Оценка возможности и точности восстановления отсчетов сигнала при неравномерной дискретизации в тракте аналого-цифрового преобразования коммуникационного оборудования, используемого на железнодорожном транспорте

тически неработоспособным. Так, при ах = 60 ° и шх = 60 ° погрешность такого фазометра составляла 6 а при ох = 80 ° и шх = 60 ° уже превышала 20°. Такая большая величина погрешности отражается в неоднозначности показаний обычного фазометра при последовательных измерениях одного и того же среднего значения сдвига фаз и свидетельствует о его неработоспособности в указанных условиях. Отсутствие подобной погрешности подтверждает эффективность описываемого способа измерения сдвига фаз.

Таким образом, на основе полученных результатов можно сделать выводы:

описываемый способ обеспечивает повышение точности измерения сдвига фаз при больших флюктуациях фаз сигналов относительно среднего значения, в условиях нестабильных сигналов и при большом уровне импульсных помех;

способ предназначен для реализации на основе микропроцессорной техники.

Список литературы

1. Комякова, О. О. Гармонический анализ сетевого тока преобразователя, работающего в инвертерном режиме, при несимметричном несинусоидальном напряжении питающей сети [Текст] / О. О. Комякова, Т. В. Комякова // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2010. - № 4. - С. 55 - 62.

2. Чижма, С. Н. Адаптивный метод контроля симметричных составляющих в трехфазных системах электроснабжения [Текст] / С. Н. Чижма, А. А. Лаврухин // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2013. - № 1. - С. 76 - 82.

3. Прудников, А. П. Интегралы и ряды [Текст] / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М.: Наука. 1981. - 797 с.

УДК 004.62

К. А. Фирсанов

ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ И ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОТСЧЕТОВ СИГНАЛА ПРИ НЕРАВНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ В ТРАКТЕ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОММУНИКАЦИОННОГО ОБОРУДОВАНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМОГО НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ТРАНСПОРТЕ

В статье рассматриваются устойчивость и точность восстановления сигналов при периодически неравномерной дискретизации с использованием базисных функций sine. Точность и устойчивость рассмотрены для различных порядков системы преобразования, периода между базисными функциями, смещения базисных функций относительно восстанавливаемого отсчета.

Цифровая обработка сигналов находит применение в радиоэлектронных устройствах, используемых на железнодорожном транспорте [1 - 4]. Устройства приема, передачи и обработки информации, измерительные устройства разрабатываются и проектируются на основе обработки сигналов в цифровой форме. Для устройства цифровой обработки сигналов аналого-цифровое преобразование - одна из основных операций. Специфика железнодорожного транспорта проявляется в высоком уровне помех, что обусловливает высокие требования к динамическому диапазону аналого-цифрового преобразования. Как правило, разрядность аналого-цифрового преобразователя (АЦП) определяет динамический диапазон обрабатываемых сигналов. Несмотря на то, что существуют прецизионные 16- и 24-разрядные АЦП, вопрос динамического диапазона до сих пор остается актуальным. В работе [5] был предложен метод расширения динамического диапазона АЦП, в основе этого метода лежит неравномерная дискретизация обрабатываемого сигнала. Основная идея данного метода - это брать

отсчеты в тех точках, где сигнал не выходит за границы диапазона аналого-цифрового преобразования, и затем на основе взятых отсчетов восстанавливать отсчеты, амплитуда которых превосходит динамический диапазон АЦП. Восстановление отсчетов сигнала с амплитудой, превышающей динамический диапазон АЦП в точках t = ti, будет производиться на основе существующих отсчетов f(ti) из диапазона, где сигнал находится в пределах динамического диапазона АЦП, с использованием базисных функций tyk(ti):

к-1

f

к=0

Система базисных функций fik(ti) выбирается таким образом, чтобы система была конечной и чтобы можно было обеспечить минимальную среднеквадратичную ошибку [5] для восстанавливаемых отсчетов. Как известно, любой сигнал может быть представлен через разложение в некотором базисе ортогональных функций ^(t):

да

f

к =-да

Так как ряд (2) является бесконечным, а при вычислительных задачах мы не можем оперировать бесконечным числом членов ряда, то необходимо найти преобразование бесконечного набора функций yrf(ti) к конечной системе фк(^). Так как предполагается, что ряд (2) является сходящимся, то можно просто отбросить в разложении (2) все члены, начиная с M-го, при условии, что относительная ошибка разложения не будет превосходить заданную. Однако такой подход допустим далеко не для всех видов базисных функций, поэтому используют различные преобразования, чтобы перейти от одного базиса к другому:

K -1 ор

f

k=0 k=-m

где P - оператор преобразования.

Один из видов таких преобразований - это использование оконных функций и приведение разложения в системе ортогональных функций (2) к системе (1). Вариант и методика выбора весовой функции для восстановления отсчетов неравномерно дискретизированного сигнала приведен в работе [7]. Другим вариантом выбора является уменьшение ошибки интерполяции вк, которая возникает при усечении ряда до K членов за счет изменения коэффициентов Sk в разложении (2):

да K-1

ек

k=-o> k =0

В работе [5] был рассмотрен способ восстановления отсчетов c использованием базис-

sin7

ных функций вида cpk =-T-. Теоретические основы данного подхода были обос-

7

нованы в работах [5, 6]. В данной статье рассмотрено, насколько устойчив данный метод интерполяции при использовании указанных базисных функций и какая точность интерполяции может быть гарантирована. Моделирование проводилось в системе MatLab. Для анализа использовались сигналы, состоящие из M равноотстоящих гармоник с различными амплитудами ак и фазами вк:

M

s

m

m=1

78 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013

= = _

Амплитуды и фазы гармоник выбирались случайным образом. В выражении (5) Ts = 1/fs -период дискретизации сигнала. После формирования сигнал ограничивался по определенному уровню L и отсчеты, амплитуда которых была выше уровня ограничения, отбрасывались. Затем отброшенные отсчеты восстанавливались. Для интерполяции использовались базисные функции sine в форме

Ф =

sm

j ф - к)

j ф

В выражении (6)£ - частота дискретизации сигнала; /Ф - частота взятия функции фк(0.

Согласно рекомендациям работы [5] при моделировании составлялась система линейных уравнений и определялись коэффициенты разложения (1), которые являются решением данной системы. Значения /(¿¿) являлись отсчетами сигнала в точках, где он не выходил за разрядную сетку АЦП.

Ф

Ф

Ф

Ф

Значения отсчетов /(¿¿) брались слева и справа от тех отсчетов, которые необходимо будет восстановить. После решения системы уравнений (7) с использованием полученных коэффициентов Ск определялись значения восстановленных отсчетов путем подстановки нужных значений базисных функций фк(0 для I = { в систему уравнений (1). Если матрица фк(П в системе (7) являлась вырожденной, то такое преобразование считалось неустойчивым.

Устойчивость и точность данного преобразования исследовались в зависимости от соотношения £//ф, где £ - частота дискретизации сигнала, /Ф - частота взятия отсчетов функции Фк(0, в зависимости от смещения набора /(¿¿) от восстанавливаемого отсчета и в зависимости от порядка системы (7). Исходными данными были сигналы, состоящие из восьми и 16 гармоник, составленные согласно уравнению (5), и уровни ограничения 0,5 и 0,1 от максимальной амплитуды сигнала. В результате ограничения некоторое количество Ь отсчетов сигнала превышало по амплитуде уровень ограничения и отбрасывалось. Затем отброшенные отсчеты восстанавливались согласно шагам, указанным выше. При восстановлении использовались два подхода. При первом подходе отсчеты /(¿¿), используемые для восстановления, располагались произвольно относительно восстанавливаемых отсчетов. При втором подходе восстанавливаемый отсчет располагался строго посредине отсчетов /(¿¿). Результаты моделирования приведены в таблицах 1 - 4. В таблице 1 показан процент случаев, когда матрица Фк(П оказывалась вырожденной относительно общего числа восстанавливаемых точек для различных соотношений для сигнала, состоящего из восьми гармоник. Гармоники сигнала были распределены в полосе от 50 до 750 Гц. Отсчеты сигнала, превышающие по амплитуде 0,5 от максимального уровня, были отброшены, а затем восстановлены. Столбцы 2 - 4 содержат результаты для случая, когда точки, которые использовались как значения /(¿¿) и относительно которых вычислялись значения базисных функций, не распределялись равномерно слева и справа относительно восстанавливаемого отсчета. Столбцы 5 - 7 содержат результаты для случая, когда слева и справа находилось равное количество значений /(¿¿). Порядок системы линейных уравнений (7) варьировался от 20 до 30. Для сигнала, состоящего

из 16 гармоник, были получены сравнимые результаты. Стоит отметить, что чем дальше от восстанавливаемого отсчета выбирались Д^), тем чаще матрица фк(П оказывалась вырожденной, что приводило к невозможности восстановления отсчетов.

Таблица 1 - Процент случаев, в которых матрица фк(4) оказывалась вырожденной при восстановлении отсчетов с использованием системы базисных функций (7) при ограничении сигнала по уровню 0,5 от максимального

Шф Процент невосстановленных отсчетов в силу Процент невосстановленных отсчетов в силу

вырожденности матрицы фк(4) в зависимос- вырожденности матрицы фк(4) в зависимости

ти от порядка системы N и соотношенияАА от порядка системы N и£//ф. Восстанавливаемые

отсчеты располагались между А^)

N = 20 N = 25 N = 30 N = 20 N = 25 N = 30

6 25,32 97,96 97,96 0 0 0

7 23,12 97,96 97,96 0 0 0

8 20,4 97,96 97,96 0 0 0

9 30,61 97,96 97,96 0 0 0

10 0 97,96 97,96 0 0 0

11 0 97,96 97,96 0 0 0

16 2,04 97,96 97,96 0 0 0

19 0 97,96 97,96 0 0 0

22 0 95,92 95,92 0 0 0

24 0 95,92 95,92 0 0 95,92

25 0 95,92 95,92 0 0 95,92

27 0 95,92 100 0 0 100

29 0 95,92 100 0 0 100

35 0 93,88 100 0 0 100

40 0 93,88 100 0 0 100

Таблица 2 - Процент случаев, в которых матрица фк(4) оказывалась вырожденной при восстановлении отсчетов с использованием системы базисных функций (7), при ограничении сигнала по уровню 0,1 от максимального

Шф Процент невосстановленных отсчетов в силу Процент невосстановленных отсчетов в силу

вырожденности матрицы фк(4) в зависимос- вырожденности матрицы фк(/п) в зависимости

ти от порядка системы N и АА от порядка системы N и А1/ф. Восстанавливаемые

отсчеты находятся между _/

N = 20 N = 25 N = 30 N = 20 N = 25 N = 30

6 30,33 97 97 0 0 0

7 25,24 90,3 92,3 0 0 0

8 28,24 98 98 0 0 0

9 30,43 97,52 97,24 0 0 0

10 1,33 97,52 97,24 0 0 0

11 2,81 97 97 0 0 0

16 0 96,33 96,95 0 0 0

19 0 95,24 96,57 0 0 0

22 0 95 96,1 0 0 96,1

24 0 94,71 97 0 0 97

25 31,52 94,71 97,24 0 0 97,24

27 0 94,71 97,5 0 0 97,5

29 0 94,33 99,24 0 0 99,24

32 0 93,71 99,24 0 0 99,24

35 0 92,71 99,24 0 0 99,24

37 0 92,71 99,24 0 0 99,24

40 0 92,33 99,24 0 0 99,24

Согласно данным столбцов 2 - 4 таблицы 1, если группа отсчетов А^) удалена от восстанавливаемого отсчета, то в подавляющем большинстве случаев восстановить отсчет невозможно при больших порядках системы (7). Если же отсчеты А}!) расположены слева и справа от восстанавливаемого отсчета, то восстановление отсчетов возможно. В случае, когда равное количество отсчетов расположено слева и справа относительно восстанавливаемого отсчета, восстановление отброшенных отсчетов возможно всегда. Для порядка системы (7),

80 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013

—— =

начиная с 30 и выше, восстановление отсчетов невозможно при больших соотношениях /¡//ф. В этом случае матрица фк(П содержит схожие между собой значения и является практически вырожденной. В таблице 2 представлены аналогичные результаты для случая, когда тот же самый сигнал, состоящий из восьми гармоник, был усечен по уровню 0,1 от своего максимального значения. После этого отброшенные отсчеты сигнала были восстановлены с применением уравнений (1) и (6).

Из результатов, приведенных в таблицах 1 и 2, можно сделать вывод о том, что необходимо выбирать примерно равное количество отсчетов слева и справа относительно восстанавливаемого. Если порядок системы большой, то даже небольшое смещение приводит к

вырожденности матрицы (рк (К). Оценим погрешность значения восстановленного отсчета по отношению к значению отброшенного при условии, что при восстановлении равное количество располагается слева и справа от восстанавливаемого отсчета для четных порядков системы (7). Для нечетного 25-го порядка системы слева от восстанавливаемого отсчета было расположено 12 отсчетов и справа 13. Таблицы 3 и 4 представляют количество отсчетов, для которых относительная ошибка восстановления была хуже 10-5 относительно общего числа восстановленных точек для различных соотношений /¡//ф для того же самого сигнала, состоящего из восьми гармоник. Порядок системы линейных уравнений (7) варьировался от 20 до 30. В таблице 3 представлены результаты для сигнала, усеченного по уровню 0,5 от максимальной амплитуды, в таблице 4 - для сигнала, усеченного по уровню 0,1 от максимальной амплитуды.

Таблица 3 - Процент случаев, в которых относительная точность восстановленных отсчетов оказывалась хуже заданной для сигнала, усеченного по уровню 0,5

Шф Процент восстановленных отсчетов, относительная точность восстановления которых была хуже 10-5, в зависимости от порядка системы N и/¡//ф

N = 20 N = 25 N = 30

6 9,2 8,73 3,3

7 7,8 6,97 1,1

8 9,5 9,52 6,3

9 9,4 9,98 7,06

10 8,9 9,96 5,98

11 8,28 10,08 9,2

12 8,02 11,24 14,66

13 9,22 11,12 16,62

14 10,04 12,48 18,14

16 11,84 13,28 19,8

22 12,16 13,68 19,8

Таблица 4 - Процент случаев, в которых относительная точность восстановленных отсчетов оказывалась хуже заданной для сигнала, усеченного по уровню 0,1.

Шф Процент восстановленных отсчетов, относительная точность восстановления которых была хуже 10-5, в зависимости от порядка системы N и

N = 20 N = 25 N = 30

6 16,25 19,8 22,1

7 15,45 12,45 18,2

8 20 13,29 18,28

9 19,54 15,51 18,35

10 20,02 16,08 13,46

11 21,95 18,36 16,28

12 22,51 18,7 19,84

13 23,49 19,24 20,16

14 26,04 19,41 23,59

16 26,96 23,67 24,7

22 26,39 24,64 24,89

Стоит отметить, что в обоих случаях, общая относительная точность восстановления всех отсчетов оставалась не хуже 10-4. По данным таблиц можно заключить, что на точность

или возможность восстановления сигнала оказывает влияние такой параметр, какАА - соотношение частоты дискретизации сигнала к частоте взятия отсчетов функции ф$). На рисунке 1 показана зависимость модуля относительной точности восстановления от соотношения ААф при разных порядках системы (7) при условии, что слева и справа от восстанавливаемого отсчета находится равное количество _Д}). Был выбран 20-й порядок системы уравнений (7). На рисунке 2 показана зависимость относительной точности восстановления от смещения группы _Д}) на несколько отсчетов влево или вправо от восстанавливаемого отсчета при фиксированном значении АА, для разных порядков системы (7). В этом случае выбирался также 20-й порядок системы (7). Как в первом, так и во втором случае исходный сигнал, состоящий из 16 гармоник, ограничивался по уровню 0,1 от максимальной амплитуды сигнала. Отсчеты, превышающие уровень ограничения, отбрасывались, а затем восстанавливались с использованием системы (7).

Рисунок 1 - Зависимость относительной точности восстановления от соотношения /¡/Аф

Рисунок 2 - Зависимость относительной точности восстановления от смещения группы А}) на несколько отсчетов влево или вправо от восстанавливаемого отсчета при значении АА = 7

82 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013

= = _

Рисунки 1, 2 и результаты таблиц 1 - 4 позволяют определить диапазон смещения группы отсчетов ft) относительно восстанавливаемого отсчета, в границах которого точность восстановления будет не хуже 10" . Согласно рисунку 2 вариант, когда слева и справа от восстанавливаемого отсчета находится равное количество ft), не является единственно оптимальным дающим минимальную относительную ошибку. Существует небольшой диапазон смещений, в котором ошибка не превосходит конкретной величины. Рисунок 1 и данные таблиц 1 - 4 позволяют определить диапазон соотношений fjfy, в пределах которого ошибка не превосходит конкретной величины. Стоит отметить такой немаловажный фактор, как отношение числа отброшенных отсчетов к общему числу отсчетов исходного сигнала на одном периоде. Число отсчетов, которое было отброшено, определяется уровнем, по которому исходный сигнал был усечен. При небольших уровнях усечения диапазон смещения ft) относительно восстанавливаемого отсчета, при котором точность восстановления будет не хуже 10" , оказывается шире, чем при больших уровнях ограничения, когда требуется, чтобы слева и справа от восстанавливаемого отсчета находилось примерно равное количество отсчетов ft). Диапазон же соотношений fjf<p остается в тех же пределах для любых уровней ограничений.

В заключение необходимо отметить, что возможно восстановить отсчеты сигнала, которые были отброшены при превышении динамического диапазона АЦП, используя базисные функции sine в форме (6). Отсчеты возможно восстановить с относительной точностью не хуже 10" . Изменением таких параметров, как fjfq,, и смещением ft) группы относительно восстанавливаемого отсчета возможно улучшить точность восстановления до 10" . Располагая примерно равное количество отсчетов ft) от восстанавливаемого, можно гарантировать точность восстановления не хуже 10"4. При этом диапазон возможных соотношений ff должен лежать в пределах 6 - 9.

Список литературы

1. Грицутенко, С. С. Компенсация эффекта Доплера в OFDM-сигнале [Текст] / С. С. Гри-цутенко, С. А. Сидоренко // Омский научный вестник. - Омск, 2012. - № 3 (11). - С. 100 - 105.

2. Грицутенко, С. С. Введение понятия «дельта-вектор» в пространстве Гильберта для корректного представления данных в информационных системах [Текст] / С. С. Грицутенко // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2010. - № 1. - С. 73 - 78.

3. Грицутенко, С. С. Метод линеаризации характеристики АЦП / С. С. Грицутенко, А. Г. Панюков // Известия Транссиба / Омский гос. ун"т путей сообщения. - Омск, 2012. -№ 1. - С. 78 - 83.

4. Грицутенко, С. С. Адекватность использования аналогий в цифровой обработке сигналов [Текст] / С. С. Грицутенко // Известия Транссиба / Омский гос. ун"т путей сообщения. -Омск, 2010. - № 2. - С. 80 - 85.

5. Грицутенко, С. С. Метод Расширения динамического диапазона при аналого-цифровом преобразовании [Текст] / С. С. Грицутенко, Э. А. Бибердорф, К. А. Фирсанов // Омский научный вестник. - Омск, 2010. - № 2 (90). - С. 200 - 202.

6. Elina A. B. A new principle of dynamic range expansion by analog to digital conversion [Текст] / B. A. Elina, S. S. Gritsutenko, A. K. Firsanov // IEEE proceedings, 2009.

7. Ефимов, В. М. Восстановление сигнала с конечным числом степеней свободы при его неравномерной дискретизации [Текст] / В. М. Ефимов, А. Н. Касперович, А. Л. Резник // Автометрия. - 2000. - № 3. - С. 26 - 31.