К расчету граничного условия на проницаемых стенках аэродинамических труб

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XVI

198 5

№ 1

УДК 532.526.3

К РАСЧЕТУ ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ НА ПРОНИЦАЕМЫХ СТЕНКАХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ

ТРУБ

Рассмотрена задача совместного расчета расходных характеристик перфорации и параметров турбулентного пограничного слоя на проницаемых стенках аэродинамических труб.

С использованием обобщенного метода интегральных соотношений А. А. Дородницына получено численное решение для плоского несжимаемого турбулентного пограничного слоя при произвольном распределении интенсивности массообмена на стенке.

1. При проведении экспериментальных исследований в аэродинамических трубах, имеющих рабочие части с пористыми или перфорированными стенками, возникает ряд задач, связанных с расчетом обтекания моделей потоком, имеющим проницаемые границы. Результаты расчетов используются для определения поправок к аэродинамическим силам и моментам, вызванных влиянием стенок рабочей части аэродинамической трубы; подобные задачи решаются также при организации малоиндукционного обтекания моделей и выборе оптимальной проницаемости перфорированных стенок.

На рис. 1 схематично изображена нижняя половина симметричной рабочей части аэродинамической трубы. В области /, ограниченной снизу контрольной поверхностью, расположенной на расстоянии у = Н от стенки, влиянием вязкости можно пренебречь и течение считать потенциальным. Оно может, например, описываться линеаризованным уравнением для потенциала возмущенной скорости

с граничным условием, заданным на контрольной поверхности в виде

Область II между контрольной поверхностью и перфорированной стенкой имеет относительно небольшую толщину и характеризуется наличием ощутимых сил вязкости, она включает в себя пограничный слой, образующийся на перфорированной панели. Области III и IV — сама

А. И. Иванов

(1 -М2)Тл-, + ^у = 0

°(?х> ?у) = 0.

Я» *4

к

Р=Р«

Ш

Рис. 1

проницаемая панель и камера давления достаточно большого размера, давление в которой рК предполагается постоянным.

Эффективность решения задачи обтекания модели потенциальным потоком во многом определяется правильной постановкой граничного условия (2), которое можно представить также как зависимость нормальной компоненты скорости V (х, к) от распределения давления р (х, /г). Соотношение между этими величинами, обычно называемое расходной характеристикой перфорации, зависит не только от геометрических параметров перфорации и особенностей перетекания воздуха через перфорированную панель, но и от эффектов, связанных с развитием пограничного слоя на ней. До настоящего времени расходные характеристики перфорации исследовались главным образом экспериментальным путем, а полученные результаты либо использовались непосредственно, либо служили основой для построения эмпирических аппроксимирующих зависимостей [1—3]. Трудности такого подхода заключаются в многообразии параметров, влияющих на картину течения вблизи стенки, что приводит к необходимости проведения большого объема экспериментальных работ.

Ряд опытных данных [3, 4] свидетельствует о том, что расходные характеристики нелинейны, причем влияние вязкого слоя, образующегося на перфорированной панели, оказывается весьма существенным. Интегральное уравнение неразрывности, записанное для двумерного несжимаемого течения в области II, приводит к соотношению

В (3) 6*—толщина вытеснения пограничного слоя, и и и — касательная компонента скорости и ее значение на внешней границе пограничного слоя, V — нормальная компонента скорости, — скорость перетекания воздуха через проницаемую стенку, б — условная толщина пограничного слоя, 6</г. Вытесняющее действие пограничного слоя, выражающееся в росте величины б*, особенно заметно проявляется в зоне втекания воздуха в рабочую часть трубы, где нормальная компонента скорости может возрастать от стенки к границе пограничного

слоя в 3—3,5 раза [4]. Таким образом, определение расходных характеристик тесно связано с расчетом пограничного слоя на проницаемой панели, который, в свою очередь, управляется массообменом на стенке и градиентом скорости внешнего течения. Для нахождения скорости перетекания vw можно использовать либо закон Дарси, устанавливающий ее линейную зависимость от перепада давления рк — на перфорированной панели, либо более точные данные о сопротивлении перфорации в присутствии сносящего потока [1, 2, 5]. Условие на внешней границе пограничного слоя и — 11{х) задается из решения уравнения (1).

( Итерационная схема нахождения решения во всей области течения может быть построена следующим образом: в качестве первого приближения используется решение уравнения (1) с известным граничным условием, например линейным, после чего проводится расчет вязкого слоя на перфорированной панели с заданным распределением скорости на внешней границе и определяются граничные условия следующего приближения для уравнения (1). Опыт решения задач такого рода позволяет рассчитывать на быструю сходимость итерационного процесса. В данной работе предложен метод расчета течения в области II, который позволит осуществить указанную схему.

2. Несжимаемый турбулентный пограничный слой на проницаемой стенке аэродинамической трубы описывается системой уравнений

иих + юи = — — рх +

? ду '

их + у = 0;

и = 0, v — vw{x) при у = 0, и = и(х) при у->~оо. Здесь р — плотность, V — кинематическая вязкость, и', и'— пульсационные составляющие компонент скорости. Постоянство давления поперек пограничного слоя позво-

1 ли

ляет использовать равенство-------—рх=Ци, кроме того, определить

заранее распределение массообмена на стенке юю{х) по заданному давлению рго(х) =р(х, /г), если известна зависимость между ними, например условие Дарси в виде

ът =

где Я(х) —параметр проницаемости перфорации, определяемый ее геометрией.

Для решения системы уравнений (4) был использован обобщенный метод интегральных соотношений А. А. Дородницына, который успешно применялся в расчетах ламинарного пограничного слоя, в том числе при наличии вдува или отсоса на стенке [6, 7]. После введения

безразмерных скоростей и = . V = ущ первое уравнение сис-

темы (4) домножается на /'(и), второе — на /(и), в результате их сложения, интегрирования по у от 0 до оо и введения обозначения

д__ 1

— дй/ду получается интегральное соотношение

57 5 й/(й) Ми + г»/(й)-| = - -у- ~ | (й/(й) +

б о и

+

0

Для обеспечения сходимости интегралов в (6) дважды дифференцируемая функция /(и) должна достаточно быстро стремиться к нулю при и-*-1. Касательное напряжение т = р {\иу — <и'г/>).

Аналогично [6] область интегрирования разбивается на N полос

— И.

прямыми и= -д^-,п = 0, 1,...,Л^ в качестве сглаживающих функций выбираются {п(и) = (1 — и)п, п=1,..., Характер турбулентного профиля скорости в пограничном слое не позволяет использовать аппроксимацию полиномами высокого порядка, применявшуюся в [6, 7], поэтому в данной работе была выбрана кусочно-гладкая интерполяция функциями вида

9 = —Ц.((в! + а2и) 6„_і + (Ьі + Ь2и) 0„) 1 — и

для каждой п-й полосы, при этом коэффиценты а4, а2, Ьи Ь2 выбирались таким образом, чтобы 0 (и„_і) = 0„_і и 0(«л) = 0п. В результате подстановки выражений (7) и сглаживающих функций в (6), интегрирования и несложных преобразований, выписывается система из N обыкновенных дифференциальных уравнений

N N

а»* = А„ї9 + Впс/ + -Іг£ Х£>“>»0'»-1+

йх

т—1

т—\

N-1

£ С,т,пТт, я = 0, 1...........Л^— 1,

в которой А, В, И, Е, й — числовые коэффициенты, С{ — коэффициент

трения на стенке

1

интегралы каса-

тельных напряжений. Для вычисления Тт использовалась предложенная Себеси [8] двухслойная модель турбулентной вязкости, учитывающая влияние градиента давления и массообмена на стенке. Турбулентная вязкость е вводится через соотношение

согласно [8]

ди

ду

(0,4 у)*

1 — ехр

У"

А+

' 2 ди

дх

0<у <_ус;

е0 = 0,0168 — о и

1 + 5>5(І)6

Ус <У < 8.

Постоянная затухания

Точка сопряжения ус находится из условия непрерывности турбулентной ВЯЗКОСТИ при Єі = Єо.

Расчет турбулентного пограничного слоя проводился по четырехполосной схеме (N = 4). В качестве начального условия задавался набор значений бп^о), соответствующий какому-либо экспериментальному профилю скорости в турбулентном пограничном слое. Система (8) интегрировалась численно методом Рунге—Кутта, при этом на каждом шаге интегрирования с использованием (9) также численно определялись значения интегралов касательных напряжений. Результатом расчета являются массивы значений Ьп(х), п = О, 1, . . . , N — 1, из

и

которых однозначно определяются поля 0(х, а) И у(х, Й) = | 6 (т])с?7);

о

а также интегральные характеристики пограничного слоя В* = 1 _ 1 _ _

= |9(1 — и)йи9 §** = |би(1—и)с1и и коэффициент трения на стен-

ке СУ— %и '

На рис. 2 представлены зависимости нормальной компоненты скорости на контрольной поверхности от скорости перетекания воздуха через проницаемую стенку при различных значениях градиента скорости

У(к) 6=3,75 мм <?* = 2,3 мм

1_ йи//_'

Ц йх\м,

7 г 3

-0,3 в о,з

6, мм ґ** и, мм

! 0,9 0,0

2 3,7 2,3

3 15,0 9,2

°-01 Ъ(рш/р(»)>

4 М , М =0,5

Рис. 2

на внешней границе и толщины пограничного слоя. Здесь же для сравнения приводятся экспериментальные результаты из [4]. Очень слабое влияние числа Маха потока на вид зависимости V (к) от обнаруженное экспериментально (точки, относящиеся к числам М = 0,5 и 0,8 ложатся практически на одну кривую), позволяет использовать расчет, проведенный для несжимаемого течения, в достаточно широком дозвуковом диапазоне скоростей. Результаты расчета на рис. 2 условно снесены на стенку (/1 = 0), значения V (к) для любого другого к легко найти из (3). Следует отметить, что если справедлива зависимость (5), то приведенные кривые можно рассматривать как универсальные расход-

5 .«Ученые записки» № 1

65

ные характеристики перфорации, поскольку при заданном #(*) они устанавливают однозначное соответствие между V (Н) и перепадом давления рк — р(Ь).

3. Расчет турбулентного пограничного слоя, использованный для получения расходных характеристик, проводился в предположении постоянства давления в каждом его сечении по х. В реальных течениях вблизи проницаемых поверхностей возникают слабые поперечные градиенты давления, которые увеличиваются с ростом интенсив-ности мас-сообмена. Влияние этих градиентов можно оценить, используя полученные решения системы (8). Если пренебречь членами второго порядка малости, уравнение сохранения нормальной компоненты импульса запишется следующим образом:

мх+юу =---------ру

р

или, если перейти к переменным (X, и),

\ 0 '

/и \ ^

Г (~дх 6 М ^ =

' о '

где нормальная компонента скорости выражается из уравнения неразрывности:

Ни и

0 ,0 1 0

и соответственно

_ и и

ЧЇ ~(1 ~ £ [6 М ^ + ^ _ ^0 +

6 о

и и

о. о

Давление в пристеночной области можно представить в виде суммы

а

р{х, ~Ї£)~р

4-

1 (с1Ц\2________|_ (Р У

~Ш\Зх}~'и (1хг

Символом «л обозначена касательная скорость на расстоянии г/ = Л от стенки. В частности,

о

Рт

“А

В правой части интегрального соотношения (6) должен появиться дополнительный член вида

Оценки его относительного вклада, полученные из решения системы (4) и равенств (11) — (14), показывают, что при скоростях перетекания |ию|<0,03 изменение давления поперек пограничного слоя вносит слабые поправки в значения рассчитываемых величин, которые не превышают 2—3%. Более существенным оказывается влияние поперечного градиента давления на вид граничного условия системы (4) на прони-' цаемой стенке. Поскольку заранее неизвестно распределение давления Рт(х), вместо у = юю(х) при у=0 можно задать только распределение проницаемости стенки Я = Я(х), в этом случае систему (8) необходимо дополнить еще одним дифференциальным уравнением. Значения вто-^2 0

рых производных п = 0,1,. ;., N — I, в (13) находятся дифференцированием (8), при этом правые части уравнений (8) будут содержать члены А„ , п= 1,..., N. Подставляя (15) в равенство (5) и разрешив его относительно , нетрудно получить недостающее дифференциальное уравнение вида

Коррекция граничного условия играет существенную роль при больших значениях параметра проницаемости когда изменение давления, в пограничном слое соизмеримо с перепадом давления на проницаемой стенке, а также в зонах резкого изменения граничных условий (например, на стыке двух панелей с различными проницаемостями). На рис. 3

о

-о,

і-------1—------1--------1-----:—I--------1-ПП2У-

о 1 г з ч х/с ’

Расчет с коррекцией граничного условия системы

— без коррекции;-------------с = 0,! м

Рис. 3

— с = 0,! м

приведены результаты расчета (с коррекцией и без коррекции граничного условия) течения вблизи верхней перфорированной стенки аэродинамической трубы, в которой установлен профиль с положительной подъемной силой [9]. Параметр проницаемости перфорации считался постоянным по всей длине стенки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Chew W. L. Cross-Flow calibration at transonic speeds of fourteen perforated plates with round holes and airflow parallel to the plates. —

AEDC Report AEDC-TR-54-65, 1955.

2. Иванова В. М., Тагиров Р. К. Расчет трансзвукового обтекания осесимметричных и плоских тел с учетом влияния перфорированной стенки аэродинамической трубы и хвостовой державки. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. IX, № 6.

3. Lukasiwisz J. Effects of boundary layer and geometry on characteristics of perforated walls for transonic wind tunnels. — Aerospace Engineering, 1961, vol. 20.

4. С h a n Y. Y. Analysis of boundary layers on perforated walls of transonic wind tunnels.— J. Aircraft, 1981, vol. IS, N 6.

5. A p к а д о в Ю. K„ Свойская С. Г. Экспериментальные исследования граничных условий на перфорированной стенке трансзвуковой аэродинамической трубы. — В сб.: III Всесоюзная школа по методам агрофизических исследований. ИТПМ, Новосибирск, 1982, ч. 2.

6. Дородницын А. А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя. — Журнал прикл. механ. и техн. физ., 1960,

№ 3.

7. Лю Шэнь-Цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости при наличии отсоса или вдува. — Журн. вычислит, матем. и матем. физ., 1962, т. 2, № 4.

8. С е b е с i Т. Behaviour of turbulent flow near a porous wall with pressure gradient. — AIAA J., 1970, N 12.

9. iM о k г у М., Peake D. J., В о w k e r A. J. Wall interference on two-dimensional supercritical airfoils, using wall-pressure measurements to determine the porosity factors for tunnel floor and ceiling. — ;NRC Aero.

Report LR-575. National Research Counsil of Canada, October, 1971.

Рукопись поступила 24/1 1984 г.