Собственные частоты и формы изгибных колебаний балки с трещиной

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ

СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 624.073

В.А. Гордон, Э.А. Кравцова

ФГБОУ ВПО «Госуниверситет — УНПК»

СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ

БАЛКИ С ТРЕЩИНОЙ

Предложена методика определения спектра собственных частот изгибных колебаний статически неопределимой двухопорной балки, нагруженной распределенной нагрузкой заданной интенсивности, в зависимости от уровня продольного расслоения. Результаты работы предполагается использовать при модальном анализе вынужденных колебаний балки с дефектом в виде продольного расслоения в зависимости от его уровня.

Ключевые слова: продольное расслоение, собственная частота, изгибные колебания, двухопорная балка, спектр частот

С позиции обеспечения живучести строительных конструкций актуальной является задача исследования динамических процессов в нагруженных стержневых конструкциях, возникающих при внезапном образовании в них локальных дефектов типа обрывов опорных связей, частичных разрушений, поперечных и продольных трещин и др., объединяемых общим термином «запроект-ные воздействия». К настоящему моменту решен ряд задач, относящихся к этой тематике. Так, в [1—4] рассмотрены задачи динамических догружений при внезапном образовании поперечных трещин, частичных обрывов связей в опорах [5—8], частичном разрушении [9—11], продольном расслоении составных стержней [12—15].

В настоящей работе предлагается методика определения спектра собственных частот изгибных колебаний этой же стержневой системы с такими же повреждениями. Результаты работы предполагается использовать при модальном анализе вынужденных колебаний балки с дефектом в виде продольного расслоения в зависимости от его уровня.

Постановка задачи. Ниже рассматриваются собственные изгибные коле -бания /-го сегмента балки со сложным многоуровневым расслоением (рис. 1). Расслоение в пределах каждого сегмента образуется параллельно и на некотором, в т.ч. и на нулевом, расстоянии от нейтрального слоя.

На рис. 2 показана интенсивность распределенной контактной нагрузки р (х) между двумя частями /-го сегмента балки, обусловленной поперечными связями между частями.

Для последующего модального анализа вынужденных колебаний балки с дефектом в виде продольного расслоения, образовавшегося в результате внезапного разрушения связей сдвига, необходимо определить частоты и формы (моды) собственных изгибных колебаний поврежденной балки.

50

© Гордон В.А., Кравцова Э.А., 2014

VESTNIK

JVIGSU

Рис. 1. Модель балки с трещиной: а — реальная трещина в балке; б — поперечное сечение балки; в — расчетная модель балки

Рис. 2. Расчетная схема /-го сегмента балки: а — цельная балка; б — две части балки, соединенные поперечными связями

Уравнения собственных колебаний частей балки имеют вид

84 w б2 w

+ рЬИ1—21 = (-. (х) ( = 1,2),

ах 4

dt2

где Wj = wj (xt, t) — прогиб j-й части /-го сегмента; р, E — соответственно

bh

погонная плотность и модуль упругости материала балки; I.. =--осевой

1 12

момент инерции поперечного сечения .-й части / -го сегмента.

Уравнения (1) являются уравнениями собственных колебаний, несмотря на наличие в них правых частей. Эти члены уравнений не являются внешней нагрузкой, это — внутренние контактные распределенные усилия между частями.

Полагая справедливым равенство прогибов частей балки-сегмента

4Я (, *) = 42 (, *) = 4. (, *) , (2) сложим уравнения (1) и получим уравнение

д4 4 д2

^+рАж=°-

г г г т ( 1 о 2 ^ т М3

где 1 = 1т +1-2 = 1° I 4 + Зи,. 1, 1° = — .

Введем безразмерные переменные и параметры 41 = ; Х; т = ю°*;

1 Е1

ю° = —г. — — основная (первая) собственная частота изгибных колебаний Ь \ рА

цельной балки.

Тогда уравнение (3) принимает вид

^ + г.4 ^ = °

д^4 ' дт2 ,

4 1° 1

где Г = — = 1-.

1 1 + Зи 2 4 '

Полагая собственные колебания гармоническими, разделим переменные в уравнении (4) с помощью представления

Щ=Щ

где ю = — — безразмерная собственная частота изгибных колебаний.

Подставляя (5) в (4), получим дифференциальное уравнение для форм собственных изгибных колебаний

щ ™ - кЩ =°,

и _ ю2рАЬ4 I ю

где k=rk, k =——— — цельный стержень, k = — волновое

^ ер 1 е

число, C = , — , R = —. — .

\Р L2\ A

Корнями дисперсионного уравнения являются числа k —k, ik, -ik,, и общее решение уравнения (6) принимает вид

W = Dicos k& + Di 2 sin k& + Dl3chk£,+ Dl4shk^.

Повороты поперечных сечений i-го сегмента —

0, = W'= k,

Изгибающий момент —

M = W= k2 ( cos КЪ - Dt2 sin кгЪ + Dt3chkiЪ + Dt4shk,Ъ).

EI i

Поперечная сила

Q = Wi"'= k3

Запишем зависимости (7) в матричной форме, введя следующие векторы и матрицы:

Y. = (D^j^T';^"') — вектор состояния в произвольном сечении ; А = ((; Di2; Di3; Di4 ) — вектор постоянных интегрирования, матрица U\ ( cossin chk^ shki^i ^

-кг sin кг^ к cos кг^ кгshki.chki^

U (Ъ, «) =

-kf cos k£t -kf sin k ^kfchk^kfiMZ

iJi i iJi i iJi

V к/ ^ кг-к1 соэк,к^ы г$, к^сЪк/, Тогда из соотношений (7) следует

Г/г = иг

Обозначим Ую = ((ю;Щ'0;Щ'0;Щ'0) вектор состояния в начале балки. Из уравнения (8) при $ = 0 следует

Y0 = BD,

где Bi = U i (0, ю) невырожденная (det Bi = 4к6) матрица ( 1 0 10 ^

0 t 0 к

B =

-k2 0 kf 0

v 0 -k30 k?,

имеющая обратную

B= I

i 2

( 1 ^ 10 -

0 10 - -I

к, к' 10 ?0

0 -10 Л

, к . к',

Умножая уравнение (9) на матрицу Б,-1 слева, получим

А = бг%, _

и подставляя (10) в (8), выразим вектор состояния Yi через начальные параметры Y0 посредством матрицы влияния У { ($,):

ВЕСТНИК

3/2014

Ъ = V

где матрица V i имеет вид

к4к (кд,) К4 (кд,) К3 (к&)К2 (кд,) к4К2(кУкХ (кД,) К4 (кД.) К3 (кД,) чк,4 Кз (кД,)к,4 К2 (кд,)к ,4 К1 (к&)К4 (кД,) где К} (к(7 = 1...4) — функции Крылова

V &) =

К1 =

Кз =

вЬ^,- 51П к£г 2к,

+ вш к&1

К2 =

К4 =

сЬкД, - соэк^г 2к , сЫг,4 + сов к ,

2к 4 2 Обозначая л , = кД., запишем вектор состояния для конца -го сегмента при

£,= ^ где £=^;

^ = V

где V (л {) — матрица влияния начального сечения ^ = ° на концевое сечение -го сегмента.

Запишем соотношение для вектора состояния для балки, состоящей из одного сегмента (12), или в развернутом виде

' щ (Л1Г ' К4 (Л1) Кз (Л1) К2 (Л1) К (Л1 ) (щ ^

щ ч (Л1) к4К1 (Л1) К4 (Л1) Кз (Л1) К2 (Л1) щ'

щ ч'(Л1) к,4К2 (Л1 )к,К (Л1) К4 (Л1) Кз (Л1) щ чч

щ "'(Л1), [к4Кз (Л1 )к4К2 (Л1 )к4К1 (Л1 )к4 (л ) щ ччч V1° у

где л1 = к111.

Для балки, левый конец которой защемлен, а правый шарнирно оперт, накладываются условия

щ

щ '"(Л1) J I к4 Кз (Л1 )к,4 К2 (Л1 )к4 К1 (Л1К (Л1 ) Получим систему однородных алгебраических уравнений относительно

Тогда

щ" щ"'

V У

щчч и щччч

1° 1°

щ к2 (Л1)+щ°К1 (Л1 ) = 0; [щ ° К4 (Л1)+щ °Кз (Л1 ) =

Условием существования ненулевых решений этой системы является равенство нулю ее определителя

К2 (П, )К1 (П, ) 0

к (п, кв (п,) '

Раскрывая определитель, получим частотное уравнение для балки, состоящей из одного сегмента

18

На рис. 3 изображены графики зависимостей двух безразмерных низших частот ю, и ю2 от уровня полного расслоения п . Эти частоты являются корнями частотного уравнения (,4) для балки, состоящей из одного сегмента. Условия опирания балки соответствуют формулам (13).

1}

OK

«Л t

\ /

у .

у

""ijw

il

< Ltt

II п

и

1/1

а im,on

ОД)

7tyflП

V йдо /

4 ЯЦ» у

V у

N ММЮ у

-iii

l,i

С rt

I в

и

б

Рис. 3. Зависимость частот собственных изгибных колебаний балки от уровня полного расслоения балки: а — собственная частота; б — вторая частота

Примечание. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-08-97587-р_центр_а).

Библиографический список

1. Гордон В.А., Потураева Т.В. Частоты собственных изгибных колебаний свободно опертой балки с трещиной // Строительная механика и расчет сооружений. 2009. № 3 (224). С. 19—23.

ВЕСТНИК .

МГСУ_3/2014

2. Lin H.-P. Direct and inverse methods of free vibration analysis of the simply supported beams with cracks // Engineering structures. 2004, vol. 26, no. 4, pp. 427—436. DOI: 10.1016/j.engstruct.2003.10.014.

3. Потураева Т.В. Переходные процессы в балках при внезапных структурных перестройках и трещинообразовании : дисс. ... канд. техн. наук. Орел, 2009. 143 с.

4. Lin Hai-Ping. Dynamic design of beams using soft tuning // Proceedings of the 15th International Congress on Sound and Vibration. Daejeon, Korea, 2008, pp. 215—222.

5. Гордон В.А., Павлова Т.А. Динамические явления в балке при лавинообразном процессе выключения связей в опорах // Вибрационные машины и технологии : сб. науч. тр. : в 2 ч. Курск : КурскГТУ 2005. Ч. 1. С. 166—169.

6. Расчет динамических усилий в конструктивно-нелинейных элементах стержневых систем при внезапных структурных изменениях / В.А. Гордон, Н.В. Клюева, А.С. Бухтиярова, Т.В. Потураева // Строительная механика и расчет сооружений. 2008. № 6. С. 23—26.

7. Павлова Т. А. Развитие метода расчета строительных конструкций на живучесть при внезапных структурных изменениях : дисс. . канд. техн. наук. Орел, 2006.

8. Клюева Н.В., Гордон В.А. Расчет динамических догружений в стержневой пространственной системе с внезапно выключающимися элементами // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2008. № 6. С. 72—79.

9. Гордон В.А., Брусова В.И., Волчков А.А. Напряженно-деформированное состояние нагруженной балки при внезапном уменьшении площади поперечного сечения // Известия ОрелГТУ Серия Строительство. Транспорт. 2006. № 3-4. С. 20—27.

10. Гордон В.А., Брусова В.И., Волчков А.А. Анализ динамического процесса в нагруженной балке при ее частичном разрушении // Современные проблемы математики, механики, информатики : материалы Междунар. конф. Тула : ТулГУ, 2007. С. 136—137.

11. Расчет динамических усилий в конструктивно-нелинейных элементах стержневых систем при внезапных структурных изменениях / В.А. Гордон, Н.В. Клюева, А.С. Бухтиярова, Т.В. Потураева // Строительная механика и расчет сооружений. 2008. № 6. С. 23—26.

12. Гордон В.А., Кравцова Э.А. Перераспределение напряжений в нагруженной составной балке при деградации связей сдвига // Строительная механика и расчет сооружений. 2010. № 4. С. 2—6.

13. Gordon V., Anokhin P., Stepanov Y. Transitional processes in the constructions with the sudden structural reconstructions // Proceedings of the 15th International Congress on Sound and Vibration. Daejeon, Korea. 2008, pp. 1544—1556.

14. Гордон В.А., Кравцова Э.А. Влияние продольного расслоения составного стержня на частоты собственных изгибных колебаний // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. № 1. С. 19—24.

Поступила в редакцию в январе 2014 г.

Об авторах: Гордон Владимир Александрович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (ФГБОУ ВПО «Госуниверситет — УНПК»), 302020, г. Орел, ул. Наугорское шоссе, д. 29, 8(4862) 41-98-48, gordon@ostu.ru;

Кравцова Эльвира Александровна — старший преподаватель кафедры информационных систем, Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (ФГБОУ ВПО «Госуниверситет — УНПК»), 302020, г. Орел, ул. Наугорское шоссе, д. 29, 8(4862) 41-98-48, gordon@ostu.ru.

Для цитирования: Гордон В.А., Кравцова Э.А. Собственные частоты и формы изгибных колебаний балки с трещиной // Вестник МГСУ 2014. № 3. С. 50—58.

V.A. Gordon, E. A. Kravtsova

NATURAL FREQUENCIES AND FORMS OF FLEXURAL VIBRATIONS OF A BEAM WITH A CRACK

In view of providing durability of constructions, the urgent problem is studying dynamic processes in loaded rod structures occurring in the process of sudden local defects formation, such as breakage of support bonds, partial destruction, transverse and longitudinal cracks etc., which are united under general term "beyond design impacts".

To date, a number of problems related to this topic are solved: the problem of dynamic loadings at sudden formation of transverse cracks, the problem of partial tie breaks in the bearings, partial destruction and longitudinal lamination of compound bars.

In the paper the authors propose a method of determining the spectrum of natural frequencies of flexural vibrations of a rod system with this type of injury. The results are to be used for modal analysis of forced vibrations of a beam with a defect of longitudinal lamination, depending on its level.

Key words: longitudinal lamination, natural frequencies, flexural vibrations, simple beam, frequency spectrum.

References

1. Gordon V.A., Poturaeva T.V. Chastoty sobstvennykh izgibnykh kolebaniy svobodno opertoy balki s treshchinoy [Natural Flexural Vibrations of a freely supported beam with a crack]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2009, no. 3 (224), pp. 19—23.

2. Lin H.-P. Direct and Inverse Methods of Free Vibration Analysis of the Simply Supported Beams with Cracks. Engineering Structures. 2004, vol. 26, no. 4, pp. 427—436. DOI: 10.1016/j.engstruct.2003.10.014.

3. Poturaeva T.V. Perekhodnye protsessy v balkakh pri vnezapnykh strukturnykh per-estroykakh i treshchinoobrazovanii: dissertatsiya kandidata tekhnicheskikh nauk [Transition Processes in Beams in Case of Sudden Structural Reorganizations and Crack-formation. Thesis of the Candidate of Technical Sciences]. Orel, 2009, 143 p.

4. Lin Hai-Ping. Dynamic Design of Beams Using Soft Tuning. Proceedings of the 15th International Congress on Sound and Vibration. Daejeon, Korea, 2008, pp. 215—222.

5. Gordon V.A., Pavlova T.A. Dinamicheskie yavleniya v balke pri lavinoobraznom protsesse vyklyucheniya svyazey v oporakh [Dynamic Effects in a Beam in Case of Snowballing Process of Support Connections Shutting off]. Vibratsionnye mashinyi tekhnologii: sbornik nauchykh trudov v 2 chastyakh [Vibrating Machines and Technologies. Collection of Scientific Works. In 2 Parts]. Kursk, KurskGTU Publ., 2005, Part 1, pp. 166—169.

6. Gordon V.A., Klyueva N.V., Bukhtiyarova A.S., Poturaeva T.V. Raschet dinami-cheskikh usiliy v konstruktivno-nelineynykh elementakh sterzhnevykh sistem pri vnezapnykh strukturnykh izmeneniyakh [Calculating Dynamic Impact in Constructive Non-linear Elements of Bar Systems in Case of Sudden Structural Changes]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 2008, no. 6, pp. 23—26.

7. Pavlova T.A. Razvitie metoda rascheta stroitel'nykh konstruktsiy na zhivuchest' pri vnezapnykh strukturnykh izmeneniyakh: dissertatsiya kandidata tekhnicheskikh nauk [Development of the Durability Calculating Method for Building Structures in Case of Sudden Structural Changes. Thesis of the Candidate of Technical Sciences]. Orel, 2006.

8. Klyueva N.V., Gordon V.A. Raschet dinamicheskikh dogruzheniy v sterzhnevoy pros-transtvennoy sisteme s vnezapno vyklyuchayushchimisya elementami [Calculating Dynamic Loads in a Space Bare Structure with Suddenly Shutting off Elements]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Structures and Constructions]. 2008, no. 6, pp. 72—79.

9. Gordon V.A., Brusova V.I., Volchkov A.A. Napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie nagruzhennoy balki pri vnezapnom umen'shenii ploshchadi poperechnogo secheniya [Stressstrain State of a Loaded Beam in Case of Sudden Cross Section Area Decrease]. Izvestiya OrelGTU. Seriya Stroitel'stvo. Transport. [News of Orel Technical University. Series: Construction. Transport]. 2006, no. 3—4, pp. 20—27.

ВЕСТНИК .

МГСУ_3/2014

10. Gordon V.A., Brusova V.I., Volchkov A.A. Analiz dinamicheskogo protsessa v nagru-zhennoy balke pri ee chastichnom razrushenii [Dynamic Process Analysis in a Loaded Beam in Case of its Partial Destruction]. Sovremennye problemy matematiki, mekhaniki, informatiki: materialy Mezhdunarodnoy konferentsii [Current Issues of Mathematics, Mechanics, Computer Science: Works of International Conference]. Tula, TulGU Publ., 2007, pp. 136—137.

11. Gordon V.A., Klyueva N.V., Bukhtiyarova A.S., Poturaeva T.V. Raschet dinami-cheskikh usiliy v konstruktivno-nelineynykh elementakh sterzhnevykh sistem pri vnezapnykh strukturnykh izmeneniyakh [Dynamic Impact Calculation in Constructive Non-linear Elements of Bar Systems in Case of Sudden Structural Changes]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2008, no. 6, pp. 23—26.

12. Gordon V.A., Kravtsova E.A. Pereraspredelenie napryazheniy v nagruzhennoy sos-tavnoy balke pri degradatsii svyazey sdviga [Stress Redistribution in a Loaded Composite Beam in Case of Shift Connections Degradation]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2010, no. 4, pp. 2—6.

13. Gordon V., Anokhin P., Stepanov Y. Transitional Processes in the Constructions with the Sudden Structural Reconstructions. Proceedings of the 15th International Congress on Sound and Vibration. Daejeon, Korea, 2008, pp. 1544—1556.

14. Gordon V.A., Kravtsova E.A. Vliyanie prodol'nogo rassloeniya sostavnogo sterzhnya na chastoty sobstvennykh izgibnykh kolebaniy [The Influence of Longitudinal Lamination of a Compound Bar on Natural Flexural Vibrations]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 2011, no. 1, pp. 19—24.

About the authors: Gordon Vladimir Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, head, Department of Higher Mathematics, State University — Education-Science-Production Complex (UNPK), 29 Naugorskoe shosse, Orel, 302020, Russian Federation; +7(4862) 41-98-48; gordon@ostu.ru;

Kravtsova El'vira Aleksandrovna — Senior Lecturer, Department of Information Systems, State University — Education-Science-Production Complex (UNPK), 29 Naugorskoe shosse, Orel, 302020, Russian Federation; +7(4862) 41-98-48; gordon@ostu.ru;

For citation: Gordon V.A., Kravtsova E.A. Sobstvennye chastoty i formy izgibnykh kolebaniy balki s treshchinoy [Natural Frequences and Forms of Flexural Vibrations of a Beam with a Crack]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 3, pp. 50—58.