Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления

Известия Института математики и информатики УдГУ

2017. Том 49

УДК 517.977, 519.837.3 © А. Г. Ченцов

ИТЕРАЦИИ СТАБИЛЬНОСТИ И ЗАДАЧА УКЛОНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЙ ФОРМИРУЕМОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается один из вариантов метода программных итераций, используемый для решения дифференциальной игры сближения-уклонения. Предлагаемую процедуру связываем с итерациями на основе свойства стабильности множеств, предложенного Н. Н. Красовским. Установлена связь получающейся при этом итерационной процедуры с решением задачи уклонения при ограничении на число переключений формируемого управления: итерации стабильности определяют множество успешной разрешимости упомянутой задачи. Доказано, что гарантированное осуществление уклонения возможно тогда и только тогда, когда осуществимо (гарантированное) строгое уклонение (а именно, уклонение по отношению к окрестностям множеств, определяющих рассматриваемую игру сближения-уклонения). Указано представление стратегий, гарантирующих уклонение с ограничением на число переключений. Конкретное действие каждой такой стратегии состоит в формировании постоянного управления, выталкивающего траекторию из множества, отвечающего очередной итерации на основе оператора стабильности. Продолжительность действия упомянутого управления определяется в терминах результата применения неупреждающего мультифункционала на пространстве траекторий, значениями которого являются непустые подмножества оставшегося промежутка управления. Исследуются вопросы, связанные со сходимостью в метрике Хаусдорфа фрагментов множеств, реализующихся посредством итерационной процедуры. На этой основе получены условия сходимости (в метрике Хаусдорфа) самих множеств-итераций.

Ключевые слова: метод программных итераций, неупреждающий мультифункционал, оператор стабильности, стратегия коррекции.

DOI: 10.20537/2226-3594-2017-49-02 Общее введение

Исследуются задачи теории дифференциальных игр (ДИ) [1-3]. Рассматривается вариант известного метода программных итераций (MIHI) [4-7], именуемый ниже итерациями стабильности. Данный вариант MIHI (см. [8; 9, гл. V]) реализует, при традиционных предположениях относительно управляемой системы и параметров ДИ, множество позиционного поглощения (МПП) в смысле альтернативы И. И. Красовского, А. И. Субботина [2,10] в виде предела последовательности итераций, но (одновременно) доставляет [11,12] на каждом этапе итерационной процедуры множество успешной разрешимости задачи уклонения с дополнительными ограничениями на число переключений формируемого управления (основные результаты настоящей работы анонсированы в [11,12]). Постановке игровой задачи с упомянутым ограничением отвечают (на идейном уровне) некоторые инженерные задачи управления в условиях помех (управление «по функционалу»), где смена режима функционирования системы осуществляется по мере наступления того или иного события (например, достижения заданной высоты). В этой связи представляется, что более подробное в сравнении с [11,12] изложение математических конструкций может быть полезным специалистам в области систем управления. Заметим, что некоторые конкретные примеры применения упомянутой итерационной процедуры рассматривались в [13]. Краткое изложение конструкций настоящей работы приведено в [14].

Особенностью приводимой ниже итерационной процедуры, развивающейся в пространстве множеств, является то, что на каждом шаге (этапе) определяется множество успешной разрешимости задачи сближения в условиях, когда (дискриминируемый) игрок-противник (второй игрок) может использовать только постоянные программные управления, в то время как игрок-союзник (первый игрок) может их парировать обобщенными управлениями-мерами, формируя при этом в системе скользящие режимы. На такой основе определяется оператор (стабильности), неподвижные точки которого автоматически оказываются стабильными мостами H.H. Красовского. Как уже отмечалось, в пределе мы получим МПП соответствующей ДИ

сближения-уклонения. Однако оказываются интересными и сами итерации, а точнее, их дополнения до множества, определяющего фазовые ограничения (ФО) в задаче сближения. Дело в том, что эти множества-дополнения исчерпывающим образом определяют возможности успешной разрешимости задачи уклонения с ограничением на число переключений формируемого вторым игроком управления. В этой задаче, однако, возникает проблема управления моментами коррекции. Простые примеры [13] показывают, что, вообще говоря, процедуры формирования очередного момента коррекции в виде функции позиции, сложившейся на момент предыдущей коррекции, оказываются недостаточными; приходится привлекать неупреждаю-щие правила выбора следующего момента коррекции. В статье показано, что эти правила могут быть определены в терминах некоторых событий, связанных с построениями на основе \! 1111.

§ 1. Содержательное обсуждение задачи

Обсудим на содержательном и предельно упрощенном уровне общую схему формирования управления вторым игроком-уклонистом, заинтересованным в осуществлении уклонения по отношению к заданной паре множеств, определяющих поставленную задачу и являющихся ее параметрами. В дальнейшем приводимая сейчас конструкция будет определена в более строгом и более общем виде.

Рассматриваются п-мерное арифметическое пространство Мп и (невырожденный) отрезок

Т = [¿о,$о], где ¿о € М,^о € М и ¿о < (здесь и ниже = — равенство то определению, М — вещественная прямая). В Мп (это фазовое пространство) функционирует система

ж = /

где / есть непрерывная п-вектор-функция на Т х Мп хР х ф, а Р и ф — конечномерные непустые компакты, Р С Мр и ф С М9 .Полагаем, что в (1.1) и € Р и V € ф суть управляющие параметры игроков I и II, преследующих противоположные цели. Полагаем также сейчас для простоты, что при каждом заданном ¿* € Т игроки могут формировать только кусочно-постоянные, непрерывные справа и непрерывные слева в точке функции

и

на [¿*, $о] со значениями в Р и ф соответственно.

Пусть система (1.1) удовлетворяет условиям обобщенной единственности и равномерной ограниченности решений, подобным [15].

Рассмотрим вариант [11, § 2] формирования v(•) в (1.2), полагая заданным число в € М,

где N = {1;2;...}. Пусть объектом выбора игрока II является триплет (V, 7, к). Здесь V — отображение, сопоставляющее каждой позиции (¿, ж) € Т х Мп непустое подмножеств о (п/м) ф. Полагаем далее (см. [11,12]), что 7 есть система отображений 7*, ¿* ^ £ ^ $о, где ¿ определяется начальной позицией (¿, ж) € Т х Мп; при £ € [¿,$о] и ж € Мп 7*(ж) есть многозначный неупреждающий [11, с. 7, 8] функционал, определенный на множестве Сга([£,$о]) всех непрерывных п-вектор-функций на [¿, $о] и принимающий значения в [¿, ]. Наконец, к € N таково, что к ^ в. Общая логика управления, связанная с поэтапным построением v(•) в (1.2) в виде склейки к векторов из ф, состоит в следующем. В начальный момент п = выбирается Vl € V(¿*, ж*) и «включается» правило $1 = 7, (ж) слежения за будущей траекторией. Константа Vl вместе с помеховым (по смыслу) управлением и(-) в (1.2) порождает траекторию ж^-), стартующую из (¿,ж) = (г1,ж(г1)). По мере ее развития правило $1 формирует момент

Т2 € 01(ж1(-)) ,

зависящий только от начального «отрезка» (ж^),^ ^ £ ^ Г2С траектории ж^-). В момент Т2 выбираются v2 € V(т2,ж1(т2)) и новое правило $2 = Ттг^Сгг)) слежения за будущей траекторией. В результате воздействия V2 и управления и(-) (см. (1.2)) из позиции (т2,ж!(Т2)) развивается траектория ж2(-), определяющая момент

тз € $2

(сейчас имеем в виду случай к > 3), когда выбираются -из € У(тз,Ж2(тз)) и правило дз =

= 7Т3 (ж2(тз)). Дальнейшее построение аналогично; оно продолжается вплоть до исчерпывания индексного множества 1, к. В итоге ревизуется «совокупная» траектория ж(-) € Сп([**,0о]), склеенная из фрагментов «частичных» траекторий ж^-),... , (). Поскольку выбор и(-) в (1.2) может быть произвольным (это любая кусочно-постоянная, непрерывная справа и непрерывная слева в точке 0О функция со зпачепи ями в Р), то стратегии — три плету (V, 7, к) — сопоставляется на самом деле целый пучок X(**, ж*, V, 7, к), являющийся непустым п/м Сп([**, 0О]). Полагаем, что стратегия (V, 7, к) разрешает ту или иную задачу, если требуемое решение достигается на всех траекториях из вышеупомянутого пучка. Иными словами, речь идет о гарантированном достижении той или иной цели.

Допустим сейчас, что заданы два п/м Т х Мп, а именно, М и N. Определим цель выбора триплета (V, 7, к) для заданной позиции (**,ж*) € N посредством требования:

V ж

Осуществление (1.3) называем (М, N)-уклонением (траекторий ж(-)). Если допустимый триплет (V, 7, к), к ^ со свойством гарантированной реализации (1.3) существует, то позицию (**, ж*) назовем успешной для игрока II. Целью нашего исследования является:

1) нахождение множества N всех таких успешных (для игрока II) позиций;

2) для всякой позиции (**,ж*) € N построение стратегии в виде триплета (V, 7, к), к ^ гарантирующего (1.3).

Решение данной задачи анонсировано в [11] и связывается (в [11]) с вышеупомянутым вариантом ГЧ(1111 (итерациями стабильности), предложенным для решения ДИ сближения-уклонения, отвечающего альтернативе И. Н. Красовского, А. И. Субботина. Наряду с осуществлением «обычного» уклонения (см. (1.3)) будет рассматриваться задача о строгом уклонении, то есть об уклонении с некоторым «запасом» в виде окрестностей множеств М и N. Более того, будет показано, что «обычное» уклонение (с ограничением на число переключений) осуществимо тогда и только тогда, когда осуществимо строгое уклонение.

§ 2. Обозначения и определения общего характера

Используется стандартная теоретико-множественная символика (кванторы, связки, 0 — пустое множество). Семейством называем множество, все элементы которого — множества. Принимаем аксиому выбора. Произвольному объекту г сопоставляем синглетон {г}, содержащий г в качестве своего элемента. Если X — множество, то через Р(X) (через Р'(X)) обозначаем семейство всех (всех непустых) п/м X. Для произвольных непустого семейства X и множества У в виде

Х|у = {X П У : X €Х}€Р'аР

имеем след X на множество У. В терминах (2.1) определяются, в частности, подпространства (п/п) топологических пространств (ТП) и измеримых пространств (ИП). Если А и В — непустые множества, то, следуя [16, с. 77], через ВА обозначаем множество всех отображений из А в В (при { € ВА и а € А в виде {(а) € В имеем значение { в точке а); при д € ВА и С € Р' (А) отображение

(д| С) = (д(ж))ж6с€ Вс

д С.

Традиционные обозначения М и N соответствуют § 1, М0 = {0}и N = {0; 1; 2;...} и пр и п € М0, Г2 € N0

гГТг2 = {к € N01 (п ^ к)&(к ^ Г2)}.

Кроме того, полагаем, что т—оС = {к € N01 т ^ к} при т € N0. Если Н — множество и к € N то вместо Н1,к используем более традиционное обозначение Нк, полагая, что элементы N,3

(неотрицательные целые числа) не являются множествами; в виде НМ имеем множество всех последовательностей в Н. Если Н — множество, (Н€ Р(Н)М и Н € Р(Н), то, как обычно,

б(Н)гем 4- Н^ (бН = р| Нгс & (Н,+1 С Н, V; € М)).

г€М

Для любых ТП (X, т) и множества У € Р (X) через с1(У, т) обозначаем замыкание К в (X, т); в виде (У,т|у) имеем п/п (X,т).

Если Е — множество и Е € Р(Р(Е)), то через ст^(Е) обозначаем ст-адгебру п/м Е, порожденную семейством Е; в связи с описанием п/п ИП отметим, что при Н € Р(Е) справедливо равенство стН(Е|н) = ст^(Е)|я, и, в случае Н € ст^(Е),

стН(Е|н) = {X € стО(Е)| Е С Н}.

Меры, определенные на ст-адгебре борелевских п/м ТП, называем борелевскими. Для ИП (5,5) через (ст — аёё)+[5] обозначаем множество (точнее, конус при поточечном определении линейных операций) всех неотрицательных вещественнозначных (в/з) счетно-аддитивных (с.-а.) мер на ст-алгебре 5.

§ 3. Обобщенные программные управления

В настоящем параграфе вводятся обобщенные программные управления-меры и отвечающие им движения — скользящие режимы, в терминах которых будет определен затем нужный вариант оператора программного поглощения, именуемый также оператором стабильности. Пусть Т, Р и ф соответствуют § 1; при £ € Т получаем непустые конечномерные компакты

[¿, $О],У = [¿, $О] х Р и О* = [¿, $О] х Р х ф. Упомянутые компакты оснащаем ст-алгебрами борелевских п/м: 7*, К* и С* соответственно. Получаем стандартные ИП:

(символика в основном соответствует [8,9]). Если £ € Т и 0 € [¿,$О], то ИП ([0,$о], 7,), (У,, К,) и (О, С,) таковы, что

= 7*| [,,*„] = {Г €7*| Г С [0, К = К*|у9 = {К € К С У,}, С, = {С € С*| С С О,}

О* \ (К х ф) = (У* \ К) х ф;

используется также то легко проверяемое свойство, что {5 € 5 х ф € С*} есть ст-алгебра п/м У*, содержащая топологию У*, порождающую К*), а при Г €7* Г х Р х ф = = (Г х Р) х ф € С* и Г х Р € К*. С учетом этих обстоятельств (см. [8; 9, гл. IV]) полагаем при £ € Т, что

Н* = {П €

Р* = {^ €

п*М = {п €Н*| п

Меры из множеств (3.1) являются аналогами пар (и(-), v(•)) кусочно-постоянных, непрерывных справа и непрерывных слева в точке вектор-функций и(-) € Ри v(•) € а меры

из Р.* (3.2) — аналоги упомянутых вектор-функций и(-). Наконец, меры из множеств (3.3) являются аналогами пар вектор-функций (упомянутого типа) (и(-), v(•)), где и(-) фиксировано, то есть и(-) = й(-), а г>(-) варьируется. Отметим, что, как легко видеть (см. [9, гл. IV]), при £ € Т и 0 € [£, #о]

Н, = {

П1 ± П2 = Гтан П

V / я ес4

№ =

V / К

Посредством равенств (3.4)-(3.6) определены свойства «нарезки-склейки» обобщенных управлений (ОУ). В последующих построениях важную роль будут играть «совокупные» ОУ, реализующиеся всякий раз при совместном действии ОУ ц € Я и обычного управления-константы V € ф; здесь * € Т. В интереса точного определения введем сначала ст-алгебр у В боре-левских п/м компакта ф и при V € ф меру Дирака € (ст — аёё)+[В] посредством правила:

VВ € В

Заметим, что семейство {х}В = {К х В : К € К, В € В} является полуалгебр ой п/м порождающей ст-алгебр у . Тогда при ^ € Я и V € ф через ^  V обозначаем единственную меру из (ст — аёё)+[С4], для которой

с учетом (3.1), (3.4), (3.7) и (3.8) легко проверяется, что ^  V € п(^).

Всюду в дальнейшем при * € Т через С([*,0О]),С(П4) и С(У4) обозначаем множества всех непрерывных в/з функций на [*, 0О], и У соответственно, получая (при оснащении этих множеств нормами равномерной сходимости) три банаховых пространства; нам потребуются также пространства С*(П4) и С*(У) линейных непрерывных функциопалов па С(П) и С(У) соответственно. По теореме Рисса, меры из % и Я (все они являются регулярными [18]) отождествимы с (неотрицательными) элементами С*(П4) и С*(У), что позволяет оспащать % и Я соответствующими относит ельными *-слабыми топологиями (см. [9, гл. IV, §2]), которые метризуемы в силу сепарабельности пространств С(П) и С(У) в оснащении вышеупомянутыми нормами. Заметим, что при * € Т множества Я* и п(^), ^ € сильно ограничены и *-слабо замкнуты (см. свойства, отмеченные в [9, с. 163]), а потому *-слабо компактны в силу теоремы Алаоглу. Как следствие, относительные *-слабые топологии упомянутых множеств секвенциально компактны; замкнутость их п/м в смысле упомянутых топологий эквивалентна секвенциальной замкнутости (упомянутые свойства см. в [19, гл. V]; кроме того, см. [20, §2.7]). Все это позволяет обходиться в последующих построениях секвенциальной сходимостью, для обозначения которой ниже используется символ иными словами, упомянутые относительные топологии полностью описываются посредством сходящихся последовательностей (подробнее см. в [9, гл. IV]). Отметим следующее простое свойство: если

* € Т, (^¿ен : N —- Я, ^ € Я,

то истинна следующая импликация:

в связи с проверкой (3.9) отметим построения [21, гл. 5] (в частности, см. [21, теорема 5.5.2]), а также конструкции [22, §111.2].

Напомним, что (см. (1.1)) / : Т х Мп х Р х ф — Мп является непрерывным (по совокупности переменных) отображением, а при * € Т Сп([*,0о]) есть множество всех непрерывных отображений из [*, 0О] в Мп, оснащаемое метрикой равномерной сходимости; для обо-значеная упомянутой равномерной сходимости используем традициоппый символ Если ж(-) = (ж(е^?еМо]€ Сп(Мо]) ТО

—- /(£,ж(£),и^) : П —- Мп есть непрерывное отображение, а тогда (покомпонентно) определяются интегралы

У / Мп V п € % V 0€ [*,0о]

хд

(в (3.10) может использоваться простейшая схема [21, гл. 3]). Пусть при (£*,ж*) € Т х Мп и п € Н.

Ф(£*,ж*,п) = {ж(-) € Сп([£*,^о])| ж(£) =

= + I /

[*„*[хР хд

(введена интегральная воронка, отвечающая триплету (£*,ж*,п)). Всюду в дальнейшем постулируем, что множество (3.11) одноэлементно при всяком выборе (£*,ж*) € Т х Мп и п € В этой связи полагаем при (£,ж) € Т х Мп и п € Н*, что п-вектор-функция

^

реализует равенство Ф(£, ж, п) = ж, п)}. Рассматриваем (3.12) как программное движение,

отвечающее триплету (£,ж,п). Если к € [0, то полагаем, что Вп(к) = {ж € Мп| ||ж|| ^ к}, где ||  || — евклидова норма в Мп. Полагаем в дальнейшем, что

Vа € [0, 3 Ь € [0, <р(£,г,ж,п) € Бга(Ь) V£ € Т Vж € Бга(а) Vп € Н* V£ € Мо].

Напомним, что (см. [23]) при £ € Т оператор

непрерывен (при этом Мп х Н* оснащается топологией произведения Мп в топологии покоординатной сходимости и Н* в относительной *-слабой топологии). Из данного свойства непрерывности оператора (3.13) следует (см. (3.9)), что при £ € Т и V € ф оператор

(ж, —- ж, ^  V) : Мп х Р* —- С„([£,

непрерывен: если (ж*: N — Мп, (^: N — Р*, ж € Мп и ^ € Р*, то

Ниже используются также свойства [23, (4.12), (4.13)], связанные с «нарезкой-склейкой» ОУ (см. (3.4)-(3.6)). Из (3.14) вытекает, в частности, что при (£*,ж*) € Т х Мп и V € ф

Хп

есть (непустой) компакт в Сга([£*,$о]) с топологией равномерной сходимости. Действительно, (3.15) есть непрерывный (в силу (3.14)) образ компакта Р^ в относительной *-слабой топологии. Элементы множества (3.15) называем "«-траекториями, стартующими из позиции (£*,ж*). Они отвечают всякий раз совместному действию на систему постоянного управления V € ф и обобщенного управления из множества (3.2).

§ 4. Операторы стабильности

Оснащаем Т х Мп обычной топологией t покоординатной сходимости, получая ТП, метри-зуемое, в частности, метрикой р следующего вида: р определяется как

б

Как обычно, при Н € Р'(Т х Мп) и г € Т х Мп определяем расстояние от г до множества Н:

р(г; Н) = Мб{р(г, Н) : Н € Н}) € [0,

Если Н € Р'(Т х Мп), то р(-; Н) = (р(г; Н))^^^хм^ есть равномерно непрерывная в/з функция (см. [20, (2.7.14)]), определенная на метрическом пространстве (Т х Мп, р). Полагаем, что Т есть

def семейство всех замкнутых в ТП (T xRn, t) п/м T xRn. Легко видеть, что при H € P' (T хМга) и е € ]0,

So

H

Полагая Тд △ P(T), получаем в виде (T, Тд) дискрет с «единицей» T (дискретное ТП). Через Тд  tR"\ где tR" есть обычная топология покоординатной сходимости па R", обозначаем

естественную топологию произведения ТП (T, Тд) и (R", tR"^) (см. [24, с. 127]). Для семейства F всех п/м T х R", замкнутых в ТП

(T х R", Тд <g> tR"}),

имеем простое представление в терминах сечений. При H € P(T х R") и t € T в виде H(t) △ △ {ж € R"| (t, ж) € H} имеем сечение H гиперплоскостью t = const. Тогда

F = {F € P

:ex п/м R", ;

Если Л € P(T х R"), то полагаем, что

где F есть def семейство всех п/м R", замкнутых в (R", tRR"^). Ясно, что t С Тд  tR"^ и Fc F.

8ирр

При 5 е Р'(М") и ж е М" введем (У  || - тЭДж; △ т^{||ж - у|| : у е 5}). Если Ь е Р'(М"), то

в виде

(У-У- 1п!)[.; Ь]^ ((||.||- 1п!)[ж; Ь])^ имеем равномерно непрерывную неотрицательную функцию па М", а потому

В"

получили (замкнутые) окрестности Ь в (М", тМ"), так как тМ" порождается нормой ||  ||. С учетом (4.4) имеем, что при Л е Р(ТхМ"), £ е Эирр(Л) и е е ]0, оо[ определено В"(Л<^>, е) е Е\{0}. С учетом этого полагаем, что

§

Легко видеть, что при Н е Р(Т х М") и е е]0, о[ непременно §(Н, е) е Ясно, что §(0, е) = 0 Vе е ]0, о[.

Если М е Р(Т х М"), то полагаем, что оператор

А[М] : Р

определяется следующими условиями:

А[М](Н) △ {(¿,х) е НIVV е д 3д е я* 3# е М0] : ж, д  V)) е М&

. .. V '

&(  v))е Н V { е М[)} V Не Р(Т х М").

Множество М в

в (4.9) отражена «усиленная» изотонность операторов программного программного поглощения (ОПП) типа (4.7), (4.8). В дальнейшем основное внимание уделяется случаю, когда в (4.8) M € F и H € F, ПРИ этом

Следовательно, интерес представляет случай, когда посылка импликации (4.10) ложна. В этой связи отметим, что справедливо

Предложение 4.1. Если M € F\ {0}, F € F м (t*,x*) € F \ A[M ](F), то

3 е €]0,

Доказательство. Пусть выполнены условия предложения в отношении M, F и (t*,x*). Допустим, однако, что (4.11) не выполняется, то есть

Тогда в силу (4.8), (4.12) имеем, в частности, что V k € N V v € Q 3^ € 3$ € [t, $o]:

Пусть V € ф. Тогда из (4.13) следует, что Ак = {ОМ) х

У/геЕ

Поэтому с использованием (счетной) аксиомы выбора имеем свойство

П Лкк = 0.

fceN

С учетом (4.14) получаем для некоторых последовательностей

следующие свойства: V г € N

В силу компактности Р*» и [£*,$о] последовательности (4.15) можно считать сходящимися: для некоторых € Р» и $о € [£*, $о]

)fceN - Г).

С учетом (3.14) и (4.17) имеем с очевидностью, что

Как следствие, получаем (см. (4.2), (4.17), 4.18)), что

V 4 у/fceN

Заметим, что (см. (4.1)) в силу замкнутости М

Пусть к € N. Тогда 50(М, I) С 80(М, т;) У к € к, оо. Поэтому, в силу (4.16),

<8> v))e 50(М, -) У к € к, оо. С учетом (4.2) и (4.19) получаем, как следствие, что

(Г, сх) V)) € Б0{М,

Коль скоро выбор к был произвольным, ж*, v))e Б0{М, V А; € N. С уче-

,ж*,д0  у))е М.

Пусть ¿* е [¿*, $0[. Тогда, в силу (4.17), для некоторого j е N

е [¿*[ Vк е j, о.

Как следствие, имеем из (4.16), что

1,

<8> V) е VА; € j, оо.

к

В этом случае

±)<Г> = ВЦт*), У к € N. (4.23) Напомним, что ^<£*> е Е и, согласно (4.18),

V))— ж*, д0  V).

Фиксируем г е N. Тогда 1 △ 8ир(^; г}) е N. При этом, согласно (4.23),

(¿*) У^Й. (4.25) кг

1,

<р

к

Из (4.25), (4.26) вытекает с очевидностью, что

ф*,и,хУЛ €

г

При этом

^

г

г

ф*,и,хVА; € N.

к

С учетом (4.23) и замкнутости ^<£*> имеем из (4.29), что

^(¿*,£*,ж*,д0  V) е ^<Г>,

откуда вытекает, что

v)) € Р.

Коль скоро и выбор £* был произвольным, получаем из (4.30), что

б^

Получили, что € Р*» и $о € [£,$о] таковы, что

,£*,ж* v)) € М&(, ж*,  v)) € Р V£ € [£*,$о[).

Поскольку выбор ^ ^^^^ установлено, что V V € ф 3 ^ € Р*» 3 $ € [£ , $о]:

,ж*,^  V))€ М&

Тогда, поскольку (£*,ж*) € Р, имеем го (4.8) и (4.32), что (£*,ж*) € А[М](Р), что невозможно по условиям предложения. Полученное противоречие показывает, что (4.12) невозможно. Следовательно, справедливо (4.11).

Предложение 4.2. Если М € Т и Р € то А[М](Р) €

Доказательство. Фиксируем М € Т и Р € Тогд а А[М ](Р) € Р (Р) согласно (4.8). Воспользуемся представлением (4.3), учитывая, что Р С Т х Мп, а потому А[М](Р) С Т х Мп. Пусть £* € Т. Рассмотрим множество-сечение А[М](Р)<£*) € Р(Мп) и его замыкание в то-

пологии тМ •

А[М]

Пусть ж* € с1

, т]М )). Тогда для некоторой последовательности

имеем сходимость

Из (4.34) легко следует (см. (4.8)), что

По выбору Р имеем из (4.3), что

Р<£*) € Е.

Тогда (см. (4.35), (4.36)) получаем, что

ж* € Р<£*).

Выберем произвольно v € ф. Поскольку

(£*,ж,) € А[М](Р) V; € N получаем следующее свойство. А именно, V] € N 3 ^ € Р*» 3 $ € [£, $о]:

,ж, v))€ М&((£,^>(М*,ж, v))€ Р V£ € [£*,$['

Это означает, что

Л, = |€ Р*» х [£*,$о]| (,ж, v))€ М&

&(б^(М*,ж, v))€ Р V£ € [£*,$[) }€Р'(Р» х [£,$о]) V; € N.

Из (4.38) вытекает по (счетной) аксиоме выбора, что

ПЛ* = 0.

¿ен

С учетом (4.39) получаем, что для некоторых последовательностей

реализуется свойство

(^ ) € Л, V з € N.

Последнее означает, что V з € N

,£*,ж, v)) € М&

Поскольку Р*» и [£*,$о] компактны, полагаем, не ограничивая общности, последовательности (4.40) сходящимися: для некоторых

€ Р*»)&

имеют место свойства

Тогда (см. (4.35), (4.43)) имеем в силу (3.14) свойство сходимости

Из (4.43), (4.44) вытекает, что

Поскольку М € Т, из (4.41), (4.45) следует, что

Выберем произвольно £* € [£*,$о[• Тогда, в силу (4.43), для некоторого к € N имеем, что

£* € [£*,$, [ Vз € к, то

(учитываем, что $о — £* €]0, то[). Поэтому, согласно (4.41) и (4.47),

, ж, v) € Р<£*) Vз € к, то.

Из (4.44) следует, в свою очередь, что

При этом по выбору Р имеем из (4.3), что Р<£*) € Е, а тогда из (4.48), (4.49) следует, что

, £*, ж*,  v) € Р<£*)

и, как следствие,

(£*,<£(£*,£*, ж*,  v)) € Р. Поскольку выбор £* был произвольным, установлено, что

Из (4.42), (4.46), и (4.50) следует, что

3 д е Пи 3# е [¿*,$о]: ((^(^¿,ж,д  v))е м)&((¿,<р(М,ж,д  v))е ^ V£ е [¿,$[). Поскольку выбор V был произвольным, установлено, что V V е д 3 д е 3 $ е [¿ , $0]:

Поскольку (см. (4.37)) (¿*,ж*) е го (4.8), (4.51) следует, что (¿*,ж*) е А[М](^) (а тогда ж* е А[М)<£* >), чем завершается проверка вложения

с1

Из (4.33), (4.52) следует, что

А[М] (^) <£* > = с1 (А[М] (^) <** >, тМ")) е Е. Поскольку выбор ¿* был произвольным, установлено, что

А[М)<*> е Е V £ е Т.

Из (4.3) имеем, как следствие, требуемое свойство А[М) е П

Подобно [23, предложение 5.2] устанавливается следующее

Предложение 4.3. Если (М*е ^, (^е ^, М е Р(Т х М"), ^ е Р(Т х М") и при этом

((Мг )гШ; М &(№ ы;

шо М е /, ^ е £ и (А[Мг]№))ге^ А[М).

Доказательство. Пусть (М*)^, № , М и ^ удовлетворяют условиям предложения. Тогда, в частности, V j е N

При этом справедливы следующие равенства:

а потому по свойствам замкнутых множеств в ТП имеем из (4.53), что

Согласно (4.9), из вышеупомянутых свойств монотонной сходимости множеств вытекает, что

А[М,-+1]

В свою очередь, из (4.9) и (4.54) имеем вложения

А[М) С А[М,) V j е N. Поэтому справедливо следующее свойство:

А[М) с р| А[М*]

Осталось установить свойство

р|А[Мг) С А[М).

Итак, пусть выбрана произвольная позиция

(£*, ж*) € р| А[М*](Р*).

Тогда, в частности, имеем с очевидностью включение

(£*,ж*) € р| Р*

¿ен

(см. (4.8)), а потому, согласно (4.54),

Далее, по выбору (£*,ж*) имеем следующее свойство:

(£*,ж*) € А[М,) Vз € N.

Поэтому с учетом (4.8) получаем, что Vз € N V V € ф 3 ^ € Р*» 3 $ € [£, $о]:

Фиксируем v € ф. Тогда согласно

Л, = {

€ V£ € [£*,$[)} = 0 Vз € N.

С учетом (счетной) аксиомы выбора имеем свойство

П л * = 0.

¿ен

Поэтому для некоторых последовательностей

имеет место свойство , ) € Л, Vз € N. Последнее означает, что Vз € N

С учетом компактности Р* и [£*,$о] полагаем, не ограничивая общности, что последовательности (4.61) являются сходящимися: для некоторых

имеют место свойства

((^)*еН - /) & (($г)г€N $о). (4.64) Тогда, в силу (3.14) и (4.64), получаем свойство сходимости

В частности, из (4.1), (4.64) и (4.65) получаем следующее свойство сходимости:

р

Пусть т € N. Тогда в силу предположения о монотонной сходимости имеем, в частности, что

М, С Мт Vз € тг—о-.

С учетом (4.62) и (4.67) получаем свойство

При этом согласно (4.53) Мт е Поэтому (см. (4.66), (4.68)) ($0,^>($0, ¿*,ж*,д0  V)) е Мт. Поскольку выбор т был произвольным, установлено, что

,р(00, ¿*, ж*, д0  V)) еМ, V; е N.

Тогда, как следствие, получаем свойство

, ¿*, ж*, д0  V)) е Г|М.

Из (4.54) и (4.69) получаем очевидное включение

, ¿*, ж*, д0  V)) еМ. (4.70) Выберем произвольно ¿* е [¿*, $0[. Тогда в силу (4.64) можно указать к е N такое, что

¿* е [ V; ек, о.

Тогда, согласно (4.62) и (4.71), имеем следующее свойство:

Пусть г е N. Тогда с учетом предположения о монотонной сходимости множеств получаем

^ С ^ V ^'е--0.

При этом число г △ 8ир({к; г}) е N таково, что

Согласно (4.72) и (4.74) получаем свойство

Из (4.73) и (4.74) вытекает, однако, что

^ С ^ V; е-0.

Поэтому (см. (4.75), (4.76)) имеем свойство

, ¿*, ж*, д,  V) <£*> V j е--0.

Напомним, что (см. (4.53)) е а потому, согласно (4.3),

^ <Г> е Е.

Напомним также, что согласно (4.65) имеет место сходимость

,ж*, д*  v))гgN —> ^

Тогда в силу (4.77)^(4.78) получаем по определению Е, что , ж*, д0  V) е <£*>. Иными

словами, (¿*, *, ¿*,ж*,д0  V)) е . Поскольку выбор г был произвольным, установлено, что

, ¿*, ж*, д0  V)) е ^ V; е N. 30

Как следствие, получаем очевидное включение

(г*,^(г*,£*,ж*,/  v)) € р| р*.

С учетом (4.54) получаем, что , £*,ж*,^v)) € Р. Однако выбор £* был произвольным,

а потому установлено свойство

Таким образом (см. (4.63), (4.70), (4.79)), установлено, что 3^ € Р*» 3$ € [£,$о]:

(($,^($,£*,ж*,^  v)) € М) & ((£,^(£,£*,ж*,^  v)) € Р V£ € [£*,$[).

Поскольку выбор ^ ^^^^ установлено, что VV € ф 3^ € Р*» 3$ € [£,$о]:

(($,^($,£*,ж*,^  V)) € М) & ((£,^(£,£*,ж*,^  V)) € Р V£ € [£*,$[).

С учетом (4.8) и (4.59) получаем теперь включение

(£*,ж*) € А[М](Р).

Поскольку выбор (£*, ж*) был произвольным, установлено (4.58). С учетом (4.57) получаем требуемое равенство:

А[М]

г€Н

Из (4.56) и (4.80) вытекает свойство сходимости

(А[Мг]№))гем; А[М](Р).

Следствие 4.1. Если М € Т, а (Р* )*ем € и Р € Р (Т х Мп) таковы, что

(Р*^ Р,

то Р € £ м, кроме того,

(А[М](Р*))А[М](Р).

Доказательство непосредственно следует из предыдущего предложения. § 5. Итерации стабильности

В настоящем параграфе излагается (с несущественными изменениями) итерационная процедура ( [8, § 11]; см. также [9, гл. V, §4]). Данная процедура, приводимая здесь в обобщенном варианте, реализуется в Р(Т х Мп) и (при естественных предположениях топологического характера) доставляет в пределе \! 1111. Наряду со свойствами \! 1111 мы отметим и некоторые свойства множеств, реализующихся по мере выполнения итераций. Иными словами, мы будем рассматривать не только предельные множества.

Если а € Р(Т х Мп)р(тхМп) (то есть а — оператор, действующий в Р(Т х Мп)), то последовательность

а

где о используется для обозначения композиции отображений. С учетом (5.1) получаем, что при М е Р(Т х М") и к е N0 определен оператор А[М]к, действующий в Р(Т х М"). При этом А[М]0 — тождественый оператор. Полагаем, что

Щ

Из

^

кем

Легко видеть, что

Предложение 5.1. Если М е / и N е то П8(М, N) е £ V N0.

Доказательство следует из (5.3) и предложения 4.2. Используя (5.4) и свойства замкнутых множеств в ТП, получаем

Следствие 5.1. Если М е / и N е то П (М, N) е

Из предложений 4.3, 5.1 и (5.5) вытекает следующее важное

Предложение 5.2. Если М е / и N е то П (М, N) = А[М ] ( П (М, N )).

Отметим два очевидных, но полезных свойства:

1) если М е Р (Т х М"), N е Р (Т х М") и Не Р то

(Н = А[М] (Н)) (Н С П(М, N));

2) если М е/ ,Nе £ и !е Р ^), то

(П(М, N) С ¿) (П(М, N) = П(М, ¿)).

В связи с первым свойством отметим следствие: если М е / и N е то П(М, N) есть наибольшая (в упорядоченности по включению) неподвижная точка оператора (4.7) на семействе всех п/м N. Иными словами, в данном случае П(М, N) — наибольший стабильный мост Н. Н. Красовского в игре сближения-уклонения с параметрами М, N. В качестве простого следствия предложения 4.3 отметим также

Предложение 5.3. Если (М*)*еН е , е М е Р (Т х М") « N е Р (Т х М"),

то

(((М)гем 4 М)&(№)геМ 4 ((ПДМ))(M,N) Vзе N0).

Следствие 5.2. Вели (М* )*еН е (^ )*еН е М е Р (Т х М") « N е Р (Т х М"), то (((Мг)гШ 4 М)&((^)г£К 4 N)) ((п(М*, п(М, N)) .

Доказательство получаем непосредственной комбинацией

((М1 С М2)&(^ С N2))=^ (п8(М1,N1) С ПДМ2,^) Vй е N0);

как следствие, получаем импликацию

((М1 С М2)&(М С N2))=^ (П(М1, N1) С П(^^2, N2)).

Упомянутые простые свойства используем ниже без дополнительных пояснений. Из предложения 5.3 вытекает

Предложение 5.4. Если М € Т \ {0}, N € в € N и (£*,ж*) € N \ Н^М, N), то

3 е € ]0, (£*,ж*) / Пв($,(М,е), §(N,6)).

Отметим, что при М € Т и N € $ в виде П (М, N) имеем МПП, которое исчерпывает возможности успешного решения задачи наведения на М при ФО, определяемых сечениями N, в классе квазистратегий. В этой связи см. [8, теорема 11.1; 23, теорема 10.1]; в указанном случае П(М, N) есть множество успешной разрешимости задачи сближения в классе (обобщенных многозначных) квазистратегий.

§ 6. Слои пространства позиций

В настоящем параграфе общая схема МПП (итераций стабильности) конкретизируется в интересах последующего исследования задач уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления. Всюду в дальнейшем фиксируем множества

(наряду с множествами (6.1) будем рассматривать их окрестности); М играет роль целевого множества задачи сближения, а сечения N определяют ФО упомянутой задачи. Полагаем далее для краткости, что

В связи с (6.2) отметим, что € $ при в € N0; кроме того, Ш € Заметим также, что в силу (5.4) справедливо равенство

N \ Ш = и^ \ Ш).

Отметим, что при е € ]0, ревизуются множества £0(М,е) € Т \ {0} и §(N,6) € В этой связи полагаем для краткости, что Vе € ]0,

(Ш,(£) = Пв(50(М,е),§(N,6)) Vв €N0)&(Ш(£) = П(50(М,е),§(^е))). (6.3) Ясно, что при е € ]0, реализуются свойства

€ $ Vв € ^)&(Ш(£) € $). С учетом

предложения 5.4 имеем, что

V в € N V

Если е € ]0, то полагаем, что

^0£) =

Множества (6.5) называем слоями пространства позиций. Отметим легко проверяемые свойства слоев (доказательства очевидным образом извлекаются из (6.5)).

Предложение 6.1. Если е € ]0, ж[ и в € N то

^,е) \ Ш]£) = У ^£).

к=1

Предложение 6.2. Если е € ]0, то последовательность (Fk£))fcgN образует разбиение множества §(^е) \ Ш(£);

(§(N, е) \ Ш(£) = У П Fk£2) = 0 Vк1 € N Vк2 € N \ {к1}).

fceN

Следствие 6.1. Если е е ]0, ж[, то : к е N0} есть разбие ние Т х М";

(Т х М" = и (^к'!'1 п = 0 V к1 е N0 V к2 е N0 \ {к1}).

Следствие 6.2. Если е е ]0, и £ е Т, то {^,е) (£} : к е N0} есть разбие ние М": (М" = у ^е)(£})&(^г1)(£} п Fkг;)(í} = 0 V к1 е N0 V к2 е N0 \ {к1}).

Итак, в виде системы слоев получаем разбиение пространства позиций, а сечения слоев образуют (при фиксации одного и того же момента времени) разбиение фазового пространства. Заметим, что в последующих построениях переход от (6.2) к (6.3) связывается с (6.4), то есть с предложением 5.4. Само свойство (6.4) играет в последующих построениях весьма важную роль.

§ 7. Процедуры уклонения, 1

В настоящем параграфе уточняются построения § 1, касающиеся задач уклонения с ограничением на число переключений. Прежде всего это касается стратегий-троек (триплетов). Рассмотрим соответствующие точные определения.

Через V обозначаем множество всех отображений из Т х М" в Р'(^); итак,

V = р '(д)т

Стало быть, элементы V (позиционные стратегии) суть непустозначные мультифункции из Т х М" в Q, что идейно соответствует определению позиционных стратегий в [2,3]. Если £ е Т, то через С* (£) обозначаем множество всех отображений

£* : С"(М0]) -^Р'(М0]),

обладающих каждое следующим свойством неупреждаемости:

V51 еС"(М„]) V£2 еСп(М„]) V0е М0]

(см. [11, 12]). Итак, элементы С*(£) суть неупреждающие (см. (7.1)) мультифункционалы па С"([£, $0]); ясно, что отображения-константы со значениями в Р'([¿, $0]) являются элементами С*(£). Через С*(£) обозначаем множество всех отобр ажений из М" в С*(£): С*(£) = С*(£)М". Наконец, полагаем при 0 е Т, что

С* = П <&*

(С* есть (обобщенное) декартово произведение множеств С*(£), £ е [0,$0]). Элементы (7.2) называем стратегиями коррекции па [¿, $0] (см. [11, с. 8]). Каждая стратегия коррекции из множества (7.2) является отображением па [0, $0], значения которого при £ е [0, $0] содержатся в С*(£) и являются, следовательно, всякий раз отображением из М" в С*(£). Итак, при 0 е Т, 7 е С*, £ е [0, $0] и х е М" в виде 7(£)(ж) имеем (пеупреждающий) мультифупкциопал из множества С*(£). В частности,

7

(значениями отображения 7(£)(х) являются всякий раз непустые п/м [¿,$0]). Отметим в связи с (7.2) очевидное свойство: если £ е Т, 7 е С и те [£, $0], то определено сужение

исходного отображения 7 па отрезок [т, $0]. Наконец, располагая позицией (£, х) е Т х М" и значением в е N мы определяем множество допустимых процедур уклонения из данной позиции

в виде 23 х х 1,5. Здесь определяет ограничение на число переключений формируемого управления.

Рассмотрим вопрос о траекториях, порождаемых стратегиями-тройками из множества ЗДх хС* х N. Сначала введем несколько вспомогательных определений. Если Ь € Т и т € ^ то

ДтМ = € % $о]т+1\

каждый кортеж из множества (7.4) порождает разбиение [¿, ] в сумму т промежутков (некоторые из них могут быть вырожденными). Если к € N и I € N то полагаем, что

11 — {; €N1

При ЭТОМ, конечно., к, I — к, I — 1, где I — 1 € N0, но мы сохраним обозначение (7.5) в целях более полного согласования с конструкциями [12].

Если (¿, ж) € Т х МП V € ф и в € [Ь, $0], то полагаем, что

Х^ж^) — {(х| [Ь,в]) : х € Хп(Ь,ж^)},

получая непустое множество п-вектор-функций на [¿, в]. Если V € 23, £ € Т, т € М, т+1 € € Ат[¿] и х €Сга(М0]),то

т

¿=1

(допускается, что множество (7.6) может быть пустым). Разумеется, (7.6) представляет интерес при условии, что х — ж(') — траектория системы. Дал ее, если V € V, Ь € Т, 7 € С*, х € € СП([Ь, $0]) и т € N, то полагаем

Аро8[У^;7;х;т] = {(т^т^+г € АтИ | ш; х] ф 0)&

&(тк+1 € 7(тк)(х(тъ))((х| [тк,0О])) Vк € I-т)}.

В (7.7) указаны возможные «временные сценарии» организации коррекций, согласованных с (V, 7, т) и «привязанных» к вектор-функции х (последняя, кстати, в силу (7.6) непременно является траекторией, а точнее, конечной склейкой v-тpaeктopий; см. (3.5), (3.6)). Наконец, сопоставим стратегии-тройке множество не противоречащих ей траекторий: если (Ь, ж) € Т х Мп, V € V, 7 € С* и т € N то

Х[Ь; ж; V; 7; т] — {х € Сга

Элементы (7.8) — траектории системы, которые стартуют из позиции (¿, ж) и не противоречат стратегии-тройке (V, 7, т). Эти траектории называем далее порожденными данной стратегией-тройкой из позиции (¿,ж).

Замечание 7.1. В (7.8) допускается, что формируемое на основе (V, 7, т) обычное кусочно-постоянное, непрерывное справа и непрерывное слева в точке управление v(•) со значениями в ф воздействует на систему вместе с некоторой обобщенной помехой ^ € см. в этой связи (3.5), (3.6). Итак, мы существенно расширяем возможности игрока I в части формирования помеховых воздействий. Отметим здесь же вариант [11] излагаемой ниже конструкции, в рамках которого допускалось использование игроком I только обычных помеховых управлений.  Из (7.6)-(7.8) легко следует свойство: если (Ь*,ж*) € Т х Мп, V € V и 7 € С*, то

£[Ь*; ж*; V; 7; 1] — у Хп

Предложение 7.1. Если € Т; 7 € Ш, 7 е т £ М, х 6 Сга([£*, #0]) и 6

е Аров[V;£*;7;х; т + 1], то

г€1,т+1 ^ Дров [У) Т~2] (7) [т2, $0]); (х| [т2, $0]); Гп]. Доказательство легко следует из определений. Из (7.8) и предложения 7.1 вытекает Предложение 7.2. Если (£*,х*) е Т х М" V е V 7 е т еН,

х е £[£*; х*; V; 7; т + 1] и (Тг)геТ^+2 6 Аро8[У;^;7;х; т + 1], то

(х| [Т2, 0,]) е Х[Т2; х(т2); V; (71 [т2, 00]); т]. В дальнейшем используется «обычная» операция склеивания и-вектор-функций: если £ е Т, 0 е [£, 0,], £1: [£, 0,] ^ М", £2 : [0, 0,] ^ М",

и

51П £2 : М0] ^ М"

определяется условиями

Ясно, ЧТО при £1 е С",

Предложение 7.3. Если (£,х) е Т х М", V е V, 7 еС* и т е N то

Х[£; х; V; 7; т] = 0.

Доказательство. Используем математическую индукцию. Введем в рассмотрение следующее множество:

N = {те N1 Х[£; х; V; 7; т] = 0 V (£,х) еТ х М" V V еЯ V 7е С*}.

Из (7.9) следует, что 1 е N. Пусть г е N Выберем и зафиксируем (£*,х*) е Т х М", V е V и к е С*. По выбору г имеем, что

Х[£*; х*; V : к; г] = 0. С учетом этого выберем х е Х[£*; х*; V; к; г]. Тогда х е С",([£*,00]), х(£*) = х* и

Аров [V;

£* ; К; х; г] = 0.

Пусть

№)геТ7+г€ АРОв[¥;^;К;х;г].

В частности, (0г)г€Т7+Т ^ С учетом (7.7) и (7.12) имеем свойство

0ь+1 е к(0кКх(0*))((х| 0,00])) Vк е 1,г.

€ тогда V*

Выберем и зафиксируем (-и!^)^— е t*; г; (^геТТ+Т) к]; тогда € Y(вj,x.(вj)) У3 € 1, г.

Кроме того,

Заметим, что к(вг)(х(вг))€ С*(вг). Данный неупреждающий функционал не использовался при построении х. Сейчас мы его применим по отношению к х = (х| [вг, $0]):

С учетом этого выберем в € к{вг) (х(0г)) (х). Пусть ((г)геТТ+2 € [¿*,$о]г+2 имеет вид

(О = в3 V; € Т^Шг+1 = ~вШг+2 = 0о).

Тогда (0)геТ^+2 6 Лг-иМ- При этом (0,х(0)) = ((г+1, х(Сг+1)) € Т х Мга Выберем и € У(0,х(0)) и Д € получая Д  и € Нц. С учетом (7.10), (7.11) получаем, что

Ъ = хП <£>

Более того, как нетрудно ^^вереть, Н € Х[Ь); ж*; V; к; г + 1] (используем неупреждаемость мультифункционалов к((3)[1г((3))= к((3) (х((3)~) Vв € 1, г, а также (7.13)). Поскольку выбор (Ь*,ж*), V и к был произвольным, установлено, что г + 1 € N. Поэтому (1 € ^&(к + 1 € N V к € Тогда N — N чем и завершается доказательство.

Итак, каждой стратегии-тройке сопоставляется непустое множество — пучок траекторий, порожденных данной стратегией.

Предложение 7.4. Если (Ь*,ж*) € то V V € V V 7 € Зх € Х[Ь*; ж*; V; 7; 1] € [Ь*,0О]:

'(0, х(0))€ м)&((Ь, х(Ь)) € N VЬ € [Ь*,0[) .

Доказательство. По выбору (Ь*, ж*) имеем включение

Фиксируя V € V и к € , получаем, в частности, что V(t*,ж*) € Р'(ф), причем согласно (7.9) Х[Ь*; ж*; V; к; 1] есть объединение всех множеств Хп(Ь*, ж*, V), V € V(t*, ж*). Используя непустоту множества V(t*,ж*), выберем V* € V(t*,ж*), а тогда го (7.14) имеем для некоторых € и 0* € [Ь*, 0О] свойства

(0*, х*(0*))€ М&((Ь, х*(Ь))€ N VЬ€ [Ь*,0*[) ,

где х* — , ж*,^*  V*) € X[Ь* ; ж*; V; к; 1]. Поскольку V и к выбирались произвольно, пред-

Предложение 7.5. Если $ еМ, (¿,х) € И^, У € 23, 7 € и к £1,8, то

Зх € Х[Ь; ж; V; 7; к] 30 € [Ь, 0О]: ((0, х(0)) € м)&( (£, х(£))€ N V £€ [Ь,0[) . Доказательство. Введем в рассмотрение множество N = е N1 еИ^ УУ е 23 V к еТ^ е Х{1]Х]У-,г,к} 30 е М0]:

(0,х(0))€ М&(&х(0) € N V£€ [Ь,0[У

Из предложения 7.4 вытекает, что 1 € N. Выберем произвольно т € N. Пусть, кроме того, (Ь*,ж*) € ^т+1, V € V и к € . Тогд а V(t*,ж*) € Р '(ф) и, в частности, V(t*,ж*) — 0. Выберем произвольно V* € V(t*,ж*). Тогда, поскольку ^т+1 — А[М](^т), для некоторых € ^ и 0* € [Ь*, 0О]

где х* = ,х*,д*  V*). При этом к(£*)(х*)(х*) е Р'([£*,00]). С учетом этого выберем

произвольно

£* е к

Рассмотрим позицию (¿*,х*(£*))€ Т х Мга. Фиксируя г € 1,ш, получаем стратегию-тройку

(V,7?, г), где к = (к| [¿*, 0О]) € (см. (7.3)). В силу предложения 7.3 х*(£*); V;«;; г] € е Р'(С"([£*, 00])). С учетом (7.17) нетрудно показать, что

х,Пуе^,;х,;У;к;г+1] Уу

При этом (0* ^ £*) V (£* < 0*). Оба упомянутых случая рассмотрим отдельно.

1. Пусть ^ ¿*. Тогда с учетом непустоты х*

г = х*Пх € х*; V; к; г + 1] со свойством = х*(£) V£ е [£*,£*]. С учетом (7.16) получаем, что

Итак, установлена следующая импликация:

(0* < £*) ^ ^3 хе £[£*; х*; V; к; г + 1] 3 0 е [£*,00]: '(0,х(0))е м)&((£,х(£))е V£ е [**,0[}

2. Пусть £* < 0*. Тогда £* е [£*,0*[ и с учетом

ге ТТгй, ¥е2}, к ее?*. Тогда по выбору т имеем, что (см. (7.15)) для некоторых х'' € х*(£*); V;«; г] и ^ € *, 1?0]

С учетом (7.18) получаем свойство

х* = х*^ х* еХ[£*,х*; V; к; г + 1],

причем х*(£) = х*(£) V£ е [£*,£*]. Тогда из (7.16) получаем, что

(£,х*(£))= (£,х*(£))е N V£е [£*,£*] (учли вложение С откуда с учетом (7.20) и (7.21) получаем, что

Из (7.21) и (7.22) вытекает, что

(£* <0*) ^ ( 3 хе £[£*; х*; V; к; г + 1] 3 0е [£*,00]:

'

Поскольку выбор г € 1,т был произвольным, из (7.19) и (7.23) вытекает, что

Уз € 2, т + 1 Зх € ж*; V; к; в] € [¿*,0О]: ((0,х(0))е м)&((*,х(*))<Е N [**,#[).

С другой стороны, Жт+1 С а потому

бТлГПЗх € 30 € [¿*,0О]: ((0,х(0))е м)&((*,х(*))<Е N [**,#[).

Поскольку выбор (¿*,ж*), V и к был произвольным, установлено, что т + 1 € N. Получили импликацию (т € N) ^ (т + 1 € Следовательно, (1 € ^&(к + 1 € N Vк € N), а потому N = М, и с учетом (7.15) получаем требуемое утверждение.

Итак, установлено, что при § € N и (¿, ж) € Ж, гарантированное (М, N)-yклoнeниe в классе стратегий-троек (V, 7, к), V € 23, 7 € к € 1,«, невозможно. В следующем параграфе рассмотрим вопрос об осуществимости такого уклонения для позиций из множеств N \ Ж,. Более того, будем исследовать для вышеупомянутых позиций вопрос об осуществимости строгого уклонения.

§ 8. Процедуры уклонения, 2

В настоящем параграфе рассматривается вопрос о процедурах, гарантирующих при соответствующем выборе начальной позиции строгое уклонение при том или ином ограничении на число переключений

Нв

Введем в рассмотрение аналог позиционной стратегии [12, (5.5), (5.6)], для чего отметим сначала, что V е € ]0, V 8 €М V (¿,ж) 3 V х€ Хп (¿,ж,<и) V 0€ [¿, 0О]

С учетом (8.2) и следствия 6.1 полагаем, что при е € ]0, позиционная стратегия € V определяется следующими условиями:

(Уе(*,ж)= Я V (¿,ж) €F0£))&(V£(í,ж) = \у €Я| V х € Хп(*,ж,и) V 0€ [¿, 0О]

. 1 .

((0,х(0))€ 50(М,е))=^(з{€ [¿,0[: ({,х({))/Ж^)} V§€ N V(¿,ж) € F(£)J.

При £ € Т полагаем, что € С*(£) определяется условием в°(д) = (0О} Vд € Сп([¿, 0О]). Для построения работоспособных стратегий коррекции потребуются некоторые вспомогательные определения. Если £ € Т, Г € Р(Т х Мга) и Л € Р(Т х Мга), то полагаем, что

С*[Г;Л] = {д€Сга(М0])|3 0 € [£, 0О]: ((0,д(0))€ л)&( ({,д({))/Г V {€ [¿,0])}. (8.4) Определение 8.1. Если Г € Р (Т х Мга), Л € Р (Т х Мга) и £ € Т, то мультифункционал

Г [Г; Л; ¿] : С„

определяем следующими условиями:

(г[Г;Л; ¿](д) = {0 € [¿, 0О] | ((0,^(0)) € л)&(({,д({))/Г V{€ [¿,0])} Vд€С4[Г;Л])& & (Г [Г; Л; ¿](д) = (0О} Vд € Сга([*, 0О]) \ С* [Г; Л]) .

Предложение 8.1. Если Г € Р (Т х Мга), Л € Р (Т х Мга) и £ € Т, то 0°[Г;Л; ¿] € С*(£).

Доказательство. Фиксируем Г Л и £ в соответствии с условиями. Пусть £1 е С"([£,00]) £2 е С"([£,00]) И 0 е [£,00] таковы, что

(£11 М]) = (£2| [£,0]).

Введем Т = 00[Г;Л; £](£1) и Т2 = 00[Г;Л; £](£2).

1. Пусть £1 еС^[Г; Л]. Тогда Т1 определяется первым положением в (8.5). Пусть 01 еТП[£, 0]. Тогда

Поскольку 01 ^ 0, из (8.6) легко следует, что 01 е Т2 П [£,0]. Итак, Т1 П [£,0] С Т2 П [£,0]. Получили импликацию

2. Пусть теперь £1 е С"([£, 00])\Сг[Г;Л]. № определения 8.1 следует, что Т1 = {00}, а из (8.4) и совпадения £1(£) и £2 (£) на [£, 0] вытекает, что V 0 е [£,0]

((0, £2(0)) е Л (з { е [£, 0]: ({, £2({)) е г).

Допустим, что (Т1 п [£, 0]) \ (Т2 п [£, 0]) = 0. Пусть

0 е (Т1 п [£,0]) \ (Т2 п [£,0]).

Тогда $ ф Т2 и, вместе с тем, § = "д0. Получили, что ^ Т2, что означает в силу определения 8.1 справедливость включения £2 е С^[Г;Л]. При этом

Т2 = {0 е [£,0О]|

Тогда Т2 п [£, 0] = 0 (действительно, при $ е Т2 п [£, 0] имеем $ < 00, и вместе с тем, с учетом (8.8),

(($,£1($))е Л)& ((е,£1({))/ Г V { е [£,$]);

поэтому при Т2 п [£, 0] = 0 имеем в силу (8.4), что £1 е С^[Г; Л], а это невозможно). Кроме того, при 0 = 00 имеем равенство £1 = £2, а тогда Т1 = Т2 и Т2 = {00}, что невозможно в силу (8.8). Стало быть, 0 < 00, а потому

Т1 п [£,0] = {00} п [£,0] = 0, и наше предположение о непустоте множества

неверно. Таким образом,

Т1 п [£, 0] С Т2 п [£, 0]

и в рассматриваемом случае 2. С учетом (8.7) получаем окончательно импликацию

((£11 [£,0]) = (£21 М]))=^ (Т1 п [£,0] С Т2 п [£,0]).

£1 , £2 0

С учетом следствия 6.2 корректно следующее

Определение 8.2. Если е е ]0, оо[ и £ е Т, то полагаем, что отображение ' е С*(£) имеет следующий вид:

(^(£)(х) = ©0 V хе F0£)(í})&Й£)(х) = 00[^(М,е);(Т х М") \ Жв(-)1; £] V ее N V хе FS£)(í}).

С учетом определения 8.2 имеем теперь, что

)[£] = ^е^о] е С* Vе е]0, V£ е Т.

Таким образом (см. (8.3), (8.9)), при е е]0, е Т и е е N (Уе,0(е)[£],е) е V х С* х N (построена «выталкивающая» стратегия-тройка).

Предложение 8.2. Если е е ]0, е е N, е ^ 2, (£, х) е е) \ ш]е) м V е У£ (£, х), то

Хп(£,х, V) С С[$,(М,е); (Т х М") \ Ш^].

Доказательство. Фиксируем е, е, (£, х) и V в соответствии с условиями. В силу предложения 6.1 (¿, ж) € где к € 1,5. С учетом (8.2) \/х € Хп(£,ж,г>) V$ € [£, $0]

(0, х(0)) е ^(М,е))=^ (3 { е [£,0[: ({, х({))/

(учли неравенство к ^ е). Заметим, что

С^(М, е); (Т х М") \ Ш^] = {£ е С"([£, 00])| 3 0 е [£, 00]:

(0,£(0))е (Т х М") \ & ((£,£(£))/ ^(М,е) Vе е [£,0^}. Пусть х° е Хп(£, х, V) Получили х° е С"([£, 00]). Допустим сначала, что

3 0 е [£,00]:

В силу (8.11) имеем, конечно,

в = {0 е [£,00]| (0,х0(0))е ^(М,е)}е РЧМ0]),

и определено 0* = т^в) е [£, 00], причем 0* е в, поскольку £0(М,е) е Т. Тогда

и по выбору V (см. (8.3)) для некоторого

причем (£, х0(£))/ £0(М,е) V{ е [£, £*] (в самом деле, £* < 0*). С учетом (8.10) и (8.12) получили, что

х0 е С^

при условии (8.11). Итак,

(3 0 е [£,00] : (0, х0(0))е й,(М,е))=^ (х0 е С[$,(М,е); (Т х М") \ Ш^]). (8.14) Пусть теперь (0, х0(0))/ £0(М, е) V 0 е [£, 00]. При этом (00, х0(00))е Т х М" и

Поскольку [00,00] = {00}, из (8.15) следует, что

(00, х0(00)) / Л^М, е)] е)).

Иными словами, (00, х0(00))/ и, поскольку 1 ^ е — 1, то (00, х0(00))/ Ш^-!. В итоге

'

С учетом (8.4) и (8.16) получаем, что

'(0,хо(0))/ 50(М,е) V0 € [¿,0О])=^ (х0 € ОД(М,е);(Т х Мга) \ Ж^]).

С учетом

0о[£о(М,е); (Т х Мп) \ ¿](х) = {0 € [¿,0о]| ((0,х(0)) € (Т х Мп) \ &

&( ({, х({))/$,(М,е) V { € [¿,0]

С учетом (7.9) получаем весьма очевидное свойство: Vе € ]0, оо[ V (¿,ж) € Fl£) Vх € Х[£;ж; V£;0(£)М;1] V0 € [¿,0о]

Предложение 8.3. Если е € ]0, о[, в € М, (¿,ж) € 8(^е) \ ж]£), х € X [¿; ж; V£; 0(£)[£]; в] м 0 € [¿,0О], то истинна импликация

'(0, х(0)) € 5о(М, е)) ( 3 { € [¿, 0[: ({, х({)) / е);

е ]0, о [

N ={в € М| V(¿,ж) € е) \ Ж]£) Vх€ £[*;ж; V£; 0(£)М; в] V0€ [¿, 0о] '(0, х(0)) € 5о(М, е)) ( 3 { € [¿, 0[: ({, х({)) / е)' Из (8.17), (8.18) имеем включение 1 € N. Пусть т € N. Выберем произвольно

Тогда Ь € СП([£*,0О]) и Ь(£*) = ж*; Ар08 [У£; ¿*;0(£)[£*]; Ь; т + 1= 0. С учетом этого выберем

[]

получая, в частности, что {б^ц^хт^2 ^ Ат+1^*] и 02 € 1?0]. С учетом (7.3) и предложения 7.2

[]

Заметим, что 02 € 04(£)(ж*)(Ь), где 0(£)(ж*) € С*(£*). Заметим здесь же, что

ШТд[У£; ш + 1; (0г)геТ^+2; Ц ф 0.

С учетом этого выберем

(Ь| [¿*,02]) = (Ь11 [¿*,02]), откуда в силу неупреждаемости (ж*) получаем, что

02

С учетом (8.19) и предложения 8.2

Ь1 € С4, [5о(М, е); (Т х Мга) \ Ж^].

Данное свойство допускает уточнение: по выбору (£*,х*) имеем в силу предложения 6.1, что для некоторого г € 1,т + 1 выполнено (¿*,ж*) € а потому ж* Как следствие (см.

определение 8.2),

)

С учетом (8.21) и (8.22) получаем, что

((02,^02))= (02,^1 (02)) е (Т х М") \ Ш^) &((£,Ь(£))/^0(М,е) V£ е [£*,02]) . (8.23) Из (8.23) имеем, в частности, импликацию

Отдельно рассмотрим случаи г = 1иг€2, т + 1.

1. При г = 1 имеем, что (02,Л,(02))/ 8(^е), и с учетом (8.24) получаем в рассматриваемом случае г = 1 импликацию

2. Пусть г € 2, т + 1. Тогда в силу

В первом, из указанных в (8.26), случае имеем сразу (см. (8.24)) импликацию (8.25). Пусть

Тогда, поскольку Шт) С Шг(1)1, получаем, в частности, что

(02,^(02))е S(N,е) \ Ш^.

Поэтому по выбору т имеем следующее свойство: Vх е X[02; Л,(02); У£; 0(е)[02]; т] V0 е [02,00]

Из (8.20), (8.24) и (8.28) следует сразу, что

((0*, Ь(0*)) е ^(М, е)) (3 ее [02,0* [: (£, Ь({)) / S(N, е)).

Поскольку [02,0*[С [£*,0*[, имеем с учетом (8.24), что (8.25) истинно и при условии (8.27). Таким образом, (8.25) истинно при г € 2,т + 1. Мы установили, что (8.25) истинно во всех возможных случаях. Поскольку выбор (£*, х*и 0* (см. (8.19)) был произвольным, получаем,

что т + 1 е N (см. (8.18)). И так, (1 е ^&(к + 1 е N V к е Получили (см. (8.18)) требуемое

С учетом (8.1) и предложения 8.3 имеем, что Vе е N V (£,х) е N \ Vе е х) Vх еХ[£; х; У£; 0(е)[£]; е] V0е [£,00]

Мы получаем в (8.29) конкретные варианты процедур, гарантирующих строгое уклонение.

§ 9. Условия разрешимости задач уклонения с ограничением на число переключений

В настоящем параграфе указываются необходимые и достаточные условия, обеспечивающие возможность успешного решения задач уклонения с тем или иным ограничением на число переключений формируемого управления. Эти условия определяются всякий раз соответствующей итерацией на основе оператора стабильности.

Теорема 9.1. Если в еМ, то справедливо следующее равенство:

= {(¿,ж) € N(3^ €]0,оо[ ЗУеЮ З^М Ух € ж; V; 7; к]

V 0е Мо] ((0, х(0))е 50(М,е))=^(з ее [*,0[: ({, х(е))/.

Доказательство. Фиксируя в е М,обозначим через О множество в правой части (9.1); итак, требуется показать, что N \ " = О.

Пусть (¿*,ж*) е N \ С учетом (8.1) имеем, что 58(£*,ж*) е Р'(]0, го[). Выберем произвольно ( е , ж*), получая при этом, что

(¿*,ж*) е N \ ).

Согласно (8.29) имеем по выбору (¿*, ж*) и £ следующее положение: У^ е V, 7<^[£*] е и в € 1,5 обладают тем свойством, что \/х € :£[£*;ж* ;Ус;];в] V0е [¿*,0О]

(0,х(0))е50(м,с)) (зее[¿*,0[: (е,х(е))/с)).

Получили включение (¿*,ж*) е О, чем завершается обоснование вложения N \ С О.

Пусть (¿*,ж*) е О. Тогда, в частности, (¿*,ж*) е N. При этом для некоторых к е]0, V € 23, х € и г € 1, 8 имеем следующее свойство: Ухе £[£*; ж*; V; %; г] \/0 € [¿*, 0О]

Отметим, что ((¿*,ж*) е (¿*,ж*) е N \ . Допустим, что (¿*,ж*) е ". Тогда в силу

предложения 7.5 3 х е £[£*; ж*; V; х; г] 3 0 е [¿*,0о]:

(0, х(0))е М&( (е, х(е))е N V ее [Л0[

Последнее, однако, противоречит (9.2). Стало быть, включение (¿*,ж*) е " невозможно, и на самом деле (¿*, ж*) е N \ ", чем завершается проверка вложения О С N \ а следовательно, и равенства N \ " = О.

Теорема 9.2. Если в еМ, то справедливо следующее равенство:

^\\¥3 = \(1,х) ею 37€С4* З^М Ух € ж; У; 7; Л]

V 0 е Мо] ((0, х(0))е М =^(з ее [¿,0[: (е, х(е)) / ^

Доказательство. Обозначим через Г множество в правой части (9.3) (здесь в е N фиксировано). Из теоремы 9.1 легко следует вложение

N \ " С Г.

Выберем произвольно (¿*, ж*) е Г, получая, в частности, что (¿*,ж*) е N. По определению Г имеем, что для некоторых V € 23, 7 € и I € 1,« справедливо следующее свойство: Vх е £[**; ж*; V; 7; 1] V0 е [¿*,0О]

Если (¿*,ж*) е то в силу предложения 7.5 вышеупомянутое свойство, связанное с (9.5), невозможно. Стало быть, (¿*,ж*) е N \ чем завершается проверка вложения Г С N \ " и, следовательно (см. (9.4)), требуемого равенства N \ " = Г.

Следствие 9.1. Если е е N и (£*,х*) е N; то (ЗУ ЕЮ £Gl Зк ((0,х(0))е м)=>

(Э£(=[и,#[: (зе€]0,оо[ 3 У € 23 3 7 € 3 А: € М

Vхе £[£*; х*; V; 7; к] V0е [£*,00] ((0, х(0))е $,(М,е))=^(3 {е [£*,0[: ({, х({))/.

Доказательство сводится к непосредственной комбинации теорем 9.1 и 9.2. Следствие 9.1 показывает, что при заданных е е N и (£*,х*) е N задача «обычпого» (М, N)-yклoнeния разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача строгого уклонения (то есть уклонения по отношению к некоторым окрестностям М и

§10. Некоторые топологические свойства и вопросы потенциальной реализуемости стратегий коррекции

Рассмотрим некоторые следствия построений [12, теорема 10.2], связанные с вопросом о потенциальной реализуемости процедур уклонения, рассматриваемых в § 8. В связи с определениями §7 отметим важную роль (7.7), где, в частности, оговаривается правило выбора моментов коррекции управлений игрока II (см. также (7.5) и (7.8)). Речь идет о селекции упомянутых моментов из множеств — значений неупреждающих мультифункционалов. Реально такая селекция предусматривает достаточную оперативность выбора моментов коррекции, а сам же конструктивный вариант выбора при этом не оговаривается. В построениях §8 указан (см. (8.9)) более понятный тип процедуры: коррекцию предлагается осуществлять (см. определение 8.2) по мере наступления события, связанного с выталкиванием траектории из множества, определяемого нужной итерацией на основе оператора стабильности. Само же выталкивание обеспечивается (см. (8.3)) позиционной стратегией , где е > 0, но момент его наступления зависит от реализации помехи и в общем случае не может быть указан заранее (в момент предыдущей коррекции). Возможность конкретного применения стратегии коррекции (8.9) можно на гипотетическом уровне связать с ненулевой временной протяженностью события, связанного с выталкиванием. Надо отметить здесь, что реализация (строгого) уклонения может, вообще говоря, осуществляться и «раньше», чем будут выполнены все существенные в упомянутом смысле коррекции. Тогда «правильная» реализация оставшихся после фактического осуществления уклонения коррекций уже не представляет интереса, так как цель игрока II уже достигнута. Такой взгляд на вещи излагается ниже. Прежде всего напомним (см. (2.1)), что при N е ^ в виде

% = ^ п С : С е ^

имеем топологию на множестве N а в виде — семейство всех п/м N замкнутых в ТП (^ ^^); последнее является подпространством ТП (Т х М", Если N е Т, то С Т. С учетом [12, лемма 10.1] имеем, что

А[М]

((10.1) устанавливается подобно [23, предложение 7.1]). На основе (10.1) рассуждением по индукции устанавливается, что

Щ

В свою очередь, из (10.2) по свойствам замкнутых множеств имеем, что

№(М, N) еТ|м VМе Т VNе

Предложение 10.1. Если N е ^ е и (£*, х*) е (Т х М") \ то

((£*,х*) / N^(35 е]0, {(£,х) е Т х М"| р((£,х), (£*,х*))< 5}п^ = 0.

Доказательство очевидно (см. (2.1) и определение Т). Также очевидно

Следствие 10.1. Если N е ^ е £* е Т, х е С"([£*,00]), £* е [£*,00]

« (£*, х(£*))е N \ то

3 к е ]0, о[: (£, х(£))/^ V£ е]£* — к,£* + к[ п [£*,00].

Предложение 10.2. Если £ е [£0,00[, Г е Т, N е Л е и х е С4[Г;Л], то

3 а е [£, 00] 3 Ь е ]а, 00] : ]а, Ь[С 00[Г;

Доказательство. Фиксируем Г N Л и х в соответствии с условиями предложения. Из (8.4) следует по выбору х, что для некоторого 00 е [£, 00]

Отметим, что в силу первого положения в

(00,х(00))е N

(действительно, Л С N). Кроме того,

Л С

Заметим, что из (10.4) и (10.5) вытекает включение

Поэтому (см. (8.4), (10.4), (10.6)) имеем включение х е С^[Г; (Т х М") \ (N\ Л)]. Как следствие (см. (8.5)),

00[Г; (Т х М") \ (N \ Л); £](х) = |0 е [£, 00] | ((0, х(0)) е (Т х М") \ (N \ Л))&

&

Из (10.4) и (10.6) следует, что 00 е [£, 00] таково, что

Поэтому (см. (10.7), (10.8)) имеем включение

00 е 00[Г; (Т х М") \ (N \ Л); £](х).

Заметим, что согласно (10.4) (00, х(00))е N \ (N \ Л), где N \ Л е Поэтому, согласно

следствию 10.1, для некоторого к е]0, оо[

Кроме того, в силу (10.8) х($°)) ^ Г, а, поскольку Г € Т, для некоторого к €]0, оо[

(учли свойство непрерывности х). При к = т£({к,к}) €]0, оо[ имеем в силу (10.9), (10.10), что V е е ]00 — К,00 + К[ п [£,00]

Пусть а = 8ир

следует, что

((0, х(0))е (т X мп) \ (ж \ Л) V 0 е]а,в[)&( (е, х(е))/Г V ее [¿,в[

С учетом (10.7) и неравенства в ^ 0о получаем, что

]а, в[С 0о[Г; (Т X Мп) \ (Ж \ Л); ¿](х) \ {0о}.

Итак, получили (10.3) (учли, что при 0 е]а, в[ непременно [¿,0] С [Ь, в[).

Следствие 10.2. Если £ е ]0, то[; Ь е [¿о,0о[, в е N в ^ 2, ж е FS£)(í); V е У£(Ь,ж) мхе Хп(Ь ж, V), то

3 0 е [¿,0о]: ((0, х(0))/§(^£))&( (е, х(е))/5о(М,£) V ее [¿,0])) V

V ( 3 а е [¿, 0о] 3 Ь е ]а, 0о]: ]а, Ь[С 0о[$,(М, £); (Т х Мга) \ Ж^; ¿](х) \ {0О}).

Доказательство. Пусть £, в, ж V и х удовлетворяют условиям следствия. Воспользуемся предложением 10.2 при следующей конкретизации его параметров:

N = §

кроме того, согласно предложению 8.2

хе ОД(М,£);(Т х Мга) \

(учли (8.4)). Первая возможность в (10.14) означает, в силу (8.4) и (10.13), реализацию первого положения в (10.12). Пусть х е С^[Г; Л]. Как следствие, получаем (10.3), откуда с учетом (10.13) и того, что

(Т х Мга) \ = (Т х Мга) \ (Ж \ Л),

Следствие 10.3. Если £ е ]0, то[; Ь е [¿о,0о[, в е N в ^ 2, же FS£)(í), V е У£(Ь,ж) мхе Хп(Ь, ж^); то

(30 е [¿, 0О]: ((0, х(0)) / S(N, £))&((е, х(е)) / 5о(М, £) V ее [Ь, 0])) V

)

V (3а е [¿, 0о[ 3Ь е ]а, 0о]: ]а, Ь[С 7(£)(ж)(х) \ {0О}).

Доказательство сводится к непосредственной комбинации следствия 10.2 и определения 8.2. В (10.15) речь идет фактически о принципиальной возможности осуществления нужного выталкивания, если только до этого не осуществилось требуемое уклонение.

Напомним теперь определения §§7, 8, фиксируя £ е]0, то[. Рассмотрим на содержательном уровне способ реализации совокупного воздействия позиционной стратегии У£ и стратегии коррекции 7( £)[Ь*] на одном отдельно взятом этапе построения траектории процесса; здесь ¿* отвечает «началу» формируемой траектории. Будем полагать, что упомянутое воздействие отвечает уже сформировавшемуся моменту ¿* е [¿*, 0о[ (случай ¿* = 0о не представляет интереса, так как отвечает завершению процесса) на траектории х, развивающейся из позиции (¿*,ж*), где ж* € Мга. Тогда реализуется управление V* € х(£*)), которое вместе с помеховым

воздействием определяет естественное продолжение х: [¿*, 0о] —> Мга получившейся к данному моменту траектории. Стратегия коррекции реагирует на это продолжение множеством

(x(t*))(x). Для нас интересен случай x(t*) € Fi£\t*}, где г € l,s (s определяет ограничение на число переключений). В этих условиях действие v* на систему сводится к выталкиванию всех траекторий пучка X\i(t*, x(t*), v*) из множества до встречи с ¿>о(М,£). Моменты

времени из 0^(x(t*))(x) соответствуют в силу свойства, подобного (7.1), упомянутому выталкиванию реализующейся траектории из пучка (см. определение 8.2). Согласно следствию 10.3, если не происходит выхода из S(N, е) до попадания на множество So(M, е), то множество 0^(x(t*))(x) содержит интервал ненулевой длины.

Разумеется, все это касается v-траекторий, где v = v*, но свойство неупреждаемости муль-тифункционала 0^(x(t*)) позволяет применить упомянутое обстоятельство к анализу траектории, порожденной соответствующей стратегией-тройкой (данная траектория является склей-v

ние выталкивания (на промежутке ненулевой длительности) и осуществить новую коррекцию управления.

Заметим, что в [13] указаны классы задач, в которых очередной момент коррекции может (без потери качества) назначаться на основании информации о позиции, отвечающей предыдущему моменту коррекции. Для таких задач построение траекторий, порожденных стратегией выталкивания, существенно упрощается.

§11. Добавление, 1

Отметим некоторые простые следствия общих положений, касающиеся вопросов сходимости множеств-итераций к МПП. Будем полагать в настоящем параграфе, что

(итак, полагаем сейчас, что каждое из множеств (6.1) непусто и замкнуто в «обычной» топологии t). Обозначения Ws, s е No, и W понимаем в соответствии с §6 (см. (6.2)). Напомним, что при этом (см. § 5) непременно

(см. (5.5)). Через K обозначаем семейство всех компактных [24, с. 196] в ТП (T xRn, t) множеств K е P(T x Rn), для каждого из которых K П W = 0 (при M П N = 0 непременно K = 0). Таким образом, при K е K имеем свойство

K П W е P'(T x Rn),

а потому определено множество S0(K П W, е) е F \ {0} при е е]0,

Предложение 11.1. Если K е K, то V е е ]0, Зш е N:

Wj П K С So(W П K, е) V j е шТ-Й.

Доказательство. Пусть выбрано и зафиксировано K е K. Допустим, что доказываемое утверждение неверно, т.е. для некоторого Z е]0, оо[

Vше N 3j ешгТс^:

В этом случае имеем с очевидностью (см. (11.2)), что

Jm △ {j е m-o^Wj П K) \ So(W П K,Z) = 0} е P'(N) Vш е N. При этом, конечно, имеем, как следствие, свойство

jm △ inf(Jm) е Jm V Ш е N.

Тогда (Wjm П K) \ So(W П K, Z) = 0 V m е N. В этом случае имеем с использованием (счетной) аксиомы выбора, что

П ((Wjm П K) \ So(W П K,Z)) = 0.

m€N

С учетом этого выберем произвольно последовательность

((tm, Xm)WN G П ((Wjm П K) \ So(W П K, Z)).

meN

Тогда, в частности, имеем, что m i—> (tm, xm): N —^ K. С учетом компактности K можно полагать данную последовательность сходящейся: для некоторой позиции (t*, ж*) G K имеет место

P

В связи с (11.2) отметим следующие обстоятельства. При m G N непременно Jm+i С Jm. Поэтому Jk С Jm при m G N и k G m, oO. Выберем произвольно r G N и рассмотрим множество Wr. Тогда Jk С Jr V k G 1 o°. Это означает, что jr ^ jk V k G —О. Тогда

Wjk С Wjr С Wr V k G ,0°.

По выбору последовательности имеем, что (tk, Xk) G Wr при k G — oO. Поскольkv Wr G F, имеем из (11.3) очевидное включение

Однако выбор r был произвольным. Следовательно, установлено (см. (11.4)), что (t*, ж*) G Wm Vm N

Вместе с тем (tm, xm) / So(WПK, Z) Vm G N. Это означает, что Z < p((tm, xm); WПK) Vm G N. С учетом равномерной непрерывности функции р(-, W П K) и (11.3) получаем неравенство

Z < p((t*,x*),W П K),

что противоречит включению (11.5). Противоречие доказывает требуемое утверждение.  Отметим одно простое, но полезное следствие, полагая до конца настоящего параграфа, что M П N = 0. Тогдa W = 0, так как в рассматриваемом случае M П N С W. При этом, как легко видеть, при s G No эквивалентны следующие условия: 1) Ws G K; 2) множество Ws ограничено в (T х Rn, р). Мы учли здесь простое следствие (10.2): в силу замкнутости N имеет место f|n С F.

Предложение 11.2. Пусть 3s G N0 : Ws G K. Тогда V e G ]0, o[ 3m G N :

Wj С So(W,e) V j G m—OO.

Доказательство. Пусть Ws G K, где s G No. Полагаем, что в условиях предыдущего

предложения K △ Ws. Тогда K П W = 0 так как K П W = W. Поскольку в нашем случае Kg K, имеем при e G ]0, o[ из предложения 11.1, что для н екоторого r G N

Wj П K С So(W, e) V j G Полагаем m = sup({s; r}), получая, что m- oO С |°О и, как следствие, свойство

Wj с k v j g m7°°.

С другой стороны, m- o° С — o°, a тогда

Wj = Wj П K С So(W, e) V j G m|0°.

Отметим, что в предложениях 11.1 и 11.2 реализуется сходимость множеств-итераций к МПП в метрике Хаусдорфа, что следует из определений § 5 (и утверждений упомянутых предложений). В первом случае речь идет о сходимости последовательности фрагментов множеств-итераций, а во втором — о сходимости (при дополнительных условиях) последовательности самих множеств-итераций.

§ 12. Добавление, 2

В настоящем параграфе рассмотрим более общий в сравнении с предыдущим параграфом случай: полагаем, что множества М и N удовлетворяют условиям (6.1), и фиксируем £* е 8ирр(Ш), где Ш соответствует (6.2). Тогда (см. (4.4)) Ш<£*) = 0. Через К обозначаем семейство всех множеств К е Е, компактных в (М",г]М")) и обладающих свойством

К п Ш<£*) = 0.

Следуя обозначениям (6.2), отметим, что справедливо (5.5) и, как следствие,

(Шк<£*))кен 4 Ш<£*).

Отметим, что определены множества В"(К п Ш<£*),е) е Е \ {0} VК е К Vе е]0, о[.

Предложение 12.1. Если К е К и е е ]0, о[, то

3т еМ: К п Шк <£*) С В"

Доказательство. Фиксируем К е К и е е ]0, о[. Покажем, что выполнено (12.1). Допустим противное:

V т еМ 3к ет—5: (К п Шк <£*)) \ В" (К п Ш <£*),е) = 0.

Иными словами, = {к е т7 —с| (К п Шк <£*)) \ В" (К п Ш <£*), е) = 0} = 0 V те N. Тогда, как легко видеть,

△ т!(8т) е V т е N. При этом, конечно, 8. ^ 8.+1 V j е N. Отметим, что

(К п Ш8т <£*)) \ В" (К п Ш <£*),е) = 0 V те N. С учетом (счетной) аксиомы выбора получаем, конечно, что

П

Выберем и зафиксируем

последовательность (Хт)m£N из множества-произведения в левой части (12.2). Тогда, в частности, (жт)тек : N —> К. В силу компактности К можно, не ограничивая общности, полагать, что последовательность (жт)тен сходится: для некоторого ж* е К

(мы учитываем здесь, что <£*) С Wsj <£*) при j е N. Отметим, что по выбору (жт)тек

имеем, в частности, что ж. е WSj <£*) V j е N.

Пусть г е N. Тогда г ^ 8Г и, кроме того, 8Г ^ 8. V j е — оО. В итоге г ^ 8. V j е —о5. Следовательно, ж. е Шг<£*) V j е —оО. Но Шг<£*) е Е. С учетом (12.3) получаем, что ж* е Шг<£*). г

ж* е Шт<£*) V те N.

Это означает, что ж* есть элемент пересечения всех множеств Шт<£*), т е N. Легко видеть, однако, что справедлива цепочка равенств

Ш<£*) = ( р| Шт)<£*) = р| Шт<£*).

meN meN

В итоге ж* е К п Ш<£*). Напомним, однако, что (по выбору (жт)тек) имеем

ж. / В"(К п Ш<£*), е) V; е N.

Это означает, что

е < (|Н| - inf)[xj; K П W(t*)] V j € N.

Тогда е ^ (|  | — inf)[x*; K П W(t*)]. Получили очевидное противоречие с ранее установленным свойством ж* (в самом деле, 0 < е и, как отмечалось, x* € K П W(t*)). Свойство (12.1) установлено.

Отметим следующее очевидное свойство: при s € No эквивалентны (поскольку Ws (t*) € F и W(t*) С Ws(t*)) условия 1') Ws(t*) € K и 2') Ws(t*) ограничено в (Rn, ||  ||). Здесь учитывается и то, что по выбору t* непременно W(t*) = 0.

Предложение 12.2. Пусть 3s € No: Ws(t*) € K. Тогда

Vе € ]0, o[ 3m €N: Wj(t*) С B£(W(t*),e) V j € m——O.

Доказательство. Фиксируем s € No, для котор ого Ws(t*) € K. Полагаем K △ Ws(t*), получая равенство

K П W(t*) = W(t*).

Кроме того, Wj(t*) С K V j € —oO. Пусть e € ]0, oo[. Тогда с учетом предыдущего предложения получаем, что при некотором m € s, oO имеет место свойство

Wj(t*) с вп(w(t*),e) vj € m——O.

Итак, и в рассматриваемом случае приближения фиксированного сечения MIHI реализуется (при дополнительном условии ограниченности множества на каком-либо этапе итерационной процедуры) сходимость в метрике Хаусдорфа.

§13. Заключение

В работе указан способ решения задачи уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления, связанный с одним из вариантов MIHI, а именно с итерациями стабильности (имеется в виду основополагающее свойство, введенное H.H. Красовским). Отметим в этой связи следующий весьма общий полезный факт: конструкции на основе MIHI естественным образом приводят к рассмотрению МПП как неподвижной точки оператора, а точнее ОПП. При этом МПП оказывается наибольшей в упорядоченности по включению неподвижной точкой ОПП (у нас — оператора стабильности). При этом МПП является пределом итерационной процедуры, порождаемой ОПП (в этой связи отметим также положения двух последних параграфов).

В настоящем исследовании мы не ограничиваемся, однако, построением предела итерационной процедуры и рассматриваем свойства самих множеств-итераций, то есть предполагаем выполненными не все итерации. Оказывается, что при этом получается всякий раз множество успешной разрешимости вышеупомянутой задачи уклонения с соответствующим ограничением на число переключений. Данная задача может представлять в ряде случаев не только теоретический, но и определенный практический интерес.

Важным обстоятельством представляется естественная необходимость в управлении моментами коррекции реализующегося управления. В общем случае это осуществляется на основе неупреждающих процедур слежения за траекторией, хотя известны [13] классы задач, в которых реализацию этих моментов можно осуществлять позиционно: очередной момент коррекции можно назначать по позиции, сформировавшейся в предыдущий момент коррекции. Изучение таких классов задач представляется весьма важным и требует дополнительных исследований. В то же время варианты задач, рассмотренных в [13] и доведенных там до конкретных решений, могут служить своеобразным ориентиром (заметим в этой связи, что методика [13] может быть использована, как представляется, для решения некоторых задач о наведении на открытое множество в фиксированный момент времени; соответствующая переформулировка задачи не представляет затруднений).

Список литературы

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

2. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3. Красовский H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 518 с.

4. Ченцов А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Доклады АН СССР. 1975. Т. 224. № 6. С. 1272-1275.

5. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // Доклады АН СССР. 1976. Т. 226. № 1. С. 73-76.

6. Чистяков C.B. К решению игровых задач преследования // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 5. С. 825-832.

7. Ухоботов В.И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 2. С. 358-361.

8. Ченцов А.Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения / ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1979. 102 с. Доп. в ВИНИТИ, № 1933-79.

9. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

10. Красовский H.H., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. № 6. С. 1005-1022.

11. Ченцов А.Г. О задаче управления с ограниченным числом переключений / Уральский политехнический институт им. С.М. Кирова. Свердловск, 1987. 44 с. Деп. в ВИНИТИ, № 19 12-1? 87.

12. Ченцов А.Г. О дифференциальных играх с ограничением на число коррекций, 2 / ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1980. 55 с. Деп. в ВИНИТИ, № 5406-80.

13. Дятлов В.П., Ченцов А.Г. Об одном классе линейных дифференциальных игр с ограниченным числом коррекций / Управление и оценивание в динамических системах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. С. 9-16.

14. Ченцов А.Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений // Труды ИММ УрО РАН. 2017. Т. 23. № 2. С. 285-302. DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-2-285-302

15. Кряжимский A.B. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Доклады АН СССР. 1978. Т. 239. №4. С. 779-782.

16. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

17. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430 с.

18. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 353 с.

19. Данфорд П., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 895 с.

20. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and Relaxations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 2002. 408 p.

21. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. 389 с.

22. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с.

23. Ченцов А.Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Труды ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22. № 2. С. 304-321. DOI: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-304-321

24. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

Поступила в редакцию 30.10.2016

Ченцов Александр Георгиевич, д. ф.-м.н., профессор, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник, Институт математики и механики им. H. Н. Красовского УрО РАН, 620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16;

профессор, кафедра вычислительных методов и уравнений математической физики, Институт радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. П. Ельцина, 620002, Россия, г. Екатеринбург, ул. Мира, 32. E-mail: chentsov@imm.uran.ru

A. G. Chentsov

Iterations of stability and the evasion problem with a constraint on the number of switchings of the formed control

Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2017, vol. 49, pp. 17-54 (in Russian). Keywords: method of programmed iterations, nonantïcïpatïng multifunctional, stability operator, correction strategy. MSC2010: 37N35, 65J15, 47J25, 52A01, 91A25 DOI: 10.20537/2226-3594-2017-49-02

This paper is concerned with one variant of the programmed iterations method used for solving the differential game of guidance-evasion. The proposed procedure is connected with iterations on the basis of the property of stability of sets introduced by N.N. Krasovskii. A relationship is established between the resulting iteration procedure and the solution to the evasion problem under a constraint on the switching number of the formed control: the stability iterations define the set of successful solvability of the above-mentioned problem. It is proved that the guaranteed realization of evasion is possible if and only if (guaranteed) strong evasion (namely, the evasion with respect to neighborhoods of sets defining the guidance-evasion game) is realizable. A representation of strategies guaranteeing the evasion with constraints on the switching number is presented. The concrete operation of every such strategy consists in the formation of constant control extruding the trajectory from the set corresponding to the next iteration on the basis of the stability operator. The duration of operation of the above-mentioned control is defined in terms of the result of the multifunctional employment defined on the trajectory space; the values of this multifunctional are nonempty subsets of the remaining time interval. Attention is given to problems involved in the convergence, in the sense of Hausdorff metric, of fragments of sets which are realized by the iteration procedure. On this basis, conditions for convergence (in the Hausdorff metric) for the sets-iterations themselves are obtained.

REFERENCES

1. Isaacs R. Differential games: a mathematical theory with applications to warfare and pursuit, control and optimization, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1965, 384 p. Translated under the title Differentsial'nye igry, Moscow: Mir, 1967, 479 p.

2. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems, New York: Springer, 1987, 517 p.

3. Krasovskii N.N. Upravlenie dinamicheskoi sistemoi. Zadacha o minimume garantirovannogo rezul'tata (Control of dynamic systems. Problem of the minimum of guaranteed result), Moscow: Nauka, 1985, 518 p.

4. Chentsov A.G. On the structure of a game problem of convergence, Sov. Math. Dokl., 1975, vol. 16, no. 5, pp. 1404-1408.

5. Chentsov A.G. On a game problem of guidance, Sov. Math., Dokl., 1976, vol. 17, pp. 73-77.

6. Chistiakov S.V. On solving pursuit game problems, J. Appl. Math. Mech., 1977, vol. 41, issue 5, pp. 845-852. DOI: 10.1016/0021-8928(77)90167-8

7. Ukhobotov V.I. Construction of a stable bridge for a class of linear games, J. Appl. Math. Mech., 1977, vol. 41, issue 2, pp. 350-354. DOI: 10.1016/0021-8928(77)90021-1

8. Chentsov A.G. The programmed iterations method for a differential pursuit-evasion game, Sverdlovsk: Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Research Center of the Academy of Sciences of the USSR,

1979, 103 p. Deposited in VINITI 04.06.1979, no. 1933-79 (in Russian).

9. Subbotin A.I., Chentsov A.G. Optimizatsiya garantii v zadachakh upravleniya (Optimization of guarantee in control problems), Moscow: Nauka, 1981, 288 p.

10. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. An alternative for the game problem of convergence, J. Appl. Math. Mech., 1970, vol. 34, issue 6, pp. 948-965. DOI: 10.1016/0021-8928(70)90158-9

11. Chentsov A.G. On the problem of control with a limited number of switching, Sverdlovsk: Ural Polytechnic Institute, 1987, 45 p. Deposited in VINITI, no. 4942-B 87 (in Russian).

12. Chentsov A.G. About differential games with a restriction on the number of corrections. 2, Sverdlovsk: Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Research Center of the Academy of Sciences of the USSR,

1980, 55 p. Deposited in VINITI, no. 5406-80 (in Russian).

13. Dyatlov V.P., Chentsov A.G. A class of linear differential games with a limited number of corrections, Upravlenie i otsenivanie v dinamicheskikh sistemakh, Sverdlovsk: Ural Research Center of the Academy of Sciences of the USSR, 1982, pp. 9-16 (in Russian).

14. Chentsov A.G. Iterations of stability and evasion problem with a restriction on the number of switching, Tr. Inst. Mat. Mekh. Ural. Otd. Ross. Akad. Nauk, 2017, vol. 23, no. 2, pp. 285-302 (in Russian). DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-2-285-302

15. Kryazhimskii A.V. On the theory of positional differential games of convergence-evasion, Sov. Math., Dokl, 1978, vol. 19, pp. 405-412.

16. Kuratowski K., Mostowski A. Set theory, Amsterdam: North-Holland, 1967, xii+417 p. Translated under the title Teoriya mnozhestv, Moscow: Mir, 1970, 416 p.

17. Dieudonne J. Foundations of modern analysis, New York-London: Academic Press, 1960, 361 p. Translated under the title Osnovy sovremennogo analiza, Moscow: Mir, 1964, 430 p.

18. Billingsley P. Convergence of probability measures, New York: John Willey and Sons, Inc., 1968, xii+253 p. Translated under the title Skhodimost' veroyatnostnykh mer, Moscow: Nauka, 1977, 353 p.

19. Dunford N.J., Schwartz J.T. Linear operators. Part I: general theory, New York-London: Interscience Publ., 1958, xiv+858 p. Translated under the title Lineinye operatory. Obshchaya teoriya, Moscow: Izd. Inostr. Lit., 1962, 895 p.

20. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations, Springer Netherlands, 2002, xiv+408 p. DOI: 10.1007/978-94-017-1527-0

21. Chentsov A.G. Elementy konechno-additivnoi teorii mery. I (Elements of finitely additive measure theory. I), Yekaterinburg: Ural State Technical University, 2008, 389 p.

22. Neveu J. Bases mathématiques du calcul des probabilités, Paris: Masson et Cie, 1964, 203 p. Translated under the title Matematicheskie osnovy teorii veroyatnostei, Moscow: Mir, 1969, 309 p.

23. Chentsov A.G. The program iteration method in a game problem of guidance, Tr. Inst. Mat. Mekh. Ural. Otd. Ross. Akad. Nauk, 2016, vol. 22, issue 2, pp. 304-321 (in Russian).

DOI: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-304-321

24. Engelking R. General topology, Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1977, 626 p. Translated under the title Obshchaya topologiya, Moscow: Mir, 1986, 751 p.

Received 30.10.2016

Chentsov Aleksandr Georgievich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Corresponding Member, Russian Academy of Sciences, Chief Researcher, N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990, Russia; Professor, Institute of Radioelectronics and Information Technologies, Ural Federal University, ul. Mira, 32, Yekaterinburg, 620002, Russia. E-mail: chentsov@imm.uran.ru