Моделирование распространения продольной волны в стержне с помощью уточненных динамических уравнений

Выводы

В данной статье получены необходимые и достаточные условия сходимости решения задачи о штампе методом начальных функций. Также было установлено, что решение вблизи основания плиты сходится гораздо лучше, чем на границе плиты. Это наглядно показано на примере в виде графиков зависимости значения функции в точке от количества членов ряда.

Перечень ссылок

1. Власов В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом ос-повапии / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. - М. : Физмат-гиз, 1960. - 491 с.

2. Овский А. Г. Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе Maple / Овский А. Г., Толок В. А. // Гідроакустичний журнал. -2006. - № 3. - С. 88-97.

3. Аладьев В. З. Системы компьютерной алгебры : Maple : Искусство программирования / Аладьев В. З. - М. : Лаборатория базовых знаний, 2006. - 792 с.

Одержано 13.04.2010

I. I. Sabo, V. O. Tolok

STAMP TASK SOLUTION CONVERGENCE USING THE INITIAL FUNCTIONS METHOD

Розглядаються необхідні й достатні умови збіжності розв ’язку задачі про штамп методом початкових функцій. Розглянуто збіжність кожної функції окремо й на підставі отриманих результатів зроблений висновок щодо умов і характеру збіжності розв ’язку в цілому.

Ключові слова: необхідні умови збіжності, достатні умови збіжності, штамп, метод початкових функцій, збіжність розв ’язку.

The necessary and sufficient convergence conditions of stamp problem initial functions solution are considered. The convergence of each function was reseached separately and on the results basis the conclusions concerning conditions and nature of solutions convergence in general, are drawn.

Key words: convergence necessary conditions, convergence sufficient conditions, stamp, initial functions solution, solution convergence.

УДК 539.3

Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина Государственная инженерная академия, г. Запорожье

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЕ С ПОМОЩЬЮ УТОЧНЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

При помощи метода асимптотико-группового анализа получены из трехмерных динамических уравнений теории упругости одномерные динамические уравнения продольной деформации стержня, более точные, чем известные. В частности скорость распространения фронта продольной волны в соответствии с уточненными уравнениями совпадает со скоростью трехмерной продольной волны, в то время, как в известных уравнениях она значительно меньше. Проанализирован переход от зоны вблизи трехмерного волнового фронта к квазифронту одномерной волны.

© А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина, 2010

1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2010 1 39

Этот пример наглядно показывает, что вблизи основания плиты решения сходится лучше.

Теория и анализ полученных результатов

В итоге, не на границе плиты (при п ^ 1) для сходимости решения в целом необходимо выполнение равенства (6) и, для знакопостоянного ряда 5И - неравенства (11), для знакопеременного ряда 8„, где ряд 8„ предварительно заменяется рядом из модулей |5„|, -

неравенства (11) для абсолютной сходимости или неравенства (16) для условной сходимости.

В целом, можно сделать вывод, что чем ближе к основанию плиты (чем меньше значение п) - тем лучше сходится решение для всех функций. На границе плиты (при п = 1) следует рассматривать сходимость каждой функции в отдельности.

Ключевые слова: асимптотико-групповой анализ, уточненные уравнения продольной динамической деформации стержня, поперечные колебания стержня, квазифронт, классические динамические уравнения продольной деформации стержня.

Ранее в работе [1] было показано, как известные динамические уравнения продольной деформации стержня получаются из трехмерных уравнений теории упругости при помощи метода асимптотико-группо-вого анализа. Здесь аналогичный метод используется для получения уточненных динамических уравнений продольной деформации стержня.

1 Вывод уравнений

В [1] уравнения продольной деформации стержня получались, как результат комбинирования известных уравнений обобщенного плоского напряженного состояния. В [2] приведены уравнения, так называемого уточненного плоского напряженного состояния, более точные, чем уравнения обобщенного плоского напряженного состояния. Комбинируя такие уравнения для плоскостей Х1 ,*2 и Х1, Х3 приходим к следующим зависимостям искомых функций от аргументов *2 и Х3:

^1 = и 11 (*1, t), и 2 = *2м2 1 (*1, ^) из =

= хзи 3,1 (х1, t )> стп =стпд (xl, t);

ст22 =ст22,1(х1,t )=ст 22 =

= "2 (х2 )2 ст 22,1 (х1,t )= ст3з = ст3з,1 (х1,t);

ст33 = "2 (х3 )2 ст33,1(х1, ^, ст12 = х2ст12,1(х1,

СТЬ = х3ст13,1

Функции, входящие в (1), удовлетворяют уравнением:

д1ст11,1 +ст12,1 +ст13,1 -рд2и1,1 = 0;

Ед1и\,1 =ст11,1 -у(ст22,1 +ст33,1);

Еи2,1 = ст22,1 - у

Еи3,1 = ст33,1 - У(СТПД +ст22,1);

д1ст12,1 + ст22,1 + ст23,1 - рд2и2,1 =

д1ст13,1 +ст23,1 +ст23,1 -рд2и3,1 = 0

Получилось шесть уравнений относительно одиннадцати искомых функций от *1, t, входящих в решение (1). Для получения недостающих пяти уравнений используем граничными условиями на боковых поверхностях бруса -*2 < *2 < ^2, - *3 < Х3 < *3 с осью *1 [1]. Учитывая закон парности касательных напряжений, в итоге получаем необходимые пять добавочных уравнений:

ст22,1 +1 (*2 )2 ст22,1 - 9+, ст33,1 + 1 (*3 )2 ст33,1 - Уз ;

^2СТ12,1 - т+1,*3ст13,1 - т+1,*2СТ23,1 - т+3-

Система из шести уравнений (2) и пяти уравнений (3) образует полную систему одиннадцати уравнений относительно одиннадцати неизвестных.

Подставим (3) в (2) и умножим каждое из полученных уравнений на площадь поперечного сечения Е - 4*2*3 . Вводя новые обозначения:

и - ІІЦ, V - и2,1,^ - «3,1,Т - Ест11,1, К2 - еСТ22,1;

К3 - Ест33,Ь р1 - ^ т2 - 4*3Т+Ь т3 - 4*2т+1;

2Е + о *3 + 2Е + о *2 +

92 -7—гг92 - 8—92 ,93 -^ТТ93 -93 ;

(*2 )2

'2

(*3 )2

3

т23 -^т+3 - 4*3т+3,т32 -~, т+2 - 4*2т+2, *2 *3

будем иметь

дТ д и

,ди

и1 и и -Г /V , V \

——р1—г- --т2-т3; ЕЕ^~ - Т-п( 2 + К3); дх1 дг дх1

ЕЕУ - К2 - у(Т + К3 ); - К3 - у(Т + К2);

2 „ д 2V дт2

/, ч2 К2 + р1“Т -"5— + 92 +т23;

(*2 )2 ді2 дх1

2 „ д V дт3

-—— К3 +р1 _ т - —— + 93 +т32-

ді2 дх1

Найдем из второго, третьего и четвертого уравнений (4) величины Т, Кт, К3 и подставим результат в первое и два последних из уравнений (4). Приводя полученный результат к безразмерному виду с помощью следующих замен:

Х1 - 2*3х,и - 2*3и, і - 2*3 — т,Т - В1Р;

в

К2 - B1P2,К3 - B1P3,т2 -Т7^Р2;

2*3

т3 -

В,

2В,

^92 ^7_;ТГ2,93-7"^тг3; 2*3 (*2 )2 (*3 )2

2В]

2В1 2В1

т23 - г, ч2 Г23,Т32 - чт г32,

(*2 ) будем иметь

(*3 )2

д 2м (дV дW ^ д 2м

&т+с№+іг -- Рт - Р3;

тл дм ТІ/ 1

V + с-------------------+ cW +—

дх 8

Ги V

V *3 і

д V

дт 2

ГиЛ

2

V *3 і

дРт

дх

+ г2 + г23;

дм т. 1 д 2W 1 др3

V + с---------+ ^ +--------------— - —— + г3 + г3т;

дх 8 дт2 8 дх 3 32

Р- — + сУ + cW,Р2 - V + с — + cW, дх дх

Р3 - W + с — + сУ. 3 дх

2 Асимптотико-групповой анализ уравнений

Запишем первые четыре из уравнений (5) для случая отсутствия нагрузок на боковых поверхностях стержня, т. е. в однородном виде:

д 2м

, дУ дW

/* + с|----------------+-----------

2 I дх дх

дх

дм 1

V + с----------+ cW + —

дх 8

д 2м дт2

- 0;

(и \2 ъ2

V *3 і

д ^ дт2

- 0;

Эти преобразования дают оценку абсолютных весов для дифференциальных операторов д* = д/д* и д{ =д|дt и относительных весов для искомых функций путем сравнения их с W .

Подстановка (7) в (6) приводит к следующей таблице показателей степени:

2а 1 +а3, а1 +а4, а1, 2а2 +а3 а4, а1 +а3, 0, 2а2 +а4 0, а1 + а3, а4, 2а2 а5, а1 +а3, а4, 0.

Поочередно рассмотрим три варианта значений параметров асимптотического интегрирования

а1,...,а5 .

Пусть параметры имеют вид:

а1 = -0,5; а2 = -0,5; а3 = -0,5; а4 = 0; а^ = -1.

Таблица показателей степени (8) будет:

-1,5; -1,5; -1,5; -1,5 0, -1, 0, -1 0, -1, 0, -1 -1, -1, 0, 0.

Соответствующие упрощенные уравнения будут:

д 2м .-2

д 2м

дх дт

дм 1

л, - 0, с— + —

2 дх 8

(и \2 ъ2

д ^ дт2

- 0;

W + с — + ^ +- „

дх 8 дт2

дм

- 0, Р - — + ^ + cW.

дх

Эти уравнения имеют более сложную структуру, чем обычные уравнения продольных колебаний стержня, поэтому подвергнем их дополнительному асим-птотико-групповому анализу, что позволит лучше изучить их структуру и построить некоторые важные виды решений.

Уравнения (6) инвариантны относительно преобразований растяжения:

и = 5У и*, К = 8гГ *, W = 5У W *, Р = 5У Р *.

Это дает возможность, при сравнении весов слагаемых уравнений между собой, не растягивать одну из искомых функций, сравнивая с ней остальные функции.

Выполним преобразования:

д * =5а1 д*, д ( =5а 2 д*, и = 5а3 и*;

дм 1 д2^ ^ л дм

с — +-------т--0, Р-—.

дх 8 дт2 дх

В соответствии с (9) имеем следующие асимпто-

тические оценки:

є-0,5 є-0,5

дх ~ о , дг ~ о ’ , и *

•8-0,!^,У ~ W, Р ~ 5-1W.

Это означает, что полученное упрощение отвечает быстрым изменениям по аргументам * и т, одинаковым весам величин V и W и бульшим, чем W значениям и и Р .

Первое из уравнений (11) является стандартным волновым уравнением. Оно отвечает распространению возмущения с безразмерной скоростью, равной единице. Однако легко увидеть, что это отвечает размерной скорости:

ар -

Е

Р1 \р(1 + VXl- 2^'

V - 5а4 V*, w - W*,Р - о 5 Р*, требуя выполнения соотношений:

д*х ~1, д* ~1, м*~ V*~ W*~ Р *.

(7) Это скорость распространения продольных волн в

трехмерной упругой среде. Мы видим, что полученные одномерные динамические уравнения продольных колебаний стержней задают распространение возму-

2

2

2

2

*

3

щений с такой же скоростью, как и трехмерные уравнения теории упругости.

Второе, третье и четвертое уравнения (11) позволяют находить остальные искомые функции после нахождения из первого уравнения функции м .

Аналогично рассмотрим асимптотические оценки для таких значений а1,...,а5:

ад - 0,5, а2 - 0,5, а3 - -0,5, а4 - 0, а5 - 0.

Тогда таблица показателей степени (8) принимает

вид:

0,5; 0,5; 0,5;0,5 0, 0, 0, 1

0, 0, 0, 1 0, 0, 0, 0.

Соответствующие упрощенные уравнения будут:

д 2м (дУ дW Л д 2м

дх

л, + с|------------------+

2 V дх дх

дт

- 0;

тл дм дм тг

V + с----------+ cW - 0,W + с----------------+ ^ - 0;

дх дх

дм

Р --------+ ^ + cW.

дх

В соответствии с (12) имеем следующие асимптотические оценки:

0,5 0,5

дх ~ о ’ , д, ~ о ’ , м -

5-0^,V ~ W, Р ~ W.

Это означает медленные изменения по * и т; буль-шее чем W значение и , и значения V и Р одного порядка с W .

Найдем из второго и третьего уравнений (13) величины V и W , и подставим эти результаты в первое и четвертое уравнения, получая:

* дТм

д 2м

дт

_ - 0,р - ь2

2 1 дх'

Ь2 (1 ^)(1 - 2^ а2 _ 2 Е

Ь1 ------ --------- Т, а1 -_.

1 -v ар Р

Величина а1 - это скорость распространения продольных волн в стержне по классической теории стержней. Значит - величина Ь - это безразмерная скорость распространения данных волн, отнесенная к скорости ар. Таким образом, уравнения (14) - это классические динамические уравнения продольной деформации стержней в безразмерной форме.

И, наконец, последний вариант значений параметров а1,...,а5:

а1 = 0,5, а 2 = 0, а3 = 0,5, а 4 = 0, а5 = 0.

Таблица показателей степени:

1,5; 0,5; 0,5; 0,5 0, 1, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, 1, 0, 0. Упрощенные уравнения:

'дV дW Л д 2м 1

с|----+-----I----- 0, V + cW + —

дх дх

(и \2 ъ2

дт

V *3 і

д ^ дт2

W + cV + -

1 д 2W

8 дт2

Асимптотические оценки:

- 0, Р - ^ + cW.

дх ~

5°,5, д,

1, м

Они соответствуют малой скорости изменения по * , средней скорости изменения по т , малому значению и по сравнению с W .

Второе и третье из этих уравнений - это уравнения поперечных колебаний стержня.

Мы видим, таким образом, что полученные уточненные уравнения описывают распространение фронта волны с «трехмерной» скоростью; при этом в качестве частного упрощенного случая, они содержат известные одномерные динамические уравнения. Кроме того, мы выяснили, что главным дополнительным эффектом, который учитывается уточненными уравнениями, является эффект поперечных колебаний стержня.

3 Прифронтовая асимптотика

Второй и третий варианты упрощения соответствуют медленным изменениям искомых функций по аргументам * и т . В подобных случаях уже уравнения первого приближения, т. е. непосредственно упрощенные уравнения, дают удовлетворительную точность и не нуждаются в последующих уточнениях.

В то же время первый вариант упрощения отвечает быстрым изменениям по * и т ; в этом случае первого приближения недостаточно, для получения достоверных результатов необходимо строить процедуру последовательных приближений. Представим искомые функции в виде рядов:

то то то то

и = 1 и, V = £ V- л = £ Wt, Р = £ Р.

,=1 ,=1 ,=1 ,=1

В соответствии с таблицей показателей степени (10) члены этих рядов отвечают следующей рекуррентной системе уравнений:

д 2м дх 2

дУ, _

+ с|^^ + ^1

дх

дх

д 2м,

- 0;

2

8

дм 1

V--1 + с—^- + сШі-1 + -г 1 дх - 1 8

V *3 і

д % дт2

- 0;

дм, 1 д^

^-1 + с—^ + с^-1 + - 0;

дх 8 дт2

дм

Р --г1 + с^-1 + cWI-1

дх

Запишем решение для произвольного приближения в форме:

мі - I мі }х1 1 (т - х)у+г'+1 І-1

-1.

-2.

Р, -І Р, ]хі-1 (т- х )+''+] 1-1

V - І V- ухг-1 (т- х)у+г+1; ]-1

^ - £^,]хі-1 (т- х)ї+г+1. ]-1

Для проверки правильности записи решения, а также для получения выражений для вычисления входящих в выражения (17) коэффициентов нужно подставить (17) в (16). После соответствующих математических преобразований получим окончательные

выражения для величин и,,у, Р,у, V,,у, ^,у в обобщенном виде:

1

“і,]-^2(і -] +1)у + і + ] -2) х {мі,]-2 (і - І + 2) - І +1) +

+ І-2 (і - 1 +1) - ^-1,І-1 (У +г’ + ] - 2) +

+ ^-1,]-2( - І +1)- ^_1,]_1(у + і + І - 2)) (і - 2,3,...; І - 2,...,і);

V

V *2 і

1 (У+і + І)(У +і + І -1

х Ірі'-1,і-1 + ^і-1,і-1 +

+ск і-1(і - І+1) - мі, і (+г+і - 1)Л (і -1,2,...; І -1,...,і);

Рі, І - мі, І-1(і - 1 + 1)-мі,І (У +і + ] - 1) +

+с

Обратим внимание на то, что коэффициенты вида мі,і из первого выражения (18) не находятся. Они являются константами интегрирования; их значения следует находить из граничных условий.

Перед тем, как задавать граничные условия изучим подробнее смысл полученных результатов. Выражение т - х , возникшее первый раз при решении первого из уравнений (11), т. е. классического волнового уравнения, определено при 0 < х < т . При х - т это выражение равно нулю. Точка х - т является фронтом волны, т.е. точкой, разделяющей возмущенную область 0 < х < т от невозмущенной области х > т, в которую волна еще не дошла. С ростом времени фронт передвигается в положительном направлении оси х с безразмерной скоростью, равной единице. При т - 0 фронт совпадает с началом координат х - 0 . Таким образом, если рассматривать полубесконечный стержень х > 0, то при т - 0 он весь находится в покое, т. е. мы имеем нулевые начальные условия. Точка х - 0 излучает волну под действием какой-то нагрузки, приложенной в этой точке.

Рассмотрим возможный вид этой нагрузки. В соответствии с (15) и (17) для продольного усилия имеем:

X і

Р = ХЕР. їх'-1

і=11=1

Подставим в это выражение х - 0 . Обратим внимание на следующее. При і Ф ] выражение хг-1 обращается в ноль при х - 0 . Соответственно, обращаются в ноль слагаемые в (19) при і ф 1. При і - 1

получаем х0 - 1 . Таким образом, при х - 0 выражение (19) принимает вид:

X

Р -І Р, ] (т- х)+2-2.

і-1

Это означает что нагрузку Е (і) на торце стержня х - 0 , как заданную функцию времени, следует разложить в степенной ряд вида:

^1 (у+і+1 )(у+і +1- 1)Х

х &-1,1 -1 + ^-1,1 -1 +

+ск і-1(і -1+1) - мі, і (у+і+1 -1 (і -1,2,...; 1 -1,...,і);

Е = £ Р ту+21 -2.

,=1

Для случая внезапно приложенной и остающейся в дальнейшем постоянной нагрузки = 1. В этом случае:

^1 = 1, ^ = 0 ( > 1), у = 0.

2

8

х

Сравнение (2l) и (2О) дает:

Pii = Fi (i = 1,2,4

Из четвертого выражения (ЇВ) имеем:

Fi = Pi,І = ui,i-1 _ ui,i (y + 2i _ l) + c(Vi-1,i-1 + Wi-1,i-1) (i = 1,2,...).

Отсюда:

ui,i-1 + c(Vi-1,i-1 + Wi-1,i-1)-Fi

(i = i,2,...).

Y + 2i -1

Рис. 1. Распространение волны P(x) в стержне

Мы видим, что в отличие от картины получаемой при помощи известных уравнений продольной деформации стержня, картина вблизи фронта распространяющейся волны выглядит значительно сложнее.

Вблизи трехмерного фронта волны наблюдаются интенсивные поперечные колебания стержня, которые приводят к быстроизменяющемуся напряженно-деформированному состоянию. В дальнейшем происходит переход к классическому решению в виде так называемого квазифронта, то есть не ступенчатого, а быстроизменяющегося роста продольного усилия. С удалением от фронта, картина переходит в классическую. Таким образом классическое решение для продольной волны в стержне - это медленноизменяюща-яся асимптотика по отношению к более точному решению.

Выводы

Получены уточненные уравнения продольной динамической деформации стержня на основе асимпто-тико-группового анализа дифференциальных уравнений теории упругости. Рассмотрен пример распространения продольной волны в стержне, показывающий преимущество новых уравнений по отношению к прежним.

Перечень ссылок

1. Шамровский А. Д. Вывод динамических уравнений продольной деформации стержня при помощи двойного упрощения уравнений теории упругости / А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. - 2009. - № 2. - С. 111115 с.

2. Шамровский А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости / А. Д. Шамровский - Запорожье : Изд-во ЗГИА, 1997 -169 с.

Одержано 02.04.2010

A. D. Shamrovskiy, L. N. Egarmina DESIGN OF LONGITUDINAL WAVE DISTRIBUTION IN BAR BY THE SPECIFIED DYNAMIC EQUATIONS

За допомогою методу асимптотико-групового аналізу отримані з тривимірних динамічних рівнянь теорії пружності одновимірні динамічні рівняння поздовжньої деформації стержня, більш точні, ніж загальновідомі. Зокрема, швидкість розповсюдження фронту поздовжньої хвилі згідно з уточненими рівняннями співпадає зі швидкістю тривимірної повздовжньої хвилі, у той час, коли у відомих рівняннях вона значно менша. Проаналізовано перехід від зони поблизу тривимірного хвильового фронту до квазіфронту одновимірної хвилі.

Ключові слова: асимптотико-груповий аналіз, уточнені рівняння повздовжньої деформації стержня, поперечні коливання стержня, квазіфронт, класичні динамічні рівняння повздовжньої деформації стержня.

Through the method of asymptotic-group analysis the unidimensional dynamic equations of bar longitudinal deformation are gotfrom three-dimensional dynamic equations of elasticity theory, more exact, than known. In particular the speed of longitudinal wave front distribution in accordance with the specified equations coincides at a speed of three-dimensional longitudinal wave, while it’s considerably less in the known equations. A transition from an area near-by three-dimensional wavefront to quasifront of unidimensional wave is analysed.

Key words: asymptotic-group analysis, longitudinal dynamic specified equations of bar deformation, bar transversal vibrations, quasifront, classic dynamic equations of longitudinal bar deformation.