Об одной нестандартной задаче сопряжения для эллиптических уравнений

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2016. Том 23, № 3

УДК 517.95

ОБ ОДНОЙ НЕСТАНДАРТНОЙ ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ А. И. Кожанов, С. В. Потапова

Аннотация. Исследована разрешимость в классах регулярных решений одной задачи сопряжения для эллиптических уравнений с нестандартными граничными условиями и условиями сопряжения на плоскости х = 0. Область, в которой рассматривается задача сопряжения, является параллелепипедом Q. На нижней границе Q условие задается для самой функции в области, где х > 0, и для ее частной производной по Ь в области, где х < 0, а при переходе через плоскость х = 0 эти условия «перекручиваются» и на верхней границе Q условие для самой функции уже задается в области, где х < 0, а для ее частной производной по Ь — в области, где х > 0. Путем сочетания метода регуляризации и метода продолжения по параметру доказаны теоремы единственности и существования регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений этой задачи сопряжения.

Ключевые слова: задача сопряжения, регулярное решение, условия склеивания (сопряжения), эллиптическое уравнение, разрывные граничные условия.

1. Введение

Одним из методов исследования разрешимости краевых задач для параболических уравнений является метод эллиптической регуляризации [1,2]. Если при этом само параболическое уравнение имеет некоторые особенности, в частности, является уравнением с меняющимся направлением эволюции [3-8], то возникающая при эллиптической регуляризации краевая задача при наличии условий склеивания (сопряжения) окажется нестандартной и ранее неизученной. Именно такая ситуация будет рассмотрена в настоящей работе и, как представляется авторам, полученный результат имеет самостоятельное значение.

Приведем постановку задачи. Пусть Q — параллелепипед (-1,1) х (0,Т) х (0, А), 0 < Т, А < +оо, /(ж, Ь, а) — заданная при (ж, Ь, а) £ (3 функция, а и /3 — заданные действительные числа. Обозначим

Q+ = {(х, г, а) : (ж, г, а) е Q, х > 0},

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 15—01—06582), работа второго автора выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках базовой части государственного задания (проект № 3047).

© 2016 Кожанов А. И., Потапова С. В.

Ц = {(х,г, а) : (х,г) е Ц,х< 0}, Цх = Ц+ и Ц-.

Краевая задача. Найти функцию п(х,г,а), являющуюся на множестве решением уравнения

Ап = /

и такую, что для нее выполняются граничные условия

п

п(х, Т, а) = щ(х, 0, а) = 0, (х, а) е (-1, 0) х (0, А);

щ(х, Т, а) = п(х, 0, а) = 0, (х, а) е (0,1) х (0, А);

п

а также условия сопряжения

п(+0, г, а) = ап(-0, г, а), (г, а) е (0, Т) х (0, А);

Пх(-0, г, а) = Рпх(+0, г, а), (г, а) е (0, Т) х (0, А).

Отметим, что граничные условия (3) являются разрывными и «перекрученными», т. е., например, на нижней границе параллелепипеда Ц при г = 0 условие задается для самой функции п(х, г, а) в области, где х > 0, и для ее производной щ(х,г, а) — в области, где х < 0, а при переходе через плоскость х = 0 эти условия «перекручиваются» (меняются местами) и на верхней границе параллелепипеда Ц при г = Т условие для самой функции п(х,г,а) уже задается в области, где х < 0, а для ее производной щ(х,г, а) — в области, где х > 0. Такие условия встречаются в задачах Жевре, например, для параболических уравнений с меняющимся направлением времени [3-8], для некоторых других неклассических уравнений отметим работы [6, 9-12].

2. Разрешимость краевой задачи

Пусть У0 — линейное пространство

Уо = {у(х,г,а) : V е W2(Q+), V е ^22(Ц-)}

с нормой

Очевидно, что У0 с такой нормой является банаховым пространством.

Теорема 1. Пусть выполняется условие

ав > 0.

Тогда краевая задача (1)-(5) имеет в пространстве Уо не более одного решения п(х, г, а).

Доказательство. Пусть п(х,г,а) — решение краевой задачи (1)-(5) такое, что п(х,г,а) е Уо, и пусть в уравнении (1) выполняется /(х,г) = 0. Если

а = 0, то из первого условия (5), условий (2)—(4) и однородного уравнения (1) вытекает, что и(ж, у, 4) = 0 в Но тогда условие (5) преобразуется к виду и(+0,у,4) = их(—0,у,4) = 0. Эти условия, условия (2)—(4) и однородное уравнение (1) дают тождество и(ж,4, а) = 0 в Q-. Таким образом, и(ж, 4, а) = 0 в

Если в = 0, то аналогично можно показать, что решение и(ж,4, а) краевой задачи (1)—(5) единственно в УО.

Пусть теперь а, в = 0. Уравнение (1) умножим на функцию и(ж, 4, а), проинтегрируем по цилиндру затем умножим на функцию 7и(х,Ь,а), 7 = проинтегрируем по Q+ и сложим. Получим равенство

/к + ^ + + 7/ К2 + ^ + ^

Я+

Т А

+ J У [—иж(—0,4, а)и( —0,4, а) + 7Их(+0, 4, а)и(+0,4, а)] ¿¿¿а = 0. (7) о о

Вследствие условия (6) число 7 положительно. Далее, условия сопряжения (5) дают равенство

т А

[их(—0, 4, а)и(—0, 4, а) — 7«.х(+0, 4, а)и(+0,4, а)] ¿¿¿а = 0. оо

Тогда из равенства (7) и условий (2)—(4) следует, что функция и(ж,4, а) тождественно равна нулю в Q1. Это означает, что решение краевой задачи (1)—(5) единственно в УО. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются условие (6) и условия

/

/(ж, 4, 0) = /(ж, 4, А) = 0, (ж, 4) е (—1,1) х (0,Т).

Тогда краевая задача (1)—(5) имеет решение и(ж, 4, а), принадлежащее пространству Уо.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(ж, 4, а), являющуюся в Q1 решением уравнения

£

и такую, что для нее выполняются условия

иаа

Пусть Ух — линейное пространство

Ух = х,г,а) : V е Уо^ххЫЫ е ¿2(Ц+), Vxxaaaa е Ь2(Ц+),

vxxtttt е Ь2(Ц-) , vxxaaaa е Ь2(Ц-)}

с нормой

=

я+ я-

Покажем, что регуляризованная краевая задача (9), (2)-(5), (10), (11) при фиксированном е разрешима в пространстве Ух для любой функции /(х,г, а) е

Ь2(Ц).

Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию п(х,г,а) являющуюся в Цх решением уравнения (9) и такую, что выполняются условия (2)-(4), (10), (11), а также

п(+0, г, а) = Лап(-0,г,а), (г, а) е (0,Т) х (0, А);

Пх

Пусть Л — множество тех чисел Л из отрезка [0,1], для которых краевая задача (9), (2)-(4), (10)-(12) при фиксированном е имеет решение, принадлежащее пространству Ух. Если множество Л непусто, открыто и замкнуто, то оно совпадает со всем отрезком [0,1] (см. [13]).

Множество Л непусто, так как при Л =0 краевая задача распадается на две независимые задачи в подобластях Ц+ и Ц-, разрешимость которых в классах регулярных решений известна (см. [14]).

Для доказательства открытости и замкнутости множества Л достаточно показать, что для всевозможных решений п(х,г,а) е Ух краевой задачи (9), (2)-(4), (10)-(12) имеет место равномерная по Л априорная оценка

Покажем, что искомая оценка действительно имеет место. Пусть а = 0. Уравнение (9) умножим на функцию пхх(х,г, а), проинтегрируем по цилиндру Ц-, уравнение (9) умножим на функцию 7ихх(х,Ь, а), 7 = проинтегрируем по цилиндру Ц+ и сложим. При выполнении условий (2)-(4), (10)-(12) получим равенство

е / «хи + ^ + е/ + ^

Я- Я+

+ /

я- Я+

= J /пхх ¿Ц- + У /пхх .

Отметим, что согласно условию (6) число 7 положительно. Применив неравенство Юнга к правой части (14), получим первую оценку:

6 / ^х« + ^ ^ + £ / ^ + ^ ^ < ,

я- я+

где С > 0 определяется числами а, в.

Чтобы получить оценки для производных высокого порядка, определим функции г(ж, 4, а) и г>(ж, 4, а):

г(ж, 4, а) = и(ж, 4, а) — Ав(1 + ж)иХ(+0,4, а), (ж, 4, а) е Q-;

+

г>(ж, 4, а) = и(ж, 4, а) — Аа(1 — ж)и(—0, 4, а), (ж, 4, а) е Q+.

Заметим, что функция и(ж, 4, а) однозначно вычисляется через функции г(ж, 4, а) и «(ж, 4, а):

Ав

и(х, а) = г(х, а) + --т^—— [г>х(+0, а) — Ааг(—0, Ь, а)1, ;

1 + А2ав

Аа(1 — ж) +

и(х, а) = у(х, а) Н--——— \гх{ —0, а) + Х/Зух(+0, а)1, (ж, а) £ (5+;

1 + А2 ав

кроме того, выполняются равенства

г

г (ж, 4, 0) = га(ж, 4, А) = гаа(ж,4, 0) = гааа(ж, 0,А) = 0, (ж, 4, а) е Q-;

«(1,4,а) = «(+0,4,а) = 0,

«

«(ж, 4, 0) = -иа(ж, 4, А) = «аа(ж, 4, 0) = «ааа(ж, 0, А) = 0, (ж, 4, а) е Q+.

Уравнение (9) преобразуется в следующие уравнения для функций г(ж,4, а) и г>(ж, 4, а):

е

1 + А2ав

— 0, 4, а) + «хаа

Аа

е{уххЫЫ + уххаааа) + А-у = /

1 + А2ав

+ *«

Уравнения (20), (21) вместе с условиями (18), (19) дают краевую задачу для функций г(ж,4, а) и г>(ж,4, а), эквивалентную вследствие взаимно однозначной связи (16), (17) задаче (9), (2)-(4), (10)-(12). Поэтому вначале установим открытость и замкнутость множества Л на семействе задач (20), (21), (18), (19),

а из этого будет следовать открытость и замкнутость множества Л для семейства задач (9), (2)-(4), (10)—(12). Отметим, что для решений г(х,г, а) и v(x,t, а) в силу их взаимно однозначной связи (16), (17) сохранится оценка (15).

Уравнение (20) умножим на функцию [гххии(х, г, а) + zxxaaaa(x,t, а)], проинтегрируем по Ц-, уравнение (21) умножим на \иххии(х,г,а) + vxxaaaa(x,t, а)], проинтегрируем по Ц+ и сложим. При выполнении граничных условий (18), (19) получим равенство

е J (гххЫЫ + 2zxxttaa + zxxaaaa) + е J (Vxxtttt + 2vxxttaa + Vxxaaaa) ¿Ц+

я- я+

+ /

я-

+ / «„ + + ^ + ^ + 4х„ +

я+

С [

I / ^ххЫЫ + zxxaaaa]

/ -\2—о [^«

я- я-

+ Vxaa(+0, г, а) - ЛаZaa(-0, г, а)] ^ ^хх,Ш + Zxxaaaa] ¿Ц

/Р ^Ла

/ [vxxtttt + ^хх**** + / --гт—— [Л/Зг)хи

я+ я+

+ ЛвVxaa( + 0,t, а) + Zaa(-0,t,a)]^[Vxxtttt + Vxxaaaa] ¿Ц+. (22) Правую часть (22) оценим с помощью неравенства Юнга и неравенств

т А

о о я+

Т А

J ! ф2(-0,г,а) <И<1а < ^У Фх(х,г,а) ¿Ц-, о о я-

где с — некоторая положительная константа. Тогда в правой части получившегося неравенства будут интегралы от функций vXxtt(x,t, а), zXxtt(x,t,a), ^2ххаа(х, г, а), zXxaa(x, г, а), для которых, как отмечалось выше, справедлива оценка (15) в силу взаимно однозначной связи (16), (17). Тем самым получим априорную оценку

е / х,Ш + +zXxaaaJ + е / + я- я+

+ У ^2хи + Z2xxaa) ¿Ц- + | ^ + V2xxaa) ¿Ц+ < С2 || / Ц^ ),

я- я+

где положительное число С2 определяется числами е, а, в, С.

Из этой оценки следует равномерная по параметру Л оценка (13) для решения краевой задачи (20), (21), (18), (19) при фиксированном е. Следовательно, краевая задача (9), (2)—(5), (10), (11) (Л = 1) в силу взаимно однозначной связи (16), (17) при фиксированном е также имеет решение и(х, I, а), принадлежащее пространству У1 для любой функции /(х,1,а) € Ь2((1).

Покажем, что для семейства решений {ие(х,1, а)} краевой задачи (9), (2)-(5), (10), (11) имеет место априорная оценка, равномерная по е и такая, что с ее помощью можно будет организовать процедуру предельного перехода.

Для этого повторим действия, с помощью которых получено равенство (22), т. е. уравнение (9) умножим на функцию {иеххии(х,г, а) + иеххаааа(х,г, а)], проинтегрируем по затем умножим на 7[иеххии(х, Ь, а)+иеххаааа(х, Ь, а)], 7 = проинтегрируем по (+ и сложим. При выполнении условий (2)-(5), (10), (11) получим равенство (22), где в правой части будут лишь интегралы от функций /{иехх«« + иеххаааа] в соответствующих подобластях Я+, . В этих интегралах выполним дважды интегрирование по частям по переменным 4 и а соответственно, затем применим неравенство Юнга. Тогда при выполнении условий (8) получим

е I ^и2ххЫЫ + и2ххаааа) + е J

я- я+

+ / (^ + ^аа) -Г + / «- + и2ххаа) -Я+

я- я+

< Сз/Ц^Я!) + \\/аа\\12{я1)),

в котором число С3 > 0 определяется только числами а, в. Из этой оценки следует априорная оценка

\Ы\2У1 < М

Из оценки (25) и свойства рефлексивности пространства Ь2 следует, что существуют последовательность {еп} положительных чисел и функция и(х, I, а) такие, что при п ^ ж выполняется

еп ^ 0, и€п

слабо в пространстве Ь2(().

Очевидно, что предельная функция и(ж, у, 4) принадлежит пространству У0, для нее в областях Q+ и Q- выполнены уравнение (1), а также краевые условия (2)-(4) и условия сопряжения (5). Другими словами, функция и(ж, у, 4) дает решение краевой задачи (1)-(5) из требуемого класса. Теорема доказана.

3. Замечания

1. Теоремы 1 и 2 также справедливы, например, для квазиэллиптических уравнений

а2т7

ии + (-1)т+1—+ихх = /(х,г,а), т> 2, с граничными условиями (2), (3), (5) и условиями

t, а)

t, а)

a=0 dak

0, (x,t) G (-1,1)x(0, T), k = 0,..., m—1.

2. Вместо симметричного интервала (—1, 1) переменной ж можно рассмотреть произвольный интервал (а, 6).

A

а

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Мат. сб. 1965. Т. 67. № 4. С. 609-642.

2. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. М.: ВИНИТИ, 1971.

3. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique //J. Math. Appl. 1913. V. 9, №. 6. P. 305-478.

4. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.

5. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

6. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

7. Кислов Н. В., Пулькин И. С. О существовании и единственности слабого решения задачи Жевре с обобщенными условиями склейки // Вестн. МЭИ. 2002. № 6. С. 88-92.

8. Петрушко И. М., Черных Е. В. О параболических уравнениях 2-го порядка с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ. № 6. 2003. C. 85-93.

9. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979.

10. Pyatkov S. G., Popov S., Antipin V. I. On solvability of boundary value problem for kinetic operator-differential equations // Integral Equ. Operator Theory, 2014. V. 80, No. 4, P. 557580.

11. Антипин В. И. Разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 2. С. 245-257.

12. Potapova S. V. Boundary value problems for pseudohyperbolic equations with a variable time direction // TWMS J. Pure Appl. Math. 2012. V. 3, N 1. P. 75-91.

13. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

14. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

Статья поступила 28 августа 2016 г. Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,

пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090;

Новосибирский гос. университет,

ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090

kozhanov@math.пбо.ги

Потапова Саргылана Викторовна

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Научно-исследовательский институт математики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 б а^ур@ 1пЪох. ги

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2016. Том 23, № 3

UDC 517.95

ON A NON-STANDARD CONJUGATION PROBLEM FOR ELLIPTIC EQUATIONS A. I. Kozhanov and S. V. Potapova

Abstract. We investigate the regular solvability of the conjugation problem for elliptic equations with non-standard boundary conditions and sewing conditions on the plane x = 0. Let Q be a parallelepiped. On the bottom of Q we give a boundary condition for u(x,t,a) in the part where x > 0 and for ut (x,t,a) in the part where x < 0. On the plane x = 0 these conditions "intertwist", so on the top of Q we give a boundary condition for u(x,t,a) in the part where x < 0 and for ut (x,t, a) in the part where x > 0. Combining the regularization method and natural parameter continuation, we prove the uniqueness and existence theorems for regular solutions of this non-standard conjugation problem.

Ключевые слова: conjugation problem, regular solution, sewing condition, elliptic equation, discontinuous boundary conditions.

REFERENCES

1. Dubinskii Yu. A. "Weak convergence for nonlinear elliptic and parabolic equations," Mat. Sb., 67, No. 4, 609-642 (1965).

2. Oleinik O. A. and Radkevic E. V. " Second order equations with nonnegative characteristic form," Itogi Nauki, Ser. Mat., Mat. Anal. 1969, 7-252 (1971).

3. Gevrey M. "Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique," J. Math. Appl. 9, No. 6, 305-478 (1913).

4. Larkin N., Novikov B., and Yanenko N., Non-linear mixed type equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1983).

5. Tersenov S. A., The parabolic equations with changing time direction [in Russian], Inst. Math., Novosibirsk (1985).

6. Egorov I. E., Pyatkov S. G., and Popov S. V., Nonclassical operator-differential equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2000).

7. Kislov N. V. and Pulkin I. S. "On existence and uniqueness of a week solution to Gevrey problem with generalized sewing conditions," Vestn. MEI, No. 6, 88-92 (2002).

8. Petrushko I. M. and Chernykh E. V. "About parabolic equations of second order with changing time direction," Vestn. MEI, № 6, 85-93 (2003).

9. Djuraev T. D., Boundary value problems for equations of mixed and mixed-compound type [in Russian], FAN, Tashkent (1986).

10. Pyatkov S. G., Popov S. V., and Antipin V. I. "On solvability of boundary value problem for kinetic operator-differential equations," Integral Equ. Operator Theory, 80, No. 4, 557-580 (2014).

11. Antipin V. I., "Solvability of a boundary value problem for operator-differential equations of mixed type", Sib. Math. J., 54, No. 2, 185-195 (2013);

12. Potapova S. V. "Boundary value problems for pseudohyperbolic equations with a variable time direction," TWMS J. Pure Appl. Math., 3, No. 1, 75-91 (2012).

13. Trenogin V. A., Functional analysis [in Russian], Nauka, Moscow (1993).

© 2016 A. I.Kozhanov and S. V. Potapova

14. Yakubov S. Ya., Linear differential-operator equations and their applications [in Russian], Elm, Baku (1985).

Submitted August 28, 2016

Aleksandr Ivanovich Kozhanov Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia; Novosibirsk State University, 2 Pirogov Street, 2, Novosibirsk 630090, Russia kozhanov@math.nsc.ru

Sargylana Viktorovna Potapova M. K. Ammosov Nord-Eastern Federal University, Research Institute of Mathematic, Kulakovskogo st., 48, Yakutsk 677000, Russia sargyp@inbox.ru