Представление дельта-сигма модулятора генератором «Цветного» шума при определении уровней помех дробности в синтезаторах частот

С.К. Романов,

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, ОАО «Концерн «Созвездие»

А.В. Леньшин,

доктор технических наук, доцент, Военный авиационный инженерный университет, г. Воронеж

Н.М.Тихомиров,

доктор технических наук, старший научный сотрудник, ОАО «Концерн «Созвездие»

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЛЬТА-СИГМА МОДУЛЯТОРА ГЕНЕРАТОРОМ «ЦВЕТНОГО» ШУМА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРОВНЕЙ ПОМЕХ ДРОБНОСТИ В СИНТЕЗАТОРАХ ЧАСТОТ

DELTA-SIGMA MODULATOR REPRESENTATION BY THE COLORED-NOISE GENERATOR WHILE DEFINING THE NOISE GRAININESS LEVEL IN FREQUENCY SYNTHESIZERS

Рассмотрен подход к определению уровней помех дробности в выходном сигнале синтезатора частот с системой импульсной фазовой автоподстройки частоты (СЧ-ИФАПЧ), основанный на представлении дельта-сигма модулятора (ДСМ) в составе делителя частоты с дробным переменным коэффициентом деления (ДДПКД в виде устройства, генерирующего «цветной» шум. Получены соотношения для расчета спектров помех в СЧ-ИФАПЧ с частотно-фазовым детектором с неидентичными токами накачки. На основе полученных соотношений разработана программа для расчета уровня помех дробности. Расчетные значения уровней помех дробности сравниваются с результатами моделирования СЧ-ИФАПЧ с ДДПКД в подсистеме SIMU-LINK системы MA TLAB.

An approach of defining noise graininess levels in the frequency synthesizer output signal with pulse phase-locked loop (FS-PPLL) system based on delta-sigma modulator representation forming part of the frequency demultiplier with fractional variable dividing coefficient as a device generating «colored» noiss is discussed. Ratios for noise spectrum computation in PPLL with the frequency-phase detector and nonidentical pump current are acquired. Noise graininess level estimated values are compared with SF-PPLL design results in SIMULINK subsystem of MATLAB.

Из теории синтеза частот известно, что наличие ДДПКД в системе ИФАПЧ приводит к появлению в выходном сигнале СЧ-ИФАПЧ помех дробности (ПД). Для уменьшения уровня ПД в низкочастотной части спектра сигнала синтезатора в составе ДДПКД используется схема дельта-сигма модулятора в разных модификациях. Расчеты ПД в СЧ-ИФАПЧ с ДДПКД и ДСМ по линейной модели [1] показывают высокую эффективность применения ДСМ. Однако система ИФАПЧ имеет ряд нелинейностей, которые ухудшают ослабление спектральных составляющих ПД в полосе пропускания системы ИФАПЧ. Это такие нелинейности, как : пороговый характер работы ДДПКД [2]; неравенство токов накачки при использовании импульсного частотнофазового детектора с зарядовой накачкой (ЧФД/ЗН) в составе ИФАПЧ.

Целью настоящей работы является нахождение соотношений, позволяющих более точно рассчитывать спектры помех в СЧ-ИФАПЧ с ДДПКД с ДСМ и ЧФД/ЗН, имеющего неодинаковые токи заряда и разряда, поступающие на вход фильтра нижних частот (ФНЧ ). Необходимо провести расчет уровней ПД в зависимости от степени не-

равенства токов накачки в ЧФД/ЗН, результаты расчета сравнить с результатами поведенческого моделирования системы ИФАПЧ с ДДПКД с ДСМ и нелинейным ЧФД/ЗН под воздействием шумов.

Рассмотрим подход к определению уровней помех дробности, основанный на представлении ДСМ в виде устройства, генерирующего «цветной» шум [3]. Для пояснения последующего материала обратимся к схеме на рис. 1, в верхней части которого изображён ДСМ со следующими элементами: ИШ — источник шума, генерирующий

белый шум со спектральной плотностью (2р)2 70 / (12.^); Д — дискретизатор, на выходе которого образуется дискретный белый шум; ФФ — формирующий фильтр с передаточной функцией (1 — Z 1)^ , где Z 1 = exp(—*70) ; И — интегратор и ЭНП — экстраполятор нулевого порядка с передаточными функциями вида 1/(1 — Z 1) и (1 — 2-1)/ * соответственно.

ИШ

ФФ

И

ЭНП ДСМ

(1 - 2 - )т

1 - 2

1 - 2 "

6

3ДСМ (<И

СУМ1

I

І

ЄН

НЭ

_к.

СУМ2

N.

ИФАПЧ

Д

1

Рис. 1. ДСМ в виде устройства, генерирующего «цветной» шум в системе ИФАПЧ синтезатора частот

Спектральная плотность шумов на выходе этого ДСМ определяется как

3дсм

(2р)2

1 - е~^То

2 Рм

12а2 ^Т0

Если ввести безразмерную частоту *№ = О)Т0 /2, то последнее выражение запишется в виде

2

(2р)22

3дсм (^) _

^°2( т-1) Т0|8іи( w )|2 Рм

12 N 02 w2

В нижней части рис. 1 показана сведённая к нелинейной непрерывной система ИФАПЧ, в которой сумматоры СУМ1 и СУМ2; НЭ — нелинейный элемент с характеристикой

[О, при—) < 0

где —({) — входной сигнал НЭ; }(.) — выходной сигнал НЭ, и элемент с передаточной функцией /зн / 2л — характеризуют ЧФД с неравными токами ЗН. Другие

элементы системы ИФАПЧ понятны из схемы на рис. 1.

При решении задачи определения спектральной плотности мощности шумов ^гун (^) на выходе системы ИФАПЧ для модели шумов на входе (1) примем следующие ограничения:

Ограничение 1 — выполнение условия \К — 1р 1, (в реальных ЧФД/ЗН величина | кн — 1|П 0,1).

Ограничение 2 — система ИФАПЧ эквивалентна фильтру с характеристикой ФНЧ (при воздействии на ее вход) с частотой среза /Ср, удовлетворяющей условию

/ср  1/27).

Ограничение 3 — шум на входе системы ИФАПЧ является нормальным стационарным процессом с нулевым средним значением.

Ограничение 4 — в передаточной функции ФНЧ ОфНЧ (*) присутствует один

нулевой полюс (это приводит к тому, что — постоянная составляющая случайного

процесса }(?) на выходе НЭ — равна среднему значению случайного процесса т1- на

входе НЭ со знаком «минус», то есть постоянная составляющая на выходе СУМ2 равна нулю).

Используя ограничения 3 и 4, заимствуем из работы [4] выражение для корреляционной функции процесса }

- ~ — Т) 04 Щр о

В}

1=0 I ! о

где О1 — дисперсия —(1;), — (т) — нормированная автокорреляционная функция р(?) ;

, ~ 1 сп сп тр р т, р 1 X —1 г2

р( (1) = (* р( (?^, р( }(—-) = F(—-), ^(х) = I Г е 2 dz — ин-

1 о о <2ж—¥

1 х

о о

.2

2 рр) I

теграл вероятности; р(х) = --е 2 , р'1)(X) — 1-я производная от р(х) по dx.

42л

Из (3), учитывая ограничение 4, найдём выражение для т—

1 т1— п

1 —- (-1-)2 т — т, р 1 т—

—т1-=о

\/2л о о \ 2 о

2 X 2

где ег/(х) = —¡= [ е~— dt.

Уравнение (4) является трансцендентным относительно т—, поэтому, учитывая ограничение 1, разложим правую часть (4) в ряд Тейлора по т— /о и, отбрасывая величины второго порядка малости, получим в итоге

т— 1 кн — 1

— »-------Т=---------н-------.

о 42л 1 + 0,5

Используем (5) для определения коэффициентов при — (т) в ряде (3), ограничившись значением 1 = 2, то есть

т 1 (”1р)2

В}ТТ»

о 4л

В выражении (6) нас интересует третий член, который характеризует трансформацию высокочастотной части спектра —) в низкочастотную область

В2,

4л

и практически не зависит от значения т— /о ввиду его малости.

Учитывая ограничения 1 и 2, будем считать, что —(^) соответствует процесс со спектральной плотностью (4), дополненный постоянной составляющей т—. Тогда, используя известные соотношения Винера-Хинчина для связи между спектральной плотностью мощности шумов и автокорреляционной функцией, получим выражение

Bx(t) = ОРм Rp„ (*)•

(2л)2 1 _

где О2 =--------т-22Рж 1--, t = 2t / F, а к — коэффициенты, определяемые с по-

p 12N0 k 0 p

0 Рм

мощью табл. 1

RM

л 0 w

Таблица 1

Рм кРм

2 4

3 16/3

4 32/5

Для различных порядков ДСМ с помощью методов символьной математики системы Mathematika 5.1 из (4) получим

R2(t) = -[4 - 3t - 4(-2 +t)sign(2 -t) + (-4 +t)sign(4 -t)],

8

Я3(т) = ^[12- 10т-15(-2 + т)81^;п(2- т) + 6(-4 + т)sign(4 -т) + +681^(6 - т) - тsign(6 - т)],

Я4(т) =—[40 - 35т- 56(-2 + т)sign(2 - т) + 28(-4+Т8^п(4 - т) + 80

+48sign(6 - т) - 8тsign (6 - т) - 8sign(8 - т)+тsign(8 - т)] .

Подставим (8) в (7) и проведём преобразование Фурье от В2^(т) с помощью

системы Mathematika 5.1. В итоге получим выражения для спектральной плотности шумов Т)($), соответствующих В2Дт) для различных порядков ДСМ:

_2 \2 Рм

«2 р. (V = (к»"»^р. (“’).

с / 12^-8^соз

Ч™):

-120^ -120 ^

36^

-1

400ж

[-1400V -1680соз(2^) - 336^ соз(4^) -16^ соз(6^) +

+784 sin(2 V) + 392 зт(4^) + 48 эт(6^) + зт(8^)].

Результаты расчетов зависимостей «2(^), «З^), £<4('№’) приведены на рис. 2.

Рис. 2. Графики зависимостей 82

Учитывая ограничение 2, аппроксимируем эти зависимости спектральной плотностью белого шума, прошедшего через интегрирующее звено с передаточной функци-

ей 1/(1 + ~) . Для этого разложим £3(^), »^('Н') в ряд Тейлора в системе

МаШетаАа 5.1 и удержим первые два члена. В итоге получим

^Рм

1 + ГРм ™

где К„ и Т в зависимости от р приведены в табл. 2

Рм рм ± м

Таблица 2

Рм К Рм Т Рм

2 1,333 1,41

3 1,555 1,70

4 1,76 1,97

Линеаризуем систему ИФАПЧ с ДСМ в виде устройства, генерирующего «цветной» шум (рис.1). Для этого считаем, что коэффициент передачи от выхода СУМ2 к выходу СУМ1 равен ((1 + кн ) /2) по отношению к £ДСМ (&>) . Перенесём к

плюсовой точке СУМ1 и посчитаем, что коэффициент передачи системы ИФАПЧ от выхода звена / £ к плюсовому входу СУМ1 в пределах полосы пропускания сис-

темы равен N. На основании этого с учётом (2) и (10) найдём выражение спектральной плотности ^гун (&>) в пределах полосы пропускания системы ИФАПЧ

2

^ГУН (^) = [*^ДСМ (^) + ^2ц(^)]^0 =

= Р Тo

рм

Соотношение (11) позволяет найти частоту среза системы, когда ^2^(2р/Ср^ДСМ (2р/Ср ) (то есть уточнить ограничение 2). В этом случае справедливы все проведённые выше выкладки:

/ <_^[

"СР рТо1 4рКрм ' ' '

Например, для ДСМ третьего порядка с рм = 3 при неравенстве токов заряда и

разряда кн = 1,05 для частоты среза /Ср < 0,0275 / 70.

Для сравнения результатов расчетов уровней помех дробности по точной и приближенной моделям найдем дисперсию шумов, вычисленных по формуле (11) с учетом

условия (12) в полосе частот Аю = 2р/ рмк70 :

2 2 рКа1_ 22рм-3

0І2« =

3 Рм кКРМ

Графики на рис. 3 иллюстрируют сравнение расчетов уровней помех дробности по точной и приближенной моделям. На этом рисунке приведены результаты расчетов

уровней помех дробности по программе ¡Гар_ё8ш для различных порядков ДСМ: кривая 2 для рм = 2 , кривая 3 для рм = 3, кривая 4 для рм = 4 .

Прямые 2а, 3а, 4а рассчитаны для дисперсии шумов о\т по (13) и соответственно для второго, третьего и четвертого порядков ДСМ. Параметры системы ИФАПЧ выбирались при неравенстве токов накачки кн = 1,05.

Рис. 3. Уровни помех дробности для различных порядков ДСМ Из анализа данных, приведенных на рис. 3, можно сделать вывод, что расчёты уровней помех дробности по приближенной модели можно рассматривать как оценочные, особенно велико отклонение уровней дискретных помех дробности от оценочного значения при рм = 2 .

Рассмотрим влияние неравенства токов накачки заряда и разряда в ЧФД/ЗН на интегральную оценку качества выходного сигнала системы ИФАПЧ, в качестве которой

примем дисперсию фазы 7^ сигнала ГУН, которая определится как

1

2Р 3

2

+

I (кн121) лТо(шГ)2(Рм-1' + (к, -1)2 р(йГо)]|Я(/О|2 йсо, где Gз (]О) — частотная передаточная функция замкнутой системы

ИФАПЧ в3(]0) = (]0 , вр(] О) = /ЗН^ГУН°ФНЧ(]0.

3 1 + ОР (]о) Р 2Ж]ОИ0

—оо

—оо

На рис. 4 непрерывными линиями показана зависимость среднеквадратичного от-

г~2360

клонения фазы (2 = ^172------ в градусах сигнала ГУН от относительной частоты среза

2р

./срТ0 системы ИФАПЧ в логарифмическом масштабе, рассчитанная по формуле (14).

Параметры системы ИФАПЧ задавались следующими:

^(/о) = Кп--------------j----1--------------, К — постоянный коэффициент, ? ,

ри ' 0 (]—2 +1)0—Г3 +1)(]—4 +1) 0 1

Т2, Т3, ?4 — некоторые постоянные времени ФНЧ, определяемые в результате параметрического синтеза по показателю колебательности М = 1,3 при

Т0 = 1/10,24 МГц, И0 = 10, кн = 1,05.

На рис. 4 точечными линиями показаны результаты расчетов средне-

квадратичного отклонения фазы сигнала ГУН в модели, разработанной в 8тиНпк, штриховыми линиями показаны результаты расчетов отклонения фазы в модели, разработанной в 8тиНпк согласно [5], при этом дополнительно задавались емкость НС

т = 210 и число а = 1.

Рис. 4. Графики зависимости среднеквадратичного отклонения фазы сигнала ГУН от относительной частоты среза системы ИФАПЧ

Сравнение полученных данных показывает их близость за исключением случая второго порядка ДСМ Рм = 2 в области частот среза, когда /срТ) < 2 X10 2, в этом случае, очевидно, нельзя помехи дробности аппроксимировать «цветным» шумом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Романов С.К., Марков И.А. Определение помех дробности в синтезаторах частот с системами ФАПЧ, использующие дельта-сигма модуляторы в дробных делителях частоты // Теория и техника радиосвязи. — 2006. — Вып. 1. — С. 97—102.

2. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. — М.: Радио и связь, 1989. — 232 с.

3. Scott E. Meninger, Michael H. Perrott. A Fractional-N Frequency Synthesizer Architecture Utilizing a Mismatch Compensated PFD/DAC Structure for Reduced Quantization-Induced Phase Noise // IEEE Transactions on Circuits and Systems II; Analog and Digital Signal Processing. — Vol 50. — N11. — November, 2003. — P. 839—849.

4. Thomas E. Stichelbout Ph. D. System simulation of a fractional PLL with MatLab // Division of Digital Signal Processing, Alaborg University, 2000. — P. 122—128.

5. Черных И. В. SIMULINK: Среда создания инженерных приложений / под общ. ред. В.Г. Потемкина. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. — 496 с.