Алгоритм вычисления нормированной частотно-временной корреляционной функции

Алгоритм вычисления нормированной частотно-временной корреляционной функции

Аврамчук Валерий Степанович

кандидат технических наук

доцент, Национальный исследовательский Томский политехнический университет 634028, Россия, Томская область, г. Томск, ул. Ленина, 2, ауд. 115а

И avs@tpu.ru

Фаерман Владимир Андреевич

ассистент, Национальный исследовательский Томский политехнический университет 634028, Россия, Томска область, г. Томск, ул. Ленина, 2, ауд. 115а

ЕЗ vaf@tpu.ru

Статья из рубрики "Системный анализ, поиск, анализ и фильтрация информации"

Аннотация. Рассмотрена и решена задача нормирования частотно-временных корреляционных функций. Цель работы состояла в создании методики вычисления коэффициентов для нормирования частотно-временных корреляционных функций и интеграции их в известный алгоритм вычисления. При этом стояли задачи обеспечения возможности нормирования каждой из частотных составляющих частотно-временной корреляционной функции независимо и сохранения высокой производительности исходного алгоритма. Последнее накладывало ограничения на применение в алгоритме вычисления операции фильтрации во временной области и использования дополнительных дискретных преобразований Фурье. Для минимизации вычислительных затрат при вычислении и нормирование частотно-временных корреляционных функций, была разработана методика вычисления нормирующих коэффициентов по отсчётам комплексного спектра сигналов. Основным результатом работы является новый алгоритм вычисления нормированной частотно-временной корреляционной функции, отличающийся незначительным приращением вычислительной сложности по сравнению с оригинальным алгоритмом. В тоже время полученные коэффициенты могут использоваться как для одновременного нормирования всех частотных компонент частотно-временной корреляционной функции, что необходимо для обеспечения независимости результата от масштаба входных сигналов, так и для независимого нормирования каждой из её частотных компонент. Последнее полезно при решении задач обнаружения слабых коррелированных составляющих в смесях сигналов.

Ключевые слова: частотно-временной анализ, корреляционные функции, цифровая обработка сигналов, спектральный анализ, нормирование, коррелятор, вычислительный алгоритм, быстрое преобразование Фурье, обнаружение сигналов, коррелограмма

DOI: 10.7256/2454-0714.2017.4.24534

Дата направления в редакцию: 25-10-2017

Дата рецензирования: 31-10-2017

Работа выполнена при финансовой поддержки Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) проект 16-37-00049 мол_а.

Введение

Интенсивный рост возможностей вычислительных устройств и повсеместное масштабное использование микропроцессорной техники является стимулом к развитию теории обработки цифровых сигналов. Последнее предполагает разработку новых алгоритмов, ориентированных на применение в новых технических приложениях и предназначенных для параллельного выполнения на современных многоядерных вычислительных

платформах В статье рассматривается развитие метода вычисления частотно-временных корреляционных функций (ЧВ КФ), заключающееся в использовании вектора нормирующих коэффициентов, что позволяет в ряде случаев выделить слабые неслучайные составляющие сигналов. Отличительной особенностью предложенного алгоритма является минимальное приращение вычислительных затрат по сравнению с исходным алгоритмом.

Преимуществами метода вычисления и исследования частотно-временных корреляционных функций (ЧВ КФ) являются высокая помехоустойчивость и наглядность представления спектральных и временных особенностей сигналов в их взаимосвязи Эти особенности позволяют использовать метод для решения задач анализа сложных многокомпонентных сигналов, определению в них информативных составляющих и

оценки их параметров. К таким задачам можно отнести оценку временного смещения и определение периодических компонент в смеси сигналов

В ряде работ показана применимость ЧВ КФ также для решения прикладных задач технического контроля и радиотехники: обследование линейных участков трубопроводов

диагностика двигателей внутреннего сгорания обнаружение радиосигнала Предложенный в работе алгоритм может быть использован для обнаружения трубопроводных утечек корреляционно-акустическим методом и в качестве метода спектрального анализа.

Частотно-временные корреляционные функции

Алгоритм вычисления ЧВ КФ впервые представлен в-^. На начальном этапе производится вычисление отсчётов взаимного комплексного спектра исследуемых

сигналов (/(;.} (Д = А/ к; к = 0,1, ...,N/2 + 1) в соответствии с формулой

.

где - оцифрованные с частотой дискретизации= м-Д/ сигналы = дг-ц

I = 0,1,1); Г(-) - операция оконного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (р/ -величина окна); - комплексно-сопряженное представление результатов оконного ДПФ; символом "х" обозначено поэлементное умножение векторов комплексных чисел размерностью N. Здесь и далее будем считать, что для реализации оконного ДПФ

используется алгоритм быстрого преобразования Фурье

На втором этапе производится разбиение комплексного спектра на м

составляющих частотных интервалов, содержащих только спектральные отсчеты, принадлежащие т-ому рассматриваемому частотному интервалу [/^¡/т«)- ЭТ°й целью вводится вспомогательная функция и?™

где т = 0,1,2, ...,М — 1. Далее, выполняется преобразование

На заключительном этапе весь набор комплексных спектральных функций подвергается обратному дискретному преобразованию Фурье (ОДПФ):

Полученный в результате массив содержит отсчёты ЧВ КФ, принадлежащие различными её частотным компонентам /т, показывающим степень коррелированности исходных сигналов в частотном диапазоне /т+1), и соответствующие различным значениям временного смещения т, (т, = }  Д£, ] = ОД, — 1).

Вычисление нормирующих коэффициентов

Недостатком ЧВ КФ, расчёт которой производится в соответствии с алгоритмом, описанным выше, является зависимость значений отсчётов от масштаба амплитудных характеристик входных сигналов. С другой стороны, в ряде задач обнаружения сигналов

в смеси для повышения информативности анализа, при нормировании целесообразно рассматривать каждую из частотных компонент ЧВ КФ независимо. Отдельно необходимо отметить, что введение расчёта нормирующих коэффициентов не привносит существенного увеличения вычислительной сложности в известный алгоритм.

В рамках решения общей задачи рассмотрим расчёт коэффициента нормирования для

произвольнойт-ой частотной компоненты ЧВ КФ. В соответствии с-^4 нормирование корреляционной функции (КФ) сводится к следующей операции:

где г^(т,.) - нормированная КФ, значения которой лежат в диапазоне [—1;1] и не зависят от масштаба сигналов на входе коррелятора; - составляющие сигналов

, содержащие только спектральные компоненты, принадлежащие частотному интервалу Непосредственное применение (3) весьма затруднительно, поскольку

требует сложной с вычислительной точки зрения операции полосовой фильтрации сигналов во временной области .1121. Однако, из (3) легко получить

где каждый из сомножителей в знаменателе представляет собой среднеквадратичное

значение соответствующего сигнала (^/Е™ и ^е™)- В тоже время, пользуясь равенством

Парсеваля ^^ можно выразить среднеквадратические значения сигналов через их амплитудные спектры ^(Д)! и ^(Д.)!:

Полагая сигналы на входе коррелятора центрированными и учитывая (2), преобразуем это равенство:

где [] - округление до ближайшего меньшего целого. Окончательно (3) примет вид:

V А СВ

Коэффициенты {^Е™  гг™) применяются для нормирования каждой т-ой из м частотных составляющих ЧВ КФ независимо. Для одновременного нормирования всех компонент ЧВ КФ используется коэффициент

Преимуществом функции гАВ(т;^т) является независимость её значений от масштаба сигналов на входе коррелятора. Кроме того, её значения всегда лежат в диапазоне

Отдельно необходимо отметить, что предложенная методика расчёта коэффициентов дополнительно не требует затратных вычислительных операций (таких как ДПФ или ОДПФ) и ограничивается обработкой М-мерного вектора комплексных чисел. В тоже время, операция нормирования сводится к умножению массивов на рассчитанные коэффициенты и является обратимой, т.е. при условии хранения коэффициентов возврат к исходной функции не требует пересчёта ЧВ КФ.

Алгоритм с нормированием

На основании исходного алгоритма и методики расчёта нормирующих коэффициентов разработан алгоритм вычисления ЧВ КФ с нормированием. Схема вычисления представлена на рисунке 1 и отражает основные этапы обработки сигналов.

Рис. 1. Схема алгоритма вычисления ЧВ КФ с нормированием.

В соответствии со схемой, массивы, содержащие отсчёты сигналов со входа коррелятора, поступают на блок вычисления БПФ. После чего, полученные комплексные спектральные отсчёты используются для вычисления м нормирующих коэффициентов в соответствии с (4). В тоже время, в соответствии с (1) выполняется вычисление взаимного спектра сигналов. После чего, осуществляется формирование м массивов комплексных элементов в соответствии с (2). Полученные м комплексных массивов поступают на блок обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), где выполняется их преобразование. Результатом последней операции является ЧВ КФ, содержащая^ частотных составляющих размерностью N. На заключительном этапе производится нормирование ЧВ КФ путём деления на один изм коэффициентов всех значений, входящих в соответствующую частотную компоненту функции.

Сравнение алгоритмов

Ниже представлен пример использования предложенного алгоритма для анализа многокомпонентных сигналов. Сигналы, поступающие на вход коррелятора, представляют собой смесь, содержащую пять пар коррелированных узкополосных сигналов и ¿гии ..., и и случайные реализации

некоррелированных аддитивных шумов пли

С^) = ^ За,,в, (О

Параметры сигналов приведены в таблице далее. Частота дискретизации = 44,1 кГц.

Таблица. Параметры сигналов в смеси.

Составляющие Частотная полоса локализации

16,2... 16,7 5 -22,62

3А2 (0> 5,1...5,6 3 180,99

^43 (О, *ВЗ (Л) 3,9.4,4 1 67,87

3*4 (О 4,6.5,1 0,8 45,25

19,0.19,5 1 -45,25

На рисунке 2 представлены коррелограммы ЧВ КФ, полученных с применением известного и предложенного алгоритмов.

Из рисунка 2б видно, что корреляционные пики на каждом из обозначенных интервалов сопоставимы по величине и различимы, в то время как на рисунке 2а пики слабых составляющих маскируются шумами и более сильными составляющими. В тоже время, в результате нормирования оказываются усиленными также и слабые шумовые составляющие. Для устранения последнего недостатка следует исключать из рассмотрения частотные полосы, для которых выполняется условие

I Р™ V 44

где Е0 - некоторое пороговое значение.

Рис. 2. Коррелограммы ЧВ КФ а) без нормирования; б) с нормированием.

Также имеет смысл игнорировать близкие к нулю значения ЧВ КФ, поскольку они не несут информацию о коррелированности сигналов. Таким образом, предложенный алгоритм позволяет повысить информативность анализа и определять наличие слабых коррелированных составляющих в смеси сигналов.

Заключение

В работе предложена методика вычисления нормирующих коэффициентов для ЧВ КФ по спектральным отсчётам входных сигналов. С её применением был модифицирован алгоритм вычисления ЧВ КФ. Полученный в результате алгоритм отличается сопоставимой с исходным алгоритмом вычислительной сложностью и возможностью независимого нормирования каждой из частотных компонент функции на выходе коррелятора.

Вычислительная эффективность алгоритма достигается путём расчёта нормирующих коэффициентов по отсчётам амплитудных спектров входных сигналов, что позволяет избежать затратных операций фильтрации во временной области и ОДПФ. В тоже время, получение нормирующего коэффициента для каждой из частотных составляющих ЧВ КФ позволяет преобразовать вид коррелограммы и определить ранее неразличимые слабые коррелированные сигналы.

Стоит отметить, что использование созданного алгоритма в ряде случаев будет способствовать также и усилению шумов и неслучайных помех. Перспективным подходом для устранения данного недостатка представляется разработка формального критерия для исключения из рассмотрения тех частотных интервалов, в которых сосредоточена малая доля энергии анализируемых сигналов.

Библиография

1. Sen M. Kuo, W.-S. S. Gan. Digital Signal Processors: Architectures, Implementations, and Applications. - New Jersey: Pearson-education, 2005. - 610 p.

2. Пат. 2405163 Российская Федерация, МПК G 01 R 23/16. Способ частотно-временного корреляционного анализа цифровых сигналов/ Аврамчук В.С., Чан В.Т., Гончаров В.И..; заявитель и патентообладатель Томский политехнический университет.-^ 2009118627/28; заявл. 18.05.09; опубл. 27.11.10, Бюл. № 33. - 10 с.

3. Gao Y., Brennan M.J., Joseph P.F. A Comparison of Time Delay Estimators for the Detection of Leak Noise Signals in Plastic Water Distribution Pipes // Journal of Sound and Vibration. - 2006. - Vol. 292. - Iss. 3-5. - pp. 552-570.

4. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е издание: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. - 992 с.

5. Чан В.Т. Частотно-временной корреляционный анализ в задачах определения координат утечек в трубопроводах / В.Т. Чан, В.С. Аврамчук, В.И. Гончаров // Известия Томского политехнического университета. - 2010.-№ 2. - Т. 317. - С. 7073.

6. Казьмин В.П., Аврамчук В.С. Анализ сигналов вибрации двигателя внутреннего сгорания // Известия Томского политехнического университета. - 2013.-№ 5. - Т. 323. - С. 69-73.

7. Дубов М.А., Стоянов Д.Д. Сравнительный анализ алгоритмов обнаружения радиосигналов с цифровыми видами модуляции в когнитивных радиосистемах // REDS: Телекоммуникационные устройства и системы. - 2014.-№ 3. - Т. 4. - С. 213217.

8. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ. - М.: ООО «Бином-Пресс», 2006. - 656 с.

9. Барков А.В. Метод обнаружения слабого гармонического сигнала в гауссовом шуме // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С. - 2012.-№. 12. - С.

6-12.

10. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - Спб.: Питер, 2002. - 608 с