Исследование неустойчивости парогазовой каверны в вязкоупругих конденсированных средах

УДК 621.373.8

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПАРОГАЗОВОЙ КАВЕРНЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ КОНДЕНСИРОВАННЫХ

СРЕДАХ

Ф. X. Мирзоев, Л. А. Шелепин

Исследована устойчивость глубокой парогазовой каверны, образующейся в гетерогенных конденсированных системах при воздействии лазерного излучения в режиме глубокого проникновения в среду. Получено дисперсионное уравнение неустойчивости, связывающее ее характеристики с параметрами излучения и релаксационными свойствами вязкоупругой гетерогенной среды. Проанализировано влияние времени релаксации на инкремент неустойчивости, частоту вязкоупругих колебаний, а также на размеры капель, инжектирующихся в объем каверны.

Образование и поддержание глубокой парогазовой каверны (ПГК) при взаимодей ствии высокоинтенсивного лазерного излучения с гетерогенной конденсированной ере дой (эмульсия, суспензия, биоткани и т.д.) имеет достаточно специфический характер. Значительную роль в динамике процесса, наряду с различными физико-химическими фазовыми превращениями (интенсивное испарение (сублимация), конденсация) и связанными с ними явлениями тепломассопереноса и неустойчивостью границы раздела фаз [1], могут играть реологическое поведение и релаксационные свойства конденсиро ванных сред. Реофизические параметры среды могут оказать значительное влияние на значения интенсивности лазерного излучения, пороговые для возбуждения неустойчивости, на размеры и условия генерации микрокапель, выбрасываемых в объем каверны, а также на спектр осцилляций формы ПГК. Релаксационные свойства гетерогенной системы могут быть учтены с помощью реологического уравнения состояния, устанавливающего временную связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций среды. Наличие этой временной связи приводит к дисперсионным эффектам

и дополнительным потерям механической энергии по отношению к диссипативным потерям за счет вязкости и теплопроводности. При теоретическом анализе процесса эта связь приводит к появлению в уравнениях движения Навье-Стокса старших (временных и пространственных) производных, которые при определенных условиях вызывают возбуждения уединенных волн (солитонов) или слабых ударных волн на стенках ПГК.

Цель данной работы состоит в исследовании одного из возможных типов неустой-чивостей, а именно капиллярной неустойчивости ПГК, образующейся при воздействии лазерного излучения на гетерогенные конденсированные системы в режиме глубокого проникновения в среду. Для моделирования неустойчивости реализуется подход, бази рующийся на модели вязкоупругости конденсированной среды с учетом ее реологиче ского поведения. Модель включает в себя самосогласованную систему нестационарных уравнений для температуры, скорости и давления в вязкоупругой жидкости с учетом действия на свободной поверхности давления отдачи паров при испарении и сил поверхностного натяжения.

Рассмотрим ПГК цилиндрической формы с аксиальной симметрией. Введем цилиндрическую систему коордиант с осью направленной вдоль образующей цилиндра. Пусть жидкость занимает пространство г > .4(2,*), где А - радиус ПГК, г, г - цилиндрические координаты. Считаем, что все теплофизические параметры среды не зависят от температуры.

Пусть на свободную поверхность жидкости, описываемую уравнением г = а + £(.г, где а - невозмущенное значение радиуса ПГК, ^(г, ¿) - возмущения свободной поверхности, падает излучение с плотностью потока I. Поглощение излучения вдоль поверхности происходит однородно, в приповерхностном слое. Коэффициент поглощения излучения а. Жидкость считается несжимаемой и вязкоупругой. Реологические свойства вязко-упругой среды учитываются с помощью уравнения состояния типа Олдройда [2]

где Р — тензор напряжений, Е - единичный вектор, Р - давление в жидкости, р - динамическая вязкость, в,т - соответственно релаксационная вязкость и время релаксации, Б - тензор скоростей деформаций.

Так как плотности составляющих гетерогенную среду компонентов близки между собой, а размеры мелкодисперсных (твердых или жидких) частиц во много раз меньше расстояний между ними и длин волн рассматриваемых возмущений, то гетерогенную

—оо

среду можно моделировать как квазигомогенную, пренебрегал при этом динамическими и инерционными эффектами относительного движения компонентов. В этом случае наличие дисперсных частиц можно учитывать косвенно - изменением реологических констант (//, 0, т) в зависимости от концентрации частиц (./V). Такое допущение о сплошности среды позволяет пренебречь непосредственным влиянием динамики дисперсных частиц на возникновения неустойчивостей, длины волн которых во много раз превышают размеры частиц.

В равновесии состояние системы описывается формулами

£(*) = 0, ~ = Уог = Уо, = О, Р0 = сошА,

где То - температура, (И)Г, Уог) - компоненты вектора скорости, А - коэффициент теплопроводности, $ - поглощенная энергия излучения.

Исследуем устойчивость стационарного состояния вязкоупругой жидкости, описы ваемого формулами (2). Для этого представим решение задачи в виде:

У = Уо + Уг, Р = Р0 + Ри Т = То + Ти

где Ц, А, Т\ - малые возмущения соответственно скорости, давления и температуры. Для возмущений имеем следующую систему линеаризованных уравнений

дТ\ , г, ¿То — + у1г— = ХАТи

дУ, 1 в д -

—1 = —ур, + „дц + - дтДЦ, = о д1 р рдг

с граничными условиями

= 0,

да

^и =

¿Т^

¿г

дг

где Vi = (Vir, Viz) ~ возмущения скорости жидкости, ViT - радиальная скорость, V\z -осевая скорость, v - кинематическая вязкость, р - плотность, х ~ коэффициент температуропроводности, <т - коэффициент поверхностного натяжения, Pj - параметр, характеризующий модуляцию давления отдачи паров за счет модуляции температуры поверхности, Ts{a) — Т\(а) -f £dTo/dr - распределение температуры на слабовозмущенной свободной поверхности расплава, Д - лапласиан по координатам г иг.

Здесь (4) - уравнение для возмущений температуры, (5) - уравнения Навье-Стокса для возмущений двух компонент скорости и уравнение непрерывности. В (5) слагаемое Op~1dAV/dt связано с реологическим соотношением (1) Олдройда, связывающим упругое напряжение среды с ее релаксационными свойствами.

Граничные условия (6) и (7) описывают законы сохранения двух компонент импульса: тангенциальных и нормальных соответственно. Условие (8) - есть кинематическое условие. Уравнение баланса энергии (9) означает отсутствие влияния возмущений поверхности на тепловой поток через нее.

Система уравнений (4) - (9) замкнута и полностью описывает поведение возмущений скорости, давления и температуры в ПГК цилиндрической формы с учетом испарения с поверхности вязкоупругой конденсированной среды.

Представим малые возмущения в виде

{t,Vu РиТг} = {&,^

где £о ~ комплексная амплитуда возмущений, к - осевое волновое число возмущения, к = -кп/h, h - глубина ПГК, тг - целое число, w = 7 + tft - комплексная частота неустойчивости. Формулы (10) означают, что мы рассматриваем устойчивость формы свободной поверхности ПГК по отношению к возбуждению периодических капиллярных волн. Мнимая положительная часть ш, т.е. ft > 0, дает декремент затухания капиллярных волн, а мнимая отрицательная, т.е. ft < 0 — инкремент нарастания неустойчивости. Вещественная часть ш, т.е. 7, определяет частоту периодического волнового движения.

После подстановки (10) в (4) - (9) приходим к следующим уравнениям для Фурье-амплитуд возмущений скорости и температуры

:

0,

(, v(w) \ 1 dp v(w) d ( dvXr\

Ш + + -yj -+ -yTr (r-^J ,

с . ( \u*\ ikp u(w)d ( dvl2\ Id

ш + <w)k = — + — Tr Уr~dT)' rTr{rVir) + =

Г л. * Л М6 ^

с граничными условиями

"1г|г=а = гЬ>1г +

дп

и

дг

= 0,

-р + 21/

ду

1г

дг

где и{уо) — ^о/(1 + iwт).

Из (11) - (13) несложно получить дисперсионное соотношение для рассматриваемой задачи, описывающее зависимость комплексной частоты неустойчивости от волнового числа, параметров излучения и реофизических свойств гетерогенной среды:

ш2 + 2г

1 + шт

-<ик2

К[{ка) 2кя К[^а)

Кх

етк

Е1

ра"

кРт <1Т0

рхКо(ка) йг

1 +

к(к2 + д

ЯХ(Ч2 - к2)К

а (ка) ^

2 кцКг

где

оо ^ оо

и = —-г / К1(кг)ГУ(ка1кг)г<1г, Ь2 = -777-г ( К1{яг)В'[ка,кг)гдг,

&(ка, кг) = 10(кг)К'0{ка) - Г0{ка)К0{кг), Е,{к) =

9 ,9 9 ,9

Я = к --, ^ = ¿2 + —,

!/ Х

(/о, Ко,К\ - функции Бесселя, штрих означает производную по координате).

Наибольший практический интерес представляет случай длинноволнового приближения. Из уравнения (14) для этого случал получаем следующее дисперсионное уравнение:

ш--и +

т

41/0 к2

- —-к

Ртк ¿То

ра

р ¿г

1(Т k(k2a? - 1) - = 0.

ра2т

тр dr

Это уравнение решалось численно. Результаты численного анализа этого уравнения представлены на рис. 1 и рис. 2. На рис. 1 изображены дисперсионные зависимости максимальной мнимой части комплексного инкремента неустойчивости П = 1т(ш) от волнового числа к при различных значениях времени релаксации г = Ю-4—5-Ю-4 с. В качестве параметров среды были использованы следующие значения: vq = 2 -10_3 сл 2/с, а = 1500 эрг/см2, РТ = 102 дин/см2, А = 0.9 Вт/см  К, а = 0.1 см~1, а = 0.025 см, р = 7 г/см3. Видно, что минимум инкремента нарастания неустойчивости уменьшается с ростом времени релаксации, и сдвигается в сторону больших волновых чисел. Развитие неустойчивости на нелинейной стадии сопровождается инжекцией капель в объем каверны. Так как размер (радиус) вылетающих в объем ПГК капель определяется волновым числом kmin, соответствующим минимуму инкремента неустойчивости (d = 2х/kmin), получаем, что с ростом т характерный размер капель d уменьшается.

10 12 14

к, см"1

Рис. 1. Зависимость инкремента нарастания неустойчивости П от волнового числа к при различных значениях времени релаксации т. Кривые 1, 2, 3, 4 и 5 соответствуют значениям т = Ю-4 с, г = 3 • Ю-4 с, г = 4 • Ю-4 с и т = 5 • Ю-4 с соответственно.

Рис. 2. Зависимость частоты колебаний 7 = Яе{и) от волнового числа к при различных значениях времени релаксации т. Кривые 1, 2, 3, 4 и 5 соответствуют значениям г = Ю-4 с, т = 2 • Ю-4 с, т = 3 • Ю-4 с, т = 4 • Ю-4 с и т = 5 • Ю-4 с соответственно.

На рис. 2 изображены зависимости частоты вязкоупругих колебаний 7 = /?е(и;) от волнового числа при различных значениях г при тех же значениях параметров среды. Видно, что с ростом т частота вязкоупругих колебаний уменьшается.

Таким образом, получено дисперсионное соотношение капиллярной неустойчивости ПГК в вязкоупругих гетерогенных средах с учетом испарения со свободной поверхности. Проанализировано влияние времени релаксации вязкости на характеристики рассматриваемой неустойчивости (инкремент неустойчивости, частота колебаний), а также характерные размеры капель, инжектирующихся в объем ПГК.

Один из авторов (Ф. X. М.) благодарит РФФИ за финансовую поддержку (код проекта 02-02-16001).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Г о л у б е в В. С. Препринт ИПЛИТ РАН, N 83, 1999.

[2] С е д о в Л. И. Механика сплошной среды. М., Наука, 1, 492 (1970).

Поступила в редакцию 9 октября 2002 г.