Метод измерения частоты гармонических сигналов, оптимальный по минимуму среднеквадратического отклонения

Заключение

Предложенные алгоритмы позволяют осуществить субоптимальное управление линейными системами при наличии различных типов ограничений. В случае детерминированного управления синтезируемый регулятор может учитывать специфические требования к структуре матрицы обратной связи. При этом используются лишь классические методы решения матричных уравнений, что позволяет реализовать алгоритмы оптимизации и для систем высокого порядка. Численная реализация алгоритмов, предложенных для субоптимального управления стохастическими объектами, требует незначительного усложнения стандартных вычислительных процедур. Однако учет параметрических ограничений, характерных для многих практических приложений, существенно расширяет возможность применения синтезированных регуляторов.

Литература: 1. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984. 544 с. 2. HejdaI, Murgas J. Riesenie LQ problemu pri zadanej strukture riadenia // Automatizace/ 1987.N8. S. 214-216. 3. Бодянский E.B., Манжак Е.Л., Удовенко С.Г. Алгоритмы адаптивного управления с ограничениями на фазовые переменные // Радиоэлектроника и информатика. 1997. N1. С. 65-67. 4. Бодянский E.B., Удовенко С.Г. Субоптимальное управление стохастическими процессами. X.: Основа, 1997. 140 с.

Поступила в редколлегию 21.05.98 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Яковлев С.В. Удовенко Сергей Григорьевич, канд. техн. наук, доцент кафедры ЭВМ ХТУРЭ. Научные интересы: идентификация и оптимизация стохастических систем. Увлечения: иностранные языки, поэзия. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 38-38-74.

УДК 621.317.377[088.8]

МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ, ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ

ЧИНКОВ B.H., ЯКОВЛЕВ м.ю.

Рассмотрен оптимальный по помехозащищенности метод измерения частоты гармонических сигналов, основанный на цифровой обработке сигнала по критерию минимума среднего квадратического отклонения. Он позволяет уменьшить время измерения, исключить одну из доминирующих составляющих инструментальной погрешности измерения и повысить универсальность создаваемых частотомеров. Предложены алгоритмы цифровой обработки сигнала и принцип построения цифрового вычислительного частотомера. Проведены оценки помехозащищенности полученного метода и методической погрешности, а также его сравнительный анализ с известными методами.

В настоящее время в перспективных разработках в области частотно-временных измерений предпочтение все больше отдают электронно-счетным частотомерам, основанным на методе последовательного или дискретного счета [1]. Такие частотомеры обладают наиболее высокими метрологическими характеристиками, но их существенным недостатком является низкая помехозащищенность. Она обусловлена используемым в них методом измерения, содержащим операцию выделения моментов перехода сигнала через фиксированный уровень, чаще всего через нуль. В этом случае при наличии помех в сигнале или в тракте измерительного прибора возникает дополнительная погрешность результата измерения, которая объясняется смещением или появлением побочных (“паразитных”) моментов перехода сигналов через нуль. Для повышения помехозащищенности электронно-счетных частотомеров в них применяют входные фильтры либо проводят статистическую обработку многократных наблюдений.

Но и тот и другой путь заметно увеличивают время измерений, что особенно существенно для низких и инфранизких частот, где даже минимальное время измерений, равное одному-двум периодам, может оказаться недопустимо большим.

Повышают оперативность измерения частоты ме -тоды, основанные на получении нескольких (двухтрех) отсчетов мгновенных значений гармонического сигнала и их последующей обработке [2]. К сожалению, они также имеют низкую помехозащищенность и большие инструментальные погрешности.

Оптимальный метод должен обеспечивать высокую помехозащищенность при заданном времени измерения. Этого можно достигнуть максимальным использованием для определения параметров сигнала (в данном случае частоты) всей содержащейся в нем информации, т.е. всех некоррелированных отсчетов мгновенных значений сигнала. Такой метод обеспечит и максимальную оперативность — наименьшее время измерения при заданной помехозащищенности.

Одним из них является метод определения частоты гармонического сигнала, основанный на критерии среднего квадратического отклонения (СКО).

Для аддитивной гауссовой помехи, некоррелированной с сигналом, использование этого метода приводит к минимуму дисперсии оценки при заданном уровне помехи и, следовательно, обеспечивает высокую помехозащищенность в результате применения при формировании оценки параметров всех некоррелированных мгновенных значений сигнала на временном интервале измерения. Этот временной интервал, в отличие от известных методов, может быть не кратным периоду сигнала и даже меньше периода. Кроме того, в предлагаемом методе измерения отсутствует операция выделения периода сигнала, что позволяет исключить одну из доминирующих составляющих инструментальной погрешности измерения.

Отметим, что для других видов помех предлагаемый метод не является оптимальным. Однако если помеха высокочастотна, то за счет фильтрации при интегрировании она в той или иной степени будет подавляться.

56

РИ, 1998, № 2

Получим алгоритм обработки сигнала u(t) приме -нительно к измерению частоты на основе критерия СКО и оценим методические погрешности.

Пусть на интервале времени T известны мгновенные значения (или отсчеты) сигнала:

u

где Um ,a0,P — амплитуда, круговая частота и начальная фаза гармонической (полезной) составляющей сигнала соответственно; %(t) — аддитивная помеха.

Выражение (1) представим в виде

u(t) = B COS 0о t + C sin 00 t + %(t).

Здесь C = Um cos p, B = Um sinp — ортогональные, синфазная и квадратурная или вещественная и мнимая составляющие амплитуды сигнала. Интервал времени T в общем случае не кратен периоду гармонической составляющей сигнала.

Обозначим через B, C,a оценки неизвестных

параметров B, C,a0 соответственно и запишем выражение для критерия СКО:

~ ~ 1 T/2

E(B,C,a) = E = - J

T -T/2

Начало отсчета времени измерений из соображений упрощения последующих вычислений выбрано в середине интервала T.

Соотношение (2) является исходным. Оптимальные оценки параметров в, C,a , которые для наглядности обозначены теми же буквами, находятся из условия минимума величины E.

Вначале из условия минимума Е определяем

величины в, C:

u

где

в = ujЛі; C = ujЛ2,

T/2

uc = 1 Ju(t) cosatdt.

-t /2

T/2

1 2

us = — J u(t)sinatdt;

-t /2

. 1( sin aT | 1 ( sin aT |

Л=ф+—J; Л2=і.1-—)•

Отметим, что если интервал измерения T кратен периоду гармонической составляющей сигнала, то

Л1 = Л2 =1, и выражения (3) для величин в, C превращаются в известные формулы для коэффициентов Фурье.

Подставляя величины в, C из (3) в (2), получаем

где

1 T/2 --

E(a) = T J u 2(t )dt - Г (a) = u 2 - Г (a),

T -T / 2

2 2

Г (a) = ^ ^ . Лі Л2

Поскольку первый член в (7) для данного сигнала u(t) не зависит от оценки частоты a , то

min E(a) = max Г(a). Следовательно, оценку час-

{a} {a}

тоты можно находить из условия максимума величины Г (a), которая, как видно из (4)-(6) и (8), — весьма сложная функция частоты a . Непосредственное

определение оценки частоты из условия дГ / da = 0 приводит к сложному трансцендентному уравнению. Поэтому имеет смысл находить ее методом последовательного поиска максимума функционала Г (a). Для этого, задавая на каждом шаге поиска значение частоты a , необходимо последовательно выполнить следующие операции: при заданном значении частоты определить uc, us по формулам (4), (5) и вычислить ЛіЛ по формуле (6); найти B и C из

соотношения (3); найти Г (a) по формуле (8); операции (1)-(3) последовательно повторять, изменяя частоту по определенному закону до значения a0,

при котором выполняется условие тахГ(а>).

W

Отметим, что величины uc, us и функционал Г (a) зависят от начальной фазы измеряемого сигнала u(t). Однако максимум функционала Г (a), независимо от начальной фазы, достигается всегда при частоте a опорного сигнала sin at, cos at, которая равна частоте a0 измеряемого сигнала. Поэтому определение частоты в рассматриваемом методе не требует знания начальной фазы сигнала u(t) и результат измерения не зависит от момента начала измерительного интервала T относительно сигнала u(t). Для того чтобы избежать выхода на локальный

максимум функции Г (a), если такой имеется в интервале неопределенности частоты, можно использовать значение остаточной погрешности. В

точке глобального максимума, т.е. при в = B ; C = C ; a = a0, ее значение определяется только дисперсией помехи %(t) и равно

1 T/2

Eост = T7 J^2(t)dt .

T -T / 2

Поскольку в соответствии с соотношением (7) функционал Г (a ) = u 2 - E (a ), то в точке глобального максимума a = a0 значение Г (a), с учетом случайного характера величины E(a), не может отличаться

от значения u2 на величину, большую, чем (2..3)Eocm, что может быть использовано для контроля достоверности выхода Г (a) на глобальный максимум.

Вместе с тем, если начальная область неопределенности частоты меньше расстояния от точки глобального до точки побочного максимума, необходимость в контроле достоверности выхода на главный максимум отпадает. Ближайшее к a0 значение частоты,

РИ, 1998, № 2

57

дающее побочный максимум (т.е. область заведомо однозначного измерения частоты), может быть найдено из анализа функции

Г(,о) = B2Хс(,с) + C2Xs(,с) , где

Хс (,0) = 2

T T

sin(a-a0)y sin(a+a0) —

(a - a0)T (a + a0)T

xl 1+

sin aT

aT ,

X, (a,a0) = 2

T T

sin(a - a0) — sin(a + a0) —

(a-a0)T (a+a0)T

x

-1

-і 2

X

(

x 1

sinaT

-1

v aT )

Область однозначного измерения частоты определяется значением a , дающим ближайший к главному максимуму побочный максимум (a = a 0). Отметим, что в точке главного максимума a = a0 и

Хс = X а = 1, в побочных максимумах Хс , X s< 1.

Метод измерения частоты может быть реализован в аналоговой и цифровой форме, причем алгоритм цифрового варианта метода остается тем же, что и аналогового. Отличие состоит в том, что исследуемый сигнал предварительно преобразуется в отсчеты мгновенных значений, а все операции выполняются в цифровом виде, для чего в соответствующих выражениях для аналоговых операций необходимо перейти от интегралов к суммам. В этом случае цифровую обработку отсчетов мгновенных значений рационально выполнять на микропроцессорах.

Структурная схема одного из возможных вариантов цифрового устройства для измерения частоты, реализующего предложенный метод, приведена на рис.1.

u

Рис. 1. Структурная схема частотомера

Измеряемый сигнал u(t) поступает на сигнальный вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП), на управляющий вход (вход запуска) которого подаются импульсы запуска с блока управления (БУ). Эти

импульсы формируются в моменты времени tq, 58

следующие равномерно в интервале измерения T. Число этих импульсов равно n, т.е. q = 1, n. В моменты

времени tq мгновенные значения сигнала u(t) преобразуются в коды u q = u(tq), которые записываются

в оперативное запоминающее устройство (ОЗУ) по сигналам, поступающим с БУ на ОЗУ по шине “Запись”. После этого устройство переводится в

режим обработки кодов u q, осуществляемый в два этапа в микропроцессорном преобразователе кодов (МПК).

На первом этапе определяются величины uc и us. Для этого по сигналу БУ с постоянного запоминающего устройства (ПЗУ) в МПК подается код текущей частоты a . По этому коду в МПК рассчитываются

и записываются в ОЗУ МПК коды sin a tq и

cos a tq для заданных моментов дискретизации tq. Затем тактовыми импульсами, поступающими с БУ по шине “Считывание”, коды uq вводятся с ОЗУ в МПК, в котором производится обработка кодов uq и

sin a tq, cos a tq в соответствии с формулами (4), (5), представленными в дискретной форме. В результате такой обработки в МПК образуются коды величин

uc и us.

На втором этапе вычислительной процедуры производится образование функционала Г (a) и поиск его максимума. Для этого в МПК определяются сначала значения Л1 и Л2 по формулам (6), а затем по

величинам uc > us > А > 22 вычисляется функционал

Г (a) согласно выражению (8). Значения частоты a последовательно перебираются по определенному алгоритму и соответствующие им значения функционала Г (a) поочередно сравниваются между собой. Так продолжается до момента получения максимума

сигнала Г (a), т.е. Г max a). Значение частоты a0 является результатом измерения. Поэтому в данный момент на выходе МПК формируется управляющий сигнал, который поступает в БУ, прекращая процесс

измерений. Код a0 переносится с МПК в блок индикации (БИ) для цифрового отсчета результата измерения.

Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательные результаты анализа случайной составляющей погрешности, вносимой помехами, которые в рассматриваемом методе чаще всего являются доминирующими. Систематическая составляющая погрешности метода, вносимая помехами, равна нулю.

Относительное среднее квадратическое значение погрешности измерения частоты для аналогового и цифрового вариантов метода определяется соответственно выражениями

Sa = к (y)2n^^lT.

v ujT’

Sa = к

2п

v

1'L

П Urn’

РИ, 1998, № 2

численный коэффи-

где k (v) = 0,78/[min(b, с)]12 циент, зависящий от v = о0

T;

и и< \ л 3 (л sinv

Ъ = b(v) = 1 И-------

2v V v

31 sinv + 2COSv 2Sinv

. . , 3 ( sinv

c=c(v=1 - iv I1+—l+-

2[l + (sinv)/^

31 Sinv + iCOsv 2 Sinv

2[l - (sinv) / v]

v

v

cr(,z( — среднее квадратическое значение и интервал корреляции помехи; n — число отсчетов мгновенных значений сигнала. На графике (рис. 2) представлена

зависимость изменения коэффициента k(v).

Рис. 2. График изменения коэффициента k

Если время измерения T намного больше периода т0 исследуемого сигнала, т.е. v >> 2п, то коэффициент k(v) изменяется в сравнительно небольших пределах относительно единицы. Даже при T < T0 коэффициент k(v) порядка единицы. Вместе с тем, при v < п , т.е. T < T0/2, коэффициент k(v) начинает резко возрастать согласно равенству k(v) = 30 / v2.

Обращаясь к формулам (9), определяющим погрешность определения частоты, видим, что в случае, когда интервал корреляции помехи намного меньше

времени измерения T (т / T << 1, n >> 1), метод сохраняет высокую помехозащищенность не только при T >> T0, но и при T < T0, так как до << <jf / Um (погрешность измерения частоты намного меньше отношения шум/сигнал на входе).

Вместе с тем, при T << T0 помехозащищенность падает, наступает “деградация” метода, погрешность измерения частоты при фиксированном уровне помехи на входе начинает резко возрастать, и изменение частоты с приемлемой погрешностью оказывается возможным только при очень малом уровне помехи.

Относительные средние квадратические значения погрешностей измерений коэффициентов Фурье:

- ^ kb

дБ =---------------; дС =

где

kb (у) =

Б n

1

-I 1 +

[l+(sin v)/v]2 sinv

Б n cosv sinvY Б2

v J ъб 2 + cC2

kc (v) =

1

-I1-

[1-(sin v)/v]2 sinv

cosv sinvY С2

v J ъб 2 + cC2

V

v

При v > 1 имеем kb (v) = kc ~ 1, при v >> 1

къ, kc >> 1, т.е. характер изменения помехозащищенности измерения величин В и С в функции временного интервала такой же, как и при измерении частоты.

Нестабильность частоты дискретизации приводит к паразитной частотной модуляции сигнала, т.е. к добавочной помехе или погрешности, относительное

значение которой имеет порядок величины о Д t,

где Д t — нестабильность интервала дискретизации. При достаточно большом числе отсчетов N, когда интервал дискретизации намного меньше времени измерения, спектр этой помехи лежит в высокочастотной области и при интегрировании она будет подавляться. Кроме того, нестабильность частоты дискретизации при ее задании от кварцевого генератора может быть сделана очень малой, а обусловлен -

ная ею погрешность в величинах Uc, Us имеет

порядок о Д t /VN . Так, при Д t =10мкс, N=100

данная погрешность равна 0,003% и этой составляющей погрешности можно пренебречь, так же, как и другими составляющими погрешности, возникающими в тракте обработки сигнала — погрешностями формирования (или задания) опорных функций

sin о t, cos о t и выполнения вычислительных операций.

Чтобы определить место предлагаемого метода измерения частоты среди уже известных, проведен его сравнительный анализ по точности и оперативности с тремя наиболее распространенными и перспективными базовыми методами: дискретного счета, с применением дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и основанным на цифровой обработке отсчетов мгновенных значений сигнала и его производных.

Метод дискретного счета значительно уступает предложенному по помехозащищенности и оперативности. В методах измерения, основанных на преобразовании Фурье, например, дискретном преобразовании, частота сигнала оценивается по номеру

гармоники l , имеющей максимальную амплитуду,

~ 2п

т.е. о = т1 , где Т

время анализа (интервал, на

РИ, 1998, № 2

59

котором выполняется преобразование Фурье). Этот

метод имеет неустранимую погрешность

Аа

2п

Y ’

так что относительная погрешность

с T 0 да = —

T

где T о

— период сигнала. Следовательно, точное определение частоты этим методом возможно только при большом времени анализа T >>T0.

Различные варианты метода измерения частоты по нескольким отсчетам мгновенных значений сигнала u(t) и его производных позволяют определять частоту за время, меньшее периода исследуемого сигнала, но все они имеют большие инструментальные погрешности и низкую помехозащищенность из-за малого числа отсчетов, подвергающихся обработке.

Теоретические результаты подтверждены экспериментальными исследованиями, которые проводились в двух направлениях: моделированием алгоритмов обработки на ЭВМ и натурным испытанием лабораторного образца микропроцессорного мультиметра. Моделированием на ЭВМ проверены различные алгоритмы поиска максимума функционала

Г(а0) для довольно большого количества исследуемых сигналов, параметры которых, время измерения Т и число отсчетов n изменялись в широких пределах; погрешность вычислений при этом оказа-

лась близка к нулю (порядка 10 -4%). При натурном эксперименте проведена сравнительная оценка погрешностей предложенного прибора для различных уровней отношения шум/сигнал, в частности —40, -20, -10 дБ. Полученные в результате обработки многократных измерений оценки погрешностей сравнивались с экспериментальными погрешностями контрольного вычислительного частотомера типа 43-64, как одного из лучших отечественных приборов по критерию помехозащищенности, и с расчетными погрешностями частотомера типа 5345 фирмы “Хьюлетт Паккард”. Оказалось, что при числе отсчетов n=100 погрешность разработанного прибора примерно на порядок ниже, а с их увеличением выигрыш в точности возрастает.

Литература: 1. Мирский Г.Я. Электронные измерения. -М.: Радио и связь, 1986. С. 105-121. 2. А.с. 920551 СССР/ А.И.Иванов, В.Н.Пеклер //Открытия. Изобретения. 1982.№14. С. 12-15.

Поступила в редколлегию 13.05.98

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Харченко В.С.

Чинков Виктор Николаевич, д-р техн. наук, профессор ХВУ. Научные интересы: метрология, цифровая измерительная техника. Адрес: 310000, Украина, Харьков, пл. Свободы, 6, тел. 47-42-36, 37-02-61.

Яковлев Максим Юрьевич, курсант ХВУ. Научные интересы: метрология, цифровая измерительная техника. Адрес: 310000, Украина, Харьков, пл. Свободы, 6, тел. 47-42-36, 76-55-30.

УДК 519.81

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФОТОМЕТРИЧЕСКИХ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

КОЗИНА О.А.

Сформирована структура обобщенного показателя эффективности функционирования фотометрических лабораторных систем. Предложен метод моделирования приоритетного аспекта эффективности, основанный на анализе специфики диагностических комплексов.

В практике клинических и биологических исследований, проводимых с целью оценить состояние организма и прогнозировать развитие этого состояния, изучить влияние внешней среды и внешних воздействий на процессы жизнедеятельности, фотометрические системы занимают ведущее место. На современном этапе развития медицинской техники никто уже не сомневается в целесообразности автоматизации и компьютеризации лабораторных исследований . Перед разработчиками лабораторных комплексов возникает проблема: как организовать взаимодействие средств вычислительной техники для максимального улучшения характеристик лабораторных измерений. Поэтому оценить эффективность функционирования таких измерительных информационных систем — первоочередная задача в обеспечении современного уровня технического оснащения лабораторий.

Эффективность является наиболее важной и в то же время наиболее интегральной характеристикой любой системы. Категория эффективности позволяет определить, хорошо или плохо работает система, насколько успешно она выполняет свои функции. Несмотря на актуальность проблемы и большое количество работ по методам оценки качества сложных систем, вопрос синтеза критерия оценки эффективности функционирования медицинских измерительных информационных систем (ИИС) не решен. Целью данной статьи является обоснование и формирование структуры критерия оценки эффективности фотометрических ИИС.

По аналогии с принятыми нормами в области электро-измерительной техники можно выделить следующие аспекты оценки эффективности фотометрических ИИС: технический, технологический, стандартизации и унификации, технической эстетики, патентно-правовой защиты и экономический. Многие авторы на основании накопленного опыта считают [1] , что возможно изучение эффективности систем путем раздельного рассмотрения перечисленных выше аспектов без ущерба для целей анализа. При этом говорят отдельно о технической или экономической эффективности. Такой подход оправдывается тем, что большинство практических задач решается на основе сравнения числовых оценок не абсолютной технической или иной эффективности, а эффективности ряда изделий одного назначения при их использовании в одних и тех же условиях эксплуатации, либо на основе сопоставления эффективности одного и того же типа систем при использовании в различных условиях эксплуатации в целях выбора наилучшей ее организации. Естественно, что

60

РИ, 1998, № 2