Системы компьютерной математики в учебных проектах по геометрии

ТЕХНОЛОГИИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 004.5

А.В. Букушева

СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ В УЧЕБНЫХ ПРОЕКТАХ ПО ГЕОМЕТРИИ

Рассматриваются учебные проекты по геометрии с использованием системы Wolfram Mathematica. Приведен пример проекта «Компьютерные модели геодезических на поверхностях вращения» по дисциплине «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование».

Ключевые слова: обучение геометрии, системы компьютерной математики, математика и компьютерные науки, учебный проект, Wolfram технологии.

Развитие информационных и коммуникационных технологий, внедрение федеральных государственных стандартов, принятие «Стратегии развития отрасли информационных технологий в РФ на 2014-2020 годы и на перспективу до 2025 года», «Концепции развития российского математического образования» определяют новое качество образовательных результатов. Необходимо таким образом организовать подготовку будущих бакалавров в области математики и компьютерных наук, чтобы выпускники вуза оказались бы компетентными специалистами в решении своих профессиональных задач.

Неотъемлемой частью профессиональной деятельности математика-исследователя, программиста, математика-педагога является компьютерное геометрическое моделирование. Геометрические методы являются базовыми в решении многих проблем прикладной математики. Компьютерное моделирование, как правило, осуществляется в среде систем компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab и др.). Использование систем компьютерной математики обогащает содержание математического образования, вносит новые возможности в организацию учебного процесса. Все это повышает актуальность методических проблем определения содержания, места и характера использования программных математических пакетов в структуре математического образования.

Системы компьютерной математики можно использовать в создании информационного обеспечения учебного процесса (электронных учебников, генераторов индивидуальных заданий, автоматизированных систем проверки индивидуальных заданий); разработке демонстрационного сопровождения занятий (интерактивные иллюстрации математических объектов); проведении лабораторных и практических занятий, практик, подготовке выпускных квалификационных работ. Применение пакетов прикладных программ позволяет делать обучение студентов геометрическим дисциплинам более наглядным, приближенным к практическим задачам, а также решать сложные геометрические задачи, т.е. проводить занятия на качественно новом уровне. Ис-

© Букушева А.В., 2016

пользование информационных и коммуникационных технологий в учебном процессе вуза дает возможность активизировать учебную деятельность.

В соответствии с новыми образовательными стандартами на самостоятельную работу студентов отводится значительно больше времени в общей трудоемкости дисциплин. Среди эффективных форм самостоятельной работы студентов можно выделить выполнение проектов. Метод проектов предполагает решение проблемы с использованием разнообразных методов, средств обучения. Проект, направленный на решение теоретической задачи (проблемы), должен носить междисциплинарный характер.

Основными требованиями, предъявляемыми к использованию метода проектов в учебном процессе, являются:

1) наличие значимой в исследовательском, творческом плане проблемы (задачи), требующей интегрированного знания, исследовательского поиска для ее решения;

2) практическая, теоретическая, познавательная значимость предполагаемых результатов;

3) самостоятельная деятельность учащихся;

4) структурирование содержательной части проекта (с указанием поэтапных результатов);

5) использование исследовательских методов, предусматривающих определенную последовательность действий: определение проблемы и вытекающих из нее задач исследования; выдвижение гипотез их решения; обсуждение методов исследования; обсуждение способов оформление конечных результатов (презентаций, творческих отчетов, пр.); сбор, систематизация и анализ полученных данных; подведение итогов, оформление результатов, их презентация; выводы, выдвижение новых проблем исследования [8].

Е.С. Полат предлагает следующие типологические признаки для классификации проектов

по:

• доминирующему в проекте методу или виду деятельности;

• признаку предметно-содержательной области;

• характеру контактов;

• количеству участников проекта;

• продолжительности проекта;

• результатам и др. [Там же].

Учебный проект рассматривается как совместная учебно-познавательная, творческая деятельность студентов с преподавателем, имеющая общую цель, согласованные методы, способы деятельности, направленная на достижение общего результата по решению какой-либо проблемы, значимой для участников проекта [1, с. 5].

При освоении компьютерной геометрии студентам в качестве самостоятельной работы можно предложить выполнить комплекс учебных проектов. При этом использование систем компьютерной математики позволяет разнообразить типы решаемых задач и расширить знания студентов не только в области геометрии, но и в области применения информационных технологий.

В подготовке будущих бакалавров-математиков, обучающихся по направлению «Математика и компьютерные науки» в Саратовском национальном исследовательском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского (СГУ), можно выделить следующие геометриче-

ские дисциплины: «Аналитическая геометрия», «Дифференциальная геометрия и топология», «Гладкие многообразия и управляемые системы», «Симплектическая геометрия и гамильтоновы системы», «Дополнительные главы геометрии и алгебры», «Группы и алгебры Ли», «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование». Важность компьютерной геометрии как одной из составляющих геометрического блока дисциплин рассмотрена в [2].

Под методической системой обучения компьютерной геометрии будущих бакалавров-математиков мы понимаем единство и взаимодействие целей, принципов, содержания, средств, методов и форм обучения. Целью учебной дисциплины «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» являются формирование и развитие у студентов практических навыков моделирования геометрических объектов и создания визуализации с помощью компьютерных технологий. Задачами дисциплины являются: изучить математический аппарат, необходимый для моделирования геометрических объектов, освоить современные компьютерные технологии для изображения и моделирования геометрических объектов, познакомить студента с основами компьютерного геометрического моделирования, которое позволяет сделать работу математика, программиста более эффективной. Основные принципы методической системы обучения компьютерной геометрии рассмотрены в работе [4].

Компьютерная геометрия играет роль связующего звена между различными учебными дисциплинами. Используемые в учебном процессе проблемные ситуации, практические задания требуют от студентов применения интегрированных знаний, умений и навыков из различных предметных областей, на основе которых у обучающихся вырабатываются новые знания, что придает усваиваемому материалу целостность, системную организованность и личностный смысл. Приступая к изучению компьютерной геометрии, студенты должны, по существу, обладать знаниями геометрии и топологии. Студент должен знать об основных инвариантах кривых и поверхностей, кривизне и кручении, иметь представление об основных геометрических фигурах: фигурах первого и второго порядков, конусах, цилиндрах, фигурах вращения и т.д. В процессе усвоения компьютерной геометрии студенты не только лучше начинают понимать уже изученный ранее материал, но и приобретают принципиально новые знания.

Применение электронного курса в учебном процессе позволяет преподавателю эффективно организовать самостоятельную работу студентов. Электронная информационно-образовательная среда Саратовского национального исследовательского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского (СГУ) включает в себя: официальный сайт СГУ (www.sgu.ru); электронную библиотечную среду (http://www.sgu.ru/structure/znbsgu); систему дистанционного образования IpsilonUni (http://ipsilon.sgu.ru/); порталы системы создания и управления курсами LMS Moodle (http://course.sgu.ru/ и http://school.sgu.ru/) [9].

Через портал «Система дистанционного обучения Ipsilon Uni» обеспечивается доступ участников образовательного процесса к элементам рабочей программы; электронным образовательным ресурсам; функционалу автоматизированного тестирования; электронной автоматизированной таблице успеваемости; системе видеоконференций; электронным портфолио обучающихся. Система Ipslilon Uni является разработкой сотрудников института электронного и дистанционного обучения СГУ.

На базе LMS Moodle в СГУ реализован также учебный портал (http://start.sgu.ru/), который используется для обучения студентов проектированию электронных курсов. Комплексное

использование потенциала информационной среды вуза на лекционных, практических и лабораторных занятиях ведет к формированию у студентов наглядных представлений о содержании и структуре предмета учения, способствует не только качественному усвоению знаний, но и становлению опыта их применения в решении практических задач [7].

Для проведения лабораторных занятий, организации самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов, а также подготовки к текущему контролю и промежуточной аттестации нами был разработан электронный образовательный курс на базе LMS Moodle (http://course.sgu.ru) [3]. Изучение материала электронного курса проходит параллельно с очным обучением. Электронный образовательный курс основывается на рабочей программе учебной дисциплины и имеет следующую структуру. Первый модуль содержит элементы рабочей программы дисциплины: титульный лист рабочей программы дисциплины, структуру и содержание дисциплины; данные для учета успеваемости в балльно-рейтинговой системе; учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (основная и дополнительная литература, Интернет-ресурсы); сведения об авторах-разработчиках рабочей программы. Каждый модуль дисциплины включает следующие элементы: теоретический материал, фонд оценочных средств: задания для лабораторных работ; варианты контрольной работы; методические рекомендации по написанию контрольной работы; тестовые задания для организации промежуточного контроля; вопросы для самостоятельного изучения; список литературы к учебному модулю. Для организации коллективной работы используются следующие элементы: форум, вики-страницы, вторичный глоссарий. Все это позволяет включить студентов в продуктивную деятельность по наполнению и расширению электронного образовательного курса.

Подбор индивидуальных заданий по компьютерной геометрии для студентов является важной и сложной задачей. Анализ рабочих программ по дисциплине «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» для направления «Математика и компьютерные науки» показал, что в содержании дисциплины, как правило, можно выделить две части: инвариантную и вариативную. Первая часть посвящена таким вопросам, как решение задач дифференциальной геометрии, сплайны и кривые Безье, поверхности Безье. Вторая часть содержания определяется научными исследованиями авторов рабочей программы и кафедры, реализующей данную дисциплину. Примеры учебно-исследовательских задач по геометрии приведены в работах [5; 6].

В качестве основного программного средства для проведения лабораторных занятий по дисциплине «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» в СГУ выбрана система компьютерной математики Wolfram Mathematica. Для изучения языка программирования Wolfram Language используются интернет-ресурсы WolframAlpha, Wolfram Language & System «Documentation Center», виртуальная лаборатория Wolfram Programming Lab. Лаборатория программирования Wolfram Programming Lab является новой технологией, позволяющей в сети создавать программу на языке Wolfram Language. Тем самым появилась возможность организовывать внеаудиторную самостоятельную работу студентов, направленную на решение задач компьютерными методами.

Приведем примеры проектов, которые могут быть использованы в учебном процессе по компьютерной геометрии: визуализировать локсодромы на поверхностях вращения; построить изгибание поверхностей (простого куска цилиндра на простой кусок плоскости; простого куска плоскости на простой кусок конуса; катеноида в геликоид; ленты Мебиуса в квадрат); построить

минимальные поверхности и присоединенные к ним; создать процедуры интегрирования с графическим сопровождением; моделировать фракталов в пакетах прикладных программ.

Рассмотрим проект «Компьютерные модели геодезических на поверхностях вращения», который может выполняться как группой студентов, так и индивидуально. Теория геодезических линий интересна с прикладной точки зрения и для современных исследований, поскольку движение многих типов механических систем, а также тел или частиц в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде часто происходит по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии некоторых пространств трех и более измерений, определяемых энергетическими режимами, при которых протекают процессы [10, С. 120].

Для выполнения проекта необходимо изучить следующие теоретические вопросы: деривационные формулы Гаусса; параллельный перенос векторного поля вдоль кривой; геодезическая кривизна кривой на поверхности; дифференциальное уравнение геодезических линий. Практическое задание: для данной поверхности вращения (параболоид, тор, конус, цилиндр и др.) визуализировать геодезическую, выходящую из данной точки в данном направлении. Обеспечить динамическое изменение точки, направления и длины геодезической. Убедиться, что на поверхности вращения вдоль каждой геодезической линии произведение радиуса параллели на синус угла между геодезической линией и меридианом постоянно.

Рассмотрим геодезические линии на круговом цилиндре, конусе и гиперболоиде. В первом примере можно найти общее решение системы дифференциальных уравнений, используя программу только для визуализации геодезических линий на цилиндре. Во втором случае программа Wolfram Mathematica выводит общее решение дифференциального уравнения только после упрощения системы из двух уравнений. Второй пример показывает, что при объединении теории дифференциальных уравнений с возможностями системы Mathematica удается проинтегрировать уравнения, которые не решаются непосредственно с помощью встроенных функций. В третьем примере можно найти численное решение системы дифференциальных уравнений и визуализировать график решения.

Пример 1. Составить и решить дифференциальное уравнение геодезических линий на круговом цилиндре r(u, v) = {a cos v, a sin v, u}. Визуализировать геодезические линии на цилиндре.

Решение. Уравнение (1), представляющее собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, называется уравнением геодезических линий на поверхности:

¿V +rkdu^du_ = 0, где rk = kl f dgj g dgij)

dx' dxJ dxl

dT-^ = 2g

Запишем уравнение геодезической линии на цилиндре:

9 9

г \ е  id и п d v „

r(u, v) = {a cos v, a sin v, u}: —- = 0, —- = 0.

Решениями этой системы являются функции и^) = с^ + с2, у^) = с3^ + с4, где с1, с2, с3, с4 произвольные постоянные. Таким образом, любая геодезическая линия на круговом цилиндре может быть записана в виде:

р (¿) = {а соб(с^ + с2), а зт(с^ + с2), с31 + с4}.

Если c1 = 0, то р (t) = {a cos c2, a sin c2, c3t + c4} - прямолинейные образующие цилиндра. При c3 = 0 геодезическая линия р (t) = {a cos(c1t + c2), a sin(c1t + c2), c4} - окружность, представляющей собой пересечение цилиндра с плоскостью z = c4.

Если c1 = 0, c3 = 0, то р (t) = {a cos(c1t + c2), a sin(c1t + c2), c3t + c4} - винтовая линия на цилиндре.

Визуализируем геодезические линии на круговом цилиндре в системе Wolfram Mathematical

Manipulate[Show[

ParametricPlot3D[{Cos[u], Sin[u], v}, {u, 0, 2 Pi}, {v, -4, 4}, PlotStyle -> {Orange, Specularity[White, 40]}, Axes -> None, Mesh -> None, Boxed -> False, ImageSize -> {400, 400}], ParametricPlot3D[{Cos[t], Sin[t], a}, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> {Black, Thickness[0.015]}], ParametricPlot3D[{Cos[b], Sin[b], t}, {t, -4, 4}, PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.015]}], ParametricPlot3D[{Cos[t + c], Sin[t + c], t*d}, {t, -4 Pi, 4 Pi}, PlotStyle -> {Green, Thickness[0.015]}]],

{{a, 0, «Окружность»}, -4, 4}, {{b, 5 Pi/3, «Образующая»}, 0, 2 Pi}, {{c, Pi/4, «Винтовая»}, 0, 2 Pi}, {{d, 1/4, «линия»}, -2, 2}]

Результат программы представлен на рисунке 1.

Рис. 1. Геодезические линии на цилиндре

Пример 2. Составить и решить дифференциальное уравнение геодезических линий на круговом конусе r (u, v) = {u cos v, u sin v, u}.

Решение. Запишем уравнение геодезической линии на круговом конусе:

2 1

и — 0,5т' =0, V—ил' = 0.

и

Если у=соп81:, то данная система дифференциальных уравнений равносильна уравнению и = 0. В этом случае геодезическими на круговом конусе являются прямолинейные образующие конуса. Если м=сопб1, то геодезическая линия - это окружность, представляющая собой пересечение конуса с плоскостью, перпендикулярной оси конуса.

Вывод out[2] показывает, что Mathematica не выводит решение системы дифференциальных уравнений. Если v Ф const, то дифференциальное уравнение геодезических линий поверхности можно представить в виде:

d 2u dv2

- -^22 + (г22 - 2П

12) %+(-22-г!, )(dv

dv

du dv

♦г^

Дифференциальное уравнение геодезических линий кругового конуса имеет вид:

В случае, если программа не решает систему дифференциальных уравнений с использованием встроенной команды DSolve, можно найти численное решение уравнений с помощью функции NDSolve и визуализировать график решения.

Пример 3. Составить и решить дифференциальное уравнение геодезических линий на однополостном гиперболоиде r(u, v) = {cos v cosh u, sin v cosh u, k sinh u}. Визуализировать геодезические линии на однополостном гиперболоиде. Решение.

Manipulate[Module[{a1, a2, res},

{a1, a2} = {Sin[\[Alpha]]/Norm[{Cos[v] Sinh[u], Sin[v] Sinh[u], k Cosh[u]}],

Cos[\[Alpha]]/ Norm[{-Cosh[u] Sin[v], Cos[v] Cosh[u], 0}]} /. {u -> u0, v -> v0};

res = NDSolve[{(Sinh[2 u[t]] ((1 + kA2) u'[t]A2 - v'[t]A2))/

(kA2 - 1 + (1 + kA2) Cosh[2 u[t]]) + u''[t] == 0,

2 Tanh[u[t]] u'[t] v'[t] + v''[t] == 0, u[0] == u0, v[0] == 0,

u'[0] == a1, v'[0] == a2}, {u[t], v[t]}, {t, -25, 50}, MaxSteps -> \[Infinity]];

Show[ParametricPlot3D[{Cos[v] Cosh[u], Cosh[u] Sin[v], k Sinh[u]},

{u, -2.5, 2.5}, {v, -\[Pi], \[Pi]}, PlotStyle -> {Orange, Specularity[White, 40]},

Background -> LightYellow, PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}, {-5, 5}},

Axes -> None, Mesh -> None, Boxed -> False, ImageSize -> {400, 400}],

ParametricPlot3D[{Cos[v[t]] Cosh[u[t]], Cosh[u[t]] Sin[v[t]], k Sinh[u[t]]} /. res,

{t, -25, 50}, PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.005]}]]],

{{\[Alpha], 0, «угол \[Alpha]»}, 0, \[Pi]/2}, {{u0, -0.25, «высота»}, -0.5, 0.5}, SynchronousUpdating -> False,

Bookmarks -> {«Critical case» :> (\[Alpha] = ArcCos[1/Cosh[u0]])}, Initialization :> (k = 4; v0 = 0;), TrackedSymbols :> {\[Alpha], u0}]

Результат программы представлен на рис. 2. Изменяя значения параметров, получаем разные геодезические.

Рис. 2. Геодезические линии на однополостном гиперболоиде

В процессе выполнения практико-ориентированных проектов студенты учатся применять математический инструментарий для решения задач теоретического и прикладного характера из различных разделов математики. Полагаем, что включение учебных проектов в обучение компьютерной геометрии позволит существенным образом повлиять на качество подготовки будущих бакалавров-математиков и сформировать требуемые компетенции для их успешной профессиональной деятельности.

Список литературы

1. Артамонова Ю.Н., Митрохина С.В. Учебные проекты по геометрии в процессе подготовки будущих учителей математики // Изв. Тул. гос. ун-та. Гуманитар. науки. - 2014. - № 4-2. - С. 3-10.

2. Букушева А.В. Место компьютерной геометрии в подготовке бакалавров-математиков // Современные информационные технологии и ИТ-образование: сб. науч. тр. X юбилейной ме-ждунар. науч.-практ. конф. / под ред. В.А. Сухомлина. - М.а: МГУ, 2015. - С. 291-294.

3. Букушева А.В. Организация самостоятельной работы студентов при изучении компьютерной геометрии в LMS MOODLE // Азимут научных исследований: педагогика и психология.

- 2016. - Т. 5, № 3 (16). - С. 30-34.

4. Букушева А.В. Принципы методической системы обучения компьютерной геометрии // Балтийский гуманитарный журнал. - 2016. - Т. 5, № 3(16). - С. 95-98.

5. Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в подготовке бакалавров-математиков // Вест. Перм. гос. гуманит.-пед. ун-та. Сер. «Информационные компьютерные технологии в образовании». - 2015. - Вып. 11. - С. 85-93.

6. Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. - 2016. - №2. - С. 16-26.

7. Колесников А.К., Оспенникова Е.В. Информационные компьютерные технологии в образовании // Вест. Перм. гос. пед. ун-та. Сер. «Информационные компьютерные технологии в образовании». - 2005. - Вып. 1. - С. 6-15.

8. Полат Е.С. Метод проектов [Электронный ресурс]. - URL: https://docs.google.eom/document/d/13xOCJ50yaEkIzYq2kuRf3nbzVDewud6fcIkMzFqyrq4/edit (дата обращения: 01.11.2016).

9. Положение об электронной информационно-образовательной среде. П 1.06.05.2016 [Электронный ресурс]. - URL: http://www.sgu.ru/sites/default/files/textdocsfiles/2016/08/29/ polozhenie_ob_elektronnoy_informacionno-obrazovatelnoy_srede.pdf (дата обращения: 01.11.2016).

10. Степанов С.Е. Геодезические линии // Соросовский образовательный журнал. - 2000.

- Т. 6, №8. - С. 115-120.