Течение в ядре вихревой пелены

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXI 2000

№1—2

УДК 532.527

629.735.33.015.3

ТЕЧЕНИЕ В ЯДРЕ ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ

А. М. Гайфуллин, С. Б. Захаров, Г. Г. Судаков

В работе изучено течение в ядре вихревой пелены в невязкой постановке. Для исследования характеристик течения построено второе приближение теории удлиненных тел. Выражение для компонент скорости получено в общем случае независимо от вида течения в ядре (автомодельное или неавтомодельное), в том числе и для течения в следе за самолетом.

Исследованию структуры течения в ядре вихревой пелены посвящено много работ (см., например, [1] — [3]). Для случая конического течения невязкая структура ядра была описана в [1], в том числе получено выражение и для радиальной компоненты скорости в ядре. Аналогичный результат был получен для случая неконического автомодельного течения [3]. В этой работе был использован математический аппарат высших приближений теории удлиненных тел. Во всех этих примерах выражение для радиальной компоненты скорости появлялось только во втором приближении и, следовательно, в соответствии с методом сращиваемых асимптотических разложений должно вычисляться по известным членам первого порядка. Задача об определении компонент скорости на внешней границе ядра является составной частью более общего зонального подхода для расчета вихревых течений, например, в следе за самолетом [4], [5]. Если в зональном подходе выделяется зона ядра [5], необходимо на ее границе задавать все три компоненты скорости. Выражения для окружной и продольной компонент определяются первым приближением нестационарной аналогии, в то время как выражение для радиальной компоненты в общем случае получено не было. В данной работе была поставлена задача определения радиальной компоненты скорости независимо от типа течения (автомодельный или неавтомодельный). Установлены важные свойства для продольной и окружной компонент скорости, неизвестные ранее.

1. Постановка задачи. Рассмотрим течение в ядре вихревой пелены. Жидкость предполагается несжимаемой и невязкой, вихревая пелена моделируется поверхностями 2,(х, у, г) = 0 тангенциального разрыва скорости. Предполагается, что отношение е характерной поперечной скорости к скорости набегающего потока много меньше единицы, и можно использовать приближение теории удлиненных тел. Введем прямоугольную декартову систему координат с осью х вдоль скорости набегающего потока и с осями у, г — в поперечной плоскости. Течение вне поверхности вихревой пелены Е предполагается безвихревым, поэтому задача сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала ср

<?хх+<?уу=°

с граничными условиями на бесконечности

(ф* -мда)2 +Фу + Ф? 0, у2 + г2оо

и на пелене

кЕх +иТ.у +м>12-0, [р]е=0>

где р — давление, иж — скорость набегающего потока, и = (рх, V = ц>у, м'-(?г — компоненты скорости вдоль осей х, у, г. Здесь и далее символ [/^ означает скачок величины / при переходе через поверхность разрыва

I. Давление и скорость связаны интегралом Бернулли

2 2 2 р и +и +\м — +--------------------

Рею ^ ^00

Р 2

где р — плотность жидкости.

В приближении теории удлиненных тел будем искать решение задачи

(1.1) — (1.4) в виде двух членов асимптотического ряда

ф = м00х + ф1(х, у, г),

Здесь

л. и = иХ)+щ,

И> = И»!

Р = Р<Х>+Р\.

Ф1 = 0{ Е2), Щ = 0(г2), Р1

и^х Мао РМоо

= 0(е ), а величины у, г имеют

порядок характерных поперечных размеров вихревой пелены. Подставляя (1.5) в (1.1) — (1.3) и отбрасывая величины 0(е4), получим

Фі^+Фі22 =0. у]2+м'|2->0, у2 +z2 —>оо, Sx+t»12>+w1Sz=0, [/>1 к = 0.

Задача (1.6) есть не что иное, как задача первого приближения теории удлиненных тел. Она хорошо исследована, и ее решение может быть представлено в комплексном виде

G = Z + iy, ф] = Wj -ІЬ\. * t \ 1 Г dr

ф

Ы=— Г-

2ni J с

2™ ^?(Г,^)-ст’

и 5(r*)=-Lf___________^________.

00 дх ’ 2ш|<;

Здесь и далее К есть сечение вихревой пелены плоскостью х - const. Эта линия описывается уравнением q - д(г, jc), Г — циркуляция вихревой пелены, отсчитываемая от одного из ее свободных концов, в комплексной плоскости а. Таким образом, в первом приближении мы имеем задачу Коши для интегро-дифференциального уравнения (1.7).

Как видно, в уравнении (1.7) отсутствуют источники, поэтому средняя радиальная компонента скорости по любому замкнутому контуру равна нулю. Для ее нахождения необходимо рассмотреть задачу во втором приближении теории удлиненных тел. Асимптотические разложения для потенциала и компонент скоростей, а также основные уравнения во втором приближении выписаны в [6]. В соответствии с [6] асимптотическое разложение во втором приближении имеет вид

ф^МооЛГ + Cpj +ф2,

V = Vi + v2, w = W\ + м>2-

Здесь Ф2 = 0( є2), v2 ~0(е3), w2

Ф1 ^00 Мао

(1.1), получим

-0(e ). Тогда, подставляя (1.8) в

Ф^+Фг^-Фьсс-

В плоскости г, у появляются распределенные источники, интенсивность которых определяется первым приближением [6]:

где — плотность источников, £>1 — полная интенсивность источников, распределенных на площади 51. Первое приближение теории удлиненных тел обуславливает эквивалентность трехмерной стационарной задачи двумерной нестационарной задаче

где VI п — в двумерной нестационарной задаче нормальная к пелене К составляющая скорости, q2 — линейная плотность источников, £?2 — полная интенсивность источников, распределенных на линии К, I — длина дуги. Таким образом, полная интенсивность источников складывается из интенсивности источников, распределенных в плоскости 2, у плюс интенсивность линейных источников, расположенных на вихревой пелене. Зная полную интенсивность источников внутри окружности радиуса г

можно найти среднюю радиальную компоненту скорости на радиусе г

2. Вычисление компонент скорости. Перейдем к выводу формулы для интенсивности источника ()\. Потенциал скорости ф] представим в виде ряда, имеющего разрыв на линии вихревой пелены

Здесь х, г, 9 — полярная система координат с осью, совпадающей с центральной линией вихревой пелены (линия, вокруг которой наматывается вихревая пелена), 0 = 0^(х,г) —: уравнение вихревой пелены, причем 04. - 2 тс < 0 < 05 . Для компонент скоростей справедливы соотношения

а{г)=0х(г)+02(г),

сілі)

Ф, =Ф1о(*,г) + ф11(л,гХ0, -6-я) + Фі2(*>гХв* -0-л)2 +....

=-г- = огц(г,хХвд -9-я) + ...

дг

Откуда для неразрывных компонент скорости имеем

ут10

Зфю 50,

ас 11 дх

дфю , 50 т

: + Ф11 дг У11 дг '

Г(г) Фп

0 2я г г

Используя условие непротекания жидкости через витки вихревой пелены [3], получаем

дх

_РтЮ Г=сопз1 м°°

или

Г*

9*=- 2 2лмгг,г

Из уравнений (2.2) — (2.3) следует

1 ГГ(г)Г'(г)^

«10

4п2и„

+ /(*),

где /(х) — некоторая функция, подлежащая определению. Таким образом, в главном приближении продольная скорость представляется в виде двух слагаемых, первое из них зависит только от координаты г, а второе — от координаты х. Зависимость продольной скорости от координаты г, совпадающая с первым слагаемым формулы (2.4), была получена в работе [7].

Для разрывных компонент скоростей

Щ1 ~ 2ф12

дх

2фцф12

г2и„

ут11 ~—Ф12-г

Разрыв окружной компоненты скорости на пелене у = -2тот| ]. Интегрируя вдоль вихревой пелены, получаем зависимость циркуляции от радиуса

Г(г)=|7й?/ = 27г|.ит1](г1)^^^г1й??-1 .

К

Откуда

Ф12

Иоо г3Г

2* 2Г-гГ'

и, следовательно,

г Г

г Г'

Заметим, что непрерывная часть продольной скорости состоит из двух слагаемых, первое из которых зависит только от радиуса г, а второе — только от продольной координаты х и вычисляется с помощью решения задачи о развитии следа в первом приближении. Подставляя (2.4) и (2.5) в

(2.1), получим с учетом (1.9) явное выражение для интенсивности источника £>]

<26)

2лмооЛ<| 21

О г,---- ——

Г Чп)

при выводе которого было учтено, что разрывная часть при интегрировании по площади обращается в нуль.

Перейдем к вычислению интенсивности источника, который порожден вихревой пеленой (во втором приближении). Формула (1.10) дает выражение для плотности источников, распределенных по вихревой пелене. Тогда В слое [г.г + с1г] в силу ОСНОВНОГО предположения |ой1|«|иТ1о|, где ип1 —

нормальная к пелене (в плоскости а) составляющая скорости в точках самой вихревой пелены, имеем ьп\сЬ = уТ1ойг и, следовательно, в силу (1.10) получаем

^02 =утЮ^-^ •

и оо

Из интеграла Бернулли следует

Моо[М1] + УтЮУ = 0-

Тогда

, г

£>2 =---2"|у(п)утю(п)^1 •

^00 А

Используя уравнение для вихревой пелены (2.3) после некоторых преобразований, можно получить окончательное выражение для интенсивности источника 02

Qi=

Г Г2{rx)drx

2ш<пХ^г 2Г

Г'

Из (1.11), (2.6) и (2.7) получаем

vr2

rf'ix)

Формула (2.8) является одним из основных результатов данной работы, а именно, радиальная скорость определяется производной по продольной координате непрерывной части продольной составляющей скорости в ядре вихревой пелены, которая вычисляется с помощью первого приближения теории удлиненных тел. Вид функции /зависит от поведения решения на масштабах порядка размаха крыла и зависит, в том числе, от наличия других ядер. Отметим, что

}г2

Woo

= 0(ел).

Наличие радиальной скорости приводит к изменению окружной скорости вдоль оси х. Это изменение будет также описываться уравнениями второго приближения теории удлиненных тел. Для вычисления окружной скорости рассмотрим, как в главном приближении будет меняться радиус круговой трубки тока при движении вдоль оси х. Так как течение в первом

приближении

dr v _

осесимметричное, то — = — или, в главном приближение и

dr г f

нии, — =----------. Если в сечении xq радиус трубки тока имеет размер г0,

dx 2 Moo

то в сечении х радиус трубки будет

г(х) = г(*0)ехр

/

2Иоо

Из условия сохранения циркуляции скорости вдоль кругового сечения трубки следует

Vx2o(x,r) = Vx2(i(XQ’r) +

/

fxloOo ,r) + r

dvm

dr

где

1 дф?

Х)Л =-----^-=^т20(>'>*) + г;'т21О>*)(е.5 -0-я) + ....

г 50

Последние две формулы полностью описывают изменение окружной составляющей скорости, обусловленное наличием ненулевой радиальной компоненты.

3. Численный метод. Для расчета процесса сворачивания вихревой пелены в следе за крылом решается задача Коши для уравнения (1.7), используя панельный метод первого порядка. Непрерывная вихревая пелена в процессе дискретизации разбивалась на стыкующиеся друг с другом прямолинейные отрезки — панели. На каждой панели плотность циркуляции вихревой пелены считалась постоянной по длине панели. Для обеспечения необходимой аппроксимации криволинейной вихревой пелены с помощью ломаной линии, длины панелей в процессе расчета находились под постоянным контролем. В случае превышения длиной какой-либо из панелей заданной части локального радиуса кривизны вихревой пелены (обычно 10 — 20%) применялась процедура редискретизации. Превысившая допустимую длину вихревая панель заменялась двумя панелями. Для аппроксимации внутренних витков свернутой вихревой пелены использовалась хорошо зарекомендовавшая себя модель ядра «вихрь — разрез», состоящая из дискретного вихря и математического разреза, соединяющего вихрь со свободным концом вихревой пелены [8]. При превышении заданного числа витков вихревой пелены находящиеся на ее свободном конце панели сбрасывались на ядро с выполнением интегрального условия отсутствия силы, действующей на систему вихрь — разрез. В центре каждой из панелей в процессе расчета вычислялись индуцированные вихревой пеленой скорости. Скорости в концах панелей вычислялись как полусумма скоростей в центрах соседних панелей. Для расчета перемещения концов панелей по времени использовалась процедура интегрирования второго порядка точности — модифицированный метод Эйлера. Для устранения высокочастотной неустойчивости вихревой пелены и подавления возмущений, вносимых процедурой редискретизации, на каждом шаге использовалась специально разработанная процедура регуляризации формы вихревой пелены.

4. Результаты расчетов. В качестве модельной задачи для подтверждения полученных теоретических результатов использовалась классическая задача о сворачивании первоначально прямолинейной вихревой пелены, сходящей с крыла с эллиптическим распределением циркуляции по размаху. Единицы измерения длины и времени были выбраны так, что полуразмах крыла и скорость набегающего потока равны единице. Суммарная циркуляция на полуразмахе крыла для рассмотренного ниже расчета также была выбрана равной единице. Использовалось косинусоидальное разбиение на панели.

иэ£& . исследования за-результатов ..от максимальной панели, шага по и количества ' в расчете

' вШкоа Опирали были про-,ведены специальные расче-тЙЯ^Щ&Шймальная длина '"ЫйШг" И максимальный ,;5Ц||РЧЙР бремени были вы-брёШУ"условия обеспечен#^ ^заданной точности На рис. 1 приведен^’ ‘ расчетные конфигурации вихревых пелен с разным количеством уделываемых витков спирали в сечении * = 1,0. Данный рисунок демонстрирует хорошую сходимость результатов по числу витков пелены. ‘ 1 'м:

Расчет характеристик вихревой пелены производился на расстоянии гс (х) от ядра пелены, равном расстоянию от ядра гтёлёпы до ее свободного конца. Окружная скорость вычислялась по значению циркуляции ядра

пелены, а продольная ско-0>6П п______________________------------ рость — как среднее ариф-

метическое по 36 точкам, равномерно расположенным на окружности г = гс (х). На рис. 2 приведена зависимость гс (х) при расчете с удерживанием одного и двух витков вихревой пелены. На рис. 3 приведена зависимость

оТ1о(Г)'-

Функция /(х) определена с точностью до константы. Поэтому на рис. 4 представлена зависимость /(х) ~ /(*<>> • Выбор величины *0 достаточно произволен, в данном расчете эта величина была связана с расстоянием выхода численной аппроксимации ре-

0,40-

«о

0,00

1 виток “2 витка

0,00

5,00

10,00

Рис. 2

18,00

20,00

Для исследования зависимости результатов расчета от максимальной длины панели, шага по времени и количества удерживаемых в расчете витков спирали были проведены специальные расчеты. Максимальная длина панели и максимальный шаг по времени были выбраны из условия обеспечения заданной точности расчетов. На рис. 1 приведены расчетные конфигурации вихревых пелен с разным количеством удерживаемых витков спирали в сечении х = 1,0. Данный рисунок демонстрирует хорошую сходимость результатов по числу витков пелены.

Расчет характеристик вихревой пелены производился на расстоянии гс (х) от ядра пелены, равном расстоянию от ядра пелены до ее свободного конца. Окружная скорость вычислялась по значению циркуляции ядра

пелены, а продольная скорость — как среднее арифметическое по 36 точкам, равномерно расположенным на окружности г-гс{х). На рис. 2 приведена зависимость гс{х) при расчете с удерживанием одного и двух витков вихревой пелены. На рис. 3 приведена зависимость

'»т10(.г)-

Функция /(х) определена с точностью до константы. Поэтому на рис. 4 представлена зависимость /(х)-/(хо). Выбор величины Х0 достаточно произволен, в данном расчете эта величина была связана с расстоянием выхода численной аппроксимации ре-

Рис. 2

3,00

‘'ПО

2,00

1,00

0,00

1 НИТО! 1

0.00

0,20

0,40

0,60

Рис. 3

0,06

0,04

0,02

0,09

1 В1П ——2 кип «к хм

0,00

<1,00

5,00

10,00

Рис. 4 ю,«о

15,м

15,00

20,00

20,00

0,0200

0,0000

-6,0200

-0,0400 Цоа'/г - <1,0600

шения на режим ядра с развитой спиральной структурой. Как видно, функция /действительно слабо зависит от числа витков вихревой пелены (т. е. от радиуса) и зависит только от х. На рис. 5 приведена зависимость вычисленной по предложенной методике величины уг20 I г в зависимости от продольной координаты х.

5. Обсуждение результатов. Важным ре-

зультатом работы являются формулы (2.4) — (2.8), которые устанавливают ряд

новых свойств течения в ядре вихревой пелены. Следствием формулы (2.4) является возможность представления возмущенной продольной компоненты скорости М| в виде трех слагаемых, одно из которых зависит только от г, второе — только от х, а третье, представляющее разрывную часть скорости, затухает обратно пропорционально х. Этот результат справедлив для любых течений и подтвержден численными расчетами для примера, рассмотренного выше. Следует обратить внимание на сингулярное поведение всех кривых на рис. 2 — 4 при х -> 0. Этот факт является общим для всех

течений, но вид сингулярности зависит от конкретной задачи. Для рас-

смотренного выше примера расчета сворачивания вихревой пелены с эллиптическим распределением циркуляции при х = 0 вид сингулярности может быть найден явно. Действительно, при х 0 размеры свернувшейся части вихревой пелены малы по сравнению с размерами всей пелены, поэтому в области вихревой спирали имеет место автомодельная задача Ка-дена [9]. Тогда потенциал течения и компоненты скорости можно представить в виде:

( 1 ангок

2 ЯЬкЬл к А

1

Рис. 5

ф = иоодс + х1/3ф1(л,0), Ц Г

2/3

Ут = х

2/3«Г(л,0Х

“1/3»т1 (л)-

Из сопоставления формул (5.1) и (2.4) для продольной компоненты скорости можно получить представление для функции М|0 :

и10 =х /3

Гт ^

3-с2+... л

J

х

'3

В (5.2) знаки Cj > 0 и С2 > 0 выбраны в соответствии с результатами расчетов.

Аналогичный результат для автомодельной задачи (5.1) был получен в работе [3]. Однако величина С2 в ней была равна нулю. Разница двух задач заключается в следующем. Задача, рассмотренная в работе [3], является автомодельной во всей области течения, а задача, рассмотренная в данной работе, является асимптотически автомодельной при х -» 0 только в окрестности ядра вихревой пелены. Таким образом, изменение осевой скорости вдоль оси х связано с влиянием глобального течения на локальную область автомодельности течения.

В заключение следует отметить, что если мы следим за продольной компонентой скорости течения при г = const, то при достаточно малых х продольная компонента щ становится отрицательной. Этот факт находит экспериментальное подтверждение, когда в ряде случаев в следе за крылом отмечалось и < исл .

Работа выполнена при поддержке Международного научно-технического центра (МНТЦ, грант N 201 — 95) в рамках проекта «Исследование эволюции вихревого следа и безопасность полета».

ЛИТЕРАТУРА

1. М a n g 1 е г К. W., Weber J. The flow field near the centre of a rolled-up vortex sheet // J. of Fluid Mechanics. — 1967. V. 30. Part 1.

2. G u i r a u d J. P., Z e у t о u n i a n R. A. Double-scale investigation of the asymptotic structure of rolled-up vortex sheets // J. of Fluid Mechanics. — 1977.

V. 79. Part 7.

3. Гайфуллин А. М. Течение идеальной жидкости в ядре вихревой пелены // Ученые Записки ЦАГИ. — 1985. Т. XVI, N 6.

4. Lamar F., Paraschivoiu 1. Efficient panel method for vortex sheet roll-up // J. Aircraft. — 1992. V. 29, N 1.

5. Воеводин А. В., Гайфуллин А. М., Захаров С. Б., Судаг ков Г. Г. Зональный метод расчета следа за летательным аппаратом. — В сб. Исследование эволюции вихревого следа за самолетом и безопасность полета //

Труды ЦАГИ. — 1996. Вып. 2622.

6. Gaifullin А. М., Soudakov G. G. Aircraft vortex wake dynamics. —-1996 World Aviation Congress // AIAA Paper. — 1996, N 965547.

7. Batchelor G. K, Axial flow in trailing vortices // J. of Fluid Mechanics. — 1964. V. 20. Part 4.

8. Smith J. H. B. Improved calculations of leading-edge separation from slender delta Wings // Proc. Roy. Soc. London Ser. A. — 1968. V. 306.

9. К a d e n H. Aufwiklung einer unstabilen Unstetigkeitsflache // Ingenieur-Archiv. —1931. V.2.N2.

Рукопись поступила 1/1V1998 г.