АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МЕТОДА ПЕРИОДОГРАММ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ НА ГРАФИЧЕСКОМ ПРОЦЕССОРЕ

DOI 10.36622/VSTU.2021.17.3.012 УДК 519.6

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МЕТОДА ПЕРИОДОГРАММ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ НА ГРАФИЧЕСКОМ ПРОЦЕССОРЕ

Д.В. Козлов, А.Б. Степанов

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, г. Санкт-Петербург, Россия

Аннотация: работа посвящена описанию предложенного авторами алгоритма выполнения частотно-временного анализа сигналов с применением непрерывного вейвлет-преобразования совместно с использованием метода периодограмм Уэлча. При этом приводятся два метода вычисления непрерывного вейвлет-преобразования на основе взаимно-корреляционной функции и на основе быстрого преобразования Фурье. Представлены результаты реализации данного алгоритма на различных графических процессорах

Ключевые слова: непрерывное вейвлет-преобразование, реализация, графический процессор, периодограмма, метод Уэлча

Введение

При обработке сигналов широкое распространение получили методы, основанные на применении непрерывного вейвлет-преобразования (НВП) [1, 2]. Вейвлеты - это обобщённое название функций с нулевым интегральным значением, локализованные по оси времени, способные к сдвигу и масштабированию. При анализе некоторых типов сигналов, помимо выявления в них основных частотных составляющих, также важно выделять информационные признаки, локализованные во времени, для чего могут быть использованы алгоритмы на основе непрерывного вейвлет-преобразования [3, 4].

Однако наравне с основным достоинством вейвлетов - возможностью применения при частотно-временном анализе, методы на основе вейвлет-преобразования имеют недостатки, связанные с их большой вычислительной сложностью. Это накладывает ограничения на выбор элементной базы для реализации алгоритмов на их основе.

В данной работе предлагается рассмотреть в качестве анализируемого сигнала элек-

троэнцефалограмму. Электроэнцефалограмма (ЭЭГ) - это сигнал, который может быть зарегистрирован с поверхности головы человека и является результатом суммации и фильтрации электрических потенциалов отдельных групп нейронов [5, 6]. При анализе ЭЭГ важно выделять ее основные ритмы (а — , в —, 9 —, у — и др.), которые соответствуют определённым частотным диапазонам [5]. Помимо этого при анализе ЭЭГ необходимо выделять графоэле-менты особой формы, характеризующие определённые физиологические состояния человека [7]. К таким графоэлементам относятся фрагменты ЭЭГ, соответствующие артефактам (явлениям, не связанным с деятельностью мозга) и патологическим состояниям. В связи с этим целесообразно использовать методы анализа на основе непрерывного вейвлет-преобразования.

Для детального анализа частотных составляющих в случайном сигнале используют различные методы оценки спектральной плотности мощности. Одним из таких методов является метод периодограмм [8]. Таким образом, при анализе ЭЭГ могут быть использованы комбинированные алгоритмы анализа сигналов, основанные на применении НВП и ме-

© Козлов Д.В., Степанов А.Б., 2021

тода периодограмм. Разработка таких алгоритмов является актуальной задачей.

Целью данной работы является разработка и реализация комбинированного алгоритма вейвлет анализа сигналов и метода периодограмм. В качестве используемой элементной базы рассматриваются графические процессоры, обладающие высокой производительностью и возможностью распараллеливания вычислительных потоков, что важно для анализа многоканальных сигналов, к которым относится электроэнцефалограмма.

Научная новизна данной работы заключается в разработке алгоритма на основе совместного использования НВП и метода периодограмм с дальнейшей его реализацией на графическом процессоре и оценка скорости его выполнения.

Данная работа является продолжением проведённых ранее исследований [9].

Методы исследования

Рассмотрим особенности применения непрерывного вейвлет-преобразования при анализе сигналов. Формула НВП сигнала s(t) имеет вид:

. (* ^ < (,), (^),

где - вейвлет, а - масштаб, Ь - временной сдвиг.

Как было отмечено ранее, основным достоинством НВП является возможность определения информационных признаков в сигнале с их локализацией во времени и по частоте. Значительное влияние на результаты НВП оказывает выбор вейвлета. В данной работе в качестве вейвлета использовался вейвлет мексиканская шляпа. Выбор обусловлен типом анализируемого сигнала. Электроэнцефалограмма является гладким сигналом, форма ее деталей напоминает форму вейвлета мексиканская шляпа. В связи с этим, при выполнении НВП использование данного вейвлета позволяет на вейвлет-спектрограмме получить локализованный во времени и частоте отклик на определённые детали в сигнале. Кроме того, данный вейвлет имеет формализованное представление, что является достоинством при реализации алгоритма вычисления НВП. Однако необходимо отметить, что предлагаемый в данной работе алгоритм вычисления НВП позволяет использовать любой вейвлет.

При вычислении НВП могут быть использованы следующие методы [10]:

1. Метод, основанный на применении взаимно-корреляционной функции (ВКФ) сигнала и вейвлета. Данный метод может быть описан следующей формулой:

1 N-1

W

^¡P n=0

где p - дискретные значения коэффициента масштаба, m - дискретные значения сдвига,

(n) - вейвлет с учетом коэффициента масштаба. Для вычисления НВП с помощью формулы (1) необходимо определить дискретную свертку сигнала с каждым масштабированным вейвлетом.

Достоинствами данного метода является его простота, возможность реализации на различной элементной базе. Также данный метод не требует аппаратной реализации быстрого преобразования Фурье (БПФ).

2. Метод, основанный на БПФ. Достоинствами данного метода является скорость вычисления и возможность использования стандартных встроенных библиотек или аппаратной реализации БПФ. Метод опирается на использование теоремы о свертке:

W(p, m) = FFT[FFT(s) • FFT(yp)],

где FFT {.} - оператор прямого быстрого

преобразования Фурье, FFT 1{.} - оператор обратного быстрого преобразования Фурье.

Алгоритм

На рис. 1 приведена блок-схема предложенного авторами алгоритма выполнения частотно-временного анализа сигналов с применением непрерывного вейвлет-преобразования совместно с методом периодограмм. Данный алгоритм позволяет выполнять визуальный анализ вейвлет-спектрограмм и периодограмм, а также обеспечивает получение дополнительной информации о частотно-временном составе сигнала за счет использования специального блока обработки. Данный блок позволяет получить помимо качественных оценок вейвлет-коэффициентов и значений периодограммы также количественные. В простейшем случае для этого может использоваться пороговая обработка. Рассмотрим работу данного алгоритма.

Многоканальный сигнал заданной длины поступает на вход блоков вычисления НВП и вычисления периодограммы.

В блок вычисления НВП из блока управления поступает информация о заданном числе каналов и длине сигнала, вейвлет, используемый при вычислении НВП, а также вектор коэффициентов масштаба. На основе значений сигнала с учетом информации от блока управления выполняется вычисление непрерывного вейвлет-преобразования.

В блок вычисления периодограммы от блока управления поступает информация о длине сигнала, числе каналов, типе окна, а также о значении перекрытия окон. Блок вычисления периодограммы осуществляет расчет значений периодограммы методом Уэлча [11].

Значения вейвлет-коэффициентов, как правило, вычисляются медленнее, чем значения периодограммы, поэтому для обеспечения роботы данного алгоритма используется блок синхронизации.

Блок управления Источник сигналов

j I

Блок вычисления периодограммы

Блок синхронизации

Блок обработки

вейвлет-коэффициентов и периодограммы

Рис. 1. Алгоритм выполнения частотно-временного анализа сигналов с применением НВП совместно с методом периодограмм

Полученные значения вейвлет-

коэффициентов и периодограммы с помощью блока визуализации могут быть представлены

в виде графиков (вейвлет-спектрограммы и периодограммы).

Блок обработки вейвлет-коэффициентов и периодограммы позволяет получить количественные оценки результатов вычисления НВП и значений периодограммы.

С этой целью могут быть применены различные методы цифровой обработки сигналов. В данной работе предлагается использовать наиболее простой метод - метод пороговой обработки.

Реализация

При реализации рассмотренных алгоритмов вычисления непрерывного вейвлет-преобразования и метода периодограмм может применяться различная элементная база. В связи с необходимостью дополнительной реализации вспомогательных алгоритмов для анализа ЭЭГ целесообразно использовать высокопроизводительную элементную базу. К таким устройствам могут быть отнесены многоядерные цифровые сигнальные процессоры или графические процессоры. В связи с тем, что ЭЭГ является многоканальным сигналом, требующим при автоматизации процесса анализа гибкости при выборе методов анализа, в качестве вычислительного устройства в данной работе был выбран графический процессор. Достоинствами графического процессора является высокая производительность, достигающаяся за счет использования большого числа вычислительных потоков, а также возможности использования программно-аппаратной архитектуры CUDA (в случае использования графических процессоров фирмы Nvidia).

Технология CUDA - это программно-аппаратная архитектура параллельных вычислений. Данная технология содержит набор программных средств и библиотек для организации параллельных вычислений на графических процессорах. Кроме того, CUDA предоставляет возможность производить управление памятью на графическом процессоре. При организации высокоскоростных вычислений на графическом процессоре необходимо брать во внимание пропускную способность памяти. Программно-аппаратная архитектура параллельных вычислений CUDA обладает различными видами памяти, отличающимися доступным размером и пропускной способностью. Наиболее подходящим сценарием использования памяти для вычисления НВП с

±

Блок визуализации

применением метода ВКФ является использование константной и разделяемой памяти (Shared memory). В константную память целесообразно записывать отчеты семейства масштабированных вейвлетных функций, в то время как промежуточные результаты вычисления НВП необходимо записывать в разделяемую память.

При вычислении НВП методом, основанном на БПФ, возможно использование программных средств CUDA для вычисления БПФ в виде библиотеки cuFFT [12]. Библиотека cuFFT оптимизирована не только под эффективное вычисление БПФ для случая, когда размер входных данных является целой степенью числа 2, но и для случая, когда размер является степенями чисел 3, 5 или 7.

Основным недостатком технологии CUDA является то, что она может применяться только на графических процессорах от фирмы Nvidia. Аналогом для технологии CUDA можно отметить технологию OpenCL, область применения которой не ограничивается только графическими процессорами.

В последние время на рынке появились одноплатные компьютеры общего назначения, содержащие в себе графический процессор. Такие одноплатные компьютеры позволяют производить высокоскоростные вычисления. В данной работе в качестве устройства для выполнения вычислений были выбраны одноплатные компьютеры серии Nvidia Jetson (Nano и TX2). Выбор данных одноплатных компьютеров связан с их малыми габаритами. Nvidia Jetson Nano также отличается низкой стоимостью среди аналогов, а Nvidia Jetson TX2 обладает высокой производительностью. А в качестве графического процессора для персонального компьютера были использованы дискретные видеокарты Nvidia GTX1050 (обладает средней производительностью среди дискретных видеокарт) и Nvidia GTX1660 Ti (отличается высокой производительностью).

Результаты эксперимента

Проведем серию экспериментов. В качестве анализируемого сигнала будем использовать фрагмент электроэнцефалограммы длинной 1 с., числом каналов 4 и частотой дискретизации 1024 Гц (рис. 2).

При проведении экспериментов были использованы следующие вычислительные устройства:

1. Nividia Jetson Nano.

2. Nvidia Jetson TX2.

3. Nvidia GTX1050.

4. Nvidia GTX 1660 SUPER.

На рис. 3 представлены результаты работы блока визуализации предложенного алгоритма выполнения частотно-временного анализа сигналов с применением НВП совместно с использованием метода периодограмм. Как следует из рисунка, полученные периодограммы являются сглаженными и позволяют определить частотный состав анализируемого сигнала, а построенные вейвлет-спектрограммы локализовать частотные составляющие во времени.

Канал!

О 200 400 600 800 1000

Рис. 2. Фрагмент электроэнцефалограммы

Была проведена серия экспериментов, в ходе которых были получены:

1. Оценка скорости вычисления НВП от частоты дискретизации входного сигнала.

В табл. 1 представлены результаты оценки скорости вычисления непрерывного вейвлет-преобразования в зависимости от выбранного метода вычисления (на основе ВКФ и на осно-

ве БПФ) и частоты дискретизации (от 256 Гц до 8192 Гц) при длительности сигнала 1 с.

Как следует из данной таблицы, для максимальной частоты дискретизации одноплатный компьютер Nvidia Jetson Nano (который является наименее производительным одноплатным компьютером среди рассмотренных) затрачивает время на вычисление алгоритма НВП равное 0,009 с. Это позволяет сделать вывод о возможности использования данного устройства на практике при анализе сигналов.

Скорость вычисления периодограммы методом Уэлча от частоты дискретизации в данной работе не рассматривается, поскольку она значительно выше, чем скорость вычисления НВП и не влияет на скорость выполнения предложенного алгоритма.

Таблица 1

Оценка скорости вычисления НВП от частоты дискретизации входного сигнала

Метод Устройство Частота дискретизации, Гц

256 512 1024 2048 4096 8192

Время вычисления, мкс

ВКФ Jetson Nano 14966 49294 53737 21070 41723 75785

Jetson TX2 1900 2354 2836 3476 6901 12877

GTX 1050 713 1302 1621 2604 3198 5955

GTX 1660 676 1209 1478 1496 1560 1800

БПФ Jetson Nano 3538 3498 3435 7003 8376 9195

Jetson TX2 1186 1188 1168 1261 1707 3230

GTX 1050 150 175 237 373 661 1206

GTX 1660 115 131 151 338 293 507

Таблица 2

Оценка скорости вычисления НВП и метода периодограммы Уэлча от числа физических каналов

Метод Устройство Число каналов

2 4 16 64 128 256

Время вычисления, мкс

ВКФ Jetson Nano 18587 33725 95324 254083 390259 776203

Jetson TX2 3002 6722 22868 85328 168481 333244

GTX 1050 1958 2992 10129 32934 58862 101060

GTX 1660 1484 1551 4023 11948 23431 47255

БПФ Jetson Nano 5304 11724 44173 171831 345382 560025

Jetson TX2 2243 4238 16181 62783 125704 250808

GTX 1050 438 846 3546 13610 25143 45431

GTX 1660 283 545 2113 9110 17494 32547

Периодограммы Уэлча Jetson Nano 98 153 1105 4675 9452 18989

Jetson TX2 45 70 505 2140 4325 8690

GTX 1050 9 14 104 440 889 1780

GTX 1660 6 9 65 275 556 1117

2. Оценка скорости вычисления НВП и метода периодограммы Уэлча от числа физических каналов.

В табл. 2 приведены результаты оценки скорости вычисления НВП и метода периодограммы Уэлча для сигналов с числом каналов от 2 до 256. Как следует из табл. 1 и табл. 2, при вычислении НВП наиболее быстрым методом является метод на основе БПФ по сравнению с методом на основе ВКФ. Сравнивая скорости вычисления алгоритмов НВП на основе БПФ и метода периодограмм Уэлча, было получено, что в среднем для большого числа физических каналов НВП вычисляется в 30 раз медленнее, чем периодограмма Уэлча.

3. Оценка скорости вычисления периодограммы методом Уэлча от количества частотных ячеек.

В табл. 3 приведены результаты измерений скорости выполнения алгоритма для различных значений количества частотных ячеек (точек на периодограмме), заданных в диапазоне от 256 до 4096. Результаты, приведённые в табл. 3, были визуализированы на рис. 4. Как следует из табл. 3 и рис. 4, наименьшее время выполнения алгоритма получено при использовании дискретной видеокарты GTX 1660 SUPER. Среди одноплатных компьютеров

Оценка скорости вычисления периодограммы

наилучший результат показал Nvidia Jetson TX2. Также из рис. 4 следует, что для всех рассмотренных вычислительных устройств зависимость времени работы алгоритма от количества частотных ячеек имеет линейный закон, что важно для выполнения вычислений на практике. Сравнивая скорость выполнения алгоритмов для дискретной видеокарты GTX 1660, видно, что время выполнения алгоритма вычисления периодограммы Уэлча при количестве частотных ячеек 4096 соизмеримо с временем вычисления НВП (при одинаковой частоте дискретизации сигнала f = 2048 Гц).

Таблица 3

методом Уэлча от количества частотных ячеек

Устройство Количество частотных ячеек

256 512 1024 2048 4096

Время вычисления, мкс

Jetson Nano 293 534 1098 2333 4953

Jetson TX2 214 471 1001 1981 3945

GTX 1050 27 50 93 183 366

GTX 1660 17 31 58 115 229

Канал 1 Канал 2

-2.5 -

0 200 400 „ 600 800 1000 НВП от канала 1 0 200 400 п 600 800 1000 НВП от канала 2

0 200 400 J) 600 800 1000 СПМ от канала 1 0 200 400 Ь 600 800 1000 СПМот канала 1

0.0 0.2 0.4 ( 0.6 0.8 1.0 Канал 3 0.0 0.2 0.4 I 0.6 0.8 1.0 Канал 4

2.5 -

0 200 400 п 600 800 1000 НВП от канала 3 0 200 400 п 600 800 1000 НВП от канала 4

В р^ ü ^ ХТ^С/^ ^ I

0 200 400 ь 600 800 1000 СПМ от канала 3 0 200 400 Ь №0 800 1000 СПМот канала 4

i " -

Рис. 3. Результат работы блока визуализации

5000 4500 4000 | 3500

I 3000

ш

I

§ 2500

с

.0

2000

о! 1500

1000

500

| | —*- - Jetson Nano - -Ж- - Jetson TX2 GTX1050 GTX1660 1 X / у л

-......... / / / у /

/ / / / / / / / , ^ / ^^ ;м.................

-

/ / / /

у' / Ж

/ ✓ / ^

..............>3 -*---- г -*

500 1000 1500 2000 2500 3000 Количество частотных ячеек

3500

4000

4500

Рис. 4. Зависимость времени выполнения алгоритма вычисления периодограммы методом Уэлча от количества частотных

ячеек

На рис. 5 представлены результаты работы блока обработки вейвлет-коэффициентов и периодограммы, получены результаты пороговой обработки фрагмента электроэнцефалограммы (рис. 5, а) длиной 1024 отчета, среза вейвлет-коэффициентов (рис. 5, б) и периодограммы Уэлча (рис. 5, в). Как видно из данного рисунка, на периодограмме могут быть определены локальные максимумы.

Сигнал ЭЭГ

С-

0 200 4 30 600 800 1000

Срез НВП для масштаба а = 11

JУlJlтЬкШ

№

СПМ

Рис. 5. Результат пороговой обработки

Для выполнения пороговой обработки значений вейвлет-коэффициентов, для масштаба а = 11, соответствующего частоте 2 Гц, был построен график среза матрицы вейвлет-коэффициентов (рис. 5, б). Данная частота является основной для графоэлемента, ярко выраженного в анализируемом сигнале электроэнцефалограммы.

Определение максимумов сигнала во временной области позволяет грубо оценить наличие и определить момент времени появления графоэлемента, присутствующего в сигнале ЭЭГ.

Пороговая обработка вейвлет-

коэффициентов, полученных для основной частоты исследуемой детали сигнала, позволяет провести более тонкий ее анализ.

Максимумы на периодограмме позволяют определить наличие доминантных частотных составляющих, в том числе подлежащих удалению. Спектральная плотность мощности позволяет оценить энергию частотных диапазонов, советующих определённым ритмам ЭЭГ.

Таким образом, блок обработки вейвлет-коэффициентов и периодограммы позволяет определить пороговые значения (определить максимумы) представления сигнала во временной и частотной областях, а также в частотно-временной плоскости.

0

0

Заключение

В качестве основных результатов данной работы можно отметить следующее:

1. Предложен алгоритм выполнения частотно-временного анализа сигналов с применением непрерывного вейвлет-преобразования и совместным использованием алгоритма частотного анализа сигнала с помощью вычисления значений периодограммы методом Уэлча. Данный алгоритм реализован на графических процессорах с технологией CUDA.

2. На одноплатных компьютерах Jetson Nano и TX2 и на дискретных видеокартах GTX 1050Ti и GTX1660 реализованы алгоритмы вычисления периодограммы по методу Уэлча и два алгоритма вычисления непрерывного вейвлет-преобразования:

• на основе взаимно-корреляционной функции сигнала и вейвлета;

• на основе быстрого преобразования Фурье.

3. Как показали результаты проведённых исследований, наибольшая скорость вычисления непрерывного вейвлет-преобразования и метода периодограмм Уэлча была достигнута на дискретной видеокарте Nvidia GTX 1660 SUPER. При вычислении непрерывного вейвлет-преобразования для сигнала длительностью 1 с с частотой дискретизации 2048 Гц и числом каналов 256 потребовалось 32,5 мс (при использовании метода на основе БПФ). Для данного числа физических каналов при использовании дискретной видеокарты Nvidia GTX 1660 SUPER для вычисления значений периодограммы методом Уэлча потребовалось 1,12 мс. Для данного числа каналов и элементной базы видно, что алгоритм вычисления НВП работает в 29 раз медленнее по сравнению с алгоритмом вычисления периодограммы методом Уэлча.

4. Скорость выполнения алгоритма вычисления НВП для дискретной видеокарты GTX 1660 соизмерима с временем выполнения алгоритма вычисления периодограммы Уэлча при количестве частотных ячеек 4096 при одинаковой частоте дискретизации сигнала (2048 Гц).

5. Приведен результат работы блока обработки вейвлет-коэффициентов и периодограммы при использовании пороговой обработки сигнала, вейвлет-коэффициентов и периодограммы Уэлча.

6. При реализации алгоритмов на основе непрерывного вейвлет-преобразования и метода периодограмм для сигналов электроэнцефалограммы среди рассмотренной элементной базы для разработки портативных устройств целесообразно использовать Nvidia Jetson Nano, так как он обладает малыми габаритами и низкой стоимостью. При проведении дальнейших исследований планируется применить полученные результаты при реализации портативного электроэнцефалографа, позволяющего выполнять постобработку ЭЭГ.

Литература

1. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 58 с.

2. Continuous Wavelet Transform Calculator for Operation in Ultra-Low Temperatures of the Arctic and Antarctic/ A.B. Stepanov, V.S. Gribanov, M.M.H. Ayedh, A.V. Pomog-alova, A.E. Kopylov // IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (El-ConRus). 2020. Pp. 1432-1436.

3. Stark H.-G. Wavelets and Signal Processing. Berlin: Springer, 2005. 158 р.

4. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. М.: ДМК-Пресс, 2005. 304 с.

5. Зенков Л.Р., Ронкин М.А. Функциональная диагностика нервных болезней: руководство для врачей. М.: МЕДпресс-информ, 2011. 448 с.

6. Кропотов Ю.Д. Количественная ЭЭГ, когнитивные вызванные потенциалы мозга человека и нейротера-пия. Донецк: Изд. Заславский А.Ю., 2010. 512 с.

7. Арбузов С.М., Степанов А.Б. Применение методов вейвлет-анализа в электроэнцефалографии. СПб.: Линк, 2009. 104 с.

8. Цифровая обработка сигналов и MATLAB/ А.И. Солонина, Д.М. Клионский, Т.В. Меркучева, С.Н. Перов. СПб.: БХВ-Петербург, 2013. 560 с.

9. Kozlov D.V. and Stepanov A.B. The Main Features of a Multichannel Continuous Wavelet Transform Implementation on the Nvidia Jetson Single Board Computers // 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus). St. Petersburg, Moscow, Russia, 2021. pp. 1632-1636.

10. Zhuravov D.V., Stepanov A.B. Application of Sim-ulink in the Implementation of Calculation Algorithms for Continuous Wavelet Transform on a Digital Signal Processor // Journal of Radio Electronics. 2019. Vol. 5. Pp. 12.

11. Welch P. The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short, modified periodograms// IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. 1967. Vol. 15. No. 2. pp. 70-73.

12. Nvidia corp. The API reference guide for cuFFT, the CUDA Fast Fourier Transform library. URL: https://docs.nvidia.com/cuda/pdf/CUFFT_Library.pdf (дата обращения: 25.05.2021).

Поступила 26.04.2021; принята к публикации 21.06.2021 Информация об авторах

Козлов Денис Витальевич - студент, Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича (193232, Россия, г. Санкт-Петербург, пр. Большевиков, д. 22, к. 1), e-mail: kozlov.dv@spbgut.ru

Степанов Андрей Борисович - канд. техн. наук, заместитель директора института магистратуры по учебной работе, доцент кафедры радиосистем и обработки сигналов, Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича (193232, Россия, Санкт-Петербург, пр. Большевиков, д. 22, к. 1), e-mail: sabarticle@yandex.ru, тел. +7(812)3263161, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6876-729X

TIME-FREQUENCY SIGNAL ANALYSIS ALGORITHM USING CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM AND WELCH'S PERIODOGRAM METHOD WITH ITS IMPLEMENTATION

ON GRAPHICAL PROCESSING UNIT

D.V. Kozlov, A.B. Stepanov Bonch-Bruevich St. Petersburg State University of Telecommunications, Saint Petersburg, Russia

Abstract: in the work we describe the algorithm for performing time-frequency analysis of the signals using continuous wavelet transform together with the use of the Welch's periodogram method. At the same time, we present two methods for calculating the continuous wavelet transform based on the cross-correlation function and on the basis of the fast Fourier transform. We give the results of the implementation of this algorithm on various graphics processors

Key words: continuous wavelet transform, implementation, graphical processing unit, periodogram, Welch's method

References

1. Vityazev V.V. "Wavelet time series analysis" ("Veyvlet-analiz vremennykh ryadov"), St. Petersburg, Publishing House of St. Petersburg University, 2001, 58 p.

2. Stepanov A.B., Gribanov V.S., Ayedh M.M.H., Pomogalova A.V., Kopylov A.E. "Continuous wavelet transform calculator for operation in ultra-low temperatures of the arctic and antarctic", IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus), 2020, pp. 1432-1436.

3. Stark H.-G. "Wavelets and signal processing", Berlin, Springer, 2005, 158 р.

4. Smolentsev N.K. "Fundamentals of wavelet theory. Wavelets in MATLAB" ("Osnovy teorii veyvletov. Veyvlety v MATLAB"), Moscow, DMK-Press, 2005, 304 p.

5. Zenkov L.R., Ronkin M.A. "Functional diagnostics of nervous diseases: a guide for physicians" ("Funktsional'naya diagnos-tika nervnykh bolezney: rukovodstvo dlya vrachey"), Moscow, MEDpress-inform, 2011, 448 p.

6. Kropotov Y.D. "Quantitative EEG, cognitive evoked potentials of the human brain and neurotherapy" ("Kolichestvennaya EEG, kognitivnyye vyzvannye potentsialy mozga cheloveka i neyroterapiya"), Donetsk, Publishing house of Zaslavsky A.U., 2010. 512 p.

7. Arbuzov S.M., Stepanov A.B. "Application of methods of wavelet analysis in electroencephalography" ("Primenenie metodov veyvlet-analiza v elektroentsefalografii"), Saint Petersburg, Link, 2009, 104 p.

8. Solonina A.I., Klionsky D.M., Merkucheva T.V., Perov S.N. "Digital signal processing and MATLAB" ("Tsifrovaya obrabotka signalov i MATLAB"), Saint Petersburg, BHV-Petersburg, 2013, 560 p.

9. Kozlov D.V., Stepanov A.B. "The main features of a multichannel continuous wavelet transform implementation on the Nvidia Jetson single board computers", 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus), St. Petersburg, Moscow, Russia, 2021, pp. 1632-1636.

10. Zhuravov D.V., Stepanov A.B. "Application of Simulink in the implementation of calculation algorithms for continuous wavelet transform on a digital signal processor", Journal of Radio Electronics, 2019, vol. 5, pp. 12.

11. Welch P. "The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short, modified periodograms", IEEE Transactions on Audio andElectroacoustics, June 1967, vol. 15, no. 2, pp. 70-73.

12. Nvidia corp. "The API reference guide for cuFFT, the CUDA Fast Fourier Transform library", available at: https://docs.nvidia.com/cuda/pdf/CUFFT_Library.pdf

Submitted 26.04.2021; revised 21.06.2021 Information about the authors

Denis V. Kozlov, student, Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications (22 Bol'shevikov prospekt, St. Petersburg 193232, Russia), e-mail: kozlov.dv@spbgut.ru

Andrey B. Stepanov, Cand. Sc. (Technical), Deputy Director of Academic Affairs of the Master's degree Institute, Associate Professor, Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications (22 Bol'shevikov prospekt, St. Petersburg 193232, Russia), e-mail: sabarticle@yandex.ru, tel.: +7(812) 326 31 61, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6876-729X