Интегро-дифференциальная параболическая модель массопереноса в поглощающей пористой среде

Физико-математическое моделирование

УДК 621.791.4.001.57; 53.072

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАССОПЕРЕНОСА

В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

И.Л. Батаронов, А.В. Селиванова, В.Ф. Селиванов

Сформулирована интегро-дифференциальная параболическая модель газопереноса по системе пространственно-связанных пор. Данная система является графовой моделью свободного пространства пористой среды. Методом баланса осуществлена дискретизация модели и сформулирован итерационный алгоритм ее решения

Ключевые слова: математическое моделирование, газоперенос, пористая система, параболические задачи

Массоперенос в пористых системах является важной для практики и широко исследовавшейся проблемой [1, 2]. Вместе с тем, особенности массо-переноса в условиях сильного поглощения недостаточно изучены и для теоретического описания процесса требуют развития модельных представлений как о самой пористой среде, так и об основных уравнениях переноса [3 ,4]. Применение специализированных вычислительных пакетов [5, 6] в данной задаче ограничено вследствие нестандартности уравнений модели. Использование приближения «вакуумированной зоны», эффективное для решения родственных задач газопереноса в слоистых конструкциях и узких каналах [7-13], оказывается здесь недостаточным ввиду неоднородности поро-вой структуры и необходимости учета состояния и эволюции газовой среды в вакуумированной зоне [14].

В настоящей работе разрабатывается интегро-дифференциальная модель массопереноса, позволяющая эффективно учитывать как сорбционные потоки, так и состояние газа в автовакуумированой области.

Постановка задачи

Среди различных моделей пористых систем для решения задачи массопереноса наиболее удобной является графовая модель [2]. В этой модели свободное пространство пористой системы представляется в виде совокупности пор, имеющих случайный разброс объема и площади поверхности, и моделирующих «трехмерные» зоны свободного пространства, и системы соединяющих поры каналов с разбросом длины, площади и периметра сечения, моделирующих «двух- и одномерные» зоны (рисунок).

Батаронов Игорь Леонидович - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 246-42-22

Селиванова Антонина Владимировна - ВГТУ, аспирант, тел. (473) 278-38-84

Селиванов Владимир Федорович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 278-38-84

Удобство такой модели состоит в том, что процесс массопереноса в ней фактически осуществляется только вдоль каналов и, соответственно, имеет пространственно-одномерный характер. Поры же выступают только в качестве накопителей и источников газа, поскольку массоперенос в них происходит намного быстрее, чем в каналах и в последовательной системе, которой является графовая модель, таким массопереносом можно пренебречь.

Схема графовой модели

Для математического описания графа пор перенумеруем их и сопоставим каждой / -поре объем V\ и площадь поверхности , которые, в общем случае, являются функциями времени. Будем характеризовать состояние газа его объемной концентрацией п, которая связана с давлением газа соответствующим уравнением состояния. Тогда состояние газа в I -поре в рамках используемой модели характеризуется концентрацией п^ .

Графовая модель пористой системы затем получается путем индексации системы каналов парами номеров (I, у), обозначающих номера связанных этими каналами пор. Отметим, что мы имеем дело с неориентированным графом. Матрица инцидентности такого графа представляет собой симметрическую матрицу размером (Nх N), в которой (/',у)-элемент равен 1, если имеется соответствующий канал и равен 0 в противном случае. В виду малой связности системы (число пор, непосредственно связанных каналами с данной порой, или число ненулевых элементов в строках (столбцах) матрицы инцидентности) эта матрица будет очень слабо заполнена, поэтому ее использование в данной модели нецелесообразно. Обозначим максимальную связ-

ность пор, как М, тогда графовая модель может математически изображаться матрицей размером (NхМ ), в которой в 1 -й строке находятся номера а -пор, связанных с 1 -й порой, а лишние элементы заполнены нулями. При программной реализации алгоритмов с такой матрицей целесообразно ее дополнить 0-м столбцом, содержащим значение связности каждой поры.

Состояние газа в канале в виду учета процесса массопереноса должно описываться распределением концентрации щ у (х, /), где х - координата, отсчитываемая вдоль длины канала. Кинетика изменения этого распределения определяется, с одной стороны, процессом массопереноса вдоль канала, который в рамках упрощенной модели для смешанного режима представляется параболической задачей [9, 10], а с другой стороны, массообменом канала с соединяемыми порами.

При учете процесса абсорбции газа твердой фазой пористой среды в задаче формируются распределенные стоки, которые в используемой одномерной постановке являются объемными. Действие этих стоков зависит от состояния газа в месте их расположения и в рамках уравнения диффузионного массопереноса с использованием функции Грина может быть записано в интегральной форме [14], отражающей временную дисперсию процесса твердофазной диффузии.

В итоге постановка задачи требует формулировки интегро-дифференциальной модели переноса в рамках параболической задачи.

Математическая модель

шинстве случаев мало по сравнению с другими слагаемыми и, как правило, им можно пренебречь. В то же время его учет не приводит к каким-либо принципиальным математическим трудностям.

Уравнение переноса вдоль канала при учете изменения во времени геометрических параметров канала может быть получено из интегрального уравнения сохранения для количества вещества в объеме цилиндра с основанием в виде сечения канала и дифференциально малой высотой вдоль длины канала [7, 8], в результате находим:

ЩЩ}+^ )_- П (, (х, /).

Здесь б] () - площадь поперечного сечения канала, Пу () - периметр этого сечения, у (х, () -

плотность потока абсорбционного поглощения стенками канала.

Преобразуя это уравнение аналогично (2), за-

пишем

ди а / \ , , , дБ,-,-

_ ^

Для аппроксимации потока по каналу в смешанном режиме воспользуемся простым соотношением, обеспечивающим удовлетворительную, с точки зрения практики, точность [15]:

3] _ !) + ).

Математическая модель рассматриваемой задачи включает в себя уравнение баланса массы в порах и каналах и связывающих их в соответствии с графовой моделью соотношений баланса потоков и непрерывности концентрационного поля.

Уравнение баланса массы в -поре с учетом нестационарности параметров пор имеет вид:

'

_ 13 у - Б (') ], (<).

Здесь 3 - - поток газа из (,, ]) канала в г пору,

а суммирование ведется по всем каналам, соединенным с данной порой, ] 1 (/) - абсорбционная плотность потока поглощения газа стенками поры, определяемая решением твердофазной диффузионной задачи.

Разрешая уравнение (1) относительно концентрации в поре, получим:

= 13] - Б (' )Ш)-

Здесь последнее слагаемое, учитывающее увеличение концентрации за счет сжатия поры, в боль-

Поток в молекулярном режиме удовлетворительно описывается уравнением Кнудсена [15] :

3

3а _ зи° п у дх '

где и0 - средняя скорость молекул газа.

В свою очередь, поток в гидродинамическом режиме может быть выбран в виде решения для Пу-азейлевского течения [9]

т( Г) дщ]

3] ) _ -апа —-] 1 дх

В итоге выражение для полного потока будет иметь квазилинейный вид:

ди ,,

3 а _-а(П] + па.

Здесь у, (/) - пороговое значение концентрации,

при котором гидродинамический режим течения газа сменяется молекулярным переносом [9].

Наконец, для потока поглощения воспользуемся моделью абсорбционно-контролируемого про-

цесса диффузии в твердой фазе, которая приводит к следующему выражению для потока поглощения [14]

у [п]=^ í е (т

Ж 0 а? к

л

па + п

а?

с?

где па - пороговая концентрация заполнения ад-слоя.

Полная система уравнений модели помимо выписанных выражений включает в себя также условия сопряжения каналов и пор, состоящие в использовании в уравнении (2) значения потока (8) на соответствующем конце канала, и в использовании условий согласования концентраций, т. е. равенство концентрации щ всем значениям концентраций пу на концах каналов в данной поре.

Дискретизация модели

Уравнения (2) модели представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, однако применение схем высокой точности типа Рунге-Кутта [16] оказывается здесь нецелесообразным, поскольку значения величин в правой части уравнений должны вычисляться из решения уравнений (4), аппроксимация которых по времени имеет первый порядок. В рамках той же точности ограничимся здесь методом Эйлера, в результате получим разностные уравнения в виде:

Кп, - ^ = Ч ЕМу -^ У).

где to - шаг по времени, выбираемый так, чтобы изменения кинетических коэффициентов на интервале to были е-малы [14].

Затем, уравнения (4) представляют собой дифференциальные уравнения по пространственной переменной и интегро-дифференциальные по времени. Вследствие этого для аппроксимации уравнений (4) можно применить метод баланса [15].

Зададим сетку по координате х с шагами

Ик, к - . Использование неравномерной сетки может оказаться полезным ввиду резкого изменения решения по длине канала. Кроме того, для уменьшения размерности численной схемы и учета возможной «жесткости» системы уравнений (2), (4) сетка предполагается адаптивной, то есть перестраиваемой в процессе получения решения для обеспечения сходимости схемы и избегания «разболтки».

Проинтегрируем уравнение по ячейке сетки на Т-шаблоне чисто неявной схемы и после аппроксимации интегралов для дифференциальной части уравнения (4) получим разностную аппроксимацию:

^упу,к $упу,к '

аи

0

к + к

г+1

чу,к+1 " ту,к ту,к~ ту,к-1

к

г+1

к,-

- —0 Пу уу,к ,

к --1,

Здесь введено обозначение

-(у1} + п у )2.

ту

В свою очередь, аппроксимация интегральной части (9) уравнений модели по методу средних с выделением корневой особенности на верхнем пределе интегрирования, аналогично выполненному в [14], приводит к выражению:

и0уу,к - 2А)

4<з4к

1у,к

3Ж па + п у к

- + Л,

у,к

Фигурирующая здесь аппроксимация Му^ регулярной части интеграла (9) не содержит неизвестных переменных пу к и приведена в [14].

Аппроксимация соответствующего выражения в уравнении (10) получается отбрасыванием индексов у, к в соотношении (13).

Наконец, для получения аппроксимации потоков в уравнениях (10) проинтегрируем уравнение (4) по граничной полуячейке и после аппроксимации интегралов будем иметь

- аи0 / „ \

и0- щ (туп - т)-

-2 и0Пу уу,Ь - 2

Здесь использовано обозначение (12), индекс Ь обозначает граничный узел сетки, а индекс пь - соседний с ним. Выражение (14) определяет потоки в уравнениях (10).

Условиями сопряжения уравнений (10) и (11) являются требования непрерывности концентраций:

п 9,0 - п г, п ff.N0 - п у

Совокупность уравнений (10)—(15) образует численную модель рассматриваемого процесса. Эта модель существенно нелинейна и может быть решена применением итерационного алгоритма. Для его формулировки заметим, что уравнения (11) содержат по три неизвестных переменных, тогда как уравнения (10), (14), (15), помимо собственной переменной, включают по одной переменной из каждого канала, соединенного с порой. Поэтому целесообразно разделить в итерационной процедуре решение указанных групп уравнений. В результате предлагаемый алгоритм состоит в последовательном повторении следующих процедур на каждом шаге по времени:

х

х

1) Для заданного значения и]-щЬ , взятого с

предыдущей итерации, -уравнение (10), (14), (15) содержит только одну неизвестную переменную и решается автономно. При использовании выражений (12), (13) оно сводится к кубическому уравнению.

2) Найденные значения п, используются в уравнениях (15), которые в этом случае совместно с (13) образуют квазилинейную трехдиагональную систему уравнений, решаемую последовательностью прогонок, например, по устойчивому методу, предложенному в [14].

Исследование разработанной модели требует построения программного комплекса, реализующего графовую модель пористой системы и сформулированную численную модель процесса массопереноса, что будет выполнено в отдельной работе.

Литература

1. Лыков, А. В. Теория сушки [Текст] / А. В. Лыков. -М.: Энергия, 1968. - 472 с.

2. Москалев, П. В. Математическое моделирование пористых структур [Текст] / П. В. Москалев, В. В. Шитов. - М.: Физматлит, 2007. - 120 с.

3. Моделирование массопереноса в системе сильно-поглощающих поровых каналов [Текст] / И. Л. Батаронов, Л. В. Милушева, В. Р. Петренко, В. В. Пешков, В. Ф. Селиванов, П. О. Акиньшин // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - Т. 42. - № 4. - С. 4952.

4. Закономерности массопереноса в пористом абсорбирующем материале [Текст] / И. Л. Батаронов, В. Р. Петренко, В. Ф. Селиванов, Л. В. Милушева, П. О. Акиньшин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т. 6. - № 12. - С. 9-10.

5. Сбитнев, Я. В. Компьютерные системы конечно-элементного мультифизического анализа [Текст] / Я. В. Сбитнев, Г. Е. Шунин // Энергия - 21 век. - 2006. - № 3. -С. 65-72.

6. Конечно-элементный комплекс программ БЕМР-БЕ8о1уег [Текст] / С. А. Кострюков, В. В. Пешков, Г. Е. Шунин, М. И. Батаронова и др. // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 4(42). - С. 5257.

7. Диффузионная сварка титана и его сплавов [Текст] / А. В. Бондарь, В. В. Пешков, Л. С. Киреев, В. В. Шурупов. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1998. - 256 с.

8. Kireev, L. S. Joining Titanium to steel [Text] / L. S. Kireev, V. V. Peshkov // Welding and Surfacing reviews. -1998. - V.11. - Pt. 2. - P. 1-127.

9. Батаронов, И. Л. Физико-математическое моделирование течения газа по технологическим зазорам переменного сечения при диффузионной сварке [Текст] / И. Л. Батаронов, В. Р. Петренко, В. В. Пешков // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2006. - Т.2. - № 8. - С. 5-12.

10. Моделирование двумерных течений с сингулярным поглощением методом выделения особенности [Текст] / И. Л. Батаронов, О. В. Ислентьев, В. Р. Петренко,

B. В. Пешков, В. Ф. Селиванов // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 4 (38). -

C. 4-8.

11. Моделирование тепломассопереноса в щелевых каналах с топохимическими экзотермическими реакциями [Текст] / И. Л. Батаронов, О. В. Ислентьев, В. Р. Петренко, В. Ф. Селиванов, Д. Н. Балбеков // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т. 7. - № 2. - С. 4-6.

12. Физико-математическая модель процесса изменения давления газа в трактах охлаждения титановых теплообменников при нагреве [Текст] / В. В. Пешков, И. Л. Батаронов, В. Р. Петренко, Д. Н. Балбеков // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т. 5. - № 5. - С. 4-6.

13. Закономерности переноса газа в поглощающих контактных зазорах [Текст] / И. Л. Батаронов, В. В. Пешков, В. Ф. Селиванов, А. И. Стрыгин // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2013. - Т. 9. - № 2. - С. 138-141.

14. Моделирование массопереноса в поглощающей вакуумируемой полости при нагреве [Текст] / И. Л. Бата-ронов, В. В. Пешков, В. Ф. Селиванов, О. В. Ислентьев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2014. - Т. 10. - № 2. - С. 66-70.

15. Пипко, А. И. Конструирование и расчет вакуумных систем [Текст] / А. И. Пипко, В. Я. Плисковский, Е. А. Пенчко. - М.: Энергия, 1979. - 504 с.

16. Калиткин, Н. Н. Численные методы [Текст] / Н. Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

Воронежский государственный технический университет

INTEGRAL-DIFFERENTIAL PARABOLIC MODEL OF MASS TRANSFER IN ABSORBING

POROUS MEDIUM

I.L. Bataronov, A.V. Selivanova, V.F. Selivanov

A integral-differential parabolic model of gas transfer in a system of space-connected cavities is formed. This system is graph model of free space of porous medium. A numerical model is developed with balance method. An iteration algorithm of its solution is constructed

Key words: mathematical simulation, gas transfer, porous system, parabolic problems