Электрическое манипулирование спином электрона в квантовой точке и динамические инварианты

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 530.145

А. А. Иванов, А. И. Иванов

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МАНИПУЛИРОВАНИЕ СПИНОМ ЭЛЕКТРОНА

В КВАНТОВОЙ ТОЧКЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ

7

Рассмотрен механизм манипулирования спином электрона в квантовой точке с помощью электрического поля при наличии слабого магнитного поля на основе динамических инвариантов Левиса — Ризенфельда. Сформулированы необходимые условия спин-флип процесса.

In this paper we discuss electrical manipulation of a spin an electron in quantum dot within a weak magnetic field. Approach to describing this process is based on Lewis — Riesenfeld dynamical invariants. Necessary conditions of a spin-flip process are derived.

Ключевые слова: кубит, динамические инварианты, спин-флип.

Key words: qubit, dynamical invariants, spin-flip.

Возможности контролируемого изменения спинового состояния электронов в полупроводниках активно исследуются экспериментально и теоретически. В частности, манипулирование спином одного или двух электронов в квантовой точке вызывает интерес в связи с возможными применениями в квантовых вычислениях. Например, в работе [1] предложен универсальный набор квантовых гейтов на основе зависящего от времени обменного взаимодействия и локального магнитного поля. Однако создать локальное магнитное поле в нанометровой области довольно сложно. Гораздо проще оказалось создать переменное во времени электрическое поле в нанометровой области с помощью локальных электродов и манипулировать спином, используя спин-орби-тальное взаимодействие [2 — 4].

В работе [5] спин-орбитальное взаимодействие рассматривается как механизм спин-флип процесса для спина электрона в квантовой точке при наличии слабого магнитного поля. Основой подхода являются динамические инварианты Левиса — Ризенфельда [6]. Учеными использована достаточно простая параметризация инварианта, однако решения квантовых уравнений движения не получены, а приведена лишь их аппроксимация полиномами третьей степени. В данной работе предлагается способ решения этих уравнений. Рассмотрим квантовую точку, образованную в двумерном электронном газе, в плоскости x-y,

© Иванов А. А., Иванов А. И., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 4. С. 7—11.

8

помещенную в слабое магнитное поле В0, направленное перпендикулярно этой плоскости. Переменное электрическое поле Е(Ґ) позволяет манипулировать спином электрона в квантовой точке (рис. 1).

1— »Ф*

Рис. 1. Спиновая динамика электрона в квантовой точке в присутствии электрических полей £(t) и магнитного поля Во

Гамильтониан электрона в квантовой точке запишем в вице следующего выражения [3]:

H = Ho + Hso + Hint .

p 2 + p 2

H 0 = +U(x,y) + A 2.

2m

HSO = (~aJy +PJz)Px +aJxPx.

HM = --A(t)V.

c

Здесь m — эффективная масса электрона; U(x,y) — удерживающий потенциал; Az = g^bBo; цв — магнетон Бора; g — фактор Ландэ; A(t) — векторный потенциал в плоскости x-y. Пусть электрон в удерживающем потенциале заполняет пространственную орбиталь. Спин-орбитали, соответствующие состояниям spin-up и spin-down этого электрона обозначим

W = <pi| 1), W 2 = ф11- 1.

В работе [5] полный гамильтониан (1) редуцирован в эффективный гамильтониан, который, в отличие, например, от работ [7; 8], строится в пространстве меньшей размерности. При этом вклад от «неактуальных» состояний учитывается с помощью параметров. Эффективный гамильтониан в базисе (2) в соответствии с работой [5] имеет вид

С 7 х + и Л

2

X - 1У

- 2

где X = -еа( 1 + £у)Лу /с; У = -ва(1 + £х)Лх /с; 2 = gMBB0 /2-еР(\ + £х)Ах /с.

Параметры ^ и учитывают влияние «неактуальных» состояний. Напряженности изменяющихся во времени электрических полей при этом известным образом связаны с компонентами векторного потенциала

1 8ЛІ

Є і

с 8ґ

Для квантовой системы с эффективным гамильтонианом Не-ф) динамический инвариант І(ї) удовлетворяет уравнению

1Н 88г =[ Нт

1Н-

В работе [9] предложено выразить инвариант двухуровневой системы через оператор проекции спина на изменяющееся во времени направление, задаваемое углами 0 и ф:

І (Ґ) =

Ґ

собО е1Ср БІЙ(О

е-р біпО - собО

Легко видеть, что уравнение на собственные значения и собственные функции такого инварианта

1

имеет решения

Ґ„ір

\х+ (ґ )>:

е1 р

\х-

біп

- е-гр

Я± = ±Н / 2.

Согласно теореме Левиса — Ризенфельда [6] решение уравнения Шредингера с эффективным гамильтонианом Н^Ь) может быть представлено в виде суперпозиции

¥

1 ґ 8

где Гп(ґ) = н\{хп(ґ')\іН — -нет(0\Хп(ґ'))Ж'; сп — постолик коэф-

Н

фициенты; п

= +,-.

9

п

lO

Подставляя далее выражение (5) в уравнение (4) и учитывая эффективный гамильтониан (3) для нахождения зависимости от времени углов 0 и ф, получаем систему уравнений

в = ц( X sin р - Y cos р), р = ц(X cos pctgO + Y sin pctgO - Z),

где n = 2/h.

Положим теперь Ax = (^ r , Ay =--

Тогда уравнение (7) примет виц

A0 cos p a A0 sin p .

(І + tj’ У = -(І + tJ

в = Q,

где Q = 2eaA0 / ch.

Из уравнения (9) находим

e

Уравнение (8) примет вид

р = a cosp- b,

где a = 2efiA / ch, b = g/UBB0 / h .

Рассмотрим три случая решения уравнений:

1. Пусть a < b, что соответствует неравенству

cg^Bo /2еДА > 1.

Тогда решение уравнения (13) имеет вид

,-&-a/2 + arctgctg

Vb + a

. . . I Vb + a

ppt) = 2arctg j j^^tg

2. Пусть a > b. Тогда решение уравнения (12) можно представить как

Ф(t) = Ф(0) exp(t\ja2 - b2 ), у/a + b / *Ja

Ф (t) =

-v/a + b / yja - b - ctg

З. Пусть a = b. Тогда решение уравнения (12) имеет вид p(t) = 2arctg (at + ctg(p(0) / 2)).

Полученные решения позволяют сформулировать необходимые условия спин-флип процесса. Действительно, пусть в начальный момент времени t = 0 электрон находится в спиновом состоянии, соответствующем одному из полюсов сферы Блоха, например 0 = 0. Это соответствует выбору в формуле (7) C+ = 1, C- = 0 и в формуле (11) 0о = 0. Что касается фазы начального состояния, то следует заметить, что для состояний, соответствующих полюсам сферы Блоха, эта величина не яв-

ляется хорошо определенной. Из формул (10), (11) следует, что для времени tk наступления момента спин-флип необходимо соблюдение условия

tk = nchk/2eaA0,k = 1,2,....

В заключение отметим, что при выполнении третьего условия частота О такого спинового гармонического осциллятора совпадает с частотой его циркулярно-поляризованного излучения, направленного вдоль внешнего магнитного поля.

Список литературы

1. Loss D., DiVincenzo D.P. Quantum computation with quantum dots // Phys. Rev. 1998. A 57. P. 120-126.

2. Rashba E. I., Efros Al. L. Orbital Mechanisms of Electron-Spin Manipulation by an Electric Field // Phys. Rev. 2003. Lett. 91. 126405.

3. Rashba E. I. Theory of electric dipole spin resonance in quantum dots: Mean field theory with Gaussian fluctuations and beyond // Phys. Rev. 2008. B 78. 195302.

4. Boyer de la Giroday A. et al. All-electrical coherent control of the exciton states in a single quantum dot // Phys. Rev. 2010. B 82. 241301(R).

5. Ban Y., Chen X., Sherman E.Ya., Muga J. G. Fast and robust spin manipulation in a quantum dot by electric fields // Phys. Rev. 2012. Lett. 109. 206602.

6. Lewis H. R., Riesenfeld W. B. An exact quantum theory of the time-dependent harmonic oscillator and of a charged particle in a time-dependent electromagnetic field // J. Math Phys. 1969. 10. 1458.

7. Иванов А. И., Иванов А. А. Применение метода эффективного гамильтониана в динамике открытых квантовых систем // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Калининград, 2009. Вып. 4. С. 25.

8. Иванов А. А., Иванов А. И. О взаимодействии кубита с флуктуирующим окружением // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Калининград, 2012. Вып. 4. С. 7.

9. Chen X., Torrontegui E., Muga J. G. Lewis-Riesenfeld invariants and transi-tionless quantum driving // Phys. Rev. 2011. A 83. 062116.

Об авторах

Александр Алексеевич Иванов — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: aivanov023@gmail.com

Алексей Иванович Иванов — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: AIvanov@kantiana.ru

About authors

Aleksander Ivanov — PhD stud., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: aivanov023@gmail.com

Dr Aleksey Ivanov — prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: AIvanov@kantiana.ru