Педагогические подходы, целеполагание и взаимовлияние основных концепций профессионального математического образования

УДК378.147

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ, ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ И ВЗАИМОВЛИЯНИЕ ОСНОВНЫХ КОНЦЕПЦИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

© Ф.Н. Богатырев, М.А. Вейт

Bogatyrev F.N., Veit M.A. Pedagogical approaches, establishing the goals and inter-influence of the basic conceptions of professional mathematical education. The article suggests the comparative analysis of the following conceptions of professional mathematical education: conception of integration of didactic units, professionally and pedagogically centered conceptions, new conceptual approaches (system of special and methodical training of the teachers of profiled schools; conceptions of modeling scientific researches while studying mathematics).

Концепция укрупнения дидактических единиц (УДЕ). Разработана П.М. Эрдниевым и его коллегами в 60-х гг. Потенциал теории УДЕ возрастает и в вузовской системе: 1) в контексте процессов интеграции в образовании; 2) в задачах планирования «родственных» предметов; 3) в проблемах создания метазнаниевых курсов. УДЕ - раздел учебного процесса из логически различных, но обладающих информационной общностью элементов, приобретающий свойства системности, целостности, устойчивости во времени, быстрого проявления в памяти. В дидактике математики идея укрупнения наиболее разработана: математика имеет максимальную взаимосвязь понятий, фактов, методов (посредством их систематизации и обобщения, выявлением аналогий) - всего наполняющего содержание УДЕ. Идея укрупнения рассматривается как часть философской проблемы целостности: подчеркиваются важность выделения основных структурных единиц, смысл которых проявляется в контексте системного анализа [3]. В дидактике: УДЕ рассматривается, прежде всего, с позиций обобщения и систематизации знаний. В психологии: быстрое и качественное усвоение большого объема информации возможно лишь укрупнением единиц усвоения, формированием теоретических обобщений и их систем (Д.Б. Эльконин). При изучении процесса формирования целостного представления об изучаемом объекте: С.Л. Рубинштейн, исследуя структуру умственной деятельности, выделил в качестве ее единицы действие, А.Н. Леонтьев ввел понятие укрупнения единиц деятельности [1, 2]. В педагогике: структурные единицы выделяются при описании процессов обучения и воспитания: «педагогический акт» (А. С. Макаренко), «познавательное действие»

(Т.И. Шамова), «акт педагогического воздействия» (Л. А. Левшин). Наименьшая структурная единица процесса обучения - дидактический прием (М.И. Махму-тов): первое исходное понятие для анализа обучения как сочетания «акта педагогического воздействия» учителя с «целостным познавательным актом» ученика [3]. В.В. Краевский и И.Я. Лернер выделяют «акт обучения» как отражение цикла: в начале - исходное состояние или уровень подготовки ученика к восприятию деятельности учителя и учебного материала, в конце -новое состояние этой подготовки [4]. В.И. Загвязин-ский выделяет акт обучающего взаимодействия педаго-

га и учащегося, в основе которого лежит решение конкретной познавательной задачи [5]. Упорядочение и соотнесение описания, объяснения и предписания могут действовать как законченные смысловые единицы усвоения (Б.И. Коротяев). У Д. Брунера это выполняет совокупность реализуемых материалов и упражнений [6].

Выделяются единицы предметного содержания: понятия (Н.М. Верзилин, Н.Е. Кузнецова, А.В. Усова), теории (Л.Я. Зорина), системы заданий (В.А. Черкасов, А.И. Уман), упражнения и системы задач (А.И. Павленко), соотнесенность задачи с действиями учащегося по ее решению и приемами учителя (В.И. Крупич). Отсутствие единства в определении обусловлено смысловой емкостью этого понятия, спецификой сферы его использования.

Укрупнение рассматривается и как общенаучная категория - возможность кратчайшим путем получить существенную информацию о сложной системе; способ рассмотрения системы в укрупненном плане, построение изоморфной модификации системы. Механизм укрупнения - обобщение; метод - упрощение, которое преобразует систему в менее сложную. Пример: исследование системы «процесс обучения», функционирующей в процессе преподавания и учения посредством содержания предмета, можно свести к изучению ее структурной единицы - объекта, составленного дидактическим приемом учителя, познавательной задачей и познавательным действием ученика.

В дидактику понятие УДЕ введено П.М. Эрдниевым: как процесс восхождения от абстрактного к конкретному и воссоздания связей исходной единицы с общей структурой знания [7]. Теория УДЕ - система крупноблочного построения программного материала. Ее ядро: положение об укрупненном подходе к организации содержания учебного материала, когда, рассматривая взаимосвязи и взаимопереходы, выделяются блоками целостные группы родственных единиц этого содержания [8]. Характеризуя УДЕ, П.М. Эрд-ниев пишет: «Понятие укрупненной дидактической единицы... вбирает в себя следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению: 1) совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций <...>; 2) обеспечение единства процессов составления и решения задач <...>; 3) рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопреде-

ленных заданий <...>; 4) обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий; 5) выявление сложной природы математического знания, достижения системности знаний; 6) реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами)» [7, с. 7]. Результаты суммируются: «Опыт обучения на основе укрупнения единиц усвоения показал, что основной формой упражнения должно стать многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но психологически состыкованных в некоторую целостность частей, например: а) решение обычной «готовой» задачи; б) составление обратной задачи и ее решение; в) составление аналогичной задачи... и решение ее; г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей; д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам исходной задачи. Разумеется, в начале в укрупненное упражнение могут войти лишь некоторые из указанных вариаций» [7, с. 14].

Прием совместного и одновременного изучения взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем выполняет основную нагрузку по укрупнению учебного материала: родственные понятия объединяются в пары. Подобное пространственное и временное сближение преобразует разрозненные знания в целостную систему. Согласно «приему обратных задач», решение новой задачи должно сопровождаться самостоятельным составлением учащимися обратной задачи и ее решением. Ее составление (по П.М. Эрдниеву) - главное средство наращивания знаний. Обращение структуры упражнений создает условия для противопоставления исходного и преобразованного задания со сходными признаками. «Принцип дополнительности» (в системе упражнений): используются межкодовые переходы между образным и логическим мышлением, между его осознанными и подсознательными компонентами, перевод с одного языка на другой. Технический аппарат: графы, схемы, символические записи, опорные сигналы, визуальные средства и т. д. В физике: идею УДЕ часто соотносят с укрупненным экспериментом. В химии: эффективно одновременное изучение химических веществ с противоположными свойствами.

Смысл УДЕ: сближение родственных блоков учебного материала. Его реализация: одновременное изучение прямых и обратных действий с использованием нужных упражнений. Дидактическая единица: «...математическое упражнение в самом широком значении этого слова, как соединяющее деятельность ученика и учителя, как элементарную целостность двуединого процесса «учения - обучения» [7, с. 13]. Формы упражнения: решение «готовой задачи», составление обратной и аналогичной задачи; построение задач по некоторым признакам, общим с исходной задачей; решение задачи, обобщающей исходную задачу. Смысл дидактической единицы: взаимосвязанные виды деятельности учителя и ученика, направленные на решение задачи.

Другой смысл УДЕ: организация обучения, когда в единицу времени подается большая по объему порция учебного материала. Достигается формированием у

учащихся приемов максимально возможной широты обобщения. УДЕ (в данном случае): интерпретация обучения в контексте учебной деятельности. Следующая суть УДЕ: поэлементное формирование специальных методов или способов деятельности, когда последующее, более сложное действие, включает предыдущее. Переход к нему - это и есть его укрупнение.

Разнобой в понимании сущности УДЕ обусловлен разнообразием объекта как дидактической единицы. В дидактике математики это: определение понятия, теорема, алгоритм, правило, задача. Для одних - это содержание учебного материала, для других - дидактические единицы, для третьих - единицы содержания предмета (эти варианты УДЕ соотнесены лишь с содержанием). Дидактическая единица должна отражать и другие стороны процесса обучения: структурная клетка любой системы есть объект, который способен самостоятельно существовать и выполнять определенную функцию в рамках целого (И.Б. Блауберг,

Э.Г. Юдин). В ней фиксируются сущностные, интегральные характеристики; она выступает как неделимый компонент системы, как исходное понятие, на основе которого строится ее теоретическое описание

[9].

В процессе обучения: содержание учебного материала - представляется познавательными задачами, деятельность учителя - его дидактическими приемами, а учащихся - системой познавательных действий. Познавательная задача, это любое упражнение, вопрос, теорема, задание, требующее осуществления познавательного акта. Последние - это действие, направленное на решение познавательной задачи, в результате которого получены новые знания и способы деятельности (или их новые качества). Дидактический прием учителя, это конкретная совокупность действий. Дидактический объект, где взаимодействуют познавательная задача, познавательное действие учащегося и прием учителя - это дидактическая единица; укрупняя дидактические приемы учителя - усиливаем методы преподавания; укрупняя познавательные действия школьника -приводим его к активным методам обучения; решая познавательные задачи - выходим на нормативный уровень содержания обучения. В основе укрупнения -логические операции, их суть - раскрывается в последовательности действий. В итоге имеем блоки задач, в которых: 1) решение последующей задачи опирается на решение предыдущей, дополняя его новыми действиями; 2) соседние задачи могут быть взаимно обратными друг другу; 3) последующая задача может быть противоположна предыдущей, являться ее обобщением, быть ее аналогом. При конструировании блоков используются методические приемы: рассмотрение аналогов задач; обобщение и конкретизация задач; замена требования задачи каким-либо новым требованием; обращение задач; построение противоположных задач; рассмотрение цепочки «основная задача - вспомогательные задачи»; построение блока задач на основе одной заданной ситуации. Метод УДЕ имеет различные интерпретации. Чаще всего укрупняются действия: это реализуется в укрупнении задач (обобщении понятий, теорем, предметных задач, методов учебных предметов). Направления развития УДЕ связаны: либо с соединением задач в блоки, либо с формированием обобщенных приемов, либо с постепенным наращива-

нием сложности овладения специальными методами. Указанные варианты являются различными сторонами укрупнения действий, реализуемых в укрупнении задач.

Концепция профессионально-педагогической

направленности обучения (ППНО). Разработана А. Г. Мордковичем в середине 80-х гг. применительно к подготовке учителей. Профессиональная направленность их подготовки исходит из современного понимания профессионализма, общие признаки которого: 1) владение специальными знаниями о целях, содержании, объектах и средствах труда (содержательный аспект); 2) владение специальными умениями на подготовительном, исполнительском, итоговом этапах деятельности (технологический аспект); 3) владение специальными свойствами личности и характера для осуществления процесса и получения результатов (личностный аспект).

Профессиональную подготовку учителя математики исследовали Н.Я. Виленкин, Б.Н. Делоне, В.И. Левин, Л.С. Понтрягин, И.М. Яглом и др. А.Г. Мордкович первым учел в стратегии обучения все аспекты.

Основные положения содержательного аспекта:

1. Образование в педвузах имеет особенности: отводится особая роль изучению структур, наиболее важных с точки зрения профессиональной направленности. Необходима фундаментальная математическая подготовка учителя, обеспечивающая ему действенные знания, универсальность в овладении им различными учебными предметами в школе, но эта фундаментальность является не целью, а средством подготовки учителя, а потому должна быть согласована с нуждами приобретаемой профессии [18]. Это - принцип рациональной фундаментальности.

2. В связи с этим, важное место занимают курсы «Числовые системы», «Основания геометрии», «Теория изображений» и т. п. Структурные алгебраические понятия: группы, кольца, поля, векторные пространства и др. - эффективно повторяются в курсе «Числовые системы». Учебные курсы классических университетов, далекие от школьного курса, в педвузах изучаются с целями закрепления разделов базовых курсов. После изучения базовых курсов студенту следует «предложить посмотреть на школьную математику с новых позиций, осознать ее нестрогость в ряде мест, обнаружить и устранить пробелы в школьных доказательствах, перевести интуитивные знания о числах на твердую основу доказательств, исходя из аксиом» (С.В. Ларин) [11]. Разделы, общие для разных вузов, также имеют особенности: учитель обучает овладению основными понятиями, умению строго и точно рассуждать. Поэтому «...в преподавании в педвузе как раз особое и решающее значение приобретает изучение основных понятий математики, всевозможных «тонких» выводов, исключительных случаев с самым скрупулезным объяснением их сущности» (М.В. Потоцкий) [19, с. 43].

3. Решается выбор уровня строгости изложения. Будущий учитель должен понимать, что строгие логические рассуждения - отличительный признак математики, характерная черта математического мышления, математической культуры; развитое в математике умение строго рассуждать есть элемент общей культуры человека. Но, с другой стороны, излишняя формализация математики, во многих случаях; препятствует раз-

витию интуиции и полноценному усвоению материала, формально-логическая строгость вывода не адекватна внутренней убедительности. Поэтому целесообразно варьировать уровни строгости, не забывая при этом пояснить студенту, в чем состоит нестрогость рассуждения или определения, где граница применимости такого рассуждения, когда это рассуждение или нестрого введенное понятие допускает нечеткость или неоднозначность восприятия [18].

4. Выдвигается идея связи конкретного вузовского курса и школьного предмета. Ее реализация обеспечивает понимание студентами перспективы изучения курса. Это - принцип ведущей идеи. Он осуществляет преемственность: между школьными и вузовскими курсами, между обучением в вузе и трудовой деятельностью. Его реализация позволяет довести до студентов, как связаны вопросы вузовского курса со школьным курсом математики, зачем изучается тот или иной вопрос, как он связан с деятельностью учителя математики, показывать неизбежные логические пробелы в дедуктивном построении курса и пути их ликвидации, сопоставлять в наиболее существенных случаях школьный и вузовский варианты изложения того или иного раздела, введения того или иного понятия [18].

5. Организуются повторение и пропедевтика для реализации преемственности между школой и вузом: анализ школьного курса в вузе должен обеспечивать непрерывное развитие представлений о математических структурах, новые взгляды на известные факты. Повторению способствует структура математических курсов - их концентровое построение.

6. Реализация преемственности и пропедевтики -постепенный переход от отдельных фактов к их обобщениям. Начинается с подготовки в сознании тех познавательных структур, которые необходимы для осмысления предстоящего фактического материала, изучения связи классов, вещей и явлений. Рассматривают пропедевтику и отдельных, наиболее важных понятий с целью - косвенного обучения студента приемам осуществления пропедевтики. Реализация: через вводные лекции, в которых ограничиваются наглядными соображениями, очерком основных понятий (позволяет раскрыть перед студентами цели и структуру курса); через использование понятия, до его строгого определения, на незавершенном конкретно-интуитивном уровне (способствует воспитанию математической культуры и диалектического мышления - показывает процесс возникновения понятия в его развитии). Для пропедевтики базовых курсов изучается вводный курс математики. Его цели: 1) развитие математической культуры первокурсников до уровня, достаточного для содержательного освоения последующих базовых курсов; 2) выработка системы умений и навыков в оперировании фундаментальными понятиями. Реализуются типичные схемы рассуждений: перефразировка теорем в терминах «необходимо» и «достаточно»; полная и неполная индукция, метод математической индукции; приведение контрпримеров, построение отрицания утверждения, метод «от противного». Пропедевтические курсы возможны и по отдельным вузовским дисциплинам, усвоение которых затруднено.

Основные положения технологического аспекта:

1. Непременное условие профессиональнопедагогической направленности обучения - построение

учебной дисциплины, как объединения общенаучной и методической линий - принцип бинарности [18]. Его реализация обеспечивает достижение определенного уровня математической культуры, знакомство с методами изложения школьного курса математики.

2. Теоретические, прикладные и методологические идеи учебных курсов должны содействовать процессу достижения студентами целей педагогической деятельности. Это переводит студентов с позиции школьника на позицию учителя, что способствует выработке собственных элементов технологии. «В процессе творческой профессионально-педагогической деятельности педагог вырабатывает собственные пси-холого-педагогические технологии, в которых есть повторяющиеся элементы, содержащие автоматизмы, обеспечивающие процесс творчества» (Н. В. Кузьмина) [10, с. 67].

Основные положения личностного аспекта:

1. Определяя профессионально важные качества личности, как «...проявление психологических особенностей личности, необходимых для усвоения специальных знаний, способностей и навыков, а также для достижения общественно приемлемой эффективности в профессиональном труде», А.А. Деркач и Н.В. Кузьмина считают, что таковые качества включают в себя «интеллектуальные (мышление), нравственные (поведение), эмоциональные (чувства), волевые (способность к самоуправлению), организаторские (механизм деятельности) компоненты» [5, с. 11-12].

2. Изучение учебных курсов - формирует профессиональное мышление; личностный аспект - соединяется с принципом развивающего обучения. Обучение должно вестись на уровне трудности, находящегося в «зоне ближайшего развития» учебных возможностей личности, требует максимального учета индивидуальных особенностей, психологических закономерностей (касающихся фаз психического развития студентов).

3. Формирование математических структур мышления позволяет развить не только математические способности, но и ум человека, его личность в целом. Математическому мышлению присущи все качества научного мышления (логичность, способность к обобщению, гибкость, рациональность и т. д.), при помощи математики можно развить все эти качества. Студенты получают представление о роли четких определений и формулировок, о способах логического вывода, они знакомятся с методами решения возникающих перед ними проблем, имеющих и внематематическое значение (аналогия, сравнение, обобщение, анализ и синтез и т. д.). Обучение математике на социокультурном опыте, формирование логических, алгоритмических и комбинаторных схем мышления, способствует формированию организаторских навыков умственного труда (планированию своей работы, поиску рациональных путей ее выполнения, критической оценке результатов и т. п.).

4. Процесс формирования и развития понятий о математических структурах должен, в сжатом виде, воспроизводить действительный исторический процесс рождения и становления этих понятий (историкогенетический метод). Меморандум американских математиков отмечает: «Лучший способ вести умственное развитие индивидуума - заставить пройти его умственное развитие человеческого рода, пройти, естественно, его большие линии, а не тысячи мелких ошибок» [16].

Нарушение этого положения приводит к трудностям в преподавании: в современной высшей школе основные понятия предлагаются студентам сразу в их законченной форме, к которой наука пришла в процессе длительного исторического развития.

5. Его нравственная сторона: изучение математики

вырабатывает потребность преодолеть сопротивление между нашими представлениями и их научным обоснованием. Вместе с четкостью и логичностью мысли воспитываются морально-этические и волевые качества -аккуратность, аргументированность, принципиаль-

ность, толерантность к другому мнению, преданность истине, упорство в достижении цели, трудолюбие и честность. Духовное развитие личности происходит путем воздействия изучения математики и на разум человека, и на его эмоциональную сферу. «Математика, в некоторых своих отношениях, отмечена такими чертами, которые создают ей воспитательные возможности более значительные, чем у других дисциплин. Изучающий математику привыкает, что успех может принести только непредубежденное, беспристрастное напряжение мысли. Ученик учится уважать объективную правильность аргументации как высшую духовную и культурную ценность. Доведенная до предела, эта черта представляет собой честность и правдивость - одно из лучших украшений личности человека» (А.Я. Хин-чин) [24, 25].

6. Духовное совершенствование личности студента невозможно без осознания взаимодействия эстетики и математики: надо научить студентов видеть эстетические моменты, внутреннюю гармонию в содержании изучаемой дисциплины, понимать единство истины и красоты - эстетическим потенциалом обладают многие разделы математики. Важна и другая эстетика - процессуальная, которая связана с подачей материала, его записью, изображением, его восприятием и пониманием. Личностный аспект обучения раскрывается лишь тогда, когда: уделяется первостепенное внимание обращенности к личности студента, формированию его интереса к знаниям.

Новые концептуальные подходы: система специальной и методической подготовки преподавателей профильных школ (ПППШ); моделирование научных исследований при обучении математике (МНИ). Концепция ПППШ, разработана О.А. Ивановым [81] в конце 90-х гг. Относится к подготовке преподавателей профильной школы на математических факультетах университета. Цель: «обучение.должно быть направлено на подготовку специалиста - учителя высшей квалификации - с профессиональными навыками научного работника и учителя-методиста» [8, с. 31]. Основа подготовки: принципы фундаментальности и интегративности. По принципу фундаментальности теоретической подготовки - «профессиональные знания, умения и навыки формируются на основе фундаментальных знаний» [8, с. 19]. При этом, имеется в виду не только собственно математическая подготовка: важно фундаментальное образование в области элементарной математики, как «знание некоторой совокупности понятий и фактов «высшей» математики, как целостной системы знаний в их взаимосвязях с понятиями, утверждениями и конкретными задачами элементарной математики» [8, с. 28]. Подобная система знаний предлагалась В.А. Любецким в [14]. «Принцип рефлексии в

процессе обучения состоит в использовании процесса научения для анализа роли используемых методических принципов и частных методик в результативности процесса обучения и, как следствие, формирование системы убеждений будущих преподавателей» [8, с. 38]. Фундаментальные знания и рефлексия процесса обучения - основа для реализации принципа полифо-ничности обучения: целесообразна такая организация обучения, когда возможно соединение различных содержательно-методических линий (и в процессе изложения теории, и при формировании практических умений и навыков). Обязательные линии: обобщающее повторение и формирование потребностей в углублении знаний [8, с. 68]. Реализация принципов фундаментальности, рефлексии и полифоничности обучения дает резонансный эффект в обучении: «относительно небольшое количество приобретаемой новой информации обеспечивает фазовый переход в системе знаний обучаемых и «большой взрыв» в их интеллектуальном развитии» [8, с. 62]. Одновременная реализация всех указанных принципов обеспечивает: 1) выполнение принципа интегративности обучения (единства нескольких линий образования); 2) единство фундаментальных знаний в области математики, психологии, педагогики и дидактикой математики; 3) единство знаний в области элементарной и высшей математики; 4) единство профессиональной подготовки и мировоззрения в области образования [8, с. 71]. Реализация достигается интегративными лекционными курсами, которые читаются по завершении базовых курсов. Особенности: изложение материала группируется вокруг определенных понятий, математических идей и утверждений - базисного пучка понятии и утверждений; понятия и идеи элементарной математики связываются с общими математическими понятиями, идеями и утверждениями, известными студентам по базовым математическим курсам [8, с. 53]. Практикумы по решению задач организуются на основе пучков задач, с наличием разнотипных взаимосвязей между ними, обеспечением включения обратной связи в процесс их решения [8, с. 58]. Эффективность возрастает при использовании компьютерных, информационных, мультимедийных технологий и качественном наборе курсов по выбору. На факультете педагогических профессий МГУ это: техника речи, актерское мастерство, режиссура педагогического процесса и т. п. [20].

Концепция МНИ, разработана А.В. Ястребовым [27] в конце 90-х гг. При отстаивании мнения о необходимости подготовки учителей-исследователей, приводятся аргументы: работа хорошего учителя объективно является разновидностью исследовательской работы в специфической области знаний [27, § 1]. Отсюда вытекает основное положение концепции - принцип моделирования научных исследований: обучение в вузе должно быть моделью исследовательской работы в математике и дидактике математики [27, с. 17]. Выделены инвариантные свойства научного творчества: уникальность научного пути исследователя, современность ведущихся исследований, обмен информацией. К этим свойствам, которые воспроизводятся в процессе преподавания, приводят различные источники: работы по истории и философии математики, по общей психологии и педагогике, по психологии творчества, по истории математического образования, текущая литера-

тура для учителей. В развитие принципа МНИ, предложены принципы построения задачника по математике: 1) задачник является средством моделирования на практических занятиях различных аспектов исследовательской работы; 2) задачник, по данной дисциплине, описывает методику изучения этой дисциплины на практических занятиях [27, с. 38-39]. На их основе строится специальный банк задач, который позволяет воспроизвести, в процессе преподавания, перечисленные свойства научных исследований, оставаясь при этом в рамках государственных образовательных стандартов. Построенный банк задач позволяет реализовать принципы концепции ППНО [27, § 7].

Связь основных положений концепций. УДЕ -ППНО. В концепции ППНО, фактически, действует «принцип мониторинга». Обосновывая рациональную фундаментальность, его автор, указывает на необходимость учета постоянных изменений в реалиях математического образования. На момент создания концепции - вводился курс информатики, которому сопутствовало усиленное внимание к алгоритмической линии, вопросам моделирования динамических систем [17]. Естественный объект мониторинга - концепция УДЕ и учебники, написанные на ее основе (этого требует принцип бинарности). Принцип рациональной фундаментальности требует анализа структуры умственных действий ученого. Понятия «математика» и «математическая подготовка» включают в себя: 1) систему существующих знаний; 2) деятельность по получению нового знания. От мыслительной деятельности ученого естественно переходим к началам концепции УДЕ; распространение метода УДЕ на преподавание в вузе приводит к учету положений концепции ППНО.

УДЕ - ПППШ. «Теоретической основой введения и использования понятия «пучка задач» являются результаты исследований, ... связанных с методом укрупненных дидактических единиц» [8, с. 55]. Так как основная характеристика УДЕ - включение механизма обратной связи в процесс мышления, «. пучок задач является укрупненной дидактической единицей, поэтому к процессу обучения, построенному с использованием пучков, применимы все выводы метода УДЕ» [8, с. 58]. В структуре ПППШ напрямую используются элементы

УДЕ.

ППНО - ПППШ. Концепция ПППШ использует элементы концепции ППНО не напрямую. Отрицая их: принципы концепции ППНО не позволяют решить задачу подготовки учителей-исследователей на математических факультетах университетов [8, с. 19], следовательно, для ее решения, требуются новые педагогические принципы. Модифицируя их: учитывается логика исследований, сходные задачи, родственные принципы, явные и неявные детали. Общим является «принцип мониторинга»: концепция ПППШ начинается с констатации возникновения нового образовательного явления - профильной и уровневой дифференциации обучения - его объективной необходимости, определяемой современными тенденциями развития общества [8, с. 26]. Авторы отмечают одни и те же недостатки существующих систем подготовки: формализм математических знаний, невысокий уровень математической культуры, отсутствие опыта математической деятельности, несоотнесенность школьной и вузовской математики. В концептуальных положениях есть род-

ственные пары: принцип рациональной фундаментальности в ППНО - принцип фундаментальности в ПППШ. Различия - естественны (концепции создавались для разных областей применения). Общее и главное - в обоих случаях в основание ставится фундаментальность подготовки. Другая пара: принцип бинарно-сти - принцип рефлексии [8, с. 39]. Связь части положений - не столь очевидна. В ППНО: «уровень обучения студента математике должен опережать уровень достигнутого им методического развития и стимулировать его» [8, с. 24]. В ПППШ (соответственно): предлагается чтение интегративных курсов, как надстройки над базовыми математическими курсами. Общая ссылка - на Н.Ф. Талызину [23]: «при изучении любого предмета надо заботиться не о количестве изученных фактов и не о количестве выработанных навыков, а о формировании общих видов познавательной деятельности, основанных на той сущности, которая лежит за множеством частных явлений» [17, с. 56; 8, с. 62]. Сходство теоретических положений - естественно: работая в рамках концепции ППНО важно учесть специфику профильных школ (высокой концентрации в них одаренных детей с внутренней мотивацией и интеллектуальной гибкостью) [9] - приходим к началам концепции ПППШ; многие выпускники университета будут работать в обычной школе, где надо учесть достижения концепции ППНО.

УДЕ - МНИ. Структура УДЕ (как многокомпонентное задание) в значительной мере воспроизводит структуру деятельности математика-профессионала [27]. Специалист, решая задачи, еще и формулирует их, ищет методы решения классов задач (работает с группами аналогичных задач). Изучая соотношения между необходимыми и достаточными условиями - работает с взаимно-обратными утверждениями. В методике УДЕ воспроизводятся важные характеристики научных исследований. Моделирование базовых свойств научных исследований представляет собой такой подход к обучению, который, с равным основанием, можно рассматривать в рамках концепций УДЕ и МНИ. В гносеологии обоснована мысль о сходстве умственной деятельности студентов и ученых. «Умственная деятельность школьников и ученых имеет одну и ту же природу (различие здесь в степени, а не в роде)...» (В.В. Давыдов) [4, с. 355]. Еще категоричнее Д. Брунер: «Школьник, изучающий физику, является физиком, и для него легче изучать науку, действуя подобно учено-му-физику...» [12, с. 17]. Это объясняет эффективность методики УДЕ и в школах и в вузах: воспроизводится структура деятельности математика. Возникают вопросы выделения общих свойств математики-науки, которые целесообразно воспроизводить в учебном процессе, нахождения базовых свойств научных исследований. Работая в рамках концепции МНИ, приходим к вопросу об использовании в учебном процессе умственных действий, производимых ученым; это приводит его к началам концепции УДЕ.

Рассмотренные концептуальные подходы имеют общие изоморфные теоретические положения, области одновременного применения, возможность трансформации одних в другие [1, 3]. Естественная проблема -построение единой теории (с вариативными подходами для различных направлений обучения). Идеальный вариант: должна быть реализована «система образова-

ния, которая является относительно стабильной, достаточно консервативной и избирательно гибкой» (Ю.М. Колягин).

ЛИТЕРАТУРА

1. Богатырев Ф.Н. Проблемы содержания, семантики и технологии преподавания базовых алгебраических курсов в университетах и педвузах // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения: материалы Междунар. науч. конф. Воронеж, 2000. (МНК АДМ - 2000). С. 204-206.

2. Брунер Д. Процесс обучения / пер. с англ. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.

3. Вейт М.А. Непрерывное образование и совершенствование педагогического процесса в высшей школе. Липецк, 1990.

4. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М.: Педагогика, 1986.

5. Деркач А.А. Акмеология: пути достижения вершин профессионализма. М.: Российская академия управления, 1993.

6. Дидактика средней школы: некоторые вопросы современной дидактики. 2-е изд. / ред. М.Н. Скат-кин. М.: Просвещение, 1982.

7. Загвязинский В.И. Методология и методика дидактического исследования. М.: Педагогика, 1982.

8. Иванов О.А. Теоретические основы построения специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ. СПб.: СПбГУ, 1997.

9. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968.

10. Кузьмина Н.В. Профессионализм личности преподавателя. М.: Высш. шк., 1990.

11. Ларин С.В. Об изучении в педвузах школьной математики // Математика в школе. 1990. № 4. С. 1317.

12. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. М.: МГУ, 1972.

13. Лернер И.Я. Дидактическая система методов обучения. М.: Педагогика, 1981.

14. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987.

15. Матросов В.Л. Подготовка учителя математики и информатики в России: реальность и перспективы // Подготовка преподавателей математики и информатики для высшей и средней школы: Междунар. конф. М., 1994. С. 3-7.

16. Меморандум американских математиков // На путях обновления школьного курса математики: сб. ст. и материалов / пер. с англ. М.: Просвещение, 1976. С. 207-210.

17. Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки студентов // Сов. педагогика. 1985. № 12. С. 52-57.

18. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: автореф. ... дис. д-ра пед. наук. М., 1986.

19. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.: Просвещение, 1975.

20. Розов Н.Х. У нас нет конкурентов. На педфа-культете МГУ куют кадры штучные // Учительская газета. 2001. № 12.

21. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. СПб.: Питер, 1999.

22. Саранцев Г.И., Миганова Е.Ю. Укрупнение дидактических единиц: состояние и проблемы // Педагогика. 2002. № 3. С. 30-35.

23. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний (психологические аспекты). М.: МГУ, 1984.

24. Хинчин А.Я. Математика как профессия. М.: Наука, 1980.

25. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики. Повышение эффективности обучения математике в школе. Кн. для учителя / сост. Г. Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1989. С. 18-37.

26. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986.

27. Ястребов А. В. Научное мышление и учебный процесс - параллели и взаимосвязи. Ярославль: ЯГПУ, 1997.

Поступила в редакцию 28 июня 2006 г.