Параметрические резонансы и неустойчивость геологических мезоструктур

Параметрические резонансы и неустойчивость геологических мезоструктур

Б.П. Сибиряков

Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Микронеоднородные среды с большой контрастностью, т.е. такие среды, где перепад упругих свойств между матрицей и включением достигает многих порядков (например, пористые среды, содержащие флюиды), очевидно, не удовлетворяют основной аксиоме сплошного тела. Действительно, гипотеза сплошности тела предполагает близость всех свойств тела для достаточно близких точек пространства, в то время как свойства на границе «скелет - флюид» изменяются очень существенно. Это обстоятельство приводит к необходимости конструирования некоторого сплошного образа микронеоднородного тела. Затем к этому образу следует применять основные законы сохранения. В данной статье показано, что операторы, которые ставят в соответствие реальному телу его сплошной образ, содержат неограниченно большие степени оператора Лапласа, так что возникающие при этом уравнения равновесия и движения оказываются уравнениями в частных производных бесконечного порядка. Найдены некоторые классы решения таких уравнений, которые содержат как обычные классические решения динамики в виде упругих волн, так и очень медленные процессы, скорость которых как угодно мала. Особый интерес представляют неограниченные решения таких уравнений, которые можно интерпретировать как параметрические резонансы в микронеоднородной среде. Установлено, что под влиянием периодических колебаний возникают неограниченные возмущения для блоков, с линейными размерами, соответствующими комплексным волновым числам. Физический смысл комплексных волновых чисел — это параметрические резонансы в геологических средах, обладающих структурой.

Parametric resonances and instability of geological mesostructures

B.P. Sibiriakov

Institute of Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

Microheterogeneous media with contrasting properties, i.e., media where the difference between elastic properties of the matrix and inclusion attains many orders of magnitude (e.g., porous media with fluids), obviously do not satisfy the major axiom of solid mechanics. Really, the hypothesis of solid continuity implies that all properties of a solid are close for neighboring points in space, while properties on the “solid - fluid” interface change considerably. This fact makes it necessary to design a continuous image of a microheterogeneous solid. Then, the basic conservation laws should be used for this image. In the paper operators describing the continuous image of a real solid involve unrestrictedly large degrees of the Laplacian, so that equations of equilibrium and motion arising in this case are equations of partial derivatives of the infinite order. Certain classes of solutions of such equations are found. They contain both conventional classical dynamic solutions in the form of elastic waves and very slow processes whose rate is arbitrarily small. Of special interest are unbounded solutions of such equations that can be interpreted as parametric resonances in a microheterogeneous medium. It has been established that unbounded perturbations for blocks with linear sizes corresponding to complex wave numbers occur in response to periodic vibrations. The physical meaning of complex wave numbers is parametric resonances in structured geological media.

1. Операторы сплошности для периодических и случайных структур

Ранее [1] был построен оператор сплошности для периодических структур в виде

РФх, Dy , ^ ; /о) =

1

4п

11 exp[/0

0 0

Сибиряков Б.П., 2005

Здесь — символические переменные, означающие производные по соответствующим координатам, так что Ох =д/дх, Dy =д/ду, 02 =3/32. Символом 10 обозначено среднее расстояние от поры до поры или от трещины до ее ближайшей соседки. Это расстояние можно считать средним размером структуры. Оператор, определенный формулой (1), действуя на какое-либо напряжение , переводит его в = Р(ок), т.е. ре-

альное напряжение о л — в его сплошной образ .

Основные законы природы применяются, естественно, к сплошному образу реальных напряжений, так что уравнения равновесия структурированного тела имеют вид:

ЭРСТ;,

dxk

-=рщ.

Уравнение движения (2) совпадает с классическими уравнениями сплошной среды лишь тогда, когда оператор сплошности Р = Е равен единичному оператору, что и есть основная гипотеза модели сплошного тела. В рассматриваемом случае оператор

P = > = E + ± /02 Д + і /04 AA + .

/0л/д 3! 0 5! 0

не равен единичному оператору и лишь стремится к нему, когда линейный размер структуры бесконечно мал, как это показано в работе [1].

На рис. 1 видно, что мезоструктура, ограниченная контуром С, с центром в точке О, может служить некоторой моделью деформируемого сплошного тела, так как на этом контуре выполняется уравнение равновесия. В то же время, контур D ограничивает некоторый объем, для которого уравнение равновесия, очевидно, не выполняется. Таким образом, не всякая мезоструктура деформируется по законам механики сплошной среды. Конечно, для контура, содержащего достаточное число частиц, уравнение равновесия выполняется всегда. Тем не менее, наличие запрещенных достаточно малых объемов ставит вопрос о неэквивалентности разностных и дифференциальных операторов. Это обстоятельство возникает, потому что нет возможности применять законы сохранения к весьма малым объемам среды и, что не менее важно, имеет место несовпадение точек приложения поверхностных сил, созданных внутренними напряжениями, которые сосредоточены на контуре,

Рис. 1. Иллюстрация невозможности построения уравнения равновесия для произвольного объема среды, содержащей поры и трещины. Поверхность С, охватывающая несколько зерен, обладает свойством равенства нулю результирующих нагрузок. Поверхность D этим свойством не обладает. /0 — средний линейный размер мезо-структуры

содержащем некоторое число частиц, и объемных сил инерции, приложенных к центру тяжести структуры. В операторе (3) /0 как раз и есть линейный минимальный размер мезоструктуры, для которого уравнение равновесия выполнимо.

Перейдем к случайным структурам, полагая, что /(х, у, г) = /0 + Ь, где Ь — случайная величина с распределением Г аусса и нулевым математическим ожиданием. Тем самым оператор (1) приобретает вид

Р^х , ^, ^; /0) =

Т~ JJ exp[/o

2пп

4п

0 0

Используя результат Кляцкина [2], а именно: (exp(m^)) = expl-2 а2ю2 I,

получаем другую форму оператора сплошности, содержащую дисперсию случайной величины /(х, у, г), т.е.

Рфх, Dy, Dz; /0, о) =

y 2пп

22

J Jexp[/o Dn) +

0 0

В выражениях (5), (6) а2 означает дисперсию, а роль величины ю играет символическая сумма Dini. Существует известный результат Пуассона относительно двойных интегралов по угловым переменным в сферических координатах, который позволяет упростить выражение (6). Имеет место формула [3]

2пп

JJ f (а cos е + в sin е cos ф + Y sin е sin ф) sin е ёеёф =

0 0

І

0 -1

где f— произвольная функция, величина R определяется выражением

R = yja2 +р2 + Y2 =)D+D+bzr = VA

где А — оператор Лапласа.

Другими словами, формула (6) упрощается и принимает вид:

РФХ, ^, ^) =

1 ї2_2

2 J exp(/o'JAt

І

J ch(/0VAt) exp|

t + -°^At 2)dt =

( /2^2

^At2 2

dt.

Таким образом, оператор сплошности и в случае случайных структур выражается через бесконечную цепочку операторов Лапласа. При нулевой дисперсии вид оператора сплошности совпадает с ранее выведенным оператором

1

Рфх, Dy, Dz; /0) =11 ехр(10 л[АіЦі = ) = е + 1о А + 1о АА +

/0л/А

3! 5!

Разложим в ряд экспоненту в формуле (9). Имеем

1

ехр

dt =

2,,2,2 ! Ґ 2 2.2 Л

_2 _2,2 1 а х і 1

1+------------------+

2 1!

а х і

------+ к

2!

dt.

Формулу (11) можно переписать в несколько ином виде:

1

( (2_2 Л

ехр

/0а

-АІ2

dl =

2 1!

(„ 2 2 Л і 1

ах 1 •

где буквой х обозначено символическое выражение х = = /0 л/А. Естественно, что при а = 0 оператор для случайной структуры Ра совпадает с оператором Р0 для периодической структуры. Далее, учитывая, что интегралы, содержащие гиперболический косинус, выражаются через производные оператора Р0 по переменной х, т.е.

1

| і 2п&(хі)& =

д 2ПР0

дх

2п ’

получаем разложение оператора Ра в виде двойного ряда:

/02пАп

2 П=1

(а2 Л

п Ап

;

-+ к .

Можно представить разложение (12) в более компактной форме:

Ра=Х

2п п п

/0

А

(_ 2 Л*

=0 (2п + 1)!к=0

2п!

(2п - 2к)!

Меняя переменную под знаком суммы, согласно выражению 2п - 2к = 2р, получаем окончательный вид оператора в форме двойной суммы:

= У /0пАп 2п! Га^2п У а (2п +1)! [ 2І ^

/ 2 Л - р а2

У у

й2* +11 2 ) у0

р=0

(а2 Л-Р

1

2 р!

1

2р!

Было бы интересно рассмотреть случай большой дисперсии, что соответствует первому члену внутреннего ряда со значком р = 0. Если искать решение уравнения движения в форме колебательного процесса, т.е. и = = ехр[гкх], так что Ап = (-1)пк2п, то дисперсионное уравнение при больших значениях величины о принимает вид:

У (-1)п (к/0а/У2)2п = аг^(к/0а/л/2)2 = к п^ (2п + 1)(к/0а/ л/2)п = (к/0а/ л/2)п

= тт

Таким образом, возникает простое дисперсионное уравнение для определения к :

аг^[(к/0а/ л/2)2] = (к8/0а/л/2)2

В случае исключительно малых аргументов, т.е. очень малых значений /0, несмотря на большие значения дисперсии о, волновое число к ^ к5, так что скорость волн в этом случае совпадает с обычной скоростью сейсмических волн. Комплексных корней дисперсионного уравнения не возникает в случае к5/0о < л/п. В противоположном случае к5/0о > л/п возникают комплексные корни в уравнении (18), которые могут трактоваться как параметрические резонансы. Таким образом, отсутствие дисперсии порождает параметрические резонансы в диапазоне волновых чисел, отмеченном в предыдущих работах [1]. Слабая и умеренная дисперсия стабилизирует среду, и параметрические резонансы исчезают. Очень большие значения дисперсии снова порождают параметрические резонансы и катастрофические ситуации.

2. Обратные операторы сплошности для периодических структур

Прямой оператор сплошности в простейшем варианте имеет вид:

+

+

+

+

РФх , Dy , Dz ) =

э^/0УА ) /„УД

^ /02 а /04аа

= Е + -^- + -°-------+.

3!

5!

Обратный оператор представляет отношение, в числителе которого стоит единичный оператор, а в знаменателе разложение (19). Попробуем дать явный вид обратного оператора, который, очевидно, также будет представлен суммой каких-то степеней оператора Лапласа. Пользуясь известным выражением [3] (ях)/эт(лх) = = Г(1 + х)Г(1 -х) и заменяя х на їг, получим связь:

= Г(1 + їг/ п)Г(1 - їг/ п).

Разлагая гамма-функцию в ряд Тейлора в окрестности точки г = 0, получаем степенную последовательность, содержащую производные всех порядков от гамма-функции в точке, отвечающей значению аргумента, равного единице, т.е.

г

эЬг

Ґ • \ 2 "

Г(1)+—Г'(1)+ 11 Г'(1) + ...

п п V У

/ • \ 2 "

Г(1) - — Г'(1) + Г(1) - ...

п п V У

Произведение в формуле (21) можно представить в виде двойного ряда, а именно:

1 + г

п! п!

~ 2п Г

=Е ^ Е (-1) *Г

п =0 к=0

к!(2п - к)!

В выражении (22) w2 = (/0/п)2 А, а верхние индексы у гамма-функций означают производные соответствующих порядков. Таким образом, произведение (22) содержит только целые степени оператора Лапласа. Что касается производных гамма-функций, то их легко вычислить, дифференцируя степенной ряд, представляющий собой Г(1 + г) по степеням г, т.е.

Г(1 + г) = Е скг1 к=0

причем

1

с0 1,1 сп+1 1 ( 1) *к+1Сп - к,

п+1 к=0

^ 1

^1=C, ^ =Ет^, п-2. к=1 к

Здесь С — постоянная Эйлера. Вместе с тем, имеется соотношение, Г( п)(1) = п!сп, так что окончательный вид оператора, обратного оператору сплошности, представлен рядом по степеням оператора Лапласа в форме

Р-1фх, Dy, Dz) =

п

к=0

Естественно, что по значку п также ведется суммирование.

Для вычисления первых десяти коэффициентов

п

Лп = £ (-1)к скс2п - к, к=0

можно воспользоваться таблицей [3]

*1 = С,

*3 = 1.202057, *5 = 1.036928, *7 = 1.008349, *9 = 1.002008,

*2 = 1.664934, *4 = 1.082323, *6 = 1.017343, *8 = 1.004077,

*10 = 1.000995.

Очевидно, что при дальнейшем росте индекса указанные величины достаточно быстро стремятся к единице. Это замечание дает возможность вычислить также первые десять коэффициентов йп, которые являются множителями при степенях оператора Лапласа в формуле (25), а также оценить их асимптотическое поведение. Первые десять значений йп даны таблицей

= -С = -0.5772, а2 = 0.9891,

= -0.9075, йА = 0.9817,

d5 = -0.98202, <і7 = -0.9914, d9 = -0.9901,

d6 = 0.9390, d8 = 0.9865, d10 = 0.9906.

Как видно, последовательность коэффициентов при степенях оператора Лапласа стремится к единице для четных номеров и к минус единице для номеров нечетных.

Таким образом, обратный оператор представляется рядом, вообще говоря, расходящимся. Поиск решений в виде некоторых колебаний дает сходящуюся последовательность лишь при достаточно малых произведениях к/0. Это не удивительно, так как обратный оператор есть оператор обострения сглаженного сплошного образа до реальных напряжений, соответствующих достаточно сложным ситуациям.

х

X

3. Неустойчивость геологических структур

Запишем уравнение движения с учетом силы тя-

жести:

dP^ik

dxk

p

д ui

- = Pgi.

Инерционные силы, а также массовые силы pgi не требуют действия оператора Р, так как эти силы приложены в центре тяжести структур. В стационарном случае инерционные силы представляются членом рю2и, где ю — частота колебаний, и дисперсионное уравнение в одномерном случае принимает вид

A

/4аа + —+...

5!

u + kс u = -

pg

А + 2ц

В уравнении (29) к? есть квадрат волнового числа. Так как плотность материала изменяется от максимального значения до нуля (в трещине), то она есть периодическая функция координат и может быть разложена в ряд Фурье:

p = Е —sin nn—— exp[innx//0 , nn 2/0

С другой стороны, полагая, что величина и также представляется экспонентой с чисто мнимым показателем, т.е. и = ехр[г'Ах], причем величина к может быть не обязательно кратной числу п, получаем дисперсионное уравнение вида

sin k/0 k/0

(-1)n sin nk/0 n - k/0

P0 g 1 • 8

——----------------------sin nn—

2L

„ ______ , .

X + 2ц пп 2/ф

В выражении (31) знак суммы появляется вследствие разложения в ряд Фурье экспоненты с нецелым номером по экспонентам с целым номером; 8 — среднее раскрытие трещины. Точное обращение в нуль квадратной скобки левой части формулы (31) возможно лишь при среднем раскрытии трещин, равном нулю. Однако для достаточно малых отношений 8//0 эта скобка может стать как угодно малой. Это означает, что корни дисперсионного однородного уравнения (31) без правой его части сколь угодно точно приближаются к решению неоднородного уравнения (31). Однако среди корней однородного дисперсионного уравнения есть и комплексные, которые описывают как затухание, так и неограниченный рост колебаний [1]. Таким образом, периодические структуры могут стать неустойчивыми под влиянием даже слабых периодических возмущений. Это явление тесно связано с параметрическими резонансами в трещиноватой среде. При весьма малых отношениях среднего раскрытия трещин к среднему расстоя-

Рис. 2. Ячеистая система распределения напряжений как пример устойчивой мезоструктуры, на которой не возникают параметрические резонансы

нию от трещины до ее ближайшей соседки, т.е. при малых 8/10 , синус в правой части выражения (31) может быть заменен аргументом, так что правая часть не зависит в данном случае от номера п. Поэтому если трещина смыкает свои берега, то дисперсионные корни уравнения остаются теми же самыми и возможность катастроф не исчезает при стремлении к нулю среднего раскрытия трещины.

В сферических координатах дисперсионное уравнение содержит собственные функции в форме произведений функций Ханкеля полуцелого порядка на присоединенные полиномы Лежандра:

Au + ks u = 0, u(r, 0, ф) =

= Cn —n+l2( n ) pn m(cosQ)[a+ bcos(w9)], л/r ’

при этом дисперсионное уравнение остается тем же самым, т.е.

ks _ sin

'-2 kL

к* к/0 У ’

Корни дисперсионного уравнения могут быть как вещественными, так и комплексными. Однако в случае больших расстояний и больших номеров функций Ханкеля, т.е. для мелкоячеистых структур, равномерные асимптотические разложения упомянутых функций экспонент не содержат, а выражаются через функции Эйри известным образом [3]:

Jn (n + zn13,) = (2/ n) Аі(-2із z), Yn (n + zn1/3) = -(2/ п)/З Ві(-2і/з z).

Поэтому мелкоячеистая структура, изображенная на рис. 2, является устойчивой, так как дисперсионное уравнение не содержит экспонент и комплексных корней не возникает. Это, в свою очередь, означает и отсутствие параметрических резонансов.

4. Выводы

1. В микронеоднородных средах, находящихся в поле силы тяжести, могут возникать параметрические резонансы под влиянием колебаний даже малой амплитуды. При этом эти резонансы не исчезают даже в случае трещин сколь угодно малого раскрытия.

2. Мелкоячеистые структуры с очень малыми линейными размерами ячеек оказываются устойчивыми по отношению к колебательным движениям.

3. Наличие дисперсии в достаточно случайно организованных структурах снижает интенсивность резонансных явлений, если указанная дисперсия не является слишком большой. Если же она неограниченно возрастает, то параметрические резонансы снова возникают, а вместе с ними растет вероятность появления неограниченно больших амплитуд.

Литература

1. Sibiriakov B.P. Supersonic and intersonic cracking in rock-like material under remote stresses // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. -2002. - V. 38. - No. 3. - P. 255-265.

2. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайнонеоднородных средах. - М.: Наука, 1980. - 336 с.

3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.