Исследование механизма Брикарда с помощью алгоритмов компьютерной графики

УДК 621.01

М. Г. Яруллин, И. А. Галиуллин

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА БРИКАРДА С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМОВ

КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ

Ключевые слова: механизм Брикарда, механизмы с избыточными связями, матричные преобразования.

Пространственный шарнирный шестизвенный механизм был предложен Р. Брикардом в 1927 году. Механизм интересен своей парадоксальной единичной подвижностью, не совпадающей с расчётным значением, полученным по формуле Сомова-Малышева. Благодаря этому свойству механизм может найти широкое применение на практике. В данном исследовании описывается применение методов матричного задания положения объектов для определения кинематических параметров характерных точек механизма Брикарда и его модификаций. В результате выполнения данного исследования была получена система уравнений, описывающая взаимосвязь между углами поворотов звеньев механизма и их длинами.

Keywords: Bricard linkage, overconstrained linkages, matrix conversion.

Spatial overconstrained 6R linkage was proposed by R. Bricard in 1927. This linkage is interesting for its paradoxical mobility, which does not match with the value obtained by the Somov-Malyshev method. This feature makes possible to find practical usages of this linkage. This study describes the application of matrix transformations method to determine the kinematic parameters of characteristic points of Bricard linkage and its modifications. As result of this study the system of equations describing the relationship between the rotation angles of the mechanism links and their lengths was obtained.

Введение

Механизм Брикарда в «классическом» [1] виде показан на рисунке 1а. В работах [2] и [3] были выявлены новые модификации механизма Брикарда, которые также имеют единичную подвижность. Получение подвижных модификаций сделало актуальной задачу разработки универсального метода исследования кинематических параметров характерных точек механизма.

Рис 1 - Механизм Брикарда

Исследование кинематических параметров механизма требует задания систем координат его звеньев (рисунок 1б). Принцип выбора систем координат показан в работе [4]. В механизме, показанном на рисунке 1: AB - неподвижная стойка механизма, BC -ведущее звено. Введём следующие условные обозначения: aB - угол поворота ведущего звена BC (угол ABC); aC - угол BCD; aD - угол CDE; aE - угол DEF; aF - угол EFA; aA - угол FAB; l1 = AB = DE; l2 = BC = EF; l3 = CD = AF.

Описание пространственного положения объекта с помощью матриц

В компьютерной графике используется матричный метод задания положения объектов в пространстве.

Для описания изменения положения объекта в пространстве применяются матричные преобразования.

При этом положение объекта задаётся относительно некоторой единственной мировой системы координат (СКм), которая выбирается разработчиком произвольно. Каждый объект имеет собственную, локальную систему координат(СКл), жёстко связанную с объектом. Таким образом, положение объекта в пространстве полностью описывается положением СКл объекта относительно СКм.

Положение одной системы координат относительно другой однозначно можно описать с помощью следующих параметров: положение начала локальной системы координат относительно мировой системы координат (смещение), направление вектора X локальной системы координат, направление вектора У локальной системы координат, и направление вектора Ъ локальной системы координат.

Рассмотрим рисунок 2. Имеется СКм (ХУЪ) с центром в точке О. В ней расположен объект, с которым жёстко связана его СКл (Х'У'Ъ') с центром в точке О'. Положение объекта полностью описывается положением СКл (Х'У'Ъ') относительно СКм (ХУЪ).

Z

Рис. 2 - Системы координат объектов

Для однозначного задания положения СКл относительно СКм необходимо определить координаты точки О' относительно мировой системы координат, а также проекции векторов локальной СК на векторы мировой СК.

Таким образом, положение объекта в мировой системе координат может быть однозначно определено матрицей:

M

V0X V0'X' V0Y V0'X' V0Z 0

V0X V0Y V0Z 0

V0xz V0Y V0'Z' V0Z 0

{ 0' X 0'y 0'z 1

00'

Указанную матрицу также принято называть матрицей перехода от СКм (ХУЪ) к СКл (Х'У'Ъ').

Для использовании математического аппарата компьютерной графики необходимо дать определение направления поворота систем координат. В данном исследовании используется следующее правило определения направления поворота систем координат (рис.3).

Рис 3 - Направление поворота

Для использовании математического аппарата компьютерной графики необходимо дать определение направления поворота систем координат. Рассмотрим системы координат, показанные на рисунке 3 а. Здесь локальная система координат Х'У'Ъ' повёрнута относительно мировой системы координат ХУЪ на некоторый угол альфа. На рисунке 3б локальная система повёрнута относительно мировой системы координат на тот же угол альфа, но в другом направлении. В данном исследовании используется следующее правило определения направления поворота систем координат.

Положительное направление поворота локальной систем координат относительно базовой означает, что для совмещения локальной системы координат с базовой, её (локальную СК) необходимо повернуть по часовой стрелке, если смотреть со стороны направления совмещенных осей систем координат. Таким образом, для определения знака поворота системы координат необходимо установить вектор взгляда так, чтобы совмещённые оси (оси Ъ и Ъ' на рисунке 3) были направлены противоположно направлению вектору взгляда. Если для совмещения систем координат локальную систему необходимо повернуть по часовой стрелке, значит поворот был произведён в положительном направлении. В противном случае поворот считается выполненным в отрицательном направлении. Таким образом на рисунке 3а поворот выполнен на (+а), на рисунке 3б поворот выполнен на (-а ).

Применение матриц трансформации к механизму Брикарда

Рассмотрим общий случай, показанный на рисунке 2: в некотором пространстве имеются два объекта СКл (X'Y'Z') и СКл (X"Y"Z"). Определим положение объектов относительно некоторой СКм (XYZ). В этом случае имеем:

M00' - матрица перехода от СКм к СКл объекта 1.

M00'' - матрица перехода от СКм к СКм к СКл объекта 2.

MO 'O ' ' - матрица перехода от СКл объекта 1 к СКл объекта 2.

Указанные матрицы связаны между собой следующим соотношением [5]:

M00''= M00- M00'

Таким образом, математический аппарат, используемый в компьютерной графике, позволяет определять положение конечного объекта в мировой системе координат, используя цепочку матричных преобразований к промежуточным объектам. Причём саму цепочку объектов можно строить произвольным образом, исходя из удобства расчётов и имеющихся исходных данных.

Как видно из рисунка 1б, каждому звену механизма соответствуют две системы координат - на начальном и на конечном шарнирах. Звено AB механизма является стойкой, звено BC является ведущим. Мировую систему координат расположим в шарнире А, принадлежащем звену AB. Таким образом, МА - мировая система координат.

Рассмотрим положение точки D в мировой системе координат. Шарнир D принадлежит двум звеньям, CD и DE. Поэтому шарнир D имеет две системы координат Мс и MD . Выберем в каче-

лл DE

стве цели исследования систему координат MD .

Согласно формуле (1), MD может быть определён через цепочку промежуточных объектов. По рисунку 4 видно, что положение объекта D может быть получено через контур D-C-B-A. Кроме того, положение объекта может быть получено через контур D-E-F-A.

Рис 4 - Векторные контуры

Учитывая все системы координат, показанные на рисунке 1б, имеем:

(мАв ^ м%Е) = (м£° ^ м%Е )(мС° ^ м£°) •

•

•

• (мЕр ^ мЕ )(мрРА ^ м™ )(мрАЛ ^ м™) •

•

В таблице 1 показаны базовые матицы преобразования систем координат, принадлежащих контурам (2) и (3).

Таблица 1 - Матрицы преобразования

Переход Значение

(м™ ^ м°Е) соБ(-а0) эт(-а0) 0Ч - Б1п(а0) соэ(-аа) 0 0 0 1

(м£° ^ мсс°) ' 0 0 -1 0 1 0 I1 0 0 V

(мвс ^ м£0) ' соэ(ас) эт(ас) 0^ - Б1п(ас) соэ(ас) 0 1 0 0

(мвс ^ м вс) ' 0 0 -1 0 1 0 I1 0 0 V

(м£в ^ мвс) ' соэ(ав) Б1п(ав) 0^ - Б1п(ав) соэ(ав) 0 1 0 0

(мАв ^ мАв) ' 0 0 -1 0 1 0 I1 0 0 V

(м°Е ^ м°Е) ' 0 0 1^ 0 1 0 1-1 0 ^

(мЕр ^ м£Е) ' соэ(аЕ) з1п(аЕ) 0^ - з1п(аЕ) соэ(аЕ) 0 [ 0 0 1J

(м!р ^ мЕр) ' 0 0 1^ 0 1 0 1-1 0 0V

(м£А ^ м£А) \ соэ(-аР) Б1п(-ар) 0 - Б1п(-ар) соэ(-аР) 0 0 0 1 Л V

(мАА ^ мЕА) ' 0 0 -0 1 0 I1 0 0 V

о-.--' ^  .') ' соэ(аА) э1п(аА) 0^ - э1п(аА) соэ(аА) 0 1 0 0 ^

( Р ' хх Р ' ху Ръ 01

Р ' ух Р уу Ру? 0

Pzx Р?у Pzz 0

ч Рбх Рбу Рф. 1 V

Учитывая данные в таблице 1, положение системы координат шарнира Б как части звена ББ через контур (2) определяется матрицей:

(мАВ ^ м°Е) =

Рхх = - эт(ас )эт(а0); Рух = соэ(а0 )Б1п(ас); Р1Х = - соэ(ас); Рсх = I з эт(ас);

Рху = -соэ(а0)э1п(ав) - соэ(аВ)соэ(ас)э1п(а0);

Руу = соэ(ав)соэ(ас)соэ(а0) -эт(ав)э1п(а0);

Ргу = соэ(ав) э1п(ас);

Рс1у = 11 + соэ(ав)(12 + 1з соэ(ас));

РХ1 = соэ(ав)соэ(а0) - соэ(ас)э1п(ав)э1п(а0);

РуХ = соэ(ас )соэ(а0 )эт(ав) + соэ(ав )э1п(а0);

Ра = э1п(ав )э1п(ас);

Р* = (12 +1з соэ(ас))э1п(ав).

С другой стороны, через контур (3) имеем:

(мАв ^ м°Е) =

Рхх = - э1п(аА )э1п(ар);

Р^ = -сов(а|)соэ(ар)э1п(аА) - соэ(аА)з1п(а|); Р2х = - соэ(аА )соэ(аЕ) + соэ(ар )соэ(аА )соэ(аЕ); Рсх = -(-13 + (-12 -11 сов(аЕ ))соэ(ар ))э1п(аА) + +11 соэ(аА )в1п(аЕ); Рху = соэ(аА )э1п(ар);

Руу = соэ(аА )сов(аЕ )соэ(ар) - эт(аА )в1п(аЕ);

Ру = - соэ(аЕ )э1п(аА) - соэ(аА) соэ(ар )з1п(аЕ);

Рсу = соэ(аА )(-13 + (-12 -11 соэ(аЕ ))сов(ар)) +

+11 э1п(аА )з1п(аЕ);

Рхх = соэ(ар);

Р^ =- соэ(а£ )э1п(ар);

Р77 = з1п(аЕ) э1п(ар);

РсЬ = -(-12 -11 соэ(аЕ))э1п(ар).

Учитывая, что механизм Брикарда является замкнутым, то обе цепочки должны сходится в одной точке. Следовательно, элементы цепочек должны быть равны друг другу при любых значениях параметров. Таким образом:

' Рхх Рху Рxz 01

Рух Руу Рyz 0

Рzx Рzy Рzz 0

ч Рс!х Рс1у Рdz 1 V

P xx - R xx

P yx - Ryx

Pzx - Rzx

Pdx - Rdx

P xy - Rxy

P yy - R yy

Pzy - Rzy

Pdy - Rdy

Pxz - R xz

Pyz - Ryz

Pzz - Rzz

Pdz - Rdz

Для «классического» механизма Брикарда, имеющего равные длины звеньев, углы поворотов звеньев вычисляются по формулам:

. OOS

aA = п- arccos(- );

OOS

aC = n- arccos(—^ B J;

COS(aB ) +1

a ^ — a с

Подставив полученные ранее значения, получим окончательную систему:

- Б1п(ас )Б1п(а0) = - Б1п(ал )з1п(аР); ООЭ(аС1 )э1п(ас) = -C0S(aE)005(а/= )э1п(ал) -

- C0S(aA ^¡П^);

- C0S(aс) = - C0S(aA) C0S(aE) + + C0S(aF )cos(aA )cos(aE);

/3 siп(aс) = -(-/3 + (-/2 - /1 C0S(aE))C0S(aF^¡П^) + + /1 C0S(aA ^¡П^);

- C0S(aD^п(ав) -

- C0S(aB )cos(aс ^¡П^) = C0S(aA ^¡п^); C0S(aB)C0S(aс)C0S(aD) -

- Siп(aB^¡П^) = C0S(aA)cos(aE)C0S(aF) -

- sin(aA )siп(aE);

C0S(aB) Siп(aс) = - C0S(aE) Siп(aA) -

- C0S(aA) C0S(aF ^¡П(«е );

/1 + C0S(aB)(/2 + /3 C0S(aс)) = C0S(aA)(-/3 +

+ (-/2 - /1 C0S(aE))C0S(aF)) + /1 siп(aA)siп(aE);

C0S(aB)C0S(aD) - C0S(aс)siп(aB)siп(aD) = C0S(aF);

C0S(aс )C0S(aD )siп(aB) +

+ C0S(aB )siп(aD) = - C0S(aE )siп(aF);

siп(aB )siп(aс) = sin(aE )siп(aF);

(/2 + /3 C0S(aс))siп(aB) = -(-/2 - /1 C0S(aE))siп(aF).

Полученная система описывает взаимосвязь между углами поворота звеньев механизма Брикарда и их длинами. Решение системы позволит определить углы поворотов всех звеньев при заданных входных параметрах (угле поворота ведущего звена и длинах звеньев).

© М. Г. Яруллин - д-р техн. наук, проф., зав. каф. машиноведения и инженерной графики КНИТУ им. Yarullinmg@yahoo.com; И. А. Галиуллин - асп. той же кааафедры.

COS

aE = л- arccos(-B—);

COS(aB ) +1

a F — a в

Подстановка полученных зависимостей в (2) и (3) позволит определить координаты характерной точки D для любого угла поворота ведущего звена. Дифференцируя полученные функции можно найти функцию скорости и ускорения точки D.

Кроме того, решение полученной системы уравнений позволит решить задачу синтеза механизма Брикарда в общем виде, определить значения длин звеньев, при которых характерные точки механизма будут иметь требуемые кинематические параметры.

Преимуществом метода матричного задания положения объектов является его универсальность, а именно применимость для нахождения кинематических параметров любых точек механизма Брикарда и любых его модификаций. Кроме того, предлагаемый метод полностью формализуем и может быть использован для составления компьютерной программы анализа кинематических параметров механизма Брикарда.

Литература

1. Bricard R. Lecons de cinematique. Vol. 2. Paris, 1927. 352 c.;

2. Chen Y., You Z., Tarnai T. International Journal of Solids and Structures: Threefold-symmetric Bricard linkages for deployable structures, 42, 1, 2287-2301 (2005);

3. Yarullin M.G., Galiullin I. A. Applied Mechanics and Materials: Assemblability and Mobility of Bricard's Linkage Modifications, 968, 1, 552-556 (2014);

4. Яруллин М.Г., Галиуллин И.А., В сб. Современное машиностроение. Наука и образование: Исследование кинематики звеньев модификаций механизма Брикарда, Издательство СпбГТУ, Санкт-Петербург, 2014. C. 260-270;

5. Daniel Van Arsdale. Computers & Graphics: Homogeneous transformation matrices for computer graphics, 18, 1, 177-191 (1994).

A.H. Туполева-КАИ,

M. G. Yarullin, , Ph.D., professor, head of the Department "Machinery and engineering graphics", KNRTU named after A.N.Tupolev - KAI, Yarullinmg@yahoo.com; I A. Galiullin, graduate student of the Department "Machinery and engineering graphics", of the Department "Machinery and engineering graphics", KNRTU named after A.N.Tupolev - KAI.