3D-анализ напряженного состояния пористой керамики на основе диоксида циркония на начальной стадии сжатия

SD-анализ напряженного состояния пористой керамики на основе диоксида циркония на начальной стадии сжатия

В.А. Романова, P.P. Балохонов

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе представлены результаты трехмерного моделирования механического поведения пористой керамики на основе диоксида циркония на начальной стадии сжатия. Численно исследовалось напряженное состояние образцов с пористостью 12 и 40 %, при этом трехмерная пористая структура учитывалась в явном виде. Проведен качественный и количественный анализ напряженного состояния на мезоуровне. Особое внимание уделено исследованию локальных характеристик вблизи границ пор.

3D-analysis of the stress state of porous zirconia-based ceramics at the initial stage of compression

V.A. Romanova and R.R. Balokhonov

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The paper contains 3D simulation results on the mechanical behavior of porous zirconia-based ceramics at the initial stage of compression. The stress state of specimens with porosity 12 and 40 % is numerically studied, wherein the 3D porous structure is taken into account explicitly. The qualitative and quantitative analysis of the stress state at the mesolevel is carried out. Particular attention is given to the investigation of local characteristics close to pore boundaries.

1. Введение

Информация о локальных характеристиках напряженно-деформированного состояния является крайне важной для оценки надежности, долговечности и эксплуатационной способности деталей и различных элементов конструкций. При построении математических моделей композиционных материалов учет структурной неоднородности различного масштаба приобретает особое значение. В работах [1, 2] был предложен метод генерации и введения в расчеты трехмерных модельных структур различного типа (поликристаллы, двухфазные композиты, материал с трещинами), механическое поведение которых затем исследовалось методами численного моделирования [1-5].

В настоящей работе предложенный подход применяется для анализа напряженного состояния пористых керамик на основе диоксида циркония на упругой стадии сжатия. Трехмерные структуры керамик с объем-

ным содержанием пор 12 и 40 % вводятся в трехмерные расчеты в явном виде. Оценка трехмерного напряженного состояния в объеме образцов проводится с использованием приемов статистического анализа.

2. Трехмерная модель пористого композита и условия численного эксперимента

Система уравнений в динамической постановке включает уравнения движения, уравнение неразрывности и определяющие соотношения, задающие связь между тензорами деформации и напряжений в форме закона Гука. Для пространственного случая декартовой системы координат система уравнений подробно приведена в [1, 4].

Учет в явном виде внутренней структуры осуществляется через зависимость соответствующих констант материала (плотности, модулей упругости и т.д.) от пространственных координат. Построение трехмерной

© Романова В.А., Балохонов P.P., 2007

модели пористого керамического композита с явным учетом структурных особенностей (распределение пор в пространстве, учет сложной формы поровых кластеров и т.д.) является нетривиальной задачей. Если в двумерной постановке информацию о распределении структурных элементов в плоском сечении дает обработка экспериментальных металлографических изображений, то в пространственном случае введение реальной структуры предполагает наличие информации о структурном строении каждого слоя образца. Методы послойного сканирования образцов (например, [6, 7]), позволяющие получить информацию о распределении структурных элементов в объеме, как правило, сложны и дорогостоящи. Одним из способов решения данной проблемы является создание модельных структур, соответствующих строению реального материала, по геометрическим характеристикам структурных элементов (форма, размер, объемная доля, распределение в пространстве и др.).

В настоящей работе трехмерные структуры (рис. 1) были смоделированы методом пошагового заполнения (SSP-методом), предложенным в [1, 2]. Структуры с пористостью 12 и 40 % генерировались на равномерных сетках 75x90x90 и 70x85x80 ячеек. Экспериментальные данные [8] показывают, что при пористости порядка 10 % поры представляют собой изолированные полости сложной геометрии, размеры которых изменяются в диапазоне единицы-десятки микрометров. С ростом пористости наряду с изолированными полостями появляются поровые кластеры. При пористости более 30 % материал представляет собой керамический каркас с системой сообщающихся пор сложной формы. Параметры SSP-генерации были выбраны таким образом, чтобы модели отражали основные особенности реальных структур, а именно: сложную геометрическую форму пор, наличие вытянутых сообщающихся полостей, присутствие пор разного размера.

Механическое поведение модельных керамических образцов с различной пористостью исследовалось в условиях сжатия. Схема нагружения приведена на рис. 1. На верхней и нижней поверхностях образцов задавались постоянные смещения со скоростью Ucomp, имитирующие сжатие в направлении оси X 2. Для минимизации волновых эффектов, связанных с динамической постановкой задачи, скорости смещений плавно наращивались до величины Ucomp, после чего поддерживались постоянными. Остальные поверхности образца были свободны от внешней нагрузки, т.е. компоненты тензора напряжений на этих поверхностях принимались равными нулю. Граничные условия могут быть записаны в виде:

U2 | ~ ~ Ucomp ’ U2 | D2 ~ Ucomp ’ ij | Dn ~

где U2 — компонента вектора скорости в направлении оси X 2; ву — компоненты тензора напряжений; Dj и D2 — верхняя и нижняя поверхности образца; Dn — боковые грани.

Система уравнений [1, 4], дополненная граничными условиями (1), решалась конечно-разностным методом [9], адаптированным для трехмерных сред с внутренними границами. Принималось, что в рассмотренном диапазоне деформации керамический каркас демонстрирует упругую реакцию. В расчетах задавались следующие константы для ZrO2: плотность — 5.6 г/см3, модуль сдвига — 63 ГПа, модуль объемного сжатия — 212 ГПа. Поры рассматривались как материал, по своим характеристикам близкий к воздуху.

3. Анализ напряженно-деформированного состояния в объеме керамических композитов с различной степенью пористости

Воспользуемся приемами статистического анализа для количественного анализа напряженно-деформиро-

Рис. 1. Схема нагружения и модельные образцы керамики с пористостью 12 (а) и 40 % (б), сгенерированные 88Р-методом

Рис. 2. Распределение интенсивности напряжений в образцах с пористостью 12 и 40 %. Сжатие до 0.1 %

ванного состояния в образцах с различной пористостью. На рис. 2 приведены частотные распределения интенсивности напряжений в образцах. Частота встреч Q показывает процентную долю объема керамического каркаса с соответствующей степенью напряжений. Объем пор при анализе не учитывался.

Пики на кривых соответствуют наибольшей частоте встреч соответствующей величины напряжений. Хотя уровень напряжений в обоих образцах изменяется примерно в одинаковых пределах — до 710 МПа при пористости 12 % и до 740 МПа при 40 % (табл. 1), характер распределения интенсивности напряжений существенно отличается. Средняя интенсивность напряжений в образцах с содержанием пор 12 и 40 % при одинаковой степени сжатия составляет соответственно 153 и 119 МПа. Причем одинаковый уровень напряжений при низкой пористости демонстрирует существенно больший объем керамического каркаса, чем в образце с высокой пористостью, о чем свидетельствуют более узкие пики. Сделанные выводы качественно подтверждаются распределениями интенсивности напряжений, приведенными на рис. 3. Очевидно, что более низкий уровень напряжений в образце с высокой пористостью обусловлен наличием внутренних свободных поверх-

о,,„, МПа

500

250

0

Рис. 3. Интенсивность напряжений на поверхности образцов с пористостью 12 (а) и 40 % (б). Степень сжатия 0.1 %

ностей, что приводит к частичной разгрузке керамического каркаса на начальных стадиях сжатия. Однако при более высоких степенях деформации вытянутые поро-вые кластеры могут привести к потере устойчивости керамического каркаса [10].

Важную информацию с точки зрения оценки локальных характеристик несут ветви частотных распределений, расположенные в нижней части оси ординат (рис. 2). Эти участки кривых отражают характеристики напряженного состояния в областях концентрации. Более подробные частотные кривые для областей концентрации напряжений приведены на рис. 4. Чем круче участок кривой суммарной частоты, тем больший объем материала демонстрирует уровень напряжения в данном диапазоне, тогда как уровень напряжений, соответствующий пологим участкам, наблюдается лишь в единичных случаях. Следует отметить, что в обоих образцах объем областей с высокой концентрацией напряжений составляет менее 0.05 % от общего объема керамического каркаса и не вносит существенный вклад в величину средних напряжений. Однако именно в этих областях при дальнейшем нагружении может произойти зарождение трещин. Поэтому анализ неоднородного напряженно-деформированного состояния на мезоуров-не становится особенно важным с точки зрения предсказания разрушения. Очевидно, что наиболее высокая

Таблица 1

Средние и экстремальные значения компонент тензоров напряжений при сжатии до 0.1 %

Пористость 12 % Пористость 40 %

а„, МПа У Среднее Максимальное Среднее Максимальное

Отрицательное Положительное Отрицательное Положительное

°11 1.8 -234 138 0.99 -103 125

°22 -146 -739 58.1 -114 -744 96.9

°33 -0.04 -177 132 -1.76 -122 87.5

°12 0.035 -145 152 0.33 -111 106

°13 -0.003 -66.5 60.3 0.003 -52.5 51.8

°23 0.12 -129 150 -0.066 -104 128

153 - 710 119 - 740

300 400 500 600 700

Интенсивность напряжений о,,. МПа

Рис. 4. Суммарные частоты встреч ае^ в образцах с различной пористостью в области концентрации напряжений

концентрация напряжений наблюдается вблизи границ пор (рис. 3). Величина напряжений в областях концентрации обусловлена несколькими факторами, включая разницу в упругих характеристиках керамического каркаса и поры, геометрическую кривизну границы и ее ориентацию по отношению к приложенной нагрузке. В этой связи интересно отметить, что в образце с 40% пористостью несмотря на большую протяженность и объемную долю границ доля материала с высокой концентрацией напряжений существенно меньше, чем в образце с низкой пористостью. В данном случае свободные поверхности вытянутых пор играют положительную роль, частично разгружая приграничный материал.

Проанализируем вклад, вносимый в напряженное состояние различными компонентами тензора напряжений (рис. 5). Количественные характеристики средних и экстремальных значений различных компонент напряжений и деформаций приведены в табл. 1. Очевидно, что в обоих образцах наибольший вклад в интенсивность напряжений вносит компонента О22, направленная вдоль оси сжатия. Средние значения остальных компонент близки к нулю, что с макроскопической точки зрения аналогично плоскому напряженному состоянию. Вместе с тем, в локальных областях, а именно вблизи границ пор, значения всех компонент тензора напряжений отличны от нуля и сравнимы со средним

-750 -200 -100 0 100

Компоненты тензора напряжений crtJ. МПа

уровнем напряжений (табл. 1). Более того, все компоненты а у принимают как отрицательные, так и положительные значения. Напомним, что отрицательные значения диагональных компонент тензора напряжений соответствуют сжатию, а положительные — растяжению. Отсюда можно сделать вывод, что вблизи границ пор существуют локальные области, испытывающие растяжение, сжатие, сдвиг в различных направлениях по отношению к приложенной нагрузке. Интересно отметить, что даже компонента О22 принимает в единичных областях положительные значения. Это говорит о том, что в локальных областях материал испытывает растяжение даже в направлении приложенного сжатия.

4. Заключение

Трехмерное моделирование поведения керамических образцов с различной степенью пористости на упругой стадии сжатия позволяет сделать следующие выводы.

1. Наличие ярко выраженных внутренних границ раздела приводит к существенному отклонению локальных характеристик напряженно-деформированного состояния от средних значений.

2. Вблизи границ пор реализуется сложное напряженное состояние, так что существуют области материала, испытывающие сжатие, растяжение, сдвиг, поворот и т.д. в различных направлениях по отношению к приложенной нагрузке, включая направление вдоль оси сжатия. Данные области соизмеримы между собой по занимаемому объему, а локальные значения соответствующих компонент тензора напряжений могут в несколько раз превышать уровень внешнего сжимающего напряжения.

3. Чем выше пористость, тем ниже средний уровень и максимальная концентрация всех компонент тензора напряжений, однако тем выше максимальные значения интенсивности напряжений.

4. Хотя объемная доля материала с высокой концентрацией напряжений составляет лишь десятые и сотые доли процента и слабо влияет на величину макроскопических напряжений, именно в этих областях воз-

-750 -200 -100 0 100

Компоненты тензора напряжений МПа

Рис. 5. Распределение компонент тензора напряжений в образцах с пористостью 12 (а) и 40 % (б). Степень сжатия 0.1 %

можно зарождение трещин при последующем нагружении. Выбор критерия разрушения имеет особое значение.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00592а) и Российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE), проект № Т0-016-02.

Литература

1. Romanova V, Balokhonov R., Makarov P., Schmauder S., Soppa E. Simulation of elasto-plastic behaviour of an artificial 3D-structure under dynamic loading // Comput. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. -No. 3-4. - P. 518-528.

2. Романова В.А., Балохонов P.P., Карпенко Н.И. Моделирование механического поведения материалов с учетом трехмерной внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 2. - С. 71-79.

3. Romanova V.A., Soppa E., Schmauder S., Balokhonov R.R. Meso-mechanical analysis of the elasto-plastic behavior of a 3D composite-structure under tension // Computational Mechanics. - 2005. - V. 36. -P. 475-483.

4. Pоманова В.А. Исследование деформационных процессов на поверхности и в объеме материалов с внутренними границами раз-

дела методами численного моделирования // Физ. мезомех. -2005.- Т. 8. - № 3. - C. 63-78.

5. Pоманова В.А., Балохонов P.P. Исследование напряженно-деформи-

рованного состояния в мезообъеме Al/Al2O3 с учетом трехмерной внутренней структуры // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. - № 11. - С. 61-77.

6. Jensen D.J. Microstructural characterization in 3 dimensions // New Challenges in Mesomechanics: Proceedings of Int. Conf., Aalborg, Denmark, 2002 / Ed. by R. Pyrz, J. Sch^dt-Thomsen, J.C. Rauhe, T. Thomsen, L.R. Jensen. - P. 541-547.

7. Buffiere J., Maire E., Cloetens P., Lormand G., Fougwes R. Characterization of internal damage in a MMC using X-ray synchrotron phase contrast microtomography // Acta Mater. - 1999. - V. 47. - P. 16131625.

8. Буякова С.П., Хлусов И.А., Кульков С.Н. Пористая циркониевая керамика для эндопротезирования костной ткани // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. выпуск. - Ч. 2. - С. 127-130.

9. Уилкинс М. Конечно-разностная схема для решения задач, зависящих от трех пространственных координат и времени // Численные методы в механике жидкостей. - М.: Мир, 1973. - С. 115119.

10. Кульков С.Н., Буякова С.П., Масловский В.И. Структура, фазовый состав и механические свойства керамик на основе диоксида циркония // Исследование физико-химических процессов в порошковых материалах при статическом и динамическом нагружениях: Вестник ТГУ. - 2003. - № 13. - С. 34-56.

Поступила в редакци.

18.09.2006 г.