Разработка адаптивных процедур агрегирования показателей в многокритериальных задачах оптимального выбора

УДК 681.3

РАЗРАБОТКА АДАПТИВНЫХ ПРОЦЕДУР АГРЕГИРОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО ВЫБОРА С.Ю. Белецкая, Д.В. Иванов, В.С. Назаренко, Д.Н. Лицман

Рассматриваются рандомизированные алгоритмы векторной оптимизации и стратегии их использования для формирования агрегированных показателей в многокритериальных задачах

Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, адаптивный подход, рандомизированные алгоритмы

Одним из наиболее распространенных подходов к решению задач многокритериальной оптимизации является свертка локальных критериев в обобщенный агрегированный показатель. В настоящее время разработаны различные стратегии настройки весовых коэффициентов критериев в многокритериальных задачах. При этом широко используется адаптивный подход к агрегированию показателей, при котором настройка весовых коэффициентов осуществляется в процессе поиска оптимального решения на основе информации ЛПР [1,2,3] .

Задачи многокритериальной оптимизации обобщенно могут быть сформулированы следующим образом:

/,

X еО

где X = (%1 ,...,хп) - вектор варьируемых параметров модели; /а( X ) - частные критерии оптимальности; О - область допустимых решений.

Аддитивная свертка локальных критериев имеет следующий вид:

i=1

min

X<=D

где аа - весовые коэффициенты, для которых выполняется следующее условие:

Наиболее простой в реализации подход к определению весовых коэффициентов критериев заключается в вычислении для каждого частного критерия оптимальности /а(Х), 1 = 1,...,т коэффициента относительного разброса [2]:

3 = А = 1 - ,

Белецкая Светлана Юрьевна - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-77-04 Иванов Денис Вячеславович - ВГТУ, аспирант, тел. (473) 243-77-04

Назаренко Виталий Сергеевич - ОАО «Вымпелком», ведущий системный аналитик, тел. (473) 243-77-04 Лицман Дмитрий Николаевич - ВГТУ, аспирант, тел. (473) 243-77-04

где £ = тіп /(X) , = тах/(X ) .

ХеБ ХеБ

Параметр 5і определяет максимально возможное отклонение по і-му частному критерию. При этом весовые коэффициенты а получают наибольшее значение для тех критериев, относительный разброс которых в допустимой области Б наиболее значителен:

a =-

(i =1,...,m).

14

к=1

Если все fi ф0, i=1, 2,..., m , можно рассмат-

ривать коэффициенты

b(X) =

fi(X) - f-

fr

которые характеризуют отклонение а-го частного критерия оптимальности от его наименьшего значения.

В работах [4,5] рассматривается стохастический подход к решению многокритериальных задач оптимального выбора. При этом весовые коэффициенты аа рассматриваются как вероятности Ра привлечения критериев к процессу поиска оптимального решения:

F(X) = I Pifi(X)  mi

i=1

min ,

XsD

Для перестройки вероятностей быть использована процедура:

N+1

pN + wflN

1 + л

N

i = 1,...,m,

где N - номер итерации, w.

N

л

N

параметры,

значения которых определяются на основании предпочтений ЛПР.

На очередном N-м шаге для оптимизации выбирается критерий t, которому соответствует максимальная вероятность:

N N  \

pt = max pt , г = 1, m .

s

и

Остальные критерии переводятся в систему ограничений. В результате формулируется и решается задача следующего вида:

ХеОЫ

= {Х\Х е О;/(X) £ дЫ, а = 1т , а Ф Г}.

Полученный вектор анализируется ЛПР. На основе информации, полученной от ЛПР, происходит определение очередного значения р? по формуле (4) и выбор нового главного показателя

гЫ

Л (X) .

Признаком окончания процесса перестройки вероятностей р? может служить выполнение условия:

N

і (рк - р г)2

N и ірк

__________ р = к=N - $

’ Рі

$ $ где $ - несколько последних итераций.

&2 = к=N - $

, і = 1,...,т .

2

Если О,- < е, а = 1,т , то можно считать, что

*

вероятности приняли установившиеся значения ра . При этом параметр е задается пользователем.

На основании установившихся значений веро-

*

ятностей Ра производится агрегирование показателей и решение полученной скалярной задачи:

Р(Х) = і р\1(Х)  тіп

і= 1

Предварительно критерии нормируются по

схеме:

= f,<X) - ,

а fГx

где /атп(X) и /атах(X) - минимальное и максимальное значения а-го критерия.

В рассмотренной итерационной процедуре перестройка вероятностей (4) осуществляется на основании субъективных предпочтений ЛПР. Обобщенная структуризация информации о предпочтениях ЛПР представлена на рисунке.

Отсутствие информации о предпочтениях ' ЛПР

ИНФОРМАЦИЯ ЛПР

Разделение критериев внутри группы

1 г і г 1

Выделение главного критерия Разделение критериев на группы Упорядочивание критериев по значимости

Отсутствие структур изации

Назначение

весовых

коэффициентов

критериев

Выделение главного Ранжирование критериев

критерия в группе в группе

Структуризация информации о предпочтениях ЛПР

N

Варианты настройки параметров и 1 в

итерационной процедуре (4) зависят от имеющейся информации о предпочтения ЛПР.

Если ЛПР на очередной ?-й итерации может выделить наиболее существенный показатель

X), то параметр можно определить сле-

дующим образом:

= 1, м>? = 0 "а = 1,т, а Ф ^.

В случае, если возможно ранжирование критериев по значимости, может быть использована следующая схема [6]:

N &

wi =-

т-1

} =0

Здесь где О > 1 - степень предпочтительности показателей, определяемый ЛПР.

Возможет вариант, когда ЛПР определяет не один, а г наиболее существенных показателей. При

N

этом параметр можно определять следующим образом:

N 1 , т - г

». = —+-------г, 1є ^1

т тг2

WN =

m

mr

г g Jo

где ^ - множество существенных показателей; ^ - множество второстепенных показателей.

Если среди существенных критериев ^1 может быть выделен наиболее значимый показатель /к(X), для определения параметра wN может использоваться схема:

wj = s •

1

h -1 + s

, h = Ji\, j g Ji , j ф к

s

N

wk =5-Т- , , ,

к -1 + о

где О - степень предпочтительности ^го показателя, к - число существенных показателей. Параметр 5 при этом определяется следующим образом:

r 2 + m-

s = -

mr

Если внутри группы ^1 все показатели можно упорядочить по значимости, для перестройки пара-

N

метра wу используется следующая процедура:

wN = s

h-г

где s =

r 2 + m-

h = J

mr

h-1

Z°]

j=0

В случае отсутствия информации о предпочте-

ниях ЛПР параметр wN можно выбирать в зависимости от отклонения а-го показателя /а(X) на данной итерации:

g fN-1 - fN

,,N = gi где gN =£j_ J j

m

Z g

j=1

где

f

j

Параметр l процедуре (4) перестраивается по следующей схеме [2] :

1

Г = 1 -1ехр(— ).

N

Здесь ^ = 1, если на двух последовательных шагах оптимизационного процесса выбирался один и тот же главный показатель /. При этом значимость данного критерия повышается за счет увеличения

1. В противном случае ^ = -1.

Рассмотренные адаптивные процедуры векторной оптимизации позволяют совмещать анализ множества проектных вариантов и выявление предпочтений ЛПР с поиском оптимального решения.

Работа выполнена в рамках государственного контракта №14.В37.21.2105 от 14.11.2012 г.

Литература

1. Ларичев О.И. Свойства методов принятия решений в многокритериальных задачах индивидуального выбора // Автоматика и телемеханика, 2002. №2. - С. 146157.

2. Батищев Д.И. Оптимизация в САПР / Д.И. Батищев, Я.Е. Львович, В.Н. Фролов. Оптимизация в САПР. -Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997. 416 с.

3. Анохин А.М. Методы определения коэффициентов важности критериев / А.М. Анохин, В.А. Глотов // Автоматика и телемеханика, 1997. № 8. - С. 3-35.

4. Растригин Л.А. Адаптивные методы многокритериальной оптимизации / Л.А. Растригин, Я.Ю. Эйдук // Автоматика и телемеханика, 1985. №1. - С. 5-25.

5. Дискретно-непрерывные модели оптимального проектирования / А.И. Каплинский, Я.Е. Львович и др. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1997. 109 с.

6. Белецкая С. Ю. Информационная основа формирования адаптивных алгоритмов векторной оптимизации // Информация и безопасность: Научно-технический журнал. Воронеж, 2005. № 1. С. 43-48.

Воронежский государственный технический университет ОАО «Вымпелком», г. Воронеж

THE DEVELOPMENT OF ADAPTIVE PROCEDURES OF THE INDICATORS AGGREGATION IN OPTIMAL CHOICE MULTICRITERIA PROBLEMS S.Yu. Beletskaya, D.V. Ivanov, V.S. Nazarenko, D.N. Litsman

The vector optimization randomized algorithms and the strategy of their use for aggregate indicators formation in multicriteria problems are considered

Key words: multicriteria optimization, adaptive approach, randomized algorithms

r

r