Многоточечная начально-конечная задача для линейной модели Хоффа

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.9

МНОГОТОЧЕЧНАЯ НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ХОФФА

С.А. Загребина

Статья посвящена изучению однозначной разрешимости многоточечной начальноконечной задачи для линейных уравнений соболевского типа. Доказана обобщенная теорема о расщеплении пространств и действий операторов. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретной ситуации.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, многоточечная начально-

конечная задача, относительно р-ограниченные операторы, линейная модель Хоффа.

Введение

Пусть О С Мт - ограниченная область с границей дО класса С. Рассмотрим уравнение Хоффа [1]

которое моделирует выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой при высоких температурах. Функция и = и(х,Ь), (ж,£) Є О х М, характеризует отклонение балки от положения и = 0; параметры а, в Є М характеризуют свойства материала балки, а параметр Л Є М+ характеризует нагрузку. Начально-краевые задачи для уравнения (0.1) в области О х М впервые были изучены Н.А. Сидоровым [2] и его учениками [3, 4], причем в [3, 4] был отмечен феномен несуществования решений этих задач при произвольных начальных данных. Изучение множества начальных значений, обеспечивающих существование и единственность решения начально-краевой задачи для уравнения (0.1), было проведено в [5]. В [6] показано, что это множество, понимаемое как фазовое пространство уравнения (0.1), является простым банаховым С^-многообразием, если а  в > 0. В [7] показано, что если а  в < 0, то фазовое пространство уравнения (0.1) уже не будет простым - оно лежит на сборке Уитни. Первым уравнения Хоффа на графе начал изучать Г.А. Свиридюк совместно сВ.В. Шеметовой [8]. Им удалось дать полное описание фазового пространства на

геометрическом графе. В дальнейшем на графах была решена обратная задача для уравне-

ния Хоффа [9]. Кроме того, были проведены исследования устойчивости уравнений Хоффа на графе и получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости решений уравнений Хоффа в области и на геометрическом графе [10].

В настоящее время внимание многих исследователей привлекает линейная модель Хоффа

Интерес к линейным уравнениям соболевского типа (к которым безусловно относится уравнение (0.2)) инспирирован новым классом задач, к обсуждению которых мы переходим. Прежде всего в подходящих функциональных пространствах редуцируем (0.2) к абстрактному линейному уравнению соболевского типа вида

Ьи = Ми + /,

как это делается, например, в [11]. Затем в предположении, что свободный член / = /(Ь) определен на интервале (а,Ь), —ж < а < Ь < +ж, будем искать (классическое) решение уравнения (0.3), удовлетворяющее следующим условиям

а < то < т\ < Т2 < ... < тп < Ь, Ру - относительно спектральные проекторы (речь о них пойдет в п.1 настоящей статьи), а иу - произвольные векторы из банахова пространства Я. Заметим, что если п = 1, то (0.4) превратится в более простую задачу

которая в [12] названа начально-конечной. Задача (0.3), (0.5) в последнее время весьма активно изучается в различных аспектах [13 - 16]. Если же в (0.4) положить п = 0, то задача (0.4) редуцируется к обобщенной задаче Шоуолтера - Сидорова

которая уже сыграла важную роль в численных исследованиях экономических [17] и технических [18] моделей. Отметим еще, что задача (0.6) является обобщением классической задачи Коши и(то) = ио. Сказанное выше позволяет задачу (0.4) для уравнения (0.3) назвать многоточечной начально-конечной задачей и считать ее последовательным (через (0.5) и (0.6)) обобщением задачи Коши.

Данная статья посвящена изучению разрешимости задачи (0.3), (0.4) при любом п € N и приложению полученных абстрактных результатов к многоточечной начально-конечной задаче для линейной модели Хоффа (0.2). Кроме введения и списка литературы статья содержит три части. В первой обсуждаются относительно спектральные проекторы, вторая посвящена задаче (0.3), (0.4), а третья часть содержит приложения к уравнению (0.2). Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь вкусы и пристрастия автора.

Наконец, заметим, что все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако, при рассмотрении «спектральных вопросов> вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированны движением против часовой стрелки и ограничивают области, лежащие слева при таком движении. Символами О и I обозначены соответственно «нулевой> и «единичный> операторы, области определения которых ясны из контекста.

1. Относительно спектральные проекторы

Пусть Я и $ — банаховы пространства, операторы Ь € С(Я; В) (т.е. линеен и непрерывен) и М € С 1(Я; $) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Введем в рассмотрение Ь-резольвентное множество р0(М) = [ц € С : (цЬ — М)-1 € С($; Я)} и Ь-спектр

аь(М) = С \ рь(М) оператора М ([11], п.2.1). Пусть аь(М) = а$(М) и а^(М), причем

Р] (и(т]) - и]) = 0 3 = 0,п,

Ро(и(то) - ио) = Рі(и(ті) - иі) = 0,

Ро(и(то) - ио) = 0,

а^(М) = 0, существует замкнутый контур Г С С, ограничивающий область О Э а0(М), такой, что О П а0 (М) = 0.

Построим интегралы типа Ф. Рисса

г

г

где Е^(М) = (ц,Ь — М) 1Ь — правая, а Ь^(М) = Ь(р,Ь — М) 1— левая Ь-резольвенты

оператора М.

Лемма 1. Пусть аь(М) = а^(М) и а^(М), причем выполнено (1.1). Тогда операторы Р : Я ^ Я и Q : 3" ^ 3 - проекторы.

Положим Я0(30) = кег Р(кег Q), Я1(31 ) = ітР(imQ) и через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на Як (ёотМ П Як), к = 0, 1.

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда

(г) Ьк Є£(Як; 3к), к = 0, 1;

оо11

£(31; Я1) и Мо

(Ш) существуют операторы Ь11 Є £(31;Я1) и Мо 1 Є £(3°;Я0).

Как известно, оба этих утверждения первым сформулировал и доказал Г.А. Свиридюк, правда, при более ограничительном условии, а именно:

аь(М) = 0, существует замкнутый контур Г С С, ограничивающий область О Э аь(М).

Однако внимательный анализ его доказательств (см. [11], лемма 4.1.1 и теорема 4.1.1) показывает, что они годятся и в нашем случае.

П

гЬ(м) = 1 I 0-(М), п Є М, причем а]-1

]=о

существует замкнутый контур Г] С С,

Пусть аь(М) = |^) а]-(М), п Є М, причем а^(М) = 0,

ограничивающий область О] Э ст0(М), такой, что О] П &0)(М) = 0 и Ок П О1 = 0 при всех ], к,1 = 1, п, к = I.

Аналогично (1.2) построим интегралы

р = 2^/ К0

Лемма 2. Пусть выполнено условие (1-4)- Тогда операторы (г) Р] : Я ^ Я и Qj : $ ^ В - проекторы, 3 = 1, п;

(гг) РкР = О, QkQl = О, к, I = 1,п, к = I.

Доказательство. Утверждение (1) справедливо в силу леммы 1. Докажем (п).

РкР = (2пг)-2 У I Я0(М)ЕЬХ(М=

Г* Гг

л—ц / ^<М >*• + / Й0(М >" / Ц—С

=

-2

= О

у* Гг Г к Гг /

в силу теоремы о вычетах и правого Ь-резольвентного тождества

ЕЬХ

(тождество (2.1.4) [11]).

п

Лемма 3. Пусть выполнены условия (1.3) и (1-4)- Тогда операторы Ро = Р — и

3 = 1

п

Яо = Я — ^^ Я з - проекторы. 3 = 1

(Заметим, что здесь ради экономии места проекторы Рз и Яз, і = 1,п, из (1.5), а

проекторы Р и Я из (1.2), но с заменой условия (1.1) на условие (1.3)).

Доказательство. Достаточно показать, что РзР = РРз = Рз и ЯзЯ = ЯЯз = Яз при всех І = 1, п. Действительно, в силу

РзР = (2пі)-2 J У К£(Ы)К£(Ы)й,й\ =

Г г

I \

=

-2

\г г г г /

Отсюда, в силу теоремы о вычетах, Р3Р = Р3. Остальные равенства доказываются аналогично.

Положим Я0(30) = кег Р(кег Q), Я^З = 1шР3-(1ш^

3), 3 = 0,п, через Ьо (Мо) обозначим

сужение оператора Ь (Ы) на Я0 (ёошЫПЯ0), а через Ь\з (Ыу) обозначим сужение оператора Ь (Ы) на Я] (ёошЫ ПЯ]), і = 0,п.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1-3), (1-4)- Тогда (г) Ьо Є £(Я0; 30), ЬІЗ Є £(Я]; 3]), І = 0^_

(гг) Ыо Є СІ (Я0; 30), Ыц Є £(Я]; 3]), і = 0,п; _

(Ш) существуют операторы Ь-] Є £(3];Я]), і = 0,п, и Ы-1 Є £(30;Я0)-Доказательство ввиду теоремы 1 и лемм 2, 3 очевидно.

2. Многоточечная начально-конечная задача

Пусть Я и 3" - банаховы пространства, оператор Ь Є £(Я; 3), а оператор Ы Є С І(Я; 3). Рассмотрим линейное уравнение соболевского типа

Ьи = Ыи.

Решением и = и(Ь) уравнения (2.1) назовем вектор-функцию и Є Сте(М;Я), удовлетворяющую этому уравнению.

Определение 1. Отображение и * Є С те(М; £(Я)) назовем группой разрешающих операторов уравнения (2.1), если

(i) иги3 = и*+3 при всех 8, г Є М;

(ii) при всех V Є Я вектор-функция и = иесть решение уравнения (2.1).

В дальнейшем, следуя традиции, будем отождествлять группу разрешающих операторов уравнения (2.1) с ее графиком {и* : г Є М} и в дальнейшем называть просто группой уравнения (2.1). Группу {и* : г Є М} уравнения (2.1) будем называть аналитической, если она аналитически продолжима во всю комплексную плоскость с сохранением свойства (і).

Теорема 3. Пусть выполнены условия (1.3), (1.4)- Тогда существуют аналитические группы уравнения (2.1).

Доказательство. Построим интегралы типа Данфорда - Тейлора

и * = 2-1 яЦы )е^, и = 2-1 Е%(И )е*й»,3 = Ш

г г

Затем, рассуждая аналогично теореме 4.4.1 [11], получим требуемое.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда (г) и*и? = и^и* = и*+5 при всех в, £ € М, з = 1,п;

(гг) и*киI = Щик = О при всех в, £ € М, к, I = 1, п, к = I.

Доказательство.

=

-2

и*и] = (2пі)-2 У J Е^(М)Я%(М)е^+хЧ^й\ = г Г

I ^ I ІЇ

= из

в силу теоремы о вычетах и тождества (1.6). Второе равенство в (1) и равенства (и) доказываются аналогично.

П

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда и0 = и£ — ^ и - аналити-

3 = 1

ческая группа уравнения (2.1).

Доказательство вытекает из следствия 1.

Далее возьмем вектор-функцию / Є С^((а,Ъ); 3) и рассмотрим линейное неоднородое уравнение соболевского типа

Ьи = Ми + /.

Вектор-функцию и Є С^((а, Ъ);Я), удовлетворяющую уравнению (2.2), назовем решением уравнения (2.2). Решение и = и(Ь), Ь Є (а,Ъ) уравнения (2.2), удовлетворяющее условиям

рз

назовем решением многоточечной начально-конечной задачи для уравнения (2.2) (см. (0.4)).

Определение 2. Оператор М называется спектрально ограниченным относительно оператора Ь (короче, (Ь,р)-ограниченным), если выполнено условие (1.3), и точка то является либо устранимой особой точкой (р = 0), либо полюсом порядка р (р Є М) Ь-резольвенты (р,Ь — М)-1 оператора М.

Теорема 4. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, причем выполнено условие (1.4). Тогда для любых / Є С^((а,Ъ); 3)), из Є Я, І = 0, п существует единственное решение задачи (2.2), (2.3), которое к тому же имеет вид

Р П П „ £

и(Ь) = — £(М-1 ЬоГМ0-1(1 — Я)/(%) + ^ и3~Тиз + £ / и£-Ь-Яз/(вуїв.

д=0 з=0 з=0-] Т>

Доказательство. Уравнение (2.2) посредством теоремы 2 сведем к системе

М0-1Ьои0 = и0 + М0-1(1 — Я)/,

и1з = Ь1з1М13 и1 + Ь1з1Яз /, І = 0, п,

где каждое уравнение определено на «своем> подпространстве. Из первого уравнения (2.4) получим

Р

и0(ь) = — Е (М-1Ь0)я М—1(1 — Я)/ ^(і).

д=0

Заметив, что проекторы Рз являются единичными операторами на Я*, І = 0,п, в силу

и1з = Ь1з1М1з и1 + Ь1з1Яз/, и1

Последовательно решая задачи (2.5), получим утверждение теоремы.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 4 видно, что требование гладкости на функцию / можно понизить. Однако при этом понизится гладкость решения (2.2), (2.3).

3. Линейная модель Хоффа

Пусть О С Кт, т Є М, — ограниченная область с границей дО класса С. Через Я и 3 обозначим функциональные пространства, определенные на О, в которых оператор Лапласа А фредгольмов. Например, это могут быть пространства Соболева

Я = {и Є ^рк+2(О) : и(х) =0,х Є дО} и 3 = ^(О),

где к Є {0} и М, р Є [1, +то); или пространства Гельдера

ди

Я = {и Є Ск+2+&(О) : — (х) = 0,х Є дО} и 3 = Ск+&(О),

дх

где к Є {0} и М, 5 Є (0,1); или еще какие-нибудь пространства, скажем, с третьим краевым условием. Выбор краевого условия здесь не важен, важно требование его однородности. Другими словами, пусть на границе дО будет задано краевое условие

Аи

Обозначим через {Ак} последовательность собственных значений задачи (3.1) для опе-

ратора Лапласа А в области О, занумерованную по невозрастанию и с учетом кратности. Обозначим через {^к} ортонормированную (в смысле Ь2(О)) последовательность соответствующих собственных функций, <^к Є Сте(О), к Є N. Фиксируем пространства Я и 3, причем пространство Я с условием (3.1), и формулами

Ь = А + А, М = а1

зададим операторы Ь,М Є £(Я; 3). Как известно (см. например [6]), Ь-спектр оператора М

имеет вид

Выполнение условия (1.3) очевидно, выберем СТ^(М), ] = 0,п, так, чтобы выполнялось условие (1.4) (понятно, что это можно сделать не одним способом). Построим проекторы

Ру = Е

Мк€о^

Возьмем —то < а < т0 < Т1 < т2 < ... < тп < Ь < +то, и у € Я, ^ = 0, п, / € С™ ((а, Ь); 3) и рассмотрим задачу (2.2), (2.3), где Я - функциональное банахово пространство с краевым условием (3.1), операторы Ь и М из (3.2), а проекторы Ру, ] = 0,п, из (3.3).

Лемма 4. При любых X € К, а € К \ {0} оператор М (Ь, 0)-ограничен.

Как и в [5, 6] доказательство основано на теореме 4.6.1 [11].

Отсюда и из теоремы 4 вытекает

Теорема 5. При любых X € К, а € К \ {0}, иу € Я, ^ = 0,п, / € С™((а,Ь); 3) многоточечная начально-конечная задача для уравнения (0.2) с краевым условием (3.1) имеет

единственное решение и € С™((а, Ь);Я), которое к тому же имеет вид

п п ¡-г

и(£) = (Я -1)/(¿) + Е Е еМк(г-Т,^к^к + Е Е / еМк(*-8){/(з),^к)<£к(1в.

у=0 Мкест^(М) у=0 Мк€а^(М) ^

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить свою искреннюю признательность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе и поздравить его с шестидесятилетием.

Литература

1. Hoff, N.J. Creep buckling / N.J. Hoff // The Aeronautical Quarterly. - 1956. - V. 7, № 1. -P. 1 - 20.

2. Сидоров, Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / Н.А. Сидоров. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1982.

3. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, №9.- С. 1516 - 1526.

4. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.

- 1987. - Т.23, № 4.- С. 726 - 728.

5. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. математическая. - 1993.- Т. 57, № 3.- С. 192 - 207.

6. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Мат. заметки.- 2002. - Т. 71, № 2.- С. 292 - 297.

7. Свиридюк, Г.А. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, И.К. Тринеева // Изв. вузов. Математика.— 2005.— №10.— С. 54 - 60.

8. Свиридюк, Г.А. Уравнения Хоффа на графах / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Дифференц. уравнения.— 2006.— Т. 42, № 1.— С. 126 - 131.

9. Свиридюк, Г.А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, А.А. Баязитова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - Самара, 2009. - №1 (18). - С. 6 - 17.

10. Свиридюк, Г.А. Устойчивость уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, С.А. Загре-бина, П.О. Пивоварова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - Самара, 2010.- №1 (15). - С. 6 - 15.

11. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht: VSP, 2003. - 228 p.

12. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика.

- Иркутск, 2010. - Т. 3, №1. - С. 51 - 72.

13. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - № 15 (115), вып. 1. -С. 23 - 26.

14. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 4 (241), вып. 7. - С. 35 - 39.

15. Манакова Н.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. -№ 17 (234), вып. 8. - С. 113 - 114.

16. Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Бусси-неска - Лява / А.А. Замышляева // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 37 (254), вып. 10. - С. 22 - 29.

17. Келлер, А.В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьев-ского типа / А.В. Келлер // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 4 (241), вып. 7. - С. 40 - 46.

18. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2011. - Вып. 12.

- С. 181 - 190.

Софья Александровна Загребина, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Уравнения математической физики>, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), zagrebina_sophiya@mail.ru.

The Multipoint Initial-finish Problem for Hoff Linear Model

S.A. Zagrebina, South Ural State University

Article is devoted to the single-digit solvability of multipoint initial-finish value problem for a linear Sobolev-type equations. We prove a generalized theorem of the splitting of the space and operators actions. The obtained abstract results are implemented in a specific situation.

Keywords: Sobolev type equation, multipoint initial-finish problem, relatively p-bounded operators, Hoff linear model.

References

1. Hoff N.J. Creep Buckling. The Aeronautical Quarterly, 1956, vol. 7, no.1, pp. 1 - 20.

2. Sidorov N.A. Common Questions of Regularity in Problems of Ramification Theory. Irkutsk, Publisher Irkutsk Gos. Univ., 1982.

3. Sidorov N.A., Romanova O.A. Application of Certain Results of Branching Theory in the Solution of Degenerate Differential Equations. Differential Equations, 1983, vol. 19, no. 9, pp.1516 - 1526.

4. Sidorov N.A., Falaleev M.V. Generalized Solutions of Differential Equations with a Fredholm Operator at the Derivative. Differential Equations, 1987, vol. 23, no. 4, pp. 726 - 728.

5. Sviridyuk G.A. Quasistationary Trajectories of Semilinear Dynamical Equations of Sobolev Type. Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 1994, vol. 42, no. 3, pp. 601 - 614.

6. Sviridyuk G.A., Kazak V.O. The Phase Space of an Initial-Boundary Value Problem for the Hoff Equation. Mathematical Notes, 2002, vol. 71, no. 2, pp. 262 - 266.

7. Sviridyuk G.A., Trineeva I.K. A Whitney Fold in the Phase Space of the Hoff Equation. Russian Mathematics, 2005, vol. 49, no. 10, pp. 49 - 55.

8. Sviridyuk G.A., Shemetova V.V. Hoff Equations on Graphs. Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 1, pp. 139 - 145.

9. Sviridyuk G.A., Bayazitova A.A. On Direct and Inverse Problems for the Hoff Equations on Graph. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2009, no. 1 (18), pp. 6 - 17.

10. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A., Pivovarova P.O. Hoff Equation Stability on a Graph. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010, no. 1 (15), pp. 6 - 15.

11. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, VSP, 2003. 228 p.

12. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. The Showalter-Sidorov Problem as a Phenomena of the Sobolev-type Equations. J. News of Irkutsk State University. Series «:Mathematics», 2010, vol. 3, no. 1, pp. 51 - 72.

13. Zagrebina S.A., Soloveva N.P. The Initial-Finish Problem for Evolution Sobolev Type Equations on a Graph. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo universiteta. Seria «:Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie», 2008, no. 15 (115), issue 1, pp. 23 - 26.

14. Zagrebina S.A. The Initial-Finish Problem for the Navier - Stokes Linear System. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo universiteta. Seria «:Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie», 2011, no. 4 (241), issue 7, pp. 35 - 39.

15. Manakova N.A., Dylkov A.G. Optimal Control of Solutions of Initial-Finish Problem for the Linear Sobolev Type Equations. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo universiteta. Seria «:Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie», 2011, no. 17 (234), issue 8, pp. 113 - 114.

16. Zamyshlyaeva A.A. The Initial-Finish Value Problem for Nonhomogenious Boussinesque

- Löve Equation. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo universiteta. Seria «:Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie», 2011, no. 37 (254), issue 10, pp. 22 - 29.

17. Keller A.V. The Algorithm for Solution of the Showalter - Sidorov Problem for Leontief Type Models. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo universiteta. Seria ^Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie», 2011, no. 4 (241), issue 7, pp. 40 - 46.

18. Shestakov A.L., Keller A.V., Nazarova E.I. The Numerical Solution of the Optimal Demension Problem. Automation and Remote Control, 2011, vol. 72, no. 12, pp. 2524 - 2533.

Поступила в редакцию 27 ноября 2011 г.