Оценка искажений при передискретизации цифрового сигнала с использованием фильтра Фарроу

УДК 621.37

ОЦЕНКА ИСКАЖЕНИЙ ПРИ ПЕРЕДИСКРЕТИЗАЦИИ ЦИФРОВОГО СИГНАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИЛЬТРА ФАРРОУ

М.И. Спажакин, В.Д. Репников, А.Б. Токарев

Рассмотрен процесс передискретизации сигнала с использованием фильтра Фарроу. Представлены результаты теоретического анализа и моделирования, характеризующие качество передискретизации. Даны рекомендации по выбору порядка ресэмплера

Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, фильтр Фарроу, передискретизация, ресэмплер

Нередко в задачах цифровой обработки сигналов возникает потребность в передискретизации (изменении частоты дискретизации) цифрового сигнала в нецелое (например, 1.3) число раз. Один из способов передискретизации - использование фильтра Фарроу [1] .

Преимуществом использования ресэм-плеров Фарроу является расчет значений цифрового сигнала на новой частоте дискретизации по выборкам на исходной частоте дискретизации без её промежуточного преобразования; однако предсказать качество передискретизации для такого метода изменения частоты дискретизации достаточно сложно. В статье представлены результаты теоретического анализа импульсной и частотной характеристик, динамического диапазона ресэмплеров, приводятся результаты моделирования, характеризующие обеспечиваемый динамический диапазон и уровень нелинейных искажений сигналов, прошедших передискретизацию, а так же представлена методика выбора порядка ресэм-плера.

Теоретическое исследование

В ходе исследований передискретизация осуществлялась с использованием интерполяции Лагранжа. В [1] представлена методика расчета коэффициентов полиномов Лагранжа, в [2] представлена методика приведения коэффициентов полинома к симметричной форме.

Коэффициенты полинома в симметричной форме для интерполяции 3-, 5- и 7-ого порядков, рассчитанные по методикам из [1, 2], представлены выражениями (1)-(3). Вектор моментов дискретизации 1 = {3, -2, -1, 0, 1, 2,

3, 4} [1].

9

9

1

Со = -Y(-1) • - +Y(0) • - +Y(1) •—-Y(2) • -

16

16

16

16

19 9 1

q = Y(-1)---Y(0) • - +Y(1) •—Y(2) •—

1 24 8 8 24

1

1

С2 = Y(-1) •—-Y(0) • --Y(1> -+7(2) •-

4

4

4

4

1

c3 = -Y

1

6

2

2

Y(m) =[(c3 • m+c2)• mlm+c0, -0.5<m<0.5

3

25

75

75

С0 =Y

+Y(3) •

256 3

256

256

128

128

25 256

3 25 75 75 25

С =-Y(-2)--+Y(-1)---Y(0) — +Y(1)---Y(2)--

640 384 64 64 384

+Y

_3_ 640

5

13

17

17

c2 =-Y

-Y

96

_5

96

1

32

13

48

17

48

17

13 32

13

c3 =Y(-2)---Y(-1) •—+Y(0)---Y(1) — +Y(2)—

-Y

48

1

48

1

48

24

24

1

48

С4 =Y

+Y

48

1

48

16

24

24

16

1

1

c5 = -Y(-2)--+Y(-1)---Y(0) •—+Y(1)---Y(2)—

120

24

12

12

24

+Y

1 120

Y(m)=<([(c5• m+c4>m+c3]m+c2} m+c)• m+c0, -0.5<m<0.5

6

1

Спажакин Михаил Игоревич - ВГТУ, студент, e-mail: spazhakinmi@rambler.ru

Репников Валентин Дмитриевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. 8(473)2545475 Токарев Антон Борисович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 89204665525

5 49 245 1225

с0 = -7(-3) • — +7(-2) • —-7(-1) — +7(0) • 1225

0 2048 2048 2048 2048

1225 245 49 5

+7(1)---7(2)--+7(3)---7(4)--

2048 2048 2048 2048

5 49 245 1225

с = 7(-3) • —--7(-2) • — +7(-1) • — -7(0)^ 1225

1 716^ 5120 3072 1024

1225 245 49 5

+7(1)---7(2)--+7(3)---7(4)--

1024 3072 5120 7168

259 499 1299 1891

с2 = 7(-3) • -7(-2) • — +7(-1) • 1299 -7(0) • 1891

2 23040 4608 2560 4608

1891 1299 499 259

-7(1) • 1891 +7(2) • 1299-7(3) •—+7(4) •

4608 2560 4608 23040

37 499 433 1891

с = -7(-3) • +7(-2) • - 7(-1) • — +7(0) • ^^

3 11520 11520 1280 2304

1891 433 499 37

-7(1) • 1891 -7(2)- — -7(3)--499- +7(4) •

2304 1280 11520 11520

7 59 15 83 с. = -7(-3)--+7(-2)---7(-1)--+7(0)--

4 1152 1152 128 1152

83 15 59 7

+7(1) • — - 7(2) • — +7(3) • — - 7(4) • — 1152 128 1152 1152

1 59 5 83 с =7(-3)---7(-2)--+7(-1)---7(0)--

5 576 2880 64 576

83 5 59 1

+7(1)---7(2) — +7(3)---7(4)--

576 64 2880 576

с6 = 7(-3) • —--7(-2) • — +7(-1) • — -7(0) • —

6 1440 288 160 288

- 7(1) • — +7(2) • —— 7(3) • — +7(4) • —

288 160 288 1440

с7 = -7(-3) • — +7(-2) • — -7(-1) • — +7(0) • —

7 5040 720 240 144

- 7(1) • — +7(2) • —— 7(3) • — +7(4) • —

144 240 720 5040

7(т)={[( ({[(с7 • т+с6> m]+с5}• т+

+с3)^т+с2]т+с} •т+с0, -0.5<т<0.5

где 7(-3), 7(-2), 7(-1), 7(0), 7(1), 7(2), 7(3), 7(4) -отсчеты сигнала на исходной частоте дискретизации, ближайшие к рассчитываемому отсчету на новой частоте дискретизации (при этом новый отсчет должен быть расположен между отсчетами У(0) и У(1)); с0...с7 - коэффициенты интерполирующего полинома, значения которых выражаются через отсчеты на исходной частоте дискретизации; ц - нормированный временной интервал.

Импульсная характеристика ресэмплера обладает следующими свойствами:

• является непрерывной, кусочно-заданной функцией, имеющей конечную длительность;

• число интервалов составляет п+1, где п - порядок интерполяции;

• на каждом временном интервале описывается полиномом, порядок которого не превышает порядок интерполирующего полинома.

На каждом временном интервале импульсная характеристика ресэмплера т-го порядка описывается выражением

* = I

ап -х

п =0

где ап - коэффициент полинома, х - нормированное временное значение.

В табл. 1-3 представлены коэффициенты полинома (4) для ресэмплеров различных порядков.

Таблица 1

Коэффициенты полинома импульсной характеристики ресэмплера 3-го порядка

Коэффициенты полинома Интервалы

хе [0..1] хе [1..2]

а0 1 1

-1/2 -11/6

а2 -1 1

а3 1/2 -1/6

Таблица 2

Коэффициенты полинома импульсной харак-

Коэффициенты Интервалы

полинома хе [0..1] хе [1..2] хе [2..3]

а0 1 1 1

а1 -1/3 -13/12 -137/60

а2 -5/4 -5/8 15/8

а3 5/12 25/24 -17/24

а4 1/4 -3/8 1/8

а5 -1/12 1/24 -1/120

Таблица 3

Коэффициенты полинома импульсной характеристики ресэмплера 7-го порядка

Ко- Интервалы

эф.

поли- хе [0..1] хе [1..2] хе [2..3] хе [3..4]

нома

ап 1 1 1 1

а1 -1/4 -141/180 -87/60 -9801/3780

а? -49/36 -189/180 -7/36 3283/1260

а3 49/144 231/240 889/720 -6769/5040

а4 7/18 0 -7/9 147/378

а^ -7/72 -7/40 77/360 -161/2520

а6 -1/36 1/20 -1/36 7/1260

а7 1/144 -1/240 -1/720 -1/5040

На рис. 1 представлено семейство амплитудно-частотных характеристик ресэмплеров. Нормировка частотной оси осуществляется относительно исходной частоты дискретизации

Результаты моделирования На вход ресэмплера подавался комплексный синусоидальный сигнал. К полученному на выходе передискретизированному сигналу применялось преобразование Фурье (БПФ, окно Кайзера, Р=15 [3]), по результатам которого

производилась оценка динамического диапазона, уровня нелинейных искажений и неравномерности в полосе пропускания. Уровень шума был принят равным -130 дБн.

Рис. 1. Семейство частотных характеристик интерполяторов различных порядков

3 60

I I

-Теоретическая зависимс ють 3-й порядок

-*-модель 5-и порядок

* модель ~-и порядок

-*-модель 3-й порядок

— Теоретически я -.пиисимс >стъ 5-й порядок

Теоретически я -¡тисимс >сть 7-й порядок

'V

х

****** х

0.2 0.3 0.4 0.5

Нормированная полоса, П/Бв

—*— модель 3-й порядок

модель 5-й порядок

»«модель 7-й порядок

-теоретическая зависимс ють 3-й порядок

---теоретическая зависимс >стъ 5-й порядок

теоретическая зависимс >стъ 7-й порядок

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 Нормированная полоса, П/Бв

Рис. 2. Частотная зависимость динамического диапазона и неравномерности в полосе пропускания

Обеспечиваемый ресэмплером динамический диапазон можно, теоретически, определить по частотной характеристике (рис.1). Результаты теоретического исследования динамического диапазона ресэмплеров различного порядка и результаты их моделирования представлены на рис. 2а. Нормировка полосы комплексного сигнала осуществлялась относительно исходной частоты дискретизации. Расхождение кривых для ресэмплеров 5-ого и 7-ого порядков обусловлено ограничением динамического диапазона шумом (-130 дБн). На

рис. 2б представлены результаты моделирования и теоретического исследования неравномерности в полосе пропускания ресэмплеров различного порядка.

Результаты исследования влияния ограничения разрядности коэффициентов интерполяционного полинома (1)-(3) на динамический диапазон и уровень нелинейных искажений представлены на рис. 3-5. Ограничение разрядности коэффициентов интерполирующего полинома незначительно влияет на неравномерность в полосе пропускания - расхождение с теоретическими зависимостями (см. рис. 2б) не превышает 0.05 дБ.

Рис. 3. Зависимость динамического диапазона и уровня нелинейных искажений от полосы сигнала для ресэмпле-ра 3-ого порядка

Исходными данными для определения порядка ресэмплера являются ширина спектра комплексного сигнала, частота дискретизации, с которой планируется осуществить переход, а так же динамический диапазон, который должен обеспечить ресэмплер. Например, полоса комплексного сигнала П=20 МГц, частота дискретизации рб=102.4 МГц, динамический диапазон ресэмплера должен составлять не менее -80 дБн. Нормированная комплексная полоса равна 0.19. В соответствии с рис. 4 требованиям удовлетворяет ресэмплер 5-ого порядка. Разрядность коэффициентов ресэмплера целесообразно принять равной 12 бит.

В заключение отметим следующее:

• для передискретизации широкополосных сигналов с хорошим качеством (динамическим диапазоном не менее 70 дБ) требуется иметь запас по частоте дискретизации. Старая частота Бб должна превышать полосу комплексного сигнала в несколько раз (2,5..6 -конкретное значение следует устанавливать по рисункам 3-5);

• необходимо производить предварительную фильтрацию комплексного сигнала с целью уменьшения уровня шума на новой частоте дискретизации и увеличения динамического диапазона;

• блок, производящий расчет коэффициентов интерполирующего полинома (1)-(3), целесообразно реализовывать с помощью фильтров с конечной импульсной характеристикой;

• для обеспечения динамического диапазона ресэмплера (70-80 дБ) достаточной является разрядность коэффициентов фильтров 12 - 14 бит.

Рис. 5. Зависимость динамического диапазона и уровня нелинейных искажений от полосы сигнала для ресэмплера 7-ого порядка

Литература

1. Фильтр Фарроу на примере фильтра третьего порядка. Ресэмплинг сигналов

[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.dsplib.ru/content/farrow/farrow.html, свободный (дата обращения: 20.10.2013).

2. Olli Niemitalo. Polynomial Interpolators for High-Quality Resampling of Oversampled Audio [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://yehar.com/blog/wp-content/uploads/2009/08/deip.pdf, свободный (дата обращения: 20.10.2013).

3. Discrete-Time signal processing Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck, PRENTICE HALL — second edition 1 998

Рис. 4. Зависимость динамического диапазона и уровня нелинейных искажений от полосы сигнала для ресэмпле-ра 5-ого порядка

Воронежский государственный технический университет

RESAMPLING BY USING FARROW FILTER - EVALUATION OF DISTORTION M.I. Spazhakin, V.D. Repnikov, A.B. Tokarev

The process of resampling was considered by using Farrow filter. The results of theoretical analysis and modeling are performed. It describes a quality of resampling. The recommendations on the choice of resampler order are presented Key words: digital signal processing, Farrow filter, resampling, resampler