Оптимизация производственной программы изготовителей медицинской пробки с применением методов математического программирования и имитационного моделирования

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРуМЕНТАльНЫЕ

методы экономики

УДК 330.4:51

А.А. КУШНЕР, ассистент

Астраханский государственный технический университет

оптимизация производственной программы

изготовителей медицинской пробки

с применением методов математического

программирования и имитационного

моделирования

Для предприятий, изготавливающих медицинскую пробку, одним из ключевых элементов эффективной деятельности является оптимальное управление производственной программой. Специфика планирования производственной программы данных предприятий, которая связана как с внутренними, так и с рыночными факторами, обусловливает необходимость в разработке особого инструментария для решения проблем управления производственной программой. В данной статье предлагается методика, необходимая для оптимального управления производственной программой изготовителей медицинской пробки в условиях неопределенности и с учетом требований максимизации эффекта от деятельности.

Как было показано в [1], производство медицинской пробки как один из видов деятельности резинотехнической промышленности является важным звеном фармацевтической индустрии в России, актуальность развития которого в условиях доминирования импорта на отечественном рынке очевидна.

Для предприятий, изготавливающих медицинскую пробку, одним из ключевых факторов эффективной деятельности, позволяющих достигнуть устойчивого финансового положения, обеспечить конкурентное преимущество и завоевать доверие потребителей в условиях неопределенности рынка, является оптимальное управление производственной программой. Оптимизация производственной программы предприятия, изготавливающего медицинскую пробку, должна способствовать максимизации эффекта от деятельности для всех заинтересованных сторон при соблюдении всех ресурсных

ограничений, накладываемых жесткими современными реалиями ведения бизнеса.

Специфика планирования производственной программы предприятий, производящих медицинскую пробку, которая связана как с внутренними (разнообразием номенклатурных позиций, спецификой технологического процесса и организационно-производственной структуры), так и с рыночными (конкуренцией со стороны товаров-заменителей (пластиковых пакетов) и все возрастающим спросом со стороны фармацевтических компаний) факторами, обусловливает необходимость в разработке специального методического инструментария для решения проблем предприятий отрасли, относящихся к управлению производственной программой.

Создаваемая методика должна основываться на математическом моделировании, поскольку характер деятельности планового подразделения предприятия непосредственно связан с обра-

боткой количественных показателей, которые наилучшим образом (в отличие от качественных показателей) формализуются в виде различных экономико-математических моделей.

При этом, учитывая значительную неопределенность рынка, на котором функционируют предприятия, производящие медицинскую пробку, возникает необходимость использования такого аналитического инструмента, который бы позволил одновременно учитывать фактор неопределенности и способствовать принятию управленческих решений с максимальным эффектом для предприятия.

Наиболее подходящим для решения поставленной задачи инструментом, на наш взгляд, является совместное использование методов имитационного моделирования и математического программирования: при этом сочетаются необходимость нахождения оптимальной величины переменных модели и случайность ее основных параметров и коэффициентов.

Следует отметить, что предлагаемый подход к оптимизации производственной программы предприятия на основе методов математического программирования и метода Монте-Карло рассматривается в ряде отечественных и зарубежных источников, например, в работах В.Г. Аваку-мова [2], Л. Сакалаускаса, К. Жилинскаса [3], С. Томпсона, У. Дэвиса [4], А. Шапиро [5] и др. Однако в этих и аналогичных работах либо не рассматривается специфика конкретного производства (в частности, производства медицинской пробки), либо не уточняются причины выбора тех или иных параметров модели, либо не проверяются условия согласия экспериментальных данных и теоретических законов распределения, либо происходит чрезмерный уклон в описание математических и вычислительных алгоритмов.

В предлагаемой методике учтены особенности реального производства медицинской пробки как важного элемента отечественной резинотехнической отрасли промышленности, подробно описано и обосновано необходимое и достаточное количество элементов и параметров экономико-математической модели оптимизации производственной программы, что составляет новизну настоящего исследования.

Рассмотрим поэтапно процесс создания модели для оптимизации производственной програм-

мы изготовителей медицинской пробки с учетом неопределенности. Для этого вначале представим модель в детерминированной форме, а затем дополним ее стохастическими компонентами.

Как известно, задача математического программирования предполагает определение: 1) переменных, подлежащих изменению; 2) целевой функции, требующей оптимизации; 3) ограничений, которым должны удовлетворять переменные.

Устанавливая переменные, мы определяем, какие параметры производственной программы должны изменяться, чтобы достичь максимального эффекта для предприятия. На наш взгляд, такими параметрами являются объемы производства Q по каждому виду выпускаемой продукции к, обозначаемые как Qk . При установлении целевой функции, на наш взгляд, целесообразно использовать формализацию прибыли, которая является общепринятым абсолютным показателем результата финансово-хозяйственной деятельности предприятия.

Учитывая возможность разделения издержек на переменные и постоянные затраты и успешную практику использования маржинальных методов в управленческом анализе отечественных и зарубежных предприятий, представим целевую функцию данной модели в виде соотношения выручки, переменных и постоянных затрат. Если для текущего периода по каждому виду продукции к предприятия, номенклатура которого состоит из £ единиц, обозначить цену единицы как Рк, переменные затраты как Ук , а постоянные затраты как О, то функция прибыли я будет выглядеть следующим образом:

я -

¿(P -Vk)Qk

k=1

- G.

Отметим, что формула (1) может быть преобразована, если учитывать, что одним из самых распространенных способов ценообразования на отечественных и зарубежных предприятиях является метод «издержки плюс прибыль». Для этого введем следующее соотношение:

Р =

где Як - величина ожидаемой прибыльности (%) от продаж каждой единицы продукции к, деленная на 100%, в текущем периоде.

Подставив соотношение (2) в формулу (1) и проведя простые преобразования, получим следующее выражение прибыли:

п =

Z Rk • Vk  Qk

k=1

- G.

Следует отметить, что без учета постоянных затрат формула (3) отображает маржинальную прибыль, при этом величина постоянных затрат не связана с объемами производства. Следовательно, при оптимизации прибыли величина О не будет влиять на переменные модели, поэтому постоянные затраты можно исключить из дальнейшего рассмотрения и в качестве целевой функции целесообразно использование маржинальной прибыли. Таким образом, целевая функция М будет выглядеть следующим образом:

M = Z Rk  Vk  Qk ^ max .

k=1

Данная задача будет иметь 2 группы ограничений - по предложению (внутреннее ограничение) и спросу (внешнее ограничение).

Под внутренним ограничением подразумевается, что производство продукции в текущем периоде наталкивается на ресурсные ограничения Jr -по сырью и материалам, энергозатратам, фонду рабочего времени, фонду работы оборудования и т.д., использование которых по каждому виду продукции к определяется нормами расхода игк, выраженными в стоимостной форме, по каждому виду ресурсов г в текущем периоде. В результате ограничение предложения может быть сведено к следующей группе неравенств:

ZUrk • Qk < Jr.

k=1

В рамках внешнего ограничения предполагается, что спрос на продукцию предприятия также не может быть бесконечно большим. Ясно, что объем производства в текущем периоде должен учитывать особенности рыночной конъюнктуры и по каждому виду продукции к не превышать значения Ьк , которое, в свою очередь, может определяться исходя из особенностей вновь заключенных договорных обязательств предприятия, спецификаций потребителей и результатов маркетинговых исследований. Кроме этого, объем производства не должен быть ниже значения Бк , представляющего фиксированный объем продукции по договорным обязательствам, заключенным ранее текущего периода. Таким образом, внешние ограничения рассматриваемой задачи будут иметь следующий вид:

\ < Ок < ь.

Таким образом, в детерминированной форме модель оптимизации производственной программы предприятия, изготавливающего медицинскую пробку, будет иметь вид

M = z Rk • Vk • Qk ^

тах

k=1

ZUk • Qk < Jr

k=1

или

Sk < Qk < Lk

M = Z Rk • Vk • Qk ^ max

k=1

ZVk • Qk <w

k=1

Sk < Qk < Lk.

Отметим, что разнообразие всех ресурсов и норм расходования, используемых предприятием, можно свести к их стоимостному эквиваленту: нормы расхода по всем ресурсам можно определить через переменные затраты по каждому виду продукции, а запас ресурсов - через стоимостной эквивалент производственной мощности Ж. Таким образом, внутреннее ограничение рассматриваемой задачи может быть представлено следующим образом:

¿^ • Ок <ш.

к=1

Приведенная выше модель отражает направление и ограничения предполагаемой оптимизации производственной программы предприятия, изготавливающего медицинскую пробку. Однако, для того чтобы в данной модели учитывалась неопределенность внешней среды, необходимо ее сочетание с вероятностными методами.

В этих целях, на наш взгляд, целесообразно использование методов имитационного моделирования, в частности метода Монте-Карло, с помощью которого возможно определение

состояния проекта при одновременном анализе сколь угодно большого числа возможных состояний исследуемой модели путем ее многократного прогона, как правило, в среде ЭВМ.

В общем случае реализация метода Монте-Карло включает в себя следующие этапы:

1) установление ключевых параметров модели, чье воздействие на ее состояние является наиболее значимым и чьи реальные величины невозможно предсказать с высокой точностью;

2) определение законов распределения вероятностей для ключевых параметров модели;

3) проведение имитации значений ключевых параметров модели;

4) статистический анализ исходных и выходных показателей имитационного эксперимента.

Рассмотрим реализацию метода Монте-Карло в рамках сформированной выше детерминированной модели математического программирования для оптимизации производственной программы с учетом фактора неопределенности.

Для резинотехнических предприятий, изготавливающих медицинскую пробку, наиболее неопределенными параметрами внешней среды являются цены на основное сырье (бутилкаучук и хлорбутилкаучук) и величина спроса на производимую продукцию. Следовательно, при реализации метода Монте-Карло необходимо учитывать случайный характер показателей Ук , ик , Ьк.

Для этого введем параметры Ук , и г к, Ьк, которые представляют значения показателей Ук , игк, Ьк в предыдущем периоде, и параметры ук ,ул , Хк , представляющие собой темпы роста показателей Ук , игк, Ьк по сравнению со значениями Ук ,

ТТ* Т* к

иг к, Ьк, такие, что у, = —^ , V

Vl

V* ' UV k Lk

Ur k Lk

, kk = — •

M = S Rk • V*  y k • Qk ^ k=1

¿Urk •vrk ' Qk < Jr

k=1

тах

Sk < Qk <Lk-Xk

или

M = S Rk  V* • Y k • Qk ^

тах

k=1

¿V* • Yk • Qk <W

k=1

Sk < Qk < L\ • \кш

Поскольку совокупности значений Ук, игк, Ьк являются временными рядами, что затрудняет их реализацию через законы распределения, то целесообразно в качестве случайных параметров модели выбрать показатели ук , vrk , Хк, а в (8)-(9) для сохранении логики модели заменить

параметры Ук , игк, Ьк на У* • ук , и*к • vrk' , Ь* • А,к .

В результате вышеуказанных преобразований описываемая модель оптимизации производственной программы формализуется в виде

где Ук ,vrk , Хк - случайные величины.

Проведение имитационного эксперимента при помощи метода Монте-Карло может потребовать большое количество прогонов модели, число которых значительно превышает величину имеющейся выборки значений случайных параметров. В связи с этим для моделирования значений случайной величины вместо выборочных значений используют определенное статистическое распределение, принимая его тождественным выборке.

Однако нередко выбор того или иного статистического закона для моделирования выборки проводится без всякой проверки согласия экспериментальных данных и параметрических распределений. Зачастую в таких случаях, руководствуясь центральной предельной теоремой, используют распределение Гаусса (нормальное распределение).

На наш взгляд, выбор распределения без должной проверки экспериментальных данных является некорректным, поэтому при определении закона распределения случайных величин

параметров ук , vrk , Хк необходимо проверять гипотезу о согласии наблюдаемых результатов и распределения вероятности. Рассмотрим более подробно процесс проверки гипотезы о согласии эмпирических данных и известных законов распределения.

В литературе по прикладной статистике приведено большое количество критериев согласия.

В данной работе мы будем использовать критерий Колмогорова, который, согласно М. Кендаллу, А. Стюарту [6, с. 605], является «наиболее важным из общих критериев согласия».

Пусть Fn(x) - эмпирическая функция распределения случайной величины х, представленной выборкой Xl < X2 < ... < xn (где п - объем выборки), такая что:

Fn(x) = \

0

x < x1

xi < x < xi+1, x > x„

1 < i < n -1.

Выдвинем гипотезу Н0 : Fn(x) = Ф(х), где Ф(х) - полностью определенная (с точностью до параметров) теоретическая функция распределения. Статистика Колмогорова Dn рассчитывается по следующей формуле [7, с. 13]:

D = max

1<i<n

- -ф(x) I, |Ф(x) - —

,n ) v n .

Dn = Dn

4n + 0,12

+

0,11

Уровень значимости а 0,15 0,1 0,05 0,025

Критические значения В„( а) 1,138 1,224 1,358 1,480

ления по имеющейся выборке. Но в этом случае использовать статистику Dn и критические значения Dn(а) неправомерно [9, с. 60-62]. Кроме этого, распределение статистики Колмогорова перестает быть универсальным, и для проверки согласия теоретической функции, оцененной по выборке, с экспериментальными данными необходимо модифицировать статистику Dn и критические значения Dn(а) в зависимости от каждого выбранного для проверки гипотезы закона распределения.

Например, для проверки согласия эмпирических данных с функцией нормального распределения, параметры которой (математическое ожидание д и среднеквадратическое отклонение 5) оценены по выборке, следует использовать модифицированную статистику Dn [10, с. 233]:

с

Dn = Dn

n - 0,01 + ^ v Vn ,

Если Dn > Dn(а), то гипотеза о согласии эмпирической функции распределения с теоретической отвергается при вероятности отклонения верной гипотезы (уровне значимости), равной а . Для того чтобы устранить зависимость Dn( а) от объема выборки необходимо использовать преобразование Dn статистики Колмогорова Dn [8, с. 118]:

Значение Dn необхотимо сравнивать с критическими значениями Dn( а), представленными в табл. 2.

Таблица 2

Критические значения модификации статистики Колмогорова для нормального распределения оцениваемого по выборке

Уровень значимости а 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01

Критические значения Бш( а ) 0,775 0,819 0,895 0,955 1,035

Значение Dn следует сравнивать с критическими значениями Dn (а), представленными в табл. 1.

Таблица 1

Критические значения статистики Колмогорова

На практике, однако, параметры теоретической функции распределения часто бывают неизвестны, поэтому исследователи используют оценку параметров теоретической функции распреде-

Как видно из ттбл. 1, 2, критические значения Dn(а) больше Dn(а) примерно в 1,5 раза, то есть при соотнесении экспериментальных данных с нормальным законом, функция которого оценена по выборке, гипотеза о согласии Но принимается значительно реже, чем при использовании нормального распределения с полностью известными параметрами.

Таким образом, в условиях описываемой модели оптимизации производственной программы предприятия, изготавливающего медицинскую пробку, следует использовать критерий Колмогорова и его модификации для выбора закона распределения в целях учета неопределенности внешней среды путем реализации метода Монте-Карло.