Активное применение компьютерных технологий в преподавании вероятностно-статистических дисциплин в  техническом вузе

АКТИВНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ

ACTIVE USE OF COMPUTER TECHNOLOGY

IN TEACHING PROBABILISTIC AND STATISTICAL DISCIPLINES

IN TECHNICAL UNIVERSITY

Г.Д. Гефан, O.B. Кузьмин

G.D. Gefan, O.V. kuzmin

Теория вероятностей, математическая статистика, теория игр, эконометрика, компьютерное моделирование, закон больших чисел, метод статистических испытаний, стохастика, компьютерные практикумы, пакеты прикладных программ.

Обоснована эффективность применения персональных компьютеров при обучении вероятностно-статистическим дисциплинам. В связи с этим предлагается при изучении этих дисциплин организовать проведение компьютерных практикумов, включающих в себя моделирование и численное экспериментирование. Такие практикумы зримо дополняют, иллюстрируют математическую теорию примерами и реальными действиями. Данный подход хорошо вписывается в концепцию активного и интерактивного обучения и способствует появлению навыков самостоятельного научного исследования.

The theory of probability, mathematical statistics, game theory, econometrics, computer modeling, the law of large numbers, the Monte Carlo method, stochastics, computer workshops, software packages.

The efficiency of the use of personal computers in teaching probabilistic and statistical disciplines is proved. In this regard, it is proposed to organize computer workshops that include modeling and numerical experimentation while studying these disciplines. Such workshops visibly complement and illustrate mathematical theory by examples and actions. This approach fits well in the concept of active and interactive teaching and contribute to the emergence of the skills of independent scientific research.

Развитие и широкое внедрение современных технологий, связанных с персональными компьютерами (ПК), оказывает существенное влияние на требования, предъявляемые к преподаванию разделов и самостоятельных дисциплин вероятностно-статистического цикла в технических вузах. С одной стороны, обучение этим дисциплинам предоставляет прекрасные возможности для получения практических навыков математического и компьютерного моделирования, столь необходимых в работе будущих специалистов. С другой - применение информационных и компьютерных технологий может существенно обогатить сам учебный процесс, так как оно способствует формированию и развитию алгоритмической культуры, освобождает от рутинных вычислений, даёт отличные возможности для визуализации учебного материала и пробуждает познавательный интерес студентов.

Компьютеризация математической подго-

товки студентов вузов может рассматриваться под разными углами зрения. Для педагогических вузов актуальной является задача качественно изменить подготовку учителя математики, дать ему полноценное представление о стохастическом подходе в связи с введением элементов стохастики в школьный курс математики. На современном этапе общественного и научного развития стохастический подход, безусловно, требует знания и использования ПК. Эта задача и родственные ей обсуждаются в работах [Ванюрин, 2003; Суворова, 2006; Высоцкий и др., 2010; Майер, Баранова, 2012]. С другой стороны, компьютеризация математической подготовки удачно сочетается с требованием усиления межпредметных связей в вузах (имеются в виду такие предметы, как теория вероятностей и математическая статистика, информатика, компьютерное моделирование, а также дисциплины профессионального цикла). Этому аспекту посвящены работы [Самсонова, 2004;

Далингер, 2012; Бычкова, 2010; Гефан, 2013; Кузьмин, Палеева, 2008; 2013; Ланина, 2012].

Наиболее очевидное и традиционное направление компьютеризации преподавания вероятностных и статистических дисциплин - обучение статистическим расчётам с использованием пакетов прикладных программ (ППП). Так, в некоторых пособиях, например [Афифи, Эйзен, 1982; Тюрин, Макаров, 2002], излагаются методы статистического анализа данных и демонстрируется решение задач с помощью статистических ППП. Использование ППП, на наш взгляд, является оптимальным вариантом для тех, кто уже в той или иной степени освоил вероятностно-статистическую теорию и методологию, либо для тех, кто постигает её «в рабочем порядке», через решение прикладных задач. Студенты младших курсов технических и экономических направлений подготовки, которые знакомятся с основами теории вероятностей и математической статистики, нуждаются, может быть, в не столь совершенных, но более простых и доступных инструментах.

Наиболее сложным и неочевидным выглядит привлечение компьютерных технологий к изучению классических разделов теории вероятностей (случайные события, случайные величины). Собственно, таких попыток в отечественном образовании до недавнего времени почти не было. Едва ли не единственным исключением является учебник [Андронов и др., 2004], где представлено компьютерное сопровождение положений теории вероятностей с помощью программ для пакета Ма1:|-|сас1. Анализ книги приводит к выводу, что она ориентирована на определённый и относительно небольшой, хотя и очень важный сегмент направлений подготовки: математика и компьютерные науки, информатика и вычислительная техника, математическое обеспечение информационных систем и т. п. (об этом пишут сами авторы). Вполне можно допустить, что будущий инженер или экономист способен освоить предлагаемую технологию программирования в МэЙшас!, но при том количестве часов, которые отводятся на изучение теории вероятностей, это будет нелегко совместить с освоением основного материала

Итак, можно выделить два подхода к использованию ПК при решении вероятностно-статистических задач. Первый состоит в приме-

нении готовых ППП, второй предполагает необходимость программирования (возможно и совмещение этих подходов). На наш взгляд, эти подходы больше соответствуют запросам и интересам специалистов-практиков, чем студентов, осваивающих азы теории вероятностей и математической статистики.

Пожалуй, наиболее сбалансированной работой, решающей задачу обучения теории вероятностей и математической статистике с параллельным освоением соответствующих вычислительных инструментов, является учебник [Калинина, 2008]. В нём весьма полно раскрыты возможности табличного процессора Excel в области реализации различных законов распределения вероятностей и обработки данных наблюдений. К сожалению, раздел «Закон больших чисел и центральная предельная теорема», который, по сути, является «мостиком» между теорией вероятностей и математической статистикой, лишён компьютерного сопровождения, что было бы очень уместно и способствовало лучшему пониманию материала.

На наш взгляд, основная ценность использования ПК при изучении математических дисциплин состоит не в том, чтобы вытеснить методы математики компьютерной технологией (это привело бы к снижению математической культуры будущих специалистов), а в том, чтобы зримо дополнить, проиллюстрировать математическую теорию примерами и реальными действиями, которые способствуют более глубокому пониманию материала.

Рассмотрев возможности применения разных ППП, мы остановили свой выбор на Microsoft Office Excel. Табличный процессор Excel, не являясь профессиональным математическим пакетом, хорош для учебных целей тем, что это офисная, абсолютно доступная программа, знакомая студентам по курсу информатики. Она может использоваться в разных режимах - от элементарных табличных вычислений до применения сложных функций и надстроек. Работа в Excel не обесценивает математических знаний, а, наоборот, помогает их укрепить, лишь освобождая от рутинных вычислений. Для студента, изучающего математику, Excel подходит лучше, чем узкоспециализированные ППП, так же, как для ребёнка конструктор полезнее, чем готовый совершенный прибор.

[58 1

Может ли использование ПК помочь студенту наполнить конкретным содержанием теорию вероятностей, которая многим даётся с большим трудом не из-за её сложного математического аппарата, а лишь потому, что выглядит слишком абстрактной [Гефан, Кузьмин, 2012; 2013]? При этом само понятие вероятности является вполне конкретным: интуитивно каждый понимает, что событие имеет высокую вероятность, если при повторении опыта в одних и тех же условиях оно будет наступать достаточно часто. По своей сути теория вероятностей пропитана духом статистического опыта, и такой подход (его называют статистическим определением) может облегчить понимание этой науки, сделать её более доступной.

Однако сложилось так, что теория вероятностей в вузах изучается до математической статистики (в чём, конечно, есть своя логика) и в определённом отрыве от неё. На первых занятиях студент погружается в абстрактные схемы: комбинаторные расчёты числа возможных и числа благоприятных исходов, алгебру событий, теоремы о вероятности и т. д. Получаемые при этом результаты могут быть статистически обоснованы, если параллельно с изучением классического определения и основных теорем о вероятности, а не в конце курса, как это принято, познакомить студентов с простейшей формой закона больших чисел. Это позволит придать понятию вероятности события наглядное статистическое содержание. Математикам XVII—XIX вв. для этой цели пришлось бы использовать игральные кости или рулетку, но в наше время существуют несравнимо большие возможности. Идея, разумеется, состоит в том, чтобы применить ПК для моделирования случайных событий и случайных величин методом Монте-Карло. Реализовать описанную методику преподавания курса теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики можно за счёт введения в учебный процесс лабораторного компьютерного практикума, в котором, на наш взгляд, следует совместить четыре подхода к математическому моделированию: аналитический, имитационный, численный и аналитико-статистический.

В качестве примера приведём одну из работ практикума, в которой изучаются нормальное распределение и центральная предельная теорема, а также различными способами определяется чис-

ло наступлений некоторого события в серии однородных независимых испытаний. Рассматривается следующая случайная величина: число «шестёрок», выпавших при бросании 600 игральных костей. Она имеет биномиальное распределение, которое описывается формулой Бернулли. Студенты могут убедиться, что формула Пуассона в этом случае является лишь грубым приближением, т. к. условия её применимости не совсем выполнены (вероятность появления «шестёрки» при бросании одной кости не является малой величиной). Зато прекрасно «работает» локальная теорема Лапласа. В силу центральной предельной теоремы распределение случайной величины является близким к нормальному и может быть смоделировано различными способами, в том числе и с помощью метода Монте-Карло.

На рис. показаны результаты применения некоторых аналитических формул и использования имитационной модели (метод Монте-Карло). Такое сопоставление способствует пониманию взаимосвязей различных положений теории и компетентному использованию различных методов с учётом условий их применимости.

Компьютерное моделирование случайных процессов может выполняться с использованием ещё более широкого спектра методов. Например, при изучении цепей Маркова по известному начальному распределению вероятностей состояний и матрице переходных вероятностей аналитически рассчитывается распределение вероятностей состояний через определённое число шагов (процесс с дискретным временем). Система дифференциальных уравнений Колмогорова, описывающая динамику распределения вероятностей по состояниям в случайном процессе с непрерывным временем, с помощью дискретизации времени может быть сведена к системе разностных уравнений и решена численно. При имитационном моделировании случайного процесса методом статистических испытаний (методом Монте-Карло) создаётся алгоритм, позволяющий при большом числе реализаций приближённо оценить вероятностные характеристики процесса. Численная и имитационная разновидности моделирования возможны только при активном использовании ПК.

В задачах математической статистики применяются модели, которые могут быть на-

Рис. Результаты моделирования распределения случайной величины X-числа «шестерок», выпадающих при бросании 600 игральных костей

званы аналитико-статистическими: точечного и интервального оценивания (основанные на методе моментов); выравнивания распределений (на основе статистических гипотез о виде распределений в генеральной совокупности); линейной регрессии (основанные на методе наименьших квадратов) и т. д.

Теория игр, являющаяся одним из разделов теории исследования операций, тесно связана как с оптимизационными, так и с вероятностно-статистическими понятиями и категориями. Лабораторный практикум по теории игр в Excel может включать в себя использование надстройки «Поиск решения» для матричной игры путём сведения её к симметричной паре двойственных задач линейного программирования. Достаточно интересным выглядит компьютерный анализ критериев принятия решений в играх с природой, а также исследование игр с ненулевой суммой (биматричных игр).

Курс эконометрики опирается на предшествующие ему вероятностно-статистические дисциплины. Лабораторный компьютерный практикум в основном направлен на обучение множественному корреляционно-регрессионному анализу. Эконометрика содержит достаточно много положений, касающихся применимости обычного метода наименьших квадратов (МНК) при построении регрессионных моделей. Проблемы, возни-

кающие из-за таких явлений, как гетероскедастич-ность и автокоррелированность остатков регрессии, а также из-за наличия систем одновременных уравнений, преодолеваются за счёт модификаций МНК - таких, например, как обобщённый, косвенный и двухшаговый методы. При этом никаких свидетельств того, что оценки параметров регрессии этими методами имеют преимущества (несмещённость, состоятельность, эффективность) перед обычными МНК-оценками, студенты обычно не получают, довольствуясь простыми утверждениями, что упомянутые методы «лучше». Однако эти преимущества могут быть наглядно выявлены в ходе экспериментов по методу Монте-Карло, и этот подход активнейшим образом используется в известном учебнике [Доугерти, 2001]. Мы считаем весьма полезным введение таких экспериментальных обоснований в компьютерный практикум по эконометрике [Гефан, 2005; 2008].

Сформулируем основной вывод работы. При изучении вероятностно-статистических дисциплин можно активно использовать следующие разновидности компьютерного моделирования: аналитическое, численное, имитационное, аналитико-статистическое. Особенно полезным, на наш взгляд, является применение в учебном процессе метода статистических испытаний. Это помогает быстрее преодолеть разрыв между вероятностны-

ми и статистическими понятиями, способствует более глубокому пониманию закона больших чисел. Практикумы, включающие в себя численное экспериментирование, хорошо вписываются в концепцию активного и интерактивного обучения, сопровождаются продуктивными дискуссиями и взаимодействием, пробуждают познавательный интерес и формируют навыки самостоятельной исследовательской деятельности.

Ббиблиографический список

1. Андронов A.M., Копытов Е.А., Гринглаз Л .Я. Теория вероятностей и математическая статистика. СПб.: Питер, 2004. 461 с.

2. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1982. 488 с.

3. Бычкова Д.Д. Методическая система обучения математике и информатике в условиях реализации межпредметных связей в педагогическом вузе (на примере дисциплин «Элементы теории вероятностей и статистики» и «Компьютерное моделирование»): дис.... канд. пед. наук. М., 2010. 226 с.

4. Ванюрин A.B. Методическая система стохастической подготовки учителя математики на основе новых информационных технологий: дис.... канд. пед. наук. Красноярск, 2003.152 с.

5. Высоцкий И., Макаров А., Тюрин Ю. Методические подходы к преподаванию теории вероятностей и статистики, реализованные в учебном пособии Ю.Н. Тюрина, A.A. Макарова и др. «Теория вероятностей и статистика» // Математика. 2010. № 10 (696). URL: http://mat.lseptember. ru/view_article.php?ID=201001002

6. Гефан Г.Д. Роль лабораторных компьютерных практикумов в преподавании математических дисциплин студентам технических и экономических направлений подготовки // Теоретические и методологические проблемы современного образования: материалы XII Между-нар. науч.-практич. конф. М.: Спецкнига, 2013. С. 70-72.

7. Гефан Г.Д., Кузьмин О.В. Типология ошибок и заблуждений, связанных с задачами курса теории вероятностей. Ч. 1: Случайные события // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2012. № 12 (71). С.193-199.

8. Гефан Г.Д., Кузьмин О.В. Типология ошибок и заблуждений, связанных с задачами курса теории вероятностей. Ч. 2: Случайные величины // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. № 2 (73). С. 131-136.

9. Гефан Г.Д. Эконометрика. Иркутск: ИрГУПС, 2005. 84 с.

10. Гефан Г.Д. Эконометрика: лабораторный практикум. Иркутск: ИрГУПС, 2008. 40 с.

11. Далингер В.А. Информационные технологии в обучении учащихся теории вероятностей и математической статистике // Современные проблемы науки и образования. 2012. № 4. URL: www.science-education.ru/104-6574

12. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М, 2001.404 с.

13. Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Дрофа, 2008. 473 с.

14. Кузьмин О.В., Палеева М.Л. Методика изучения пакетов прикладных программ: из опыта работы // Вестник Бурятского государственного университета. 2008. № 1. С. 67-71.

15. Кузьмин О.В., Палеева М.Л. Обучение математическому моделированию бакалавров технических направлений: из опыта работы // Вестник Томского государственного педагогического университета. 2013. № 1. С. 14-17.

16. Ланина Л.В. Организация и проведение лабораторно-практических работ по математике в медицинских вузах (как средство повышения профессиональной подготовки) // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 2012. № 4 (22). С. 123-128.

17. Майер В.Р., Баранова М.Ю. Магистерская программа «Информационные технологии в математическом образовании» // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 2012. № 1 (19). С. 73-77.

18. Самсонова С.А. Методическая система использования информационных технологий при обучении стохастике: монография. Архангельск: Поморский ун-т, 2004. 240 с.

19. Суворова М.А. Формирование познавательного интереса студентов в процессе обучения теории вероятностей с использованием компьютерных технологий: дис. ... канд. пед. наук: Ярославль, 2006. 213 с.

20. Тюрин Ю.А., Макаров A.A. Анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М., 2002. 528 с.