Итерационные методы решения для задачи течения и переноса в перфорированных областях

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.63

В. Н. Алексеев, М. В. Васильева, С. П. Степанов

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЯ И ПЕРЕНОСА В ПЕРФОРИРОВАННЫХ ОБЛАСТЯХ

В работе рассматриваются задачи переноса и течения в перфорированных областях. Для численного решения задачи строится конечно-элементная аппроксимация уравнения с использованием метода конечных элементов. При решении таких задач возникают трудности для расчета уравнений конвекции-диффузии, в случае когда конвективный перенос существенно преобладает над диффузионным. Стандартная аппроксимация с использованием классического метода Галеркина может привести к возникновению осцилляций в решении задачи при высоких числах Пекле. Для борьбы с осцилляциями используются те или иные методики стабилизации. Для получения устойчивого решения задачи используется метод SUPG (streamline upwind Petrov-Galerkin), который используется для стабилизации классического метода Галеркина. Вычислительная реализация основана на вычислительной библиотеке Fenics. Приводятся результаты численного исследования решения задачи при различных числах Пекле для случаев с использованием схем со стабилизацией и без. Течение в перфорированной области рассчитывается с использованием решения задачи Стокса. Проведено численное сравнение итерационных методов с предобуславливанием для решения возникающих систем линейных уравнений. Представлены результаты численного моделирования задач в перфорированных областях в двумерной и трехмерной постановках, в том числе и с использованием параллельных вычислений.

Ключевые слова: нестационарное уравнение конвекции-диффузии, задача Стокса, перфорированная область, метод конечных элементов, численная стабилизация, SUPG, итерационные методы, вычислительный кластер, Fenics, метод Галеркина.

АЛЕКСЕЕВ Валентин Николаевич - магистрант научно-исследовательской кафедры вычислительных технологий ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: alekseev.valen@mail.ru

ALEKSEEV Valentin Alekseevich - Master's Student of the Research Department of Computational Technologies, Institue of Mathematics and Informatics, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

ВАСИЛЬЕВА Мария Васильевна - доцент-исследователь научно-исследовательской кафедры вычислительных технологий ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: vasilyevadotmdotv@gmail.com

VASILYEVA Maria Vasilyevna - Associate Professor-Researcher of the Research Department of Computational Technologies, Institue of Mathematics and Informatics, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

СТЕПАНОВ Сергей Павлович - аспирант научно-исследовательской кафедры вычислительных технологий ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: cepe2a@inbox.ru

STEPANOVSergei Pavlovich - PhD Student of the Research Department of Computational Technologies, Institue of Mathematics and Informatics, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

V. N. Alekseev, M. V. Vasilyeva, S. P. Stepanov

Iterative Methods for Solving for the Problem of Transfer and Flow in Perforated Domains

In this paper we consider the problem of transfer and flow in perforated domains. We construct the finite element approximation of the equation using the finite element method. In solving these problems have difficulty to calculate the convection-diffusion equations in the case when the convective transport greatly dominates over diffusion. The standard approximation using the classical Galerkin method can lead to oscillations in the solution of the problem at high Peclet numbers. For a stable solution to the problem is used SUPG method (streamline upwind Petrov-Galerkin), which is used to stabilize the classical Galerkin method. We present the results of numerical investigation of solving the problem at various Peclet numbers for the cases with the use of schemes with and without stabilization. The flow in the perforated domains is calculated using the Stokes problem. We perform a numerical comparison of iterative methods with preconditioners for solving systems of linear equations. We present the results of numerical modeling problems in perforated domains in two-dimensional and three-dimensional productions, including with the use of parallel computing.

Keywords: unsteady-state convection-diffusion equation, Stokes problem, perforate domain, finite element method, numeric stabilization, SUPG, iterative methods, compute cluster, Fenics, Galerkin method.

Введение

Комплексные процессы в перфорированных областях встречаются во многих научных и инженерных задачах, например, моделирование процессов в композитных материалах или в сильно гетерогенных пористых средах [1-3]. Основной особенностью таких задач является то, что происходящие в них процессы имеют разномасштабную природу [4-6]. Для решения таких задач на практике используются методы аналитического или численного усреднения [7]. Процессы течения в пористой среде на макроуровне описываются законом Дарси и являются результатом усреднения уравнений Стокса для перфорированных областей [8]. Такие методы имеют ограниченную область применения и работают не для всех случаев. Для более точного учета процессов переноса и течения в пористой среде необходимо комбинировать подходы, связанные с моделированием на микроуровне, посредством прямого расчета течений с использованием моделей гидродинамики с моделями, описывающими процессы фильтрации на макроуровне, т. е. на уровне действия закона Дарси [9].

Для описания процессов фильтрации на микроуровне можно использовать уравнения Навье-Стокса (или Стокса) в неоднородных областях посредством искусственного введения очень малых коэффициентов для некоторых подобластей [10-13]. Отметим, что такой подход не является оптимальным с вычислительной точки зрения, поскольку приводит к сильному увеличению размерности задачи. Другой подход связан с моделированием процессов гидродинамики в перфорированных областях, который позволяет существенно сократить размерность задачи за счет удаления подобластей, в которых не наблюдаются процессы течения и переноса.

В данной работе рассматривается численное решение задачи конвективного и диффузионного переноса, возникающего при моделировании течений жидкости в пористых средах на микроуровне. Течение жидкости в перфорированных областях описывается уравнением Стокса, поскольку течения в них имеют малые скорости [2]. Для аппроксимации уравнения Стокса используется смешанный метод конечных элементов, позволяющий строить аппроксимации, удовлетворяющие LBB и (inf-sup) условиям [14, 15]. При решении таких задач возникают трудности для расчета уравнений конвекции-диффузии в случае, когда конвективный перенос существенно преобладает над диффузионным [16-19]. Стандартная аппроксимация с использованием классического метода Галеркина может приводить к возникновению осцилляций в решении задачи при высоких числах Пекле. Для борьбы с осцилляциями используются те или иные методики стабилизации [16, 17]. Среди классиче-

ских методов стабилизации можно выделить такие методы, как противопотоковая аппроксимация конвективного слагаемого посредством введения искусственной диффузии, метод SUPG (streamline upwind Petrov-Galerkin) или разрывный метод Галеркина с противопотоко-выми аппроксимациями конвективного слагаемого [20-25]. Основными недостатками таких методов является появление дополнительных стабилизирующих слагаемых в уравнении, которые приводят к усложнению структуры матрицы [26]. Известно, что для решения возникающих после аппроксимации задач необходимо использовать те или иные численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для решения больших систем СЛАУ необходимо использовать итерационные методы с предобуславливанием [27, 28]. Отметим, что в итерационных методах скорость сходимости напрямую зависит от числа обусловленности задачи. Для ускорения сходимости итерационного метода используются различные предобуславливатели.

Работа состоит из 5 частей. В первой части рассмотрена постановка задачи конвективного и диффузионного переноса и течения в перфорированных областях. Математическая модель описывается нестационарным уравнением конвекции-диффузии для переноса примеси и уравнением Стокса для моделирования течения в расчетной области. Во второй части приводится конечно-элементная аппроксимация уравнений. Для уравнения конвекции-диффузии используется метод численной стабилизации SUPG, позволяющий получить устойчивое решение для задач переноса при высоких значениях числа Пекле. В третьей части приводятся результаты численного исследования решения задачи при различных числах Пекле, а также представлены результаты численного сравнения различных итерационных методов с предобуславливанием для решения возникающих систем линейных уравнений. Результаты численного моделирования задач в перфорированных областях в трехмерной постановке с использованием параллельных вычислений представлены в четвертой части. В конце работы приводится заключение.

Постановка задачи

Рассмотрим нестационарное уравнение конвекции-диффузии, описывающее перенос примеси в перфорированных средах.

дС + u-Vc - div (dVc) = f. x efi, T > 0,

где с - концентрация, d = d(x) - коэффициент диффузионного переноса, и - скорость течения жидкости в пористой среде, определяемая уравнением Стокса. Уравнение (1) дополняется начальным условием:

c(х,0) = c0, x sfi

и граничными условиями:

с = (1,0), x еГ1, дс

-d— = 0, x е Г2,Г3. dn

Перфорированная расчетная область представлена на рис. 1.

Рис. 1. Перфорированная расчетная область

Для описания течения в перфорированной области будем использовать уравнения Стокса.

-uAu + Vp = f, x sfi,

divu = 0, x e Q.

Система уравнений дополняется соответствующими условиями для скорости течения:

u = g

На границах перфораций будем задавать u=0.

Далее рассмотрим аппроксимацию уравнений (1)-(4) с использованием метода конечных элементов.

Дискретная задача

Для численного решения задачи проведем аппроксимацию уравнений переноса и течения с использованием метода конечных элементов. Для системы уравнений (4) запишем вариационную постановку в следующем виде: найти (u, p) е V (Q) х Q (Q) такие, что

J^

Jdiv uqdx = 0, a

где(v,q)eV(Q)xQ(Q), d=2,3. В качестве базисных функций элементы Тэйлор-Худ (TH), удовлетворяющие LBB и (inf-sup) условиям [2].

Проведем дискретизацию линейного уравнения конвективного и диффузионного переноса (1) с помощью классического метода Галеркина, в котором тестовые и пробные функции совпадают. Пусть c и z е Q(Q), вариационную постановку запишем следующим образом:

cn+1 _ cn

J-zdx + J

a T a a

где Vr e Q, для аппроксимации по времени использовали неявную разностную сетку. Систему уравнений запишем в матричной форме

n+1 _ n

M--— + Acn+1 = 0,

т

где

M" =[mh j ] = JfwA

An = \atj 1= J d (x ^VtyjVVjdx + J(u,Vtyj )<Pjdx a a

Nf

и c = XCj$j. В качестве базисных функций ф. будем использовать стандартные линейные

i=1

базисные функции.

Отметим, что для уравнения (7) сеточное число Пекле определяется следующим образом: Peh = Umax , где d . <d<d - верхняя и нижняя границы коэффициента диффузии,

2dmax

u - максимальная скорость фильтрации и h - характерный шаг сетки. При больших числах Пекле Peh>1 представленная аппроксимация может приводить к появлению осцил-ляций в решении, и поэтому необходимо использовать специальные схемы аппроксимации со стабилизацией [8].

В отличие от метода с искусственной диффузией метод SUPG (streamline upwinding Petrov-Galerkin) обеспечивает более высокий порядок аппроксимации. Основной идеей SUPG является модификация тестовых функций с учетом направления течения. В методе SUPG используется следующая вариационная постановка: найти сй+1 е Q

п+1 п С - С

2СХ + \ (с"+\У5) + \и -Чсп+хЫх = 0,

где г =

2 и

ти -У г

У г е Q. Таким образом, поскольку пробное пространство Q и тестовое

пространство Q не совпадают, этот метод является методом Петрова-Галеркина (PG, Рейот-Galerkin). Полученная аппроксимация уже не может быть интерпретирована как схема с искусственной диффузией, поскольку само уравнение остается прежним, а меняется только тестовая функция г.

Численное исследование двумерной задачи

Приведем результаты численного решения двумерной задачи в трех областях со случайным расположением круглых перфораций с различной долей занимаемого ими объема Ф=0,1 (расчетная область 1), 0,2 (расчетная область 2) и 0,3 (расчетная область 3), которые представлены на рис. 2-4. Расчет проведем для Т =1 с шагом по времени т=0,02.

4» к

ль "

* « <

Г И п ЛЬ

«V чг « ,Г .

" е п ¡ь

Рис. 2. Перфорированная расчетная область 1 для ф=0,1

" ль « ль а " ~ "

~ й - :: а » „

11 а " ль

_ " « ¡ь  1 и.

" * (г 1! " чг а

" ЧГ " " ЛЬ о -

й г 1г

9 (» ль а :Г " ль а а I» ,

» - '! ^ чр «

" о * « „ а й^ а  ¿3

« » ль " " _ « У

И " г И И « ц а

Рис. 3. Перфорированная расчетная область 2 для ф=0,2

II А

к счР "А4*" а

Г««"- - Уъ

л

" " «г

с п

Рис. 4. Перфорированная расчетная область 3 для ф=0,3

Численное исследование будем проводить для трех различных сеток. Для перфорированной области 1 (ф=0,1) будем использовать следующие расчетные сетки:

• сетка 1: N =7050, N =11091 и N =3952;

с 7 е V

• сетка 2: N =23384, N =36035 и N =12562;

с 7 е V

• сетка 3: N =82072, N =124938 и N =42777.

с 7 е V

Для перфорированных областей 2 (ф=0,2) и 3 (ф=0,3) построим аналогичные расчетные сетки. Проведем моделирование и исследуем задачи при различных коэффициентах диффузионного переноса d=1, 10-1, 10-3 и 10-5. Соответствующие численные значения Пекле для уравнения концентрации представлены в табл. 1.

Вычислительная реализация основана на вычислительной библиотеке Fenics [25]. Геометрическая область и расчетная сетка построены с использованием свободно распространяемой программы Gmsh [29]. Для визуализации полученных результатов мы сохраняли поля скоростей и концентраций в формате vtk [30] затем визуализировали посредством программы Paraview [31].

Представим результаты численного решения задачи для мелкой расчетной сетки 3 для трех перфорированных областей на рис. 5-7. На рис. 8 представлены результаты распределения поля концентраций на последний момент времени для перфорированной области 1 (ф=0,1). Для численного решения уравнения концентрации был использован метод SUPG, который позволяет проводить расчеты при достаточно больших числах Пекле, т. е. решать уравнения с доминирующей конвекцией.

Рис. 5. Распределение поля скоростей по оси X, Y и концентрации на последний момент времени (слева направо) в перфорированной области 1 (ф=0,1) с использованием расчетной сетки 3 с коэффициентом диффузионного переноса, d=105

Таблица 1

Значение числа Пекле для трех расчетных сеток при разных коэффициентах диффузионного переноса для различных расчетных областей при ф=0,1, 0,2 и 0,3

Сетка 1 Сетка 2 Сетка 3

ф=0,1

d=1 0,04 0,02 0,01

d=10-1 0,4 0,2 0,1

d=10-3 40 20 10

d=10-5 4000 2000 1000

Продолжение таблицы 1

Сетка 1 Сетка 2 Сетка

Ф=0,2

d=1 0,05 0,02 0,01

d=10-1 0,5 0,26 0,13

d=10-3 50 26 13,5

d=10-5 5000 2600 1350

Ф=0,3

d=1 0,09 0,04 0,02

d=10-1 0,9 0,4 0,2

d=10-3 90 40 20

d=10-5 9000 4000 2000

Рис. 6. Распределение поля скоростей по оси X, Y и концентрации на последний момент времени (слева направо) в перфорированной области 2 (ф=0,2) с использованием расчетной сетки 3 с коэффициентом диффузионного переноса, d=105

Рис. 7. Распределение поля скоростей по оси X, Y и концентрации на последний момент времени (слева направо) в перфорированной области 2 (ф=0,3) с использованием расчетной сетки 3 с коэффициентом диффузионного переноса, d=105

Рис. 8. Распределение концентраций при d=10-1, d=10-3 и d=10-5 для перфорированной области 1 (ф=0,1) на конечный момент времени

Проведем численное исследование количества итераций для метода GMRES при использовании предобуславливателей. В табл. 2 представлено среднее количество итераций для перфорированной области 2 (ф=0,2) при различных коэффициентах диффузии d=1, 10-1, d=10-3 и d=10-5 и при d=0. В качестве предобуславливателей были использованы следующие: none - итерационный метод без предобуславливания, ilu - метод неполной LU-факторизации, sor - метод последовательно верхней релаксации, amg - алгебраический многосеточный метод. Исходя из проведенных расчетов, можно сделать следующие выводы. Количество итераций сильно зависит от используемой расчетной сетки. Например, при расчетах на грубой расчетной сетке 1 среднее количество итераций для метода без предобуславливателя составляет 113,26, для средней расчетной сетки 2 - 223,3, а для третьей сетки - 551,0 итераций для коэффициента диффузии d=1. При уменьшении коэффициента диффузии d количество итераций значительно сокращается до 22,12, 31,48 и 38,02 итераций для расчетных сеток 1, 2 и 3, соответственно. Использование предобуславливателя позволяет сократить количество итераций, так, например, предобуславливатель ilu сокращает количество итераций примерно в 3-4 раза. При этом предобуславливатель sor сокращает количество итераций аналогично предобуславливателю ilu. Отметим, что многосеточный метод в качестве предобуславливате-ля доводит до 4-5 итераций.

Численное исследование трехмерной задачи

В данной части приведем численные результаты для задачи переноса и течения в перфорированных областях в трехмерной постановке. Для численного решения представленной задачи посмотрим расчетную область со случайным расположением перфораций. Для построения области и генерации расчетной сетки была использована программа Gmsh. Расчетная область и расчетная сетка представлены на рис. 9. Количество тетраэдральных элементов 1016931, граней - 2098957 и узлов - 180261. Расчет проводился при T=1,5 с шагом по времени т=0,05.

Вычисления будем производить на вычислительном кластере «Ариан Кузьмин» Северо-Восточного федерального университета. Для численного решения уравнения для концентраций используется численная стабилизация с использованием метода SUPG. Для аппроксимации задачи Стокса (течения жидкости) были применены линейные базисных функций для скорости и давления с использованием дополнительной стабилизации. На рис. 10-11 представлены распределение поля скоростей по X, Y и Z, а также поле концентраций на различные моменты времени /=0,05, 0,75 и 1,5. Для решения уравнения переноса был использован итерационный метод GMRES с предобуславливателем sor. Исследуем эффективность

Таблица 2

Среднее число итераций для трех расчетных сеток с использованием итерационного метода GMRES и различных предобуславливателей. Перфорированная область 2 Ф=0,2 при различных коэффициентах диффузии й=1, 10-1, ¿=10-3 и ¿=10-5 и при

ilu sor amg none

Сетка 1

d=1 42,0 51,68 4,8 113,26

d=10-1 16,0 20,5 4,0 35,26

d=10-3 6,22 7,86 4,0 19,88

d=10 "5 6,86 8,84 4,0 22,0

d=0 6,86 8,84 4,0 22,12

Сетка 2

d=1 75,7 93,56 5,0 223,3

d=10-1 28,54 35,6 4,0 55,74

d=10-3 8,02 10,34 4,0 26,9

d=10 "5 8,78 10,46 4,0 31,4

d=0 8,82 10,48 4,0 31,48

Сетка 3

d=1 142,76 177,76 5,0 551,0

d=10-1 50,32 61,64 4,2 96,24

d=10-3 11,1 14,12 4,0 34,42

d=10 "5 11,76 13,6 5,0 38,02

d=0 11,8 14,06 5,0 38,02

Рис. 9. Расчетная область и расчетная сетка для трехмерной расчетной области со случайным расположением перфораций

распараллеливания. Для сравнения возьмем следующее количество процессов 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64. В табл. 3 представлены результаты численного сравнения времени счета задачи и среднее число итераций. При количестве запущенных процессов, меньших 16, время счета сокращается почти вдвое. Например, время счета при счете на одном процессе составляет 2325 секунд (около 38 минут), а при расчете на 16 процессах время счета 381 секунда (около 6 минут), т. е. время счета сократилось более чем в 6 раз. При этом количество итераций немного варьируется от 430 до 758. Отметим также, что среднее количество итераций при расчете на 32 процессах с использованием итерационного метода с предобуславливателем sor составляет 430 итераций, а при использовании метода без предобуславливания составляет 6014 итераций.

Рис. 10. Распределение поля скорости по оси X, Y и Z для трехмерной перфорированной расчетной области

Рис. 11. Распределение концентраций на различные моменты времени Г=0,05, 0,75 и 1,5 (слева направо) при коэффициенте диффузии d=10-5 для трехмерной перфорированной расчетной области

Таблица 3

Время выполнения работы и среднее количество итераций при различном количестве запущенных параллельных процессов на вычислительном кластере при коэффициенте диффузии ¿=10-5

Количество процессов Время счета, сек Среднее количество итераций

1 2325,0 430,2

2 1299,4 555,0

Продолжение таблицы 3

Количество процессов Время счета, сек Среднее количество итераций

4 777,4 602,8

8 555,8 638,9

16 381,1 715,6

32 255,5 758,3

Заключение

В данной работе мы рассмотрели задачи конвективного и диффузионного переноса в перфорированных областях в двумерной и трехмерной постановках. Для численного решения были построены схемы аппроксимации со стабилизацией для конечно-элементной аппроксимации. Предложенные аппроксимации позволяют получить гладкое решение задачи даже при очень малом диффузионном слагаемом или при его отсутствии. Представили результаты численного решения в двумерной постановке для различных коэффициентов диффузии. Проведено численное исследование итерационных методов с предобуславливанием для решения задачи конвекции диффузии на различных расчетных сетках. Результаты решения задачи в трехмерной постановке проведены на вычислительном кластере СВФУ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ № 15-31-20856 и гранта президента РФ № 14.Y30.16.9613-MK.

Л и т е р а т у р а

1. Efendiev Y., Iliev O., Kronsbein C. Multilevel Monte Carlo methods using ensemble level mixed Ms-FEM for two-phase flow and transport simulations // Computational Geosciences. - 2013. - Vol. 17. - № 5.

- Pp. 833-850.

2. Tomin P., Lunati I. Hybrid Multiscale Finite Volume method for two-phase flow in porous media // Journal of Computational Physics. - 2013. - Vol. 250, Pp. 293-307.

3. Васильева М. В., Васильев В. И., Тимофеева Т. С. Численное решение методом конечных элементов задач диффузионного и конвективного переноса в сильно гетерогенных пористых средах // Ученые записки Казанского университет. Серия физико-математические науки. - 2016. - Т. 158.

- С. 243-262.

4. Chung E. T. et al. Online Adaptive Local Multiscale Model Reduction for Heterogeneous Problems in Perforated Domains // arXiv preprint arXiv: 1605.07645. - 2016.

5. Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M. Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2016. - Vol. 304. - Pp. 84-99.

6. Chung E. T. et al. Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains // Applicable Analysis. - 2015. - Pp. 1-26.

7. Tartar L. The general theory of homogenization: a personalized introduction. - Springer Science& Business Media, 2009. - Vol. 7.

8. Brenner S., Scott R. The mathematical theory of finite element methods. - Springer Science & Business Media, 2007. - Vol. 15.

9. Tomin P., Lunati I. Investigating Darcy-scale assumptions by means of a multiphysics algorithm // Advances in Water Resources. - 2015.

10. Iliev O. et al. Modeling and simulation of filtration processes // Currents in Industrial Mathematics.

- Springer Berlin Heidelberg, 2015. - Pp. 163-228.

11. Verleye B. et al. Permeability of textile reinforcements: Simulation, influence of shear and validation // Composites Science and Technology. - 2008. - Vol. 68, № 13. - Pp. 2804-2810.

12. Griebel M., Klitz M. Homogenization and numerical simulation of flow in geometries with textile microstructures // Multiscale Modeling & Simulation. - 2010. - Vol. 8, № 4. - Pp. 1439-1460.

13. Iliev O., Lakdawala Z., Starikovicius V. On a numerical subgrid upscaling algorithm for Stokes-Brink-man equations // Computers & Mathematics with Applications. - 2013. - Vol. 65, № 3. - Pp. 435-448.

14. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. - Springer Science & Business Media, 2012. - Vol. 15.

15. Raviart P. A., Thomas J. M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Mathematical aspects of finite element methods. - Springer Berlin Heidelberg. - 1977. - Pp. 292-315.

16. Donea J., Huerta A. Finite element methods for flow problems. - John Wiley & Sons, 2003.

17. Brooks A. N. A Petrov-Galerkin finite element formulation for convection dominated flows: дис.

- California Institute of Technology, 1981.

18. Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V. Explicit-implicit schemes for convection-diffusion-reaction problems // Numerical Analysis and Applications. - 2012. - Vol. 5, № 4. - Pp. 297-306.

19. Afanas'eva N. M., Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems // Russian Mathematics. - 2013. - Vol. 57, № 3. - Pp. 1-11.

20. Riviere B. Discontinuous Galerkin methods for solving elliptic and parabolic equations: theory and implementation. - Society for Industrial and Applied Mathematics, 2008.

21. Riviere B., Wheeler M. F. Discontinuous Galerkin methods for flow and transport problems in porous media // Communications in numerical methods in engineering. - 2002. - Vol. 18, № 1. - С. 63-68.

22. Arnold D. N. et al. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM journal on numerical analysis. - 2002. - Vol. 39, № 5. - Pp. 1749-1779.

23. Cockburn B., Shu C. W. The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection-diffusion systems // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1998. - Vol. 35, № 6. - Pp. 2440-2463.

24. Cockburn B., Shu C. W. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems // Journal of scientific computing. - 2001. - Vol. 16, № 3. - Pp. 173-261.

25. Logg A., Mardal K. A., Wells G. (ed.). Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. - Springer Science & Business Media, 2012. - Vol. 84.

26. Ольшанский М. А. Анализ многосеточного метода для уравнений конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004.

- Т. 44, № 8. - С. 1450-1479.

27. Vabishchevich P., Vasil'eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration // Mathematical Modelling and Analysis. - 2012. - Vol. 17, № 4. - Pp. 532-548.

28. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. - Siam, 2003.

29. Software GMSH (http://genz.org/gmsh/), 2016.

30. Software VTK (http://www.vtk.org), 2016.

31. Software package PARAVIEW (http://www.paraview.org), 2016.

R e f e r e n c e s

1. Efendiev Y., Iliev O., Kronsbein C. Multilevel Monte Carlo methods using ensemble level mixed MsFEM for two-phase flow and transport simulations // Computational Geosciences. - 2013. - Vol. 17. - № 5.

- Pp. 833-850.

2. Tomin P., Lunati I. Hybrid Multiscale Finite Volume method for two-phase flow in porous media // Journal of Computational Physics. - 2013. - Vol. 250, Pp. 293-307.

3. Vasil'eva M. V., Vasil'ev V. I., Timofeeva T. S. Chislennoe reshenie metodom konechnykh elementov zadach diffuzionnogo i konvektivnogo perenosa v sil'no geterogennykh poristykh sredakh // Uchenye zapiski Kazanskogo universitet. Seriia fiziko-matematicheskie nauki. - 2016. - T. 158. - S. 243-262.

4. Chung E. T. et al. Online Adaptive Local Multiscale Model Reduction for Heterogeneous Problems in Perforated Domains // arXiv preprint arXiv: 1605.07645. - 2016.

5. Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M. Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2016. - Vol. 304. - Pp. 84-99.

6. Chung E. T. et al. Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains // Applicable Analysis. - 2015. - Pp. 1-26.

7. Tartar L. The general theory of homogenization: a personalized introduction. - Springer Science& Business Media, 2009. - Vol. 7.

8. Brenner S., Scott R. The mathematical theory of finite element methods. - Springer Science & Business Media, 2007. - Vol. 15.

9. Tomin P., Lunati I. Investigating Darcy-scale assumptions by means of a multiphysics algorithm // Advances in Water Resources. - 2015.

10. Iliev O. et al. Modeling and simulation of filtration processes // Currents in Industrial Mathematics.

- Springer Berlin Heidelberg, 2015. - Pp. 163-228.

11. Verleye B. et al. Permeability of textile reinforcements: Simulation, influence of shear and validation // Composites Science and Technology. - 2008. - Vol. 68, № 13. - Pp. 2804-2810.

12. Griebel M., Klitz M. Homogenization and numerical simulation of flow in geometries with textile microstructures // Multiscale Modeling & Simulation. - 2010. - Vol. 8, № 4. - Pp. 1439-1460.

13. Iliev O., Lakdawala Z., Starikovicius V. On a numerical subgrid upscaling algorithm for Stokes-Brinkman equations // Computers & Mathematics with Applications. - 2013. - Vol. 65, № 3. - Pp. 435-448.

14. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. - Springer Science & Business Media, 2012. - Vol. 15.

15. Raviart P. A., Thomas J. M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Mathematical aspects of finite element methods. - Springer Berlin Heidelberg. - 1977. - Pp. 292-315.

16. Donea J., Huerta A. Finite element methods for flow problems. - John Wiley & Sons, 2003.

17. Brooks A. N. A Petrov-Galerkin finite element formulation for convection dominated flows: dis.

- California Institute of Technology, 1981.

18. Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V. Explicit-implicit schemes for convection-diffusion-reaction problems // Numerical Analysis and Applications. - 2012. - Vol. 5, № 4. - Pp. 297-306.

19. Afanas'eva N. M., Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems // Russian Mathematics. - 2013. - Vol. 57, № 3. - Pp. 1-11.

20. Riviere B. Discontinuous Galerkin methods for solving elliptic and parabolic equations: theory and implementation. - Society for Industrial and Applied Mathematics, 2008.

21. Riviere B., Wheeler M. F. Discontinuous Galerkin methods for flow and transport problems in porous media // Communications in numerical methods in engineering. - 2002. - Vol. 18, № 1. - S. 63-68.

22. Arnold D. N. et al. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM journal on numerical analysis. - 2002. - Vol. 39, № 5. - Pp. 1749-1779.

23. Cockburn B., Shu C. W. The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection-diffusion systems // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1998. - Vol. 35, № 6. - Pp. 2440-2463.

24. Cockburn B., Shu C. W. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems // Journal of scientific computing. - 2001. - Vol. 16, № 3. - Pp. 173-261.

25. Logg A., Mardal K. A., Wells G. (ed.). Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. - Springer Science & Business Media, 2012. - Vol. 84.

26. Ol'shanskii M. A. Analiz mnogosetochnogo metoda dlia uravnenii konvektsii-diffuzii s kraevymi usloviiami Dirikhle // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. - 2004. - T. 44, № 8.

- S. 1450-1479.

27. Vabishchevich P., Vasil'eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration // Mathematical Modelling and Analysis. - 2012. - Vol. 17, № 4. - Pp. 532-548.

28. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. - Siam, 2003.

29. Software GMSH (http://genz.org/gmsh/), 2016.

30. Software VTK (http://www.vtk.org), 2016.

31. Software package PARAVIEW (http://www.paraview.org), 2016.