Угловое условие для матричных элементов электромагнитного тока дейтрона

УДК 539.128.2, 539.171.016

Ф.Ф. Павлов, Я.А. Бердников

УГЛОВОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ТОКА ДЕЙТРОНА

Для правильного пространственно-временного описания релятивистских эффектов в дейтроне в настоящее время используются известные методы динамики на световом фронте, в которых показывается, что при вычислении матричных элементов электрон-дейтронного рассеяния нужно использовать плюсовый компонент электромагнитного тока дейтрона J+ в системе бесконечного импульса. В такой системе вклад данного компонента пропорционален импульсу дейтрона Рв, а переданный импульс является поперечным с точностью 1/Рв. При этом вклады так называемых трансформационных диаграмм ^-диаграмм; диаграмм, обратных по времени), при которых возникают виртуальные пары, будут сильно подавлены. Вычисление матричных элементов основывается на пространственно-временной картине рассеяния фотонов на ядрах при высоких энергиях, предложенной В.Н. Грибовым [1], на так называемом релятивистском импульсном приближении, в котором амплитуды рассеяния входят на массовой поверхности. В данном подходе вершинная часть амплитуды однократного электрон-дейтронного рассеяния выражается в двухнуклонном приближении через амплитуду перехода дейтрона в протон-нейтро -ную пару и амплитуду взаимодействия этой пары с виртуальным фотоном. При этом в системе бесконечного импульса дейтрона процессы рассеяния идут упорядоченно во времени: быстрый дейтрон сначала распадается на свободные быстрые протон и нейтрон, которые в силу соотношения неопределенности будут существовать большое время, за которое виртуальный фотон успеет провзаимодействовать со свободным нуклоном. С другой стороны, вклад процесса, когда фотон сначала переходит в нуклон-антинуклонную пару, а потом антинуклон взаимодействует с дейтроном, исчезает в системе бесконечного импульса, так как неопределенность энергии АЕ рождения вирту-

альной пары возрастает с импульсом Рв, а время образования At « Н / АЕ стремится к нулю.

Целью данной работы является исследование поведения углового условия Грача — Кондратюка в зависимости от величины квадрата переданного импульса с использованием матричных элементов плюсового компонента электромагнитного тока дейтрона. Для достижения результата используются развитые ранее методы релятивистской теории поля в переменных светового конуса. Техника светового конуса обычно используется в физике высоких энергий для выделения ведущего вклада в разложении амплитуды рассеяния по обратным степеням энергии. В данной работе волновая функция дейтрона аппроксимируется только протон-нейтронным фоковским состоянием, и дейтрон представляется как суперпозиция двухнуклонных фоковских состояний с инвариантной массой, зависящей от относительного импульса нуклонов. Кроме того, вектор поляризации продольного состояния протон-нейтронного фоковского состояния неизбежно зависит от инвариантной массы протон-нейтронной пары, так как условие поперечности векторов поляризации дейтрона надо накладывать на уровне фоковских компонент, и значит они должны зависеть от инвариантной массы фоковской компоненты.

Электромагнитные форм-факторы дейтрона

Рассмотрим треугольную фейнмановскую диаграмму процесса однократного электрон-дейтронного рассеяния (см. рис. 1 на с. 100).

Дейтрон как частица со спином £ = 1 с позиций построения диаграммы Фейнмана есть массивный векторный мезон. Однако, в отличие от привычных диаграмм в квантовой электродинамике (КЭД) или теории слабого взаимодействия, когда в электрослабой вершине рождается фермион и поглощается антифер-мион (или рождается антифермион и поглоща-

ется фермион), в дейтрон-протон-нейтронной вершине поглощение дейтрона сопровождается рождением двух фермионов: протона и нейтрона.

Тогда при использовании принципов написания дисперсионных интегралов и стандартных правил Фейнмана матричный элемент плюсового компонента дейтронного тока

J+ |р) в переменных светового конуса можно представить в следующем виде [2]:

(2л)4 i (р\ - т2 + iв)х

М J»=(-•)! ^

х/ (- ръ + т )• / (г ^р)*)х - т2 + /в) х

х/( р2 + т)  Ю+ • /(р1 + т)|

2 2 х

1

й гй 2 к

2

Х X ФхД"(Р2^Ю+и(Р1,

й

(м2 - м2

Б

)

а в конечном состоянии —

V

(

гр =

Ур-

(р - Рз); М + 2т

л

Gs (М2) +

( М2 - 4т2 4

М + т , ч Ур^-^ (Р1" Рз )р

GD

полная вершинная функция в конечном состоянии —

(

Г „ =

^ М2 - 4т2

-Уа+"

( Р2 - Р3 ){ М + 2т

М + т

\

Gs (М2) +

2

(Р2 " Р3 )0

GD

22 где Gs Б (М ), Gs Б (М ) — скалярные волновые функции дейтрона для S- и Б-волнового состояния в начальном и конечном состояниях, соответственно; М2 — квадрат инвариантной массы протон-нейтронной пары с импульсами рх и р3 на массовой поверхности в начальном состоянии; М - квадрат инвариантной массы протон-нейтронной пары с импульсами р2 и р3 на массовой поверхности в конечном состоянии [2];

М 2 =( Р1 + Рз )" =

22 2 к2 + т

г I1 - г)'

где полная волновая функция двухнуклонных фоковских состояний в начальном состоянии следует выражению

М =( Р2 + Рз ) =

22 2 к2 + т

г I1 - г) '

при этом относительный поперечный импульс к (каппа) для конечного состояния двух нуклонов выражается как [2]

к = к + (1 - г) Q .

Плюсовый компонент вершины взаимодействия нуклона с фотоном имеет вид

2т

(здесь использованы обозначения, идентичные обозначениям статьи на с. 99 — 110 настоящего выпуска); МБ = 1875,6 МэВ/с2 — масса дейтрона.

Полная вершинная функция перехода дейтрона в протон-нейтронную пару в начальном состоянии имеет следующий вид[2 — 4]:

Используя формулу

[й (Р2)°куй(р№у = -2т/ [й (Р2)Ук"(Р1)] +

+ [й

2 2 2 2 при условии, что р1 = т и р2 = т , плюсовый

компонент вершины мы можем представить в

виде

4

+ ЯК"

В работе [2] представлены зависимости матричных элементов J+ |р) для спиральных состояний поляризаций дейтрона в начальном (р = ±1, 0) и конечном (р' = ±1, 0) состояниях

как (+1|J+1+1), (+1J+1-1), (+1|J+|0) , (0 J+ 0 от величины квадрата переданного импульса Q2, с использованием CD-боннской волновой функции дейтрона.

Как известно, ковариантное разложение матричного элемента дейтронного тока р'| Jk |р) имеет вид [5 — 10]:

р1 Jk |Р) = {(Р + Р)к (Я {о2 )£хР

2М2

(о2 )оаор

плюсового компонента дейтронного тока соотношениями:

+1|J+ 1+1) = 2Р+ (О1 ) + (Q2)); (13) (1J+ 0 = -2Р+Л/2^(^ (О2)-

-л^

(1 J+|-l) = -2Р+Л^2 (О2); (0 J+ 0 = 2 Р+(-(1 - 2Ло ) ^ (О2 )-

где цв =

О2

4М

2

где О — 4-вектор переданного импульса. Напомним, что в системе Брейта компоненты 4-вектора переданного импульса О равны

О+ = о, = О, О, = 0 [2].

Здесь сразу же следует обратить внимание на то, что в таком разложении 4-векторы поляризации дейтрона и являются внешними и, следовательно, выносятся из-под интеграла в выражении (1).

Напомним, что в нашем формализме дейтрон рассматривается как суперпозиция двухну-клонных фоковских состояний с инвариантной массой, зависящей от относительного импульса протон-нейтронной пары. Соответственно, условие поперечности векторов поляризации надо накладывать на уровне фоковских компонент, и они будут зависеть от инвариантной массы фоковской компоненты. Тем не менее, рассмотрим разложение (12) и оценим угловое условие, с учетом вычисленных в работе [2] матричных элементов.

Как нетрудно заметить, ковариантные

форм-факторы дейтрона О2) , Р2 (О ) и 01(О2) связаны с матричными элементами

Физические форм-факторы дейтрона (зарядовый Яек, квадрупольный Яц и магнитный Ят) связаны с ковариантными форм-факторами дейтрона , Я2 и G1 с помощью линейных комбинаций [5 — 9]:

2

Рек + 3 Пп J +

+ ^(1 + Пп)Я -2^3nGl; ря +(1 + ^)Я -Gl; 1

Я -_

т П-

л/1 + ГП

В частности, полное сечение рассеяния на неполяризованном дейтроне имеет вид:

1

ипро1

2|(+1 JJ+1)|2 + 2\(+1 JJ-^|2 +

Следует отметить, что разложение

1

3

такому условию не удовлетворяет и угловое условие требует более усовершенствованного выражения. Подробнее вопрос о применимости разложения (12) рассмотрен в Приложении.

Угловое условие

Данное условие характеризует запрет переходов /+|р) с изменением спиральности дейтрона на 2 в спиральном базисе в брейтов-ской системе, и матричные элементы должны обнуляться при р' - р = ± 2 [6 — 8].

Матричный элемент плюсового компонента дейтронного тока (1) определяет четыре независимых функции от Q2:

(+1| /+|-1), (+1|J+10) и (0 J+ 0, в то время как матричный элемент должен выражаться через три форм-фактора дейтрона: зарядовый, магнитный и квадрупольный. Это означает, что должно существовать дополнительное уравнение. Данное уравнение, называемое угловым условием Грача — Кондратюка, имеет стандартный, традиционно приводимый в литературе вид [5 - 11]:

A(Q ) = (1 + 2Пв )(+1| J+|+1) + +(+i| J+ |-i) +i| j+ 0 -

-

Нормируем выражение (20) следующим образом:

SQ2) =

2 ч A

4N '

где

N =

(1 + 2Пв) +1 J+|+1

+

+[(+1 J+|-l) ]2 + 8Лд [(+1J+ 0 ]2 +

+[(0 J+ 0 ]2.

На рисунке приведен график зависимости величины 2) по модулю от квадрата переданного импульса Q2, на котором хорошо видно нарушение углового условия. Также видно,

что значение величины 2) минимально и

Зависимость величины 2) от квадрата переданного импульса Q2

близко к нулю. Нарушение углового условия связано со многими факторами, и они подробно рассматриваются в литературе [5 — 11]. Например, оно связано с выбором спиральностей дейтрона р и р', так как вклады виртуальных пар могут быть разными для продольных и поперечных поляризаций дейтрона. Так, в системе бесконечного импульса 4-вектор поляризации Vпропорционален Р+ при Р ^ да , поэтому вклады виртуальных пар могут не скомпенсироваться ввиду расходящегося поведения 4-векторов поляризации и

V . Поэтому в некоторых работах было предложено отказаться от использования матричного элемента (0|3 |0) [8, 11].

Спиральные состояния для протон-нейтронной пары в переменных светового конуса

Для нахождения решения углового условия рассмотрим систему Брейта, в которой = 0. Тогда 4-импульс двухнуклонных фоковских состояний в пространстве-времени Минковского с одной временной и тремя пространственными компонентами будет выражаться как

Р =

или в формализме светового конуса с плюсовой, минусовой и поперечными компонентами —

P =( P+, P_, Pi, P2 ) =

P+,

M 2P

, Px, 0

,

2

где в данном выражении квадрат поперечной массы

M2 = M2 + pX .

V'(у) =( 0, 0, 1, 0); V'(z) =(0, 0, 0, 1);

V'(x) = — (Px, M,, 0, 0), Mv x 1 '

или в формализме светового конуса — V'(у) =( 0, 0, 0, 1);

V'(z) =1 , --^, 0, 0 I; 1л/2 л/2 J

1 ( P P

V'(x) = — , , M,, 0

m 42 1

11

V'(z)=1т2- 0 01;

11

V'(X) =

MM

& Т2 M^ • 0

где

Mj2 = M2 + PX.

P =

P.. Mi, ^

2P.

V"(x) _

M,

v AM± 2P4

P^-^, M±, 0

M

V"(y) = (0, 0, 0, 1);

V"(z) _

(

v ML

m±

2P

, 0, 0

Выберем 4-векторы поляризации двухнуклонных фоковских состояний в пространстве-времени Минковского с одной временной и тремя пространственными компонентами в виде

После преобразования Лоренца вдоль оси г Vх) и V^ приобретают временные компоненты и отличные от нуля плюсовые компоненты. Удобно для поперечного состояния выбрать базис, в котором V"(х^ не имеет плюсового компонента (калибровка светового конуса). Для этого осуществим линейные преобразования над V"(х^ и V^ в виде

V

sin a;

V(z) =_v"(x)sina + V"(z) cos a ,

"(z),

где cos a = M / ML , sin a = -Px / ML .

Тогда 4-векторы поляризации для двухну-клонных фоковских состояний будут иметь вид

V( x) =

(

0, —, 1, 0 P.

V (z) = J_

M

M+P¿ P

-' + ' ~ т. '

2P^

i

Аналогично для конечного состояния в формализме светового конуса

V'(у) =( 0, 0,0, 1);

V у

При переходе к спиральному представлению

Перейдем в систему, где Рг ф 0 . Осуществим Лоренц-преобразование по оси г с у-фактором 42р+ / М1. Тогда

V

4-векторы поляризации для двухнуклонных фоковских состояний будут иметь следующий вид:

( /_ Гп=+п\ Л

v (p=±1) =

0,

, e

,

V (Р=0)= V (z )= J_ M

P+,

-M2 + P¿ P

2P,

±

.

Таким образом, мы получили 4-векторы поляризации в калибровке светового конуса [5, 12], которые использовались при вычислении матричного элемента (1).

Теперь угловое условие можно переписать в несколько ином виде. Если использовать в матричном элементе (1) 4-векторы поляризации двухнуклонных фоковских состояний Vу ^

и Vв начальном состоянии (29), (30) и V и V,(г) в конечном (32), (33), то угловое условие должно иметь следующий вид:

ги+ \г) = \у

Данное выражение для углового условия обсуждалось в работе [10], но в ней использовался «внешний» вектор продольной поляризации, определенный для фиксированной массы дейтрона Мв. Данное угловое условие можно выразить через матричные элементы, приведенные в работе [2] с помощью преобразований (37) — (40), причем нужно всюду использовать инвариантные массы протон-нейтронной пары в начальном (6) и конечном (7) состояниях.

Итак, в данной работе исследовано поведение углового условия Грача — Кондратюка. Матричные элементы электромагнитного тока дейтрона необходимы в первую очередь для вычисления электромагнитных форм-факторов дейтрона, которые выражаются через матричные элементы, и для дальнейшей оценки релятивистских поправок к магнитному и квадрупольному моментам дейтрона. Построено последовательное релятивистское описание дейтрона, в частности показан рецепт релятивизации волновой функции дейтрона, обсуждается построение спиновых волновых функций — векторов поляризации протон-нейтронной пары в переменных светового конуса. Волновая функция дейтрона аппроксимируется только протон-нейтронным фоковским состоянием. Не исключена вероятность, что на очень малых межнуклон-ных расстояниях вместо двух нуклонов придется рассматривать шестикварковое состояние, хотя однозначных экспериментальных указаний на такой шестикварковый кластер нет. Поэтому также представляется возможным описание дейтрона с учетом кварковых степеней свободы, чему посвящено обширное количество публикаций. Тем не менее, следует исчерпать возможности двухнуклонного приближения, особенно с релятивистским рассмотрением области больших относительных импульсов в дейтроне.

Приложение

Вычисление шпура матричного элемента плюсового компонента дейтронного тока

В работе [2] вычисление фейнмановского шпура (1) осуществлялось с помощью очень удобного метода суммирования по спираль-ностям. Теперь непосредственно вычислим шпур в выражении (1). Вынесем 4-векторы поляризации начального и конечного дейтрона

и из-под шпура (1) и рассмотрим выражение

8р{гр (-pз + т )г;(p2 + т)х

^ + F2)у+ -(Pl++ Р2+)^(А + m)J . (47) Представим выражение (4) для Гр в виде

(Pl - Pз )р

=

р -Г1Ур+Г2-

где введем обозначения

2 М2 - 4m2 2 Г1 = Gs

4

Gs

М + 2т

Аналогично, выражение (5) для Га представим в виде

Г2 =-

Г а =Г3 Уа+Г^

( Р2 " Р3 )0

где

_2 ММ1 - 4т2 ~2 Г3 = Gs

2 ^

Г4 = —

ММ + 2m

Тогда вычисление шпура даст следующий результат:

^Г^ {^[^(М2 + М2 +Q2) --2Q2 (^ + F2)] + QаQp [-4(^ + F2) + 4^ ]} +

2

2

+2(F+F2)\m q gp+- m q ga+

Г1Г3 +

+ft« p3P^+ {^Г^ + - z\%m2Fi +

m

+F2

Г1Г4 +

2

+—z m

8m2F1 + F2

Г2Г3 +

16m2 zF1 + 2(1 - 2z )Q 2(F1 + F2) -

Г1Г4k

-2zF1 (M2 + M2 - Q2 )] Г2Г4 } + +P Рз<Д{"4№ + ^2)Г1Гз -2m2 (F1 + F2) - zM 2F2

+P+ p3PQa{4(F1 + F2)r1r3 +

2m2(F1 + F2) - zM 2F2"

+gp+p3a {-2(F1 + F2)(M2 -M2-Q)Г3Г1 -

-2m(F1 + F2)(M2 - M2 -Q2)r4r1} + +ga+p3P {"2(F1 + F2KM2 - M2 -Q2)r1r3 -

2_ m

2

+—

m

Г2Г3 k

-2m

Далее можно разложить 4-вектор О3 по 4-векторам (P + P), О и поперечному вектору Л± : p3 = +P) + bО + Л± . В силу того, что

PV= 0 , можно отбросить слагаемые, содержащие P.

В случае M = M интегрирование по Л± давало бы нуль и вклады, содержащие Л± , можно было отбросить, что позволяло бы свести выражение (54) к разложению (12). Возникающие выражения типа Л1а Л1р отличны от нуля и разлагаются по тензорным произведениям 4-век-торов ^ +P), О и метрическому тензору gap .

С помощью дальнейших громоздких вычислений, которые выходят за рамки данной работы, можно получить полное разложение шпура в амплитуде (1) по внешним структурам.

Отметим ряд особенностей полученного выражения (54). Видно, что его нельзя свести к виду (12), поскольку в нашем формализме мы рассматриваем переход составной системы с массой M (6) в составную систему с массой М (7), которые различны (M ф ) и не совпадают с массой дейтрона MD. Например, вместо разностей вида Оa gp+ -Оp ga+ в разложении (12) возникают со-

22 множители вида М Оa gp+ _ M Оp ga+ в выражении (54).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gribov, V.N. Space-time description of the hadran interaction at high energies [Электронный ресурс] / V.N. Gribov // arXiv:hep-ph/0006158v1.

2. Павлов, Ф.Ф. Вычисление матричных элементов электромагнитного тока дейтрона в переменных светового конуса [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2012.- № 3. - С. 99-110.

3. Павлов, Ф.Ф. Расчет спин-зависимой структурной функции дейтрона в переменных светового конуса [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2012.- № 1 (141).- С. 118-128.

4. Ivanov, I.P. Diffractive production of S and D wave vector mesons in deep inelastic scattering [Электронный ресурс] / I.P. Ivanov // arXiv: hep-ph/9909394.

5. Choi, H.-M. Electromagnetic structure of the p meson in the light-front quark model [Text] / Ho-Meoyng

Choi, Chueng-Ryong Ji // Phys. Rev. D.- 2004.- Vol. 70.-P. 053015-1 - 053015-14.

6. Grach, I.L. Electromagnetic form-factor of deu-teran in relativistic dynamics. Two nucleon and six quark components [Text] / I.L. Grach, L.A. Kondratyuk // Sov. J. Nucl. Phys.- 1984.- Vol. 39.- P. 198 - 205.

7. Kondratyuk, L.A. Relativistic correction to the deuteron magnetic moment and angular condition [Text] / L.A. Kondratyuk, M.I. Strikman // Nuclear Physics A.-1984.-Vol. 426.- P. 575-598.

8. Ковдратюк, Л.А Релятивизм нуклонов и многоквар-ковые кластеры [Текст] / Л.А Кондратюк, М.Ж. Шма-тиков // Матер. XVIII Зимней школы ЛИЯФ. Физика атомного ядра.- 1983.-Т 18.-Часть. 3.-С. 107-171.

9. Bakker, B.L.G. Frame dependence of spin-one angular conditions in light front dynamics [Text] / B.L.G. Bakker, Chueng-Ryong Ji // Phys. Rev. D.-2002.- Vol. 65.- P. 073002-1-073002-13.

10. Frankfurt, L.L. Deuteron form factors in the light-cone quantum mechanics «good» component approach [Text] / L.L. Frankfurt, T. Frederico, M. Strikman // Phys. Rev. C.- 1993.- Vol. 48.- P. 2182-2189.

11. Choi, H.-M. Light-front quark-model analysis of the rho-meson electromagnetic form factors [Text] /

Ho-Meoyng Choi, Chueng-Ryong Ji // Few-Body Systems.- 2005.- Vol. 36.- P. 61 - 67.

12. Brodsky, S.J. Quantum chromodynamics and other field theories on the light cone original research article [Text] / S.J. Brodsky, P. Hans-Christian, S.S. Pin-sky // Phys. Rep.- 1998.- Vol. 301.- P. 229-486.

УДК 539.125.17; 539.126.17

Я.А. Бердников, А.Е. Иванов, В.Т. Ким, Д.П. Суетин

ЯДЕРНЫЕ ЭФФЕКТЫ В АДРОН-ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ

ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ

Исследование столкновений частиц высоких энергий с ядрами позволяет получить информацию об особенностях механизма взаимодействия партонов с ядерной материей. К таким особенностям можно отнести процессы многократного перерассеяния пар-тонов и их энергетические потери в ядерной среде.

Анализируя особенности взаимодействия партонов в ядре, можно выделить так называемые мягкие и жесткие процессы, которые различают по величине переданного импульса. Для мягких процессов переданный импульс меньше 1 ГэВ/с, для жестких — 1 ГэВ/с.

При высокоэнергетических столкновениях адронов с ядрами в общем случае механизм взаимодействия может быть представлен как совокупность мягких перерассеяний партонов налетающего адрона в ядерной материи. После мягких процессов происходит жесткое столкновение налетающего партона с партоном ядра мишени с образованием вторичных частиц, среди которых могут быть адроны, лептоны и гамма-кванты.

Эти вторичные частицы, в свою очередь, могут участвовать в процессах, как правило, мягкого перерассеяния в ядре ввиду относительно малой вероятности повторного жесткого взаимодействия.

Мягкие перерассеяния вторичных лептонов и гамма-квантов, ввиду малого сечения взаимодействия, не могут оказывать заметного влияния на механизм взаимодействия адронов с ядрами, в то время как учет мягких перерассеяний вторичных адронов абсолютно необходим для понимания особенностей адрон-ядерных взаимодействий.

При высокоэнергетических столкновениях лептонов с ядрами механизм взаимодействия может быть несколько проще по сравнению с адрон-ядерным, поскольку в данном случае в силу малого сечения лептон-нуклонного взаимодействия лептоны приходят к жесткому столкновению, не участвуя в процессах многократного перерассеяния. В то же время как вторичные адроны, рожденные в лептон-ну-клонном взаимодействии, они могут перерассеиваться в мягких процессах и, следовательно, заметно влиять на механизм реакции в целом.

Таким образом, информацию о роли процессов мягкого перерассеяния партонов и их энергетических потерь в ядерной материи удобно получать из исследования трех независимых процессов взаимодействия:

лептон-ядерного с рождением адронов (мягкое перерассение партонов и их энергетические потери после жесткого столкновения);