Хаотическая динамика конструктивно и геометрически нелинейной системы, состоящей из замкнутой цилиндрической оболочки и внешне подкрепленной балки

УДК 539.3

В.А. Крысько, О.А. Салтыкова, С.С. Вецель

ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА КОНСТРУКТИВНО И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ЗАМКНУТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ И ВНЕШНЕ ПОДКРЕПЛЕННОЙ БАЛКИ

Изучается нелинейная динамика замкнутой цилиндрической оболочки, снаружи подкрепленной единичной балкой с зазором, на ребро действует поперечная знакопеременная нагрузка. Задача методом конечных элементов сводится к задаче Коши. Исследуется контактное взаимодействие балки и оболочки с позиций нелинейной динамики.

Цилиндрическая оболочка, контактное взаимодействие, балка

V.A. Krysko, O.A. Saltykova, S.S. Vetsel

CHAOTIC DYNAMICS OF A STRUCTURALLY AND GEOMETRICALLY NONLINEAR SYSTEM CONSISTING OF A CLOSED CYLINDRICAL SHELL AND OUTWARDLY

SUPPORTED BEAMS

The paper studies nonlinear dynamics of a closed cylindrical shell externally supported by a single beam with the edge clearance acted by the transverse alternating load. The problem is solved by means of the finite element method. The authors explore the contact interaction of the beam and shell positions of nonlinear dynamics.

Cylindrical shell, the contact interaction, beam

В современном мире все более широкое применение находят многослойные балочные структуры, пластины и оболочки, соединенные между собой. Ведущую роль они занимают в авиационной и ракетно-космической технике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. В конструкциях ответственного назначения данные элементы подвергаются различным внешним нагрузкам. Использование существенно различных статических и кинематических гипотез привело в результате к значительному разнообразию расчетных схем и систем уравнений, а также стала интенсивно решаться проблема изучения сложных колебаний распределенных структур с учетом различных нелинейностей. Этому направлению посвящено большое количество публикаций [1-10].

В [11] рассмотрен подход к решению контактных задач нелинейной теории оболочек, бази-

рующийся на исключении из числа неизвестных функций контактного давления Чк с помощью винклеровой связи. Вынужденные колебания слоистой цилиндрической оболочки, подкрепленной пустотелым цилиндром и соединенной упругими точечными связями (пружинами) со слоистой балкой, под действием гармонической нагрузки изучаются в [12]. В [13] рассмотрена задача об одностороннем контакте неоднородной упругой пластины с тонким упругим слоем. В [14] изучена эквивалентная динамическая жесткость балки Тимошенко, лежащей на упруговязком основании и взаимодействующей с равномерно движущимся по ней точечным объектом. Изгиб двухслойной балки-полоски в условиях плоского напряженного состояния с одинаковыми изотропными линейно упругими слоями при нежестком контакте между ними изучается в [15]. Статья [16] посвящена экспериментальному исследованию прогибов нагруженных пластин, дискретно соединенных с круговой цилиндрической оболочкой по линиям образующих. Большое внимание в современных исследованиях уделяется задачам об ударе; так, в [17] рассмотрена задача об ударе материальной точки (тела) по цилиндрической оболочке и упругих симметричных колебаниях относительно плоскости, проходящей

через ось оболочки. Методом бихарактеристик численно решена в трехмерной постановке задача о локальном поперечном ударе по цилиндрической оболочке с одним закрепленным концом [18]. Компьютерное моделирование цилиндрической оболочки при условии бокового удара осуществляется в [19].

В данной статье рассматривается задача о контактном взаимодействии и колебаниях соединенных через краевые условия замкнутой цилиндрической оболочки и балки (рис. 1), расположенной с внешней стороны оболочки. Рассмотренная в данной работе задача новая и ее решения в известной Российской и зарубежной литературе не найдено.

Решение задач осуществляется с помощью методов нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений: строятся сигналы, фазовые портреты, сечения Пуанкаре, Фурье-спектры, применяются вейвлет-преобразования и анализ знаков показателей Ляпунова.

Используются различные вейвлеты, среди которых наиболее информативным оказался вейвлет Морле. С помощью вейвлет-преобразования, возможно исследовать изменение частотных характеристик сигнала во времени, т. к. характер сигнала во времени (рис. 1) может существенно меняться и его анализ с помощью быстрого преобразования Фурье может привести к принципиально ошибочным результатам. Тем самым, вейвлет-анализ является тем «микроскопом», который позволяет анализировать динамическую систему в каждый момент времени, а не интегрально.

Исходными дифференциальными уравнениями приняты уравнения В.В. Новожилова [20, § 47] для двумерной деформации бесконечно длинной полосы. Эти формулы получены из уравнения для пластины в предположении, что перемещение V = 0. Как выражается В.В. Новожилов [20, с. 176], это предположение фактически формулирует задачу об изгибе балки:

= 0,

2

+ С

Рис. 1

е = е

уу ху

е = е.

+ * 2Гх

где

е =

дй 1

— + —

дх 2

+(^ I дх

С =11+М'] дС

х дх) дх дх дх

дх

1 [ 2+

2 1 .дх )

дн дй

дх С = дх

2

2

2

Здесь и, W есть перемещение срединной линии балки. Материал балки считается упругим и подчиняется закону Гука. Исходные уравнения движения балки получаем их вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

Исходные уравнения для оболочки, так же как и для балки получаем из теории В.В.Новожилова [20, § 48], которые учитывают квадраты первых производных от перемещения срединной поверхности оболочки и, V, w.

Ввиду громадности этих выражений, мы их здесь не приводим. Уравнения движения оболочки мы получаем в перемещениях относительно и, V, w из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского .

Граничные условия:

а) для балки:

при х = 0 : и = 0;

при х = а : и = 0, w = 0.

б) для оболочки:

при х = 0: и = 0, V = 0, w = 0;

при х = Ь : и = 0, w = 0.

Начальные условия:

а) для балки:

u(0, х) = 0, u(0, х) = 0, w(0, х, z)= 0, w(0, x, z) = 0.

б) для оболочки:

u (0, x, y, z) = v(0, x, y, z) = w(0, x, y, z) = 0, U (0, x, y, z) = v(0, x, y, z) = w (0, x, y, z) = 0.

Уравнения в частных производных для балки и оболочки сводятся к задаче Коши методом конечных элементов по пространственным переменным.

Конечноэлементная модель содержит около 25 тысяч узлов - оболочка и 16 тысяч элементов -

балка.

В расчете использован трехмерный объемный 8-узловой конечный элемент типа solid (рис. 2) с равномерным распределением напряжений по объему, схематично представленный на рис. 2.

8

Рис. 2

Расчет выполнен с использованием типа подавления искажений формы элементов по форме жесткости по форме Фланаган-Белычко с точным интегрированием по объему для объемных элементов.

В качестве примера рассматривается знакопеременная поперечная распределенная нагрузка, действующая на балку. Материал оболочки и балки - сталь 12Х18Н10Т со следующими физико-механическими свойствами:

- Е — модуль Юнга 20900 кгс/мм2;

- /2 - коэффициент Пуассона 0,3;

- р - плотность 8-10"10 кгс- с2/мм4.

Длина оболочки составляет Ь = 200 мм, радиус оболочки Я - 100 мм, толщина к - 2 мм. Расчетная модель шарнирно закреплена по торцам. Расстояние между балкой и оболочкой кк составляет 2 мм. По толщине балка разбита тремя конечными элементами, а по длине - 50-ю. В данном расчете рассматривается упругая постановка задачи с учетом геометрической нелинейности. Задача Коши решалась методом явного интегрирования (методом Эйлера).

Расчеты проводились для возбуждающей нагрузки q2 = 0.6 кгс /мм2, д2 = 1кгс / мм2, q2 = 3 кгс / мм2 на частоте О. = 142 Гц.

2

В табл. 1 приведены сигналы, 3Б вейвлеты Морле для балки и оболочки, фазовые портреты на плоскости и в пространстве для q2 = 0.6кгс /мм2.

Таблица 1

Анализ сигналов для балки и оболочки при q = 0.6 кгс /мм2

Балка

Сигнал w

3Р вейвлет Морле

Фазовый портрет на плоскости w( т&) и в пространстве w, т&, W

Оболочка

Анализ результатов позволяет сделать вывод, что колебания оболочки имеют хаотическую составляющую, а колебания балки имеют четкий характер. 3Б вейвлет для оболочки характеризуется большим количеством частот, интенсивность и количество которых меняется во времени, а для балки четко определена частота вынуждающих колебаний, и ряд кратных ей частот. Интенсивность частот оболочки на всем интервале со не высокая. В отличие от балки, низкие и высокие частоты колебаний оболочки имеют одинаковую интенсивность. Со временем значительных изменений частотных характеристик для балки на 3Б вейвлетах Морле не отмечается, но для оболочки необходимо отметить рост мощности частоты возбуждающих колебаний, и локализацию двух кратных частот, выраженных на 3Б вейвлете для балки. Далее рассмотрим пространственное состояние системы в тот же момент времени.

В табл. 2 приведена конечноэлементная модель системы при ударе балки по верхней, внешней поверхности замкнутой цилиндрической оболочки. Градиентная шкала величины прогибов показывает направление и величину прогибов балки и оболочки. Максимальные прогибы поверхности оболочки приходятся на место соприкосновения с балкой и диаметрально противоположную часть оболочки в центре по длине. В окрестностях соприкосновения, с обеих сторон от места контакта, происходит выпучивание оболочки, максимальное в центре и на диаметрально противоположной поверхности. Условие непроникновения выполняется полностью, что можно видеть на графике сигнала для балки и оболочки.

Далее исследуем состояние системы при q2 = 3 кгс / мм2.

При увеличении нагрузки наблюдаем увеличение прогибов, как для балки, так и для оболочки. Вейвлет спектры показывают одинаковые частоты для всей системы, в отличие от вейвлет спектров при величине нагрузки q 2 = 0.6 кгс / мм2 (табл. 1). Мощность колебаний балки на порядок выше, чем у оболочки.

Таблица 2

Формы колебаний оболочки и балки в 100-кратно увеличенном масштабе при t = 0.002с , д2 = 0.6кгс / мм2

Сигнал

4 :

балка

0

оболочка -4

-!! ¡1 ; ;! и

" ; л л

|1 ;;1 !!;1

002

004

Фазовая синхронизация

Анализ сигналов для балки и оболочки при д2 = 3 кгс / мм2

Таблица 3

Балка

Сигнал

3Р вейвлет Морле

Фазовый портрет на плоскости н) и в пространстве н, н, м&

Оболочка

4x10

2x10

2x10

4x10

-1 МО -5x10 5x10'

В табл. 4 показано состояние системы «балка - оболочка» в пространстве в момент времени t = 0.002с . В этот момент времени происходит касание балки и оболочки.

Таблица 4

Формы колебаний оболочки и балки в 100-кратно увеличенном масштабе при t = 0.002с при q2 = 3 кгс / мм2

Сигнал

С увеличением нагрузки происходит синхронизация колебательного процесса системы. Это хорошо видно на 2Б вейвлетах Морле, отражающих фазовую синхронизацию (табл. 2, 4). При нагрузке q2 = 0.6 кгс / мм2 (табл. 2) темные зоны (синхронизация колебательного процесса) на вейвлетах не имеют четкой структуры, тогда как при q 2 = 3 кгс / мм2 наблюдаем синхронизацию колебательного процесса на частоте вынуждающих колебаний и на двух частотах, являющихся кратными частоте вынуждающих колебаний.

Ниже приведем спектры мощности Фурье для балки и оболочки при q 2 = 0,6; 1; 3 кгс / мм2.

Таблица 5

Спектр мощности Фурье

При q 2 = 0,6 кгс / мм2 происходит утроение периода колебаний. Колебания балки и оболочки происходят на одних и тех же частотах, кратных частоте вынуждающих колебаний. Для q 2 = 1 кгс / мм2, на спектрах мощности Фурье выявлена бифуркация Хопфа, как для балки, так и для оболочки. Хаотическая составляющая характерна для q2 = 3 кгс / мм2. Для всех рассмотренных нагрузок происходит синхронизация колебательного процесса системы.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИМОЛ-А-2014 № 14-01-31335

ЛИТЕРАТУРА

1. Awrejcewicz J. Nonclassic Thermoelastic Problem in Nonlinear Dynamics of Shells / J. Awrejcewicz, V. A. Krysko. Springer - Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo, 2003. 430 p.

2. Awzejcewicz J. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems / J. Awzejcewicz, V.A. Krys'ko, A.F. Vakakis. Springer - Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo, 2004. 356 p.

3. Awrejcewicz J. CRC Series: Modern Mechanics and Mathematics. Introduction to asymptotic methods / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko. Chapman&Hall/SRC London, New York, 2006. 251 p.

4. Awrejcewicz J. Chaos in Structural Mechanics / Jan Awrejcewicz, Vadim A. Krysko. Springer, 2008. 424 p.

5. Chaotic nonlinear dynamics of cantilever beams under the action of signs-variables loads / A.V. Krysko, M.I. Koch, T V. Yakovleva, U. Nackenhorst, V.A. Krysko // PAMM, Special Issue: 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM), Graz, 2011. Vol. 11. Issue 1. P. 327-328.

6. Сложные нелинейные колебания диссипативных многослойных пластинчато-балочных структур / И.В. Папкова, М.И. Коч, Т.В. Яковлева, В.А. Крысько // Математическое моделирование и краевые задачи М33: тр. 8-й Всерос. науч. конф. с междунар. участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2011. С. 151-154.

7. Математические модели нелинейной динамики распределенных консервативных и дисси-пативных балочно-пластинчато-оболочечных структур / А.В. Крысько, Т.В. Яковлева, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько // XV International Conference Dynamical System Modelling and Stability Investigation: Abstracts of Conference Reports. Kiev, Ukraine, May 25-27, 2011. P. 287.

8. Chaotic synchronization of vibrations of a coupled mechanical system consisting of a plate and beams / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, T.V. Yakovleva, D.S. Zelenchuk, V.A. Krysko // Latin American Journal of Solids and Structures. 2013. 10. P. 161-172.

9. Салтыкова О.А. Нелинейная динамика двухслойных замкнутых цилиндрических оболочек / О.А. Салтыкова, Э.С. Кузнецова, В.А. Крысько // Современное состояние естественных и технических наук: материалы XV Междунар. науч.-практ. конф. 16.06.2014. М., 2014.

10.Яковлева Т.В. Контактное взаимодействие пластины и локально расположенной балки / Т.В. Яковлева, О.А. Салтыкова, В.А. Крысько // Актуальные вопросы науки: материалы XIII Междунар. науч.-практ. конф. 25.04.2014. М., 2014.

11.Кантор Б.Я. Метод решения контактных задач нелинейной теории оболочек / Б.Я. Кантор, Т.Л. Богатыренко // Докл. АН УССР. Сер. А. 1986. № 1. С. 18-21.

12.Андрюшин В.А. Вынужденные колебания слоистой цилиндрической оболочки, соединенной точечными упругими связями со слоистой балкой / В.А. Андрюшин, А.Я. Недбай // Механика композиционных материалов и конструкций. 2003. Т. 9. № 1. С. 33-41.

13.Стекина Т. А. Вариационная задача об одностороннем контакте упругой пластины с балкой / Т. А. Стекина // Вестник Новосибирского государственного университета. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. № 1. С. 45-56.

14.Веричев С.Н. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте / С.Н. Веричев, А.В. Метрикин // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41. № 6 (244). С. 170-177.

15.Морозов Н.Ф. Изгиб двухслойной балки с нежестким контактом между слоями / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. № 1. С. 112-121.

16.Антуфьев Б.А. Экспериментальное исследование деформации пластин, дискретно соединенных с цилиндрической оболочкой / Б.А. Антуфьев, А.Б. Смиян // Изв. вузов. Авиационная техника. 2012. № 4. С. 8-10.

17.Дубинин В.В. Комплексная задача об ударе материальной точки (тела) по цилиндрической оболочке / В.В. Дубинин // Наука и инновации. 2012. № 7 (7). С. 20.

18.Каримбаев Т.Д. Волны напряжений в цилиндрической оболочке при локальном поперечном ударе / Т.Д. Каримбаев, Ш.М. Мамашев // Деформация и разрушение материалов. 2014. № 3. C. 12-16.

19. Computer Simulation of Cylindrical Shell Penetrated by Rigid Projectile / Xue Hui Yu, Zhi Jun Han, Zuo Yi Kang, Guo Yun Lu, Zhi Fang Liu // Applied Mechanics and Materials. January 2012. P. 152-154.

20.Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости / В.В. Новожилов. М.-Л.: Гос-техтеориздат (ОГИЗ), 1948.

Крысько Вадим Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Салтыкова Ольга Александровна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Вецель Сергей Сергеевич -

аспирант Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Vadim A. Krysko -

Dr. Sc., Professor,

Head: Department of Mathematics and Modeling, Yuri Gagarin Technical University of Saratov

Olga A. Saltykova -

Ph.D., Associate professor,

Yuri Gagarin Technical University of Saratov

Sergei S. Vetsel -

Postgraduate,

Yuri Gagarin Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 02.08.14, принята к опубликованию 25.09.14