Дискретные волны переключения и диссипативные солитоны в когерентно возбуждаемых наноструктурах и метаматериалах

ОБЗОРНАЯ СТАТЬЯ

УДК 538.9

ДИСКРЕТНЫЕ ВОЛНЫ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ И ДИССИПАТИВНЫЕ СОЛИТОНЫ В КОГЕРЕНТНО ВОЗБУЖДАЕМЫХ НАНОСТРУКТУРАХ

И МЕТАМАТЕРИАЛАХ Н.Н. Розанов, Н.В. Высотина, А.Н. Шацев, А.С. Десятников, И.В. Шадривов, Р.Е. Носков, Ю.С. Кившарь

Розанов Николай Николаевич, член-корреспондент Российской академии наук, доктор физико-математических наук, профессор, начальник отдела ФГУП «НПК «ГОИ им. С. И. Вавилова», заведующий кафедрой Оптики лазеров СПбНИУ ИТМО. Лауреат премии им. Д.С. Рождественского РАН (2007). Область научных интересов -физическая и нелинейная оптика, лазерная физика, физика солитонов.

Шацев Анатолий Натанович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ФГУП «НПК «ГОИ им. С. И. Вавилова». Область научных интересов - нелинейная оптика, лазерная физика, физика соли-тонов.

Шадривов Илья Владимирович,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Австралийского национального университета, стипендиат Королевы Елизаветы II.

Кившарь Юрий Семенович, академик Австралийской академии наук, профессор, руководитель отдела, ведущий ученый, научный руководитель лаборатории Австралийского национального университета, обладатель мегагранта Министерства образования и науки Российской Федерации.

Высотина Нина Вениаминовна,

научный сотрудник ФГУП «НПК «ГОИ им. С.И. Вавилова». Область научных интересов - вычислительная математика, численное моделирование.

Десятников Антон Сергеевич,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Австралийского национального университета.

Носков Роман Евгеньевич,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики. Область научных интересов -оптика наноструктурированных композитных сред на основе металлических наночастиц, левые среды, электромагнитная невидимость.

Проведен сравнительный анализ локализованных структур - волн переключения и диссипативных солитонов - в трех дискретных нелинейных системах, резонансно возбуждаемых когерентным поддерживающим излучением: цепочке молекул, цепочке металлических наношаров и решетке разомкнутых кольцевых резонаторов. Ключевые слова: диссипативные солитоны, дискретные солитоны, волны переключения.

Введение

Диссипативные солитоны, представляющие локализованные за счет баланса притока и оттока энергии структуры волн, к настоящему времени более полно изучены в таких широкоапертурных оптических системах, как нелинейные интерферометры с когерентным поддерживающим излучением и лазеры с насыщающимся поглощением [1]. В этих континуальных системах продемонстрированы одномер-

ные и двумерные пространственные солитоны и предложены их приложения для обработки информации. Однако размеры этих солитонов составляют не менее 10 мкм, что не делает такие системы конкурентно-способными по сравнению с традиционной электроникой. Кроме того, в подобных системах сложно формировать трехмерные, в особенности топологические солитоны.

Указанные ограничения могут быть преодолены при использовании периодических наноструктур и метаматериалов, которые представляют собой набор слабо связанных нелинейных элементов, возбуждаемых внешним когерентным излучением [2-4] (рис. 1). В этой статье мы рассмотрим три родственные системы, в которых могут быть сформированы дискретные диссипативные структуры.

Модель 1 - это цепочка молекул с трехуровневой схемой электронных переходов. Внешнее излучение резонансно возбуждает молекулы, под его действием молекулы излучают, подобно диполям, и это излучение частично перехватывается соседними молекулами (диполь-дипольное взаимодействие молекул). К настоящему времени в расчетах продемонстрированы солитоны с размерами в несколько нанометров и возможность управлять их положением в цепочке и движением с помощью наклонного падения внешнего излучения [1, 5]. Перспективны для реализации таких систем ./-агрегаты цианиновых красителей, обладающие коллективным (экситонным) механизмом их резонансного возбуждения лазерным излучением. В то же время еще предстоит разработка более полной теории этих принципиально квантовых объектов с выходом за рамки одночастичного приближения и учетом межмолекулярных корреляций.

ООО 0 0 0 0 0

Рис. 1. Одномерная дискретная система. Цепочка нелинейных элементов, изображенных кружками, расположена вдоль оси х. Ео - вектор напряженности электрического поля поддерживающего излучения; волновой вектор к падающей волны лежит в плоскости хг; ф - угол между волновым вектором к и осью г; 9 - угол поворота вектора поляризации поля относительно оси у

Рис. 2. Цепочки (слева) и двумерные решетки (справа) разомкнутых кольцевых резонаторов

с различной ориентацией

Модель 2 близка к предыдущей, но в ней молекулы заменяются металлическими наношарами, погруженными в диэлектрик [6, 7]. В отличие от молекулярных /-агрегатов с фиксированным направлением дипольного момента, наношары обладают изотропным откликом, так что здесь добавляется поляризационная степень свободы, и солитоны становятся в общем случае векторными. К настоящему времени в литературе для моделей 1 и 2 изучены только одномерные системы, и рассмотрение хотя бы двумерных

г

х

схем представляет важную задачу дальнейших исследований. В то же время в модели 3 - цепочке или решетке возбуждаемых когерентным излучением разомкнутых кольцевых резонаторов (рис. 2) с нелинейными элементами, помещенными в разъемы [8-16] - возможна реализация дискретных диссипатив-ных солитонов любой геометрической размерности. В моделях 1 и 2 аналогичен вид связи элементов (диполь-дипольное взаимодействие), но различается вид нелинейности. Последний совпадает (кубическая нелинейность) для моделей 2 и 3. Ниже мы проанализируем общие и специфические свойства соли-тонов в трех указанных моделях, уделяя большее внимание менее изученным в литературе вариантам -модели 2 для одномерной геометрии и модели 3 для двумерной и трехмерной геометрии.

Управляющие уравнения

Модель 1. ./-агрегат моделируется линейной цепочкой N трехуровневых молекул, взаимодействующих между собой через электромагнитное поле. Два нижних уровня формируют оптический переход, частота которого близка к лазерной частоте. Третий молекулярный уровень служит для описания аннигиляции двух возбуждений на соседних молекулах: одно из возбуждений дезактивируется, а другое переходит на третий уровень с последующей релаксацией либо обратно на второй, либо на первый уровень. В результате соответственно либо одно, либо оба возбуждения исчезают из системы. Частота перехода из основного состояния (1) в третье (3) предполагается приблизительно равной удвоенной частоте перехода 1 ^ 2. Расстояние между молекулами ё много меньше длины волны излучения. Частота лазерного излучения ю0, поляризация излучения линейная.

В подходе одночастичной матрицы плотности управляющие уравнения для элементов матрицы плотности рк, к = 1, 2, ..., N, в приближении медленно меняющихся амплитуд имеют вид

О

Т

P

+P2+1)]

+ Г31Р&) +r2iP2(k) +Г.. p2(k

,

1

P

+ P22

] +Г32Р33 Г21 P22k Г|| P22 ,

P22 _

PP(3k) _asP2(2k)[P2(2k-1) +P2(2k+1)]-(Г31 + Г32 ) P

Rk _-

P3

Точка в левых частях уравнений означает временную производную; с.с. - знак комплексного сопряжения; Д0 - значение частотной расстройки для молекул в цепочке; Як = 2р2(к> ехр(/'ю0/). Матрицы ук и Дк (I ф к) описывают запаздывающее диполь-дипольное взаимодействие молекул в агрегате:

__Н_

У ,k _ hd3

A lk _ hd3

008

008

- + k0 d -

\l - k|2

: (1 - 3 <(1 - 3

008

008

e) +

sin

Б1П

ll - k cos

ll - k

81П

l * k,

l * k,

у и _ 0, a,, _ 0.

Волновое число к0 = ю0/с, где с - скорость света в вакууме. Величина О = (ц/ И)Е1 - частота Ра-би, пропорциональная комплексной амплитуде поля, так что вещественная напряженность электрического поля в падающей волне

Е = Яе[Е (/)ехр(-/'ю0/)].

Другими параметрами задачи являются матричный элемент дипольного момента перехода д, угол между дипольным моментом и осью цепочки 9, релаксационные постоянные у и Г, параметр экситон-экситонной аннигиляции а^. Принятый подход оправдан, если уровень возбуждения молекул слабый:

1 - р1к} ^ 1 (диагональные элементы матрицы плотности пропорциональны населенностям соответствующих уровней).

В линейных агрегатах взаимодействие с излучением молекул у краев цепочки существенно отличается от случая молекул в середине цепочки, главным образом, из-за эффекта двухэкситонной аннигиляции (параметр ая). В типичных условиях эффекты краев захватывают несколько десятков молекул, поэтому для средней части достаточно длинной цепочки от краевых эффектов можно отвлечься. Чтобы исключить их в расчетах, можно представить, что цепочка замкнута в кольцо (периодические граничные условия). Хотя молекулярные агрегаты с кольцевой геометрией и известны, молекулы в них неодинаково взаимодействуют с излучением с линейной поляризацией (частота Раби пропорциональна косинусу угла

l _1

между направлениями дипольного момента молекулы и поляризации излучения). Поэтому для обеспечения одинаковых условий для различных молекул пришлось бы перейти к их взаимодействию с излучением, обладающим, например, круговой поляризацией.

В модели 2 управляющие уравнения имеют вид [6, 7]

< + (-/у + 0 + | Р\2 ))+£ о1 Р1 = Е1,

I I I п I I п / , п,1 1 П >

1*П

ё х

ёРП

-I-

ё х

,2 I _ , |2

+(+о+| р |2 ) +£

о 1 1 Р11 = Е 1 1

П,1 1

I |2 Х К IIИ

где РП = \Рп + р , верхние индексы указывают составляющие векторов отклика шаров (Р) и поддерживающего излучения (Е) по отношению к оси цепочки (рис. 1), параметры у, к0 и ё имеют тот же смысл, что и в модели 1, а коэффициенты связи элементов аналогичны (1):

[ " ' - ехр

о1 =д

о 1 1 =л

П,1 I

(к0 ё )2

/ко ё

1

п -1

ехр

п -1

Параметр п определяется отношением диаметра шаров и шага решетки, а также диэлектрической проницаемостью шаров и матрицы-диэлектрика [6, 7].

Управляющие уравнения для модели 3 формулируются для медленно меняющихся амплитуд электрического тока или намагниченности отдельных резонаторов [8]:

¡^ъ.-(20-/у + а|ъ |2)Уп-2 = кСп .

М

Здесь время t нормировано на период собственных колебаний изолированного резонатора, ^ - отстройка собственной частоты колебаний от частоты когерентного поддерживающего излучения, нормированная на собственную частоту, у - затухание резонатора с той же нормировкой, а = +1 - знак коэффициента керровской нелинейности. Коэффициент к определяет силу связи ближайших резонаторов, и

Сп = 2[ъ(п,пу,п -1) +\\1(пх,пу,п2 +1)]-[у(п -1,пу,п2) +\\1(пх +1,пу,п2)]-

-[у(п,Пу -1,П2) + у(Пх,Пу +1,п)], Ъп = У(П,Пу,п).

Целочисленные индексы пх , пу, п2 определяют положение резонатора в решетке. Управляющие

уравнения для каждой модели дополняются начальными условиями, роль которых особо важна в условиях бистабильности или тристабильности (см. ниже).

Одномерные локализованные структуры

Квазиоднородные распределения. Для идеальной цепочки бесконечной длины с одинаковым стационарным состоянием всех элементов (пространственно-однородные стационарные состояния) из (2) при РП = Р0 и нулевых производных получаем алгебраическое уравнение 5-й степени:

+ 0 + Яе £ 4х] +[у-1ш £ А

+ 0 + Яе £ А I +| у - 1ш £ А/1

+ 0 + Яе £ 41 ^ +^у- 1ш £ 41 2 + 0 + Яе £ 4Х^ +[у- 1ш £ 4

где

4х = п(-]-3 - К ё]-2 +(к0 ё )2 ]-1 )ехр (к ё]), 4 = + ¡к0 ё]-2 )ехр (-¡к0 ё]).

При 6 = 0, л / 2 степень полинома снижается до третьей, тогда одному и тому же значению интенсивности поддерживающего излучения могут отвечать три значения отклика. С учетом заведомой неустойчивости промежуточного значения это означает бистабильность (рис. 3, а). Этот вариант характерен

также для скалярных моделей 1 и 3, тогда как тристабильность становится возможной для векторной модели 2 (рис. 3, б).

0,2 " " 0,16 2т 0,12

ч"

0,08 0,04 0

0,0001

0,0002

а

0,0003 0,0004

0,0002

0,0008

Рис. 3. Зависимость поперечной и продольной поляризации Р0

LP"

п

1-1-Г

0,0004 0,0006

^э I2 б

от интенсивности внешнего поля

I = \E1

,Е] для бесконечной цепочки; перпендикулярная поляризация падающей волны (9 = 0) -

сплошная кривая, параллельная поляризация (9 = л/2) - пунктирная кривая, О = -0,1 (а).

Зависимость

от

щ, при 0 = -0,2 , 6 = 0,2л для бесконечной цепочки (б). Устойчивость для

конечной цепочки проверялась численно. Верхняя ветвь устойчива целиком, нижняя ветвь устойчива при интенсивностях падающей волны от 0 до ~0,0004, остальные ветви неустойчивы

0,16

-1-1-1-1-г

0 20 40

1-1-1-г

60 80

100

n

а

0,1 0,08 3-0,06 0,04 0,02 0

ÛH

J

u

U

и

и

и

и

и

0

~1-Г"

20

и

1—1—I—1—I—

40 60 80 100 п

в

Рис. 4. Интенсивность перпендикулярной (а, в) и параллельной (б, г) составляющих отклика при |Е0|2 = 0,000088 и 6= 0,12л. Для (в, г) начальные условия нулевые, для (а, б) ненулевые

U

U

U

U

U

0,006-

<N_ >

Ц 0,0040,002 0

0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

Т

40 60

n

б

100

100

0,160,12-^ 0,080,04 0

0

т 40

1— 80 120

n

а

—I-—

160 200

0,16 -I 0,12 ^ 0,08 0,04 -I 0

0

т 40

80 120

n

б

,-4

160 200

Рис. 5. Профили неподвижной (а) и движущейся (Ь) волны переключения. I = 0,55*10 , скорость V < 0 (область 2 рис. 7) (а); I = 0,88*10-4, V > 0 (область 5 рис. 7) (б).

0

0

a

Для цепочки конечной длины вследствие краевых эффектов однородные распределения заменяются на неоднородные. При этом следует говорить уже о пространственной бистабильности (бистабиль-ности пространственных структур, устанавливающихся при различных начальных условиях) [1]. Еще одно важное условие реализации режима состоит в требовании его устойчивости относительно малых возмущений. Для бесконечной цепочки линейный анализ устойчивости стационарных однородных распределений выполняется стандартным образом [6, 7], в других случаях обычно необходимы численные расчеты. В результате развития неустойчивости в цепочке формируются и устанавливаются квазипериодические структуры. Интересной особенностью, известной и для континуальных систем [1], является возможность установления при одних и тех же параметрах системы, но при различных начальных условиях, либо квазиоднородной (рис. 4, а, б), либо квазипериодической (рис. 4, в, г) структуры.

Волны переключения в скалярной системе. Как и в континуальных системах, внутри интервала бистабильности квазиоднородных распределений существуют волны переключения (ВП) (другие названия - доменные стенки и кинки). При удалении от фронта волны переключения в одну или другую сторону распределение асимптотически приближается к одному из возможных квазиоднородных распределений, различающихся по разные стороны от фронта. Фронт волны может быть неподвижным (неподвижная волна переключения, рис. 5, кривая а, или движущимся (движущаяся волна переключения, рис. 5, кривая б). Если для континуальных систем скорость волны переключения обращается в нуль при одном («максвелловском») значении интенсивности поддерживающего излучения [1], то в дискретных системах это происходит на целом интервале интенсивности. Общей особенностью дискретных волн переключения служит то, что форма фронта и скорость движущейся волны меняются со временем квазипе-риодически (рис. 6). В связи с этим имеет смысл говорить о средней скорости таких волн.

0,3-1 г 12

500 600 700 800 900 1000 t

Рис. 6. Временное изменение максимальной интенсивности отклика на фронте (штриховая кривая, левая шкала) и ширины фронта № (сплошная кривая, правая шкала, в единицах расстояния между элементами) движущейся волны переключения в условиях рис. 5, б (кривая Ь, I = 0,88 х 10-4). Ширина фронта № определялась как длина промежутка, на котором интенсивность волны спадает от максимального

значения не менее чем в 100 раз

При изменении интенсивности поддерживающего излучения скорость волны переключения меняется, в том числе по знаку. При этом мы считаем скорость V положительной, если со временем при передвижении фронта увеличивается число элементов с большей амплитудой отклика (рис. 5, б, в отличие от рис. 5, а, где V < 0). Зависимость скорости волны переключения V от интенсивности падающего излучения I приведена на рис. 7. Для удобства диапазон изменения I разделен на 6 областей. Хотя в области 1 (0,0381х10-4 < I < 0,46х10-4) и имеется бистабильность однородных состояний бесконечной цепочки, по-видимому, область притяжения верхнего квазиоднородного состояния столь узка, что практически оно неустойчиво (из-за неизбежных в расчете возмущений). При этом исходное ступенчатое распределение быстро сваливается в нижнее квазиоднородное состояние, так что волны переключения отсутствуют. В области 2 (0,46*10-4 < I < 0,56* 10-4) существует как неподвижная, так и отрицательная (V < 0) волны переключения (рис. 5, а). В области 3 (0,56*10-4 < I < 0,836* 10-4) существует только неподвижная волна переключения. В области 4 (0,836*10-4 < I < 0,9216*10-4) существует как неподвижная, так и движущаяся с положительной скоростью (V > 0) волна переключения (рис. 5, б). При I > 0,9216* 10-4 происходит скачкообразный переход из режима с V = 0 в режим с V > 0. В области 5 (0,9216*10-4 < I < 2,045*10-4) существуют только волны переключения с положительной скоростью. Заметим, что приблизительно при I > 1,4*10-4 уже трудно получить одиночную волну переключения, так как из-за краевых эффектов неизбежно порождается встречная волна.

Все эти области 1-5 находятся внутри области пространственной бистабильности квазиоднородных состояний. Однако и вне этой области, но внутри области бистабильности для бесконечной цепочки, имеются метастабильные волны переключения. Дело в том, что дестабилизирующее действие краевых

8

4

эффектов происходит не мгновенно, и если время их развития превышает время распространения фронта по конечной цепочке, то неустойчивость будет существенно подавлена. Поэтому при 2,045*10-4 < I < < 2,9*10-4 (область 6) имеются метастабильные волны переключения с положительной скоростью. Наконец, при I > 2,9*10-4 даже метастабильных (со значительным временем жизни) волн переключения нет, переход на исходной ступеньке из нижнего состояния в верхнее происходит практически сразу, скачком.

о

0,08 п 1 0,06 J

0,04 0,02-| 0

-0,02-0,04-0,06-0,08-0,1-0,12-0,14-

Е:

0,08 0,06 0,04 0,02 0

-0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,1-0,12 -0,14

0,6

IE0

0,8

: 104

б

Рис. 7. Зависимость скорости волны переключения У/с от интенсивности поддерживающего излучения

Векторные волны переключения (6 ф 0). Если внешнее излучение содержит обе поляризационные компоненты, то, как указывалось выше, возникают следующие особенности. Во-первых, в соответствии с рис. 3, б, может иметь место мультистабильность (тристабильность) квазиоднородных состояний, из-за чего возможны новые типы волны переключения и, как результат их столкновения, новые типы солито-нов. Во-вторых, развитие модуляционной неустойчивости некоторых из квазиоднородных состояний может при нелинейном ограничении приводить к бистабильности между квазиоднородным и пространственно промодулированным состоянием и соответственно к волнам переключения между такими состояниями. В этом разделе мы ограничимся изучением только второй возможности, выбирая параметры так, чтобы они отвечали бистабильности квазиоднородных распределений.

При 6 = 0,12л и |Е0|2 = 0,0001 квазиоднородное состояние на верхней ветви устойчиво, а на нижней - модуляционно неустойчиво, со временем оно превращается в стационарное пространственно про-модулированное состояние. Как показывает рис. 8, исходное ступенчатое распределение возбуждает волну переключения, фронт которой со временем надвигается на промодулированное состояние. Для цепочки конечной длины фронт останавливается на некотором расстоянии от края цепочки.

0,08-

0,161 0,12 0,081 0,04 0

0,060,040,020

100

n а

Рис. 8. Интенсивность перпендикулярной

1

2

3

4

5

1

а

n

б

При меньшем значении интенсивности |Е0|2 = 0,000088 и 6 = 0,12л фронт между квазиоднородным и промодулированным состояниями неподвижен даже вдали от краев цепочки. Устанавливается стационарное распределение (рис. 9), т.е. ступенька практически сразу останавливается.

Наконец, при |Е0|2 = 0,0001 и 6 = 0,1л и нижнее, и верхнее квазиоднородные состояния устойчивы. В этом случае волны переключения - того же типа, как в скалярном случае (6 = 0). Движение фронта ВП не останавливается краевыми эффектами (рис. 10).

0,16" 0,12" 0,08" 0,040

'-

0,040,030,020,010

0

20

40

60

80

100

100

б

Рис. 9. Интенсивность перпендикулярной (а) и параллельной (б) составляющей отклика

при |Е0|2 = 0,000088 и 6 = 0,12л

0,03

0,12-| 0,08 0,04-| 0

0

1

20

1 40

Г

60

т

80

0,020,010-

1 ' 1 Л 1 '1 /\ 1Л

-к >' I < М ' М '/ч Л А. ' / Ч 1 А А »/ ч

^ 2 ; '' 3 4-,' )

\лпг  П гч\ .. " ! . _лЛЛ и J

100

0

20

1

40

60

т

80

100

а б

Рис. 10. Движущаяся волна переключения в условиях классической бистабильности для перпендикулярной (а) и параллельной (б) составляющей отклика. Кривые 1, 2, 3, 4 - соответственно

распределения полей в моменты времени t = 500, 2500, 4500, 7000 ; |Е0|2 = 0,0001, 6 = 0,1л

Скалярные дискретные диссипативные солитоны

Важным сценарием формирования диссипативных солитонов служит столкновение волн переключения. Поскольку в рассматриваемой системе возможны такие волны различных типов, то число сценариев увеличивается.

Столкновение волн переключения с нулевой и положительной скоростью (I = 0,88 40 4, область 4 рис. 7). На рис. 11, а, справа движется волна навстречу неподвижной волне в левой половине цепочки.

0,25-

0,2-| 0,15

0,10,050

г

80

100

0,2 0,16" 0,12" 0,080,04" 0

100

а б

Рис. 11. Динамика столкновения волн переключения. Кривые 1, 2, 3, 4 - соответственно распределения интенсивности отклика в моменты времени t = 1000, 2000, 3000 и 4000, I = 0,88 40 4 (а), кривые 1, 2, 3, 4, 5 - соответственно распределения интенсивности отклика в моменты времени

t = 1000 , 1500, 2000, 2500 и 5000, I = 0,95 • 10 4 (б) Движущаяся справа волна останавливается с образованием темного солитона, включающего 15 элементов. Левая «неподвижная» волна в самом конце столкновения сдвигается и останавливается. Ана-

п

а

п

п

п

п

логичные, но более узкие темные солитоны формируются при больших интенсивностях I, вплоть до

когда устанавливается солитон с шириной, отвечающей 6 элементам.

Но уже при результи-

I = 0,94 -10 4

I = 0,95 -10 4 сталкивающиеся волны переключения не останавливаются, а аннигилируют рующее поле стационарно и имеет квазиоднородное распределение (кривая 5 на рис. 11, б).

Столкновение волн переключения с нулевой и отрицательной скоростью (область 2 рис. 7). Аналогично предыдущему сценарию, в результате взаимодействия двух волн переключения образуются солитоны, но теперь они светлые. На рис. 12, а, приведены профили результирующих стационарных распределений поля для различных значений интенсивности поддерживающего излучения I. Самый узкий солитон, соответствующий I = 0,5510 х10~4, имеет ширину 2 элемента. Динамика формирования таких солитонов показана на рис. 11, б. Аннигиляцию волн переключения с нулевой и отрицательной скоростью иллюстрирует рис. 13.

йн

0,16

0,12"

* 0,08

0,041 0

0

"Г

20

г

80

0,16" 0,12 | 0,08 0,04 0

ггл \ \ \ \ \ \ \ \ V

1 1 4 i 3 1 1 1 , 1. 1 \ 1 1 i 2 i 1 1 s

100

0

20

40

n

б

60

80

"1-1-Г

40 60 n а

Рис. 12. Установившиеся солитоны при различных значениях интенсивности: пунктирная, сплошная, пунктирная жирная, сплошная жирная кривые соответствуют значениям

|E0|2 х104 = 0,555; 0,552; 0,5513; 0,5510 (а); динамика образования солитона с шириной w = 2 при столкновении волны переключения, движущейся налево (кривые 1-4 отвечают моментам времени t = 0, 500, 1500, 3000) с неподвижной волной переключения; I = 0,0000551 (б).

0,16

0,12 -0,08 -

100

0,04 -

0 i—г

0

200

Рис. 13. Левый фронт практически неподвижен, а правый фронт движется налево (кривые 1-4 соответствуют моментам t = 200, 1600, 2800, 4000), где сталкивается с неподвижным фронтом, и фронты

схлопываются; I = |£0Х|2 =0,5476*10-4

0,2 0,160,12-

(N_

Ч

^ 0,080,04-

41

Щ

0 20 40 60 80 100

п

Рис. 14. Одностороннее расширение области возбуждения цепочки между фронтами неподвижной ВП (слева) и ВП, движущейся с положительной скоростью. Моменты (слева направо) t = 500, 1000, 1500, 2000;

I = |£0Х|2 =0,8491*10-4

n

Если фронт движущейся волны переключения не приближается к фронту неподвижной волны, а удаляется от него, и начальное расстояние между фронтами не слишком мало, то возникает расширяющаяся со временем область повышенного возбуждения (рис. 14). При значительном расстоянии между фронтами эти две волны переключения практически не взаимодействуют друг с другом (расширение в одну сторону).

Диссипативные солитоны могут формироваться и по другим сценариям, например, при подаче на цепочку дополнительного «записывающего» узкого пучка-импульса или нескольких пучков-импульсов. Примеры установившихся структур приведены на рис. 15. При выходе за границы области устойчивости, например, для модели 1, характерно появление пульсирующих солитонов. Рис. 16 демонстрирует, также для модели 1, возможность управляемого передвижения устойчивых солитонов по цепочке.

п п п п

Рис. 15. Примеры узких светлых солитонов; I = |£0Х|2 =0,5329*10-4

1М

Р11

0,980,94-

"I—1—I—1—I

0 100 200 300 0

п

а

0,9

и—

л1

Р11 0,980,94"

—1—1—I—г

100 200 300 0

п

б

К

100 200 300 0

п

-|—1—I—1—I

100 200 300

п

г

Рис. 16

Двумерные локализованные структуры

Более удобна для анализа двумерных решеток схема разомкнутых кольцевых резонаторов (модель 3, рис. 2) В этом случае схема существенно анизотропна, так как взаимодействие резонаторов зависит от их относительной ориентации. При фиксированной ориентации устойчивыми оказываются только сравнительно узкие двумерные солитоны (рис. 17). Широкие же исходные структуры обычно распадаются на набор узких солитонов вследствие модуляционной неустойчивости.

0,54

0,34

0,14

0,55

0,35

0,15

Рис. 17. Два примера двумерных солитонов в модели 3; шкала для намагниченности | ^ |2 указана справа от рисунков, положение резонаторов задается целыми индексами Пх и п?

в

Трехмерные локализованные структуры

Трехмерные структуры также проще анализировать в решетке разомкнутых кольцевых резонаторов (модель 3). Ограничимся здесь демонстрацией, по-видимому, наиболее яркого примера топологических - узловых - дискретных диссипативных солитонов (рис. 18). Условия отвечают бистабильности, когда каждый из слабо взаимодействующих элементов может находиться в основном или возбужденном состоянии. Темными шариками обозначены резонаторы в возбужденном состоянии. Такие шарики соединяются линией, если расстояние между ними не превышает шага решетки. Линия будет узловой, если она замкнута, не содержит самопересечений и не превращается в окружность при плавных деформациях. Представленные на рис. 18 примеры свидетельствуют о чрезвычайном разнообразии дискретных дисси-пативных солитонов, которое можно наблюдать в нелинейных магнитных метаматериалах.

а б

Рис. 18. Устойчивые узловые солитоны в модели 3: «трилистник» (а) и «звезда» (б). На врезках показаны

проекции узловой линии на плоскость

Заключение

Три рассмотренных модели дискретных нелинейных диссипативных систем, резонансно раскачиваемых когерентным поддерживающим излучением, обладают качественно аналогичными свойствами, хотя и при резко различающихся масштабах (единицы нанометров для модели l и доли миллиметра для модели З). Совместное рассмотрение этих моделей позволяет получить более полную картину формирования разнообразных структур. Если в модели 1 уже продемонстрирована возможность управления положением солитонов с помощью наклонного падения поддерживающего излучения, то в модели 2 привлекает появление дополнительной - поляризационной - степени свободы, а в модели З - сравнительная легкость формирования топологических трехмерных солитонов. Представляется, что экспериментально более просто реализовать формирование солитонов в модели З, что послужит проверкой правильности общей картины и будет способствовать разработке новых подходов к обработке информации.

Работа поддержана грантами Министерства образования и науки Российской Федерации и НИУ ИТМО №411402.

Литература

1. Розанов Н.Н. Диссипативные оптические солитоны. От микро- к нано- и атто-. - М.: Наука, 2011. -53б с.

2. Denz C., Flach S., Kivshar Yu.S., eds. Nonlinearities in Periodic Structures and Metamaterials. - Berlin: Springer-Verlag, 2010. - 202 p.

3. Носков Р.Е. Метаматериалы. Oт левосторонних сред к нелинейной плазмонике. - Lambert Academic Publishing, 2011. - 11б с.

4. Litchinitser N.M., Gabitov I.R., Maimistov A.I., Shalaev V.M. Linear and Nonlinear Metamaterials and Transformation Optics, in book «Tutorials in Metamaterials», Eds. M.A. Noginov and V.A. Podolskiy; series in Nano-Optics and Nanophotonics, Series Eds. S. Kawata and V.M. Shalaev. - CRC Press, Taylor & Francis Group, New York, NY, 2012. - Р. 1-27.

5. Rosanov N.N., Fedorov S.V., Shatsev A.N., Vyssotina N.V. Dissipative molecular solitons // Eur. Phys. J. D.

- 2010. - V. 59. - P. 3-12.

6. Noskov R.E., Belov P.A., and Kivshar Yu. S. Subwavelength modulational instability and plasmon oscillons in nanoparticle arrays // Phys. Rev. Lett. - 2012. - V. 10S. - P. 093901.

7. Noskov R.E., Belov P.A., and Kivshar Yu.S. Subwavelength plasmonic kinks in arrays of metallic nanoparti-cles // Optics Express. - 2011. - V. 20. - P. 2733-2739.

S. Shadrivov I.V., Zharov A.A., Zharova N.A., Kivshar Yu.S. Nonlinear magnetoinductive waves and domain walls in composite metamaterials // Photonics and nanostructures - Fundamentals and Applications. - 200б.

- V. 4. - P. б9-74.

9. Lazarides N., Eleftheriou M., Tsironis G.P. Discrete breathers in nonlinear magnetic metamaterials // Phys. Rev. Lett. - 2006. - V. 97. - P. 157406.

10. Eleftheriou M., Lazarides N., Tsironis G.P. Magnetoinductive breathers in metamaterials // Phys. Rev. E. -2008. - V. 77. - P. 036608.

11. Lazarides N., Tsironis G.P., Kivshar Yu.S. Surface breathers in discrete magnetic metamaterials // Phys. Rev. E. - 2008. - V. 77. - P. 065601.

12. Molina M., Lazarides N., Tsironis G.P. Bulk and surface magnetoinductive breathers in binary metamaterials // Phys. Rev. E. - 2009. - V. 80. - P. 046605.

13. Cui W., Zhu Y., Li H., Liu S. Soliton excitation in a one-dimensional nonlinear diatomic chain of split-ring resonators // Phys. Rev. E. - 2010. - V. 81. - P. 016604.

14. Розанов Н.Н., Высотина Н. В., Шацев А.Н., Шадривов И.В., Кившарь Ю.С. Гистерезис волн переключения и диссипативные солитоны в нелинейных магнитных метаматериалах // Письма в ЖЭТФ. -2011. - Т. 93. - С. 838-841.

15. Rosanov N.N., Vysotina N.V., Shatsev A.N., Shadrivov I.V., Powell D.A., Kivshar Yu.S. Discrete dissipa-tive localized modes in nonlinear magnetic metamaterials // Optics Express. - 2011. - V. 19. - P. 2650026505.

16. Rosanov N.N., Vysotina N.V., Shatsev A.N., Desyatnikov A.S., Kivshar Yu.S. Knotted solitons in nonlinear magnetic metamaterials // Phys. Rev. Lett. - 2012. - V. 108. - P. 133902.

Розанов Николай Николаевич

Высотина Нина Вениаминовна Шацев Анатолий Натанович Десятников Антон Сергеевич Шадривов Илья Владимирович Носков Роман Евгеньевич

Кившарь Юрий Семенович

НПК «ГОИ им. С.И. Вавилова», член-корр. РАН, доктор физ.-мат. наук, начальник отдела; НИУ ИТМО, зав. кафедрой, nrosanov@yahoo.com

НПК «ГОИ им. С.И. Вавилова», научный сотрудник, nvvyss@yahoo.com

НПК «ГОИ им. С.И. Вавилова», кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, anshat@yahoo.com

Австралийский национальный университет, кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, asd124@physics.anu.edu.au Австралийский национальный университет, кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, ivs124@physics.anu.edu.au Санкт-Петербургский Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, nanometa@gmail.com Австралийский национальный университет, академик Австралийской академии наук, профессор, ysk@physics.anu.edu.au