Определение коэффициента проницаемости для фильтра Дарси

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОНИЦАЕМОСТИ ДЛЯ ФИЛЬТРА ДАРСИ

Бушланов В.П., д.физ.мат.н., профессор ГМУ им. адм. Ф.Ф.Ушакова Бушланов И.В., к.физ.мат.н., главный специалист ООО “Транснефть Финанс”

Сентякова Е.Н., старший преподаватель ГМУ им. адм. Ф.Ф.Ушакова

Из уравнения живых сил, полученного стандартным способом из уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, с точностью до главных членов по числу Пуайзеля получена теоретическая формула для коэффициента проницаемости в классическом опыте Дарси. Из формулы следует, что величина коэффициента проницаемости обратно пропорциональна квадрату удельной поверхности и безразмерной средней скорости диссипации кинетической энергии жидкости в фильтре. Показано, что если силы инерции малы, то скорость диссипации кинетической энергии в опыте Дарси минимальна, а коэффициент проницаемости конкретного фильтра есть функция только геометрии фильтра.

Ключевые слова: закон Дарси, коэффициент проницаемости, удельная поверхность

DETERMINATION OF THE PERMEABILITY COEFFICIENT FOR THE DARCY FILTER

Bushlanov V., professor, Admiral Ushakov Maritime State University Bushlanov I., Transneftfinans in Novorossiysk Sentyakova E., Admiral Ushakov Maritime State University

From the equation of living forces, received a standard way from the Navier-Stokes equations of incompressible fluid, up to the principal terms of the number of Puayzelya obtained theoretical formula for the coefficient ofpermeability in the classical Darcy’s experiment. The formula implies that the value of the coefficient ofpermeability is inversely proportional to the square of the specific surface area and the dimensionless mean kinetic energy dissipation rate of the liquid in the filter. It is shown that if the forces of inertia are small, the rate of dissipation of kinetic energy in the experience of Darcy is minimal, and the coefficient ofpermeability of a particular filter is a function of the geometry of the filter.

Keywords: The law of filtration Darci, factor of permeability, specific surface.

Введение. В морской технике и при решении задач подземной гидродинамики имеют дело с различными пористыми средами, через которые фильтруются воздух, топливо, масло, вода и другие, жидкие и газообразные вещества. Открытая пористость фильтрэлементов может быть образована как тонкими каналами, так и свободными объемами между поверхностями, волокнами, дисперсными частицами. Например, пористая среда может быть образована упакованными тонкостенными трубками, когда внешняя часть трубок недоступна для фильтрации, а во втором случае, наоборот, когда внутренняя часть трубок недоступна для фильтруемой среды. В указанных двух случаях удельная поверхность и извилистость пор фильтрэлементов одинакова, и можно подобрать даже одинаковую пористость, но не очевидно, что коэффициенты проницаемости (КП) будут равны. Численные значения КП могут отличаться многократно даже для одних и тех же

пористых сред. Так для глин КП могут отличаться на 9 порядков и характеризуются величинами от 1Q-3 до 1Q-11 мкм 2 . Такое отличие на порядки ставит актуальную задачу более точного теоретического определения КП пористых сред. Классический закон фильтрации Дарси имеет следующий вид: V = (k / in)VP , где U, V, P - соответственно коэффициент динамической вязкости, средние скорость и давление фильтруемой жидкости, k - коэффициент проницаемости. Схема классического опыта Дарси изображена на рис.1 (из [1]). Коэффициент k определяется экспериментально с использованием представлений о модельной пористой среде и некоторых вспомогательных гипотез и считается, что k зависит от пористости и топологии открытых пор. Например, в [2] приведено

выражение k = d 2 Sl (а,, з) , где d э — эффективный диаметр частиц, слагающих пористую среду; Sl — безразмерный коэффициент (число Слихтера), зависящий от пористости породы а и параметра структуры порового пространства 3 (который в свою очередь зависит от формы слагающих породу частиц и от, так называемого, “коэффициента извилистости” ^ ). Согласно же гипотезе

Козени-Кармана [3], k / [ К (1 -а?) ] , где S12 - удельная поверхность пор, К - коэффициент формы. Мож-

ффициент проницаемости для класс 2

главных членов по числу Пуайзеля Po = (R / r) >> 1 , где r = 2ц / Si2 - средний поперечный размер пор, R

с, из

‘ k=k/ (Su)1, где t

пации кинетической энергии жидкости.

Уравнение живых сил получим стандартным способом из уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости содержащейся внутри пор:

но ли теоретически определить коэффициент проницаемости для классического опыта Дарси? В предлагаемой работе с точностью до

)2

характерный гидравлический радиус, из уравнений Навье-Стокса получена теоретическая формула для коэффициента проницаемости вида к = /с / |Лю } , где Ъ- безразмерный коэффициент обратно пропорциональный безразмерной средней скорости дисси-

V'V-'к = 0,

ду vk(у,у;к)=-Lvk«к +g

ь ' р

а к = (-Р(кч + 2и /кд 0? /кд = ((кУ'д + V'У'к 0 /2 Р -

где а ^ — І ' г^І і )е і , — Iу У і і ) 9 Рі - плотность несжимаемо-

жидкости, - вектор скорости жидкости, £ - время, V 'к = Э / Эх/к , - тензор напряжений в жидкости, § - вектор уско-

I I

' я

рения силы тяжести, Рі - давление жидкости, 0^ , ^= 1,2,3 - единичные вектора декартовой системы координат,

' Г '1 /2 '31

X =<х , х , х > - радиус вектор и его координаты в фигурных скобках. Штрих указывает на локальные параметры (без штриха

осредненные параметры), нижний индекс і указывает принадлежность параметра к жидкости.

Введем функцию напора Ф' =-Р'/Р0 - V2 /2 + 8ХГ и, учитывая уравнение (1) запишем уравнение (2), в следующем эквивалентном виде:

ду'

V- +&' XV- = У'ф' +

т

где = го№г V і = и / Рг°. Умножим скалярно уравнение (3) на вектор скорости Vі и проинтегрируем

по объему жидкости W содержащейся в порах и в подводящей и отводящей трубках рис.1. С учетом уравнения неразрывности и

тождества Є™ (V'-V'“У'Р ) = 0 получим

ЭУ'2

2dt

=v'(o; v;)+2v,.v' «(('•)-v,( )2 M,

Проинтегрируем (4) по объему W и в первых двух интегралах в правой части перейдем от объемных интегралов к поверхностным. С учетом равенства нулю скорости на твердых стенках трубок и на поверхности пор получим

2Эt ’ \v‘ ' Iw

= I 51

где Si , S2 - соответственно плоские торцевые поверхности подводящей и отводящей трубок, < >W " знак осреднения по

объему жидкости W.

Безразмерная форма уравнения живых сил. Введем безразмерные (с волной) параметры следующим образом:

х' = rx, x=R х, t=t RVq ,

ф ;=(ф2-ф,)ф;, фг(ф2-ф,)ф„ v;=v0% р;=р0р;.

где Vq - размер скорости, Ф2 - Ф1 разность напоров на характерной длине гидравлического радиуса R — L, где L -

ф G0k/р0= J0/fVn'V^k -12 ^ й О

длина фильтра, где К rU Zyr у 7 k — 1,2 и G - массовый расход жидкости. Отметим, что при

sk

обезразмеривании для линейных размеров, входящих в производные средних параметров выбран размер R , а для линейных размеров в локальных производных - средний эквивалентный радиус сечения каналов открытых пор г = R •

Покажем, что Г порядка 2а / 5,2 . а) Пусть пористая среда состоит из каналов, а N число каналов в единице объема, I -

2

средняя длина каналов. Пористость и удельная поверхность соответственно равны щ—пт N, 5,2 = 2ктШ • Из пос-

ледних соотношений имеем Г = 2а/ 5,2.

б) Пусть пористая среда составлена из отдельных частиц (например, песок, глина, волокна и т.п.). Искомая оценка получится из

уравнения (X' = 5,2 Г /2, которое выражает тот факт, что величина порового пространства равна половине удельной поверхности

умноженной на величину среднего расстояния между поверхностями частиц.

Уравнение (5) в безразмерном виде запишется следующим образом (волну над безразмерными величинами для упрощения записи опустим):

d(v‘)w+ 2 Я2 1

2dt г2 Re

И1-

R2

OCiS S\+s,

w

Еиф;(Vp >^(Q;,v;xn')+^(n'v')v;:

, (6) d's

где Ей — ( Ф2 / / V0 , КС—К Р0 V0 / соответственно безразмерные числа Эйлера и Рейнольдса, где

5 - пл°щадь сечения фильтра, а- средняя пористость по всему объему фильтра, ^ — aR5 (для простоты пренебрегли объемом трубок по сравнению с объемом пор фильтра). Выберем Г — 1/ 5,2, ^0 = Ро (Ф2 Ф1 / / / -Заметим>

что выбранный размер скорости имеет вид закона Дарси. Числа Рейнольдса и Пуайзеля соответственно равны

Ке—Ро (Ф2 - Ф,//(Х2/, Ро—Ро (Фг - Ф,/Я / (дЛ/ —(Я^ /2 — (Я / г /2,

поэтому

Eu — (RS 12 ) /Re — Po/Re. Так как r << R то Po — (RS^ ) ? 1-

Покажем, что при фильтрации в опыте Дарси рис.1 средняя безразмерная скорость диссипации кинетической энергии приближенно равна среднему безразмерному квадрату вихря скорости. Из векторного тождества

V'йіу 'У' = V '2 V' + тог'гог 'У' , учитывая (1) имеем 2ерЧ'е'м = АЧ; = -гоҐЄІ .. Умножая

ченное равенство скалярно на вектор Vі с учетом тождества \^.Т*ОІ = ^ ^ ^ получим ур

.и. -ж'* +у'фху;)

. Проинтегрируем последнее уравнение по объему W , учитывая равенство нулю скоростей на поверхностях трубок и пор. Перейдем в первом слагаемом левой части равенства и втором слагаемом правой части к поверхностным интегралам, тогда получим после обезразмеривания следующее уравнение:

^)w={(ù'A+p°~'\k [(n'v')v'2+2(ü-

(7) -1/2

Так как на торцах трубок вектора скорости и нормали почти параллельны то второй член в правой части равен произведению Ро на малую величину безразмерного поверхностного интеграла. Пренебрегая указанным членом в уравнении (7), приближенно получим

:<н>=м

ж \ ' ' / ж

что и требовалось доказать.

Приближенное уравнение живых сил с точностью до главных членов по числу Пуайзеля. Сохраняя в уравнении (6) только главные члены по числу Пуайзеля (отметим к тому же, что в торцевых сечениях трубок векторы скоростей и нормалей параллельны и

производные квадратов скоростей вдоль оси трубок малы), выбирая размер производных скорости как У / Г , где

V — в/(р0а5/и г — 2а/5,2 , и возвращаясь к размерным переменным, получим уравнение Дарси:

ч2 \

v — к_ ф2 - фі V, R

'12

Выводы. Проанализируем формулу (9). Порядок величины безразмерного коэффициента проницаемости £ = &512 определяется знаменателем дроби, который равен среднему по объему жидкости значению безразмерной скорости диссипации кинетической энергии.

Если размер модуля производной скорости принятый нами равным в / (гр0а5 / «угадан» верно, то безразмерная скорость диссипации порядка единицы, а значит в указанном случае • 4(Х ^ Уравнение (9) показывает, что коэффициент проницаемости ^

определяется не только топологией пор фильтра, но и средней безразмерной скоростью диссипации кинетической энергии (или учитывая (8) средним безразмерным квадратом вихря скорости), и что есть принципиальная возможность определить указанный коэффициент путем прямых численных расчетов уравнений Навье-Стокса.

Докажем следующее утверждение: для фильтра в опыте Дарси рис.1 течение с малыми силами инерции обладает наименьшей общей скоростью диссипации из всех других течений несжимаемой жидкости в той же области, если расходы жидкости для всех течений

равны, давления в течении с минимальной скоростью диссипации на торцах постоянны и скорости V на торцах (соответствен-

но для течений с минимальной скоростью диссипации энергии и указанного всякого другого течения) параллельны оси, а на поверхностях трубок и пор скорости равны нулю. Схема доказательства аналогичная [4]. Имеем

—1/2 j [(V' -V')(nV')V;+n ((V' -V/)V')V,^-

S1+S2L

-1/2j (V' -V')ÂVdw— 1/(2ft) j (V' -V')(VP'-p,0g)+

W W

+ J [(n'-V'))(n'V')(n'V')d — 1/(2ft) j pj(V' -V'j — 0

S1+S21

S1+S2

где было учтено постоянство давлений на торцах и равенство расходов на торцах

, и что (n'V ') (n 'V) — 0

из уравнения

неразрывности на плоских торцах трубок, в котором производные нулевых касательных компонент скоростей вдоль плоских торцов равны нулю. Отсюда следует доказываемое:

2ft J ererdW — 2ft J [épq<pq + ( -e'"“ )(( -e',pq)]dw

W WL 4 7 4 /J

Таким образом, в классическом опыте Дарси для стационарных течений в пористой среде с малыми силами инерции реализуется течение с минимальной скоростью диссипации кинетической энергии и из (9) - при заданном перепаде напора с минимальным расходом жидкости (или другой вариант- с заданным расходом реализуется минимальный перепад напора).

Покажем, что в законе Дарси (в уравнении (9)) ^ — СОП8Х для течений несжимаемой жидкости с малыми силами инерции и данной топологией пор. Уравнения и граничные условия течения с малыми силами инерции имеют вид:

1

V’kv’k — 0,0—poV g — V Ф0і+уАVi,ф'0і—-р'/p0 + gx',

ri

V'—0

на поверхности пор и боковой поверхности трубок;

Уі — Уір на торцах 3^, З2 трубок, где

V' — \

up

стоты здесь

2G

,0,0

скорость течения в решении, у - расстояние до оси, ^ - радиус трубки (для про-

трубки одного радиуса) и (в — аРо 5V - расход в трубке и фильтре. ^ ^ — (Ф, на 5, и ^ ^ — ^^2 на 52 -

Введем новую

функцию Ф ді — Ф g  - Ф1

и проведем обезразмеривание уравнений (11) и граничных условий, выбирая раз-

меры скоростей и расстояний такие же, как при получении уравнения Дарси (9), тогда получим следующие безразмерные (волну у безразмерных параметров опустим) уравнения и граничные условия:

V'kV:'k — 0

0 =

4а'

г

V у

V'K +AXî, = SÏ13k=a2 /2

V' — 0

на поверхности пор и боковой поверхности трубок;

P

на торцах

Sj, S2 трубо

V р —

V

2aS

У

2

,0,0

*- ФДі — 0 на S1 и ФДі — 1 на S2-

Полученные безразмерные уравнения (12) и граничные условия зависят только от геометрических параметров фильтра и конкретной топологии пор (не зависят от расхода и перепада напора). Поэтому, решая полученную безразмерную задачу, находим безразмерную

среднюю диссипацию кинетической энергии, а значит согласно (9) и коэффициент проницаемости к , зависящий только от геометрии

фильтра и конфигурации пор, что и требовалось показать.

Введем для фильтра Дарси рис.1 понятие эквивалентного фильтра.

Пусть имеем фильтр как в классическом опыте Дарси рис.1 (фильтр Дарси). Поставим ему в соответствие фильтр, в котором поры образованы одинаковыми параллельными цилиндрами радиуса а (назовем его эквивалентный фильтр) и в котором точно такие же

Я, 3, У ,а , расход жидкости £ и коэффициент проницаемости к ^У /

R

. В цилиндрических каналах

имеем течение Пуайзеля, поэтому:

ap0 SV — G

nSNa4 р0

8V

R

, где N - число окружностей (пересече-

ний цилиндров с торцевыми сечениями фильтра) на единицу площади, а — П N0 . Отсюда находим

к — vV /

R

a

Т

Из (12) находится радиус цилиндрических каналов а — 2^2к эквивалентного фильтра, или другими словами, параметром а можно выбрать параметр к такой же как в фильтре Дарси. В эквивалентном фильтре удельная поверхность равна

5,9Э — 2пaN — а/42к ,

а безразмерный коэффициент проницаемости и безразмерная средняя скорость диссипации кинетической энергии соответственно равны

k3=S^k=a2H. (2 (%“ )г) w3 -,

Таким образом, в эквивалентном фильтре и фильтре Дарси: совпадают коэффициенты проницаемости к , пористость а , средние скорости диссипации кинетической энергии

V^2(er1)j

4а'

^12 V У

к

G

\2

ар0£

совпадают все геометрические параметры, кроме удельной поверхности 5,2 , которая в эквивалентном фильтре определяется из

а

Рис.1. Схема опыта Дарси

Sn=Sn32j~2/

(14), а в фильтре Дарси равна

' ' W

Таким образом, в задачах фильтрации, где не используется параметр удельной поверхности реальную пористую среду можно заменить эквивалентной, используя понятие эквивалентного фильтра. Отметим, что при малых силах инерции и в эквивалентном фильтре также реализуется течение с минимумом средней скорости диссипации кинетической энергии.

Удивительно то, что согласно (16) во всех реальных фильтрах Дарси с различными величинами удельной поверхности S12 (и с

разной топологией пор!), но с одинаковыми коэффициентами проницаемости и средней скоростью течения V , в течениях с малыми силами инерции реализуется одна и та же величина средней скорости диссипации кинетической энергии.

Литература:

1. Ентов В.М.Теория фильтрации//Соровский образовательный журнал. 1998. №2. с.121-128.

2.Лейбензон Л.С.Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М-Л: ОГИЗ. Государственное издательство техникотеоретической литературы, 1947.244 с.

2.Гольдберг В.М., Скворцов Н.П. Проницаемость и фильтрация в глинах. М.:Недра, 1986. 160 с.

4. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М: Мир, 1973, 758 с.

СИСТЕМА КОНКУРЕНТНЫХ ПРЕИМУЩЕСТВ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКИХ СТРУКТУР В ГОСТИНИЧНОМ БИЗНЕСЕ

Капустина О.И., Санкт-Петербургский университет управления и экономики, аспирант

В статье автор рассматривает предпринимательские структуры гостиничного бизнеса как сложные производственные системы. Представлена классификация факторов конкурентоспособности. Рассмотрены условия и факторы внешней среды, влияющей на потребителей гостиничных услуг. Предложена система обеспечения конкурентных преимуществ организаций гостиничного бизнеса.

Ключевые слова: гостиничный бизнес; предпринимательство, конкурентоспособность, конкурентные преимущества.

COMPETITIVE ADVANTAGES SYSTEM OF ENTREPRENEUR STRUCTURES IN HOTEL BUSINESS

Kapustina O., The post-graduate student, St. Petersburg State University of Management and Economics

In the article author analyses entrepreneurial structures in hotel business as complicated production systems. Classification of competitiveness

factors is presented. Conditions and factors of external environment that influence on the hotel’s services consumers behavior are depicted. System guaranteeing competitive advantages for hotel business structures is offered.

Key words: hotel business; entrepreneurship; competitiveness; competitive advantages.

За последние годы гостиничный бизнес развивается достаточ- мательство в то же время само активно воздействует на другие сфе-

но высокими темпами во многих регионах. Гостиничное предпри- ры хозяйственной деятельности в регионах страны.

нимательство как особый вид коммерческой деятельности зависит Современные гостиничные организации, как предприниматель-

и находится под сильным влиянием других видов деятельности: ские структуры, являются сложными организационно-производ-

развитие туризма, транспорта, связи и степень обустройства тер- ственными системами, результатом деятельности которых явля-

риторий, расширение деловых партнерских отношений между оте- ется создание комплекса гостиничных услуг. Учитывая, что гости-

чественными и зарубежными фирмами. Гостиничное предприни- ничная сфера на сегодняшний день полностью представлена пред-