Оценка резонанса для связанных высококонтрастных диэлектрических волноводов

ОЦЕНКА РЕЗОНАНСА ДЛЯ СВЯЗАННЫХ ВЫСОКОКОНТРАСТНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

С.В. Фролов

Введение

Исследование транспортных свойств диэлектрических волноводов в последнее время вызывает повышенный интерес в связи с появлением новых материалов -фотонных кристаллов. Хотя существует большое количество работ по экспериментальному и численному анализу подобных систем, получено мало аналитических и асимптотических результатов. С точки зрения асимптотического анализа большой интерес представляют высококонтрастные системы, в которых малым параметром является толщина диэлектрического слоя, диэлектрическая проницаемость которого велика. Наиболее продвинулись в изучении подобных систем группы физиков в США (Канзас) и Франции (Марсель) [1-3].

Настоящая статья посвящена анализу системы, состоящей из трех диэлектрических слоев, причем узкий средний слой имеет большую диэлектрическую проницаемость. Рассматриваются электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль слоев. При этом анализ сводится к изучению двух возможных поляризаций, когда электрическое (или, соответственно, магнитное) поле перпендикулярно границе раздела. В обоих случаях задача сводится к скалярному уравнению для величины напряженности электрического (или, соответственно, магнитного) поля. Если электрическое поле E перпендикулярно плоскости системы, то в плоскости, перпендикулярной границе раздела, получаем двумерное уравнение Гельмгольца: -AE = As(x )E , где Л = (р /c )2, а> - частота волны, c - скорость света, s(x ) -диэлектрическая проницаемость.

Допустим, мы имеем две полосы диэлектрика с малым s = s1 , разделенные узкой (толщины S ) полосой диэлектрика с большим s = s2, причем в разделяющей полосе есть малое отверстие ширины 2a . В соответствующей трехмерной системе данному отверстию отвечает узкая бесконечная щель. В [4, 5] показано, что в подобной системе при условии sS ^ 0 или sS ^const (s = s2-s1), т.е. при высокой контрастности, спектр оператора Гельмгольца распадается на две части, одна из которых связана с транспортными свойствами узкого диэлектрического волновода, а другая близка к спектру оператора Гельмгольца в области, в которой описанная узкая полоса заменена на линию, на которой предполагается выполненным условие Дирихле. Таким образом, для описания такой системы при достаточно высокой контрастности можно использовать более простую задачу Дирихле. Наличие малого отверстия в разделяющей линии приводит к появлению резонанса [6]. Значит, при высокой контрастности у системы диэлектрических волноводов тоже будет резонанс, близкий к резонансу аналогичной задачи Дирихле. Для соответствующего квазисобственного (т.е. имеющего ненулевую мнимую часть) значения можно найти асимптотику по ширине отверстия связи.

Периодическая система отверстий связи вызывает появление зоны [7], причем имеется лакуна, отдаляющая ее от остальной части непрерывного спектра. Значит, при достаточно высокой контрастности соответствующая лакуна будет и у диэлектрических волноводов, т.е. система отверстий представляет собой разновидность фотонного кристалла (с лакуной в спектре).

1. Постановка задачи

Рассмотрим краевую задачу для уравнения Гельмгольца (Л + к 2)иа = 0 в системе

двух двумерных волноводов шириной d+ и d- (d+ >d-) соответственно, соединенных

отверстием шириной 2а.

На границах волноводов будем считать выполненными условия Дирихле, а в точках разрыва границ — условия Майкснера. При г ^ го (г = |х|) будем считать

выполненным условие излучения Зоммерфельда

- гкиа = о| — |. Построим

дг I г У

асимптотику квадрата квазисобственной частоты (резонанса) Л,а = к2а поставленной

,2

краевой задачи вблизи нижней границы ветви непрерывного спектра по параметру

d2

а, считая этот параметр много меньшим длины волны. Зададимся целью найти главные члены разложения.

2. Решение задачи

Пусть 0± — это область, ограниченная волноводом шириной d±. Введем

систему координат Ох1х2, совместив начало координат с серединой отверстия таким

образом, чтобы ось Ох1 совпадала с границей волноводов. Направление оси Ох2

выберем таким, чтобы точки области 0+ имели положительные ординаты. Рассмотрим асимптотический ряд следующего вида:

1

V Л 2 — - к 2

d 2 а

V"- У

Го [(У-1)/2] ] = 2 г=0

а

а ^ 1п—

V а0 У

Здесь а0 — характерная единица длины.

Для нахождения нескольких первых коэффициентов к^ в (1) воспользуемся

методом согласования разложений. Будем согласовывать асимптотические разложения квазисобственной функции, соответствующей квазисобственной частоте ка , имеющие

вид:

V ,2

Фа (х) = - к21 2 а Р]

d

]+1

^ а Л

а, ,1па

=0

а

I— (х, у, к) 0, х е О- \ £ а

ы0 У а0

а0

Фа (х) = 2 2

]=1 г=0

[-)/2] ГхЛ /, а Л

]а а а

1п-

х е £

V а0 у

2аг

а0

V ,2

(

Фа (х) = - к2 I 2ар+1

V- У ]=0

Д, ,1п

а I

— 0+ (х,у,к) у=0, х е0+ \ £

а 'у

ы0 У <

а

Здесь — сфера радиуса ^ с центром, совпадающим с серединой отверстия,

Уп е Ж2\ос(о+ ), Р — некоторые полиномы от Д , 1па, имеющие вид

, а0

а

го

а

1/2

Dy ,ln a) = < -П-

a0 dny

Pm (Dy ,ln = ^ 2

a0 j=1 i=0

a

f a ]

ln

V a0 J

+1 , D

D'ym- j+i, m = 2,3,4,...

д д2у+2

где а(.т) — константы, Б21+1 = —т--, Б21+2 =--; I, п — вектора, имеющие

1 у дп2/+1 у д!у дп2/+1 Р

координаты (1,0) и (0,-1) соответственно. G1 - это функции Грина для волноводов

П± .

Окончательно асимптотика квазисобственного значения (резонанса) будет выглядеть следующим образом:

( „л ( ( „V Л

а8 + о

= k0 k 20a 2k20

k40 + k41 ln

a6 -

V a0 J

k40 + 2k40k 41 ln + k41

a0

VJ

ln ^

V a0 J

2 ^ П f 3n 1 ^

где k02 =-ПТ , k20 =-^3 , Im k40 = -. Л . . , Re k40 = П

d2' 4d-' 40 ^ 16d2

+ v +

_5

•---

V 8d- d_ x *x) J

к41 = —(gX - значения в точке границы нормальных производных регулярных 8d_

частей функций Грина соответствующих волноводов.)

3. Случай одинаковых волноводов

Рассмотрим теперь случай d- = d+ = d. В этой ситуации описанная выше схема дает уже асимптотику не квадрата квазисобственной частоты (резонанса), а собственной частоты, близкой к границе непрерывного спектра.

Окончательно для этого случая асимптотика собственного значения будет иметь , 2 п2 , п3 , п4 ( 3п Л п5

вид (2), где к0 = ^7, к20 = , к40 =Т7Т I - gx + I , к41 =-

0 d2' 20 2d2' 40 4d3 V x 16d2 J' 41 8d5' Работа поддержана грантом РФФИ 01-01-00253.

Литература

1. W. Axmann and P. Kuchment. An efficient finite element method for computing spectra of photonic and acoustic band-gap materials I. Scalar case // J Comput. Phys. 1999. V. 150. P. 468-481.

2. D. C. Dobson. An efficient method for band structure calculations in 2-D photonic crystals // J Comp Phys. 1999. V. 149. P. 363-376.

3. J. D. Joannopopulas, R. D. Meade and J. N. Winn. Photonic Crystals. Molding the Flow of Light. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995.

4. Figotin and P. Kuchment. Band-gap structure of spectra of periodic and acoustic media. I. Scalar model // SIAM J. Appl. Math. 1996. V. 56. № 1. P. 68-88.

5. W. Axmann, P. Kuchment, and L. Kunyansky.Asymptotic Methods for Thin High-Contrast Two-Dimensional PBG Materials // J. Lightwave technology. V. 17. №. 11. P. 1996-2007.

6. S. V. Frolov, I. Yu. Popov. Resonances for laterally coupled quantum waveguides // J. Math. Phys. 2000. V. 41. № 7. P. 4391-4405.

7. Yu. Popov. Asymptotics of bound states and bands for waveguides coupled through small windows // Appl Math. Lett. 2001. V. 14. P. 109-113.