Реализация итерационной процедуры в задачах локализации автономных систем

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. №11. С. 307-319.

Б01: 10.7463/1114.0734649

Представлена в редакцию: 4.11.2014 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 517.91

Реализация итерационной процедуры в задачах локализации автономных систем

Канатников А. Н.1'2'*, Крищенко А. П.1'2 Vathmod@bmstu.ru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2ИСА РАН, Москва, Россия

Статья посвящена особенностям применения функционального метода локализации в автономных непрерывных динамических системах специального вида, в которых правая часть каждого дифференциального уравнения разрешима относительно соответствующей фазовой переменной. При использовании в функциональном методе нескольких локализирующих функций возникает итерационная процедура уточнения локализирующих множеств. В системах указанного специального вида в качестве локализирующих удобно выбирать координатные функции. В статье анализируются особенности итерационной процедуры. Полученные результаты проиллюстрированы примерами.

Ключевые слова: динамическая система; локализация; локализирующее множество; инвариантный компакт; итерационная процедура

Введение

В последние пятнадцать лет в теории динамических систем оформился один из способов качественного исследования динамической системы — локализация инвариантных компактных множеств динамической системы. Под локализацией здесь понимается построение в фазовом пространстве системы таких множеств, которые содержат все инвариантные компактные множества динамической системы [1].

Инвариантные компактные множества тесно связаны с ограниченными траекториями системы, структура которых в фазовом пространстве играет ключевую роль во многих приложениях теории динамических систем. Задачи локализации инвариантных компактных множеств примыкают к другим важным задачам, например, к задачам оценки областей притяжения аттракторов, задачам управляемости и т.п.

За прошедшее время исследования задач локализации были направлены как на разработку методов решения [2, 3,4, 5, 6, 7, 8], так и на исследование конкретных динамических систем, встречающихся в приложениях (см., например, [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]).

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

ISSN 1994-0448

Один из методов решения задач локализации, оказавшийся весьма эффективным, основан на использовании гладких функций, определенный в фазовом пространстве системы, это так называемый функциональный метод [1, 3]. Эффективность функционального метода усиливается при последовательном применении нескольких функций. При этом использование очередной функции приводит к уточнению уже построенного локализирующего множества. Возникает итерационная процедура последовательного сужения локализирующего множества [1, 2].

Настоящая работа посвящена анализу указанной итерационной процедуры, естественным образом возникающей в автономный системах специального вида, в который правая часть каждого дифференциального уравнения разрешима относительно соответствующей фазовой переменной. Такие системы встречаются в приложениях [17]. Работа организована следующим образом. В п. 1 в соответствии с [1] даны необходимые определения и сформулированы соответствующие результаты. В п. 2 изучена задача локализации инвариантных компактов для автономных систем указанного специального вида. В заключении подводятся итоги проведенного исследования.

1. Вводные понятия

Рассмотрим автономную систему

х = /

т

где х = (хь х2, ..., Хп) Е Кп — вектор состояния; /: X — Мп — гладкая функция,

т

определенная в области С с Еп; /(х) = (/1 (х), /2(х), ..., /п(х)) .

Множество К с X называется инвариантным для системы (1), если для любой точки хо Е К фазовая траектория системы, проходящая через эту точку, целиком содержится в К (полагаем, что каждая фазовая траектория системы определена на максимальном интервале времени).

Мы будем рассматривать инвариантные множества с дополнительным условием компактности в X. Примерами таких множеств служат положения равновесия, предельные циклы, сепаратрисы, замкнутые с помощью а-и ^-предельных множеств. Вообще замыкание любой ограниченной траектории, не выводящей на границу области X, представляет собой инвариантный компакт.

Под локализацией инвариантных компактов системы (1) мы понимаем построение такого множества в фазовом пространстве системы, которое содержит все инвариантные компакты этой системы. Указанное множество называют локализирующим.

Один из методов построения локализирующих множеств состоит в следующем. Пусть X — Мп — произвольная гладкая функция. Обозначим через ^ производную этой функции в силу системы (1), т.е.

^(х) = ^/(х) /(х^

где <^'(х) — матрица Якоби функции ^ в точке х. Множество

^ = {х е X: р(х) = 0}

называют универсальным сечением, порожденным функцией

Для произвольного множества Q с X вычислим

(Q) = ^(х), = йир ^(х).

хеь^пд жей^пд

В дальнейшем, если Q = X указание на множество Q в этих обозначениях будем опускать, т.е. вместо ^^(X) и ) будем писать ^^ и <^ир.

Теорема 1. Любой инвариантный компакт системы (1), содержащийся в множестве Q, содержится в множестве

П^) = {х е Q: (Q) ^ <р(х) ^ ^ир^)}.

Теорема 1 обосновывает метод построения локализирующих множеств: для выбранной функции необходимо вычислить два экстремальных значения ^^(Q) и которые

определяют локализирующее множество П^^).

Приведем простейшие свойства локализирующих множеств:

1) пересечение любого числа локализирующих множеств является локализирующим множеством;

2) если ^(х) = Л(^(х)), где Л: К — К — гладкая строго монотонная функция, то множества П^^) и Пф совпадают; в частности, это верно при Л(£) = а£ + Ь, а = 0;

3) если функция ^ достигает своего наименьшего (наибольшего) значения в X в некоторой точке х* е Q, то ^^ (Q) = <^(х*) (соответственно = <^(х*)), а локализирующее множество П^^) задается неравенством <^(х) ^ (соответственно ^^(Q) ^ <^(х)).

Возможно многократное использование теоремы 1 для различных локализирующих функций, причем при использовании очередной локализирующей функции можно учесть те локализирующие множества, которые уже построены. Например, пусть выбрана последовательность функций X — К, I = 1, 2, ... С помощью функции построим локализирующее множество П1 = (в теореме 1 полагаем Q = X). Затем с помощью функции строим локализирующее множество П2 = П^2 (П1) (в теореме 1 полагаем Q = П1). Продолжая так и далее, на к-м шаге, имея множество Пк-1, с помощью функции строим множество Пк = П^к(Пк-1). В результате возникает последовательность вложеннык множеств

П1 3 П2 3 Пз 3 ...,

каждое из который является локализирующим. Следовательно, локализирующим множеством является их пересечение = р| Пк.

к

В описанной итерационной процедуре выбор функций vk может быть различным, они могут повторяться. Единственное ограничение — нельзя одну и ту же функцию использовать подряд: если Vk = Vk-1, то Qk = nfc_i.

Итерационная процедура нашла свое применение при исследовании конкретных систем, однако примеры ее использования ограничиваются одним-двумя шагами (см., например, [10]).

2. Автономные системы специального вида

В автономной системе (1) полагаем, что каждое уравнение /¿(ж) = 0, i = 1, n, может быть разрешено относительно переменной Xj, т.е. эквивалентно некоторому уравнению xi = = hi(xi), где Xi = (ж1, ..., xj-1, xi+1, ..., xn) (совокупность всех переменных, кроме Xj).

Указанный специальный вид позволяет для целей локализации использовать координатные функции. В самом деле, выбрав в качестве локализирующей, например, функцию v(x) = x1, получим

v? = ж 1 = f1(x).

Следовательно, универсальное сечение описывается уравнением /1(ж) = 0, что, согласно предположению эквивалентно уравнению ж1 = h(X1). На универсальном сечении локализирующая функция v совпадает с функцией h(X1). Значит,

Vinf = inf h1 (X1), Vsup = sup h1(X1).

Если функция h1 ограничена, получаем нетривиальное локализирующее множество. Описанную ситуацию рассмотрим в двумерном случае. Предположим, что функция h1(X2) ограничена, так что

h1 = inf h1 (x2) > — то, h1 = sup h1(X2) < +то.

x2€R X2GR

Тогда, согласно сказанному, выбрав в качестве локализирующей функцию v1(x1,x2) = x1, получим

—то < h = Vinf ^ Vsup = h < +то, и мы приходим к локализирующему множеству, которое определено двойным неравенством

h1 ^ x1 ^ h1.

В свою очередь, с учетом полученного ограничения с помощью локализирующей функции v2(x1, x2) = x2 приходим к локализирующему множеству, определенному неравенством

h2 ^ X2 ^ h2,

где

h2 = inf_ h2(x1), h2 = sup h2(x1).

xie[hl,hl] xie[h1,hi]

В результате получено компактное локализирующее множество G = [h1, h1] х [h2, h2].

Полученные ограничения позволяют уточнить результаты, полученные с помощью двух локализирующих функций. Вернемся к локализирующей функции ^(x^x2) = xi. Поскольку x2 G [h2, h2], находим

hi^ = inf_ h1(x2) ^ h1, h^ = sup h1(x2) ^ h1.

x2€[h2,h2] X2e[h2,h2]

Получаем новое ограничение

h^ ^ X1 ^ h11).

Далее, для локализирующей функции ^2(х1, х2) = х2 находим

Л21) = 1п£ Л2(х1), л21) = вир Л2(х1).

Это приводит к новому локализирующему множеству

С1 = [Л11), Л11)] х [Л21),Л21)],

которое содержится в С.

Описанную процедуру можно применять для уточнения локализирующего множества неограниченно, получая последовательность вложенных прямоугольников

С з С1 3 С2 3 Сз 3 ...

При этом возможна ситуация, когда Ск = Ск+1 для некоторого номера к. Тогда

Ск = Ск+1 = Ск+2 = ...

Но такая ситуация возникает не всегда. Введем обозначения

10 = [¿1, ¿1], /0 = [¿2, ¿2], /к = [Л(к), Л(к)], ^ = 1, 2, к =1, 2, ...

Тогда

/2к = ¿2(/к), к = 0, 1, 2, ...; /к = ¿1(/2к-1), к =1, 2, 3, ..., откуда следует, что

/2к = ¿1(Л2(/к-1)), /2к = ¿2(Л1(/2к-1)), к =1, 2, ...

Таким образом, Ск = ^(Ск-1), к =1, 2, ..., где

ММхО)

Рассмотрим множество

F (x1,x2) (

h2

= П

fceN

(здесь N — множество натуральных чисел). Отметим, что множество не пусто, поскольку множества Ск компактны и образуют последовательность вложенных множеств.

Теорема 2. Функция ^ отображает множество в себя и является на этом множестве сюръекцией.

Доказательство. Если х = (х1, х2) € то х Е Ск, к ^ 1, откуда следует, что

^(х) € Ск+1, к ^ 1, и ^(х) € П Ск+1 = Тем самым доказано, что ^(Сте) С С.

Если у Е то у Е Ск+1, к ^ 1. Так как Ск+1 = ^(Ск), то существует хк € Ск, такой, что у = ^(хк). Возникает последовательность (хк}, целиком содержащаяся в компактном множестве С1. При этом для любого к ^ 1 все члены последовательности, начиная с к-го, содержатся в Ск. Следовательно, эта последовательность имеет предельную точку х*, причем эта точка принадлежит каждому множеству Ск. Значит, х* Е В силу непрерывности функции ^ заключаем, что у = ^(х*), х* Е Таким образом, С ^(Сте). Теорема доказана.

Замечание 1. В теореме 2 указан эффект, по сути известный давно. Этот эффект проявляется в классической теореме Кантора — Бернштейна о равномощности множеств. Идея доказательства теоремы 2 также близка к идее доказательства теоремы Кантора — Бернштейна.

Теорема 2 показывает, что множество — это максимум, который можно получить, применяя описанную итерационную процедуру с чередованием координатных функций. При этом множество может быть достаточно большим, но может оказаться и одноточечным.

Пример 1. Пусть

Мх2) = , Мх1) = х?.

Тогда

4x2 2x2

h2(h1(x2)) = , 2 , h1(h2(x1)) - 1

(x2 + 1)2' u ^ ш x1 + 1' Область изменения функции h1, а также каждой из двух композиций — отрезок [0, 1]. Поэтому h1 = 0, h1 = 1, h2 = 0, h2 = 1, так что после первой итерации получаем G = [0, 1] х [0, 1], а далее оказывается, что G = G1 = G2 = ...

Рассмотренный пример показывает, что итерационная процедура может вообще не привести к уточнению первоначально полученного локализирующего множества.

Множества Gk представляют собой прямоугольники, поэтому динамику горизонтальных сторон и динамику вертикальных сторон последовательности {Gk } можно рассмотреть независимо друг от друга. Это позволяет при анализе ограничиться рассмотрением одномерного случая. Обозначим /0 = [h1, h1], Ik = [h1k), h^], k ^ 1 (т.е. Ik — новое обозначение отрезка If). Тогда Ik = h(h2(Ik-1)) = F\(/k-1), k ^ 1, где F(x) = h1 (h2(x)). Следующий пример показывает, насколько сложной может быть динамика последовательности {Ik}.

Пример 2. Пусть

F1 (x) = ax ( 1 — cos — ).

2x

Эта функция нечетна, поэтому область ее изменения симметрична относительно начала координат и при ее анализе можно ограничиться рассмотрением на полуоси [0,

Функция ^\(х) на полуинтервале [0, имеет локальные максимумы в точках х^,

точка хт находится правее точки хт = л , причем расстояние между двумя точками

т = 0, 1, ..., последовательность которых стремится к нулю (рис. 1). Для каждого т

= 4 т + 2'

2 а

стремится к нулю при т — то. Значение ^(х^) больше (хт) = 2ахт = --, но

4т ++ 2

меньше 2ах^.

у=2ах у у

у

у

у

у

У

У

У

У----- У =

У/ у/ у / У / У / У / У / У / У / У / У / У / / / / / / /

ж /

ш \ /

О х^ х^ х

Рис. 1. Экстремумы функции

Функция имеет последовательность локальнык минимумов, равных нулю, которая также сходится к нулю. Для этой функции /0 = [0, у0]. Дальнейшая динамика уменьшения отрезков /п зависит от параметра а.

Если а ^ 1/2, то последовательность /п стягивается к отрезку = [0,уте], где — некоторое значение между х* и х0, которое при уменьшении а сдвигается влево к точке х0 и совпадает с ней при а = 1/2. Отметим, что если параметр а настолько велик, что х0 < у0, то процесс заканчивается в точке х0 уже на первом шаге.

При а < 1/2 точка х* не попадает на отрезок /0, так как х0 > у0, и следующий отрезок определяется максимумом функции на отрезке [0, у0], который может достигаться либо в правом конце отрезка (например при а = 0.4) либо в одной из точек х^ (например при а = 0.3 максимум достигается в х*). Далее ситуация повторяется. В результате =

= П /к = {0}.

к>1

Рассмотренный пример показывает, что динамика последовательности {/т} зависит от взаимосвязей между локальными экстремумами функции. Кроме того, в динамике последовательности {/т} определенную роль играет скорость изменения функции.

Теорема 3. Если отображение является ограниченным и слабо сжимающим, т.е. для любой пары точек х1, х2 Е К выполняется неравенство |^1(х1) — ^\(х2)| < |х1 — х2|, то является одноточечным множеством.

Доказательство. Предположим, что множество /^ представляет собой отрезок:

= [р, ?], Р < Тогда на отрезке /^ отображение слабо сжимающее. Точки р и q являются образами некоторых точек хр и хд на отрезке /^ (см. теорему 2). Поэтому

^(хр) — ^(х)| = |р — q| ^ |хр — х1, но это противоречит условию слабой сжимаемости. Теорема доказана.

Возможна ситуация, когда на каждом шаге итерационной процедуры отрезок (и соответственно множество С) уменьшается, но в пределе остается отрезок ненулевой длины.

Пример 3. Пусть ^\(х) = аг^ ах. На первом шаге, учитывая нечетность функции и ее

п

ограниченность, получаем /0 = [—х0, хо], где хо = —. Далее получаем последовательность отрезков /т = [—хт, хт], где хт = аг^ахт-1, т ^ 1 (рис. 2). Ясно, что последовательность {хт} неотрицательная и убывает, а поэтому имеет своим пределом некоторое значение х*. Это значение является решением уравнения

х = аг^ ах.

При а ^ 1 это уравнение имеет единственное решение, равное нулю, так что хт ^ 0 при т ^ то. Но если а > 1, то уравнение (2) имеет три решения, из которых одно решение,

Рис. 2. Последовательность вложенных отрезков в примере 3

обозначим его х+ является положительным. Из простых геометрических соображений вытекает, что последовательность {хт} при а > 1 сходится к точке х+, поэтому множество представляет собой отрезок [—х+, х+].

В этом примере отрезки /т строго вложены друг в друга, но их пересечение не сводится к единственной точке.

Заключение

В работе для систем специального вида рассмотрена итерационная процедура, связанная с решением задачи локализации инвариантнык компактов. Проанализированы различные сценарии сходимости последовательности вложенных локализирующих множеств. Эти сценарии подтверждены примерами. Установлено достаточное условие сходимости последовательности вложенных множеств к точке.

Все внимание в работе уделено системам второго порядка, однако ясно, что полученные результаты могут быть перенесены с определенными корректировками на системы более высокой размерности.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 1.644.2014/К) и РФФИ (грант 12-07-00267).

Список литературы

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.

2. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles // Computers and Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34, iss. 2-4. P. 325-332. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00130-2

3. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 12. С. 1597-1604.

4. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов неавтономных систем // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 1. С. 47-53.

5. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем // Докл. РАН. 2010. Т. 431, № 3. С. 323-325.

6. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем с возмущением // Докл. РАН. 2011. Т. 438, № 6. С. 743-746.

7. Starkov K.E. Compact invariant sets of the Bianchi VIII and Bianchi IX Hamiltonian systems // Phys. Lett. A. 2011, Vol. 375, iss. 36. P. 3184-3187. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.06.064

8. Starkov K.E. Localizing bounds for compact invariant sets of nonlinear systems possessing first integrals with applications to Hamiltonian systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2010. Т. 20, № 5. С. 1477-1483. DOI: 10.1142/S0218127410026629

9. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of the Lorenz system // Phys. Lett. A. 2006. Vol. 353, iss. 5. P. 383-388. DOI: 10.1016/j.physleta.2005.12.104

10. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear systems with application to the Lanford systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2006. Vol. 16, no. 11. P. 3249-3256. DOI: 10.1142/S0218127406016768

11. Starkov K.E. Estimation of the domain containing all compact invariant sets of the optically injected laser system // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2007. Vol. 17, iss. 11. P. 4213-4216. DOI: 10.1142/S0218127407019755

12. Zhang F., Mu C., Li X. On the boundness of some solutions of the LU system // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2012. Vol.22, no. 1. Art. no. 1250015. DOI: 10.1142/S0218127412500150

13. Mu C., Zhang F., Shu Y., Zhou S. On the boundedness of solutions to the Lorenz-like family of chaotic systems // Nonlin. Dyn. 2012. Vol.67, iss. 2. P. 987-996. DOI: 10.1007/s11071-011-0041-3

14. Cai G., Yu H., Li Y. Localization of compact invariant sets of a new nonlinear finance chaotic system //Nonlin. Dyn. 2012. Vol. 69, no. 4. P. 2269-2275. DOI: 10.1007/s11071-012-0425-z

15. Канатников А.Н., Федорова Ю.П. Локализация инвариантных компактов двумерных непрерывных динамических систем // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №7. С. 159-174. DOI: 10.7463/0713.0583104

16. Канатников А.Н., Михайлова О.В. Локализация инвариантных компактов дискретной системы Лози // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 8. С. 121-134. DOI: 10.7463/0813.0609276

17. Yukalov V.I., Yukalova E.P., Sornette D. New Approach to Modeling Symbiosis in Biological and Social Systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 9. Art. no. 1450117. DOI: 10.1142/S021812741450117X

Science and Education of the Bauman MSTU,

Science S Education ZZ'dE—

of the Bauman MSTU Received: 4.11.2014

ElectroTLIC joumdl  Bauman Moscow State Technical University

Realization of the Iteration Procedure in Localization Problems of Autonomous Systems

Kanatnikov A. N.1'2'*, Krishchenko A. P.1'2 Vathmod@bmstu.ru

1 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia 2Institute of Systems Analysis RAS, Moscow, Russia

Keywords: dynamical system, localization, localizing set, invariant compact set, iteration procedure

In the last 15 years one way for a qualitative analysis of dynamical systems was formed i.e. the localization of invariant compact sets of a dynamical system. Here the localization means creating a system of such sets, which contain all invariant compact sets of a dynamic system [1], in the phase space.

Invariant compact sets are closely connected with bounded trajectories of the system, the structure of which in the phase space play key role in many applications of dynamical system theory. The problems of invariant compact sets localization abut upon other important problems, for instance, the problems of estimation of attractor basins, control problems, etc.

Back investigations of localization problems was oriented both to development of solving methods [28] and to investigation of particular dynamical systems encountered in applications (see, for example, [9-16]).

One of quite efficient methods of localization problem solving is based on smooth functions defined in the phase space. It is so called functional method [1-3]. Effectiveness of the method is enhanced when we use several functions. Thus, using the next function gives the restriction of the already constructed localizing set. An iteration procedure for sequential narrowing of the localizing set [1-2] arises.

The paper presents analysis of the iteration procedure, which naturally occur in the autonomous systems of special type where the right side of each differential equation is resolvable relative to the corresponding phase variable. Such systems are encountered in applications [17].

References

1. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Invariantnye kompakty dinamicheskih system [Invariant compact sets of dynamical systems]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011.231 p. (in Russian).

2. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles. Computers and Mathematics with Applications, 1997, vol. 34, iss. 2-4, pp. 325-332. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00130-2

3. Krishchenko A.P. Localization of Invariant Compact Sets of Dynamical Systems. Differ-entsial'nye uravnenija, 2005, vol.41, no. 12, pp. 1597-1604. (English version: Differential Equations, 2005, vol. 41, no. 12, pp. 1669-1676. DOI: 10.1007/s10625-006-0003-6).

4. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Localization of invariant compact sets of nonautonomous systems. Differentsial'nye uravnenija, 2009, vol. 45, no. 1, pp. 47-53. (English version: Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 1, pp. 46-52. DOI: 10.1134/S0012266109010054).

5. Kanatnikov A.N., Korovin S.K., Krishchenko A.P. Localization of invariant compact sets of discrete systems. Doklady RAN, 2010, vol.431, no. 3, pp. 323-325. (English Translation: DokladyMathematics, 2010, vol. 81, no. 2, pp. 326-328. DOI: 10.1134/S1064562410020444).

6. Kanatnikov A.N., Korovin S.K., Krishchenko A.P. Localization of compact invariant sets of discrete-time systems with disturbances. Doklady RAN, 2011, vol.438, no. 6, pp. 743746. (English Translation: Doklady Mathematics, 2011, vol.83, no. 3, pp. 433-435. DOI: 10.1134/S1064562411030392).

7. Starkov K.E. Compact invariant sets of the Bianchi VIII and Bianchi IX Hamiltonian systems. Phys. Lett. A, 2011, vol. 375, iss. 36, pp. 3184-3187. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.06.064

8. Starkov K.E. Localizing bounds for compact invariant sets of nonlinear systems possessing first integrals with applications to Hamiltonian systems. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2010, vol. 20, no. 5, pp. 1477-1483. DOI: 10.1142/S0218127410026629

9. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of the Lorenz system. Phys. Lett. A, 2006, vol. 353, iss. 5, pp. 383-388. DOI: 10.1016/j.physleta.2005.12.104

10. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear systems with application to the Lanford systems. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2006, vol. 16, no. 11, pp. 3249-3256. DOI: 10.1142/S0218127406016768

11. Starkov K.E. Estimation of the domain containing all compact invariant sets of the optically injected laser system. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2007, vol. 17, iss. 11, pp. 4213-4216. DOI: 10.1142/S0218127407019755

12. Zhang F., Mu C., Li X. On the boundness of some solutions of the Lu system. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2012, vol. 22, no. 1, art. no. 1250015. DOI: 10.1142/S0218127412500150

13. Mu C., Zhang F., Shu Y., Zhou S. On the boundedness of solutions to the Lorenz-like family of chaotic systems. Nonlin. Dyn., 2012, vol.67, iss.2, pp. 987-996. DOI: 10.1007/s11071-011-0041-3

14. Cai G., Yu H., Li Y. Localization of compact invariant sets of a new nonlinear finance chaotic system. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 69, no. 4, pp. 2269-2275. DOI: 10.1007/s11071-012-0425-z

15. Kanatnikov A.N., Fedorova Yu.P. Localization of invariant compact sets of two-dimensional continuous dynamical systems. Nauka i obrazovanie MGTUim. N.E. Baumana = Science and Education of the BaumanMSTU, 2013, no. 7, pp. 159-174. DOI: 10.7463/0713.0583104 (in Russian).

16. Kanatnikov A.N., Mikhaylova O.V. Localization of invariant compact sets of the discrete-time Lozi system. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the BaumanMSTU, 2013, no. 8, pp. 121-134. DOI: 10.7463/0813.0609276 (in Russian).

17. Yukalov V.I., Yukalova E.P., Sornette D. New Approach to Modeling Symbiosis in Biological and Social Systems. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2014, vol.24, no. 9, art. no. 1450117. DOI: 10.1142/S021812741450117X