О геометрии 3-мерного действительного многообразия

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 514

О ГЕОМЕТРИИ 3-МЕРНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ

© А.И.Долгарев

Геометрия многообразия Я3 объединяет все возможные геометрии на Я3: аффинные, евклидовы, галилеевы и т.д. Свойства многообразия, изучаемые в одной из частных геометрий, являются неотъемлемыми свойствами многообразия Я3. Например, неоднородность галилеева пространства есть неоднородность многообразия Я3.

Ключевые слова: галилеевы кривизны кривой, геометрия действительного многообразия, некоммутативная геометрия.

Обычно изучается конкретная геометрия некоторого пространства: аффинная, евклидова, галилеева и т.д. Свойства фигур, выявленные в одной геометрии, никак не используются в изучении свойств фигур в другой геометрии, хотя изучаются одни и те же фигуры в различных геометриях.

Рассматривая свойства геометрических объектов евклидова и псевдоевклидова пространств, П.К.Рашевский придерживается одной идеи, способствующей единому пониманию этих свойств [1: 177, 195, 199, 263]. В своей работе он рассматривает изображение объектов евклидова и псевдоевклидова пространств в их сравнении с соответствующими объектами аффинного пространства. Всякий объект (репер, плоскость и т.д.) евклидова и псевдоевклидова пространств является объектом аффинного пространства, но как аффинный объект он не обладает евклидовыми и псевдоевклидовыми свойствами. Введя в аффинное пространство скалярное произведение его векторов, мы выявляем метрические свойства рассматриваемых объектов; аффинная геометрия метрических свойств объектов не выявляет, хотя объект таковыми свойствами обладает. Плоскость аффинного пространства А обладает и евклидовыми, и псевдоевклидовыми свойствами. Обнаружить эти свойства позволяет соответствующее скалярное произведение векторов в линейном пространстве Ь аффинного пространства А .

Используем идею П.К.Рашевского в изучении кривых линий в различных геометриях, получаемых на основе аффинной геометрии, затем разовьем эту идею несколько шире. Рассматриваем 3-мерные пространства.

Евклидовы и галилеевы кривые

Евклидовы кривые

В некотором репере аффинного пространства А3 задана кривая

г

где I интервал в поле Я действительных чисел; Ь3 есть действительное линейное пространство аффинного пространства А3 . Определив в Ь3 евклидово скалярное произведение векторов, получаем евклидово векторное пространство V3; аффинное пространство А3 становится евклидовым пространством Е3. Кривая (1) становится евклидовой кривой. Считаем ее регулярной класса С3. Для евклидовой регулярной кривой определены функции кривизны к1 = к1 (г) > 0 и кручения к2 = к2 (г) . Заданные функции кривизн однозначно определяют евклидову кривую с точностью до положения в Е3.

Галилеевы кривые

В линейном пространстве Ь3 определяем галилеево скалярное произведение векторов [2: 33]. Линейное пространство Ь3 становится галилеевым векторным пространством V3, аффинное пространство А3 превращается в пространство Галилея А3. Галилеева норма вектора у = ( х, у, г ) равна

^у2 + г2, апёе х = 0.

Геометрия пространства А3 рассматривается нами в работе "Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств" [2: 46-101]. Кривая (1) лежит в пространстве Галилея А3 , считаем ее регулярной. Ввиду регулярности кривой для функции х(г) существует обратная функция г(х) и галилеева кривая (1) записывается в параметризации (после переобозначения параметра):

у

смысл параметра t есть время. Параметризация (2) является естественной, \у\ = 1, / ^ У . Кривизна и кручение кривой (2) равны соответст-

венно

Ь = \?\ = >/у2 + г2 , k2 =

По приведенным вычислительным формулам кривизны и кручения кривой получается система обыкновенных дифференциальных уравнений

Г у2 + 22 = к12,

I - у 2 = к2 к2.

При заданных функциях к1 = к1 (0^ 0, к2 = к2 (t) функции у (t), 2 (t) являются решением системы уравнений (4) и кривая (2) определяется с точностью до положения в пространстве Галилея А3. Галилеевы кривизны евклидовой кривой В задании регулярной евклидовой кривой (1) функция х(), как отмечалось в п.1.2, обладает

обратной t = t (х) , кривая (1) записывается в виде:

г

это так называемая выделенная параметризация кривой (1) (См.: [3]), которая напоминает естественную параметризацию (2) галилеевой кривой. Для евклидовой кривой определим галилееву кривизну кА и галилеево кручение кА по виду

действительные числа, получаем на И3 алгебраическую структуру О = ’, +,оя (+))• Струк-

тура О называется действительным одулем Ли, если (И3, +) группа Ли и для о,тєО, ґ,s є И ,

выполняются аксиомы: (а) 1 • о = со , (-1) = -о,

0о = 9; (б) 5(ґо) = (sґ)о; (в) (5 + ґ)о =  + ґо ; (г) ґ(-т + о + т) = -т + ґо + т, где 0;1 є И, 9 нулевой элемент группы (И 5, +) [2: 103-104]. Оду-

ли над кольцом определил Л.В.Сабинин [4], оду-ли Ли ввел автор [2]. Элементы одуля называются одулярами.

Линейное над И пространство является оду-лем Ли. Примеры операций на И3, задающих одули Ли: (а) альтернативное линейное пространство

(х, У, z ) + (и, V, м>) =

= (х + и, у + V + хи, z + ^ + XV + уи ),

ґ (х, У, г ) =

(

хґ, уґ + X'

(ґ - 1)ґ

, ч 3 (ґ- 2)(ґ- 1)ґ

гґ + ху (ґ - 1)ґ + х --------—-------—

растран

ґ є И;

однородный

(х, у, 2) + (и, V, ^) = (х + и, у + УЄХ, 2 + ^е* ):

формул (3): кА (х) = д/ у2 + 22 , к2 (х) = У 2 к2 У 2 .

к1

Если заданы функции к1А (х) и кА (х), то функции у (х) и г (х) в параметризации (5) являются решением системы дифференциальных уравнений вида (4), найденным по галилеевым натуральным уравнениям. Значит, найдена и кривая в параметризации (1).

Линия (1), заданная как аффинная линия, более полно характеризуется своими евклидовыми или галилеевыми свойствами. Возможности такой характеризации заложены в аффинной геометрии. И евклидова, и галилеева кривая в окрестности своей обыкновенной точки являются либо отрезком прямой, либо дугой (соприкасающейся) параболы, либо дугой винтовой линии, то есть строение евклидовой и галилеевой кривой одно и то же.

Одулярные кривые

Действительные 3-мерные одули Ли

Вводя на действительном многообразии И3 внутреннюю операцию "+" и связанную с ней внешнюю операцию соК (+) умножения троек на

І ехґ -1 ех

ґ(х,У,2) = І хґ, у------------, г-

-1

х ф 0;

ех -1 ех -\/ t (0, у, г) = (0, yt, ), I е И . Альтернативное линейное пространство вида (а) обобщает 2-мерное пространство а Ь2 из [5] на 3мерный случай; в [6] рассматривается альтернативная аффинная плоскость с коммутативной и нелинейной геометрией. Изложение геометрии "альтернативной аффинной плоскости Долгаре-вых" содержится в [7: 237-261]. В [2: 106-108] приведены и другие одули Ли на многообразии И3. Для одуляров определено галилеево скалярное произведение и галилеева норма [2: 119-121].

ВО-пространства.

Геометрия многообразия И3 Тройки из И3 интерпретируются и как точки, множество точек обозначается W. Задано отображение W х W , удовлетворяющее аксиомам Г.Вейля [2: 128]. Тем самым многообразие И3 превращено в вейлевское одулярное пространство, кратко ВО-пространство. Среди ВО-пространств содержится аффинное пространство, евклидовы пространства, пространство Галилея, несколько видов некоммутативных галилеевых

А.И.ДОЛГАРЕВ

пространств и т.д. Все они имеют общую аксиоматику - векторную аксиоматику Г.Вейля.

Далее рассматриваем единую геометрию многообразия И3, она содержит в себе в качестве составных частей все одулярные геометрии: аффинные, евклидовы, всевозможные галилеевы геометрии и т.д. На многообразии И3 определены всевозможные операции над одулями Ли, всевозможные скалярные произведения одуля-ров. При изучении свойств фигур используется любой из одулей Ли; свойства фигур влияют и на свойства многообразия И3 .

Кривые многообразия И3

Кривая многообразия И3 описывается оду-лярной функцией вида

х ( ), у (), г () действительные функции действительного переменного. Рассматривая кривую (6) в аффинной геометрии, изучаем ее аффинные свойства. Кривая обладает галилеевыми свойствами, растранными свойствами и другими оду-лярными свойствами. Для одулярных функций определены производные (См.: [2]). В частной дифференциальной геометрии каждого из оду-лярных пространств кривая (6) однозначно определяется функциями кривизны и кручения. Это свойство одулярной кривой не зависит от той частной геометрии, в которой кривая рассматривается.

Регулярная одулярная кривая может быть представлена в виде (5). Одуляр о(х) = г (х) в

(5) в репере В = (о, 1, j, к) имеет разложение со (х) = х1 + у (х) j + г(х)к . Одуляр галилеевой кривизны О = у j + г к кривой (5), а значит, и кривой (6), параллелен плоскости (о, j,к^ ; одуляр галилеева кручения п = к(—2 ( + у к ) также

параллелен указанной плоскости. Следовательно, соприкасающаяся плоскость (Р,а>, Щ кривой (6), где точка Р лежит на кривой, параллельна плоскости (О, j,к >. Этим самым в многообразии И3

выделяется 2-мерное направление - аналог плоскости эклиптики.

Таким образом, пространство, содержащее кривую (6), неоднородно, оно имеет различные свойства в различных направлениях. Это связано с наличием в 3-мерных галилеевых пространствах направления во времени. Не существует преобразования пространства-времени, в котором временное направление заменялось бы пространственным направлением и наоборот.

Приведенные соображения означают следующее: 1. Геометрия действительного многообразия И3 едина, содержит в качестве разделов аффинные, евклидовы геометрии (коммутативные и некоммутативные) и т.д., в которых изучаются геометрические свойства одних и тех же объектов - линий, поверхностей и прочих; 2. Отдельные свойства многообразия, в частности галилеевы свойства, оказывают существенное влияние на свойства многообразия И3; 3. Многообразие И3 неоднородно по своим геометрическим свойствам. Геометрия многообразия И3 близка к геометрии окружающего мира.

1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664 с.

2. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств: монография. - Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005. - 306 с.

3. Долгарев А.И., Долгарев И.А. Некоторые приложения галилеевых методов // Изв. высш. учеб. заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2009. - №2(9). - С.39-59.

4. Сабинин Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // ДАН СССР. - 1977. - №5. -С.800-803.

5. Долгарев А.И., Долгарев И.А. Альтернативное 2мерное действительное линейное пространство. Группа Ли замен базисов пространства // Владикавказский математический журнал. - 2008. -Т.10. - Вып.2. - С.9-20.

6. Долгарев А.И., Долгарев И.А. Альтернативная аффинная плоскость // Владикавказский математический журнал. - 2007. - Т.9. - Вып.4. - С.4-14.

7. Хубежты И.А. Теория плоскостей. - Владикавказ: СОГУ, 2009. - 475 с.

ON THE GEOMETRY OF THE REAL THREEFOD VARIETY

A.I.Dolgarev

The geometry of variety of R3 unites all possible Geometry on R3: affine, Euclidean, Galilean and etc. The properties of variety studied in one of private Geometries, are the inherent properties of variety of R3. For example, inhomogeneity of Galilean space attracts inhomogeneity of variety of R3.

Key words: Galilean properties of curve; geometry of the real variety; noncommutativity of Geometry.

Долгарев Артур Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета.

E-mail: delivar@yandex.ru

Поступила в редакцию 11.12.2010