Численное исследование устойчивости термочувствительной эллипсоидальной оболочки

УДК 539.3

Х. С. Гумерова

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ

Ключевые слова: устойчивость, термочувствительность, эллипсоидальная оболочка, ортотропность.

Рассматривается задача устойчивости тонкой ортотропной эллипсоидальной оболочки вращения с двумя симметричными полюсными отверстиями, находящейся под действием равномерного внешнего давления и постоянной температуры при неподвижном шарнирном закреплении. Уравнения нейтрального равновесия, записанные в компонентах перемещения, решаются методом конечных разностей в сочетании с методом матричной прогонки. Получены значении критического внешнего давления при действии постоянного температурного поля.

Key words: stability, temperature sensitivity, ellipsoidal shell, orthotropy.

The problem of stability of thin orthotropic ellipsoidal shell of rotation, with two symmetrical pole holes, being under the action of uniform external pressure and constant temperature at а fixed hinge support is considered. The equations of neutral equilibrium recorded in the components of displacement, аге solved by the finite difference method combined with matrix factorization. The values of the critical external pressure by the action of а constant temperature field have been obtained.

Вопросы исследования устойчивости тонкостенных ортотропных оболочек из

композиционных материалов являются весьма актуальными, эти материалы все шире применяются в промышленности. Оценка устойчивости эллипсоидальной оболочки, находящейся в постоянном температурном поле, имеет

практическое значение, так как оболочки такой формы широко применяются в судостроительных конструкциях, в ракетостроении.

Рассматривается устойчивость ортотропных эллипсоидальных оболочек, образованных вращением эллипса с полуосями а, Ь (Ь - полуось вдоль вращения), находящихся под действием равномерного внешнего давления и постоянной температуры. Тонкая оболочка имеет переменные механические характеристики [1].

За криволинейные координаты приняты длина дуги меридиана 5 и угол Р , определяющий положение соответствующего меридиана (в0 < 5 < , 0 < Р < 2л );координата г направлена

по внешней нормали к срединной поверхности. Основные обозначения соответствуют принятым в работе [2]. Главные радиусы эллипсоидальной оболочки вращения определяются соотношениями:

R1 —•

a2b2

(a2 sin2 0 + b2 cos2 0)2

2

Rl —

a

(a2 sin2 0 + b2 cos2 0)2

Здесь введены обозначения: 9 - угол,

заключенный между осью вращения и нормалью к срединной поверхности; г0 - радиус полюсного отверстия; 90 = агєзіп(г0 / Я2) •

Предполагается, что материал оболочки подчиняется обобщенному законы Гука с учетом гипотезы Дюгамеля-Неймана [3].

Коэффициенты Пуассона и коэффициенты линейного температурного расширения приняты

постоянными, а модули упругости и сдвига линейно зависят от температуры [4]:

Е1 = Е°(1-ХГТ); ву = СО (1-Х,Т);

/ = 1,2; у = 2,3; / ф у .

Меридиональное и окружное усилия, прогиб, изменение кривизны докритического напряженно-деформированного состояния,

определяемые из решения уравнений безмоментного состояния и уравнения краевого эффекта, в случае неподвижного шарнирного закрепления полюсных отверстий имеют вид [ ]:

( г 2 ^ С + -

TQ — PRl

'її— l~

1 - JOr

V r2 J

TQ — PR2

'22 —

2 -

Г r 2 1 1-%

V r2 J

B sin 0

с

B sin 0

2hE2

Rl

[с1 cos p2 (0 - 0O)+с2 sin p2 (0 - 0O)];

w — —

prl

4hE2

Г r 2 1

- 1 - rO- (v 2 +1) + 2 - ^1 cos 0

V rO J

с

2hE2

V2 + 1 A

—— + d cos 0

sin20

tr2

E2

Q~ ln| tg-L | cos 0 +

+ Q** ]+е-P1 (0-0°) [с1 cos P2 (0 - 0O) + с2 sin p2 (0 - 0O)];

х°1 = -м°11; § = я2я11.

Постоянные интегрирования С, С1, С2 находятся из граничных условий шарнирного закрепления: при 5 = 50 и0 = У/0 = М°1 = 0 .

С =

РЯ.

= с(і + у 2) РЯ22 ТО "Я2

Сі =----- ----—і--------2—+ -

2ЛЕ2 біп2 90 2ЛЕ2

^0

Е

/ б,

С2 = Р С1

2

где

- радиус полюсного отверстия,

В = г = Я2 біп 9 :

9г

Х1 = а1 іп| ід -2 І - біп2 9,

90 . + ііп[ ід 90

2біп2 9,

0

-2Ьііп| ід ^ | + <Уід ^2|- біп2 90

11 Ь 90 + —іпі ід —

2 И 2

сое 9,

0

2біп2 9,

0

б = (

— У 2 + Е2Е1 ;

соб 90

— 1 + у 2; ~ + -ІіпГід 90

Величины

2біп2 90 2

Р1, Р2, Р зависят механических

2

от нагрузки,

характеристик

геометрических оболочки.

Для решения задачи устойчивости применен один из численных методов [5] - конечноразностный алгоритм, приведенной в [6]. Граничные условия в случае потери устойчивости имеют вид: при 5 = 50 и = V = У = М11 = у 2 = 0 , где

у2 =-В-1У,2 +0,8ф2 , Ф2 - функция сдвига. В

процессе получения численных результатов рассматривалась половина оболочки, а на экваторе

ставились условия симметрии: при

9 = — 2

и = Т12 = Т13 = у1 = М12 = 0 .

Численное исследование устойчивости термочувствительной эллипсоидальной оболочки вращения показало, что при реализации граничных условий неподвижного шарнирного закрепления полюсных отверстий наблюдается эффект значительного возрастания величины внешнего давления при температурном воздействии. Так для Т = 200° С (максимальной температуре нагрева в исследуемой задаче и относительной толщине 2Л/Я = 0,005 этот рост достигает 23% по

сравнению с аналогичной величиной для ненагретой оболочки). Данный эффект объясняется

увеличением радиусов кривизны в докритическом состоянии под действием температуры, что

оказывается стабилизирующее влияние на

устойчивость оболочки [7]. Влияние термочувствительности материала оболочки ведет к уменьшению критической нагрузки на 18%. Исследования показали, что для данных граничных условий неподвижного шарнирного закрепления полюсных отверстий учет моментности

докритического напряженно-деформированного

состояния снижает величину критической нагрузки, подсчитанной при безмоментном состоянии до 42%.

Заключение

При практических расчетах на устойчивость эллипсоидальных термочувствительных оболочек вращения, находящихся под действием внешнего равномерного давления и постоянного температурного поля при неподвижном шарнирном закреплении, необходимо учитывать зависимость механических характеристик от температуры, влияние моментности докритического напряженно-деформированного состояния.

Литература

1. Убайдуллоев М.Н. Влияние механических

характеристик материала на эффективность усиления нагруженных конструкций / М.Н.Убайдуллоев, М.Н.Серазутдинов // Вестник Казанского

технологического университета. 2013, Т.16, № 24, С.160-163.

2. Гумерова Х.С. Устойчивость ортотропных оболочек вращения с учетом зависимости механических характеристик материала /Х.С.Гумерова //Расчет пластин и оболочек в химическом машиностроении от температуры. Межвуз. темат. сб. научных трудов. КХТИ, Казань. 1990. С. 32 - 38.

3. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. - Киев: Наук думка, 1970. - 307 с.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М: Наука, 1974. - 446 с.

5. Сагдатуллин М.К. Универсальный конечный элемент для расчета комбинированных конструкций. /В.Бережной,М.К., Сагдатуллин, А.А.Саченков //Вестник Казанского технологического университета. 2012, Т.15, № 17, С.150-157.

6. Ганиев Н.С. Применение конечно-разностного метода к решению задач устойчивости ортотропных оболочек вращения / Н.С.Ганиев // Казан. хим.-технол. ин-т, Казань, 1980. 11 с. Деп. В ВИНИТИ 14.10.1980, №440080 Деп.

7. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М: Наука, 1978. - 359 с.

© Х. С. Гумерова - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, tmsm@kstu.ru.

0

а

0

+

Ь