Модули четверной группы Клейна и их когомологические инварианты

УДК 512.4

МОДУЛИ ЧЕТВЕРНОЙ ГРУППЫ КЛЕЙНА И ИХ КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ1

© 2008 Л.А. Белова2

Работа посвящена вычислению бирациональных инвариантов типа Н 1(п, РюХь) алгебраических торов с гладкой проективной моделью Xь, где п — группа типа ^2  Ж2. Использовалась теорема Клячко, которая позволяет вычислять эти когомологические инварианты, используя только структуру модуля Т рациональных характеров тора Т. Найдены все торы размерности не более 8 с биквадратичным полем разложения, когомологический инвариант которых нетривиален. Далее изучался максимальный тор в односвязной полупростой исключительной группе, определяемой системой корней типа Е%. В соответствующей группе Вейля Ш(Е%) были найдены подгруппы типа ^2Ф^2, соответствующий модуль для которых обладают нетривиальным когомологическим инвариантом. Тем самым доказана нерациональность максимального тора исключительной полупростой группы типа Е%.

Ключевые слова: торы с биквадратным полем разложения, нерациональность максимального тора в Ш(Е%).

Введение

Одной из основных задач алгебраической геометрии является классификация многообразий с точностью до бирациональной эквивалентности. Важным инструментом в ее решении являются так называемые бирациональ-ные инварианты, т.е. объекты (числовые характеристики, группы, классы эквивалентности и т.д.), связанные с многообразием, но зависящие лишь от класса бирациональной эквивалентности многообразия. В случае алгебраических групп основной бирациональный инвариант — класс Пикара [Р1е Хь] гладкой проективной модели Хь этой группы. Мы изучаем бирациональ-ную геометрию алгебраических торов над незамкнутым полем к. В этой

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором В.Е. Воскресенским.

2Белова Любовь Александровна (lubelova@mail.ru), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

ситуации имеется мощный инструмент для вычисления основного бирацио-нального инварианта, разработанный В.Е. Воскресенским—это так называемая вялая резольвента для алгебраического тора, которая позволяет найти класс Пикара, а также вычислять серию производных бирациональных инвариантов — групп одномерных когомологий H 1(п, Pic X£) для любой подгруппы п в П. Здесь П — группа Галуа минимального поля разложения тора T. Нетривиальность этих групп позволяет доказать нерациональность алгебраических торов.

Работа посвящена вычислению производных бирациональных инвариантов (точнее, групп одномерных когомологий {H 1(п, PicXl) : п < П}) для максимального алгебраического тора в односвязной полупростой исключительной группе, определяемой системой корней типа Е%. Здесь п — подгруппа типа Z20Z2 в группе Вейля для системы корней типа Eg. Среди таких подгрупп были найдены те, которые обладают нетривиальным когомологическим инвариантом. Тем самым доказана нерациональность максимального тора исключительной полупростой группы типа Eg. Однако, прямой способ подсчета группы когомологий, т.е. построение вялой резольвенты, сопряжен с трудностями технического характера. В данной работе вычисления когомологических инвариантов проводились без построения вялой резольвенты. Мы использовали теорему Клячко, которая позволяет вычислять когомологический инвариант, используя только структуру модуля T рациональных характеров.

1. Алгебраический тор. Вялая резольвента алгебраического тора

Напомним определение основного объекта нашего изучения, а также ряд фундаментальных понятий из теории алгебраических групп.

Среди алгебраических групп выделяют важный класс аффинных групповых схем. Простейший пример — это мультипликативная группа Gm,k, которая определяется условием Gm(В) = В*, где B* —мультипликативная группа обратимых элементов кольца В.

Напомним основные моменты теории схем. Пусть A — к-алгебра, тогда X = Spec A называется аффинной схемой, где Spec A — множество всех простых идеалов A. Алгебра обладает так называемой когрупповой структурой. В алгебре A есть следующие операции:

m* : A ^ A kA (коумножение), i* : A ^ A (кообращение), e* : A ^ к (коединица), удовлетворяющие системе аксиом двойственных аксиомам группы. Такие k-алгебры называются алгебрами Хопфа.

Вернемся к нашему простейшему примеру. Группа Gm является простей-

шей аффинной схемой вида: 8реск[Г, Т 1], т.к. Нотг^(к[Г, Т 1], В) = В*. Ко-групповые операции имеют вид:

т*(Т) = Т <8> Т, е*(Т) = Т-1, г*(Т) = 1.

Аффинная группа От называется мультипликативной группой. Имеем матричное представление

Понятно, что наряду с От,к мы можем рассматривать и ее декартову степень О т,к X ... От,к = &тк. Это также аффинная групповая схема.

Определим, наконец, алгебраический тор.

Определение 1: Алгебраический тор Т, определенный над полем к это аффинная к-схема следующего вида Т % Ь = С^, где Ь/к — конечное расширение Галуа, п — размерность тора, т.е., алгебраический тор Т — это к-форма группы ь, которую можно реализовать как подгруппу диагональных матриц О(п) в ОЬ(И, к) для некоторого N є N.

Поле Ь называется полем разложения тора. Пересечение всех полей разложения называется минимальным полем разложения тора Т. Всюду в дальнейшем Ь — это минимальное поле разложения тора Т.

Пусть Т — алгебраический тор. Рассмотрим мультипликативную абелеву группу Т = Ыошь(О<т ь,От,ь) его рациональных характеров. Известно [2], что группа Т — свободная абелева группа конечного Х-ранга, равного размерности тора Т, на которой точно действует группа Галуа П = ва1(Ь/к).

Перейдем к описанию вялой резольвенты тора Т. Для любого тора Т можно рассмотреть регулярное вложение тора Т%Ь в гладкое проективное многообразие: Ть с Хь, где Ть —открытое подмножество той же размерности, что и Хь. Многообразие Хь называется гладкой проективной моделью тора Т.

Это вложение индуцирует следующую точную последовательность

где Т — модуль рациональных характеров тора Т, § = ^^-] —пермутацион-ный П-модуль, порожденный простыми дивизорами на дополнении Хь \ Ть.

Эта последовательность называется канонической резольвентой. Она была введена и изучена В.Е. Воскресенским [2].

Отметим, что П-модуль Р1сХ]^ обладает следующим свойством

п

0 —— Т —— § —— Ріс Хь —— 0 ,

Н 1 (л, Ріс ХЬ) = 0 : У л < П.

Такой модуль называется вялым. Заметим, что многообразие Х определяется не однозначно. Если У — другая проективная модель тора Т, то из

теории Хиронаки следует, что Р1сXI ~ Р1с Y^l. Т.е. модуль Р1сXI определяется с точностью до определенной эквивалентности П-модулей, называемой подобием. Напомним определение подобия П-модулей.

Определение 2: Модули A и B называются подобными, если существуют пермутационные модули §1 и § 2 такие, что имеет место изоморфизм П-модулей

A 0 51 = B 0 5 2

(Обозначение: А ~ В).

Класс подобия р(Т) = [Р1с Хь] является основным бирациональным инвариантом алгебраического тора Т и однозначно определяется П-модулем Т рациональных характеров тора Т.

Известно [2], что если

0 ^ Т ^ ^ ^ 0

каким-либо образом построенная точная последовательность, обладающая тем свойством, что § —пермутационный модуль, а N — вялый, то [Р1сХь] = = ^]. Таким образом, мы можем построить вялую резольвенту для тора Т любым удобным для нас способом.

Кроме основного бирационального инварианта р(Т), для алгебраического тора Т существует серия производных бирациональных инвариантов. Один из них — это группа одномерных когомологий Н1(п, N) : п < П. Здесь ^] = [Р1сХь], В частности, нетривиальность этого инварианта влечет нерациональность соответствующего тора.

Напомним, что Н 1(п, А) = Z1(п, А)/й1(п, А) : п < П — фактор-группа скрещенных гомоморфизмов Z1(л, А) (1-коциклов) по подгруппе главных скрещенных гомоморфизмов D1(л,А). Скрещенный гомоморфизм—это отображение ф : П ^ А, удовлетворяющее соотношению ф(#1#2) = Я1ф(§2) + ф(?0, С^П, А) = {ф : П ^ А : 3 а е А : ф(§) = ga — а} — подгруппа главных скрещенных гомоморфизмов, А — П-модуль.

Как было отмечено выше, класс подобия П-модуля N1 однозначно определяется П-модулем Т = Нот(О<ть, От,ь), т.е. не зависит от способа построения вялой резольвенты. Таким образом, мы можем построить резольвенту удобным для нас способом. Возникает вопрос о способах построения канонической последовательности. Имеется по крайней мере два подхода к ее построению: первый основан на теории целочисленных моделей Демазю-ра [2], а второй использует рассмотрение двойственного модуля и его пер-мутационного накрытия. Подробно этот способ описан в [2]. Имеется много работ, посвященных построению вялых резольвент как для конкретных торов, так и для некоторых серий алгебраических торов [2], [5], [7], [9]. Трудоемкость вычислений возрастает при переходе к следующей размерности. Так для двумерных торов можно обойтись рассмотрением представителей [Р1сХь] рангов до шести включительно, трехмерные торы дают примеры вялых модулей ранга 15, наконец, некоторые частные вычисления для торов

размерности 4 приводят к рассмотрению вялых модулей ранга 44. Цель нашей работы — вычисление когомологических бирациональных инвариантов. С одной стороны, они — это производные основного бирационального инварианта, а с другой — они полностью определяются модулем рациональных

резольвенты. В следующем параграфе нашей работы мы опишем, как это можно сделать.

2. Теорема А.А. Клячко и классификация модулей четверной группы Л.А. Назаровой

Пусть Т — алгебраический тор над полем к,

о — Т — § — N — о

— вялая резольвента для тора Т. Здесь Т — модуль рациональных характеров тора Т, § —пермутационный модуль, а N — вялый, причем [РісХь] = [N1.

Кроме основного бирационального инварианта р(Т) = [РісХь], для алгебраического тора Т существует серия производных бирациональных инвариантов. Один из них — это группа одномерных когомологий Н1(л, N) : л < П. Здесь [N1 = [РісХь], В частности, нетривиальность этого инварианта влечет нерациональность соответствующего тора.

Известно, что если группа разложения тора — циклическая группа, то группа одномерных когомологий Н 1(< g >, Ріс Хь) тривиальна. Так же все торы размерности 1,2 рациональны [2], т.е. считать когомологический инвариант в этом случае тоже не имеет смысла. Согласно результатам Ше-валле [7], [9] первые случаи нетривиальности групп одномерных когомологий — это случаи торов размерности 3 с биквадратичным полем разложения. Группа Галуа в этом случае — это четверная группа Клейна П = = ^2 0 ^2. Поэтому естественно было ограничить внимание именно на модулях четверной группы. В этом параграфе мы опишем метод вычисления когомологических инвариантов, используя действие группы П на самом модуле рациональных характеров Т, который имеет маленький ранг, а не на вялом модуле N. Правда, для этого нам придется рассмотреть двумерные когомологии. В основе метода лежит теорема А.А. Клячко (1992) [3]:

Теорема 2.1:

V gеП

И.В. Кулагина [8] развила эту идею в случае П = ^ 0 ^ и получила следующую явную формулу:

Теорема 2.2:

характеров Т, а значит, могут быть вычислены, минуя построение вялой

Н1(л, Ю = Кег Н2(П, Т) — у\ Н2(< g >, Т) .

Кег(а + е) + Кег(й + е) + Кег(с + е) ’

здесь а и b — образующие четверной группы, рассматриваемые как операторы из Х[П], действующие на модуле рациональных характеров T тора T. В этой формуле c = ab, а Ker(x + e) = {t е T : xt = —t}, где x е П.

Итак, чтобы посчитать группу одномерных когомологий H 1(п, N) : п < П для вялого модуля N, достаточно применить формулу (2.2). Однако, следует иметь в виду, что все вычисления (нахождение ядра оператора, суммы решеток Ker(a+e) + Ker(b+e) + Ker(c+e) и, наконец, фактор-группы) проводятся над кольцом Z. Существуют стандартные алгоритмы, описанные в книге [6], позволяющие это сделать. Применение этих алгоритмов значительно упрощает вычисления, так как они легко реализуются на компьютере. Для удобства читателя опишем кратко, как это можно сделать. Пусть у нас есть целочисленное матричное представление группы П, т.е. гомоморфизм ф : П ^ GL(n, Z). По аналогии со случаем векторных пространств, если мы рассматриваем матрицу из GL(n, Z), то ее можно привести к эрмитовой нормальной форме (HNF-форме) [6]. Напомним определение эрмитовой нормальной формы матрицы [6].

Определение 2: Мы говорим, что матрица M = (mi,j) с целыми коэффициентами приведена к эрмитовой нормальной форме (HNF - форме), если существуют r ^ n и строго возрастающее отображение f : [r + 1, n] ^ [1, m], удовлетворяющие следующим условиям:

• Для r + 1 ^ j ^ n, mf(j),j = 0, если i > f(j) и 0 ^ mf(k),j < mfk),k, если к < j.

• Первые r столбцов матрицы M нулевые.

Причем известно, если матрица A е GL(n, Z) такова, что ее столбцы — это набор образующих подмодуля L в Zm, то ее HNF-форма дает целочисленный базис L. Имеет место следующая

Теорема 2.3: Пусть матрица A е Mat(mXn,Z). Тогда существует единственная матрица В е Mat(m X n,Z), такая, что В = AU, где матрица U е GL(n, Z), матрица В имеет HNF-форму.

Таким образом, чтобы найти Ker(a + e) + Ker(b + e) + Ker(c + e) мы строим матрицу, столбцами которой являются базисы решеток Ker(a + e), Ker(b + e), Ker(ab + e) соответственно и приводим ее к HNF-форме. Тогда ненулевые столбцы полученной матрицы образуют базис суммы решеток. Реализация этого алгоритма описана в книге [6]: алгоритм 2.4.5 (Hermite Normal Form).

Целочисленный базис ядра Ker(x + e), x е Z^], в свою очередь, находим, используя следующее

Предложение 2.1: Пусть матрица A е Mat(m X n, Z), В = AU и пусть первые r столбцов матрицы В равны 0. Тогда первые r столбцов матрицы U дают Z-базис ядра A, где A — матрица оператора о.

Реализация этого алгоритма описана в книге [6]: алгоритм 2.4.10 (Kernel over Z).

Наконец, осталось найти фактор - группу L'/L, где L' = Ker(a + в) + + Ker(b + в) + Ker(c + в). Это можно сделась, используя приведение матрицы к нормальной форме Смита [6], (SNF-форме), т.е. форме следующего вида {diag(di,d2,...dn), d(-+iId;, 1 ^ i < n}, n = rankL. Числа di, стоящие на диагонали, соответствуют порядкам циклических групп в каноническом разложении L'/L = ф (Z/diZ).

1 ^i<n

Реализация этого алгоритма описана в книге [6]: алгоритм 2.4.14 (Smith Normal Form).

Итак, алгоритм вычисления 1-когомологий для групп типа Z20Z2 таков:

1) вычисляем базисы Кег(а + е), Кег(Ь + е), Кег(аЬ + е),

2) находим сумму Кег(а + е) + Кег(Ь + е) + Кег(с + е),

3) находим Кег(а + е)(Ь + е),

4) вычисляем ЯХ(П,Й), используя теорему 2.2.

Используя формулу (2.2), были вычислены когомологические инварианты для неразложимых модулей четверной группы ранга 4-8, минуя построение вялой резольвенты. Была написана программа в среде программирования Delphi, реализующая этот алгоритм. Неразложимые модули четверной группы были получены, следуя классификации Л.А. Назаровой [4].

Известно, что если группа П содержит нециклическую силовскую подгруппу, то имеется бесконечно много неизоморфных неразложимых целочисленных представлений группы П. В работе [4] описываются все неразложимые представления в случае П = Z2 0 Z2, т.е. указаны целочисленные унимодулярные матрицы А и В, такие, что А2 = В2 = Е, АВ = ВА.

Опишем кратко метод построения неразложимых представлений, следуя методу, описанному в [4]. Можно выбрать базис решетки Т таким образом, что матрицы А и В будут иметь вид:

A=

B=

E О О A14

О I -E A23 О

О О E О

, О О О -E ,

' E I О -B13 I О '

О -E I О B24

О О -E О

, О I О О I E ,

А

Б4

здесь Е — единичная матрица.

Введем в рассмотрение матрицу следующего вида: Б =

где Б\, Бг, Бз, Б4 получены соответственно из Віз, А23, В24, А14 редукцией по модулю 2. Т.е. рассматриваем матрицу Б как матрицу над полем р2.

Оказывается, что если два представления А, В и А', В' имеют одинаковое разложение на блоки вида ±Е и Б = Б', то они эквивалентны и преобразова-

ние подобия осуществляет матрица вида С = — - —

0 I Е ,

два представления эквивалентны с преобразующей матрицей такого вида, то они имеют равные Б. Т.е. можно поставить в соответствие П-модулю Т матрицу Б.

Введем следующие обозначения. Пусть т — сумма количеств строк и столбцов матрицы Б. Назовем ее длиной матрицы. Будем обозначать через Ст(Е(а., Е^), і, ], к, I = {1,2}, а, в = {15} матрицу длины т, у которой на

месте і, ] стоит матрица Еа, на месте к, I — матрица Ев. Матрица Еа имеет один из следующих видов:

и, обратно, если

0 Е

Е1 = I I I , Е2 =

Е , 0 ,

Е = 4Е | 0 ), Е5 =

Ез = 0 Е ,

0

0

0

Е

Матрицы вида Ст(Еа., Ек1) называются цепочками. Существуют следующие типы неразложимых неизоморфных цепочек такого вида [4]: т = 4п + 1: Ст(Е31,Е41), Ст(Е32,Е42), Ст(Е^,е22), Ст(Е^,е22), т = 4п + 2: Ст(Еъп, Е22), Ст(Ё\2, Е^1), Ст(Е1р Е^2), Ст(Е^х, Е*2), т = 4п + 3: Ст(Е3п,Е*2), Ст(Е22,е41), Ст(Е12,ёЦ), Ст(Е^х,е2х), т = 4п : Ст(Е51), Ст(Е\2), С™^), Ст(Е52).

Наконец, в работе [4] показано, что для получения полной классификации неразложимых 0 ^-модулей достаточно рассматривать матрицу Б одного из следующих видов: это либо цепочка вида Ст(Еі.., Е^), т.е. на соответсвующем месте в матрице Б стоит одна из матриц вида Еа.

— - — , где Б' имеет нормальную форму Фро-

бениуса, причем ее характеристический полином /(г) неприводим над полем р2 или есть степень неприводимого.

Либо Б = Ф(/(г)) =

3. Проблема рациональности для максимальных алгебраических торов исключительных групп

Одной из важнейших подзадач проблемы рациональности алгебраических торов является задача о рациональности максимальных алгебраических торов в односвязных полупростых группах. Случаи, когда П определяется классическими системами корней были изучены В.Е. Воскресенским совместно с Б.Э. Кунявским [2]. Остаются неизученными исключительные группы. Случай О2 — это случай двумерного максимального тора, а значит, случай рационального тора. Таким образом, нужно рассмотреть Я = = ^4, Еб, Е7, Е%}. Случаю F4 посвящены работы С.Ю. Попова [5], И.В. Кулагиной [8]. В частности, Кулагина доказала [8], что когомологические бира-циональные инварианты для ^ 0^-модуля Т4 нулевые. (Здесь Т4 —решетка корней типа F4.) Все изучаемые торы имеет размерность, не превосходящую восемь, следовательно гкТ ^ 8. Как известно, любой модуль есть прямая сумма неразложимых модулей. Классификация Назаровой позволяет нам описать все возможные прямые слагаемые соответствующих модулей и вычислить их когомологические бирациональные инварианты.

Используя классификацию Л.А. Назаровой неразложимых ^ 0 ^ - модулей и формулу (2.2), были посчитаны когомологические инварианты для торов Т с биквадратичным полем разложения в случае, когда ШшТ ^ 8. Теорема 3.1: Пусть Т — неразложимый ^0^-модуль, гкТ ^ 8. Тогда

2) Если Т е (С8(е51), С8(е52), Ф(/(0) /(г) = г2 + г +1}, то Н1(п, Т) = Ж20

3) Для остальных случаев Н 1(п, Т) = 0.

Мы использовали стандартные обозначения для соответствующего типа решетки, введенные Л.А. Назаровой [4]. Таким образом, среди неразложимых модулей ранга 6,8 были найдены модули, обладающие когомологически нетривиальным вялым модулем. Заметим, что в случае модулей ранга 8 появляются первые примеры модулей, одномерные когомологии которых есть сама четверная группа, а не циклическая группа второго порядка, как было в предыдущих случаях. Но зачастую мы имеем П-модуль и заранее не знаем его разложение в прямую сумму неразложимых П-модулей. В частности, с такой ситуацией мы сталкиваемся, когда рассматриваем максимальные торы в односвязных полупростых группах 0 и изучаем их рациональность. Мы изучим максимальный тор в исключительной группе с системой корней Я = Е8 и докажем его нерациональность.

Напомним основные факты из теории максимальных алгебраических торов в односвязных полупростых группах. Пусть 0 — связная полупростая группа, определенная над полем к. д —ее алгебра Ли. Я — система корней

в д. Множество Я всех корней конечно, пусть Q(Я) — подгруппа в Т, порож-

конечный индекс в Т. Обозначим Р(Я) решетку весов системы Я. Имеет

Пусть О — связная полупростая группа, определенная над полем к, с системой корней Я = Я(О), Т с О — максимальный тор без аффекта, т.е. Т = Р(Я) = Q(R), П = ЩЯ) = А (Я), П — группа Галуа минимального поля разложения Ь тора Т. Все приведенные системы корней классифицированы в [1]. Нас интересует система корней типа Е%. Выберем в евклидовом пространстве К8 стандартный ортонормированный базис (е,-)і^,-<8. Тогда система корней Я содержит векторы следующего вида:

дача состояла в том, чтобы попытаться найти в группе Вейля подгруппу типа ^2 0 ^2 с нетривиальным когомологическим инвариантом. Вычисления производились, используя компьютер. А именно: производился поиск коммутирующих инволюций в группе Вейля типа Е% и к ним применялась формула (2.2) из §2.

Опишем алгоритм поиска коммутирующих инволюций. Пусть оа - отражение относительно гиперплоскости, ортогональной к корню а. Ясно, что любая инволюция может быть записана в виде ш = оа1 оа2 ••• оак, причем (а,-, а у) = 0, г ф у Если шх = оа1 Оа2 • • • Оак, Ш2 = ор1 Ор2 ••• оРг - две инволюции, то Ш1Ш2 = Ш2Ш1 ^ (а,, в у) = 0. Поэтому был произведен поиск коммутирующих инволюций пока не обнаружился модуль с нетривиальным когомологическим инвариантом. Таким является, например следующий модуль:

Здесь аі = еі + в2, аі4 = ез + Є4, а2з = Є5 + еб, а28 = Є7 + е8.

Таким образом, доказана Теорема 3.2: Максимальный тор исключительной полупростой группы, определяемой системой корней Я типа Е8 не является рациональным.

денная всеми корнями, Q(R) является решеткой в Т, поэтому Q(R) имеет

место включение : Q(Я) с Т с Р(Я). Вернемся к нашей задаче.

с четной суммой

8

І=1

І=1

Известно [1], что имеется 120 положительных корней. Базис системы корней имеет следующий вид:

1

1

а5 = е4 - ез, аб = - в4, а7 = еб - в$, а§ = е7 - еб.

Группа Вейля W(Я) системы корней типа Е<& имеет порядок 21435527. За-

Т =< а, Ь >, а = о1о14о23, Ь = о1о14о28,

Я1(л, Ы) = Ж2.

Литература

[1] Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Тит-са. Группы, порожденные отражениями. Системы корней / Н. Бурбаки. М.: Мир, 1972. - 334 с.

[2] Воскресенский, В.Е. Алгебраические торы / В.Е. Воскресенский. М.: Наука, 1977. - 224 с.

[3] Клячко, А.А. Прямые слагаемые перестановочных модулей и бирацио-нальная геометрия / А.А. Клячко // Арифметика и геометрия многообразий. - Самара, 1992. - С. 78-92.

[4] Назарова, Л.А. Представления четвериады / Л.А. Назарова // Известия АН СССР, серия математическая. - 1967. - №31. - С. 1361-1378.

[5] Попов, С.Ю. Решетки Галуа и их бирациональные инварианты / С.Ю. Попов // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 1998. - №4(10). - С. 71-83.

[6] Cohen, H. // A Course in Computational Algebraic Number Theory / H. Cohen Berlin: Springer, 1996. - 563 pp.

[7] Кунявский, Б.Э. О трехмерных алгебраических торах / Б.Э.Кунявс-кий // Исследования по теории чисел. Саратов: Изд-во ун-та, 1987. -С. 90-111.

[8] Кулагина, И.В. Бирациональные инварианты модулей четверной группы / И.В. Кулагина // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2005. - №5(39). - С. 71-78.

[9] Kunyavskii, B. Algebraic tori — thirty years after / B.Kunyavskii // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2007. -№7(57). - P. 198-214.

Поступила в редакцию 20/V7/2008; в окончательном варианте — 20/VT/2008.

THE KLEIN FOUR-GROUP MODULES AND THEIR COHOMOLOGICAL INVARIANTS 3

© 2008 L.A. Belova4

The paper is dedicated to calculation induced birational invariants of algebraic torus T so called cohomological invariants {H1(n, Pic XL)}n<n.

Here XL is a smooth projective model of T, n is Klein four-group. We use the result of A.A. Klyachko which allows to calculate these invariants without calculation of Pic Xl in terms of the group H2. The structure of the module T of rational characters of T only is used. The cohomological birational invariants of algebraic tori with biquadratic splitting field of dim T ^ 8 and find all tori which have nontrivial cohomological birational invariant is calculated. Also, a maximal torus T of the connected semisimple group of type £§ is studied. The fout-subgroups of the Weil’s group n = W(E8) which have nontrivial cogomological invariant {H 1(n, Pic XL)}n<n are found. Therefore the maximal torus T of the connected semisimple group of type E8 is nonrational.

Keywords and phrases: torus with biquadratic splitting field, nonrational

maximal torus in W(E8).

Paper received 20/V7/2008.

Paper accepted 20/V7/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. V.E. Voskresenskii.

4Belova Lubov Alexandrovna (lubelova@mail.ru), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.