Об отклонении гармонических почти-периодических функций от их значений на границе

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 4, С. 80-85

УДК 517.512

ОБ ОТКЛОНЕНИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ОТ ИХ ЗНАЧЕНИЙ НА ГРАНИЦЕ

Ю. X. Хасанов

В работе установлен ряд утверждений, которые позволяют оценить меру отклонений гармонической почти-периодической функции от их граничных значений. В качестве граничных значений рассматриваются равномерные почти-периодические функции, а как характеристики свойств граничных функций — модули непрерывности.

Ключевые слова: почти-периодическая функция, гармоническая функция, граничные значения, модуль непрерывности.

Напомним, что непрерывная на всей действительной оси функция f (x) называется равномерной почти-периодической, если для каждого е > 0 можно указать такое положительное число l = 1(е), что в каждом интервале длины l найдется хотя бы одно число т, для которого выполняется неравенство

|f (x + т) — f (x)| < е (—то < x < то).

Пространство равномерных почти-периодических функций, его обозначим через В, есть замыкание множества тригонометрических полиномов

n

T(x) = eiXkX, ak G C, Ak, x G R, n G N k= 1

по норме

X

Основные сведения о функциях из пространства B можно найти в [1] или [2]. f

A + ^ Ak cos Akx + Bk sin Akx.

k

Покажем, что существует гармоническая и непрерывная для а ^ 0 функция U(x,a), совпадающая с f (x) при а = 0 с нормой

X

© 2015 Хасанов Ю. X.

Рассмотрим функцию, представимую интегралом Пуассона

со

u(x,c)=l- j ma, + lt_x)2it «г>0).

п J a2 + (t - ж)2

—с

Непосредственно проверяется, что функция

п(ж, а) =

а2 + (Ь - ж)2

при фиксированном Ь и а > 0 является гармонической. Действительно,

ди _ (¿-ж)2-<т2 д2и _ 2<т3 -6<т(£-ж)2

~ [а2 + ^-ж)2]2' а^2 ~ [а2 + — ж)2]3 '

ди _ 2<т(г-х) д2и _ -2<т3 + 6<т(£-ж)2

¿?ж ~ [а2 + ^-ж)2]2' ^ ~ [а2 + ^ - ж)2]3 '

Отсюда

д2и д2и да2 дх2 '

т. е. функция и(х,(т) = а2+{1_ху2 удовлетворяет уравнению Лапласа. Следовательно, она является гармонической, поэтому и(х, а) также гармоническая функция.

Теперь покажем, что при а > 0 и и (ж, а) по переменной х является почти-

а>0

Ь — ж = аи получим

со

Ц{х,а)=1- //

п } 1 + и2

—с

Если т есть е -почти-период функции и (ж, а), то в силу определения равномерных почти-периодических функций, имеем

со

1 [ Шх + аи + т) - ¡(х + аи)\

\U(x + т,<т) — U(x, сг)| = ^ J

п J 1 + u2

—с

со

£ [ du £

^ - / Tl-2 = _7Г = £>

п J 1 + u2 п

—с

что и доказывает почти-периодичность функции U(ж, a).

Далее, мы должны показать, что U(ж, a) ^ f (ж) при a ^ 0. С этой целью построим ряд Фурье функции U(ж, a). Если обозначить через

T

Mx{U(x, a) cos Аж} = lim — / U(x, a) cos Аж dx т^с 2T J

—T

среднее значение функции U(ж, a) cos Аж, то имеем

со

1 du

Mx{U(x, a) cos Аж} = — / -^Мж{/(ж + а и) cos Аж}

п J 1 + u2

со

1 / cos Aaudu,^

- / 2 Mx{f(x) cos Аж} = Mx{f(x) cos Аж}ехр(—|A|a).

п J 1 + u

Аналогично

со

1 С sin Aau du

Mx{U(x, a) sin Аж} = — / -к—Mx{f(x) sin Аж} = Mx{f(x) sin Аж}ехр(—I Ala).

n J 1 + и2

—с

Поэтому

U(x, a) ~ A + ^(Ak cos Akx + Bksin Akx) exp(—Aka). k

Из последнего ряда и представления (1) следует, что при a ^ 0 и U(x, a) ^ f (x), притом x

f

сс

g{x) = L //(» + ')-/(»)д,

П J t

—с

которая [3] при условии

1

J t—Vf; t) dt< то

о

будет функцией непрерывной на всей вещественной оси, где a>

x

1

J f

о

то g(x) будет также равномерной почти-периодической функцией. Кроме того, функция V(x, a) (a > 0), сопряженная к гармонической функции U(x,a), при выполнении условия (3) будет также равномерной почти-периодической с рядом Фурье

^(Bk cos Ak x + Ak sin Akx) exp(—Ak a). k

Пусть f (x) G B. За меру отклонения функции U(x, a) от ее граничных значений f (x) примем величину

A(f; a)B = ||U (x,a) — f (x)||b .

Отметим, прежде всего, некоторые свойства величины A(f; a)B-

Лемма. Если U(x, a) гармоническая функция и имеет своими граничными значениями функцию f (x) G B, то

A

A

n

< Неравенство (5) является следствием (4). Для доказательства свойства (4) воспользуемся очевидным тождеством

те

11(х, (71 + <Т2) - и(х, (71) = — I {II ( X + СГ2) - /(ж + ¿)},0(71 9 (Й,

^^ Г2 + а2

справедливым для любой гармонической функции и (ж, а). Применяя обобщенное неравенство Минковского, получим

те

П У Г2 + а2

—те

или

те

Д(/,<71+<72)в < + ^ I \\и(х + г,а2) - Лх + Щв

п у Г2 + а 2

—те

Из последнего неравенства вытекает (4). >

Теперь приведем ряд утверждений, которые обеспечивают возможность оценивать поведение величины Д(/, а)в в зависимости от свойств их граничных значений / (ж) £ В. В качестве характеристики свойств граничных функций рассматриваются модули непрерывности.

/

лив а оценка

¿(Мв^Са 1 +

0

где о>к(/; Г) — модуль непрерывности порядка к, а константа С не зависит от а.

< В работе [4] установлено, что всякая гармоническая функция и (а, ж) представима интегралом Пуассона

те

и(х,<т) = - I + 9<И (<7>0).

п ] г2 + а2

—те

Поэтому, как показано в [5] (см. [5, с. 97]), имеем

к

Д(/; а)в =

те

В

где /(ж) £ В.

Применяя неравенство Минковского и разбивая правую часть полученного неравенства на три слагаемых, находим

те / а 1 те\

Д(.Мв ^Ц= М/ + / + /

0 \0 а 1 /

1 те

а 1

Так как функция /

; а)в = О(а).

Третье слагаемое /3 ^ 0 при а ^ 0, кроме того, интеграл в третьем слагаемом сходится, т. е. является конечным числом. Из оценок для величин /1, /2, /3 получаем утверждения теоремы 1.

При /(ж) £ Ьр (1 ^ р < то) результаты аналогичного характера получены в работе [5]. В качестве характеристики свойств граничных функций рассмотрены наилучшие приближения целыми функциями экспоненциального типа.

/

полнены условия (2) и (3). Тогда

а 1

шк

А(д,а)в^С а + | М + а / ^

Доказательство этой теоремы основывается на том же приеме, что и в доказательстве теоремы 1, нужно лишь вместо функции /

заменить на V(ж, а).

Теорема 3. Если гармоническая в верхней полуплоскости функция и (ж, а) равномерно по а (а > 0) удовлетворяет условию

а почти-периодическая функция /(ж) (|/(ж)| ^ К) — ее граничные значения в равномерной метрике, то

"2

< В силу теоремы Лагранжа для любого а > 0 имеем

и (ж, а) - и (ж, 2а) = аиа (ж, а + 0а) (0 <0 = 0(ж, а) < 1).

Поскольку функция и (ж, г) в верхней полуплоскости также будет гармонической и ограниченной в полуплоскости г > а, то применяя к ней принцип максимума для гармонических и ограниченных функций получим

х а

Поэтому в силу неравенства для производных от гармонических функций [1], имеем

где К — константа, не зависящая от функции /(ж) £ В и а > 0. Оценим вторую разность /(ж) а

|/(ж) - 2/(ж + а) + / (ж + 2а)| < |/(ж) - и (ж, 3а) | + 2|/(ж + а) - и (ж + а, 3а) | +|/(ж + 2а) - и (ж + 2а, 3а)| + |и (ж, 3а) + и (ж + 2а, 3а) - 2и (ж + а, 3а)|

< 4Д(/; 3а)в +

а а

^01 У ихх(ж + 01 + 02,3а) ^02

в

х

и

ляется гармонической. Следовательно, в силу (7) получим

; а)в < Ci Д(/; 3а)в + a2 sup (ж, 3a)| < C2Д(/; 3а)в + Д(/; а)в + Д(/; 2а)в.

x

Отсюда, если в последнем неравенстве использовать свойство (7), получаем

; а)в < СзД(/; а)в. >

В работе [3, с. 275] установлена оценка снизу величины о>&(/(r); h)Lp, имеющая при любом 1 ^ p ^ то вид

>С

\ / Lp

где (/)lp — наилучшее приближение функции /(ж) посредством целых функций степени не выше a в заданной метрике lp(-to, то).

Из (6) с помощью оценки (8) при r = 0 k = 2 для функции /(ж) G B и a > 0 легко можно установить, что

A(/)b < CД(/; a)B.

В заключение отметим, что теоремы 1 и 2 ранее приведены автором без доказательства в работе [6].

Литература

1. Левитан В. М. Почти-периодические функции.—M.-JL: Гостехиздат, 1947.

2. Вор Г. Почти периодические функции.—М.: Книжный дом «Либроком», 2009.

3. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного.—М.: Физматгиз, 1960.

4. Hill Е., Tamarkin I. On the absolute integrability of Fourier transforms // Fundam. Math.—1935.— Vol. 25.—P. 329-352.

5. Тиман M. Ф. Приближение функций, з fXjiduн ны х Hä всей вещественной оси J целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика.—1969.—№2.—С. 89-101.

6. Хасанов К). X. Об отклонении гармонических почти-периодических функций от их значений на границе // Матер. 17-й междунар. Саратовской зимней школы, посвящ. 150-летию со дня рождения В. А. Стеклова «Современные проблемы теории функций и их приложений».—Саратов, 2014.—С. 282-285.

Статья поступила 5 апреля 2015 г.

Хасанов Юсуфали Хасанович

Российско-Таджикский (славянский) университет, профессор кафедры информатики и информационных систем ТАДЖИКИСТАН, 734025, Душанбе, ул. М. Турсунзода, д. 30 E-mail: yukhas60@mail.ru

ON DEVIATION OF HARMONIC ALMOST PERIODIC FUNCTIONS FROM THEIR BOUNDARY VALUES

Khasanov Yu. Kh.

Some estimates of a measure of displacements of harmonic almost periodic functions from their boundary values are obtained. Uniform almost periodic functions are considered as boundary functions and the estimates are stated in terms of modulus of continuity.

Key words: almost periodic function, harmonic function, boundary values, modulus of continuity.