Трансзвуковые течения около воздухозаборников

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1

№ 4

УДК 533.6.011.35

ТРАНСЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ВОЗДУХОЗАБОРНИКОВ

Ю. А. Забелин

На основании теории асимптотических решений задачи обтекания воздухозаборников трансзвуковым набегающим потоком объясняется ряд результатов численного решения и некоторые экспериментальные данные.

1. В последние годы разработан ряд алгоритмов расчета обтекания воздухозаборников, основанных на модели безотрывного и невязкого трансзвукового течения [1—7]. Эти алгоритмы опираются на решение краевой задачи для полного уравнения потенциала возмущения. Проведенные сопоставления результатов расчета с данными экспериментов показывают, что при безотрывном обтекании между ними имеется удовлетворительное соответствие, и модель невязкого газа достаточна для описания течения.

Наряду с численными методами в последние годы интенсивно развивался и метод анализа, основанный на асимптотических оценках трансзвукового течения на больших расстояниях от обте--каемого тела [8—15]. Этот метод обладает тем преимуществом, что позволяет установить наиболее общие закономерности обтекания, так как рассматриваются свойства течений, по существу не зависящие от выбора конкретной формы обтекаемых тел.

Сочетание численных методов и метода асимптотических разложений представляется наиболее целесообразной формой теоретического исследования обтекания воздухозаборников в диапазоне трансзвуковых скоростей полета. Такое сочетание позволяет, используя численные решения, полученные для конкретных воздухозаборников, выделить наиболее общие закономерности обтекания. Как правило, эти закономерности описываются простыми математическими зависимостями, что, в свою очередь, дает возможность избежать подробных числен'ных параметрических исследований.

Теория асимптотических решений задачи обтекания воздухозаборников трансзвуковым набегающим потоком разработана в [16].

34

Г .

В настоящей работе предпринимается попытка описать и объяснить на основании этой теории ряд результатов численного решения, полученных с помощью алгоритма работы [7], и некоторые экспериментальные данные.

2. Рассмотрим воздухозаборник, в котором ось симметрии совпадает с осью х цилиндрической системы координат х, у и направлена вдоль вектора скорости набегающего потока. Воздухозаборник будем представлять, как принято, в виде простирающегося в бесконечность вдоль положительной части оси х тела с протоком. Обозначим через Ь горизонтальный размер обечайки воздухозаборника, на котором происходит характерное изменение ее внешнего диаметра, и через & — радиус входного сечения воздухозаборника. Предположим, что набегающий поток равномерен, а возникающие в поле течения скачки весьма слабы. Если эти условия выполнены, то поле скоростей обладает потенциалом Ф (х, у), который удовлетворяет уравнению неразрывности

Здесь а —скорость звука, связанная с составляющими вектора скорости vx, vy при помощи уравнения Бернулли.

Искомый потенциал должен удовлетворять граничному условию непротекания на обечайке воздухозаборника у = У(х)-\-Яя центральном теле

а также условию симметрии на оси х.

При удалении на бесконечность вне воздухозаборника потенциал стремится к своему невозмущенному значению

Ф = г»ьо-л:. ; |

При движении к бесконечности внутри воздухозаборника продольная скорость приближается к величине которая однозначно определяется заданием коэффициента расхода /= “Рг'Уг^/роо Усо#2. Поэтому потенциал

Ф—ьтх,

Здесь р — плотность газа, а индекс г относится к области течения во внутреннем тракте воздухозаборника.

Уравнение неразрывности (1) совместо с уравнением Бернулли, условиями (2)—(4) и условием симметрии определяет размерный потенциал скорости Ф (х, у), который зависит от размерных величин Vo0, vi, А, /?г и I. Перейдем к безразмерным переменным, беря I в качестве единицы длины, а в качестве единицы скорости примем критическую скорость звука а*. Тогда безразмерный потенциал Ф/ай I будет зависеть от безразмерных параметров Моо, /, Я/Ь и относительной толщины т, равной отношению толщины обечайки к длине Ь. Для каждого воздухозаборника зависимость потенциала от этих параметров может быть установлена с помощью серии расчетов, основанных на конечноразностном решении уравнения (1). Однако, как показано в работе [16], в некоторых предельных случаях удается получить две довольно простые формулировки задачи для потенциала.

В случаях, когда обечайка воздухозаборника может считаться тонкой, т. е. при т<^1, и при условии, что число М набегающего потока мало отличается от единицы, а коэффициент расхода близок к максимально возможному, потенциал Ф (х, у) переписывается с помощью потенциала возмущений <р (ху'):

Ф = а* дс-f а*и2<? (х', у'), x' = x/L, y'=ys/L,

s — малый параметр.

Определяя его из (2), положим е = х1/3 [17]. Потенциал <р (х', у') удовлетворяет уравнению Кармана [17] трансзвуковой теории малых возмущений

- (* + 1) ?х ?хх + ?уу +У-1 ?у = 0.

Здесь х— показатель адиабаты Пуассона, а штрихи опущены для сокращения записи.

Граничные условия (2)—(4) в новых переменных будут представлены в виде:

условия непротекания

у = dy/dx,

условия для составляющих скорости при удалении на бесконечность вне воздухозаборника

9 М-о— 1 „

> ?V

X + 1

условия для составляющей скорости при удалении на бесконечность внутри воздухозаборника

4 / Moo — 1 \2 . 2 / 1 -/ 2тL

(*+1)2 I т2/3 / I х+1 I т4/3 Ят4/3 ) '

Таким образом, потенциал возмущений <р (х, у) записывается в виде следующей функции:

/ \ 2 П~ ( R%V3 Мо°— 1 1 -f\ /гч

Ч»

В ней (Мсо—1) г-2/3, (l—/)!-4/3 ограничены. Из (5) видно, что для воздухозаборника фиксированной геометрии поле течения и, в частности, величина местных чисел М и коэффициентов давления на внешней поверхности обечайки определяется параметром М — 1

К = —22__—t зависящим от числа М набегающего потока, и пара-

метром 4;3 , зависящим от коэффициента расхода /.

Зафиксируем второй из указанных параметров и выясним, как характеристики течения зависят от К.

По аналогии с работой [13] для течений около воздухозабор-

ника при К <£ 1 потенциал возмущения представим в виде следующей суммы:

Rt

1/3

И/3

) + ЧК) ft [Xi У

Я.1'3 1 -/

И/3

В ней ср1 определяет возмущения, создаваемые воздухозаборником в потоке со звуковой скоростью на бесконечности; <р2 — дополнительный потенциал, который учитывает возмущения в потоке, связанные с отличием скорости набегающего потока от скорости звука; о — малый параметр (8<1).

Согласно результатам работ [11, 13] о (К) может быть пред-[ м — 1 \5/з

ставлено в виде 8 = [—^—) для области потока, предшествую-

щей замыкающему скачку уплотнения, и в виде

1 \2/3

-2/3

для области за скачком уплотнения.

По аналогии с эффектом стабилизации в трансзвуковых потоках около профилей [12] и тел вращения, для течения на внешней поверхности обечайки воздухозаборника следует ожидать малого изменения его параметров при вариации числа Моо относительно единицы. В связи с этим представление потенциала в виде (6) является, по-видимому, наиболее целесообразной формой его записи.

Проверка сделанного предполо'жения была проведена численно на основании алгоритма работы [7].

Результаты расчетов представлены на рис. 1. В верхней части рисунка даны эпюры распределения чисел М на внешней поверхности обечайки воздухозаборника, продольное сечение которой представляет собой полуэллипс с отношением диаметров 2:1, сопряженный по малому диаметру с последующими горизонтальными прямыми.

Результаты расчетов показывают, что вариация числа Моо вызывает соответствующее незначительное изменение чисел М в зоне сверхзвуковых течений, предшествующих замыкающему скачку уплотнения.

Такое обстоятельство подтверждает предположение о наличии стабилизации параметров течения на внешней поверхности обе-

чайки воздухозаборника, аналогичное стабилизации, полученной на телах вращения. Однако при этом, как и следовало ожидать, диапазон чисел Моо, для которого стабилизация имеет место, при обтекании воздухозаборников шире, чем для течений около тонких тел вращения. Эти факты иллюстрируются зависимостью местных чисел М от параметра (1 — Моо)5/3 для нескольких фиксированных точек на внешней поверхности обечайки представленного воздухозаборника в нижней части рис. 1. Близость представленных зависимостей к линейной, вплоть до Моо = 0,85, является математическим обоснованием закона стабилизации для течений около воздухозаборников. Аналогичные зависимости были получены при расчете обтекания воздухозаборников других конфигураций, в том числе для воздухозаборников, имеющих изломы образующих внешней поверхности обечайки. Расчеты показали также, что закон стабилизации имеет место и в случае трансзвуковых течений с Моо> 1.

Представлением потенциала возмущений в виде (6) можно воспользоваться для объяснения причины быстрого смещения скачка уплотнения вдоль внешней поверхпости обечайки по м£ре увеличения числа М^ дозвукового потока.

Как было выяснено, в области сверхзвуковых течений, предшествующих скачку уплотнения, параметры меняются как К53, т. е. имеет место их стабилизация. В области дозвуковых течений за скачком уплотнения параметры потока меняются пропорционально К2/3. Чтобы быть фронтом раздела этих двух течений, замыкающий скачок должен занять положение, определяемое условиями Гюгонио. Поэтому его абсцисса с изменением К меняется согласно формуле

хск = А1 -j- А2 К2/3+

В этом соотношении Л, и Л, —некоторые константы, а многоточие означает существование последующих членов разложения более высокого порядка малости.

На рис. 2 показано изменение положения замыкающего скачка уплотнения на внешней поверхности обечайки в зависимости 'от параметра (1—Мм)2/3 для воздухозаборника, образованного обечайкой со скругленным носком. Режимы обтекания воздухозаборника приведены в верхней части рис. 1. Близость полученной

зависимости к линейной означает, что положение замыкающего скачка уплотнения с достаточной точностью может быть описано одним главным членом в разложении (7).

Рассмотрим влияние второго параметра на характер возмущений, вносимых в поток воздухозаборником. Пусть конфигурация воздухозаборника такова, что

Это соотношение не является жестким требованием, которое сильно ограничивает класс изучаемых воздухозаборников, наоборот, это соотношение является естественным для большинства используемых форм. Как показано в работе [16], в этом случае возмущенйя на больших расстояниях вне протока аналогичны возмущениям, вносимым в поток полутелом с площадью поперечного сечения, равной

Тогда потенциал возмущенного движения во всей области течения описывается функцией, которую можно представить в виде

Ят ~7 , Моо-! J 1 —/

<f—L  (*’ У' Rz ’ R*z2 j •

По сравнению с потенциалом возмущений, представленным в виде (5), здесь число независимых параметров уменьшено на единицу.

Зависимость функции и соответственно параметров внешнего обтекания воздухозаборника от (Мто — 1) LjRx при малых значениях этой величины будет определяться законом стабилизации для тел вращения при приближении М«, к единице.

Из соотношения (8) для площади поперечного сечения эквива-

2Rz R2 /1

лентного полутела в случае, когда величина —j— < -jj- (l—/),

следует линейная зависимость потенциала возмущений от пара-1 —f

метра L2. Таким образом, изменение коэффициента расхода /

в потоке с фиксированным числом Моо должно вызывать на внешней поверхности обечайки воздухозаборника линейное по отношению к величине 1 — / изменение местных чисел М и коэффициентов давления.

На рис. 3 показано изменение коэффициентов давления на внешней поверхности обечайки воздухозаборника, для которого L — R = 0,5 и 'с = 0,2 при постоянном Мсо = 0,93 и различных значениях 1—/. Линейность полученных зависимостей является иллюстрацией идентичности возмущений от воздухозаборника, образованного тонкой обечайкой, и соответствующего эквивалентного тонкого полубесконечного тела.

Используем эту аналогию для оценки положения выбитого скачка уплотнения перед входом в воздухозаборник при малых сверхзвуковых скоростях набегающего потока. Возьмем главный

член асимптотического ряда, который описывает возмущения звукового потока на больших расстояниях от обтекаемого тела. Как известно [8], он имеет вид:

?о:

-у 2/7 /о'й, Ё =

(%+ 1),/3 у 4/7

На оси симметрии при у О, I щая оценка:

-2/7

<Ро~У (-фг) = 1*.

Поэтому возмущение скорости звукового потока

оо для ср0 справедлива следую-~1/2 ,-1/2

--------гг- X

- 3/2

Если же он расположен на расстоянии х от тела, то согласно соотношению Прандтля возмущенная скорость перед его фронтом равна \ .

1 - 3/2

?.v---р-Х

С другой стороны, эта скорость, выраженная через параметр подо-

М — 1 £ 2

бия Кармана при Lx/R С 1 — /, равна К = —~j.----. Отсюда сле-

дует, что абсцисса скачка оценивается посредством равенства

: = Л(М^ГГ. Д = CO„St.

Это выражение было использовано при обработке экспериментальной зависимости между положением головного скачка уплотнения перед входом в воздухозаборник и коэффициентом расхода /, которая была получена В. Г. Гурылевым для воздухозаборника, образованного одной очень тонкой цилиндрической обечайкой в потоке с Ми = 1,3. Результаты этой обработки показаны на рис. 4. Близость полученной зависимости к линейной еще раз подтверждает справедливость применения результатов теории

X,

Рис. 4

тонкого тела в задаче обтекания воздухозаборника трансзвуковым набегающим потоком.

3. Рассмотрим вопрос о сопротивлении воздухозаборника при трансзвуковых скоростях полета. Пусть вначале Мсо<1. Окружим воздухозаборник замкнутой контрольной поверхностью. Как

обычно, представим контрольную поверхность в виде кругового цилиндра с образующей параллельной оси симметрии х и перпендикулярных ему торцов. Вне воздухозаборника границы контрольной поверхности проведены на таком удалении от плоскости входа, где давление близко к давлению в набегающем потоке. Внутри воздухозаборника правую границу контрольной поверхности проведем там, где поток газа может считаться одномерным. Предположим для простоты, что возникающие в поле течения скачки уплотнения пересекают только те струйки тока, которые не попадают внутрь воздухозаборника. Для выделенной контрольной поверхности составим уравнение импульсов в направлении вектора набегающего потока. Это уравнение совместно с условием сохранения массы внутри контрольной поверхности и соотношением для коэффициента расхода / позволяет для суммарной силы, действующей в направлении вектора скорости на стенки воздухозаборника, написать следующее соотношение

ря = I

Здесь рп — давление на стенках воздухозаборника; 5 — проекция площади стенок воздухозаборника на плоскость, перпендикулярную оси симметрии; /'— х - составляющая импульса потока вследствие изменения энтропии в скачках уплотнения. При отсутствии скачков, когда./' =0, выражение для силы Рх имеет обычный вид, который получен, например, в [18].

р чр1

Разделим каждый член соотношения (9) на величину ” 03 5ВХ,

где 5ВХ — площадь входа воздухозаборника, и представим интеграл в левой части полученного равенства в виде суммы двух слагаемых:

схоб + схвх =-------------------------------------------|-[| (рп Р<х>) ds -{- | {рп-рао) ds] ;

Poo vco SBX

здесь $об—проекция на плоскость входа внешней части поверхности обечайки от точки торможения, а $вк — проекция центрального тела и внутренней части обечайки воздухозаборника до точки торможения.

Сопротивление воздухозаборника, связанное с образованием Скачков уплотнения на внешней поверхности обечайки, может быть представлено в виде коэффициента сопротивления

Сх ск — Сх об ~\~ с

X Ж. Л j

где

Сх ж. л— 2 \{Р I Poo) Р ^i)] "I- Сх вк .

Poo Vоо SBX

Прайая часть равенства (10) представляет собой удельный импульс струйки тока, попадающей внутрь воздухозаборника, и называется коэффициентом сопротивления по жидкой линии.

Во многих практически важных случаях величина Схък в (10) мала по сравнению с первым слагаемым и поэтому величина Сх ж. л может быть довольно точно оценена по параметрам потока в каком-либо сечении внутреннего канала воздухозаборника.

В случае сверхзвуковых скоростей набегающего потока коэффициент сопротивления воздухозаборника представляется аналогичным образом.

Рассмотрим на примере обтекания осесимметричного воздухозаборника, продольное сечение которого показано на рис. 5, изменение коэффициента СхсК во всем диапазоне трансзвуковых скоростей полета. Для анализа используем численные решения задачи обтекания, полученные при помощи алгоритма работы [7]. Результаты этих расчетов приведены на рис. 5 в виде зависимостей коэффициентов Схоб, Сдгж. л и Схск от числа М набегающего потока.

Они показывают, что для воздухозаборника рассматриваемой конфигурации при дозвуковых скоростях полета с М,х,<0,65 коэффициент сопротивления Схск = 0 (скачки отсутствуют), а положительная величина коэффициента сопротивления по жидкой линии полностью компенсируется отрицательной величиной Схоб. Значение последней определяется подсасывающей силой, действующей на внешнюю поверхность обечайки. По мере увеличения числа М<» на внешней поверхности обечайки образуется зона сверхзвуковых течений, которая заканчивается скачком уплотнения. В ней пбд-сасывающая сила уменьшается. Поэтому абсолютная величина Схо6 становится меньше Схж.л и, как следствие этого, возникает сила сопротивления Схск.

При дальнейшем увеличении числа М дозвукового набегающего потока образовавшаяся зона сверхзвуковых течений разви-вается, причем изменение параметров течения в ней определяемся в соответствии с законом стабилизации, замыкающий скачок уплотнения смещается вдоль, внешней поверхности обечайки, а область дозвуковых течений в окрестности носка сокращается. В результате этих изменений подсасывающая сила уменьшается с ростом числа Моо. Величина же коэффициента Схж.л, наоборот, увеличивается. Резко увеличивается соответственно и величина Схск.

В сверхзвуковом набегающем потоке вся внешняя поверх-’ ность обечайки, за исключением небольшой области в окрестности

ее носка, находится в зоне сверхзвуковых скоростей. Перед воздухозаборником формируется выбитый скачок уплотнения, который по мере увеличения числа Мсо приближается к плоскости входа в воздухозаборник. Как видно из рис. 5, в области сверхзвуковых скоростей набегающего потока абсолютная величина Схоб продолжает уменьшаться, а Схж. л возрастает. При Моо ~ 1,25 коэффициент сопротивления определяется в основном величиной Сх ж. л-

4. Рассмотрим обтекание воздухозаборника в аэродинамической трубе с закрытой рабочей частью. Предположим, что рассматриваемое течение обладает осевой симметрией и стенка рабочей части трубы образует непроницаемую бесконечную цилиндрическую поверхность, радиус которой велик по сравнению с радиусом поперечного сечения воздухозаборника. Предположим также, что скорость набегающего потока в трубе близка к звуковой, а форма воздухозаборника и коэффициент расхода / таковы, что удовлетворяют соотношению (8). В рамках этих предположений обтекание воздухозаборника в трубе с непроницаемыми стенками может быть оценено на основании анализа течения около эквивалентного тонкого тела вращения в канале. Такая задача рассмотрена в работе [19]. Используем некоторые результаты этой работы. Для области, непосредственно примыкающей к обтекаемому телу, потенциал возмущений представляется в виде суммы трех членов

/ о!/2 н\2 (ж—1)/7

ф = ? {х, у) + *<!-*•)/» ср' (X, у) + ) Г (х, у).

2 1—М

В ЭТОМ соотношении К==—П------------> 5—площадь поперечного

X-J-1 о

сечения эквивалентного воздухозаборнику осесимметричного тела, величина которого определяется равенством (8); //—радиус рабочей части аэродинамической трубы; / — линейный размер воздухозаборника, на котором меняется диаметр внешней части обечайки.

Первое слагаемое описывает безграничный поток газа со звуковой скоростью на бесконечности около тела вращения; второе слагаемое ответственно за отличие скорости на бесконечности от звуковой; третье слагаемое позволяет удовлетворить граничному условию на стенке канала, расположенной на расстоянии Н от оси симметрии. ,,

Как показано в работе [19], коэффициент сопротивления осесимметричного тела, а следовательно, и воздухозаборника можно представить следующим выражением

Схск = 5 [Л, — Л2 К

Здесь все Аг зависят только от геометрии внешней поверхности обечайки и коэффициента расхода /.

Численное решение задачи обтекания воздухозаборника в трубе с закрытой рабочей частью было проведено для формы, показанной на рис. 5. Расчеты выполнены при различных соотношениях между конкретными размерами воздухозаборника и рабочей частью трубы для фиксированных и коэффициента расхода /.

Результаты расчетов показали, что замыкающий скачок уплотнения на внешней поверхности обечайки во всех случаях располагался на цилиндрической части обечайки, т. е. реализовался такой случай обтекания, когда течение за скачком уплотнения

не оказывало сколько-нибудь заметного влияния на характер всего обтекания воздухозаборника. Как показано в работе [19], в этом случае в формуле (11) следует положить т= — 4.

Таким образом, коэффициент сопротивления воздухозаборника вследствие образования скачков на внешней поверхности обечайки в трубе с закрытой рабочей частью может быть оценен по формуле

CXCK = A,+AZ{S^H)' 10/7.

На рис. 6 показана зависимость изменения коэффициента сопротивления Схск от величины Н~10'7 при /=0,6 и Моо = 0,8 и, следовательно, 5 = const.

Линейность полученной зависимости подтверждает правомерность замены воздухозаборника полубесконечным тонким телом для оценки его обтекания в трубе с закрытой рабочей частью.

В заключение автор благодарит Ю. Б. Лифшица за обсуждение полученных результатов.

! ' ’ i • ’

ЛИТЕРАТУРА

1. Arlinger В. G. Calculation of transonic flow around axisym-metric inlets, AIAA Paper, 75—80, 1975.

2. Arlinger B. G. Axisymmetric inlet flow at low sypersonic Mach number. В сб. „Symposium Transonicum", 1976.

3. Baker T. J. „А numerical method to compute inviscid transonic flows around axisymmetric ducted bodies*. В сб. „Symposium Transonicum",

1976.

4. Coughey D. A., Jameson fA. Acceletdted iterative calculation of transonic naccele flow fields. AIAA Paper, 76—100.

5. Reyhner T. A. Cartesian mesh solution for axisymmetric transonic potential flow around inlets. AIAA Paper, 76—421.

6. Reyher T. A. Transonic potential flow around axisymmetric inlets and bodies at angle of attak, AIAA Paper, 77—145.

7. Забелин Ю. А., Лифшиц Ю. Б. Расчет обтекания воздухозаборника трансзвуковым потоком. „Ученые записки ЦАГИ‘, т. VIII, № 5, 1977.

8. Фалькович С. В., Чернов Н. А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа. ПММ, т. 28, вып. 2, 1964.

9. Л и ф ш и ц Ю. Б., Рыжов О. С. Об обтекании полутел звуковым потоком идеального газа.,Ж. вычисл. матем. и матем. физ.‘, т. 9, № 2, 1969.

10. Д и е с п е р о в В. Н., Рыжов О. С. О телах вращения в звуковом потоке идеального газа. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 9, № 1, 1969.

11. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Закон стабилизации для трансзвуковых течений. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1974, № 5.

12. Диесперов В. Н„ Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Об обосновании закона стабилизации для крыловых профилей. „Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 5, 1974.

13. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б. О сопротивлении тел вращения при трансзвуковых скоростях потока. ПММ, т. 39, вып. 2, 1975.

14. Рыжов О. С. О зависимости сопротивления тел от числа Маха набегающего потока в трансзвуковом диапазоне скоростей. ДАН СССР, т. 223, № 3, 1975.

15. Диесперов В. Н,, Лифшиц Ю. Б. О структуре течения в области за ударной волной при трансзвуковом обтекании профиля. .Ученые записки ЦАГИ“, т. VII, № 3, 1976.

16. Von К arm an Th. The similarity low of transonic flow. J. Math, and Phys., vol. 26, N 3, 1947.

17. Кюхеман Д., Вебер H. Аэродинамика авиационных двигателей. М., Изд. иностр. лит., 1956.

18. Лифшиц Ю. Б., Фонарев А. С. О влиянии границ потока на параметры трансзвуковых течений около тел вращения. ,Изв. АН СССР, МЖГ“, 1978, № 3.

i

Рукопись поступила 8\1 1980