Применение гибридного алгоритма при решении неоднородной минимаксной задачи с использованием сильных мутаций

Применение гибридного алгоритма при решении неоднородной минимаксной задачи с использованием сильных мутаций

2,

1 2 1 В.Г. Кобак , А.Г. Жуковский , А.П. Кузин

1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики, Ростов-на-Дону

1

Аннотация: В статье рассматривается проблема решения минимаксной задачи, характерной для теории расписаний. В качестве возможного метода решения данной задачи рассматривается гибридная модель, которая является одной из новинок генетических алгоритмов. Описывается сравнение эффективности работы данной модели на основе оценки точности полученных результатов при использовании двухточечного кроссовера, простой мутации и использовании сильной мутации.

Ключевые слова: двухточечный кроссовер, гибридный алгоритм, модифицированная модель Голдберга, мутация, минимаксная задача, теория расписаний, сильная мутация, особь, поколение.

Необходимость решения задач поиска наилучшего распределения заданий между процессорами определяется возможностью существенной экономии машинного времени. [1] Теоретическая сложность нахождения наилучшего распределения связана с решением экстремальных задач комбинаторного типа, требующих больших вычислительных ресурсов. Генетические алгоритмы, моделирующие эволюционные процессы, являются перспективным способом решения подобных задач. Применение гибридных форм при работе генетического алгоритма позволяет дополнительно во многих случаях увеличить точность решения. Раннее обычно в качестве основной модели выбиралась модифицированная модель Голдберга. В данной работе рассматривается гибридный алгоритм, который образуется путем добавления свойств модели СНС к модифицированной модели Голдберга.

Введение

Постановка задачи

В терминах теории расписаний распределительная задача может быть сформулирована следующим образом. Имеется система обслуживания, состоящая из N независимых устройств P = {p1,p2,...,pn}. На обслуживание

поступает конечный поток M - множество независимых параллельных заданий (функциональных операторов) T = {t1,t2,...,tm}. r(t1pj)- длительность

обслуживания задания t t устройством pj, определяется матрицей Тт.

Приборы в общем случае не идентичны, задание tt может быть обслужено

любым из устройств, и устройство p j может обрабатывать одновременно не

более одного задания. Необходимо определить такое распределение заданий по устройствам без прерываний, чтобы время выполнения всей совокупности заданий было минимальным. Критерий минимизации времени завершения обслуживания заданий, является минимаксным критерием и определяется в следующем виде: f = max f ^ min, где f = ^TT(tipi) - время завершения

lä 1 Sn 1 „ „ 1

J T(ttpj )eT

работы процессора pj.

Для решения этой задачи хорошо подходят генетические алгоритмы, позволяющие получить точное или приближенное решение. В данной работе в качестве базового алгоритма для решения неоднородной минимаксной задачи возьмем модифицированную модель Голдберга. Функционирование модифицированной модели Голдберга можно изобразить виде схемы, показанной на Рис. 1.

В работах [2, 3, 6] была тщательно исследована модифицированная модель Голдберга при решении неоднородной минимаксной задачи. При двухточечном кроссовере (Рис.2.), простой мутации (Рис.3.), а также при определенном формировании текущего поколения (Рис.4.) получались результаты очень близкие к оптимальным.

:

Рисунок 1 - Схема функционирования модифицированной модели

Голдберга.

Рисунок 2 - Полный двухточечный кроссовер

Рисунок 3 - Пример простой мутации

Рисунок 4 - Левая особь и мутации Модифицированную модель Голдберга (с найденными раннее параметрами) усилим дополнением характерным для модели СНС, которое можно описать в виде следующей последовательности:

В конечном поколении, состоящее из заданного числа особей, находим лучшую особь и запоминаем [4, 5, 7]. Если лучшая особь получилась первый раз, то конечное поколение подвергаем сильной мутации и запускается модифицированная модель Голдберга. Если лучшая особь получилась не первый раз, то подсчитываем количество запусков. Если количество запусков равно раннее заданному, то полученная лучшая особь выбирается как найденное решение. Если во время дополнительных запусков в конечном поколении получится более лучшая особь, то счетчик дополнительных запусков сбрасывается и запускается модифицированная модель Голдберга. Схема сильной мутации изображена на Рис.5.

Рисунок 5 - Схема сильной мутации

Вычислительный эксперимент

В связи с тем, что аналитически решить эту задачу крайне проблематично, если вообще возможно, в рамках исследования алгоритмов были поставлены вычислительные эксперименты, позволяющие собрать статистику решений алгоритмами [8, 9, 10]. Эксперимент проводился для 200, 400 и 800 особей и повторов алгоритма. Для таблиц 1, 2 и 3 есть ряд условных обозначений: К - процент особей, подвергшихся мутации; М -процент задач, подвергшихся мутации; В - процент бит, подвергшихся инвертированию. Жирным шрифтом выделены лучшие среди полученных результатов.

В таблице № 1 показан результат сравнения эффективности работы одноточечного кроссовера по сравнению с моделью, использующей сильную мутацию, для задачи с 4 процессорами и 71 задачи.

Таблица № 1

Сравнение эффективности алгоритмов для 4 процессоров и 71 задачи

Количество особей 200 400 800

Показатели Мин. Сред. Время

Без сильной мутации 485 492,84 59 484 488,34 170 482 485,76 483

К м в

100 100 12,5 483 486,92 227 482 485 594 482 483,9 1921

100 50 12,5 482 486,3 193 483 485,32 569 483 484,72 1509

100 33 12,5 483 487,1 178 483 485,66 528 482 484,56 1593

50 100 12,5 484 490,68 127 484 487,14 431 483 485,66 1322

50 50 12,5 485 490,22 134 484 487,18 425 483 485,4 1243

50 33 12,5 485 490,12 144 483 487,12 414 483 485,16 1321

33 100 12,5 483 491 130 485 488,02 410 482 485,46 1311

33 50 12,5 485 491,12 128 485 487,76 398 482 485,34 1251

33 33 12,5 486 491,1 126 484 488,24 378 482 485,26 1433

100 100 50 485 489,02 231 483 486,36 675 482 484,2 2187

100 50 50 484 487,44 226 482 485,18 639 482 484,08 1788

100 33 50 483 486,5 232 482 485,02 587 482 484,2 1647

50 100 50 486 491,06 125 484 487,4 427 483 485,38 1251

50 50 50 486 490,94 131 484 488 412 483 485,28 1255

50 33 50 486 491,06 137 483 487,52 407 482 485,04 1289

33 100 50 486 491,54 123 483 487,6 384 482 485,14 1266

33 50 50 485 491,08 126 483 487,76 385 483 485,26 1254

33 33 50 486 490,74 126 484 487,18 416 482 485,56 1331

100 100 75 484 488,92 248 483 486,4 709 482 484,72 2215

100 50 75 484 487,84 227 482 485,24 712 482 484,24 2032

100 33 75 484 487,16 219 482 484,94 618 482 484 1845

50 100 75 484 490,78 138 484 487,7 389 483 485,48 1357

50 50 75 484 490,44 3853 483 487,54 413 483 485,4 1393

50 33 75 485 490,22 143 483 488,22 382 483 485,28 1383

33 100 75 485 490,82 130 485 488,44 398 482 485,2 1287

33 50 75 486 490,96 128 484 487,56 401 483 485,34 1315

33 33 75 485 490,64 132 482 487,42 390 483 485,74 1344

В таблице № 2 показан результат сравнения эффективности работы одноточечного кроссовера по сравнению с моделью, использующей сильную мутацию, для задачи с 5 процессорами и 71 задачи.

Таблица № 2

Сравнение эффективности алгоритмов для 5 процессоров и 71 задачи

Количество особей 200 400 800

Показатели Мин. Сред. Время

Без сильной мутации 388 394,54 74 383 389,08 217 382 386,7 600

К м В

100 100 12,5 383 387,94 302 382 385,16 865 381 383,7 2644

100 50 12,5 382 387 251 381 384,66 812 381 383,44 2258

100 33 12,5 382 386,28 247 382 384,6 727 382 383,56 2313

50 100 12,5 386 392,04 161 384 388,4 522 382 385,9 1663

50 50 12,5 385 391,98 174 384 387,9 534 382 385,44 1727

50 33 12,5 385 390,62 173 384 387,68 546 382 385,4 1685

33 100 12,5 384 392,04 163 383 388,2 538 382 385,86 1620

33 50 12,5 385 391,94 158 384 388,32 504 382 385,82 1579

33 33 12,5 385 392,28 154 383 388,14 506 382 385,6 1619

100 100 50 384 389,48 334 383 386,34 888 382 384,14 2545

100 50 50 383 387,06 332 382 385,6 798 382 383,66 2754

100 33 50 383 386,84 307 382 384,74 855 381 383,32 2413

50 100 50 386 391,6 166 384 387,98 550 382 385,7 1750

50 50 50 386 391,74 157 384 388,08 515 382 385,96 1607

50 33 50 384 391,66 169 382 387,48 543 382 385,24 1685

33 100 50 386 392,86 144 384 388,1 500 383 385,22 1792

33 50 50 386 391,86 157 384 388,44 490 382 385,48 1583

33 33 50 384 391,92 155 383 388,1 488 382 385,76 1620

100 100 75 385 389,94 4031 383 385,86 964 382 384,02 2795

100 50 75 383 388,14 295 382 385,58 883 381 383,88 2505

100 33 75 383 387,06 302 382 385,32 830 382 384,5 2282

50 100 75 386 391,9 163 382 388,02 492 382 385,42 1723

50 50 75 387 392,26 161 383 387,96 563 382 385,46 1639

50 33 75 384 390,52 182 383 388,3 498 382 385,42 1701

33 100 75 387 392,62 148 384 389,04 488 381 385,3 1614

33 50 75 385 391,86 152 383 388,34 511 382 385,3 1661

33 33 75 387 392,32 162 384 388,28 455 382 385,26 1644

В таблице № 3 показан результат сравнения эффективности работы одноточечного кроссовера по сравнению с моделью, использующей сильную мутацию, для задачи с 6 процессорами и 71 задачи.

Таблица № 3

Сравнение эффективности алгоритмов для 6 процессоров и 71 задачи

Количество особей 200 400 800

Показатели Мин. Сред. Время

Без сильной мутации 317 328,88 92 315 321,74 283 314 318,06 809

К м в

100 100 12,5 313 318,66 354 313 316,18 1034 311 314,1 3144

100 50 12,5 312 317,94 326 312 315,46 936 312 313,86 2848

100 33 12,5 313 317,62 323 312 315,98 849 312 314,2 2716

50 100 12,5 316 323,08 207 316 319,9 641 312 316,24 1892

50 50 12,5 317 323,24 202 315 319,42 608 313 316,86 1935

50 33 12,5 316 322,76 198 314 319,28 656 313 316,8 2051

33 100 12,5 317 324,58 184 314 319,16 604 313 317,56 1868

33 50 12,5 317 323 202 314 319,1 635 313 316,98 1901

33 33 12,5 318 324,1 188 314 319,6 587 313 317,02 0

100 100 50 314 321,04 391 313 317,7 1208 313 315,46 3295

100 50 50 316 319,1 382 313 316,12 1080 312 314,34 3181

100 33 50 313 318,4 352 312 315,64 1000 311 313,98 2937

50 100 50 317 323,56 195 314 320,24 617 313 316,84 1898

50 50 50 317 323,96 199 314 319,26 616 314 316,74 1914

50 33 50 318 323,9 3926 314 319,56 645 314 316,96 1808

33 100 50 317 324,04 196 315 319,4 606 313 317,02 1885

33 50 50 319 324,56 181 316 319,72 590 314 317,18 1937

33 33 50 317 325,06 186 316 319,92 569 314 317,34 1860

100 100 75 316 321,36 376 315 318,08 1215 312 315,34 3435

100 50 75 314 319,84 375 313 316,4 1087 312 314,68 2846

100 33 75 314 318,42 374 313 315,74 1011 310 313,98 2911

50 100 75 316 324,4 191 316 320,04 592 313 317,7 1883

50 50 75 317 324,38 202 315 319,7 618 311 316,94 1836

50 33 75 316 322,42 210 315 319,46 618 313 316,62 1983

33 100 75 317 323,84 190 315 319,74 623 312 317,24 1799

33 50 75 318 324,3 176 314 319,82 574 313 316,92 1848

33 33 75 318 324,44 182 315 320,04 575 313 316,66 1859

Выводы

Таким образом, обобщив результаты, приведенные в таблицах № 1-3, можно сделать несколько выводов:

1) Повышение количества особей и повторов приводит к повышению точности решения неоднородной минимаксной задачи, как при использовании гибридного алгоритма, так и при использовании модифицированной модели Голдберга.

2) Повышение количества особей и повторов приводит к существенному повышению времени получения решения неоднородной минимаксной задачи при использовании гибридного алгоритма.

3) Увеличение количества процессоров при решении неоднородной минимаксной задачи показывает преимущества гибридного алгоритма по сравнению с модифицированной моделью Голдберга по точности получаемого решения. Причем как в среднем происходит улучшение по количеству запусков, так и по лучшему решению, которое содержит последнее поколение.

4) Практически весь спектр рассматриваемых сильных мутаций превосходит по точности модифицированную модель Голдберга, однако использование сильной мутации с характеристиками К=100, М=50, В=12,5 наиболее перспективно для получения решения неоднородной минимаксной задачи.

Литература

1. Головкин Б.А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов. Москва: Радио и связь, 1983. 216 с.

2. Кобак В.Г., Титов Д.В. Исследование турнирного отбора в генетическом алгоритме для решения однородной минимаксной задачи // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ — 21: сб. трудов Междунар. науч. конф. — Саратов. 2008. №.2. C. 12.

3. Кобак В.Г., Поркшеян В.М., Кузин А.П. Использование различных вариантов мутации при решении неоднородной минимаксной задачи модифицированной моделью Голдберга // Научно практический журнал «Аспирант». 2017. №10. С. 26-29.

4. Аль-Хулайди А.А., Чернышев Ю.О. Разработка параллельного алгоритма нахождения оптимального решения транспортной задачи на кластере //Инженерный вестник Дона. 2011. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2011/445/.

5. Нетёсов А.С. Эволюционно-генетический подход к решению задач оптимизации. Сравнительный анализ генетических алгоритмов с традиционными методами оптимизации // Инженерный вестник Дона. 2011. №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/459/.

6. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Кузин А.П. Исследование применения одноточечного кроссовера при решении неоднородной минимаксной задачи //Инженерный вестник Дона. 2018. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/ n1y2018/4714/.

7. Goldberg D. Genetic Algorithms In Search, Optimization, and Machine Learning. USA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1989. pp. 28-33.

8. Affenzeller M., Wagner S., Winkler S., Beham A. Genetic Algorithms and Genetic Programming: Modern Concepts and Practical Applications. USA: CRC Press, 2009. 364 P.

9. Каширина И.Л. Введение в эволюционное моделирование. Воронеж, 2007.40 С.

10. Панченко Т. В. Генетические алгоритмы. Астрахань: Астраханский

университет, 2007. 87 С.

References

1. Golovkin B.A. Raschet kharakteristik i planirovaniye parallel'nykh vychislitel'nykh protsessov. [Calculation of characteristics and planning of parallel computing processes]. Moscow: Radio i svyaz', 1983. 216 P.

2. Kobak, V.G., Titov D.V. Matematicheskie metody v tehnike i tehnologijah MMTT 21. Saratov, 2008. №.5. P. 12.

3. Kobak V.G., Porkshejan V.M., Kuzin A.P. Nauchno prakticheskij zhurnal «Aspirant». 2017. №10. pp. 26-29.

4. Al'-Khulaydi A.A., Chernyshev YU.O. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2011/445/.

5. Netosov A.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/459/.

6. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Kuzin A.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2018. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4714/.

7. Goldberg D. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. USA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1989. pp. 28-33.

8. Affenzeller M., Wagner S., Winkler S., Beham A. Genetic Algorithms and Genetic Programming: Modern Concepts and Practical Applications. USA: CRC Press, 2009. 364 P.

9. Kashirina I.L. Vvedeniye v evolyutsionnoye modelirovaniye [Introduction to evolutionary modeling]. Voronezh, 2007. 40 P.

10. Panchenko T. V. Geneticheskiye algoritmy [Genetic algorithms]. Astrakhan: Astrakhan University, 2007. 87 P.