Применение метода вращения для повышения эффективности расчета магнитных полей накладных магнитострикционных уровнемеров

УДК 519.711.3

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВРАЩЕНИЯ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ НАКЛАДНЫХ МАГНИТОСТРИКЦИОННЫХ УРОВНЕМЕРОВ

Э. В. Карпухин, Е. С. Дементьева, С. В. Селиванов

APPLICATION OF THE ROTATION METHOD TO ENHANCE THE EFFICIENCY OF THE CALCULATION OF THE MAGNETIC FIELDS OF OVERHEAD MAGNETOSTRICTIVE LEVEL GAUGES

E. V. Karpukhin, E. S. Dementjeva, S. V. Selivanov

Аннотация. Актуальность и цели. В составе многих современных систем автоматизации производства часто применяются накладные магнитострикционные преобразователи уровня (НМПУ). Разработкой НМПУ занимаются различные отечественные и зарубежные компании, однако российские образцы пока во многом уступают импортным аналогам. Поэтому возникает необходимость проведения исследований подобных приборов с целью повышения эффективности их функционирования. Материалы и методы. Для проведения исследований предлагается использовать методы математического моделирования и численные методы. В частности, при проведении моделирования магнитных полей НМПУ была задействована итерационная методика Ричардсона и показан оптимальный способ вычисления параметров ускорения сходимости с применением метода вращения. Результаты. В работе была подробно описана модифицированная методика Ричардсона решения систем разностных уравнений магнитных полей НМПУ и показана ее эффективность за счет сокращения числа итераций. Выводы. Предложенная методика численного моделирования магнитных полей может применяться также для исследования других аналогичных устройств, что подтверждает ее универсальность и эффективность.

Ключевые слова: математическое моделирование магнитных полей, численные методы, метод Ричардсона, метод вращения.

Abstract. Background. As a part of many of today's industrial automation systems are often used overhead magnetostrictive level transmitters (MLT). The development MLT engaged in various domestic and foreign companies, however, the Russian model is largely inferior to foreign analogues. Therefore there is a need for studies of such instruments in order to increase their efficiency. Materials and methods. For the research proposed to use the methods of mathematical modeling and numerical methods. In particular, during the simulation of magnetic fields MLT iterative procedure Richardson has been involved and shown the best way to calculate the acceleration of the convergence of the parameters using the rotation method. Results. its efficiency by reducing the number of iterations of Richardson modified technique for solving systems of differential equations and magnetic fields NMPU shown has been described in detail in the work. Conclusions. The proposed method of numerical simulation of magnetic fields can also be used to study other similar devices, which proves its versatility and effectiveness.

Key words: mathematical modeling of magnetic fields, numerical methods, Richardson's method, method of rotation.

Введение

При проведении математического моделирования магнитных полей накладных магнитострикционных уровнемеров (НМПУ) возникает задача

решения систем конечно-разностных уравнений с большим числом неизвестных. Такая задача была сформулирована и решена в работах многих авторов, например [1, 2]. Определение искомых магнитных потенциалов проводилось с применением численных методов, требующих значительных вычислительных ресурсов и времени при моделировании НМПУ со сложной геометрией акустического тракта для байпасных систем.

Однако практика решения систем уравнений, подобных по своей структуре конечно-разностным уравнениям, получаемым для магнитного поля НМПУ, позволяет выработать некоторые способы сокращения времени расчета при сохранении, а иногда и повышении точности результата [2, 3]. В частности, хороший выигрыш во времени и точности дает модификация метода Ричардсона с расчетом оптимального набора параметров методом вращения. Рассмотрим эту методику более подробно.

Постановка задачи

Как известно, система уравнений Максвелла, описывающая, в частности, распределение магнитных полей НМПУ, тем или иным методом может быть аппроксимирована системой конечно-разностных уравнений вида [4]

Аи = Ь,

где А = Щ у || - матрица коэффициентов системы, и - столбец неизвестных

(потенциалов), Ь - столбец правых частей.

При этом о матрице А известно, что она разрежена и является плохо обусловленной, а сама система уравнений имеет большое число неизвестных, соизмеримое с числом узлов сетки [5].

Из различных источников [6, 4] известно, что для решения систем разностных уравнений вида (1) в расчетной области со сложной геометрией наиболее целесообразно применение метода Ричардсона, попеременно-треугольного метода, различных итерационных методов вариационного типа, причем все они, кроме первого, требуют предварительного расчета многих параметров, позволяя при этом решать задачу в областях с ярко выраженной неоднородностью сред.

В рамках решаемой задачи расчетная область НМПУ типа для байпас-ных систем не обладает значительной неоднородностью, поэтому в данном случае эффективным будет использование метода Ричардсона. Основной трудностью при использовании этого метода является частичная проблема отыскания собственных чисел Xтах и XтЬ массива А. При этом в случае

решения задачи на ЭВМ наиболее целесообразным представляется использование метода вращения для отыскания указанных собственных значений [5].

Описание метода решения задачи

Подход к построению итерационной схемы Ричардсона заключается в изучении поведения ошибки 8 = /(п). Такой анализ позволяет выбрать параметр т, рассматривая характер изменения ошибки 8п при переходе от п-й к (п+1)-й итерации, причем

5n n T

= u - u ,

T

где u - массив точных значении потенциалов.

Действительно, на границах расчетной области заданы краевые условия и ошибка на них равна нулю. Поэтому внутри области функцию 5n можно разложить в ряд Фурье, который будет иметь вид

en • kп.  тп ,

5,- , = У Ckm sin—г  sin-] ,

h ] j-1 km N M

k ,m

где коэффициенты разложения Cm зависят от параметра т и номера n итерации [5]. Чем меньшее значение имеет коэффициент Скт , тем меньшее влияние гармоника k,m оказывает на общую ошибку 5n.

Поэтому выбор оптимального значения тo следует осуществлять из критерия наилучшего подавления гармоник ошибки в средней части спектра. Учтем также, что гармонический состав ошибки 5n от итерации к итерации может изменяться, и для максимальной эффективности метода следует выбирать новое значение тП на каждом шаге [5].

В использовании набора оптимальных значений тП заключается основное преимущество метода Ричардсона. Медленная сходимость других методов (метода простой итерации, Зейделя, верхней релаксации) объясняется тем, что низко- и высокочастотные гармоники ошибки 5n подавляются с одинаковой скоростью и общая сходимость метода определяется лишь крайними границами спектра ошибки. Введение же набора оптимальных значений

тО обеспечивает поочередное подавление всех гармоник ошибки и ее равномерное быстрое уменьшение за небольшое число итераций.

Рассмотрим способы получения набора оптимальных значений тО .

Для этого, полагая тп зависящим от номера итерации, запишем итерационную схему Ричардсона в виде [5]

un+1 =

В силу того, что соотношение, аналогичное (4), будет выполняться и для массива точных значений потенциалов uT, и с учетом (2) для ошибки 5П можно записать:

5n+1 =

Тогда, обозначив начальную ошибку (при n = 0) через 50, получим выражение для ошибки после n1 итераций:

5П1 =50 f]

n=0

Используя (6), можно показать, что для наилучшего подавления ошибки за "1 итераций, параметры х" должны выбираться исходя из условия [5]

П

"=0

= шт .

На практике отыскание набора параметров х", минимизирующих норму (7), обычно заменяют отысканием х" е ^ХЩ^;ХЩ^ь ], при которых многочлены Чебышева первого рода степени "1 принимают наиболее близкие к нулю значения. Тогда, как известно [5]:

х" = 2 ( (9" - П^-1

1 1/1 1 \ (2" - 1)л Хшах + Хшт + (Хшах + Хшт ) С08'

шах шш ^ шах шш ^ /-ч

V 2"1

1 < п < "1.

Рассчитанные в соответствии с (8) первые элементы последовательности х" имеют порядок 1/ Хшах , и потому на первых итерациях наиболее активно подавляются гармоники ошибки, соответствующие правой части спектра. Составляющие же левой части спектра гармоники подавляются на этих итерациях медленно. Однако они активно подавляются старшими элементами последовательности х", имеющими порядок 1/XшЬ, т.е. при х" ^ х"1. Таким образом, происходит значительное равномерное уменьшение ошибки 8" за "1 итераций [2].

При решении практических задач на ЭВМ методом Ричардсона обычно задаются сравнительно небольшим числом "1 ~ 10...50, рассчитывают параметры х"1 по формуле (7) и повторяют серии по "1 итераций (4) с одними и

теми же параметрами х"1 до тех пор, пока не выполнится критерий точности.

Метод Ричардсона характеризуется высокой скоростью сходимости. Известно, что при использовании оптимального набора параметров х" число итераций " на сетке размером N XМ узлов зависит от заданной точности е следующим образом [5]:

" = 0,32 NM 1п-.

е

Так как основной трудностью при реализации данного метода является отыскание собственных чисел Xшах и XшЬ массива А, рассмотрим далее некоторые приближенные методики их расчета, пригодные для массивов с отмеченными свойствами.

В настоящее время известно большое число методов решения подобных задач. Это методы непосредственного развертывания, итераций, вращения и др. [1, 5]. Все эти методы классифицируются на частичные (позволяющие найти лишь некоторые, зачастую произвольные собственные числа матрицы) и полные (отыскивающие все собственные значения). Так как в контексте данной задачи необходимо найти только минимальное и максимальное собственные числа, использование частичных методов ввиду произвольности получаемых собственных чисел является малоэффективным. Поэтому будем искать все собственные значения полным методом, а затем выбирать из них максимальное и минимальное.

Наиболее эффективным полным методом, применяемым для симметричных матриц большого размера, является метод вращения [2]. Суть данного метода заключается в следующем.

Метод основан на преобразовании подобия исходной симметричной матрицы А с помощью ортогональной матрицы Н. В методе вращения в качестве матрицы Н берется ортогональная матрица, такая, что ННТ = НтН = Е, где Е - единичная матрица.

В силу свойства ортогональности преобразования подобия исходная матрица А и матрица А(г), полученная после преобразования, сохраняют свой след и собственные числа , т.е. выполняется равенство

Ы = £ аи = А£ = Ы(г).

Идея метода вращения состоит в многократном применении преобразования подобия к исходной матрице:

А

Формула (11) определяет итерационный процесс, в ходе которого на к-й итерации для произвольно выбираемого недиагонального элемента а(к),

, переводящая этот элемент и 0. При этом на каждой итерации недиагональ-

' Ф у определяется ортогональная матрица Н

элемент а

ный элемент а(к) выбирается среди максимальных. Матрица Н(К) при этом

называется матрицей вращения Якоби, она зависит от угла поворота ф(к), определяемого из выражения

1в2ф(к) =

2а

а(к) - а (к) '

причем

2ф(к) <2

Н(к) =

(1

0 0 0

0 0 0

' < у, и имеет вид [4] 0 0 0 .

1

0

0

0 008 ф( к) 0

0 0

0 8Ш Ф( к) 0 0

0

0

0

0

0 0

0 - 8Ш Ф

0 0

008 ф( к) 0

0 0 0

0 0 1

0 ^

0 0 0

0 0 0

В ходе итерационного процесса (10) при к-

модули всех недиаго-

нальных элементов а

(к) У '

1Ф у стремятся к нулю, а сама матрица

А(к) ^ diag(Л1,X2,...Хп). Критерием достижения требуемой точности е метода вращения является [5]

max

'Ф У

7

< е.

Обсуждение результатов эксперимента и выводы

Реализация алгоритма вращения для поиска собственных чисел матрицы коэффициентов системы позволила провести оценку эффективности метода Ричардсона с оптимальным набором параметров тП, вычисленных по формуле (8). Экспериментальные зависимости числа итераций п от заданной точности е, полученные при различных наборах параметров тп, показаны на рис. 1.

Как видно, число итераций п при наборе параметров тО, рассчитанных по формуле (8) с применением метода вращения (линия 2), незначительно отличается от идеального теоретического (линия 3), определяемого выражением (9). При случайном выборе набора параметров тп (линия 1) число итераций возрастает в 2-3 раза.

Рис. 1. Влияние набора параметров тп на число итераций п по методу Ричардсона

Таким образом, использование разработанной методики численного расчета магнитных полей НМПУ для байпасных систем сокращает число итераций и время решения, доказывая ее эффективность.

п

Е

Список литературы

1. Демин, С. Б. Магнитострикционные системы для автоматизации технологического оборудования : моногр. / Демин С. Б.. - Пенза: ИИЦ ПГУ, 2002. - 182 с.

2. Мокроусов, Д. А. Исследование байпасной измерительной системы с магнито-стрикционным уровнемером методом математического моделирования / Д. А. Мокроусов, Э. В. Карпухин, С. Б. Демин, Е. С. Демин // Современные проблемы науки и образования : электрон. журн. - 2014. - № 4. - URL: www.science-education.ru/118-13765 (дата обращения: 06.10.2015).

3. Мокроусов, Д. А. Комплекс программ для расчета параметров магнитострикци-онных преобразователей уровня накладного типа со сложной геометрией акустического тракта / Д. А. Мокроусов, Э. В. Карпухин, С. Б. Демин, В. С. Дятков // Современные проблемы науки и образования : электрон. журн. - 2014. - № 3. -URL: www.science-education.ru/117-13707 (дата обращения: 06.10.2015).

4. Карпухин, Э. В. Математическое моделирование магнитных полей накладных магнитострикционных уровнемеров : моногр. / Э. В. Карпухин, С. Б. Демин. -Пенза : ПензГТУ, 2014. - 116 с.

5. Демирчян, К. С. Машинные расчеты электромагнитных полей / К. С. Демирчян, В. Л. Чечурин. - М. : Высш. шк., 1986. - 240 с.

Карпухин Эдуард Владимирович

кандидат технических наук, доцент, кафедра физики, Пензенский государственный технологический университет E-mail: edvar1@rambler.ru

Дементьева Елена Сергеевна кандидат педагогических наук, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный технологический университет E-mail: demeles2013@yandex.ru

Селиванов Сергей Валерьевич

студент,

Пензенский государственный технологический университет E-mail: selivanvser@rambler.ru

Karpukhin Eduard Vladimirovich candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of physics, Penza State Technological University

Dementjeva Elena Sergeevna candidate of pedagogical sciences, head of sub-department of physics, Penza State Technological University

Selivanov Sergey Valerjevich student,

Penza State Technological University

УДК 519.711.3 Карпухин, Э. В.

Применение метода вращения для повышения эффективности расчета магнитных полей накладных магнитострикционных уровнемеров / Э. В. Карпухин, Е. С. Дементьева, С. В. Селиванов// Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2016. - № 2 (18). - С. 171-177.