Псевдодифференциальные уравнения на многообразиях со сложной границей

Поступила в редакцию 28 мая 2015 г.

Vasilyev A.V. ON DISCRETE-DIFFERENCE EQUATIONS

One considers a general difference-discrete equation on a real line and a half-axis and describes conditions for a unique solvability for simplest class of such equations in the space L2 . This studying is based on a periodic analogue of the Riemann boundary value problem.

Key words: difference equation; discrete equation; symbol.

Васильев Александр Владимирович, Национальный исследовательский Белгородский государственный университет, г. Белгород, Российская Федерация, аспирант кафедры математического анализа, e-mail: alexvassel@gmail.com

Vasilyev Aleksandr Vladimirovich, National Research Belgorod State University, Belgorod, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Mathematical Analysis Department, e-mail: alexvassel@gmail.com

УДК 517.951

ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ

СО СЛОЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ

© В.Б. Васильев

Ключевые слова: псевдодифференциальное уравнение; многомерная краевая задача Ри-мана; волновая факторизация; сложная граница.

Описывается конструкция общего решения модельного эллиптического псевдодифференциального уравнения в области многомерного пространства, представляющей собой объединение выпуклых конусов.

1. При исследовании псевдодифференциальных уравнений на многообразиях с краем важную роль играет локальный принцип, утверждающий, грубо говоря, что фредгольмо-вость уравнения вытекает из обратимости локальных представителей оператора, входящего в уравнение. Таким образом, для описания фредгольмовости уравнения нужно знание локальных представителей оператора, входящего в уравнение, в каждой точке многообразия (включая край) и условия обратимости этих локальных операторов. Такие локальные представители мы называем модельными, а области т -мерного пространства, диффеоморфные окрестности точки многообразия - каноническими. В зависимости от типа точки многообразия каноническая область выглядит по-разному, возможные варианты: И,™ для внутренней точки, К™ для граничной точки гладкости, С+ = {х € И,™ : х = = (х',хт),хт >а|х'|,а> 0}, х' = (х1,хт—1), для конуса и т.д.

2. Нас будет интересовать разрешимость уравнения

в пространствах Соболева-Слободецкого НЯ(С+) , где С+ - т -мерный конус, состоящий из объединения непересекающихся выпуклых конусов, С+ = ип=1 С^ , где конус Cj имеет вид С++ после поворота на соответствующий угол aj , А - модельный эллиптический псевдодифференциальный оператор с символом А(£) порядка а [1, 2]:

(Au)(x) = | J A(e)S(e)ei(x-y)-«didy.

C+ Rm

Для каждого конуса Cj, j = 1,... ,n, определим далее специальный многомерный сингулярный интеграл с помощью ядра Бохнера [1] формулой

(Bju)(x) = lim / Bj(x' - y', xm — ym + ir)u(y', ym)dy'dym. T ^0+ J

Rm

Этот сингулярный интеграл возникает как преобразование Фурье произведения характеристической функции конуса и некоторой суммируемой функции и тесно связан с многомерной задачей Римана в ее простейшем варианте. Он представляет собой одно из возможных многомерных обобщений интеграла типа Коши и соответственно преобразования Гильберта.

Приведем здесь основной результат для уравнения (1), опуская детали (их можно найти в [2, 3, 4] для случая одного выпуклого конуса). Общее решение может быть сконструировано следующим образом. Обозначим Qn(£) многочлен степени n, удовлетворяющий условию,

(1 + l£l)n,

обозначим (m — 1) -мерное преобразование Фурье (y' ^ £' в смысле распределений) функции e-m|y посредством Ea(£',£m) и определим оператор

(VaЙ)(С) = (Ea * u)(0 = J Ea(e — П, CmW, UW.

Rm-1

Обозначим Tk - вращение пространства Rm, переводящий конус Ck в конус C+k . Составим n вспомогательных многомерных задач Римана [1], предполагая, что W(£) = = 0, V{ € Rm :

~ ~ 1 / n — 1х -1 Ufc(О = W(C)Vk(0 + w(£), k = 1,..., n, W(0 = — - A(0 —

nn

с произвольно выбранными правыми частями {(£) € Н5(Кт) . Предположим, что Ш(£) допускает волновую факторизацию относительно С к с индексом Жк, Жк — в = Пк + 5,щ € € N |£| < 1/2 , и обозначим элементы волновой факторизации [1] символа Ш(£) относительно конуса Ск посредством Шк;=({), Шк,=({).

Теорема. Общее 'решение уравнения (1) в образах Фурье выражается формулой

«+(0 = Е W-= (C)Qnfc(№Q-1(0W-1= (£)w(0 + k=1

п пк

+ Е Шк-= (ШТ1^^ [ £ ](X

к=1 у=1

где С] (х') € Н(Кт-1) - произвольные функции, в] = в — Жк +. — 1/2, . = 1, 2,..., Пк, к = = 1,... ,п, I/ - произвольное продолжение / на Н5-а(Кт) .

Таким образом, чтобы описать конструкцию решения уравнения (1), нужно решить соответствующую вспомогательную задачу для каждого конуса Ск,к = 1,...,п, отдельно, причем для специального «составного» символа потребуется волновая факторизация относительно каждого конуса Ск с индексом Жк . Отметим, что этот символ Ш(£) по своей структуре напоминает исходный символ А(£) . Кроме этого, вычисления, проведенные в

[5], позволяют надеяться на получение содержательных результатов о разрешимости модельного уравнения (1) для случая сложных особенностей, содержащих «тонкие» конусы меньшей размерности, чем размерность пространства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев В.Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения. волнова-яфакторизация. краевые задачи. 2-е изд. М.: КомКнига, 2010.

2. Васильев В.Б. Обратимость псевдодифференциальных операторов в многомерных конусах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. № 5. С. 24682470.

3. Vasilyev V.B. On certain elliptic problems for pseudo differential equations in a polyhedral cone // Adv. Dyn. Syst. Appl. 2014. V. 9. № 2. P. 227-237.

4. Vasilyev V.B. New constructions in the theory of elliptic boundary value problems // In: Integral Methods in Science and Engineering. Proc. IMSE Conference, Karlsruhe, Germany, 2014. Birkhauser, Basel, 2015. P. 573584.

5. Васильев В.Б. Псевдодифференциальные уравнения, сингулярные интегралы и распределения // Прикладная математика и математическая физика. Москва, 2015. Т. 1. № 1. С. 3-18.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Липецкой области, проект № 14-41-03595-р-центр-а.

Поступила в редакцию 7 мая 2015 г.

Vasilyev V.B. PSEUDO DIFFERENTIAL EQUATIONS ON MANIFOLDS WITH COMPLICATED BOUNDARY

One describes the framework of a general solution of a model elliptic pseudo differential equation in a domain of a multidimensional space, which is a union of convex cones.

Key words: pseudo differential equation; multivariable Riemann boundary value problem; wave factorization; complicated boundary.

Васильев Владимир Борисович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, e-mail: vbv57@inbox.ru

Vasilyev Vladimir Borisovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: vbv57@inbox.ru

УДК 517.935

О РЕКОНСТРУКЦИИ ВОЗДЕЙСТВИЯ В СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© А.Ю. Вдовин, С.С. Рублева

Ключевые слова: динамический регуляризирующий алгоритм; обратные задачи динамики.

Предлагается динамический подход построения воздействия в существенно нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом для его реализации указываются дополнительные условия, которыми должна обладать система.