Импульсные дифференциальноалгебраические уравнения в математических моделях электрических цепей

технологии». Харьков: НТУ «ХПИ». 2002. № 18. С. 5156. 3. Пуляев В.А. Оценка параметров ионосферной плазмы в методе некогерентного рассеяния радиоволн / / Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 2003. 5(5). С. 12-14. 4. Franke S.J., Rottger J, LaHoz C, Liu C.H. Frequency domain interferometry of polar mesosphere echoes with the EISCAT VHF radar: A case study // Radio Science. 1992. 27, № 3. C. 417-428. 5. Пикаев И.К. Плотность распределения оценки комплексного коэффициента корреляции // Радиотехника и электроника. 1990. 35, № 5. C. 1092-1094. 6. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 488 с. 7. Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач. К.: Наук. думка, 1987. 224 с.

Поступила в редколлегию 12.03.2004

Рецензент: проф. Рогожкин Е.В.

Мазманишвили Александр Сергеевич, д-р физ.-мат. наук, проф., гл. научн. сотр. Института ионосферы НАН и МОН Украины. Научные интересы: статистическая радиофизика, применение математических методов в решении прикладных задач. Адрес: Украина, 61024, Харьков, ул. Ольминского, 17, кв. 11, тел. 47-7218.

Пуляев Валерий Александрович, канд. техн. наук, ст. научн. сотр., зав. отделом института Ионосферы НАН и МОН Украины. информационные технологии, изучение свойств ионосферной плазмы. Адрес: Украина, 61055, Харьков, ул. 2 Пятилетки, 59, кв. 65, тел. 40-05-27.

УДК 517.9

ИМПУЛЬСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ВЛАСЕНКО Л.А.

Описываются электрические цепи, которые моделируются с помощью дифференциально-алгебраических уравнений с импульсными воздействиями (IDAEs). Доказываются теоремы существования и единственности для IDAEs. Результаты применяются для расчета токов и напряжений электрических цепей с импульсными воздействиями.

1. Введение

Цепи, которые моделируются в данной статье, описываются дифференциально-алгебраическими уравнениями с импульсными воздействиями (IDAEs). В работах [ 1 -4] электрические цепи моделируются дифференциально-алгебраическими уравнениями без импульсных воздействий (DAEs). Будем пользоваться общепринятым сокращенным названием DAE для дифференциально -алгебраического уравнения (differential algebraic equation). По этой причине для импульсного дифференциально-алгебраического уравнения будем применять сокращенное название IDAE (impulsive differential algebraic equation). В [1-4] рассматриваются только цепи с сосредоточенными элементами. Цепи с сосредоточенными и распределенными элементами, которые моделируются DAEs с запаздыванием, были рассмотрены в [5-7]. Одна модель электрической цепи с распределенными элементами, которая моделируется обыкновенным дифференциальным уравнением с запаздыванием, описана в [8, введение].

Цель статьи: моделирование электрических цепей с помощью IDAEs. Задачи: 1) получить новые результаты, относящиеся к IDAEs; 2) показать, как эти результаты применяются к исследованию электрических цепей с импульсными воздействиями.

2. Математические модели электрических цепей

Рассмотрим электрический четырехполюсник, изображенный на рис. 1. Цепь состоит из двух индуктивно связанных нелинейных контуров (осцилляторов). На вход подаются заданные ток I_ и напряжение U_. Выходные ток I+ и напряжение U+ , а также внутренние токи 1^2,13,14 и напряжения Uj, U2, U3, U4 требуется найти. Нелинейные функции ф1(І1,І2І,Ф2(І1,І2) отвечают омическим потерям напряжений в индуктивностях, функции g(U3),h(U4) характеризуют нелинейные утечки токов в емкостях. Токи и напряжения удовлетворяют законам Кирхгофа:

U1 + U4 = U, U1,-U3 = 0, U2 - U4 = 0,

+ +

I1 +13 = I", I2 +14 +1+= I -, U4 = U+,

а также уравнениям

U1 = — (L1* I1 + MI2) + Ф1Д1Д2Х dt

U2 - —

dt

d

d

I3 =-(C3U3) + g(U3), I4 =— (C4U4) + h(U4).

dt

dt

РИ, 2004, № 3

27

В (2) Lj,L2 > 0 — индуктивности элементов цепи; Сз,С4 > 0 — емкости; M — взаимная индуктивность. Степень индуктивной связи характеризует коэффициент к = M^/LjL2 . Известно, что к2 < 1. Необходимые сведения из теории электрических цепей содержатся в [9]. Уравнения (1),(2) преобразуются к виду

-d[(Li+M)Ii + (L2 + М)І2)] = dt

= И"

^(СзИз) +11 = І- (t) - g(U3),

dt

U1 = U3, u2 = U4 = U+ = U -U3, І3 = І -11,

І4 = -f(C4U4) + h(U4), І+ = І - - І2 - І4. (4) dt

Введем вектор u = (u1,u2,u3)tr = (I1,I2,U3)tr. В пространстве R3 уравнения (3) в векторной форме имеют вид

где

-d[Au(t)] + Bu(t) = f(t,u(t)), dt

' L1 + М L2 + 0 ^ С 0 0 0 ^

A = L1 M 0 , B = 0 0 -1

1 0 0 С3 V 11 о о

f

f U -

V

91(u1,u2) - 92^1^2^

- фДщ,^)

I“ (t) - g(u3) ,

Уравнение (5) будем рассматривать на промежутке времени t0 < t < t0 + T . Предполагается, что в моменты времени С <... < tm из открытого интервала (t0,t0 + T) токи І1 (t),І2(t) и напряжение U3(t) могут подвергаться импульсным воздействиям (все или некоторые):

Alj |t=tk = Ij (tk + 0) - Ij (tk “ 0) =

= Dk,j(I1(tk -0,I2(tk -0),U3(tk -0)), j =1,2,

AU3 |t=tk = U3

= Dk,3(I1(tk -0),I2(tk -0),U3(tk - 0)),k = 1,...,m.

Здесь Dk,j — функции из R3 в R3 . Физическими причинами импульсов могут быть кратковременные внешние воздействия на элементы цепи. Входной ток I_ (t) и входное напряжение U _ (t) всюду непрерывны. Учитывая определение вектора u и вводя обозначение

Dk(u) = (D k,1 (u), D k,2 (u), D k,3 (u))tr,

импульсные воздействия (6) перепишем в виде

u(tk + 0) - u(tk - 0) = Dk (u(tk - 0)), k = 1,...,m.

Для линейной цепи ф1 = 0, ф2 = 0,g = 0,h = 0 . 28

Соответствующая линейная электрическая цепь изображена на рис. 2.

Рис. 2. Линейная электрическая цепь Вместо уравнения (5) имеем уравнение

dt[Au

где f

f U - (t) 0

II

J

Функции Dk,j (j = 1,2,3, k = 1,...,m) в (6) являются

линейными. Вместо импульсных воздействий (7) рассмотрим линейные импульсные воздействия

Au |t=tk = u(tk + 0) - u(tk - 0) = Du(tk - 0) + ak,

k = 1,...,m.

Здесь D — матрица размера 3 x 3; ak — трехмерные векторы.

3. Теоремы существования и единственности для IDAEs

В дальнейшем будем исследовать уравнение (5) в пространстве Rn . Будем предполагать, что уравнение (5) удовлетворяется для всех t є [t0, t0 + T] и t Ф t1,...,tm , а в моменты времени tb...,tm выполнены импульсные воздействия (7). Здесь A,B — n х n матрицы; Dk(u) — функции из Rn в Rn ; f(t,u) — непрерывная функция из [t0,t0 + T] х Rn в Rn; моменты времени tk занумерованы t0 < t1 <... < tm <tm+1= t0 + T . Для уравнения (5) с импульсными воздействиями (7) зададим начальное условие

u

Уравнение (5) с необратимой матрицей а (вырожденной) называют вырожденным, или сингулярным, или DAE [1-4]. Если матрица A — единичная (A = E ), то уравнение (5) называют явным, в противном случае - неявным. Явные дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями исследовались в ряде работ. Упомянем здесь одну

РИ, 2004, № 3

из самых первых работ [10], монографию [11], в частности, главу III, в которой исследуются системы со слагаемыми типа дельта-функции, и монографию [ 12], в которой также содержатся библиографические указания по теории явных импульсных систем.

Решением уравнения (5) с импульсными воздействиями (7) на отрезке [to, to + T] назовем такую кусочно-непрерывную функцию u(t) с разрывами первого рода при t = tlv..,tm, что Au(t) непрерывно дифференцируема при t ф tlv..,tm , функцияu(t) удовлетворяет уравнению (5) при всех to < t < to + T , t Ф ti ,...,tm и условиям (7). Решением начальной задачи (5),(7), (10) является решение уравнения (5) с импульсными воздействиями (7), которое удовлетворяет начальному условию (10).

Уравнению (5) отвечает характеристический пучок матриц XA + B . Всюду в дальнейшем будем предполагать, что пучок XA + B регулярен, т.е. det(XA + B) тождественно не равняется нулю [13]. В этом случае можно воспользоваться леммой 3.2. из [1], в силу которой имеем следующее. Пространство Cn распадается в прямые суммы

Cn = Xi + X2 = 'Y1 + 'Y2>

где подпространства XbY1 совпадают с областью значений проекторов

P1 = — j (XA + B)_1AdX, Q1 = — § A(XA + B)“1dX

2 ліp 2 ліp

соответственно. Контур Г охватывает все собственные числа пучка XA + B . Если пучок матриц XA + B не имеет собственных чисел, то P1 = Q1 = 0 и X1 = Y1 = {0}. Если detA ф 0 , то P1 = Q1 = E и X2 = Y2 = {0} . Обозначим P2 = E - P1, Q2 = E - Q1. Из [1, лемма 3.2] следует, что матрица G = AP1 + BP2 = Q1A + Q2B обратима, GXj = Yj (j = 1,2), матрица F = AG-1Q2 = Q2AG-1 = AP2G_1 нильпотентна.

Если A,B имеют вещественные коэффициенты, то непосредственные вычисления показывают, что проекционные матрицы PkP2,QbQ2 также имеют вещественные коэффициенты. Поэтому пространство Rn распадается в прямые суммы

Rn = X1 + X2 = Y1 + Y2, Xj = PjRn, Yj = QjRn, j = 1,2.

Нетрудно проверить, что GXj = Yj (j = 1,2).

Укажем условия разрешимости линейной задачи (8)-(10). Обозначим через r индекс нильпотентности матрицы f (наименьшее целое положительное число, для которого Fr = 0 и Fr_1 ф 0 ). Предположим, что Qf(t) є C([t0,t0 + T],Rn),

FjQ2f(t) є Cj([t0,t0 + T],Rn) (j = 0,...,r-1). Обозначим РИ, 2004, № 3

1r_1  dj

(t) = G-1 E (-1)j-r[FjQ2f(t)], j=0 dtj

t _1

J(s,t) = G-1! e-BG 1(t - T)Q1f(x)dx.

s

Теорема 1. Предположим, что пучок матриц XA + B регулярен и

Qf(t) є C([t0,t0 + T],Rn),

FjQ2f(t) є Cj([t0,t0 + T],Rn) (j = 0,...,r-1).

Если выполнены соотношения

P2 Eskj

j=0

где a0 = 0 , w0 = u0, Wj =(E + D)(J(tj_1,tj) + (tj)),

j = 1,.,m,

k 1

Sk j = П (E + D)G-1e“BG“ (tP _tP-1)AP1,

p=j+1

0 < j < k, Sk,k = E, k = 0,1,...,m, то задача (8)-( 10) имеет единственное решение на отрезке [ф,ф + T]

-1 k

u(t) = G_1e_BG (t“tk) AP1 Ё Sk j (w j + aj) + J(tk, t) +

j=0

+ Ф

При прочих условиях теоремы соотношения (11) являются необходимыми для разрешимости задачи (8)-( 10).

k

Символ П Sj произведения матриц Sj мы понима-j=1

k

ем как П Sj - SkSk-1-S1 . j=1

Доказательство. Пусть Vk(t) — решение уравнения (8) на отрезке [tk,tk+J с начальным условием Vk(tk) = uk (k = 0,...,m), где uk = (E + D)vk-1 (tk) + ak (k = 1,...,m). В силу соотношений (11) при k = 0

имеем P2u0 = O(to). Последнее соотношение позволяет воспользоваться результатом о разрешимости линейного уравнения (8) из [7] (доказательство теоремы 4.1) и однозначно найти решение

v0(t) = G-1e“ BG-1(t _t0)AP1u0 + J(t0,t) + Ф(t).

Отсюда находим u1 = S1,0(w0 + a0) + Sk1(w1 + a1).

В силу соотношения (11) при k = 1 имеем

P2u = (t1). Поэтому функция V1 (t) однозначно определяется как

v1

[7] (доказательство теоремы 4.1). Повторяя аналогичные рассуждения для k = 2,...,m, находим uk и

vk(t) = G _1e_ BG _1(t“ tk)AP1uk + J(tk,t) + (t).

29

Отсюда получаем, что задача (8)-(10) имеет единственное решение u(t) на [t0,t0 + T], которое совпадает с vk(t) на (tk,tk+i], и это решение представимо в виде (12). Теорема 1 доказана.

В приводимом ниже следствии из теоремы 1 устанавливаются ограничения на матрицу D и векторы ак из (9), которые обеспечивают выполнение условий (11).

Следствие. Предположим, что DXi сXi , Qlf

(j = 0,...,r -1). Если выполнены соотношения

P2U0 = Ф(^), P2(DO(tk) + ak) = 0, k = 1,...,m,

то задача (8)-(10) имеет единственное решение на [t0,t0 + T] и это решение представимо в виде (12).

Рассмотрим теперь нелинейное уравнение (5) с импульсными воздействиями (7).

Теорема 2. Пусть пучок матриц ХЛ + B регулярен. Предположим, что функция

f(t,u):[t0,t0 + T] х Rn ^ Rn

непрерывна по t, удовлетворяет условию Липшица по u с константой, не зависящей от t, проекция Q2f(t,u) = h(t) не зависит от u,

Fjh(t) є Cj([t0,t0 + T],Rn) (j = 0,...,r -1).

r_1  dj

Если функция T(t) = 2(_1)J~rr[FJh(t)] j=0 dtJ

удовлетворяет соотношениям

P2u0 = G-1T(t0), Dk(u + G-1T(tk)) Є Xi, u є Xb

k = 1,...,m,

то существует единственное решение задачи (5),(7),(10) на [t0,t0 + T], и это решение удовлетворяет уравнению

u(t) = G_1e_BG_1(t _t0)AP1u0 + t _1

+ G_1 J e-BG (t_x)Q1f(t, u(x))dx + t0

+ G-1 X e_BG_1(t _tk)AP1Dk(u(tk)) +G_1T(t), t0 < tk <t

t0 < t < t0 + T.

Заметим, что если функция f(t,u) непрерывна по t и удовлетворяет условию Липшица по u, то эта функция непрерывна по совокупности переменных.

Доказательство. Уравнение (5) эквивалентно следующим двум уравнениям:

^-[GP1u

dt

d [F

dt

Используя формулу вариации постоянных для уравнения (15) на [tk,tk+1 ], получаем, что уравнение (15) на [tk,tk+1] эквивалентно интегральному уравнению

P1u(t) = G-1e-BG-1(t - tk)AP1u(tk + 0) + t _1

+ G_1 J e“BG (t_T)Q1f (T,u(T))dT, tk < t < tk+1.

tk

Так как матрица f — нильпотентна с индексом нильпотентности r, то из [7] (доказательство теоремы 4.1) следует, что уравнение (16) разрешимо на [tk,tk+1] относительно GP2u(t) тогда и только тогда, когда

GP2u

причем GP2u(t) = T(t). Уравнение (5) на [tk,tk+1] эквивалентно интегральному уравнению

u(t) = G _1e_BG “1(t-tk)AP1u(tk + 0) + t _1

+ G-1 J e“BG 1(t _T)Q1f( T,u(T))dT + G-1T(t), tk

tk ^t ^ tk+1>

если справедливо (17). Так как функция f(t,u) глобально удовлетворяет условию Липшица по u, то с помощью теоремы о сжимающем отображении устанавливается, что уравнение (18) имеет единственное решение u(t) на [tk,tk+1] при заданном начальном векторе u(tk + 0).

Функция u(t), совпадающая на (tkTk+J с решением интегрального уравнения (18), является единственным решением задачи (5),(7),(10) на [ф,ф + T], если u(t0 + 0) = u0 , выполнены условия (17) при k = 0,1,...,m и (7). Выберем u(t0 + 0) = u0 .

Соотношение (17) при k = 0 дает первое равенство в (13). Далее выберем u(t1 + 0) = u(t1 - 0) + D(u(t1 - 0)).

Тогда выполнено (7) при k = 1. Из (18) при k = 0 имеем u(t1 - 0) = P1u(t1 - 0) + G_1T(t1). Отсюда и из (13) при k = 1 имеем (17) при k = 1. Повторяя аналогичные рассуждения для k = 2,...,m, выбираем u(tk + 0), удовлетворяющие (17) и (7).

Формула (14) устанавливается с помощью метода математической индукции для интервалов [tk,tk+1]. Теорема 2 доказана.

4. Приложение к расчету электрических цепей

Применим полученные результаты к исследованию электрических цепей, изображенных на рис. 1 и 2. Будем рассматривать случай вырожденной матрицы Л, т.е. когда L1L2 = M2 . Эта ситуация встречается в случае идеального трансформатора, когда коэффициент индуктивной связи к = М/^Ць^ по модулю равен единице [9, с. 228].

Непосредственные вычисления показывают, что

30

РИ, 2004, № 3

(kA + Б)”1 =

f kMC3 kC3

L2 + M-

1 _ k2C3L1 +1 kC3M

Pi =

k(L2 + M) M

L2 + M

л

L2 -1

G =

(L1 + M L2 + M 0 'ї

Li

1

G-1 =

L2 + ^4 M

L2 + M

0

0

-1

1

M

L2

0

M

0

F =

-1

0

1

M

L2

0

Л

0 0 0 1 0 0

M M

— 1 0 , Q1 = 0 0

L2 L2 + -M

^ 0 0 0J 0 0 0

0

0

MC3

L2 +

- C3 0

в (2), которое в случае линейной цепи принимает

вид I4(t) = —(C4U4(t)). На рис. 3 представлены dt

графики токов I1(t),l2(t) и напряжения U3G). Ток І2 (t) получает импульсные воздействия, ток І1 (t) и напряжение U3G) непрерывны (импульсных воздействий не получают). Это связано с вырож-денностью матрицы A, компоненты проекции P2U не получают импульсных воздействий.

0

2

3

4

5

Предполагаем, что входной ток I_ (t) непрерывен, а входное напряжение U_ (t) непрерывно дифференцируемо. В случае линейной цепи (см. рис. 2) имеем

Ф(і) =

I"

L2 + M

- -Mi-

L2 L2 + M

M U-

L2 + M

J(s,t) =

1

L2 + M

JU (x)dx

Sk,j = [(E + D)P1]k-j, k > j,

начальный вектор u0 = (u0,u2,u3)tr удовлетворяет условиям

u0 = 1

MC3 L2 + M

(U-)'(t0), u0 =

M

L2 + M

U - (t0),

матрица импульсных воздействий D = {dij j=1 и векторы a,k = (ak, ak, из (9) связаны соотно-

шениями

ak = di1[-I- (tk) + TMC3-(U- )'(tk)] + k L2 + M

+ di2[-— I- (tk) - TL]C-(U - )'(tk)] -l2 l2 + M

- di3—M—U-(tk), i = 1,3, k = 1,...,m. i3L2 + M k

В силу следствия из теоремы 1 для линейной цепи (см. рис. 2) однозначно находим кусочно-непрерывные токи І1 (t), І2 (t) и кусочно-непрерывно дифференцируемое напряжение U3G) , причем L^G) + Ml2(t) кусочно-непрерывно дифференцируемая функция. Остальные токи и напряжения находим с помощью (1) и последнего соотношения

t

Рис. 3. Токи и напряжение линейной цепи

Нелинейная цепь (см. рис. 1) рассчитывается аналогично с помощью теоремы 2.

Литература: 1. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f (t) // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, N 11. C. 1996-2010. 2. Campbell S.L. Singular Systems of Differential Equations II. San Francisco, London, Melbourne: Pitman Publishing, Research Notes in Mathematics, V. 61, 1982. 234p. 3. Marz R. TischendorfC. Recent results in solving index 2 difference-algebraic equations in circuit simulation. Berlin, 1996. 22 p. (Preprint / Institut &>r Mathematik der Humboldt-Univershflt zu Berlin; N 96-4). 4. FaviniA., Rutkas A. Existence and uniqueness of solutions of some degenerate nonlinear equations // Diff. Integr. Equat. 1999. V. 12, N 3. P. 373-394. 5. Власенко Л.А. Теоремы существования и единственности для одного неявного дифференциального уравнения с запаздываниями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, N 5. C. 624-628. 6. Vlasenko L. Implicit linear time-dependent differential-difference equations and applications // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2000. V. 23, N 10. P. 937-948. 7. Favini A., Vlasenko L. On solvability of degenerate nonstationary differential-difference equations in Banach spaces // Differential and Integral Equations. 2001. V. 14, N 7. P. 883-896. 8. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с. 9. Зевеке Т.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1975. 751 с. 10. Мильман В.Д., Мышкис АД Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский математический журнал. 1960. Т. 1, N 2. C. 233-237. 11. Халанай А, Векслер Д Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с. 12. Самойленко А.М., Перестюк НА. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища шк., 1987. 288 с. 13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

Поступила в редколлегию 07.09.2004

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А.Г.

Власенко Лариса Андреевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры моделирования и мат. обеспечения ЭВМ Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61001, Харьков, ул. Плехановская, 2/5, кв. 29, тел. (057) 732-28-35.

31

РИ, 2004, № 3