Изучение равномерной ограниченности решений нелинейных систем дифференциальных уравнений методом сравнения

УДК 517.91

Т.А. Горшунова

канд. физ.-мат. наук, доцент, Центр математического образования, ФГБОУ ВО «Московский политехнический университет»

ИЗУЧЕНИЕ РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ СРАВНЕНИЯ

Аннотация. Решается задача о равномерной ограниченности решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением. Исследования проводятся методом функций Ляпунова и методом сравнения.

Ключевые слова: нелинейная система, дифференциальные уравнения, функция Ляпунова, метод сравнения.

T.A. Gorshunova, Moscow Polytechnic University

STUDY OF THE UNIFORM BOUNDEDNESS OF SOLUTIONS OF NONLINEAR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS BY THE METHOD OF COMPARISON

Abstract. The problem on the uniform boundedness of the solutions of perturbed systems of differential equations with a nonlinear first approximation. Research carried out by the method of Lyapunov functions and the method of comparison.

Keywords: nonlinear system, differential equations, Lyapunov function, method of comparison.

Оценки, полученные в работе [3] методом сравнения [6], могут быть использованы для получения новых достаточных условий равномерной ограниченности решений возмущенных систем дифференциальных уравнений и условий, при которых верхняя граница таких решений может быть вычислена аналитически.

Рассмотрим возмущенную систему дифференциальных уравнений

dx

— = p

dt

где p,f e C(M) ([7, +~)xRn,Rn), k > 0, l > 1.

Обозначим через x(t: t0,x0) - решение системы (1), удовлетворяющее начальным данным (t0,x0)e [7, +¥)xRn.

Определение. Решение x(t: t0,x0) системы (1) будем называть равномерно ограниченным справа (слева), если

||x(t: t0,x0)|| < C(r) при ||x^| < r , t > t0, t0 > 7 (t < ^ > 7), где C(r) - положительная постоянная.

Решение x

% = P

dt

имеет уравнение в вариациях, и его матрица Коши Y(t,t0,y0) для решения y(t: t0,y0) системы

Эу

(2) имеет вид Y(t,^,у,) = 1 g= У0.

ay

Предположим, что на возмущение системы (1) наложено ограничение:

||f(t,x)|| < F(t^|x\\), где F e C([7, +~)xR+,R^), R+ = [0, +~) и F(t,v,) < F(t,v2) при v1 < v2 и

любом t>Т .

Введём скалярное уравнение

-= Л(^ г) ,

где Л(^ г) = К^)ехр I -|У(т)с/т | Р t, г ехр I |У(т)с/т

\

, t > Т ,

К е С([Т, ),уе С([Т, ).

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

СI \

|(т)с/т

при t > t0 > Т ;

\

Т

<+¥ при любом ае [0, +¥,

Л(^ г) = К ехр I -|У(т)с/т | Р t, г ехр I |У(т)с/т

где К - положительная постоянная;

^ п +¥ /а

4) при некотором а > 0 I-= +¥ ;

а

5) функция д(^а) =1Л(та) с/т имеет непрерывную частную производную д' (^а) > 0.

Т ^

Тогда решения системы (1) равномерно ограничены справа на произвольном множестве

||х^ : tо,Х0^ < С(г), при Х0 е 5 , t > ^ > Т , С(г) > 0 . Доказательство. Из условий 3) - 5) теоремы 1 вытекает, что все решения уравнения (3) абсолютно равномерно ограничены:

г(}: г0) < й(г) при г0 е 5 и всех t > Т , 5 = {г е г < г}.

Действительно, рассмотрим функцию V(^г) = ехрI -IЛ(т,г)/т |

^ Т Л

На множестве Ол = {(^г): Т < t < +¥, а < Л < г} эта функция удовлетворяет локальному условию Липшица относительно (^г) и при достаточно больших значениях Л обладает свойствами:

a) V(^г)+¥ при г +¥;

t

b) V(t,г) < ^(г) при г < г , Ц(г) > 0 ;

c) V(t, г)(3) < 0.

Свойства а) и Ь) очевидны. Покажем, что выполняется свойство с). Для этого рассмотрим производную функции V(^г) по времени t в силу уравнения (3):

//а

Т

Т

2

" 2 са ]

V (/, 2)(3, = 1(/, 2)ехр (-д(/, 2)) 1 -1

а

и

2 ба Л

И 2

и

Так как величину Л можно подобрать таким образом, что |-> 1, то V(/,2)^ £ 0 . Тогда на основании критерия Мизохаты-Ямагути [5] решения уравнения (3) равномерно ограничены справа на 51:

2(Ц„ 2о) £ й(7), 2о £ Г, / > /о.

Аналогично, рассматривая функцию W(t,2) = ехрI Г1(7,2) с1т\\-ба на множестве Ол ,

и

можно доказать, что решения уравнения (3) равномерно ограничены слева на 51: 2(/,/0,20) £ 0(г), 20 £ Г, / £ /0. Отсюда следует, что решения уравнения (3) абсолютно равномерно ограничены на множестве 51.

Дальнейшее доказательство основывается на применении принципа сравнения [6]. В качестве уравнения сравнения выбирается скалярное уравнение (3).

Рассмотрим решение х(/: /0,х0) системы (1), где /0 > Т , ||х0|| £ г , г > 0. В силу условия 2) теоремы 1, имеем

сСа

( /0

£ К х0 ем .

Положим 20 = Кем х0 , тогда 20 £ Кемг = г , г > 0 .

В работах [3; 4] показано, что если для матрицы Коши уравнения в вариациях системы (2) справедлива оценка вида:

I(/,/0, /0)11 £ К(^)ехр

¡\(т)сСт

, / > /0 > Т, /0 е К",

то решение х(/: /0,х0) системы (1) и максимальное решение 2+( /: /0,20) уравнения (3) на об-

щем интервале существования связаны неравенством:

(/: /0,х0 ) || £ ехрI ]У(т)с(г]2 +(/: /0,20),

( /„

-¡у(т)сст \ £ 20.

Критерии существования экспоненциальных оценок для фундаментальной матрицы уравнения в вариациях даны в работе [2]. Наличие таких оценок равносильно существованию функции Ляпунова на разности двух решений.

Так как решение 2+ (/: /0,20) равномерно ограничено справа и справедливо неравенство

||х(/: /0,х0)|| £ 2+ (/: /0,^, / > /0 > Т , то

||х(/: /0,х0)|| £ й{7)ем = й(Кемг)ем = С(г), при ||х0|| £ г и / > /0 > Т . Таким образом, решения системы (1) равномерно ограничены справа. Теорема 1 доказана. Если в теореме 1 условие 1) выполняется при Т £ / £ /0, /0 е К", то решения системы (1) будут равномерно ограниченны слева. Если же условие 1) имеет место при всех / > Т, то все решения системы (1) абсолютно равномерно ограничены.

2

2

+

Т

Т

\'0

х

Т

Т

Теорема 2. Пусть выполняются условия 1) - 3) и 5) теоремы 1. Кроме того: 1

a) функция--непрерывна при 0 < а <а<+¥;

¿

b) V0(p) = > 1 при р> Л > а > 0 и V, - строго монотонно возрастающая на множе-

а Л

стве [Л, +¥);

. _ Р С/а Р С/а

c) при некотором р> р справедливо неравенство I-> е!-.

а Л

Тогда все решения системы (1) х^ : х0), t0 > Т равномерно ограничены справа и при ||х0|| <~рм справедливо неравенство:

: tо,Х0^ < еМVо-1(Kо),

где К0 = еV0(p), V- - функция, обратная функции V0.

Доказательство. Рассмотрим функцию V(t,г) = V1(t,г)ЦДг), где

V1(t,г) = ехрI /т], Vо(г) = )-/а

ловий теоремы 2 имеем с0 =1 < V1(t,г) < 1 = с1 и Я0 = V0(h) < еV0(p) < = V0(p) = .

.ИгА

Т ¿(г) ) 0 а ¿(а) г) еОЛ ={(t, г): а < Л < г, Т < t <+«>}.

В доказательстве теоремы 1 показано, что в этом случае V(^г)(3) < 0 . Кроме того, из ус-

р

— - 1 \- 7 — / — - - 1 - " " "0 — ~ '0 ^Г' I I/ \

е а Л

Таким образом, выполняются все условия теоремы 7.4.1 работы [2, с. 266]. Это означает, что все решения г^: t0,г0), ^ > Т, t > t0, г0 <р уравнения (3) равномерно ограничены

справа и г^ : го) < Vо-1(Kо),

где К0 = еV0(p), V- - функция, обратная функции V0.

Рассмотрим решение х^ : t0, х0) системы (1), t0 > Т, ||х0|| <—рм .

0 0 0 0 КеМ

Положим г0 = КеМ||х0||, тогда г0 <р и решение г+ ^: t0,г0) уравнения (3) равномерно ограничено справа.

( »„

Так как К х0 ехр

-[ |(т)/т

< КеМ ||х0|| = г0, то решения х^ : t0,х0) системы (1) и г+ (t: ^,г0) уравнения (3) связаны неравенством

: tо, хо)|| < ехр Пут/] г+ ^: tо, го) < еМг+ ^ : tо, го), t > ^

Отсюда имеем: ||х(^: t0, х0)|| < еМЦ)-1(К0), t > t0, ||х0|| <-рМ, где К0 = еV0(p). Теорема 2

Кем

доказана.

Таким образом, при выполнении условий теоремы 2 верхняя граница равномерно ограниченных решений систем вида (1) находится аналитически.

На основании теоремы 1 можно получить новые достаточные условия равномерной ограниченности решений уравнения Рэлея [5], которым описываются различные динамические системы.

Т

Список литературы:

1. Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика, 2003. - № 4. - С. 17-26.

2. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. - Саранск: СВМО, 2001. - 300 с.

3. Воскресенский Е.В. Оценки для решений возмущенных дифференциальных уравнений первого порядка // Изв. вузов. Математика. - 1993. - № 9. - С. 13-17.

4. Горшунова Т.А. Об О-кривых возмущенных систем дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением // Труды Средневолжского математического общества. -Саранск: СВМО, 2003. - Т. 5, № 1. - С. 152-153.

5. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1974. - 320 с.

6. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. - М.: Мир, 1980. - 300 с.