Квазихрупкое разрушение как разрушение иерархической структуры

УДК 539.4

Квазихрупкое разрушение как разрушение иерархической структуры

С.Н. Федотов

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ), Москва, 115409, Россия

Предложена модель квазихрупкого разрушения материалов, основанная на кинетическом подходе и известных эмпирических закономерностях — концентрационном критерии и формуле Журкова. Материал рассматривается в виде вложенной самоподобной иерархической структуры. Концентрационный критерий переформулируется в виде условия для вероятностей разрушения уровней структуры. Иерархическая схема выбрана с учетом критического значения концентрационного критерия. Рассчитаны вероятности разрушения уровней иерархии как функции времени, температуры, параметров материала и характера нагружения. Знание вероятностей разрушения уровней иерархии позволяет рассчитывать динамику напряжения в материале, среднего разрушенного объема, сброса упругой энергии, неупругой деформации и т.д. Приводится сравнение экспериментальных и расчетных зависимостей.

Ключевые слова: самоподобная иерархическая структура, концентрационный критерий, формула Журкова, вероятность разрушения, неупругая деформация

Quasi-brittle fracture as failure of hierarchical structure

S.N. Fedotov

National Research Nuclear University (MEPhI), Moscow, 115409, Russia

A model of quasi-brittle fracture of materials is proposed which is based on the kinetic approach and known empirical regularities, such as the concentration criterion and Zhurkov's formula. A material is considered in the form of a nested self-similar hierarchical structure. The concentration criterion is reformulated as a condition for the failure probabilities of structural levels. The hierarchical scheme is chosen with regard to the critical value of the concentration criterion. The failure probabilities of hierarchical levels are calculated as functions of time, temperature, material parameters, and loading condition. Knowing the failure probabilities of hierarchical levels it is possible to compute stress dynamics in the material, average failure volume, elastic energy and inelastic strain relief, etc. Experimental and calculated dependences are compared.

Keywords: self-similar hierarchical structure, concentration criterion, Zhurkov's formula, failure probability, inelastic deformation

1. Введение

В последние годы все больший интерес вызывает исследование эволюции внутренней структуры материалов в процессе их разрушения. При этом многие исследователи склоняются к тому факту, что деформация и разрушение твердых тел являются многоуровневым иерархическим процессом [1-6]. В ходе большого числа экспериментальных исследований было установлено, что в момент разрушения материала концентрация повреждений (дефектов, трещин) достигает критической величины. В качестве меры повреждений используется концентрационный параметр К = , где L — размер образующихся трещин; R — среднее расстояние между трещинами этого размера [7-11]. В момент разрушения

параметр К принимает критическое значение Ксг = = 2.7-3.0, одинаковое практически для всех материалов (пластических и хрупких металлов, геосред, полимеров, композитов и т.д.) при различных режимах нагруже-ния и в широком диапазоне линейных размеров трещин [12, 13]. Именно такое поведение материалов говорит о том, что материал можно рассматривать в виде самоподобной иерархической структуры. Кроме того, теоретические исследования [14], выполненные в последние годы, дают веские основания полагать, что наблюдаемые статистические закономерности квазихрупкого разрушения имеют кинетическое происхождение.

В настоящей работе предлагается модель для описания процесса квазихрупкого разрушения твердого тела

© Федотов С.Н., 2015

как самоподобной иерархической структуры, основанная на кинетическом подходе и надежно установленных эмпирических закономерностях, таких как концентрационный критерий и формула долговечности Журкова [15].

2. Модель

Как было отмечено выше, в широком диапазоне линейных размеров (уровней иерархии) в момент разрушения материала выполняется соотношение ЩЦ = Ксг. Иначе говоря, для каждого уровня иерархии i будет справедливо равенство Р/Ц = Ксг, i = 0-N. Если рассматривать величину Л3 как объем материала, приходящийся на одну трещину длиной Ц, а Ц3 — как объем, разрушенный этой трещиной, то отношение Ц^/л3 можно рассматривать как разрушенную часть объема

3 3/3

Л . С другой стороны, отношение Ц^/ Л можно рассматривать и как вероятность Р разрушения объема г'-й иерархии самоподобной структуры. Перефразируем концентрационный критерий в следующем виде: в момент разрушения для всех уровней иерархии (г = 0-Ы) вероятности разрушения Р равны одной и той же вели-

3/3 —3

чине Рсг = Ц, IЛ = Ксг . Так как иерархии всех уровней ведут себя подобным образом, то в момент времени t вероятность разрушения г'-го уровня иерархии Р1 (/) будет полностью определяться вероятностью разрушения предыдущего (г - 1)-го уровня иерархии Р-1 То есть для всех уровней иерархии будет справедливо следующее выражение: р ^) = F(Р—1^)), где F(P) — функция, описывающая иерархическую схему (устройство) структуры. При этом для момента разрушения будет справедливо уравнение Рсг = F (Рсг), корнем которого является значение Рсг = Кс-3. Таким образом, в рамках данной модели разрушающийся материал рассматривается как простейшая иерархическая структура, в которой все уровни самоподобны, а процесс разрушения представляет собой ветвящийся случайный процесс, причем значение Р = Рсг является критической (вырожденной) вероятностью этого процесса [16]. В качестве простейшей иерархической схемы, реализующей это условие, выберем схему увеличения объема куба путем удвоения длины каждого из его ребер (на рис. 1 изображены три уровня такой иерархии).

Для того чтобы разрушился куб, состоящий из 8 кубиков предыдущей иерархии (трещина должна пройти через весь объем куба, соединяя противоположные грани), необходимо, чтобы разрушилось не менее двух кубиков из восьми. Причем, если вероятности разрушения каждого кубика независимы и равны Р, вероятность разрушения куба (следующего уровня иерархии), как легко видеть, будет описываться с помощью биномиального распределения F(Р) = 1 - (1 - Р)8 - 8Р (1 - Р)7. Для такой иерархической схемы критическая вероятность (корень уравнения F(Р) = Р) будет равна Рсг = 0.0423,

при этом концентрационный критерий примет значение К = Рс-13 = 2.87. Если рассматривать случай одноосного растяжения, когда силы приложены к противоположным граням куба, из рассмотрения необходимо исключить четыре трещины (четыре пары кубиков), направленные вдоль действия силы, т.к. при разрушении одного кубика в паре второй кубик окажется ненагру-женным. В этом случае F(Р) = 1 - (1 - Р)8 - 8Р(1 - Р)7 --4 Р2 (1 - Р)6, Рсг = 0.05 и значение критерия К = 2.712 (для сравнения число е = 2.718). При разрушении аналогичной двумерной структуры (пленка, тонкий листовой материал) вероятность разрушения следующего уровня иерархии будет описываться выражением F(Р) = 1 -(1 -Р)4 -4Р(1-Р)3. При этом Рсг = 0.232 и значение концентрационного критерия составит К = = Рс-1/2 = 2.08 (при растяжении F(P) = 1- (1- Р)4 -- 4Р(1 -Р)3 -2Р2(1 -Р)2, Рсг = 0.382 и К = 1.62). Такие значения величины К хорошо согласуются с экспериментом [17].

Таким образом, значение концентрационного критерия зависит от размерности пространства и в значительно меньшей степени от схемы нагружения. При этом наименее прочными оказываются трехмерные структуры (Рсг ~ 0.05), а наиболее прочными — одномерные (Рсг = 1), т.е. чем выше размерность пространства, тем меньше значение Рсг, тем больше возможностей (вариантов) для развития трещины.

При разрушении такой структуры предполагается, что на низшем (нулевом) уровне иерархии элементы структуры разрушаются и восстанавливаются независимо друг от друга. В качестве аналога можно рассмотреть кубическую решетку (атомы располагаются в вершинах куба). При этом каждый атом может под действием каких-то причин покинуть узел решетки (разрушение элемента нулевого уровня иерархии) и через какое-то время 5 в этом узле вновь появится атом. Разрушение нулевого уровня иерархии (8 элементов) происходит тогда, когда разрушатся два и более элемента, т.е. за

Рис. 1. Три уровня иерархии самоподобной структуры

Рис. 2. Схематичная временная диаграмма разрушения и восстановления элементов нулевого уровня структуры

время восстановления ^ одного разрушенного элемента разрушатся еще один или более соседних элементов. В предположении, что процессы разрушения и восстановления являются пуассоновскими, можно получить выражение для вероятности разрушения нулевого уровня иерархии от времени. Пусть т — среднее время нахождения элемента в неразрушенном состоянии, а z — среднее время нахождения элемента в разрушенном состоянии. Для того чтобы за промежуток времени (Т, Т + dT) произошло разрушение нулевого уровня иерархии (рис. 2), необходимо, чтобы за интервал t не разрушился ни один из 8 элементов, а в интервале (^ t + dt) разрушился один из 8 элементов. При этом также необходимо, чтобы за интервал Т - t не разрушился ни один из 7 оставшихся элементов, а в интервале (Т, Т + dT) разрушился один из 7 элементов.

Производя усреднение по всем возможным интервалам t, получим выражение для плотности распределения вероятностей р0(Т) для значений Т < £:

Po(T>s):

56 = - exp

т 8 ' = I- exp

0т

8t т

-exp

7

7T

1 - exp

dt

J J

Для значений Т > s выражение для плотности распределения вероятностей р0(Т) примет вид

т 8 '

Po(T' s) = I ТexP

T - s

8t т

- exp

7

dt =

56 = - exp

8T ^ т

J

exp

T

/

-1

Усредняя по всем значениям £, получим выражение для плотности распределения вероятностей разрушения нулевого уровня иерархии

Po(t) =f ^ exp/

0

56 z т

exp

7t

T

V

ds =

exp

t

- exp

\\

J J

Таким образом, вероятность Р0^) разрушения нулевого уровня иерархии от времени примет вид

Рис. 3. Вероятность разрушения Р0^) нулевого уровня иерархии как функция времени в единицах т для различных соотношений величин z и т: z = 0.01т

Po(t) = J Po( x)dx =

56 z

г / exp

v

7t т

7 z + т

exp

—exp

V У +

7 z

7 z + т

На рис. 3 приведен вид вероятности разрушения Р0^) нулевого уровня иерархии от времени в единицах т для различных соотношений величин z и т.

Знание иерархической схемы и вероятности разрушения нулевого уровня иерархии во времени позволяет рассчитать вероятность разрушения для каждого уровня иерархии. На рис. 4 приведены результаты расчетов вероятности Р1 ^) ( = 0-24) разрушения уровней иерархии трехмерной структуры, включающей 25 уровней, от времени t при условии, что величина М = 7 z/ (т + 7 z) чуть меньше величины Рсг = 0.05 (при этом выполняется условие z <<т ), а значит, Р0^) < Рсг при любом значении t.

Из рисунка видно, что рост вероятностей разрушения начинается с низших уровней иерархии. При подходе к критическому значению наблюдается резкое замедление роста вероятностей, при этом более низкие уров-

0.10

: 0.05-

0.00

0 50 100 150 200 250

Ks)

Рис. 4. Зависимость вероятности разрушения уровней иерархии трехмерной структуры от времени при условии M < Pcr. Уровень иерархии i = 0

ни иерархии становятся «донорами» трещин для более старших уровней (происходит слияние мелких трещин в более крупные). Разрушение структуры как целого (24-й уровень) не происходит. На рис. 5 приведены результаты расчетов вероятностей Р (г) разрушения иерархий той же структуры от времени ^ при условии, что М > Рсг.

Процесс разрушения структуры отражен на рис. 5. В момент разрушения структуры вероятности разрушения для всех уровней равны Рсг. На низких уровнях иерархии происходит относительно длительная подготовка, а разрушение старшего уровня иерархии, наблюдаемого в эксперименте, происходит мгновенно, без видимой подготовки. Причем чем ниже уровень иерархии, тем меньше остаточное разрушение уровня, что и наблюдается на практике (как правило, хрупкое тело раскалывается на два или несколько почти неразрушенных фрагментов). Рисунок 5 отражает также проявление масштабного эффекта после момента разрушения — чем выше уровень иерархии, тем больше вероятность разрушения уровня.

Заметим, что из условия разрушения материала М > > Рсг следует соотношение между величинами z и т: z > Рсгт/(7(1 - Рсг)) - Рсгт/7. При этом условие разрушения в рамках данной модели можно сформулировать в следующем виде: z >тРсг/7, т.е. разрушение невозможно, если процессы восстановления протекают достаточно быстро.

Как видно из рис. 3, кривые вероятностей разрушения в широком диапазоне величин z (0.1 т < z) практически совпадают в районе значений Рсх, что позволяет использовать кривую вероятностей разрушения для определения времени существования структуры до момента разрушения (долговечности) из условия Р0 (^ ) = = Рсг. Для этого используем кривую Р0(г) при z >>т:

Р0 -1 + 7 ехр

На рис. 3 видно, что время , соответствующее Р0 (Ц) = = Рсг, значительно меньше величины т (Ц << т), поэтому, разлагая правую часть формулы (5) в ряд, получим

Рис. 5. Зависимость вероятности разрушения иерархий трехмерной структуры от времени при условии М > Рсг. Уровень иерархии I = 0

Р>(Ц) - 28(1/т)2. Тогда для долговечности будет справедливо выраже-

ние

Ц -тРсг/28.

Таким образом, разрушение всей структуры происходит за существенно меньшее время, чем среднее время жизни т минимального элемента структуры.

В качестве физического наполнения модели было выбрано эмпирическое выражение для долговечности образца (время существования образца до момента разрушения) под действием приложенного растягивающего напряжения а в определенном диапазоне температур Т и нагрузок (формула Журкова):

^ = т ехр((и -уа)/кТ),

где и — энергия активации процесса разрушения; к— постоянная Больцмана; у — параметр, характеризующий реальные механические свойства материала. Коэффициент т0 по порядку величины совпадает с периодом тепловых колебаний атомов в твердом теле. Сравнивая модельное время разрушения Ц и экспериментальное , для среднего времени нахождения элемента нулевого уровня иерархии в неразрушенном состоянии получим выражение

т =

где С = ^Рсг/28. Теперь вероятность разрушения Р0 (г, а, Т) нулевого уровня иерархии структуры и, следовательно, вероятности разрушения всех уровней зависят как от времени, так и от приложенного напряжения а и температуры Т.

Для проверки адекватности модели результаты расчетов времени существования структуры до разрушения с использованием вероятности Р0(г, а, Т) сравнивались с экспериментальными данными долговечности, полученными при разрушении образцов алюминия при температуре 400 °С [18]. Причем предполагалось, что структура имеет 30 уровней иерархии (диапазон линейных размеров 230). На рис. 6 приведены расчетные и экспериментальные данные, описывающие долговечность образца под действием приложенного напряжения. В результате аппроксимации экспериментальных данных значение параметра z составило z - 104 с.

Напряжение а0, при котором образец перестает разрушаться (безопасное напряжение), легко получить из условия М = Рсг:

а 0 =-

и - кТ 1п

7 z (1 - РсГ

0

л/^РГ

и-

кТ 1п7 т0

Экспериментально измеренная зависимость а0(Т) позволяет получить зависимость параметра z от температуры

z (Т) = ^ехр

и -ас(Т) у

кТ

Рис. 6. Расчетные и экспериментальные данные, описывающие долговечность образца под действием приложенного напряжения

В рамках данной модели в качестве оценки величины 7z (Т) можно рассматривать долговечность по Журкову при напряжении а 0(Т).

Тот факт, что в момент разрушения концентрационный параметр К принимает критическое значение К^ = 2.7-3.0, одинаковое практически для всех материалов с различной кристаллической решеткой и без нее, объясняется, по-видимому, тем обстоятельством, что с ростом числа иерархий происходит накопление нарушений кристаллической структуры (дефектов, примесей) и материал «теряет память» о строении на нижних уровнях иерархии. Однако строение материала на нижних уровнях иерархии оказывает влияние на характеристики материала. На рис. 7 приведены результаты расчетов в относительных единицах безопасного напряжения для структуры, у которой нижние п уровней иерархии имеют кристаллическую решетку алмаза (4 элемента), а остальные уровни — кубическую решетку (8 элементов), т.е. с п-го уровня иерархии нарушается строгая упорядоченность структуры материала. При расчетах на всех уровнях иерархии параметры материала и, z, у оставались неизменными. На рис. 7 видно, что только первые 5-10 уровней иерархии определяют прочностные свойства материала.

Рис. 7. Зависимость безопасного напряжения (относительные единицы) от числа нижних уровней иерархии п

3. Динамика разрушения

Эволюция внутренней структуры материала при разрушении представляет собой весьма сложный физический процесс. В настоящей работе в качестве примера рассматривается простейший случай, который может быть дополнен и усложнен. Пусть материал, имеющий объем V и модуль Юнга Н, находится под механическим напряжением а.

Тогда для накопленной в этом объеме упругой энергии Е будет справедливо выражение

Е = V. 2 Н

В этом случае приток энергии ДЕ за время Дt будет вызывать изменение напряжения Да и разрушение объема Д^

ДЕ = — V Да + —ДУ. Н 2 Н

Для дискретных значений времени tj = t0 + jД (/ = 0, 1, 2, ...) определим а, как аj = а(tj). Изменение вероятности разрушения г'-го уровня иерархии на ]'-м шаге (за интервал времени Д^ будет равно ДР ^, а j, Т) = Р ^+1, а ,+1, Т) - Р ^, а j, Т), при этом объем г'-го уровня иерархии У{ изменится за интервал времени Дt и будет описываться следующей формулой:

Знание распределения вероятностей разрушения для всех уровней иерархии позволяет рассчитать средний объем ДVj, разрушенный за интервал времени Др.

АVj =-Ц- 8№-1 ДР- , а,, Т), N +1 -=0

где N — номер наивысшего уровня иерархии; VI — текущий объем /'-го уровня иерархии (начальный объем V! = 8-). При этом средний неразрушенный объем на ]'-м шаге будет равен

Vni = — Е (V-), 8N

N+1 ^ ^ ' '

Полагая Даг- = а,+1 - а, и используя равенство (12), получим выражение для изменения напряжения

а,+1=аз +-

НДЕ] - (а2/2)Д V

а jVj

Структура при частичном разрушении, сопротивляясь разрушению, пытается сбрасывать напряжение. Сброс упругой энергии за интервал времени Дt составит

3 Н 3 3

Полученные зависимости позволяют рассчитать напряжение а(^, средний разрушенный относительный объем В^) и сброс упругой энергии как для произвольной зависимости Е ({), так и для заданной внешней нагрузки f (t). Причем при испытаниях на растяжение

Рис. 8. Результаты расчетов зависимости напряжения a(t) (1), неупругой деформацииX(t) (2), относительного разрушенного объема D(t) (3) и сброса упругой энергии W(t) (4) в относительных единицах при разрушении образца каменной соли (T = 20 °C) от времени

напряжение в образце a(t) будет изменяться пропорционально f (t)/(Vn23 (t)), так как величина Vn12ъ (t) пропорциональна площади сечения образца. На рис. 8 приведены результаты расчетов разрушения образца каменной соли при температуре 200 °C. Результаты представлены в относительных единицах. Расчеты зависимостей a(t), D(t), W(t) и неупругой деформации, пропорциональной корню кубическому из разрушенного объема, выполнены при постоянном притоке энергии dE/ dt = = const для случая одноосного сжатия образца.

До начала разрушения, пока не превышены критические параметры, образец ведет себя как упругая среда — a(t) = const^/E(t). Далее напряжение не увеличивается и приток энергии расходуется на разрушение объема. Из рис. 8 видно, что процесс разрушения подобен случайному процессу, хотя при вычислениях не использованы случайные числа. Интервал времени от начала разрушения до максимального сброса упругой энергии (режим ползучести) зависит как от скорости притока энергии, так и от температуры и характеристик образца. До максимального сброса наблюдается ряд мелких сбросов, называемых в сейсмологии форшо-ками. После максимального сброса энергии значительная часть объема, хранящего упругую энергию, разрушается и последующие сбросы (афтершоки) становятся

Рис. 10. Экспериментальная зависимость аксиальной деформации образца каменной соли от времени при температуре Т = 500 °С под действием постоянного растягивающего напряжения

существенно меньшими по величине. Характер форшо-ков и афтершоков определяется динамикой нагрузки. На рис. 9 в увеличенном масштабе приведена зависимость сброса упругой энергии от времени W(t) на начальном этапе разрушения, соответствующая рис. 8. Псевдослучайная последовательность сбросов упругой энергии структуры подобна сигналам акустической эмиссии.

При расчетах деформации предполагалось, что неупругая (нелинейная) деформация пропорциональна корню кубическому из среднего разрушенного объема, а в отсутствие разрушения существует лишь упругая деформация, пропорциональная приложенному напряжению. На рис. 10 представлена экспериментальная зависимость аксиальной деформации образца каменной соли от времени при температуре Т = 500 °С под действием постоянного растягивающего напряжения [19]. Здесь же представлены результаты расчетов неупругой деформации как величины пропорциональной корню кубическому из среднего разрушенного объема для того же образца. Видно, что расчетные данные практически повторяют форму кривой ползучести за вычетом упругой деформации, что свидетельствует о корректности подхода к расчету неупругой составляющей.

На рис. 11 в относительных единицах приведены результаты измерений поперечной деформации гранит-

Рис. 9. Зависимость сброса упругой энергии структуры W(t) от времени на начальном этапе разрушения

Рис. 11. Зависимость поперечной деформации гранитного образца в относительных единицах при аксиальной сжимающей нагрузке как функции времени

Рис. 12. Расчетная зависимость напряжения от деформации для каменной соли

ного образца при аксиальной сжимающей нагрузке [20] (экспериментальные точки). При проведении измерений нагрузка сначала повышалась и затем оставалась постоянной. Ввиду отсутствия значений для параметров гранита (и и у) аппроксимация экспериментальных точек (сплошная линия) производилась с помощью расчета деформации образца каменной соли при сжимающей нагрузке, при этом варьировались два параметра — постоянное напряжение и соотношение упругой и неупругой деформаций. Неупругая деформация рассчитывалась как величина пропорциональная корню кубическому из среднего разрушенного объема. Результаты подгонки свидетельствуют о том, что неупругая деформация для различных материалов и различных видов нагрузки ведет себя подобным образом (подобие кривых ползучести), что, в свою очередь, говорит о едином механизме разрушения.

Система уравнений (11)—(17) позволяет вычислять одновременно напряжение и деформацию как функции времени, что позволяет определить зависимость напряжения от деформации. На рис. 12, а представлена расчетная зависимость напряжения от деформации для каменной соли (Т = 350 °С) при сжатии (относительные единицы).

Простейший рассмотренный вариант системы уравнений (11)—(17) может быть дополнен и усложнен рядом условий и введением дополнительных слагаемых в уравнение баланса энергии. Например, если предположить, что при разрушении увеличивается температура структуры и прирост температуры ДТ пропорционален среднему разрушенному объему Д V, зависимость напряжения от деформации примет иной вид. На рис. 12, б приведена зависимость напряжения от деформации, но при расчетах учитывалось изменение температуры, причем предполагалось, что ДТ = 0.01 Д V. Форма полученной кривой удовлетворительно описывает фор-

му экспериментальных кривых, измеренных при сжатии образцов из гранита [21].

Анализ динамики деформации на рис. 8 показывает, что на начальном этапе разрушения объема (начало кривой ползучести) наблюдается максимум скорости деформации. Такое явление происходит при продолжительном режиме ползучести, и, поскольку максимум скорости деформации и сам момент разрушения разнесены во времени, оно может служить предшественником будущего макроразрушения.

Представляет интерес поведение структуры после импульсного воздействия. На рис. 13 представлены расчетные зависимости напряжения, сброса упругой энергии и относительного разрушенного объема от времени при импульсном (ударном) воздействии, произведенном в нулевой момент времени. Величины представлены в относительных единицах.

В представленном случае полученной упругой энергии недостаточно для мгновенного разрушения и процесс релаксации напряжения происходит за счет частич-

1

^ 2

-1.1 1 1 13 |

0 100 200 300 400

К?)

Рис. 13. Расчетные зависимости напряжения а(^ (1), относительного разрушенного объема В (¿) (2) и сброса упругой энергии (3) от времени при импульсном (ударном) воздействии на структуру, произведенном в нулевой момент времени

ного разрушения объема. При этом первый сброс напряжения происходит с некоторой задержкой и интервалы между соседними сбросами со временем примерно удваиваются.

4. Заключение

Предлагаемая модель, рассматривающая материал в виде самоподобной структуры, позволяет описать ряд общих закономерностей процесса разрушения: температурные зависимости, поведение материалов при ударных и циклических нагрузках, при различных скоростях нагружения и деформации. Следует отметить, что рассчитанные зависимости слабо зависят от критической вероятности в пределах Pcr = 0.04-0.06 (иными словами от деталей иерархической схемы), что свидетельствует об общем характере разрушения различных структур. Самоподобные структуры, не разрушаясь, допускают собственную перестройку при условии, что вероятность разрушения не превосходит критического значения. Видимо, поэтому некоторые биологические структуры в процессе деятельности «используют» только несколько процентов своего объема.

Хотя модификация системы уравнений (11)—(17) позволяет рассматривать конкретные случаи задач разрушения, для практического использования данная модель нуждается в наполнении константами и оптимизации в результате дальнейшей экспериментальной работы. Поэтому предлагаемая модель может рассматриваться как один из подходов к исследованию процесса разрушения.

Литература

1. Садовский М.А., Голубева Т.В., Писаренко В.Ф., Шнирман М.Г. Характерные размеры горной породы и иерархические свойства сейсмичности // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1984. — № 2. — С. 3—15.

2. Наркунская Г.С., Шнирман М.Г. Иерархическая модель дефекто-образования и сейсмичность // Дискретные свойства геофизической среды / Под ред. М.А. Садовского. — М.: Наука, 1989. — С. 32.

3. Томилин Н.Г., Куксенко В.С. Науки о земле: Физика и механика геоматериалов. — М.: Вузовская книга, 2002. — 116 с.

4. Макаров П.В., Еремин М.О. Модель разрушения хрупких и квазихрупких материалов и геосред // Физ. мезомех. — 2013. — Т. 16. — № 5. — С. 5—26.

5. Макаров П.В. Об иерархической природе деформации и разрушения твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 4. -С. 25-34.

6. Томилин Н.Г., Дамаскинская Е.Е., Павлов П.И. Статистическая кинетика разрушения горных пород и прогноз сейсмических явлений // ФТТ. - 2005. - Т. 47. - № 5. - С. 955-959.

7. Куксенко В.С. Диагностика и прогнозирование разрушения крупно-

масштабных объектов // ФТТ. - 2005. - Т. 47. - № 5. - С. 788-792.

8. Дамаскинская Е.Е., Куксенко В.С., Томилин Н.Г. Статистически закономерности акустической эмиссии при разрушении гранита // Физика Земли. - 1994. - № 11. - С. 40-48.

9. Журков С.Н., Куксенко В.С., Петров В.А., Савельев В.Н., Султо-нов У. О прогнозировании разрушения горных пород // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1977. - № 6. - С. 11-18.

10. Гор А.Ю., КуксенкоВ.С., ТомилинН.Г., ФроловД.И. Возможность применения концентрационного критерия разрушения к задаче прогноза горных ударов // ФТПРПИ. - 1989. - № 3. - С. 54-60.

11. Соболев Г.А., Завьялов А.Д. О концентрационном критерии сей-смогенных разрывов // ДАН СССР. - 1980. - Т. 252. - № 1. -С. 69-71.

12. Журков С.Н., Куксенко В.С., Петров В.А. Можно ли прогнозировать разрушение? Будущее науки. - М.: Знание, 1983. - 99 с.

13. Ботвина Л.П., Опарина И.Б., Новикова О.В. Анализ процесса накопления повреждений на различных масштабных уровнях // Металловедение и термическая обработка металлов. - 1997. -№ 4. - С. 17-22.

14. Малкин А.И., Куликов Ф.А., Шумихин Т.А. Статистическая кинетика квазихрупкого разрушения // ЖТФ. - 2008. - Т. 78. - № 3. -С. 48-56.

15. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел // Вестник АН СССР. - 1968. - № 3. - С. 46-52.

16. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М.: Мир, 1971.- 536 с.

17. Шамина О.Г., Стрижков С.А. Исследования взаимодействия трещин в образцах под давлением // Физика Земли. - 1975. - № 9. -С. 17-27.

18. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел (термофлуктуационный механизм разрушения) // Неорганические материалы. - 1967. - Т. 3. - № 10. - С. 1767-1776.

19. Бетехтин В.И., Бахтибаев А.Н. Долговечность и ползучесть ионных кристаллов // ФТТ. - 1970. - Т. 12. - № 2. - С. 429-432.

20. Куксенко В.С., Инжеваткин И.Е., МанжиковБ.Ц., Станчиц С.А., Томилин Н.Г., Фролов Д.И. Физические и методические основы прогнозирования горных ударов // ФТПРПИ. - 1987. - № 1. -С. 9-22.

21. Lockner D.A., Byerlee J.D., Kuksenko V., Ponomarev A., Sidorin A. Quasi-state fault growth and shear fracture energy in granite // Nature. - 1991. - V. 350. - P. 39-42.

Поступила в редакцию 10.04.2015 г.

Сведения об авторе

Федотов Сергей Николаевич, к.ф.-м.н., доц. Национального исследовательского ядерного университета (МИФИ), fedotovs47@mail.ru