Конденсационная неустойчивость в частично ионизованной плазме в магнитном поле

УДК 533.951

КОНДЕНСАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Н.Е. Молевич1,2, С. Ю. Пичугин1, Д. С. Рящиков1,2, Д. И. Завершинский1,2

Рассмотрены условия возникновения конденсационной неустойчивости в тепловыделяющей частично ионизованной плазме, находящейся во внешнем магнитном поле с вектором индукции, перпендикулярным направлению, вдоль которого происходят возмущения. Получены линейные уравнения, описывающие динамику изобарических возмущений в двухжидкостной модели плазмы. С помощью этих уравнений выведено дисперсионное соотношение для конденсационных мод и произведены расчеты их временных инкрементов для различных значений степени ионизации плазмы и величины магнитного поля.

Ключевые слова: частично ионизованная плазма, магнитное поле, тепловыделение, изобарическая неустойчивость, конденсационная мода.

Частично ионизованная плазма встречается во Вселенной во многих различных астрофизических средах. Например, такая среда составляет основной компонент планетных ионосфер, нижней солнечной атмосферы и протуберанцев, молекулярных облаков межзвездной среды. В [1] представлен обзор физики частично ионизованной плазмы, включая недавние достижения в различных астрофизических областях, в которых частичная ионизация играет фундаментальную роль. Дисбаланс процессов тепловыделения и радиационного охлаждения приводит к возникновению в таких средах тепловых неустойчивостей, нелинейная стадия развития которых приводит к формированию различных пространственных или пространственно-временных структур при изобарической или изоэнтропической тепловых неустойчивостях, соответственно [2-5]. Изобарическая неустойчивость отвечает за рост конденсаций в среде (конденсационная мода).

1 Самарский филиал ФИАН, 443011 Россия, Самара, ул. Ново-Садовая, 221; e-mail: theor@fian.smr.ru.

2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское ш., 34.

В [6] нами было исследовано влияние внешнего магнитного поля и частоты нейтрал-ионных соударений на развитие конденсационной моды в ионной компоненте слабоио-низованного газа. При этом использовалась так называемая двухжидкостная модель магнитной газодинамики, в которой плазма может быть представлена как смесь двух компонент - ионной и нейтральной, причем ионная компонента объединяет электроны и ионы [7]. В настоящей работе с помощью двухжидкостной модели магнитной газодинамики исследуется конденсационная неустойчивость ионной и нейтральной компонент тепловыделяющей плазмы с произвольной степенью ионизации. Предполагается, что вектор индукции магнитного поля перпендикулярен направлению, вдоль которого исследовались возмущения параметров плазмы.

Система магнитогазодинамических уравнений для ионной компоненты в частично ионизованной плазме с источником тепловыделения выглядит следующим образом [7, 8]:

О / Г

— = гс^ х В]; ЛуВ = 0; рЛ + ^Уг

-^Рг - рпУщ^ - К) - -1 В х тоЬВ;

4п

др1 + ^(ргУг) = 0;

Сужгрг

Р

кв Тг рг тг

Эту систему необходимо дополнить газодинамическими уравнениями для нейтральной компоненты:

дУп - -рп | + VnV К

д рп -* -VРп - ри^п,г(Уп - Ог); + V(рnУп) = 0;

Су^прп[ + VnVTn) - квТп ( дрп + У^рп) = -рп^п(рп,Тп) + V(KnVTn);

дЬ

тп

дЬ

Р

п

кв Тпрп

тп

В (1)-(2) переменные с индексом "г" - это параметры ионной компоненты, а переменные с индексом "п" - параметры нейтральной компоненты, р, Т, Р - плотность, температура и давление соответственно, V, В - вектора скорости и индукции магнитного поля, кв - постоянная Больцмана, Суоог, Су^п - высокочастотные теплоёмкости

при постоянном объёме, тг, тп - средние молекулярные массы ионной и нейтральной компоненты, ип,г - частота нейтрально-ионных столкновений, причем ипг = &п,грг (Пп,г = (ау)/(тг + тп) - константа скорости соударений на единицу массы, а - сечение ионно-нейтральных столкновений, у - относительная скорость между частицами ионной и нейтральной компоненты), Кг, Кп - коэффициенты теплопроводности, Жг(рг,Тг), Жп(рп, Тп) - функции, описывающие тепловые потери для ионной и нейтральной компоненты, при этом Ж(р, Т) = Ь(р, Т) — Q(р, Т), где Q(р, Т) - удельная мощность нагрева, а Ь(р,Т) - удельная мощность охлаждения. При записи уравнений (1)-(2) пренебрега-лось влиянием диссипативных процессов, обусловленных наличием вязкости и конечной проводимости, а также влиянием теплопередачи между нейтральной и ионной компонентами.

Будем решать уравнения (1)-(2), используя методы теории возмущений. Предполагаем, что в начальный момент среда не движется. Запишем следующие разложения:

Pi — Pi0 + Pi, Pn — PnO + pn, Vi — Vi, Vu — Vni

Ti — Tio + Ti, Tu — Tno + T,n, Pi — Pio + Pi, Pu — Pn0 + Pu, B — Bq + B,

где рг,п/рго,по ~ Т,п/Тго,по ~ Рг,п/Рго,по ~ |^г,п|/етег,^п ~ |вВ|/|вВо| ~ е << 1, е^, е^п -высокочастотные скорости звука (см. ниже). В дальнейшем будем проводить исследования в декартовой системе координат х, у, г. При этом будем считать, что вектор индукции стационарного магнитного поля перпендикулярен оси г. Далее будем рассматривать динамику возмущений только вдоль оси г. Таким образом, зависимостями от х и у можно пренебречь (д/дх = д/ду = 0). Также учтем, что в стационарных условиях для обеих компонент отток энергии уравновешен притоком тепла (т.е. Жг(рго,Тго) = 0, Жп(рп0,Тп0) = 0). Если теперь подставить выражения (3) в уравнения (1)-(2) и ограничиться только членами первого порядка малости, то можно получить следующие уравнения:

tC д

TiCVooi ^ .

dt

92Pi _ (c2 + c2 ) d2À

V°ooi "T" °a)

dt2

+ 0 - dpp± _ pq dPPn

a dz2 +0n,iPn0\ dt Pno dt

+

+ CV Oi KioTi d2

Pio dz2

d^l dt2

dt2

i

+ 0 i dli _ loi dPPn

dz2 +On'ipn0\ dt pno dt

квTio + л d2pi [9РИ_ pq dppn

mi + Ca) dz2 +On'ipn0\ dt pno dt

0,

tC d

TnCVoon ^ .

dt

d2pn 2 d2pn 0 (dPi _ lO dln dt2 C™n dz2 On'ipn0\ dt pno dt

+

+ СУ 0п КпоТп д2

рпо дг2

'д2рп 2 д2рп 0 (др±_ ро дрп

дЬ2 Соп дг2 Оп'грп0\ дЬ рпо дЬ

д2рп квТпо д2рп о (дЬ. _ рО дРп

дЬ2 тп дг2 п,грпо у дь рп0 дЬ

где

В02

4прг0 °

_ кв Тг0 miQiо'

кв Тг0 2

1оо , Сос

тг

квТп

ъ

в Тп0

тп

0г

10г

кв Тг0

к в Тг

тг

0п

10т,

в Тп0

Тп

кв Тп0 rmnQn0

Тоо

С

Роог

С

Рп

Су

уг

С

Ъг

СР

Р0г

70п =

тп СР0п

уп

_ к в Ш0тг п _ кв ^отг - Wоpi) п _ кв Wотn п

СУ0г = -, СР0г = -) СУ 0п = -) СР 0п =

0п

Су0г Су0п

кв ^отп - Wоpn)

тг

тг

тп

Wотi =

дЩ,

WоPi

рго (дWi\

Qi0 V дТг ) 0 Р ^^го \ дрг / 0 Qn0 \ дТп ) 0 И Qn0 \ дрп / о

Здесь величины СРо г = Суог + кв/тг, СРоп = Суоп + кв/тп - высокочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном давлении, Су0г, Ср0г и Су0п, Ср0п - эффективные низкочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном объеме и давлении в тепловыделяющей среде [4, 9, 10]. Также введены обозначения для скоростей волн: сог, сооп - высокочастотные скорости звука в ионной и нейтральной компоненте, соответственно, са - скорость альфвеновских волн. Величины тг и тп - характерные времена нагрева ионной и нейтральной компоненты, при расчете которых считается Qiо = Qi(рог,Тог), Qn0 = Qn(роп,Топ). В (4)-(5) Кпо = Кп(Тп = ТГо), Кго = Кгм (Тг = Тго), где КгN - коэффициент теплопроводности ионной компоненты в направлении, перпендикулярном вектору магнитного поля.

Линейные уравнения (4) и (5) описывают динамику малых возмущений в ионной и нейтральной компонентах тепловыделяющей частично ионизованной плазмы, находящейся во внешнем магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен оси г. Благодаря учету столкновений ионов с нейтралами эти уравнения являются связанными.

Решения уравнений (4)-(5), описывающие конденсационные моды, имеют вид:

рг = Аг ехр

где п - временной декремент/инкремент, к - волновое число. Подстановка в (4) и (5) этих выражений позволяет получить следующее дисперсионное соотношение для конденсационных мод в частично ионизованной тепловыделяющей плазме:

Тп

п0

дWт

Щ

тп

рп0

0рп

дWт

п

Бг(п, к)Бп(п, к) = - — рпоОп

—Бг(п, к) + Вп(п, к) рпо

0

2

2

2

2

с

а

Здесь:

D ( k) — kBTo Cp°г + пТгСр- +k2+2 + n2

Vl[n,k) шг Cv0г + птгСУсог + k2^ + Ca + k2 '

Pío

kB Tno Cp On + птп Cp oon + k2 Knt n2 mn Cv On + птп Cvoon + k2 ^^ k2'

Dn(n, k) = -TT^KSn + ^.

PnO

При этом Di(n, k) — 0 и Dn(n, k) — 0 - это дисперсионные соотношения, описывающие конденсационные моды в полностью ионизованной (pn0 — 0) тепловыделяющей плазме в магнитном поле с вектором индукции, перпендикулярным направлению, вдоль которого рассматриваются возмущения, и в нейтральном (pi0 — 0) тепловыделяющем газе, соответственно. При определенном значении волнового числа k — kj выражения (6) описывают неустойчивую конденсационную моду c временным инкрементом n — nj в случае существования положительного действительного корня nj уравнения (7) для k — kj. При этом обе амплитуды Ai и An в выражениях (6) будут отличны от нуля, а их отношение будет следующим:

Ai — PiO + k2 Dn

An pn0 j njpn0^n,i

Это означает, что в частично ионизованной тепловыделяющей плазме может одновременно существовать конденсационная неустойчивость в ионной компоненте с возмущением плотности, описываемым выражением p-i — Ai exp(njt + ikjz), и конденсационная неустойчивость в нейтральной компоненте с возмущением плотности pn — An exp(njt + ikjz). Таким образом, в частично ионизованной плазме нельзя отдельно рассматривать конденсационные моды ионной и нейтральной компонент - столкновения между ионами и нейтралами приводят к "перемешиванию" этих мод. Ниже мы будем называть конденсационные моды в частично ионизованной плазме модифицированными ионными и нейтральными модами.

Аналогично [8] нами были проведены расчеты зависимостей нормализованных временных инкрементов конденсационных мод n* — n/(conknp) от величины нормализованного волнового числа k* — k/knp, где knp — m^Yoo - 1)(Cv0n - Cpon)/(kBCoonTn). С этой целью численно решалось уравнение (7) при различных k и выбирались действительные корни, равные временным инкрементам конденсационных мод в исследуемых условиях. Расчеты проводились для условий, близких к условиям из раздела 3.2 в работе [8]:

Yo — 5/3, mi — mn/2, To — Tno, hp — mi(Yo - 1)(Cvoi - Cpoi)/(kBCoiTi) — knp/2,

Cpon — — Cvon < 0, Cpoí — -Cvoi < 0, y^ — l)Kiokip/(kB C^ÍPÍO) — mn( — 1)Knoknp/(kB c^nPno) — 0.01. На рис. 1 представлены полученные нами зависимости n* от k* при различных значениях степени ионизации плазмы х — pi0/(pi0 + pn0): X — 0.2 (кривые 2 и 5) и х — 0.8 (кривые 3 и 6) для ca/crxn — 0.5 (a) и ca/crxn — 1.1 (б) при значении нормализованной частоты ионно-нейтральных столкновений Qn,ipn0/(c^nknp) — 10 (предполагалось, что pn0 — const). Для сравнения на рис. 1 приведены расчетные зависимости n* от k* для чисто нейтрального газа и полностью ионизованной плазмы. Пунктирные кривые на рис. 1 соответствуют конденсационной моде нейтральной компоненты в случае pi0 — 0 (кривые 1) и модифицированной нейтральной конденсационной моде (кривые 2 и 3). Сплошные кривые соответствуют конденсационной моде ионной компоненты в случае pn0 — 0 (кривые 4) и модифицированной ионной конденсационной моде (кривые 5 и 6). С ростом величины вектора индукции магнитного поля B0 (и соответственно значения ca/c^n) область значений k, при которых модифицированная ионная мода неустойчива (n > 0), уменьшается. Как следует из анализа выражения (7) эта мода будет устойчива при (ca/c^i)2 > — y0í/y^, то есть для условий, при которых проводились расчеты (y0í — —1, Y^> — 5/3, c^i — 2c^n), при ca/c^n > 1.1. Этот случай показан на рис. 1(б).

Рис. 1: Расчетные зависимости нормализованного инкремента конденсационных мод нейтральной (пунктир) и ионной (сплошные) компонент частично ионизованной плазмы от нормализованного волнового числа для х = 0.2 (кривые 2 и 5) и х = 0.8 (кривые 3 и 6) при са/с<хп = 0.5 (а) и са/с<хп = 1.1 (б). Кривые 1 и 4 - зависимости и* от к* соответственно в чисто нейтральном газе и в полностью ионизованной плазме.

Таким образом, в настоящей работе проведено исследование изобарической (конденсационной) неустойчивости в частично ионизованной тепловыделяющей плазме, находящейся в магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен направлению, вдоль которого происходят возмущения. Были получены линейные уравнения, описывающие тепловую неустойчивость в плазме с произвольной степенью ионизации, и найдено дисперсионное соотношение для конденсационных мод. С использованием данного соотношения проведены расчеты зависимостей временных инкрементов конденсационных мод от волнового числа при различных значениях степени ионизации плазмы и величины магнитного поля.

Авторы выражают благодарность С. В. Крестину за помощь при проведении численных расчетов. Работа частично поддержана Министерством образования и науки РФ в рамках государственного задания ФАНО (проект 0023-2016-0002), Государственного задания вузам и научным организациям в сфере научной деятельности (проект № 3.1158.2017/4.6), РФФИ и Правительства Самарской области (проекты №№ 17-42630224, 16-41-63059).

ЛИТЕРАТУРА

[1] J. L. Ballester, I. Alexeev, M. Collados, et al., Space Science Reviews 214, 58 (2018).

[2] G. B. Field, Astrophysical Journal 142, 531 (1965).

[3] R. Chin, E. Verwichte, G. Rowlands, V. M. Nakariakov, Physics of Plasmas 17, 032107

(2010).

[4] N. E. Molevich, D. I. Zavershinsky, R. N. Galimov, V. G. Makaryan, Astrophysics and

Space Science 334, 35 (2011).

[5] K. V. Krasnobaev, R. R. Tagirova, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society

469, 1403 (2017).

[6] Д. И. Завершинский, Н. Е. Молевич, С. Ю. Пичугин, Д. С. Рящиков, Краткие

сообщения по физике ФИАН 44(10), 35 (2017).

[7] T. V. Zagarashvili, M. L. Khodachenko, H. O. Rucker, Astron. & Astrophys. 529, А82

(2011).

[8] T. Fukue, H. Kamaya, Astrophysical Journal 669, 363 (2007).

[9] N. E. Molevich, D. I. Zavershinskiy, D. S. Ryashchikov, Magnetohydrodynamics 52, 191

(2016).

[10] N. E. Molevich, D. S. Ryashchikov, D. I. Zavershinskiy, Magnetohydrodynamics 52, 199

(2016).

Поступила в редакцию 14 июня 2018 г.