Квазистационарная измерительная цепь трехэлементного резонансного двухполюсника

УДК 621.317.733 С. Е. Ларкин

КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ЦЕПЬ ТРЕХЭЛЕМЕНТНОГО РЕЗОНАНСНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА

Аннотация. Предложен способ определения параметров трехэлементных резонансного и нерезонансного двухполюсников. Способ позволяет определять параметры двухполюсника для различных схем соединения его элементов при неизменной (кроме программного кода) конструкции измерительной цепи.

Ключевые слова: трехэлементный двухполюсник, иммитанс двухполюсника, измерительная цепь, система базисных функций, фазовое разделение каналов, микроконтроллер.

Схемы замещения современных измерительных ячеек весьма разнообразны - так же, как и параметры их элементов. Определение составляющих биологических объектов приводит к необходимости их замещения электрическими многоэлементными двухполюсниками. В большинстве таких случаев в качестве схемы замещения используется трехэлементный двухполюсник. Определение его параметров является одной из основных задач измерительного процесса.

Известны различные методы определения параметров двухполюсников. Нулевой метод, используемый в мостах переменного тока, направлен на уравновешивание тока через опорный элемент измеряемого двухполюсника тока до достижения их равенства, фиксируемого нуль-индикатором [1]. Однако данные мосты хоть и обладают высокой точностью измерения, но позволяют определять параметры двухполюсников только при двухэлементной нерезонансной схеме соединения его элементов. Использование квази-уравновешенных измерительных цепей (ИЦ) по одному или нескольким параметрам имеет в этом смысле существенное преимущество [2, 3]. Использование экстремум детекторов, фазочувствительных выпрямителей, схем сравнения позволяет достигать или стабилизировать одну из активных составляющих измерительной цепи, что приводит в конечном случае к выделению информации о пассивных электрических параметрах двухполюсника. Однако такие построения имеют и недостатки:

- определение параметров только нерезонансных двухполюсников;

- при изменении схемы соединения элементов требуется изменение схемы включения двухполюсника;

- наличие обратной связи для поддержания одной из величин приводит к увеличению времени измерения частотонезависимых параметров двухполюсника;

- нелинейность и неидеальность используемых схем сравнения, экстремум детекторов и фазочувствительных выпрямителей снижают точность измерения;

- в ряде случаев имеется вероятность возникновения положительной обратной связи, что приводит к самовозбуждению ИЦ и невозможности последующего ее функционирования.

Другой подход основан на использовании переходных процессов в трех- и более элементных нерезонансных двухполюсниках. Искомые параметры вычисляются в них при достижении определенного состояния, которое наступает, как правило, по завершении переходного процесса в одной или нескольких частях двухполюсника [4]. Однако та-

кои подход основан на заранее известных примерных значениях частотонезависивых параметров сложной схемы замещения, как и самой схемы замещения элементов. Кроме того, измерение должно осуществляться, как уже было сказано, по завершении переходного процесса (как правило, это время искусственно ограничивается несколькими значениями постоянной времени цепи), что автоматически приводит к возникновению методической погрешности измерения параметров двухполюсника. И, наконец, использование для преобразования параметров пассивных величин такого двухполюсника в пропорциональные им электрические величины активного преобразователя (АП) также приводит к дополнительной погрешности преобразования. Связано это с тем, что в качестве АП используется операционный усилитель, который при работе на постоянном токе имеет «продолжения» [5].

В этой связи более предпочтительным является использование для определения параметров трехэлементных как резонансных, так и нерезонансных двухполюсников с различным соединением его элементов ИЦ, работающих на переменном токе. Достоинством использования переменного тока является возможность задания одной или нескольких систем базисных функций. При этом их число будет определяться лишь степенью детализации схемы замещения двухполюсника и количеством резонансных частот (состояний). Для этой цели предпочтительно использовать ИЦ с фазовым разделением сигналов, позволяющих синтезировать системы ортогональных функций [6, 7]. Стремительное развитие средств вычислительной техники и использование микропроцессорных систем позволяют значительно упростить данную задачу.

Рассмотрим возможность использования квазиуравновешенных ИЦ с фазовым разделением сигналов для определения параметров трехэлементных двухполюсников. Прежде всего, необходимо иметь в виду, что в зависимости от схемы соединения пассивных элементов иммитанс такого двухполюсника может представлять собой как импеданс, так и адмиттанс. Определение иммитанса для пассивных нерезонансных трехэлементных двухполюсников достаточно подробно рассмотрено в [6]. В случае трехэлементного как резонансного, так и нерезонансного двухполюсника иммитанс можно представить следующим образом:

В =

(ш)2 Р2 + (ш)3 Рз

\кз

Коэффициенты кх - к3 определяют характер параметров Рг - Р3: активный к = 0, индуктивный к = 1 или емкостный к = -1, а п и т - вид схемы соединения элементов: п = 1 - последовательное соединение Р1 с Р2 и Р3; п = -1 - параллельное соединение Р1 с Р2 и Р3; т = 1 - последовательное соединение Р2 с Р3; т = -1 - параллельное соединение Р2 с Р3.

Формализованные значения иммитанса для конкретной схемы замещения трехэлементного двухполюсника приведены в табл. 1. В дальнейшем при упоминании трехэлементного двухполюсника будем подразумевать как резонансный, так и нерезонансный двухполюсники.

Таблица 1

Формализованные значения иммитанса для конкретной схемы замещения трехэлементного двухполюсника

Схема замещения Значение параметров Р — Р Значение коэффициентов Значение функции В

к = 0 к = 1 к = —1 п т

Р Р Р ^ 1 ^ | | | |0 К 1 С 1 1 (ъ)к1 Р + (]Ъ)2 Р2 + (]Ъ) Рз

Р1 н н Р2 н н Рз ч н —0 -1 -1 1 1 1 О")1 Р ^ ' Р2 ' Рз

Р2 Р гМ Р3 -0 1 -1 0")к1 Р +——-—— О")2 Р2 ' Рз

Р1 * Р2 Рз -1 1 1 1 0") Р1 Р2 -0")кз Рз

В общем случае на трехэлементный двухполюсник может быть подана одна или несколько систем базисных функций вида Л01 = и0 е1Ш, и02 = и0 е]2ш ... и0м = и0 е]па',

где и0 - амплитудные значения напряжений л-ых гармоник. Причем для определения параметров трех- и четырехэлементного двухполюсника достаточно подать последовательно две любые системы базисных функций приведенного вида.

С точки зрения радиотехники предпочтительно использовать косинусоидальную составляющую комплексной системы базисных функций, а с энергетической и измерительной - синусоидальную [8]. Совместное использование для анализа цепей обеих составляющих дает возможность получить дополнительную информацию об измеряемом объекте с целью либо определения его параметров, либо повышения точности измерения. Однако данному вопросу уделено недостаточно внимания [9]. В этой связи представляет интерес использование мнимых составляющих базисных функций для определения параметров двухполюсников.

На рис. 1 приведена ИЦ определения параметров трехэлементного двухполюсника. Блок формирования систем базисных функций (БФС) осуществляет выработку необходимого числа систем базисных функций Л01, и02... и их подачу через опорный иммитанс

В0 на активный преобразователь (АП) параметров двухполюсника в напряжение ЛАП.

Между входом и выходом АП включен трехэлементный двухполюсник (ТД). Выход АП как через компаратор (К), так и напрямую подключен к входу микроконтроллера (МК), осуществляющего управление ИЦ по циклическому алгоритму, используя прерывание от компаратора.

Рис. 1. Измерительная цепь трехэлементного двухполюсника

При прохождении системы базисных функций через двухполюсник произойдет изменение ее амплитуды и фазы:

Л =-Вп = В Л е}

Л АПп " п Л 0 п~ п Л 0е ,

где , Ац>п - значения изменений напряжения по амплитуде и фазе на л-й гармонике

В0

соответственно.

Проанализируем полученное выражение с точки зрения использования его для определения параметров двухполюсника. Для этого построим векторную диаграмму (рис. 2).

а)

б)

Рис. 2. Фазовые соотношения напряжений

Как следует из рис. 2,а, при t = 0 (и далее при t = N  Т , где N - целое число периодов) можно записать

Uin = UAnn sin Aq>„ = - Uo Im(В).

В0

Данное напряжение существует во временной области и его можно измерить с помощью МК при равенстве нулю синусоидальной составляющей входного напряжения л-й гармоники базисной функции. С точки зрения реализации такого измерительного процесса при классическом построении ИЦ с использованием фазочувствительных выпрямителей схем сравнения, управляемых делителей напряжения мы как бы создали обратную связь, с помощью которой изменяем выходное напряжение до тех пор, пока мнимая составляющая л-й системы базисных функций не станет равной нулю, т.е., по сути, используем нулевой метод измерения, без его реализации проводя измерения лишь в определенный момент времени. Ведь входное напряжение, изменяясь по синусоидальному закону, в какой-то момент времени все же проходит через ноль. Достоинство данного метода - это отсутствие каких-либо погрешностей от неидеальности используемых при классическом построении ИЦ функциональных блоков. Быстродействие также увеличивается, так как на достижение равновесия необходимо время изменения коэффициента передачи синусоидальной составляющей базисной функции с отслеживанием этого процесса в схеме сравнения. И, наконец, отсутствие отрицательной обратной связи не приведет к возможному возбуждению ИЦ.

Однако из рис. 2 следует также, что в это время

U

U n

АПп cos A^n =-BTRe(В) .

Bo

Данной составляющей не существует во временной области, однако мы можем ее рассчитать при условии, что сдвиг фаз между выходным напряжением АП и синусоидальной составляющей базисной функции известен. С этой целью проведем второе измерение, но уже входного напряжения U2n при равенстве нулю напряжения с выхода активного преобразователя иАПп = 0, что проиллюстрировано на рис. 2,б. Как видно, оно равно

U2n = Im(UOn ) = U0Sin A^n .

Решая совместно три последних выражения и используя основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, получим

Уравнения (1) и (2), составленные для нескольких значений базисных функций, позволяют определить параметры многоэлементного двухполюсника. Так, для трехэлементного резонансного двухполюсника достаточно подать две системы базисных функций и решить систему из четырех уравнений указанного типа.

Приведенная система уравнений справедлива для определения параметров трехэлементного двухполюсника, соединенного по последовательной и последовательно-параллельной схемам замещения. В этом случае в качестве иммитанса такого двухполюсника будет выступать импеданс. Если же схема соединения будет параллельная или параллельно-последовательная, то при тех же измерениях необходимо использовать следующую систему уравнений:

Тогда можно предложить способ определения параметров трехэлементного двухполюсника, основанный на измерении входного и выходного напряжений в двух квазистационарных состояниях, характеризующихся равенством нулю выходного и входного напряжений соответственно. Использование комплексных систем базисных функций позволяет выделить действительную и мнимую части выходного напряжения активного преобразователя, а составление уравнений для нескольких систем базисных функций позволяет определить параметры трехэлементного двухполюсника.

В качестве примера рассмотрим определение параметров трехэлементного резонансного двухполюсника, выполненного по последовательно-параллельной схеме соединения элементов. Измерительная цепь приведена на рис. 3.

Цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) осуществляет преобразование цифрового кода, соответствующего поступающей на трехэлементный резонансный двухполюсник (ТРД) системе базисных функций, в комплексное напряжение на выходе. В качестве образцового элемента использовано образцовое высокоточное сопротивление с высокой

ь

Рис. 3. Функциональная схема измерительной цепи трехэлементного резонансного двухполюсника

временной и температурной стабильностью параметров. Согласно табл. 2, в качестве им-митанса двухполюсника будет выступать комплексное сопротивление X

X = Я

1

]паЬ

+ ]паС

Выходное напряжение активного преобразователя при подаче на его вход системы базисных функций первой гармоники (п = 1) равно:

и

АП1

и±

Я

я + ]

аЬ

1 -а2 ЬС

Как уже было сказано выше, проводим два измерения:

- измеряем выходное напряжение АП и1 при равном нулю напряжении с выхода генератора;

- измеряем напряжение с выхода генератора и2 при равном нулю напряжении с выхода АП.

Изменяем систему базисных функций и подаем на вход АП вторую гармонику (п = 2). Напряжение с его выхода равно

и

= -ио ( Я + , 2аЬ Я0 V 1 - 4а2ЬС

Проводим аналогичные предыдущему пункту измерения и получаем и3 и и4 соответственно. Система уравнений для определения частотонезависимых параметров двухполюсника на основании уравнений (1) и (2) будет иметь вид:

1 Я01 -а ЬС

Е±

и 2\

(и. V

иъ =-

1 -и

V и 0 у

Я

Я00

2а Ь

Я0 1 - 4а2ЬС

и 4\

1 -

(и У

V и 0 У

Я

Яо

Решая данную систему относительно искомых частотонезависимых параметров, получим:

я = -Яоии

Я = -яи3л

1

1

ио

и2

'ио

и4

Ь =

Яо

а и0

с=.и0

аЯ0

V и1 из

V и1 из У

1

3

Анализ системы уравнений показывает, что частотонезависимые Я - Ь - С параметры двухполюсника могут быть получены и при совпадении одной из систем базисных функций с резонансной частотой двухполюсника. В этом случае одно из напряжений и1 или и3 будут равны бесконечности, т.е. операционный усилитель (ОУ), используемый для преобразования параметров двухполюсника в активный сигнал, войдет в насыщение. Напряжение насыщения ОУ будет воспринято МК как и1 =ж или и3 =ж соответственно. При этом значение сопротивления будет рассчитываться по одному из двух верхних выражений, когда ОУ не находится в насыщении.

Всего существует восемь вариантов соединения элементов двухполюсника при различных схемах соединения элементов. Предложенная измерительная цепь позволяет определить параметры как резонансного, так и нерезонансного двухполюсников при различных схемах соединения элементов без изменения схемы включения. В случае четырехэлементного нерезонансного двухполюсника приведенных выше уравнений достаточно для определения его параметров. При измерении параметров четы-рехэлементного резонансного двухполюсника, имеющего две резонансные частоты, необходимо провести аналогично приведенным дополнительные измерения для третьей гармоники.

Итак, приведенный способ определения параметров трехэлементного двухполюсника позволил определить параметры как резонансного, так и нерезонансного двухполюсников для различных вариантов и схем включения его элементов при неизменной схеме включения. Поскольку работа цепи во всех режимах осуществляется под управлением микроконтроллера, то возможно получение параметров элементов двухполюсника для любой схемы замещения без изменения конструкции измерительной цепи, а лишь с изменениями программного кода.

Библиографический список

1. Тюкавин, А. А. Теория уравновешивания и методы синтеза мостов переменного тока для измерения параметров многоэлементных двухполюсников : автореф. дис. ... д-ра техн. наук : 05.11.05 / Тюкавин А. А. - Ульяновск : УлГТУ, 1998. - 39 с.

2. Новик, А. И. Системы автоматического уравновешивания цифровых экстремальных мостов переменного тока / А. И. Новик. - Киев : Наукова Думка, 1983. - 224 с.

3. Гаврилюк, М. А. Электронные измерители С, Ь, Я / М. А. Гаврилюк, Е. П. Соголовский. - Львов : Вища школа, 1979. - 134 с.

4. Мартяшин, А. И. Основы инвариантного преобразования параметров электрических цепей / А. И. Мартяшин, К. Л. Куликовский, С. К. Куроедов, Л. В. Орлов ; под ред. А. И. Мартяшина. -М. : Энергоатомиздат, 1990. - 216 с.

5. Достал, И. Операционные усилители : пер. с англ. / И. Достал. - М. : Мир, 1982. - 512 с.

6. Арбузов, В. П. Структурные методы повышения точности измерительных цепей емкостных и индуктивных датчиков : монография / В. П. Арбузов. - Пенза : ИИЦ ПГУ, 2008. -230 с.

7. Арбузов, В. П. Микропроцессорная измерительная цепь емкостного датчика с фазовым разделением каналов / В. П. Арбузов, И. А. Долгушев, С. Е. Ларкин, М. А. Мишина // Датчики и системы. - 2012. - № 2. - С. 5-8.

8. Атабеков, Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи : учеб. пособие. - 7-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2009. - 592 с.

9. Трахтман, А. М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов / А. М. Трахтман. - М. : Сов. Радио, 1972. - 352 с.

Ларкин Сергей Евгеньевич, кандидат технических наук, доцент, кафедра «Электроэнергетика и электротехника», Пензенский государственный университет. E-mail: eltech@pnzgu.ru

УДК 621.317.733 Ларкин, С. Е.

Квазистационарная измерительная цепь трехэлементного резонансного двухполюсника /

С. Е. Ларкин // Вестник Пензенского государственного университета. - 2017. - № 3 (17). - С. 89-97.