Математическая эквивалентность моделей Максвелла и Войта

Известия Коми научного центра УрО РАН. № 1(37).

Сыктывкар, 2019

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 544.6.001.57:621.372.43

DOI 10.19110/1994-5655-2019-10127-134

Н.А. СЕКУШИН

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

МОДЕЛЕЙ МАКСВЕЛЛА И ВОЙТА

Институт химии ФИЦ Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар

sekushin-na@chemi.komisc.ru

N.A.SEKUSHIN

MATHEMATICAL EQUIVALENCE OF MAXWELL AND VOIGT MODELS

Institute of Chemistry, Federal Research Centre Komi Science Centre, Ural Branch, RAS, Syktyvkar

Аннотация

Работа посвящена теории преобразования резис-торно-конденсаторных двухполюсников, что необходимо при моделировании электрических свойств различных сред, исследуемых методом импеданс-спектроскопии. На ряде примеров показано, что аппроксимация экспериментальных данных может быть осуществлена с одинаковой точностью эквивалентными схемами, имеющими совершенно разную структуру. Рассмотрены необходимые и достаточные условия математической эквивалентности двухполюсников. Показано, что частотные характеристики модели Войта могут быть с идеальной точностью воспроизведены моделью Максвелла и наоборот. Приведена общая теория преобразования одной модели в другую. Впервые найдено относительно простое решение задачи прямого и обратного преобразования - трехзвенная модель Войта в соответствующую модель Максвелла. В работе приведена распечатка этого алгоритма для программы Mathcad.

Ключевые слова:

модель Максвелла, модель Войта, эквивалентные схемы, импеданс-спектроскопия

Abstract

The work is devoted to the theory of transformation of resistor-capacitor two-terminal networks, the use of which simplifies the construction of electrical models of various ion-conducting media based on the data obtained by the method of impedance spectroscopy. It is shown that the frequency characteristics of the samples can be modeled with the same accuracy by equivalent circuits (EC) with different structure. Two or more such ECs are proposed to be called mathematically equivalent two-terminal networks. The necessary and sufficient conditions for the mathematical equivalence of two-terminal networks are given. It is shown that the Voigt and Maxwell models with equal number of elements are mathematically equivalent. The theory of direct and inverse transformation of the Voigt and Maxwell schemes is considered. As an example, the formulas that allow to obtain the parameters of the three-link Voigt model from the known parameters of the Maxwell model and vice versa are given. The paper provides a printout of this algorithm from the desktop of the program Mathcad.

Keywords:

Maxwell model, Voigt model, equivalent circuit, impedance spectroscopy

•

Введение

Настоящая работа посвящена низкочастотной электромагнитной спектроскопии (диапазон частот 10-3—106 Гц), которая широко применяется при исследовании диэлектрических, полупроводниковых и ионопроводящих материалов [1-3], а также электродных процессов в электрохимии [4], где данный метод называется импеданс-спектроскопией (ИС). В последние годы к низкочастотной спектроскопии проявляют интерес также биология и медицина, как к новому способу диагностики заболеваний. В литературе это направление получило название «биоимпедансная спектроскопия» [5]. При обработке данных, полученных методом ИС, большое значение придается построению эквивалентной схемы (ЭС). Это позволяет разделить сложный релаксационный процесс на элементарные составляющие. Для решения этой задачи разработаны компьютерные программы: «EquivCrt» (B.A. Bou-kamp), «LEVM» (J.R.Macdonald) и «ZView» (Scribner Associates Inc). Как правило, исследуемый образец изготавливают в виде диска, на обе стороны которого наносят серебряные и платиновые электроды. В этой связи наиболее распространенной задачей является разделение поляризационных процессов, происходящих в объеме и на электродах. Поэтому полная ЭС должна состоять, как минимум, из двух частей, одна из которых отвечает за электрод, а другая - за объем. Целью настоящей работы является устранение некоторых «белых пятен» в теории ИС, связанных с построением и преобразованием ЭС.

Постановка задачи

В ИС любых объектов получают две основные частотные характеристики: вещественную Z'(ro) и мнимую Z"(ro) составляющие импеданса. Из этих функций можно рассчитать вещественную У'(ю) и мнимую Y"(ro) составляющие адмиттанса, модули импеданса и адмиттанса, фазочастотную характеристику и др. [6, 7]. При построении Эс объекта необходимо использовать дискретные элементы -резисторы (R, г) и конденсаторы (С, с), а также ряд специальных элементов с распределенными параметрами [6, 7]. В теории пассивных дискретных двухполюсников обычно рассматривают прямую задачу (расчет частотных характеристик для известной принципиальной схемы) и обратную (построение схемы двухполюсника на основе его частотных характеристик). Решение прямой задачи для дискретных двухполюсников не представляет сложности [6, 7]. Вместе с тем, при решении обратной задачи было обнаружено, что существуют двухполюсники, имеющие разные принципиальные схемы и совершенно одинаковые характеристики во всем диапазоне частот [6]. Пары таких ЭС далее будем называть математически эквивалентными двухполюсниками (МЭД). Замену двухполюсника на его математически эквивалентного «дублера» будем называть преобразованием двухполюсника. В таблице приведены несколько МЭД и математические формулы, связывающие параметры двухпо-

люсников. Следует заметить, что в приведенных формулах отсутствует частота ю, что является необходимым и достаточным условием их математической эквивалентности. Можно назвать три признака математической эквивалентности. Во-первых, обе ЭС должны состоять из равного количества однотипных элементов. Во-вторых, если полюса (два ввода для внешних подключений) исходного двухполюсников замкнуты цепочкой из резисторов, то и у дублера такое соединение также должно присутствовать. В-третьих, если у исходного двухполюсника полюса соединены цепочкой из конденсаторов (эта цепь задает геометрическую емкость), то и в схеме дублера полюса должны быть замкнуты одним или несколькими конденсаторами. Есть еще одно условие, которое мы назвали «корректностью эквивалентной схемы». В литературных источниках встречаются RC-двухполюсники такой структуры, что некоторые их параметры невозможно рассчитать из частотных характеристик. Например, в схеме имеется пара резисторов, соединенных параллельно или последовательно. Определить номиналы каждого из резисторов электрическими методами нельзя, так как измерительная система зарегистрирует общее сопротивление этой части двухполюсника. То же самое относится и к паре параллельно или последовательно соединенных конденсаторов. Необходимым условием корректности RC-двухполюсника является следующее. В его схеме количество резисторов и конденсаторов должно быть либо одинаковым, либо отличаться не более чем на 1.

Преобразование исходного двухполюсника возможно, если все его параметры известны. В этом случае по приведенным в таблице формулам необходимо рассчитать параметры двухполюсника дублера. После этого исходный двухполюсник заменяется дублером, что не приводит к изменению электрических характеристик. Убедиться в том, что частотные свойства не изменились можно с помощью программы ZView (опция Simulation).

Таким образом, обратная задача имеет, как правило, несколько решений. Для устранения неоднозначности было рекомендовано использовать два универсальных двухполюсника: параллельную модель Максвелла и последовательную модель Войта (рис. 1) [4].

В настоящей работе модель Войта нами обозначена символом «VK», а модель Максвелла -«ML», где K - число звеньев в модели Войта; L -число RC-цепей в модели Максвелла. При этих обозначениях первую пару МЭД из таблицы можно записать как V2 и М1, соответственно. Их математическую эквивалентность будем обозначать двунаправленной стрелкой: V2 о М1.

Авторы монографии [6] полагали, что частотные характеристики более крупных моделей Максвелла и Войта можно сделать одинаковыми за счет подбора их параметров. Для пары VKoM(K-l) все три перечисленные выше признаки математической эквивалентности выполняются. Несложно показать, что обе модели корректны, если все постоянные времени у обеих схем имеют разную ве-

Математически эквивалентные пары двухполюсников Mathematically equivalent two-terminal pairs

№ 1

МЭД

Точные формулы

Преобразование последовательной схемы A в параллельную B [6, 9]

, = RiR2(Ci + Ci) ; r = R1 + R2 ;

R1 C1

—I I—

r1 r2

R2 C2

-1 I—

Ri + Ri

c1

H I-

c2

A^B

B^A

(R1C1 - R2C2 )2

c, =

C C

12

T

И _ 0 l.2

1 (C1 + C 2)(R1 + R2)2 2 C1 + C2

2r1r2 c1c2

va

a -Л/ a - 4r1r2 c1c2

где a = r1c2 + r1c1 + r2c1 ;

„. r1r2c1c2. у r1(71 - r2 Ср. p r1(r2 c1 -72) . r2 =-; R1 =-; R2 =-;

C1 = C2 =-?-.

Перенос резистора через узел R1 Ю

C2

I I—

A^B B^A

r1 = r1 + R2 ; , = R,a+,2 = R+R^

r1

B

ТГГ

R1 =

rr2 r

1 2 _• J? — 1 •

IS-2 — , C2 =

c2

H h

r1 + r2

Г1 + Г2

( r !2 1 + ^ V r1 У

Перенос резистора через узел

R

r = R1 + r2 ; r2 = R1 (1 +-f) ;

R1

R2

TZJ

B

A^B

B^A

Z6 =

1 + R

V R2 У

22 2

R

z„

Если Ri << R2, то r1 « R2; r2 и R1 ; Zfe « Za.

R1 =

r1r2 . R =

-; z„ =

a I I

r + r

Перенос конденсатора через узел ^ R

t£J

c1

VN/^-

A^B

B^A

c^-CL; «2 = ^; r = R.Î1 + £2!2

1 C, + C2; 2 C1 + C2 V CУ

Если Ci >> C2, то cx « C1 ; c2 « C2 ; r И R .

c2

C1 = c1

С c ! 1 + ^

; C2 = c2

B

1 + ^ V c1 У

; R = r

Перестановка резистора с конденсатором

R1

C1

C2

H h

r = R + R2

( C !2 2

C1 + C2 y

; r = R1 + R12(C1 + C2)2

R2C2

c1

r1

trr

c2

A^B

B^A

c1 = C1 + C2 ; c2 = C1

R2C2

2 I

R1(Q + C2)2 + R2C2

c1c2(r1 + r2)2

C =-

1 ^ + (r + r2)2 c2 ' r1 + r2

R1 =-

C2 = "2

Cic1)2

r1 c1 + (r1 + r2) c2

-; R2 =

c1r12 + c2

r2 = —

c

A

B

Z л — z

T, —z

12

12

2

2

A

2

3

A

2

r1 + r2

r1 + r2

4

A

r

2

c

c1 + c2

V c1 y

5

A

B

(а) G

RiXR2ПR3 П R4 П& C2T CJ CTT C5I

Ci

C2 C3 C4

ri Г2 Гз Г 4

Рис. 1. Модели Максвелла «М4» (а) и Войта «V4» (б). Fig. 1. Models of Maxwell «M4» (a) and Voigt «V4» (b).

личину. Постоянные времени вычисляются по

формулам Ti = rici (Войт) и Ti = RiCi (Максвелл),

где i принимает значения от 1 до K (Войт) или до (K-1) (Максвелл). Впервые строгое доказательство математической эквивалентности VKoM(K-1) приведено в работе [8]. Было показано, что RC-двухполюсник любой сложности можно преобразовать в модель Максвелла. Следовательно, модель Войта трансформируема в модель Максвелла, что доказывает их математическую эквивалентность. Вместе с тем, конкретных вычислительных формул для более сложных преобразований, чем V2 о М1 [6, 9], в литературе нет. В настоящей работе поставлена задача выработки общего подхода, позволяющего осуществлять преобразование VKo М(К-1) для K > 3. Вторая задача заключалась в получении конкретного алгоритма преобразования V3 о М2.

Преобразование модели Войта в модель Максвелла

При анализе линейных цепей целесообразно применять операторный метод [3, 6, 7]. В этом случае импеданс двухполюсника заменяется операторным импедансом (ОИ), а вместо адмиттанса используют операторный адмиттанс (ОА). ОИ модели Войта имеет следующий вид [6, 7]:

¿V (s) = 1

i=1 +1

где т^ = г^с^ - постоянная времени /-го звена (рис.

1б); п - количество звеньев в модели Войта; 5 -переменная Лапласа.

Известна формула ОА модели Максвелла в общем виде [6, 7]:

1 п С Ум

Л 1 +1

где Ti = (/ = 2,3..., п) - постоянные времени

релаксации.

Приведенный ниже анализ подразумевает корректность обеих моделей. ОА модели Войта получаем из формулы (1) после суммирования дробей:

Yv (s) =

a0sn + als" 1 + a2sn 2 +... + an _ Y,

¿V

bls"-1 + b2sn-2 +... + bn

Y2

где Y1(s) и Y2(s) - полиномы числителя и знаменателя, соответственно.

ОА следует воспринимать как передаточную функцию звена, у которого входным сигналом является разность потенциалов между полюсами, а выходным - электрический ток. При отключении напряжения ток, проходящий через пассивный двухполюсник, неизбежно упадет до нуля. Это является признаком устойчивой системы. Таким образом, можно воспользоваться всеми известными критериями устойчивости. Полиномы в знаменателе передаточной функции называются характеристическими полиномами. Следовательно, Y1(s) и Y2(s) являются характеристическими полиномами для ОИ и ОА, соответственно. Известно необходимое условие устойчивости - это положительный знак у всех коэффициентов полиномов Y1(s) и Y2(s) [10]. Согласно теоремам Ляпунова, у устойчивой системы характеристический полином имеет отрицательные вещественные корни и отрицательные действительные части комплексных корней. Однако комплексных корней у Y1(s) и Y2(s) не может быть по следующей причине. Из теории линейных систем [10] следует, что комплексные корни характеристического полинома приводят к появлению решений, имеющих колебательный характер. Для двухполюсников, в схему которых входят реактивные элементы одного типа (конденсаторы есть, ин-дуктивностей нет), колебательные переходные процессы невозможны. Таким образом, все корни полиномов Y1(s) и Y2(s) должны быть вещественными и отрицательными. Кратные корни у этих полиномов также отсутствуют, так как все постоянные времени различны.

Для решения задачи выражение (3) необходимо привести к виду (2). Сопротивление R1 и емкость С1 модели Максвелла можно определить из следующих пределов:

lim YV

s^O bn R1 s^a> b

Вычтем из дроби (3) часть ОА, связанного с элементами R1 и С1:

Y0(s) = YV(s)-C1s -1 = a0sn +-2+an-1s +a _a0s_an.

1 R b,s + b2sn-2 +...+bn b bn

После вычислений получаем выражение для оставшейся части ОА:

As + /2 s +... + fn-1 = „Y>

Y2

,

(5) = 5 , „

615П"1 + Ь2 5 П + ... + Ьп

где Г3(5) - полином, коэффициенты которого можно рассчитать по формулам [8]:

Л = ak -^bk bk+i (k = 1, 2, ... n-1).

b

1

Дробь в выражении (5) необходимо далее разложить на простые дроби с помощью формулы [11]:

ад.=уад) i

V'/

Y2(s) t? Y2'(s,) s -s,.

где 72'(5) = ^(5) - производная полинома Г2(5),

5 - корни полинома Г2(5).

Сравнивая (2) и (7), находим параметры модели Максвелла:

С ; Л, = _А_; Т =-1.

- sY2'

sCi

В качестве примера запишем формулы преобразования ¥3 вМ2. Известны:

г1, г2, Гз, С, С2, С3 (рис. 1б). Находим постоянные времени звеньев модели Войта:

т1 = Г1С1,Т2 = Г2С2,Т3 = Г3С3 .

г г г

ОИ 1/3: (5) = —+ —+ —^ .

Т15 + 1 Т2 5 + 1 Т3 5 + 1

После суммирования дробей в правой части (10) получаем следующее выражение:

Zv (s) =

b1s 2 + b2 s + b3

3 2

a0 s + a1s + a2 s + a3

где b1 = г1т2т3 + г2т1т3 + г3т?т2 ;

b2 = Г1

b3 = r1 + r2 + r3; ao = т1т2тз; a1 = ^ + + ^2; a2 =т1 +т2 +т3; a3 = 1.

ОА модели Войта:

Yv (s) =

3 2

a0 s + a1s + a2 s + a3 b1s 2 + b2 s + b3

Остаток ОА после удаления С1 и

Yo(s) = s

1 и Л1:

2_=ДМ

b1s 2 + b2 s + b3 Y2

hs + /2

где коэффициенты полинома в числителе находим по формулам (6):

/ = о1 - ^ - ; /2 = а2 _ ^ _ .

Ь3 Ь1 Ь3 Ь1

Корни полинома Г2(5):

l— (b2 -4b2 - 4b1b3 );

2b1

s2 =- (b2 Wb2 - 4b1b3 ).

Корни (14) связаны друг с другом следующим образом:

h

_ 3. _ 2

s1s 2 = ~Т~; s1 + s2 = '

b1

Постоянные времени M2 равны: 71 =-;

- s

72 =

1

- s9

Производная полинома Y2

ds

= 2b1s + b2.

Емкости и сопротивления, входящие в M2, рассчитываем по формулам (8):

C2 =

f1s1 + f2

- s^^ + b2)

R2 = ; 2 C

C3 =

f1s2 + f2

- s2

R3 =

3 C

3

;

Для вычислений использована программа Mathcad [12]. На рабочем столе программы необходимо записать исходные значения: r1, r2, r3, c15 c2, c3 и формулы (4), (9), (11) - (17). На рис. 2 приведена копия рабочего стола Mathcad 7 (заголовок: Transformation V3— M2), содержащая все формулы и результаты расчета.

Преобразование модели Максвелла в модель Войта

Из соотношения (3) получим ОИ модели Максвелла:

b1s"_1 + b2 sn-2 +... + bn

Z (5)=12(51=_

^М ) „ .. ч п п_1 п_2 '

1 (5) а05 + а15п 1 + а25 +... + ап

Поскольку полином У1(э) имеет отрицательные, вещественные и разные по величине корни, то дробь в (19) всегда можно разложить на простые дроби, воспользовавшись формулой (6):

zm (s)=iY2(") 1

=1 Y1(si) s-s,

. dY1

где У{(5) = —- производная; 5 - корни поли-

d5

нома ^1(5).

Сравнивая выражения (19) и (1), получаем необходимые формулы для определения параметров модели Войта:

1

Ti =--; Г =

s, -sYY

Y2 (s.) ; c = ^

; с. = —.

В качестве примера запишем формулы преобразования М2 в ¥3. Известны величины элементов модели М2 (рис. 1а): Ль Л2, Л3, С1, С2, С3. Определяем постоянные времени:

Т1 = Л1С1; Т2 = Л2С2 ; Т3 = Л3С3 ; 1

d =-.

Т1Т2Т3

r

Рис. 2. Распечатка рабочего стола Mathcad 7 для преобразований V3 ^ M2. Fig. 2. Desktop printout of Mathcad 7 for conversions V3 ^ M2.

Выражение для ОА М2:

1 sC

Ym (s) = — + sCx + 2

sC3 _ TTT Yl

R1 T2 s + l T3 s + 1 Y2

где Y1

Y2

a _ d(T1T2 + T1T3 + T2T3 + R1T2C3 + R1T3C2) ;

b _ d(T1 + T2 + T3 + R1C2 + R1C3). (25) Выражение для ОИ М2:

dY2

Поскольку нам заранее известно, что все корни вещественные и разные, то их величины для уравнения (27) следует рассчитывать по формулам [13]:

у, _ 2.---cos—;

1 V 3 3

у2,3 1-Р • cos I- ± -I,

а ± -

3 |"э ±з". где параметр а находим из уравнения:

q

cosa _ —

2 -

Zm (s) _

Yi

Находим корни характеристического полинома 71(^) методом Кардано [13]. Делаем замену переменной в Y1(sУ:

а

s = у--.

Уравнение Y1(s) = 0 переходит к неполному

виду:

у + ру + q _ 0 ,

„2

a" , J a | ab

где p _--+ b ; q _ 2I — I--+ d .

F 3 I 3 J 3

Окончательно корни полинома 71(^) после подстановки (29) в (26):

a a a

5i = У1 - у; 52 = y2 - у; 5з = Уз - у.

Постоянные времени звеньев V3 т1 (i = 1, 2, 3) находим по формуле (20).

Производная полинома V1(s) равна:

7/

Сопротивления и емкости V3 рассчитываем по формулам:

Г _

dY2( st) .

1

- sYK st)

; c _--

3

3

siri

Рис. 3. Распечатка рабочего стола Mathcad 7 для преобразований M2 ^ F3. Fig. 3. Desktop printout of Mathcad 7 for conversions M2 ^ F3.

При выполнении расчетов необходимо на рабочем столе Mathcad 7 разместить формулы (21), (23), (24), (28) - (33). На рис. 3 приведена копия рабочего стола Mathcad 7 (заголовок: Transformation M2---V3).

Заключение

Проведенное в настоящей работе исследование имеет не только теоретический интерес, но и является полезным руководством по моделированию электрических свойств электрохимических систем методом эквивалентных схем. Метод преобразования двухполюсников в сочетании с программой ZView позволяет заметно быстрее обрабатывать данные ИС. Известно, что программа zView достаточно эффективна при моделировании экспериментальных данных ИС последовательными ЭС (в частности, моделью Войта). Использование для моделирования параллельных схем вызывает большие трудности. Поэтому параллельную схему про-

ще рассчитать из последовательной схемы с помощью приведенных в работе формул. Знание МЭД позволяет быстро выявлять некорректные ЭС и преобразовывать исходную ЭС с целью согласования её с физико-химической моделью образца. Известно также, что теоретические вычисления удобнее осуществлять на основе модели Максвелла. В работе [9] благодаря переходу V2^M1 удалось линеаризовать систему уравнений и получить решение задачи. Модель Максвелла имеет меньше постоянных времени на 1, что облегчает расчеты. Следует также отметить, что усредненные по объему образца характеристики удобнее рассчитывать из параллельной схемы.

Литература

1. Определение вида распределения релаксаторов методом экстраполяции/ А.С.Богатин, Е.В.Андреев, С.А.Ковригина, Ю.А.Игнатова, В.Н.Богатина, А.Л.Буланова // Известия

Российской академии наук. Серия физическая. 2016. Т. 80. № 11. С. 1519 -1521.

2. Орешкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков. М.: Высшая школа, 1977. 448 с.

3. Стойнов З.Б., Графов Б.М., Саввова-Стойно-ва Б., Елкин В.В. Электрохимический импеданс. М.: Наука, 1991. 336 с.

4. Графов Б.М., Укше ЕА. Электрохимические цепи переменного тока. М.: Наука, 1973. 128 с.

5. Grimnes S, Martinsen O.G. Bioimpedance and bioelectricity basics// Academic Press. 2000. 360 p.

6. Barsoukov E., Macdonald J.R. Impedance spectroscopy: theory, experiment and application. Wiley - Interscience, 2005. 606 p.

7. Lasia A. Electrochemical impedance spectroscopy and its applications. New York: Springer Science+Business Media, 2014. 369 p.

8. Секушин НА. Универсальная эквивалентная схема электрохимической ячейки // Электрохимия. 2009. Т. 45. № 3. C. 372-377.

9. Секушин НА Исправление хаотических искажений в спектрах электрохимического импеданса // Электрохимия. 2016. Т. 52. № 4. C. 362-368.

10. Бесекерский ВА., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.

11. Дёч Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971. 288 с.

12. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. М.: КомпьютерПресс, 1998. 384 с.

13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1973. 832 с.

References

1. Opredelenie vida raspredeleniya relaksa-torov metodom ekstrapolyacii [Determining the form of relaxators distribution by extrapolation] / A.S.Bogatin, E.V.Andreev, S.A.Kov-rigina, Yu.A. Ignatova, V.N. Bogatina, A.L. Bulanova // Proc. of the Russian Academy of Sciences. Series Physics. 2016. Vol. 80. № 11. P.1344-1346.

2. Oreshkin P.T. Fizika poluprovodnikov i die-lectrikov [Physics of Semiconductors and Dielectrics]. Moscow: Vysshaya shkola, 1977. 448 p.

3. Stoinov Z.B., Grafov B.M., Savvova-Stoinova B. Elkin V.V. Elektrohimicheskij impedans [The Electrochemical Impedance]. Moscow: Nauka, 1991. 336 p.

4. Grafov B.M., Ukshe EA Elektrohimicheskie cepi peremennogo toka [Electrochemical AC circuits]. Moscow: Nauka, 1973. 128 p.

5. Grimnes S, Martinsen O.G. Bioimpedance and bioelectricity basics// Academic Press. 2000. 360 p.

6. Barsoukov E., Macdonald J.R. Impedance spectroscopy: theory, experiment and application. Wiley - Interscience, 2005. 606 p.

7. Lasia A. Electrochemical impedance spectroscopy and its applications. New York: Springer Science+Business Media, 2014. 369 p.

8. Sekushin NA Universalnaya ekvivalentnaya schema elektrohimicheskoi yacheiki [Universal equivalent circuit of electrochemical cell] // Russian J. of Electrochemistry. 2009. Vol. 45. № 3. P. 372-377.

9. Sekushin N.A. Ispravlenie haoticheskih iska-zhenii v spektrah elektrohimicheskogo impe-dansa [Correction of Chaotic Distortions in Electrochemical Impedance Spectra] // Russian J. of Electrochemistry. 2016. Vol. 52. № 4. P. 362-368.

10. Besekersky VA., Popov E.P. Teoriya sistem avtomaticheskogo regulirovaniya [Theory of automatic control systems]. Moscow: Nauka, 1975. 768 p.

11. Doetsch G. Anleitung zum praktischen gebrauch der Laplace-transformaton und der Z-transformaton. R. Oldenbourg, Munchen, Wien: 1967. 301 p.

12. Ochkov V.F. Mathcad 7 Pro dlya studentov i inzhenerov. [Mathcad 7 Pro for students and engineers]. Moscow: ComputerPress, 1998. 384 p.

13. Korn G, Korn T. Mathematical handbook for scientists and engineers. New York, San Francisco, Toronto, London, Sydney: McGraw-Hill Book Company, 1968.

Статья поступила в редакцию 29.10.2018.