Оптимальное управление токами трехфазного асинхронного двигателя

УДК 621.313.32

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТОКАМИ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

В.Г. МАКАРОВ

Казанский государственный технологический университет,

В статье поставлена и решена задача оптимального изменения угловой частоты скольжения асинхронного двигателя в функции угловой частоты вращения ротора при заданных значениях электромагнитного момента. Критерием оптимизации является минимум мощности потерь в обмотках статора и ротора. Решение задачи аналитическими методами позволило получить выражение оптимальной частоты скольжения, а также соотношение между величинами векторов токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины на основе асинхронного двигателя. Решение задачи оптимизации численным методом подтвердило теоретические результаты.

Ключевые слова: трехфазный асинхронный двигатель, обобщенная электрическая машина, оптимальное управление, минимум мощности потерь в обмотках.

Введение

Эффективные системы частотно-регулируемого электропривода с асинхронными двигателями (АД) невозможно реализовать без решения тех или иных задач оптимизации. В литературе [1-6] рассматриваются возможности снижения энергопотребления в асинхронных электроприводах при работе в установившихся и переходных режимах, приводятся рациональные структуры энергосберегающих частотно-регулируемых электроприводов.

В качестве критериев оптимизации установившихся режимов АД с короткозамкнутым ротором используется мощность потерь [2-6] или ток статора [5, 6]. В последнем случае можно получить более простые алгоритмы при сравнительно небольшом превышении потерь по отношению к минимальным потерям. В тех случаях, когда возникает проблема обеспечения максимальной перегрузочной способности АД при ограничениях напряжения и тока статора, ставится задача экстремального управления электромагнитным моментом [6, 7].

Методика исследования

Сформулируем задачу оптимального управления АД, принимая традиционные для обобщенной электрической машины допущения. Одним из таких допущений является отсутствие насыщения магнитной системы. Предположим, что механические процессы протекают более медленно, чем электромагнитные, т.е. условимся, что имеет место квазистационарный режим протекания токов. Потери энергии в стали не учитываем.

Уравнения баланса напряжений обобщенной машины на основе АД для квазистационарного режима имеют вид:

© В.Г. Макаров

Проблемы энергетики, 2011, № 3-4

uid = Rlkd - «i (Llkq + Mmi2q ); ulq = Riiiq + «L (Liiid + Mmi2d ); 0 = R2l2d - «2(Llilq + Mmiiqd; 0 = R2l2q + « 2 (L2i2d + Mmiid ),

где uid, uiq - напряжения фаз обмотки статора; iid, iiq, ¿2d, '2q - токи фаз обмоток статора и ротора; Ri, R2, Li, L2 - активные сопротивления и индуктивности фаз обмоток статора и ротора; Mm - взаимная индуктивность; Ю! - частота вращения системы координат d, q, эл. рад/с; Ю2 - частота скольжения, определяемая как разность частоты вращения системы координат rni и частоты вращения ротора ю .

Электромагнитный момент определяется выражением

Mэ = РпMm

где рп - число пар полюсов.

Предположим, что напряжения фаз обмотки статора не превышают допустимых значений. Следовательно, уравнения баланса напряжений фаз обмотки статора системы (i) при оптимизации можно не учитывать. Тогда система (i) принимает вид

j° = R2l2d - «2 (L2i2q + Mm4q ^ ^

[0 = R2»2q + «2 (L2i2d + Mmhd d

Условимся также, что электромагнитный момент, определяемый выражением (2), равен требуемому значению:

Mэ = РпMm

Задача оптимизации решается при фиксированных значениях угловой частоты вращения ротора ю . Угловая частота вращения системы координат d, q рассчитывается вычислительным устройством по формуле

Юl =Ю + Ю2.

Требуется определить токи iid, iiq, l2d, *2q, создающие требуемый

электромагнитный момент M° при минимальных потерях в обмотках:

ЬР = Ri

Ю2

Следовательно, может быть сформулирована следующая задача оптимизации: при заданных ю и M° требуется найти четыре тока - iid, iiq , *2d, l2q и частоту скольжения Ю2 при четырех функциях ограничений типа равенства:

= РпМт(í1qhd - Чй^)- М° = 0 ;

°2 = Я2;2й -а2(ч2^2q + Мт;Ц)= 0 ;

°3 = + а2(2й + Мт;1й)= 0 ;

G4 = а 1 - а - а2 = 0,

когда критерием оптимизации является выражение (6).

От такой постановки задачи оптимизации перейдем к постановке и решению задачи оптимального изменения угловой частоты скольжения а 2 в функции угловой частоты вращения ротора а из условия минимума мощности потерь в обмотках при заданном значении электромагнитного момента М°. Для решения задачи оптимизации имеем два уравнения системы (3), а также уравнения (4), (5).

Основные результаты

1. Соотношение между величинами векторов токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора ОЭМ на основе АД

Условимся, что вектор тока статора направлен по оси й ОЭМ:

;1й = 11т; 1Ц = 0 .

Тогда из системы (3) и уравнения (2) следует:

0 = Я2;2й-а2 ;

0 = Я2; 2q + а 2

Мэ =-РпMmhm^2q • Из уравнений системы (7) следуют выражения:

а2МтЯ2 1 . ; = а2Ч2Мт 1

^ =--2-ГТ 11т ; ;2й =--2-ТТ 11т .

+а2 Ч. к2 +а2Ч

Тогда величина вектора тока ротора ОЭМ определяется выражением

1 = I; 2 +; 2 = а2 Мт ,

12т =уI ;2й + ;2q = I . . . 11т .

-¡Щ +а2 Ч

Выражение мощности потерь в обмотках будет иметь вид

АР = Я1 (;12й +;2 )+ Я2 + ^ )= Я Л« + Я ^т

С учетом (9) запишем выражение для мощности потерь в виде

АР = Я^т + Я а27?т .

Я2 +а2 Ч

Выражение электромагнитного момента системы (7) с учетом (8) принимает

вид

Иэ =

Рп мт 1\тЛ2©2

Я2 + ©2 ¿2

Анализ выражений (10), (11) показывает, что мощность потерь и электромагнитный момент зависят от угловой частоты скольжения ©2 •

Выбирая в качестве критерия оптимизации удельную мощность потерь, можем записать

др л1 +Л1© 2 ¿2+л2© 2мт

Мэ

©2

^ ПНИ •

©2

Приравняв производную от (12) нулю, получаем выражение оптимальной частоты скольжения

©2 =

Л1Л2

Я11?2 + Я2 Мт

Анализ выражения (13) показывает, что оптимальная частота скольжения не зависит от требуемого момента и от частоты вращения © , т.е. постоянна [4]. Очевидно, что в этом случае токи , г^, ¿2^, i2q при изменении частоты вращения будут оставаться постоянными.

Таким образом, при заданных © и М° могут быть определены частота скольжения ©2 , частота вращения магнитного поля ©1 и токи , ¿1^ , i2d, l2q. Кроме того, на основании первых двух уравнений системы (1) могут быть определены напряжения фаз обмотки статора и^, и^.

При заданном значении электромагнитного момента М° на основании (11) можем определить величину вектора тока 11т :

11т =

*22

+(©2

¿2 ¿2

Рп Мт Л2

Й12

МО

Подставив (13) в (9), получим следующее соотношение между величинами векторов токов и сопротивлениями фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины на основе АД:

' 1 т

12т

Л ¿2 — + 2—2

Л

М

-'1 к

В выражении (14) фигурируют величины векторов токов обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины, для которых можем записать выражения:

11т

=и

2 -2 Чй + 1Ц ;

2 Г2 ~Г

12т = 12й +

2. Результаты численного решения задачи оптимизации Выше показано, что критерием оптимизации является минимум удельной мощности потерь. Однако важной энергетической характеристикой является коэффициент полезного действия (КПД), который можем определить по формуле

Р2

П =

Р2 + АР

При этом мощность на валу р определяем без учета механических потерь: шМ э

Р2 =

Рп

С использованием рассмотренного математического описания произведено решение задачи оптимизации мощности потерь в обмотках обобщенной машины на базе асинхронного двигателя АИР80А6У2 в зависимости от частоты скольжения. Решение задачи оптимизации производилось методом квадратической интерполяции [8] при условии, что требуемый электромагнитный момент равен номинальному. Результаты решения задачи оптимизации показаны на рис. 1 и рис. 2.

На рис. 1, а приведены зависимости мощности потерь в обмотках АР, а также удельной мощности потерь в обмотках АР/Мэ от частоты скольжения ш2. На рис. 1, б показаны зависимости КПД от частоты скольжения, которые отмечены цифрами от 1 до 5 и получены при фиксированных значениях угловой частоты вращения ротора ю от 60 эл. рад/с до 300 эл. рад/с с шагом 60 эл. рад/с. Отметим, что зависимости на рис. 1 получены при требуемом электромагнитном моменте, равном номинальному значению.

Д Р Вт

375

250

125

АР Мъ Вт

Нм

75

50

25

— АР

ар/л

СО

2> 1

ю

10

15

а)

Рис. 1. Зависимости: а) мощности потерь в обмотках, удельной мощности потерь в обмотках и

б) КПД от частоты скольжения

-300

Рис. 2. Оптимальные зависимости частот Ю1 и Ю2 от частоты вращения Ю

На рис. 2 показаны оптимальные зависимости частоты скольжения Ю2 и частоты вращения магнитного поля ю 1 от частоты вращения ю . При этом значения требуемого электромагнитного момента задавались от 0,25 до 1,25 номинального с шагом 0,25 как при положительных, так и при отрицательных значениях требуемого электромагнитного момента. Кривые 1 и 2 на рис. 2 представляют собой оптимальные зависимости частоты Ю1 от частоты вращения ю , а кривые 3 и 4 -

оптимальные зависимости частоты скольжения и 2 от частоты вращения ю. Зависимости 1 и 3 получены при положительных значениях требуемого электромагнитного момента, а зависимости 2 и 4 - при отрицательных. Очевидно, что оптимальные частоты вращения Ш1 и Ю2 от величины требуемого электромагнитного момента не зависят.

В процессе решения задачи оптимизации проводился анализ выполнения выражения (14). Результаты решения задачи оптимизации, приведенные в таблице, подтверждают, что соотношение (14) выполняется при любых значениях электромагнитного момента.

Таблица

Результаты решения задачи оптимизации

Обозначения величин и параметров, единицы измерения Значения величин и параметров

Значения требуемого электромагнитного момента в долях от номинального 0,25 Мн 0,5 Мн 0,75 Мн Мн 1,25 Мн

1 Е2 + 2 12 „ + 2 о.е. мШ 1,683

Нш , А 1,118 1,580 1,936 2,235 2,499

72ш , А 0,664 0,939 1,150 1,328 1,485

11ш Т , о.е. 12ш 1,683 1,683 1,683 1,683 1,683

Обсуждение результатов

Из рис. 1, а видно, что мощность потерь в обмотках и удельная мощность потерь от частоты вращения ротора не зависят, поскольку при различных фиксированных значениях ю получаем одни и те же кривые. Минимум

указанных зависимостей наблюдается при оптимальной частоте скольжения ю 2,

равной 8,785 эл. рад/с. Анализ зависимостей на рис. 1, б показывает, что с увеличением частоты вращения ротора наблюдается увеличение КПД и при любых значениях ю максимум КПД наблюдается при оптимальной частоте

скольжения ю^, равной 8,785 эл. рад/с.

Из рис. 2 видно, что оптимальная частота скольжения от величины требуемого электромагнитного момента не зависит и остается постоянной при любых значениях частоты вращения ю . Однако при изменении знака требуемого электромагнитного момента знак частоты скольжения изменяется.

Данные таблицы показывают, что при задании оптимальной частоты скольжения минимум потерь в обмотках для требуемых значений электромагнитного момента может быть достигнут при выполнении соотношения (14).

Выводы

1. Для постановки и решения задачи оптимизации мощности потерь в обмотках асинхронного двигателя в зависимости от частоты скольжения

целесообразно использовать математическое описание обобщенной электрической машины в установившемся режиме.

2. Показано, что критериями оптимизации могут быть мощность потерь в обмотках и удельная мощность потерь.

3. В ходе решения задачи оптимизации аналитическими методами получено выражение оптимальной частоты скольжения, а также соотношение между величинами токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины на основе асинхронного двигателя.

4. Результаты численного решения задачи оптимизации позволили выявить, что мощность потерь и удельная мощность потерь от частоты вращения ротора не зависят. Каждая из этих зависимостей является унимодальной функцией. Кроме того, установлено, что зависимости КПД от частоты скольжения при различных частотах вращения ротора обладают свойством подобия и имеют точку явно выраженного максимума.

Summary

The problem of optimal slip speed control of a asynchronous motor is discussed as a function of the rotor speed for a given level of an electromagnetic torque. The minimal value of a power loss is considered as the optimization criterion. The generalized electric machine scheme is utilized as a basic model. The analytical optimization procedure has allowed as to obtain the expression for the slip speed as a function of current vectors and winding parameters of the stator and rotor. The numerical optimization was also fulfilled. The results of numerical optimization are in good agreement with analytical ones.

Key words: asynchronous three-phase motor, generalised electrical machine, optimum control, the minimal value of a power loss in windings.

Литература

1. Булгаков А.А. Частотное управление асинхронными электродвигателями. М.: Наука, 1966. 297 с.

2. Сандлер А.С. Частотное управление асинхронными двигателями / А.С. Сандлер, Р.С. Сарбатов. М.: Энергия, 1966. 144 с.

3. Сандлер А.С. Автоматическое частотное управление асинхронными двигателями / А.С. Сандлер, Р.С. Сарбатов. М.: Энергия, 1974. 328 с.

4. Афанасьев А.Ю. Моментный электропривод. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 1997. 250 с.

5. Браславский И.Я. Энергосберегающий асинхронный электропривод / И.Я. Браславский, З.Ш. Ишматов, В.Н. Поляков. М.: Академия, 2004. 256 с.

6. Поляков В.Н. Экстремальное управление электрическими двигателями / В.Н. Поляков, Р.Т. Шрейнер. Екатеринбург: УГТУ - УПИ, 2006. 420 с.

7. Шрейнер Р.Т. Оптимальное частотное управление асинхронными электроприводами / Р.Т. Шрейнер, Ю.А. Дмитренко. Кишинев: Штиинца, 1982. 224 с.

8. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ/В.П. Дьяконов. М.: Наука, 1987. 240 с.

Поступила в редакцию 11 мая 2010 г.

Макаров Валерий Геннадьевич - канд. техн. наук, доцент кафедры «Электропривод и электротехника» (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел.: 8 (843) 231-41-27. E-mail: electroprivod@list.ru.