ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ГЕРАСИМОВА-КАПУТО В СЕКТОРИАЛЬНОМ СЛУЧАЕ

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

УДК 517.9

ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ГЕРАСИМОВА -КАПУТО В СЕКТОРИАЛЬНОМ СЛУЧАЕ А. В. Нагуманова, В. Е. Федоров

Аннотация. Исследуется однозначная разрешимость линейных обратных задач с независящим от времени неизвестным коэффициентом для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с вырожденным оператором при дробной производной Герасимова — Капуто. Предполагается, что пара операторов в уравнении (при дробной производной и при искомой функции) порождает разрешающее семейство операторов соответствующего вырожденного линейного однородного уравнения дробного порядка. Исходная задача редуцирована к системе двух задач: задача для алгебраического уравнения на подпространстве вырождения исходного уравнения и задача для уравнения, разрешенного относительно дробной производной, на дополнении к подпространству вырождения. Продемонстрировано два подхода. Первый из них предполагает исследование обратной задачи для разрешенного относительно производной уравнения и прямой задачи для алгебраического уравнения. При осуществлении второго подхода сначала исследуется обратная задача для уравнения на подпространстве вырождения, после чего исследуется прямая задача для второго уравнения. Абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для одного класса уравнений в частных производных дробного порядка по времени с неизвестным коэффициентом, зависящим от пространственных переменных.

Б01: 10.255877SVFU.2020.57.76.004

Ключевые слова: обратная коэффициентная задача, дробная производная Герасимова — Капуто, вырожденное эволюционное уравнение, аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов.

Задачи для уравнений с неизвестными коэффициентами часто возникают в прикладных исследованиях [1—4]. Обратные задачи для уравнений, разрешенных относительно производной первого порядка, в банаховом пространстве и приложения полученных результатов к начально-краевым задачам для уравнений в частных производных с неизвестными коэффициентами рассматривались в работах [5-7] и др., для уравнений, разрешенных относительно производной дробного порядка, обратные задачи исследовались в [8-12]. Отметим работы [13-23], посвященные изучению вопросов разрешимости обратных задач для уравнений с вырожденным оператором при производной первого порядка. Некоторые из этих результатов распространены на случай производной дробного порядка в работах [24,25]. Данная статья является продолжением

© 2020 Нагуманова А. В., Федоров В. Е.

этих исследований, в отличие от работ [24, 25] здесь рассмотрен более широкий класс пар операторов (оператор при дробной производной и оператор при искомой функции) в уравнении.

Пусть Ф/, Ж, W — банаховы пространства, через Jz?(Ж; W) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из Ж в W. Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве Ж, действующих в обозначим через %J1(Ж';&). При Ж = & обозначения этих множеств примут вид () и l( ) соответственно.

Пусть операторы L,M Gcê 1(Ж';^), ker L = {0}, имеют соответственно области определения Dl и Dm, при этом пара операторов (L, M) порождает аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов уравнения DfLx(t) = Mx(t) c дробной производной Герасимова — Капуто D'à [26-28], этот случай для краткости называется секториальным. Рассмотрим вырожденное эволюционное уравнение дробного порядка

D<jaLx

Здесь B : [0,T] ^ Jf(?/;$0, y : [0,T] ^ aJ, u G ?/, T > 0. Для уравнения (1) зададим условия Коши

x

и условие переопределения

T

j x

0

Скалярная функция ^(t) предполагается имеющей ограниченную вариацию на [0,T]. Интеграл в условии (3) понимается как векторный интеграл Римана — Стильтьеса. Элементы xk, k = 0,1,... , m — 1, xt считаются известными. Задача нахождения функции x(t) из соотношений (1), (2) называется прямой задачей (или задачей Коши), а задача нахождения пары (x(t),u) из соотношений (1)-(3) — обратной задачей. Ее решением часто будем называть элемент u.

Главная цель данной работы — исследование обратной задачи (1)-(3) и некоторых близких к ней обратных задач для уравнения (1). При этом исходная задача редуцирована к системе двух задач: задача для алгебраического уравнения на подпространстве вырождения исходного уравнения и задача для уравнения, разрешенного относительно дробной производной, на дополнении к подпространству вырождения. Продемонстрировано два подхода. Первый из них предполагает исследование обратной задачи для разрешенного относительно производной уравнения и прямой задачи для алгебраического уравнения. При осуществлении второго подхода сначала исследуется обратная задача для уравнения на подпространстве вырождения, после чего исследуется прямая задача для второго уравнения.

Абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для одного класса уравнений в частных производных дробного порядка по времени с неизвестным коэффициентом, зависящим от пространственных переменных.

1. Обратная задача для невырожденного уравнения

Обозначим := ¿5-1/Г(5) при 5 > 0, £ > 0, Л0 — тождественный опера-

тор,

Jh(t) := (gs * h)(t) := У gs(t - s)h(s) dS. 0

Пусть m — 1 < a < m G N, DJ™ — обычная производная порядка m, — дробная производная Герасимова — Капуто, т. е.

(m-1 \

h(t) — ^ (0)gk+i(tM .

k=0 J

Рассмотрим разрешенное относительно дробной производной уравнение

Dtaz

Здесь Da — дробная производная Герасимова — Капуто, A G ^¿(JT), Da — банахово пространство с нормой графика оператора A, T > 0, элемент u принадлежит банахову пространству ?/, B G C([0, T]; Jz?(^; JQ), f G C([0,T]; JQ. Для уравнения (4) зададим условия Коши

z

и условие переопределения

T

J z

0

Скалярная функция ^(t) имеет ограниченную вариацию на [0,T].

Рассмотрим сначала прямую задачу (4), (5), элемент u G при этом будем считать известным. Под решением .задачи (4), (5) будем понимать вектор-функцию z G Cm-1([0, T]; JQ П C((0, T]; Da), для которой

(m-1 \

z — ^ z

k=0 J

и выполняются равенства (4) и (5).

Обозначим 1+ = R+ U {0}, N0 = NU {0}. Множество операторов {Z{t) G Jzf(iF) : t G R+} называется разрешающим семейством операторов для однородного уравнения (4), если выполняются следующие условия:

(i) отображение Z(-) сильно непрерывно на R+, Z(0) = I;

(ii) Z(t){DA] С Da, Z(t)Azo = AZ(t)zo для всех t G М+ при любом zq G Da',

(ш) для каждого ¿о € О а функция Z является решением задачи Коши ^(0) = ¿о, г(к) (0) = 0, к = 1, 2,..., т — 1, для однородного уравнения (4).

В обозначениях работы [29] оператор А €с£Ц,^) принадлежит классу операторов а(0о, ао) при 0о € (п/2,п), ао > 0, если существует разрешающее семейство операторов ^(4) € (2£) : 4 € К+} для однородного уравнения (4), допускающее аналитическое продолжение в сектор := € С : | а^< во — п/2,4 =0} и для любых в € (п/2,во), а > ао найдется такая константа С (в, а), что (£)||^> < С (в,а)еа Ее * для всех 4 € . Согласно теореме 2.14 из [29] А € й^а(во,ао) при а € (0, 2) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(1) Аа € р(А) при всех Л € 50о,ао := {м € С : | а^(м — ао)| < во,м = ао};

(И) для любых в € (п/2, во), а > ао найдется такая константа К = К (в, а) > 0, что при всех м €

где К^а (А) := (ма1 — А)-1 — резольвента оператора А в точке ма, р(А) — резольвентное множество оператора А.

Через .к^(во, ао) при а > 0 обозначим множество операторов, для которых выполняются условия (1) и (11) из предыдущего абзаца. Таким образом, •й«а(во,ао) = ,й^а(во,ао) при а € (0,2). Известно, что оператор из класса ,#а(во,ао) при а > 2 ограничен.

Обозначим / € С7 ([0, Т]; при 7 € (0,1], если существует такое С > 0, что неравенство ||/(4) — /(я)||^г < С— я|7 выполняется при всех я € [0,Т]. Точная нижняя грань множества таких констант С обозначается через ||/||ст([о,т];3>

Теорема 1. Пусть а > 0, А € (во, ао), и € и выполняется хотя бы одно из условий:

(I) В € С ([0, Т Б а)), / € С ([0,Т ]; ОА);

(II) В € С7([0,Т];^(^;^Т)), / € С7([0,Т];^0, 7 € (0, 1].

Тогда при любых € Б а, к = 0,1,..., т — 1, существует единственное решение задачи (4), (5). При этом оно имеет вид

т—1 *

*

где

к=о

1

г

Г = д£е11а1 при некоторых в1 € (п/2, во), а1 > ао.

Утверждение данной теоремы с условием (1) доказано в [30], с условием (11)—в [31].

Теперь будем рассматривать обратную задачу (4)—(6), считая элемент и в уравнении (4) неизвестным. Назовем элемент и € решением задачи (4)—(6),

если соответствующее решение задачи Коши (4), (5) удовлетворяет условию переопределения (6).

В силу формулы (7) элемент и является решением задачи (4)—(6) тогда и только тогда, когда он удовлетворяет уравнению хи = ф, где х и ф определены формулами

X := J У - в)В(в) ¿в,

V

0

т

ф := zт - J - J - в)/(в) ¿в.

0

Теорема 2 (см. [12]). Пусть а > 0, А е ,й4(00, а0), гк е Бл, к = 0,1,..., т-1, гт е Бл, в е С^([0,Т];^?(^;^Т)), / е С^([0,Т];^Т), 7 е (0,1], и функция ^ : [0, Т] ^ К имеет ограниченную вариацию. Тогда для однозначной разрешимости задачи (4)—(6) необходимо и достаточно, чтобы существовал непрерывный обратный оператор х-1 е ££(Бл; ^). При этом решение имеет вид и = х-1ф и удовлетворяет неравенству

(т-1 \

к=0 )

Аналогично, но с использованием теоремы 1(1) доказывается следующий результат.

Теорема 3 (см. [12]). Пусть а > 0, А е ,й4(00, а0), гк е Бл, к = 0,1,..., т - 1, гт е Бл, В е С([0, Т]; _£?(?/; Бл)), / е С([0,Т]; Бл) и функция М : [0, Т] ^ М имеет ограниченную вариацию. Тогда для однозначной разрешимости задачи (4)—(6) необходимо и достаточно, чтобы существовал непрерывный обратный оператор х-1 е ££(Бл; %). При этом решение имеет вид и = х-1ф и удовлетворяет неравенству

(т-1 \

^=0 )

Замечание 1. Если в качестве оператора В (4) выступает оператор умножения на скалярную функцию 6(4), как в работах [5,14,25], то — подпространство пространства .

2. Обратная задача для вырожденного уравнения

В этом разделе получены теоремы существования и единственности решения обратных коэффициентных задач для вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка.

Пусть Ж, — банаховы пространства, операторы Ь, М принадлежат ^¿(^Г;^), т. е. линейные замкнутые, с плотными областями определения Б^,

ь

Dm в Ж, действующие в W. Будем предполагать также, что ker L = {0}. Множество точек у £ C, в которых оператор «L — M : Dl П Dm ^ W инъективен и выполняются условия («L — M)-1L £ Jzf(áT), L(«L — M)-1 £ Jzf(2^), называется L-резольвентным множеством pL (M) оператора M. Обозначим RL (M) := («L — M)-1L, L¿(M) := L(«L — M)-1.

Пусть a > 0. Будем говорить, что пара операторов (L, M) принадлежит классу Жа(0о, ао), если

(i) существуют 0о £ (п/2,п) и ао > 0 такие, что для всех А £ Se0,a0 выполняется включение Аа £ pL (M);

(ii) при любых 0 £ (п/2,0о), а > ао существует такая положительная константа K = K(0, а), что для всех А £

Замечание 2. Если существует обратный оператор Ь 1 е то

(Ь, М) е тогда и только тогда, когда Ь-1М е ,йка(00,а0) и МЬ-1 е

Обозначим кег й£(М) := <Г0, кегЬ^(М) := ^0. Через Я'1 (^1) обозначим замыкание линеала 1т ) (1тЬ^(М)). Через Ьк обозначим сужение оператора Ь на := П Ж'к, а через Мк — сужение оператора М на Ом, := Бм П , к = 0,1.

Лемма 1 (см. [26,27]). Пусть а > 0, (Ь, М) е ^(00,0-0), Г = д5а1,01 при некоторых а1 > 00, 01 е (п/2, 00)- Тогда семейства операторов

:= J ^-^{^Ь - М^Ье^Чц £ : /3 € М,

г

|уа,/з(*) := - му^й/л € %{<¥) : I €М+|, /3 € М,

г

аналитически продолжимы в сектор -

Теорема 4 (см. [26,27]). Пусть банаховы пространства Ж и 'Ш рефлексивны, (Ь, М) е ^^а(00,а0)- Тогда

(I) Я" = ¿Г'0 е ¿Г1, ^ = 1;

(II) Ь0 = 0, М0 ^г^:'0^0), Ь1, М1 е ^(Я"1; ^1);

(III) существуют операторы Ь-1 е^ЦУМ0-1 е ^(^0; Я"0)-

Через Р ($) обозначим проектор на подпространство Я'1 (°3/1) вдоль подпространства (У0), Р0 := I — Р ($0 := I — $). Кроме того, будем использовать обозначения 5 := Ь-1М1 : ^ Ж1, := (ж е ОМ1 : М1ж е 1тЬ1}; Т := М1Ь-1 : От ^ ^1, От := (у е 1тЬ1 : Ь^у е Ом1}, (*) = 1,

^ (*) = СОк 1 при ¿> 0.

Лемма 2 (см. [26,27]). Пусть Ж, & —рефлексивные банаховы пространства, (Ь,М) е ¿С(00,00). Тогда

(I) 5 е^^'1), если ¿1 е ^{ЗС1^или М1 е ^^г1^

(II) Т е 1), если 1 е ^(^1^;'1) или М-1 1;3~1); (Ш) для всех 4 > 0

(4) = (4)р, «Т° с кег (4), 1тХа,в (*) С .Г1,

(4) = (*)£, С кег Уаф (4), 1т (4) С&1.

Рассмотрим вырожденное дробное дифференциальное уравнение

Я^х^) = Мх

где В е С([0,Т]; _£?(?/; $0), и е ?/, у е С([0,Т];^), снабженное условиями Коши

х

и условием переопределения

т

J х

°

Решением задачи (10)—(12) называется пара (х,и), где вектор-функция х е С((0, Т]; Дм) П Ст—1 ([0, Т];£Г) такова, что

(т— 1 \

¿х -

и для всех 4 е (0,Т] выполняется равенство (10) при соответствующем и е , а также равенства (11), (12).

2.1. Первый подход. В данном разделе исходная задача будет редуцирована (двумя способами) к совокупности обратной задачи для уравнения, разрешенного относительно дробной производной, и прямой задачи для алгебраического уравнения на подпространстве вырождения. При этом будут рассмотрены условия Коши или условия Шоуолтера — Сидорова, а при доказательстве существования единственного решения невырожденного уравнения будет использована теорема 2 или теорема 3.

В силу теоремы 4 и леммы 2 в случае существования оператора е ^(^Г1;^1) или М1 е %(З^1;^1) задача (10)—(12) эквивалентна системе двух задач на взаимно дополнительных подпространствах: на подпространстве Ж'°

0 = х°

х°

т

У х°

°

и на подпространстве 1

Д^х1^) = 5х1

с1

т

J х1^) = хТ,

где х1^) := Рх(4), хо(4) := Рох(4), 4 € [0,Т], хк := Рх^, х^ := Рох^, к £<Т : — Рхт, хт

0, 1,. .., т — 1, хТ := Рхт, хТ = Р°хт.

Обозначим

т с

Хх := ^ ¿м

:= Рхт — / Х^+^Рхк ХЦ^ — ^Р-^у^) €

о к=о о о

Теорема 5. Пусть а > 0, ^ — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства, (Р,М) € ^ЙО:(0о,ао), Р1 € (Ж1;0^1) или М1 € % (Ж1;/1). Пусть также у : [0,Т ] ^ Ф о + Р^Р^^ ], Р-1^у € С([0, Т]; РЬ-1М1), доу € Ст-1([0,Т];^), В : [0, Т] ^ ^(&;&), )шВ(4) С ^о-+Р1 [Р^^] при I € [0, Т ], Р-^В € С ([0,Т];^; Р^^)), £оВ € Ст-1([0,Т];^?(^;^)), функция ^ : [0, Т] ^ М имеет ограниченную вариацию, х-1 € (^Ь-1М1 хк € Рм, хт € Рм таковы, что Рх^ € Р^-1М1, к = 0,1,..., т — 1, Рхт € Рь-1м1 и выполняются условия согласования

Рохк = —Рк|с=оМо-1до[В

^х

т

11

Рохт = — У М-^о [В

о

Тогда задача (10)-(12) имеет единственное решение, при этом

(т-1

1

Доказательство. По теореме 3 существует единственное решение задачи (16)-(18) тогда и только тогда, когда х-1 € (РЬ-1М1; %), при этом и = х-1^х и выполняется оценка (23). Из уравнения (13) найдем хо, отсюда для разрешимости задачи (13)-(15), а значит, и задачи (10)-(12), необходимо выполнение условий (21), (22).

Если вместо условий Коши рассматривать обратную задачу с условиями Шоуолтера — Сидорова

с

т

У Lx

о

то необходимость выполнения условий согласования (21), (22) исчезает. Решением задачи (10), (24), (25) называется пара (x,u), где вектор-функция x £ C((0, T]; Dm) такова, что Lx £ Cm-1([0, T];

(m-1 \

Lx — ]T

и для всех t £ (0,T] выполняется равенство (10) при заданном u £0?/, а также равенства (24), (25).

В данном случае теорема о разрешимости обратной задачи принимает следующий вид.

Теорема 6. Пусть a > 0, — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства, (L,M) £ Жа(0о,ао), L1 £ Jzf(Ж1;0^1) или M1 £ Jzf(Ж1;/1). Пусть также

У : [0, T] L^Dl-iM, ], L-1Qy £ C([0,T]; DL-IM, ), «оУ £ C([0,T];^),

B : [0,T] ^ J?'imB(t) ^о + L1[Dl-iMi] при t £ [0,T],

L-^B £ C([0,T];Jz^; Dl-im,)), «оВ £ C([0, T]; Jz^;

у : [0, T] ^ R имеет ограниченную вариацию,

Ук £ L[Dl П Dl-1M, ], k = 0,1,...,m — 1, ут £ L[Dl П D^M, ]

Тогда задача (10), (24), (25) имеет единственное решение в том и только в том случае, когда х-1 £ (Dl-1m, При этом выполняется оценка (23).

Доказательство. Помимо отсутствия условий согласования для данной задачи отметим меньшие требования на гладкость функции x в определении решения, что отразилось в требованиях на «оУ и «оВ. Если говорить только о поиске u £ f/, то задача (10), (24), (25) сведена к задаче (16)-(18) с x¿ = L-^, k = 0,1,..., m — 1, xT = L-^t и по теореме 3 получим требуемое.

Если в последних двух задачах использовать теорему 2, то получим следующие два утверждения.

Теорема 7. Пусть a > 0, — банахово пространство, Ж, W — рефлексивные банаховы пространства, (L,M) £ Жа(0о,ао), L1 £ Jzf(Ж1;0^1) или M1 £ Jzf(Jf1; ^1). Пусть также

У : [0,T] ^¿Го+ imLb L-^ £ CY([0,T];JQ, 7 £ (0,1],

«оУ £ Cm-1([0,T];áH, В : [0, T] ^ J?'imB(t) о+шL1

при t £ [0,T],

L^B £ CY([0,T];J^;¿r)), «оВ £ Cm-1([0,T]^^^)),

функция у : [0,Т] ^ М имеет ограниченную вариацию, 1 € ^(Рь_1м1 € Ом, жт € Ом таковы, что

Ржй € РЬ-1М1, к = 0,1,..., т - 1, Ржт € РЬ-1М1

и выполняются условия согласования (21), (22). Тогда задача (10)—(12) имеет единственное решение, при этом

/т — 1 \

I Рж, II + 11 Рж„|| + II Т— 1ПУ|,

1с

\й=0

Теорема 8. Пусть а > 0, ^ — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства,

(Р,М) € ^Га(0о,ао), Т1 ^Г1^1) или М1 € ^^Г1^1).

Пусть также

у :[0,Т] Рь Р—^у € С7([0,Т];^:'), 7 € (0,1],

€ С([0,Т];2Г), В : [0, Т] ^^(ЗС;^), 1шВ(£) С йИ+шР1

при I € [0,Т],

Р—1^В € С7([0,Т];^(^;^Г)), д0В € С([0,Т];^(^;2Г)),

у : [0, Т] ^ М имеет ограниченную вариацию,

У^ € Р[Рь П Рь-1м1 ], к = 0, 1,. .., т - 1, ут € Р[Рь П Р^^].

Тогда задача (10), (24), (25) имеет единственное решение в том и только в том случае, когда х—1 € (Р^-1м1; При этом выполняется оценка (26).

В случае существования Р—1 € % (У 1;Ж1) или М—1 € % (У 1;Ж1) по теореме 4 и лемме 2 задача (10)—(12) может быть редуцирована к системе двух задач: задачи (13)—(15) на подпространстве Ж'0 и задачи

Ра*

2

У = Р1РЖТ

0

на подпространстве 1. Здесь г (4) := Р1Рж(4), 4 € [0, Т]. В этом случае будем использовать обозначения

т <

Ху := I У„

00

/т— 1

о к=о

т t

оо

С помощью теоремы 3, рассуждая, как это сделано выше, получим следующие два утверждения. Отметим при этом лишь, что при доказательстве используется очевидное равенство Р1[Дм1 ] = Дм^-, а также тот факт, что для вектора, например, жт € Дм, такого, что Ржт € Дь, справедливо включение РРжт € ДМ1Ь-1.

Теорема 9. Пусть а > 0, ^ — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства,

(£,М) € ¿С((9о,ао), 1 (^ 1^;'1) или М—1 € ^(^1^''1).

Пусть, кроме того,

у : [0, Т] ^0-ЪЬ1[Дм1 ], ду € С([0, Т]; Дм^-1), доу € Ст—1([0, Т]^), В : [0,Т] ^ &(ЗС;^), 1шВ(£) С0Уо +^[Дм1 ]

при I € [0,Т],

дВ € С([0,Т];^; Дм^-1)), доВ € Ст—1([0,Т]^^^)), X—1 (Дм1Ь-1

функция у : [0,Т] ^ М имеет ограниченную вариацию, жк € Дм, жт € Дм таковы, что Ржк € Дь, к = 0,1,..., т — 1, Ржт € Дь и выполняются условия согласования (21), (22). Тогда задача (10)—(12) имеет единственное решение, при этом

(т—1 \

]Г ||РРжк|к + УРРжт|к + 1|ду||с([о,т];В 1) . (32) к=о 1 1 /

Теорема 10. Пусть а > 0, — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства,

(Р,М) € ¿С((9о,ао), 1 (У 1^;'1) или М—1 € ^(Ж1^''1).

Пусть, кроме того,

у : [0, Т] ^о+ ¿1[Дм1 ], ду € С([0, Т]; Дм^-1), доу € С([0,Т]^),

В : [0,Т] ^ ^(ЗС;^), 1шВ(4) с о + ¿1[Дм1 ]

при I € [0,Т],

дВ € С([0,Т];^; Дм1 ь-1)), доВ € С([0, Т];^;

у : [0, Т] ^ М имеет ограниченную вариацию,

Уй € Р[Рм П Рь], к = 0,1,..., т - 1, жт € Р[Рм П Рь].

Тогда задача (10), (24), (25) имеет единственное решение в том и только в том случае, когда х—1 € (Рм1^-1; При этом выполняется оценка (32).

Доказательство. В данном случае уравнение (27) снабжено условиями

т

г(й) (0) = уй, к = 0,1,. .. , т - 1, ут.

0

С помощью теоремы 2 аналогичным образом получим еще два утверждения.

Теорема 11. Пусть а > 0, — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства,

(Р,М) € ¿С(00,а0), Р—1 €&(У1^-'1) или М—1 €&1;Ж1).

Пусть, кроме того,

у : [0, Т] ^, ду € С7([0,Т];*П 7 € (0, 1], £0У € Ст—1([0, Т]^),

В : [0,Т] ^ ^(ЗС;^), дв € С7([0,Т];^(^;2Г)),

ОзВ € Ст—1([0,Т]^^^)), Х—1 (Рм1Ь-1

функция у : [0,Т] ^ М имеет ограниченную вариацию, € Рм, жт € Рм таковы, что

Ржй € Рь, к = 0,1,..., т - 1, Ржт € Рь

и выполняются условия согласования (21), (22). Тогда задача (10)-(12) имеет единственное решение, при этом

(т—1 \

Теорема 12. Пусть а > 0, ^ — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства,

(Р,М) € ^Га(00,а0), Р—1 €&(У1^-'1) или М—1 €&1;Ж1).

Пусть, кроме того,

у € С([0,Т];0О, ду € С7([0,Т];^), 7 € (0,1],

В € С([0,Т];^(^;2Г)), ^В € С7([0, Т];2Г),

у : [0, Т] ^ М имеет ограниченную вариацию,

уй € Р[Рм П Рь], к = 0,1,..., т - 1, ут € Р[Рм П Рь].

Тогда задача (10), (24), (25) имеет единственное решение в том и только в том случае, когда х-1 € (Дм^-1 ;&). При этом выполняется оценка (33).

2.2. Второй подход. Обозначим

т т

Г := У М^^оВ^Ж^ € У У М^оу^)^) € ¿То.

о о

Можно заметить, что при существовании обратного оператора Г-1 € )

удобнее найти элемент и из вырожденного уравнения на подпространстве Жо, а затем решить прямую задачу для разрешенного относительно дробной производной уравнения на подпространстве Я'1 (или 1).

Теорема 13. Пусть а > 0, — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства,

(Р,М) € ¿Га(6>о,ао), ¿1 €&(Ж1;^1) или М1 € ^(Я"1; ^1).

Пусть

у : [0,Т] ^Ч^Д^^ ], Р-^у € С([0,Т]; Д^^), доу € Ст-1([0,Т];^), В : [0,Т] ^ &(ЗС;^), 1шВ(£) С о + ¿1[ДЬ-1М1 ] при I € [0,Т], ¿-1дв € с([0,Т]^^; ДЬ-1М1)), доВ € ст-1([0,т];^;^)),

у : [0, Т] ^ М имеет ограниченную вариацию, существует оператор

Г-1 (^о;?/), Хк € Дм, к = 0,1,... ,т - 1, жт € Дм таковы, что

Ржк € ДЬ-1М1, к = 0,1,... , т - 1, Ржт € ДЬ-1М1 и выполняются условия согласования

Рожк = Дк|<=оМо-1до[В

-ХхГ-1

Тогда задача (10)—(12) имеет единственное решение, при этом

М* < С

Доказательство. Единственное решение уравнения (13) имеет вид жо(*) = -Мо-1до[В(4)и + уф].

Отсюда в силу (15) получаем равенство и = -Г-1(РоЖт + У), а в силу (14) — необходимость условия согласования (34). По теореме 1 задача (16), (17) однозначно разрешима, а условие (18) влечет необходимость условия (35).

В данном случае естественным является условие переопределения вида

т

У = хт.

о

Теорема 14. Пусть а > 0, — банахово пространство, Ж, — рефлексивные банаховы пространства,

(Р,М) е ¿Га(0о,ао), Р-1 (^или м-1 е ^(^

у :[0,Т] ^, ду е С7([0,Т];^), 7 е (0,1],

доу е С([0,Т];^), В : [0,т] ^^

дв е С7([0,т]^^^)), доВ е С([0,т]^^^)),

функция у : [0, Т] ^ М имеет ограниченную вариацию,

у^ е Р[Рь П Рм], к = 0,1,... ,т - 1, хт е Рм0•

Тогда задача (10), (24), (37) имеет единственное решение в том и только в том случае, когда существует обратный оператор Р-1 е ). При этом для

решения выполняется неравенство (36).

Доказательство. В отличие от предыдущего доказательства используется теорема 2 вместо теоремы 3. Кроме того, использование условия переопределения (37) вместо (12) приводит к отсутствию условия согласования (35) в формулировке данного результата.

3. Приложение

Пусть

п р

ад) = 53дг, др(А) = 53^, Сг' ^ е М,

г=о ¿=о

г = 0,1,... , п, ] = 0,1,..., р, сп = 0, ¿р = 0, п < р.

Пусть О С М^ является ограниченной областью с гладкой границей дО, операторный пучок Л, В1, В2,... , Вг регулярно эллиптичен [32], где

(Аи)(3) = 53 ач(3)—-ачеС°°(П),

д91 ... д^

= 53 Ьф)—-Ъщ е С°°(дП), 1 = 1,2,... ,г,

д91 в1... д9й

Ы<п

9 = (91,92, .. . ,9^) е |д| = 91 + 92 + •• • + 9^

Определим оператор Л1 е ^1(Р2(О)) на Рл1 = Н"2^¡}(О) [32] равенством Л1и = Ли. Пусть оператор Л1 самосопряжен и имеет ограниченный справа спектр. Тогда спектр ст(Л1) оператора Л1 действительный, дискретный и сгущается только на —то. Пусть 0 е СТ(Л1), : к е М} — ортонормированная в

Р2(О) система собственных функций оператора Лх, занумерованных по невозрастанию соответствующих собственных значений {Лк : к € М} с учетом их кратности.

Пусть а € (1, 2). Рассмотрим обратную задачу

Рп

ВгЛк =0, к = 0,1,... - 1, I = 1, 2,... ,г,

Рп

где «к : О ^ М, к = 0,1, г>т : О ^ К, Ь : [0,Т] ^ К и функция ограниченной вариации у : [0,Т] ^ М заданы, функции V : О х [0,Т] ^ М, и : О ^ М неизвестны.

Замечание 3. Если г = 1, А = А (оператор Лапласа), РП(Л) = к — Л, Фт(Л) = вЛ2, а = 1, то (40) есть уравнение Дзекцера [33] эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости. При в = 1, Вх = I, О = (0, п), к = —к0 при ко € N такое уравнение является вырожденным.

Предположим, что спектр оператора Лх содержит некоторые нули многочлена РП. Положим

Ж = {ад € Н 2гп(О) : ВгЛк ад(ж) =0, к = 0,. ..,п — 1, I = 1, 2,.. .,г, ж € дО},

Дм = {V € Н 2гр

Тогда Р € (Ж;&), М € <[€1(Ж;^), а задача (38)-(41) принимает вид (10)-(12).

Теорема 15 (см. [26,27]). Пусть пространства и операторы имеют вид (42)-(44), спектр ст(Лх) не содержит общих нулей многочленов РП(Л) и фр(Л), 0 € ^(Лх). Тогда оператор Рх : Я''1 1 является гомеоморфизмом, при всех а € [1, 2) существуют такие 0о € (п/2, п), а0 > 0, что (Р, М) € а(#о, а0).

Замечание 4. В условиях теоремы 15 получаем

аь(М) = {М € С : М = др(Лк)/Рп(Лк), Рп(Лк) = 0},

Ж0 = У0 = 8рап{^к : РП(Лк) = 0}; Ж1 — замыкание 8рап{^к : РП(Лк) = 0} в норме пространства ¿[Г; а 1 — замыкание того же множества в норме пространства Р2(О).

Далее нам понадобится функция Миттаг-Лёффлера

п=о Г(ап + в)'

П

2

Теорема 16. Пусть а € (1, 2), спектр с(Л1) не содержит общих нулей многочленов РП(А) и фр(А), 0 € ^(Л1), функция у : [0,Т] ^ М имеет ограниченную вариацию, г^ € Рм при к = 0,1,... ,т — 1, гт € Рм, Ь € С1 ([0, Т];М). Тогда обратная задача (38)—(41) имеет единственное решение в том и только в том случае, когда существует такое с > 0, что при всех к € N таких, что РП(А&) = 0,

/ (4 — 5)а-1Ра

Рп

Ь(в) ¿в

4

Доказательство. Для доказательства будем использовать теоремы 12 и 15, при этом В(4)и = Ь(£)и(-). Отметим, что при а € (1, 2) имеем т = 2, тогда Ст-1([0, Т];М) = С1([0,Т];М) Э С7([0,Т];М), поэтому условия теоремы 12 на В(4) выполняются.

При уй = др(Ай )/Р„(Ай) таких, что Р„(АЙ) = 0, *„(,, ' / £ = £ ^ /

2п« 7 Г^ Уа — № ^ Аа —

^ лс—1 лс—1 4Г

ОО ОО 1 /•

к—1п—о ^

ЕЕ' =

к—1п—0 у у к—1

в силу формулы Ганкеля [34]. Здесь (•, •} — скалярное произведение в Р2(О). Далее,

О т 4

Ху = 53/ ¿у(4) /(£ — з)а-1Ра,а((£ — Я^у^Ь^) ¿е.

1 п п

Непрерывная обратимость этого оператора, действующего из Р2(О) в Рм]^-1, равносильна условию (45).

Возьмем в качестве у функцию скачка в точке 4 = Т, тогда условие переопределения примет вид

г

Следствие 1. Пусть а € (0,1), спектр ст(Л1) не содержит общих нулей многочленов РП(А) и фр(А), 0 € СТ(Л1), € Рм при к = 0,1,..., т — 1, гт € Рм, Ь € С7([0, Т];М), 7 € (0,1], |Ь(4)| > Ьо > 0 при I € [0,Т]. Тогда обратная задача (39), (40), (46) с начальным условием

Р„(Л)(г(в, 0) — го(в)) = 0, в € О,

имеет единственное решение.

Доказательство. В данном случае т

у"(Т - я)((Т - «к)Ь(я) 0

т

> Ьо У (Т - я), а ((Т - я)а«к) = ЬоТ ,а+1(Та«к) = 0, 0

так как функции Еа,а(•) и Еа,а+1(^) (в обозначениях работы [35] — функции Е1/ а(•; а) и Е1/ а(•; а + 1)) не имеют вещественных нулей при а € (0,1) по теореме 4.1.1 из [34]. При этом

с

в силу асимптотических свойств функции Еа,а+]_(•) на -то [34] и того факта, что «к ^ -то при к ^ то. По теореме 12 получим требуемое.

Для демонстрации второго подхода предположим, что искомая функция и(-) лежит в 8рап|^к : Рп(Ак) = 0}, т. е. *?/ = Ж'0. Рассмотрим условия переопределения

количество которых равно количеству собственных значений Ак (с учетом кратности) среди нулей многочлена Рп — размерности подпространства ¿[Г0.

Теорема 17. Пусть а € (1,2), спектр ст(Л1) не содержит общих нулей многочленов РП(А) и фр(А), 0 € СТ(Л1), г>к € Рп[Рм] при к = 0,1,...,т - 1, «т,г € М при Р„(Аг) = 0; Ь € С 1([0,Т]; М). Тогда обратная задача (38)-(40), (47) имеет единственное решение в том и только в том случае, когда Ь(Т) = 0.

Доказательство. Утверждение доказывается с помощью теорем 14 и 15. При этом набор значений г>т,к из (47) однозначно определяет проекцию Р°г>(^, Т) на ¿[Г0, поэтому условия (47) по сути есть условие переопределения (37) с функцией у единичного скачка в точке Т. Отметим также, что поскольку

Рп(Ак}=0

в данной задаче условие существования оператора Р-1 € (Ж';0?/) равносильно условию Ь(Т) = 0.

Замечание 5. Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда оператор-функция В(-) имеет вид Р(£)и = Ь(-,£)и(-) с таким же пространством , что и в этих задачах, или Р(£)и = Ь(-, при ^ = М. Например, для задачи

Рп

т

У

0

с начальными условиями (38) и граничными условиями (39) нетрудно получить следующее утверждение.

Теорема 18. Пусть a e (1, 2), существует единственное собственное число A1 e ^(Л1) кратности 1, для которого Pn(A1) = 0, Qp(A1) = 0; — собственная функция, соответствующая A1; 0 e СТ(Л1), e ] при k = 0,1,..., m — 1,

ст e R, be C1([0,T ]; L2(O)). Тогда обратная задача (38), (39), (48), (49) имеет единственное решение в том и только в том случае, когда

т

У<ЬМ),¥>1) dM(i) = 0.

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

2. Prilepko A. I., Orlovskii D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York; Basel: Marcel Dekker Inc., 2000.

3. Favini A., Lorenzi A. Differential equations. Inverse and direct problems. New York: Chapman and Hall/CRC, 2006.

4. Пятков С. Г., Самков М. Л. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений // Мат. тр. 2012. Т. 15, № 1. C. 155—177.

5. Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида // Мат. заметки. 1994. Т. 56, вып. 2. C. 99— 113.

6. Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа Миттаг-Леффлера // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 5. С. 637-644.

7. Пятков C. Г. О некоторых обратных задачах для операторно-дифференциальных уравнений первого порядка // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 1. C. 183-193.

8. Глушак А. В., Попова В. А. Обратная задача для абстрактного дифференциального уравнения Эйлера — Пуассона — Дарбу // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. Т. 15. C. 126-141.

9. Глушак А. В. Об одной обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 87, вып. 5. C. 684-693.

10. Orlovsky D. G. Parameter determination in a differential equation of fractional order with Riemann-Liouville fractional derivative in a Hilbert space // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. 2015. Т. 8, № 1. C. 55-63.

11. Liu Y., Rundell W., Yamamoto M. Strong maximum principle for fractional diffusion equations and an application to an inverse source problem // Fract. Calc. Appl. Anal. 2016. V. 19, N 4. P. 888-906.

12. Федоров В. Е., Нагуманова А. В. Обратная задача для эволюционного уравнения с дробной производной Герасимова — Капуто в секториальном случае // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2019. Т. 28. C. 124-138.

13. Abasheeva N. L. Some inverse problems for parabolic equations with changing time direction // J. Inverse and Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 4. P. 337-348.

14. Fedorov V. E., Urazaeva A. V. An inverse problem for linear Sobolev type equations // J. Inverse and Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 4. P. 387-395.

15. Уразаева А. В., Федоров В. Е. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 8. С. 1111-1119.

16. Уразаева А. В., Федоров В. Е. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений // Мат. заметки. 2009. Т. 85, вып. 3. С. 440—450.

17. Фалалеев М. В. Абстрактная задача прогноз-управление с вырождением в банаховых пространствах // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3, № 1. C. 126—132.

18. Федоров В. Е., Уразаева А. В. Линейная эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2010. С. 293-310.

19. Федоров В. Е., Иванова Н. Д. Нелинейная эволюционная обратная задача для некоторых уравнений соболевского типа // Сиб. электрон. мат. изв. 2011. Т. 8. Тр. Второй междунар. молодеж. шк.-конф. «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Ч. I. С. 363-378.

20. Иванова Н. Д., Федоров В. Е., Комарова К. М. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2012. № 26. Математика. Механика. Информатика. Вып. 15. С. 49-70.

21. Al Horani M., Favini A. Degenerate first-order inverse problems in Banach spaces // Nonlinear Anal. 2012. V. 75, N 1. P. 68-77.

22. Плеханова М. В., Федоров В. Е. Оптимальное управление вырожденными распределенными системами. Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2013.

23. Fedorov V. E., Ivanova N. D. Identification problem for a degenerate evolution equation with overdetermination on the solution semigroup kernel // Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. S. 2016. V. 9, N 3. P. 687-696.

24. Fedorov V. E., Ivanova N. D. Identification problem for degenerate evolution equations of fractional order // Fract. Calc. Appl. Anal. 2017. V. 20, N 3. P. 706-721.

25. Fedorov V. E., Nazhimov R. R. Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with the Riemann-Liouville derivative // Fract. Calc. Appl. Anal. 2019. V. 22, N 2. P. 271286.

26. Романова Е. А., Федоров В. Е. Разрешающие операторы линейного вырожденного эволюционного уравнения с производной Капуто. Секториальный случай // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 58-72.

27. Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш А. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и приклад. математики. 2016. Т. 16, № 2. C. 93-107.

28. Федоров В. Е., Гордиевских Д.М., Балеану Д., Таш К. Критерий приближенной управляемости одного класса вырожденных распределенных систем с производной Римана — Лиувилля // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 2. С. 41-59.

29. Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces. PhD thes. Eindhoven: Eindhoven Univ. Technology, Univ. Press Facilities, 2001.

30. Федоров В. Е., Романова Е. А. Неоднородное эволюционное уравнение дробного порядка в секториальном случае // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2018. T. 149. С. 103-112.

31. Fedorov V. E. A class of fractional order semilinear evolutions in Banach spaces // Integral equations and their applications. Proc. Univ. Network Seminar on the occasion of the 3rd Mongolia-Russia-Vietnam Workshop on NSIDE 2018 (Hung Yen, Viet Nam, Oct. 27-28, 2018). Hung Yen: Hanoi Math. Society; Hung Yen Univ. Technology and Education, 2018. P. 11-20.

32. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

33. Дзекцер Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202, № 5. С. 1031-1033.

34. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и авто-морфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967.

35. Попов А. Ю., Седлецкий А. М. Распределение корней функций Миттаг-Леффлера //

Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. Т. 40. С. 3—171.

Поступила в редакцию 3 ноября 2019 г.г. После доработки 31 января 2020 г. Принята к публикации 30 апреля 2020 г.

Нагуманова Анна Викторовна Челябинский государственный университет, кафедра математического анализа, ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск 454001 игагае¥а_аппа@та11. ги

Федоров Владимир Евгеньевич

Челябинский государственный университет,

кафедра математического анализа,

ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск 454001;

Южно-Уральский государственный университет

(национальный исследовательский университет),

лаборатория функциональных материалов,

пр. Ленина, 76, Челябинск 454080

kar@csu.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

UDC 517.9

LINEAR INVERSE PROBLEMS FOR DEGENERATE EVOLUTION EQUATIONS WITH THE GERASIMOV—CAPUTO DERIVATIVE IN THE SECTORIAL CASE A. V. Nagumanova and V. E. Fedorov

Abstract: We investigate the unique solvability of linear inverse problems for the evolution equation in a Banach space with a degenerate operator at the fractional Gerasimov—Caputo derivative and with a time-independent unknown coefficient. It is assumed that a pair of operators in the equation (at the unknown function and at its fractional derivative) generates a family of resolving operators of the corresponding degenerate linear homogeneous equation of the fractional order. The original problem is reduced to a system of two problems: the problem for an algebraic equation on the degeneration subspace of the original equation and the problem for the equation solved with respect to the fractional derivative, on the complement to the degeneration subspace. Two approaches are demonstrated. The first involves the study of the inverse problem for the equation solved with respect to the derivative and the direct problem for the algebraic equation. In the second approach, the inverse problem for the equation on the degeneration subspace is investigated firstly, then the direct problem for the second equation is researched. Abstract results are used to study initial-boundary value problems for a class of time-fractional order partial differential equations with an unknown coefficient depending on the spatial variables.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.57.76.004 Keywords: inverse coefficient problem, fractional Gerasimov—Caputo derivative, degenerate evolution equation, analytic in a sector resolving family of operators.

REFERENCES

1. Kozhanov A. I., Composite Type Equations and Inverse Problems. VSP, Utrecht (1999).

2. Prilepko A. I., Orlovskii D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker Inc., New York; Basel (2000).

3. Favini A. and Lorenzi A., Differential Equations. Inverse and Direct Problems, Chapman and Hall/CRC, New York (2006).

4. Pyatkov S. G. and Samkov M. L., "On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations," Sib. Adv. Math., 22, No. 4, 287-302 (2012).

5. Tikhonov I. V. and Eidel'man Yu. S., "Problems on correctness of ordinary and inverse problems for evolutionary equations of a special form," Math. Notes, 56, No. 2, 830-839 (1994).

6. Tikhonov I. V. and Eidel'man Yu. S., "An inverse problem for a differential equation in a Banach space and the distribution of zeros of an entire Mittag-Leffler function," Differ. Equ., 38, No. 5, 669-677 (2002).

7. Pyatkov S. G., "On some inverse problems for first order operator-differential equations," Sib. Math. J., 60, No. 1, 140-147 (2019).

© 2020 A. V. Nagumanova, V. E. Fedorov

8. Glushak A. V. and Popova V. A., "Inverse problem for Euler—Poisson—Darboux abstract differential equation," J. Math. Sci., 149, No. 4, 1453-1468 (2008).

9. Glushak A. V., "On an inverse problem for an abstract differential equation of fractional order," Math. Notes, 87, No. 5, 654-662 (2010).

10. Orlovsky D. G., "Parameter determination in a differentia equation of fractional order with Riemann-Liouville fractional derivative in a Hilbert space," J. Sib. Federal Univ., Math. Phys.,

8, No. 1, 55-63 (2015).

11. Liu Y., Rundell W., and Yamamoto M., "Strong maximum principle for fractional diffusion equations and an application to an inverse source problem," Fract. Calc. Appl. Anal., 19, No. 4, 888-906 (2016).

12. Fedorov V. E. and Nagumanova A. V., "Inverse problem for evolutionary equation with the Gerasimov-Caputo fractional derivative in the sectorial case [in Russian]," Vestn. Irkutsk. Gos. Univ., Ser. Mat., 28, 124-138 (2019).

13. Abasheeva N. L., "Some inverse problems for parabolic equations with changing time direction," J. Inverse Ill-Posed Probl., 12, No. 4, 337-348 (2004).

14. Fedorov V. E. and Urazaeva A. V., "An inverse problem for linear Sobolev type equations," J. Inverse Ill-Posed Probl., 12, No. 4, 387-395 (2004).

15. Urazaeva A. V. and Fedorov V. E., "Prediction-control problem for some systems of equations of fluid dynamics," Differ. Equ., 44, No. 8, 1147-1156 (2008).

16. Urazaeva A. V. and Fedorov V. E., "On the well-posedness of the prediction-control problem for certain systems of equations," Math. Notes, 85, No. 3, 426-436 (2009).

17. Falaleev M. V., "Degenerated abstract problem of prediction-control in Banach spaces," Vestn. Irkutsk. Gos. Univ., Ser. Mat., 3, No. 1, 126-132 (2010).

18. Fedorov V. E. and Urazaeva A. V., "Linear evolution inverse problem for Sobolev type equations [in Russian]," in: Nonclassical Equations of Mathematical Physics, pp. 293-310, Sobolev Inst. Math. SB RAS, Novosibirsk (2010).

19. Fedorov V. E. and Ivanova N. D., "Nonlinear evolution inverse problem for some Sobolev type equations [in Russian]," Sib. Electron. Math. Rep., vol. 8, Proc. 2nd Int. Youth School-Conf. Theory and Numerical Methods of Inverse and Ill-Posed Problems Solving, Part I, 363-378 (2011).

20. Ivanova N. D., Fedorov V. E., and Komarova K. M., "Nonlinear inverse problem for the Oskolkov system, which is linearized in a neighborhood of a stationary solution [in Russian]," Vestn. Chelyab. Gos. Univ., No. 26, 49-70 (2012).

21. Al Horani M. and Favini A., "Degenerate first-order inverse problems in Banach spaces," Nonlinear Anal., 75, No. 1, 68-77 (2012).

22. Plekhanova M. V. and Fedorov V. E., Optimal Control for Degenerate Distributed Systems [in Russian], South Ural State Univ. Publ., Chelyabinsk (2013).

23. Fedorov V. E. and Ivanova N. D., "Identification problem for a degenerate evolution equation with overdetermination on the solution semigroup kernel," Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. S,

9, No. 3, 687-696 (2016).

24. Fedorov V. E. and Ivanova N. D., "Identification problem for degenerate evolution equations of fractional order," Fract. Calc. Appl. Anal., 20, No. 3, 706-721 (2017).

25. Fedorov V. E. and Nazhimov R. R., "Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with the Riemann-Liouville derivative," Fract. Calc. Appl. Anal., 22, No. 2, 271286 (2019).

26. Romanova E. A. and Fedorov V. E., "Resolving operators of the linear degenerate evolution equation with the Caputo derivative. The sectorial case," Mat. Zametki SVFU, 23, No. 4, 58-72 (2016).

27. Fedorov V. E., Romanova E. A., and Debbouche A., "Analytic in a sector resolving families of operators for degenerate evolutional equations," J. Math. Sci., 228, No. 4, 380-394 (2018).

28. Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., Baleanu D., and Tas K., "Approximate controllability criterion for a class of degenerate distributed systems with the Riemann-Liouville," Mat. Zametki SVFU, 26, No. 2, 41-59 (2019).

29. Bajlekova E. G., Fractional Evolution Equations in Banach Spaces: PhD thes., Eindhoven Univ. Technology, Univ. Press Fac, Eindhoven (2001).

30. Fedorov V. E. and Romanova E. A., "Inhomogeneous evolution fractional order equation in the sectorial case [in Russian]," Itogi Nauki i Tekhniki, Ser. Sovremen. Mat. Prilozh., 149, 103-112 (2018).

31. Fedorov V. E. , "A class of fractional order semilinear evolutions in Banach spaces," in: Integral Equations and Their Applications, Proc. Univ. Network Seminar on the occasion of The Third Mongolia-Russia- Vietnam Workshop on NSIDE 2018 (Hung Yen, Viet Nam, Oct. 27-28, 2018), pp. 11-20, Hanoi Math. Soc., Hung Yen Univ. Technology and Education, Hung Yen (2018).

32. Triebel H., Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, VEB Deutscher Verl. Wissenschaften, Berlin (1978).

33. Dzektser E. S., "Generalization of the equation of motion of ground waters with a free surface," Sov. Phys., Dokl., 17, 108-110 (1972).

34. Bateman H. and Erdelyi A., Higher Transcendental Functions, vol. 3, McGraw-Hill Book Co., New York; Toronto; London (1953).

35. Popov A. Yu. and Sedletskii A. M., "Distribution of roots of Mittag-Leffler functions," J. Math. Sci., 2008) 190, No. 2, 209-409.

Submitted November 3. 2019 Revised January 31, 2020 Accepted April 30, 2020

Anna V. Nagumanova Chelyabinsk State University,

129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk, Russia 454001 urazaeva_anna@mail. ru

Vladimir E. Fedorov Chelyabinsk State University,

129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk, Russia 454001; South Ural State University (National Research University), 76 Lenin Avenue, Chelyabinsk, Russia 454080 kar@csu.ru