Функции, не меняющие типы минимальных заполнений

Краткие сообщения

УДК 514

ФУНКЦИИ, НЕ МЕНЯЮЩИЕ ТИПЫ МИНИМАЛЬНЫХ ЗАПОЛНЕНИЙ

С.Ю. Липатов 1

Доказано, что функция, изменяющая расстояния в конечных метрических пространствах, но сохраняющая типы их минимальных заполнений, имеет вид f(x) = кх + Ь. При этом достаточно предполагать, что типы заполнений сохраняются у пространств, состоящих не более чем из пяти точек.

Ключевые слова: минимальное заполнение, метрическое пространство.

It is proved that a function measuring distances in metric spaces and preserving the types of their minimal fillings has the form f(x) = kx + b. It is sufficient to assume in this case that the types of fillings are preserved for spaces consisting of not more than five points.

Key words: minimal fillings, finite metric spaces.

Введение. Теория минимальных заполнений активно развивается, ей посвящено большое количество работ (см. [1-12]).

Проблема Штейнера — это задача об оптимальном соединении конечного множества точек метрического пространства. Она состоит в поиске минимального дерева Штейнера — кратчайшей сети, соединяющей заданный конечный набор точек плоскости. Сетью в псевдометрическом пространстве X = (X,d), параметризованной произвольным связным графом G = (V,E), или сетью типа G называется отображение Г: V —> X [1]. Вершинам,и и ребрам,и сети Г называются ограничения отображения Г соответственно на вершины и ребра графа G. Длиной ребра Г: vw —> X назовем число d(T(v),T(w)), а длиной d(T) сети Г — сумму длин всех ее ребер. Границей дТ сети Г назовем ограничение отображения Г на границу графа dG (подмножество множества вершин). Если М С X — конечное множество и М С Г(У), то будем говорить, что сеть Г соединяет, множество М. Вершины графов и сетей, не являющиеся граничными, будем называть внутренним,и. Число smt(M) = inf{d(r)|r — сеть, соединяющая М} назовем длиной кратчайшей сет,и. Сеть, для которой d(T) = smt(M), называется кратчайшей, сетью [2] или минимальным деревом Штейнера

Понятие минимального заполнения впервые появилось в работах М. Л. Громова в следующем виде: пусть Л4 = (М, р), где М — замкнутое многообразие с функцией расстояния р на нем, а УУ = (W,d), где компактное многообразие W с краем М таково, что d не уменьшает расстояния между точками из М, тогда УУ называется заполнением, Л4. Задача Громова состоит в описании точной нижней грани объемов заполнений, а также в описании тех пространств УУ, которые называются минимальными заполнениям,и, и на которых эта нижняя грань достигается.

В контексте проблемы Штейнера естественно рассмотреть в качестве М конечное метрическое пространство. Тогда возможные заполнения — метрические пространства, имеющие структуру одномерных стратифицированных многообразий (которые можно рассматривать как реберно-взвешенные графы с неотрицательными весовыми функциями).

В [2] доказано, что замена метрики р на метрику Ар+а, А > 0, а > Аар, где ар — некоторое число, зависящее от метрики р, не меняет тип минимального заполнения. Основная задача настоящей работы — описать все функции /(р), не меняющие типы минимальных заполнений. Мы покажем, что /(р) = Ар + а — единственные такие функции.

Предварительные результаты. Приведем необходимые для дальнейшего определения и результаты.

Пусть М — произвольное конечное множество и G = (V., Е) — некоторый связный граф. Будем говорить, что G соединяет М, а М — граница графа G, если М С V. Границу графа G будем также обозначать через dG. Пусть теперь Л4 = (М, р) — конечное псевдометрическое пространство (в отличие от метрики расстояния между разными точками могут быть равны нулю), G = (V., Е) — связный граф, соединяющий М, иш:Еч R+ — некоторое отображение в неотрицательные вещественные числа, называемое обычно весовой функцией и порождающее взвешенный граф Q = (G,w).

1 Липатов Степан Юрьевич — студ. каф. дифференцальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: stepa.lipatovQyandex.ru.

Весом взвешенного графа Q называется величина из(С), равная сумме весов всех ребер этого графа. Функция из задает на V псевдометрику а именно расстоянием между вершинами графа Q назовем наименьший из весов путей, соединяющих эти вершины. Если для любых точек р и q из М выполняется p(p,q) ^ с1ш(р,д), то взвешенный граф Q называется заполнением пространства Л4, а граф G — типом этого заполнения. Число mf(.M) = inf w(Q) по всем заполнениям Q пространства Л4 назовем весом минимального заполнения, а заполнение Q, для которого из(<3) = т{(А4), — минимальным заполнением.

Конечное псевдометрическое пространство Л4 = (М, р) называется аддитивным,, если М можно соединить взвешенным деревом Q = (G,U3), для которого р совпадает с ограничением с1ш на М (см. [1]). Дерево Q в этом случае называется порождающим,.

Утверждение 1 [1]. Пусть у пространства Л4 = (М,р) минимальное заполнение Q = (С,из) представляет собой звезду, в которой внутренняя вершина v соединена со всеми т очкам и Pi € М, 1 ^ г ^ п, п ^ 3. Тогда пространство Л4 = (М,р) аддитивно и, его минимальные заполнения, — это его порождающие деревья, (т.е. деревья, которые порождают, расстояние).

Пусть G = (V., Е) — произвольное дерево. Пусть v € V — внутренняя вершина степени (k + 1) ^ 3, смежная с к вершинами w\,... ,Wk из dG. Тогда множество вершин ... ,Wk}, а также множество ребер {vw\,... ,vwk} называются усам,и. Число к назовем степенью, ао- общей, вершиной этих усов.

Будем называть дерево бинарным,, если каждая его вершина имеет степень 1 или 3.

Утверждение 2 [1]. Пусть М = {Р1,Р2,РЗ,Р4} и Р — произвольная псевдом,ет,ри,ка, на, М. Положим, pij = p{pi,pj). Тогда, вес минимального заполнения, Q = (С,ш) пространства Л4 = (М,р) дается формулой

^ (min{pi2 + Р34, Р13 + Р24, Ри + р2з} + max{pi2 + р34, Р13 + Р24, Ри + Р2з}) •

Если минимум в этой формуле равен pij + prs, то тип минимального заполнения, — бинарное дерево, усы, которого суть {pi,pj} и {pr,ps}.

Функции, не меняющие типы минимальных заполнений.

Основная теорема. Пусть /: М>о —> М>о — такая функция, что для каждого метрического пространства (М, р) функция fop по-прежн,ем,у является метрикой на М и множества типов всех минимальных заполнений прост,ранет,в (М, р) и, (М, fop) совпадают. Тогда, существует

такое число С = /(1) — Щ^-, что функция, / + 2С линейна, на, М>о-

Доказательство основной теоремы основано на двух вспомогательных результатах — леммах 1

и 3.

Перейдем к выводу основного результата этой статьи.

Лемма 1. Пусть /: М>о —> М>о — такая функция, что для каждого метрического пространства (М, р) функция fop по-прежнему является метрикой на М и типы всех минимальных заполнений у пространств (М, р) и, (М, fop) одинаковы. Тогда, существует такое число С, что функция, / + 2С аддитивна, на, М>о-

Доказательство. Пусть Л4 = (М,р), М = {р^™=0, п ^ 3, — метрическое пространство, минимальное заполнение которого Q = (G, ш) представляет собой звезду с внутренней вершиной v, соединенной со всеми точками р^ ребрами а = vpi, причем ш(ео) = 0, p(p0,pi) = р{р0,р2) = 1- Заметим, что при всех г = 1,... ,п имеем w(ej) > 0, так как иначе р не является метрикой. Так как fop — метрика на М, а звезда Q\ = (G,u)\) — минимальное заполнение пространства Л4\ = (М, / о р), то в силу утверждения 1 для всех г ф j выполняется соотношение

f{p('Pi,Pj)) = /Ие*) + w(e,-)) = wi(ei) +wi(ej).

Следовательно, при каждом г > 0 имеем

/(w(ei)) = f(u)(ei) + w(e0)) = wi(ei) + wi(e0) = wi(ei) - C,

где С = —шi(eo). Таким образом, для любых положительных г ф j выполняется

f{u(et) + uj(eJ))=f{uj(et))+f{uj(eJ))+2C.

Покажем, что при изменении весов w(ej), г ^ 3, и сохранении весов ребер ео, е\, число С = —шi(eo) не изменится. Действительно,

изi

= f{p{Po,Pi)) + /

Таким образом, для любой весовой функции со, такой, что w(eo) = 0, w(ei) = w(e2) = 1, число С равно /(1) — поэтому оно не зависит от весов w(ej), г ^ 3, которые можно выбрать любыми в силу того, что приведенные выше рассуждения имеют место для любой звезды. Отсюда вытекает, что функция / + 2С аддитивна на открытом луче х > 0.

Замечание. При доказательстве соотношения /(а+ 6) = /(а) + /(&) + 2С можно ограничиться рассмотрением пространств из пяти точек, содержащих ро, р\, р2 и р4, таких, что р('Ро,Рз) = а, Р(Р0,Р4) = Ъ.

Лемма 2. Функции, не меняющие типы минимальных заполнений, монотонно возрастают. Доказательство. Покажем, что если 0 < а < Ь, то /(а) < /(6). Возьмем множество X = {pi}f=i и такую функцию р: X х X —> М>о, что p{pi,p2) = p{p2,pi) = р{рз,р&) = р(,Р4,Рз) = для любого ж € X выполняется р(х,х) = 0, а на остальных парах р принимает значение Ъ. Очевидно, (X, р) — метрическое пространство, заполнение которого, согласно утверждению 1, имеет усы {Р1/Р2} и {РЗ)Р4}) так как на соответствующих противоположных ребрах достигается минимум суммы длин (он равен 2а). После замены р на / о р для не меняющей типы минимальных заполнений функции / усы останутся теми же, поэтому 2/(а) — минимум суммы длин противоположных ребер, т.е. Да) < /(/О.

Лемма 3. -Белы /: М>о —> М — монотонно возрастающая функция, такая, что функция д = / + 2С аддитивна на М>о, то g линейна на М>о-

Замечание. Здесь и далее линейными функциями на R>o называются ограничения линейных отображений R в себя, а не функции вида f(x) = kx + 6.

Доказательство. Пусть g не является линейной, тогда существуют такие Х\,Х2 > 0, что äi^ll =

а > ß = a^^. Возьмем такое е > 0, что ах\ > ß{x\ + е). Тогда найдется число т € N, для которого

— < е, поэтому существует число k € N, такое, что Х\ < — < Х\ + е. Но тогда qi^2-) = ß^ <

ТТЪ ^ ^ ^ ^ 772 ^ 772

/?(ж1 + е) < СКЖ1 = д(х\), что противоречит монотонному возрастанию.

Доказательство основной теоремы. По лемме 1 существует такое число С, что функция / + 2С аддитивна, по лемме 2 функция / монотонно возрастает, а по лемме 3 для такой функции существует число С, для которого функция / + 2С линейна.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору A.A. Тужилину и профессору АО. Иванову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работа частично поддержана РФФИ, проект №13Ч)Ю0664а, а также программой Президента РФ "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-81.2014.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов А.О., Тужилин A.A. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб.

2012. 203, № 5. 65-118.

2. Иванов А. О., Тужилин A.A. Теория экстремальных сетей. Ижевск: 11К11. 2003.

3. Рублёва О.В. Критерий аддитивности конечного метрического пространства и минимальные заполнения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 8-11.

4. Овсянников З.Н. Открытое семейство множеств, для которых минимальное заполнение не единственно // Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 2. 153-156.

5. Лаут И.Л., Овсянников З.Н. Вид минимальных разветвленных геодезических в нормированном пространстве определяет норму // Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 2. 67-77.

6. Мищенко В. А. Оценки отношения Штейнера-Громова римановых многообразий // Фунд. и прикл. матем.

2013. 18, № 2. 119-124.

7. Овсянников З.Н. Отношения Штейнера, Штейнера-Громова и суботношения Штейнера для пространства компактов в евклидовой плоскости с расстоянием Хаусдорфа // Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 2. 157-165.

8. Овсянников З.Н. Суботношение Штейнера для пяти точек на плоскости и четырех точек в пространстве // Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 2. 167-179.

9. Пахомова A.C. Критерий непрерывности отношений типа Штейнера в пространстве Громова-Хаусдорфа // Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 2. 157-165.

10. Ivanov A., Tuzhilin А. Minimal fillings of finite metric spaces // Contemp. Math. 2014. 625. 9-35.

11. Иванов А. О., Овсянников 3.H., Стрелкова H.H., Тужилин А.А Одномерные минимальные заполнения с ребрами отрицательного веса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 3-8.

12. Ерёмин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб. 2013. 204, № 9. 51-72.

Поступила в редакцию 29.09.2014

УДК 514.774.8

РЕАЛИЗУЕМОСТЬ ОСОБЫХ УРОВНЕЙ ФУНКЦИЙ МОРСА ОБЪЕДИНЕНИЕМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

И. Н. Шнурников1

Перечислены все специальные графы степени 4 не более чем с тремя вершинами (атомы из теории интегрируемых гамильтоновых систем), представимые объединением замкнутых геодезических на следующих двумерных поверхностях с метрикой постоянной кривизны: сфера, проективная плоскость, тор, бутылка Клейна.

Ключевые слова: 2-атом, замкнутые геодезические, метрика постоянной кривизны.

We list special graphs of degree 4 with at most 3 vertices (atoms from the theory of integrable Hamiltonian systems) which could be represented by a unión of closed geodesics on the one of the following surfaces with metric of constant curvature: sphere, projective plañe, torus, Klein bottle.

Key words: 2-atom, closed geodesics, metric of constant curvature.

В задачах классификации интегрируемых гамильтоновых систем важную роль играют окрестности особых слоев функций. А. Т. Фоменко ввел понятия "3-атома" и "2-атома" для описания топологии слоения Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем (см. [1-3]). Атомы применяются в теории динамических систем [4, 5], группы симметрий атомов изучались в [6].

Определение 1. Пусть G — двумерная компактная замкнутая поверхность, К — вложенный в нее связный конечный граф, каждая вершина которого имеет степень 4. При этом G\K гомеоморф-но дизъюнктному объединению дисков (клеток), которые можно раскрасить в два цвета так, чтобы каждое ребро графа примыкало к клеткам обоих цветов. Атомом называется пара (G, К), рассматриваемая с точностью до гомеоморфизма пары (переводящего граф в граф). Оснащенным атомом называется пара (G, К) с выбранной раскраской клеток в черный и белый цвета, рассматриваемая с точностью до гомеоморфизма, переводящего клетки в клетки того же цвета.

Определение 2. Атом (G, К) называется геодезическим,, если на поверхности G можно ввести метрику постоянной кривизны так, что граф К реализуется набором замкнутых геодезических.

Существует взаимно однозначное соответствие между оснащенными атомами и клеточными разбиениями двумерных замкнутых поверхностей вложениями конечных графов (см. [7, т. 1, § 2.7.7]). При этом вершины графа могут иметь произвольную степень, а разбиения берутся с точностью до гомеоморфизма. Заметим, что для любого атома на его поверхности можно ввести риманову метрику так, что граф К будет представляться объединением замкнутых геодезических. А. Т. Фоменко в 2011 г. поставил вопрос об описании геодезических атомов малой сложности. В обозначениях атомов из книги [7] атом С*2 на сфере, атом В на проективной плоскости, атомы С\ и Е\ на торе геодезические, а атом В на сфере не геодезический. Будем говорить, что обход вдоль замкнутой кривой (возможно, с самопересечениями) на двумерной поверхности "меняет локальную ориентацию", если ортонормированный репер, первый вектор которого касается кривой, при непрерывной деформации вдоль кривой меняет направление второго вектора на противоположное.

Предложение 1. Если геодезический атом реализуется объединением, замкнутых геодезических 7i,..., тп, то все их точки пересечения и самопересечения простые, т.е. через каждую точку или проходят две различные геодезические, или, одна, геодезическая, проходит дважды. Обход вдоль замкнутой геодезической, 7¿ меняет локальную ориентацию поверхности тогда и только тогда, когда суммарное число ее точек пересечения с остальными геодезическими, нечетно (точки самопересечения, t¿ не учитываются).

1 Шнурников Игорь Николаевич — канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель НИУ ВШЭ, e-mail: shnurnikovQyandex.ru.