Пятый инвариант линий тока для осесимметричных закрученных течений газа

ТРУДЫ МФТИ. 2018. Том 10, № 2

Механика

131

УДК 533.6.011

В.Н. Голубкин1'2, И. С. Мануйлович2'3, В. В. Маркое2'3'4

1 Московский физико-технический институт

2 Центральный аэрогидродинамический институт им. профессора Н. Е. Жуковского 3Институт механики МГУ им. М. В. Ломоносова 4Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Пятый инвариант линий тока для осесимметричных закрученных течений газа

Для осесимметричных изоэиергетических течений идеального газа с закруткой в окружном направлении, которые могут быть небаротропными и вихревыми, наряду с известными четырьмя инвариантами линий тока показано существование пятого инварианта. Этот новый инвариант линий тока представляет собой комбинацию давления с компонентами скорости и завихренности. В частном случае нулевой окружной скорости новый инвариант совпадает с известным инвариантом Крокко для незакрученных течений.

Ключевые слова: уравнения Эйлера, закрученные осесимметричные течения газа, инвариант линий тока.

V.N. Golubkin1'2, I. S. Manuylovich2'3, V. V. Markov2'3'4

1 Moscow Institute of Physics and Technology (State University) 2Zhukovsky Central Aerohydrodynamic Institute 3Mechanics Institute of Moscow State University 4Steklov Mathematical Institute of RAS

Fifth streamline invariant to axisymmetric swirling gas flows

In addition to well-known four streamline invariants, it is shown that the fifth invariant to axisymmetric isoenergetic ideal gas flows with circular swirling exists. It may be a nonbarotropic and vortex flow. This new invariant is represented by the combination of pressure with velocity and vorticity components. The new invariant coincides with well known Crocco's invariant to a nonswirling flow when the circular velocity is zero.

Key words: Euler equations, axisymmetric swirling gas flows, streamline invariant.

1. Введение

На сегодняшний день известны три инварианта линий тока незакрученных осесимметричных течений. Два из них - это общие инварианты течений идеального газа: полная энтальпия и энтропия (в областях без скачков уплотнения). Третий инвариант был получен Л. Крокко [1] для изоэнергетических (но, возможно, небаротропных) течений -это отношение величины завихренности к произведению давления на расстояние до оси.

Для закрученных осесимметричных течений картина иная. Кроме энтропии и полной энтальпии, известны еще два инварианта. Они существенным образом связаны с закруткой. Один из них - произведение окружной скорости на расстояние до оси симметрии [2], пропорциональное окружной циркуляции. Другой - отношение проекций векторов

© Голубкин В. Н., Мануйлович И. С., Марков В. В., 2018

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2018

завихренности и скорости на меридиональную плоскость, деленное на плотность [3]. Оба эти инварианта вырождаются при отсутствии закрутки. В данной работе найден новый инвариант закрученных течений, который при отсутствии закрутки не вырождается, а совпадает с инвариантом Крокко [1].

2. Основные обозначения и уравнения движения

Рассмотрим осесимметричное стационарное изоэнергетическое течение идеального газа в цилиндрической системе координат г, р, х (ось г совпадает с осью симметрии). Обозначим:

V — вектор скорости, р — плотность, р — давление, О = — завихренность. Давление р и плотность р связаны соотношением р = арк, где к — показатель адиабаты, а — энтропийная функция, которая постоянна вдоль линий тока и может принимать разные значения на различных линиях тока (адиабатичность, небаротропность) или быть всюду одинаковой (изоэнтропичность, баротропность). Далее предполагается изоэнергетичность течения, означающая, что полная энтальпия (энергия) ^-ту ^ + "^т одинакова всюду в потоке. Для дальнейшего анализа течения газа используем известную теорему Крокко:

О х V = —-V 1п а

к — 1 р

и уравнение неразрывности

ё1у

Газодинамические функции V, р и р координат г, г считаем дважды непрерывно дифференцируемыми. Пусть ег, е^, ех — правая тройка единичных векторов в радиальном, окружном и осевом направлениях соответственно. Вектор скорости закрученного течения имеет компоненты У, У^, по всем трем пространственным направлениям:

V = Уг ег + У^ + Уг ег = Vr + Vv + Vz.

' д —

В статье [4] было замечено, что в силу осевой симметрии ^^ = 0J меридиональная составляющая завихренности Пгг, равная векторной сумме радиальной и осевой составляющих (Пг-г = Пг + Пг), является ротором окружной скорости: V^: Пгх = rot V^. Аналогично, окружная составляющая завихренности П^ является ротором меридиональной составляющей скорости: Vr + V^: П^ = rot (Vr + V^). Поскольку, очевидно, векторное произведение П^ х V^ = 0, то левая часть уравнения (1) распадается на три слагаемых:

П х V = Пгг х (Vr + Vz) + П х (Vr + Vz) + nrz х Vv.

Здесь первое слагаемое направлено вдоль e^, а два других лежат в меридиональной плоскости, проходящей через ось симметрии. Поэтому векторное уравнение (1) равносильно системе двух уравнений:

1 'v

П х

Пгг х

3. Пятый инвариант линий тока

Если в какой-либо точке течения меридиональная скорость Vr + V х = 0, то проходящая через эту точку линия тока представляет собой окружность с центром на оси симметрии, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. На такой линии тока сохраняются все параметры осесимметричного течения. Рассмотрим более общий случай течения в области, где Vr + Vх = 0. В такой области из (4) следует, что

Огг = р

Поэтому уравнение (3) можно записать в виде

1 'О

(О^ - /ЗУ^) х (Уг + У) = 1 ^V 1п а,

или

(Ц, - ,0^) е^ х (Уг + У) = -—-^ 1п а, П^ = (О^) .

1 р к — 1 р Введем обозначение:

15 = — /%) ,

I у

и, учитывая, что е^ х ег = —е^ и е^ х ег = ег, перепишем последнее уравнение в виде

15 (г рУхег — г рУгег) = V 1п а. Применение операции rot дает

15 rot

Первое слагаемое левой части (6) записывается в виде

д д \ ^ ( л(грУх) + д~г(грУгу

и, в силу уравнения неразрывности (2), записанного в цилиндрических координатах, сумма в круглых скобках обращается в нуль, то есть первое слагаемое в левой части (6) равно нулю. Поэтому второе слагаемое также равно нулю. Поскольку его можно представить в виде —гр 15 + 15) е^, имеем ((Уг + Уг)  VI5) = 0. Таким образом, величина 15 сохраняется вдоль векторных линий вектора (Уг + Ух). Для осесимметричных течений

5

В итоге приходим к следующему основному результату.

Пусть в некоторой области осесимметричного стационарного изоэнергет/ического течения идеального газа отсутствуют скачки уплотнения и тангенциальные разрывы, а меридиональная скорость Уг + Уг не обращается в нуль. Тогда, в этой области величина,

15 = 1 — ^

сохраняется вдоль линий тока.

Интересно, что при отсутствии закрутки ( У^ = 0) новый инвариант 15у совпадает с инвариантом Крокко [1].

4. Другие формы записи нового инварианта

Для качественного анализа и для верификации расчетов течений путем проверки

5

5

представить в более обозримом виде.

Применение оператора дивергенции к уравнению (5) дает (Уг + Уг) + (Уг + Уг) VР = 0. С другой стороны, из уравнения неразрывности следует, что рё1у (У + Уг) + (У + Уг) V р = 0. Поэтому (У + Уг) V((3/p) = 0, и отношение 1.4 = (/З/р) сохраняется вдоль линий тока (как указано во введении, этот инвариант впервые получен в [3]). Учитывая формулу (5) для имеем

15 = — — руI.4) . гр

Наконец, с использованием третьего инварианта 1з = гУ^, получим

^ = г~1р /3/4 + гр15.

Поскольку вычисляется по векторному полю меридиональной скорости Vr + V новую закономерность можно сформулировать как свойство меридионального движения (без упоминания окружной скорости и связанных с ней компонент завихренности).

Пусть в некоторой области осесимметричного стационарного изоэнергетического течения идеального газа отсутствуют скачки уплотнения и тангенциальные разрывы, а, меридиональная скорость Vr + Vх не равна, нулю. Тогда, в этой области окружная составляющая завихренности представима в виде

|Ц,| = |го; (V + V)| = г~1рС1 + грС2, где Су и С2 суть функции линий тока.

5. Пример использования нового инварианта

В качестве примера применения нового инварианта решим одну задачу теории вихревого движения для рассматриваемых течений. После работ [5, 6, 7] вихревые течения, в которых завихренность параллельна скорости (О х V = 0), называются винтовыми течениями. Рассмотрим трубку тока в стационарном изоэнергетическом течении газа. Пусть в каком-нибудь сечении трубки О х V = 0. Тогда, согласно теореме Крокко, энтропийная функция а будет константой ао в этом сечении. Далее, поскольку энтропийная функция постоянна вдоль линий тока, заключаем, что а = ао во всех точках трубки тока. Снова, используя теорему Крокко, приходим к выводу, что О х V = 0 во всей трубке тока. Аналогичное рассуждение неприемлемо в случае, если известно только то, что равенство О х V = 0 выполнено в одной точке, а про значение О х V в остальных (соседних) точках ничего не известно. Будет ли линия тока, проходящая через такую точку, винтовой линией (линией, во всех точках которой О х V = 0)? До настоящего времени этот вопрос был открыт для всех типов течений. Новый инвариант 15 позволяет дать положительный ответ для осесимметричных стационарных изоэнергетических течений.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что

|О х VI = V + Vz| % — У^

2

Сравнивая это выражение с (7), получаем

|О х V! = V + V,| грЬ.

линиях тока сохранение равенства О х V = 0 вытекает из (8) (для областей, в которых меридиональная скорость Vr + Vг не обращается в нуль).

Если О х V = 0 в какой-либо точке, то это равенство будет верным на окружности, проходящей через эту точку, имеющей центр на оси симметрии и лежащей в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. То есть винтовыми будут все линии тока, начинающиеся на этой окружности. Таким образом, приходим к следующему выводу.

Пусть в осесимметричном стационарном изоэнергетическом течении есть точка Р, лежащая не на оси течения, в которой О х V = 0. И пусть в рассматриваемой области меридиональная скорость Vr + Vх не обращается в нуль. Тогда, во всех точках поверхности тока, образованной вращением вокруг оси симметрии течения векторной линии Vr + Vz; проходящей через точку Р, выполняется равенет,во О х V = 0. То есть указанная поверхность является винтовой поверхностью.

6. Заключение

При исследовании уравнений Эйлера для стационарных закрученных осесимметричных изоэнергетических течений найден новый инвариант линий тока (формула (7)). Тем самым обнаружена еще одна закономерность в сложной связи окружного и меридионального движений в закрученных осесимметричных течениях газа. Приведен пример качественного вывода, полученного с использованием нового инварианта.

Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ (соглашение №14.G39.31.0001 от 13.02.2017).

Литература

1. Crocco L. Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1937. V. 17, I. 1. P. 1-7.

2. Голубкин B.H., Маркое В.В., Сизых Г.Б. Интегральный инвариант уравнений движения вязкого газа // ПММ. 2015. Т. 79, вып. 6. С. 808-816.

3. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. О некоторых свойствах газовых течений с осевой симметрией // ТРУДЫ МФТИ. 2017. Т. 9, № 1. С. 64-70.

4. Сизых Г.Б. Эволюция завихренности в закрученных осесимметричных течениях вязкой несжимаемой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 2015. Т. 46, № 3. С. 14-20.

5. Громека И. С. Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости // Ученые записки Казанского университета. 1881.

6. Громека И. С. Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости. Собрание сочинений. \!.. 1952. С. 76-148.

7. Beltrami Е. Considerazioni idrodinamiche // Rend. Inst. Lombardo Acad. Sei. Lett. 1889. V. 22. P. 122-131.

References

1. Crocco L. A new Stream function for Researching the Movement of Gases with Rotation. ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1937. V. 17, I.l.P. 1-7. (in German).

2. Golubkin V.N., Markov V. V., Sizykh G.B. Integral invariant of the equations of motion of viscous gas. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2015. V. 79, I. 6. P. 566-571.

3. Golubkin V.N., Sizykh G.B. Some Properties of Gas Flows with Axial Symmetry. Proceedings of MIPT. 2017. V. 9, N 1. P. 64-70. (in Russian).

4. Sizykh G.B. Evolution of vorticitv in swirling axisvmmetric flows of a viscous incompressible fluid. TsAGI Science Journal. 2015. V. 46, I. 3. P. 209-217.

5. Gromeka I.S. Some Cases of Incompressible Fluid Flow. Uchenve Zapiski Kazanskogo Universiteta. 1881. (in Russian).

6. Gromeka I.S. Some Cases of Incompressible Fluid Flow. Collected works. Moscow, 1952. P. 76-148. (in Russian).

7. Beltrami E. Hvdrodvnamic considerations. Rend. Inst. Lombardo Acad. Sci. Lett. 1889. V. 22. P. 122-131. (in Italian).

Поступим в редакцию 22.05.2018