О структуре группы Пикара для лестницы Мебиуса и призматического графа

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

УДК 519.177, 512.541

О СТРУКТУРЕ ГРУППЫ ПИКАРА ДЛЯ ЛЕСТНИЦЫ МЕБИУСА И ПРИЗМАТИЧЕСКОГО ГРАФА

M. А. Зиндинова, И. А. Медных

ON THE STRUCTURE OF PICARD GROUP FOR MOEBIUS LADDER GRAPH AND PRISM GRAPH

M. A. Zindinova, I. A. Mednykh

Понятие группы Пикара для графа, которую также называют якобианом или критической группой, было независимо введено многими авторами. Она является важным алгебраическим инвариантом конечного графа. В частности, ее порядок совпадает с числом порождающих деревьев. Последнее число хорошо известно для некоторых простейших семейств графов, таких как колесо, веер, призма, лестница и лестница Мебиуса. В то же время структура группы Пикара известна только в некоторых случаях. Цель данной статьи - определить структуру группы Пикара для двух характерных случаев: лестницы Мебиуса и призматического графа.

The notion of the Picard group of graph (also known as Jacobian group, sandpile group, critical group) was independently given by many authors. This is a very important algebraic invariant of a finite graph. In particular, the order of the Picard group coincides with the number of spanning trees for a graph. The latter number is known for the simplest families of graphs such as Wheel, Fan, Prism, Ladder and Moebius ladder graphs. At the same time the structure of the Picard group is known only in several cases. The aim of this paper is to determine the structure of the Picard group of the Moebius ladder and Prism graphs.

Ключевые слова: граф, группа Пикара, абелева группа, полиномы Чебышева.

Keywords: Graph, Picard group, Abelian group, Chebyshev polynomial.

Работа поддержана грантами РФФИ (09-01-00255, 10-01-00642), грантом АВЦП развития научного потенциала высшей школы (2.1.1/3707) и Федеральной целевой программой "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"(02.740.11.0457).

1. Введение

Представим лестницу Мебиуса Мп порядка п как циклический граф С2п (1,п). В этом случае Мп может быть рассмотрена как правильный 2п-угольник, у которого п пар противоположных вершин соединены ребром (см. рис. 1). Можно также представить Мп как лестницу с п ступеньками на листе Мебиуса. Призма Рг(п) представляет собой граф с 2п вершинами, соединенных так, как показано на рис. 2.

Цель данной статьи - найти структуру группы Пикара для лестницы Мебиуса Мп и призматического графа Рг(п).

Понятие группы Пикара для графа (которую также называют якобианом или критической группой) было независимо введено многими авторами ([1], [2], [3], [4]). Она является важным алгебраическим инвариантом конечного графа. В частности, ее порядок совпадает с числом порождающих деревьев графа. Последнее число хорошо известно для некоторых простейших семейств графов, таких, как колесо, веер, призма, лестница и лестница Мебиуса [5]. В то же время структура группы Пикара известна только в некоторых случаях (см. список литературы в [6]).

Следуя Бейкеру и Норину [2], определим группу Пикара (или якобиан) для графа следующим образом.

Рассмотрим конечный, связный граф О, до-

пускающий кратные ребра, но не допускающий петли. Пусть V(О) и Е(О) - это множества вершин и ребер О соответственно. Обозначим через Віу(О) свободную абелеву группу на V(О). Элементы Біу(О) являются целочисленными линейными комбинациями элементов V(О), то есть для любого Б Є Біу(О) существует единственное представление Б = ^хеУ(О) Б(х)(х), Б(х) Є Z. По аналогии с теорией римановых поверхностей элементы Бт(О) будем называть дивизорами на графе О. Определим степень элемента Б следующей формулой: йед(В) = ^хеУ(О) Б(х). Обозначим через Піу°(О) подгруппу группы Біу(О), состоящую из дивизоров нулевой степени.

Пусть f - Z-значная функция на V(О). Определим дивизор f по следующей формуле:

)= ^ ^ и(х) - f (У))(х).

хеУ

Дивизор сИу(и) естественным образом может быть отождествлен с оператором Лапласа функции и на графе О. Дивизоры вида йію(и), где и как описано выше, называются главными дивизорами. Обозначим через Ргіп(О) группу главных дивизоров на О. Нетрудно заметить, что каждый главный дивизор имеет степень 0, поэтому группа Ргіп(О) является подгруппой группы Піу°(О).

Определим группу Тае(О), называемую группой Пикара (или якобианом) графа О, как

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

фактор-группу

Тас(О) = Бгу° (О) /Рггп(О).

Группа Тас(О) является конечной абелевой группой порядка 1а, где 1а - число порождающих деревьев графа О. (Это напрямую следует из теоремы Кирхгоффа, приведенной, например, в §14 в [7]). Более того, любая конечная абелева группа является группой Пикара некоторого графа.

Для фиксированной точки хо € V(О) определим отображение Абеля - Якоби БХ0 : О ^ Тас(О) следующей формулой: БХ0 (х) = [(х) — (х0)], где [!]

- это класс эквивалентности дивизора !.

Зададим на каждом ребре графа О одну из двух возможных ориентаций. Так как О не имеет петель, такая операция определена корректно. Пусть Е = Е(О) - множество ориентированных ребер графа О. Для е € Е обозначим начальную вершину о(е) и конечную вершину Ь(е) соответственно. Определим поток е по формуле ш(е) = \Ь(е) — о(е)]. Заметим, что

и(е) = Ме) — хо) — (о(е) — хо)] =

= [[г

не зависит от выбора исходной точки хо. В силу Леммы 1.8 в [2] (см. также [4]) группа Пикара Тас(О) является абелевой группой, порожденной потоками ш(е), е € Е, подчиняющимся следующим двум законам Кирхгоффа:

(I) Поток через каждую вершину графа О равен нулю. Это означает, что

^(е) = 0 для всех х € V(О).

вЕЕ, Ь(в)=х

(II) Поток вдоль каждого замкнутого ориентируемого пути Ш в О равен нулю, то есть

^ “(е) = 0.

вЕШ

Напомним, что замкнутый ориентированный путь в О - это последовательность ориентированных ребер еI € Е(О), г = 1,...,п, таких, что г(е^) = о(ен+1) для г = 1, . .. ,п — 1 и г(еи) = о(е!).

2. Предварительные сведения

Пусть а1, а2, ..., ат € Ъ. Обозначим через ОСБ(а\, а2, .. ., ат) = (а1, а2, .. ., ат) наибольший общий делитель а1, а2, . .., ат в кольце целых чисел Ъ. Мы будем использовать следующие очевидные свойства наибольшего общего делителя.

(1) (а, а + Ь) = (а, Ь) = (а, а — Ь);

(и) (а,Ь,с) = (a, (Ь,с));

(ш) (ка,кЬ) = к(а,Ь).

Введем полиномы Чебышева первого и второго рода:

Тп(х) = сов(п агеео8(х)),

ип-1(х) = 8ш(п агссов(х))/8т(агссов(х)).

Приведем следующие основные свойства этих полиномов.

1° Тп(х)=2хТп-1(х)—Тп-2(х), То(х)=1, Т1(х)=х, 2° ип(х)=2хИп-1(х) — Пп-2(х), ио(х)=1,

и~1(х)=2х.

В данной статье мы преимущественно будем интересоваться значениями полиномов Чебышева в точке х = 2. В этом случае

Тп(2) = ((2 + ^3)п + (2 — ^3)п)/2 и ип-1(2) = ((2 + V3)п — (2 — ^3)п) / (2^3) .

Будем использовать следующую теорему о строении конечной абелевой группы.

Теорема А. Пусть А - конечная абелева группа, порожденная элементами х1, х2,..., хп и удовлетворяющая системе уравнений

п

а^х^ = 0, г = 1, .. ., т,

3=1

где А = {а^з} - целочисленная т х п матрица. Пусть Бз, ] = 1, ..., г = шт(п, т) - это наибольшие общие делители всех ] х ] миноров матрицы А. Тогда

А — © ЪВ2/В1 © ЪВ3/В2 © • • • © ЪВГ/Вг-1 .

Последнее разложение известно также как нормальная форма Смита. Детальное доказательство этой теоремы можно найти в ([8], гл. 3.22).

3. Основной результат

3.1. Вычисление группы Пикара для лестницы Мебиуса

Рассмотрим лестницу Мебиуса Мп как граф, показанный на рис. 1, с пронумерованными вершинами 1, 2,..., 2п. Обозначим через !^, г = 1,... ,п поток вдоль ориентированного ребра (г, г + п) с начальной вершиной г и конечной вершиной г + п. Также обозначим через х^ и Х^, г = 1,... ,п потоки вдоль ориентированных ребер (г — 1, г) и (п + г — 1, п + г) соответственно. Для простоты отождествим вершины 0 и 2п.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

у \ Г\ Х3 • # \х

Д'с1" У

х\ / Xе1' Ух,

\iZcl \ и/ 1

Х2

Рис. 1. Лестница Мёбиуса

Из первого закона Кирхгоффа имеем следующие уравнения:

Ыг =Хг-Х1+1, г — 1,...,п - 1, йп =хп-XI,

|^г — Хг+1 Хг, г — 1, ... ,п — 1, dn =Х1 —Хп.

Используя второй закон Кирхгоффа для замкнутых путей ^ — (г,п + г,п + г + 1, г + 1), мы имеет следующую систему уравнений:

\ Хі+і+в>і+\ —Хі+і—в>і—0, і — 1,... ,п — 1

І Хі — dl — Хі — — 0.

Выразим di для г — 1,... ,п — 1 из уравнений di — хг—хг+1, г — 1,..., п—1. Подставим их в уравнения хг+1 + di+1 —Хг+1 —di — 0, г — 1,...,п — 2. При этом мы получим представления для Хг, г — 2,... ,п — 1 через хг, г — 1,... ,п.

Теперь, используя полученные выражения Хг, г — 2,... ,п — 1, а также уравнения dn-l —

Хп Хп-1 — хп-1 хп и dl — Х2 Х1 — х1 х2,

получим аналогичные представления для Хп и Х1 соответственно.

Имеем следующие соотношения между Хг и хг.

Хі —2 4 —1 0 . . . 0 0

Х2 —1 3 —1 0 . . . 0 0

Хп—і 0 0 . . . 0 —1 3 —1

Хп 0 0 . . . 0 —1 4 —2

Хі

Х2

Хп — і Хп

/

Подставляя эти тождества в уравнения вида хг — хг+1 — Хг+1 — Хг, г — 2,... ,п — 2, получим п — 3 соотношения на х1, х2,..., хп. Запишем их в первые п — 3 строчки матрицы (4).

Используя уравнение хп + dn — Хп — dn-1 — 0 и вспоминая, что dn — х1 — Хп, dn-1 — хп-1 — хп, получим следующее: х1 + 2хп-2 — 9хп-1 + 6хп — 0.

Теперь, используя Х1 — d1 — х1 — dn — 0 и за-

Рассмотрим второй закон Кирхгоффа для контура (0,1, 2,... ,п), он запишется следующим образом: х1 + х2 + ... + хп + dn — 0. Откуда извлекаем еще одно выражения для dn. Подставляем его в уравнение хп + dn — Хп — dn — 1 — 0. В результате получим еще одно соотношение на х1, х2,..., хп. Оно записано в последней строчке матрицы (4).

Таким образом, получаем, что группа Пика-

мечая, что (їі — Хі — 43 — Хп — Хі, имеем ра Jac(Mn) порождена элементами хі, х2 ,..., хп,

6хі — 9x2 + 2хз + Хп — 0. удовлетворяющими следующим соотношениям:

/ 1 —5 5 —1 0 . . . 0 0 0 0 \ ( хі \

0 1 —5 5 —1 . . . 0 0 0 0 Х2

0 0 0 0 0 . . . 1 —5 5 —1 Х . . со — .0 4)

1 0 0 0 0 . . . 0 2 —9 6 — п

6 —9 2 0 0 . . . 0 0 0 1 Хп — і

V 1 1 1 1 1 . . . 1 0 6 —3 Хп )

Теперь сократим число порождающих группы х1 , х2 , хп удовлетворяют следующему рекур-

Зас(Ып) с п до 3. А именно - покажем, что груп- сивному соотношению: па Зас(Ып) порождена элементами х1 , х2 , х3 , удо-

Хj — 5х^+1 + 5х^+2 — Хj+з — 0, і — 1, 2,..., п — 3.

влетворяющими трем линеиным уравнениям.

Для этого, заметим, что порождающие

Характеристический многочлен этого уравне-

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

ния равен 1 — 5д + 5д2 — д3 =0.

Числа д1 = 1, д2,з = 2 ± \/Ъ являются корнями этого многочлена. Отсюда общее решение рекурсии задается формулой х^ = С1 + С2дз + С3д-3, где д = 2 + л/3 и С1, С2, С3 - константы, зависящие только от начальных значений Х1, Х2, Х3. В результате мы получаем Х4, Х5,..., хп как линейную комбинацию Х1, Х2 и Х3, коэффициенты которой могут быть явно найдены.

Подставляя полученные соотношения в последние три строки системы (4), имеем:

ацХ1 + Я12Х2 + Я1зХз = 0,

Я21Х1 + а22'Х2 + Я23'Х3 = 0,

а31Х1 + аз2Х2 + аззХз = 0.

Заметим, что Тп(2)=(дп+д-п) / 2 и

ип-1 (2)=(дп—д-п)/(2у/3). Вычисляя напрямую, получаем следующие явные формулы для

агз, ^, 3 1,12, 3

ац=2Т — 5 и, а12 = — 2Т+3и, а1з=2Т — 2 и,

а21=Т—19и, а22= — 7Т+12и, а2з=3Т — |и,

аз1=2Т — 7и — п, аз2= — 5Т + 2и+2п,

азз=2 Т—и—п,

где Т =1 + Тп (2) и и = ип-1(2).

Теперь докажем следующую лемму.

Лемма 1. Пусть Б1- наибольший общий делитель а^з, 1,3 = 1, 2, 3. Тогда

Б1 = ССБ(п,Т,и )/ОСБ(2, п). Доказательство леммы 1. Имеем:

Dl — ООБ(аіз) — ОСП(ац, 012, аіз, 021, 022 — 4аі2,а2з — Заіз, азі, аз2, азз) —

= GCD(all, al2, a13, a21, T, —U, аз^ аз2, а33) —

— GCD(T,U, 1(Т — и), — 2(и + п), 2(—Т + и) + 2п, 2(Т — п)) —

— GCD(T,U, 2(Т — и), 2(Т — п) — 2(и + п) + 2(—Т + и), 2(—Т + и)+2п, 2(Т — п)) —

— GCD(T,U, —п, 2(Т — и), 1(—Т + и) + 2п, 1(Т — п)) — GCD(T,U,n, 1(Т — и), 2(Т — п)).

Из основных рекурсивных соотношений для полиномов Чебышева 1° и 2°, имеем следующие свойства. Числа Т = 1 + Тп(2) и и = ип-1(2) той же четности, что и п. Более того, если п четно, то

Т—п

^21 нечетно.

Рассмотрим два случая: п нечетно и п четно. В первом случае мы имеем:

А = ОСБ(Т,и,п, 2(Т — и), 2(Т — п)) = = ОСБ(Т, и, п, Т — и,Т — п) = = ОСБ(Т, и, п) = ССБ(п, Т, и)/ОСБ(2, п).

Во втором случае:

А = ССБ(Т,и,п, 1(Т — и), 2(Т — п)).

Т — п

Так как--------нечетно, получим:

Dl — GCD(іТ, іU, 2п, і(Т — U), і(Т — п)) —

Теперь наша цель - найти наибольший общий делитель всех миноров порядка 2 матрицы А — {о,із}іл=і,2,з- Обозначим через ш^ минор порядка 2, полученный удалением і—ой строки и І —ого столбца матрицы А. В результате вычислений имеем:

ТО11 = —Ш22 = ^((п + 1)Т) — пи, Ш12 = —Ш23 = ( —1 — 2п)Т + 12-и,

1 1 п

Ш13 = ^(1 + 15п)Т — 13пи, Ш21 = 2Т — ^и,

тз1 = —тз2 = тзз = Т.

Докажем также следующую лемму.

Лемма 2. Пусть Б2 - наибольший общий делитель миноров т^з, 1,3 = 1, 2, 3. Тогда

В2 = ОСБ(Т,пи )/ССБ(2,п).

GCD(1 п, 2Т, 2U) — GCD(n,T,U)/2 — GCD(n,T,U )/GCD(2,n).

D2 — GCD

Доказательство леммы 2. Из явного вида формул для т^ имеем:

ССБ(тц,т12 + т21, т1з, т21, тзз) =

— GCD(Ш11,Ш12 + Ш2і + 2пшзз, шіз — 7пшзз + шп — (п + !)шзз, ш2і,шзз) —

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

= GCD(і((n +1)T)—nU, 3nU, — 14nU, іT—nU,T) = GCD(±((n + 1)T) — nU,nU, іT — nU,T). Теперь рассмотрим случай, когда n = 2m четно. D2 = GCD(і((2m + 1)T)—2mU, 2mU, іT—U, T) = = GCD(lT, 2mU, \T — mU, T) = GCD(\T, 2mU, —mU) = = GCD(іT, mU) = GCD(±T, ^U) = GCD(T, nU)/2 = GCD(T, nU)/GCD(2,n).

С другой стороны, когда п = 2ш + 1 нечетно, оба Т и и нечетны. Получим:

D2 = GCD((m + 1)T — (2m + 1)U,

(2m + 1)U, 1T — U,T ) =

1 2m —I— 1

= GCD((2m + 1)U, -T---------U, T) =

= GCD((2m + 1)U, T — (2m + 1)U, T) =

= GCD(T, (2m + 1)U) = GCD(T, nU).

Пусть

D, -

определитель матрицы

7ас(М(п)) =  Ъо2/о1  ^о3/о2

Принимая во внимание леммы 1, 2 и 3, получим следующую теорему.

Теорема 1. Группа Пикара лестницы Мебиуса М (п) имеет следующее представление:

Jac(M(n)) — Z(п,т,и)  Z (T,nU)  Z (2,n)nT ,

U = Un-l(2), а Tn(2) = ((2 + V3)n + (2 — V3)n)/2 и Un-l(2) = ((2 + V3)n — (2 — V3)n)/(2V3) - поли-

{aij}i,j=i,2,3• По теореме Кирхгоффа, D3 совпа- где (l,m,n) = GCD(l,m,n), T = 1 + Tn(2),

дает с числом порождающих деревьев лестницы Мебиуса M (n). Это число хорошо известно и было независимо вычислено многими автора- номы Чебышева первого и второго рода соответ-

ми (J. Sedlacek, J.W. Moon, N. Biggs и др.) [5].

Приведем этот результат в следующем виде.

Лемма 3. Пусть D3 - определитель матрицы {aij}i,j=1,2,3- Тогда D3 выражается следующей формулой:

D3 = nT,

ственно.

3.2. Вычисление группы Пикара для призматического графа

Рассмотрим призму Рг(п) как граф, изображенный на рис. 2, с пронумерованными верши-

где Т = 1+Тп(2), а Тп(2) = ((2+^Д)п+(2-^Д)п)/2 нами 1 2,...,п,п + 1,,..., 2п. °б°значим через

- полином Чебышева первого рода. ^ і = 1,...,п поток вДоль ориентированного

ребра

ние группы Пикара для M(n):

и (i + n,i + n +1) соответственно.

Рис. 2. Призматический граф Из первого закона Кирхгоффа имеем следую-

щие уравнения:

I dl=xl—xn, di=xi—xi-l, i = 2,...,n,

I dl Xn Xl? di Xi-l Xi, i ‘2! . . .1 n.

di + x^ — di+l — Xi — 0, i — 1,..., n — 1 dn + xn — dl — Xn = 0.

Используя второй закон Кирхгоффа для замкну- Подставляя di, i = 1, . . . , n, выраженные из тых путей Wi = (i, n+ i, n + i + 1, i + 1), мы имеем первой строки системы (б) в систему (Т), имеем следующую систему уравнений: следующие соотношения между Xi and xi.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

Х1 ^ / 3 -1 00 . . . 0 -1

Х2 -1 3 -1 0 . . . 0 0

Хп-1 0 0 . . . 0 -1 3 -1

Хп \ -1 0 . . . 0 0 —1 3

/ Х1

Х2

хп-1 \ Хп )

Подставляем полученные выражения Xг че- кону Кирхгоффа, для контура (п + 1,    , 2п), рез хг в следующие выражения из системы $^П=1 хг = 0.

(6): Х1 — хп = Хп — Х1, хг — х—1 = Хг-1 — Хг, Таким образом, группа Пикара 1ае(Рт(п)) по-

г = 2,... ,п — 1, получим п — 1 соотношение на рождена элементами Х1, х2,   , хп, удовлетворяю-Хг, г = 1,,n Заметим, что, по второму за- щими следующим соотношениям:

/ 1 -5 5 -1 0 . .0 0 0 0 \ / х1 \

0 1 -5 5 -1.. .0 0 0 0 х2

0 0 0 0 0 . .1 -5 5 -1 хп-з

5 -1 0 0 0.. .0 0 1 -5 хп-2

-5 5 -1 0 0 . .0 0 0 1 хп-1

V 1 1 1 1 1.. .1 1 1 1 \ хп /

Теперь сократим число порождающих группы лучаем следующие явные формулы для а 1ае(Рт(п)) с п до 3. А именно - покажем, что груп- і, і = 1, 2, 3 : па 1ае(Рт(п)) порождена элементами хі, Х2, хз, удовлетворяющими трем линейным уравнениям.

Для этого, заметим, что порождающие а11 х1, х2,..., хп удовлетворяют следующему рекурсивному соотношению:

—7Ь +12и, а12

91 — 1Ъи,

а1з = —2Ь + 3и,

хз — 5х^+1 + 5х^+2 — х^'+з = 0, і = 1, 2,..., п — 3.

Характеристический многочлен полученного уравнения равен 1 — 5ц + 5ц2 — цз = 0. Числа Ц1 = 1, ?2,з = 2 ± %/3 являются корнями этого многочлена. Отсюда, общее решение рекурсии задается формулой хз = С1 + С2+ Сзц-3, где ц = 2 + л/3 и С1, С2, Сз - константы, зависящие только от начальных значений х1, х2, хз. В результате мы получаем х4, х$,..., хп как линейную комбинацию х1, х2 и хз, коэффициенты которой могут быть явно найдены.

Подставляя полученные соотношения в последние три строки системы (9), имеем:

ацх1 + а12х2 + а1зхз = 0,

а21х1 + а22х2 + а2зхз = 0,

аз1х1 + аз2х2 + аззхз = 0.

Заметим, что Тп(2) = (цп+ц п)/2 и ип-1(2) = (цп — Ч-п)/(2л/3). Вычисляя напрямую, по-

а21

а22

—7Ь + 12и,

а2з

7 п 5 9

аз1 = —2Ь +2 и — ^, аз2 = ^ Ь — ^ и + 2п,

1п азз = — ^ Ь + и — 2,

где Ь = Тп(2) — 1 и и = ип-1(2).

Теперь докажем следующую лемму.

Лемма 4. Пусть Б1 — наибольший общий делитель а^гз, г,] = 1, 2, 3^ Тогда

Б1 = ССБ

Доказательство леммы 4. Имеем:

0

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

Б\ — ССБ^з) — ССВ(ац, а 12 — 5а1з, 013, 021 — 4а2з, а22, а2з, 031, аз2, 033) —

= 0С0(а11, —Ь, а1з, — 2Ь — 2и, а23, а31, а32, азз) —

— вСВ(—Ь, 3и, — ^(Ь + и), —4и, 2(7и — п), 2 (Ь — и) + 2п, — ^(Ь + п) + и) —

= ссо(ь, и,— 2(Ь + и), 2(и — n),2(Ь — и) + 2n,— 2(Ь + п)) —

— ссв(ь,и,— 2(Ь + и), 2(и — п) — 2(Ь + п) 2(Ь — и) + 2п— 2(Ь + п)) —

— ссо(ь, и,— 2(Ь + и), — 2(Ь — и) — п 2(Ь — и) + 2n,— 2(Ь + п)) —

— асБ(ь,и,п, 2(ь + и), 2(ь — и), 2(ь + п)) — асБ(ь,и,п, 2(и + п), 2(ь + п)).

Из основных рекурсивных соотношений для ] —ого столбца матрицы А В результате непосред-полиномов Чебышева 1° и 2° очевидно следующее ственных вычислений имеем: свойство: числа Ь — Тп(2) — 1 и и — ип_1(2) той

же четности, что и п. 1 1 7п

Теперь рассмотрим два случая: когда п нечет- т11 — —(п + 1)Ь — пи, т12 — (----2п)Ь +---и,

но и когда п четно. В первом случае мы имеем:

т.13 — —(1 + 15п)Ь — 13пи,

11 2 ^ — °СП(Ь,и,п, 2(и + п), 2(Ь + п))— (п 3 (5п 9

т21 — — (2 + 1)Ь и, т22 — (2 + 1)Ь — -2 и,

— ОСБ(Ь,и,п,и + п, Ь + п) — 2 2 2 2

,19п 33п

— ОСВ(Ь,и,п) — ОСБ(п,Ь,и )/ССВ(2,п). т2з — — (— + 1)Ь + — и,

Во втором случае, учитывая четность п и свой- тз1 — _тз2 — тзз — Ь.

ства 1° и 2° полиномов Чебышева, получим:

Докажем следующую лемму.

В\ — ОСВ(Ь,и,п,1 (и + п), 1 (Ь + п)) — Лемма 5. Пусть В2 - наибольший общий де-

литель миноров т^з, г,] — 1, 2, 3. Тогда

2Ч " 2

= ОСВ(п, Ь, и)/2 = ОСВ(п, Ь, и)/ОСВ(2, п). Теперь наша цель — найти наибольший об-

в2 = асв(т,пи )/асв(2,п).

щий делитель всех миноров порядка 2 матрицы

А = {2—}іі^=іі2,з. Обозначим через ш— минор Доказательство леммы 5. Из свойств явной

порядка 2, полученный удалением і—ой строки и формулы для ш— имеем:

В2 = ОСВ(ш11, Ш12, Ш13, Ш21, Ш22, Ш23, Ш31) =

= ОСВ

„„^,п + 1 г тт 1т 7пт п + 1 тт п 3пт п 9п г п 33птт

= ОСВ(----------------------------------------------------------------Ь — пи, — Ь +-и, -Ь — 13пи, — Ь +— и, —Ь-и, — Ь +-и, Ь) =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '

п І 1 1 7п п

= ОСВ(—2— Ь — пи, — -Ь + — и, —12пи, — -Ь + — и, —3пи, 15пи, Ь) =

_ _ _ _ _

1 7п п

= ОСВ(4пи, — 2Ь +—— и, — 2Ь +—— и, —3пи, Ь) =

1 7п п 1 п п п

= ССВ(пи, — 2Ь + _2_и, — 2Ь + “2~и, Ь) = ССВ(пи, — 2Ь + 2и, — 2Ь + 2и, Ь).

Вначале рассмотрим случай, когда п = 2ш = ОСВ(2ши, — 1Ь + ши, ши, Ь) =

но. = ОСВ( 1Ь, ши) = ОСВ(2Ь, 2ри) =

В2 = ОС В (пи, — 2 Ь + § и, — п Ь + п и, Ь) = ОСВ(Ь пи ')/2 ОСВ(Ь пи )/ОСВ(2,п).

= ОСВ(2ши, — 1Ь + ши, —шЬ + ши, Ь) = Пусть теперь п = 2ш + 1 нечетно, тогда, в си-

Вестник КемГУ № 3j1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

лу свойств 10 и 20, оба числа L и U нечетны. В результате получим:

1 n n n

D2 = GCD

1 2m —I— 1

= GCD((2m + 1)U, — - L + -±- U,

2m + 1 2m + 1

L +---------------U, L)

2

2

Jac(Pr(n)) = Z(n,L,u)  Z (L,nu)  Z (2,n)nL

(2,n) (n,L,U) (L,nU) '

= GCD((2m + 1)U, —L + (2m + 1)U,

— (2m + 1)L + (2m + 1)U, L) =

= GCD((2m + 1)U, L) = GCD(nU, L).

Пусть D3 - определитель матрицы

{a-ij}i,j=i,2,3. По теореме Кирхгоффа, D3 совпадает с числом порождающих деревьев призматического графа Pr(n). Это число хорошо известно и было независимо вычислено многими авторами (J. Sedlacek, J.W. Moon, N. Biggs и др.) [5]. Приведем этот результат в следующем виде.

Лемма 6. Пусть D3 - определитель матрицы {aij}i,j=i,2,3. Тогда D3 выражается следующей формулой

D3 = nL,

где L = Tn(2) — 1, а Tn(2) = ((2 + V3)n +

+ (2 — V3)n)/2— полином Чебышева первого рода.

Из теоремы о строении конечных абелевых групп (Теорема А) получим разложение для группы Пикара графа Рг(п):

Jас(Рг(п)) = ZD1  ZD2/D1  ZDз/D2 .

Принимая во внимание леммы 1, 2 и 3, установим следующую теорему:

Теорема 2. Группа Пикара призматического графа Рг(п) имеет следующее представление:

где (l, m, n) = GCD(l, m, n), L = Tn(2) — 1,

U = Un-i(2), а Tn(2) = ((2 + ^3)n + (2 — y/3)n)/2 и Un-i(2) = ((2 + V3)n — (2 — V3)n)/(2V3) -полиномы Чебышева первого и второго рода соответственно.

Литература

[1] Cori, R. On the sandpile group of a graph / R. Cori, D. Rossin // European J. Combin. - 2000. -Vol. 21, no. 4. - P. 447 - 459.

[2] Baker, M. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs / M. Baker, S. Norine // Int. Math. Res. Notes. -2009. - Vol.15. - P. 2914 - 2955.

[3] Biggs, N. L. Chip-firing and the critical group of a graph / N. L. Biggs // J. Algebraic Combin. -1999. - Vol. 9, no. 1. - P. 25 - 45.

[4] Bacher, R. The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph / R. Bacher, P. de la Harpe and T. Nagnibeda // Bulletin de la Societe' Mathematique de France. - 1997. - Vol. 125. - P. 167 - 198.

[5] Boesch, F. T. Spanning tree formulas and Chebyshev polynomials / F. T. Boesch, H. Prodinger // Graphs and Combinatorics. - 1986. - Vol. 2, №. 1.

- P. 191 - 200.

[6] Lorenzini, D. Smith normal form and laplacians / D. Lorenzini // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 2008. - Vol. 98, no. 6. - P. 1271 -1300.

[7] Biggs, N. L. Algebraic potential theory on graphs / N. L. Biggs // Bulletin of the London Mathematical Society. - 1997. - Vol. 29, no. 6. -P. 641 -- 682.

[8] Marcus, M. A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities / M. Marcus, H. Minc. - New York: Dover Publications: Mineola, 1992. - 192 pp.