О бифуркациях сепаратрисных контуров динамических систем, инвариантных относительно конечной группы вращений

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

Научная статья

УДК 517.925

ББК 22.161.6

Р 65

DOI: 10.53598/2410-3225-2023-2-321-11-18

О бифуркациях сепаратрисных контуров динамических систем, инвариантных относительно конечной группы вращений

Владимир Шлеймович Ройтенберг

Ярославский государственный технический университет, Ярославль, Россия,

vroitenberg@mail.ru

Аннотация. Рассматриваются двухпараметрические семейства векторных полей на плоскости, инвариантных относительно вращения на угол 2nIn . При нулевых значениях параметров предполагается, что векторное поле имеет контур из грубых седел, отличных от начала координат, и их сепаратрис, инвариантный относительно вращения. В случаях общего положения описываются бифуркационные диаграммы таких семейств.

Ключевые слова: векторное поле на плоскости, вращение плоскости, инвариантность, сепаратрисный контур, типичность, бифуркационная диаграмма

Original Research Paper

On bifurcations of separatrix contours of dynamical systems invariant under a finite group of rotations

Vladimir Sh. Roytenberg

Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, Russia, vroitenberg@mail.ru

Abstract. The article considers families of vector fields on the plane that are invariant under rotation through angle 2n I n . At zero values of the parameters, it is assumed that the vector field has a contour of rough saddles, different from the origin, and their separatrices, invariant under rotation. In cases of general position, bifurcation diagrams of such families are described.

Keywords: planar vector field, rotation of the plane, invariance, separatrix contour, generality, bifurcation diagram

Поскольку гладкие динамические системы, описывающие некоторые реальные процессы, имеют естественную симметрию, то разумно изучать бифуркации в классах систем с различного вида симметрий. Таким исследованиям посвящен ряд работ [1-4]. В основном рассматривались локальные бифуркации. Что касается нелокальных бифуркаций, то здесь пока имеется мало результатов даже в случае систем с «простейшей» - центральной симметрией [5, 6].

В настоящей работе мы исследуем нелокальные бифуркации в классе систем на плоскости, инвариантных относительно конечной группы вращений. Ряд других бифуркаций таких систем был описан в [7].

Будем рассматривать Cr -векторные поля X в D := {x = (x1,x2) е R2: x12 + x2 < 1}, инвариантные относительно вращений на углы 0т = 2nm I n , n е N , n > 2, m е Z :

X(Rmx) = RmX(x), где Rm : R2 ^ R2, Rmx := (xcosö - x2 sinвт, xsinem + x2cos6*m).

v m ' m ^ ' ' ^ m ' m v 1 m 2 m' 1 m 2 m'

Обозначим Xг (Б, п) банахово пространство таких векторных полей с С -нормой.

Рассмотрим семейство {ХЕ} векторных полей

зависящих от двумерного параметра s = S,s2) , меняющегося в окрестности нуля, где P,P2 е С ( r > 3). На векторное поле X0 наложим условия, выделяющие в пространстве Xr (D, n) подмногообразия коразмерности два. Условия, налагаемые на семейство Xs, будут означать его трансверсальность в точке s = 0 указанному подмногообразию. Пусть векторное поле X0 имеет 2n различных седел z0,z0,...,z\n е intD,

к = 1,2,...,2n, таких, что Ук = 1,2,...,2n z0+2 = R1z° (здесь z20n+j := z0, z0n+2 := z0). Пусть

2001 > 0 и 2202 < 0 - собственные значения матрицы линейной части поля X0 в седле z0 , а 20 := -202 / 201 > 0 - седловой индекс. Ясно, что 00 = 20, если k - нечетно, и 220 = 20, если k - четно. Будем считать, что 20220 Ф1. Предположим также, что поле X0 имеет траектории L0 и lL2 такие, что L0

« -предельна к z0m+1 ( z0m+2) и C -предельна к z0m+2 ( z0m+3). Контур

L0 := {z0}uL0 u {z0}uLL2 u ...u {z0n}uL0n - простая замкнутая кусочно-гладкая кривая. Возможны два варианта.

(А) Сепаратрисы седел z0,z0,...,z0n, отличные от Lj,...,L0n, лежат по одну сторону от контура L0, то есть принадлежат одной компоненте R2\ L0 (рис. 1).

(Б) Сепаратрисы седел z0, k = 1,2,...,2n, отличные от 10,...,L0n, для нечетных k лежат по одну сторону от контура L0, а для четных k - по другую сторону от L0 (рис. 2).

В случае (А) при 2202 > 1 (210220 < 1) контур L является с-предельным («предельным) множеством для траекторий. В случае (Б) контур L0 не является ни с -, ни « -предельным множеством.

В обоих случаях (А) и (Б) выберем См -дуги тi: (—1,1) —^ R2, i = 1,2, трансвер-сальные траекториям поля Х0, так, чтобы т(0) е 10, а дуги т1(—1,0), т2(0,1) и сепа-

Xs(x) = P(x,e)ô/ôx1 + P2(x,e)d/ôx2 e Xr(D,n),

Рис. 1. Контур из четырех седел и

их сепаратрис в случае

Рис. 2. Контур из четырех седел и

их сепаратрис в случае

ратрисы седла , не содержащиеся в Ь, принадлежали одной компоненте Я2 \ Ь0 .

При значениях параметра е, достаточно близких к нулю, у векторного поля Хе имеются седла ¿к(е), к = 1,2,...,2п, с седловым индексом Л(е) такие, что ¿к(•) е Сг, ¿к(0) = 2°к, Лк(•)еС-1, Л(0) = лк°, 2к+2(е) = (е) (здесь ¿2^):= ^(е), ¿2й+2(е):= г2(е)).

Так как инвариантные многообразия седел Сг-1 -гладко зависят от е , то при е , достаточно близких к нулю, седло (е)( ^(е)), г = 1,2, имеет выходящую (входящую) сепаратрису Ь,„(е)(Ьм„(е)), пересекающую г,(-1,1) в точке гг(«¡„(е)) (г,(«¡„(е))), где «,„(•),«,„(•) еСг-1, «¡,„(0) = «,„(0) = 0. Тогда Ь2т„е) := ЯтЦа(е) (Ь2я+М„(е) := КЦ+^е)) -выходящая (входящая) сепаратриса седла ¿2т+г (е) (¿2т+г+1(е)). Обозначим и1 (е):= и„(е) -и1 ,„(е) и потребуем, чтобы det(дuI(0)/деj) Ф 0. Сделав замену параметров е = и1(е), е2 = и2(е) и возвратившись к их прежним обозначениям, можно полагать, что при некотором дk > 0 будем иметь Уе е (-д0,д0)2 и1(е) = е1, и2(е) = е2.

Д,

/ ч

Е3

У Е,

/ Е6

В,

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма в случае (А), Д0 < 1, ?0 > 1, АА < 1

Fig. 3. Bifurcation diagram in the case (А), А? < 1, А20 > 1, А А < 1

Рис. 4. Бифуркационная диаграмма в случае (Б), А? < 1, Л20 > 1, АЛ < 1

Fig. 4. Bifurcation diagram in the case (B), А? < 1, Л20 > 1, Л0Л20 < 1

Теорема 1. Пусть Л° < 1, Л0 > 1, Л°ЛА < 1, и имеет место случай

В2 = {е: е2 = ^(е)}; Вк = {е: е2 = Ьк(е1)}:

b2: (0,S) ^ (0,S), b2 е Cr-1, Ь2(+0) = Ь'2(+0) = 0, bk :(-S,0) ^ (-S,0), Ьк е С-1, Ьк(-0) = Ь'к(-0) = 0, к = 5,6 ;

B = (0, S) х {0}, 5з = {0} X (0, S), BA = (-S,0) X {0}, B7 = {0} х (-S,0),

со следующими свойствами:

- Особыми точками поля

Xs в V(L0) являются седла zk(s), k = 1,...,2n.

только они;

- При ее Е2 и В3 и Е3 и В4 и Е4 и В5 и В6 поле Хе имеет в V (Ь0) единственную замкнутую траекторию Г(е), являющуюся двойным циклом, если ее В6, и неустойчивым циклом в остальных случаях. При ееЕ5 поле Xе имеет в V(Ь0) две замкнутые траектории, неустойчивый цикл Г1(е) и устойчивый цикл Г2(е). При всех ос-

тальных ее (—д,д)2 замкнутых траекторий в V (Ь0) нет;

- Сепаратрисы Ьта(е) и Ьт+1т(е) при нечетных (четных) т не выходят из V (Ь0) и совпадают, если ее В3 и В7 (ее В1 и В4). Сепаратрисы Ьта(е) и Ьт+2т(е) при нечетных (четных) т не выходят из V(Ь0) и совпадают, образуя вместе с седлами неустойчивый (устойчивый) контур, если ее В2 ( ее В5);

- Сепаратриса Ьта(е) при нечетных т выходит из V(Ь0), если е£ В2 иВ3 иВ7;

- Сепаратриса Ьта(е) при четных т а> -предельна к циклу Г(е) (Г2(е)), если ее В6 (ееЕ5), и выходит из V (Ь0), если е£ В1 и В4 и В5 и В6 и Е5.

- Сепаратриса Ьтт(е) при нечетных (четных) т не выходит из V(Ь0) и а-предельна к Г1(е), если ее Е2 и В3 и Е3 (ее Е3 и В4 и Е4), и выходит из V (Ь0), если ее Е1 и Е4 и В5 и Е5 и В6 и Е6 и В7 и Е7 (ее В1 и Е1 и В2 и Е2 и Е5 и В6 и Е6 и Е7);

- Сепаратрисы седел гт(е), т = 1,2,...,2п, отличные от Ьта(е) и Ьтт(е), выходят из V (Ь0) при всех ее (—д,д)2.

Доказательство. Обозначим Б+ := Б \ {(0,0)}, Б := (0,1) х R 12пЪ . Пусть (р,<) -полярные координаты в Б, (рк,<) полярные координаты точки г°к, Б+ - область в Б+ с полярными координатами 0 <р< 1, <рк — я/п <<<<к + я/п , к = 1,2,...,2п . Пусть р: Б+ — Б - отображение, ставящее в соответствие точке г = (г1,z2) с полярными координатами (р,<) точку (р,п<mod2я). Так как У геБ+ р(Я1г) = р(г), то в Б определены векторные поля Хе, заданные равенством Хе( г ):= Хе( г) для г = р( г). Так как ограничение р на область Б+ является См -диффеоморфизмом на образ, то Хе имеет седла гт(е) = р(гк(е)), т = 1,2, к = m(mod2), с седловыми индексами Лт(е) и входящими (выходящими) сепаратрисами Ьт ш(е) = р(Ьк ш(е)) (Ьт,а(е) = р(Ьк,а(е))). Мы можем считать, что дуги т(—1,1), i = 1,2, содержатся в области Б1+. Тогда сепаратрисы Д,а(е) и ¿2,и(е) (¿2,а(е) и Ц^е)) пересекают дугу р(т1(—1,1)) (р(т2(—1,1))) в

точке р(т1(и1 а(е))) (р(т2(и2а(е)))). Поле Х0 имеет устойчивый контур Ь0 из седел г1(0), г2(0) и соединяющих их сепаратрис Да(0) = Ь2и(0) и Ь2а(0) = ¿^(0). Согласно [8] (а также [9, с. 109]) для семейства Хе существуют цилиндрическая окрестность V(Ь0) контура Ь0, число 8е (0,£0) такие, что для семейства векторных полей Хе, ее (—8,8)2, в V(Ь0) справедливы все утверждения теоремы 1 в случае п = 1.

При ее В6 поле Хе имеет в V (Ь0) единственную замкнутую траекторию -двойной цикл Г(е). Множество р—1(Г(е)) состоит из замкнутых траекторий поля Хе. Поэтому в V(Ь0):= р—'(V(Ь0)) есть хотя бы одна замкнутая траектория поля Хе. Предположим, что в V(Ь0) содержится две траектории - Г'(е) и Г"(е). Они обе пересекают трансверсаль т1(—1,1) соответственно в точках а' и а''. Множества р(Г'(е)) и р(Г''(е)) являются замкнутыми траекториями и потому совпадают с Г(е). Так как т1(—1,1) с Б1+, то р(а') и р(а'') - разные точки пересечения замкнутой траектории Г(е) с трансверсалью р от1(—1,1), что невозможно. Поэтому сделанное предположение неверно, то есть в V(Ь0) имеется единственная замкнутая траектория поля Хе -Г(е) = р—1(Г(е)). Пусть Г(е) пересекает дугу р(т1(—1,1)) в точке р(т1(и0)). Для и, достаточно близких к и0, определено отображение последования р(т1(и)) ^ р(т1(/(и))) по траекториям поля Хе, где /(и0) = и0, /'(и0) = 1, /''(и0) Ф 0. Тогда

Як -1(г1(и)) ^ Як (г1( / (и))), к е N, - отображение соответствия по траекториям поля Хе между дугами Як(г(-1,1)) и ^к+1(т1(-1,1)), а г(и) ^ г(/(и)), где / = /о/о...о/, -

4-V-'

П

отображение последования по траекториям поля Хе. Поскольку /(и0) = и0, /'Ю = (/'ЮГ = 1, /"(Uk) = п/"(Uк)/'(и0) = П/"К) Ф 0 , то Г(е) - двойной цикл.

Аналогично получаем, что поле Хе имеет в V (Ь0) при ее Е2 и В3 и Е3 и В4 и Е4 и В5 единственную замкнутую траекторию - грубый неустойчивый цикл, а при е еЕ5 две замкнутые траектории - грубый неустойчивый цикл и грубый устойчивый цикл.

Совпадение сепаратрис Ьта(е) и Ьт+1,„(е) при нечетных (четных) т для

ее В3 и В7 (ее В1 и В4) следует из равенства и1(е) = е1 ( и2(е) = е2). Если ее В2 (ее В5), то сепаратрисы Ь1а(е) и Ь1ю(е) (Ь2а(е) и Ь2„(е)) совпадают, что равносильно равенству /(е1) = е2. Но это равенство означает и совпадение при нечетных (четных) т сепаратрис Ьт„(е) и Ьт+2,„(е). Поведение сепаратрис Ьк,„(е) и Ьк,„(е) при остальных е - следствие соответствующего поведения сепаратрис Ьга(е) и Ь„(е).

Теорема 2. Пусть Л° < 1, Л0 > 1, Л°Л° < 1, и имеет место случай

В0 = {(0,0)}, В, = {е:е2 = Ь,(е)}, Ь :(0,д) ^ (0,д), Ь е С"-1, ЬД+0) = Ь'(+0) = 0,

I = 2,3,4, В1 = (0, д) х {0}, В,1 = {0} х (0,д), В, = В*, Вк = {е : е2 = Ьк (е1)},

Ьк : (0,д) ^ (0,д), Ьк е С-1, ^(+0) = (Ь,л )'(+0) = 0, г = 1,5, к = 2,3,..., Ьк(е) Т Ь2(е1),

Ьк5 (е1) IЬМ), Вб = (-д, 0) х {0}, В7 = {0} х (-д,0), Е, = ЦЩ Екх , Е5 = Ек , со следующими свойствами:

- Особыми точками поля Хе в V(Ь0) являются седла 2к(е), к = 1,...,2п, и только они;

- При ее В2 и Е3 и В3 поле X е имеет в V (Ь0) единственную замкнутую траекторию Г1(е), являющуюся двойным циклом, если ее В2, и неустойчивым циклом, если ее Е3 и В3. При е еЕ2 поле Хе имеет в V (Ь0) две замкнутые траектории, неустойчивый цикл Г1(е) и устойчивый цикл Г2(е). При всех остальных ее (-д,д)2 замкнутых траекторий в V(Ь0) нет;

- Если ее В7 (ее В6), то при нечетных (четных) т сепаратрисы Ьта(е) и Ьт+1т(е) не выходят из V (Ь0) и совпадают. Если ее В'1 (ее В1), то при нечетных (четных) т сепаратрисы Ь (е) и Ьт+25-\т(е) не выходят из V(Ь0) и совпадают;

- Сепаратрисы Ьта(е) и Ьт+2т(е) при нечетных (четных) т не выходят из V(Ь0) и совпадают, образуя вместе с седлами неустойчивый (устойчивый) контур Г1(е) (Г2(е)), если ее В4 (ее В3);

- Сепаратриса Ьта(е) при нечетных т выходит из V(Ь0), если е £ В0 и В4 и В5 и В7;

- Сепаратриса Ьта(е) при четных т а> -предельна к Г1(е) (Г2(е)), если ее В2 (ееЕ2), и выходит из V (Ь0), если е £ В0 и В1 и В2 и Е2 и В3 и В6;

- Сепаратриса Ьтт(е) при нечетных (четных) т не выходит из V(Ь0) и а-

предельна к ГДе), если ее В2 и Е2 и В3 и Е3 (ее Е3 и В4) и выходит из V (I0), если её В0 и В1 и В2 и Е2 и В3 и Е3 и В4 и В6 (её В0 и В3 и Е3 и В4 и В5 и В7);

- Сепаратрисы седел 2т(е), т = 1,2,...,2п, отличные от Ьта(е) и Ьтш(е), выходят из V (I0) при всех ее (-8,5)2.

Доказательство. При п = 1 утверждение теоремы доказано в [10]. Случай п > 1 сводится к случаю п = 1 аналогично доказательству теоремы 1.

В,

Ег

4

В,

В,

д

>

Рис. 5. Бифуркационная диаграмма в случае (А), 4 > 1, А20 > 1

Fig. 5. Bifurcation diagram in the case (А), А10 > 1, А0 > 1

Рис. 6. Бифуркационная диаграмма в случае (Б), А° > 1, А20 > 1 Fig. 6. Bifurcation diagram in the case (B), 4° > 1, А20 > 1

Теорема 3. Пусть 4° > 1, 20 > 1, и имеет место случай

В2 = {е: е2 = Ь2(е)}, Ь2:(0,д) ^ (0,д), Ъ2 е С-1, Ь2( +0) = Ь2(+0) = 0,

В5 = {е: е1 = Ь5(е2)}, ^:(-д,0) ^ (-д,0), Ь5 е С-1, ^(-0) = Ь5(-0) = 0,

В1 = (0, д) х {0}, В3 = {0} х (0, д), В4 = (-д,0) х {0}, Вб = {0} х (-д,0), со следующими свойствами:

- Особыми точками поля Хе в V(I0) являются седла 2к(е), к = 1,...,2п, и только они;

- Поле Хе имеет в V(I0) единственный (устойчивый) предельный цикл, если ее Е5 и В6 и Е6 и В1 и Е1, и не имеет замкнутых траекторий при остальных е е (-д,д)2;

- Сепаратрисы Ima(е) и !т+1и(е) при нечетных (четных) т не выходят из V(L0) и совпадают, если ее В2 и В5 (ее В3 и В6). Сепаратрисы Ima(е) и !т+2<а(е) при нечетных (четных) т не выходят из V(I0) и совпадают, образуя вместе с седлами устойчивый контур, если ее В1 (ее В4);

- Сепаратрисы !та(е) при нечетных (четных) т не выходят из V(I0) и сопредельны к циклу, если ее Е5 и В6 и Е6 (ее Е4 и В5 и Е5), и выходят из V (I0), если ее Е1 и Е2 и В3 и Е3 и В4 и Е4 ( ее В1 и Е1 и В2 и Е2 и Е3 и Е6);

- Сепаратрисы !то(е) выходят из V(I0) при всех её и6=1 В1;

- Сепаратрисы седел 2т(е), т = 1,2,...,2п, отличные от !та(е) и !то(е),

выходят из V(L0) при всех se (-S,S)2.

Теорема 4. Пусть А10 > 1, AAQ > 1, и имеет место случай

Bq = {(0,0)}, B2 = {s: S2 = ¿2(S1)}, B3 = {s: S1 = b3s)}, b :(0,^) ^ (0,£), b, e Cr1, b(+0) = b\(+0) = 0, l = 2,3, B11 = (0,S) X {0}, B1 = {0} X (0,£), B1 = u;=1 BS , B4 = u;=1 B44, B,k = {s: S2 = b\(S1)}, B4 = {s: S1 = bkx s)}, bk :(0,^) ^ (0,£), bk e Cr-1, bk (+0) = (bk)'(+0) = 0, i = 1,4, k = 2,3,..., bk (s) t b2(s), bk (sx) i b4(sx), B5 = (S,0) X {0}, B6 = {0} X (-¿,0), E1 = u;=1 Ek, E3 = u;=1 Ek , со следующими свойствами:

- Особыми точками поля Xs в V(L0) являются седла zk(s), k = 1,...,2n, и только они;

- При se E2 поле Xs имеет в V (L0) единственную замкнутую траекторию T(s) - устойчивый цикл. При всех остальных se (-S,S)2 замкнутых траекторий в

V (L0) нет;

- Сепаратрисы ima(s) и im+lm(s) при нечетных (четных) m не выходят из

V ( Lq) и совпадают, если se B4 u B6 (se B1 u B5). Сепаратрисы ima(s) и im+2m(s) при нечетных (четных) m не выходят из V(L0) и совпадают, образуя вместе с седлами zk (s) с нечетными (четными) номерами k устойчивый контур T1(s) (T2(s)), если se B2 (se B3);

- Сепаратрисы ima(s) при нечетных (четных) m а>-предельны к циклу T(s), если se E2, к контуру T2(s) (T1(s)), если se B3 (se B2), и выходит из V (L0), если se B1 u B5 u E1 u E3 u E4 ( s e B1 u B5 u E1 u E3 u E4);

- Сепаратрисы imm(s) при нечетных (четных) m выходят из V(L0), если se B3 u B4 u B6 u E1 u E2 u E3 u E4 ( s e B1 u B2 u B5 u E1 u E2 u E3 u E4);

- Сепаратрисы седел zm(s), m = 1,2,...,2n, отличные от ima(s) и imm(s), выходят из V (Lq) при всех se (-S,S)2.

Доказательство теорем 3 и 4 аналогично доказательству теорем 1 и 2. Замечание. Случай AQ < 1, A2Q > 1, А10А20 > 1 и случай AAQ < 1, А20 < 1 сводятся к случаям, рассмотренным в теоремах 1-4, переходом к семейству противоположных векторных полей {-Xs} и перенумерацией особых точек.

Примечания

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1978. 304 с.

2. Жолондек Х. О версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Математический сборник. 1983. Т. 120, № 4. С. 473-499.

3. Golubitsky M., Shaeffer D., Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-Verlag, 1988. 556 р.

4. Шноль Э.Э. Правильные многогранники и бифуркации симметричных положений равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений // Математический сборник. 2000. Т. 191, № 8. С. 141-157.

5. Ройтенберг В.Ш. Векторные поля на плоскости с центральной симметрией: грубость

и первая степень негрубости // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. 2021. Вып. 2 (281). С. 27-40. URL: http://vestnik. adygnet.ru

6. Ройтенберг В.Ш. Бифуркации полицикла, образованного двумя петлями сепаратрис негрубого седла динамической системы с центральной симметрией // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Сер.: Математика. Механика. Физика. 2021. Т. 13, № 2. С. 39-46. DOI: 10.14529/mmph210305

7. Ройтенберг В.Ш. О некоторых нелокальных бифуркациях динамических систем с симметрией // Математика и естественные науки. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2023. Вып. 18. С. 25-34.

8. Ноздрачева В.П. Бифуркации особого цикла с двумя сепаратрисами // Интегральные и дифференциальные уравнения и приближенные решения: сб. научн. тр. Калмыцкого ун-та. Элиста, 1985. С. 107-124.

9. Динамические системы - 5. Теория бифуркаций / В.И. Арнольд, В.С. Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Москва: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-217.

10. Ройтенберг В.Ш. О двухпараметрических бифуркациях сепаратрисных контуров. Ярославль: Яросл. политехн. ин-т, 1989. 27 с. Деп. в ВИНИТИ, № 5213-В89.

References

1. Arnold V.I. Additional chapters of the theory of ordinary differential equations. Moscow: Nauka, 1978. 304 p.

2. Zholondek Kh. On versality of one family of symmetric vector fields on the plane // Mathematical Collection. 1983. Vol. 120, No. 4. P. 473-499.

3. Golubitsky M., Shaeffer D., Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-Verlag, 1988. 556 р.

4. Shnol E.E. Regular polyhedra and bifurcations of symmetric equilibria of ordinary differential equations // Mathematical Collection. 2000. Vol. 191, No. 8. P. 1243-1258.

5. Roytenberg V.Sh. Planar vector fields with central symmetry: roughness and first degree of non-roughness // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser.: Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2021. Iss. 2 (281). P. 27-40. URL: http://vestnik.adygnet.ru

6. Roytenberg V.Sh. Bifurcations of polycycle formed by two separatrix loops of a non-rough saddle of a dynamical system with central symmetry // Bulletin of the South Ural State University. Ser.: Mathematics. Mechanics. Physics. 2021. Vol. 13, No. 3. P. 39-46. DOI: 10.14529/mmph210305

7. Roytenberg V.Sh. On some nonlocal bifurcations of dynamical systems with symmetry // Mathematics and Natural Sciences. Theory and Practice: coll. of scientific works. Yaroslavl: YaSTU Publishing House, 2023. Iss. 18. P. 25-34.

8. Nozdracheva V.P. Bifurcations of singular cycle with two separatrices // The Integrated and Differential Equations and the Approached Decisions: coll. of proceedings of Kalmyk University. Elista, 1985. P. 107-124.

9. Dynamical Systems - 5. Bifurcation Theory / V.I. Arnold, V.S. Afraymovich, Yu.S. Ilya-shenko, L.P. Shilnikov // Results of Science and Technology. Ser.: Modern Problems of Mathematics. Fundamental Directions. Moscow: VINITI, 1986. Vol. 5. P. 5-217.

10. Roytenberg V.Sh. On two-parameter bifurcations of separatrix contours. Yaroslavl: Yaroslavl Polytechnic Institute, 1989. 27 p. Dep. in VINITI, No. 5213-В89.

Статья поступила в редакцию 20.04.2023; одобрена после рецензирования 15.05.2023; принята к публикации 16.05.2023.

The article was submitted 20.04.2023; approved after reviewing 15.05.2023; accepted for publication 16.05.2023.

© В.Ш. Ройтенберг, 2023