Аналитический метод исследования кинетики процесса растекания капли

УДК 518.8:53

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕТИКИ ПРОЦЕССА РАСТЕКАНИЯ КАПЛИ

Лесев Вадим Николаевич к.ф.-м.н., доцент

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, Нальчик, Россия

В работе исследована математическая модель процесса растекания капли, лежащей на горизонтальной подложке. На основе асимптотического метода и метода разделения переменных получено приближенное аналитическое решение задачи

Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, КАПЛЯ, РАСТЕКАНИЕ, АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

UDC 518.8:53

ANALYTICAL METHOD OF THE RESEARCH OF KINETICS FOR THE PROCESS OF DROPLET DISPERSION

Lesev Vadim Nikolaevich Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov, Nalchik, Russia

In the article we have concerned the researched mathematical method for the process of droplet dispersion on a horizontal surface. On the basis of the asymptotical method and the method of the division of variables we have found the approximate analytical solution of the problem

Keywords: MATHEMATICAL MODEL, DROPLET, DISPERSION, ANALYTICAL SOLUTION

Введение

На сегодняшний день существует несколько подходов описания процессов растекания капель по горизонтальным поверхностям. Подобная неоднозначность объясняется тем, что на линии трехфазного контакта прямой гидродинамический подход не всегда дает удовлетворительные результаты, а в некоторых случаях приводит к сингулярности получаемых решений.

Один из способов регуляризации решений состоит в исследовании процесса растекания жидкой фазы по смоченной поверхности или пленке [1-3]. При этом авторы подобных исследований оправдывают такой способ описания тем, что при растекании хорошо смачивающей жидкости по твердой фазе на последней из-за адсорбции паров может возникать тонкая пленка. Другие [4-6] объясняют появление пленки наличием микрошеро ховатостей и микротрещин, по которым жидкость распространяется гораздо быстрее благодаря капиллярным эффектам.

1. Постановка задачи

В данной работе будем предполагать, что твердая фаза в системе газ-жидкость-подложка, остается сухой вплоть до линии контакта трех сред. При таком подходе в случае изотермического растекания роль главенствующей из движущих сил играет расклинивающее давление [7-9].

Выбор такого подхода подразумевает, что вблизи линии трехфазного контакта высота капли стремительно уменьшается и становится доступной действию поверхностных сил вплоть до уровня подложки, т.е. ограничимся изучением капель, геометрические характеристики профиля которых в

— «1

начальный момент времени удовлетворяет условию г (рис. 1). В этом случае давление в капле будет определяться равенством [10, 11]:

х дх ,

р

где 0 - давление газа,

П

изотерма расклинивающего давления.

г

О

г

х

Рис. 1. К выводу уравнения растекания капли

Отметим, что довольно часто имеет степенную зависимость [8, 12]

от

Научный журнал КубГАУ, №89(05), 2013 года где А - постоянная Гамакера.

п(*)=4

Причем, выражение п характеризует электростатическую

составляющую давления и учет шероховатостей подложки; соотношение

соответствует дисперсионному взаимодеиствию жидких неполярных

т-±

своист венна достаточно толстым

фаз на стекле или кварце; а изотерма пленкам как результат ослабления действия электромагнитных сил.

Принимая во внимание (1) и (2), по аналогии с [9, 10], можем записать

дк

ді

3/іх дх

д

дх

]_д_ х дх

дк

х —

V дх;;

пА дк

где ^ - вязкость, пе N

Соотношение (3) представляет собой общее уравне ние растекания капли по сухой подложке. Отметим, что при А = 0, т е в СЛуЧае отсутствия расклинивающего давления, уравнение (3) перехо дит в известное уравнение растекания [9].

Вводя безразмерные переменные: ^ ~Ф* ^ ^ ^ х - х/х* ^ где

нижним индексом обозначены характерные значения времени, высоты и абсциссы, запишем (3) в виде:

а

дк

дї

ІА

х дх

х к3

д

дх

]_д_ х дх

г_дклЛ х —

ч дх;;

р дк

где

Требования и , гарантируют превосходство капилляр ных сил

над вязкими, и в свою очередь, действие расклинивающего давления над капиллярными силами для абсцисс, при которых высота капли остается пока

Научный журнал КубГАУ, №89(05), 2013 года значительной.

Опуская для удобства записи обозначения безразмерных перемен ных, перепишем (4) в виде:

а

дк

ді

1А

х дх

х /Г

а

дх

1А

х дх

ґ дкл

х —

V дх;;

р дк

ІГ'ІЬс

Зададим граничные условия:

г

дк

дх

= 0

х=0

м м = о

I г=х0 (О

где

Условия (6-8) представляют собой условия сохранения объема, симметрии профиля капли относительно вертикальной оси и обращения в ноль высоты жидкой пленки при ее растекании на линии трехфазного контакта. Здесь необходимо отметить, что при формулировке условия (6) для определения

объема было принято соотношение

V = 2к  хл - К

2. Построение приближенного аналитического решения задачи

Очевидно, что нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка (5) не допускает построения точного аналитического решения, поэтому, на начальном этапе, применим для его исследования асимптотический метод.

Положим . В результате уравнение (5) примет вид:

С л а / алЛЛ

дх дх

]_д_ х дх

х

дИ

дх

Интегрируя дважды последнее равенство и принимая во внимание (8), получим:

г дкл х —

V

= ¥

где - произвольная функция интегрирования.

Последнее равенство является неоднородным уравнением второго порядка параболического типа. Умножая обе его части на х, а затем, интегрируя, с учетом (7) будем иметь:

Интегрируя последнее равенство по х в границах от х до находим:

ч'И

= *о(0

4

ч'И

Пользуясь произвольностью выбора функции V ', перепишем последнее равенство в виде:

А(м) = 4/4(/)[х02(/)- х2]

где для удобства записи итоговых результатов положили х^) = (0.

Далее, удовлетворяя (9) условию (6), будем иметь

5

откуда находим:

Подставляя полученное значение для радиуса растекания капли (10) в (9), получим:

переменную, характеризующую геометрию профиля вблизи линии трехфазного контакта, а параметр Л' выбран равным единице, что не нарушает общности рассуждений.

Полученное решение (11) определяет профиль капли в области апекса и соответствует требованию пологости капли как решение параболического

уравнения. При этом равенство ^ ~~ ' соответствует линии трехфазного контакта.

Решение (11) для ^ < * по отношению к исходной задаче принято называть внешним [13]. В целях его продолжения на оставшиеся значения аргумента, т.е. для нахождения внутреннего решения и согласования полученных решений

необходимо определить функцию

Для определения функции Л<)

подставим выражение (11) в уравнение (5),

предварительно определив производные от функции ^.

Дифференцируя (11), будем иметь:

Из (5), принимая во внимание соотношения (12), (13), а также выражение (11), получим

можно рассматривать как новую

Рассмотрим отдельно выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части равенства (14).

Имеем:

8р/4(')*

а

дх

_д_

дх

Г, * г

х —

V дх;;

+

к

П +1

%РҐ{*)х 8р/4(^)х

/Г1 К С учетом полученного равенства, (14) примет вид:

п +1

8а/'

8р/40 а

х дх

2,3 X П

к

п+1

Отсюда, в результате элементарных преобразований, будем иметь

2

х

п-2

к

У =

где

а

Р~

Раскрывая скобки в правой части последнего равенства, перепишем (15) в

виде:

\ /(?)- 2х2/3(?) (п - 2)х2к" Зк' - 2хк

/4(0

п-2

ИЛИ

і /'(О

ж

1 2 - 2х

/(О

(и - 2)хк" Ък'х -2к

п-2

к

2

Дальнейшие исследования проведем для случая, когда изотерма

расклинивающего давления определяется равенством Соотношение (16) при принимает вид:

т.е.

У/'(О

2 1

2х -

ЛО

= 2/(0

Разделяя переменные в уравнении (17), получим

Т'АО 2/2

Из равенства (18) очевидно следует, что функции разных аргументов могут совпадать лишь в случае, когда каждая из частей равенства является постоянной величиной. Таким образом, на основании (18), получаем однопараметрическое уравнение:

/(*) , 1

Нелинейное дифференциальное уравнение (19) будет иметь явные решения лишь при ^ = 0. В этом случае (19), в результате элементарных преобразований примет вид:

АЛ = -.*

1 . (20) Интегрируя (20), будем иметь:

или

/40 у

4^/у + с

где - постоянная интегрирования.

Для определения положим в последнем равенстве . Прини мая высоту безразмерной капли в апексе в начальный момент времени равной

единице, с учетом (11) получим

Таким образом, окончательно устанавливаем, что

с = 4

Следовательно, для /(О будем иметь:

/(')=!

^+1Л

Из (10) и (21) находим:

(0=2

'^ + Г

где, как уже было отмечено выше, 5 - 1.

Для размерных переменных равенство (22) примет вид:

хп

)(*) = 2х* Положив в (23) і = 0, получим:

у • и

+1

х,

,(0) = 2х.

Соотношение (24) устанавливает связь между радиусом растека ния капли в начальный момент времени и нормализованным горизон тальным размером.

Скорости растекания капли для размерных переменных определим из (23). В результате будем иметь:

X.

У  К

у • и

+1

Полагая здесь * - 0

, приходим к равенству:

Считая, что в начальный момент времени значение согласно

имеет приращение , а приращение по времени , из последнего

соотношения заключаем:

У « \, и « 0.2

2

Следовательно, выражение (21) для Л) может быть записано в виде:

Также могут быть преобразованы выражения для радиуса растека ния капли в безразмерных (22):

х0

и размерных переменных (23):

—+ 1 V ** У

,(/) = 2х,

Абсолютно аналогично, принимая во внимание (26) и (11), получаем выражения для высоты капли в апексе для безразмерных:

/г0 (ґ) = /г(о, ґ) = (2ґ + і)-1

и размерных переменных:

/ ч С Ъ Л_1 к0{і) = /г* — + 1

к** У

Из (27), (28) следует, что выбор нормализующих параметров

К

равносилен заданию геометрических параметров размерной капли х° и в начальный момент времени t = , определение которых для натурных экспериментов также может быть определено на основе методов математического моделирования [14, 15]. И, наоборот, при априори известных

и переход к безразмерным параметрам должен осуществляться по

соответствующим характерным значениям длины , высоты и времени

При этом функция , принимая во внимание (11)и(21), окончательно,

для случая безразмерных переменных, примет вид:

2

х У*

Ф + У )

Заключение

Полученные результаты учитывают большинство параметров системы и позволяют проводить более глубокий анализ кинетики процесса. Кроме того, установленные зависимости для функций, описывающих профиль капли и радиус ее растекания, хорошо согласуются с результатами аналогичных исследований [10, 16-19].

Список литературы

1. Гребенник И.П. Кинетические особенности растекания расплавов по поверхности тонких пленок//Украинский физи ческий журнал. 1980. Т. 25. № 3. С. 497-503.

2. Brochard F., De Gennes P.G. Spreading laws for liquid polymer droplets: interpretation of the "foot" //J. Physique Lett. 1984. Vol. 45. № 12. P. 597-602.

3. Joanny J.-F. Wetting of a liquid substrate // Physicochem. Hydrodyn. 1987. Vol. 9. № 1. P. 183-196.

4. Старов B.M., Чураев H.B. Толщина смачивающих пленок на шеро ховатых подлож ках //Коллоидный журнал. 1977. Т. 39. № 6. С. 1112-1117.

5. Cazabat А.-М., Cohen Stuart М.A. Dynamics of wetting on smooth and rough surfaces // Progress in Coll. and Polymer Sci. 1987. Vol. 74. P. 69-75.

6. CoxR.G. The spreading of a liquids on a rough solid surface // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 131. P. 1-26.

7. Воинов О.В. Динамическая теория смачивания твердых тел вязкими жидкостями под действием сил Ван-дер-Ваальса // ПМТФ. 1994. № 6. С. 69-85.

8. Дерягин Б.В., Чураев Н.В. К вопросу об определении понятия раскли нивающего давления//Коллоидный журнал. 1976. Т. 38. №3. С. 438-448.

9. Старов В.М. О растекании капель нелетучих жидкостей по плоской твердой поверхности // Коллоидный журнал. 1983. Т. 45. № 6. С. 1154-1161.

10. Калинин В.В., Старов В.М. Растекание капель жидкости с учетом действия поверх ностных сил//Коллоидный журнал. 1988. Т. 50. № 1. С. 25-32.

11. Старов В.М., Чураев Н.В., Хворостянов А.Г. О форме движущегося мениска в плоских капиллярах//Коллоидный журнал. 1977. Т. 39. № 1. С. 201-205.

12. Дерягин Б.В., Чураев Н.В., Муллер В.М. Поверхностные силы. М.: Наука, 1985. 398 с.

13. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

14. Лесев В.Н, Созаев В.А. О новом методе обработки эксперимен тальных данных для малых капель расплавов // Известия КБГУ. 2011. Т. 1. № 1. С. 3-8.

15. Директор Л.Б., Зайченко В.М., Майков И.Л. Усовершенствованный метод лежащей капли для определения поверхностного натяжения жидкостей // ТВТ. 2010. Т. 48. № 2. С. 193-197.

16. Бородин С.А Исследование процесса растекания капли жидкости, наносимой на поверхность подложки //Компьютерная оптика. 2005. № 28. С. 66-68.

*М = —

t + у

17. Вавкушевский А.А., Арсланов В.В., Огарев В.Л. Растекание капель полимеров по гладким твердым поверхностям //Коллоидный жур нал. 1984. Т. 46. № 6. С. 1076-1081.

18. Лесев В.Н., Бжеумихова О.И. Математическая модель растекания капли под действием гравитационных сил // XLIV Всерос сийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов; РУДН. М., 2008. С. 33-34.

19. Пономарева М.А., Якутенок В. А. Моделирование растекания капли вязкой жидкости в плоской постановке при больших числах бонда // Вестник томского государственного университета. Матема тика и механика. 2007. № 1. С. 79-83.

References

1. Grebennik I.P. Kineticheskie osobennosti rastekanija rasplavov po poverhnosti tonkih plenok // Ukrainskij fizi^cheskij zhurnal. 1980. T. 25. № 3. S. 497-503.

2. Brochard F., De Gennes P.G. Spreading laws for liquid polymer droplets: interpretation of the "foot" //J. Physique Lett. 1984. Vol. 45. № 12. P. 597-602.

3. Joanny J.-F. Wetting of a liquid substrate // Physicochem. Hydrodyn. 1987. Vol. 9. № 1. P. 183-196.

4. Starov V.M., Churaev N.V. Tolshhina smachivajushhih plenok na sheroHiovatyh podlozhHtah // Kolloidnyj zhurnal. 1977. T. 39. № 6. S. 1112-1117.

5. Cazabat A.-М., Cohen Stuart M.A. Dynamics of wetting on smooth and rough surfaces // Progress in Coll. and Polymer Sci. 1987. Vol. 74. P. 69-75.

6. CoxR.G. The spreading of a liquids on a rough solid surface // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 131. P. 1-26.

7. Voinov O.V. Dinamicheskaja teorija smachivanija tverdyh tel vjazkimi zhidkostjami pod dejstviem sil Van-der-Vaal'sa // PMTF. 1994. № 6. S. 69-85.

8. Derjagin B.V., Churaev N.V. К voprosu ob opredelenii ponjatija raskli^nivajushhego davlenija//Kolloidnyj zhurnal. 1976. T. 38. № 3. S. 438-448.

9. Starov V.M. О rastekanii kapel' neletuchih zhidkostej po ploskoj tverdoj poverhnosti // Kolloidnyj zhurnal. 1983. T. 45. № 6. S. 1154-1161.

10. Kalinin V.V., Starov V.M. Rastekanie kapel' zhidkosti s uchetom dejstvija poverh^nostnyh sil //Kolloidnyj zhurnal. 1988. T. 50. № 1. S. 25-32.

11. Starov V.M., Churaev N.V., Hvorostjanov A.G. О forme dvizhushhegosja meniska v ploskih kapilljarah // Kolloidnyj zhurnal. 1977. T. 39. № 1. S. 201-205.

12. Derjagin B.V., Churaev N.V., Muller V.M. Poverhnostnye sily. М.: Nauka, 1985. 398 s.

13. Najfe A. Vvedenie v metody vozmushhenij. М.: Mir, 1984. 535 s.

14. Lesev V.N., Sozaev V.A. О novom metode obrabotki jeksperimen^tal'nyh dannyh dlja malyh kapel' rasplavov // Izvestija KBGU. 2011. T.l. № 1. S. 3-8.

15. Direktor L.B., Zajchenko V.M., Majkov I.L. Usovershenstvovannyj metod lezhashhej kapli dlja opredelenija poverhnostnogo natjazhenija zhidkostej // TVT. 2010. T. 48. № 2. S. 193-197.

16. Borodin S.A. Issledovanie processa rastekanija kapli zhidkosti, nanosimoj na poverhnost' podlozhki//Komp'juternaja optika. 2005. № 28. S. 66-68.

17. Vavkushevskij A.A., Arslanov V.V., Ogarev V.L. Rastekanie kapel' polimerov po gladkim tverdym poverhnostjam // Kolloidnyj zhur^nal. 1984. T. 46. № 6. S. 1076-1081.

18. Lesev V.N., Bzheumihova O.I. Matematicheskaja model' rastekanija kapli pod dejstviem gravitacionnyh sil // XLIV Vseros_,sijskaja konferencija po problemam matematiki, informatiki, fiziki i himii: Tezisy dokladov; RUDN. М., 2008. S. 33-34.

19. Ponomareva M.A., Jakutenok V.A. Modelirovanie rastekanija kapli vjazkoj zhidkosti v ploskoj postanovke pri bol'shih chislah bonda // Vestnik tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matema^tika i mehanika. 2007. № 1. S. 79-83.