Максимизация чувствительности PHp-премии для семейств рисков, распределенных по Парето

Расходимость во всех вариантах, где она имела место, вызвана отсутствием сходимости локального алгоритма, поскольку замена AMG на BCGSTAB+ILU(0) приводит к тому, что расчет доходит до конца модели (последняя строка таблицы).

Тем не менее метод AMG работоспособен на версиях теста с некоторыми комбинациями упрощений. Во всех вариантах модели программа сделала первые 4 коротких шага, на которых производится ввод всех скважин. Это говорит о влиянии длины шага на сходимость.

Кроме того, когда упрощением было только ограничение по длине шага (вариант 8), алгоритм посчитал больше шагов (10), чем когда к нему добавлялось удаление скважин (вариант 10) — 4 шага или "отключение гравитации" (вариант 12) — 6 шагов. Это обусловлено тем, что усложнение матрицы приводит к тому, что метод автоматического вычисления шага не позволяет расчету сразу "разогнаться" до длины в 10 дней.

Отметим, что на некоторых достаточно сложных моделях алгоритм CPR + AMG все же сходится, причем без применения вышеописанных упрощений. При этом число итераций практически совпадает с таковым для комбинации CPR+ILU.

Заключение. 1. Метод AMG был протестирован на модельных задачах, близких к симметричным эллиптическим, и показал хорошие результаты расчета, причем тем лучше, чем более симметрична сама задача.

2. AMG был протестирован в составе метода CPR для решения задачи фильтрации в российском гидродинамическом симуляторе tNavigator. Проведенные расчеты показали, что на реальных моделях в связи с большой длиной шага по времени, наличием скважин, капиллярных сил и гидростатического потенциала алгоритм AMG часто перестает сходиться для матрицы давлений в методе CPR.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1989.

2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.

3. Stuben K. A Review of Algebraic Multigrid. GMD Report 69, November, 1999.

4. Stuben K. Algebraic Multigrid (AMG): an Introduction with Applications. GMD Report 70, 1999.

5. Wallis J.R. Incomplete Gaussian Elimination as a Preconditioning for Generalized Conjugate Gradient Acceleration. SPE 12265, 1983.

6. Азиз Х, Сэттари Э. Математическое моделирование пластовых систем / Пер. с англ. М.: Недра, 1982.

7. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Philadelphia: SIAM, 2003.

8. Lacroix S., Vassilevski Yu., Wheeler J., Wheeler M. Iterative solution methods for modeling multiphase flow in porous media fully implicitly // SIAM J. Sci. Comput. 2003. 25, N 3. 905-926.

Поступила в редакцию 29.05.2009

УДК 519.21

МАКСИМИЗАЦИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ PHP-ПРЕМИИ ДЛЯ СЕМЕЙСТВ РИСКОВ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ПАРЕТО

Н. А. Ирхина1

Изучается принцип Ванга подсчета премии в теории страхования. Отмечается возможность использования принципа Ванга для упорядочивания рисков на примере распределения Парето. Вычисляется абсолютная чувствительность премии при разных параметрах и проводится ее максимизация.

Ключевые слова: принцип подсчета премии, функция искажения, абсолютная чувствительность премии.

This research is devoted to Wang's premium principle in actuarial theory. By example of Pareto distribution the author notes that Wang's premium principle can be applied to

1 Ирхина Наталья Александровна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: irkhina.natalia@rambler.ru.

ordering risks. The author calculates and maximizes absolute sensitivity of premium for different parameters.

Key words: premium principle, distortion function, absolute sensitivity of premium.

1. Введение. Расчет премии в страховании и поиск надежного принципа подсчета премии, будучи одной из фундаментальных задач актуарной науки, является предметом многочисленных актуарных исследований.

В последние десятилетия особый интерес вызывает так называемый принцип Ванга подсчета премии (Wang's Premium principle (Wp)), изложенный С.С. Вангом в [1, 2], где премия за риск определяется как полный интеграл от модифицированной функции дожития случайной величины убытка (Sx(t) = P(X>t)). Первоначально [1] формула подсчета премии выглядела следующим образом: Пр(Х) = JX Sx (t)1/pdt, р ^ 1, где р — так называемый индекс неприятия риска, а принцип носил название Proportional Hazard Premium principle (PHp), т.е. принцип подсчета пропорционально степени риска. Далее, в [2] вместо степенной трансформации функции дожития случайной величины рассматривается более широкий класс так называемых функций искажения g : [0,1] ^ [0,1], которые не убывают и для которых выполнены условия g(0) = 0, g(1) = 1.

Принцип Ванга обсуждался многими авторами [3-10]. Он был обобщен на распределения по всей числовой оси, что позволило изучать не только неотрицательные, но и произвольные риски. Отметим, что более традиционным является принцип подсчета премии по среднеквадратическому отклонению (Standard Deviation Premium principle (SDp)), и ряд работ посвящен проблеме сводимости к нему принципа Ванга.

В данной работе обсуждаются различия между принципом подсчета премии по среднеквадратиче-скому отклонению и принципом Ванга, а также преимущества последнего. На примере центрированного и нормированного распределения Парето проводятся оценки чувствительности PHp-премии при разных параметрах.

2. Основные определения и понятия. Определение 1. Принцип подсчета премии по среднеквадратическому отклонению (SDp) имеет вид

тг(Х) = EX + A\/DX,

где X — риск, Л > 0, п(Х) — премия, назначаемая за риск X.

Определение 2. Принцип Ванга подсчета премии (Wp) имеет вид

/0 rx

(g(Sx(t)) - 1)dt +/ g(Sx(t))dt,

-x J 0

где Sx (t) = P (X > t) — функция дожития для риска X, g : [0,1] ^ [0,1] — неубывающая функция искажения.

Определение 3. Принцип подсчета премии пропорционально степени риска (PHp) имеет вид

/0 rx

(Sx(t)1/p - 1)dt + / Sx(t)1/pdt,

-x Jo

где Sx (t) = P(X>t) — функция дожития для риска X, р ^ 1 — так называемый индекс неприятия риска.

Определение 4. Абсолютной чувствительностью премии P(X) для класса рисков (случайных величин) R назовем разность

V(R,P)= sup P(X) - inf P(X). X en X eR

Мы будем применять данное определение к премиям Ванга, и поскольку они однозначно определяются функциями искажения, то можно говорить о чувствительности соответствующей функции.

Определение 5. Премию назовем биективной, если разным рискам она ставит в соответствие разные значения.

Таким образом, если премия биективна, то все риски в классе можно различить и строго упорядочить (по величине премии).

Определение 6. Распределение Парето с параметрами (а, ß) — распределение с функцией дожития

Sxaiß = Щ"-

При а > 2 распределение Парето имеет среднее и дисперсию:

ЕХа,в =

в

а — 1

, 0Ха,в =

ав2

(а - 1)2(а - 2):

а РНр-премия равна

тгдад = а/р~17

оо,

р < а; р ^ а.

3. Результаты. Будем рассматривать классы распределений с нулевым средним и единичной дисперсией. Понятно, что с помощью среднеквадратического принципа такие распределения различить (тем более упорядочить) невозможно, так как премия по среднеквадратическому принципу на них будет постоянна, а ее чувствительность равна нулю. В то же время премия по принципу Ванга может на таких распределениях принимать различные значения и ее чувствительность тогда окажется положительной. Поставим задачу поиска наиболее чувствительной функции, которую лучше всего использовать для различения и упорядочивания распределений.

Будем рассматривать классы центрированных и нормированных рисков, распределенных по Парето: Е(а1) = [Уа,а ^ а1}, а1 > 2, т.е.

Уа : =

а — 2 (а — 1

а

в

Ха,в - 1

где Ха,в — случайная величина, распределенная по Парето с параметрами (а, в) (а > 2). Тогда ЕУа = 0, ОУа = 1, и по свойству инвариантности принципа Ванга относительно сдвигово-масштабных преобразо-

ваний

Пр(Уа) =

л/а{а- р < о;

,

р ^ а.

Обозначим р\ = а\ — л/04(0:1 — 2), р*2 = • Данные точки будут критическими для индекса неприятия риска р в свете рассматриваемой задачи.

Теорема. Для класса 'рисков Я(а1) чувствительность РНр-премии вычисляется по следующей формуле:

( /

1

п(р) =

Л/а1(а1-2) 1

1 < р<р1; р* < р< р2 ;

ур

РНр-премия биективна при р ^ р2,.

Доказательство. При а > 2 функция Пр(Уа) растет от нуля, достигает максимума в точке а = р/(р - 1) (обозначим ее атах), что следует из условия (пр(Уа))а =0, а потом убывает и на бесконечности асимптотически стремится к значению (р - 1). При этом значение локального максимума равно (р-1) (р(2 - р))-1/2.

Несложно проверить, что если р < р*, то атах > а1, т.е. атах попадает в область рассматриваемых значений, и, следовательно, на ней достигается максимум премии. Иначе максимум премии получается при о = Оь В случае, когда р ^ р\, имеем у/а\(01 — 2) > р ~ 1, и, следовательно, минимум премии достигается на иначе — при а = а1.

Обобщив полученные утверждения, получим требуемые формулы для оценки чувствительности премии.

Биективность РНр-премии при р ^ р* следует из того, что функция Пр(Уа) в этом случае оказывается монотонно убывающей по а.

Следствие 1. Чувствительность премии ц(р) — функция непрерывная, кусочно-гладкая, с изломом в точке р\, меняющаяся от нуля (в единице) до бесконечности (в а1), возрастающая на промежутке от точки р* до аь

в

Доказательство. Чувствительность премии п(р) задается непрерывными гладкими функциями между критическими точками. Величины чувствительности в точках р* и р*, подсчитанные по формулам (1), совпадают и равны. Заметим, что

' 1__(«1~1)\/»1(«1-2) ^ *.

(р(2-р))3/2 (а1-р)* '

г/(р) = (р(2-р)ут ~ Р*1^Р< РЬ

Значения левой и правой производных функции чувствительности в точке р2 совпадают:

Значения левой и правой производных функции чувствительности в точке р* не совпадают:

1 р\2-2р\+2 1

' / „* /г» „*\\Я/9 >

(р1(2 - р*))3/2 р* (2 - р1) ^ (р*(2 - р*))3/2

г,*

что дает разрыв производной и, следовательно, излом чувствительности в точке р*.

Подставляя значения 0 и а* в формулу чувствительности, получаем п(1) = 0, п(р) =

При р* ^ р < р2 имеем п (р) = (р(2 - р))-3/2 - 1 > 0, так как 1 > р(2 - р) = 1 - (р - 1)2. При р2 ^ р

/ («1 ~ 1)л/а\{а1 -2) "(р) =---1>0

ввиду того, что (а\ — р)2 < (а:* — 1)^а\(а1 — 2), поскольку а1-р<«1-1и«1-/Х ^/04(0:1 — 2). Следовательно, п(р) возрастает при р* ^ р.

Далее будем использовать известную теорему Бюдана-Фурье о числе действительных корней многочлена на отрезке [11].

Следствие 2. Существует критическое значение а* = 1 + ^ 2,029, такое, что на

интервале от единицы до р* при а* ^ а* функция п(р) возрастает, при а* > а* сначала растет, а затем убывает,, имея локальный максимум (в некоторой точке р), при этом в точке р* получается локальный минимум (негладкий).

Доказательство. Обозначим через П1 (р) чувствительность премии из формулы (1) для 1 ^ р < р*. Рассмотрим П!(р) на всем промежутке от 1 до а*. Тогда

^ ^ _ 1

(р(2 - р))3/2 (а* - р)2

Найдем нули производной: п* (р) = 0. Данное уравнение сводится к уравнению

а*(а* - 1)2(а* - 2)р6 - 6а*(а* - 1)2(а* - 2)р5 + (12а*(а* - 1)2(а* - 2) + 1)р4-

-4а*(2(а* - 1)2(а* - 2) + 1)р3 + 6а2р2 - 4а3р + а4 = 0.

Можно заметить, что оно всегда имеет своим корнем р2, но нас интересуют корни только на отрезке от единицы до р*. Поделив многочлен на (а* - 1)(р-р2), получим многочлен 5-й степени, который обозначим / (р). Тогда

/ (р) = а*(а* - 1)(а* - 2)р5 - а*(а* - 2)(5а* - 6)р4+ +(7а* - 25а* + 23а* - 1)р3 - а*(а2 - 6а* + 11)р2 - а*(а* - 5)р - а3.

По теореме Бюдана-Фурье число корней многочлена /(р), лежащих от единицы до р2, равно единице. Таким образом, функция щ(р) имеет на интервале (1,р2) ровно один экстремум. Но в точке р2 функция п* имеет минимум, поскольку

// *Л п /// *Л («1 - 1)4\/«1(«1 -2) ^ п

ЧМ = 0, чМ =-аз(а1_2)з- > 0'

а в единице начинается ее рост, так как

nl (1) = 1 -

04(04 — 2) а\ — 1

> 0,

поэтому данный экстремум является максимумом.

Найдем условие, при котором данный локальный максимум находится на интервале (1,рЦ]. Для этого отыщем значение а1, для которого точка локального максимума р совпадет с точкой р*, а именно п1 (р)\р=р*1 = 0. Решая данное уравнение, находим р из области определения:

р = 1 +

\/2л/5 - 2

2

^ а1 = 1 +

у/2у/у/5-1{у/5 + г)

Таким образом, требуемое утверждение доказано.

Рис. 1. График чувствительности при а\ = 3. Критические точки: р\ к 1, 27; р*2 = 1, 5; р к 1, 19; р к 1, 28

Замечание. В случае а1 > а* существует некоторое число р £ (р\,а1), такое, что п(р) = п(Р), т.е. функция п(р) вторично достигает значения локального максимума.

Доказательство. Так как р — точка локального максимума, то п(р) > П(р*). А поскольку на промежутке от р\ до а1 функция п непрерывно возрастает до (по следствию 1), то в некоторой точке р £ (р1, а1) она снова примет значение п(р), причем ровно один раз.

Расчеты показывают, что величина локального максимума быстро убывает с ростом а1, так что при а1 =3 он уже равен 0,0117.... А при стремлении а1 к а* справа величина максимума растет до 0,485868..., при этом он приближается к точке р\ ив пределе сливается с ней. График чувствительности при а1 =3 представлен на рис. 1, при а1 = а* — на рис. 2.

Следствие 3. Пусть параметр р ограничен отрезком [р1,р2] С (1,а1).

Если а1 ^ а*, то максимум чувствительности достигается в точке р2 вне зависимости от положения точки р1.

Если а1 > а*, то максимум чувствительности достигается в точке р2 при р2 < р или р2 ^ р, в точке р пру, 1 ^ р1 ^ р ^ р2 < р, в точке р1 при р ^ р1 < р2 < р*1-

Если же р ^ р1 ^ р* ^ р2 < р, то максимум чувствительности достигается либо в р1, либо в р2 в зависимости от того, где п(р) больше.

Автор приносит благодарность научному руководителю А. В. Лебедеву за идеи, замечания и предложения.

0(р) 3

1,3 1,6 1,79 1,9 1,97

Рис. 2. График чувствительности при а\ к 2, 029. Критические точки: р\ к 1,79; р2 = 1,97

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wang S.S. Insurance pricing and increased limits ratemaking by proportional hazards transforms // Insurance: Mathematics and Economics. 1995. 17. 43-54.

2. Wang S.S. Premium calculation by transforming the layer premium density // ASTIN BULLETIN. 1996. 26. 71-92.

3. Christofides S. Pricing for risk in financial transactions: Proc. GISG // ASTIN Joint Meeting in Glasgow. Glasgow, Scotland. 7-10 October 1998. 62-109.

4. Virginia R. Young. Discussion of Christofides conjecture regarding Wang's premium principle // ASTIN BULLETIN. 1999. 29, N 2. 191-195.

5. Virginia R. Young. Optimal insurance under Wang's premium principle // Insurance: Mathematics and Economics.

1999. 25. 109-122.

6. Wang Jing-Long. A note on Christofides' conjecture regarding Wang's premium principle // ASTIN BULLETIN.

2000. 30, N 1. 13-17.

7. Xian-Yi Wu. The natural sets of Wang's premium principle // ASTIN BULLETIN. 2001. 31, N 1. 139-145.

8. Аржанова Н.А. Принцип Ванга подсчета премии // Тр. Воронеж. зимней матем. школы С.Г. Крейна - 2006. Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2006. 16-20.

9. Ирхина Н.А. Принцип Ванга подсчета премии в страховании и некоторые критерии сводимости // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. 16, № 2. 262-263.

10. Ирхина Н.А. Обобщение достаточного критерия сводимости принципа Ванга // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. 16, № 4. 594-606.

11. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.: Наука, 1965.

Поступила в редакцию 23.09.2009

УДК 511

ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ И РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА МНОЖИТЕЛИ

С. Н. Преображенский1

Показано, что если функция, заданная на отрезке [— 1,1], достаточно хорошо приближается частичными суммами своего разложения по многочленам Лежандра, то, зная ее коэффициенты Фурье cn для некоторого подмножества значений n G [ni,n2], можно с определенной точностью восстановить их при всех n G [ni,n2]. В качестве приложения предложен новый подход к разложению целых чисел на простые сомножители.

Ключевые слова: вычислительная теория чисел, сложность вычислений, алгоритм, факторизация, разложение на множители, эллиптические кривые, модулярные формы, коэффициенты Фурье, многочлены Лежандра.

It is shown that if a function defined on the segment [—1,1] has sufficiently good approximation by partial sums of the Legendre polynomial expansion, then, given the function's Fourier coefficients cn for some subset of n G [ni,n2], one can approximately recover them for all n G [ni,n2]. As an application, a new approach to factoring of integers is given.

Key words: computational number theory, complexity of computing, algorithm, factorization, factoring of integers, elliptic curves, modular forms, Fourier coefficients, Legendre polynomials.

1. Введение. Пусть функция /(ж), являющаяся на полуинтервале [— многочленом степени К, определена на всей числовой прямой как периодическая функция с периодом 1:

f(x) = b0 + bix + ... + bKxK, хе ьк ^ 0, f(x + l) = f(x).

Поставим следующий вопрос: можно ли найти все коэффициенты Фурье функции f (ж), если известно

1 Преображенский Сергей Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: preobraz@mech. math. msu. su.