Численное исследование парокапельной сверхзвуковои струи произвольной нерасчетности

Том XXIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

1992

М 1

УДК 533.6.011.8.532.525.2+532.529:532.542

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРОКАПЕЛЬНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕРАСЧЕТНОСТИ

3. М. Маликов

Приведены результаты численного исследования сверхзвукового поли-дисперсного парокапельного потока в сопле и струе, истекающей в вакуум. Влияние большого отличия температур несущей среды и капель поверхностных межфазны'х переходов рассмотрено на основе известной ранее физико-математической модели. Для расчета струи произвольной нерасчетности, характеризующейся возможностью сильного разворота на срезе сопла, развита модификация известного ранее метода естественных координат, пригодная для исследования неизоэнтропийных течений (к которым относятся и многофазные неравновесные потоки) и течений с разрывами. '

В настоящее время исследованию многофазных течений уделяется значительное внимание, что связано с их распространенностью в различных устройствах и установках экспериментальной аэрогазодинамики, ракетнокосмической и прочей техники [1].

Поскольку система уравнений газотермодинамики смеси существенно сложнее уравнений динамики «чистого» газа, то единственно эффективными для пол-учения ее решений являются численные методы. К настоящему времени для численного исследования сверхзвуковых многофазных потоков накоплено и апробировано большое количество методов численного эксперимента [2—5].

Однако при использовании этих методов в ряде задач могут возникнуть некоторые трудности. К числу таких задач можно отнести расчет сверхзвуковой струи произвольной нерасчетности. В данном случае трудность численной реализации уравнений Эйлера в декартовых. или цилиндрических координатах обусловлена тем, что вследствие сильного поворота струи может нарушиться х-гиперболичность уравнений, т. е. осевая компонента скорости может стать меньше локальной скорости звука.

В этом отношении привлекательным является метод «естественных» координат [5]. Он удобен тем, что уравнения всегда сохраняют свою гиперболичность при сверхзвуковых потоках и достаточно хорошо соблюдается консер-* вативность уравнений. В работах [5, 6} данный метод применен для исследования изоэнтропийных течений.

В настоящей работе проводится численное исследование сверхзвуковой парокапельной смеси большой нерасчетности, при ? этом используется неявный аналог метода «естественных» координат. Суть данного метода заключается в том, что уравнения газодинамики записываются в координатах «линия тока — нормаль к линии тока».

1. Уравнения газотермодинамнки стационарного двумерного двухфазного feчeния в таких координатах имеют вид:

где ап, тя, Ра, ип, Т„ — радиус, масса, массовая плотность, скорости, температура капель, р°, С0 — плотность, удельная теплоемкость жидкой фазы, Ь — теплота испарения, и, р, р, Т — скорость, плотность, давление, температура пара, /?, ср, са, х — газовая постоянная, удельные теплоемкости (изобарная и из'охорная) и их отношение для пара.

Уравнение для частиц запишем в лагранжевой форме:

Здесь V = О ДЛЯ ПЛОСКОГО, V = 1 ДЛЯ осесимметричного ПОТОКОВ, 3„, ()п, Рхп, Руп — поток массы, энергии и составляющие вектора импульса на шаровую частицу в несущей среде соответственно. Подробное описание использованной модели динамики и тепломассообмена капель приведено в монографии [1].

Уравнения приведены к безразмерному виду следующим образом: все линейные размеры, за исключением радиуса частиц, отнесены к радиусу критического сечения сопла г», плотности—к р*, скорости — к а*, давления — к р*<4,лтемпературы — к Ц//?, радиусы частиц отнесены к характерному размеру а? = 1 мкм, 1-к

В уравнениях для газа £, ц — соответственно координаты вдоль линий тока и по нормали к ней. Если их начала соответствуют точкам (0, у) и

= р<*5;

/ = (р + ри2)5;

др.«. . др.”. дх ду

. ¿т. _ а, в,

1. Лх 3 т„

3 тя йх

(О, х), то можно установить однозначное соответствие между системами координат х, у и I, т) вида | у) и г) = г](л:, у) (рис. 1). Введем угол наклона

линии тока к оси сопла ф = ср(|, т]), в этом случае имеем следующие геометрические соотношения:

„_____ дф . _ д\ д<р . д2| _ у <?£ дц

А — 91 ’ дхду ~ дх Зт| ’ дхду Л дх ду '

где К — кривизна линии тока.

К системе уравнений газовой динамики и геометрическим соотношениям добавим уравнение для площади трубки тока:

Таким образом, получили замкнутую систему уравнений (1) — (4,). Для составления вычислительного алгоритма введем расчетную сетку, как показано на рис. 1. Все параметры внутри трубки тока обозначим полуцелым индексом.

"Первые три уравнения системы (1) в конечно-разностном виде можно записать следующим образом:

в , = в

1-І./±-5- I

/-Ук2/-2(х!-

х+1

5 , = Е , - Д|

<+і./±т <.у±т

ш

і Н , ;

‘./±Х

N

<./±у 2<./±т

Т ‘•/±у я!_1

N

і=і 2 (р«/е» + ;

^ ' 2 я-1

2 [р.(ьл+

Я—1

. і+1 .v

І ,,;±т і+і і±т)

ú = t(g '+G >V

\ ,,,±"2" 1+1 •'±т/

£=-!-/£ ,+£

\Ч±Т /+1-'±тУ

fin=?ftnCosy + fynsin«p;

/лл = — fxn *Пф + fyn совф ; ыЕ„ = u„ совф -{- ия sin ф;

«Л»= — “л8ІПф + »„СОвф.

Параметры газа находим из следующих соотношений:

*J ,+^/х2/2 ,-2(x2-l)£

і+Іі±т V

-2 , ‘+‘./±т +'./±т '+>./±т

и

¡+i./±Y Х+1

G ,

/,/±т

Р І ---------- ------ с

¡-м./±-5- u і s ,

2 ¡+'-í±y +i'/±y

Pi+i.¡±Y * P/+i./±i-| G

....-2

ґ£ 1 “2 >1

I ¡+i./±T ‘+' t±T I

G ¡ 2

L <+i.i±— J

Геометрические соотношения аппроксимируем следующим образом:

\ I V I V \ *Р»+1./ / .

дл.+,,±±= Ап, ,±± ± —

AS(lí= А£М-|ЄХР

S 1 —Дт) хґ | ; ч±т <,/±т ../±т

г,,. j_= і-(гч + ги±і); 2

М±

А|,-,; Еі(/ »

Ал. ,±^= ±(л<.,±1 — Лі,/) •

Четвертое уравнение системы (1) (уравнение для поперечного импульса) запишем в виде

Подставляя в данное уравнение выражение для находим

<+|.7+т Í.Í+Y І+1.1-т 4-І./—

X

t+'-i+Y

¡+i./+T

— Р

+ А

Таким образом, получили замкнутую нелинейную систему уравнений относительно неизвестной ф(+і,Данную систему можно разрешить итерационным методом Ньютона.

2. Для обоснования принятой схемы, расчета проведено сравнение с результатами численных исследований для случая-плоского сопла у = 1 0,318*

двумя другими методами — Иванова — Крайко и характеристик (рис. 2) (расчеты проведены В. А. Жохввым и В. Ф. Чеховским). Во всех методах расчетная область имела размерность 30 узлов. Результаты совпадают с точностью не хуже 1%. Кроме того, проводился, анализ влияния дробления шага конечноразностной схемы: установлено, что удвоение числа узлов изменяет результат не более чем на 0,1%.

При х = 0 параметры потока были приняты постоянными по сечению и имели следующие значения: х = 1,3, и = 1,2, р = 0,7, р = 0,9 (величины безразмерные) .

3. Рассмотрим результаты расчетов истечения полидисперсной смеси в вакуум из осесимметричного сопла, геометрия которого задается формулой

у = 1,808 — У0,8082 — х2 при 0 ^ х ^ 0,42,

у=л!ЪЛх - 19,552 + 0,364 • sin2 (0,1991дг — 0,08536) - 3,5534 при 0,42 <; х < 16.

Расчеты проведены для газа, у которого х= 1,3 и давление насыщения паров (в паскалях) задается формулой р* = 106ехр(— 12,65/Г).

Предполагалось, что частица движется в парах своего вещества, оставаясь в состоянии переохлажденной жидкости. Безразмерные параметры,

х

г

5

ю

х

Рис. 2

входящие в газодинамические уравнения [1], имели следующие значения: р = 3,841, у = 0,1197, £>/ = 0,1811, ,Ие* = 72,88, Рг = 0,776, ш = 1, *е = 1, <хк = 1.

В начальном сечении: Ей = 0,3, и = 1,2, р = 0,7, р = 0,9.

Рассмотрена полидисперсная смесь, в которой частицы в начальном сечении представлены семью фракциями. Начальные условия, задаваемые за критическим сечением,— распределение числовой плотности частиц по фракциям и кинематические параметры фаз — выбран^ однородными по сечению (см. таблицу) с учетом предварительного опыта расчетов до- и трансзвуковой части сопла и экспериментальных данных, приведенных в [1].

а°п и» п а°п Р °п и°п Т°„

3 0,003 0,92 0,89 11 0,0927 0,63 0,89

5 0,0126 0,8 0,89 13 0,0603 0,6 . 0,89

7 0,0396 0,72 0,89 15 0,0108 0,57 0,89

9 0,0807 0,67 0,89

На рис. 3 приведены формы сверхзвуковой части сопла, «границы» струи Г (штриховая линия) и сепаратриссы 5, соответствующие двум фракциям частиц, первоначальные размеры которых ао = 3 и 15 мкм, конфигурация висячего скачка (двойная линия) и модуль скорости газа вдоль оси. Показано влияние начальной концентрации частиц (£0 = 0 и Ео = 0,3 — сплошные кривые). Из результатов расчета следует, что при двухфазном истечении поток на оси тормозится и нагревается вследствие взаимодействия с частицами. Там же показан резуль-^ат расчета для монодисперсной струи (штрихпунктирная кривая) с теми же параметрами газа для частиц с ао = 5 мкм. Из рисунка видно, что в монодисперсной и полидисперсной струях характер течения газа на оси качественно не изменяется, однако в первом случае газ тормозится слабее, чем во втором.

Расчеты показали, что висячий скачок уплотнения в двухфазном поле мощнее и приходит раньше, чем для течения «чистого» газа. Это обусловлено тем, что в первом случае число Маха заметно уменьшается по мере приближения к оси, поэтому угол падения скачка увеличивается, что в свою очередь усиливает скачок.

Скорости частиц различных фракций показаны на рис. 4, где нижние индексы соответствуют начальным радиусам частиц. Чем тяжелее частица, тем меньше разница мбжду осевой (верхний индекс о) и периферийной

(индекс в) скоростями. На рис. 4 показаны также модули относительного изменения размеров частиц по отношению к первоначальным вследствие испарения. Пространственная эволюция функции распределения частиц по их размерам показана на рис. 5. Связь между непрерывной функцией и дискрет-

N

ным распределением £я*б(а — а*) осуществляется при 1Г0-мощи равенства

№ = пк{ак){--------г---------2---) ,

где для к = 1

для к = N

алг-+-1 = 4" ~2{.аы — 1) •

Верхняя кривая соответствует начальной функции /„(а)^ остальные — определенным значениям х.

Автор благодарит А. Л. Стасенко за полезные обсуждения.

1. Сенковенко С. А., Стасенко А Л. Релаксационные процессы в сверхзвуковых струях газа,— М.: Энергоатомиздат. 1985.

2. И в а н о в М. Я., Край ко А. Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвукгвых течений //' Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 1972. Т. 13, № 3.

3. Мае С о г m a k R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Paper.— 1969. N 69—354.

4. Ганжело A. H. Расчет плоски* и осесимметричных сверхзвуковых течений невязкого газа методом сквозного счета второго порядка точности // Ученые записки ЦАГИ.— 1986. Т. 17, № 2.

5. В а у t о n F. P., Thomson A. Numerical computation of steady, supersonic two-dimensional gas flow in natural cordinates // J. Comput. Phys.— 1969. Vol. 3, N 3.

6. Сковородко П. А. Колебательная релаксация в свободной струе углекислого газа // Некоторые задачи гидродинамики и теплообмена: Сб. статей. / Под ред. С. С. Кутателадзе,— Новосибирск, 1976.

Рукопись поступила 20/VH 1990 с