Возмущаемые стабильные системы на плоскости, II

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Капица П.Л., Капица С.П. Волновые течения тонких слоев жидкости // Журн. эксперим. и теор. физ. 1949. 19, № 2. 105-120.

2. Шкадов В. Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1967. № 1. 43-51.

3. Шкадов В. Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1968. № 2. 20-25.

4. Шкадов В.Я., Демехин Е.А. Волновые движения пленок жидкости на вертикальной поверхности (теория для истолкования экспериментов) // Успехи механики. 2006. 4, № 2. 3-65.

5. Gonzalez A., Castellanos A. Nonlinear electrohydrodynamic waves on films falling down an inclined plane // Phys. Rev. E. 1996. 53. 3573-3578.

6. Tseluiko D., Papageorgiou D. T. Wave evolution on electrified falling films //J. Fliud Mech. 2006. 556. 361-386.

7. Uma В., Usha R. A thin conducting viscous film on an inclined plane in the presence of a uniform normal electric field. Bifurcation scenarios // Phys. Fluids. 2008. 20. 022803 (1-17).

8. Григорьев А.И., Ширяева С. О., Коромыслов В. А., Велоножко Д. Ф. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя жидкости конечной толщины // Журн. техн. физ. 1997. 67, № 8. 27-33.

9. Сорокин В. А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009.

10. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Влияние рельефа подложки на течение пленки неньютоновской жидкости по наклонной плоскости // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 49-56.

11. Шутов А.А. Течение наклонного поверхностно заряженного слоя в продольном электрическом поле // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2003. № 5. 36-42.

12. Heining С., Bontozoglou V., Aksel N., Wierschem A. Nonlinear resonance in viscous films on inclined wavy-planes // Int. J. Multiphase Flow. 2009. 35. 78-90

13. Буря А.Г., Шкадов В.Я. Устойчивость пленки жидкости, стекающей по колеблющейся наклонной поверхности // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2001. № 5. 3-13.

Поступила в редакцию 23.11.2015

УДК 531.396

ВОЗМУЩАЕМЫЕ СТАБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ, II

В. В. Александров1, Т. Б. Александрова2, И. С. Коноваленко3, К. В. Тихонова4

Во второй части работы рассматривается новая задача о переходе в стабильной системе, обладающей двумя аттракторами.

Ключевые слова: возмущаемая стабильная система, робастная устойчивость, аттрактор, предельный цикл.

In the second part of this paper, a new problem of transition in a bistable system with two attractors is considered.

Key words: perturbed stable system, robust stability, attractor, limit cycle.

1. Введение. В настоящей работе продолжаются исследования, проведенные в [1]. В последнее время большое внимание уделяется возмущаемым системам на плоскости, имеющим два точечных

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ; проф. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.

2 Александрова Тамара Борисовна — канд. биол. наук, ст. науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: tamara366Qyahoo.com.mx.

3 Коноваленко Ирина Сергеевна — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: IgritsaQi.ua.

4 Тихонова Катерина Владимировна — науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: katerina.tikhonovaQinnopractika.ru.

аттрактора, разделенные еедловой точкой. В работе [2| с помощью метода Мельникова было показано, что возможны переходы из области притяжения одного аттрактора в область притяжения другого аттрактора при наличии малых ностояннодействующих возмущений. В рамках стабильных систем [1|, являющихся подмножеством грубых систем и не имеющих в своем арсенале седловых точек, также возможна постановка аналогичных задач. Рассмотрим стабильную систему, имеющую

два аттрактора. Будем называть ее в этом случае биста-бильной системой. Во избежание путаницы биетабильные системы при наличии седловых точек будем называть гиперболическими бистабильными системами. Все обозначения следуют работе [1].

2. Постановка задачи о переходе. Предположим, что бистабильная система

зУ к

/ г Doo С \в

/ S1 / /' / / ' У_

/ (JJ, / 1 / 1 уЛ / / ✓ У\

у = /°Ы, у £ С С В,2,

имеет аеимптоти чески орбитально-устой чивый предельный цикл, внутри которого расположен точечный аттрактор устойчивый фокус со своей областью притяжения А Рис. 1 (рис. 1), ограниченной предельным циклом, асимптотиче-

ски орбитально-устойчивым в обратном времени. Областью притяжения первого предельного цикла является И~2 \ А (на рис. 1 К-2 \ А = С и В).

Предположим, что в кольце С = В \ А выполняется утверждение (следствие из критерия Дю-лака) о существовании замкнутой орбиты, каковой и является первый аттрактор.

Пусть второй аттрактор устойчивый фокус (в прямом времени) расположен в начале координат у0 = (0, 0)г (рис. 1). Рассмотрим тогда возмущаемую биетабильную систему (1) при наличии малого иостояннодсйствующсго возмущения [1|:

у = Цу,у1(г)) = ф°(у)+ф1(у)у1(г),

щ(-) ev = {Щ(-) е кс\ N(t)| < ¿1 < 1}.

В соответствии с [1] рассмотрим уравнение в малых отклонениях х = у — у0 для системы (2):

X = (Ао + Aivi(t))x + bui(t), vi(-) £ V = {Vl(-) € KC\ |Vl(i)| < ¿i < 1}.

, дф°{ о) , дфг( о) , гурвицева матрица, Aq = , А\ = h —

Здесь Ао гурвицева матрица, Ао = , А\ = , Ь = ф1(0). Предположим, что 6 ^ 0 и

матрица А = Ао + А\У\ хурвицева при любом постоянном значении € [—¿1,^1].

Построим область достижимости 1)-х-_. решив задачу Булгакова о накоплении возмущений [3] для системы (3). Пересечение двух замкнутых множеств А и 1)-х-_ непусто. Найдем дистанцию Хауедорфа между этими множествами:

d

•теА^ у&А

где р является расстоянием между точками х, у.

Если дистанция Хауедорфа (4) положительна, то можно говорить о возможности перехода иод воздействием щ (¿) из области притяжения точечного аттрактора в область притяжения предельного цикла, аналогичного переходу в гиперболической бистабильной системе, если дистанция Мельникова [2| положительна. Рассмотрим эту ситуацию на примере конкретной задачи.

3. Коррекция активности первичного афферентного нейрона вестибулярного аппарата. Одной из базовых частей бионавигационной системы человека являются вестибулярные ме-ханорецепторы [4|. Рассмотрим выходной блок любого из них, представленный в виде упрощенной и модифицированной модели Ходжкина Хаксли [5|:

ст — = /8уп + ът - дь(У - Уь) - дш(тоо(У))ЧС(У) - п)(У - Щ - дкп41гк(У -

dt

dn пс ~dt ~ ~

о

Q

10,

где уравнения (5) являются модификациями уравнений Ходжкина Хаксли с учетом экспериментальных данных [5] и температурного фактора Q, описывающих в среднем непрерывные но времени марковские процессы с дискретным числом состояний.

Здесь V потенциал действия нейрона; /syn постоянное значение еииаптичеекого тока; P{t) гальванический ток: P(t) = ^/syn sign(sin(wí)); 1к ток натрия и ток калия в среднем: =

1к = дкпА11К{У - Ук).

уравнение Колмогорова для вероятности марковского процесса вероятности присутствия частиц активации в каналах токов вероятность отсутствия частиц инактивации в каналах тока калия; 9к максимальные проводимости токов натрия и калия соответственно. Функциональные параметры имеют следующий вид:

№а(тоо(У))3(С(У) - n)(V - Уш), Второе уравнение системы (5) с двумя состояниями: m(t), n(t) натрия и калия соответственно; hк

niooiV) =

1

У+33,8

1 + е Б>2

1

У+60,5

1 + е 9>9

ll'ooiv) = V+35

1 + е Б—

ПЛ 68

Т~п I, * ) — _ 26+V V+30

е и + е 20

„ Izh Q ю = а, ю

C

параметр активации параметр инактивации параметр активации /к; константа времени активации /к; температурный фактор;

интегральная постоянная при фиксированном V.

Численные параметры представлены в таблице.

Из анализа пересечения изоклин системы (5) и устойчивости особых точек получены следующие результаты: а) точка бифуркации Андронова Хоифа Isyn = 1,15^4; б) интервал бифуркации [0,99; 1,15), на котором существуют два аттрактора. Таким образом, система (5) является бистабильной системой при значениях параметра Isyn, принадлежащих этому интервалу. В левой окрестности интервала бифуркации имеем асимптотически устойчивый фокус, в правой окрестности глобально асимптоти чески орбитальио-устой чивый предельный цикл. На интервале бифуркации Isyn € [0,99; 1,15) устойчивый фокус находится внутри предельного цикла.

На рис. 2 представлены эти два аттрактора при Isyn = 0,99^4:

' см-

а) устойчивый фокус с областью притяжения А, полученной построением предельного цикла, являющегося асимптотически орбитальио-устойчивым в обратном времени;

б) глобально орбитальио-устой чивый предельный цикл основной аттрактор, формирующий релаксационные автоколебания (спайки).

Введем локальную систему координат {х\, X'i] е центром в устойчивом фокусе (2/1,2/2) (рис. 2), где у = Vo = —39 мВ, = по = 0,3. В этой системе рассмотрим точки, принадлежащие множеству достижимости 1)^ возмущаемой стабильной системы в отклонениях (3) при дф°(у°) ду

Численные параметры

Параметр Значение Измерения

Cm 1 мкФ

FNa 52 мВ

Vk -84 мВ

FL -63 мВ

AN a 2,3 MC г.м*

дк 2,4 MC см2

9L 0,03 MC СМ 2

/?К 0,7329

а 3

Т 37 °с

То 20 °с

Isyn 0 - 150 мкЛ см2

71 0,5

Al =0.

Решая задачу Булгакова [3], получаем множество достижимости Doo, представленное на рис. 2 пунктирной линией, и находим точки М(х\,хи N(Ay, (рис. 3), соответствующие дистанции Хауедорфа, что является решением задачи перехода. Алгоритм гальванической коррекции активности первичного нейрона в соответствии с решением этой задачи о переходе это периодическая функция, частота которой равна частоте обычного резонанса для колебательной системы в отклонениях (3) при Isуп = 0,99^4: P(t) = 3 /syn sign(sinuJot), t € [to,ii]- Амплитуда гальванического тока (5) 71 = 0,2.

Математическая модель (3) соответствует первой гипотезе о влиянии гальванического стимула на изменение синаптичеекого тока. Существует и вторая гипотеза, согласно которой гальваническая стимуляция влияет и на проводимость ионных каналов, что соответствует системе (3) при

А\ ф 0. Выше представлено первое возмож-

V, мВ 20

0

-20

-40

-60

1 1 1 1

'о 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \

20

40

60

80

100 Í, мс

Рис. 4

ное решение задачи гальванической коррекции активности первичного афферентного нейрона. В начальный момент система (5) находится в области притяжения А в процессе ожидания механического стимула. Ввиду его отсутствия на входе вестибулярного меха-норецептора гальваническая стимуляция (при I € [¿0,^1]) выходного блока, каковым является первичный нейрон, позволяет реализовать активность этого первичного нейрона в виде пачки спайков (рис. 4). Реализация данной активности соответствует в технике коррекции

ннерциальной навигационной системы при наличии дополнительной информации. Таким образом, сделан первый шаг в обосновании гальванической коррекции вестибулярного аппарата.

4. Обсуждение результатов. В рамках модифицированной модели Ходжкина Хаксли показано, что возможна коррекция активности первичных нейронов вестибулярного аппарата. На практике это может соответствовать следующим двум вариантам:

1) коррекции активности для возможной гальванической имитации механического воздействия на биосенсоры вестибулярного аппарата пилота при тренировках на динамическом стенде с ограниченными геометрическими ресурсами [4|;

2) коррекции активности с целью уменьшения запаздывания в установке взора космонавта при визуальном управлении космическим объектом на орбите в условиях микрогравитации [6].

При этом коррекция в первом варианте является программной, зависящей от алгоритма динамической имитации управляемого полета, а коррекция во втором варианте зависит от сигнала с микроакеелерометра (или микровиброгироекопа), установленного на шлеме космонавта. Таким образом, имеем два варианта коррекции программный и формируемый по показаниям технического сенсора.

Следует сделать также замечания общего характера о задачах, рассмотренных в работе [1] и в настоящей работе, являющейся ее продолжением. Задачи, приведенные в [1|, дают представление о возможности расширения класса гладких динамических систем с помощью синтеза постояннодей-етвующего возмущения в грубых стабильных системах до класса кусочно-гладких динамических систем. В настоящем исследовании задача носит прикладной характер, так как позволяет рассмотреть в случае варианта 1 возможность реализации технологии смешанной реальности (mixed reality) комбинации динамической имитации персонально управляемого движения и гальванической коррекции для имитации веетибулоокулярного рефлекса [4|.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 16-01-00683 (разд. 1, 2), и РИФ, проект

№ 14-50-00029 (разд. 3,4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров В.В., Александрова О.В., Коноваленко И.С., Тихонова К.В. Возмущаемые стабильные системы на плоскости, I // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 5. 30-36.

2. Симиу Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастических системах. М.: Физматлит, 2007.

3. Александров В.В. К задаче Булгакова о накоплении возмущений // Докл. АН СССР. Сер. Кибернетика. 1969. 186, № 3. 70-73.

4. Aleksandrov V.V., Aleksandrova Т.В., Angeles Vasques A., Vega R., Reies Romero M., Soto E., Tikhono-va K.V., Shulenina N.E. An output signal correction algorithm for vestibular mechanoreceptors to simulate passive turns // Moscow University Mechanics Bull. 2015. 70, N 5. 130-134.

5. Sadovniehii V.A, Aleksandrov V.V., Aleksandrova T.B., Konik A.A., Pakhomov B.V., Sidorenko G.Yu., Soto E., Tikhonova К. V., Shulenina N.E. Mathematical simulation of correction of output signals from the gravitoinertial mechanoreceptor of a vestibular apparatus // Moscow University Mechanics Bull. 2013. 68, N 5. 111-116.

6. Патент РФ № 2500375. Устройство автоматической коррекции установки взора человека при визуальном управлении движением в условиях микрогравитации. Авторы: В. А. Садовничий, В. В. Александров, Т. Б. Александрова, И. Б. Козловская, Л.Н. Корнилова, А. Н. Григорьев, К. В. Тихонова и др. М., 2013.

Поступила в редакцию 17.02.2016

УДК 532.5+537.8+551.5

ВЛИЯНИЕ АТМОСФЕРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПОД ГРОЗОВЫМ ОБЛАКОМ НА ФОРМИРОВАНИЕ ВОРОНКИ ТОРНАДО

С. А. Мае лов1

Рассмотрено влияние электрического поля под грозовым облаком на формирование и движение воронки торнадо (смерча). Показано, что электрическая сила может обеспечивать как опускание развивающейся воронки к земной поверхности, так и ее "втягивание" в грозовое облако.

Ключевые слова: торнадо, грозовое облако, атмосферное электрическое поле.

The effect of an atmospheric electric field under a thundercloud on the formation and motion of a tornado funnel is considered. It is shown that the electric force may cause both the descent of a developing funnel to the Earth's surface and its suction into the thundercloud.

Key words: tornado, thundercloud, atmospheric electric field.

1. Введение. Торнадо (смерч) — интенсивный атмосферный вихрь, опускающийся из грозового облака в виде вращающейся воронки радиуса 10-1500 м и более [1]. Основной чертой сильного торнадо является высокая скорость вращения воздушного потока в воронке, иногда превышающая 100-150 м/с. Кроме того, для торнадо характерна тесная связь воронки с порождающим ее материнским грозовым облаком. Эта связь не находит теоретического объяснения в рамках моделей [2, 3], подробно рассматривающих термогидродинамические механизмы образования и усиления атмосферных вихрей, генерацию завихренности и спиральности, но не учитывающих важную роль электрических механизмов в формировании торнадо [4]. Учет электрических факторов необходим также для обоснования высокой молниевой активности воронки торнадо; появления холма брызг или пыли под торцом воронки, еще не достигшей земной поверхности [5]; локализации завихренности в стенках воронки (толщина которой на два-три порядка меньше радиуса торнадо) и других явлений, сопутствующих торнадо. Поэтому для обоснования различных аспектов и закономерностей поведения торнадо на разных стадиях его существования привлекаются электромагнитные механизмы торнадогенеза [4-9].

1 Маслов Сергей Алексеевич — асп. каф. газовой и волновой динамики мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergm90Qmail.ru.