Метод расчета электромагнитного момента для моделирования асинхронного двигателя

УДК 629.423.1

В.В. Купцов, М.Ю. Петушков, А.С. Сарваров, Валяева А.М.

МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО МОМЕНТА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Предложена методика расчета электромагнитного момента асинхронного двигателя через тензор напряжения Максвелла для задач конечно-элементного моделирования. Результаты расчетов сравниваются с известным методом косвенного определения момента АД.

The method of calculation of electromagnetic moment of asynchronous engine is offered through the tensor of tension of Maksvella for the tasks of eventual-element design. The results of calculations are compared to the known method of indirect determination of moment АD.

Дальнейшее развитие теории электрических машин сложно представить без разработки комплексных математических моделей, максимально использующих возможности современной вычислительной техники. На кафедре электроники и микроэлектроники Магнитогорского государственного технического университета ведутся работы в одном из таких направлений. Речь идет о разработке конечно-элементных математических моделей асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором. Метод конечных элементов [1-5] находит все большее применение при расчете электротехнических устройств, благодаря высокому уровню приближения математической модели к объекту исследования на уровне физики протекающих в нем электромагнитных, электромеханических и тепловых процессов. Фактически данный уровень приближения ограничивается только возможностями используемой компьютерной техники. Так, в частности, при моделировании асинхронных двигателей, метод конечных элементов позволяет точно учитывать геометрию машины в ее поперечном сечении, а также электрические параметры двигателя, включая нелинейность кривой намагничивания, сопротивление стержней и соединительных колец ротора и другие особенности, как например, возможные дефекты в магнитной и витковой системе электрической машины.

Фундаментальную роль в преобразовании энергии электромагнитного поля двигателя в механическую энергию вращения ротора играет электромагнитный момент. В задачах численного анализа электрических машин для вычисления сил и моментов наибольшее распространение получили методы, основанные на интегрировании так называемого тензора напряжения Максвелла (Maxwell's stress tensor) [4-6].

Рассмотрим ротор двигателя и замкнутую поверхность Б, окружающую ротор (рис. 1). Используя тензор напряжения Максвелла можно получить выражение для элементарной силы, действующей со стороны магнитного поля:

Л Е =

1

л

Мо

Л

В• п

V У

В -

1

В2 п

2мс

где П - вектор единичной нормали к поверхности Б. Поскольку поле в поперечном сечении двигателя обычно принимается плоскопараллельным, то вектор магнитной индукции можно представить двумя ортогональными составляющими:

В = ВпП + в, г

где Вп - составляющая, нормальная к поверхности Б; В1 - составляющая, тангенциальная к поверхности Б;

t - вектор единичной касательной к поверхности Б.

Рис.1. Поперечное сечение двигателя и поверхность интегрирования Б

Подставив (2) в (1), получим:

1 lío Л1 1 1

dF — — & - Bf ) n--BnBtt.

2Mo Mo

Момент, действующий на ротор со стороны магнитного поля, может быть выражен интегралом по поверхности S следующим образом:

м = $

(1

r х d F dS — S v J

r х

—(Bl - b2 )n -—BnBt 1

o V n t ) n t

2Mo Mo

\

dS,

i

где Г - радиус-вектор точки, лежащей на поверхности Б. Поскольку нормальная составляющая силы не участвует в создании вращающего момента, то выражение (4) можно упростить:

M

с

r х

V

1 Mo

BnBt t

dS

Принимая допущение о плоскопараллельности поля внутри двигателя, интеграл по поверхности Б можно заменить криволинейным интегралом по замкнутому контуру Г, в который вырождается поверхность Б:

М = l

с

r х

V

1 1

— BnBt t Mo

dr

l

где I - длина активного пространства двигателя. Подставив в (6) следующие выражения:

1 1 1 1

r х t — r * t

sin

v 2 У

Dr + L

r о

2

dr = сфф

2

получим:

I +¡8)

2 2п

8,'

М = _ ¡'В- 8 •{ В„В^ф

4-о о

где йг - диаметр ротора,

¡5 - ширина воздушного зазора.

Возвращаясь к методу конечных элементов, рассмотрим приведенный на рис. 2 фрагмент сетки конечных элементов расчетной области поперечного сечения двигателя в области воздушного зазора. Сетка состоит из трех слоев, образованных треугольными конечными элементами.

Используя рис. 2, формулу (7) для вычисления электромагнитного момента можно приближенно записать в виде:

М = _ 1 ,(Рг + ¡8)2 У Впл_1 В1Л-\ + ВплВи Аф

4-0 ы 2 Щ '

где Бп.| и Bt.i - соответственно нормальная и тангенциальная, относительно контура интегрирования Г, составляющие вектора магнитной индукции в центре масс ьго конечного элемента среднего слоя сетки воздушного зазора двигателя;

N - число конечных элементов в среднем слое сетки воздушного зазора.

В формуле (8) используется среднее между двумя соседними конечными элементами значение произведения Бп Bt.

В работе [7] изложена методика косвенного определения моментов на валу АД, согласно которой момент АД определится как:

еа = иа _ * а ' К

еь = иь _ *'ьш К

Уа =_! еа& ,

Уь = _\ Ь мэм = 4~3 р-

где К - активное сопротивление обмотки статора;

р - число пар полюсов асинхронного двигателя;

иа, иь, 1а, Ь еа, еь, Уа' УЬ' - мгновенные значения фазных напряжений, токов, э.д.с. и потокосцепления соответственно;

Мэм - электромагнитный момент асинхронного двигателя.

Рис.2. Пояснение к расчету электромагнитного момента

Рис.3. Сравнение кривых электромагнитного момента пуска АД, рассчитанных двумя методами

На рис. 3 представлена кривая электромагнитного момента, рассчитанного через тензор напряжения Максвелла по формуле (8), полученная при моделировании прямого пуска АД. По результатам моделирования была получена еще одна кривая электромагнитного момента АД, рассчитанного косвенным методом по формулам (9).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Пер. с англ., М: Мир, 1979. - 393с.

2. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УРО РАН, 2000 г. - 654 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001 г. - 632 с.: ил.

4. Luomi, J. Finite element methods for electrical machines. Lecture notes for a postgraduate course in electrical machines. Chalmers University of Technology, Department of Electrical Machines and Power Electronics, Göteborg, 1993.

5. Chari, M. V. K., Silvester, P. P. . Finite elements in electrical and magnetic field problems. J. Wiley & Sons, New York, 1980 - 219 p.

6. Sadowski, N. Lefevre, Y. Lajoie-Mazenc, M. Cros, J.Finite element torque calculation in electrical machines while considering the movement.

7. Определение энергосиловых параметров процессов обработки металлов давлением косвенным методом / А.А. Радионов, Д.Ю. Усатый, А.С. Карандаев, А.С. Сарваров. - М.: 2000.

УДК 629.423.1

А.С. Сарваров , В.В. Купцов

РАЗРАБОТКА КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С КОРОТКОЗАМКНУТЫМ РОТОРОМ

В настоящее время для расчета магнитных полей в электрических машинах часто используется метод конечных элементов (finite-element method) [1,2,4]. В основе этого метода лежит разбиение расчетной области сеткой конечных элементов, чаще всего треугольников, как это показано на рис.1 для поперечного сечения асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором. Значения поля рассчитываются либо в узлах сетки, либо в центре тяжести каждого конечного элемента.