Классификация и покрытие многогранников класса а

УДК 27 21 00

ПУОЛОКАИНЕН Татьяна Матвеевна,

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующая кафедрой геометрии и методики преподавания математики Карельской государственной педагогической академии. Автор 56 научных публикаций, в т. ч. одного курса лекций для вуза, 15 учебно-методических пособий

КЛАССИФИКАЦИЯ И ПОКРЫТИЕ МНОГОГРАННИКОВ КЛАССА Л

Настоящая работа является продолжением серии статей автора, посвященных решению проблемы покрытия выпуклых многогранников их образами при гомотетии. Проблема, которая обсуждается в этой статье, может быть описана следующим образом: дать классификацию всех выпуклых многогранников класса А и решить проблему покрытия многогранников этого класса образами многогранников при гомотетии.

Ключевые слова: гомотетия, выпуклый многогранник, покрытие, классификация.

В работе [1] Хадвигер сформулировал гипотезу, согласно которой для покрытия любого выпуклого тела в п-мерном евклидовом пространстве Еп достаточно 2п тел меньших размеров, гомотетичных данному телу.

В работах автора [2, 3] сформулирована и решена задача покрытия некоторых классов выпуклых многогранников образами тел при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы. В работе [4] рассмотрено влияние перестроек выпуклого многогранника на количество геометрических тел, являющихся образами данного выпуклого многогранника при гомотетиях и достаточное для покрытия многогранника.

Проблема покрытия выпуклых многогранников образами тел при гомотетии и проблема классификации выпуклых многогранников связаны теснейшим образом. Классификация выпуклых многогранников необходима для

© Пуолокайнен Т.М., 2012

того, чтобы рассматривать проблему покрытия не отдельно взятого выпуклого многогранника, а целого класса выпуклых многогранников.

В статье [5] автора было выделено четыре класса выпуклых многогранников. К классу В были отнесены такие многогранники, которые содержат призматическую часть. К классу С мы отнесли те выпуклые многогранники, которые содержат поверхность переходного типа и не содержат призматической части. К классу D были отнесены выпуклые многогранники, которые содержат фрагмент призматической части (вида 1 или вида 2), но не включают ни призматическую часть, ни поверхность переходного типа. И, наконец, к классу А были отнесены все выпуклые многогранники, не содержащие ни призматическую часть, ни поверхность переходного типа, ни фрагменты призматической части.

Настоящая работа посвящена проблеме оптимизации числа выпуклых многогранников, гомотетичных данному многограннику и достаточного для покрытия многогранника. К задачам оптимизации относится и проблема, решение которой содержится в статье [6] РВ. Сошкина.

В первой части статьи дана классификация выпуклых многогранников класса А. Вторая часть статьи посвящена покрытию многогранников класса А образами многогранников при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы.

1. Некоторые определения

Определение 1. Пусть М - выпуклый многогранник класса А. Одну из граней этого многогранника назовем основанием, все остальные грани назовем боковыми гранями. К каждой боковой грани проведем единичный вектор внешней нормали. Перенесем все единичные векторы внешних нормалей боковых граней на единичную сферу. Если существует такая полусфера, внутри которой расположены концы единичных векторов внешних нормалей боковых граней, то такой выпуклый многогранник класса А назовем однолистником.

Определение 2. Выпуклый многогранник класса А, являющийся объединением двух однолистников с общим основанием, назовем двулистником.

Выше мы выделили два подкласса выпуклых многогранников класса А: это однолист-ники и двулистники. Все многогранники класса А, не вошедшие в подклассы однолистников и двулистников, отнесем к третьему подклассу класса А и обозначим А3.

Итак, все выпуклые многогранники класса А мы разбили на три подкласса (в дальнейшем каждый из подклассов будем называть классом). Обозначим:

А1 - все однолистники;

А2 - все двулистники;

А3 - остальные многогранники класса А.

2. Классификация многогранников класса А1

Все однолистники можно разбить на три подкласса:

А1.1 - обычные однолистники;

А 1.2 - прямые однолистники;

А1.3 - наклонные однолистники.

Введем понятие обычного однолистника.

Определение 3. Пусть М - однолистник. Одна из граней этого многогранника - основание, остальные грани - боковые. Пусть основание однолистника лежит в некоторой плоскости а. Пусть в этой же плоскости лежит граница полусферы, внутри которой расположены концы единичных внешних нормалей, проведенных к каждой из боковых граней. Такой однолистник назовем обычным и отнесем к классу А 1.1.

Замечание 1. Название «однолистник» объясняется тем, что граница этого многогранника, состоящая из боковой поверхности и основания, обладает тем свойством, что ортогональное проектирование боковой поверхности на основание является биективным отображением. Этим свойством обладают только обычные однолистники.

Определение 4. Пусть М - однолистник, основание которого лежит в плоскости а. Пусть боковые грани таковы, что найдется одна грань или одно ребро, перпендикулярные плоскости а. Такой однолистник назовем прямым однолистником.

Нетрудно указать способ построения плоскости в, в которой лежит граница полусферы с тем же центром О, внутри которой лежат концы векторов единичных нормалей к боковым граням прямого однолистника.

Определение 5. Однолистник, не являющийся обычным и не являющийся прямым, назовем наклонным однолистником.

Обозначение: А1.3 - наклонные однолист-ники.

Замечание 2. Несложно указать способ построения такой полусферы, внутри которой лежат все концы векторов единичных внешних нормалей боковых граней наклонного однолист-ника. Существование такой полусферы обеспечено определением однолистника.

Очевидно, что частным случаем однолист-ников являются выпуклые пирамиды и выпуклые усеченные пирамиды.

3. Классификация многогранников класса А2

Выше было дано определение двулистника.

Очевидно, что частным случаем двулистни-ка является выпуклый многогранник, полученный склеиванием двух пирамид, пирамиды и усеченной пирамиды, двух усеченных пирамид по равным основаниям.

Все двулистники могут быть разбиты на три класса:

A2.1. - обычные двулистники;

A2.2. - прямые двулистники;

A2.3. - наклонные двулистники.

Определение 6. Рассмотрим два обычных однолистника, основания которых равны и противоположно ориентированы. Выпуклый многогранник, который получен склеиванием многогранников по равным основаниям, назовем обычным двулистником и отнесем к классу A2.1.

Определение 7. Выбираем любой прямой однолистник с некоторым основанием. Рассмотрим еще один однолистник с основанием, равным основанию первого однолистника и противоположно с ним ориентированным, который может быть обычным или прямым, но таким, что новый многогранник, полученный склейкой многогранников по двум равным основаниям, является двулистником. Такой многогранник назовем прямым двулистником и отнесем его к классу A2.2.

Определение 8. Выбираем любой наклонный однолистник с некоторым основанием. Рассмотрим еще один однолистник с основанием, равным основанию первого однолистника, но противоположной с ним ориентации. Второй однолистник может быть обычным, прямым или наклонным. Двулистник, полученный склеиванием таких двух однолистников по равным основаниям, назовем наклонным двулист-ником. Обозначим множество всех наклонных двулистников A2.3.

4. Классификация многогранников класса A

Напомним, какие многогранники относятся к классу A: это выпуклые многогранники, граница которых не содержит призматическую часть, не содержит поверхность переходного типа, а также не содержит фрагмент призматической части [5].

В этом классе многогранников мы выделили два подмножества: однолистники, множество которых мы обозначено А1, и двулистники, обозначенные А2. Все остальные многогранники, принадлежащие классу А, отнесем к классу А3. Разбиение класса А3 на подклассы осуществлено в пункте 6.

Классы А1 и А2 , в свою очередь, распадаются на

А 1.1 - обычные однолистники;

А 1.2 - прямые однолистники;

А1.3 - наклонные однолистники.

А2.1 - обычные двулистники;

А2.2 - прямые двулистники;

А2.3 - наклонные двулистники.

Замечание 3. В перечень, приведенный выше, не входят пирамиды, двойные пирамиды, усеченные пирамиды, двойные усеченные пирамиды. Все эти многогранники являются частными случаями классов А 1.1, А1.2, А 1.3, А2.1, А2.2, А2.3.

5. Одно свойство многогранников класса

А3

Определение 9. Пусть М - выпуклый многогранник класса А3. Прямая q, не параллельная ни одной из граней многогранника М, задает в пространстве направление. Рассмотрим плоскость а, перпендикулярную прямой q. Пусть центр О единичной сферы Б2 лежит в плоскости

а, которая разбивает сферу на две полусферы, условно верхнюю и нижнюю. К каждой грани многогранника проведем единичный вектор внешней нормали. Выполним параллельный перенос всех векторов единичных внешних нормалей так, чтобы начало каждого вектора совпало с точкой О. Так как прямая q не параллельна ни одной из граней многогранника, то ни один из нормальных векторов с началом в точке О не лежит в плоскости а. Рассмотрим только те единичные векторы внешних нормалей, концы которых лежат в верхней полусфере. Геометрический объект, являющийся объединением всех граней многогранника, концы единичных векторов внешних нормалей которых лежат в верхней полусфере, назовем шапочкой.

Нетрудно доказать следующую лемму.

Лемма 1. Пусть М - выпуклый многогранник класса А3; 1 - направление в пространстве, не параллельное ни одной из граней многогранника. Тогда существует и единственно разбиение поверхности многогранника на две шапочки, каждая из которых содержит по крайней мере две грани.

Имеют место следующие равенства:

дМ= Щи И2; ЩП Щ = Ь; дМ = Щи Щи Ь,

где L - простая замкнутая ломаная, дМ -граница многогранника М, W1 и W2 - шапочки.

Замечание 4. В дальнейшем будем говорить, что пространственная ломаная L разбивает поверхность многогранника в направлении 1 на две шапочки W1 и W2.

6. Классификация многогранников класса А3

Все многогранники класса А3 разобьем на два класса по следующему признаку. К каждой грани многогранника класса А3 проведем единичный вектор внешней нормали. Перенесем эти векторы на единичную сферу. Совместим начало координат прямоугольной декартовой системы координат с центром сферы. Координатные плоскости Оху, Oyz, Oxz разбивают сферу на 8 равных частей. Если эту систему координат можно выбрать так, что в каждую из 8 областей сферы попал хотя бы один конец единичного вектора внешней нормали, то многогранник отнесем к классу А3.2; в противном случае многогранник класса А3 отнесем к классу А3.1. Нетрудно убедиться в том, что каждый из классов А3.1 и А3.2 не пуст.

К многогранникам класса ^3.1 относятся, прежде всего, те многогранники класса ^3, которые содержат менее восьми граней. К этому же классу относятся многогранники, содержащие 8 и большее число граней, на поверхности которых лежат шапочки, содержащие две или три грани. К классу ^3.1 относятся также многогранники класса ^3, содержащие в каждой шапочке четыре и больше граней, причем грани расположены так, что единичные векторы внешних нормалей распределены неравномер-

но, то есть найдутся такие области на сфере, что в какую-то из восьми равных областей не попал ни один из концов единичных внешних нормалей граней. Такие многогранники класса ^3.1 в дальнейшем будем называть многогранниками со слабой представимостью граней. Итак, все многогранники класса ^3.1 можно разбить на три подкласса:

а) многогранники с малым количеством граней (до восьми, не включая 8);

б) многогранники, поверхность которых содержит шапочки, состоящие из двух или трех граней;

в) многогранники со слабой представимостью граней.

Среди всех многогранников класса ^3.2 выделим один подкласс. Чтобы описать этот класс многогранников, поступим следующим образом. Пусть ABCD - тетраэдр. Рассмотрим выпуклый многогранник, полученный из тетраэдра ABCD отсечениями плоскостями так, чтобы части ребер АВ, АС, AD исходного многогранника сохранились. Теперь рассмотрим те грани нового многогранника, которые принадлежат отсекающим плоскостям и плоскостям, содержащим части ребер АВ, АС, AD. Этот набор граней образует шапочку. Если многогранник класса ^3.2 содержит шапочку, описанную выше, то такой многогранник класса ^3.2 отнесем к классу специального вида. Все остальные многогранники класса ^3.2 назовем многогранниками общего вида.

Имеет место

Лемма 2. Пусть М - выпуклый многогранник класса А3.2. Тогда существуют два направления р и q в пространстве, непараллельные никакой из граней многогранника, такие, что в каждом из направлений существует разбиение поверхности многогранника на две шапочки, причем границы пар шапочек пересекаются в двух точках.

7. Покрытие однолистников

Пусть имеется обычный однолистник. Каждый обычный однолистник имеет основание и боковые грани. С каждым обычным однолист-ником связана некоторая полусфера, у которой

экваториальная плоскость совпадает с плоскостью основания однолистника и которая лежит в том же полупространстве, в котором расположен многогранник.

Рассмотрим боковые грани однолистника. Возможны только три случая. Случай а) существует боковая грань обычного однолистника, параллельная основанию. Случай б) существует ребро, параллельное основанию и не лежащее в основании. Случай в) ни одно из ребер и ни одна из боковых граней не параллельны основанию.

Часть первая. Покрытие вершин боковой поверхности обычного однолистника. Пусть грань, параллельная основанию - параллелограмм. Выделяем те боковые грани многогранника, которые прилежат к сторонам параллелограмма. Три из этих граней лежат в плоскостях, которые пересекаются в некоторой точке. Каждой из плоскостей поставим в соответствие полупространство, которому принадлежит единичный вектор внешней нормали. Тогда три полупространства в пересечении образуют трехгранный угол. Четвертое полупространство в пересечении с трехгранным углом образует или трехгранный угол, или выпуклую многогранную неограниченную область V Найденный трехгранный угол или многогранная область V — это теневая область для вершин параллелограмма и прилежащих к сторонам параллелограмма граней. К каждой вершине параллелограмма могут примыкать другие грани. Каждую из таких граней продолжим. Рассмотрим пересечение области V (или трехгранного угла) с каждым из полупространств, связанных с продолженными гранями. Получим новую выпуклую многогранную неограниченную область Уг Множество V не пусто, так как среди боковых граней обычного однолистника нет параллельных граней.

Продолжим нахождение теневой области. Рассмотрим все грани, прилежащие к основанию однолистника. С каждой из плоскостей таких граней связано полупространство, в котором лежит единичный вектор внешней нормали грани. Обозначим V2 — пересечение

выпуклой многогранной неограниченной области Ц с каждым из описанных выше полупространств. Центр гомотетии найден.

В качестве центра гомотетии можно взять любую точку множества V;. Обозначим центр гомотетии £.

Чтобы найти коэффициент гомотетии, поступим следующим образом. Обозначим вершины боковой поверхности обычного одно-листника А., А2, ..., Ап. Центральные проекции точек А,, А, ..., А на плоскость основания

1 2’ ’ п

из центра £ обозначим В1, В2, ..., Вп. Пусть

к0 = шах<{

.и. . и

№1 ’№1"  '. №1

Положим к1 > к0 (к1 < 1).

Пусть М — обычный однолистник. При гомотетии с центром £ и коэффициентом к1 однолистник М отображается на однолистник М1.

Выбор центра гомотетии и коэффициента гомотетии осуществлены так, что вершины Ар А2, ..., Аппринадлежат многограннику М1. Мы рассмотрели случай, когда боковая грань обычного однолистника, параллельная основанию, является параллелограммом.

Аналогично осуществляется покрытие од-нолистника и в случае, когда боковая грань, наиболее удаленная от основания, является многоугольником, отличным от параллелограмма.

Замечание 5. Мы рассмотрели случай а). Аналогично можно выполнить покрытие многогранника и в случаях б) и в).

Часть вторая. Покрытие вершин основания обычного однолистника. В результате первой гомотетии мы получили многогранник М1, покрывающий часть исходного многогранника М. Непокрытой остается часть многогранника М, отсекаемая плоскостью основания многогранника М1, параллельной основанию многогранника М.

Пусть в основании обычного однолистника лежит выпуклый многоугольник, не являющийся параллелограммом. Опишем вокруг этого многоугольника треугольник. Пусть основание обычного однолистника обозначено С1,

С2, ...,С, вокруг основания описан треугольник АВС; сторона С1С2 лежит на АВ, СС+1 - на ВС и СС+1 лежит на стороне АС треугольника.

Сначала в качестве центра гомотетии выберем вершину А. Для получения коэффициента гомотетии рассмотрим те грани многогранника М, которые прилежат к ломаной С2СхСп---С.+1 С. Многогранник М1, полученный в первой части, пересекает это объединение граней по некоторой ломаной. Обозначим эту ломаную D1, Dг,... D .. Здесь D1Dг||CгC1, DDq_1||CJC+1. Для выбора коэффициента гомотетии введем следующее обозначение.

. . Ч

----- > ,

Щ

где Ц=дМр|[АВ2Бч = дМр|[АЮд); дМ - граница многогранника М.

Пусть кг > к (к2 < 1).

При гомотетии с центром в точке А и коэффициентом кг многогранник М отображается на многогранник Мг, который, в силу выбора центра гомотетии и коэффициента, покрывает вершины основания С1, Сп, ..., С , а также ту часть многогранника М \ М1 , которая связа-

на с ломаной СпС,С ...С_С.

2 1 п ^1 .

Аналогично получим еще два многогранника М3 и М4. Многогранник М3 получен из многогранника М гомотетией с центром в точке В и коэффициентом к3, а многогранник М4 является образом многогранника М при гомотетии с центром в точке С и коэффициентом к4. Выбор коэффициентов к3 и к4 выполним так, чтобы осуществить покрытие остальных вершин основания и оставшейся части многогранника М.

Итак, для покрытия части многогранника М, прилежащей к основанию, в случае, если в основании лежит многоугольник, отличный от параллелограмма, достаточно трех гомотетичных многогранников меньших размеров.

Если в основании обычного однолистника лежит параллелограмм, то нетрудно убедиться в том, что для покрытия части многогранника,

прилежащей к основанию, достаточно четырех многогранников, гомотетичных данному обычному однолистнику.

Замечание 6. Нетрудно убедиться в том, что для покрытия прямых и наклонных однолист-ников достаточно столько же многогранников.

Теорема 1. Для покрытия однолистника, в основании которого лежит выпуклый многоугольник, отличный от параллелограмма, достаточно четырех многогранников меньших размеров, гомотетичных данному. Для покрытия однолистни-ка, в основании которого лежит параллелограмм, достаточно пяти многогранников меньших размеров, гомотетичных данному.

8. Покрытие двулистников

Обычный двулистник склеен из двух обычных однолистников. Выше, в пункте 7, мы выяснили, что для нахождения центра гомотетии существенно, к какому из трех классов а), б), в) принадлежит обычный однолистник.

В каждом из трех случаев можно найти центр гомотетии и коэффициент. Выбор центра гомотетии и коэффициента обеспечивают покрытие всех вершин боковых граней первого однолистника, входящего в состав двулист-ника. Пусть М - двулистник. При гомотетии с центром в точке £ и коэффициентом к1 многогранник М отображается на многогранник М1. По доказанному выше, многогранник М1 содержит все вершины многогранника М, лежащие на боковой поверхности первого однолистника (не принадлежащие основанию).

Аналогично осуществим покрытие вершин двулистника, принадлежащих боковой поверхности второго однолистника, входящего в состав двулистника. Пусть Мг - образ многогранника М при гомотетии с центром в точке £1 и коэффициентом к2.

В результате двух гомотетий мы получили два многогранника М1 и М2, которые покрывают часть многогранника М. Остается непокрытым многогранник М \ (М1 и М2), топологически эквивалентный тору.

Тогда, если в основании двулистника лежит параллелограмм, то для покрытия много-

к = шах<

\лег\'

лс)+1. лц лц

К1 ’ лц лц

гранника достаточно шести гомотетичных тел меньших размеров. Если же основанием дву-листника является выпуклый многоугольник, отличный от параллелограмма, то для его покрытия достаточно пяти гомотетичных тел меньших размеров.

Замечание 7. Выше мы рассмотрели покрытие обычных двулистников. Аналогично можно покрыть прямые и наклонные двулистники.

Итак, имеет место

Теорема 2. Для покрытия двулистника, в основании которого лежит выпуклый многоугольник, отличный от параллелограмма, достаточно пяти гомотетичных многогранников меньших размеров. Для покрытия двулистника, в основании которого лежит параллелограмм, достаточно шести гомотетичных многогранников меньших размеров.

9. Покрытие многогранников класса А3

Все многогранники класса А3 мы разбили на два подкласса: многогранники класса А3.1 и многогранники класса А3.2.

В дальнейшем нам понадобится понятие «шапочка». Напомним определение этого понятия. Пусть имеем многогранник класса А3 и пусть q - некоторая прямая пространства, не параллельная ни одной грани многогранника М. Рассмотрим в пространстве сферу единичного радиуса, экваториальная плоскость которой перпендикулярна прямой q. Единичные векторы внешних нормалей всех граней многогранника класса А3 параллельно перенесем так, чтобы их начала совпали с центром сферы. Тогда все единичные векторы внешних нормалей разделятся плоскостью экватора на два класса. Рассмотрим только те из них, концы которых являются внутренними точками верхней полусферы. Объединение всех граней многогранника, единичные внешние нормали которых лежат в верхней полусфере, является двумерным многообразием с краем. Это двумерное многообразие и назовем шапочкой.

Пусть М - выпуклый многогранник класса А3.2 общего вида. Рассмотрим верхнюю шапочку этого многогранника. Замкнутая ломаная L - граница шапочки.

Проведем опорную плоскость в к верхней шапочке такую, что плоскость в параллельна экваториальной плоскости а полусферы, соответствующей шапочке.

Для покрытия верхней шапочки найдем центр гомотетии. Прежде всего, выясним, какой из трех случаев мы имеем:

- существует такая грань верхней шапочки, которая параллельна опорной плоскости в;

- существует внутренне ребро АВ шапочки, параллельное опорной плоскости в;

- ни одно из ребер и ни одна из граней верхней шапочки не параллельны опорной плоскости.

В каждом из этих случаев точно так же, как это сделано для однолистников, найдем теневую область, или множество центров гомотетии для покрытия тех вершин верхней шапочки, которые не принадлежат ломаной L. Для этого рассмотрим полупространства, в которых лежат единичные векторы внешних нормалей для всех граней многогранника, примыкающих к выделенной грани, или ребру АВ или вершине. Рассмотрим пересечение V всех полученных полупространств. Нетрудно убедиться в том, что это пересечение не пусто. V- это выпуклая многогранная неограниченная область.

Найдем множество тех граней верхней шапочки, которые имеют с ломаной L общее ребро или общую вершину. К каждой такой грани проведем единичный вектор внешней нормали. Для каждой грани выбираем то полупространство, ограниченное плоскостью грани, в котором содержится единичный вектор внешней нормали. Найдем пересечение области V и каждого из полученных полупространств. Пересечением является непустая выпуклая неограниченная область V,. Каждая точка области V может быть выбрана в качестве центра гомотетии для покрытия внутренних вершин верхней шапочки.

Выбор коэффициента гомотетии осуществим следующим образом. Обозначим ^ - центр гомотетии. Точки А1, А2, ..., Ап - вершины верхней шапочки, не принадлежащие ломаной L. Обозначим Д = [ Д) р| дМ,

А2 = [51 А) ПдМ, АП = [5! Ап) П дМ,

где - граница многогранника М.

Пусть

к0 = тах

Б А Бу А2 Б Ап

А 5; А2 Б Ап'

Положим к1 > к0 (к1 < 1).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке ^ и коэффициентом ку Выпуклый многогранник М1 является образом выпуклого многогранника М при гомотетии с центром в точке ^ и коэффициентом к1 и имеет размеры, меньшие размеров многогранника М. Многогранник М1 покрывает все вершины А1, А2, ..., Ап многогранника М в силу выбора центра гомотетии и коэффициента гомотетии.

Рассмотрим теперь нижнюю шапочку многогранника М. Повторяя все рассуждения, касающиеся покрытия верхней шапочки многогранника М, найдем многогранник М2, полученный из многогранника М гомотетией с центром в точке S2 и коэффициентом к. Многогранник М2 покрывает все внутренние вершины нижней шапочки многогранника М.

После того, как получены многогранники М1 и М2, покрывающие часть многогранника М, остается непокрытым трехмерное многообразие с краем М \ (М[ и М2), топологически эквивалентное тору.

Многогранник М является многогранником класса ^3.2 общего вида. Поэтому единичные векторы внешних нормалей этого многогранника таковы, что в каждой из восьми равных частей единичной сферы с центром в начале координат, на которые сфера разбита плоскостями координат, находится хотя бы один конец единичной внешней нормали. Многогранник М обладает следующим свойством: ни одна из шапочек его не может иметь специальный вид, то есть ни одна из шапочек не может быть получена из тетраэдра ABCD отсечениями плоскостями так, чтобы сохранились части ребер, исходящие из одной вершины. Рассмотрим теперь те единичные векторы внешних нормалей, концы которых лежат в областях сферы с номерами 1, 2, 5, 6 и в областях сферы с номерами 3,

4, 7, 8. Два объединения граней многогранника, соответствующих этим нормалям, образуют шапочки (условно правую и левую). Покрытие шапочек мы рассмотрели выше. Двух многогранников М3 и М4, гомотетичных данному, достаточно для покрытия внутренних вершин этих двух шапочек. Выбор центров гомотетий и коэффициентов осуществляется так же, как и в первом случае.

После выполнения четырех гомотетий непокрытыми остаются два многогранника, которые являются замыканием разности многогранника М и объединения многогранников М1, М2, М3, М4. Выбирая коэффициенты гомотетий достаточно близкими к единице, можно добиться уменьшения размеров многогранников. Для того, чтобы завершить покрытие, достаточно выполнить еще две гомотетии. Итак, для покрытия многогранника класса А3.2 общего вида достаточно шести гомотетичных многогранников меньших размеров.

Замечание 8. Для покрытия многогранника класса А3.2 специального вида выполним все те же построения, которые мы сделали в случае покрытия многогранников класса А3.2 общего вида, однако в этом случае придется внести небольшие изменения в схему покрытия.

Замечание 9. Выше мы рассмотрели покрытие многогранников класса А3.2. Многогранники класса А3.1 выделены из класса А3 по принципу: не в каждой из восьми равных частей сферы, на которые координатные плоскости разбивают сферу, содержатся единичные векторы внешних нормалей граней многогранника класса А. На покрытии многогранников этого класса мы не будем здесь останавливаться. Отметим только, что для покрытия многогранников этого класса достаточно восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Итак, имеет место

Теорема 3. Для покрытия любого многогранника класса А достаточно восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Список литературы

1. Hadwiger G. Ungeloste Probleme // References Elem. der. Math. 1957. № 20. P. 121.

2. Puolokainen ТМ. Covering Some Classes of Convex Polyhedrons With Body Images at Homothety // Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education. 1998. P. 330—334.

3. Eadem. Covering Three Classes of Convex Polyhedrons with Body Images at Homothety // Learning and Teaching Science and Mathematics in Secondary and Higher Education. 2000. P. 236—239.

4. Eadem. Restructuring of Convex Polyhedrons // Mathematics and Science Education in the North-East of Europe. 2003. P. 62-65.

5. Пуолокайнен Т.М. Классификация выпуклых многогранников // Тр. ПетрГУ Сер.: Математика. 2004. Вып.

11. С. 34-40.

6. Сошкин Р.В. Математические модели и алгоритмы решения задач оптимизационного раскроя полосы // Вестн. Помор. гос. ун-та. Сер.: Ест. и точн. науки. 2009. № 1. С. 77-82.

Puolokainen Tatiana Matveevna

Karelian State Pedagogical Academy

CLASSIFICATION AND COVERING OF CLASS “A” POLYHEDRA

This paper continues the author’s series of articles devoted to the problem of covering convex polyhedra with body images during homothety. The problem under consideration can be described as follows: to give a classification of all class “A” convex polyhedra and solve the problem of covering polyhedra of this class with body images during homothety.

Key words: homothety, convex polyhedra, covering, classification.

Контактная информация: e-mail: puolatm@onego.ru

Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационной безопасности института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова