Статическая устойчивость математической модели распределения электрической энергии по однородным участкам ЭЭС четырехпроводного исполнения

УДК 621.311.004.12

СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПО ОДНОРОДНЫМ УЧАСТКАМ ЭЭС ЧЕТЫРЕХПРОВОДНОГО ИСПОЛНЕНИЯ

Г.А.Большанин1, Л.Ю.Большанина2

Братский государственный университет, 665709, г. Братск, ул. Макаренко, 40.

Построена математическая модель распределения электрической энергии по однородному трехфазному участку электроэнергетической системы четырехпроводного исполнения. Сформулированы условия статической устойчивости этой математической модели. Отмечены особенности применения теорем Ляпунова для оценивания распределения электрической энергии по четырехпроводным линиям с распределенными параметрами. Ил. 2. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: математическая модель, распределение электрической энергии, однородный трехфазный участок электроэнергетической системы, четырехпроводные линии с распределенными параметрами.

STATIC STABILITY OF THE MATHEMATICAL MODEL OF DISTRIBUTION OF ELECTRICAL ENERGY ALONG THE SIMULAR SECTIONS OF THE POWER SYSTEM OF FOUR-WIRED PERFORMANCE G.A. Bolshanin, L.Y. Bolshanina

Bratsk State University 40 Makarenko St., Bratsk, 665709

The authors built a mathematical model of distribution of electrical energy along the similar three-phase section of the power system of four-wired performance. The authors formulated the conditions of static stability of this mathematical model. They noted the features of application of Lyapunov theorems to estimate the distribution of electrical energy along the four-wired lines with distributed parameters. 2 figures. 6 sources.

Key words: a mathematical model, distribution of electrical energy, a similar three-phase section of a power system, four-wired lines with distributed parameters.

Современные электроэнергетические системы (ЭЭС) участвуют в транспортировке и преобразовании электрической энергии. В данном случае интерес представляет транспортировка энергии, в осуществлении которой важную роль играют такие элементы ЭЭС, как линии электропередачи (ЛЭП).

Вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными сопротивлениями, возникает эффект непрерывного изменения тока и напряжения. Следовательно, при прогнозировании распределения электрической энергии по участкам ЭЭС ЛЭП необходимо учитывать как линию с распределенными параметрами [1]. В многофазных системах, кроме того, необходимо анализировать распределение электрической энергии по каждой фазе с учетом всех электромагнитных связей между конструктивными элементами ЛЭП.

Трехфазный участок электроэнергетической системы с изолированной нейтралью представляет собой линию электропередач четырехпроводного исполнения. Это обычно непротяженные линии внутрирайонного, внутригородского или внутризаводского исполнений. Причем, передача переменного тока по четы-рехпроводной линии считается наиболее экономич-

ной. Известны и успешно применяются методики прогнозирования электрической энергии по таким ЛЭП. Но это при распределении энергии хорошего качества. Наиболее часто в электрической сети наблюдаются: пониженное напряжение; повышенное напряжение; провалы напряжения; высоковольтные импульсы; полное отключение напряжения вследствие аварий, сильных перегрузок электростанций; слишком большое напряжение, связанное с отключением мощных потребителей. В таком случае речь следует вести об электрической энергии пониженного качества, отличающейся заметными уровнями несинусоидальности, несимметрии, отклонений и колебания напряжений. Словосочетание «заметные уровни несинусоидальности, несимметрии, отклонений и колебания напряжений» означает достижение и превышение нормативных величин соответствующих показателей качества электрической энергии [2]. В связи с ярко выраженной несинусоидальностью напряжения и тока в данном случае удобно рассматривать распределение электрической энергии на частоте каждой гармонической составляющей с последующим обобщением результатов такого рассмотрения на весь спектр основных характеристик электрической энергии.

1Большанин Георгий Анатольевич, кандидат технических наук, профессор, зав. кафедрой электротехники, тел.: 32-53-31. Bolshanin Georgiy Anatoljevich, an associate professor, a candidate of technical sciences, a professor, a head of the Chair of Electrical Engineering, tel.: 32-53-31.

2Большанина Людмила Юрьевна, зав. сектором Центра информатизации Братского государственного университета, тел.: 3254-66, e-mail: brstu@bk.ru.

Bolshanina Ludmila Yurjevna, the head of the sector the Center of informatization of Bratsk State University, tel.: 32-54-66, e-mail: brstu@bk.ru.

При анализе распределения электрической энергии по линии с распределенными параметрами эту линию принято рассматривать в виде совокупности продольных и поперечных параметров ЛЭП. Причем продольные параметры характеризуют собственные параметры проводов ЛЭП, а поперечные - электромагнитные связи между ними, а также связи этих проводов с поверхностью земли и с заземленными конструкциями.

Результаты выполненных экспериментальных исследований свидетельствуют о том, что при различных частотах напряжений и токов продольные и поперечные параметры ЛЭП имеют различный характер, то есть могут быть как активно-индуктивными, так и активно-емкостными [3].

Из теории электромагнитного поля следует, что распространение электрической энергии сопровождается изменением электрического и магнитного полей.

Известно, что изменение магнитного поля в электрических схемах замещения устройств и элементов характеризуется индуктивным элементом; изменение электрического поля - емкостным; потери электрической энергии - резистивным. Поэтому продольные параметры ЛЭП должны представлять собой совокупность всех трех элементов: резистивного, индуктивного и емкостного.

На промышленной частоте приращение энергии электрического поля в проводах ЛЭП значительно меньше, чем приращение энергии магнитного и потери энергии в этих проводах. Поэтому присутствие емкостного элемента в схемах замещения проводов ЛЭП, то есть в продольных параметрах линий электропередач, обычно игнорировалось.

Но при анализе распределения по участкам ЭЭС электрической энергии неидеального качества, когда в спектрах напряжений и токов присутствуют их гармонические составляющие, частоты, изменения которых отличны от промышленной частоты, игнорирование присутствия емкостного элемента ЛЭП недопустимо.

Поперечные параметры ЛЭП характеризуют электромагнитную связь между проводами линии электропередач и поверхностью земли или заземленными конструктивными элементами.

Между проводами ЛЭП, по которым передается электрическая энергия, и поверхностью земли существует электрическое поле, о чем обычно свидетельствует разность потенциалов. Этот факт в электрических схемах замещения ЛЭП обычно иллюстрируется емкостной проводимостью, то есть емкостным элементом, входящим в состав поперечных параметров ЛЭП.

Ионизация пространства, окружающего провода ЛЭП, в электрических схемах замещения иллюстрируется активной проводимостью электрической энергии к поверхности земли, то есть резистивным элементом соответствующих поперечных параметров. Резистивный элемент здесь иллюстрирует не только процесс ионизации окружающего провода ЛЭП пространства, но и перенос на соседние провода и на поверхность земли элементарных носителей электрической энергии,

например, электронов.

При симметрии напряжений и токов электромагнитные связи между проводами ЛЭП проявляются в малой степени и при анализе распределения электрической энергии обычно не учитываются. Но при нарушении симметрии напряжений и токов учет таких связей необходим. Необходимо учитывать и явление взаимной индукции между проводами.

С учетом отмеченных особенностей анализа распределения электрической энергии пониженного качества на рис. 1 представлена расчетная электрическая схема замещения однородного участка трехфазной ЛЭП четырехпроводного исполнения протяженности , который здесь нужно воспринимать как однородный элементарный участок электроэнергетической системы с изолированным нейтральным проводом на частоте V -той гармонической составляющей.

Здесь резистивные составляющие продольных параметров линейных проводов ЛЭП обозначены

символами Я,

0Ап '

Я0Вп и

Я

0Сп

индуктивные -

¿0

С

^0Вп и ^0Сп

а емкостные - С0Ап, С0Вп и

0Сп

Наряду с параметрами, характеризующими фазные провода и электромагнитные связи, иллюстрирующие их взаимовлияние, здесь присутствуют параметры нейтрального провода. Его продольные параметры тоже представлены резистивной Я0т, индуктивной Ь0т и емкостной С0Ып составляющими.

Поперечные параметры, характеризующие электромагнитные связи между линейными проводами, представлены активными проводимостями G0АВп,

00ВСп , 00САп

и емкостными связями С,

0АВп '

С0ВСп , С0САп . В состав поперечных параметров входят и магнитные связи между проводами, представленные взаимными индуктивностями М0АВп,

М0ВСп и М0СА V .

Поперечные параметры, характеризующие электромагнитные связи между линейными проводами и поверхностью земли, представлены активными про-

водимостями 00А0п , С0А0п

00В0п и емкостными

связями С0В0п , 00С0п , С0С0п .

Поперечные параметры, характеризующие электромагнитные связи между линейными и нейтральным проводами, представлены: активными проводимостя-

00Шп, 00СЫп, емкостными связями 0, С0Вт , С0СМп и взаимными индуктивностями

М0лт , М0Вт , М0Ст .

Электромагнитные связи между изолированным нейтральным проводом и поверхностью земли представлены активной проводимостью 00М0п и емкостью

С.

ми 00

С

Я^ i Расчетная ЛМяШрич^еквЯ СТДОТ зшянуадеЯ эМмМШфнОЮойнархшэи трехфазной чепыретрсяедчсй ДТП г юодиргаМтч* ИК^трагьшм правовом на чат уче У !едачдвиющей

В начале рассматриваемого участка ЭЭС имеют место: напряжения между фазными проводами (линейные) иАВп, иВСп и иСАп; напряжения между

фазными и нейтральным проводами (фазные) иШп, иШу и иСЫу; напряжения между фазными проводами и поверхностью земли иАп, иВп и иСп; напряжение между нейтральным проводом и поверхностью

земли иЫу , которое условно можно назвать напряжением смещения нейтрали на частоте V -й гармонической составляющей; фазные токи гАп, гВп и ¡Сп, а также ток в нейтральном проводе ¡т .

В конце рассматриваемого участка ЛЭП протяженностью на частоте V -й гармонической составляющей указанные напряжения и токи приобретут

соответствующие дополнения и примут вид [4]:

иАВп +

ди

АВп

иСАп + '

д1

диСА

ё!;

иВСп + '

ди

ВСп

д!

ё!;

д!

ё!;

иАМп + '

ди,

д!

ё!;

и ВЫ V + '

ди

ВЫп

д!

ё!;

иСЫп + '

ди

СЫп

д!

ё! ;

и Ап +

ди

Ап

иСп +-

д!

диСп

ё!;

иВп +

ди

Вп

д!

ё!;

иЫп +-

д!

диЫ

д!

ё!;

ё!;

¡Ап +

С +"

&

Ап

д! д!

ё!;

ё!;

¡Вп +

¡Ып

&

Вп

д! д!

ё!;

4!.

Кроме того, на рис. 1 обозначены так называемые «токи утечки» по соответствующим электромагнитным

связям (ИдВп , ё/ВСп , ё*САп , Ш(' АЫп , Ш(ВЫп , ШСЫп , ШАп , ё/Вп , ё/Сп и Ш(Ып .

Для построения математической модели использованы первый и второй законы Кирхгофа. Здесь придется иметь дело с десятью напряжениями и четырьмя токами. Следовательно, рабочая математическая модель однородного элементарного участка ЭЭС трехфазного четырехпроводного исполнения с изолированным нейтральным проводом содержит четырнадцать уравнений [4]:

= ё^Ап + Ш( АВп ~Ш(САп +

+ Ш(АЫп + +

д/

Ап

д!

ё!;

¡Вп = ё^Вп + ё^ВСп ё/АВп +

+ ё(ВЫп + ¡Вп +

д/

Вп

д!

ё!;

= ё*Сп + ё*САп ё^ВСп +

+ ё(СЫп + +

д/

Сп

д!

ё!;

^Ып Ш(АЫп + Ш(ВЫп + Ш(СЫп

Ш(Ып + ^Ып

д/

ё!;

д!

д/А

иАп = Я0 Апё! + Ь0 Апё! А +

д/В

дш

д/С

+ М ё! Вп + М ё! Сп

АВп * ^ 0САп

шш шш

д/ 1

-М ё! ып +_[_х

М 0 АЫпш + п „х

ёш С0 Ап ё!

хГ/ап дш+иАп +^Шг ё!;

д/В

иВ п = 1В п Я0В п ё! + Ь0В п ё! +

д

+ М0 АВп,ё!^ + М0вс 14!

0 АВ 0 ВС

шш шш

дг 1

-М 0 ВЫ,ё!^Ы- + —-— х

Ш( ^С0в пё!

X Г /Вп дШ + ивп + —^4!;

ё!

д/С

ис п = гс пЯ0СпШ! + Ь0С пё!~СГ +

дШ

д/ д/

+ М ё! А п + М ё! В п -

0СА пШ +1У10 ВС пШ

ШШ ёШ

дг 1

- М ё! ып +_[_х

М 0СЫ пШ ж с ё1

0С

X Г ¡Сп дШ + исп + ё!;

ё!

д/Ы

иЫп = -гЫпЯ0ЫпШ! - Ь0Ы\'Ш! Ы +

дШ

д/ д/

+ М ё! А п + М ё! В п +

АЫп 0ВЫп ^

ШШ ёШ

д/С 1

+ Мптп Ш!——--х

1 0СЫп"~

ёШ С0 Ш!

диЫ

X Г ¡Ып дШ + иып +^Ы-Ш!;

ё!

,дгА

иАЫп = ¡А пЯ0 А 4 + Ь0 А 4 +

дШ

+М0 АВ, 4!^+М0СА,4!д1сп

10 АВ п™1 ^ ' 0СА п1 ^

ШШ ёШ

л • 1

- М0АЫпё! ^Шт + ТГ—П |¡А пдШ

ёШ С0Апё! *

+

+ ¡Ып Я0 Ып Ш! + Ь0 Ып Ш!

д/Ы

дШ

-М0 АЫ4!^ -М0ВЫ4!д1вп

0 АЫ 0 ВЫ

ШШ ёШ

- Мптп 4! ^ +

1

1 0СЫп

4 С0 ЫпШ! ди,

хГ ¡Ып дш + и аып +^ё!;

X

д!Вп

и ВЫ п — ¡В п Я0В п ё! + Ь0 В п ё! В +

дш

+М0 АВ, 4!^ + М0ВС!4!д1сп

0 АВ 0 ВС

ёш ШШ

дг

-М0выпё!^тт + Т Ш Г ¡В-д +

0В

+ ^ Ып Я0 Ып Ш! + Ь0 Ып Ш!

1

ш! Г ¡В п дш-

дгы

дш

-М0 АЫ4!^ -М0ВЫ4!д1вп

0 АЫ 0 ВЫ

ШШ ёш

- Мптп 4! ^ +

1

1 0СЫп

4 С0 ЫпШ! диВ

хГ Ы дш + ивып +^Шт4;

. дгг

и СЫ п — ¡С пЯ0СпШ! + Ь0СШ С +

дш

+М0САп4!^+М0ВС , 4!д1вп

0САп™1 1 ^0ВСп1

ШШ ёш

дг

-М0СЫпё!^ТТ + Т ё! I ¡С.+

0С

+ ¡Ып Я0 Ып 4 + Ь0 Ып 4

1

~ШР Г Г ¡с п дш'

1Ы п

дш

-М0 АыШ!-М0выШ! д1вп

0 АЫ 0 ВЫ

ШШ ёш

дг 1

- М ё! с п +_[_х

М 0СЫ пШ ж с ё1

хГ Ы дш + исып +^ШТ4-

.ыа

иАВ п — ¡А пЯ0 А( + Ь0 А ( +

дш

+ М ё! ^ + М ё! -ШШ ёш

- 4! +

0 АЫ

ёш С 0 а п4

1

~Шл Г ¡А п ^

*ВпЯ0ВпШ! Ь0ВпШ!

дг

В

дш

- М ё! А п - М ё! С +

1У10 АВ пШ 1У10 ВС пШ +

ШШ ёш

дг 1

+ М 0выШ! Ы -

ёш СС' 0в пё!

хГ ¡вп Ы + иАВ п

— ¡в п ,Я0В п ,Ш! + Ь0В п ,Ш!

дг

В

дш

, дг,

+

С

+ М 0 АВ + М 0ВС V4 .

ШШ ШШ

- М0ВЫпШ!

ёш

+

1

ш Г 1впдш-

С0В ё!

¡С пЯ0С пШ! Ь0С пШ!

дг.

С

дш

- М0СА ё!

+ М0СЫ ё!

дг

А

- М0ВС ё!

дг

В

ёш

ёш СС' 0С пё!

ёш

+

Г ¡С п дш

+ иВС +

ди

ё!

иСА п — ¡С пЯ0С пШ! + Ь0С пШ!

дг.

С

дш

+

дг дг

+ М ё! А п + М ё! п

0СА п ^1У10ВСпШ

ШШ ёш

- М0СЫпШ!

ёш

+

¡А пЯ0 А пШ! Ь0 А пШ!

1

Гг пдш-

С

дгА

С0С ё!

дш

- М0АВ ё!

д1В

+ М0АЫ ё!

\ ¡А п дШ'

ёш

дгЫп

- М0СА ё!

ёш

+

ёш С()ап4

х 1'а п дш + иАС п +

ди

АС

ё!

ё!.

Результаты оптимизации этой модели, представленные в [4], позволяют получить ясное представление о распределении электрической энергии на частоте каждой гармонической составляющей напряжения и тока по однородному участку.

В действующих электроэнергетических системах практически непрерывно происходят малые возмущения. Их основными источниками в ЛЭП являются колебания энергии, запасенной в реактивных элементах линий электропередачи и высвобождающейся в результате режимных и иных переключениях и прочих переходных процессов.

Способность системы восстанавливать исходный режим после малого возмущения или режим, близкий к исходному (если исходное возмущение не снято), называют статической устойчивостью [5]. Так как в электрической системе постоянно происходят малые возмущения, то статическая устойчивость является необходимым условием ее работоспособности.

Для оценивания статической устойчивости распределения электрической энергии достаточно исследования статистической устойчивости совместного решения системы дифференциальных уравнений,

и

1

X

X

1

х

представляющих математическую модель такого распределения. В этом случае целесообразно воспользоваться теоремами Ляпунова. При этом надлежит подвергнуть анализу характеристическое уравнение математической модели распределения электрической энергии по трехфазной четырехпроводной ЛЭП на частоте V -й гармонической составляющей напряжения и тока:

х8 + ах6 + Ьх4 + сх2 + ё = 0.

Коэффициенты этого характеристического уравнения а, Ь, с, ё являются комбинацией полных продольных и поперечных сопротивлений и проводи-мостей ЛЭП, полученных в результате совместного решения системы уравнений, представляющих математическую модель исследуемого участка ЭЭС.

Это характеристическое уравнение при х2 = Я примет вид

Я4 + аЯ + ЬЯ + сЯ + ё = 0 .

Согласно первой теореме Ляпунова система обладает статической устойчивостью, если соответствующее ей характеристическое уравнение имеет корни с отрицательной вещественной частью. В таком случае анализируемая система будет устойчива при соблюдении неравенств

2^ -1 - Ц.

+

2зГР + ^)-2р +

2 Р

-<о;

Кек

ЗТсо. 1 - 2Р -

-12^|? + 2Р1-*Р -

^ 2^ +11-^

2р

-!! < о;

Ке1"2

2^соя|? + ^ 0-2р -

-,/2^со82-2р -

-,(2^сс( ( + * 0-¿Р

--! <о;

+* 0-2р -

2 - 2р-

- 23Н2+2т0-2Р

<о,

где р, р и р - коэффициенты, используемые при решении уравнения (2) [4].

Кроме того, из теории колебаний следует, что в электрической системе не должно быть самораскачи-

вания. Это достигается при условии, что свободный член характеристического уравнения не может принимать нулевое значение:

ё * 0 .

В результате математических преобразований определятся 8 корней характеристического уравнения (1):

х1,2 = —у/1 ; хз,4 = —VЯ2 ;

х5,6 = —л[Я3 ; х7,8 = —л1Я4 .

Получается, что четыре корня характеристического уравнения (1) имеют положительную вещественную часть. Согласно второй теореме Ляпунова результат совместного решения анализируемого уравнения оказывается неустойчивым, если имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. В данном случае надо провести анализ критериев устойчивости, основанный на исследовании уравнений малых колебаний и физической природы происходящих явлений. Для этого необходимо учитывать характер распределения электрической энергии по линии с распределенными параметрами.

По выделенному однородному участку электрическая энергия распределяется в виде 4 пар волн. Основные характеристики энергии электромагнитного поля, распространяющегося по трехфазной четырех-проводной ЛЭП, представляют собой результат наложения восьми колебаний. Так, например, напряжение в каждой фазе и в нейтральном проводе можно определить по уравнениям

Т7 = А е7^1 + А е

71 п1

+

+ А Аз„ е72п' + А А

„е72п' +

+ А е7зп1 + А е~7зп' +

+ А А7„ е74п' + А А

-74п'

иВп АВ1п е

7ш'

+ АВ2п е

~7щ1

+

+ Авзп е72п1 + Ав 4п е-72п1 +

е~Ъп1 +

+ АВп е7зп 1 + АВ

+ А е74п1 + А е

В7п ^-ггс./С-

-74п1

В8п

тч = А е7п + я

+ А е72п' + А е

С 2п -72п'

1

+

+

+ А е7зп1 + А е7зп1 +

+ АС 7„ е74п' + АС

-74п'

17 = А е7*' + А е

-7П

+

+ я е72п1 + я

е-72п1 +

+ А е 7зп1 + а е7зп1 +

ТЛИ5^ ^ -"-и6пе ^

+ А е74п1 + А где А &

е

-74п'

А1п '

А2п '

А8п

В8п

АВ1п , АВ

Азп ' АВз

А4п '

А5п '

А

А6п '

А7п '

АВ6п , АВ

АС1п , А

С 2п

АС зп , А

С 4п

АС 5п , А

С 6п

С 7п

+

+

е

е

А А А А А

ЛС8v ' ^N\v ' N2v ' N3v ' 4v ' ^N5v ' 6v '

AN7v и An8v - комплексные значения постоянных интегрирования на частоте v-й гармонической составляющей; g\v , g2v , g3v и g4v - постоянные распространения электромагнитной волны по однородному участку трехфазной четырехпроводной электроэнергетической системы на частоте v -й гармонической составляющей.

Каждая пара волн включает две составляющие: падающую и отраженную от границы однородности электромагнитных волн. Причем одна из них по мере увеличения расстояния убывает, а другая - возрастает. Убывающую составляющую называют падающей волной электромагнитной энергии. Она характеризует процесс перемещения электромагнитного состояния по направлению от источника энергии к приемнику [6], т.е. в направлении увеличения координаты l. Количественно она характеризуется коэффициентами A2v, AAA

4v ' 6v ' ^8 v

Возрастающую составляющую называют отраженной волной электромагнитной энергии. Она характеризует процесс перемещения электромагнитного состояния по направлению от приемника энергии к источнику [6], т.е. в направлении уменьшения координаты l. Количественно она характеризуется коэффициентами A\v, A3v, A5v, A7v.

Постоянную распространения v-й гармонической составляющей электромагнитной волны можно, если следовать курсу теоретической электротехники, представить в виде

g v = Pv + jav ,

где pv - коэффициент затухания (ослабления) v-й гармонической составляющей электромагнитной волны; av - коэффициент фазы этой же волны.

Тогда, например, для фазы A мгновенное значение напряжения определится по формуле

Ua v = Aa\v 4le 1 sin (vwt + v + U\v l) + + Aa2v 4lel sm{vat + y\nv - a\vl) + + Aa3v 4le' sin(vwt + У20v + 2Vl) + + Aa4v -J2e-1 sin (vat + y2nv - 2v l) + + Aa5v 4lePv 1 sin (vat + У30v + a3vl)+ + AA6v 4le-1 sinfyat + y3nv - a3vl)+ + Aa7v 4leP*v 1 sin (vat + y40v + a4vl)+

+ aA8 v 42e~l sin (yat + y4nv - a4vl).

Каждая из составляющих падающей волны (волна напряжения или тока) представляет собой синусоидальное колебание, амплитуда которого уменьшается по мере увеличения расстояния l при переходе волны

от начала к концу участка (множитель e P'), а аргумент является функцией времени и координаты l.

А А

N5 N

Каждая из составляющих отраженной электромагнитной волны затухает по мере продвижения от конца

линии к началу (множитель еЬ'). Эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн (А2 > А1) по мере продвижения их по линии объясняется наличием потерь в линии. В целом процесс перемещения электромагнитной волны представляет собой затухающее синусоидальное колебание (у колебательных составляющих экспоненциально затухает огибающая), т.е. является устойчивым.

i

^^ падающая

отраженная l

1

A2

Ai

K

Рис.2. Иллюстрация распространения электрической энергии в виде падающей и отраженной волн: Н - начало; К - конец рассматриваемого участка ЭЭС

Получается, что в каждом фазном проводе трехфазного участка ЭЭС четырехпроводного исполнения имеют место четыре пары электромагнитных волн. Характер изменения амплитуд таких волн показан на рис. 2. Причем, согласно рис. 2 и законам распределения напряжения и тока по анализируемому участку ЭЭС амплитуда падающей волны при переходе от начала к концу этого участка убывает, что соответствует отрицательной вещественной части корня характеристического уравнения, а амплитуда отраженной волны при переходе от начала к концу участка возрастает по экспоненциальному закону, что соответствует положительной вещественной части корня характеристического уравнения. При этом распределение электрической энергии остается устойчивым.

Таким образом, оказывается, что для статически устойчивого распределения электрической энергии по трехфазной ЛЭП четырехпроводного исполнения необходимо четыре корня соответствующего характеристического уравнения с отрицательной и четыре корня с положительной вещественными частями. В данном случае это вполне достижимо.

В неперегруженном состоянии ЛЭП вполне можно считать линейной системой. Это положение и было принято за основу при построении математической модели распределения электрической энергии по такой ЛЭП. Это же обстоятельство позволяет считать устойчивым распределение электрической энергии пониженного качества по участку ЭЭС при устойчивом распределении по этому участку электрической энергии каждой гармонической составляющей напряжения и тока.

Выводы

1. Распределение электрической энергии по четырехпроводной линии с распределенными параметра-

ми обладает статической устойчивостью, если характеристическое уравнение математической модели такого распределения имеет четыре пары корней. Каждая из этих пар содержит два корня одинаковых по абсолютной величине, но с разными по знаку вещественными частями.

2. Статическая устойчивость распределения электрической энергии пониженного качества по линейным участкам ЭЭС означает статическую устойчивость распределения по этому участку электрической энергии на частоте каждой гармонической составляющей напряжения и тока.

3. Обеспечение статической устойчивости распределения электрической энергии по ЛЭП является обязательным условием надежного функционирования электроэнергетических систем.

Библиографический список 1. Большанин Г.А. Математическая модель распределения гармонических составляющих электрической энергии по участкам современных электроэнергетических

систем / Г. А. Большанин // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: меж-вуз. темат. сб. тр. Вып. 9. / СПбГАСУ.- СПб., 2003. - С. 166-170.

2. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения: ГОСТ 13109-97. - Минск: Межгосударственный Совет по стандартизации, метрологии и сертификации, 1998. - 31 с.

3. Арриллага Дж. Гармоники в электрических системах; пер. с англ. / Дж.Арриллага, Д. Брэдли, П. Боджер. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 320 с.

4. Большанин, Г.А. Распределение электрической энергии пониженного качества по участкам электроэнергетических систем. В 2-х кн. / Г. А. Большанин. - Братск: БрГУ, 2006. - 807 с.

5. Веников, В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах / В. А. Веников. - М.: Высшая школа, 1978. - 415 с.

6. 2. Бессонов, Л. А. // Теоретические основы электротехники / Л. А. Бессонов. - М.: Высшая школа. - 1967.- 775 с.