Временные и вероятностные характеристики транзакций в цифровых системах управления

УДК 519.217.2

ВРЕМЕННЫЕ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРАНЗАКЦИЙ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

А.Н. Ивутин, Е.В. Ларкин

Временные и вероятностные характеристики транзакций получены для управляющих алгоритмов и объектов управления самого общего вида. Они являются существенно важными с точки зрения достижения качественных параметров регулирования при управлении сложными многоконтурными объектами.

Ключевые слова: цифровая система, алгоритм, транзакция, полумарковский процесс, эргодический процесс.

Включение ЭВМ фон-неймановского типа в контур цифрового управления объектами различной сложности порождает весьма высокие требования к временной вычислительной сложности алгоритмов управления. Под вычислительной сложностью в данном случае понимается промежуток времени между появлением на объекте ситуации, требующей адекватного реагирования со стороны управляющей ЭВМ, и выдачей соответствующего возникшей ситуации управляющего воздействия на объект. Программный цифровой контроллер, кроме того, что алгоритмически реализует заданный закон управления как элемент системы управления, вносит чистое запаздывание по времени, в связи с чем временной фактор напрямую влияет на качественные характеристики переходных процессов в системе.

В свою очередь, временная вычислительная сложность реализаций управляющих алгоритмов определяется целым рядом факторов, к которым, кроме банальных архитектуры ЭВМ, частоты тактирования и структуры команд, относятся операционная среда, дисциплина диспетчеризации, организация транзакций, математические модели процессов, по которым строятся управляющие алгоритмы, и т.п.

Как правило, к началу разработки прикладного программного обеспечения большинство из названных факторов уже определено, поэтому реализуемый закон и последовательность программного опроса периферийных устройств являются единственными варьируемыми параметрами для оптимизации временных интервалов между транзакциями.

Процесс интерпретации детерминированного алгоритма управляющим контроллером для внешнего по отношению к системе наблюдателя рядом авторов [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] рассматривается как полумарковский процесс с непрерывным временем. Операторы алгоритма рассматривается как состояния полумарковского процесса, выполнение оператора - как пребывание полумарковского процесса в соответствующем состоянии, а процесс интерпретации алгоритма в целом рассматривается как блуждание алго-

252

ритма по состояниям полумарковского процесса. При смене состояний по-лумарковского процесса он через случайные моменты времени попадает с определенной вероятностью в операторы транзакций, что и формирует поток опросов периферийных устройств.

Обобщенный управляющий алгоритм является циклическим, но в нем отсутствует эффект зацикливания, поэтому на структуру алгоритма, заданную множеством А и матрицей Я, накладываются ограничения в виде сильной связности соответствующего графа. Кроме того, обобщенный управляющий алгоритм является циклическим, следовательно, на структуру Я накладываются условия сильной связности.

Структура состояний полумарковского процесса

М" = [А", Я", Н'Щ,

где А" = [а1, ..., аЗ, ..., а£} - множество состояний, соответствующих операторам алгоритма, генерирующим запрос на выдачу/получение данных от периферийного устройства; Я" = \ЯЗГ ], Я"8Г = 1 - матрица смежности размером £х£, отражающая структуру полного графа с петлями; Н"(ґ)=\И^Г (V)] -полумарковская матрица размером БхБ; Н^г (V) = ИЭ(р)г(е)(/); 1 £ з(Ь), г(е), s,

г £ £ моделируется полным графом с петлями (рис. 1, а). Полумарковский процесс (1) является эргодическим, причем каждое его переключение из состояния аЗ в сопряженное состояние аг или по петле в то же самое состояние аЗ моделирует одно обращение алгоритма к периферийному устройству.

Не нарушая общности рассуждения, выберем из множества А" состояние аЗ и представим полумарковский процесс (1) в виде

{а з , М з },

'1 1"

_ 0 _1 0_

к88 (?) О

где Мд - полумарковский подпроцесс, в который включены все состояния с их взаимными сопряжениями, кроме адмоделирует все подмножество дуг, ведущих из состояния ад в состояния полумарковского подпроцесса Мд; моделирует все подмножество дуг, ведущих из состояний

полумарковского подпроцесса Мд в ад; () - взвешенная плотность распределения прямого переключения из ад в ад по петле (см. (1)); (?) -

взвешенная плотность распределения переключения из ад в состояния Мд; Нд8 (?) - взвешенная плотность распределения переключения из состояний Мд в ад.

Уничтожим петлю (ад, а5). При ее уничтожении взвешенные плотности распределения Н1(р )г(е)^) и вероятности пересчитываются по следующим зависимостям:

Г 1 ¥ г

(Ь),г(е)(ґ)_ К5Г ()_ ^ ^іЬя(Ь),г(е)(ґ)_' П ^іЬя(Ь),^(Ь)(ґ).

и=0

Р5 (Ь ), Г (е)(ґ ) Р5Г 1

= ps

Р$

Полумарковский процесс

^0 Г 1 0

0

) 0

Рис. 1. Полумарковские процессы: а - из выделенных состояний б - с разделенным состоянием а

Значения Н'^ (г) и Н^5 (г) равны соответственно

Н$5 ( )_ Х Нsr ( );

Г=1 Г Ф 5

¥ Г

н^ (г )= X *• -11 р [ь 5 (г )Ц" I?

п=1

где

[р5І, •••, р5 5-1, 0, р5 5+1, •••, р5 $\;

К () =

К11 • К1 5-1 К1 5 К1 5+1 • • Л1$

К-11 • 0 • К+11 • • -1 5-1 •• 0 +1 5-1 -1 5 0 +1 5 -1 5+1 • 0 • +1 5+1 • • -1 $ •• 0 К+1 $

1 • •• -1 5 Ь 5+1 •

1р = 0,...,0,1,0,...,0 .

I ^ _

Очевидно, что в эргодическом процессе (5) события переключения из состояния а'я в состояния подпроцесса Мя образуют полную группу

¥

несовместных событий, поэтому |Н'Яя ($)& = 1 и взвешенная плотность рас-

0

пределения равна плотности распределения. Точно также события переключения из состояний подпроцесса Мя в состояние а'я образуют полную

¥

группу несовместных событий, поэтому |(?)Ж = 1 и взвешенная плот-

0

ность распределения равна плотности распределения.

Применим к эргодическому процессу (5) закон больших чисел [8]. В соответствии с указанным законом для внешнего по отношению к процессу (5) наблюдателя вероятность пребывания его в состоянии а'я в произвольный момент времени определяется по зависимости

Т

Ря

где Тя - математическое ожидание времени пребывания процесса в состоянии я; Тя - математическое ожидание времени пребывания процесса (5) в состояниях подпроцесса Мя

¥¥

Тя = I

00

Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующее. Утверждение. Для внешнего по отношению к эргодическому по-лумарковскому процессу наблюдателя вероятность пребывания процесса в произвольный момент наблюдения в наблюдаемой позиции равна отношению математических ожиданий времени пребывания к времени возврата в наблюдаемую позицию.

С учетом сформулированного и доказанного утверждения, плотность распределения времени между двумя опросами периферийного устройства определяется по зависимости

$(Ъ) ЭД

§к

я(Ь )=1 г (е )=1

где р я(ь) определяется выражением (10); кЯ (ь )г (е)(^) определяется выражением

%),г

п=1

где F-1 - обратное преобразование Фурье; 0 - знак транспонирования.

Пусть требуется определить интервал времени между опросом контроллеров разных периферийных устройств, например, между опросом контроллера сигналов uk(t) из множества опорных сигналов и Vl(t) из множества сигналов управления объектом. Будем считать, что контроллер сигнала uk(t) опрашивается операторами, моделируемыми состояниями подмножества As (А ^ As), а контроллер сигнала vl(t) опрашивается операторами, моделируемыми подмножества A ^ Ag, AQ п As = 0. Без нарушения общности рассуждений будем считать, что состояния подмножества AQ стоят последними в списке состояний А, т.е. AQ = {а/-0+1, ..., a /^+1, ..., aJ}.

Определим вероятности пребывания полумарковского процесса в состояниях подмножества As. Сформируем из матрицы ) (полумарков-

ской матрицы размером /х/, задающей стохастические и временные параметры операторов алгоритма) полумарковскую матрицу следующего вида:

) =

0 .. .0 к1 Б+1 .. к1 /-0 к1 /-0+1 - к1 /

0 .. .0 +1 .. /-0 кБ/-0+1 - кБ/

0 .. .0 %+1Б+1 .. %+1 /-0 %+1 /-0+1 - +1 /

0 .. .0 к/-0Б+1 '. к/ - 0/-0 к/-0/-0+1 - к/-0/

0. .. 0 0. .. 0 0. .. 0

0. .. 0 0. .. 0 0. .. 0

.

Тогда взвешенная плотность распределения времени блуждания полумарковского процесса из состояний подмножества As в состояния подмножества AQ определяется зависимостью

сю

.-1

I

где

^ )= X F'

п=1

I р=[Р1,..., р *,..., р ^ ,0,...,0];

0,

1

/

0, 1 ,

/-0+1

Очевидно, что траектории блуждания, определенные матрицей (14), не составляют полную группу несовместных событий, поскольку из них исключаются траектории, проходящие более одного раза через состояния А, и траектории, проходящие через состояния подмножества А0. Вероятность и плотность распределения времени достижения состояний подмножества А0 из As определяются по следующим зависимостям:

Рк1 = ? кы ^)^; ёы (t )=

0 рк1

Для плотностей распределения gk (t) при решении практических задач могут быть определены начальный и центральные моменты различных порядков, в частности, математическое ожидание и дисперсия:

¥ ¥

т£, kl = j tgk, kl

0 0

Временные и вероятностные характеристики транзакций получены для управляющих алгоритмов и объектов управления самого общего вида. Они являются существенно важными с точки зрения достижения качественных параметров регулирования при управлении сложными многоконтурными объектами. Из общих выражений для плотностей распределения могут быть получены более простые выражения для временных интервалов при управлении одноконтурными объектами.

Дальнейшие исследования в этой области могут быть направлены на разработку простых инженерных методик оценки числовых характеристик временных интервалов, например методами имитационного моделирования, или на разработку time-compiler временного компилятора, который параллельно с трансляцией управляющей программы с языка высокого уровня будет давать оценку числовых характеристик плотностей распределения между выбранными операторами алгоритма.

Список литературы

1. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их применения. Киев: Наукова думка, 1976.

2. Привалов А.Н., Ларкин Е.В. Моделирование информационных процессов тренажерных систем: Концепция, методология, модели. Saar-brucken Deutchland: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co., 2012.

3. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. М.: Радио и связь, 1993.

4. N. Gotz [et al.] Multiprocessor and Distributed System Design: The Integration of Functional Specification and Performance Analysis Using Stochastic Process Algebras // Lecture Notes in Computer Science. 1993. Vol. 729. P. 121-146.

5. Ajmone Marsan M., Conte G., Balbo G. A class of generalized stochastic Petri nets for the performance evaluation of multiprocessor systems // ACM Transactions on Computer Systems. 1984. Vol. 2, № 2. P. 93-122.

6. Wittenmark B., Nilsson J., Torngren M. Timing problems in real-time control systems // Proceedings of 1995 American Control Conference - ACC’95. American Autom Control Council, 1995. P. 2000-2004.

7. Stability of linear feedback systems with random communication delay R. Krtolica [et al.] // Proceedings of American Control Conference, 1991.

8. Grimmett G. R., Stirzaker D. R. Probability and Random Processes, 2nd Edition. Oxford: Clarendon Press, 1992.

Ивутин Алексей Николаевич, канд. техн. наук, доц., alexey.ivHtin@gmail.com. Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, elarkin@mail.rH, Россия, Тула, Тульский государственный университет

TIME AND PROBABILITY CHARACTERISTICS OF A TRANSACTION IN A DIGITAL CONTROL SYSTEM

A.N. Ivutin, E.V. Larkin

Temporal and probabilistic characteristics of the transaction obtained for control algorithms and controlled object of the general form. They are essential to the achievement of grade regulation characteristics in the control of complex multiloop objects.

Key words: numerical system, algorithm, transaction, semi-Markov process, ergodic

process

Ivutin Alexey Nicolaevich, candidate of technical sciences, docent, alexey.ivutin@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University

Larkin Evgeniy Vasilevich, doctor of technical sciences, professor, the head of chair, elarkin@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.396

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО СИГНАЛАМ СПУТНИКОВЫХ РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ

А.В. Прохорцов

Рассмотрены различные методы определения параметров ориентации подвижных объектов по сигналам спутниковых навигационных систем, проанализированы достоинства и недостатки каждого метода.

Ключевые слова: параметры ориентации, подвижный объект, навигационный спутник, приемная антенна, методы.

Для определения ориентации объекта в пространстве с использованием спутниковой радионавигационной системы измеряемыми параметрами являются углы между осями связанной с подвижным объектом

258