Численное исследование взаимодействия акустических волн со скачком уплотнения

Том ХЫ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010

№ 1

УДК 534.222.2

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН СО СКАЧКОМ УПЛОТНЕНИЯ

А. Н. КУДРЯВЦЕВ, А. Ю. ОВСЯННИКОВ

Выполнено численное моделирование взаимодействия акустических волн со скачком уплотнения. Исследовано как отражение, так и преломление звука. Моделирование проводилось с разрешением внутренней вязкой структуры зоны ударного перехода. Для решения уравнений Навье — Стокса использовалась схема высокого порядка точности с компактными разностями. Показано, что в предельном случае, когда длина волны падающего возмущения много больше толщины скачка, результаты расчетов в широком диапазоне чисел Маха и углов падения возмущений с высокой точностью соответствуют предсказаниям классической линейной невязкой теории. Полученные результаты позволяют сделать однозначное заключение о некорректности недавно предложенной альтернативной теории взаимодействия ударных волн с малыми возмущениями.

Ключевые слова: отражение и преломление звука, сверхзвуковые течения, ударные волны, схема высокого порядка с компактными разностями.

Задача о взаимодействии акустических возмущений со скачком уплотнения относится к числу фундаментальных проблем аэроакустики сверхзвуковых течений. Когда амплитуда возмущений мала, задача может быть рассмотрена в линейном приближении, что дает возможность построить аналитическое решение. В простейшем случае нормального падения звука на скачок это было впервые сделано Д. И. Блохинцевым [1] и независимо Й. Бюргерсом [2] в связи с вопросом о работе приемника звука, помещенного в сверхзвуковой поток. Несколько позже в целом ряде работ был рассмотрен общий случай наклонного падения звуковой волны на скачок уплотнения. Полное решение задачи было получено С. П. Дьяковым [3, 4], рассмотревшим стационарные возмущения, и В. М. Конторовичем [5] — для возмущений в виде бегущих волн. В наиболее полном виде линейная теория представлена в [6], где построено решение для среды с произвольным уравнением состояния, и в монографии [7].

Созданная в перечисленных работах теория стала классической и никогда не подвергалась сомнению, хотя достаточно полная экспериментальная проверка ее, по-видимому, отсутствует. В последние годы основное внимание уделялось изучению взаимодействия ударных волн (УВ) с турбулентностью [8—10] и анализу ситуации вблизи так называемого критического угла падения, где коэффициент усиления прошедшей звуковой волны должен резко возрастать [11, 12].

Тем неожиданнее было появление работ [13, 14], в которых предпринята попытка пересмотра классической теории. Обратив внимание на ряд особенностей классической теории, не имеющих, по их мнению, ясного физического объяснения, авторы [13, 14] пришли к заключению, что возникновение этих особенностей является следствием некорректной постановки граничных условий на УВ. Они предложили альтернативную теорию, предсказывающую значения коэффициентов прохождения и отражения возмущений, заметно отличающиеся от классических результатов.

Существование различных точек зрения по столь фундаментальному вопросу вряд ли можно считать нормальным. Целью настоящей работы является численное решение данной задачи с точностью, достаточной для выяснения того, какая же теория является правильной.

Постановка задачи и результаты линейного анализа. Рассмотрим прямой скачок уплотнения, в невозмущенном состоянии совпадающий с плоскостью х = 0. Индексы «1» и «2» относятся к величинам до (при х <0) и после (х >0) скачка соответственно. Хорошо известно, что произвольное малое возмущение равномерного потока сжимаемого газа, описываемое линеаризованными уравнениями Эйлера, можно представить в виде суперпозиции энтропийной, вихревой и двух акустических мод (медленной и быстрой). Энтропийные и вихревые возмущения движутся со скоростью потока и, акустические волны распространяются относительно потока со скоростью звука с = д/ур/р (здесь у — показатель адиабаты, р — давление газа, р — его плотность). В общем случае, при взаимодействии возмущения любой моды с УВ генерируются возмущения всех мод, кроме того возникает искажение фронта ударной волны. Таким образом, при прохождении возмущений через скачок по известным значениям возмущений газодинамических величин (скорости 5и^ плотности 5р1, давления бр^ в набегающем потоке требуется найти

возмущения би2, 6р2, бр2 за ударной волной и смещение фронта волны х = 5^ (у, t). Граничные условия задачи включают линеаризованные уравнения Рэнкина — Гюгонио на ударной волне и условие отсутствия возмущений, падающих на ударную волну сзади (т. е. равенство нулю амплитуды медленной сверхзвуковой моды при х ^+<»). Рассматриваются возмущения, имеющие вид плоской монохроматической волны с круговой частотой ю и волновым вектором к, распространяющиеся под углом 0 к оси х. Из равенства тангенциальных составляющих скоростей по обе стороны от УВ следует непрерывность соответствующих компонент волнового вектора: у = £2у. Из этого равенства, вместе с дисперсионными соотношениями ю = и к ± ск, к = | к |

для акустических волн (различные знаки соответствуют быстрой и медленной волнам), ю = и к для энтропийных и вихревых возмущений, находится величина к2х и, следовательно, направление распространения возмущений различных мод, возникающих за УВ. В частности, направление распространения быстрой акустической волны определяется из соотношения

к прошедшей быстрой акустической волне. Направление распространения энтропийно-вихревой волны находится из уравнения:

(верхний индекс с относится к энтропийно-вихревой моде).

Амплитуды возмущений можно определить, решая систему неоднородных линейных уравнений, получаемых из линеаризованных граничных условий [15]:

Pi/c1 _ р2/с2

1 + a1M1 1 + a2 M2 ’

где (, Р,- )_(cos Q,, sin Q,), i =1, 2, а верхний индекс «/» обозначает величины, относящиеся

Р1/c1 _ P2/c2

1 + a1M1 a2M2

(

или

A • X _ K.

Здесь 8и = -/ю5£, — скорость движения УВ, Р =

_ У-1

(2 -1)2

7 + 1 с?м2м? '

Анализ решения показывает, что существует диапазон углов падения, в котором величина к2х становится комплексной. Это означает, что звуковая волна экспоненциально затухает за УВ и не проникает в полупространство 2 на сколько-нибудь значительное расстояние (аналог полного внутреннего отражения в оптике). Границей этого диапазона углов падения служит критический угол 0СГ. При падении акустической волны под углом, близким к критическому, коэффициент ее прохождения резко возрастает (при больших числах Маха как М1), тогда как вдали

2

от 0СГ этот коэффициент пропорционален М1 [12].

При рассмотрении задачи о падении звуковой волны на скачок сзади решение проводится по той же схеме. Амплитуды образующихся возмущений определяются из той же системы уравнений (3а), в которой правая часть принимает вид:

К =

Р2М25р2

где величины с индексом 5 относятся к падающей на скачок медленной акустической волне. Теория предсказывает резкий рост коэффициента отражения вблизи определенного угла при почти касательном падении звуковой волны.

Резкое увеличение коэффициентов прохождения и отражения в некотором диапазоне углов падения, по мнению авторов [13, 14], не имеет ясного физического объяснения. Проанализировав процедуру построения решения, они пришли к выводу о некорректности постановки граничных условий на УВ в классической теории. Система отсчета, связанная с ускоренно движущейся УВ, является неинерциальной, и в соответствии с [13, 14] должна существовать дополнительная разница давлений поперек УВ, компенсирующая возникающую силу инерции. Это приводит к модифицированному выражению для матрицы А в (3 а):

А<согг =

1

(

1

\

р2в2 р1 р2 + и2 О

1 + 2а( М2 + 1/м! -2р1и1в2

М2

и2 О

Р и ас кУ

р1и1а2

Ю

где О = Р + -

Р2

-

J__________1_

Р2 Р1

+

V м2м2

1

. Вычисления, проведенные в соответствии с но-

вой теорией, действительно не обнаруживают тех особенностей в поведении коэффициентов прохождения и отражения, что присущи классической теории. Это, конечно, ни в коей мере не является доказательством правильности новой теории. В отсутствие достаточно убедительных экспериментальных данных (ситуация с экспериментальной проверкой линейной теории подробно обсуждается в [14]) решающую роль в установлении истинности описанных теоретических построений может сыграть аккуратно выполненное численное моделирование задачи о взаимодействии малых возмущений со скачком уплотнения.

Численное моделирование. Для того чтобы проверить предсказания обеих теорий, было проведено численное моделирование задач о прохождении возмущений через УВ и об их отражении от нее. Известно [16], что при использовании схем сквозного счета за медленно движу -

щейся относительно расчетной сетки УВ могут возникать численные осцилляции. Этот эффект способен полностью исказить результаты моделирования взаимодействия возмущений с УВ [17]. Чтобы избежать любых проблем подобного рода, в настоящей работе моделируется взаимодействие акустических возмущений не с газодинамическим разрывом, а с вязким ударным переходом, являющимся решением уравнений Навье — Стокса [18]. Когда отношение длины возмущения X к толщине перехода 5 стремится к бесконечности, полученное решение должно стремиться к решению исходной невязкой задачи.

Поскольку при такой постановке отсутствуют разрывы решения, то может быть использован любой метод высокого порядка точности, имеющий достаточно малую численную вязкость. В настоящей работе пространственные производные аппроксимируются несимметричными компактными разностями 5-го порядка [19]. Интегрирование по времени выполняется с помощью метода Рунге — Кутта — Гилла 4-го порядка точности. Точность метода была проверена на решении стационарной задачи о структуре вязкого ударного перехода, для чего численное решение сравнивалось с аналитическим.

Для решения самой задачи о преломлении и отражении звука на прямом скачке уплотнения использовалось два различных подхода. Во-первых, решались уравнения Эйлера, линеаризованные над стационарным профилем вязкого ударного перехода. Во-вторых, при заданной малой амплитуде падающего возмущения 5/>1 = 0.001 решались полные уравнения Навье — Стокса. Полученные в обоих случаях результаты были очень близки друг к другу. Все расчеты ниже выполнены для совершенного двухатомного газа (у =1.4) при числе Прандтля Рг = 3/4.

На рис. 1 показано решение задачи о нормальном падении акустической волны на скачок. Расчет выполнен на равномерной сетке с числом узлов Ых = 2000 при достаточно малом значении сеточного числа Рейнольдса Яе = 0.12. Профиль ударного перехода при этом полностью разрешен, на его толщину приходится около 20 точек сетки. Поле возмущений генерируется на левой границе области заданием возмущения в виде синусоидальной акустической волны. Из рис. 1 видно, что происходит заметное (приблизительно в 60 раз) усиление акустической волны при переходе через скачок, отметим также изменение длины прошедшей волны (эффект Допплера).

0

0.

-0.

-о,'

-4 -2 0 2 4

х

Рис. 1. Возмущение давления при нормальном падении звуковой волны на скачок уплотнения. М1 = 10

В таблице представлена зависимость коэффициента усиления от отношения X/ 5 при числе М1 = 8. Классическая теория в этом случае предсказывает усиление в 39.2272 раза, тогда как теория Любчича — Пудовкина — в 45.8193 раза. При изменении Х/5 число узлов сетки увеличивалось, так чтобы на зону ударного перехода всегда приходилось одинаковое число расчетных ячеек, и она оставалась хорошо разрешенной.

Из результатов, представленных в таблице, видно, что при предельном переходе к невязкому случаю, когда Х/5 ^ ^, обе расчетные модели, линеаризованные уравнения Эйлера (ЬБ) и полные уравнения Навье — Стокса (N8) дают результат, очень близкий (с точностью до 0.001%) к классической теории и заметно отличающийся от теории Любчича — Пудовкина.

Коэффициент усиления звука в зависимости от отношения Х/5 при М} = 8

Х/8 8Р2і8рі, ье 8Р2і8Р1, N8 Х/8 8Р2і8Р1, ье 8Р2і 8Ръ ^

1 38.68 40.42 10 39.2128 39.35

2 39.01 40.02 20 39.2197 39.25

5 39.1738 39.65 50 39.2234 39.23

На рис. 2 показан график зависимости коэффициента усиления звука при нормальном падении от числа Маха. Видно, что и здесь расчетные значения хорошо согласуются с результатами классической теории.

Следующий рассмотренный случай — наклонное падение акустической волны. Расчет выполнен в квадратной области на равномерной сетке из 500 х 500 ячеек. На верхней и нижней границах области заданы периодические граничные условия. На рис. 3 изображено поле возмущений давления при падении звуковой волны на УВ под углом 01 = 45° при числе М1 = 8. В этом расчете Х/5 ~ 10. Хорошо заметно предсказываемое теорией изменение направления распространения звуковой волны (в данном случае относительно небольшое).

На рис. 4 представлен график зависимости коэффициента усиления от угла падения. При данном числе Маха критический угол равен 0СГ = 73.4°, расчет производился при углах падения

от 0 до 70°. Как и ранее, результаты численного моделирования однозначно подтверждают справедливость классической теории.

Перейдем теперь к результатам численного моделирования задачи об отражении звука. В этом случае акустическая волна генерируется уже на правой границе и распространяется по дозвуковому состоянию 2. Как видно из рис. 5, относящегося к случаю нормального (01 = 180°) падения, для этой задачи предсказания двух теорий сильно отличаются. Как и во всех предыду-

Рис. 2. Зависимость коэффициента прохождения от числа Рис 3 Преломление акусти^кш в^ы при пр°х°жде-

Маха при нормальном падении звуковой волны на скачок нии через скачок уплотнения. Возмущение давления,

М — 8 А — 45°

уплотнения 1У11 ^

Рис. 4. Зависимость коэффициента прохождения звуковой Рис. 5. Зависимость коэффициента отражения звуковой

волны через скачок уплотнения от угла падения. М! = 8

волны от числа Маха при ее нормальном падении сзади на скачок уплотнения

Рис. 6. Отражение акустической волны от скачка уплот- Рис. 7. Зависимость коэффициента отражения звуковой нения. Возмущение плотности. М1 = 8, 0! = 205° волны от угла падения

щих случаях, численный расчет с хорошей точностью согласуется с классической теорией и не согласуется с теорией [13, 14].

Был также рассмотрен и общий случай отражения при наклонном падении. На поле возмущений плотности (рис. 6) хорошо видно, что при этом происходит. За УВ четко различаются две области. В области, находящейся дальше от УВ (х>2), возмущения являются суперпозицией двух акустических волн — падающей и отраженной от скачка. В области, лежащей непосредственно за УВ (0< х <2), к ним добавляется еще энтропийно-вихревое возмущение — на рисунке хорошо видны наклонные ряды эллиптических вихрей. Это возмущение распространяется направо со скоростью потока, поэтому его передний фронт отстает от фронта отраженной акустической волны.

На рис. 7 дана зависимость коэффициента отражения от угла падения. Снова видно, что результаты вычислений лучше согласуются с классической теорией. Небольшое несовпадение данных расчетов с ее предсказаниями заметно лишь вблизи критического угла, где теория предсказывает резкий рост коэффициента отражения.

Заключение. Проведено численное моделирование задач о преломлении и отражении звука на скачке уплотнения. Использован подход с разрешением внутренней вязкой структуры зоны ударного перехода. Показано, что в предельном случае, когда длина волны падающего возмущения много больше толщины скачка, результаты расчетов хорошо согласуются с предсказаниями классической линейной невязкой теории. Относительное различие численных и теоретических

коэффициентов прохождения и отражения звука обычно не превышает 0.001—0.01%. Незначительное расхождение коэффициента отражения наблюдается только вблизи критического угла падения, где теория предсказывает быстрый рост коэффициента отражения.

В то же время данные численного моделирования однозначно расходятся с предсказаниями новой теории, недавно предложенной в работах [13, 14]. По всей видимости, она имеет мало шансов на признание в качестве корректной модели, описывающей взаимодействие малых возмущений с ударными волнами.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 08-01-91307-ИНД) и Сибирским отделением РАН (Междисциплинарный интеграционный проект № 40).

ЛИТЕРАТУРА

1. Блохинцев Д. И. Движущийся приемник звука // ДАН СССР. 1945. Т. 47, № 1, с. 22—25.

2. Burgers J. M. On the transmission of sound waves through a shock wave. — Proc. konikl. Ned. acad. wet. 1946. V. 49, p. 273—281.

3. ДьяковС. П. Взаимодействие ударных волн с малыми возмущениями. 1 // ЖЭТФ.

1957. Т. 33, вып. 4(10), с. 948—961.

4. ДьяковС. П. Взаимодействие ударных волн с малыми возмущениями. 2 // ЖЭТФ.

1957. Т. 33, вып. 4(10), с. 962—974.

5. КонторовичВ. М. Отражение и преломление звука на ударных волнах // Акустический журнал. 1957. Т. 5, № 3, с. 314—323.

6. McKenzie J. F., Westphal K. O. Interaction of linear waves with oblique shock waves // Phys. Fluids. 1968. V. 11, p. 2350—2362.

7. ШугаевФ. В. Взаимодействие ударных волн с возмущениями. — Изд. МГУ, 1983.

8. Andreopoulos Y., Agui J. H., Briassulis G. Shock wave-turbulence interactions // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. V. 32, p. 309—345.

9. Jamme S., Cazalbou J.-B., Torres F., Chassaing P. Direct numerical simulation of the interaction between a shock and various types of isotropic turbulence // Flow, Turbulence and Combustion. 2002. V. 68, p. 227—268.

10. Азарова О. А. Численное моделирование взаимодействия турбулентности с ударной волной в потоке сжимаемого газа // ЖВМиМФ. 2004. Т. 44, с. 532—541.

11. Robinet J.-C., C a sal is G. Critical interaction of a shock wave with an acoustic wave. — Phys. Fluids, 2001, v. 13, p. 1047—1059.

12. Men’shov I., Nakamura Y. Abnormal amplification of sound waves refracted by an oblique shock wave // JAXA Special Publication. 2004. SP-03-002, p. 23—28.

13. ЛюбчичА. А., Пудовкин М. И. Взаимодействие малых возмущений с ударными волнами / Препринт Полярного геофизического института КНЦ РАН. — Апатиты,

2002.

14. Lubchich A. A., Pudovkin M. I. Interaction of small perturbation with shock waves // Phys. Fluids. 2004. V. 16, p. 4489—4505.

15. Anyiwo J. C., Bushnell D. M. Turbulence amplification in shock-wave boundary-layer interaction // AIAA J. 1982. V. 20, p. 893—899.

16. Roberts T. W. The behavior of flux difference splitting schemes near slowly moving shock waves // J. Comp. Phys. 1990. V. 90, p. 141 —160.

17. Kudryavtsev A. N., Khotyanovsky D. V, Epstein D. B. Investigation of interaction between shock waves and flow disturbances with different shock-capturing schemes. — Proc. of 26th Int. Symp. on Shock Waves (Gottingen, Germany, July 15-29. 2007), pap. 3041.

18. ЛойцянскийЛ. Г. Механика жидкости и газа, 5-е изд. — М.: Наука, 1978.

19. Zhong X. High-order finite-difference schemes for numerical simulation of hypersonic boundary-layer transition // J. Comp. Phys. 1998. V. 144, p. 662—709.

Рукопись поступила 17/III2009 г.