Об устойчивом продолжении потенциального поля с приближённо заданной поверхности

УДК 519.6

Об устойчивом продолжении потенциального поля с приближённо заданной поверхности

Д. Е. Ланеев

Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

Рассматривается задача продолжения потенциального поля с поверхности, заданной приближённо, в область, представляющую собой цилиндр прямоугольного сечения. Устойчивое решение задачи продолжения строится на основе устойчивого построения нормали к поверхности с использованием метода регуляризации Тихонова в модификации В. А. Морозова.

Ключевые слова: продолжение потенциального поля, приближённо заданная поверхность, устойчивое решение, метод регуляризации.

1. Введение

В [1] построен устойчивый метод и обоснованы алгоритмы численного решения задачи продолжения потенциального поля в чётно-периодической модели, основанный на результатах работ [2]. Метод, развитый в этих работах, состоит в устойчивом решении задачи Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхности произвольного вида. В [3] построено устойчивое решение задачи Коши с данными на поверхности, заданной приближённо. Этот метод основан на решении задачи устойчивого построения нормали как задачи вычисления значений неограниченного оператора [4]. В данной работе, на основе результатов работы [3], строится устойчивое продолжение потенциального поля с поверхности, заданной приближённо. Полученные здесь результаты могут быть использованы для обработки данных в геофизике, в частности, гравиразведке, для выявления плотностных аномалий в толще земной коры.

2. Постановка задачи

Пусть в цилиндре

D^ = {(ж, y, z) : 0 < x < lx, 0 <y <ly, —то < z < то}

имеются источники потенциального поля плотности р с компактным носителем в области z > H > 0 в цилиндре D^. Рассмотрим чётно-периодическую модель [5] потенциального поля:

rot E(М) = 0, М е D~, div E(M) = —4пр(М),

(n E)lx=o,ix =0, (n E)Uo,iy =0 E ^ Eпри z ^ ±то.

Статья поступила в редакцию 10 января 2008 г.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ грант №06-01-00530).

В рамках модели (1) будем считать, что функция плотности источников р неизвестна, но известно поле Е на произвольной достаточно гладкой поверхности 5

S = {(x,y,z): 0 <x<lx, 0 <y<ly, z = F (x,y)}, F e С 2(П (0)), П(z) = {(x, y, z) : 0 < x < lx, 0 < y < , z = const}.

Таким образом, в рамках модели (1) мы получаем задачу продолжения поля [5]

rot E(M) = 0, div E(M) = 0,

El T?0

M e D(F, H) = {(ж, y, z) : 0 < x < lx, 0 < y < ly, F(x, y) < z < H, H > 0}, S = {(ж, y, z) : 0 < x < lx, 0 < y < , z = F(x, y)},

(n, E)|*=o,ix =0, (n, E)|y=o,iy = 0, F e С2(П(0)).

В [5] показано, что векторная задача (3) может быть сведена к смешанной краевой задаче для составляющей Е

(m) = 0

ez |s = e0, dez

dn dEz

= 1 (dE0 + dES

s ^ l dx dy

dx

0,

x=0,1x

M e D(F,H),

ni = (FX, FS,-1),

dEz

dy

0,

где

D(H,F) = {(x,y,z) : 0 < x < lx, 0 < y < ly, F(x,y) < z < H}.

Функции Е0, Е0 считаем непрерывно-дифференцируемыми на поверхности £. Задача (4) некорректно поставлена [5] по условиям Коши на поверхности £. В [1] приведён метод построения регуляризованного решения задачи (4), устойчивого по отношению к погрешностям в функции Е0. Поверхность £ при этом предполагалась заданной точно.

Пользуясь результатами работ [1,6], построим решение задачи (4) в виде

Ez(M) = vz(M) - Фz(M), M e D(F,H),

где

Ф

n

+

P GS

+

+

p GS

+

p gsJ

dxpdyp,

p(M, P) = T^rö(zp - zm)(zm - zp) +

оо -Vfr + m2 |ZM-zp |

2 ^ e V 1x ly

nlxlv n, n m /n2 + mi

x y n,m=0, \ i2 T^ ¿2

nm=0 Vх y

nnxM nmyM nnxP nmyP f 1 n = 0,

x cos — cos — cos — cos —, en =

^ ~ , . ir+m2(zM-a) ппхм птум vz(M) = en6TO<Pz,nm(a)e V x y cos —--cos—--,

n,m=0, -x -y

nm=0

M e D

ix ly

~ , , 4 f ¡' ппх пту

-x-y J J -x -y

y 0 0 y

Как следует из формул (6)-(9), решение задачи (4) строится на базе функции вида (6), для вычисления которой согласно (6) необходимо вычисление компонент вектора нормали ni к поверхности S:

ni = {F'x,F'y,-1} = iFX + jFy - k.

Если функции поле E0 задано с погрешностью, то функция Фz вида (6) вычисляется также с погрешностью, и устойчивость решения достигается применением метода регуляризации А.Н.Тихонова [7]. Если поверхность S задана с погрешностью, то вычисление интеграла (6) связано с необходимостью устойчивого вычисления нормали к поверхности, что также представляет собой некорректно поставленную задачу как задача дифференцирования функции, заданной приближённо.

3. Приближённо заданная поверхность

Если поверхность S задана приближённо, то это в нашем случае означает, что функция F известна с некоторой погрешностью, задача вычисления нормали к поверхности — это задача вычисления градиента функции, заданной приближённо, которая некорректно поставлена. Для получения её устойчивого решения воспользуемся постановкой [4,8], то есть рассмотрим задачу вычисления градиента как задачу восстановления значений неограниченного оператора. Пусть вместо точной функции F задана функция F^ такая, что

Вектор-функция ni представляет собой «пространственный» градиент функции F(x, y) — z, то есть

ni = grad (F(x, y) - z) = VxyF - k.

В качестве приближения к функции VxyF рассмотрим «плоский» градиент Vxy от экстремали функционала [9]

2

Ne [W] = W - FM + ß VW .

Lr

2

Lr

Будем считать, что поверхность S удовлетворяет условию:

F |x=0,lx = F |y=0,ly = Q.

Это условие, в частности, имеет место в случае, когда S можно рассматривать как возмущение основной плоскости z = 0. Тогда экстремаль функционала (12) удовлетворяет уравнению Эйлера

-ßAW + W = F

W |x=o ,ix = 0, W\y=o,iy = 0. Решая задачу (13) методом Фурье, получим [3]:

W^

n,m=l 1 + ß

I f nm\ 2

lx J \ ly J

ly

Нетрудно видеть, что ряд (14) сходится равномерно на П(0) при любом в > 0. Обозначим

и'1 = в =

В качестве приближённого значения градиента функции Е1 будем рассматривать вектор-функцию

^ р! Уху Ж !(х,у) = £ -

xy

,m=1 1 + ß

2 / \ 2 nn \ I I nm

ix Ii

f.nn nnx . nmy ,nm nmy . nnx\ x I i— cos ——sin —---+ j—— cos ——sin —-— .

V lx lx ly ly "у 1 x J

Ряд (16) также равномерно сходится на П (0).

Пусть F- — нечётнопериодическое продолжение функции F с периодом 2lx по переменной x и с периодом 2ly по переменной у, т. е.

F-(-x,y) = -F-(x,y), F-(x, -y) = -F-(x,y), F-(-x, -y) = F-(x,y),

F- (x + 2lxn, y + 2lym) = F- (x, y) = F(x, y), (x,y) e П(0). Имеет место следующая теорема [3]:

Теорема 1. Пусть F- e C2(R2), в = p/\\AF|| > 0. Тогда

Vxy WV - Vxy F

lW ^.

В качестве приближений к ЕХ и Е'у мы будем рассматривать соответственно (ЖП'х и .

4. Задача продолжения с приближёнными

данными

Пусть теперь функции Е0 задана приближённо, а именно: пусть задана функция Е0'^ такая, что

Е0г - Е0 < 6.

Ып

Тогда функция Фг вида (6) при точно заданной поверхности £ может быть вычислена с некоторой погрешностью как приближённая функция:

x

е е—

е —е

^

П

+

+

р

+

р

+ (£!*(хр, ур(хр, ур) + £0*(хр, Ур(хр, ур) -

- £0*

р 6^

ёхрёур.

При приближённом задании поверхности определяемом условием (11), функция Ф* может быть вычислена в свою очередь приближённо как Ф^ по формуле (19) с заменой ££ и £у на соответственно (Ши (Ш, а поверхность 5 заменяем на поверхность 5которая задаётся уравнением г = Ш^(х,у) :

Ф^(М)= | [(£0*(хр,ур) + £0*(хр,ур)Ш^(хр,ур)) дх^(М,Р) +

П(0) р

+ (£0*(хр,ур) + £0*(хр,ур)жу(хр,ур)) дУ^(М,Р) +

+ (£0*(хр,ур)ШХЧхр,ур) + £°0*(хр,ур)Ш^(хр,ур) -

- £0*

р 65м

ёхрёур.

Для формирования решения по формулам (6)—(9) необходимо вычисление коэффициентов Фурье (9). При приближённых данных и при приближённом задании поверхности, то есть при приближённом вычислении функции (6) речь может идти лишь о приближённом вычислении коэффициентов Фурье. Оценим разность

Ф<^

где функции Ф^, Ф^, Фг — функции вида (20), (19), (6) соответственно. Оценим первую разность в (21),

ф^

вводя вспомогательную функцию

п

ф£1(М)= | [(£Х*(хр,ур) + £0*(хр,ур)£Х(хр,ур)) (М,Р) +

+ (£0* (хр, ур) + £0* (хр, ур)£у(хр, ур)) дУ^ (М, Р) +

+ (£ж°*(хр, ур)£Х(хр, ур) + £0*(хр, ур)£у(хр, ур) -

- £0*

р 65м

ёхрёур,

отличающуюся от

) - )

j e0(xp,yp)(fx(xp,yp) - (w»(xp, yp))x)d—(m, p) +

П

+ E0

dyp

+

+ (E0j(xp,yp) (FX(xp,yp) - (W»(xp,yp))'x) +

+ E0s

dxpdyp

p gsm

Оценивая производные р их максимумами, получим

Ф1'»(Ы) - Ф8г»1(Ы) <

| Е0/(хр,ур) | | ЕХ(хр,ур) - (Ж»(хр,ур))Х

П

max

M еп(а) p es

П

max

M еп (а) p es

+ j | E°j (xp , yp) | | F'y (xp , yp) - (W »(xp , yp))[

+ j ( | E0j(xp,yp) | | FX(xp,yp) - (W»(xp,yp))'x

d— dxp

d—

dyp

+

+

+

П

+

E05(xp, yp) | | Fy (xp, yp) - (w»(xp, yp))[ | ) max.

M еп(а) p es

d— dzp

dxpdyp.

Учитывая очевидные оценки модулей координат градиента функции р его полным модулем

max

M еп(а) pes

max

M еп(а) pes

max M еп(а) pes

д— dxp

д— dyp'

д— dzp х

(M, P) < max

m еп

pes

(M,P) < max

M еп

pes

(M,P) < max

M еп

pes

вынесем константу за знак интеграла:

фЬ»(M) - Ф8»1(М) | < je,axа) |Vp—(M,P)| f

pees

F'y - (W»)'y

+

E

+

E

п

\F'x - (W»)X| +

E

'05

\F'x - (W»)X\ +

E

05

Fy - (W»)y

dx dy.

Применяя неравенство Коши-Буняковского к каждой разности, а также оценку теоремы, получим:

Ф^'(М) - Ф^(М) < тах |Урр(М,Р)|

М 6П (а) р 65

£

0*

+

£

0*

- (Ш')У

+

£

0*

Н^Х - (Ш ')Х|| +

£

0*

- (Ш')У

<

< тах |Урр(М,Р)| 4

М 6П(«) р 65

Е'

0*

Ь2

Ш' - Уху £ Иь2

<

< Мтпха) |Урр

6 65

Так как нас интересует поведение решения задачи (4) при ё — 0, то можно считать, что ё ^ ¿0, и, таким образом, можно считать величину (||Е°|| + ё) ограниченной.

Оценим вторую разность в

(М) - Ф^ (М) | < I (£Х* (хр ,ур) +

П

+ £0*

др дх

р

(М, Р) др

р 65м

др дх

р

+

(М,Р) др

р 65

+

я

р 65м дур р 65

+ (£0*(хр, ур(хр, ур) + £0*(хр, ур(хр, ур) - £0*(хр, ур)) х

др

+

х

р 65м

р65

ёхрёур.

Применяя к разностям производных функции р формулу Лагранжа, получим

Ф*?

Ф*,'(М) - Ф*(М) | < С^+ОзД < С1^Д(1+Сз^Д) < Сб^Д, М е П(а). (28) Оценку второй разности в (21) получаем так же, как в [5]:

I ((£Х*(хр,ур) - £Х(хр,ур)) +

+ (£0*(хр, ур) - £0(хр, ур)) (хр, ур)) дхр(М, Р)+ + ((£0*(хр,ур) - £0(хр,ур)) + (£0*(хр,ур) - £0(хр, ур)) (хр, ур)) дУр(М,Р)+ + ( (£0*(хр, ур) - £0(хр, ур)) £'(хр, ур)+(£0*(хр, ур) - £°°(хр, ур)) (хр, ур)-

Ф*(М) - Ф(М) = /

П

-

ёхрёур

р65

е е—

е —е

Оценивая, как и в предыдущих случаях, производные функции р и применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем

Фs

<

M еП(а) \ "2

P es v

+ II Ey - Ey\\ --+ || EZ - EzW\ \FyW + \\EX - ExW\ \F x|| +

< C\S, M e п

y/lxly 24 + ||E° s - Ez

Из (28) и (30) для оценки (21) получаем:

max

M en

Фя'»

о

s

Таким образом, функция Фг известна с некоторой погрешностью А, имеющей структуру (31). В соответствии со схемой [5] устойчивое приближённое решение задачи (4) строится на основе экстремали функционала Тихонова [5,7], и может быть получено в виде

Е^а

где Фsz'» — функция вида (20), а v^ имеет вид:

~ п /ff + mf

v£i

' 1 + ae vx v

Здесь (Фzz)nm(a) — коэффициенты Фурье функции Фzz(М)\мen(a):

4 с с тт/Х

(Ф'л/)nm(a) = YY dx dy фZz'ß(x,y,a)cos—— cos

lx by J J lx

nmy

z )nm\flj 1 1 ! ~~ ! ~V \~1a1~~/ —" 1 —~ 1

1x 1y J J 1x 1y

0 0

а а — параметр регуляризации. В соответствии с обозначениями, введёнными выше, величина а выбирается так, чтобы

а< min F (x,y).

Теорема 2. Пусть решение задачи (4) существует в области D(H, F), а = а(А), а(А) ^ 0, А/^/а(А) ^ 0 при А ^ 0. Тогда функция па(д) вида (32), где согласно (31) А = А(/л,5) = + C46, равномерно сходится к точному

решению задачи (4) при S ^ 0, ß ^ 0 в области D(H — e,F + е), где е > 0 — некоторое фиксированное сколь угодно малое число.

Теорема 2 доказывается так же, как теорема в [5].

5. Заключение

Формулы (32)—(33) дают решение задачи продолжения «вертикальной» составляющей поля Ег с приближённо заданной поверхности. Составляющие поля Ех и Еу могут быть получены преобразованием Гильберта компоненты Ег [8]. Дискретный вариант формул (32)—(33) может быть получен аналогично [1].

ф

ф

е-

Литература

1. Ланеев Д. Е. Об устойчивом численном решении задачи продолжения потенциального поля в четно-периодической модели // Вестник РУДН. Серия «Физико-математические науки». — № 1. — 2006. — С. 5-12.

2. Ланеев Е. Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой задачи для потенциального поля // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — № 1. — 2000. — С. 105-112.

3. Ланеев Е. Б., Муратов М. Н. Об устойчивом решении одной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с приближенно заданной границей // Вестник РУДН. Серия «Математика». — № 9(1). — 2002. — С. 102-111.

4. Морозов В. А. Об одном устойчивом методе вычисления неограниченных операторов // ДАН СССР. — Т. 185, № 2. — 1969. — С. 267-270.

5. Ланеев Е. Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия «Физика». — № 8(1). — 2000. — С. 21-28.

6. Ланеев Е. Б. Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа с краевыми условиями второго рода // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика». — № 1. — 2003. — С. 110-119.

7. Ланеев Е. Б. О задаче Коши для уравнения Лапласа в неодносвязной области // Статистическая и квантовая физика и ее приложения. — Изд-во УДН, 1986. — С. 49-56.

8. Ланеев Е. Б. Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — № 1. — 2001. — С. 110-119.

9. Ланеев Е. Б., Васудеван Б. Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — № 1. — 1999. — С. 128-133.

UDC 519.6

On Stable Continuation of Potential Field with the Approximately Defined Boundary

The problem of the potential field continuation we consider in a case of an approximately defined boundary. We have obtained the stability of an approximate solution with respect to boundary error and to field data error.

D. E. Laneev

Telecommunication Systems Department Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198

e-

&

Ф

Ф