Численное исследование нелинейных колебаний вязкоупругих пластин переменной толщины

УДК 539.3: 519.95 Р. А. Абдикаримов,

канд. техн. наук, доцент, Ташкентский финансовый институт;

Д. П. Голоскоков,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

NUMERICAL RESEARCH OF NONLINEAR FLUCTUATIONS OF VISCOELASTIC

PLATES OF THE VARIABLE THICKNESS

В статье рассматривается задача о нелинейных колебаниях вязкоупругой пластины переменной толщины. Получена разрешающая система интегродифференциальных уравнений задачи. Численное решение строится методом Бубнова-Галеркина с последующим применением квадратурных формул для аппроксимации интегралов. Рассмотрен числовой пример со слабо сингулярным ядром наследственности Колтунова-Ржаницына.

In the article a problem of nonlinear fluctuations of a viscoelastic plate of a variable thickness is considered. The resolving system of the integrodifferential equations of a problem is received. The numerical decision is constructed by Bubnov-Galerkin’s method with the subsequent application of quadrature formulas for approximation of integrals. The numerical example with weak singular kernel of heredity Koltunov-Rzhanitsyn is considered.

Ключевые слова: нелинейные колебания, вязкоупругость, пластина переменной толщины, интегро-дифференциальные уравнения, квадратурные формулы.

Key words: nonlinear fluctuations, viscoelasticity, a plate of a variable thickness, the integrodifferential equations, quadrature formulas.

Введение. Тонкостенные элементы конструкции, отформованные из композиционных материалов, могут иметь переменную толщину, увеличенную в местах, где требуется дополнительная жесткость или прочность, и уменьшенную там, где достаточно одной тонкой пластинки или оболочки. Толщина материала определяется максимальным значением напряжений, которые должен выдержать какой-либо участок элемента конструкций. Следовательно, исследования напряженно-деформированного состояния элементов

* конструкций летательных аппаратов, судов,

§ различных сооружений с учетом переменно-

сти толщины являются актуальными.

В данной работе с помощью численного метода [1, с. 3-13] дается решение задачи о нелинейных колебаниях вязкоупругой пластинки с плавно изменяющейся толщиной, которая задается единой формулой во всей области изменения переменных. Решение реализуется

m

на алгоритмическом языке Бе1рЫ.

1. Постановка задачи. Рассмотрим вязкоупругую изотропную прямоугольную пластинку (0 < х < а, 0 < у < Ь), с переменной толщиной, изменяющейся по линейному закону в направлении Ох (рис. 1). Пусть пластина нагружена поперечной нагрузкой д. Зависимость закона изменения толщины задается в следующем виде: Н(х) = И0 (1 - а*х), где Н0 — толщина пластинки, при х = 0, а* — параметр, характеризующий переменность толщины; соответствующий профиль приведен на рис. 2.

Рис. 1. Вязкоупругая прямоугольная пластина с переменной толщиной

Рис. 2. Профиль пластины вдоль оси Ох при а* = 0.5

В общем случае граничные условия могут быть любыми, будем рассматривать граничные условия шарнирного опирания по контуру:

IV = 0:

1дг=0,а

= 0.

э2

дх2

Э2и>

= 0,

ду2

= 0,

у=0,Ь

где м — функция нормального прогиба пластины.

2. Математическая модель. Перейдем к построению математической модели задачи о нелинейных колебаниях изотропной вязкоупругой пластинки с переменной толщиной, с учетом геометрической нелинейности в рамках кинематической гипотезы Кирхгоф-фа-Лява.

Физическую зависимость между напряжениями о , о , т и деформациями є , є , у

х у ху '—'т г х’ уУ • ху

примем в интегральном виде [2; 3]:

о, =

1-ц

Е

2

где Е — модуль упругости; ц — коэффициент Пуассона; Г* — интегральный оператор с

*

ядром релаксации Щ): Г*е = |г(г-т)е(т)й?т;

о

^ — время наблюдения; т — предшествующее моменту наблюдения время; символ (х <-> у) указывает, что остальные соотношения получаются круговой подстановкой индексов.

Связь между деформациями ех, е, ух и перемещениями и, V, w в срединной поверхности по направлениям х, у, г имеет вид [4]

Э и I ( ды &х ~1к+ 2

\2

дх

/

ди дv Эм> дм?

Эу 1 ’ Еу ~Э^ + 2

Эи> ду

^ ду дх Эх ду

Изгибающие и крутящие моменты элемента пластинки примем в виде [2; 4]:

мх=-о

(~\2 -\2 Л

дм? д и>

, (х+*у),

Н = -Б

д2м>

дхду

переменная цилиндри-

Екъ

где В =

12

ческая жесткость пластинки.

Уравнения движения элемента вязкоупругой изотропной пластинки имеет следующий вид [4]:

дNx дЫ д2и

дх ду д і

дN„, Ж

*У

дх

д2Мх

дх2

д

+ ду

У 1 ^2у л

аГ-р*э?=°,

э2м„

ду2

- + 2

д2Н д дхду дх

лг Эи> лг дм *ду

Э2м>

+

+ ?-Ра:;гт = 0,

ді

Здесь N, N и N — усилия, отнесенные

х’ у ху ^ ’

к единице длины сечения пластинки [4].

Если процесс рассматривается без учета распространения упругих волн, то система уравнений (5) упрощается. Становится возможным отбросить инерционные члены в первых двух уравнениях. Эти два уравнения будут удовлетворяться, если ввести функцию напряжений Ф в срединной поверхности по формулам [4]

ЛГ Э2Ф N Э2Ф

С! = —— =------------ С! = —— = ------------

' • ду2’ у к дх2'

к

N.

Э2Ф

ЭхЭу

Э2ег . д\ Э2у.

ху _

ґ Л2 V О

ду дх дхду

дхду

Э2и> д2М! дх2 ду2 ,

Кроме того, используем известное уравнение совместности деформаций [4]

Выпуск 2

Выпуск 2

в котором выразим деформации в срединной поверхности через усилия, а те, в свою очередь, — через функцию напряжений Ф. В результате получим уравнение

гд4Ф Э4Ф Э4ФЛ

^ Эх4 дх2ду2 ду4 ^

М>

Э2м> Э2м>

дхду J дх2 ду2 Окончательно вместо трех уравнений (5) будем иметь следующие два уравнения типа Кармана:

(1-Г>

+ 3

+ 2

ґд4м> дх4

V У

ґдк

дх2ду2 ду4

2к

дх

+ к

д2к

дх2

( 32

2... Л

3 и» д м>

+

+б(1-Г*)й2Ц

^дъм> дъм> +

дх дхду

+

+

дк (дъм/ дъм/ ^

ду

+

2Л

Эу

+ к

г Э2/г

2... Л

дм/ Э №

6

дк дк 1± 2 к----------------+ к

д2к

Эл: ду дхду

Э2м>

дхду

12

Е

д2м> д2Ф , д2м> Э2Ф

к-г—г + к-

дх2 ду2 ду2 дх2

-2 к

д2м> д2Ф дхду дхду

12

+ ^-------'-д-

Е

12(і-ц2) Э2и>

1_

Е

Е

гд4Ф

р к

дґ

= 0,

4/Ь Л

„ Э4Ф Э4Ф

Эх4 + Эх2Эу2 + ду4

-О-Г*)

Э2и>

Эхд>>

д2м> э2м> Эх2 ду2

Таким образом, задача о нелинейных колебаниях вязкоупругих изотропных пластин с переменной толщиной в геометрически нелинейной постановке сводится к системе интегродифференциальных уравнений в час-

тных производных вида (6) при соответствующих начальных и граничных условиях.

3. Дискретная модель и метод решения. Решение системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, полученной в предыдущем пункте, при различных граничных условиях и при наличии слабо сингулярных ядер наследственности вызывает значительные математические трудности. Поэтому для построения дискретной модели рассматриваемой задачи используем метод Бубнова-Галеркина.

Решение уравнения (6) с учетом граничных условий (1) будем искать в виде

М N

-IX ^тп Утп(Х>У)>

т-1 и=1 М N

Ф = ЦФтИ ^тп(х>у),

т=1 п=1

/ ч . ткх . ппу

где \х> у) - 81П---81П —Т--

а о

, ч . ткх . пку

Хтп(х>У)=ят--------8т-г-.

а о

Подставляя (7) в уравнение (6) и выполняя процедуру Бубнова-Галеркина, получим следующую систему уравнений:

12(1-ц2)рй-м м

'Ц^Чт +0-Г*)ХХ/и

т=1 п=\

М N

т=1 и=1

= 120 -^2)Ё £яшяга^т„Фга +12(1 -ц2)^,

т,г=1 п,й=1 М N М N

II аШтп^тп У, 1й2Итп>1ти><ге,

т,г=\ п,л=1

™тп (0) = womn, <пФ)=щтп;

к = 1, 2, ..., М; I = 1, 2, ..., N где

а Ь

СЫтп = ЦкУтпУы^У’

О о а Ъ

/н = Г Г{л3(\1/^ +2Х2у!У + Г\|Л )+

У Штп III V т тп,хххх Ттп,ххуу т тп,уууу /

О О

+ 6 к(к'хУ {хтпхх + 12№'тп,уу) +

+ 6 к2к'х (хі„іХХХ + rk2xmmnxy^dxdy.

Sklmnrs J mn.xxXrs.yy 2M|/mn,xylLrs,xy

0 0

a b

тп,уу%гз,ххУУы<^х<Ь>- qkl — gjj\\fj^dxdy-

ь 00

^ 1 klmn ^ J"(Xmn,xccc 2^ mn,xxyy

0 0

+ ^Хтп,ууу)іи^у -

a b

2klmnrs ~ J" ^(%mn,xy'Xirs,xy 'Х,тп,хх%гз,уу)%кІ^Х^У.

0 0

Введя в систему (S) следующие без-

w x у h . a

размерные величины —, —, —, —, A = —-

К а Ъ К b

Ф q

Щ’ Е

V

А„

и сохраняя прежние обозначе-

ния, относительно неизвестных w = w (t),

mn mn

Ф = Ф (t), получим

mn mn

М _N

f klmn wmn

mn mn

M N

Ct,„.w„„ +(l - r*)£ X fklr-- w— =

n=1 n=l

M N

= 12(і-ц2>2 £ %gamnrswmnrs +12(і-ц2)я4^-

M TV

m,r=l n,s=1

M ЛГ

Х1аіи™ф™ ^ X Xe2“"«W™W™-

m-1 n=l m,r=1 л,5=1

wmn (0) = w0mn- <(°)=4™;

k = І, 2, ..., M; l = І, 2, ..., N-

1

4тЛЄ '

Интегрирование системы (9) выполнялось с помощью численного метода, предложенного в [1; 5, с. 867-871]. Интегрируя полученную систему (9) два раза по ґ, можно записать ее в интегральной форме:

М N МИ

ХХС«'»Л« =ХХси™(н,о«л +Ч™0-

m—1 л=1

т-1 л=1

/шЛ

» » Г М N У ч

-чЯ ХЙ-г-)/,

о о и=і

-12(і-ц2)х2Х 2>h-»w»» -12(l-H2)A-V,Uft

т,г=1 гс„у=1 J

А/ ЛГ М N

ХХяш™ф™=^2Х X

^2klmn ^тп ^rs -

»тп (0) = w0mn, <Я(°)=Чтл;

к = 1, 2, ...,М; I = 1, 2, ..., N.

Или, заменяя двойной интеграл одинарным, систему (10) можно переписать в следующем виде:

М N МЫ

XXе--™ = ХХ%»>0™ + ^ОтлО-

т-1 л-1 т-1 л-1

* Гм лг

-л|0-т)^ХХ(1_Г*)/и

0 1т=1 п—1

-12(і-ц2)я2Х -12(l-^2)A,4feL

т,г=1 л, 5=1 М N М N

ХХяШ'Л'-^Х Ха2ШИ^тИ^,

т-1 п-\ т,г-\ л,5-1

wmn (°) = W0mn, <»(0)=4m„;

k = 1, 2, M; l = 1, 2, N.

Следующим этапом численного метода является регуляризация системы нелинейных интегродифференциальных уравнений (11) с сингулярным ядром Колтунова-Ржаницына [2]

Г(г) = Ае^‘ • ta-\ A > 0, р > 0, 0 < a < 1.

С помощью замены переменных

t - х = za, 0 < z < ta, (o < a < 1) интеграл при ядре Колтунова-Ржаницына с особенностью следующего вида: t

Aj(t - т)“ 1 exp[-P(f -t)]w(t)c/t

принимает вид exp^-$z^

t-z^a

dz.

Следовательно, систему (І І) можно переписать в виде

^ ^кітп^тп Цск1тмтп+Ч™,0-

т-1 п= 1 т=1 л=1

г м N і л‘г (

-TlJ(?-T>|XX/«™« Wmn--j exp\-$z/a U

о т=1 п=1 0 V J

V

-12(1-II2)*.2X Х^-Л«Ф«-

т,г=1 л, 5=1

(і-д2)х,49і|^-

-12(1-

Выпуск 2

Выпуск 2

М N

М N

(Й>)И

т,г~\ п,5=1

wmn (0) = W0mn, <»(°)=ЧИЯ;

к = 1, 2, ..., М; I = 1, 2, ..., N.

Заметим, что после замены переменных подынтегральная функция относительно г становится регулярной.

Затем, полагая t = t, t. = г'Д^ г = 1, 2, ...

5 ^ г ’ ’ ’

^ — шаг интегрирования) и заменяя интегралы квадратурными формулами трапеций для вычисления неизвестных w = ^ (Г ) и

гтп гт^ г 7

Ф = Ф (t ), получим следующие системы

гтп гтпх г /7 ^ ^ '

рекуррентных формул:

М N

М N

Ытп^тп ^^^'рк1тп

т=1 «=1 т=1 л=1

1-1 Г М лг ( д ]

-^Ж-Щ'ЁЁ/ит* ™]тп—гУ1Вре ‘Р^-р,тп

j=Q |^т=1 п=\ р=О

-12(1-ц2)А,2Х Х^йтЛ„Ф,га -12(1-ц2)а,4&[:

т,г—1 и^=1 М N МИ

ЕЕ аШтл7тя X У.а2Ити^М.м^М.га

Wmn (0) = W0mn, <»(0) =

0/ми?

г = 1, 2, ...; к = 1, 2, ..., М; I = 1, 2, ..., N. которые решаются методом Гаусса.

Здесь А0 = ^^; Л. = At, у = 1, 2, ..., г - 1;

Дг“ _ аКГ-Р-О").

4-% 5о =

я,=-

в.

2 1 2 А^°(Ср + 1Г-(р-1)"), р = 1, 2, ..., у - 1.

Отметим, что начальным моментом колебательного процесса является статическое равновесное состояние пластины под нагрузкой ^. Функция w (0, х, у) представляет собой изогнутую поверхность в этом состоянии. Поэтому для нахождения w0mn решается соответствующая упругая нелинейная статическая задача.

На основе алгоритма решения создана программа на алгоритмическом языке Бе1рЫ.

Результаты вычислений при различных физических и геометрических параметрах вязкоупругой изотропной пластинки приведены на рис. 3-7. Здесь, если не оговорено другое, принято: А = 0.05; а = 0.25; в = 0.05; ц = 0.3; q = 0.3; X = 1; а* = 0.5.

Изучено влияние статической поперечной нагрузки q на поведение вязкоупругой пластины (рис. 3). Следует отметить, что с увеличением статической поперечной нагрузки амплитуда колебаний возрастает. Колебания пластинки происходят около статического равновесного положения.

Соответствующие формы колебаний при безразмерном параметре времени t = 3 приведены на рис. 4. Из рисунка видно, что с уменьшением толщины пластины прогиб увеличивается.

На рис. 5 представлена зависимость прогиба от времени срединной точки упругой (А = 0 — кривая 1) и вязкоупругих пластин (А = 0.05, А = 0.1 — кривые 2, 3). Как и ожидалось, учет вязкоупругих свойств материала пластины приводит к затуханию колебательного процесса, при этом, хотя решение упругой и вязкоупругой задач в начальный период времени мало отличаются друг от друга, с течением времени вязкоупругие свойства оказывают существенное влияние.

Рис. 3. Зависимость прогиба от времени при q = 0.1

VI/ А 0,1 0,09

X” 3

0,07 0,06 0,05 0,04

^2

0,02 0,01

Рис. 4. Сравнение форм колебаний при у = 0.5; q = 0.1

О 8 16 24 32 /

Рис. 5. Зависимость прогиба от времени при А = 0

Изменение толщины вязкоупругой пластины по вышеуказанному закону при равных объемах пластин постоянной и переменной толщины приводит к увеличению максимальных перемещений (рис. 6).

0 8 16 24 32 /

Рис. 6. Зависимость прогиба от времени при а* = 0

Во всех рассмотренных случаях изучена сходимость метода Бубнова-Галерки-на. При вычислении прогиба удерживались пять первых гармоник (М = 5, N = 1), что обеспечивает сходимость разложения по формам колебаний. Расчеты показали, что дальнейшее увеличение количества членов не оказывает существенного влияния на амплитуду колебаний вязкоупругой пластины (рис. 7).

О 8 16 24 32 /

Рис. 7. Зависимость прогиба от времени

при М = 5, N = 1 (1); М = 5, N = 5 (2);

М = 1, N = 5

Аналогичные исследования были проведены и для других зависимостей законов изменения толщины вязкоупругой пластинки, а также для граничных условий.

Список литературы

1. Верлань А. Ф. Численное моделирование нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с переменной жесткостью / А. Ф. Верлань, Р. А. Абдикаримов, Х. Эшматов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 2.

2. Ильюшин А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря. — М.: Наука, 1970. — 280 с.

3. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация / М. А. Колтунов. — М.: Высш. шк., 1976. —

276 с.

4. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1972. — 432 с.

5. Бадалов Ф. Б. О некоторых методах решения систем интегродифференциальных уравнений, встречающихся в задачах вязкоупругости / Ф. Б. Бадалов, Х. Эшматов, М. Юсупов // Прикладная математика и механика. — 1987. — Т. 51, № 5.

Выпуск 2