О приближении почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве

148

УДК 517.4

М. В. Кретов

О ПРИБЛИЖЕНИИ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрено приближение почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве тригонометрическими полиномами.

Approach of almost periodic function with values in Banach space by trigonometric polynomials is considered.

Ключевые слова: почти периодическая функция, банахово пространство, тригонометрический полином.

Key words: almost periodic function, Banach space, a trigonometric polynomial.

Основной в теории скалярных почти периодических функций является теорема аппроксимации, утверждающая, что каждую почти периодическую функцию можно равномерно на всей оси аппроксимировать тригонометрическими многочленами [1]. Отсюда вытекает, что эта теорема справедлива и для почти периодических вектор — функций со значениями в конечномерном пространстве, то есть такую функцию можно равномерно на всей оси аппроксимировать вектор — функциями, у кото-рыгх компоненты являются тригонометрическими многочленами. Можно показать, что аналогичный результат имеет место для почти периодических функций со значениями в банаховом пространстве E. Для этого введем понятие тригонометрического полинома в пространстве E.

Определение. Выражение

P(x) = ±CkeiVkX, k=1

где Ck— элементы пространства E; i = V—1; vk и x — действительные числа, называется тригонометрическим полиномом в банаховом пространстве E.

Теорема. Пусть f - почти периодическая функция со значениями в банаховом пространстве E. Тогда для любого числа є>0 существует конечный тригонометрический многочлен

Ps (x) = ±CkeiVkX, k=1

удовлетворяющий неравенству ||f (x) - p£(x)|| <є, где x - любая точка действительной оси.

Доказательство. Обозначим множество значений функции f через B. Множество B компактно [2]; значит, существует конечная є-сеть для любого числа є > 0: y1, y2, ..., ym, то есть для любого числа х0 найдется такое число k0, что будет иметь место ||f

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 4. С. 148—150.

Рассмотрим функцию

у(х) = -

где

ц (х) = ГеЧ1 /(х) - уА , есН1 /(х) - уЛ <е' [0, иначе.

Функция ц к (х) является почти периодической функцией, так как

|ц к(х+х) - Цк(х ^=|Н1 /(х+т) - Ук II -8+11 /(х) - уЛ <28

Легко видеть, что Ш

Хц

= у > 0; значит, у(х) является почти пе-

риодической функцией.

Заметим, что при фиксированных х значения функции у(х) принадлежат выпуклой оболочке тех ук, которые удовлетворяют неравенству ||/(х) - ук|| <е; следовательно, ||/(х) - у(х)|| <8 для любого числа х.

Так как функция у(х) является почти периодической вектор — функцией со значениями в конечномерном пространстве, которую можно аппроксимировать тригонометрическими многочленами, то теорема доказана.

Следствие. Для каждой почти периодической функции /х) со значениями в банаховом пространстве Е существует среднее значение

1 Т

М{ /(х)} = Тип -1 /(х) йх.

Т 0

Доказательство. Согласно теореме рассмотрим тригонометрический

п ^

многочлен Q(х) = 2СкегХкх такой, что ||/(х) - Q(x)|| < —. Так как сущест-к=1 2

1 т 1 т

вует Тт т 1Q(x) йх, то для функции а (Т) = т | Q(х) йх при достаточно

Т •

больших Т1 и Т2 имеет место неравенство ||а(Т1)- а(Т2)||< — .

1

Рассмотрим функцию Ь (Т) = т | /(х) йх и оценим разность при достаточно больших Т1 и Т2:

||ь (Т1) - ь 02)1 =

1 Т1 1 Т2

— | /(х)йх - — | /(х)йх

-М П -‘-О п

—I(/(х) - 0(х)) йх

Т1 0

—1( /(х) - 0(х)) йх Т

2 0 Т1

3

< — 8, 2

к=1

к=1

где 8 > 0 — любое положительное число.

150

Следовательно, множество значений функции b(T) фундаментально и элементы этого множества есть элементы пространства E, а так как банахово пространство полно, то множество b(T) сходится к некоторому элементу из E. Следствие доказано.

Список литературы

1. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М., 1953.

2. Кретов М. В. О почти периодических функциях со значениями в банаховом пространстве / / Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 4. С. 162 — 166.

Об авторе

М. В. Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: kretov20062006@yandex.ru

About author

Dr M. V. Kretov — assistant professor, I. Kant Federal University, Kaliningrad.

E-mail: kretov20062006@yandex.ru