СПОСОБ ОБНАРУЖЕНИЯ ПОДВОДНЫХ ЗАЛЕЖЕЙ ГАЗОВЫХ ГИДРАТОВ
METHOD OF DETECTING UNDERWATER DEPOSITS OF GAS HYDRATES

3
Изобретение относится к газонефтяной промышленности, а более конкретно к объектам обустройства морского месторождения добычи твердых газовых гидратов. Газовые гидраты - кристаллические соединения, в которых пустоты внутри структур, образованных молекулами воды, заполняют молекулы газов. Гидраты углеводородов - потенциальный ключевой источник топлива и сырья для химической промышленности; в одном кубометре гидрата метана заключено 160-180 м метана. Оценки объема мировых запасов гидратов углеводородов разнятся на порядки, но, скорее всего, они превышают мировые запасы природного газа. Некоторые сложности представляет собой транспортировка гидратов; то, при каком давлении газ начинает освобождаться, зависит не только от химического состава гидрата, но и от условий, при которых последний формировался.
Известны 3 основных способа добычи гидратов природного газа (термальное воздействие, воздействие ингибитором, снижение давления).
Все они основаны на применении диссоциации - процесса, в ходе которого вещество распадается на более простые составляющие. В случае с гидратами природного газа диссоциация проходит при увеличении температуры и снижении давления, когда кристаллы льда тают или как-то изменяют свою форму, тем самым, высвобождая молекулы природного газа, заключенные внутри кристалла.
Термальное воздействие. Этот метод основан на подаче тепла внутрь кристаллической структуры гидрата с целью повышения температуры и ускорения процесса диссоциации. Практическим примером такого метода может служить накачивание теплой морской воды внутрь слоя гидратов газа, залегающего на дне моря. Как только газ начнет высвобождаться из слоя морских отложений, его можно будет собрать. Для получения газообразного метана из твердых газовых гидратов, их нужно расплавить, то есть нагреть.
Известен способ и устройство для добычи подводных газовых гидратов, заключающийся в том, что прокладывают специальный трубопровод с платформы на поверхности моря до залежей газовых гидратов на морском дне. Особенность трубопровода в том, что он состоит из труб с двойной стенкой. Это как бы два трубопровода, из которых один пропущен сквозь другой.
По внутренней трубе подается морская вода, нагретая до 30…40 градусов С, непосредственно к месторождению газовых гидратов, которые начинают плавиться, при этом из них выделяются пузырьки газообразного метана, которые вместе с водой поднимаются по внешней трубе наверх, к платформе, где метан отделяется от воды и подается в цистерны или в магистральный трубопровод, а теплая вода снова закачивается вниз, к залежам газовых гидратов (Х.Ю. Щульц. Технология добычи газовых гидратов. Источник: Газовые гидраты, http://n-t.ru/tp/ie/gn.htm [1], Горчилин В.А., Лебедев Л.И. О признаках газогидратов в осадочной толще Черного моря и возможном типе ловушек углеводородов // Геологический журнал. - 1991. - №5 [2]).
Воздействие ингибитором. Некоторые виды спиртов, например метанол, действуют как ингибиторы при подаче внутрь слоя залегания гидратов газа и вызывают изменение состава гидрата. Ингибиторы изменяют условия температуры и давления, способствуя диссоциации гидратов и высвобождению содержащегося в них метана.
Снижение давления. В некоторых месторождениях гидратов есть участки, где природный газ уже находится в свободном состоянии. Если пробурить скважину в таком участке, чтобы высвободить природный газ, то после его добычи снизится давление в слое, содержащем гидраты. Если такого перепада давления окажется достаточно для начала диссоциации, то начнется процесс высвобождения природного газа из слоя гидратов.
Компьютерное моделирование процесса термального воздействия на гидраты с использованием горячей воды и пара показало, что объем газа, высвобождаемый таким методом, достаточно велик для добычи. Однако затраты слишком велики.
В случае с воздействием ингибиторами ситуация аналогичная - с экологической и экономической точек зрения, такой способ добычи нецелесообразен. На сегодняшний день самым перспективным способом добычи представляется метод добычи с понижением давления. Однако и у этого метода есть свои минусы: его можно применять только на месторождениях, где уже есть скопления природного газа в свободном состоянии в слое гидратов; при добыче свободного природного газа скопившегося в слое гидратов, возможно изменение структуры и формы слоя под влиянием процесса диссоциации и образования пустот.
Устойчивость состояния океанических гидратов метана зависит не только от величины давления (глубины залегания) и окружающей температуры, но также от уровня концентрации или растворимости метана в морских отложениях.
Известно, что соль помогает льду таять, поскольку понижает температуру замерзания воды. При этом концентрированный солевой раствор будет точно так же воздействовать на газовые гидраты, помогая им плавиться и отдавать содержащийся в них метан. Для этого в известном способе добычи подводных газовых гидратов предлагается установить над разведанной газогидратной залежью полупогружную плавучую платформу, с которой необходимо пробурить две скважины в газогидратном грунте. В одну из них, нагнетательную, будет подаваться концентрированный солевой раствор (с концентрацией соли 31,7%), а из другой, вытяжной, - извлекаться метан. В теплое время года в газогидратную залежь предлагается закачивать не солевой концентрат, а теплую морскую воду.
Однако, чтобы солевой концентрат начал действовать, газогидратную залежь необходимо предварительно «взорвать», к примеру, подавая в нее газ под высоким давлением (это можно сделать с помощью специальной газовой пушки). Метан, который высвободится из своих ледяных домиков и устремится к поверхности моря, окажется либо в газосборном колпаке, установленном под водой, либо прямо из скважины попадет в резервуар на плавучей платформе, где его сжижат и перельют в низкотемпературные емкости.
Для обеспечения работы плавучей платформы (устройства для извлечения метана, ожижителя горючего газа, насосов, газовой пушки и т.д.) предлагается использовать газотурбинную установку мощностью 6 МВт и теплосиловую установку, которая вырабатывает энергию за счет термобарической разности морской воды (разности температур и давления в глубине моря и на его поверхности). Летом термобарической разности морской воды будет достаточно, чтобы снабжать теплосиловую установку платформы электроэнергией, а в холодные месяцы года для обеспечения работы газотурбинной установки придется сжигать около полутора процентов добытого газа.
Береговая инфраструктура добычи газа включает баржи, которые будут доставлять метан на берег уже в сжиженном виде. Там он попадет на специальные береговые базы или в порты, откуда его можно развозить железнодорожным или автомобильным транспортом, либо прокачивать по трубопроводу.
Солевой концентрат предлагается получать на берегу - для этого достаточно пропустить воду через вымораживающий опреснитель.
Однако, депрессия газогидратного пласта, то есть его разогрев для разложения газовых гидратов, мало что дает, а ввод в этот пласт различных растворов, которые замещают метан в таком комплексе, - сложная и неотработанная технология.
Кроме того, данная технология отягощена тем, что она имеет такие два слабых места: так называемую газогидратную бомбу - неконтролируемую подачу большой тепловой мощности в газогидратный пласт, которая может вызвать внезапное повышение давления в нем и локальный взрыв, грозящий потопить плавучую платформу; и «черную дыру» - если значительная часть газогидратного пласта оторвется от дна и всплывет, то, быстро расплавившись, она высвободит большое количество газа, что опять-таки чревато кораблекрушением плавучей платформы.
Кроме того, образующийся в порах гидрат является «цементом» и служит непроницаемой покрышкой, под которой идет накопление гидрата. В результате разложения гидрата вмещающие породы могут превращаться в полужидкую массу (со всеми вытекающими отсюда последствиями для инженерных объектов, расположенных в зоне образования газовых гидратов). При этом, широкомасштабная разработка месторождений может вызвать подводные оползни и, как следствие, разрушительные волны - цунами (Газовые гидраты. /Higrate ipg - ru.wikipedia. org/ [3]).
В природе газогидраты образуются в глубоководных осадках морей и океанов и в районах вечной мерзлоты - главным образом из углеводородных газов, чаще всего метана.
Подавляющее большинство скоплений газогидратов находится на континентальных склонах и подводных поднятиях, в условиях высокого давления и низких температур (Шнюков Е.Ф., Зиборов А.П. Минеральные богатства Черного моря - Киев: ОМГОР НАН Украины,2004. - 280 с [4]). Могут образовываться и стабильно существовать в широком интервале давлений и температур (для метана от 2.10-8 до 2.10+3 МПа при температуре от 70 до 350°К).
Термодинамическая зона образования и стабильного существования гидратов достигает несколько сот метров (Макогон Ю.Ф. Природные газовые гидраты: распространение, модели образования, ресурсы // Российский химический журнал (Журнал Российского химического общества им. Д.И. Менделеева).2003. - т.XLVTI, №3. - С.70-79, [5]).
Верхняя граница существования газогидратных залежей в акваториях обычно находится у поверхности дна независимо от состава газа.
Зоной образования гидрата является толща пород, в которой давление и температура соответствуют термодинамическим условиям стабильного существования гидрата газа. Зона гидратообразования может быть определена математически путем совместного решения уравнения изменения термического градиента в разрезе пород и уравнения равновесного стабильного существования гидрата в данной пористой среде. В настоящее время широко используется графический способ определения зоны образования газовых гидратов (Макогон Ю.Ф. Особенности эксплуатации месторождений природных газов в зоне вечной мерзлоты. ЦНТИ Мингазпрома, 1966 [6]).
Акустические измерения являются главным источником информации, на основании которой проводят идентификацию и количественную оценку местонахождения гидратов в донных отложениях. Известна ультразвуковая установка, предназначенная для изучения акустических и геотехнических свойств гидратосодержащих пород в донных условиях (Тохиди Б., Андерсон Р., Масоуди А., Арджманди Дж., Бургасе Р., Янг Дж. Газогидратные исследования в университете Хериот-Ватт (Эдинбург) // Российский химический журнал (Журнал Российского химического общества им. Д.И.Менделеева). - 2003. - т.XLVTI, №3. - С.49-58 [7]). Она оснащена ультразвуковыми преобразователями и приемниками продольных и поперечных волн. Эта установка способна обнаруживать изменение времени пробега волны в 0,01 мс через 0,5 м керна (т.е. акустическая скорость 0,5 м/с).
Предварительные испытания с использованием водных растворов тетрагидрофурана и системы метан - вода в поровой среде, состоящей из синтетических шариков (моделирующих грубый кварцевый песок), показали, что скорость распространения волны высокочувствительна к объемам фаз (гидрат, жидкость и газ) и их распределению. По измерению времени пробега волны могут быть точно определены давление и температура диссоциации клатратов [7].
Существующие технологии выявления газогидратных залежей основаны на использовании свойств гидрата и гидратонасыщенных пород. Такими свойствами являются высокая акустическая проводимость, высокое электросопротивление, пониженная плотность, низкая теплопроводность, низкая проницаемость для газа и воды [5]. Выявление газогидратных залежей может быть осуществлено путем сейсмического или акустического зондирования, гравиметрическим методом, измерением теплового и диффузионного потоков над залежью, изучением динамики электромагнитного поля в исследуемом регионе и др. (Клерке Я., Марк Де Батист, Гранин Н., Земская Т., Хлыстов О. Газогидраты пресноводного «Океана» // Геология озера Байкал. - С.82-91 [8]).
Наиболее распространенным методом является сейсмика стандартная, на частотах 30-120 Гц с разрешающей способностью до 12-24 м и высокочастотная, на частотах от 250-650 до 1200 Гц с разрешающей способностью до 1-2 м. По данным сейсморазведки 2-D при наличии свободного газа под гидратонасыщенными пластами определяется положение нижней границы гидратонасыщенных пород - граница BSR (Bottom Simulation Reflector). К сожалению, низкочастотная сейсмика не отвечает на многие важные вопросы, в частности, не дает данных о степени гидратонасыщенности пород. Известный метод высокого разрешения 3-D более информативен, он позволяет определять нижнюю и верхнюю границы гидратонасьпценных пород, а также концентрацию гидрата в породах, на основании чего можно оценивать ресурсы газа и выбирать место бурения геологоразведочных скважин для первичной оценки залежи.
Детальная разведка газогидратных залежей осуществляется посредством геофизических исследований в пробуренных скважинах, а также путем отбора кернов с последующим их комплексным анализом.
В известном способе обнаружения газовых гидратов по выбросу газ из дна водоемов определяют гидроакустическими методами с помощью эхолотов, профилографов и гидролокаторов бокового обзора. При этом, при рассмотрении уравнений гидролокации сила цели определяется как умноженный на 10 десятичный логарифм отношения интенсивности звука, возвращаемого в некотором направлении целью, на единичном расстоянии от «акустического центра» цели к интенсивности падающей на цель звуковой волны, излучаемой удаленным источником (Урик Роберт Дж. Основы гидроакустики / пер. с англ. - Л.: Судостроение, 1978. - 448 с [9]).
Простейшая модель газогидратной залежи может быть представлена в виде однородного пласта с пониженной плотностью и повышенной скоростью упругих волн. В такой модели газогидратной залежи должны соответствовать две контрастные границы - у поверхности дна, связанной с кровлей залежи, и на нижней граничной глубине. Изменение плотности осадков и скорости распространения в них упругих волн при гидратообразовании создает предпосылки для выявления газогидратов сейсмическими и акустическими методами. Поскольку газогидраты распределены в осадочной толще крайне неравномерно и встречаемые структурные аномалии разномасштабны, может потребоваться применение гораздо более сложных структурно-акустических моделей газогидратной залежи.
Гидраты обычно распространены в нижней части зоны гидратообразования, а вверх по разрезу их содержание постепенно сокращается. Поэтому кровля газогидратного слоя обычно не дает четких отражений (Зубова М.А. Гидраты природных газов в недрах Мирового океана // Морская геология и геофизика: обзор ВНИИ экономики минерального сырья и геолого-разведочных работ. - М., 1988 [10]). Сама же зона гидратообразования обычно начинается ниже поверхности дна от 0,5 до 10 и более метров. В связи с этим для обнаружения кровли гидратоносных пластов необходимо применение акустических методов (рабочая область частот 0,1-10 кГц) с очень высокой разрешающей способностью.
Одним из основных акустических признаков наличия газогидратов в донных осадках является особое отражение (так называемое BSR - bottom simulating reflections), повторяющее конфигурацию поверхности дна, но не являющееся результатом кратных отражений.
Волновая картина в интервале от донного отражения до BSR обычно отличается ослаблением амплитуд и степени когерентности вступлений эхо-сигнала. Важным критерием при анализе природы BSR является связь между глубиной аномальных донных горизонтов и глубиной дна. Общая закономерность заключается в возрастании глубины подошвы зоны газогидратов (горизонта BSR) при увеличении глубин дна. Этот признак, а также аномальное повышение скоростей звуковых волн позволяют отличить эффект, обусловленный наличием газогидратов в донных грунтах, от акустических аномалий другой природы.
При переходе в гидратную форму воды с метаном в песчаниках скорость звуковых волн увеличивается от 1700 до 2500 м/с и более. Четкая выраженность горизонта BSR обусловлена наличием скоплений газа под гидратной толщей. Отсутствие BSR при наличии гидратов обусловлено их маломощными тонкими прослойками, слабо влияющими на изменение скорости сигнала.
Другой признак газогидратов - аномалии волнового поля (так называемые VAMP), расположенные, как правило, в подошве зоны гидратообразования. На временных сейсмических разрезах VAMP-аномалии проявляются в виде сочетания повышенных амплитуд в своде аномалии и сниженных амплитуд в ядре. Дополнительным признаком может служить уменьшение скорости звуковых волн, связанное, вероятно, с наличием подгидратных газовых залежей.
Многочисленные экспериментальные данные указывают на выраженную в большей или меньшей степени слоистость осадочной толщи, нарушаемую разномасштабными, локализованными либо распределенными в пространстве неоднородностями (полостями и включениями) различной природы и свойств. Исследование такой среды акустическими методами требует предварительного построения развитых структурно-акустических моделей среды, в полной мере учитывающих все указанные структурные и физические особенности.
Задачей предлагаемого технического решения является повышение достоверности и надежности газовых гидратов.
Поставленная задача решается за счет того, что в способе обнаружения подводных залежей газовых гидратов, заключающимся в том, что выполняют сейсмическое низкочастотное зондирование на частотах 30-120 Гц с разрешающей способностью до 12-24 м и высокочастотное зондирование, на частотах от 250-650 до 1200 Гц с разрешающей способностью до 1-2 м, по полученным данным определяют нижнюю и верхнюю границы гидратонасыщенных пород, концентрацию гидрата в породах, на основании чего оценивают ресурсы газа и выбирают место бурения геологоразведочных скважин для первичной оценки залежи, детальную разведку газогидратных залежей осуществляют посредством геофизических исследований в пробуренных скважинах, а также путем отбора кернов с последующим их комплексным анализом, дополнительно выполняют сейсмическое зондирование на частотах 0,001-30 Гц и регистрируют электромагнитное поле в диапазоне частот от 300 до 0,0001 Гц с периодами регистрации от 0,033 до 10000 секунд, при установлении нижней и верхней границы гидратонасыщенных пород определяют репрезентативные критические точки поверхности рельефа между нижней и верхней границами гидронасыщенных пород, путем выявления шумовых возмущений в поверхности рельефа и сравнения двух поверхностей рельефа между собой, путем построения дерева Кронрода-Риба.
Сущность предлагаемого технического решения поясняется чертежами.
Фиг.1. Пример получения интервалов устойчивости (persistence intervals) для одномерной кривой. 1 - уровни сечения, 2 - отрезки сечения, 3 - интервалы устойчивости.
Фиг.2. График поверхности: а) - соответствующие изолинии высот и дерева Кронрода-Риба; б) - 18 критических точек.
Фиг.3. Вертикальное представление для поверхности дерева Кронрода-Риба фиг.2а. Первая цифра в прямоугольнике номер критической точки на фиг.26, вторая - высота критической точки.
Фиг.4. Дерево Кронрода-Риба 4 для репрезентативных точек поверхности, изображенной на фиг.2а.
Фиг.5. Дерево Кронрода-Риба 5 для зашумленной поверхности, изображенной на фиг.2а (88 критических точек).
Фиг.6. Дерево Кронрода-Риба 6 для поверхности, изображенной на фиг.2а, и дерево Кронрода-Риба 7 для зашумленной поверхности.
Способ реализуется следующим образом.
Выполняют сейсмическое низкочастотное зондирование на частотах 30-120 Гц с разрешающей способностью до 12-24 м и высокочастотное зондирование, на частотах от 250-650 до 1200 Гц с разрешающей способностью до 1-2 м, а также выполняют сейсмическое зондирование на частотах 0,001-30 Гц.
По полученным данным определяют нижнюю и верхнюю границы гидратонасьпценных пород, концентрацию гидрата в породах, на основании чего оценивают ресурсы газа и выбирают место бурения геологоразведочных скважин для первичной оценки залежи, детальную разведку газогидратных залежей осуществляют посредством геофизических исследований в пробуренных скважинах, а также путем отбора кернов с последующим их комплексным анализом.
При установлении нижней и верхней границы гидратонасьпценных пород определяют репрезентативные критические точки поверхности рельефа между нижней и верхней границами гидронасыщенных пород, путем выявления шумовых возмущений в поверхности рельефа и сравнения двух поверхностей рельефа между собой, путем построения дерева Кронрода-Риба.
В предлагаемом способе дополнительно регистрируют сейсмические колебания в диапазоне 0,000-30 Гц, посредством высокочувствительного сейсмического датчика типа «СМ-3КВ1», расположенным на карданном подвесе в нижней полусфере подводной станции, что позволяет сохранять вертикальное расположение датчика в нутрии подводной станции при наклонах морского дна до 25 градусов, а также электромагнитное поле в диапазоне частот от 300 до 0,0001 Гц с периодами регистрации от 0,033 до 10000 секунд, посредством модуля электромагнитных датчиков, состоящего из двух индукционных датчиков магнитного поля и двух датчиков электрического поля, размещенных на прочном корпусе подводной станции. При этом выполняют регистрацию двух компонент электрического (Ех, Еу), двух компонент магнитного (Нх, Ну) поля и вертикальную компоненту Z сейсмического поля.
По результатам измерений строят, например, простейшую модель подводной углеводородной залежи, которая может быть представлена в виде однородного пласта с пониженной плотностью и повышенной скоростью упругих волн. В такой модели подводной залежи должны соответствовать две контрастные границы - у поверхности дна, связанной с кровлей залежи, и на нижней граничной глубине. Изменение плотности осадков и скорости распространения в них упругих волн создает предпосылки для выявления подводных залежей сейсмическими и акустическими методами. Поскольку подводные залежи распределены в осадочной толще крайне неравномерно и встречаемые структурные аномалии разномасштабны, может потребоваться применение гораздо более сложных структурно-акустических моделей подводной залежи углеводородов. Дополнительная регистрация сейсмических колебаний в диапазоне 0,001-30 Гц, электромагнитного поля в диапазоне частот от 300 до 0,0001 Гц с периодами регистрации от 0,033 до 10000 секунд позволяют получить одновременные записи вариаций электромагнитного и сейсмического полей, и построить геоэлектрический разрез осадочного чехла и скоростной разрез осадочного чехла, а также выполнить геологическую интерпретацию разрезов осадочного чехла, что позволяет определять нижнюю и верхнюю границы газовых пород, а также их концентрацию в породах, на основании чего можно оценивать ресурсы газа и выбирать место бурения геологоразведочных скважин для первичной оценки залежи.
Детальная разведка подводных залежей осуществляется посредством геофизических исследований в пробуренных скважинах, а также путем отбора кернов с последующим их комплексным анализом.
По результатам измерений строят модель подводной залежи, рельеф которой на карте описывается гладкой поверхностью. Форма этой поверхности существенно связана с наличием особых точек поверхности: точек локальных экстремумов (минимумов, максимумов) и седловых точек. Совокупность таких точек, их местоположение и высота являются важными характеристиками в отображении формы поверхности рельефа, так как они играют роль дискретной структуры, репрезентативно представляющей непрерывную поверхность.
Построение поверхности рельефа на ЭВМ по данным измерений всегда связано с наличием в исходных данных вычислительных и измерительных погрешностей, приводящих к искажениям в форме поверхности. Погрешности приводят как к искажению местоположения репрезентативных присутствующих в реальной поверхности рельефа критических точек, так и появлению нерепрезентативных ложных критических точек. Поэтому актуальна задача выявления репрезентативных критических точек в вычисленной поверхности.
Решение этой задачи является необходимым условием для проведения фильтрации шумов и сглаживания вычисленной поверхности. Решение этой задачи должно опираться на некоторую количественную характеристику, определяющую значимость критической точки для конкретной рассматриваемой поверхности. Пусть задан некоторый допустимый уровень значимости, а критические точки упорядочены в порядке убывания их величин значимости. Тогда репрезентативными будут те критические точки, которые имеют большую значимость, чем допустимый уровень. Алгоритм количественной оценки значимости критических точек основан на следующих определениях.
Так как величины абсолютной высоты (глубины) критических точек не позволяют судить какие из них более репрезентативные, а какие нет, за исключением только точек с наибольшим значением минимума и максимума. Для определения понятия значимости критической точки поверхности в качестве подходящей основы воспользуемся широко используемым в зарубежной картографии понятием "топографической значимости" (topographic prominence) (Christopherson G.L. Using ARC/GRID to Calculate Topographic Prominence in an Archaeological Landscape. // Arc/INFO User Conference, 2003. - 15 pp. Podobnikar T. Method for Determination of the Mountain Peaks // 12th AGILE International Conference on Geographic Information Science, Leibniz Universitat Hannover, Germany, 2009, p.1-8).
Топографическая значимость - это перепад высот между вершиной и самой высокой седловой точкой, которая отделяет эту вершину от любой более высокой вершины. Однако прямое использование этого понятия в наших целях невозможно. Дело в том, что, во-первых, оно рассматривает только точки локальных максимумов и седловые точки, но не включает в рассмотрение точки локальных минимумов рельефа, и, во-вторых, оно не опирается на математические понятия, что не гарантирует от логических и алгоритмических ошибок. Последнее проявляется, например, в том, что определение топографической значимости не позволяет сделать однозначный выбор седловой точки, относительно которой отсчитывается высота вершины.
Вместе с тем, в отечественной географии существует схожее по смыслу понятие - "относительная высота", однако оно не совпадает с понятием "топографическая значимость". Относительная высота это топографическое превышение какой-либо точки земной поверхности относительно другой точки, отсчитываемое по вертикали, равное разности абсолютных высот этих точек (например, высота горной вершины над уровнем дна ближайшей долины); расстояние по вертикали от указанного исходного уровня до уровня, точки или объекта, принятого за точку. Следовательно, понятие относительная высота имеет разный смысл в зависимости от контекста, что не позволяет им воспользоваться. Эта проблема может быть решена, если обобщить понятие топографической значимости путем включения в него локальных минимумов рельефа, путем построения однозначного метода выявления для каждой седловой точки соответствующей ей точки минимума или максимума. Главная проблема на этом пути состоит в определении алгоритма выявления соответствия между седловыми точками и точками экстремумов. Эффективный метод оценки значимости можно получить, если использовать инструменты описания гладких функций, к которым относится картографическое представление поверхности рельефа (Жуков Ю.Н Математические инструменты описания картографического отображения рельефа Земли // Навигация и океанография. 2011, №32, стр.60-69).
Картографическое представление рельефа - есть аналог математического объекта - невырожденной функции Морса. Такая функция имеет только простые критические точки: седла, минимумы и максимумы, ее топологические свойства описаны, например, в работе (Милнор Дж. Теория Морса. - М.: Издательство ЛКИ, 2011. - 184 с). Для функций этого типа разработаны методы выявления и упорядочивания критических точек поверхности с использованием топологических характеристик. В вычислительной топологии этот метод носит название топологической значимости (topological persistence) (Bauer U. Persistence in discrete Morse theory. Dissertation zur Erlangung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Doktorgrades Doctor rerum naturalium der Georg-August-Universitat Gottingen, 2011. - 109 p.).
Естественно воспользоваться аналогом этого метода для решения нашей задачи нахождения соответствия между седловыми точками и точками экстремумов поверхности. Не загружая текст математическими подробностями и деталями, приведем неформальное описание метода, адаптированное к нашей задаче, на примере получения интервалов устойчивости (persistence intervals) для одномерной кривой (фиг.1). Пусть дана гладкая одномерная кривая. Возьмем горизонтальную прямую, секущую данную кривую. На некотором уровне сечение кривой представляет собой набор несвязных горизонтальных интервалов (отрезков). Грубо говоря, целое число интервалов определяет топологический тип сечения на данном уровне. Рассмотрим, как изменяется топологический тип сечений кривой на каждом уровне при перемещении секущей прямой от минимального уровня кривой до наибольшего. При увеличении уровня сечения число интервалов меняется только в момент прохождении секущей через точку, соответствующую либо максимуму, либо минимуму. В диапазоне уровней между двумя последовательными экстремумами число интервалов сечения не меняется. Поэтому динамика числа интервалов сечения в процессе увеличения уровня сечения изменяется в соответствии со следующим простым правилом: если встречается минимум, то число интервалов увеличивается на единицу, если встречается максимум, то число интервалов уменьшается на единицу. В этом процессе всегда есть минимум, который создает интервал, и существует некоторый максимум, который этот интервал уничтожает. Более конкретно: текущий максимум является парой последнему предыдущему встреченному минимуму. Последовательные максимум и минимум являются сопряженной парой экстремумов. Сопряжение пары критических точек обусловлено собственно топологическими свойствами рассматриваемой кривой.
min
max
Указанная процедура позволяет однозначно получить множество пар минимумов-максимумов, определяемых топологией кривой. Величина абсолютной разности высот критических точек Δ=|h-h|, составляющих сопряженную пару, определяет количественную оценку интервала устойчивости и соответствующих сопряженных точек. Полученные указанным методом интервалы устойчивости являются искомыми объектами для одномерного случая.
i
i
i
max
max
i
Приведенный пример для одномерного случая дает основание ввести понятие "значимость" критической точки поверхности рельефа как меры топологической устойчивости той сопряженной пары критических точек, в которую она входит. Количественный критерий значимости ε определим следующим образом. Множеству пар критических точек П сопоставим множество разностей высот критических точек П≡{Δ} (i=1,…, N, N - число пар). Значимость конкретной пары критических точек в данном множестве пар П определим как отношение ε=Δ/Δ, где Δ - максимальное значение среди {Δ}. Таким образом, каждая точка в паре имеет одну и ту же величину значимости. Величина ε всегда нормирована и лежит в диапазоне 0÷1.
Реализация аналогичной процедуры для двумерной поверхности значительно сложнее. Среди критических точек двумерной поверхности появляются седловые точки, которых нет в одномерном случае. Эти точки существенно осложняют дело, так как в седловых точках тоже происходит смена топологического типа горизонтального сечения поверхности, так же как и в точках экстремумов. Кроме того, седловые точки на вертикальной оси всегда лежат между наибольшими максимумом и минимумом. При подъеме плоскости сечения точки седел могут встречаться в любой последовательности по отношению друг к другу и не основным экстремумам.
s
e
s
e
В двумерном случае пара критических точек, образующих интервал устойчивости, всегда состоит либо из седла и минимума, либо из седла и максимума. Каждой такой паре критических точек сопоставим величину абсолютной разности высот критических точек Δ=|h-h|, составляющих пару. Здесь h - высота седловой точки, h - высота точки экстремума, минимума или максимума.
Для вычисления множества пар критических точек для двумерных гладких поверхностей обычно применяют вспомогательный математический аппарат - дерево Кронрода-Риба (дКР). Картографическое описание рельефа можно представить математическим объектом - функцией Морса, для которой дКР является дискретным аналогом, однозначно описывающим положение, высоту точек седел и локальных экстремумов, и главное, дКР описывает связь между ними, которая определяется топологией рассматриваемой поверхности. Каждой поверхности однозначно соответствует некоторое дКР. К настоящему времени разработаны алгоритмы вычисления дКР для всех типов представления поверхности в ЭВМ (Doraiswamy Н., Natarajan V. Efficient Algorithms for Computing Reeb Graphs // Computational Geometry: Theory and Applications, Volume 42, Issue 6-7, August, 2009, p.606-616. Kunii T. L. Constructing a reeb graph automatically from cross sections. // IEEE Comput. Graph. Appl. 11, 6 (1991), 44-51. Pascucci V. Loops in Reeb graphs of 2-manifolds. // Discrete and Computational Geometry 32, 2 (2004), 231-244), и поэтому на процедуре вычисления дКР останавливаться не будем. Отметим важное практическое обстоятельство: вершины дКР естественным образом оснащаются координатами местоположения и высотой соответствующих критических точек.
Пример поверхности и соответствующая ей дКР представлены на фиг.2 и 3. В таблице 1 представлены интервалы устойчивости и величины значимости, вычисленные по дКР. Отметим, что в процессе вычисления дКР его вершины оснащаются пространственными и высотными координатами соответствующих критических точек, что дает возможность отображать дКР в плоскости изучаемой функции и в высотном изображении (фиг.3).
max
Алгоритм вычисления пар критических точек по дКР очевиден, но достаточно громоздок, чтобы его приводить полностью. В алгоритме используется представление, что точки дКР, соответствующие седлам, являются точками тройного ветвления, а точки, соответствующие минимумам и максимумам, являются точками с одним примыкающим ребром. Приведем только основную схему алгоритма. Ключ алгоритма состоит в использовании динамически меняющегося дКР в соответствии с последовательностью выявляемых пар критических точек. Последовательно просматривается снизу вверх список упорядоченных по высоте критических точек, начиная со второй снизу. Если точка является минимумом или минимумом, то ищется ближайшее к ней в дКР седло. Они образуют пару седло-экстремум. Вершины экстремумов, седел и связывающее их ребро удаляются из дКР, а нарушенные удалением связи восстанавливаются в соответствии с порядком вершин до удаления. Если вершина является седлом и имеет двух нижележащих потомков, то выбирается ближайший по высоте минимум, и они образуют пару критических точек. Соответствующие вершины и ребра удаляются из дКР с последующим восстановлением связей. В результате такого процесса окончательное дКР будет иметь только две вершины, соответствующие наибольшим минимуму и максимуму, и одно соединяющее их ребро. Эта пара критических точек образует наиболее значимую пару с Δ.
Заметим, что приведенный метод оценки значимости форм рельефа включает понятие топографической значимости, но в отличие от последнего, дает однозначный алгоритм получения пар точек седло-экстремум.
Для поверхности, представленной на фиг.2, в соответствии с ее дКР вычислены пары критических точек и их значимость. Результаты представлены в таблице 1.
Таблица 1
Таблица значимости критических точек для поверхности, изображенной на фиг.2. Номер точки соответствует номеру критических точек на фиг.2б.
Порядковый номер появления в списке пар
Тип точки
Номер точки
Номер точки
Тип точки
Величина интервала устойчивости
Величина значимости пары
Порядковый номер значимости пары
1
Седло
18
12
Макс.
1,28
0,08796
4
2
Седло
8
4
Макс.
2,78
0,19086
3
3
Мин.
1
3
Седло
0,0007
0,00003
7
4
Мин.
17
16
Седло
0,03
0,00218
6
5
Мин.
6
5
Седло
0,0001
0,000008
8
6
Седло
14
13
Макс.
0,0000
0,0000003
9
7
Мин.
15
11
Седло
0,34
0,02355
5
8
Мин.
7
2
Седло
3,03
0,20785
2
9
Мин.
10
9
Макс.
14,57
1
1
Продемонстрируем применение введенного понятия значимости на простейшем примере влияния шума в исходных данных на вычисленную форму поверхности.
Например, из таблицы 1 следует, что для некоторых критических точек их значимость чрезвычайно мала, составляет менее процента. Это признак того, что соответствующие критические точки являются результатом вычислительного шума при расчете поверхности. Эти нерепрезентативные критические точки можно удалить из дКР, оставив только значимые. На фиг.4 показан дКР после удаления.
Введем случайный равномерный на интервале [-0.5÷0.5] шум в высотные координаты функции, изображенной на фиг.2а. Результаты построения изолиний такой поверхности и вычисленное для нее дКР представлены на фиг.5.
Из последнего примера ясно, что предложенный метод чувствителен к шумовой составляющей. Поэтому он может быть эффективным инструментом в алгоритме предварительного сглаживания поверхности рельефа дна, полученной по измеренным глубинам. Кроме того, приведенные примеры показывают, что подобие двух поверхностей одного участка рельефа можно в первом приближении установить, используя значимые критические точки. Если значимость и пространственные координаты имеют достаточно близкие (с точки зрения решаемой задачи) значения, то соответствующие поверхности подобны. Другие, более тонкие, методы сравнения следует применять после проверки этого соответствия. Для иллюстрации этого утверждения на фиг.6 отображены два дКР для репрезентативных критических точек поверхностей, изображенных на фиг.2 и фиг.5, а в таблице 2 представлены величины значимости для репрезентативных точек этих поверхностей. Последние незначительно меняются под действием шума (таблица 2).
Таблица 2
Величины интервала устойчивости и значимости для репрезентативных критических точек
Номер точки
Величина интервала устойчивости критической точки
Величина интервала устойчивости критической точки
Величина значимости критической точки
Величина значимости критической точки
Без шума
С шумом
Без шума
С шумом
1
14,57
14,64
1
1
2
14,57
14,64
1
1
3
3,03
3,03
0,20786
0,20691
4
3,03
3,03
0,20786
0,20691
5
2,78
2,67
0,19086
0,18200
6
2,78
2,67
0,19086
0,18200
7
1,28
1,30
0,08796
0,08897
8
1,280
1,30
0,08796
0,08897
Определение репрезентативных критических точек представляет практическую ценность с точки зрения выявления шумовых возмущений в поверхности и сравнения двух поверхностей между собой. Дерево Кронрода-Риба является основным инструментом и структурой представления топологических и геометрических особенностей репрезентативных критических точек поверхности рельефа.
Проблема выявления репрезентативности (значимости) критических точек рельефа с помощью ЭВМ решается путем использования представления гладкой непрерывной поверхности рельефа дна деревом Кронрода-Риба. Такая параметризация поверхности позволяет выявить значимые критические точки поверхности с учетом ее топологической структуры. Данный метод позволяет выявить шумовые возмущения в данных о поверхности и осуществить сравнение топологических свойств двух или нескольких поверхностей, полученных по результатам сейсмического зондирования.
Источники информации
1. Газовые гидраты, http://n-t.ru/tp/ie/gn.htm.
2. Горчилин В.А., Лебедев Л.И. О признаках газогидратов в осадочной толще Черного моря и возможном типе ловушек углеводородов // Геологический журнал. - 1991. - №5.
3. Газовые гидраты. /Higrate ipg-ru.wikipedia.org/.