Двухуровенный алгоритм оптимизации плоских стержневых систем при ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости

Вестник ТГАСУ №2, 2007

143

D.G. KOPANITSA, S.L. KAPARULIN, V.I. SAVCHENKO,

V.G. KOSHTUNKOV, A.S. PLYASKIN

VIBRATIONS OF A SPATIAL SKELETON OF CONCENTRATING FACTORY UNDER ACTION OF PERIODIC LOADINGS

The results of experimental researches of dynamic parameters of building bearing structures of concentrating factory are presented in the paper. The reasons of vibrations origin caused by joint action of working mechanisms of spatial skeleton are revealed. The results are presented in the form of axcelerogramms and spectra of capacity of fluctuations.

УДК 624.045

Б.А. ТУХФАТУЛЛИН, канд. техн. наук, доцент,

Л.Е. ПУТЕЕВА,

ТГАСУ, Томск

ДВУХУРОВЕННЫЙ АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ ПО ПРОЧНОСТИ, ЖЕСТКОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ

Рассматривается задача оптимального проектирования упругой стержневой системы при многопараметрическом загружении. Решение задачи разделяется на два уровня. На нижнем уровне определяются оптимальные размеры поперечных сечений стержней из условий прочности, жесткости, общей и местной устойчивости, на верхнем - оптимальные соотношения жесткостей.

Цель работы - разработка алгоритма оптимального проектирования плоской стержневой системы, загруженной несколькими независимыми нагрузками. К ограничениям задачи относятся условия прочности, жесткости, общей и местной устойчивости и конструктивные требования.

Рассчитываемая конструкция выполнена из линейно-упругого материала. Очертание осей, условия опирания и сопряжения элементов между собой в узлах, места приложения нагрузки заданы. Форма поперечного сечения описывается шестью параметрами (рис. 1, а). Предполагается, что приложенные нагрузки могут принимать любые значения из интервала:

0 < F < F ,

] Лтах ’

а количество возможных сочетаний нагрузок представляет собой счетное множество.

Критерий оптимальности - функция объема расходуемого материала

V =У(^ ^ •••, ).

Все ограничения задачи записываются в виде слабых неравенств.

© Б.А. Тухфатуллин, Л.Е. Путеева, 2007

Условия прочности:

С < ^ , X < ^ , Сжв =7 С2 + 4т 2 < ^ .

Ограничение по общей устойчивости:

ky • F < Fcr.

Ограничения по местной потере устойчивости:

С < С ^ .

Вертикальные и горизонтальные перемещения не должны превышать допускаемых значений:

V < [у], u < [и].

Конструктивные требования, накладываемые на размеры сечений:

Хмтт < X < Х',тах , * = 1, 2, - ,6 ' П .

Так как усилия и перемещения зависят от приложенных нагрузок линейно, то для обеспечения условий прочности и жесткости достаточно осуществлять соответствующие проверки при всех возможных сочетаниях, в которые та или иная нагрузка входит со своим экстремальным значением. Покажем, что этих проверок будет достаточно и для ограничения по общей устойчивости. Пусть на систему действуют две нагрузки F1 и F2, каждая из

которых меняется по своему закону. Все многообразие пограничных поверхностей, отделяющих область устойчивой работы сооружения от неустойчивой, можно свести к трем случаям, когда критическая нагрузка от совместного действия F1 тах и F2 тах будет меньше, больше или равна критической нагрузке при действии на сооружение только F1max(рис 1, б-г). В силу выпуклости

пограничной поверхности [1] отрезок АВ будет принадлежать области устойчивости. Следовательно, критическая нагрузка, найденная по лучу ОС, будет всегда больше наименьшей из критических нагрузок, найденных по лучам ОА и ОВ. Таким образом, сооружение, запроектированное по устойчивости для всех возможных сочетаний нагрузок, будет устойчивым и в случае действия любых, в том числе и не экстремальных значений нагрузок.

Основная сложность при решении поставленной задачи оптимизации заключается в том, что внутренние усилия, перемещения и критические силы зависят от размеров поперечных сечений, которые на этапе формирования ограничений неизвестны.

Ограничения задачи можно разделить на две группы:

- ограничения по жесткости и общей устойчивости;

- ограничения по прочности, местной устойчивости, конструктивные.

Введем в рассмотрение две группы варьируемых переменных:

- вектор соотношений моментов инерции;

- вектор размеров поперечных сечений.

Для обеспечения требований общей устойчивости и жесткости расход материала на сечение должен обеспечить моменту инерции значение не меньше, чем того требует самое нарушенное из перечисленных ограничений.

При определении оптимальных размеров сечений из условий прочности, местной устойчивости, конструктивных требований соотношения между моментами инерции сохраняются. Основные этапы алгоритма следующие.

1. Задается начальное распределение жесткостей (вектор соотношений моментов инерции). Производится расчет системы при всех возможных сочетаниях нагрузок.

2. Из условий жесткости и общей устойчивости определяется величина момента инерции таким образом, чтобы оба ограничения удовлетворялись при всех возможных сочетаниях нагрузок. В результате будет получена нижняя оценка для момента инерции.

3. Для каждого типа жесткости вычисляется величина момента инерции.

4. Производится цикл по элементам, заключающийся в определении оптимальных размеров сечения из условия минимума площади при соблюдении конструктивных требований и условий:

- прочности;

- местной устойчивости;

- величина момента инерции должна быть не менее определенного в пункте 3 значения.

5. После завершения цикла получается оптимальный при заданных соотношениях моментов инерции проект.

Методами безусловной оптимизации определяется вектор относительных моментов инерции, определяющий минимум расхода материала на конструкцию. В результате будет получено оптимальное решение, выбранное среди систем с различным соотношением моментов инерции.

При оптимизации размеров сечений в пробной точке проверяются последовательно все ограничения. Если хотя бы одно из них нарушено, то с некоторым малым шагом размеры сечений пропорционально увеличиваются до тех пор, пока ограничение не станет удовлетворяться. Затем шаг изменения размеров уменьшается, и процедура повторяется до тех пор, пока точка не окажется на границе допустимой области. При нарушении ограничений по местной устойчивости одновременное увеличение размеров сечений не приведет к допустимой точке, так как эти ограничения накладывают определенные требования на соотношения между высотой и толщиной стенки, шириной и толщиной полок. В этом случае точку считают неудачной и исключают из дальнейшего рассмотрения.

Небольшое число варьируемых размеров в одном сечении позволяет построить процедуру последовательного улучшения целевой функции с рассмотрением в ходе поиска большего числа пробных точек, чем это обычно принято. При выборе новой точки в ряде поисковых методов [2] осуществляют сдвиг из начальной точки, циклически изменяя значение каждой переменной. При этом пробные точки располагаются по центрам граней куба (рис. 2, а). Так как размер сечения может увеличиваться, уменьшаться, оставаться без изменения, то число возможных сочетаний равно п3. Таким образом, предлагается ввести в рассмотрение дополнительные пробные точки, расположенные в вершинах куба и на серединах его ребер (рис. 2, б). После рассмотрения всех вариантов выбирается точка с лучшим значением целевой функции, из которой продолжается дальнейший поиск. Если ни один из вариантов не приводит к улучшению целевой функции, то шаг поиска (размер стороны куба) уменьшают. Для рассматриваемой задачи оптимизации шести размеров сечения число возможных сочетаний относительно невелико и равно 36 = 729. Проведенные исследования показали, что предложенный вариант позволяет получить существенно лучшие решения, чем методы прямого или случайного поиска [3].

Для определения оптимальных соотношений между моментами инерции сечений используется метод локальных вариаций [4].

Приведем пример оптимального проектирования каркаса здания (рис. 3, а). Величины нагрузок, действующих на раму (рис. 3, б) по каждому возможному сочетанию, приведены в табл. 1.

Исходные данные для расчета:

Ry = 210 МПа , R5 = 120 МПа , Е = 2,1 • 105 МПа, ky = 1,5, [у] = 3,6 см ,

[и] = 4,3 см , х13 5 > 10 см, х2 4 6 > 0,6 см.

Возможность потери устойчивости стоек из плоскости не учитывалась, устойчивость плоской формы изгиба ригелей обеспечивалась конструкцией покрытия и перекрытия.

• Начальная точка о Пробная точка (о; Точка с лучшим значением целевой функции Рис. 2

Рис. 3

Таблица 1

Номер возможного сочетания нагрузок Нагрузка, кН/м

41 42 43 44 45 46

1 3,18 14,88 - - - -

2 3,18 14,88 14,4 - - -

3 3,18 14,88 - 1,66 1,24 -

4 3,18 14,88 - - - 14,4

5 3,18 14,88 12,96 1,49 1,12 -

6 3,18 14,88 12,96 - - 12,96

7 3,18 14,88 - 1,49 1,12 12,96

8 3,18 14,88 12,96 1,49 1,12 12,96

Задача решалась в трех вариантах:

- поперечные сечения всех стержней одинаковые;

- варьировались жесткости стойки и ригеля;

- ригели покрытия и перекрытия могут иметь различное поперечное се-

чение.

Результаты расчетов представлены в табл. 2.

Таблица 2

Количество типоразме- ров 'гА Объем, см3 Экономия материала, %

Один 1,0 1,0 1,0 425172 -

Два 1,0 10,25 10,25 324199 23,7

Три 1,0 4,0 8,5 290815 31,6

Как показывают полученные результаты, существенной экономии материала можно добиться при варьировании небольшим числом типоразмеров, получая достаточно технологичные проекты.

Библиографический список

1. Папкович, П.Ф. Труды по строительной механике корабля. Т. 4. Устойчивость стержней, перекрытий и пластин / П.Ф. Папкович. - Л. : Судпромгиз, 1954. - 550 с.

2. Базара, М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / М. Базара, К. Шетти. -М. : Мир, 1982. - 583 с.

3. Путеева, Л.Е. Определение оптимальных размеров коробчатого поперечного сечения при действии на конструкцию многопараметрической нагрузки / Л.Е. Путеева, Б.А. Тухфатуллин // Проблемы оптимального проектирования сооружений: сб. докл. III Всерос. семинара. Т. 2. - Новосибирск : НГАСУ, 2000. - С. 124-128.

4. Черноусько, Ф.Л. Вариационные задачи механики и управления / Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук. - М. : Наука, 1973. - 236 с.

Вестник ТГАСУ M2, 2007

149

B.A. TUKHFATULLIN, L.E. PUTEEVA

TWO-LEVEL ALGORITHM OF OPTIMIZATION OF FRAMES AT RESTRICTIONS ON DURABILITY, RIGIDITY AND STABILITY

The problem of optimum designing of elastic rod system at multiple loading is considered. Decision of the problem is divided into two levels. At the bottom level the optimum sizes of cross-sections of cores taking into account the conditions of durability, rigidity, general and local stability, and at the top level optimum parities of stiffness are defined.

УДК 624.012

Е.В. ВАСИЛЬЕВА,

ТГАСУ, Томск

РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ КОЛОННЫ, УСИЛЕННОЙ НАРАЩИВАНИЕМ СЕЧЕНИЯ

Рассматриваются обоснования к расчетной схеме железобетонной колонны, усиленной наращиванием сечения. Используется метод А.Р. Ржаницына по аппроксимации континуальной среды в стержневую систему. Контакт старого бетона колонны и бетона обоймы имитируется стержневыми связями. Проведен расчет собственных колебаний колонны. Обсуждаются результаты расчета, которые сопоставлены с результатами экспериментальных измерений.

Рассмотрим результаты расчета частот собственных колебаний железобетонной колонны, усиленной наращиванием сечения. Конструкция усиленной колонны состоит из старого бетона, бетона обоймы и промежуточного слоя. Георадарные исследования показали, что промежуточный слой обладает весьма сложной формой, и сцепление старого слоя с новым происходит в основном за счет механического взаимодействия [2]. Анализируя форму промежуточного слоя, можно выделить механические связи, препятствующие отрыву конструкции обоймы и сдвигу ее в продольном направлении. Наложение сетки на площадь промежуточного слоя показало, что сдвигу препятствует 52 % свежего и 48 % старого бетона. Несущая способность промежуточного слоя на сдвиг получается выше, чем сопротивление старого бетона. Таким образом имитация связей между новым и старым бетоном на отрыв и сдвиг может быть принята в виде связей, прочность и деформации которых соответствуют прочности и деформациям бетона колонны до усиления. Интерпретация связей может быть проведена в виде стержневых элементов, расположенных между бетоном старой колонны и обоймы. Геометрия, прочностные и деформативные свойства стержневых связей определялись на основе метода А.Р. Ржаницына [1] и пред-

© Е.В. Васильева, 2QQ7