Обтекание продольных канавок потоком вязкого газа

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

Т о м IX 197 8

№ 4

УДК 533.6.011.55:532.582.33

ОБТЕКАНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КАНАВОК ПОТОКОМ ВЯЗКОГО ГАЗА

О. В. Денисенко

Рассмотрено обтекание потоком вязкого газа двумерного или осесимметричного тела, на поверхности которого имеются узкие по сравнению с толщиной пограничного слоя канавки. Показано, что форма профиля канавки оказывает существенное влияние на распределение тепловых потоков, которые могут достигать больших значений в окрестностях угловых точек. Для ряда профилей представлено распределение теплопередачи. В случае периодического расположения канавок получено выражение во втором приближении для средних значений коэффициентов трения и теплопередачи. Точность асимптотического решения оценивается на примере сравнения с точным решением при гиперзвуковом обтекании тонкого степенного тела на режиме сильного вязкого взаимодействия.

1. Рассмотрим обтекание двумерного или осесимметричного тела потоком вязкого газа. Предположим, что форма тела описывается аналитической функцией. Пусть — характерная длина в продольном направлении, к которой отнесены все линейные размеры. Система координат х, у, ш — криволинейная, ортогональная, связанная с телом; х — расстояние вдоль поверхности тела (измеренное от критической точки для затупленного тела или от острой передней кромки для других тел); у— расстояние по нормали к поверхности; да— поперечная координата в двумерном случае или цилиндрическая координата в осесимметричном течении. Меридиональная кривая обладает кривизной *(х), которая считается положительной для выпуклого тела. В осесимметричном течении г (х) — расстояние этой кривой от оси, а 0 (л:) — угол наклона кривой К ОСИ. Пусть 1Шаэ, "УИоо» И'Иоо—компоненты скорости по оси Ох, Оу, От соответственно; рр^, — плотность; — давление;

Ам^,— энтальпия [Я = А + (к2 + ©34-‘Ш,)/2]; — коэффициент дина-

мической ВЯЗКОСТИ (^0 — коэффициент вязкости при А =1/2), причем предполагаем, что вязкость зависит только от температуры, т. е. 11 = р.(А). Индексом яоо“ обозначены параметры набегающего потока. Если параметр /?0 = роои»£/(*0 ^ 1» то вблизи тела имеется

4—Ученые записки № 4

49

пограничный слой [для тела с острой передней кромкой при х — 0(1)]. Так как рассматриваются течения в широком диапазоне чисел М набегающего потока, то для толщины пограничного слоя 8 удобно использовать оценку 8 — (/?0ер)~1/2. гДе еР~ порядок давления в пограничном слое. Например, ер—1, если Моо^1; ер~82 для тонкого тела и гиперзвукового режима сильного вязкого взаимодействия; ер~М“2 —для тонкого тела и гиперзвукового режима слабого вязкого взаимодействия. В пограничном слое введем следующие асимптотические разложения для независимых переменных и функций:

« = «!+•••; х> = 8г>1+...; ц = ц! + . . . ; к = + . . .

Тогда, как это следует из уравнений Навье — Стокса, с относительной погрешностью 8 течение в пограничном слое описывается уравнениями [1] (индекс „1“ у искомых функций опущен):

Здесь у = 0 и 1 для плоского и осесимметричного случая, соответственно; Рг — число Прандтля. Заметим, что в осесимметричном течении при г — О (8) оба слагаемых в выражении для коэффициента Лямэ къ одного порядка, и система уравнений (1) описывает течение в пограничном слое с учетом поперечной кривизны. При г >8 с относительной погрешностью 8/г можно положить к3 — г'.

Пусть на поверхности тела имеются узкие и неглубокие (по сравнению с толщиной пограничного слоя) продольные канавки. Будем рассматривать влияние этих неровностей как на течение в пограничном слое, так и на локальные характеристики — коэффициенты трения и теплопередачи. В выбранной системе координат поверхность тела представим уравнением:

Величину Ь/8 будем считать малым параметром задачи. В работе анализируются два случая: первый — продольные неровности имеют периодическую структуру по поперечной координате, т. е. функция <Р является периодической по аргументу (1)г’ с периодом ЬТ, и второй — когда имеется одна канавка, т. е. <р - 0 при ЮГ' -* + со.

8 = (#о 8р)-1/а; У — 8_Уь Р = 8рр1 + ...; р — £рр1 + . . . ;

где

= (г + ^1 ^ сое Ьу; р = р(х)\ Н—к + и2/ 2,

р = 2ер/г; £ — (т 1)/2т. u — v = 0, к = кт при у{ = О, и -> ие, А-»йг при у у —> со.

2. Вблизи поверхности тела рассмотрим область течения с характерными размерами у — Ь, <оН — Ъ, 'которую далее будем называть внутренней. Ясно, что при (Ь/Ь) 0 решение уравнений

(1) во внешней области при граничных условиях (2) соответствует решению в первом приближении по параметру (Ь/Ь) внутренней области. Введем следующие безразмерные координаты и асимптотические разложения для функций:

У=ЬУ; (0^ = 62; и=-^-и*+...; р = р. + -у- р* + ...;

А = /*„,+ -|-А1 + • • • ;  =-у-= -|-да*+ ....

Подставив соотношения (3) в уравнение импульсов для продольной составляющей скорости и в уравнение энергии, отбросив члены более высокого порядка, получим, что распределение скорости и температуры в первом приближении во внутренней области описывается уравнениями Лапласа:

д*и* 03 и! „ <Э2Л? 0»А?

~дУ2~ ~д&~ ~~ дУ? ^ ^

Во внутренней области силы инерции и градиент давления по

порядку величины меньше, чем силы вязкости, баланс которых

выражен уравнениями (4). Для решения уравнений (4) применим теорию аналитических функций. Обозначим через # плоскость переменных У и 2. Ниже будем рассматривать случай периодического расположения канавок. Очевидно, что тогда и искомые решения будут периодичны по переменной 2, и в плоскости уравнения (4) достаточно решить в выделенной на фиг. 1, а полосе. Поставим для функций и\ и А^ следующие граничные условия:

и* = А* = 0 на дуге А^А^,

ди\ дк\

-^Г = -^-=0 на дуге А1А3 и дуге А2А3;

ди\ ЭЛ?

Иш -ту- = Си (х); Иш -ту- = С„ (х).

У-+00 01 У-* со 01

Здесь Са(х) и Сл(х) — функции, определяемые из сращивания с внешним решением. Пусть XV + И — комплексная переменная, а аналитическая функция осуществляет конформное отобра-

жение области, выделенной на фиг. 1, б, на область, выделенную

/ <  Гч ч ч ч

ч ч \

/ ч

< / ч

/

/ 0 ^ у

А'г

г

5)

на фиг. 1, а, Примем точка А\ соответствует точке Аи 1бчка Ач — точке А., и точка А'3 — точке Ая (Единственность отображения следует из [2]). Пусть U(W) — аналитическая функция, причем $е £/= = и*. Для аналитичёской функции U* (z) = и [ф (z)] после простых преобразований получим:

Re£/* = 0 на дуге A'i А[\

^ре if tt

—-Qy— = 0 на дуге А2А3 и на дуге АХАЪ; 5

lim д Я*и - = АС , если limRe-4^ = /l.

t-* со 0t t-юо аг

Так как реальная и мнимая части функции U* (z) удовлетворяют уравнению Лапласа, то функция U* с учетом условий (5) имеет вид: U* (z) = — iACuz. Тогда для функции и* и аналогично

для h\ имеем:

и\ = ACJm^iW); h\ = ACJm^1 (W). (6>

Здесь — функция, обратная к ^(z).

Найдем асимптотическое поведение решений (6) при Y оо. Обозначим /?0 = Ит [<}> (z) — Az], тогда

и* -* Са(У — В0) и h*^Ch(Y — В0) при У-+оо.

Сращивание одночленного внешнего разложения с одночленным внутренним дает

с*=(-8гЬ <7>

Таким образом, распределения продольной составляющей скорости и температуры вблизи поверхности тела полностью определяются значениями потока импульса и энергии в невозмущенном пограничном слое и функцией конформного отображения полуполосы на фиг. 1, б на область фиг. 1, а. При заданном значении х распределения локальных значений коэффициента трения CF и теплопередачи СН, отнесенные к соответствующим значениям в невозмущенном пограничном слое, согласно соотношениям (6) и (7), зависят только от вида профиля канавки. При Re0 » 1 и b <t,b распределения величин CF и СН не зависят от условий в набегающем потоке или от условий на внешней границе пограничного слоя.

3. Прежде чем рассмотреть задачу во втором приближении по параметру Ь/Ь для течения в пограничном слое, сделаем следующее замечание. Согласно работе [1], эффекты второго порядка малости, такие как влияние продольной и поперечной кривизны, толщины вытеснения пограничного слоя, скольжения и т. д., приводят к линейной задаче во втором приближении. Это позволяет подразделить ее на ряд более простых задач и исследовать каждую в отдельности. Поэтому при учете влияния продольных канавок на пограничный слой для простоты при выводе уравнений будем считать, что b > 82, хотя это условие не является обязательным. Внешнее двучленное асимптотическое разложение представим в виде:

Ь ^2

ы=«! + —и2(х, у„ 2)+ ... ; w = -—w2(x, уи 2)+ . . .;

О О

<у = 8 + уЪ2(х, ;,9)] + ...; Р = *р[?1 + ур2(*> ух 2^ + . .

ь ъ

/г = Л, + — А (х, уи 2) + . . . ; [* = р1 + —- ц.2 (л;, ух, 2) + . . .;

= гР [^1

+ •

Подставив эти разложения в уравнения Навье — Стокса, получим:

д2 Л2 д2 «2 __ <?3 ^2 Г)

<Э23 ~ <?£22 ~' Э22 ~

Следовательно, рг зависит только от продольной координаты х, а функции и2, /г2, г»2 и р2 из-за периодичности по переменной 2 зависят только от х и у1. Тогда из уравнения неразрывности •ге>2 = 0 в силу периодичности по 2 функции т2 и симметрии внешнего решения относительно начала координат. С учетом сказанного из уравнений Навье — Стокса получим, что уравнения для и2, А2 и р2 совпадают с линеаризованными относительно малых добавок уравнениями пограничного слоя (1).

Таким образом, система уравнений (1) с погрешностью до членов порядка Ь/Ь включительно описывает течение во внешней области. Сращивание двучленного внешнего с одночленным внутренним асимптотическим разложением дает граничные условия на теле для уравнений (1):

И2|у1 = 0 = СиВо1 Л2|у1=о— СНВ0.

Если обозначить и — иг + (Ь/Ь) щ, Ь = Н1-\-(Ь/Ь) И2, ц. = ^ + (&/8) р2 и Х =— Ь/ЬВ0, то в соответствии с (7) граничные условия можно записать в виде

и = I + \ .

Таким образом, воздействие продольных канавок на внешнее течение сводится к индуцированию скорости скольжения и скачка температуры, причем по форме условия (8) аналогичны граничным условиям в пограничном слое со скольжением.

Пусть И, Л И (X — решение уравнений (1) с условиями скольжения (8), а X и <3 — соответственно потоки импульса и энергии при у 1 = 0, рассчитанные с точностью до величин порядка Ь/Ь включительно.

При ух -* 0, согласно уравнениям (1), имеем

* = ^„.-о + ^~У1 + 0 ("г) + ° ^

^=(|1¥ ["А"+ 4-Ь + 0 (Я+0 (у'у

4. Чтобы найти средние значения коэффициентов трения и теплопередачи с учетом воздействия канавок, необходимо рассмотреть во втором приближении течение во внутренней области пограничного слоя. Представим асимптотические разложения для функций в виде

„ = -|-и*=4-и* + ^2и*: А = Ав + л*; А.=^_А; + ^А;;

= = \ ^ Ч-(х)>2-

Тогда, с точностью до членов порядка (Ь/Ь)2 включительно, распределение продольной составляющей скорости и температуры описывается уравнениями:

(л* Л3 ди* д ц* г7 ди* _____ Ъ др,

ду Г1 дУ ^ Лз 8 дх

д р* Л3 дк* , д ц* г-* дк* _д

~~дУ 7Г дУ о»0 Т3 дО~ ~~

Введем функцию

дР ___ р* А3 ди* _ др ________ ц* гЗ ди*

ИТ Р ду ’ На ~ л7~ да

Тогда первое из уравнений (9) сведется к уравнению Пуассона: д^ д*Р _ Ь др1

дУ2 ^ — 8 дх •

Заметим, что поток градиента функции Р через поверхность совпадает с потоком импульса через эту поверхность. Применив теорему Остроградского — Гаусса для области на фиг. 1, а, найдем, что среднее значение потока импульса на единицу поверхности Х„

т

^=^оопР=4-|'р(£2> др

где А’оо = -^у—поток импульса через верхнюю границу области при У -* оо.

дР

Сращивая функцию с ее выражением во внешнем потоке, получим

Следовательно,

х’=(^Ь+т-^-у-.- <"»

Аналогично для среднего значения потока тепла на единицу площади поверхности получим:

и2 “2~

3 —{р ду! [ Рг +

у,= О

Таким образом, при наличии периодической структуры продольных канавок средние значения коэффициентов трения и теплопередачи и во втором приближении выражаются через решение внешней задачи. Второе слагаемое в формуле (10) обусловлено произвольностью выбора начала координат (линии у = 0). Очевидно, что всегда можно выбрать систему координат, в которой Уср = 0- Тогда задача определения воздействия продольных канавок на пограничный слой полностью эквивалентна задаче о течении со скольжением.

5. Используя полученную аналогию, можно указать ряд случаев, когда решение задачи во втором приближении выражается непосредственно через решение в первом приближении. Например,

если в переменных А. А. Дородницына хх = j р(x)dx, ») = j рdyt

о

о

коэффициент Х = — (ЬВ0р1)1(2вктЬ) не зависит от хи то решение уравнений (1) с условием скольжения (8) с точностью до величин порядка X2 представляется в следующем виде [3]:

В частности, условие независимости X от хх выполняется, если др^дх 1 = 0 и д<^/дх1 — 0 (т. е. профиль канавки не меняется при изменении хх).

В качестве второго примера 'рассмотрим двумерное обтекание гиперзвуковым потоком тонкого степенного тела Су«,~*3/4) на режиме сильного вязкого взаимодействия. Предположим, что вязкость линейно зависит от температуры, а давление на внешней границе пограничного слоя определяется по модифицированной формуле Ньютона. Тогда в автомодельном случае система уравнений (1) представляется следующим образом:

£) = 0,9116 для ч= 1,4.

Пусть поверхность тела имеет вид

ут = Ьхш ср (ш/Ьх3/4).

В координатах У = у/Ьх314, 2 —<о/&л:3/4 величина В0 (определенная в п. 2) не зависит от продольной координаты х. Перейдем в граничных условиях (8) к новым переменным

Так как Х0-= const, то и индуцированная скорость и добавочная температура не зависят от координаты х, и задача остается автомодельной и во втором приближении. Как и в первом примере, функции

с точностью порядка (й/8)2 удовлетворяют уравнениям (12) и граничным условиям (13) [их, Ни N1, ЬаХ — решения уравнений (12) с условиями (2)].

Подставив соотношения (14) в выражения (10) и (11), после простых преобразований (для плоской пластины и канавок с Кср=0) получим:

Nun — єЛ —и^\ Nhn-}-shu = hnnIPr + и?;

и — + h = hl-\-'kQh\-n\ 7V=7Vj -j-X0 ЛГІ7)

Здесь 8*, рх, Х0, С)0 — соответственно толщина пограничного слоя, давление, коэффициенты трения и теплопередачи в автомодельном течении. Из расчета при Рг = 0,7 и 1 = 1,4 С3 — 0,88 при Ла, = 0,25; С8 = 1,02 при Аго==0,5. Для функции <р(2), имеющей вид треугольной канавки, В0 = 0,22. Таким образом, среднее значение силы трения меняется несущественно (до 2—3% при Ь/8* <0,1). При выбранном виде зависимости профиля канавки от продольной координаты среднее значение теплового потока вообще не меняется.

Точность асимптотического решения можно оценить на примере его сравнения с решением уравнений (12) для тонкого тела уш = Ьхг1* (2) = 1]. Разложив точное решение для коэффициента трения до членов порядка (Ь/Ь)2 включительно, найдем, что отношение разности между точным и асимптотическим решениями к величине (Ха—Х0) равно Ь/2Ь*. Таким образом, при Ь/Ь* <С0,1 погрешность асимптотической теории не превышает 5%.

6. Рассмотрим обтекание единичной канавки, расположенной вдоль по потоку. В этом случае уравнение Лапласа (4) нужно решить в области, выделенной на фиг. 2,а. Краевая задача ставится следующим образом:

и\= = 0 на дуге Л8Л,Л2Л3;

и,

саг-

-» СкУ при 2 -* + оо или У -* оо.

Пусть аналитическая функция ф(г) осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости г на область, показанную на фиг. 2. При этом прямая 2 = 0 соответствует поверхности тела

(кривой Л8Л2Лз), точка Л3 — точке £ = оо и Пт 1^е =1. Оче-

видно, что тогда функции

и\ = СаЫГ'т, к\ = Ск1тГгт

являются решением поставленной задачи. Поскольку возмущения, вносимые единичной канавкой в поток, быстро затухают при 1\У\ - оо, то В0 — 0 и решение внешней задачи во втором прибли-

жении тривиально: и2

А2 = 0. Если п = {па, пу}-

внешняя единич-

сн

Л,

\ -1 ГГ)ТТ!ТГ1К \ 1 1 ЛТТ7 -1/ гтп — 'V. 1”"‘

г *, х 1 ^ Л, л,

\ 2

2^

I

пая нормаль к поверхности тела, то локальные коэффициенты трения СР и теплопередачи СН, отнесенные к их значениям в невозмущенном пограничном слое, имеют вид

По-прежнему распределения величин С/7 и СН при заданном значении х определяются только видом профиля канавки и не зависят от условий в набегающем потоке или от условий на внешней границе пограничного слоя.

7. Известно [4, 5], что течение в окрестности точки торможе-

ния в двумерном случае описывается уравнениями Прандтля (1). Если ширина канавки значительно меньше толщины пограничного слоя в точке торможения, то при рассмотрении течения во внутренней области пограничного слоя с размерами .у — Ь, также

получим, что силы инерции и градиент давления меньше по порядку величины вязкости, т. е. течение описывается уравнениями Лапласа (4). Поэтому все сказанное в п. 2 и 6 полностью переносится и на случай течения в окрестности точки торможения.

8. На фиг. 2—5 представлено распределение коэффициента теплопередачи для ряда канавок, профили которых схематично изображены на соответствующих фигурах. (Для случаев, когда отображаемая область является многоугольником, как на фиг. 2—5, функция ф (г) представляется интегралом Кристоффеля — Шварца [2]). Характерные точки профиля помечены точками Аи Аг,... и т. д. На каждом графике построена кривая зависимости СН от расстояния вдоль поверхности тела от точек Аи А2,   . и т. д. Видно, что форма профиля канавки оказывает существенное влияние на теплопередачу, и в угловых точках теплопередача может быть значительно больше, чем в пограничном слое. Графики фиг. 3 показывают, что при увеличении глубины прямоугольной канавки значение коэффициента СН быстро уменьшается и стремится к нулю, а максимальные тепловые потоки локализуются й окрестности вершины канавки. Расчет для прямоугольной канавки с й=4

СН

-1 о

2

>-4-0,5

.2- (1-1,0 3-Ц‘2,0

1

показал, что на участках от Л2 до Л3 и от Л3 до Л4 кривая зависимости СН графически совпадает с кривой 3 на фиг. 3, а на участке АгА2 максимальный тепловой поток менее 0,004. Это означает, что при увеличении глубины канавки происходит стабилизация течения в районе вершины угла на длине по V порядка ширины канавки. Сравнение графиков на фиг. 2—5 показывает, что область существенного изменения параметров потока порядка двух-трех поперечных размеров канавки.

Зависимость максимального теплового потока от малого радиуса скругления угла можно получить с помощью теории скруг-ления углов в конформных отображениях [2]. Для прямоугольной канавки с отношением глубины к ширине больше или порядка единицы справедлива формула:

С/Ушах = 2(3*Я)-1/а,

где /? — радиус скругления угла, отнесенный к полуширине канавки. В частности, при /?=0,1 СНтлх—2,1, а при /? = 0,01 с//шах»5,2.

Периодическая структура представлена на фиг. 5. Сравнение распределения СН для треугольного профиля канавки (фиг. 2, кривая 1 и фиг. 5, кривая 1) показывает, что качественно вид распределения теплопередачи аналогичен распределению для единичной канавки, хотя для периодической структуры при заданном расстоянии от вершины угла тепловые потоки несколько больше. Для гладкого профиля вида = — 0,5с/со5(7га) уравнение (4) решалось численным способом. Для расчета использовалась консервативная разностная . схема на пятиточечном нерегулярном шаблоне, описанная в работе [6]. Решение уравнения (4) было получено методом установления, и на каждом шаге по времени соответствующая система линейных уравнений решалась методом переменных направлений. Результаты расчета представлены на фиг. 5 (кривые 2—4). Видно, что при увеличении глубины канавки тепловой поток на дне канавки быстро уменьшается. В то же время при увеличении кривизны поверхности в вершине канавки тепловой поток резко возрастает (например, при (1^ 2,0 СНтах^3). Значение постоянной В0 для с? = 0,5; 1,0 и 2,0 соответственно равно 0,087; 0,273 и 0,718.

Таким образом, при обтекании двумерного или осесимметричного тела, на поверхности которого имеются узкие по сравнению с толщиной пограничного слоя продольные канавки, вблизи канавок имеется область течения, в которой можно пренебречь силами инерции и давления по сравнению с вязкими силами. При заданном значении продольной координаты значения локальных коэффициентов трения и теплопередачи, отнесенные к соответствующим значениям в невозмущенном пограничном слое, зависят только от формы профиля канавки. В вершинах углов (в областях с малыми радиусами кривизны) тепловые потоки могут достигать больших значений. При увеличении глубины канавки течение стабилизируется в верхней области канавки на глубине порядка ширины канавки. При рассмотрении воздействия канавок, расположенных периодическим образом, на течение в пограничном слое получается задача, эквивалентная задаче о течении со скольжением. При этом средние значения сил трения и тепловых потоков меняются несущественно (около 2—3% для канавок с отношением глубины к ширине порядка 1). На примере сравнения с точным решением при гиперзвуковом обтекании тонкого степенного тела на режиме сильного вязкого взаимодействия получено, что при отношении ширины канавки к толщине пограничного слоя менее 0,1 погрешность асимптотического решения менее 5%. Найденное решение допускает обобщения и на течение в окрестности точки торможения.

В заключение автор выражает признательность В. В. Михайлову за полезные и ценные замечания при обсуждении данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. В а н-Д а й к М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел ги-перзвуковым потоком. В сб. „Исследование гиперзвуковых течений*,

М., „Мир*, 1964.

2. Лаврентьев М. А., Ш а б и т Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., „Наука”, 1965.

3. Галкин В. С., Ладыженский М. Д. О расчете пограничного слоя сжимаемой жидкости с граничными условиями скольжения. ДАН СССР, т. 154, & 6, 1964.

4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., .Наука*, 1974.

5. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

6. Самарский А. А. О консервативных разностных схемах. В сб. .Проблемы прикладной математики и механики*, М., .Наука*, 1971.

Рукопись поступила 61VII 1977