О потере устойчивости бесконечно длинной полосы за пределом упругости при сжатии

УДК 622.0223.42, 539.374

О потере устойчивости бесконечно длинной полосы за пределом упругости при сжатии

А.И. Чанышев, Е.А. Игонина

Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 630091, Россия

Работа посвящена определению критической нагрузки в задаче о потере устойчивости бесконечно длинной полосы при сжатии. Полоса деформируется за пределом упругости, при этом сопротивление деформированию в ней падает с ростом деформаций. Принимаются две гипотезы относительно запредельного деформирования материала полосы: 1) зависимость изменения объема от гидростатического давления — пропорциональная, 2) зависимость максимального касательного напряжения от максимального сдвига является «единой». Задача решается в постановке Лейбензона-Ишлинского.

Ключевые слова: запредельное деформирование, устойчивость, критическая нагрузка

On the stability loss of an infinitely long strip beyond the compressive elastic limit

A.I. Chanyshev and E.A. Igonina

Institute of Mining SB RAS, Novosibirsk, 630091, Russia

The critical load in the problem of stability loss of an infinitely long strip under compression is determined. The strip is deformed beyond the elastic limit, and the strain resistance in the strip drops with an increase in strain. Two hypotheses for the supercritical deformation of the strip material are taken: a proportional dependence of volume on hydrostatic pressure and a unified dependence of maximum tangential stress on maximum shear. The problem is solved in the Leibenzon-Ishlinsky statement.

Keywords: supercritical deformation, stability, critical load

1. Введение

Решаемая задача связывается с вопросами складкообразования в горно-геологических условиях. Прежде всего, интересует значение критической сжимающей нагрузки, при которой первоначально ровный (прямолинейный) слой горной массы вдруг принимает другие равновесные формы. Можно поставить другой вопрос: является ли данная непрямолинейная форма пласта единственно возможной равновесной формой при потере устойчивости? Может быть, наряду с этой существуют другие равновесные формы с непрямолинейными границами?

Необходимо заметить, что вопросам устойчивости деформируемых конструкций посвящено множество работ, часть из них представлена в обзорах [1-3]. Здесь есть два направления развития: одно — для тонкостен-

ных конструкций (пластин, оболочек), другое — для массивных конструкций, когда нет основания утверждать, что один из размеров конструкции много меньше двух других. В связи с этими направлениями развиваются разные подходы исследований. Первый подход исследуется в рамках уравнений теории оболочек, второй — в рамках общих уравнений теории упругости, теории механики сплошных сред. Ко второму подходу относится направление, указанное Л.С. Лейбензоном [4], А.Ю. Ишлинским [5]. Оно предполагает, что в момент потери устойчивости конструкции в ней наряду с основным продолжением процесса возможно другое бесконечно близкое продолжение процесса деформирования, которое также является равновесным. Задача: определить ту нагрузку, при которой другое продолжение процесса может существовать.

© Чанышев А.И., Игонина Е.А., 2010

В работах [4, 5] исследовалась упругая задача. В то же время явление потери устойчивости в большинстве случаев происходит необратимо, т.е. необходимо рассматривать это явление в рамках необратимых деформаций. Естественно, что при потере устойчивости происходит изгиб поверхности, изгиб слоя так, что на «наружной» части материал как бы растягивается, а на «внутренней» — сжимается. Это означает, что при потере устойчивости следует вводить разгрузку на «наружной» части изгибаемой поверхности, догрузку — на «внутренней». Здесь принимается гипотеза Шенли [6] о продолжении нагружения в момент потери устойчивости конструкций, согласно которой разгрузка заменяется догрузкой. Эта гипотеза предполагает, что дополнительные напряжения в момент потери устойчивости состоят из двух слагаемых, одно из которых отвечает за продолжение основного нагружения, другое — за искривление поверхности, причем первое слагаемое по абсолютной величине больше второго.

2. Выбор математической модели неупругого деформирования геосреды

Если говорить о модели деформирования геосреды, то следует сказать, что горные породы обладают такими свойствами как разносопротивляемость при растяжении и сжатии. Другое их отличие, например, от металлов, состоит в том, что они при деформировании проявляют такое свойство, как эффект дилатансии, когда при приложении касательных напряжений объем геосреды может увеличиваться (положительный эффект дилатан-сии) и может уменьшаться (отрицательный эффект ди-латансии). Эти направления дилатансии связаны с начальной пористостью, трещиноватостью среды. То и другое свойства для горных пород учитываются в мате-магической модели деформирования геосред, предложенной в [7]. Эта модель предполагает существование ортогонального, ортонормированного тензорного базиса, в котором координаты тензора напряжений определяются значениями одноименных координат тензора деформации. Причем координаты в направлении некото-

рого тензора Тт остаются пропорциональными вплоть до разделения материала на части, а в направлении другого тензора Т1, ортогонального Тт, зависимость координаты Sl тензора напряжений Тс от координаты &1 тензора деформации Тє является нелинейной, причем «единой» зависимостью, не зависящей от вида нагружения элемента среды. Эта вторая зависимость отражает изменение предельной силы трения на контактных площадках частиц (блоков), из которых состоит геосреда от величины сдвига этих частиц относительно других [8]. На рис. 1 показаны эти зависимости для каменной соли при разных температурах.

Указанный базис повернут относительно собственного базиса для металлов на некоторый угол ф*, который в геомеханике принято называть углом внутреннего трения. Ниже для простоты и наглядности вычислений будем предполагать значение ф* равным нулю, имея в виду в последующем возможность применения более сложной модели, учитывающей свойства геосреды в полном объеме. Поставленную задачу будем решать в рамках плоской деформации. Для этого случая деформирования тензоры напряжений Тс и деформаций Тє имеют вид:

'СТ х Т ху 0 ( 'Є х є ху 0 (

Тс = Тху а у 0 Т = ’ ТЄ Є ху є у 0

0 V 0 ^ - 0 V 0 0 /

Предполагается, что за счет действия напряжения а2 деформация вдоль оси г выбранной заранее прямоугольной системы координат xOyz отсутствует.

Поставим задачу определения зависимостей между компонентами тензоров приращений напряжений и приращений деформаций: Дах, Дт , Дау, Дех, Де

ху5

Де у, поскольку только эти компоненты отвечают согласно [4, 5] за искривление первоначально прямолинейной границы полосы.

Принимаются следующие гипотезы относительно изменений указанных величин. Первая касается изменения среднего напряжения 1/2 (Да х +Да у); предпола-

Рис. 1. Зависимости

Рис. 2. Девиаторная плоскость и выбранная система отсчета

Рис. 4. Диаграмма изменения максимального касательного напряжения т от сдвига у

гается, что во все время нагружения среды, вплоть до разделения материала на части, справедлива зависимость

где к — постоянная материала. Эту гипотезу можно перефразировать еще и так: объем среды при любых видах нагружения изменяется упруго [9].

Другая гипотеза касается изменений девиаторных величин. Рассмотрим девиаторную плоскость для тензоров напряжений Та, деформаций Те и их приращений ТДа, ТДе соответственно. В этой плоскости девиаторам указанных тензоров соответствуют векторы т, у, Дт, Ду (рис. 2) [9].

Векторы т, у, Дт, Ду имеют длины, совпадающие со значениями максимального касательного напряжения, максимальной сдвиговой деформации для тензоров напряжений, деформаций и их приращений. Полярные углы совпадают с удвоенными значениями углов между первым направлением соответствующего тензора и осью х прямоугольной декартовой системы координат хОуг.

Вектор Дт разложим на направление вектора т и перпендикулярное ему (рис. 3).

Догружение по направлению вектора т называется в [9] простым, догружение в направлении, перпендикулярном т, называется ортогональным. Примем следующие гипотезы: будем считать, что неупругое приращение деформации происходит в направлении простого догружения, упругое — в ортогональном. Это означает, что

. , Дт' ,, Дт"

Ду = —, Ду'' = —,

2ц 2ц

где 2цр — касательный модуль на диаграмме изменения максимального касательного напряжения т от сдвига у (рис. 4). Здесь tg х = 2 ц — модуль упругого сдвига; tg 8 = 2ц — модуль спада, который возможно определить отношением величины т0 к ур, где Ур — значение предельного сдвига.

Учтем, что

. Дт-т Дах -Дау

Дт =-------= Дт -1 =-----— cos(29) + Дт sm(29),

т 2

, Де х -Де у Ду =------- ---— ^(29) + Де sin(29),

Дт'г = Дт • I 1 = -

2

, Дє х -Дє у Ду" = Ду • 11 =---2-----у

-sin(29) + Дт cos(29),

sin(29) + Дє cos(29),

где I — орт, перпендикулярный I = (cos(29), sin(29)). Тогда из (2) получаем зависимости:

Дах-Дау

2 = (црсов 9+ц8Іп 9)х

х (Дє х - Дє у) - (ц -ц р) Дє ху,

Дє х -Дє у Дтху = -(ц - Цр ) Бш(49)------2—- +

+ 2(цр 8Іп2 9+цсов2 9)Дє .

Рис. 3. Разложение догрузки Дт на простое и ортогональное догружения

~р ^ ^

Отметим, что (1), (3) — это полная система уравнений для определения приращений напряжений через приращения деформаций и наоборот.

Замечание. При определении деформирования на запредельной стадии деформирования (участок ВС диаграммы деформирования, рис. 4) необходимо в (3) заменить модуль сдвига 2Цр на -2ц*.

3. О граничных условиях в задаче о потере устойчивости бесконечно длинной полосы

В [4, 5] граничные условия задачи формулируются на искривленной поверхности полосы. Попытаемся

Рис. 5. Нормаль п и касательная t к искривленной поверхности полосы; р — угол между касательной t и осью Ох

определить эти условия строже, чем в [4, 5]. Рассмотрим элемент полосы (рис. 5). (Значение угла р на рисунке отрицательно.) Точки А и В, находящиеся до искривления полосы на ее границе у = h, имеют соответственно координаты (х, К), (х + Ах, К). После потери устойчивости полосы они занимают соответственно положения точек С и D. Координаты точки С равны х + + Аи(х, К), h + Ао(х, К), где Аи(х, И), Ао(х, К) — смещения точки А по осям х и у соответственно. Координаты точки D определяются аналогичным образом: по оси абсцисс — х + Ах + Аи(х + Ах, К), по оси ординат — h + А^(х + Ах, К). Координаты вектора BD, направленного по касательной к искривленной поверхности, определяются разностью координат точек В и D.C точностью до малых более высокого порядка, чем Ах:

BD

Ax +

дДu

дx

•A x,

дAv

і x,h)

дx

•Ax

і x,h)

Отсюда следует, что тангенс угла наклона р, образуе мого вектором BD с осью Ох, будет равен [5]:

ЭДс

дДс

tg p = -

дx

1 +

дAu

дx

дx

і x,h)

і x,h)

Рассмотрим краевые условия задачи. Предполагается, что бесконечно длинная полоса сжата в направлении x усилием а° = -p (р > 0,р = const). До момента потери устойчивости в ней реализуется однородное напряженно-деформированное состояние: т0ху = 0, а0, = 0.

В момент потери устойчивости появляются приращения смещений Ди(х, y), Av(x, y), соответствующие им приращения деформаций Дех, Де, Деу и соответствующие последним приращения напряжений Дах, Дт xy, Да y. Суммарные напряжения а0 + Да у должны удовлетворять на границах полосыy = ±h (2h — толщина полосы) условиям свободной от напряжений поверхности:

ly=±h

= О.

Запишем условие (З) подробнее:

[і-p + Aa x )nx + At = О;

IAt xynx +Aa yny = О.

y=±h

ny =

Из рис. 5 видно, что нормаль n составляет с осью Ox угол П2 + Р, где р определяется (4), с осью Oy — угол -р. Поэтому nx = cos(n/2 + р) = - sin р = -р,

= сов(-р) ~ 1. Отсюда (6) записываем в виде:

j-(-p + Дах )р + Дтху =0,

1-ДТхур + Да У = °' у=±А

Из (7), пренебрегая произведениями малых величин, получаем:

дДv

At xy = - Р^Т~

Aa y = О.

дx

y=±h

4. Решение задачи о потере устойчивости полосы в запредельной области деформирования

Применим соотношения (1), (3) в случае запредельного деформирования (2|Лр = -2ц*, 2ц* — модуль спада) к анализу устойчивости полосы. Так как в допредельном состоянии полосы т0ху = 0, то в соотношениях (3) имеем 20 = 0. Рассматривая (1), (3) в случае 20 = 0, получаем зависимости:

Аат + Аау

---------- = * (Ае х + Ае у),

Aa - Aa

= -ц іAЄx + Aey),

2

At = 2цДє .

xy ^ xy

Отсюда имеем:

Aax = іk-ц* )Aex + іk + ц*) Ae y, Aa y = іk + ц*) Ae x + іk -ц*) Ae y,

ATxy = 2^Ae.

xy

Эти напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия

дДа дДт„

дx дAт x

дy дДa y

= О,

-= О,

дx дy

а также граничным условиям (8). Подставим в (9) вмес-

то Aex Av:

Ae , Aey их выражения через смещения Au,

Ae =

дДи

дx

Ae у =

дAv

’

Ae xy = — xy 2

"дДи дAv Л ду дx

затем (9) вместе с (11) подставим в (10). В результате получаем следующую систему уравнений для определения смещений Аи, Ар:

Э 2Ди Э 2Ди Э 2Дс

(к -Ц*) 2 + Ц ^ 2 + (к + Ц+Ц* )^^— - 0,

Эх2

Э2Дс п ч Ц—Г +

Эу2 Э 2 Дс

+

ЭхЭу Э 2Ди

- 0.

Эх2 * Эу2 г г ЭхЭу

Решение (12) отыскиваем в виде [4, 5]:

Ди = f (ау)соч(ах), Дс = я(ау)$лп(ах), где f (ау), я(ау) — некоторые функции переменной у. После подстановки (13) в (12) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для f(л), я(Л), где л = ау:

@Ц f "(Л) - (к -Ц*) f (Л) + (к + Ц+ Ц*)Ш (Л) - 0,

@(к + Ц+Ц*) f (л) + Ц(Л) - (к - Ц*)(Л) - 0. Решение (14) отыскиваем в виде:

f (Л) - ЛвХЛ, Ш(Л) - Вё

После подстановки (15) в (14) и сокращения на ёЦЛ получаем систему однородных алгебраических уравнений для определения неизвестных в (15) коэффициентов А и В вида:

? А[цЦ 2 - (к -ц*)] + ВЦ к + ц + ц* ] - 0,

АЦ[к + ц + ц*] + В[ц-(к-ц*)Ц ] - 0.

Определитель системы (16) для ненулевого решения должен обращаться в ноль. В результате приходим к характеристическому уравнению четвертого порядка для Ц:

а 2кЦ* + кц+цц* 2

Ц4 + 2

Ц2 +1 - 0.

Ц

Разрешая (17), получаем корни:

Ц22 - -а2, Ц2,4 --Р

где

а = а + Ь, в = а - Ь,

Ь -

Ц* к + ц

ц к-ц* ^ц к-ц*

Из (18), (19) следует, что корни уравнения (17) будут кратными в двух случаях: если Ь = 0 (модуль спада 2ц* должен быть нулевой) и в случае а = 0 (модуль спада должен быть равен -2ц, т.е. 2ц* =-2ц). Первый случай соответствует идеально-пластическому материалу. В этом случае А^2 = -1, = -1, корни имеют вид:

А13 = i, А2,4 = -г.

Во втором случае (Ь = 0) А^2 = 1, А^4 = 1, корни:

А1,3 = 1, А2,4 =-1-

Если ц* не равен нулю и не равен -ц, то корни характеристического уравнения получаются разными. Проанализируем все эти случаи раздельно.

Пусть выполняется (21), т.е. происходит упругое изменение приращений напряжений. Вместо ц* в (9) следует писать -ц. Решение (14), отвечающее корням (21), ищем в виде:

f

g (п) = (В +л^2) + е~п (Вз +ПВ4).

Для того чтобы выполнялась система (14), для коэффициентов А- и Bi должны выполняться условия [4,

5]:

к + 2ц

А1 - В1 + -

А3 - _ В3 +

к

к + 2ц

В2, А2 - В2,

В4, А4 - В4-

Если потребовать равенства

Я

т.е. условия Ар(х, h) = Ар(х, -h), то тогда из четырех независимых постоянных Вг в силу

В1 = В3> В2 = - В4>

следующего из (22) при условии (23), независимыми останутся только два коэффициента: В1 и В2. Тогда, в силу (23), (25), выражения (22) примут вид:

;[ (п) = 2 " В1 + В2 ( sh П + 2ПВ2 ch п

I к -

g (п) = 2В1 ch п + 2пВ2 sh п.

Подставляя (26) в (14), (14) в (9), (9) в граничные условия задачи (8), получаем систему двух алгебраических однородных уравнений для определения В1 и В2. Приравнивая определитель системы нулю, получаем критическую нагрузку, указанную в [4, 5]:

Л nsh п -п

р - 2ц

Пусть теперь ц* = 0. Тогда а = 0, а =в = 1, А13 = г, А24 =-г. Учитывая кратность корней, решения для функций f (п), я(п) отыскиваем в виде:

/ (п) = (А1 +пА2)^ п + (А3 +пА4^т п, g (п) = (В1 +пB2)cos п + (В3 +пB4)sin п.

Подставляя это решение в систему (14), при условии ц* = 0 находим зависимости между коэффициентами

А и В

А = Вз + £+4, А2 = В4, к + ц

Аз =-В1 +к-ц В4, А4 =-В2, к + ц

т.е. функции f (п), я(п) представляются как:

Рис. 6. Зависимость критической нагрузки от параметра волнообразования п. По оси ординат отложены значения сжимающей нагрузки, по оси абсцисс — значения п = як//

f (Л) -

В3 + ЛВ4 +

к-ц

В

4 В2

к + Ц

С08 Л +

- В-ЛВ2 +

к-Ц

Ва

81П Л,

к + ц

Ш(л) - (В1 +лВ2)со8Л + (В3 +лВ4)в1пл.

Учтем четность функции g(п): я(п) = я(-п). Тогда в (28) должно быть:

Вг = В3 = 0.

Подставляя (28) в (14), (14) в (11), (11) в (9), (9) в (8), находим, что для выполнения второго условия (8) (при ц* = 0) необходимо, чтобы В4 в (28) обращалось в ноль. Тогда после подстановки (28) в первое условие (8) получаем уравнение

pB1cos п = 0.

Поскольку р = 2т8, где т8 — предел упругости материала на диаграмме рис. 4, В1 Ф 0 (иначе решение (28) было бы нулевое), то из (30) находим с учетом обозначения п = як//, что для выполнения этого уравнения необходимо выполнение условия:

як// = я/ 2 + як, к е 2,

т.е. длина полуволны I изогнутой поверхности в направлении оси х должна определяться в случае идеальной пластичности среды из уравнения:

2к

I —

к є 2,

1 + 2к

в частности, при к = 0: I = 2^ при к = 1 / = 2/3 к и т.д., т.е. с ростом к длина I уменьшается.

Рассмотрим теперь произвольный случай изменения модуля спада 2ц*. Если 2ц* Ф 0 и 2ц* Ф -2ц, тогда А22 =-а2, А^4 = -р2и корни характеристического уравнения (17) принимают значения: А12 = ±га, А3 4 = ±г'Р, т.е. функции f(п), g (п) следует искать в виде:

f (л) - А1 ^(ал) + А2 s1n(ал) +

+А3 cos(Pл) + А4 s1n(Pл),

Ш(л) - В1 cos(ап) + В2 s1n(ал) +

+В3 cos(Pл) + В4 sin(Pп).

Будем сразу исходить из условия симметрии задачи: я(Л) = ,-Л). Тогда в (31) В2 - В4 - 0. Если еще положить f (л) = -[ (-Л), то вместо (31) получим: f (л) - А2 s1n(aл) + А4 s1n(Pл),

Ш(л) - В1 cos(aл) + В3 товфл).

Подставляя (32) в (9), находим зависимости

А2 -

А4 -

к + ц+ц* ца2 + к - ц к + ц + ц* цP2 + к-ц

-аВ,

т.е. из четырех постоянных в (32) независимыми остаются только две константы: В1 и В3.

Подставляя

р - 2кц»

ац» 8т

На рис. 6 приведена зависимость критической нагрузки от параметра п = як// для материала со значениями модулей упругости ц = 1.85-104 МПа, к = 9.23 • 104 МПа, изменяющимся модулем пластичности цр от значения ц/20 до значения ц/2 и модулем спада ц» = = 7 • 104 МПа. На рисунке пунктиром отмечена линия р = = 47 МПа — наибольшее значение сжимающей нагрузки для выбранного материала (талькохлорит). До значения п = 0.048 критическая нагрузка вычисляется по формуле (27) (материал деформируется упруго). После этого значения происходит пластическое деформирова-

ние материала. Критические нагрузки определяются формулой

р а ^

р (5цр sh(2пb) + кЬ sin(2п^5)’

где

% цр к +ц к ц- цр

Ь = —---------, а =---------—.

]/ц к + цр ^цк + цр

Эта зависимость получена из предыдущего решения задачи в случае 2ц* = -2цр.

Для значений п, близких к 1.24116, как видно из рис. 6, имеем запредельное деформирование. Значения критических нагрузок изменяются согласно (34) от р = = 47 МПа до 0 (до разделения материала на части).

5. Выводы

Определена зависимость критической нагрузки бесконечно длинной полосы от упругих характеристик, значения модуля спада, модуля пластичности и геометрических параметров, характеризующих толщину полосы и длину полуволны изогнутой поверхности.

Показано, что в случае идеальнопластического материала возможна бесконечная последовательность все-

возможных форм с убыванием полуволны изогнутой поверхности от значения 2h до нуля.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-05-00327-а).

Литература

1. Волъмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука,

1967. - 984 с.

2. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. - М.: Наука, 1980. - 224 с.

3. Гузъ А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. - Киев: Вища школа, 1986. - 511 с.

4. Лейбензон Л.С. О применении гармонических функций к вопросу

об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек // Собр. тр. - м.: Изд-во АН СССР, 1951. - Т 1. - С. 50-85.

5. Ишлинский А.Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. мат. журнал. - 1954. - Т. 6. - № 2. - С. 140-146.

6. Шенли Ф. Теория неупругой колонны // Механика. - 1951. - №2 2. -

С. 88-98.

7. Чанышев А.И., Абдулин И.М. Характеристики и соотношения на характеристиках на запредельной стадии деформирования горных пород // ФТПРПИ. - 2008. - № 5. - С. 27-41.

8. Чанышев А.И., Белоусова О.Е. Об одной интерпретации зональной дезинтеграции массива горных пород вокруг выработок // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 1. - С. 89-99.

9. Христианович С.А., ШемякинЕ.И. О плоской деформации пласти-

ческого материала при сложном нагружении // МТТ. - 1969. -№5. - С. 138-149.

Поступила в редакцию 14.05.2010 г.

Сведения об авторах

Чанышев Анвар Исмагилович, д.ф.-м.н., зав. лаб. ИГД СО РАН, admin@misd.nsc.ru Игонина Евгения Алексеевна, асп. ИГД СО РАН, igonina@gorodok.net, evgeniai@atapy.com