Обзор основных результатов в области компьютерной алгебры

УДК 512.8

ОБЗОР ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В ОБЛАСТИ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ

© Г.И. Малашонок

Ключевые слова: компьютерная алгебра; решение систем в коммутативных кольцах; характеристический полином; субрезультантная последовательность; параллельная компьютерная алгебра.

В работе приведен обзор основных результатов в области компьютерной алгебры, полученных автором в период его работы на кафедре компьютерного и математического моделирования.

ВВЕДЕНИЕ

Компьютерную алгебру можно рассматривать как раздел алгебры, в котором разрабатываются конструктивные методы решения алгебраических задач вместе с анализом сложности этих методов и анализом эффективности их реализации в компьютерных системах.

Первые работы по компьютерной алгебре появляются в середине прошлого столетия, а первая коллективная монография под редакцией Бруно Бухбергера по компьютерной алгебре вышла двадцать лет назад. В ней дается обзор основных результатов и систематизация главных направлений развития компьютерной алгебры. Эта книга, также как и другие две, изданные в конце восьмидесятых годов, были переведены на русский язык.

Сегодня уже изданы десятки книг по компьютерной алгебре и отдельным ее разделам, а книги по приложениям компьютерной алгебры исчисляются сотнями.

Настоящая работа посвящена обзору основных результатов автора, полученных в компьютерной алгебре в области матричных методов вычислений в коммутативных кольцах.

Основные задачи, которые здесь рассматриваются:

1) решение систем линейных уравнений в поле частных коммутативной области;

2) решение систем линейных уравнений в коммутативных кольцах;

3) вычисление определителей матриц;

4) вычисление обратных и присоединенных матриц;

5) вычисление характеристического многочлена;

6) вычисление субрезультантной последовательности полиномиальных остатков и наибольшего общего делителя двух многочленов.

Вычислительные методы исследуются в четырех классах колец:

1) ко ммутативных кольцах;

2) коммутативных областях;

3) кольцах главных идеалов;

4) евклидовых областях.

Основное внимание уделено коммутативным областям.

Известный стандартный путь для решения здесь задач состоит в переходе к полю частных области. Область канонически погружается в поле частных, в котором решается задача. При этом могут быть использо-

ваны все методы, которые известны для решения такой задачи в поле.

К сожалению, такой подход позволяет получить алгоритмы с удовлетворительной степенью сложности только в том случае, когда сложность операций над элементами поля не зависит от значений операндов. Например, как в случае конечных полей.

Обычно же в поле можно определить величину элементов поля, и сложность операций над элементами поля можно оценить в зависимости от величины операндов. При этом стоимость операций над элементами поля растет очень быстро в процессе вычислений по алгоритму в связи с ростом величины операндов. Например, метод Гаусса для решения систем линейных уравнений в случае кольца целых чисел дает алгоритм, который имеет не кубическую сложность, а экспоненциальную.

Поэтому основная задача при построении алгоритмов в коммутативной области состоит в том, чтобы контролировать величины промежуточных элементов, которые появляются в процессе вычислений.

Матричные алгоритмы для коммутативных областей характеризуются двумя основными свойствами: 1) промежуточные элементы, которые появляются в процессе вычислений, являются минорами исходных матриц (следовательно, ограничены величиной наибольшего минора); 2) число операций над элементами коммутативной области такое же, как в алгоритме матричного умножения.

1. Детерминантные тождества и общий подход к решению систем в коммутативных кольцах. Детер-минантные тождества составляют алгебраическую основу матричных вычислительных методов в коммутативных областях и, кроме того, представляют и самостоятельный интерес.

Каждый вычислительный метод основан на нескольких детерминантных тождествах. Были доказаны многие новые детерминантные тождества и предложены общие подходы к решению систем линейных уравнений в коммутативных кольцах.

2. Решение систем в коммутативной области.

Были разработаны три основных метода решения систем в коммутативной области.

В первом из них строится система меньшего размера, эквивалентная исходной системе, в подходящем факторкольце. Этот метод применяется в евклидовых областях совместно с модулярной арифметикой и быстрыми алгоритмами матричного умножения.

В основе второго метода лежит вычисление эквивалентной системы с треугольной матрицей коэффициентов. При этом используется умножение на обратимые матрицы. Обратимая замена переменных приводит к определенной системе, которая решается с помощью обратного хода. Этот метод применяется в дальнейшем в кольцах главных идеалов с единицей.

Третий метод состоит в построении таких определенных систем, решение которых дает частные решения исходной системы. Эти частные решения определяют матрицу коэффициентов новой системы меньшего размера в факторкольце. Решения этой системы в факторкольце определяют все решения исходной системы. Этот метод применяется в евклидовых областях вместе с р-адической арифметикой, при этом рассматриваются как вероятностный, так и детерминистский алгоритмы.

3. Решение систем в поле частных коммутативной области и близкие задачи. Предшествующие результаты следующие. Можно ли применять метод Гаусса для решения системы линейных уравнений в поле частных коммутативной области? Как показывает пример конечных полей, систему размера п^п можно решить за пЛ3/3 + 0(пл2) операций умножения даже используя схему умножения и вычитания метода Гаусса.

Столь же успешно в конечном поле можно применить и любой быстрый метод для решения систем линейных уравнений над полем.

Возьмем другой пример - кольцо целых чисел. Будем рассматривать каждую дробь как пару чисел - числитель и знаменатель. Стандартная схема метода Гаусса требует (7/3)пЛ3 + 0(пЛ2) операций умножения и 2/3пЛ3 + 0(пЛ2) операций вычисления наибольшего общего делителя. Отметим, что отказываться от вычисления на каждом шаге наибольшего общего делителя нельзя, т. к. это приводит к экспоненциальному росту чисел и экспоненциальной зависимости от п сложности алгоритма. В кольце целых чисел для вычисления наибольшего общего делителя потребуется ~(п1(^_2 |а|) операций деления, где а - наибольший по модулю коэффициент. В результате сложность метода Гаусса в кольце целых чисел составит ~(пЛ4 \1og_2 |а|) мультипликативных операций (операций умножения и деления). Можно оценить сложность в количестве операций над машинными словами определенного размера, предполагая применение стандартной арифметики. Тогда получим сложность ~(дЛ6 \^Л3_2 |а|). Такую же оценку можно получить и в случае кольца полиномов над полем.

4.Л. Доджсон (С.Ь. Dodgson), известный также под псевдонимом Льюис Кэрролл, впервые применил де-терминантные тождества для вычисления определителя матрицы и для решения системы линейных уравнений с целочисленными коэффициентами, вычисляя миноры, отношение которых составляет решение системы по правилу Крамера.

Для прямого хода по методу Доджсона (и для вычисления определителя) нужно пЛ3 + 0(пЛ2) операций

умножения и точного деления и не требуется операций вычисления наибольшего общего делителя чисел.

Для решения системы требуется 3/2 ил3 + 0(ил2) мультипликативных операций.

Сложность таких вычислений в количестве операций над машинными словами составляет 0(«л5 l(^2_2 |a|).

Е.Н. Барейс (E.N. Bareiss, 1968) предложил алгоритм, который использовал такие же детерминантные тождества, что и Ч.Л. Доджсон как во время прямого хода, так и во время обратного хода, т. е. дважды применил прямой ход Доджсона и нашел все неизвестные системы за 3/2 пЛ3 + 0(«л2) операций умножения и деления.

К сожалению, во время обратного хода появился несокращенный сомножитель, равный произведению всех диагональных миноров исходной матрицы коэффициентов.

Идея Доджсона - использовать детерминантные тождества для вычисления миноров исходной матрицы коэффициентов, а затем находить решение как отношение этих миноров, была развита автором.

Был предложен метод прямого и обратного хода, имеющий сложность пл3 + 0(пл2) операций, метод одного прохода со сложностью 2/3 пл3 + 0(пл2) и обобщенный метод со сложностью 7/12 пЛ3 + 0(пЛ2).

Был получен рекурсивный метод решения систем, асимптотическая оценка сложности которого отличается только числовым множителем от сложности матричного умножения.

Методы быстрого матричного умножения, история которых берет свое начало с работы В. Штрассена (V. Strassen, 1969), лежат в основе многих быстрых алгоритмов над полем.

Сегодняшним рекордом считается метод матричного умножения Винограда и Копперсмита, имеющий оценку 0(пЛ2.376..).

Будем обозначать сложность алгоритма матричного умножения, который применяется в анализируемом алгоритме, через G пЛВ + о(пЛВ), где G и B - постоянные.

C уменьшением В растет, как правило, числовой коэффициент при старшем члене в оценке сложности анализируемого алгоритма. Важна оценка этого числового коэффициента.

Сложность полученного рекурсивного метода решения систем линейных уравнений составляет 1/3 пЛ3 + + 0(пЛ2) операций при стандартном матричном умножении и 5/3 G пЛ{В} + о(пЛ{В}) при быстром матричном умножении.

Этот алгоритм можно применить и для вычисления определителя.

Был получен метод вычисления присоединенной матрицы, который требует пЛ3 + 0(пЛ2) операций при стандартном матричном умножении и 2 G пЛ{В} + + о(пЛВ) операций при быстром матричном умножении. Лучший известный алгоритм вычисления присоединенной матрицы в произвольном коммутативном кольце имеет сложность 0(пЛ(В + 1/3)log п log log п).

Алгоритм вычисления ядра линейного оператора был получен на основе алгоритма вычисления присоединенной матрицы.

4. Вычисление характеристического полинома в коммутативной области. Предшествующие результаты следующие.

Для случая произвольного коммутативного кольца лучшими алгоритмами являются алгоритм А. Л. Чистова (Chistov, 1985) и улучшенный алгоритм Берковича (Вегкош1г), предложенный Дж. Абделауедом (J. Abde-ljaoued, 1997), у которых число арифметических операций имеет порядок ~(пЛ(В + 1) log п).

Были получены два новых метода вычисления характеристического полинома в коммутативной области: это трехдиагональный метод со сложностью 7/3 пЛ3 + + 0(пЛ2) и квазитреугольный метод со сложностью 3пЛ3 + 0(пЛ2) мультипликативных операций. В основе методов лежат детерминантные тождества в коммутативных кольцах.

5. Матричный метод вычисления субрезуль-тантной последовательности полиномиальных остатков в коммутативной области.

Предшествующие результаты: матричный метод вычисления субрезультантной последовательности полиномиальных остатков А. Акритаса (A.G. Akritas, 1988) имеет сложность 8\maxЛ3(n,m) + 0(\maxЛ2(n,m)) для полиномов степени п и т.

Полученные новые методы: были получены два метода вычисления субрезультантной последовательности полиномиальных остатков коммутативной области: это метод прямого хода со сложностью (п+т)Л3 + + 0((п+т)Л2) и рекурсивный метод со сложностью 5/3 0(п+т)Л{В} + o^+т^В) операций для быстрого матричного умножения.

6. Матричные методы в кольцах главных идеалов. Для колец главных идеалов известен алгоритм триангуляризации матрицы Дж.Л. Хафнера и К. С. Мак Кели (J.L. Hafner, K.S. McCurley, 1991), а также алгоритм Т. Мулдерса и А. Сториохана (T. Mulders, A. Storjohann, 1998, 2000) для триангуляризации матрицы и решения системы линейных уравнений со сложностью ~(тпЛ{В-1}) арифметических операций и операций вычисления генератора идеала, порожденного двумя элементами.

Полученные новые методы: были получены новые алгоритмы триангуляризации матрицы, решения системы линейных уравнений и вычисления присоединенной матрицы со сложностью ~(тпЛ{В-1}) арифметических операций и ~(тп) операций вычисления генератора идеала.

А также был получен алгоритм вычисления характеристического многочлена, который имеет сложность 17/6 пЛ3 + 0(пЛ2) арифметических операций и 1/2 пЛ2 + + 0(п) операций вычисления генератора идеала.

По сравнению с известными алгоритмами здесь понижается число наиболее сложных операций - операций вычисления генератора идеала.

7. Решение систем линейных уравнений в евклидовых областях. Решение систем линейных уравнений в двух евклидовых областях - в кольце целых чисел и в кольце полиномов над полем наиболее часто встречается в приложениях.

Отметим, например, применение систем линейных диофантовых уравнений: это вычисление канонической структуры абелевых групп (Iliopoulos 1989) и (Cannon,

Havas 92), использование в целочисленном программировании и диофантовом анализе (Newman 1972), применение в химии для составления уравнений реакций и др.

Традиционный метод для решения линейных систем диофантовых уравнений основан на вычислении формы Смита.

Наиболее известные современные алгоритмы решения диофантовых систем линейных уравнений - это алгоритмы В.А. Бланкиншипа (Blankinship 1966), Р.Т. Грегори и Е.В. Кришнамурти (1984), K.C. Илиопо-лоса (Iliopoulos 1989), Дж.Л. Хафнера и К.С. Мак Кели (Hafner, McCurly 1991), М. Гисбрехта (Giesbrecht 1997), Т. Мулдерса и А. Сториохана (Mulders, Storjohan 1999), А. Сториохана (Storjohan 2000), Г. Лабана и А. Сториохана (Labahn, Storjohan 1996).

Лучший результат получен в работе Г. Лабана и А. Сториохана в 1996 г.

Он имеет сложность 0((пЛ{В-1} т M^ log Nr (A))).

Здесь Nr (A) = \max_{'/'}(|A_{',/}|), M(t) - сложность умножения двух t-битных чисел. Для стандартных алгоритмов M(t) = f^2, для FFT алгоритмов M(t) = = t log t log log t.

Для стандартных алгоритмов умножения оценка сложности их алгоритма составляет 0(пЛ4 т logЛ2 Nr(A)), а для FFT алгоритмов умножения - 0(пЛВ т log Nr (A)).

Автором был предложен другой подход, позволяющий получить асимптотически лучшие практические алгоритмы - p-адический и модулярный алгоритмы.

Каждый из них сводит задачу к решению системы в кольце вычетов, поэтому можно применить алгоритм решения системы в кольце главных идеалов, полученный раннее.

В модулярном алгоритме исходная система сводится к эквивалентной системе с матрицей коэффициентов, имеющей диагональный левый квадратный блок с диагональными элементами, равными определителю этого блока. Затем решается система по модулю этого определителя.

В p-адическом методе вычисляется базисное множество точек на плоскости всех рациональных решений системы с помощью p-адического подъема. А затем для получения решений в евклидовой области вычисляются все целые точки на этой плоскости.

Оценка сложности p-адического и модулярного алгоритмов для стандартных алгоритмов умножения составляет 0(пЛ3 т ^Л2 Nr(A)), а для быстрых алгоритмов - 0(пЛ3 т log Nr(A)), где A - целочисленная матрица размера п*т ранга п.

Сравнение этих оценок с оценками сложности алгоритма Г. Лабана и А. Сториохана (1996) показывает, что для быстрых алгоритмов умножения оценки сложности этих алгоритмов хуже в пЛ{3-В} раз, а для стандартных алгоритмов умножения оценки лучше в п раз.

Это позволяет считать алгоритм Г. Лабана и А. Сториохана (1996) теоретически лучшим, а новые p-адический и модулярный алгоритмы - практически лучшими.

Сравнение выражений, описывающих сложность алгоритмов для разных видов систем, позволило описать рекомендуемые области применения этих алгоритмов, что важно для практических целей.

8. Параллельная компьютерная алгебра. С появлением СуперЭВМ меняется и характер задач компьютерной алгебры. Для однопроцессорных машин важно было найти и применить те алгоритмы, которые имели наименьшее число арифметических операций.

Однако для параллельных машин минимальное число операций - это не самое важное. Важнейшей характеристикой алгоритма является эффективность его распараллеливания, т. е. возможность эффективной реализации на вычислительных кластерах, содержащих тысячи и миллионы процессоров.

В этой области был разработан блочно-рекурсивный матричный подход, позволяющий получать эффективные матричные и матрично-полиномиальые алгоритмы. В его основе лежит древовидная схема алгоритма, который реализуется в параллельной вычислительной среде. Выделение листовых блоков как самостоятельных однопроцессорных алгоритмов, и концепция граничного уровня распараллеливания, далее которого расщепление алгоритма и потока данных неэффективно, - составляют важнейшие концептуальные аспекты теории параллельного программирования. Эти положения подтверждены экспериментально для кластеров с 500 до 4000 процессоров.

Все это позволяет говорить о реальности создания параллельной системы компьютерной алгебры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малашонок Г.И., Ковальчук-Иванюк Ю.В., Бративнык Я.Г. Об одном численном методе определения полиномов параметров электронных схем. Автоматизация проектирования средств связи М.: ЭКОС, 1979. С. 86-90.

2. Малашонок Г.И., Лапшинов О.Н. Оптимизация многозначных ПЗУ. Многозначные элементы, структуры, системы. Киев: Наукова думка, 1983. С. 32-42.

3. Малашонок Г.И. Электродинамика в гамильтоновом формализме Дирака. ВИНИТИ, № 1077-83 от 01.03.1983 г. С. 90-93.

4. Малашонок Г.И. Решение системы линейных уравнений в целостном кольце // Журнал вычислит. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23. № 6. С. 1497-1500.

5. Malaschonok G.I. System of linear equations over commutative ring / Phys.-Mech. Inst. of the Ukrain. Acad. Sci. Lvov, 1986. Preprint № 114.

6. Малашонок Г.И. Алгоритм восстановления информации в моро-ских МТЗ // Фундаментальные проблемы морских электромагнитных исследований: VI Всесоюзный семинар. Кацивели, 1986. Октябрь.

7. Малашонок Г. И. Система линейных уравнений в коммутативном кольце: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Киев, 1986.

8. Малашонок Г.И. Программа решения систем линейных уравнений в кольце вычетов целых чисел / Фонд алгоритмов и программ АН УССР. 3.10.1987. № AP0176.

9. Малашонок Г.И. О решении системы линейных уравнений над коммутативным кольцом // Мат. заметки. 1987. Т. 42. № 4. С. 543548.

10. Малашонок Г.И. Модулярное распараллеливание. Систолические вычислительные структуры // Ин-т прикл. пробл. матем. и механ. АН УССР. Львов, 1988. Препринт № 3-87. С. 52-53.

11. Малашонок Г.И. Принципы построения модулярного элемента вычислительной среды. Высокопроизводительные вычислительные системы / Инст. прикл. пробл. матем. и механ. АН УССР. Львов, 1989. Препринт № 6-89. С. 18-29.

12. Малашонок Г.И. Универсальный конвейерный однородный сопроцессор. Вопросы программирования однородных вычислительных сред // Инст. прикл. пробл. матем. и механ. Львов, 1989. Препринт №7. С. 35-40.

13. Малашонок Г.И. Новый метод решения систем линейных уравнений над коммутативными кольцами // Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец алгебр и модулей. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1989. С. 82.

14. Малашонок Г.И. Распараллеливание обработки информации // Тезисы докладов и сообщений VII Всесоюзной школы-семинара. Львов: ФМИ АН УССР, 1989. Ч. 1. С. 104.

15. Малашонок Г.И. Об оценке целочисленных алгоритмов // Там же.

Ч. 3. 1989. С. 147.

16. Малашонок Г.И. Компьютерная алгебра в современных вычислительных системах // Социо-технико-экономические системы: оптимальность, устойчивость живучесть / Ин-т кибернетики АН УССР. Киев, 1989. С. 38-46.

17. Малашонок Г.И., Прикарпатский А.К. ^mbined method for the solution of systems of linear equations over an integral domain // Всесоюзное совещание «Компьютерные методы небесной механики» / под ред. А.Г. Сокольского. ИТА АН СССР, 18-21 нояб. 1991 г. СПб., 1991. С. 73.

18. Malaschonok G.I. About determinant calculation over an integral domain. International conferens on algebra,in memory of A.I. Shirshov // Thesis on logic, universal algebras and appl. algebra. Novosibirsk,

1991. Р. 82.

19. Малашонок Г.И. Устройство для вычисления линейной свертки. А. с. SU 1681309 A1 (G06F 15/ 31,9/34) от 1.06.1991 г.

20. Malaschonok G.I. Algorithms for the solution of systems of linear equations in commutative rings // Effective methods in Algebraic Geometry, Progr. Math. Boston, 1991. V. 94. Р. 289-298.

21. Malaschonok G.I., Akritas A.G., Akritas E.K. Computation of polynomial remainder sequences in integral domains // Всероссийское совещание с международным участием «Компьютерные методы небесной механики» / ИТА АН СССР (24-26 нояб. 1992 г.). СПб.,

1992. С. 79.

22. Малашонок Г.И. О расслоении базисов Гребнера // Междунар. конф. по алгебре. Тезисы докладов по теории колец алгебр и модулей. Красноярск, 23-28 авг. 1993 г. Красноярск: Ин-т математики СО АН СССР, 1993.

23. Malaschonok G.I., Akritas A.G., Akritas E.K. Various proofs of Sylvester's (determinant) identity // Proceedings SC 93, International IMACS Symposium on symbolic computation, 14-17 June 1993. Lille, France,

1993. Р. 228-230.

24. Малашонок Г.И., Жуковская Т.В., Романенко Г.В. Куpсовые pаботы по высшей математике: метод. пособие. Тамбов: Высшее военное авиационное инженерное училище, 1994. 64 с.

25. Malaschonok G.I., Akritas A.G., Akritas E.K. Matrix computation of subresultant polynomial remainder sequences in integral domains // International Conference INTERVAL'94 on interval and computer-algebraic methods in science and engineering. St.-Peterburg, March 7-

10, 1994. Р. 18-22.

26. Малашонок Г.И. Алгоpитмы вычисления опpеделителей в коммутативных кольцах // Дис^етная математика. 1995. Т. 7. № 4. С. 68-

76, Engl. transl.: Discrete Math. Appl. 1995. V. 5. № 6. Р. 557-566 (1996).

27. Малашонок Г.И., Akritas A.G., Akritas E.K. Matrix computation of subresultant polynomial remainder sequences In integral domains // Reliable Computing. 1995. V. 1. № 4. Р. 375-381.

28. Malaschonok G.I., Akritas A.G., Akritas E.K. Various proofs of Sylvester's (determinant) identity // Mathematics and Computers in Simulation. 1996. V. 42. № 4-6. Р. 585-593.

29. Малашонок Г.И. Рекуpсивный метод pешения линейных систем над коммутативными кольцами // II Деpжавинские чтения. Математика. Физика. Инфоpматика. Матеpиалы научной конфеpенции пpеподавателей и аспиpантов (Янваpь 1997 г.). Тамбов, 1996. С. 17-18.

30. Малашонок Г.И., Каткова М.А. О сложности pекуpсивного метода pешения линейных систем над коммутативными кольцами // II Деpжавинские чтения. Математика. Физика. Инфоpматика. Матеpиалы научной конфеpенции пpеподавтелей и аспиpантов (Янваpь 1997 г.). Тамбов, 1996. С. 16-17.

31. Malaschonok G.I. Recursive method for the solution of systems of linear equations, computational mathematics (A. Sydow Ed., Proceedings of the 15th IMACS World congress Vol. I. Berlin, August 1997). Berlin: Wissenschaf and Technik Verlag, 1997. Р. 475-480.

32. Малашонок Г.И. Группы автоморфизмов алгебр четвертого порядка с двумя (анти)коммутирующими образующими // Труды конференции III Державинские чтения. Тамбов, 1998. С. 11-12.

33. Malaschonok G.I. A Computation of the Characteristic Polynomial of an Endomorphism of a Free Module, Записки научных семинаров С-Пб. Отдел. математ. Ин-та. им. В.А. Стеклова (ПОМИ) // Теория динамических систем, комбин. и алгебр. методы. 1999. T. 258. С. 101114.

34. Malaschonok G.I., Malaschonok N.A. Teaching of Efficient Mathematics // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 1999. T. 4. Вып. 4. С. 426-427.

35. Malaschonok G.I. Efficient Methods of Mathematical Analysis // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 1999. T. 4. Вып. 4. С. 457-460.

36. Малашонок Г.И. Эффективная математика: задачи математического анализа: учеб. пособие. Тамбов: ТГУ, 2000.

37. Малашонок Г.И. Быстрый алгоритм вычисления присоединенной матрицы // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000. T. 5. Вып. 1. С. 142-14б.

38. Малашонок Г.И. Решение систем линейных уравнений в коммутативных областях // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000. T. 5. Вып. 1. С. 147-154.

39. Malaschonok G.I. Effective Matrix Methods in Commutative Domains, Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, Springer. Berlin,

2000. Р. 50б-517.

40. Малашонок Г.И. Решение систем линейных диофантовых уравнений // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000. T. 5. Вып. 5. С. б20-б28.

41. Malaschonok G.I., Akritas A. G. Fast matrix computation of subresultant Polynomial Remainder Sequences // Computer Algebra in Scientific Computing - CASC 2000. Springer, 2000. Р. 1-11.

42. Abdeljaoued J., Malaschonok G.I. Efficient algorithms for computing the characteristic polynomial in a domain // J. of pure and applied algebra. 2001. V. 15б. Iss. 2-З. Р. 127-145.

43. Malaschonok G.I. Solution of Systems of Linear Diophantine Equations // Computer Algebra in Scientific Computing-CASC'01. Springer, 2001. Р. 401-415.

44. Малашонок Г.И. Некоторые задачи в модулях над коммутативны -ми кольцами // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки.

2001. Т. б. Вып. З. С. З20-З2б.

45. Малашонок Г.И., Ушакова Е.В. Эффективная Математика: задачи распространения тепла: учеб. пособие. Тамбов, 2002.

46. Малашонок Г.И., Ушакова Е.В. Эффективная Математика: задачи механики: учеб. пособие. Тамбов, 2002.

47. Малашонок Г.И. Матричные методы вычислений в коммутативных кольцах: монография. Тамбов: ТГУ, 2002.

48. Малашонок Г.И. О решении систем линейных уравнений р-адическим методом // Программирование. 200З. Т. 29. № 2. С. 822; Engl. transl.: Programming and computer software. 200З. V. 29. №2 2. Р. 59-71.

49. Малашонок Г.И., Бетин А.А. Действия над полиномами, представленными бинарными деревьями // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Ес-теств. и техн. науки. 200З. T. 8. Вып. 1. С. 197.

50. Малашонок Г.И. О перспективах развития математического обеспечения // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 200З. T. 8. Вып. 1. С. 195-19б.

51. Малашонок Г.И. О решении систем линейных уравнений р-адическим методом // Программирование. 200З. № 2. С. 8-22.

52. Малашонок Г.И., Сатина Е.С. Алгоритмы умножения Карацубы и Штрассена для разреженных структур // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 152-154.

53. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д. Об одном формате полиномов для параллельных вычислений // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 149-150.

54. Малашонок Г.И., Азарова П.А. Об оценке детерминанта полиномиальной матрицы // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 154-155.

55. Малашонок Г.И., Сатина Е.С. Быстрое умножение и разреженные структуры // Программирование. 2004. № 2. С. 1-5; Engl. transl.: Fast Multiplication and Sparse Structures // Programming and Computer Software. 2004. V. З0. № 2. Р. 105-109.

56. Малашонок Г.И. Сложность быстрого умножения на разреженных структурах // Алгебра, логика и кибернетика: сб. материалов меж-дунар. конф. Иркутск: Изд-во ГОУ ВПО «ИГПУ», 2004. С. 175177.

57. Малашонок Г.И. Complexity considerations in computer algebra // computer algebra in scientific computing. Techn. Univ. Munchen, Garching, Germany, 2004. Р. З25-ЗЗ2

58. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д. О сложности алгоритмов умножения полиномов // Дискретные модели в теории управляющих систем: тр. б Междунар. конф. / ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова.

2004. С. 1З-19.

59. Малашонок Г.И., Зуев М.С. О сложности алгоритмов умножения полиномиальных матриц // Там же. С. З2-40.

60. Malaschonok G.I., Akritas A. G. Applictions of singular-value decomposition (SVD) // Mathematics and computers in simulation. 2004. V. б7. Iss. 1-2. № З. Р. 15-З1.

61. Малашонок Г.И., Авитесян А.И., Валеев Ю.Д., Зуев М.С. Параллельные алгоритмы компьютерной алгебры // Труды Института системного программирования. 2004. Т. 8. Ч. 2. С. 1б9-180.

62. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д. О некоторых подходах к построению параллельных программ // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2005. T. 10. Вып. 1. С. 154-15б.

63. Малашонок Г.И., Зуев М.С. О представлении матриц кватернар-ными деревьями // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки.

2005. T. 10. Вып. 1. С. 157-1б0.

64. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д., Зуев М.С. О параллельных матричных алгоритмах в компьютерной алгебре // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2005. T. 10. Вып. 1. С. 1б1-1бЗ.

65. Malaschonok G.I. In the direction of parallel computer algebra system. Computer science and information technologies. Proc. Conf. (Sept.19-

2З, 2005. Acad. Sci. of Armenia.) Yerevan, 2005. Р. 451-45З.

66. Малашонок Г.И. Об одном подходе к построению параллельной

системы компьютерной алгебры // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры: сб. науч. статей междунар. конф. (Брест, 5-8 сент. 2005 г.). Минск: БГПУ, 2005. Ч. 1. С. З0б-

З07.

67. Малашонок Г.И., Казаков В.Н. Ускоренное исключение старших переменных при построении базиса Грёбнера // XI Державинские чтения. ИМФИ ТГУ им. Г. Р. Державина. Февраль 200б г. Тамбов,

2006.

68. Малашонок Г.И., Лапаев О.А. Статистическая схема распараллеливания вычисления определителя, присоединённой матрицы и решения систем линейных уравнений в кольце целых чисел // XI Державинские чтения. ИМФИ им. Г.Р. Державина. Февраль 200б г. Тамбов, 200б.

69. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д Рекурсивное распараллеливание символьно-численных алгоритмов // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Ес-теств. и техн. науки. 200б. Т. 11. Вып. 4. С. 5Зб-549.

70. Malaschonok G.I., Akritas A.G. Computations in Modules over Commutative Domains // Computer Algebra in Scientific Computing, LNCS 4770. Springer, 2007. Р. 44-59.

71. Malaschonok G.I., Akritas A.G., Vigklas P.S. The SVD-Fundamental Theorem of Linear Algebra // Nonlinear Analysis: Modeling and Control. 200б. V. 11. № 2. Р. 12З-1Зб.

72. Malaschonok G.I., Akritas A.G. Computation of adjoint matrix // Computational Science, ICCS 200б, LNCS З992, Springer. Berlin, 200б. Р. 48б-489.

73. Малашонок Г.И., Бетин А.А. О вычислении комплексных корней полиномов // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2007. Т. 12. Вып. 1. С. 150-152.

74. Malaschonok G.I., Akritas A.G. Computations in Modules over Commutative Domain // Computer Algebra in Scientific Computing, Springer. Berlin, 2007. Р. 11-2З.

75. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д. Организация параллельных вычислений в рекурсивных символьно-численных алгоритмах // Труды конференции ПаВТ'2008 (Санкт-Петербург). Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С. 15З-1б5.

76. Малашонок Г.И., Зуев М.С. О вычислении обратной матрицы // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2008. Т. 1З. Вып. 1. С. 115-121.

77. Малашонок Г.И. О вычислении ядра оператора, действующего в модуле // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2008. Т. 1З. Вып. 1. С. 129-1З1.

78. Малашонок Г.И., Старов М.В. Вычисление матричной степени и матричных функций // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2008. Т. 1З. Вып. 1. С. 1ЗЗ-1З8.

79. Малашонок Г.И., Бетин А.А. Вычисление комплексных корней полиномов // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2008. Т. 1З. Вып. 1. С. 1З8-141.

80. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д. Параллельные полиномиальные рекурсивные алгоритмы // International conference polynomial computer algebra. St. Petersburg: PDMI RAS, 2008. С. 41-45.

81. Малашонок Г.И. О параллельной конструктивной математике // Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики: материалы Междунар. науч. конф. Тамбов, 2008. С. 194-195.

Поступила в редакцию 7 июля 2009 г.

Malashonok G. I. Review of the basic results in the field of computer algebra. In the work the review of the basic results in the field of computer algebra, gathered by the author during his work at the computer and mathematical modeling department is resulted.

Key words: computer algebra; solution of systems in commutative rings; characteristic polynom; sub-resultant sequence; parallel computer algebra.