число Дирака, пг —радиальное квантовое число, £ . —энергия уровня, т —масса электрона, 2 —заряд ядра, £ —вырожденная гипергеометрическая функция.

Для атома водорода и легких водородоподобных ионов выполняется условие «1, поэтому при оценках по формуле (1) можно ограничиться старшим порядком в нерелятивистском приближении. Заметим, что частота фотона (£>~ т {(12) , а среднее

значение радиуса вектора --у—- [4]. Следовательно, их произведение, т. е. аргумент

т{а2)

функции ^(сог) становится малым: (йг ~ (а2). Воспользуемся разложением (сог) в окрестности нуля:

Если ограничиться только первым членом (6) в формуле (4), то, как будет показано ниже, это приведет к следующему соотношению:

«ц V ) + £пу1

пФп . Условие (7) по своей форме напоминает обычное условие ортогональности для радиальных компонент дираковских биспиноров [4]:

][4/

о

но, в отличие от последнего, не является строгим. В дальнейшем будем называть формулу (7) новым условием ортогональности в нерелятивистском приближении. Перейдем к доказательству. Прежде всего, преобразуем интеграл с учетом (5):

Щ!

о

= С (/(», -Е)(т + Е') + ^т + Е)(т- * к - к ^ - пгп%

+С

X

( 2ат

1Г*

-— к

пА-

2о.т

-к ь;/4

где /гСи,-«:), /2=(1 -иг,1 -, /3=у(1 -«г,-«;'), Здесь использовано стандартное обозначение

- к+к'

о

Для того чтобы вьтолнить интегрирование, обратимся к формулам (£ 12), (С 13) и (£ 14) из математических дополнений [5]. Тогда

У-{к-к')-ка + к'о!

{к2-к'2) |_2

2уТ{у){к + к')

/ча+а-Y

(к'-к)а(к-к')а

-F

а,а,у-

Ш'

(к'-к)2

Величина С в формуле (9) представляет собой довольно громоздкую конструкцию, которая в пределе aZ —»0 дает константу. Доказательство (7) необходимо проводить в два этапа, поскольку случаи к > 0 и к < 0 независимы и требуют отдельного рассмотрения. Разберем сначала случай к > 0. После предельного перехода и выделения всех констант в первом порядке по aZ получаем множитель:

KJ (к > 0)=const\-{nr -n'r)F{-nr,-n'r,2у + l;z) + (nr -n'r )(1 - z)x

xF

-{nr+n'r + 2y)F{-nr,\-nr,2y+l,z).

Известно, что любые три смежные по индексам гипергеометрические функции F(a, Р, у, 2) связаны между собой, но в (10) их содержится четыре. Это затруднение преодолевается следующим образом. Возьмем два рекуррентных соотношения [6]:

Теперь в (12) произведем сдвиг индексов а—>а + 1,(3—>р + 1 и вычтем из полученного выражения (11). После замены индексов а—>2у + 1 получаем, что выражение в квадратных скобках в (10) равно нулю, что и доказывает справедливость (7) для к > 0. В случае к < 0 все рассуждения проводятся аналогично, но в итоге появляется дополнительное слагаемое

*7'(к<0) = К? (к > 0 )+const'(nr +п'г + 2|к|)[(>< - иг )(F (-nr,-n'r,2y+1 ;z)+

Выражение в квадратных скобках в (13) обращается в нуль согласно (11). Таким образом, мы доказали, что в первом порядке по а2 новое условие ортогональности справедливо. Напротив, в следующем порядке интеграл (7) отличен от нуля. В этом легко убедиться, если положить пг = 0, т. е. в качестве нижнего состояния взять основное:

Í

ГЛ')&Лг)+гЛг)/л

п- 0

2

л-О 2

r*dr = -

6\/п +\

^(aZ)2 + 0(aZ)4

те (п+2)"

В заключении заметим, что справедливость условия (7) для частного случая запрещенного М1-перехода между 15'1/2 и 25,п состояниями была установлена Брей-том и Теллером в 1940 г. [7]. Однако авторы допустили ошибку при расчете вероятности перехода, ограничившись первым слагаемым в (6). Эта ошибка была впоследствии

исправлена Дрейком [8]. Вообще говоря, при расчете вероятности по формуле (1) необходимо иметь ввиду новое условие ортогональности и при этом сохранять в разложении gl ((or) оба слагаемых.

Данная работа была поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований, № 05-02-17483.

Summary

Labzowsky L, N., Puchkov A. M., Shevyakina N. K. The new orthogonal condition for Dirac bispinors radial components in the Coulomb field.

The forbidden magnetic dipole transitions between njl and n'jl states in hydrogen and H-like ions are considered. The Dirac bispinors components within the nonrelativity approximation are shown to have the specific orthogonal condition with two order values accuracy.

Литература

1. Хриплович И.Б. Несохранение четности в атомных явлениях. М., 1988. 2. Фламба-ум В. В., Хриплович И. Б. ЖЭТФ. 1980. Вып. 79. С. 1656. 3. Берестецкий В.Б., ЛифшицЕ.М, Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М., 1980. 4. Лабзовский Л.Н. Теория атома. Квантовая электродинамика электронных оболочек и процессы излучения. М., 1996. 5. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., 1989. 6. Бейт-мен Г. А., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М. 1965. 7. BreitG., Teller Е. Astrophys. J. 1940. Vol. 91. P. 215. 8. Drake G. W. F. Phys. Rev. 1971. Vol. 3. P. 908.

Статья поступила в редакцию 25 декабря 2006 г.