Динамика взаимодействия подвижных стенок плоского канала со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 531.381

Р.В. Агеев, Т.В. Быкова, Л.И. Могилевич, В.С. Попов

ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОДВИЖНЫХ СТЕНОК ПЛОСКОГО КАНАЛА СО СДАВЛИВАЕМЫМ СЛОЕМ ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩИМСЯ МЕЖДУ НИМИ

Исследуется динамика взаимодействия подвижных абсолютно жестких стенок канала со слоем вязкой несжимаемой жидкости, находящимся между ними, при воздействии вибрации. Найдены гидродинамические параметры движения жидкости, законы движения стенок и их амплитудные и фазовые частотные характеристики. Рассмотрен вопрос об использовании найденного решения для изучения динамических процессов в вибрационных машинах.

Вязкая жидкость, колебания, резонанс, амплитудные и фазовые частотные характеристики.

R.V. Ageyev, T.V. Bykova, L.I. Mogilevich, V.S. Popov

THE DYNAMICS OF MOVING WALLS OF FLAT CHANNEL WITH A PRESSED FLUID LAYER BETWEEN THEM

This is a research of moving absolutely rigid channel walls interaction with viscous incompressible fluid layer, which is situated between them under vibration. The hydrodynamic parameters of fluid movement, the laws of walls movement and their amplitude and phase frequency characteristics are discovered. The problem of the above mentioned decision usage for the research of dynamic processes in vibrating devices is considered.

Viscous fluid, oscillations, resonance, amplitude and phase frequency characteristics.

1. Работа ряда вибрационных машин и систем гидропривода происходит в условиях взаимодействия их рабочих элементов с жидкостью [1-3]. При этом возникает необходимость в исследовании динамики взаимодействия твердых тел (элементов вибромашин), имеющих упругий подвес, со слоем вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между ними, в условиях вибрации.

Рассмотрим механическую систему, представленную на рис. 1. Два абсолютно жестких тела 1 и 2, заключенные в одном корпусе, являются стенками плоского канала, в котором

находится слой вязкой несжимаемой жидкости. Длина канала 21 значительно меньше его ширины Ь, а толщина слоя жидкости в канале ¿0 значительно меньше его длины 21. Введем в рассмотрение декартовую систему координат х, у, г, связанную со стенкой 1, в положении нейтрального равновесия. В направлении оси у канал и его стенки будем считать неограниченными, тем самым перейдем к рассмотрению плоской задачи. Стенки канала имеют упругий подвес и могут перемещаться только в вертикальном направлении. Корпус установлен на основании, совершающем гармонические колебания вдоль оси г с заданным виброускорением. На торцах канала жидкость истекает в полости с постоянным давлением р0, выполненные так, что торцевое истечение жидкости из канала можно считать свободным.

Закон движения вибрирующего основания представим в виде:

г0 = Ег/0

тогда ускорение вибрирующего основания имеет вид

а 7о

= Е„

шх2

= —Еш /о(шХ) ,

где Ег = kg/<x> - амплитуда колебаний основания, определяемая заданным (в единицах g) значением амплитуды его виброускорения; к - коэффициент виброперегрузок; ю - частота колебаний; X - время;/0(юХ) - закон движения.

Далее будем полагать, что движение жидкости в щелевом канале происходит в ламинарном режиме. Данное положение можно признать обоснованным, так как движение жидкости в системах смазки, демпфирования и гидропривода в большинстве случаев имеет ламинарный характер [1-3], кроме того, известны и экспериментальные данные, подтверждающие сохранение ламинарного режима движения при гармоническом изменении параметров потока [4]. Динамика вязкой жидкости 3, находящейся в канале между стенками 1 и 2 для рассматриваемой плоской задачи описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [2, 5]:

Рис. 1

дих дих + их—х + и дих 1 др =---— + \

дх дх дг р дх ^

диг диг + их—^ + и диг 1 др = — г--- 0 Я р дг

дх дх дг

ди ди 0,

+—- =

дх дг

д 2и

х + д Ч

Л

дх2 дг2

( д V

- + -

д2и л

дх2 дг2

где х, г - декартовы координаты; их, иг - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости.

В качестве краевых условий системы (1.3) выступают условия прилипания жидкости на непроницаемых поверхностях стенок 1 и 2, что выражается в совпадении скорости жидкости со скоростями движения этих стенок [2, 4]

—2 при г = 5о + г2т/2(ш); ах

их = 0, и, =

0

ё,

пх = 0, и2 =—1 при г = г^м), т

где г1, ,2 - законы движения стенок 1 и 2; г1т, г2т - амплитуды колебаний стенок 1 и 2.

При этом далее будем считать, что г1т << 50, г2т << 50, 50 << 1, 2е << Ь .

Кроме того, для уравнений (1.3) ставятся условия свободного торцевого истечения жидкости в направлении оси х и в противоположном направлении. Данные условия состоят в совпадении давления в струе с давлением в полости

Р = Р0 -Р'¿o(z"§0 "г2) пРи х = ±е .

Уравнения движения абсолютно жестких стенок 1, 2 имеют следующий вид

т1

т2( г2 + г0) + П2 г2 = N2,

где т1, т2 - массы стенок 1 и 2; щ, п2 - жесткости упругого подвеса стенок 1 и 2; Ы\, Ы2 - силы, действующие со стороны сдавливаемого слоя жидкости на стенки 1 и 2. Выражения для сил Ы\, Ы2 имеют вид

Ь е Ь е( ди Л

#1 =Ц ЧгАтУ =Л|- Р + 2 Р^—I ёхёу пРи г = 21т^(Ш);

0 -е ь е

0 -е\ Ье

дп,

#2 =-Ц Ч,АёУ =Ц| Р - 2 Р ^-д,^ I ёхёУ пРи г = 50 + Z2mf2(«t),

0 -е

0 -е\

дп,

где д,, = -р + 2ру—- - нормальное напряжение, действующее со стороны жидкости на

д,

стенки 1 и 2.

2. Введем в рассмотрение безразмерные переменные и характерные малые параметры для рассматриваемой задачи

у = << 1, А, = ^ << 1, Яе = §«, х = шГ, ,= Х, С = —; п2 = ,2т«ис;

е

5П

V

е

5П

пх =

и ; р = Р0 + Р^-^-р,0(,-§0 -,2).

Здесь у, X, Яе - параметры, характеризующие задачу.

Подставляя (2.1) в (1.3)-(1.7), получаем задачу упругогидродинамики в безразмерном

виде:

Яе

ди,

дх

-+А,

( ди.

диЛ

и—^

дС

дР

2 д2 и д2и, ;

д,2 дС2

V2 Яе

д иС "дТ

( дис

диЛ

и,—С

дС

дР 2 =--2

дС

2 д2ис д2ис

V2-^ +-т-

д,2 дС2

ди, дис +-0.

д, дС т1 (, 1 + ,0) + п^ = -2ЬеР0 + т ,0

^ Ьи_/1

- ЬеРV,2m« Г

§oV 2

2 5Цс ^ дС

т,;

т2( ¿2 + ,0) + п2, 2 = 2ЬеР0 +

ЬФ^2т Г(

§oV2 -1Ч

диЛ

2 ^ С

дС

т,,

где т = 2Р§0Ье - масса жидкости в канале.

При этом граничные условия (1.4), (1.5) запишутся в виде

Ц = 0, ис = ШЩр при с=1+ Щх);

и 0, ис = при с=*^Л

г2т Шх г2т

Р = 0 при £ = +1.

3. Для тонкого слоя жидкости у << 1. В нулевом приближении по у уравнения динамики жидкости (2.2) и соответствующие граничные условия (2.3) упрощаются, так как в них можно положить у = 0.

Учитывая, что перемещение стенки 2 значительно меньше толщины слоя жидкости, но одного порядка с перемещением стенки 1, можно утверждать, что X = о(1), г1т/г2т = 0(1). Тогда в нулевом приближении по X, рассматривая асимптотическое разложение:

р=р0+х р +..., ц=ц0 +ац1 + ..,иС=иС 0 +хиС1 +... ,

получим задачу динамики жидкости в виде уравнений

Ке=— КдР=0, Ц.+£и! = 0,

дх д£, дС 2 дС д^ дС

и граничных условий

dfL h

U,0 = 0, U0 при C = 0;

= 0, U,0 = d2 при C = l;

Z!m df1

Z2m &

Po = 0 при £ = +1, и уравнения движения абсолютно жестких тел

mi(z1 + z'o) + nzi = -2blpoo -mzo - MPVZfm JPod£;

5oV -i

m2 (Z'2 + Zo) + И2Z2 = 2b£po + J Pod£.

5oV -1

Решение задачи (3.1) для давления с учетом граничных условий (3.2) при установившемся гармоническом законе вибрации имеет вид

р=2 fe2 -1)

2s2a + 12у f dh dh

Z2m

d2fl di dh dh

где введены обозначения [2, 3]:

е

r3 =- sh 8(")/(ch 8 (ш) + cos8 (")), Г4 = sin 8(")/(ch 8(ш) + cos8(ш)) .

Очевидно, что а— 1,2, а у— 1 при 8—0, для сильно вязкой жидкости при малых частотах ю, и а—1, а у—>(1/6)8 при 8—го, для маловязкой жидкости при больших частотах ю. Уравнения (3.3) с учетом решения (3.4) принимают вид

(m1 + M)z1 + 2Kz1 + n1z1 - Mz2 - 2Kz2 = -2blp0 - (m + m1)z0; (m2 + M)z2 + 2Kz2 + n2z2 - Mz1 - 2Kz1 = 2blp0 - m2z0,

Z1m

РV 4 рv 2

здесь введены обозначения 2К = 8еЬ-- у; М = — еЬ-- в а.

3

Решение уравнений (3.5) в предположении гармонического закона движения стенок 1 и 2 имеет вид

^ = _ +

n1 n1 n1

z2 = 2bnp0 + z2 ^Ww) = ^^ + Ez o2 A2(o)el(ot+P2(ffl)) = + kgA2(o)e'(ot+p2(o)) П2 П2 П2

где Д(ш), А2(ш) - амплитудные частотные характеристики (АЧХ) стенок 1 и 2; Е,ш - заданная в единицах g амплитуда виброускорения основания; ф1(ю), ф2(ю) - фазовые частотные характеристики стенок 1 и 2.

Выражения для Д(ш), А2(ш) и ф1(ю), ф1(ю) имеют следующий вид:

4(o) = А2(ю) =

[(m1 + m)(n2 _m2o2)_Mo2(m1 + m2 + m)] 2 + [2 Ko^ + m2 + m)]2

№ _m1o2)(n2 _m2o2)_Mo2(n1 + n2 _o2(m1 + m2) )]2 +[2Ko(n1 + n2 _o2(m1 + m2))]2

[m2(n1 _ m1o2) _ Mo2(m1 + m2 + m)]2 + [2Ko(m1 + m2 + m)]2

у [(n1 _да1ш2)(п2 _m2o2)_Mo2(n1 + n2 _ш2(да1 + m2))]2 + [2Ko(n + n2 _ш2(да1 + m2))]2

/ \ C F F ^ , ч C 1F F2С

ф1(й) =arctg ЖЖ+СС; ф2(и)=^ ЖЖ+СС;

Здесь введены обозначения F = (n1 _m1o2)(n2 _m2o2)_Mo2(n1 + n2 _ш2(да1 + m2)), F2 = m2(n1 _да1ш2)_Mo2(m1 + m2 + да) , С1 = 2Ko(m1 + да2 + да), С = 2Ko(n1 + n2 _ш2(да1 + m2)), F1 = (m1 + m)(n2 _m2o2) _Mo2(m1 + m2 + m) .

В том случае, если одна из стенок канала неподвижна, например стенка 1, то из (3.5) получаем

z2 = + kg . m2 exp[/

n2 V[(n2 _(m2 + M )o2 ] + [2Ko]2

то есть переходим к одномассовой колебательной системе с демпфированием. Аналогичное выражение можно получить и для случая неподвижной стенки 2

z1 = _ + kg . m1 + m exp [/

n1 V [(n1_(m1 + M )o2 Ц2 + [2 Ko]2

4. Рассмотрим возможность применения найденного решения для изучения динамических процессов в вибрационных машинах, используемых для интенсификации технологических процессов, таких как приготовление однородных смесей, ускорение пропитки пористых материалов, создание кавитационного поля в жидкости для ее обеззараживания и т.д. Будем исследовать эффективность передачи возбуждения от вибростенда (виброоснования) подвижным стенкам канала, с целью достижения ими необходимых величин амплитуд их перемещений z1m = z1max , z2m = z2max, заданных исходя из технологических потребностей. Согласно

max max

zz

(3.6), можно записать k = —1-, k = —2-. Эти выражения позволяют определить мини-

gA1

мальные значения коэффициента виброперегрузок k для возбуждения каждой из стенок канала. Очевидно, что минимальные значения данный коэффициент будет принимать на резо-

нансных частотах. Другими словами, на резонансных частотах достаточно наименьшей величины виброускорения основания, для достижения заданных значений амплитуд перемещений стенок канала, а, следовательно, этим частотам соответствует и минимум подводимой к виброоснованию энергии, необходимой для работы вибромашины. Проиллюстрируем отмеченное следующим примером. Вибрационная машина, условно представленная на рис. 1, имеет параметры: I = 0,1 м; 50/£ = 1/15; Ъ/1 = 5; р = 1,84-103 кг/м2; V = 2,5-10-4 м2/с; т2 = 9 кг; П2 = 7,б-106 кг/с2, Ш1 = Ш2/2 кг; щ = 19-106 кг/с2, = г2тах = 10~4 м. Графики АЧХ и коэффициента виброперегрузок приведены на рис. 2 и 3 соответственно. На этих графиках также приведены расчеты для случаев, когда стенка 1 или стенка 2 неподвижна (см. рис. 2, 3 линии с и с1 соответственно). Расчетные значения резонансных частот и соответствующих им значений АЧХ и коэффициентов виброперегрузок к приведены в таблице.

Стенка ш1, рад/с А(ш1), м к ш2, рад/с А(ш2), м к

1 230,33 0,11-10-5 9,09 1417,21 3,0-10"4 0,03

2 206,49 0,25-10-5 3,95 1417,21 2,8 10-4 0,04

2 (стенка 1 неподвижна) 249,69 0,48-10"5 2,07 - - -

1 (стенка 2 неподвижна) 409,59 0,16-10"5 6,19 - - -

Как видно из таблицы, для рассматриваемой модели наиболее предпочтительна работа вибромашины на второй резонансной частоте, так как в этом случае для возбуждения необходимых величин амплитуд колебаний стенок необходимо минимальное значение коэффициента виброперегрузок, а, следовательно, и минимальных энергетических затрат. Таким образом, полученное выше решение позволяет проводить оценку эффективности проектируемых вибрационных машин, в которых происходит возбуждение колебаний их рабочих элементов (стенок канала), имеющих упругий подвес и взаимодействующих с жидкостью.

Рис. 2. а - стенка 2, Ь - стенка 1, Рис. 3. а - стенка 2, Ь - стенка 1,

с - стенка 1

d - стенка 2

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 08-01-12051-офи и гранта Президента РФ МД-551.2009.8

ЛИТЕРАТУРА

1. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика: справ. пособие / Т.М. Башта. М.: Машиностроение, 1971. 672 с.

2. Могилевич Л. И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. 156 с.

3. Могилевич Л.И. Упругогидродинамика машин и приборов на транспорте / Л.И. Мо-гилевич, Д.В. Кондратов. М.: РГОТУПС, 2007. 168 с.

4. Козлов В. Г. Устойчивость периодического движения жидкости в плоском канале / В.Г. Козлов // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1979. № 6. С. 24-32.

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Дрофа, 2003.

840 с.

Агеев Ростислав Васильевич -

аспирант кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение» Саратовского государственного технического университета

Быкова Татьяна Викторовна -

программист вычислительного центра Поволжского филиала МГУПС (МИИТ), г. Саратов

Могилевич Лев Ильич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Высшая и прикладная математика» Поволжского филиала МГУПС (МИИТ), г. Саратов

Попов Виктор Сергеевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение» Саратовского государственного технического университета

Ageyev Rostislav Vasilyevich -

Post-graduate Student of the Department of «Hydraulics, Hydraulic Machines and Water Supply» of Saratov State Technical University

Bykova Tatiana Victorovna -

Programmer of Computing Center of Povolzhsky branch of Moscow State University of Railway Engineering

Mogilevich Lev Ilyich -

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of «Higher and Applied Mathematics» of Povolzhsky branch of Moscow State University of Railway Engineering

Popov Victor Sergeyevich -

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of «Hydraulics, Hydraulic Machines and Water Supply» of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 14.07.09, принята к опубликованию 09.09.09