ТЕОРЕТИКО МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД ИЗУЧЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИМ ДЕЙСТВИЯМ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

УДК 372.851

ТЕОРЕТИКО- МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД ИЗУЧЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИМ ДЕЙСТВИЯМ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

АШУРОВ МЕХДИХАН МАМЕД ОГЛЫ

К.п.н, старший преподаватель кафедры «Технология обучения начального курса математики» Азербайджанского Государственного педагогического университета.

Аннотация. Наблюдения показывают, что студенты, прошедшие педагогическую практику, а иногда и учителя начальных классов, не хотят ссылаться на теоретическую базу для изучения арифметики. Для этого в статье указываются теоретические основы обучения арифметическим действиям. Также, впервые введены строгое определение деление на равные части и деление по содержанию как арифметические действие.

Также впервые деление на равные части и деление по содержанию определяется как арифметическая операция.

Ключевые слова: сумма, разность, произведение, частное, теоретико множественный подход.

Одним из важных предметов модернизированной и глобализированной системы образования Азербайджана, как и в системе образования развитых стран, является предмет математика.

Этот фактор связан с ролью учащихся в продолжении образования в будущем, изучении других предметов, создании реальной основы для приобретения необходимых знаний, умений и навыков для применения в практической деятельности, а также его значением в формировании личность, возможности развития логического мышления и его непосредственное отношение ко многим современным специальностям.

Базовую часть математической грамотности выпускника средней школы составляют знания, умения и навыки, приобретенные им в начальной школе. Поэтому всесторонне развитую подготовку личности, отвечающую современным требованиям, следует начинать с первых ступеней обучения.

Согласно последней образовательной программе (куррикулум), принятой в Азербайджанской Республике, посредством преподавания математики в начальных классах общеобразовательных школ учащиеся должны выполнять:

- выработать у детей навыки чтения, письма и счета;

- обеспечить усвоение детьми первоначальных знаний о человеке, обществе, природе и закономерных связях между ними;

- формировать у детей элементы логического и творческого мышления, обеспечить выявление и дольшее развитие талантливых детей с раннего возраста;

-привить детям чуткость, эстетический и художественный вкус, моральные и духовные качества, физическую культуру и умение самообслуживания.

Выполнение этих заданий предполагается осуществлять посредством 5 содержательных линий. Это: 1. Числа и действия; 2. Алгебра и функции; З.Геометрия; 4. Измерение; 5. Статистика и вероятность чисел [2, с.6 ].

Как видно, первая из содержательных линий куррикулума по математике называется «Числа и действия», причина того, что эта линия является первой, заключается в том, что числа и действия над ними служат основой для изучения всех остальных содержательных линий. Без вмешательства этого раздела было бы невозможно изучить другие разделы куррикулума.

Согласно куррикулума, в результате изучения арифметических действий учащиеся должны узнавать натуральные числа в пределах миллионов, в том числе и ноль, и уметь производить над ними арифметические действия.

Как известно, что в начальных классах преподаются 4 арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Арифметическая действия — это процесс нахождения третьего числа, называемого результатом, с помощью двух чисел, называемых компонентами. С их помощью находятся сумма, разность, произведение и частное двух чисел.

Этот процесс соответствует операции между двумя компонентами и пишется с помощью: сложение ("+") для суммы, вычитание ("-") для разности, умножение ("x" или "•") для произведения и деление (": ") для частного: напрмер: 5+2; 7-3; 6x4 или 6 4; 18:3 и т. д.. Число полученный в результате этого процесса, связывается с предыдущей записью знаком равенства (5+2=7; 7-3=4; 6x4=24 или 64=24; 18:3=6 и т. д.).

Существуют различные научные, теоретические подходы введение арифметических действий в математику, в частности начального курса математики. Каждая из этих теоретических основ используется в большей или меньшей степени в зависимости от возраста и познавательных способностей учащихся начальной школы.

Известно, что в младших классах такие операции, как нахождение суммы чисел выполняются с помощью сложения, разности чисел с помощью вычитания, произведения чисел с помощью умножения, нахождение частного двух чисел с помощью с помощью деления. Для нахождения частного используются операции деления числа на равные части и деления его по содержанию. В учебниках по математике, используемых в настоящее время в начальных классах, операции сложения, вычитания и деления вводятся на основе теории множеств, а умножение как результатом сложения. Поэтому сначала упомянем определения действий согласно основам теории множеств.

Согласно теории множеств арифметические действии определяются следующим образом.

Определение 1. Целое неотрицательное число, указывающее количество элементов в объединении непересекающихся (без общих элементов) конечных множеств A и B, называется суммой целого неотрицательного числа, указывающего количество элементов множества A, и целое неотрицательное число, указывающего количество элементов множества B.

Другими словами, если a — целое неотрицательное число, указывающий количество элементов множества A, b — целое неотрицательное число, указывающий количество элементов множества B, и для множеств A и B, не имеющих общих элементов , тогда, число с - указывающего количество элементов множества A u B, то целое неотрицательное число c называется суммой a и b. Математическая формулировка этого определение будет так: Если, A n B = 0, n (A) = a, n (B) = b, n (A u B) =c, тогда n (A u B) = n (A) + n (В),т.е с=а+ b.

Здесь числы а и b называются слагаемыми. Слагаемые различают по порядку их записи в математическом выражении: первое слагаемое, второе слагаемое а число с суммой. И число c, являющееся результатом сложение, также называют суммой.

Определение 2. Если конечное множество B является собственным (правильным) подмножеством конечного множества A, то целое неотрицательное число, указывающее количество элементов в разности между множествами A и B, называется разности чисел, указывающим количество элементов множества A и количество элементов множества B.

Другими словами, если a — целое неотрицательное число, указывающий количество элементов множества A, b — целое неотрицательное число, указывающий число элементов множества B, и если множества и является собственным подмножеством А, тогда, число с -указывающего количество элементов и разности множества A и B, то целое неотрицательное число c называется разностьям чисел a и b.

Математическая формулировка этого определение будет так: Если, B <^A, n (A) = a, n (B) = b, n (A \ B) =с, тогда n (A \ B) = n (A) - n (B) т.е. с= a-b. Здесь число а называется уменшаемым, число b вычитаемым. Операция, при которой число а уменьшается, число b вычитается называется операцией вычитания. И выражение а- b, и число c, являющееся

результатом вычитание также называют разностьям. Здесь и выражение a-b, и число с, являющееся результатом вычитания коэффициента, также называют разностями.

Определение 3. Целое неотрицательное число, указывающее количество элементов в Декартовом произведении A x B, называется произведением целого неотрицательного числа, указывающего количество элементов множества A, и целого неотрицательного числа, указывающего количество элементов множества В.

Другими словами, если a — целое неотрицательное число, указывающий количество элементов множества A, b — целое неотрицательное число, указывающее количество элементов множества B, и число с - указывающего количество элементов в АхВ, то целое неотрицательное число c называется произведением чисел a и b.

Математическая формулировка этого определение будет так: Если,

n (A) = a, n (B) = b и n (A xB)=c, тогда n (A xB) = n (A) • n (B) т.е. a • b= c.

Числа, которые умножаются, называются сомножители а и b называются множительями. Сомножители, различают по порядку записи в математическом выражении: первый сомножитель, второй сомножитель а число с суммой. И выражение a • b, и число с, являющееся результатом умножение, также называют произведением.

Согласно теории множеств, деление неотрицательных целых чисел основано на делении заданного множества на (равномощные) подмножества с одинаковым количеством элементов. Отметим, что согласно теории множеств, определение суммы и разности целых неотричательных чисел приведены во многих литературах. Однако, на основе этой теории в какой-либо литературе не встречается определение частного целых неотричательных чисел [1, с. 165-177; , с. 145-149] В первую очередь предлагаем эти определении в этой статье.

Определение 4 (Деление на равные части): Если возможно разбить конечное множество A имеющий а элементов на с непересекающихся подмножеств, каждое из которых содержит b^0 элементов (множество A можно разбить на классы), то говорят, что число подмножеств с называется частным, полученным от деления числа а на число b.

Здесь предполагается, что все элементы множества A были использованы и только один раз. Это означает, что множество A разбивается на классы множествами A1, A2,...AC.

Примечание: Разбить заданное множество A на n классов (или разделить его на n попарно пересекающихся подмножеств A1, A2,...,An,) означает выполнение следующих 3 условий:

1.Подмножества A1, A2,...,An не пусты;

2. Подмножества не имеют общих элементов (не пересекаются);

3. Объединение всех подмножеств равно заданному множеству А (каждый элемент данного множества А входит в одно из подмножеств).

Другими словами, если множество А с числом элементов а можно разбить на с непересекающихся подмножеств, каждое из которых содержит b^ 0 элементов, то число с называется частным, полученным делением числа a на число b: n (A) = a, A = A1o> A2 ^ ... ^ Ac, n (A1)=n(A2)....=n(Ac), где, если Ai={a1 ,a2...ab}, затем умножение числа a на число b на число с, указывающее количество подмножеств, называется частным, a:b=c.

Математическая формулировка этого определение будет так: n (A) = a, A= A1^ A2 ^ ... ...uAc, n (A1)=n(A2)....=n(Ac), здесь, Ai={a1,a2...ab}, число с, указывающее количество подмножеств, называется частным, числа a на число b: т.е. a:b=a Число а, которое делится, называется делимое. Число b , на которое делят, называется делитель. Результат деления, число с, называется частное.

Действие, выполняемое для нахождения частным , называется действием деления. И выражение a : b, и число с, являющееся результатом деления, называются частными.

Определение 5 (Деление по содержанию): Если возможно разбить конечное множество A имеющий а элементов на непересекающеся подмножества количеством b^0, такие, что каждое из этих подмножеств имеет в количестве с элементов, то число с, количеств элементов в подмножествах называется частным числа а на число b.

Математическая формулировка этого определение будет так: Если,

п (А) = а, А= А1пА2 п.....Аь, п (А1)=п(А2)....=п(Аь), здесь, Ai={a1,a2...ac}, число с,

указывающее количество число элементов в каждом подмножестве, называется частным, числа а на число Ь: т.е. а:Ь=с. И в этом случае число а называется делимым, число Ь называется делителем. Действие, выполняемое для нахождения частным , называется действием деления. И выражение а : Ь, и число с, являющееся результатом деления, называются частными.

Теперь покажем, как использовать эти теории при введении арифметических действий в начальных классах.

Непосредственно применять теории, упомянутые в начальных классах, с их математической точностью невозможно. Учитывая возрастные особенности детей раннего возраста, используют косвенно или их последствия - используя объяснительные или описательные определения. Однако в любом случае профессиональный учитель должен знать теоретическую основу математических материалов, которые он преподносит ученикам. Однако, в любом случае учитель должен знать теоретическую основу математических материалов, которые он преподносит ученикам.

Итак, в начальных классах понятие сумма чисел вводится применительно к теории множеств.

Для введения понятия «суммы» учитель может действовать следующим образом. Обратите внимание, что числа и результаты, взятые в качестве составляющих на начальном этапе, определяются в результате подсчета. Например, чтобы найти сумму 4+3, учитель может сделать следующее. Сначала он кладет 4 карандаша на стол, а затем 3 карандаша рядом с ним. Спрашивают, сколько карандашей на столе (7). Что было сделано на основе теории множеств?

Создали множества А из 4-х элементов - п(А)=4 и множества В из 3-х элементов -п(В)=3: Составили объединение п(А ^ В). Чтобы указать количество элементов в объединение, посчитаем к число элементов первого множества (4) и добавляем элементы второго множества (3). Число 7 - указывающего количество элементов множества А ^ В, является суммой 4 и 3: т.е. 4+3=7.

В начальных классах понятие «разность» также вводится применительно к теории множеств. Например, чтобы найти разницу 8-3, учитель может сделать следующее. Сначала он кладет на стол 8 карандашей, а затем отделяет от них 3 карандаша. Спрашивают, сколько карандашей осталось на столе (5). Что было сделано на основе теории множеств?

Он разделил множество из 8 элементов - п(А)=4, собствннное подмножество из 3 -х элементов - п(В)=3 и составил разницу множеств и попросил элементов в разнице множеств-п(А\В): п(А\В)=5. Разностью называли число, указывающее число элементов в разности множеств(5), указывающее количество элементов первого множества (8), и число, указывающее количество элементов второго множества (3):т.е. 8- 3=5.

В начальных классах целесообразнее рассматривать понятие произведения как сумму тех, которые сложены вместе. Таким образом, их возрастные характеристики нельзя признать приемлемыми для ввода продукта на парной основе. Для этого было бы важно включить еще несколько теоретических вопросов.

Самый эффективный способ ввести умножение в математику начальной школы — это заменить ту же сумму новой операцией- действией. В этом случае умножение рассматривается как частный случай сложения. Это не создает затруднений для учащихся, хорошо усвоивших суть сложения, для понимания умножения. Таким образом, в отличие от сложения и вычитания, при введении умножения целесообразнее не использовать теорию множеств.

Но, при введении понятия деления в начальных классах целесообразно использовать результаты теории множеств.

Введение деления учитель может начать с решения практической задачи. Для этого можно рассмотреть решение двух вопросов, которые приходят к одному и тому же выводу.

Задача 1: Раздали 12 ручек, по 3 ручки каждому ученику. Сколько учеников получили ручку?

Для решения задачи учитель раздает три карандаша из 12 карандашей первому ученику, еще три - второму ученику, итак далее, пока карандаши не закончатся. За действием может следовать вычитание: 12-3-3-3-3=0. После этого говорит учитель. Мы увидели, что распределили (разделили) 12 ручек по 3 между 4-ями учениками. Это означает, что цифра 3 находяться 4 раза в числе 12. Мы можем записать эту запись с помощью вычитания, но если бы было достаточно много ручек, эта запись занимала бы больше места и вызывала трудности в вычислениях. Поэтому с этого момента мы будем писать вышеприведенный текст в виде 12:3=4.

Что было сделано на основе теории множест?

Вспоминая о включении операции деления по теории множеств, мы увидим, что здесь проделывается аналогичная работа. Здесь множество из 12 элементов разбито на классы с помощью подмножеств по 3 элемента в каждом. В таком случае происходит процесс деления именованного числа на именованное число. Так как при делении именного числа на именное число получается абстрактное число. Для решения этой задачи получаем запись 12 ручек: 3 ручки = 4. Ответ: 4 ученика получили ручку.

Потому, что при делении именного числа на именное число получается абстрактное число. Чтобы решить эту задачу, мы покупаем ручки: 12 ручек: 3 ручки = 4. Ответ: 4 ученика купили ручки.

Такое деление называется делением по содержанию и по теории множеств соответствует по 4-ому определению.

Задача 2: 12 ручек распределили поровну между 3 учениками. Сколько ручек получил каждый ученик?

Практическое решение этой задачи может быть следующим. Учитель вызывает к доске 3 учеников. Сначала он дает каждому ученику по 1 карандашу. Так как у него в руке остались карандаши, он снова дает каждому по 1 карандашу. И этот процесс продолжается до тех пор, пока не закончатся ручки. После этого у каждого ученика спрашивают, сколько ручек он получил. Получается, что каждому ученику досталось по 4 ручки. Делая такое деление, мы делим число 12 на 3 равные части. При таком делении происходит процесс деления именованного числа на абстрактное число. Так как, при делении именного числа на абстрактное число, получится именованное число. Для решения этой задачи получаем запись: 12 ручек : 3 ручки = 4. Ответ: Каждый ученик получит по 4 ручки.

Такое деление соответствует первому определение (определение 5) делению множеств на классы согласно теории множеств.

Следует отметить, что в математике, в том числе в курсе математики начальных классов, вычитание рассматривается также как действие, обратное сложению, а деление, обратное умножению и этот момент эффективно используется. Кроме этого, во многих случаях исполььзуются и применяются результаты аксиоматического метода.

1. Эsэdov М. Riyaziyyatm ibtidai кигеипип nэzэri эsaslan, I hissэ, Вак1-2018. 240 sэh.

2. Математика-1. Комплект учебника для 1 класса начальных классов. Баку. -2021.

3. Математика-2. Комплект учебника для 1 класса начальных классов. Баку.- 2021.

4. Образовательная программа по математике (учебный план) для общеобразовательных школ Азербайджанской Республики (1-Х1 классы), Баку- 2013. -138 с.

5. Стойлова Л.П. Пышкало А.М. Основы начального курса математики. Просвещение -

ЛИТЕРАТУРА

1988г. -320 стр.