О некоторых линейно упорядоченных топологических пространствах, гомеоморфных прямой Зоргенфрея

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Математика и механика № 5

УДК 515.12

Е.С. Сухачева, Т.Е. Хмылева

О НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ, ГОМЕОМОРФНЫХ ПРЯМОЙ ЗОРГЕНФРЕЯ

Рассматривается топологическое пространство , которое является модификацией прямой Зоргенфрея Б и определяется следующим образом: если точка х е Л с Б , то базой окрестностей точки х является семейство полуинтервалов {[а,Ь): а,Ь е К,а < Ьих е [а,Ь)}. Если х е Б \Л , то база окрестностей точки х - {(с,<]: с,< е К,с < <<их е (с,<<]}. Доказано, что для счетного подмножества Л с №, замыкание которого в евклидовой топологии счетно, пространство гомеоморфно пространству Б . Кроме того, получено, что пространство гомеоморфно пространству Б для любого замкнутого подмножества Л с №. Подобные вопросы рассматривались в работе У.Л. СИа1угко, У. Найоп, где топология «стрелки» на множестве Л заменялась на евклидову топологию.

Ключевые слова: прямая Зоргенфрея, производная множества, гомеоморфизм, ординал.

В работе используются следующие обозначения: N - множество натуральных чисел; Ж. - множество вещественных чисел, наделенное стандартной евклидовой топологией; символом Б обозначим прямую Зоргенфрея (или «стрелку»), представляющую собой множество вещественных чисел, топология в котором порождена базой {(а,Ь]: а,Ь е Ж,а < Ь}; символом обозначается множество вещественных чисел, наделенное топологией, порожденной базой {[а,Ь): а,Ь е Ж,а < Ь}. Очевидно, что Б гомеоморфно . Топологическое пространство =( Ж, х^), в отличие от Б, будем называть «правой стрелкой».

Пусть множества X, У с Ж.. Обозначим символом Хг топологическое пространство, в котором база окрестностей точки х определяется следующим образом:

х е X \ У : {(а,Ь]: а,Ь е Ж, а < Ь их е (а,Ь]}; х е У : {[с, <): с, < е Ж, с < < и х е[с, <)}.

В частности, если X = Б, а У = Л, получаем пространство , в котором на множестве Л задана топология «правой стрелки». Подпространсво (а,Ь)с обозначается (а, Ь) .

Для произвольного подмножества Л топологического пространства X и произвольного ординала а производная множество Л(а) опредляется по трансфинитной индукции следующими формулами:

А - множество предельных точек множества А, А(а) = (а-1)) , если а - непредельный ординал и А(а) = | А(в), если а - предельный ординал.

р<а

Если А с Ж., то по теореме Кантора - Бендиксона [1, с. 162] существует наименьший счетный ординал а, такой, что производная а -го порядка А(а) является совершенным множеством. Если замыкание множества А счетно, то совершенное множество А(а) = 0 . Если множество А счетно и компактно, то ординал а не может быть предельным и, следовательно, существует ординал р, такой, что

А(в) ф0 и А(в+1) = А(а) = 0 . Такой ординал р будем называть высотой счетного компакта А .

Определение. Высотой компакта Е будем называть наименьший ординал а,

такой, что Е(а) = 0 .

Теорема 1. Пусть множество Е замкнуто в Ж.. Тогда пространство БЕ го-меоморфно Б.

Доказательство. Так как БЕ \ Е открыто в пространстве Ж, то

да

БЕ \ Е = и (, Ьк), где (ак, Ьк) | (а1, Ь1 ) = 0, если к ф I. В каждом из ин-

к=1

(к 1к\ к к к а ,Ь ) рассмотрим последовательности а1 > а2 >... > ап >... и

Ьк < ь2; <... < Ькп <..., такие, что М акп = ак и 8ирЬкп = Ьк, причем а1 = Ь1. Рас-

пп

смотрим функции

/кп : (аП+1, ак а*^, акп) и gkn : (ь^, Ькп+1 , ьП+1),

которые гомеоморфно отображают открыто-замкнутые множества (ап+1, акп ^ с БЕ и (Ьпк,Ьк+1]сБЕ на открыто-замкнутые множества [а^^п)сБг и \ькп ,Ькп+1 )сБг. Обозначим через ф отображение БЕ \Е на (Б\ Е)^, определенное по формуле

( ) /(х),*фп+1,ак], Ф(Х Ч £ (*), * е(ьЦ, Ь п+1 ]..

Очевидно, отображение ф является гомеоморфизмом БЕ \ Е на (Б \ Е. Заметим, что если точка х е (ап+1, акп ], то |х -ф(х)| < |ак+1 - а^ . Аналогично, для

* е (Ьк, Ьк+1 ] .

Докажем, что отображение

(* ) = {

(ф(х), х е Бе \ Е

, ч ( х, х е Е, У(х ) = {ф

является гомеоморфизмом БЕ на Б^.

Действительно, на открытом множестве SF \ F отображение у совпадает с отображением ф , а значит, является гомеоморфизмом. Пусть теперь x е F, последовательность xl е SF и lim xl = x . Для произвольного е > 0 выбирем l0 так,

i ^вд

е

что 0 < x^ - x < 2. Выберем номер p > l0 такой, что при l > p выполняется неравенство x < xl < xl . Более того, если l > p и xl е \ akl,bkl), то bkl < xl и, следо-

ll0 Г l L "l "l ) nll0

вательно, |akl - bk I < — . Тогда, если xl g F , то

I "l "i\ 2

k(x )-v(xl ) = lx -v(xl )< lx - xll+1 xl -v(xl )< lx - xll+|a"l- b"l| <-2+"2=е.

Если xl е F , то при l > p |у (x) - у (xl )| = |x - xl | < |x - x^ | < е /2. Таким образом, непрерывность отображения у доказана. Непрерывность отображения у-1 доказывается аналогично.

Следствие 1. Пусть x1,...,xn е S . Тогда S{x x } гомеоморфно S.

Следствие 2. Пусть A с S - счетное дискретное множество. Тогда SA гомео-морфно S.

Докажем что, если A с Ж. - произвольное счетное множество, замыкание которого также является счетным, то SA гомеоморфно S. Для этого потребуются некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пространства (a,b](ab) и (a,b] гомеоморфны, где a,b е S и a <b .

Доказательство. В интервале (a, b) рассмотрим последовательности

a1 > a2 >... > an >... и b1 < b2 <... < bn <..., такие, что inf an = a и supbn = b , при" n

чем a1 = b1. Рассмотрим отображение у:(a,b](ab) ^(a,b], которое гомеоморфно отображает промежутоки (an+1, an ]с( a, b](a,b) и (bn, bn+1 ]с( a, b](a,b) на открыто-замкнутые подмножества (an+1,an]с(a,b], (bn,bn+1 ]с(a,b] соответственно, и у (b) = b . Нетрудно видеть, что такое отображения является гомеоморфизмом.  Лемма 2. Пространства (a,b]^pj и (a,b] гомеоморфны, где p е(a,b).

Доказательство. В интервале (a, p) рассмотрим последовательности

a1 > a2 >... > an >... и p1 < p2 <... < pn <..., такие, что inf an = a и suppn = p ,

nn

Определим отображение у, которое гомеоморфно отображает открыто-замкнутые множества (an+1,an]с(a,p]^pj и (pn,pn+1 ]с(a,p]^pj в открыто-замкнутые

подмножества [an+1,an)с(a,p]^ , [bn,bn+1 )с(a,p]^ соответственно. На интервале (p,b) отображение у определяется аналогично и у(p) = p, у(Ь) = b . Нетрудно видеть, что отображение у : (a,ba,b](ab) .Тогда, по лемме 1,

множество (a,b]{гомеоморфно (a,b].

Следствие 3. Пространства (а,Ь]р р } и (а,Ь] гомеоморфны, где {Рl,•••, Рп }с( ^ Ь) •

Теорема 2. Пусть счетное множество А с Ж. такое, что его замыкание А относительно Ж. счетно. Если А с (а,Ь), то (а,Ь]А гомеоморфно (а,Ь].

Доказательство. Доказательство проведем, используя метод трансфинитной индукции по высоте компакта Г = А. Напомним, что высотой компакта Г называется а, такой, что Г(а) - последняя непустая производная компакта Г. Очевидно, множество Г(а) конечно.

Пусть а = 0, т.е. множество Г конечно. Поскольку в этом случае А = Г, то по следствию 2 пространство (а,Ь]А гомеоморфно (а,Ь].

Пусть а = 1, т.е. Г' - конечное множество на (а,Ь)А . Пусть х1 < х2 <... < хт точки множества Г' и точки а = р0 < р1 <... < рп = Ь такие, что р^_1 < х < и pi й Г , где i = 1, п . Рассмотрим разбиение множества

(-1, Pi )\ {x} = l U К+1, ] I и I U b, ьт+1

V т=1 / V т=1

где точки am и bm не принадлежат множеству F, и sup am = inf bm = pi при всех

m

m e N . Поскольку на промежутке (pi-1, pi ] точка x - единственная предельная точка множества F, то каждый из промежутков (am+1, am ] и (bm, bm+1 ] содержит лишь конечное число точек множества A . Тогда по следствию 2 каждый из промежутков ( am+1, am ]a и (bm , bm+1 ]a гомеоморфен ( am+1. am ] и (bm , bm+1 ] соответственно. Если xi g A , то промежуток (pi_1; pi ]A гомеоморфен (pi_1; pi ]. Если

же xi e A , то промежуток (pi_1; pi ]A гомеоморфен (pi_1; pi ]{x} и по лемме 2 (pi_1; pi ]{x} гомеоморфно (pi_1; pi ]. Так как промежуток (a, b] есть дизъюнктное

объединение открыто-замкнутых прометков (pi_1, pi ] и каждый из этих промежутков гомеоморфен (pi_1, pi ]A , то промежуток (a,b] гомеоморфен (a,b]A .

Пусть a - произвольный ординал и компакт F высоты a. Предположим, что для всех компактов высоты p<a теорема доказана. Поскольку F(a) последняя непустая производная компакта F, то F(a) содержит лишь конечное число точек, то есть F(a) = {x1,..., xn} с (a,b).

Рассмотрим точки a = p0 < p1 <... < pn = b такие, что pi_1 < xi < pi и pi g F , где i = 1, n . Рассмотрим разбиение множества

(р_1, р )\{х }=1 Ц (ат+1, ат ] I и I и (Ьт , Ьт+1 ]

V т=1 ) V т=1

где точки ат и Ьт не принадлежат множеству Г, и Бир ат = ^ Ьт = Рi при всех

m

m е N . Поскольку на промежутке (pipi ] точка xi - единственная точка множества F(а), то для любого m е N компакты (am+1, am ] p F и (bm, bm+1 ]p F имеют высоту ßm < а . Тогда по предположению индукции каждый из промежутков (am+U am ]a и (bm , bm+1 ]a гомеомоРфен (am+U am ] и (bm , bm+1 ] соответственно. Если xi i A , то промежуток (pi_1; pi ]A гомеоморфен (pi_1; pi ]. Если же xi е A , то промежуток (pi_1; pi ]A гомеоморфен (pi_1; pi ]{x} и по лемме 2 (pipi ]{x} гомеоморфен (pi_1; pi ]. Так как промежуток (a,b] есть дизъюнктное

объединение открыто-замкнутых промежутков (pi_1, pi ] и каждый из этих промежутков гомеоморфен (pi_1, pi ]A , то промежуток (a, b] гомеоморфен (a,b]A .

Теорема 3. Пусть счетное множество A с Ж. таково, что его замыкание A относительно К счетно. Тогда SA гомеоморфно S.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую последовательность {an }n=, такую, что an g F, lim an = +w и lim an = _w. Положим An = Ap (an, an+1 ].

Тогда по теореме 2 множество (an, an+1 ]A гомеоморфно (an, an+1 ]. Поскольку

w

SA = U (an, an+1 ]A и все множества (an, an+1 ]A открыто замкнуты, то SA гомео-

An An

n =1

морфно S .

Следствие 4. Пусть A - счетное замкнутое подмножество в S . Тогда SA го-меоморфно S .

Доказательство. Рассмотрим замыкание множества A в евклидовой топологии прямой Ж.. Заметим, что замкнутые множества A с S и A с Ж отличаются не более чем счетным числом точек. Это следует из того, что открытое множество на прямой S имеет вид

/ w Л I w

Ute, b )J U [ U( c-, dj ]

где ai < bi и c}- < dj для всех i, j е N . Следовательно, множество A счетно. Так

как множество A является всюду плотным подмножеством множества A , то по теореме 3 пространство SA гомеоморфно S .

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977. 368 с.

2. Куратовский К.,Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

3. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986, 752 с.

4. Chatyrko VA., Hattori Y. A poset of topologies on the set of real numbers // Comment. Math. Univ. Carolin. 2013. V. 54. No. 2. P. 189-196.

Статья поступила 23.06.2014 г.

68

E.C. Cyxanesa, T.E. XMbmesa

Sukhacheva E.S., Khmyleva T.E. ON SOME LINEARLY ORDERED TOPOLOGICAL SPACES HOMEOMORPHIC TO THE SORGENFREY LINE

In this paper, we consider a topological space SA which is a modification of the Sorgenfrey line S and is defined as follows: if a point x e A c S , then the base of neighborhoods of the point x is a family of intervals {[a, b): a, b e R, a < b u x e[a,b)}. If x e S \ A , then the base of neighborhoods of x is {(c,d]: c,d e R,c < dux e (c,d]} . Itis proved that for a countable subset A c R the closure of which in the Euclidean topology is a countable space, the space SA is homeomorphic to the space S. In addition, it was found that the space SA is homeomorphic to the

space S for any closed subset A c R . Similar problems were considered by V.A. Chatyrko and Y. Hattori in [4], where the "arrow" topology on the set A was replaced by the Euclidean topology. In this paper, we consider two special cases: A is a closed subset of the line in the Euclidean topology and the closure of the set A in the Euclidean topology of the line is countable.

The following results were obtained:

Let a set A be closed in R . Then the space SA is homeomorphic to the space S. Let a countable set A c R be such that its closure A is countable relatively to R . Then SA is homeomorphic to S .

Let A be a countable closed subset in S. Then SA is homeomorphic to S .

Keywords: Sorgenfrey Line, derivative set, homeomorphism, ordinal.

SUHACHEVA Elena Sergevna (M.Sc., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: Sirius9113@mail.ru

KHMYLEVA Tatiana Evgenievna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University Russian Federation) E-mail: TEX2150@yandex.ru

REFERENCES

1. Aleksandrov P.S. Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshchuyu topologiyu. Moskow, Nauka Publ., 1977, 368 p.

2. Kuratovskiy K., Mostovskiy A. Teoriya mnozhestv. Moskow, Mir Publ., 1970, 416 p.

3. Engel'king R. Obshchaya topologiya. Moskow, Mir Publ., 1986, 752 p.

4. Chatyrko V.A., Hattori Y. A poset of topologies on the set of real numbers. Comment. Math. Univ. Carotin, 2013, vol. 54, no. 2, pp. 189-196.