Выражение для расчета потоков самоиндукции и взаимоиндукции, наводимых токами, протекающими в проводниках с прямоугольным поперечным сечением

О.М. Булгаков,

доктор технических наук, доцент

С.А. Петров

В.В. Лупандин,

Воронежский государственный педагогический университет

ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТОКОВ САМОИНДУКЦИИ И ВЗАИМОИНДУКЦИИ, НАВОДИМЫХ ТОКАМИ, ПРОТЕКАЮЩИМИ В ПРОВОДНИКАХ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ

ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

EXPRESSION FOR CALCULATION OF STREAMS OF THE SELFINDUCTION AND MUTUAL INDUCTION, DIRECTED BY THE CURRENTS PROCEEDING IN CONDUCTORS WITH RECTANGULAR

CROSS-SECTION SECTION

Получено новое аналитическое выражение, которое может быть применено для расчета магнитных потоков, индуктивностей и контуров, ограниченных проводниками с прямоугольным поперечным сечением. Рассмотрено низкочастотное приближение, характеризующееся равномерным распределением тока по сечению проводника.

New analytical expression which can be applied to calculation of magnetic streams, inductances and the contours limited by conductors with rectangular cross-section section is received. The low-frequency approach characterised by uniform distribution of a current on section of a conductor is considered.

На частотах свыше 100 МГц начинает сказываться влияние индуктивных составляющих импедансов радиоэлектронных компонентов на усилительные и частотные свойства радиоэлектронных устройств. Поэтому повышение точности расчетов малосигнальных параметров схем твердотельных ВЧ и СВЧ усилителей мощности, обусловленных явлениями самоиндукции и взаимоиндукции в системах соединений, обеспечивает в конечном итоге повышение достоверности прогнозирования коэффициентов усиления по мощности и оптимальное проектирование межкаскадных согласующих цепей.

Планарные (полосковые) и балочные системы соединений привлекательны для разработчиков высокочастотных радиоэлектронных устройств тем, что обеспечивают лучшую воспроизводимость электрофизических параметров и более пригодны для автоматизации процессов сборки. Однако формулы (индуктивностей, волновых сопротивлений и др.), применяемые для расчетов индуктивностей проводников с прямоугольным поперечным сечением [1—4], не отличаются высокой точностью, так как получены с учетом упрощений для некоторых предельных случаев и не учитывают конечные размеры и особенности геометрии контуров, образованных такими полосками. В [5] были получены геометрические индуктивные факторы (ГИФ) [6] тонких металлизированных полосок, позволяющие моделировать скин-эффект при высокочастотном приближении.

Рассмотрим низкочастотное приближение, когда ток равномерно распределен по поперечному сечению проводника (рисунок). Данное приближение справедливо для металлических полосок из алюминия или золота толщиной до 20 мкм и частот до 500 МГц, а также проводников с высотой сечения до 0,2 мм и частот до 200 МГц.

К расчету потока самоиндукции от тока, протекающего по тонкой металлизированной полоске при низкочастотном приближении

Сечение проводника может быть разбито на М=ё/2г0 слоев, каждый из которых включает в себя К=то/2г0 проводов круглого сечения радиуса г0.

Тогда суммарный магнитный поток от проводника может быть представлен вы-

N М

ражением

где

Р = 2 - XX Р

¿=1 к=1

т

2р

1 +

[к,++г. Г — 1 + (**>+г.\

1

+

+ /п

1 + ^ 1+(л,4+/0 \ л;+л,*,+г, 1 * ^

ч1 + д/ !/2 +(кк+л;,+/0\ ^+г° У /

Ьлс =4(к + К + го / + (Л2к + го / _л/ (кЦ + г0 / + (Л2к + го) Ь1|к = 4 (К + Г0)2 + (Л2к + Г0)2 ; Ьц = (2 - 1)г0 - Ь2к = (2к - 1)г0 - Г0.

о

Обозначим:

(И (7

2г0 = Лу; 2г0 =Ы; (2/-Г)^ = у; (2к- О/ = 7; /  0; ^ —; Г  —.

Устремим г0 к нулю, при этом ГИФ всей пластины будет равен двойному интегралу, тогда выражение (1) трансформируется в двойной интеграл вида

Р = 2т Г Г и/2 + (к + у )2 + 72 -^ /2 + у2 + 72 +

АА) . Л . ГГ " »

0 0

г

+/ - 1п

/+ЛГ+ут+г2 4(И+у )2 + 7;

-

/ + ^12 + (к + У)2 + г2 4УГ+12

В результате интегрирования получим

Р = в(к + Н1 + ^) - в(к + к) - в(к + ^) + ^(кх),

где

в( X ):

Х(

1 /2 + X2 + (2/4 -VX2 + (2/4\-/ - 1п

/^//2+х1±(1/4

л/х2 + (2 /4

+

2

2

/

/

2

+-

- 3/2

1п

й/2 + 412 + X2 + й2 / 4 '1 X3, (й/2+ л/X2 + й2 / 4Л

^¡Г+Х2

1п

й3,

+------/и

48

X + л /X2 + й2 / 4

У

Т-d/4x + л/ /2 + X2 + й2 / 4)+ X2/ 4

X

)

+

2 агс*§

2 X

+

у

+ arctg

ґ

й

Л ґ ґ

/ + X + \[Ï2+X2

- 2

arctg

V V

/ + й/2 + л//2 + X2 + й2 / 4

Л ґ/+ л/ /2 + X2

4

- аг^

У

ллл

X

+

ууУ

+ /

й

'2 X'

8 й

2аг^

2/ + X + У /2 + X2 й

ЛЛ ^ Г ГX + й/2 + 7/2 + X2 + й2 /4Л

аrctg ------------

V V

уУ

4/2 3

/

у

arctg

ґ X + л

/

ууу

В процессе интегрирования по переменной Ъ (после интегрирования по У) было сделано допущение

(I + X + 412 + X2 + 72/41 ГI + X +л/12 + X21

7/2

arctg

I/2

arctg

которое обеспечило запись результата интегрирования в аналитическом виде.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данилин В.Н. Аналоговые полупроводниковые интегральные схемы СВЧ / В.Н. Данилин, А.И. Кушниренко, Г.В. Петров.— М.: Радио и связь, 1985.— 192 с.

2. Антенны и устройства СВЧ / под ред. Д.И. Воскресенского.— М.: Радио и связь, 1981.— 432 с.

3. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей: справочная книга / П. Л. Калантаров, Л.А. Цейтлин.— Л.: Энергоатомиздат, 1986.— 488 с.

4. Булгаков О.М. К расчету индуктивности контуров, ограниченных проводниками прямоугольного сечения / О.М. Булгаков, Б.К. Петров // Вестник Воронежского института МВД России.— 2005.— Вып.2(21).— С. 17—21.

5. Твердотельная электроника и микроэлектроника: межвуз. сб. науч. тр.— Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007.— Вып. 6.— 253 с.

6. Булгаков О.М. Композиционные модели индукционных взаимодействий в мощных ВЧ и СВЧ транзисторах / О.М. Булгаков, Б.К. Петров.— Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005.— 253 с.

2

3

6