Разработка нелинейной математической модели гибридногошагового двигателя на основе анализа магнитного поля машины

МЕХАТРОННЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ

УДК 62-51

РАЗРАБОТКА НЕЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГИБРИДНОГО ШАГОВОГО ДВИГАТЕЛЯ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА МАГНИТНОГО ПОЛЯ МАШИНЫ

О.В. Горячев, А.Г. Ефромеев, А.О. Степочкин

Рассмотрена нелинейная математическая модель гибридного шагового двигателя на основе анализа картины магнитостатического поля, устанавливающая связь между конструктивными параметрами, свойствами конструкционных материалов и характеристиками машины.

Ключевые слова: нелинейная математическая модель гибридного шагового двигателя, расчет и анализ картины магнитостатического поля гибридного шагового двигателя, влияние конструктивных параметров и свойств конструкционных материалов на характеристики гибридного шагового двигателя.

Практика применения современных дискретных электроприводов на основе исполнительных шаговых двигателей требует разработки эффективных методик анализа, позволяющих в короткие сроки решать задачи их проектирования в соответствии с требованиями технического задания. Необходимым условием достижения данной цели является разработка программного комплекса расчета характеристик двигателя на основе его математической модели, учитывающей все значимые аспекты процессов электромеханического и электромагнитного преобразования энергии и связывающей динамические характеристики с конструктивными параметрами машины.

Классический подход к разработке математических моделей электрических машин основан на системе уравнений Лагранжа-Максвелла и подразумевает формирование системы алгебраических и дифференциальных уравнений на основе паспортных данных двигателя и соответствующих расчетных коэффициентов без непосредственной привязки к кон-

структивным параметрам конкретного двигателя. Однако, несмотря на свою относительную простоту и универсальность, данный подход не всегда применим к решению отдельных задач анализа и синтеза систем привода, т.к. реализованная с помощью данного подхода математическая модель не отражает всей специфики протекающих в электрической машине физических процессов. В частотности, применительно к рассматриваемому шаговому двигателю классическая математическая модель не позволяет оценить влияние конструктивных параметров на возникновение присущих шаговым двигателям резонансные явлений.

Отсюда возникает необходимость разработки уточненной математической модели с непосредственной привязкой к конструктивным параметрам конкретной модели шагового двигателя либо в более общем случае к определенному типу электрических машин рассматриваемого исполнения, в частности к гибридным шаговым двигателям.

На рис. 1 представлена блок-схема методики формирования нелинейной математической модели применительно к шаговому двигателю гибридного типа ДШС-58-1-3.

Рассмотрим реализацию методики более подробно.

1. Анализ характеристик, конструктивных особенностей и свойств конструкционных материалов двигателя.

В качестве примера рассмотрен двигатель ДШС 58-1-3, относящийся к гибридному типу ШД с ротором наборной 4-секционной конструкции на основе высокоэнергетических постоянных магнитов. Общий вид статора двигателя без щита представлен на рис 2.

Общий вид секций ротора двигателя представлен на рис. 3.

Для анализа характеристик двигателя рассмотрим отдельно одну из секций, выполнив декомпозицию согласно конструкции ротора. Общий вид одной секции двигателя без вала представлен на рис. 4.

Формирование крутящего момента двигателя осуществляется вследствие последовательного изменения конфигурации магнитных полей постоянных магнитов ротора и поля статора, создаваемого обмотками.

Все секции работают по единому принципу, формируя общий вращающий момент. Соответственно целесообразно рассмотреть механизм формирования момента на примере одной секции, распространяя результат на остальные секции.

Таким образом, перемещение ротора на определенное количество шагов состоит из последовательной смены устойчивых состояний равновесия под действием магнитных полей обмотки управления и постоянных магнитов, которые, как правило, совпадают [4].

10

Рис. 1. Блок-схема формирования нелинейной математической модели

шагового двигателя гибридного типа

11

Рис. 2. Общий вид статора двигателя ДШС 58-1-3

Рис. 3. Общий вид ротора двигателя ДШС 58-1-3

Рис. 4. Общий вид секции двигателя ДШС 58-1-3

12

Так как конструкция двигателя симметрична, все элементы электромеханического и электромагнитного взаимодействия каждой из секций (детали ротора и статора) работают единообразно и для полного анализа процессов в машине также достаточно рассмотреть одну из зон взаимодействия, распространив результаты анализа на остальные.

В рамках анализа конструкции рассмотрим электрическую схему соединения обмоток двигателя и соответствующий порядок чередования импульсов питающего напряжения (рис. 5), а также порядок чередования импульсов напряжения на выводах двигателя ДШС-58-1-3 и направления вращения (рис. 6).

Рис. 5. Электрическая схема соединения обмоток двигателя

ДШС-58-1-3

Рассмотрим перечень материалов, использованных при изготовлении элементов конструкции машины.

Материал статора - лента 0,20-11-49К2ФА (ГОСТ 10160-75).

Материал ротора (магнитопровод) - сплав 49К2ФА (ГОСТ 1016075).

Материал ротора (постоянный магнит) - КС25ДЦ-150 (ГОСТ 21559-76).

Анализ характеристик конструкционных материалов позволяет выделить следующие основные их особенности, на которые необходимо обратить внимание при разработке модели.

Магнитомягкий материал статора и ротора - сплав 49К2ФА, имеющий кривую намагничивания, которая может быть в первом приближении линеаризована с помощью прямых с соответствующими углами наклона (рис. 7).

Магнитотвердый материал ротора - сплав КС25ДЦ-150, характеризующий значительной величиной коэрцитивной силы и остаточной магнитной индукции.

Рис. 6. Порядок чередования импульсов напряжения на выводах двигателя ДШС-58-1-3 и направления вращения

Рис. 7. Линеаризация кривой намагничивания сплава 49К2ФА

14

2. Формирование базовой математической модели на основе уравнений электрической цепи.

Математическая модель гибридного шагового двигателя на основе уравнений электрических цепей обмоток, описывающих основные моменты процесса электромеханического преобразования энергии, достаточно широко представлена в литературе в различных вариациях. В частности, согласно [7]

иА = 1АЯА + Ь% -юрЧ Бт( рв);

шг

ив = 1вЯв + Ь% + юрЧ соб

Ж

МЕ = рЧ(гв соб(рв) - 1А Бт(рв)); _ Шю

3Ь-Г = МЕ - МС ,

ш

где и, I, Я, Ч - напряжение, ток, сопротивление и амплитудное потоко-сцепление фазы; в, ю, 3дв, р - угол поворота, угловая частота вращения ротора, момент инерции ротора, число зубцов ротора; МЕ и МС - суммарный электромагнитный момент и момент статического сопротивления вала двигателя.

Модель включает в себя:

- уравнения напряжений каждой из фаз, полученные согласно схеме замещения обмоток;

- выражение для электромагнитного момента, полученное из уравнения баланса мощностей обмотки;

- уравнение движения ротора двигателя под действием электромагнитного вращающего момента и момента статического сопротивления.

Для модели справедлива следующая система допущений:

- магнитная цепь линейна, магнитная проницаемость стали равна бесконечности, т.е. насыщение стали не учитывается, падение магнитного напряжения в стали отсутствует;

- сердечники считаются гладкими, рабочий зазор - равномерным, зубчатость сердечников не учитывается;

- учитываются только основные гармоники тока, магнитодвижущей силы (МДС), потока и ЭДС, т.е. не учитывается дискретность обмоток и порождаемые ею пространственные гармоники поля.

- взаимной индуктивностью обмоток пренебрегаем.

- влияние вихревых токов в магнитопроводе не учитываем.

15

3. Расчет магнитостатической картины поля для двухмерной и трехмерной постановки задачи.

Расчет магнитного поля двигателя осуществляется с помощью численного метода конечных элементов (МКЭ), реализация которого описана в [2]. Решение задачи осуществляется в 2D- и 3D-постановке. В качестве исходных данных для программ выступают сборочные чертежи машины, выполненные в пакетах Компас и SoHdWorks, а также соответствующие параметры конструкционных материалов двигателя.

На рис. 8 представлено разбиение 3D-модели секции двигателя с помощью сетки конечных элементов средствами демоверсии пакета JMAGDesigner.

Моделирование в 3D выполняется для секции двигателя в сборе при отсутствии напряжения питания на обмотках (рис. 9) и позволяет проанализировать распределение линий магнитной индукции поля постоянных магнитов ротора по соответствующим участкам магнитопровода.

Моделирование в 2D выполняется для продольного разреза двигателя при отсутствии напряжения питания на обмотках статора (рис. 10), а также для поперечного разреза секции двигателя при подаче на обмотки управления напряжения по схеме, обеспечивающей поворот ротора на 1 шаг по часовой стрелке (рис. 11).

Рис. 8. Разбиение секции двигателя на сетку конечных

элементов

16

Рис. 9. Общий вид распределения линий магнитной индукции поля постоянного магнита в роторе и статоре со стороны ротора £

Рис. 10. Распределение линий вектора магнитной индукции поля постоянных магнитов ротора в продольном разрезе двигателя при отсутствии напряжения питания

17

Рис. 11. Распределение линий магнитного поля обмоток статора при подаче напряжения питания

В результате расчета магнитостатической картины поля выявлена геометрия путей магнитного потока, а также рассчитана величина магнитной индукции на рассматриваемых участках магнитной системы машины, что позволяет сделать вывод о соответствующей величине относительной магнитной проницаемости.

4. Декомпозиция магнитной системы двигателя.

Декомпозиция задач позволит независимо рассмотреть взаимодействие ротора и статора в различных режимах работы машины и ввести понятие системы «ротор - статор», под которым в нашем случае подразумевается совокупность участков магнитной системы машины (участки магнитопровода и воздушные зазоры), по которым проходит и замыкается (при соответствующих допущениях) магнитный поток обмотки статора и поля постоянного магнита ротора. Соответственно мы можно выделить две системы:

1) система «ротор - статор по потоку обмоток управления»;

2) система «ротор - статор по потоку постоянного магнита ротора».

Системы находятся в постоянном динамическом взаимодействии, а

их взаимовлияние и взаимодействие магнитных потоков в каждый момент времени определяет совокупность статических и динамических характеристик двигателя.

Для формирования математической модели, учитывающей реальные геометрические размеры, кинематику зон взаимодействия, а также свойства конструкционных материалов, необходимо составить схему замещения магнитной цепи рассматриваемой электрической машины.

5. Разработка схемы замещения электродвигателя на основе уравнений магнитной цепи с учетом конструктивных особенностей машины и результатов расчета магнитостатической картины поля.

Согласно результатам моделирования (см. рис. 9 - 11) магнитная цепь состоит из элементов ротора, воздушного зазора, а также элементов статора. Выделим участки магнитопровода, через которые проходят пути следования магнитных потоков постоянных магнитов ротора и запитанной постоянным током обмотки статора, принимая допущение о пересечении магнитными потоками площадей простейшей геометрической формы и пренебрегая потоками рассеяния и выпучивания согласно методике для электромагнитов нейтрального типа [3]. Введем систему обозначения данных участков для последующего построения схемы замещения. Соответствующие базовые размеры элементов магнитопровода представлены на рис. 12.

Рис. 12. Эскиз взаимного расположения элементов магнитопровода ротора и статора в состоянии равновесия по полю обмотки

управления

Отдельно рассмотрим взаимное расположение ротора и статора исходя из геометрии воздушного зазора. Именно эта область определяет динамику изменения параметров по потоку обмотки управления и постоянных магнитов ротора. Эскиз области воздушного зазора с соответствующими обозначениями представлен на рис. 13.

19

Рис. 13. Эскиз области воздушного зазора с соответствующими геометрическими соотношениями

Зоны взаимодействия расположены зеркально относительно плоскости постоянного магнита ротора. Состояния полного перекрытия зубцов с одной стороны ротора соответствуют отсутствию перекрытия с другой. Все рассмотренные состояния являются устойчивыми для одной либо другой системы взаимодействия.

Исходя из предложенной декомпозиции рассмотрим каждую из систем в отдельности.

Для системы взаимодействия «ротор - статор по потоку поля постоянного магнита ротора» уравнение полной магнитной цепи можно записать в виде [4]

IН1 = Р„ ,

где Иг - падения магнитного напряжения участков магнитопровода;

- соответствующие длины участков магнитопровода; Ет - намагничивающая сила постоянного магнита.

Падение магнитного напряжения на участке магнитопровода выразим через магнитный поток и магнитное сопротивление соответствующего участка:

IИ1 = !фя, .

Магнитное сопротивление может быть вычислено по зависимости

*=8т -

где - соответствующие длины участков магнитопровода;

- площадь пересекаемая потоком; ц, - абсолютная магнитная проницаемость участка.

Произведем расчет магнитных сопротивлений для отдельных участков магнитной цепи, выразив площади, пересекаемые потоком, исходя из обозначений, представленных на рис. 11, 12.

В итоге необходимо получить функциональную зависимость магнитных сопротивлений участков магнитопровода от магнитной проницаемости материала согласно рабочей точке на кривой намагничивания, а магнитных сопротивлений воздушных зазоров как функций от угла поворота ротора. При расчете используем принятые допущения.

Выполнив анализ магнитной цепи, выделяем участки с изменяющемся на рассматриваемом диапазоне взаимным положением и соответственно изменяющимся магнитным сопротивлением, которое, в свою очередь, может быть выражено как функция угла поворота ротора.

Для системы взаимодействия «ротор - статор по потоку обмоток управления» получим:

^ФЛ = IЖ,

где Ф, - магнитный поток на участке магнитопровода; Я, - магнитное сопротивление участков магнитопровода; ¡Ж - МДС соответствующей обмотки статора.

Анализ зависимостей (3) - (5), а также результатов моделирования в 3Б позволяет сделать вывод о том, что на величину магнитного потока Ф, прежде всего, влияет геометрия воздушного зазора, т.к. значение магнитной проницаемости воздуха значительно меньше значения магнитной проницаемости участков магнитопровода.

Схемы замещения магнитной цепи в соответствии с принятой декомпозицией магнитных систем представлены на рис. 14 - 16.

Рис. 14. Схема замещения магнитной цепи машины для одной пары зубцов ротора и статора по полю постоянного магнита

21

Рис. 15. Участок схемы замещения магнитной цепи статора по полю постоянного магнита и обмотки управления со стороны ротора £

Рис. 16. Схема замещения магнитной цепи машины для двух полюсов статора по полю постоянного магнита и обмотки управления

22

6. Формирование системы нелинейных уравнений, описывающих процесс электромеханического преобразования энергии в двигателе ДШС 58-1-3.

В качестве базовой примем модель, описанную в п. 2. Выражения для напряжений питания каждой из фаз останутся без изменений. Величина потокосцепления фазы будет определена численно непосредственно при моделировании. Получим

иА = 1АКА + Ь^А + сору мп( рв); ёх

в - гвРв + Ь — - сору ^(рв). ах

и

Уравнение динамики движения ротора под действием полей постоянных магнитов и обмотки управления будет иметь вид

Тав ,,

J—= м

ах2

ОИ Мрт - Мсг.

где момент, создаваемый в обмотках,

м„ = М. + М£

Уравнения моментов можно получить из уравнения баланса мощностей для каждой из обмоток [5]:

т = 12 Р + + м а.

ТА1А = А РА +—ТГ +М А~Г~ ;

аХ аХ

тп = 12 Р + ажв + М а

ив в = в Рв +~Г~+ Мв~Т-,

аХ аХ

А А

где иА1

1А 2 РА

ашл

и

ил

вв

и 1В 2Ре

потребляемая мощность каждой из обмоток; мощность тепловых потерь каждой из обмоток;

ёх

и

ажв

ах

изменение энергии магнитного поля в соответствующих воз-

душных зазорах каждой из обмоток, МА — и Мв — - механическая мощах ёх

ность для каждой из обмоток.

Энергия магнитного поля

1 2

Ш = - 1а2 ЬА ;

12

Ш = - 1в2 Ьв.

Подставив в (9), получим

7. ач а А ах = ¿Ша +МА а

ах ах

ач в в ах = ашв +Мв ад_

ах 23 ах

Выражения для моментов

_ _ .а у а ашА мА = гА—А--А

мв = ц

ад а у

ад

в ажв

ад ад

Уравнения для потокосцепления обмоток без учета взаимоиндукции имеют вид

[У а = гАЬА м совВ;

[У в = ¡вЬв м СОв В,

где Ум - потокосцепление поля постоянных магнитов ротора. Выражения для определения индуктивности

\Ьа = М>2ОА ;

{¿в = м?2Ов,

где О - проводимость магнитной цепи фазы.

Выражения для момента каждой из фаз

АдОА

мА =

2 эд м = />2 эОв

+ Iа Ум 8ШВ

+ 1Вум втЯ.

2 эд

Статический момент, фиксирующий поля постоянных магнитов, может быть рассчитан по классической зависимости для электромеханического преобразователя как частная производная составляющей энергии магнитного поля, затраченной на выполнение механической работы по углу поворота вала (якоря) преобразователя [6]:

э^ н 212 эое1трт

мрт эд

рт

а т

2 эд

где, Н а - значение напряженности поля магнита при замыкании его на внешнюю магнитную цепь; 1т - длина магнита по средней линии [1].

Выражения для эквивалентных проводимостей как функций угла поворота ротора имеют вид

1

^екуои (д) '

^екурт

2 ^ои (д) 1

2 Векурт

Таким образом, уравнения (6), (7), (8), (15), (16), (17) представляют собой нелинейную математическую модель гибридного шагового двигателя.

7. Разработка 81шиИпк-модели двигателя и выполнение моделирования.

Модель состоит из 17 функциональных блоков расчета и 9 блоков формирования входного сигнала, реализованных в виде подсистем. Каждая пара функциональных блоков является моделью системы взаимодействия соответствующего полюса статора и 8 зубцов ротора. Расчет момента выполнен согласно зависимостям (15), (16).

На рис. 17 и 18 представлены полученные с помощью моделирования и снятые экспериментально переходные процессы по углу поворота вала двигателя при частоте импульсов напряжения питания 10 Гц.

Рис. 17. Переходный процесс отработки входного сигнала частотой 10 Гц, полученный с помощью модели

Рис. 18. Экспериментальный переходный процесс отработки входного

сигнала частотой 10 Гц

8. Анализ полученных результатов.

Сравнительный анализ результатов моделирования с экспериментальными данными на частоте 10 Гц и более подтверждает адекватность полученной модели рассматриваемого исполнительного двигателя при моделировании различных режимов его работы и может быть использована в

25

задачах анализ и синтеза систем регулируемого электропривода. В случае если результаты моделирования не соответствуют экспериментальным данным, необходимо произвести уточнение параметров схемы замещения, а именно пересмотреть геометрические соотношения области воздушного зазора и участков магнитопровода машины.

9. Выводы.

Таким образом, сформулирована комплексная методика разработки нелинейной математической модели гибридного шагового двигателя с непосредственной привязкой к конструктивным параметрам машины, которая может быть использована, с соответствующими ограничениями и дополнениями, для различных типов электрических машин с постоянными магнитами.

Список литературы

1. Балагуров В.А., Галтеев Ф.Ф., Ларионов А.Н., Электрические машины с постоянными магнитами. М.: Энергия. 1964.

2. Байда Е.И. Расчет электромагнитных и тепловых полей с помощью программы FEMM: учеб. - метод. пособие. Харьков, 2015. 147 с.

3. Елецкая Г.П., Илюхина Н.С., Панков А.П. Электромеханические системы. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009 г.

4. Кенио Т. Шаговые двигатели и их микропроцессорные системы управления, / пер. с англ. М.: Энергоатомиздат. 1987. 200 с.

5. Штёлтинг Г. Байссе А. Электрические микромашины, / пер. с немец. М.: Энергоатомиздат, 1991. 229 с.

6. Stepping Motors: A Guide to Theory and Practice. The Institution of ElectricalEgineers. London. 2003.

7. Chirila A., Deaconu I.,Navrapescu V., Albu M., Ghita C. On the model of a HybridStep Motor.In // ProclEEE international conference on industrial electronics, 2008. P. 496- 501.

Горячев Олег Владимирович, зав. кафедрой, д-р. техн. наук, проф., olegvgor@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Ефромеев Андрей Геннадьевич, ассист., age.sau@mail.ru,Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Степочкин Александр Олегович, асп., s.a.o. 1984@yandex.ru,Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE DEVELOPMENT OF NONLINEAR MA THEMA TICAL MODELS HYBRID STEPPING MOTOR ON THE BASIS OF THE ANALYSIS OF THE MAGNETIC

FIELD OF THE MACHINE

O. V. Goryachev, A. G. Eremeev, A. O. Stepochkin

26

Considered nonlinear mathematical model of a hybrid stepping motor on the basis of pattern analysis of magnetostatic fields, establishing a relationship between the structural parameters, properties of structural materials and the characteristics of the machine.

Key words: nonlinear mathematical model of a hybrid stepping motor, calculation and pattern analysis magnetostatic field of a hybrid stepper motor, the influence of design parameters and properties of structural materials on the characteristics of the hybrid stepper motor.

Goryachev Oleg Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, ovg a sau. tsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Efromeev Andrey Genadievich, assistant, age47a mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Stepochkin Alexander Olegovich, postgraduate, s.a. o. I984ayandex.ru Russia, Tula, Tula State University

УДК 681.5.073; 681.513.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ НА ПОМЕХОЗАЩИЩЕННОСТЬ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ

СИСТЕМ

О.В. Горячев, В.В. Воробьев, Н.Н. Макаров, О.О. Морозов, А.Г. Ефромеев,

А.А. Огурцов

Рассмотрены вопросы развития методологии лабораторно-стендовых испытаний высокоточных оптико-электронных систем. Предложена рациональная методика экспериментальной отработки систем в условиях внешних и внутренних помех, которая позволяет контролировать диапазон ошибки при малом потребном объеме испытаний. Разработаны состав и конструкции полунатурных стендов для испытаний на точность и помехозащищенность оптико-электронных систем, функционирующих в условиях подвижных световых помех. Стенды внедрены в учебный процесс подготовки специалистов по курсам проектирования и испытания систем управления.

Ключевые слова: оптико-электронная система, световая помеха, полунатурный стенд, динамические испытания, точность, помехозащищенность.

Постановка задачи

Лабораторно-стендовые испытания автоматических систем с оценкой показателей динамики, точности, помехозащищенности используются на всех этапах их разработки: от НИОКР до производства и контроля готовой продукции [1,2]. Полунатурные стенды позволяют перенести часть натурных (полигонных) испытаний в лабораторные условия и тем самым снизить затраты времени и средств на разработку новых и модернизацию имеющихся изделий. На кафедре систем автоматического управления

27