О предсказуемости движения астероидов, проходящих через сферу Хилла Земли

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика и механика № 3

УДК 523.44

О.Н. Раздымахина, Т.Ю. Галушина О ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ ДВИЖЕНИЯ АСТЕРОИДОВ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ СФЕРУ ХИЛЛА ЗЕМЛИ1

Представлено описание проблемы исследования орбитального движения астероидов, проходящих через сферу Хилла Земли. Исследования показали, что на интервале времени порядка ^Q лет через сферу Хилла Земли проходят 432 астероида. Для каждого из них была построена эволюция параметра MEGNO на рассматриваемом интервале времени, и было показано, что движение большей части таких объектов становится непредсказуемым после прохождения через сферу Хилла.

Ключевые слова: астероиды, динамика, сфера Хилла, MEGNO, предсказуемость.

Работа посвящена проблеме исследования орбитального движения астероидов, проходящих через сферу Хилла Земли. Проблема связана с тем, что такие объекты испытывают сближения с большими планетами, в том числе с Землей, и через определенный промежуток времени движение этих астероидов становится непредсказуемым, что создает определенные трудности в моделировании их орбитальной эволюции.

Цель данной работы заключается в выявлении астероидов, проходящих через сферу Хилла Земли, и оценке времени предсказуемости их движения. В качестве характеристики хаотического движения целесообразно использовать параметр MEGNO (Mean Exponential Growth of Nearby Orbit), то есть среднее экспоненциальное расхождение близких орбит, так как он позволяет точно определить время предсказуемости движения астероидов [і].

Выявление астероидов, проходящих через сферу Хилла Земли

В данной работе движение астероидов рассматривалось в рамках возмущенной задачи двух тел в прямоугольной гелиоцентрической системе координат, отнесенной к эклиптике и равноденствию 2QQQ.Q. В модель сил были включены влияния всех больших планет, Плутона, Луны и трех крупных астероидов (Цереры, Паллады и Весты). Начальные элементы орбит астероидов были взяты из каталога

Э. Боуэлла на эпоху 5 декабря 2QH года. В данном случае уравнения движения 843і АСЗ (астероидов, сближающихся с Землей) интегрировались численно методом Эверхарта [2] на интервале времени (2QH; 22QQ). Интервал времени интегрирования определялся фондом координат больших планет DE4Q5.

Проведенные исследования показали, что через сферу Хилла Земли на рассматриваемом интервале времени проходят 432 астероида (значение радиуса сферы Хилла Земли составляет примерно Q^ а.е.). Среди выявленных АСЗ большая часть астероидов проходит через сферу Хилла единожды (32Q АСЗ), некоторые объекты дважды проходят через нее (9Q АСЗ). Кроме того, был обнаружен 2і ас-

1 Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 г

тероид, который проходит через сферу Хилла Земли три раза. И всего один объект на рассматриваемом интервале прошел 4 раза на расстоянии от центра Земли меньшем 0.01 а.е. (2007 иТЗ). В табл. 1 в качестве примера приведены данные о прохождениях астероидов через сферу Хилла Земли до 2050 года. Здесь для каждого объекта представлена календарная дата прохождения через сферу Хилла Земли, а также расстояние до центра Земли в астрономических единицах. Следует отметить, что приведенные результаты получены для номинальных орбит.

Т аблица 1

Сближения с Землей некоторых АСЗ, проходящих через сферу Хилла в ближайшее время

Объект Дата ІЇшІП, а*е* Объект Дата ІЇшІП, а*е*

2000 УЛ 26.12.2011 0,007373 99942 ЛрорЫ8 13.4.2029 0,003894

2003 XV 7.12.2011 0,002717 2007 'УХ83 9.11.2030 0,004980

2010 КК37 19.5.2012 0,003182 2011 0060 1.4.2031 0,007569

2001 AV43 16.11.2013 0,005931 2009 ББ4 2.4.2032 0,009707

2005 СМ7 2.2.2014 0,007756 2006 БС 13.9.2033 0,009190

2009 Ж 16.9.2014 0,003247 2005 ТЛ 2.10.2034 0,009057

2011 Е021 23.3.2014 0,006411 2008 ЕМ68 12.9.2034 0,005480

2004 БЬ86 26.1.2015 0,008019 2002 GQ 31.3.2035 0,002967

2006 ЬИ 23.12.2016 0,008274 2008 0М2 4.4.2035 0,005433

2008 ШМ61 29.11.2017 0,008656 2008 УБ 19.12.2035 0,003406

2008 0У21 10.4.2018 0,001657 2010ЛИ110 27.5.2035 0,002756

2011 Ш7 12.5.2018 0,005942 2007 ЯУ19 13.3.2037 0,008978

2005 N056 16.7.2019 0,007405 2009 Б710 16.3.2037 0,006011

2006 QV89 9.9.2019 0,000471 2011 Б05 30.9.2037 0,008799

2001 0Р2 3.10.2020 0,007989 2002 ОТ40 11.2.2038 0,007303

2007 БЯ3 26.3.2020 0,005468 2008 ЬИ2 2.6.2039 0,006444

2011 СЬ50 24.12.2020 0,007056 2011 013 8.9.2039 0,004441

2004 иТ1 29.10.2022 0,007056 2003 ШТ153 5.9.2041 0,008708

2009 ББ58 21.1.2022 0,000684 2007 ШВ 20.5.2041 0,008053

1979 ХБ 17.10.2023 0,008012 2008 QS11 5.10.2041 0,006955

2006 ИХ57 7.5.2023 0,000684 2004 МБ6 16.6.2042 0,009718

2007 £N88 13.3.2023 0,007845 2008 ЕХ5 9.10.2042 0,004404

2009 QR 25.8.2023 0,004743 2011 ЕТ74 28.2.2042 0,007127

2009 УГ1 15.10.2023 0,005220 2011 ЕЬ11 31.7.2044 0,007328

2004 N07 29.6.2024 0,002740 2011 ТО 27.9.2044 0,003704

2006 ШБ 26.11.2024 0,002740 2010 Ж34 29.4.2045 0,008413

2007 ХБ23 11.12.2024 0,002236 1994 ШЮ2 25.11.2046 0,009810

1997 иЛ11 26.10.2026 0,009750 2008 Ш9 4.10.2046 0,005397

2008 У02 4.6.2026 0,005720 162162 1999 ББ7 28.2.2048 0,006525

2010 VQ 12.12.2026 0,002426 2001 AV43 20.12.2048 0,003156

137108 1999 ЛN10 7.8.2027 0,004079 2007 Ш6 18.10.2048 0,000638

35396 1997 ХБ11 26.10.2028 0,008905 2010 ББ 26.2.2048 0,008393

153814 2001 WN5 26.6.2028 0,009282 2011 ББ9 25.2.2048 0,004656

2009 БМ98 9.9.2028 0,002612 2005 УЬ1 5.2.2049 0,005526

2009 ШЬ52 20.5.2028 0,006211 2007 ЕИ26 15.9.2049 0,004826

2002 ЛN129 3.5.2029 0,001664 2008 Е77 9.3.2049 0,001213

2006 ИЕ2 30.9.2029 0,002893 2003 БШ10 1.3.2050 0,008225

292220 2006 БИ49 28.1.2029 0,006851

Вычисление параметра МЕОКО для астероидов, проходящих через сферу Хилла Земли

Как уже отмечалось во введении, в данной работе в качестве характеристики хаотического движения был выбран параметр МБвМО. Такой выбор обусловлен тем, что МБвМО позволяет точно определить момент времени, после которого движение объекта становится непредсказуемым.

Параметр МБвМО У (?) представляет собой взвешенную по времени интегральную форму ляпуновского характеристического числа [3]

где 5(?) - так называемый касательный вектор, который представляет собой эволюцию начального бесконечно малого отклонения 5 (0) = 50 между номинальным решением и очень близкой орбитой.

Средняя величина У (?) получается следующим образом [3]:

Эволюция усредненного параметра МБвМО У (?) во времени позволяет выявить различный характер движения. Так, например, для хаотических орбит с экспоненциальным расхождением близких траекторий У (?) всегда будет больше двух. Для квазипериодических (регулярных) орбит с линейным расхождением близких траекторий У (?) будет осциллировать около значения 2, а для устойчивых орбит типа гармонического осциллятора У (?) = 0 [1].

Существует специально разработанная для задач численного моделирования методика вычисления параметра МБвМО [4]. В свою очередь нами было разработано программное обеспечение определения параметра МБвМО для астероидов с использованием кластера СКИФ СуЪепа [5].

Разработанное программное обеспечение в данной работе использовалось для определения времени предсказуемости движения астероидов, проходящих через сферу Хилла Земли. Для каждого из них была построена эволюция параметра МБвМО на интервале времени (2011; 2200). Важно отметить, что для всех АСЗ прохождение через сферу Хилла Земли приводит к росту параметра МБвМО, причем скорость роста У (?) зависит от расстояния до Земли.

Проведенные исследования показали, что для большинства астероидов (254 АСЗ) движение становится непредсказуемым после прохождения через сферу Хилла, для 163 АСЗ в момент прохождения через сферу Хилла Земли движение уже непредсказуемо из-за многочисленных сближений с большими планетами, в том числе с Землей, произошедших до момента прохождения через данную сферу. Исключением являются 15 АСЗ, движение которых регулярно на рассматриваемом интервале времени и для которых параметр МБвМО колеблется ниже уровня двойки. Эти объекты проходят через сферу Хилла Земли в конце интервала интегрирования, и параметр МБвМО начинает постепенно расти, но не успевает достичь порогового значения (У () =2).

0

На рис. 1-3 представлены графики сближений астероидов с большими планетами и эволюция усредненного параметра MEGNO для объектов описанных выше групп. Из рисунков видно, что под влиянием тесных сближений с Землей усредненный параметр MEGNO изменяет свое поведение и начинает со временем расти, причем скорость его роста зависит от того, насколько тесным было сближение. Из рис. 1 видно, что астероиды 216985 2000 QK130 и 85640 1998 OX4 принадлежат первой группе АСЗ, для которых движение становится непредсказуемым после прохождения через сферу Хилла Земли. Астероиды 69230 Hermes и 221455 2006 BC10 (рис. 2) принадлежат ко второму классу деления по MEGNO

2і6985 2000 QK!30

8564Q і998 OX4

О.Ь 0.080.060.040.020

аі

2000 2040

2080 2120 Т, годы

2160 2200

О.Ь 0.080.060.040.020

а2

2000 2040

2080 2120 Т, годы

2160 2200

Т, годы

Т, годы

Рис. 1. Сближения с Землей («•») и Марсом («*») (а1, а2), эволюция параметра МБОКО (61, б2) для астероидов 216985 2000 QK130 и 85640 1998 ОХ4; 1 - расстояние до центра планеты

О.Ь . I).I)S4 d 0.06-73 0.040.02 0

69230 Hermes

аі

2000 2040

2080 2120 2160 Т, годы

2200

О.Ь

d : d 0.06 . та 0.040.020

221455 2006 ВСЮ а2

2000 2040 2080 2120 2160 2200

Т, годы

Т, годы

Т, годы

Рис. 2. Сближения с Венерой («о»), Землей («•») и Марсом («») (а1, а2), эволюция параметра MEGNO (61, б2) для астероидов 69230 Hermes, 221455 2006 BC10; d - расстояние до центра планеты

0.1-j 0.080.040.02 0

аі

196625 2003 RM10

2000 2040 2080 2120 2160 2200

0.1-j

0.08-

d °-°6" 0.040.02 О

“с

а2

2001 1ID5

2000 2040

2.8q

2.4-

2-

1^ 1.6 1.2 0.8 0.4

б2

2080 2120 Т, годы

2160 2200

Т, годы

2000 2040 2080 2120 2160 2200

Т, годы

Рис. 3. Сближения с Венерой («о»), Землей («•») и Марсом («») (а1, а2), эволюция параметра MEGN0 (61, 62) для астероидов 196625 2003 КМ10 и 2001 иБ5; ^ - расстояние до центра планеты

(163 АСЗ), так как к моменту прохождения через сферу Хилла параметр MEGN0 У (ґ) уже перешел пороговое значение из-за предшествующих сближений с Землей.

На рис. 3 приведены сближения с планетами земной группы и графики эволюции параметра У(ґ) для астероидов 196625 2003 ИМ10 и 2001 иБ5, движение которых можно считать устойчивым на рассматриваемом интервале времени, но после прохождения через сферу Хилла Земли У (ґ) начинает расти. Сделать выводы о движении этих астероидов можно только при исследовании их движения на большем интервале времени.

Исследование вероятностной орбитальной эволюции астероидов 153201 2000 W0107 и 101955 1999 ЯОЗб

При исследовании движения астероидов нельзя ограничиться номинальной орбитой, поскольку начальные параметры движения астероидов содержат погрешности, обусловленные ошибками наблюдений. Номинальной орбитой будем называть орбиту, полученную в результате улучшения начальных параметров (взятых из каталога Боуэлла) методом наименьших квадратов по имеющимся наблюдениям. Для исследования вероятностной орбитальной эволюции требуется построение областей возможных движений астероидов. Область возможных движений объекта представляется как ансамбль траекторий некоторого множества тестовых частиц, выбираемых из начальной доверительной области. В свою очередь, начальная область определяется на основе вероятностных ошибок орбитальных параметров, получаемых из наблюдений астероидов методом наименьших квадратов. В начальной области выбираются тестовые частицы с помощью датчика случайных чисел относительно выбранного центра на основе нормального закона распределения и полной ковариационной матрицы ошибок.

В случае появления неустойчивости движения астероидов вероятностная область сильно увеличивается, что существенно затрудняет прогнозирование движения, особенно при наличии тесных сближений.

В качестве примера рассмотрим области возможных движений астероидов 153201 2000 W0107 и 101955 1999 RQ36, проходящих по два раза через сферу Хилла Земли. В табл. 2 представлены результаты построения начальных доверительных областей. Здесь п - число наблюдений, использованных при улучшении; Д - интервал наблюдений в годах; с( Х0) и с( Х0) - среднеквадратические ошибки МНК-оценок векторов положения Х0 и скорости Х0 АСЗ; с - среднеквадратическая ошибка представления наблюдений в угловых секундах.

Т аблица 2

Данные о наблюдениях и результатах МНК-оценок параметров орбит АСЗ

Объект п Аґ, гг. ст(0-С)," ст(Х0^ а.е. ст(Х0), а.е./сут

153201 2000 Ш0107 292 2000 - 2011 0.52 1-10-7 2-10-9

101955 1999 К^36 253 1999 - 2005 0.57 1-10-8 3-10-9

В данном численном эксперименте в рамках начальной вероятностной области было выбрано 100 000 тестовых частиц. Уравнения движения исследуемых астероидов и их тестовых частиц интегрировались численно методом Эверхарта с использование 100 ядер кластера СКИФ СуЪепа (http://skif.tsu.ru/). В модель сил при улучшении орбит и исследовании вероятностной орбитальной эволюции включено влияние больших планет, Плутона, Луны, сжатия Земли, светового давления и релятивистских эффектов от Солнца. Результаты исследования представлены в табл. 3 и на рис. 4, 5.

Т аблица 3

Данные о прохождении номинальных орбит и тестовых частиц астероидов через

сферу Хилла

Объект Номинальная орбита Ансамбль % частиц, попадающих в сферу Хилла

Дата Лтш, а.е. Дата Лтіта.е.

153201 2000 Ш0107 30.11.2093 0,008305 30.11.2093 0,008297 100

1.12.2140 0,001645 1.12.2140 0,001615 100

101955 1999 Б^36 23.09.2060 0,005020 23.09.2060 0,005018 100

22.09.2080 0,009783 22.09.2080 0,008890 100

25.09.2137 0,000591 0.038

25.09.2171 0,000104 0.009

24.09.2185 0,000005 0.418

24.09.2192 0,000075 0.637

25.09.2198 0,000844 0.011

В табл. 3 представлены данные о прохождении через сферу Хилла Земли номинальных орбит и тестовых частиц астероидов 153201 2000 Ш0107 и 101955 1999 Я^36. Из таблицы видно, что в момент прохождения через сферу Хилла Земли номинальных орбит обоих астероидов все тестовые частицы проходят через нее, причем минимальное расстояние до геоцентра для частиц ансамбля меньше, чем для номинальных орбит. Для астероида 153201 2000 Ш0107 в момент второго прохождения через сферу Хилла 100 % частиц ансамбля проходят через сферу тяготения Земли (значение радиуса сферы тяготения Земли составля-

ет примерно 254316 км). Для астероида 101955 1999 RQ36 было обнаружено еще несколько моментов времени прохождения через сферу Хилла Земли малого процента тестовых частиц. При этом среди 100 000 тестовых частиц было обнаружено 418 орбит, проходящих через сферу Хилла, среди которых одна орбита приводит к столкновению с Землей в 2185 году. Но следует отметить, что движение астероида 101955 1999 RQ36 становится непредсказуемым уже в 2166 году, поэтому трудно судить о вероятности столкновения.

На рис. 4 представлены результаты построения вероятностной орбитальной эволюции астероида 153201 2000 W0107. Здесь показаны сближения с Меркурием, Венерой, Землей и Марсом, а также эволюция элементов для номинальной орбиты (черным цветом) и тестовых частиц (серым цветом). Из рис. 4 видно, что после прохождения через сферу Хилла область возможных движений объекта увеличивается и движение астероида становится непредсказуемым начиная с 2144 г.

О.Юп а а° А

<и *0.05-

А ^ Ю °о А А А АА

0.00^ ' 1 1

2000

0.10-1

<^0.054

о.оо-

2000

2000

2100 2200 Т, годы

153201 2000 W0107

Ж

2100 2200 Т, годы

2300

0.918-]

.0.9160> .

*0.914-! ^ 0.9120.910

2000

2100 2200 Т, годы

2300

0.782п г

°-781л

0.780-

2100 2200 Г, годы

2300

0.779-

I 0.780:

2000

2100 2200 Т, годы

2300

2300

7.8п 7.7-^ 7.67.57.4-

2000

2100 2200 Г, годы

2300

Т, годы

Рис. 4. Астероид 153201 2000 W0107: сближения с Меркурием () и Венерой (о) (а); сближения с Землей (•) и Марсом () (в); эволюция большой полуоси а (б), эксцентриситета е (г), наклонения орбиты астероида к плоскости эклиптики (е); эволюция максимального расстояния от тестовых частиц до астероида на номинальной орбите в км (д) и эволюция усредненного параметра МБОКО У(/) (ж). Данные для номинальной орбиты показаны черным цветом, для тестовых частиц - серым цветом

Из графиков сближений и эволюции параметра MEGNO видно, что в момент второго прохождения через сферу Хилла сближение с Землей было более тесное, и в связи с этим скорость роста Y(t) увеличилась.

Рассмотрим более подробно процесс увеличения области возможных движений. На последнем графике показана эволюция максимального расстояния от тестовых частиц до астероида на номинальной орбите. После второго прохождения через сферу Хилла в 2140 г. область возможных движений астероида 153201 2000 WO107 увеличивается на 4 порядка.

На рис. 5 представлена орбитальная эволюция астероида 101955 1999 RQ36. Из рис. 5 видно, что после первого прохождения номинальной орбиты астероида через сферу Хилла Земли в 2060 г., усредненный параметр MEGNO меняет свое поведение и начинает постепенно расти. После второго прохождения через сферу Хилла скорость роста Y(t) возрастает, и уже в 2166 г. движение астероида становится непредсказуемым, при этом область возможных движений значительно увеличивается. Из графика эволюции максимального расстояния от тестовых частиц до астероида на номинальной орбите видно, что это расстояние после второго прохождения через сферу Хилла Земли увеличилось почти на б порядков.

101955 1999 RQ36

0.10-1

cj

« 0.05-чз

I Ції

0.00+—

2000

2040

2080 2120 Т, годы

2160 2200

1.00І

0.80

б

я

2000 2040

2080 2120 Т, годы

2160 2200

2080 2120 Т, годы

2200

0.080

- - г -

- -    1    1

2000 2040

361 302418122000 2040

2080 2120 Т, годы

2160 2200

Г, годы

2080 2120 Т, годы

2160 2200

Рис. 5. Астероид 101955 1999 К^36: сближения с Землей (•) (а); эволюция большой полуоси а (б), эксцентриситета е (г), наклонения орбиты астероида к плоскости эклиптики (е); эволюция максимального расстояния от тестовых частиц до астероида на номинальной орбите в км (в) и эволюция усредненного параметра МБОКО У(ґ) (д). Данные для номинальной орбиты показаны черным цветом, для тестовых частиц - серым цветом

Заключение

а

Проведенные исследования показали, что через сферу Хилла Земли на интервале времени порядка 190 лет проходят 432 астероида. С целью определения момента времени, после которого движение астероидов становится непредсказуе-

мым, для каждого из них была построена эволюция параметра MEGNO на рассматриваемом интервале времени. Анализ полученных результатов показал, что для большинства АСЗ (254) движение становится непредсказуемым после прохождения через сферу Хилла, для 163 астероидов в момент прохождения через сферу Хилла движение уже непредсказуемо из-за многочисленных предшествующих сближений с большими планетами, в том числе с Землей. Исключением являются 15 АСЗ, движение которых регулярно на рассматриваемом интервале времени, и параметр MEGNO колеблется ниже уровня двойки. Эти объекты проходят через сферу Хилла в конце интервала интегрирования, и параметр MEGNO не успевает достичь порогового значения (Y (t) =2). Сделать выводы о движении этих астероидов можно только при исследовании их движения на большем интервале времени. Стоит также отметить, что скорость роста параметра Y (t) зависит от того,

насколько тесным было сближение исследуемых астероидов с Землей.

Для астероидов 153201 2000 WO107, 101955 1999 RQ36 были построены области возможных движений. Проведенные исследования показали, что момент времени, начиная с которого усредненный параметр MEGNO становится больше двух (т. е. движение астероидов становится непредсказуемым), соответствует моменту значительного увеличения областей возможных движений. Можно сделать вывод о прямой связи между поведением усредненного параметра MEGNO и изменением областей возможных движений астероидов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Cincotta P.M., Girdano C.M., Simo C. Phase space structure of multi-dimensional systems by means of the mean exponential growth factor of nearby orbits // Physica D. 2003. V. 182. P 151-178.

2. Everhart E. An efficient integrator that uses Gauss - Radau spacings // Dynamics of Comets: Their Origin and Evolution (Proc. of IAU Colloq. 83, held in Rome, Italy, June 11-15, 1984) / eds. A. Carusi and G. B. Valsecchi. Dordrecht: Reidel, 1985. P. 185-202.

3. Breiter S., Melendo B., Bartczak P., Wytrzyszczak I. Synchronous motion in the Kinoshita problem. Application to satellites and binary asteroids // A&A. 2005. V. 12. P 753-764.

4. Valk S., Delsate N., Lemai'tre A., Carletti T. Global dynamics of high area-to-mass ratios GEO space debris by means of the MEGNO indicator // Adv. Space Res. 2009. V. 43. P. 1509-1526.

5. Раздымахина О.Н. Алгоритмическое и программное обеспечение для определения параметра MEGNO для астероидов // Изв. вузов. Физика. 2011. Т. 54. № 6/2. С. 31-38.

Статья поступила 10.05.2012 г.

Razdymahina O.N., Galushina T.Yu. ON PREDICTABILITY OF MOTION OF ASTEROIDS PASSING THROUGH THE HILL SPHERE FOR EARTH. This paper describes the problems arising in the study of the orbital motion of asteroids that pass through the Hill sphere for Earth. The studies have shown that 432 asteroids pass through the Hill sphere for Earth during the time interval of about 190 years. For each of them the evolution of the MEGNO parameter was constructed on this interval. It is shown that the motion of most of these objects becomes unpredictable after passing through the Hill sphere for Earth.

Keywords: asteroids, dynamics, Hill sphere, MEGNO, predictability

RAZDIMAHINA Oksana Nikitichna

E-mail: oksanchik@mail2000.ru

GALUSHINA Tatyana Yur’evna

E-mail: tanastra@nxt.ru