Коциклические инварианты для зацеплений в проективном пространстве

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

Д. В. ГОРКОВЕЦ

КОЦИКЛИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ДЛЯ ЗАЦЕПЛЕНИЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Вводится понятие правильной раскраски диаграммы элементами конечного группоида. Вводится инвариант для зацеплений в проективном пространстве, основанный на коциклической теории гомологий.

Ключевые слова: зацепление, проективное пространство, группоид, квандл, коцик-лический инвариант.

1. Введение

Теория группоидов, или квандлов (англ. <^иапШе»), начала свое развитие, собственно, с открытия таких объектов независимо С. В. Матвеевым в 1981 году [9] и Д. Джойсом [6] в 1982 году. Группоид является множеством с заданной на нем бинарной операцией, которая удовлетворяет ряду аксиом, связанных с движениями Рейдемейстера. В 2001 году вышла в свет статья С. Картера, С. Ка-мады, Д. Йеловского, Л. Лэнгфорда и М. Сайто, в которой вводится понятие группоидной теории гомологий, а также группоидного коциклического инварианта для зацеплений в трехмерной сфере [5]. С этой статьи начались дальшейшие исследования в этой области. В частности, в 2002 году С. Картер, М. Эльхамдади и М. Сайто опубликовали статью, где вводится скрученная теория гомологий и скрученный группоидный коциклический инвариант [4]. Главное отличие скрученной теории от оригинальной в том, что в качестве групп цепей рассматриваются модули над кольцом полиномов Лорана. На основе этих и других исследований формируется обобщенная группоидная теория гомологий [3], которая сводит оригинальную и скрученную теории в одни рамки.

В настоящей статье рассматривается применение теории группоидных гомологий для построения инвариантов зацеплений в проективном пространстве, в частности, описывается теория группоидных гомологий, отличная от других, описанных выше, но также являющаяся частным случаем обобщенной теории.

2. Группоидные модули

Определение 1. Множество Г с бинарной операцией «« о»называется группоидом, если для произвольных элементов а, Ь, с € Г выполняются следующие аксиомы:

1. а о а = а (идемпотентность).

Работа поддержана РФФИ (грант 10-01-96035-р-урал-а) и программой фундаментальных исследований ОМН РАН.

2. Уравнение х о а = Ь имеет единственное решение (левообратимость).

3. (а о Ь) о с = (а о с) о (Ь о с) (праводистрибутивность).

Пример 1. Пусть Л = Z[í,í-1] — кольцо полиномов Лорана, М — Л-модуль. Тогда М относительно операции а о Ь = Ька + (1 — Ьк)Ь является дистрибутивным группоидом (к € М). При к =1 такой группоид называется группоидом Александера.

Пусть Г — группоид. Пусть П(Г) — свободная Z-алгебра с единицей, порожденная элементами пх,у, тх,у для х, у € Г такими, что Пх,у обратимы для любых х, у € Г. Определим факторалгебру Z(Г) = П(Г)/К, где К — подкольцо, порожденное элементами:

1. пхоу,гпх,у пхог,уогпх,г.

2. пхоу,гтх,у тхог,уог Пу,г.

3. тхоу,х пхох,уохтх,г тхог,уогту,г.

4. тх,х + Пх,х — 1.

Определение 2. Определенная таким образом алгебра Z(Г) называется груп-поидной алгеброй над Г.

Представление алгебры Z(Г) — это абелева группа О вместе с набором автоморфизмов пх,у € ЛиЬ(О) и эндоморфизмов тху € Еи^(О) таких, что соотношения выше верны. Если быть более точным, такое представление — это гомоморфизм Z(Г) — Еий(О), где О — некоторая абелева группа. Далее образующие алгебры и их образы обозначаются одними и теми же символами. Для фиксированного представления группа О будет Z(Г)-модулем, или группоидным модулем. Действие Z(Г) на О задается следующим образом: для любых д € О и р € Еив,(О) по определению (р,д) — р(д).

Пример 2. Пусть Л = Z[í,í-1] — кольцо полиномов Лорана, М — Л-модуль. Тогда М является Z(Г)-модулем для любого группоида Г при пх,у(а) = Ь2а и тх,у (Ь) = (1 — г2)Ь для любых х,у € Г.

3. Обобщенная группоидная теория гомологий

Рассмотрим Z(Г)-модуль Сп(Г), который является абелевой группой, состоящей из элементов (х1;... ,хп), хг € Г, г = 1,и. Для и = 0 примем Со (Г) = {хо}, где х0 — некоторый фиксированный элемент из Г. Граничные гомоморфизмы дп : Сп(Г) —— Сп-1 (Г) задаются следующем образом:

п

дп(х1,    , хп) ^ у( —1) П[х1,...,х1,...,хп],[х1,...,хп}(х1,    , хг,    , хп) —

г=2

п

— У~](—1)г(х1 о хг,х2 о хг,    ,х—1 о хг,х+ ,   ,хп) +

г=2

+ ( 1) т[хх ,хз, ...,хп},[х2 ,хз, ...,хп}(х2, х3,    , хп) , для и> 1;

д1(х) = —тх/х0,х0 1

где [хЬ х2,  ,хп\ = ((   (х1 о х2) о хз) о    ) о хп.

Лемма 1. (С(Г),д) является цепным комплексом.

Доказательство. Доказательство этой леммы подробно описано в [1].

Условие 2-коцикла для 2-коцепи р : С2(Г) — О будет следующим:

Пхоу,г (Р(х1 У)) + Р(х о У^) =

^хог,уог (р(х,г)) +

тхог,уог

для любых х, у, * € Г. Если р удовлетворяет условию р(х, х) = 0 для всех х € Г, то р называется обобщенным группоидным 2-коциклом.

Замечание 1. При пх,у = 1, тх,у = 0 для всех х,у € Г мы получаем оригинальную группоидную теорию гомологий [5]. При пх,у(а,Ь) = Ьа, тх,у(а,Ь) = (1 — Ь)Ь для всех х, у € Г мы получаем скрученную теорию гомологий [4].

4. 2-скрученная группоидная теория гомологий

Пусть Л = Z[t1 Ь-1] — кольцо полиномов Лорана, Сп(Г) = Сп(Г;Л) — Л—модуль, порождённый упорядоченными наборами (х1,    , хп) элементов группоида Г. Напомним (см. пример 2), что Сп(Г;Л) является Z(Г)-модулем для любого группоида Г при г/х,у(а) = Ь2а и тх, у(Ь) = (1 — Ь2)Ь для любых х,у € Г. При таких пх, у и тх,у граничный гомоморфизм дп : Сп (Г) — Сп-1 (Г) будет следующим:

п

дп(хь  ,хп) = Е(—1)г\Ь2(х1 ,х2,   , хг-1,хг+1,    ,хп) —

г=1

— (х-1 о х'г, х'2 о хг, , хг-1 о х^х^,    ,х„)|

для и > 1 и дп = 0 для и < 1.

Группами коцепей будут группы гомоморфизмов

Сп(Г; Л) = Иош(Сп(Г, Л); А),

где А — конечный группоид Александера. Условие 2-коцикла для 2-коцепи р : С2(Г;Л) —— А будет следующим:

12р(х, у) + р(х о у, г) = Ь2р(х, г) + (1 — Ь2)р(у, *) + р(х о г,у о г), р(х, х) = 0

для любых х, у, г € Г.

5. Раскраска диаграммы зацепления

Впервые понятие диаграммы зацеплений в проективном пространстве появляется в статье [7], с которой начинается изучение зацеплений в этом многоообра-зии. Рассмотрим модель проективного пространства, в которой оно представляется цилиндром О2 X I с отождествленными противоположными точками края. Любое зацепление в такой модели может пересекаться с краем цилиндра в конечном наборе точек; с помощью гомотопии переместим такие точки на боковую часть края цилиндра. Диаграммой зацепления называется его проекция в данном положении на основание цилиндра с наделением двойных точек информацией о том, какая часть зацепления проходит выше, а какая — ниже (двойной точкой называется точка проекции, имеющая в качестве прообраза две точки зацепления). На диаграмму накладываются условия: прообраз каждой точки проекции имеет не более двух точек зацепления, проекция самопересекается, а также пересекается с краем диска трансверсально. Таким образом, диаграммы зацеплений рассматриваются в диске с отождествленным противоположными точками края. Дугой диаграммы зацепления в проективном пространстве называется часть проекции зацепления, каждый конец которой является двойной точкой или лежит на крае диска, причем эта часть не содержит других точек таких типов.

Для зацеплений в КР3, помимо трех классических движений Рейдемейсте-ра, введено два дополнительных движения: П4, при котором петля диаграммы переходит через край диска (рис. 4), и П5, при котором двойная точка переходит за край диска (рис. 5).

Определение 3. [Раскраска диаграммы] Пусть Оь — диаграмма некоторого зацепления Ь, Г — конечный группоид. Раскраской диаграммы Оь элементами Г называется отображение с : А — Г X Г, где А — множество дуг диаграммы.

В дальнейшем потребуются раскраски особого вида, поэтому для цветов дуг в каждой двойной точке диаграммы введем ограничения. Для каждой дуги диаграммы х образ с(х) обозначим через (х,х). Для диаграммы зададим ориентацию нормали так, чтобы обход пары вектор нормали и вектор направления происходил в положительном направлении. Для каждого типа точек обозначим дуги, которые к ним примыкают, следующим образом. Рассмотрим отрицательную двойную точку (рис. 1, слева). Пусть а и d — дуги диаграммы, являющиеся частью диаграммы, которая проходит в двойной точке ниже, причем вектор нормали другой части диаграммы направлен от а к d. Пусть Ь и с — оставшиеся дуги, причем вектор нормали дуги а направлен от Ь к с. Рассмотрим положительную двойную точку. Через а и d обозначим те же дуги. Пусть Ь и с — оставшиеся дуги, причем вектор нормали дуги а направлен от с к Ь.

На все четыре цвета наложены условия. Для отрицательной двойной точки:

а о Ь = d1 Ь = с, с о а = Ь, а = й.

Для положительной двойной точки:

а о Ь = d1 Ь = с, Ь о а = с, а = й.

Пусть (а, а) и (Ь,Ь) — пары, соответствующие дугам, примыкающим к противоположным точкам края диска. Для таких цветов введем условия:

а = Ь; а = Ь.

Определение 4. [Правильная раскраска] Раскраска диаграммы конечным группоидом называется правильной, если в каждой двойной точке и точке перехода диаграммы через край все описанные выше условия (1), (2), (3) верны.

[а; а]

Ш

\а;а\

т

[с; с]

[с,с]

Рис. 1. Раскрашенные дуги около двойных точек

Лемма 2. Пусть Ь С КР3 — зацепление, Г — некоторый конечный группоид. Тогда число правильных раскрасок диаграммы Ь группоидом Г является инвариантом зацепления.

Доказательство. Непосредственно проверяется, что в окрестности двойных точек и точек перехода диаграммы через край диска верен тот факт, что для каждого обобщенного движения Рейдемейстера каждой правильной раскраске диаграммы до движения соответствует ровно одна правильная раскраска диаграммы после движения.

6. Коциклический инвариант

Рассмотрим фиксированную диаграмму некоторого зацепления. Диаграмма делит диск на области, множество которых обозначим через К. На этом множестве введем функцию I : К ^ Z следующим образом. Пусть г Є К — область, от которой нужно найти значение функции. Проведем в диске проективную прямую, которая проходит через некоторую внутреннюю точку области г и находится с диаграммой зацепления в общем положении, то есть пересекает проекцию трансверсально и не пересекает двойных точек и край диска. Выберем точку х0 на прямой, лежащую внутри г. На прямой зададим два направления: от хо до одного края диска и от х0 до другого края диска. Точкам пересечения прямой и диаграммы поставим в соответствие число 1, если направление обхода от вектора направления прямой до вектора направления диаграммы является положительным, и —1, — если отрицательным. Значением функции I является сумма всех таких чисел.

Лемма 3. Функция I задана корректно, то есть ее значение не зависит от выбора проективной прямой, по которой эта функция строится.

Определение 5. [Базовая область] Пусть т — некоторая двойная точка. Выделим из четырех дуг, примыкающих к т, такие две, ориентация которых направлена к двойной точке. Базовой областью для т является область, граница которой содержит выделенные две дуги.

На множестве двойных точек T введем функцию l : T ^ Z, действующую по правилу 1(т) = l (r0), где r0 — базовая область для т.

Определение 6. [Базовые элементы] Пусть т — двойная точка правильно раскрашенной диаграммы. Из восьми элементов группоида, которыми раскрашены четыре дуги в окрестности точки т, выберем упорядоченую четверку. Для отрицательной двойной точки такой четверкой будут две пары элементов группоида, отвечающие цветам дуг, которые направлены к двойной точке. Для положительной двойной точки берутся две пары элементов группоида, отвечающие цветам дуг, которые направлены от двойной точки. Порядок каждой четверки выбирается следующим образом. Если раскраски двойных точек обозначены так, как показано на рис. 1, тогда для отрицательной двойной точки (слева) берется четверка а, с, с, а, и для положительной двойной точки (справа) — a,b,b,a.

Пусть р Е Z2 (Г; A) — 2-коцикл, где Г — конечный группоид, A — конечный группоид Александера. Пусть C — некоторая раскраска диаграммы элементами группоида. Пусть x\, x2, x3, x4 — базовые элементы для т.

Определим функцию Ш^(т, C) : T х Col ^ A, где Col — множество всех правильных раскрасок диаграммы:

Ш^(т, C) = е(т) (t-lljV(xbx2)+ tl(T)p(x3,x4)) ,

где функция е(т) равна 1, если т положительна, и принимает значение -1, если т отрицательна.

Определение 7. Функция Ш^(т, C) назовем скрученным весом двойной точки. Определение 8. Пусть L — диаграмма зацепления. Семейство

<мч = {Е W¿T' c )}

^ TeT j CeCol

назовем 2-скрученным группоидным коциклическим инвариантом относительно 2-коцикла р.

Теорема 1. Семейство Ф^(L) не зависит от выбора диаграммы зацепления, то есть является инвариантом зацепления.

Доказательство. Чтобы доказать теорему, достаточно доказать инвариантность функции при пяти обобщенных движениях Рейдемейстера. Пусть DlL и DL — диаграммы одного и того же зацепления L, отличающиеся друг от друга одним движением Рейдемейстера. Из доказательства теоремы об инвариантности числа

правильных раскрасок следует, что множества правильных раскрасок обеих диаграмм можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Если мы покажем, что при фиксированных соответствующих правильных раскрасках диаграмм веса диаграмм совпадают, то теорема будет доказана. Покажем это. При первом

[«;«] \ш\ [Ъ\Ь] X '

[Ь;Ь°а\\ [а°Ь;а\

я; а] [Ь;Ь]

А А

и

Ш/

г -

[5; в]— [Ь;Ь]

[а; а] [Ь;Ь]

Рис. 2. Второе движение Рейдемейстера

движении Рейдемейстера исчезает или появляется двойная точка, но скрученный вес такой двойной точки равен нулю, так как р(х,х) = 0 для всех х Е Г. Рассмотрим частный случай второго движения (см. рис. 2). Для каждой области г в рамках обозначены значения функции 1(г). Пусть Т\ и т2 — верхняя и нижняя двойные точки, соответственно. Тогда

Wv(т1, С) + (Т2, С) =

= Г(к+2)р(а, Ь) + гк+2р(Ь, а) + Г(к+2) (-р(а, Ь)) + гк+2(-р(Ъ, а)) = 0.

[(с°а)°(6°а);с| [Ь°а;Ь°с| [«;(д°£)°с] [(с°А)°а;с] [Ь°а;Ь°с| [а;(л°с) °(Ь°с)]

[а; а] [Ь;Ь] [с; с]

[а; а] [Ь;Ь] [с; с]

Рис. 3. Третье движение Рейдемейстера

Остальные случаи второго движения проверяются аналогично. Рассмотрим один случай третьего движения Рейдемейстера (рис. 3). Выпишем суммы значений скрученных весов до и после движения:

Ш^(ти С) + Ш^т2, С) + ^(тз, С) =

= Г(к+4)р(Ь,а) + гк+Ар(а,Ь) + Г(к+2)р(с, а) + Ьк+2р(а о Ь,с) +

+ї-(к+4 р(с о а,Ь о а) + Ьк+4р(Ь, с) =

= Г(к+4) [р(Ь, а) + г2р(с, а) + р(с о а,Ь о +

+к+2 \ь2р(а, Ь) + р(а о Ь,с)+ і2р(Ь, с)] ;

Ш^(т[, С) + Ш^(т'2, С) + Ш^(т3, С) =

= Г(к+4)р(с о Ь,а) + гк+4р(а,,с) + Г(к+2)р(Ь,а) + ік+2р(а о с,Ь о с) + +Г(к+2)р(с,Ь) + гк+2р(Ь,с) =

= Г(к+4) \ір(с о Ь,а) + і2р(Ь, а) + і2р(с, Ь)] +

+ік+2 \ь2р(а, с) + р(а о с,Ь о с) + р(Ь, .

Условие на 2-коцикл, описанное ранее, доказывает равенство обеих сумм. Рассмотрим четвертое движение, при котором свободная петля вытягивается за край (рис. 4) На рисунке не обозначена ориентация зацепления, потому что при доказательстве она не нужна. Так как движение П4 не затрагивает двойных точек, то инвариантность относительно четвертого движения доказана.

Рис. 4. Четвертое движение Рейдемейстера

Рассмотрим случай пятого движения (рис. 5). При движении исчезает двойная точка т и появляется т'. Их веса равны:

Wv(т, С) = -Г(к+2)р(а,Ь) - гк+2р(Ь,а);

Wv(т,, С) = -Г(-к-2)р(Ь,а) - Гк-2р(а,Ь).

Остальные случаи пятого движения являются композициями данного случая и четвертого движения.

Рис. 5. Пятое движение Рейдемейстера

7. Пример вычисления

2-коциклы р Е Z2(Г; А) удобно представлять в виде линейной комбинации характеристических функций:

^ ^ аа,ЬХа,Ь(х, У) ,

(а,Ь)€ГхГ

где аа,Ь Е А, а

х ,х у)=\ 1 при (а,Ь) = (х,У),

Ха,ь(х,у) |о иначе.

Рис. 6. Зацепление 44

Найдем значение инварианта для зацеаления 44 по классификации Дробо-тухиной (Виро) [8]. Пусть Г = Я3, где Яп — группоид, как множество совпадающий с Zn, операция задается правилом а о Ь = (2Ь — a)(mod п). Пусть модуль

A = Z2[t, t l}/(t2 + t + 1). В качестве 2-коцикла p E £2(Г; A) возьмем

V = tX0,2 + Xl,0 + (t +1)X2,l-

Диаграмма зацепления имеет 11 дуг, каждая из которых красится в два элемента группоида Г (рис. 6), то есть каждой дуге ставится в соответствие упорядоченная пара элементов. На диаграмме такие элементы записаны в квадратных скобках. В круглых скобках стоят значения функции l на областях диаграммы. Таким образом, 1(т1) = -1, 1(т2) = 1(т3) = 1(т4) = 1. Чтобы раскраска была правильная, нужно, чтобы выполнялись 22 соотношения. Всего существует 9 правильных раскрасок, и значение инварианта будет следующим:

yv(4\ ) = {U60,t + 1,t,t}, где Unf (t) означает, что полином f (t) берется n раз.

Список литературы

1. Andruskiewitsch, N. From racks to pointed Hopf algebras / N. Andruskiewitsch, M. Grana // Adv. in Math. - 2003. - Vol. 178, № 2. - P. 177-243.

2. Carter, S. A Survey of Quandle Ideas / Scott Carter [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://lanl.arxiv.org/abs/1002.4429.

3. Carter, S. Generalizations of Quandle Cocycles Invariants and Alexander Modules from Quandle Modules / Scott Carter, Mohamed Elhamdadi, Marias Grana, Masahico Saito // Osaka J. Math. — 2005. — Vol. 42. — P. 499-541.

4. Carter, S. Twisted quandle homology theory and cocycle knot invariants / Scott Carter, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito // Algebraic & Geometric Topology. — 2002. — Vol. 2. — P. 95-135.

5. Carter, S. Quandle Cohomology and State-sum Invariants of Knotted Curves and Surfaces / Scott Carter, Seiishi Kamada, Daniel Jelsovsky, Laurel Langford, Masahico Saito // Trans. Amer. Math. Soc. — 2003. — Vol. 355. — P. 3947-3989.

6. Joyce, D. A classifying invariant of knots: the knot quandle / D. Joyce // Journal of Pure and Applied Algebra. — 1982. — Vol. 23. — P. 37-65.

7. Дроботухина, Ю. В. Аналог полинома Джонса для зацеплений в RP3 и обобщение теоремы Кауфмана—Мурасуги / Ю. В. Дроботухина // Алгебра и анализ. — 1991. — Т. 2. — С. 613-630.

8. Drobotukhina, Ju. V. Classification of links in RP3 with at most six crossings / Ju. V. Drobotukhina // Advances in Soviet Mathematics. — 1994. — Vol. 18, №. 1. — P. 87-121.

9. Матвеев, С. В. Дистрибутивные группоиды в теории узлов / С. В. Матвеев // Математический сборник. — 1981. — Т. 119(161), №. 1. — С. 78-88.