Стратегии оптимального хеджирования инфляционного риска в стохастических инвестиционных условиях

стратегии оптимального хеджирования инфляционного риска в стохастических инвестиционных условиях

И.Г. НАТАЛУХА, кандидат экономических наук Кисловодский институт экономики и права

Одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций является инфляция. Поэтому в условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск. Хеджирование инфляционного риска является нетривиальной задачей, поскольку на финансовых рынках, как правило, предлагаются только номинальные облигации, которые наряду с депозитами имеют рисковые реальные доходности. Инфляционный риск в моделях оптимального портфельного выбора исследовался ранее лишь в наиболее простых частных случаях, соответствующих очень простой динамике номинальных процентных ставок и далекой от реальности динамике ожидаемых темпов инфляции [1], а во многих работах [2, 3] инфляция вообще не учитывается.

В данной статье предложена непрерывная по времени динамическая модель размещения рисковых активов с учетом стохастической динамики цен рисковых активов (акций и облигаций), стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции. Модель позволяет оптимально хеджировать риски, связанные с указанными неопределенностями, и объяснить зависимость оптимального спроса инвестора на рисковые активы от длины инвестиционного горизонта и относительного неприятия риска инвестора.

Рассматривается задача выбора динамической портфельной стратегии инвестором, максимизирующим ожидаемую полезность своего капитала W на временном горизонте T :

J = max Е [U

путем инвестирования в банковский счет, номинальные облигации и акции. Функция полезности инвесторов характеризуется постоянным относительным неприятием риска

и

л и "(Ж0)К 1 - У где у =--- коэффициент относитель-

и ТО

ного неприятия риска Эрроу-Пратта [4]. При у = 1 имеем предельный случай логарифмической полезности и = 1пТО.

Динамика номинальной процентной ставки описывается процессом Орншейна — Уленбека

drt = k(r - rt )dt - о rdzu ,

где г - среднее значение г, на большем временном интервале, к - скорость релаксации г, к установившемуся значению, ог - волатильность процентной ставки, 11 - винеровский случайный процесс. Динамика цены облигации в, описывается процессом

йв, = В,[(г, + Хрв(г,,,))й, + ов(г,,,], (4) где Х = ов '(ц, - г) - рыночная цена риска, индуцированного экзогенным возмущающим процессом , Ц - ожидаемая норма доходности, ов - волатильность цены облигации. Динамика цены акции (индекса акций) с учетом реинвестирования дивидендов эволюционирует согласно стохастическому дифференциальному уравнению

йЯ, = Я,[

Здесь рв5 - корреляция между доходностями рынка облигаций и рынка акций, о Я - волатильность цены акции, V — число Шарпа для акции, которое предлагается постоянным, г2 — винеровский случайный процесс. В целом динамика номинальных цен активов может быть записана следующим образом:

(йв, ^ (в, 0 ^ ГЛ (о„ (г,,) 0 [йЯ, П 0

: ь о-

о „ (г ,t )t

Pis о s

о

s^

о в

ч PiS° s

dZit dz2t

sVi-

Pi

)dt +

+

о

P

где Х = (у - рву- рву2 . Обозначим через

п =

доли номинального капитала, инвести-

руемого в облигацию и акцию. Тогда уравнение эволюции номинального капитала Щ будет иметь следующий вид (индекс Т означает транспонирование):

dWt = Wt [(rt + п J Ха t )dt + п ,та t

f dzi ^

V dZ2t J

]

где а, =

а в

0

2

Рву

Х =

dI, . ,

—L = itdt + а I 1dz1t + аI2dz2t + аI3dz3t, It

1 W 1 W

dw, = -dWt - WdI, --jIdWtdI, + W(dI,)2 =

= wt [(r, -1, + а 2 + пT а,Х - пT а, I \)dt +

dzi, dZ2,

-

f dzi, ^ dZ*2i

v dz3, j

] .

рВ5 о 5

Номинальную цену реального потребительского товара в экономике в момент , обозначим I,. Тогда реальная цена любого актива в экономике определяется дефлированием на индекс цен I,. Например, реальная цена акции составляет /1,. Динамика номинальной цена потребительского товара определяется следующей системой стохастических дифференциальных уравнений

Переменные w , r и i составляют марковскую систему и обеспечивают достаточную информацию для принятия решений инвестором. Запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче максимизации ожидаемой полезности инвестора J (w, r, i, t), подобно тому, как это сделано в [5, 6]

sup {^wWJw + к(7 - r)Jr + в (Г - i)Jt +1 аww2Jww + \аX +

п = (пв ,Лу) 2 2

+1аi2jii + аwrwJwr + аwiwJwi + а Jti = 0 ;

2 dt

в котором

|j.w = r + п та, Х - it + а J - п T

f а у ^

Vа bi J

= в (г - ц )Л + о + о2, + о+ о¡4^4,

где г, — ожидаемый темп инфляции, г — долгосрочное среднее значение темпа инфляции, в — скорость релаксации I, к г . Волатильности о 1к 0 ¡к

гаются постоянными. Положим о 2 = о ^ + о ^ + о 2з

2 2 2 2 2 и о. = о¡1 + °,;2 + о¡3 + о¡4 .

Мгновенные дисперсии индекса цен и ожидаемого темпа инфляции тогда будут о21, и о2 соответственно. Изменения номинального индекса цен и темпа инфляции коррелированны с доходностью индекса акций и процентными ставками. Обозначим коэффициент корреляции между доходностью индекса акций и уровнем цен

о = о 5 (р^о л + о,- рВ5) ,коэффициентковари-ации между доходностью индекса акций и ожидаемым темпом инфляции о ^

= о 5 (р^о ¡1 + о ¡ 2^1-^7) коэффициент ковариации между доходностью облигации и уровнем цен о В1 = о во! 1, коэффициент ковариации между доходностью облигации и темпом инфляции о в = о во ¡1, коэффициент ко-вариации между уровнем цен и темпом инфляции

о И = о 11о ¡1 + о 12о ¡2 + о IЗо ¡3 .

Реальный капитал инвестора в момент , составляет V, = Щ /1,. Применяя лемму Ито, получаем динамику реального капитала в следующем виде

а 1 = п та, а Тп + а 2 - 2п т| а SI 1а

а wr =-а г (п ва в - а 11) а wt = п

а

-а

Граничное условие имеет следующий вид: /(V, г ,1, Т) = V1"7 /(1 - у). Условие первого порядка задачи максимизации (10) дает следующее оптимальное размещение капитала в рисковые активы

п =

пв 1--Jw (а,т )-1 Х + - J' аrf 1

J wJw

wJw а в 10 J I wJw

Jjt

wJ„

(а,а T )-

Выражение (10) определяет оптимальные доли капитала, размещаемого в акции и облигации в постановке (1) — (5). Первый член в (10) представляет собой спекулятивную часть портфеля или «близорукий» спрос инвестора, соответствующий игнорированию инвестором изменения инвестиционных возможностей. Остальные три члена в выражении (10) описывают оптимальное хеджирование инвестором изменения инвестиционных возможностей: второй член определяет хеджирование против номинальной процентной ставки, третий и четвертый члены описывают оптимальное хеджирование против краткосрочной инфляции и изменений будущих темпов инфляции, соответственно.

Vп У J

т

+пт а

а

а

а

а

С учетом «аффинной» динамики г и г неявная функция полезности может быть найдена в следующем виде

/) = — я(г,и)т к1- , (11) 1 - У

где

Е (г, г,,) = ехр[ А1(Т -,) + А2(Т -, )г + А3(Т -, )г ]

4(т) = ^ А(т) - ^ |(1 - е) у у к

Аз(т) = -^ Аз*(т) - -^|(1 - е^) у у р

(функция А1 также может быть определена в явном виде, однако это несущественно для оптимального портфельного выбора). Подставляя соответствующие производные в выражение (10), находим вектор оптимальных размещений капитала в рисковые активы в момент I:

1

п = — (о Т )-1 Х + 1 1 -У I У

1 ^ о ГЬ(Т -,) Г1

-1 |(о ,о Т )-1

о

о

о

вг 'А3*

против инфляции и предполагает использование акций.

Оптимальное размещение капитала в акции как функция инвестиционного горизонта и относительного неприятия риска инвестора (1 - У = 8,7; 2 - У = 4,2; 3 - У = 2,2) представлено на следующем рисунке.

Оставшаяся часть капитала 1 - п Я - пв инвестируется в банковский счет.

Выражение (12) показывает, что оптимальные портфельные веса для инвесторов, характеризующихся функцией полезности с постоянными относительными неприятием риска, являются линейными комбинациями спекулятивного спроса на рисковые активы и различных спросов на хеджирование. В частности, для инвесторов с одинаковым инвестиционным горизонтом Т оптимальные портфели являются линейными комбинациями спекулятивного портфеля и единственного портфеля хеджирования. При этом терпимость по отношению к риску 1/у определяет веса спекулятивного портфеля и портфеля хеджирования в оптимальном портфеле.

Второй член в соотношении (12) описывает хеджирование против изменений номинальной процентной ставки и целиком состоит из позиции по облигации. Нетрудно показать, что такое хеджирование приводит к тому, что отношение долей капитала, вложенных в облигации и акции, увеличивается с ростом коэффициента относительного неприятия риска инвестора, что находится в соответствии с популярными рекомендациями финансовых аналитиков [8, 9]. В то же время последний член в (12) описывает хеджирование

0 5 10 15 20 25

Инвестиционный горизонт

непосредственная проверка показывает, что инфляционный риск вызывает большее оптимальное размещение капитала в акции долгосрочными инвесторами (т.е. приводит к росту спроса на акции) тогда и только тогда, когда ож > о го п /ог2. В этом случае относительно высокая корреляция между ценой акций и темпом инфляции делает акции более подходящим инструментом для хеджирования долгосрочного инфляционного риска сравнительно с номинальными облигациями в том смысле, что если имеют место высокие темпы инфляции, угрожающие привести к низким доходнос-тям в инвестиционный период, это компенсируется относительно высокими доходностями по акциям в этот период, и поэтому динамика акций в этом случае приближается к поведению долгосрочной реальной облигации.

Дифференцируя выражение для размещения капитала в акции из (12) по инвестиционному горизонту, приходим к выводу, что долгосрочные инвесторы должны инвестировать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные инвесторы, что также соответствует практическим рекомендациям [10, 11].

Для прогнозирования зависимости оптимального размещения капитала в акции от инвестиционного горизонта и коэффициента относительного неприятия риска построенная модель была калибрована к фондовому рынку США, представленному индексом Я & Р 500. Использовались данные по

+

0

о

+

доходности индекса S & P 500 за период с марта 1951 г. по январь 2000 г. [12]. На рисунке показаны оптимальные доли капитала, инвестируемого в индекс S & P 500 в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска инвестора и длины инвестиционного горизонта. Нетрудно видеть, что размещение капитала в акции растет с ростом инвестиционного горизонта и с уменьшением относительного неприятия риска инвестора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brennan M.J., Xia Y. Dynamic asset allocation under inflation // Journal of Finance. 2002. V. 57. № 3. Р. 1201-1238.

2. Barberis N. Investing for the long run when returns are predictable // Journal of Finance. 2000. V. 55. № 1. Р. 225264.

3. Brennan M.J., Schwartz E.S., Lagnado R. Strategic asset allocation // Journal of Economic Dynamics and Control. 1997. V. 21. № 7. Р. 1377-1403.

4. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер. 2000.

5. Наталуха И.Г. Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями // Финансы и кредит. 2005. № 30 (198). С. 38-40.

6. Наталуха И.Г. Долгосрочное хеджирование инвестиционного риска, вызванного стохастическими процентными ставками // Экономический вестник Ростовского государственного университета. 2005. № 4.

7. Наталуха И.Г. Влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального на инвестиционный спрос // Финансы и кредит. 2006. № 2.

8. Samuelson Р.А. The long-term case for equities and how it can be oversold // Journal of Portfolio Management. 1994. V. 21. № 1. Р. 15-24.

9. Canner N, Mankiw N.G., Weil D.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. 1997. V. 87. № 2. P. 181-191.

10. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 2003.

11. Elton E.J., Gruber M.J. The rationality of asset allocation recommendations // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 2000. V. 35. № 1. Р. 27-42.

12. Shiller R.J. Irrational exuberance. Princeton: Princeton University Press, 2000.

В программе форума  обсуждение спектра вопросов, связанных с вовлечением молодежи Москвы в предпринимательскую деятельность, поддержка и содействие в реализации деловых инициатив молодежи, развитие инфраструктуры поддержки малого предпринимательства в молодежной среде, комплексное сопровождение молодежных предпринимательских проектов. Основные темы форума:

<Бухучет и налогообложение малого бизнеса» »Венчурное инвестирование малого бизнеса» :<Кадры и обучение персонала» «Компьютера интернет» «Кредитование малого бизнеса» »Образование и карьера»

«Реклама, РК и маркетинг» «Современные средства связи» «Медицина, красота, здоровье» «Страхование малого бизнеса» «Экономика и финансы» «Юридическая поддержка малого бизнеса»