РАДИАЛЬНАЯ ДИФФУЗОРНАЯ ЛОПАТКА ДЛЯ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРОВ
RADIAL DIFFUSER BLADE FOR CENTRIFUGAL COMPRESSORS

Настоящее изобретение относится к компрессорам и, более конкретно, к диффузорным лопаткам для центробежных компрессоров.
Компрессор - это машина, которая ускоряет частицы газа, чтобы в конечном счете увеличить давление сжимаемой текучей среды, например газа, за счет использования механической энергии. Компрессоры используются в ряде различных областей, в том числе для работы в качестве начальной ступени газотурбинного двигателя. Среди различных типов компрессоров имеются так называемые центробежные компрессоры, в которых механическая энергия передается входящему в компрессор газу путем центробежного ускорения, например путем вращения центробежного рабочего колеса (иногда также называемого "ротором"), через которое проходит сжимаемая текучая среда. В целом, можно сказать, что центробежные компрессоры являются частью класса машин, известных как "турбомашины" или " вращающиеся турбомашины".
Центробежные компрессоры могут быть снабжены одним рабочим колесом, то есть быть одноступенчатым, или несколькими расположенными последовательно рабочими колесами, и в этом случае их часто называют многоступенчатыми компрессорами. Каждая ступень центробежного компрессора обычно содержит впускной канал (направляющий аппарат) для сжимаемого газа, рабочее колесо, которое способно придать кинетическую энергию входящему газу, и диффузор, который преобразует кинетическую энергию газа, выходящего из ротора / рабочего колеса, в энергию давления.
В частности, как показано на примерном продольном разрезе на фиг.1(a), сделанном вдоль оси компрессора в направлении потока технологического газа, ступень 100 центробежного компрессора содержит рабочее колесо 102, прикрепленное к ротору 104, за которым следуют диффузор 106 и обратный канал или выходная спиральная камера 108. В диффузор 106 поступает текучая среда с высокой скоростью из выхода рабочего колеса 102, и он вызывает замедление текучей среды, тем самым превращая динамическое давление в статическое давление. Чтобы обеспечить вид с другой точки зрения этой конструкции, фиг.1(б) показывает поперечный разрез ступени 100 компрессора, сделанный по другой оси, т.е. перпендикулярно к направлению потока технологического газа. На этом чертеже в центре изображения виден ротор 104, окруженный рабочим колесом 102, содержащим определенное количество лопаток 114. Лопатки 114 рабочего колеса могут быть присоединены, с одной стороны, к втулке 116 рабочего колеса 112, а с другой стороны, к покрывающему диску 118 рабочего колеса 102.
Настоящее изобретение в основном относится к диффузору 106. Лопаточные диффузоры 106 (т.е. диффузоры, которые имеют окружной массив профилей (диффузорных лопаток 110) вдоль проточного тракта, как лучше всего видно на фиг.1(b)), используются для достижения более высокой эффективности ступени, направляя высоко тангенциальный поток текучей среды на выходе из рабочего колеса в более радиальном направлении к выходу диффузора. В противоположность этому, некоторые центробежные компрессоры имеют безлопаточный диффузор 120, как показано на фиг.1(c). Придание потоку текучей среды более радиального направления внутри диффузора 106 с помощью лопаток сокращает расстояние, покрываемое текучей средой для прохождения через диффузор 106. Эта концепция иллюстрируется стрелками направления потока в центробежном насосе, показанном на фиг.1 (d).
Уменьшение расстояния, покрываемого текучей средой, снижает потери на трение, связанные с перемещением технологической текучей среды, и тем самым повышает эффективность компрессоров, в которых используются лопаточные диффузоры, по сравнению с компрессорами, в которых используются безлопаточные диффузоры. С другой стороны, ступени центробежных компрессоров, в которых используются лопаточные диффузоры 106, также известны своим более низким рабочим диапазоном по сравнению со ступенями с безлопаточными диффузорами.
Рабочий диапазон центробежного компрессора 100, имеющего лопаточный диффузор 106, определяется на основе, по меньшей мере частично, формы используемых лопаток 110 диффузора. Форма лопатки диффузора (или вообще любого аэродинамического профиля) может быть отражена средней линией ее профиля (т.е. линией, проведенной посередине между верхней поверхностью и нижней поверхностью лопатки диффузора), а также распределением толщины вдоль средней линии профиля. Две формы известных диффузорных лопаток показаны на фиг.2 (а) и 2 (b). Показанная на фиг.2(а) лопатка 200 диффузора имеет прямую среднюю линию 202 профиля, т.е. среднюю линию без изменения наклона, изображенную пунктирной линией между верхней поверхностью 204 лопатки диффузора и нижней поверхностью 206 лопатки диффузора.
Применение диффузорных лопаток 200, имеющих прямую среднюю линию профиля, в центробежном компрессоре является проблематичным, поскольку, например, передняя кромка лопатки диффузора такой формы является относительно высоконагруженной, и компрессор имеет относительно низкую границу помпажа.
На фиг.2(b) показана альтернативная диффузорная лопатка 208, имеющая другую форму, которая имеет итак называемую конформно-отображенную среднюю линию профиля. Показанная пунктирной линией 210 конформно отображенная средняя линия профиля между верхней поверхностью 212 и нижней поверхностью 214 может быть определена, например, с помощью координат средней линии аэродинамического профиля в прямоугольной плоскости (x, y), и полярных координатах (r, θ) в круговой плоскости, как:
<mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mo>×</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>m</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>/</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow></msup></mrow>
<mrow><mi>θ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>m</mi><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow>
3
m=Cotα
0
где r - радиус радиального положения передней кромки диффузорной лопатки,
3
α - угол абсолютной скорости у передней кромки диффузорной лопатки.
Эта форма диффузорной лопатки также приводит к некоторым недостаткам при использовании в качестве части диффузора в центробежном компрессоре. Например, используя диффузорные лопатки 208, имеющие конформно-отображенную среднюю линию в центробежном компрессоре? является проблематичным, поскольку задняя кромка лопатки диффузора с этой формой относительно высоко нагружена и компрессор имеет относительно низкий предел по дросселированию.
Соответственно, было бы желательно разработать и обеспечить диффузорные лопатки, форма которых улучшает производительность центробежных компрессоров и которые устраняют вышеупомянутые недостатки известных форм диффузорных лопаток.
Различные устройства, системы и способы в соответствии с примерными вариантами выполнения настоящего изобретения обеспечивают диффузоры, например, в качестве части турбомашины, с диффузорными лопатками, имеющими S-образные средние линии профиля. Такие S-образные средние линии определяются функциями, имеющими точку перегиба вдоль их длины, или часть таких кривых. Использование диффузорных лопаток, имеющих такую форму, приводит, среди прочего, к рабочей характеристике, при которой часть диффузорных лопаток, расположенная вблизи передней кромки, по существу не нагружена при работе в расчетных условиях, и нагрузка постепенно увеличивается до своего максимального значения к средней части диффузорных лопаток.
В соответствии с примерным вариантом турбомашина содержит роторный узел, имеющий по меньшей мере одно рабочее колесо, подшипник, соединенный с роторным узлом и предназначенный для его поддержки с возможностью вращения, и статор, содержащий по меньшей мере один диффузор, соединенный с выходной частью рабочего колеса, при этом указанный по меньшей мере один диффузор содержит диффузорные лопатки, по меньшей мере одна из которых имеет среднюю линию профиля, определенную функцией, имеющей точку перегиба.
В соответствии с другим примерным вариантом выполнения способ изготовления турбомашины включает использование роторного узла, содержащего по меньшей мере одно рабочее колесо, присоединение роторного узла к подшипниковому узлу для поддержки роторного узла с возможностью вращения и использование статорного узла, содержащего по меньшей мере один диффузор, соединенный с выходной частью рабочего колеса, при этом указанный по меньшей мере один диффузор содержит диффузорные лопатки, по меньшей мере одна из которых имеет среднюю линию профиля, определенную функцией, имеющей точку перегиба.
В соответствии с еще одним примерным вариантом выполнения диффузор содержит внутреннюю кольцевую стенку, внешнюю кольцевую стенку, пластину, расположенную между внутренней кольцевой стенкой и внешней кольцевой стенкой, и диффузорные лопатки, расположенные на пластине, причем по меньшей мере одна из диффузорных лопаток имеет среднюю линию профиля, определенную функцией, имеющей точку перегиба.
Прилагаемые чертежи иллюстрируют примерные варианты выполнения, причем:
Фиг.1(а) - 1(d) иллюстрируют уровень техники, связанный с диффузорами, используемыми в центробежных компрессорах;
Фиг.2(а) и 2(b) показывают соответственно диффузорную лопатку с обычной прямолинейной средней линией и диффузорную лопатку с конформно-отображенной средней линией;
Фиг.3 изображает примерный центробежный компрессор, в котором могут использоваться диффузоры, изготовленные в соответствии с примерными вариантами выполнения;
Фиг.4 иллюстрирует основные принципы построения аэродинамического профиля;
Фиг.5 изображает бета углы, связанные с диффузорами, выполненными в соответствии с примерными вариантами выполнения;
Фиг.6 изображает профиль диффузорной лопатки, имеющий S-образную среднюю линию профиля в соответствии с примерным вариантом выполнения;
Фиг.7 изображает график, показывающий S-образную среднюю линию профиля в соответствии с примерным вариантом выполнения по сравнению с другими средними линиями профиля;
Фиг.8 изображает график, показывающий S-образную среднюю линию профиля и ее точку перегиба в соответствии с примерным вариантом выполнения;
Фиг.9-11 изображают графики, показывающие результаты моделирования в соответствии с примерными вариантами выполнения;
Фиг.12 изображает блок-схему, иллюстрирующую способ изготовления турбомашины в соответствии с примерным вариантом выполнения;
Фиг.13 изображает диффузор в соответствии с примерным вариантом выполнения, и
Фиг.14 иллюстрирует использование кривых Безье для определения S-образной средней линии профиля в соответствии с примерным вариантом выполнения.
Следующее подробное описание примерных вариантов выполнения приведено со ссылкой на прилагаемые чертежи. Одинаковые номера позиций на разных чертежах обозначают одинаковые или аналогичные элементы. Кроме того, следующее подробное описание не ограничивает изобретение. Вместо этого, объем изобретения определяется прилагаемой формулой изобретения.
Чтобы обеспечить некоторый контекст для последующего обсуждения, связанного с диффузорными лопатками и их формами в соответствии с примерными вариантами выполнения, на фиг.3 схематично показан примерный многоступенчатый центробежный компрессор 300, в котором могут применяться такие диффузорные лопатки. Компрессор 300 содержит кожух или корпус (статор) 302, в котором установлен вращающийся вал 304 компрессора, снабженный несколькими центробежными роторами или рабочими колесами 306. Роторный узел 308 содержит вал 304 и роторы 306, поддерживаемые в радиальном и аксиальном направлениях подшипниками 310, которые расположены по обе стороны ротора 308.
Многоступенчатый центробежный компрессор 300 принимает технологический газ из входного канала 312, ускоряет частицы технологического газа с помощью работы роторного узла 308 и затем подает технологический газ через различные расположенные между степенями каналы 314 (которые включают диффузоры и диффузорные лопатки, описанные ниже) под выходным давлением, которое выше, чем давление на входе. Технологический газ может, например, быть одним из следующих газов: атмосферным воздухом, углекислым газом, сероводородом, бутаном, метаном, этаном, пропаном, природным газом или их комбинацией. Между рабочими колесами 306 и подшипниками 310 расположены уплотнительные системы (не показаны) для предотвращения протекания технологического газа к подшипникам 310. Корпус 302 выполнен таким образом, что он закрывает как подшипники 310, так и уплотнительные системы, с тем чтобы предотвратить утечки газа из центробежного компрессора 300. Специалистам понятно, что центробежный компрессор 300, показанный на фиг.3, является чисто иллюстративным и что диффузоры и диффузорные лопатки, описанные ниже, могут использоваться в других компрессорах, например в последовательных, противоточных, осевых компрессорах, центробежных насосах, турбинах, турбодетандерах и т.п.
Обратимся теперь к обсуждению диффузоров и формы их лопаток. Краткое обсуждение аэродинамических профилей и относящейся к ним терминологии поможет читателю лучше понять примерные варианты выполнения. Как показано на фиг.4, общий аэродинамический профиль 400 имеет переднюю кромку (LE) 402 и заднюю кромку (ТЕ) 404, причем передняя кромка 402 является концом профиля, которой первый контактирует с текучей средой и который тем самым разделяет текучую среду на верхний и нижний потоки, а задняя кромка 404 является другим концом профиля, где сходятся эти потоки текучей среды. Хорда 406 является прямой линией между LE 402 и ТЕ 404, в то время как средняя линия 408 профиля (также иногда называемая просто "средней линией") расположена посередине между верхней поверхностью 410 профиля 400 и его нижней поверхностью 412. Профиль 400 может иметь участок максимальной толщины 414, который может быть расположен на определенном расстоянии от передней кромки 402. Изменение этих (и других) параметров, связанных с профилем 400, будет приводить к изменениям аэродинамических характеристик.
На фиг.5 проиллюстрирована некоторая дополнительная терминология, которая имеет отношение к использованию аэродинамических профилей в качестве диффузорных лопаток 500 в диффузорной секции 502 центробежного компрессора 300. Средние линии могут, например, быть построены как функции бета углов (или изменений бета углов) по всей длине диффузорной лопатки 500. Например, ориентация диффузорных лопаток 500, а также их форма определяет входные и выходные бета углы по отношению соответственно к передней и задней кромкам диффузорных лопаток 500. Более конкретно, как показано на фиг.5, входные и выходные бета углы определяются по отношению к (1) радиусам 504, 506, связанным с окружностями или дугами и представляющим положение передней кромки и задней кромки, проведенным через них (от оси вращения вала 104), и (2) выступам (по касательной к средней линии профиля лопатки) 508, 510, связанным с текущей кривизной в рассматриваемой точке. Хотя на фиг.5 бета углы показаны только для входных и выходных точек на диффузорной лопатке 500, бета углы металлических диффузорных лопаток 500 могут также быть вычислены для любой точки между передней и задней кромками и могут быть использованы для построения средних линий, как функции распределения бета углов, как описано ниже.
В соответствии с примерными вариантами выполнения средние линии диффузорных лопаток являются S-образными, в результате чего, среди прочего, имеет место более сбалансированная нагрузка между передней и задней кромками лопатки по сравнению с вышеописанными формами диффузорных лопаток и связанными с ними средними линиями профиля. Пример диффузорной лопатки 600, имеющей S-образную среднюю линию 602 в соответствии с примерным вариантом выполнения, представлен на фиг.6. Хотя это и не легко увидеть на фиг.6, S-образная форма линии 602 является более очевидной на фиг.7, которая показывает S-образную линию 602 как функцию бета угла по всей длине лопатки 600 от передней кромки (0 по оси X) к задней кромке (100 по оси X). Для сравнения, прямая средняя линия 700 и конформно-отображенная средняя линия 702 также показаны на том же графике.
Хотя описанные в целом как S-образные средние линии, диффузорные лопатки в соответствии с этими примерными вариантами выполнения имеют средние линии, которые более конкретно определены, например, по меньшей мере алгебраическими уравнениями или функциями третьего порядка. Для сравнения, обычные лопатки диффузора, описанные выше в связи с фиг.2 (а) и 2(b), имеют средние линии, которые определяются линейными или квадратными уравнениями, то есть уравнениями первого и второго порядка. Таким образом, линии 602, связанные с диффузорными лопатками 600 по некоторым примерным вариантам выполнения, могут быть определены функциями вида:
3
2
y=ax+bx+сх+d.
где а, b, с и d являются константами.
Как будет показано ниже, однако, средние линии, связанные с диффузорными лопатками в соответствии с другими примерными вариантами выполнения, могут быть описаны функциями другого типа.
Другая S-образная средняя линия 800, связанная с диффузорной лопаткой в соответствии с примерным вариантом выполнения, показана на фиг.8. Здесь, изменение бета угла строится по длине диффузорной лопатки, выявляя снова S-образную характеристику средней линии. Характеристикой уравнений третьего порядка является то, что они имеют точки 802 перегиба, т.е. точку на функции или на графике, в которой кривизна (вторая производная) изменяет знак. В противоположность этому, функции средней линии, связанные с традиционными конструкциями, не имеют точек перегиба, как показано прямой средней линией и конформной средней линией, которые также показаны на фиг.8. Следует отметить, что все S-образные кривые, описанные здесь, не нужно использовать в создании диффузорных лопаток в соответствии с примерными вариантами выполнения, т.е. кривые могут быть срезаны и по-прежнему обеспечивать преимущества, описанные здесь. Например, часть кривой, изображенной на фиг.8 от 0,6 до 1 по оси X, может быть использована для формирования диффузорной лопатки в соответствии с примерным вариантом. Среди прочего, это обеспечивает форму диффузора, имеющую средние линии в соответствии с некоторыми примерными вариантами с Δβ величинами, которые больше, чем те, которые связаны с прямолинейной средней линией (а значит, и конформной-отображенной средней линией, как видно на фиг.8). Таким образом, специалистам будет понятно, что фраза "диффузорные лопатки, имеющие средние линии, определенные функцией, имеющей точку перегиба" включает в себя диффузорные лопатки, имеющие форму, определяемую срезанной версией таких функций, например, в том числе тех, где точка перегиба, определяемая функцией, была спрямлена.
При использовании S-образных лопаток диффузора, как описано выше, в результате разгружается часть лопатки вблизи передней кромки при расчетных условиях и нагрузка постепенно увеличивается до максимальной к средней части лопатки. Ненагруженная передняя кромка в соответствии с примерными вариантами выполнения будет меньше страдать от отрыва потока при более низких расходах, тем самым увеличивая левый предел рабочей характеристики компрессора. Эти преимущества, связанные с примерными вариантами выполнения, показаны с помощью различных результатов моделирования, описанных ниже и показанных на фиг.9-11.
Фиг.9 иллюстрирует результаты, связанные с двумя моделированиями, проведенными для (1) лопаточного диффузора с прямой средней линией, построенной как линии 910, 912, и для (2) лопаточного диффузора с S-образным профилем (на основе сигмоидной функции, как описано ниже) в соответствии с этими примерными вариантами, показанными линиями 900 и 902. Модель турбулентности, используемая в моделировании, была модель Wilcox к-w, с расчетной областью, состоящей из одного межлопаточного канала рабочего колеса (индуктор, одна лопатка с полной длиной и одна разделенная лопатка в случае рабочего колеса с разделенными лопатками) и одного межлопаточного канала диффузора. Диффузорные лопатки в этой модели были разработаны как лопатки низкой прочности. Интерфейс между вращающейся областью и невращающейся областью в этой модели был определен как 50% от расстояния между задней кромкой рабочего колеса и передней кромкой диффузорной лопатки. Вычисления, связанные с этим моделированием, проводились с общим давлением и общей температурой, указанной на входе, и массовым расходом, указанным на выходе. Предполагалось, что все внешние стенки являются адиабатическими, а протечки потока через уплотнения рабочего колеса - незначительными и не моделировались. Рабочее колесо выше по течению было смоделировано как имеющее расчетный коэффициент потока 0,0206 и периферическое число Маха 0,3.
Результаты, приведенные на фиг.9, показывают повышение эффективности примерно на 0,5 пунктов на расчетной точке центробежного компрессора и примерно на 2 пункта вблизи левой стороны рабочей кривой, т.е. при 75% потока. Этот результат имеет тенденцию подтверждать упомянутый выше вывод о том, что примерные варианты увеличивают границу по помпажу для центробежных компрессоров. Также отмечено падение эффективности на правой стороне графика по отношению к центробежному компрессору, смоделированному с диффузорными лопатками, имеющими прямую среднюю линию.
Другое моделирование, результаты которого приведены на фиг.10 и 11, было проведено по отношению к центробежным компрессорам с диффузорными лопатками с конформно-отображенными средними линиями (функции 1000 и 1100), прямыми средними линиями (функции 1004, 1104) и с безлопаточными диффузорами (функции 1006, 1106), с полученной примерной S-образной средней линией, показанной на графике как функцией 1002 и 1102. На фиг.10 показана более высокая общая эффективность примерных вариантов выполнения. В частности, это сравнение показывает, что, например, в этом варианте выполнения было повышение эффективности примерно на 1,5 процента на левой части рабочего диапазона по сравнению с центробежным компрессором с диффузорами с прямой средней линией, хотя и несколько ниже, чем эффективность компрессора с конформной отображенной средней линией. Кроме того, на правой стороне графика на фиг.10 можно видеть, что S-образная средняя линия в соответствии с примерными вариантами выполнения выполняется намного лучше с точки зрения эффективности, чем конформные отображенные средние линии, и лишь немного ниже прямой средней линии.
Подводя итог, некоторое повышение эффективности и преимущества, связанные с использованием диффузорных лопаток, имеющих S-образную среднюю линию в центробежных компрессорах, включают в себя: повышение эффективности в направлении левого (нижнего) рабочего диапазона, тем самым увеличивая предел компрессора по помпажу, лучшая или сопоставимая эффективность в расчетной точке по отношению к другим конструкциям и низкая эффективность в направлении предела по дросселированию относительно некоторых конструкций (т.е., за исключением конструкций с конформными отображенными средними линиями).
Это моделирование также показало более высокий подъем политропного напора для диффузора с S-образной средней линией в соответствии с примерным вариантом выполнения по отношению к диффузору с прямой средней линией и безлопаточному диффузору, как показано на фиг.11. При этом видно, что повышение напора на 6,5% было измерено для функции 1102 диффузора с S-образный средней линией в соответствии с примерным вариантом выполнения по сравнению с 5,2% повышением напора для функции 1104 диффузора с прямой средней линией и с 6,2% повышением напора для безлопаточного диффузора. Функция 1100 диффузора с конформным отображением показывает чуть лучший подъем напора, чем подъем в примерном варианте 1102 выполнения.
Примерные варианты также включают в себя способ изготовления турбомашины, который может быть выражен показанной на фиг.12 блок-схемой. В этой блок-схеме на этапе 1200 используют роторный узел, содержащий по меньшей мере одно рабочее колесо. Роторный узел на этапе 1202 присоединяют к подшипниковому узлу, который с возможностью вращения поддерживает роторный узел. На этапе 1204 используют статорный узел, содержащий по меньшей мере один диффузор, присоединенный к выходной части рабочего колеса и содержащий лопатки, по меньшей мере одна из которых имеет среднюю линию профиля, заданную функцией, имеющей точку перегиба.
В дополнение к производству центробежных компрессоров с диффузорными лопатками, имеющими S-образные средние линии, в соответствии с этими различными примерными вариантами выполнения, может также иметь место желание модифицировать существующие центробежные компрессоры с безлопаточными диффузорами или с диффузорами с лопатками другой формы, оснастив их диффузорами, имеющими S-образные средние линии в соответствии с примерными вариантами выполнения, чтобы, например, повысить эффективность по отношению к безлопаточным диффузорам или уменьшить сужение диапазона, связанное с существующими лопаточными диффузорами. Таким образом, примерные варианты выполнения далее планировать производство самих диффузоров для модернизации и/или ремонта существующих компрессоров.
Фиг.13 иллюстрирует примерный диффузор 1300, содержащий внутреннюю кольцевую стенку 1302, внешнюю кольцевую стенку 1304, пластину 1306, расположенную между внутренней кольцевой стенкой 1302 и внешней кольцевой стенкой 1304, и диффузорные лопатки 1308, расположенные на пластине 1306. Одна или несколько диффузорных лопаток 1308 имеют S-образную среднюю линию, т.е. линию, определяемую функцией, имеющей точку перегиба. Диффузор 1300 может быть диффузором с высокопрочными или непрочными аэродинамическими профилями. В соответствии с некоторыми примерными вариантами S-образные лопатки диффузора, обсуждаемые здесь, могут использоваться с диффузорами 1300, которые имеют более чем 10 лопаток 1308.
Как упоминалось выше, алгебраические уравнения третьего порядка могут использоваться для определения средних линий в соответствии с некоторыми примерными вариантами выполнения. Однако уравнения других типов, например, экспоненциальные уравнения, также могут использоваться для определения средних линий в соответствии с примерными вариантами выполнения. Например, сигмоидные функции или функции Гомперца также могут использоваться для определения средних линий в соответствии с примерными вариантами выполнения. Сигмоидные функции, также известные как логистические функции, могут быть выражены как:
<mrow><mi>Y</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow>
в то время как функции Гомперца имеют вид:
<mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msup><mi>e</mi><mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>−</mo><mi>b</mi><msup><mi>e</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow></msup></mrow>
Как и описанные выше алгебраические уравнения третьего порядка, эти экспоненциальные уравнения также создают функции, которые имеют точки перегиба.
Кроме того, полиномиальные функции более высокого порядка, например четвертого порядка и выше, также могут использоваться для получения той же S-формы. Кроме того, согласно другим примерным вариантам выполнения более сложные формы (с несколькими точками перегиба) могут быть специально разработаны для конкретного применения. Один из способов определения таких обобщенных кривых состоит в использовании кривых Безье. Кривая Безье, образующая S-образную форму средних линий в соответствии с примерными вариантами выполнения, может быть описана как показано на фиг.14. В этом случае, форма средней линии определяется значениями координат контрольных точек 1401 и 1402 с координатами (X1, Y1) и (X2, Y2), соответственно. Большее количество контрольных точек может использоваться для определения кривых более высокого порядка, имеющих несколько точек перегиба.
Описанные выше примерные варианты выполнения предназначены для иллюстрации в целом настоящего изобретения, не ограничивая его. Таким образом, настоящее изобретение может иметь множество вариаций в детальной реализации, которые могут быть получены из приведенного здесь описания специалистом в данной области. Все такие изменения и модификации считаются находящимися в пределах объема и сущности настоящего изобретения, как определено в формуле изобретения. Ни один элемент, действие или инструкция, используемые в описании настоящей заявки, не следует рассматривать как критическое или важное для изобретения, если это явно не описано как таковое. Кроме того, упоминание элементов в единственном числе предполагает наличие одного или более элементов.