Математическое моделирование процесса вибрационного движения частиц материала по рабочему органу сепаратора

УДК 66.621

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВИБРАЦИОННОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ МАТЕРИАЛА ПО РАБОЧЕМУ ОРГАНУ СЕПАРАТОРА

© В.Л. Лапшин1, А.В. Рудых2, А.В. Глухов3

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены упруго-вязко-пластичные механореологические модели процесса контактного взаимодействия частиц разделяемого материала с рабочим органом вибрационного сепаратора и процесса ударного взаимодействия сферического тела с исследуемым образцом. Представлены и проанализированы результаты экспериментальных исследований на модели ударного процесса. Выявлены основные закономерности поведения упруго -вязко-пластичной модели, сформулированы рекомендации по управлению динамикой ударного взаимодействия модели путем варьирования числовых значений упруго-вязко-пластичных параметров модели. Ключевые слова: вибрационная сепарация; ударное взаимодействие деформируемых тел; упруго-вязко-пластичная механореологическая модель; математическое моделирование.

MATHEMATICAL MODELING OF MATERIAL PARTICLE VIBRATORY MOTION IN SEPARATOR WORKING BODY V.L. Lapshin, A.V. Rudykh, A.V. Glukhov

National Research Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The paper considers elastoviscoplastic mechanorheological models of the process of contact interaction of separated material particles with the working body of a vibratory separator and the process of spherical body shock interaction with the sample under investigation. The results of experimental researches carried out on the model of the shock process are introduced and analyzed. The main regularities of elastoviscoplastic model behavior are revealed. Recommendations on controlling the impact interaction dynamics of the model through the variation of numerical meanings of elastoviscoplastic model parameters are formulated.

Keywords: vibrating separation; impact interaction of deformable bodies; elastoviscoplastic mechanorheological model; mathematical modeling.

Вибрационные процессы занимают важное место в индустрии обогащения и переработки полезных ископаемых. При разделении и обогащении различных видов минерального сырья хорошо зарекомендовали себя вибрационные сепараторы (рис. 1) [2]. Способ разделения на вибрирующей поверхности основан на эффекте сепарации частиц материала по их свойствам, что позволяет осуществлять разделение по крупности, форме, коэффициенту трения, упругости и другим физико-механическим характеристикам частиц [1].

Для обеспечения высоких технологических показателей работы оборудования необходимо в каждом конкретном случае решать задачи по оценке эффективности процесса обогащения минерального сырья и выявлению рациональных режимов работы и параметров вибрационного оборудования исходя из физико-механических свойств разделяемых материалов.

1Лапшин Владимир Леонардович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой сопротивления материалов и строительной механики, тел.: (3952) 405425, е-mail: lapshin@istu.edu

Lapshin Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: (3952) 405425, е-mail: lapshin@istu.edu

2Рудых Александр Валерьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: (3952) 405144, е-mail: rudykh@istu.edu

Rudykh Aleksandr, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: (3952) 405144, е-mail: rudykh@istu.edu

3Глухов Александр Владимирович, аспирант, тел.: (3952) 405425, е-mail: lapshin@istu.edu Glukhov Aleksandr, Postgraduate, tel.: (3952) 405425, е-mail: lapshin@istu.edu

Рис. 1. Рабочий орган вибрационного сепаратора

Данные задачи часто решаются путем математического моделирования [3, 4]. Для каждого компонента исходного минерального сырья, подлежащего выделению в процессе сепарации, разрабатывается исследовательская модель. Исследуя на модели динамику взаимодействия частиц с виброорганом сепаратора, по расхождению траекторий движения частиц оценивают эффективность разделения исходного сырья и при необходимости осуществляют оптимизацию оборудования по параметрам и режимам работы. При этом наиболее совершенными являются модели механореологического типа, состоящие из тел вибрационной реологии - упруго-инерционных, вязко-инерционных, пластично-инерционных [5, 9]. Основными элементами механореологических моделей являются упругие и вязкие элементы. Численные значения данных параметров моделей неразрывно связаны с характеристиками исходного минерального сырья и рабочей поверхности виброоргана сепаратора.

На основе выполненных исследований был разработан комплекс упруго-вязких механореологических моделей процесса вибрационного движения частиц материала [9]. Модели позволяют изучать динамику взаимодействия системы «частица материала -виброорган» на всех этапах движения и рассчитывать основные параметры вибрационного процесса: динамическую нагрузку на виброорган, траекторию и скорость движения частиц, среднюю скорость транспортирования. Они учитывают упругие свойства материала и потери энергии, которые возникают вследствие ударного взаимодействия частиц минерального сырья при движении по виброоргану сепаратора.

Для оценки упругих и вязких параметров упруго-вязкой модели был разработан ударный способ определения модуля упругости материала исходя из свойств сепарируемого материала [17]. В соответствии с предложенным способом по образцу исследуемого материала наносится удар свободно падающим сферическим телом. С помощью компьютерной программы производится расчет модуля упругости исследуемого материала на основе экспериментально найденных значений времени удара и высоты отскока сферического тела. Обеспечение адекватности динамики движения модели реальному ударному процессу осуществляется путем настройки характеристик упругого и вязкого элементов расчетной модели.

Для теоретического исследования ударного процесса была разработана упруго-вязкая механореоло-гическая модель с нелинейным упругим элементом (рис. 2) [10], где К - коэффициент жесткости упругого элемента упруго-вязкой модели; С - коэффициент вязкости вязкого элемента упруго-вязкой модели;

у - скорость взаимной деформации тела и поверхности; у - величина взаимной деформации тела и поверхности.

На модели сила упругих сопротивлений РУПР, возникающих при ударном взаимодействии системы, описывается нелинейным упругим элементом (= Ку3/2). Потери энергии, имеющие место при

ударном взаимодействии системы, учитываются вязким параметром С модели. Коэффициент жесткости К упругого элемента упруго-вязкой модели связан со свойствами и параметрами сферического тела и свойствами исследуемой поверхности и рассчитывается как [10]

* = -4

ъп

r1R2

1 -к , 1

пЕ1 яЕ2

где Н2 - радиусы кривизны сферического тела и поверхности соответственно; - коэффициенты

Пуассона сферического тела и поверхности соответственно; Е1, Е2 - модули упругости сферического тела и поверхности.

Рис. 2. Схема упруго-вязкой модели

В результате дальнейшего развития теории моделирования процессов вибрационной сепарации была сформирована более общая упруго-вязко-пластичная модель процесса вибрационного движения частиц, имеющая в своем составе дополнительный элемент сдвига, позволяющий отдельно учитывать потери энергии при ударном взаимодействии, связанные с необратимыми процессами (рис. 3) [11]. Построение данной модели выполнено на основе упруго-вязко-пластичной модели, разработанной для теоретического исследования ударных процессов (рис. 4).

Рис. 3. Схема упруго-вязко-пластичной модели

Рис. 4. Схема упруго-вязко-пластичной модели, разработанной для теоретического исследования ударных процессов

В качестве примера рассмотрим модель, элементы которой имеют линейные характеристики (см. рис. 3). Данный подход широко используется при построении упруго-вязких механореологических моделей вибрационных и ударных процессов [4-7, 16]. Рассмотрим процесс ударного взаимодействия частицы материала с рабочей поверхностью виброоргана в нормальном к органу направлении. На этапе нагружения модель испытывает как упругую, так и остаточную деформацию. При разгрузке системы, когда контактное усилие уменьшается от своего максимального значения до нуля, исчезают только упругие деформации. Потенциальная энергия упругой деформации переходит в кинетическую энергию движения частицы на этапе отскока от виброоргана.

Модель описывает движение центра тяжести частицы (т1) и включает в себя два последовательных блока: упруго-вязкий блок К—С и упруго-пластический блок К—12. Блок К—С описывает упругие деформации системы и учитывает возникающие при этом потери энергии с помощью демпфера С, где К— коэффициент жесткости упругого элемента упруго-вязкого блока модели; С - коэффициент вязкости вязкого элемента упруго-вязкого блока модели. Блок К2-^ описывает остаточные деформации и учитывает возникающие при этом потери энергии, где К2 - коэффициент жесткости упругого элемента упруго-пластического блока модели; / - коэффициент сдвига упруго-

пластического блока модели или коэффициент податливости материала.

Установка элемента сдвига ^ параллельно с упругим элементом К2 обеспечивает более полное и эффективное моделирование такого явления, как упрочнение материала, которое характеризуется ростом усилия с увеличением пластической деформации.

Функционирование упруго-вязко-пластичной модели осуществляется следующим образом. На начальном этапе ударного взаимодействия возникают упругие и пластические деформации, при этом для

данной схемы модели принято допущение, что пластические деформации начинают развиваться одновременно с упругими деформациями. Поэтому деформации одновременно подвергаются упруго-вязкий блок К—С и упруго-пластический блок К—2. При необходимости можно использовать более сложный вариант модели, который позволяет задавать величину усилия, соответствующего началу образования пластических деформаций [12].

Когда сила ударного взаимодействия достигает

максимального значения М,„

наступает этап раз-

грузки модели. На данном этапе в работу вступает только упруго-вязкий блок, описывающий исчезновение только упругих деформаций. При этом упруго-пластический блок остается в деформированном состоянии, так как характеризует пластические (остаточные) деформации материала.

Вся масса частицы моделируется с помощью инерционного элемента щ, масса элемента щ принимается ничтожно малой (щ ^ 0), поэтому она не оказывает заметного влияния на динамику движения системы, поскольку введена для удобства математического описания системы с помощью двух дифференциальных уравнений второго порядка.

На основе уравнений Лагранжа [20] были получены дифференциальные уравнения, описывающие контактное взаимодействие частицы с виброорганом в нормальном направлении:

У + COi - уг) + К1

тг Уг + Кгуг + /гуг + с (уг - у1) + +Ki(Уг - У1) = —тгg - тг у

где у,у,у1,у2 у1,у2 - перемещение, скорость и ускорение т1 и т2 относительно виброоргана в нормальном направлении соответственно; у - ускорение виброоргана в нормальном направлении.

Разработанная математическая модель позволяет исследовать влияние упругих, вязких (диссипативных) и пластических свойств материала на динамику ударного взаимодействия частицы материала с виброорганом сепаратора. Для решения системы уравнений целесообразно использовать численный метод Рунге - Кутта [8].

С целью отработки методики определения параметров упруго-вязко-пластичной механореологической модели процесса вибросепарации был выполнен комплекс исследований на модели процесса ударного взаимодействия сферического тела с поверхностью (см. рис. 4). Дифференциальные уравнения движения модели представлены в более общем виде:

П1 У1 + с

Щ2 >2 + К2>2И2 + /2 72И3 + С1(у 2 - ухУ1{у2 - уд"2 + .

К1(у! - у^ "1 =-т2 8

Модель также имеет два последовательных блока: упруго-вязкий блок К—С и упруго-пластический

блок К^2. Физический смысл коэффициентов С, К1р К2, в уравнениях (3), (4) тот же, что и в уравнениях (1), (2). Для определения значений коэффициентов модели разработана специальная методика, которая коротко рассмотрена в конце статьи. Суть ее заключается в том, что в результате проведения эксперимента определяются динамические параметры ударного взаимодействия сферического тела с поверхностью (время удара, сила удара и др.), на основе которых рассчитываются значения коэффициентов модели, при которых динамика движения модели будет адекватна реальному ударному процессу.

На базе математической модели была разработана специальная исследовательская программа [19]. В результате проведения комплекса исследований были выявлены основные закономерности поведения упруго-вязко-пластичной модели: исследовалось влияния упругих и пластических параметров модели на силу ударного взаимодействия [12], на величину остаточной деформации [13]; детально исследовался вязкий элемент модели [14]; оценивалась перспектива дальнейшего совершенствования модели с точки зрения использования нелинейных вязких и пластических элементов [15].

Как уже отмечалось, важной задачей является формирование исследовательской механореологиче-ской модели процесса вибросепарации. Обеспечение адекватности модели реальному процессу осуществляется путем определения числовых значений упруго-вязко-пластичных коэффициентов модели исходя из физико-механических свойств рассматриваемых материалов. Если для упруго-вязкой модели данная проблема может считаться в какой-то мере решенной за счет использования предложенного способа [17], то для упруго-вязко-пластичных моделей задача требует подобного решения.

Первым шагом в данном направлении исследований является оценка значимости отдельных элементов модели и степени их влияния на параметры динамического поведения модели. С целью решения данной задачи был выполнен комплекс компьютерных экспериментов на упруго-вязко-пластичной модели процесса ударного взаимодействия сферического тела с поверхностью (см. рис. 4). Изучалось влияния вязкого (С), пластического (2 и упругих К К2) элементов модели на динамику ударного взаимодействия с поверхностью путем проведения факторного эксперимента и получения уравнений регрессии, отражающих влияние рассматриваемых факторов на продолжительность ударного взаимодействия (время удара Тк), относительную высоту отскока сферического тела СН=Н0/НП (где Нс - высота отскока, НП - высота падения), величину остаточной деформации Упл( у2), максимальную величину силы нормальной реакции модели Жшах и время ТЫтах, соответствующее максимальному значению силы нормальной реакции в процессе ударного взаимодействия модели с опорной поверхностью (рис. 5).

Методика проведения компьютерных экспериментов была разработана на основе теории планирования

эксперимента [18]. При проведении вычислительных экспериментов был использован ортогональный центральный композиционный планы. Уравнение регрессии для четырехфакторного эксперимента в общем виде выглядит следующим образом:

у = ъ0 + ъххх + ъ2х2 + ъ3х3 + ъах 4 + ьих! + ь22х22 +

+ьъъх1 + ъих 4 + ъ12х1х2 + ьххз + ъих,х 4 + .

+ь2ъх 2х3 + ъ24х 2х 4 + ъ34х зх 4

Рис. 5. График изменения силы ударного взаимодействия N

Для расчета коэффициентов уравнений регрессии, проведения статистической оценки значимости коэффициентов с помощью критерия Стьюдента (1кр) и проверки адекватности модели использовался программный комплекс БТАТ^ТЮА. Проверка адекватности моделей производилась по Р-критерию (критерию Фишера) при уровне значимости Р=0,05. Диапазон изменения упругого параметра модели К1 соответствовал диапазону изменения модуля упругости материала поверхности Е2 от 0,6105 до 2105 МПа. В качестве примера приводятся результаты эксперимента со сферическим телом с параметрами Е?=2-105 МПа; ^=0,27; ^=4,75 мм. Высота падения составляла 30 мм, коэффициент Пуассона для поверхности принимался ^=0,27. Показатели степени на модели принимались следующими: = а2 = и3 = 1; п = Щ = 1,5 , то есть упругие сопротивления модели принимались пропорциональными деформации в степени 1,5, вязкие сопротивления принимались пропорциональными величине и скорости деформации, сопротивление в элементе сдвига принималось пропорциональным величине деформации.

Уровни факторов и интервалы их варьирования представлены в табл. 1. При выборе уровней варьирования факторов С, К2 и ^ использовались результаты предшествующих исследований.

В результате эксперимента и выполненных расчетов были получены коэффициенты уравнений регрессии. Для кодированных значений факторов они приводятся в табл. 2. Выделенные коэффициенты являются не значимыми, то есть в рассматриваемом диапазоне значений они не оказывают существенного влияния.

Таблица 1

Уровни факторов и интервалы варьирования_

Факторы Кодовое обозначение Уровни факторов

-1 0 +1

К1 (МН/м3'2) X, 4000 7000 10000

К2 (МН/м3'2) х2 400 5200 10000

2 (МН/м3'2) X3 10 55 100

12 (только для у2 ) X3 10 25 40

С (Нхс/м2) X4 500000 2750000 5000000

Таблица 2

Значения коэффициентов уравнений регрессии_

Коэффициенты уравнений регрессии Параметры ударного процесса

Nmax TNmax TK dH

Ьо 194,05 23,06 45,17 0,638 4,63

Ь1 22,92 -2,70 -7,14 -0,028 0,50

Ьц -6,85 1,13 2,64 -0,012 0,14

Ь2 11,84 -2,08 -2,29 0,055 -1,60

Ь22 -1,86 0,38 0,41 -0,008 0,56

Ьз 26,30 -4,43 -4,81 0,130 -2,14

Ьзз -10,91 2,30 2,49 -0,051 0,27

Ь4 -3,18 -0,73 0,11 -0,061 -0,06

Ь44 -0,85 0,32 0,27 -0,001 0,26

Ь12 3,56 -0,13 -0,18 0,005 -0,08

Ь13 8,37 -0,24 -0,34 0,019 -0,06

Ь14 0,87 0,43 -0,01 0,026 0,027

Ь23 -11,18 2,15 2,38 -0,051 1,16

Ь24 -0,51 -0,09 -0,02 -0,008 0,003

Ьз4 -1,47 -0,19 -0,02 -0,022 0,002

Рис. 6. Значения коэффициентов уравнений регрессии

Был выполнен анализ полученных результатов. Для удобства значения коэффициентов уравнений регрессии представлены на диаграммах (рис. 6), где Х1-Х4 - коэффициенты уравнений при факторах Х1-Х4 у линейных членов уравнений, Х11-Х44 - коэффициен-

ты уравнений при факторах Х1-Х4 у квадратичных членов уравнений.

В результате исследования было установлено, что основное влияние на время удара (Тк) оказывает упругий элемент К1 (фактор Х1) упруго-вязкого блока

модели. Превалирующее влияние на силу ударного взаимодействия (, ТЫтах), остаточные деформации (у2) и высоту отскока модели dH оказывает элемент сдвига ^ (фактор Х3) упруго-пластического блока модели. Из оставшихся факторов Х2 и Х4 на относительную высоту отскока модели dH существенное влияние оказывает фактор Х4, связанный с вязким элементом С упруго-вязкого блока модели. На величину остаточной деформации у2 существенное влияние оказывает фактор Х2, связанный с упругим элементом К2 упруго-пластического блока модели.

В заключение можно отметить, что выявленные связи и закономерности поведения модели могут быть использованы для управления динамикой ударного взаимодействия модели путем варьирования числовых значений коэффициентов соответствующих упруго-вязко-пластичных элементов модели. Для управления параметром Тк целесообразно использовать элемент модели К1, для параметров ,

Т^тах - элемент /2, для параметра dH - элемент С, для параметра у2 - элемент К2.

Кроме того, практически важной является задача определения физико-механических свойств материала ударным способом, решенная, например, на основе использования параметров ударного взаимодействия сферического тела с исследуемым образцом. В качестве исходной информации целесообразно использовать параметры , ТЫтах, тк, с(Н, у2, определяемые экспериментально путем ударного воздействия сферическим телом на исследуемый образец материала. Далее путем варьирования значений упруго-вязко-пластичных параметров С, К1, К2, /2 механо-реологической модели по разработанному плану обеспечивается адекватность динамики движения модели экспериментальным данным. При выполнении данного условия упругие, пластические и диссипатив-ные свойства реального материала будут характеризоваться соответствующими параметрами модели. Полученные данные о свойствах материала могут быть использованы при построении модели движения частицы разделяемого материала по виброоргану сепаратора и определении ее числовых характеристик.

Статья поступила 27.01.2015 г.

1. Авт. св-во № 94356, МПК В07В 7/00. Способ разделения материалов и машина для его осуществления / Д.А. Плисс. Опубл. 01.01.1952.

2. Анахин В.Д., Плисс Д.А., Монахов В.Н. Вибрационные сепараторы. М.: Недра, 1991. 157 с.

3. Анахин В.Д., Плисс Д.А. К теории вибросепараторов. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1992. 125 с.

4. Вибрации в технике: справочник. В 6 т. М.: Машиностроение, 1981. Т. 4. Вибрационные процессы и машины / под ред. Э. Э. Лавендела. 509 с.

5. Гончаревич И.Ф., Фролов К.В. Теория вибрационной техники и технологии. М.: Наука, 1981. 320 с.

6. Инженерные методы исследования ударных процессов / Г.С. Батуев, Ю.В. Голубков, А.К. Ефремов, А.А. Федосов. М.: Машиностроение. 1977. 240 с.

7. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наукова думка. 1976. 319 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. 832 с.

9. Лапшин В.Л., Байбородин Б.А. Аналитическое моделирование процесса разделения руд на вибродеке. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1997. 119 с.

10. Лапшин В.Л., Ященко В.П., Рудых А.В. Исследовательская модель процесса ударного взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью рудного материала // Вестник ИрГТУ. 2006. № 2 (26). С. 110-115.

11. Лапшин В.Л., Демаков Е.И. Упруго-вязко-пластичная модель для моделирования процессов вибросепарации // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2008. № 12. С. 285-288.

12. Лапшин В.Л., Глухов А.В. Регрессионный анализ силы

ский список

ударного взаимодействия упруго-вязко-пластичной механо-реологической модели // Вестник ИрГТУ. 2011. 10 (57). С. 44-49.

13. Лапшин В.Л., Глухов А.В. Исследование остаточных деформаций при ударном взаимодействии упруго-вязко-пластичной механореологический модели // Современные технологии, системный анализ, моделирование. 2011. Вып. 4 (32). С. 39-45.

14. Лапшин В.Л., Рудых А.В., Глухов А.В. Исследование вязкого элемента упруго-вязко-пластичной модели // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 4 (12). С. 14-19.

15. Лапшин В.Л., Рудых А.В., Глухов А.В. Использование нелинейных вязких и пластических элементов в механорео-логической модели ударного процесса // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 3 (15). С. 21-25.

16. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Политехника, 1990. 272 с.

17. Пат. № 2272274 РФ, МПК 001Ы 3/32. Способ определения модуля упругости материала / В.Л. Лапшин, В.П. Ященко, А.В. Рудых, Б.О. Вугмейстер, Е.И. Демаков, А.В. Петров. Заявитель и патентообладатель ГОУ ВПО «Иркутский госуд. технический ун-т». Заявл. 22.11.2004; опубл. 20.03.2006. Бюл. № 8.

18. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / К. Хартман, Э. Лецкий, В. Шефер; пер. с нем.; под. ред. Э.К. Лецкого. М.: Мир, 1977. 552 с.

19. Программа для ЭВМ «Удар упруго-вязко-пластичной модели сферического тела» / В.Л. Лапшин, А.В. Глухов. Свидетельство № 2011619238. 2011.

20. Цзе, Ф. С., Морзе И.Е., Хинкл Р.Т. Механические колебания. М.: Машиностроение, 1966. 508 с.