СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОКАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ И ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИН И СТРУКТУР
METHOD FOR DETERMINING THE LOCAL CURVATURE AND SHAPE OF THE SURFACE OF PLATES AND STRUCTURES

Изобретение относится к способам анализа поверхностей произвольной формы с использованием значений кривизны локальных областей.
Известен способ измерения радиуса кривизны сферических полированных поверхностей [1].
Недостатком данного способа является его неприменимость для анализа поверхностей сложной формы - включающей как выпуклые, так и вогнутые области.
Известен способ определения локального механического напряжения в пленке на подложке, включающий определение кривизны поверхности посредством анализа геометрического расположения точек рельефа, при котором расчет радиуса кривизны поверхности  производится с использованием следующего выражения:
i
i
здесь  - радиус кривизны в локальной области, x и y - координаты точек выбранной локальной области, расположенные в одной плоскости (проведенной перпендикулярно анализируемой поверхности пластины и формирующей профиль поверхности) [2].
Недостатком данного способа является проведение анализа исключительно вдоль выбранного направления (профиля поверхности), без учета влияния особенностей рельефа в остальных направлениях.
Известен способ измерения изогнутой поверхности произвольной формы по анализу изображений частей этой поверхности. Способ включает в себя получение цифровой модели рельефа Z(X, Y), разделение поверхности произвольной формы Z(X, Y) на множество мелких локальных областей в плоскости XY, определение значений локальной кривизны в направлениях X и Y для каждой из этих областей в предположении сферической формы этих областей, интеграцию карт матриц локальной кривизны в данных направлениях [3].
Недостатком данного способа является его неприменимость для седловидных поверхностей, проведение анализа исключительно вдоль выбранных направлений X и Y без учета влияния особенностей рельефа в остальных направлениях.
Наиболее близким техническим решением является способ определения формы свободной изогнутой поверхности по анализу значений кривизны локальной площади. Способ включает в себя получение цифровой модели рельефа Z(X, Y), разделение поверхности произвольной формы Z(X, Y) на множество мелких локальных областей в виртуальной плоскости XY, определение значений локальной кривизны в направлениях X и Y посредством расчета вторых частных производных в декартовой системе координат для каждой из этих областей и интеграцию карт матриц кривизны в данных направлениях [4].
Недостатком данного способа является проведение анализа исключительно вдоль выбранных направлений X и Y без учета влияния особенностей рельефа в остальных направлениях и отсутствие процедуры анализа локальной формы поверхности исходя из рассчитанной локальной кривизны.
Задача изобретения - унификация определения кривизны и радиуса кривизны при исследованиях близких к сферической форме пластин и структур для проведения сравнительного анализа в рамках одной партии; расширение получаемых данных о кривизне и локальной форме поверхности при подробном исследовании сложной формы пластин и структур за счет расширения номенклатуры получаемых типов кривизны; проведение оценки локальной формы поверхности исходя из знака рассчитанных величин; повышение наглядности и удобства анализа карт поверхности пластин и структур.
Суть настоящего изобретения заключается в том, что в предлагаемом способе определения локальной кривизны и формы поверхности пластин и структур, включающем получение цифровой модели рельефа Z(X, Y), определение значений локальной кривизны поверхности, в том числе посредством расчета вторых частных производных в декартовой системе координат, интеграцию карт матриц кривизны -
- цифровая модель рельефа Z(X, Y) формируется по сетке (X, Y), после чего производится сглаживание поверхности ИЛИ цифровая модель рельефа Z(X, Y) формируется по разреженной сетке (X, Y), после чего производится восстановление недостающих промежуточных данных, а затем - сглаживание поверхности,
- производится сечение цифровой модели рельефа анализируемой поверхности Z(X, Y) плоскостью с последующим определением одного значения кривизны или вектора значений кривизны И/ИЛИ производится серия сечений анализируемой поверхности Z(X, Y) параллельными плоскостями с последующим определением массива распределения локальной кривизны И/ИЛИ производится расчет массива распределения локальной кривизны непосредственно из цифровой модели рельефа Z(X, Y),
- при сечении цифровой модели рельефа анализируемой поверхности Z(X, Y) плоскостью - она проводится перпендикулярно плоскости XY, через центр анализируемой поверхности (в плоскости XY), параллельно оси X ИЛИ оси Y ИЛИ другому выбранному направлению L, при этом формируется профиль поверхности z(X) ИЛИ z(Y) ИЛИ z(L), затем проводится полиномиальная аппроксимация функции z(X) ИЛИ z(Y) ИЛИ z(L) соответственно:
где ν - X ИЛИ Y ИЛИ L, Р(ν) - подобранная к z(ν) функция, n - степень полинома,
1;
i
при этом значение степени полинома n выбирается n=2 ИЛИ n≥4, при n=2 рассчитывается одно значение кривизны, одинаковое во всех точках профиля и равное 2⋅Р при n≥4 локальная кривизна в каждой точке ν профиля рассчитывается на основе выражения для плоских кривых по формуле:
i
формируется вектор значений локальной кривизны k = k(ν), производится построение и анализ зависимости k(ν),
i
- при сечении цифровой модели рельефа анализируемой поверхности Z(X, Y) параллельными плоскостями - осуществляется серия сечений анализируемой поверхности Z(X, Y) плоскостями, перпендикулярными плоскости XY, параллельными оси X ИЛИ оси Y ИЛИ другому выбранному направлению L, формируется массив профилей поверхности, для каждого профиля z(ν) из полученного массива проводится полиномиальная аппроксимация P(ν) функции z(ν) по выражению (2) со степенью полинома n≥4 и затем в каждой точке ν профиля рассчитывается локальная кривизна по выражению (3), формируя вектор значений локальной кривизны k(ν), на основе полученной серии векторов значений локальной кривизны k(ν) составляется массив распределения локальной кривизны в выбранном направлении ν, производится построение и анализ этого массива,
при проведении расчета массива распределения локальной кривизны непосредственно из цифровой модели рельефа Z(X, Y) - для анализа кривизны используются вторые частные производные И/ИЛИ полная система кривизн поверхности, при этом расчет вторых частных производных проводят в декартовой системе координат с использованием выражений:
И/ИЛИ
расчет вторых частных производных проводят в цилиндрической системе координат из цифровой модели рельефа Z(R, θ) = Z(X, Y) с использованием выражений:
min
max
а анализ полной системы кривизн поверхности включает определение кривизны Гауссовой K, средней H, главных k и k, несферичности М с использованием выражений:
где
при этом производится оценка локальной формы поверхности исходя из знака величин, рассчитанных по (6).
Новым, не обнаруженным при анализе источников информации, в заявляемом способе является следующее:
- возможность расчета полной системы кривизн поверхности и анализа полученных типов кривизны, с последующим определением локальных выпуклых и вогнутых элементов рельефа, выделением областей расположения эллиптических, гиперболических и параболических точек, преимущественного направления изгиба;
- возможность проведения расчета и последующего анализа кривизны вдоль любого выбранного направления;
- возможность определения одного значения кривизны (и радиуса кривизны), соответствующего анализируемой пластине или структуре, что важно для сравнения близких к сферической форме пластин или структур в рамках одной партии.
2
xx
yy
На Фиг. 1, а - показана цифровая модель рельефа кремниевой пластины с нанесенным слоем SiO. На Фиг. 1, б - показана зависимость локальной кривизны k(ν) для профиля, параллельного оси X (проведен параллельно базовому срезу пластины). На Фиг. 1, в, г - показаны вторые частные производные k и k. На Фиг. 1, д - показана рассчитанная гауссова кривизна K. На Фиг. 1, е - показана рассчитанная средняя кривизна Н.
min
max
На Фиг. 2, а - показана цифровая модель рельефа структуры в области дефектов. На Фиг. 2, б, в, г, д, е - показаны соответственно: несферичность М, гауссова кривизна K, средняя кривизна H, минимальная кривизна k, максимальная кривизна k.
Способ включает в себя следующие действия:
1) Проведение измерений анализируемой пластины или структуры по сетке (X, Y) ИЛИ по разреженной сетке (X, Y).
2) Восстановление недостающих промежуточных данных (при проведении измерений по разреженной сетке (X, Y)).
3) Формирование цифровой модели рельефа Z(X, Y) исследуемой поверхности.
4) Сглаживание цифровой модели рельефа Z(X, Y).
5) Сечение цифровой модели рельефа анализируемой поверхности Z(X, Y) плоскостью, перпендикулярной плоскости XY, через центр анализируемой поверхности (в плоскости XY), параллельно оси X ИЛИ оси Y ИЛИ другому выбранному направлению L. При этом формируется профиль поверхности z(X) ИЛИ z(Y) ИЛИ z(L).
i
i
1
1
end
end
i
6) При выборе направления L, не совпадающего с направлением оси X или оси Y - также производится определение координат ν профиля и соответствующих им значений z. Данное направление L определяется координатами первой (х, у) и последней точки (x, y) (концами отрезка). Исходя из положения этих точек последовательно: определяются длина отрезка, длина его проекций на оси X и Y, разница в длинах проекций, формируется схема выбора относящихся к искомому профилю точек (X, Y), определяются координаты этих точек на плоскости XY совместно с координатами высоты Z(X, Y), производится нормировка масштаба по ν исходя из длины отрезка.
7) Проведение полиномиальной аппроксимации функции z(X) ИЛИ z(Y) ИЛИ z(L) соответственно, с использованием выражения (2) со степенью полинома n=2 ИЛИ n≥4. При этом степень полинома n=2 выбирается при необходимости определения одного значения кривизны для всей пластины или структуры (близкой к сферической форме), степень полинома n≥4 выбирается при необходимости анализа изменения локальной кривизны в различных областях пластины или структуры.
1
i
i
8) Проведение расчета и анализа кривизны. При степени полинома n=2 значение локальной кривизны одинаково во всех точках профиля и равно 2⋅Р, радиус кривизны соответственно равен  при необходимости определения исключительно одного значения кривизны после этого сразу переходят к п. 22. При n≥4, локальная кривизна в каждой точке ν профиля рассчитывается на основе выражения для плоских кривых по формуле (3), затем формируется вектор значений локальной кривизны k = k(ν), производится построение и анализ зависимости k(ν).
9) Проведение серии сечений цифровой модели рельефа анализируемой поверхности Z(X, Y) параллельными плоскостями, перпендикулярными плоскости XY, параллельными оси X ИЛИ оси Y ИЛИ другому выбранному направлению L, формирование массива профилей поверхности.
i
10) Проведение полиномиальной аппроксимации P(ν) функции z(ν) по выражению (2) со степенью полинома n≥4 для каждого профиля z(ν) из полученного массива, расчет локальной кривизны по выражению (3) в каждой точке ν профиля, формирование вектора значений локальной кривизны k(ν).
11) Составление массива распределения локальной кривизны в выбранном направлении ν на основе полученной серии векторов значений локальной кривизны k(ν), построение и анализ этого массива. Для составления массива распределения локального радиуса кривизны в выбранном направлении ν, берется обратная величина от массива распределения локальной кривизны в выбранном направлении ν в каждой точке. Построение и анализ этого массива радиуса кривизны в выбранном направлении ν.
xx
yy
xy
12) Проведение расчета вторых частных производных в декартовой системе координат с использованием выражений (4) непосредственно из цифровой модели рельефа Z(X, Y). Построение и анализ полученных массивов данных k, k, k.
i
13) Определение значений цифровой модели рельефа Z(R, θ) = Z(X, Y). Для этого производится формирование сетки данных в горизонтальной плоскости (R, θ) в цилиндрической системе координат, перевод соответствующих координат точек в декартову систему координат и определение значений Z в данных точках.
RR
θθ
Rθ
14) Проведение расчета вторых частных производных в цилиндрической системе координат с использованием выражений (5) непосредственно из цифровой модели рельефа Z(R, θ). Построение и анализ полученных массивов данных k, k, k.
15) Расчет полной системы кривизн поверхности с использованием выражений (6) непосредственно из цифровой модели рельефа Z(X, Y). При необходимости, перед расчетом системы кривизн производится умножение значений Z на достаточно большое число для сопоставимости значения по координатам X, Y и Z. Затем производится построение и анализ полученных массивов данных. При этом перед построением производится логарифмическое преобразование по Shary.
16) Оценка локальной формы поверхности исходя из рассчитанных типов кривизны.
17) Оценка локальной формы поверхности исходя из положительного знака гауссовой кривизны K. При положительной гауссовой кривизне K соответствующие точки являются эллиптическими (подобны сфере). При этом все точки рассматриваемого локального участка поверхности, достаточно близкие к анализируемой точке -располагаются по одну сторону от касательной плоскости в данной точке.
18) Оценка локальной формы поверхности исходя из отрицательного знака гауссовой кривизны K. При отрицательной гауссовой кривизне K соответствующие точки являются седловыми или гиперболическими (подобны седлу). При этом точки рассматриваемой поверхности, достаточно близкие к анализируемой точке - располагаются по разные стороны от касательной плоскости в этой точке.
19) Оценка локальной формы поверхности исходя из равной нулю гауссовой кривизны K. При равной нулю гауссовой кривизне K соответствующая точка является параболической точкой или точкой уплощения (подобны боковой поверхности цилиндра).
20) Оценка локальной формы поверхности исходя из знака средней кривизны H. При анализе знак средней кривизны H определяет преимущественное направление изгиба. Для выпуклых локальных участков поверхности средняя кривизна H положительна, для вогнутых она отрицательна, для локальных участков уплощения - равна нулю.
min
max
max
min
21) Оценка локальной формы поверхности исходя из анализа знака главных кривизн k и k. При анализе главных кривизн определяют локальные выпуклые и вогнутые элементы рельефа. Положительные значения максимальной кривизны kсоответствуют протяженным выпуклым областями поверхности, отрицательные - локальным вогнутым элементам рельефа ("впадинам"). Положительные значения минимальной кривизны k соответствуют локальным выпуклым участкам ("бугоркам"), отрицательные - протяженным вогнутым участкам поверхности.
22) Проведение анализа и сравнения полученных данных, в том числе для различных пластин или структур в рамках одной партии. Составление заключения.
Пример 1.
2
Реализация предложенного способа для анализа пластины диаметром 150 мм со структурой SiO^Si показана на Фиг. 1.
yy
xx
При измерениях использовалась разреженная сетка с шагом около 3 мм. На Фиг. 1, а - показана цифровая модель рельефа после восстановления промежуточных данных и сглаживания. Производилось сечение цифровой модели рельефа профилями поверхности, параллельными осям X и K. Осуществлялась полиномиальная аппроксимация полученных функций. Расчет одного радиуса кривизны по п. 8 показал значение -100 м. Анализировалось распределение кривизны и радиуса кривизны при степени полинома n=6. На Фиг. 1, б - показана зависимость k(ν) для профиля, параллельного оси X (проведен параллельно базовому срезу пластины). Также анализировалось распределение кривизны и радиусов кривизны по п. 11. Рассчитанная по п. 11 кривизна в направлении, параллельном базовому срезу пластины - фактически, совпадает со второй частной производной k (Фиг. 1, г). Рассчитанная по п. 11 кривизна в направлении, пересекающем базовый срез пластины - совпадает со второй частной производной k (Фиг. 1, в).
9
Перед расчетом полной системы кривизн поверхности с использованием выражений (6) по п. 15 значения по Z были умножены на 10. На Фиг. 1, д, е - показаны гауссова кривизна K и средняя кривизна H (после процедуры логарифмирования). Можно видеть, что и гауссова кривизна, и средняя кривизна - положительные, что соответствует выпуклой поверхности, подобной сфере. Также заметен пятиконечный «звездообразный» паттерн с центром в наивысшей точке анализируемой структуры, соответствующий преимущественному направлению изгиба.
Пример 2.
Реализация предложенного способа для анализа изменения рельефа поверхности структуры вблизи дефектов показана на Фиг. 2.
При измерениях использовалась полная сетка данных. На Фиг. 2, а - показана цифровая модель рельефа после незначительного сглаживания. Области без данных (показаны на Фиг. 2 белым цветом) соответствуют областям расположения малоотражающих дефектов.
min
max
На Фиг. 2, б, в, г, д, е - показаны соответственно несферичность М, гауссова кривизна K, средняя кривизна H, минимальная кривизна k, максимальная кривизна k. Анализ данных изображений позволяет эффективно локализовать области поверхности различной формы.
На обоих примерах можно видеть, что используемый способ определения локальной кривизны и формы поверхности пластин и структур позволяет получить на порядок больше информации по сравнению с анализом исключительно рельефа поверхности.
Источники информации:
1. Патент РФ 1379610.
2. Патент РФ 2679760.
3. Патент Кореи KR 101584723.
4. Патент Кореи KR 101421502 - прототип.