Об акустическом приближении термомеханической модели жидкого кристалла

УДК 539.37

Об акустическом приближении термомеханической модели

жидкого кристалла

В.М. Садовский, О.В. Садовская

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 660036, Россия

На основе уравнений динамики структурно-неоднородной упругой среды, учитывающих вращательные степени свободы частиц микроструктуры материала, строится упрощенная математическая модель для описания волновых движений нематического жидкого кристалла под действием слабых механических и температурных возмущений. Показано, что в случае плоской деформации касательное напряжение в среде удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона, описывающему осцилляционный характер вращения частиц. Обсуждается вопрос о возможности инициирования волн вращательного движения в жидком кристалле, изменяющих его оптические свойства, за счет действия тепловых источников на границе.

Ключевые слова: термоупругость, микрополярная среда, уравнение Клейна-Гордона, волны вращательного движения

On the acoustic approximation of thermomechanical description of a liquid crystal

VM. Sadovskii and O.V. Sadovskaya Institute of Computational Modeling, SB RAS, Krasnoyarsk, 660036, Russia

Based on dynamic equations of a heterogeneous elastic medium which take into account rotational degrees of freedom of microstructure particles, a simplified mathematical model was constructed to describe wave motions of a nematic under weak mechanical and temperature perturbations. It is shown that in plane deformation, the tangential stress in the medium obeys the Klein-Gordon equation of oscillatory particle rotation. The possibility of initiation of rotational waves in a nematic which change its optical properties due to the action of thermal sources at the boundary is discussed.

Keywords: thermoelasticity, micropolar medium, Klein-Gordon equation, rotational waves

1. Введение

Жидкие кристаллы (мезоморфные материалы) имеют широкую область приложений благодаря необычному сочетанию свойств текучести и упругой анизотропии, которые проявляются в определенном диапазоне температур при слабых внешних воздействиях различной физической природы — механических, тепловых, электрических, магнитных, оптических. Такие материалы применяются в оптическом приборостроении: в устройствах регистрации, отображения, обработки и хранения информации, в медицинской и технической диагностике, в частности в термографии.

Один из наиболее распространенных подходов к построению математических моделей для описания термомеханического поведения жидкого кристалла основывается на представлении о нем как о мелкодисперс-

ной сплошной среде, в каждой точке которой удлиненные частицы — домены соориентированных молекул жидкого кристалла — могут перемещаться в соответствии с законами динамики вязкой или невязкой жидкости и вращаться относительно этой жидкости, встречая упругое или вязкоупругое сопротивление вращению. Методической основой такого подхода послужила основополагающая работа братьев Коссера [1], в которой приведены уравнения моментного упругого континуума. Впервые модель жидкого кристалла была предложена Дж.Л. Эриксеном [2]. Построению модели с помощью термодинамических принципов посвящены работы

Э.Л. Аэро и его учеников [3-5], Ф.М. Лесли [6], а также более поздние работы А.Г. Калугина [7], В.И. Кондау-рова [8] и многих других авторов. В [9] система нелинейных уравнений моментной теории упругости Коссе-

© Садовский В.М., Садовская О.В., 2013

ра и система безмоментной редуцированной модели, учитывающие вращательные степени свободы частиц, приведены к термодинамически согласованной форме законов сохранения, что гарантирует математическую корректность постановки краевых задач для этих систем.

Таким образом, к настоящему времени получена непротиворечивая математическая модель, адекватно описывающая многие обнаруженные в экспериментах качественные особенности поведения материалов в мезоморфном агрегатном состоянии. Однако эта модель настолько сложна, что аппарат, доступный для ее исследования, практически полностью ограничен применением прямых вычислительных методов. Существенным препятствием на этом пути является необходимость задания входящих в модель параметров и функций состояния, определение которых требует постановки специальных физических экспериментов. Для детального изучения процессов, протекающих в жидких кристаллах, целесообразно получение более простых вариантов модели, описывающих частные случаи движения.

Данная работа посвящена построению упрощенной модели жидкого кристалла как акустической микроне-однородной среды с вращающимися частицами на основе предположения о зависимости потенциальной энергии упругой деформации от изменения объема, угла относительного поворота частиц и энтропии. В выражении для тензора инерции учитывается мгновенная ориентация молекул жидкого кристалла. Тензор теплопроводности среды выписан с учетом анизотропии, обусловленной различием коэффициентов теплопроводности в направлении вдоль ориентационной оси и в поперечном направлении.

2. Пространственные уравнения

Поступательное движение структурно-неоднородной среды с вращающимися частицами описывается с помощью обычного уравнения X = ^ + и(^, {), которое связывает лагранжев и эйлеров векторы центра масс частицы посредством вектора смещений и. В качестве меры деформации вводится тензор Л = R* • х^, где R — ортогональный тензор вращательного движения частицы; х^ — тензор дисторсии; звездочка служит для обозначения операции сопряжения. Антисимметричный тензор угловой скорости частицы вычисляется по формуле О = • R *.

Тензор дисторсии можно разложить в произведение ортогонального и симметричного тензоров: х^ = Rе • V. Здесь Rе — тензор переносного вращения частицы; V — мера деформации Коши-Грина. В случае слабых возмущений среды, когда градиенты смещений малы, имеет место приближение

т ux - ux т ux + ux

R e = I + —------, V = I + —-----2

где I — единичный тензор. Относительное вращение частицы описывается ортогональным тензором Rг, который удовлетворяет уравнениям Я = Яе • Яг и Л = Rг • V. В соответствии с первым из этих уравнений вращательное движение представляет собой суперпозицию относительного и переносного вращений. Из второго следует, что выбранная мера деформации Л описывает одновременно два фактора, которые приводят к изменению внутренней энергии, — деформацию среды и относительное вращение частиц [9].

В декартовой системе координат тензоры й и и х задаются матрицами

' 0 -ю3 Ю2 ^ " u1,1 u1,2 u1,3

П - ю3 0 -ю1 , u - - u2,1 u2,2 u2,3

-ю2 2 ю1 0 / u3,1 V u3,2 u33

2 | 2 . 2 1 ft + 42 + 4з -1;

Тензор угловой скорости отождествляется с вектором угловой скорости ю, координаты которого равны

(<Х>1, <Х>2, Юз).

Ортогональный тензор Rr может быть вычислен по известной формуле [10]:

Rr -1 + sin ф Q + (1 - cos ф) Q2.

Здесь Q — антисимметричный тензор, имеющий в декартовой системе координат следующий вид:

* 0 -4з 42 +

Q - 4з 0 -4i

-42 41 0

V у

ф — угол относительного поворота частиц, который определяется через след тензора Rr по формуле: cos ф = = (trRr-1)/2. Вектор q с координатами (q1, q2, q3) удовлетворяет уравнению Rr • q - q, означающему, что этот вектор задает направление мгновенной оси относительного вращения.

В рамках приближения (1) тензор угловой скорости равен П - Re + Rr • R*. Опуская выкладки, связанные с вычислением произведения Rr • Rr, в которых используются равенства: Q3 - -Q, Q4 - -Q2 и Q • Q • Q = = 0, приведем окончательный результат:

*

v - v

п -

- + фQ + sin ф Q + (1 - cos ф)^ • Q - Q • Q),

где V — вектор скорости поступательного движения. Отсюда после простых преобразований можно получить уравнение для угла относительного поворота частицы:

(

ю1 —

v3,2 - v

2,3

Л (

v2,1 - v

1,2

41 +

4з.

ю2 —

3,1

42 +

Основные уравнения модели выводятся из интегральных законов сохранения импульса, момента импульса и энергии:

дt

дt

f (J • и + p0 x x v )dD =

= | х х о • 1 dГ+1 (х х f + g )йВ,

г в

— Г* Р0 — +1 ю • J • ю + Ж+йв =

3*ВГ0 2 2 .

= |(у • о - h)• 1 йГ + Г (у • { + ю • % + Н)йВ. гв Здесь D — произвольная область с гладкой границей Г, выделенная в начальном (недеформированном) состоянии среды; 1 — вектор внешней нормали к границе; р0 — начальная плотность; J — симметричный и положительно определенный тензор инерции, отнесенный к начальному состоянию среды; ст — несимметричный тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа; W — внутренняя энергия в единице объема; h — вектор теплового потока; f и g — объемные плотности массовых сил и моментов; Н — интенсивность внутренних источников тепла. Тензор инерции J изменяется со временем в соответствии с уравнением J = Я • J0 • Я*, которое можно обосновать путем перехода к сопутствующей системе координат, связанной с вращающейся частицей. Дифференцирование по времени приводит к следующему равенству, используемому, например, в [8]:

J = Я ^0 • Я*+ Я ^0 • Я* = О 3 - 3 О .

Для непрерывных движений с малыми градиентами смещений эйлеровы и лагранжевы переменные отождествляются. В этом случае интегральные законы сохранения эквивалентны дифференциальным уравнениям

0

р0 V = йгу о + f, — (3 • ю) = 2 оа + %,

*

Ж = о :(ух - О)- йivh + Н,

где о — вектор, ассоциированный с антисимметричной частью (о - о* )/2 тензора напряжений; двоеточие означает двойную свертку тензоров.

Допустим, что термодинамическое состояние жидкого кристалла определяется тремя параметрами — объемной деформацией 9 = йгуи = &их, углом относительного поворота ф и энтропией 51. Тогда последнее уравнение системы (4), характеризующее изменение внутренней энергии, распадается на уравнение баланса мощности упругой деформации

дW дW

------tr v х +---------'

д6 дф

*

= а* :(vx — О) = а*

v + v

—ф Q

- sin ф о*: Q - (1-cos ф) о* :(Q • Q - Q • Q) и уравнение притока тепла TS --div h + H, где T = = dW / dS — абсолютная температура. Учитывая функциональную независимость термодинамических пара-

метров состояния, из первого уравнения получим определяющие соотношения л- дЖ

й,ав о = эГ",

о - й,ав о = - (о - й,ав о)*, дЖ

а*: Q = -

дф

sinфо*:Q-(1-cosф)о* :(Q• Q-Q• Q)-0, последнее из которых является следствием независимости внутренней энергии от изменения направления оси относительного вращения частицы. В декартовой системе координат это соотношение сводится к линейному уравнению

A1 q1 + A2 q2 + A3 q3 - 0

с коэффициентами

A1 - sin ф (a32 -a23) - (1- cos ф) x

X [(ct21 -CT12) q2 - (^13 -CT31) q3],

A2 - sinф(a13 -a31) + (1-cosф)x

x[(^21 -CT12) q1 -(^32 -CT23) q3],

A3 - sinф(a21 -a12)-(1-cosф)x

X[(a13 -a31)q1 - (a32 -a23)q2].

Входящие в уравнение (5) варьируемые величины (q1, q2, q3) связаны между собой условием q1q1 + +q2q2 + q3q3 - 0. В силу правила Лагранжа отсюда следует, что As -Xqs (s = 1, 2, 3), где X — неопределенный множитель. Эти формулы ограничивают общий вид тензора напряжений. С учетом оставшихся определяющих соотношений имеем:

* —

а = —pi + tQ =

p=

т = —

p Тз

-Tq2

1 дW

—т q3 —p Tql

т q2 —Tql —p

дЖ

дб ’ 2 дф Конкретизируя уравнения состояния (6), примем следующее выражение для внутренней энергии:

Ж = 2 е2 + рг0е + с0Т + 2аф2’

£ = ре + Со1п Т.

Т0

Здесь к—модуль объемного сжатия; а — модуль упругого сопротивления среды вращению частиц; в — коэффициент теплового расширения; Т0 — начальная тем-

пература;

удельная теплоемкость на единицу

объема. При такой конкретизации гидростатическое давление р удовлетворяет уравнению Дюамеля-Нейма-на, а касательное напряжение т — уравнению Коссера: р = -к9 + Р(Т - Т0), т = -2аф.

Кроме того, левая часть уравнения притока тепла принимает вид: Т& = с0Т + РТ 9.

д

Можно получить простой способ вычисления вектора q, входящего в формулу (2) для угла относительного поворота и в представление (6) для тензора напряжений, если ввести в рассмотрение вектор-директор п, ориентированный вдоль молекул жидкого кристалла. Вращение этого вектора описывается тензором R, следовательно,

п = R • п0, П = R • п0, П = П • п, где п0 — начальное положение п. Так как в рамках принятого предположения о малости градиентов перемещений тензор переносного вращения отождествляется с единичным тензором, то д = п0 х п/1 п0 х п |.

Непосредственное вычисление тензора инерции для ансамбля соориентированных частиц через вектор-директор по общеизвестным формулам из классической механики твердого тела дает:

где у0 — произведение момента инерции одной частицы на число частиц в единице объема. Нетрудно проверить, что этот тензор удовлетворяет уравнению (3).

Пусть к и к' — коэффициенты теплопроводности жидкого кристалла в направлении ориентации молекул и в поперечном направлении. Тогда тензор теплопроводности равен

'l — n,2 —n1n2 —n,n3

— = о —n1n2 1 — П22 —n2n3

—n1n3 —n2 n3 1 — n|

K = к'

Г1 0 0

0 ^ ' ni2 n1n2 n,n3 +

0

1 / П1П3 n2 n3 ni

По закону Фурье h = -K • grad T.

Полагая, что внутреннее производство тепла обусловлено вращением частиц, в качестве H можно принять следующее выражение: H =ую , где у—эмпирический коэффициент вязкости среды.

Приведем полную систему уравнений упрощенной математической модели в развернутой форме. Систему составляют уравнения поступательного и вращательного движения:

р0v1 = -p,1 - (т^з),2 + (Tq2),3 + f1,

р0v2 = -p,2 + (Tq3),1 - (тq1),3 + f2 , р0v3 = -p,3 - (Tq2),1 + (тq1),2 + f3 , d

dt

(Jsl “l + Js2 “2 + Js3 “3) = 2тЪ + gs

уравнения состояния:

p = — (v1,1 + V2,2 + v3,3) + PT,

т = a( v32 — v2,3 — 2 “l) ql + a( vl,3 — V3,1 — 2 “2 ) q2 + + a(v2,1 — V1,2 — 2 “3 ) q3 ,

уравнение теплопроводности:

c0T = — hl,l — h2,2 — h3,3 _PT(v1,1 + v2,2 + v3,3) +

+ Y

и уравнения для вектора-директора:

Й =- з пг + 2 Из, п2 =ю3 п1 - ю1 п3,

П3 = -ю2 п1 +ю1 п2.

Здесь ^ = -К!,1Т1 - К22Т2 - Ks3Т3. Компоненты тензоров инерции и теплопроводности задаются формулами (7) и (8), а вектор q равен

(^, Чг, 43) =

/ 0 0 0 0 0 0ч

_

yjl — (n° п1 + n° п2 + п° п3 )2

3. Плоский случай

В плоском движении уравнения системы существенно упрощаются, поскольку вектор-директор легко вычисляется через угол абсолютного поворота молекул жидкого кристалла ф, а вектор q, с помощью которого задается ось относительного вращения, совпадает с единичным ортом координатной оси, перпендикулярной плоскости движения. Полная система уравнений записывается в виде: д v1

dp дт д v2 дт dp

р0^Т = — d d + fl, р0~"ЭГ=л d + f2,

д х, д Х2 д t д х, д Х2

дt

. д“ дп

J0 эТ -2г+g, І

дт * д v2 д V, +

— = а 2 — 1

дt

= -k

Гд v, + д V2 +

д X, д х2

V

— 2а“.

д х, д х2

+ в

дТ д t ’

ЭТ =_э_

д t д х,

дТ

(кcos ф+к'sin ф)------------+

д х,

+ (к —к') sin ф cos ф

дТ

д X2

д L , . дТ

--- (к — к^тфcosф------+

д х2 д х,

+

дТ

д х2

— РТ

дф "д7

Г

\ = “

д V, + д V2 д х, д х2

+ Y“

Если температурное расширение среды пренебрежимо мало, то система (9) распадается на не связанные между собой систему уравнений акустики жидкого кристалла и уравнение теплопроводности. Система акустики записывается в матричной форме:

A — = B1 — + B2 — + QU + F,

дt

д х,

д х0

где

+

и =

В* =

* v1 +

Р т ю

V У

* 0

0

* - 2 1 - * 0

* /і +

/г

0

0

8

*

А =

0

0

1 - * 2 - * 0

* - 2 1 - * 0 0 0

Ро

0

0

0

0

V

1 - * 2 - * 0 0 0

0

Р0

0

0

0

0+

0

0

0

0

0 0 1/ к 0 0

0

0

0

1/ а 0

0 + 0 0 0

Л

- 0 0 0 0 0 + /

0 0 0 0 0

Q = 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -2

0 0 0 2 0

Матрицы А и В* (я = 1, 2) симметричны, матрица А

положительно определена, следовательно, система

является гиперболической по Фридрихсу. Для нее кор-

ректно поставлены задача Коши с начальными данными и ,=0 = и0(Х1, ъ) и краевые задачи с диссипативными граничными условиями общего вида, обеспечивающими выполнение в точках границы неравенства

(и' - и)(11В1 +12В2) (и' - и) < 0.

Здесь 11 и 12 — проекции единичного вектора внешней нормали к границе; и и и' — произвольные вектор-функции, удовлетворяющие граничным условиям.

Переходя к развернутой форме неравенства, можно показать, что к диссипативным условиям относятся, например, традиционные для теории упругости граничные условия в скоростях (угловая скорость на границе не задается) и напряжениях. К ним же относятся граничные условия смешанного типа, когда задаются скорость в направлении нормали к границе и касательное

напряжение или, наоборот, касательная проекция скорости и нормальное напряжение.

Характеристическое уравнение системы det(a^ --11 В1 -12 В 2) = 0 определяет скорости слабых ударных волн в жидком кристалле: а1 = ^]к/р0 (продольных волн) и а2 = Р0 (поперечных волн). Таким образом,

в отличие от классической акустики в акустическом приближении жидкокристаллической среды возникают поперечные волны, обусловленные упругим сопротивлением материала вращательному движению частиц, скорость которых должна быть много меньше скорости продольных (акустических) волн, т.к. в действительности среда не обладает жесткостью на сдвиг.

Дифференцируя уравнения системы (9), можно в общем случае, когда учитывается объемное температурное расширение, получить уравнение Клейна-Гордона для касательного напряжения (А — двумерный оператор Лапласа):

Э т а . 4а

—г- = —Ат-------------т+г,

дt2

а

д Л

д х1

.м

д х2

- 2 8

70

р0 70 р0

Однородное уравнение Клейна-Гордона обладает осциллирующими решениями с периодом 4 = П70 /а и циклической частотой V* = 1/4, не зависящими от пространственных координат. Такой же период и частоту имеют волны вращательного движения в моментном упругом континууме Коссера, причем эта частота для моментного континуума является резонансной [11] и служит характеристикой материала, не зависящей от размеров образца и условий нагружения.

При отсутствии массовых сил и моментов уравнение (11) описывает распространение монохроматических волн т = техрі (2п^ -1 -х), обладающих дисперсией. Дисперсионное уравнение, которое связывает скалярный квадрат волнового вектора 1 с частотой монохроматической волны V, имеет вид:

12 = 4П2Р0

2 2 V2 -V2

а

0 0

00

Рис. 1. Возбуждение жидкого кристалла под действием локализованного момента: нерезонансная

Рис. 2. Возбуждение жидкого кристалла под действием касательного напряжения: нерезонансная

Фазовая скорость волны принимает положительное значение а = 2 nv/111 только для высокочастотных волн с v>v*. Если v^rc>, то a ^ а2, а если v^v*, то а ^ 0. Низкочастотные волны с v<v* являются стоячими экспоненциально затухающими волнами, декремент затухания которых равен 1/| 11.

4. Численные результаты

После перехода к безразмерным переменным t ^ 2tVa/jo и х ^ 2xjро/jo уравнение (11) приводится к уравнению Клейна-Гордона с единичными коэффициентами:

эЧ дt2

= Ат-т + r.

На рис. 1 и 2 представлены результаты численного решения этого уравнения на основе разностной схемы «крест» в квадрате со стороной Ь = 50, выбранной с учетом того, что линейный масштаб при обезразмери-вании уравнения равен характерному размеру частиц микроструктуры материала. Расчеты проводились на двух разностных сетках из 500 х 500 и 1000 х 1000 узлов. Сравнение при таком разбиении показало хорошее соответствие результатов.

Зоны приложения внешних воздействий (объемных и поверхностных сил) схематически изображены на рис. 3. В расчетах диаметр этих зон d = 10. На вертикальных границах расчетной области задавались условия периодичности решения. В начальный момент времени касательное напряжение во всей области принималось равным нулю.

На рис. 1 приведены поверхности касательных напряжений, соответствующие безразмерному времени t = 20п, в задаче о действии локализованного объемного момента сил g = ^Бт^.Зтс^) (рис. 1, а) и g = £0х х8т(2я£) (рис. 1, б) при равных нулю напряжениях на обеих горизонтальных границах.

На рис. 2 объемный момент отсутствует. В зоне верхней границы, указанной на рис. 3, действует равномерно распределенное касательное напряжение, изменяющееся со временем по периодическому закону: Т = Т0 х х$т(1.5тс£) (рис. 2, а) и т = т0 sin(2П) (рис. 2, б).

На каждом из рисунков максимальная амплитуда касательного напряжения за счет выбора g0 и т0 приведена к единице. Расчеты показывают, что безразмерная частота V* = 1 является резонансной для жидкокристаллической среды. Это выражено в существенно больших амплитудах касательного напряжения на рис. 1, б и 2, б по сравнению с рис. 1, а и 2, а, на которых частота возбуждения ниже резонансной. Аналогичное соотношение амплитуд получается при задании V > V*.

Из уравнения (11) следует, что если при плоском деформировании жидкого кристалла, находящегося в начальный момент времени в естественном ненапряженном состоянии при отсутствии объемных сил и моментов, касательное напряжение, которое полностью определяет вращательное движение частиц, равно нулю, то оно остается равным нулю всегда во всех внутренних точках области решения. Следует также, что влияние температурного поля на повороты частиц в системе (9) осуществляется только через граничные условия задачи.

Отсюда вытекает вывод о невозможности изменения ориентации молекул жидкого кристалла за счет теплового воздействия на свободной от напряжений границе

Рис. 3. Схема нагружения жидкого кристалла: зоны действия локализованного момента

Рис. 4. Линии уровня температуры в жидком кристалле при разных соотношениях между коэффициентами теплопроводности к и к' в направлении ориентации молекул и в противоположном направлении: к = 5к'

среды. Таким образом, эффект ориентационной термоупругости нематического жидкого кристалла, который обсуждается в работах [12-14], следует связывать с возникновением касательных напряжений на границе.

На основе построенной упрощенной модели могут быть исследованы в линейном приближении многие качественные и количественные эффекты в жидкокристаллических средах, наблюдаемые при прохождении акустических сигналов или при слабых температурных изменениях. Для этого необходимо задать феноменологические параметры модели. Эти параметры не являются экзотическими для физики мезоморфного состояния вещества, но, к сожалению, некоторые из них имеют довольно широкий разброс в доступных литературных источниках.

Для численного решения уравнений (9) нами разработаны параллельные алгоритмы и компьютерные программы, ориентированные на многопроцессорные вычислительные системы с графическими ускорителями. При дискретизации уравнений шаги разностной сетки согласовываются с характерным размером частиц микроструктуры жидкокристаллической среды, что является необходимым условием физической корректности численных решений. В результате получаются задачи большой размерности, требующие высокопроизводительных вычислений.

В качестве демонстрационного примера на рис. 4 приведены результаты расчетов стационарного температурного поля в жидком кристалле, частицы которого ориентированы под углом 60° для случая, когда к = 5к' (рис. 4, а) и к = к'/5 (рис. 4, б). Начальное поле температуры считалось однородным, на границе области решения в зонах, изображенных на рис. 3, задавалось постоянное распределение температуры.

Вопросы численной реализации более общей модели моментного континуума Коссера при решении задач

большой размерности с применением высокопроизводительных вычислений рассматривались в монографии [11]. Заметим в заключение, что, учитывая независимые вращения частиц микроструктуры материала в рамках теории моментного континуума, можно описать тонкие физические мезоэффекты деформирования поверхностных слоев и внутренних границ раздела в сплошных средах при внешних механических и температурных воздействиях, которые изучались в работах [15-17]. В частности, эта теория способна предсказать волнообразное изменение кривизны поверхности, обусловленное неоднородным вращением приповерхностных частиц.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00053) и междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 71.

Литература

1. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformables. Chwolson’s Traite Physique. - Paris: Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909. - P. 953-1173.

2. Ericksen J.L. Conservation laws for liquid crystals // Trans. Soc. Rheol. - 1961. - V. 5. - P. 23-34.

3. Аэро Э.Л., Булыгин A.H., Кувшинский Е.В. Асимметрическая гидромеханика // ПММ. - 1965. - Т. 29. - № 2. - С. 297-308.

4. Аэро Э.Л., Булыггин A.H. Уравнения движения нематических жидких кристаллов // ПММ. - 1971. - Т. 35. - № 5. - С. 879-891.

5. Аэро Э.Л., Булыггин A.H. Кинематика нематических жидких кристаллов // Прикл. механика. - 1972. - Т. 8. - № 3. - С. 97-105.

6. Leislie F.M. Some constitutive equations for liquid crystals // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1968. - V. 28. - P. 265-283.

7. Калугин А.Г. Механика анизотропных жидкостей. - М.: Изд-во Центра прикладных исследований при ММФ МГУ, 2005. - 64 с.

8. Кондауров В.И. О нелинейных уравнениях динамики упругой микрополярной среды // ПММ. - 1984. - Т. 48. - № 3. - С. 404413.

9. Садовский В.М. Термодинамически самосогласованная система законов сохранения несимметричной теории упругости // Дальне-вост. матем. журн. - 2011. - Т. 11. - № 2. - С. 201-212.

10. Гoдyнoв С.К., Muxaйлoвa Т.Ю. Представления группы вращений и сферические функции. - Новосибирск: Научная кпига, 1998. -208 с.

11. Sadovskaya O., Sadovskii V Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials // Advanced Structured Materials. - Heidelberg: Springer, 2012. - V. 21. - 390 p.

12. СymopмuнB-С., KpaxaлeвM.H., J!pищепа O.O. Температурно индуцированные изменения конфигурации директора в каплях нематика, диспергированного в поливипилпирролидопе // Журн. СФУ. Математика и физика. - 2009. - Т. 2. - М 3. - С. 352-359.

13.ДеменевE-И., Поздняковr.A., Т]ра^кеев С.И. Нелинейное ориентационное взаимодействие нематического жидкого кристалла с тепловым потоком // Письма в ЖТФ. - 2009. - Т. 35. - М 14. -С. 76-83.

14. Трашкеев С.И, Бритвин А.В. Термоориентационный эффект в нематическом жидком кристалле // ЖТФ. - 2011. - Т. 81. - № 6. -С. 1-7.

15.Панин В.Е., Фомин В.М., Титов В.М. Физические принципы ме-зомеханики поверхностных слоев и внутренних границ раздела в деформируемом твердом теле // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. -№ 2. - С. 5-14.

16.Панин В.Е., Панин А.В., Моисеенко Д.Д. «Шахматный» мезоэф-фект интерфейса в гетерогенных средах в полях внешних воздействий // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 6. - С. 5-15.

17.Панин Л.Е., Панин В.Е. Эффект «шахматной доски» и процессы массопереноса в интерфейсных средах живой и неживой природы // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 6. - С. 5-20.

Поступила в редакцию 15.01.2013 г.

Сведения об авторах

Садовский Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., проф., зам. дир. ИВМ СО РАН, sadov@icm.krasn.ru Садовская Оксана Викторовна, к.ф.-м.н., снс ИВМ СО РАН, o_sadov@icm.krasn.ru