К вопросу о моделировании распределения электронов по импульсам в полупроводниковой сверхрешетке

УДК 517.9

К ВОПРОСУ О МОДЕЛИРОВАНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПО ИМПУЛЬСАМ В ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СВЕРХРЕШЕТКЕ

© А.Г. Баланов, М. О. Журавлев, А.А. Короновский, А.О. Сельский,

М.В. Ханенко, А.Е. Храмов, С.А. Шурыгина

Ключевые слова: сверхрешетка; распределение электронов; температура.

Работа посвящена проблеме численного моделирования распределения электронов по импульсям в полупроводниковых сверхрешетках. Предложен метод, позволяющий в компьютерном эксперименте задавать случайные распределения электронов, подчиняющиеся требуемому закону. Показано, что результаты численного моделирования хорошо согласуются с аналитическим описанием.

ВВЕДЕНИЕ

Полупроводниковые сверхрешетки, представляющие собой сложные наноструктуры, содержащие несколько чередующихся тонких (порядка 10 нм) слоев различных полупроводниковых материалов, являются уникальным полигоном для изучения и понимания процессов физики твердого тела [1-2]. Идея создания одномерной полупроводниковой сврехрешетки была предложена Л. Эсаки и Р. Тсу в 1969 г. [3] в качестве структуры для экспериментального изучения разнообразных квантовомеханических эффектов, связанных с резонансным туннелированием и блоховскими колебаниями.

В простом случае полупроводниковая свехрешетка состоит их чередующихся слоев двух различных полупроводниковых материалов с разной шириной запрещенной зоны. В такой структуре потенциал для электрона может быть описан периодической одномерной моделью прямоугольных ям и барьеров, связь между которыми подразумевает вероятность туннелирования сквозь потенциальный барьер. Изменение высоты или ширины потенциальных барьеров ведет к изменению связей между соседними ячейками, и если связь между ямами достаточно велика, то систему уже нельзя рассматривать как набор независимых квантовых ям, и, таким образом, возникает необходимость в применении зонной модели. Последовательность таких сильно связанных квантовых ям и называют обычно сверхрешетками.

Сверхбыстрые блоховские колебания, а также ассоциирующиеся с ними нелинейные процессы [4-5], делают сверхрешетку перспективной для для генерации, усиления и детектирования высокочастотных (с частотой до нескольких ТГц) сигналов. В этой связи, например, представляется интересным изучение сложной нелинейной динамики и хаотического поведения электронов в полупроводниковых сверхрешетках под действием электрического и наклонного магнитного полей [6-7].

В задачах моделирования коллективного транспорта электронов в полупроводниковой сверхрешетке [4, 7]

возникает необходимость в генерации случайной последовательности чисел, отражающей температурное распределение импульсов электронов. Однако из-за сложности такой процедуры исследователи зачастую пренебрегают эффектами температуры или же используют упрощающие предположения.

В настоящей статье описывается метод, позволяющий с высокой точностью моделировать случайное распределение импульсов электронов при заданной температуре.

ТЕМПЕРАТУРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ

В теоретическом рассмотрении часто предполагается Больцманская статистика температурного распределения электронов в энергетических зонах сверхрешетки [4-5]:

ём> = С ехр^- ^^Рх^Ру^Рг ,

где w - вероятность того что частица имеет некоторый

импульс р из элементарного объема <Лрх11ру11рг; т -

температура в градусах Кельвина; к - постоянная Больцмана, Е - кинетическая энергия электронов. Константа С в соотношении (1) определяется из условия нормировки

Ш С ехр[- Ег~)^х ёРу аРг =!•

V ^ )

Для полупроводниковой сверхрешетки, находящейся в продольном электрическом поле напряженностью ^ (электрическое поле приложено вдоль решетки, чтобы обеспечить направленный дрейф электронов), дисперсионное соотношение между кинетической энергией электрона и импульсом имеет вид [1, 3]:

1 - С* рх“

2 , 2 Ру + Рг

2т*

где А - ширина минизоны в сверхрешетке; в - период сверхрешетки; т* - эффективная масса электрона.

В безразмерном виде соотношение (3) может быть записано как

Е(р)=[1 - С°5(Рх)] + * у

8А

где Е'( р) = Е(р) - безразмерная энергия; а = т в А

Рс

- безразмерный коэффициент; Р =---------- - безраз-

к

мерный импульс. Тогда, с учетом (1), распределение электронов примет вид

(

вж = С ехр

Л

8 АЕТ

2ЕТ

вРхвРувРг,

где, с учетом периодичности по продольной пространственной координате х, нормировочная константа С может быть найдена из соотношения

П да да (

С * ехр

кТ

г р2 + р2 1 - с°8рх

8АЕТ

2ЕТ

сР2сРусРх = 1,

где Ет =----- - безразмерная тепловая энергия, соот-

А

ветствующая температуре Т. Из условия (6) находим, что

С =

гхр

16п2 АЕТ10 (1/(2ЕТ))'

где 10 (•) - функция Бесселя.

Из соотношения (5) видно, что в полупроводниковой сверхрешетке импульсы электронов в поперечных у и г направлениях подчиняются нормальному (гауссовому) распределению, и, в этом случае, проблем с численной реализацией подобных распределений не возникает. Так, численное моделирование случайной величины £, подчиняющейся распределению Гаусса с единичной дисперсией, может быть реализовано в соответствии с методикой, описанной в [8]. Тогда распределение электронов по у-составляющей импульса, подчиняющееся соотношению

1

С

вЖу 2^2пАЕТ

ехр

Р,

8 АЕТ

численно может быть получено умножением случайной величины £ на безразмерный коэффициент

2^2 АЕТ ; иными словами, у - компонента импульса каждого отдельного электрона будет определяться

соотношением

Ру = 2£у12АЕт .

Совершенно аналогично может быть промоделирована вторая поперечная составляющая импульса, отвечающая г-компоненте. С моделированием продольной составляющей импульса (компонента х), подчиняющейся распределению

ехр(1/(2Ет)) вжх = —----------- — ехр

х 2л/0

2Е

вРх

Т )

ситуация оказывается более сложной, и необходимо использовать дополнительные преобразования, чтобы обеспечить требуемую форму распределения.

Пусть у нас есть произвольное распределение §0(£) случайной величины £ . Введем новую переменную

п = Г (£),

которая также будет случайной величиной, подчиняющейся распределению g(п) . При этом верно следующее:

П + вп = Г

Разложив функцию / в ряд Тейлора, получим:

П + вп = Г

Или, учитывая что п = Г

Введем условие, следующее из условия нормировки для этих двух случайных величин:

go(£)d£ = g (п)вп.

Применяя формулу (14), получим:

go(£)d£ = g (п) Г' (£)с£

и, с учетом (11), окончательно получим:

go(£) = g (Г (£)) х Г (£).

Фактически, мы пришли к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка

Г

g

к

определяющее вид преобразования f, позволяющего перейти от случайной величины £ , распределенной в соответствии с плотностью вероятности g0 (£) , к новой случайной величине п, подчиняющейся требуемому распределению g (п) . Для простоты можно положить, что случайная величина £ подчиняется равномерному распределению, численная реализация которого может быть осуществлена с помощью способа, описанного в [8].

В рассматриваемом случае в качестве случайной величины п выступает x -составляющая импульса Px ,

а в качестве требуемого распределения g (п) - функция распределения (10). С учетом 2п -периодичности распределения (10) можно рассматривать уравнение (18) на интервале [-п;п], считая величины Px и £ также распределенными на этом отрезке. Тогда g0(£) = 1/(2п) и соотношение (18) примет вид

f' (£) =

_ І0

ехра/^))

ехр

2E.

= 0.

т

В силу симметрии распределения (10) выполняется соотношение

f (0) = 0,

которое может быть использовано в качестве начального условия. Уравнение (19) не имеет аналитического решения, но может быть решено численно.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для проведения численного моделирования электронов по компонентам импульса мы использовали следующие параметры сверхрешетки d = 8,3 нм, Д = 19,1 мэВ. Для указанных значений параметров сверхрешетки безразмерный коэффициент принимает значение A = 0,289 . На рис. 1 показан вид функции f (£) для различных значений температуры Т при указанных значениях параметров сверхрешетки. Следует обратить внимание, что f (±п) = ±п для любого значения параметра Т.

Опять же, в силу симметрии, с учетом условия (20), функция f (£) является нечетной и может быть представлена в виде полинома

В табл. 1 приведены коэффициенты полинома (21), аппроксимирующего функцию f (£) . Стоит отметить, что коэффициент перед линейным слагаемым а1, увеличивается с ростом температуры Т (и, соответственно, с ростом величины безразмерной тепловой энергии ЕТ ), а все остальные коэффициенты аг- перед нелинейными слагаемыми уменьшаются. При этом, коэффициент а7 перед элементом седьмой степени

имеет порядок величины 10-3 ^10-4, что позволяет пренебречь членами более высоких порядков.

Рис. 1. График функции f (£) для трех различных значений температуры: кривая 1 - Т = 50К , кривая 2 - Т = 150К , кривая 3 - Т = 300К

Таблица 1

Параметры аг- полинома (21), аппроксимирующего функцию f (£) для различных температур Т

Т, К ЕТ а1 а3 а5 а7

100 0,451 0,42008 0,04124 -0,00755 0,00094

150 0,677 0,55066 0,01556 0,00210 0,00010

200 0,902 0,62431 0,01505 0,00329 -0,00009

250 1,113 0,67807 0,01744 0,00282 -0,00013

300 1,354 0,71677 0,01905 0,00217 -0,00012

350 1,579 0,74852 0,01983 0,00159 -0,00010

400 1,05 0,77299 0,01998 0,00116 -0,00009

f

Таким образом, используя найденное преобразование f (£) случайной величины £ , можно осуществить численное моделирование распределения электронов по продольной составляющей импульса, подчиняющееся соотношению (10).

Результат использования предложенного метода приведен на рис. 2, где показаны распределения электронов N(Рх) и N(Ру) по х- и у-компонентам

импульса, соответственно. Результаты численного моделирования показаны точками, аналитические зависимости изображены сплошными линиями. Для удобства визуализации результатов все распределения нормированы по высоте на единицу. Как видно из рис. 2, результаты численного моделирования распределения электронов по всем компонентам импульса находятся в очень хорошем соответствии с аналитическими законами, описывающими данный характер распределения.

В то же самое время, для малых значений температуры (Т < 100К ) возникают сложности с моделированием распределения электронов по продольной составляющей компоненте импульса Рх . Как видно из рис. 1, для малых значений температуры (Т = 50К , кривая 1) функция f (£) вблизи точек

Рис. 2. Начальные распределения электронов по X - и у -компонентам импульса для Т = 150К . (а) Распределение электронов N(Р ) , подчиняющееся закону (10). В силу 2п -

периодичности дисперсионного соотношения, распределение электронов показано на отрезке [-п; п] . (Ь) Аналогичное

распределение N(Ру) , являющееся распределением Гаусса с дисперсией ст2 = 4АЕТ

Рис. 3. Начальные распределения X - и у -компонентам импульса для Т = 5К . Распределение электронов N(Р ), подчиняющееся закону (10), моделируемое распределением Гаусса с дисперсией ст2 = 2ЕТ. Сплошная линия соответствует соотношению (10). (Ь) Аналогичное

распределение N(Ру ), являющееся распределением Гаусса с

_2

дисперсиеи а“ = 4АЕТ . Все распределения для удобства сравнения нормированы по высоте на единицу.

£±п = ±п меняется очень быстро, что не позволяет эффективно использовать данный метод перехода от равномерного распределения к распределению,

заданному соотношением (10). Однако, в этом случае, в силу малых значений безразмерного параметра ЕТ , экспонента в соотношении (10) очень быстро спадает уже на значениях Рх << Р'X , и, соответственно, в этом случае можно, используя разложение косинуса в ряд

там использовался метод, позволяющий получить распределение Гаусса [8], однако значения дисперсии были выбраны разными для распределения электронов по продольной и поперечным компонентам импульса:

ст = 2ЕТ для Рх и ст2 = 4АЕТ для Ру и Рг, соответственно. Снова можно видеть хорошее соответствие между результатами численного моделирования и аналитической формой распределения, как и в случае высоких температур.

dw(Px) = А ехр

Г Рх2/2-Рх4/(4!) +...^

2ЕТ

dPx

ограничиться только первым слагаемым. Тогда для низких температур распределение электронов по продольной компоненте импульса Рх будет также иметь

вид распределения Гаусса с дисперсией ст2 = 2ЕТ .

Результаты моделирования распределения электронов по продольной Рх и поперечной Ру компонентам вектора импульса для низких температур (Т = 5К ) приведены на рис. 3. При низких значениях температуры для моделирования распределения по всем компонен-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе предложен эффективный метод, позволяющий получить случайное распределение импульсов электронов в полупроводниковой сверхрешетке во широком диапазоне значений температуры Т. Результаты численного моделирования сопоставлены с аналитическими зависимостями, показано хорошее соответствие результатов численного моделирования теоретическим закономерностям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шик А.Я. Сверхрешетки-периодические полупроводниковые структуры // ФТП. 1974. V. 8. Р. 1841.

2. Tsu R. Superlattices to nanoelectronics. Elsevier, 2005.

3. Esaki L., Tsu R. Superlattices and negative differential conductivity in semiconductors // IBM J. Res. Develop. 1970. V. 14. P. 61.

4. Wacker, Semiconductor superlattices: A model system for nonlinear transport // Phys. Rep. 2002. V. 357. P. 1.

5. Игнатов А.А., Шашкин В.И. Блоховские осцилляции электронов и неустойчивость волн пространственного заряда в полупроводниковых сверхрешетках // ЖЭТФ. 1987. V. 93. P. 935.

6. Balanov G., Fowler D., Patane A., Eaves L., Fromhold T.M. Bifurcations and chaos in semiconductor superlattices with a tilted magnetic field // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 026209.

7. Greenaway M.T., Balanov A.G., Scholl E., Fromhold T.M. Controlling and enhancing terahertz collective electron dynamics in superlattices by chaos-assisted miniband transport // Phys. Rev B. 2009. V. 80. P. 205318.

8. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.T. Numerical recipes in Fortran: The art of scientific computing. Cambridge, 1986.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке федеральной целевой программы «Научные и

научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы».

Поступила в редакцию 19 февраля 2010 г.

Balanov A.G., Zhuravlev M.O., Koronovskii A.A., Selskiy A.O., Khanenko M.V., Hkramov A.Ye., Shourygina S.A. Revisited the modeling of electron impulse distribution in semiconductor superlattice.

The article is devoted to the problem of the numerical modeling of the electron impulse distribution in the semiconductor superlattices. The article offers the method, setting in the computer experiment the random distributions of electrons, which obey the required law. The results of the numerical modeling relating to the analytical description are given.

Key words: superlattice; electron distribution, temperature.