Прямая и обратная задачи синтеза магнитного поля в ЯМР-томографе

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ЯМР-ТОМОГРАФЕ В.С. Сизиков, М.Я. Марусина, С.В. Иванов, Т.Б. Колобухова, Д.Б. Николаев, Д.Ю. Соколов, Е.В. Хомутникова

Введение

В ЯМР-томографии исключительно важной является задача создания высокооднородного магнитного поля внутри ЯМР-томографа. Относительная неоднородность напряженности магнитного поля H в пределах рабочего объема должна быть порядка AH /H ~ 10-5 -10-6 [1-4]. Это позволит эффективно решать основную задачу ЯМР-томографии - задачу реконструкции ЯМР-изображений [1, 2, 4].

Как правило, задача создания высокооднородного магнитного поля решается путем введения соленоидальных корректирующих катушек различного порядка [5]. Однако это является довольно сложной технической задачей. В данной статье рассматривается другой подход к решению задачи формирования высокооднородного поля в ЯМР-томографе. Этот подход основан на расчете такого закона распределения тока вдоль обмотки (несоленоидальной) катушки, что он обеспечит высокую однородность магнитного поля внутри катушки. Такая задача называется задачей синтеза магнитного поля внутри катушки ЯМР-томографа [4, с. 55; 6]. Мы будем рассматривать в основном задачу синтеза на оси катушки как наиболее простую задачу. После ее решения можно рассматривать также вопрос о магнитном поле во всем рабочем объеме томографа.

Постановка задачи

Впервые задача синтеза магнитного поля была сформулирована К. Адамиаком [6] (а затем в работах [7] и [4]). Однако в работе К. Адамиака [6] был допущен ряд неточностей. Поэтому мы будем формулировать заново ряд положений его работы [6], а также выполним дальнейшее развитие его идеи.

Итак, рассмотрим следующую з а д а ч у Я М Р - т о м о г р а ф и и: определить распределение плотности тока J вдоль обмотки катушки по заданной напряженности магнитного поля H на ее оси. Это - задача синтеза магнитного поля на оси катушки ЯМР-томографа. Задача синтеза может быть прямой и обратной (см. ниже). Сочетание прямого и обратного подходов повышает эффективность решения задачи синтеза. В этом смысле данную работу следует рассматривать как продолжение работы [8], в которой акцент сделан на обратной задаче.

Будем рассматривать, главным образом, случай H = const, а также случай цилиндрической катушки с бесконечно тонкой обмоткой. Кроме того, будем рассматривать лишь основной магнит и статическое поляризующее поле (не касаясь градиентных полей).

На рис. 1 отображен случай бесконечно тонкой обмотки цилиндрической катушки, где a е [-/, l] - расстояние вдоль обмотки катушки, z е [-/, l] - расстояние от центра катушки вдоль ее оси, l- полудлина катушки, H(z)- заданная напряженность магнитного поля на оси катушки (в частности, H ( z) = H = const), J (a )- искомое распределение тока вдоль обмотки катушки, R - радиус катушки.

J

H(z) / У \R а

-1 0 1 z

Рис. 1. Цилиндр с бесконечно тонкой обмоткой

З а м е ч а н и е. В случае неоднородного распределения плотности тока J

нужно говорить, например, о катушке следующего типа (см. рис. 2).

Витки обмотки с током J

Отводы р

Источ ник напряжения и

Рис. 2. Техническая реализация в виде изолированных витков обмотки

Имеется один общий источник напряжения V. От него делается N отводов с сопротивлениями р(а) = V¡3(а), где N - число витков обмотки катушки. Каждый отвод передает ток 3(а) только на один, соответствующий ему виток обмотки, изолированный от других витков. В результате получается обмотка из N изолированных друг от друга витков, в каждой из которых течет свой ток 3 (а).

Случай бесконечно тонкой обмотки, прямая задача

Полагаем, что имеется бесконечное множество витков, намотанных на цилиндр радиуса К и полудлины I и имеющих плотность тока 3(а) (см. рис. 1). В этом случае получим следующее выражение для суммарной напряженности магнитного поля в точке с координатой г на оси цилиндра с бесконечно тонкой обмоткой [8]:

Н

4[К! + (г - а)2]3

Вычисление напряженности поля Н(г) по заданному распределению тока 3(а) согласно (1) есть прямая задача.

Анализ прямой задачи показывает, что при 3(а)= сonst поле Н (г) падает от

центра катушки к ее краям, а вне катушки Н(г) ~| г |-3 при | г\^ ю .

Обратная задача

Запишем (1) в следующем виде, используя при этом безразмерные переменные

5 = a / R, x = z / R, s0 = l / R :

JK

где

K

V[l + (x - s)2 ]

Соотношение (2) есть интегральное уравнение Фредгольма I рода, где H (x)-задаваемая правая часть (напряженность магнитного поля на оси катушки), например, H (x) = H = const, K (x, s) - ядро интегрального уравнения, a J (s) - искомая функция (распределение тока вдоль бесконечно тонкой обмотки цилиндрической катушки ЯМР-томографа).

Задача решения уравнения (2), как известно, является некорректной (сильно неустойчивой) задачей [4, 6, 7, 9, 10].

Решение уравнения (2) и его техническая реализация (см. рис. 2) позволят в принципе создать на оси катушки ЯМР-томографа поляризующее поле с заданным законом изменения его напряженности, в частности, H (x) = H = const.

Решение интегрального уравнения

Анализ уравнения (2), выполненный в работе [8], показал, что функция J (s) при s е [-s0, s0] должна быть неотрицательной симметричной, монотонно возрастающей с ростом | s| и обращающейся в бесконечность при | s s0 - 0.

Рассмотрим вопрос о численном решении уравнения (2). Учитывая некорректность уравнения (2), воспользуемся методом регуляризации Тихонова [4, 9, 10]. В работе [6] также использован метод регуляризации Тихонова. При этом, как показало решение численных примеров [6, 8], при малых значениях параметра регуляризации а регуляризованное решение Ja (s) имеет большие знакопеременные флуктуации. В то же время, параметр регуляризации а должен быть действительно очень мал (порядка 10-5 -10-10). Это обусловлено тем, что погрешность задания H(x) отсутствует (есть только погрешности численного алгоритма и машинных вычислений). Кроме того, решение Ja (s) должно иметь очень большой диапазон значений (из-за

сингулярности точного решения). При этом решение Ja(s) должно быть монотонно возрастающим от центра катушки (s = 0) к ее краям (s = ± s0) .

Чтобы регуляризованное решение Ja (s) было таковым, а именно,

неотрицательным и монотонно возрастающим от центра катушки к ее краям, нужно воспользоваться методом регуляризации Тихонова с ограничениями на решение.

В [9, с. 118] о г р а н и ч е н и я учитываются таким образом, что решение Ja (s) ищется на множестве неотрицательных монотонно невозрастающих функций. Однако такому условию удовлетворяет лишь левая половина решения Ja(s), т.е. при s е (-s0,0].

Поэтому в работе [8] уравнение (2) модифицировано к виду:

0

J R0

где новое ядро равно

R( x, s) =

V[l + (x + s)2 ]3 V[l + (x - s)2 ]3

Для такой функции J(s), s e [-s0,0], можно использовать условие, что это -неотрицательная монотонно невозрастающая функция.

Итак, решение J(s) будем искать в левом полупространстве, т.е. при s e (-s0,0],

после чего в правом полупространстве J(s) = J(-s), s e [0,s0).

Для получения численного решения Ja (s) методом регуляризации Тихонова на

множестве неотрицательных монотонно невозрастающих функций можно воспользоваться программой PTIPR на Фортране [9, с. 118, 174].

Пример: решение методом регуляризации с ограничениями

С помощью программы PTIPR был решен следующий п р и м е р (типа [4, с. 57], [6]): s0 = 1, шаг дискретизации h = As = Ax = 0.0125, число шагов дискретизации в

левом полупространстве n = s0/As = 80 (общее число витков N = 2n +1 = 161), поле

H (x) = H = const = 1, - s0 < x < s0.

Рис. 3. Регуляризированное решение с ограничениями

Задача решалась для ряда значений параметра регуляризации а. На рис. 3 отображены полученные решения 3а (при а = 10-6 (кривая 7), а = 10-7 (кривая 2) и

а = 10-8 (кривая 3).

На рис. 4 отображены соответствующие найденным решениям 3 а

Ha (x) = JR(x, s) Ja (s) ds, - ^ < x < 0,

при a = 10 6 (кривая 1) и a = 10 8 (кривая 3).

1

1

При этом интеграл в (4) расписывался, а в (6) вычислялся по

формуле трапеций с постоянным шагом А

Рис. 4. Напряженность магнитного поля

Рис. 3 показывает, что с уменьшением а отношение Jа (-50)/ J а (0) возрастает и решение Jа(5) переходит в сингулярную функцию. А рис. 4 показывает, что с уменьшением а относительная неоднородность поля

АЯ „

\\H а- H\\ \\Я\\

убывает, где Н = 1 - точное решение.

Решение путем приближения к 8-функции

Данный пример был решен также следующим способом. Искомая функция J

J (5) =

\J0, 5 = -+ 0, IJ, 5 е (-5о,0],

где J = const = 1, а J0 варьировалось. При этом интеграл в (4) расписывался по формуле трапеций, и напряженность Я (х) рассчитывалась как

Я (х) = х, 5 j) J (5 j),

j=0

где 5} = -50 + h • j, Pj =

[0.5,j = 0 или j = n, |1,0< j < n.

На рис. 5 приведены рассчитанные напряженности Н(х)/Н(0) при J0 = 110 (кривая 1), J0 = 120 (кривая 2) и J0 = 130 (кривая 3). Видим, что при некотором J0 однородность поля (кривая 2 на рис. 5 при | х|< 0.5^0) в среднем порядка 10-3 -10-4. При этом с увеличением числа витков N неоднородность поля уменьшается, как показывает сравнение данных результатов с результатами работы [8].

Г 1.02

. Н

- 0.94

- 0.93

- 0.96

1.00

-1,0

-0.S

-0,4

-0.2

0.0 ЗС

Рис. 5. Напряженности магнитного поля при различных значениях У0

Можно сделать следующие выводы.

1. Если распределение тока У(вдоль обмотки катушки ЯМР-томографа сделать однородным, за исключением крайних витков (т.е. типа (7)), то это позволит повысить однородность магнитного поля Н (х) на оси катушки. Данный вывод можно рассматривать как математическое обоснование метода корректирующих катушек Галайдина-Замятина.

2. При распределении тока типа (7) можно использовать обмотку катушки в виде соленоида (за исключением крайних витков).

3. Неоднородность поля порядка 10-3 -10-4, достигаемая изложенным в данной статье методом, может использоваться как хорошее начальное приближение в методе корректирующих катушек.

1. Лич М. Получение ЯМР-изображений с пространственной локализацией // Физика визуализации изображений в медицине. Под ред. С. Уэбба. М.: Мир, 1991. Т. 2. С. 105-231.

2. Cho Z.H., Jones J.P., Singh M. Foundation of Medical Imaging. N.Y.: Wiley. 1993.

3. Галайдин П.А., Замятин А.И., Иванов В.А. Основы магниторезонансной томографии. Уч. пособие. СПб.: Изд-во СПбГИТМО(ТУ), 1998.

4. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. СПб.: Политехника, 2001.

5. Галайдин П.А., Замятин А.И., Иванов В.А. Расчет и проектирование электромагнитных систем магниторезонансных томографов. Уч. пособие. СПб: Изд-во СПбГИТМО(ТУ), 1998.

6. Adamiak K. Method of the magnetic field synthesis on the axis of cylinder solenoid // Applied Physics. 1978. Vol. 16. P. 417-423.

7. Sizikov V.S. Integral equation in NMR-tomography: magnetic field synthesis on a coil axis // Proc. of the 5th Intern. Conf. IMSE98 / Ed. B.S. Bertram. Hougton, USA. 1998. P. 76-77.

8. Сизиков В.С., Ахмадулин Р.И., Николаев Д.Б. Синтез магнитного поля вдоль оси катушки ЯМР-томографа // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45. № 1. С. 52-57.

9. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

10. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук. думка, 1986.

Литература