Четырехмерные группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны

УДК 514.765

Четырехмерные группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны*

П.Н. Клепиков, О.П. Хромова

Алтайский государственный университет

Four-Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Riemannian Metric and Harmonic Concircular Curvature Tensor

P.N. Klepikov, O.P. Khromova

Altai State University

Исследуются вещественные четырехмерные группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны, что продолжает исследования авторов по трехмерным группам Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны.

Конциркулярные преобразования (т.е. нетривиальные конформные преобразования, которые переводят геодезические окружности в геодезические окружности) и один из их инвариантов — тензор конциркулярной кривизны — были введены К. Яно. Позднее была установлена их важность в геометрии некоторых Е-структур: комплексных, почти комплексных, кэлеровых, почти кэлеровых, контактных, почти контактных, а также в теории относительности.

С помощью методов дифференциальной геометрии и теории однородных пространств задача по изучению четырехмерных групп Ли с ле-воинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны редуцируется к изучению метрических алгебр Ли с гармоническим тензором конциркулярной кривизны. Это позволяет применить идеи и методы теории однородных пространств, а также символьные вычисления, и получить полную классификацию вещественных четырехмерных алгебр Ли, группы Ли которых наделены левоинвариант-ной римановой метрикой с гармоническим тензором конциркулярной кривизны.

Ключевые слова: алгебры и группы Ли, лево-инвариантные римановы метрики, гармонический тензор конциркулярной кривизны.

БОТ 10.14258/^уа8и(2014)1.2-05

* Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских уче-

In this paper, four-dimensional real Lie groups with left-invariant Riemannian metrics and a harmonic concircular curvature tensor are investigated. This is a continuation of the researches of authors on three-dimensional Lie groups with left-invariant Lorentz's metric, and a harmonical concircular curvature tensor.

Concircular transformations (i.e. non-trivial conformal transformations that transform the geodesic circles in the geodesic circles) and one of their invariants — concircular curvature tensor were introduced by K. Yano. Their importance in the geometry of F-structures such as complex, almost complex, Kahler, almost Kahler, contact and almost contact, and in the relativity theory was established later.

Using the methods of differential geometry and the theory of homogeneous spaces the problem of investigation of four-dimensional Lie groups with left- invariant metric and harmonic concircular curvature tensor is reduced to the study of metric Lie algebras with harmonic concircular curvature tensor. It allows to apply the ideas and methods of the homogeneous spaces theory and symbolic computations, and to obtain complete classification of four-dimensional real Lie algebras of Lie groups with left-invariant Riemannian metrics and harmonic concircular curvature tensor.

Key words: Lie algebras and Lie groups, left-invariant Riemannian metrics, harmonic concircular curvature tensor.

ных и ведущих научных школ (грант НШ—2263.2014.1), гранта Правительства РФ для государственной поддержки

1. Предварительные сведения. Далее будем следовать системе обозначений и приводить результаты работ [1-13], в которых исследовались тензорные поля на многообразиях.

Пусть

Z = Е -

р

2п

д д,

где  — произведение Кулкарни-Номидзу (см. [2]), или в координатах

Zhijk — ЕЪ,Ик

р

Дивергенцию тензора конциркулярной кривизны будем определять формулой

(ё^ )ijk =

где Zijkt;s = Г^ Z^jkt + ГцZцkt + Г8кZij^t + Г^Zijkl — ковариантные производные тензора Z.

Определение 1. Назовем тензор конциркулярной кривизны гармоническим, если divZ = 0.

Лемма 1. Тензор конциркулярной кривизны обладает симметриями тензора кривизны и удовлетворяет равенству

Zhij k + Zhjki + Zhkij =

Доказательство. Делаем замену индексов Н ^ г в (1) и, принимая во внимание косую симметрию тензора кривизны по первой паре индексов, получаем Zihjk = &гК]к - та(таР_1) (дНзЯгк — 9кк9г]) = — И-КЦк + п(п'3-1) {9гз9кк ~ 9гк9к]) = — Zhijk

Аналогично, выполняя замену индексов ] ^ к в (1), проверяем кососимметричность тензора Zhijk по последней паре индексов.

С помощью замены индексов Н ^ ^ к в (1), замечаем = Щкы

Zhij k.

Используя формулу (1), найдем Zl

В-Ъ.{г]к) - п{п-1) (9гз9кк ~ gikghj + дзкдЫ ~ 9^9кк + дыд^ - дцды). Приводя подобные и применяя

научных исследовании, проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования, научных учреждениях государственных академий наук и государственных научных центрах РФ (госконтракт № 14.В25.31.0029), а также Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» (код проекта: 1148).

первое тождество Бьянки, заключаем Zh(ijk) = Еы(^) = что завершает доказательство леммы. Лемма 2. Справедливо равенство

(ё^ )ijk = -(ё^ )jik.

Доказательство. Вычисляя ковариантную производную тензора конциркулярной кривизны и используя равенство (2), получаем (divZ)ijk =

д

I 9ziзkt _ рр 7 _ рр 7 _ рр 7

Эх' 1 эг^РзЫ 1 ^грЫ 1 „г.-¿л

вк

ГрZijkp^j. Откуда, применяя лемму 2, имеем

(<цУг)цк = ^ ( - ^ + т^рЫ + т%грШ +

ГРкZjipt + ГPtZjik^ = -д1>гZjikt;s = -(divZ)jik .

Лемма доказана.

Замечание 1. Всюду далее из компонент тензора конциркулярной кривизны и его дивергенции будем приводить только существенные, т.е. нетривиальные, поскольку остальные либо выражаются через них, либо равны нулю.

Замечание 2. Ранее гармоничность тензора конциркулярной кривизны изучалась в [3-6]. При этом в [4, 6] исследовались релятивистские свойства многообразий, для которых дивергенция тензора Z тривиальна; в [5] рассматривались контактные многообразия, удовлетворяющие условию divZ = 0; в [3] — трехмерные группы Ли с левоинваринтной (псевдо)римановой метрикой и гармоническим тензором Z. Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [3], в размерности 4.

Пусть далее О — группа Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой, {д, [•.•]} — соответствующая алгебра Ли. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между множеством скалярных произведений в д и множеством левоинва-риантных римановых метрик в О (см. [2]). Будем обозначать соответствующее скалярное произведение через (•, •} и называть пару {д, (•, •}} метрической алгеброй Ли.

Фиксируем базис {Е\,Е2,... ,ЕП} в д. Поло-

[Ei, Ej] = СцEk, VEiEj = Г-Е

(Е ,Ej} = дч,

где {СЦ} — структурные константы алгебры Ли, {дц} — метрический тензор.

Пусть Сц8 = СЦ дк8 , тогда символы Кристоф-феля первого и второго родов вычисляются соответственно по формулам

= 2 {^гзк — Cjki + Скгз) , Г^' = >

Из (3) и (4) очевидно следует, что тензоры Римана Дцм, Риччи г^, скалярная кривизна р, тензор конциркулярной кривизны Zijkt являются функциями структурных констант СЦ и компонент метрического тензора дц (см. [7-13]).

Определение 2. Будем называть алгебру Ли группы Ли разложимой, если она представима в виде прямой суммы алгебр Ли меньших размерностей.

Определение 3. Алгебра Ли 0 называется унимодулярной, если след любого внутреннего дифференцирования алгебры Ли равен нулю, т.е.

^^Х) = 0, УХ е 0,

где аёХ (У) = [X, У], для любых X, У е 0.

2. Четырехмерные действительные алгебры Ли групп Ли с левоивариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны. Для исследования четырехмерных унимодулярных метрических алгебр Ли с тривиальной дивергенцией тензора конциркулярной кривизны нам понадобятся результаты работ А.Г. Кремлева и Ю.Г. Ни-конорова [12, 13], в которых доказано, что для каждой четырехмерной вещественной алгебры Ли существует ортонормированный базис, в котором структурные константы алгебры имеют удобный для вычисления вид.

Придерживаясь системы обозначений работы [12], сформулируем следующий результат.

Теорема 1. Пусть О — вещественная четырехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и алгеброй Ли 0. Тогда divZ = 0 в том и только в том случае, если алгебра Ли 0 и ее структурные константы содержатся в таблице 1.

Таблица 1 Четырехмерные унимодулярные алгебры Ли с гармоническим тензором конциркулярной кривизны

Доказательство. Рассмотрим разложимые унимодулярные алгебры Ли (см. подробнее [12]). Заметим, что структурные константы всех четырехмерных унимодулярных разложимых алгебр

Ли групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой имеют вид

C?,2 = a, C4j2 = —am, C^ = b,

C2,3 = — Cl2,3 = — c Cl,3 = c1,

где знаки a, b, c определяют конкретную алгебру Ли. Используя формулы (1) и (4), рассчитаем компоненты тензора конциркулярной кривизны

24Z2121 = 10ac - 17a2 + 10ab - 17a2m2 + 7c2 — 14cb +7b2 + c2/2 + b2k2, -12Z2131 = 4Z4243 = 3amc/, 12Z2132 = 4Z4143 = —3ambk, 4Z2141 = —ac/ — c2/ + c/b, 4Z2142 = abk + b2k — bkc, 24Z3131 = 10ac — 17c2 + 10cb — 17c2/2 + 7a2

— 14ab +7b2 + a2m2 + b2k2,

— 14Z3132 = 4Z4142 = 3bkc/, 4Z3141 = —cam — a2m + amb,

4Z3143 = bkc + b2k — abk, 24Z3l3l = 10ab — 17b2 + 10cb — 17b2k2 + 7a2

— 14ac + 7c2 + a2m2 + c2/2, 4Z3242 = —amb — a2m + cam,

4Z3243 = c/b + c2/ — ac/, 24Z4141 = 7a2 m2 + 7c2/2 + a2 — 2ac + c2

+b2 — 2ab + b2k2 — 2cb, 24Z4242 = 7a2 m2 + 7b2k2 + a2 — 2ac + c2

+b2 + c2/2 — 2ab — 2cb, 24Z4343 = 7c2/2 + 7b2k2 + a2 — 2ac + a2m2 +c2 + b2 — 2ab — 2cb.

Применяя равенство (2), вычислим дивергенцию тензора конциркулярной кривизны

4divZ211 = —3a2mbk — 4amb2k + ambkc, 4divZ212 = —3a2mc/ + amc/b — 4amc2/, 4divZl13 = 2(c3 + b3 + a2(b + c) — c2b — cb2 + c3/2 +b3k2) — 4a3 (1 + m2) + c2/2(a — b) + b2k2 (a — c), 2divZ214 = m(2a3(1 + m2) + 2a(c2/2 + b2k2) —a2(b + c)), 4divZ311 = 4b2 kc/ + 3bkc2/ — bkc/a, 4divZ312 = 2(ab2 — a3 — b3 + a2b — ac2 — a3m2 — c2b —b3k2) + 4c3 (1 + /2) + b2k2(a — c) + a2m2(b — c), 4divZ313 = 4a2 mc/ — amc/b + 3amc2/,

№ Алгебра Ли Ненулевые структурные константы

1 4Ai

2 © С%з = с, Ci,3 = -с. гДе с > 0.

3 9 Ф A1 С3 2 = a, Cf 2 = —am, С^з = a(m2 + 1), ' С2 3 = -a(m2 + 1), где а > 0.

м = —2с3(1 + I3) - 2а2т2с1 + с21Ь —2с1Ь2к2 + с21а, 4ё1у^32 1 = 2(а3 + с3 + аЬ2 — а2 с — ас2 + а3т2 + сЬ2 +с312) — 4Ь3(1 + к2) + а2т2(Ь — с) + с212(Ь — а), 4ё1у^322 = Ькс1а — 3Ь2кс1 — 4Ькс21, 4ё1у^з2з = атЬкс — 3атЬ2к — 4а2тЬк, 2ё1у^324 = 2(а2т2Ьк + Ькс212 + Ь3к3 + Ь3к) —Ь2кс — аЬ2к, 4ё1у^4 1 2 = 2(а3т + а3т3 + атс212 + атЬ2к2) —а2т(Ь + с) + ат(с2 — Ь2), 4ё1у^4 1 3 = —2(с31 + с313 + а2т2с1 + с1Ь2к2) +с21(Ь + а) + с1(Ь2 — а2), 4ё1у^4 1 4 = атс21 — а2тс1, 4ё1у^421 = —2(а3т + а3т3 + атЬ2к2 + атс212) +а2т(с + Ь) + ат(с2 — Ь2), 4ё1у^423 = 2(Ь3к3 + Ь3к + а2т2Ьк + Ькс212) +Ьк(а2 — с2) — Ь2к(с + а), 4ё1у^424 = —атЬ2к + а2тЬк, 4ё1у^431 = 2(с31 + с313 + с1Ь2к2 + а2т2с1) +с1(Ь2 — а2) — с21(а + Ь), 4ё1у^432 = —2(а2т2Ьк + Ь3к3 + Ь3к + Ькс212) +Ьк(а2 — с2) + Ь2к(а + с), 4ё1у^434 = Ь2кс1 — Ькс21.

Решая систему уравнений diуZ = 0 относительно констант а, Ь, с, к,т,1 и подставляя в структурные константы (5), получаем

1. Си =0, V1,],к = 1, 2, 3, 4;

2.

3.

4.

5.

6.

C2, 3 — c, C1, 3 — -c;

Сз, 2 — c, Cl2,3 — -c;

C3,2 — b,

Cl,3 — b; C3,2 — a,

Cf 2 — -am, C1'

C2,3

C2,3 — -a(m2 + 1);

C3,2 — c(12 + 1), C2,3 — c(l2 + 1), C2,3 — -c,

/~<4 C 1,3

C 3,2

C2,3 — b C2,3

a(m2 + 1),

cl;

b(k2 + 1), b, -bk,

Решение 1 дает алгебру Ли 4А1, решения 2-4 соответствуют алгебре Ли А3,6©А 1, а решения 5-7 определяют алгебру Ли А3,9 © А1 (см. также [9]).

Выполняя аналогичные действия для унимо-дулярных неразложимых алгебр Ли, заключаем, что кроме этих трех алгебр Ли, больше нет четырехмерных унимодулярных алгебр Ли с гармоническим тензором конциркулярной кривизны.

Следствие 1. Среди вещественных четырехмерных унимодулярных алгебр Ли групп Ли с ле-воинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны только алгебра Аз,д © А1 имеет нетривиальный тензор конциркулярной кривизны.

Таблица 2 Четырехмерные неунимодулярные алгебры Ли с гармоническим тензором конциркулярной кривизны

№ Алгебра Ли Ненулевые структурные константы

1 А2 © 2А]_ С2 2 = а, где a > 0.

2 2 А2 С2 2 = a, С|4 = д, где а > 0,д>0.

3 А3,3 © А1 с1,з = с1з = а, где а > 0.

4 Agi7Au a > 0 Ci,3 = 6*2,3 = а^ Q>,3 = -С\ъ = 1, где 1 > 0.

5 А1'1 4,5 Ci4 = С£4 = С|4 = 1, где 1 > 0. '

6 Aa'° 4,6 > a^O С^ = а/, С*2 4 —С1 4 ^ 1 где 1 > 0.

7 да,a 4,6 > а > 0 Ci,4 = ^2,4 = <^3,4 = а^ <^3,4 = -^2,4 = h гДе 1 > 0-

8 А1 4,9 С} 4 = С2 3 = 2а, С2 4 = С3 4 = а, где а > 0.

9 да 4 ^ 2С^ 4 ^ 2С| 4 ^ 2аск, С^ = 2аН, С324 = -С234 = а, где а > 0.

10 ^4,12 Ci,3 = ^2,3 = ^1,4 = ^2,4 = Ъ, С\А = -С\А = d, где а > 0, d > 0.

Доказательство. Используя компоненты тензора конциркулярной кривизны, полученные при доказательстве теоремы 1, найдем решения системы уравнений Z = 0. Тем самым для структурных констант (5) имеем 1. С\ к = 0, V1,],к = 1, 2, 3,4;

о ) С21,3 = с,

С2з = —с;

3.

4.

C?,3 — -b(k2 + 1).

Cl3, 2 — c, Cl2,3 — -c;

Cl3,2 — b, C2l,3 — b.

Решение 1 дает алгебру Ли 4А1, решения 2-4 соответствуют алгебре Ли А3,6 © Следовательно, только у алгебры Ли А3 9 © А1 тензор концир-кулярной кривизны нетривиален. Выполняя аналогичные действия для унимодулярных неразложимых алгебр Ли, получаем требуемое.

Придерживаясь системы обозначений работы [13], сформулируем следующий результат.

Теорема 2. Пусть О — вещественная четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоин-вариантной римановой метрикой и алгеброй Ли д. Тогда divZ = 0 в том и только в том случае, если алгебра Ли д и ее структурные константы содержатся в таблице 2.

Доказательство. Рассмотрим алгебру Ли А3,3 © Ах (см. подробнее [13]). Вычисления для остальных алгебр Ли приводить не будем в силу их громоздкости, алгоритм их рассмотрения аналогичен изложенному ниже для алгебры Ли Аз,з © Ах.

Структурные константы алгебры Ли А3 3 © А1 имеют вид

С^з = С| 3 = а, С4 3 = Ь, где а > 0,Ь > 0.

Используя формулы (4), (1) и (2), рассчитаем компоненты тензора конциркулярной кривизны и его дивергенции

24Z2121 = 24Zзlзl = -12а2 + Ь2, 2Z2l4l = -аЬ,

24Z4141 = 12а2 + Ь2,

24Z4242 = 24Z4343 = -24Zз232 = 7Ь2 + 12а2;

2divZ311 = -3divZ322 = -4divZ434 = -аЬ2, 2divZ324 = -3Ьа2 - 2Ь3, 2divZ423 = -Ь3 - Ьа2, 2divZ432 = 2Ьа2 + Ь3.

Решая систему уравнений divZ = 0 относительно констант а, Ь, получаем Ь = 0, а > 0. Или, подставляя в (6), находим С^ 3 = С|3 = а > 0.

Выполняя аналогичные действия для остальных неунимодулярных алгебр Ли, завершаем доказательство теоремы.

Следствие 2. Среди вещественных четырехмерных неунимодулярных алгебр Ли групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны только алгебра А^ 6 имеет тривиальный тензор конциркулярной кривизны.

Доказательство. Рассмотрим неунимодуляр-ные алгебры Ли с условием гармоничности тензора конциркулярной кривизны. Начнем со случая алгебры Ли А3 3 © А1. Найдем решения системы уравнений Z = 0 . Имеем а = 0, Ь = 0. В силу ограничения а > 0 для алгебры Ли А3 3 © А1 заключаем, что Z = 0. Случаи остальных неунимо-дулярных алгебр Ли изучаются аналогично. В результате остается только алгебра А^ '6\ удовлетворяющая одновременно условиям Z = 0, divZ = 0.

Библиографический список

1. Yano К. Concircular geometry, I-IV // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1940. - Vol. 16.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна / пер. с англ.: в 2 т. - М., 1990.

3. Клепиков П.Н., Хромова О.П. Применение пакетов аналитических вычислений к исследованию конциркулярно-гармонических свойств 3-мерных групп Ли с левоинвариантной (псев-до)римановой метрикой // Ломоносовские чтения на Алтае: сборник научных статей Международной школы-семинара (Барнаул, 5-8 ноября 2013) : в 6 ч. — Барнаул, 2013. — Ч. I.

4. Ahsan Z., Siddiqui S.A. Concircular Curvature Tensor and Fluid Spacetimes // Int. J. Theor. Phys. 2009. — Vol.48.

5. De U.C., Pathak G. On a type of contact manifolds // Math. Balk. — 1993. — New Ser.7. — №2.

6. Srivastava J.P., Khajuria S. Concircular curvature tensor and relativistic gravitation // Jnanabha. — 1996. — Vol. 26.

7. Воронов Д.С., Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Об инвариантных тензорных полях на группах Ли малых размерностей // Владикавказский математический журнал. — 2012. — Т. 14, вып. 2.

8. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. — 2008. — Т. 419, №6.

9. Гладунова О.П., Славский В.В. Гармонический тензор Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли // Мат. труды. — 2011. — Т. 14, №1.

10. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрико-ва Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с нулевым квадратом тензора Схоутена-Вейля // ДАН. — 2005. — Т. 401, №4.

11. Gladunova O.P., Rodionov E.D., Slavskii V.V. Harmonic Tensors on Three-Dimensional Lie Groups

with Left-Invariant Lorentz Metric // Journal of Mathematical Sciences. — 2014. — Vol. 198, №5.

12. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимоду-лярный случай // Мат. труды. — 2008. — Т. 11, №2.

13. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимо-дулярный случай // Мат. труды. — 2009. — Т. 12, №1.