Современные методы обучения вычислительной геометрии

УДК 51:37.016, 002.6:37.016

А. Н. Стась, Л. С. Горобец СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Рассмотрены проблемы преподавания основ вычислительной геометрии в процессе подготовки учителей информатики и математики. Особенностью этой дисциплины является изучение алгоритмического подхода к решению геометрических задач. Авторами разработаны комплекты методических материалов, включающие автоматизированные обучающе-контролирующие программы по темам: «Преобразование координат» и «Кривые второго порядка».

Ключевые слова: вычислительная геометрия, педагогические программные средства, обучающе-контроли-рующие программы, «Преобразование координат», «Кривые второго порядка», алгоритмическое мышление.

В настоящее время перед высшей школой поставлена задача подготовки специалистов нового класса, способных повысить уровень развития образования, науки и жизни путем внедрения новейших технологий. Среди факторов, обусловливающих важность данной задачи, выделяются: высокий темп социальных преобразований, возрастание конкуренции, информатизация профессиональной и повседневной жизни. Развитие современного общества требует новых подходов к организации системы образования. В связи с этим проблема восприятия, усвоения и продуктивного применения научного знания студентами тесно связывается с проблемой технологического переоснащения и распространения новых методов и форм обучения [1]. В частности, актуальна задача совершенствования подготовки будущих учителей математики и информатики, а также специалистов в области информатизации образования.

Многие исследования посвящены поиску современных принципов построения методики обучения математике и информатике в педагогическом университете в эпоху развития информационнокоммуникационных технологий. Они показали, что на современном этапе развития педагогической и методической наук целесообразно применение методики обучения, основывающейся на активном использовании компьютерных технологий в учебном процессе. Также доказано, что компьютерные технологии дают возможность формировать способности, направленные на получение новых эмпирических и теоретических знаний как фундаментального, так и прикладного характера, их систематизацию и концептуализацию, оперирование базовыми понятиями, решение познавательных задач [2].

В связи с активным внедрением информационных технологий в учебный процесс в новой школе необходимы специалисты в области информатизации образования. На физико-математическом факультете Томского государственного педагогического университета с 2008 г. осуществляется подготовка бакалавров в рамках направления 230200

«Информационные системы». Основная цель данной образовательной программы - подготовка технических специалистов - разработчиков педагогических программных средств и автоматизированных систем управления в образовательной отрасли.

Подготовленный к практической деятельности программист должен обладать развитым алгоритмическим мышлением и знаниями в области эффективных алгоритмов решения базовых задач информатики, к которым относятся среди прочих алгоритмы компьютерной графики. Их математическим базисом является вычислительная геометрия.

Как отдельная дисциплина, вычислительная геометрия возникла в середине XX в. на стыке математики и информатики. С одной стороны, эффективные алгоритмы вычислительной геометрии входят в ядро теоретической информатики, с другой - они разработаны на основе методов аналитической и дифференциальной геометрии. Вычислительная геометрия - одна из дисциплин, на основе которой легко прослеживаются межпредметные связи математики и информатики. Изучение данной дисциплины, кроме формирования межпредметных компетенций, позволяет обучать решению задач вычислительной геометрии и развивать навыки алгоритмизации и программирования на языке высокого уровня. Дисциплина наглядно демонстрирует применяемость знаний в практической деятельности. При обучении вычислительной геометрии студент учится узнавать элементы и ходы, применять на практике стандартные алгоритмы, искать решения сложных задач через использование более простых алгоритмов. В ходе ее изучения он получает навыки анализа задачи, постановки проблемы, выбора оптимального варианта из существующих, построения собственного варианта решения. Наглядное иллюстрирование геометрических объектов при помощи информационных технологий развивает пространственное мышление. То есть дисциплина способствует развитию проблемного и алгоритмического мышления. Кроме того, происходит формирование исследовательских навыков работы над объектами и их свойствами.

Как отмечалось выше, одним из главных требований к подготовке бакалавров по направлению «Информационные системы» является обучение созданию педагогических программных средств. В то же время в существующих условиях далеко не каждая школа может себе позволить иметь в штате таких специалистов. Проблема признана и на федеральном уровне, в частности, в помощь учителю создается Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [3]. Но их недостаточно для того чтобы удовлетворить все потребности средней школы по всем дисциплинам, особенно в условиях ее профилизации. Реально работу по созданию дополнительных педагогических программных средств выполняют учителя информатики и учителя-предметники. Обратим внимание, что при создании таких продуктов роль компьютерной графики особенно значима, поскольку она применяется в процессе повышения наглядности учебной информации. Педагогические программные средства должны иметь интерактивный графический интерфейс. В качестве конкретных примеров можно привести демонстрацию геометрических объектов на экране дисплея, визуальную поддержку диаграммами [4]. Кроме того, знание основ вычислительной геометрии понадобится учителям информатики и математики в процессе разработки элективных курсов для старшеклассников.

Курс «Вычислительная геометрия» предлагает педагогу не только совершенствование навыков программирования, что немаловажно для развития предметной компетенции, но и набор практических задач для последующего применения на уроках.

Использование задач данного курса на школьных уроках информатики служит веским аргументом для осознания школьниками важности тематического раздела «Алгоритмизация и программирование» и профессионального определения. Возможность создания школьником собственного программного продукта является мотивацией его активной деятельности [5; 6].

Значительную пользу принесет изучение простейших задач вычислительной геометрии на уроках математики, которое при имеющейся поддержке программного средства поможет углубить понимание материала, развить пространственное видение, а также умение решать нестандартные задачи. К простейшим задачам вычислительной геометрии, подходящих для обучения в школе, относятся задачи изображения геометрических фигур и оперирование с ними, например: определение принадлежности одного объекта другому, поиск геометрического места точек и др.

Особое значение для подготовки обучающихся к высшему образованию имеет применение данных разработок и подходов на факультативных

курсах и элективах. Предполагается, что изучение школьниками основ вычислительной геометрии подготовит знаниевую базу для обучения на факультетах физико-математического и информационно-технологического профиля и будет способствовать развитию многих навыков.

Будущие учителя как информатики, так и математики в ходе обучения вычислительной геометрии получают опыт создания программных средств, в том числе собственных педагогических обучающих программ. Такие учителя способны нестандартно подходить к обучению и разрабатывать новые средства преподавания. Вне сомнения, школьники, обучающиеся у них, сами будут обладать широким спектром компетенций.

Можно сделать вывод, что изучение вычислительной геометрии - важный и необходимый компонент при обучении учителей математики и информатики и специалистов в области информатизации образования.

Стоит отметить, что часто у студентов нет достаточной подготовки для обучения данному курсу. Поэтому сначала необходимо провести диагностику уровня подготовки и предварительное обучение для освоения основ алгоритмизации и программирования, а также представлений об основных понятиях геометрии.

В качестве фундаментальных составляющих дисциплины «вычислительная геометрия» следует выделить темы: «Преобразование координат» и «Кривые второго порядка». По данным темам были разработаны автоматизированные обучающе-контролирующие программы. Подчеркнем, что под обучающей функцией контроля понимается деятельность по приобретению новых знаний и умений и их совершенствование под влиянием испытательных заданий. Она, в частности, включает в себя совершенствование знаний путем дополнений, уточнений и исправлений. Во время выполнения контрольных заданий обучающиеся обобщают, переосмысливают пройденный материал, объединяют отдельные части и темы [7; 8].

На наш взгляд, чтобы усилить обучающую функцию контроля, можно расширить теоретическую составляющую автоматизированных средств контроля и предоставить учащимся возможность увидеть не только результат (формулу, уравнение, рисунок), но и познакомиться (по желанию) с тем, как он получен. Для этого должна быть организована система подсказок, позволяющая обратиться к теоретическим основам темы, разобраться в каждом выбранном фрагменте и применить знания при решении задач. Подчеркнем, что в данной программе важное значение имеет расположение образов и формул на форме. Им отводится роль опорных сигналов, направляющих ход размышлений и

отражающих логику рассуждений и выводов. В одних из предлагаемых заданий основная нагрузка ложится на образ, в других - на первый план выдвигается формула. В заданиях третьего типа для поиска ответа на вопрос необходимо выполнить ряд серьезных преобразований и вычислений.

Упражнения, предлагаемые в программных продуктах, включают различные виды заданий тестовой формы:

- закрытой формы, в которых студенты выбирают правильный ответ из набора готовых ответов;

- открытой формы, требующие самостоятельного формулирования ответа;

- задания на соответствие, выполнение которых связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.

Часть заданий обучающе-контролирующей программы относится к тестам открытой формы. Программа содержит необходимый инструментарий, позволяющий искать, формулировать и записывать ответы. Принципы разработки электронных учебных материалов нового поколения реализованы в контролирующих обучающих программах «Преобразование координат» и «Кривые второго порядка». «Преобразование координат» имеет дополнительный блок теоретического материала.

Предлагаемая методика изучения темы «Кривые второго порядка» предполагает использование обычных дидактических материалов (твердых копий) для организации на определенном этапе обучения самостоятельной работы студентов, рассматриваемой как подготовка к компьютерному тестированию, в котором отражены все аспекты, проверяемые тестом. Дидактические материалы представляют собой тексты с пропусками для заполнения. Задания к данным материалам различные: прочитайте текст, заполните пропуски, заполните пропуски по образцу. Цель дидактических материалов - обратить внимание студентов на «главные мысли» и выводы, а также систематизировать знания по теме «Кривые второго порядка». Обучающие средства позволяют научить студентов опознавать формулы преобразования координат, определять основные отличия преобразования координат в частных случаях: при параллельном переносе, повороте, общем случае; распознавать количество элементов в формуле, определять каждый коэффициент и устанавливать соответствие между графической информацией рисунка и отдельными элементами предъявленной или искомой формулы.

Обучающая функция предлагаемых материалов по теме «Кривые второго порядка» заключается в том, что разработанная система подсказок помогает: научить студентов различать коэффициенты общего уравнения; соотносить и вычислять инвари-

анты; определять тип кривой по инвариантам и находить каноническое уравнение; соотносить инварианты, каноническое уравнение и название кривой. Рассматриваемая информация должна способствовать усвоению учебного материала и развитию навыков решения соответствующих задач. Данные задания составлены не только для проверки знаний по теме, но и развития различных аспектов мышления: восприятия, распознавания, формализации, структурирования и анализа информации; задания, предполагающие постановку цели и планирование последовательности действий; задания на опознание, различение или классификацию; задачи, условия которых позволяют «с места» применять известную разрешающую их процедуру, правило, формулу и алгоритм и т. п.

Задания, реализованные в обучающем программном средстве «Кривые второго порядка», представлены в виде набора задач для рассматриваемых типов кривых, последовательно следующих в логике накопления необходимых знаний.

Программа «Преобразование координат» имеет форму с выпадающим списком с заданиями (рис. 1). Последовательность их выполнения не имеет значения. В каждом задании запрограммировано не менее трех задач, выбираемых счетчиком случайных чисел. На этой же форме имеется кнопка «Итоги тестирования». Студент имеет возможность несколько раз рассмотреть одно и то же задание, получив за каждую попытку определенное количество баллов. При каждом ^ом шаге сумма баллов за это задание уменьшается в k раз.

Остановимся на содержании отдельных заданий. Один из распространенных видов - задания выбора. Примером может служить задание на выбор рисунка, отражающего преобразование координат, представленное предложенной формулой (рис. 2). Если при его выполнении допускаются ошибки, то появляются подсказки первого и второго уровней. При третьей ошибке сообщается о правильном выборе.

В следующем задании нужно установить соответствие формул преобразования и графического представления, соединив точки, удерживая левую кнопку мыши (рис. 3). Если допускаются ошибки, появляются подсказки первого и второго уровней. Подсказка третьего уровня представляет ответ в виде правильного соединения.

Широко представлено использование тестов открытой формы. Здесь учащимся необходимо самостоятельно формулировать и записывать ответ. Для ввода ответов имеется необходимый инструментарий. У каждого окна для ввода чисел и переменных предусмотрены два ряда кнопок (рис. 4).

После первой введенной ошибки появляется окно подсказки первого уровня. Для последующих

ьшишттцк-.-

Каждое задание можно выполнять несколько раз.

Перед каждой попыткой стирается предыдущий результат выполнения задания И новая оценка уменьшается в к раз.

Указать, какая пара реперов определяет следующее преобразование координат Среди формул преобразования координат выбрать формулы, соответствующие рисунку Записать формулы преобразования координат

Указать координаты вершин треугольника в репере И' при вершинах заданных в репере Р Указать координаты вершин треугольника в репере И, пользуясь рисунком Написать формулы преобразования координат

Найти формулы преобразования координат___________________________________________

Итоги тестирования |

Приступить к решению

Рис. 1

ошибок предусмотрена форма, позволяющая обогащать информацию: для каждой новой подсказки добавляется новый фрагмент в цепочке рассуждений.

После завершения всех заданий или при нажатии кнопки «Итоги тестирования» появляется окно с результатами выполнения теста. В нем указывается количество выполненных заданий и допущенных ошибок, подсчитывается итоговый балл (рис. 5). Заметим, что все задания в зависимости от сложности оцениваются в разное количество баллов.

Представленные материалы и электронные программные продукты предназначены для формирования компетентности учащихся, необходимой для решения стандартных задач, за счет выработки навыков выполнения математических операций и

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

формирования устойчивых знаний геометрии в разделах «Преобразование координат» и «Кривые второго порядка».

В условиях поиска новых подходов к организации системы образования целесообразно преду-

смотреть возможность изучения элементов вычислительной геометрии в процессе подготовки учителей математики и информатики, а также специалистов в области информатизации образования.

Список литературы

1. Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. М.: Просвещение, 2003. 223 с.

2. Ермолович Е. В., Красниченко А. М. Информационно-коммуникационные технологии в управлении самостоятельной учебной деятельностью студентов // Информатика и образование. 2005. № 2.

3. URL: http://school-collection.edu.ru

4 Никонова Н. В. Принципы формирования программных средств учебного назначения, основанные на интеграции традиционных и инновационных подходов // Информатика и образование. 2007. № 1.

5. Долганова Н. Ф., Стась А. Н. Основные дидактические принципы построения дисциплины «элементы вычислительной геометрии» в условиях педагогического вуза // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (Tomsk State Pedagogical University Bulletin). 2009. Вып. 1. С. 56-58.

6. Стась А. Н., Долганова Н. Ф. О проблемах преподавания вычислительной геометрии в условиях педагогического вуза // Там же. 2007. Вып. 6. С. 112-115.

7 Зенкина С. В. Опыт использования систем компьютерного тестирования при оценке уровня учебных достижений студентов в ИК среде вуза // Информатика и образование. 2006. № 3.

8. Минин М. Г. Диагностика качества знаний и компьютерные технологии обучения. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. 215 с.

Стась А. Н., доцент кафедры, зав. лабораторией.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Киевская, 60, Томск, Россия, 634061.

E-mail: stasandr@tspu.edu.ru

Горобец Л. С., студент.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Киевская, 60, Томск, Россия, 634061.

E-mail: Lubowsergeewna87@mail.ru

Материал поступил в редакцию 26.05.2010.

A. N. Stas, L. S. Gorobets CONTEMPORARY METHODS OF TEACHING COMPUTER GEOMETRY

The article deals with problems of teaching basics of computer geometry in teacher training of computer science and mathematics teachers. The peculiarity of this subject is the study of algorithm approach to geometry problems solving. The authors worked out sets of methodical manuals, comprising automatic training and controlling programmes in “Coordinate Transformation” and “Curves of the Second Row”.

Key words: computer geometry, pedagogic programme means, training and controlling programmes, "Coordinate Transformation" and "Curves of the Second Row", algorithm thinking.

Stas A. N.

Tomsk State Pedagogical University.

Ul. Kievskaya, 60, Tomsk. Russia, 634061.

E-mail: stasandr@tspu.edu.ru

Gorobets L. S.

Tomsk State Pedagogical University.

Ul. Kievskaya, 60, Tomsk. Russia, 634061.

E-mail: Lubowsergeewna87@mail.ru