Упрощение уравнений теплового баланса воздушных линий электропередачи в задачах расчета потерь энергии

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

УДК 621.316.3

С. С. ГИРШИН В. Н. ГОРЮНОВ Е. А. КУЗНЕЦОВ А. В. КАРПЕНКО

Омский государственный технический университет

УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ

В статье изложены результаты применения метода наименьших квадратов для упрощения уравнений теплового баланса воздушных линий электропередачи в задачах расчета потерь энергии. Также предложены расчетные формулы и проанализированы их погрешности в сравнении с ранее существовавшими методами. Ключевые слова: уравнение теплового баланса, воздушные линии, потери энергии, вынужденная конвекция, аппроксимация уравнения.

Статья опубликована при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках выполнения соглашения № 14.В37.21.0332 от 27 июля 2012 г.

1. Введение и постановка задачи. В настоящее время при расчете потерь энергии в электрических сетях все чаще учитывается температурная зависимость активных сопротивлений. Данный подход связан с вычислением температур элементов сети на основе уравнений теплового баланса. Эти уравнения в большинстве случаев нелинейны и для их решения могут быть использованы численные методы. Применение численных методов имеет определенные недостатки. В частности, требуются специальные компьютерные программы, возникают затруднения при анализе результатов и отсутствует возможность решения обратных задач. Поэтому на практике получили распространение различные способы упрощения уравнений теплового баланса [1, 2].

Тепловой поток О от провода в окружающую среду обусловлен конвекцией (Ок) и тепловым излучением1 (Ол):

0 = 0к+0Л=Ак{гвнеш-ТокрУ +-Ал

где Т и Т — абсолютные температуры внеш-

^ внеш окр 1 •' 1

ней поверхности провода и окружающей среды; Ак и Ал — постоянные коэффициенты; к — показатель степени, зависящий от условий конвекции.

В большинстве случаев (охлаждение провода на открытом воздухе при наличии ветра) конвекция является вынужденной. Этому соответствует к=1, и нелинейность уравнений обусловлена только наличием лучистого теплообмена. Наиболее распространенным способом упрощения уравнений является приближенное представление величины Ол квадратичной функцией температуры провода [1, 2]. Однако существующие способы такого представления ориентированы прежде всего на расчет допустимых токовых нагрузок. Поэтому они дают удовлетворительные результаты только при максимальных рабочих температурах и, кроме того, допускают погрешности в сторону некоторого занижения теплового потока.

При расчете потерь энергии требуется высокая точность на всем диапазоне рабочих температур. Наиболее математически обоснованным способом достижения максимальной точности является метод наименьших квадратов. В своей классической форме он относится к численным методам. Однако в данном случае исходная функция задана аналитически. Это позволяет при минимизации отклонений перейти от суммирования по конечному числу точек к интегрированию на всем заданном диапазоне, что в конечном итоге приводит к аналитическим формулам для коэффициентов аппроксимации. В статье изложены результаты такого преобразования, предложены расчетные формулы и проанализированы их погрешности в сравнении с ранее существовавшими методами.

2. Приведение уравнения теплового баланса к квадратичному виду. Из формулы (1) видно, что для представления теплового потока квадратичной функцией температуры при вынужденной конвекции достаточно преобразовать только одну величину: ТдНеш . Распишем ее следующим образом:

Тпнеш = {т0Кр + А)4 = А©4 +4ГОКРД03 +

+6Г0^Д©2 +4Г^Д0 + Г4р .

где А© — превышение температуры поверхности провода над температурой окружающей среды.

Обозначим «неквадратичную» составляющую (2) как функцию

/•

Ниже произведено преобразование F по методу наименьших квадратов к функции Н вида

Н

В качестве нижней границы диапазона преобразования естественно принять Т =Т , т.е. А© = 0.

внеш окр

В качестве верхней границе примем максимально допустимую температуру поверхности провода в нормально режиме. Для изолированных проводов эта температура может быть рассчитана по формуле

•Гвиеш, доп Тдоп ^Рдоп^из

= Тдоп ~ Ідоп г0 (l+ а доп из,

М0=^А4д+^ТокрА3д.

Полностью уравнение теплового баланса провода в случае вынужденной конвекции может быть записано следующим образом [4]:

где Тдоп — допустимая абсолютная температура токоведущей жилы; © — то же в °C; АР — потери

1 ' доп ' доп 1

активной мощности в проводе на единицу длины при допустимом токе и допустимой температуре (технически допустимые потери); Sus — тепловое сопротивление изоляции на единицу длины; 1доп — допустимый ток провода; г0 — погонное активное сопротивление при 0 °C; а — температурный коэффициент сопротивления.

Второе слагаемое в (5) представляет собой перепад температуры в изоляции провода А©из. Очевидно, что для верхней границы диапазона преобразования вполне достаточно лишь приближенного соответствия максимально допустимой температуре. Поэтому в расчетах можно принять некоторое постоянное типичное значение перепада температуры в изоляции. Расчет для проводов SAX разных сечений по данным [3] дает А©из = 6,7...10,2 °C. В качестве типичного значения можно принять 8°C. Тогда верхняя граница диапазона преобразования для изолированных проводов в окончательном виде равна

= Тдоп ~ Токр ~ 8 .

АРо

+ кгпС0(т4

вне ш охр J *

1-Гвнеш окр) -^зФсолн]'

где авын — коэффициент теплоотдачи вынужденной конвекцией; еп — коэффициент черноты поверхности провода для инфракрасного излучения; С0 = = 5,67-10"8 Вт/(м2К4) — постоянная излучения абсолютно черного тела; © и © — температуры по-

1 внеш окр 1 ' 1

верхности провода и окружающей среды в °С; Аа — поглощательная способность поверхности провода для солнечного излучения; qсолн — плотность потока солнечной радиации на провод; ёпр — диаметр провода; АР0'— потери активной мощности в проводе на единицу длины при ©внеш = 0 °С, равные

ЛРп=-

1-а/ r0Su

где I — ток в проводе.

Расписав в (13) Т4внешпо формуле (2) и произведя замену F на Н, после преобразований получим уравнение

А2(©

внеш окр

У+Ф

внеш окр

)+Д,=0,

Для неизолированных проводов

^д ~ Тдоп ТОКр ,

Условие преобразования F к H имеет вид

Здесь введены следующие обозначения:

Ап =єпСп| —АвІ+6Тп«„А@„+6Тґ

окр1-

локр

Д0„

i(H-F)2d(A0)=

9 0

Д@

Д©9

-I

9 0

м2а&2+м1а+м0-

-Д04 -4ГоіфД03

i,

где 5ск — среднеквадратичная разность функций Н и F. Минимум 5 определяется системой уравнений

5fe)_ 2 Д0 Г

8М2 Д0? J 0

5fe)_ 2 Л0 Г

1 Д0? J 0

sfe)_ 2 Д0 Г

О Д0д J 0

J Д0;

m2asz+m1a+

+ Мо-Д04-4ГО1фД03

V

М2Д0 +МіД0 +

+ МП -Д©4 -4ТЛ„ПД©3 2

М2Д0 +>1^0 +

+м0

Д04 -4ГОКрД03

£і

Произведя интегрирование и решив систему (9) относительно М2, М1 и М0, получим следующие формулы для коэффициентов аппроксимации:

12

7

М2 = — Д©„+6Г,

32

------і

35

12.

Щ = -—Щ-—токрА&

х|Г3 __?^Д03 --Т д@2 ^_ аАР0

локр 35 9 51OKpLSKJg I

nd

пр

Aq

ЕпСол| ( З

j Agr + T0Kp

Asq cojm APq

7t d

np

Уравнение (15) представляет собой уравнение теплового баланса провода, приведенное к квадратичному виду. Его решение имеет вид

©внеш окр

А\ — 4Aq А2 - Aj

2А,

Второй корень уравнения является посторонним, поскольку может давать © <© , что проти-

внеш окр

воречит физическому смыслу решаемой задачи.

Потери активной мощности на единицу длины провода равны

ДР = ДР,5

3. Анализ результатов. С практической точки зрения критерием эффективности проведенной аппроксимации является точность вычисления температуры провода и потерь активной мощности. Од-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

Таблица 1

Результаты сравнительных расчетов потока теплового излучения провода

и < 10 20 30 40 50 60 70 80

О’л, 108К4 8,784 18,54 29,35 41,26 54,38 68,75 8 8 101,6

Qannр, 108К4 8,763 18,4 29,24 41,26 54,48 68,9 84,5 101,3

О!, 108К4 8,823 18,63 29,43 41,22 53,99 67,75 82,5 98,24

О2, 108К4 8,773 18,45 29,04 40,54 52,94 66,25 80,47 95,59

5аппр, % -0,24 -0,76 -0,37 0 0,18 0,22 0,024 -0,3

51, % 0,44 0,49 0,27 -0,097 -0,72 -1,45 -2,34 -3,31

32, % -0,13 -0,49 -1,39 -1,75 -2,65 -3,64 -4,75 -5,92

Таблица 2

Исходные данные для решения уравнений теплового баланса

Наименование и обозначение параметра Численное значение

Погонное активное сопротивление при 0 °С г0 0,000663 Ом/м

Тепловое сопротивление изоляции на единицу длины S|a 0,193566 мК/Вт

Температурный коэффициент сопротивления а 0,0043 °С-1

Диаметр провода 0,0127 м

Коэффициент теплоотдачи вынужденной конвекцией авьт 13,3764 Вт/

Степень черноты поверхности провода еп 0,8

Поглощательная способность поверхности провода для солнечного излучения А5 0,9

Температура окружающей среды ©окр 0 °С

Плотность потока солнечной радиации ц 526,291 Вт/м2

Допустимая температура токоведущей жилы ©?оп 9 о С

нако эти величины зависят от многих факторов. Поэтому путем численного анализа трудно установить, насколько «типичны» получающиеся результаты. Чтобы исключить эти факторы, сначала проанализируем точность аппроксимации результирующего потока теплового излучения О , а точнее, величины

0>0л1К=Твпеш-Тскр.

Аппроксимированный аналог этой функции получается путем подстановки (2) в (21) и замены F на Н:

Оштр =

Имеет смысл дополнить анализ другими методами аппроксимации потока теплового излучения, приводимыми в [1] и [2]. Согласно [2], величина О'л заменяется функцией

02=тс

окр

4Д0 + 6

Л0

окр

Данная функция фактически получена путем разложения 0'л в ряд Тейлора в окрестностях точки А© = 0.

В [1] приведена следующая формула для коэффициента теплопередачи излучением:

кл = 2,8[і00+0,б(Г-273)]і(Г2 ,

где Т — абсолютная температура провода; в [1] рассматриваются неизолированные провода, поэтому Т =Т.

внеш

По смыслу коэффициент теплопередачи излучением представляет собой отношение потока теплового излучения к площади поверхности провода и разности температур провода и окружающей среды:

кл =

Ол

яс/прД©

Из сравнения (1) и (13) следует, что Ал = жёп епС0 Тогда

. ЕпСоО'л

к, =-

Д0

Обозначим приближенный аналог величины 0'л, полученный согласно [1], как 01. Тогда из (26) и с учетом (24) получается

л Д©

Уі_------------7г-------------

еп^0

Ниже приведены исходные данные для численного анализа.

Допустимая температура жилы Тдоп =363 К, что соответствует проводам с изоляцией из сшитого полиэтилена.

Принимаем А© =80 °С. Тогда согласно формуле (6) Т =275 К. 9

' ’ окр

Данное соотношение температур, строго говоря, справедливо только для изолированных проводов. У неизолированных проводов величина А©д должна быть несколько меньше. Тем не менее в дальнейшем для лучшей сравнимости результатов используется только А©9 = 80 °С. Это эквивалентно некоторому расширению диапазона аппроксимации для неизолированных проводов, что вполне допустимо при сравнительных расчетах.

В формулу (27) входит коэффициент черноты неизолированных проводов. Согласно [5, 6], для этих проводов 8п=0,6.

При этих условиях формулы (10) — (12) дают следующие значения коэффициентов аппроксимации:

М2 = 142971 К2,

М1 = -4692114 К3, М0 = 31670857 К4.

Результаты сравнительных расчетов потока теплового излучения представлены в табл. 1. Погреш-

Результаты решения уравнений теплового баланса

I, А 40 80 120 160 200 240

Расчет по исходному уравнению (13) © °С пр' 10,54 16,08 25,74 40,19 60,4 87,61

©внеш, °С 10,33 15,2 23,69 36,34 53,93 77,43

АР, кВт/км 1,109 4,537 10,6 19,91 33,41 52,58

Расчет по аппроксимированному уравнению (15) © °С пр' 10,54 16,11 25,78 40,2 60,37 87,65

©внеш, °С 10,33 15,23 23,73 36,35 53,9 77,47

АР, кВт/км 1,109 4,537 10,61 19,91 33,4 52,58

Погрешности 5© , °С пр' 0 0,03 0,04 0,01 -0,03 0,04

5 (АР), % 0 0 0,094 0 -0,03 0

ности определения величин Оаппр, и О2 относительно О' обозначены соответственно 8 , 8, и 8.

л аппр1 1 2

Из таблицы видно, что погрешности аппроксимации теплового потока излучения предложенным методом не превышают долей процента. Методы [1] и [2] дают хорошие результаты при небольших температурах, однако при приближении температуры к допустимой их погрешности возрастают. Метод [2] дает максимальную погрешность, превышающую 5 %. Метод [1] приводит к меньшей погрешности, однако он не в достаточной мере учитывает температуру окружающей среды, и при других ее значениях погрешность метода [1] может быть существенно больше (например, при Токр = 255 К и А© = 80° С получается 81 =8 %).

Таким образом, разработанный метод аппроксимации дает высокую точность на всем диапазоне температур и может быть использован при расчете потерь энергии и выборе мероприятий по их снижению.

Методы [1] и [2] в целом также дают удовлетворительную с инженерной точки зрения точность. Тем не менее в определенных ситуациях, в частности при технико-экономическом обосновании ввода мероприятий по снижению потерь, их погрешности могут заметно сказаться на результатах расчета.

В заключение приведем результаты сравнительных расчетов температуры и потерь активной мощности по аппроксимированному уравнению (15) и исходному (13). Расчет температуры внешней поверхности провода и потерь мощности по аппроксимированному уравнению производился по формулам (19), (20). Температура токоведущей жилы определялась по очевидному выражению

пр = внеш + АР  5из .

Расчет по уравнению (13) производился на основе решения этого уравнения методом последовательных приближений.

В качестве объекта вычислений выбран провод марки SAX-50. Исходные данные (за исключением тока) приведены в табл. 2, а результаты расчетов — в табл. 3. При этом введены обозначения 80пр и 8(АР) — абсолютная погрешность расчета температуры провода и относительная погрешность расчета потерь мощности по аппроксимированному уравнению (15) по сравнению с исходным уравнением (13).

При этих данных по формуле (6) получаем А© = = 82 ° С. 9

Из таблицы видно, что погрешности практически отсутствуют. Следовательно, аппроксимированное

уравнение в рабочем диапазоне температур фактически эквивалентно исходному.

Примечание

1 Здесь подразумевается не тепловое излучение собственно провода, а результирующий поток энергии с учетом излучения окружающих тел.

Библиографический список

1. Поспелов, Г. Е. Влияние температуры проводов на потери электроэнергии в активных сопротивлениях проводов воздушных линий электропередачи / Г. Е. Поспелов, В. В. Ершевич // Электричество. — 1973. — № 10. — С. 81 — 83.

2. Основы кабельной техники / Под ред. И. Б. Пешкова. — М. : Академия, 2006. — 432 с.

3. Макаров, Е. Ф. Справочник по электрическим сетям 0,4 — 35 кВ и 110—1150 кВ. В 5 т. Т. 2 / Е. Ф. Макаров. — М. : Папирус Про, 2003. — 640 с.

4. Особенности моделирования электрических и тепловых режимов распределительных сетей в задачах расчета потерь электроэнергии / С. С. Гиршин [и др.] // Энергетика и энергосбережение : межвуз. тематический сб. науч. трудов / Омский государственный технический университет. — Омск, 2011. - С. 154-162.

5. Левченко, И. И. Нагрузочная способность и мониторинг воздушных линий электропередачи в экстремальных погодных условиях / И. И. Левченко, Е. И. Сацук // Электричество. — 2008. — № 4. — С. 2 — 8.

6. Зарудский, Г. К. Уточнение выражений для расчета температуры проводов воздушных линий электропередачи сверхвысокого напряжения / Г. К. Зарудский, С. Ю. Сыромятников // Вестник МЭИ. — 2008. — № 2. — С. 37 — 42.

ГИРШИН Станислав Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

ГОРЮНОВ Владимир Николаевич, доктор технических наук, заведующий кафедрой «Электроснабжение промышленных предприятий», декан энергетического института.

КУЗНЕЦОВ Евгений Александрович, студент группы Э-419.

КАРПЕНКО Алексей Валерьевич, аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

Адрес для переписки: dima598@mail.ru

Статья поступила в редакцию 07.11.2012 г.

© С. С. Гиршин, В. Н. Горюнов, Е. А. Кузнецов,

А. В. Карпенко

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА