Об одном варианте теоремы Банаха-Стоуна для банаховых расслоений

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 3 (1). 2010. С. 23-27

УДК 517.98

Об одном варианте теоремы Банаха—Стоуна для банаховых расслоений

М. А. Плиев, С. Н. Табуев

Лаборатория теории операторов Южный математический институт ВНЦ РАН и Правительства РСО-А ул. Маркуса, д. 22, 362027, Владикавказ, Россия

Рассматриваются банаховы пространства непрерывных сечений банахового расслоения, где каждый слой расслоения — банахова решётка. Устанавливается вариант теоремы Банаха-Стоуна.

Ключевые слова: непрерывные банаховы расслоения, банаховы решётки, компакты, гомеоморфизмы.

1. Введение

Одной из важных классических теорем современного функционального анализа является изоморфизм категорий компактных хаусдорфовых топологических пространств и пространств непрерывных функций, заданных на этих компактах. Указанный факт является, в частности, отправной точкой бурно развивающейся области математики — некоммутативной геометрии. Но если пространства непрерывных функций на компакте в вышеуказанной ситуации заменить пространствами непрерывных вектор-функций на тех же компактах, принимающими значение в некоторых банаховых пространствах X и У, то возможна ситуация, когда банаховы пространства СX) и С(К, У) изоморфны для негомеоморфных компактов и К. Соответственно возникает естественная математическая проблема — какие дополнительные условия необходимо наложить на отображение Т : С ) ^ С (К, У), осуществляющее изоморфизм, или на пространства X и У, чтобы гарантировать существование (р : К ^ — гомеоморфизма компактов К и Q? Эта проблема с различными уточнениями и дополнениями известна как задача Банаха-Стоуна. Имеется богатая литература, посвящённая различным аспектам этой проблемы [1-6]. Вместе с тем теория непрерывных банаховых расслоений позволяет рассматривать пространства непрерывных вектор-функций как частный случай расслоений с постоянным слоем. Таким образом возникает задача — распространить теорию Банаха-Стоуна на пространства сечений непрерывных банаховых расслоений. Настоящая заметка — первый шаг в этом направлении.

2. Предварительные сведения

Приведём некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего. Цель настоящего параграфа — зафиксировать терминологию, обозначения и ввести требуемые понятия. Все необходимые сведения о векторных решётках, решё-точно нормированных пространствах и банаховых расслоениях можно найти в монографии [7] и работе [8], о банаховых пространствах — в [9]. Все банаховы пространства рассматриваются над полем действительных чисел.

1.1. Пусть V — вещественное векторное пространство, а Е — некоторое К -пространство. Отображение |  | : V ^ Е называется решёточной нормой, если выполняются следующие аксиомы:

1) I VI > 0; | VI =0 ^ V = 0; (Уу е V);

2) + «2| < К1 + 1Ы; («1,«2 е V);

Статья поступила в редакцию 16 декабря 2009 г.

Говорят, что для нормы справедливо условие Канторовича, или условие разложимости, если выполняется ещё одно условие:

4) (Уу е V); Уе1, е2 е Е+ | г\| = е1 + е2 ^ {^у1,у2 е V, V = у1 + у2); | ^ | = е1, = е2.

Векторное пространство V, снабжённое решёточной нормой со значениями в векторной решётке Е, называется решёточно нормированным пространством (РНП) и обозначается (V, \  \ ,Е) или сокращённо (У,Е). Если норма |  | разложима, то и пространство (У,Е) называется разложимым. Множество М С V называется Ъо-ограниченным, если существует элемент е е Е+, такой что | г\| ^ е, Уу е М. РНП (V, Е) называется пространством Банаха-Канторовича (ПБК), если оно разложимо и порядково полно в следующем смысле: любая Ьо-фунда-ментальная сеть (иа)аез С V сходится к некоторому элементу V е V.

1.2. Пусть Q — топологическое пространство. Банахово расслоение над Q — произвольное отображение X, определённое на и ставящее в соответствие каждой точке д е Q некоторое банахово пространство Хя := — слой в точке д.

Норму элемента х в слое Хя будем обозначать через ||ж||д := Ц&Ц*,. Функция V, определённая на множестве ёош(^), называется сечением над ёош(^) расслоения X, если у(д) е X(д) для всех ш е ёош(^).

Множество сечений V С в X) называется послойно плотным в X, если множество {у(д) : V е V, д е ёош(^)} послойно плотно в X(д) для любой точки д е Q. Сечение называется скалярно непрерывным, если непрерывна функция

ч ^ ^ши.

1.3. Непрерывной структурой в X называют послойно плотное множество скалярно непрерывных сечений 3 С Б ((^, X), являющееся векторным подпространством в 5 ((^, X). Банахово расслоение над множеством X с заданной непрерывной структурой называют непрерывным банаховым расслоением над Q и обозначают , X, 3) или просто (^, X). Сечение V е в ^, X) называют непрерывным, если для любого и е 3 непрерывна функция д ^ — и(д)\х(я). Множество всех непрерывных сечений расслоения X обозначим СX). Векторное пространство С((^, X) является решёточно нормированным пространством, где решёточная норма непрерывного сечения вычисляется по формуле | /1 := Н/ОН*(•). Топологическое пространство Q называется экстремальным, если замыкание каждого открытого множества в открыто. Непрерывное банахово расслоение ^, X) над экстремальным компактом Q называется насыщенным, если С((^, X) является пространством Банаха-Канторовича. Напомним, что для банаховых пространств X и У через Ь(Х, У) обозначается пространство линейных непрерывных операторов из X в У. Пусть (К, X) и (К, У) — непрерывные банаховы расслоения над компактом К. Отображение Н : К ^ У Ь(Х3, У3), такое

век

что 8 ^ Ь(Х3, ) называется гомоморфизмом НБР, если для любого сечения / е С (К, X) сечение д е в (К, у), где 8 ^ д(в) := Н (з)/(в) также принадлежит С (К, у).

3. Теорема Банаха—Стоуна

В настоящем пункте установим основной результат — вариант теоремы Банаха-Стоуна для непрерывных банаховых расслоений.

2.1. Ниже будем полагать, что и К — компактные хаусдорфовы пространства, (X) и (У) — непрерывные банаховы расслоения над и К соответственно, где каждый слой Хг и является банаховой решёткой. Ясно, что пространства С ^, X) и С (К, У) также будут банаховыми решётками, где порядок задаётся поточечно, норма сечения / вычисляется по формуле Ц\/1|| = \IIIfОН*(•)\\с(д). Возьмём произвольные £ е Q и 8 е Q и введём множества

Мг = V е С ((Э, X) : / (г) = 0}; ^ = {д е С (К, У) : д(8) = 0}.

Легко видеть, что множества и будут замкнутыми порядковыми идеалами в С X) и С

(Г/)(*) = 0, У§ е К & /(€) = 0, У1 е я.

Следующая лемма описывает одно важное свойство решёточных изоморфизмов со свойством V.

Лемма. Пусть Т : С (Я, X) ^ С (К, У) — изоморфизм банаховых решёток со свойством V. Тогда для любого £ е Я найдётся единственный элемент в е К, такой что Т(М4) = М3.

Доказательство. Для произвольного Ь е Я введём множество

Ф(Т(Мг)) := {§ е К : (Т/)(з) = 0, У/ е Мг}.

Установим, что множество Ф(Т(Мг)) не будет пустым. Предположим противное. Тогда для каждого 8 е К найдётся непрерывное сечение /8 е Мг, такое что (Т/8)(з) = 0, и в силу непрерывности найдётся окрестность из точки 8, такая что сечение Т/3 отлично от нуля в каждой точке в' е из. Кроме того 1/31 е Мг, и в силу того, что Т — решёточный изоморфизм, получаем, что \Г(/¿)| = ТТаким образом можем считать, что и положительные элементы в соответствующих решётках. Используя компактность К, можем найти конечный набор непрерывных сечений /1,...,/п е М+, таких что непрерывные сечения Т¡1,..., Т/п не имеют общих нулей в К. Отсюда имеем, что сечение Т(/1 + .. .+/п) отлично от нуля в каждой точке 8 е К. Однако сечение /1 + ... + /п обращается в нуль в точке I, а оператор Т обладает свойством V. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что Ф(Т(Мг)) состоит из единственной точки. Действительно, если 81,82 е Ф(Т(М4)), то Т(М4) = NSí, г е {1, 2}. Рассуждая аналогично, получим, что Т) = М^, г е {1,2}. Отсюда получаем, что Т(Мг) С NSí С Т(М^) для некоторых и е Я, г е {1,2}. В силу биективности оператора Т и хаусдорфовости пространства ^ получаем, что в1 = 82 и Т(Мг) = NS1 = NS2. Теперь можем задать биективное отображение ф : К ^ ф, 8 ^ ф(з), где Т(М^)) = ^.п

2.2. Теперь сформулируем основной результат.

Теорема. Пусть Т : С (Я, X) ^ С (К, У) — изоморфизм банаховых решёток со свойством V. Тогда компакты Я и К гомеоморфны, и оператор Т может быть записан в виде (Т/)(з) = Н (в)/(ф(в)); У/ е С (Я, X); з е К, где ф : К ^ ^ — гомеоморфизм компактов Я и К, а Н — гомоморфизм НБР (Я, X) и (К, У), где 8 ^ Н(з) е £(Х,ф^), Если кроме того (Я, X) и (К, У) — насыщенные НБР над экстремальными компактами Я и К, то \\Т|| = вир \\Н(в)\\.

S€K

Доказательство. Покажем, что биекция ф, построенная в лемме, является гомеоморфизмом. В силу компактности топологических пространств ^ и К достаточно установить непрерывность 'ф. Предположим противное. Тогда найдётся сеть (за)а£Л элементов пространства К, сходящаяся к точке во, такая что сеть (ф(8а))аел сходится к ¿0 е Я = ф(во). Пусть и Уф^о) — непересекающиеся окрестности точек ¿0 и ф:13о. Выберем сечение / е С (Я, X) таким образом, что f (¿) = 0 для любых £ е Я\Уф^0). Тогда (Т/)(в0) = 0. Действительно, найдётся такой номер а0 е Л, что для всех а ^ а0 элементы ф(ва) е Уго и, так как $(ф(ва)) = 0, то (Т/)(ва) = 0. Так как (ва)а€л сходится к 80, а также в силу непрерывности сечения Т/, получаем, что (Т/)(&0) = 0. Возьмём теперь непрерывную функцию р е С (О), такую что р(^) = 0 для любых ^ е 0\У*ф^0) и р(^0) = 1. Тогда произвольное сечение / е С (Я, X) можно представить в виде

суммы f = pf + (1 — p)f, где 1 — функция, тождественно равная единице в каждой точке t G Q. Так как (pf)(t) = 0 для любых t G Q\Y^(S0), то Т(pf)(so) = 0. Кроме того, Т((1 — p)f )(s0) = 0 в силу того, что (1 — p)f G M^(S0). Таким образом получаем, что для произвольного сечения f G С(Q, X) справедлива формула

Tf (so) = Т (pf + (1 — p)f )(so) = T (pf )(so) + T ((1 — p)f )(so) = 0.

Но последнее равенство противоречит сюръективности оператора Т. Следовательно функция ф непрерывна.

Построим теперь операторное сечение

Н : К ^ U £(Хф(з), ys); Н(s) G £(Хф(з), уа); Vs G К.

seK

Для произвольной точки s0 G К оператор Н(so) G L(X^(S0), ) зададим следующим образом. Пусть х G X^(S0) и сечение f G С(Q, X) выбрано так, что f (ф(so)) = х. Тогда Н(so)х = (Tf )(so). В силу того, что оператор Т обладает свойством V, значение Н(so)x не зависит от выбора сечения f. Аддитивность и однородность оператора Н(so) очевидны.

Покажем, что Н(so) — линейный и решёточный изоморфизм банаховых решёток Хф(80) и ^S0. Действительно, если х G X^(S0) = 0, то f (^(so)) = х = 0 и (Tf )(so) = 0. Таким образом оператор Н(so) инъективен. Покажем сюръектив-ность. Пусть у G ys0, тогда выберем сечение д G С (К, У), где g(so) = у. Тогда в силу того, что Т — изоморфизм банаховых решёток С (Q, X) и С (К, У), найдётся непрерывное сечение f, такое что Tf = д и f (^(so)) = х. Отсюда получаем Н(so)x = (Tf )(so) = g(so) = у. Таким образом Н(so) — биекция.

Покажем, что Н(so) — решеточный изоморфизм. Пусть х1,х2 G X^(S0) и х = х1 V х2. Выберем сечения f1,f2 G С(Q, X), где fi(^(so)) = Xi; i G {1,2}, и пусть f := fi V f2. Тогда f (ф(so)) = fi(^(so)) V f2(^(so)) = xi V x2. Далее имеем

H(so)(X1 V X2) = T(fi V f2)(so) = T(fi)(so) V T(f2)(so) = H(so)xi V H(so)X2.

Отсюда получаем, что H(so) — решеточный изоморфизм. Так как каждый положительный оператор в банаховой решётке непрерывен по норме, то заключаем, что оператор Н(so) непрерывен по норме.

Пусть теперь компакты К и Q экстремальны. Для произвольной точки s G К можно найти сечение f G С (К, X), такое что l\\f ||| = \\f (s)||^ (s). Действительно, в силу того, пространство С (К, X) будет пространством Банаха-Канторовича, то в силу разложимости векторной нормы найдётся непрерывное сечение f G С (К, X), такое что \\f (-)\\^(•) = 1(-), где 1 — функция тождественно равная единице на К. Для произвольной точки s G К возьмём замкнутое множество D С К, s G D. Воспользовавшись леммой Урысона [10, теорема 1.5.10], найдём непрерывную функцию р : К ^ [0,1], такую что (p(t) = 0 для любого t G D и ip(s) = 1.

Рассмотрим непрерывное сечение g(t) = <p(t)f (t). Ясно, что сечение д G С (К, X) обладает требуемыми свойствами. Далее можем написать

\\Н(s)f(^))\\ = \\(Tf)(S)\\ < \\Tf \\ < \\Т\\|\\/1\\.

Отсюда получаем, что sup \\Н(s)\\ < \\Т\\. С другой стороны,

seK

\\Tf (s)\\ = \\Н(s)f (^(S))\\ < \\H(s)\\\\/(4>(s))\\ < sup \\H(S)\|\/1\,

seK

l\\Tf = sup \\Tf (S)\\ < sup \\H(S)\|\/1\; \\T\\ < sup \\H(s)\.

seK seK seK

Таким образом окончательно получаем, что \\Т\\ = sup \\Н(s)\.

seK

Литература

1. Behrends E., Cambern M. An Isomorphic Banach-Stone Theorem // Studia Math. — 1988. — Vol. 90. — Pp. 15-26.

2. Cao J., Reilly I, Xiong H. A Lattice-Valued Banach-Stone Theorem // Acta Math. Hungar. — 2003. — Vol. 98. — Pp. 103-110.

3. Chen J.-X, Chen Z.-L, Wong N.-C. A Banach-Stone Theorem for Riesz Iso-mophisms for Banach Lattices // Proc. Amer. Math.Soc. — 2008. — Vol. 136. — Pp. 3869-3874.

4. Ercan Z, Onal S. Banach-Stone Theorem for Banach Lattice Valued Continuous Functions // Proc. Amer. Math.Soc. — 2007. — Vol. 135. — Pp. 2827-2829.

5. Fleming R., Jamison J. Isometries on Banach Spaces Vector-Valued Function Sraces. — Chaptman and Hall/CRS, 2008. — 245 p.

6. Jeang J.-S., Wong N.-C. On Banach-Stone Problem // Studia Math. — 2003. — Vol. 155. — Pp. 95-105.

7. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. — М.: Наука, 2003. — 624 с.

8. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995. — С. 63-211.

9. Megginson R. E. An Introduction to Banach Space Theory. — Springer-Verlag, 1998. — 600 p.

10. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

UDC 517.98

A Variant of the Banach-Stone for Banach Bundles

M. A. Pliev, S. N. Tabuev

Laboratory Operator Theory Southern Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Center of RAS and RSO-A 22, Marcus str., 362027, Vladikavkaz, Russia

We consider Banach spaces continuous sections when every fiber is Banach lattice. A some versions of the Banach-Stone theorem was obtained.

Key words and phrases: continuous Banach bundles, Banach lattices, compacts, home-omorphisms.