Правильные многоугольники и многогранники над конечным полем

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2015. Том 22, № 4

УДК 514.16

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ Т. М. Лавшук

Аннотация. Исследуется вопрос о возможности построения правильных многоугольников и правильных многогранников над конечным полем заданной характеристики. Даны необходимые и достаточные условия для построения исследуемых объектов.

Ключевые слова: правильный многоугольник над Fp, правильный многогранник над Fp.

Lavshuk T. M. Regular polygons and polyhedra over finite fleld. Abstract: We establish necessary and sufficient conditions for the existence of regular polygons and polyhedra over finite field of prescribed characteristics. Keywords: regular polygon, regular polyhedron over finite field.

1. Введение

В данной работе речь пойдет о реализации правильных многоугольников и правильных многогранников над конечным полем Fp, где Fp — это поле вычетов по модулю простого числа p. Например, правильный многоугольник над Fp визуально представляет собой не тот многоугольник, который мы привыкли видеть на плоскости над R. Лишь знание правил, как построить этот объект, задание условий его существования над Fp помогают увидеть общую картину для дальнейших исследований, связанных не только с многоугольником. Проблема построения многоугольников актуальна в теории римановых поверхностей, для построения которых отождествляют стороны фундаментального многоугольника. Для этого требуется реализовать многоугольник в евклидовой, гиперболической или сферической геометриях. Аналогичная проблема возникает в трехмерном случае при построении многообразий. Более общая постановка вопроса — это исследование римановых поверхностей и многообразий над конечным полем.

2. Правильные многоугольники над Fp и их реализация

Определим правильный многоугольник (n-угольник) над Fp c помощью понятия регулярной звезды порядка n [1]. Будем использовать способ построения

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 15-01—07906).

(g 2015 Лавшук Т. М.

его вершин, описанный Кокстером в [1], т. е. поворотом исходной вершины на угол ^. В случае конечного поля поворот заменим отражением точки относительно прямой.

Определение. Если набор прямых [lo, l1,..., ln-1] является регулярной звездой порядка n с общей точкой пересечения О, то полученное указанным выше способом множество из n точек (назовем их вершинами) с условием, что квадраты расстояний между соседними точками сравнимы по модулю p, и прямых, проходящих через эти точки (назовем их сторонами), называется правильным многоугольником над конечным полем Fp.

Покажем, при каких значениях p возможна реализация правильного треугольника над Fp, используя теорему о существовании звезды 3-го порядка (см. [2]).

Теорема (звезда третьего порядка). Регулярная звезда порядка три существует только тогда, когда число 3 является ненулевым квадратом.

С доказательством этого результата можно ознакомиться в [2]. Докажем необходимое и достаточное условие существования правильного треугольника над Fp, используя иной подход.

Теорема 2.1. Правильный треугольник над Fp существует тогда и только тогда, когда число 3 является ненулевым квадратом.

Доказательство. Пусть OA, ОБ и ОС — три неколлинеарных между собой вектора на плоскости, расположенных так, как показано на рис. 1(а), где точка О — центр тяжести точек A, Б и C. Построим правильный треугольник над R. Не ограничивая общности, будем считать, что точка О имеет координаты (0;0). Концы заданных векторов и прямые, проходящие через них, образуют правильный треугольник АБС (рис. 1(b)).

Рис. 1. Построение правильного треугольника ABC

Ясно, что

Это справедливо и над конечным полем Fp, если под равенством углов понимать равенство соответствующих скалярных произведений. Следовательно,

OAOB = OBOC = OA- OC.

Исходя из написанного выше, составим следующую систему:

(04)2 = (ОБ )2 = (ОС )2,

ОЛ • ОБ = °Б • ОС = ОЛ • ОС,

ОА + ОБ + ОС = 0.

Система (1) эквивалентна системе

Г (ОЛ)2 = (.Эй)2, \о1-ов = -\(о1)2.

Если векторы ОЛ и ОБ имеют координаты (ж, у) и соответственно, то

систему (2) можно записать следующим образом:

x2 + y2 = s2 + t2,

+ yt = -\{х2 + у2). Решим систему (3), выражая x, y через s и t:

[ ж = s — а/3i),

2

y=i(V3S-í), ж= ¿(-S + A/3Í),

Для реализации правильного треугольника ABC над Fp необходимо, чтобы существовали координаты каждой его вершины. Согласно (4) для выполнения этого условия требуется существование в поле Fp числа а/3. Всегда можно определить s и t как элементы поля Fp. Следовательно, выбираем такое p, чтобы 3 являлось ненулевым квадратом. Учитывая то, что два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, приходим к выводу, что для каждого такого p будет существовать хотя бы один правильный треугольник над Fp.

Для правильного пятиугольника над Fp и правильного семиугольника над Fp можно сделать аналогичные выводы в силу следующих теорем из [2].

Теорема (звезда пятого порядка). Регулярная звезда порядка пять существует только тогда, когда существует ненулевое число r, удовлетворяющее условиям: (i) r2 = 5, (ii) 2(5 — r) является квадратом.

Теорема (звезда седьмого порядка). Регулярная звезда порядка семь существует только тогда, когда существует ненулевое число s, для которого

7 — 56s + 112s2 — 64s3 = 0

и s(1 — s) является квадратом.

Визуально сложно распознать правильные многоугольники над Fp. Возьмем в качестве примера правильный треугольник над Fp и проследим ход его построения.

Пусть А{ — 2 )> — è' — 2 )' 0) — вершины правильного треугольника над R. Согласно теореме 2.1 и результатам из [3] выберем в качестве характеристики p последовательность A038874, т. е. простые числа, сравнимые с {1, 2, 3,11} по модулю 12. Пусть p =11, тогда, пересчитав координаты вершин заданного треугольника в F11, получим A(5;3), B(5;8), C(1;0).

Далее составим уравнения прямых, проходящих через его соседние вершины:

AB : x = 5,

AC : 8x + 4y + 3 = 0,

BC : 3x + 4y + 8 = 0.

Найдем все точки, которые будут удовлетворять уравнениям (5)—(7), и вместе с точками A, B, C отметим их на решетке F-Ц

10 О •

g о

8 •

7  о •

6 • о

5 о •

4 • о

3 а •

2 i I • о

1 О •

0  о

0 H2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 2. Правильный AABC над Fii

В поле Fp нет отношения порядка, поэтому для прямых, заданных уравнениями вида x = a или y = b, отмечаем на решетке все точки, которые им удовлетворяют. Для каждой прямой удобно выбирать свою маркировку (рис. 2). Согласно определению правильного n-угольника над Fp (в нашем случае n = 3), необходимо проверить сравнимость по модулю 11 квадратов длин сторон ДABC. Используя определение расстояния между точками, получим

Итак, реализован правильный треугольник над конечным полем Fu.

Аналогичным образом осуществляем реализацию других правильных многоугольников над Fp. Результат такой реализации над Fu правильного шестиугольника показан на рис. 3.

О

х

О

х

X

X

О

X

О

О

х

О

х

О

х

О

х

£

Рис. 3. Правильный шестиугольник над F11

3. Правильные многогранники в Fp и их реализация

В данном пункте будут установлены критерии существования правильных многогранников в Fp, где Fp — трехмерное векторное пространство над Fp. Также будут предложены визуализации соответствующих объектов.

3.1. Правильный тетраэдр в Fp.

Определение. Правильным тетраэдром в Fp будем называть множество, состоящее из четырех правильных треугольников, определенных над Fp, попарно пересекающихся по общей стороне.

Покажем, при каких p возможна реализация правильного тетраэдра в Fp.

Теорема 3.1.1. Правильный тетраэдр реализуется над любым конечным полем Fp .

Доказательство. Наша цель — показать, что для каждого простого числа p существует хотя бы один правильный тетраэдр в Fp.

Пусть OA, OB и OC — три базисных вектора трехмерного пространства, длины которых равны единице. Мы хотим получить правильный тетраэдр ABCD над R. Для этого соединим концы базисных векторов A, B и C сначала друг с другом прямыми, получим правильный треугольник ABC, а затем с точкой D, которая имеет координаты (t,t, t), как показано на рис. 4.

Требуется, чтобы выполнялись равенства

3t2 - 2t + 1 = 2.

D(t,t, /f 0

А( 0,0,1), /

yÁi ,0,0)/

X

/

о

Рис. 4. Правильный тетраэдр над R

Решив данное уравнение, получим t = — ^ или t = 1. Тогда точка D будет иметь координаты (— ^, — ^, — ^) или (1,1,1). Для реализации правильного тетраэдра в Fp необходимо, чтобы существовали координаты каждой его вершины. Для ABCD они существуют в любом поле Fp. Таким образом, для любого p всегда найдется хотя бы один правильный тетраэдр, реализуемый в Fр, что и требовалось доказать.

Реализуем в Fp правильный тетраэдр с координатами вершин

A 0; 0;

М.

2л/б / '

B -

2а/3 '

C -

1 1

2а/3' 2' 2\/б

В качестве характеристики p можно выбрать последовательность простых чисел A130063 [3], т. е. простые числа сравнимые с 1 или 23 по модулю 24. Пусть p = 23, тогда, пересчитав координаты вершин правильного тетраэдра в поле F23, получим A(0; 0; 20), B(5; 11; 1), C(5; 12; 1), D(13; 0; 1).

С помощью команд пакета Wolfram Mathematica построим правильный тетраэдр в F233 (рис. 5).

Рис. 5. Правильный тетраэдр над R

Квадраты расстояний между соседними вершинами построенного тетраэдра сравнимы по модулю 23 с числом 1. Вершины грани правильного тетраэдра АВСО в ^23з находятся в одной плоскости, что было проверено с помощью критерия компланарности трех векторов. Это распространяется на все его грани, причем для каждой грани своя плоскость. В итоге мы реализовали АВСО в ^23з.

3.2. Гексаэдр в Е3-

Определение. Гексаэдром (кубом) в ^ будем называть множество точек и прямых, образующих шесть квадратов над , любые два из которых пересекаются по общей стороне и двум общим вершинам или не пересекаются. При этом каждая вершина является вершиной двух других.

Приведем доказательство теоремы о реализации гексаэдра в В^, с помощью которого докажем теоремы о реализации других правильных многогранников

в В3 ° х р •

Теорема 3.2.1. Гексаэдр реализуется над любым конечным полем .

Доказательство. Зададим в пространстве три базисных вектора единичной длины, взаимно перпендикулярных друг другу, тогда легко сможем построить гексаэдр над К. Координаты их концов А, В, С и начала О нам известны (рис. 6), тогда координаты других точек будут следующими: А1 (1; 0; 1), Вх(1;1;1), Сх(0; 1; 1), 0(1;1;0).

Рис. 6. Гексаэдр над К

Каждая из них существует над любым конечным полем . Следовательно, для любого р всегда сможем построить хотя бы один гексаэдр, который реализуется в .

Заметим, что теорему 3.1.1 также можно доказать с помощью теоремы 3.2.1, вписав правильный тетраэдр в гексаэдр. Визуально гексаэдр в выглядит как обычный куб над К.

3.3. Октаэдр в гр.

Определение. Октаэдром в будем называть множество точек и прямых, образующих 8 правильных треугольников над , любые два из которых пересекаются по общей стороне и двум общим вершинам или не пересекаются. При этом каждая вершина таких треугольников является вершиной трех других.

С помощью теоремы 3.2.1 докажем аналогичный результат для октаэдра.

Рис. 7. Октаэдр в Е^

Теорема 3.3.1. Октаэдр реализуется над любым конечным полем при р > 2.

Доказательство. Пусть ОВОСАА1В1С1 — гексаэдр над М, который построен в доказательстве теоремы 3.2.1 (см. рис. 6). Впишем в него октаэдр над М. Вершинами этого октаэдра будут середины граней гексаэдра, которые будут существовать над любым полем при р > 2. Следовательно, октаэдр реализуется над любым полем при р > 2.

На рис. 7 показан результат реализации в В137 октаэдра со следующими вершинами:

Л1(--Ьо;о). Л4(0;0;-1). .4« (-Ь 0; о).

3.4. Додекаэдр в Ер.

Определение. Додекаэдром в будем называть множество точек и прямых, образующих 12 правильных пятиугольников над , любые два из которых пересекаются по общей стороне и двум общим вершинам или не пересекаются. При этом каждая вершина таких пятиугольников является вершиной двух других.

Теорема 3.4.1. Додекаэдр реализуется над конечным полем Fp при p = {0,1,4} (mod 5).

Доказательство. Пусть задан гексаэдр над R с вершинами

. , 1 11

Ali2'~2'2

21 2'2' 2

A, I -i-i-i

я 1 2' 2' 2

. , 111

"2;~2;2

A5

2

Ak

1 1

2' 2'

A7 -

1 1

2' 2'

, _ 1 _1 _1

81 2' 2' 2

Опишем около него додекаэдр. Выполнив некоторые вычисления, найдем координаты вершин додекаэдра, которые не совпадают с вершинами гексаэдра:

ЛМ ^

A

15

44 1 —\/5 n -1-А/5

;0;

A

16

44 а/5—1 п —1 —А/5

4

;0;

A

17

44

—1—а/5 А/5-1 4

4

4

V 4 ' 4 '7' 4

Для реализации додекаэдра в требуется существование координат каждой его вершины в заданном поле. Существование координат точек, совпадающих с вершинами гексаэдра, следует из теоремы 3.2.1.

Рис. 8. Додекаэдр в F3

1

0

Для существования остальных вершин, координаты которых получены выше, требуется, чтобы число 5 являлось квадратом некоторого числа по модулю р. Следовательно, учитывая то, что любые три некомпланарных вектора

образуют базис в пространстве, для каждого р, определенного последовательностью А038872 [3], т. е. для каждого простого числа, сравнимого с {0, 1, 4 } по модулю 5, всегда найдется хотя бы один додекаэдр, который реализуется в

В 3.

р

Результат реализации в додекаэдра А1А2 ..., А2о, заданного в доказательстве теоремы 3.4.1, показан на рис. 8.

3.5. Икосаэдр в Ер.

Определение. Икосаэдром в будем называть множество точек и прямых, образующих 20 правильных треугольников над , любые два из которых либо пересекаются по общей стороне и двум общим вершинам, либо имеют одну общую вершину, либо не пересекаются. При этом каждая вершина таких треугольников является вершиной четырех других.

Рис. 9. Икосаэдр в F3

Икосаэдр и додекаэдр — двойственные друг другу многогранники. Если вписать икосаэдр в додекаэдр, то вершинами икосаэдра будут являться середины граней додекаэдра. Тогда, исключив случай p = 5, можно убедиться, что верна

Теорема 3.5.1. Икосаэдр реализуется над конечным полем Fp при p > 5 и p = {0,1,4} (mod 5).

Построим икосаэдр в F^. Пусть A4A2 • • • A12 — это икосаэдр, заданный над полем R, с координатами вершин

. (Ъ+Ъу/Ъ п /—5—3\/5 , (Ъ+у/Ъ -Ъ-Ъу/Ъ Л

^Ч-го-;0;_20~,)' 20-;7'

^р+Аб+ЗАЛ

20 ' 20 ' )' П ' 20 ' 20 J' UV 20 ' 20

Правильные многоугольники и многогранники над конечным полем 31 . / —5—А/5 —5—За/5 \ / —5—А/5 5+ЗА/5\ / -Ъ-л/Ъ -5-3^5

^Ч^О-5^-V 20 ' 20 у'

. /5+3A/5 5+V5A , / —5—ЗА/5 -5-А/5\ / 5+V5 5+3^5 А

В качестве характеристики p можно выбрать последовательность A038872 [3].

Пусть p = 11. Тогда, пересчитав координаты вершин икосаэдра в поле F11, получим Ai(8; 0; 10), ^(3; 0; 1), Аз(1; 3; 0), ^(10; 8; 0), Л(0; 1; 3), A6(1; 8; 0), Ar(10; 3; 0), A8(0; 10; 8), Ag(0; 10; 3), Aio(8; 0; 1), Au(3; 0; 10), Ai2(0; 1; 8).

С помощью команд пакета Wolfram Mathematica построим икосаэдр в F3i (рис. 9).

Аналогичные результаты предполагается получить для полуправильных многогранников.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.

2. Wildberger N. J. Divine proportions: rational trigonometry to universal geometry. Australia: Wild Egg Pty Ltd., 2005.

3. Sloane N. J. A. The on-line encyclopedia of integers sequences. 1964. http://oeis.org/7language =english

Статья поступила 12 октября 201.5 г.

Лавшук Тамара Михайловна Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 1атага_090391Этап.1. ги