Моделирование турбулентного течения вязкой жидкости с дисперсными включениями близкой плотности

МЕХАНИКА

72

УДК 532

Н. Л. Великанов, В. А. Наумов, С. И. Корягин

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С ДИСПЕРСНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ БЛИЗКОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрены методики и алгоритмы расчета характеристик гидромеханических процессов при течении вязкой жидкости (воды) с дисперсными включениями близкой плотности. В частности, исследованы зависимости безразмерной интенсивности диссипации пульсационной энергии от инерционности включений при различной загрузке. Представлены результаты решения краевой численным методом в среде Mathcad. Получено, что интенсивность диссипации пульсационной энергии несущей среды прямо пропорциональна отношению распределенной плотности дисперсной и несущей фаз и зависит от инерционности включений, характеризующейся безразмерной величиной.

The authors consider the methods and algorithms for calculating the characteristics of hydro-mechanical processes in the flow of viscous liquid (water) with dispersed inclusions of close density. In particular, the dependences of the dimensionless intensity of the pulsation energy dissipation on the inertness of inclusions at different loads are investigated. The paper presents the results of the solution by the boundary numerical method in Mathcad. It is found that the intensity of the pulsation energy dissipation of the carrier medium is directly proportional to the ratio of the distributed density of the dispersed phase and the carrier phase depends on the inertia of the inclusions, characterized by a dimensionless value.

Ключевые слова: дисперсные включения, вязкая жидкость, турбулентное течение, кривая сопротивления.

Keywords: dispersed inclusions, viscous liquid, turbulent flow, resistance curve.

Для повышения энергетической эффективности систем гидротранспорта широко используется математическое моделирование (см. [1 — 4] и библиографию в них). В данной статье рассматривается математическая модель течения вязкой жидкости (воды) с дисперсными включениями близкой плотности, например, при гидротранспорте рыбы [5].

Известный подход к описанию движения сплошной среды, называемый эйлеровым, заключается в изучении скоростей (температур и др.) в неподвижных точках области течения.

В [6; 7] с помощью пространственного осреднения получена система уравнений двухфазной среды:

© Великанов Н.Л., Наумов В. А., Корягин СМ., 2019

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.

Сер.: Физико-математические и технические науки. 2019. № 1. С. 72-80.

1) уравнения сохранения массы (неразрывности) несущей и дисперсной фаз:

дрг ^ дрр ^

тр^) = -1, ) = 1, СО

где ак — доли объема смеси, занимаемые каждой фазой ак = рк / р"°; Рр, Рк — истинная и распределенная плотности к-й фазы соответственно; 1 — интенсивность перехода массы из несущей фазы в дисперсную (например, при испарении капель 1 < 0, при конденсации 1 > 0);

2) уравнения движения несущей и дисперсной фаз в проекции на г-ю ось:

Р/

Рр

(д д Уг ) = д р ^д т

д í , 1 д X, ' 1 /

+ХУуХ =аУХ-

'д Ур"+ХУр. IX+£дпХ-+

Рг

д t 1 р д X,

\ ' 1 /

где Ург — проекция на 1-ю ось скорости движения межфазной границы; т,, тр, — составляющие тензоров напряжения в несущей и дисперсной фазах; р — сила межфазного взаимодействия, отнесенная к единице объема смеси; gi — составляющая объемной (массовой) силы.

При течении дисперсных смесей полагают Ур = Ур{ объемную долю дисперсной фазы считают малой и в бесстолкновительной дисперсной смеси пренебрегают первым и вторым слагаемыми в правой части уравнения (3).

При отсутствии фазовых переходов в уравнениях (1) — (3) 1 =0. Уравнения неразрывности при несжимаемой несущей среде примут следующий вид:

^У,- = 0, ^ + сН»

1 д г р р

Сила межфазного взаимодействия рассчитывается как произведение силы, действующей на единичную частицу, на величину п. Счетная концентрация частиц выражается через объемную долю дисперсной фазы и объем частицы ©1 :

п =

©1 гс83 /6

В открытых источниках стандартную кривую сопротивления чаще всего представляют следующими зависимостями [8]:

24

—

С0 =

73

0,44 при 1000 < Ие < 2 • 105

74

Тогда основная составляющая силы межфазного взаимодействия — сила гидродинамического сопротивления — для Ие < 1000 может быть вычислена по формуле [9]

—, л52 | 6р.

р, = 0,50, —р; (у, - уг)\у, - у,\

= Р/<Ке')У* Р',

р= 18 р, V/<52р;),

где 5 — размер включения; V — коэффициент кинематической вязкости.

Аналогичным образом вычисляются и другие составляющие силы межфазного взаимодействия [10].

Уравнения движения упрощаются до следующего вида:

Р ,

д У а д í

-IV

д У, , д X

, У

д Р ,Тд х,, д X, 1 д X,

-ррЦ +Р

д у.

р

д t

-Ту

Р

д У. р.

д X,

= ррР, +рр

, У

При указанных допущениях левую и правую части уравнения (9) можно разделить на распределенную плотность дисперсной фазы. То есть в указанной постановке данное уравнение не зависит от концентрации частиц.

Если объемная доля дисперсной примеси мала, то полагают, что тензор касательных напряжений в несущей среде определяется как в [11]:

2 д

х, = 2 ц 5--ц — (У, Е-,),

, 3 д г ,

3 = I 2

д У,.д У,

Л

,,

д X, д X,

-, ^ У

где Е1 — единичный тензор; 5 — тензор скоростей деформации жидкого элемента.

Система уравнений (4), (8), (9) может быть непосредственно использована для описания ламинарных двухфазных течений. Для турбулентных потоков, как и в однородных течениях, с помощью процедуры Рейнольдса получают осредненные по времени уравнения. Для этого заменим в исходных уравнениях актуальные значения величин на сумму средних и пульсационных и осредним по времени. Осредненные по времени уравнения неразрывности каждой из фаз:

I

д У,

, д х,

= 0,

д рр д t

Т

д рр УР,

д х,

= Тд р 'рУ 'р,

д х,

Осредненное по времени уравнение движения несжимаемой несущей среды:

р /

дУ,

/

д

д I

, 'д X

др (рр?,

д X.

, 'д X

Осредненное по времени уравнение движения дисперсной фазы:

д

д

- (РрУ; +Ррур)+Рруру +

+Ррур +РрКК,+Рруу)=Рр^ + р;^^'.

Одной из важнейших проблем теоретического исследования турбулентных течений является представление в уравнениях Рейнольдса (12) — (14) корреляционных моментов, описывающих перенос массы и импульса в пульсационном движении.

Из системы актуальных и осредненных уравнений турбулентного двухфазного течения можно получить уравнения переноса для вторых моментов, фигурирующих в последней системе (12) — (14) [7]. При этом из-за нелинейности исходных уравнений эти уравнения переноса будут содержать третьи моменты пульсационных величин. Эта цепочка может быть продолжена до бесконечности. В настоящей время, как правило, ограничиваются уравнениями для вторых моментов скоростей, представляя остальные корреляции с помощью алгебраических соотношений.

Проекция уравнения движения несжимаемой несущей среды на г-ю ось координат при наличии фазовых переходов:

75

Р /

д V д t

"ХУ

д У/г д X,.

дР + Х^"[^ +1V "У )].

д X

д X,.

Заменим в уравнении (15) актуальные значения величин на сумму средних и пульсационных и осредним его по времени:

Р /

У-+Х У,|У/.+у; д/) ^

д I

д X,

д X,

д Р + х д/

д X

д X ,

N _ _ _ _ _ _

-X [Рр. + РР V+1 (" У/.)+1' (У/р." У"п )]

Вычитая (16) из (15), получим уравнение для пульсационной скорости газа:

(

Р /

д У/

д I

X (У/

д у;

д X,.

д у. — д у;

д X,

- + У,

д X,

- + У '-

д у;.

л

д X,

д р' ~дХ~

+Хдг|" [ Рр¥'+Рр¥.+Рр¥'"Р'р¥'.+1' (у.р-у;)+

+1 (УV& - У/г) +1' (У/р. - У. ) -1' (У/р. - У/г)].

Умножим уравнение (17) на У'^ и осредним по времени:

_ д_ ^_ д у' д у; _ д у;

р, (—уу +Т (уу —-+у;у;—-+уу—-+

Р/Лд ь ; ; , /к / д X. /к ; д X. ; /к д X.

д у; +у'—/-)

д X.

_ д у; д у; — д у; д у; )

Т

/к , д X. ; ; д X. ; ; д X. д X.

> . . 11 у

=-у; Ц-+»у; Ц - [ р'рЪЦ+Р'рЪ*+рру,^+

+ук/' (ур - у.)+у (ур-у;)+Ук]' (ур -у,,)].

Если в (18) индексы ,, к поменять местами и сложить с уравнением (18), то получится уравнение для рейнольдсовых напряжений несущей среды:

д

ду; _дУк _дУ, _дУЛ

-уу+т ;; +у у+у,яу,—/^ +у;у;—^+

дь ; ; ; ; дxj ; ; дxj ; ; дx, ; ; дx,

+у,—+уу)

А дX /к

= _у; У.-у> д^+Т (у; ^ + у, ^) _

; 5X ; 5X1^ , ; дX /'дX

1 к ] . .

(рру/р +рру;^к' +рр (ру + ну;)+рру/р +рру;р +

р А к ' Ур\'-1 '/к ' 1к ' АУр '/к±1 1 Ур '/¡± к

у] (Ур -У,)+У,] (У/*-У'к)+](Ук (Ур - У,)+У^ (У/* -Ук))+

+;7 (г7,::- ук)+у/kт; (V,;:-/).

В уравнении (19) положим , = к и просуммируем по ,. Тогда получится уравнение переноса кинетической энергии турбулентных пульсаций несущей среды при двухфазном течении:

дк х-,— дк д

— + > У, — = > —

дЬ , ; дXj , дXj

V— - V'

дX, м 2*? к р,

-Тууу

-дУ,

;,-- 8 - 8р - 8 I,

; д х.. р 1

^ д у; д у;

8 = V > ----—,

1, д X, д X.

8р =—1НУ^;+рр¥;у; +рру/р, ],

р/ Я ,1

8 ] =—I/'

р / Я ,1

Отличие (20) от классического уравнения переноса кинетической энергии турбулентных пульсаций, полученного академиком А. Н. Колмогоровым, в двух последних слагаемых. Они обусловлены межфазным обменом импульсом (22) и массой (23).

Корреляции, связанные с несущей средой, находят так же, как и в однофазном течении, по известным гипотезам А. Н. Колмогорова. Тензор турбулентных напряжений в несущей среде:

-УУ =vt

'д V+д /

д х, д х. V 1 . /

- - к8,, 3 "

где д, — символ Кронекера; V — кинематический коэффициент турбулентной вязкости.

Диффузионный член и интенсивность диссипации (рассеивания) в уравнении переноса пульсационной энергии:

-у;(1 £у;2 +/ =у-дк

к3/2

2, / р/ дХ,

е = С0—

0 £,

к2 ,-

vt = Сц — = Сц £ , е

где С0 = 1; Ср = 0,09; Ок = 1 — эмпирические константы; £ ( — макромасштаб турбулентности.

В (к-е)-модели турбулентности для е записывается и решается свое уравнение переноса. В однопараметрической к-модели турбулентности [7] макромасштаб £ ( вычисляется по эмпирической формуле. Для пристенных течений £ ( = С£1 у, где у — расстояние от стенки. Для осесим-метричных струйных течений £( = С£2Я1/2, где Иг/г — расстояние от оси струи, на котором продольная скорость уменьшается до половины осевой, а С, х, С £ 2 — эмпирические константы.

Если плотности несущей среды и дисперсных включений близки, то осредненные скорости фаз можно считать одинаковыми, различаться будут только пульсационные составляющие. В этом случае [12]

йУ'-

=Ру;=Р

Для уравнения (24) получим

у;

0

где У' [гр (^), t1] — пульсационная скорость несущей среды вдоль траектории движения частицы.

77

78

Формулу (22), пренебрегая тройной корреляцией (первое слагаемое), преобразуем, используя выражение для силы гидродинамического сопротивления:

=—x [рр

При близкой плотности фаз, например, в гидротранспорте рыбы, осредненные скорости фаз практически одинаковы и вторым слагаемым в квадратных скобках формулы (26) можно пренебречь.

Чтобы получить корреляцию, воспользуемся следующей процедурой [7]. Умножим обе части равенства (25) на У^ (Ь), осредним по Рей-

нольдсу:

ЩЛОЩ) = у;

0

При большом времени t первое слагаемое в правой части (27) обращается в нуль, поэтому, перейдя к новой переменной 6 = t - можно записать

да

VV = Pj e-peV

0

Для распределения Эйлера

Re,

При простейшей аппроксимации REi (e) ступенчатой функцией [7]

fi, e<eE,

RE

fiW [o, e>eH v '

для стационарного однородного потока

в (28), после интегрирования получим

VV =йул й = 1 -exp

где й называют функцией вовлечения частицы в пульсационное движение несущей среды; eEi — время затухания пространственно-временной корреляции.

Полученную формулу (31) используем для преобразования (26):

вр = Рр-If

Pf i Pf i

В стационарном однородном течении показатели затухания не должны зависеть от направления eEi = eE, а сумма квадратов пульсаци-онных скоростей равна удвоенной пульсационной энергии несущей среды k. Отсюда получается формула

8 p = 2k ^ Р exp

Р Pf

Моделирование турбулентного течения вязкой жидкости с дисперсными включениями Формулу (33) запишем в безразмерном виде:

8 р =

8 -0£ р

р = Х-т-ехр(-т), Х = —.

2 к

Р f

По рисунку 1 видно, что интенсивность диссипации пульсацион-ной энергии несущей среды из-за взаимодействия с частицами 8р прямо пропорциональна отношению распределенной плотности дисперсной и несущей фаз X и зависит от инерционности включений, характеризующейся безразмерной величиной т = Р0Е. Максимум 8р достигается при т = 1. И при малоинерционных включениях (т^да), и при существенно инерционных (т ^ 0) величина 8р ^ 0.

79

2

1

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

г

Рис. 1. Зависимость безразмерной интенсивности диссипации пульсационной энергии от инерционности включений при различной загрузке: 1 - X = 0,3; 2 - X = 0,6; 3 - X = 1,0; 4 - X = 1,5

Строго говоря, формулы (33) —(34) справедливы для сферических частиц. Для включений другой формы необходимо учитывать изменение коэффициента гидродинамического сопротивления [3]. При этом количественные отличия могут быть существенными, но качественная картина явления (рис. 1) не изменится. Значительная загрузка потока дисперсными включениями любой формы с плотностью, близкой к плотности несущей среды, вызовет рост величины 8р, что должно привести к уменьшению турбулентной энергии. Значит, при определенных условиях может наблюдаться ламинаризация течения, что подтверждается экспериментальными данными по гидротранспорту рыбы

[5].

Список литературы

1. Панков А. О. Расчет процессов гидротранспорта неструктурных суспензий в гетерогенном и гомогенном режимах течения : дис. ... канд. техн. наук. Казань, 2007.

2. Приходченко С. Д. Анализ современных моделей гидротранспортных систем // Прнича електромехашка та автоматика : наук.-техн. зб. Дншропет-ровськ, 2007. Вип. 78. С. 56-62.

3. Великанов Н. Л., Наумов В. А., Космодамианский А. С. Моделирование осаждения твердых частиц в пульпопроводе // Наука и техника транспорта. 2011. № 2. С. 69-78.

4. Великанов Н. Л., Наумов В. А., Примак Л. В. Осаждение частиц взвесей в воде // Механизация строительства. 2013. № 7. С. 44— 48.

5. Фонарев А. Л. Повышение эффективности средств гидромеханизации в промышленном рыболовстве. М., 1986.

6. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М., 1978.

7. Shraiber А. А., Gavin L. B., Naumov V.A., Yatsenko V.P. Turbulent Flows in Gas Suspensions. N. Y., 1990.

8. Crowe C. T., Sommerfeld M., Tsuji Y. Flows with Droplets and Particles. Florida, 1998.

9. Наумов В. А. Динамика дисперсной частицы в вязкой среде // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 5. С. 27—36.

10. Наумов В. А. Влияние подъемной силы Саффмэна на движение частицы в слое Куэтта // Инженерно-физический журнал. 1995. Т. 68, № 5. С. 840 — 844.

11. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., 1987.

12. Великанов Н. Л., Наумов В. А., Корягин С. И. Расчет коэффициента диффузии твердых примесей в водотоках // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. C. 75—81.

Об авторах

Николай Леонидович Великанов — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: monolit8@yandex.ru

Владимир Аркадьевич Наумов — д-р техн. наук, проф., Калининградский государственный технический университет, Россия.

E-mail: van-old@rambler.ru

Сергей Иванович Корягин — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: SKoryagin@kantiana.ru

The authors

Prof. Nikolay L. Velikanov, I. Kant Baltic Federal University, Russia.

E-mail: monolit8@yandex.ru

Prof. Vladimir A. Naumov, Kaliningrad State Technical University, Russia.

E-mail: van-old@rambler.ru

Prof. Sergey I. Koryagin, I. Kant Baltic Federal University, Russia.

E-mail: SKoryagin@kantiana.ru