Выбор шага интегрирования по времени при численном решении потенциально-потоковых уравнений неравновесных процессов в сосредоточенных параметрах

его доверительная граница на уровне доверия 0,9 составляет 1,65.

Как показывает обратный расчет - именно верхняя доверительная граница коэффициента запаса 1,65 дает нижнюю оценку надежности не ниже 0,995, что подтверждает работоспособность метода.

При планируемом отсутствии отказов для одного прибора средний испытательный коэффициент запаса составляет 1,49, а верхняя его довери-

тельная граница на уровне доверия 0,9 составляет 1,75.

Разработанный метод планирования испытаний на прочностную надежность конструкции, основанный на методе статистического моделирования, хорошо поддается программированию и позволяет определить требуемый коэффициент запаса пи необходимый при проведении испытаний для подтверждения заданного уровня надежности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Методика расчета прочностной надежности конструкции для плана испытаний с запасом, основанная на применении статистического моделирования. М.А. Власов, В.А. Горопашный, С.Ф. Сергин, Н.А. Орлова. Надежность и качество 2013: труды международного симпозиума. В 2-х томах. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - Т.1. - С. 106-108.

2. К вопросу о расчете прочностной надежности конструкции для плана испытаний до разрушения. М.А. Власов, В.А. Горопашный, С.Ф. Сергин, Н.А. Орлова. Надежность и качество 2014: труды международного симпозиума. В 2-х томах. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. - Т.1. - С. 391-392.

3. Об учете предварительной информации при оценке надежности сложных систем. В.И. Лукьященко, А.Н. Терпиловский В сборнике «О надежности сложных технических систем». Изд-во «Советское радио», Москва, 1966г., 263-275с.

4. Численные методы Монте-Карло. И.С. Соболь. Издательство «Наука», Москва, 1973г. 312с.

5. Артемов И.И. Исследование влияния дефектной структуры материала болтового соединения на процесс ослабления затяжки / Артемов И.И., Кревчик В.Д., Суменков С.В. // Новые промышленные технологии. 2002. № 5-6. С. 67.

6. Программная реализация усовершенствованной методики расчета прочностной надежности конструкции для плана испытаний с запасом. М.А. Власов, С.Ф. Сергин. Надежность и качество 2013: труды международного симпозиума. В 2-х томах. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - Т.1. - С. 108-109.

УДК 51-37 Старостин И.Е.

Научно-исследовательский институт стандартизации и унификации, ФГУП (НИИСУ), Москва, Россия ВЫБОР ШАГА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВЫХ УРАВНЕНИЙ НЕРАВНОВЕСНЫХ

ПРОЦЕССОВ В СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ПАРАМЕТРАХ

Введение

В настоящее время для исследования неравновесных процессов существуют два подхода: макроскопический и микроскопический [1 - 6]. Микроскопический подход основан на статистической физике и кинетической теории [1, 2]. Эти теории основываются на уравнениях движения частиц, как, например, уравнение Больцмана, Паули [2], базируются на известных моделях молекул и применяются для определенных классов необратимых процессов [2, 3]. Поэтому эти теории, несмотря на то, что дают глубокое физическое описание явлений, не нашли широкого применения для моделирования неравновесных процессов в технических, технологических системах, в природе, в живых организмах [1, 3].

Макроскопический подход основывается на современной термодинамике [3 - 6]. Предметом современной термодинамики является изучение тех наиболее общих свойств макроскопических тел, которые не зависят от конкретного микрофизического строения этих тел и которые проявляются в процессах обмена энергией между телами [3 - 6]. Любые явления в природе и технике сопровождаются обменом энергией, поэтому термодинамика, разрабатывая общие методы изучения энергетических явлений, имеет всеобщее методологическое значение и ее методы используются в самых различных областях знания [1, 3 - 6].

Современная термодинамика подразделяется на равновесную (классическая термодинамика), изучающую равновесные (квазистатические) переходы из одного равновесного состояния в другое, и неравновесную, изучающую неравновесные переходы из одного состояния в другое [2, 3 - 6]. Современная неравновесная термодинамика в общем случае характеризуется отказом от принципа локального термодинамического равновесия (рациональная термодинамика) [5, 6].

Современная неравновесная термодинамика рассматривает как системы, обладающие эффектом памяти, так и системы, не обладающие эффектом памяти [6, 7]. В случае систем, обладающих эффектом памяти, вводятся дополнительные динамические величины, характеризующие накопленный опыт системы, сведя тем самым описание систем, обладающих эффектом памяти, к описанию систем,

не обладающих эффектом памяти [6, 7]. Таким образом, в современной неравновесной термодинамике состояние системы характеризуется параметрами состояния - динамическими переменными, значения которых однозначно характеризуют состояние системы и не зависят от предыстории системы [4, 5, 7, 8]. Среди параметров состояния выделяют координаты состояния, изменение каждой из которых сопряжено с неравновесным процессом конкретной физической природы [4, 5]. Число координат состояния равно числу степеней свободы рассматриваемой системы [4, 5]. Таким образом, в современной неравновесной термодинамике состояние системы целесообразно характеризовать координатами состояния [4, 5, 8]. Координаты состояния связаны друг с другом уравнениями баланса [3 - 8].

С точки зрения современной неравновесной термодинамики причиной и необходимым условием протекания неравновесных процессов являются термодинамические силы, определяемые как взятый с противоположным знаком градиент свободной энергии по независимым координатам состояния с учетом уравнений баланса [3, 5 - 8]. Но однако термодинамические силы однозначно не определяют всех особенностей протекания неравновесных процессов [9]. Помимо термодинамических сил независимо от последних эти особенности определяются еще и кинетическими свойствами неравновесных систем (например, энергией активации, эффективным диаметром молекул, и т.д.) [9]. Шкалой кинетических свойств неравновесных систем является матрица восприимчивостей (кинетическая матрица), определяемая кинетическими свойствами [9], коэффициенты которой характеризуют восприимчивость неравновесных процессов к термодинамическим силам [7 - 9]. Матрица восприимчиво-стей определяется из экспериментальных данных [7, 10].

Помимо детерминированной составляющей любая термодинамическая система обладает стохастикой [2]. Для учета стохастики вводятся случайные силы и случайные составляющие внешних потоков [11].

Зная термодинамические силы, случайные силы, внешние потоки и их случайные составляющие, матрицу восприимчивостей, а также имея уравне-

ния баланса, можно однозначно спрогнозировать динамику протекания неравновесных процессов (с учетом стохастики) [7, 11], составив систему потенциально-потоковых уравнений (включающую в себя стохастику) [7, 11], которая является полной, т.е. она с учетом стохастики позволяет однозначно спрогнозировать эволюцию неравновесной системы [7, 11].

При численном решении этой системы необходимо задавать случайным образом формальные внешние силы и формальные внешние потоки, затем, рассчитав состояние системы в следующий момент времени известными численными методами интегрирования ОДУ, интерполируем приближенное решение на шаге интегрирования и рассчитываем на этом шаге формальные внешние силы и формальные внешние потоки [12, 13]. Если эти величины хотя бы

в одной точке превышают флуктуационные значения (наиболее вероятные флуктуационные значения), то решение некорректно [12]. В противном случае решение корректно, т.к. эти формальные внешние силы и формальные внешние скорости в силу их обладания случайным характером (т.к. решение получается случайным) можно отнести к флуктуа-циям [12]. Задачами настоящей работы является разработка методики выбора шага интегрирования по времени и оценки максимальный и минимальных значений формальных внешних сил и формальных внешних скоростей на выбранном шаге интегрирования. Потенциально-потоковый метод и особенности численного интегрирования уравнений этого метода. Система потенциально-потоковых уравнений имеет вид [7, 11]:

^ = A(x(t).y (t),U(t))(X(x(t),y (t),U(t)) + XM (x(,),y (t),U(t),«)) + df + df -X( x,y,U) = -(V „F ( x, y( x,P) ,U))p=p

dy (t ) =fcy(xJ!) ... 5 у ( x,P ) ] [[) __ £x -dt ^ Sx dxm Jx=x(') [ dt dt dt

/р=Р

дхт ^=х(,) [ Л

Р=Р

где и - вектор параметров, характеризующих условия протекания неравновесных процессов в неравновесной системе (например, геометрия камеры сгорания, число молей катализатора, и т.д. [7]); х, у - координаты состояния, характеризующие состояние системы, [8] причем х - вектор независимых координат состояния, а у -выражаются через х и вектор параметров баланса

Р (например, суммарная масса системы, суммарная внутренняя энергия системы) посредством

уравнений баланса [7, 8] у = у

Р (х, у, И) - свободная энергия; Х( х у, И) - термодинамические силы, движущие неравновесные процессы в рассматриваемой системе; А( х, у, И) -

положительно определенная кинетическая матрица (матрица восприимчивостей) - шкала кинетических свойств неравновесных систем [7, 9], коэффициенты которой характеризуют восприимчивости сис-

Лех Сеу

сЬ Ж

+ e + e, dt dt

внешние потоки;

Xra (x,y,U,ffl) - случайные

(внутренние) [11]

случайные со-

темы к термодинамическим силам [7]

, dey -dt dt

ставляющие внешних потоков [11].

В случае сложной системы используется декомпозиция на ее простые подсистемы [7]; матрица восприимчивостей сложной системы строится через матрицы восприимчивостей ее простых подсистем [7]. Матрицы восприимчивостей простых подсистем строятся из экспериментальных данных (скоростей протекания неравновесных процессов, термодинамических сил, а также матриц увлечения термодинамических координат и матриц эквивалентности термодинамических сил в этой простой подсистеме) [10]. Матрицы увлечения термодинамических координат и матрицы эквивалентности термодинамических сил определяются из физических особенностей конкретной простой подсистемы [10].

Разрешив уравнение (2) относительно параметров баланса P P = P(x,y) , получим согласно (1) и (2) [12]:

7('),

ddfL = a ( x (0. y (t ), U (t ))(X (x (t ), y (0, U (t )) + x; (x (0. y (t ), U (0,t)), dt , y(t) = У(x(t), p(t)), X(x,y,U) = -VxF(xy(x,p),U)|p=p(x,y),) = (pf pT (t))T

^ = Bx

d„„ p

где матрицы баланса ются согласно:

Bx ( x,y ) =

By ( x,y ) =

x,y )

dx

Bx

... dpv(x,y,

определя-

5pv

5pv

Л Л

Система уравнений (3) использована в работах [12, 13] для численного моделирования динамики протекания неравновесных процессов. Для расчета формальных внешних сил и формальных внешних потоков после расчета состояния системы в следующий момент времени и выполнения интерполяции решения используется следующая система уравнений:

dx° (t) dt

= A

У° (t) = У ( x'(t) , p'(t)) U X( xy,U) = ~VxF ( xy( x,p) ,U)| p = p(x,y )U (r) =(

^ = Bx

d (e)x " dt '

f(t))T

j(<0 \dy

d* F,

Л х ' V ^ '' ^ Л

Условно процесс интегрирования по времени (на каждом шаге интегрирования) можно разделить на следующие этапы [13]:

Задание случайным образом случайных внешних

сил Х°л

+ -

случайных внешних потоков

dmpv dt

в следующий момент времени.

Ж- Ж-

Определение состояния системы в следующий момент времени с использованием системы (3).

Интерполяция решения системы на временном шаге интегрирования (например, полиномом).

Расчет формальных внешних сил Хф (х°,у°,И,/) и

Жь Р„

формальных внешних скоростей

dt

на временном

силы

шаге интегрирования с использованием системы (4) и сравнения с соответствующими флуктуацион-ными значениями.

По пункту 4 следует сделать оговорку, что за максимальное значение флуктуаций принимается утроенная дисперсия флуктуаций. Для определения формальной внешней силы, как видно из (4), необходимо решать систему уравнений относительно

внешние скорости

d (e'x

исл х dt

и аналогично формальные

внешние силы Хф ( x°, y °, U, t ) в формальные внешние (e)x

ф x

скорости — в соответствие с:

dt

Хф (x-,y-, U,t) ,

что вызывает определенные затруд-

d (e)x

нения при матрицах, имеющих большие порядки [14]. Отсюда возникает целесообразность пере-

dt

= A (x,y, U) x; ( x,y, U,t) ,

считать случайные силы

ХСл

d (e)x

в случайные

dt

= A

Согласно (5) уравнение (4) примет вид:

^x+ dt dt

^ = A ( x - ), - ) ,U (, )) X ( x •(, ) ,y - ) ,U (, ))+ ^ + ^ '

y°

¿P^==x -- y

Рассчита случайных скоростей

dt

в соответствие с (5) дисперсию d«x

dt

., зная (или задав при-

ближенно) распределение случайных внешних сил, мы получим максимальное по модулю значение, которое не должны превышать формальные внешние

скорости

dt

в случае корректного решения. В

этом случае в пункте 4 будут использоваться

формальные внешние потоки

dj^x dt

вместо формаль-

ных внешних сил

Хф (x,y,U,t) . Ура

внение (6) более удобно для анализа корректности приближенного решения, чем уравнение (5), т.к. оно дает

Р-Р(х,у) '

Ж у V 4 V V V >>! Ж Ж

возможность явно определять формальные внешние потоки (в отличие от (4) , где надо решать систему линейных алгебраических уравнений относительно формальных внешних сил).

Выбор шага интегрирования и оценка максимальных и минимальных значений формальных внешних потоков

В разложении любой функции по формуле Тейлора нелинейные члены имеют большую степень малости, чем линейные. Отсюда возникает идея разложить термодинамические силы, матрицы восприим-чивостей, матрицы баланса в некоторой окрестности текущего состояния системы хп , уп в текущий момент времени 1п на линейную и нелинейную составляющие:

A(x,y (x, p),U) = Ал (x,y (x, p),U) + AH (x - xK,y (x, p) - y (xK, PK),U - UK) , X(x,y(x, p),U) = Хл (x,y (x, p),U) + XH (x - xK,y (x, p) - y (x,, Pn),U - UK) , Bx(x,y(x,p)) = Bx(x,y(x,p)) + B^(x,y(x,p)), By(x,y(x,p)) = By,(x,y(x,p))+ By,(x,y(x,p)),

где линейные составляющие представляют собой сумму соответствующей величины в состоянии хп , у в текущий момент времени и их линейных

членов в разложении по формуле Тейлора этих величин в состоянии хп , у в текущий момент времени 1п , а нелинейные составляющие - сумму остальных

и (е) х Л°\

- (9), получим выражения для линейных соста

41x dф,л p„ ..

ляющих

dt dt

d\:)x

dtl x dф„P

-*ф,нх dt dÉpL dt

dt

dф,нP dt

формальных внешних потоков

dt

соответственно:

x_ dx- (t) d(<

d(e) x

flф,н( dt

dt

= -A

dt

dt

A,

(x-(t),y(x-(t),p-(tt),U(t))Xл (x-(ty(x-(t),p-(t)),U(t)) ,

,( x- (t )-x, ,y( x- (t ) ,p- (t ))-y( x, ,p„ ) ,U(t )-U, ) x( x- (t ) ,y( x- (t) ,p- (t)),U(t ))-

„ ( x- (t ) ,y( x- (t ) ,p- (t )) ,U(t)) XH ( x- (t)- x, ,y( x- (t) ,p- (t))- y( x, ,P, ),U(t )- U, ),

d~ir = = -

d dt

¿фи^. dt

= -Bx

,

d(e)x _ dt

.

dt dt dt dt dt dt

Из уравнений (10) и (12) видно, что если независимые координаты состояния и изменяющиеся

параметры баланса, а также внешние потоки представлены на шаге интегрирования временными полиномами, то и линейные составляющие формальных

d y

'у,Н^ x V xn, у (x V ) ,p V t)-У lx«, P

Из уравнений (6) - (13) видно, что:

*ф,нА ф v _ иф,л v ф,н-

,

d(e)x d(elx d(e)x d*P ^ P„ ^ „P

dлё\x dф ,P,

внешних потоков

также являются

временными полиномами (при условии интерполяции внешних потоков на шаге интегрирования временными полиномами). Используя соответствующие численные методы [14], мы определим экстремумы

и(е) х ж Р

аф лх ф

этих временных полиномов , - и, учтя

dt

dt

поправки, вносимыми нелинейными членами

Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», 2015, том 1

ние интервала времени [Гп,Гп + АГп] . С

Л(е) х

сф, нх

использова-

Лг нием норм (18) эта окрестность определяется

согласно [14]:

||х - хя||х - Сх,п . - Р?4р, - Ср,," '

где Сх п , Ср п - некоторые константы, которые

выбираются из условия, согласно которому нелинейная составляющая матриц восприимчивостей и

Л Р

ф,н у , определяемыми согласно (11) и (13), Л

проверим, используя (14), удовлетворяемость формальных внешних потоков условиям корректности приближенного решения.

Нелинейные поправки мы определим, взяв, используя (11), (13), норму нелинейных составляю- баланса, термодинамических сил составляет в щих. Для этого необходимо ввести понятие нормы окрестности (22) не более 1% от соответствую-для координат состояния, для термодинамических щих величин, а все приращение в этой окрестно-сил, для матрицы восприимчивостей и баланса. сти этих величин от их соответствующих исходных Вводя эти нормы, необходимо отметить, что размерностями коэффициентов матриц восприимчиво-стей и баланса, термодинамических сил, являются [15]:

значений - не более 5%. Пусть

, {Сх, п ,Су ,п} , {Сх,п,Су,п}

[А,]^МИ , г,J = 1,т , [X.] = Дж , 1 = 1,т,

где шах

{Сх,п ,СУ ,П

максимум величины в окрестности

Дж • с

у,"',;'

1Р I

1 = ^-^, " = 1,ту, J = 1т .

координат состояния хп , уп в текущий момент времени гп , определяемой (22). Т.к. согласно

сказанному выше нелинейные составляющие включают в себя нелинейные члены разложения ряда Тей-Также для определения вышеописанных норм лора, начиная с квадратных, в окрестности

координат состояния хп , уп в текущий момент

времени г, то для нелинейных составляющих величин имеем для окрестности, определяемой (22) [14]:

введем следующие масштабные положительные коэф-

М  1 м

фициенты: х" , для х1 , I = 1,т , у" , для у1 , " = 1,ту , Р^ , для Р. J , j = 1,тр , причем: [х

Используя (15) - (17) введем нормы координат состояния и параметров баланса, термодинамических сил, матриц восприимчивостей и баланса в соответствие с:

= хТ • diagI

= у1 • ааё1

Г 1 1 • diag ' 1 ) • х ,

V х1') .х} ])

Г1 Г 1

• diag • у -

V-'" у ^

( \ ( Л

х - х„

2 +1 |Р„ - Р.

х II у ^

2 +1 |Р„ - Р,

), V ),

)

V ),

некоторые кон-

где ЬХ,п , ЬА,п , ЬВх,п , ЬВу,п станты.

Для оценки нелинейной составляющей формальных внешних потоков необходимо ввести величины:

Р1 •

Р

V

diag

РМ

V

• Р. ,

К х,п = . шах }

{ Сх п , Су п , т I

где шах

{Сх ,п ,Су ,п т}

с

Лг

' Ку,п = шах {С С

у,К '

С«

Лг

,

у

максимум величины в окрестности

координат состояния хп , уп в текущий момент времени Гп , определяемой (22), и на шаге интегрирования АГп . Отсюда, согласно (21), (23) -(26), имеем:

I т т ( В у(я) ^

^ у

Отсюда, согласно (11), (13), (18) имеем, согласно свойствам нормы [14]:

Л« х

Л

Сф,нРу

л

-( Кх,ЛМ + КА,„ЬХ,„ )(||

Кх,п^Вх,п + Ку,пЬВу

Л(е) х

Сф,нх

Лг

Сф,нР,

-11Аи| 1а 11х1Х +11А А 1А IIх« I 1Х

Согласно (18), (19) и положительности масштабных коэффициентов имеем:

Лг

- В,

Л (е)х

Лг

у-н11ву

Л (е)у

Лг

Л ф,н I

Лг

- х

Л(е) х

Лг

Шаг интегрирования по времени АГп мы выбираем, исходя из условия нахождения координат состояния х, у в окрестности координат состояния хп , у в текущий момент времени Гп в тече-

" 7« -

ЛфР

Лг

- Р

Лф,нР

Лг

, " = 1, т ,

, j = 1, тр ;

отсюда, согласно (27), (28) имеем:

Л ф, н хг

Лг

- х}')(Кх,а,п + КА,Ьх

Р - Р

" = 1, т ,

X

X

Р

X

X

Р

V

Р

2

Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», 2015, том 1

* 4}(Кх^к ,п + Ку,п^у ,п )(||х - хп||х + ||Р„ - Ру,п| £ ) , У = 1, ^

Иф,н Р

и?

Неравенства (29) и (30) позволяют оценить максимальную по модулю нелинейную составляющую. Как видно из этих неравенств, расчет максимального значения нелинейной составляющей сводится к поиску максимума временного полинома, полученного из аппроксимационного полинома координат состояния и параметров баланса на шаге интегрирования. Но неравенства (29) и (30) справедливы только при выполнении условия (22). Проверка справедливости условия (22) сводится к поиску максимума временного полинома, полученного из аппроксимационного полинома координат состояния и параметров баланса на шаге интегрирования.

Определив, используя (10) и (12), максимальные и минимальные значения линейных составляющих внешних потоков (что также сводится к поиску максимумов и минимумов временных полиномов), а также прибавив к максимумам и вычтя из минимумов максимальные модули нелинейных составляющих соответствующих потоков, мы оценим сверху максимумы и снизу минимумы внешних потоков. Это даст нам возможность проверить корректность решения на шаге интегрирования. Эту вышеописанную процедуру мы повторяем на каждом шаге интегрирования.

Следует отметить, что выбор шага интегрирования, вычисление состояния в следующий момент времени и расчет максимума и минимума формальных внешних потоков взаимосвязаны друг с другом (видно из сказанного выше и из [12, 13]). Видно, что выбор шага интегрирования наряду расчетом состояния системы в следующий момент времени и проверкой корректности решения является итерационным процессом. Для этого итерационного процесса, как видно из вышесказанного и [13], необходимо определить начальное значение шага

интегрирования. из:

Используя (22), его определим

АТ„

а

с

Г их (г Л 2

1 1 х

Ир (г) Иг

Определив из (31) начальное значение шага интегрирования, мы, затем уточняя его вышеописанным образом, определим динамику системы на выбранном шаге интегрирования, а затем проверим корректность решения на этом шаге.

Заключение

Итак, в настоящей работе была предложена методика выбора шага интегрирования и оценка максимального и минимального значения формальных внешних потоков. Для выбора шага интегрирования и возможности оценки максимального и минимального значения внешних потоков мы выделяем окрестность текущего состояния системы, где нелинейная составляющая приращения величин составляет не более 1%, а вся составляющая приращения величин не более 5% от их исходных значений. В этой окрестности нам необходимо знать (или определить) максимальные нормы матриц восприимчи-востей и баланса, а также термодинамических сил и внешних потоков и для нелинейных составляющих этих величин константные коэффициенты их пропорциональности квадратам норм координат состояния и параметров баланса. Зная эти величины, мы согласно (31) выберем шаг интегрирования по времени, согласно (10), (12), (14), (29), (30) оценим максимум и минимум внешних потоков (проверив выполнение условия (22) на всем шаге интегрирования) и скорректируем шаг интегрирования в случае невыполнения одного из перечисленных условий. Таким образом, мы гарантируем корректность полученного решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Старостин, И.Е. Потенциально-потоковый метод - инструмент качественного анализа и моделирования динамики неравновесных процессов / И.Е. Старостин, С.П. Халютин // Материалы X Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского». - М., 2013. - С. 40 - 45.

2. Квасников, И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем / И.А. Квасников. - М., Изд-во «Едиториал УРСС», 2002. - 448 с.

3. Гроот, С.Р. Термодинамика необратимых процессов / С.Р. Гроот. - М., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1956. - 281 с.

4. Крутов, В.И. Техническая термодинамика / В.И. Крутов, С.И. Исаев, И.А. Кожинов. - М., Изд-во «Высшая школа», 1991. - 384 с.

5. Эткин, В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии) / В.А. Эткин. - СПб, 2008. - 409 с.

6. Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Каскас-Баскес, Дж. Лебон. - Москва-Ижевск: Изд-во НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 528 с.

7. Халютин, С.П. Потенциально-потоковый квазиградиентный метод моделирования неравновесных процессов / С.П. Халютин, И.Е. Старостин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2(22). - С. 25 - 35.

8. Быков, В.И. Потенциально-потоковый метод и современная неравновесная термодинамика / В.И. Быков, И.Е. Старостин, С.П. Халютин // Сложные системы. - 2014. - № 1(10). - С. 4 - 30.

9. Быков, В.И. Кинетические свойства неравновесных систем. Четвертое начало термодинамики / В.И. Быков, И.Е. Старостин, С.П. Халютин // Сложные системы. - 2013. - № 4(9). - С. 68 - 86.

10. Старостин И.Е. Построение для простых подсистем неравновесных систем кинетических матриц потенциально-потоковых уравнений / И.Е. Старостин // Труды международного симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1. - Пенза: 2014. - С. 130 - 134.

11. Старостин И.Е. Учет случайных факторов при моделировании неравновесных процессов потенциально-потоковым методом / И.Е. Старостин // Инновационные информационные технологии: Материалы международной научно-практической конференции. Т. 2. - М., 2013. - С. 378 - 384.

12. Старостин И.Е. Анализ корректности численного решения потенциально-потоковых уравнений в сосредоточенных параметрах / И.Е. Старостин, О.С. Халютина // Труды международного симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1. - Пенза: 2014. - С. 126 - 130.

13. Старостин И.Е. Алгоритм численного интегрирования потенциально-потоковых уравнений в сосредоточенных параметрах с контролем корректности приближенного решения / И.Е. Старостин // Компьютерные исследования и моделирование. - 2014. - Т. 6. - № 4. - С. 479 - 493.

14. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М., Наука, 1978. - 512 с.

15. Старостин, И.Е. Единицы измерения коэффициентов кинетической матрицы потенциально-потоковых уравнений / И.Е. Старостин, С.П. Халютин // Труды международного симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1. - Пенза: 2014. - С. 134 - 136.