Математическая модель надводного мини-корабля

Математическая модель надводного мини-корабля

В.А. Костюков, А.М. Маевский, Б.В. Гуренко Южный федеральный университет, Таганрог

Аннотация: Известно, что для анализа, моделирования движения подвижных роботизированных объектов и последующего синтеза их систем управления в общем случае требуется рассматривать полную нелинейную многосвязную математическую модель [1-4], учитывающую перекрестную нелинейную зависимость между различными компонентами поступательного и вращательного движений таких аппаратов. Ниже рассматриваются особенности такой полной модели применительно к динамике надводного мини-корабля.

Точная оценка аэро - или/и гидродинамических воздействий со стороны сплошной среды является необходимой для синтеза адекватной системы управления указанными объектами [1] . Вместе с тем, требуемый расчет этих воздействий в общем случае является весьма трудоемкой задачей с вычислительной точки зрения. Решение этой проблемы во многом связано с разработкой таких методик указанного расчета, которые бы на основании учета конкретных особенностей взаимодействия того или иного носителя со сплошной средой - однофазной или многофазной - существенно ускоряли процесс вычисления на алгоритмическом уровне. Ниже дается первое приближение для такой методики применительно к надводному мини-кораблю.

Проводится численное моделирование движения управляемого позиционно-траекторным регулятором мини-корабля при малых углах крена и наличии морского волнения на основе полносвязной математической модели и предложенной методики оценки гидродинамических воздействий.

Ключевые слова: надводный мини-корабль, позиционно-траекторный регулятор, аэрогидродинамика, математическая модель, нелинейная динамика, СББ моделирование, внешние возмущения.

Полносвязная математическая модель движения корабля

Отличительной особенностью динамики надводного мини-корабля является наличие границы раздела двух сред, что увеличивает число аргументов в функциональных зависимостях сил и моментов, порожденных сплошной средой. Наличие значимых ветровых возмущений и/или подводных течений приводит к необходимости дифференцированного рассмотрения этих явлений, что в самом простом случае установившегося обтекания требует рассмотрения двух пар углов атаки и скольжения. Кроме того, морское волнение является отдельным, очень сложным воздействием. Все это вместе приводит к существенному повышению (на порядки) времени

расчета.

N

Рассмотрим полную математическую модель движения корабля. Используем следующую связанную систему координат 0ХУ7: её начало О есть точка пересечения нормали, опущенной из геометрического центра судна перпендикулярно границе раздела сред в статическом положении и линии киля; ось X направлена в диаметральной плоскости судна параллельно границе раздела сред в его статическом положении; ось ОУ направлена вдоль указанной нормали; ось 07 образует правую тройку с ОХ и ОУ

Рисунок 1 - К определению связанной системы координат корабля Полная нелинейная многосвязная модель динамики может быть представлена в матричной форме [4]:

сХ

•х, ¿Т = [м ]-1

&

где А,6,, Ёв = А + 6 + - векторы обобщенных сил Архимеда, тяжести, гидро- аэродинамического воздействия и полной силы, соответственно; \?дин - обобщенный вектор нелинейных элементов динамики;

1^упр - обобщенный вектор управляющих воздействий; [М ] - матрица массо-инерционных характеристик; У = [г(х0,у0,20),0(ф,у, у)] - вектор внешних

координат, характеризующих положение

х 9 у 9 2 '

скоростей;

- полная матрица кинематики.

С

Рисунок 2 - к определению параметров, задающих положение свободной

поверхности в связанной системе координат, и внешних силовых

воздействий

Рассмотрим важный вопрос определения обобщенных гидроаэростатических/динамических сил = ,М АШ).

Методика оценки функциональных зависимостей сил FAW и МАЖ в

первом приближении

Представим полные силы и моменты за счет сплошной среды в виде суперпозиции соответствующих воздействий на спокойной воде Fcm, Мст и вклада м°рск°г° волнения ^олн, Мволн:

^АЖ = ^см + Fволн, МАЖ = Мсм + Мволн.

Рассмотрим составляющие Fcm, Мсм. Углы атаки а и скольжения Д характеризуют ориентацию вектора линейной скорости V движения корабля относительно водной и воздушной сред. Однако для задания ориентации

g

корабля относительно свободной поверхности раздела требуется еще три дополнительных величины: углы крена у, дифферента ^ и водоизмещение игюде или любая величина, однозначно определяющаяся через игюде и указанные углы у, ф. Таким образом, каждая из проекций ^М^

Большое число аргументов этих зависимостей существенно усложняет анализ и моделирование движения с поверхностью раздела сред. Поэтому представляется целесообразным разработать такой подход оценивания указанных зависимостей, который бы адекватным и одновременно позволил существенно сократить время идентификации гидроаэродинамических параметров модели.

Покажем, что в первом приближении для определения зависимостей ^ М^ достаточно провести численное гидроаэродинамическое моделирование для фиксированного водоизмещения иподе 0.

Силы и моменты ¥а№, Ма№ всегда можно представить в виде суперпозиций соответствующих воздействий на подводную ^, М№ и надводную ^, Ма омываемые поверхности мини-корабля. Аэродинамическими воздействиями далее для простоты пренебрегаем.

Пусть МI - значения векторов ^, М№ при водоизмещении иподе0.

Как известно [5-8], гидроаэродинамические воздействия при фиксированной скорости пропорциональны площади смоченной поверхности и соответствующим гидроаэродинамическим коэффициентам, учитывающим, прежде всего, форму этой поверхности. Если пренебречь изменением формы погруженной части мини-корабля при варьировании водоизмещения, но фиксированных углах крена и дифферента у, у, то можно

приближенно считать, что векторы ^, М№ пропорциональны векторам

зависит от девяти величин:

(V,аP,Юх,Юу,Ю, у, У,иподе ) = £

N

F10, М М и функции отношения площадей /8 (у, V, иподв) смоченных поверхностей для данного водоизмещения иподв и эталонного иподв 0:

Fw = F: • /3

где

Яподв,0

Sподв (У, V,иподв) - площадь смоченной поверхности при углах крена у,

дифферента V и водоизмещении иподв , Яподв,0 (У, V) = Яподв (^ V, иподв,0) -площадь смоченной поверхности при эталонном водоизмещении иподв 0 и тех

же углах у, V. Пусть dOM - расстояние от начала координат связанной системы до точки пересечения М оси ОУ со свободной поверхностью (рис.2). Величина dOM вместе с углами у, V полностью определяет ориентацию подводной части корабля относительно свободной поверхности, поэтому

иподв = иподв (dOM, У, V!) и в зависимости (3) вместо и„одв может быть

использован аргумент dOM.

Гидростатические воздействия рассчитываются по стандартным формулам, включающим функциональные зависимости координат точки приложения силы Архимеда хАуА, гА и объема подводной части аппарата иподв

от ^, У, V[4-7].

Особенность предлагаемого подхода к определению гидродинамических воздействий заключается в том, чтобы получить воздействие на подводную F10, М М часть аппарата для фиксированного водоизмещения иподв0, а затем по приближенной формуле (3) оценить соответствующие воздействия для других иподв .

Это приближение является весьма точным, если изменение водоизмещения корабля в процессе движения будет слабым, так как

И

последнее не способно привести к сильному изменению формы его подводной части при одних и тех же углах крена и дифферента. Для больших скоростей эта методика позволяет лишь приближенно оценить воздействия сплошной среды.

Составляющие за счет морского волнения Б'волн, Мволн могут быть оценены по эмпирическим данным, приведенным, например, в [9]. Для их проекций на оси связанной с катером системы координат после пересчета из скоростной системы были получены следующие аппроксимационные формулы:

^волн,* = Скх

- _ С (*\ [Ьг13гр(У,Р,-ф) - 15.56//?(Р)^] _ 2f Н ^волн,^_ Скл[1)-^^-<А м^),Н с6;

^волн,2 = Скл

^волн,:

н* = Скх Нм

где С = рд(В2/V) а входящие в эти выражения функции от углов курса волн Р, дифферента ^ и крена укорабля имеют вид:

/У(у) = 0,12 + 0,257 - 0,00472, fp{fi') = 4.835е-007р2|р| - 4.63е-005р2 -0.01871 |в + 2.609,/1уд(у,Д) = -(7,73у +5,500), /2уД(у, 0) = 5,43у -0.0121у|у| + 5£,дг1(р)(6.222е - 011р6|р| - 5.169е - 008р6 + 1.615е -005р4|р| - 0.00238р4 + 0.169р2|р| - 5.607 р2 + 117.2 |р| - 21.31),

Н Инженерный вестник Дона, №3(2015) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2015/3297

Лу^СУ,Р>-ф) = 4,24 + 1,625^ + 0.0167г + 0.0194|р| - 5.81410"4р2,

/2у^(У,М) =

136,5 + 1,274^ - 0,0063|у|^ - 0,00402|Д|^ - 0,000247^2,

^ (г) = "29-95 (г)6 +213 (г)5 - 592-7 (г)4 +81« (г)3 - 573-8 (г)2 +

195.4 - 24.6.

В этих выражениях V - скорость корабля (меняется в диапазоне от 0 до 20 м/с), Ь - длина корабля, В - его ширина по нормальной ватерлинии, (А -амплитуда волны, Я — длина волны, Д - угол курса волн (в градусах): этот угол равен нулю, когда набегание волн встречное, положителен - когда волны набегают на левый борт, и равен 180 градусам, когда набегание волны - в сторону кормы;^ - угол дифферента, у - угол крена (даны в градусах).

2 7

Формулы (12) достаточно точны вплоть до амплитуд волн < 1/15 .

Оценка массо-инерционных и демпфирующих параметров

корабля.

Выберем для моделирования надводный мини-катер (см. его трехмерную модель и связанную систему координат на рис.1) с параметрами погруженной при нормальном водоизмещении части: максимальные длина -Ь — 9,5м; ширина - В — 2,3 м; глубина погружения - Т — 0,46 м,и следующими значениями массо-инерционных характеристик:

т — 4658,9 кг,х Т — —1,305 м, у т — 0,936 м,г т — 0 м, ]хх = 5831.75 кг • м2,/уу = 29950.97кг • м2,/^ = 33891.63кг • м2,

]ху = 3718.25кг • м2,/Х2 = ]уг = 0.

Ниже будем приближенно считать присоединенные массы и коэффициенты демпфирования не зависящими от водоизмещения и рассчитывать их для значения иподв = иподв 0. Для расчета компонентов

И

тензора присоединенных масс Л3^ Л55,Л15 используем приближенные формулы (11.177) справочника [9]:

Л.. = 0,67рИР / 5 Л = 0,44pVF / 5 Л = 0,028рГ 5 1-3,6

/ F

Л15 = 0,125рV |_1-3,б

где V - объем погруженной части, F - площадь погруженной части диаметральной плоскости корабля, 5 - площадь ватерлинии. Формулы (12) описывают боковой спуск судна, поведение при шквале и т.п. Для

определения компонент ЛЛ66 используем приближенные формулы [9], полученные Блохом Э.Л. для полупогруженного эллипсоида вращения для случая, когда круговое миделево сечение эллипсоида перпендикулярно свободной поверхности:

Л22 = ^22 2праЬ2 / 3, Л26 = &26 2праЬ2

где безразмерные коэффициенты к к 26 считаем совпадающими с

коэффициентами k330, к35,0. Расчет по формулам (12), (13) для нашего случая

дает следующие значения ненулевых элементов тензора Л

ч

2

Яц = 846,78 кг, Я33 = 556,1 кг,Я55 = 107,2 кгм^,

Я15 = 7341,00 кг,Я22 = 9545 кг,Я26 = 70370 кг,

Демпфирующий момент Мшудемпфотносительно плоскости мидельшпангоута может быть приближенно рассчитан по формуле (2.160) из

[9]:

Мшу,демпф

где С^у = (0,739 (1,611а2 - 2,873а + 1,33); 10,Г0,5дп,0,^ =

максимальные длина, ширина, площадь диаметральной плоскости и

коэффициент полноты подводной части для заданного нормального уровня ватерлинии.

Демпфирующий момент Мшхдемпфотносительно диаметральной плоскости может быть приближенно рассчитан по аппроксимационным эмпирическим формулам (3.22) -(3.25) в [9], полученным Шмуруном А.Н.:

Мшх,демпф

где

= 10"2(1,78 - 0,078т0)(0,5 + 0,0050о) X X [0,00125(Я/Г0)2 + 0,044 + (0,262 - 0,484(Г0/Я0))5к](Я0/й0),

Мб,2 = 8(Г0/10^05т0)гт(г5 - 0,67Т0УЬ0/В0 ¥т, гт = (1/я){(0,887 + 0,1455)[1,7(Г0/Я0) + 5] - 2(Т - гд)/В0],

г0 = ^-г:-,Л0 = г0 + гс,0 - 2д, Бк = 100 5к/^вл, ^г = У//дГ0,

иподв

То = го^д/В0; 60 - амплитуда качки, рад; т0 - собственный период бортовой качки; гд и гсо- вертикальные координаты центра тяжести и центра величины подводной части при нулевом угле крена; - 6 — 5'погр/10Г0 -коэффициент общей полноты; Бк - суммарная площадь скуловых килей, Бк — площадь основной части плоскости при нормальном водоизмещении, ограничиваемой ватерлинией; г0 - метацентрический радиус при малых углах крена, у(х) - уравнение профиля нормальной ватерлинии в зависимости от продольной координаты х (х 6 (а, Ь)), V - скорость хода судна.

Ниже при расчетах считаем влияние демпфирующих моментов в зависимостях М аддитивным [3,5-7].

Расчет статических и динамических воздействий сплошной среды.

Вначале морское волнение не учитываем.. Расчет гидростатических силы и момента сводится к нахождению временных функциональных

зависимостей центров давления подводной части хА = хА ), уА = уА ) и её объема (£). определяем зависимости

иподв = иподе (4м , У, УХ ХА = ХА (4ом , У, УХ Уа = Уа (4м, У> путем построения в SolidWorks соответствующих сечений и последующего измерения объемов, площадей омываемых поверхностей подводных частей и положения их центров тяжести в связанной с катером системе координат (см. рис. 3). При этом учитываем, что центр гидростатического давления есть геометрический центр подводной части [8].

Рис. 3 - Построение подводной части корабля при дифференте на корму 12

град и определение центра давления Будем далее считать углы у крена настолько малыми, чтобы обоснованно пренебречь зависимостью них подводного объема, омываемой площади и центра давления.

Для определения динамических воздействий М ° и М 0 было проведено С¥В -моделирование с помощью программных продуктов AnsysFluent и БтеНеха. Результаты моделирования с помощью этих комплексов, хорошо коррелирующие друг с другом, усреднялись. На рис.4а показана сетка в некоторый момент времени; на рис.4 б приведено распределение амплитуды скоростного поля в пределах возмущенной границы раздела.

а) сетка расчетной области б) распределение амплитуды в окрестности корабля скоростного поля по возмущенной

границе раздела

Рис.4 - Визуализация сеточной структуры и характерного распределения скорости по границе раздела, поверхности корабля и его окрестности.

Функциональные зависимости для проекций Fw, М № и ^, М а были получены путем аппроксимации данных виртуальной обдувки для различных углов дифферента и крена при фиксированном водоизмещении иподв 0 и учета

формул (3),(4), (14)-(16). Приведем соответствующие формулы дляFw,М№ : = -/51^2{[(134,29 - 0,487 + 2,789

+

= /51{72[-(134,29 - 0,487 + 2,79

+

= /51{72

w,x

= /51{У2[

/Б1{У2

м

= ^1{У2{452 + 4,22ф - 0,0209|у|^ - 0,00087^2 + 2,0110

-3,310

где ф, у - углы дифферента и крена, а, @ - углы атаки и скольжения (все углы измеряются в градусах), V - скорость в м/с. Для определения функции/51 =

^ входящей в (17)-(22), необходимо в приближении малых углов

крена знать три функциональных зависимости: а) погруженных площади 5Лодв и объема £/подв от угла ^ дифферента и параметра йом; б) параметра ^ом от угла -ф при фиксированном водоизмещении £/подв,о = 4,658 м3, соответствующем рассмотренному случаю. Также по ранее использованной методике с помощью пакетов МайаЬ и SolidWorks, оцениваются зависимости 3_д1иЬ(рз1, х) и с_ОМ(рз±) .

Для получения проекций полных гидроаэродинамических силы и момента необходимо к правым частям (17)-(22) прибавить соответствующие проекции, вызванные морским волнением (5)-(10).

Моделирование движения корабля для малых углов крена при управлении позиционно-траекторным регулятором и наличии морского

волнения.

Используя полную математическую модель динамики (1),промоделируем движение корабля по прямой линии, задаваемой двумя уравнениями ^=-0,46м и zg=0м при наличии управления позиционно-траекторным регулятором (ПТР). Целесообразность использования данного типа регулятора для автономного управления подводных и надводных аппаратов была обоснована теоретически [1,10,11], а в случае надводного мини-корабля, - практически путем создания соответствующего прототипа [12]. На основе ПТР определим соответствующие потребные силы и моменты. Целевые значения внешних координат и путевая скорость равны: ^о = 10°,Нд0 — —0,46 м,70 = 10 м/с, а процесс их сходимости представлен

N

на рис.5 а. По представленным на рис.5 б графикам временных зависимостей Fu,x,Fu,yFu,z,MUiX,MUyMUiZ видно, что значащими не нулевыми являются

только Fux,Fu,y,Muz. Вектор силы образует угол atan = 13,60 со

свободной поверхностью, что близко к целевому углу дифферента = 10°.

0 100 200 300 0 100 200 300

t,c t,c

0

-0.5

-0.458 —

) -0 46 «h^WWHH

-0.462

0 100 200 300 0 100 200 300

t,c t,c

í :í

2 L

0 100 200 300 0 500 1000 1500

t,c xg, м

а)функции изменения внешних координат

¡ ¡ 1 1 2 2 ^ 0

1 1 S -2

I wwwf

§

0 100 200 300 0 100 200 300

t,c

t,c

U -1000 -2000

0 100 200 300 t,c

0 100 200 300

t,c

t, с

б) распределение потребных управляющих сил и моментов

Рис.5 - Моделирование движения по прямой линии с управлением ПТР без

морского волнения

Исследуем влияние морского волнения на величину целевых управляющих сил и моментов, вырабатываемых регулятором и необходимых для осуществления движения с заданными параметрами. На рисунке 6 представлены распределения потребных управляющих сил и моментов для

x 10

x 10

2

x 10

x 10

2

двух случаев морского волнения: (А — 1м, Я = 3м, = 0° и (А — 1м, Я 3м, (!в = 45°.

х 10

з 2 х

6000 г

з 5000

4000 1

2

X

з 0

0 100 200 300

1;с

0 100 200 300

1,с

х 10

0 100 200 300

1,с

х 10

0 100 200 300

1,с

4

х 104

, 0

0 100 200 300

1,с

4

х 10

0 100 200 300

1, с

а)

4

X

з 2

х ц_

0^-

х 10

6000 г

з 5000

4000

з -1000 Ь N

-2000 с

100 200 1,с

300

5 1000 г Е

- 500 к

г oL

0

х 10

0 100 200 300 1,с

х 10

0 100 200 300 1,с

100 200 300 1,с

100 200 300 1,с

100 200 300 1, с

б)

Рис.6 - Распределение потребных управляющих сил и моментов при движении по прямой с управлением ПТР и морским волнением с (А — 1м, Я = 3м при рв = 0° (а) и рв = 45° (б).

Из сопоставления графиков, приведенных на рисунках 5 и 6 а, видно, что при встречном волнении модуль управляющей силы увеличивается - в

4

2

0

5

5

0

0

5

0

0

5

0

основном за счет увеличения проекции управляющей силы по оси ОУ: без волнения она равна по модулю 1500 Н, а с встречным волнением - 4500 Н. Проекция по оси ОХ возрастает при этом незначительно - примерно на 150 Н. Проекция момента силы управления возрастает на начальном участке движения примерно на 20%.

Из сравнения рисунков 6 а,б следует, что при косом движении волн с углом скольжения Дв = 45° появляется значительная потребная управляющая сила (1800 Н) по оси 07 и для поддержания устойчивости по крену возникает момент вращения по оси ОХ величины 750 Н*м.

Выводы

В рамках полносвязной математической модели движения твердого тела рассмотрены особенности кинематики и динамики надводного мини-корабля «Нептун». Это позволило получить методику расчета в первом приближении гидродинамических/статических сил и моментов, значительно ускоряющую процесс идентификации соответствующих функциональных зависимостей математической модели. Для проверки использованных представлений в отношении конкретного типа мини-корабля определены аналитические функциональные зависимости статических и динамических воздействий сплошной среды от внешних координат и скоростей движения.

Проведено моделирование позиционно-траекторного управления движением мини-корабля при наличии морского волнения. Полученные результаты вполне соответствуют качественным физическим представлениям, лежащим в основе динамики надводного корабля.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-08-00249-а и НИР №114041540005 по государственному заданию ВУЗам и научным организациям в сфере научной деятельности.

Литература

1. Пшихопов В. Х. Позиционно-траекторное управление подвижными объектами. - Таганрог: Изд-во: ТТИ ЮФУ, 2009. С.14-18.

2. Пшихопов В.Х. , Федотов А.А. , Медведев М.Ю., Медведева Т.Н., Гуренко Б.В. Позиционно-траекторная система прямого адаптивного управления морскими подвижными объектами // Инженерный вестник Дона, 2014, №3 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2496.

3. Бюшгенс Г. С., Студнев Р.В. Динамика полета. Пространственное движение. - М.: Машиностроение, 1983. С.15-17.

4. В.Х. Пшихопов, Б.В. Гуренко Разработка и исследование математической модели автономного надводного мини-корабля «Нептун» // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/1918.

5. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Аэродинамика полета. Динамика продольного и бокового движения - М.: Машиностроение, 1979. С.29-31.

6. Дегтярь В. Г., Пегов В. И. Гидродинамика баллистических ракет подводных лодок. Монография - ФГУП «ГРЦ «КБ им. акад. В.П. Макеева», Миасс, 2004. С.92.

7. Краснов Н.Ф. Аэродинамика в 2-х ч., ч.1. М: "Высшая школа", 1976, С.33-34.

8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Москва-Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1950, С.502.

9. Справочник по теории корабля, в 3-х томах, т.2, 1968. С.297-298.

10.Pshikhopov, V.Kh., Medvedev, M.Yu., Gaiduk, A.R., Gurenko, B.V., Control system design for autonomous underwater vehicle, 2013, Proceedings - 2013 IEEE Latin American Robotics Symposium, LARS 2013, pp. 77-82, doi:10.1109/LARS.2013.61.

11.Pshikhopov V. Kh., Medvedev M. Y., and Gurenko B. V. Homing and Docking Autopilot Design for Autonomous Underwater Vehicle // Applied Mechanics and Materials Vols. 490-491 (2014). Pp. 700-707. Trans Tech Publications, Switzerland. doi:10.4028/www.scientific.net/AMM.490-491.700.

12.Гуренко Б.В. Федоренко Р.В., Назаркин А.А. Система управления автономного надводного мини-корабля. «Современные проблемы науки и образования», 2014. URL: science-education.ru/119-r14511.

References

1. Pshihopov V. H.Pozicionno-traektornoe upravlenie podvizhnymi ob#ektami [Position-trajectory of mobile units].Taganrog: Izd-vo: TTI JuFU, 2009. pp.14-18.

2. Pshihopov V.H., Fedotov A.A. , Medvedev M.Ju., Medvedeva T.N., Gurenko B.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, №3 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2496.

3. Bjushgens G. S., Studnev R.V. Dinamika poleta. Prostranstvennoe dvizhenie [Flight Dynamics. Spatial movement]. M.: Mashinostroenie, 1983. PP.1517.

4. V.H. Pshihopov, B.V. Gurenko Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/1918.

5. Bjushgens G. S., Studnev R. V. Ajerodinamika poleta. Dinamika prodol'nogo i bokovogo dvizhenija [The aerodynamics of flight. Dynamics of the longitudinal and lateral movement]. M.: Mashinostroenie, 1979.PP.29-31.

6. Degtjar' V. G., Pegov

Gidrodinamikaballisticheskihraketpodvodnyhlodok.

V.

Monografija

[Hydrodynamics of ballistic missile submarines. Monograph]. FGUP «GRC «KB im. akad. V.P. Makeeva», Miass, 2004. P.92.

7. Krasnov N.F. Ajerodinamika v 2-h ch., ch.1 [Aerodynamics in 2 parts. Part 1]. M: "Vysshajashkola", 1976. PP.33-34.

8. Lojcjanskij L.G. Mehanikazhidkosti i gaza [Fluid Mechanics]. Moskva-Leningrad: Gosudarstvennoeizdatel'stvotehniko-teoreticheskojliteratury. 1950. P.502.

9. Spravochnikpoteoriikorablja, v 3-h tomah [Handbook of theory of the ship, in 3 volumes. Vol 2] 1968. PP.297-298.

10.Pshikhopov, V.Kh., Medvedev, M.Yu., Gaiduk, A.R., Gurenko, B.V., Control system design for autonomous underwater vehicle, 2013, Proceedings - 2013 IEEE Latin American Robotics Symposium, LARS 2013, pp. 77-82, doi:10.1109/LARS.2013.61.

11 .Pshikhopov V. Kh., Medvedev M. Y., and Gurenko B. V. Homing and Docking Autopilot Design for Autonomous Underwater Vehicle. Applied Mechanics and Materials Vols. 490-491 (2014). Pp. 700-707. Trans Tech Publications, Switzerland. doi:10.4028/www.scientific.net/AMM.490-491.700.

12.Gurenko B.V. Fedorenko R.V., Nazarkin A.A. The control system of autonomous freeboard mini ship. «Sovremennyeproblemynauki i obrazovanija», 2014.URL: science-education.ru/119-r14511.