Рост усталостных трещин в тонких пластинах конечных размеров с концентраторами напряжений при одноосном асимметричном растяжении-сжатии

УДК 539.3

А.В. ПЛАЩИНСКАЯ

Институт механики им. С.П.Тимошенко HAH Украины, Киев, Украина

РОСТ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН В ТОНКИХ ПЛАСТИНАХ

КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ С КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ОДНООСНОМ АСИММЕТРИЧНОМ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

Рассматривается задача о росте усталостной трещины, выходящей из концентратора напряжений, в тонкой пластине конечных размеров при одноосном многоцикловом асимметричном нагружении. В качестве концентратора напряжений рассматривается эллиптическое отверстие. Численно-аналитическое решение задачи получено на основе феноменологической двустадийной модели роста усталостной трещины и критерия эквивалентных напряжений, сводящего асимметричный цикл нагружения к эквивалентному по времени разрушения симметричному циклу. Результаты расчета по модели для алюминиевых пластин удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

Ключевые слова: усталостная трещина, асимметричный цикл нагружения, пластины конечных размеров, эллиптическое отверстие, одноосное растяжение-сжатие, повреж-денность, пластическая зона.

Введение

Исследования в области прогнозирования долговечности конструкций, подверженных сложному комплексу статических и циклических нагрузок, связаны с определением кинетики усталостного разрушения. Многие элементы конструкций в турбомашиностроении, судостроении, авиации, например, обшивка несущих плоскостей, обшивка фюзеляжа, элементы горячей части турбодвигателей представляют собой тонкие пластины с различного вида отверстиями, выемками, надрезами, которые являются «инициаторами» усталостного разрушения. Таким образом решение задач усталостного разрушения пластин с концентраторами напряжений с учетом асимметрии цикла нагружения представляет практический и теоретический интерес.

Решение проблемы экспериментальным путем связано с проведением сложных, экспериментов, дорогостоящих натурных испытаний и получения на их основе эмпирических зависимостей.

Настоящая работа является развитием теоретического подхода [1,2], основанного на совместном рассмотрении концепций механики разрушения и механики непрерывной повреж-денности. На основе феноменологической двух-стадийной модели роста усталостной трещины получено численно-аналитическое решение задачи о распространении усталостной трещины в пластинах конечных размеров с центральным эллиптическим отверстием и как частным слу-

чаем - круговым отверстием, при асимметричном одноосном растяжении-сжатии. 1. Постановка задачи

Рассматривается тонкая пластина

V

тттттттт

Рис . 1 . Схема нагружения пластины

длиной Н, шириной W , ослабленная центральным эллиптическим отверстием с полуосями а , Ь и двумя симметрично расположенными трещинами начальной длины И 0 , выходящими из контура отверстия. Берега трещины и контур отверстия свободны от нагрузки . Пластина находится под действием одноосной циклической нагрузки, вызывающей номинальные циклические напряжения 5

© А.В. Плащинская, 2013

где ат и аа — среднее и амплитудное напряжения цикла;

д(-) — известная периодическая функция числа циклов нагружения п (п = й);

I — физическое время;

Г — частота нагружения .

Задача заключается в определении функциональной зависимости между переменными, характеризующими кинетику роста трещины, параметрами нагружения, набором коэффициентов и материальных констант С; (1 = 1,к) вида

,

при одноосном асимметричном циклическом растяжении-сжатии.

Усталостную трещину рассматриваем как узкую щель, у вершины которой под действием циклического нагружения формируется тонкая концевая зона, где сосредоточены все неупругие эффекты, напряжения в которой ограничены пределом текучести материала [—сту,сту].При этом весь основной массив пластины деформируется линейно-упруго .

Решение задачи состоит в совместном решении краевой задачи теории упругости с подвижной границей при плоском напряженном состоянии и эволюционного уравнения накопления усталостных повреждений.

Напряженное состояние пластины в произвольный момент времени п, согласно принципу подобия, определяется из тех же соотношений, что и при статическом нагру-жении . Таким образом, система разрешающих уравнений включает:

1. Уравнения равновесия

дстхх(п) , дтху(п)^0

Эх ду

атху(п)| Эстуу(п)_0

дх ду

2. Уравнения совместности д2

( а2

ах2 ду2

^х (п)+Оу (п))=0

3. Граничные условия для пластины, представленной на (рис. 1), имеют вид

/ ч Н Н

ахх(п)соз(у,х)=0, х = ±у ~—<у< —

ауу(п)-со8(у,у)= ±5, О у = 0

, Н ^ \У

у = ±—;--<х< —

2 2 2

- ёд < X < ёд 0 < П < П*  <1(п)< X < <1(п) П >- П*

где V — нормаль к боковой поверхности,

ё0=а + £0, (1(п)=а + ^(п).

4. Критерий эквивалентных напряжений сводит асимметричное циклическое нагруже-ние к эквивалентному по числу циклов разрушения п = пк симметричному циклическому нагружению [2]

Стя =<Уц

2 ов

-Л

где ста — амплитудное напряжение эквивалентного симметричного цикла;

Т1 — коэффициент чувствительности асимметрии цикла.

5. Соотношение для определения длины циклической пластической зоны по модифицированной модели Дагдейла при циклическом нагружении [3]

'лКе^А^"2

Х(<1(п) =

^ а

2сту

где ДК^ = Ктах — эффективный коэффициент интенсивности напряжений при симметричном цикле нагружения.

6. Эволюционное уравнение накопления усталостных повреждений, описывающее процесс распространения усталостной трещины

0ю

дп

АоечУ(х,п) 1 — со

с начальными условиями ю(х,0)= 0 |а>(х,пк)=Г

где ш(х,п) — скалярная функция поврежден-ности, определяющая уровень повреждений в произвольной точке х в момент времени п;

АстеЧу(х,п) — размах эквивалентного напряжения;

Б и д — коэффициенты, определяющие сопротивление материала усталостному разрушению.

2. Распределение напряжений по фронту трещины

Напряженное состояние в окрестности вершины трещины вдоль оси ОХ определяется из решения системы уравнений (3)-(5). В качестве эквивалентного напряжения, согласно критерию максимальных напряжений, рассматриваем напряжение Стуу(х,п). В общем виде распределение напряжений вдоль фронта рас-

пространения трещины по оси ОХ (у = о) при п >- п„ можно записать следующим образом Астуу(х,и) =

[-ау,сту]

d

i¡2 \х-d

Н b d

[W'a' W ,

,

а в течение инкубационного периода 0 < п < п*

имеет вид (10) при а(п) = а0. Здесь Х(с10) и

А.(с1(п)) — начальная и текущая длина тонкой циклической пластической зоны, которая формируется в вершине усталостной трещины за инкубационный период и на стадии роста трещины соответственно;

/HL b d(n)4 W' а' W ,

— корректирующая функция,

l-(l + q)D

n,

xj

= (l + q)D

V2.

do 1 2 .f 'H a d04

d(n) + Md(n) -d0 1 4W'b' W,

dT =

n.

r~ \q

V2J '

d

d

W b w J

M dn

1 + -

[2^(d(n) ] 2"1

r SaVd-f Гн ъ 4_)y

V [wV w JJ

1 " 1 " q ~2X(d0)" q 2 •f 'H b do' -q

(l + q)D .5a. L do J

где первое уравнение описывает стадию роста трещины, а второе — длительность инкубационного периода.

Длина циклической пластической зоны с учетом конечности размеров пластины и асимметрией цикла нагружения определяется из соотношения

н ъ d(n)V2

та5я  f

W a W

2ст\

d

учитывающая влияние граничных условии и построенная аппроксимацией множества численных решении для трещин дискретной длины

3. Определяющие уравнения модели роста усталостной трещины

Интегрируя уравнение (8) с учетом начальных условии (9), распределения напряжении у вершины трещины (10) и двухстадиИности процесса усталостного разрушения получаем уравнение движения фронта разрушения в

точке с координатоИ х„ = d(n) + А,^(п))в момент времени

4. Определение коэффициентов уравнений и материальных констант

Для решения задачи по соотношениям (12) необходимо определить crY, ^в , а также коэффициенты D , q и ri •

Величины aY, сгв определяются по результатам стандартных испытаний гладких цилиндрических образцов на кратковременную прочность, непосредственно по диаграмме растяжения « о - е ».

Коэффициенты D, q определяются из базовых экспериментов по усталостному разрушению гладких цилиндрических образцов в условиях симметричного растяжения-сжатия аппроксимацией экспериментальных данных уравнением

nR=[

где nR — число циклов до разрушения гладкого цилиндрического образца.

Коэффициент ^ — характеризует чувствительность материала к асимметрии цикла на-гружения и определяется из экспериментов на усталость гладких цилиндрических образцов в условиях растяжения-сжатия при различных степенях асимметрии цикла путем минимизации функционала

Ф

Длительность инкубационного периода

определим из (11) при условии п = п* в точке

с координатой х, = d(0) +

Решая уравнение

V к

Z

1=1

СТВ

.л

i-l,k

V

X N [CTai 1

1°в J I CTn J

где ста1 и стт. — амплитудное и среднее напряжения г -того асимметричного цикла;

о„ - предел усталости симметричного цик- получим выражение для определения ц в виде

ла нагружения соответствующие одинаковой долговечности п . Представляя

К

2 СГВ

1-1 2

Я Ш;

2 ств

Полученные из экспериментальных данных [4] значения коэффициентов для алюминиевых сплавов 2024-Т3 и 7075-Т6 сведены в табл.1.

Таблица 1 — Механические свойства и материальные константы алюминиевых сплавов 2024-Т3 и 7075-Т6

Сплав CTY, МПа сгв, МПа D, (МПа9 • цикл)-1 q Л

2024-T3 353 489 7,45 •lO-26 8,28 2.37

7075-T6 523 571 3,33-10-29 9,23 3.57

5. Решение задач

Определим зависимость длины трещины

I от числа циклов нагружения п в пластинах из алюминиевых сплавов 2024-Т3 и 7075-Т6 (рис.1) шириной Ж = 0,305 м, длиной Н = 0,891 м с центральным эллиптическим отверстием с полуосями а = 0,8-10"3 м, Ь = 8- а и двумя симметрично расположенными трещинами начальной полудлины £0 = 0,8-10"3 м при многоцикловом асимметричном одноосном растяжении-сжатии .

Решение задачи сводится к интегрированию уравнения для скорости усталостной трещины в системе

П =П»

a+i

Х J '

a+i0

1-1 2

2а

в J

2Л

1 + 1

. Я)

1

.ffiL Ь а-к ' [wV W 1

4<Т\

a W W ) \а W Да W W 1 v

с учетом обозначений 8 = b/a, a = 2(a + ^(n))W, y = 2a/W

ф

v|/(8, у, a) = h(3p% - 2VhpP),

g(8) = 0,B[(2/Ti)arctg5]2 e(8,a) = a(2/7i)arctg(0,6^8),

,

V /

h(8) = 1 + (2/ji)arctg(l,5V8),

(l + q)D

Выражение корректирующей функции, используемое при решении данной задачи, построенное на основе аппроксимации численного решения, представлено в работе [5] и имеет вид

а0=тх/2, р = (а-у)(1-у) (26) Результаты расчета зависимости длины трещины с концентратором 2d(n) = 2(а + ^(п)) по модели для пластин из алюминиевого сплава 2024-Т3 с эллиптическими отверстиями различного вида при а = const (8 = 3 (линия 1); 8 = 1 (линия 2); 8 = 0,5 (линия 3); 8 = 0,001 (линия 4)) при напряжении сттах = 138МПа и отнулевом цикле нагружения (R = 0) представлены на (рис.2) и сопоставлены с экспериментальными данными (о).

ю4 ю5 N, цикл

Рис. 2. Влияние формы отверстия на зависимость длины трещины от числа циклов нагружения при а - const (8 = 3

1), 8 = 1 (линия 2), 8 = 0,5 (линия 3), 8 = 0,001 (линия 4)), (—) — расчет; (о) — эксперимент для кругового отверстия

Результаты расчета зависимости длины трещины i от числа циклов нагружения для пластин с круговым отверстием (а = Ь) из алюминиевых

сплавов 2024-Т3 (стах=138 МПа (линия _ 1), 100 МПа (линия — 2), 69 МПа (линия — 3)) и

7075-Т6 (атах =207 МПа (линия — 1), 138 МПа

(линия — 2), 69 МПа (линия — 3)) представлены на (рис. 3а), (рис. 3б) соответственно и сопоставлены с экспериментальными данными (о, А, 0) [6].

Результаты расчета попадают в 90% доверительные интервалы . Таким образом, получено удовлетворительное согласование — как ка-

Рис. 3. Зависимость длины трещины от числа циклов нагружения в пластине с круговым отверстием (Я = 0):

а) - алюминиевый сплав 2024-ТЗ (атах= 138МПа(1,о); = 100 МПа; (2, А); 0^ = 69 МПа (3,0);

б) -алюминиевый сплав 7075-Т6. (от„ =207 МПа (1, о); а = 138 МПа; (2, Д); атях = 69 МПа (3,0).

чественное, так и количественное расчетных данных с экспериментальными .

Заключение

На основе теоретической двухстадийной модели роста усталостной трещины с использованием критерия эквивалентности напряжений, сводящего асимметричное циклическое нагружение к эквивалентному по числу циклов нагружения получено численно-аналитическое решение задачи о росте усталостных трещин в тонких пластинах конечных размеров с центральным эллиптическим отверстием при одноосном асимметричном нагружении . Показано влияние формы концентратора напряжений, в зависимости от соотношений полуосей эллиптического отверстия, на кинетику роста усталостной трещины. Результаты расчетов зависимости длины трещин от числа циклов нагружения для пластины с круговым отверстием при различных уровнях приложенного нагружения удовлетворительно согласуются - как качественно, так и количественно с экспериментальными данными.

Литература

1. Голуб В.П. Феноменологическая модель роста усталостной трещины в идеально-пластических бесконечных пластинках при одноосном симметричном знакопеременном нагружении [Текст] /В.П. Голуб, А.В. Плащинская //Прикл. механика. — 2005. - Том 41 (51), №12. - С. 116-127.

2. Плащинская А.В. Кинетика роста усталостных трещин в тонких пластинах конечных размеров при асимметричном нагру-жении [Текст] /А.В.Плащинская //Вюник НТУУ КП1 Машинобудування. - 2010. -С. 189-194.

3. Newman J. C., Jr. FASTRAN-II - A fatigue crack growth structural analysis program [Тех^ /J.C.,Jr.Newman. - NASA-TM-104159, 1992. - 103 р.

4. Grover H.J. Axial-Load Fatigue Properties of 24S-T and 75S-T Aluminum Alloy as Determined in Several Laboratories [Тех^ / H.J. Grover, W.S. Hyler, P. Kuhn, C.B. Landers and F.M. Howell. - NACA TN-2928, 1953. - 64 р.

5 . Саврук М.П . Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами [Текст] /М.П.Саврук //Механика разрушения и прочность материалов. — Т. 2 //Киев: Наукова думка. — 1988. — 618 с.

6. Illg W. The rate of fatigue-crack propagation for two aluminum alloys [Text] /W.Illg, A.J., Jr.McEvily // NACA TN 4394, 1958. - 47 p.

Поступила в редакцию 06.06.2013

A.B. Плащинська. Розповсюдження трщин втоми в тонких пластинах кшцевих po3Mipie з концентраторами напружень при одновгсному асимметричному розтягу-стиску

Розглядаеться задача про розповсюдження трщини втоми, що виходить з концентратора напружень, в тонкт пластиш ктцевих розм1р1в при одновсному багатоцикло-вому асиметричному навантаженш. В якост1 концентратора напружень розглядаеться елттичний отв1р. Чисельно-аналтичнершення задач1 отримано на основ1 феноменолог1чно! двустадийному модели розповсюдження трщини втоми i критерию екв1валентних напружень, що зводить асиметричний цикл навантаження до еквiвалентного за часом руйнування симетричного циклу. Результати розрахунку за моделлю для алюмшевих пластин задовыьно узгоджуються з експериментальними даними.

Ключов1 слова: трщина втоми, асиметричний цикл навантаження, пластина ктцевих розмiрiв, елттичний отвiр, одновсний розтяг-стиск, пошкодження, пластична зона

A.V. Plashchynska. Fatigue crack growth in a thin finite plate with a stress concentrator under uniaxial asymmetrical tension-compression

The problem of fatigue crack growth from a stress concentrator in thin finite plates under high-cyclic uniaxial asymmetrical loading is considered. As a stress concentrator is considered an elliptical hole. The numerical analytical solution is obtained on basis of fatigue crack growth two-stage theoretical model and equivalent stresses criterion reduced asymmetrical loading to equivalent symmetrical cyclic loading on rupture time . The calculation results using model agree well with those obtained by experiment.

Key words: fatigue crack, asymmetrical loading cycle, thin finite plates, the elliptical hole , uniaxial tension-compression, damage, the plastic zone.