Комбинаторные задачи в курсе математики начальной школы

Библиографический список

1. Юзефавичус Т.А. Проблемы социальной работы с молодёжью. Москва: ИЦ «Академия», 2012.

2. Днепров Э.Д. Советская историография отечественной школы и педагогики (1918 - 1977). Москва: НИИ ОП АПН СССР, 1981. -90 с.

3. Корнетов Б.Г. От первобытного воспитания к гуманитарному образованию. - Москва: Издательство УРАО, 2003.

4. История педагогики на пороге XXI века: Историография, методология, теория. Под редакцией Г.Б. Корнетова, В.Г. Безрогова. В 2-х ч., ч. 2. Москва: ИТО и П РАО, 2001.

5. Антология педагогической мысли России второй половины XIX - начала XX в. Составитель П.А. Лебедев. Москва: Педагогика, 1990.

6. Старые и новые педагоги, ихъ жизнь, мысли и труды. Составитель М.И. Демковъ. Москва: Типо-литографiя Т-ва И.Н. Кушнеревъ и Ко, 1912.

7. Каптерев П.Ф. Избранные педагогические сочинения. Под редакцией А.М. Арсеньева. Москва: Педагогика, 1982.

8. Фрадкин Ф.А., Плохова М.Г., Осовский Е.Г. Лекции по истории отечественной педагогики. Москва: ТЦ СФЕРА, 1995.

9. Басов Н.Ф., Басова В.М. Воспитание человека и гражданина в педагогическом наследии В.Я. Стоюнина. Вопросы воспитания. 2011; 3: 81 - 91.

10. Антология по истории педагогики в России (первая половина XX века). Составитель А.В. Овчинников, Л.Н. Беленчук, С.В. Лыков. Москва: ИЦ «Академия», 2000.

References

1. Yuzefavichus T.A. Problemy social'noj raboty s molodezh'yu. Moskva: IC «Akademiya», 2012.

2. Dneprov 'E.D. Sovetskaya istoriografiya otechestvennoj shkoly ipedagogiki (1918 - 1977). Moskva: NII OP APN SSSR, 1981. - 90 s.

3. Kornetov B.G. Ot pervobytnogo vospitaniya k gumanitarnomu obrazovaniyu. - Moskva: Izdatel'stvo URAO, 2003.

4. Istoriya pedagogiki na poroge XXI veka: Istoriografiya, metodologiya, teoriya. Pod redakciej G.B. Kornetova, V.G. Bezrogova. V 2-h ch., ch. 2. Moskva: ITO i P RAO, 2001.

5. Antologiya pedagogicheskoj mysli Rossii vtorojpoloviny XIX- nachala XX v. Sostavitel' P.A. Lebedev. Moskva: Pedagogika, 1990.

6. Starye i novye pedagogi, ih' zhizn', mysli i trudy. Sostavitel' M.I. Demkov'. Moskva: Tipo-litografiya T-va I.N. Kushnerev' i Ko, 1912.

7. Kapterev P.F. Izbrannye pedagogicheskie sochineniya. Pod redakciej A.M. Arsen'eva. Moskva: Pedagogika, 1982.

8. Fradkin F.A., Plohova M.G., Osovskij E.G. Lekcii po istorii otechestvennoj pedagogiki. Moskva: TC SFERA, 1995.

9. Basov N.F., Basova V.M. Vospitanie cheloveka i grazhdanina v pedagogicheskom nasledii V.Ya. Stoyunina. Voprosy vospitaniya. 2011; 3: 81 - 91.

10. Antologiya po istorii pedagogiki v Rossii (pervaya polovina XX veka). Sostavitel' A.V. Ovchinnikov, L.N. Belenchuk, S.V. Lykov. Moskva: IC «Akademiya», 2000.

Статья поступила в редакцию 12.01.17

УДК 372.851

Vendina A.A., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Stavropol State Pedagogical Institute (Stavropol,

Russia), E-mail: aavendina@gmail.com

Kirichek K.A., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Stavropol State Pedagogical Institute (Stavropol, Russia),

E-mail: KirichekKA@mail.ru

COMBINATORIAL MATHEMATICAL PROBLEMS IN ELEMENTARY SCHOOL. The work studies the necessity of formation of skills to solve mathematical problems of combinatorial nature by younger students. The article presents the ways of solving combinatorial problems in the course of elementary mathematics and some particular approaches of teaching learners. The research describes positive sides in the development of children in the process of solving combinatorial problems. The authors describe tasks, which can be done in different ways, and it allows to form not only subject, but also meta-subject results of training, and to determine the level of development of program material of the elements of combinatory math by teachers and pupils.

Key words: combinatory math, combinatorial problems, mathematics, elementary school, development of schoolchildren, differentiated approach.

А.А. Вендина, канд. ф-м. наук, доц. каф. математики и информатики, Ставропольский государственный

педагогический институт, г. Ставрополь, E-mail: aavendina@gmail.com

К.А Киричек, канд. пед. наук, доц. каф. математики и информатики, Ставропольский государственный

педагогический институт, г. Ставрополь, E-mail: KirichekKA@mail.ru

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

В статье обосновывается необходимость формирования умения решать задачи комбинаторного характера у младших школьников. Рассматриваются основные способы решения комбинаторных задач в начальном курсе математики и особенности ознакомлениями с ними обучающихся. Описаны положительные аспекты развития детей при решении ими комбинаторных задач. Приведены задания, решение которых возможно разными способами, что позволяет формировать не только предметные, но и метапредметные результаты обучения, а также определить педагогу и учащимся уровень освоения программного материала по элементам комбинаторики.

Ключевые слова: комбинаторика, комбинаторные задачи, математика, начальная школа, развитие школьников, дифференцированный подход.

Статистические методы исследования проникают в различные сферы общественной жизни и научного познания. Это обусловило необходимость включения в школьный курс математики элементов стохастики: комбинаторики, теории вероятностей, статистики, теории игр и некоторых других. Анализ раздела «Решение текстовых задач» программ по математике для 1 - 4 классов показал необходимость формирования умения решать задачи логического и комбинаторного характера у младших школьников [2]. В связи с этим в современных учебниках начального курса математики наблюдается тенденция к увеличению количества комбинаторных задач, а также появление кружков (факультативов) по решению комбинаторных задач в рамках

общеинтеллектуального и общекультурного направления внеурочной деятельности [3]. Комбинаторные задачи способствуют развитию комбинаторного стиля мышления, существенными чертами которого являются гибкость, критичность и вариативность, возможность поиска различных путей решения задачи и многовариантность достижения целей. Целенаправленная пропедевтическая работа в курсе математики начальной школы позволяет подготовить детей к изучению теории вероятностей и статистики в средней школе.

Многие понятия комбинаторики базируются на важнейших понятиях теории множеств («некоторый», «каждый», «все», «множество», «часть», «целое», принадлежность элемента мно-

жеству и т. д.), теории графов (отношения между элементами множества и самими множествами) и математической логики (частица «не», союзы: «и», «или»), а вычислительную базу комбинаторных задач составляют арифметические операции (прежде всего сложение и умножение). Таким образом, линия «Элементы комбинаторики» органично сочетается с традиционным курсом математики, способствуя развитию внутрипредметных связей.

Анализ учебников по математике для начальной школы позволил выявить дифференцированное включение комбинаторных задач и способов их решения на разных этапах математической подготовки обучающихся:

1. Задачи из теории множеств, связанные с подсчетом всех возможных комбинаций объектов множества и комбинаций, удовлетворяющих определенным условиям, решаемые с помощью наглядности (рисования; манипулирования реальными предметами, карточками и т. п.).

2. Комбинаторные задачи, решаемые методом перебора (хаотично и упорядочено).

3. Задачи, решаемые табличным способом (условие вносится в таблицу и в ней же выполняется решение).

4. Задачи, решаемые с помощью графа (схемы).

5. Задачи на построение дерева возможных вариантов.

6. Задачи, решаемые с применением основных правил комбинаторики.

Рассмотрим особенности изучения младшими школьниками выявленных способов решения комбинаторных задач.

1. В основе комбинаторных действий лежат действия с конечными множествами, поэтому изучение комбинаторики начинается с подготовительного этапа [4], согласованного с изучением множеств: сначала учащиеся рассматривают одно множество элементов, при этом учатся выделять всевозможные пары элементов данного множества или пары, удовлетворяющие определенным условиям. Далее учащиеся составляют пары из элементов двух множеств и устанавливают связь между количеством элементов множества (множеств) и количеством выделенных пар. Так, например, в 1-2 классах рассматриваются задачи на составление пар, удовлетворяющих заданному условию (задания 1 - 2) и примеры на составление всех возможных комбинаций (задание 3).

Задание 1. Запиши все двузначные числа, в которых десятков столько же, сколько единиц. Сколько получилось таких чисел?

Задание 2. Составь все возможные суммы из двух чисел, используя лишь числа 3, 4, 8 (порядок слагаемых не принимается во внимание). Сколько таких сумм получилось?

Задание 3. На столе лежат овощи: свекла, морковь, огурец, томат. Сколькими способами можно составить набор из двух овощей? Зарисуй эти наборы в тетради.

Мы полагаем, что на подготовительном этапе наиболее благоприятно младшим школьникам для решения задач пользоваться практическими действиями на основе перебора. Это вызвано в первую очередь психологическими особенностями младших школьников, их слабыми способностями к абстрактному мышлению.

Задание 4. У Красной Шапочки есть картофель, рис, яйца и мясо. Она хочет испечь для бабушки пирожки, используя в качестве начинки только два вида продуктов. Помоги Красной Шапочке составить все возможные комбинации продуктов. Сколькими способами можно составить набор продуктов для начинки?

Решение данной задачи можно провести, заранее подготовив бумажные геометрические фигуры разного цвета и размера, например: красные и желтые круги, белые прямоугольники и оранжевые овалы, которые будут обозначать мясо, яйца, рис и картофель соответственно. В этом случае обучающимся будет легче определить количество различных комбинаций начинки за счёт наглядности. Форма работы над задачей может быть организована как индивидуальная, так и в парах, микрогруппах.

Аналогично с помощью карточек, изображающих рассматриваемые в задаче предметы, и практического перебора школьники могут решить и следующее задание.

Задание 5. У Арсения есть 2 конструктора, 2 мяча и 3 машинки. Он хочет выбрать своему другу Денису для подарка один конструктор, один мяч и одну машинку. Помоги Арсению подсчитать, сколькими способами он может выбрать подарок?

Задание 6. У Кости имеются монеты: 4 монеты достоинством 1 рубль, 3 монеты достоинством 2 рубля, и по 2 монеты достоинством 5 и 10 рублей. Мороженое стоит 24 рубля. Каким набором монет Костя может заплатить за мороженое? Посчитай

количество различных вариантов набора монет для покупки мороженого.

Решение задач первого типа (подготовительного этапа) помогает учащимся сравнивать различные объекты (выделять из множества элементы, удовлетворяющие заданным условиям), классифицировать объекты (объединять элементы по заданному признаку), решать задачи, не имеющие однозначного ответа, сопоставлять характеристики объектов по одному или нескольким признакам, что, несомненно, способствует формированию у младших школьников логических универсальных учебных действий.

2. Перебор всегда осуществляется по какому-либо признаку объектов и напрямую связан с операцией классификации. Поэтому важным элементом готовности ребенка к овладению способами решения комбинаторных задач является его умение выделять различные признаки предметов, классифицировать множества одних и тех же объектов по различным основаниям. При обучении школьников решению задач методом перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотично, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решения без пропуска и повторения комбинаций. Поэтому в ходе решения задач такого вида дети должны проговаривать алгоритм получения новых комбинаций, например, как в задании 7: один элемент фиксируется, а два других переставляются.

Задание 7. Составьте все возможные трехзначные числа из цифр (каждая из данных цифр встречается в записи числа только один раз): а) 3, 7, 2; б) 2, 0, 5; в) 1, 2, 0.

Сложность решения комбинаторных задач методом перебора заключается в том, что при их решении должна быть выбрана такая система конструированного перебора, которая давала бы полную уверенность в том, что рассмотрены все возможные случаи, исключая повторы комбинаций. Поэтому эффективным средством решения комбинаторных задач является схематизация решения с помощью таблиц, графов и дерева возможных вариантов.

3. К решению комбинаторных задач с использованием таблиц можно перейти после того, как освоен принцип их составления, актуализированы знания детей о таблицах, выделены существенные их признаки. Как было сказано выше, сначала младших школьников следует научить решать комбинаторные задачи методом перебора, а впоследствии табличным способом.

Задание 8. Сколькими способами Буратино может разложить 7 конфет в 2 кармана? Проверь себя с помощью таблицы.

Таблица 1. Пояснительная таблица к заданию 8.

Первый карман

Второй карман

Задание 9. Для участия в концерте нужны двое ведущих: один мальчик и одна девочка. Быть ведущими желают Ангелина, Катя, Оля, Герман, Богдан, Иван и Максим. Какие варианты пар ведущих возможны? Реши задачу, составив таблицу и закрасив клетки, соответствующие решению задачи.

Чаще всего таблицы используются для решения комбинаторных задач, в которых требуется составить комбинации из двух элементов. Если же решение требует составления комбинаций из трех и более элементов, то табличный способ может оказаться неприменимым и тогда для решения необходимо воспользоваться либо методом перебора, либо деревом возможных вариантов, либо правилами комбинаторики.

4. При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками, связи между объектами - линиями или стрелками (если нужно показать направление действия, правильную последовательность в изображении объектов). Новое для школьников понятие «граф» можно рассмотреть на примере задач следующего вида.

Задание 10. В конце школьных каникул перед началом учебного года 4 друга: Герман, Богдан, Иван и Максим решили обменяться впечатлениями о проведенном времени, для чего позвонили друг другу. Определите, сколько всего было звонков.

Для решения задачи педагогу нужно выяснить с учащимися, как можно обозначить каждого человека и их звонки. Быстро и удобно будет изобразить людей точками (расположив их примерно по кругу, чтобы модель решения была понятной и наглядной), а звонки - линиями (стрелочками). Сначала схематично представить звонки одного из друзей (точку соединить со всеми другими

точками с помощью стрелочек), затем второго, третьего и четвертого. Проведенные стрелочки помогут увидеть, с кем из друзей разговор уже состоялся (и повторно линию проводить не надо), а с кемнет(добавивнедостающиезвонкив видестрелочек).

5. Решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов, являющегося одним из разновидностей графа, завершает процесс изучения младшими школьниками рациональных приемов систематического перебора на основе схематизации и моделирования. В отличие от графа, дерево решений характеризуется тем, что «растет» сверху вниз. Такой вид удобен для расположения объектов в нужной последовательности, что позволяет учесть все возможные комбинации элементов.

Задание 11. В понедельник по расписанию в вашем классе должно быть 4 урока: математика, русский язык, чтение и труд. Сколько разных последовательностей уроков можно составить в расписании на понедельник? Реши задачу, составив дерево воз-можныхвариантов.

чении: для учеников, испытывающих особые трудности в решении, можно предлагать задания, допускающие решение разными способами: методом организованного перебора, табличным способом, с помощью графов, дерева решений или комбинаторных правил. Это позволяет не только закрепить умение решать задачи с помощью различных приемов, но и способствует формированию у младших школьников такого важнейшего универсально-гоучебногодействия,как прогностическаясамооценка.

Задание 12. Герои сказки «Волшебник Изумрудного города» решили, что им пора учиться в школе. Помоги Элли рассадить Тотошку, Страшилу, Железного Дровосека и Трусливого Льва за две свободные парты. Определи, сколько вариантов выбора у нееесть:

а) составив все возможные пары, пользуясь методом орга-низованногоперебора(пороговыйуровень);

б) составив граф (схему) (повышенный уровень).

Задание 13. Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф хотят постро-

УРОКИ

Текст слайда

Текст слайда

Текст слайда.

Текст

слайда

Текст Текст

слайда слайда

Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст

слайда] [слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст

слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда слайда

Рис. 1. Дерево возможных вариантов решения к заданию 11.

Построение графа, таблицы и дерева возможных вариантов являются эффективными приемами, организующими подсчет различных комбинаций. Они позволяют в наглядной доступной форме представить идею комбинирования и процесс подсчета комбинаторныхобъектов.

6. Процесс формирования навыка решения комбинаторных задач в курсе математики начальной школы логически завершается знакомством учащихся с такими правилами комбинаторики, как правила суммы и произведения. Обучающихся необходимо подвести к применению комбинаторных формул (сочетания, размещения и перестановки) без их обозначения. В ходе достижения выделенных задач каждый ребенок учится представлять в умственном плане все возможные варианты комбинаций без обращения к практическим или графическим средствам. Педагогу важно организовать учебный процесс так, чтобы дети активно рассуждали, комментировали свои действияина основе правил суммы и произведения получали ответ на поставленный вопрос о подсчете числа комбинаций.

Особенность решения комбинаторных задач заключается в том, что они чаще всего допускают не один, а несколько способов решения. В силу чего мы полагаем, что комбинаторные задачи позволяют реализовывать дифференцированный подход в обу-

ить свои домики (из соломы, веток и кирпичей) в один ряд. Сколько вариантов у них может получиться. Реши задачу:

а) методом перебора всех возможных вариантов (пороговый уровень);

б)табличным способом (повышенныйуровень);

в) с помощью правил комбинаторики (продвинутый уровень).

Задание 14. (Повышенный уровень сложности). Мальвина

решила примерить две шляпы и три шарфика. На каждый вариант примерки (шляпа с шарфиком) она тратит 5 минут. Сколько времени Мальвина проведет у зеркала, если она планирует примерить все варианты.

Таким образом, комбинаторные задачи не только естественным образом сочетаются с традиционным курсом математики, помогая отработать вычислительные навыки, способы моделирования [1], но и создают предпосылки к формированию умений анализировать возможные варианты развития событий и их шансы на реализацию. Приобретенные знания и умения пригодятся учащимся при решении практических задач в повседневной, реальной жизни. Обучение школьников решению комбинаторных способствует формированию у них познавательных универсальных учебных действий, составляющих ядро метапредметных результатов обучения.

Библиографический список

1. Вендина А.А., Киричек К.А. Математическое моделирование в процессе методической подготовки бакалавров педагогического образования. Обучение и воспитание: методики и практика. 2016; 29: 94 - 99.

2. Киричек К.А. Классификация текстовых задач начального курса математики. Гуманитарные научные исследования. 2016; Available at: http://human.snauka.ru/2016/01/13704

3. Редько З.Б. Внеурочная деятельность младшего школьника: курс «Учимся решать комбинаторные задачи». Начальная школа: проблемыи перспективы,ценностии инновации.2016;9:225 -231.

4. Целищева И.И., Румянцева И.Б., Ермакова Е.С. Обучение решению комбинаторных задач детей 4-10 лет. Начальная школа. 2015; 11: 83 - 90.

References

Vendina A.A., Kirichek K.A. Matematicheskoe modelirovanie v processe metodicheskoj podgotovki bakalavrov pedagogicheskogo obrazovaniya. Obuchenie i vospitanie: metodiki ipraktika. 2016; 29: 94 - 99.

Kirichek K.A. Klassifikaciya tekstovyh zadach nachal'nogo kursa matematiki. Gumanitarnye nauchnye issledovaniya. 2016; Available at: http://human.snauka.ru/2016/01/13704

Red'ko Z.B. Vneurochnaya deyatel'nost' mladshego shkol'nika: kurs «Uchimsya reshat' kombinatornye zadachi». Nachal'naya shkola: problemy iperspektivy, cennosti i innovacii. 2016; 9: 225 - 231.

Celischeva I.I., Rumyanceva I.B., Ermakova E.S. Obuchenie resheniyu kombinatornyh zadach detej 4-10 let. Nachal'naya shkola. 2015; 11: 83 - 90.

Статья поступила в редакцию 25.12.17