Методика формирования приемов интегрирования в курсе математики аграрного университета

ПЕДАГОГИКА И МЕТОДИКА ПГЕПОДАВАНИЯ

Вестник Омского университета, 2003. №2. С. 125-127.

Л7ТП.- .Q7Q

© Омский государственный университет 1 ^ '

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ПРИЕМОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ АГРАРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

И.В. Сечкина

Институт ветеринарной медицины ОмГАУ, кафедра физики, математики и информатики

644007, Омск, ул. Октябрьская, 92

Получена 7 февраля 2002 <?.

In this article pedagogikal aspects in the studying of Mathematics in the Institute of Veterinary Medicie was considered.

Главная роль в нашем исследовании отводится уровневой дифференциации обучения. Поэтому основной задачей мы считаем методическую разработку важнейших тем курса математики в аграрном вузе, которая приспособлена для организации разноуровневого обучения. В данной статье приводится краткое описание методической разработки по теме «Интегральное исчисление» для специальности «Зоотехния», где на изучение темы выделяется, согласно авторской рабочей программе курса «Математика», 2 лекции и 4 практических занятия.

Этапы формирования приемов интегрирования представлены в таблице [1, с. 101].

Задания на самостоятельную работу студентов по технике интегрирования составляются с учетом уровневой дифференцации обучаемых:

• к первому уровню по технике интегрирования относятся задачи непосредственного интегрирования по таблице, методом разложения функции на слагаемые и тождественного преобразования подинтегральных выражений;

• ко второму уровню относятся задачи на интегрирование рациональных функций, интегрирование по частям и заменой переменной (в основном линейные подстановки);

• к третьему уровню относятся задачи на интегрирование иррациональных выражений различного типа, в том числе функций с радикалами и тригонометрических функций.

Приложения интегрального исчисления также распределяются по трем уровням дифференциации студентов по следующим правилам:

• к первому уровню относим задачи вычисления площадей плоских фигур в прямоугольных координатах, вычисления объемов тел, об-

разованных вращением плоской фигуры вокруг оси координат, вычисления биомассы популяции;

• ко второму уровню относим задачи на вычисление площадей в полярных координатах, вычисление длины дуги и поверхности тела вращения;

• к третьему типу относим задачи физического содержания (статические моменты и центр тяжести дуги плоской кривой и плоской фигуры, теоремы Гульдина) и задачи с несобственными интегралами.

Банк упражнений по теме «Интегральное исчисление» разбивается на три взаимосвязанные части А, В и С, где:

• часть А - упражнения, выполняемые в основном преподавателем на лекциях с эпизодическим привлечением студентов к их выполнению;

• часть В - упражнения, предназначенные для совместной работы в аудитории в режиме интерактивного общения;

• часть С - задания на внеаудиторную самостоятельную работу студентов по данной теме.

Прием «интегрирование» (возьмем случай раздела «Неопределенный интеграл») имеет следующие уровни сформированности:

а) непонимание состава приема, когда, к примеру, студент пишет:

то есть путает интегрирование с дифференцированием;

б) использование приема с помощью извне, например, найти

126

И.В. Сечкина.

только после подсказки преподавателя студент

=--х + arctan х + С.

пишет верное решение: 3

/(х + ,:>)2 [ х2 + 0 + 4 Согласно педагогической технологии О.Б. Епи--(]/х = / -(1/х = шевой [2], мы выставляем оценки следующим образом: «неудовлетворительно» для случая «а»;

/4 х'2 «удовлетворительно» для случая «б»; «хорошо»

(х + 4 + — )йх — — + 4.т + 41п \х\ + с, дДЯ СЛучая «в»; «отлично» для случая «г».

Этапы формирования приемов интегрирования

1 Актуализация опорных Диагностика сформированности Практическое занятие - 14.

знаний и способов приемов интегрирования. Пропедевтика приемов

деятельности. Постановка целей. интегрирования.

2 Восприятие. Введение нового приема и Лекция - 8.

Осмысление. его отработка. Применение Практическое занятие - 15.

Первичное заполнение. известных приемов интегрирования. Изучение, осмысление и превичное закрепление.

3 Запоминание нового Применение приемов интегрирования Лекиця -9.

материала. в стандартных ситуациях. Практическое занятие - 16.

Применение нового Оперативный контроль и коррекция Вторичное закрепление.

в стандартных ситуациях. усвоения приемов интегрирования. Первичное применение.

4 Первичное обобщение Обобщение приемов интегрирования. Практическое занятие - 17.

применение знаний и их перенос в новые ситуации. Комплексное применение

в нестандартных ситуациях. Текущий контроль и коррекция. приемов. Первичное обобщение.

5 Обобщение и систематизация Закрепление обощенных Типовой расчет.

знаний и приемов учебной приемов интегрирования. Обобщение и систематизация

деятельности. приемов в СРС.

6 Контроль, оценка Рефлексия учебной деятельности Защита типового расчета,

и коррекция усвоения. по теме «Интегральное исчисление». коррекция.

в) самостоятельное использование приема в стандартной ситуации, к примеру студент без подсказки решает задачу: найти

J cos 2xdx; он пишет верное решение:

У cos 2xdx = - 2 cos 2xdx =

2 J

If 1

= — / cos 2xd(2x) = — sin 2x + C.

г) самостоятельное использование приема в нестандартной ситуации, к примеру, найти

х

-dx;

J ж2 + 1

студент выполняет искусственное преобразование

4 /4

TÍTT = -1) + la;2 + 1 =

х +1

(.т2 + 1)(.Т2-1)+2=т2_1+ 1

х'2 + 1 " X2 + 1

и затем пишет верное решение:

/ JTTdx = I{x2-í + ^TT)dx =

Тема «Интегральное исчисление» сопровождается разнообразными формами контроля аудиторной и внеаудиторной работы студентов: контрольные и самостоятельные работы, типовой расчет, коллоквиум, лабораторная работа. В заключение приведем некоторые вопросы тестирования на ЭВМ по теме «Вычисление определенных интегралов и их приложения».

1) Вычислить с1х.

Ответы: а) 0; б) ^ ; в) |; г)-§.

2) Найти длину дуги кривой 2у = х2 —2 между точками пересечения с осью ОХ.

Ответы: а) \/б +1п(\/2 + \/3); б) е3; в) г) 2\/3 + 1п(1 - у/2).

3) Вычислить несобственный интеграл

Ответы: а) 3(\/3-1);б) е; в) \; г) 0,5.

4) Найти площадь, ограниченную линиями у = х2 и у = 2-х2 .

Ответы: а) §; б) 24; в) 0,25; г)

5) Определить прирост численности популяции плесневых грибков через два часа после начала отсчета времени, если скороть прироста равна

= — е~2*'), t - время в часах.

Ответы: а) #

Кроме таблицы основных неопределенных интегралов [5, с. 7] можно использовать следующие

Методика формирования приемов интегрирования в курсе математики.

127

формулы:

f'x

f(x [ f'xdx

dx = In \f(x)\ + с;

+ с;

J Я*) fix) J f(x)f(x)dx=±f2(x) + c; f f'x

f(x)fs(x)dx =

dx = 2 у/ f(x) + с 1

s + 1

fs+1(x) + c.

Очень важно привести студентам примеры элементарных функций, не интегрируемых в конечном виде в классе элементарных функций:

sin.T ех 1 _ 2

1 1 п 1

X X 1п X

Определение функции, интегрируемой (по Ри-ману) на отрезке [а; Ь], мы приводим по классической схеме, используя понятия 'разбиения отрезка [а; Ь] как системы отрезков [жо;ж1], [ж^жгЬ ..., [хп-1', 1п], где а = х0 < хх < х2 < ... < ж„_1 < х„ = Ь и точки .то, XI, ...х„ называются узлами разбиения, величина г„ = тахк\хк=1 — Хк - рангом разбиения. Если ранг гп разбиения Пп стремится к нулю, то последовательность разбиений {-Оп} называется основной. Функция у = /(ж) называется интегрируемой на [а; Ь], если для всякой основной последовательности разбиений {-Оп} и при любом выборе точек - £к < Хк+1 существует один и тот же предел последовательности интегральных сумм

п-1

0~П = f(£k)£^Xk = Хк+1 - Хк. к=О

Этот предел I и называется определенным интегралом функции у = f(x) на [а; Ь] и обозначается символом JЬ /(х)с1х, то есть I—ИтГ11^о ап = 1а Ях)ёх.

После указанного определения в случае а < Ь надо расширить понятие интеграла на случай а = Ь и на случай а > Ь с помощью формул:

/>а />Ь />а

/ f(x)dx = Он / f(x)dx = — f(x)dx.

^ а ^ а ^ Ь

Изучая вопросы «Интеграл с переменным верхним пределом» и «Формула Ньютона-Лейбница», уместно сделать замечание о возможности определения интеграла как приращения первообразной:

Такой подход обычно связывается с именем Ньютона (интеграл Ньютона), но на классе {/(ж)} непрерывных функций на [а; Ь] включается в ее область определения, интегралы Римана и Ньютона совпадают.

Наконец, на практике, когда первообразная Р(х) функции f(x) неэлементарна или ее значения трудно вычислить, имеет смысл сразу использовать формулы приближенного вычисления определенных интегралов. Поэтому в типовые расчеты включаются задания на вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и по формуле Симпсона, связанные с конкретными моделями производственных процессов в агропромышленном комплексе.

Общая методика формирования приемов учебной деятельности изложена в [2], коррекция типичных ошибок обучаемых - [3; 6], проблема организации самостоятельной работы студентов -в [4].

[1] Сечкина И. В. Проектирование и реализация системы самостоятельной работы студентов по математике в аграрном вузе: Дис. ... канд. пед. наук. Омск, 2002. 214 с.

[2] Епишева О. Б. Методическая система обучения приемов учебной деятельности учащихся: основные технологические процедуры: Книга для учителя. Тобольск, 1999. 176 с.

[3] Далингер В.А. Методика обучения учащихся элементам математического анализа. Омск, 1997. 149 с.

[4] Далингер В.А. Самостоятельная деятельность учащихся и ее активизация при обучении математике. Омск, 1993. 156 с.

[5] Сечкина И. В. Интегральное исчисление: Уч. пос. Омск, 2002. 56 с.

[6] Далингер В.А. Начала математического анализа. Типичные ошибки, их причины и пути предупреждения: Уч. пос. Омск, 2002. 158 с.

f(x)dx = F(x)\ba=F(b)-F(a).