СИСТЕМА АДАПТИВНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Полезная модель относится к радиоэлектронике и может быть использована в моделировании широкополосных систем связи, радио и гидролокации, например в адаптивном цифровом управлении, связывающему воедино проблемы управления, фильтрации и идентификации.
Построение динамических стохастических моделей по выборке исследуемого процесса подробно описано в [1]. Зачастую детерминированные процессы представляются детерминированными моделями с помощью детерминированной функции времени, а стационарные случайные процессы могут быть представлены в виде авторегрессивной функции соответствующего порядка. Вместе с тем, единой модели, которая могла бы подстраиваться под параметры случайного сигнала, не существует. Поэтому представляется актуальным разработка алгоритма формирования модели случайного процесса, которая могла бы динамичным образом подстраиваться под параметры входного сигнала, одновременно не являясь параметрической.
Адаптивный фильтр в моделировании неизвестных физических динамических систем используется достаточно давно и достаточно хорошо исследован. На вход неизвестной системы и адаптивного фильтра подается один и тот же сигнал. Адаптивный фильтр настраивается таким образом, чтобы его выходной сигнал соответствовал выходному сигналу неизвестной системы [2].
Однако до сих пор возможность использования адаптивного фильтра в качестве модели случайного сигнала исследована не была.
Технической задачей полезной модели является расширение функциональных возможностей применения адаптивных фильтров в области модели случайных сигналов.
Для решения поставленных задач предлагается система адаптивного моделирования фильтрации случайных процессов, содержащая генератор случайного сигнала, АЦП, генератор цифровой последовательности формирующего белого шума, генератор цифровой последовательности моделирующего белого шума, блок сложения, блок цифровой задержки, первый и второй адаптивные фильтры, блок вычитания и ЦАП, и имеющая следующие соединения:
выход генератора случайного сигнала соединен с входом АЦП, выход которого соединен с первым входом блока сложения и через блок цифровой задержки с первым входом блока вычитания; выход генератора цифровой последовательности формирующего белого шума соединен с вторым входом блока сложения; выход блока сложения соединен с первым входом первого цифрового адаптивного фильтра, а выход генератора цифровой последовательности моделирующего белого шума - с первым входом второго цифрового адаптивного фильтра, выход же блока вычитания шиной ОС соединен с вторыми входами обоих адаптивных фильтров, причем выход через ЦАП является выходом системы.
В основе синтеза алгоритма формирования адаптивной модели случайного процесса (фиг.2) лежит устройство винеровской оценки, из которого следует решение уравнения Винера-Хопфа для вектора весовых коэффициентов по критерию наименьшего среднеквадратического отклонения моделируемого случайного процесса и его оценки.
На фиг.2 изображено: 12 - блок формирования белого шума, 13 - блок моделирования белого шума, 14 - блок задержки, 15 и 17 - первый и второй адаптивные фильтры соответственно, 16 - блок вычитания, 18 - блок сложения.
Основным отличием представленного алгоритма формирования адаптивных моделей является принудительное «примешивание» белого шума к исходному процессу. В свою очередь, формирующий белый шум в смеси возбуждает N-мерное пространство весовых коэффициентов [3], а адаптивный фильтр 1 настраивается таким образом, чтобы его выходной сигнал соответствовал неизвестному исходному сигналу по критерию наилучшего средне-квадратического приближения.
В результате, импульсная характеристика адаптивного фильтра 1 будет стремиться к соответствию с полезным сообщением. Для того, чтобы сформировать модель исходного процесса необходимо переписать весовые коэффициенты в адаптивный фильтр 2, на входе которого действует моделирующий белый шум. Таким образом, на выходе такого адаптивного фильтра генерируется модель исходного процесса.
Пусть, дискретный сигнал, действующий на входе адаптивного фильтра 1, представляется как:
y(n)=Ао·х(n)+Во·υ(n)
где х(n) - центрированный вещественный стационарный случайный процесс;
υ(n) - формирующий белый шум с единичной дисперсией. Вначале запишем в общем виде вектор взаимной корреляции Р и автокорреляционную матрицу R для входного сигнала адаптивного фильтра [2]:
где
x
k - нормированная автокорреляционная функция процессах x(n).
А оптимальный вектор весовых коэффициентов из [2] находим как
или
Рассмотрим 2 случая: 1) q>>1 и 2) когда q<<1.
q
Для больших значений отношения мощности моделируемого сигнала к мощности белого шума нормированная матрица R получается как
Запишем (2.4) в форме
RW=P
или
Решение этого уравнения очевидно, в результате чего получаем оптимальный вектор:
Этот результат свидетельствует о невозможности создания модели при больших отношениях сигнал-шум на входе адаптивного фильтра, т.к. в данном случае на выходе схемы моделирования генерируется белый шум.
q
Для q→0 нормированная автокорреляционная матрица R превращается в единичную, т.е.
q
R≈I
Тогда оптимальный вектор весовых коэффициентов адаптивного фильтра (для малых q) получается из (3)
В результате для малых отношений сигнал-шум q мы приходим к выводу, что модель исходного сигнала описывается его автокорреляционной функцией.
Для обеспечения каузальности адаптивного фильтра вводится задержка (рис.1), которая обеспечивает нужный отклик в реальном масштабе времени [2]. Тогда вектор взаимной корреляции и соответственно оптимальный вектор весовых коэффициентов принимают вид:
где L - задержка;
i=0,1…N-1.
Выбор алгоритма адаптации производится исходя из условий применения, а также характеристик исходного случайного процесса. В частности, для стационарных процессов целесообразно использовать простой метод наименьших квадратов - МНК [4], который не требует больших вычислительных затрат и несложен в программной реализации.
На фиг.1 изображена структурная схема полезной модели, на которой показано: 1 - генератор случайного сигнала, 2 - аналого-цифровой преобразователь (АЦП), 3 - генератор цифровой последовательности формирующего белого шума, 4 - генератор цифровой последовательности моделирующего белого шума, 5 - блок сложения, 6 - блок цифровой задержки, 7 и 8 - первый и второй адаптивные цифровые фильтры соответственно, 9 - блок вычитания, 10 - цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Все эти узлы и блоки могут быть сделаны на отдельных ЭРЭ и ИМС, но могут быть выполнены на одной СБИС (например, на микроконтроллере с развитой периферией). На фиг. не приведены шины питания и второстепенные шины управления (пуск ЦАП и АЦП и пр.).
Схема имеет следующие соединения.
Система адаптивного моделирования фильтрации случайных процессов, содержащая генератор случайного сигнала 1, АЦП 2, генератор цифровой последовательности формирующего белого шума 3, генератор цифровой последовательности моделирующего белого шума 4, блок сложения 5, блок цифровой задержки 6, первый и второй адаптивные фильтры 7 и 8, блок вычитания 9 и ЦАП 10, и имеющая следующие соединения: выход генератора случайного сигнала 1 соединен с входом АЦП 2, выход которого соединен с первым входом блока сложения 5 и через блок цифровой задержки 6 с первым входом блока вычитания 9; выход генератора цифровой последовательности формирующего белого шума 3 соединен с вторым входом блока сложения 5; выход блока сложения 5 соединен с первым входом первого цифрового адаптивного фильтра 7, а выход генератора цифровой последовательности моделирующего белого шума 4- с первым входом второго цифрового адаптивного фильтра 8, выход же блока вычитания 9 шиной ОС соединен с вторыми входами обоих адаптивных фильтров 7 и 8, причем выход через ЦДЛ 10 является выходом системы.
Узлы и блоки структурной схемы могут быть выполнены на следующих ЭРЭ и ИМС. Аналого-цифровой преобразователь выполнен на ИМС AD876 фирмы Analog Device; цифро-аналоговый преобразователь выполнен на ИМС AD7390 фирмы Analog Device; генераторы белого шума выполнены на ИМС К561ИР2 и К561ЛП2; цифровые адаптивные фильтры выполнены на цифровом сигнальном процессоре ADSP2181 фирмы Analog Device; операция «сложение», операция «вычитание» и цифровая задержка реализованы как составная часть цифрового адаптивного фильтра 1 на ADSP2181.
Схема работает следующим образом.
Для анализа работы схемы на фиг.1 предлагается подход, который был освещен в работе [3], когда весовые коэффициенты адаптивного фильтра (при использовании алгоритма наименьших квадратов - МНК) моделируются как детерминированная усредненная по времени составляющая E[W(n)] и флуктуирующая часть с нулевым средним β(n) (фиг.3).
Флюктуирующая составляющая вектора весовых коэффициентов порождается неподавленным адаптивным фильтром 2 (фиг.3) формирующим белым шумом и ее величина определяет мощность флюктуационного шума на выходе схемы моделирования.
S
β
out
Отношение мощности модели сигнала P к мощности флюктуационного шума Р на выходе схемы моделирования Q является критерием оптимизации адаптивной модели и влияет на адекватность модели случайного процесса.
Оценить флюктуационный шум можно, используя методику [3], а именно
где B(n) - вектор-столбец флюктуационного шума β(n);
M
N - вектор-столбец моделирующего белого шума с единичной дисперсией.
Затем запишем корреляционную матрицу флюктуационного шума [3]
где
Далее подставляя (7) в (6) и, используя преобразования в [3], находим мощность флюктуационного шума
где М - коэффициент расстройки [4], равный
Затем найдем мощность модели моделируемого сигнала, учитывая (3)
где s(n) - модель моделируемого сигнала.
Подставляя формулы (8) и (9) в (5) получаем отношение сигнал-шум на выходе схемы моделирования для q<<1:
Оценка адекватности или качества модели [5] производится по нормированному среднему квадрату ошибки, вычисленной по формуле:
где x(t) и s(t) - сравниваемые между исходный сигнал и его модель,
В виду того, что моделируемый сигнал и его модель между собой некоррелированы, предлагается блок-схема определения дисперсии ошибки моделирования на фиг.4, в соответствии с которой коэффициент передачи т.н. «эталонного фильтра» определяется спектром моделируемого сигнала x(t).
На фиг.4 изображено: 18 - блок моделирования белого шума, 19 - адаптивный фильтр 2, 20 - эталонный фильтр.
1
2
ξ
Из [6, 7] известно, что если на вход двух линейных систем с пересекающимися частотными характеристиками -К(ω) и K(ω) воздействует стационарный случайный процесс с нулевым средним значением и спектральной плотностью S(ω), то функция взаимной корреляции сигналов s(t) и x(t) на выходах этих систем вычисляется:
Перейдем в формуле (11) к спектральным плотностям и получим:
Найдем оптимальную передаточную функцию адаптивного фильтра в установившемся режиме. Согласно [8]
x
где S(ω) - спектральная плотность моделируемого сигнала;
y
S(ω) - спектральная плотность формирующего белого шума.
x
Sυu
2
Учитывая, что для стационарных входных сигналов S(ω) и (ω) - неотрицательные и вещественные функции [9], то коэффициент передачи адаптивного фильтра также неотрицательная и вещественная. Тогда K(jω) можно принять равной квадратному корню из спектральной плотности моделируемого сигнала, чтобы оценка спектральной плотности моделируемого сигнала (согласно рис.3) была равна
Поэтому, подставляя (14) и (15) в (13), окончательно находим
Используя два критерия оценки адекватности модели (5) и (16), можно найти оптимальное значение q, при котором достигается качественное моделирование исходного сигнала.
Оптимальный выбор задержки L позволяет несколько снизить дисперсию ошибки моделирования и улучшить отношение сигнал-шум на выходе системы. Оптимальное значение задержки согласно [2] может быть принято равной половине длины адаптивного фильтра.
Зададим марковский процесс через линейное преобразование белого гауссового шума υ(t) с единичной дисперсией в виде стохастического дифференциального уравнения 1 порядка [7]
с корреляционной функцией
и спектральной плотностью
Запишем оптимальный вектор весовых коэффициентов (5) марковского процесса в дискретном времени:
где
А отношение сигнал-шум на выходе схемы моделирования (10):
Затем, выразим спектральную плотность непрерывного марковского процесса (17) в дискретном времени через нормированную (к частоте дискретизации) частоту  т.е
Тогда оптимальная передаточная функция адаптивного фильтра (14) представляется
Подставляя (19) и (20) в выражение (16) получаем дисперсию ошибки моделирования марковского процесса
Вначале найдем мощности оценки исходного сигнала и модели исходного сигнала
Затем вычислим интеграл в выражении (21)
Далее преобразуем
Подставляя выражения (22), (23) и (24) в (21) получаем
Находим минимум выражения (25), продифференцировав его по параметру q и приравняв полученное выражение к нулю
Решая полученное выражение численными методами/определяем оптимальное отношение сигнал-шум q, при котором модель сигнала наиболее адекватна:
где Δf - ширина полосы сигнала в Гц,
fs - частота дискретизации в Гц.
Для исследования эффективности представленного алгоритма моделирования разработана программа «Адаптивные модели случайных процессов». Она предназначена для создания моделей сигналов в соответствии с алгоритмом формирования, изображенном на рис.1 адаптивные фильтры были реализованы нерекурсивной схеме с алгоритмом адаптации МНК. В качестве исходного случайного процесса выступал гауссово-марковский процесс с шириной спектральной плотности 3354 Гц (α=0.1).
В качестве изменяемых входных параметров задавались:
1) q - отношение мощностей моделируемого сигнала и формирующего шума от минус 40дБ до 10дБ;
2) N - число весовых коэффициентов равное 256;
В качестве наблюдаемых параметров фиксировались:
1)  - дисперсия ошибки моделирования (ф.16);
out
2) Q - отношение мощности модели моделируемого сигнала к мощности флюктуационного шума на выходе схемы моделирования (ф.5).
Результаты теоретического исследования и компьютерного моделирования марковского случайного процесса приведены на фиг.5 и 6, анализ которых свидетельствует о совпадении теоретических расчетов и экспериментальных данных, что доказывает работоспособность предложенного алгоритма формирования адаптивных моделей гауссовых стационарных случайных процессов.
Алгоритм формирования адаптивных моделей может быть использован:
1) для формирования сигналоподобных помех,
2) в идентификации стационарных случайных процессов,
3) при разработке новых алгоритмов адаптивной компенсации помех,
4) при разработке приборов, с помощью которых проводится оценка звукового давления источников акустического излучения.
Список используемой литературы
1. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Пер. с англ. - М.: наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 384 с.
2. Б.Уидроу. С.Стирнз. Адаптивная обработка сигналов. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1989. - 440 с.
3. Neil J. Bershad, Jose Carlos M. Bermudes. "Sinusoidal interference rejection analysis of an LMS adaptive feedforward controller with a noisy periodic reference". IEEE Transaction on signal processing, vol.46, N5, May 1998.
4. Адаптивные фильтры: Пер. с англ./Под ред. К.Ф.Н.Коуэна и П.М.Гранта. - М: Мир, 1988. - 392 с.
5. Основы теории систем и системного анализа. Учебное пособие для вузов. М.: Горячая линия - Телеком, 2007. - 216 с.: ил.
6. В.И.Тихонов. Статистическая радиотехника. М.: Сов.радио. 1996. - 677 с.
7. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез: Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 2004. - 608 с.: ил.
8. Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. пособие для вузов. - 5-е перераб. и доп. - М.: Радио. и связь, 1994. - 480 с.: ил.
9. Денисенко А.Н. Сигналы. Теоретическая радиотехника. Справочное пособие. - М: Горячая линия - Телеком, 2005. - 704 с.: ил.