СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИВЕДЕННОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕХАНИЗМА
METHOD OF DETERMINING REDUCED MOMENT OF INERTIA OF MECHANISM

Изобретение относится к измерению физических величин и может быть использовано в машиностроении, где применяются механизмы с переменным приведенным моментом инерции звеньев. Это металлорежущие и деревообрабатывающие станки, робототехника, горное и нефтедобывающее оборудование.
Технический результат изобретения - определение приведенного к заданной оси переменного момента инерции механизма как функции угла поворота звена приведения.
Известен способ определения момента инерции механизма, где исходным источником информации является время (Патент №2019797, БИ №17 за 1994 год).
Недостаток способа в том, что он применяется только для механизмов с постоянным моментом инерции.
Наиболее близкий по технической сущности способ определения приведенного момента инерции механизма заключается в изменении инерционных свойств механизма путем присоединения дополнительного маховика с известным моментом инерции и измерении угловой скорости звена приведения (Патент №2025679, БИ №24 за 1994 год).
Недостаток способа в том, что он не позволяет определить приведенный переменный момент инерции механизма как функцию угла поворота звена приведения. Дело в том, что приведенный переменный момент инерции является периодической функцией угла поворота φ звена приведения [1]. Закон сохранения момента количества движения в форме
1
2
2
2
J(φ)ω=J(φ)ω+Jω,
1
2
0
может быть применен только при равенстве в выражениях J(φ)ω и J(φ)ω моментов инерции J(φ) в обоих случаях. Но для этого необходимо контролировать угловую координату φ и только при одном и том же значении φ=φ можно говорить о применении закона сохранения количества движения.
1
2
Однако в описании способа контроль φ вообще не предполагается. Более того, ω и ω - это тоже переменные функции угловой координаты φ, например, из-за переменного момента инерции, имеющие в своем составе колебательную компоненту [1]
1
1
2
2
ω=ω(φ), ω=ω(φ)
2
2
2
1
1
0
В выражениях J(φ)ω(φ)и Jω(φ) угловые скорости в каждом из этих выражений могут совпасть между собой при некотором φ случайно. Но это φ должно быть равно еще и φ, чтобы можно было применять указанный выше закон.
2
1
2
Следовательно, согласование условий измерения необходимо проводить одновременно по скорости ω(φ) и углу поворота φ звена приведения. Только в этом случае верно равенство для моментов количества движения. Таким образом, предлагаемый способ реализуем, если J(φ) величина постоянная и не зависит от φ. В этом случае угловые скорости не зависят от φ (от влияния переменного момента инерции) и можно говорить о монотонном режиме движения механизма и монотонно убывающем характере изменения скоростей ω и ω, на чем и построен предложенный выше способ.
i
i
Заявленный технический результат достигается тем, что дополнительно измеряют в дискретной форме угол φ поворота звена приведения (i=0, 1, 2, …N, i - порядковый номер отверстия на диске фотоэлектрического датчика), а также измеряют изменение углового ускорения Δε(φ) звена приведения, например кривошипа, вызванное присоединением пробного груза, а величину приведенного момента инерции J(φ) определяют как функцию угла поворота звена приведения из решения численным методом дифференциального уравнения
с начальным условием
0
1
0
2
0
где угол φ выбирается таким, при котором измеренные угловые скорости ω(φ) и ω(φ) максимально совпадут между собой, т.е.
.
0
1
i
2
i
i
Величина J - момент инерции пробного груза, закрепляемого на кривошипе; ω(φ) и ω(φ) - измеряемые одновременно с φугловые скорости.
1
i
2
i
i
Для измерения углов, скоростей и ускорений применяется прецизионный фотоэлектрический способ, описанный в работе [2]. Значения угловых скоростей ω(φ) и ω(φ), как функций угла φ, получаются данным методом сразу в дискретной форме в виде таблицы соответствия, что удобно для операций численного дифференцирования и интегрирования.
1
i+1
i+1
i
Соотношение между двумя последующими значениями φ и φ равно φ=φ+Δφ, а  - угол между двумя соседними отверстиями на диске 2 фотоэлектрического датчика (Фиг.1); N=200-500 - количество отверстий на диске 2, модулирующих световой поток.
Заявленный способ состоит в следующем.
1
Исследуемый механизм, например металлорежущий строгальный станок, показанный на фиг.1, работает на холостом ходу в установившемся режиме. Угловая скорость ω кривошипа 1 - звена приведения, меняется около среднего значения. Колебания скорости имеют установившийся характер.
Дифференциальное уравнение движения механизма, учитывающее зависимость приведенного момента инерции механизма J(φ) от угла поворота кривошипа φ имеет вид [1]
1
1
Поскольку ω=ω(φ(t)) - сложная функция от t, то
Окончательно, уравнение принимает вид
1
i
i
Функция J(φ) периодическая по φ (например, с периодом 2π). В течение периода изменения J(φ) измеряется угловая скорость кривошипа ω=ωкак функция угла φ в виде дискретных значений, которые заносятся в память ЭВМ. Здесь же находятся производные  известным численным методом [3].
В итоге, измеренные и рассчитанные значения в памяти образуют таблицу соответствия:
в которой N строк.
Таким образом, в уравнении (3) известны функции  и .
По завершении периода изменения функции J(φ), измерения заканчиваются и механизм останавливается.
0
i
1
i
i
К звену приведения, в данном случае - кривошипу, жестко крепится маховик - инертная масса с известным моментом инерции J и уравновешенная относительно оси вращения кривошипа. Уравновешивание необходимо для сохранения неизменными гравитационных сил веса звеньев исследуемого механизма, которые также приводятся к оси кривошипа в виде момента М(φ) и которые влияют на неравномерность угловой скорости ω(φ). Момент М(φ) входит в состав правой части уравнения (3).
1cp
2ср
ср
Станок включается в работу на холостом ходу в установившемся режиме. Средняя скорость кривошипа максимально должна совпадать со средней скоростью в первом эксперименте, т.е. ω=ω. Этим обеспечивается постоянство характеристики двигателя в окрестности ω.
0
Необходимо отметить, что установка маховика изменила только инерционные свойства механизма на постоянную величину J. Все остальные силовые факторы остались без изменения.
Дифференциальное уравнение для этого механизма имеет вид
2
Установившиеся колебания скорости ω(φ) около среднего значения стали меньше по амплитуде и частоте.
В правой части (5) стоит характеристика двигателя, а также приведенный момент сил веса звеньев механизма.
2сp
1cp
Движение механизма в окрестности скорости ω=ω позволяет рассматривать правую часть в уравнении (5) совпадающей с правой частью уравнения (3). Тогда с учетом равенства: , получим
После преобразований получаем дифференциальное уравнение первого порядка
Приводим выражение (7) к стандартному виду, удобному для численного интегрирования
Уравнение (8) решается любым известным численным методом, например, по формуле Эйлера:
где Δφ - шаг численного интегрирования, равный углу между двумя соседними отверстиями на диске фотоэлектрического датчика.
0
0
0
0
Для решения (8) или (9) необходимо задать начальные условия, т.е. при некотором φ необходимо знать начальное значение момента инерции J(φ). Для определения J(φ) рассмотрим следующую производную: , где ε(φ) - угловое ускорение кривошипа, т.е.  (см.формулу 2). Величина производной может быть найдена при любом конкретном значении φ из следующих значений для приращений Δε и ΔJ:
0
0
Но ΔJ - это приращение (увеличение) инерционных свойств механизма на дополнительный известный момент инерции J, т.е. ΔJ=J.
1
0
2
0
Величина Δε - это изменение углового ускорения кривошипа, вызванное изменением инерционных масс, которое определяется как разность угловых ускорений: ε(φ) - измеренное ускорение кривошипа до установки маховика,; ε(φ) - после установки
1
2
0
0
1
0
2
0
Значения ε(φ) и ε(φ) выбираются для одного и того же положения кривошипа φ. Этим обеспечивается совпадение приведенных моментов от сил веса звеньев механизма. Кроме того, φ выбирается так, чтобы угловые скорости φ(φ) и ω(φ) максимально совпадали между собой. В итоге:
С другой стороны, частная производная  - равна отношению производных:
Частная производная углового ускорения ε(φ) по φ равна
0
Функции  и  - находятся численным методом и производная  может быть найдена для любого φ, в том числе для заданного φ.
Из (13) находим
0
0
Определив , одновременно находится из (8) функция F(φ, J(φ)
0
0
Равенство (16) рассматриваем как уравнение относительно J(φ), поскольку значения всех остальных функций для φ=φ известны
0
Это значение J(φ) совместно с дифференциальным уравнением (8) однозначно определяют функцию изменения приведенного к оси кривошипа момента инерции J(φ).
В качестве примера, алгоритм последовательного вычисления величины J(φ) методом Эйлера следующий.
1
i
2
i
0
1
0
2
0
1. Определяется по экспериментальным данным для ω(φ) и ω(φ) в таблице (4) угол φ, при котором |ω(φ)-ω(φ)|→min.
0
2. Для этого φопределяем
по данным таблицы (4), (где использовались формулы (2), (11) и (14)). Номер итерации i полагается равным нулю (i=0).
0
3. По формуле (17) определяется J(φ).
i
0
1
4. Это значение подставляется в правую часть итерационной формулы (9) вместо J(φ), где все остальные переменные уже известны (определены для φ) как результаты измерения или расчетов и хранятся в таблице (4). По формуле (9) определяется величина J(φ). Получено первое значение приведенного момента инерции.
1
1
2
5. Найденное значение J(φ) подставляется в правую часть выражения (9), а все остальные значения переменных в правой части берутся из таблицы (4) экспериментальных данных теперь для φ=φ Вычисляется значение J(φ) и т.д.
На Фиг.2 приведена рассчитанная таким образом функция переменного момента инерции механизма, показанного на Фиг.1. В данном случае N=240. Для наглядности на график выведены значения J(φ) для 24 равноотстоящих положений кривошипа и, следовательно, цена одного деления по оси φ составляет 360°/24=15°.
Источники информации
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1988, 639 с.
2. Киселев М.И., Козлов А.П., Морозов А.Н., Назолин А.А., Пронякин В.И., Соловьев А.В. Измерение периода вращения валопровода турбоагрегата фотоэлектрическим методом // Измерит. Техника. 1996. №12. С.28-29.
3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Гостехиздат, 1959.