Применение производной в элементарной математике

Таким образом, можно говорить о том, что, используя элементы современных технологий в обучении, мы стимулируем познавательную активность студентов и тем самым реализуем процессуальную мотивацию самостоятельной работы студентов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Материалы сайта центра проблем развития образования БГУ // http://charko.narod.ru

2. Материалы конференции «Организация самостоятельной работы студентов», Красноярск, КГПУ им. В.П. Астафьева, 2005 // http://do.kspu.ru/

3. В.Ф. Любичева, Л.А. Осипова Самостоятельная работа студентов как средство углубленного изучения и творческого освоения учебной дисциплины // Проблемы теории и практики обучения математике. СПб., 2006.

4. Н.В. Соловова, В.П. Гарькина Организация и контроль самостоятельной работы студентов. Методические рекомендации. Самара, 2006.

Н.Е. Ляхова

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Элементы математического анализа занимают значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся знакомятся с математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. С помощью дифференциального исчисления исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения. Иными словами, введение нового математического аппарата позволяет рассмотреть ряд задач, решить которые ранее элементарными методами не было возможности. В то же время производную можно использовать и для решения задач элементарной математики.

Такое использование производной очень полезно по двум причинам. С одной стороны, многие традиционные задачи элементарной математики (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений и их систем) эффективно решаются с помощью производной. С другой стороны, нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории, так как приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. Кроме того, методы математического анализа могут использоваться не только для решения поставленных задач, но и являться источником получения новых фактов элементарной математики.

Применение производной в элементарной математике достаточно разнообразно. Прежде всего, это задачи, в процессе решения которых возникает необходимость исследовать функцию с помощью производной и построить ее график. Такое использование производной является наиболее традиционным в школе. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача 1. Сколько решений имеет система

х|3-ЗЗх2 +3151x1-675

М =

\45х\ + \у\ = р.

при различ-

ных значениях параметра p?

Решение данная система уравнений эквивалентна следующей системе

Эта система элементарными преобразованиями приводится к эквивалентной ей системе

р = 45 |х I + х2-33 |х I2 +315 1x1-675

Построим график функции р — 45|х| + |(|х| -3)(|х| -15)2 в осях координат хОр. Т.к.

функция р(х) - четная, то ее график симметричен относительно Ор.

Построим график р{х) при X > 0.

[45х-х3+33х2-315х + 675 при 0<х<3, Р - \

[45х + х3-33х2+315х-675 при х>3.

1) хе |;3"

р'{х) = -Зх2 + 66х - 270 = -3(х -(11 + л/зТ))(х - (11 - л/зТ» < 0 для любых х е |;3 ~ следовательно, функция р (х) убывает на |;3". р(0) = 675;р(3) = 135.

2) х е |;+оо^ р'

X = 10 - точка максимума, _р(10) = 625, X = 12 - точка минимума, р( 12) = 621. Кроме того, найдем />(15) = 675.

Из соотношения (2) видно, что р > 45|х| при любых Л* е осг+оо . При этом р — 45|х| тогда и только тогда, когда |х| = 3 или |х| = 15 •

Таким образом, учитывая соотношение (1), получаем, что каждому значению х, удовлетворяющему условию х| Ф 3 и |х| ф 15 , соответствует 2 значения у . А тем значениям х , при которых х| = 3 или |х| = 15 , соответствует единственное значение у = 0.

На основании проведенных исследований, делаем выводы.

1. При р < 13 5 система решений не имеет.

2. При /? = 135 система имеет 2 решения.

3. При 135 < р < 621 система имеет 8 решений.

4. При р = 621 и при р = 625 система имеет 12 решений.

5. При 621 < р < 625 система имеет 16 решений.

6. При 625 < р < 675 система имеет 8 решений.

7. При р — 675 система имеет 4 решения.

8. При р > 675 система имеет 4 решения.

Ответ. Система имеет 2 решения при /7 = 135; 4 решения при р е |75 ;+со ; 8 решений при р е {35;621 ^>25;675 ^ 12 решений при р = 621 и р = 625; 16 решений при р е С21:625 ^ при р е со;135 _ система решений не имеет.

Рассмотрим менее традиционное приложение производной к элементарной математике, а именно, некоторые возможности применения основных теорем дифференциального исчисления -теорем Ролля и Лагранжа.

Одним из способов решения нестандартных уравнений является способ, при котором корни находятся подбором и доказывается, что других корней быть не может. При этом используются различные математические факты (как правило, монотонность входящих в уравнение функций), но может быть использована и теорема Ролля.

Задача 2. Решить уравнение 3 — 26х = 29

Решение: Решим сначала вопрос о возможном количестве корней данного уравнения. Пусть данное уравнение имеет не менее трех различных корней и х\ > х2 > хз - некоторые его корни такие, что х1 <х2 <х3. Применяя теорему Ролля к функции / (х) = — 26х — 29 на отрезках л",- -\"2 и х2,х3 . получаем, что существуют числа ь1 е хих2 и е хз такие, что

. Однако уравнение /'(х) = 1п 3 - 26 - 0 имеет только одно решение. Полученное противоречие доказывает, что исходное уравнение имеет не более двух различных корней.

Далее подбором определяем, что корнями данного уравнения являются числа х1 = — 1 и

х2 = 2.

При помощи теоремы Лагранжа могут быть достаточно просто доказаны многие неравенства элементарной математики. Приведем доказательство одного из таких неравенств. Задача 3. Доказать неравенство

\агс1%х2 - агс1£х] | < |х2 - х11, х, е Н, х2 е 11

Решение. По теореме Лагранжа для функции arctgx на отрезке с концами X и Х2 нахо-1 /

дим агс/£Х2 - агсг%хх =-т (х2 - х1), откуда получаем

Iагс?ех9 - агаях, I = ——^ < |х9 - х, I, так как 0 < —-— < 1 •

При решении задач элементарной математики нередко возникает необходимость использовать условия касания кривых, являющихся графиками функций у = /(х) и у = (р X , в точке с

абсциссой х0. В точке х0 должны совпадать как значения указанных функций, так и значения их производных.

= Р(Хо)>

[Г(х0)=^(х0).

Рассмотрим следующую текстовую задачу.

Задача 4. Доход нефтяной компании (в у.е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наём одного геолога обходится в 16 у.е., а одного добытчика -9 у.е. Найти число t, равное отношению числа геологов X к числу добытчиков у, если доход

заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наём.

Решение. Обозначим через X - число геологов, а через у - число добытчиков, тогда доход фирмы выразится формулой

£ = хУ'

а расходы на наём

Р = \6х+9у

Тогда рассматриваемую задачу можно сформулировать следующим образом: найти такое х

число t — —, где X и у - неотрицательные числа, для которых функция Р — 16х + 9у имеет наи-

У

меньшее значение при условии

2 2

8 = х2у2

Чтобы лучше понять, что представляет собой условие (5), обратимся к его геометрической интерпретации. Введём на плоскости прямоугольную систему координат. Истолковывая X и у как координаты точки на плоскости Оху, выясним, прежде всего, геометрический смысл уравнения (4). Известно, что множество точек, определяемое уравнением Р=\6х+9у - есть прямая линия на плоскости. Рассматривая уравнение (3) выразим у = з или .. _ , где 8 - доход фирмы

Ух2 У 1

X 3

и, следовательно, 8>0. График этой функции есть множество точек на плоскости, для которых выполняется 5" = х2у3.

Нетрудно теперь заключить, что если какая-либо пара чисел X у удовлетворяет системе (5), то соответствующая точка X, у принадлежит одновременно двум графикам. Другими словами - это точка, являющаяся общей точкой двух графиков.

Исходная задача теперь может быть переформулирована следующим образом: среди общих точек двух графиков найти такую, в которой линейная функция Р принимает минимальное значение. Дадим геометрическое истолкование функции Р, определяющей расходы на наём.

Пусть расход на наём равен фиксированному значению Р, например 18. Легко видеть, что множество точек на плоскости, в которых функция (4) принимает значение 18, изображается прямой, уравнение которой у = + На рисунке она изображена пунктирной линией. Другому

9

фиксированному значению прибыли Р , отвечает другая прямая, параллельная первой прямой.

Придавая Р различные значения, получаем семейство параллельных прямых, являющихся линиями уровня для функции Р , т.е. линиями, во всех точках которых функция Р принимает постоянное значение.

Пересечём график функции .V = х2/' прямой I' = 16х+9у и будем перемещать её параллельно самой себе, в направлении уменьшения значения Р. Перемещение будем осуществлять до такого предельного положения, когда у прямой 1' = 16х + 9 у окажется только одна общая точка с кривой 5 = х2у3.

2 -Координаты этой точки определим, опираясь на условие касания. Так как у = —)х 3,

л 1 ¿Г

а угловой коэффициент прямой равен __,то —)х 3 =--

9 3 9 '

Откуда,

^ 8

а так как

^ 1 , то величина ' определяется следующим образом:

У

У ^ £3

3

следовательно, / = -8-

Задача 5. Найти наибольшее значение параметра р , равное натуральному числу, при котором система

}> = 28Н1(2агс8Н1х),

2 2 Р х +у = —

64

имеет ровно два различных решения.

Решение. Рассмотрим первое уравнение данной системы у = 2 эт(2 агсэт х), у = 4 8т(агсзт х) сс^аговт х) .

Выразив соБСагсБтх) через зтСагсэт х) ивоспользовавпшсь формулой этСагсзтх) = х, где х е —1;1 , получим:

у = 4хл/ьГх2, |х|< 1.

С помощью производной построим график этой функции

/

у = 4

7Г

2

-2х

\

1 _ 2 _ 2 = 4 1 =-8

2

J

1

г — 2_

2

-8

I—

V 2;

1 + -

V 2;

1_

л/2' ~ л/2

% ~ I— •> % ~ I— - стационарные точки. Учитывая знак производной на промежутках

4 ' 1 1 4

4±

I лЯ'л/2

и | ^ • I |, делаем вывод, что х = —— - точка минимума, а х = ^ ~

42 ) Л Л

точка максимума.

5

з

3

х

X X3 X3

Рассмотрим следующую систему уравнений

у = 4x71-х2,

2 2 Р х +у =—.

64

Очевидно, при р = 0 система имеет единственное решение (0; 0) , следовательно, р = 0 не удовлетворяет условию задачи.

При р < 0 система решения не имеет, то есть р < 0 не удовлетворяет условию задачи. Пусть р>0. Второе уравнение системы представляет собой уравнение окружности радиуса

Гр

"и . Изменяя значение параметра р, получим семейство окружностей. Подставим у из первого 8

уравнения во второе, получим следующее уравнение

16х4 -17х2 + — = 0. 64

Наибольшее значение параметра, при котором система имеет ровно два решения, соответствует взаимному расположению графика функции и окружности, изображенному на рисунке. В этом случае окружность касается графика функции в двух центрально симметричных относительно начала координат точках (рассматриваемая функция является нечетной) с абсциссами С и —С . Таким образом, X = С и X = —С должны являться корнями второй кратно-

Т)

сти многочлена 16х4 — 17х2 + —, а, учитывая, что степень многочлена четвертая, он должен

64

представляться в виде,

л

ч2

(х-с) (-х + С) , т.е. (х -с2) •

Такое представление многочлена возможно тогда и только тогда, когда уравнение (6) будет иметь .0 = 0, если рассматривать его как квадратное относительно / = х2. Так как

£) = 172 -4.16—= 172 -п, то из уравнения \Т - п = {) находим искомое значение параметра 64

р = \Т.

Ответ: 289.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. 1980. № 5. С. 12-21.

2. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. 1980. № 6. С. 24-30.

3. Ляхова Н.Е. Об одном подходе к изложению темы «Производная»: сб. 12-й межд. науч.-тех. конф. «Математические модели физических процессов». Таганрог 14-15 сент. 2007.

4. Ляхова Н.Е. Касание плоских кривых // Вестник ТГПИ. № 1. Физико-математические и естественные науки. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та. 2008.

А.Ф. Ольховой, И.Н. Боровков МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАМЕМАТИКЕ

Будем рассматривать уравнения вида / g X = f Н X и неравенства вида

§ X — f Н X V 0 . Знак V означает сравнение с нулём. При определенных условиях,

наложенных на функции/, g, к, решения этих уравнений и неравенств могут быть получены достаточно просто.

1. Метод декомпозиции для уравнений Теорема 1. Пусть / И 3 \/и £ Г) и строго монотонна в области МсО, где Г) -область

определения функции, а М — область её монотонности. Тогда уравнение

м

f g X = f И ^ <^g X =И X (2).

Доказательство. Необходимость. Пусть для определенности f и монотонно возрастает \/и Е. М и пусть g Х0 = И х0 . Тогда / g Х0 =/ Й !„ .

Достаточность. Пусть f g Х0 = / /? Х() , но g Х() Ф И Х() . Тогда, если g Х0 > И Х0 , то и / g Х0 > / Н Х0 , а если g Х0 <И Х0 , то и

/ g Х0 </ к Х0 , что противоречит условию / g Х0 — / /? Х() . Очевидны следствия этой теоремы:

Следствие 1. Пусть / И Е I). Тогда все корни уравнения (2) являются корнями

уравнения (1) на Б.