Деформация вязкого теплопроводного слоя в условиях дополнительных касательных напряжений

УДК 532.517

О.Н. Гончарова, О.А. Кондратенко

Деформация вязкого теплопроводного слоя в условиях дополнительных касательных

и Ф

напряжении*

O.N. Goncharova, О.A. Kondratenko Deformation of a Viscous Heat Conducting Liquid Layer under Conditions of the Additional Tangential Stresses

В работе исследуется трехмерная нестационарная задача о движении бесконечного слоя несжимаемой, вязкой, теплопроводной жидкости со свободными границами в условиях невесомости. Свободные границы подвержены действию дополнительных касательных напряжений со стороны внешней газовой среды, согласованных с изменяющимся во времени градиентом температуры. Построены точные решения, описывающие движение жидкости в слое и распределение температуры в нем, исследованы условия, приводящие к различному поведению свободного слоя. Построенные решения позволяют изучить вопрос об учете влияния дополнительных касательных напряжений на динамику и теплообмен в жидкости.

Ключевые слова: точное решение, деформация слоя, свободная граница, теплопроводная жидкость, касательные напряжения.

In the present paper a three-dimensional non-stationary problem of motion of a layer of a viscous, incompressible, heat-conducting liquid with free boundaries is studied under conditions of weightlessness. The free boundaries are subjected to action of the additional tangential stresses created by an external gas medium and coupled with a time-dependent temperature gradient. The exact solutions characterized a liquid motion and a temperature distribution in a layer are constructed. The conditions, which lead to a various behavior of a free layer, are described. The examples of the constructed solutions allow to investigate the effects of the tangential stresses on the dynamics and heat transfer process in the liquid.

Key words: exact solutions, layer deformation, free boundary, heat-conducting liquid, tangential stresses.

1. Введение. Задачи о нестационарном течении жидкости в областях со свободными границами достаточно сложны для исследований [1]. В случае, когда газовая фаза является источником дополнительных касательных напряжений на свободной поверхности жидкости, необходимы исследования взаимодействия различных механизмов движения жидкости [2, 3]. Неустановившиеся движения плоских слоев со свободными границами изучались в работах [412] (см. также цитированную в [7-9] литературу). В [5] изучено точное решение для нестационарного плоского слоя идеальной жидкости со свободными границами, утончающегося со временем, проанализирована устойчивость относительно малых возмущений, дана физическая интерпретация решения. Групповая природа по-

добных решений исследована в [6]. Аналитическое построение и экспериментальное подтверждение достаточно простых решений, описывающих невязкие, безвихревые течения со свободными поверхностями, проведены в [13]. В.В. Пухначев [7, 8] представил математические модели деформации вязкого слоя жидкости термокапиллярными силами в плоском и трехмерном случае, исследовал разрешимость поставленных начально-краевых задач. Решения специального вида построены в [7-9] и представляют собой частично инвариантные решения системы уравнений Навье-Стокса. При этом считалось, что распределение температуры задано на свободных границах слоя и представляет собой квадратичную зависимость от продольных координат.

Свободные границы остаются параллель-

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00007) и при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (государственный контракт 14.740.11.0355).

пыми плоскостями во все моменты времени, расстояние между ними меняется, а задача сводится в итоге к решению системы двух интегро-дифференциальных уравнений. Нестационарная двумерная задача динамики теплопроводного слоя вязкой жидкости изучена в [3]. Свободные границы подвергаются действию дополнительных касательных напряжений со стороны внешней среды. Построенные в [3] точные решения характеризуются линейной зависимостью продольной компоненты скорости от продольной координаты. Численно исследуются условия растекания и разбухания слоя, возможные механизмы контроля деформации. Предлагается численный алгоритм нахождения распределения температуры в слое.

Цель данной работы построение точных решений уравнений, описывающих движение жидкости в слое и распределение температуры в нем в трехмерном случае, а также моделирование условий растекания и разбухания бесконечного слоя теплопроводной жидкости. Проведенные исследования позволяют моделировать движение слоя и теплообмен в жидкости в условиях невесомости в случае, когда на свободных границах учитывается касательное напряжение, индуцированное внешней средой. Динамическое условие на свободных границах диктует выполнение своего рода условия согласования касательных напряжений со стороны внешней газовой среды и создаваемого на границе градиента температуры. Тем самым задача о деформации слоя теплопроводной жидкости со свободными границами решается в полной постановке.

выбрана таким образом, что оси Ох, Оу направлены вдоль свободных поверхностей

Г_ = {(х, у, г) : —то < х < + то, —то < у < + то, г = — Ц(г) }

Г+ = {(х,у,г) : —то <х < + ж, —ж <у < + ж,

г = г(і)},

а ось Ог - перпендикулярно к ним.

Пусть свободные границы Г_,Г+ остаются недеформируемыми и параллельными во все последующие моменты времени. Единичные векторы внешней нормали и касательные векторы к свободным границам Г± определяются соответственно следующим образом: п =

, , , , ,

Для изучения процессов динамики и теплообмена жидкости в слое П при невесомости будем использовать уравнения конвекции, записанные в скалярном виде [1]:

и^ и их ""Ь V и>у ™|" и и% — Рх~^~

1

Не

{ихх ""Ь иуу ""Ь ихх) ,

1 .

Не \^хх ^уу

и + и их + уиу + = —рх~

1

Не \ихх+ иуу + ихх) , и^ + Уу + = О,

Рис. 1. Слой жидкости

2. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный плоскопараллельный слой ^

П = {(х, у, г) : —то < х < + то, —то < у < + то,

—Цг) < г < г (г)}

несжимаемой, вязкой, теплопроводной жидкости (см. рис. 1). находящийся в условиях невесомости = 0). Пусть система координат

Т* + иТх + V Т„ + иТх =

1

(Тх

Ту,

Тх

НеРт

Здесь и,-,т - компоненты вектора скорости жидкости V; р - давление; Т - температура жидкости; Рт = — чисто Прандтля; Не = чи-X —

-

мер (например, толщина слоя в момент времени £ = 0); -* - характерная скорость; — - коэффициент кинематической вязкости; х """"" коэффициент температуропроводности.

На свободных границах Г± должны быть выполнены следующие кинематические и динамические условия [1]:

ля

-р + • Щч)п|г=^

2si - її  D(v)njz=±z(t)= ri (x, y, і) —

Ma

RePr

Ma

Tx

2s2 n- D(v) nj^—±z(t)= T2(x,y,-t) — RePrTy

Ty .

Здесь Ma = ------ ---число Маран гони; T* - xa-

PVX

рактерная температура (или характерный перепад температуры); ат - температурный коэффициент поверхностного натяжения (а = ад — ат(T—То)); р - плотность жидкости; Pg - известное (внешнее) давление; T±(x,y,t), T2(x, y, t) касательные напряжения, индуцируемые внешней средой; D(v) - тензор скоростей деформации 1 dvi dvj

Dij = 2(dx- + если v = v,v2,v^,

х = (xbx2,x3)).

Для замыкания постановки задачи следует задать также начальные условия, определяющие состояние слоя (см. начальное состояние, определенное ниже условиями (13), (14), (17), (18)).

Решение поставленной задачи предполагает нахождение области П, скорости v, давления p T

ряют системе уравнений (1), (2), а также начальным (13), (14), (17), (18) и граничным условиям (3)—(5), (19), (20).

3. Построение решения. Построим решение сформулированной задачи в слое П при 0 < t < tend следующим образом. Компоненты скорости v будем искать в виде:

u(x, y, z, t) = (f(t) + g{t)) x,

v

w{x,y,z,t) = —2 f(t)z.

Заметим, что уравнение неразрывности из системы (1) удовлетворяется автоматически. Потребуем, чтобы выполнялось px = 0,py = 0. Тогда

(Мі) + д&)) x+ (/(і) + д{і)У x = 0, і/і{-і) — gti-і)) x+ (/(і) — д(і))2 x = 0.

Если функции /(і) и д(і) найдены, то давле-p

стемы

— /t і z / і z — p z

с помощью граничного условия (4).

Введем дополнительные обозначения:

Ф) = /

Исходя из (7) получим:

1 + фаі

Здесь щ, ф0 будут определяться из начальных условий (см. (13), (14)). В итоге компоненты вектора скорости (6) определяются выражениями:

U x, y, z, і

- x, y, z, і w x, y, z, і —

Фа

y,

Давление в жидкости зависит от вертикальной координаты я и времени £ следующим образом:

p

Ф

2\(1 + щ-t)2 (1 + Фі)2

Щ , Фо V

1 + 1 +

где функция Р(£) будет определена ниже.

Кинематическое условие (3) на свободной поверхности Г+ позволяет найти Я(1):

Z$) =

Z

Щі Ф і

Здесь Яд = Я(0) > 0. Заметим, что тем самым будет определена и граница Г_ (г = —Я(1)).

Поскольку на свободной поверхности я = Я(Ь) имеют место следующие соотношения:

О

п  D(v)n = -dw = —2/(і),

1 (dU dw\

DMn=-i- + ls:)=«,

1 (d- dw\

Ss'D(v)“=2(aT+ay.>=0'

то выполняется (см. (10)):

2 (_ Щ , Фо

і . 2 Щ

Щі Ф і

ЩФ

Щі Ф і

Z2 і.

Выполнение динамических условий (5) ведет к системе двух соотношений:

, .ч

п(х,у,г) - неРГТх^=±2(*ь ( Л Ма Т тх,у,г) - нєрГту і2=±2(*ь

которые следует понимать как согласование на свободных границах Г± дополнительных тангенциальных напряжений Т1 (х, у, Ь), т (х, у, Ь) и продольных градиентов температуры.

Итак, пусть в начальный момент времени имеется бесконечный слой жидкости шириной

2Яо

П = {(х, г) : —то < х < + то, —Я0 < г < Я0,

Я > О, Я = сопвЬ},

движущийся по закону, определяемому соотношениями

и\г=о = Щох, -\г=о = фу, ™и=о = — Що + Фо)г,

що) = щ, ф

4. Моделирование распределения температуры в слое. Решение поставленной задачи (1)—(5), (13), (14), (17)—(20) предполагает

Т

творяющей уравнению (2). Пусть распределение температуры линейно зависит от пространственных координат и времени следующим образом:

Т = А

Тогда

А0

т =

в(г) =

+ 1 ’ в

Примем, что на границах Г± задано распределение температуры в виде

Т+

при г = Я(Ь) ив виде

т -

при г = —Я(Ь). Условия (19), (20) можно записать и следующим образом:

т+(х, у, г) = А(г)х + В(г)у + ©+,

Т- (х, у, Ь) = А(Ь)х + В(Ь)у + &-.

Тем самым при известном поперечном перепаде температуры А0 = 0+ — 0- следует поло-^ Д0 ^ 0+ + 0-

жить С = —~Г1 О = ---------~-----• Отметим, что

2Я() 2

начальное и граничные распределения температуры согласованы между собой. Действительно,

Т+ \*=о = То\*=г0 = Аох + Воу + СоЯо + °о,

Т \(=0 = То\г= -г0 = А0х + Воу — С0Я0 + °.

5. Примеры растекания и разбухания теплопроводного свободного слоя. Решения вида (9), (10), (15), (16) можно интерпретировать как растекание или разбухание теплопроводного слоя вязкой жидкости с границами (11), находящегося в начальный момент времени в состоянии, определяемом (13), (14), (17),

(18). Касательные напряжения

ФоЬ+1’

С(г) = Со(щг + 1)(фог +

Щ(г) = Щ,

где постоянные Ао,Во,Со, Щ определятся из начального условия

Т(х, у, г, 0) = Та{х, у, г) = А0х + В0у + С0г + Щ.

Заметим, что на свободных границах заданы касательные напряжения т10, т20 в начальный момент времени г = 0, а потому должно выполняться

НеРг НеРг

А = Во = ~ма™.

п(х,у,г) =

Мх,у,г) =

Ма А0 НеРг щЬ + 1,

Ма Во

НеРг фоі + 1

на границе могут быть как величиной положительной, так и отрицательной, что определяется знаками щ > 0, фо > 0 (см. ниже) и Ао, Вд (пли По, т2о ввиду (18)). Температура Т па границах согласована с величиной касательного напряжения согласно (12).

Для исследования динамики слоя П рассмо-

(1Я

трим — = —Я(Ь) {ф^) + щ(Ь)}. В силу положительности Я(Ь) должно выполняться одно из

( фоЬ + 1 > 0 Г фоЬ + 1 < 0

условии: < . , п „ или < . , п „

\ щ0г + 1 > о \ щ0г + 1 < о

ая

(см. (11))- При выполнении условия > 0

(Я п

имеет место разбухание слоя, в случае — < и

аЬ

имеем растекание слоя.

1. Пусть щ > 0,фо > 0 и слой в начальный момент времени растекается. Тогда продолжится растекание жидкого слоя за бесконечное время. На рисунке 2 изображено изменение свободной границы Ц(Ь). Заметим, что все величины на рисунках приведены в безразмерном виде.

2,5

О 0.5 1 1,5 2 2,5

Рис. 2. Изменение свободной границы Я

,

условия: и\(=0 = Що'х, -\г=о = Фоу, ы\г=о =

— Що + фo)г, щ = ^ фо = 7; Яо = 2

2. Если фо < 0, щ < 0 и слой в начальный момент разбухает, что обеспечивается условиями (13), (14), то продолжится разбухание жидкого слоя за конечный промежуток времени Ь £ (0,Ь_), Ь_ = гшп(Ь_,Ь_), где Ь_ = — ,

ф

Ь_ =-----. На рисунке 3 изображено изменение

щ

ЯЬ

0 0,02 0,04 0,06 0,08 ОД ОД 2 0.14 ОД 6

ЯЬ

,.

условия: и^=о = щх, -\г=о = фоу, ы\г=о =

— що + фо)г> щ = —1, фо = —7; Яо = 2

Пусть в начальный момент времени жидкость, подобная этанолу (Ыа = 7800, Рт = 17, Не = 1), прогрета по закону (17), свободный слой подвержен действию касательных напряжений т10, т20 (см. (18)) и растекается. Коэффициенты Ао, Вд, Со, Д и параметры щ,фо

АВС

Оо = 1, що = 2, фо = 3. При этом тю = 459, Г2о = 1376, а начальное положение свободной

Я

сматрпвается модельная ситуация, вместе с тем реальные характерные значения температуры и дополнительных касательных напряжений, диктующие выбор значений вышеназванных коэффициентов, могут быть найдены в [14]. Растекание жидкого слоя, определяемое по формулам (9), продолжится. Состояние слоя, соответ-

Ь.

х

в рассматриваемый момент времени распределе-

уг

Ь

на рисунке 6.

Если в начальный момент времени жидкость находится в состоянии, описываемом формула-

А

В0, С0, О0, определяющих начальную темпера-

АВ

Со = 2, Д = 1, положение свободной границы также определяется как Я = 1) а щ = — ^

о

1

фо = — — , то жидкий слой разбухает. В момен-

Ь . Ь

разбухание слоя жидкости продолжится. В сех

Ь = 0.1пЬ=1 распределение температуры приведено на рисунках 8, 10.

Рис. 4. Растекание слоя жидкости (Ь = 0.1). Начальные условия: и\г=о = щх, -\г=0 = фу, т\^ = — (щ + ф)г; щ = 2,ф = 3; Я = 1

Рисунки 4, 5, 7, 8 позволяют сравнить динамику и распределение температуры в слое при разбухании (рис. 7, 8) и растекании (рис. 4, 5) в Ь.

нос распределение температуры одинаково.

Ь.

х

Ь.

х

Начальные условия: То = А$х + Воу + Сг + Во; Начальные условия: Т0 — Аох + Воу + Сог + Во

А0 = 1,В0 = 3, С0 = 2,В0 = 1, то = 1376; щ = 2,ф = 3; Яо = 1

Ао = 1,Во = 3, С0 = 2,Б0 = 1, то = 1376;

щ = —7, фо = —т; Яо = 1

о 4

Ь

х

Начальные условия: То = Аох + Воу + Сог + Во!

А0 = 1,В0 = 3, С0 = 2,В0 = 1, То = 1376;

^о = 1, Фо = 2; яо = 1

Рис. 9. Разбухание слоя жидкости (Ь = 1). Начальные условия: и\г=о = щх, -^=0 = фу, = — (щ + ф)г;

щ = —7, ф = —7’ Яо = 1

о 4

Ь.

Начальные условия: и\г=о = щх, -^=0 = фу, = — (щ + ф)г;

щ = —7, ф = —т! Яо = 1 о 4

Ь

х

Начальные условия: Т = Ах + Воу + Сг + Во! А0 = 1,В0 = 3,С = 2, В„ = 1,то = 1376;

щ = —7, ф = —т; Яо = 1 о 4

На рисунках 11 и 12 приводится зависимость функции 2(1), определяющей положение границы слоя при различных начальных данных задачи (щ,ф0) при растекании (рис. 11) и разбухании (рис. 12) слоя. С определенного момента времени растекание слоя будет происходить практически одинаково, несмотря на различную интенсивность процесса в начальный период времени. При анализе процесса разбухания слоя можно отметить, что оно произойдет со временем более стремительно в случае начального положения, определяемого значением Я

ЯЬ

,

условия: и\4=0 = щх, -\г=0 = фу, ы\г=0 =

— щ ф г щ ,ф положение границы Я = 0.5, Я = 2, Яд = 3

ЯЬ

,

условия: и^=0 = щ0х, -\г=о = фу, Мг=о = — (щ + ф)г; щ = — 1, ф = —2. Начальное положение границы Я = 0.5, Я = 2, Яд = 3

Ь

х

Начальные условия: Т = Ах + Вду + Сдг + Во; Ао = 1,Во = 0^,С = 2,Д0 = l, то = 445; щ = 2, ф = 3; Я = 1

Ь

х

Начальные условия: Т0 = + В^у + С0г + В0;

А0 = 1,В0 = 13, С = 2,В0 = 1, то = 5964; щ = 2, фо = 3; Я = 1

Распределение температуры в сечении слоя х

различный прогрев в случае растекания слоя (рис. 6 и 15) и в случае разбухания (рис. 10 и 16). При этом более интенсивный прогрев отмечается при меиыпих (по модулю) значениях щф

и 15, а также 10 и 16).

Отметим также, что большие тангенциальные напряжения, согласованные, естественно, с большими градиентами температуры на границе, вызывают и более интенсивный прогрев тт

т

Рис. 15. Растекание слоя жидкости (£ = 1).

Распределение температуры в сечении х = 0. Начальные условия: Т = Ах + ВуЛ- Сг + А)! А = 1,В = 3, С0 = 2,П0 = 1, т20 = 1376;

^о = 6, ф0 = 11; г0 = 1.

Вопросы существования решения в изотермическом случае, когда т = —2 /{а,Ь)йа,

./о

а функции /, д являются решениями некоторых интегро-дифференциальных уравнений (см.

(6)), изучены в [8]. Там же проведено аналитическое исследование поведения свободной границы для вязкой несжимаемой жидкости. Результаты, представленные в [13], позволяют проследить за потенциальным движением слоя невязкой жидкости между двумя свободными поверхностями, остающимися плоскими и параллельными.

Заключение. Для исследования поведения свободного теплопроводного слоя жидкости в ус-

Рис. 16. Разбухание слоя жидкости {Ь = 1).

х

Начальные условия: Т = Ах + Воу + Сг + Д; А = 1,-Во = з, Со = 2,Бо = 1, ТО = 1376; щ = —6, -фо = — 11; г0 = 1.

ловиях невесомости построены точные решения нестационарной задачи. Решения вида (9), (10) относятся к простым представителям широкого класса частично-инвариантных решений уравнений Иавье-Стокса [7, 8]. Важной составляющей в постановке задачи является учет действия касательных напряжений со стороны внешней газовой среды. Исследованы условия, определяющие динамику иеизотермического слоя жидкости, и условия разрушения слоя. Проведены расчеты при различных значениях исходных параметров, определяющих начальное состояние слоя жидкости, подобной этанолу в случае различных граничных режимов.

Библиографический список

1. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Современные математические модели конвекции. М., 2008.

2. Гончарова О. Н., Кабов О.А. Гравитационно-термокапиллярная конвекция жидкости в горизонтальном слое при спутном потоке газа / / ДАН. 2009. Т. 426, Л>2.'

3. Goncharova O.N., Kabov О.A. Deformation of a viscous heat conducting free liquid layer by the thermocapillary forces and tangential stresses: Analytical and numerical modeling // Microgravity sci. technol. 2010. Vol. 22, X-3.

4. Андреев В.К., Пухначев В.В. Инвариант-

ные решения уравнений темокапиллярного движения // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1983. Л-14(5).

5. Андреев В.К. Устойчивость неустаиовив-шихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск, 1992.

6. Бытев В.О. Неустановившееся движение

кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами // ПМТФ. 1970. Л-3.

7. Pukhnachov V.V. On a problem of a vis-

cous strip deformation with a free boundary C.R. // Acad. Scien. Paris, 1999. Л-328(1).

8. Pukhnachov V.V. Model of a viscous layer deformation by the thermocapillary forces, Max-Planck-Institut fner die Mathematik in den Natur-wissenschaften. Leipzig, 2000. Preprint .V'SO.

9. Пухиачева Т.П. Численное решение задачи о деформировании вязкого слоя термокапиллярными силами // Симметрия и дифференциальные уравнения. Красноярск, 2000.

10. Galaktionov V.A., Vazquez J.L. Blow-up of a cass of solutions with free boundary for the Navier-Stokes equations // Advances in Differential equations. 1999. V. 1.

11. Андреев В.К., Картошкина А.Е. О движении плоского слоя жидкости со свободной границей под действием эффекта Соре // Вестник КГУ. Физ.-мат. науки. - Красноярск, 2004.

12. Картошкина А.Е. Влияние динамики на термодиффузию в плоском слое со свободными границами // Вычислительные технологии. -

2006. -№11(4).

13. Longuet-Higgins M.S. A class of exact, time depemdent, free-surfece flows // J. Fluid Mech. -1972. - 55(3).

14. Goncharova O.N., Kabov O.A. Numerical modeling of the tangential stress effects on convective fluid flows in an open cavity // Microgravity sci. technol. - 2009. - Vol. 21, m.