Динамический хаос в механических и оптических системах

А. С. Кондратьев, А. В. Ляпцев

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В МЕХАНИЧЕСКИХ И ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Теоретически исследуется движение одномерного ротатора, находящегося во внешнем поле, изменяющемся по гармоническому закону. Классическая модель ротатора описывается нелинейным дифференциальным уравнением, решения которого находятся численными методами. В зависимости от параметров задачи, в частности, от величины взаимодействия с внешним полем, решения могут иметь регулярную периодическую структуру, соответствующую вращению или колебанию ротатора, или иметь характер динамического хаоса. Качественные особенности численных решений объясняются с помощью сравнения классического и квантового описания для данной задачи. Особенности решения классической задачи объяснены, на основе принципа соответствия, следствием появления многофотонных переходов в квантовой задаче.

Явления, связанные с динамическим хаосом в нелинейных системах различной природы, широко исследуются в настоящее время [1-6]. Интерес к таким системам определяется, в частности, присущими им характерными особенностями, такими, например, как процессы самоорганизации, бифуркации и гис-терезисные явления, происходящие при эволюции подобных систем, возможность ограниченного предсказания их эволюции.

Новые перспективы в исследовании нелинейных систем открылись в связи с появлением компьютерного моделирования, что фактически позволяет ставить вычислительный эксперимент, дающий теоретическое решение в случае, когда аналитические методы исследования невозможно применить. Часто соответствующий натурный эксперимент затруднен в связи с побочными факторами, которые трудно преодолеть [5]. В ходе подобного вычислительного эксперимента выявляются некоторые качественные особенности поведения нелинейной динамической системы. Казалось бы, качественные особенности должны находить теоретическое объяснение без обращения к численному расчету, как это обычно имеет место в теоретической физике. Однако оказывается, что иногда для подобного теоретического осмысления необходимо выйти за рамки используемой модели и рассмотреть более широкую модель.

В данной работе мы рассмотрим одну из простейших нелинейных систем классической динамики, для которой численное моделирование позволяет выявить достаточно интересные качественные особенности. Объяснить эти особенности можно, если выйти за рамки классической механики и рассмотреть квантовомеханическую оптическую систему.

Рассмотрим электрический диполь, способный совершать вращение вокруг фиксированной в пространстве оси (рис. 1).

Пусть на диполь действует переменное электрическое поле, вектор напряженности которого может быть направлен вдоль оси х. Момент сил, обусловленный воздействием электрического поля, имеет вид N = d х Е(/) , где й — вектор дипольного момента, Е — вектор напряженности электрического поля. Рассматривая вращение диполя в рамках классической динамики, уравнение движения можно представить в виде

70 + а0 = Е (7 )зт 0.

В этом уравнении 7 — момент инерции диполя относительно оси вращения, = Е(^. Коэффициент а характеризует момент сил вязкого трения.

Природа этих сил может быть различной. Наряду с обычными силами трения подобным образом могут быть учтены потери энергии на излучение диполя.

Рис. 1

Будем далее считать, что внешнее поле изменяется по гармоническому закону. Тогда уравнение движения можно привести к виду:

700 + а0 = Е эт 0 соб

где ш — частота внешнего поля, Е о = Е0^, Е0 — амплитуда внешнего поля.

Уравнение (2) является нелинейным дифференциальным уравнением и в общем случае может быть решено лишь численными методами. Для численного решения удобно преобразовать уравнение, уменьшив число параметров:

00 + у0 = I эт 0 соэ

где

а

У =

7ю '

I =

Е

7ю

Как многие нелинейные уравнения, уравнение (3) сводится к линейному уравнению в предельном случае, когда угол 0 изменяется в некотором небольшом интервале. В данном случае, если начальные условия таковы, что 0(0) близко к значениям ±п/2, а начальное значение угловой скорости мало, уравнение (3) описывает вынужденные гармонические колебания с амплитудой

А =

I

2

2^1 + У

Очевидно, что это решение существует либо в случае у<<1 и f<<1, либо при у>>1 и f<<y.

При произвольных значениях параметров у и f решения могут быть получены лишь численными методами, за исключением тривиальных решений при

начальных условиях sin(9(0))=0 и 9(0) = 0 . Интересные качественные особенности решений получаются, если считать затухание малым (у<<1) и варьировать параметр f А именно, численное решение уравнения (3) приводит к следующим закономерностям.

1. При некоторых значениях параметра f при любых начальных условиях решение является непериодической функцией и реализуется динамический хаос. Следует отметить, что, как и возможности натурного эксперимента, возможности численного эксперимента ограничены. Естественно, проверялись несколько наборов начальных условий и время, на протяжении которого вычислялась функция 9(í), было ограничено (порядка сотни периодов вынуждающего воздействия).

2. Существуют значения параметра f при которых при любых начальных условиях после истечения определенного времени решение становится периодическим. Период решения в большинстве случаев совпадает с периодом вынуждающего воздействия, однако может быть и кратен ему (наблюдались кратности до шести периодов вынуждающего воздействия).

3. Периодические решения могут быть как чисто колебательными (среднее значение угла 9 не изменяется со временем), так и вращением с наложенными на него колебаниями. В последнем случае значение угловой скорости, усредненное по периоду, остается неизменным. На рис. 2 и 3 приведены графики, иллюстрирующие вышесказанное. Слева изображены графики зависимости угла от времени (верхний график, значения — в оборотах), угловой скорости в зависимости от времени (нижний график, значения — в секундах в минус первой степени) и вынуждающего воздействия (средний график). Справа приведен график фазовой диаграммы, на которой по горизонтальной оси отложено значение sin 9, а по вертикальной — значения 9 cos 9 .

Решение, приведенное на рис. 2, соответствует колебаниям при f = 7,3. Период колебаний в шесть раз больше периода вынуждающего воздействия. Фазовая диаграмма представляет собой 12 наложенных друг на друга петель. Решение, приведенное на рис. 3, соответствует вращению с наложенными колебаниями при f = 31,4. Кратность периода в этом случае равна 3, а фазовая диаграмма также представляет собой 12 наложенных петель.

4. Существует определенная регулярность расположения значенийf соответствующих различным видам решений. А именно: можно выделить интервалы значений f таких, что при любых значениях, лежащих внутри интервала, характер решения (хаос, вращение, колебание) остается неизменным. Будем для краткости называть такие интервалы зонами. Будем называть запрещенными зонами такие, для которых имеют место хаотические решения, вращательными зонами — такие, для которых решения соответствуют установившемуся вращению (рис. 3), и колебательными зонами — такие, для которых решения имеют характер установившихся колебаний (см. рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

О расположении зон можно судить по схеме, изображенной на рис. 4. По горизонтальной оси отложено значение /. Нулевые значения по вертикали соответствуют значениям/, для которых имеют место хаотические решения.

Для удобства будем условно считать, что положительные значения по вертикали соответствуют колебательным решениям, а именно кратности периода колебаний в отношении к периоду вынуждающего воздействия. Отрицательные значения по вертикали соответствуют вращательным решениям, при этом модуль значения по вертикали также характеризует кратность периода.

;

мЬгайоп

------ в *---* - »---- ------ ------

-----

О 10 20 30 40 50 60 70

Рис. 4

Рис. 4 наглядно демонстрирует такую «зонную структуру». При этом для небольших значений / структура имеет хаотичный вид, внутри запрещенных зон имеются отдельные точки, соответствующие колебательным и вращательным решениям. При больших значениях / структура становится более регулярной.

5. Из рис. 4 видно, что колебательные и вращательные зоны чередуются, причем между каждой парой колебательная зона — вращательная зона имеется запрещенная зона.

6. Регулярные решения обладают периодичностью, в частности, угловая скорость является периодической функцией времени и может быть представлена в виде ряда Фурье. Такое разложение может быть осуществлено стандартными численными методами. Оказывается, что, начиная с достаточно больших значений / разложение в ряд Фурье для решений с кратностью единица (период решения совпадает с периодом внешнего воздействия) обладает характерными особенностями. А именно: разложение для колебательного решения содержит только нечетные гармоники, разложение для вращательного решения — только четные гармоники (нулевая гармоника соответствует средней скорости). Заметим, что поскольку все вычисления выполняются приближенно, точного нуля для исчезающих гармоник, естественно, не получается. Таким образом, зависимость угла от времени может быть представлена в виде

е

n=0

(ш = 1) — для решений, соответствующих вращению, и в виде

e

n=0

— для решений, соответствующих колебаниям. Реализация решений со знаками «±» зависит от выбора начальных условий.

7. Расчет средней мощности диссипации, то есть среднего значения тепловой мощности, показывает, что при переходе от хаотического решения к регулярному решению эта величина уменьшается, что полностью соответствует теореме Пригожина о том, что если в открытой системе, подвергающейся внешнему воздействию, возникают упорядоченные структуры (в данном случае упорядоченные временные структуры), то производство энтропии уменьшается [7].

Перечисленные выше качественные особенности можно объяснить, выйдя за рамки классической модели и рассмотрев модель квантового одномерного ротатора. Подобные модели используются, например, в теории молекулярных спектров, когда исследуются вращательные молекулярные спектры. Правда, для описания вращения обычных молекул требуются две или три степени свободы. Однако существуют некоторые сложные молекулы, в которых отдельные группы вращаются относительно некоторой оси, связанной с молекулой (молекулы с внутренним вращением). Подобные вращения могут быть в определенных случаях описаны как вращение одномерного ротатора [8, 9].

Рассмотрим вначале свободный ротатор. Собственные функции и собственные значения свободного ротатора определяются из уравнения Шредингера:

Щт = гт^т ,

M2 м = -—

где гамильтониан имеет вид H =-, M — оператор момента: м = . Опе-

2/ i <эе

ратор момента коммутирует с гамильтонианом, поэтому собственные функции и собственные значения определяются квантовым числом т, являющимся с точностью до множителя h собственным значением оператора момента:

8т = 2/ т2 = hBm2,

1

Vrn = ^^ехР

(величина B = -2/ называется вращательной постоянной).

Заметим, что, данная система обладает определенными свойствами симметрии. В частности, из симметрии относительно поворотов вокруг оси следует, что оператор момента коммутирует с гамильтонианом. Помимо этого, имеется также симметрия по отношению к отражению в любой плоскости, проходящей через ось вращения. Соответственно волновые функции могут быть классифицированы по отношению к этой операции симметрии как четные и нечетные. Такие функции являются линейной комбинацией функций (9) и имеют вид

1 I I 1

<Р*т = ~Т 51П

V п л/п

Пусть теперь на ротатор действует внешнее периодическое возмущение. Возмущение, аналогичное тому, что было рассмотрено в классической задаче, означает, что на ротатор действует внешнее линейно поляризованное электрическое поле с частотой ш. Соответствующий оператор может быть представлен в виде

У0) = Ео ^собЭ сов

Гамильтониан, включающий оператор У(1), уже не инвариантен относительно поворотов вокруг оси вращения, однако инвариантен по отношению к отражению в плоскости, проходящей через ось вращения и ось х (рис. 1). В силу этого набор функций (10) оказывается более предпочтительным.

Если возмущение можно считать малым, то воздействие поля можно свести к тому, что оно вызывает переходы (поглощение или вынужденное излучение) между уровнями свободного ротатора. Вычисляя матричные элементы от оператора возмущения, несложно получить правила отбора. Однофотонные переходы происходят между состояниями одной и той же четности и Л\т\=±1. При усилении внешнего поля становятся возможными и-фотонные переходы, которые также происходят между состояниями одной и той же четности. Правила отбора по числу т можно получить, вычисляя матричные элементы от оператора (¥(фп. Для нечетных значений и получим

Л\т\=±1, ±3,... ±и,

а для четных и:

Л\т\=0, ±2, ±4,... ±п .

Переходы могут происходить, только когда частота поля попадает в резонанс с данным переходом, то есть для и-фотонного перехода выполняется равенство

Ет' - Ет = Ьпш.

Подставив выражение для энергий, получим

Б((\т\+Лт) 2 - т2) = пш,

или

БЛт(2\т\ + 1) = пш.

Рассмотрим частный случай, когда на переход т=0 ^ т=1 «укладывается» целое число / фотонов, то есть

Из соотношений (12), (13) следует, что числа Лт и п должны быть одной четности. Для нечетных значений / величина /(2\т\ + 1) нечетна, и четности Лт и п действительно совпадают. Это означает, что для нечетных значений / всегда можно подобрать такое значение п, что многофотонный переход возможен между любыми уровнями. Если же значение / четно, то и п четно, а значит, Лт также четно. Следовательно, при четном значении / многофотонный переход возможен только между уровнями, характеризуемыми числами т и т 'одинаковой четности.

Появление четных и нечетных частот в разложении угловой скорости в классической задаче и четных и нечетных чисел, определяющих переходы между уровнями в квантовой задаче, наводят на мысль об определенной корреляции между классической и квантовой моделями. Более детально эту корреляцию можно проследить, исходя из принципа соответствия Бора.

Прежде всего, следует соотнести регулярные периодические решения в классической задаче с резонансами в квантовой задаче. В слабых внешних полях в квантовой задаче при резонансе увеличивается поглощение внешнего поля и, соответственно, спонтанное излучение, то есть увеличивается диссипация энергии. Однако достаточно сильные резонансные поля, воздействующие на систему, приводят к выравниванию заселенностей уровней и к уменьшению поглощения и, соответственно, к диссипации. Подобное явление в нелинейной оптике называют явлением самоиндуцированной прозрачности [10]. Сопоставление квантовой и классической задач имеет смысл в пределе достаточно больших квантовых чисел, то есть при наличии многофотонных переходов. Отсюда следует, что регулярные периодические решения в классической задаче, для которых уменьшается диссипация энергии, должны соответствовать резо-нансам в квантовой задаче.

Сравним теперь спектры излучения в классической и квантовой задачах. В квантовой задаче спектры излучения обусловлены как вынужденным, так и спонтанным излучением. Вынужденное излучение всегда происходит на частоте вынуждающего воздействия, его интенсивность увеличивается пропорцио-

Б=/ш.

Тогда соотношение (14) принимает вид

/Лт(2\т\ + 1)=п.

нально интенсивности внешнего поля. Интенсивность спонтанного излучения зависит от интенсивности падающего излучения лишь косвенно, через заселенность уровней. Интенсивность спонтанного многофотонного излучения всегда много меньше интенсивности спонтанного однофотонного излучения, и в первом приближении ее можно не учитывать. Таким образом, интенсивность спонтанного излучения происходит на частотах:

Пт = Б

Поляризация вынужденного излучения всегда такая же, как и поляризация внешнего поля. В данной задаче — это линейная поляризация по оси х (рис. 1). Спонтанное излучение может иметь любую поляризацию, в частности, отлична от нуля поляризация вдоль оси у. Чтобы отделить спонтанное излучение от вынужденного излучения, ограничимся лишь рассмотрением излучения, поляризованного вдоль оси у.

Рассмотрим частный случай резонансов, когда выполняется соотношение (15). Для величины 0.т получим

От = /(2\т\ + 1)ш.

Из этого соотношения видно, что спонтанное излучение, поляризованное вдоль оси у, происходит на частотах, кратных частоте внешнего поля, причем коэффициент кратности имеет ту же четность, что и число /.

Перейдем теперь к классической задаче. Излучение, поляризованное вдоль оси у, на заданной частоте определяется в этом случае квадратом модуля разложения Фурье компоненты дипольного момента ёу. Основываясь на разложениях (5) и (6), несложно показать, что при регулярном решении с периодом, кратным периоду внешнего поля, излучение будет происходить на частотах, кратных частоте внешнего воздействия. При этом поляризованное по оси у излучение будет иметь нечетную кратность, если решение соответствует вращению, и четную кратность, если решение соответствует колебанию.

Исходя из принципа соответствия, можно сделать вывод о том, что если частота внешнего поля удовлетворяет соотношению (15), то нечетные значения / соответствуют регулярному вращению в классической задаче, а четные значения / — регулярному колебанию в классической задаче. Основываясь на этом выводе, можно предложить следующее объяснение чередованию запрещенных, вращательных и колебательных зон в классической задаче.

Рассмотрим вначале внешнее поле, резонансное с переходом т = 0 ^ т = 1, то есть / = 1 (рис. 5, а). Этому полю, исходя из предыдущих рассуждений, можно сопоставить регулярное вращение в классической задаче. Будем теперь уменьшать частоту поля, что в соответствии с формулами (4) эквивалентно увеличению значения / в классической задаче. В какой-то момент мы придем к соотношению, проиллюстрированному рис. 5, в, то есть к резонансу с /=2. Этот резонанс отвечает регулярному колебанию в классической задаче. При промежуточном значении поля (рис. 5, б) не выполнены условия однофотонного и двухфотонного резонанса, и, соответственно, в классической задаче имеет место нерегулярное решение — хаос. Далее все повторяется — промежуточная

частота (рис. 5, г) соответствует хаосу, а резонанс при 1=3 — вращению в классической задаче (рис. 5, д).

=0

а)

б)

в)

г)

т

г

1

¿=з

д)

Рис. 5.

Возникает вопрос, насколько малой должна быть отстройка от резонанса, то есть чем определяется соотношение между ширинами запрещенных и разрешенных зон. В квантовой задаче при слабых внешних полях ширина резонанса определяется шириной уровня энергии, обусловленной различными видами релаксации, в частности, спонтанным излучением. При увеличении интенсивности внешнего поля, что в квазиклассическом приближении эквивалентно увеличению амплитуды внешнего поля Е0, ширина резонанса определяется величиной взаимодействия с полем, то есть величиной ^о = Е00й [10]. Таким образом, если значение ¥0 сравнимо по порядку величины с энергией ЬБ, то ширины запрещенных и разрешенных зон сравнимы между собой.

Приняв приведенное выше объяснение за основу, можно сделать вывод о том, что серединам разрешенных зон в классической задаче соответствуют значения //, определяемые с помощью формулы (4):

, ^012 2 ^ 12 п 2

// =—Т =-= А1 .

1Б НБ У 7

Заметим, что равенство по порядку величины ширин разрешенных и запрещенных зон означает в соответствии с формулой (18), что /1 должна быть по порядку величины сравнима с единицей.

Из равенства (18) следует, что номер разрешенной зоны I должен быть

пропорционален величине . Чтобы убедиться в этом, пронумеруем разрешенные зоны, полученные в численном эксперименте, и изобразим их на графике, где по вертикали отложен номер зоны, а по горизонтали — величина

. Промежуточным запрещенным зонам будем сопоставлять полуцелые значения. Соответствующий график приведен на рис. 6.

Рис. 6.

На графике не приведена самая первая зона, поскольку для нее, как следует из рис. 4, перемешиваются вращения и колебания. Это соответствует общему положению о том, что при малых квантовых числах сопоставление классической и квантовой задачи не приводит к хорошим результатам. Самая последняя запрещенная зона на рис. 6 приведена не полностью, поскольку численный эксперимент был ограничен значением / = 70. Как видно из рисунка, структура зон достаточно хорошо укладывается на прямую линию, что подтверждает справедливость сделанных выше предположений, объясняющих структуру зон.

Исходя из рис.6, несложно сделать достаточно точную оценку для величины /1, вычислив тангенс угла наклона проведенной прямой. Получается величина, близкая к 0,5. Это означает, что в соответствии с численными расчетами между величинами и ЬБ имеет место соотношение = НБ/4, что достаточно хорошо соответствует приведенной выше интерпретации численных результатов.

Сопоставление классической и квантовой задач позволяет также объяснить появление периодических решений с периодом, кратным периоду вынуждающего воздействия. Частота спонтанного перехода в этом случае должна быть в целое число раз к меньше частоты внешнего воздействия. Исходя из формулы (17), получим

П =

Это соответствует многофотонному резонансу между уровнями, отстоящими друг от друга на величину, большую чем Б. Например, при двухфотонном резонансе между уровнями т = 0 и т = 2 выполняется соотношение 2ш = 4Б, и в соответствии с формулой (19) при спонтанном излучении появляется частота

Q = ш/2, то есть периодическое решение с периодом, в два раза большим, чем период внешнего поля.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Berge P., Pomeau Y., Vidal Ch. Order within Chaos. Wiley, New York, 1986.

2. Schuster H. G. Deterministic Chaos. VCH, Weinheim, 1988.

3. Briggs K. Simple experiments in chaotic dynamics // Am. J. Phys. 1987. V. 55. P. 1083—

1089.

4. Croquette V., Poitou C. Cascade of period doubling bifurcations and large stochasticity in the motions of a compass // J. Phys. Lett. 1981. V. 42. P. 537-539.

5. Weltner K., Esperidiao S., Andrade R. F. S. Demonstration of different forms of the bent tuning curve with a mechanical oscillator // Am. J. Phys. 1994. V. 62(1). P. 56-59.

6. Ballico M. J., Sawley M. L., Skiff F. The bipolar motor: a simple demonstration of deterministic chaos // Am. J. Phys. 1990. V. 58. P. 58-61.

7. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М., 1971.

8. Банкер Ф. Симметрия молекул и молекулярная спектроскопия. М., 1981.

9. PapousekD., AlievM. R. Molecular vibrational-rotational spectra. Prague, 1983.

10. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М., 1978.

A. Kondratiev, A. Liaptsev

DYNAMIC CHAOS IN MECHANICAL AND OPTICAL SYSTEMS

A theoretical investigation of one-dimensional rotator under external harmonic oscillating field is carried out. The classical model of a rotator is described by nonlinear differential equation which is solved numerically. The solutions depend on the parameters of the model, particularly on the field strength. The solutions can have regular periodic structure corresponding to the rotation or vibration of the rotator, or a nonperiodic chaotic structure. The character of solutions is explained by comparison of the classical and quantum mechanical description of the model. The peculiarities of the classical solution may be explained with the help of the correspondence principle as a consequence of multiphoton transitions in the quantum mechanical model.