Инварианты обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса

Научный Вестник МГТУ ГА

Civil Aviation High Technologies

Том 21, № 02, 2018

Vol. 21, No. 02, 2018

УДК 517.957

DOI: 10.26467/2079-0619-2018-21-2-96-104

ИНВАРИАНТЫ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ РАПОПОРТА - ЛИСА

Е.Н. КУШНЕР1

1 Московский государственный технический университет гражданской авиации,

г. Москва, Россия

Для обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса построена алгебра дифференциальных инвариантов относительно точечных преобразований, то есть преобразований независимых и зависимых переменных. Нахождение общего преобразования такого типа сводится к решению крайне сложного функционального уравнения. Поэтому мы, следуя подходу Софуса Ли, ограничимся поиском инфинитезимальных преобразований, то есть таких, которые порождаются сдвигами вдоль траекторий векторных полей. Задача отыскания этих векторных полей сводится к решению переопределенной системы линейных дифференциальных уравнений относительно их коэффициентов. Уравнения Рапопорта - Лиса возникают при изучении процессов нелинейной фильтрации в пористых средах, а также в других областях естествознания: например, эти уравнения описывают различные физические процессы: двухфазную фильтрацию в пористой среде, фильтрацию политропного газа, распространение тепла при ядерном взрыве. Они являются актуальной темой для исследования: в недавних работах Бибикова, Лычагина и других проведен анализ симметрий обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса и найдены его конечномерные динамики и условия существования аттракторов. Поскольку обобщенные уравнения Рапопорта - Лиса представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными, для их изучения в работе используются методы геометрической теории дифференциальных уравнений. Согласно этой теории дифференциальные уравнения порождают подмногообразия в пространстве джетов. Это позволяет использовать аппарат современной дифференциальной геометрии для исследования дифференциальных уравнений. Вводится понятие допустимых преобразований, то есть замен переменных, не выводящих уравнения за пределы класса уравнений Рапопорта - Лиса. Такие преобразования образуют группу Ли. Для этой группы Ли находятся дифференциальные инварианты, которые разделяют ее регулярные орбиты, что позволяет классифицировать обобщенные уравнения Рапопорта - Лиса.

Ключевые слова: джеты, точечные преобразования, дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования.

ВВЕДЕНИЕ

Обобщенные уравнения Рапопорта - Лиса имеют следующий вид [1, 2]:

щ = А

где и = х) - неизвестная функция, А и В - функции от переменной и, которые мы будем считать бесконечно дифференцируемыми. Эти уравнения описывают различные физические процессы: двухфазную фильтрацию в пористой среде, фильтрацию политропного газа, распространение тепла при ядерном взрыве [3].

В данной работе построена алгебра дифференциальных инвариантов уравнений (1) относительно точечных преобразований. А именно, среди точечных преобразований выделяются преобразования, сохраняющие класс обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса. Такие преобразования мы называем допустимыми. Они образуют группу Ли, а ее дифференциальные инварианты являются также и дифференциальными инвариантами обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса.

В работе [4] проведен анализ симметрий обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса, а в работе [1] найдены его конечномерные динамики и условия существования аттракторов.

Том 21, № 02, 2018_Научный Вестник МГТУ ГА

Vol. 21, No. 02, 2018 Ovil Aviation High Technologies

ДОПУСТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Уравнение (1) можно записать в виде

ut = А'

Для упрощения вычислений обозначим

а

и вместо уравнения (2) будем рассматривать уравнение

ut = а

В пространстве 2-джетов /2(М2) с каноническими координатами t, х, и00,и10,...,и02 уравнение (3) определяет гиперповерхность [6]

£ = £(а,ь) ={F(a,b) = 0},

где

F(a,b) = ulj0 — а(и0 0)и01 -b(u0j0)u0j2 -b'(u0j0)u%д. Пусть £ = £(ä,b) - другое уравнение типа (3).

Будем говорить, что уравнения £ и £ эквивалентны, если существует точечное преобразование /0(Е2)^/0(Е2) такое, что

(рЫ(£)=£.

Здесь - продолжение преобразования ^ в пространство 2-джетов /2(М2). В терминах функций это означает, что

где Я - некоторая функция на пространстве 2-джетов /2(М2).

Заметим, что нахождение общего преобразования ^ сводится к решению крайне сложного функционального уравнения. Поэтому мы, следуя подходу Софуса Ли, ограничимся поиском инфинитезимальных преобразований, то есть таких, которые порождаются сдвигами вдоль траекторий векторных полей. Задача отыскания этих векторных полей сводится к решению переопределенной системы линейных дифференциальных уравнений относительно их коэффициентов.

Пусть X - векторное поле на пространстве /0(М2) и - преобразование сдвига вдоль его траекторий от т = 0 до т. Тогда - тождественное преобразование. Вместо формулы (4) получаем

где Ят - однопараметрическое семейство функций на /2(М2), ат,Ьт - однопараметрические семейства функций от переменной и, причем Я0 = 1, a0 = а, b0 = Ь.

Дифференцируя обе части формулы (5) по параметру т при т = 0 и ограничивая полученное равенство на уравнение £, получим

Научный Вестник МГТУ ГА_Том 21, № 02, 2018

Civil Aviation High Technologies Vol. 21, No. 02, 2018

X(-2\F(a,b)) I

da.

F(a,b) = 0 dT

db.

uo,i

т=0

T

dr

db'

U0,2

т=0

T

dr

"од.

т=0

Здесь Х^2^ - продолжение векторного поля X в пространство 2-джетов /2(М2). Формула (6) эквивалентна системе одиннадцати линейных дифференциальных уравнений на коэффициенты векторного поля X, решая которую получаем вид векторного поля X:

д д д

Зt дх ' ди00

Греческими буквами здесь обозначены произвольные постоянные.

Таким образом, базис алгебры Ли векторных полей, порождающих группу Ли допустимых преобразований, имеет вид

д д д д д д д д^ д^ дх' дх' дх' ди00' 0,0 ди00'

Преобразования сдвига вдоль траекторий этих векторных полей имеют вид:

t + т; teт;

х^х + т; х ^ х + ^т; х^ хет;

ио,о ^ио,о + т; ио,о ^ и0,0ет.

Для краткости здесь мы указываем только те переменные, которые изменяются при сдвигах.

Видим, что группа Ли допустимых преобразований порождена трансляциями и растяжениями вдоль осей координат ^ х, и0 0, а также одним обобщенным растяжением вдоль оси х.

РАССЛОЕНИЕ КЬ

Выясним, как группа Ли допустимых преобразований действует на коэффициенты а и Ь уравнения (3).

Введем пространство М3 с координатами и,а,Ь и пространство М2 с координатами а,Ь и определим тривиальное расслоение

п^Ш3 ^Е2, пкь: (и, а, Ь) ^ (а, Ь).

Это расслоение будем называть расслоением Рапопорта - Лиса или расслоением ИЬ.

Первое преобразование в (7) не меняет уравнения (3). Второе переводит его в уравнение

е~Тщ = а(и)их + Ь(и)ихх + Ь'(и)их, и поэтому на расслоении Рапопорта - Лиса оно действует так:

(и, а, Ь) ^ (и, ета, етЬ).

Третье преобразование не меняет уравнения, а четвертое переводит его в уравнение

щ = (а(и) + т)их + Ь(и)ихх + Ь'(и)и2,

Том 21, № 02, 2018

Научный Вестник МГТУ ГА

Vol. 21, No. 02, 2018

и на расслоении Рапопорта - Лиса оно действует так:

(и, а, Ь) ^ (и, а + т, Ь). Пятое преобразование переводит уравнение (3) в уравнение

Ovil Aviation High Technologies

ut = e Ta(u~)ux + e 2rb(u)uxx + e 2Tb'(u)u

2 xu't

и порождает преобразование

на расслоении.

Последние два преобразования на расслоении Рапопорта - Лиса действуют следуюшим образом:

Таблица 1 Table 1

Коммутационные соотношении Commutation correlations

и

(и, а, Ь) ^ (и + х, а, Ь) (u,a,b) ^ (ети,а,Ь).

Таким образом, допустимые преобразования, ограниченные на расслоение Рапопорта - Лиса, образуют пятимерную группу Ли, которую обозначим через СК1. Соответствующая алгебра Ли порождена векторными полями

У - 9 У - и9 У - 9 У -а9 У -Ь9 1 ди' 2 ди' 3 да' 4 да' 5 дЬ'

Y:! Y4 Ys

Yi 0 Yi 0 0 0

Y2 0 0 0 0

Y3 0 0 0 Y3 0

Y4 0 0 -Y3 0 0

Ys 0 0 0 0 0

Ее коммутационные соотношения приведены в таблице 1.

АЛГЕБРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ

Пусть ]к(пК1) - пространство &-джетов сечений расслоения ИЬ и и, а0'Ь0'...'ак'Ьк - канонические координаты на этом пространстве.

Дифференциальным инвариантом порядка к группы Ли СК1 (и обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса) называется функция / на пространстве ^-джетов расслоения ИЬ, постоянная на орбитах продолженной в пространство ]к(пК1) группы Ли СК1 [5].

При этом функция / является решением системы пяти линейных дифференциальных уравнений ]к

Y[k)(J) = 0, i = 1.....5.

Здесь У^ - продолжение векторного поля У^ в пространство /^л-^).

Дифференциальные инварианты образуют алгебру относительно операции сложения и умножения, то есть если Д и /2 - дифференциальные инварианты, то их сумма /1 +/2 и произведение /1/2 также являются дифференциальными инвариантами.

Дифференциальные инварианты ]х'...']3 порядка не выше к называются базовыми, если они функционально независимы и любой другой дифференциальный инвариант порядка не

Научный Вестник МГТУ ГА_Том 21, № 02, 2018

Ovil Aviation High Technologies Vol. 21, No. 02, 2018

выше к является функцией от них. В этом случае число s называется размерностью алгебры дифференциальных инвариантов порядка не выше к.

Размерность алгебры дифференциальных инвариантов порядка не выше к равна коразмерности регулярной орбиты группы Ли G^.

В нашем случае точка вЕ Jk(^Ri) является регулярной, если ранг системы касательных

v(k) v(k) векторов г10 ,..,г50 максимален.

Это означает, например, что в пространстве J°{uRL) регулярными являются все точки, в которых ни одна из координат и, а0,Ь0 не обращается в нуль.

В пространстве Jk(ßRL) точки, в которых ни одна из координат и, a0,b0,...,ak,bk не обращается в нуль, также являются регулярными. Это следует из вида векторных полей

_ А

h " ди

¿=1

д

yf> =

yW м

3 да0'

к

д

j=o 1 к

V д

j=o ^

Первые два нетривиальных дифференциальных инварианта имеют порядок два. Действительно,

dim ]к (nRL) = 2k + 3,

а размерность регулярной орбиты равна пяти. Эти инварианты мы получаем, решая систему (8) для к = 2:

, _ а2Ь0 J 2,1 —

/2,2

а1Ь1' b0b2

bl

Легко подсчитать, что размерность алгебры дифференциальных инвариантов порядка не выше к равна 2к (к > 2). При этом порядок равный ровно к имеют только два инварианта.

Для вычисления дифференциальных инвариантов более высоких порядков мы используем инвариантное дифференцирование.

Напомним, что дифференциальный оператор

_ й ^ ^ йи

называется инвариантным дифференцированием, если для любого векторного поля X* на пространстве

Том 21, № 02, 2018_Научный Вестник МГТУ ГА

Vol. 21, No. 02, 2018 Civil Aviation High Technologies

X*oV=Vo x*.

Здесь f - некоторая локально гладкая функция на пространстве бесконечных джетов dim Jm (nRL), а

d д д д д д

т~ = Т" + ai n— + bi—— + a2-— + b2—— + --du du oa0 ob0 даг дЬг

- оператор полного дифференцирования по переменной и. Несложно проверить, что оператор

bn d V= —— b1 du

является оператором инвариантного дифференцирования.

Из формулы (9) следует, что если / - дифференциальный инвариант, то и функция V(/) также является дифференциальным инвариантом.

Действительно, для любого векторного поля

X*(J) = 0.

Но тогда в силу формулы (9) получаем, что

X*(V(/)) = V(X*(/)) = 0.

Таким образом, применяя к двум найденным дифференциальным инвариантам /21 и /22 оператор V, получим два дифференциальных оператора третьего порядка

b

/зд = V(/2i)= -Л* (a1a2b0b2 -ага2Ь^ -a1a3b0b1 + a£b%b1'), /з,2 =V(/22)= h(blb2 — 2b0b2 +b0b1b2). Таким же образом можно получить новые дифференциальные инварианты порядка к:

Jk,i = v(/fc_u), Jk,2 =V(/fc_1,2).

Следующая теорема дает описание структуры алгебры дифференциальных инвариантов. Теорема 1. Алгебра дифференциальных инвариантов обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса порождена двумя базовыми инвариантами второго порядка

a2b0 b0b2

и h2~~bf

и одним инвариантным дифференцированием

bn d V= ——.

b1 du

Эта алгебра разделяет регулярные орбиты группы Ли GRL.

Научный Вестник МГТУ ГА_Том 21, № 02, 2018

Ovil Aviation High Technologies Vol. 21, No. 02, 2018

Доказательство. Пусть 0Е Jk(ßRL) - регулярная точка и

nk,0-.(u,a0,b0,...,ak,bk)»(u,a0,b0) - естественная проекция на пространство 0-джетов. Так как точка в регулярная, то ее проекция

=

имеет ненулевую компоненту Ь0(б). На множестве

М= J0(nRL)\{(u, а0,0)| и, а0 ЕЖ}

группа Ли Grl действует транзитивно.

Действительно, сдвигом вдоль траекторий векторных полей

д д д Ъ = XT, Y3 Ys = Ь0

ди' да0' дЬ0

любую точку множества М можно перевести в точку (0,0,1). Поэтому без ограничения общности можно считать, что пк,0 (б) = а = (0,0,1).

Стационарная подалгебра точки а порождена векторными полями

д д У2=и — и У4 = а0

ди да0

Рассмотрим слой проекции

Размерность этого слоя равна 2к и функции а1,Ь1,...,ак,Ьк можно рассматривать как координаты на нем. Ограничение векторных полей У^ и У^ на этот слой имеют вид

2

д д -d~b[~2b2 db2 дЪк

= —Ъ1—— 2 Ъ2——----kbk

а

д д д = а1 ä--ä--^ак '

Na да1 да2 дак

Так как точка в регулярная, то в каждой точке слоя Ыа эти поля линейно независимы. Поэтому размерность орбиты алгебры Ли равна двум, а коразмерность орбиты точки в, а

следовательно и размерность алгебры дифференциальных инвариантов порядка не выше чем к, равна 2к — 2.

Итак, количество функционально независимых диффренциальных инвариантов порядка не выше чем к равно 2к — 2. Все они исчерпываются построенными инвариантами]к1 и ]к2.

Теорема доказана.

Вместо дифференциальных инвариантов ]к1 и ]к 2 можно использовать функции

Мо-1 , Мо-1

Ik, 1 - ик-!, 4,2 -

а^"1 Ъ*

Том 21, № 02, 2018

Vol. 21, No. 02, 2018

Научный Вестник МГТУ ГА

Civil Aviation High Technologies

которые также являются дифференциальными инвариантами, что несложно проверить.

Построенная алгебра дифференциальных инвариантов может быть использована для классификации обобщенных уравнений Рапопорта - Лиса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахметзянов А.В., Кушнер А.Г., Лычагин В.В. Аттракторы в моделях фильтрации // Доклады Акад. наук. 2017. Т. 472, № 6. С. 627-630.

2. Rapoport L., Leas W. Properties oflinear waterflood // AIME Trans. 1953. Vol. 198. Pp. 139-148.

3. Баренблатт Г.И. Нелинейная фильтрация: прошлое, настоящее и будущее // Проблемы теории фильтрации и механика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Наука, 1987. С. 15-27.

4. Bibikov P. Group classification of Rapoport-Leas equations // Lobachevskii J Math. 2017. Vol. 38, No. 1. P. 116.

5. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. Основные понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». T. 28. М.: ВИНИТИ, 1988. 297 с.

6. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 336 с.

7. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Differential invariants and exact solutions of the Einstein equations // Analysis and Mathematical Physics. 2016. Vol. 7, No. 2. Pp. 107-115.

8. Lychagin V.V., Kruglikov B.S. Global Lie-Tresse theorem // Selecta Mathematica, New Series. 2016. С. DOI 10.1007/s00029-015-0220-z.

9. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Natural spinor structures over Lorentzian manifolds // Journal of Geometry and Physics. 2016. Vol. 106. Pp. 1-5.

10. Akhmetzyanov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Mass and heat transport in the two-phase Buckley-Leverett model // Journal of Geometry and Physics. 2017. Vol. 113. Pp. 2-9.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

Кушнер Елена Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, ekushner@ro.ru.

INVARIANTS OF GENERALIZED RAPOPORT-LEAS EQUATIONS

Elena N. Kushner1

1Moscow State Technical University of Civil Aviation, Moscow, Russia ABSTRACT

For the generalized Rapoport-Leas equations, algebra of differential invariants is constructed with respect to point transformations, that is, transformations of independent and dependent variables. The finding of a general transformation of this type reduces to solving an extremely complicated functional equation. Therefore, following the approach of Sophus Lie, we restrict ourselves to the search for infinitesimal transformations which are generated by translations along the trajectories of vector fields. The problem of finding these vector fields reduces to the redefined system decision of linear differential equations with respect to their coefficients. The Rapoport-Leas equations arise in the study of nonlinear filtration processes in porous media, as well as in other areas of natural science: for example, these equations describe various physical phenomena: two-phase filtration in a porous medium, filtration of a polytropic gas, and propagation of heat at nuclear explosion. They are vital topic for research: in recent works of Bibikov, Lychagin, and others, the analysis of the symmetries of the generalized Rapoport-Leas equations has been carried out; finite-dimensional dynamics and conditions of attractors existence have been found. Since the generalized Rapoport-Leas equations are nonlinear partial differential equations of the second order with two independent variables; the methods of the geometric theory of differential equations are used to study them in this paper. According to this theory differential equations generate subvarieties in the space of jets. This makes it possible to use the apparatus of modern differential geometry to study differ-

Научный Вестник МГТУ ГА

Том 21, № 02, 2018

Civil Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

ential equations. We introduce the concept of admissible transformations, that is, replacements of variables that do not derive equations outside the class of the Rapoport-Leas equations. Such transformations form a Lie group. For this Lie group there are differential invariants that separate its regular orbits, which allow us to classify the generalized Rapoport-Leas equations.

Key words: jets, point transformations, differential invariants, invariant differentiations.

1. Lychagin V.V., Kushner A.G., Akhmetzyanov A.V. Attraktory v modelyakh fil'tratsii [At-tractors in Models of Porous Media Flow]. Doklady Academii nauk [Doklady Mathematics], 2017, vol. 472, No. 6, pp. 627-630.

2. Rapoport L., Leas W. Properties of linear waterflood. AIME Trans, 1953, vol. 198, pp. 139-148.

3. Barenblatt G.I. Nelineynaya fil'tratsiya: proshloye, nastoyashcheye i budushcheye [Nonlinear filtering: past, present, and future]. Problemy teorii fil'tratsii i mekhanikaprotsessov povysheniya nefteotdachi [Problems of the theory of filtration and mechanics of enhanced oil recovery processes]. M.: Nauka, 1987, pp. 15- 27.

4. Bibikov P. Group classification of Rapoport-Leas equations. Lobachevskii J Math, 2017, vol. 38, no. 1, p. 116.

5. Alekseevskiy D.V., Lychagin V.V., Vinogradov A.M. Osnovnyye ponyatiya differentsi-al'noy geometrii [Basic Ideas and Concepts of Differential Geometry]. Itogi Nauki i Tekhniki. Seriya "Sovremenniyeproblemy matematiki. Fundamental'niye napravleniya" [Results of Science and Engineering. A series of "Modern problems of mathematics. Fundamental directions]. M.: VINITI, vol. 28, 1988, 297 p.

6. Vinogradov A.M., Krasilshchik I.S., Lychagin V.V. Vvedeniye v geometriyu nelineynykh differentsial'nykh uravneniy [Introduction to the geometry of nonlinear differential equations]. M.: Nauka, 1986, 336p.

7. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Differential invariants and exact solutions of the Einstein equations. Analysis and Mathematical Physics, 2016, vol. 7, no 2, pp. 107-115.

8. Lychagin V.V., Kruglikov B.S. Global Lie-Tresse theorem. Selecta Mathematica, New Series. 2016. C. DOI 10.1007/s00029-015-0220-z.

9. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Natural spinor structures over Lorentzian manifolds. Journal of Geometry and Physics, 2016, vol. 106, pp. 1-5.

10. Lychagin V.V., Kushner A.G., Akhmetzyanov A.V. Mass and heat transport in the two-phase Buckley-Leverett model. Journal of Geometry and Physics, 2017, vol. 113, pp. 2-9.

Elena N. Kushner, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Higher Mathematics Chair, Moscow State Technical University of Civil Aviation, ekushner@ro.ru.

REFERENCES

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Поступила в редакцию Принята в печать

28.10.2017

14.03.2018

Received

Accepted for publication

28.10.2017

14.03.2018