Моделирование и анализ момента нагружения на рабочем органе торфяного фрезерующего агрегата

© К.В. Фомин, 2002

УДК 622.331:622.271.9

К.В. Фомин

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ МОМЕНТА НАГРУЖЕНИЯ НА РАБОЧЕМ ОРГАНЕ ТОРФЯНОГО ФРЕЗЕРУЮЩЕГО АГРЕГАТА

П

рогнозирование надежности фрезерующих агрегатов на стадии проектирования является актуальной задачей. Точность ее решения во многом определяется тем, насколько величина и характер нагрузки принимаемой при прочностном расчете элементов конструкции соответствует действительной. Нагрузки в элементах привода и конструкции фрезерующего агрегата могут рассматриваться как результат вынужденных колебаний от воздействия различных сил внешнего сопротивления. Они имеют динамический характер и являются случайными функциями, поэтому анализ на-груженности должен выполняться с помощью аппарата статистической динамики.

Основным источником динамической нагруженности привода и элементов конструкции фрезерующего агрегата является нагрузка на рабочем органе (фрезе).

С целью упрощения анализа отдельно рассмотрим нагрузки на рабочем органе при фрезеровании беспнистой залежи и нагрузки, возникающие при взаимодействии рабочего органа с древесными включениями.

При анализе взаимодействия рабочего органа с торфяной залежью необходимо учитывать два фактора, определяющих характер нагружения: во-первых, периодичность взаимодействия режущих элементов с залежью, во-вторых, случайность условий работы агрегата, что приводит к представлению нагрузок в виде последовательностей импульсов со случайными параметрами. При существующих режимах работы фрезерующих агрегатов можно считать, что изменения параметров в пределах длительности импульса практически не происходит.

В случае фрезерования беспнистой залежи при наличии нескольких плоскостей резания, для момента можно записать следующее выражение:

М х

Му

т=1п=-х

где п - номер импульса нагружения на т-й плоскости резания; Мпт (/) - функция, описывающая изменения момента нагружения на одиночном режущем элементе в т-й плоскости резания; 1пт -момент возникновения п-го импульса нагрузки на т-й плоскости резания; Рпт - случайные параметры п-го импульса на т-й плоскости резания; М - число плоскостей резания.

Случайный характер параметров импульсной последовательности обусловлен случайным

характером изменения физикомеханических свойств торфа, глубины фрезерования, угловой скорости вращения рабочего органа и многими другими факторами.

Нагрузка, возникающая на рабочем органе фрезерующего агрегата при взаимодействии его с древесными включениями, также представляет собой последовательность импульсов со случайными параметрами. При этом момент возникновения одиночного импульса соответствует началу взаимодействия с древесным включением. Длительность импульса определяется временем взаимодействия с ним. Форма импульсов и их амплитуда являются случайными и зависят от большого числа факторов, в частности, от размеров и формы древесного включения, его глубины залегания, расположения по отношению к рабочему органу, характера взаимодействия. Учитывая, что каждый импульс нагрузки, состоит из нескольких соответствующих отдельным актам взаимодействия каждого режущего элемента с одиночным древесным включением для момента можно записать: х S

Mdy

п=-х s=1

где S - число актов взаимодействия режущих элементов с п-м древесным включением; Мт (/) - функция, описывающая изменения момента нагружения на одиночном режущем элементе при s-м акте взаимодействия с п-м древесным включением; (т - момент возникновения импульса нагрузки при 5-м акте взаимодействия режущего элемента с п-м древесным включением; Рт - случайные параметры импульса нагружения (амплитуда, момент возникновения и длительность) при 5-м акте взаимодействия режущего элемента с п-м древесным включением.

Случайный характер нагрузок, действующих на рабочий орган для их анализа, требует применения теории случайных функций. Известно, что для полного описания таких процессов необходимо знать многомерные, в общем случае зависимые от времени функции распределения. Их получение связано с большими сложностями. Для практических нужд достаточно знания одномерных и двумерных характеристик [1, 2], то есть можно ограничиться использованием корреляционной теории. При этом обычно рассматривают два первых момента распределения которые характеризуются математическим ожиданием, дисперсией и спектральной плотностью.

Одной из важнейших характеристик случайного процесса, дающей распределение мощности по частотам, является спектральная плотность [1, 2]. Для ее определения воспользуемся понятием энергетического спектра случайного импульсного процесса [1]:

р

где 2(к)(со) - спектр к-й реализации случайного процесса (в дальнейшем в выражениях индекс к опускаем); Т - сред-

ний период повторности импульсов; N - число рассматриваемых импульсов; т1 { } - знак усреднения, который связан со спектральной плотностью следующим соотношением

[3]

F

где т - математическое ожидание случайного процес-са;8 (а) - дельта-функция.

Соответственно дисперсия процесса может быть определена по формуле [1]:

D =— 2я

со - т .

На основе теоремы о преобразовании масштабов времени и частоты [3] для квадрата модуля спектра момента нагружения (1) можно записать:

\^Му ^)(о) =

ММ N

N

1

= Ш I

т=11=1 п=-Ni=-Л^пт

(

со

\ (

х ехр

о™

ехр

т у

( со ^

І-----------п%Т

ОтМп

СО

\

Оміі

-; р,

х ехр

ехр

( со ^ І---------------------------------------%Т

V а™1

где £о (со ) - спектр одиночного импульса нагружения; а™ - угловая скорость рабочего органа; (рт - угол сдвига между режущими элементами, находящимися на первой и т-й плоскостях резания; фт - угол между соседними режущими элементами в одной плоскости резания.

Подставив выражение (6) в (3), выделяя члены при п = i; п Ф i; т = I; т ФI и учитывая, что скорость вращения изменяется медленно (примерно постоянна в пределах одного оборота фрезы) и вероятностные характеристики параметров не зависят от временного положения импульсов (в случае стационарного характера изменения условий работы фрезерующего агрегата), а только от их взаимного расположения р = п - i , получим

р'му и)(о ) „

Т

М і 1

I т1172“

м м + I I т, О0

т=11=1

IV! 1У1 I -1

т=1 і о™

(

-• Р

СО

• р

о™

50

о™

со

( 0 2N (

х ехР - І----(%т - % ) } + 1іт 2II1 -

V

о™

2Л +1

у) р=1ч

Re х

м м I

хIII т11

; Рпт 155

; р,

о™-

1;п-р

п-р

( о 1 ґ

х ехР - І--------%т ехР

со

- І-----------П%Т

(

ехр

со

І—%

о™,

х ехр

І

со

-(п - Р%Т

Предполагая статистическую независимость изменения угловой скорости рабочего органа от остальных случайных параметров импульсов и введя обозначения:

2

Л(ю; р ) = -4-

о™

/2 (о; р )=^ 5

г

Л

; р

2 “0 о™

СО

• р

А (

50

о™

; р

/э(о;р )=-

о™по™ ;п—р

; рпт 50

; р,

;п-р

1;п-р

запишем выражение для энергетического спектра момента, вычисляя условные математические ожидания усредняемых функций (т.е. вначале считаем значение угловой скорости вращения рабочего органа фиксированным):

Р'му (t )(о) = —

м ^

TІml(

е

о™)

^=1

с2 /1

4(о™) *

^=1

с2/

+ т1(о™) і

м м

/1(о; т)+"2II

2 9=1

с2/

ср2

л

т у

V™'V™' I о ( \ I2я ^ о

х IIЄхр| -І — %т-%,)| — I 5|— - — 1> +

т=11=1

м м + Ш тк оог™ )

т=11=1

2Л

о™

с2 /2 (о; р )"

%Т г=-да V о™ %Т

х ехр

р=1

м м

Кт9 ехр| - І о %т - % ) | [ +

л!“?«2 Я/ - )Ке III т1

СО

-І--------------------%т

т=11=1 д<$ \ ( ехр

с2 /э(о; р)"

рср* _

КдтЬр х

СО

І'------------п%Т

\ Ґ ехр

со

І—%

х ехр

со

І---------------(п

ч о™ ;п-р

(п - р)рт

л

у V о^™і у

где т1(а™){} - знак усреднения по скорости вращения рабочего органа:

V СО™т у

V СО™п

—со

1

СО

со

0

п

х

х

т

т

т

+

2

со

т

+

0

х

1

со

со

Б

х

0

п

т1

-х

где Ж (а™) - плотность распределения угловой скорости

вращения фрезы; ф(а™) - усредняемая функция угловой

скорости; т^ - математические ожидания параметров; Dq

- дисперсия параметров; Кт^ , К^р - коэффициенты

корреляции и взаимной корреляции параметров; Q - число параметров.

При выводе (11) учтено, что изменение параметров импульсов нагружения мало по отношению к их средним значениям, поэтому использовано разложение функций, подлежащих усреднению, в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами, соответствующими значениям математического ожидания параметров и ограничиваясь членами до второго порядка включительно.

Усреднение дискретной части энергетического спектра с учетом четности и фильтрующих свойств дельта-функции и с использованием соотношений [3]:

с8(х-хо) = 8^7^]; X /(х)(сх-хо)dx = А/(^С'

дает:

т1(ю™) і

/1(°/'

V

\ і е

о™ ;тд)+ 21

2 9=1

с /2

ср2

х

т

мм (  о / \12я « ( о 2яг 11

хЦ ехр| - І — %т-% ,)| — I 51 — |^ =

т=11=1

(

у %Т г=-« V о™ %т

= !

/1(2я/%т ; т)+11

д=1

с2 /2

ср2

\

х

т у

Учитывая, что изменение угловой скорости вращения рабочего органа мало по отношению к его среднему значению при установившемся режиме работы, разложим функции, подлежащие усреднению, в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами, соответствующими значениям математического ожидания, и ограничиваясь членами до второго порядка включительно, для энергетического спектра момента нагружения на рабочем органе можно записать:

г

Рму (t) (о) = Т

м Ца-1, (оЩ - 4^ Ца'2, (о)Щ, +

2 9=1 2 9=1

«

+ і

г=-«

/1(2яг/%т ; т)+11

о%т 1Г ( о%Т

2яг

2яг

; т2)+ —

9=1

мм с

з2 /2

ср2

л

ту

т=11=1

IIехр -І'—

%Т

м м

+ ,

+ К22ят1 (о^)КтІ2В

т=11=1 9<в

2Л/ _ \ мм

+

р=1

N5«2 И1 - ілгі) Re III К3двт1р (о °)Кдт1вр

где

К1д (о)=/1(о;т«™; т)+2

К29 (о) = /2 (о; то™ ; т2 )+1

т=11=1 9<в

с2 /1

со™

с2 /2

да

оа

Що™ ,

Що™

К22ят1(о) /2 (о; то™ ; т2

)ехр

тт™

о™

1

+—

2

с2 /2

со™

I  о ( О

ехр -І----------

от™

D/TМ .

V ™ У_

без учета корреляции между значениями угловой скорости

а

К32вт1р (о )~ /3 (о; то™ ; ^ )ехр( - І~° %т - % ) 1

V то™ у

х

х ехр

( о ^ І-----------р%Т

1

+ — 2

ехр

о

І—%

о™

У

(

ехр

с2/э(о

л;п-р;р )

сот™ п

о

-І------П%Т

\

х ехр

о

п у

Л (

V /TМ ;п-р

~%

ехр

І-

Oтмп

о

от™ •п- р у V ;ґ1 Р

-(п-р%т

Що

где т™о , D/тМ - соответственно математическое ожидание и дисперсия угловой скорости вращения рабочего органа.

Выражения для спектральных плотностей момента нагружения могут быть получены, если в выражении (14) вычесть величину, равную математическому ожиданию, из значения энергетического спектра при о = 0 .

При взаимодействии рабочего органа с древесными включениями период повторности импульсов имеет показательный закон распределения [6]. В этом случае, спектральная плотность момента му определится следующим образом: пусть заданы число I различных форм древесных включений и вероятность встретить их в залежи р , а также плотности распределения размеров древесных включений и их глубины залегания в пределах глубины фрезерования W (<і ),Ж (Н ). Разобьем распределения на достаточно малые

+

X

т

т

+

х

тот™

х

х

Г=—со

т

интервалы dm ...dm+1 , Н1 ...Н/+1, таким образом, чтобы изменения величин d и Н в пределах выделенных диапазонов мало изменяли характер и величину нагрузок на рабочем органе.

Каждому сочетанию размеров и глубин залегания древесных включений dmСp = (ёт + dm+l)/ 2 и

н1ср = (Н/ + н

/+1 )/ 2 для всех их форм и условий взаимодействия соответствуют значения нагрузок М, (dтСр; Нср; t). Выделяя в последовательности импульсов нагружения импульсы одинаковой формы, амплитуды и длительности (т.е. соответствующие одинаковым условиям взаимодействия рабочего органа с древесными включениями одной формы, глубины залегания и размеров) и учитывая, что интервалы между импульсами в данном случае будут распределены также по показательному закону [3], запишем выражение для спектральной плотности такого процесса [3] при со Ф 0 :

Би,

где Бщ (¡о)- значение спектра момента нагружения на рабочем органе при взаимодействии с древесным включением размером dkСp , глубиной залегания Н^р и ,-й формы; X

среднее число древесных включений, попадающих на рабочий орган в единицу времени;

ёк+1 Н/+1

ёк н/

Рк - вероятность встречи древесного включения из интервала размеров ёк ^ dk+1 с рабочим органом; Р1 - вероятность встречи древесного включения в интервале глубин залегания Н1 Н1+1.

Суммируя импульсные последовательности для всех размеров, глубин залегания и форм древесных включений, получим?

К L I

Бву

к=1/=1,=1

где К, L - число интервалов, на которые разбиты Ж (ё (Н ).

При а = 0 значение Б (о) равно

Боу

Наиболее полно определить характер нагружения позволяет учет структуры импульсов нагружения, обусловленный наличием нескольких актов взаимодействия режущих элементов рабочего органа с древесным включением. Учитывая случайное число элементарных актов взаимодействия, получим выражение для спектральной плотности момента нагружения на рабочем органе

К L I X

Боу(а) = 2ХХЕЕРкРР, XР(ХШ = 8)х к=1/=1,=1 8=0

-ЕЕ т1 Б (о;

Тхк/Ш ;т%к/1К)х

%=^=1

х Б*И,1гкШ ;т1к/1К)ехр(- ¡а( %кИ ^гкИ))}, где Р(Хк/, = 8) - вероятность появления 8 импульсов нагружения, обусловленных элементарными актами взаимодействия режущих элементов с древесным включением размером ёкСр ,

глубиной залегания Н^р и ,-й формы, 8 = 0,1...; т хкИ = т хкИК - тхкИН - длительность % -го импульса нагружения, обусловленного элементарным актом взаимодействия режущего элемента с древесным включением размером ёкСр, глубиной залегания Н^р и ,-й формы; t%kli -

сдвиг между началом взаимодействия рабочего органа с древесным включением и % -м импульсом нагрузки при

взаимодействии с древесным включением размером ёкСр , глубиной залегания Н /Ср и ,-й формы; Б (а) - спектр элементарного импульса нагружения; т1 { } знак усреднения, связанный со случайным местом попадания древесного включения по ширине рабочего органа и формой древесного включения.

В зависимости от размеров древесных включений и места попадания по ширине рабочего органа во взаимодействии участвует различное, случайное число плоскостей резания.

Считая статистически независимыми моменты нагружения на рабочем органе при взаимодействии с чистой залежью и с древесными включениями общие значения спектральной плотности и дисперсии момента на рабочем органе фрезерующего агрегата равно сумме соответствующих спектральных плотностей моментов.

Таким образом, для определения вероятностных характеристик нагрузки на рабочем органе фрезерующего агрегата необходимо знать форму импульсов нагружения и вероятностные характеристики их параметров, которые в свою очередь определяются конструкцией и режимами работы рабочего органа, изменчивостью условий работы, прочностных свойств залежи, плотности торфа, профиля поверхности карты, количеством древесных включений, их формой, расположением и размерами, при этом могут быть использованы экспериментальные данные [4, 5, 6, 7].

Полученные зависимости позволяют выделить ряд особенностей, отражающих характер формирования нагрузки на рабочем органе фрезерующего агрегата. При взаимодействии фрезы с беспнистой залежью спектральная плотность момента имеет сложную структуру и состоит из двух частей. Первая часть определяется величиной квадрата модуля спектра функции, описывающей форму импульса нагружения, а также зависит от расстановки режущих элементов и пропорциональна дисперсии изменения параметров импульсов, а также корреляционным и взаимнокорреляционным функциям параметров.

Другая составляющая обусловлена периодичностью взаимодействия режущих элементов с залежью и определяется величиной средних параметров импульсов. Вид этой части определяется функцией плотности распределения изменения угловой скорости вращения рабочего органа.

При взаимодействии с древесными включениями вид спектральной плотности определяется квадратом спектра функции, описывающей форму импульса нагружения, и его величина пропорциональна числу древесных включений попадающих на рабочий орган в единицу времени.

Предложенный подход позволяет определять вероятностные характеристики момента нагружения на рабочем органе на стадии проектирования, которые служат исходным материалом для динамического анализа элементов конструкции и привода фрезерующего агрегата.

----------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т.1. - М.: Сов. радио, 1969. - 750 с.

2. Рытов С.Н. Введение в статистическую радиофизику. - М.: Наука, 1976. - 471 с.

3. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982. - 622 с.

4. Зиновьев Д.А. Исследование пнисто-сти верховой залежи на участке производ-

ства фрезерного торфа//Торф и его переработка. - Л., 1978. - С. 26-29.

5. Влияние профиля поверхности и механических свойств основания на гусеничную машину/Корчунов С.С., Селе-нов В.Г., Ефимов Е.В., Абакумов О.Н. //Исследование физико-механи-ческих свойств торфа - Л., 1978. - С. 50-59.

6. Размеры древесных включений в обработанном слое отремонтированных площа-

дей/Малков Л.М., Пономарчук

Ф.С.//Технология и комплексная механизация торфяного производства. - Калинин, 1986. - С. 14-17.

7. Самсонов Л.Н. Фрезерование торфяной залежи. - М.: Недра, 1985. - 211 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ------------------------------------------------------------------------

Фомин Константин Владимирович - доцент, кандидат технических наук, Тверской государственный технический университет.

© Н.А. Малыхина, А.А. Погонин, О.В. Белянкина, 2002

УДК 666.94:621.796.63

Н.А. Малыхина, А.А. Погонин,

О.В. Белянкина

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА ТЕЧЕНИЯ ГАЗОВОГО ПОТОКА С ТВЕРДЫМИ ЧАСТИЦАМИ

невматический транспорт является одним из прогрессивных видов транспорта для сыпучих материалов на предприятиях различных отраслей промышленности. Он получил широкое распространение в цементной

Промышленности для транспортировки мелкодисперсных материалов. Чтобы обеспечить оптимальную конструкцию передающей трубы пневмотранспорта, а именно диаметр, угол поворота, необходимо рассмотреть теоретические

вопросы движения воздушной среды совместно с твердыми частицами.

Для получения практических значений параметров пневмотранспорта был рассмотрен вопрос движения газа, для чего была использована система уравнений в двухскоростном, двухтемпературном приближении для газовзвесей с твердыми частицами без учета деформации, дробления и коагуляции.

Используя интегральную форму уравнений сохранения массы, импульса и энергии для компонентов,

были определены скачки на поверхности разрыва.

Решая систему уравнений для цилиндрической или сферической симметрии и используя метод характеристик, были получены уравнения траектории газа и частиц.

В конечном итоге было получено уравнение следующего вида:

ССх

и

С

2

1 + -

Р1Р2а

+

2РьР(У2-Л№) +ст(а/Рь )4,

где индексы 1 и 2 относятся к газу и твердым частицам соответственно; V - скорость, а - скорость звука, р -плотность, рь - истинная плотность вещества частицы.

Решая это уравнение, можно получить траекторию движения частиц, следовательно, можно спроектировать пневмотранспорт так, чтобы иметь минимальную турбулентность потока, а также минимальное сопротивление при изменении направления потока, что приводит к уменьшению энергозатрат для переноса газовзвесей (так