О телах вращения минимального звукового удара

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXVII 20 06 № 3

УДК 534.83: 629.735.83

О ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО ЗВУКОВОГО УДАРА

Ю. Л. ЖИЛИН, Л. Г. ИВАНТЕЕВА, С. Л. ЧЕРНЫШЕВ

Решена задача об эквивалентных телах вращения оживального типа с минимальной интенсивностью головной и хвостовой ударных волн при заданных длине тела и площади концевого сечения. Приведен пример использования полученных результатов для определения теоретического минимума звукового удара от легкого самолета с заданными параметрами.

Понятие эквивалентного тела вращения в теории звукового удара имеет фундаментальное значение, так как позволяет свести задачу об определении поля течения около сложной компоновки летательного аппарата к задаче обтекания некоторого тела вращения. Главный аэродинамический эффект, на котором основан такой подход, заключается в квазидвумерности асимптотического поля течения около тонких компоновок. Это означает, что возмущения однородного потока газа на больших расстояниях от их источника распространяются независимо друг

от друга в каждой меридиональной плоскости, проходящей через ось летательного аппарата. Поэтому профиль волны давления и поле возмущенных скоростей на большом расстоянии от летательного аппарата будут такими же, как и от эквивалентного тела вращения. При этом форма тела зависит от распределения не только площадей сечения самолета плоскостями, касательными к поверхности конуса Маха, но и подъемной силы.

Благодаря такой аналогии многопараметрическая задача о минимизации уровня звукового удара от самолета сводится к более простой задаче для эквивалентного тела вращения. Полученная при этом информация позволяет установить теоретический минимальный уровень звукового удара от самолета и необходима при разработке оптимальных аэродинамических компоновок.

Задача об эквивалентных телах вращения, обладающих минимальным уровнем звукового удара, рассматривалась многими авторами (см. библиографию в работах [1, 2]). Однако в опубликованных работах приводятся недостаточно полные конкретные данные для проведения анализа в широком диапазоне изменения параметров. Например, в [1] число Маха изменяется от 2.5 до 3.5, что находится вне или на границе чисел М полета сверхзвукового пассажирского самолета (СПС), при этом не содержится никакой информации о форме оптимальных тел. В работах [1, 2] ограничены также узкой областью весовые характеристики и размерность рассматриваемого класса самолетов. Требует уточнения и сама постановка задачи, так как при определении минимальной интенсивности головной ударной волны совершенно не обсуждается вопрос об интенсивности хвостовой ударной волны, которая может быть больше головной. Поэтому возникла необходимость в разработке метода решения задачи об эквивалентных телах вращения, обладающих минимальным уровнем звукового удара в более широком диапазоне параметров и в более практической постановке.

В настоящей статье приводятся описание метода и результаты расчета, представленные в виде зависимостей от параметра подобия теории звукового удара. Это позволило существенно упростить представление расчетных данных и перекрыть диапазон применимости результатов работы [1]. Приводятся полная информация, необходимая для построения оптимальных тел, и пример практической реализации метода для легкого самолета бизнес-класса с заданными параметрами. Рассмотрена также задача об эквивалентных телах вращения, которые не создают ударные волны на больших расстояниях. Сформулированные условия, при выполнении которых отсутствуют ударные волны, являются необходимыми и достаточными для головной ударной волны и только необходимыми для хвостовой.

I. Рассмотрим задачу об эквивалентном теле вращения, которое обладает минимальным уровнем интенсивности головной и хвостовой ударных волн при заданных длине и площади концевого сечения. Будем предполагать, что интенсивность головной ударной волны равна интенсивности хвостовой.

В теории звукового удара большое значение имеют функции Уитхема Ф(п) и Р (п), которые определяются следующими выражениями:

где ^ (х) — площадь поперечного сечения эквивалентного тела вращения, безразмерное расстояние х и п отсчитываются от носка тела. Физический смысл функции Р заключается в том, что она пропорциональна начальному распределению возмущенного давления около тела. Профили волны давления при звуковом ударе определяются из уравнений

звукового удара [3] характеризует удаленность возмущения от тела, он зависит от состояния неоднородной атмосферы, режима полета самолета, его веса и длины, положения наблюдателя относительно трассы полета и не зависит от формы самолета. Коэффициент к [3] имеет

размерность давления и зависит от тех же параметров, что и параметр подобия к. Эти величины для модели слоистой атмосферы легко вычисляются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений [4].

В опубликованных работах было показано, что оптимальные функции Уитхема соответствуют эквивалентному телу, изменение площади поперечного сечения которого по длине является комбинацией степенных функций. На рис. 1, а приведены примеры расчета эпюры избыточного давления р (t) ударной волны от степенных тел вращения оживального типа, задаваемых формулой

при значении параметра подобия к, равном 0.1. Полученные эпюры в соответствии с известной классификацией [5] можно разделить на три типа: эпюра ^образной формы (Ь = 0.2), эпюры с характерным пологим участком — полочкой (Ь = 1; 1.5), эпюры с конечным временем нарастания избыточного давления (Ь = 2.5; 3.0). При увеличении параметра к (что равносильно удалению от тела) происходит постепенная трансформация всех эпюр давления в эпюры ^образной формы. На рис. 1, б показана зависимость наибольшего избыточного давления безразмерной эпюры от параметра подобия к и показателя степени Ь. Отсюда можно приближенно определить решение задачи о минимуме наибольшего избыточного давления в ударных волнах от тел степенной

р ^ ) = к1Р (п), t = п-кР (п),

где р ^) — избыточное давление, t — безразмерное время. Параметр подобия к теории

Рис. 1:

а — эпюры избыточного давления р) для степенных тел вращения при к = 0.1 (? — безразмерное время); б — зависимость амплитуды ударных волн от параметра Ь при различных к

формы при заданных значениях длины и площади миделя тел. Решение задачи в ближнем поле

дает тело с распределением площади £ (х) = х3 , а в дальнем поле £ (х) = х1 , причем первому

решению соответствует эпюра с горизонтальной полочкой, второму — эпюра ^образной формы. Этот результат, полученный здесь численно, известен в литературе [6—8].

Поэтому, опуская теоретическое обоснование, сразу будем находить решение сформулированной задачи в классе тел следующего вида:

—к£(х) = А0 х1/2 + Л1х3/2 + Л2х5/2 + ГВ1 (х - а)3/2 + В2 (х - а)5/2 ] Н (х - а),

8 I- -I

где Л и В{ — некоторые коэффициенты, которые нужно определить из решения задачи; Н (г) — функция Хевисайда: Н (г ) = 0 при г < 0, Н (г) = 1 при г > 0, х и а — расстояние от носка тела,

отнесенное к его длине.

Все величины в последней формуле безразмерны. Здесь специально не оговаривается, какая величина взята в качестве характерной площади поперечного сечения. В случае эквивалентного тела существуют, по крайней мере, три такие площади. При выборе конкретной характерной площади соответственно будет также меняться выражение для параметра подобия к. Введение множителя при функции £ (х) позволяет упростить дальнейшие выкладки.

Функции Ф и Р в данном случае также безразмерны. Так как производная

3^кБ'(х) = Л)х_1/2 + 3Л1 х1/2 + 5Л2х3/2 + 3В1 (х - а)12 + 5В2 (х - а)3/2 Н (х - а),

имеет смысл ввести в рассмотрение следующие функции:

, ч 1 (х -X) й Ф п (п, X) , ч

Ф" (п. Я)=К /х, / (п, Я)= ")П > (п = О,1,2,...),

IV(х -Я)(п- х) й п

где А,1 = п при п < 1 и А,1 =1 при п > 1, а величина X равна нулю или а. Эти функции вычисляются с помощью рекуррентных формул.

При 0 < п < 1

Фп (п, Х) = (2п -12)/(п-Х)Фп-1 (п, X); К (п, х) = -Фп-1 (п, Х) + (п-Х)/ (п, X)-;

Ф0 = П , К (п) = 8(п),

где 5(п) — дельта-функция (5(п) = 0 при п>0, 5( 0) = да).

При п > 1

. , (2п -1)(п-Х) . (1 -Х)( 2п-1^^л/л-1

Ф п (п, X) = *---Ф п-1 (п, X) - ^’ п ;

2 - 1 (1 - 1 )(2п-1У2

К (п, X) = ГФп-1 (п, X)+(п - X) к-1 (п, X)] - Ц-4

Л I ~п-1\-\?--; VI '7 п-ц-р-7| /

2п 2п л/п-1

Ф0 (п, X) = 2агс8т

V

п-^ ’

Из этих выражений следует, что /п (п, X) = -да при п = 1+ .

Приведем также выражения для этих функций при п = 1 и п = 2 .

При п < 1

Ф1 (п,X) = П(п-X); / (п,X) = ~; Ф2(п,X) = 3П(п-X)2; /(п, !) = ^(п^).

При п > 1

Ф1 (п. X) = Ф 0 (п, х)-,/(1 -!)(п-1);

Ф0(пЧ + Сп-ЧК(п.

Ф2 (п. Ч =3 (п - ЧФ1 (п. Ч - -2 (1 - Ц3'2,/ (п-1);

К2 (п. ^| -Ф1 (п X) + (п-X) К (п. X)- - .

Суммируя полученные результаты, получим 3п

—кФ (п) = АФ0 (п, 0)+ 3Л1Ф1 (п, 0) + 5Л2Ф2 (п, 0) + Г3В1Ф1 (п - а) + 5В2Ф2 (п - а)]Н (п - а);

—кР(п) = ЛР0 (п 0) + 3АЛ (п 0) + 5А2Р2 (п 0) + [зВ1Р1 (п а) + 5В2(п - а)]Н (п - а).

Функция Р(п) для рассматриваемого класса тел является кусочно-линейной (рис. 2) в диапазоне 0 < п < 1 и имеет конечный разрыв в точке п = а. Эта функция обращается в бесконечность при п = 0 и в минус-бесконечность при п ^ 1+.

Рис. 2. Вид Е-функции для оптимальных эквивалентных тел вращения

При появлении ударных волн функция Р (^) становится неоднозначной, что не имеет физического смысла. Для получения решения, имеющего смысл, введем функцию О (t):

О (t) = 2 кФ^ )-[кР ^ )]2.

Эта функция также неоднозначна. Однако ее ветвь, которая определяется как максимум функции О ^), при каждом значении t дает правильное физическое решение [9].

Перейдем теперь непосредственно к решению сформулированной выше задачи. При решении должны выполняться следующие условия.

1. Пусть задана безразмерная площадь концевого сечения тела £ (1) = £0. Отсюда

Л + Л + Л2 + В1 (1 - а)3/2 + В2 (1 - а)5/2 - у к£0 = 0.

Появление безразмерного параметра £0 связано с неоднозначностью выбора характерной площади поперечного сечения тела.

2. На головной ударной волне должно выполняться условие

т 2

р 2(0) = - Ф(0).

к

Отсюда

Л) = 3 Л2; кР (0) = 2 Л1; к Ф(0) = 2 Л12.

Так как в интервале 0<п<1 функция кР(п) является кусочно-линейной с разрывом в точке п = а , можно сформулировать еще три условия.

3. Задан наклон в функции кР (п) при 0 <п< а, т. е.

к 8

---= 8 или А2 = — , где 0 < 8 < 1

й п 2 5

4. Совершенно аналогично для интервала а < п < 1

= 81 или В2 =

8,-8

, где 0 <8, < 1 .

5

тах ?

где Ртп и ^тах — минимальное и максимальное значения функции Р(п) при п = а, причем

Как и следовало ожидать, функция Р (п) для рассматриваемого семейства тел зависит от пяти параметров: 8, к50, 81, а и й.

Изначально сформулированная задача решалась как задача о нахождении минимума интенсивности головной ударной волны при заданных значениях параметров 8 и к^О, т. е. отыскивался минимум величины к¥(0). При этом ставилось условие, что с точностью 1%

интенсивности хвостовой и головной волн совпадают. Оказалось, что для рассматриваемого класса тел интенсивность хвостовой ударной волны всегда превосходит интенсивность головной в пределах

указанной точности (расчеты проводились для случая, когда 8 = 81 для трех значений параметра 8 : 0, 0.5 и 0.9).

Отсюда

В1 = -й (А1 + а8/ 2).

Из этих пяти уравнений можно получить квадратное уравнение для коэффициента А1 :

А2 + 2Т1А1 - Т2 = 0, откуда А1 = -Т1 ±>/Т2 + Т2 ,

где

Рис. 4. Универсальная зависимость величины к¥ на головной ударной волне от параметра подобия к

Положение и интенсивность хвостовой ударной волны определяются точкой самопересечения функции О ^) [9]. Задача решалась методом поиска. При заданных значениях 8 и кБ0

с мелким шагом варьировались параметры а и й. На рис. 3 приведена вся информация, необходимая для построения оптимальных эквивалентных тел вращения ((А0 = 0.5кР (0); А2 = 0.2; В2 = 0).

На рис. 4 показана зависимость величины к¥ (0) от параметра подобия к. Эта величина пропорциональна интенсивности ударных волн, возникающих при звуковом ударе. Там же приведены соответствующие данные для оптимальной К-волны. Как видно, существует потенциальная возможность уменьшения уровня звукового удара, особенно при малых значениях параметра подобия к.

В настоящей статье результаты расчетов представлены в виде зависимостей от параметра подобия к теории звукового удара, поэтому они применимы для любой стационарной атмосферы, размеры неоднородностей которой значительно превышают длину волны давления при звуковом ударе (примерно 100 м для СПС-2).

На рис. 5 максимальное и минимальное

избыточное давление, возникающее при звуковом ударе, сравнивается с соответствующими параметрами

К-волны. Максимальное избыточное давление может превосходить интенсивность ^образной волны при сравнительно больших значениях 8 . Это обстоятельство нужно учитывать при выборе

Рис. 5. Максимальное Ртах и относительное избыточное да шение в оптимальной 'К- в<

2.0

Рис. 3. Зависимости величин й, Ад, В1 от параметра подобия к — информация для определения формы эквивалентного тела вращения

параметра в для уменьшения громкости звукового удара.

Остановимся на результатах расчетов. На рис. 6 приведены примеры оптимальных профилей волн давления от самолета легкого класса (вес О = 20 т, длина Ь = 22.5 м), совершающего полет на высоте Н =16 км при числе М = 2. Звуковой удар начинается с головной ударной волны, за которой следует течение изоэнтропического сжатия (при в > 0) или зона постоянного давления (при в = 0). Далее следует течение разрежения и снова небольшая часть изоэнтропического сжатия или постоянного давления. Завершается течение хвостовой ударной волной и довольно протяженной областью, в которой происходит медленное восстановление давления. Течения сжатия и разрежения происходят с постоянными градиентами давления по времени. На этом же рисунке показана форма оптимального тела вращения, генерирующего полочное распределение избыточного давления в волне звукового удара (г — радиус окружности в вертикальном сечении тела).

В работе [1] результаты расчетов приведены для следующего диапазона параметров полета. Число Маха изменялось от 2.5 до 3.5, вес — от 1800 до 3200 кН, высота полета — от 15 до 30 км и длина — от 73 до 110 м. Диапазон изменения этих величин в основном находится вне соответствующих параметров для самолетов легкого и делового классов, величину звукового удара которых можно понизить до уровня, приемлемого для населения. Из рис. 6 видно, что для выбранной схемы минимизации и рассматриваемого набора четырех базовых параметров M, Н, Ь, О нижняя теоретическая граница интенсивности звукового удара составляет около 20 Па. Эта граница достижима, если функция Р обращается в бесконечность при х = 0 [8]. Это условие выполняется при А0 Ф 0, т. е. тело имеет затупленный носок и производная площади эквивалентного тела по его длине обращается в бесконечность при х = 0.

К с

Рис. 6. Оптимальные сигнатуры волн звукового удара для самолета легкого класса

Рис. 7. Функция Е, соответствующая оптимальной эпюре на поверхности земли

Изменение формы оптимальной волны ЗУ вдоль траектории луча показано на рис. 7. Там же приведена траектория распространения возмущения, а маркерами отмечены положения, в которых вычислялась форма волны.

II. Рассмотрим задачу об эквивалентных телах вращения, которые не создают ударных волн на больших расстояниях (безударные тела). Будем решать ее в том же классе тел, что и предыдущую. Необходимое условие отсутствия головной ударной волны записывается в виде

А0 = А1 = 0 или 3^ кБ (х) = А2х5/2 + В1 (х - а)32 + В2 (х - а)^2 Н (х - а).

При этом производная £'(х) и функции Ф(п) и Е (п) соответственно равны

^кБ'(х) = 5А2х3/2 + 3В1 (х - а)12 + 5В2 (х - а)32 Н (х - а);

Зп —кФ (п) = 5 А2Ф2 (п, 0) + [ЗВ1Ф1 (п, а) + 5В2Ф2 (п, а)]Н (п - а);

Зп

— № (п) = 5 А2Е2 (п, 0) + [3В1Е1 (п, а) + 5В2Е2 (п, а)]Н (п - а).

Сформулированные выше условия 1, 3—5 записываются в виде

А2 + В1 (1 - а)3/2 + В2 (1 - а)52 - ЗП ^ = 0;

А2 =і; В2 = ^; В,=-^

2 5 2 5 1 2

При этом условия в>0, В1 < 1 и d > 0 должны обязательно выполняться. Для отсутствия хвостовой ударной волны необходимо, чтобы функция Е (п) была непрерывна при переходе через точку п = 1. Можно показать, что это достигается в случае, когда £'(1) = 0, т. е. тело вращения плавно сопрягается с цилиндром. Это условие дает пятое уравнение:

5 А2 + 3В1 (1 - а)1/2 + 5В2 (1 - а)3/2 = 0.

Из приведенных соотношений следует, что для безударного тела параметр кБц должен удовлетворять следующему уравнению:

kSo =

4a [(5a-2)sd + 2 (s-s1 )(1 -a )]V 1 -a

15п

Так как коэффициент 4/15 п = 0.085 мал, то при создании безударных тел возникает проблема получения достаточно больших значений параметра kS0). Для простоты остановимся

4sda (5a - 2 W1 - a

на случае, когда s1 = s. Тогда kS0 =--------------------------- - -.

15п

Из этой формулы видно, что параметр kS0) обращается в нуль при значениях величины a, равных 0.4 и 1, и, следовательно, достигает максимума в этом диапазоне. Максимальное значение параметра kS0 достигается при a = 0.852. При этом kS0 = 0.0629sd.

При выполнении сформулированных условий отсутствует головная ударная волна. Для отсутствия хвостовой ударной волны эти условия являются только необходимыми.

Параметр подобия k уменьшается с увеличением длины тела, уменьшением высоты и числа Маха полета. Поэтому безударное тело должно иметь достаточно большую длину и летать на малых высотах с относительно небольшой сверхзвуковой скоростью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Darden С. М. Charts for determining potential minimum sonic-boom overpressures for supersonic cruise aircraft // NASA Technical Paper. — 1981, N 1820.

2. Brown J. G., Haglung G. T. Sonic boom loudness study and airplane configuration development // AIAA-88-4467. — 1988.

3. Жилин Ю. Л. О звуковом ударе // Ученые записки ЦАГИ. — 1971. Т. II, № 3.

4. Чернышев С. Л. О методе и программе расчета звукового удара // Труды ЦАГИ. — 1981. Вып. 2110.

5. McLean F. E. Configuration design for specified pressure signature characteristics //

NASA SP-180. — 1968.

6. Jones L. B. Lower bounds for the pressure jump of the bow shock of supersonic transport // The Aeronaut. Quart. — 1970. V. XXI. P. 1.

7. Jones L. B. Lower bounds for the pressure jumps of the shock waves of a supersonic transport of given length // The Aeronaut. Quart. — 1972. V. XXIII. N 1. P. 2.

8. George A. R. Lower bounds for sonic booms in the midfield // AIAA Journal. — 1969.

V. 7, N 8.

9. Жилин Ю. Л., Чернышев С. Л. Алгоритм построения эпюры избыточного давления при звуковом ударе // Труды ЦАГИ. — 1981. Вып. 2110.

Рукопись поступила 28/IV 2006 г.

4б