Определение интегральных характеристик сопл при течении в них идеального газа

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Т о м X 1 9 7 9 № 3

УДК 593.697.4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СОПЛ ПРИ ТЕЧЕНИИ В НИХ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

А. Н. Крайко

Обсуждаются вопросы, связанные с расчетом интегральных характеристик сопл по локальным параметрам, найденным из численного решения уравнений движения невязкого и нетеплопроводного газа. Рассматриваются „способы обработки", уменьшающие ошибки определения расхода и импульса по сравнению с погрешностями вычисления локальных параметров („сеточных распределений").

1. Требования к точности вычисления или экспериментального определения полей параметров течения в соплах обычно существенно ниже, чем к точности определения их интегральных характеристик. Так, если ошибка в два-три процента для локальных параметров вполне приемлема, то в расходе и импульсе допустимые ошибки не превышают нескольких десятых процента. Поскольку расход и импульс находятся в результате интегрирования функций локальных параметров, то может создаться впечатление, что точность расчета локальных и интегральных параметров и характеристик должна быть одного порядка. Если это так, то точность определения „сеточных функций" следует примерно на порядок повышать в тех случаях, когда нужны соответствующие интегральные характеристики сопл. Последнее, в свою очередь, повлекло бы за собой „драматический" рост времени счета, более жесткие требования к быстродействию и объему памяти ЭВМ, к точности разностных схем и т. п. На самом деле, однако, положение не столь безнадежно. Как показывает опыт, специальная „обработка" распределений, найденных со сравнительно большой погрешностью, позволяет значительно повысить точность определения интегральных характеристик. Подчас сама возможность получения указанного эффекта рассматривается как „опытный факт", подкрепленный некоторыми качественными соображениями. По-видимому, по этой причине описанию „способов обработки" обычно не уделялось того внимания, которого они с учетом достигаемого при их применении эффекта в действительности заслуживают.

Если не считать простого сравнения результатов расчета, то единственный путь выяснения возможностей любого способа обработки состоит в анализе „эволюции" величин погрешностей сеточных распределений при их использовании в процессе определения

расхода и импульса. Автору не известно публикаций, в которых такой анализ был бы выполнен в связи с течениями в соплах. В то же время недостаточная обоснованность, а подчас и ошибочность качественных аргументов может привести к неоправданному усложнению разрабатываемых процедур, их использованию там, где они не справедливы, и т. п. Рассмотрим, например, основной аргумент, выдвинутый в [1] в обоснование предложенного там способа обработки. Согласно [1] „причина неточности одномерного анализа и результатов численного решения уравнений движения на основе конечно-разностных методов носит различный характер; в первом случае интегральные законы сохранения выполняются точно, но используются схематизированные представления о распределениях параметров в сечениях, в то время как во втором случае картина течения известна относительно точно, но законы сохранения выполняются лишь приближенно". Исходя из этого, автор [1] предложил способ обработки, опирающийся на „квазиодномерное" рассмотрение течения в сопле с использованием относительных профилей параметров, полученных из расчета. Не отрицая возможности такого способа обработки", посмотрим, правилен ли высказанный тезис, и одновременно выясним ряд моментов, относящихся к самому получению сеточных распределений. К анализу различных способов обработки мы вернемся затем в следующем пункте.

Если автор [1] прав, то „проблемы" просто не должно быть, во-первых, для плоских сопл, а во-вторых, и для осесимметрич-ных сопл, при условии, что конечно-разностные схемы строятся с использованием уравнений, записанных в форме (•< = () и 1 в плоском и осесимметричном случаях соответственно):

ду" а

ду'Ь

¡Л

а = р

и

V

Г

Е = е

6 =

, ду" с

,, \

с =

'ГС Ш'О

Р -г

и2! 2.

\

Л = е -г = V

рг-Г оуН

/

/°л

р

\°о/

р Р, иг = V/3 + ио\

риГ р иН Н = Л + и2/2,

Здесь / — время; х и у — оси декартовой или цилиндрической систем координат (ось л: направлена по оси симметрии сопла); р и Р — давление и плотность; в и /г — удельные внутренняя энергия и энтальпия; V, и, V а тю — „меридиональные" и .окружная" компоненты вектора скорости £/.

Если система (1) применяется как стационарная (например, при расчете сверхзвуковых течений), то интегральные законы сохранения массы, импульса (в проекции на ось .г) и энергии, которые

* Как показали последующие расчеты [2]. численная реализация способа обработки, предложенного в [1], не была в [1] безупречной. Поэтому коэффициенты расхода и импульса рассчитаны с его помощью в [I] с погрешностью порядка 0,5%, что в несколько раз больше .допустимой' величины в 0,1%, заявленной в начале этой статьи.

выполняются в одномерном приближении, для сеточных функций удовлетворяются точно (вернее, с погрешностями округления на ЭВМ). При использовании (1) в процессе установления по времени удовлетворение указанных законов с точностью до десятых и даже сотых долей процента не составляет труда и, как правило, имеет место (обычно „устанавливают" три или четыре значащие цифры). Последнее, однако, не обеспечивает правильного счета самих интересующих нас величин. Действительно, постоянство расхода, протекающего через все сечения сопла, имеет место при любом его значении и никак не влияет на вычисление соответствующей константы. Сказанное согласуется с имеющимся опытом применения разностных схем, построенных на основе (1).

„Первичной" по отношению к дифференциальным уравнениям (1) и к соотношениям, выполняющимся на сильных разрывах, является следующая система интегральных законов сохранения:

1\yadxdy + § у

4 7 о

где с — произвольная фиксированная (не зависящая от ¿) площадка в плоскости ху с границей Разностные схемы, построенные на основе (1) или (2), хотя и определяют сеточные функции, удовлетворяющие четырем интегральным законам сохранения, обладают рядом недостатков (см. также [3]). Главный из них состоит в снижении точности расчета параметров осесимметричного течения = у оси симметрии. Покажем это. Пусть & — порядок конечно-разностной аппроксимации решаемой задачи. Тогда погрешности

в определении у а — в нестационарном случае и у* Ь — в стационарном будут иметь порядок Ак, где Д — размер разностей сетки („ячейки"). Следовательно, для точек, расположенных вблизи оси х, где у—А погрешность счета параметров возрастает при ^=1доД*-1. При этом, как недавно показал Л. В. Шуршалов, наибольшие погрешности получаются при определении V, а уже через V и других величин. Поэтому при расчете осесимметричных течений в областях, включающих ось симметрии, вместо (2) лучше использовать систему

~ Л а йхйу + ф

т '

эквивалентную (2) в смысле получающихся из нее дифференциальных уравнений и соотношений на разрывах. В (3) вектор - столбец

(1° — (с — с1)/ро и отличается от а лишь заменой Е на Н. Отметим, что (3) есть частный случай более общей системы „интегральных законов сохранения"

||у ?а йх йу + фу <р(Ьйу — с йх) = у й* йх йу,

а* = й + я + <?х ь +

которая эквивалентна (2) при весьма произвольной функции <р = = А"> У)- Свобода в выборе <р может использоваться при построении разностных схем на основе (4), как было сделано при переходе от (2) к (3) с ч=у~".

з

2. Попытаемся выбрать некоторое „опорное" сечение сопла, „благоприятное" (в смысле, понятном из дальнейшего) для вычисления расхода и импульса потока. В общем случае опорное и выходное сечения не совпадают, и определение интегральных характеристик в опорном сечении есть лишь один из этапов обработки. Его необходимость связана с двумя обстоятельствами: во-первых, все равно, по какому сечению определять расход, и, во-вторых, во всех известных способах обработки без знания расхода (или расхода и импульса) в опорном сечении нельзя с требуемой точностью найти импульс потока на выходе из сопла.

Пусть на входе в сопло течение не закручено, изоэнергетично и изэнтропично. Тогда в силу (2) два первых свойства сохраняются во всем потоке, а третье (изэнтропичность) всюду выше по течению от ударных волн, которые, вообще говоря, могут возникать в сверхзвуковой части сопла. С другой стороны, сеточные распределения, т. е. параметры, найденные из решения конечно-разностных уравнений, удовлетворяют лишь условию отсутствия закрутки. Сеточные значения И и удельной энтропии 5 отличаются от констант даже при отсутствии скачков, характеризуя точность счета, а равенство Г = 0 выполняется в силу симметрии, учитываемой при построении разностуой схемы (обычно уравнение для Г просто не используется). Итак, результаты счета незакрученного потока характеризуются распределениями четырех переменных: например, р, р, и и V или р, í — v|и, И и 5. Взяв в качестве „основного" второй набор, найдем погрешности вычисления расхода (7 и потока импульса J в опорном сечении сопла. Имеем

р... к..

О =\ §

о о

g=pu = p У/УТ+У, У = ^ + + ? У2/0 + С2),

где Р=у1+", — значение Т7 на стенке. В (5) р и V—известные функции р, И и

Примем далее уравнения состояния в форме: И. = Ь(р, р) и 5 = р). Используя определение И и равенства

^йН- (1/р) ар, а2 ^ (др/др)3 = рАр/(1 - РА,),

в которых Т — абсолютная температура, а — скорость звука, И.р и Но — соответствующие частные производные, можно показать, что

йр = а-^р +

Пусть ср — точное значение параметра, <р + 8? — значение сеточной функции в той же точке и, следовательно, о — погрешность вычисления ф. Тогда из (5) и (6), пренебрегая малыми более высокого порядка, найдем

р...

« I (ёР*Р + + ён 1Н +

О

и ж | ир Ьр + /е 8С + )н ЬН + Л 85) аг,

Sp =

M«— 1

vyi + :2

( V-2 — p/fp) T

vh? VTTv '

2p

s-

1

'2 >

-К2

+1?

m2 — i + i + :2

(V* - 2Pfep) 7 (1 +

_ 2рЦз С

1 + С2 ' i

M =

у

Здесь индексы p, i, H и s приписаны соответствующим частным производным. Видно, что gp, g,, jp и j. обращаются в нули при М = 1 и ;== 0, в то время как прочие производные законопосто-янны во всем реальном диапазоне значений параметров. Учитывая это, естественно взять в качестве опорного минимальное сечение сопла, где число М близко к единице, а С — к нулю. Кроме того, поток здесь всегда можно считать изэнтропическим либо из-за отсутствия скачков выше по течению, либо из-за их пренебрежимо малой интенсивности. Поэтому Ни s вне зависимости от погрешностей счета в минимальном сечении известны точно. Используя это при вычислении G и У, будем иметь 8// = 8s = 0 и в согласии с

F F „

SO «

о о

Малость gp, gjp и jr в рассматриваемом сечении ведет с учетом выражений для g, j и их производных к тому, что [ 8G/G | и | 8У/У | будут много меньше, чем шах ( | Ьр/р | , | 8С/С | ).

Итак, вычисление G и У в минимальном сечении по сеточным значениям р и С и заданным полной энтальпии и энтропии (или полному давлению) есть один из путей достижения намеченной цели. Для его действительности требуется выполнение двух условий: в опорном сечении нужно, чтобы число М было близко к единице, а С мало. Поэтому данный способ пригоден не только для сверхкритических течений в гладких соплах Лаваля. Его эффективность лишь несколько снижается для докритических, но близких к критическому перепадов давления, при наличии в минимальном сечении небольших изломов, а также для сужающихся сопл •с умеренными углами сужения.

Прозрачность основной идеи и простота реализации описанного способа не нуждаются в комментариях. Его эффективность подтверждают многочисленные примеры расчетов (см., в частности, [4]). Один из таких примеров цитируется в [1] под названием „пересчет по давлению". В [1] успех пересчета (ошибки порядка 0,1% по расходу и импульсу) объясняется особенностями примененной численной схемы. В действительности, как показано выше, достигнутый эффект имел бы место для любой конечно-разностной схемы. Так как в силу (6) и определения С частные производные от g и j по V и р при С = const или по к и « есть линейные комбинации производных из (7), то соотношения типа (9) сохраняются при замене р и С на любую из пар: V, С; р, С и u, v.

Без дополнительной информации о счете различных параметров, которая есть еще один резерв повышения точности счета G и J, нельзя отдать предпочтение какой-либо из перечисленных пар переменных. Преимущество р и С связано именно с тем, что они для любой схемы обычно считаются точнее. Последнее легко понять, поскольку ошибки в H и s, а вместе с ними во, V, и и v, сделанные, например, при расчете обтекания изломов, распространяются, лишь слегка изменяясь, по линиям тока. Ошибки в р и С не обладают подобной „сохраняемостью". Ряд дополнительных соображений связан с рассмотрением отдельных слагаемых в (8). В минимальном сечении обычно CCI, а поток дозвуковой у оси и сверхзвуковой у стенки сопла. Поэтому основной вклад в В G и 8У вносят первые слагаемые со знакопеременными коэффициентами при Ьр/р. При описанном выше способе обработки это может обеспечить дополнительное уменьшение ошибки.

Равенства (7) позволяют также дать правильное объяснение причины „работоспособности" предложенного в [1] способа определения G и У в минимальном сечении сопда. Перепишем, например, выражение для ВО из (7) в форме

F F

w w

8G ж g*H j 8H dF + g* j 8s dF -

0 ô

+ f

Ô

Ag? = g, — g"*.

гДе g* — величина go при M=l, Ç = 0 и точных значениях И и s. Следовательно, все множители при Ьр\р, ... в последнем интеграле в минимальном сечении малы, а основной вклад в 8G вносят два первых интеграла. Поэтому, обрабатывая сеточные распределения, достаточно обеспечить обращение в нуль 8H и os интегрально, т. е. выполнение равенства

F F

w w

j

о 0

Нетрудно показать, что тот же эффект будет иметь место при замене в (10) интегрирования по F интегрированием по расходу.

В [1] средние по минимальному сечению р, ? и и пересчитыва-ются так, чтобы при неизменных относительных профилях удовлетворялись три условия. Два первых из них в интересующих нас порядках эквивалентны (10). Что касается третьего, то оно выведено в [1] как условие перехода через скорость звука в гладком канале в рамках модифицированной „одномерной" теории. Как следует из (9) и (10), использование еще одного дополнительного условия не может внести принципиальных корректив и потому излишне. В частности, упомянутое выше „третье" условие из [1] лишь усложняет и без того довольно громоздкие соотношения развитого в [1] способа обработки. С другой стороны, та же причина позволяет использовать указанный способ для сужающихся сопл и сопл с изломом в минимальном сечении, хотя для них

„третье" условие просто неверно. Итак, если, следуя [1], использовать относительные профили параметров для обработки результатов в минимальном сечении, то для достижения требуемого эффекта достаточно в согласии с (10) пересчитать только две средние величины (р и р или р и и), оставив остальные неизменными.

3. Для расширяющихся сопл определение расхода и импульса в минимальном сечении необходимо дополнить определением импульса потока на срезе сопла. Как мы уже знаем,непосредственное интегрирование соответствующих сеточных распределений в сечении выхода для этой цели непригодно. Один из широко распространенных способов обработки основан на формуле

в которой индексы е и о приписаны величинам в выходном и в опорном сечениях, а „интеграл сил давления" х берется вдоль стенки.

Повышение точности при использовании (11) связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, даже при Гте оо второе слагаемое всегда меньше первого. В силу этого относительная ошибка в вычислении Уе оказывается всегда меньше ошибки определения р на стенке сопла. Данное отличие особенно велико для сопл с малой или умеренной степенью расширения (Ри,е/Р№0—величина порядка единицы). Во-вторых, если относительная погрешность определения р по мере удаления от минимального сечения, как правило, растет, то вклад в / более удаленных участков падает (из-за уменьшения р и угла наклона стенки к оси сопла). В результате у вычисляется точнее, чем давление и плотность (8р/р як Ър/р, где * — показатель адиабаты) в сечении выхода, а следовательно, и чем импульс, найденный интегрированием по сечению. В силу указанных причин формула (11) с определенным с требуемой точностью (например, как было описано в предыдущем пункте), ведет к заметному уточнению величины Je.

Только что описанный способ определения Je не является единственно возможным. В процедуре определения Je, намеченной в [1], используются сеточные распределения и, V, р и р, отнесенные к средним (по площади) значениям и, р и р. Последние затем подправляются в согласии с (10) и равенством бг=:(70. Если при этом пользоваться точными соотношениями, а не формулами [1], которые справедливы лишь для малых неравномерностей в сечении выхода, то такой способ обработки с ростом числа ячеек обеспечивает сходимость Je к точной величине. Кроме того, в ряде примеров, рассчитанных С. В. Ягудиным, по мере удаления от опорного сечения этот способ оказался эффективнее способа, опирающегося на (11). Для каких ситуаций сказанное может иметь место, легко понять, если рассмотреть следующий, в некотором смысле близкий к намеченному в [1] подход.

Пусть течение в сверхзвуковой части сопла можно считать изэнтропическим, т. е. ударные волны до сечения выхода либо отсутствуют, либо имеют пренебрежимо малую интенсивность.

р.

ше

Тогда в выходном сечении справедливы равенства (8). Перепишем их в форме

р р

те

ь°е ~ 1

о о

Подберем далее в сечении выхода такую функцию />0, чтобы положительные множители и а/, определенные равенствами — и ]р = л'/, менялись по сечению меньше, чем gp и ¡р. Очевидно, что функцию / можно ввести бесчисленным числом способов. В типичных случаях требуемый эффект достигается, например, при /= V£р)р- Функции /, и а-' нужны нам лишь для некоторого обоснования перехода от (12) к

р Р

те те

ове + | к йР, ие « а/ у + ]' у. 8£

о

Ф (/=•)= Г/<//?, аг> 7 = | а«-' / ¿Ф, •/= 1 8/> ¿Ф-

Точно данный переход справедлив лишь при постоянных а? н аЛ Оставив распределение 8С без изменений, „скорректируем" теперь профиль давления, заменив Ър по некоторому правилу (см. ниже) на 8р° так, чтобы 6е — 00. Если (?0, согласно рекомендациям предыдущего пункта, определено с требуемой точностью, то отсюда и из (13) найдем, что распределение 8р° должно удовлетворять равенству

р р

те те

7.° + | ё, 8С ^ « 0, х° - I" ¿Ф,

о о

' е

а „пересчитанное" 8У( р

те __

те

О б \ а*

Согласно (7) а~р£2. Если углы наклона вектора скорости к оси х или р малы, то отсюда видно, что ошибка в Уе будет существенно меньше, чем в С.

Из сказанного ясно, что предлагаемый способ обработки пригоден для „безударного" потока с малыми углами „рассеивания" или плотностью в сечении выхода. Он содержит следующие элементы: распределение р при неизменном (сеточном) профиле С и фиксированных Н их пересчитывается так, чтобы равенство <1е = 00 выполнялось точно. Как и в [1], пересчет профиля р можно свести к пересчету величины лишь в некоторой „характерной" точке (например, на оси х), а относительный профиль р не изменять. Затем пересчитанное распределение р и найденные по нему и по С из условий изэнтропичности н изоэнергетичности профили Р и и используются при вычислении Как и в предыдущем пункте, все сказанное лишь слегка модифицируется, если условия изэнтропичности и изоэнергетичности заменить интегральными равенствами (10). Поэтому безударность течения и малость С или р сохраняются и как условия применимости способа обработки из [1].

В частности, на выходе из сопла, реализующего равномерный поток, таким путем при весьма больших ошибках в сеточных распределениях можно получить практически точное значение Это, однако, вряд ли покажется удивительным, если вспомнить, что в таком случае одномерное приближение при известном расходе дает точный результат. С другой стороны, при сильном укорочении профилированных сопл формула (11), как правило, обеспечивает более точные результаты.

4. Пока мы ограничивали рассмотрение незакрученными и однородными по распределению полных параметров течениями. Прежде чем снять это ограничение, отметим, что способов обработки, пригодных для других течений, до сих пор не предлагалось. В интересующих нас случаях имеют место интегралы

2А + V2 = 2Н

в которых зависимости Н, Г и 5 от функции тока ф определяются предысторией течения. Первые два интеграла справедливы вне зависимости от присутствия ударных волн. Третий же, как и ранее, с заданной функцией 5(Л) имеет место во всяком случае вблизи „звуковой линии": М=1//а=1. Здесь, как и при отсутствии закрутки, число М определяется по „меридиональному" компоненту вектора скорости. Функция тока ф вводится дифференциальным равенством

фь =

с х = йх\йу и условием -¿ = 0 на оси х. В силу определения ф постоянно на каждой линии тока, в том числе на стенке сопла, где Ф = 1. Для дальнейшего (15) удобно переписать в форме

С-1 = 1/ры

Здесь и ниже штрихом обозначаются полные производные по Ф.

Ранее в качестве „опорного" бралось минимальное сечение сопла, хотя было очевидно, что „кривую интегрирования" еще лучше располагать где-то между линиями М=1 и С = 0. Воспользуемся такой свободой для неоднородных (по Н и 5) и закрученных течений, для которых отличие таких линий от прямой л; = 0 обычно более существенно (см. [5—10]). В соответствии с этим, определив „предварительно" О и ф по сеточным распределениям всех параметров, зададим „опорную" кривую дао. Пусть да — некоторая точка стенки, а о— оси х. Из последующего будет видно, что дао следует проводить где-то между линиями М = 1 и С — 0. Задав ее сначала в плоскости ху, мы зафиксируем для последующего лишь координаты точки да, т. е. хт, уш и Fw и функцию х = для' 0< ф-\' 1. „Предварительно" О и ф находятся с по-

грешностями сеточных функций и потому непригодны для иных целей. После выбора х(ф), хт> ут и Fw кривую дао в плоскости ху можно „пересчитать". Сделаем это, интегрируя (16) от точки, где Ф=1, х = хт и = и используя интегралы (14) и сеточные распределения р=^р(х,у) и С = С (х, у), где у = ЕУ(1+"\ Неизвестное заранее точное значение С в (16) при этом подберем так, чтобы

Г(0) = 0. Выясним возможности такого способа обработки. Про-варьировав (16), придем к уравнению

(о/=•)' = - ^ + Р (3р/р) + •( (8С/С) + Г (8С¡0), v(w/K)2G 0_ (1-М2)/тО

а =

(1+ + — и) ' ' 1/2р2м(1_:^)2

.. = с (С + Х)0 ' ри (1 + е2)(1 —и)2'

которое связывает погрешности о/7 и ЗС с относительными ошибками определения сеточных функций, т. е. с 8р\р и ЗС/С.

Решение 8/г(Ф) уравнения (17) должно удовлетворять двум условиям: З/7"(0) = 8/^(1) = 0. Одно из них удовлетворяется выбором константы интегрирования, второе определяет об. С учетом сказанного, проделав необходимые выкладки, найдем

1 / 1

1 1

8/=- (ф) = || [А (Е) Г (71) - Л (т!) Р (с)] X

О ф

х (£) + В(ч) 11 (Ф) а:?,

Ф

р ' о

Как и ранее, коэффициенты при В/? /? и оС/С обращаются в нули при М = 1 и С = 0. Поэтому, если линию ию можно провести так, чтобы на ней М было близко к единице, а С — к нулю, то предложенный способ обработки позволит вычислять расход с точностью, существенно превосходящей точность определения р и С.

Удельный импульс / = У/б дается формулой

т

Нетрудно показать, что 8/ есть линейная комбинация первых трех слагаемых правой части (17) и

8 (р + Ри*) = « З/7 + + * Ьр - Щ 8С.

(1 + v);yl+v I Т- - 1 + »

Следовательно, расчет / по формуле (18) одновременно с интегрированием (16)приведет к такому же уточнению и при определении удельного импульса.

Перенос описанной выше процедуры на выходное сечение сопла Лаваля включает следующие моменты: интегрирование (16) с х = 0 и = от Ф = где /г(0) = 0; использование сеточного профиля С = С(.у) и относительного сеточного профиля />(_у) = =Р(У)/Р(0); подбор р(0) из условия: = Анализ возможностей данного способа обработки, как ив п. 3, требует привлечения ряда дополнительных предположений о распределениях паю

раметров на выходе из сопла. Поскольку, однако, для неоднородных (по Н и 5) и закрученных течений поток в сечении выхода обычно весьма неравномерен, то подобный перенос нуждается в дополнительных обоснованиях.

В заключение автор хотел бы отметить, что данное исследование было стимулировано дискуссиями, которые ему пришлось вести с В. Л. Зимонтом и С. В. Ягудиным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зимонт В. Л. Метод повышения точности расчета интегральных характеристик потока в сверхзвуковых соплах. „Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 2, 1976.

2. Зимонт В. Л., Я г у д и н С. В. К вопросу об увеличении точности определения характеристик сопл на основании численных расчетов поля течения. „Ученые записки ЦАГИ", т. 9, № 3, 1978.

3. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., К р а й-ко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., „Наука", 1976.

4. Тагиров Р. К. Теоретическое исследование течения идеального газа в сужающихся соплах. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1978, № 2.

5. Славянов Н. Н. Теоретическое исследование закрученных течений идеального газа в сопле Лаваля. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1973, № 6.

6. Славянов Н. Н. Профили скоростей в минимальном сечении сопла Лаваля при одномерном винтовом течении газа. „Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 3, 1976.

7. Гостинцев Ю. А., Успенский О. А. К теории вихревых закрученных течений идеального газа в соплах Лаваля. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1978, № 2.

8. Теленин Г. Ф., Липницкий Ю. М., Еремин В. В. Расчет вихревых течений в соплах. НИИ Механики МГУ, Научные труды № 41, 1975.

9. К р а й к о А. Н., Л а н ю к А. Н. О влиянии неравномерностей полей полной энтальпии и энтропии на интегральные характеристики сопла Лаваля. .Изв. АН СССР, МЖГ", 1976, № 3.

10. Л а н ю к А. Н. О влиянии двумерности течения газа со ступенчатым распределением полных параметров на интегральные характеристики сопла Лаваля. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1978, № 3.

Рукопись поступила 8¡VI 1978 г.