Математическое моделирование задачи об образовании кругового концентратора напряжений в нагруженном теле с использованием средств компьютерной алгебры

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 58-66

Механика =

УДК 539.3

Математическое моделирование задачи об образовании кругового концентратора напряжений в нагруженном теле с использованием средств компьютерной алгебры *

Е. В. Артюх

Аннотация. Приводится приближенное аналитическое решение плоской задачи об образовании кругового концентратора напряжений в нагруженном теле из нелинейно-упругого материала. Свойства материала описываются потенциалами различных исследователей. Форма концентратора напряжений считается заданной в момент его возникновения. Учитывается, что образование концентратора напряжений приводит к появлению в теле (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности) больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие начальные деформации. Задача решена как для сжимаемого, так и для несжимаемого материала. Рассмотрен случай, когда к границе образованного концентратора напряжений прикладывается давление. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [3].

Ключевые слова: нелинейно-упругий материал, концентратор напряжений, конечные деформации, наложение деформаций, аналитическое решение, компьютерная алгебра.

Общая постановка задачи следующая. Пусть в нелинейно-упругом бесконечно протяженном теле, находящемся в начальном (ненапряженном) состоянии, под воздействием внешних нагрузок возникли большие плоские статические деформации. Тело перешло в первое промежуточное состояние. Далее в этом теле мысленно намечается замкнутый круговой контур (будущая граница полости). Затем область, ограниченная данным контуром удаляется. Под удалением, например, можно понимать «откол» одной части от другой или изменение свойств «удаляемой» части тела таким образом, что

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-31176-мол_а).

она не взаимодействует с оставшейся частью тела [5]. Действие удаленной части тела на оставшуюся заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по данному контуру. Это не приводит к изменению напряженно-деформированного состояния в оставшейся части тела. Далее предполагается, что эти силы, перешедшие в разряд внешних, квазистатически (например, изотермически) значительно изменяются, что вызывает появление в оставшейся части тела дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности) деформаций, которые накладываются на уже имеющиеся начальные. Обратим внимание, что деформации «физически накладываются». Если в рамках малых деформаций возможна суперпозиция деформаций, то есть параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на тело определяются как сумма параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на тело, то при конечных деформациях это не так [3]. Меняется и форма образованной граничной поверхности. Тело переходит в конечное состояние.

Математическая постановка задачи аналогична постановке, приведенной

Приведем определяющие соотношения для используемых материалов. Сжимаемые материалы

1. Материал Мурнагана:

в [6].

2. Материал Л.А. Толоконникова:

0,2 — А (г0,2  I) 1 + 2СГ0,2, Г0,2 — 2 Со,2 — Е0,2 + 2Е0,2

Несжимаемые материалы

1. Материал Муни:

^0,2 — 2 {(! + в)^0,2 + (1 — в) [(^0,2  1 )^0,2 — і^] } — Р0,21,

^0,2 — Ф&  ^0,2-

2. Материал [7]:

О0,2 = 2{(1 + в)^0,2 + (1 — в)^0,2 / } — р0,21-

3. Материал Л.А. Толоконникова [9]:

ОЯ 0,2 — 2^Г0,2 — Р0,2І-

4. Материал Валаниса-Ландела [1]:

О0,2 — 2С 1п 42 — Р0,2І-

5. Материал Неогуковский+изотропный (по классификации [1]):

О0,2 — 2С1^0,2 + С2^0,22 — Р0,21-

6. Материал Исихары, Хашицумы, Татибамы [1]:

о 0,2 — 2С'і^0,2 — (2С2 + 4СзІ2 — 12Сз)^02 — р0,2І-

7. Материал Муни-Ривлина+изотропный (по классификации [1]):

О0,2 — 2Сі^0,2 — 2С2 ^0“21 + Сз^0/2 — Р0,2І-к к

В этих формулах V — эг — оператор градиента; Фд,р — Фд,к  Фк,р,

п т / п п \-1

Фт,п — I + X] Vup — І I — ^ Уир I — аффинор деформаций

р=т+1 \ р=т+1 /

(т < и); Ед,р — 2 (Фт,р  Фт,р — Фт,?  Ф^) — тензор деформаций,

описывающий изменение деформаций при переходе тела из состояния ц в состояние р и отнесенный к координатному базису т-го состояния; ^д,р — Ф?,р  Ф(Г,р — тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния ц в состояние р и соответствующая мере Грина (С0,1 — тензорная мера Грина); ^?,р — Ф^р  Ф<?,р — тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния ц в состояние р и соответствующая мере Фингера (^0д — тензорная мера Фингера); Г?,р — 1 1пСд,р — «левый» тензор Генки (при ц — 0, р — 1) ; Дт,п — относительное изменение объема при

п

переходе из т-го в и-е состояние; О0,п — тензор истинных напряжений, накопленных в теле при переходе из начального в и-е состояние (при и — 1

пп

это тензор Коши); Ц0,п — (1 + Д0,п) о0,п — тензор обобщенных (полных для и-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе

т

и-го состояния; Ї0,п — тензор обобщенных (полных для и-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе произвольного т-го

т _ п т т т

состояния: ^0,п — Фпт  ^0,п  Фп,т; Хд,р — Ї0,р — Ї0,д — тензор обобщенных

дополнительных напряжений, определенный в координатном базисе

к

произвольного т-го состояния; Гп — граница тела в и-м состоянии в

кк координатах к-го состояния; Nп — нормаль к Гп. Индекс над символом

указывает номер состояния, в координатном базисе которого вычисляется

данная величина.

Поставленная задача решается методом Синьорини и сводится к последовательному рассмотрению линеаризованных задач. Каждая линеаризованная задача решается при помощи комплексных потенциалов на основе метода Колосова-Мусхелишвили [8]. Все выкладки для решения задачи осуществляются автоматически с помощью специализированного авторского программного комплекса для аналитических вычислений. Комплекс создан в системе компьютерной алгебры «МаЛешаИса» [2]. С помощью данного комплекса вычислено два первых приближения. При этом характеристики напряженно-деформированного состояния представлены элементарными функциями координат, параметров материала и нагружения. Такое решение позволяет использовать в аналитической форме нелокальные критерии прочности [4].

Далее приводятся некоторые результаты расчетов.

Например, для материала Мурнагана главные значения тензора полных истинных напряжений при всестороннем растяжении нагрузкой ц с учетом давления р на границе концентратора напряжений в полярных координатах имеют вид:

_ р , ц(р2 —1) (р + ц)2(р2 — 1) ^ А 2С 3С ,

О1 — — Р2 + ^2 4С

_ р , ц(р2 + 1) ,

О2 — —2 +-----------2-----+

р2 р2

+ 4С(р(т +^^4  [р2(^ + А — 2С4 — 3С5) + 13^ + 5А + 6С4 + 9Сб] .

Для материала Исихары-Хашицумы-Татибамы компоненты стц и 022 тензора полных истинных напряжений при всестороннем растяжении без учета давления на границе концентратора напряжений в декартовых координатах имеют следующий вид (цх, — нагрузка по осям х и у

соответственно):

011 — , [12х6 — 20х8 + 8х10 — 60х4у2 + 8х6у2 + 40х8у2 — 60х2у4+

8(х2 + у2)5

+80х4у4 + 80х6у4 + 12у6 + 56х2у6 + 80х4у6 + 4у8 + 40х2у8 + 8 у10] +

q2 [

+ ^---------l"21x2 - 60x4 + 59x6 - 20x8 - 3y2 + 36x2y2 - 163x4y2+

32 (Cl + C2) (x2 + y2)5

+116x6y2 + 41x2y4 + 100x4y4 + 7y6 - 36x2 y6] + 8(x2+ y2)5 [-12x6 + 12x8+

I60x4y2 - 24x6y2 I 60x2y4 - 80x4y4 - 12y6 - 40x2y6 I 4y8] I

2

+ 32 (Cl + Cq) (x2 + y2)5 ^21x2 - 20x4 + 11x6 - 12x8 - 3y2 - 100x2y2 - 83x4y2+

6„,2 і ic„.4 , 1 roJ„4 1 cn™4„,4 n„.6 cnJ „61 qxqy

+108x6y2 + 16y4 + 153x2y4 + 60x4y4 - 9y6 - 60x2 y6] +

16 (Cl + C2) (x2 + y2)5

x [-21x2 + 40 x4 - 29x6 + 10x8 + 3y2 + 32x2y2 + 133x4y2 - 124x6y2 - 8y4--95x2y4 - 80x4y4 - y6 + 60x2y6 + 6 y8] ,

o’22 = 8(x2+ y2)5 [-12x6 + 4x8 + 60x4y2 - 40x6y2 + 60x2y4 - 80x4y4 - 12y6-

] q2 [

-24x2y6 + 12 y8] + 32 (C1 + C2) (x2 + y2)5 [-3x2 + 16x4 - 9x6 + 21y2 - 100x2y2 +

+153x4y2 - 60x6y2 - 20y4 - 83x2y4 + 60x4y4 + 11y6 + 108x2y6 - 12 y8] +

+ . oqy _ [12x6 + 4x8 + 8x10 - 60x4y2 + 56x6y2 + 40x8y2 - 60x2y4 + 80x4y4+

8(x2 + y2)5

+80x6y4 + 12y6 + 8x2y6 + 80x4y6 - 20y8 + 40x2y8 + 8 y10] +

+ 32 (C1 + CV)(x2 + y2)5 [-3x2 +7x6 +21y2 + 36x2y2 + 41x4y2 - 36x6y2 - 60y4-

-163x2y4 + 100xV + 59y6 + 116x2 y6 - 20y^ + 16(Cl + ,C^)!|x2 + y2)5 [3x2 -

X

—8х4 — х6 + 6х8 — 21у2 + 32х2у2 — 95х4у2 + 60х6у2 + 40у4 + 133х2у4 — 80х4у4 —

—29у6 — 124х2у6 + 10 у8] .

-------.-----.----------------у -Г............................. 1 !Г

1.2 1.4 1.6 1.0 2 1-5 2 2.5 Э Э.5 4

Рис. 1. Материалы Л.А.Толоконникова и Мурнагана. Растяжение вдоль оси х нагрузкой д = 0.3С, А/С = 2.1

Рис. 2. Материалы Л.А.Толоконникова и Мурнагана. Растяжение вдоль оси х, д = 0.2С, р = 0.1С, А/С = 2.1

На рис. 1- 5 представлены графики, на которых показаны распределения напряжений, отнесенных к нагрузке на бесконечности, вдоль оси у при различных видах нагружения.

На рис. 5 приводятся результаты сравнения полученного автором в ходе исследования приближенного аналитического решения задачи с известным точным решением, полученным для частного случая.

Отметим, что полученные результаты позволяют в аналитической форме использовать нелокальные критерии прочности [4], давать предварительно оценку диапазона констант материалов, при которых можно предполагать сходимость численных методов в аналогичных нелинейных задачах.

Рис. 3. Материал Исихары-Хашицумы-Татибамы. Растяжение вдоль оси

х, д = 1.4 (С\ + С2).

У

Рис. 4. Материал Исихары-Хашицумы-Татибамы. Растяжение вдоль оси х. Контур отверстия до и после деформирования: а) нагружение без давления, д = 1.4 (С1 + С2); б) нагружение с давлением, д = С1 + С2,

р = 0.4(С1 + С2).

пь НОЕ И1

03 -03 -03 00 03 03 03

Рис. 5. Материал Трелоара (Муни при в =1). Зависимость контурных напряжений и радиальных перемещений от нагрузки на бесконечности.

Автор благодарит профессора В.А.Левина (МГУ им. М.В.Ломоносова) за консультации при обсуждении постановки задачи, метода ее решения и полученных результатов.

Список литературы

1. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин. Теория и эксперимент // Проблемы шин и резинокордных композитов: тр. XI симпозиума. М.: ГУП НИИ шинной промышленности, 2000. Т. 1.

2. Кузьмич С.А., Рыбалка Е.В., Левин В.А. Использование некоторых возможностей пакета «Mathematica 4.1» для решения задач теории наложения конечных деформаций // Современные проблемы математики, механики, информатики: тез. докл. Междун. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2003. С. 177.

3. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, 1999. 224 с.

4. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Докл. РАН. 2002. Т. 346. № 1. С. 62-67.

5. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004. 407 с.

6. Левин В.А., Рыбалка Е.В. Решение уравнений теории наложения больших деформаций средствами компьютерной алгебры // Изв. ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2004. Вып. 1. С. 139-144.

7. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

8. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

9. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 21. Вып. 1.

Артюх Екатерина Викторовна (kate_eva@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Mathematical modelling of a problem about circular stress concentrator formation in a loaded body with use of computer

algebra means

E. V. Artyukh

Abstract. An approximate analytical solution of a plane problem about circular stress concentrator formation in a loaded body of nonlinearly elastic material is brought. Material properties are described by potentials of different researchers. A form of stress concentrator is considered to be given at the moment of its origin. It is taken into account that the concentrator formation leads to appearance

in the body (at least in an ambit of recently formed boundary surface) of large additional strains which «phisically» superpose on already available in the body large initial strains. The problem is solved as soon for compressible as for incompressible material. A case when pressure is applied to a bound of the formed stress concentrator is considered. Positing of the problem is realized on the basis of repeated large strains superposition theory [3].

Keywords: nonlinearly elastic material, stress concentrator, finite deformations, deformations superposition, analytic solution, computer algebra.

Artyukh Ekaterina (kate_eva@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 30.06.2013