Равнонапряженные и равнопрочные толстостенные оболочки

РАВНОНАПРЯЖЕННЫЕ И РАВНОПРОЧНЫЕ ТОЛСТОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ

EQUALSTRESS AND EQUAL STRENGTH THICK-WALLED SHELLS

В.И. Андреев, H.A. Потехин, A.C. Минаева V.I. Andreev, I.A. Potechin, A.S. Minaeva

ГОУ ВПО МГСУ, КОСТРОМСКАЯ ГСХА

На основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел рассмотрен способ построения моделей равнонапряженных и равнопрочных толстостенных цилиндрических оболочек.

Based on the solution of inverse problems in theory elasticity of inhomogeneous solids considered a method of constructing models of equal stress and equal strength thick-walled cylindrical shells.

1.1. О равнонапряженных и равнопрочных конструкциях

Трудно представить конструкцию, которая при достижении нагрузками предельных значений разрушалась бы во всех точках одновременно. С точки зрения механики деформируемого твердого тела это означает, что эквивалентное напряжение, соответствующее теории прочности для данного материала, во всех точках тела должно быть одинаковым. Простейшим примером такой конструкции является растянутый или сжатый стержень (рис.1,а), для которого в соответствии с гипотезами, принимаемыми в сопротивлении материалов, во всех точках нормальные напряжения постоянны и равны а = P / F. Не учитывая особенностей, возникающих в месте приложения нагрузки и в заделке, согласно принципу Сен-Венана будем считать, что приведенный в примере стержень является равнонапряженной конструкцией, в которой напряжения во всех точках, в том числе и в момент близкий к разрушению, если не одинаковы, то максимально близки. Равнонапряженная конструкция не всегда бывает равнопрочной. Для этого необходимо, чтобы не только эквивалентные напряжения во всех точках тела были одинаковы, но и предел прочности также был постоянным. Если представить себе стержень, который состоит из двух участков из разных материалов (рис. 1,в), то он будет равнонапряженным, но не будет равнопрочным - разрушение произойдет на том участке стержня, материал которого имеет меньший предел прочности.

а)

///////

6)iW

Рис. 1. Растяжение стержня

ВЕСТНИК 4/2011

Рис. 2. Балка равного сопротивления

Другим известным примером является балка равного сопротивления при изгибе, представленная на рис. 2. Эту конструкцию часто называют равнопрочной, хотя в соответствии с приведенным выше определением она таковой не является. В балке наибольшие напряжения в каждом сечении являются одинаковыми, т.е. все сечения (но не вся балка в целом) в идеале достигают предельного состояния одновременно. И, конечно же, эта балка не является рав-

нонапряженнои, поскольку напряжения изменяются по высоте сечении.

2. Построение модели равнопрочного цилиндра

На примере задачи Ляме для толстостенной трубы (рис.3,а) рассмотрим метод создания равнонапряженных и равнопрочных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел.

Поясним основную идею метода. На рис. 3,6 пунктиром показаны качественные эпюры напряжений в нагруженной внутренним давлением трубе, материал которой является однородным, т.е. модуль упругости E — E0 — const (пунктирная линия на рис. 3,в). Если для простоты принять, что для данного материала справедлива теория прочности максимальных нормальных напряжений, то при достижении давлением p предельного значения разрушение начнется на внутреннем контуре трубы, где G0 = 0max . При этом остальная часть трубы оказывается «недогруженной».

Из теории упругости неоднородных тел [1] известно, что в неоднородных телах в зонах, где модуль упругости меньше, напряжения уменьшаются по сравнению с однородным материалом, и наоборот. На рис. 3,6 сплошной линией показаны качественные эпюры, соответствующие решению для трубы, в которой модуль упругости является функцией E — E(r) (рис.3,в). Заметим, что влияние неоднородности мало сказывается на напряжениях ar, а эпюра ае изменяется существенно, приближаясь к постоянной.

В работах [2 - 5] поставлены и решены некоторые задачи по отысканию такой зависимости E(r), при которой эквивалентные напряжения, соответствующие различным теориям прочности будут постоянны. Это так называемые обратные задачи, в которых разыскивается функция изменения модуля упругости для заданного напряженного состояния конструкции. Так, например, если для материала справедлива теория прочности максимальных касательных напряжений, то при условии, что в трубе Tmax = (ае - ar) / 2 = const, эта функция имеет вид

г

а

Рис. 3. Задача Ляме для толстостенной трубы

Ь

E (г ) = Ec

4/2011 ВЕСТНИК _4/20ТТ_МГСУ

1 2

В (1) k — (1 — 2у)/(1 — V) для плоского деформированного состояния и k — (1 — V) для плоского напряженного состояния (толстостенный тонкий диск), а V -коэффициент Пуассона.

Следует обратить внимание на то, что полученное решение соответствует модели равнонапряженной трубы (или диска), поскольку на данном этапе не рассматриваются прочностные свойства материала.

Еще раз подчеркнем, что пока речь идет о модели равнонапряженной трубы. Вопрос о реальном создании равионапряженных и равнопрочных конструкций будет обсуждаться в конце статьи.

Теоретически, для того, чтобы модуль упругости материала изменялся по непрерывному закону, необходимо каким-то образом изменить структуру материала. Одной из таких возможностей является использование композиционных материалов, в которых путем изменения процентного содержания наполнителя можно менять их деформационные свойства. Однако, одновременно с изменением жесткости, как правило, меняется и прочность материала. Отсюда следует, что возможность превратить равнонапряженную конструкцию в равнопрочную может осуществиться только в том случае, если при модификации структуры материала его прочностные свойства меняются в меньшей степени, чем деформационные. В таблице 1 приведен пример такого материала [6], который соответствует указанному требованию. При изменении модуля упругости полимербетона более чем в пять раз предел прочности изменяется немонотонно, изменяясь в пределах 40%. Аналогичными свойствами обладают также цементные бетоны [7], для которых в условиях трехосного напряженного состояния разрушение может происходить по направлениям положительных деформаций, и их прочностные свойства с увеличением модуля упругости даже улучшаются.

Таблица 1

Физико-механические характеристики полимербетона, _наполненного кварцевой мукой_

Степень наполнения кварцевой мукой Модуль упругости Еь, 10 4 МПа Предел прочности при сжатии, МПа

- 3,10 142

50 4,50 146

100 7,10 160

200 10,5 148

300 13,7 132

400 16,7 115

Приведем пример создания механической модели равнопрочного бетонного цилиндра из полимербетона с использованием критерия прочности П.П. Баландина [8]. Полагая на основании [9] V = 0,5, условие прочности можно записать в виде

0.75

где ЯЬ - призменная прочность бетона. Задаваясь аппроксимирующей зависимостью

ЯЬ — а + уЕЬ, построенной на основе экспериментальных данных, и используя параметрический метод решения уравнения (2) можно получить решение обратной задачи теории упругости неоднородных тел [3], в результате которого получается модель равнопрочного толстостенного цилиндра.

На рис. 4. приведены эпюры напряжений в цилиндре, полученные при следующих исходных данных: отношение внешнего и внутреннего радиусов -Ь / а —1,6; отношение внутреннего и внешнего давлений ра / рЬ — 1,5;

0

а, МПа 100

200

300

400

500

600

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 г/а 1,6

Рис. 4. Эпюры напряжений в

равнопрочном цилиндре ^ = 141 ^ ^О = 3,1. ю4 МПа;

а = 127,7 МПа; у = 4,61 • 10 . На рис. 5 представлены зависимости ЕЬ (г) и ЯЬ (г), соответствующие модели равнопрочного цилиндра.

1156 Полученную модель равнопрочно-

, Яь ,МПа го неоднородного цилиндра можно различным образом сопоставить с

ев 7 С

Т 6 о

г ^ £

4 3

Кь

\Еъ

152 148 144 140

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 г/а 1,6 Рис. 5. Изменение модуля упругости и призменной прочности

Р = рГ

соответствующей однородной конструкцией, например, сравнивая толщину стенки цилиндра при одних и тех же нагрузках, или сопоставляя значения предельных нагрузок в двух рассматриваемых случаях.

Введем понятие коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра Р следующим образом:

/ Р.

где р а и ра - соответственно предельные внутренние давления в неоднородном

и однородном цилиндрах. В рассмотренном выше примере ра = 549,1 МПа. Из решения задачи Ляме для однородного цилиндра при тех же исходных данных можно найти = 213,5 МПа, откуда получим Р = 2,57.

Достаточно очевидно, что построенная модель равнопрочного цилиндра трудно реализуема в практике. В связи с этим можно предложить аппроксимировать непрерывные функции ЕЬ (г) и ЯЬ (г) кусочно-постоянными зависимостями. Иными словами предлагается создание толстостенного цилиндра, состоящего из нескольких слоев. При расчете такого слоистого цилиндра в каждом слое будет иметь место решение задачи Ляме для однородного материала со своими константами, которые определяют -

ся из граничных условии на внутренней и внешней поверхностях цилиндра, а также на границах слоев:

г - а г — г

=- Ра;

аг,¿-1 _ аг,1;

г = b, аг =-рь;

где г - радиусы границ между слоями.

Принципиальным вопросом является выбор значения модуля упругости в каждом слое. На первый взгляд, следует задаваться средними значениями Е1 на интервале 1/м, Г ], однако при этом эквивалентные напряжения в каждом

а2

0

ст, МПа - 100

-200

-300 -400

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 г/а 1,6 Рис. 6. Эпюры напряжений в трехслойном цилиндре

ОГ

180 ст, МПа 150

120 90 60

Яь Г~

\ \ \

\ а жв \ \ N ч

\ \

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 г/а 1,6 Рис. 7. Эквивалентные напряжения в трехслойном цилиндре

слое превышают соответствующие значения Яь (г), полученные для случая непрерывной зависимости Е(г). Для того, чтобы условие прочности выполнялось во всех точках цилиндра необходимо задаваться величиной Е1, соответствующей значению на левом краю каждого слоя.

Были проведены расчеты трех-, четырех- и пятислойных цилиндров. На рис. 6 приведены эпюры напряжений в трехслойном цилиндре, а на рис. 7 сравнительные зависимости

эквивалентных напряжений и функции Яь (г) в равнопрочном цилиндре. Достаточно очевидно, что в кусочно-однородном цилиндре коэффициент эффективности Р будет меньше, чем в цилиндре с непрерывно изменяющимся модулем упругости. Расчеты показали, что для трехслойного цилиндра р(3) = 1,83. Соответственно для четырех- и пяти-

слойного цилиндров р(4) = 1,99 и Р(5) = 2,09. С увеличением числа слоев значение Р возрастает, приближаясь к величине Р = 2,57, соответствующей равнопрочному цилиндру.

Литература

1. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: АСВ, 2002, -

288 с.

2. Андреев В.И., Языев Б.М. Обратная задача для равнонапряженного гетерогенного цилиндра / Труды XI Польско-росс. сем. «Теор.осн.стр-ва», Варшава, 2002.

3. Андреев В.И., Потехин И.А. О способе создания оптимальных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел / РААСН, Вестник отделения наук, 2007, стр. 48-52.

4. Андреев В.И., Потехин И.А. О равнопрочных и равнонапряженных конструкциях / Труды семинара «Высшее строительное образование и современное строительство в России и зарубежных странах», Москва - Воронеж - Сингапур, 2007, 84 - 90.

"¿-1= и1

ВЕСТНИК 4/2011

5. Андреев В.И., Потехин И.А. Построение модели равнонапряженного цилиндра на основе второй и четвертой теорий прочности / Труды XVI Российско-польско-словацкого семинара «Теоретические основы строительства», Жилина, Словакия, 2007, 29-34.

6. Патуроев В.В. Полимербетон. - М.: Стройиздат, 1987. - 286 с.

7. Смоляго Г.А. К вопросу о предельной растяжимости бетона // Бетон и железобетон. № 6, 2002, с. 6 - 9.

8. Гениев Г.А., Киссюк В.Н. К вопросу обобщенной теории прочности бетона // Бетон и железобетон. 1965, № 2, с. 16 - 19.

9. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. - М.: Стройиздат, 1996.- 416 с.

Literature

1. Andreev V.I. Some problems and methods in mechanics of inhomogeneous solids. Izda-tel'stvo ASV, 2002 - 288p.

2. Andreev V.I., Yazyev B.M. The inverse problem for equal stress the heterogeneous cylinder. Proceedings of the XI Polish-Ross. Sem. "Teor. found. of civil eng.", Warsaw, 2002. 3. Andreev V.I., Potekhin I.A. On the way to create optimal designs based on the solution of inverse elasticity problems of inhomogeneous bodies. RAASN, Office page of Sciences, 2007.

3. Andreev V.I., Potekhin I.A. About equal strength and equal stress designs. Proceedings of the Seminar on "Higher education in construction and modern construc-tion in Russia and abroad," Moscow - Voronezh, Singapore, 2007, pp.84 - 90.

4. Andreev V.I., Potekhin I.A. Building a model of the cylinder equal stress on the second and fourth theory of strength. Proceedings of XVI Russian-Polish-Slovak Seminar "Theoretical Foundations of Construction", Zilina, Slovakia, 2007, pp.29-34.

5. Paturoev V.V. Polymerconcrete. - M.: Stroiizdat, 1987. - 286p.

6. Smolyago G.A. On the question of the ultimate tensile strength of concrete. Concrete and reinforced concrete. № 6, 2002, pp. 6 - 9.

7. Geniuses G.A., Kissyuk V.N. On a generalized theory of the strength of concrete. Concrete and reinforced concrete. 1965, № 2, pp. 16 - 19

8. Karpenko N.I. General models of mechanics of reinforced concrete. - M.: Stroiizdat, 1996. - 416 p.

Ключевые слова: неоднородность, напряжения, прочность, модуль упругости, толстостенная оболочка, полимербетон, коэффициент эффективности

Key words: heterogeneity, stress, strength, elastic modulus, thick-walled shell, polymerconcrete, the efficiency ratio

Владимир Игоревич Андреев, член-корреспондент РААСН, доктор технических наук, заведующий кафедрой сопротивления материалов Московского государственного строительного университета; 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; телефон: (499) 183-57-42, факс: (499) 183-57-42, E-mail: asv@mgsu.ru

Иван Александрович Потехин, доцент кафедры строительных конструкций Костромской государственной сельскохозяйственной академии; 156530, Костромская область, Костромской район, п.Караваево, Учебный городок, ФГОУ ВПО Костромская ГСХА; телефон: (920) 391-0716, E-mail: rafaer@mail.ru

Минаева Анна Сергеевна, студентка Московского государственного строительного университета; 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; телефон: (985) 228-76-85, Email: 51788@rambler.ru

Рецензент: Кривошапко Сергей Николаевич, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой Прочности материалов и конструкций Российского университета дружбы народов, почетный работник высшего профессионального образования РФ