Об u-совершенных отображениях

3. Conclusion

Based on the statistical analysis of stable and long-lived isotopes can be given to the following conclusions:

1. Using the idea of clustering deuterons showed the periodicity of the structure of atomic nuclei. This periodicity is observed in a horizontally of the periodic table of chemical elements and at the vertically transition from one period to next one but in vertical transition the number of neutrons which connect clusters increases 2-4 units.

2. It offers a possible physical explanation of radioactivity as a result of the surplus or deficit of neutrons in relation to clusters.

3. Showed isotopes of island of stability based on nuclear periodicity.

«Properties of atomic nucleus are in periodical dependence on deuteron clusters quantitatively equal to nucleus charge and number of neutrons which bond these clusters into unified structure». All substances surrounding consist of hydrogen in one or another form. Acknowledgements

The author would like to express his gratitude to his colleagues who have worked for the development of both experimental and theoretical ideas contained in this review.

References

1. IAEA Nuclear Data Services, LiveChart of Nuclides. [Electronic resource]. Access mode: https://www-nds.iaea. org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML. html.

2. Pfennig Brian Principles of Inorganic Chemistry. Wiley, 2015. P. 109.

3. Van den Broek, Antonius The number of possible elements and Mendeleeffs «cubic» periodic system // Nature, 1911. Vol. 87. P. 78.

4. Brown Andrew The Neutron and the Bomb: A Biography of Sir James Chadwick. Oxford University Press, 1997. P. 43-50.

5. Jensen William B. Mendeleev on the Periodic Law: Selected Writings, 1869-1905. Mineola, New York: Dover Publications, 2005, 320 p.

6. Fricke Burkhard. «Superheavy elements: a prediction of their chemical and physical properties». Recent Impact of Physics on Inorganic Chemistry 21, 1975, P. 93.

7. Royal Society of Chemistry [Electronic resource]. Access mode: http://www.rsc.org/chemistryworld/podc ast/Interactive_Periodic_Table_Transcripts/element114. asp.

On u-perfect mappings Chanbaeva A. Об u-совершенных отображениях Чанбаева А. И.

Чанбаева Айгуль Издибаевна / Chanbaeva Aigul — соискатель, кафедра алгебры, геометрии и топологии, факультет математики, информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в статье получены внутренняя и категорийная характеристики COZ — непрерывных отображений в терминах декартовых квадратов.

Abstract: in this paper the inner and categorical characterizations of COZ — continuous mappings have been obtained in pull-back terms.

Ключевые слова: COZ — отображение, COZ — совершенное отображение, категория, ультрафильтр.

Keywords: COZ — mapping, COZ — perfect mapping, category, ultrafilter.

Основные свойства равномерной топологии взяты из книг [1], [12], [4]. Каждое равномерное пространство обозначим через uX, где X - тихоновское пространство и U - равномерность в терминах равномерных покрытий [1], [12]. Обозначим через U(uX)(U (uX)) - множество всех

(ограниченных) равномерно непрерывных функций на uX и Z = {f (0): f e U(uX)}, т.к. min {| f | ,1¡eU * (uX) для любой f e U (uX), то Z = Z \ = {g-1 (0) : g e U * (uX)}.

Максимальные центрированные системы элементов Zu называются zu —ультрафильтрами. В [10] отображение f : uX —> vY называется COZ — отображением, если f *(Zu ) С Zu , r\CZu) eCZU, где CZ, ={Y/Z : Z e Z,¡ и CZU ={X\Z :Z e Zu¡. В работе [5] доказано, что для таких равномерно непрерывных функций h : uX — I = [0,1], i = 1,2, что h^ 1 (0) í h1 (0) = 0 функция f : uX —> I, заданная по правилу

f (x) = h (x) / (h (x) + h (x)) , X e X , является COZ — отображением, не являющимся, вообще говоря, равномерно непрерывным. Такие coz — отображения f : uX —> I называются u — функциями [5]. В работах [2], [6] определены и установлены важные свойства coz — замкнутых отображений, а в [6], [7] введены coz — совершенные отображения.

Определение 1. Отображение f : uX —> vY называется coz — совершенным если:

1) f coz — замкнуто [2], [6]; 2) f компактно, т.е. f *(y) - компакт в X для любой точки y e Y .

Теорема 2. Равномерное пространство uX компактно тогда и только тогда, когда каждый zu —ультрафильтр сходится в uX.

Доказательство. Если равномерное пространство uX бикомпактно, то все ультрафильтры сходятся в нем [4], в частности, сходятся все zM — ультрафильтры.

С другой стороны, пусть F - произвольная центрированная система замкнутых множеств в равномерном пространстве uX . Поскольку Zu - база замкнутых множеств на uX , то для любого F e F найдется такое семейство С Z , что F = . Семейство ^ = {<^р : F e F} С Zu центрировано. Пусть p^ - такой zM —ультрафильтр, что С p^. Тогда íp% = {x} для некоторой точкиЛ"£^Г и {х} = ГЛр^ d d r\F , т.е. C^iF Ф 0 . Итак, равномерное

пространство llX компактно.

Известно, что Франклин [9] и Херлих [11] установили характеристику совершенных отображений посредством Стоун-Чеховской компактификации в категории Tych - тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Борубаев А. А. [1] установил характеристику равномерно совершенных отображений посредством Самюэлевской компактификации в категории Unif - равномерных пространств и их равномерно непрерывных отображений.

Обозначим через ZUnif - категорию, объектами которой являются равномерные пространства, а морфизмами - coz непрерывные отображения. В этой категории в терминах декартовых квадратов с помощью компактификации ß X [3], [8] равномерного пространства uX ниже охарактеризованы u совершенные отображения равномерных пространств.

Теорема 3. Пусть uX и vY - равномерные пространства. Тогда для coz — отображения f : uX —> vY следующие условия равносильны:

(1) f является coz — совершенным.

(2) Если p - Zu —ультрафильтр на uX и предфильтр f (p) — {f(Z) : Z G p} сходятся к точке y gY , то p сходится к точке X G f 1(y).

(3) Для отображения расширения Pu f : PuX —> PY нарост ¡3 X \ X переходит в нарост PVY\Y, т.е. Puf (PuX\X) с PYY\ Y.

uX ——— P X

^ u

vY ——— PvY

является декартовым в категории ZUnif.

Доказательство. (1) ^ (2) . Пусть отображение f u — совершенно и p - такой Z — ультрафильтр на uX, что предфильтр f (p) сходится к точке y G Y . Совокупность всех равномерно замкнутых множеств Q G Z, являющихся окрестностями точки У, образует Zv — ультрафильтр q на равномерном пространстве vY . Отображение f : uX —> vY является COZ — отображением, значит f 1 (Q) G p для любого Q G q. Ясно, что f *(y) — o{f 1(Q) : Q G q} — f 1(oq). Если ZM —ультрафильтр p сходится, то он сходится к некоторой точке f 1 (y) прообраза. Предположим, что Z — ультрафильтр p не сходится. Тогда для любой точки X G f ( y) найдется такое К G C Z и Z G Z, что

i/ / x u X u J

X gVx С [КС Z и Z Й p [5]. Семейство {К : X G f *(y)} является открытым покрытием компакта f *(y) . Пусть{Кх : i —1,2,...,n} - конечное подпокрытие. Тогда

n n n

UZ Й p, К — иКх G CZ , отсюда X\К G Z . Так как X \КUUZ. — X , тогда i —1 i —1 i i—1

X \ К G p . Тогда f (X \ К) замкнуто и f (X \ К) G f (p) . Множество Y \ f (X \ К) -открытая в окрестность точки y . Поэтому найдется такое Q G q ,что y G Q С Y \ f (X \ К) . Тогда Q'n f (X \ К) — 0, значит f *(Q') О X \ К — 0 . Противоречие. Так как f -\Q') G p и X \ К G p.

(2) ^ (1). Пусть ^ - произвольная центрированная система замкнутых множеств в f 1(y) . В силу замкнутости

f (y) в X система £ состоит из замкнутых множеств в X . Z - база замкнутых множеств равномерного пространства uX [5], следовательно, для любой K G ^ найдется Т]к С Z такое, что K — OjK . Семейство j — : K G ^ } центрировано и j С Z . Пусть p - такой Z —ультрафильтр, что ТС p . Тогда предфильтр f (p) сходится к точке y и в силу (2), p сходится к некоторой точке X G f 1(y) . По построению Оp — С OZ С ^ Ф 0 . Следовательно, f 1(y) - компакт.

Покажем замкнутость отображения f. Пусть F с X, F замкнуто в X и y G [ f (F)]7 . Пусть ](y) = {Q G Z : Q - окрестность y } и

T = ]( y) n[f (F)] = {Q A [f (F)]: Q G Z (y)}. Положим £ = {F o f A): A G^}. Ясно, что £ - предфильтр на [ f (F)]r, а £ - предфильтр на F . Так как A С f (F) , то f (F О f *(A)) = A для всех A G Z . Значит f = T] . Пусть p - такой Za — ультрафильтр на ^X , что f _1(A) G p для всех A G Z . Тогда f (p) 3] и Оf (p) СО] = {y} , т.е. предфильтр f (p) сходится к точке y . Тогда, в силу (2) , Zu -ультрафильтр p сходится к некоторой точке x из X . Так как f *(A) G p, то x G f *(A) для любого A G Z, т.е. x G f _1(y) и x G [F]x = F . Следовательно, y = f (x) G f(F), т.е. [f (F)]7 С f (F) и множество f (F) замкнуто.

(2) ^ (3). Пусть x G PuX \ X - произвольная точка. Тогда существует единственный Z — ультрафильтр p на uX такой, что {x} = o{[Z~]рХ : Z G p}. Для отображения расширения Ри f : РиX — PvY равенство Pu f ([Z]^x) = [ f (Z)]^7выполнено для любого Z G p . Тогда Pu f (x) = o{[ f (Z)]^x : Z G p} = {y} для некоторой точки y G PvY . Предположим, что y G Y . Тогда предфильтр f (p) = {f (Z) : Z G p} сходится к y и по условию теоремы Z — ультрафильтр p сходится к некоторой точке x' G f 1 (y). Очевидно, что {x'} = o{[Z]рх: Z G p}, т.е. x = x'. Противоречие. Итак, y = f (x) G ¡5vY \ Y.

(3) ^ (2). Пусть p - произвольный Z — ультрафильтр на uX и предфильтр f (p) = {f (Z) : Z G p} сходится к точке y G Y . По свойству (4) теоремы 2.4. [3] имеем

{x} = o{[Z ]

X : Z G p} G PuX и точка x еДИнственна, тогда Puf ([Z]PX ) = [f (Z )]д Y для любого Z G p и pj(x) = pj(o{[ZX : Z G p}) = o{[f(Z)]PY : Z G p} = y, т.е. x G (Puf) :(y) . Так как Puf (PuX \ X) С PvY \ Y . Это означает, что x G X.

(3) => (4). Предположим, что для некоторого объекта wZ категорииZUnif определены h : wZ —> РиХ и g : wZ —»vY - такие COZ — отображения, чтоPuf °h=ir °g . Так как QT ° g)(Z) содержится в PvY и Puf{¡)uX \ X) d PVY \ Y , следовательно h(Z) d X . Определим отображение hh : wZ —> uX по правилу h'(z) = h(z) для любого Z G Z . Таким образом, квадрат декартов.

(4) ^ (3) Пусть x G Pu X и P X(x) = y G Y. Положим Z = {x} и определим отображения h : wZ —> Pu X по правилу h(x) = x, и g : wZ —> vY по правилу g(x) = y = Pu f (x) G Y , где w - тривиальная равномерность на Z = {x} . Тогда Puf °h=ÍY ° g- Существует такое COZ — отображение ¡í''. wZ —> uX , что h=ix ° h'. Таким образом, X G X, т.е. pj(PuX \X)d PVY \Y .

Литература

1. БорубаевА. А. Равномерная топология. Бишкек: Илим, 2013. 336 с.

2. Чекеев А. А., Чанбаева А. И. О замкнутых и совершенных отображениях равномерных пространств. // Наука и новые технологии, вып. 4, Бишкек, 2014. С. 3-6.

3. Чекеев А. А. Бикомпактификация Волмэновского типа равномерных пространств и ее приложения // Вестник КНУ, вып. 2, 2015. С. 1-22.

4. ЭнгелькингР. Общая топология. Москва: Мир, 1986. 752 с.

5. Charalambous M. G. A new covering dimension functions for uniform spaces // J. London Math. Soc, 11, 1975, P. 137-143.

6. Chekeev A. A., Kasymova T. J., Chanbaeva A. I. On closed mappings of uniform spaces // TWMS J. PAM, vol. 6, No. 1, 2015, P. 78-83.

7. Chekeev A. A., Chanbaeva A. I. On u-perfect mappings // Abstracts of the Issyk-Kul International Mathematical Forum / ed. by Acad. A. Borubaev. - Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, 2015. P. 16.

8. Chekeev A. A. Uniformities for Wallman compactifications and realcompactifications // Tology Appl., 2016, V. 201. P. 145-156.

9. Franklin S. P. Topics in categorical topology // Class Notes, Carnegie-Mellon University. 1970. 38 p.

10. FrolikZ. A note on metric-fine spaces, Proc. Amer. Math. Soc., V. 46, n. 1, 1974. P. 111-119.

11. Herrlich H. Categorical topology // General Topology and Applications, vol. 1, 1971, P. 1-15.

12. Isbell J. R. Uniform spaces. Providence, 1964. 175 p.