Об одном классе конгруэнций коник в трехмерном проективном пространстве

А.В. Кулешов

2. Столяров А. В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. № 10. С. 97—99.

3. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RPR). 1962. T. 7, № 2. C. 231—240.

4. Cartan É. Leçons sur la théorie des espaces à connexion projective. P., 1937.

A. Kuleshov

About one projective invariant of a family of hyperplane elements with envelope surface of centers

In multidimensional projective space a family of hyperplane elements with envelope surface of centers is considered. The problem of construction of differential invariants of such a family is set. This problem is solved in a general case characterized by non-degenerating a certain tensor. The solution is based on the method of moving frames and calculation of exterior differential forms of E. Cartan.

УДК 574.76

В. С. Малаховский

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Об одном классе конгруэнций коник в трехмерном проективном пространстве

Исследуется двупараметрическое семейство (конгруэнция) У2 коник С в Р3, имеющих две фокальные точки А1 и А2, касательные к конике, в которых пересекаются в характеристической точке А0 плоскости коники и являются асимптотическими

касательными поверхности (А0) , а касательные к линиям на

(АЛ) , соответствующим фокальным линиям на поверхности

(А7- ) (/, 7, к = 1,2, / Ф j), пересекаются в характеристической точке А3 плоскости (А1А2 А3) и являются асимптотическими касательными к поверхности (А3) .

Ключевые слова: фокальная точка коники, характеристическая точка, асимптотические линии, торсы.

1. Теорема существования

Теорема 1.1. Конгруэнция коник С [1, с. 26—28]

^ = 2х1 х2 -

существует и определяется с произволом трех функций двух аргументов.

Доказательство. Имеем

6)1 = 0, о30 = 0, а>1 = 0, о\ = 0,

6)1 = аа>2, соъ2 = ао6, б\ = Ъо32, 6° = Ьб\,

ёа + аП = 0, ёЪ + ЪП = 0,

1 11 12 2 21 22 о3 = то + т2о , о3 = тх о + т2о ;

о11 + - 2о6 = по0 + п2а2,

где

О = о00 -о11 -о22 +о33,

аЪ ф 0.

Замыкая уравнения

= 0, о30 = 0,0]2 = 0, о2 = 0,ёа + аП = 0,ёЪ + ЪП = 0, (1.5) находим

Следовательно,

Ъ = а .

Система уравнений Пфаффа конгруэнции У2 коник С принимает вид

6)1 = 0, = 0, = 0, = О,

3 23 10 20 1

б1 = аб , б2 = аб , б1 = а3, б2 = а3,

1 11 12 2 2 1 2 2 б3 = т1б + т2 , б3 = т1 6 + т2б ,

12 0 1 2 6 +б2 _ 2б0 = п1б + п2 .

Ее замыкание имеет вид

Дт^ л а1 + Дт1 л а2 = 0, Лт2 л1 + Ат2 л2 = 0,

Ап1 л а1 + Дп2 л а2 = 0,

где

Ат1 = ёт\ + т^ (60 - б33), Лт2 = dm12 + т\(б0 + 11 -33), Ат2 = dmf + т2 (б0 - 11 + 22 - б33),

Ат^ = От^ + т1(а0 -б|), Ап1 = dn1 + п1(00 -11), Лп2 = dn2 + п2(0 Имеем

51 = 3, 9 = 6, 52 = 3, 0 = 9, N = 3 • 3 = 9 = 0 .

Система в инволюции и определяет решение с произволом трех функций двух аргументов.

2. Фокальные точки коники С е V2

2

Имеем [2, с. 141]

- Ох3 = (л12 + х 2бх)а + х 3б33,

- 2ОЕ = х0б2 + х3б32) + х2(х61 + х61) - (2 !) - х0( х 0б00 + хЦ0 + х 60).

Учитывая пфаффовы уравнения (1.2), получим

х3 = 0, х2ю1 + хЮ2 = 0,

-2Ср = х х (п1ю + п2ю ) + х х (ю - ю1) + х х (ю - ю2).

Следовательно, фокальные точки коники С е У2 определяются системой алгебраических уравнений

2х1 х2 - (х0)2 = 0, х3 = 0, х:(х1 х2п - х0х1т12 - (т^ -1)х0х2) - х2(х1 х2п2 -

-(т^ -1)х0х1 - х0х2т^),

то есть системой

.КЛ 1-,.0\2

так как

2х1 х2 - (х0)2 = 0, х3 = 0, 2х1 х2 (т12(х1)2 + (т! - т22)х1 х2 - т^(х2)2) = = (х1 х2 )2 (п х1 - п2 х2 )2,

х1 х 2(п1 х1 - п2 х2)2

х = 2ч, 1,2 1 / 2ч2 .

0 т12(х1)2 + (т1 -т22)х1х2 - т^(х2)2

Точки А1 (1,0,0,0) и А2 (0,1,0,0) — фокальные точки коники С . Если

т12 = 0, т\ = 0, т1 - т22 Ф 0,

то точки А1 и А2 являются сдвоенными фокальным точками

коники С, поскольку после сокращения в последнем уравне-

1 2

нии системы (2.4) на коники х х , получим

2х1 х2 - (х0)2 = 0, х3 = 0, ]

2(т[ -т^)(х1 х2)2 = х1 х2(п1 х1 -п2х2)2.\ Наконец, если кроме условий (2.6) выполняются соотношения

п = 0, п2 = 0,

то А1 и А являются строенными фокальным точками.

Конгруэнция V2 со сдвоенными фокальными поверхностями (А1) и (А) определяются с произволом одной функции двух аргументов, а конгруэнция V2 со строенными фокальными поверхностями (А1) и (А2) — с произволом двух функций одного аргумента.

3. Ассоциированные прямолинейные конгруэнции

Теорема 3.1. Торсы прямолинейных конгруэнции (А1А2) и (АА3), ассоциированных с конгруэнций V2 соответствуют.

Доказательство. Торсы прямолинейных конгруэнций (А1 А) и (АА3) определяются одним уравнением:

т12

Анализируя уравнение (3.1), убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 3.2. Торсы прямолинейных конгруэнций (А1А2) и (АА3) соответствуют асимптотическим линиям поверхностей (А)и (А3) тогда и только тогда, когда поверхности (А1) и (А2) являются сдвоенными фокальными поверхностями конгруэнции V2.

Список литературы

1. Малаховский В. С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве : учеб. пособие. Калининград, 1986.

2. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий квадрик // Итоги науки и техники / ВИНИТИ РАН. М., 2002. С. 138—169.

V. Malakhovsky

About one class of congruences of conics in three dimensional projective space

In three dimensional space P3 two-parametric family (congruence) of conics with two focal points A1 and A2 are investigated. Tangent lines to conic in these points are asymptotic tangent to the surface (A0) and intersect at characteristic point A0 of the plane of the conic. The tangents to lines on (Ai) corresponding to focal lines on the surface (Aj) (i, j, k = 1,2, i Ф j) are asymptotic tangent to the plane (A3) and intersect in characteristic point A3 of the plane (A1A2 A3) .

УДК 574.76

В. С. Малаховский, Е. П. Юрова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Конгруэнция квадрик в трехмерном проективном пространстве, ассоциированная с парой поверхностей

Исследуется двупараметрическое семейство (конгруэнция) K2 квадрик Q в трехмерном проективном пространстве P3, обладающее следующими свойствами: на каждой квадрике Q е K2 имеются две различные фокальные точки A1 и A2, фокальные касательные в которых пересекаются в одной точке А0 и являются асимптотическими касательными поверхности (А0), а касательные к линиям на поверхности (At), соответствующим фокальным линиям на поверхности (Aj) (i, j, k = 1, 2; i ^ j), также пересекаются в точке A3 и являются асимптотическими касательными поверхности (A3), причем асимптотические линии, огибаемые касательными A0Aj и A3Aj, соответствуют, А0 и А3 полярно сопряжены.