Точность и надежность навигации при определении местоположения судна в условиях коррелированных измерений

Выпуск 3

УДК 656.60.052 Ю. Д. Григорьев,

д-р техн. наук, профессор, СПбГЭТУ «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина);

С. А. Митягин,

аспирант,

СПбГЭТУ «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова

ТОЧНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ НАВИГАЦИИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ СУДНА В УСЛОВИЯХ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

NAVIGATION ACCURACY AND RELIABILITY IN THE VESSEL LOCATION DETERMINATION TASK WITH CORRELATED OBSERVATIONS

Рассматривается задача оптимизации выбора ориентиров при определении места судна способом двух пеленгов. Исследуется зависимость между точностью и надежностью навигации, а также влияние корреляции измерений на точность определения места судна. Оценивание навигационных параметров осуществляется посредством методов регрессионного анализа и оценивания параметров соответствующей модели регрессии.

The article is about the optimizing problem of the reference choice to determine the vessel location by the method of two bearings. We condiser the dependence between navigation accuracy and reliability and also the influence of correlation measurements on the accuracy of the navigation parameters. Estimation of these parameters is carried out by methods of regression analysis and by assessment of the parameters corresponding to the regression model.

Ключевые слова: модель регрессии, место судна, план эксперимента, D- и A-оптимальность, коррелированные наблюдения.

Key words: regression model, vessel location, experiment design, D- andA-optimality, correlated observations.

Введение

В теории геодезии и навигации [1; 3; 7] можно выделить класс задач, имеющих близкую связь с задачами оптимального планирования эксперимента [10]. Это задачи, связанные с оптимальным размещением или выбором пунктов измерений при определении места заданного объекта. Общим условием таких задач является использование опорных ориентиров, они должны быть выбраны таким образом, чтобы полученные на их основе оценки места судна были в статистическом смысле оптимальными. Задачи такого типа в различных постановках хорошо известны, но именно проблеме оптимизации уделяется недостаточное внимание. На примере конкретной навигационной задачи мы рассмотрим эту проблему более подробно. Отличительной особенностью рассматриваемой задачи

является учет корреляции наблюдений.

Рассматривая подходы к оценке зависимости между точностью определения места судна и надежностью, приведем два взгляда на эту проблему: Молоканова [7] и Кондра-шихина [4, с. 41-49].

Постановка задачи и основные положения

Определение места судна — задача, связанная с измерением углов и расстояний. В основе ее лежит регрессионная модель измерений, имеющая вид

У, = П

где п(х., в) — функция регрессии, х е X а Як —

Рт\Ш

е К — неизвестный вектор параметров, в — случайная погрешность с нулевым средним Мв = 0 и дисперсией Бв.

Дв = а Д =а

1 Р21

Рі2 1

чРія Рги

Р„і

Ри2

1

Дисперсионная матрица Бв определяет структуру ошибок наблюдений. Корреляционные функции р „ — вид корреляционной зависимости измерений.

Рассмотрим способ определения места судна по двум пеленгам, являющийся одним из самых распространенных [5]. Это объясняется тем, что обычно в видимости судна большого количества ориентиров одновременно не бывает.

Суть метода состоит в том, что выбираются два ориентира А.(ху), I = 1, 2, на которые с места судна в = (в1, в2 ) берутся два пеленга а., I = 1, 2 (рис. 1).

Рис. 1. Схема способа двух пеленгов Тогда =

у. -В,

і = 1, 2, и, следова-

*,-01

тельно, функция отклика данной модели наблюдений имеет вид

У- Р

, .

Откуда получаем матрицу Якоби

Г У\~К *1 -Р1л

МіР).

<ІР

А2 А2

У2 ~ Рг х2 ~Рі

V А2 А2

эта

сое а

А

вта2

V А

А

сова,

£).

= віаск^ ,£2),

где Б. — расстояния от судна до ориентиров. Таким образом, | gi |= Д"1,. = 1, 2.

Точность определения навигационных параметров

В задачах, связанных с определением навигационных параметров, критерием точности является коэффициент чувствительности [1] измерительной системы, характеризующий среднеквадратическую ошибку ор

^•^гасе^Б;^)-1.

Чем меньше значение К, тем лучше оценки навигационных параметров. Таким образом, минимизация К по 2, = (А ..., Ап ) эквивалентна А-оптимальному планированию [10]. Среднеквадратическая ошибка Ор определения места судна оценивается по формуле [5]:

1

вши

7

Тот факт, что в формулах (4) и (5) содержатся расстояния до ориентиров, свидетельствует о возможности выбора ориентиров на желательных расстояниях в смысле минимизации Ор.

Рассмотрим пример оптимального расположения двух ориентиров. Согласно (3) имеем

1Л=-

1

А А

япец -сово^

1 , . . ч віпсо

(віп а2 сое сц - вш оц сое а2):

А А А А

Рассматривая значения определителя дисперсионной матрицы, что соответствует Б-оптимальному планированию, и следа дисперсионной матрицы, что соответствует А-оптимальному планированию (табл. 1), можно сделать вывод, что Ор — оптимальные *

углы засечки ю могут сильно отличаться от прямого угла. Значения функционалов в табл. 1 вычислялись при фиксированном угле а1 с изменением значения угла а2.

Оптимальные углы засечки для Б- и А-оптимального планирования не совпадают. В первом случае наилучший результат соответствует углу а2 = 90°, во втором — а2 = 76°. Полученные решения симметричны относительно а2 = 180°. Если а — тупой угол, следует выбирать опорную точку А2 левее точ-

Выпуск 3

ки А1. Полученный результат подтверждает определения места судна должна находиться

обычную рекомендацию выбирать а2 = 90°. в пределах 30-150°.

В любом случае разность пеленгов в районе

Таблица 1

Значения критериев оптимальности при различных положениях второго ориентира

«2 2 О о 3 О о 4 О о 5 О о 6 О о 9 О о 120° 150°

1 (^Г11 9.022 4.350 2.409 1.629 1.412 1.000 1.209 3.763

ітасе^^)-1 18.045 8.701 4.819 3.259 2.824 2.001 2.418 7.526

°Р 10.593 4.682 2.427 1.650 1.474 1.435 2.008 6.389

<ч

Зависимость между точностью и надежностью навигации

В работах [3; 9, с. 61-66] рассмотрен подход к оценке надежности навигации, который заключается в вычислении вероятности навигационного происшествия в зависимости от точности определения места судна. К таким происшествиям относят все случаи касания судном грунта вследствие ошибок выбора пути и проводки по нему судна. В этом смысле границей навигационной опасности будем считать изобату глубиной, равной осадке судна (такая изобата показана пунктиром на рис. 2).

Вероятность отсутствия навигационного происшествия или вероятность того, что ошибка определения местоположения судна, направленная в сторону опасности, имеет величину не более расстояния до опасности, определяется как

Р (М < I) = Ф (у), Ь

ш

Очевидно, навигационные происшествия возможны лишь тогда, когда судно проходит вблизи опасностей. Следовательно, количественная оценка надежности навигации зависит от величины Ь и от точности, с которой она известна. В общем случае расстояние Ь включает ошибки в определении места судна и ошибки положения опасности.

Практически они независимы, и поэтому стандартная ошибка определения рас-

стояния Ь определяется равенством

где и — стандартные ошибки места судна и положения опасности, спроектированные на линию кратчайшего расстояния между ними.

Рис. 2. Определение места судна в момент сближения судна с опасностью

Значение ст2 с равно проекции эллипса погрешностей места судна в момент кратчайшего сближения с опасностью на нормаль к линии пути судна (рис. 2) и выражается формулой

^1, = яп2(а,) + Стр2 сое2 (а,.),

_2 2

где и — полуоси стандартного эллипсоида ошибок, определяемые ошибками определения навигационных параметров р. Как было сказано выше, ошибки определения навигационных параметров распределены по нормальному закону. Это позволяет использовать для определения вероятности принятия ошибочного решения широко распространенные таблицы интеграла вероятностей

ф(у) =

1

у/2п.

.

2 2,2

,

В табл. 2 приведены некоторые его зна-

чения.

Таблица 2

Значения интеграла вероятностей

1 0 1 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Ф(у) 0.5 0.857 0.959 0.958 0.988 0.994 0.997 0.998 0.999

^*4 + ++ ч=НН+*Нч^+^

.++|'+1

1 + X = 0.2

+>++ч+ +2 ^=

+. ф+++ ++^ X = 0.5

иЯ. X = 0.7

^#++

+н++*^А'%н&4

++^^-^++++

(Ул

Рис. 3. Зависимость определителя и следа дисперсионной матрицы от положения третьего маяка

Таким образом, повышение надежности навигации эквивалентно уменьшению вероятности ошибок первого рода, то есть при наличии опасности отказ от маневра, что достигается путем уменьшения эллипсоида ошибок за счет оптимального расположения или выбора маяков.

Рассмотрим пример с тремя ориентирами, два из которых расположены в фиксированных точках на единичной окружности {а1 = 0, а2 = п/3}. Корреляционная зависимость между ошибками наблюдений определяется согласно выражению для корреляционных функций в выражении (2) ,

Рис. 4. Зависимость ошибки определения места судна от положения третьего маяка

где || II — евклидово расстояние между

ориентирами.

По данным рис. 3 и 4 хорошо видно влияние положения третьего маяка и значения корреляционных функций. На рис. 3 значение критерия ^-оптимальности усредняется при росте параметра корреляции X. Так, если при нулевой корреляции имеют место два оптимальных положения третьего маяка, соответствующие углам а3 = 2п/3 и а3 = 5п/3, то при X = 0.7 оптимальным является только одно положение ориентира а3 = 7п/6. На рис. 4 значение критерия А-оптимальности изменяется аналогичным образом, при этом при нулевой корреляции положения третьего ориентира для В- и А-оптималь-ных планов различны, при увеличении параметра корреляции они сходятся в одной точке а3 = 7п/6.

На рис. 4 приведена иллюстрация влияния размещения третьего ориентира на надежность навигации. Оптимальный выбор положения третьего ориентира позволяет значительно снизить вероятность навигационного происшествия. При этом можно заметить, что одно оптимальное значение ориентира при X = 0 имеет

Выпуск 3

большую погрешность при X = 0.7, что говорит об опасности отсутствия учета корреляции наблюдений. Оптимальное положение третьего ориентира при наличии корреляции

измерений дает лучшее значение критерия надежности навигации и является одновременно В- и А-оптимальным согласно теории планирования эксперимента.

Список литературы

1. Барабанов О. О. Математические задачи дальномерной навигации / О. О. Барабанов, Л. П. Барабанова. — М.: Физматлит, 2007. — 272 с.

2. Григорьев Ю. Д. О планировании регрессионного эксперимента в случае коррелированных ошибок наблюдений / Ю. Д. Григорьев, С. А. Митягин // Сб. науч. тр. НГТУ. — 2009. —

Вып. 2 (56). — С. 53-60.

3. Кондрашихин В. Т. Определение места судна / В. Т. Кондрашихин. — М.: Транспорт, 1989. — 232 с.

4. Кондрашихин В. Т. Зависимость между точностью и надежностью навигации / В. Т. Кондрашихин // Тр. ЦНИИМФ. Судовождение и связь. — 1973. — Вып. 173.

5. Лесков М. М. Навигация / М. М. Лесков, Ю. К. Барабанов, М. И. Гавлюк. — М.: Транспосрт, 1980. — 344 с.

6. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений / Ю. В. Линник. — М.: Физматгиз, 1962. — 350 с.

7. Молоканов Г. Ф. Точность и надежность навигации летательных аппаратов / Г. Ф. Молоканов. — М.: Машиностроение, 1967. — 216 с.

8. Митягин С. А. Оптимальное планирование наблюдений в случае коррелированных ошибок как средство повышения надежности навигации / С. А. Митягин // Тр. X Междунар. конф. ФАМЭТ-2011, Красноярск / КГТЭИ, СФУ. — 2010. — С. 137-143.

9. Митник В. М. Вероятность аварий судов транспортного флота / В. М. Митник // Техничес-кие средства и методы судовождения: тр. / ЦНИИМФ. — 1983. — Вып. 279.

10. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента / В. В. Федоров. — М.: Наука, 1971. —

312 с.

11. Dette H. Exact optimal designs for weighted least squares analysis with correlated errors / H. Dette, J. Kunert, A. Pepelyshev // Statistica Sinica. — 2008. — № 18. — P. 135-144.

12. Heap E. Visual Factors in Aircraft Navigation // J. of the Institute of Navigation. — 1965. — Vol. 18, № 6.

13. Sacks J. Designs for regression problems with correlated errors / J. Sacks, D. Ylvisaker // Ann. Math. Statist. — 1966. — Pt. I. — Vol. 37, № 1. — Р 66-89.