Уравнения движения лёгкоплоскостной модели и условия квазиклассичности

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №1_

ФИЗИКА

УДК 532.55

Академик АН Республики Таджикистан Ф.Рахими, Х.О.Абдуллоев*, Х.Р.Шарипов*

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЁГКОПЛОСКОСТНОЙ МОДЕЛИ И УСЛОВИЯ

КВАЗИКЛАССИЧНОСТИ

Президиум АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет

Изучены физические свойства одномерных магнитных солитонов, необходимые для предсказывания их вклада в значения экспериментально наблюдаемых величин. Показано, что метод спиновых когерентных состояний приводит к уравнению движения, которое обладает устойчивыми стационарными решениями и не допускает поворота спина в результате нелинейного самосжатия пакета. Предлагается точный вариант условия квазиклассичности применения уравнений движений.

Ключевые слова: магнетик - спин - намагниченность - анизотропные магнетики - модель Гейзен-берга.

Как известно, нелинейные явления в магнетиках определяются нелинейным характером динамики намагниченности. В магнетиках могут существовать нелинейные явления, как с взаимодействием собственных колебаний магнитной системы, так и обусловленные воздействием на магнетик переменного магнитного поля. Ряд таких эффектов, например явления детектирования, усвоения преобразования частоты переменного поля, возникают при любых величинах амплитуды переменного поля и обусловлены нелинейным характером динамики намагниченности для одного возбуждаемого полем типа колебаний. Эти явления носят ряд принципиально важных эффектов, таких как насыщение ферромагнитного резонанса, нелинейное резонансное поглощение, параметрическое возбуждение магнетика переменным магнитным полем и т.д. [1-3].

Все перечисленные выше нелинейные явления могут быть описаны в терминах взаимодействия элементарных линейных возбуждений магнитных систем - магнонов. Подтверждением этому является тот факт, что при экспериментальном изучении ряда квазиодномерных магнетиков наблюдались эффекты, которые оказалось возможным объяснить лишь с привлечением представлений о магнитных солитонах. В связи с этим весьма актуальным представляется изучение физических свойств одномерных магнитных солитонов, необходимое для предсказывания их вклада в значения экспериментально наблюдаемых величин [3,4]. Так для ряда моделей изотропных и анизотропных магнитоупорядоченных кристаллов получены точные решения нелинейных уравнений спиновой динамики, и некоторые наблюдаемые эффекты описывались в терминах этих решений, то есть магнитных солитонов.

Среди исследуемых объектов значительное внимание уделяется существенно анизотропным магнетикам, в частности случаю анизотропного типа (лёгкая ось или лёгкая плоскость).

Адрес для корреспонденции: Рахими Фарход. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр.Рудаки 33, Президиум АН РТ. Е-та11:/гаН1т12002@таИ.ги.

В предложенной работе исследуются особенности классического поведения квантовых статических моделей.

Рассмотрим два типа процедуры перехода от квантового описания к классическому полевому. Первый основан на бозонизации исходного гамильтониана системы с помощью преобразований Холштейна-Примакова (ПХП) и дальнейшем усреднении по когерентным состояниям и второй - на усреднении исходного гамильтониана по когерентным состояниям [4,5].

Большое внимание уделялось важности анализа симметрии, как исходного гамильтониана, так и основного состояния квантовой системы. Показано, что применение различных типов процедуры сведения и исходной квантовой системы приводит к различным классическим моделям [5-9]. Исследуется возможность соответствия этих моделей на примере лёгкоосной ХХ2 модели Гейзенберга. Далее мы рассмотрим возможность соответствия на примере лёгкоосного и лёгкоплоскостного вариантов модели Гейзенберга.

Рассмотрим изотропную лёгкоплоскостную модель Гейзенберга следующего вида

н=-Кл^+• г^п^п+х+Jзs:s:+1).

п

Учитывая малость различия обменных интегралов, имеем:

ап

Л = 3 о +у Ри, где к=1,2,3...,

Н = -3о ^ ВД+1 - у Е (РБ^^ + р2б щб у+1 + р^л,),

где а0 - постоянная решетки, в - степень анизотропии.

Используя Б^ = БХ ± гБу , соотношение (2) можно перепись в виде:

Н = 3 о Е

1 (БЙ Би+1 + Б+ Би+1 )+ БпБп

Н2 = _а1 (Р+Р2) ^

2

4

(Бя Бя+1 + Б+ Б-+1)+ Р1 Р2 (БЙ Б ++1 + Бп Б-+1)+ п Ъп БпБп

Р + Р

4Р3 п^г

Р +р2

где соотношение (3) соответствует изотропной модели, а соотношение (4) представляет собой анизотропную добавку.

Рассмотрим изотропную модель Гейзенберга 3=0, для чего используем лишь нелинейные члены, содержащие производную невысокого порядка. В результате чего получим уравнение движения следующего вида:

а

3Бап

= а-8а-

а\а\

(

Б

8-

1

Л

4Ба02 ,

4 2 ___

3 а\а\ а\ал аа2 а а г +- I I + _!_Х---^ +-^

8Ба2 2Б2 Б 2Б 2Б

п

п

2

В случае модели основных когерентных состояний, ограничиваясь нелинейностью не выше второго порядка, получим уравнение движения следующего вида:

. а „

г-= а—оа -о-

&а0 х Б

\2( I

а 1—

Б

V У

Б

Обратим внимание на то, что в соотношении (5) ПХП при первом исчезающем члене взаимодействия коэффициент содержит разность (О — у 2 ), где первый член соответствует основному

/ а^

приближению, а второй член возникает из упорядочения бозе-операторов.

Видно, что даже при 5>0 локализация спиновых волн может смениться их делокализацией, следовательно, система лёгкой плоскости может перейти в систему типа лёгкой плоскости в точке

О — у 2 (назовем её критической), то есть / а^

О-а2 < — или О < — .

0 4Б

Это, в общем, противоречит ситуации в точно решённом варианте анизотропной модели Гей-зенберга, так как в ней лёгкоосное упорядочение начинается с ¿=0+е, и она не содержит критической точки при ¿>0 (6). Модель (6) (спиновые когерентные состояния) также не содержит критической точки.

Полученное противоречие указывает на то, что условия квазиклассического приближения для спиновых анизотропных моделей не

О>> 1, а ¿£>>1.

Поэтому члены порядка ^^ ^ далее рассматриваться не будут (их можно учесть как малые поправки).

а\а? /

Сравнивая соотношения (5) и (6), замечаем, что при ¿=0 «квантовым» членом 1 2 ,

возникшем из-за упорядочения операторов, можно пренебрегать, если

а\а\ а а

1 х1 >> 1 1

Б 4БХ

или к2а2 >> —,

1_ 4Б

где к0 - характеризует градиенты функции а(х^). Условия (9), называемые условиями квазиклассичности, в более общем виде можно записать

тах

Рассмотрим теперь случай лёгкой плоскости 3<0. Поскольку в основном состоянии вектор намагниченности лежит в лёгкой плоскости, направим вдоль него ось квантования. При этом гамильтониан на ПХП имеет вид:

Н = 3Ба01

К —

I «I 2

|2 а + а2 а--

2

1 -

а

2Б

При спиновых когерентных состояниях получим

Н = 2Ба311

И2

(1+йТ

23,

-(Р +Р2 - 2Рз )-

(Р -Рг) И + И

.

Положив Р1=Р3=0, Р2=3, тогда гамильтониан (12) описывает лёгкоплоскостную модель, причём ось квантования г лежит в лёгкой плоскости. Гамильтонианы (11) и (12) порождают следующие уравнения

г-= а +—(а-а)--а\а\ +--а +--а а

30Ба0 " 2У 7 2Б 11 8Б 8Б 11

и = И -2И-И)2

2Ба^ 3 д

8И-И), 8

1+ И2 2 1+ И2 2 1 +И2

И

где

г = Р2.

3„

Решения (13) вблизи основного состояния а=0 описывают прецессию вектора спина вокруг оси намагничивания. В терминах у основное состояние также у=0, поэтому при описании «слабой» прецессии можно учесть в (14) члены не выше кубического и перейти от у к а по соотношении а

И =

42Б

сс 8 / _ч 8 | .г 8 _| .г 8 з

г-= осгг-\—(а-а)--а\а \ л--а\а\ н--а.

XX О V /ос1х1 /1С11 /1С

• 0

2

2S

4S

4S

Из уравнений (15) и (13) следует, что структуры обеих моделей одинаковы с точностью до численных коэффициентов при кубических членах.

Общее решение уравнений (15) и (13) в первом случае вблизи стационарного состояния

а

'Б

представим в виде односолитонного решения:

2

1

и

/a

Таким образом, можно заключить, что:

1. условия применимости преобразований Холштейна-Примакова (а также спиновые когерентные состояния) есть не Б>>1, а ¿-Б>>1;

2. системы ХП и СКС в случае легкой оси могут быть сведены друг к другу только в низшем порядке по взаимодействию;

3. в этом порядке оба подхода с помощью кубического уравнения Шредингера описывают одинаково классическую самолокализацию либо спиновых волн вблизи установившихся состояний, либо (с меньшей точностью) быстро движущихся волновых пакетов.

Первый метод можно применить и в этом случае, однако при правильном выборе оси квантования, отдавая себе отчёт в том, что численные коэффициенты должны быть найдены из каких-то дополнительных соображений. То есть полученные таким образом модели носят феноменологический характер. Для описания немалых спиновых отклонений от основного состояния уравнения, полученное с помощью спиновых когерентных состояний, представляется более адекватным, чем то, которое получено с применением преобразований Холштейна-Примакова, поскольку при достаточно больших значениях 8>>1 (классическая система) первое точно переходит в классическое уравнение Ландау-Лифшица [3,4]. А при промежуточных значениях 8 спиновые когерентные состояния с хорошей точностью восстанавливают квантовый собственный вектор исходного гамильтониана.

Подчеркнём, что обсуждаемые нами уравнения справедливы при малой анизотропии О ~ а^ .

В противном пределе использование обеих процедур вряд ли можно считать оправданным.

В заключение отметим, что бозонизация по Холштейну-Примакову правильно описывает взаимодействие спиновых волн [7-9] только в низком порядке, то есть по полю.

С другой стороны, в этом порядке существуют стационарные устойчивые состояния только для одномерных моделей. Для высших порядков мы имеем либо коллапс, либо раздутые пакеты, пер-

вый процесс заведомо не может соответствовать исходным приближениям -—— < 1.

Метод спиновых когерентных состояний приводит к уравнению движения, которое обладает устойчивыми стационарными решениями и не допускает переворота спина в результате нелинейного самосжатия пакета.

1. Makhankov V.G., Myrzakulov R., Makhankov A.V. - Physical Scripta, 1987, 35, p.233.

2. Маханьков В.Г., Маханьков А.В. Спиновые когерентные состояния, преобразования Холштейна-Примакова для моделей Гейзенберга и статус уравнения Ландау-Лифшица. - ОИЯИ, р12-87-295,

2

\а\

Поступило 02.12.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

Дубна, 1987.

3. Абдуллоев Х.О., Маханьков А.В. О квазиклассическом описании анизотропного магнетика Гей-зенберга. - ОИЯИ, р17-87-461, Дубна, 1987.

4. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка, 1983, 189 с.

5. Абдуллоев Х.О., Маханьков А.В., Хакимов Ф.Х. Классические нелинейные модели в теории конденсированных сред: - Душанбе, 1989, 189 с.

6. Yang C.N., Yang C.P. - Phys.Rev., 1966, 150, рр.231-327.

7. Classey R.T. - Theory of Math. Physics, 1977, v.189, pp.1794-1797.

8. Абдуллоев Х.О., Рахимов Ф.К., Шарипов Х.Р.. Некоторые коллективные возбуждения в молекулярных кристаллах. - Вестник ТГНУ, 2013, с.74-79.

9. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский Ф.С. Спиновые волны. - М.: Наука, 1967.

Ф.Рахимй, ^.О.Абдуллоев*, Х.Р.Шарипов*

МУОДИЛАИ ХАРАКАТИ МОДЕЛИ ХАМВОРИАШ САБУК ДАР ШАРОИТИ

ШИБХИ КЛАССИКИ

Раёсати Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Донишго%и миллии Тоцикистон

Хосиятхои физикии солитонхои магнитии якченака, ки барои пешгуии хиссаи онхо дар бузургихои мушохидашаванда хангоми озмоиш заруранд, омухта шудааст. Нишон дода шуд, ки усули холати когерентии спинй ба муодилахои харакате меорад, ки халхои статсионарии усту-вор дошта, ба гардиши спин хангоми фишурдашавии даста рох намедихад. Инчунин, тархи аники шароити шибхи классикии истифодаи муодилаи харакат пешниход гардидааст. Калима^ои калиди: магнетик - спин - магнитнокшави - магнетищои анизотропи - модели Гейзен-берг.

F.Rahimi, Kh^Abdulloev*, Kh.R.Sharipov* EQUATIONS OF THE MOVEMENT OF EASILY PLANE MODEL AND CONDITION OF QUASICLASSICALITY

Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, Tajik National University Physical properties of one-dimensional magnetic solitons, necessary for predicting of their contribution to values of experimentally observed sizes are studied. It is shown that the method of spin coherent states leads to the equation of the movement which possesses steady stationary decisions and spin as a result of nonlinear self-compression of a package doesn't allow to turn. The exact option of a condition of quasiclassicality of application of the equations of movements is offered. Key words: magnetic - spin - magnetization - anisotropic magnetics - Heisenberg's model.