Течение аэрозоля внутри торнадо

Д. А. Петров, В. А. Цибаров

ТЕЧЕНИЕ АЭРОЗОЛЯ ВНУТРИ ТОРНАДО*

Изучение такого разрушительного явления как смерч (торнадо) актуально и важно для практики. Тем не менее оно до сих пор не исследовано. Это связано с невозможностью размешения приборов наблюдения внутри торнадо. Литература о смерчах (см., например, [1, 2]) носит, в основном, характер качественного описания явления и перечисления различных связанных с ним явлений. Иногда высказываются предположения

о причинах образования смерчей [2], включая электрические процессы, но убедительных доказательств таких гипотез нет. Имеются публикации [3], в которых при математическом моделировании движения смерча делается необоснованное предположение о постоянстве его угловой скорости.

Настоящая работа посвящена описанию аэродинамики внутренней области почти вертикального осесимметричного торнадо. Смерч рассматривается как вихревое движение монодисперсного гетерогенного аэрозоля. На данном этапе рассматривается только твердая примесь. Несущая фаза — воздух, рассматриваемый как простой газ (т. е. однокомпонентный газ с эффективными теплофизическими свойствами). В основе описания лежит стохастическая модель газовзвеси [4] и замыкающие соотношения для уравнений динамики взаимопроникающих континуумов [5]. Боковая поверхность смерча моделируется поверхностью раздела. Параметры внутри смерча и вне его связаны условиями скачкообразного типа [4, 6].

1. Основные понятия и свойства. Смерч (или торнадо, или тромб) — атмосферный вихрь, возникающий в грозовом облаке и распространяющийся вниз, часто до самой поверхности Земли, в виде темного облачного рукава или хобота диаметром в десятки и сотни метров. Основная характеристика смерча — вращение. Он не существует без материнского облака. Образование смерча начинается с появления в этом облаке вращения за счет столкновения воздушных масс с резко различающимися параметрами. Затем вниз спускается воронка, превращающаяся в столб, который всегда расширяется к облаку. Огненные смерчи возникают из материнского облака, которое появляется в результате мощного пожара или извержения вулкана.

В соответствии с имеющимися данными (см. [2]), смерчи существуют достаточно долго: зарегистрированная в США продолжительность времени их существования колеблется от нескольких минут до 7 часов 20 минут (Мэттунский смерч, 26 мая 1917 г.). Поперечные диаметры отдельных смерчей вблизи поверхности земли могут достигать 3000 м. Средний их диаметр равен 350-400 м. Высота смерча достигает нескольких сотен метров, а иногда и 1500 м. Снежные смерчи в Арктике могут достигать высоты в 60 м. Средняя скорость перемещения смерча равна 11-17 м/с (максимальное зарегистрированное ее значение — 67 м/с). Тангенциальная составляющая скорости в смерче велика: косвенные замеры дали их значения в пределах от 58 до 360 м/с.

Смерч состоит из внутренней полости (воронки) и стенок. Ширина воронки порядка десятков метров, высота — порядка сотен метров (редко достигает 1000-1500 м). Давление в полости смерча сильно понижено. Одно из важных свойств смерча заключается в

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2259.2003.2).

© Д.А.Петров, В.А.Цибаров, 2005

резкой ограниченности и гладкости стенок полости: наблюдается четкая граница между смерчем и практически неподвижной атмосферой. При околоземном диаметре смерча в 133 м толшина его стенок (h) составляла около 3 м [2].

Восходящие токи воздуха за пределами стенок смерча создают облако или столб пыли (и/или водяных брызг) у его основания. Это явление называется каскадом.

2. Оценки членов в уравнениях переноса. Оценку безразмерных параметров, характеризующих относительный вклад различных членов в уравнениях переноса аэрозоля, можно произвести по близким к комнатным параметрам газа внутри торнадо. В этом случае число Кнудсена, вычисленное по диаметру Do сечения смерча в окрестности Земли,—порядка 10“10 + 10“9, т.к. средняя длина свободного пробега молекул газа £ — 10“7 м. Это означает, что несущую газовую фазу внутри полости можно считать гидродинамически идеальной. Относительная толщина газового пограничного слоя 5g/Do — 10“5 ^ 10“4 (S ^ h). Здесь и далее параметры несущей газовой фазы помечаются индексом g, а параметры взвешенной фазы — индексом p. Параметры среды в целом индексами не помечаются.

Вклад вязких членов в уравнения движения взвешенной примеси [4] порядка «2 = dp/ (6cDo), где с и dp — объемная доля и диаметры частиц. Если считать слой толщиной h = 3 м при Do = 133 м вязким пограничным слоем для взвешенной фазы, то а2 — 5,088 • 10“4. Рассмотрим в качестве включений обычные песчинки. Для них коэффициент формы fc = 0, 67, плотность материала Yp = 1, 6 г/см3 (см. [7]), безразмерный момент инерции частицы kp = 0, 4 (см. [4]). Тогда справедливы следующие оценки: с - 4, 926 • 10“4 при dp = 0, 020 см, с - 3,448 • 10“4 при dp = 0,014 см, с - 3, 201 • 10“4 при dp = 0,013 см, а наиболее вероятная скорость примеси ap — 10 м/с, т. е. она мала по сравнению с наиболее вероятной скоростью молекул газа (ag = 410 м/с) и с тангенциальной скоростью смерча. Такое же утверждение справедливо и относительно разности скоростей фаз w = vg — vp, где vg и vp — среднемассовые скорости фаз. При оценке ap учтено, что боковая поверхность смерча является поверхностью раздела сред и на ней давление аэрозоля внутри смерча совпадает с давлением внешнего воздуха.

Оценка характерного гидродинамического времени (tTO) по характерному значению танегенциальной скорости смерча дает tTO — 3 + 4 с. Характерное гидродинамическое время несущей фазы, вычисленное по наиболее вероятной скорости газа, tg, — 1 + 4 с. Характерное время выравнивания температуры воздуха и частиц tp < 10“3 с. Проделанные оценки указывают на возможность выбора такого минимального интервала времени, на котором течение аэрозоля можно считать квазистационарным, а температуры газа и частиц практически совпадающими.

3. Система уравнений динамики аэрозоля. Учитывая относительную малость напряжений, обусловленных разностью скоростей фаз (порядка o (w2/a2)), по сравнению с давлением газа, целесообразно записать уравнения неразрывности и количества движения газовзвеси для среды в целом. Тогда уравнения неразрывности осесимметричного течения аэрозоля в цилиндрических переменных (r, ф, z) примут вид

др 1 д . . д . . , , й + г*

Pg/P = const, pp/p = const,

где р = pg + pp, pg = £Yg, pp = cyp, £ = 1 — c, Yg —истинная (табличная) плотность чистого воздуха, а (2) выполнено вдоль траектории жидкой частицы с точностью o (|w|/ag).

Оценки вклада различных массовых сил показывают, что с точностью до членов порядка 3, 35 • 10“3 можно учитывать лишь силу тяжести. Тогда изменение количества

движения среды в целом описывается уравнениями

дуг дуг дуг Уф 1 др

-ж + ,,’1^ + ,'<7>;-т = --рэ-г'

^+,^+,= ^ + 5* = °,

дух дух дух 1 др

-Ж + ''а7 + 1’=з7 = -°-~Л-

Здесь р = ре + рр = ре + О (с/е) —давление в среде, д — ускорение сил тяжести, давление несущей фазы ре = ре ИТ, И —газовая постоянная, Т — температура газа и примеси,

1 2 1 + 2кр_ 1-0,16 с2

ф, ,/'= 1 + 4сТТ^Хр' “ (1 -е)(1 - 1.5е) '

Здесь эффективная корреляционная функция Хр = С(^; ^-2, £з)Хр; ^—отношение

времени соударения частиц ко времени их гидродинамического взаимодействия, £ — безразмерные инварианты тензора скоростей деформаций. Более точное выражение для нахождения парной корреляционной функции хр приведено в [4]. Для рассматриваемой задачи можно положить Щ = 0, С =1.

Согласно [8], при наличии интегралов движения (2) гидродинамически идельная нетеплопроводная аэрозоль политропна. Вдоль траектории жидкой частицы с точностью до членов порядка о (^|/ав) имеют место приближенные равенства

р>ъ/Р1 = 1 рР/Рр =1 ,

в которых шапочкой помечены значения параметров, отнесенные к их значениям р0, р0, рР и рР в точке на траектории,

% (1 + ст/с|) ( д \ ^

= Т1---------~ПГ~ ’ £ = 'Пр[1 + стг1п'ф ) , ст = ±сн — ,

1 + пёст/ср V дс ) Ре

п = ср/с, ср, с и сн — удельные теплоемкости газа при постоянном давлении, при постоянном объеме и удельная теплоемкость частицы, пр = 1+2/^’р, ]р — число степеней свободы у включения. Строго говоря, последний интеграл дижения в (6) справедлив, если можно пренебречь квадратом малых пульсаций (с1) объемной доли примеси (с) в потоке газа. В противном случае вместо него имеем уравнение

При с ^ 0 параметр п переходит в показатель адиабаты Пуассона (для воздуха П = 1,4), а £ ^ 1 + 2/]р. Для песка в воздухе имеем с^ = 0,1910 кал/(г-К), с = 0, 2414 кал/(г-К) [9]. Расчеты п при нагреве песка воздухом (ст ^ 0) дали его монотонное убывание от п = 1, 4 до п = 1 при с € [0; 1]. Показатель п = 1, 0002 при с = 0, 5. Обратный процесс (ст < 0) характеризуется возрастанием п от 1,4 до то при с € [0; с*), где с* = ^ср/(7вс + пся7р) — точка обращения в нуль знаменателя п. При с € (с*; с**), где с** = 7вс/(7вс + сн7р) — точка обращения в нуль числителя п, показатель п отрицателен, а при с ^ с** он возрастает от нуля до единицы с ростом с € [с**; 1] (п = 0, 9997 при ст < 0 и с = 0, 5).

Систему (1)—(6) следует дополнить выражением для разности скоростей фаз [8]: _ (7р-78)(30- + 3)с% ( л_ 1 Лч

9к+~Л •

18р^а Иег(1 + аИеь) Кс (3а + 2) V *

Здесь Ие = 7в |w|dp/^g — число Рейнольдса; а — отношение вязкости внутри включения к вязкости несущей фазы р; Кс — коэффициент стесненности [4]; а и Ь — эмпирические константы, определяемые по обтеканию одиночной сферы потоком газа; орт к направлен против сил тяжести. Зависимость коэффициента ра от числа Рейнольдса и коэффициента сферичности fc приведена в [4,10]. Для частиц в воздухе (см. [11]) а = 0,15 и Ь = 0, 687. Индивидуальная производная по времени д,/Л = д/дЬ + V -V .

В силу квазистационарности течения частными производными по времени в (1), (3)—(5) и (7) можно пренебречь.

4. Граничные условия. Толщина слоя, в котором осуществляется переход от течения внутри полости смерча к окружающей атмосфере мала по сравнению с радиусом смерча. Поэтому, можно воспользоваться граничными условиями скачкообразного типа [4, 6]. На боковой поверхности сферической полости г — Е(г,Ь) = 0, являющейся поверхностью раздела сред, скорость распространения которой 0 = 0, они примут вид

дЕ дЕ

"г = ж + ж' н = °

Через [р] обозначен скачок давления А. В силу квазистационарности течения аэрозоля (дЕ)/(дЬ) = 0. Кроме того, в [8] показано постоянство циркуляции скорости газовзвеси и из этого условия на боковой поверхности полости смерча получены соотношения

Уф(х,г) = уф Е0/Е(х,г), и(х,г) = уф Е0/Е2(г,г),

где и(г,Ь) —угловая скорость торнадо, Ео = Е(0,Ь), уф = Уф(0,Ь).

Сверху смерч ограничен плоскостью, на которой ух = 0, а снизу — плоскостью г = 0. Эта плоскость моделирует узкую (по сравнению с длиной торнадо) область течения, где поток разворачивается и начинает всасываться в смерч. Она рассматривается как поверхность разрыва, что приводит к следующим связям на ней параметров у°, уф, у°, ро и ро в полости смерча с параметрами у1, уф, у1, р\ и рх ниже плоскости г = 0:

ро_ _ у - 1 (т +1 )ро - (т -1 )р!

Р1 770 — 1 (г)+1)р! - (г) - 1)ро ’

уГ = у°, уф = уф,

у0 = у1 + (р1 — ро)/(Р 1у1) •

В них учтен разрыв показателя политропы при г = 0. Если смерч еще не касается Земли, то параметры при г < 0 — это параметры незапыленной атмосферы.

Помимо перечисленных условий для решения рассматриваемой задачи потребуется задание расхода массы аэрозоля через поперечное сечение торнадо при г = 0.

Вообще говоря, существует проблема определения параметров газовзвеси на входе в смерч. С целью частичного ее разрешения предлагается дополнительное интегральное условие: постоянство массы примеси в объеме торнадо и ее совпадение с массой примеси в приземном слое толщиной Ь£.

5. Уравнение границы полости смерча. Предположим, что полость смерча удовлетворяет уравнению г — Е(г,Ь) = 0. В силу квазистационарности течения аэрозоля

в ней все гидродинамические параметры и радиус полости Е(г,Ь) от времени зависят как от параметра. В рассматриваемом приближении среду можно считать идеальной и политропной, массовые силы консервативными, а течение квазистационарным. Тогда существует приближенный интеграл Бернулли. Из него, (2) и (6) имеем

где Еи(г) = 2р0(г, 0,Ь)/ (р0у2(г, 0,Ь)), Fr = дЕ0/у2(г, 0,Ь), г = 0 — начало траектории,

Еир(г) = pР(г, 0, Ь)Еи0, t), уо « уф.

На боковой поверхности смерча давление среды совпадает с атмосферным давлением ра. Изменение температуры тропосферы с высотой часто аппроксимируют термоклином [6] с постоянным градиентом температуры т. В этом случае

Для стандартной атмосферы т = 6, 5-10 3 К/м. При п = 1, 8, со = 3, 3419-10 4, То = 298 К и уф = 101 м/с верхняя граница смерча Н^, определяемая из условия обращения в нуль знаменателя у Е(г,Ь), порядка 574 м, а при уф = 200 м/с ~ 2881 м.

6. Метод возмущений для торнадо. Хотя радиальная и продольная составляющие вектора скорости аэрозоля внутри полости смерча малы по сравнению с тангенциальной скорость, полагать их равными нулю не конструктивно. Поэтому для приближенного решения задачи параметры среды представим в виде

Подстановка этих представлений в систему уравнений динамики аэрозоля и пренебрежение членами порядка о (1) по сравнению с главными членами уравнений приводит к системе, позволяющей определить предельные значения параметров среды.

Для нахождения ~р и vz проинтегрируем уравнение неразрывности по объему малой высоты Az, построенному в окрестности сечения z + 0, 5Az = const. Тогда, поскольку боковая поверхность смерча — поверхность раздела сред, получим уравнение

уравнение неразрывности, получаемое из (1) сохранением главных членов, приводит к решению для иг:

Р 1 rgRoz/To , pg EqPq, , Eup c0 Eug / £q-

p(r, z, t) = -p{z, t) (l + p) , p(r, z, t) = p(r, z, t) (l + p) , vz(r, z,t) = vz(z,t) (1 + vz) , vr(r, z,t) = vr(z,t) (1 +vr), V<f,(r,Z,t) =V<f,(r,Z,t) (l +£0) , {p,p,v} = o(l) .

Его предельное решение имеет вид

Характеристиками предельного уравнения для Уф, сокращенного на V-, являются выражения пг2/¥(г,г) = в и 2 = в. Первое из них совпадает с линией тока. Если частное решение для Уф выбрать в виде Щ = С(г, ^)/Зм/2 и удовлетворить его граничным условия при г = Е, то получим

Уф = «о(До, 0,і) (До/Д)1/2 вм/2.

Показатель р определяется решением в вязком слое вблизи Е(г). При малых концентрациях примеси или при отсутствии антисимметричных напряжений р = 1.

Из (8) и условия политропичности фаз легко видеть, что

1 До

~рУ

1-і

Тё До

1/

Давление среды вычисляется из интеграла Бернулли:

Р =Р°ау(Р,г) = РоР =РоР+ -/90г>5(/3,0,^)|(1 - і2 -2Щ/3)£) р +

Ей

пр Еир

+ (1 - П + (1 - /3«)},

п — 1

(Пр — 1)С

Р0 = 40 (/3 м - 1 + р1/яо) + о (/Зг'>2) , V. = VI/ {гРфу/р) ,

9о = ро (уф(Ео, 0, г))2 /(2р), р « 2рр/ (2рр + 3«р) •

Выражения для коэффициентов сдвиговой (рр) и объемной (кр) вязкости примеси можно найти в монографии [4].

На рис. 1 приведено поведение у()) = р/р)°а и ур()) = рР/рР на поверхности смерча при со = 3, 3419 -10~4 (п = 1, 8), а на рис. 2 — поведение f (в) = ро/яо при г = 0, со =0, 5

и со = 3, 3419 - 10~4. Цифрой 1 помечены значения f (в) при со = 0, 5, а цифрой 2 —

значения при со = 3, 3419 - 10~4.

0,5

Рис. 1.

0,5

Рис. 2.

о

V

V.. V

2

Приведенное предельное решение для полости смерча качественно соответствует известным результатам косвенных наблюдений. Прямые наблюдения для этой области отсутствуют.

D. A. Petrov, V. A. Tsibarov. Flowing aerosol within tornado.

The mathematical model of tornado dynamics is propounded. Only gas-solids suspensions are

taked into account. Approximating analitical solution for this model is done.

Литература

1. Скорер Р. Аэродинамика окружающей среды. М.: Мир, 1980. 540 с.

2. Наливкин Д. В. Смерчи. М.: Наука, 1984. 111 с.

3. Полетов В. С. Результаты аналитических исследований вертикальных закрученных течений воздушных масс в атмосфере // Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП. 2002). Снежинск, 2002. С 5.

4. Цибаров В. А. Кинетический метод в теории газовзвесей. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та,

1997. 192 с.

5. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1987. 464, 360 с.

6. Дулов В. Г., Цибаров В. А. Математическое моделирование в современном естествознании. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 244 с.

7. Кунии Д., Левеншпиль О. Промышленное псевдоожижение. М.: Химия, 1976. 447 с.

8. Лутов Н.Н., Петров Д. А., Цибаров В. А. Течение вращающихся газовзвесей // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 82-89.

9. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1983. 928 с.

10. Разумов И. М. Пневмо- и гидротранспорт в химической промышленности. М.: Химия, 1979. 248 с.

11. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. М.: Мир, 1976. 378 с.

Статья поступила в редакцию 11 января 2005 г.