Оптимизация параметров модели выпуска продукции с учетом вредных выбросов

УДК 517.97

© И.-Х. Д. Хишектуева

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ С УЧЕТОМ ВРЕДНЫХ ВЫБРОСОВ1

В работе рассматривается эколого-экономическая задача максимизации полезности от выпускаемой продукции с учетом отрицательного влияния загрязнения. Исследуемая модель относится к классу задач оптимизации управляющих параметров динамических систем. Для поиска ее оптимальных параметров применяется метод неподвижных точек. Он основан на решении специального операторного уравнения, построенного с помощью операции проектирования на допустимое множество значений управления, и представляющего систему условий улучшения для указанного класса задач. Решение данного уравнения позволяет получать улучшающие управления. Приводятся результаты численных экспериментов по оптимизации параметров модели.

Ключевые слова: параметрическая оптимизация, задача о неподвижной точке, эколого-экономическая задача.

О I.-Kh. D. Khishektueva

OPTIMIZATION OF PARAMETERS OF OUTPUT MODEL WITH REGARD HARMFUL EMISSIONS

In this paper we consider the ecological-economic problem of maximization of output, taking into account the negative impact of pollution. The study model belongs to the class of parametric optimization problems of dynamic systems. To find the optimal parameters we use the fixed point method. It is based on the solving of special operator equation constructed by projection operation at admissible set of controls and it presents the system of improvement conditions for this class of problems. The solving of this equation allows to receive better controls. The results of numerical experiments on optimization of parameters of model are given.

Keywords: parametric optimization, problem of fixed point, ecological-economic problem.

Введение

Многие математические модели естественнонаучных и социальных процессов приводят к постановкам задач оптимального управления и оптимизации управляющих параметров. Поэтому разработка эффективных методов, технологий и алгоритмов, необходимых для численного решения сложных практических задач, не теряет своей значимости и актуаль-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-01-03680

47

ности. Применяемый в работе метод неподвижных точек может служить хорошим инструментом для решения таких задач, в частности, для задач параметрической оптимизации. Описание метода и его свойств дано в работах [4, 5]. Метод неподвижных точек обладает рядом существенных преимуществ, например, возможностью строго улучшения управлений, удовлетворяющих дифференциальному принципу максимума, что подтверждают численные расчеты на тестовых примерах [8, 9]. В статье метод применяется для оптимизации параметров модели выпуска продукции с учетом отрицательного влияния загрязнения. Она исследуется в работах [7, 10]. Ставится задача получить оптимальные расчетные значения модели указанным методом и сравнить полученные и известные результаты.

1. Метод решения

Рассматривается задача оптимизации управляющих параметров в следующей постановке

ф

uell

x

в которой x(t) = (xl(t),...,xn(t)) - вектор состояния, и = (ul,...,um) - вектор управляющих параметров со значениями в выпуклом множестве U с Rm. Начальное состояние х° и промежуток управления Т заданы.

Предполагаются выполненными следующие условия:

1) функция (р(х) непрерывно-дифференцируема на R", вектор-функция F(x,u,t), векторная функция f(x,u,t) и их производные Fx(x,u,t), Fu(x,u,t), fx(x,u,t), fu(x,u,t) непрерывны по совокупности аргументов (x,u,t) на множестве R" xU хТ;

2) функция f(x,u,t) удовлетворяет условию Липшица по х в R" xU хТ с константой L > 0

\\f(x,u,t)-f(y,u,t)\\<L\\x-y\\.

Строится релаксационная (улучшающаяся) последовательность управлений, определяемых на каждой итерации в ходе решения задач улучшения, формулируемых в следующей форме: для заданного управления и е U требуется найти управление v е II с условием O(v) < Ф(и).

Для реализации задачи улучшения предлагается решить задачу о неподвижной точке (ЗНТ) [4, 5]:

v = Pu

где Ри - оператор проектирования на множество U в евклидовой норме, а> 0 - параметр проектирования, H(p,x,u,t) - функция Понтрягина, x(t,v) - решение системы (2) при и =v, p(t,u,v) - решение дифференциально-алгебраической сопряженной системы вида

p(t) = -Hx(p(f),x(t,u\u,f) - r(f),

(Hx(p(t),x(t,u),u,t) + r(t),x(t,v)-x(t,u)) =

= H(p(t), x(t,v),u,t) - H(p(t), x(t,u),u, t) с краевыми условиями

p(ti) =-4>Àx(ti,u))-q, {(рх(х(^,и)) + q,x(tx,v) -x(tx,u)) = <р(х(^,у)) - <p(x(tг ,u)) . Величина s определяется соотношением

f (H(p(t,u,v),x(t,v),v,t)-H(p(t,u,v),x(t,v),u,t))dt =

/Г \

= \)THu (p(t,u,v), x(t,v),u,t)dt + s,v-uj.

Для решения задачи о неподвижной точке (3) используется итерационный алгоритм при к > О :

vk+l =Pu{u+a{\THu{p{t,u,vk),x{t,vk),u,t)dt + sk)\ v° eU, (5) в котором величина sk удовлетворяет соотношению (4) при v = vk .

2. Модель выпуска продукции с учетом вредных выбросов

Рассмотрим модель выпуска продукции с учетом вредных выбросов, исследуемую в [7, 10]:

dK

— = (1 -a-P)F(K)-nK,

at

dP

— = (1 -dp)F{K)-bP,

dt

где K(t) - капитал; P(t) - объем загрязнения; F(K) = \OK05 - объем выпуска; а > 0 ; (3> 0 - доли выпуска на потребление и борьбу с загрязнением соответственно; /; - доля выбытия капитала; d - удельное загрязнение (ед. продукции); b - скорость очистки; г - ставка дисконтирования.

Ставится задача максимизации полезности (общего благосостояния) от выпускаемой продукции с учетом отрицательного влияния загрязнения:

Т

I{a,

о

Ограничения на управляющие параметры следующие:

а>0,/3>0,а + /3<\.

Для ее численного решения приведем систему к виду, не содержащему интегралов:

К = (\-а-/3)\ОК05 - ¡иК,

Р =

L = e~rt ^(Юа)05 К0'25 -Р1Л / 500C)j.

Функционал примет вид

1{а,Р) = -Щ)^> тт.

Значения числовых параметров равны: ¡и = 0.06; Ь = 0.1; й = 10; г =0.05.

В статье [10] проведено аналитическое исследование и получены две пары приближенно-оптимальных решений данной задачи:

а' = 0.68462, /?* = 0.06992; а2* = 0.7264, /?* = 0.0 .

Начальные условия для переменных состояния в [10] не задавались.

В данной работе при проведении численных расчетов задачи в качестве начального состояния выбиралось стационарное решение системы до воздействия на нее управлением. Для этого приравняем нулю управление (а = (),/? = 0 ) и решим систему уравнений:

\ОК05-цК = 0,

ЮГ05 — ЪР = 0.

Решив систему относительно К,Р , получаем следующие выражения:

К* = 100 / ¡и2;Р* = 1001{Ъц). Далее модель приводилась к безразмерному виду заменой переменных:

У1=К/К'-,У2=Р/Р'-,Уз=Ь. Отсюда, К = уг-К*; Р = у2-Р*; Ь = у3. Система примет вид:

. = К = (\-а-/3)\ОК05-МК а-(К')°5-¡иу,К* =

Ух ~ К' ~ К' ~ к' --— ля = Ч—— т=(1 - « - Р)му1 - т,

. _Р _ (\-с!/3)\ОК05-ЪР _ (\-с1/3)\0у°5(КУ5 - Ьу2Р* _ Уг~ р'~ р' ~ р'

= {\-с1Р)\0У™{КУ-5 ъ =(1-^/?)10Л°5(100/^2)05 ъ

Р* У2 100/(6/1) У2

= (1 -¿/3)Ьу?5-Ьу2,

у3 =Ь = е г1({10а)05К025 -Р1Л /5000) =

= е-й((10а)°5 у?25(К')(х25-у1,1 (Р'У1 /5000) =

= ((10а)°5 у?25 (100 / МУ25 - /2Л • (100 / ЬМ)11 / 5000) =

= е-й(Юа05^0 25 /М03 -у1,1 -(100/(Ьм))и /5000). В итоге получим:

у=(\ -a-ß)fiy°-5 -fiy^, Ji(0) = l,

y2 = (l-dß)by?s-by2, y2( 0) = 1,

y3 =e-ri(lO/i-05a0V25-(lOO/(M)11(1/500°)^21)' ^з(0) = 0

Для удобства перейдем в задаче к стандартным переменным х и и (обозначим у за х, а и ß за к, и м2):

Xj = (1 -щ -и2)цх1'5 - yUJCj, Xj(0) = l,

х2 =

x3 = e-rt (lOju-^u^x?-25 - (100 / (bju)f1 • (l / 5000) • x^1x3(0) = 0,

F(ul,u2) = -x3(T) —> min. Численные расчеты проводились с приведенной системой (11).

3. Численные эксперименты

В источниках [7, 10] не указано значение времени Т . Поэтому расчетное значение Т подбиралось таким образом, чтобы функционал благо-

т

состояния F(ux,u2) = - |У(lO^W25 -(100/ (b/u)j 1 • (l/5000)• x21 }dt

о

практически не менялся при дальнейшем увеличении Т (изменение не превышало 1%). Результаты представлены в таблице 1. Экспериментально было определено значение Т, приближенно равное 80 единицам. Таким образом, оптимизация параметров модели проводилась на отрезке [0,80].

Таблица 1. Значения функционала благосостояния

т Значение функционала приведенной модели (F) И

1 -21,4872

5 -112,7012 4,2450389069

10 -201,9331 0,7917564321

15 -270,8653 0,3413615697

20 -323,421 0,1940289140

25 -363,2181 0,1230504513

30 -393,2582 0,0827054048

40 -432,9987 0,1010544726

50 -455,6659 0,0523493489

60 -468,6847 0,0285709332

70 -476,224 0,0160860809

80 -480,6262 0,0092439692

90 -483,2158 0,0053879709

100 -484,7491 0,0031731164

Также был проведен численный анализ рассматриваемой задачи на выполнение свойства неотрицательности переменных состояния х1 (/). х2 (0 . По физическому смыслу они должны быть неотрицательными, так как обозначают объем капитала и загрязнения, соответственно. Анализ выполнялся путем численных расчетов задачи Коши для безразмерной модели при различных значениях параметров их, и2. В ходе численных расчетов было получено, что для м2>0.1 при любых допустимых значениях их переменная х2(/) на рассматриваемом интервале с некоторого момента принимает отрицательные значения. Поэтому допустимое множество было ограничено следующими условиями:

н] > 0, ип > 0, ип <0.1, н] +П-, < 1.

Отдельно решалась задача проектирования на указанное множество, при этом рассматривалось 9 областей, в которые может попасть проектируемая точка. Для каждой из этих областей легко определяется проекция точки (Рис. 1).

Рис. 1. Области проектирования на допустимое множество управлений

Функция Понтрягина и ее частные производные по состоянию и управлению имеют следующий вид:

Н = рх  ((1 -ил -и2)/и.г"5 -//х,) + р2((\-с1и2)Ьх'1'5 -6х2) + +ръе-'< (К)// V - (100 / (Л/О)" • (1 / 5000)х2л Ну =0.5/;(1 - м1 - и2)рхх^'5 - ррх + 0.56(1 - с1и2)р2х~'~''5 +

. о - -0.5 -П 0.5 -0.75

+2.5¡и е их ръ-хх ,

ЯГ2 =-Ьр2-(Ш1(Ь^1 -(1.1/ 5000) ръх2 ,

я,з=о,

Я 0.5 . г -0.5 -rt -0.5 0.25

Щ=~ИРЛ +5Ц е иJ р3хх ,

щ.

нщ =~MPi45 - bdp2x°5.

Задача о неподвижной точке (3) принимает вид:

v = Pu(ul+a (JrНщ (p(t,и,v), x(t, v),и, t)dt + sx),

u2 t)dt + s2)),

и = (Mj,m2) eU,v = (vj,v2) eU,s = C^,^) e i?2. Дифференциально-алгебраическая сопряженная система: рг (t) = -0.51 - Mj - u^p^05 + ррг- 0.56(1 - du2)p2x~0'5 -

о г -0.5 -rf 0.5 -0.75 /-.4

-2.5ju e щ p3-xj

^ 100^

l.i

1.1

p7(t) = bp7+ - —:—e r p3x ' -rJt),

2 2 {bp) 5000 3 2 2

p3{t) = -r3(t),

[HXi(p(t),x(t,u),u,t) + rl(t))(xl(t,v)-xl(t,u)] +

(p(t),x(t,u),u,t) + r2(t))(x2(t,v) - x2(t,u)) + +(ях, (p(t),x(t,u),u,t) + r3(t))(x3(t,v) - x3(t,u)) = = H(p(t), x(t,v),u, t) - H(p(t),x(t,u),u, t),

PAT) = o, P2(T) = o,

Ръ (?) = 1 •

Программная реализация численного алгоритма осуществлялась на языке программирования Fortran PowerStation 4.0 (FPS). Численный итерационный алгоритм (5) для решения задачи о неподвижной точке (12) проводился до первого строгого улучшения управления и eU. Далее строилась новая задача о неподвижной точке и итерационный алгоритм расчета повторялся. В качестве критерия остановки решения последовательных задач улучшения управления выбиралось условие

II k+1 к II ^ II к II /л к

V — v II < £ 11V' в евклидовои норме, где £>и - заданная точность, v -

релаксационная последовательность генерируемых управлений. Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 2. Численное интегрирование задач Коши для дифференциальных систем уравнений реализовывалось методом Рунге-Кутта-Вернера переменного (5-6) порядка и шага с помощью программы DIVPRK библиотеки IMSL FPS.

В качестве заданной точности расчетов выбиралось значение s = 10 \ Расчеты проводились для различных начальных значений параметров, в том числе, для приближенно-оптимальных значений, полученных в статье [10]. Расчеты проводились при различных значениях параметра а , ука-

занных в таблице. В итоге рассматриваемым методом неподвижных точек были получены расчетно-оптимальные значения параметров задачи = 0.9, \>2 = 0.1, которым соответствует значение функционала

Р = Р(ух,у2) = -537,48 . Отметим, что полученным в работе [10] оптимальным параметрам соответствуют следующие значения функционала на рассматриваемом интервале наблюдения:

Д*) = -480,78, а' = 0.68462, /?* = 0.06992,

Р(а*2,/3:) = -440,37, а2* = 0.7264, 0"2 = 0.0 . Результаты расчетов представлены в таблице 2.

Вывод ДЭН НЬЕХ

Рис. 2. Блок-схема алгоритма метода неподвижных точек

Таблица 2. Результаты расчетов параметров модели

а и v° V F(v) Число ЗНТ

1 0.01 0.01 0.01 0.01 0.900 0.100 -537.48 3

0.1 0.1 0.1 0.1 0.900 0.100 -537.48 3

0.3 0.01 0.3 0.01 0.900 0.100 -537.48 2

0.6 0.01 0.6 0.01 0.900 0.100 -537.48 2

0.9 0.01 0.9 0.01 0.900 0.100 -537.48 2

0.685 0.07 0.685 0.07 0.900 0.100 -537.48 2

0.726 0.0 0.726 0.0 0.900 0.100 -537.48 2

10"6 0.685 0.07 0.685 0.07 0.900 0.100 -537.48 682

ю-3 0.685 0.07 0.685 0.07 0.900 0.100 -537.48 2

103 0.685 0.07 0.685 0.07 0.900 0.100 -537.48 2

106 0.685 0.07 0.685 0.07 0.900 0.100 -537.48 2

Заключение

Рассматриваемый в работе метод неподвижных точек разработан для оптимизации параметров нелинейных динамических систем. Метод характеризуется отсутствием трудоемкой операции выпуклого или игольчатого варьирования, характерной для градиентных методов. Сходимость метода регулируется выбором одного проекционного параметра а > 0, что значительно упрощает настройку метода для решения конкретных прикладных задач. Указанные свойства метода являются существенными факторами повышения эффективности решения задач параметрической оптимизации. Проведенные численные расчеты и полученные результаты подтверждают достаточно высокую эффективность предлагаемого метода в рамках рассматриваемой модельной задачи.

Литература

1. Ащепков Л.Т. Идентификации динамических систем как задача управления параметрами / Л.Т. Ащепков, A.B. Новосельский, А.И. Тя-тюшкин // Автоматика и телемеханика. - 1975. - № 3. - С. 178-182.

2. Бартеньев О.В. Современный Фортран. - М.: Диалог МИФИ, 2000. - 449 с.

3. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. Ч. 3. - М.: Диалог МИФИ, 2001. - 368 с.

4. Булдаев А.С. Метод неподвижных точек в задачах параметрической оптимизации систем / А.С. Булдаев, И.-Х.Д. Хишектуева // Автоматика и телемеханика. - 2013. - № 12. - С. 5-15.

5. Булдаев А.С. Поиск неподвижных точек операторов проектирования в задачах параметрической оптимизации систем / А.С. Булдаев, Б. Очирбат, И.-Х.Д. Хишектуева // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика, информатика. - 2012. - № 2. - С. 4-14.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 432 с.

7. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. - Новосибирск: Наука, 2006. - 343 с.

8. Хишектуева И.-Х.Д. Алгоритм оптимизации параметров нелинейных динамических систем // Вестник Бурятского государственного университета. - 2013. - Вып. 9 - С. 39-44.

9. Хишектуева И.-Х.Д. Расчет оптимальных параметров динамических систем методом неподвижных точек // Программные системы: теория и приложения: электрон, научн. Журн. - 2014. - Т. 5, № 5(23). - С. 29-35.

10. Kiler Е., Spens М., Zekchauzer P. Options Control of Pollution of Surroundings // J. of Economic Theory. - 1972. - Vol. 4, No 1. - P. 57-71.

References

1. Ashchepkov L.T. Identification of dynamic systems as a control problem of parameters (in Russian) / L.T. Ashchepkov, A.V. Novoselskii, A.I. Tyatyushkin // Avtomatika i telemekhanika. - 1975, No. 3. - P. 178-182.

2. Barteniyev O.V. Modern Fortran (in Russian). - M.: Dialog MIFI, 2000. - 449 p.

3. Barteniyev O.V. Fortran for professionals. Math library IMSL. Part 3 (in Russian). - M.: Dialog MIFI, 2001. - 368 p.

4. Buldaev A.S. The fixed method point in parametric optimization problems for systems (in Russian) / A.S. Buldaev, I.-Kh.D. Khishektueva // Avtomatika i telemekhanika. - 2013. - No. 12. - P. 5-15.

5. Buldaev A.S. Searching of the fixed points of operators of projection in the problems of parametric optimization of systems (in Russian) / A.S. Buldaev, B. Ochirbat, I.-Kh.D. Khishektueva // Vestnik of BSU. Mathematika, informatika. - 2012. - No. 2. - P. 4-14.

6. Samarskiy A.A., Gulin A.V. Numerical methods (in Russian). - M.: Nauka. 1989.-432 p.

7. Tyatyushkin A.I. Multimethod Technique for Optimization of Control Systems (in Russian). - Novosibirsk: Nauka, 2006. - 343 p.

8. Khishektueva I.-Kh.D. Algorithm for optimization of parameters of nonlinear dynamic systems (in Russian) // Vestnik of BSU. - 2013. - No. 9. - P. 39-44.

9. Khishektueva I.-Kh.D. The calculation of the optimal parameters of dy-

namic systems by fixed points (in Russian) // Program. Sist.: Teor. Priloz-heniya., Electronic Journal of Ailamazyan Program Syst. Inst. RAS. - 2014. -No. 5(23). - P. 29-35.

10. Kiler E., Spens M., Zekchauzer P. Options Control of Pollution of Surroundings // J. of Economic Theory. - 1972. - Vol. 4, No 1. - P. 57-71.

Хишектуева Ишин-Хорло Дамбадоржиеена, инженер-программист Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации (НОИЦ СНА) Бурятского государственного университета, e-mail: ishin@ulanovka.ru.

Khishektueva Ishin-Khorlo Dambadorzhievna, software engineer of Scientific-educational and innovative center for systems study and automation (SEIC SSA) of Buryat State University, e-mail: ishin@ulanovka.ru.