Структура aoo-модуля на кольцах многочленов

СТРУКТУРА Аоо-МОДУЛЯ НА КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ*

М. В. Ладошкин

В данной работе решается вопрос о возможности продолжения структуры модуля М над алгеброй А до структуры Аоо-модуля для случал, когда модуль М является кольцом многочленов над полем рассматриваемым как модуль над алгеброй многочленов.

Основной результат работы сформулирован в утверждении теоремы 2.1 и следствии из нее, в которой говорится, что на кольцах граней, являющихся фактор-алгебрами алгебры многочленов, не существует продолжения до структуры нетривиального Аоо-модуля над указанной алгеброй.

В последнее время результаты, полученные в дискретной и комбинаторной геометрии, например в [7], активно используются в алгебраической топологии и как вычислительные средства, и как объекты исследования. Большое количество примеров этого рассматривается, например, в работе [4]. Кроме этого, много приложений в области топологической теории действий торов на топологических многообразиях содержится в работе [1]. Там же Аоо-структуры вводятся на комплексе Кошуля колец Стенли-Райснера.

Аоо-пространства, описанные впервые Сташеффом в работе [8], позднее нашли применение в различных вычислительных задачах гомологической алгебры и алгебраической топологии. В работе [2] структуры Аоо-алгебры и Аоо-модуля были найдены на гомологиях произвольных заданных над полем алгебры и модуля соответственно. Позднее возможности продолжения дифференциальных и градуированных алгебры и модуля до соответствующих Аоо-структур были рассмотрены в [2-3; 5-6]. В них для исследования строятся комплексы Хохшильда для соответствующих объектов, гомологии которых отвечают за возможность нетривиального продолжения.

Отметим, что в данной работе знаки во всех формулах написаны с учетом стандартного правила знаков при вычислении тензорного произведения отображений на тензорном произведении элементов.

1. Аоо-структуры и комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами

Напомним определения, связанные с понятиями градуированной Аоо-алгебры и градуированного Аоо-модуля над градуированной Аоо-алгеброй [8]. Во всех формулах в данном параграфе суммирование ведется, кроме указанного, также по местам с номером к, на которых стоят операции внутри скобок.

Аоо-алгеброй называется градуированный модуль А, снабженный набором операций {тгц} : Аг —> А, которые удовлетворяют следующим условиям:

ггы{{А^)ч) С Ад+г-2, г > 2,

»

3

т0 ...  1) = 0.

Морфизмом из Аоо-алгебры (А, {т*}) в Аоо-алгебру (А', {га*}) называется семейство

гомоморфизмов {/г : Аг -> А'}, удовлетворяющее следующим условиям:

М(А%) С г > 1,

♦

3

... 1 0 т^ 0 ... У^ 1) 4-

Н-----

© М. В. Ладошкин, 2010

* Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.» проекта «Построение гомотопически устойчивого аналога симплициалъного объекта». Государственный контракт № П1226 от 07.06.2010 с Министерством образования и науки РФ.

14

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2010 | № 4

Если /х — то морфизм Лоо-алгебр является изоморфизмом в категории Ас»-алгебр.

Аоо-модулем над Л оо-алгеброй (Л, {т»}) назьюается градуированный модуль М, снабженный набором действий {р% : Л*  М М} г > 1, которые удовлетворяют следующим условиям:

1(1 0 ... 0 1  0 (3) <8 ...  1) +  - • •

<8)1 = 0.

Морфизмом Л оо-модулей (М, {р»}) и (М', {р*}) соответственно над Лоо-алгебра-ми (Л, {тп»}) и (Л7, {т^}) называется пара

семейств гомоморфизмов {/» : Лг -> Л'},

М'}, г > 0, где {/«} -морфизм Л оо-алгебр, которые удовлетворяют следующим условиям:

&(А** 0 М)Ч С Мд-4,

0 ... 0 1 0 т,

. . .  1) + +  ... 0

А;хН-----Ь*сс=«+1

...  9к±)-

Если /1 = /г = 0, при г > 1, д\ — гй, то морфизм Л о©-модулей является изоморфизмом в категории Лоо-модулей.

Формулы (1), (3) называют соотношениями Сташеффа соответственно для градуированных Лоо-алгебр и градуированных Лоо-модулей над градуированными Лоо-алгебрами.

Определение 1.1. Лоо-алгебру (Л, {ггсг}) будем называть продолжением алгебры (Л,7г), если отображение тг совпадает с умножением 7Г в алгебре. Если все высшие умножения Шг, г > 2 равны нулю, то продолжение будем называть тривиальным.

В работах [2; 5] описывается комплекс Хохшильда для алгебры, гомологии которого отвечают за возможность нетривиального продолжения алгебры. В частности, показывается, что если гомологии комплекса Хохшильда в размерностях (п, тг — 1) равны нулю, то для данной алгебры существует с точностью до изоморфизма Лоо-алгебр только тривиальное продолжение.

Определение 1.2. Лоо-модуль над алгеброй (М, {р»}) будем называть продолжением модуля над алгеброй (М, если отображение рх совпадает со структурным действием в модуле. Если все высшие действия р*, г > 1 равны нулю, то продолжение будем называть тривиальным.

Приведем основные понятия, связанные с комплексом Хохшильда для модулей над алгебрами и его применением к описанию продолжений модуля над алгеброй [3].

Пусть (М, /х) - левый градуированный модуль над алгеброй (Л,тг), где структурное отображение р. : А <8> М —> М для модуля М удовлетворяет условию /х(1  /х) = /¿(7г 1).

Определение 1.3. Комплексом Хохшильда для модуля М над алгеброй Л будем называть 5Ф(Л,М) = ¿¿>П'*(Л,М), где

п,к

5П'Л(Л,М) = Нотк(Ап <8) М,М), а дифференциал 6 : 5П'*(Л,М) 5П+1'*(Л,М) определяется формулой

6/ = (-1)п+1/х(1  /)+У(-1Г+п+1

/(1  ... 0 7Г <8>... <8> 1)-Ь/(1 0 ... 0 /х).

В [3] доказывается утверждение

Теорема 1.1. Если гомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами #П'1_П(5*(Л,М)) = 0 при п > 1, то любое продолжение модуля М над фиксированной алгеброй А изоморфно тривиальному как Лоо -модуль над алгеброй А.

2. Продолжение колец Стенли— Райснера

Рассмотрим кольцо многочленов от двух переменных степени 1 над полем Z2, обозначаемое у] как модуль над алгеброй многочленов от одной переменной Ъ^х] над полем Ъъ. Структурное действие

¡1: 2ъ[х] 0 г2[х,у] Ъъ[х,у] зададим на образующих формулой

/х

Будем исследовать вопрос о существовании структуры Лоо-модуля над Л^-алгеброй с тривиальной структурой Ъч\х\ на рассматриваемом модуле %2[х,у]. Построим для модуля Ъъ\х,у\ согласно ранее приведенным конструкциям комплекс Хохшильда 8*{7*2[х),Ъ2[х,у]) и исследуем гомологии Хохшильда данного модуля. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Гомологии Хохшильда модуля Ъъ[х,у] удовлетворяют условию

япД-п(5*(72[х],г2[х,г/])) = о.

Доказательство. Рассмотрим отображение / Е 5*^2[ж], г2[х,у]) такое, что <5/ = 0. Покажем, что в этом случае найдется элемент Н е 5"-1(г2[х],г2[х,2/]), такой, что 81г = /. Определим

^(х*1 0 ... 0 х^"1 (8) хьуя) = = /(х*1 (8)... (8) х*^"1 0 х* 0 у9).

Докажем, что при этом условии

6к(хк1 0 ... (8) хкп 0 х'у9) =

= /(ж*1 0...0х*п 0ХУ*)-

Учитывая, что 7г - обычное умножение многочленов в алгебре Z2[x], т. е.

7г(ж'г 0 хп) = хкхп = хк+п, а // определяется формулой (5), применим формулу (5). Будем отождествлять ввиду согласованности действия модуля с умножением элементы хп+куч, ц(хп 0х^у9), хп(хкуч), т. е. считать,

что хп+куч = /¿(жп  хкУч) = хп(хкуя). Получим

6к(хк1 0...0х'Сп хкп+1уя) = хк1 Н{хк2 0...0х*п хкп+1уч) +

п-1

+ /г^1 0 ... 0 хкп~1 0 х*я+*я+V) + £ Кх 0 • • • 0 х^"^*1 0 ... 0 хп0

г=1

0х*п+1у<?) =хк1/(хк2 0...0х'Сп 0х'Сп+1 0у9) + /(х,С1 0...0х*п-10

п-1

0ХЛп+Лп+1  у<?) + £ /(ж*1 0 ... 0 0 ... 0 хп 0 х*^1 0 у9) =

г=1

= хк1/(хк2 0 ... 0 х^71 0Х/С-+1 0у9) + 0...0х*ч"Нс<+1 0 ... 0

г=1

0х/Сп+1 0 у9) = /(х*1 0 . . . 0 Ж*я 0 Х^1^). Последнее равенство следует из того, что 6/ = 0, в частности,

0 = 6/(хк1 0 ... 0 0 у*) = х*1 /(х*2 0 ... 0 х*^1 0 у9) + £ Я**1

¿=1

0 ... 0 0 ... 0 Х*п+1 0 у4) + /(хкг 0 . . . 0 Хкп 0 Х^1^).

Приведенные вычисления показывают, что для любого / Е Кег6п можно указать элемент /г Е у]) такое, что

5Н = Таким образом, получаем, что

Яп(5*(г2[х],22[х,у])) = 0при п> 1.

Так как

яп(^(г2[х],г2[х,у])) = = е,я^(5Чг2[х],г2[х,у])),

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бухштабер В. М. Торические действия в топологии и комбинаторике / В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. - М. : МЦНМО, 2004. - 272 с.

2. Кадеишвили Т. В. К теории гомологий расслоенных пространств / Т. В. Кадеишвили // УМН. - 1980. - Т. 35, вып. 3(213). - С. 183-188.

3. Ладошкин М. В. Аоо-модули над Лоо-алгебрами и когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами / М. В. Ладошкин // Мат. заметки. - 2006. - Т. 53, № 5. - С. 717-728.

4. Новиков П. С. Топология / П. С. Новиков. - М. ; Ижевск : РХД, 2002. - 336 с.

5. Смирнов В. А. Функтор В для скрещенных тензорных произведений / В. А. Смирнов // Мат. заметки. - 1976. - Т. 20, № 4. - С. 465-472.

16 ВЕСТНИК Мордовского университета | 2010 | Л* 4

то, поскольку сумма прямая, можно сделать вывод, что

Нп'1-п(3*(22[х},22[х,у])) = 0.

Теорема доказана.

Применяя к полученному результату теорему 1.1, получим

Следствие 2.1. На Ъъ[х,у] существует с точностью до изоморфизма Аоо-модулей только тривиальная структура Аоо -модуля.

6. Смирнов В. А. Аоо-структуры и функтор D / В. А. Смирнов // Изв. РАН. Сер. математическая. - 2000. - Т. 64, № 5. - С. 145-162.

7. Stanley R. Combinatorics and Commutative Algebra / R. Stanley. - Boston. MA : Birkhauser Boston Inc., 1996 (Progress in Mathematics, V. 41). - 180 p.

8. Stasheff J. D. Homotopy associativity of H-space, 1, 2 / J. D. Stasheff. - Trans. Amer. Math. Soc. -1963. - № 108. - P. 275-313.

Поступила 22.10.10.

ОДНА МОДЕЛЬ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ПЕРСПЕКТИВЫ Б. В. РАУШЕНБАХА

А. В. Бритов, А. Э. Чудаев

В статье описаны три этапа проектирования: проектирование на картинную плоскость, плоскости - на сферу радиуса Я, бесконечная картинная плоскость отображается на конечную поверхность сферы и мозг перерабатывает сложное сферическое изображение картинной плоскости так, что некоторые прямые отображаются в прямолинейные отрезки (для всех прямых это невозможно). В результате построения делается вывод, что обратная перспектива возникает начиная с некоторой линии. Определяется уравнение этой линии. Используя программу, разработанную А. Э. Чудаевым, приводятся примеры обратной перспективы, как на основе стандартного (чертежного) изображения на плоскости, так и на основе изображения в классической перспективе.

В книге Б. В. Раушенбаха изложена так называемая общая теория перспективы, в которой экспериментально обосновывается кроме классической прямой перспективы обратная перспектива, интуитивно отражаемая в работах некоторых художников [1]. Психологически прямая перспектива удаляет изображение, а обратная - включает зрителя в изображаемое пространство. При этом евклидова геометрия пространства очень сильно искажается как в прямой, так и в обратной перспективе. На самом деле многие наблюдения и выводы, приведенные в книге, могут быть оправданны и уточнены идеализированной моделью проектирования пространства на сетчатку глаза, что и было предложено А. В. Вритовым. Идеализация заключается

в том, что глаз рассматривается строго сферическим и хрусталик заменяется точкой Б - центром проектирования, отбрасываются возможные преломляющие свойства среды внутри глаза. Мы специально вводим картинную плоскость О£77, на которую предварительно проектируются пространство Охуг. Ее удаление к от центра £ проектирования в реальной ситуации очень сильно зависит от наличия ближайших достаточно крупных объектов и потому в интерьере И исчисляется несколькими метрами, а на природе может доходить до нескольких километров. В дальнейшем именно Ъ, мы берем за единицу масштаба.

На первом этапе проектирование ведется на картинную плоскость (рис. 1).

© А. В. Бритов, А. Э. Чудаев, 2010