Взаимосвязь невербального интеллекта и успешности в математике в младшем школьном возрасте: лонгитюдное исследование

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 159.9

ВЗАИМОСВЯЗЬ НЕВЕРБАЛЬНОГО ИНТЕЛЛЕКТА И УСПЕШНОСТИ В МАТЕМАТИКЕ В МЛАДШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ: ЛОНГИТЮДНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Т.Н. ТИХОМИРОВА1*, Е.Б. МИСОЖНИКОВА1, Ю.В. КУЗЬМИНА2, С.Б. МАЛЫХ1

1ФГБНУ «Психологический институт РАО», 2 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва

В статье представлены результаты лонгитюдного исследования взаимосвязи невербального интеллекта с успешностью в обучении математике. С помощью перекрестно-лонгитюдного анализа показано, что в младшем школьном возрасте эмпирическим данным наилучшим образом соответствует теоретическая модель с непрямым влиянием невербального интеллекта. Согласно этой модели, невербальный интеллект, измеренный на третьем году обучения, влияет на показатели успешности в математике к концу третьего года, которые, в свою очередь, обуславливают успешность в математике к концу обучения в начальной школе.

Ключевые слова: перекрестно-лонгитюдный анализ, невербальный интеллект, успешность в обучении математике, причинно-следственные связи, младший школьный возраст.

Введение

Взаимосвязь показателей интеллекта и успешности в обучении наблюдается в целом ряде срезовых исследований, выполненных в различных социально-экономических контекстах, образовательных условиях и возрастных диапазонах (Малых с соавт., 2012 [4]; Тихомирова, 2016 [11]; Verbitskaya et al., 2015 [37]; Nisbett et al., 2012 [32]; Laidra, Pullmann, Allik, 2007 [28] и др.). В этих исследованиях, включая мета-аналитические работы, приводятся данные о высокой взаимосвязи интеллекта и успешности в обучении различным школьным дисциплинам - от 0,37 до 0,63 (Тихомирова с соавт., 2015 [10]; Brouwers, Van de Vijver, Van Hemert,

© Тихомирова Т.Н., Мисожникова Е.Б., Кузьмина Ю.В., Малых С.Б., 2016.

* Для корреспонденции:

Тихомирова Татьяна Николаевна доктор психологических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории возрастной психогенетики ФГБНУ «Психологический институт РАО» 125009 Москва, ул. Моховая, 9, стр. 4 E-mail: tikho@mail.ru

2009 [19]; Luo, Thompson & Detterman, 2006 [31]). При этом оценка взаимосвязи, как правило, оказывается более высокой в том случае, если интеллект рассматривается не в качестве тестового балла, а в качестве латентной переменной, выделяемой на основании показателей по ряду тестовых заданий, а среди школьных дисциплин анализируется математика (например, Colom et al., 2002 [21]; Geary, 2011 [24]).

В то же время вопрос о причинно-следственных отношениях интеллекта и успешности в обучении требует дальнейших исследований (Дружинин, 1995 [1]; Ceci, 1991 [20]; Brody, 1997 [18]; Lubinski & Dawis, 1992 [30]). Традиционно существует три различных исследовательских подхода к этой проблеме: 1) интеллект и академическая успешность анализируются как идентичные конструкты, которые невозможно развести ни теоретически, ни психометрически (Ceci, 1991) [20]; 2) между интеллектом и успешностью в обучении наблюдается реципрок-ная связь (Brody, 1997) [18]; 3) интеллект является предиктором успешности в обучении (Jensen, 1998) [27]. Проверка этих гипо-

тез о причинно-следственной связи интеллекта и успешности в обучении может быть определена только в ходе лонгитюдных исследований, в которых оба анализируемых конструкта измеряются у одних и тех же респондентов на протяжении определенного временного интервала (Смит-Вули с соавт., 2013 [7]; Little et al., 2007 [29]).

Так, в пятилетнем лонгитюдном исследовании 70000 английских школьников показано, что интеллект, измеренный в возрасте 11 лет, объясняет почти 60% вариативности стандартизированных тестовых показателей успешности в математике в 16-летнем возрасте (Deary et al., 2007) [23]. В другом трехлетнем лонгитюдном исследовании 289 американских школьников обнаружено значимое влияние интеллекта, измеренного в возрасте 9 лет, на тестовую академическую успешность в 12 лет (Watkins, Lei, & Canivez, 2007) [39].

В то же время результаты других лон-гитюдных исследований свидетельствуют, что важнейшим фактором, влияющим на рост средних значений тестовых показателей интеллекта от возраста к возрасту, является школьное образование (Brinch & Galloway, 2012 [17]; Nisbett et al., 2012 [32]) и специальные тренинговые программы (Jaeggi et al., 2010) [26]. Так, в естественных экспериментах с участием детей, лишенных возможности обучаться в школе, обнаружено, что эти дети показывают дефицит интеллекта в размере двух стандартных отклонений (Nisbett et al., 2012) [32]. Найдено также, что тренин-говые занятия с помощью визуально-пространственных стимулов улучшают показатели по тесту «Стандартные прогрессивные матрицы» (Jaeggi et al., 2010) [26].

При этом особый интерес представляет младший школьный возраст, когда начинается процесс активного усвоения новых знаний, связанных с числом, геометрической формой, математическими операциями. В исследовании на российских школьниках установлено, что наиболее тесные корреляционные связи невербального интеллекта со средним баллом школьной

успеваемости по математике были зафиксированы в начальных классах (г=0,48) по сравнению с основной и старшей школой (Тихомирова с соавт., 2015) [12]. Схожие результаты были получены и на выборке эстонских школьников (r=0,54, Laidra, Pullmann, Allik, 2007) [28].

Таким образом, школьное обучение может влиять на средние значения показателей невербального интеллекта. Возможно, что различия в государственных образовательных системах (как формальные, так и содержательные) могут опосредствовать взаимосвязи интеллекта и академической успешности в ходе развития (Малых с соавт., 2012 [4]; Тихомирова с соавт., 2014 [15]). Целью настоящего лонгитюдного исследования является изучение причинно-следственных отношений между невербальным интеллектом и успешностью в математике в ходе обучения на протяжении младшего школьного возраста на российской выборке.

Методика

Описание выборки

Выборку составили учащиеся муниципального общеобразовательного учреждения, участвующие в лонгитюдном исследовании академической успешности школьников. В настоящем исследовании анализируются данные 133 обучающихся, собранные на третьем и четвертом годах обучения.

Средний возраст участников во время первого тестирования составил 9,82 года (стандартное отклонение = 0,30), количество мальчиков составило 45,1%, количество девочек - 54,9%.

Средний возраст участников во время второго тестирования составил 10,82 лет (стандартное отклонение = 0,30), количество мальчиков составило 45,1%, количество девочек - 54,9%.

Каждый участник принимал участие в исследовании дважды - в конце третьего и четвертого годов обучения.

На участие в исследовании были получены письменные информированные согласия от родителей школьников. Анализ результатов осуществлялся на базе обезличенных персональных данных. Показатели успешности обучения школьников математике были зафиксированы в конце третьего и четвертого учебного года. Методы

Невербальный интеллект В исследовании использовался тест «Стандартные прогрессивные матрицы» (Равен Дж., Равен Дж.К., Корт Дж., 2002) [6]. Задания сгруппированы в 5 серий - А, В, С, Б, Е, - каждая из которых состоит из 12 заданий. Каждый участник исследования должен выбрать недостающий элемент задания-матрицы среди 6 (серии А-В) или 8 (серии С-Е) предложенных вариантов. Для решения заданий серии А участники должны дополнить недостающую часть изображения. В серии В необходимо найти аналогии между парами, дифференцируя их элементы. Серия С содержит задачи, спроектированные по принципу изменения фигур по вертикали и горизонтали. В серии Б требуется определить закономерности перестановки фигур. Для решения заданий серии Е требуется умение анализировать фигуры основного содержания и недостающей части. Принцип прогрессивности в этом тесте реализуется двояким образом: сложность заданий возрастает как внутри каждой серии, так и от серии А к серии Е. Рассчитывалось количество правильно решенных заданий по каждой серии и общее количество по всему тесту.

Успешность в обучении математике В качестве показателей успешности в обучении использовались четвертные оценки по математике, выставленные учителем начальных классов. В статистическом анализе использовалось среднее арифметическое четвертных оценок. Статистический анализ На первом этапе были вычислены описательные статистики для каждого из ана-

лизируемых показателей, зафиксированных в конце третьего и четвертого годов обучения.

На втором этапе был проведен корреляционный анализ показателей невербального интеллекта и успешности в обучении математике, зафиксированных в конце третьего и четвертого годов обучения. Рассчитывались коэффициенты корреляции Спирмена (пакет SPSS 20.0).

На третьем этапе был проведен кон-фирматорный факторный анализ для разработки измерительной модели невербального интеллекта как латентной переменной. Проведение этой статистической процедуры связано с тем, что одним из основных условий возможности оценки изменения латентного конструкта во времени является проверка измерительной или факторной инвариантности (Little et al., 2007) [29]. В качестве индикаторов для латентного показателя невербального интеллекта использовались суммарные баллы по каждой из пяти серий теста «Стандартные прогрессивные матрицы». Для сравнения моделей невербального интеллекта как латентной переменной, полученных на данных тестирования в третьем и четвертом классах, были использованы показатели изменения хи-квадрат и числа степеней свободы (пакет MPlus).

На четвертом этапе было проведено перекрестно-лонгитюдное структурное моделирование для анализа временной структуры причинно-следственных связей между показателями невербального интеллекта и успешности в математике, измеренными дважды на протяжении младшего школьного возраста. Пере-крестно-лонгитюдный анализ позволил оценить: 1) ауторегрессивные связи, отражающие стабильность каждого изучаемого признака во времени; 2) одновременные взаимосвязи, оценивающие общую вариацию переменных внутри каждого из двух замеров; 3) перекрест-но-лонгитюдные связи, показывающие, насколько вариация предшествующего

измерения одного признака объясняет вариацию последующего измерения другого признака. Более подробно с методологией перекрестно-лонгитюдно-го структурного моделирования можно ознакомиться в работе Смит-Вули с со-авт., 2013 [7].

Для сравнения моделей использовались следующие критерии: хи-квадрат (p>0,05); среднеквадратическая ошибка аппроксимации (RMSEA<0,06, 90% доверительные интервалы - RMSEAlow = 0,00 и RMSEAhigh<0,08); сравнительный показатель соответствия (CFI>0,95); среднеквадратическая ошибка (SMRM<0,06); показатель Такера - Льюиса (TLI>0,90); Информационный критерий Акаике (AIC), Байесовский информационный критерий (BIC) и Байесовский информационный критерий, скорректированный на размер выборки (Sample-size adjusted BIC).

Последовательно сравнивались пять конкурирующих моделей связи невербального интеллекта и успешности в математике, измеренных в два момента времени на протяжении младшего школьного возраста. Во всех структурных моделях невербальный интеллект анализировался как латентный конструкт, выделенный на основе баллов по сериям теста «Стандартные прогрессивные матрицы», а успешность в математике - как среднее арифметическое оценок по четырем четвертям учебного года.

Модель 1, ауторегрессивная: невербальный интеллект и успешность в математике взаимосвязаны только внутри каждого замера, ни один из показателей не влияет на другой в следующий момент времени.

Модель 2, с прямым эффектом: невербальный интеллект, измеренный на третьем году обучения, предсказывает успешность обучения математике на четвертом году обучения.

Модель 3, с прямым эффектом: показатели успешности обучения математике в третьем классе предсказывают тестовые

показатели невербального интеллекта, измеренные на четвертом году обучения.

Модель 4, реципрокная: невербальный интеллект, измеренный в третьем классе, предсказывает успешность в обучении математике в четвертом классе, и успешность в математике в третьем классе предсказывает тестовые показатели невербального интеллекта, измеренные в четвертом классе.

Модель 5, с косвенными эффектами: включает в себя два непрямых эффекта, где невербальный интеллект, измеренный в третьем классе, выступает в качестве предиктора, а успешность в обучении математике в третьем классе - как медиатор. Первый эффект предполагает влияние невербального интеллекта, измеренного в третьем классе, на успешность в обучении математике в четвертом классе через успешность в математике на третьем году обучения. Второй эффект предполагает, что невербальный интеллект, измеренный в третьем классе, предсказывает тестовый показатель интеллекта, измеренный в четвертом классе, через успешность обучения математике на третьем году обучения.

Результаты

В таблице 1 представлены описательные статистики для показателей невербального интеллекта (баллы по сериям A-Е и общий балл по тесту) и успешности в обучении математике (среднее арифметическое оценок по четырем четвертям) на третьем и четвертом годах обучения.

В таблице 1 указаны средние значения и стандартные отклонения для анализируемых показателей. Максимальное количество баллов для показателя по каждой серии теста «Стандартные прогрессивные матрицы» составляет 12 баллов, для итогового балла - 60. Минимальное и максимальное значение для показателя успешности в математике составляет 2 и 5, соответственно.

Таблица 1

Описательные статистики показателей невербального интеллекта и успешности в математике в третьем и четвертом классах

Показатель Среднее значение

3-й класс 4-й класс

Невербальный интеллект, серия А 10,64

Невербальный интеллект, серия В 10,22

Невербальный интеллект, серия С 8,02

Невербальный интеллект, серия Б 8,03

Невербальный интеллект, серия Е 3,43

Невербальный интеллект, общий балл 40,63

Успешность в математике 4,17

Согласно таблице 1, средние значения показателей невербального интеллекта (по сериям и всему тесту) возрастают от третьего к четвертому году обучения при сужении диапазона вариативности индивидуальных различий (стандартное отклонение незначительно, но уменьшается). Показатели успешности в обучении математике, напротив, демонстрируют стабильность средних значений при сохранении диапазона вариативности. Сходные данные о возрастных особенностях соотношения показателей когнитивного развития и успешности обучения получены в срезовых исследованиях на выборках российских школьников (Тихомирова, 2016 [11]; Тихомирова с соавт., 2015 [12]; Тихомирова, Ковас, 2013 [14]; Тихомирова, Ковас, 2012 [13]; Малых с соавт., 2012 [4] и др.). Уменьшение сред-

него значения правильно выполненных заданий от серии А к серии Е теста «Стандартные прогрессивные матрицы», как и увеличение стандартного отклонения, подтверждают принцип прогрессивной сложности заданий, заложенный в этом тесте невербального интеллекта.

Корреляционный анализ: взаимосвязи невербального интеллекта и успешности в математике

В ходе корреляционного анализа изучалась структура взаимосвязей невербального интеллекта и успешности в обучении математике на третьем и четвертом годах обучения. В таблице 2 представлены коэффициенты корреляции Спирмена (*р<0,05; **р<0,01) для анализируемых показателей, зафиксированных на третьем (нижний левый «треугольник») и четвертом (верхний правый «треугольник») годах обучения.

Таблица 2

Матрица корреляций невербального интеллекта и успешности обучения математике в третьем и четвертом классах

А В С Б Е Общий балл Матем.

А 1 0,35** 0,41** 0,45** 0,28** 0,60** 0,34**

В 0,30** 1 0,39** 0,39** 0,22** 0,58** 0,34**

С 0,28** 0,45** 1 0,50** 0,33** 0,71** 0,24*

Б 0,31** 0,52** 0,64** 1 0,46** 0,82** 0,41**

Е 0,27** 0,41** 0,54** 0,61** 1 0,73** 0,23*

Общий балл 0,48** 0,67** 0,81** 0,85** 0,82** 1 0,42**

Матем. 0,35** 0,35** 0,29* 0,44** 0,30** 0,45** 1

Примечание: А - серия А; В - серия В; С - серия С; Б - серия Б; Е - серия Е; Общий балл - по тесту «Стандартные прогрессивные матрицы»; Матем. - показатель успешности в обучении математике; * р<0,05; ** р<0,01

Согласно таблице 2, между показателями невербального интеллекта и успешностью в математике и на третьем, и на четвертом годах обучения наблюдаются статистически значимые корреляции - от слабых до высоких. В наибольшей степени с успешностью в математике связаны показатели невербального интеллекта, выраженные общим баллом по тесту и баллом по серии D. Так, в третьем классе коэффициенты корреляции составляют 0,45 и 0,44, соответственно, а в четвертом - 0,42 и 0,41 при p<0,01. В наименьшей степени с успешностью в математике связаны показатели невербального интеллекта, измеренные с помощью заданий серии С в третьем классе (r=0,29, p<0,05) и серий Е и С в четвертом классе (r=0,23 и 0,24, соответственно, p<0,05). Такой широкий разброс коэффициентов корреляции успешности в обучении математике с различными тестовыми показателями интеллекта обусловливает необходимость анализа невербального интеллекта как латентного конструкта, выделенного на основе баллов по пяти сериям теста «Стандартные прогрессивные матрицы». В исследованиях показано, что для более адекватной оценки взаимосвязи необходимо рассматривать интеллект не в виде тестового балла, а как латентный конструкт, выделяемый на основании показателей по ряду тестовых заданий (Тихомирова, 2004 [8]; Тихомирова, 2011 [9]; Ковас, Тихомирова, Малых, 2011 [2]; Малых, Тихомирова, Ковас, 2012 [5]; Colom et al., 2002 [21]; Bartholomew, 2004 [16]).

Коэффициент корреляции между показателями невербального интеллекта, зафиксированными дважды с интервалом в один учебный год, составляет 0,53 при p<0,01, а между показателями успешности в математике достигает значения в 0,90 при p<0,01, что подтверждает имеющиеся в литературе данные о высокой стабильности показателей успешности, основанной на оценках педагогов (Ковас, Тихомирова, Малых, 2011 [2]; Oliver et al., 2004 [33]).

Наблюдается тенденция к некоторому ослаблению взаимосвязи между показате-

лями невербального интеллекта и успешностью в математике от третьего года обучения к четвертому. Однако, в целом, структура взаимосвязей остается неизменной.

Конфирматорный факторный анализ: невербальный интеллект как латентный конструкт

В ходе дальнейшего анализа лонгитюд-ных данных невербальный интеллект будет рассматриваться как латентный конструкт, выделенный на основе баллов по пяти сериям теста «Стандартные прогрессивные матрицы». Включение в перекрест-но-лонгитюдный анализ интеллекта как латентной переменной требует проверки лонгитюдной факторной инвариантности, которая предполагает неизменность факторной структуры во времени, сходство факторных нагрузок на каждом из измерений и одинаковые показатели интерцептов (Little et al., 2007) [29].

На первом этапе конфирматорного факторного анализа измерительная модель была подтверждена последовательно на данных третьего и четвертого годов обучения. Тестируемая измерительная модель хорошо соответствует эмпирическим данным на третьем и четвертом годах обучения (RMSEA<0,06; SMRM<0,06; CFI>0,95; TLI>0,90; AIC=2437,79 и 2445,92, соответственно; скорректированный на размер выборки BIC=2432,55 и 2441,26, соответственно). Величина X не значима (p>0,05) в обеих временных точках.

Стандартизированные факторные нагрузки на серии А-Е теста «Стандартные прогрессивные матрицы» имеют в целом сходные значения. Исключение составляет серия А, для которой в третьем классе получено меньшее значение по сравнению с четвертым классом (0,35 против 0,62).

На втором этапе в модель включены оба латентных конструкта невербального интеллекта - для третьего и четвертого классов - и последовательно протестированы три модели.

1. Конфигуральная инвариантность, при которой наблюдается одинаковая струк-

тура факторов, факторные нагрузки и интерцепты различаются для третьего и четвертого классов.

2. Метрическая инвариантность, при которой наблюдаются одинаковая структура факторов и одинаковые факторные нагрузки, а интерцепты различаются.

3. Скалярная (полная) инвариантность, при которой структура факторов, факторные нагрузки и интерцепты являются практически идентичными в третьем и четвертом классах. В таблице 3 представлены индексы соответствия тестируемых моделей эмпирическим данным.

Таблица 3

Индексы соответствия моделей для оценки лонгитюдной факторной инвариантности

Показатели Конфигуральная инвариантность Метрическая инвариантность Скалярная инвариантность

х2 value 27,56 36,57 44,61

df 29 33 37

p-value 0,54 0,31 0,18

RMSEA (CIs) Estimate 0,00 0,03 0,04

90% CI 0,00-0,06 0,00-0,07 0,00-0,08

CFI / TLI CFI 1,00 0,99 0,98

TLI 1,00 0,99 0,98

Ах2 9,01 8,04

Adf 4 4

Критическое значение х2 9,49 9,49

Соблюдение инвариантности + + +

Примечание: X (value, df, ¿»-value) - статистики хи-квадрат (значение, степени свободы, уровень значимости); RMSEA (Estimate, 90% CIs) - среднеквадратическая ошибка аппроксимации (значение, 90% доверительные интервалы); CFI - сравнительный показатель соответствия; TLI - показатель Такера - Льюиса; Ад;2 - изменение хи-квадрат; Adf - изменение степеней свободы

Согласно таблице 3, разница X для двух последовательных моделей меньше критических значений, что позволяет сделать вывод о соблюдении полной факторной инвариантности невербального интеллекта как латентного конструкта. Следует отметить, что на третьем и четвертом годах обучения зафиксированы одинаковые нестандартизированные факторные нагрузки, а стандартизированные факторные

нагрузки несколько различаются из-за разницы дисперсий.

Таким образом, невербальный интеллект измерен одинаково в третьем и четвертом классах, что дает возможность введения в перекрестно-лонгитюдный анализ латентного конструкта, выделенного на основе баллов по пяти сериям теста «Стандартные прогрессивные матрицы». Полученная измерительная модель отображена на рисунке 1.

Рис. 1. Измерительная модель невербального интеллекта как латентного конструкта на третьем и четвертом годах обучения в школе

Перекрестно-лонгитюдное структурное моделирование: причинно-следственные связи невербального интеллекта и успешности в математике

В ходе перекрестно-лонгитюдного анализа сравнивались пять конкурирующих моделей связи невербального интеллекта и успешности в математике в младшем школьном возрасте: сначала четыре модели с прямыми эффектами, затем одна модель, включающая в себя два непрямых эффекта.

Первая модель (М 1) является ауторе-грессивной и предполагает взаимосвязи интеллекта и успешности в математике только внутри каждого из двух измерений. Во второй модели (М 2) невербальный интеллект, измеренный на третьем году обучения, предсказывает успешность обучения математике на четвертом году обучения. Согласно третьей модели (М 3), показатели успешности обучения математике в третьем классе предсказывают тестовые показатели невербального интеллекта в четвертом классе. Четвертая модель (М 4) представляется ре-ципрокной и предполагает, что невербальный интеллект и успешность в обучении

математике в начальной школе соединены перекрестно-лонгитюдными связями.

Пятая модель (М 5) включает в себя два непрямых эффекта. Первый эффект предполагает, что невербальный интеллект, измеренный в третьем классе, влияет на успешность в обучении математике в четвертом классе через успешность в математике на третьем году обучения. Второй эффект предполагает, что невербальный интеллект, измеренный в третьем классе, предсказывает тестовый показатель интеллекта, измеренный в четвертом классе, через успешность обучения математике на третьем году обучения.

В таблице 4 представлены показатели соответствия пяти тестируемых моделей эмпирическим данным. Согласно этой таблице, среди моделей с прямыми эффектами наилучшим образом описывает эмпирические данные реципрокная модель, предполагающая, что интеллект, измеренный в третьем классе, предсказывает успешность обучения математике в четвертом классе и, наоборот, успешное обучение математике в третьем классе предсказывает тестовые показатели интеллекта в четвертом классе.

Таблица 4

Индексы соответствия моделей связи невербального интеллекта и успешности в обучении математике

Показатели М 1 М 2 М 3 М 4 М 5

AIC / BIC AIC 4925,61 4925,96 4921,42 4922,52 4922,52

BIC 5019,23 5022,34 5017,79 5021,65 5021,65

adj. BIC 4911,76 4911,7 4907,16 4907,86 4907,86

х2 value 71,5 69,86 65,31 64,42 64,42

df 56 55 55 54 54

p-value 0,07 0,08 0,16 0,16 0,16

RMSEA (CIs) Estimate 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04

90% CI 0,00-0,08 0,00-0,08 0,00-0,07 0,00-0,07 0,00-0,06

CFI / TLI CFI 0,97 0,97 0,97 0,98 0,99

TLI 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98

Примечание: AIC - Информационный критерий Акаике; BIC - Байесовский информационный критерий; adj. BIC - Байесовский информационный критерий, скорректированный на размер выборки; х2 (value, df, ¿»-value) - статистики хи-квадрат (значение, степени свободы, уровень значимости); RMSEA (Estimate, 90% CIs) - среднеквадратическая ошибка аппроксимации (значение, 90% доверительные интервалы); CFI -сравнительный показатель соответствия; TLI - показатель Такера - Льюиса

Эта модель представлена на рисунке 2, где «Матем_3» и «Матем_4» - показатели успешности обучения математике в третьем и четвертом классах, а «Интел_3» и «Ин-тел_4» - латентные показатели невербального интеллекта, выделенные на основе серий теста «Стандартные прогрессивные матрицы». Указаны стандартизированные регрессионные коэффициенты (р<0,05).

Согласно диаграмме реципрокной модели, представленной на рисунке 2, все

ауторегрессивные связи и одновременные взаимосвязи являются статистически значимыми. Исключение составляет связь «невербальный интеллект в третьем классе -успешность в математике в четвертом классе». Оценка параметров модели показывает, что невербальный интеллект, измеренный в третьем классе, не вносит статистически значимого вклада в вариацию успешности обучения математике к концу обучения в начальной школе ф=0,07, р>0,05).

Рис. 2. Стандартизированная перекрестно-лонгитюдная модель связи невербального интеллекта и успешности в математике с прямыми эффектами в двух временных измерениях

Вместе с тем в подавляющем большинстве исследований интеллект рассматривается как когнитивный предиктор успешности в обучении, в том числе и на российской выборке (например, Малых, 2009 [3]; Тихомирова, 2011 [10]; Тихомирова с соавт., 2015 [12]; Verbitskaya et al., 2015 [37]; Deary et al., 2007 [23]; Taub et al., 2008 [35]). В связи с этим в ходе дальнейшего анализа была протестирована модель с непрямыми эффектами, где невербальный интеллект, измеренный в третьем классе,

выступает в качестве предиктора, а успешность в обучении математике в третьем классе рассматривается в качестве медиатора. Эта модель представлена на рисунке 3, где «Матем_3» и «Матем_4» - показатели успешности обучения математике в третьем и четвертом классах, а «Интел_3» и «Ин-тел_4» - латентные показатели невербального интеллекта, выделенные на основе серий теста «Стандартные прогрессивные матрицы». Указаны стандартизированные регрессионные коэффициенты (р<0,05).

Рис. 3. Стандартизированная перекрестно-лонгитюдная модель связи невербального интеллекта и успешности в математике с непрямыми эффектами в двух временных измерениях

Согласно таблице 4, модель связи невербального интеллекта и успешности в математике с непрямыми эффектами наилучшим образом соответствует эмпирическим данным (Х2=64,42; df=52; RMSEA=0,04; CFI=0,99; TLI=0,98; AIC=4922,52; BIC=5021,65; adj. BIC=4907,86). Величина х2 не значима (p>0,05), что отражает хорошее соответствие этой теоретической модели.

Оценка параметров модели с непрямыми эффектами, представленной на рисунке 3, показывает, что ауторегрессивные коэффициенты статистически значимы (p<0,01) и достигают значений: 0,46 для показателей невербального интеллекта и 0,79 для показателей успешности в обучении, измеренных на третьем и четвертом годах обучения.

Регрессионные коэффициенты одновременных связей интеллекта и успешности в математике, зафиксированные на каждой из двух временных точек, существенно различаются. Так, на третьем году обучения взаимосвязь невербального интеллекта и успешности в математике является выраженной (в=0,53 при p<0,001). В четвертом классе выраженность связи этих показателей существенно снижается ф=0,11 при p<0,05). Одной из причин наблюдаемых различий может быть высокий ауторегрес-сивный коэффициент между показателями успешности в математике, зафиксированными в третьем и четвертом классах. Согласно литературным данным, высокая временная стабильность одного из анализируемых конструктов способна ослабить одновременные связи (Little et al., 2007) [29].

В модели 5 анализировались непрямые перекрестные временные связи между невербальным интеллектом и успешностью в обучении математике в двухлетний период начального обучения. Согласно диаграмме, представленной на рисунке 3, невербальный интеллект, измеренный в третьем классе, влияет на успешность в обучении математике в четвертом классе через успешность в математике на третьем году обучения. Статистически значимый стандартизированный вес этой непрямой связи составляет 0,42 (p<0,001) при учете вариации, относящейся к ауторегрессив-ным и одновременным связям. Стандартизированные путевые коэффициенты непрямых связей рассчитывались в соответствии с принципами структурного моделирования (Hu & Bentler, 1999 [25]; Rinderman, Neubauer, 2004 [34]). Регрессионный коэффициент пути «Невербальный интеллект_3 - Успешность в математике_3 - Успешность в математике_4» рассчитывается как 0,53x0,79=0,42. Регрессионный вес второй непрямой связи - невербальный интеллект, измеренный в третьем классе, предсказывает тестовый показатель интеллекта, измеренный в четвертом классе, через успешность обучения математике на третьем году обучения - существенно ниже (ß=0,11; p<0,05). Регрессионный коэффициент пути «Невербальный интел-лект_3 - Успешность в математике_3 - Невербальный интеллект_4» рассчитывается как 0,53x0,21=0,11. Таким образом, пере-крестно-лонгитюдный анализ показал, что невербальный интеллект, измеренный на третьем году обучения, предсказывает 49% дисперсии показателя успешности в математике на четвертом году обучения через успешность в математике в третьем классе.

Обсуждение

В исследовании изучались причинно-следственные связи между невербальным интеллектом и успешностью в обучении математике методом перекрестно-лон-

гитюдного структурного моделирования. Анализируемые показатели измерялись дважды - на третьем и четвертом годах школьного обучения. Перекрестно-лон-гитюдный анализ позволил оценить: а) временную стабильность невербального интеллекта и успешности в математике в младшем школьном возрасте; б) общую вариацию переменных внутри каждого из двух замеров на третьем и четвертом годах обучения; в) причинно-следственные отношения между невербальным интеллектом и успешностью в математике в ходе начального обучения.

Статистический анализ данных продемонстрировал, что среди анализируемых показателей наибольшей стабильностью в младшем школьном возрасте обладает успешность в обучении математике, измеренная учительскими оценками. В исследованиях отмечается, что оценки учителей как показатели успешности в школьном обучении обладают высокой стабильностью (Oliver et al., 2004) [33], что отчасти затрудняет анализ лонгитюдных связей с другими переменными на каждом последующем измерении. Вместе с тем учительская оценка является единственным показателем успешности российских школьников в обучении, который можно использовать в лонгитюдных исследованиях практически на всем протяжении школьного обучения - со второго по одиннадцатый класс.

Для невербального интеллекта получены более низкие ауторегрессивные коэффициенты по сравнению с успешностью в математике, но в целом позволяющие сделать вывод о временной стабильности этого психологического конструкта при учете вариации, относящейся к одновременным и перекрестным связям. Полученные данные хорошо согласуются с результатами исследований возрастной динамики интеллекта (например, Tucker-Drob & Briley, 2014 [36]; von Stumm & Plomin, 2015 [38]). В частности, в этих исследованиях сообщается, что показатели интеллекта более стабильны в период с ранней юности до

поздней взрослости, тогда как до подросткового возраста интеллект развивается неравномерно (von Stumm & Plomin, 2015 [38]; Tucker-Drob & Briley, 2014 [36]; Deary, Pattie & Starr, 2013 [22]).

Анализ одновременных корреляций показал, что взаимосвязи невербального интеллекта и успешности в обучении математике различаются на третьем и четвертом годах обучения. В третьем классе наблюдаются выраженные взаимосвязи между этими переменными, что полностью соответствует результатам множества срезовых исследований с участием детей школьного возраста. В литературе приводятся данные о значимой взаимосвязи показателей интеллекта и успешности в обучении - от 0,37 до 0,63 (Тихомирова с соавт., 2015 [12]; Brouwers, Van de Vijver, Van Hemert, 2009 [19]; Deary et al., 2007 [23]; Luo, Thompson & Detterman, 2006 [31]). На четвертом году обучения получена существенно менее тесная корреляционная взаимосвязь, что, как и было обозначено выше, связано с высокими ауторегрессивными коэффициентами, полученными для показателей успешности в обучении математике в третьем и четвертом классах.

Среди моделей, включающих в себя прямые связи между невербальным интеллектом и успешностью в математике, реци-прокная модель, предполагающая взаимно направленное отношение анализируемых конструктов во времени, лучше соответствует эмпирическим данным (см. рис. 2). Однако в этой модели влияние невербального интеллекта, измеренного в более ранний момент времени, на показатели успешности в обучении математике, зафиксированные в более поздний момент времени, оказалось статистически незначимым. Напротив, показатели успешности обучения математике в третьем классе объясняют 21% дисперсии тестового показателя невербального интеллекта в четвертом классе (p<0,05). Этот результат соответствует имеющимся в литературе данным о значительном влиянии обучения или специальных тренинговых

программ на результаты по тесту «Стандартные прогрессивные матрицы» (Тихомирова, 2016 [11]; Nisbett et al., 2012 [32]; Brinch & Galloway, 2012 [17]; Brouwers, Van de Vijver, Van Hemert, 2009 [19]). Вместе с тем в лонгитюдном исследовании, проведенном на выборке американских школьников (Watkins, Lei, & Canivez, 2007) [39], влияние успешности в обучении на тестовые показатели интеллекта не было подтверждено, что может быть связано с различиями в измерении успешности в обучении.

Теоретическая модель, предполагающая непрямое влияние невербального интеллекта, измеренного в третьем классе, на успешность в математике в четвертом классе, наилучшим образом описывает эмпирические данные. В то же время в качестве медиатора выступает показатель успешности в обучении математике в третьем классе (см. рис. 3). Следовательно, показатели невербального интеллекта, измеренные на третьем году школьного обучения, и успешность в математике, зафиксированную через один год школьного обучения, связывают непрямые причинно-следственные отношения: «ранний» интеллект выступает в качестве предиктора «более поздней» школьной успеваемости по математике.

Этот полученный в настоящем исследовании результат, возможно, отражает специфику взаимосвязи показателей когнитивного функционирования и академической успешности в условиях российской системы образования. Так, согласно тестируемой теоретической модели, невербальный интеллект выступает в качестве предиктора дальнейших успехов в школьном обучении математике, что полностью согласуется с множеством работ в этой области исследовательской проблематики (Deary et al., 2007 [23]; Brouwers, Van de Vijver, Van Hemert, 2009 [19]; Luo, Thompson & Detterman, 2006 [31] и др.). При этом, как правило, в исследованиях с участием американских и западноевропейских школьников сообщается о прямом влиянии интеллекта, измеренного в более раннем возрасте, на дальнейшие ака-

демические достижения (Deary et al., 2007 [23]; Watkins, Lei, & Canivez, 2007 [39] и др.). Вместе с тем в настоящей работе показано, что влияние невербального интеллекта, измеренного на третьем году обучения, на успешность в математике к концу начального обучения носит опосредованный характер - через успешность в математике на третьем году обучения в качестве медиатора. Следовательно, наблюдаемые кросскуль-турные различия путей влияния невербального интеллекта на успешность в математике в ходе начального обучения могут быть связаны с особенностями оценивания академической успешности в российской системе образования.

Заключение

Таким образом, с помощью перекрест-но-лонгитюдного анализа установлено, что модель с непрямым эффектом интеллекта наилучшим образом соответствует эмпирическим данным в младшем школьном возрасте. В соответствии с этой моделью невербальный интеллект, измеренный на третьем году обучения, влияет на показатели успешности в математике к концу третьего года, которые, в свою очередь, обуславливают успешность в математике к концу обучения в начальной школе.

Дальнейшее изучение временной связи этих психологических конструктов представляется в кросскультурном анализе лонгитюдных данных, включении данных большего числа измерений и, возможно, введении успешности в обучении как латентной переменной, выделенной на основе тестовых показателей.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №15-18-30055).

Литература

1. Дружинин В.Н. Психология общих способностей. - М.: Лантерна-Вита, 1995. - 150 с.

2. Ковас Ю.В., Тихомирова Т.Н., Малых С.Б. Проблема стабильности и изменчивости общих способностей в психогенетике // Вопросы психологии. - 2011. - № 6. - С. 44-54.

3. Малых С.Б. Проблема развития интеллекта в психогенетике // Когнитивные исследования: Проблема развития. Сборник научных трудов. Вып. 3 / Под ред. Д.В. Ушакова.

- М.: Изд-во «Институт психологии РАН», 2009.- С. 287-302.

4. Малых С.Б., Тихомирова Т.Н., Жоу С., Вей В., Родич М., Мисожникова Е.Б., Давыдова Ю.А., Ковас Ю.В. Структура взаимосвязей когнитивных характеристик и успешности в арифметике у дошкольников: кросскуль-турный анализ // Вопросы психологии. -2012. - № 5. - С. 133-143.

5. Малых С.Б., Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В. Индивидуальные различия в способностях к обучению: возможности и перспективы психогенетических исследований // Вопросы образования. - 2012. - № 4. - С. 186-199.

6. Равен Дж., Равен Дж.К., Корт Дж. Стандартные прогрессивные матрицы: Руководство. - М.: Когито-Центр, 2002.

7. Смит-Вули Э., Малых А. С., Галажинский Э.В., Воронин И.А., Ковас Ю.В. Лонгитюд-ное исследование связей между фонологией и арифметикой: от 3 до 12 лет // Теоретическая и экспериментальная психология. - 2013. - Т. 6. - № 4. - С. 47-60.

8. Тихомирова Т.Н. Влияние семейной микросреды на способности детей: роль поколений // Психология. Журнал Высшей школы экономики. - 2004. - Т. 1. - №. 4. - С. 133141.

9. Тихомирова Т.Н. Межличностное взаимодействие в образовательной среде и развитие общих способностей // Психологический журнал. - 2011. - Т. 32. - № 6. - С. 30-40.

10. Тихомирова Т.Н. Взаимосвязь показателей общего интеллекта и успешности в обучении // Знание. Понимание. Умение. - 2011.

- № 4. - С. 207-213.

11. Тихомирова Т.Н. Когнитивные основы индивидуальных различий в академической успешности: структурно-функциональная модель: автореферат дис. ... доктора психологических наук: 19.00.13 [Место защиты:

Психол. ин-т Рос. акад. образования]. - М., 2016. - 50 с.

12. Тихомирова Т.Н., Воронин И.А., Мисожни-кова Е.Б., Малых С.Б. Структура взаимосвязей когнитивных характеристик и академической успешности в школьном возрасте // Теоретическая и экспериментальная психология. - 2015. - Т. 8. - № 2. - С. 55-68.

13. Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В. Роль когнитивных показателей учащихся старшего школьного возраста в успешности решения математических заданий // Знание. Понимание. Умение. - 2012. - № 2. - С. 237-244.

14. Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В. Взаимосвязь когнитивных характеристик учащихся и успешности решения математических заданий (на примере старшего школьного возраста) // Психологический журнал. -2013. - Т. 34. - № 1. - С. 63-73.

15. Тихомирова Т.Н., Малых С.Б., Тосто М.Г., Ковас Ю.В. Когнитивные характеристики и успешность в решении математических заданий в старшем школьном возрасте: кросскультурный анализ // Психологический журнал. - 2014. - Т. 35. - № 1. - С. 41-53.

16. Bartholomew D.J. Measuring intelligence: Facts and fallacies. 1st ed. - Cambridge University Press, 2004. - 186 p.

17. Brinch C.N. & Galloway T.A. Schooling in adolescence raises IQ scores // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2012. -Vol. 109(2). - P. 425-430.

18. Brody N. Intelligence, schooling, and society // American Psychologist. - 1997. - Vol. 52(10).

- P. 1046-1050.

19. Brouwers S.A., Van de Vijver F.J.R., Van Hemert D.A. Variation in Raven's Progressive Matrices scores across time and place // Learning and Individual Differences. - 2009. - Vol. 19.

- P. 330-338.

20. Ceci S. How much does schooling influence intellectual development and its cognitive components? A reassessment of the evidence // Developmental Psychology. - 1991. - Vol. 27. - P. 703-722.

21. Colom R., Abad F.J., Garcia L.F., Juan-Espinosa M. Education, Wechsler's Full Scale IQ, and g // Intelligence. - 2002. - Vol. 30. - P. 449-462.

22. Deary I.J., Pattie A., Starr J.M. The stability of intelligence from age 11 to age 90 years: The

Lothian Birth Cohort of 1921 // Psychological Science. - 2013. - Vol. 12. - P. 2361-2368.

23. Deary I.J., Strand S., Smith P., Fernandez C. Intelligence and educational achievement // Intelligence. - 2007. - Vol. 35. - P. 13-21.

24. Geary D.C. Cognitive predictors of achievement growth in mathematics: a 5-year longitudinal study // Developmental Psychology. -2011. - Vol. 47(6). - P. 1539-1552.

25. Hu L., Bentler P.M. Cutoff criteria for fit indexes in covariance structure analysis: Conventional criteria versus new alternatives // Structural Equation Modeling: A Multidisci-plinary Journal. - 1999. - Vol. 6(1). - P. 1-55.

26. Jaeggi S.M., Studer-Luethi B., Buschkuehl M., Su Y.F., Jonides J. & Perrig W.J. The relationship between n-back performance and matrix reasoning - implications for training and transfer // Intelligence. - 2010. - Vol. 38(6). -P. 625-635.

27. Jensen A.R. The g factor: The science of mental ability. - Westport, CT: Praeger, 1998. - xiv + 648 p.

28. Laidra K., Pullmann H., Allik J. Personality and intelligence as predictors of academic achievement: A cross-sectional study from elementary to secondary school // Personality and Individual Differences. - 2007. - Vol. 42(3). - P. 441-451.

29. Little T.D., Preacher K.J., Selig J.P., & Card N.A. New developments in latent variable panel analyses of longitudinal data // International Journal of Behavioral Development. - 2007. -Vol. 31(4). - P. 357-365.

30. Lubinski D, & Dawis R.V. Aptitudes, skills, and proficiencies / In: M.D. Dunnette & L.M. Hough (Eds.) Handbook of industrial and organizational psychology (2nd ed.). - Palo Alto, CA: Consulting Psychology Press, 1992. - P. 1-59.

31. Luo D., Thompson L.A. & Detterman D.K. The criterion validity of tasks of basic cognitive processes // Intelligence. - 2006. - Vol. 34(1). - P. 79-120.

32. Nisbett R., Aronson J., Blair C., Dickens W., Flynn J., Halpern D. & Turkheimer E. Intelligence: New findings and theoretical developments // American Psychologist. - 2012. -Vol. 67. - P. 130-159.

33. Oliver B., Harlaar N., Hayiou-Thomans M., Kovas Y., Walker S., Spinath F., Petrill S., Dale P., & Plomin R. Twin study of teacher-reported mathematics performance in 7-year-olds //

Journal of Educational Psychology. - 2004. -Vol. 96(3). - P. 504-517.

34. Rindermann H., Neubauer A.C. Processing speed, intelligence, creativity, and school performance: Testing of causal hypotheses using structural equation model // Intelligence. -2004. - Vol. 32. - P. 573-589.

35. Taub G.E., Keith T.Z., Floyd R.G. & McGrew K.S. Effects of general and broad cognitive abilities on mathematics achievement // School Psychology Quarterly. - 2008. - Vol. 53. - P. 187-198.

36. Tucker-Drob E.M. & Briley D.A. Continuity of genetic and environmental influences on cognition across the life span: A meta-analysis of longitudinal twin and adoption studies // Psychological Bulletin. - 2014. - Vol. 140. - P. 949-979.

37. Verbitskaya L.A., Malykh S.B., Zinchenko Y.P. & Tikhomirova T.N. Cognitive predictors of success in learning Russian // Psychology in Russia: State of the Art. - 2015. - Vol. 8(4). -P. 91-100.

38. Von Stumm S. & Plomin R. Socioeconomic status and the growth of intelligence from infancy through adolescence // Intelligence. -2015. - Vol. 48. - P. 30-36.

39. Watkins M.W., Lei P.W., & Canivez G.L. Psychometric intelligence and achievement: A cross-lagged panel analysis // Intelligence. -2007. - Vol. 35(1). - P. 59-68.

References

1. Druzhinin VN. Psikhologiya obshchikh sposobnostey. Moscow: Lanterna-Vita, 1995: 150 (in Russian).

2. Kovas YuV, Tikhomirova TN, Malykh SB. Problema stabil'nosti i izmenchivosti obsh-chikh sposobnostey v psikhogenetike.Voprosy psikhologii 2011; 6:44-54 (in Russian).

3. Malykh SB. Problema razvitiya intellekta v psikhogenetike. Kognitivnyye issledovaniya: Problema razvitiya. Sbornik nauchnykh tru-dov. Vyp. 3. Pod red. DV Ushakova. Moscow: Izd-vo «Institut psikhologii RAN» 2009: 287302. (in Russian).

4. Malykh SB, Tikhomirova TN, Zhou S, Vey V, Rodich M, Misozhnikova YB, Davydova YA, Kovas YV. Struktura vzaimosvyazey kogni-tivnykh kharakteristik i uspeshnosti v arifme-tike u doshkol'nikov: krosskul'turnyy analiz.

Voprosy psikhologii 2012; 5:133-143 (in Russian).

5. Malykh SB, Tikhomirova TN, Kovas YV. Indi-vidual'nyye razlichiya v sposobnostyakh k obu-cheniyu: vozmozhnosti i perspektivy psikhoge-neticheskikh issledovaniy. Voprosy obrazovani-ya 2012; 4:186-199 (in Russian).

6. Raven J, Raven JK, Kort J. Standartnyye pro-gressivnyye matritsy: Rukovodstvo. Moscow: Kogito-Tsentr 2002 (in Russian).

7. Smith-Woolley E, Malykh AS, Galazhinskiy EV, Voronin IA, Kovas YV. Longityudnoye issledovaniye svyazey mezhdu fonologiyey i arifmetikoy: ot 3 do 12 let. Teoreticheska-ya i eksperimental'naya psikhologiya 2013; 6(4):47-60 (in Russian).

8. Tikhomirova TN. Vliyaniye semeynoy mikrosredy na sposobnosti detey: rol' poko-leniy. Psikhologiya. Zhurnal Vysshey shkoly ekonomiki 2004; 1(4):133-141 (in Russian).

9. Tikhomirova TN. Mezhlichnostnoye vzai-modeystviye v obrazovatel'noy srede i razviti-ye obshchikh sposobnostey. Psikhologicheskiy zhurnal 2011; 32(6):30-40 (in Russian).

10. Tikhomirova TN. Vzaimosvyaz' pokazate-ley obshchego intellekta i uspeshnosti v obu-chenii. Znaniye. Ponimaniye. Umeniye 2011; 4:207-213. (in Russian).

11. Tikhomirova TN. Kognitivnyye osnovy in-dividual'nykh razlichiy v akademicheskoy uspeshnosti: strukturno-funktsional'naya model': avtoreferat dis. ... doktora psikholog-icheskikh nauk: 19.00.13 [Mesto zashchity: Psikhol. in-t Ros. akad. obrazovaniya] Moscow 2016: 50. (in Russian).

12. Tikhomirova TN, Voronin IA, Misozhniko-va YB, Malykh SB. Struktura vzaimosvyazey kognitivnykh kharakteristik i akademicheskoy uspeshnosti v shkol'nom vozraste. Teore-ticheskaya i eksperimental'naya psikhologiya 2015; 8(2):55-68 (in Russian).

13. Tikhomirova TN, Kovas YV. Rol' kognitivnykh pokazateley uchashchikhsya starshego shkol'no-go vozrasta v uspeshnosti resheniya matem-aticheskikh zadaniy. Znaniye. Ponimaniye. Umeniye 2012; 2:237-244. (in Russian).

14. Tikhomirova TN, Kovas YV. Vzaimosvyaz' kognitivnykh kharakteristik uchashchikhsya i uspeshnosti resheniya matematicheskikh zadaniy (na primere starshego shkol'nogo vozrasta). Psikhologicheskiy zhurnal 2013; 34(1):63-73 (in Russian).

15. Tikhomirova TN, Malykh SB, Tosto MG, Kovas YV. Kognitivnyye kharakteristiki i uspeshnost' v reshenii matematicheskikh zadaniy v starsh-em shkol'nom vozraste: krosskul'turnyy analiz. Psikhologicheskiy zhurnal 2014; 35(1):41-53 (in Russian).

16. Bartholomew DJ. Measuring intelligence: Facts and fallacies. 1st ed. Cambridge University Press 2004: 186.

17. Brinch CN & Galloway TA. Schooling in adolescence raises IQ scores. Proceedings of the National Academy of Sciences 2012; 109(2):425-430.

18. Brody N. Intelligence, schooling, and society. American Psychologist 1997; 52(10): 10461050.

19. Brouwers SA, Van de Vijver FJR, Van Hemert DA. Variation in Raven's Progressive Matrices scores across time and place. Learning and Individual Differences 2009; 19:330-338.

20. Ceci S. How much does schooling influence intellectual development and its cognitive components? A reassessment of the evidence. Developmental Psychology 1991; 27:703-722.

21. Colom R, Abad FJ, Garcia LF, Juan-Espinosa M. Education, Wechsler's Full Scale IQ, and g. Intelligence 2002; 30:449-462.

22. Deary IJ, Pattie A, Starr JM. The stability of intelligence from age 11 to age 90 years: The Lothian Birth Cohort of 1921. Psychological Science 2013; 12:2361-2368.

23. Deary IJ, Strand S, Smith P, Fernandez C. Intelligence and educational achievement. Intelligence 2007; 35:13-21.

24. Geary DC. Cognitive predictors of achievement growth in mathematics: a 5-year longitudinal study. Developmental Psychology 2011; 47(6):1539-1552.

25. Hu L, Bentler PM. Cutoff criteria for fit indexes in covariance structure analysis: Conventional criteria versus new alternatives. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal 1999; 6(1):1-55.

26. Jaeggi SM, Studer-Luethi B, Buschkuehl M, Su YF, Jonides J & Perrig WJ. The relationship between n-back performance and matrix reasoning - implications for training and transfer. Intelligence 2010; 38(6):625-635.

27. Jensen AR. The g factor: The science of mental ability. Westport, CT: Praeger 1998: xiv + 648.

28. Laidra K, Pullmann H, Allik J. Personality and intelligence as predictors of academic achieve-

ment: A cross-sectional study from elementary to secondary school. Personality and Individual Differences 2007; 42(3):441-451.

29. Little TD, Preacher KJ, Selig JP, & Card NA. New developments in latent variable panel analyses of longitudinal data. International Journal of Behavioral Development 2007; 31(4):357-365.

30. Lubinski D, & Dawis RV Aptitudes, skills, and proficiencies. In: M.D. Dunnette & L.M. Hough (Eds.) Handbook of industrial and organizational psychology (2nd ed.). - Palo Alto, CA: Consulting Psychology Press, 1992:1-59.

31. Luo D, Thompson LA & Detterman DK. The criterion validity of tasks of basic cognitive processes. Intelligence 2006; 34(1):79-120.

32. Nisbett R, Aronson J, Blair C, Dickens W, Fly-nn J, Halpern D & Turkheimer E. Intelligence: New findings and theoretical developments. American Psychologist 2012; 67:130-159.

33. Oliver B, Harlaar N, Hayiou-Thomans M, Kovas Y, Walker S, Spinath F, Petrill S, Dale P, & Plomin R. Twin study of teacher-reported mathematics performance in 7-year-olds. Journal of Educational Psychology 2004; 96(3):504-517.

34. Rindermann H, Neubauer AC. Processing speed, intelligence, creativity, and school performance: Testing of causal hypotheses using structural equation model. Intelligence 2004; 32:573-589.

35. Taub GE, Keith TZ, Floyd RG & McGrew KS. Effects of general and broad cognitive abilities on mathematics achievement. School Psychology Quarterly 2008; 53:187-198.

36. Tucker-Drob EM & Briley DA. Continuity of genetic and environmental influences on cognition across the life span: A meta-analysis of longitudinal twin and adoption studies. Psychological Bulletin 2014; 140:949-979.

37. Verbitskaya LA, Malykh SB, Zinchenko YP & Tikhomirova TN. Cognitive predictors of success in learning Russian. Psychology in Russia: State of the Art 2015; 8(4):91-100.

38. Von Stumm S & Plomin R. Socioeconomic status and the growth of intelligence from infancy through adolescence. Intelligence 2015; 48:30-36.

39. Watkins MW, Lei PW, & Canivez GL. Psychometric intelligence and achievement: A cross-lagged panel analysis. Intelligence 2007; 35(1):59-68.

THE RELATIONSHIP OF NONVERBAL INTELLIGENCE AND SUCCESS IN MATHEMATICS AT PRIMARY SCHOOL AGE:

A LONGITUDINAL STUDY

T.N. TIKHOMIROVA1, E.B. MISOZHNIKOVA1, Yu.V. KUZMINA2, S.B. MALYKH1

1 Psychological Institute of RAE, 2 National Research University «Higher School of Economics», Moscow

The article presents the results of a longitudinal study of the relationship of nonverbal intelligence with success in learning mathematics. A cross-lag analysis showed that at primary school age the empirical data is best described with the theoretical model of indirect influence of non-verbal intelligence. According to this model, non-verbal intelligence measured at the third year of schooling affects the success in mathematics by the end of the third year, which, in turn, influences the success in mathematics by the end of primary school.

Keywords: cross-lag analysis, non-verbal intelligence, success in mathematics, causal relationship, primary school age.

Address:

Tikhomirova T.

Doctor of Psychology,

Leading Researcher of Laboratory age psychogenetics,

Psychological Institute of RAE

9-4 Mokhovaya str., Moscow, 125009, Russia

E-mail: tikho@mail.ru