Классы компактов, имеющих полурешетки ретракций

УДК 515.12

С.П. Гулько

КЛАССЫ КОМПАКТОВ, ИМЕЮЩИХ ПОЛУРЕШЕТКИ РЕТРАКЦИЙ

Рассматриваются топологические пространства, на которых может быть введена структура разрешающей полурешетки ретракций. Доказывается ряд структурных теорем о пространствах, имеющих такие полурешетки. В частности, доказано, что непрерывный образ компакта Вальдивиа снова является таким же компактом, если на некотором 1-подпространстве заданное отображение является факторным.

§1. Базисные понятия и конструкции

В работах автора [1, 2] рассматривались системы ретракций на топологических пространствах с операцией композиции в качестве умножения. Напомним, что ретракциями называются непрерывные отображения г : Х-+Х такие, что г = г г. Если ретракции гх и г2 коммутируют, то их композиция будет также ретракцией на пересечение ri(X)0r2(X). Следовательно, любая система 91 попарно коммутирующих ретракций будет образовывать алгебраическую структуру с этой бинарной операцией. Легко видеть, что эта операция, кроме коммутативности, является также ассоциативной и идемпотентной. Такие структуры принято называть полурешетками [3]. Всякая полурешетка допускает некоторое естественное отношение порядка [3], которое в нашем случае может быть определено следующим образом: Г\<?2 тогда и только тогда, когда Г\(Х) является подмножеством в г2(Х). Будем рассматривать эти структуры с некоторыми дополнительными свойствами, описанные в следующих определениях.

Определение 1. Пусть X - топологическое пространство. Семейство 91(A), элементами которого являются ретракции пространства X, будет называться разрешающей полурешеткой ретракций при выполнении условий:

(911) если Г\,г2 е 91(A), то гуг2=-г2 г\&У{',

(912) для любых гиг2еЩХ) существует г3е9?(А) такое, что г\<г3 и г2<г2,

(913) совокупность всех открытых множеств G в X, являющихся г-отмеченными (т.е. такими, что G = г _1(G)), по крайней мере, для одного ге91 образует базу топологии вХ.

Кроме перечисленных базовых свойств, мы будем рассматривать также следующие дополнительные свойства семейства 91(A):

(914) полурешетка 91(A) называется накрывающей, если А=u{r(A); гб91};

(915) пусть А - некоторое семейство компактных подмножеств в пространстве А Полурешетка (X) называется A-непрерывной, если для всякой возрастающей трансфинитной последовательности {га; а<Р}в 91(A), для которой существует точная верхняя грань г = шр^фТ,,, для всякого компакта Ке А и д ля всякого открытого множества G, содержащего в себе г(К), найдется а<) такое, что rJJCyzG для всех а таких, что <Хо<р.

В последнем условии мы всегда будем предполагать, что 91(А)сЛ, т.е. г(К)еА, если ге91, КеА. Если А состоит из всех одноточечных подмножеств, мы будем употреблять термин «точечно непрерывная полурешетка», а если А состоит из всех метризуемых компактов, то термин «m-непрерывная полурешетка». Если это ус-

ловие выполняется для всех компактных подмножеств, то полурешетку 91(A) будем называть А-непрерывной. В §3 этой статьи мы определим также понятие просто непрерывной полурешетки, которое связано с известным определением непрерывной сходимости последовательностей функций.

Пусть X - некоторый бесконечный кардинал.

(916) полурешетка 91(A) называется ^.-полурешеткой, если сетевой вес nw(r(X))<X для каждого ге 91;

(917) полурешетка 91(A) называется A-полной, если любое подмножество в 91(A) мощности <Х имеет в нем верхнюю грань. Полурешетка, которая является А.-ПОЛНОЙ для любого кардинала X, будет называться просто полной.

Будем рассматривать точечно непрерывные полурешетки. В этом случае для точной верхней грани г трансфинитной возрастающей последовательности {га; а<р} элементов в 91(A) множество г(А) будет равно замыканию объединения ua<pra(A). Условие точечной непрерывности системы 91 можно определить и иначе. Для этого заметим, что 91 есть подмножество в пространстве С(А, У) всех непрерывных отображений / А->У. Если это пространство наделить топологией поточечной сходимости, то на систему 91 индуцируется именно та топология, которая обеспечивает нужную нам сходимость монотонно возрастающих последовательностей. О других топологиях на множестве ретракций 91 будем говорить в §3.

Описанные выше системы ретракций существуют на подмножествах тихоновских произведений if или f, где I = [0, 1] - сегмент на вещественной прямой R, которые «хорошо» расположены в этих произведениях. В частности, к ним относятся Е-произведения произвольных семейств Аг;уе Г} сепарабельных метрических пространств, которые состоят из всех точек х=(хг)г£г тихоновского произведения []{АТ; уеГ}, у которых носитель suppx= ={убГ; ХуМу) не более чем счетен, где <af={tzr гуеГ} - некоторая фиксированная точка, называемая центром в Е. Будем также в этом случае говорить, что Е является Е-оболочкой точки а в соответствующем тихоновском произведении. Символом Е(А, Г) будем обозначать такие Е-произведения, в которых все сомножители совпадают с X. Особое значение имеют подпространства Со(Г) и ст(Г) в HR, Г)- Первое из них состоит из всех точек х, для которых конечны множества (уеГ; | Ху \ <б} , каково бы ни было еХ), а второе - все точки с конечным носителем. Компактные подмножества Е(/, Г) называются компактами Корсона, а компакты А в /г, для которых пересечение АпЕ(Г) всюду плотно в А, - компактами Вальдивиа. Остальные определения стандартны и могут быть найдены в [4-6].

36

Теорема 1. Произведение Rr имеет /^-непрерывную полную разрешающую полурешетку ретракций 91, которая может бьпъ стратифицирована (т.е. представлена в виде объединения своих частей) на подполурешетке 5R, которые являются Х-полурешетками для каждого бесконечного кардинала X, меньшего мощности |г|.

Доказательства Для произвольного подмножества А в Г обозначим через гА ретракцию, заданную формулами: (Ы-*)Х = если Уе^> и (Гл WX = - в противном случае.

Определим 91х = {rA, АсТ, \ А | <Х} и 9? = 9?х. Легко проверить, что эти семейства являются искомыми.

Описанную в теореме 1 систему ретракций будем далее называть стандартной.

Определение 2. Пусть пространство X имеет полурешетку ретракций 91. Подпространство УъХназывается почти SR-инвариантным, если существует подмножество 9Г в 9} такое, что для каждого ге91 существует г'е9Гтакое, что г' > г и г' (У)сУ. Если это условие выполняется для 91' = <К, то подпространство Y называется просто инвариантным. Подмножество 91' назовем замкнутым, если оно содержит все верхние грани возрастающих трансфинитных последовательностей, которые существуют в 91.

Замечание 1. Легко видеть, что дополняя семейство 91' всевозможными композициями его элементов, мы получаем разрешающую полурешетку ретракций на подпространстве Y.

Благодаря этому замечанию непосредственной проверкой нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть пространство X имеет разрешающую полурешетку ретракций 9?(Х) и Y - почти ^-инвариантное подпространство в X (относительно некоторого подмножества 91' в 91). Тогда пространство X также имеет разрешающую полурешетку ретракций 9*(У). При этом система 9?(У) будет являться накрывающей, Х-полурешет-кой, Х-полной полурешеткой каждый раз, когда аналогичным свойством обладает полурешетка 9*(Х). Если 9У замкнуто в 9t(X) и последняя система является А-непре-рывной, то 9l(Y) будет также Л(У)-непрерывной системой ретракций относительно системы Л(У) всех компактов из системы Л, содержащихся в Y.

Очевидны также следующие утверждения.

Теорема 3. В произведении Rr инвариантными подпространствами (относительно стандартной системы ретракций) являются £(/?, Г)> сьСО и СТ(П- Следовательно, каждое из этих подпространств имеет Х-непрерывную полную разрешающую полурешетку ретракций, которая дополнительно является поглощающей.

Теорема 4. Произведение семейства сепарабельных метрических пространств является почти 9?-инвари-антным подпространством в произведении if относительно системы ретракций, соответствующей замкнутому подмножеству в стандартной полурешетке ретракций в if. Следовательно, любое 1-произведение (а также о-произведение и с0-произведение) сепарабельных метрических пространств имеет Х-непрерывную полную поглощающую разрешающую полурешетку ретракций.

Последняя теорема избавляет нас от необходимости раздельного изучения разного типа произведений -достаточно обходиться случаем произведения if и различных его подпространств. Наше следующее утверждение дает возможность обходиться некоторой минимальной оа-полурешеткой ретракций на «малые» подпространства, которую можно при необходимости «насытить» до полной системы ретракций. Напомним, что i-весом iw(X) пространства X называется наименьший кардинал X, для которого на X существует более слабая хаусдорфова топология веса X (иначе говоря, это есть наименьший из весов пространств, на которые пространство X можно уплотнить).

Теорема 5. Пусть 91 является накрывающей точечно непрерывной (соотв. /и-непрерывной) со-полной разрешающей со-полурешеткой ретракций на пространстве X. Тогда для каждого бесконечного кардинала X на этом пространстве существует накрывающая точечно непрерывная (соотв. ^-непрерывная) Х-полная разрешающая Х-полурешетка ретракций 91, причем выполнены условия: (1) приге9?х; (2) 91 = 91шс91хс91х. при со< < X < X'; (3) если ге 9?г и iw ( тЩ) < сЦг (X)) < 1Дг (X)) < X при Х<Х', то ге9?х.

Доказательство. Пусть К - мегризуемый компакт в X В силу (914) и ю-полноты системы 91 найдется ге% для которого г(Х) содержит всюду плотное подмножество го К. Так как ретракты всегда являются замкнутыми подмножествами, то Kcr (X). Из (916) заключаем, что для каждого ге91 пространство г(Х) имеет счетный сетевой вес и это позволяет считать, что условия (1НЗ) теоремы выполнены при X = (0. Далее предположим, что для всех кардиналов, меньших X, уже построены семейства ретракций, которые удовлетворяют всем необходимым требованиям. Пусть 91' есть объединение всех этих семейств. Если рассмотреть теперь произвольную возрастающую систему {га; а < Р) в 9?' и взять ге91, то семейство композиций {г га; а < Р) содержит не более счетного числа попарно различных элементов. В противном случае множество НХ) содержит несчетную строго возрастающую последовательность замкнутых подпространств г (rJX)), что несовместимо со счетностью сетевого веса пространства г (Л). Отсюда следует, что для каждой точки хеХ существует предел последовательности rJx) при а-»р. Это однозначно определяет отображение гр. Докажем непрерывность этого отображения.

Пусть G - окрестность точки гр(х). В силу (913) можем считать, что G = г ''(G). Это влечет r(rp(x))eG и, значит, г (ra(x))eG для всех достаточно больших а, что и требовалось доказать. Равенство гр2 = гр очевидно. Таким образом, некоторое семейство ретракций построено, обозначим его 9?х. Если последовательность {га:а < Р} имеет длину Р й X, точечно непрерывна и iw (га(Х)) < <фрХ) < X для каждого а, а < Р, то условие точечной непрерывности влечет неравенства фр(Х)) й X и Mr^Xj) <. X. Первое из этих неравенств очевидно, а если зафиксировать уплотнение <ра: га(Х)->2^ на пространство веса < X, то обычное диагональное произведение отображений <р0 га, а < Р является в силу точечной непрерывности уплотнением пространства гр (X) на подпространство в произве-

37

дении П{Za; a < Р), имеющем вес <, X. На этом завершим до-казательство теоремы.

Таким образом, для топологических пространств, в которых /-вес или плотность их замкнутых подпространств равны их сетевому весу (таковы, например, все компактные хаусдорфовы пространства и все монолитные пространства), разрешаемая полурешетка ретракций всегда может быть «раздута».

§2. Полу решетки ретракций и уплотнения

В этом параграфе мы развиваем известный метод Д. Амира и Дж. Линденштраусса [7] построения уплотнений в произведения. При этом мы видоизменяем этот метод и придаем ему топологический характер. И нас интересуют не только уплотнения в пространство с0(Г). но и в другие тестовые пространства, например в S-произведения. Суть метода, о котором мы ведем здесь речь, заключается в том, что вместо структур типа полурешеток ретракций строятся «длинные последовательности» ретракций, структура которых описана в следующем определении.

Определение 3. Пусть X - пространство /-веса X. Семейство ретракций (ra; со й а й А.} в пространстве X называется проекционным разложением единицы, если выполнены условия:

(а) rarp = грга=г0 при со < а <. Р S X;

. (б) гх - тождественное отображение на X;

(в) iw (ra(X)) < а для каждого а, со £ а й X;

(г) (точечная непрерывность) для каждого предельного ординала а и любой точки хеХ выполнено г„(х) = Нтр<агэ(х).

Теорема 6. Пусть со < a < ^} - проекционное разложение единицы на топологическом пространстве X. Тогда если теснота /(X) пространства X счетна, то выполнено условие: (*) - множество {/•„; со < a < X, га(х) ф /^(х)} не более чем счетно для каждой точки хеХ.

Доказательство. Предположим, что множество, указанное в (*), не является счетным. Тогда оно очевидным образом гомеоморфно несчетному отрезку ординалов со стандартной порядковой топологией, откуда сразу следует несчетность тесноты пространствах

Теорема 7. Пусть в пространстве X каждое замкнутое подпространство допускает проекционное разложение единицы, удовлетворяющее условию (*). Тогда существует уплотнение пространства X на некоторое подпространство в Е(Я, Г)- В частности, если X компактно, то X- компакт Корсона.

Доказательство. Утверждение очевидно щж Ы(Х) < ©. Предположим, что оно уже доказано для всех пространств /-веса < X. и пусть rw(X) = X. Рассмотрим проекционное разложение единицы {ra; © < а й X.} в X, удовлетворяющее условию (*). Так как каждый ретракт га(Х) является замкнутым подпространством в X и его /-вес < X, то по предположению индукции существует уплотнение фа: rJXy^I.(R, Га), ш < а < X, причем можно считать, что Га, = N и все множества в семействе {Га; m ^ а < X} попарно дизъюнктны. Положим Г = Л^Го+ь со й a < X}. Определим отображение ср: X-*F? формулами: ср(*Хи) =

“ЧЦг» (*)) (и), при neN ср (х) (Р) = фа +1 (г„ +, (х)) (Р) при РеГа+1, ©£а<Х.

Это отображение непрерывно, так как является диагональным произведением семейства непрерывных отображений. Проверим его инъективность. Пусть х, у — различные точки. Обозначим через у наименьший ординал такой, что гу (х) Ф Гу (у). Случай у = со очевиден, предположим у > со. В силу точечной непрерывности системы ретракций ординал у не может быть предельным, поэтому у = a + 1. Тогда rjx) = rjy) и г„н(х) Ф Гац(у). По предыдущим предположениям отображение фа+i обязано различить последние две точки, что с учетом предшествующего равенства влечет ф (х) Ф ф (у). Осталось только заметить, что образ X три отображении ф лежит в ЦЛ, Г) в силу условия (*).

Поскольку компакты Корсона имеют счетную тесноту, то мы видим, что в случае компактных пространств условие (*) фактически эквивалентно счетной тесноте рассматриваемого пространства.

Замечание 2 Уплотнение в пространство о(/?“, Г) вместо рассмотренного выше мы получим, если заменим условие (*) на следующее (*'): множество {a; © < а < X, га(х) ф га+1(х)} конечно для каждого хеХ.

Для произвольного отображения ф : X-+Y обозначим через ф* отображение пространств непрерывных функций С(У)->С(Х), заданное формулой.

Теорема 8. Пусть X - компакт Вапьдивиа. Тогда существует линейное уплотнение Т: С(Х)->с0(Г) с нормой I Г|| =1, причем это отображение будет непрерывным и при наделении обоих пространств топологией поточечной сходимости.

Доказательство этой теоремы хорошо известно [4,7], поэтому мы его опускаем. Заметим только, что условие (*) надо заменить на (**) ниже и вести рассуждения по примерно той же схеме, что и в предыдущей теореме.

(**) Для каждого е > 0 и любого /еС(Х) множество {а; со < а < X, || rJJ) ~ Г a+\(j) II > е} конечно.

Разумеется, через ra* обозначены ретракции (проекции) в пространстве QX), которые являются дуальными к проекционному разложению единицы на пространстве X. Существование такого разложения легко следует из утверждений в следующем параграфе этой статьи

Теорема 9. Если пространство X имеет накрывающую точечно непрерывную ©-полную разрешающую ©-полурешетку ретракций, то X имеет проекционное разложение единицы, удовлетворяющее условию (*). Следовательно, X уплотняется в £(Д, Г) для некоторого Г.

Доказательство. Произведем «насыщение» заданной полурешетки ретракций до цепочки систем $R=*Hmc.. .с%, где X равно плотности d(X) пространствах, как это сделано в теореме 5. Зафиксируем также некоторое всюду плотное в X подмножество {xa; © < а < X}. Затем выберем rm в 4R произвольным образом. Если, далее, Р = a + 1, то в силу (9*2) и (9*4) можно найти гр £ гв такое, что Ха£гр(Х). Если же р - предельный ординал, то полагаем ra = supa < р га. Из теоремы 5 и последующих утверждений этого параграфа легко следует, что получившаяся система ретракций {/•„; © й <а<Х} является проекционным разложением единицы на пространстве X. По условию (9*4) для каждой точки хеХ

38

найдется гб91, для которого х = г (х). Из этого, из (5? 1), из неравенства mv(r(A))<ffl повторением рассуждения доказательства теоремы 5 следует, что число попарно различных элементов в трансфинитной последовательности точек ra(x) = г/г(х)) не более чем счетно. Следовательно, наша «длинная последовательность» ретракций удовлетворяет условию (*). Осталось сослаться на теорему 7.

§3. Полурешетки и топологические операции

В этой части мы установим, что наличие полурешеток ретракций на топологических пространствах является свойством, устойчивым при естественных топологических операциях - таких, как переход к замкнутому подпространству и фактор-пространству, оно переносится на пространства непрерывных функций на данном пространстве и некоторых других подобных операциях.

Обозначим через С/Х, Y) пространство всех непрерывных отображений f X->Y с топологией равномерной сходимости на элементах из семейства А. Если л: X->Z - непрерывное отображение, то пусть я’: C/Z, Y)-+C/X, Y) -отображение, заданное формулой л*: (f) =/л. Если класс компактов л(А) содержится в классе А', то отображение л является непрерывным. Рутинная проверка показывает, что верна следующая теорема.

Теорема 10. Пусть пространство X имеет A-не прерывную ©-полную разрешающую со-полурешетку ретракций 91 и К-сепарабельное метрическое пространство. Тогда семейство 91* = {г*; ге91} является точечно непрерывной ©-полной разрешающей со-полурешеткой ретракций в пространстве Сл (X, Y).

Система 91* будет накрывающей тогда и только тогда, когда для любого непрерывного отображения f:X-*Y найдется ге91 такое, что f-fr. Это свойство является аналогом хорошо известного свойства «зависимость функции от счетного числа координат» для функций на декартовом произведении. Если семейство А является семейством всех метризуемых компактов, т.е. для случая пространства С/Х, Y), теорема 10 может быть усилена, как показывает следующая теорема.

Теорема 11. Предположим, что в условиях предыдущей теоремы А является семейством всех метризуемых компактов в X. Тогда семейство 91 является ш-непрерывной полурешеткой.

Доказательство. Основные рассуждения инициированы рассуждениями Э. Майкла из статьи [8]. Детали могут быть найдены в [2], и мы их опускаем.

Определение 4. Полурешетку 91 назовем непрерывной, если для каждой сходящейся направленности {*,} точек пространства X и возрастающей трансфинитной последовательности га ретракций из 91 направленность r/Xj) является сходящейся. Последнее означает, что если х и г - пределы этих направленностей, то для каждой окрестности О точки г(х) найдутся индексы <Хо и /0 такие, что г/х,)е О для всех а>Оо, />/0-

Теорема 12. Пусть Y- замкнутое подпространство в пространстве X, имеющем накрывающую непрерывную ©-полную разрешающую со-полурешетку ретракций 91. Тогда Y является почти 91-инвариантным под-

пространством в X относительно замкнутого подмножества 91' в 91. Следовательно, пространство Y также имеет накрывающую непрерывную ©-полную разрешающую ©-полурешетку ретракций.

Доказательство. Пусть ге91 выбрано произвольно. Обозначим Г\ = г и по индукции выберем последовательность ретракций г„ из 91 и счетных подмножеств М„ из Y таким образом, чтобы г/Мп) было плотным в r„(Y), г^>гп и г^(Мп) = М„. Это следует из (914), (916) и (917). Обозначим М = и"=1 М„ иг = sup„eNtr„ (существование последнего супремума следует из (912) и из ©-полноты системы 91). Из непрерывности г легко следует, что г{М) плотно в rij). По построению r(M) = MaY. Из последних двух фактов, из непрерывности 91 и из замкнутости Y выводим, что г(У)сУ. Определим 91*= ={ге91; г(У)сУ}. Из сказанного выше следует, что семейство 91* непусто. Если трансфинитная последовательность г0 возрастает и состоит из элементов в 91 , то ее. супремум генова принадлежит этому семейству, так как r(x) = limr0(r)e Y для каждой точки хе Y в силу замкнутости множества У.

Нетрудно проверить, что стандартная полурешетка ретракций 91 в произведениях и / является непрерывной. Она будет накрывающей на их подпространствах 1(Л, Г) и Ц/, Г). Отсюда вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Каждое замкнутое подпространство в £(/?, Г) (или в Е(/, Г)) является почти 91-инвариантным подпространством. Следовательно, они имеют накрывающую непрерывную ©-полную разрешающую ©-полурешетку ретракций.

Следствие 2. Для компактного пространства X следующие условия эквивалентны:

1) Л'- компакт Корсона;

2) X имеет точечно непрерывную накрывающую ю-полную разрешающую ©-полурешетку ретракций;

3) X имеет проекционное разложение единицы, удовлетворяющее условию (*);

4) t(X) < No и X имеет проекционное разложение единицы.

Доказательство. Импликация 1)=>2) доказана в предыдущем следствии. Импликация 1)=>4) легко выводится из теоремы 5. Из теоремы 6 следует 4)=>3). Из теоремы 8 выводим 2)=>3). Импликация 3)=>1) следует из теоремы 7.

Следствие 1 можно перенести на случай замкнутых подпространств в пространствах функций, которые определены на 1-произведениях, или их почти инвариантных подпространств. Для этого нам понадобится следующая хорошо известная и легко проверяемая лемма.

Лемма 1. Если л: X-+Y - факторное отображение «на», то подпространство л*(Ср(>0) замкнуто в СР(Х).

Лемма 2. Пусть л: X-*Y - факторное отображение «на» и r-ретракция в пространстве X таковы, что г*(л*(С(У)))сл*(С(У))- Тогда отображение лпГ1 есть ретракция в пространстве Y.

Доказательство. Покажем однозначность отображения лпГ1. Предположим противное, пусть существуют ye Y и

39

Х\, х2ея ”‘(у) такие, что rofo) * тИ^г)- Тогда найдется /еС(У), для Kcrroporo/7c^i)) *J{nr(x2)). По условию леммы/ (яг - г (/л)ел (С(У)), поэтому f,кг = gn для некоторого geQY). Огсюда/(лК*1))=grc(xi) = л^) =/яК*2)), что противоречит выбору / Аналогичным рассуждением доказывается тождество ятя "'л = яг. Из этой формулы нетрудно видеть, что квадрат выражения лгл 4 совпадает с ним самим. Осталось убедиться в непрерывности отображения лгл"1. Пусть G - открытое множество в Y. Тогда nrAn~'(Gy= = я {у, nr(y)eG}(z{x, яг ‘‘я _1(х)} = ятя ~\G). Обратное включение очевидно и (ятя ~'XG) = лг ~'л "'(G). Поэтому вследствие факторности отображения л достаточно показать л-отмеченность открытого множества г *‘л "'(G), т.е. доказать равенство я~'яг "'я ~\G) = г ‘‘я _1(G). Обозначим левую часть последнего равенства через А, а правую - через В. Тогда имеем лгл _1л(А) = G, откуда АсВ. С другой стороны, А = я ~'я(В), следовательно, ВсА.

Теорема 13. Пусть я: X-+Y - факторное отображение «на» и 91 - разрешающая полурешетка ретракций на пространстве X такие, что

(1) подпространство л (С/У)) является почти 9? -инвариантным подпространством в CJX);

(2) для каждого feC(X) существует ге91 такое, что /=/> = /(/)•

Тогда семейство 5Я(У)={лгл г*е5Я*(л(С(У)))} является разрешающей полурешеткой ретракций на пространстве Y. Если система 91 есть точечно непрерывная (накрывающая, Х-полная, Х-полурешетка) на X, то 9?(У) является такой же системой на Y.

Доказательство. Из леммы 2 следует, что элементы семейства 91(30 действительно являются ретракциями пространства У. Условие (911) для этой системы следует из тождества лгл -1я = яг, установленного по ходу доказательства леммы 2. Условие (912) очевидно. При проверке условия (913) достаточно ограничиться открытыми множествами вида G Ь), где (а, Ь) -

интервал вещественной прямой. Но тогда все получается из условия (2). Если 91 есть Х-полурешетка, то из неравенства пМяг "'л ''(У)) = nw (лr(X)) < nw (г(Х)) следует условие (916) для системы 9!(У). Из тождества лгл ~1я = лг, которое мы уже упоминали выше, следует, что для возрастающей трансфинитной последовательности га с супремумом г выполнено ягая ~‘(у)->ягл"'(у) для каждого уе У, из чего сразу следует точечная не-

прерывность системы 91(У). Нерассмотренные утверждения теоремы очевидны.

Замечание 3. Практически тем же самым рассуждением, как в последнем доказательстве, устанавливается /^-непрерывность системы 91(У) в случае, когда система 91 для пространства X была таковой, а фактор-отображение было компактно накрывающим (т.е. любой компакт в пространстве У является непрерывным образом некоторого компакта из пространства X). Назовем отображение &(ю)-накрывающим, если последнее условие выполняется для всех компактов счетного веса, т.е. для метризуемых компактных подмножеств. Тогда если отображение является Х((^-накрываемым факторным образом пространства X, то система 91(У) будет wi-непрерывной полурешеткой.

Следствие 3. Пусть f. K-yL - непрерывное отображение, заданное на компакте Вальдивиа К, причем существует такое вложение К в if, что на Г) ото-

бражение /является факторным отображением. Тогда компакт L является компактом Вальдивиа.

Доказательство. Это утверждение нетрудно вывести из теорем 7, 12 и 13. На пространстве ЯП£(Я, Г) действует накрывающая полная разрешающая полурешетка ретракций. Она является Х-полурешеткой для каждого бесконечного кардинала X. При отображении / подпространство КПЕ(Г) переводится на некоторое подпространство в L, которое также имеет богатую полурешетку ретракций по теореме 13. Легко видеть, что К является расширением Чеха-Стоуна своего подпространства ХГЩГ), это дает возможность продолжить все ретракции на все пространство L. Это определяет соответствующее гомеоморфное отображение L в тихоновский куб, порождающее структуру компакта Вальдивиа на этом пространстве.

Замечание 4. Последнее следствие можно обратить, т.е. в случае непрерывного отображения между компактами Вальдивиа в них существуют подпространства, вло-жимые как замкнутые подпространство в некоторые Е-произведения и которые заданное отображение переводят друг на друга. Но непрерывное отображение между двумя замкнутыми подпространствами в Е-произведени-ями коммутирует с некоторой стандартной разрешающей полурешеткой ретракций в £. Отсюда следует, что данное отображение является замкнутым на Е-подпрост-ранстве и, следовательно, факторным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гулько С.П. О свойствах множеств, лежащих в 2-произведениях // ДАН. 1977. Т. 237, № 3. С. 505-508.

2. Гулько С.П. О свойствах функциональных пространств//Семинар по общей топологии. М.: Изд-во МГУ, 1981.

3. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

4. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.222 с.

5. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981.

6. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

7. Amir D. and Lindenstrauss J. The structure of weakly compact sets in Banach spaces // Ann. Math. 1968. V. 88, № 1. P. 35-46.

8. Michael E. Ho spaces // J. Math. And Mech. 1966. V. 15, № 6. P. 983-1002.

9. Kalenda M. Continuous images and other topological properties of Valdivia compacta // Fund. Math., to appear.

Статья поступила в научную редакцию «Математика» 15 декабря 1999 г.

40