О формулах Лефшеца для потоков на многообразиях со слоением

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 73-108.

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ НА МНОГООБРАЗИЯХ СО СЛОЕНИЕМ

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

Аннотация. Работа посвящена формулам Лефшеца для потоков на компактных многообразиях, сохраняющих слоение коразмерности один и имеющих неподвижные точки. Мы разрабатываем подход к формулам Лефшеца, основанный на понятии ре-гуляризованного следа на некоторой алгебре сингулярных интегральных операторов, введенном в предыдущей работе. Формула Лефшеца доказана в случае, когда поток сохраняет слоение, задаваемое слоями расслоения над окружностью. Для конкретного примера потока на двумерном торе, сохраняющего слоение типа Риба, мы доказали аналог формулы Маккина-Зингера для сглаженных регуляризованных функций Леф-шеца.

Ключевые слова: формула Лефшеца, поток, замкнутые орбиты, неподвижные точки, многообразие со слоением, регуляризованный след.

Mathematics Subject Classification: 58J22, 37C25, 58J42

1. Введение

Данная работа посвящена формулам Лефшеца для потоков на компактных многообразиях, сохраняющих слоение коразмерности один. Здесь под формулами Лефшеца для потока мы понимаем такие количественные соотношения, которые связывают некоторые глобальные инварианты потока с его замкнутыми орбитами (см., например, [2, 6, 7] и имеющиеся в них ссылки по поводу общей информации о формулах Лефшеца для потоков). Недавний интерес к формулам типа Лефшеца для потоков, сохраняющих слоение, связан с подходом к доказательству гипотезы Римана, предложенным Денингером в пленарном докладе на Международном конгрессе математиков в Берлине в 1998 г. [3]. Этот подход основан на аналогии некоторых формул Лефшеца для потоков, сохраняющих слоение, с явными формулами следов в теории чисел (по поводу более подробной информации см. работы [4, 5, 11] и имеющиеся в них ссылки). В частности, Денингер предложил в качестве гипотезы формулу Лефшеца для потоков, сохраняющих слоение. В случае, когда поток не имеет неподвижных точек, такая формула доказана первым автором совместно с Х. Альваресом Лопесом в работе [1]. Опишем вкратце эту формулу.

Пусть X — компактное многообразие размерности п и Т — гладкое слоение коразмерности один на X. Предположим, что Т = {Tt : X ^ X : t Е R} — поток на X, удовлетворяющий следующим условиям:

(P1) Для любого t Е R диффеоморфизм Tt отображает каждый слой слоения Т в какой-либо (возможно, другой) слой.

(P2) Орбиты потока Т трансверсальны к слоям слоения Т: т.е. для любого х Е М

ТхХ = R V(х) ф ТХТ,

Yu.A. Kordyukov, V.A. Pavlenko, On Lefschetz formulas for flows on foliated manifolds.

© Кордюков Ю.А., Павленко В.А. 2015.

Работа поддержана РФФИ (грант 12-01-00519-a).

Поступила 17 марта 2015 г.

73

74

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

где V Е С°(Х,ТХ) — инфинитезимальный генератор потока.

В частности, поток Т не имеет неподвижных точек.

Рассмотрим послойный комплекс де Рама (П(Т),dj-), задаваемый пространством П(Т) = С°(Х, ЛТ*Т) гладких послойных дифференциальных форм на X и послойным дифференциалом де Рама dj : П(Т) ^ Q(T). Пусть g — риманова метрика на X. Обозначим через Sj = d* соответствующий послойный кодифференциал де Рама и через Aj = djSj + 8jdj послойный оператор Лапласа. Для любого и = 0,... ,п — 1 обозначим через P^u(j) ортогональный проектор в пространстве L2QU(T) на подпространство 'Ни(Т) = ker A^ послойных гармонических м-форм.

Для любой функции f Е C0°°(R) определим оператор Tf в пространстве П(Т) по формуле

т, = ! т; • f (t) dt,

Jr

где Tt* — оператор в П(Т), индуцированный действием потока Tt.

Функция Лефшеца потока Т определяется как обобщенная функция L(T) на вещественной оси по формуле:

П— 1

Ж

и=0

Теорема 1 ([1]). В некоторой окрестности 0 в R имеет место равенство

L(T) = Ха(Г) • 50 .

Здесь So Е P'(R) — дельта-функция в 0 и хл(Т) Е R — эйлерова ^-характеристика слоения Т, введенная Конном. Отметим, что в работе [1] функция L(T) обозначается через Xdis(T) и называется обобщенной эйлеровой характеристикой слоения Т.

Напомним, что множество Ох = {Tt(x) Е X : t Е R} С X называется траекторией или орбитой потока Т, проходящей через точку х Е X. Точка х называется неподвижной точкой потока Т, если Tt(x) = х для любого t Е R. В этом случае Ох = {ж}. Орбита Ох называется замкнутой (или периодической), если существует такое т Е R (период), что Тт(х) = ж, и Ох = {ж}. Наименьший положительный период замкнутой орбиты называется примитивным периодом.

Замкнутая орбита Ох потока Т называется простой, если

det(id — dTT (х) : ТХТ* ^ ТХТ*) = 0 для любого периода т. Положим

е(т) = sgn det (id — dTT(x) : ТХТ* ^ ТХТ*).

Теорема 2 ([1]). Предположим, что все замкнутые орбиты потока Т просты. Тогда

L(T) = ^ Т(с) ^ £(кт(с)) • 6кт(с) с k=0

на R\{0}, где с пробегает множество всех замкнутых орбит потока Т, т(с) обозначает, примитивный период орбиты с, и х — произвольная точка на с.

Формулу Лефшеца работы [1] можно рассматривать как теорему об индексе для некоторого дифференциального оператора, трансверсально-эллиптического по отношению к потоку (см. [9] по поводу связей с трансверсальной теорией индекса на многообразиях со слоением). Существенную роль в работе [1] играет следующий аналитический результат. Пусть К — послойно сглаживающий оператор на X, то есть оператор в пространстве С°(Х), задающийся семейством собственных интегральных операторов с гладким ядром, действующих вдоль слоев слоения. Тогда для любой функции f Е C°°(R) оператор Tf о К является интегральным оператором с гладким ядром. Этот факт позволяет определить

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

75

обобщенную функцию f G C0°(R) м- Тг Tf о К на R, где Тг обозначает след оператора Tf о К как ядерного оператора в гильбертовом пространстве L2(X).

Рассуждения, приведенные в работах [3, 4], показывают, что если мы хотим интерпретировать явную формулу следов для дзета-функции Римана как формулу Лефшеца для некоторого потока, сохраняющего слоение, то этот поток обязательно должен иметь неподвижные точки. В данной работе мы интересуемся обобщениями формулы Лефшеца для потока на компактном многообразии со слоением коразмерности один на случай, когда поток имеет неподвижные точки. Точнее, мы рассматриваем поток Т на компактном многообразии X размерности п со слоением Т коразмерности один, удовлетворяющий условию (P1), а также следующим условиям:

(P3) Поток Т имеет конечное число неподвижных точек, являющихся простыми.

(P4) Орбиты потока Т трансверсальны ко всем слоям слоения, кроме тех слоев, которые содержат неподвижные точки потока.

Напомним, что неподвижная точка х потока Т называется простой, если для любого t > 0

det(Id - dTt(x) : TxX ^ TxX) = 0.

Данная работа является частью совместного проекта с Х. Альваресом Лопесом и Э. Лей-чтнамом, в котором предлагается новый подход к формулам Лефшеца для потоков, удовлетворяющих условиям (P1), (P3), (P4). Этот подход заключается в следующем. Прежде всего, отметим, что при условиях (P1), (P3), (P4) оператор вида Tf о К, где К — послойно сглаживающий оператор, вообще говоря, не является оператором с гладким ядром, поскольку его ядро может иметь особенности вблизи слоев, содержащих неподвижные точки потока. Идея состоит в том, чтобы продолжить функционал следа, определенный на операторах с гладким ядром, до функционала г-Тг, называемого регуляризованным следом, определенного на более широком классе интегральных операторов, включающем операторы вида Tf о К. К сожалению, проекторы Рци^) не всегда являются хорошими послойно сглаживающими операторами. Однако, если это так, и регуляризованный след оператора вида Tf о Рци^р) корректно определен, то мы можем определить аналог функции Лефшеца потока Т, регуляризованную функцию Лефшеца L(T) G P'(R), по формуле

п—1

и=0

В общем случае можно пытаться использовать хорошо разработанные методы теории индекса, заменяя Рци(^) оператором вида ф(ЬХ^), где ф — достаточно хорошая функция на вещественной оси и t > 0, например, оператором .

Функционал регуляризованного следа г-Тг и соответствующая алгебра сингулярных интегральных операторов Х(Х,Х0) на произвольном компактном многообразии X, имеющих особенности на некотором гладком подмногообразии коразмерности один X0, были построены в работе [10], используя идеи работ Мельроуза [12, 13, 14], в частности, предложенный в них геометрический подход к построению и исследованию алгебр сингулярных интегральных операторов. Следует отметить, что функционал г-Тг не обладает следовым свойством, но имеет место формула для регуляризованного следа коммутатора операторов в терминах некоторых интегральных операторов с гладким ядром на X0.

Целью данной работы является реализация упомянутого выше подхода для потока Т, удовлетворяющего условиям (P1), (P3), (P4), в двух случаях.

Прежде всего, мы рассматриваем случай, когда слоение Т задается слоями некоторого расслоения над окружностью S1. В этом случае показано, что для любой функции f G С° (R) и для любого послойно сглаживающего оператора К оператор Tf о К принадлежит алгебре Х(Х, X0), где X0 — объединение всех слоев, содержащих неподвижные точки потока. Более того, оператор является послойно сглаживающим оператором. Эти

76

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

факты позволяют нам определить регуляризованную функцию Лефшеца L(T) Е P/(R) по формуле (2). Явно вычисляя регуляризованный след оператора Tf о К, мы получаем следующую формулу Лефшеца (см. теорему 7 по поводу более детальной формулировки).

Теорема 3. Имеет место формула

L(T) = CX(F)5o,

где x(F) — эйлерова характеристика слоя F и С — некоторая постоянная, зависящая только от потока.

Затем мы рассматриваем простейший конкретный пример слоения Т, которое не задается слоями некоторого расслоения. А именно, мы рассматриваем слоение Т на двумерном торе X = T2 = R2/(2Z х Z), подъем которого на R2 при естественном отображении R2 ^ Z2, слоение Т на R2, задается множествами уровня отображения р : R2 ^ R, p(y,z) = ez cos у'). Данное слоение имеет один компактный слой X0 = {(y,z) Е T2 : у = 1}, все другие слои некомпактны и наматываются на него. Отметим, что слоение Т не является трансверсально ориентируемым. Можно явно построить класс потоков на X, удовлетворяющих условиям (P1), (P3), (P4). Неподвижные точки каждого такого потока принадлежат X0.

В этом случае также можно доказать, что для любой функции f Е C0°(R) и для любого послойно сглаживающего оператора К оператор Tf о К принадлежит алгебре К(Х,Х0), где X0 — объединение всех слоев, содержащих неподвижные точки потока, и потому определен его регуляризованный след. Однако явное вычисление регуляризованного следа оператора Tf о К представляется достаточно сложной задачей.

Другая проблема состоит в том, что в данном случае проектор Phu(j), вообще говоря, не является послойно сглаживающим оператором. Поэтому, мы рассматриваем вместо него оператор ^(tAj)2, где ф — достаточно хорошая функция на вещественной оси и t > 0, и соответствующую сглаженную регуляризованную функцию Лефшеца

Ltx Е P/

П— 1

,.f) = £

u=0

Важным фактом при доказательстве формулы Лефшеца в работе [1] является то, что сглаженная функция Лефшеца Lt,y (определяемая при помощи обычного следа) не зависит от t (аналог хорошо известной формулы Маккина-Зингера). Этот факт существенно использует следовое свойства следа Tr. Поскольку r-Tr не обладает следовым свойством, сглаженная регуляризованная функция Лефшеца CtXj, вообще говоря, зависит от t. Используя формулу для регуляризованного следа коммутатора, полученную в работе [10], мы доказываем в предложении 6 формулу для производной функции CtXj по t в терминах следов некоторых интегральных операторов на окружности. Более явная формула для Ct,^,f получена в случае, когда ф(х) = е~2, то есть, когда ip(tAj)2 = e—tA^ (см. ниже теорему 8). Следующим естественным шагом является исследование асимптотического поведения функции CtXj при t ^ 0 и при t ^ +гс>, что является достаточно непростой задачей и не будет обсуждаться в данной работе.

План статьи следующий. Во втором параграфе мы напоминаем некоторые необходимые факты из работы [10]. В третьем параграфе мы рассматриваем случай, когда слоение Т задается слоями некоторого расслоения над окружностью S1. Четвертый параграф посвящен исследованию потока на слоении Риба. В конце четвертого параграфа мы обсуждаем аналог формулы Маккина-Зингера для примера, рассмотренного в третьем параграфе.

Авторы благодарны Х. Альваресу Лопесу и Э. Лейчтнаму за многочисленные полезные обсуждения и замечания.

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

77

2. Предварительные сведения

В этом параграфе мы напомним основные необходимые понятия из работы [10].

2.1. Алгебра К(Х,Х0; Е). Пусть X — гладкое компактное многообразие размерности п, X0 — его гладкое подмногообразие коразмерности 1, Е — эрмитово векторное расслоение на X. Предположим, что на X задана риманова метрика дх и N(X0) ориентировано.

Мы будем рассматривать операторы, действующие на полуплотностях.

1

Обозначим через расслоение полуплотностей на X. Рассмотрим оператор

1 1

А : С£°(Х \ X°,Е 0 ^ С™(Х \ Х°,Е 0 П|) с ядром

кА е С™ ((X х X) \ ({X0 х X} U (X х X0}), С(Е) 0 хХ) ,

где С(Е) — векторное расслоение на X х X, слой которого в точке (р1,р2) е X х X

состоит из линейных отображений из ЕР2 в ЕР1. Действие оператора А на полуплотность

1

р е С£°(Х \ X0, Е 0 ) задается формулой:

Всюду в дальнейшем |dx°| — фиксированная гладкая положительная плотность на X0.

Нам понадобятся некоторые специальные координаты на X, определенные вблизи X0. Пусть exp : N(X0) := ТХ/ТХ0 = (ТХ0)х ^ X — экспоненциальное отображение римано-вой метрики дх для подмногообразия X0. Будем отождествлять X0 с нулевым сечением расслоения N(X0), что позволяет рассматривать его как подмногообразие в N(X0). Хорошо известно, что существует такая окрестность U D X0 в N(X0), что ограничение exp ф на U является диффеоморфизмом U на некоторую окрестность exp(^) =: V подмногообразия X0 в X, называемую трубчатой окрестностью подмногообразия X0. Каждой точке р е V можно поставить в соответствие пару (х,х0) е N(X0), где х0 е X0 и х е Nxo (X0), exp(x) = р. Поскольку нормальное расслоение N(X0) ориентировано, риманова метрика задает изоморфизм Nxo(X0) = R и можно считать, что х е R. Таким образом, точка р однозначно задается парой (х,х°), где х е R, х° е X0. Без потери общности можно считать, что р е V тогда и только тогда, когда х е (-£, £) при некотором е > 0. Мы будем называть отображение V ^ (-£,£) х X0, р м- (х,х°) нормальной системой координат около X0.

Если Е — эрмитово векторное расслоение на X, то мы можем предполагать, что имеет место изоморфизм E(x,xo) = E(0,xo) = для любого х е (-£,£), где Е0 — ограничение расслоения Е на X0. В таком случае мы будем говорить, что на exp(^) задана адаптированная тривиализация расслоения Е.

Возьмем нормальную систему координат с координатами (х,х°) е (-£,£) х X0 и адаптированную тривиализацию расслоения Е в трубчатой окрестности V подмногообразия X0. Пусть (xi,X2,x0,x0) — соответствующие координаты на V х V. Ядро к а записывается

в виде

кА

Ка

dx\ dx2 х1 х2

dx\dx2

1

2

,

где Ка(х1,х2,х0,х0) — линейное отображение из X(x2,x0) = Е^00 в E^xixo) = Е^00 для

любого (х1,х2,х<1,х<2). На множестве (V \ X0) х (V \ X0) введем систему координат (х, s, х<1, xty е ((-£, £) \ {0}) х (R \ {0}) х X0 х X0 по формулам

х1

X = х1, S = — Х2

78

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

В локальной системе координат (х, s,x\,x0) ядро кА записывается в виде

кА = Ka

dxds п п ----dx Дх2

X S

где для любого (х, s,xl,x2) Е (-£,£) х (R \ {0}) х Х° х X'

о

КА(х, s, х1, х°2) = КА(х,-,х01,х02) : Ехо ^ Е°х

S 2

Пусть у Е С^(Х,Е  ), supp у С V. Запишем у = и(х,х°) | ^dx°|2, где

и Е C^(V, Е) = С^((-е, е) х Хп, Еп). Тогда

„п п\„. (х яЛ ds, п

Ау

у

КА(х, s, х1, х°2)и , х2^ — dx^

dx п —dxi

X

0

1

Определение 1. Скажем, что А Е Х(Х,Хп,Е), если выполнены следующие условия:

1. Для любого £ > 0 найдется 5 > 0, такое что, если д

2. Функция КА(х, s,x\,x2), определяемая формулой (6), является гладкой на (-£,£) х (R \{0}) х Хп х Хп.

3. Существуют такие т, М, 0 < т < М < то, что носитель функции КА содержится в множестве всех (х, s, х\,х2) Е ((-£, £) \ {0}) х (R \ {0}) х Xп х Х° таких, что т < | s | < М

Множество К(Х,Хп,Е) является алгеброй.

2.2. Регуляризованный след. Операторы из К(Х,Х°,Е), вообще говоря, не являются ядерными. В данном параграфе мы введем некоторый функционал на Х(Х,Хп,Е), называемый функционалом регуляризованного следа, который совпадает с функционалом следа на ядерных операторах.

Пусть X — компактное многообразие, Xп — его гладкое подмногообразие коразмерности 1, Е — эрмитово векторное расслоение на X, дх — риманова метрика на X. Плотность у на X называется гладкой относительной плотностью, если в нормальной системе координат около Xп она записывается в виде:

,

где ldx°| — фиксированная гладкая плотность на Хп и и — гладкая функция на (-£, £) хХп. Для гладкой относительной плотности у определим плотность у |хо на Xп следующим образом. Если записать у в виде (7), то

у 1хо = и(0, х°)ldx°|.

Определим непрерывную функцию г на X по формуле г(р) = д(р,Хп), где д — геодезическое расстояние от точки р до подмногообразия Xп.

у = и

dx , п —dx

X

Определение 2. Регуляризованный интеграл гладкой относительной плотности у по X определяется формулой

Г

у

X

lim

£——п

(/

х

г(р)>£

У + 2 ln £

X0

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

79

Для ядра к а оператора А е К(Х,Х0; Е) естественно определяется его ограничение на диагональ Д = {(р,р) е X х X : р е X} = X как матричнозначная плотность кд |д е С° (X \ X0, Д(Х)  Qx) на X \ X0. Можно доказать, что ее поточечный след tr к а | д е С° (X \ X0, Qx) является гладкой относительной плотностью на X, что позволяет дать следующее определение.

Определение 3. Регуляризованный след оператора А е К(Х,Х 0,Е) с ядром к а определяется по формуле

Г

r-Tr(A) = tr к а | д .

Как было сказано выше, имеет место формула для регуляризованного следа коммутатора операторов А, В е Х(Х, X0; Е) в терминах некоторых семейств интегральных операторов с гладким ядром на X0, ассоциированных с А и В.

Пусть А е Х(Х,Х0; Е) и Ка определяется формулой (6). Тогда существует предел

lim КА(х, s, х°, х0) =: КА(0, s, х°, х°2) : Е°о ^ Е

хМ0

Определение 4. Определяющим оператором, ассоциированным с оператором А е Х(Х,Х0,Е), называется оператор I(А), действие которого на полуплотность

р е C0°((R \ {0}) х X0,'к*Е0  Q(2д\{0})хх0) вида р = и(х,х0) | — dx0l2 задается формулой:

I

dx , 0 —dx х

1

е СУ((К \ {0}) х Х0,жЩ s QR\{0}xxо),

где

I(А)и(х,х0) = I I Кя(0, s, х0, x<i)и ^—, ж0^ —dx0, х е R \{0},ж0 е X'

X0 —°

0

1

Здесь п*Е0 обозначает расслоение на (R \ {0}) х X0, являющееся поднятием расслоения Е0 при проекции п2 : (R \ {0}) х X0 ^ X0: ('л2*Е0)(х,хо) = Е°х0.

Определение 5. Определяющими семействами оператора А е Х(Х,Х0,Е) называются семейства {I±(ДА) : А е C} интегральных операторов в пространстве С°(Х0,Е0) с гладкими ядрами, задающимися формулами:

Ki+

ds

s iXKa(0,s,x°1,x(2)— : Х°о ^ Х°о,

21

0

0

-Xi (А,\) (Х\,

18ГхКа

ds

R

Е 0о

2

—>

Е 0

0.

1

Используя теорему Пэли-Винера, легко показать, что функции Kj±(a,X) корректно определены для любого А е C и являются целыми функциями по А.

Справедливы следующие свойства определяющих операторов:

1. I(А о В) = I(А) о I(В).

2. 1±(А о В,Х) = I+(A, X) о I±(В, X) + I-(А, X) о I*(В, А).

Теорема 4. Если А е Х(Х,Х0,Е) и В е Х(Х,Х0,Е), то

r-Tr

1

ni

J Tr(dxI+(A, X) о I+(B, X) + дх1 -(А, А) о I-(В, X))d\,

-°

80

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

где Тг означает след интегрального оператора в пространстве СГХ(Х°,Е°). Интегрируя по частям по Л, можно переписать формулу в виде

1

г-Тг([А,В]) = — Тг(1 +(А,Х) о дх1 +(В,Х) + I-(А,Х) о дх1 -(B,X))d\.

m I

3. Потоки НА РАССЛОЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

3.1. Поток на расслоенном многообразии и ассоциированные с ним операторы. Предположим, что компактное многообразие X размерности п является тотальным пространством расслоения я : X ^ S1 над окружностью S1 = R/2-^Z с компактным многообразием F в качестве типичного слоя, и слоение Т задается слоями расслоения я.

Пусть поток Т на X удовлетворяет условиям (P1), (P3), (P4). Тогда существует такой поток Т на S1, что n(Tt(x)) = Тt(n(x)) для любого х Е X. Запишем инфинитезимальный генератор V = Тt|t=0 потока Т в виде

V

, , 8 Л») -щ.

V Е S1,

где а Е C^(S1). По условию (P3) поток Т имеет конечное число неподвижных точек a1,...,ak Е S1, которые невырожденны, то есть а(ау) = 0 и a'(aj) = 0 для любого j = 1,...,k. Точки aj соответствуют слоям слоения Т, содержащим неподвижные точки потока Т.

В тривиализации n-1(U) = F х U расслоения я инфинитезимальный генератор

V = 4Tt\=0 потока Т имеет вид

д

V (У) = Му) + а(у) —

У Е U,

:ю)

где v0 — векторное поле на n-1(U), касающееся слоев расслоения я (то есть, гладкое семейство векторных полей на F, параметризованное у Е U). Другими словами, V — трансверсально проектируемое векторное поле на X.

Пусть Е — комплексное векторное расслоение на X. Предположим, что задан поток ТЕ на Е, который накрывает поток Т на X, причем индуцированное этим потоком отображение ТЕ(х) : Ех ^ Етух) в слоях расслоения Е линейно. Обозначим через Т* : С^(Х,Е) ^ С^(Х,Е) — оператор, индуцированный потоком Т:

Tj*u(x) = rt(x)[u(Tt(x))], где rt(x) = TEt(Tt(x)) : Ещх) ^ Ех.

Обозначим через V С ТХ подрасслоение касательного расслоения ТХ, состоящее из векторов, касающихся слоев расслоения ж. Пусть |V|S — расслоение s-плотностей, ассоциированное с V (расслоение послойных s-плотностей). Зафиксируем гладкое положительное сечение а расслоения послойных плотностей |V|. Оно задается гладким семейством [ау : у Е S'1}, где ау — гладкая положительная плотность на Fy. Произведение послойной плотности а с |dy| корректно определяет гладкую положительную плотность | = |da|  |dy| на X. Будем отождествлять пространство гладких полуплотностей

С^(Х, Ах) с С^(Х), используя фиксированную полуплотность |1/2 = ^а^В  |dy|1/2.

Для функции f Е С(

определим линейный оператор Tf в пространстве

1 2

СГХ

Tf У

f (t)T*udt I ^а^2  ^y^2.

11)

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

81

3.2. Послойно сглаживающие операторы. По определению, послойно сглаживаю-

1 1

щий оператор К : С°(Х,Е 0 Qx) ^ С°(Х,Е  Qx) задается элементом к пространства С°(Х хж X, С(Е) 0 |V|2 0 |V|1), где X х, X = {(рър2) е X х X : п(рф = п(р2)} и С(Е) — векторное расслоение на X хж X, слой которого в точке (р1,р2) е X хж X состоит из линейных отображений из ЕР2 в ЕР1, по формуле:

Кр = J кр,

F

1

где р е С°(Х, Е 0 Q2X), и интеграл необходимо понимать в следующем смысле.

Пусть n-1(U) С X = F х U — тривиализация расслоения п над некоторым открытым множеством U С S1. Выбор тривиализации определяет диффеоморфизм n-1(U) хж n-1(U) = F х F х U .А именно, каждой паре (р1,р2) е n-1(U) хж n-1(U) ставится в соответствие набор (х0,х0,у), где (х0,у1) е F х U соответствует точке р1, а (х0,у2) е F х U — точке р2, причем у1 = у2 = у. Зафиксируем гладкую положительную плотность ldx°l на F. Полуплотности к и р можно записать в виде:

к = к(х°1, x°2,y)ldx°1l2 ldx(°l2, р = и(х0, y)ldx°l2 Idyl

Х°1, х°2 е F, У е U-

Положим

кр

k(x01,x(2,,y)u(x02,y)ldx02l\ ^х!2 ^у12, х°1 е F, у е U,

F

где интеграл, стоящий в правой части равенства, следует понимать как интеграл от гладкой плотности на F со значениями в пространстве Е(хо,у). Легко видеть, что это определение корректно, то есть не зависит от выбора тривиализации и плотности |dx0|.

3.3. Операторы Tf о К. Зафиксируем стандартную риманову метрику gsi = dy2 на S1. Выберем риманову метрику дх на X таким образом, что отображение f : (Х,дх) ^ (S 1,gsi) является римановой субмерсией, то есть для любого касательного вектора V е ТРХ, ортогонального слою расслоения я, проходящему через точку р, справедливо равенство \\V||flx = \\dFp(y)||fl 1. Рассмотрим гладкое подмногообразие кораз-

&

мерности один X0 = У Fa.. Имеет место следующее утверждение.

3 = 1

Теорема 5. Предположим, что поток Т удовлетворяет условиям (P1), (P3), (P4). Тогда для любого послойно сглаживающего оператора К и для любой функции f е C0°(R) оператор Tf о К принадлежит Х(Х, X0, Е).

Доказательство. Для любого I = 1,... ,к множество Ug = S1 \ а# является стягиваемым. Поэтому ограничение расслоения п на Ug является тривиальным, то есть существует диффеоморфизм F-1(Ug) = F х Ug такой, что Fa = ж-1(а) = F х {а}.

Для определенности положим I =1, Ug = U и запишем действие оператора Tf на полуплотность р в данной тривиализации. Для любого t е R и для любого у е (aj, Oj+1),j = 1,... ,k (ak+1 = a1), имеет место включение Т t(y) е (aj, aj+1). Поэтому диффеоморфизм Tt записывается в виде

Tt(x0,у) = (St(x0,y),Tt(y)), (х0,у) е F х Д

и послойная плотность а в виде da = w(x0,y)ldx01. Тогда для любой полуплотности р = u(x0,y)ldx0l2 Idyl2 имеем

(Tf о К)р = [(Tf о К)u(x0,y)]ldx°l2 ldyl2,

82

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

где

(Tf О к)и(х0,у)= f (t) rt(x0,y)k(St(x0,y),x°1,Tt(y))x

F

x u

где k = k(x°,x0,y)\w(x°,y)\2\w(x°1,y)\2\dx°\2\dx0\2, (x°,y) E F x U, — ядро послойно сглаживающего оператора К. При фиксированном у E S1 \ [а1,..., ak}, скажем, у E (а1, а2), сделаем замену переменной t E (-ж, +ж) м- у1 = Тt(y) E (а1,а2) в интеграле, стоящем в правой части формулы (13). Поскольку = а(Тt(y)) = а(у1) = 0, можно выразить t через у\.

У1

Г

t = ф

J a

Легко видеть, что Ф E C^((a1,a2) x (а1,а2)). Следовательно, получаем.

(Tf о К )и(х ,у) = J f (ф(у,уг)) J r^{y,yi)(x , y)k(S^(y,yi)(x ,у),х1,у1)х [«1,«2| F

х и(х°1 ,y1)\w(^,y)\1/2\т(х°1,уг)\2 1 \dxW\dy1\.

НуУ

Таким образом, ядро оператора Tf о К имеет вид.

kf (х0,х0ъ y, У1) = f (ф(у, У1))г^(у,У1)(х^ y)k(S4y,m)(х°, у),х2,у1) х

х \w(x0,y)\1/2\w(x01,y1 )\2 / \dx\\2\dy1\2\dxQ\2\dy\2, (15

,i 1

1 , . . 1 , , n ,1 , . , 1

НУ1 ^

если x°, x! E F, y, y1 E (a1, a2), и

kf(x ,X1,y,y1) = 0,

если x°,x1 E F, у E (a1,a2), y1 E (a1,a2). В частности, ядро оператора Tf о К является гладкой полуплотностью на X х X \ (X1 х X) U (X х X0).

Условие

lim ф(у,у1) :

V1^aj

dz a

Ж lim Ф

V1^aj+1

a3 +1

dz

a

.

Зафиксируем j = 1,... ,k. Поскольку отображение n является римановой субмерсией, нормальные координаты (х,х°) E (-£,£) х Faj определяют тривиализацию расслоения я над шаром В(ау ,е) С S1 с центром в точке aj E S1 радиуса е. А именно тривиализация V = ж-1(В(aj,е)) = Fa. х B(aj,е) ставит в соответствие точке р E n-1(B(aj,£)) с нормальными координатами (х,х°) E (-£,£) х Fa. точку (х°,х + aj) E Fa. х B(aj,£). Легко

видеть, что формула

Пусть (х1,х2,х^,х2) — соответствующие координаты на V х V. На множестве (У \ Faj) х (V \ Fa.) введем систему координат

(x,s,x01,x2,) E ((-£,£) \{0}) х (R \{0}) х Faj х Faj

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

83

по формулам

V — ai

х = х1 = у — aj, s =-------

VI — аз

Рассмотрим функцию Kf на (—е,е) х (R \ {0}) х X0 х X0, (6) по ядру kf. Так как носитель ядра kf содержится в У я-1

определяемую формулой (аз,аз+1) х ^-1(аз,aj+i),

з

Кf (х, s, х°,х\) = 0 при s < 0.

При s > 0 функция Кf имеет вид:

Kf (x,s,x0,x°) = f (Ф(о,- + x,aj + - ))гФ(«з. +x,aj+г )(x0,aj + х)х

х k(S^(aj +x,aj+1)(x0,aj + x),x°1,aj + ^)|w(x0,aj + ж)|1/2х

x

\w(x°°,aj + ^ )|2

JyL

Д/2

a(a3 + f )|

Используя формулу (17), нетрудно проверить справедливость условий (2) и (3) определения 1.

3.4. Регуляризованный след оператора Tf о К. Пусть К — послойно сглаживающий оператор с ядром к Е С^(Х хж X, С(Е)  |V|2  |V|2). Пусть x-1(U) С X = F х U — тривиализация расслоения я над некоторым открытым множеством U С S1. Зафиксируем гладкую положительную плотность |dx°| на F. Тогда к можно записать в виде:

к = k(x°1,x(0,y)ldx°1l2 М2, х°1,х(0 Е F, у Е U.

Определим гладкую послойную плотность кх на n-1(U) = F х U по формуле

кх = trк(х0,x0,y)ldx0l, х0 Е F, у Е U.

Легко видеть, что это определение корректно определяет гладкую послойную плотность кх Е С^(Х, |V|) на X, то есть оно не зависит от выбора плотности |^ж0| и тривиализации расслоения я.

Пусть V* Е П1(Х \ X0) — такая дифференциальная 1-форма на X, что V*(V) = 1 и V*(W) = 0 для любого W Е V. Она определяет трансверсальную плотность |F*| е С^(Х \ X0, |TX/V|). Произведение послойной плотности кх Е С^(X, |V|) и трансверсальной плотности \V*| Е С^(Х \ X0, |TX/V|) корректно определено как плотность кх|^*| Е С™(Х \ X0, |ТХ|) на X \ X0.

Теорема 6. Предположим, что поток Т удовлетворяет условиям (P1), (P3), (P4). Тогда kx \V*| является гладкой относительной плотностью на многообразии X с выделенным подмногообразием X0 и имеет место формула

Г

г-Ъ(Т, о К) = f (0) kx\V*|.

Доказательство. Пусть к Е С^(Х хж X, С(Е)  |V|2  |V|2) — ядро послойно сглаживающего оператора К. Используя подходящее покрытие окружности S1 и подчиненное ему разбиение единицы, можно свести доказательство к случаю, когда носитель ядра к содержится в множестве n-1(U), где U С S1 — интервал, содержащий единственную точку aj при некотором j. Выберем тривиализацию n-1(U) С X = F х U расслоения п над U. Запишем векторное поле V в виде (10). Тогда V* = dy и

tr к

^Wdyl

х0 Е F, у Е U.

84

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

По определению

Г

r-Tr(Tf о К) = J tr kf \д , х

где kf задается формулой (15). Из (15), используя то, что Ф(у,у) = 0, получим: kf |д = f(0)k(xo,x0,y)\w(x0,y)X^-\dx°\\dy\ = f (0)кх\V*\.

Ну)\

Легко видеть, что кх\V*\ является гладкой относительной плотностью на X. Поэтому

Г

регуляризованный интеграл J tr kf \д существует, и справедлива формула (18).

х

3.5. Формула Лефшеца для потока на расслоенном многообразии. В этом разделе мы докажем формулу Лефшеца, приведенную в теореме 3.

Прежде всего, мы дадим описание различных объектов, ассоциированных со слоением Т, задаваемым слоями расслоения я : X ^ S1. Напомним, что слоем ТРТ расслоения ТТ в точке р G X является касательное пространство к слою, проходящему через точку р. В данном случае расслоение ТТ совпадает с вертикальным подрасслоением V касательного расслоения ТХ.

Произвольный элемент пространства VIй (Т) послойных дифференциальных м-форм на многообразии X можно представлять как семейство ш = {ix(y) G Vu(Fy) : у G S'1}, где ш(у) — дифференциальная форма на слое Fy, гладко зависящая от у. Другими словами, можно сказать, что ш G С^(S1, Vp) — гладкое сечение бесконечномерного расслоения Vp, слой которого в точке у есть пространство Vй(Fy) гладких дифференциальных м-форм на Fy.

Послойный дифференциал де Рама dx : Vй (Т) ^ VU+1(T) описывается следующим образом: для ш = {ш(у) : у G S1} G Vй (Т) имеем

dTш = {d[u(y)\: у G S1} G V“+1(Т),

где d : Vй(Fy) ^ Vu+1(Fy) — дифференциал де Рама на слое Fy.

Пусть дх — послойная риманова метрика на X. Она задается семейством римановых метрик д(у) на слоях Fy, гладко зависящих от у G S1. Метрика дх определяет скалярное произведение на пространстве Vй(Т) = C^(S1, VF):

(и1,и”) = j (ш'(у),ш" (y))g(y)dy. s1

Нетрудно показать, что сопряженный оператор : Vи+1(Т) ^ Vй (Т) к оператору dx задается следующим образом:

SMy) = с1*Ш\, и G а-+‘(Т),

где d* : V“+1 (Fy) ^ Vй(Fy) — сопряженный оператор к d на слое Fy относительно метрики д(у). Послойный оператор Лапласа Ар имеет вид

А^ш(у) = А-{у)[ш(у)], ш G VU(X),

где А'д(у) — оператор Лапласа на слое Fy, задаваемый метрикой д(у).

Пространство Ни(Т) = kerA^- послойно гармонических дифференциальных м-форм описывается следующим образом:

Ни(Т) = {и G CT(S1, VUF) : (Чу G S1 )Ш(у) G Щу)},

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

85

где 'Н.'д(у) = кегД“(у) — пространство гармонических дифференциальных w-форм на Fy. Наконец, проектор Р%д?) на пространство послойно гармонических w-форм является оператором Ри^(т) : L2(S 1,L2QVF) ^ L2(S 1,L2QVF), задаваемым для любой ш G L2(S 1,L2QVF) формулой:

РНи(Г)ш(у) = РНи(у) [ш(y)}, у G S\

где для любого у G S1 оператор Р%« ^ является ортогональным проектором в пространстве L2Qu(Fy) Р2-дифференциальных м-форм на Fy на подпространство %^. Оператор Р%« ^ является оператором с гладким ядром Щ G С,х(ЛиТ*ТИ (ЛиТ*Т)*). Следовательно, проектор Рпи(т) задается формулой

Рн-(т)и(х0,у) = j ку(х°,x°)w(x0i ,y)dx0v

Fy

Хорошо известно, что ядро ку(х°,х1) гладко зависит от у, и потому оператор Р%«(?) является послойно сглаживающим оператором.

Предположим, что поток Т удовлетворяет условиям (P1), (P3), (P4). Рассмотрим

&

X0 = (J Fa. — гладкое подмногообразие коразмерности 1. Определим регуляризованную 3 = 1

функцию Лефшеца L(T) G P'(R):

П— 1

(ЦТ),!) = £(-1)”т-Ъ(Т, о pn,m), f G Со“(R).

и=0

По теореме 5 регуляризованная функция Лефшеца L(T) G P'(R) корректно определена.

Напомним, что эйлеровой характеристикой компактного многообразия М размерности d называется число

d

Х(М)= £(-1)" dim Н”(М),

и=0

где Ни(М) — когомологии де Рама многообразия М.

Теорема 7. Предположим, что поток Т удовлетворяет условиям (P1), (P3), (P4). Тогда имеет место формула

Г

ЦТ) = x(F) ! j%V

J \а(У)\ s1

Доказательство. По теореме 6 мы имеем

Г

!-Ъ(Т, о РН,{Л) = f (0) J (kPmr> )х |V"\.

Для любого послойно сглаживающего оператора К с ядром к имеет место следующая формула интегрирования вдоль слоев расслоения ж:

Г Г

Jkx\V *\ = /(^ К) dy,

х S1

где К (у) : Crx(Fy) ^ С ^(Fy) — ограничение оператора К на слой Fy, ti> К — функция на S1, которая каждому у G S1 ставит в соответствие след tr К (у) оператора К (у) (послойный след оператора К). По этой формуле получаем

86

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

п— 1

{ЦТ),;) = ; (о^(-1)’

и=0

S1

Шtr X»^

п1

! (0^(-1)>

и=0

Для любого у Е S1 имеет место изоморфизм Ходжа 'Hva(v) = Hu(Fy). Поэтому получаем

п1

{ЦТ),/) = / (0)£(—1)'

1

dim Н u

S'1

2)

Ну)!

dim Щу^у-

1

iX(Fy )dy.

и=0

J |а(^)1 “ ^ ^ ' J ШГ У

s1 s1

Поскольку все слои Fy диффеоморфны многообразию F, x(Fy) = x(F) для любого у Е S1, что немедленно завершает доказательство теоремы.

Г

г

1

г

г

4. СЛОЕНИЕ РИБА

4.1. Слоение на торе и потоки на нем. Рассмотрим субмерсию р : R2 ^ R, задаваемую формулой:

P(У, z) = ег cos (2^ , (у, z) е r2.

Множества уровня субмерсии р определяют слоение Т на многообразии R2, слои которого имеют вид Lv = [р(у, z) = v} с v Е R. Для любых (k,l) Е Z2 отображение R(k/) : R2 ^ R2, (y,z) м- (у + 2k,z +I) отображает Lv в L(-1)kvee. Поэтому слоение Т определяет слоение Т на двумерном торе X = R2/(2Z х Z). Заметим, что все слои слоения Т некомпактны, кроме слоя L0 = {(у, z) Е X : у = 1}, соответствующего v = 0. Зафиксируем стандартную риманову метрику g = dy2 + dz2 на X.

Как правило, мы будем работать с многообразием X = (R/2Z) х R, которое является накрытием над X, и соответствующим поднятием Т слоения Т на X. Определим расслоенную систему координат на (X, Т) с координатами (u,v):

и = z; v = ez cos ^—у^ ,

а также расслоенную систему координат на (X, Т) с координатами (u0,v0):

Щ = уо; Vo = eZ0 cos

Введенные таким образом системы координат образуют атлас слоения (X, Т).

Мы будем отождествлять функции на X с функциями на X, удовлетворяющими условию f (у, z + 1) = f (у, z) для любых у Е R/2Z, z Е R. Формулы (19) определяют диффеоморфизм ф из X = (0, 2) х R С X на S = {(u,v) Е R2 : — еи < v < еи}. В координатах (и, v) условие периодичности функции f записывается в виде f (и + 1,ev) = f (u,v) для любого (и, v) Е S.

Прямым вычислением получаем:

д 2 (п \ д д

ди = ж CtH2У)ду + ~dz

д_

dv

2 -г (к '

---е cosec —у

ж \2У,

_д_

ду

Пусть Т — поток на (X,Т), удовлетворяющий условиям (P1), (P3) и (P4). Будем обозначать через Т также поднятый поток на (X, Т). Тогда в силу условия (P1) инфинитезимальный генератор V потока Т в координатах (19) имеет вид

где А и В

д д

V = A(u,v)+ В(v)-^, (u,v) Е S, гладкие функции на S, удовлетворяющие условиям:

А(и +1,ev) = A(u,v), В (ev) = eB(v).

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

87

Поскольку В является гладкой функцией в 0, легко видеть, что существует такое а Е R, что В (v) = av для любого v Е R. Отсюда следует, что инфинитезимальный генератор потока на X, удовлетворяющего условию (P1), касается компактного слоя L0. Более того, если поток Т удовлетворяет условиям (P1), (P3) и (P4), то а = 0, и поток имеет хотя бы одну неподвижную точку, которая обязательно принадлежит L0.

Записывая векторное поле V в координатах (y,z), можно показать, что оно является гладким на X тогда и только тогда, когда функция

f

A(z, —ez cos |у) , если (y,z) Е (—1,0) х R; A [z, ez cos 2у) , если (у, z) Е (0,1) х R

является гладкой при у = 0. В качестве примера функции А можно взять

ГО

А(и, v) = fo(v2e-2u) + ^^(/fc(ve-u) cos ku + gk(ve-u) sin ku),

k=i

где fk,дк Е Сте([0,1]) — четные функции, /о(1) = a, fk(1) = дк(1) = 0.

Поток Т векторного поля V может быть записан в виде:

Tt (y,z) = (Y (t,y,z),Z (t,y,z)).

В (и, n)-координатах поток Т задается системой дифференциальных уравнений и = А(и, v), v = av. Поэтому, его запись в координатах (u,v) имеет вид

Tt(u,v) = (U (t,u,v),eatv).

Ограничение потока Т на L0 задается уравнением z = A(z, 0). Легко проверить, что окружность у = 0 является периодической орбитой с периодом т = ^.

В дальнейшем мы будем рассматривать некоторое комплексное векторное расслоение Е на X. Мы будем предполагать, что Е тривиально как векторное расслоение, то есть, Е = X х CN при некотором N. Мы будем также предполагать, что на Е задан поток ТЕ, который накрывает поток Т на X, причем индуцированное этим потоком отображение TtE(у, z) : E(y,z) ^ ETt(y,z) в слоях расслоения Е линейно. Обозначим через Tt* оператор в пространстве СГО(Х,Е), индуцированный потоком Т:

Ttu(y,z) = rt(У,z)[u(Tt(y,z))],

где rt(y,z) = TEt(Tt(y,z)) : ETt{y,z) ^ E{y,z).

Прежде всего, нас будут интересовать два частных случая. Первый случай связан с пространством гладких функций. В этом случае Е = X х C и rt(y,z) = 1. Другой важный случай связан с пространством П1(^') послойных дифференциальных 1-форм на

X. В этом случае Е = Т*Т  C.

1 1

Оператор Tf : СГО(Х,Е  ^ СГО(Х,Е  ), где f Е C'0°(R), задается формулой:

для у = а(у, z)\dydz\1/2

TfУ =

4.2. Аналог формулы Маккина-Зингера. В этом разделе мы введем сглаженную регуляризованную функцию Лефшеца и сформулируем основные результаты параграфа 4.

Начнем с общей постановки. Пусть (X, Т) — произвольное n-мерное компактное многообразие со слоением коразмерности 1 и Т — поток на X, удовлетворяющий условиям (P1), (P3) и (P4). Обозначим через X0 подмногообразие многообразия X, состоящее из слоев, содержащих неподвижные точки потока. Зафиксируем произвольную риманову метрику на X.

88

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

Обозначим через А множество функций ф : R м C, которые продолжаются до целых функций на всей комплексной плоскости, причем для любого компактного подмножества К С R множество функций х м ф(х + iy); у Е К ограничено в пространстве Шварца 5 (R).

Зафиксируем четную функцию ф Е А вида ф(х) = ф(х2),х Е R, где ф Е C°(R). Для любых t > 0 и f Е C0°(R) определим операторы C0j : QU(T) м ОР(Т),и = 0,...,п и См : П(Т) м П(Т) по формулам

00/ = Tf о ффАф)2, См = Tf о ффАт)2.

Предположим, что оператор ффАф)2 : QU(T) м QU(T) является послойно сглаживающим оператором, оператор Офу : Пи(Т) м ПДТ) принадлежит алгебре К(Х,Х0,Ли(ТТ)), и поэтому существует регуляризованный след r-Tr(C0j). Формула (3) определяет сглаженную регуляризованную функцию Лефшеца Lt,y Е ^(R). Перепишем эту формулу в виде

(Lt,y ,f) = r-Tr8 (См),

где r-Trs(C0j) — регуляризованный суперслед оператора Ct.yj:

П— 1

r-Tr‘(С,*,) = £(-1)“ r-Tr (су,,) .

и=0

Явное вычисление функции Lt,y представляется достаточно сложной задачей даже в конкретном примере, описанном в параграфе 4.1. В настоящей работе мы делаем только первый шаг в этом вычислении, а именно, мы доказываем существование функции Lt,y и вычисляем ее производную по t в данном случае. Результаты вычисления для произвольной функции ф приведены в предложении 6. Более конкретная формула получается в случае, когда ф(х) = е~2, то есть, когда оператор Ct.yj имеет вид

CW = В,., := Т, о е—ш',

и соответствующая сглаженная регуляризованная функция Лефшеца Lt задается формулой

(L,,f) = r-T*(Tf о e—tA'-).

Теорема 8. Пусть (X, Т, д) — компактное риманово многообразие со слоением, описанное в разделе 4-1, и Т — поток на X, удовлетворяющий условиям (P1), (P3) и (P4)-Тогда для любого t > 0 имеет место формула

1 (§6- f) = £ ^>Ю, iЕ ^

2 dt

0 ( R) ,

n£Z

где

cn(t) = h+ (t,z - Z (^, 1, + h— (t, Z ^- 7^, 1, - z + nj

dz,

и функции h+ и h— задаются формулами

h+(t,k) = -

11 / k3 k k

a 40Ф-ф1

(k3 \4f2 +

— — —Ip 41

2t 4 16

1

h—

1 1 f k3

a 40n0t V 4t2

k_

2t

0

(fe+t)2

e 4t

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

89

В частности, имеем

Cq

1

J [h+(t, 0) + h-(t, 0)] dz о

1 1 _*

-------6 4 .

a 4ДФД1

Оставшаяся часть данного параграфа посвящена доказательству этой теоремы. Мы будем следовать рассуждениям, приведенным в [1], с некоторыми модификациями, связанными с тем фактом, что функционал регуляризованного следа не обладает следовым свойством.

Мы начнем с общей формулы для производной по t от регуляризованного суперследа оператора Ct^j, справедливой для произвольного ^-мерного компактного риманова многообразия (X, Т,д) со слоением коразмерности 1 и потока Т на X, удовлетворяющего условиям (P1), (P3) и (P4) (ср. [1, Lemma 3.3]).

Предложение 1. Имеет место формула

d

— г-TP Ct^j =2r-Tr \Tf о dj о ф'(tXj),ф(гД-) о 4+] +

+ 2 r-Tr [ф

- 2г-Тг [Т/ о о ф/(^Д+),Ф(Фд+) о ] -

- 2 г-Тг [ф(^Д+) о d-dj, Tf о i)\tX+)] .

Доказательство. Пространство П(Т) представляется в виде прямой суммы

П(Т) = П+(Т) 0 П-(Т), где

0+(Т)= 0 П“(Т), П-(Т)= 0 П“(Т).

и—четное

и—нечетное

Соответственно этому разложению, операторы dj, Sj, Дф можно записать в виде 2 х 2 блочных матриц:

0 d-

d

'Т

hT

dj 0 ) , j U+ 0 ) , Дф l 0 Д

= G+ 0 ) , Дф =

Запишем ффДр) в блочном виде:

,ШДГ) = 0*д+) 0 ^

"nj 1 ^ 0 »/>

Перемножая операторы dj и dj в блочном виде, легко показать, что

Д j = d—dj + d-dj; Д- = djd- + dj d-.

Получим:

d

— г-Тг5 ct^yf =2 г-Тг5 (Tf о д j о ф'фД j) о ффДт)) =

=2г-Тг (Tf о (d—dj + d—dj) о ф/(£Д+) о Ф(ЬД+)) —

— 2 г-Тг (Tf о (dj dj- + dj dj-) о ф/(ЬД'-) о ффД-)) .

Так как операторы d— и Т* коммутируют, имеет место равенство:

11 := г-Тг (Tf о dj-dj о ф/(ЪД++) о ф(£Д+)) = г-Тг (d— о Tf о 8+ о ф/(ЪД++) о ф(£Д+)) .

Поскольку dj о Д j = Д- о 5+ и d- о Д- = Д j о d-, получаем 11 = г-Тг (d- о Tf о ф1 (*Д-) о ф(£Д-) о 4j) =

= г-Тг [Tf о d~- о ф' фД-), Ф(^Д-) о 8j] +

90

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

+ г-Тг [ффД-) о b+d-, Tf О Ф'(ьД-^ + г-Тг (Т/ О b+d- о ф'(;£Д-) о ффД-)) . Аналогично можно показать, что

12 := г-Тг (Tf о d+b- о ф'фД-) о ф(£Д-)) = г-Тг (d+ о Tf о Ь- о ф'(tA-) о ф(£Д-)) .

Поскольку Ь- о Д- = Д+ о Ь- и d+ о Д+ = Д- о d+, получаем

12 = г-Тг (d+ о Tf о ф'фД+) о ф(£Д+) о Ьф) =

= г-Тг [Tf о d+ о ф'фД+), Ф(Д) о 5-] +

+ г-Тг [ффД+) о b-d+, Tf о ф1 фД+)] + г-Тг (Tf о b-d+ о ф'фД+) о ^(^Д+)).

В ситуации, описанной в теореме 8, послойный комплекс де Рама имеет вид

0 —Д q°(j) -Д Q^J) —д 0.

Поэтому имеем

d+ = dr :Q°(J) -Д Q1(J), d- = 0, b- = d*T :^(Х) -Д Q°(J), b+ = 0.

Д+ = d*Tdr : Q°(J) -Д Q°(J), Д- = drd*r : Q1 (J) -Д Q1(J).

Формула (24) принимает вид:

d

— г-Тг" Ct^,f = 2г-Тг [Tf о ф'(tX+), ФФД+) о Д+] -

— 2г-Тг [Tf о d+ о ф1

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать компактное риманово многообразие со слоением (X, J,д) и поток Т на X, удовлетворяющий условиям (P1), (P3) и (P4), описанные в разделе 4.1.

4.3. Послойно сглаживающие операторы. Для описания послойно сглаживающих операторов на многообразии со слоением (X, J) мы будем использовать представление X = X/Z и соответствующее представление послойно сглаживающих операторов на (X, J) как Z-инвариантных послойно сглаживающих операторов на (X, J7).

Рассмотрим множество

Z = {(У1,^1,У2,^2) е X X X : (yi,Zi) ~г (У2Х2)}.

Топология на ZZ определяется следующим образом. Множество ZZ представляется в виде дизъюнктного объединения ZZ = К1 Ц К2, где ZZ1 = {(у1, z1,y2, z2) е ZZ : у1 = 1,у2 = 1}

гомеоморфно (-1,1) X (-1,1) X (0, +го), К2 = {(1,z1, 1, z2) : z1,z2 е R} = R2 и последовательность (y(ra), ,у2ф'), zd^) е ZZ1 сходится к (1, z1,1, z2) е ZZ2 тогда и только тогда, когда

она сходится в X X X, и при достаточно больших п точки (уф\ ^1™^) и (у2ф\ z2n)) лежат в одной и той же (зависящей от п) компоненте связности множества X \ ({0} X R U{1} X R) (последнее условие также эквивалентно тому, что расстояние между этими точками вдоль слоев слоения J равномерно ограничено по п).

Предложение 2. На ZZ можно задать структуру гладкого многообразия.

Доказательство. Атлас на ZZ состоит из двух карт. Первая карта ставит в соответствие точке (у1, z1,y2, z2) е U1 = К П (-1,1) X R X (-1,1) X R ее координаты

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

91

Xl(yl,Zi,y2,Z2) = (У1,У2,У) Е (-l, 1) X (—1, 1) X (0, +го), где V= P(yi,Zi) = Р(У2^2). Вторая карта ставит в соответствие точке (у1, z1, у2, z2) Е U2 = (Л П (0,1] X R X (0,1] X R) U и(Л П (1, 2) X R X (1,2) X R) ее координаты

X2(yi,Zi,y2,Z2) = (zi,Z2,v) Е {(zi,Z2,v) Е R3 : H < , M < e^2},

где v = p(yi,zi)= p(y2,Z2).

Обозначим через L(yi,Zi) слой, проходящий через точку (у]_, zi). На каждом слое слоения Т зафиксируем положительную плотность | dz |, являющуюся подъемом плотности | dz | на вещественной прямой R при отображении L ^ R, (у, z) ^ z. Эта плотность является всюду гладкой на L, кроме у = 0.

Послойно сглаживающий оператор К : С^(Х) ^ С^(Х) задается формулой

К u(yi ,Zi)= k(yi,Zi,y2,Z2)u(y2,Z2)ldZ2l

^

Ядро послойно сглаживающего оператора К задается функцией к на Л, удовлетворяющей следующим условиям:

• k(yi,Zi + 1,У2Х2 + 1) = k(yi,Zi,y2,Z2).

• Существует такая постоянная С, что k(yi,zi,y2,z2) = 0 для любых (yi,zi,y2,z2) Е Л таких, что d((yi,zi), (y2,z2)) > С, где d — послойное расстояние между точками (yi,zi) и (y2,z2).

• Плотность k(yi, zi,y2, z2)|dz2| является гладкой плотностью на L(yi,Zi), гладко зависящей от (у2,z2) Е X: для любой функции и Е С^(Х) функция

(yi,Zi) Е X ^ / k(yi,Zi,y2,Z2)U(y2,Z2)ldZ2l

L

является гладкой функцией на X.

Для любого (yi, zi, z2) Е (0, 2) X R X R такого, что z2 > ln lp(yi, zi)| положим

Y2

Отметим, что число Y2(yi,zi,z2) является единственным решением уравнения p(yi,zi)= p(y2,z2), принадлежащим интервалу (0,2), а число 2 — Y2(yi,zi,z2) является единственным решением уравнения p(yi,zi) = —p(y2,z2), принадлежащим интервалу (0, 2). Пересечение слоя L(yi,Zi) с координатной окрестностью (0, 2) X R имеет вид

L(yi,zi) П (0, 2) X R = {(Y2(yi,Zi,Z2),Z2) : Z2 Е (ln ^p^Z^l +^)}(J

{J{(Y2(yi,Zi,Z2),Z2) : Z2 Е (ln lP(yi ,Zi)1, +^)}. Поэтому в координатах на (0, 2) X R оператор К можно записать следующим образом:

Kb

K+(zi, Z2,p(yi, Zi))b(Y2(yi, Zi, Z2), Z2)ldZ2l +

ln \p(yi,zi)|

+

/

K_ (Zi,Z2,P(yi,Zl))b(2

Y2

ln \p(yi,zi)\

92

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

где функции K±(z1,z2,v) определены при ф| < ezi, ф\ < ez2: при v = 0

K±(Zi,Z2,v) = k{yi,Zi,y2 ,Z2),

где У1,У2 e (0, 2) — такие, что p(yi,zi) = v, p(y2,Z2) = ±v,

K+(zi,Z2, 0) = k(1,zu 1,^2), K-(zi,Z2, 0) = 0.

Послойное расстояние d((y1 ,z1), (y2,z2)) между точками (y1,z1) и (y2,z2), лежащими на одном слое Lv = {(у, z) e (0, 2) х R : р(у, z) = v} слоения X, задается формулой:

d

rZ2

1

+

4 v2e-2z

ж2 1 — v2e-2z

dz T Г Jl

J\n H v

+

4 v2e-2z

~л------T^Tz dz,

л2 1 — v2e 2Z

где берется знак +, если точки лежат на одной и той же компоненте пересечения слоя с координатной окрестностью (р(у1, z1)p(y2, z2) > 0), и знак —, если точки лежат на разных компонентах пересечения слоя с координатной окрестностью (р(у1, z1)p(y2, z2) < 0). Условия на к переписываются следующим образом:

• K±(Z1 + 1,Z2 + 1,v) = K±(z1,Z2,v).

• Существует такая постоянная С, что K±(z1, z2,v) = 0 для всех (z1,z2,v) таких, что d(z1, Z2) > С.

• Функции K±(z1, z2,v) являются гладкими при ф| < eZl, ф| < eZ2.

Отметим, что из условия 2) вытекает, что

lim (z1, z2, v) = 0.

Соответствующий оператор на полуплотностях записывается следующим образом: для у = b(y,z)|dy|1/2|dz|1/2,

Ку = Kb

где КЬ задается формулой (27).

4.4. Оператор Tf о К. Рассмотрим гладкое подмногообразие коразмерности один X0 = {(y,z) e X : у =1}.

Теорема 9. Для любого послойно сглаживающего оператора К и для любой функции f e C0^°(R) оператор Tf о К принадлежит Х(Х,Х0,Е).

Для доказательства вычислим ядро оператора Tf о К в координатах на (0, 2) х R. Для у = а(у, z)\dydz\1/2, обозначая (Tf о К)у = (Tf о К)а(у, z)\dydz\1/2, получаем:

(Tf о К)a(y,z) =

= J f(r) J Гт(y,z)[K+(Z(T,y,z),z2,P(Y(z,y,z),Z(T,y,z))))x

-Ж In lp(y,z)l

х a(Y2(Y(т,у, z),Z(т, у, z), Z2), z2)\dz2\dr+

+ J f(r) J rT(y,z)[K-(Z(T,y,z),Z2,p(Y(r,y,z),Z(r,y,z))))]x

-Ж In lp(y,z)l

x a(2 — Y2(Y(r,y,z),Z(r,y, z), z2), Z2)\dz2\dr.

Сделаем замену переменных (r, z2) ^ (у2, z2), которая для интеграла, стоящего в первом слагаемом, имеет вид:

У2 = Y2

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

93

р

dw 1

B(w) а

^2 - z + In cos (2y2j - In со^ 2y'j 'j ,

p

а для интеграла, стоящего в втором слагаемом:

У2 = 2 - Y2

1

-р{у 2,^2 )

p

dw В

— \Z2 - z + ln a V

cos ( 2y2j - ln co^ 2y^ ^ .

Принимая во внимание, что

dY2(Y (r,y,z),Z (r,y,z),Z2) 2

dr

я

«ctS (2Y2(Y(r,y,z),Z(r,y,z),Z2)j ,

получаем, что

n

f (T)rT(y, z)[K+(Z(T, y, Z),Z2,P(У2, Z2))]a(У2, Z2) X

(0,1) xR

X

. я

^ ( 2 y2

+

я

f (t)rT(y, z)[K- (Z(T, y, z),Z2, -р(;У2, -2>)]о(у2, -2) X

(1,2)xR

X

где

ln

n

cOS[ 2

r (y, z, У2, Z2) = - (z2 - z + ln cOS (2У2^

Ядро kf оператора Tf 0 К как оператора на X задается формулой:

kf (y,z,y2,Z2) =

= ^ f(т + ~ К+Z (y,Z )[KPm(Z (r + -,y,z),z2 + П,р(У2 ,Z2 + n))]X

z.—/ rv “ rv

»)l)-

raGZ

X

'K

. n

tg (2 У2

Ш1/2 Hz r/2Hy2|1/2Hz211/2,

где т = т(y, Z,y2, Z2), знак + берется приp(y, z)p(y2, Z2) > 0 и знак - прир(у, z)p(y2, Z2) < 0. Используя данную формулу, нетрудно завершить доказательство теоремы 9.

4.5. Определяющее семейство, ассоциированное с Tf 0К. Чтобы вычислить определяющее семейство, ассоциированное с оператором Tf 0 К, сделаем замену переменных у = 1 + х, у2 = 1 + х2 в формуле (29). Поскольку р(у, z)p(y2, z2) = ez+Z2 sin |x • sin (2x2, знак p(y, z)p(y2, z2) совпадает со знаком xx2. Получаем, что

kf = ^2 f (т(1 + x,z, 1 + Х2, Z2 + n))rT(1 + x,z)x

nEZ

X [K±(z(t, 1 + x, z),Z2 + n,p(Y(r, 1 + x, z),Z(r, 1 + x, z)))]x

где при xx2 > 0 берется знак + и при хх2 < 0 — знак —.

dx

х

1/2

1/2

dx2

Х2

1/2

94

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

Сделаем замену переменных х = х,х2 = у. Так как хх2 = у-, то знак хх2 совпадает

со знаком s. Функция Kf, определяемая по функции kf согласно формуле (6), задается формулой

X S

Kf (х, S, Z, z2) = ^2 /(т(1 + x,z, 1 + ~,z2 + n))rT(1 + x,z)x

nEZ

x [K±(z(t, 1 + x, z),Z2 + n,p(Y(r, 1 + x, z),Z(r, 1 + x, z)))]x

где при s > 0 берется знак + и при s < 0 — знак —.

В пределе х ^ 0 получаем, что

K+(Z(т, 1 + X,z),Z2 + n,p(Y(т, 1 + X,Z),Z(т, 1 + X,z))) ^ К(zi,Z2 + п, 0), и

K-(Z(т, 1 + x,z),Z2 + n,p(Y(т, 1 + х, z),Z(т, 1 + х, z))) ^ 0.

Более того, получаем при s > 0, что:

X 1

lim т(1 + x,z, 1 +— ,z2 + п) = ~(z2 + п — z — ln s). x^o s a

Поэтому при s > 0

Kf (0,S,Z,Z2) = lim Kf (X,S,Z,Z2) = V f Ыгто (1,Z )[K (Z (To, 1,Z),Z2 + Щ 0)]

x^0 '

nE Z

s1/2

H:

где r0 = 1 (z2 + n — z — ln s), и при s < 0

К f (0,S,Z,Z2) = 0.

Обозначим через E0 ограничение расслоения E на X0 = R. Расслоение E0 тривиально, E0 = X0 x CN, причем поток TE на E индуцирует поток на Е0 с соответствующим отображением rt(1,z) : E°z^t1z) ^ Е.

Ввиду (30), определяющий оператор K(Tf о К, X) равен нулю.

Ядро определяющего оператора 1+ (Tf о К,Х), действущего в пространстве

1

С™(S1, Е0  Пф), имеет вид:

f 'v ds

Kl+(Tf oK,X)(z,Z2)= S-lXKf (0,S,Z,Z2) —

0

s1/2 ds

Y S 'Л/МГто (l,~)[K (Z (T0, 1,2),22 + n, 0)] ^—.

Сделав замену переменной t = r0(z, z2,s) = ^(z2 + n — z — ln s), получаем:

СЮ

Kl+(T,oK,X,(~,Z2) = Yf ^1 )il-Z,+“‘’!«X

nEZ

x rt

Для любого Л E C определим однопараметрическую группу {Tf , Л : t Е R} ограничен-

ных

i

операторов в L2 (S1,E0  Пф) по формуле

Tf1 x[u(z)ldzl1/2] = е(гХ-2X-ZY1, z)+at)rt(1,z)[u(Z (t, 1,z))]ldz |1/2

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

95

В скалярном случае имеем Е0 = R х C, rt(1,z) = 1. Мы будем обозначать соответству-

rp(0),S1,X

ющую группу операторов через lt :

Tt(0),s1,Xu(z) = е(гХ-1 )(z-Z(t,l,z)+at)u(Z (t, 1,Z))_

В случае пространства послойных дифференциальных 1-форм Е0 = R х C, но действие потока задается формулой

, 8Z . , IАи(Z(Ti,l,z),0)dri

rt(1,z) = (t, 1,z) = e0 .

Мы будем обозначать соответствующую группу операторов, действующих в пространстве П1^:) гладких дифференциальных 1-форм на S1, через Tt(0),S ,Л:

Ttw’sl,x(u(z)dz) = е(гХ-2)(-Z(t,l,z)+at) № (t, 1,z)u(Z(t, 1,z))dz.

'-t (u

Для функции f E C°°(R) положим

f+<°

rf,x = f ms1,xdt.

Ограничение оператора К на L0 = {(y,z) : у = 1} = S1 есть интегральный оператор

1

Ksi в пространстве L2(S1, Е 0 П|1) с ядром

kSl (z,z2) = ^2 К (Z,Z2 + П, 0)|^^|1/2|^^2|1/2.

nEZ

Для любого Л E C определим интегральный оператор К31 (А) в пространстве

1

L2(S1 ,Е0  Пф) с ядром

kS1,x(z,z2) = ^2

е

К(z, Z2 + п, 0)ldzl1/2ldz2l

1/2\I1/2

nEZ

Предложение 3. Для любого послойно сглаживающего оператора К определяющее

1 1

семейство I+(Tf 0 К, X) : С°(S1, Е0  П))1) ^ C°(S1, Е0  П))1) задается формулой

I+(Tf 0 К,Х) = Tf1,x О KS1 (X).

4.6. Определяющее семейство, ассоциированное с К. В этом параграфе мы введем понятие определяющего семейства, ассоциированного с послойно сглаживающим оператором К, таким образом, чтобы был справедлив аналог теоремы 4 (см. ниже предложение 4).

Определение 6. Определяющее семейство

1 1

I+(K, X) : C°(S1, Е0 0 Пф) ^ C°(S1, Е0 0 Пф), ассоциированное с послойно сглаживающим оператором К, определяется по формуле:

1+

Ядро оператора 1+(К, А) задается формулой:

KI+[K,X)

nEZ

96

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

Предложение 4. Пусть К1,К2 — послойно сглаживающие операторы. Тогда справедлива формула:

r-Tr[Tf о КЪК2]

+<^

— [ tr

жг J

о I+(K2,X))d\.

Доказательство предложения 4 приведено в приложении A.

Обозначим через Т(0 (соотв. Tjl)) оператор, действующий в пространстве Q°(T) (соотв. П1(Т)) по формуле (23). Согласно предложению 4 формула (25) принимает вид:

1 d

2 dt

r-Tr* CtM

1

жг

^ I Tr(I+(Tj0) о ф'(Д), Л) о дх1+(ф(Д) о Д+, A))dA-

- — I Tr(I+(T{f 1) о d+ о ф'фД+), А) о дх1+(ффД+) о 5-,\))d\. (39

жг

Следующей задачей является вычисление определяющих семейств, входящих в формулу

(39).

4.7. Оператор ффД+т) и его определяющее семейство. В этом параграфе мы дадим описание оператора ф(ЬД+) как послойно сглаживающего оператора и вычислим определяющее семейство, ассоциированное с данным оператором.

Прежде всего, мы дадим описание различных объектов, ассоциированных со слоением Т. Рассмотрим координатную окрестность X = (0, 2) х R с координатами (у, z) или с расслоенными координатами (u,v), задаваемыми формулами (19). Тогда касательное пространство ТТ к Т порождается вектором J2, определяемым по формуле (21). Послойный дифференциал де Рама dj : П°(Т) ^ П1(Т) имеет вид:

it- s \ 1 (2 (к \ д д\

Лf = ^(V, ~)d.u = (^- ctg у) Ш + Tz) f G z)du,

где du G П1(Т) определяется условием {du, ) = 1.

Послойная риманова метрика gj, индуцированная стандартной римановой метрикой g = dy2 + dz2, имеет вид:

9J

4 ctg2( f у) +

ж2

Легко проверить, что послойный кодифференциал де Рама d* : П1(Т) ^ П°(Т) задается формулой

dj (gdu) = -G(y,z) 1 ^ + h(y)g,

где

h(y) = -Т“

d

(

dy \ 4ctg2( fу) + ж2

ж2 4 ctg2 f у - ж2

sin2 2у (4 ctg2 f у + ж2)2.

Отсюда следует, что послойный лапласиан Д+ : П°(Т) —> Q°(T) имеет вид:

Д+ = -G

i

д2

д

ди2 + h(y) ди

Слои слоения Т можно параметризовать числами v G [0, то). Слой Lv, соответствующий v G [0, то), в координатной окрестности X имеет вид

Lv = {(У, z) G (0, 2) х R : |p(y, z)l = v}.

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

97

Проекция (у, z) М z отождествляет пересечение слоя Lv с координатной окрестностью (0, 2) х R с дизъюнктным объединением двух копий полуоси (ln ф|, +то). Поэтому имеет место разложение

L2(LV) = L2(R, y/G(u,v)du) 0 L2(R, sjG(u,v)du).

Как и выше, пусть ф — такая гладкая функция на R, что функция ф(х) = ф(х2) принадлежит классу А. Тогда можно определить оператор ^(tAv) как ограниченный оператор в пространстве L2(LV) для любого v G [0, то) и оператор ф(£А+) как ограниченный оператор в пространстве L2(X) (см. [8, 15]).

Оператор 4>(tAv) записывается следующим образом: для

f = f+ 0 f- G L2(R, у/G(u, v)du) 0 L2(R, д/G(u, v)du) имеем

^(tAv )f±(ui) = j (K+(t,Ui,U2,v)f±(u2)+ K-(t,Ui,U2,v)fT(u2 )) д/G(u2, v)du2.

ln 0

Следующее предложение является непосредственным следствием общих результатов, доказанных в [8, 15].

Предложение 5. (1) Действие оператора ip(tA+) на функцию b G 0те((О, 2) х R) задается формулой

^(tA+)b(yi,Zi)= J lK+(t,Zi,Z2,P(yi ,Zi))b(Y2(yi,Zi,Z2),Z2) +

+ K- i1, 0, z2 ,Р(УЪ 0 ))Ь(2 - Y2 (У1^ъ Z2),Z2)j ^G(z2,p(yi, 0 )) |d^2|.

(2) Ядро Кф оператора ^(tA+) является гладкой функцией на Л.

Как показано в [15], если преобразование Фурье функции ф(х) = ф(х2) финитно (заметим, что по теореме Пэли-Винера такая функция ф принадлежит классу А), то для любого t > 0 существует такая постоянная С, что К±(t, Z\, z2,v) = 0 для всех (z\, z2, v) таких, что d(z\,z2) > С. Поэтому, в этом случае оператор ^(tA+) является послойно сглаживающим оператором с ядром

K±(t,z1,Z2,v) = К± (t,Zi,Z2,V) д/G(Y2 (yi,zi,z2),z2).

По определению, оператор ^(tA+)si(А) является интегральным оператором на Si с ядром

ksi,x(zi,Z2) = J2 е(гХ-1 )(х1-Х2-п)Кф(t,Zi,Z2 + п, 0)ldZili/2ldZ2li/2.

nEZ

Легко проверить, что h

Л* ( И ) dg + A+ 92 + 9

Д (gdu) = + g, A„= - W2 + g-z

Поэтому, оператор ф>(tA+) является псевдодифференциальным оператором с полным символом фф( Д + i£)):

,i,(tA+)Hz) = ±;( е‘(‘-’'*те+iO)fo)dz1 d{.

98

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

Ядро Кф(t,z1,z2, 0) оператора ф(£А+) задается формулой

Кф

1

2я

е,(л—)s Ш? + %))<&;.

Поскольку ф(£(£2 + )) = фф[(£ + |)2 + |]), функция £ м- ^(t(6,2 + Ю) принадлежит пространству Шварца S, и, следовательно, интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, сходится абсолютно. По формуле (41) получаем

/+«.

Непосредственным вычислением можно показать, что для послойно сглаживающего оператора К : С°

1+(т(Г) odT оК,А)= ^%DZ - гЛ +2^ о I+(Tf О К, Л),

и для послойно сглаживающего оператора К : Q1

I+(Tf О К od*T ,Л) = I+(Tf О к, Л) О ^-* Dz + гЛ + 2^j .

Используя приведенные выше вычисления определяющих семейств, из формулы (39) получаем следующее утверждение.

Предложение 6. Если преобразование Фурье функции ф(х) = ф(х2) финитно, то для любых t > 0 и f Е C°°(R) функция r-Trs Ct^j корректно определена и имеет место формула

1 d

2 dt

r-Trs С

t,E,f

+ °

=--2~, J tr(Tj0),^,A о t((Dz - Л)2 + 2^о

—°

О 21ф'(^t((Dz - Л)2 + 2^ (Dz - X)((DZ - Л)2 + 2)^Л-

+°

- ^ / tr(Tf0),sl,x О 4>'(t((Dz- Л)2 + 2^ О —°

О 2^(t((Dz - Л)2 + ())(DZ - ЛЩ+

+°

+ - / tr(Tj1),s1,A О (iDz - гЛ + 2W(t((Dz - Л)2 + 2))о кг J f 2 4

—°

О 2Ьф' (t((Dz - Л)2 + 2^ (Dz - X)(-iDz + гЛ + 2^Л-

+ °

- — [ tr(Tf1),S ,А о (iDz - гЛ + 2)ф'(t((Dz - Л)2 + 2))о кг J f 2 4

—°

О i^

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

99

В частном случае, когда ф(х) = е 2, формула (43) принимает вид:

1 ^ r-Trs Btf

2 dt J

2TiJ tr^ ^

(rj0)’s1’Л о e"t((D*-л)2+1 )(DZ - X)((DZ - A)2 + 1)^ d\+

+ — I tr(tP’sl’x о e—t((Dz-л)2+1 ))(DZ - X)dX+ m '

+ 2- / tr(ТГ’Л о e—t((D*-л)2+1 )(DZ - X)((DZ - X)2 + dA+

— те

+те

+ -^ / tr

Отметим, что в данном случае преобразование Фурье функции ф

такую, что для любого п преобразование Фурье функции фп(х) = фп(х2) финитно и

_^2

фп сходится к е 2 в топологии пространства Шварца и положить по определению r-Trs Bt’f = limra^ r-Trs Ct^j.

Тем самым, доказательство теоремы 8 сводится к вычислению интегралов вида

+<х 1

f tr(Tj ’Л о ф(Иг - X))dX, приведенному в приложении B. Использование результатов при-

—те

ложения B немедленно позволяет вычислить выражение, стоящее в правой части формулы (44), и завершить доказательство теоремы 8.

4.8. Потоки на расслоенных многообразиях. В этом разделе, в качестве иллюстрации, мы опишем аналоги введенных выше понятий для примера потоков на расслоенных многообразиях, рассмотренного в разделе 3. Будем использовать обозначения, введенные в параграфе 3.

1

Пусть К — послойно сглаживающий оператор в пространстве Сте(Х,Е  Q-ф), задаваемый ядром к Е Crx(X хж X, С(Е)  |V| 2  |V| 2). Прежде всего, по формуле (17) имеем: при s > 0

1

Kf (0,s,xu,x'i) = lim К f (x,s,xu,x'i) = f(—jp- ln s)r_ _i ln ,(ж° ,aj )x

x^o a'

l s1/2

x k(S_ i ins(x0,aj),x°,aj)lw(x0,ajppw^aj)|2 . ..

“'(“j) la'(aj )l

и при s < 0

Кf (0,s,x{°,x\) = 0, x°,x1 Е Fa .

Поэтому, ядро определяющего оператора I+(Tf о К, X) задается формулой

100

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

Ki+(TfоК,Х)(х°,Х°1)= I s lXKf(0,s,x°,x°°) —

ds

S~гХЦ -^^lns)r_ 1 lns

1 „1/2 J„ 1 1

Ia,(aj)| s

Сделав замену t = —77^- ln s в последнем интеграле, получим

к ЦТ, оК,ф°,4)= е”' >AV 1 >‘/(t)r,(x'!,aj )x

x k[Si:

Поскольку Kf (0, s,x°,x°1) = 0 при s < 0, получаем /_(Tf о K,X) = 0.

Дадим описание самого оператора I+(Tf о К,Х). Поскольку каждое aj является неподвижной точкой потока Т, поток Т переводит слой Fa. в себя. Обозначим через Е(aj> ограничение расслоения Е на слой Faj, через Т(aj > ограничение потока Т на Faj и через r|“J> : Е(а<^>.) ^ Е^3> — отображение, задаваемое отображением rt. Пусть (Tt(“J>)* — Tt 3 (х>

оператор в пространстве Сте(Faj ,Е(aj>), индуцированный потоком Т:

(70 >)*и(х) = r0 > ММТД 0))].

Для любой функции g G C°^(R) определим оператор 70 > в пространстве С^(Fa., Е(а-’ > 0 П

по формуле: для ^ = u|daaj |1/2

Т(а*> = \ / g(t)(Tt(a3])*udt | |1/2.

Для любого a G S1 естественно определяется ограничение оператора К на слой Fa как

i

интегральный оператор К (а) в пространстве C^(Fa,E(а > 0 ^).

Имеет место формула

к

СГ(Х°, Ех0 0 4о) = ф CT(Fa., Е(а>> 0 П^,).

i=1

Используя формулы (13) и (45), легко показать, что оператор I+(Tf о К,Х) переводит каждое подпространство C^(Fa.,Е(а)> 0 П2 ) в себя, и его ограничение на

J aj

1

C™(Fa., E(,i>> 0 Пр ) имеет вид

!+

1 , = 70, о К

C<”(Fa. ,Е(а) >

3)1

где fxj\t) = eia'(а>>xte~1 a'(a>>7 (t).

В данном случае можно доказать аналог предложения 4 при помощи того же самого метода, что был использован при доказательстве этого предложения выше в данном параграфе. В частности, определяющее семейство 1+(К,Х), ассоциированное с послойно

j

^ to И

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

101

сглаживающим оператором К : Сте(Х, Е  Qj^) ^ Сх (X, Е  Qj^), определяется по формуле:

1+ (К,Х) = кх 0.

Здесь Кхо — ограничение оператора К на X0. Этот оператор переводит каждое подпро-

1

странство Сx(Faj, E(aj) Q^2a ) в себя, и его ограничение на это подпространство совпадает с К(ая).

Тем самым, в данном случае определяющее семейство I(К, Л) не зависит от Л. Поэтому, согласно аналогу предложения 4 в данном случае, получаем для любых послойно сглаживающих операторов Ki и К2

r-Tr[Tf о К1,К2]=0.

Согласно этому факту, из (24) следует, что r-Trs Ct,^j не зависит от t:

d

ш r-Tr‘ ^ = 0

A. Доказательство предложения 4

Предположим, что функция д Е CX(R) удовлетворяет следующим условиям: д — четная

+х

функция, g(s) > 0 для любого s, supp д С (-1,1) и J g(s)ds = 1. Для любого натурально-

—х

го т положим gm(t) = mg(mt). Оператор ТЯгп о К2 принадлежит классу К(Х,Х0), поэтому справедлива формула

+х

r-Tr[T, о Ki,Т,Ш о К2] = -tr

—х

Покажем теперь, что при m ^ <х левая и правая части формулы (47) стремятся соответственно к левой и правой частям формулы (38). Разность Rm правых частей формул (47) и (38) записывается в виде:

+х

Rm = - - / tr(d\I+ (Tf о Ki,X) о (I+(Tgm о К 2, X) - 1+ (К 2, X))d\. кг J

—х

Используя свойства ядерных операторов, получаем

+х

|ft»| < 1 J \\9х1+

—х

где ||А||2 = tr(A*A) — норма Гильберта-Шмидта оператора А.

Используя формулы (31) и (37), легко доказать следующую оценку:

suP l[KI+(Tgm о К2,Х) (Z,Z2) - KI+(K2,X)(Z,Z2)I ^ Ci —.

Z,Z2 ТО

Отсюда следует, что

\\1+П„, о К2,Х) - 1+(К2,Щ2 =

= [J J lKl+(T3m oK2,X)(z,Z2) - К1+(к2 ,X)(Z,Z2)\2dzdZ2j ^ Ci —

102

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

Поэтому, согласно (48), получаем

+ Ю

т J

— Ю

Ядро оператора d\I+(Tf о К1,Х) как оператора на R имеет вид

СЮ

Kdxi+(Tfok1,\)(z,z2) = J е(гХ—2)(z—Z2+at)i(z — z2 + at)f (t) x rt(1,z)[K(Z(t, l,z),z2, 0)}dt.

— Ю

Рассмотрим функцию h E CO^R3), задаваемую формулой

h(z,z2,t) = e—2ati(z — z2 + at)f (t)rt(1,z)[K(Z(t, 1,z),z2, 0)}.

Заметим, что

Kdxi+(Tf ok1,\)(z,Z2) = е(гХ— 2 )(z—Z2 )h(z,Z2,a\),

где h E S(R) — преобразование Фурье функции h по переменной t. Легко видеть, что существует такая постоянная d > 0, что h(z,z2,t) = 0 при |z — z2\ > d или |i| > d, и h(z + 1,z2 + 1,t) = h(z,z2,t) для любых z,z2,t. Поэтому, KQxI+(Tfok1,x)(z,z2) = 0 при |z — 221 > d, KdxI+(TfoKi,X)(z + 1,Z2 + 1) = KdxI+(TfoKi,\)(z,Z2) для любых z,22, А и при A ^ то ядро Kgxi+(Tfok1,\)(z,z2) стремится к нулю быстрее любой степени А равномерно по z,z2: для любого N

sup (1 + X2)N \ KdxI+(TfoKi,X)(z,Z2)\ < то

Z,Z2,X

Следовательно, при А ^ то норма Гильберта-Шмидта оператора d\I+(Tf о К1,Х) в L2(S1) стремится к нулю быстрее любой степени А: для любого N

sup(1 + X2)NHdxI+(Tf о Ki, А)||2 < то.

х,у,\

Поэтому интеграл, стоящий в правой части неравенства (49), сходится, и согласно (49) получаем, что |Rm| ^ 0 при т ^ то.

Рассмотрим левую часть формулы (47). Покажем, что r-Tr(Tf о К1 о ТЯт о К2) сходится к r-Tr(Tf о К1 о К2) и r-Tr(Tgm о К2 о Tf о К1) сходится к r-Tr(X2 о Tf о К1) при т ^ то. Из формулы (29) следует, что ограничение ядра оператора Tf о К1 о ТЯт о К2 на диагональ представляется в виде (при р(у, z) > 0 ^ у E (0,1)):

krf oKioTgmок2 | д

К2

4а2

/ 1 1

£ Я

п

п

f (Т + -)Гг + п (у, z)[K1+(Z(т + -

а

а

х

П,П2

tg (2у2) 9m(j1 + — )rTi + П2 (y2,Z2)[K2+(Z(П + —

V 2 / а “ а

y,Z),Z2 + П,р(у2 ,Z2 + П))]х У2 ,Z2),Z + U2,P(y,Z + П2))]х

X

tg(2У) dy2dz2j

Ш^+

1 о

+

X

й Е (/

n,n2ez \ о —1 (2m) 9m(r1 +

77 71

f (т + -ут+n (y,z)[K1—(Z (т + - ,y,z ),z2 + n,p(y2,z2 + п))]х а а а

— )гп + — (У2, Z2)[К2 —(Z(Т1 + —,у2,^2),z + пъ —p(y, Z + п2))} х

а “ а

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

103

X

('К

tg\2y

)

dy2dz2 \dy\\dz\,

где т = т (у, z, у2, z2) и т1 = т (y2,z2,y, z) = —т (у, z, у2, z2). Отметим, что в первом слагаемом р(у, z) и р(у2, z2) имеют одинаковые знаки, а во втором слагаемом — разные. При помощи несложных преобразований данную формулу можно переписать в виде

+<^

krfоКюТдт0К2 \д

gm(t)v(t,y,z)dt I \dy\\dz\,

где

+<^

v(t,y,z) =

'К

£

n ez

N

dz2 f (t' +-)x

a

‘at'+N+ln \p(y,z)\

N

x Vt<+" (y,z)[Kl+ (Z(t' + — ,y,z),zl2,P(Y^,zI2))]x “ a

x r-tj(Y’,4)[K2+(Z(—',Y',4),z + N,p(y,z + N))] +

N

+ rt, + N (y,z)[K1-(Z (t' + — ,y,z),zl2 ,P(Yz,zI2 ))]x “ a

x r-f (Y^ 4)[K2-(Z(—t', Y^ z2),z + N, —p(y, z + N))]]. По формуле (29) ядро оператора Tf о К1 о К2 задается формулой:

krf оКгоК2 (y,Z,y2,Z2) =

= 7^1 ^ f (т + - К + П (y,Z)[K+ (Z (Т + -,y,Z),Z2 + n,p(y2,Z2 + n))]x 2\a\ ^ a a a

1 1 ne z

' ' n

.2;

+ 7^ У2 f (t + - К + (У, z)[K- (Z (T + -,y,Z),Z2 + n, р(У2 ,Z2 + И))] x

21 J q a n/

tg(y2y^j \dy\1/2\dz\1/2\dy2\1/2\ dz2\1/2

+

nez

X

^ (2y^j \dy\1/2\dz\1/2\dy2\1/2\dz2\1/2

где K+ и K— определяют ядро оператора К1 о К2:

+<^ +<^

K±(z1,Z2,v)= J K1+(z1,Z3,v)K2±(z3,Z2,v)\dz3\ + j K1-(z1,z3,v)K2T(z3,Z2, —v)\dz3\.

ln \v\ ln \v\

Легко видеть, что при р(у, z) > 0 можно записать:

kTfoKxoK2 \д (y,z,y,z)= ^(^у) \ gm(t)v(0,y,z)dt | \dy\\dz\.

Поэтому получаем

krf oK\oT3m0К2 \д

где

+ <Х>

dy

У — 1

\dz\,

hm(y,z) = (l — y)tg( 2 gm(t)(v(t,y,z) — v(0,y,z))dt.

— Ж

104

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

Функция hm является гладкой, 1-периодической по z, функцией на (0, 2) х R, причем

hm(1,z) = 2 gm(t)(v(t, 1, z) - w(0,1 ,z))dt.

Поэтому, по определению, имеем

{ктг0К1 oTgm0K2 |д ^Tf0K10K2 \д) \y=i hm(1,z)\dz\

и

Tm := r-Tr

lim

£——0

( I

xi>b-1|

tr hm(y,z)\dz\

dy

У - 1

+ 2ln £ tr hm(1,z)\dz\

)

Существует такая константа С, что для любых t £ (-1,1), £ £ R и у £ (0, 2) имеет место неравенство \v(t,y,z) - v(0,y,z)\ ^ Ct. Следовательно, получаем, что для любых z £ R и у £ (0, 2) имеет место следующая оценка с некоторой постоянной С3 > 0:

\hm(y,z)\  С I gm(t)\v(t,y,z) - v(0,y,z)\dt ^ 23.

. т

2

2

Аналогичную оценку можно доказать для частной производной по у:

Так как

dhm(y,z) dy

« ^,

т

z £ R,y £ (0, 2).

/

dy

\У -1\

2ln £,

то формулу для Тт можно переписать следующим образом:

2 1

Г tr hm

J --------^TYj-----------\dz\\dy\

00

Ввиду оценок (50) и (51), из (52) немедленно вытекает, что

\Тт\ ^ —.

т

Поэтому, limm—° r-Tr (Tf о К1 о Т9т о К2 - Tf о К1 о К2) = limm—° Тт = 0. Аналогично можно показать, что r-Tr(Tgm о К2 о Tf о К1) ^ r-Tr(K2 о Tf о К1). Следовательно, при т ^ ж левая часть формулы (47) стремится к левой части формулы (38). Тем самым, формула (38) доказана.

B. Вычисление интегралов

В этом параграфе мы рассматриваем произвольное векторное расслоение Е0 = R х <CN, наделенное потоком, задаваемым отображением rt(1,z) : E°z^t 1 ^ ^ E^0Z. Для любой функции f £ C00°(R) определен оператор Т^ ’л в пространстве L2(S1, Е0  ) по формуле (34).

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

105

Предложение 7. Для любой функции ф Е А справедлива формула:

tr(Tjf ,Л о 0(Дг — X))d\

l

а

^ f j е 2(z Z(“,1,z)+n)(/> (z — Z(—, 1,z) + tr rr (\,z)dz.

n£Z ^

Доказательство. Оператор ф(Dz — X) имеет вид:

ф(Ох — А)ф) = б. JJe*’-1* ф(£ — \)v(zi)dzid£.

Поэтому, имеем

Т?’Х о Ф(Ог — X)v(z) = 2- JJJ f (т)е(г

e(iX~1 )(z-Z(r,1,z)+ar) х

х el(Z(T,1,z) Zl)^ф(£ — X)rT(l, z1)v(z1)dz1d^dr.

Ядро этого оператора как оператора на S1 имеет вид

KX

neZ r2

e

Интеграл можно понимать как абсолютно сходящийся двойной интеграл. Ограничение ядра К\ на диагональ имеет вид:

к,О:) = 2-

^ /У f

neZ r2

Для функции f Е S(R) обозначим через f Е S (R) ее преобразование Фурье:

f(k)=[ e-ikxf (x)dx.

Сделав замену переменных ф = £ — \,т1 = ат — п в интеграле, формулу (54) можно переписать следующим образом:

Kx(z,z) =

1

2па

£/'

nez J v 7

e(iX-e- 1(z-Z(Д+m,1,z)+n)x

хф[г — Z I —, 1,z\ + n ) r n +n

a

Можно показать, что для любого ф > 0 существует такая постоянная С > 0, что для любых т1 Е R, п Е Z и z Е R справедлива оценка

/

< ce-fi

а ) \ \ а

Действительно, поскольку функция f финитна, существует такая постоянная К > 0, что supp f С [—К, К]. Поэтому, можно предполагать, что

Т1 + п

а

< К.

1

а:

106

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

По теореме Пэли-Винера для любого ф > 0 существует такое С > 0, что

\ф

Поскольку функция z — Z(т, 1 ,z) периодична с периодом 1, существует такая постоянная г > 0, что для всех т1 и п, удовлетворяющих условию (57), и для любого z справедлива оценка

/ Тл + п \ . .

1 + п

z — Z I --------------, 1, z

а

< г.

Из оценок (58) и (59) вытекает существование такой постоянной С1 > 0, что для всех т1 и п, удовлетворяющих условию (57), и для любого z справедлива оценка

ф ( z — Z [ Tl + П, 1,z ) + п

а

<

Отсюда немедленно следует оценка (56). Из этой оценки следует, что ряд, стоящий в правой части формулы (53), сходится.

Оценка (56) позволяет изменить порядок интегрирования в формуле:

tr(Tjf ,л о ф(Иг — Л)) = I Kx(z, z)dz =

— f e(iX-1)ri

2па

+ П\е_ 2 (-( П+Z ,М),. vx

а

/ 1

< Ф ( z Z + ^ tr г Т1+П (1,z)dz ^ dr-]_.

Отметим, что сумма по п, стоящая в правой части формулы (60), состоит из конечного числа ненулевых слагаемых, так как функция f финитна.

Рассмотрим функцию

F (п) = е_ 2Т1

1

/Е /

i пеz v у

+ п\ е_ 1 (z-Z(п+ t1tZ)"vx

а

x ф ^ z — Z  ") + tr Г т1+п (1,

z)dz.

Формулу (60) можно переписать в виде: tr(Tf’A о ф(Бх — \)) 1

1

2жа

егХт1 F (n)dn = -— F(—X).

2па

Применяя формулу обращения для преобразования Фурье, получаем, что:

Г tr

J 2жа I а

-ж

1

1

а

^ ^ (a) J е-1 (Z-Z(“,1,z)+n)Ф (z — Z (~, м) + n) tr гn (1,z)dz.

n£Z

1

О ФОРМУЛАХ ЛЕФШЕЦА ДЛЯ ПОТОКОВ ...

107

Следствие 1. В скалярном случае имеем

tr(TfQ)’s1’x о ф(В, - X))dX = -V /(-) / е-1 (*-z(S>1>^)+ra)У - Z(-. 1,z) + n)dz

-A Q

Доказательство. В данном случае имеем rt(1,z) = 1.

Следствие 2. В случае, когда Е° = Т*Т  C |,si = Т*S1, имеем

[ tT(T(f1),Sl,X О ф(рх - X))dX =

1

' Е/(У1 (г<-гд'"ь'1+^ А (-5--.--О - *1+"Ь

n£.Z Q

Доказательство. В данном случае имеем rt(1,z) = Ц(t. 1 ,z). Поэтому формула прини-

мает вид:

tr(Tjf ,Л О 0(Дг - X))d\

- i Е; (Z)./--«-“г--1* (• -* (z-ч+) Ч, (М *

п-GZ q

Замена переменной z1 = Z . 1.z) в интеграле, стоящем в правой части последнего равенства, завершает доказательство.

1

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J. Alvarez Lopez, Yu. A. Kordyukov Distributional Betti numbers of transitive foliations of codimension one // In: Foliations: Geometry and Dynamics. (Warsaw, 2000), P. 159-183, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2002.

2. A. Deitmar A higher rank Lefschetz formula // J. Fixed Point Theory Appl. 2. 2007. No. 1. P. 1-40.

3. Ch. Deninger Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. I. P. 163-186 (electronic).

4. Ch. Deninger Number theory and dynamical systems on foliated spaces // Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 103. 2001. No. 3. P. 79-100.

5. Ch. Deninger Analogies between analysis on foliated spaces and arithmetic geometry // Groups and analysis. P. 174-190. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 354, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008.

6. D. Fried Lefschetz formulas for flows // The Lefschetz centennial conference, Part III (Mexico City, 1984). P. 19-69, Contemp. Math., 58, III, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987.

7. A. Juhl Cohomological theory of dynamical zeta functions. Progress in Mathematics, 194. Birkhauser Verlag, Basel, 2001.

8. Yu. A. Kordyukov Functional calculus for tangentially elliptic operators on foliated manifolds // In: Analysis and Geometry in Foliated Manifolds (Santiago de Compostela, 1994). P. 113-136. World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1995.

9. Кордюков Ю.А. Теория индекса и некоммутативная геометрия на многообразиях со слоением // УМН, 64:2(386). 2009. C. 7-202.

10. Кордюков Ю.А., Павленко В.А. Сингулярные интегральные операторы на многообразии с отмеченным подмногообразием // Уфимск. матем. журн. 2014. T. 6, № 3. C. 35-71.

108

Ю.А. КОРДЮКОВ, В.А. ПАВЛЕНКО

11. E. Leichtnam An invitation to Deninger’s work on arithmetic zeta functions // Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contemp. Math., 387, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 2005. P. 201-236.

12. R.B. Melrose Pseudodifferential operators, corners and singular limits // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kyoto, 1990), P. 217-234, Math. Soc. Japan, Tokyo, 1991.

13. R.B. Melrose Calculus of conormal distributions on manifolds with corners // Internat. Math. Res. Notices 1992, No. 3. P. 51-61.

14. R.B. Melrose The Atiyah-Patodi-Singer index theorem. Research Notes in Mathematics, 4. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1993.

15. J. Roe Finite propagation speed and Connes’ foliation algebra // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 102. 1987. P. 459-466.

Юрий Аркадьевич Кордюков,

Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: yurikor@matem.anrb.ru

Виктор Александрович Павленко,

ФГБОУ ВПО Башкирский государственный аграрный университет, ул. 50-летия Октября, 4,

450080, г. Уфа, Россия E-mail: PVA100186@mail.ru