О КЛАССАХ СОПРЯЖЕННОСТИ В ГРУППЕ 3 D4 (q)

УДК 512

С.В. Лещева, Н.В. Юрова О КЛАССАХ СОПРЯЖЕННОСТИ В ГРУППЕ 3Д

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Данная статья является очередным шагом в решении проблемы, согласно которой неединичный класс сопряженности в конечной простой неабелевой группе содержит коммутирующие элементы. Ранее это утверждение было проверено для спорадических, проективных Ln (q) и знакопеременных групп An, а также для

групп Ри 2G2 (q) и Сузуки 2B2 (q). Ряд серий простых конечных групп остается непроверенным, среди которых имеются ортогональные 02n+i(q), 02n(q)± , унитарные Un(q) и симлектические Sp2n(q). В этой работе для одной из исключительных серий конечных простых групп 3D4 (q) проверяется справедливость выше упомянутого утверждения.

Ключевые слова: группа Шевалле, классы сопряженности, конечная простая группа, коммутирующие элементы, централизатор.

Проблема, частный случай которой рассматривается в данной статье, состоит в следующем: в простой конечной (не циклической) группе неединичный класс сопряженности содержит коммутирующие элементы. Гипотеза о наличии коммутирующих элементов возникла при изучении так называемой теории конечных леводистрибутивных квазигрупп, при исследовании бинарных систем G(o) с тождеством левой дистрибутивности (1):

X о

Привлекательность тождества левой дистрибутивности состоит в том, что в бинарной системе G

квазигруппа, то даже и автоморфизм. Данное направление основательно изучено в работе [1]. Описание всех конечных простых групп всегда было одной из главных целей математиков, работающих в теории групп. Одним из крупнейших достижений в теории групп является классификация простых конечных групп [2]. Согласно которой, любая конечная простая группа либо изоморфна одной из 26 так называемых спорадических групп, либо принадлежит одному из следующих трех семейств.

1. Циклические группы простого порядка Z (единственные простые группы, являющиеся абелевыми).

2. Знакопеременные группы A перестановок не менее 5 элементов.

3. Простые группы типа Ли, а именно:

а) классические группы Ли над конечным полем, а именно, группы Шевалле (линейная Ln (q), симплектическая SP2n (q), ортогональная On (q) и унитарная группы

Un (q) );

б) исключительные и скрученные формы групп типа Ли (включая группу Титса).

В фундаментальной работе В.М. Галкина, Л.Н. Ерофеевой, С.В. Лещевой гипотеза проверяется для спорадических, проективных Ln (q) и знакопеременных групп A [3]. Проверка гипотезы о существовании коммутирующих элементов в произвольной конечной простой неабелевой группе для исключительной группы G (q) и скрученных групп Ри 2G (q) и

© Лещева С.В., Юрова Н.В.

Сузуки 2В (я) изложена в трудах [4] и [5] соответственно. В статье [6] это же утверждение проверено для симплектической группы ЗР4 (я).

В исследовании наибольшую трудность представляет рассмотрение множества вариантов, возникающих при индуктивном подходе. Проблема сводится к исследованию групп небольшой размерности. Исключительные группы трудны тем, что они не допускают «хороших» матричных представлений. В частности, это касается и группы (я), которая замечательна и сама по себе. Она получается так называемым «скручиванием» из ортогональной группы О (я), которая обладает специфическим автоморфизмом «тройственности», отличающим эту группу от всех остальных.

Приведем необходимые для дальнейшего некоторые определения и обозначения.

1. Представление групп Шевалле с помощью образующих и соотношений [7].

Пусть V - евклидово пространство со скалярным произведением (а, р), определенным обычным образом.

Подмножество Ее V называется системой корней в пространстве V, если выполнены следующие условия:

а) Е - конечное множество, порождающее пространство V и не содержащее нулевого вектора;

б) для любого вектора а еЕ^-а еЕ и па £Е, для п е 2, п ф +1;

в) (а, р) = 2(а, ¡)/(Р, ¡) е 1 для V а ,5 еЕ ( (а, ¡) называется числом Картана);

г) Е инвариантно относительно всех отражений ^а (а еЕ), wQ, - отражение относи-

2

тельно гиперплоскости, ортогональной к а, т.е. wаv = V - ^—г-а .

Группа Ж, порожденная всеми отражениями wа, является конечной группой и называется группой Вейля. Группы Шевалле связаны с диаграммами Дынкина из теории простых комплексных алгебр Ли.

Подмножество 0сЕ называется базисом системы Е, если 0 - базис векторного пространства V и все корни 5 е Е записываются в виде линейных комбинаций 5 = ^ таа с це-

ае0

лыми коэффициентами та, имеющими один и тот же знак (то есть все ша > 0 или все та < 0). Вместо слова «базис» также используется термин система простых корней,

а элементы множества 0 называют простыми корнями. Известно [7], что для всякой системы корней существует базис. В диаграмме (схеме) Дынкина простые корни служат вершинами графа, в котором две вершины а и р соединены ({а, ¡) (¡,а) ) ребрами. Каждая диаграмма

Дынкина определяет систему корней соответствующей группы Шевалле с точностью до изоморфизма. Верно и обратное. Построенная таким образом универсальная группа Ше-валле может иметь центр. Простые группы получаются факторизацией по нему. Описание центра можно найти в [7].

2. Пусть V- конечномерное векторное пространство над конечным полем к = Г . Для

построения ортогональной группы О (Я) используется невырожденная симметричная форма (х, у) . Эта конструкция, правда, пригодна лишь при нечетном я . В общем случае исходным объектом является квадратичная форма Q(х), то есть квадратичная форма координат вектора

х е V в фиксированном базисе. В нечетной характеристике Q(х) = 1(х, х), но при четном я

получить Q(х) из билинейной формы нельзя. Это обстоятельство создает дополнительные трудности при работе с ортогональными группами в характеристике 2. Предполагая я четным, вводим форму (х, у) равенством (2):

Она оказывается билинейной, причем (x, x) = 0.

В случае dim V = 2n требуем невырожденности этой билинейной формы (то есть она должна быть симплектической). Будем в этом случае говорить о невырожденности формы Q(x).

Если же dim V = 2n +1, то форма (x, y) заведомо вырождена. Требуется, чтобы эта вырожденность была «минимальной». Именно, чтобы вектора а с (a,x) = 0 для Vx е V (ортогональные к х) образовывали одномерное пространство Vх с V, кроме того, чтобы ограничение Q(x) на V ^ было ненулевым. При выполнении этих условий Q(x) будем считать невырожденной. Общая ортогональная группа это подгруппа в Ln (q) ( n = dim V ) преобразований, сохраняющих невырожденную квадратичную форму Q(x) .

Ортогональная группа O8+ выделяется из остальных ортогональных групп наличием внешнего автоморфизма третьего порядка. Это обстоятельство обеспечивает существование группы 3D (q) из заголовка.

Для описания этого автоморфизма удобно рассматривать группу O+ как группу Ше-валле, построенную по графу Дынкина (рис. 1).

1

Рис. 1. Группа Шевалле, построенная по графу Дынкина

Вершины (корни) 1,2,3,4 этого графа являются векторами из евклидового пространства R с ортонормированным базасом Так,

1 = 6 - е2,

2 = 6 - ^

3 = е3 - е4,

4 = 6 + 64.

Другие корни имеют вид (3):

± ег ±

Они являются целочисленными комбинациями корней 1, 2, 3, 4. Например, максимальный положительный корень е + 6 = 1 + 22 + 3 + 4, где 22 означает, что корень 2 входит в линейную комбинацию дважды.

Группа 08+ или в стандартных обозначениях групп Шевалле DA строится над полем к образующими ха(;), t е к, а — корень, известный соотношениями [7]. В частности, корневая подгруппа Ха () подчиняется соотношению (4):

+ и) = Ха

2

а так называемые картановские элементы /а () с параметром ? Ф 0 мультипликативные по аргументу ?.

Перестановка вершин 1 ^ 3 ^ 4 ^ 1, 2 ^ 2 в графе Дынкина индуцирует перестановку корневых подгрупп ха ^), осуществляющую нужный внешний автоморфизм третьего порядка ф группы D4.

Выбирая в качестве поля k конечное поле F 3 из q3 элементов, определяем «скручивание» в D4 как автоморфизм, переводящий xa(?) в Хф(а}({9). Здесь ф ^ ф(а) указанная выше перестановка корней с помощью «графового» автоморфизма. Подгруппа неподвижных элементов в D4 построенного автоморфизма «скручивания» и есть группа 304 (9) или группа Стейнберга. Эта группа оказывается простой.

Необходимые структурные результаты о группе 3Д, (9) можно найти в [8-12], хотя не

все результаты из этих статей снабжены доказательствами. Соответствующие сведения будут далее приводиться в процессе доказательства основного результата этой статьи.

Теорема. Неединичный класс сопряженности в группе 3Д( (9) содержит коммутирующие элементы.

Доказательство

Доказательство разбивается на три этапа соответственно трем типам элементов: полупростым, унипотентным и смешанным. Каждый класс сопряженности, не считая единичного, состоит из элементов только одного из отмеченных типов.

Полупростые классы

Полупростой элемент содержится в некоторой абелевой подгруппе, называемой максимальным тором. С точностью до сопряженности (правда, иногда с использованием расширения основного поля) максимальный тор вкладывается в картановскую подгруппу

Н =< На(г)>,

в которой каждый элемент имеет вид

/ = К(ч)К(12) /з(1з)НА(1А).

Следующая таблица, взятая из [8] дает информацию о классах максимальных торов.

Таблица 1

Классы максимальных торов

Т Т 0 Т1 Т Т 2 Т Т 3 Т Т 4 Т5 Т 6

Х Х9-1 X 3 (9 1)( 9-1) X 3 (9 +1)( 9-1) X 2 X X 2 9 +9+1 9 -9+1 X 2 92 -9+1 X 294-92 +1 X, х X , 9+1 9+1

А2 X2 Х X2 ^2 Х ^2 34(3) 312(3) X, А2

В первой строчке табл. 1 перечисляются все семь классов Тг (г = 0,...,6) максимальных торов.

Во второй указывается строение каждого тора. Символ ^ здесь означает циклическую группу порядка п, а X2 = X х X.

В третьей строчке указывается нормализатор тора в группе 3Д (д), точнее факторгруппа N(Т) / Т нормализатора N(Т) по группе Т .

Здесь следует привести некоторые пояснения. Фактор-группа N(Т) / Т служит так называемой группой Вейля тора Т. Ее элементами являются элементы группы Вейля Ж для группы Д, составленные из произведений элементов вида \ , где

ю Ня(()мГ1 = Н ,„,(?).

а р V / а (р) V /

Корень (Р) является результатом «отображения» р от а :

Юа (Р) = р-(а, р)а", где (а, р) - скалярное произведение в Я4.

В группе Вейля Ж(Т) тора включаются лишь те элементы Ж, которые оставляют инвариантной группу 3 Д (д). Во всех группах Ж (Т) есть элемент, который переводит при вложении Т в картановскую подгруппу Н элемент На (?) в Н^ (?). Таковым является произведение отражений от четырех взаимно перпендикулярных корней, например 1, 3, 4 и 1+2+3+4. Но Н а (?)На (?) централизует каждую корневую подгруппу в силу соотношения Яв [7, С. 32]:

На

Поскольку группа 3Д (д) проста, то

Н-а(?)= (На (?))-1 элементы торов сопряжены со своими обратными.

Это доказывает часть теоремы в случае, если элемент х тора Т не является инволюцией. Если же х2 = 1, что для полупростого элемента включает нечетность д, то здесь можно сослаться на результат Л. Н. Ерофеевой [3], по которому в любой простой группе класс инволюций содержит коммутирующие элементы.

В прочем, можно дать и непосредственное доказательство, которое мы опустим. Этим рассмотрение полупростых элементов закончено.

Унипотентные элементы

В табл. 2 дается информация о классах унипотентных элементов в 3 Д (д), взятые из [9, 10].

Классы унипотентных элементов

Таблица 2

щ и 2 щ и4 и5 иб и Щ

(д - (д - (д -

неч.) чет.) чет.)

д12(дб -1) д10(д2 -1) 2д8(д2 + д +1) 2д8(д2 - д +1) д6 д4 2д 4 2д 4

В первой строке табл. 2 перенумерованы классы унипотентов, а во второй указаны порядки централизаторов этих классов. Ни в [9], ни в [10] не указаны представители классов. Их можно найти в [11], но только для нечетного д.

Поскольку для нечетного д все централизаторы имеют разные порядки, то каждый унипотент сопряжен со своим обратным. Инволюции здесь исключаются, а поэтому случай нечетного д рассмотрен.

При четном д некоторую трудность вызывает исследование классов щ и и%. Утомительные выкладки с использованием разложения Брюа дают следующую картину:

1. Классы щ и и2 это классы инволюций с представителями х2(1) и (1)х3(1)х4(1), каковые появляются и в нечетной характеристике.

2. Классы щ, и4, щ содержат элементы четвертого порядка, а потому элемент каждого из этих классов сопряжен со своим обратным.

3. Классы щ, щ состоят из элементов восьмого порядка. Если х элемент из этих

3 5 7 /

классов, то из четырех элементов х, х , х , х (их централизаторы имеют тот же порядок 2д4) по крайней мере, два попадают в один класс. Перебор всех вариантов показывает, что х сопряжен с одним из трех оставшихся степеней. Например, если х3 ~ х5, то х9 = х ~ х15 = хИнволютивные классы щ и щ2 можно исключить опять же с помощью теоремы, рассмотренной в работе [3].

Смешанные элементы

Как известно, смешанный элемент х разлагает в произведение коммутирующих множителей

х =

где 5 - полупрост, а щ - унипотент. Унипотент щ лежит в централизаторе С(5") полупростой части х . В табл. 3 приводится информация о 5,щ и С(5) , взятая из [10, 8].

Таблица 3

Взаимосвязь 5, щ и С

5 С

52 щ, , щ, щ ^ (БЬ2(Я3) о 5112(4)) • 22 д нечетно

53 щ2 (5Ь2(д3) о гдА) • й Л1

54 щ, щ (24 2+?+1 о 5Ь,(я)) • I+

55 щ (БЬ^) о +1) • й д > 3

57 Щ (2д3-1 о 5Ь2(4 )) • й

59 щ, щ4 (22- 4- о 5из(4)) • I

510 (2чз+1 о ад) • й

Здесь

й = ^(2,?-1), 1~ = ^(з,д2±?+1).

Символы А о В и А • В означают центральное произведение групп А и В и А расширение с помощью В. Унипотентная части х = 5щ лежат в подгруппах централизаторов типа БЬ2 (д3) о БЬ2 (д) и т.д. Поэтому достаточно проверять наличие коммутирующего с х сопряженного с ним элемента в таких группах. Для этого используем следующую лемму.

Лемма. Пусть J < О - центральный нормальный делитель в группе, р - простое и (р, J) = 1. Если р - элемент сопряжены и, V е О и коммутируют в факторгруппе О/ J, то они коммутируют и в О.

Доказательство

Имеем

ху = ухе, с е J.

Отсюда следует, что

т т т

х у = ух с .

Если взять т = рк такое, что хт = 1, ст = 1 и с = 1, т.к. Л не делится на р.

Возвращаясь к смешанному элементу х = ли, имеем, согласно результатам из [3], что унипотент и коммутирует с некоторым сопряженным в группах (д3), (д) и по выше сформулированной лемме также в БЬ2 (д3) и ^^ (д). По лемме сопряженность и коммутируемость имеет место и в С(х) . Наконец, и и можно заменить на ли , что не меняет заключения.

Рассуждения же проходят при л = 57 и л = 510.

Во втором случае (д) разрешима при д = 2, но это препятствие легко преодолевается просмотром классов сопряженных элементов группы 3 Д (2) в Атласе [13].

Случай л сводится к установлению наличия коммутирующих элементов в группе ЗД (д). В действительности это так, но, избегая длинных выкладок, приведем идею проверки.

Если выбрать базис е,, е2, е3 в трехмерном пространстве V над полем ¥ 2 и построить унитарную метрику следующим образом:

(е1; е1 ) = (е2; е2 ) = ^ (е1; е2 ) = (е3; е3 ) =1, е3 ^ е1, е2,

то унипотенты опишутся матрицами вида

(1 а ъ\

о 1 о о - ъ 1

, а,ъ е ¥2,ъ = Ъд.

Они составляют абелеву группу - силовскую подгруппу ЗД (д). Сопряжения подходящими картановскими (диагональными) элементами и приводит к доказательству утверждения.

Таким образом, рассмотрение смешанных элементов закончено.

Библиографический список

1. Ерофеева, Л.Н. L-группоиды / Л.Н. Ерофеева. - дисс. канд. физ.-мат. наук. - СПб, 2004. - 10 с.

2. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д. Горенстейн. - М.: Мир, 1985, - 352 с.

3. Галкин, В.М. Коммутирующие элементы в классе сопряженности / В.М. Галкин, Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева // Известия вузов. Математика. - 2016. - № 8. - С. 12-20.

4. Ерофеева, Л.Н. О простой группе Ри 2G2(q) / Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева, Н.В. Мохнина, Н.В. Юрова // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - 2017. - № 3(118). - С. 24-27.

5. Галкин, В.М. Коммутирующие элементы в классах сопряженности в группе Сузуки B2(q) / В.М. Галкин, Н.В. Мохнина, Н.В. Юрова // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - 2017. - № 3(119). -С. 45-49.

6. Юрова, Н.В. О классах сопряженности в симплектической группе SP4(q) // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - 2018. - № 4(123). - С. 56-60.

7. Стейнберг, Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг. - М.: Мир, 1975, - 263 с.

8. Kleidman, Peter B. The Maximal Supgroups of the Steinberg Triality Groups 3D4 (q) and of their automorphism groups / Peter B. Kleidman // Journal of Algebra, 1988. - P. 182-199.

9. Spaltenstein, N. Caracters unipotes de D4(q)(F) / N. Spaltenstein // Comment. Maht. helvetici, 1982. - P. 676-691.

10.Derisiotis, D.I. Character table and blocks of finite simple Triality groups 3D4 (q) / D.I. Derisiotis,

G O. Michler // Trausactious of the Amer. Maht. Soc., 1987. - P. 39-49.

11.Himstedt, F. Character tablos of parabolic Subgroups of Steinberg Triality Groups / F Himstedt // Tech. Univ. Munchen. F. Math. Report TUM M 0407, 2004.

12. Лещева, С.В. О ф-структуре на группе 3D4 (q) / С.В. Лещева, О.В. Суворова // Известия вузов. Математика. - 1999. - № 10. - С. 19-22.

13.Conway, I.H. Atlas of finite Groups / I.H. Conway. - Oxford, 1965, - 252 р.

Дата поступления в редакцию: 21.02.2019

S.V. Leshchеva, N.V. Yurova ON CONJUGACY CLASSES OF THE GROUP 3D4

Nizhny Novgorod state technical university n. a. R. E. Alekseev

Purpose: There is the conjecture that every conjugacy class of finite simply group contains the commuting elements. The conjecture for the group 3D4 (q) is verified.

Design/methodology/approach: Information on the conjugacy classes of 3D4 (q) is using. Findings: This result is a stage of the testing of the general conjecture.

Research limitations/implications: Methods of this paper may be used for the investigation the other groups. Originality/value: The result is new.

Keywords: chevalley groups, conjugacy classes, finite simple group, commuting elements.