О кавитации на оси винтовой дислокации в нелинейно-упругом цилиндре

УДК 539.3

О КАВИТАЦИИ НА ОСИ ВИНТОВОЙ ДИСЛОКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОМ ЦИЛИНДРЕ

© 2010 г. М.И. Карякин, О.Г. Пустовалова

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

В рамках нелинейной теории упругости несжимаемых сред изучена возможность кавитации — существования решения, описывающего образование полости вокруг оси изолированной винтовой дислокации в упругом цилиндре. Для различных моделей сплошной среды необходимые условия порообразования сформулированы в виде некоторых предельных соотношений для функции удельной потенциальной энергии деформации. Проведено исследование влияния учета поверхностного натяжения и эффектов микроструктуры на порообразование.

Ключевые слова: дислокация, нелинейная упругость, кавитация, поверхностное натяжение, микроструктура, континуум Коссера.

Within the framework of the nonlinear elasticity theory of incompressible media the cavitation possibility — the existence of the solution describing formation of a concavity around an axis of the isolated screw dislocation in the elastic cylinder is studied. For various models of a continuous medium necessary conditions for the hole formation are formulated in the form of some limiting relations for function of a specific potential strain energy. Research of influence of the account of a surface tension and effects of a microstructure on the hole is carried out.

Keywords: dislocation, nonlinear elasticity, cavitation, surface tension, microstructure, Cosserat continuum.

Дислокационные модели используются для теоретического описания многих явлений, происходящих в твердых телах на макро- и микроуровне. К их числу относятся неупругость, внутреннее трение, пластическое течение, хрупкость, усталость, разрушение, рост кристаллов и др. С наличием дислокаций связано и такое явление, как кавитация, или порообразование в твердых телах. Образования полостей или аксиальных пор часто наблюдают в нитевидных кристаллах [1], что связывают с присутствием дислокаций с большим вектором Бюргерса или группы параллельных дислокаций. Прогнозы Франка по размеру полости вокруг оси винтовой дислокации уточнены в [2] с помощью сканирующей электронной микроскопии. В [3] показано, что линии дислокации являются местом сбора вакансий, и указаны условия, когда на оси дефекта возможно образование микрополости. Методы молекулярной динамики, использованные для моделирования процессов, протекающих в ядре дефекта - области, близкой к его оси, а также для выяснения структуры этой области, показали, в частности, что при наличии дефектов одним из вариантов этой структуры может быть полость [4, 5].

В [6, 7] показано, что задачи о равновесии нелинейно-упругих тел с дислокациями и дисклинациями могут иметь так называемые «сингулярные» реше-

ния, описывающие образование полости вдоль оси дефекта в деформированном теле.

Целью настоящей работы является учет дополнительных факторов, которые могут иметь влияние на кавитацию. Первым из них, безусловно, является поверхностное натяжение. В работе представлены результаты учета влияния энергии образующейся поверхности на возможность образования полости и ее размер. Другим важным фактором является микроструктура материала. Прежде всего, это связано с тем, что с точки зрения теории упругости ядро дефекта представляет собой область высокой концентрации напряжений. Еще одна причина интереса к учету микроструктуры в теории упругих дислокаций - ее использование при описании нанообъектов [8]. В настоящей работе использован распространенный способ учета структуры материала в рамках континуальной механики - модель сплошной среды с моментны-ми напряжениями.

Винтовая дислокация в нелинейно-упругом цилиндре

Деформация сплошной среды вида

Я = Я

2п

описывает образование в цилиндре винтовой дислокации, т.е. разрезание цилиндра полуплоскостью р = 0 и сдвиг берегов разреза параллельно оси цилиндра на величину Ь , называемую вектором Бюр-герса дислокации. Константу а = Ь /2ж будем называть параметром дислокации.

Геометрические характеристики деформации вида (1) - градиент деформации С , мера деформации Ко-ши О , левый тензор искажений и, тензор поворота А - определяются выражениями

^ D. R а

С = R ereR +—е^ф +- е^ + ezez, r r

G = С • CT = R'2 erer +

R2 + a2

"W +

+ -

le^e z + e zev)+ e zeZ

U = G1/2 = R'2 erer +

( R2 + a2 + Rr

yj(R + r )2 + a2

+

а ч R + r

+ ~ (eq,ez + ezeq,) +-e

rr

A = ereR +

R + r

^(R + r)2 + a2

(e^ + e zez ) +

П = 2x\rW(r,R,R')dr,

стационарное значение; здесь Ж = Ж(С) - функция удельной потенциальной энергии, зависящая от градиента деформации С ; г1 - радиус недеформирован-ного цилиндра.

Выберем в качестве возможных функции, удовлетворяющие условию несжимаемости det С = 1, т.е. функции вида

Я

В этом случае функционал (4) превращается в функцию одной вещественной переменной К , а задача отыскания Я(г) сводится к задаче о стационарных значениях П(К) .

Для производной дП / дК получаем

дП 1 дЖ _ дС

-= I г-О-аг .

дК 1 ^

8С 8К

Обозначая производную дЖ/ дС через 8 и учитывая (2), для подынтегрального выражения получаем

дЖ ^ дС дЯ' дЯ

г-о-= г-ьгя +-Ьрф.

дС дК дК дК рР

Таким образом, функции вида (5) доставляют экстремальное значение функционалу энергии, если К = 0 либо К является решением уравнения

I

1

о>/ r 2 + К 2

(—R SrR + Бф )dr = о.

у! (Я + г )2 + а2

где ег, ер, ег и еЯ , еф , е2 - орты цилиндрических

координат в отсчетной и актуальной конфигурациях соответственно; штрих здесь и ниже обозначает дифференцирование по переменной г .

Будем считать, что напряженно-деформированное состояние сплошного цилиндра вызвано только наличием дислокации, а внешние силы отсутствуют. Тогда, согласно вариационному принципу Лагранжа, истинное поле перемещений доставляет функционалу

Поскольку по (5) Я(0) = К, ненулевое решение уравнения (6) соответствует образованию в цилиндре полости радиуса К. Заметим, что (6) формально совпадает с полученным в [9], но тензор 8 существенно различен для задач о дислокации и дисклинации.

Влияние поверхностного натяжения

Учет поверхностной энергии в задаче о кавитации выражается в добавлении к формуле (4) слагаемого, описывающего энергию новой образовавшейся поверхности. Функционал поверхностной энергии примем в форме [10] О = 2лЯ(0)а, где а - постоянное поверхностное натяжение; 2яЯ(0) - длина окружности - сечения поверхности образовавшейся полости (энергия О отнесена к единице длины цилиндра). Повторяя приведенные выше выкладки для функционала П + О, приходим к уравнению для определения радиуса образующейся полости при учете поверхностного натяжения

г л

1 , „ „ ., а

К

I

U

r 2 + К2

(-R'2 SrR + Sдф )dr + ^ = 0.

Наличие в (7) дополнительного по сравнению с (6) слагаемого не расширяет описанный в [7] класс упругих потенциалов, допускающих сингулярное решение, поскольку сходимость интеграла (6) по-прежнему остается необходимым условием для существования решений уравнения (7).

Рассмотрим решение задачи о винтовой дислокации с учетом поверхностного натяжения для потенциалов вида

W = 2^tr(Um -1)/m .

Как показано в [7], порообразование для такого материала возможно (но не обязательно), если материальный параметр т лежит в диапазоне -2 < т < 2.

В частном случае т = 1 потенциал (8) превращается в материал Бартенева-Хазановича, интеграл (7) вычисляется аналитически и уравнение для определения радиуса полости принимает вид

ln

(1W1 + к 2 +V 2 + к 2 + 2тЛ+к

+ к2 + a2 )к

(1W1 + к 2)(к + + a

1

+^=+- =0, к=К, -=а.

У1 + к2 к г1 М г1

На рис. 1а представлены графики зависимости безразмерного радиуса полости к от параметра дис-

r

2

r

a

r

r

2

r

z

a

о

о

локации а: при отсутствии поверхностного натяжения (линия 1) и при его наличии (линия 2, ст/!лтх = 0,001, линия 3, ст/¿игг = 0,002). Учет поверхностного натяжения приводит, во-первых, к уменьшению радиуса полости, образующейся вокруг оси дислокации, а во-вторых, к исчезновению сингулярных решений при достаточно малых величинах вектора Бюргерса: возникновение полости теперь возможно лишь при достижении параметром дислокации a определенного критического значения.

Для решения задачи при произвольном т (-2 < т < 2) тензор и (3) для возведения в степень т необходимо привести к главным осям. Собственные числа тензора и имеют вид \= Я'(г),

Х2 = — ,](Я + г)2 + а2 +7(Я - г)2 + а2 2г

yJ(R + r)2 + a2 (R - r)2 + a2

^э = -1 2г

Необходимые для вычисления интеграла в (7) компоненты тензора 8 записываются в этом случае в виде

2и

SrR = It R'(m-l) ,

m

m

yj(R + r)2 + a2

n2 , 2 , т-у г 1 m-1 1 m-1n

(R + r) R +a +rR [Л2 -Л3 ] +

r-J

22 2 + a

^2

1 г 1 1 m-1 n n m-l-t

—J —

г о m-1 о m-1-t

1Л -Ä3 ]

7(Я + г )2 + а 2

Учитывая несжимаемость материала, т.е. равенство

= (^2Яэ)-1, получаем БгЯ = 2и(Л2Лэ)—. Окончат

тельно уравнение (7) примет вид

2и}

(W

R

((R + r)2 + a2)[^m-1 -V-1]

)VR2 + r2 + a2 ij(R + r)2 + a2

r ^ ^ m-1 ^ ^ m-1n - ^3^2 ]

rR(Ä2-A3W R2 + r2 + a2

dr +—— 0 . k

На рис. 1б представлены графики зависимости безразмерного радиуса полости А от параметра материала т , полученные на основе численного решения уравнения (9). Линия 1 соответствует случаю, когда поверхностное натяжение не учитывается; линия 2 построена для ст/ иг1 = 0,0015, линия 3 - для ст/ иг1 = 0,002; параметр дислокации а / г1 = 0,01. Установлено, что для всех рассмотренных значений материального параметра т учет поверхностного натяжения приводит к уменьшению радиуса полости.

Рис. 1. Зависимость радиуса полости от параметров дислокации (а, в, г) и материала (б); а - материал

Бартенева-Хазановича; б - материал (8); в - материал (20), а = 1; г - материал (20), а = 1,4

X

2

a

+

+

г

Влияние микроструктуры

Для учета структуры материала в окрестности ядра дислокации будем использовать модель континуума Коссера [11], когда каждая частица сплошной среды имеет степени свободы абсолютно твердого тела. Положение частицы в деформированной конфигурации определяется радиус-вектором Я и собственно ортогональным тензором Н, называемым тензором микроповорота. Упругий потенциал Ж является теперь функцией двух тензоров второго ранга - меры деформации У и тензора изгибной деформации Ь, определяемых соотношениями У = С • Нт,

I - единичный тензор.

Уравнения равновесия для среды Коссера имеют вид:

V- H • HT = -L XI

v-(t* • h)=0,

V-(m*• h)+|V-rt • t* • h I = 0,

+1 (acosz-Rsinz) e.ez +

+ sin Z ezev+ cos Zezez,

sin z cos z — 1 L = z erer + —z e^e^ +-z—

ePe z •

дачи о равновесии полого цилиндра путем устремления радиуса полости к нулю, в [9] это же уравнение получено путем варьирования полной потенциальной энергии деформации (4) по радиусу полости К . Ограничиваясь рассмотрением упругих потенциалов аддитивной структуры

Ж

можно показать, что оба эти подхода применимы и эквивалентны и для случая винтовой дислокации в континууме Коссера.

При получении уравнения для определения радиуса полости используем энергетический подход, основанный на нахождении стационарных точек полной потенциальной энергии. Для производной дП/ дК получаем

дП „ 1 dW,

ЗУ

-= 2n\r-- О-dr +

дК

dY дК

1 dWL _ dL

+ 2л f r-- О-dr •

J

dl дК

dW , dW

где t =-, m =- - тензоры силовых и мо-

dY dL

ментных напряжений. На свободной боковой поверхности цилиндра, кроме силовых, должны выполняться

*

и моментные граничные условия n • M • H = 0.

Псевдоконтинуум Коссера предполагает наличие связи [11] Yx = 0, означающей совпадение собственных поворотов частиц сплошной среды с их поворотами вследствие деформации тела.

Будем считать, что деформированное состояние цилиндра с винтовой дислокацией по-прежнему определяется соотношениями

Здесь z(r) - функция, задающая собственный поворот частицы среды (вокруг вектора e z), не связанный с деформацией. С помощью (2), (10), (11), (14) находим

Y = R erer +1 [я cos z + a sin z] e^ +

С учетом (15), (16), (18) уравнение дП/ дК = 0 после упрощений примет вид

ri

2л fr

о

(

R\K SrR +

f R

К . a , + -Z, rr

Л

S mrh

R

a

— + -z,

r r

— S,

+ Z,K ) dr +

Л z Л

/С к 2

sin z cos z+--cos z

r

+ 2я-) (rz\K Qir + z,K Оф }ir = 0 •

QrR , Qrp

- компоненты

В (19) Бгя , Я р тензоров 8 = Т* • Н и 0 = М* • Н; символом (/) обозначена частная производная по К .

Необходимыми условиями существования полости служат условия сходимости интеграла типа (19) в точке г = 0 . Учитывая (17), легко видеть, что для упругих потенциалов, содержащих слагаемые вида 1га Ь, образование полости возможно только для а < 2; если потенциалы содержат слагаемые й"(У -1)п, порообразование может наступить при п = 1; для потенциалов, в состав которых входят слагаемые йа(Ь • Ьт), йа(Ь2), разрывное решение возможно лишь при а < 1.

Рассмотрим задачу о равновесии цилиндра с винтовой дислокацией для двухконстантного упругого потенциала вида

Функции Я (г) , ^(г) определяются из уравнений равновесия (12), (13). В случае несжимаемого материала Я(г) находится из (5). В псевдоконтинууме

Коссера функция собственного поворота частиц среды находится из условия симметричности меры деформации У: г(г) = агйг —а— .

г + Я

В [7] было показано, что уравнение для определения радиуса полости можно получить из краевой за-

W = 2^tr(Y -1) +^ tri Liа •

а

С учетом

WY = 2/и

R + | R +11 cos z + — sin z- 3

r I r

W- =

z +

sin z

, а уравнение (19) принимает вид

0

0

X

К

+

К

0

а

Л

а

r

Mi

r a

---1--

,3 2 1/2

1 -

R + a 2 1

D3 2 1

R qo q1

%<h R

1+

a 2r

v qq

/

R

Rq1

1/2

a

qo q1

1/2

1 r/R +1

qo q1

1/2

dr + ))

aq2

Rqo q1

г-2

1 --

.2 >

1 --

2

qo )

0 D 2 1/2 2Rqo2q11/2

1/2

q1

2

qo q1)

dr = o.

В (21) q0 = R + r ; q = 1 + -

q2 = r + — . 2 R

(Я + г)2

На рис. 1в представлен график зависимости радиуса образующейся полости от мощности дислокации а для материала (20) при значении материального параметра а = 1. Сплошная линия соответствует отсутствию моментных напряжений, когда (20) переходит в потенциал Бартенева-Хазановича. Из графика видно, что учет моментных напряжений приводит к уменьшению радиуса образующейся полости вплоть до полного её отсутствия. Расчеты показали, что энергия цилиндра с полостью в случае ее существования меньше энергии сплошного цилиндра (как и в классической нелинейной теории упругости).

В то же время численное исследование случаев, когда а ф 1, показывает, что влияние учета моментных напряжений не является однозначным. Так, например, при а = 1,6 радиус образующейся полости при учете моментных напряжений больше, чем в классической нелинейной теории, при этом решение с полостью по-прежнему является энергетически предпочтительным.

Еще более сложной является ситуация для а = 1,4. Зависимость радиуса полости к от мощности дислокации а в этом случае приведена на рис. 1г, где сплошная линия соответствует отсутствию момент-ных напряжений, а пунктирной линией обозначено решение с учетом моментных напряжений, когда г)/и = 0,01. При а < 0,0151 учет моментных напряжений приводит к увеличению радиуса полости, на участке 0,0151 < а < 0,0584 полость вообще не образуется, а для больших значений параметра дислокации значение радиуса полости в моментной теории меньше, чем в классической.

На рис. 2 представлена разность энергий П - П2 регулярного и разрывного решений (там, где оно существует) при а= 1,4, )/ и = 0,01. В данном случае имеются области изменения параметра дислокации (а е ¡0,0112; 0,0180] или а е [0,0585; 0,0629]), когда разрывное решение хотя и существует, но энергетически не выгодно.

Рис. 2. Энергетический анализ предпочтительности решений, материал (20), а = 1,4

Пример определяющего соотношения (20) показывает, что при использовании для учета микроструктуры материала модели псевдоконтинуума Коссера материальные параметры оказывают существенное качественное влияние на возможность образования полости и ее размеры.

Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (государственный контракт № П-361).

Литература

1. Бережкова Г.В. Нитевидные кристаллы. М., 1969. 158 с.

2. Quantitative analysis of screw dislocations in 6H-SiC single crystals / M. Dudley [et al.] // Il Nuovo Cimento D. 1997. Vol. 19, № 2-4. P. 153-164

3. Identification of dislocations and their influence on the recombination of charge carriers in gallium nitride / A.V. Go-vorkov [et al.] // J. of Surface Investigation. X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques. 2007. Vol. 1, № 4. P. 380-385.

4. Doyama M., Cotterill R.M.J. Atomic configuration of disclination by computer simulation // Phil. Mag. A. 1984. Vol. 50, № 4. L7-L10.

5. Михайлин А.И., Романов А.Е. Аморфизация ядра дисклинации // ФТТ. 1986. Т. 28, вып. 2. С. 601-603.

6. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклинациями / В.А. Еремеев [и др.] // Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 968-971.

7. Карякин М.И., Пустовалова О.Г. О сингулярных решениях задач нелинейной теории упругих дислокаций // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 5. C. 173-180.

8. Charlier J.C., Iijima S. Growth mechanisms of carbon nanotubes // Carbon Nanotubes, Topics Appl. Phys. 80. Berlin, 2001. P. 55-81.

9. Карякин М.И., Пустовалова О.Г. О кавитации на оси клиновой дисклинации в нелинейно-упругом цилиндре // Вестн. ЮНЦ РАН. 2008. T. 4, № 1. С. 16-23.

10. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость. М., 1965. 440 с.

11. Зубов Л.М., Карякин М.И. Дислокации и дисклина-ции в нелинейно-упругих телах с моментными напряжениями // ПМТФ. 1990. № 3. С. 160-167.

Поступила в редакцию

20 апреля 2010 г.

+

+

х

r

o

a

х

х

2

a

х

2

2

a