О максимальной внутренней оценке множеств решений интервальных линейных систем

вычислительные технологии

ТОМ 3, № 2, 1990

О МАКСИМАЛЬНОЙ ВНУТРЕННЕЙ ОЦЕНКЕ

________U _____

МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

И. А. ШАРАЯ Институт вычислительных технологий СО РАН Новосибирск, Россия e-mail: shary@net.ict.nsc.ru

Complete interval arithmetic may be successfully used for maximal inner estimation of solution sets to linear equations system with interval parameters. It is demonstrated on the interval system of equations Ax = b as an example. Algebraic criteria were obtained for inner and maximal inner interval estimates for vei-solution sets to interval linear equations. We propose a simple method that checks whether a proper algebraic solution to the dualization equation is a maximal inner interval estimate for the corresponding VEI-solution set.

1. Введение

Математическая формулировка практической задачи часто сводится к выписыванию системы уравнений. Известные величины в системе — это параметры задачи. Классические математические методы ориентированы на решение систем уравнений с вещественными параметрами. Круг решаемых практических задач можно расширить, вводя в рассмотрение параметры иного типа.

Объектом нашего изучения являются задачи с интервальными параметрами. Параметр называем интервальным

Для решения задач с интервальными параметрами удобно пользоваться полной интервальной арифметикой, введенной Каухером [5]. Она позволяет 1) лаконично формулировать задачи с интервальными параметрами, 2) быстро находить оптимальные интервальные оценки множеств решений таких задач. Покажем это на примере задачи внутреннего оценивания УЗ-множеств решений системы линейных алгебраических уравнений Ах = Ь, в которой коэффициенты матрицы А и компоненты вектора Ь — интервальные параметры.

© И. А. Шарая, 1998.

2. Описание практической задачи на языке теории множеств

Определим два типа интервальных параметров. Если в задаче требуется, чтобы параметр мог принимать любое значение из интервала, будем писать, что он имеет ^неопределенность ("А-неопределенность"). А если требуется, чтобы для параметра только нашлось некоторое подходящее значение из интервала, будем писать, что он имеет З-неопределен-ность ("Е-неопределенность").

Рассмотрим задачу, в которой зависимость между интервальными параметрами и неизвестными носит линейный характер, формально описываемый интервальной системой линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) вида

Ах = Ь,

где А — т х п-матрица интервальных параметров, х — п-мерный вещественный вектор неизвестных, Ь — т-мерный вектор интервальных параметров.

Тип интервальной неопределенности компонент матрицы А конкретизируем с помощью интервальных матриц А^ и А3: если параметр а^ имеет З-неопределенность, то а3- = а^, а- = 0, а если параметр а^ имеет У-неопределенность, то, наоборот, а3 = 0, а- = а^. Тип интервальной неопределенности компонент вектора Ь конкретизируем аналогично с помощью интервальных векторов и Ь3. Пусть нас интересует множество вещественных решений Е системы (1), задаваемое правилом

Е = {х е Ега I У А1 е Ау УЪ' е Ь ЗА'' е А3 ЗЪ'' е Ь3

Известно [2], что пересечение множества Е с каждым ортантом является выпуклым многогранным множеством (возможно пустым или неограниченным). Множество Е может быть невыпукло и несвязно. Точное геометрическое описание множества Е в общем случае экспоненциально зависит от размерности задачи, поэтому возникает необходимость в его оценивании, т. е. приближенном описании с помощью простых множеств. Положение оценки по отношению к множеству Е (лежит внутри, содержит множество Е или др.) и ее форма (параллелипипед, эллипсоид, шар или др.) выбираются по смыслу задачи. Рассмотрим следующую постановку.

Задача 1. Указать какой-нибудь максимальный по включению п-мерный параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям, лежащий в множестве Е, задаваемом правилом (2).

Мы сформулировали на языке теории множеств некоторую задачу внутреннего оценивания множества вещественных решений линейной системы с интервальной неопределенностью в параметрах. Полная интервальная арифметика дает эффективный метод решения такой задачи оценивания и облегчает описание и выкладки за счет формализации математического языка. Основные определения и свойства полной интервальной арифметики изложены в разделе 3.

3. Полная интервальная арифметика

3.1. Полная интервальная арифметика как алгебраическая система

Жирными латинскими буквами будем обозначать интервальные объекты: малыми — интервалы и интервальные векторы (х, у, Ь, с), большими — интервальные матрицы (А, С).

Полная интервальная арифметика — это алгебраическая система

{Ж, С, V, Л, dual, pro , +,-, •,/) .

Основное множество

Множество IR состоит из всевозможных упорядоченных пар вещественных чисел:

IR = {x = [x,x] | x,x e R}.

Элементы основного множества принято называть интервалами, а x и X соответственно левым и правым концом интервала x. Два интервала считаются равными, если их одноименные концы совпадают:

x = У ^^ (x = y, x = y).

Если левый конец не больше правого, интервал называют правильным, иначе — неправильным. Правильный интервал x можно мыслить как множество вещественных чисел, заключенных между его концами: x = {x e R | x ^ x ^ x}. Множество всех правильных интервалов обозначается через IR:

IR = {x = [х, x] I x ^ x, x,x e R}.

Множество вырожденных интервалов {x = [ x, x] | x e R} часто отождествляется с множеством вещественных чисел. Мы будем вырожденные интервалы, в отличие от вещественных чисел, обозначать жирным шрифтом, например, 0 = [0, 0], 0 e 0. Решеточная структура С, <

^ в

отношения частичных порядков на Ж, определяемые через отношение порядка

X С y x ^ y

R

def

(x ^ y, X ^ y), (x ^ y, X ^ y).

X X Э y X ^ y

X ^ y y x С y

X

Рис. 1. Множество ir. Рис. 2. Отношения частичного порядка в ir.

V, Л — решеточные операции взятия точной верхней (supremum) и точной нижней (infimum) грани по включению. Они определяются для ограниченных соответственно сверху и снизу по включению семейств интервалов через операции взятия точных граней в R:

\J X = supc xi = [inf Xí, supXi], íei

использование для отношений частичного порядка в ir тех же символов, что приняты для теоретико-множественного включения и для порядка в r, не вызывает путаницы и удобно, так как на общей области определения соответствующие отношения совпадают.

f\xi = infс xi = [supxi,inf xi]. iei

Унарные операции

dual — операция дуализации: dual [ xx, ^c I I xx, ^c I. pro — операция взятия правильной проекции:

| x, если x правильный,

pro x =

dual x, если x неправильный.

Бинарные операции

Арифметические операции +, — , ,/ определяются через соответствующие вещественные операции и решеточные операции V, Л так, что

{\J , если x правильный,

РГл Х

, если x неправильный.

pro x

3.2. Интервальные векторы и матрицы

Интервальными векторами и матрицами называются соответственно элементы множеств Жп и Жтхп, m,n Е N. Интервальный объект называется правильным, если все его компоненты есть правильные интервалы.

Операции dual, pro , V, Л, +, — и отношения С, ^ на интервальных объектах из одного пространства определяются покомпонентно; например, для дуализации матрицы надо просто дуализовать ее компоненты, а точной верхней гранью по включению для интервальных векторов x, y Е Жп будет вектор x\/ y Е Жп, в котором (x\J y)i = xi \/ yi, i = 1, ..., n.

Произведение матрицы C Е Жтхп на вектор x Е Жп определяется правилом

n

(C  x)i = ^2 Cij xj, i =1, ...,m. j=i

Утверждение 3.2.1. Пусть х Е Жга, С Е Жтхга, X — интервальный вектор, полученный произвольной перестановкой компонент интервального вектора х, тогда

V\x (Cx) = Cx (v\x = \Л Х1\ЛХ2 ...\ЛХ

Доказательство. При последовательном выполнении операций взятия точной грани по включению надо использовать следующие свойства:

1) операции взятия точной грани для интервальных векторов определяются покомпонентно;

2) сложение в Ж коммутативно; операции взятия точной грани и сдвига на интервал перестановочны, в частности, Уу, z Е Ж ^(у + z) = \ДУу + ;

3) Уу, z Е Ж (\ДУ ^у) = zy.

n

3.3. Изотонность по включению

Рассмотрим отображение F с областью определения D(F) С Жга и множеством значений в Жт

Определение. Отображение F называется изотопным2 по включению, если сохраняет отношение С:

Ух, у е D(F) (х С у ^ F (х) С F (у)).

Фундаментальное свойство полной интервальной арифметики. Операции +, —, ,/ изотонны по включению.

Следствие. Умножение на интервальную матрицу изотопно по включению. На этом описание полной интервальной арифметики закончим. Более подробное ее изложение можно найти в [4, 5]. В следующем подразделе приведем необходимые в данной работе, но не описанные ранее свойства.

3.4. Изотонность по строгому включению

Отношение строгого включения (с) в Жга задается правилом

х с У ^ (х С У, х = у).

Определение. Отображение F : D(F) ^ Жт, D(F) С Жга будем называть изотонным по строгому включению, если оно сохраняет отношение С:

Ух,у е D(F) (х С у ^ F(х) С F(у)).

Утверждение 3.4.1. В полной интервальной арифметике операции сложения, вычитания и умножения на X е К \ {0} изотонны по строгому включению.

Доказательство. Воспользуемся геометрической интерпретацией операции сложения с интервалом как сдвига Ж, умножения на X > 0 как растяжения, а умножения на (—1) как симметрии Ж относительно биссектрисы 2-го и 4-го квадрантов. Очевидно, что все эти отображения переводят конус включающих интервалов без вершины в аналогичный. Это верно и для их композиций.

Операция умножения интервалов не изотонна по строгому включению. Определение. Отображение F : D(F) ^ Жт, D(F) С Жга назовем изотонным по строгому включению сверху в х, если

Уу е D(F) (х С у ^ F(х) С F(у)).

Определение. Отображение F : D(F) ^ Жт, D(F) С Ж назовем изотонным по строгому включению сверху в х по левому концу, если

Уу е D(F) ((х > у, х ^ у) ^ F(х) С F(у)).

2В классической интервальной арифметике рассматриваются только изотонные по включению отображения и их часто называют "монотонными (по включению)". В полной интервальной арифметике возникает необходимость рассмотрения отображений с разным характером монотонности по включению. Для указания характера монотонности используются термины "изотонное" и "антитонное (по включению) отображение".

Определение. Отображение F : D(F) ^ IRm, D(F) С IR назовем изотопным по строгому включению сверху в x по правому концу, если

Vy Е D(F) ((x > y,x<y) ^ F(x) С F(y)).

Так как для любых интервалов x и y

x С y ^^ ((ж > У,Х ^ y) или (x ^ y,x< y)),

то отображение изотонно по строгому включению сверху в x Е IR тогда и только тогда, когда оно изотонно по строгому включению сверху в x по левому и по правому концам.

Утверждение 3.4.2. Пусть x Е IRra. Умножение на интервальную матрицу C Е Жтхга изотонно по строгому включению сверху в x тогда и только тогда, когда в каждом столбце k матрицы C есть хоть один элемент clk, умножение на который изотонно по строгому включению сверху в xk по левому концу, и хоть один элемент crk, умножение на который изотонно по строгому включению сверху в xk по правому концу.

Доказательство. В условии и в доказательстве считаем, что k,j Е {1, ...,n}, l,r е{1, ..., m}. Надо доказать, что высказывание

Vy Е IRra

эквивалентно высказыванию

Vk^ ^3l Vu ЕЖ^ Хк^й^) ^ cikxk С cik^ и (зг Vv ЕЖ^ = ) ^ Crkxk С CrkV

Сначала покажем, что (4) ^ (3). Пусть y Е IRra, x С y. Имеем:

x С y ^^ ((Vj xj С yj) и (3k xk С yk)),

xk С yk ^^ {(£k > yk, Xk ^ Vk) или (Xk > yk, xk < Vk)).

Определим вектор z Е IRra следующим образом:

xj, если j = k,

[yk,xkL если j = k, Xk >yk, [Xk ,yk L иначе.

Рассмотрим произведения Cx и Cz. Умножение интервалов изотонно по включению, а сумма интервалов изотонна по строгому включению, поэтому из условия (4) получаем, что Cx С Cz. С другой стороны, z С y ив силу изотонности по включению умножения на интервальную матрицу Cz С Cy. Поэтому Cx С Cy.

Теперь докажем, что (не (4)) ^ (не (3)). Пусть высказывания (4) неверно. Так как умножение на интервал изотонно по включению, то отрицание высказывания (4) можно записать в виде

3k ^(VI 3ul (xk >ul, Xk ^ ul, cikxk = cikul)) или ('Vr 3vr (xk ^ vr,Xk <vr, c^xk = CrkVr.

Рассмотрим такой вектор y Е IRra, что xj, если j = k,

yj = ^ [maxul,xk], если j = k и Vl 3ul (xk > ul, xk ^ ül, clkxk = clkul), [xk, min vr], иначе.

Для вектора у имеем х С у, но Сх = Су. Мы получили отрицание высказывания (3) и завершили доказательство утверждения 3.4.2.

Утверждение 3.4.3. Пусть отображение F : D(F) ^ Жт, D(F) С Ж изотонно по включению.

1) Чтобы отображение F было изотонным по строгому включению сверху в х по левому концу, необходимо и достаточно, чтобы

Зе> 0 W

2) Чтобы отображение F было изотонным по строгому включению сверху в х по правому концу, необходимо и достаточно, чтобы

3£> 0 У5

Доказательство. 1) Необходимость условия (5) очевидна. Докажем достаточность. Считаем, что имеет место (5). Пусть интервал y таков, что x > У, x ^ у. Рассмотрим интервал z = [x-min{£/2,x—y},x]. Так как x С z С у, то в силу изотонности отображения F по включению F(x) С F(z) С F(у). Но F(x) = F(z) в силу утверждения (5), поэтому F(x) С F(у). 2) Вторая часть утверждения доказывается аналогично.

Определение. Относительным положением интервала называется такая функция X : IR \{0}^ [-1,1], что

если |x| ^ \x\, иначе.

Утверждение 3.4.4. Пусть x £ IRn. Умножение на интервальную матрицу C £ Жтхга изотонно по строгому включению сверху в x тогда и только тогда, когда для каждого столбца k матрицы C выполнено хоть одно из условий:

1) 31 0 £ pro cik;

2) 0 С xk, 3l 0 С cik, 3r Crk С 0;

3) 0 = xk, 3l 0 С cik;

4) 0 С xk, 3l (0 С cik, x(cik) > X(x)).

Доказательство. Для доказательства надо последовательно воспользоваться утвер-

X

>x / x, x/x,

ждениями 3.4.2 и 3.4.3 и таблицей умножения правильного интервала u на ненулевой интервал с:

u> 0 и < 0 0 С u

c,c> 0 [ cu,cu ] [ cu,cu ] [cu, cи ]

c,c< 0 [cu,cu] [ cu,cu ] [ cu, cu ]

0 С с [cu, cu] [ cu,cu ] [min{cu,cu}, max{cu,cu} ]

с С 0 [ cu,cu ] [ cU,cu ] 0

4. Описание задачи на языке интервалов

Вернемся к рассмотрению задачи.

Определение. Множество Е, задаваемое правилом (2), будем называть (обобщенным) УЗ-множеством решений для ИСЛАУ (1).3

В полной интервальной арифметике определение множества Е можно переписать [1] в виде

Е = {x е R | (dual A3 + Av)x С b3 + dual bv}

или, совсем кратко,

Е = E

где Ac = dual A3 + Av — матрица, полученная из A заменой З-неопределенных компонент на дуальные, а bc = b3 + dual bv — интервальный вектор, полученный из b заменой V-неопределенных компонент на дуальные.

Определение. Внутренней интервальной оценкой множества Е называется такой правильный интервальный вектор x, что x С Е.

Определение. Внутренняя интервальная оценка x множества Е называется максимальной, если Vy е IR"" x С y ^ y С Е.

Теперь задачу 1 из п. 3 можно переформулировать.

Задача 1*. Найти какую-нибудь максимальную внутреннюю интервальную оценку множества Е(АС, bc), описанного правилом (7).

Эта формулировка задачи отличается от первоначальной лишь языком, но имеет два преимущества. Во-первых, в ней кратко и удобно описано множество Е (это особенно ощутимо на числовых примерах) и лаконично указаны требования к оценке этого множества. Во-вторых, для решения задачи теперь можно применять методы полной интервальной арифметики. Впрочем, для свободного применения интервальных методов эта формулировка еще плоха, ведь в определениях внутренней и максимальной внутренней оценок присутствует чуждое интервальной арифметике отношение теоретико-множественного включения в множество Е. Дадим аналоги этих определений в полной интервальной арифметике.

Утверждение 4.2 (критерий внутренней интервальной оценки). Пусть C е Жтхга, d е IRm. Правильный интервальный вектор y является внутренней оценкой множества {x е Rra | Cx С d} тогда и только тогда, когда Cy С d.

3Обобщенные множества решений для систем интервальных уравнений введены С. П. Шарым в [1]. УЗ-множества решений — это те обобщенные множества решений интервальных уравнений, в описании которых все кванторы всеобщности предшествуют кванторам существования.

Доказательство. Пусть y Е IRn. Надо доказать, что

(Vy Е y (Cy С d)) ^ (Cy С d).

Покажем, что (Cy С d) ^ (Vy Е y(Cy С d)). Умножение на интервальную матрицу изотонно по включению, поэтому Vy Е y (Cy С Cy). Если Cy С d, то в силу транзитивности отношения включения Vy Е y (Cy С d).

Докажем обратную импликацию. Точная верхняя грань ограниченного сверху семейства удовлетворяет общему ограничению, поэтому (Vy Е y (Cy С d)) ^ ( \/ Cy С d).

yey

По утверждению 3.2.1 \/ Cy = Cy.

yey

Доказанное утверждение дает возможность, не находя (!) множества Е, узнавать, является ли какой-нибудь интервальный вектор его внутренней оценкой. Для этого надо всего лишь выполнить некоторые действия в полной интервальной арифметике: умножить на этот вектор интервальную матрицу и проверить включение векторов.

Очевидным следствием утверждения 4.2 и определения максимальной внутренней интервальной оценки является

Утверждение 4.3 (критерий максимальности внутренней интервальной оценки). Пусть C Е IRmxn, d Е IRm. Внутренняя интервальная оценка x множества {x Е Rn | Cx С d} является максимальной тогда и только тогда, когда

Vy Е IRn (x С y ^ Cy С d).

Утверждения 4.2 и 4.3 позволяют сформулировать задачу 1 целиком на языке полной интервальной арифметики.

Задача 1**. Для Ac = dual A3 + Av и bc = b3 + dual bv найти такой правильный интервальный вектор x, что

1) Acx С bc,

2) Vy Е IR x С y ^ Acy С d.

В таком виде задача максимального внутреннего интервального оценивания множества Е для ИСЛАУ (1) удобна для исследования интервальными методами. Способов отыскания всех решений задачи 1** пока не создано, в следующем разделе мы изложим метод нахождения максимальных внутренних оценок специального вида.

5. Алгебраические решения уравнения в дуализациях в роли внутренних оценок

Ограничим себя отысканием только таких внутренних интервальных оценок множества Е, для которых Acx = bc.

Задача 2. Для Ac = dual A3 + Av и bc = b3 + dual bv найти такой правильный интервальный вектор x, что

1) Acx = bc,

2) Vy Е IRn x С y ^ Acy С bc.

Определение. Уравнение (dual A3 + Av)x = b3 + dual bv называется уравнением в дуализациях для Е.

Определение. Алгебраическим решением ИСЛАУ Cx = d (C Е IRmxn, d Е IRm) называется такой интервальный вектор x Е IRn, что Cx = d в полной интервальной арифметике.

Итак, мы ограничили себя отысканием таких максимальных внутренних интервальных оценок, которые являются правильными алгебраическими решениями уравнения в дуали-зациях. Это дает при решении два преимущества. Во-первых, интервальное включение Acx С bc мы заменили уравнением, а для нахождения алгебраических решений ИСЛАУ разработаны эффективные алгоритмы4 [3, 7]. Во-вторых, условие максимальности оценки в этом случае можно записать в виде требований только к матрице Ac и вектору x:

Vy e IRra (x С y ^ Acy С Acx).

Умножение на произвольную интервальную матрицу C монотонно по включению, поэтому

(x С У ^ Cy С Cx) ^ (x С У ^ Cy = Cx) ^ (x С У ^ Cx С Cy).

На основании этой цепочки мы получаем еще две эквивалентных формулировки задачи 2.

Задача 2*. Найти максимальное правильное алгебраическое решение уравнения в дуализациях.

Задача 2**. Найти такое правильное алгебраическое решение x уравнения в дуализациях, что умножение на матрицу Ac изотонно по строгому включению сверху в x.

Итак, задача 2 — частный случай задачи 1, а задачи 2, 2* и 2** эквивалентны, поэтому для решения задачи 1 достаточно решить задачу 2**. Формулировка 2** хороша своей практичностью: для правильного интервального вектора x свойство строгой изотонности умножения на матрицу сверху в x легко проверить с помощью утверждения 3.4.4.

6. Метод решения задачи 1

Теперь можно предложить следующий метод отыскания максимальной внутренней интервальной оценки VB-множества решений ИСЛАУ (1).

1) Найдем алгебраическое решение x" уравнения в дуализациях.

2) Если x" правильный интервальный вектор, то он дает внутреннюю оценку VB-мно-жества решений. Если x" не является правильным интервальным вектором или уравнение в дуализациях не имеет решения, то задача требует дополнительных исследований.

3) С помощью утверждения 3.4.4 проверим, является ли умножение на матрицу (dual A3 + Av) изотонным по строгому включению сверху в x". Если это свойство имеет место, то внутренняя оценка x" является максимальной. В противном случае — оценка x" не является максимальной и задача требует дополнительных исследований.

Приведем два полезных утверждения.

Утверждение 6.1. Если интервальная матрица A имеет в каждом столбце хоть одну компоненту, не содержащую нуль, то любое правильное алгебраическое решение уравнения в дуализациях дает максимальную внутреннюю интервальную оценку соответствующего VB-множества решений.

Доказательство вытекает из эквивалентности задач 2 и 2**, из утверждения 3.4.4 и из того, что pro Ac = A.

4Алгоритмы нахождения алгебраических решений ИСЛАУ распространяются бесплатно (ftp://www-sbras.ict.nsc.ru, файл pub/interval/shary.zip).

Утверждение 6.2. Пусть A = A3. Правильное алгебраическое решение уравнения в дуализациях дает максимальную внутреннюю интервальную оценку соответствующего УЗ-множества решений тогда и только тогда, когда в каждом столбце матрицы A есть хоть одна компонента, не содержащая нуль.

Доказательство. Задачи 2 и 2** эквивалентны. Для задачи 2** воспользуемся утверждением 3.4.4. Так как A = Л3, то матрица Ac = dual A. A — правильная матрица, значит все компоненты матрицы Ac — неправильные или вырожденные интервалы и поэтому не могут строго содержать нуль.

Утверждение 6.2 полезно для объединенного множества решений ({ж Е Rra | ЗА Е A ЗЬ Е b Ах = b}), наиболее давно и интенсивно изучаемого среди УЗ-множеств решений ИСЛАУ.

Несколько слов об истории метода. То, что правильное алгебраическое решение уравнения в дуализациях часто дает максимальную внутреннюю интервальную оценку объединенных множеств решений ИСЛАУ (1), было замечено в численных экспериментах. Л. Куприянова обосновала этот факт для объединенного множества с квадратной матрицей A, имеющей в каждом столбце нульнесодержащую компоненту [6]. С. П. Шарый ввел понятие обобщенного решения системы интервальных уравнений и доказал, что для решения задачи 1 достаточно найти максимальное правильное алгебраическое решение уравнения в дуализациях [2]. Мы доказали эквивалентность задач 2, 2* и 2** и предложили простой способ проверки является ли правильное алгебраическое решение уравнения в дуализациях максимальной внутренней интервальной оценкой (см. утверждения 3.4.4, 6.1 и 6.2).

Достоинства предложенного метода:

1) Применим для многих задач, записываемых в достаточно общей формулировке вида Задача 1 и имеет возможности расширения области применения;

2) Прост и эффективен, что во многом объясняется использованием полной интервальной арифметики, например, алгебраический критерий максимальной внутренней интервальной оценки позволил отказаться от нахождения самого УЗ-множества решений;

3) для задачи 1 с произвольным УЗ-множеством решений других методов решения пока нет (имеющим противоположное мнение автор будет признателен за информацию).

7. Заключение

Полная интервальная арифметика позволяет эффективно решать новый класс задач — задач оптимального интервального оценивания множеств решений систем линейных уравнений с интервальной неопределенностью в параметрах. Возможность лаконичной формулировки таких задач и их быстрого решения в полной интервальной арифметике продемонстрирована на примере задачи максимального внутреннего оценивания УЗ-множеств решений ИСЛАУ (1).

Список литературы

[1] ШАРЫй С. П. Новый подход к анализу статических систем с интервальной неопределенностью в данных. Вычислит. технологии, 2, №1, 1997, 84-102.

[2] ШАРЫй С. П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределённостью. Изв. АН. Теория и системы управления, №3, 1997, 51-61.

[3] Шарый С. П. Алгебраический подход во внешней задаче для интервальных линейных систем. Вычислит. технологии, 3, №2, 1998, 67-114.

[4] Gardenes E., Trepat A. The Interval Computing System SIGLA-PL/1(0). Freiburger Intervall-Berichte, 8, 1979.

[5] KAUCHER E. Uber Eigenschaften und Anwendungsmoglischkeiten der erweiterten Intervallrechnung und des Hyperbolischen Fastkorpers uber R. Comp. Sup., 1, 1977.

[6] KUPRIYANOVA L. Inner estimation of the united solution set of interval linear algebraic system. Reliable Comput., 1, No. 1, 1995, 15-31.

[7] SHARY S. P. Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance and control problems, or One more application of Kaucher arithmetic. Reliable Com,put., 2, No. 1, 1996, 3-33.

Поступила в редакцию 6 января 1998 г.