О дифракционной глубине фокуса на схематических моделях глаза

УДК 004.922, 004.932 А.М. Ковалев

КТИ НП СО РАН, Новосибирск

О ДИФРАКЦИОННОЙ ГЛУБИНЕ ФОКУСА НА СХЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ГЛАЗА

Рассмотрено распределение интенсивности вдоль зрительной оси глаза. Определены вероятные механизмы аккомодации глаза. Даны оценки глубины фокусной области и предельной частоты квантования пространства по глубине для мультифокальных дисплеев.

A.M. Kovalev

Technological Design Institute of Scientific Instrument Engineering

Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, ul. Russkaya 41, Novosibirsk, 630058 Russia

ON DIFFRACTIVE DEPTH-OF-FOCUS IN SCHEMATIC EYE MODELS

The distribution of intensity along the visual axis of the eye is considered. The probable accommodation mechanisms are defined. The estimations of the depth-of-field, as well as limiting quantization frequencies of the depth-of-space for multi-focal displays are made.

Развитие трехмерного кино и телевидения, а также компьютерных систем объемной визуализации связано с использованием свойств бинокулярного зрения и стереопсиса. Надо заметить, что современные средства стереовидения имеют один существенный недостаток. Для левого и правого глаза поставляются разные изображения, но лежат они на одной и той же плоскости. Отсутствие стимулов аккомодации и различной дефокусировки предметов на разных расстояниях ухудшает когнитивные способности восприятия. Увеличиваются погрешности в оценке размеров и удаленности предметов. Между аккомодацией и конвергенцией возникает конфликт, который усиливается на малых расстояниях. Появляется визуальный дискомфорт, утомление глаз, головная боль и т. д.

Начиная с 2000 г. прорабатывается идея построения мультифокальных стереодисплеев, содержащих множество планов-изображений (от 2 до 100), которые заполняют некий объем пространства (от 0.5 до 2 дптр) [1 -6]. Несмотря на большое число разработок, до сих пор отсутствует теоретическое обоснование выбора расстояний между планами, учитывающее физиологическую оптику глаза, а также психофизику аккомодации и визуального дискомфорта. В данной работе на основе Фурье-оптики и схематических моделей глаза определяется дифракционная глубина фокуса, глубина фокусной области глаза и предельная частота квантования пространства по глубине, позволяющая наблюдателю восстановить объемное изображение без визуального дискомфорта.

Используется три схематические модели глаза: 1) модель Гульстранда-Легранда с асферикой роговицы по Лотмару (1971) [7]; 2) модель Эскудеро-Санс и Наварро (1999) [8]; и 3) модель Давида Атчисона (2006) [8]. Модель Лотмара имеет одну асферическую поверхность и пригодна для работы в

монохроматическом свете. В других моделях все поверхности асферические и определены хроматические дисперсии всех показателей преломления. В модели Атчисона применяется градиентное изменение показателя преломления хрусталика, как по радиусу, так и по толщине. В монохроматическом свете модель Лотмара имеет наибольшие суммарные аберрации (сферические, кому, высшего порядка), а модель Атчисона - наименьшие [8]. Величина аберраций зависит от диаметра а входного зрачка и уменьшается практически до нуля при а=2-3 мм.

Важнейшим элементом глаза является сетчатка [9]. У человека сетчатка имеет форму пластинки толщиной ~250 мкм и состоит из трех слоев тел нервных клеток. Слой клеток на задней поверхности содержит фоторецепторные элементы: палочки и колбочки, которые являются

оптическими световодами и определяют дирекционный эффект Стайлса-Крауфорда (1933). Суть эффекта в том, что свет, проходящий вблизи центра зрачка, имеет больший визуальный отклик, чем свет, проходящий через периферийную зону зрачка. Эффект Стайлса-Крауфорда легко учитывается путем гауссовой аподизации входного зрачка глаза с помощью функции

f

_л

где ре = 0.115 мм - психофизическая константа, эквивалентная р10 ~ 0.05

Расчет распределений

интенсивности вдоль зрительной оси на основе Фурье-оптики выполнен с помощью программы оптического конструирования ZEMAX-EE фирмы Focus Software, Inc. На рис. 1 показаны такие распределения для модели Лотмара при следующих ограничениях: 1) длина волны Х=550 нм, что соответствует самому низкому порогу спектральной

чувствительности для фотопического (колбочкового, цветового) зрения; 2) диаметр аподизированного зрачка изменяется от 2 до 6 мм; 3) оптимизация фокусного расстояния (аккомодация) выполняется в соответствии с критерием минимума вариации волнового фронта, или максимума отношения Штреля S=exp(-k2a2), где k=2n/X, a - стандартное отклонение волнового фронта. Рассмотрим два случая: 1) а=2-3 мм, когда глаз почти не имеет аберраций; и 2) а >3 мм, когда с увеличением аберраций пиковая интенсивность PI (рис. 1) падает и удаляется от хрусталика.

В первом случае при круглом зрачке, униформном освещении и отсутствии аберраций волнового фронта аксиальная интенсивность в выходном зрачке может быть записана как

ГФО

Смещение фокуса, мкм

Рис. 1

I = Io sinc2

где Wd - дефокусировка, или оптическая разность хода в длинах волн [11]. Связь реального смещения фокуса 5 с Wd следующая: 5=8Wd nf2/^2, где 5 -смещение в мкм, n = 1.336 - показатель преломления стекловидного тела глаза, f - переднее фокусное расстояние в мм. В диоптрийной мере смещение фокуса

А = 5/nf2 = 8Wd/a2 дптр

л

При Wd=X отрезок А0=8Х/а можно назвать глубиной фокусной области (ГФО) глаза без аберраций (см. рис.1). Согласно первому правилу лорда Релея этот отрезок определяет две различимые наблюдателем вдоль оси световые точки и период наибольшей пространственной частоты по глубине.

Второе правило Релея (четверти волны) определяет дифракционную глубину фокуса (ДГФ). При Wd=±X/4 из (3) AD=±2X/a2, а ДГФ=2|А0|=4Х/о2. Таким

Л

образом, ГФО=2ДГФ. Подставим Wd=X/4 в (2) и получим I=I0sinc (п/4)=0.81 I0. Это означает, что на границах ДГФ интенсивность уменьшается на 19%, а изображение точки остается практически «эйриподобным».

Модель Лотмара дифракционно-ограничена при зрачках а<3.5 мм. При больших зрачках пиковая интенсивность PI падает ниже 81% и удаляется от фокуса, определенного по минимуму стандартного отклонения волнового фронта Gmin. В 1986 г. Филлип Петерсон и Джозеф Джири теоретически и экспериментально показали, что пиковая интенсивность PI при любых аберрациях определяет местоположение лучшей плоскости изображений [12]. Лучшей в том смысле, что в этой плоскости изображение световой точки (например, звезды) подобно пятну рассеяния Эйри. Как найти эту плоскость?

Возможны два варианта. Во-первых, для оптимизации фокусного расстояния (аккомодации) в ZEMAX можно использовать оператор концентрации энергии DENF - Diffraction encircled energy (fraction). Этот оператор вычисляет долю энергии дифракционного пятна в кружке заданного радиуса rf. В нашем случае, rf =0.5 мкм при нулевом отклонении центра кружка от оси. Глобальный максимум DENF соответствует пику интенсивности PI.

Во-вторых, можно использовать пространственно-частотный принцип. Заметим, что психофизики нашли в зрительной системе дискретные, независимые нейроны (или каналы), каждый из которых «настроен» на определенный, но ограниченный интервал пространственных частот, чувствительность к которому у него максимальна. Найдено 6 каналов с основными частотами: 0.75, 1.5, 2.8, 4.4, 8 и 16 цикл/градус [13]. Ширина канала 1.5-2 октавы, т.е. каналы перекрываются. Следовательно, можно сказать, что, в известном смысле, на определенном уровне зрительной системы выполняется Фурье-преобразование пространственных частот, содержащихся в визуальном стимуле, или определяются компоненты Фурье его паттерна. Поэтому второй механизм фокусировки - это оптимизация по параметру MTFA на частоте 16 цикл/град. При оптимизации фокуса по параметру DENF или MTFA исправляется MTF, достигается точка PI, увеличивается число Штреля, а PSF приближается к распределению Эйри. Для зрачков а=4-6 мм величина радиуса пятна до первого минимума интенсивности составляет ~3 мкм, что дает

остроту зрения на уровне 1,6. Так как при малых зрачках положение РІ и дтіп совпадают, оптимизация фокусного расстояния по пространственно-частотному принципу может быть общим механизмом аккомодации при любых зрачках.

Глубина фокуса определялась на трёх моделях глаза на длине волны 550 нм. Диаметр аподизированного зрачка изменялся от 2 до 6 мм. Оптимизация фокусного расстояния выполнялась по критерию МТЕЛтах на частоте 16 цикл/град. Дифракционная глубина фокуса ДГФ в дптр рассчитывалась по кривой ЭЕ^ на уровне 80% от пиковой интенсивности РІ. Посчитана глубина фокусной области ГФО (путем удвоения ДГФ), а также среднее значение и стандарное отклонение ГФО для трёх моделей.

Полученные результаты и экспериментальные данные офтальмологов показаны на рис. 2. Нетрудно видеть, что ДГФ всех трех моделей в диапазоне зрачков от 2 до 4 мм практически совпадают с ДГФ для глаза без аберраций. С ростом аберраций ДГФ увеличивается, особенно для модели Лотмара. График среднего значения ГФО можно сравнить с данными Кэмпбелла (субъективный эксперимент), приведенными в [14], и с данными Наварро (объективный эксперимент на длине волны Х=543 нм) [15]. Можно заметить хорошее совпадение среднего ГФО с объективными данными Наварро в области зрачков 3.5-6 мм и с субъективными данными Кэмпбелла - в области 2-3 мм.

♦ ГФО на модели глаза, средняя

-----ДГФ для глаза без

аберраций

—о— ДГФ на модели Лотмара

ДГФ на модели Наварро

“О— ДГФ на модели Атчисона

Кэмпбелл, ГФО субъект, эксп.

-А— Наварро, ГФО объектив.эксп.

Диаметр зрачка, мм

Рис. 2

Как отмечалось выше, глубина фокусной области ГФО определяет предельную пространственную частоту сигнала, которую различает наблюдатель. Чтобы объемный дисплей смог воспроизвести такой сигнал, согласно теореме Котельникова-Шеннона потребуется вдвое большая частота дискретизации. Таким образом, планы-изображения необходимо разносить на расстояния, соответствующие дифракционной глубине фокуса ДГФ. Чтобы

восстановить сигнал после фильтрации и дискретизации, необходима интерполяция и фиксация глазом изображений между соседними планами с учетом аксиальной интенсивности. При этом будет гарантировано и качество изображения в промежутке между планами, и визуальный комфорт восприятия.

В заключении следует отметить, что оптимизация фокусного расстояния по пространственно-частотному принципу является одним из вероятных механизмов аккомодации. Лучшее качество изображений и отсутствие дискомфорта достигается, если расстояние между планами не превышает дифракционной глубины фокуса. Для типовых зрачков диаметром 3-4 мм это расстояние равно 0.25-0.16 дптр.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Sullivan A. A Solid-state Multi-planar Volumetric Display // Proc. SPIE. 2004. 5291. P.

279.

2. Kompanets I., Gonchukov S. 3-D medium based displays // Proc. SPIE. 2005. 5821. P.134-145.

3. Rolland J.P., Krueger M.W., Goon A. Multifocal planes head-mounted displays // Applied Optics. 2000. 39, No.19. P.3209-3215.

4. Akeley K., Watt S.J., Girshick A.R., Bancks M.S. A stereo display prototype with multiple focal distancis // ACM Trans. Graph. 2004. 23, No.3. P.804-813.

5. Love G.D., Hoffman D.M., Hands P.J., Gao J., Kirby A.K., Bancks M.S. High-speed switchable lens enables the development of a volumetric stereoscopic display// Optics Express. 2009. 17, No.18. P.15716-15725.

6. Liu S., Hua H. Time-multiplexed dual-focal plane head-mounted display with a liquid lens // Optics Letters. 2009. 34, No.11. P.1642-1644.

7. Lotmar W. Theoretical Eye Model with Aspherics // JOSA. 1971. 61, No.11. P.1522-

1529.

8. Bakaraju R.C., Ehrmann K., Papas E., Ho A. Finite schematic eye models and their accuracy to in-vivo data // Vision Research. 2008. 48. P.1681-1694.

9. Липкин В.М. Зрительная система. Механизмы передачи и усиления зрительного сигнала в сетчатке глаза // Соросовский образовательный журнал. 2001. 7, №9. С.2-8.

10. Applegate R.A., Lakshminarayanan V. Parametric representation of Stiles-Crawford functions: normal variation of peak location and directionality // JOSA. 1993. 10. No.7. P.1611-1623.

11. Geary J.M. Introduction to lens design: with practical ZEMAX examples // Willmann-Bell, Inc. 2002.

12. Peterson P., Geary J.M. Intermediate spherical aberration // Optical Engineering. 1986. 25, No.11. P.1232-1240.

13. Бондаренко В.М. и др. Пространственное зрение. СПб.: Наука, 1999.

14. Сергиенко Н.М. Офтальмологическая оптика // Медицина. М. 1991.

15. Marcos S., Moreno E., Navarro R. The depth-of-field of the human eye from objective and subjective measuments // Vision Research. 1999. 39. P.2039-2049.

© А.М. Ковалев, 2010