Об одной полулинейной математической модели соболевского типа высокого порядка

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.9

БОІ: 10.14529/ттр140210

ОБ ОДНОЙ ПОЛУЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

В статье исследуется полулинейная математическая модель соболевского типа высокого порядка с относительно спектрально ограниченным оператором. Данная математическая модель строится на основе уравнения соболевского типа высокого порядка и условий Коши. В работе используются метод фазового пространства и теория относительно ^-ограниченных операторов, разработанные Г. А. Свиридюком. При исследовании невырожденной математической модели используется подход, предложенный С. Ленгом; в статье он обобщается на дифференциальные уравнения высокого порядка. В работе рассмотрено два случая. В первом, когда оператор при старшей производной по времени является непрерывно обратимым, используются методы теории дифференцируемых банаховых многообразий и доказывается однозначная разрешимость задачи Коши. Во втором случае, когда оператор при старшей производной по времени имеет нетривиальное ядро. Как известно, задача Коши для уравнений соболевского типа принципиально не разрешима при произвольных начальных данных. В связи с этим возникает задача построения фазового пространства уравнения как множества допустимых начальных значений, содержащего решения уравнения, и изучения его морфологии. В данной работе для вырожденного уравнения строится локальное фазовое пространство.

Ключевые слова: фазовое пространство; уравнение соболевского типа; относительно спектрально ограниченный оператор; банахово многообразие; касательное расслоение.

Введение

Полулинейные математические модели соболевского типа, часто возникающие в приложениях, представимы в виде

где операторы Ь,М Є £(Я; $), N Є Сте(Я; и, $ ~ банаховы пространства.

Данная статья является продолжением работы [1], в которой рассмотрен случай п = 2. В зависимости от вида оператора Ь уравнение может быть как регулярным, так и сингулярным, второй случай более интересен для нас. Он возникает, в частности, когда ядро Ь

го типа. Математические модели на их основе будем называть математическими моделями соболевского типа.

Как известно, задача Коши для уравнения соболевского типа не разрешима при произвольных начальных данных. На наш взгляд, наиболее плодотворным (если считать уже

Е.В. Бычков

и(п) (о) = ик, к = 0,1,...,п — 1,

Ьи(п) = Ми + N (и),

имеющиеся приложения) подходом к изучению таких уравнений является метод фазового пространства, основы которого были заложены Г.А. Свиридюком и Т.Г. Сукачевой [2] при изучении полулинейного уравнения соболевского типа первого порядка. Суть этого метода заключается в редукции сингулярного уравнения (2) к регулярному, определенному, однако, не на всем пространстве, а на некотором его подмножестве, содержащем допустимые начальные значения, понимаемом как фазовое пространство исходного уравнения.

Нашей целью является распространение идей данного метода на случай полулинейного уравнения соболевского типа высокого порядка. При исследовании мы существенно опираемся на теорию неполных линейных уравнений соболевского типа высокого порядка с (Ь,р)-ограниченным оператором М [3]. Теория относительно ограниченных операторов нашла свое продолжение в теории относительно радиальных операторов в применении к разрешимости полулинейных уравнений соболевского типа [4]. Кроме того, данная теория применяется к исследованию задач оптимального управления [5]. В статье мы также опираемся на теорию дифференцируемых многообразий [6].

1. (Ь, ^-ограниченные операторы

Пусть И, $ — банаховы пространства, операторы Ь, М € £(И; $).

Определение 1. Множество

рЬ(М) = {ц € С :(цЬ — М)-1 € С($; И)}

называется Ь-резольвентным множеством оператора М. Множество С\рь(М) = аь(М) ЬМ

Определение 2. Оператор-функции (цЬ — М)-1, = (цЬ — М)-1Ь, Ь^ = Ь(рЬ — М)-1

с областью определения рь(М) называются, соответственно, резольвентой, правой резольвентой, левой резольвентой оператора М относительно оператора Ь (короче, Ь-

ЬЬ

Определение 3. Оператор М называется (Ь, а)-ограниченным, если

За> 0 Чц € С : (\ц\ > а) ^ (ц € рь(М)).

М

Р = 2ЫЯ"М‘)ЛХид = Ь,!Ь>(М )ЛЛ

г г

являются проекторами в пространствах И и соответственно. Здесь Г = {Л € С : \А\ = г > а}.

Положим И0 = кег Р, $° = кег Q, И1 = ш Р, $1 = ™ Обозначим через Ьк

сужение оператора Ь (М) на подпространство Ик, к = 0,1.

М

(г) операторы Ьк, Мк € С(Пк; $к), к = 0,1;

(гг) существует оператор М-1 € С(д°;И0);

(ггг) существует оператор Ь-1 € С(Ъ1; И1);

В условиях теоремы 1 построим операторы Н = М°-1Ь° € £(И°) и 5 = Ь-1М1 € С(И1).

Определение 4. Точка ж называется устранимой особой точкой, полюсом порядка р € N существенно особой точкой Ь-резольвенты оператора М, если Н = О; Нр = О, Нр+1 = О; Ня = О при всех д € N соответственно.

Замечание 1. В дальнейшем устранимую особую точку будем называть полюсом порядка Ь М

ограниченным, если точка ж является полюсом порядка р € {0} и N его Ь-резольвенты.

2. Дифференцируемые банаховы многообразия

Пусть М — Ск-многообразие, моделируемое пространством И. Обозначим через ТМ касательное расслоение многообразия М, а через ТпМ - касательное расслоение порядка п. Множество ТМ имеет естественную структуру гладкого Ск-^многообразия, моделируемого пространством И, в силу построения, а касательное расслоение ТпМ является многообрази-Ск-п к > п

Обозначим через П — каноническое проектирование с касательного расслоения порядка I на касательное расслоение порядка I — 1, прпче м I = 1, 2,...,п, — проектирование с

касательного расслоения порядка I на многообразие М, т.е. .. .п1.

Рассмотрим кривую а : 1 ^ М класса Ся, (з < к, 1 — некоторый интервал содержащий нуль). Поднятием кривой а в ТМ называют кривую а1 : 1 ^ ТМ, что п1а1 = а. Мы всегда предполагаем, что з > п, так что поднятие кривой принадлежит классу з — 1 > 1. Аналогично, поднятием порядка I кривой а в Т1 М назовем кривую а1 : 1 ^ Т1 М, что а1 = а, так что поднятие кривой порядка I принадлежит классу з — I > 1. На основе определения дифференциального уравнения второго порядка [6] введем

Определение 5. Дифференциальным уравнением порядка п на многообразии М назовем такое векторное поле (класса С к-п(к > п) на касательном расслоении Тп-1 Ш, что для всех V € Тп-1М выполнено равенство

Пп((у) = V.

Из определения следует, что ( точно тогда является дифференциальным уравнением порядка п, когда выполнено следующее условие: каждая интегральная кривая в для ( является каноническим поднятием порядка п — 1 кривой П^-1 в- Другими словами

«-1в)п-1 = в.

МИ

векторного поля на Тп-1М главная часть

/ : Тп-1М ^ Ип

имеет п компонент / = (/1, /2,..., /п^ отображает Тп-1М в И.

Утверждение 1. [6] Отображение / класса Ск-п точно тогда является главной чап

/ (91,д2, ...,§п) = (92,дз,... ,дп,/п(д1,д2,.. .,дп)).

Следуя [6], сформулируем и докажем

Теорема 2. Пусть М банахово Ск-многообразие (к > п), ( - дифференциальное уравнение порядка п класса Ск-п. Тогда для любой точки (и°,и1,... ,ип-1) € Тп-1М существует

единственная кривая и € С1((—т,т); М), т = т(и°,и1,... ,ип-1) > 0 I > п, лежащая в М, проходящая через точку (и°,и1,..., ип-1) такая, что

и(п) = /п(и,и,и,...,и(п-1')) „

и(к\0) = ик, к = 0,...п — 1.

Доказательство. Поскольку Тп-1М — это Ск-п+1-многообразпе, ( — векторное поле класса С1 на Тп 1М, то для любой точки (и°,и1,... ,ип-{) € Тп 1М, существует единственная интегральная кривая ф(Ь),Ь € (—т,т), проходящая через точку (и°,щ,... ,ип-{) {ф(0) = (и°,и1,..., ип-1)). Представим кривую в виде п компонент и будем рассматривать ее локально

ф(ь) = (и(Ь),и1(Ь),..., ип-1(Ь)) € М х Ип-1.

Согласно утверждению 1, если / — главная часть дифференциального уравнения £, то

Ф = (и(г),щ(г),.. .,йп(ь)) = /(щ(г),и2(г),.. .,и,п-1(ь)) =

= (и2(г),.. .,ип-1(г), /п(и1 (г),и2(г),.. .,ип-1 (г))).

Следовательно, дифференциальное уравнение можно переписать в более привычном виде

и(г) = и1(г),

П1(Ь) = и2(Ь),

ип-1(г) = /п(и(г),щ(г),.. .,ип-1(г)).

Следовательно, и(п\ь) = /п(и(Ь), и1(Ь),... ,ип-1(Ь)). Делая обратную подстановку, получим

и(п) = /п(и, и, и,..., и(п-1)).

Таким образом, кривая (п*ф)(Ь) = и(Ь),Ь € (—т,т), лежит в М и удовлетворяет (3). >

3. Математическая модель соболевского типа высокого порядка

Возвращаясь к задаче (1)—(2), введем определение решения

Определение 6. Вектор-функцию и € Сп((—т,т);И), удовлетворяющую уравнению (2) при некотором т € М+, назовем решением этого уравнения, а если решение удовлетворяет

и

Определение 7. Множество ф назовем фазовым пространством уравнения

кег Ь = {0}

уравнению

и(п) = Р (и),

где оператор Р = Ь-1(М + N) € Сте(И) по построению. Существование единственного решения и задачи (1), (2) при любых (и°, щ,..., ип-1) следует из теоремы 2.

Пусть кег Ь = {0} и оператор М(Ь, 0)-ограничен, тогда в силу теоремы 1 уравнение (2) можно редуцировать к эквивалентной ему системе уравнений

{ 0 = (1 — 0)(М + Ю(ии° + и1),

\ и1

где и1 = Ри, и0 = (I — Р)и.

Введем в рассмотрение множество М = {и € И : (I — Q)(Mu + N (и)) = 0^. Пусть М = 0, то есть существует точка и° € И, положим и°1 = Ри € И1. Будем говорить, что множество М в точке и° является банаховым С ^многообразием, если существуют окрестности О С М

и О1 С И1 точе к и° и и^ соответствен но и С к-диффеоморфизм 5 : О1 -+О такой, что 5 1

Р О М Ск

моделируемым пространством

И1 Ск

своей точке.

Пусть выполнено условие:

О ° С И°

О1 С И1 точек и° = (I — Р)и°,и^ = Ри° соответственно, и оператор В € С^(О1; О°) такой, что и10 = В(у^. Построим оператор 5 = I + В : О1 М, 5(и1) = и°. Тогда оператор 5-1 О1 М Р

5[О1\ = Ос М. Таким образом, доказана

Лемма 2. Множество М = {и € И : (I—Q)(Mu(и)) = 0} при выполнении (5) является С^ многообразием в точке и°.

Подействуем производной Фреше п-го порядка 5(^1 и2 и„) на второе уравнение системы (4). Тогда, так как

5(У,п2,...,ип)и1^п) = е5(и1)) И 5(и1) = и,

получим задачу вида (3), где Р(и) = 5(^1 у2 уП)Ь—1 Q(M + N)(и).

В силу теоремы 2 справедлива

Теорема 3. Пуст ь оператор М (Ь, 0)-ограничен, опера тор N € С те(И; 3”)- Тогда для любых начальных условий (и°,и1,... ,ип-1) € Тп-1М при выполнении условия (4), существует

М

Литература

1. Замышляева, А.А. Фазовое пространство полулинейного уравнения Буссинеска / А.А. Замышляева, Е.В. Бычков// Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 18 (277), вып. 12. - С. 13-19.

2. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева// Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 250-258.

3. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева// Дифференциальные уравнения. - 2006.- Т. 42, № 2. - С. 252-260.

4. Сагадеева, М.А. Существование и устойчивость решений полулинейных уравнений соболевского типа в относительно радиальном случае / М.А. Сагадеева// Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2013. - № 1. - С. 78-88.

5. Манакова, И.А. Об одной задаче оптимального управления с функционалом общего вида / И.А. Манакова, А.Г. Дыльков// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. - № 4(25). - С. 18-24.

6. Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Денг.- М.: Мир, 1967. - 203 с.

7. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг.- М.: Мир, 1980. -232 с.

Евгений Викторович Бычков, кафедра «Уравнения математической физики>, ЮжноУральский государственный университет (Россия, г. Челябинск), bychkov42@gmail.com.

Поступила в редакцию 26 февраля 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software",

2014, vol. 7, no. 2, pp. 111-117.

MSC 35A01 DOI: 10.14529/mmpl40210

On a Semilinear Sobolev-Type Mathematical Model

E. V. Bychkov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, bychkov42@gmail.com

This article studies a semilinear Sobolev-type mathematical model whose operator is relatively spectrally bounded. The mathematical model consists of a semilinear Sobolev-type equation of high order and initial conditions. We apply the phase space method and the theory of relatively spectrally bounded operators developed by Sviridyuk. We use Leng’s method for nondegenerate equations and extend it to higher-order equations. The two cases are considered in this article. In the first case the operator L at the highest time derivative is continuously invertible, and we prove the uniqueness of solutions to the initial value

L

and it is known that the initial value problem with arbitrary initial data has no solution. This raises the problem of constructing and studying the phase space for the equation as the set of admissible initial data containing solutions to the equation. We construct the local phase space for the degenerate equation.

Keywords: phase space; Sobolev-type equation; relatively spectrally bounded operator; Banach manifold; tangent bundle.

References

1. Zamyshlyaeva A.A., Bychkov E.V. The Phase Space of Modified Boussinesq Equation. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software”, 2012, no. 18

2. Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. [The Phase Space of a Class of Operator Equations of Sobolev Type]. Differentsial’nye uravneniya [Differential Equation], 1990, vol. 26, no. 2, pp. 250-258.

3. Sviriduyk G.A., Zamyshlyaeva A.A. The Phase Space of a Class of Linear Higher-Order Sobolev Type Equations. Differential Equation, 2006, vol. 42, no 2, pp. 269-278. DOI: 10.1134/S0012266106020145

4. Sagadeeva M.A. A Existence and a Stability of Solutions for Semilinear Sobolev Type Equations in Relatively Radial Case. The Bulletin of Irkutsk State University. Series "Mathematics", 2013, no. 1, pp. 78-88.

5. Manakova N.A., Dylkov A.G. On One Optimal Control Problem with a Penalty Functional in General Form. The Journal of Samara State Technical University. Series "Physical and Mathematical Sciences", 2011, no. 4

6. Leng S. Introduction to Differentiable Manifolds. Springer-Verlag, N. Y., 2002.

7. Nirenberg L. Topics in Nonlinear Functional Analysis. New ed. (AMS), N. Y., 2001.

Received February 26, 2014