Методика синтеза оптимальных по быстродействию систем

УДК 621.31:681.5

Д. В. Замятин, А. Н. Ловчиков

МЕТОДИКА СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ

Выполнен анализ существующих разработок для создания систем высокого порядка, оптимальных по быстродействию. Представлена простая методика синтеза, основанная на методе фазовых траекторий, которая включает все этапы создания оптимальной по быстродействию системы, от исходного описания в виде дифференциального уравнения или передаточной функции до формирования корректирующего звена.

При решении задачи создания системы высокого порядка, оптимальной по быстродействию, и наличии ограничений на управляющее воздействие | и — и структурная схема системы соответствии с принципом максимума Понтрягина может быть представлена в следующем виде (см. рисунок).

Необходимо определить вид и параметры функции 5(е), при которой система переходит из одного устойчивого состояния в другое за минимальное время.

В дальнейшем под системой высокого порядка будем понимать системы третьего и четвертого порядка. Методика создания систем второго порядка хорошо изучена и не представляет сложностей [1]. Но для систем высокого порядка не существует простой и четко сформулированной методики синтеза, несмотря на то, что различные разработки в этой области ведутся уже давно: они сводятся к получению либо частных решений, либо сложных математических выражений, практически не реализуемых.

Приведем несколько примеров. А. В. Пузаковым была предложена методика синтеза регуляторов релейных следящих преобразователей напряжения по функциям Ляпунова [2], найденным на основании описания силовой части объекта регулировании и задаваемого функционала качества переходных процессов. В [2] также были приведены примеры конкретных вариантов выполнения, которые основывались на методе динамического программирования Беллмана.

Синтез систем высокого порядка, оптимальных по быстродействию, используя аппарат нелинейного программирования, рассматривал К. А. Пупков.

На основе метода фазовых траекторий вел свои разработки А. А. Павлов [4]. Суть его предложений сводится к тому, что если процедура синтеза оптимального управления связана с определением гиперповерхности переключения в и-мерном фазовом пространстве е1, е2, ..., Єл и оптимальная гиперповерхность переключения заполнена фазовыми траекториями, то в первую очередь необходимо найти уравнения проекций этих траекторий. Кроме того, методика синтеза оптимальных систем вы-

сокого порядка предусматривает возможность получения явных функций, но выполнить это затруднительно.

Отметим также, что рассмотренные методы синтеза системы высокого порядка, оптимальной по быстродействию, достаточно сложны в реализации при невысокой точности решений.

Особое место занимают методики синтеза квазиоп-тимальных систем высокого порядка. Одни из возможных способов построения квазиоптимальных систем автоматического управления состоит в аппроксимации дифференциального уравнения высокого порядка уравнением второго или первого порядка с запаздыванием. Такой способ подробно рассмотрен А. А. Павловым [4] и К. А. Пупковым [3].

Предлагаемая авторами методика синтеза предполагает рассмотрение синтезируемой системы как квазиоп-тимальной и основана на методе фазовых траекторий.

Закон оптимального управления формируется в виде нелинейной зависимости координаты управления от вектора состояния системы, определяемого функцией переключения (см. рисунок):

и = ишах^п[ВД].

Задача нахождения оптимального управления и сводится к отысканию функции переключения S(e). Релейный элемент переключается тогда, когда функция переключения меняет знак, отсюда уравнение переключения имеет вид:

ад=о.

Данное уравнение для систем второго порядка определяет линию в фазовом пространстве, для систем третьего порядка - поверхность, а для систем порядка выше третьего - гиперповерхность в координатах ошибки и ее производных.

Предлагаемая методика синтеза системы высокого порядка, оптимальной по быстродействию, состоит из следующих этапов [5]:

- определение описания гиперповерхности переключения;

- аппроксимация поверхности;

Структурная схема системы: Wo (р) - передаточная функция объекта управления;

РЭ - релейный элемент, обеспечивающий ступенчатое изменение управляющего воздействия и от -и до +итах и наоборот, S(£) - блок, реализующий определенную функцию переключения релейного элемента S в функции ошибки системы

- формирование коррекции.

Описание поверхности переключения следует находить в виде набора точек в п-мерном фазовом пространстве. В этом случае необходимо решить систему дифференциальных уравнений с применением принципа обратного времени на определенном интервале времени t0-tt. Сложность решения последующей задачи аппроксимации при удовлетворении требования квазиоптимальности определяется значением ^.Чтобы получить наилучший результат, выбираем границу интервала времени tk, исходя из порядка системы и вида корней характеристического уравнения объекта управления.

Проведенные исследования выявили следующие результаты:

1) для системы третьего порядка:

а) три отрицательных действительных корня:

tk ~ 1_1,5т, где т - коэффициент, вычисляемый как

т = ^,

здесь сп - коэффициент при старшей производной дифференциального уравнения системы; п - порядок системы;

б) один отрицательный действительный корень и два отрицательных мнимых: tk~ 3_4т;

2) для системы четвертого порядка:

а) четыре отрицательных действительных корня: tt « 2,5_4т;

б) четыре отрицательных мнимых корня: tk~ 3,5_5т.

в) два отрицательных действительных корня и два отрицательных мнимых корня (в системе происходят автоколебания).

На втором этапе проводится аппроксимация поверхности переключения некоторым аналитическим выражением с использованием уже имеющихся точек поверхности. Остановимся на выборе выражения для аппроксимации. Его выбор влияет на сложность реализации коррекции в системе. Поэтому выражение должно быть простым, и по возможности, близким к реальной поверхности. В литературе предлагается множество различных способов аппроксимации. Рассмотрим основные из них.

В качестве первого способа предлагается способ аппроксимации, основанный на разложении в ряд по функциям одной переменной [6]. Аппроксимация ведется с помощью суммы функций одной переменной:

X Фк о

к=1

где Фк0 (Хк ) - некоторые функции.

Следующий способ основан на представлении поверхности переключения отрезком степенного ряда. При этом способе аппроксимации уравнение аппроксимированной поверхности ищется в виде

Хп = С«Л + _ + СпХп + С11Х12 + _ + С12Х1Х2 + _ + Сп1ХпХ1 + •_

где Х1, Х2, _, Хп - переменные; с10, _, сп0, с11, с12, _, с1п -коэффициенты.

Третий способ - аппроксимация поверхности переключения с помощью полиномов. А. М. Летовым предложен полином в виде квадратичной формы [7]: п

X А]Х,Х],

=1

где х., х. - переменные; А- коэффициенты.

Самый простой способ - это аппроксимация полиномом первой степени:

п

X аХ ,

I=1

где х . - переменные; а . - коэффициенты. Применение выражения (7) для аппроксимации поверхности переключения означает аппроксимацию гиперповерхности гиперплоскостью. Несмотря на серьезное упрощение аналитического выражения поверхности переключения, полином первой степени более других подходит для систем третьего и четвертого порядка, оптимальных по быстродействию, так как он позволяет получить высокие результаты при простом корректирующем устройстве.

Выбор метода аппроксимации не оказывает значительного влияния на точность результатов. Для получения аналитического выражения поверхности переключения можно использовать метод наименьших квадратов. Рассмотрим использование этого метода подробнее.

Выражение (7) при использовании сигнала ошибки примет вид

П-1 (.ч

X а,

i=0

где е(0 - г-я производная ошибки системы; п - порядок системы.

Значения всех производных ошибки известны, и требуется найти коэффициенты а.. Поэтому формируем нормальную систему метода наименьших квадратов, используя зависимость £°от остальных производных:

X

}=0

XzJi

i=0

]+к

=X^о

i=0

где к=1, 2, _, п.

Полученная система (9) - это система алгебраических уравнений относительно неизвестных а°, а1, _, ап. Решение нормальной системы найдем методом Гаусса:

а = А-1 В,

где а - вектор коэффициентов уравнения гиперповерхности переключения; А - матрица левой части системы уравнений частных производных; В - вектор правой части системы уравнений частных производных.

Сформировав поверхность переключения в виде

П-1 / л

X а, £ = 0 ,

,=0

перейдем к третьему этапу методики.

Поверхности переключения (11) соответствует звено коррекции с передаточной функцией:

п—1

Щк

I=0

Передаточная функция звена коррекции (12) лишь теоретически заставляет систему работать нужным образом. На практике реализация передаточной функции, у которой порядок числителя больше порядка знаменателя, не применяется из-за того, что в реальной системе всегда присутствуют различные сигналы шума и применение дифференцирования ведет к потере полезного сигнала. Поэтому реализуем звено коррекции с передаточной функцией:

п—1

X а,р

Щк ( р) =

п —1

X Ь1р1

I=0

п

п

Это интегро-дифференциальное звено. Для реализации коррекции необходимо подобрать коэффициенты Ь в знаменателе таким образом, чтобы на каком-то участке частотной характеристики звено вело себя как дифференцирующее, обеспечивая оптимальность по быстродействию, а на высоких частотах как обыкновенное усилительное. Предлагаем следующую последовательность действий:

1.Вычислим вспомогательный коэффициент аТ и извлечем из него корень (и—1) степени:

aTn-l = n .

2.Вычислим вспомогательный коэффициент bT:

bTn-1 =

aT

n -1

kP

где кр - коэффициент, зависящий от порядка уравнения и его корней. Проведенные исследования соотношения (15) дали следующие результаты по определению значения кр: для системы второго порядка кр = 10.. .20; для системы третьего порядка кр = 20.. .60; для системы четвертого прядка кр = 30.. .100.

З.Знаменатель передаточной функции (13) сформируем как произведение (и-1) звеньев п—1 п—1

X Ь,р' = п

,=0 ,=1

Как показывают исследования, формирование знаменателя передаточной функции коррекции (13) в форме (16) облегчает в дальнейшем ее практическую реализацию.

В итоге сформирована передаточная функция корректирующего устройства, обеспечивающего системе квазиоптимальность по быстродействию, которое может быть построено на операционных усилителях.

Таким образом, предложена методика синтеза систем высокого порядка (третьего и четвертого), оптимальных по быстродействию. Данная методика достаточно проста, в связи с чем проектирование систем высокого порядка может быть легко автоматизировано с помощью широко применяемых математических пакетов.

Библиографический список

1. Александров, А. Г. Оптимальные и адаптивные системы / А. Г. Александров. М. : Высш. шк., 1989. 262 с.

2. Пузаков, А. В. Синтез регуляторов импульсных стабилизаторов напряжения следящего типа / А. В. Пузаков, А. Б. Остапчук, Т. Б. Остапчук // Техн. электродинамика. 1992. № 6. С. 31-39.

3. Пупков, К. А. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления: учеб. для вузов / К. А. Пупков, Н. В. Фалдин, Н. Д. Егупов ; под ред. Н. Д. Егупова. М. : Изд-во МГТУ, 2000. 511 с.

4. Павлов, А. А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию: Метод фазового пространства / А. А. Павлов. М. : Наука, 1966. 390 с.

5. Замятин, Д. В. Синтез систем высокого порядка, оптимальных по быстродействию / Д. В. Замятин, А. Н. Ловчиков // Вестн. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та им. акад. М. Ф. Решетнева / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Вып. 5. Красноярск, 2004. С. 225-230.

6. Иванов, В. А. Теория оптимальных систем автоматического управления / В. А. Иванов, Н. В. Фалдин. М. : Наука, 1981. 331 с.

7. Куропаткин, П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов / П. В. Куропаткин. М. : Высш. шк., 1980. 287 с.

D. V. Zamyatin, A. N. Lovchikov

THE TIME OPTIMAL SYSTEMS SYNTHESIS METHODIC

The analysis of existing development for creation of systems of the high order time optimal is executed. The simple technique of synthesis based on a method ofphase trajectories is submitted. The offered technique includes all stages of creation of optimum system on time from the initial description as the differential equation or transfer function before formation of an adjusting link.

ЗО