Геомеханическое состояние массива горных пород, вмещающего выработку и дизъюнктивное нарушение

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.241.54:539.3

Н.В. Черданцев, С.В. Черданцев

ГЕОМЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД, ВМЕЩАЮЩЕГО ВЫРАБОТКУ И ДИЗЪЮНКТИВНОЕ НАРУШЕНИЕ

Массив осадочных горных пород, вмещающий пластовые месторождения полезных ископаемых, обладает ярко выраженной прочностной анизотропией, обусловленной системами поверхностей ослабления, по которым характеристики прочности массива существенно ниже, чем по другим направлениям. К поверхностям ослабления относятся, главным образом, слоистость и кливаж [1] -

[4].

Исследования геомеханического состояния анизотропного по прочности массива, вмещающего как отдельные выработки, так и их системы, проведены в ряде работ [2] - [10]. Эти исследования сводились к построению зон нарушения сплошности (ЗНС) вмещающего массива на основе расчёта полей напряжений и применения критерия Мора - Кузнецова [1] - [4]. Кроме этого, на основе коэффициента нарушенности к„ производились оценки техногенной нарушенности массива, связанной с проведением выработки.

Поверхности ослабления образованы тектоническими процессами, произошедшими в земной коре на ранней стадии формирования массивов горных пород. Кроме слоистости и кливажа под действием этих процессов образуются и другие аномалии в виде дизъюнктивных (разрывных) нарушений с последующими сдвигами блоков массива по линиям разрыва. Механика явления может быть представлена следующим образом. При возникновении нарушения происходит смещение крыльев нарушения по некоторой поверхности, называемой сместителем. Оно сопровождается трением и, как следствие, появлением касательных усилий. Очевидно, что движение прекратится, когда сдвигающие усилия уравновесятся силами трения, возникающими по поверхности этого сместителя [12], [13].

Задача о геомеханическом состоянии вмещающего массива около выработки и близкорасположенного дизъюнктивного нарушения, расчётная схема которой представлена на рис. 1, формулируется следующим образом. В однородном упругом массиве с регулярными поверхностями ослабления вблизи трещины проведена выработка прямоугольного поперечного сечения размерами Ь, к, Ь. Начало глобальной системы координат, ось г которой направлена вертикально вверх, совмеще-

на с центром тяжести выработки. Дизъюнктивное нарушение задаётся двумя параллельными плоскостями, представляющие берега закрытой (сомкнутой) трещины. Такая трещина представляет собой математическую щель, берега которой являются сомкнутыми, а расстояние между ними равно нулю [14]. Следующие параметры характеризуют дизъюнктивную трещину, которую в дальнейшем будем называть щелью. Ь„, Ьп - размеры в плане, а„, Р„ - углы наклона системы координат х„, у„, 2„, расположенной в её центре, координаты которого 5х, 8у, 5г (ось 2„ совпадает с нормалью vn к плоскости щели), ю - угол между направлением простирания щели и направлением сдвига (рис. 1). В ходе решения задачи должно быть определено поле напряжений, построены зоны нарушения сплошности массива и произведена количественная оценка его техногенной нарушенности.

На рис. 1 показано, что массив сверху и снизу нагружен гравитационным давлением уИ (у -средневзвешенный объёмный вес налегающих сверху пород, И - глубина заложения выработки), а по бокам ЛуИ (Л - коэффициент бокового давления). Касательная нагрузка, кроме сил трения, в нетронутом массиве отсутствует. Ориентация же поверхностей ослабления определяется углами падения а0 и простирания Д. Угол а0 - угол между осью г и нормальной к поверхности ослабления осью 20, а угол Ро образован осями х и Хо.

В результате деформирования массива происходит проскальзывание берегов щели друг относительно друга и согласно закону сухого трения Кулона по ним возникают силы трения, пропорциональные коэффициенту трения породы по породе и силе давления, действующей нормально плоскости щели.

Таким образом, в массиве горных пород, вмещающем трещину с сомкнутыми берегами в виде математической щели, ещё до ведения горных работ помимо исходного гравитационного поля напряжений существуют и дополнительные касательные напряжения, возникающие в результате взаимного движения её берегов.

Наличие выработки также меняет исходное поле напряжений в массиве горных пород. В результате в нём образуются участки концентрации

напряжении, а также участки с пониженными напряжениями (зоны разгрузки).

Исследования состояния массива путём построения полеИ напряжении и зон нарушения сплошности в окрестности только горных выработок в отмеченных выше работах проводились в рамках разработаннои трёхмернои модели геомеханического состояния анизотропного по прочности массива, в котороИ основу составляет интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно неизвестного вектора фиктивной нагрузки а. Применительно к массиву, вмещающему вырез в виде горной выработки, оно представляется следующим образом [3], [4] 1 г

-ад (во) "!ф дт (во > Мо )ат (Мо ^0Мо = о

2

= с • п

дт т

В уравнении (1) О - область интегрирования, QO, МО - точки на поверхности этой области, ёО-мо - дифференциал поверхности в окрестности точки Мо, ФтЮ,о,Мо) - тензор Грина, определяе-

мый зависимостями [3], [4], [15], п^о), п^(Мо) -направляющие косинусы вектора нормали к поверхности выработки в точках Qo, Мо; Fq(Qo) -вектор нагрузки, приложенный к поверхности выработки изнутри, который может быть реакцией (отпором) крепи, <Счт - компоненты тензора естественного поля в нетронутом горными работами массиве. В отсутствие тектонических напряжений эти компоненты представляются выражениями гравитационного давления

сп = , о\г = ЪН, с1е2 = с13 = с2з = 0 . (2) Проекции компонентов напряжений естественного поля (2) на поверхности выработки, представляющие первое слагаемое в правой части, выражаются следующим образом [15], [16]

е 7 . е е е ;

Рх.Ь = с11 • 1Ь + с12 • тЬ + с13 • ПЬ = с11 • 1Ь,

е 7 . е е е

Ру.Ь = с12 • 1Ь + с22 • тЬ + с23 • ПЬ = с22 • тЬ

е

Рz.Ь = с13 • 1Ь + с23 • тЬ + с33 • пЬ =С

Пи.

'33 • ПЬ

В системе выражений (3) рх.ъ, ру.ь, р?.ъ - составляющие вектора напряжений естественного поля

Рис. 1 - Расчётная схема массива с выработкой и щелью

е

по осям глобальной системы координат, а /Ь, mЬ, „ь - направляющие косинусы нормали к поверхности выработки.

Для массива, вмещающего только щель, интегральное уравнение краевой задачи также может быть представлено интегральным уравнением Фредгольма второго рода

1 г

- ад (Яоп) - 1Фдш (воп > Мо„ )аш (Мо„ Уом0п

2 /Л

= G

e

nm

дш '"ш

Здесь интегрирование ведётся по поверхности щели On.

Слагаемое в правой части уравнения (4) является вектором поверхностной нагрузки, приложенной по плоскости щели, и в алгебраической форме он представляется выражениями

Рх.п = Тхп2п ' 1хп + Туп2п ' 1уп ,

Py.n tx pz .n tX™ z j

mx + ty z

xn ynz

z my

n n у n

х„г„ х„ ' у„г„ у„

в которых /х„, ..., „у„ - направляющие косинусы осей локальной системы координат. Матрица перехода от исходной системы x, у, г к xn, у„, г„, привязанной к плоскости нарушения и повёрнутой относительно оси х на угол а„, а относительно оси г на угол Р„ выглядит следующим образом [17]

(

lx

n лП лП

l m n

ly '"y "y

Jn sn sn l

\

V zn

m

zn J

с cos Pn sin Pn 0 ^

- cos an  sin (3n cosan  cos (3n sinan sinan  sin(3n -sinan  cos(3n cosan J

.

Касательные напряжения, входящие в (5), связаны с напряжениями естественного поля и коэффициентом трения зависимостями согласно закону сухого трения Кулона следующим образом [13], [14].

e

Хx.z. =-CTe„ 'Ptr  COS  ,

ynzn

= -G

pr  sin a .

где р - коэффициент трения породы по породе, минус указывает на сдвиг сместителя влево, а

нормальное напряжение ое выражается через

г„

компоненты естественного поля напряжений следующим образом

G

e í2 , e 2 . e G11  + G22  + G13  n

e ___2

.e „2

где , тг , „Гп - направляющие косинусы

оси г„, нормальной к сместителю.

Интегральные уравнения (1) и (4), являются сингулярными уравнениями, и их решение может быть построено численно, например, методом механических квадратур. Согласно этому методу сначала поверхность полости разбивается на конечное число элементов N а интеграл заменяется суммой; фиктивная нагрузка, а также реактивная нагрузка в виде реакции крепи по каждому элементу заменяются равнодействующими силами, при этом считается, что они в пределах элемента постоянны. В результате этой процедуры получаются N уравнений относительно неизвестного вектора фиктивной нагрузки, что в координатной форме соответствует 3N уравнениям относительно проекций этого вектора. После решения системы алгебраических уравнений напряжения в произвольной точке к массива определяются путём суммирования напряжений естественного поля и напряжений от действия найденной фиктивной нагрузки [3], [4], [15], [18], [19]

_ * . е

°д т. к т г. к]аг.] т, к.

Описанный подход применения интегрального уравнения к определению полей напряжений в научной литературе получил название метода граничных интегральных уравнений, например, в [10]. Различные варианты численного решения интегрального уравнения и вычисления напряжений в расчётных областях называются методом граничных элементов [4], [18], [19].

Для массива, вмещающего и выработку, и математическую щель, очевидно, что описанный выше подход вполне применим. В этом случае интегральное уравнение краевой задачи представляется суммой интегралов по каждой отдельной поверхности. Оно имеет следующий вид

1

(

' Í Ф qm (Qob , M0b К (M0b ¥OMOb O

+

Í Ф qm (Qon , M0n К (M0n ¥0M0

'13

\0п ;

= ОтЪ  пш (0оь ) - Р(во, )+ ^.п ' пш (0о„ У

Здесь, как и ранее, индекс Ь относится к выработке, а индекс „ - к щели. Остальные обозначения соответствуют обозначениям, принятым в (1).

Первое слагаемое в правой части (7) представляет собой вектор поверхностной нагрузки, действующей по поверхности выработки. В алгебраической форме он представляется системой выражений (3). Третье слагаемое в (7) - вектор поверх-

n

КН =

n

z

n

n

ностной нагрузки, приложенной по берегам щели, и в алгебраической форме он соответствует выражениям (5).

Таким образом, описанный выше подход к решению задачи о геомеханическом состоянии массива в окрестности выработки и щели является следующим шагом в развитии и модернизации разработанной ранее трёхмерной модели геомеха-

нического состояния анизотропного по прочности массива горных пород [3], [4]. Очевидно, что с учётом математической щели эта модель существенно расширяет возможности в анализе и оценке состояния массивов осадочных горных пород.

Из представленной трёхмерной модели частным образом вытекает двумерная (плоская) мо-

б)

а0=0°, Д=0° кп=3,337

а0=0°, ро=0\ К=1,39

г)

а0=90° ро=55° К=3,36

ар=90 ° Д=55° К=20,8

д)

е)

аo=55 ° Рб=90 ° kn=20,14

аo=55 ° ро=90° К=0,487

Рис. 2 - Зоны нарушения сплошности в окрестности одиночной выработки (слева) и щели для ряда

параметров поверхностей ослабления

дель, в рамках которой могут быть решены задачи о геомеханическом состоянии массивов, вмещающих выработку и щель, размеры которых в одном направлении значительно превышают размеры в двух других. Задача о взаимном влиянии выработки и щели относится к плоской задаче, если трасса выработки и ось простирания щели параллельны, а их размеры в этих направлениях намного превышают размеры в двух других. В перечисленных вариантах горные породы вмещающего массива находятся в условиях плоского деформированного состояния, и для анализа этого состояния допустимо решение плоской задачи механики дефор-

мируемого твёрдого тела.

Ниже приведены результаты решения плоской задачи о состоянии анизотропного массива, вмещающем выработку прямоугольного поперечного сечения и щель. Исходная информация представлена следующими данными: Ь=3 м, к=2 м, Ь„=10 м, 8У=0, а>=90°, рьг=0,7, у=2,5 т/м3, угол внутреннего трения породы массива р=20 ° коэффициент сцепления по поверхности ослабления К=0, Н=400 м, Х=1.

В качестве показателей, по которым производилась оценка состояния массива, приняты зоны нарушения сплошности (ЗНС) - области массива,

4

а

£ и о

х *

<ü

а &

X

X d1 а

а

tí,

о

¡3

1 с ~ 2 3-í s

3 --<

4

10 20 30 40 50 60 70 Угол падения, поверхностей ослабления Cíe, град

S0

90

Рис. 3 - Графики зависимости коэффициента нарушенности около одиночной щели от угла падения о поверхностей ослабления для ряда значений их угла простирания /30

а)

kn=7,88

б)

-2 О

kn=2,83

Рис. 4 - Зоны нарушения сплошности в окрестности одиночной щели (а) и одиночной выработки (б),

построенные при а0 =63 ° )30 =37°

в которых не выполняется критерий прочности к„, равный отношению площади ЗНС к площади Мора - Кузнецова, и коэффициент нарушенности поперечного сечения выработки.

ао =63°, Ро =37°, к„=7,087

ао =55°, Ро =90°, к„=1,727

Рис. 5 - Зоны нарушения сплошности в окрестности выработки и пересекающей её горизонтальной щели для ряда параметров поверхностей ослабления

Рис. 6 - ЗНС в окрестности выработки и щели для ряда значений 8г

Для сравнения с результатами представленных исследований помещены и результаты исследований о состоянии массива с одиночной выработкой. Они получены в рамках модели, разработанной в [3]. Так, например, на рис. 2 представлены ряд фрагментов (а, в, д) с картинами ЗНС в окрестности выработки для некоторых значений углов падения и простирания поверхностей ослабления, взятых из [4]. Из рисунка, в частности следует, что ориентация регулярных поверхностей ослабления существенно влияет на размеры ЗНС массива. При исследовании устойчивости целиков в системе двух выработок прямоугольного сечения установлено, что наибольшие размеры ЗНС соответствуют двум системам поверхностей ослабления [20]. Первая система имеет параметры ао=90°, Ро=55°, а вторая - ао=55°, ро=90°. Фрагменты в, д рисунка показывают, что в окрестности одиночной выработки отмеченные системы поверхностей ослабления также приводят к максимальным зонам нарушения сплошности.

На этом же рисунке (фрагменты б, г, е) при тех же параметрах поверхностей ослабления показаны ЗНС в окрестности одиночной щели. Из рисунка следует, что системы ослаблений, приводящие к наибольшим нарушениям сплошности вокруг выработки, не вызывают таких нарушений вокруг щели. Наоборот, система ослаблений

ао=55°, ро=90° даёт минимальные нарушения сплошности в её окрестности.

В этой связи для выявления экстремальных значений нарушений сплошности проведены исследования состояния массива около одиночной щели при изменении углов падения и простирания поверхностей ослабления в диапазоне от нуля до девяноста градусов. Влияние параметров поверхностей ослабления на качественную и количественную оценки нарушенности массива характеризуют графики зависимости коэффициента нарушенности от угла падения поверхностей ослабления для некоторых значений их углов простирания, представленные на рис. 3. Так, график 1 на рисунке соответствует ро=30°, график 2 -Ро=20 °, график 3 - Ро=0°, график 4 - ро=80°, график 5 - Ро=90°.

Из рисунка, в частности, следует, что все графики имеют участки возрастания, убывания и как минимум одну точку перегиба. Почти все графики возрастают на участке ао=0° - 20°, а при увеличении ао графики, соответствующие ро=0° и ро>80°, убывают, причём графики 4 и 5 убывают вплоть до ао=90°, а график 3 убывает лишь до ао=50°, а при дальнейшем увеличении ао наблюдается его слабый рост. Графики же 1 и 2 возрастают, достигая своих максимумов при ао=70°.

Как показывают детальные расчёты, наиболь-

Рис. 7 - ЗНС в окрестности выработки и щели для ряда значений 8г

ший эффект нарушенности массива в окрестности одиночной щели достигается при следующих параметрах поверхностей ослабления: а0=63 ° и ро=37°. В этой связи на рис. 4 приведены картины зон нарушения сплошности массива в окрестности одиночной щели и одиночной выработки, построенные при этих параметрах.

Проведены исследования геомеханического состояния массива в условиях взаимного влияния выработки и щели. Вычислительный эксперимент проводился при двух вариантах ориентации поверхностей ослабления и нескольких значениях расстояния между щелью и выработкой. В первом варианте принято а0=63°, р0=37° (наибольшие нарушения сплошности для одиночной щели),

второй вариант а0=0°, р0=0° (горизонтальные поверхности ослабления).

Результаты исследований для случаев, когда щель совпадает с горизонтальной осью поперечного сечения выработки (8=0) представлены фрагментами а, б (рис. 5) в виде картин ЗНС. На этом же рисунке (фрагменты в, г) показаны зоны нарушения сплошности массива с поверхностями ослабления, при которых около одиночных выработок они максимальны. Хорошо видно, наличие щели гасит эффект нарушенности массива около выработки по сравнению с одиночным её положением.

На рис. 6, 7 представлены фрагменты картин ЗНС, построенных при некоторых взаимных рас-

10 20 30 40 50 60 70 30 Угол падения, поверхностей ослабления. Ос, град

Рис. 8 - Графики зависимости коэффициента нарушенности около выработки и щели от угла падения о поверхностей ослабления для ряда значений их угла простирания р0

4

I

е1 я

5-

о £

— э— / |н- *-1

/ 2 )-- э-«

- —< в >-<

-- - - - - - - - -1

Расстояние между выработки и щели й, м

Рис. 9 - Графики зависимости коэффициента нарушенности от расстояния между выработкой и щелью для трёх вариантов ориентации поверхностей ослабления

положениях выработки и щели для двух вариантов ориентации ослаблений. Из рисунков, в частности следует, что при близком взаимном расположении выработки и щели зоны нарушения сплошности вокруг каждой из них представляют единую зону. Однако, начиная с расстояния 8г>6 м, происходит разъединение этих зон на отдельные зоны. Отметим, что площадь объединённой зоны не превышает сумму площадей этих зон для каждого отдельного объекта. В этом легко убедиться, если сложить коэффициенты нарушенно-сти, полученные для одиночной выработки и изолированной щели, и сравнить полученную сумму с коэффициентом нарушенности для случая, когда они находятся в области взаимного влияния. Следует отметить, что конфигурация единой ЗНС около выработки и щели отличается от картины, если зоны нарушения сплошности отдельной выработки и щели искусственно состыковать между собой и расположить друг относительно друга таким же образом. Другими словами сумма ЗНС отдельной выработки и щели не совпадает с единой ЗНС выработки и щели при их взаимном влиянии.

Для установления параметров поверхностей ослабления, при которых достигается эффект максимальной нарушенности массива в окрестности выработки и щели проведён вычислительный эксперимент. Здесь его результаты приведены для 8г=6 м. На рис. 8 они представлены графиками зависимости коэффициента нарушенности от параметров поверхностей ослабления. Эти графики построены при тех же параметрах среды, что и соответствующие им графики на рис. 3. График 1 соответствует Ро=30°, график 2 - Ро=20°, график 3 - Ро=0°, график 4 - Ро=80°, график 5 - Ро=90° Сравнивая графики на рисунках 3 и 8, можно сказать, что качественно отличаются только графики 3. Отметим также и ещё некоторые отличительные моменты. График 3 на рис. 8 убывает на участке изменения ао от 0° до 30°. На этом участке он принимает наименьшие значения среди всех других графиков, построенных при ро^0°. А графики 4 и 5 на рис. 8 также как и на рис. 3, начиная с абсциссы ао>30° убывают. Они принимают близкие к нулю значения при углах падения ослаблений больших 80 °.

Детальные расчёты показывают, что максимум нарушенности вмещающего массива так же, как и в варианте с одиночной щелью, достигается при ао=63°и Ро=37°.

Сравнивая ЗНС на фрагментах в, д (рис. 2) с ЗНС на фрагментах в, г (рис. 5), а также графики на рис. 8, можно сделать следующий вывод. Расположенная рядом с выработкой щель способна исполнять роль экрана. При определённых параметрах поверхностей ослабления она уменьшает нарушенность вмещающего массива.

На рис. 9 представлены графики зависимости коэффициента нарушенности от вертикального

расстояния 8г между центрами тяжестей выработки и щели. График 1 соответствует варианту с

ао=63°, Ро=37°, 2 - ао=60°, Ро=20°, 3 - ао=0°, Ро = 0°.

Из рисунка следует, что, во-первых, все графики представляют собой плавные кривые, во-вторых, имеют минимум и максимум. Минимум графиков расположен при 8г=0,25 м, а максимум соответствует расстоянию 8г=6 м. В этот момент происходит смыкание зон нарушения сплошности при сближении выработки и щели или их размыкание в случаях, если выработка и щель удаляются друг от друга.

В заключение отметим, что представленные в статье результаты исследований получены для однородного массива. Однако, для оценки состояния массива, вмещающего выработку, пройденную по угольному пласту и щель, расположенную непосредственно в пласте или пересекающего его, представленная в статье модель вполне может быть использована для этой цели. Если значения коэффициента Пуассона основного массива и угольного пласта отличаются друг от друга не более, чем на 50%, то, как показано в [21], [22], учёт в модели неоднородной вставки в виде угольного пласта изменит результат не более, чем на 5%.

Выводы.

1. Разработана трёхмерная модель геомеханического состояния анизотропного по прочности массива горных пород, вмещающего выработку и математическую щель типа дизъюнктивного нарушения. Модель расширяет круг решаемых задач в исследованиях геомеханического состояния массивов осадочных горных пород.

2. При определённой комбинации углов падения и простирания поверхностей ослабления зоны нарушения сплошности массива в окрестности одиночной выработки достигают значительных размеров, однако наличие дизъюнктивной трещины может существенно уменьшать эти зоны.

3. По результатам исследований установлено, что наибольшие нарушения сплошности массива поверхностями ослабления происходят в момент смыкания (размыкания) зон нарушения сплошности, образуемых вокруг выработки и трещины.

4.Показано, что наибольшие по размерам зоны нарушения сплошности образуются, если угол падения поверхностей ослабления составляет угол 63 градуса, а угол простирания при этом равен 37 градусам.

5. Характер распределения зон нарушения сплошности около выработки и дизъюнктивного нарушения устанавливает важное обстоятельство: крепить кровлю выработки анкерной крепью следует лишь в тех случаях, когда щель достаточно близко расположено к выработке, либо удалена от неё на достаточно большое расстояние.

6. При расположении дизъюнктивного нарушении в непосредственной близости к суфляру

(естественному резервуару скопления метана) возможен значительный приток метана в выработку, особенно в тех случаях, когда зоны нару-

шения сплошности вокруг выработки и щели представляют единую область.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кузнецов Г.Н. Графические методы оценки предельных состояний трещиноватого массива вокруг горных выработок // Современные проблемы механики горных пород. - Л.: Наука, 1972. С. 30 - 44.

2. ЕржановЖ.С. Комбайновые выработки шахт Кузбасса. Опыт поддержания и расчет устойчивости / Ж.С. Ержанов, В.Ю. Изаксон, В.М. Станкус. - Кемерово: Кемеров. книжн. изд-во, 1976. - 216 с.

3. Черданцев Н.В. Некоторые трёхмерные и плоские задачи геомеханики / Н.В. Черданцев, В. Ю. Изаксон. - Кемерово: КузГТУ, 2004 .- 190 с.

4. Черданцев Н.В. Вопросы методического и инструментального обеспечения мониторинга горных выработок / Н.В. Черданцев, В. Т Преслер., В.Е. Ануфриев. - Кемерово, ИУ СО РАН, 2012. - 222 с.

5. Черданцев Н.В. Зоны нарушения сплошности в области сопряжения двух выработок квадратного поперечного сечения // Вестник КузГТУ.-2003.-№ 5.-С. 19-21.

6. Черданцев Н.В. Зоны нарушения сплошности вокруг выработок с нетиповыми поперечными сечениями // Вестник КузГТУ.-2003.-№ 6.-С. 8-11.

7. Черданцев Н.В. Устойчивость сопряжения вертикального ствола и горизонтальной выработки // Вестник КузГТУ. -2004.-№ 5.-С. 3-5.

8. Черданцев Н.В. Классификация вырезов по степени их влияния на окружающий массив / Н.В. Черданцев, В.Т. Преслер, В.Ю. Изаксон // Вестник КузГТУ.- 2006. - № 5.- С. 3-7.

9. Черданцев Н.В. Оценка нарушенности породного массива в окрестности щелевых вырезов /Н.В. Черданцев, В.Т. Преслер, В.Ю. Изаксон //ПМТФ.-2008.-№ 1.-С. 137-139.

10. Черданцев Н.В. Выбор нетипового поперечного сечения выработки в зависимости от физико-механических свойств массива горных пород / Н.В. Черданцев, В.Т. Преслер, В.Ю. Изаксон // Горный журнал. 2009. № 6. - С. 41 - 44.

11. Черданцев Н.В. Геомеханическое состояние анизотропного по прочности массива горных пород в окрестности сопрягающихся выработок /Н.В. Черданцев, В.Т. Преслер, В.Ю. Изаксон //ФТПРПИ. - 2010.

- № 2.- С. 62-68.

12. Букринский, В.А. Геометрия недр. - М.: Недра, 1999. - 526 с.

13. Жданкин Н.А. Анализ напряжённо-деформированного состояния массива горных пород в окрестности движущегося забоя в условиях пространственного взаимодействия горных выработок. Дисс ... д-ра техн. наук. - Кемерово, 1991. - 330 с.

14. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - Киев: Наукова Думка, 1968. - 888 с.

15. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970.-940 с.

16. ФилинА.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т. 1. - М.: Наука, 1975. - 832 с.

17. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.- М.: Наука, 1966.- 872 с.

18. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твёрдого тела / С. Крауч, А. Старфилд. - М.: Мир, 1987. - 328 с.

19. Бреббия К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел.- М.: Мир, 1987.

- 525 с.

20. Черданцев Н.В. Устойчивость целиков в окрестности системы выработок прямоугольного сечения, сооружаемых в анизотропном по прочности массиве горных пород / Н.В. Черданцев // Вестник Научного центра по безопасности работ в угольной промышленности.- 2012. - № 2.- С. 110 - 114.

21. Черданцев Н.В. Моделирование геомеханического состояния анизотропного по прочности неоднородного массива горных пород / Н.В. Черданцев, Преслер В.Т. // Вестник КузГТУ.- 2011.- № 3. - С. 15-22.

22. Черданцев Н.В. Моделирование разрушений в анизотропном по прочности неоднородном массиве горных пород, вмещающем выработку // Вестник Научного центра по безопасности работ в угольной промышленности.-2012. - № 1.-С. 6 - 11.

Авторы статьи

Черданцев Черданцев

Николай Васильевич , Сергей Васильевич,

докт. техн. наук, зав. лаб. геомеха- докт. техн. наук, ники угольных месторождений Ин- проф. каф. математики КузГТУ

ститута угля СО РАН. E-mail: svch01 @vandex.ru E-mail: cherdantsevnv@icc.kemsc.ru