О распределении больших значений аргумента дзета-функции Римана на коротких интервалах

Доказательство теоремы 2. Пусть G2 G G. Нетрудно показать, что выполняется соотношение Go С < Gi U G2 >. Поэтому для доказательства теоремы 2 достаточно доказать равенство < Go > = F.

Пусть h — произвольная функция из F. Покажем, что h G < Go >. Если множество Im(h, Q) не содержит несравнимых элементов, то по лемме 3 выполняется соотношение h G < Go >.

Пусть Im(h, Q) содержит несравнимые элементы. Покажем, что найдутся m, d, такие, что h G H(m, d), где О ^ d < m ^ n. Положим A = {i j элементы h(ai) и h(ai) несравнимы, О < i ^ n}. Так как Im(h, Q) содержит несравнимые элементы, то найдутся в и y из Q, такие, что элементы f (в) и f (y) несравнимы. Из монотонности функции f следует, что элементы в и Y несравнимы. Поэтому A = 0. Таким образом, множество A имеет минимальный элемент. Обозначим этот элемент через m. По определению множества Q выполняется равенство {h(am),h(am)} = {at, at}, где l ^ t ^ n. В силу определения множества F выполняется неравенство t ^ m. Таким образом, h G H (m, m — t), т.е. h G H (m, d), где d = m — t.

Докажем теперь индукцией по d, что при всех m, таких, что d < m ^ n, выполняется соотношение H (m, d) С < Go >. При d = О, l (база индукции) это соотношение следует из леммы 4. Докажем индукционный переход. Пусть h G H (mi, di ), где 2 ^ di < mi ^ n. Тогда по лемме Б найдутся функции ho G H(m1, О), g G H(m1, l), f G H(m1 — l, d1 — l), такие, что h = f о (g о ho). Для множеств H(m1, О), H (mi, l) и H (mi — l,di — l) выполнено предположение индукции. Поэтому функции ho, g и f принадлежат множеству < Go >. Таким образом, по построению имеет место соотношение h G < Go >. Теорема доказана.

Из теорем l и 2 непосредственно следует критерий полноты для систем функций из F. Теорема 3. Система G С F является полной тогда и только тогда, когда Gi С G и существует множество G2 из семейства G, такое, что G2 С G.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tardos G. A not finitely generated maximal clone of monotone operations У У Order. 1986. 3. 211-218.

2. Lau D. Function algebras on finite sets: а basic course on many-valued logic and clone theory (Springer monogrpahs in mathematics). Secaucus (N.J.): Springer-Verlag New York Inc., 2006.

3. Дудакова О.С. О конечной порожденности предполных классов монотонных функций многозначной логики ^ Матем. вопросы кибернетики. Вып. 17. М.: Физматлит, 2008. 13-104.

4. Дудакова О.С. О классах функций k-значной логики, монотонных относительно множеств ширины два У У Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 1. 31-37.

5. Slupecki J. Kriterium pelnosci wielwartosciowych systemow logiki zdari У У C.R. Seanc. Soc. Sci. Varsovie. Cl. III. 1939. 32.102-109.

6. Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике У У Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1958. 51. 5-142.

7. Salomaa A. Some completeness criteria for sets of functions over a finite domain I, II. Turun Ylopiston Jalkaisuja Annales Universitatis Turkuensis, sarja A 53. 1962. 1-9; A 63. 1963. 1-19.

8. Мальцев А.И. Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского У У Алгебра и логика. 1967. б, вып. 3. 61-74.

9. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2008.

Поступила в редакцию 31.0Б.2010

УДК 511

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА НА КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ

Р. Н. Бояринов1

Получена верхняя оценка меры множества значений t G (T, T + H ] при H = T27/82+е, для которых |S(t)| ^ А.

Ключевые слова: аргумент дзета-функции Римана, мера множества.

1 Бояринов Роман Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: roma_boyarin@yahoo.com.

An upper bound for the measure of the set of values t G (T, T + H ] for H = T27/82+e, for which |S(t)| ^ Л is obtained.

Key words: argument of the Riemann zeta-function, measure of set.

Введение. Работа посвящена изучению распределения больших значений аргумента дзета-функции Римана на критической прямой. Всюду далее S(t) — аргумент дзета-функции Римана. О простейших свойствах S(t) можно прочитать в работе [1]. М. А. Королев [2] доказал следующие теоремы.

Теорема 1 (М.А. Королев). Пусть Т > Т0 > 0, (1пТ)(1п1пТ)~3/2 < Н <Т. Если гипотеза Римана

верна, то справедливы неравенства sup (±S(t)) ^ ш~\/Т^ГТГ

T-H<t<T+2H ж У n n

Теорема 2 (М.А. Королев). Пусть 0 < е < 1, T > To(е) > 0, и пусть Ej, j = 0,1, — множество

значений t, Т ^ t ^ 2Т, для которых (—S(t) > Тогда при справедливости гипотезы Римана

верны неравенства mes(Ej) > |Т1-е(1пТ)-1, j = 0,1.

Обозначим через Е(Л, T, H) множество принадлежащих промежутку (T, T + H ] значений t, для которых |S(t)| ^ Л. Цель настоящей работы — получить верхнюю оценку меры множества Е(Л, T, H) и доказать результат, подобный теореме 2. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть 0 < е < 0, 001, T > T0(е) > 0, H = T27/82+£. Тогда для любого Л ^ lnlnT имеет место оценка mes(E(Л, T, H)) ^ e2H exp(-кЛ), где к = пе1,5е-19'5.

Замечание. Неравенство из теоремы 3 при H = X£ справедливо для всех T из промежутка (X, 2X), X ^ Хо(е), за исключением значений из некоторого множества, мера которого не превосходит X 1-0>04£.

Теорема 4. При любом T > To > 0 и Л ^ lnln T справедлива оценка тев(Е(Л, T, T)) ^ е2'1 T exp(-К1Л) где к1 = 27п  10-6е-19'5.

Теорема 5. Пусть T > To > 0, и пусть Ej, j = 0,1, — множество значений t, T < t ^ 2T,

которых ( —1 yS(t) > здд ^/пгГп г"плп in г • Тогда безусловно верна оценка сверху

ln T

mes(_Eo) + mes(E\) ^ е2,1Техр ( '

lnln T lnlnln T

где К2 = 9п  10 8е 19'5, а при справедливости гипотезы Римана верны оценки снизу теа(Ез) ^ 0,4 -Техр (1пГ)-0,5(1п1пГ)_1, ¿ = 0,1.

Вспомогательные леммы. Лемма 1. Пусть п(п) — количество простых чисел, не превосходящих натурального числа п ^ 2. Тогда верны неравенства 3Щ2п) ^ тг(2гг) — тт(п) < 1п4 ^^ .

Доказательство см. в [3, с. 70].

Лемма 2. Для любого х ^ е21 справедливы неравенства ^ ^ ^ 21п1пж.

р^х

Доказательство проводится с помощью леммы 1.

Лемма 3. Пусть е — сколь угодно малое фиксированное число, 0 < е < 0,001, Т > Т0 (е) > 0, Н = Т27/82+£, X = Т°>1е, т — целое число, 1 ^ т < (1п х)/192, х1/(4т) < у ^ х /т. Тогда имеет место оценка

Т+н , ч 2т

т +H /

/ S(i)+i

гр \

1 Sin(ilnp) \

T \ p<y

^--— , dt < (eä<K-'e-ärn')mH.

VP J

Доказательство см. в [4, с. 51].

Лемма 4. Пусть е — сколь угодно малое фиксированное число, 0 < е < 0,001, Т > То (е) > 0, Н = Т27/82+е, х = Т°'1е, т — целое число, 1 ^ т < (1пх)/192. Тогда имеет место оценка

т+н

1т= У < 0,5Я ^(2т1п1пТ)т+ , ¡3 = е377г"2£-3.

т

Доказательство. Положим y = x1/m и обозначим через U(t) тригонометрический полином ^ p 0,5+г£.

p<y

Тогда S(t) = S(t) + ^ + 2тп ~ • Возводя это выражение в степень 2т и приме-

p<y

няя к нему неравенство Гельдера, приходим к соотношению Im ^ 22m 1 (Ji + J2), в котором Ji =

т+н ( , , \2т т+я _

f S(t) + i £ sin(t'np) dt, J2 = (-1)т(2тг)-2т f (U(t) - U(t)) dt. Тогда из леммы 3 получаем T \ p<y J T

оценку J\ ^ H(m\fß)2m. Далее интеграл J2 представляется суммой

Р у/ PmQri

Pm —Qm

в которой через Ри, ^^ обозначены произведения р . ..р и ... соответственно. Так как наиболь-

шее из чисел Ри, Qv при любом V не превосходит у2т, а общее количество пар (Р^, ^^) не превосходит (п(у))2т, то верхней границей каждой из сумм по Ри = Qv служит величина (уп(у))2т < х4 ^ Н0'2. Поскольку число решений уравнения р... рт = . ..дт в простых числах 51,...,дт при фиксированной левой части не превосходит т!, то сумма £т удовлетворяет следующей цепочке неравенств:

Jm

m

Sm < m! ( ) < m!(2 lnlny)"1 < (2rnlnlnT)m,

\p<y p/

так как y > e21. Следовательно,

J2 < (2n)-2m ^ (2™)HSm + 22m+1H< (2n)-2m (Я22m(2mlnlnT)m + 22mЯ0'3) < < n-2m (H(2mlnlnT)m + H0'3) < n-2m2H(2mlnlnT)m,

Im < 22m~1 (ir~2m2H (2m In lnT)m + Н(тл/]3)2т) < 0, 5Я ^(2rnlnlnT)m+ (2m^)2mj .

Доказательство теорем. Докажем теорему 3. Если Л > 161п Т, то множество Е(Л,Т, Н) оказывается пустым [1, с. 73]. Пусть 1п1п Т ^ Л ^ 161п Т. В этом случае возведем обе части неравенства Л-1|£(£)| ^ 1 в степень 2т = 2[0, 5кЛ], где к = е-1в-0'5, в = е37п-2е-3, и проинтегрируем по множеству Е(Л, Т, Н).

т+н

Получим шев(Е(Л,Т,Я)) < Л-2т / |5(¿)|2тПоскольку целое число т = [0, 5кЛ] удовлетворяет усло-

т

впям т > 0, Ъж\ — 1 > 0, т ^ 8к\пТ < 0,1^э2 Т = ~Щ§> к послеДнемУ интегралу можно применить лемму 4:

<

П1 ев(Е(\, Т, Я)) < \~2т0, ЪН ^(2т 1п 1п Т)т + (2т-у//?) < 0, 5Я ^(2т/А)т + ^2т^

< Не-2т < е2Нехр(-кЛ).

Теорема 3 доказана.

Теорема 4 следует из теоремы 3. Будем считать, что Л ^ 161п Т, поскольку при Л > 161п Т величина шев(Е(Л, Т, Т)) тождественно равна нулю. Возьмем е = 9-10-4. Далее, определим числа Т, Н8, 8 = 1, 2,... ,

соотношениями Т1 = Т, Н3 = Т27/82+£, Т8+1 = Т3 + Н8 и положим значение во равным номеру первого члена возрастающей последовательности Т3 с условием Т+1 ^ 2Т. Согласно теореме 3, для 1 ^ в ^ во справедливы неравенства шев(Е(Л, Т3, Н8)) ^ е2Н5 exp(—К1Л), где К1 = 27п  10-6е-19'5, сложив которые, получим

шев(Е(Л, Т, Н)) < е2(Н1 + ... + Н30) exp(-KlЛ) < е2(Т + Н50) exp(-KlЛ) < < е2(Т + 0(Т-0'5))exp(-KlЛ) < е2'1Тexp(-KlЛ).

1

а

Теорема 4 доказана. Докажем теперь теорему 5.

Безусловная оценка сверху непосредственно вытекает из теоремы 4. Докажем оценки снизу при условии выполнения гипотезы Римана. Положим Н = ехр (щ^р) , к = \ТН~1 /2]. Согласно теореме 1, на каждом промежутке (Т + (2^ — 1)Н, Т + V = 1, найдутся точки и ти, такие, что

ог^ 1 1п Т о, л 1 1п Т

290 VlnlnTlnlnlnT' 290 VlnlnTlnlnlnT

Обозначим h = (lnT)-0'5(lnlnT)-1 и покажем, что все промежутки (tv, tv + h) содержатся во множестве Eo, а все промежутки (tv — h,tv) — во множестве Ei. Для этого заметим, что S(t) — кусочно-гладкая функция, которая терпит разрывы в точках, совпадающих с ординатами нулей Z(s). При переходе через точку разрыва S(t) совершает скачок, равный сумме кратностей нулей Z(s), для которых эта точка явилась ординатой. По формуле Римана—Мангольдта N(t) = ^г In ^ — ^ + § + S(t) + А (t), где N(t)—число нулей Z(s) в прямоугольнике 0 ^ Res ^ 1, 0 < Ims ^ t, a A(t) — гладкая функция, A(t) х t-1, A'(t) х t-2. Значит, на всяком промежутке вещественной прямой, не содержащем ординат нулей Z(s), функция N(t) постоянна, а S(t) является монотонно убывающей функцией с производной, равной —^г In ^г + О (i-2) • Поэтому для всех t, tv ^ t ^ tv + h, имеем неравенство

1 I /1 tv + h 2Л 1 I ЫТ

> ш\1 to to г to ы-г - " W-— + 0 <г >) > Ш V

290 VlnlnТlnlnlnТ \2п 2п v 7 У 300 V1n1nТlnlnlnТ'

а для всех т, tv — h ^ т ^ tv , — неравенство

1 / ^ 1 ( 1 л Ъ 2Л 1 / In Г

Sir) <--W —-——;--Ь/г —In— + 0 (Т~2) <--\

KJ 290 V In In Т ln ln ln T \2ir 2ir v ' 300 V

290 \Мп1пТ 1п1п1пТ 2п 4 V 300 V 1п1пТ 1п1п1пТ'

означающие, что все промежутки (¿^, ^ + Л,) содержатся в Ео, а все промежутки (т^ — Л,, т^) — в Е1. Для завершения доказательства осталось заметить, что построенные промежутки попарно не пересекаются, и поэтому

шев(Еу) ^кН^ 0, 4 • ТН~1И = 0,4 -Техр (1пТ)_0>5(1п 1пГ)~1, ¿ = 0,1.

Теоремы доказаны.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карацуба А.А., Королев М.А. Аргумент дзета-функции Римана // Успехи матем. наук. 2005. 60, № 3(363). 41-96.

2. Королев М.А. О больших значениях функции £(¿) на коротких промежутках // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. 69, № 1. 115-124.

3. Трост Э. Простые числа. М.: Физматлит, 1959.

4. Карацуба А.А., Королев М.А. Поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой // Успехи матем. наук. 2006. 61, № 3(363). 3-92.

Поступила в редакцию 31.05.2010

УДК 539.3:534

ФЛАТТЕР ВЯЗКОУПРУГОЙ ПОЛОСЫ И. А. Кийко1, А. В. Лунев2

Исследуется нестационарный панельный флаттер вязкоупругой полосы в условиях, когда давление аэродинамического взаимодействия определяется соотношениями, отличными от формул поршневой теории. Предполагается, что вектор скорости потока направ-

1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elast5539@mail.ru.

2 Лунев Андрей Вячеславович — асп. каф. высшей математики МГТУ (МАМИ), e-mail: vm@mami.ru.