К вопросу об определении положения мгновенной оси вращения

УДК 621.01

Ф. А. Доронин

Петербургский государственный университет путей сообщения

имени Александра I

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОЛОЖЕНИЯ МГНОВЕННОЙ ОСИ ВРАЩЕНИЯ

Задача об определении положения мгновенной оси вращения тела может оказаться актуальной при исследовании динамики пространственных механических систем. Показано, что существуют случаи, когда она может быть легко решена путем использования статико-кинематической аналогии. Приведены примеры применения этого метода в задачах об определении положения мгновенной винтовой оси твердого тела.

мгновенная ось вращения, статико-кинематическая аналогия, относительная угловая скорость, мотор угловых скоростей.

Введение

В учебниках по теоретической механике [1] - [4] традиционно приводится описание пяти-шести способов определения положения мгновенного центра скоростей (МЦС) плоской фигуры. Этот вопрос обычно рассматривается с геометрических позиций в рамках раздела «Кинематика» курса теоретической механики, чем, в частности, молчаливо вводится предпосылка о том, что положение МЦС плоской фигуры не зависит от сил, действующих на нее. В работе [5] рассмотрено еще четыре случая определения положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры, в том числе случай, когда положение МЦС существенно зависит от сил, приложенных к фигуре.

На практике встречаются задачи, при решении которых необходимо знать положение МЦС плоской фигуры либо мгновенной оси вращения (МОВ) твердого тела.

Остановимся на некоторых случаях определения положения МОВ твердого тела, при описании которых удобно использовать статико-кинематическую аналогию, отмеченную около двухсот лет назад известным французским механиком Л. Пуансо.

23

1 Плоский шарнирный двухподвижный механизм

Рассмотрим плоский шарнирный двухподвижный механизм (плоский шарнирный пятизвенник), занимающий в данный момент положение, представленное на рис. 1. За обобщенные координаты примем углы поворота ф1 и ф2 кривошипов О А и О2В, вращающихся в данный момент времени с угловыми скоростями ф1 и ф 2, соответственно.

Используя уравнения связей (рис. 2):

l1 еов(ф1) +l3 соб(Фз) - a -12 соб(ф2) -l4 соб(ф4) = 0,

l1 б1и(ф1) +13 Бт(ф3) -12 Бт(ф2) -14 Бт(ф4) = 0

как систему двух уравнений с двумя неизвестными, определяем неизвестные углы ф3 и ф4.

Рис. 1. Положение МЦС двухподвижного пятизвенного механизма

Рис. 2. Схема для составления уравнений связей пятизвенника

Решение этой системы нелинейных уравнений удобно провести в среде MathCad при следующих исходных данных: l1 = 4,4 м, /2 = 5 м, /3 = 6,1 м, /4 =

24

= 6,3 м, а = 6,7 м, ф1 = 122°, ф2 = 63°, ю1 = 4 с-1, ю2 = 12 с-1. В результате расчета для заданной сборки механизма получаем: ф3 = -20,79° и ф4 = 207,29°. После этого определяем углы а и в:

а = п-ф1 +фз = 37,21°, Р = л-ф4 + ф2 =35,71°.

Для определения положений МЦС звеньев АС и ВС найдем скорости точек А и В:

VC = фА , VB = ф2l2 .

Мгновенные центры скоростей Р3 и Р4 звеньев АС и ВС лежат на прямых, направленных вдоль продольных осей звеньев О1А и О2В (рис. 1). Через точку С проведем прямую Р3СР4 и покажем вектор vC скорости точки С, модуль которой определяется следующим образом:

VC = ф3  P3C = ф4  P4C ,

где ф3 и ф4- угловые скорости звеньев 3 и 4 соответственно.

Отсюда получаем:

или

Va  P3C = ^  P4C

Рз A

Р4 B

ф h

PC Рз A

ф 2l2

PC

Р4 в

Из треугольников Р3СА и Р СВ можно записать:

P3C = sin

P3A sin

Подставив эти соотношения в равенство (1), получаем:

, sin

ф А sin (о) =ф 2/217П(л) ;

(ф! 1А sin (п - а) sin (n) - ф2l2 sin (р) sin (О) = 0 .

Учтем, что

О = а + п + ф-ф2 +Р-п.

25

и 0: n

Решая уравнения (2) и (3) как систему, вычисляем неизвестные углы n = 63,92°; 0 = 15,84°.

Из треугольника Р3АС находим мгновенные радиусы Р3А и Р3С:

P3А — l3

sin

sin

= 4,057 м; РзС

sin

= 10,12 м,

а из треугольника Р4ВС - мгновенные радиусы Р4В и Р4С:

P B —14

sin

sin

= 5,74 м; PC —l4

sin

sin

3,73 м.

Угловые скорости звеньев 3 и 4 вычисляем по формулам:

li I2

з — i Ар = 3,85 с1; — 2 Bp = 10,45 с1.

Мгновенные оси вращения звеньев 3 и 4 перпендикулярны плоскости чертежа и проходят через точки Р3 и Р

Рис. 3. Относительные угловые скорости звеньев двухподвижного механизма

Рассмотрим движение этого пятизвенника с точки зрения статико-кинематической аналогии, описанной в начале XIX века французским ученым Л. Пуансо (1777-1859), а затем неоднократно использованной в исследованиях отечественных механиков [6] - [9].

Изучаемый механизм представляет собой замкнутую кинематическую цепь, состоящую из звеньев, соединенных вращательными парами.

Первое звено совершает вращательное движение с абсолютной угловой скоростью ш Движения звеньев 2-5 можно рассматривать как сложные. Будем считать, что переносное движение третьего звена представляет собой вращение с угловой скоростью, равной ш1, а относительное движение - вращение с угловой скоростью ш3г. Переносное движение четвертого звена -вращение с угловой скоростью ю1+ю3г, а относительное - вращение с угловой

26

скоростью ю4г. Переносное движение второго звена - вращение с угловой скоростью ^ + ю3г + ю4г, а относительное - вращение с угловой скоростью ю2г.

Векторы угловых скоростей являются скользящими. Для замкнутой цепи главный мотор (торсор) угловых скоростей относительно центра О равен нулю:

Так как векторы угловых скоростей образуют систему параллельных векторов в пространстве, один из вариантов записи этого выражения в проекциях на оси координат принимает вид:

где ю5г - относительная угловая скорость вращения неподвижного звена О1О2 по отношению к звену 2.

Представленная система из трех уравнений содержит четыре неизвестных. Недостающее уравнение получим, записав выражение для известной угловой скорости звена 2:

Объединим эти четыре уравнения в систему, которую запишем в матричном виде:

мо, (й ,• ) = о.

В более подробной записи получаем:

,; Z rouхй} = 0-

Z Z, — 0; й + Й2r + й3г + Й4r + й5г — 0;

ZMxi — 0; й2Л sin (ф2 ) + й2г11 sin (ф1) + й3г [l2 sin (ф2 ) + l4 sin (ф4 )] — 0; ZMyi — 0; - й5га — й2г [a + l2 c0s (ф2 )] - й4r [a + l2 C0S (ф2 ) + l4 C0S(ф4 )]

— 3rA cos (ф1) —0,

й + й2г +й3г + й4г —й2.

А  О = В,

где

(

1 1 1

1 ^ 0

А —

l2 sin

[a + l2cos^2)] —l1cos (ф1) —[a + l2cos (ф2) + l4cos (ф4)]

—a

V

1 1 1

27

( -ш1 Л (т Л ш 2 r

0 ; о = т3г

0 т4 r

чю2 - 1 у V5r у

в

Решение матричного уравнения (5) имеет вид:

о = a-1 • в.

После вычислений получаем следующие значения относительных угловых скоростей:

т2r = 1,55 с-1; m3r =-7,85 с-1; m4r = 14,31 с-1; m5r =-12 с-1. Абсолютные угловые скорости звеньев 3 и 4 определим по формулам:

т3 =ю1 + ю3г = -3,85 с-1; т4 =ю1 + ю3г + ю4 r = 10,45 с-1.

Полученные результаты, разумеется, совпадают с предыдущими (4), полученными выше.

2 Определение реакций в стержневых опорах пространственной конструкции

Рассмотрим равновесие сил, приложенных к конструкции, представленной на рис. 4. Жесткая прямоугольная горизонтальная пластина поддерживается шестью стержнями 1-6, прикрепленными к пластине и земле сферическими шарнирами. Известны размеры конструкции: a = 4 м, b = 3 м, c = 3 м. Требуется определить усилия, возникающие в опорных стержнях от действия силы тяжести G = 400 Н и горизонтальной силы Р = 200 Н, направленной вдоль прямой ОА.

Мысленно рассечем опорные стержни и покажем силы упругости S А приложенные к пластине, причем все стержни считаем растянутыми (рис. 5).

Отметим одну особенность конструкции, представленной на рис. 4. Каждое из неизвестных усилий в опорных стержнях можно определить независимо от других, составив только одно уравнение равновесия. Например, для определения усилия в стержне 4 достаточно составить уравнение момен-

28

Рис. 4. Схема конструкции на стержневых опорах

Рис. 5. Схема усилий, действующих на плиту

тов сил, действующих на пластину, относительно моментной оси т4 (рис. 5). Это уравнение можно составить либо в алгебраической форме:

ZMm4i = 0; Pcosysinp-b _G^cosP_ S4cosp-b = 0,

либо в матричном изображении:

где m4 =

Z Mm 4i = 0; PT - m4 -

' 0 - sin P cos P

sin Р 0 0

V-cos Р 0 0

-b

fBA

+ G - m4 - ГПС + S4 - m4 - Tbd = 0,

кососимметричная матрица орта наклон-

ной оси т

rBA =

0

0 у

TBD =

-a

V 0 у

TBC =

-0,5b^

-0,5a

0 у

матрицы радиус-векторов

точек приложения сил.

Решая любое из этих двух уравнений (6) и (7), находим: S4 = -80H.

На рис. 6 и 7 также показаны моментные оси т-т т т которые можно использовать для составления уравнений равновесия (сумм моментов сил относительно указанных осей) при определении усилий в опорных стержнях Sj-S3, S5-S6 конструкций.

Отметим, что в некоторых случаях закрепления пластины в качестве уравнения, из которого независимо от других определяется усилие в опорном стержне, вместо уравнения моментов сил относительно какой-то оси следует составлять уравнение проекций всех сил на одну из осей координат.

29

Рис. 6. Схема моментных осей, необходимых для составления независимых уравнений равновесия

Рис. 7. Пример схемы закрепления пластины с помощью стержневых опор первого вида

Рис. 8. Схема закрепления пластины второго вида

Обратим внимание на то, что оси системы координат, применяемые при решении задачи, не обязательно являются ортогональными и могут быть скрещивающимися прямыми. При этом на выбор осей накладываются условия, перечисленные в работе [10].

Закрепление тела в пространстве с помощью стержневых опор осуществляется способами, которые условно можно разделить на два вида:

1. Усилие в каждой стержневой опоре можно определить независимо от других (все усилия в опорных стержнях конструкций, представленных на рис. 6 и 7, могут быть определены независимо от усилий в других стержнях).

2. Все неизвестные величины (или их часть) определяются путем решения системы связанных уравнений равновесия (в конструкции, показанной на рис. 8, усилие в стержне 1 не может быть найдено независимо от усилий в других стержнях).

3 Кинематический анализ пространственной конструкции

Указанные выше виды закрепления пластины в пространстве кинематически отличаются друг от друга.

Используя статико-кинематическую аналогию, можно утверждать, что при удалении любого из опорных стержней в системе первого вида пластина либо движется мгновенно-поступательно, либо вращается вокруг мгновенной оси вращения, совпадающей с одной из осей моментов m упомянутых выше.

В системе второго вида положение мгновенной оси вращения сразу известно только при удалении стержней, усилия в которых определяются из независимых уравнений равновесия. При удалении же остальных стержней придется дополнительно определять положение мгновенной винтовой оси (МВО) пластины. Например, при удалении стержня 1 в конструкции, показан-

30

ной на рис. 8, она превращается в механизм, представленный на рис. 9. Положение МВО пластины в этом механизме заранее не известно.

Для определения положения мгновенной винтовой оси пластины в этом случае необходимо провести кинематический анализ полученного механизма, который можно осуществить путем применения теоремы о скоростях точек свободного твердого тела с учетом наложенных на систему связей.

Выразим угловую скорость пластины через скорость точки О.

Треугольник ОКЕ имеет возможность вращаться вокруг неподвижной оси КЕ, поэтому скорость VO точки О должна быть направлена по нормали к плоскости треугольника (вдоль оси x).

Примем точку О за полюс и на основании теоремы о скоростях точек свободного твердого тела запишем выражения для векторов скоростей точек А, В и С:

Рис. 9. Схема механизма, полученного при удалении стержневой опоры 1

vA =Vo +юх Гоа; vB =Vo +ЮХ Гов; Vc = vo +ЙХ roc,

где ю - неизвестный вектор угловой скорости пластины, гоа , гов и гос - радиус-векторы точек А, В и С соответственно.

Перепишем эти выражения в матричной форме:

va = vo + w  roa ; vb = vo + w  rob ; vc = vo + w  Roc >

где va , vb , vc, vo =

0 -Qz юУ

z У

0 -юх

z x

-ю У Юх 0

0

0

- матрицы скоростей точек А, В, С и О;

кососимметричная матрица угловой скорости пла-

f 0 ) f-c ) f-c )

стины; гоа = ° ч , rob = ° ч , гос = о о ч - матрицы координат точек А,

В и С.

После преобразований получаем:

31

' vo + ЬЮ ' ' vo + Ью2 ' ^vO + ЬЮ '

v a = / 1 г  X V ; v в = -сю2 vСЮу - Ьюх , ; vc = -сю2 v СЮУ ,

Учтем связи, наложенные на пластину. Так как векторы скоростей точек А, В и С лежат в плоскостях, перпендикулярных стержням AD, DB и ЕС соответственно, справедливы соотношения:

Va  D = 0; VB  rDB = 0; • rEC = 0.

Запишем эти соотношения в матричной форме:

vA  rda = °; vB  rdb = °; vC  rec = °

где

( С Л ' 0 Л Г-с Л

II 0 , rdb = 0 о II 0

v а , v a , v а ,

Подставляя выражения (8) и (10) в равенства (9), получаем систему уравнений:

-cvO - Ьш2 + аЬюх = 0; < сюу - fax = 0;

^ Vo - аюу = 0,

из которой находим проекции вектора угловой скорости пластины на оси координат:

vOc vO Л

юх =-г-; юу=—; z =0. ab a

Модуль угловой скорости равен:

= JC

_ 2 2 vo^Tb^ + С

ю \1юх + Юу = —

ab

гг . С Юх С

Т ак как tga = —, а отношение = —, получаем, что вектор угловой b юу b

скорости пластины направлен вдоль ее диагонали BO.

32

Таким образом, теперь вектор угловой скорости й пластины, направленный вдоль МОВ, выражен через скорость vO полюса О пластины (рис. 10).

Известно, что МВО пластины параллельна ее МОВ и отстоит от этой оси на расстоянии:

d

где r - радиус-вектор, ортогональный МОВ и определяемый по формуле:

йх vO

r =

й

или в матричной форме:

г =

w • vO = 1

2 = 2 й й

0 -йг Л й , (v Л 0

йг 0 -й* 0 = 0

S 1 й, 0 J 0 J ab 2

Отсюда получаем искомое расстояние между МОВ и МВО

d

ab

(b2+с2)'

Скорость любой точки МВО определяется по формуле:

_ Й

й

На рис. 11 показан вектор r и положение МВО пластины.

Рис. 10. Положение МОВ механизма Рис. 11. Положение МВО механизма

33

Заключение

Применение статико-кинематической аналогии в ряде случаев позволяет легко находить положение МОВ твердого тела. Это возможно для систем определенного вида, описанных выше.

Информация о положении мгновенной оси вращения тела в данный момент времени может быть использована при решении ряда задач динамики твердого тела (например, определения углового ускорения тела в заданном положении, исследования устойчивости положения равновесия, вычисления частоты малых свободных колебаний и пр.) путем применения принципа Журдена и других способов изучения движения твердого тела.

Библиографический список

1. Теоретическая механика : Краткий курс по полной программе вузов : учебник / В. М. Старжинский. - Москва : Наука, 1980. - 464 с.

2. Курс теоретической механики : В 2-х т. Т. 1. Статика и кинематика / Л. Г. Лойцян-ский, А. И. Лурье. - Москва : Наука, 1982. - 352 с.

3. Основы классической механики : учеб. пособие для вузов / Г. А. Бугаенко, В. В. Маланин, В. И. Яковлев. - Москва : Высш. шк., 1999. - 366 с., ил.

4. Курс теоретической механики : учебник / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. -Москва : КНОРУС, 2011. - 608 с.

5. Нетрадиционные случаи определения положения мгновенного центра скоростей / Ф. А. Доронин // Бюллетень результатов научных исследований : электронный научный журнал. - 2012. - Вып. 2 (1). - С. 41-49.

6. О графических методах пространственной статики и кинематики / С. А. Хри-стианович // Успехи математических наук. - 1940. - Вып. VII. - С. 154-162.

7. Теория пространственных шарнирных механизмов / Ф. М. Диментберг. - Москва : Наука, 1982. - 336 с.

8. Пространственные механизмы параллельной структуры / В. А. Глазунов,

A. Ш. Колискор, А. Ф. Крайнев. - Москва : Наука, 1991. - 96 с.

9. Применение винтового исчисления в современной теории механизмов /

B. А. Глазунов, С. Д. Костерева, П. О. Данилин, А. Б. Ласточкин // Вестник научно-технического развития : Интернет-журнал. - 2010. - № 6 (34) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.vntr.m/ftpgetfile.php?id=426.

10. О различных видах систем уравнений равновесия произвольной системы сил в пространстве и однородном представлении векторов / Ф. А. Доронин, Ю. Г. Минкин // Сборник научно-методических статей по теоретической механике. - 1986. - Вып. 16. -

C. 87-94.

© Доронин Ф. А., 2013

34