Взаимовлияние полости и жесткого включения в нелинейно-упругом теле при конечных деформациях

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 64-72

Механика

УДК 539.3

Взаимовлияние полости и жесткого включения в нелинейно-упругом теле при конечных деформациях

К. М. Зингерман, О. А. Рябова

Аннотация. Анализируется напряженно-деформированное состояние в нелинейно-упругих телах с полостью и жестким включением при конечных деформациях. Задача сформулирована в рамках теории наложения больших деформаций и решена с помощью модифицированной версии программы «Наложение».

Ключевые слова: конечные деформации, нелинейно-упругое тело, жесткое включение, отверстие.

Введение

Решается задача о распределении напряжений в нелинейно-упругом теле из материала Муни [4] с жестким включением при образовании полости вблизи включения. Эта задача имеет смысл при расчете на прочность резинокордных композитов при образовании в них дефектов различной формы. Нелинейная задача решается методом последовательных приближений (методом малого параметра) [4]. Решение линеаризованной задачи осуществляется методом Мусхелишвили [5]. Исследуется взаимовлияние полости и жесткого включения.

1. Постановка задачи

В бесконечно-протяженном нелинейно-упругом теле имеется жесткое включение. В начальном (ненапряженном) состоянии в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем, под воздействием внешней нагрузки, приложенной к телу, в нем накапливаются начальные большие деформации и напряжения. Тело переходит в первое промежуточное состояние. Вследствие наличия включения состояние будет неоднородным. В пространственной области, занимаемой телом, мысленно намечается замкнутый контур (будущая граница отверстия). Часть тела, ограниченная этим контуром, мысленно удаляется, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяется (по принципу освобождаемости от связей) силами, распределенными по этому контуру.

Далее эти силы «мгновенно» уменьшаются до нуля, что вызывает возникновение в оставшейся части тела дополнительных больших (по крайней мере в окрестности вновь образованной граничной поверхности) деформаций и соответствующих им напряжений, которые накладываются на начальные. Тело переходит во второе состояние, которое будет конечным.

Запишем математическую постановку задачи в координатах к-го состояния для тела, находящегося в п-м состоянии для случая отсутствия массовых сил при заданном давлении р на граничной поверхности отверстия [1]. Предполагается, что главный вектор внешних сил, приложенный к контуру включения, равен нулю.

Уравнение равновесия

определяющее соотношение для материала Муни

&0,и = ^Го,п Ро,п1 , зависимость между тензорами истинных и обобщенных напряжений

Здесь V — оператор градиента в координатах к-го состояния; ип — вектор перемещений из (п — 1)-го в п-е состояние; Фк,п — аффинор деформаций при переходе из к-го в п-е состояние; До,п — относительное изменение объема при переходе из 0-го в п-е состояние; Ео,п — тензорная мера деформации; I — единичный тензор; <Гоп — тензор полных истинных напряжений в п-м

к г , к -

V- (1 + До,к) 2о,п • *к,п =0,

условие несжимаемости

1 + До,п = 0 ,

условие на границе включения

т] к —

а,

1п

условие на границе отверстия

условие на бесконечности

_ I ____

^°>п1те = ип ,

1

кинематические соотношения

р=к+1

^о,п = Фо,к • *к,п , Фо,п = 1 + До,п

к

состоянии, то есть напряжений, отнесенных к базису текущего состояния

к

(при п = 1 — тензор напряжений Коши [4]); ^о )п — тензор обобщенных полных напряжений в п-м состоянии, отнесенный к базису к-го состояния; <тП? — тензор истинных напряжений на бесконечности в п-м состоянии, опре-

к

деленный в постановке задачи; 7п — граница включения в п-ом состоянии в координатах к-го состояния, а — константа соответствующая жесткому

к

смещению включения в теле, определяемая в ходе решения; Гп — граница от-

кк

верстия в п-ом состоянии в координатах к-го состояния; М"п — нормаль к Гп.

2. Методы решения задачи

Для решения нелинейной задачи применяется метод последовательных приближений (метод малого параметра) [4]. Сущность метода может быть описана следующим образом: выбирается малый параметр нагрузки ц и для всех величин, входящих в постановку задачи, записывается разложение в ряд по этому параметру. Например, для вектора перемещений ип такое разложение может быть записано в виде

ип = и + и^ + и^ - Ц1+1,

в качестве параметра ц выбираем отношение сттах/Ц-, где сттах = = тах| (ст^п)г , ^ |, ц — модуль сдвига.

После подстановки подобных разложений во все уравнения, входящие в постановку задачи, решение исходной нелинейной задачи сводится к последовательному решению линеаризованных задач.

Далее верхний индекс, указывающий номер приближения, для краткости опускается.

Решение линеаризованной задачи для каждого приближения осуществляется методом Колосова-Мусхелишвили [5]. Мусхелишвили вводит в рассмотрение комплексные переменные г = Х\ + 1X2 , г = Х\ — 1X2 и функции этих переменных

ш(г,г)= т + гп2, F(г, г) = 2(/ + г/2),

Q

В правой части уравнений — компоненты вектора перемещений и, «фиктивных» массовых сил £, «фиктивных» поверхностных сил Р и вектора нормали N соответственно.

Мусхелишвили также вводит в рассмотрение комплексные потенциалы Ф(г) и Ф(г), которые являются аналитическими функциями комплексной переменной z в области, занимаемой телом.

В соответствии с [5] обозначим через Б1, Бц следующие комбинации компонент (в декартовой системе координат) тензора напряжений:

Б1 =

С учетом приведенных обозначений уравнения и граничные условия линеаризованной задачи могут быть записаны в комплексной форме следующим образом [5]:

^ ^ = 2F,

дг дг

дш дШ . .

дг + й = н

N8, + N8,,|Г = 2Q|Г ,

= а,

Б, I? = а? , Б,, I? = а?, ,

Б, = 2,

Функции F, Н, Q и константы а?, а?, известны перед решением соот-

ветствующей линеаризованной задачи, а — константа, определяемая в ходе решения.

В соответствии с [5] решение линеаризованной краевой задачи ищется в виде:

Ш = Wодн. + Шчаст. > Б = Бодн. + Бчаст., р = рчаст. + родно

где Шчаст., Бчаст., рчаст. — некоторое частное решение линеаризованной задачи, шодн., Бодн., родн. — решение линеаризованной задачи для однородной

системы уравнений, соответствующей (5, 6).

Частное решение можно найти по формулам ([5]):

Рчаст. = 2^н — 1 F dz + У F dг^ ;

™част. = 4— F dгdz — Ц F dгdг^ + 2 У Н dг.

Б/Част. = 2ц,Н — 2рчаст.,

о л д^част.

^^^част. дг ‘

Комплексный вектор перемещений шоДн. выражается через комплексные потенциалы следующим образом [5]:

= 1

уодн.

Шодн. = 2^ (К^(г) — г^'(г) — ^(г)) ,

где к — константа, соответствующая материалу, а <^(г), ф(г) — функции, связанные с Ф(г) и Ф(г) соотношениями Ф(г) = ^>'(г), Ф(г) = ф'(г).

Выражения для напряжений через комплексные потенциалы имеют вид [5]:

Метод Шварца [5, 8, 9] позволяет свести решение данной граничной задачи для области, ограниченной двумя контурами, к последовательному решению такой же задачи для двух областей, ограниченных одним контуром каждая, при последовательно изменяющихся граничных условиях. На границе включения выполняется условие (8), на границе отверстия — условие (7).

Рассмотрим частный случай бесконечно-протяженного тела с круговым включением и эллиптическим отверстием [5]. Будем считать, что бесконечная область, ограниченная контуром включения и отверстия, может быть конформно отображена на внешность единичного круга с помощью следующих функций: для включения

где (жі; уі) — центр включения, (ж2; у 2) — центр эллипса, т — эксцентриситет эллипса.

Начальная итерация метода Шварца соответствует напряженно-деформированному состоянию однородного тела при действии на него заданных нагрузок.

На итерациях метода Шварца, когда выполняются условия на границе включения, функции ф и ф находятся по формулам [6, 7]:

Родн. = -Ф(г) - Ф(г).

2і = ші(£) = жі + іуі + Яі( ,

для отверстия

где g(а) — известная на данной итерации функция.

О выполнении условий на границе отверстия см. [2].

3. Результаты

При проведении расчетов на ЭВМ был использован программный комплекс «Наложение» [2, 3], в который внесены необходимые изменения с учетом особенностей данной задачи.

Расчеты проведены при всестороннем растяжении в плоскости деформации (о-]’]’/ц = 0.5, /ц = 0.5). Координаты центра включения — (0;0), центра отверстия — (1.8И;0), где И — радиус включения; большая полуось эллипса — 0.6И, малая полуось эллипса — 0.4И, большая полуось эллипса параллельна оси Ох; И=1.

На рис. 1 показаны линии уровня главных истинных напряжений для решения задачи с учетом нелинейных эффектов (слева — о\/ц, справа — 02/ц). Справа от каждого рисунка приведена шкала напряжений.

Рис. 1. Линии уровня главных истинных напряжений для решения задачи с учетом нелинейных эффектов

На рис. 2 изображен контур отверстия. Эллипс внутри — намечаемая граница отверстия, два внешних контура эллипса — граница отверстия в конечном состоянии: сплошная линия соответствует линейному решению задачи, пунктирная линия соответствует решению задачи с учетом нелинейных эффектов.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 х

Рис. 2. Контур отверстия

На рис. 3, 4 приведены эпюры истинных контурных напряжений о^/у на границе включения и отверстия соответственно. Масштаб показан в левом верхнем углу каждого рисунка.

На рис. 3 слева приведена эпюра истинных контурных напряжений о^/у на границе включения для случая, когда отверстие в теле не образуется. Из рисунка видно, что линейное и нелинейное решения совпадают. На рис. 3 справа приведена эпюра истинных контурных напряжений о^/у на границе включения для случая, когда справа от включения образуется отверстие.

0,1 1 ЧА

\ / \ V /— ] \ /Г'

\/ " \ \ л

линеиное

решение

нелинейное

решение

Рис. 3. Эпюры истинных контурных напряжений а^^/у на границе

включения

Рис. 4. Эпюры истинных контурных напряжений а^^/у на границе

отверстия

Видим несимметричность эпюры относительно оси ОУ, образование отверстия приводит к уменьшению напряжения в точках наиболее близких к отверстию. В точке Л напряжение а^/у уменьшается в 2,2 раза по сравнению со случаем, когда отверстие отсутствует. Особенно заметно уменьшение напряжения для решения задачи с учетом нелинейных эффектов. Учет нелинейности вызывает снижение напряжения на 38%.

Аналогично на рис. 4 сравниваются эпюры истинных контурных напряжений а^/у на границе отверстия для случая одного отверстия (рисунок слева) и для случая, когда слева от отверстия в теле имеется включение (рисунок справа). Как видно из рис. 4, наличие включения приводит к уменьшению напряжения в точках наиболее близких к включению. В точке В и симметричной к ней точке С напряжение а^/у уменьшается на 27%. Линейное и нелинейное решения задачи отличаются незначительно.

Заключение

Решена в рамках теории наложения больших деформаций задача об образовании отверстия в нелинейно-упругом бесконечно-протяженном теле с включением при конечных деформациях. Исследовано взаимовлияние включения и отверстия. Результаты показывают, что поправка для учета нелинейности истинных контурных напряжений составляет приблизительно 38%.

Список литературы

1. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, 1999. 224 с.

2. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Наука, 2002. 272 с.

3. Левин В.А., Калинин В.В., Зингерман К.М., Вершинин А.В. Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. М.: Физматлит, 2007. 392 с.

4. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

5. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

6. Рябова О.А., Зингерман К.М. Задача о жестком включении в теле из нелинейноупругого сжимаемого материала при конечных деформациях // Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. Тверь: ТвГУ, 2004. С. 172-180.

7. Рябова О.А., Зингерман К.М. Численно-аналитическое моделирование напряженно-деформированного состояния вблизи жестких включений в теле из нелинейно-упругого материала с учетом их взаимовлияния // Вестник ТвГУ. Тверь: ТвГУ, 2007. № 27(55). С. 89-98.

8. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 887 с.

9. Свистков А.Л., Евлампиева С.Е. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург, 1997. С. 171-203.

Зингерман Константин Моисеевич (Коп81ап1т^1^егтап@1;уег8и.

ги, http://university.tversu.ru/person/967), д. ф.-м.н., профессор, кафедра вычислительной математики, Тверской государственный университет.

Рябова Ольга Алексеевна (Olga.Ryabova@tversu.ru), ст. преподаватель, кафедра вычислительной математики, Тверской государственный университет.

Interaction of hole and rigid inclusion in nonlinearly elastic solid under the conditions of finite plain strains

K. M. Zingerman, O.A. Ryabova

Abstract. Stress distribution in nonlinearly elastic solids with a hole and a rigid inclusion is analyzed under the conditions of finite plain strains. The problem is formulated using the theory of superposition of the large deformations and solved with the help of the modified version of the «Superposition» software.

Keywords: finite strains, nonlinearly elastic solid, rigid inclusion, hole.

Zingerman Konstantin (Konstantin.Zingerman@tversu.ru, http://university. tversu.ru/person/967), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of computational mathematics, Tver State University.

Ryabova Olga (Olga.Ryabova@tversu.ru), lektor, department of computational mathematics, Tver State University.

Поступила 26.11.2009