Построение математической модели процесса гетерофазной полимеризации этилена в трубчатом реакторе

УДК 536

Ю. С. Сидорова, Е. К. Вачагина, В. В. Плотников, Р. Р. Кантюков, М. С. Тахавиев

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА

ГЕТЕРОФАЗНОЙ ПОЛИМЕРИЗАЦИИ ЭТИЛЕНА В ТРУБЧАТОМ РЕАКТОРЕ

Ключевые слова: моделирование, турбулентность, граничные условия, цилиндрическая система координат.

В данной статье описывается моделирование процесса полимеризации этилена при производстве полиэтилена высокого давления в реакторе трубчатого типа. Для построения модели рассматриваются гидродинамические, термические и кинетические особенности протекания процесса.

Title: Mathematical modeling of heterophase ethylene polymerization in tubular reactor

Keywords: modeling, turbulence, boundary conditions, cylindrical coordinates.

This article describes the modeling of the ethylene polymerization in low density polyethylene production in tubular reactor. For model developing hydrodynamic, thermal and kinetic characteristic of process are considered.

Актуальность

Полиэтилен высокого давления (низкой плотности) по объемам производства и потребления является одним из самых распространенных продуктов предприятий органического синтеза. Его получение сопряжено со значительными энергозатратами (электроэнергии, горячей воды, пара высокого давления) в связи с требованиями технологического цикла. При этом сами процессы, происходящие внутри цикла, остаются до конца не изученными, особенно на участке полимеризации. С одной стороны, высокие значения физических параметров (давления и температуры) и сложность происходящих внутри процессов затрудняют его детальное исследование. Однако, с другой стороны, именно на этом знании основываются принципы его безопасного и надежного функционирования. В упрощенном виде процесс полимеризации этилена в трубчатом реакторе высокого давления представляет собой следующее. В реактор под большим давлением (около 150 МПа) и температурой (свыше 90°С) поступает смесь исходного газообразного сырья - этилена и кислорода. Реактор состоит из двух зон. В первой зоне - зоне подогрева - происходит нагревание смеси до 160-190°С, после чего она поступает в зону реакции, где непосредственно и синтезируется полиэтилен. Образование полимера происходит по свободно-радикальному механизму. Инициатором реакции является кислород. На выход реактора вследствие малой степени конверсии поступает смесь полиэтилена с этиленом.

Анализ состояния вопроса

Сложность и неоднозначность процессов, происходящих внутри зоны реакции, затрудняют расчеты и препятствуют созданию адекватных моделей, на которых было бы возможно изучать поведение исследуемой системы. Поэтому зачастую реактор рассматривают как некий «черный ящик», работу которого анализируют исходя из входных воздействий и выходных откликов на эти воздействия. Естественно, что при этом страдает

точность, а полного представления о том, что происходит внутри этого «ящика», такой подход не дает. Хотя более глубокое изучение может дать очень важную информацию, полезную, например, для определения режимов «теплового взрыва», условий получения материала с необходимыми характеристиками и т.д.

Кроме того, построение значительно приближенной к реальности модели действующего реактора позволит, исходя из полученных данных, подбирать более точные настройки регуляторов, отвечающих за поддержание приемлемых условий протекания реакции, что сделает возможным снижение энергоемкости процесса.

Авторы в [9] предлагают следующую структурную модель процесса полимеризации этилена при высоком давлении (рис. 1).

_грдоуиь I реакции

ц Гцорсдинвмические и ^^ ОЭЕгение

шхсбш+ье процессы

Химический грсцесс

Тепгстай грсцесс ^— темгериура

г

шуста реакции

Рис. 1 - Общая структура модели реактора

Как следует из данной схемы, процесс получения ПЭВД рассматривают в качестве совокупности трех видов процессов: химические реакции, тепловые процессы и процессы сжатия этилена и теплообмена. Соответственно, рассчитываются дифференциальные уравнения материальных балансов, теплового баланса и баланса импульса.

Отношение длины трубчатого реактора к его внутреннему диаметру достаточно велико, в большинстве случаев при моделировании процесса полимеризации реактор принимают за аппарат

идеального вытеснения, в частности, в работе [7], пренебрегая величиной прямого и обратного перемешивания. Подобного подхода рассмотрения режима работы реактора как поршневого придерживаются авторы [6]. При этом считают, что в любом поперечном сечении, нормальном к движению потока, скорость и свойства реагентов неизменны, т.е. диффузия настолько мала, что ею можно пренебречь, и образуется «поршневое» течение. Следовательно, теплофизические свойства среды (теплоемкость, вязкость) принимаются за константы равные соответствующим свойствам либо исходного вещества (этилена), либо готового продукта (ПЭВД), что является, строго говоря, неприемлемым, поскольку различия их величин довольно существенны. Таким образом, предложенная модель содержит много допущений и не является достаточно адекватной для полноценного описания процесса полимеризации этилена при высоком давлении.

Важной особенностью реакции

полимеризации является образование вязкого пристеночного слоя, который ухудшает эксплуатационные характеристики реактора и негативно влияет на его производительность и характер протекания реакции. В предыдущих работах разработка моделей реактора велась без учета этого явления. В [8] авторы предлагают двухмерную модель трубчатого реактора, которая позволяет показать формирование полимерного слоя вблизи стенки реактора. Модель строится на основании уравнений

компонентных балансов масс, баланса энергии и уравнений Навье-Стокса. Диффузионные потоки описываются с помощью уравнения Фика с постоянными коэффициентами диффузии. Вычисления ведутся для сжимаемой жидкости с использованием эмпирических выражений для плотности, вязкости, удельной теплоемкости и теплопроводности усредненной этилен-полиэтиленовой смеси.

Таким образом, вариантов создания моделей трубчатого реактора, служащего для получения ПЭВД, достаточно. В некотором смысле реактор представляет собой «черный ящик», т.к. исчерпывающей информации об осуществляемых внутри него процессах пока нет. Кроме того, уже изученные процессы характеризуются

непостоянством, динамичностью изменения их параметров, зависимостью от возмущающих воздействий и др. Поэтому при моделировании приходится прибегать к некоторым допущениям и ограничениям. В некоторых случаях даже довольно серьезные допущения позволяют получить необходимые данные о реакторе и эффективно их применить на практике. Если же требуется более точная проработка вопроса, то прибегают к различным усложненным моделям, в частности «диффузионной» модели или модели «последовательно соединенных аппаратов идеального смешения».

Постановка задачи

Для математического описания процесса полимеризации воспользуемся системой, в которую войдут уравнение неразрывности, уравнения движения, описывающие гидродинамические свойства жидкости, и уравнение переноса энергии.

Уравнение неразрывности (сплошности) отражает закон сохранения массы, т. е. его физический смысл заключается в следующем: жидкость нигде не накапливается, и за одинаковый интервал времени в трубку тока поступает такое же количество жидкости, что и вытекает из нее. Таким образом, жидкость сплошь заполняет занимаемое ею пространство, не образуя пустот, и движение осуществляется неразрывно.

Уравнение неразрывности для смеси имеет

вид:

аР

sm

at

div (р smV )= 0

где рsm - плотность смеси, которая рассчитывается по уравнению

1

wmono + WPoly

Р эт Ртопо Рро!у Здесь Wmono, w ро!у - массовая доля мономера и полимера в смеси соответственно,

Рт0П0 = I 3203,35 - 601,2 • !д -1267,75 • !д Т +

I 106

+ 335,8 • lg^=- • lgT 106

плотность мономера [8],

ppoIy

(9,

= 9,61

-7

10 -4 + 7

10

-7

T

-1

- 5,2 • 10"' • lg

106 у

- плотность полимера [8],

v - скорость движения смеси. При этом предполагалось, что массовая доля инициатора (кислорода) в смеси пренебрежимо мала.

Перепишем уравнение (1) в проекции на оси координат.

Поскольку реактор представляет собой аппарат типа «труба в трубе», т.е. имеет трубчатую форму, то для расчетов удобнее пользоваться цилиндрической системой координат. Тогда в такой системе расположение произвольной точки N будет определяться тремя координатами (r,9,z). Переход от декартовой к цилиндрической системе осуществляется посредством соотношений: x=r • cos ф,

y = r • sin ф,

z = z.

Примем, что компоненты скорости

цилиндрическом

осредненные по смеси vr, vф системе координат с

времени и vz в

осью

P

направленной по оси канала, в силу симметрии относительно поворотов вокруг оси ъ не зависят от координаты ф .

Дивергенция вектора скорости в цилиндрической системе рассчитывается по формуле:

с1уу =

зМ + ^

Зг

Зф

ф + З

л

Зг

форме:

С учетом (4) перепишем уравнение (1) в

ЗРэт , 1 З(Рэтугг) , З(РзтУ2^

, + + = о

З1 г Зг Зг

Уравнение движения представляет собой приложение второго закона Ньютона к жидкости: скорость изменения количества движения отдельной части жидкости равно сумме действующих на нее сил. Значит, по существу, уравнение связано с реакцией определенной массы жидкости на приложенные к ней внешние воздействия [3].

Применительно к нашему случаю уравнение переноса количества движения можно записать в виде

з

З1

сПу (тУУ ) = -дгаСр-

с'у (2( + Ц 1 ) - у (у У )) + "|к1

Для удобства рассмотрим отдельно левую и правую части уравнения. Левая часть представлена двумя слагаемыми, первое из которых определяет нестационарность потока жидкости, а второе -конвективный перенос, и, как видно, содержат общий множитель Рэт.

Вынесем его за скобки. Тогда частная

производная скорости по определяться тремя составляющими:

Зу.

З1

Для нахождения

у-

времени

Зуг

"ЗГ,

(или

будет Зу

^4 ф

- и

Уу • V)

воспользуемся выражениями (3) и формулами тензорного анализа. Тогда после серии преобразований имеем:

(уУ • V) =

Зуг г ~

у

ф Зуг — + у, —-г 2 Зг

Зу

Зг

ЗУ2

"ЗГ

ф уфу-

Т + —-+ V-

Зу ф Зг

- + V,

Зу,

"ЗГ

• + V

ЗУг , у ЗУГ

"ЗГ

Зу ф

Зг

Зу,

"ЗГ

+ V.

Зг г

ЗУ ф + У ф Уг

+ V,

Зг

Зу,

"ЗГ

Обратимся к правой части уравнения (6). Первый член является градиентом давления, взятый со знаком «минус». Для его вычисления воспользуемся формулой

„ 1 Зр 1 Зр 1 Зр дгаСр = Ур = ——^ + —--^ + -

Н1 З^1 Н| З^2 Нз З^3

1 Зр + 1 Зр + 1 Зр = Зр + Зр

1 Зг г Зф 1 Зг Зг Зг

Второй член характеризует молекулярную диффузию. Здесь ц - динамическая вязкость смеси,

ц - турбулентная вязкость, определяемая моделью турбулентности, I - единичный тензор, к -кинетическая энергия турбулентности, Б - тензор скоростей деформации, рассчитываемый с помощью выражения

VТ)

й = 1 (УУ + УУ'

Окончательно уравнение переноса количества движения (6) в цилиндрической системе координат в проекциях на оси г, ф, ъ запишется в виде трех уравнений:

(

Р эт

Зуг Зуг Зуг

—- + уг—- + у,—

З 1 Зг 2 Зг

'ф

Зр 2 З (( \ Зуг |

= -¥+7 Зг 1(ц + ц 1 1 +

_З_ Зг

2 З

Зу, Зуг —- + —-

Зг Зг

3 Зг

( ЗУ

к ( + и{1 З(угг )+ЗУ к-(ц + ц 1) г ""З-" + 12

- 2

Р э

13

г2 Зг

Р эт

З1

+ у,

ЗУ ф

- Я +

Зг

Зу,

Зг

ф+ ^фУт

(

Зу ф

\

Зу2

"зТ

V Зг г уу

у (

Зг

(ц + ц 1}

Зу ф

Зг

+ уг

Зу2

"ЗГ

+ у,

Зу2

"ЗГ

Зр 1 З

—— +--

З, г Зг

+ 2—|(ц + ц 1

З2 IV Н-и З,

Так как в уравнение переноса количества движения входит турбулентная вязкость ц, то к двум предыдущим уравнениям необходимо добавить выражение, включающее в себя этот параметр. Как было выше сказано, режим течения в реакторе является турбулентным. Поэтому для описания подобных течений полимер-мономерной смеси воспользуемся одной из моделей турбулентности. На сегодняшний день достаточно хорошо себя зарекомендовала двухзонная двухпараметрическая модель Ментера [1].

1

г

г

+

+

г

У

З

ф

+

+

г

У

У

У

У

г

У

Преимущество данной модели заключается в том, что она объединила в себе сильные стороны к - е и к - ю моделей. Модели типа к - е используют в основном для описания свободных сдвиговых течений вдали от стенок аппарата, а модели типа к - ю - для моделирования пристеночных течений. Модель Ментера является «суперпозицией» этих двух моделей.

В общем виде уравнение переноса турбулентной кинетической энергии к записывается следующим образом:

ЭР 8Шк

at

+ v

grad(Psmk ) =

div(( + стk|t)gradk)+ Pk -PsmP*k,

а для удельной скорости диссипации энергии ш в виде:

aP Sm " + V • grad

at

,—Pk ^Рш2 +(1-Fi)D 11

kш

В этих выражениях введены следующие обозначения:

akk

турбулентная вязкость,

11 =-Т-т

max(akш, QF2) Fi = th(arg?) - весовая функция, обеспечивающая переход от уравнений k—ш -модели у стенки к уравнениям k — в -модели во потоке. Особенность данной функции заключается в том, что она принимает значение 1 на верхней границе пограничного слоя, а при приближении к стенке стремится к 0.

arg1 = min

max

л/k 500v

0,09od' d2o

4PsmCTc»2k

' CDkffld2

- аргумент весовой функции Р|. р2 = 1И(агд2) - функция переключения, позволяющая, наряду с функцией Р|, связывать две модели течений.

2л/к

arg2

= max

0,09od

500v d ш

Л

- аргумент

функции переключения.

ОРюк = тах(Ркю,10-20) - положительная часть перекрестных диффузионных членов в уравнении переносаю,

кю= ^ю2 (Ук ).(ю),

канала.

d - расстояние до ближайшей стенки

Выражение для Ук • Ую примет вид:

Эк Эю Эк Эю

Ук • Ую =--+--.

Эг Эг Э2 Э2

Константы используемой модели Ментера стк, стш, Р и у находятся через эмпирические константы входящих в нее моделей:

CTk = FiCTki + (1 — Fi)CTk2 , = FiCT»i +(i — Fi)CT»2 Р = FiPi + (i — Fi)p2,

v = A CTfflK2 ' ~ *

Р* # '

где индексы 1 и 2 относятся к константам к—ю и к — е моделей соответственно. Тогда для пристеночных течений имеем

2

стк1 = 0,85, аю1 = 0,5, Р1 = 0,075, у1 = 4 - °ю1К

а для свободных сдвиговых течений

р* vf

Р2 стш2K

°к2 = 1, = 0,856 , р2 = 0,0828, у2 = Щт - .—

Р №

Кроме того, Р* = 0,09 , к = 0,41, а1 = 0,31.

Член генерации турбулентной энергии Рк определяется по формуле Рк = тт(ц(Б2,20р рэткю) в которой S= - второй инвариант тензора скоростей деформации,

S.= 2

aui аи. ax. axi

декартовы компоненты

тензора скоростей деформации. В цилиндрической системе координат Б2 примет вид

S2 = 2|^Vl ar

(av ф

ar

(av ФЛ

az

+2

avz "az

+ (avr + avz

V az ar

2

Для расчета турбулентной вязкости используется следующее выражение, учитывающее гипотезу Бредшоу [4] о том, что напряжение сдвига в пограничном слое пропорционально кинетической энергии турбулентных пульсаций: а^ к

11 = P

max

= P-

max

ш,

SF Л

a

Здесь Q = ^2QijQij завихренности.

Q. =1 . 2

aui auj

ax. axi

второй инвариант тензора Соответственно,

декартовы компоненты

тензора завихренности. Таким образом,

(А/ v Л2 л2 (А, Л2

Q2 =

av v л 2

ф + ф

v ar r ,

V У

az ar J az

Перепишем уравнение (10) в форме проекций на оси цилиндрической системы координат:

Э(р эт к) , „ Э(Рэтк) , „ Э(Рэтк) =

at

- + vr

- + v,

or

az

2

а

2

2

2

v

ф

+

r

2

2

+

1 Э(/ \ Эю |

7 ЭГ [(ц + стюц,)г "ЭТ Г

1 Э (( ч Эк | Э (( чЭк

- - ^ ц

+ Рк -Рэтр*юк

Аналогичные преобразования применим к уравнению (11), в результате чего получим:

Э(Р эт ю) + „ Э(Р эт ю) + „ Э(Р эт ю) =

Э,

- + V

Эг

+ V,

Эй

+ 1г((Ц + СТюЦ, ))Эю 1 + Рзт — Рк

Э21 Э2) Ц,

- рэтРю2 +

Перейдем к описанию энергетических процессов, происходящих при полимеризации этилена. Для этого воспользуемся уравнением переноса энергии, которое, основываясь на законе сохранения энергии, описывает процессы распространения теплоты в сплошной среде с учетом внешних и внутренних источников теплоты и ее потерь за счет теплопроводности:

div (р зт^'н)| =

( ЭРэтЕ

[ Э,

divfV • ^2(ц + ц,) - 1|l(div у))) + + div (( эт + Х, )gгadT )-(Аки)*

к

d '

РРэт»М

мг

Мм

+ к

Р эт^М

Р

Мм

Р эmxL

"М тМ

+ к,с Р эmxL Р эmxL + кос Р эmxL Р эт^

Здесь в левой части первый член описывает нестационарность потока, второй - конвективный перенос теплоты перемещающимися массами среды. В правой части первое слагаемое определяет диссипацию энергии, второе перенос за счет теплопроводности, а третье слагаемое учитывает изменение энергии за счет осуществления химической реакции. В уравнении (14) приняты следующие обозначения:

1

Е = О5т Т + — ^ " I - полная энергия смеси,

Н = Е +

Р

2

= О

Рэ

этрТ + -1 (

2 2 2

+ vф+

полная

энтальпия смеси, Т - температура,

ОэтР - удельная изобарная теплоемкость смеси,

Р - универсальная газовая постоянная, т - молярная масса смеси,

Оэ

прц 1

Рг,

турбулентная теплопроводность,

X эт - теплопроводность смеси, Рг, - турбулентное число Прандтля, обычно полагаемое равным константе 0,9 для течений вблизи стенки.

Для теплоемкости при давлении имеем:

Ср.топо =(1695,7 + 2,22Т - 0,189^

теплоемкость мономера, Ор.ро1у =

постоянном

- удельная

удельная теплоемкость

'р.ро!у

полимера,

Оэтр = Ор.топо^топо + Ор.ро!у (1 - ^топо) - удельная теплоемкость смеси соответственно [8].

Перепишем (14) в проекции на цилиндрическую систему координат. Тогда уравнение переноса энергии с учетом принятых допущений примет вид:

^ (ЭТ эт Эт |

РэтОэтр+ Vг - + Vz -] =

7 ЭТ (( эт +Х,V ^ ] + Э, (( эт +Х, ))Т

(-А рН)*

к,

РРэт^М

Мг

Мм

+ к,

Р эт^М Мм

Р эmx L

м тМ

+ к1с Р эmx L рэmx L + кос рэmxL Р эт^

где -АРН = 89580 Дж/моль - энтальпия реакции роста и обрыва цепи, которая принимается равной для всех реакций.

Для описания кинетики полимеризации этилена условимся считать следующие реакции за ее определяющие: реакция распада инициатора (кислорода) на радикалы, инициирование полимеризации радикалом инициатора, рост цепи полимера, а также обрыв цепи полимера за счет рекомбинации и диспропорции. Запишем уравнения баланса масс для массовых долей радикала WR, радикала инициатора wR., мономера Wм , живых и мертвых полимеров WL и WD. Также составим уравнения баланса молярных масс х; и х^ [8].

ЭР зт^2 Э,

ЭР эmWR

+ У • (р

Э,

у.(Р

)= Мр )=

- к,

Р зт^2

Мр

мг

2к рэmWR2 - к рэт^- рэmWM

МР

М

Мм

ЭРэтWM +У (р .. ... ) -Э-+ УЧР эmVMWM ) =

Мм

р эmWR• Р эт WM MR. Мм

- кг

Р эт WM Мм

р эmxL

^ + У.(р эmVLWL ) = Э[

ML к

L1

рэmWR* РэmWM

м.

мм

+ к

р

Рэг^М

Мм

MмРэmxL -

R• ""М мМ

-ktcРэmWLРэmxL - ktdРэmWLРэmxL

2

к

Фзтх

Ot

smVLXL ) -

. РsmWR* PsmWM k (P x )2

1 MR* MM ktc

- ktd

OPsmwD + V (p v w ) -Ot-+ V'( smVDWD )-

ktc p sm Wl P sm A L + ktdP sm Wl P sm A L 5PsmXD

Ot

V(P smV DX D )-

1 2 2 ;rktc

2

Скорости химических реакций кс, к1, кр, к(с и к(с рассчитываются с помощью закона Аррениуса.

Наконец, зададим граничные условия для полученных ранее уравнений. Для твердой внутренней стенки кинетическая энергия турбулентности приравнивается к нулю, а удельная диссипация вычисляется согласно следующей формуле [4]:

= Ю-6^,

Р1Ду2

в которой V эт - молекулярная

кинематическая вязкость смеси, Ду1 - величина первого пристеночного шага сетки.

Условия прилипания жидкости и непроницаемости для скорости: V = 0, т.е. Уг = 0 ,

Уф = 0, у, = 0.

Тепловые граничные условия определим следующим образом. Примем, что температура смеси внутри канала равна температуре его стенки: Тэт = Тэ(, иными словами,

ЗТ ЗТ

э^-Т^ = ^( ^эm, ^э1 - коэффициент Зг Зг

теплопроводности смеси и стенки соответственно).

Также зададим условие непроницаемости для давления, т. е. равенство нулю его производной

Зр П

по нормали к стенке: —1— = 0 .

Зг

Для твердой внешней стенки имеем:

X

5Ts

st 5r gv

(Tgv - Tst

где аду - коэффициент теплоотдачи горячей воды, Тду - ее температура.

На входе в канал при 2 = 0 ставятся граничные условия для скорости в виде заданных профилей скорости: уг (г,0) = Цг), уф (г,0) = 1ф (г) -

законы закрутки потока, V, (г,0) = 12 (г) - величина, связанная с заданным расходом потока.

Удельная диссипация кинетической энергии турбулентности будет рассчитываться по формуле:

- С

V, L

где ^, 1_ - скоростной и линейный масштабы,

характерные для данного потока, значение С выбирается из диапазона Н10 [4]. А сама кинетическая энергия определяется исходя из величины кинематической турбулентной вязкости на входе:

к = РэтЛ" 1  .

Также зададим давление р = 150 МПа и

температуру смеси: Тэт = (150 + 273) К = 423 К,

при этом Тэт = Тэ1 .

На выходе при 2 = 1_, где I- - длина канала ставим мягкие условия:

3vr . , . . —-(r,L) - 0 Oz

Ov Ф / 14 r. 3vz . , . .

—^(r,L) - 0 , —4r,L) - 0 Oz Oz

Ok. .. . Зю , . . . —(r,L) - 0 , — (r,L) - 0. Oz Oz

Выводы

Таким образом, конечная модель трубчатого реактора полимеризации этилена будет содержать уравнения (5), (9), (12), (13), (15)-(22), дополненные необходимыми граничными условиями. Очевидно, что предлагаемая модель содержит ряд допущений, однако, она позволяет с достаточной точностью описать гидродинамические, реологические, кинематические и турбулентные особенности протекания процесса полимеризации.

Литература

1. F. R. Menter, M. Kuntz, and R. Langtry "Ten Years of Industrial Experience with the SSTTurbulence Model", Turbulence, Heat and Mass Transfer 4, ed: K. Hanjalic, Y. Nagano, and M. Tummers, Begell House, Inc., 2003, pp. 625 - 632.

2. M. Hafele, I. Disli-Uslu, A. Kienle, V. M. Krishna, S. Pushpavanam, & Schmidt, C.-U. (2005). Nonlinear Behaviour of a Low-Density Polyethylene Tubular Reactor-Separator-Recycle System. In L. Puigjaner, & A. Espuna (Eds.), European Symposium on Computer Aided Process Engineering - 15 (pp. 1423-1428).

3. Дж. Бэтчелор. Введение в динамику жидкости. Пер. с англ. В.П. Вахомчика и А.С. Попова. Под ред. Ю.Г. Степанова. Изд. «Мир». М., 1973.- с. 174.

4. А.В. Гарбарук. Моделирование турбулентности в расчетах сложных течений: учебное пособие / А.В. Гарбарук, М.Х. Стрелец, М.Л. Шур. Изд-во Политехн. ун-та, СПб., 2012. - 88 с.

5. А. Зоммерфельд. Механика деформируемых сред. Пер. с нем. Е.М. Лифшица. Изд. иностранной литературы. М., 1954 - с. 476.

6. С.Б. Зотов, О.О. Тужиков, Т.П. Алейникова. Моделирование технологических процессов синтеза ВМС. Учеб. пособие/Волгоград. гос. ун-т, Волгоград, 2006. - 110 с.

7. И.Г. Климов. Радикальная полимеризация этилена в трубчатых и автоклавных реакторах// Известия

ю

Томского политехнического университета.- 2010. -Т.317. - №3. - С. 174-177. 8. М. Красник, К. Кунде, М. Мангольд. Науюж пращ Донецького национального техшчного ушверситету, серш Проблеми моделювання та автоматизацп проектування, 2011, Випуск 10 (197).

9. А.В. Поляков, Ф.И. Дунтов, А.Э. Софиев и др. Полиэтилен высокого давления: Научно-технические основы промышленного синтеза. - Л.: Химия. Ленингр. отд-ние, 1988. - 199 с.

© Ю. С. Сидорова - асп. каф. автоматизации технологических процессов и производств КГЭУ, yuliya-sid_87@mail.ru; Е. К. Вачагина - д.т.н., профессор, КНИТУ, carpenter_wowa@mail.ru; В. В. Плотников - к.т.н., доцент каф. автоматизации технологических процессов и производств КГЭУ, carpenter_wowa@mail.ru; Р. Р. Кантюков, к.т.н., заместитель главного инженера по эксплуатации магистральных газопроводов, ООО «Газпром трансгаз Казань», r-kantyukov@tattg.gazprom.ru; М. С. Тахавиев - нач. инженерно-технического центра, ООО «Газпром трансгаз Казань», m-tahaviev@tattg.gazprom.ru.

© Yu. S. Sidorova - postgraduate student, Department of Technological Processes and Production Automation, Kazan State Power Engineering University, yuliya-sid_87@mail.ru; E. K. Vachagina - Doctor of Engineering Sciences, Full Professor, Kazan National Research Technological University, carpenter_wowa@mail.ru; V. V. Plotnikov - candidate of Engineering Sciences, Associate Professor, Department of Technological Processes and Production Automation, Kazan State Power Engineering University, carpenter_wowa@mail.ru; R. R. Kantyukov, Ph.d in Engineering Science, deputy chief engineer for oil trunk pipelines operations, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», r-kantyukov@tattg.gazprom.ru; M. S. Tahaviev - chief of engeneering and technical center, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», m-tahaviev@tattg.gazprom.ru.