Чистый упругопластический изгиб балки

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 624.07+539.3

А. Х. Валиуллин

ЧИСТЫЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ

Ключевые слова: изгиб балки, упругопластическая деформация, остаточная деформация, остаточное

напряжение.

Рассматривается чистый изгиб балки прямоугольного сечения из материала с линейным упрочнением. Выполнен численный расчет больших перемещений и определена изогнутая ось балки при различных значениях относительной толщины балки и внешнего момента.

Key words: рure beading stress is beams, elasto-plastic deformation, numerical calculation.

The pure beading stress is considered of a rectangular cross-section beam of a material with linear hardening. Numerical calculation of the large displacement is executed and a curved beam axis at different values of the relative thickness of the beam is built with an effect of external moment.

Численным методом, предложенным в работе [1], выполнен расчет перемещений балки прямоугольного сечения, защемленной одним концом и нагруженной сосредоточенным моментом на другом. При таком нагружении, как известно, имеет место чистый изгиб: в любом поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент. Это значительно упрощает задачу, так как кривизна искомой изогнутой оси является постоянной величиной, не зависящей от продольной координаты. Тем не менее эта задача представляет большой интерес, так как она в дальнейшем может послужить основой для решения многих других, более сложных, задач.

Механические свойства материала описаны в работе [1]. Диаграмма растяжения состоит из двух прямолинейных участков: начальный отражает закон Гука, которому

материал следует до предела текучести оТ = 300 МПа, второй - участок упрочнения - от предела текучести до предела прочности оБ = 600 МПа. За величину предела прочности принято истинное напряжение непосредственно перед началом

образования шейки. Соответствующие характерные деформации sT = 0,0015, sB = 0,192, модуль упругости E = 200 ГПа, модуль упрочнения

E * = 1575 МПа.

Задача решается в рамках гипотезы плоских сечений. Кстати, как указывает В.И.Феодосьев [2], при рассмотрении чистого изгиба эта гипотеза перестает быть гипотезой, она является истинным утверждением, что справедливо и при

упругопластическом изгибе.

Схема балки и диаграмма растяжения

приведены на рис.1. Решение ведется в безразмерных величинах. Изгибающий момент связан с деформациями следующей зависимостью:

Рис. 1 - Схема нагружения балки и диаграмма растяжения

и с So -st

m = 1,5-°-------------^-L

SB -STT

1-

. с

\°max .

+

ksm

SB -ST

1-

. C

max

+

. C

max

a

где k = —- -1, в нашем случае k = 1, m =

Mx

aT

aTWx

- безразмерный изгибающий момент, Mx

bh

- изгибающий момент, =-момент сопротивления изгибу.

6

Обычно изогнутую ось находят так. Определяют кривизну к искомой кривой, она зависит от нагрузки, размеров балки и свойств материала, и решают дифференциальное уравнение второго порядка

у "

ё+Т)

= к.

Следует отметить, что это, на первый взгляд, несложное уравнение в элементарных функциях решается только в самых простых случаях. В большинстве практических задач речь идет о малых перемещениях, поэтому знаменатель дроби полагают равным единице, что приводит к самому простому, так называемому «приближенному дифференциальному уравнению изогнутой оси балки»

У " = к,

которым всегда и пользуются при определении упругой лини балки.

Здесь приводится численный метод решения задачи, позволяющий найти изогнутую ось балки, не прибегая ни к одному из указанных дифференциальных уравнений. При заданном значении момента т из уравнения (1), решив его численно, методом Ньютона, найдем значение максимальной деформации втах, затем определим кривизну:

2в

к =

h

Так как по длине балки m = const, то постоянна и кривизна, то есть и при упругопластическом изгибе, как и при упругом, изогнутая ось является дугой окружности

1

радиуса р = —, координаты ее определяем также численно по следующему алгоритму. В к

начале координат (ось z направлена вдоль оси балки вправо от сечения заделки, ось y - вверх) прогиб и угол поворота равны нулю: при z = s = 0 9 = 0 и y = 0. Отмечаем эту точку.

Затем длине дуги даем приращение As, вычисляем приращение угла поворота Л9 = kAs и координаты следующей точки изогнутой оси:

s = s + As, 9 = 9 +A9, z = z + As cos 9, y = y + As sin 9.

Так продолжается счет до достижения правого конца балки, то есть до выполнения условия s = l. При значениях s = 0,1 /,0,2/,...0,9/, 1,0 l (или других, тоже заранее заданных) выдаются на печать координаты точек изогнутой оси балки.

Алгоритм построения изогнутой оси здесь приведен только как иллюстрация фрагмента общего метода численного решения более сложной задачи, а конкретно эту задачу можно довести до конца значительно проще и быстрее. После определения радиуса кривизны р можно определить величину центрального угла дуги окружности:

s/

ф = - = -Р Р

и построить эту дугу.

При задании разных параметров (нагрузка, размеры, материал) изогнутые оси тоже будут разными, но все они являются дугами окружностей с центрами на оси y и касающиеся первоначальной оси балки в точке начала координат. При численном решении подобных задач

2

3

2

S

S

S

T

T

T

2

может возникать особенность, связанная с делением на cos# при прохождении угла

7Z

0* = (2/ ± 1)2. В таких случаях нужно в программе ввести пошаговую проверку условия

«|0-0*| < eps ? » и, если ответ положительный, значит, текущая расчетная точка находится на

расстоянии менее шага от особой точки, и особую точку следует «перешагнуть», то есть очередной шаг по длине дуги сделать двойным.

Составлена программа для ПК на алгоритмическом языке Fortran 90.

Рис. 2 - Изогнутая ось балки при различных значениях момента т : 1 - при нагружении, 2 - после разгрузки

По предлагаемой методике произведен расчет и определена изогнутая ось балки при различных значениях приложенного момента и различной относительной высоте балки. На рис.2 приведены результаты расчета - кривые, изображающие изогнутую ось балки с

относительной высотой у = 20 при значениях безразмерного момента

т = 1,0,1,25,1,50,1,75, 2,00, 2,25, 2,50 . Расчет велся до достижения предельного состояния [1], то есть до атах = ов и втах = гв .

На том же рисунке пунктирными линиями показаны положения изогнутой оси балки после снятия нагрузки. Остаточное состояние (напряженное и деформированное) определяется сложением двух состояний: нагружения и разгрузки. Как известно, при разгрузке связь между напряжениями и деформациями - это закон Гука. Обычно вместо разгрузки используют прием упругого нагружения со знаком минус. Приложение к балке момента М = -то^х при условии сохранения закона Гука вызывает изменение кривизны на величину

М то^х 2 2еТ

V = — - Т х - 1

раз Еих EWxh Л

Тогда остаточная кривизна найдется как сумма:

2^тах 2^т 2 / \

' кост = к + К раз = т Л = ~7Т(тах — РТ )'

Остаточная изогнутая ось построена для значений момента: т = 1,75, 2,00, 2,25, 2,50. Как видно из приведенных результатов, при больших упругопластических деформациях остаточная изогнутая ось мало отличается от таковой под нагрузкой, так как разгрузочные деформации невелики, так же, как упругая деформация по сравнению с пластической, например, в последнем уравнении втах — вТ « вТ и кост « к .

Результаты расчетов можно обобщить, построив график зависимости кривизны

Лх .

0,14

0,12 •

0,10

0,08

0,06 •

0,04

0,02

т

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Рис. 3 - Зависимость кривизны оси балки от изгибающего момента

изогнутой оси от момента 2 к = f(т) (рис. 3), который является единым для всех

рассмотренных значений относительной высоты балки: Л = у = 0,025, 0,05, 0,10, 0,20. По

форме график напоминает диаграмму растяжения и хорошо согласуется с известным графиком из [2], отличаясь от последнего отсутствием асимптотического приближения кривизны к бесконечности' Причина отличия состоит в том, что диаграмма растяжения с

упрочнением не имеет горизонтального участка. Зависимость 2 к = f(т), как видно из

графика, можно приближенно представить кусочно-линейной функцией:

Г 0,0015т, 0 < т < 1,0,

Лк = \ 0,010641т — 0,009142, 1,0 < т < 1,5,

2 I 0,18594т — 0,27909, 1,5 < т < 2,5.

Умение определять величины нагрузок и деформаций, как возникающих при нагружении, так и остаточных, очень важно при создании технологического оборудования для точной штамповки, вытяжки, гибки и других процессов обработки металлов путем глубокого деформирования.

Литература

1. Валиуллин, А.Х. Упругопластический изгиб балки из материала с линейным упрочнением/ А.Х. Валиуллин//Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - № 9. - С 453 - 458.

2. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов/ ВИ. Феодосьев. - М., изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 592 с.

© А. Х. Валиуллин - канд. техн. наук, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ, tmsm&kstU'rU'