АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ОРТОРЕКУРСИВНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ ДВОИЧНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ

Математика

УДК 517.518.3

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ОРТОРЕКУРСИВНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ ДВОИЧНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ

Изучаются асимптотические свойства коэффициентов орторекурсивного разложения по системе характеристических функций двоичных промежутков, связанные с локальными свойствами разлагаемой функции. Получены асимптотические формулы в случаях дифференцируемых функций и функций, имеющих в исследуемой точке разрыв 1-го рода.

Ключевые слова: орторекурсивное разложение, двоичные интервалы, асимптотика.

Asymptotic properties of the coefficients of orthorecursive expansion over a system of indicators of dyadic intervals associated with local properties of the expanded function are studied. Asymptotic formulas are obtained in the cases of differentiable functions and functions having a discontinuity of the first kind at the point under study.

Key words: orthorecursive expansion, dyadic intervals, asymptotics.

Введение. Орторекурсивные разложения [1, 2] представляют собой естественное обобщение классических разложений в ряды Фурье по ортогональным системам. Для орторекурсивных разложений сохраняются такие свойства ортогональных разложений, как равенство и неравенство Бесселя, эквивалентность сходимости к разлагаемому элементу и равенства Парсеваля [2]. В отличие от ортогональных разложений орторекурсивные разложения применимы в случае переполненных систем, при этом обеспечивается абсолютная устойчивость к погрешностям в вычислении коэффициентов и к малым изменениям самой системы [3]. Орторекурсивные разложения по конкретным системам рассматривались в работах [1, 2, 4-6], общие свойства орторекурсивных разложений — в работах [2, 3, 7, 8].

Напомним определение орторекурсивных разложений [2]. Пусть Н — пространство со скалярным произведением над полем К или С а {ек} — счетная система ненулевых элементов Н, последовательно занумерованная натуральными числами.

Коэффициенты Д элемен та f € H по систе ме {ek} определяются следующим об разом: 1) f 1 = (/>ei)||ei||-2; 2) если уже определены fk, k = 1,...,n, то fn+i = (r„(f),era+i)||era+i||-2, где r„(f) =

f — ^ fkek• Величины fk — орторекурсивные коэффициенты Фурье элемента f € H по системе {ek}•

Ряд ^ fkek называется орторекурсивным рядом Фу рье элемента f € H по систе ме {ek}, величины

гп(/) — остатками орторекурсивного разложения.

Легко заметить, что для ортогональных систем рекурсивные коэффициенты совпадают с обычными коэффициентами ряда Фурье, а рекурсивный ряд — с обычным рядом Фурье.

Рассмотрим пространство Н = ^[0,1] вещественных функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [0,1], со скалярным произведением

При этом отрезки и соответствующие им функции делятся на группы (пачки) по номеру n и каждая следующая пачка отрезков получается из предыдущей делением отрезков пачки пополам.

Орторекурсивные разложения по системам характеристических функций промежутков рассматривались в работе [2], по обобщениям таких систем — в работе [4]. В соответствии с результатами работы [3] орторекурсивное разложение по системе характеристических функций двоичных

1 Баранова Ирина Сергеевна — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: irarinokaQgmail.com.

Baranova Irina Sergeema — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathemaical Analysis.

И. С. Баранова

l

n

k

промежутков абсолютно устойчиво к погрешностям в вычислении коэффициентов и к возмущениям самой системы.

Пусть функция / € ¿2(0,1]. Коэффициенты и остатки ее орторекурсивного разложения по системе {хк} имеют следующий вид:

!) Л = ш / Г1(Л = / - /ш;

Д1

П+1 „

2) /п+1 = |Д^Г| / Гп(Лси, Гп+!(/) = / - Е Л**-

Дп+1 к=1

Для произвольной фиксированной точки жо из интервала (0,1), не являющейся двоично-рациональной (т.е. Жо ф фт, д, к € и для любого номера п € Z+ обозначим через Оп(хо) коэффициент разложения / по той функции п-й пачки, носитель которой содержит жо, т.е.

с{(ж0) = /2»+s, где 0 < s < 2п, < х0 <

s + 1

/

точки жо и свойствами последовательности {сП(жо)}^=о: устанавливаются асимптотические формулы

-С

для коэффициентов {сп(жо)}^=о в случае дифференцируемой в точке жо функции и в случае, когда функция / в точке жо имеет разрыв 1-го рода.

Для формулировки соответствующих результатов потребуется ввести ряд дополнителных обо-

ж0

ка [0,1].

Для каждого п € Ъ+ обозначим через 1п отрезок из п-й пачки, содержащий жо- Для п ^ 1 обозначим 1п = 1п-1 \ 1п. Заметим, что отрезок 1п всегда является одной из половин отрезка 1п-1.

Далее, для каждого п € Ъ+ через (жо) обозначим разность между серединой отрезка 1п и точкой жо, а через дп(%о) — ближайшую к жо точку вида р- (т € {0,..., 2п}). Такой точкой всегда будет являться один из концов отрезка 1п. Также обозначим рп(жо) = ж — дп(жо). При этом

Рп(хо) € (—2~п~1, 2~п~1). Введем еще одну величину: Рп(ж) = 2прп(х) = ^-ту-г-, ее значение можно

представить себе как функцию рп(ж) на отмасштабированном до длины 1 отрезке 1п. При этом Р„_1(ж) €

Заметим, что введенные величины однозначно выражаются друг из друга. Если точка жо расположена в левой половине отрезка 1п, то рп(жо) > 0 ^п(жо) > 0 и рп(жо) + ¿п(жо) = 2п+1 • Если точка жо расположена в правой половине отрезка 1п, то рп(хо) < 0, с1п(жо) < 0 и рп(хо) + с1п(Жо) = — 2^+т- Таким образом,

Рп(х о) + с1п( Жо) = sgn (¿п(ж0))—^гт = sgn (рп( Жо))- 1

' 2«+1 _ 6 \"n\ 2П+1'

2прп(х0) = Рп{Жо) = ^п(сгга(ж0)) - Т(1п{хо), йп{ж0) = —^¡^п (Рп(ж0)) - -^Рп(ж0). Теперь сформулируем основные результаты работы.

Теорема 1. Пусть / — один из представителей класса эквивалентных функций из Ь2[0,1] и / € Бк(жо) к ^ 1, /'(жо) = ... = /(к-1)(жо) = 0 /(к)(жо) = 0. Тогда с точностью до о(2-кп) при п ^ то вел,или на, Сп( жо) зависит только от положен ия точки ж о и значен ия / (к)(жо); а именно:

с/п(жо) = Жо) + о(2~пк

к!

), n ^ то,

С - [\ (ж - ж0)^ж = _s^(dn-i(xo)) ^ Cj?+i2-nSdfc+i-S(a.o)-

r X I + s четное

V" /п / 2<s<fc+1

f'

i? частности, Жо) ~ — sgn (dn_i(#o))—-—2_ra, n —> то, при k = 1.

где ^(п,ж0) = ^

Теорема 2. Пусть $ ^ один из представителей класса эквивалентных функций из Ь2[0,1] и существуют односторонние пределы /(ж0 ± 0) функции / в точке ж0; 5 = /(ж0 — 0) — /(жо + 0), т.е. функция / имеет в точке ж0 разрыв 1-го рода с величиной скачка, 5 = 0 или при 5 = 0 непрерывна в точке ж0 либо имеет в ней устранимый разрыв. Тогда, с точностью до о(1) п ^ ж, величина, сП(ж0) зависит только от положения точки ж0 и величины скачка, а именно:

с{

Докажем несколько вспомогательных утверждений. Прежде всего найдем явную формулу для коэффициентов с. (жо )•

Лемма 1. При каждом п € N справедлива, формула, сП(ж0) = 2га-11 J — J | /

Jn In

n

Доказательство. Для Sn(x0) = fiXi(x0) верна следующая формула [2]:

i=0

Sn(xo) = Щ j

где А — последний из интервалов Д^ содержащих xo, i ^ n. Заметим, что если Д = Д&, то Sn(x0) = Sk(x0), так как все Xi(x0) = 0 для i = k + 1,..., n. Далее, поскольку все Xi(x) = const на Ак для i < k, то Sfc-i(i) = c = const на Следовательно, r^-i(i) = f (t) — c на Д& и

A = iii //(i)dt"c = ¿1 /sm ~ ¿1 //(t)dt

Afc Afc Afc'

Здесь Д^/ — интервал из предыдущей (по отношению к Д^) пачки, содержащий точку жо-

Таким образом, жо) = 77-7 [ f(t)dt — —-—г [ f(t)dt, cJQ(xq) = —!-т [ f(t)dt.

Hnl У l^n-i^ l^oI J

In In-1 Io

Так как |/n| = 2-n, то сП(ж0) = 2n 1 Лемма доказана.

( \ j \

2 / f (t)dt — / f (t)dt =2n-1 / —

J J J j

\ In In-1 J \In In )

f (t)dt.

Из полученной формулы явно видно, что значения сП(жо) зависят от значений функции / на стягивающейся к точке жо системе отрезков. Таким образом, становится естественным предположе-

жо

/

Введенная выше последовательность величин Рга (ж) характеризует близость точки ж к двоично-рациональным точкам. Значение Рп(ж) можно вычислить рекурсивно. Лемма 2. Верны рекуррентные соотношения:

^ < Рп{ж) < ^ => Рп+1(ж) = 2Рп(х) - 1; < Рга(ж) < ± => Рга+1(ж) = 2Рга(ж); < < => Рп+1{х) = 2Рп(х) + 1.

Доказательство. Напомним, что (ж) = 2гарга(ж), где рга(ж) — разность между точкой ж и ближайшей к ней точкой вида тр-, т € {0,... , 2га}. Пусть ж € ^г] = 1п- Рассмотрим случаи, (а) Если 2-га-2 < р„(ж) < 2-"-1, то рп+1(ж) = рп(ж) — 2-"-1.

Действительно, это неравенство означает, что точка ж расположена в левой половине отрезка 1п = [^рг, и в правой половине отрезка /га+1 = |1тг]- Тогда <?га(ж) = рп(ж) = ж — а

о -, /'тЛ — 2£:+1 _ _ 2&+1 ___£___1 _ _ о—га—1

Уга+1\,</7 — 2П+1 ' -гга+1 — ^ 2П+1 — 2П 2П+1 — "га

3 ВМУ, математика, механика, №5

Аналогично рассматриваются и остальные случаи.

(b) Если 0 < рп(ж) < 2-п-2, то рп+1(ж) = рп(ж).

(c) Если —2-п-2 < рп(ж) < 0, то рп+1(ж) = рп(ж).

(с1) Если —2-п-1 < рп(ж) < —2-п-2, то рп+1(ж) = рп(ж) + 2-п-1.

Отдельно стоит отметить, что если рп(х) = 0 для некоторого п, т.е. ж = -р- (ж — двоично-рациональная точка), то и рк(ж) = 0 = рп(ж) для всех к > п. Это позволяет включить точку 0 при объединении случаев (Ь) и (с).

Итак, для Рп(ж) = 2прп(ж) Рп+1 (ж) = 2п+1рп+1(ж) получаем следующие соотношения:

если

\ < Рп(ж) < то Рга+1(ж) = 2п+1рп+1(х) = 2га+1Рп(ж) - 1 = 2Рп{х) - 1;

если < Рга(ж) < то Рга+1(ж) = 2га+1Рп+1(ж) = 2п+1рп(х) = 2Рга(ж);

если -1 < Рга(ж) < то Рга+1(ж) = 2га+1Рп+1(ж) = 2п+1рп(х) + 1 = 2Рп(х) + 1.

Лемма доказана.

Далее, свойство, доказываемое в лемме 3, означает, что точка, не являющаяся двоично-рациональной, не может располагаться достаточно близко к двоично-рациональным точкам {Щ;} при каждом п.

ж

большие номера пит, такие, что Рп(х) > \ и Рт{ ж) < —

к

рого \Рк(х)\ > Предположим противное: начиная с некоторого номера |Рга(ж)| < | (|Рга(ж)| ф | ни

п ж к

с леммой 2 имеет место равенство +к (ж) = 2к Р^ (ж) Так как точка ж по условию не является двоично-рациональной, то Рлт(ж) = 0, следовательно, |Рм+к| = 2к|Р^(ж)| ^ +то, к ^ то. Но это невозможно, так как Рп(ж) € (—

Теперь докажем существование требуемых номеров п и ш. Найдем достаточно большой номер к, такой, что \Рк(х)\ > Для определенности будем считать, что Р&(ж) > | (случай Ри(х) < —| рассматривается аналогично). Тогда в качестве п можно взять к. Далее, рассмотрим Рк+1(ж) = 2Рк(х) — 1 < 2^ — 1 = 0. Если Рк+\{х) < то можно взять т = к + 1. Иначе рассматриваем следующие члены последовательности: Рк+2(ж) = 2Рк+1(ж), Рк+3(ж) = 22Рк+1 (ж),.... Модуль значения при этом каждый раз возрастает в два раза, значит, существует номер в, для которого Рк+3{ж) = Г~1Рк+1{х) < и можно взять т = к + з. Лемма доказана."

Доказательство теоремы 1. Пусть / € (жо), к ^ 1, /'(жо) = ... =/(к-1)(жо) = 0 /(к)(жо) = 0,

/ (к)(ж0) к к

тогда /(ж) = /(жо)Н--п—(ж — жо) +а(ж)(ж—жо) , где а(ж) = о(1) при ж —>• жо, т.е. для любого е > 0

к!

существует число 5 > 0, такое, что в ¿-окрестности точки жо верна оценка |а(ж)| < е. Зафиксируем произвольное е и найдем соответствующее 5. Так как /п образуют стягивающуюся к точке жо систему вложенных отрезков (|/п| = 2-п ^ 0 п ^ то), то начиная с некоторого п эти отрезки лежат в 5-окрестности точки жо и, следовательно, |а(ж)| на них не превосходит е. Будем рассматривать

такие п, что в 5-окрестности точки жо лежат и /п, и /п-ь

/

j f(x)dx = \1п\/(х0) + j(x-xo)kdx+ I а(Ь)(х - х0)кйх,

/(к) (ж ) Г Г

/(ж)йж = |/га|/(ж0) Н--— / (ж — хо)кйх + / а(£)(ж — хо)кс1х.

/П 1п /п

Согласно лемме 1 имеем

Сп(жо) = 2п-^У — |)/ (ж)йж =

->п-1 |

7п /

2„_1/^р) ( / - / ) - + 2я"1 ( / - / ) - (2) 1п 1п 1п

Вычислим выражение /(ж — жо)к^ж — /(ж — жо)к^ж. Рассмотрим сперва случай, когда точка жо

1п

лежит в левой половине отрезка /п-ь Пусть /п = [а, Ь], /п = [Ь, с]. Имеем

У (ж — ж0)к ^ж — ^ (ж — ж0)к ^ж =

- ж0) +

к+1

к + 1 к + 1 к + 1

_ 2(6 - ж0^+1 - (а - ж0^+1 - (с - ж0^+1 _ ~ к +1 ~ 2^1} (жо) — (^„-1 (жо) — |/„|)к+1 — (^„-1 (жо) + |/„|)к+1

к + 1

к + 1

к+1

к+1

к+1

ч=0

ч=0

-2 к + 1

£ Ск+12—^-Г^жо).

я четное

В случае, когда точка жо лежит в правой половине отрезка /п-1, /п = [Ь, с], 1п = [а, Ь], выражение меняет знак:

/(ж - ж0)^ж - [(х- х0)к(1х = —^ ^ С1+12-пЧкп+_\~3{ жо)-

я четное

Заметим, что в первом случае ^п-1(ж0) = Ь — ж0 > 0, а во втором ^п-1(ж0) = Ь — ж0 < 0. Таким образом, в обоих случаях

/(ж - х0)к(1х - [(х- х0)к(1х = {(1п-1{х0))—^— ^ С'1,+12~пз(1к^\~3(хо).

<у <у ' ч чртетпр

я четное

Обозначим для краткости Ап = J а(ж)(ж — жо)к^ж — / а(ж)(ж — жо)к^ж. Оценим эту величину:

а(ж)(ж—жо) ^ — .1а(ж)(ж"жо) *

<

а(ж)(ж — ж0)к ^ж

+

а(ж)(ж — ж0)к ^ж

<

^(х — ж„)к | + /1 ^(х — ж„)к | = / 1 аМ* — .„)'| <Ь<£ / 1 ж - ж„ 1 к=

1

1

/

V Л + 1 Л + 1 У Л + 1 Л + 1 к + 1

Подставим полученные равенство и оценку в выражение (2) для сп:

/ (к)(жо),

ч четное

= -2п

к!

ч четное

где Ап = 2п~1Ап и |Ага| < е^2

2К о-пк

П

п

Таким образом,

с1Ы) = 2nÇ^gk(n,Xo)+o(2~nk), п оо,

9k(n,x0) = \ ( [- [ ) (х - xofdx = - SgD ^ Ct+12-™dkt\-s(x0).

\ J J / + s четное

где

П..(П f- =

k + 1

л s четное

In Jn

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Пусть функция f имеет в точке хо разрыв 1-го рода, устранимый разрыв или же непрерывна в этой точке:

f (Х) = { f (хо - ^(х)' х<Хо;

\f (хо + °)+ Z(х)' х > Хо'

где Z(х) ^ х ^ хо, a ô = f(хо — °) — f (хо + °) — величина скачка (возможно, ô = 0). Обозначим 1+ = /га П {х > хо}, I— = 1+ П {х < хо}. Тогда

/ f = / f <х).х + + f = / (f (.,,— °) + ( (х)Мх + + (/<х° + °) + ( М)* =

In I- I+ I- I+

= |f (хо — °) + |1+|f (хо + °) + J Z(х)йх = |f (хо + °) + |1_|ô + J Z(х)йх.

In In

Значение интеграла f по отрезку 1+ зависит от его взаимного расположения с точкой хо:

|1n|f (хо + °) + ô|1+1 + / Z(х)йх, 1+ С {х < хо};

f (х)йх = ^ In ^

| |1n|f (хо + °) + / Z(х)йх, /га С {х > хо}.

In

Согласно лемме 1 имеем

f (хо)=2"-1( /f <х>*—/f н=

In Jn

(|1-l — |1+ l)ô + / Z(х)йх — / Z(х)йх, 1+ С {х < хо};

In Jn

|1— |ô + / Z(х)йх — / Z(х)йх, /га С {х > хо}.

= 2n-1

Пусть /га_1 = [з^т, Тогда в первом случае \1П \ - \1П\ = -|/+| = х0 - = рп-г(х0),

так как хо лежит в правой половине отрезка /га_1 и точка является ближайшей точкой вида {2^т}- Во втором случае \1~\ = Хо — тр/гт = ^«-1(^0), так как точка Хо лежит в левой половине отрезка /га_1 и ближайшей будет точка . Таким образом, в обоих случаях

f (хо) = 2n-1 рга_1(хо )ô + 2n— j ) Z (х)йх =

In In

= Pn_ 1 (хо)ô + 2ny — J ^ Z(х)йх = Pn_1(хо)0 + a+.

2 -1

In l

Здесь через аП для краткости обозначена величина / — / £ (х)^х. Так как £ (х) — 0 х — жо, то

У1- /„/

для любого £ > 0 существует 7-окрестность точки хо, в которой (х)| < е. Тогда для всех достаточно больших номеров п оба отрезка 1П и /П лежат в 7-окрестности точки хо и та них (х)| < £. Теперь оценим величину аП:

ап =

~,п— 1

£(х)^х — J £(х)^х

^ 2

п1

((х)^х

+

((х)^х

<

< 2п-^ У 1С(х)|^х < 2п—111п_11£ = £,

1п- 1

т.е. аП — бесконечно малая величина при п — ж. Итак, сП(х0) = РП-1(хо)6 + о(1), п — ж. Теорема доказана.

Следствия. Результат теоремы 2 позволяет сформулировать дополнительно свойства, которым удовлетворяют коэффициенты сП (хо) в случае разрыва 1-го рода в исследуемой точке. Следствие 1. Имеют место следующие утверждения:

1) для любого е > 0 начиная с некоторого номера —— е < Сп(хо) < + е;

2) для любо го £ > 0 существуют сколь угодно больш ие номера п, ш, т,акие, что

Г 1 г 1

4Ы > -е, С(ж0) < --|5| +е.

Доказательство. 1) Свойство следует непосредственно из формулы (1) и оценки РП_1 (х) € 2> 2)-

2) Свойство следует также непосредственно из формулы (1) и леммы 3. Следствие доказано. Результат теоремы 2 позволяет сформулировать также критерий равенства односторонних пределов функции / в точке хо в случае, когда эти пределы существуют и конечны. Следствие 2. Имеют место следующие утверждения.

1) / хо

сП(хо) — 0 п — ж.

2) Если у функции / в точке хо существуют конечные односторонние пределы /(хо ± 0) и сП(хо) — 0 п — ж, т0 / непрерывна в точке хо или же имеет в этой точке устранимый разрыв.

Доказательство. 1) Непрерывность функции или наличие у нее устранимого разрыва в точке хо означает, что 6 = 0. Отсюда получаем, что сП(хо) = РП-1(хо)6 + о(1) = о(1), п — ж, — бесконечно малая величина.

2) Пусть у функции / в точке хо существуют конечные односторонние пределы /(хо ± 0), и пусть сП (хо) — 0. Предположим, что 6 = 0. Тогда согласно теореме 2

Рп_1(хо) =

сП

0, п — ж.

6=0

Автор приносит благодарность В. В. Галатенко за постановку задачи и ценные советы при ее исследовании, а также Т. П. Лукашенко за большое внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лукашенко Т.П. Об орторекурсивних разложениях по системе Фабера-Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2000. 83.

2. Лукашенко Т.П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 6-10.

3. Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. 69, № 1. 3-16.

4. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций с ошибками при вычислении коэффициентов // Матем. сб. 2004. 195, № 7. 21-36.

5. Кудрявцев А.Ю. О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам // Матем. заметки. 2012. 92, № 5. 707-720.

6. Кудрявцев А.Ю. О скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. 76, № 4. 49-64.

7. Политое A.B. Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 3. 3-7.

8. Политое A.B. Критерий сходимости орторекурсивных разложений в евклидовых пространствах // Матем. заметки. 2013. 93, № 4. 637-640.

Поступила в редакцию 21.12.2018

УДК 519.713

О ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ СТЕПЕНИ ЧАСТИЧНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОБЩЕРЕГУЛЯРНЫХ СВЕРХСОБЫТИЙ

И. К. Ведерников1

Автомат прогнозирует следующий символ входной последовательности, если он выдает этот символ на выходе в предыдущий момент времени. В работе для некоторых общерегулярных сверхсобытий исследуется верхняя оценка степени прогнозирования. Получены оценки для прогнозирования сверхсобытия автоматами из класса представляющих, а также приведен пример класса событий, где эта оценка достигается.

Ключевые слова: прогнозирующий автомат, общерегулярное сверхсобытие, автоматное прогнозирование общерегулярных сверхсобытий.

A machine predicts the next character in the input sequence if it outputs that character at the previous moment of time. In this paper for some general regular superevents we study the upper bound on prediction degree. The paper presents an upper bound for superevents predicted by the machine representing the superevents. In addition, the class of superevents is presented for which this bound is obtained.

Key words: the prediction machine, general regular superevent, prediction of superevents by machine.

Введение. В статье А.Г. Вереникина и Э.Э. Гасанова [1] были введены прогнозирующие автоматы — конечные автоматы, предсказывающие сверхслово или множество сверхслов. Говорят, что автомат прогнозирует сверхслово, если через некоторое конечное время после начала работы он начинает в момент времени i выдавать элемент входной последовательности под номером t + 1.

Оказалось, что полностью прогнозируемы только периодические сверхслова, изначально это было доказано для двоичного алфавита, но в работе [2] данный результат был обобщен на случай fc-значных логик.

В работе [3] А.А. Мастихиной было введено понятие частичного прогнозирования, которое имеет место в случае, когда автомат угадывает следующий символ не обязательно в каждый момент времени, но достаточно часто. В работе [4] А.А. Мастихина предъявила критерий частичной прогнозируемое™ общерегулярных сверхсобытий в двоичном алфавите.

В работе [5] рассмотрен алгоритм построения прогнозирующего автомата и показано, что при правильном выборе степеней неопределенности с его помощью можно построить оптимальный прогнозирующий автомат, однако явного способа принятия решения не демонстрировалось. Таким образом, проблема построения оптимального автомата остается актуальной.

1 Ведерников Илья Константинович — асп. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ileal23Qbk.ru.

Vedernikov Il'ya Konstantinovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Theory of Intelligent Systems.