Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 13, 2006

УДК 515.12

Е. В. Кашуба

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА КАТЕТОВА ДЛЯ ПОЛУНОРМАЛЬНЫХ ФУНКТОРОВ

В статье доказаны обобщение теоремы Катетова о кубе для полунормальных функторов и свойства наследственной К-нор-мальности.

Классическая теорема Катетова утверждает, что если куб компакта X наследственно нормален, то пространство X метризуемо. Так как операция возведения в куб является нормальным функтором1 степени три, возник естественный вопрос, будет ли компакт X метризуем, если для нормального функтора Т степени не меньше трех компакт Т(X) наследственно нормален. На этот вопрос В. В. Федорчуком [1] был получен положительный ответ. А. П. Комбаров [2] заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность компакта Т(X) на наследственную К-нормальность.

Распространение теоремы на случай полунормальных функторов приводит к необходимости рассмотрения степенного спектра функтора Т-множества степеней точек пространства Т(X). Для нормального функтора степенной спектр представляет собой натуральный ряд или отрезок натурального ряда, начиная с 1. В теореме Федорчука требование наследственной нормальности пространства Т(X) можно ослабить до наследственной нормальности пространства Тз^) \ X. Для случая полунормального функтора суперрасширения А имеется следующий результат Т. Ф. Жураева [4]: если пространство А^) \ X наследственно нормально, то компакт X метризуем. Здесь произошла замена индекса 3 на индекс 4, поскольку 4 является третьим по счету элементом степенного спектра функтора суперрасширения А.

© Е. В. Кашуба, 2006

1 Необходимые определения можно найти в [5].

В работе А. В. Иванова [3] доказано, что если F — полунормальный функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию (*), и спектр sp(F) = {1,m, n,...}, то наследственная нормальность пространства Fn(X) \ X влечет метризуемость X.

В настоящей работе получен следующий результат: если sp(F) = {1,m, n,...} — спектр полунормального функтора F, этот функтор удовлетворяет комбинаторному условию (*), и пространство Fn(X)\X наследственно K-нормально, то компакт X метризуем. Доказательство опирается на идеи и методы, используемые в статьях [2] и [3].

Будем рассматривать ковариантные функторы, действующие из категории Comp компактов и их непрерывных отображений в ту же категорию.

Функтор F называется мономорфным, если для любого вложения i : Y ^ X отображение F(i) : F(Y) ^ F(X) тоже является вложением. Для мономорфного функтора F и замкнутого в пространстве X подмножества Y пространство F(Y) естественно отождествляется с подпространством F(i)(F(Y)) пространства F(X).

Мономорфный функтор сохраняет пересечения, если для любого семейства {Ya : a G A} замкнутых подмножеств пространства X выполнено соотношение

F(n{Ya : a G A}) = n{F(Ya) : a G A}.

Для мономорфного сохраняющего пересечения функтора F определен носитель supp(a) произвольной точки множества F(X) по следующему правилу:

supp(a) = n{Y С X : Y- замкнуто, a G F(Y)}.

Обозначение Fn(X) используется для множества

{a G F(X) : |supp(a)| < n}.

Если F — мономорфный, сохраняющий пересечения функтор, то подпространство Fn(X) замкнуто в пространстве F(X) для любого компакта X и любого натурального числа n. Кроме того, соответствие X ^ Fn(X) однозначно определяет подфунктор функтора F.

Функтор F называется непрерывным, если он перестановочен с операцией перехода к пределу обратного спектра.

Мономорфный непрерывный сохраняющий пересечения функтор называется полунормальным, если он сохраняет точку и пустое множество. В случае, если Т является полунормальным функтором, его подфунктор Тп также полунормален для любого натурального числа п. Пространство Тх^) гомеоморфно пространству X, и можно считать, что компакт X является подпространством пространства Т(X).

Функтор Т сохраняет прообразы, если для любого непрерывного отображения / : X ^ У и любого замкнутого подмножества А С У

Т (/-1(А)) = (Т (/))-1(Т (А)).

Функтор Т называется эпиморфным, если он сохраняет эпиморфизмы. Функтор Т сохраняет вес, если для любого бесконечного компакта X ) = и>(Т(X)). Полунормальный функтор является нормальным, если он эпиморфен и сохраняет вес и прообразы.

Обозначим через пп отображение

Пп : Xп х Т(п) ^ Т(X),

определяемое равенством пп(х,£) = Т(х)(£). Здесь каждая точка х = (хх,...,хп) пространства Xп отождествляется с отображением х : п ^ {хх,..., хп} С X, где символ п используется также для обозначения п-элементного дискретного множества. Для любого непрерывного функтора Т и любого компакта X отображение пп непрерывно. Для полунормального функтора Т справедливо равенство /шпп = Т^,^).

При п > 2 обозначим Т^,^) \ Т^,-!^) через Тпп(X). Степенной спектр функтора Т определяется следующим образом:

5р(Т) = {к : к € N Т^(к) = 0}.

Степенной спектр любого полунормального функтора содержит 1.

Пусть Т является полунормальным функтором и спектр вр(Т) = {1, т, п,...}, причем элементы спектра расположены в порядке возрастания. Отображение фпт : п ^ т определяется по следующему правилу: ^пт(*) = * при * < т и у>(г) = т — 1 при * > т. Будем говорить, что функтор Т удовлетворяет условию (*), если

Т (^ пт )(Тпп(п)) ^ Ттт(т) = 0.

Пусть пространство X является компактом и Дп = {(хх, ...,хп) : 3*3^’(* = ^’, х* = х^-)} — обобщенная диагональ пространства Xп. В работе [3] доказана следующая

Лемма 1. Если обобщенная диагональ Дп является Оц -множеством в пространстве Xп, то пространство X метризуемо.

Пусть К — класс пространств, представимых в виде объединения счетного числа компактных подпространств. Хаусдорфово пространство X называется К-нормальным, если в нем любые два непересе-кающиеся замкнутые подмножества, одно из которых принадлежит классу К, содержатся в непересекающихся окрестностях.

Пространство X называется наследственно К-нормальным, если всякое его подпространство К-нормально.

Множество ^ называется регулярным Оц -множеством, если ^ является пересечением не более чем счетного числа замкнутых множеств, внутренность каждого из которых содержит ^.

В дальнейших выкладках сыграет определенную роль доказанная в [2]

Лемма 2. Пусть X — счетно компактное бесконечное пространство и произведение X х У наследственно К-нормально. Тогда всякий компакт в пространстве У является регулярным О§ -множеством.

Основным результатом работы является

Теорема 1. Пусть Т — полунормальный функтор, спектр вр(Т) = {1, т, п,...} и функтор Т удовлетворяет условию (*). Если для компакта X пространство Тп^) \ X наследственно К-нормально, то компакт X метризуем.

Доказательство. Рассмотрим возможные альтернативы для пространства X:

1) в компакте X имеются, по крайней мере, две неизолированные точки;

2) компакт X имеет единственную неизолированную точку. Случай 1. Выберем точку 6 € Тпп(п) так, чтобы

Т (^ пт )(6) € Ттт(т).

Заметим, точка 6 существует в силу условия (*). Пусть хх,... ,хт — набор различных точек из пространства X, в котором хх не является изолированной точкой, и пусть и и V — окрестности точек хх и хт

соответственно, причем такие, что х2,..., хт-х € [и]и [V] и [и]П [V] = 0. Рассмотрим в пространстве Xп множество

Т = [и] х {х2} х {хз} х ... х {хт-х} х [V]п-т+х

и положим

/ = Пп |Тх|Й| : Т х {6} = Т ^ Тn(X).

Через Д обозначим разбиение, которое порождает на множестве Т отображение /, а именно

Д = {/-х(е) : е €Тп^)}.

Покажем, что каждый элемент разбиения Д лежит в некотором слое Т2 = {г} х {х2} х ... х {хт-х} х [V]п-т+х произведения Т, г € [и], и на всех слоях разбиение Д одинаково.

Пусть у = (ух,..., уП) € Т. Покажем, что

{ух, . . . , Ут-х} С бИрр

По определению отображения / имеем /(у) = Т(у)(6). Если отображение у — взаимно однозначное (то есть все координаты точки у различны), то яирр(/(у)) = {ух,...,уп}, так как вирр(6) = п. Если же среди координат точки у имеются совпадающиеся, то рассмотрим отображение ц : {ух,..., уп} ^ {ух,..., ут}, определяемое следующим образом: ц(у*) = у* при * < т, ц(у*) = ут при * > т. Очевидно, что композиция ц о у гомеоморфна отображению ^>пт. Следовательно,

|8Ирр(Т(ц О у)(6))| = |8Ирр(Т(<£>пт)(6))| = т.

Значит, бирр(Т (ц о у)(6)) = {ух,..., ут}, откуда следует, что

вирр(Т(у)(6)) Э {ух,... ,ут—}.

Включение (1) доказано.

Пусть ух = (у!,..., уп), у2 = (у2,..., уп) — две точки из различных слоев Ту1 и Ту2 разбиения Т, то есть у{ = у2. Тогда в силу включения (1) /(у];) = /(у2). Таким образом, элементы разбиения Д не могут пересекать два различных слоя одновременно.

Покажем теперь, что если /(уь у^,..., уп) = /(ух, у2,..., уп), где ух € [и], то равенство /^, у^... ,уП) = /(у!,у|,... ,уП) имеет место для любого элемента у[ € [и]. Введем обозначения:

а2 = (уъу2 ,...,уП ), = (у£ ,у22 ,...,уП),

А2 = {уЬу22,..., у2}, В2 = {у;, у22,..., у2},

где к = 1; 2. Пусть отображения цй : А2 ^ В2 определяются по формулам: цк (ух) = у', 9й(у2) = у2, * = 2,... ,п, к = 1;2. Тогда о а2,

к = 1;2 и щЦ1пА2 = 92|А1пА2. Имеем

Т(ах)(6) = Т(а2)(6) € Т(Ах) П Т(А2) = Т(Ах П А2). Следовательно,

Т (6х)(6) = Т )(Т (ах)(6)) = Т Ыа^ )(Т (а2)(6)) = Т (62)(6),

что и требовалось доказать.

Итак, разбиение Д порождает на всех слоях Т2 произведения Т одинаковые разбиения Д'. Слои Т2 гомеоморфны пространству [V]п-т+:1-, следовательно, фактор-пространство Т/Д = /(Т) С ТП^) гомеоморфно произведению П = [и] х ([V]П-т+1 /Д'). В силу включения (1) П = /(Т) С ТП^) \ X, следовательно, произведение П наследственно К-нормально. Поскольку множество [и] по построению бесконечно, то по лемме 2 наследственная К-нормальность произведения П влечет, что любой компакт в пространстве [V]П-т+1/Д' является регулярным Од-множеством.

Возьмем теперь произвольный слой Т2, гомеоморфный [V]П-т+1, и рассмотрим отображение

9 = /к : [V]П-т+х ^ [V]П-т+7Д' С Тп^).

Пусть ДП-т+1 — обобщенная диагональ пространства [V]П-т+1. Тогда выполнено соотношение 9-1(9(ДП-т+1 )) = Дп- т+1, поскольку при х € Дп-т+1 |вирр(9(х))| = т, а при х € Дп-т+1 |вирр(9(х))| = п, что следует из доказательства включения (1). Следовательно, обобщенная диагональ Дп-т+1 является О^-множеством в пространстве [V]П-т+1. Значит, по лемме 1 пространство [V] метризуемо.

Итак, показано, что любая точка х = хт € X имеет метризуемую окрестность. Следовательно, компакт X метризуем.

Отметим, что при доказательстве был существенно использован тот факт, что в X имеется отличная от хт неизолированная точка хх.

Таким образом, остается рассмотреть случай 2), когда компакт X имеет единственную неизолированную точку. Предположим, что пространство X неметризуемо. Тогда оно является александровской ком-пактификацией несчетного дискретного пространства: X = А и {4}. Разложим множество А на три непересекающихся подмножества: А =

B U C U D, где B — счетно, C и D — несчетны. Рассмотрим в пространстве X” \ Д„ подмножества

Fi = {(xi,..., xn) : xi G B, X2 = t, хз = x3,...,xn = x”},

F2 = {(xi, .. ., x„) : xi = t, X2 G C, X3 = X3,. .., x„ = x”},

где x0,..., x” — фиксированные несовпадающие точки из множества D. Множества Fi и F2 замкнуты в пространстве X” \ Дп и не пересекаются, кроме того Fi G K.

Покажем, что множества Fi и F2 не имеют в пространстве X” \ Дп непересекающихся окрестностей. Для произвольной фиксированной окрестности OFi множества Fi и для произвольной точки x = (xi, t, x3,..., x”) G Fi С OFi существует окрестность Ox точки x вида Ox = {xi} x Otx x {x3} x ... {x”} С OFi, где Otx = X \ Ex —

окрестность точки t в пространстве X, Ex — конечное множество элементов из пространства A. Положим E = УEx. Множество E не более чем счетное, значит, C \ E = 0. Пусть у2 G C \ E. Тогда у' = (t, у2, x0,..., x”) G F2. Для любой окрестности OF2 множества F2 существует окрестность Oy' точки у' вида Oty x {у2 } x {x0}x ... x {x”} С OF2, где Oty = X \Ey — окрестность точки t в пространстве X, Eyr — конечное множество элементов из пространства A. Пусть xi G B \ Ey. Тогда точка x' = (xi,t, x0,... , x”) G Fi и содержится в окрестности OFi множества Fi. Окрестность Ox' точки x' содержится в окрестности OFi множества Fi. Получаем, что OFi П OF2 D Ox' n Oy' = 0 для произвольных окрестностей OFi и OF2 множеств Fi и F2 соответственно.

Положим

h = п„|Хпх{й} : X” x {^}^F„(X).

Тогда h-i(Л.(ДП)) = Дп. Отображение h|xn\An замкнуто и h(Fi) П h(F2) = 0. Поскольку h(X”\ Дп) С Fn(X)\XT и Fn(X) — наследственно K-нормально, а h(Fi) G K, то множества h(Fi) и h(F2) имеют в h(X” \ Дп) непересекающиеся окрестности, прообразы которых будут непересекающимися окрестностями множеств Fi и F2 в пространстве X”. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Resume

A generalization of the Katetov Theorem for seminormal functors and the property of hereditarily K-normality is proved.

Список литературы

[1] Федорчук В. В. К теореме Катетова о кубе / В. В. Федорчук // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 1989. № 4. С. 93-96.

[2] Комбаров А. П. К теореме Катетова—Федорчука о кубе / А. П. Ком-баров // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 2004. № 5. С. 59-61.

[3] Иванов А. В. Теорема Катетова о кубе и полунормальные функторы / А. В. Иванов // http://topology.karelia.ru/arh.html

[4] Жураев Т. Ф. Функтор Л и метризуемость бикомпактов / Т. Ф. Жу-раев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 1999. № 4. С. 54-56.

[5] Федорчук В. В. Общая топология. Основные конструкции / В. В. Федорчук, В. В. Филиппов. М.: Изд-во МГУ, 1988.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33