Определение сопряженных точек для задачи восстановления трехмерных координат верхних плоскостей цилиндрических объектов

УДК 681.3.01

С.Л. Балабаев, И.Ю. Балабаева, В.Г. Радецкий

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК ДЛЯ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КООРДИНАТ ВЕРХНИХ ПЛОСКОСТЕЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Введение

В рамках хоздоговорной работы «Разработка и внедрение системы бесконтактного определения разновысотности цилиндрических объектов», проводимой на кафедре по заказу НИИ МВС, для восстановления трехмерных координат точек использовались методы фотограмметрии. Один из ключевых вопросов при использовании такого подхода - это поиск сопряженных точек на изображениях исследуемой сцены, полученных с разных ракурсов. Для решения этого вопроса был разработан специализированный метод определения сопряженных точек на изображениях сцены реактора, полученных одной камерой с разных ракурсов. Метод основан на строгих геометрических закономерностях исследуемой сцены и включает два этапа. На первом этапе производится поиск 14 сопряженных точек (первичных), которые являются центрами эллипсов, образованных верхними гранями внешних и внутренних стенок цилиндров. На втором этапе производится поиск еще 72-х сопряженных точек (вторичных) для уточнения значений разновысотно-сти, определенных по первым 14 точкам.

Выбор первичных сопряженных точек

Используя систему параметров, определенных для эллипсов, соответствующих каждой верхней поверхности цилиндров в каждом из изображений серии, и выделив сопряженные точки, можно реконструировать трехмерную сцену.

Сопряженными точками для начала будут являться центры построенных эллипсов. Эти точки (пиксели) проще всего идентифицировать на изображениях, зная ракурс съемки каждого изображения и перемещения каждого цилиндра в изображении при смене ракурса.

Очевидно, что в идеальном случае, при правильно выбранном ракурсе (проекция линии зрения камеры перпендикулярна двум сторонам шестиугольника, образованного центрами крайних цилиндров соты и равной высоте установки цилиндрических объектов) соответствующие стороны, а также не пересекающая их диагональ шестиугольника будут параллельны. Т.е. на изображении центры эллипсов будут иметь только три значения координаты у: для ближней пары цилиндров, для дальней пары цилиндров, а также трех оставшихся в "соте" цилиндров. При переходе от одного ракурса к другому в этом случае (при соблюдении указанных идеальных условий) центры эллипсов будут иметь тот же набор координат в плоскости изображения.

В реальности высоты установки цилиндров могут отличаться друг от друга. В этом случае формируется 15 пар изображений:

изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 2 изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 3 изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 4 изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 5 изображение с ракурса 1^ изображение с ракурса 6

изображение с ракурса 2^ изображение с ракурса 3 изображение с ракурса 2^ изображение с ракурса 4 изображение с ракурса 2^ изображение с ракурса 5 изображение с ракурса 2^ изображение с ракурса 6 изображение с ракурса 3^ изображение с ракурса 4 изображение с ракурса 3^ изображение с ракурса 5 изображение с ракурса 3^ изображение с ракурса 6 изображение с ракурса 4^ изображение с ракурса 5 изображение с ракурса 4^ изображение с ракурса 6 изображение с ракурса 5^ изображение с ракурса 6

В каждой паре выбираются сопряженные точки, соответствующие центрам эллипсов. По числу наблюдаемых в "соте" цилиндров их должно быть 7.

Выбор сопряженных точек

Поиск сопряженных точек иллюстрирует рис. . Точки пересечения линий, соединяющих центры цилиндров одной группы, с верхними эллипсами этих цилиндров являются точками, которые можно однозначно определить на каждом снимке, а значит и легко сопоставить их между снимками.

Рис. 1. Построение прямых, соединяющих центры эллипсов

Построение линий, соединяющих центры эллипсов

Первым этапом является нахождение уравнений прямых, соединяющих центры семи цилиндров, находящихся в “соте”. Известно, что уравнение прямой можно получить, зная координаты двух точек, принадлежащей этой прямой. Для шестнадцати прямых, изображенных выше (см.рис.1), такими точками являются:

а:: (хэ, уэ) и (х,, У4); а2: (х2, У2) и (Х4, у4); а3: (Х4, у4) и (Х7, У7); а4: (Х4, у4) и (х6, у6); а5: (Х4, у4) и (Х5, у5);

ав:

Уравнение прямой а п, п = 1, 16 в общем виде выглядит следующим образом:

У = кпХ + Ьп ,

где кп и Ьп - коэффициенты, определяющие соответственно угол наклона прямой

и ее смещение вдоль оси ОУ относительно начала координат. Именно этими коэффициентами и определяется прямая.

Пусть прямая ап проходит через точки (х, у) и (х., у). Тогда справедлива следующая система уравнений:

| у, = КХ,+Ьп;

| У] = кХ1 + К

Откуда нетрудно выразить кп и Ьп :

кп =

у; - у

Х] - Х,

х, у - х,у.

Ь = 1'1 ]

Таким образом, можно найти коэффициенты всех шестнадцати прямых, подставляя вместо х, у, х; и у. координаты центров соответствующих эллипсов.

Определение точек пересечения прямых и эллипсов

Каноническое уравнение эллипса с центром в точке М(хс, ус) имеет следующий вид:

2

+ -

а

Ь1

= 1.

Однако, в более общем случае, эллипс может быть повернут на некоторый угол ф относительно оси ОХ. Для получения уравнения, учитывающего такой по-

ворот, необходимо провести преобразование координат х и у по следующему законУ:

х = х • 008 р + у • 8ІП р; у' = у • 008 р — х • 8ІП р.

Таким образом, уравнение эллипса с центром в точке М(х0, у0) и повернутого относительно оси ОХ на угол ф принимает вид

(X • 008р + у • 8ІПр — хс )2 (у • 008р — X • 8ІПр — ус )2

Ь 2

= 1.

Рис. 2. Пять параметров произвольного эллипса

В общем случае существуют две точки пересечения прямой и эллипса. В случае касательной эти точки совпадают и являются точкой касания. Для нахождения точек пересечения эллипса, представленного уравнением (1), с прямой, представленной уравнением

у = ко • х + Ьо,

подставляем в уравнение (1) вместо у правую часть выражения (2). Откуда

(х 008 р + (х + Ьо ) 8ІП р — хс ) + ()ох + Ьо ) 008 р — х 81П р — ус ) = 1

Ь2

Теперь, решив уравнение (3) относительно х, находим х-координаты точек пересечения:

(х 008 р + к0х 8ІП р + Ь0 8ІП р — хс )2 + (— х 8ІП р + к0х 008 р + Ь0 008 р — ус )2 = 1 ;

2 1 Т2 “1'

а Ь

(х(008р + к08ІПр) + Ь08ІПр — хс )2 + (х(— 8ІПр + к0008р)+ Ь0008р — ус )2 = 1.

2 1 Т2 =1

а Ь

2

а

а

Тогда

х2

a2 +

2

+ x2 ( cos p - sin p)2 + 2x(k0 cos (p - sin p)(b0 cos (p - yc) + (0 cos (p - yc )2 _

b2

_ 1;

Или при a2- b2 ^ 0:

x 2b2 (cosp + k0 sinp)2 + 2xb2 (cosp + k0 sinp)(b0 sinp - xc) - 2xcb 2b0 sinp +

+ bgb2 sin2 (p + b2 x^ + x2 a2 (k0 cosp - sinp)2 + 2 xa2 (k0 cosp- sinp) ^ cosp- yc)-

^ 2 l , i 2 2 2 ,22 2 l 2 s\

- 2yca b0cosp+ b0a cos p + a yc -ab _ 0.

Преобразуем уравнение к виду x2(b2(cosp + k0 sinp)2 + a2(k0 cosp - sinp)2)+

+ x(2b2 (cos p + k0 sin p)(b0 sin p - kc) + 2a2 (k0 * cos p - sin p) cos p - yc ))-

- 2xcb2b0 sinp + b02b2 sin2 p + b2xc: - 2yca2b0 cosp + b02a2 cos2 p + a2y¿? - a2b2 _ 0.

Введем обозначения:

(b2(cosp + k0 sinp)2 + a2(k0 cosp - sinp)2)_ a1;

(b2(cosp + k0 sinp)(b0 sinp - kc) + 2a2(k0 cosp - sin p)(b0 cosp-yc ))_ ^;

- 2xcb 2b0sinp + b^b 2 sin2 p + b 2 xl - 2yca 2b0cosp + b0 a 2 cos2 p + a 2 y^ - a 2b 2 _ c1.

Тогда получаем обычное квадратное уравнение

x2 a1 + xb1 + c1 _ 0 ,

решение которого

x _- bx b\ - 4a1c1

x1,2 ^

2flfj

дает x-координаты искомых точек пересечения эллипса, заданного уравнением (1) и прямой, заданной уравнением (2).

Для нахождения y-координат этих точек подставим их x-координаты в уравнение (2). Откуда

7 U 7 - b1 + Vb12 - 4a1c1 U

y _ k0x1 + b0 _ k0--------h------------+

2a1

1 U 7 - b1 -Л\b1 - 4a1c1 7,

У 2 _ k0 x2 + b0 _ k0 ~ + b0.

2a1

В рамках решаемой задачи необходимо найти точки пересечения каждого периферийного эллипса с пятью прямыми. Это дает по десять точек на каждом из периферийных эллипсов. Для центрального эллипса необходимо найти точки его пересечения с тремя прямыми, что даст на нем шесть точек.

Рис. 3. Пересечение эллипсов и прямых

Таким образом, на каждом изображении необходимо найти точки пересечения эллипсов с прямыми, как это показывает рис.3:

эллипса БЬ1 с прямыми а13, а14 и а15; эллипса БЬ2 с прямыми а2, а3, а8, а10 и а13; эллипса БЬ3 с прямыми а3, а4, а9, а10 и а11; эллипса БЬ4 с прямыми а4, а5, а10, а11 и а15; эллипса БЬ5 с прямыми а5, а6, а11, а12 и а13; эллипса БЬ6 с прямыми а1, а6, а8, а12 и а14; эллипса БЬ7 с прямыми а1, а2, а7, а8 и а9.

Выбор сопряженных точек в двух изображениях

В результате нахождения точек пересечения прямых, соединяющих центры периферийных эллипсов со всеми эллипсами “соты”, получаем 66 точек (рис.4). Дополнительные шесть точек дают нам сами центры цилиндров.

Следующее изображение сцены формируется с ракурса, как показано ниже (рис.5рис. ):

Тогда, на снимке, полученном с ракурса 2, эллипсы БЬ1-БЬ7 преобразуются следующим образом:

БЬ1 ^ БЫ’

БЬ2 ^ БЬ2’

БЬ3 ^ БЬ3’

БЬ4 ^ БЬ4’ БЬ5 ^ БЬ5’ БЬ6 ^ БЬ6’ БЬ7 ^ БЬ7’.

Рис.4. Точки пересечения эллипсов и прямых

1

Рис. 5. Ракурсы съемки сцены

точки, пронумерованные выше (рис.6 рис), будут расположены на новом изображении следующим образом:

Рис. 6. Соответствие точек центров эллипсов и точек пересечения эллипсов и

прямых

Заключение

В результате использования этого метода получается два набора сопряженных точек. По первому из них производится первичная приблизительная оценка разно-высотности, дающая общее представление о разбросе высот цилиндрических объектов в «соте». В случае сильного разброса результатов измерения высоты корректируются, и оценка разновысотности начинается сначала. В случае же если обработка первого набора сопряженных точек покажет равенство высот всех цилиндрических объектов в «соте», производится уточнение результатов при помощи обработки второго набора сопряженных точек. Предложенная двухэтапная методика контроля разновысотности позволяет избежать вычислительно - емкого процесса обработки 72-х точек для «сот» со значительным разбросом высот цилиндрических объектов.

УДК 621.398.6

С.Л. Балабаев, В.Г. Радецкий, К.Е. Румянцев

ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ РАЗНОВЫСОТНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Введение

Одним из приоритетных направлений в области бесконтактного определения и измерения геометрических параметров объектов является создание телеметрических систем контроля, позволяющих получать изображение измеряемых объектов