Пьезокомпозит PZT-4/PZT-4 с взаимообратной поляризацией эллипсоидальных включений и матрицы

УДК 539.3

Пьезокомпозит PZT-4/PZT-4 с взаимообратной поляризацией эллипсоидальных включений и матрицы

А.А. Паньков

Пермский государственный технический университет, Пермь, 614600, Россия

Представлен численный расчет эффективных технических характеристик пьезокомпозита с взаимообратной поляризацией ориентированные эллипсоидальных включений и матрицы из пьезоэлектрика PZT-4. Проанализировано влияние объемной доли включений на осредненные (по фазам) напряженности электрического поля и напряжения во включениях и матрице композита в случае нагружения композита однородным электрическим полем с напряженностью по направлению поляризации матрицы.

Ключевые слова: пьезокомпозит, краевая задача электроупругости, эффективные свойства

PZT-4/PZT-4 piezoelectric composite with inverse polarization of ellipsoidal inclusions and matrix

A.A. Pan’kov

Perm State Technical University, Perm, 614600, Russia

The paper reports on numerical calculation of the effective characteristics of a PZT-4/PZT-4 piezoelectric composite with inverse polarization of ellipsoidal inclusions and matrix. The effect of the volume fraction of inclusions on the averaged (over phases) electric field strength and stress in the composite inclusions and matrix is analyzed for loading by a homogeneous electric field in the direction of matrix polarization.

Keywords: piezoelectric composite, boundary value problem of electroelasticity, effective properties

1. Введение

Поведение и свойства пьезокомпозитов обуславливаются сложным взаимодействием посредством взаимосвязанных деформационных и электрических полей большого числа, образующих структуру материала элементов. Возможность оптимизации и управления структурой композитов открывает путь создания новых пьезоматериалов с наперед заданными свойствами. В результате взаимодействия на микроуровне пьезоактивных элементов структуры на макроуровне композита могут возникать качественно новые эффекты по сравнению с однородными пьезоматериалами.

Актуальность исследования эффективных свойств и электроупругих полей в элементах структуры пьезокомпозитов с взаимообратной поляризацией фаз обусловлена их применением в составных пьезопреобразователях для совершенствования рабочих элементов пье-

зодвигателя наноперемещений. В этих устройствах, работающих на основе обратного пьезоэффекта, эффект перемещения достигается за счет деформации пьезопреобразователя в диапазоне от единиц нанометров до единиц микрометров с погрешностью до десятых долей нанометра при приложении внешнего электрического напряжения. В [1] рассмотрены составные пьезопреобразователи с взаимообратной поляризацией слоев, когда пьезоэлементы (слои) соединены механически последовательно, а электрически параллельно и векторы поляризации для соприкасающихся слоев направлены в противоположные стороны по оси нормальной к слоям. Для этих слоев будут направлены в противоположные стороны и напряженности электрического поля. Такая схема соединения элементов позволяет увеличить диапазон перемещения пьезопривода до десятков микрометров. Применение пьезодвигателей наноперемещений в пре-

© Пань^в A.A., 2010

цизионных системах автоматического управления перспективно в оборудовании нанотехнологий и микроэлектроники.

Представлены результаты исследования электроуп-ругих свойств этого нового класса материалов — композитов с взаимообратной поляризацией пьезоактивных фаз на примере численного расчета в сингулярном приближении метода периодических составляющих эффективных свойств пьезокомпозита с взаимообратной поляризацией ориентированных эллипсоидальных включений и матрицы. Композит полностью состоит из электрокерамики Р2Т-4 и однороден по упругим и диэлектрическим свойствам по всему представительному объему, но неоднороден по пьезомодулям, и при переходе через межфазную поверхность знак пьезомодулей изменяется на противоположный, так как включения как бы перевернуты относительно матрицы и имеют обратную поляризацию. Выявлены новые уникальные свойства таких трансверсально-изотропных композитов, например значительное увеличение эффективных модулей Юнга по оси симметрии г3 и в плоскости изотропии г1г2, продольного модуля сдвига, диэлектрических проницаемостей и пьезочувствительности. Результаты численного решения связанной краевой задачи электроупругости для композита с эллипсоидальными включениями сопоставляются с результатами точного решения для слоистой структуры с взаимообратной поляризацией слоев.

2. Сингулярное приближение метода периодических составляющих

Пусть в представительной микронеоднородной области композита V случайная структура из пьезоактивных фаз и электродеформационные поля обладают свойствами статистической однородности и эргодичности, в пределах каждой фазы электроупругие свойства детерминированы и однородны и выполняются условия идеального контакта на межфазных поверхностях. Связанная стохастическая краевая задача электроупругости в области V с границей Г имеет вид [2-5]:

[Сутп (гК,и (г)]у + [епу (г)ф,и (г)],; = °>

уп

Мг'|Г =гуГ] ’ ф|Г =

при однородной деформации £* и напряженности Е* электрического поля на макроуровне области V, где и(г) и ф(г) — искомые поля перемещений и потенциала электрического поля. Рассматриваем двухфазные матричные композиты, когда дискретная фаза (включения, /= 1) случайным образом распределена в непрерывной фазе (матрице, /= 2) и поля электроупругих свойств в (1) представим разложениями

С (г) = І ю7 (г )С( 7 \

7=1

х

7=1

е

7=1

через материальные константы: тензоры упругих С( 7), диэлектрических X(7), пьезомеханических е(7) свойств и индикаторные функции фаз

где V7 — область/-й фазы в представительной области

2 ___________________________________

V = и V7. Случайные поля ю7 (г) (/ = 1,2) обладают 7=1

свойством статистической однородности и эргодичности [4-8], поэтому вероятность появления в произвольной точке г области V /-й фазы равна величине относительного объемного содержания V7 этой фазы в композите:

2

І v7 = 1 Vf =<ю7X 7=1

где (...) — оператор объемного осреднения по области V.

Известные методы решения [4, 6, 7] краевой задачи (1) основаны на разложении коэффициентов С(г), Х(г), е(г) и искомых полей перемещений и(г) и потенциала электрического поля ф(г) на осредненные и пульса-ционные составляющие; нулевым приближением для полей и(г) и ф(г) являются осредненные решения.

Корреляционные функции случайных структур матричных композитов имеют область отрицательных значений [5], что указывает на наличие периодических составляющих в структурах. Метод периодических составляющих [8] основан на выделении из коэффициентов С(г), Х(г), е(г) и из искомых полей и(г) и ф(г) соответственно периодических коэффициентов Ср(г), Xр(г), ер(г) и считающихся известными решений ир (г), фр (г) краевой задачи для пьезокомпозита с периодической структурой

[с|™ (гк,„(г)] , + [еР,-(г)Фр„(г)] , = °

[хри

ЫрГ = , ФГ = ~ЕпГп

В результате решения стохастической краевой задачи (1) в сингулярном приближении (для второй производной функции Грина однородной среды с зерном неоднородности — эллипсоид [7]) искомые тензоры эффективных упругих С*, диэлектрических X*, пьезомеханических е* свойств композита в определяющих соотношениях на макроуровне

ф* = с* є

гу ^гутп тп '-пгу^'п

— е Е П = X Е + е є

^пи^п ^іп^п 1 ^ітп^тп

представлены в виде [5, 9]

С * = рСР* + (1 — р) С8*,

X* = рХр* + (1 — р) X8*,

е* = реР* + (1 — р) е8*, где коэффициент периодичности

р" , р є (0; і), г>1(1 — ^

рассчитывается через v11 — относительное объемное содержание областей пересечения квазипериодической и периодической структур при их мысленном наложении друг на друга (метод корреляционных пересечений [5]), V — относительное объемное содержание включений, одинаковое для квазипериодической и периодической структур. Индексами р и s обозначены соответственно тензоры эффективных свойств композитов с периодической структурой и со структурой «статистическая смесь», у которой полностью отсутствует корреляция физико-механических свойств в различных точках среды [6, 7]. Отметим, что коэффициент периодичности р вошел в решение (4) на основе доказанной автором леммы [5]: отношение центральных моментов при различных значениях п = 2, 3, ...

(Ю (юр )п—1) =

((Ю )п) р

где ю; = ю1 — ю1р = юр — v1 — пульсации. Коэффици-

ент периодичностир при фиксированном значении относительного объемного содержания включений у1 является функцией от значений смешанного момента

^1 =(ю1юр х

и в предельных случаях имеем: р = 1 и у111 = у1г когда квазипериодическая структура тождественна периодической, и р = 0 и v11 = v1, когда квазипериодическая структура вырождается в статистическую смесь.

3. Численный расчет

Проведем анализ влияния величины относительного объемного содержания и формы включений на значения эффективных технических характеристик электроуп-ругих свойств квазипериодического пьезокомпозита с взаимообратной поляризацией ориентированных эллипсоидальных включений и матрицы из пьезоэлектрика Р2Т-4 на основе решения (4) для компонент тензоров эффективных упругих свойств С*, диэлектрической проницаемости X* и пьезомеханических свойств е*. Фрагмент реализации рассматриваемой квазипериоди-ческой структуры, например с ориентированными дисковыми включениями, приведен на рис. 1. Структуру матричного квазипериодического композита с ориенти-

Рис. 1. Фрагмент реализации случайной структуры

рованными эллипсоидальными включениями (рис. 1) представим совокупностью ячеек в форме параллелепипеда, вероятность присутствия в ячейке включения равна р0, а вероятность отсутствия включения — 1 - р0. В предельном случае, когда р0 = 1, структура вырождается в периодическую. Наличие включения в ячейке не коррелирует с наличием или отсутствием включений в соседних ячейках. В ячейках, в которых включения отсутствуют, весь объем ячейки занимает матрица, а во все оставшиеся ячейки вписаны с небольшими прослойками 8г/2 матрицы эллипсоидальные включения, центры которых совпадают с центрами своих ячеек. Главные полуоси аг (- = 1,3) эллипсоидов ориентированы вдоль соответствующих ребер Т ячейки и координатных осей г-, при этом выполняется равенство Т = = 2аг + 8г-. Вероятность присутствия в ячейке включения р0 или относительное число ячеек с включениями рассчитываем по формуле

Ро = V ^пах

через заданное значение относительного объемного содержания включений в композите v1 и, в общем, различные вдоль каждой оси гг заданные минимальные гарантированные относительные 8г-/аг- прослойки 8г-матрицы между включениями; у1 е (0; Утах), Ушах — максимально допустимое значение относительного объемного содержания включений в композите:

утах =п/[

где gi = 0.5 8г/яг-. Считаем, что Т1 = Т2 , а1 = а2, относительные минимальные прослойки = 0.02 для всех - = 1,3, vmax = 0.508; варьируемые параметры: q = = а^а1(2) — параметр формы включений и v1 — относительное объемное содержание включений. При q =1 имеем шаровые, при q > 1 — вытянутые или «игольчатые», при q е (0; 1) — сплюснутые или «дисковые» включения. Отметим, что размеры ар включений в периодической структуре связаны с размерами а-включений в соответствующей квазипериодической структуре через детерминированный коэффициент подобия в = ^Р0 или в = 3 У11 утах (6) из условия ра-

венства относительного объемного содержания включений и размеров ячеек в обеих структурах, в е (0, 1): ар = ва;. Таким образом, в квазипериодической структуре размер включений несколько больше, а минимальные прослойки между включениями меньше, чем в соответствующей периодической структуре, в которой включения есть в каждой ячейке без исключений. При мысленном наложении этих двух структур (периодической и квазипериодической) друг на друга границы их ячеек совпадают и относительное объемное содержание областей пересечений включений Vu = v1р0 или VII = ^Лшах с учетом (6), (7). В результате коэффициент периодичности р (5) рассматриваемой квазипериодической структуры примет вид:

А

Р =

1 - V,

1

В

-1

Независимые упругие, диэлектрические и пьезоэлектрические постоянные трансверсально-изотропных электроупругих свойств пьезоэлектрика PZT-4 с осью симметрии г3

С;; =

С11 с12 С13 0 0 0

с12 С11 С13 0 0 0

С13 С13 С33 0 0 0

0 0 0 С44 0 0

0 0 0 0 4 О*" 0

0 0 0 0 0 С 66

0 0 0 0 е15 0

0 0 0 е15 0 0 ,

е31 е31 е33 0 0 0

Я1 0 0

0 Я1 0

0 0 Я3

У =

приведены в [2, 4]:

- упругие постоянные:

С12

'Па, с13 = 7.43 • 1011

Па,

с33 = 11.5• 1010 Па,с44 = 2.56• 1010 Па, с66 = 1/2(сп -с12);

- относительные диэлектрические постоянные: А1уД0 = 730, А3/Я0 = 635;

- пьезоэлектрические постоянные:

е3

е31 = ± 5.2 Кл/м2, е33 = + 15.1 Кл/м2, е51 = + 12.7 Кл/м2

для двух случаев направления поляризации: против (для включений) и по (для матрицы) оси г3 соответственно, Я0 = 8.85 • 10-12 Ф/м — диэлектрическая проницаемость вакуума, тензорные и матричные индексы связаны между собой соотношениями: 11 —> 1, 22—2, 33 —>3, 23 и 32 — 4, 13 и 31 — 5, 12 и 21—6. Таким образом, композит однороден по упругим и диэлектрическим свойствам и неоднороден лишь по пьезомодулям (8) из-за

скачкообразной смены направления поляризации на границе включений и матрицы на взаимообратное.

Вычисление тензоров Ср*, Яр* и ер* эффективных свойств соответствующего пьезокомпозита с периодической структурой из ориентированных эллипсоидальных включений в решении (4) сводится к решению задач электроупругости на ячейке периодичности «эллипсоид в параллелепипеде» и представляет собой отдельную сложную задачу [10, 11]. Известно [4-8], что значения эффективных упругих свойств многих матричных композитов с периодическими структурами близки к решению обобщенного сингулярного приближения, в котором свойства среды сравнения приравнены свойствам матрицы. Поэтому воспользуемся приближенным решением и рассчитаем Ср*, Яр* и ер* в (4) по формулам обобщенного сингулярного приближения [5] при значениях тензоров упругих Сс и диэлектрических Яс свойств среды сравнения:

Сс = с(2), Яс =Я(2).

Тензоры Ся*, Яя* и ея* эффективных свойств статистической смеси в решении (4) рассчитываем также в сингулярном приближении, для которого принимаются равенства [4, 7]:

Сс =<С>, Яс =<Я>.

На рис. 2 приведены отнесенные к соответствующим модулям матрицы эффективные постоянные композита с взаимообратной поляризацией матрицы и ориентированных эллипсоидальных включений из PZT-4: Е1, Е3 и Я,, Я3 — модули Юнга и диэлектрические проницаемости в направлениях осей г1 и г3; G13 — модуль сдвига в плоскости г1г3; v12 и у13 — коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечные деформации по оси г1 при растяжениях по направлениям г2 и г3 соответственно; ^2 — объемный модуль плоской деформации в плоскости изотропии г1г2; е311, е333

е113

пьезомеханические компоненты в зависимос-

ти от относительного объемного содержания включений v1. Использованы следующие обозначения результатов расчета эффективных электроупругих модулей композита для различных геометрических форм эллипсоидальных включений: слои, <7—>0 (); диски, </=0.2 (А), <7= = 0.5 (О) ; шары, q=1 (х); иглы, q= 1.5 (+) , q=2 (Ж) ; волокна, q—^ (О) . Отметим, что при объемной доле включений V = 0.5 композит, обладая пьезочувствительностью на структурном уровне, теряет пьезоактивность на макроуровне из-за равенства нулю всех эффективных пьезомодулей е311, е333 и е113 вне зависимости от формы эллипсоидальных включений. Выполняются равенства 1 и КК(2) = 1 для всех рас-

сматриваемых значений v1 и q. На рис. 2 приведены результаты точного решения, полученного при переходе к пределу а1(2) — го, а3 = 1 для слоистых структур с взаимообратной поляризацией слоев пьезоэлектрика PZT-4 в зависимости от содержания «перевернутых»

2.0-

1.6-

0.8

1.5-

«ч.э-

1.1- 0.9- I I I I

0.0

0.4

0.8

0.0

0.4

0.8

1.0

0.5-

-0.5

-1.0

0.0

0.4

1_и_ 1.0^ 1.0<

§ 0.5- § 0.5-

ф ‘ .ф" ‘

о.о- * ” о.о-

ф

-0.5- -0.5-

1.0- 1.0-

0.0

0.4

0.0

0.4

0.8 V,

Рис. 2. Эффективные модули Юнга

слоев v1. В рассматриваемом случае имеем равенства: С* = Ср* = С8*, X* = Xр* = X8*, е* = ер* = е8* для тензоров эффективных пьезоупругих свойств в (4).

4. Выводы

Численный расчет выявил уникальные эффективные свойства пьезоактивных трансверсально-изотропных

композитов с взаимообратной поляризацией включений и матрицы, слоистых структур с взаимообратной поляризацией слоев, например: значительное увеличение эффективного модуля Юнга Е3, модуля сдвига ^13 и диэлектрических проницаемостей Х11 и Х33, увеличение коэффициента Пуассона v12 и уменьшение v13, стабильность модуля сдвига ^2 и объемного модуля

К*, отсутствие пьезоэффекта у композита при объемной доле включений V] = 0.5, близкую к линейной зависимость значений пьезомодулей е311, е333 и е113 от величины V). Отметим, что для рассмотренного ранее в [12] аналогичного композита с взаимообратной поляризацией включений и матрицы из полимерного пьезоэлектрика PVF выявлена сильная немонотонная зависимость пьезомодулей е311, е333 и е113 от v1 и увеличение значений этих пьезомодулей при v1 ~ 0.4 в 2 раза к соответствующим значениям (8) и отрицательные значения коэффициента Пуассона У13 при v1 е (0.3; 0.7) для слоистого композита и композита с ориентированными дисковыми включениями.

Полученные решения (4) в сингулярном приближении метода периодических составляющих для тензоров эффективных электроупругих свойств квазипериоди-ческого композита с эллипсоидальными включениями учитывают неоднородность деформационных и электрических полей в элементах структуры, в том числе вблизи межфазных поверхностей, лишь через входящие в (4) решения для тензоров эффективных свойств композита с идеальной периодической структурой. Отметим, что точность расчета тензоров эффективных свойств композита в общем связана лишь с точностью расчета осредненных по фазам деформационных и электрических полей. Анализ неоднородных деформационных и электрических полей в элементах структуры квазипериодического композита может быть проведен, например, методом квазипериодических ячеек [5].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ-Урал № 10-01-96047-р_урал_а.

Литература

1. Афонин С.М. Упругие податливости, механические и регулировоч-

ные характеристики составных пьезопреобразователей // Изв. РАН. МТТ. - 2007. - № 1. - С. 51-58.

2. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультра-

акустике. - М.: ИИЛ, 1952. - 448 с.

3. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 472 с.

4. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. -Киев: Наукова думка, 1989. - 208 с.

5. Паньков А.А. Статистическая механика пьезокомпозитов. - Пермь:

Изд-во ПГТУ, 2009. - 480 с.

6. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформи-

руемых тел. - М.: Наука, 1970. - 175 с.

7. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1976. - 400 с.

8. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. - М.: Наука, 1984. - 116 с.

9. Паньков А.А., Ташкинов А.А. Сингулярное приближение метода периодических составляющих для квазипериодических композитных материалов // Деформирование и разрушение структурнонеоднородных материалов. - Свердловск: УрО АН СССР, 1992. -С. 93-101.

10. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 336 с.

11. Каралюнас Р.И. Эффективные термопьезоэлектрические свойства слоистых композитов // Механика композитных материалов. -1990. - № 5. - С. 823-830.

12. Паньков А.А. Свойства и электроупругие поля композита с взаимообратной поляризацией пьезоактивных фаз // Физ. мезомех. -2008.- Т. 11. - № 4. - С. 101-105.

Поступила в редакцию 05.03.2010 г., после переработки 06.05.2010 г.

Сведения об авторе

Паньков Андрей Анатольевич, д.ф.-м.н., проф. ПГТУ, тктк@рзШ.ас.ги