Численное исследование течения жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры

УДК 532.5.032+532.542.2 ББК 22.25

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С НЕМОНОТОННОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ВЯЗКОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Хизбуллина С.Ф.

Разработана математическая модель и проведено численное исследование особенностей течения жидкостей с немонотонной зависимостью вязкости от температуры в цилиндрическом канале. Построены характерные картины установившегося распределения вязкости, температуры и компонент вектора скорости. Проведено сравнение с результатами, полученными при решении соответствующей плоской задачи.

Введение

При исследовании закономерностей течения жидкостей в каналах теплообменных устройств необходимо учитывать характер зависимости физических констант от температуры, в том числе и вязкости. Температурные зависимости вязкости большинства жидких сред представляют собой монотонно убывающие функции. Но в природе встречаются вещества, в которых в определенном диапазоне температур могут происходить процессы полимеризации и деполимеризации молекул, а вязкость в этом случае имеет немонотонную зависимость от температуры. К таким веществам относится, например, жидкая сера. В связи с этим возникает необходимость теоретического изучения закономерностей течения жидких сред с реологическими свойствами, подобными жидкой сере.

Впервые некоторые особенности течения жидкой серы в теплообменнике с плоским каналом были отмечены в работе [1]. Задача о течении аномально термовязкой жидкости в плоском канале с граничными условиями первого рода на стенках была рассмотрена в работе [2]. Показано, что основное влияние на структуру потока оказывает область с высокой вязкостью, названная авторами «вязкий барьер», а также изучены основные закономерности течения в зависимости от вида немонотонной зависимости и внешних условий. В статье [3] изучены основные закономерности течения слоя термовязкой жидкости в плоском канале теплообменника и установлены причины образования «порога», как локализованной деформации на границе слоя аномально термовязкой жидкости. Выявлено влияние толщины слоя термовязкой жидкости и интенсивности теплообмена через стенки канала на величину и форму «порога».

Постановка задачи

Рассмотрим нестационарное ламинарное течение несжимаемой жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры (далее - аномально термовязкая жидкость) в цилиндрическом канале диаметра Б и длиной Ь (причем Б << Ь, то есть канал является сильно удлиненным), происходящее под действием фиксированного перепада давления Ар. Жидкость втекает в канал с постоянной по сечению температурой Тт, а стенка канала имеет температуру Тк (для определенности будем считать, что Тт > Тк).

Пусть аномально термовязкая жидкость имеет следующую модельную немонотонную зависимость кинематической вязкости от температуры:

Ат )=^ 1+Ае-*Т-Т1),

V

где А = тах -1 - параметр, характеризующий отношение максимального и минимального значений

V

¥ тт

вязкости, В > 0 - параметр, характеризующий степень заполненности данного температурного диапазона аномалией вязкости (его увеличение свидетельствует о сужении диапазона температур, на котором происходит

Т + Т.

немонотонное изменение вязкости), Т» = ™ - температура, при которой жидкость имеет максимальную

вязкость.

Для построения математической модели введем цилиндрическую систему координат с началом в центре входного сечения канала и осью г, направленной вдоль оси канала. Будем считать, что течение является осесимметричным, массовые силы отсутствуют, а коэффициенты теплоемкости и теплопроводности постоянны.

Безразмерные переменные и безразмерные параметры введем следующим образом:

p r ~ z ~ tu0 r ur p uz p p r r = —, r =—, t = —, ur =^~, uz =, p = —, nr =-DLL єu0 u0 p0

T - Tw є= D ^ T,„=_pb B„= u0D

T =------^, є = —, Re =-^, Eu = -^\, Pe = -^, Ek = ^------------------------г

Tn - Tw L nmin Pu0 a Cp

Тогда полная система гидродинамических уравнений, описывающая нестационарное течение несжимаемой жидкости с вязкостью, зависящей от температуры, в безразмерном виде (значок «тильда» над безразмерными переменными опустим) имеет вид:

d(rur ) і d(ruz) = 0

d r d z

dur і d f 2 r / , \dur І Э f є A . \dur І Eu Э p і і An ur

r +_Ч“ I ru;----(і і An)—^ I і — I uzur---------(і і An)-r-1 =------ r

dt r dr I r єRe dr J dz і z r Re dz J є2 dr єRe r2

duz і d f r / Adu_І d f 2 є A . \du_І dp

—-1----------1 ruuy--------(і і An)—- 11-------1 u7------(і і An)—- I = -Eu—-,

dt r d r і r z є Re ! d r J d z I z Re ! d z I d z

dT і d f r dT І d f є dT І Ek

— і---------1 rurT-------------11— I uzT--------------------I = є—

dt r dr 1 єPe dr J dz і Pe dz J Re

і duz dur І f duz dur І duz dur

---- іє—- I 141—-1—- I - 4—-—-

є dr dz J і dz dr J dz dr

а безразмерные граничные условия, при которых решалась задача, имеют следующий вид:

р = 1, Т = 1, р\ = 0, и\ = и\ = 0,Т = 0.

*\z=0 lz=0 *\z=\ rlr=0.5 zlr=0.5 lr=0.5

Для численного решения уравнений математической модели применялся метод контрольного объема с использованием алгоритма SIMPLE [4], модифицированного для учета переменного коэффициента вязкости. Для решения полученных систем алгебраических уравнений использовался метод переменных направлений. Численный метод решения системы уравнений математической модели был протестирован путем сравнения с точными аналитическими решениями.

Результаты численных расчетов

Проведенные численные исследования течения аномально термовязкой жидкости в цилиндрическом канале с осевой симметрией показали, что распределения полей физических величин (вязкости, температуры и компонент вектора скорости) имеют структуру аналогичную течению в плоском канале. Процесс течения также определяется характером преодоления жидкостью зоны немонотонного изменения вязкости - «вязкого барьера», который является устойчивым образованием, локализованным в пространстве.

На рис. 1 показаны изолинии компонент вектора скорости, температуры и вязкости при установившемся течении жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры. Численные расчеты проводились при следующих значениях безразмерных параметров задачи:

e = 0.01,A = 100,B = 0.01,Re = 200,Eu = 8,Pe = 1960 , которые были подобраны таким образом, чтобы «вязкий барьер» целиком умещался в пределах канала.

v - n

min

-n

max min

2

а)

в)

б)

г)

Рис. 1. Установившиеся распределения осевой (а) и радиальной (б) скоростей, температуры (в) и вязкости (г) в цилиндрическом канале

С тем чтобы иметь возможность количественного сравнения результатов с аналогичными результатами для плоского канала, необходимо, чтобы течения были подобными, то есть в расчетах для обоих течений числа Рейнольдса должны быть одинаковыми. На рис. 2 приведены эпюры вязкости (рис. 2,а) и осевой скорости (рис. 2,б) для различных сечений цилиндрического (сплошная линия) и плоского (пунктирная линия) каналов при числе Рейнольдса равном 200. Эпюры осевой скорости свидетельствуют о сложном характере течения, существенно отклоняющемся от пуазейлевского. Вне зоны «вязкого барьера» профиль осевой скорости близок к параболическому, что характерно для течения Пуазейля. Видно, что вблизи входа в канал распределение вязкости одинаковое, а значения скоростей отличаются. Для других приведенных сечений наблюдается существенное различие в значениях вязкости и скорости. Этот факт можно объяснить различием условий теплообмена в том и другом случаях, связанным с различной геометрией. А именно у цилиндрического канала удельная поверхность больше, и теплообмен происходит интенсивнее, чем в случае плоского канала. За счет этого «вязкий барьер», как видно на рис. 3, в цилиндрическом канале располагается ближе к входу в канал.

2 = 0.2 2 = 0.4 2 = 0.6

Рис. 2. Профили вязкости (а) и осевой скорости (б) для различных сечений цилиндрического (сплошная линия) и

плоского (пунктирная линия) каналов

Рис. 3. Профили вязкости в осевом сечении для цилиндрического (сплошная линия) и плоского (пунктирная линия) каналов для разных чисел Рейнольдса

Рис. 4. Зависимость приведенного расхода от перепада давления для цилиндрического (сплошная линия) и плоского (пунктирная линия) каналов для разных значений параметра А при В = 0.01

С точки зрения приложений важную роль играет зависимость приведенного расхода жидкости от перепада давления:

Q = -Q- j uzdS,

Q0 S

где Q0 - безразмерный расход жидкости при пуазейлевском течении с постоянным коэффициентом вязкости ПтЙ1 . Отметим, что осевая компонента вектора скорости u2, используемая при вычислении расхода, также является безразмерной. Эта зависимость для цилиндрического (сплошная линия) и плоского (пунктирная линия) каналов приведена на рис. 4 для различных значений параметра А при В = 0.01. Полученные кривые свидетельствуют об обнаружении эффекта уменьшения расхода при увеличении перепада давления для аномально термовязких жидкостей. Уменьшение расхода, характерное и для малых значений амплитуды А, связано с возрастанием области аномальной вязкости при увеличении перепада давления. Уменьшившись до определенного минимального уровня, расход с дальнейшим повышением перепада давления начинает увеличиваться. Физически это означает, что часть вязкого барьера выходит за пределы канала и образуются две незамкнутые зоны аномальной вязкости, прилегающие к стенкам канала, и не пересекающие его осевое сечение.

Таким образом, проведенные численные исследования свидетельствуют о том, что многообразие гидродинамических эффектов, обнаруженные в плоском канале, имеют место и в цилиндрическом канале. Распределения полей физических величин в цилиндрическом канале имеют существенные количественные отличия от результатов расчетов в плоском канале. Но качественная картина течения и структура потока в цилиндрическом и плоском каналах аналогичны.

На основании численных расчетов было установлено, что величина приведенного расхода существенным образом зависит от параметра А . При этом увеличение максимального значения вязкости, характеризуемого параметром А, способствует уменьшению приведенного расхода (рис. 4). А обнаруженные количественные отличия для цилиндрического и плоского каналов можно объяснить различными условиями теплообмена, связанными с геометрией каналов.

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН «Динамика и акустика неоднородных жидкостей, газожидкостных систем и суспензий».

Автор выражает благодарность д.ф.-м.н. Урманчееву С.Ф. и к.ф.-м.н. Кирееву В.Н. за постановку задачи и обсуждение результатов.

ЛИТЕРАТУРА

Urmancheev S.F., Kireev V.N., Larionov S.I. Obukhova S.A. A Numerical investigation of anomalously viscous liquid flowing along the heat exchanger channel // Proceeding of the Third International Conference on Multiphase Flow. Lyon. 1998. Paper № 375. 6 p.

Урманчеев С.Ф., Киреев В.Н. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости // Доклады академии наук. 2004. т.396. №2. с. 204-207.

Киреев В.Н., Хизбуллина С.Ф., Урманчеев С.Ф. Моделирование течения слоя жидкой серы в канале теплообменника // Нефтегазовое дело. 2005. т.3. с. 333-338.

Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

1

2

3

Поступила в редакцию 13.06.06 г.