Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 43-53 Механика

УДК 539.3:534.26

Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами *

Л. А. Толоконников

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий цилиндр, неоднородное покрытие, плоский волновод.

Исследованию распространения звуковых волн в волноводах, содержащих упругие цилиндрические тела, посвящен ряд работ. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном упругом цилиндре в плоском слое жидкости с абсолютно мягкими границами изучена в [1]. Задача дифракции звука на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками решена в [2]. При этом в [2] рассматривался случай симметричного расположения тела и симметричного распределения источников звука относительно оси волновода. В работах [3,4] найдены приближенные аналитические решения задач дифракции звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими и жесткими стенками при произвольном расположении тела и произвольном распределении источников звука в волноводе. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами исследована в [5]. Дифракция звуковых волн на цилиндрических телах с непрерывно-неоднородными покрытиями рассматривалась в работах [6-9].

В настоящей работе находится аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

Полагаем, что в плоский волновод с акустически мягкими границами помещен бесконечный однородный изотропный упругий цилиндр радиуса Го, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными А0 и ц0. Ось цилиндра параллельна плоским границам волновода. Цилиндр имеет покрытие в виде радиально-неоднородного изотропного упругого слоя, внешний радиус которого равен т\. Волновод заполнен идеальной сжимаемой жидкостью. Ее плотность и скорость звука соответственно равны pi и с.

Систему прямоугольных координат x,y,z выберем так, чтобы ось x была направлена по нижней стенке волновода, ось y — перпендикулярно стенкам, ось z — параллельно оси цилиндра. При этом нижняя стенка соответствует плоскости y = 0, верхняя — y = d, где d — ширина волновода. Положение оси цилиндра определяется уравнениями

x = X0, y = Y0, —ж < z < ж.

Введем цилиндрическую систему координат т, ф, z так, чтобы координатная ось z являлась осью вращения цилиндра. Прямоугольные и цилиндрические координаты связаны между собой соотношениями

x = X0 + т cos ф, y = Y0 + т sin ф, z = z.

В волноводе вдоль оси x распространяется гармоническая звуковая волна давления p0 с круговой частотой и, возбуждаемая заданным распределением источников звука на сечении волновода, расположенного на расстоянии X0 от оси цилиндра. В дальнейшем временной множитель в-гш* будем опускать.

Определим акустическое поле в волноводе, а также найдем поля смещений в однородном упругом цилиндре и неоднородном упругом слое.

Рассматриваемая задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты z.

В области x > 0 давление первичного поля возмущений может быть представлено совокупностью распространяющихся в направлении оси x собственных волн волновода [1]

те

P0

n=0

где Yn = \Zk2 — АП; An = ^; k = U — волновое число жидкости в вол-

d с

новоде; An — заданные амплитуды.

Разложение (1) описывает общий случай произвольного расположения источников звука на сечении волновода x = 0.

В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом:

те

Р0

m=—oo

^ / А \

где am = AneiYnXo sin ( AnY0 — m arcsin —^ j ; Jm — цилиндрическая

n=0 ^ '

функция Бесселя порядка m.

Давление полного акустического поля в волноводе p = po + ps. При этом давление рассеянного цилиндром акустического поля ps является решением уравнения Гельмгольца [10]

Aps + k2ps = 0.

Рассмотрим теперь уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом цилиндре.

Представим вектор смещения u(0) частиц упругого изотропного однородного цилиндра в виде

u(0) = gradФ + гсйФ.

Скалярный Ф и векторный Ф потенциалы смещения удовлетворяют волновым уравнениям Гельмгольца [10]

АФ + ^2Ф = 0,

АФ + к2ТФ = 0,

где ki = ш/ci — волновое число продольных упругих волн; кт = u/cT — волновое число поперечных упругих волн; ci = л/(А0 + 2ß0)/p0 и ст = л/ß0/p0 — скорости продольных и поперечных волн соответственно.

Так как Ф = Ф

АФ + кТФ = 0.

Распространение упругих волн в неоднородном слое описывается общими уравнениями движения упругой среды, которые для установившегося режима движения в неоднородном покрытии имеют следующий вид [11]:

darr 1 durw Orr т ~я--1---я +--= —UpUr,

dr r дю r

d°rv , 1 daw , 2 т

-тг^ +---+ -OrV = —U puv,

dr r дю r

где ur ,Up — компоненты вектора смещения u в цилиндрической системе координат; Oj — компоненты тензора напряжений.

Будем полагать, что плотность материала неоднородного покрытия цилиндра описывается непрерывной функцией радиальной координаты r, а модули упругости — дифференцируемыми функциями координаты r:

р = p(r), А = A(r), ß = ß(r).

Используя связь компонентов тензора напряжений с компонентами тензора деформаций (обобщенный закон Гука)и выражения компонентов тензора деформаций через компоненты вектора смещения [11], получаем вместо (7) следующую систему дифференциальных уравнений [6]:

d2ur X + ц d2uv ц д2ur ( , 2 , X + 2ц\ dur

(X + 2а) + r v + — r + X' + 2ц' + —Г +

дг2 r дгдф r2 дф2 \ r J дг

1 / . X + 3ц \ диv ( X X + 2ц 2 \

+ " [X'----+---^ + u2p)ur = 0,

r \ r ) дф \ r r2 )

д2uv X + ц д2ur X + 2цд2uv / , ц \ дuv Ц дr2 r дrдф r2 дф2 \ r ) дr

1 ( , X + 3ц \ дщ ( Ц Ц 2

+ - ц' +-- V1 + -- - ^ +^2/

r \ r ) дф \ r r2

Здесь и далее штрихами обозначено дифференцирование по аргументу.

Искомые функции р3(г,ф), Ф(г,ф), Ф(г,ф),пг(г,ф),пр(г,ф), являющиеся решениями соответствующих дифференциальных уравнений, должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях неоднородного слоя.

Граничные условия на акустически мягких стенках волновода заключаются в равенстве нулю акустического давления:

р

Граничные условия на внешней поверхности упругого покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения

г = Т\ : -шпг = уг, агг = —р, аГ

1 др

где уг = -— — радиальная компонента вектора скорости частиц жид-

шр 1 дг кости в волноводе.

На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения:

Г — Го • иг — — &гт — , —

Кроме того, давление р3 должно удовлетворять условиям излучения на бесконечности по оси х, а потенциалы Ф и Ф — условию ограниченности.

Граничные условия (10) и (11) запишем через компоненты вектора и и потенциалы Ф, Ф, используя формулы

а„ _[А(г) + 2^г)] ^ + —

дг г

^ _ +

диу

дг

диу др

иа

+ иг

и

(0) _ дФ 1 дФ дг г др'

и

(0) _ 1 дФ дФ

(0) ,, , д2Ф Ао (дФ 1 д2Ф а(0 _ (Ао + 2^о)1ГТ + — ^ + -

дг2 г \ дг г др2

г др дг 2№ ( д2Ф г \ дгдр

+

1 дФ\

г др )

а

(0) гу

_ №

2 / д2Ф г \ дгдр

1 д Ф

г др

д 2Ф 1 дФ 1 д 2Ф

дг2 г дг г2 др2

Давление рассеянного акустического поля р3 будем искать в виде потенциала простого слоя

Рз(х,у) _ J VI(хо, уо)С(х,у\хо,уо)Ло,

Ьо

где v1(x0,y0) — неизвестная функция, описывающая распределение источников поля р3 на внешней поверхности неоднородного покрытия; С(х,у\х0,у0) — функция Грина; Ь0 — окружность радиуса г1 с центром в точке (Хо,У0); (И0 _ г1(р0 — элемент контура интегрирования Ь0. Функция Грина имеет вид [2]

п=0

С

ег-уп(х-хо), х ^ х0

х ^ х0.

Вводя обозначение V(х0,у0) _ г^(хо,уо) и переходя от декартовых координат х, у к полярным координатам г, р, выражение (12) запишем в виде

2п

pJs(г,р)_J V(ро)С(г,р\п,ро)(ро.

При этом функция плотности распределения источников V на внешней поверхности цилиндра зависит только от одной угловой координаты.

Благодаря представлению функции Грина в виде (13) функция р3, определенная формулой (12), удовлетворяет уравнению Гельмгольца (3), граничным условиям (9) и условиям излучения на бесконечности. Таким образом, задача определения рассеянного поля р3 сводится к нахождению функции распределения источников V(ро), обеспечивающей выполнение граничных условий (10) и (11) на поверхностях неоднородного цилиндрического слоя.

г

Потенциалы Ф и Ф в однородной части тела, удовлетворяющие уравнениям Гельмгольца (4) и (6), с учетом условия ограниченности будем искать в виде

те

Ф

т=—те те

Ф

т—те

Вектор смещения и(0) в неоднородном слое является периодической функцией ф с периодом 2п. Поэтому функции иг(г,ф) и ир(г,ф), удовлетворяющие системе уравнений (8), представим рядами Фурье

тете

иг

т= т=

Подставляя выражения

Атит + Бтит + Стит = 0,

где Ит = (П1т(г),П2т(г))Т; Л m, Бm, Ст матрицы второго порядка,

Л + 2а 0 , Б =

Ат — I ^ I 1 Бт, —

/ ,, , Л + 2а Л + а

Л + 2ц' +-- гт- р

С =1

Ст —

г

0 а

' у гт-

г

' У\ I —I— !1/2

. л + аГ , ,га i

гт--а -—

г

( , Л + (2 + т2)а , 2 ..„.Л/ Л + \

, 2 • Л/ л + за\

+ и рг гт I Л--I

. ( , Л + 3а\ . т2Л + (2т2 + 1)а 2

гт[ а -----—а'----— + и2рг

гг

Представим функцию плотности распределения источников в виде разложения в ряд Фурье

те

V

т=—те

Коэффициенты Бт, Ст, Ьт разложений (15), (16), (19) и четыре краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (18) подлежат определению из семи граничных условий (10) и (11).

Воспользуемся первым из граничных условий (10). Будем учитывать, что потенциал простого слоя непрерывен на поверхности, по которой распределены источники, а его нормальная производная на этой поверхности

имеет разрыв, равный по величине — [12]. Интеграл (14) и производные от него следует понимать в смысле главного значения с переносом операции дифференцирования непосредственно на подынтегральную функцию. Таким образом,

дрз

дг

Т=Т\

2п

_ — П V (р) + У V (ро)М (р,ро)йро-

В результате получаем бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных Ьш.

Тогда бесконечная система принимает вид

апшЪп _ ¡ш

п=-<х

где

2п 2п

г1

апш _ 5пш + апш; апш _ — ^ у у м(р, ро)^0е гт¥(ро(р;

о о

г1

¡Ш _--[ш2р1и1ш

П

д

М (р,ро)_ — С(г,р\гьро) дг

$пш — символ Кронекера.

Из второго граничного условия (10) также получаем бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных ЬШ. Будем иметь

<х

^ ^п _ 5Ш

где

2п 2п

_! I к(р,ро)етуое-гшу(1ро(1р; о о

К(р,ро) _ С(гьр\гьро); 5Ш _ —2п{аш^ш(^г1) + [А(г1) + 2^(п)]и1ш(г1) + + [и1ш(г1) + гти2ш(г1)]}.

п=

Системы (20) и (21) могут быть решены методом усечения [13]. Но для этого необходимо сначала найти величины и1ш(г1) и и2ш(г1).

Запишем системы (20) и (21) в усеченном виде, выбрав порядок усечения N. Будем иметь

N

апшЬп

n=-N

N

впшЬп _ дШ} + 91Ш]и1ш(г1) + дШ)и2ш(г1) + дШи

n=-N

(т _ 0, ±1, ±2,...,

апшЬп _ ¡40) + ¡^иш

=—N

^ @пшЬп _ д

где

¡тп — (^г1); ¡т) — ; дгп — 2паш^ш (^г1);

П П

д(1) _ —д(2) _ —2™^; д(3 _ —2п[А(п)+ 2^)].

В матричном виде система (22) имеет вид:

дь _ ¡(0) + ¡ (1)и1,

где

д _(а V ч , ^ f(0) (0) /(0) *(0) г(0) г(0))т;

д _ (апш+1)x(2N+1); Л _ (J — N ,J—N+1, • • • , ¡0 , ¡1 ,,JN ) ;

(1) и ..(г1) /(1) и......(г1) /(1)и1.(г1) /(1)и1„(г1))Т;

Т

¡

Ь _(Ь—N ,Ь—N+1,•••,Ьо,Ьl,•••,ЬN ) . Методом обратной матрицы находим

ь _ (д)—17(0) + (д)—17 (1)и1

или в координатной форме

N N

Ьп _ Япз ¡

j=—N j=—N

где д^ — элементы обратной матрицы д—1.

Подставим (24) в систему (23). Получаем соотношение

д{ш)и1ш (г1) + д{ш)и2ш (г1) + д{ш)и'1ш (г1)—

N N

52 впт 52 ^ (Г1) =

n=—N j=—N N N

= ^ впт 52 П ¡

n=—N j=—N

Из третьего граничного условия (10) получаем соотношение гт 1

— и1т

Первые два граничные условия (11) приводят к системе уравнений

гт

и1т(го) = Бтк.'т (кг Го ) + Ст-Зт(кт Го),

Г0

гт

и2т (Го) = Бт-Зт (к Го) — Сткт Зт (К Го).

Г0

Решая эту систему, находим коэффициенты Бт и С , выраженные через величины и 1т(го) и и2т(го):

Бт = [кт Го3'т

Ст = [гтЗт

где

А = кгкт гЗ'т (кг го)З'т (кт Го) — т2Зт (кгГо)Зт (кт Го). Последние два граничные условия (11) дают соотношения

{[Л(Го) + 2а(ГоЖт (Го) + Л(Го)[и1т (Го) + ЪтЩт (Го )]}г^ =

Го

= Бт {(Ло + 2ао)кг2г^З" (кг Го) + Ло [кг гоЗ^ (кгГо) — т2Зт (кг Го)]}+

+Ст 2гтао[кт Го З'т

а(го) [гти1т(го) + Гои2т(го) — и2т(го)] Го =

= ао{Бт 2гт[кг ГоЗ'т (кгГо) — Зт (кгГо)] +

+Ст [—к^г^З"

Теперь подставим выражения (27) и (28) в соотношения (29) и (30). В результате получаем краевые условия (25), (26) и (29), (30), которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (18). Построенная краевая задача может быть решена каким-либо методом.

Таким образом, решив краевую задачу (18), (25), (26), (29), (30), находим поле смещений в неоднородном покрытии согласно (17). Затем по формулам (27) и (28) вычисляем коэффициенты разложений (15) и (16), которые определяют волновые поля в однородном упругом цилиндре. По формуле (24) вычисляем коэффициенты разложения (19) и получаем аналитическое описание акустического поля в волноводе.

Список литературы

1. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В.Е. Белов, С.М. Горский, А.Ю. Зиновьев, А.И. Хилько // Акустический журнал. 1994. Т.40. № 4. С. 548-560.

2. Толоконников Л.А., Садомов А.А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т.12. Вып. 5. С. 208-216.

3. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 161-176.

4. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2009. Вып. 1-2. С. 3-10.

5. Толоконников Л.А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154-163.

6. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

7. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

8. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

9. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 179-192.

10. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

11. Новацкий В. Теория упругости. Т.2. М.: Мир, 1975. 872 с.

12. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

13. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.

Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Diffraction of sound waves by an elastic cylinder with a non-uniform coating in a plane waveguide with acoustic soft boundaries

L. A. Tolokonnikov

Abstract. The analytical solution of the problem of the diffraction of sound waves by an elastic cylinder with a non-uniform coating in a plane waveguide with acoustic soft boundaries is obtained.

Keywords: scattering, sound waves, elastic cylinder, non-uniform coating, plane waveguide.

Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 24.12.2014