Расходящиеся последовательности в банаховых пространствах

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

С. А. РУДАКОВ, Т. Н. РУДАКОВА

РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Разработан метод построения целого класса последовательностей, не содержащих псевдосходящихся подпоследовательностей (подпоследовательностей, суммируемых средними арифметическими). Построен пример банахова пространства последовательностей с такой согласованной топологией, в которой сходятся псевдосходящиеся, расходящиеся по норме последовательности, но расходятся последовательности, не содержащие псевдосходящихся подпоследовательностей.

Ключевые слова: последовательность, псевдосходимость, топология, пространство, функционал, сходимость, функция.

Введение

Свойства суммируемости отражают фундаментальные характеристики функциональных пространств. В 1930 г. Банах и Сакс доказали [1], что в пространстве 1Р (1 < р < то) суммируемых с р-й степенью последовательностей выполняется следующее свойство: любая ограниченная последовательность элементов содержит подпоследовательность, суммируемую средними арифметическими в норме 1р (свойство Банаха—Сакса). С другой стороны, Шрейер [2] привел пример слабо сходящейся последовательности в пространстве С [0,1], любая подпоследовательность которой не суммируется средними арифметическими. Какутани доказал [3], что равномерно выпуклые пространства обладают свойством Банаха—Сакса. Однако существуют рефлексивные пространства, в которых свойство Банаха—Сакса не выполняется [4]. В [5] доказано, что рефлексивность пространства эквивалентна существованию для каждой ограниченной последовательности Т-матрицы, суммирующей эту последовательность слабо или сильно.

В [6] было введено понятие устойчивой последовательности как последовательности в банаховом пространстве, у которой любая подпоследовательность, имеющая строго возрастающую последовательность индексов, суммируется средними арифметическими. Вводится понятие псевдосходимости (р-сходимости) последовательности [7]. Указаны необходимые и достаточные условия на матрицу, преобразующую каждую псевдосходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся к тому же пределу [7 — 9]. Для числовых последовательностей имеется классический результат Бака [10, с. 401]: если последовательность суммируется Т-матрицей вместе с любой подпоследовательностью, то последовательность сходится.

Обобщение этого результата для последовательностей элементов банахова пространства получено в следующем виде. Все Т-матрицы можно разбить на два непересекающихся класса Р и Р. Если последовательность вместе с любой своей подпоследовательностью суммируется матрицей из класса Р (соответственно, Р ), то она псевдосходится (соответственно, сходится). Наоборот, если последовательность псевдосходится, то она суммируется любой матрицей из класса Р. Матрицы класса Р использовал еще Лоренц [11] для суммирования числовых последовательностей. Доказан [9] аналог критерия Коши: свойство псевдосходимости есть внутреннее свойство последовательности, то есть о псевдосходимости последовательности можно судить, не рассматривая ее связь с некоторой точкой пространства. Ограниченная базисная последовательность в равномерно выпуклом пространстве псевдосходится. Из любой слабо сходящейся последовательности функций, непрерывных на отрезке [0,/], полные вариации которых ограничены в совокупности, можно выделить псевдосходящуюся подпоследовательность. В качестве возможных приложений свойства псевдосходимости приведены [9] достаточные условия на коэффициенты ряда (где последовательность псевдосходится к 0), при которых этот ряд безусловно сходится.

Объектом исследования в настоящей работе является пространство С[0,1], последовательности в нём и топологии векторного пространства С [0,1]. Пространство интересует нас как универсальное банахово пространство. Псевдосходимость последовательности в банаховом пространстве эквивалентна суммируемости любой её подпоследовательности матрицей средних арифметических [9]. В работе [2] построен пример последовательности в С[0,1], любая подпоследовательность которой не суммируется матрицей средних арифметических. Это означает, что существуют последовательности, не содержащие псевдосходящейся подпоследовательности. Построение «плохих» последовательностей и необходимые доказательства в [2] громоздки. В настоящей работе создан общий метод построения в С[0,1] целого класса последовательностей, не содержащих псевдосходящихся подпоследовательностей. Замкнутая в С[0,1] линейная оболочка последовательности рассматриваемого класса изоморфно изометрична пространству последовательностей со специально подобранной нормой. На основе этих конструкций построен пример банахова пространства последовательностей с такой согласованной топологией, в которой сходятся псевдосходящиеся расходящиеся по норме последовательности, но расходятся последовательности, не содержащие псевдосходящихся подпоследовательностей.

1. Последовательности почти характеристических функций

В этом параграфе мы рассмотрим конструкции из непрерывных функций х = х(£) : [0,1] ^ [0,1].

Система связных множеств, на которых функция отлична от нуля (или строго монотонна, или равна единице), частично упорядочена по включению. Каждая линейно упорядоченная по включению подсистема имеет наибольший элемент, являющийся объединением всех элементов этой подсистемы. Рассматри-

вая такие линейно упорядоченные по включению подсистемы связных множеств, введем следующие понятия.

Определение 1. Компонента носителя функции — наибольшее связное множество, на котором функция отлична от нуля; спуск функции — наибольшее связное множество, на котором функция строго монотонна; компонента носителя единицы — наибольшее связное множество, на котором значения функции равны единице.

Определение 2. Почти характеристическая функция (ПХФ) — это непрерывная функция х = х(*) : [0,1] ^ [0,1], у которой каждая компонента носителя состоит из двух спусков и одной компоненты носителя единицы (рис. 1).

Рис. 1. Пример графика ПХФ, где [а, Ь], [а^, 61], [с, !], [с1, !1] — спуски ПХФ, [Ь, с], [61, с\] —

компоненты носителя единицы

Легко доказать

Предложение 1. Почти характеристическая функция имеет конечное число компонент носителя.

В дальнейшем мы будем рассматривать только те ПХФ, у которых компоненты носителя единицы состоят более чем из одной точки и которые на каждом спуске линейны.

Для последовательности (хга(^)}^=1 ПХФ положим А = {п Е N : хп(£) = 1}, где * Е [0, 1], и рассмотрим следующие условия.

I. Если компонента носителя одной функции имеет непустое пересечение с компонентой носителя другой функции, то компонента носителя одной из этих функций содержится в компоненте носителя единицы другой функции.

II. V* Е [0,1] сагёА4 < то.

III. V Е [0,1] УВ С А Зт Е [0,1] Ат = В.

Замечание 1. са^А — мощность множества Ль, в статье везде — просто количество элементов множества А4.

Последовательности, удовлетворяющие условиям I — III, существуют.

Пример 1. Пусть — дизъюнктная последовательность отрезков, содер-

жащаяся в отрезке [0,1]. Для каждого п € N определим ПХФ хп = хп(£) так, чтобы её носитель состоял из единственной компоненты — интервала, содержащегося в /п. Легко заметить, что последовательность {хп}^=1 удовлетворяет условиям I — III.

Более сложные примеры последовательностей ПХФ, удовлетворяющих условиям I — III, мы построим в конце статьи.

Предложение 2. Пусть {хп}^=1 — последовательность ПХФ, удовлетворяющая условиям I — III. Тогда существует такое счетное множество Т С [0,1], что для всех £ € [0,1] выполняется одно из следующих условий:

a) Эр € N (0 < хр(£) < 1) ^

Э£, Ь" € Т Ук = р хк (£) = хк (О = хк (£) Л хр(£) = 0 Л хр(£;) = 1;

b) ЭА С N хк(£) = { 1 при к £ А; л

7 - к^' [0, при к € ^А.

^ (Эт € Т Ук € N хк(т) = хк (£)).

Рис. 2. Иллюстрация предложения 2: так как спуски не пересекаются и компонента носителя одной функции содержится в компоненте носителя единицы другой функции, то выполняются условия а) и Ь)

Доказательство. В качестве множества Т € [0,1] возьмем множество всех концевых точек отрезков спусков. Это множество счётно. Если 0 < хр(£) < 1 для некоторого натурального числа р, то, согласно I, хк(£) есть 0 или 1 для всех к = р. Тогда на одном конце £ спуска хр(£) = 0, на другом конце Ь" спуска

хр(£;) = 1 и хк(£) = хк(£/;) = хк (£) при к = р, то есть условие а) выполняется.

Если

хк(£) = / 1 при к € А,

хк(£) \ 0, при к € ^А,

то существует упорядоченная по включению (условие I), конечная (условие II) система {Е(хп)}п€а компонент носителей единицы, содержащих точку £. Существует наименьший по включению носитель единицы Е(хп0) такой, что хп0 (£) = 1.

Тогда на любом конце т отрезка Е(жП0) выполняется равенство ж (т) = ж (¿) для к е А.

По определению ПХФ конец компоненты носителя единицы является концом отрезка спуска, т. е. условие Ь) выполняется.

Занумеруем элементы множества Т, удовлетворяющего предложению 2, положив Т = {¿га}гаен. Натянем на последовательность ПХФ {жп}^=1 со свойствами I — III линейную оболочку Ь. Элементами Ь являются суммы

x = x

m

Е

i=1

где а* е К, 1 < г < т, т е N.

Множество Е линейных непрерывных функционалов, определённых на нормированном пространстве Е, называется нормирующим [12], если

Теорема 1. Множество Е = {^га}^1 точечных функционалов, определённых в С[0,1] равенством (ж) = ж(£га), где ¿п е Т и Т обладает свойствами а),

Ь) предложения 2, есть нормирующее множество пространства Ь с нормой пространства С[0,1].

Доказательство. По определению нормы в С[0,1]

XllL

sup

^ajXi

i=1

: t G [0,1]

Функция x = x(t) непрерывна, следовательно, найдется t*, при котором ||x||l

m

/* 1 aixi (t* ) •

i=1

Положим A+ = {i : aj > 0,1 < i < m}, A = {i : a < 0,1 < i < m}. Тогда

Пусть для определенности У] aixi(t*) >

ieA+

ieA+ ieA-

E I ai| x»(t*). ieA-

Точка t* не может принадлежать внутренности спуска функции, имеющей ненулевой коэффициент в сумме x. Действительно, если 0 < xj(t*) < 1, j G A+ (j G A-), то получим, что x(tn) > x(t*), где tn G T удовлетворяет условию а) предложения 2, причем xj (tn) = 1 (xj (tn) = 0).

Если t* принадлежит внутренности спуска функции xp, имеющей нулевой коэффициент в сумме x, то, согласно условию а) предложения 2, в некоторой точке tn G T для всех k = p выполняется равенство xk (tn) = xk (t*).

Если t* не принадлежит никакому спуску, то выполняется условие b) предложения 2, что нам и требуется.

Положим для всех Є T

A„ = {k : xfc(íra) = 1}.

m

Следствие 1. Если x = x(t) = E QjXj(t); то

i=1

sup < a : n Є N

íeAn

2. Пространства последовательностей и их свойства

Пусть А = {Ага}^с=1 — система конечных подмножеств натуральных чисел, построение которых основано на формуле (1) для последовательности ПХФ по свойствам I — III. Рассмотрим пространство последовательностей а = {ак }ь=1, для которых

Теорема 2. Функция (2) является нормой на

Доказательство. Свойства однородности и неравенство треугольника следуют непосредственно из свойств верхней грани и модуля.

Покажем, что если ЦаЩ = 0, то а = 0. Согласно III, при любом n £ N выполняется {n} £ A, откуда следует, что ||а||А = 0 влечет |ап| = 0 для всех п £ N, что и требовалось.

Легко видеть, что если A = {An = {n}}~=1, то построенное пространство mA совпадает с пространством ограниченных числовых последовательностей m.

Обозначим через cao пространство числовых последовательностей а = {ага}^с=1 с нормой (2), для которых

Легко показать, что если А = {Ап = |п}}^=1, то пространство са0 совпадает с пространством с0 последовательностей, сходящихся к нулю.

Теорема 3. Са0 — банахово пространство.

Доказательство. Пусть {ак}£=1 — последовательность Коши в са0, где ак = {а^, а|, ...}. Из условия Коши следует, что

Ve > 0 3n0 Є N Vk, m > n0 Vn Є N ^ (ak — af) < є.

íeAn

Отсюда следует, что последовательность {ак}^=1 сходится покоординатно к последовательности а = {аг}°=1. Отсюда, из условия Коши и неравенства

¿Є An

<

ієА„

+

\ Л / m „ k\

/ у

íeA„

следует, что а — предел ак по норме (2).

Сходимость ак к а по норме (2) означает, что

Ve > 0 3k0 £ N Vk > k0 Vn Є N Для элемента ak условие (3) означает, что

^

ієА„

< e/2.

Ve > 0 3m0 Є N Vm > m0 Vn Є N

E

a

i€An, i> m

< e/2.

Поэтому

Ve > 0 3m0 Є N Vm > m0 Vn Є N

а W < м а ?s- + ( а **. 1 а ) <e

ієАп, ї> m ієАп, ї> m ієАп

т. е. условие (3) для последовательности а = |ai}°=1 выполняется, а значит, а Є Cao и пространство с^о полно, что и требовалось.

Теорема 4. Пусть e¿ = (0,..., 0,1, 0,...) (1 стоит на i-м месте). Тогда (ei}°=1 — базис в cao .

Теорема 5. Пространство ca0 изоморфно изометрично замыканию в C[0,1] пространства L.

Доказательство. Легко заметить, что множество последовательностей с конечным числом отличных от нуля координат всюду плотно в ca0.

Отображение Ф : L ^ ca0 определим следующим образом: Ф(х) = а =

k

(ai)°=1, где x = Е a¿x¿(í) и a¿ = 0 при i > k. Очевидно, что отображение линейно,

¿=1

причем по следствию из теоремы 1

что доказывает теорему.

Теорема 6. Пусть последовательность {жга(^)}^=1 ПХФ удовлетворяет условиям I — III. Тогда

а) последовательность {жга(^)}^=1 слабо сходится к нулю;

b) последовательность псевдосходится к нулю тогда и только то-

гда, когда

sup{cardAn : n £ N} < +to;

c) последовательность {xn(t)}^=1 не содержит псевдосходящейся подпоследо-

вательности тогда и только тогда, когда для любой неограниченной последовательности {mk}£=1 натуральных чисел

sup {card

Доказательство. В силу условия II последовательность {xn(t)}^=1 сходится к нулю поточечно на отрезке [0,1] и ограничена. Значит [12, с. 170], она слабо сходится к нулю, то есть утверждение а) справедливо.

По теореме 1 множество F = {^га }£=1 является нормирующим в банаховом пространстве, содержащем последовательность {xn(t)}^=1. Если последовательность {xn(t)}^=1 псевдосходится к нулю, то (4) выполняется. Наоборот, если формула (4) справедлива, то последовательность {xn(t)}^=1 pp-сходится [9, с. 92] к

нулю, откуда следует [9, с. 95] псевдосходимость последовательности {xn(t)}^=1 к нулю. Итак, утверждение b) выполняется.

Пусть последовательность {xn (t)}^=1 не содержит псевдосходящейся подпоследовательности. Тогда для любой последовательности {ж^}^=1 подпоследовательность {xmk }fe=1 не является псевдосходящейся. Для этой последовательности множества, определённые по формуле (1), имеют вид П{т^}^=1. Следователь-

но, формула (5) справедлива. Наоборот, пусть {xmk }^=1 —подпоследовательность из {xm}„=1. Выполнение условия (5) для последовательности {m&}^=1 означает, что для последовательности {xmk }^=1 формула (4) не выполняется и {xmk }^=1 не псевдосходится. Утверждение с) доказано.

Пример 2. Последовательность, удовлетворяющая условию с) теоремы 6.

Для построения последовательности рассмотрим множество S отрезков положительной длины

S = {S(n1, n2,..., nm) : n £ N & n < nj+1 & 1 < i < m & m < n1 + 1},

содержащихся в отрезке [0,1] и обладающих следующими свойствами:

1. Если m < n1 + 1, то V i > nm

S

и концы этих отрезков не совпадают.

2. V i, j £ N

S(nb n2, •••, nm, i) П S(nb n2, •••, nm, j) = 0.

Последовательность ПХФ {xn(t)}^=1 определим так, что носителем единицы xn(t) является объединение отрезков из множества S вида S(*, *,•••, *, n). Например, носитель x1(t) — отрезок S (1), а носитель x4(t) — объединение отрезков S(4), S(2,4), S(3, 4), S(2, 3, 4) (рис. 3).

V)

V)

X/)

V)

х2го

х1

8

8

8

8

8

8

8

Рис. 3. Иллюстрация построения последовательности в примере 2

Докажем, что условие с) для построенной последовательности ПХФ {жга(£)}~=1 выполняется.

Пусть {т*}£=1 - произвольная неограниченная последовательность натуральных чисел. Следовательно,

Уе > 0 Эр е {т*}^=1 (р > е),

3 т*р > > ... > т* > р,

Э е 5(р, т*!, т*2, ...,т*р) С ... С 5(р,т*,т*2) С 5(р,т*) С 5(р),

/т*1 (^га) Ут*2 (^га) ... /т*:р (¿га) 1,

откуда следует, что шг^(Ага П {т*}£=1) > р, что и требовалось доказать.

0

1

0

1

1

Предложение 3. Пусть система А = {Ап} конечных множеств натуральных чисел определена по формуле (1) для последовательности отличных от нуля ПХФ, удовлетворяющей свойствам I — III. Тогда

с) любая линейно упорядоченная по включению подсистема из А имеет наибольший элемент.

Доказательство. По определению ПХФ

т. е. а) выполняется.

Свойство Ь) вытекает последовательно из условия III и условия Ь) предложения 2.

Свойство с) будем доказывать «от противного». Допустим, что существует бесконечная упорядоченная по включению подсистема {АПк}£=1 С А такая, что АПк С АПк+1 (включение строгое). Пусть {¿„к}^=1 — последовательность точек из Т, для которой

причем можно считать, что ^ ¿0 при к ^ то. Непрерывность ПХФ приводит к тому, что счётное число функций в точке ¿0 принимает значение 1, а это

Теорема 7. Пусть для системы A = {An} конечных множеств натуральных чисел выполняются свойства a), b), с) предложения 2. Тогда пространство cao числовых последовательностей, удовлетворяющих условию (3) с нормой (2), изоморфно изометрично замкнутой в C[0,1] линейной оболочке последовательности ПХФ, удовлетворяющей условиям I — III.

Доказательство. Проведём по индукции построение последовательности ПХФ {xn(t)}^! и множества T, удовлетворяющего условиям a), b) предложения 2 и такого, что построенная по формулам (1) система множеств совпадает с исходной системой A.

Пусть x1 = xi(t) — ПХФ с носителем, состоящим из единственной компоненты носителя E(x1), замыкание которой строго включено в отрезок [0,1]. Первую

a) Vn Є N {n} Є A;

b) VA„ VB с N (B с A„) ^ (B Є A);

Vn Є N 3t Є [0,1] n Є {k Є N : xk(t) = 0}.

По свойствам III и I

3t Є [0,1] (xn(t) = 1) Л (Vk = n xk(t) = 0).

По условию b) предложения 2

Зт Є [0,1] Vk Є N xk(т) = xk(t),

1, при m Є A„fc,

0, при m Є N\Ank,

противоречит условию II.

точку ¿1 множества Т возьмём из компоненты носителя единицы Е^ж^ ПХФ Х1 (¿).

Пусть построены ПХФ {ж^ = ж&(¿)}П=1 и выбрано такое множество Тп точек отрезка [0,1], что выполняются условия: если к1,...,кт С А и к1 < к2 < ... < кт < п, то

Е(жк1) 3 (Е^ж^)\{^}) ^ Е(ж^) 3 (Е^ж^)\{^}) 3 ...

=5 (Е1(хкт-1 )\{4т-1 }) 3 Е (хкт ) 3 (Е1(хкт Л{^т }),

где Е(ж) (Е1(х)) — некоторая компонента носителя (соответственно, некоторая компонента носителя единицы) функции ж и ¿^1,..., — такие точки множества

Тп, что Ьк. е Е^ж^), 1 < г < т.

Чтобы построить ПХФ жга+1, определим компоненты её носителя следующим образом. Рассмотрим те множества {к1;...,кт} е А, к1 < ... < кт < п, для которых {к1,...,кт,п + 1} е А. В качестве компоненты носителя, соответствующего такому множеству, возьмём отрезок Е(жга+1) С (Е1(ж^т)\{^т}). К системе построенных таким образом компонент носителя ПХФ жга+1 добавим еще одну компоненту, не паресекающуюся с построенными носителями всех ПХФ {ж^}П= 1. Выберем по одной точке в каждой компоненте носителя единицы функции Жп+1. Объединение этого множества точек с множеством Тп обозначим Тга+1. Построение последовательности ПХФ {жп}О=1 закончено.

СО

Множество Т определим так: Т = У Тп. Как видно из построения, условие

п=1

I выполняется. Условие III следует из свойств а), Ь) предложения 3. Условие II следует из свойства с) предложения 3. Из построения множества Т следует, что система множеств, построенная по формулам (1), совпадает с исходной системой Т. Тогда из теоремы 5 следует истинность нашей теоремы.

3. Построение пространств и топологий, сравнимых со слабой топологией

Изложим метод построения локально выпуклой топологии банахова пространства X через подмножества сопряжённого пространства X*.

Пусть 0 = {В*}^/ — система ограниченных множеств из X*, где I — некоторое множество индексов. Положим для всех г е I

П(В*) = {ж е X : Уж* е В |ж*(ж)| < 1}.

Систему {П(В^)}г€/ выпуклых, симметричных, поглощающих множеств [13, с. 379—380] обозначим через П(0). Тогда система

образует базу окрестностей нуля некоторой локально выпуклой топологии, которую будем обозначать Г(0).

Теорема 8. Пусть каждое множество из 0 есть некоторая последовательность, сходящаяся к нулю по норме X*. Тогда всякая слабо сходящаяся последовательность в X сходится в топологии Г(0).

Доказательство. Пусть М > 0 такое число, что для последовательности {жп}гаен, слабо сходящейся к нулю, Уп е N ||жп|| < М. Возьмем V = П Л^ЩВ*) —

окрестность нуля из базы (6) топологии Г(0), где В* = {^к}О=1. Положим £ = ш1п{Лг : г е ф}. Так как caгdQ < то и для всех г е ф выполняется ^к ^ 0 при к ^ то, то

Тогда при k>ki, i Є Q, n Є N имеем | ^k (xn )| < є. В силу слабой сходимости

Предложение 4. Пусть A = {{ni}k=1 : k < n1 < n2 < ... < nk}. Тогда в пространстве cao последовательность {en}neN не содержит псевдосходящейся подпоследовательности.

Доказательство. Легко проверить, что семейство A удовлетворяет условиям a),

b), с) предложения 3.

Числовые последовательности а = {а&}^=1, удовлетворяющие свойству (3), образуют пространство cao с нормой (2), изоморфно изометричное (теорема 7) банахову пространству, натянутому на некоторую последовательность {xn (í)}neN ПХФ. При этом изоморфизме последовательности {xn(í)}neN соответствует последовательность {en}nSN, являющаяся базисом (теорема 4) в cao. Так как псевдосходимость сохраняется при изоморфизме, последовательность {en}ra€N не содержит псевдосходящейся подпоследовательности одновременно с последовательностью {жга(^)}гаен (теорема 6).

Пусть {^n}raSN — система функционалов, сопряжённая с базисом {en}гаен. Рассмотрим систему 0, состоящую из одного множества B = {^n}neN. Последовательность {en}nSN расходится в топологии Г(0), определённой по формуле

2k+l-1

í=2fc

Тогда последовательность {ак} псевдосходится к нулю в ало, сходится в топологии Г(0), но не сходится по норме пространства сл0.

Доказательство. Обозначим ак = {аП}п=1- Тогда

k 11

£

i=1

Покажем, что средние арифметические любой подпоследовательности {ак }°=1 сходятся к нулю по норме пространства сл0, что и будет означать (см. [9, с. 95]) псевдосходимость последовательности {ак}^=1. Действительно,

1

m

£а‘-

i=1

1

-----> О при т —> сю.

m

По определению базы окрестностей нуля топологии Г(0) произвольный элемент этой базы имеет вид

АП(В) = {a G cA0 : Vn G N |<£n(a)| < A}.

Поскольку

3k0 Vk > k0 Vn G N

1/2k, если m G Ank,

0 в противном случае.

Тогда при всех к > к0 выполняется ак е ЛП(В), что и доказывает сходимость последовательности {ак}^=1 в топологии Г(0).

Замечание 2. Локально выпуклая топология, в которой сходится псевдосходящаяся, не сходящаяся по норме, последовательность, но расходится слабо сходящаяся последовательность, не содержащая псевдосходящейся последовательности, определяется не единственным образом. Например, можно взять топологию с базой окрестностей нуля, образованной всевозможными конечными пересечениями элементов произвольной базы, описанной в теореме 8, и элементов базы, использованной в последнем предложении.

k

n

Список литературы

1. Banach, S. Sur la convergence fortes dans les champs Lp / S. Banach, S. Saks // Studia Math.— 1930.— Vol. 2.— P. 51—57.

2. Schreier, T. Ein Gegenbeispiel zur theorie der scvhwachen konvergenz / T. Schreier // Studia Math.— 1930.— Vol. 2.— P. 58—62.

3. Kakutani, S. Weak convergence in uniformly convex spaces / S. Kakutani // Tohoku Math. J.— 1938.— Vol. 45.— P. 188—193.

4. Klee, V. Summability in /(p1,p2,...) spaces / V. Klee // Studia Math.— 1965.— Vol. 25.— P. 277—280.

5. Singer, I. A remark on reflexivity and summibility / I. Singer // Studia Math.— 1965.— Vol. 26.— P.113—114.

6. Brunei, A. On B-convex Banach Spaces / A. Brunel., L. Sucheston // Math. Syst. Theory.— 1974.— Vol. 7, No. 4.— P. 294—299.

7. Рудаков, С. А. Суммируемость слабо сходящихся последовательностей в банаховых пространствах / С. А. Рудаков // Мат. зап. Урал. ун-та.— 1975.- Т. 9, № 2.— С. 103—110.

8. Рудаков, С. А. Один вид слабо сходящихся последовательностей и их суммирование в банаховых пространствах / С. А. Рудаков // Изв. вузов. Математика.— 1977.— № 12.— С. 85—91.

9. Рудаков, С. А. Существование псевдосходящихся подпоследовательностей и суммирование псевдосходящихся последовательностей в банаховых пространствах / С. А. Рудаков // Мат. заметки.— 1980.— Т. 28, №1.— С. 91— 102.

10. Кук, Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей /

Р. Кук.— М. : Физматгиз, 1960.

11. Lorentz, G. G. A contributions to the theory of divergent sequences / G. G. Lorentz // Acta Math.— 1948.— Vol. 80.— P. 167—190.

12. Люстерник, Л. А. Краткий курс функционального анализа / Л. А. Люстер-ник, В. И. Соболев.— М : Наука, 1982.

13. Канторович, А. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / А. В. Канторович, Г. П. Акилов.— М. : Наука, 1959.