Об общих нулях некоторых экстремальных многозначных функций

Об общих нулях некоторых экстремальных многозначных функций Кононова А. А.

Кононова Анна Александровна / Kononova Anna Aleksandrovna - кандидат физико-математических наук, математико-механический факультет, Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург

Аннотация: в статье обсуждается задача о возможности существования общих нулей у некоторой последовательности функций, возникающей при исследовании асимптотики ортогональных многочленов.

Ключевые слова: экстремальные задачи, ортогональные многочлены, многосвязная область.

Ортогональные многочлены привлекают к себе постоянное внимание, как математиков, так и физиков. Особенная популярность многочленов, ортогональных на окружности и на прямой, обусловлена обилием связей с различными областями математики и физики. В настоящей заметке речь идет о многочленах, мера ортогональности которых сосредоточена на наборе комплексных кривых. Рассмотрим в комплексной плоскости область fict Будем предполагать, что выполнены следующие условия:

• Q содержит бесконечно удаленную точку;

• граница Q - конечный набор достаточно гладких замкнутых жордановых кривых:

Замечание. Результаты заметки остаются верными и для случая незамкнутых кривых (что включает в себя случаи £ с! или Е c Т), однако для простоты изложения мы предполагаем все кривые замкнутыми. Мы также опускаем уточнение класса гладкости этих кривых (см. [1]).

Пусть g (z , со) - функция Грина для области Q с особенностью в бесконечности, а g (z , с) - функция, гармонически сопряженная с g (z , с) (функция g (z , с) определена с точностью до аддитивной константы). Тогда функция Ф (z) : = exp (g (z,<x>) + i-определена с точностью до унимодулярной константы. Таким образом, модуль этой функции является функцией однозначной, а ее аргумент многозначен. Точнее, при обходе вокруг приращение функции составляет

oj (с), где oj (z) - гармоническая в Q функция, принимающая на границе области значения .

Пусть на границе области задана весовая функция . Будем предполагать, что эта функция удовлетворяет модифицированному условию Сегё:

(это условие получается из классического условия Сегё на окружности переносом под действием локально конформного отображения Ф(г) ). Тогда существует локально аналитическая функция Д (г) , некасательные предельные значения которой на дО почти всюду равны р ((). Абсолютно непрерывную меру на Е с весом р обозначим

Б

1

Г СЮ := (nCF).....YP(F)),Yj(F) := —A EkargF

(здесь квадратные скобки обозначают взятие целой части).

Определим пространство Харди с фиксированным классом многозначности

Г= (к!.....кр): Р £ Н2(££,р,Г) фф

• Р — локально аналитична в ££,

• имеет однозначный модуль,

• ,

• | Р (г) 2Д (г) | имеет гармоническую мажоранту в ££.

Рассмотрим следующую экстремальную задачу: найти

1л(а,р, Г) := тШ|Р||,Р 6 Н2 (£1,р, Г), | Р(сю)| = 1}.

Решение этой задачи изложено в [1]. Для фиксированного вектора Г* экстремальную функцию для класса Г„ = Г (Ф_п) + Г* обозначим Р„, а соответствующее значение инфимума Функции Ри используются при решении задач об асимптотике многочленов, ортогональных по мере а, при этом важным оказывается вопрос о существовании точки г* £ ££ : ^ (г* ) = 0 Уп £ М . (Следует заметить, что в действительности все нули экстремальных функций обязаны принадлежать выпуклой оболочке носителя меры , однако нам этот факт не понадобится). В случаях р = 2 и р = 3 , а также в случае £ с I удается доказать, что такой точки не существует ([2], [3]). В общем случае, насколько известно автору, вопрос о существовании такой точки остается открытым.

Теорема. Пусть <2И (г) - последовательность многочленов с единичным старшим коэффициентом, ортогональных по мере а, <2* (г) - последовательность многочленов с единичным старшим коэффициентом, ортогональных по мере а* = а + Я • *, где * - единичная точечная масса в точке г * , Я > 0 .

Пусть существует подпоследовательность {РП(с} и точка г * £ /3 такие, что Ри;с (г *) = 0 V к £ М. Тогда УЯ > 0

над 1

кт-——- = 1.

Доказательство основано на асимптотических формулах для ортогональных многочленов и на свойствах экстремальных функций.

Асимптотика норм ортогональных многочленов описывается следующим образом:

||<2„Л ~ С{ЕТ^Пк,к -> оо; ||(?;Л ~С(ЕГк&к.к^ со,

Где С(Е) - гармоническая емкость множества Е,

экстремальную функцию, на которой достигается этот инфимум, обозначим р*. Так как р* £ Я2(££, р, Гп ) и то С другой стороны, так как то

Следовательно, .

Таким образом, из существования точки, в которой все функции одновременно обращаются в ноль, следует, что при добавлении в эту точку дискретной массы с любым положительным весом асимптотика норм соответствующих ортогональных многочленов не меняется. Как было отмечено выше, в случае р = 2 такая ситуация невозможна, однако нетрудно построить пример, в котором все экстремальные функции с четными номерами будут иметь ноль в некоторой точке. В этом случае асимптотика многочленов с четными номерами не меняется при добавлении к мере ортогональности точечной массы в этой точке.

Литература

1. Peherstorfer F., Yuditskii P. Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set [Журнал] // Journal d'Analyse Mathématique. - 2003 г. - 1: Т. 89. -стр. 113-154.

2. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane [Журнал] // Advances in Mathematics. - 1969 г. - стр. 127-232.

3. Кононова А. А. О компактных возмущениях конечнозонных операторов Якоби // Зап. научн. сем. ПОМИ. - СПб.: ПОМИ, 2009 г. - Т. 366. - стр. 84-101.

О пополнениях по ультрафильтрам Болжиев Б. А.

Болжиев Бурас Асанбекович /Boljiev Buras Asanbekovich - кандидат физико-математических наук, Институт теоретической и прикладной математики, Национальная академия наук Кыргызской Республики (НАН КР), г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: вводятся новые понятия сильной (слабой) Р-секвенциальной полноты равномерного пространства, и устанавливаются различные связи с пространствами, обладающими соответствующим типом компактности. Ключевые слова: равномерное пространство, пополнение, ультрафильтр.

Все рассматриваемые пространства предполагаются быть тихоновскими. Греческими буквами т и у будем обозначать бесконечные кардинальные числа.

Символом N (л) будем обозначать семейство всех окрестностей точки X £

Если т является кардинальным числом, то посредством ß(j^) будем обозначать Стоун-Чеховское расширение дискретного пространства т ассоциируемое с

множеством всех ультрафильтров на т , и её нарост т* = ß(T) \ т ассоциируется с множеством всех свободных ультрафильтров на т .

Каждое равномерное пространство (X,U) будет рассматриваться заданным в терминах покрытий, и топология, порожденная равномерностью U , будет обозначаться символом Sv. Если (X, S) - топологическое пространство и (X, U) -равномерное пространство, то, говорят, что равномерное пространство (X,U) или равномерность U совместима с S , если Su = S . Пусть 0 Ф P ст'.

Определение 1. т -последовательность (xa )а<т в равномерном пространстве (X, U) называется сильной P -последовательностью Коши (сокращенно sP -последовательностью Коши), если для любого равномерного покрытия а £ U найдётся A £ а такое, что {а : xa £ A} £ p для произвольного p £ P.

Определение 2. т -последовательность (xa )а<т в равномерном пространстве (X, U) называется слабой P -последовательностью Коши (сокращенно oP -последовательностью Коши), если для любого равномерного покрытия а £ U найдётся A £ а такое, что {а: xa £ A} £ p для некоторого p £ P .