Применение методов эконометрического анализа данных для идентификации и датирования «Пузырей» на финансовых рынках

УДК 519.237.5

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ДАТИРОВАНИЯ «ПУЗЫРЕЙ» НА ФИНАНСОВЫХ РЫНКАХ

Е.А. Гребенюк, A.B. Малинкина

Рассмотрен подход к определению и датированию «пузырей», основанный на обнаружении изменений типов случайных процессов цен и дивидендов, и предложен соответствующий алгоритм.

Ключевые слова: рациональный пузырь, разностно-стационарный процесс, взрывной процесс, тест Дики — Фуллерана на единичный корень, алгоритмы последовательной проверки гипотез.

ВВЕДЕНИЕ

Непрерывный рост цен на финансовых рынках, включая рынки ценных бумаг и рынки недвижимости, время от времени приводит к предположению о возможном появлении «пузыря» на финансовом рынке. Под «пузырем» понимается ситуация, когда разница между рыночной и реальной ценой объекта неоправданно завышена. Причем эта проблема касается не одной или нескольких стран, а широкого перечня промышленных стран, включая страны Европы, США, Японию и др. Озабоченность данным вопросом оправдана, поскольку неадекватное повышение цен на финансовых рынках напрямую влияет на различные аспекты экономики в отдельной стране, а также на мировую экономику в целом. Своевременное выявление факта наличия «пузыря», а также определение дат его возникновения и окончания поможет аналитикам финансового рынка сделать верные прогнозы относительно возникшей экономической ситуации и своевременно выработать комплекс предупредительных мер, позволяющих предотвратить экономический кризис или смягчить его последствия.

Поэтому в последнее время все большее число исследователей работают в направлении разработки эффективных эконометрических методов идентификации «пузырей» и их датирования [1, 2]. Многообразие используемых моделей и тестов приводит к отсутствию какого-либо единого подхода к задаче идентификации «пузырей».

В настоящей статье рассматривается подход к идентификации «пузырей» и их датированию, основанный на обнаружении структурных изменений свойств цен и дивидендов, предлагается соответствующий метод идентификации и датирования «пузырей», основанный на применении методов последовательного обнаружения изменений свойств случайных процессов [3], и проводится его сравнение с известными ранее методами.

1. МОДЕЛИ РАЦИОНАЛЬНЫХ «ПУЗЫРЕЙ»

Отправной точкой анализа и определения рациональных пузырей в большом числе ранних работ служит модель изменения во времени биржевой цены вида [4]:

Pt =

E

1 + R

где Е — условное математическое ожидание относительно информации, имеющейся в момент времени ? относительно всех прошлых значений цен и дивидендов, Р, — реальная биржевая цена (без дивидендов), — реальные дивиденды, полученные в интервале (1 — 1, ?], R — ставка дисконта.

Уравнение (1) рекурсивной подстановкой ЕДЕ, + ДХ + х)] = Е(Х{ + х) приводится к виду:

P = lim

* E t( Dt+i) + E t( Pt+k) kI • i (1 + R)' (1 + R)k

В уравнении (2) в явном виде выделены две составляющие актива: первое слагаемое — сумма дисконтированных будущих дивидендов, второе — ожидаемая стоимость продажи актива в будущем на k периодов вперед. При анализе динамики цен выделяют:

р = * Et

' ГХх (1 + Щ1

— часть цены, определяемую фундаментальными факторами, которая представляет собой ожидаемую текущую стоимость будущего потока дивидендов, полученных от актива, и

В, = Иш

к ^ а

Е,( Р,+*) (1 + Я )к

— «пузырь»-составляющую. Рациональный «пузырь» представляет собой отклонение рыночной цены от фундаментальной:

Иш

Е,

В, = — к

к(1 + Я)к

Равенство предела (2б) нулю называется условием трансверсальности: если бы у инвестора, действующего в долгосрочной перспективе, была возможность продать актив по цене, большей, чем сумма дисконтированных дивидендов, что соответствует отличию от нуля рассматриваемого предела, то инвестор использовал бы эту возможность и получил дополнительный доход. В этом случае другие инвесторы на рынке также захотели бы продать этот актив, и его цена упала бы до фундаментального уровня.

Если условие трансверсальности не выполняется, то стоимость актива в рамках рассматриваемой модели представляет собой сумму фундаментальной и «пузырь» — составляющих: Р, = Ft + В,, где Ft описывается уравнением (2а), а составляющая В, удовлетворяет уравнению

(1 + Я)В, - Е,(В, + х) = 0.

Любое решение уравнения (3), отличное от нуля при всех t, представляет собой рациональный «пузырь».

Рассмотрим теперь некоторые свойства временных рядов финансовых процессов, которые потребуются для анализа существования «пузырей».

Большинство финансовых и экономических показателей описывается нестационарными временными рядами. На множестве нестационарных экономических и финансовых временных рядов обычно выделяют два класса [5]: разностно-стаци-

онарные и тренд-стационарные. Тренд-стационарными называются процессы, стационарные относительно некоторого детерминированного тренда, например, линейного, квадратичного, экспоненциального и др., к этому же классу относят и стационарные процессы, детерминированный тренд которых имеет нулевой наклон. Разностно-стаци-онарными называют процессы, которые: —не являются тренд-стационарными; — приводятся к стационарным последовательным взятием разностей.

Порядок разности, необходимый для получения стационарного ряда, называется порядком интеграции процесса. Если процесс стационарный, то его называют интегрированным нулевого порядка и обозначают 1(0), если нестационарный ряд у, не является тренд-стационарным и становится стационарным после взятия разностей первого порядка, то процесс называют интегрированным первого порядка и обозначают 1(1). Ряды реальных финансовых и макроэкономических показателей редко имеют порядок интеграции больше двух. Однако, как показали исследования таких явлений как финансовые «пузыри», существуют периоды, в которые отдельные ряды не могут быть приведены к стационарным взятием разностей. Процессы в такие периоды называют «взрывными». Приведем формальные определения.

Пусть процесс у, описывается моделью авторегрессии порядка р:

У, = рхУ, - х + ... + ррУ, - р + ^

тогда тождественными преобразованиями его можно привести к виду:

р - х

ДУ, = ГУ, - х + X У/ДУ, -/ + ^ 1 = х

где у = вх + ... + вр - 1, Ух = ~(Р2 + ... + Рр), У2 = = -(Рз + ... + Рр), ..., Ур- х = -рр, ц, — белый шум. Если процесс разностей ДУ,, — стационарный, то тип процесса У, определяется значениями коэффициента у в модели (4а): если у < 0, то процесс является стационарным, если у = 0 — разностно-ста-ционарным или интегрированным первого порядка, если у > 0, то процесс — «взрывной». Уравнение (4) является уравнением стационарного процесса, если все корни его характеристического уравнения

1 - вZ- ... - р = 0

лежат вне единичной окружности. Если в представлении (4а) у = 0, то характеристическое уравнение (5) имеет, по крайней мере, один корень на

единичной окружности. Поэтому разностно-ста-ционарный процесс называют процессом с единичным корнем.

Из уравнения (4а) следует:

— реальный взрывной процесс не может оставаться взрывным бесконечно долго, так как иначе цена его станет бесконечно большой;

— взрывной процесс не может быть приведен к стационарному последовательным взятием разностей.

Из уравнения (3) следует, что процесс В, нестационарный и «взрывной» в силу того, что коэффициент при В, больше единицы. Так как «пузырь» представляет собой взрывной процесс, то в реальности он не может существовать бесконечно долго, поэтому для описания «пузырей» были разработаны модели, описывающие окончание или схлопывание «пузыря». Наиболее известна модель пузыря, предложенная в работе [6]:

В, + 1 =

где б

_ Гп 1 (1 + R)В, + б, + 1 с вероятностью п, б, + 1 с вероятностью 1 - п,

... — последовательность одинаково

распределенных независимых случайных величин с нулевым средним, пузырь в каждый момент времени t продолжается с вероятностью п или сжимается (схлопывается) с вероятностью 1 — п.

2. МЕТОДЫ ОБНАРУЖЕНИЯ «ПУЗЫРЕЙ»

2.1. Общий подход.

Проверка изменений типов рядов цен и дивидендов

В основе одного из подходов к обнаружению и датированию «пузырей» лежит проверка типов (стационарный, разностно-стационарный, взрывной) рядов цен и дивидендов. Если процесс изменения цен становится «взрывным», а процесс изменения дивидендов остается стационарным или разностно-стационарным, то на рынке возникает пузырь.

Уравнение (1), которое описывает изменение цен в предположении о постоянной ставке дисконта, мало соответствует реальности. Если допустить, что ставка дисконта изменяется во времени времени — R, + 1, то исходное уравнение цены (1) принимает вид:

=

_ Е,

1 + R

Соотношение между ценами и дивидендами в отсутствии «пузыря» при изменяющейся во времени ставке дисконта имеет вид [7]:

Б,

= Е

^ У

I п л-+

\к = 1

Б

,+У

к\ Б,

, +1

где обозначения совпадают с обозначениями (1). Из выражения (7) следует [7], что отношение цен и дивидендов является стационарным, если на рынке отсутствует пузырь, а ставка дисконта и дивиденды дивиденды — стационарны. Если на рынке присутствует «пузырь», то процесс изменения цен в силу уравнения (3) — «взрывной», независимо от того, является ли процесс изменения дивидендов стационарным или разностно-стационар-ным. Для определения наличия «пузыря», а также дат его возникновения и «схлопывания», нужно определить участки процесса (7), на которых процесс «взрывной». Обнаруженные особенности отношения цен и дивидендов послужили причиной того, что именно оно часто используется для анализа наличия пузырей. В более ранних работах вместо отношения уровней (7) использовалась аппроксимация логарифмов цен и дивидендов, предложенная в работе [8]. В отсутствие пузыря логарифм отношения цен и дивидендов является стационарным, при возникновении пузыря, как было показано в работе [9], этот процесс становится разностно-стационарным. Алгоритм обнаружения пузырей был основан на применении теста Ди-ки-Фуллера [5], проверяющего наличие в процессе единичного корня. Для реализации теста ряд описывается уравнением вида (4а) и выполняется проверка гипотезы: Н0: у = 0 (процесс разностно-ста-ционарный) против альтернативной Н1: у < 0 (процесс стационарный).

Однако:

— исследования, проведенные Эвансом [10], показали, что при наличии «схлопывающихся» пузырей тест на единичный корень может отвергнуть нулевую гипотезу, «пропустив» наличие пузырей;

— как показали более поздние эмпирические исследования [11, 12] свойств финансовых активов, соотношение цен и дивидендов крупных биржевых индексов в отсутствие «пузырь»-составля-ющей не является ни чисто стационарным, ни интегрированным первого порядка процессом, а меняет свои свойства от разностно-стационарного процесса до стационарного и наоборот.

Работы Филлипса и соавторов [1, 13, 14] по исследованию свойств взрывных процессов и соответствующие алгоритмы определения участков процесса взрывного типа положили начало новому направлению в разработке алгоритмов определе-

0

52

СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 5 • 2014

ния пузырей, в которых процедуры обнаружения взрывных свойств процесса и определения моментов возникновения и изменения этих свойств являются ключевыми.

Тесты на обнаружение изменений свойств случайных процессов подразделяются на два больших класса: обнаружение изменений в оценках параметров анализируемого процесса и обнаружение изменений в свойствах распределений, описывающих процессы. Первый подход был применен в работах [1, 13, 14], второй положен в основу алгоритма, предложенного в настоящей статье.

2.2. Подход Филлипса и Ву. Обнаружение изменений в параметрах модели процесса

Пусть анализируемый процесс описывается моделью авторегрессии вида (5а). Метод, предложенный в работах [1, 13, 14], основан на оценивании параметров регрессии на последовательно расширяющейся выборке с целью определения моментов изменения коэффициента у в уравнении (4а) до значимой положительной величины при возникновении «пузыря» и от положительной величины до значения у < 0 при его схлопывании.

В качестве начального интервала работы алгоритма выбирается интервал т0 минимальной длины, необходимой для получения оценок коэфици-ентов авторегрессионной модели (4а), на котором он не проявляет взрывного поведения, и выполняется оценивание модели.

После получения оценки коэффициента у оценивается ее значимость: вычисляется стандартная ^статистика, которая сравнивается с соответствующим критическим значением критерия Дики — Фуллера, и, если эта статистика в какой-то момент времени превосходит критическое значение, то процесс определяется как взрывной. Затем к анализируемой выборке добавляется следующее наблюдение, и процедура повторяется до конца выборки. В результате получают набор ^статистик AОF0, AОFх, ..., AОFк, где к + 1 — число оценок у, AОFк соответствует ^статистике коэффициента у, вычисленной для полной выборки. Дата возникновения «пузыря» определяется по результатам расчета AОF статистик:

Ге = inf{s: ADFs > G (s)},

s > 0 N

где йа (Б) — правостороннее критическое значение AОFs, соответствующее уровню значимости аж. Дата окончания «пузыря» определяется как

первая точка после момента времени г + 81п(Г), в

которой ADF статистика меньше критического значения, параметр 8 выбирается при настройке и зависит от объема выборки T:

rf = inf {s: ADFS > G

J s > re + 5 ln ( T) N

Предложенный тест получил название supADF-тест (SADF). Было проведено эмпирическое исследование предложенного теста, показавшее его эффективность в случае налиия одного «пузыря». Однако данный алгоритм не эффективен, когда процесс включает в себя не один, а несколько «пузырей». Поэтому было предложено обобщение предыдущего алгоритма [14] — обобщенный supADF-тест (Generalized supADF — GSADF). Данный метод также основывается на идее рекурсивного выполнения правостороннего теста на единичный корень. Однако GSADF-тест последовательно сдвигает начальную точку SADF-теста, и для каждого момента оценивания r2 выполняет SADF-тест в окнах с начальными точками r1, лежащими в интервале [0, r2 — r0]. Отметим, что GSADF-статистика представляет собой наибольшее значение ADF-теста для всех значений r1 и r2:

GSADF(r0) = sup(^ADFr

r1 e [0, r2 - r0] r2 e [r0, 1]

Критические значения правостоннего SADF- и GSADF-тестов были получены в работе [14] численным моделированием.Как показали проведенные авторами алгоритма многочисленные эксперименты, эффективность данного теста существенно зависит от того, насколько корректно используемая модель (4а) описывает анализируемый процесс, и выбора настроечных параметров. Критические значения определяются в результате моделирования и зависят от свойств процесса и объема выборки, что затрудняет практическое применение алгоритма и ограничивает его возможности для обнаружения пузырей в режиме реального времени.

3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УЧАСТКОВ ВЗРЫВНОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРОЦЕССА МЕТОДАМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ

3.1 Обнаружение и датирование «пузырей» с помощью методов последовательного анализа

Рассмотрим метод обнаружения и датирования пузырей, основанный на алгоримах текущего обнаружения изменений типа процесса. Предлагае-

мый подход не требует построения регрессионной модели ряда, имеет достаточно простые алгоритмы настройки, позволяет обнаруживать множественные пузыри и определять даты их возниковения и схлопывания. Экспериментальные исследования показали, что он, по крайней мере, не менее эффективный, чем подход, рассмотренный в работах [13, 14].

Пусть процесс описывается уравнением (4а) и у = 0 или у < 0 до возникновения «пузыря», и у > 0 — после. Если пузырь отсутствует, то корреляция между Ду, и у, _ 1 равна нулю или отрицательна, если на рынке возникает пузырь, то корреляция между Ду, и у, _ 1 становится положительной.

Для обнаружения перехода процесса у, от интегрированного или стационарного к взрывному достаточно обнаружить изменение коэффициента корреляции от нулевого или отрицательного значения до его значимого положительного значения. И наоборот, для обнаружения перехода процесса у, от взрывного к интегрированному или стационарному проверяется изменение коэффициента корреляции от заданного положительного значения до нулевого или отрицательного. Моменты изменений коэффициента корреляции определяют даты возникновения и схлопывания пузыря.

Алгоритм обнаружения изменений коэффициента корреляции представляет собой последовательную процедуру проверки гипотез, проверяется гипотеза Н0: «плотность распределения последовательности г, _ к, г, _ к + 1, ..., г,, ... выборочных коэффициентов корреляции, вычисленных по выборкам объема N равна /о (г)», против альтернативной гипотезы Н1: «плотность распределения последовательности г, _ к, г, _ к + 1, ..., г,, ... равна /е (г) до момента ^ — к < ^ < t и равна /е (г) после», где 90 = (р0, 91 = (р1, момент ta неизвестен. В основе алгоритма лежит процедура, разработанная Пейджем [15] для обнаружения изменений случайной последовательности независимых переменных у1, у2, ..., у, , у, 1, ..., где у 1,

у2, ..., у, одинаково распределены с плотностью

2 'а

распределения /е (г), а у, , у, , ... — одинаково

0 а +1 а + 2

распределены с плотностью распределения /е , где 90, 91 — известные параметры распределения до и после изменения свойств. Момент изменения

свойств определяется как решение оптимизационной задачи:

т = Ш^т > 1:# где к — порог алгоритма,

= шах5к > к ¡>,

1 < к <,

т VI , /02(^

= 11п /2-

г = к -/е,

Алгоритм (11), (12) обладает оптимальными свойствами при точно известных параметрах 90 и 91 в смысле критерия минимизации средней задержки обнаружения при ограничении среднего времени до ложной тревоги Т = Еео ^|t < ta) < га, где га —

заданный интервал между ложными тревогами.

Обнаружение пузыря сводится к выполнению процедуры последовательной проверки гипотезы: Н0: р = р0 < 0 против альтернативной гипотезы

Н1: р = р1 > 0 при получении нового наблюдения1.

3.2. Алгоритм последовательного обнаружения изменения коэффициента корреляции

Статистика, используемая в алгоритме обнаружения изменения коэффициента корреляции, представляет собой логарифм отношения правдоподобия двух плотностей распределения выборочного коэффициента корреляции /ео (г), /е^ (г) для значений параметров 90 = (р0, .М), 91 = (р1, Как показано в Приложении, эта статистика имеет вид:

N - 1

„, = 1п/02 ( 1 - рЬ ( 1 - Р0г-)Л'- 3/2 х ч

5, - 1

/е1

= 1п-

3/2,, 2Ч

N - 1 ^ 2

1 + , р1 1 +

9 (Р1г, + 1 )2

4

+ ...

1+

Р 0 г t + 1 +_

4

9 (Р0 г, + 1)°

+ ...

где р0 и р1 — значения коэффициентов корреляции генеральной совокупности до и после изменения свойств, г, — выборочный коэффициент корреляции, вычисленный в момент времени t, N — объем

1 Выборочный коэффициент корреляции является оценкой

генерального коэффициента корреляции между двумя случайными величинами у и Ау _ 1 лишь в случае двумерного нормального закона распределения этих величин. Поэтому алгоритм может быть применен только к рядам, совместное распределение значений и первых разностей которых может быть аппроксимировано двумерным нормальным распределением.

х

>

х

54

СОЫТВОЬ БтЕМСЕБ № 5 • 2014

выборки, по которому рассчитывается выборочный коэффициент корреляции.

Теорема 1. Логарифм отношения правдоподобия выборочного коэффициента корреляциидля проверки гипотезы Н0: р = р0 < 0 против гипотезы Н1: р = р1 > 0 определяется формулой (13). Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия при условии выполнения нулевой гипотезы отрицательно, а при условии выполнения альтернативной — положительно.

Теорема 2. Логарифм отношения правдоподобия выборочного коэффициента корреляции для проверки гипотезы Н0: р = р0 > 0 против гипотезы

Н1: р = р1 < 0 определяется как ^_ 1 = —, где ^ _ 1

¿1 -1

определяется формулой (13). Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия при условии выполнения нулевой гипотезы отрицательно, а при условии выполнения альтернативной — положительно. ♦

Доказательства теорем 1 и 2 и формулы расчета математических ожиданий и значения порогов приведены в Приложении.

В силу теорем 1 и 2 будем определять моменты возникновения «пузыря» как моменты изменения t

статистики st -1 до значимой положительной величины, а моменты «схлопывания» как моменты изменения статистики st -1 до значимой отрицательной величины. Решающая функция алгоритма обнаружения изменений коэффициента корреляции, определяющая выход статистики за доверительные границы, имеет вид:

= £п = 0,

g¡ = тах{П,, g¡-1 + sut -1)}, I = 1, 2,

, г г

где п 1 — нижний порог алгоритма, sut -1 = st -1 или

г г

sut -1 = s t -1, в зависимости от того, обнаруживается ли изменение от 90 к 91 или от 91 к 90. Значения решающей функции сравниваются с порогом Нн, (определяемым по формулам, приведенным в Приложении), при превышении которого фиксируются изменение коэффициента корреляции и момент возникновения или схлопывания «пузыря»:

g+ = тах{0, g+-1 + sut -1)} > Ип.

Истинные значения коэффициентов корреляции до возникновения «пузыря», в моменты существования «пузыря» и после его схлопывания, как правило, неизвестны иизменяются во време-

ни. В отсутствие какой либо дополнительной информации о поведении процесса параметр р0 выбирается равным нижней границе доверительного интервала нулевого выборочного коэффициента корреляции, вычисляемого по выборке размера N параметр р1 — равным верхней границе этого доверительного интервала.

Алгоритм обнаружения «пузырей» алгоритмом последовательного обнаружения изменений коэффициента корреляции включает в себя следующие шаги.

Шаг 1. Задание начальных значений: положительного значения коэффициента корреляции р1, которое достигается при возникновении «пузыря», и значения коэффициента корреляции р0 до возникновения «пузыря», вычисление верхнего и нижнего порогов по формулам (П8) и (П10) — см. Приложение. Формируется признак «наличие пузыря» и полагается равным нулю.

Шаг 2. Вычисление выборочного коэффициента корреляции в скользящем окне длины N.

Шаг 3. Проверка признака «наличие пузыря», если признак равен 1 («пузырь» существует), то

вычисляется статистика -1 = 1/st -1 и ее решающая функция, значение которой сравнивается с порогом Н1г (П10), при превышении порога признак «наличие пузыря» полагают равным нулю и переходят к шагу 2. Если признак «наличие пузыря» равен 0, то переходят к шагу 4.

Шаг 4. Вычисление статистики, определяемой формулой (13), сравнение ее с верхним порогом Нк (П8),вычисление решающей функции по формуле (14). Если значение решающей функции превышает верхний порог, то признак «наличие пузыря» полагают равным 1 и переходят к шагу 2.

Заметим, что значения нижнего порога используются только для вычисления решающих функций по формуле (14), а значения верхнего порога — для определения дат возникновения и схлопыва-ния пузыря.

3.3. Сравнение качества алгоритмов обнаружения «пузырей» методами последовательного анализа и рекурсивной регрессии

Для проверки работоспособности предложенного алгоритма обнаружения множественных «пузырей» и сравнения его с методом, предложенным в работах [13, 14], рассмотрим результаты обнаружения и датирования «пузырей» для отношения цен и дивидендов фондового индекса S&P500, в корзину которого включено 500 избранных акционерных компаний США. Ежемесячные данные, собранные за период с января 1871 г. по декабрь

Таблица

Экспериментальная проверка и сравнение алгоритмов последовательного анализа и вЭДОР

Даты «пузырей» Алгоритм последовательного анализа Алгоритм

1878, июль — 1880, апрель 1885, декабрь — 1887, январь 1907, сентябрь — 1908, февраль 1917, август — 1918, апрель 1928, ноябрь — 1929, сентябрь 1945, октябрь — 1946, июнь 1954, сентябрь — 1956, апрель 1974, июль — декабрь 1986, март — 1987, сентябрь 1995, июль — 2001, август 2008, октябрь — 2009, апрель 1878, июль — 1880, апрель 1885, декабрь — 1887, январь 1907, сентябрь — 1908, май 1917, август — 1918, сентябрь 1928, ноябрь — 1929, октябрь 1946, апрель — май 1954, ноябрь — 1956, август 1974, июль — 1975, май 1986, март — 1987, сентябрь 1995, август — 2000, июль 2008, сентябрь — 2009, сентябрь 1879, октябрь — 1880, февраль 1886, ноябрь 1907, октябрь — 1907, ноябрь 1917, ноябрь — 1917, декабрь 1929, январь — 1929, сентябрь 1955, февраль — 1955, декабрь 1974, сентябрь 1986, март — 1987, август 1995, декабрь — 2001, февраль 2008, октябрь — 2009, март

2010 г., содержат 1680 значений и включают в себя значительное число кризисных событий, которым предшествуют рациональные «пузыри».

Проверка метода, предложенного в работах [13, 14], выполнялась с помощью комплекса программ разработанного авторами и представленного на сайте [16]. В комплекс программ входят исходные данные, программа для расчета критических значений GSADF-теста и программа для расчета значений GSADF статистики в каждой точке выборки. Начальный интервал для расчета модели был выбран равным 36-ти точкам. Рассчитанные критические значения статистики сравнивались с критическими значениями, моменты возникновения и схлопывания«пузыря» определялись по формулам (8) и (9) с использованием в них GSADF статистики (10).

Рассмотрим результаты экспериментальной проверки работы алгоритма. В первом столбце таблицы приведены даты кризисных событий, которые сопровождались возникновением «пузырей» на финансовых рынках, во втором — даты обнаружения и схлопывания финансовых «пузырей», обнаруженных алгоритмом кумулятивных сумм, в третьем — аналогичные даты для алгоритма GSADF.

Оценим точность датировки событий с помощью алгоритмов последовательного анализа. Оценка средней длительности события составляет по фактической оценке — 18,7 мес, по датированию алгоритмом последовательного анализа — 19,3, по алгоритму [13, 14] — 11,5 мес, запаздывание относительно фактической оценки составляет, соответственно, 9 и 26 мес.

Как следует из приведенных результатов сравнения, предложенный алгоритм обнаружения и датирования «пузырей» обнаруживает и датирует все события, определенные в первом столбце таблицы, причем датировка событий приближается к оценке, полученной экономистами. Алгоритм [13, 14] пропускает одно событие.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены методы обнаружения и датирования «пузырей» рядов финансовых и макроэкономических показателей, основанные на анализе типов процессов изменения цен и дивидендов. Отношение цен и дивидендов в отсутствие пузыря представляет собой процесс, свойства которого могут меняться от стационарного к разностно-ста-ционарному и наоборот. При возникновении ценового «пузыря» отношение цен и дивидендов становится «взрывным». Поэтому для обнаружения «пузырей» такого типа достаточно диагностировать наличие у процесса «взрывных» свойств. Даты возникновения о «схлопывания» пузыря определяются как моменты возникновения и исчезновения «взрывных» свойств процесса отношения цен и дивидендов. Предложен алгоритм обнаружения и датирования взрывных участков процесса, основанный на обнаружении возникновения значимых корреляций между уровнями процесса и его первыми разностями. Сравнение алгоритма с известными методами показало его высокую эффективность. Алгоритм не требует построения модели процесса, а его настроечные параметры легко вычисляются.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Плотность распределения выборочного коэффициента корреляции г двумерного нормально распределенного процесса [17]

^ 2 2Ч 2

/в1 (г) =

_

Т2ПГ( N - 1/2) (1 - рхг)Ы- 3/2

х ^ Г1, 1 2 N - 1 гр 1 + 1

2 ' 2 -

где 91 = (рр N) — параметры распределения, г — значение выборочного коэффициента корреляции, р1 — значение коэффициента корреляции генеральной совокупности, N — объем выборки для расчета выборочного значения коэффициента корреляции,

Р |11 2N- 1 гр1 + =

2Р |2'2' 2 ' 2 J

= г у - 1/2 ) - {г1^ - - 2 Г1 - г ег_+1)-1/2 ^г, (П2) Г( 1/2)Г( N -1) 0 Г 2 ) '

— гипергеометрическая функция.

Доказательство теоремы 1: Разложение разложение гипергеометрической функции (П2) в степенной ряд имеет вид:

р Г1 1 2 N - 1 гр 1 + 1| = 2 11 2 '2 ' 2 ' 2

1 +

рг+ 1

+

9(рг + 1)2

+

4

225 ( 1 + р г) 3_ +

384(2N - 1 ) ( 2 N + 1 ) ( 2 N + 3 ) .

С учетом разложения (П3) распределение выборочного коэффициента корреляции параметрами 91 = (р1, N) может быть представлено в виде:

/в, (г) =

_ 2)

1 +

Р1г + 1

Т2Пг( N - 1/2)( 1 - р1г)Ы- 3/2 2

+

9(Р1г+ 1 У

4 (2 N - 1) 16 (2N - 1)(2N + 1) '

Логарифм отношения двух плотностей распределения /в (г), /в (г) до и после изменения свойств равен:

N - 1 2

/^ = 1п ( 1 - р1) 2 ( 1 - р0 г/- 3/2 X

/в0(г,) ^

0 /1 чЫ - 3/2,, 2. 2

(1 - Р1гг) ( 1 - Ро) X

1 + , Р1 гл+ 1 +

9(Р1 г, + 1 )2

4

1 + , Ро '' + 1 +

9(Ро г, + 1 )2

4

откуда статистика правдоподобия логарифма отношения двух плотностей распределения /во (г), /е (г) в каждый момент времени г определяется формулой (13).

Покажем, что математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия в случае 90 = (р0, р0 < 0, 91 = (р1, р1 > 0 при условии 9 = 90 положительно, а при условии 9 = 91 — отрицательно. По свойству логарифмической функции имеем:

-1 = 2N- 3

^ [1п(1 - р2) - 1п(1

Р0)] +

2

1п(1 - р0г,) - 1п(1 - рхгг) +

+ 1п

- 1п

1 +

р1г,

г, + 1

1 +

4 (2 N - 1) рог, + 1

+

2

9 (Р^ + 1)2

+

16( 2N - 1)(2N - 1) 9(рог, + 1 )2

+ ...

4

+ ...

Разложим члены в приведенной формуле, включающие в себя г, в ряд:

-1

М- 1 [1п(1 - р2) - 1п(1

+

"р0гг

-р1г/

( - р 1 г) 2

+

2

2 N - 3 2

- 2 N - 3

- 2

р 1 г, + 1 4

р о г, + 1 _

4

ро )] +

+

9 (Р^ + 1 )2

16( 2N - 1)(2N - 1) 9(ро г, + 1 )2

Возьмем математическое ожидание, при условии 9 = 90 = (р0, N, от обеих частей выражения (П4), затем выполним обратное преобразование полученных рядов к логарифмам:

_ N - 1

Евп 0( -1) =

+ 1п(1

[1п(1 - р1 ) - 1п(1 2N- 3

ро )] +

2 ро )

2

1п

+

+ 1п| 1 + р 1ро + 1 +

9(р1ро+1)2

4

+

- 1п| 1 +

2

ро + 1

+

9(ро + 1 )2

4

+ ... I =

N - 2 2Ч , N - 1 2Ч

-^г— 1п(1 - ро ) + —~—1п(1 - р1 ) -

- 2 N - 3

- 2

+ 1п| 1 + р 1ро + 1 +

2

1п(1 - р0р1) + 9(р1ро+1)2

4

+ ... I -

- 1п| 1 +

2

ро + 1

9(ро + 1 )2

4

х

х

2

X

X

>

X

Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия, при условии 9 = 91 = (р1, №), равно:

£01 (^-1) = ^ [1п(1 - Р2) - 1п(1 - р0)] + , 2N - 3,п ч 2N - 3,п 2ч,

+ —2~1п(1 - РоР1) - —2~1п(1 - Р1) +

+ lnl 1 +

Р2 + 1 + 9

2

- ln I 1 + Р о Р 1 + 1 + 9

+ ... I =

4

N - 2W1 2Ч N - 1 W1 2Ч , —ln(1 - Р1) - ——ln(1 - Ро) +

+ 2N-3 W1 )

+ —2~ln(1 - Р°Р!) -

- lnl 1 + Р 1 Ро + 1 + 9 ( Р 1 Ро + 1 )_ + ... | +

^ 4

+ lnl 1 +

р2 + 1 + . - . 9

4

В правой части соотношения (П5) первые три члена отрицательные, сумма последних двух — отрицательна, так как р0, р1 имеют разные знаки, в правой части соотношения (П6) первые три члена положительные, сумма последних двух — положительна, откуда следует заключение теоремы и формулы (13):

Ев0 (^-1) = ^ 1п(1 - Ро) +

-и N - 1,п 2. 2N - 3,п + ——1п(1 - Р1) - —2~1п(1 - Р1Ро) +

Г1 + Р 1 Р О + 1 + 9 ( Р 1 Р о + 1 )2 +

I 4 ( 2 N - 1 ) 1 6 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 1 ) + 1п- < 0,

Г1 + рО + 1 + 9 ( Р 2 + 1 ) 2 +

^ 4 ( 2 N - 1 ) 1 6 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 1 ) ""

E01 (st-1) = - ln(1 - р1 ) -

N-1 ln(1 - Ро) + 2NT ln(1 - Р1Р°) +

\ + Р2 + 1 + 9 ( р 2 + 1 )2 + ...

4

f 1 + Р 1 Р о + 1 + 9 ( Р 1 Р о + 1 ) +

4

Из формул (П7) следует, что верхний Нк и к1 нижний пороги алгоритма могут быть определены по формулам:

hi = Ee0 (s't-1 )> hh = Ee1 (st-1).

Доказательство теоремы 2. Из определения

~t

статистики st -1 следует, что

Ee0 (s't-1) = - \ (st-1 X

Ee1 (st-1) = -Ee0 (st-1).

Из формул (П9) следует, что верхний Нк и к1 нижний пороги алгоритма могут быть определены соотношениями:

hh = -Ee0 (st-1), h, = -Ee1 (t-1).

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

Теорема доказана.

1. Phillips C.B., Wu Y., Yu J. Explosive behavior in the 1990s NASDAQ: When did exuberance escalate asset values? // International economic review. — 2011. — Vol. 52, N 1.

2. Дробышевский С. Анализ возможности возникновения «пузыря» на российском рынке недвижимости // Институт экономики переходного периода. — М., 2008. — C. 99.

3. Basseville M. and Nikiforov I.V. Detection of Abrupt Changes: Theory and Application. Prent. Hall. — URL: www.irisa.fr/ sigma2/kniga, 1993 (дата обращения 28.08.2014).

4. Gurkaynak R.S. Econometric tests of asset price bubbles: Taking stock // Jounal of Economic Surveys. — 2008. — Vol. 22. — Р. 166—186.

5. Hamilton J.D. Time Series Analysis. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.

6. Blanchard OJ, and Watson M.W. Bubbles, Rational Expectations, and Financial Markets / In P. Wachtel (ed.), Crisis in the Economic and Financial Structure. — 1982. — P. 295—315.

7. Cochrain G.H. Explaining the variance of price-dividend ratios // Review of Financial Studies. — 1992.—Vol. 5, N 2.— P. 243—280.

8. Campbell J.Y., Shiller R.J. Stock Prices, Earnings and Expected Dividends // The Journal of Finance. — 1988. — Vol. 43, N 3. — P. 661—676.

9. Craine R. Rational Bubbles: A Test // Journal of Economic Dynamics and Control. — 1993. — Vol. 17. — P. 829—846.

10. Evans G.W. Pitfalls in Testing for Explosive Bubbles in Asset Prices // American Economic Review. — 1991. — Vol. 81. — P. 922—930.

11. Park C. When does the dividend — price ratio predict stock returns? // Journal of Empirical Finance. — 2010. — Vol. 17. — P. 81—101.

12. Leybourne S., Kim T.-H, Smith V., and Newbold P. Tests for a change in persistence against the null of difference-stationarity // Econometrics Journal. — 2003. — N 6. — P. 291—311.

13. Phillips P.C.B., Yu J. Dating the timeline of financial bubbles during the subprime crisis // Quantitative Economics, Econometric Society. — 2011. — Vol. 2 (3). — P. 455—491.

14. Phillips P^.B., Shi S., and Yu J. Specification sensitivity in right-tailed unit root testing for explosive behavior // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. — 2013. — Vol. 76, iss. 3.

15. Page E.S. Continuous insrection schemes // Biometrika. — 1954. — Vol. 41. — P. 100—115.

16. URL:https://sites.google.com/site/shupingshi/PrgGSADF.zip? attredirects=0\&d=1 (дата обращения 28. 08. 2004).

17. Kenney J.F., and Keeping E.S. Mathematics of Statistics. Pt. 2. — 2nd ed. — Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Р.М. Нижегородцевым.

Гребенюк Елена Алексеевна — д-р техн. наук, вед. науч. сотрудник,

И lngrebenuk@rambler.ru,  (495) 334-46-40,

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,

г. Москва,

Малинкина Антонина Валерьевна — гл. специалист,

ОАО «Банк Москвы», И malinkinaav@gmail.com.