Об аттракторах в конечных динамических системах ориентаций полных графов

Теорема 1. Пусть О — граф диаметра ¿(О) ^ 3 с полным разнообразием шаров. Тогда в графе О либо нет мостов, либо имеется единственный мост, один из концов которого является висячей вершиной.

Теорема 2. В классе п-вершинных графов диаметра d существует граф с полным разнообразием шаров тогда и только тогда, когда п ^ 2d > 0 или п = d +1 = 3.

Как следствие из найденных свойств получено описание графов с полным разнообразием шаров для кактусов — связных графов, в которых нет рёбер, принадлежащих более чем одному простому циклу.

Теорема 3. Цикл и звезда — все с точностью до изоморфизма кактусы с полным разнообразием шаров.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евдокимов А. А., Федоряева Т. И. О проблеме характеризации векторов разнообразия шаров // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2014. Т. 21. №1. С. 44-52.

2. Евдокимов А. А. Кодирование структурированной информации и вложения дискретных пространств // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2000. Т. 7. №4. С. 48-58.

3. Евдокимов А. А. Вложения графов в п-мерный булев куб и интервальное кодирование табло // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 17. С. 15-19.

4. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

5. Федоряева Т. И. Операции и изометрические вложения графов, связанные со свойством продолжения метрики // Дискрет. анализ и исслед. операций. 1995. Т. 2. №3. С. 49-67.

6. Федоряева Т. И. Разнообразие шаров в метрических пространствах деревьев // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2005. Т. 12. №3. С. 74-84.

7. Евдокимов А. А. Локально изометрические вложения графов и свойство продолжения метрики // Сиб. журн. исслед. операций. 1994. Т. 1. №1. С. 5-12.

УДК 519.1 Б01 10.17223/2226308Х/9/44

ОБ АТТРАКТОРАХ В КОНЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ОРИЕНТАЦИЙ ПОЛНЫХ ГРАФОВ

А. В. Жаркова

Рассматриваются конечные динамические системы ориентаций полных графов. Состояниями системы являются все возможные ориентации данного полного графа, а эволюционная функция задаётся следующим образом: динамическим образом данного орграфа является орграф, полученный из исходного путём переориентации всех дуг, входящих в стоки, других отличий между исходным орграфом и его образом нет. Приводится критерий принадлежности состояний системы аттракторам, описывается формирование аттракторов системы, их вид, длина.

Ключевые слова: аттрактор, граф, конечная динамическая система, ориентация графа, полный граф, эволюционная функция.

Под ориентированным графом (или, для краткости, орграфом) понимается пара = (V, в), где V — конечное непустое множество (вершины орграфа), а в ^ V х V — отношение на множестве V (пара (и, у) € в называется дугой орграфа с началом и и концом у). Отношение в называют отношением смежности. Неориентированным графом (или, для краткости, графом) называется пара О = (V, в), где в — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин V. Дуги неориентирован-

Прикладная теория автоматов и графов

113

ного графа называют рёбрами. Орграф о = (V, в) называется направленным графом (или диграфом), если отношение а антисимметрично. Пусть "0 = (V, в) —некоторый орграф, V Е V — одна из его вершин. Степенью исхода вершины V Е V называется число дуг орграфа "0 = (V, в), имеющих своим началом V; степень захода вершины V — это количество дуг, имеющих V своим концом. Граф О = (V, в) называется полным, если любые две его вершины соединены ребром. Полный граф с п вершинами обозначается Кп. Простой циклический путь в орграфе называется контуром [1].

Под конечной динамической системой понимается пара (Б, 8), где 5 — конечное непустое множество, элементы которого называются состояниями системы, 8 : Б О Б — отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы. Таким образом, каждой конечной динамической системе сопоставляется карта, представляющая собой орграф с множеством вершин Б и дугами, проведёнными из каждой вершины в Е Б в вершину 8(в). Компоненты связности графа, задающего динамическую систему, называются её бассейнами. Получается, что каждый бассейн представляет собой контур с входящими в него деревьями. Контуры, в свою очередь, называются предельными циклами или аттракторами.

Основными проблемами теории конечных динамических систем являются задачи отыскания эволюционных параметров системы без проведения динамики. К их числу относятся свойства принадлежности состояния аттрактору, описание самих аттракторов системы. Написаны программы для ЭВМ, позволяющие вычислять различные параметры конечных динамических систем, ассоциированных с некоторыми типами графов [2]. Описаны аттракторы конечных динамических систем двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями таких графов, как цепи, циклы, пальмы [3-5]. В данной работе приводится критерий принадлежности состояний аттракторам в конечных динамических системах ориентаций полных графов, описывается формирование аттракторов в данных системах, их вид, длина.

Пусть дан полный граф 0 = (V, в), V = {VI, V2,..., vn}, п > 1, т = п(п — 1)/2, где т — число рёбер. Придадим его рёбрам произвольную ориентацию, тем самым получив направленный граф "0 = (V, в), где отношение смежности в антирефлексивно и антисимметрично. Применим к полученному орграфу эволюционную функцию а, которая у данного орграфа одновременно переориентирует все дуги, входящие в стоки (вершины с нулевой степенью исхода), а остальные дуги оставляет без изменения, в результате чего получаем орграф а (0). Если проделать указанные действия со всеми возможными ориентациями данного графа, то получим карту данной динамической системы, состоящую из одного или нескольких бассейнов.

Таким образом, будем рассматривать конечную динамическую систему (Гкп, а), п > 1, где через Гкп обозначим множество всех возможных ориентаций полного графа Кп, |Гкп | = 2т, а эволюционная функция а задаётся следующим образом: если дан некоторый орграф "0 Е Гкп, то его динамическим образом а(0) является орграф, полученный из 00 одновременной переориентацией всех дуг, входящих в стоки, других отличий между 00 и а("0) нет.

В [6] рассматривается конечная динамическая система (П,а), где П — множество всех бесконтурных ориентаций данного графа, и замечается, что для полного графа существует п! бесконтурных ориентаций, где п! — количество перестановок его вершин, при этом система имеет (п — 1)! бассейнов, каждый из которых состоит исключительно из аттрактора длины п.

Определение 1. Под вектором степеней захода ориентированного графа = (V, в) будем понимать вектор, компонентами которого являются степени захода всех его вершин, то есть (d-(vi), d-(v2),... , d-(vn)).

Очевидно, что в полном графе может быть не более одного стока. Теорема 1 (критерий принадлежности состояния аттрактору). В конечной динамической системе (Гкп, a), n > 1, состояние GG Е Гкп тогда и только тогда принадлежит аттрактору, когда в орграфе GG

1) нет стока или

2) вектор степеней захода представляет собой некоторую перестановку чисел {0,1,..., n - 1}.

Теорема 2. В конечной динамической системе (Гкп, a), n > 1, существуют аттракторы

1) длины 1, каждый из которых образован таким состоянием GG Е Гкп , у которого нет стока;

2) длины n, каждый из которых состоит из состояний GG Е Гкп , вектор степеней захода которых представляет собой некоторую перестановку чисел {0,1,... , n—1}, при этом каждый такой аттрактор представляет собой контур, в котором следующее состояние получается из предыдущего так: если GG имеет вектор степеней захода (d- (v1), d-(v2),..., d-(vn)), то a(GG) Е ГКп имеет вектор степеней захода (d-(v1) +1, d-(v2) +1,..., d-(vn) + 1), где сложение осуществляется по модулю n,

и только они.

Заметим, что в конечной динамической системе (Гкп, a), n > 1, количество аттракторов длины n равно (n — 1)!, при этом количество состояний, принадлежащих данным аттракторам, равно n!. Например, карта конечной динамической системы (Гк6, a), |ГК61 = 32768, состоит из 26 744 бассейнов, при этом 27 344 состояния принадлежат аттракторам (что составляет ^ 83 % от общего числа состояний); всего 26 624 аттрактора длины 1 и 120 аттракторов длины 6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, Физматлит, 1997.

2. Власова А. В. Исследование эволюционных параметров в динамических системах двоичных векторов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009614409, выданное Роспатентом. Заявка №2009613140. Дата поступления 22 июня 2009 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20 августа 2009 г.

3. Власова А. В. Аттракторы конечных динамических систем, ассоциированных с цепями и циклами // Сб. тез. докл. конф. молодых ученых. Вып. 1. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2011. С. 70-71.

4. Жаркова А. В. Количество аттракторов в динамических системах, ассоциированных с циклами // Матем. заметки. 2014. Т. 95. Вып. 4. С. 529-537.

5. Жаркова А. В. Аттракторы в конечных динамических системах двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями пальм // Прикладная дискретная математика. 2014. №3(25). С. 58-67.

6. Barbosa V. C. An atlas of edge-reversal dynamics. London: Chapman &Hall/CRC, 2001.