Несущая способность сжатого стержня в условиях ползучести

УЧЕНЫЕ ЗАпИСКЯ Ц^Я

Том ХХІ1 1991 № 4

УДК 539.376: 624.071.3

НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ

С. П. Барба

Приводится решение задачи о иесущей способности стержия с учетом деформаций ползучести, накопленных под действием постоянной нагрузки в течение заданного промежутка времени. Показано, что особенное влияние ползучести имеет место в стержнях, гибкость которых близка к критической. Исследуются пределы применимости гипотезы о критической деформации. Для оценки влияния ползучести на несущую способность сжатых стержней предложена приближенная методика, основаиная на критерии критической деформации. Приводятся результаты экспериментов.

Снижение вследствие ползучести несущей способности сжатых тонкостенных панелей впервые было обнаружено в экспериментах, выполненных в ЦАГИ в середине 50-х годов [1]. Исследованию устойчивости цилиндрической оболочки в условиях ползучести при программном изменении осевой сжимающей нагрузки посвящены работы [2,3]. Аналогичные задачи для стержня идеального двутаврового сечения и конструктивно-ортотропной пластины решены в [4, 5]. В настоящей статье исследуется влияние ползучести на несущую способность стержня сплошного поперечного сечения (учитывается перераспределение напряжений). В [4,5] форма прогиба считается неизменной. В данной статье это допущение не испольуется.

1. Для решения задачи о выпучивании сжатого стержня с начальным

прогибом в условиях ползучести с последующим мгновенным догружением

до разрушения используем метод последовательных приближений [6]. Пусть полная деформация е состоит из мгновенной деформации е и деформации ползучести р

где о — напряжение, / — время (физическое и модифицированное).

Рассматриваемый интервал времени Ь = О, / = '/ь ... , / = /р точками разбиваем на отдельные отрезки. Применяя к (1) неявную схему трапеций, для /=/*+ 1 получаем следующее приближенное соотношение:

е = Ф

где

Ф( о) = ф(о) + о) (/*+1 — ,

Т

f(t|.) = f(tk-l) + -Yf(<’(tk)){tk+l-tk-i) при 1.

При мгновенном нагружении Ф (а) = ф (а), а | представляет собой накопленную к моменту нагружения деформацию ползучести.

Согласно [6] разрешаем (2) относительно напряжения а=Ф-| (е-!) (в расчетах для этого используется метод Ньютона). Теперь (2) можно представить в виде:

а = £е + /,

[=Ф-1

где £= ат/Ф (ат) — приведенный модуль упругости (ат — максимальное напряжение в стержне, вычисленное на предыдущем шаге).

Рассмотрим стержень с постоянным поперечным сечением Р, имеющим ось симметрии. Систему координат выбираем так, чтобы ось Ох проходила

через центры масс сечений, ось Ог была направлена вдоль оси симметрии

сечения, Оу — нормально к ним. Стержень изгибается в плоскости симметрии продольной сжимающей силой Р и поперечной нагрузкой 9.

В соответствии с гипотезой плоских сечений

Е = Ео + Х2,

где ео — деформация волокон плоскости Оху, х — кривизна оси стержня. С учетом (4), (6) равнодействующая сила и момент относительно оси Оу внутренних сил, действующих в произвольном сечении, выражаются через ео и х

р = $ = ЕР Ео + Р,

М = $ аг^Р = Е1х + М,

Р = У!йР, М = $ [г^Р,

где 1 — момент инерции сечения относительно оси Оу. Уравнение равновесия стержня с начальным прогибом имеет вид

<Рм

<7 = 0.

Здесь ш0, о — начальный и дополнительный прогибы соответственно. Подставляя (8) в (10) и используя приближенное выражение для кривизны х = — д2до/дГ , получаем разрешающее уравнение

Ё/

а"

Р

а**

Расчет в задаче о выпучивании стержня в условиях ползучести под действием постоянной нагрузки ведется шагами по времени. Пусть решение в момент времени tk уже найдено. Чтобы получить решение !:!а следующем шаге tк+1 = tк + + М, вычисляем приведенный модуль упругости Е и функцию / (3). Для описания первого приближения полагаем е^0) (^+ 1) = е (tк) + / (а (<*)) М. Подставляя е(0) в (5), находим [(о). По формулам (9) вычисляем Р(0), М(о). Функцию

д2М(0)/дх2 в (11) можно интерпретировать как фиктивную поперечную нагрузку. Уравнение (11) с преобразованной правой частью представляет собой обычное уравнение продольно-поперечного изгиба упругой бал ки. принимаем за первое приближение. Из (7), (6), (5) находим е, / и продолжаем итерационный процесс до получения результатов требуемой точности. Затем переходим к вычислениям на следующем шаге.

При решении задачи о кратковременном нагружении полагаем Д/ = О и применяем описанную выше процедуру метода последовательных приближений для последовательных значений амплитуды прогиба стержня.

Рассмотрим пропорциональное нагружение стержня Р=0Ро, 9 = 090.(х), где 0—параметр нагружения. Прогиб стержня

до(х, *) = а(/)ш(х, /), а(/) = тах |до(х, 01.

Функцию до назовем формой прогиба, а У) — амплитудой.

Проинтегрировав четыре раза по координате х обе части уравнения (11), получим следующее интегральное уравнение:

где

до = Л (0, до),

+ МШ] ^ +

А (0, до) = {(х—) [0Яо(^(^) + ДОо(Ю) + М(Б)] ^

х з Л

+ { -^-9оШ^ + С,хЗ + С2Г + СзХ + С.} .

Константы С|, С2, СЗ, С4 определяются из граничных условий. В случае шарнирного опирания стержня длиной 1

С, = -^-[ Р(ш + до0) |'+$ ( 1- .

с3 = -+{ 5 ( 1- ю[рИй + ющ)+од] ^ +

Ц ^^-яшг+с^ + ср ,

С2 = - + Р(до(0) + ДОо(О)) , с. = О.

Чтобы оценить влияние ползучести на несущую способность стержня, рассмотоим нагружение по следующей программе. В течение времени нагрузка постоянна. Затем следует мгновенная догрузк-а до разрушения. Таким образом, на первом этапе нагружения 0 = со^1. Неизвестными являются амплитуда а и форма прогиба до. Решение уравнения (11) в этом случае можно представить рекуррентной формулой

шп+1 = Л

Последовательность функций до„ сходится в среднем квадратичном [7], если

|Р| <1Р51 = уг Е-/. Причем

К+, - Юя11 < ^|к - Юп-.| .

где символом 11 • 11 обозначена норма в пространстве L2 [7].

^метим, что решение (11) нетрудно получить в квадратурах методом начальных парамеров. Формула (12) удобна. поскольку решение задачи для второго этапа нагружения (мгновенная догрузка) представляется аналогичной

рекуррентной формулой

шл+1 = Л

где а„ = [ |шп1 Расчеты показали быструю сходимость алгоритма по-

следовательных приближений (13).

2. Рассмотрим шарнирно-опертый стержень прямоугольного поперечного сечения из сплава АК41Т, находящийся в условиях ползучести при температуре 130°С. Диаграмма материала при мгновенном нагружении аппроксимируется зависимостью

где Е = 68000 МПа, т =13, 0'0 = 600 МПа. Ползучесть описывается степенным законом

.! = В о |оГ-' ,

где n = 2,8, В = 0,69- 10-’3 (МПа)-” (ч), t— физическое время. Длина стержня /=144 мм, толщина h=l0 мм, гибкость 1. = 50. Начальный прогиб задаем

в виде полуволны синусоиды wo = aosin ЛХ, ао=0,144 мм. Поперечную нагрузку полагаем равной нулю. Результаты решения задачи о кратковременном нагружении стержня представлены на рис. 1 (кривая 1). По осям отложены амплитуда прогиба а и абсолютная величина среднего напряжения ос„ = = Р/F. Кривая |аср|~а имеет максимум. Эта точка отвечает критическому состоянию. Соответствующая нагрузка окр (О) = -218 МПа определяет 'исходную несущую способность стержня. Результаты решения задачи о кратковременном нагружении стержня после предварительного выпучивания в условиях ползучести в течение времени tp = 3,5- 104 ч и tp = 5- 104 ч под действием постоянной нагрузки ар = = 0,5аКр (О) представлены на рис. 1 (кривые 2, 3). Видно, что с увеличением времени выдержки под нагрузкой в условиях ползучести несущая способность стержня снижается.

^метим, что форма дополнительного прогиба w практически не отличалась от полуволны синусоиды sin (лх//) как при выпучивании в условиях ползучести, так и при кратковременном нагружении. Небольшое отклонение в сторону увеличения кривизны в середине стержня по сравнению с синусоидой имело место только в третьем знаке.

В таблице представлены результаты расчета критического напряжения акр (О) и времени до разрушения в условиях ползучести tKp под действием постоянной нагрузки ар для различных шарнирно-опертых стержней прямоугольного поперечного сечения.

Кривые на рис. 2, 3, а описывают изменение критического напряжения О'кр (tp) при кратковременном разрушении стержня в зависимости от времени tp предварительной выдержки в условиях ползучести пор. нагрузкой ор. По осям координат отложены безразмерное напряжение а=а^ (tp)/aKp (О) и безразмерное время f=tp/tKp. Расчетные данные приведены в таблице

Рис. 1

Номер кривой Л, мм [, мм Л ао, мм %(0). МПа - а, °Г_акр(О) ^•'0-4, ч

1 10 144 50 0,144 -218 0,5 7,5

2 10 144 50 1,44 -147 0,5 9,5

3 10 144 50 7,2 -75 0,5 11.5

4 10 115 40 0,144 -269 0,5 7,5

5 10 216 75 0,144 -113 0,5 19,5

б 10 289 100 0,144 -65 0,5 51

7 10 577 200 0,144 -16 0,5 561

8 10 144 50 1,44 -147 0,25 105

9 10 144 50 1,44 -147 0,75 1,5

10 10 86 30 0,144 -272 0,5 16

(номер кривой на графике соответствует . номеру в первой колонке таблицы). Кривая б'" t позволяет проанализировать чувствительность стержня к деформациям ползучести.

Результаты, приведенные на рис. 2, а, отвечают разным значениям начального прогиба стержня. Как видно, величина начального прогиба слабо влияет на зависимость б'" Ї. Кривые на рис. 2, б построены для разных значений

нагрузки ор, под действием которой происходит накопление деформаций ползучести. Для удобства сравнения масштаб по оси ординат выбирался таким образом, чтобы нижняя точка на этой оси отвечала ор = ор/оКр (О). Цена деления равна 0,15; 0,1; 0,05 для кривых 8, 2 и 9 соответственно. Видно, что при таком построении графики о для разных ар практически совпадают.

Расчеты для различных значений длины 1 и толщины Л стержня показали, что кривые о I для стержней одинаковой гибкости Л = -^-.//Л отличаются незначительно. Результаты вычислений для разных гибкостей Л приведены на рис. 3, а. Видно, что при 1.>40 снижение несущей способности вследствие ползучести более интенсивное у стержней с меньшей гибкостью. Так, время, за которое критическое напряжение уменьшается на 10%, при 1.= 50 составляет 30% от критического времени, при 1.= 100—60%, при 1. = 200 — 90%. Для гибкостей 1.<40 отмеченная закономерность нарушается. Кривая о~1 при 1. = 30 расположена на рис. 3, а несколько выше кривой, соответствующей 1. = 50.

Формула

0=1—

дает для а заниженные значения, так как кривые а,. 1 являются выпуклыми вверх. Анализ, выполненный на основе модели стержня Шенли [8], показал, что погрешность формулы (16) определяется главным образом отношением гибкости стержня Л к ее критическому значению Лкр = Л ^Щ/О~, где стпц — предел пропорциональности. Причем наименьшая погрешность получается при Л/Лкр < 1. Панели, применяемые в конструкциях летательных аппаратов (ЛА), имеют небольшую гибкость Л<Лкр. Для таких панелей приближенная формула (16) позволяет получить оценку несущей способности с достаточной для инженерных расчетов точностью. Так, 1. = 50 есть критическая гибкость стержней из сплава АК41Т при температуре 130°С. Кривые о 1 при 1. = 50 представлены на рис. 2. Максимальная погрешность при определении критического напряжения по формуле (16) не превышает 15%.

3. Рассмотрим результаты экспериментального исследования влияния ползучести на несущую способность сжатых стержней (эксперименты выполнены совместно с Белоусом А. А. и Садовниковым А. Л.). Испытывались стержни прямоугольного поперечного сечения из сплава Д16Т (/=130 мм, 6 = 8,18 мм, 1.=55). Начальный прогиб определялся по формуле

Г=Яср-Лср—2 (Н + Я2-Л.-Л2),

где Л|, Л2, Лср—толщины стержня на концах и в средней части; Н1, Н2, НСр— расстояния от плоскости, на которой лежит стержень - выпуклостью вверх, до верхней поверхности стержня на его концах и в середине. Для всех образцов №<0,02 мм. Испытания проводились при температуре 300°С. Время выхода на заданный режим 1 ч. Температура выдерживалась с точностью + 5°С. Образцы устанавливались на опорные плиты приторцованными плоскостями.

Среднее критическое напряжение при кратковременном нагружении стержней при температуре 300°С Окр (О) = -: 170 МПа. Среднее время до разрушения под действием постоянной нагрузки ор = 0,6, /Кр = 26,8 мин. Результаты испытаний при программном нагружении нанесены на рис. 3, 6 светлыми кружками. Сплошная линия на рис. 3,6 отвечает формуле (16).

С целью выяснения механизма влияния ползучести на несущую способность стержня были проведены два испытания. В первом нз них образец находился под нагрузкой ор = 0,6 при 300°С в течение 10 мин. Измерения показали, что за это время прогиб стержня № увеличился от 0,02 до 0,53 мм. Другой стержень был выдержан 25 мин при температуре 300°С без нагрузки, а затем быстро догружен до разрушения. Соответствующая точка обозначена на рис. 3,6 темным кружком. Существенного снижения несущей способности не произошло. Следовательно, основным фактором, влияющим на несущую

способность стержня в условиях ползучести, является накопление остаточного прогиба. '

4. Чтобы воспользоваться формулой (16), необходимо определить критическое напряжение при мгновенном нагружении акр (О) и критическое время /Кр, отвечающее нагрузке ар. Величину акр (О) можно найти расчетом на устойчивость, полагая стержень идеально прямым. При значительном начальном прогибе для определения акр (О) можно воспользоваться изложенной выше методикой. Критическое время наиболее просто находится на основе гипотезы Джерарда [9], согласно которой критическая деформация стержня в условиях ползучести равна критической деформации при кратковременном нагружении. С использованием этого допущения и уравнений (1) критическое время определяется следующим образом:

,о ф(°«р(о)) - ср( а) /-,,4

'кр _-----{

В работе [1О] приведены результаты теоретического исследования пределов применимости гипотезы о критической деформации к расчету стержня с начальным искривлением. Однако это исследование является неполным. Отсутствует анализ соответствия теории и гипотезы при различных величинах начального прогиба стержня. Сделанный в [10] вывод о том, что критическая деформация в условиях ползучести больше критической деформации при кратковременном разрушении, справедлив только в случае достаточно малого начального прогиба.

Расчеты по изложенной в п. 1 методике шарнирно-опертых стержней прямоугольного поперечного сечения из сплава АК41Т при температуре 130°С показали, что степень соответствия гипотезы Джерарда действительности зависит от размеров стержня и величины его начального прогиба ао. Путем обработки данных многих вычислений получена следующая приближенная формула для оценки амплитуды начального прогиба ао, при которой формула (17) дает значение критического времени, близкое к точному,

^=^=-ПГ7Г = ^12^,

где с = 3,5 • 102—безразмерный коэффициент. Формула (17) предсказывает заниженное значение критического времени при ао<ао, завышенное—при ао>^. Так, для стержня гибкости 1. = 50 (1=144 мм, Л=10 мм, ор=О,5) по критерию критической деформации получаем значение критического времени близкое к точному, если начальный прогиб равен 1% от длины стержня (ао = = 1,4 мм). Если начальный прогиб в 10 раз меньше, то /°р на 40% меньше точного значения. Если прогиб составляет 5% от длины стержня, то приближенное значение критического времени превышает точное в три раза.

Формула (18) является довольно грубой. В частности, коэффициент с зависит от ор. Однако этой зависимостью при ор<0,5 можно пренебречь.

Для разных материалов коэффициент с может значительно отличаться. С увеличением показателя п в законе ползучести (15) с резко уменьшается.

По данным [11] амплитуда гармонической компоненты начального прогиба, которая имеет форму полуволны синусоиды, зависит от длины и толщины стержня следующим образом:

где безразмерное число и характеризует способ изготовления стержня, причем для реальных стержней 5-10 <и <100-10-5- Из (18), (19) следует а*/ао л.4. Поэтому можно ожидать, что критерий Джерарда для стержней малой гибкости будет предсказывать заниженные значения критического времени. Так, при с = 3,5- 102 и и=100- 10-5 ао и а£ совпадают при л. = 80. Соответственно для стержней гибкости л. <80 формула (17) дает нижнюю оценку

критического времени. Это позволяет рекомендовать использование критерия Джерарда в проектировочных расчетах элементов конструкций ЛА, работающих как стойка. Во многих случаях нижняя оценка может оказаться достаточной для заключения о том, что при заданном режиме нагружения сжатый стержень не разрушится за время, отвечающее сроку службы изделия. В противном случае целесообразно воспользоваться более сложными методами исследования.

5. В [1] отмечается, что у стержня, нагруженного быстро, и у стержней, деформировавшихся в условиях ползучести под действием постоянной силы, а затем догруженных до разрушения, деформация сжатия в момент разрушения приблизительно одинакова, хотя критические • напряжения существенно отличаются. Можно предположить, что для любого процесса нагружения разрушение стержня происходит в тот момент, когда полная осевая деформация (1) станет равной некоторой критической деформации ЕКр, не зависящей от вида нагружения. Используя это допущение, нетрудно оценить остаточную прочность стержня, деформировавшегося предварительно в условиях ползучести в течение заданного промежутка времени.

Пусть в течение времени /Р</кр сжимающая нагрузка ор постоянна, после чего происходит быстрая догрузка до разрушения. В соответствии с обобщенным критерием критической деформации и с учетом (1) получаем следующее выражение для разрушающего напряжения:

Окр

где ф-1 — обратная к ер функция; Екр = ф (о^ (О)); р (/>) = / (ор) /р. Весьма просто

°кр (/>) определяется графически (рис.}, по-видимому, не требует пояснений).

Ранее отмечалось, что кривые / или о^~ /Р являются выпуклыми вверх.

Если свойства материала описываются соотношениями (14), (15), то кривая Окр", />> построенная с использованием (20), также является выпуклой вверх. Пренебрегая пластической деформацией, вместо (20) получаем линейную зависимость оКр от /р

OкP

совпадающую с (16), если формула (17) дает точное значение критического времени.

Таким образом, для применения упрощенного подхода к оценке несущей способности сжатого стержня в условиях ползучести необходимо выполнение двух условий. Во-первых, гибкость стержня должна быть близкой к критической. Во-вторых, необходимо, чтобы подход Джерарда позволял с достаточной точностью определить критическое время, что главным образом зависит от величины начального прогиба. Если (17) предсказывает заниженное значение критического времени, то (21) дает нижнюю оценку о^. Это позволяет проводить расчеты с запасом прочности.

Рис. 4

—I-#,

I > J,

В качестве примера рассмотрим верхнюю панель крыла тяжэди! V сверхзвукового пассажирского самолета. Панель представляет собой прямоугольную пластину, подкрепленную ребрами жесткости (рис. 5, а). В процессе эксплуатации самолета на панель действует сжимающая нагрузка ор в направлении стрингеров. Для такой панели можно воспользоваться расчетной схемой шарнирно-опертого стержня [4]. В качестве расчетного стержня принимаем один стрингер и присоединенную к нему обшивку. Геометрические размеры б» = = 2,4 мм, вс-':" 3 мм, Ь = 48,3 мм, Л = 28 мм, 1 = 400 мм. Для обеспечення необходимых аэродинамических качеств панели крыла имеют начальное искривление. Начальный прогиб расчетного стержня задаем в виде полуволны синусоиды с амплитудой ао. Для рассматриваемой панели 00= 1,7 мм.

Материал панели — сплав АК41Т. Характеристикн материала при температуре 130°С приведены в п. 2.

На панель действует эксплуатационная нагрузка ар = —80 МПа, под действием которой в течение срока службы самолета /рес = 30 тыс. ч накапливаются деформации ползучести. В то же время допускаются кратковременные перегрузки. Поэтому важно оценить несущую способность панели в конце срока службы самолета.

Графики зависимости критического напряжения оКр от времени выдержки /р в условиях ползучести при ор= —80 МПа приведены на рис. 5, б. Кривая 1 отвечает численному решению (п. 1), кривая 2 получена с использованием критерия критической деформации. Как видно, соответствие результатов хорошее. Это не удивительно, поскольку в данной задаче выполнены условия, сформулированные выше. Гибкость панели Л=48 близка к критической Л<р=50. По формуле (18) 00=с1/Х3 = 3,§ мм, что близко к значению 00= 1,7 мм в рассматриваемой задаче.

I. Б е л о у с А. А. Влияиие ползучести на иесущую способность тонкостенных панелей при сжатии.—Ученые записки ЦАГИ, 1989, т. 20, N9 1.

2.3 а м у л а Г. Н. Об устойчивости цилиндрической оболочки при сжатии в условиях ползучести. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, N9 3.

3. К у р ш и н Л. М., Щ е р б а к о в В. Т. Устойчивость цилиндрической оболочки при программном изменении осевой сжимающей нагрузки в условиях ползучести. — ПМТФ, 1974, N9 6.

4. П о с п е л о в И. И. Влияние ползучести на несущую способность сжатых панелей. — Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19, N2 2.

5. Б а р б а С. П., П о с п е л о в И. И. О влиянии ползучести на несущую способность конструктивно-ортотропной пластины. — Ученые записки ЦАГИ, 1990, т. 21, № 4.

6. Б а р б а С. П. К вопросу о численном решении задачи о неустановив-

шейся ползучести. — Ученые записки ЦАГИ, т. 19, N2 2, 1988.

7. К о л м о г о р о в А. Н.,. Ф о м и н С. В. Элементы теории функций

и функционального Анализа. — М.: Наука, 1981.

8. Ш е н л и Ф. Р. Анализ веса и прочности самолетных конструкций. — М.: Оборонгиз, 1957.

9. Д ж е р а р д Дж., Папи р н о Р. Классические стержни и ползучесть.— В. сб.: Механика, № 1 (77), 1963.

10. Б е ло у с А. А., П о с п е л о в И. И. Об устойчивости стержня при

ползучести.— Труды ЦАГИ, 1973, вып. 1440.

II. Дон нелл Л. Г. Балки, пластины и оболочки. — М.: Наука, 1982.

Рукопись поступила 7/// 1990 г.