Индивидуальные траектории обучения как средство организации математической деятельности

УДК 372.851

С. Н. Дорофеев

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ОБУЧЕНИЯ КАК СРЕДСТВО ОРГАНИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Аннотация. Исследуются проблемы повышения качества математического образования бакалавров инженерного профиля. Обосновывается необходимость внедрения индивидуальных траекторий обучения в систему математической подготовки студентов.

Ключевые слова: бакалавры инженерного профиля, индивидуальные траектории обучения, система математической подготовки.

S. N. Dorofeev

INDIVIDUAL EDUCATION TRAJECTORIES AS MEANS FOR MATHEMATICAL ACTIVITY ORGANIZATION

Abstract. The article investigates the problems of quality improvement of mathematical education for bachelors of an engineering profile. The author substantiates the need of introduction of individual trajectories of training in system of mathematical activity of students.

Key words: bachelors of an engineering profile, individual education trajectories, systems of mathematics training.

Переход подготовки будущих бакалавров инженерного профиля на компетентностную основу значительно обострил многие проблемы, связанные с их естественно-научным образованием. В связи с сокращением числа часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-научного цикла, возникли проблемы поиска путей интенсификации естественно-научной подготовки бакалавров, дифференциации учебного материала: что важно изложить на лекции, что дать в качестве самостоятельной работы, как на практическом занятии проконтролировать уровень усвоения материла, изложенного на лекции и усвоенного в процессе самостоятельной работы. Главная цель преподавателя вуза заключается в реализации государственного стандарта, в формировании у обучающихся компетенций, которые определяются программой. Индивидуальные возможности обучающихся, как правило, не учитываются должным образом и иногда не признаются, рассматриваются как некоторое препятствие на пути реализации программы. Поэтому вузовский преподаватель в целях формирования общекультурных и профессиональных компетенций, формируемых в процессе изучения дисциплин естественно-научного цикла, вынужден либо игнорировать индивидуальные способности обучающихся, либо «насильственным образом» преодолевать их [1]. Более того, он вынужден выступать в качестве главного инициатора естественно-научной деятельности обучающихся, постоянно принимать за каждого из них определенные решения, важные на данном этапе его обучения. В действительности большая часть преподавателей при всем своем таланте не имеет возможности принимать по нескольку различных решений за каждого обучающегося. В результате неизбежно появляется такая категория обучающихся, как «средний студент», имеющая усредненные интересы и потребности.

Практика показывает, что вузовские преподаватели, как правило, осуществляют индивидуальный подход лишь по отношению к небольшой группе обучающихся, которые, по их мнению, в силу своих способностей выходят за рамки «среднего студента». Чаще всего в эту группу попадают особо одаренные, «продвинутые» студенты, которые в силу своего интеллекта требуют индивидуального подхода. Основная же часть обучающихся, укладывающаяся в стандарты «среднего студента», незаслуженно оказывается лишенной индивидуального подхода со стороны преподавателя, вынуждена довольствоваться фронтальным общением с ним. В ходе этого общения преподаватель не ставит целью выявить индивидуальные особенности усвоения учебного материала конкретным студентом, не ищет индивидуальных путей, способствующих интенсификации усвоения знаний, он лишь многократно, иногда в более или менее упрощенном виде, повторяет, «втолковывает», «разжевывает» для него изложенные ранее факты. На лекционных и практических занятиях преподаватель чаще замечает отсутствие интереса, быструю утомляемость студентов, недостаточно высокую мотивацию [2, 3] и редко интересуется, почему тот или иной студент проявляет слабый интерес, например, к математике, не хочет ею заниматься. В любом случае речь не идет об изучении индивидуальности каждого студента. А проблема учета этих особенностей в учебном процессе, к сожалению, вообще остается за пределами внимания преподавателя, крайне неудовлетворительно используются и способность обучающихся к учебной деятельности, поскольку не разработана методика диагностирования возможностей студентов к овладению учебным материалом.

Эффективным способом реализации индивидуального подхода, обусловливающим обучение на основе индивидуальной избирательности и личной активности каждого обучающегося, может служить свободный самостоятельный выбор. Признание за будущим бакалавром права свободного самостоятельного выбора дисциплин специализации, проявление самостоятельности в изучении этих дисциплин, основанное на стремлении студента реализовать индивидуальные интересы и потребности, ставит перед вузовскими преподавателями чрезвычайно важную проблему - как использовать интересы и потребности студента на благо его развития. Управление учебной деятельностью студента становится косвенным через создание соответствующей образовательной среды, через построение целой системы условий, позволяющих каждому студенту учиться самостоятельно, самому принимать осознанные решения, делать ответственный выбор. Для этого необходимо организовать и структурировать образовательное пространство каждого студента; вводить новые условия, обновлять учебные средства и материалы и т.п. При этом преподаватель не только исходит из требований учебной программы, но и, что самое важное, учитывает изменяющиеся со временем интересы, потребности и возможности обучающихся. А это в свою очередь требует от него ведения систематических наблюдений за личностным ростом и развитием студентов.

Формируя образовательное пространство, преподаватель тем самым создает для каждого студента реальную возможность двигаться по своей собственной, индивидуальной траектории обучения, которая представляет собой целенаправленную образовательную систему, обеспечивающую каждому обучающемуся субъективные возможности выбора, разработки, реализации

Федерального государственного образовательного стандарта при непосредственном руководстве со стороны преподавателя.

На особенности этой траектории огромное влияние оказывает большое количество внешних и внутренних факторов. В качестве внутренних выступают особенности познавательной активности, интересы, мотивы и потребности, эмоциональное и физическое состояние обучающегося, сформирован-ность его волевых качеств, таких как целеустремленность, настойчивость, внимательность. К внешним факторам можно отнести любое влияние на студента со стороны окружающей среды: поведение преподавателя и одногруппников; обстановка в семье, дружеской компании, группе; особенности самой ситуации выбора и т.п. Таким образом, индивидуальная траектория обучения не носит устойчивый характер, а может существенно изменяться с течением времени под влиянием внешних и внутренних факторов. Важно помнить, что всякие попытки обобщения и усреднения индивидуальной траектории обучения различных студентов могут привести к потере этой самой индивидуальности и в конечном итоге к обесцениванию самого понятия, превращению его в пустую абстракцию.

Потенциал индивидуальной траектории обучения предполагает, что студент при изучении темы может, например, выбрать один из следующих подходов: наглядно-образное или логическое познание, углубленное изучение или изучение на уровне понятий и фактов, ознакомительное, выборочное или расширенное усвоение темы. Сохранение логики предмета, его структуры и содержательных основ будет достигаться с помощью фиксированного объема фундаментальных образовательных объектов и связанных с ними проблем, которые наряду с индивидуальной траекторией обучения обеспечат достижение студентами нормативного образовательного уровня.

При обучении, например, математическим методам необходимо предлагать студентам задания, способствующие овладению различными видами деятельности, развитию наглядно-образного, аналитического и логического мышления. Однако, учитывая приоритетные виды деятельности, индивидуально присущие каждому студенту, следует допускать выбор ими этих видов при изучении одних и тех же образовательных объектов. Например, при решении задачи: доказать, что точки пересечения боковых сторон трапеции, ее диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой, каждый обучающийся может выбрать свой способ решения. Наши наблюдения показывают, что чаще всего при решении задач подобного типа студенты с развитым аналитическим мышлением отдают предпочтение векторному или координатному способу решения, студенты с развитым наглядно-образным мышлением предпочитают использовать в процессе решения этой задачи свойства аффинных преобразований, а студенты с достаточно высоким уровнем развития логического мышления решают эту задачу на основе свойств полного четырехвершинника. Особую значимость при обучении студентов математическим методам посредством индивидуальных образовательных траекторий приобретают задания, связанные с изучением одного и того же математического объекта или объединенных единой целью, в которых находят свое отражение основные личностные особенности каждого обучающегося. Знание приобретает глубокий смысл для обучающегося, если оно выражает его пристрастное отношение к тому, что содержится в этом знании, эмоционально

переживается личностью. Такая объективизация смысла усвоения знаний обусловливает «сближение» обучающегося с целью, а возможно, и их отождествление, выражающееся в подчинении мотивов логике задач и получении обучающимися удовлетворения от результативности собственной поисковой деятельности. Процесс формирования индивидуальной траектории обучения опирается на основные принципы обучения, такие как преемственность, доступность, фундаментальность, научность, целостность. Более того, обучение посредством индивидуальных траекторий образования включает в себя пять значимых компонентов: когнитивный, операционно-деятельностный, мотивационный, волевой и рефлексивно-оценочный.

Когнитивный компонент включает в себя все процессы, в ходе которых обрабатывается, перерабатывается, фиксируется мозгом информация, поступающая к человеку по различным каналам, охватывает не только целенаправленное, теоретическое познание, но и простое, обыденное (не всегда осознанное) постижение мира в повседневной жизни человека, приобретение самого простого телесного, чувственно-наглядного или сенсорно-моторного опыта во взаимодействии человека с окружающим миром. Когнитивный компонент связан с усвоением знаний, их преобразованием, запоминанием, извлечением из памяти, использованием.

Формирование операционно-деятельностного компонента образования посредством индивидуальных траекторий обучения направлено на организацию деятельности обучающихся, непосредственно связанной как с самостоятельным поиском решений учебных задач, так и с самостоятельным поиском различных способов доказательств одной и той же теоремы.

Процесс формирования мотивационного компонента образования посредством индивидуальных траекторий обучения способствует осознанию обучающимися смысла и ценности предстоящей деятельности и состоит из четырех этапов: актуализации, мотивации, постановки учебной задачи, планирования ее решения. В процессе реализации мотивационного компонента у каждого обучающегося формируется личная потребность в последующей деятельности, связанной с открытием субъективно нового для него знания.

Формирование волевого компонента образования посредством индивидуальных траекторий обучения обусловливает формирование у обучающихся таких личностных качеств, как целеустремленность, внимательность, ответственность, настойчивость, умение управлять своими эмоциями, собой и коллективом.

Рефлексивно-оценочный компонент обучения посредством индивидуальных траекторий обучения ориентирован на осмысление обучающимися деятельности, связанной с получением новых знаний. Эта часть включает в себя следующие этапы: соотнесение целей и полученных результатов; осмысление методов, приемов, теоретических положений, с помощью которых получены эти результаты; осознание ценностей приобретенных результатов и соответствующих им методов; оценка собственной деятельности. На этапе реализации рефлексивно-оценочного компонента соотносятся цели, запланированные в начале деятельности, и результаты, полученные по ее окончании. Соответствие целей и полученных результатов, как правило, вызывает у обучающихся положительные эмоции от радости познания, «открытия» нового. Анализируются методы, приемы, теоретические положения, с помощью которых получены соответствующие целям результаты. Таким

образом, обучающиеся осознают не только результаты деятельности, но и способы их получения и, кроме того, пополняют личный опыт новыми эвристическими приемами. На этапе оценивания собственной деятельности обучающийся анализирует значимость собственного вклада в совместно полученные результаты, свой уровень усвоения новых знаний и уровень усвоения способов работы с этим знанием, собственное эмоциональное состояние.

Особую значимость при обучении студентов математическим методам посредством индивидуальных траекторий обучения приобретают задания, связанные с изучением одного и того же математического объекта или объединенных единой целью, в которых находят свое отражение основные личностные особенности каждого обучающегося. Примерами таких траекторий [4-6] могут служить системы математических заданий следующего вида:

I. Дан куб ЛВСВЛ1В1С1Б1 с ребром 1. Точка М - середина ребра АВ, точка К - середина ребра . Найти:

1) угол между плоскостями АКВ1 и КМС;

2) угол между прямой КМ и плоскостью АКВ1;

3) площади полной поверхности параллелепипеда;

4) объем параллелепипеда;

5) площадь полной поверхности тетраэдра ЛВСБх.

6) объем тетраэдра Л0С01;

7) отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра ЛВСБ1.

II. Прямая призма ЛВС0Л1В1С101, в основании которой лежит квадрат, задана относительно прямоугольной декартовой системы координат координатами вершин А(3; 0; 0), В(0; 4; 0 ), В1(0; 4; 6).

1) Найти координаты остальных вершин призмы.

2) Найти площадь полной поверхности призмы.

3) Вычислить ее объем.

4) В данную призму вписан цилиндр. Найти радиус его основания.

5) Найти площадь полной поверхности цилиндра.

6) Найти объем цилиндра.

7) Найти отношение объема призмы к объему цилиндра.

8) Найти координаты центра сферы, описанной около призмы.

9) Найти радиус сферы.

10) Найти площадь поверхности сферы.

11) Во сколько раз площадь поверхности цилиндра больше площади поверхности призмы и меньше площади поверхности сферы?

III. Тетраэдр БЛВС задан уравнениями плоскостей, содержащих его грани: 3х - 4у + 1 = 0, 3у - 4z + 1= 0, 4х - 3z + 1 = 0, г - 2 = 0.

1) Найти координаты вершин тетраэдра.

2) Найти объем тетраэдра.

3) Найти площади всех его граней.

4) Найти длины высот тетраэдра.

5) Составить уравнения прямых, содержащих его ребра.

6) Составить уравнения высот тетраэдра.

7) Найти величины углов при вершине 5'.

8) Найти координаты центра сферы, вписанной в тетраэдр.

9) Найти радиус сферы, вписанной в тетраэдр.

10) Найти объем сферы, вписанной в тетраэдр.

11) Во сколько раз объем тетраэдра больше объема сферы, вписанной

в тетраэдр ?

IV.

?

1. Вычислить определители второго порядка:

а)

ж)

3 8 - 5 8 6 - 2 - 9 8 14 - 6 13 5

; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

9 2 45 2 9 12 11 - 8 -1 12 - 9 2

ras а - sin а a + b a - b 3sin а cos а

; з) a + b ; и) 3sin P cosP

sin а cos а a - b

2. Вычислить определители третьего порядка:

2 8 -1 1 4 -1 2 3 -1 5 3 -1 0 а а

a) 9 2 12 ; б) 3 2 12 ; в) 4 2 11 ; г) 2 2 12 ; д) а 0 а

4 5 - 3 2 8 - 2 3 6 - 3 7 5 11 а а 0

1 а 1 tos а - sin а 1 a b с

е) а 1 а ; ж) sin а cos а 1 ; з) с a b

1 а 1 0 0 1 b с a

3. Решить уравнения:

1 2 - 4 х 1 2 1 -р^

а) 3 х 1 = -12; б) 3 х + 2 1

1 1 х 11 х

= -1.

4. Найти все целые числа, удовлетворяющие неравенству

------2 -1

3

х -1 3 0

1 2 х +1 1

> 3.

5. Найти, при каких значениях параметра а неравенство

х 2 - 4

4 2 х - 3 1 > 1 справедливо для всех вещественных чисел.

1 1 а -1

6. Найти, при каких значениях параметра а неравенство

а -1 - 2 3

4 3х - 2 1

1 1 х -1

< 2 не имеет вещественных решений.

(-1 - 5 3 ^ -3 - 6 7

v -4 - 5 6 у

7. Даны матрицы: А = і — Э Z. 5 -13 ; в =

v 2 - 5 6

v2 1 - 4У

Найти: а) матрицу ^ 1; б) матрицу (АС + В)1; в) (А + В + С) г) С 1(АВ - ВА).

8. Найти, при каких значениях параметра а матрица А обратима.

9. Найти, при каких значениях параметра а матрица А не обратима.

1 2 3 . . т

1 22 32 . 2 .т

10. Доказать тождество 1 23 33 .. 3 т

1 2т 3т .. т . т

Разнообразие заданий, связанных единой целью, стимулирует обучающихся самостоятельно и осознанно выбрать себе работу, чтобы затем приступить к ее выполнению, самим отобрать свои собственные, индивидуальные способы учебно-познавательной деятельности. В ситуации самостоятельного свободного выбора наиболее ярко проявляется индивидуальность каждого студента, его индивидуальная траектория обучения. Использование заданий, объединенных единой целью, требует от преподавателя перехода от привычной роли наставника и контролера к позиции наблюдательного помощника, который меньше учит и воспитывает, а в основном помогает студентам учиться самостоятельно, мотивирует их к активной учебно-познавательной деятельности. Как известно, знание приобретает глубокий смысл, если оно выражает пристрастное отношение обучающегося к тому, что содержится в этом знании, эмоционально переживается личностью. Такая объективизация смысла усвоения знаний обусловливает «сближение» обучающегося с целью, а возможно, и их отождествление, выражающееся в подчинении мотивов логике задач и получении обучающимися удовлетворения от результативности собственной поисковой деятельности. Процесс формирования индивидуальной траектории обучения опирается на основные принципы обучения, такие как преемственность, доступность, фундаментальность, научность, целостность.

Таким образом, значимость индивидуальной траектории обучения состоит в том, что в процессе ее реализации каждый обучающийся вовлекается в определенный вид учебно-познавательной деятельности, поскольку каждое задание он выполняет через призму структурных компонентов деятельности.

Список литературы

1. Дорофеев, С. Н. Интегративные приемы в обучении старшеклассников математическим методам решения прикладных задач / С. Н. Дорофеев, Е. А. Емелина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2009. - № 2. - С. 75-84.

2. Дорофеев, С. Н. Координатный метод в обучении старшеклассников приемам распознавания геометрических образов / С. Н. Дорофеев, Н. В. Наземнова // Пси-

' 1 - 2 1 " а -13 2 - 2 3,

' 2 -1 1 ^

а 2 3

V 2 3 а,

ходидактика высшего и среднего образования : материалы IX Междунар. науч.-практ. конф. (г. Барнаул, 10-12 апреля 2012 г.). - Барнаул, 2012. - С. 331-338.

3. Дорофеев, С. Н. О роли гуманитаризации математического образования в подготовке инженерных кадров / С. Н. Дорофеев // Информация и образование: границы коммуникаций (INFO-12) : материалы IV Междунар. науч.-практ. конф. (10-13 июля 2012 г.) / Горно-Алтайский гос. ун-т. - Горно-Алтайск, 2012. - С. 56-60.

4. Дорофеев, С. Н. Гуманитаризация как основа повышения качества математического образования студентов технических вузов / С. Н. Дорофеев // Геометрия многообразий и ее приложения : материалы науч. конф. с междунар. участием (20-23 июня 2012 г.) / Бурят. гос. ун-т. - Улан-Удэ, 2012. - С. 182-187.

5. Дорофеев, С. Н. Преобразования в примерах и задачах : учеб. пособие / С. Н. Дорофеев. - Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2002. - 154 с.

6. Дорофеев, С. Н. Высшая математика. Курс лекций : учеб. пособие / С. Н. Дорофеев. - М. : Мир и образование, 2011. - 592 с.

References

1. Dorofeev, S. N. Integrativnye priemy v obuchenii starsheklassnikov matemati-cheskim metodam resheniya prikladnykh zadach / S. N. Dorofeev, E. A. Emelina // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Gumanitarnye nauki. -2009. - № 2. - S. 75-84.

2. Dorofeev, S. N. Koordinatnyy metod v obuchenii starsheklassnikov priemam ras-poznavaniya geometricheskikh obrazov / S. N. Dorofeev, N. V. Nazemnova // Psikhodidaktika vysshego i srednego obrazovaniya : materialy IX Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. (g. Barnaul, 10-12 aprelya 2012 g.). - Barnaul, 2012. - S. 331-338.

3. Dorofeev, S. N. O roli gumanitarizatsii matematicheskogo obrazovaniya v podgo-tovke inzhenernykh kadrov / S. N. Dorofeev // Informatsiya i obrazovanie: granitsy kommunikatsiy (INFO-12) : materialy IV Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. (10-13 iyulya 2012 g.) / Gorno-Altayskiy gos. un-t. - Gorno-Altaysk, 2012. - S. 56-60.

4. Dorofeev, S. N. Gumanitarizatsiya kak osnova povysheniya kachestva matematicheskogo obrazovaniya studentov tekhnicheskikh vuzov / S. N. Dorofeev // Geomet-riya mnogoobraziy i ee prilozheniya : materialy nauch. konf. s mezhdunar. uchastiem (20-23 iyunya 2012 g.) / Buryat. gos. un-t. - Ulan-Ude, 2012. - S. 182-187.

5. Dorofeev, S. N. Preobrazovaniya v primerakh i zadachakh : ucheb. posobie / S. N. Dorofeev. - Penza : Informatsionno-izdatel'skiy tsentr PGU, 2002. - 154 s.

6. Dorofeev, S. N. Vysshaya matematika. Kurs lektsiy : ucheb. posobie / S. N. Dorofeev. - M. : Mir i obrazovanie, 2011. - 592 s.

Дорофеев Сергей Николаевич доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой профессиональной педагогики и психологии, Пензенский государственный университет

E-mail: ppip.kafedra@inbox.ru

Dorofeev Sergey Nikolaevich

Doctor of pedagogical sciences, professor,

head of of sub-department of professional

pedagogy and psychology, Penza State

University

УДК 372.851 Дорофеев, С. Н.

Индивидуальные траектории обучения как средство организации математической деятельности / С. Н. Дорофеев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2013. - № 1 (25). -С.210-217.