Влияние влажности на формирование снежной лавины

ПЛЕНАРНОЕ ЗАСЕДАНИЕ

Влияние влажности на формирование снежной лавины

А. В. Калач,

зам. начальника института по научной работе, д-р хим. наук, доцент;

В. И. Савинова, корректор ОНиРИО;

А. С. Соловьев, начальник кафедры, канд. физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВПО Воронежский институт ГПС МЧС России, г. Воронеж

С. Л. Карпов, аспирант кафедры физики и химии Воронежский ГАСУ, г. Воронеж

Одной из основных причин начала движения снежной массы по склону и зарождения снежной лавины является изменение структуры снежной массы при изменении температуры. Изменение температуры (как повышение, так и понижение) приводит к изменению механических параметров снега (вязкости, сцепления отдельных фрагментов), что вызывает появление внутренних напряжений в снежной массе, и может вызвать деформации и разделение на фрагменты, что при благоприятствующих условиях может привести к образованию снежной лавины. Математическое описание тепловых явлений в снежной массе, а также структурных превращений снежной массы при изменении температуры, является чрезвычайно сложным, поэтому до недавнего времени модели зарождения снежной лавины были грубыми и носили качественный характер. Однако, в последние годы, появилась возможность использовать вычислительную технику для моделирования, поэтому снежная масса на склоне горы может быть представлена с гораздо большей степенью адекватности. В частности, нами ранее разработана модель зарождения и схода снежной лавины, в которой снежная масса состоит из большого числа отдельных фрагментов, сцепленных между собой и способных расцепляться при движении вниз по склону [1].

Целью данной работы являлась разработка математической модели снежной лавины, которая описывала бы не только механическое движение снежной массы и изменение ее структуры, но и тепловые процессы в снежной массе: теплопроводность, учет теплоемкости, зависимость физических свойств снежных фрагментов от температуры.

Моделирование зарождения и схода лавины проводится в двухмерном пространстве XOY. Снежная масса представлена большим количеством (порядка 104) элементов-кругов, имитирующих отдельные фрагменты снега, и движущихся по законам классической механики [2, 3]. Механические свойства снежной массы закладываются в выражение для силы взаимодействия между двумя элементами. В модели между элементами действуют

упругие (потенциальные) силы и силы вязкого трения (диссипативные). Упругая сила взаимодействия элементов i и j зависит от расстояния между ними Fij (Гу) и задается линейной зависимостью

^ = с'

где с - коэффициент жесткости, рассчитываемый по модулю упругости снежной массы; йЭ - диаметр элементов снега. При этом, если расстояние Гу превышает некоторое критическое расстояние гк, в модели происходит отрыв двух элементов друг от друга (то есть обнуление силы взаимодействия). Обычно в моделях данного класса выбирают гк = ^гр-й?Э, причем коэффициентом ^гр можно задавать склонность снежной массы к фрагментации. При ^гр =1,0 воспроизводится рассыпчатый снег (могут возникать только силы отталкивания между элементами, но не притяжения). При ^гр = 1,2 воспроизводится липкий мокрый снег (могут возникнуть как силы отталкивания при Гу < так и силы притяжения при йЭ < Гу < гк). Для задания вязкой составляющей силы взаимодействия элементов используется общепринятая пропорциональная зависимость силы от скорости движения двух элементов по отношению друг к другу.

Поверхность склона представляется элементами-кругами размера фиксированно расположенными близко друг к другу вдоль имитируемой поверхности склона. Для того чтобы имитировать неровность поверхности склона, в модели направляющая линия поверхности, по которой располагаются элементы-круги, получается суперпозицией случайных гауссовских пиков. После создания рельефа поверхность в модели поворачивается на определенный угол ф к линии горизонта (угол крутизны склона). Снежная масса в начальный момент времени неподвижна, располагается вдоль склона на большом протяжении и имеет определенную толщину снежного покрова.

Моделирование тепловых процессов и фазовых переходов в объеме снежной массы является чрезвычайно сложной задачей. Сложность обусловлена случайной формой склона и случайной конфигурацией снежной массы на склоне, зависимостью состояния снега не только от температуры, но и от плотности снега, предыстории и других факторов. В то же время в основе модели лежат базовые уравнения классической термодинамики, а сложность задачи преодолевается использованием дискретизации пространства (и соответственно использованием численных методов расчета), а также использованием алгоритмизации и программирования для учета сложных внешних условий.

Распространение тепла в трехмерном случае описывается уравнением теплопроводности [4]

-Т

где Т (г, t) - искомое распределение температуры и его зависимость от времени; г - радиус вектор исследуемой точки пространства; t - время;

V - оператор набла:

г-т д г д - д г

V = — г +— ] +— к ;

дх ду дz

х, у - декартовы координаты исследуемой точки пространства; г, ], к -единичные векторы декартова пространства; (,) - скалярное произведение; х( Г, t) - коэффициент температуропроводности вещества, зависящий от

положения в пространстве и от времени; Q( г, t) - поступление тепла от

внешней среды, зависящее от положения в пространстве и от времени. Необходимо отметить, что коэффициент температуропроводности выражается через коэффициенты теплопроводности к, теплоемокости с и плотность вещества р следущим образом: х = к / (ср).

Уравнение (2) является чрезвычайно сложным и допускает аналитическое решение лишь в простейших учебных задачах (одномерное приближение, простые геометрические формы, постоянный коэффициент теплопроводности и т. д.). Поэтому для исследуемого в настоящей работе объекта решение уравнения (2) сразу ориентируется на использование сеточных конечно-разностных численных методов и компьютера. Сетка для решения задачи теплопереноса привязывается к элементам снежной массы. Центр каждого круга-элемента является узлом сетки. Каждый узел сетки имеет примерно пять соседей (зависит от конкретной конфигурации окружения элемента), от которых возможен прием тепла, либо которым возможна передача тепла.

В конечно-разностной (сеточной) постановке задачи уравнение (2) преобразуется следующим образом. Для каждого узла г на каждом шаге интегрирования температура текущего узла (элемента снега) Т зависит от температуры соседних узлов следующим образом [5]:

ЛТ мс Т - Т

В последнем уравнении Дt - шаг дискретизации по времени; Ху - коэффициент температуропроводности между узлами г и ]; Ыс - количество соседних узлов; Д/у - расстояние между центрами узлов; Qi - поступление тепла от внешней среды к данному узлу; ^ - количество теплоты, потребляемое или выделяющееся при фазовом превращении элемента снега г.

Используя последнюю формулу можно на текущем шаге интегрирования по времени т пересчитать температуру каждого узла г для следующего шага интегрирования т + 1.

Температура элемента снега влияла на параметры его связи с соседними элементами, в частности, на коэффициенты вязкости d и связности когр. Данные параметры, в первом приближении, зависели от температуры по линейному закону ^Т) = а^Т + Ь, где / - представляемая зависимость ^

или ^гр(Т)); а и Ь — коэффициенты линейной зависимости. Линейную зависимость можно восстановить по двум известным точкам /1(Т1) и /2(Т2) с использованием следующей формулы:

Т - Т

/ (Т) = / +(/ - /) —Т

Т2 - Т1

Линейные зависимости б(Т) и ^^(Т), построенные по формуле (4) с использованием данных б(—10) = 1,5 Нс/м; 0) = 0,5 Нс/м; kогр(-10) = 1,05; ^гр(0) = 1,03, имеют следующий вид:

б

Т - 0

-10 - 0

КР

Т - 0 -10 - 0'

При таком способе задания параметров воспроизводился талый снег при Т = 0 0С и прочный сухой снег при Т = -10 0С.

Разработанная модель, описывающая как механическую эволюцию снежной массы, так и тепловые явления в ней, является наиболее адекватной моделью зарождения и схода снежной лавины из существующих в настоящее время. Модель позволяет проводить теоретическое изучение снежной лавины на основе компьютерных экспериментов, ставить и решать десятки задач. Проиллюстрируем лишь некоторые возможности модели.

В первом компьютерном эксперименте производили имитацию таяния снежной массы с хорошей теплопроводностью (плотный снег) (рис. 1).

Рис. 1. Движение снежной массы по склону и изменение ее структуры

по мере таяния снега. Режим быстрого таяния. Оттенками серого цвета обозначена температура снежных фрагментов: черный цвет соответствует —10 0С, светло-серый — 0 0С

Оттенками серого цвета на рисунках обозначена температура снежных фрагментов. В начальный момент времени вся снежная масса и поверхность склона имели температуру —10ОС (черный цвет). По мере полу-

чения тепла от окружающего воздуха внешний слой снежной массы начинал прогреваться и таять ^ = 4 ч). К моменту времени t = 16 ч произошел сквозной прогрев снежной массы и снежная масса, теряя связность, начала двигаться вниз по склону ^ = 30 ч). Все ускоряющееся движение снежной массы и все большая ее фрагментация привели к образованию в модели снежной лавины.

£ = 4 ч £=10ч £ = 20 ч £ = 25 ч £ = 30 ч £ = 40 ч

Рис. 2. Движение снежной массы по склону и изменение ее структуры по мере таяния снега. Режим медленного таяния

Второй компьютерный эксперимент воспроизводит таяние снежной массы с малой теплопроводностью (рыхлый снег) (рис. 2). В этом случае снежная масса прогревалась постепенно, начиная с внешнего слоя - вовнутрь. При этом прогретые до 0ОС верхние слои снежной массы начинали двигаться вниз по склону, по холодным и прочно связанным нижним слоям снежной массы. В случае такого постепенного таяния снежной массы лавина не образовывалась, и вся снежная масса постепенно, слоями сходила вниз.

t = 4 ч t = 6 ч t = 8 ч t = 10 ч t = 15 ч t = 20 ч

Рис. 3. Движение снежной массы по склону и изменение ее структуры по мере замерзания талого снега

В третьем компьютерном эксперименте имитировалось замерзание и остановка талого снега, медленно движущегося вниз по склону (рис. 3). В

начальные моменты времени снежная масса имела температуру 0ОС, после чего начинался отбор тепла от снежной массы в окружающую воздушную среду. При этом начинала образовываться своеобразная «ледяная корка» в верхних слоях снежной массы, и по мере промерзания снежной массы ее движение полностью останавливалось.

Обобщая изложенный в данной статье материал, можно сформулировать следующие выводы.

1. Впервые разработана высокоточная математическая модель зарождения и схода снежной лавины, описывающая механическое движение снежной массы, изменение ее структуры и тепловые явления в снежной массе.

2. С помощью разработанной модели изучена эволюция снежной массы на склоне горы в случае таяния плотного и рыхлого снега, а также в случае замерзания тающего снега.

Библиографический список

1. Соловьев А. С., Посметьев В. В., Калач А. В., Лебедев О. М. Имитационная модель схода снежной лавины. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614354 от 2.06.2011 г.

2. Premoze S., Tasdizen T., Bigler J. et al. Particle Based Simulation of Fluids // Eurographics, 2003. - Vol. 22. - N 3. - P. 103-113.

3. Hafner J. Atomic-Scale Computation Materials Science // Acta Mater. -2000. - Vol. 48. - P. 71—92.

4. Полянин А. Д. Линейные задачи тепло- и массопереноса: Общие формулы и результаты // Теоретические основы химической технологии. -2000. Т. 34. — № 6. — С. 563-574.

5. К проблеме неизотермического массопереноса в пористых средах / Н. Н. Гринчик, П. В. Акулич, П. С. Куц, Н. В. Павлюкевич, В. И. Терехов // Инженерно-физический журнал. 2003. — Т. 76. — № 6. — С. 129-142.