Многоуровневая модель деформируемого поликристалла. Проблема Холла–Петча

УДК 621.891

Многоуровневая модель деформируемого поликристалла. Проблема Холла-Петча

В.Е. Панин1,2, Д.Д. Моисеенко1, Т.Ф. Елсукова1

1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 2 Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

Разработана многоуровневая модель деформируемого поликристалла, согласно которой в основе самосогласования деформирующихся зерен лежит развитие в их границах ротационно-волновых потоков планарных структурных трансформаций. В рамках инженерии границ зерен компьютерным моделированием выявлены два типа ротационно-волновых потоков, которые определяются углом разориентации смежных зерен. Первый тип зернограничных потоков развивается в малоугловых границах и характеризуется малой кривизной. Такие потоки генерируют в объем зерен дислокации и определяют уравнение Холла-Петча в виде а = ао + + kd~l/2. Зернограничные потоки второго типа развиваются в большеугловых границах и имеют большую кривизну. Они формируют в приграничных зонах и инжектируют в объем зерен полосы кривизны, которые вызывают фрагментацию зерен и сильное нарушение трансляционной инвариантности. Уравнение Холла-Петча при таком самосогласовании зерен в поликристалле имеет вид а = ао + М-1. Приводятся экспериментальные данные, подтверждающие предложенную многоуровневую модель.

Ключевые слова: поликристаллы, многоуровневая модель, инженерия границ зерен, уравнение Холла-Петча

Multiscale model of deformed polycrystals. Hall-Petch problem

V.E. Panin12, D.D. Moiseenko1, and T.F. Elsukova1

1 Institute of Strength Physics and Materials Science, SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

2 National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

The paper puts forward a multiscale model of deformed polycrystals according to which the basis for self-consistent deformation of grains is rotational wave flows of planar structural transformations at their boundaries. Engineering of grain boundaries by computer simulation reveals two types of rotational wave flows defined by the misorientation angle of adjacent grains. Grain boundary flows of the first type develop at low-angle boundaries and feature low curvature. These flows generate dislocations in the grain bulk and the Hall-Petch equation for them has the form a = Go + kd~l/2. Grain boundary flows of the second type develop at high-angle boundaries and feature high curvature. These flows generate curvature bands in near-boundary zones and inject them into the grain bulk, resulting in grain fragmentation and breakdown of translation invariance. For such self-consistency of grains in a polycrystal, the Hall-Petch equation has the form a = Go + kd-1. Experimental data in support of the proposed multiscale model are presented.

Keywords: polycrystals, multiscale model, engineering of grain boundaries, Hall-Petch equation

1. Введение

В литературе при описании деформируемого поликристалла широко используется эмпирическое уравнение Холла-Петча [1, 2]

а = а0 + Ы ~1!2, где а — внешнее приложенное напряжение; а0 — сопротивление сдвигу в бесконечно большом зерне; k — сопротивление передачи пластического сдвига через границу смежных зерен; d — средний размер зерна. Данная интерпретация уравнения Холла-Петча соответствует одноуровневому подходу, в котором граница зерна рассматривается как планарный дефект в 3D-кристалле, обусловливающий барьерный эффект рас-

пространению внутризеренного дислокационного пластического сдвига [3-5].

В рамках одноуровневого подхода предложено несколько групп дислокационных моделей уравнения Холла-Петча:

1) модели скопления дислокаций около границы зерна, связывающие концентрацию напряжений в голове плоского скопления с размером зерна [1, 2, 6, 7];

2) модели деформационного упрочнения, основанные на зависимости плотности дислокаций или длины их пробега от размера зерна [8-11];

3) модель, использующая представления об определяющей роли поверхностных и зернограничных источ-

© Панин B.E., Моисеенко Д.Д., Елсукова Т.Ф., 2013

ников дислокаций в процессе передачи пластического сдвига от зерна к зерну [12];

4) модель разделения дислокаций на статически запасенные и геометрически необходимые [3, 13].

Все одноуровневые модели сводятся к рассмотрению барьерного эффекта границ зерен и учету взаимосвязи величины зерна с плотностью дислокаций.

Многоуровневый подход к описанию деформируемого твердого тела рассматривает границы зерен в поликристалле не как планарные дефекты в 3D-кристалле, а как самостоятельную планарную функциональную подсистему. В границах зерен развиваются планарные потоки структурных трансформаций, генерирующих источники деформационных дефектов в 3D-кристалли-ческой подсистеме [14, 15]. Такие нелинейные планарные потоки структурных трансформаций вызывают развитие в деформируемом поликристалле поворотных моментов и связанных с ними поворотных мод деформации. Они обусловливают фрагментацию материала и создают в границах и объемах зерен полосы локальной кривизны, которые оказывают существенное влияние на сопротивление деформации поликристалла. Учету потоков структурных трансформаций в планарной подсистеме и их влияния на сопротивление деформации поликристалла как многоуровневой иерархически организованной системы посвящена настоящая работа.

2. Границы зерен в деформируемом поликристалле как самостоятельная планарная функциональная подсистема

В физической мезомеханике все внутренние границы раздела любого твердого тела и при любом виде нагружения рассматриваются как самостоятельная планарная функциональная подсистема, в которой наряду с планарным поверхностным слоем генерируются деформационные дефекты [14, 15]. При этом первичные пластические сдвиги в нагруженном твердом теле связаны не с движением дислокаций в 3D-кристалле, а с не-

линейными волнами локальных структурных трансформаций в планарной подсистеме. Распространение потоков дефектов на границах зерен в деформируемом поликристалле обусловливает развитие поворотных мод деформации на мезомасштабном уровне, которые должны аккомодироваться поворотными механизмами на более низких масштабных уровнях в объеме зерен. Характер многоуровневого самосогласования поворотных мод деформации зависит от температуры, скорости и степени деформации, структурно-фазового состояния материала и других факторов. Он определяет влияние границ зерен в поликристаллах на их механические свойства и лежит в основе уравнения Холла-Петча [16, 17 ].

Системное исследование механизмов самосогласо-вания зернограничного скольжения и внутризеренной деформации проведено в работе [17]. Оно позволило не только подтвердить концептуальное положение физической мезомеханики о многоуровневой природе данного явления, но и вскрыть его физические основы.

В качестве материалов исследования использовали поликристаллы свинца высокой чистоты. В них при температурах, близких к комнатной, можно наблюдать широкий спектр механизмов деформации, реализующихся в тугоплавких металлах при довольно высоких температурах, что создает значительные трудности при выполнении эксперимента. Свинец обладает малой химической активностью к примесям внедрения, что исключает неконтролируемое влияние этого сильно действующего фактора. Его высокая коррозионная стойкость позволяет сохранять детали поверхностной картины деформации при испытаниях в воздушной среде.

Следует отметить, что относительный вклад зернограничного скольжения е^ в общую деформацию поликристалла сильно зависит от ее степени (рис. 1). В самом начале пластического течения образца вклад зернограничного скольжения составляет более половины общей деформации образца, что свидетельствует о первичности зернограничного скольжения в деформируе-

40

20

2 •!

Рис. 1. Зависимость от степени деформации вклада зернограничного скольжения е^ в общую деформацию 8{ при 300 (1) и 543 К (2), скорость деформации = 2.1 %/мин

Рис. 2. Зависимость от температуры деформации величины полного смещения по границам зерен, определенного по вертикальной (1) и горизонтальной (2) составляющим зернограничного скольжения поликристаллов свинца; скорость деформации г1 = 0.1 %/мин

мом поликристалле. Это естественно, поскольку генерация дислокаций в деформируемом поликристалле происходит в планарной подсистеме (поверхностных слоях, на границах зерен) [18, 19]. Без первичного зернограничного скольжения генерация дислокаций на границах зерен невозможна. С увеличением степени деформации, когда происходит пластическое формоизменение зерен дислокационным внутризеренным скольжением, вклад зернограничного скольжения в общую деформацию резко снижается. Однако это не снижает его роли в многоуровневом самосогласовании пластического течения поликристаллов на протяжении всего деформирования.

На рис. 2 представлены температурные зависимости абсолютных значений вертикальных и горизонтальных зернограничных смещений в поликристаллах свинца при одноосном растяжении. Четко выявляются две стадии возрастания зернограничного скольжения при увеличении температуры деформации. Обе стадии удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальной зависимостью, что позволяет определить их энергии активации. Они оказались равными U1 = 16.4 ккал/моль для низкотемпературной стадии и U 2 = 23.3 ккал/моль для высокотемпературной стадии. Это гораздо ниже энергии активации самодиффузии, которая для свинца равна 27.4 ккал/моль. В то же время аномально низкие значения U для низкотемпературной стадии зернограничного скольжения и рост U при переходе к высокотемпературной стадии данного процесса свидетельствуют о существенном различии в механизмах данного явления. В связи с этим представлялось важным оценить энергии активации полной пластической деформации поликристаллов свинца при различных температурах деформации. Такое исследование было проведено в [17] в широком интервале температур и скоростей одноосного растяжения. Исходя из условия постоянства параметра Холломана-Зинера v exp(U/RT) = const, были определены значения U при различных температурах и степенях деформации.

Оказалось, что при всех степенях деформации увеличение температуры приводит к возрастанию величины U для всего процесса пластического течения. При этом вблизи комнатной температуры величина U = 19 ккал/моль, а близкие к энергии активации само-диффузии значения U наблюдаются только с приближением Т к температуре плавления свинца. Это означает, что в термической активации процессов пластической деформации значительную роль при всех температурах играют деформационные вакансии1. В процессах зернограничного скольжения на низкотемператур-

1 Ниже будет показано, что в возникновении деформационных вакансий большую роль играет кривизна кристаллической структуры.

Рис. 3. Структура поверхности плоского образца поликристалла свинца, деформированного при Т = 77 К, е = 15 %, у1 = = 0.1 %/мин: х40 (а), х120 (б); АВ — граница зерен; линии МЫ и PQ реперной сетки испытали излом в приграничной зоне экструдированного материала

ной стадии роль деформационных вакансий является определяющей.

Учитывая, что энергия образования вакансии в свинце и = 10 ккал/моль [20], энергия активации миграции вакансии должна быть и ~ 17.4 ккал/моль. Это близко к значению и = 16.4 ккал/моль на низкотемпературной стадии зернограничного скольжения в свинце. Учитывая важность аккомодационного формирования при зернограничном скольжении приграничной «мантии» деформированного поликристалла, рассмотрим характер структуры этого приграничного материала.

На рис. 3, 4 приведены результаты структурного исследования приграничных зон локализованной деформации поликристаллов свинца при различных температурах деформации.

Слаборазвитое зернограничное скольжение при 77 К (рис. 3) не обеспечивает аккомодацию деформации смежных зерен, и каждое зерно в поликристалле деформируется в автономном режиме. Внутри зерен развивается только грубое одиночное скольжение и фрагментация материала. Эти механизмы деформации благодаря поворотным модам вызывают искривление всего объема каждого зерна. Уравнение Холла-Петча при таком механизме самосогласования деформирующихся зерен в поликристалле описывается выражением а = а0 + М-1 [17].

Рис. 4. Структура поверхности плоского образца поликристалла свинца, деформированного при Т = 300 К, v1 = 2.1 %/мин; є = 15 %, х150

Повышение температуры деформации до Т = 300 К (конец низкотемпературной стадии зернограничного скольжения) характеризуется резким увеличением зернограничного скольжения, но искривление материала локализуется только в приграничных зонах (рис. 4). Первичность зернограничного скольжения убедительно показана на рис. 4, а: оно аккомодируется одиночным внутризеренным скольжением в зерне С. Характер аккомодации смежных зерен зависит от их ориентации (рис. 4, б-г): в неблагоприятно ориентированном зерне А аккомодация локализуется в приграничной зоне, в благоприятно ориентированном зерне В развивается внутризеренное одиночное скольжение. Следует обратить внимание на сильную кривизну экструдируемого материала в приграничных зонах (рис. 4, б-г). Она может сопровождаться ламельным расслоением материала (рис. 4, г). Однако важно подчеркнуть, что основная поверхность зерен сохраняется при этом плоской (рис. 4, б-г). Уравнение Холла-Петча в условиях само-согласования зернограничного скольжения и внутри-зеренного скольжения в отсутствие искривления основного материала зерен описывается выражением ст = ст0 + Ы_1/2 [17].

На высокотемпературной стадии зернограничного скольжения (Т = 548 К) первичность зернограничного скольжения выражена особенно убедительно (рис. 5): экструзия материала в приграничных зонах существенно уменьшается, но резко возрастает кривизна всей поверхности зерен. Концентраторы напряжений в верши-

нах неравноосных зерен и стыках трех зерен генерируют в зернах некристаллографические полосы локализованной деформации (рис. 5, в, г).

Ниже будет показано, что генерация в вершинах неравноосных зерен полос некристаллографической локализованной деформации вызывает фрагментацию зерен, испытывающих зернограничное скольжение. Такая фрагментация зерен эффективно релаксирует концентраторы напряжений в вершинах неравноосных зерен и их тройных стыков. Как следствие, на стадиях снижения кривых ст-е при высоких температурах деформации возникает эффект модуляции деформирующего напряжения (рис. 6). Уравнение Холла-Петча в этих условиях снова принимает вид ст = ст0 + кй _1.

Таким образом, экспериментальные результаты [17] свидетельствуют, что вид уравнения Холла-Петча зависит от механизмов самосогласования поворотных мод деформации в деформируемом поликристалле как многоуровневой иерархически организованной системе. В основе поворотных мод деформации лежит зернограничное скольжение, которое создает поворотные моменты на границах зерен. Эти поворотные моменты могут генерировать в границах зерен источники дислокаций, которые обеспечат распространение пластических сдвигов через границы смежных зерен [21]. В этих условиях уравнение Холла-Петча имеет вид: ст = ст0 + кй_12.

Если зернограничное скольжение затруднено (низкие температуры, высокие скорости нагружения) либо вызывает искривление кристаллической структуры и

Рис. 5. Структура поверхности плоского образца поликристалла свинца, деформированного при Т = 548 К, »2 = 2.1 %/мин; є = 10 %, х70

фрагментацию зерен в условиях их поворота как целого (высокие температуры, низкая сдвиговая устойчивость материала), то уравнение Холла-Петча принимает вид ст = ст0 +кй_1.

Р, Н

Рис. 6. Зависимость деформирующей нагрузки Р от степени деформации е образцов поликристаллического свинца при различных температурах испытания: 77

Это свидетельствует о необходимости рассмотрения в многоуровневых моделях деформируемого поликристалла потоков структурных трансформаций в границах зерен, формирования в них поворотных моментов различного масштаба и механизмов их релаксации в смежных зернах.

3. Генерация в планарной подсистеме границ зерен деформационных дефектов

Ядра всех деформационных дефектов имеют кристаллическую структуру, отличную от структуры трехмерного кристалла. Зародить ядро деформационного дефекта в термодинамически стабильном трехмерном кристалле, характеризующемся глубоким минимумом термодинамического потенциала Г иббса, энергетически невозможно. Наличие в стабильном кристалле планарной подсистемы (поверхностные слои и все внутренние границы раздела), в которой есть только ближний структурный порядок и велик избыточный атомный объем, делают возможными локальные структурно-фазовые переходы, которые генерируют из планарной подсистемы в трехмерный кристалл деформационные дефекты.

Наиболее простой механизм таких локальных структурно-фазовых переходов в планарной подсистеме связан с генерацией дислокаций и дисклинаций. Для осуществления структурно-фазового перехода в планарной подсистеме необходимо создать в ней критический ме-зообъем наноструктурного материала и в условиях гидростатического растяжения осуществить его структурно-фазовый переход в структуру типа ядра дислокации или дисклинации. Данный процесс происходит с понижением термодинамического потенциала Гиббса за счет понижения внутренней энергии и производства энтропии. Схема данного процесса в большеугловой границе зерна представлена на рис. 16 в [21]. В основе данной модели лежат следующие положения:

1. Развитие в планарной подсистеме потока структурных трансформаций ближнего порядка с «лазерной» накачкой в зонах растягивающих нормальных напряжений сильновозбужденного, энергетически инверсно заселенного материала.

2. Возникновение в планарной подсистеме периодического распределения зон растягивающих нормальных напряжений, где может быть достигнут критический объем материала в наноструктурном состоянии, который характеризуется бифуркационным потенциалом многочастичного межатомного взаимодействия [22].

3. Локальный структурно-фазовый переход в сильновозбужденном материале. При эмиссии такого материала в кристалл формируются ядра деформационных дефектов всех типов.

Данный механизм является типичным нелинейным волновым процессом, в котором генерируемый деформационный дефект является ингибитором. Подобные процессы зарождения дислокаций или дисклинаций развиваются в поверхностных слоях и в большеугловых границах зерен поликристаллов. Управляет механизмами их зарождения в планарной подсистеме закон сохра-

Рис. 7. Структура поверхности плоского образца сплава РЬ + + 0.03 % Те, деформированного растяжением е = 15 % при 293 К; интенсивный зернограничный поток на границе аЬ вызывает экструзию приграничного материала, слабый поток в границе bd генерирует тонкие пластические сдвиги; в тройном стыке зерен D зарождается дисклинация, вызывающая фрагментацию зерна А; х125

нения момента импульса. На стадии эмиссии плоских скоплений дислокаций в объеме зерен формируются материальные повороты, которые аккомодируют кристаллографические повороты зерен как целого. При формировании ячеистой дислокационной субструктуры развиваются кристаллографические аккомодационные повороты мезомасштабного уровня. Напомним, что в ходе пластической деформации происходят повороты ячеек дислокационной субструктуры, достигающие нескольких десятков градусов. Знаки аккомодационных поворотов на мезомасштабном уровне обратны знакам поворота зерен как целого, вызванного зернограничным скольжением.

На рис. 7 представлен стык трех зерен А, В и С поликристалла РЬ + 0.03 % Те, деформированного растяжением при Т = 293 К. По границам зерен развивается зернограничное скольжение, которое генерирует в объемы зерен пластические сдвиги. На границе аЬ зерен А и В зернограничное скольжение происходит в стесненных условиях, обусловленных тройным стыком D. Как следствие, зерно А испытывает поворот по часовой стрелке с генерацией в тройном стыке дисклинации, которая вызывает фрагментацию зерна А. Трансфор-

Рис. 8. Генерация в зоне С на границе АВ зерен 1 и 2 поликристалла свинца дисклинации СDE

Рис. 9. Фрагментация поверхностного слоя плоского образца, представленного на рис. 7, на стадии предразрушения; N = = 105 циклов

мационный поток в границе аЬс генерирует в зерно В трансляционные сдвиги. Стесненность зернограничного потока на участке аЬ неблагоприятно ориентированного зерна А формирует в нем приграничную полосу сильной кривизны (вместо трансляционных дислокационных сдвигов). Со стороны границы Ьйзерна А и С ориентированы благоприятно и в них развиваются трансляционные пластические сдвиги. Таким образом, в зависимости от кристаллографической ориентации смежных зерен трансляционные потоки в их границах могут генерировать дислокации, приграничные полосы сильной кривизны или дисклинации.

Роль зернограничного скольжения в генерации диск-линации в обьеме зерна наглядно иллюстрирует рис. 8, где представлен механизм зарождения дисклинации на границе зерна АВ поликристалла свинца при его циклическом нагружении. Развитие в правой части малоугловой границы АВ зерен 1 и 2 зернограничного скольжения фиксируется сдвигом линий реперной сетки. При этом в малоугловой границе зерен генерации дислокаций нет. В зоне С границы зерна возникает избыточный материал и происходит локальная миграция границы зерна. Вызванный зернограничным скольжением стесненный поворот зерна 1 как целого вызывает в нем ротационную неустойчивость и фрагментацию на мезо-масштабном уровне. В центральной зоне С границы зерен АВ зарождается дисклинация, которая распространяется вдоль направления максимальных касательных напряжений ттах, осуществляя фрагментацию зерна 1. Характер этой фрагментации иллюстрируется на рис. 8, б. Источник генерации дисклинации СD непрерывно подпитывается зернограничным скольжением в правой части границы АВ. Дисклинация СD, вызывая встречное поле напряжений упруго нагруженной подложки, в зоне D изменяет свою траекторию на сопряженное направление ттах DЕ. Данный процесс завер-

Рис. 10. Волновой характер развития усталостной трещины в поверхностном слое плоского образца алюминия при его знакопеременном изгибе, число циклов N = 3.2 • 106 [23]: а — общий вид профиля трещины, х120; б — зигзаг усталостной трещины в зоне С, х780; в — развитие поворота локального мезообьема при раскрытии усталостной трещины D, х360. Растровая электронная микроскопия

шается формированием в поверхностном слое разори-ентированной блочной мезосубструктуры (рис. 9). Усталостное разрушение происходит вдоль границ разори-ентированной мезосубструктуры.

Рождение дисклинации как аккомодационной поворотной моды деформации, инициированной локализованным зернограничным скольжением, есть следствие закона сохранения момента импульса. Такие аккомодационные поворотные моды обусловливают фрагментацию обьема зерен и должны сопровождать развитие любых полос локализованного сдвига. Наглядным примером является развитие аккомодационных поворотных

мод при распространении усталостной трещины (рис. 10) [23]. Как видно из рис. 10, в, раскрытие трещины против часовой стрелки сопровождается возникновением мезообьема D, испытывающего поворот по часовой стрелке.

Рассмотренные экспериментальные результаты свидетельствуют о необходимости учета в многоуровневых моделях деформируемого поликристалла локальных моментных напряжений, связанных с ними зон локальной кривизны и самосогласования поворотных мод деформации в 2D-планарной и 3D-кристаллической подсистемах.

4. Моделирование ротационных волн в векторном поле локальных моментов сил в межзеренных границах нагруженного поликристалла

Аналитическая теория распространения нелинейных волн локализованного пластического течения в планарной подсистеме деформируемого твердого тела разработана в [24]. В отсутствие трансляционной инвариантности нелинейные волны пластического течения распространяются в виде спиральных потоков определенной кривизны, которая определяется структурным состоянием планарной подсистемы. Как показано экспериментально в настоящей работе, зернограничное скольжение в деформируемом поликристалле может генерировать в обьем 3D-кристаллических зерен дислокации, дисклинации, мезополосы локализованной деформации, создавать в приграничных зонах полосы экструдированного материала высокой кривизны. В основе взаимосвязи зернограничных потоков мезомасш-табного уровня и генерируемых ими деформационных дефектов в 3D-зернах на более низких масштабных уровнях лежит закон сохранения момента импульса [24]. Однако в феноменологической теории [24] не рассматривались структурные аспекты иерархической взаимосвязи деформации в 2D-планарной и 3D-крис-таллической подсистемах. В многоуровневой модели деформируемого поликристалла учет структурных характеристик как границ зерен, так и самих сопрягаемых в границе зерен является очень актуальным.

Важный шаг в этом направлении сделан авторами в работе [21], посвященной роли кривизны в моделировании волнового механизма зернограничного скольжения в деформируемом поликристалле. В настоящей работе ставится задача установить взаимосвязь между кривизной планарного потока, угловой скоростью его распространения в границах зерен различного типа и поворотными модами деформации различного масштаба. Возможность моделирования данных взаимосвязей позволяет выяснить механизмы самосогласования смежных зерен в деформируемом поликристалле.

Соотношение Холла-Петча для поликристаллов связывает напряжение пластического течения с размером зерна. Многочисленные экспериментальные иссле-

дования и теоретические обоснования таких эффектов, как сверхпластичность или аномальный рост зерен, в основном направлены на описание дислокационных механизмов в теле зерна, выпуская из виду определяющую роль внутренних границ раздела в ходе пластического течения структурно-неоднородной среды.

Исходя из одноуровневых представлений об определяющей роли дислокационных механизмов деформации 3D-кристаллических зерен и объяснялся известный закон Холла-Петча. Согласно теории Тейлора, определяющую роль при пластическом течении играет среднее расстояние между плоскопараллельными единичными дислокациями. Дальнейшее развитие данной теории, предпринятое Моттом и Зегером в направлении учета «размножения дислокаций» через источники Франка-Рида, образование дислокационных петель, самоорганизующихся в «сетку дислокаций» на самом деле не принесло ничего кардинально нового в описание кривой течения поликристаллов. При объяснении параболического вида зависимости деформирующего напряжения от размера зерна основополагающим параметром во всех теориях была плотность дислокаций.

В то же время все исследования последних десятилетий в области субмикрокристаллических и нанокрис-таллических материалов говорят о первоочередной роли состояния межзеренных границ в ходе пластического течения. Необходимость учета границ раздела как самостоятельных планарных подсистем в настоящее время не подвергается сомнению.

Под состоянием межзеренной границы (планарной подсистемы) необходимо понимать следующее: 1) геометрическую кривизну поверхностей раздела между смежными зернами, которая в значительной степени определяется углом разориентации зерен; 2) наличие и специфику вихревых потоков в этой границе. Под спецификой потоков авторы здесь понимают не только линейные скорости материальных потоков, но и степень их завихренности. Следовательно, сразу можно четко обозначить два масштаба кривизны, формирующейся вдоль межзеренной границы: это геометрическая кривизна границы как целого (зависящая в том числе и от диаметра зерна) и «динамическая кривизна» потока, протекающего в этой границе.

Таким образом, целью теоретической части данной работы являлось путем компьютерного моделирования исследовать влияние специфики динамической кривизны потоков вдоль межзеренных границ на процессы са-мосогласования зерен в деформируемом поликристалле.

Разрабатываемый авторами многоуровневый подход возбудимых клеточных автоматов позволяет моделировать эстафетную передачу возмущений с одного масштабного уровня (поверхность всего образца) на другой (межзеренные границы) посредством явного учета локальных моментов сил и угловых скоростей в потоке.

Введенное авторами представление об активном элементе как о контрольном обьеме в терминах гидродинамики позволяет наиболее просто представить деформационные процессы в приграничных зонах в виде потоков, обладающих той или иной степенью завихренности. Ядро расчетного алгоритма метода возбудимых клеточных автоматов представлено совокупностью следующих соотношений [21]:

V* = -тя

_я-1

где т(к определяется как

тк = (то)* ехР

6а

кВТ,к

(т0) к — максимальное значение подвижности, которое в рамках метода возбудимых клеточных автоматов записывается следующим образом:

- (У-У )2

уУк

где У, Ук — значения модуля упругости г'-го и к-го элементов; с — эффективная скорость отклика среды на внешнее механическое воздействие; кв — постоянная Больцмана; — энергия границы между г'-м элемен-

том и его к-м соседом на (п - 1)-м шаге по времени; Тк — значение температуры на рассматриваемой границе.

В рамках метода возбудимых клеточных автоматов зеренная структура задается в явном виде, и наиболее важное значение здесь имеет значение угла разориен-тации на межзеренной границе, от которого энергия границы зависит следующим образом:

&к ~УнАОВ'

НАОВ

°НАОВ

где ЧшаВ — максимальная энергия границы, соответствующая максимальному углу разориентации кристаллической решетки; 9НАОВ — максимальный угол разориентации; 9,, 9к — эффективные углы ориентации решетки г-го и к-го элементов.

Общая угловая скорость г-го элемента под действием потока вещества через границу к-го и 1-го элементов (каждый к-й элемент лежит на первой координационной сфере г-го, каждый 1-й — на пересечении первых координационных сфер г-го и соответствующего к-го элементов) определяется в виде следующей суммы:

гкI'

Юг = Е Е

к =11 =1 |Г

гк1\

Здесь К — число элементов на первой координационной сфере г'-го элемента; L — число элементов на пересечении первых координационных сфер г-го элемента и каждого к-го соседа.

Изменение момента силы г'-го элемента за время т вычисляется следующим образом:

ДМ,- =

Ок гсДу,

Здесь G — модуль сдвига материала, содержащегося в г'-м элементе; гс — радиус элемента; Ду, — трехмерный угол поворота г-го элемента за время т, пропорциональный общей угловой скорости:

Ду, = ,-т.

При круговом движении мощность представляется в виде:

N=Мю,

тогда мощность вихревого потока в г-м элементе будет равна

= Оп гСЧ2

т.

Однако это соотношение справедливо только для случая абсолютно упругого взаимодействия смежных зерен. В реальности, вдоль всех планарных подсистем происходит диссипация энергии и производство энтропии, формирование новых структур в процессе фрагментации зерен и т.д. Учету этих факторов в поведении многоуровневых систем будут посвящены следующие работы.

Методом возбудимых клеточных автоматов проведен численный эксперимент по сжатию алюминиевого образца, содержащего тройной стык зерен, со стороны верхней грани. Размеры образца 10х60х60 мкм, размер элемента клеточного автомата 1 мкм, общее время 100 мкс, величина временного шага 1 нс. На верхней грани задана постоянная скорость деформации сжатия, равная 0.03 1/с.

На рис. 11, 12 представлено распределение компонент угловой скорости и поворотной компоненты деформации на поверхности моделируемого поликристалла алюминия, деформируемого одноосным сжатием. Приведены фрагменты поликристалла, содержащего стык трех зерен. Граница зерен 1-2 характеризуется малоугловой разориентацией зерен 1 и 2. Граница зерен 1-3 соответствует большеугловой разориентации зерен 1 и 3.

В полном соответствии с разориентацией смежных зерен в их границах развиваются ротационные волны

Рис. 11. Общий вид моделируемого образца и распределение компонент угловых скоростей в плоскости его лицевой грани. Стрелками показаны направления сжатия

Рис. 12. Распределение поворотной компоненты деформации, перпендикулярной поверхности моделируемого образца

пластического течения и связанные с ними поворотные компоненты деформации. Как видно на рис. 12, в границах зерен 1-2 и 1-3 развиваются поворотные моды деформации зернограничных потоков с сильно отличающимися амплитудами. Низкоамплитудные ротационные волны развиваются в малоугловой границе зерен 1 и 2. Они соответствуют экспериментальным результатам на рис. 4, а, где зернограничные потоки генерируют в 3D-кристаллическое зерно регулярные пластические сдвиги. Высокоамплитудные ротационные волны развиваются в большеугловой границе зерен 1-3. Это соответствует экспериментальным результатам на рис. 4, б-г, где показано формирование в приграничных зонах полос экструдированного материала с сильно выраженной кривизной. В таких зонах не генерируются дислокации, а с увеличением степени деформации происходит только уширение приграничных полос и возрастание их кривизны (рис. 4, г).

С этими результатами хорошо согласуется поведение кривых распределения угловых скоростей ротационных волн в границах зерен 1-2 и 1-3 (рис. 13, 14). Средний уровень угловых скоростей зернограничных потоков в малоугловых и большеугловых границах зерен примерно одинаков. Однако сильно различается характер их модуляции.

Амплитуда модуляции угловой скорости волны при ее распространении вдоль малоугловой границы относительно невелика. Сохраняется большая величина постоянной составляющей угловой скорости, которая характеризует линейную скорость распространения ротационной волны вдоль малоугловой границы.

Рис. 13. Распределение по длине границы компоненты X угловой скорости в приграничных зонах зерен 1 и 2. Компонента X отвечает за вращение в плоскости поверхности образца, изображенной на рис. 4, а. Точка 0 на оси абсцисс соответствует тройному стыку зерен

Рис. 14. Распределение по длине границы компоненты X угловой скорости в приграничных зонах зерен 1 и 3. Компонента X отвечает за вращение в плоскости поверхности образца, изображенной на рис. 4, в. Точка 0 на оси абсцисс соответствует тройному стыку зерен

Существенно иная картина модуляции угловых скоростей ротационных волн наблюдается при их распространении в большеугловых границах зерен. Принципиально важно, что падение угловой скорости при ее модуляции происходит до нуля. Это свидетельствует о периодических остановках ротационной волны при ее распространении в большеугловой границе. Другими словами, происходит сильная релаксация движущей силы при снижении угловой скорости нелинейной волны, что может быть связано с пластической экструзией в приграничной зоне мезообьемов материала, обладающих большим моментом инерции.

Было проведено 3D-моделирование структуры поля моментов сил в границе зерен с очень высокой степенью разориентации (рис. 15). Оказалось, что поле моментов сил имеет хорошо выраженную периодическую структуру. Это позволяет полагать, что экструзия зернограничного материала при распространении ротационной волны в большеугловой границе должна происходить механизмом смещения отдельных ламелей. Каждый акт такого смещения должен сопровождаться резким снижением угловой скорости распространения зернограничного потока.

Важный результат моделирования угловых скоростей зернограничных потоков обнаруживается при их приближении к тройному стыку разориентированных

Рис. 15. Распределение вдоль большеугловой границы зерен десятичных логарифмов компоненты момента силы в направлении, перпендикулярном поверхности образца

/из

Рис. 16. Схематическое изображение процесса формирования дисклинации в сложной схеме «скольжение + ротационный поток» в области тройного стыка зерен

зерен. Как для малоугловой, так и для большеугловой границ угловые скорости потоков по обе стороны границ смежных зерен приобретают один знак (рис. 16). Однако знаки угловых скоростей у границ 1-2 и 1-3 вблизи тройного стыка зерен оказываются противоположными. Такая суперпозиция угловых скоростей обусловливает генерацию дисклинации в зоне тройного стыка.

К-102, МН/м3/2

К-102, МН/м3/2

Рис. 17. Температурные зависимости параметра К уравнения Холла-Петча при растяжении поликристаллов свинца со скоростями v1 = 0.1 %/мин

Это хорошо согласуется с экспериментальным результатом, представленным на рис. 7. В стыке D трех зерен А, В и С сходятся границы двух типов. На границе аЬ происходит экструзия материала высокой кривизны, граница bd генерирует тонкие пластические сдвиги одиночного скольжения. Суперпозиция двух зернограничных потоков генерирует в тройном стыке D дисклина-цию, которая фрагментирует зерно А.

В рассмотренных результатах моделирования зернограничных потоков варьировали только степень разори-ентации смежных зерен в поликристалле. Естественно, очень важен учет кристаллографической ориентации каждого из смежных зерен. Этот вопрос более сложен и будет рассмотрен в следующей работе. Однако совершенно очевидно, что инженерия границ зерен является основой построения многоуровневой модели деформируемого поликристалла.

5. Кривизна структуры границ зерен как важный активационный фактор в распространении планарных трансформационных потоков в многоуровневой модели деформируемого поликристалла

Механизм зарождения деформационных дефектов при распространении в границах зерен потоков структурных трансформаций играет важную роль для физической интерпретации параметра К в уравнении Холла-Петча. Очень важную информацию для решения данного вопроса можно получить из анализа температурных зависимостей параметра К(Т) в сплавах РЬ с малорастворимыми элементами.

На рис. 17 приведены температурные зависимости параметра К для поликристаллического свинца при скоростях растяжения v1 = 0.1 %/мин и v2 = 2.1 %/мин. Видно, что они существенно отличаются. Это свиде-

а0, МПа

К-102, МНУм3/2

Рис. 18. Температурные зависимости параметров а0

тельствует об активационном характере трансформационных процессов, определяющих параметр К. Снижение фактора термической активации данных процессов лежит в основе роста параметра К при понижении температуры, что вполне понятно. Однако аномалии кривых К(Т) при скорости нагружения У2 и кривой 1 при скорости ги1 вблизи Т = 77 К свидетельствуют о проявлении другого активационного фактора, который активирует в границах зерен структурные трансформации, снижая К. Как показано на рис. 3, при Т = 77 К границы зерен испытывают сильную экструзию, формируя зоны высокой кривизны. Это означает, что кривизна в этих зонах является эффективным активационным фактором, который задерживает рост К при очень низких температурах деформации.

При низких температурах и скорости деформации V возникновение локальной кривизны обусловило сильное влияние степени деформации на дисперсию кривых К(Т); при 8 = 5 % рост кривой К(Т) полностью исчез. В то же время в условиях более высокой скорости деформации Г01 при 8 = 5 % наблюдается хорошо выраженный рост К(Т) (рис. 17, б).

К-102, МНУм3/2

2^

2у^

Г ш

100 200 300 400 :

Рис. 19. Температурные зависимости параметра К для РЬ

Активационный характер фактора кривизны в развитии трансформационных потоков в границах зерен проявляется еще более наглядно в сплавах свинца с малорастворимыми элементами. На рис. 18 приведены температурные зависимости параметров а0 и К уравнения Холла-Петча для сплава РЬ + 0.01 % As, который соответствует пределу растворимости As в РЬ при комнатной температуре. При 8 = 0.2 % снижение Т вызывает возрастание кривой К(Т) в соответствии с уменьшением фактора термической активации. Однако по мере увеличения 8 вблизи Т = 77 К развивается аномальное снижение К(Т), которое при 8 = 5 % составляет около половины возрастания К(Т), наблюдаемого при снижении температуры от 350 до 160 К (рис. 18, б). Аномальное снижение К(Т) в области низких температур сопровождается резким возрастанием параметра а0 при этих температурах, поскольку в объеме зерен происходит сильное возмущение трансляционной инвариантности структуры (рис. 3, а).

Сильное влияние малорастворимого элемента в сплаве на активационную роль фактора кривизны очень наглядно проявляется при сопоставлении кривых К(Т) для РЬ и РЬ + 0.01 % As (рис. 19). При малой степени деформации 8 = 0.2 %, когда кривизна приграничной зоны еще мала, эффект снижения К(Т) для РЬ выражен слабо, а для РЬ + 0.01 % As он совсем не проявляется (вследствие зернограничного упрочнения атомами малорастворимого As). При 8 = 5 % возрастание кривизны приграничной зоны обусловливает аномальное снижение К(Т) в сплаве РЬ + 0.01 % As при низких температурах вблизи Т = 77 К, а в свинце полностью нивелирует рост К(Т) при снижении Т во всем исследованном интервале температур деформации.

Известно, что все малорастворимые примеси снижают пластичность поликристаллов. Однако этот эффект соответствует равновесному трансляционно инвариантному состоянию твердого тела. Если в границах зерен деформируемого поликристалла возникает сильная кри-

20-Ч

73 273 473 Т, К

Рис. 20. Температурная зависимость относительного удлинения 5 и скорости деформации у2 = 2.1 %/мин при растяжении поликристаллов РЬ

визна, обусловливающая локальную неравновесность материала, то растворимость малорастворимых элементов в данных зонах возрастает. Это должно проявляться в возрастании пластичности поликристаллов. Данный эффект действительно наблюдается при низких температурах деформации в поликристаллах сплавов свинца с малорастворимыми элементами (As, Те, Sb, Си, Sn). На рис. 20 представлены температурные зависимости пластичности 5(Т) поликристаллов данных сплавов с содержанием легирующих элементов на пределе их растворимости при комнатной температуре. Как видно из рис. 20, при Т > 293 К пластичность всех исследованных сплавов оказывается более низкой, чем пластичность поликристаллического свинца. Однако в области Т < 293 К наблюдается аномальное возрастание пластичности сплавов свинца с малорастворимыми элементами. При этом пластичность сплавов с Sb, Си и Sn оказывается более высокой, чем пластичность поликристаллов свинца.

Этот результат имеет принципиальное значение. Он свидетельствует о важной роли возникновения в границах зерен кривизны в развитии в них потоков структурных трансформаций. Очевидно, с фактором кривизны связан и механизм генерации деформационных дефектов в границах зерен, необходимых для пластической деформации 3D-кристаллических зерен. Традиционное снижение пластичности поликристаллов при понижении температуры связывают со снижением термической активации структурно-фазовых трансформаций в границах зерен. Однако если создать в границах зерен локальную кривизну сторонними источниками (как это происходит при Т = 77 К в свинце и его сплавах с малорастворимыми примесями), то развитие трансформационных потоков, генерация деформационных дефектов и пластичность материала оказываются высокими и при низких температурах.

Следует отметить, что позитивная роль кривизны в межзеренных прослойках проявляется и в эффекте сни-

жения температурного интервала сверхпластичности в металлических материалах с нано- или субмикрокрис-таллической структурой1. Данный эффект хорошо известен в литературе [25, 26]. Однако он традиционно связывается с диффузионно контролируемыми процессами. Отметим, что в работе [17] уже обосновывалась концепция о важной роли потоков структурных трансформаций по границам зерен в пластичности поликристаллов. В настоящей работе этот фактор конкретизирован и убедительно показана принципиально важная роль возникновения кривизны в границах зерен в эффекте повышения низкотемпературной пластичности поликристаллов.

Подчеркнем еще раз, что в основе физической интерпретации многоуровневой модели уравнения Холла-Петча также лежит учет масштабных уровней кривизны в планарной (границы зерен) и 3D-кристаллической (объемы зерен) подсистемах деформируемого поликристалла.

6. Заключение

В основе многоуровневой модели деформируемого поликристалла лежит самосогласование пластического течения в двух подсистемах: планарной подсистеме границ зерен, в которой нет трансляционной инвариантности, и 3D-кристаллической подсистеме зерен. В границах зерен распространяются вихревые нелинейные волны структурных трансформаций, которые генерируют деформационные дефекты (дислокации, дискли-нации, полосы локализованных сдвигов и др.) и обусловливают их эмиссию в 3D-кристаллические зерна. В соответствии с законом сохранения момента импульса происходит аккомодация поворотных мод, связанных с зернограничными потоками и поворотами зерен (или их фрагментов) как целого и внутризеренным скольжением на более низких масштабных уровнях.

Экспериментально и теоретически показано, что существуют два типа самосогласования зерен в деформируемом поликристалле:

1) Если зернограничные потоки характеризуются малой кривизной и генерируют в 3D-зерна плоскополя-ризованные дислокации, то это обеспечивает коллективное самосогласование всех зерен поликристалла. Такой процесс описывается уравнением Холла-Петча а = а0 + М ч/2.

1 В общем случае создание субмикро- или нанокристалличес-кой структуры в металлах и сплавах снижает их пластичность. Это связано с близостью к нулю их термодинамического потенциала Гиббса. Любое локальное увеличение молярного объема при деформации таких материалов вызывает образование трещины, так как при этом знак термодинамического потенциала Гиббса становится положительным. Однако в условиях сверхпластического течения наноструктура с сильной кривизной и высокой неравновесностью всегда оказывается предпочтительной.

2) Если зернограничные потоки имеют большую кривизну и развиваются индивидуально около каждого зерна, то поворот зерна как целого аккомодируется его внутризеренным скольжением механизмами формирования мезополос высокой кривизны, дисклинаций и развитием фрагментации зерен. Это вызывает сильное нарушение трансляционной инвариантности исходной 3D-кристаллической структуры. Такое многоуровневое самосогласование автономно деформирующихся зерен описывается уравнением Холла-Петча о = о0 + kd_1.

Второй тип самосогласования зерен в деформируемом поликристалле характерен для очень низких или достаточно высоких температур деформации. В последнем случае при очень высоких температурах сильная кривизна приграничных зон вызывает миграцию границ зерен и зависимость деформирующего напряжения от величины зерна исчезает. При определенных условиях деформации оба механизма самосогласования зерен в деформируемом поликристалле могут развиваться одновременно. Поэтому в общем случае уравнение Холла-Петча имеет вид о = о0 + k1d_^2 + k2 d1.

Показано, что кривизна потоков структурных трансформаций в границах зерен является эффективным активационным фактором, снижающим параметр к уравнения Холла-Петча. Суперпозиция факторов кривизны и температурной активации обусловливает немонотонный характер зависимостей параметра к от температуры. Это может вызывать эффект сильного возрастания пластичности поликристаллических сплавов при очень низких температурах деформации.

Работа выполнена при финансовой поддержке проектов СО РАН (№№ III.23.1.1 и 72), Президиума РАН (№№ 2.2, 8.20 и 25.3), РФФИ (№ 11-01-00646), СО РАН-ДВО РАН (№ 78) и гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ № НШ-6116.2012.1.

Литература

1. Hall E.O. Deformation and ageing of mild steel // Proc. Phys. B. -1951. - V. 64. - No. 1. - P. 747-753.

2. Petch N.J. The cleavage strength of polycrystals // J. Iron Steel Inst. -

1953. - V. 174. - P. 25-28.

3. Ashby M.F. The Deformation of Non-Homogeneous Alloys // Strengthening Methods in Crystals / Ed. by A. Kelly, R.B. Nicolson. - London: Applied Science Publishing Ltd., 1971. - P. 137-192.

4. Meyers M., Chawla K.K. Mechanical Behaviour of Materials. - Upper Saddle River, N-J: Prentice Hall Inc., 1999. - 680 p.

5. Козлов Э.В., Жданов A.H., Конева H.A. Барьерное торможение дис-

локаций. Проблема Холла-Петча // Физ. мезомех. - 2006. - Т.9. -№ 3. - C. 81-92.

6. Armstrong R. The plastic deformation of polycrystalline aggregates //

Phil. Mag. - 1962. - V. 7. - P. 45-58.

7. Коттрелл A.X. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. -

М.: Металлургиздат, 1958. - 267 c.

8. Meakin J., Petch N. Substructure and the Flow Stress of Polycrystals // Symp. on the Role of Substructure in the Mechanical Behaviour of Metals. - Florida, ACD-7DR-63-324, 1963. - P. 243-252.

9. Конрад X. Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов // Сверхмелкое зерно в металлах. - М.: Металлургия, 1973. - С. 207219.

10. ОрловA.H. Зависимость плотности дислокаций от величины пластической деформации и размера зерна // ФММ. - 1977. - Т. 44. -№ 5. - С. 966-970.

11. Трефилов В.И., Моисеев В.Ф., Печковский Э.П. Новая деформационная модель зернограничного упрочнения в поликристалли-ческих металлах // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 303. - № 4. -С. 869-872.

12. Li J.S.M. Generation of dislocations with grain boundary joins and Petch-Hall relation // Trans. AIME. - 1961. - V. 227. - No. 2. - P.210-224.

13. Thompson A. W. Effect of grain size on work hardening in nickel // Acta Met. - 1977. - V. 25. - No. 1. - P. 83-86.

14. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Деформируемое твердое тело как нелинейная иерархически организованная система // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - C. 7-26.

15. Панин В.Е., Егорушкин В.Е, Панин А.В. Нелинейные волновые процессы в деформируемом твердом теле как многоуровневой иерархически организованной системе // Успехи физических наук. - 2012. - Т. 182. - № 12. - C. 1351-1357.

16. Елсукова Т.Ф., Панин В.Е. Влияние масштабных уровней поворотных мод пластического течения на сопротивление деформации поликристаллов // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 3. - C. 5-13.

17. Панин В.Е., Егорушкин В.Е, Елсукова Т.Ф. Физическая мезомеха-ника зернограничного скольжения в деформируемом поликристалле // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 6. - C. 15-22.

18. Панин В.Е., ДударевЕ. Ф., Бушнев Л. С. Структура и механические свойства твердых растворов замещения. - М.: Металлургия, 1971.- 208 c.

19. Panin VE. Strain-induced defects in solids at the different scale levels of plastic deformation and the nature of their sources // Mater. Sci. Eng. A. - 2001. - V. 319-321. - P. 197-200.

20. Герцрикен С.Д., Слюсар Б. Ф. Об определении энергии образования вакансий и их числа в чистых металлах // ФММ. - 1958. -Т.6. - C. 1061-1065.

21. Моисеенко Д.Д., Панин В.Е., Елсукова Т.Ф. Роль локальной кривизны в волновом механизме зернограничного скольжения при деформации поликристалла // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. -№3. - C. 81-93.

22. Гузев М.А., Дмитриев А.А. Бифуркационное поведение потенциальной энергии системы частиц // Физ. мезомех. - 2013. -Т.16.- № 3. - C. 27-33.

23. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф, Ангелова Г.В. Волновой характер распространения усталостных трещин на поверхности поликристал-лического алюминия при циклическом нагружении // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - C. 93-99.

24. Егорушкин В.Е. Динамика пластической деформации. Волны локализованной пластической деформации в твердых телах // Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - C. 19-41.

25. Колобов Ю.Р., ВалиевР.З., Грабовецкая Г.П. и др. Зернограничная диффузия и свойства наноструктурных материалов. - Новосибирск: Наука, СИФ РАН, 2001. - 232 c.

26. ВалиевР.З., АлександровИ.В. Объемные наноструктурные металлические материалы. - М.: ИЦК «Академкнига», 2007. - 398 c.

Поступила в редакцию 17.07.2013 г.

Сведения об авторах

Панин Виктор Евгеньевич, д.ф.-м.н., академик РАН, научн. рук. ИФПМ СО РАН, paninve@ispms.tsc.ru Моисеенко Дмитрий Давидович, к.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, mdd@ispms.tsc.ru Елсукова Тамара Филипповна, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, elsukova@yandex.ru