Математическая модель развития разряда в высокочастотном озонаторе

Математическая модель развития разряда в высокочастотном озонаторе

Амирханов А.Ш.

Уфимский государственный институт сервиса

При работе многостержневого высокочастотного (до 20 кГц) озонатора (рис. 1) наблюдается малоизученное явление - бегущий барьерный разряд. При подаче напряжения на высоковольтные электроды, вокруг них появляются области фиолетового свечения, в которых начинаются интенсивные ионизационные процессы и создается большое число лавин, продвигающихся по направлению к диэлектрическому барьеру. Объем области занятой разрядом растет с ростом приложенного напряжения, границей этой области является поверхность, с напряженностью электрического поля равной напряженности пробоя воздуха. В момент, когда напряжение на высоковольтных электродах достигает напряжения пробоя промежутка, происходит пробой газового промежутка по многолавинно-стримерному механизму. Область, занятая разрядом, ограничена поверхностью, напряженность поля на которой, равна напряженности пробоя применяемого газа. Такую поверхность будем называть изотензионной поверхностью (от анг. tension) [1]. Внутри этой области находится неравновесная ионизированная плазма, обладающая хорошей проводимостью. Известно, что на границе проводящей среды потенциал одинаков во всех точках, следовательно, поверхность такой области является эквипотенциальной поверхностью. Таким образом, предполагается, что в процессе развития разряда образуются изотензионные поверхности, которые преобразуются в эквипотенциальные. Такой процесс в работе [1] предложено называть бегущим барьерным разрядом.

1 .. 2 .3 4

D1

D2

Рис. 1. Схема разрядного блока многостержневого

высокочастотного озонатора:

1 - пространство внутри трубки;

2 - диэлектрическая трубка толщиной А;

3 - один из высоковольтных электродов, ВВЭ;

4 - низковольтный электрод, НВЭ;

Б1 - внутренний диаметр диэлектрической трубки;

Б2- диаметральное расстояние между осевыми линиями высоковольтных электродов.

Основные допущения.

Для того, чтобы описать качественные и количественные процессы в высокочастотном озонаторе в процессе развития бегущего барьерного разряда, создана представленная ниже математическая модель. Модель создается с целью ее использования в расчетах с применением ЭВМ. Основным параметром, подлежащим моделированию, выбрана напряженность в разрядном промежутке. При этом определению подлежат координаты изотензионных поверхностей вокруг высоковольтных электродов в моменты времени, соответствующие определенному значению напряжения на электродах.

При создании математической модели рассматривалось электростатическое поле разрядной трубки в отдельные моменты времени. Основная задача расчета электрического поля заключается в определении напряженности поля во всех его точках по заданным зарядам или потенциалам тел. Ниже приведено обоснование данного метода моделирования.

Задачу расчета можно существенно упростить, если все величины, характеризующие поле, будут зависеть только от двух координат. Такому условию удовлетворяет поле системы из нескольких бесконечно длинных параллельных друг другу цилиндрических проводов с зарядами, равномерно распределенными по их длине. Направим ось 02 параллельно оси цилиндра. Тогда все линии напряженности поля будут лежать в плоскостях параллельных плоскости ХОУ. Принимая это условие, будем рассчитывать поле в поперечном сечении озонатора.

Рассмотрим граничные условия на поверхностях радела низковольтного электрода с диэлектрическим барьером и на границе раздела воздушного промежутка и внутренней поверхностью диэлектрической трубки. Известно, что поверхности проводников есть поверхности равного электрического потенциала, и линии напряженности поля в диэлектрическом барьере нормальны к ним. Внутри диэлектрического барьера силовые линии преломляются на незначительный угол ввиду малой толщины диэлектрика. Определим угол наклона силовых линий к внутренней поверхности диэлектрического барьера в воздухе. Угол а1 (рис.2) между силовой линией в воздухе и перпендикуляром к границе определяется из соотношения

tgаl _ 81

2 8 2

Где 8 = 1 диэлектрическая проницаемость воздуха, 82=(8+10) - диэлектрическая проницаемость барьера; а2 -угол преломления силовой линии внутри диэлектрического барьера. Отсюда а=(ат^ а2)/(8+10). Вполне допустимо, что силовая линия, проходящая

о

через тонкий слой диэлектрика, преломляется на угол а2=10+12 , следовательно угол

о

преломления при выходе силовой линии из диэлектрика а=1+2 .

ввэ

Рис.2. Преломление силовых линий в разряднике озонатора

Из чего можно допустить, что силовая линия практически перпендикулярна внутренней поверхности диэлектрика в любой точке на границе диэлектрика с газовым

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1 7 1 8 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/1152.pdf

промежутком. То есть, внутреннюю поверхность трубки можно считать эквипотенциальной [2]. С учетом этого поле внутри диэлектрической трубки в каждый отдельный момент времени можно рассматривать как электростатическое поле.

Таким образом, при создании математической модели бегущего барьерного разряда рассматривалось плоскопараллельное электростатическое поле для дискретных моментов времени.

Вывод формул для определения напряженности в озонаторе

Воспользуемся методом зеркальных отображений. Метод применим в случае любого количества заряженных проводников расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду. Каждый высоковольтный электрод с линейной плотностью заряда стержня т имеет зеркально отображенный относительно линии нулевого потенциала электрод -т На рис. 3 показана система, в которой низковольтный электрод замещен отображенными электродами.

Найдем координаты электрода, отображенного от одного высоковольтного электрода. Для всех других электродов координаты отображенного электрода определяются аналогично.

Потенциал на расстоянии г от точки а определяется как:

Ф =

2пе 0

-1ПГ ,

где г есть расстояние от оси с линейной плотностью заряда т, до точки, в которой определяется потенциал ф . В случае нахождения в пространстве двух осей с зарядами равными по модулю и с разными знаками потенциал в точке а определяется как

т 1 -т, фг1 =-1ПГ, +--1ПГ2 =

2пв

2пв

т -ьД.

2пв

Где Г} и /'-> соответственно расстояния от первой и второй оси до расчетной точки.

У д

Рис.3. Схема для определения координат отраженного электрода. /-.электрическая ось изотензионной кривой, 2- электрическая ось отраженного электрода, а- расчетная точка на поверхности барьера, Я - внутренний радиус трубки;

г1, г2 - расстояния от первой и второй оси до расчетной точки.

т

г

2

На рис. 3 показана схема для определения координат отраженного электрода. Пусть внутри эквипотенциальной цилиндрической поверхности радиуса Я имеется ось с

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1 7 1 9

электрическим зарядом т, на расстоянии г 1 от Потенциал в точке Ь определяется как

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/1152.pdf

эквипотенциальной поверхности.

т — т т — г

Фь = 2- 1п(2Я — Г1) + 2-т- 1п(2Я + г2) = 1п——^. 2тсе 2тсе 2ле 2— + г2

Так как точки а и Ь лежат на эквипотенциальной поверхности, то фа = фЬ. Откуда получается равенство:

2ns

-ln — = —-— ln

т 2R - Г

Следовательно:

r2 2ns 2R + r2

r1 _ 2R - r1

r2 2R + r2

После упрощения найдем расстояние от центра координат до отраженного электрода

R = г + R =

R2

R - r

R1

(1).

Таким образом, зная расстояние от электрода до внутренней поверхности диэлектрической трубки и ее радиус, можно определить геометрическое место отраженного электрода. Это уравнение становится первым из уравнений математической модели.

А

O

Рис. 4. Расчет напряженности в произвольной точке а, создаваемой стержнем к: Я1 - расстояние (радиус) от центра координат до кго стержня;

АгК0 - единичный радиус-вектор; Агк - расстояние от стержня до точки а; г - расстояние от центра координат до точки а; Е к - вектор напряженности в точке а.

Далее, для того чтобы определить вектор напряженности и значение потенциала в произвольной точке a озонатора, воспользуемся методом наложения. Метод сводится к определению вышеописанных величин для каждого из N стержней и последующего их суммирования.

Определим значение вектора напряженности в произвольной точке а, созданного стержнями в разрядной трубке озонатора, и равное геометрической сумме векторов от каждого из стержней. Поэтому, сначала произведем расчет для одного стержня (рис. 4).

В соответствии с выбранным методом, находим величину А гк - расстояние от

стержня до точки а. Для этого определяем проекции вектора r на координатные оси:

x = r • cos а;

г

y = r • sin а.

Тогда проекции Агк на координатные оси будут равны

л

Аг = x - R • cos—k ;

N

л та • 2п,

Аг = y - R • sin—k .

^ N

Следовательно,

АГк ^АГкХ +АГкУ

= лIХ2 -2Rxcos2nk + R2cos2^N" + +y2 -2R ysin^2^k + R2cos2:Nk

N

N

N

1

r2 + R2 - 2R r cosí k-al .

Значение вектора напряженности Ек в точке а от одного стержня к определяется следующим образом:

т

E к =

2^8 о Агк

• АГО

где т - линейная плотность заряда; Атк - единичный радиус-вектор; s0 -

диэлектрическая постоянная.

Модуль вектора напряженности от стержня к :

E = д /Е Х + E У

к у к Х ку

где ЕКх и ЕКу - проекции вектора на оси абсцисс и ординат.

Проекции вектора напряженности Ек стержня к на оси абсцисс и ординат:

Екх = Ек • cos a x

™ 2п, х - Rcos—k т т N

х - Rcos—k

N у

2nS О Ак

Аг..

2nS0 Агк

2 J

у - Rsin —k т т N

Е = Е • cos a =-ку к у 2п80Агк Аг,

' R • 2п Л

у - Rsin—k

N J

2nS 0 Агк

После подстановки формул (4) и (5) в (3) модуль вектора напряженности равен

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

1 7 2 1

Шр://2Ьигпа1.аре.ге1агп.ги/агНС1е8/2002/1152^£

Ек =

1

г V т

V 2п^о у

х — кевз—к _

Аг2

+

2

т

V 2п"£'о у

*

у — * 81П — к __

А

т

2Ж£п

л2

+

л2

Как было сказано ранее, поле создается несколькими зарядами, и напряженность поля Е в точке а равна геометрической сумме напряженностей от каждого из зарядов в отдельности, включая и заряды зеркально отображенных стержней. Другими словами, при расчете электростатического поля применяем метод наложения:

£

К=1

где Е - суммарный вектор напряженности от N стержней в произвольной точке. а; Ек и

Ек - векторы напряженности от стержней внутри разрядного блока и от зеркально отображенных стержней.

Результирующий вектор напряженности в произвольной точке а может быть получен путем геометрического сложения всех векторов. Для N стержней получается 2N векторов напряженности, проходящих через точку а.

Величину напряженности для любого количества стержней N можно вычислить после подстановки формулы

Ех =

2пе,

"I

0 к=1

X — — СОБ

2пк N

X — Я1СОБ

2пк N

+ I у — —1 8ш|

2пк N

X — Я2СОБ

2пк N

X — — СОБ

2пк N

+ 1 у — Я2Бт|

2пк N

;

Т N

Е =—I

2л:ь0 к=1

у — — БШ

2пк

X — — СОБ

2пк^ V Г

N

у — — бш

2пк

2пк

2пк^ V Г

N

N

;

у

Уравнения общего вида (8) и (9) можно использовать для вычисления напряженности в произвольной точке озонатора при заданном количестве стержней. При этом очевидно, что громоздкость и сложность вычислений увеличиваются с ростом количества стержней.

2

т

2

2

2

2

2

2

+

+

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1 722 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/1152.pdf

Таким образом, используя метод зеркальных отображений, рассчитываем плоскопараллельное электростатическое поле озонатора. Используя уравнения (1), (7), (8), (9) возможно построение изотензионных линий. Задавшись какой либо точкой в озонаторе и вычислив напряженность в этой точке, можно построить изотензионную линию, проходящую через эту точку. Изотензионные кривые в плоскопараллельном поле озонатора представляют собой замкнутые кривые равной напряженности, расположенные вокруг высоковольтных электродов.

В результате предварительных расчетов выяснилось, что формой этих кривых являются окружности, с центром, смещенным от ВВЭ в сторону низковольтного электрода. С удалением от стержня увеличивается степень искажения этой окружности, так что на максимальном удалении от стержня (возле низковольтного электрода) изотензионная кривая уже является сложной кривой, состоящей из дуг различного радиуса кривизны. Искажение формы кривой связано с тем, что с увеличением напряжения на электродах, усиливается влияние поля соседних электродов. Выяснилось, что уравнений (8) и (9) недостаточно для создания модели, учитывающей динамику развития разряда - изменение координат электрической оси изотензионной окружности.

Методика моделирования бегущего барьерного разряда

Ввиду того, что электрическое взаимодействие друг с другом заряженных тел является задачей достаточной сложной для прямого решения, было принято решение заменять окружности изотензионных линий координатами центров этих окружностей. В начале разряда определяем координаты центра изотензионной окружности и принимаем эту точку за координаты электрической оси высоковольтного электрода. Следующий шаг расчета будет учитывать новое положение электрической оси ВВЭ (и так далее). В дальнейшем, при развитии разряда изотензионная кривая начинает изменять свое почти идеальное круглое сечение (рис.

5).

Теперь изотензионная линия имеет два основных радиуса кривизны: во фронтальной части и в тыльной. Центр кривизны фронтальной части используется для определения координат отраженного электрода, а координаты центра кривизны тыльной части определяют взаимодействие с остальными высоковольтными электродами (рис. 6).

Рис. 6. К вопросу определения координат центра изотензионной кривой

Для того чтобы определять координаты центра изотензионной кривой было использовался математический аппарат дифференциальной геометрии [2]. Центр кривизны кривой С, соответствующий точке Р] лежит на нормали к С, проведенной точке Р]. Координаты центра кривизны равны:

dy

Xk = X1 - Ml

dx

1 +

dx

д 2y /(^ )1

dx

Ук = У1 +

1+("dyy)2

dx

д2у dx

все производные вычисляются при х=х].

Радиус кривизны рк кривой С в точке Р] равен обратной величине кривизны к кривой С в точке Р]. Кривизну можно определить как предел отношения угла поворота касательной к длине соответствующей дуги М кривой С, при стремлении М к нулю. Тогда:

р к = к=

+(|)!

2

d у

V&2 ,

При помощи уравнений (10) вычисляем координаты центра кривизны изотензионной кривой в нескольких ее точках. В результате многочисленных расчетов модели при помощи системы Maple V R4, было решено выбирать эти точки по

2

3

1

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1 724 Ьйр://2Ьшпа1.аре.ге1агп.ги/аг11с1еБ/2002/1152.ра£

следующему принципу: для определения координат отраженного электрода используем фронтальную часть кривой (рис. 6); при расчете координат центра взаимодействия с соседними электродами используется средняя и тыльная части изотензионной кривой. Координаты расчетных точек находим решив уравнение Епр =Е(х,у) относительно у, при х = х1, где Епр есть напряженность пробоя воздуха. Для полученных координат центра кривизны изотензионной кривой находим среднее значение, которое и будет новым центром высоковольтного электрода при осуществлении следующего шага расчета (координаты отраженного электрода соответственно изменятся и их необходимо пересчитать). На следующем шаге напряжение на электродах озонатора возрастает, и мы ищем координаты новой изотензионной кривой с Е = Епр.

Для того, чтобы наглядно определить, насколько точно участок изотензионной линии совпадает с окружность можно воспользоваться двумя способами. Первый способ -графический. На изображение замкнутой изотензионной кривой накладываем окружность такого же радиуса и визуально оцениваем разницу. Второй способ заключается в следующем. При помощи формулы ар=Ар/рср определяем относительное расхождение рассчитанных радиусов ар и, если ее значение не превышает 5%, продолжаем расчет. В противном случае уменьшаем шаг между двумя изотензионными кривыми.

Заключение

Просуммировав все вышесказанное можем заключить, что математическая модель бегущего барьерного разряда представляет собой применение следующих уравнений:

— = г2 + Я =

—

Я — г

—2 —1

(1);

Е,

= - /Е 2 + Е 2

У к X ку

(3);

Е= Ек • соб а„ =

X — ясоб—к т N _

2пе 0 АгК

/

Агк

2п

л

X — ясоб—к

V N у

2п8 0 Агк/

(4);

т

Е = Е • соб а =

ку к у 2пе 0 Агк

Е = £

К=1

у — Ябш — к т N _

О • 2п у — яб1п—к

N у

Агк

2п8 0 Агк

(5);

(7);

Е„ =

I

2п80 к=1

Т "

Е =

у ^

2 0 к=1

X — Я1 СОБ

2пк N

_ . 2пкI — . (2тск^2

X — —1 соб| - II +1 у — —1 Б1п

N

у — К, Б1п| -

1 V N

N

X — — СОБ

2пк ^

у — — б1п

• (2пк^

N

X — — СОБ

2пк N

К I 2пкI — . (2тск^2

N

у — — Б1п| -

2 V N

N

(8);

(

X — — СОБ

2пк ^

у — Я2 б1п

• (2пк^

N

у

(9);

т

т

2

2

2

2

+

+

dy

xk = x1 -

dx

1+(f)2

dx

d 2y /( ^

dx

Ук = У1 + (10);

1+(

dx

d 2y /( ^

dx

р к = к=

+(I)'

dx2

(11),

в строгом соответствии с последовательностью вычислительных операций (алгоритмом), описанной в последнем разделе статьи. Использование данной модели при создании компьютерной имитационной модели бегущего барьерного разряда в системе Maple VR4, позволило рассчитать отношения между геометрическими размерами в высокочастотном озонаторе, при которых наиболее полно используется внутренний объем озонатора.

3

1

Литература

1 Дунаев С. А. Высокочастотный парарезонансный полупроводниковый озонатор. Кандидатская диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук. Уфа, 2000.

2 Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных сотрудников и инженеров. М., 1974 г., 832 стр, с илл.