Методы приближения суммируемых функций на основе интеграла Стилтьеса применительно к задачам прикладного анализа

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №1,2016

удк517.972:519.633 Наац И.Э. [Naats I.E.],

Ярцева Е.П. [Yartseva Е.Р.]

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ПРИКЛАДНОГО АНАЛИЗА

Methods of approximation of summable functions on the basis of the integral of Stieltjes with respect to applied analysis

Рассматриваются эмпирические функции, заданные приближенно, например, на основе некоторых измерений наблюдаемого процесса или явления, полученных в эксперименте. Подобные функции считаются суммируемыми в определенной области наблюдений, но не дифференцируемыми в обычном смысле. Затруднения, связанные с применением обычных производных для анализа подобных функциональных зависимостей, требуют разработки таких методов функционального анализа, которые бы оперировали так называемыми обобщенными производными (тоже операторами обобщенного дифференцирования). Соответствующий аппарат был предложен авторами ранее применительно к решению дифференциальных уравнений в случае их некорректности и основывался на представлении исследуемых функций их сингулярными интегралами. Б пределах настоящей работы изложенный выше подход распространяется на случай, когда интегралы в исходных представлениях функций имеют форму интеграла Стилтьеса (тоже Лебега - Стилтьеса). В ряде прикладных задач искомым функциям в качестве исходного предположения предписывается необходимость представления в виде интеграла Стилтьеса. Подобные ситуации могут иметь место в теории потенциалов и тех задачах теоретической физики, которые используют интегральные операторы потенциального типа. Подобный подход заметно расширяет содержательную сторону аппарата приближения функций, придавая ему большую эффективность и наглядность в тех задачах, когда приходится «конструировать» модель исследуемой функциональной зависимости по приближенным данным (тоже в условиях априорной неопределенности). При этом, те вычислительные схемы, которые связаны с практической реализацией излагаемого метода в приложениях, в ряде случаев могут быть заметно проще и эффективнее тех алгоритмов, которые требуются для реализации интегральных представлений функций на основе сингулярных интегралов. В работе выполняется построение и обоснование вычислительного метода, приводится пример, иллюстрирующий возможные приложения представленной теории представления эмпирических функций.

Ключевые слова: эмпирическая функция, теория приближения функций, интеграл Лебега - Стилтьеса, задачи прикладного анализа, сингулярные интегралы, операторы обобщенного дифференцирования.

Discusses empirical functions that were defined when-blajenno, for example, based on some measurements of the observed process or phenomena obtained in the experiment. Such functions are considered to be summable in a certain area of observation, but not differencethe get adequate in the usual sense. Difficulties associated with the use of conventional

derivatives for the analysis of such functional dependencies require the development of such methods of functional analysis which would operirovat-whether the so-called generalized derivatives (also operators of generalized differentiation). The corresponding apparatus was proposed by the authors earlier is applied to solve differential equations in case of discrepancy and based on the performance of the studied functions by singular integrals. Within the present work from the suggested above approach is extended to the case when the integrals in IP-initial representations of functions have the form of the Stieltjes integral (Lebesgue - Stieltjes). In a number of application tasks desired functions as the initial assumptions required the need to present in the form of the Stieltjes integral. A similar situation can occur in the theory of potentials and the theoretical physics problems that use inte-integral operators of potential type. This approach significantly extended the content of the unit of approximation of functions, giving it greater efficiency and clarity in those tasks when you have to «construct» the model of functional dependence according to rough data (also in conditions of a priori uncertainty). Thus, the computational schemes that are associated with practical carrying out-she described the method in applications in some cases can be much simpler and more efficient algorithms that are required for the implementation of integral representations of functions based on singular integrals. The work performed in the construction and justification of the computational method, an example illustrating possible applications of the presented Noi the theory of representation of empirical functions.

Key words: empirical function, approximation theory of the functions, the integral is Lebesgue - Stieltjes, problems of applied analysis, singular integrals, operators of generalized differentiation.

Введение.

Использованный в названии работы термин «прикладной анализ» соответствует той интерпретации его содержательного смысла, которая ему дана в известной монографии К. Ланцоша «Практические методы прикладного анализа» [1]. Главным и существенным моментом прикладного анализа является изучение функциональной зависимости двух величин, скажем X = {х : х е С1Х} и Y = {у : у = /(х), х е С2Х } в условиях, когда исходные данные суть приближенные числа. Зачастую это дискретные множества В = {(х;, yi , либо так называемые о - приближения функций. В последнем случае считается, что исследуемая функция /(х) представлена в анализе функцией fa (х) такой, что

где (а > 0) - некий параметр, характеризующий погрешность исходных данных. Функцию /а (х) в контексте настоящей работы считаем Ь - суммируемой на множестве Дг = [а,6] Пх = [а, Ъ], но никоим образом не дифференцируемой

в обычном смысле. Для характеристики локальной изменчивости подобных функций может быть использован оператор

2 п 2 п

где параметр сдвига И считается достаточно малым, но конечным. Смысл, который вкладывается в понятие «достаточно малый» оговаривается всякий раз отдельно в конкретных прикладных задачах. Во всяком случае, оценка его величины увязывается с допустимыми значениями параметра о Затруднения, связанные с применением обычных производных для анализа фу н к ц и о н ал ь н ы х зависимостей, требуют разработки таких методов анализа, которые бы оперировали так называемыми обобщенными производными (тоже операторами обобщенного дифференцирования). Соответствующий аппарат был предложен автором ранее в работах [2-4] применительно к решению дифференциальных уравнений в случае их некорректности [8] и основывался на представлении исследуемых функций их сингулярными интегралами. Смысл подобного представления состоит в том, что всякая интегрируемая на О. функция может рассматриваться в любой точке хеП как предел некоторой последовательности непрерывных функций. Соответствующим примером является последовательность вида

Кп{х,х')/{х%' = /„

1ип

п—»со

где {Кп (х, х'))Г=1 ~ некая последовательность ядер интегральных операторов Кп (п 1.... ) [5].

Для любой пары (п,х)(п < да) функции вида (К„ / )(х) непрерывны. Более того, они могут быть дифференцируемыми на О, почти в каждой точке х. Заметим, что подобный подход к анализу разрывных фун-

кций восходит к исследованиям Бэра [6]. В соответствии с (1) и (2), всякая функция/(х) есть предел последовательности ¡( А.'и / )(х)'.' , Ясно, что ес-ли/(х) представлена/^(х), что ниже будем обозначать через/(х) ~/а{х), используя (обозначая) символ отношения эквивалентности «~», то последовательность {(Кп/)(х)'.' ! в принципе может быть представлена последовательностью {{Кп(г7){х))'п ! в силу корректности операции интегрирования на множестве приближенных данных. Напомним, что /с х) -: (^(.1.). Что же касается функционального класса/(х), то он оговаривается в виде предположений априорного характера. Можно, разумеется, предполагать, что /(х)е С\ (О). но для того, чтобы иметь представление о величине ||/'(х)||£(П) необходим аппарат «дифференцирования» функции/а(х) из класса СЕ(п), о чем и пойдет речь ниже. В частности, если допустить, что /(х)е (\ (п). то в соответствии с интегралами представления данной функции имеем

| Кп(х,х'10/Хх%' = ({Кп0)/){х),

Нт

и-»оо

В соответствии с формулой интегрирования по частям имеем

где

¥п(х,/)=[Кп(х,х')/(х')К

При [(а) = /(Ь) = 0 получим ц/п (х. /') = 0 и, следовательно, можно полагать для /(х) е (\ (Пх.) справедливость равенства

где (ДА',.) интегральный оператор с ядром К'„, (х,х').

Правая часть (4) определена в принципе для любой интегрируемой функции, что и служит основой для разработки вычислительных методов построения операторов обобщенного дифференцирования для различных задач прикладного анализа функций (эмпирические функции, реализации случайных процессов и т.п.). Этим задачам посвящены работы автора [2-4].

Постановка задачи, построение и обоснование метода.

В пределах настоящей работы изложенный выше подход распространяется на случай, когда интегралы в исходных представлениях (1) - (3) имеют форму интеграла Стилтьеса (тоже Лебега - Стилтьеса). Введение подобных обобщений теории интегрирования функций вещественной переменной формально вполне естественно, если речь заходит о представлении функций, суммируемых в области своего определения [6]. Вместе с тем, как будет показано ниже, подобное обобщение заметно расширяет содержательную сторону аппарата приближения функций, придавая ему большую эффективность и наглядность в тех задачах, когда приходится «конструировать» [7] модель исследуемой функциональной зависимости по приближенным данным (тоже в условиях априорной неопределенности). Напомним, прежде всего, что в численных методах решения функциональных уравнений приближенные функции, как правило, реализуются в виде вектора , компоненты которого являются значениями функции/^(х) в некой системе точек {х.}"^ в области £1. Поскольку в последовательности . все числа являются приближенными, то прямое сопоставление значений х1 переменной х с числами не корректно (по определению). Более обосновано принять следующее соотношение

между элементами указанных выше последовательностей

н

1Х' + 2

/<г,1 = ^ ¡/ЛХ%' =Л,

Соотношение (5) в полной мере соответствует ситуации, когда функциональные зависимости исследуются так называемыми экспериментальными методами. Ясно, что функции характеризующиеся множествами вида Ва - {(.г, /а , )} _1 должны быть, по крайней мере, суммируемыми в области наблюдений О = [а, 6]. Если обратиться непосредственно к искомой функции/(х), определенной на £1 = [а,Ь\, для которой /^(х) есть о - приближение, то интеграл (5) для точки х можно переписать в виде

и * + 2

{ (6) I й

Х1 — ' 2

Подобные функционалы по / рассматриваются как функции точки хейив прикладном анализе называются функциями Стечки-на, которые играют важную роль в конструировании компактных подмножеств в классе С (О). Функции «^(х,/) в свою очередь просто выражаются через неопределенный интеграл исходной функции /(х) на £2 Действительно. имеем соотношение

где

^

а

Представленные здесь соотношения (5), (6) и (7) указывают на то, что суммируемые функции (/ е СV (С>)) в принципе могут быть охарактеризованы своим неопределенным интегралом /(х,/) (8). В частности, для излагаемой в работе теории важным моментом является возможность представлять исследуемую функцию / (х) в виде интеграла Стилтьеса

(S) \Kn(x,x')dF{x>,f)= (KndF(f))(x), о

HmM/))to=/

п—>00

Предельное соотношение (9) определяет новую аппрок-симационную последовательность, а именно {(.Kndf(f для данной

функции/(х). Если F(x) е Сх(О), что влечет соотношение dF[x,f) = f{x)dx, то две последовательности {(ATni/F(/)Xx)}*=1 и {(Кп/X^)}°°=i эквивалентны В противном случае ситуация меняется и фактически мы имеем дело с различными аппаратами приближения функций интегралами. В связи с этим напомним некоторые положения теории интегрирования, связанные, прежде всего, с функциями/(х) и /• (д. / ). Если/(х) - интегрируемая функция на Q (/ е ( V (о)), то / (.v./) - функция абсолютно непрерывная (тоже функция ограниченной вариации). Как известно, эти функции могут и не иметь производных в точках х е Q, и выполнить условие F{x) е C^n) не представляется возможным. Определенным выходом из указанного затруднения является предположение, что /(х) интегрируема по Лебегу и тогда мера множества тех точек, где F(x, f) (тоже и/(х)) терпит разрыв, равна нулю. Все это указывает на отличие аппроксимационных последовательностей (1), (2) и (9). Важно заметить, что те вычислительные схемы, которые связаны с практической реализацией аппарата (9) в приложениях, в ряде случаев могут быть заметно проще и эффективнее тех алгоритмов, которые требуются для реализации интегральных представлений (1), (2).

Прежде чем обратиться к приложениям в прикладном анализе интегральных представлений функций интегралами Стилтьеса, сделаем несколько замечаний относительно локальной суммируемости исследуемых функций/(х) на Q Это связано с тем, что именно локальная суммируемость функций в большей мере важна для понимания содержательного смысла тех интегралов, которые сопровождали выше изложение теории представления. Напомним, что в теории интегрирования Лебега локальная суммируемость функций связана с предельным соотношением

где В(х, г) шар в Ас Мп радиуса г с центром в точке х.

Поскольку ^ф = \в(х,г^- то из (10) следует предельное равенство

С условием (11) связывают понятие точек Лебега функции/ (х) на £2, к которому относят те х, где (11) выполняется. Помимо этого принято говорить, что/(х) строго определена в точке х, если существует предел

где В(х, £•) шар с центром в точке х радиуса Е , а |Вщ е )| его мера. Значение этого интеграла предписывают функции / как ее значение в точке х. Нечто подобное уже осуществлялось выше в связи с соотношением (5), в котором функциональная зависимость/определялась посредством/, то есть нечетко.

Теперь можно обратиться к введению так называемых обобщенных производных для функций, представленных интегралами (тоже последовательностями вида {(Кп(1Г(/)Х4"1). Исходным при этом считаем оператор вида

2И

который, как известно, при Л —> 0 для всякой дифференцируемой в точке х функции/(х) дает так называемую обычную симметрическую производную (//. /')(х). В соответствии с (9) имеем (рн хКпйВ х) ~(1)Лх). где (/). хКп) есть интегральный оператор с ядром

Поскольку ядро Е„ь(х,х') не обязательно суммируемо при И —> / в силу возможных сингулярностей при х' —* х, то обычно оговаривают, что в (13) значение смещения И сколь угодно мало (И > 0) за исключением точки И = 0. В тех вычислениях, которые связаны с указанными интегралами, естественно введение условия И > и. где ¡л - некий параметр вычислительного алгоритма, выбор которого находится в зависимости от величины о (см. (5)). В ряде случаев удается связать выбор значений предельного шага дискретизации ¡.I для разностного оператора (12) с особенностями аналитического поведения исследуемых функций/(х) в пределах И Так, например, в работе автора [2] показано, что если /(х) е Л/рд / а , где показатель Липшица а е (0;1), то для функций {Кп/\х) имеет место соотношение

, с

и<п< —

(У

Щп

где с - некоторая константа. Теперь обратимся к интегралам с

ядром Еп (х, х') (13). Имеем формально

(ъ \ Ъ 1 , , ъ

А ¡Кл{х,х'Мх',Л

) а а

Поскольку Кп(х,х')= Кп(х-х'), то нетрудно показать справедливость следующего равенства

К, А Xх'х') = к„

С учетом этого соответствующую интегральную сумму для (14) можно представить в виде

Шд

„ ¿п ¡=1 ¿п

где

Для сходимости подобных интегральных сумм необходимо соответствующее согласование процессов предельного перехода при п —> да и т —> да. Для последующего анализа обратимся к ядрам сингулярного интеграла Пуассона, записав их предварительно в виде

Рп{х,*') = — .—-' , (« = 1,2,...),

п п \х-х!) + а

где с! {с1 > 0) - некоторая постоянная. Для этого ядра нетрудно доказать, что

2 h

<Л(х,%,п)< 00

при условии ф! / х. Последнее ограничение можно заменить условием |х — щ > /л. о чем уже говорилось выше. В этих условиях можно писать соотношение

\nEn,h

для всех пар (х, // ). Поскольку в соответствии с (16) имеем преобразование Е: dF(f) —> {phf). то можно условно говорить об операторе обобщенного «дифференцирования» исследуемой функции /(х), заданной сингулярным интегралом Стилтьеса для первообразной l '(x. f). Символ «~» в (16) связан именно с подобным характером дифференцирования.

При вычислениях интегральных сумм (15) необходимо указать способ выбора последовательностей неопределенных точек \cj\",. Послед-

нее достигается путем введения той или иной дополнительной информации о возможном локальном поведении /' (х). В дальнейшем считаем, что ВД в представленных выше интегралах положительна вйи при этом нигде не убывает (не возрастает). Последнее предположение о свойствах можно считать вполне естественным для интегралов Стилтьеса, где 1<(х) играет роль так называемой интегрирующей функции (тоже некоторой меры, определенной на £2). В связи с этим далее будем использовать запись / е фТ . Поскольку в (15) считается заданной система узлов Iх/ }'"=!' т0 ЗДесь представлена вектором Р = Щ ] е Фт Т , где Ф„.А конечномерный аналог функционального пространства Ф|. Все вектора /' , входящие в Фт Тс Яш характеризуются двумя условиями, а именно, ^ > 0, для всех / = 1... т.

Для завершения процесса дискретизации интеграла (15) остается выбрать подходящую аналитическую модель У (х. Р^ для искомой функции /' (х) при условии конечно, что у(х. Р) е Ф Т для любого вектора Р е Фт Т . Простейшим вариантом подобной модели может быть кусочно-линейная функция У<|)(х. р) из ФА. определенная на [а,Ь\ следующим образом

^

/*} + А; (^Хх - х1)/ АДх) при х1 <х< х/+1,

Рт + {НЬ)~Рт X* ~ Хт )/{Ь - Хт ) ПРИ Хт<Х<Ь,

где = А7(х) = х/+1 -X,, Р(а) = 0, а<х1 <Ь, 1 1 ...т

В представленной модели элемента ^(х) из Ф| все узлы х; - внутренние точки отрезка [а,Щ. Функция У^1'(х, /') может использоваться во всех интегралах Стилтьеса, о которых выше шла речь. В частности, если (17) подставить в формулу (16) (формула дифференцирования), то получим

}£;,/1

а 1=1

где обозначено

Йа), (*) = 77-т \ЕпЛ х'У1х'

ДЛХ/ XI

Поскольку А, (/' ) = 1<)+] — I'). то правую часть (18) можно представить для каждой пары (/7.x) в виде выражения ((}/' ). где матрица С определяется формулой

С = {ои } = {

В заключение приведем пример, иллюстрирующий возможные приложения представленной выше теории представления функций. Напомним, что в ряде прикладных задач искомым функциям в качестве исходного предположения предписывается необходимость представления в виде интеграла Стилтьеса. Подобные ситуации могут иметь место в теории потенциалов и тех задачах теоретической физики, которые используют интегральные операторы потенциального типа. Примером может служить функция/(х), представленная интегралом

1Х~>1

где О (х.г) вполне регулярна в каждой точке (х.г) е Дг х 0.„ //г (0.1) параметр и /¿(у)е Ф|. В этом примере речь идет о так называемых потенциалах Рисса [6]. Вводим далее для исследуемой функции /(х) ее сингулярный интеграл (Жй/Хх) относительно последовательности \Кп в

соответствии с правилом ^ Кп

при п —> да.

Подставляя

, Ь, &=1пу ОпА^'УШ={о„А1Хх) /(*)где п 00'

I ! У

где обозначено

(А,>-}••) I ^Дх.х')^Л'г),/х'

И->1

Если /(х) представлена своим а - приближением /(х) (тоже вектором £ размерности т), то задача «восстановления» /(х) по приближенным данным в рамках изложенного подхода сводится к численному решению интегрального уравнения вида

= х),

Используя рассмотренные выше методы численного решения подобных уравнений, найдем последовательность его приближенных решений {//„ . Символ « ~ » как и ранее, подчеркивает то обстоятельство, что эти решения соответствуют приближенной правой части (21) и получены методом обобщенной инверсии интегральных операторов в форме интеграла Стилтьеса (тоже методами условной оптимизации на симплексе Ф |) • С учетом сказанного искомая функция/(х) вида (19) определяется как предельный элемент последовательности

х~у\

Для определения множества решений (22) требуется построение вычислительного алгоритма на основе метода обобщенной инверсии интегральных уравнений Фредгольма первого рода в форме интеграла Стилтьеса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа / К. Лан-цош. - М.: Физматлит, 1961. -524 с.

2. Наац В.И. Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений с приближенными данными на основе представления решения интегралами / В.И. Наац, И.Э. Наац, P.A. Рыскаленко//Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. - Ставрополь. -2014. - №4. - С. 60-71.

3. Наац И.Э. Расчетно-аналитические модели для уравнений параболического типа с приближенными данными на основе методов прикладного гармонического анализа и вариационного метода взвешенной невязки / В.И. Наац, И.Э. Наац, P.A. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. - Ставрополь, 2015» — № 3. - С. 22-34.

4. Наац И.Э. Метод решения некорректной задачи для дифференциального уравнения с приближенно заданными функциями на основе представления решения интегральными уравнениями / В.И. Наац, И.Э. Наац, P.A. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. - Ставрополь, 2015. - № 4. - С. 16-31.

5. Данфорд Н. Линейные операторы: общая теория / Н, Данфорд, Дж. Т. Шварц. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. -427 с.

6. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика / В.И. Лебедев. - М.: Физматлит, 1994. - 296 с.

7. Натансон И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натон-сон. - М.: Физматлит, 1949. - 526 с.

8. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М., 1979. - 288 с.