Регуляризация для уравнений с разрывными некоэрцитивными операторами

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ

НЕКОЭРЦИТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ *

В.Н. Павленко, Е.А. Чиж

В гильбертовом пространстве рассматривается уравнение с некоэрцитивным разрывным оператором. Для него устанавливается существование обобщенного решения и строится аппроксимирующее уравнение, решения которого сходятся к решению исходного. Полученные общие теоремы применяются к доказательству разрешимости одного класса резонансных эллиптических краевых задач с разрывной нелинейностью, для которых не выполнено условие Ландесмана-Лазера.

Ключевые слова: уравнения с некоэрцитивными операторами, разрывные нелинейности, сильно резонансные эллиптические краевые задачи, регуляризация.

1. Введение

Пусть Н — гильбертово пространство, компактно и плотно вложенное в рефлексивное банахово пространство У, Р — оператор вложения Н в У. Отождествим У* с подпространством Н*, элементами которого будут сужения функционалов из У* на Н. Это отображение У* в Н* совпадает с оператором Р*, сопряженным с Р. Заметим, что У* всюду плотно в Н* [1]. Обозначим буквой Л канонический изоморфизм между Н и Н*, определяемый равенством (Лу, х) = (у, х) для любых ж, у € Н. Здесь и далее скобками (•, •) обозначается значение линейного ограниченного функционала на элементе, а (•, -)-скалярное произведение в Н. Все рассматриваемые пространства вещественные.

В статье рассматриваются уравнения вида

АЬи + Р*ТРи = Р*/,

где Ь = I — ХА, /-тождественный в Н оператор, Л : // —г // линейный самосопряженный и компактный, А-1- собственное значение оператора А; отображение Т : У ^ У*-ограниченное на всем У (возможно, разрывное).

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования России и правительства Челябинской области (грант №03-01-6 ).

Ограниченность Т на всем пространстве Y означает, что существует константа М > О такая, что \\Ти\\ < М для любого и € Y. Элемент / € Y*, причем Р*/ ортогонален ядру Ker(L) оператора L, то есть (Р*/, v) = 0 для любого v € Ker(L).

Определение 1. Обобщенным решением, уравнения (1) будем называть элемент а (г //. удовлетворяющий включению

P*f - ALu € S(P*TP)(u),

где SG — секвенциальное замыкание локально ограниченного оператора G : 1/ ^ Н* [2], значение SGu которого совпадает с выпуклой замкнутой оболочкой всех слабо предельных точек последовательностей вида (Gun), где ип —У и в Н.

Аппроксимирующая задача для уравнения (1) имеет вид

A

где /„ € Y* при любом п G N, ||/„ - /\\Y* < £п, +0, 8п = у/е.й (еп —

погрешность в определении /, 6п — параметр регуляризации). При выполнении перечисленных выше условий топологическим методом устанавливается существование обобщенного решения ип уравнения (2) для достаточно больших п.

Введем обозначение: если Аи € P*Y*, то через s(u) будем обозначать элемент из Y* такой, что P*s(u) = Аи. Далее будем дополнительно предполагать выполнение следующих условий (г) — (in):

(i) Существует вещественное банахово пространство X, непрерывно вложенное вЯивГ такое, что ААХ С P*Y*, причем ||s(Ati)||y* < СЦиЦх для любого и € X, где постоянная С не зависит от и.

(п) На линейном пространстве U = Л-1(Р*У*) найдется норма, относительно которой U — рефлексивное банахово пространство, компактно вложенное в X. Обозначим это пространство буквой Z. При этом :

а) для произвольного и € Z верна оценка \\u\\z < M\\s(u)\\ y* , где константа М не зависит от выбора и € Z\

б) если и € Н и а € Ж, то Аи — аААи € P*Y* влечет принадлежность и к Z.

Определение 2. Пусть L-линейный ограниченный оператор, действующий из Н в Н. Последовательность (ип) С X будем называть L-последовательностыо, если \\ип\\х -) оо и существует v G Ker(L), такое что |К||х-1 • ип ^ v в X.

(ш) Для любой Ь-последовательности (ип) С X найдется номер п0 € М, для которого при всех п > п0 для произвольного дп € 3(Р*ТРип) верно неравенство

(д-п/о) < О,

где V € Кег(Ь) из определения Ь-последовательности.

Если выполнены условия (г)-(иг), то, как будет показано ниже, из последовательности обобщенных решений аппроксимирующего уравнения (2) можно выделить подпоследовательность, сильно сходящуюся к обобщенному решению исходной задачи (1) в банаховом пространстве X.

Заметим, что так как А-1 — собственное значение оператора А и отображение Т ограничено на всем пространстве У, то для оператора уравнения (1) нарушено условие коэрцитивности. Проблема существования решений для уравнений с разрывными операторами изучалась в работах М.А. Красносельского и его учеников А.В. Покровского и А.В. Лусникова [3-5] для уравнений с монотонными отображениями в полуупорядоченных банаховых пространствах и в работах В.Н. Павленко [6-9] методом монотонных операторов, а в [10-12] — вариационным методом. В отличие от перечисленных исследований в данной работе не предполагаются ни монотонность, ни квазипотенциальность, ни коэрцитивность оператора уравнения.

Уравнения с разрывными некоэрцитивными операторами в гильбертовом пространстве Н вида

Ьи + Ти = /,

где А : // —г Д-линейный фредгольмов оператор нулевого индекса из класса (<?)+, оператор Т : Н ^ Д-компактный (возможно, разрывный), удовлетворяющий условию Ти/\\и\\ —> 0 при \\и\\ —> +оо и / € Н, рассматривались в [13]. Было показано, что если элемент / такой, что для некоторого линейного изоморфизма М между Кег(Ь) и Кег(Ь*), для любой ^-последовательности (ип) С Н верно неравенство

Нш яир(Тщ,Мги) > (/, Му),

г-оо

либо для произвольной Ь-последовательности (ип) С Н справедливо неравенство

Нш т{

й—г-оо

(у из определения Ь-последовательности), то существует обобщенное решение уравнения (3). В отличие от этой работы, в данной статье удалось

заменить последнее предположение условием (ш), что позволило включить в приложения эллиптические краевые задачи с резонансом и разрывными нелинейностями, для которых не выполняется условие Ландесмана-Лазера. Отметим, что резонансные эллиптические краевые задачи с гладкой нелинейностью без условия Ландесмана-Лазера изучались в [14] и [15], а с ка-ратеодориевой нелинейностью — в [16].

2. Общие результаты

Основной результат работы — следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) А-самосопряженный компактный линейный оператор в //.

Ь = I — А А, I-тождественный оператор, А-1 -собственное значение оператора А, А > 0;

2) отображение Т : ¥ У* ограничено на всем пространстве У (возможно, разрывное);

3) выполнены условия (г) — (ш);

4) элемент / € У*, а P*f ортогонален Кег(Ь).

Тогда при достаточно больших п существует обобщенное решение ип аппроксимирующей задачи (2), причем последовательность (ип) содержит подпоследовательность, сильно сходящуюся в X к обобщенному решению уравнения (1).

Доказательство. Положим Ьпи = А(Ьи — 8пАи) для любого натурального числа п. Обобщенным решением уравнения (2) является элемент и € Н , удовлетворяющий включению

Ьпи € Р*и - Б(Р*ТР)(и).

Так как А-1 ф 0 — собственное значение компактного оператора А, то оно является изолированной точкой его спектра и, следовательно, (А+5„)-1 при достаточно больших п будет регулярной точкой для А. Поэтому, начиная с некоторого п, отображение Ьп = Л(7 — (А + 5П)^4) непрерывно обратимо. Таким образом, существование обобщенного решения уравнения (2) равносильно существованию и € Н такого, что

и(ЕЬп-1(Р*и^З(Р*ТР)(и)).

Рассмотрим отображение Фпи = Ь„^1(Р*/п — Б(Р*ТР)(и)) и докажем, что существует замкнутый шар Вп, который Ф„ отображает в себя и является на нем многозначным компактным оператором. Последнее означает, что Ф„ : Вп КВп — полунепрерывен сверху (КВп — семейство всех непустых, выпуклых, компактных подмножеств Вп) и образ шара, который Ф„ отображает в себя, предкомпактен в Н [17].

Действительно, для любого и € Н в силу компактности оператора Р* и включения Б(Р*ТР)(и) С Р*(5Т)(Р«) [2] множество 5(Р*ТР)(«) компактно (оно предкомпактно как подмножество предкомпактного множества и замкнуто по определению секвенциального замыкания оператора). Из чего с учетом непрерывности оператора Ь^1 следует компактность Ф„(и). Так как линейный оператор переводит выпуклые множества в выпуклые, то Фп(и) — выпуклое множество в Н. Поскольку оператор Т ограничен на всем У, то найдется замкнутый шар Вп, содержащий

Фп(Н) = и Ф».

иеН

Предкомпактность Фп(Н) следует из компактности оператора Р* и вклю-

Ч6НИЯ

У 5(Р*ТР)(«) С и Р*(5Т)(Р«) = Р*( и 5Т(Р«)).

иен иен иен

Таким образом, Фп(Вп) С Вп и множество Фп(Вп) — предкомпактно в Н.

Установим полунепрерывность сверху на Н отображения Ф„. Достаточно показать, что оператор Ь^1Б(Р*ТР) полунепрерывен сверху. Предположим, что это не так, тогда найдутся и € Н и открытое множество V Э Ь^1Б(Р*ТР)(и) такие, что для произвольного натурального к существуют щ с ||щ — «|| < |7 и € Ь^15(Р*ТР)(щ), но ^ V. Элемент Шк = Ь^1Ьк, где Ьк € 8(Р*ТР)(ик). Из ограниченности последовательности {и,к} и компактности отображения 5(Р*ТР) следует предкомпактность последовательности {Ь^} в Н*. Отсюда заключаем о существовании подпоследовательности {&£,}, сильно сходящейся к некоторому Ь в Н*. В силу свойств секвенциального замыкания [2] Ь € <5(Р*ТР)(гг). Последовательность 'шщ = —> Ь^1Ь € Ь^1Б(Р*ТР)(и) С V в Н. Из чего и откры-

тости V заключаем, что для достаточно больших I элемент чищ € V, но это противоречит выбору

Таким образом, Ф„ является многозначным компактным оператором, отображающим замкнутый шар Вп в себя. Отсюда следует, что при достаточно больших п отображение Ф„ имеет неподвижную точку ип € Вп [17], а

это равносильно существованию обобщенного решения задачи (2). Следовательно, существует п\ G N такое, что Vn > п\ найдется дп G S(P*TP)(un), для которого верно равенство

A

В силу свойств секвенциального замыкания [2] S(P*TP)(un) С P*(ST)(Pun) , поэтому существует dn G (ST)(Pun) С Y* такое, что дп = P*dn и (4) можно переписать в виде

Аип -

Из условия (й) при а = Л + 8п следует, что ип G Z , а из компактности вложения Я в X, что % G J при любом п > п\. Теперь докажем ограниченность в X последовательности (ип) обобщенных решений задачи (2). Предположим противное. Тогда существует подпоследовательность, которую по-прежнему будем обозначать (ип) такая, что \\ип\\х ^ +оо при п ^ оо. Обозначим через

ип

vn = 71—й~•

ПипЦХ

Поделим обе части уравнения (5) на \\ип\\х-

л _ гх , w к л , P*

Avn —

ПипЦХ

Покажем, что правую часть последнего уравнения можно представить в виде P*(tn) , где ^ограниченная последовательность в Y*. Дей-ствительпо, последовательность (vn) ограничена в X, так как ||vn||x = 1. Из условия (г) следует, что AA(w„) = P*s(Avn) G P*Y* и (s(Avn)) — ограниченная последовательность в Y*. Кроме того, так как оператор Т ограничен на всем пространстве Y и dn G ST(Pun) Vn G N, то (dn) ограничена в У*. С учетом ограниченности (/„) в Y* получим, что tn =

(8п + A)s(Aw„) + |К||х-1 • (fn^dn) — ограничена в7*,а уравнение (6) запи-

сывается в виде Avn = P*(tn) и, значит, s(vn) = tn — ограниченная последовательность вГ.В силу условия (й) равенство Avn = P*(tn), tn€Y*, влечет принадлежность vnK Z и справедливость оценки ||wn||z < M\\s(vn)\\Y* с константой А/. не зависящей от п. Поэтому последовательность (vn) ограничена в Z. Поскольку Я-рефлексивно, то существует подпоследовательность, которую также будем обозначать (vn), слабо сходящаяся к некоторому v в Z. Используя компактность вложения Z в X получаем, что vn ^ v в X. Переходя В (6) К пределу при п ^г> ОО, В X имеем А 1.1' = 0. Последнее

означает принадлежность V ядру оператора Ь. Заметим, что V ф О, так как ЦуЦх = 1. Таким образом, ип является Ь-последовательностью в X и в силу (ш)-условия найдется номер п0 € М, для которого при всех п > п0 верно неравенство {дп,у) < 0, где дп из равенства (4).

С другой стороны, домножив уравнение (4) на V, получим

Оператор Ь — самосопряженный иоё Кег(Ь), поэтому первое слагаемое в последнем равенстве равно 0. Из (7), с учетом ортогональности Р*f и Кег(Ь), получаем

{дп,у) = \\ип\\х8п{А%}„,%}) + {Р*(/п - /),«)•

Так как ||/„ — /||у* < еп и У* компактно вложено в Н*, то существует константа М\ > 0 такая, что

I(Р*(и - /),«)! < Мн\\р*(/п - /)\\н* <

< МхЦуЦяЦ/п - /||г* < М1£п\\у\\н-

Таким образом, (дп,у) > \\ип\\х$п(Ауп, у) — М^ЦуЦя- Оценим снизу скалярное произведение (Ауп,у). Используя самосопряженность оператора А, получаем (Арп,у) = (уп,Ар) = А-1 (уп,у). Последовательность юп слабо сходится к V в Z, поэтому для достаточно больших номеров п имеет место неравенство (уп,у) > 2_1||г!||я2- Следовательно, так как А > 0, то 1М12

(Ауп, у) > 2ЛД . Кроме того, так как еп +0 при п сю, то 8п = > еп

для достаточно больших п. Отсюда получаем, что, начиная с некоторого номера,

\9п,щ > -------—----------М1£п\Щ\н > еп\Щ\н{--------^-------Мх) > О,

Таким образом, мы получили противоречие с (ш)-условием, поэтому последовательность (ип) ограничена в X. Из (г)-условия следует, что з(Аип) ограничено в У*. Последовательности (/„) и (йп) ограничены в У*. Из (5) и условия (п) получаем, что (ип) ограничена в Z. Отсюда и из рефлексивности пространства Z заключаем о существовании подпоследовательности, которую по-прежнему будем обозначать (ип) слабо сходящейся к некоторому элементу п (г X. I? силу компактности вложения Z вХ имеем, что ип —> и

в X. Из ограниченности (ип) и компактности отображения S(P*TP) следует, что последовательность (дп) предкомпактна, т.е. из нее можно выделить сильно сходящуюся подпоследовательность к д € Н*. С учетом того, что fn /) $п 0, из (4) при п ^ ос получаем ALu + д = Р*/, причем в силу свойств секвенциального замыкания [2] д € S(P*TP)(u) . Теорема 1 доказана полностью.

3. Приложение

В ограниченной области П С К™ с границей Г класса О < ц < 1, рассматривается задача

—Аи — Aiи + д

где Ai-наименьшее собственное значение оператора -Д с граничным условием (9), h € Lq(Q,), (q> т) и

f h<pdx = 0,

J о

(^-собственная функция оператора с граничным условием (9), соответствующая Ai. Известно [18], что Ai > 0 и множество собственных функций оператора с граничным условием (9), соответствующих Ai, имеют вид {t(p}i<= к, где функция ip € Wg(Q), ее след на Г равен нулю, она положительна в П и <0, где ^ — обозначает производную по направлению внешней нормали к границе Г. функция j : О х К 1 борелева (mod 0) [19], т.е. существует борелева функция j : О х 1 1, которая отличается

от д лишь на подмножестве I С О х Ж, проекция которого на О имеет меру нуль.

Предполагается, что для почти всех х € О функция д(х, •) имеет разрывы только первого рода, д(х,и) G [д-(х,и),д+(х,и)\ для любого и G Ж, где

д-(х,и) = lim inf g(x,Tj), д+(х,и) = limsup g(x,Tj).

rl^u J)^U

Определение 3. Обобщенным решением, задачи, (8)-(9) будем называть

О

функцию и G Wy(Q,)П W\ (П); удовлетворяющую для почти всех х G О включению

Аи(х) + Ai«(o:) + h(x) G [g-(x,u(x)), g+(x,u(x))}.

Теорема 2. Предположим ,что дополнительно

1) для любого ае!в почти всех а: € О

д

2) существует функция а(х) € Ьч($1) (д > т) такая, что при почти всех х € О

\д

Тогда существует обобщенное решение задачи (8)-(9).

Доказательство. Обозначим через Н гильбертово пространство

О

(П), а через У — вещественное рефлексивное банахово пространство ЬР(П) (р = Я из условия теоремы). Пусть Л- канонический изоморфизм между Н и Н*. Известно [18], что пространство Н компактно вложено в У. Определим оператор Л : // —г // следующим равенством

(Ьи, у) = 'У~' [ -^—тг~йх — Ах [ июйх Уп С'Жг ^хг 1П

для любых и и у из Н. Нелинейному члену уравнения (8) сопоставим оператор Т : У ^ У* , который задается равенством Ти = д(х,и(х)) для любого и £ У. В силу условия (12) оператор Т ограничен на всем пространстве У. Заметим, что оператор Р*ТР, где Р — оператор вложения Н в У, определяется равенством {Р*ТРи,у) = /п д(х, и(х))у(х)ёх Уи,у € Н. Функционал Р*Ь (Н € У*) задается равенством (Р*Н,ю) = /п Ыйх для любого V € Н. В результате получим следующую операторную постановку задачи (8)-(9):

АЬи + Р*ТРи = Р*Н.

Покажем, что любое обобщенное решение задачи (13) является обобщенным решением (8)-(9). Пусть и € Н — обобщенное решение (13), т.е. существует г € 3(Р*ТР)(и) такой, что

АЬи + г =

В силу свойств секвенциального замыкания [2]

3(Р*ТР)(и) С Р*(БТ)(Ри) = Р*ТП(Ри),

где Тпх = Пє>о сот){г = Ту : ||у — х\\ < є} овыпукливание оператора Т, а сопуК (К С Ьр($1)) обозначает замкнутую выпуклую оболочку множества К. Как показано в [20], для любого го Є ЬР(П) значение

Тпи) = : О —> Ж|г(ж) измерима по Лебегу на П и

г(х) Є [д-(х, у}(х)),д+(х, го(ж))] для п.в.ж Є О.} Таким образом, включение г Є Б(Р*ТРи) влечет существование г Є ТпРи, для которого верно равенство

§ і =Х(Аі“ ф)+к)ых

для любого V Є Н, т.е. и является слабым решением краевой задачи

—Аи — Аі и = Ь

и\г = 0.

Так как к — г Є ЬЯ(И), то из теорем о регулярности слабых решений линейных эллиптических краевых задач [18] следует, что и Є ї¥д(0,). Из чего стандартным рассуждением получаем, что и — сильное решение задачи (14)—(15). С учетом свойств г(х) отсюда заключаем, что и — обобщенное решение задачи (8)-(9).

Следовательно, для доказательства теоремы достаточно проверить выполнение условий теоремы 1.

1. По определению (Ьи,у) = (и,у)н — Аі /п ил)с1х для любых аивиз

И. Откуда получаем, что Ь = I — Аі-А, где /-тождественный оператор в Н, а оператор А определяется равенством (Аи, у) = /п июсіх для любых а,о Є

Н. Самосопряженность и ограниченность оператора А очевидна. Покажем, чт0 д — компактный оператор в Н. Действительно, обозначим через Р\ оператор вложения Н в Ь2(П). Известно [19], что Р\ — компактен. Так как (Аи,у)н = (Ріи,Ріу)і2 = (Р*Ріи,у), то КАи = Р*Р\и для любого и Є Н. Следовательно, оператор А = Л 1 /-у — компактен. Кроме того, так как

Аі-собственное значение оператора с граничным условием (9), то Аі-1 является собственным значением оператора А, Аі > 0.

2. В силу условия (12) оператор Т действует из У = ЬР(П) в У* = ЬЯ(И) и ограничен на всем пространстве У.

3. Проверим (г)-условие. В качестве вещественного банахова пространства X возьмем С*о (О)-пространство всех непрерывно дифференцируемых функций на О, обращающихся в нуль на границе с обычной норО

мой. Пространство Сд(О) непрерывно вложено в (^) и в Ья($1). Покажем, что А АХ С Р*У*. Пусть £*) — оператор вложения X в У*, и —

произвольный элемент пространства X, тогда для любого «ЕЯ имеем (ААи, у) = /пвдя1ж = {(^и,Ру) = (Р*<3щу). Таким образом, ААи = Р*(2и € Р*У* и з(Аи) = С}и. Далее, из ограниченности оператора С} следует существование константы С > О такой, что для любого и € X ||5(Аи)||у* = \\Qu\Iy* < С\\и\\х-

Проверим выполнение (й)-условия. Заметим, что и € Н является решением операторного уравнения Аи = P*f, / € ЬЯ(И) тогда и только тогда, когда и — слабое решение задачи Дирихле —Аи(х) = /(ж), х € О;

О

и\г = 0. Поэтому I/ = А >/'*}'* = И^(Г2)П (О) [18]. Это линейное

пространство с метрикой пространства обозначим через Z. Отметим,

что Z компактно вложено в X [18]. Согласно теореме об оценке решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа [18] существует константа М > 0 такая, что \\и\\г < М\\.з(и)\\у* для любого и € Z. Из теорем о регулярности слабых решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа следует, что любое решение уравнения Аи = а ААи + /’*/. / € У*, а € Ж, принадлежит Z, поскольку оно является слабым решением задачи ^Аи(х) = аи(х) + /(ж), ж € О; и|г = 0.

Проверим (ш)-условие. Пусть даны произвольные Ь— последовательность (ип) С X и дп € 8(Р*ТРип). По определению ^-последовательности \\ип\\х оо и !)п = \\ип\\х^1 Кег(Ь) в X.

Так как V € Кег(Ь), то [18] V— сильное решение задачи

Ау

-у |г = 0.

Таким образом, V является собственной функцией оператора -А с однородным условием Дирихле, соответствующей собственному значению Аь

Поэтому, V = Ь<р(ж), где I ф 0-некоторая константа. Возможны два случая:

1) £ > 0 и, следовательно, г!>0вП,а||<0наГ;

2) £ < 0 и, следовательно, V < 0 в П, а > 0 на Г.

Пусть для определенности !)>ОвОи|^<ОнаГ (второй случай рассматривается аналогично). Тогда в силу сходимости последовательности (ук) к V в С*д(0) найдется номер ко € N такой, что для любого к > ко верно неравенство г^(ж) > 0 на П. Так как и£ = г^Цг^Ця, то для любого к > ко функция щ(х) > 0 на О. Отсюда и из (11) получаем, что

д+(х,щ(х)) < 0 для почти всех ж € О и для любого к > к0. Так как

дк € Б(Р*ТРик) С Р*(БТ)(Рик), к € М, то для любого натурального к найдется гк € БТ{Рик) такой, что дк = Р*%к- Как отмечалось выше, почти для всех х € О верно включение гк(х) € [5-(ж, г^(ж)),д+(ж, и^(ж))]. Из чего следует неположительность гк(х) почти всюду на О при к > ко, так как гк(х) < д+(х,щ(х)) и д+(х,щ(х)) < 0 для почти всех х € О и к > ко-Последнее влечет при к > ко

4. Проверим ортогональность P*h к Ker(L). Если v G Ker(L), то v = tip, t ф 0. Тогда {P*h, v) = t fn hcpdx = 0 в силу условия (10). Следовательно, P*h ортогонален Ker(L).

Таким образом, выполнение всех условий теоремы 1 проверено. На

Список литературы

1. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

2. Павленко В.Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностям,и // Укр. мат. журн. 1994. Т. 46, Ж. С. 729-736.

3. Красносельский М.А., Покровский А.В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностям,и // ДАН. 1976. Т. 226, №3. С. 506-509.

4. Красносельский М.А., Покровский А.В. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями // ДАН. 1995. Т. 342, №6. С. 731-734.

5. Красносельский М.А., Лусников А.В. Правильные неподвижные точки и устойчивые инвариантные множества монотонных операторов // Функц. анализ и приложения. 1996. Т.30, вып. 3. С. 34-46.

6. Павленко В.Н. Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вести. МГУ. Математика. Механика. 1973. т. С. 21-29.

7. Павленко В.Н. Нелинейные уравнения с разрывными операторами в банаховых пространствах // Укр. мат. журн. 1979. Т. 31, №5. С. 569-572.

8. Павленко В.Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными полумонотонными операторами // Укр. мат. журн. 1981. Т. 33, JM. С. 547551.

9. Павленко В.Н. Метод монотонных операторов для уравнений с разрывными нелинейностям,и // Изв. вузов. Математика. 1991. Л'"6. С. 38-44.

этом доказательство теоремы 2 завершается.

10. Павленко В.Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, Ж. С. 1397-1402.

11. Павленко В.Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностям,и // Укр. мат. жури. 1991. Т. 43, №2. С. 230-235.

12. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнеий с разрывными операторами // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. 1994. Вып. 1(2). С. 87-95.

13. Павленко В.Н., Винокур В.В. Теоремы существования для уравнеий с некоэрцитивными разрывными операторами // Укр. мат. журн. 2002. Т. 54, .\'"3. С. 349-363.

14. Bartolo P., Benci V., Fortunato D. Abstract critical point theorems and applications to some nonlinear problems with strong resonance at infinity // Nonlinear Anal. 1983. Vol. 7, ,V'9. P. 981-1012.

15. Рунет Т. Полулинейные эллиптические краевые задачи в резонансе с супер-линейными нелинейностям,и // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, Л'"9.

С. 1179-1185

16. lannacci R., Nkashama М. N.. Ward J. R. Nonlinear second, order elliptic partial differential equations at resonance // American math, society. 1989. Vol. 311, Ш. P. 711-725.

17. Ma T.W. Topological degree for set valued compact vector fields in locally convex spaces // Rozprawy Mat. 1972. Vol. 92. P. 3-47.

18. Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

19. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа // М.: Наука, 1973.

20. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

Челябинский государственный университет pavlenko@csu.ru, ekaterina@csu.ru