Самоограничение световых волн типа шепчущей галереи

Самоограничение световых волн типа шепчущей галереи

Торчигин В.П.

Институт проблем информатики РАН

1. Введение

Явления самовоздействия света, одним из которых является самофокусировка 2-мерных и 3-мерных световых пучков в однородной квадратичной нелинейной оптической среде, хорошо исследованы более 30 лет назад. Показано, что профиль двумерного (1+1 мерного) луча приобретает устойчивую форму в плоскости, перпендикулярной направлению распространения луча [1]. По мере распространения луча и ослабления его интенсивности ширина луча постепенно увеличивается, но его форма сохраняется. Показано, что такие же уравнения описывают распространение солитона в одномодовом световолокне.

Что касается 2+1-мерного луча диаметра Б, то при некоторой мощности луча P>Pc происходит самофокусировка луча. При Р<Рс поперечное сечение луча постепенно увеличивается. При этом Рс не зависит от Б. Таким образом, луч в этом случае является неустойчивым.

Самофокусировка волн типа шепчущей галереи (ШГ) существенно отличается от указанных выше процессов. Волны ШГ известны главным образом как резонаторные моды, используемые в оптических резонаторах на основе стеклянных микросфер [2]. ШГ волна может быть представлена как бегущая волна, распространяющаяся вдоль экватора микросферы и многократно отражающаяся от сферической границы стекло-воздух. Подобные волны могут возбуждаться также в бочкообразных участках световолокна [3] ив цилиндрических световодах [4]. В последнем случае они называются туннелирующими модами. Представление о ШГ в волноводе может дать туннелирующий луч, распространяющийся внутри стеклянного цилиндра по спирали с постоянным шагом.

Принципиальным отличием ШГ волн является наличие радиационных потерь, которые возрастают при уменьшении диаметра световода. Однако на практике эти потери пренебрежимо малы. Свидетельством этому являются рекордно высокие добротности Q>109 стеклянных микросфер [5], диаметр которых равен всего нескольким десяткам микрон.

Среди множества специфических особенностей ШГ волн для рассматриваемой проблемы наиболее важной является то обстоятельство, что их групповая скорость может быть значительно меньше скорости света. В результате, плотность энергии в ШГ волне и, следовательно, напряженность электрического поля, которая ответственна за увеличение показателя преломления

в волне, оказывается значительно больше, чем в обычной волне такой же мощности. Это обстоятельство позволяет наблюдать самофокусировку ШГ волн при значительно меньших мощностях.

В процессе написания статьи стало ясно, что очень привлекательно выглядит гипотеза, что шаровая молния является примером самоограниченного излучения (СОИ). Эта гипотеза привела к более внимательному анализу формирования СОИ в газах, в частности, в воздухе. Структура статьи оставлена прежней, так как, по-нашему мнению, постепенный переход от известного к неизвестному позволит лучше понять механизмы и явления, ответственные за формирование СОИ и, возможно, шаровой молнии.

2. Самофокусировка ШГ волны вдоль оси цилиндра

Рассмотрим сначала эффекты, связанные с самовоздействием ШГ волны, приводящие к изменению параметров ШГ волны вдоль оси г бесконечного диэлектрического цилиндра с квадратичной нелинейностью (рис.1).

У 1

Рис. 1. Распространение ШГ волны в цилиндре

Такой цилиндр можно рассматривать как волновод, внутри которого распространяется ШГ волна. Известно, что распространение волны в любом волноводе описывается одномерным волновым уравнением.

^ + к2и = 0

дх =

где кх обычно называется постоянной распространения. При этом

к2 = к2 - к2, к = шп = ^ ( 2) с ^

где - длина волны вдоль волновода, к=шп/с, ш - частота волны, п- показатель преломления цилиндра, к2 -компонента волнового вектора, перпендикулярного оси цилиндра. В общем случае, если показатель преломления п является функцией х, параметры к и кх являются функциями х. Однако к2 определяется только поперечным сечением волновода (радиусом цилиндра р0) и не зависит от х.

х

Распределение поля волны в поперечном сечении волновода определяется решениями двумерного уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями на границе световода. Различные решения этого уравнения соответствуют различным модам волновода. Для цилиндрического волновода моды характеризуются двумя индексами а и г, которые определяют количество вариаций поля вдоль азимутальной и радиальной координаты, соответственно. Распределение поля в поперечном сечении волновода для любой моды совпадает с распределением поля этой моды для стоячей волны при поперечном резонансе [6], при котором поле вдоль оси световода неизменно, то есть

Пусть в цилиндре вращается бесконечная ШГ волна, волновой вектор которой перпендикулярен оси цилиндра и, следовательно, Ограничим теперь указанную волну

районом -п-1/2<х<п"7/2. В этом случае из-за оптического эффекта Керра показатель преломления в этом районе оказывается увеличенным на Ап=п2Е2, где Е - амплитуда напряженности поля световой волны, п2 - константа, характеризующая нелинейность квадратичной среды. Интенсивность световой волны I пропорциональна Е . Известно, что район с увеличенным показателем преломления может выступать как волновод. В рассматриваемом случае такой волновод является замкнутым, то есть представляет собой кольцевой резонатор, ширина которого равна п-1. Распределение интенсивности световой волны вдоль ширины такого резонатора отличается от прямоугольного. Это приводит к тому, что приращение показателя преломления за счет эффекта Керра также отличается от прямоугольного и Ап(х)=п2Е2(х). Таким образом, необходимо найти профиль показателя преломления Ап(х), в котором распространяющаяся световая волна имеет профиль 1(х), обеспечивающий формирование профиля Ап(х) в соответствии с Ап(х)=п2Е2(х).

Аналогичная задача рассматривается при анализе формирования и распространения двумерного 1+1 солитона вдоль оси г. Предполагается, что поле вдоль координаты у неизменно (2-мерный солитон) [1]. С учетом дифракционной расходимости и самофокусировки в квадратичной нелинейной среде распространение 1+1 волны в направлении оси г описывается следующим уравнением [1].

„ ., Зм д2 и п2 2 .

- 2А ^ + + 2к0 — и |и = 0

дг дх п0

где к0=шп0/с, п0- показатель преломления среды для волн малой интенсивности. Показано, что решением этого уравнения является следующая волна

ЕхР

и( х, г) =

^Л-— е - ]к0г

"У к02 п2 ' СИ(пх) Постоянная распространения этой волны вдоль оси г равна

кг = к 0

г 04 2к02

откуда следует при п2<< к02, что к^=к02+п2, то есть постоянная распространения вдоль оси г зависит от ширины пучка п-1. Кроме того, появляется перпендикулярная составляющая волнового

ди _/^п2

вектора, которую можно найти из уравнения ( 3). Подставляя вместо — величину -и,

дг 2к0

0

полученную путем дифференцирования (4), имеем х=0 =Ц2.

д 2и,

С другой стороны, по определению —- х=0 = кх2 (0). Сравнивая эти выражения,

дх

получим кх

Модуль волнового вектора к(х) волны, который, вообще говоря, зависит от показателя преломления среды, в которой волна распространяется, определяется следующим образом

к

С другой стороны, из общего соотношения

к 2( х) = к2( х) + кг2( х),

принимая во внимание (5), (6), имеем

22

к2(0) = к2 (0) + к2 (0) = к0(1 + П-2 + ) ( 9>

к0 к0

Сравнивая ( 7) и ( 9), получим

Ап

п к02

При смещении вдоль оси х компонента ^ остается без изменения, а кх убывает. Действительно, выражение ( 7) с учетом, что Ап(х)/п~и2(х), а также выражений (4), ( 10), может быть записано в виде

к 2

к02

Так как к2 = к0(1 + , т0 к2х (х) = п2 (2СИ(х) _ 1) 2к0

Из этого следует, что при некотором х=х0 будем иметь кх2(х0)=0 и кх2(х)<0 при х>х0. Точки х=±х0 являются точками возврата и в соответствии с ВКБ методом для фазового интеграла должно выполняться следующее условие

х0

I кх (х)дх = п /2.

Между точками -х0 и х0 к22>0 и волна может распространяться. При |х|>х0 кх2(х0)<0 и волна экспоненциально ослабевает без изменения фазы. Однако при отражении от точки возврата отраженная волна приобретает дополнительный сдвиг равный п/2.

Как известно, 1+1 солитоны характеризуются так называемым интегралом площадей

У =

V

п2 •'_<ю

Показано, что в солитоне У=2я и не зависит от параметров пучка. Более того, если при г=0 пучок не является солитоном, но его интеграл площадей удовлетворяет условию п<У<3п, то, в конечном счете, он становится солитоном с интегралом площадей равным 2п. Неравновесный пучок, который распространяется в созданном им волноводе, приобретает, в конечном счете, такой профиль, при котором распределение поля в волноводе оказывается как раз таким, которое необходимо для формирования указанного волновода. Этот профиль является устойчивым. Переход к устойчивому профилю происходит для всех пучков, которые не очень сильно отличаются от устойчивого.

Устойчивые пучки могут быть сформированы при любых достаточно малых мощностях волны, однако их ширина при этом возрастает. В соответствие с (13) при уменьшении интенсивности /(0) в а раз и уменьшается в а12 раз и ширина световода увеличивается в а12 раз. Так как общая энергия волны М~/(0)п-1 при этом уменьшается в а12 раз, то при уменьшении /(0) ширина световода увеличивается обратно пропорционально общей энергии волны. Нетрудно убедиться, что из пучка определенной интенсивности может быть сформирован либо один световод шириной П-1, либо несколько световодов, но с гораздо большей шириной, чем п-1.

Проинтерпретировав известные результаты из теории распространения 1+1 солитонов в квадратичной среде в терминах теории волноводов, с которой знакомо гораздо большее количество читателей, чем с теорией солитонов, продолжим рассмотрение распространения ШГ волны, вращающейся вокруг цилиндра. Отличие для ШГ волны состоит лишь в том, что направление вдоль координаты у становится радиальным направлением, а направление вдоль

координаты г становится азимутальным направлением. Распространяясь по азимутальному направлению, волна возвращается к тому месту, где она уже была. В этом случае набег фазы при обходе волной цилиндра должен быть кратен 2п, то есть должно выполняться следующее условие.

2тср0^=2л:а, или р0^=а

где а - целое, равное азимутальному индексу.

Таким образом, солитоны с нулевой групповой скоростью вдоль оси цилиндра х (рассматривается волна симметричная относительно х=0) и заданной интенсивностью (следовательно, фиксированных п и к^ могут существовать только при определенных частотах света.

При затухании волны ширина солитона возрастает и, следовательно, в соответствии с ( 5) уменьшается к^ но в соответствии с ( 14) этого не должно быть. Так как затухание волны неизбежно, то солитон должен либо прекратить свое существование, либо изменяться таким образом, что кя остается неизменным. Это может быть, если частота волны в солитоне при этом увеличивается, что влечет за собой увеличение волнового вектора к и, следовательно, кг. Эта альтернатива не кажется неправдоподобной, так как при уменьшении интенсивности уменьшается показатель преломления п, а волна, распространяющаяся в среде с уменьшающимся показателем преломления, увеличивает свою частоту [7].

Рассмотрим теперь случай, когда групповая скорость волны отлична от нуля. В 1+1 солитонном аналоге это соответствует распространению волны под некоторым углом 9 к оси г. В этом случае выражение (4) принимает следующий вид [1]

- Ехр

п0 п_2к0 е - Аг

к02 п2 СИ

и(х, г) =

где 9=^/к0. При этом азимутальная составляющая постоянной распространения ^ уменьшается на

величину ^2/2к по сравнению с рассмотренным выше случаем и условие (14) может быть выполнено на любой частоте путем соответствующего выбора (или угла 9, который определяет групповую скорость с9/п в ШГ аналоге). В результате получаем, что в отличие от свободного пространства, где 1+1 волна может распространяться под любым углом 9, ШГ волна в цилиндре может распространяться только под определенными углами. Каждому такому углу соответствует свое а и своя волноводная мода. Фактически мы имеет солитон, который может двигаться с разными скоростями.

Сходство в уравнениях, описывающих распространение солитонов в цилиндрическом световоде, и самофокусировку 1+1 мерных пучков в нелинейной среде, отмечается многими

авторами. При этом действие дисперсии в световоде, приводящее к расширению передаваемого импульса света, аналогично действию дифракции при распространении пространственно ограниченного пучка в свободном пространстве, приводящему к расширению пучка. Для рассматриваемого случая различие в этих типах солитонов сводится к разным углам 9. 3. Самоограничение ШГ волны вдоль радиуса цилиндра

Если самоограничение ШГ волны в цилиндре аналогично самоограничению 1+1 волны в свободном пространстве в такой степени, что известные для последнего случая решения могут быть использованы с небольшими оговорками для ШГ волны в цилиндре, то способность ШГ волны образовывать в однородной квадратичной среде волновод, в котором она вращается, является не такой очевидной. Чтобы убедиться в такой возможности, рассмотрим сначала типичную ситуацию, используемую в сферических резонаторах и бочкообразных участках стеклянного цилиндра. Пусть имеется бесконечный диэлектрический цилиндр, внутри которого, как и в предыдущем разделе, вращается ШГ волна. Пусть кх=0 и поле волны не зависит от х, то есть ширина волны является бесконечной и п=0. В этом случае азимутальное распределение поля совпадает с полем бегущей волны, а целое а задает количество длин волн в этой волне. Вдоль радиуса имеет место поперечный резонанс, при котором поле ШГ волны совпадает с полем стоячей волны, описываемой следующим уравнением [9]

д 2и 1 ёи

а

+--+ (к2---)и = 0

др р ф

Р

где £=шп/с. Если цилиндр граничит с воздухом, то п=1.45 при р>р0 и п=1 при р<р0, где р0 - радиус цилиндра. Таким образом, п и, следовательно, постоянная распространения вдоль радиуса к= уменьшается скачком при р=р0 (рис.2).

Р0

Рис.2 Зависимость показателя преломления (а) и квадрата радиальной компоненты постоянной распространения к2 (Ь) от

расстояния р от оси цилиндра

При столь резком изменении показателя преломления на боковой поверхности цилиндра вопрос о существовании ШГ волны не вызывает сомнения если р0>>^/п. Интересен другой вопрос. Каким должен быть минимальный скачок показателя преломления, который обеспечивает существование

п

р

р

1/2

ШГ волны внутри цилиндра радиуса р0? Введем новую переменную v=u/р . Тогда уравнение (16) может быть записано в следующем виде

д2 V

+ Х 'V = 0

др2 ^ ' "

Уравнение (17) является волновым уравнением, описывающим распространение волны вдоль волновода с зависящей от р постоянной распространения х, определяемой следующим соотношением.

X =

2, ч а2 -1/4

к 2

р2

Нетривиальные решения подобного уравнения при м(0)=0 и м(р)<<8 при р^го, где ^^>>8 и йШаХ- максимальное значение м(р), подробно рассмотрены в [10]. Основные результаты такого рассмотрения состоят в следующем. Возможно сколь угодно надежное ограничение излучения в кольце вблизи окрестности р=р0 при достаточно малой dх/dр и достаточно большом скачке к2(р) при р=р0. Проанализированы причины изменения добротности в зависимости от этих

параметров.

Наименьшие требования к величине скачка предъявляет основная радиальная мода с г=1. В качестве примера на рисунке 3я показана зависимость х2(р) и м(р) для ШГ волны со следующими параметрами р0=100 мм, ^/п=0.5д, Ап/п=5 10-4. Обратим внимание, что поле волны в цилиндре сосредоточено в области скачка при р1<р<р2, где х2(р)>0. Этот участок ограничен с двух сторон участками, где х2<0, в которых волна распространяться не может и экспоненциально ослабевает. Можно сказать, что эти участки являются запредельными волноводами. Правда, один из запредельных волноводов р2<р<р3 имеет конечную длину. Поэтому он может быть назван туннелем. Поле на другом конце туннеля ослабевает не до нуля. Это поле может возбудить волну на участке р>р3, которая будет уносить часть энергии из предполагаемого резонатора, то есть такой резонатор принципиально обладает радиационными потерями. По-видимому, это обстоятельство способствовало тому, что ШГ волны были названы в [4] туннелирующими волнами. Как уже отмечалось, в большинстве применений ШГ волн радиационные потери пренебрежимо малы.

Используя тот же подход для анализа возможности самоограничения излучения в радиальном направлении, какой был использован в предыдущем разделе при анализе самоограничения излучения в аксиальном направлении (вдоль оси цилиндра), получим, что для самоограничения излучения должно выполняться следующее условие, аналогичное условию ( 12).

/•р 2

|1 X ( р )ёр=п/2.

Для существования точек возврата р1 и р2 необходимо чтобы функция х(р) имела максимум. Так как второй член в подкоренном выражении (18) является убывающей функцией р, то первый

член в какой-то области должен быть возрастающей функцией. Действительно, в квадратичной

2 2 2 2 2 2 среде Г(П0+П2/) /с =ко (1+2П21) и к возрастает с увеличением I. Поскольку I максимально в

середине поперечного сечения, то имеется участок, где I является возрастающей функцией р.

к 2 п2 2

Условие наличия максимума может быть записано в следующем виде -0--->-3 4 . Если

п0 ёр р

рассматривать ярко выраженные ШГ волны, для которых угол наклона волнового вектора к плоскости поперечного сечения цилиндра близок к нулю, то а =р0п / А,0, а2>>1/4 и указанное условие может быть записано в виде

— > п ( 20) ёр р

ё 1о§(пр ) > 0

или-——- > 0 .

ёр

Таким образом, для существования самоограничения необходимо, чтобы увеличение Ап/п под действием света происходило на достаточно малом участке, длина которого Ар удовлетворяет условию Ар/р<Ап/п. Из этого условия можно сделать вывод, что наличие максимума не зависит от р при заданной энергии световой волны. Действительно, при увеличении р в а раз интенсивность световой волны уменьшается в а раз и Ап также уменьшается в а раз (при условии, что

ё 1о§

поперечное сечение световода неизменно). При этом-остается неизменным.

ёр

В качестве примера на рис.3 показаны функции х2(р) и и(р), полученные путем численного интегрирования уравнения ( 16) при следующих условиях. На рис.3а, 3Ь соответственно показано распределение квадрата постоянной распространения х2(р) и амплитуды световой волны для линейной оптической среды, в которой при р=р0 показатель преломления уменьшается скачком на величину Ап/п=10-3.

На рис.3 с, 3d соответственно показано распределение квадрата постоянной распространения

Х2(р) и амплитуды световой волны для однородной квадратичной оптической среды, в которой

изменение показателя преломления вдоль радиуса р равно п2и2(р), где и(р)соответствует распределению, показанному на рис 3Ь.

На рис.3с, 3Г соответственно показано распределение квадрата постоянной распространения Х2(р) и амплитуды световой волны для однородной квадратичной оптической среды, в которой

х2(р) -30 / \ Ар

g) -0.15 10

Рис.3. Рис^^Ь. Зависимость квадрата постоянной распространения вдоль радиуса х2(р) и амплитуды световой волны и(р) в том случае, если при р=р0 имеется скачок показателя преломления; РисЗ^ 3d.те же зависимости, но изменение показателя преломления вызвано волной, распределение амплитуды которой и(р) показано на рис.3Ь; Рис.3с, 3£ те же зависимости, но изменение показателя преломления вызвано волной, распределение амплитуды которой и(р) показано на рис^. Рис^, 3Ьте же зависимости, но изменение показателя преломления

вызвано волной, распределение амплитуды которой и(р) показано на рис.3£ При численных расчетах использовались следующие значения параметров: длина световой волны Х/п=0.5 мкм, р0=0.1 м, интенсивность световой волны такова, что приращение показателя преломления в максимуме волны за счет электрострикции Ап/п=5 10-4' Масштаб Ар по горизонтальным осям указан в микронах, масштаб и(р) указан в относительных единицах, масштаб х2(р) указан в мкм-2. '

изменение показателя преломления вдоль радиуса р равно п2м2(р), где м(р) соответствует распределению, показанному на рис 3Ь.

Аналогичным образом, на рис.3§, 3Ь соответственно показано распределение квадрата постоянной распространения х2(р) и амплитуды световой волны для однородной квадратичной оптической среды, в которой изменение показателя преломления вдоль радиуса р равно п2м2(р),

где м(р)соответствует распределению, показанному на рис 3f. Кроме того, на рис^ приведены в одном масштабе зависимости и(р ), показанные на рис. 3b, 3d, 3f, 3h.

Из анализа представленных рисунков видно, что распределение поля вдоль радиуса постепенно приходит к некоторому стационарному состоянию, точно также как и для 1+1 солитонов, рассмотренных в предыдущем разделе, форма приходит к такой, при которой интеграл площадей равен 2п. Это неудивительно, так как рассматриваемая задача также является двумерной (поле неизменно вдоль оси цилиндра).

Определим зависимость световой энергии, необходимой для самоограничения ШГ волны, от радиуса кольца. Если допустить, что в кольце циркулирует одинаковая световая энергия, то при увеличении радиуса кольца р и ширины кольца Ар в а раз, объем кольца увеличивается в а2 раз, плотность энергии и, следовательно, An/n уменьшаются в а2 раз. При этом фазовый интеграл (19) и Ар/р остаются неизменными. Однако из условия Ап/п>Ар/р следует, что Ар необходимо уменьшать, так как уменьшилось Ап/п.

При уменьшении Ар увеличивается Ап/п пропорционально Ар-1, увеличивается u пропорционально Ар--1/2 и интеграл (19) уменьшается пропорционально Ар -1/2. Восстановить величину интеграла можно путем увеличения запасенной световой энергии. Таким образом, при увеличении для самоограничения требуется большая энергия запасенного излучения.

4. Самоограничение ШГ волн одновременно вдоль оси и радиуса цилиндра

Рассматриваемые в предыдущих разделах ШГ волны представляли собой некоторые абстрактные случаи, которые позволяли понять механизм самоограничения волны а аксиальном и радиальном направлениях по отдельности. Рассмотрим теперь одновременное ограничение ШГ волн в этих направлениях. Для волны, рассмотренной в разделе 3, представляющей собой ШГ волну, вращающуюся в кольцевом цилиндрическом световоде в виде трубки бесконечной длины с увеличенным показателем преломления, могут быть применимы соображения из раздела 2. В результате, вместо бесконечной цилиндрической волны мы получим сконцентрированную в области шириной п-1 ШГ волну, вращающуюся в торе, который остался от цилиндрического слоя толщиной Ар. Чтобы определить форму поперечного сечения этого тора, необходимо найти нетривиальные решения следующего уравнения при нулевых граничных условиях при р

д2u 1 du д2u 2 г 2 ,ч А

-г +--+ —Y +Х2(u |)u = 0 v 7

др р др dz

2 ,шп. 2 а2

где х = (—)--7, а - целое

2

Фактически рассматриваемая структура, сформированная в однородной квадратичной среде, является резонатором, ограничивающим ШГ волну в пространстве и к ней применимы все известные свойства резонаторов. В частности резонаторная мода ШГ волны характеризуется 3 целыми а, г, /, определяющими соответственно количество длин волн вдоль кольца, количество вариаций вдоль радиуса и количество вариаций в направлении оси кольца. До настоящего времени рассматривалась ситуация с а>>1, г=1, /=1. Минимальные значения I и г обеспечивают минимальное поперечное сечение тора и, следовательно, минимальную мощность ШГ волны, необходимую для образования резонатора.

Рассмотрим сначала хорошо изученную ситуацию, имеющую место при бесконечно большом радиусе тора. В этом случае тор имеет круглое сечение. Известно, что обычный луч круглого сечения, распространяющийся в квадратичной среде, либо расходится, либо фокусируется, то есть является неустойчивым. Точнее говоря, неустойчивыми являются решения уравнения ( 21), при которых предполагается, что показатель преломления под действием света может неограниченно увеличиваться. На самом деле показатель преломления может увеличиваться в лучшем случае на доли процента. При дальнейшем увеличении в действие вступают факторы, которые не учитываются в ( 21). В частности, происходит замедление роста показателя преломления, связанное с эффектами насыщения. Кроме того, показано, что при распространении по сформированному волноводу волн с различными частотами неустойчивость отсутствует даже для решений уравнения, которое является аналогом ( 21) [11].

Совершенно иная картина имеет место в рассматриваемом случае, когда волновод для замкнутого луча предварительно подготавливается самим же лучом. Если замкнутый луч мысленно разорвать в некотором сечении и условно выделить голову и хвост, так что при вращении луча голова следует за хвостом, то голова распространяется в волноводе, который для нее подготовлен хвостом. Распространение луча в таком волноводе кардинально отличается от распространения прямолинейного луча, при котором голова луча распространяется в свободном пространстве и, следовательно, подвержена действию дифракции.

Кроме того, резонансная мода в любом резонаторе является адиабатическим инвариантом. Это означает, что мода сохраняется при медленном изменении параметров резонатора, что придает определенную дополнительную стабильность резонатору. Действительно, при изменении его поперечного сечения изменяется также продольная составляющая волнового вектора к. Однако условие (14) требует, чтобы к= оставалось неизменным, либо изменялось р0. Изменение р0 не может быть осуществлено путем изменений на локальном участке световода. Таким образом, при замыкании неустойчивого луча он может оказаться устойчивым. Чем меньшие изменения претерпевает луч за один оборот, тем в большей степени сказывается действие условия (14). При

указанных условиях формирование надежно ограничивающего излучение кольцевого волновода возможно при любой интенсивности света, превосходящей некоторый предел Рс, определяемый допустимыми радиационными потерями. При этом при увеличении интенсивности происходит лишь сжатие поперечника световода и уменьшение радиационных потерь. Верхний предел интенсивности ограничен только стойкостью среды и мощному световому излучению.

В разделе 2 было показано, что самоограниченный световой импульс может двигаться вдоль оси цилиндра с различными групповыми скоростями, если он соответствует 1+1 солитону, распространяющемуся под углом к оси г. Возникает вопрос, может ли двигаться перпендикулярно своей плоскости световой тор, возникающий в результате одновременного самоограничения ШГ волны по радиальному и аксиальному направлениям? На этот вопрос можно ответить положительно. Действительно, разница между случаем в разделе 2 и рассматриваемым заключается лишь в различных способах ограничения излучения в радиальном направлении. При анализе движения резонатора в аксиальном направлении эта разница несущественна. Более того, при ограничении излучения в аксиальном направлении в разделе 2 изменение показателя преломления влияет и на радиальную компоненту. Можно допустить такую ситуацию, что при движении солитона в разделе 2 вдоль цилиндра скачок показателя преломления на границе цилиндра постепенно уменьшается и становится равным нулю. При этом ограничение в радиальном направлении со стороны цилиндра исчезает и наступает самоограничение. Излучение продолжает двигаться вдоль оси цилиндра, то есть в направлении, перпендикулярном плоскости тора.

Рассмотрим поведение сформированного излучением тора при неизбежном уменьшении энергии запасенного в нем излучения. Наибольшее внимание следует обратить на ограничение излучения в радиальном направлении, так как всегда имеется туннель конечной длины, через который излучение просачивается в свободное пространство. При уменьшении интенсивности световой волны происходит уменьшение Ли и ширина волновода в радиальном и аксиальном направлениях увеличивается. При этом, как можно видеть на рис. 3a, длина туннеля уменьшается, что способствует дальнейшему более быстрому уменьшению интенсивности. При некоторой интенсивности длина туннеля становится настолько мала, что происходит разрушение световода.

рис. 4. Зависимость интенсивности излучения из самоограниченного тора от времени

График изменения интенсивности во времени показан на рис.4.

Максимальное время жизни самоограниченного излучения определяется временем затухания излучения в торе. Например, для лучших стекол, из которых изготавливаются оптические световоды с минимальным затуханием около 0.2 Дб/Км, затухание в e раз происходит на длине около 30 Км за время около 150 мкс. Приблизительно такое же время может существовать самоограниченное излучение в стекле.

Гораздо большее время жизни может быть получено при распространении излучения в воздухе. Известно, что в настоящее время ведутся интенсивные исследования по созданию световолокон, в которых свет распространяется по воздушному отверстию в середине световолокна. Меньшее затухание в воздухе объясняется приблизительно на 3 порядка меньшей плотностью молекул, ответственных за релеевское рассеяние света, Таким образом, время жизни излучения в воздухе может быть увеличено приблизительно на 3 порядка и быть соизмеримым с 1 с. Поэтому в дальнейшем остановимся на анализе самоограниченного излучения в газах. 5. Устойчивость формы самоограниченного излучения

Устойчивость является наиболее важным аспектом при рассмотрении самоорганизующихся структур. Если устойчивость самоограниченного тора (СОТ) в поперечном направлении рассмотрена в разделе 3, то устойчивость его диаметра требует дополнительного рассмотрения. Действительно, при распространении по кольцу изменяется импульс света

P=E/c,

где Е - энергия света. Радиальная сила, действующая со стороны света на внешние стенки кольца, определяется соотношением F=dP/dt=PQ, где 0=2п - угловая частота вращения. С

учетом ( 22) имеем F=E/р0' Сила F равномерно распределена по всей длине кольца 2пр0. Полагая ширину тора в аксиальном направлении равной h, получим, что давление на внешние стенки тора определяется следующей формулой p=E/(2пр02h)' Так как величина V=2пр0h2 приблизительно равна объему тора, то давление на внешнюю стенку определяется выражением p=(E/V)(h/р0)=wh/р0' где w - плотность электромагнитной энергии в торе. Например, в торе длиной 1 м и шириной h=100 свет с энергией 1 мкДж (это соответствует мощности пучка 300 Вт,-напряженности электрического поля световой волны 4.75 106 В/м и плотности электромагнитной энергии w=100 Дж/м3) создает давление p=0'063 Па. Должны быть какие-то внешние силы, которые могли бы скомпенсировать это давление.

Более того, при отклонении формы кольца от окружности, кривизна в различных участках кольца становится различной. Например, если кольцо принимает форму эллипса, то наибольшая кривизна имеет место в вытянутой части эллипса. На эту часть действует большее давление, чем

на участки кольца с меньшей кривизной. В результате кольцо будет продолжать вытягиваться и его форма оказывается неустойчивой. Необходимо действие каких-то механизмов, которые бы придавали устойчивость кольцу. Ссылка на то, что резонатор является адиабатическим инвариантом и в нем сохраняется мода излучения совершенно справедлива, но звучит не очень убедительно.

Рассмотрим частный случай, когда квадратичной оптической средой является газ. В этом случае распространяющийся в газе луч света втягивает в себя молекулы газа и внутри луча

ёг Е2

существует избыточное давление газа Лр = (р—)—, возникающее из-за эффекта

ф 2

ёг

электрострикции [12]. Так как (р —) = г , то избыточное давление газа численно равно плотности

ф

Е2

энергии света н = г . Таким образом, мы может рассматривать циркулирующий по тору свет

как некую оболочку, которая препятствует выравниванию давления сжатого в торе газа с окружающей средой. Как известно, давление в газе передается во все стороны. Это приводит к тому, что давление внутри тора везде одинаково. В результате мы получаем структуру, напоминающую накачанную воздухом велосипедную камеру. Как известно, такая камера имеет форму тора, которая устойчива, так как, предоставленная самой себе, камера стремится приобрести круглую форму при любой начальной деформации.

Аналогия с камерой позволяет нам избавиться от несложных, но занимающих много времени и места доказательств устойчивости круглой формы СОТ. Однако эта аналогия не полна. Во-первых, СОТ может удерживать только определенное избыточное давление, которое определяется интенсивностью циркулирующего излучения. Во-вторых, газ с избыточным давлением имеет большую плотность и, следовательно, больший показатель преломления по сравнению с окружающим воздухом. Сжатый световым лучом газ представляет собой световод, по которому распространяется луч. Как и в рассмотренных выше примерах, должно быть соответствие между функциями Ли(р)/и и /(р) для получения самосогласованной картины. В третьих, непонятно, каким должен быть радиус р 0 СОТ и каковы причины, препятствующие увеличению этого радиуса. В отличие от велосипедной камеры, где увеличению радиуса препятствуют силы, возникающие при растяжении резины, природа аналогичных по своему результату сил в СОТ требует дополнительного рассмотрения.

Для этого необходимо определить зависимость энергии СОТ от его радиуса. Эта энергия имеет 2 составляющие: энергия света и энергия сжатого газа. При увеличении радиуса кольца энергия света уменьшается, так как увеличивается длина волны света, чтобы удовлетворить условию ( 14).

При неизменном количестве фотонов в кольце уменьшение энергии каждого фотона влечет за собой уменьшение энергии запасенного в кольце света. С другой стороны, энергия сжатого газа увеличивается при увеличении радиуса СОТ, так как увеличивается объем сжатого газа. Таким образом, имеются предпосылки, что суммарная энергия в кольце имеет некоторый минимум. Действительно, зависимость энергии света от радиуса СОТ при постоянном давлении газа в нем можно представить в виде

E/=Eloрo/р,

где El0- энергия света в кольце радиуса р0. Аналогичным образом зависимость энергии газа от радиуса СОТ при постоянной интенсивности света и, следовательно, постоянном давлении газа можно представить в виде

Eg=Eg0р/р0'

Соотношения ( 23), (24) можно дополнить соотношением

P=Wlo,

определяющим связь между плотностью энергии w в луче и создаваемым им давлениемP'

Умножая (25) на объем СОТ, получим

Еgo=Elo а

где а - некоторый постоянный коэффициент. Суммарная энергия СОТ определяется выражением Etotal=El+Eg= El0р0/р+аEg0р/р0

1/2

Минимум Etotal имеет место при р=р0(а)- . При этом El=Eh'

Таким образом, радиус кольца устойчив, когда энергия сжатого газа оказывается равной энергии светового излучения, которое сжимает этот газ и оказывается в ловушке, образованной этим газом. Если энергия света превосходит энергию газа, то СОТ расширяется и длина волны запасенного в нем излучения увеличивается пропорционально р. При этом энергия запасенного излучения переходит в энергию газа, сжимаемого этим излучением.

По мере излучения световой энергии и уменьшения общей энергии поперечное сечение и длина СОТ увеличиваются. Таким образом, СОТ напоминает старую велосипедную накачанную камеру, из которой постепенно уходит энергия. Однако энергия просачивается не через старую резину, а выходит из СОТ в виде радиационного излучения, которое просачивается через туннель р2-р3, показанный на рис.3а. В отличие от старой камеры, при уменьшении энергии света в СОТ ограничительные способности света в СОТ уменьшаются, что приводит к увеличению объема СОТ и уменьшению энергии содержащегося там газа. Таким образом, СОТ можно рассматривать

как своеобразный преобразователь энергии сжатого газа в свет, Правда, для этого должен существовать первоначальный свет и он должен обладать такой же энергией, какой обладает газ.

Учет сжимаемого излучением газа позволяет получить гораздо большую квадратичную нелинейность среды, чем нелинейность за счет эффекта Керра. Действительно, показатель преломления воздуха при нормальном давлении п= 1.000277 [14]. Полагая, что показатель преломления пропорционален количеству содержащихся в единице объема молекул, получим, что при создании избыточного давления в одну атмосферу прирост показателя преломления составляет Ли/и=2.77 10-4. Постоянная Керра для воздуха при нормальном давлении и2=0.5 10-24 м2/В2 [14]. За счет эффекта Керра такой же прирост показателя преломления может быть получен при E=3 1010 В/м. За счет сжатия газа такой же прирост Ли/и=2.77 10-4 получается при E=9 109 В/м, то есть при интенсивностях световой волны на порядок меньших. Таким образом, в формировании СОТ главную роль играет эффект сжатия газа лучом света. Этот же эффект обеспечивает устойчивость СОТ.

Приведем численные значения для рассмотренного выше тора диаметром 2 р 0=0.2 м, в котором интенсивность циркулирующего излучения такова, что показатель преломления увеличивается на Ли/и=5 10-4 в максимуме интенсивности световой волны. Как видно из рисунка 3, толщина кольца в радиальном направлении составляет около Лр=20 мкм. Полагая, что размеры кольца в аксиальном направлении имеют такой же порядок, получим объем тора К=2пр0(Лр)2=2.5 10-10м3. Указанное увеличение показателя преломления обеспечивается избыточным давлением воздуха внутри тора Лp=2 бар=2 105 Па. Для создания такого давления требуется дополнительная энергия с плотностью ^=1.5 p=3 105 Дж/м3. Энергия сжатого в торе воздуха W=wV=7.5 10-5 Дж. Такая же, на первый взгляд, малая энергия сосредоточена в световой волне. При этом мощность световой волны (количество энергии, проходящее через поперечное сечение тора за 1 с) определяется выражением P=Wc/(2п р0)=36 КВт, напряженность электрического поля E, определяемая из соотношения w=г0E2/2, тоже оказывается достаточно большой E=2.6 108 В/м. 6. Самоограничение сферических ШГ волн

До настоящего времени рассматривалось поведение ШГ волн в наиболее простых «одномодовых» волноводах, в которых количество вариации вдоль радиального и азимутального направлений минимально. Такое рассмотрение позволило наглядно описать картину самоограничения ШГ волн, используя хорошо известные термины и понятия из теории оптических волноводов.

Разумеется, такими волноводами не ограничиваются структуры, в которых возможно самоограничение излучения. Действительно, рассмотрим моды сферического стеклянного

микрорезонатора радиуса р0 с г=1, /=2,3....При увеличении аксиального индекса / расширяется ширина пояса около экватора в плоскости ху (рис. 5а) . При этом поперечное сечение такого пояса становится менее круглым. Приблизительная форма волноводов при увеличении / показана на рис.5Ь, 5с, 5d,. Здесь центр концентрических окружностей соответствует максимуму напряженности электрического поля и, следовательно, максимуму Ал. Как видно из рис.5, волновод в этом случае распадается на несколько волноводов. Такая же ситуация имеет место при самофокусировке световых пучков, мощность которых значительно превосходит критическую Рс

[13].

О, &

Ь) с) с!)

Рис.5. Оси системы координат и поперечное сечение ШГ сферических мод с различными аксиальными индексами плоскостью ух . Центр концентрических окружностей соответствует максимуму электрического поля.

Следует отметить, что при изменении а изменяется азимутальная составляющая волнового вектора. Это приводит к соответствующему изменению аксиальной составляющей къ. В результате, при различных а количество образовавшихся световодов в поясе, показанном на рис.5, может быть различным. Таким образом, при одновременном действии нескольких сферических мод отдельные световоды сливаются, и мы имеем сплошной слой с увеличенным показателем преломления.

Те же самые рассуждения можно повторить для других поясов, полученных путем поворота рассматриваемого на любые углы вокруг осей х и у. В результате, мы получим тонкий сферический слой с увеличенным показателем преломления, в котором циркулируют всевозможные моды диэлектрической сферы радиуса р0. Такой слой втягивает в себя молекулы газа и создает внутри тонкого сферического слоя избыточное давление.

В приведенных рассуждениях предполагалось, что р0 достаточно велико, чтобы изменения Ал, вызванные сомоограниченным излучением, могли ограничивать это излучение. Однако конкретного значения р0 не упоминалось. Это означает, что возможно самоограничение излучения в сферах различного радиуса р0, р1, р2.... Особый интерес представляет случай, когда такие сферы являются концентрическими. Мы получаем шар, вернее наполненный излучением толстый сферический слой. Радиусы р0, р1, р2....должны различаться настолько, чтобы излучение в каждом

слое было изолировано. Вообще говоря, ограничение излучение возможно и в слое, где радиальный индекс отличается от 1. В этом случае толщина слоя увеличивается. Для ограничения излучения в более толстом слое требуется более интенсивное излучение.

За счет неизбежных радиационных потерь такой шар будет светиться. Причем свет будет выходить не только с наружной поверхности, но и изнутри. Если интенсивность излучения в некотором слое становится меньше критической, то этот слой достаточно быстро исчезает, Излучение, запасенное в этом слое, беспрепятственно проходит через внешние относительно него слои и выходит в свободное пространство. Шар в это время вспыхивает. При этом может быть услышан хлопок, так как при резком исчезновении излучения сжатый излучением воздух также резко начинает расширяться (см. рис.4).

Для лучшего понимания особенностей поведения излучения в самоограниченной сфере (СОС) сравним ее поведение с поведением мыльного пузыря. И в том и другом случаях сжатый воздух ограничивается сферической оболочкой. Однако в мыльном пузыре оболочка ограничивает сжатый воздух внутри всего объема шара, а в СОС сжатый воздух ограничивается только в тонком сферическом слое. В мыльном пузыре прочность оболочки постепенно уменьшается за счет стекания жидкости и уменьшения толщины оболочки. В СОС прочность оболочки уменьшается за счет неизбежных радиационных потерь. Следует подчеркнуть, что в СОС избыточное давление газа существует только в тонком сферическом слое. В отличие от мыльного пузыря, избыточное давление внутри самого шара отсутствует, так как газ может свободно проходить через оболочку СОС (например, при возникновении избыточного давления, как в мыльном пузыре, находящийся внутри СОС газ поступает в тонкий сферический слой, а из этого слоя с другой его стороны выходит такое же количество газа наружу). Как луч света при движении в воздухе не увлекает за собой воздух, так и при движении СОС воздух не увлекается.

Слой, ограничивающий газ в мыльном пузыре, имеет плотность жидкости и заметный вес. Поэтому пузырь притягивается к земле. Вес СОС отсутствует. Вернее, масса СОС, как любого пространствено ограниченного излучения, определяется выражением m=E/c2 [15]. При E=104 Дж m=10-10 г. Столь малая масса не оказывает заметного влияния на положение СОС в пространстве. 7. Сходство поведения самоограниченных ШГ волн и шаровой молнии.

Среди многих былей и небылиц, касающихся шаровой молнии (ШМ), в настоящее время можно считать установленными следующие ее особенности

ШМ имеет форму шара

ШМ существует продолжительное время вплоть до нескольких минут

ШМ не жжет, она холодная

ШМ может касаться предметов, не повреждая их.

ШМ может проникать через оконные стекла, повреждая или не повреждая их.

ШМ может двигаться в любом направлении независимо от направления ветра

Размеры ШМ колеблются от единиц до десятков сантиметров.

Мощность светового излучения ШМ сравнима с мощностью 100- 1000 Вт электрической лампы

Из приведенных оценок следует, что ориентировочная запасенная в ШМ энергия составляет около 10КДж. Что касается мощности самоограниченного излучения (СОИ), то, на первый взгляд, не видно пределов, которые его ограничивают. Более того, чем больше мощность, тем лучше условия для самоограничения. Энергия СОИ связана не с энергией вещества, а непосредственно с энергией пойманного веществом излучения.

Если допустить, что объем ШМ равен 1 л, то плотность энергии равна 107 Дж/м3. Такую плотность имеет газ с давлением 6 106 Па=60 атмосфер. Такую же плотность имеет излучение, у которого напряженность электрического поля £=1.5 109 В/м. На первый взгляд может показаться, что при такой напряженности произойдет оптический пробой воздуха, так как в мощном луче лазера пробой наступает при Е=108 В/м. Однако в ШМ ориентация вектора Е для различных мод может быть различной. Кроме того, для белого света в ШМ пространственная и временная когерентности минимальны. Это значительно затрудняет развитие оптического пробоя. Пока нет экспериментальных данных о предельно возможной плотности световой энергии в воздухе.

В разделе 2 было показано, что скорость кольцевого волновода определяется аксиальной компонентой волнового вектора. Для СОИ направление такого вектора может быть произвольным. Поэтому направление движения СОИ никак не связано с направлением движения воздуха.

Свойство ШМ касаться каких-то предметов, не повреждая их, можно понять из следующей аналогии. Если обычное световолокно, по которому распространяется свет, касается некоторого предмета, то световолокно деформируется, однако свет по нему продолжает распространяться. Аналогичным образом, свет в ШМ распространяется по сферическому тонкому световоду, который напоминает оболочку воздушного шарика. Этот световод может несколько деформироваться при соприкосновении с предметами, однако свет по нему продолжает распространяться. Этим же объясняется то обстоятельство, что ШМ «холодная».

Относительно большое время жизни ШМ можно объяснить тем, что затухание света в результате релеевского рассеяния в газах значительно меньше, чем в жидкостях и твердых телах, имеющих плотность на 3 порядка больше плотности газа и, следовательно, на 3 порядка больше

рассеивающих частиц. Недаром в настоящее время ведутся интенсивные исследования по созданию оптических световолокон с минимальным затуханием, в которых свет распространяется не в стекле, а в воздушном отверстии внутри световолокна.

В своих работах мы пытаемся сжать излучение в стеклянном резонаторе, которое существует менее 1 мкс. В ШМ это время оказывается увеличенным в миллион раз, так как в отличие от поверхности микрорезонатора, которая рассеивает свет на неоднородностях, в ШМ такая некачественная поверхность отсутствует.

Свойство ШМ проникать через оконные стекла трудно объяснить, если не допускать, что ШМ состоит из излучения. Действительно, никакая плазма не может проходить через стекла. Правда, СОИ сопровождается сжатым газом. Но газ имеется по обе стороны стекла. Может так оказаться, что при прохождении стекла сжатый газ передает свою энергию излучению, которое проникает через стекло, а затем проникшее излучение сжимает газ по другую сторону стекла, возвращая, таким образом, взятую у газа энергию. Без сомнения, процесс прохождения СОИ через стекла требует более подробного рассмотрения.

Известно, что солитоноподобные образования обладают определенной самостоятельностью и их поведение во многом напоминает поведение частиц. Среди многих различных типов солитонов наиболее близки к СОИ и, по-видимому, к ШМ солитоны в виде вихрей. В вихрях обратная связь, необходимая для образования устойчивого состояния, проявляется очень наглядно и видна из картинки вихрей (турбулентности, циклоны, торнадо, смерчи, воронки в реке и в ванне, вихри в сверхпроводниках) [16]. Обычно вихри возникают, когда стационарное состояние среды становится неустойчивым. Разряд молнии может вызвать такое состояние. Не исключено, что при этом возникают вихри иной физической природы, отличные от СОИ.

Чтобы проверить является ли шаровая молния СОИ, достаточно исследовать структуру излучаемого шаровой молнией света. Поскольку излучение в СОИ около центра в направлении наблюдателя отсутствует, а из каждого сферического слоя к наблюдателю попадает излучение, покидающее этой слой по касательной к сфере, то центр светящегося диска должен быть темнее.

Рассмотрев этапы разрушения и существования ШМ, можно высказать некоторые предположения об этапе возникновения ШМ. Известно природное явление, при котором свет в

Рис.6. Распространение света от точечного источника по поверхности сферы

атмосфере распространяется по кривой. Это явление ответственно за миражи. При разряде обычной молнии имеется вспышка (интенсивное световое излучение) и имеются области с повышенным давлением. Такие области позднее переходят в гром. На рисунке 6 в качестве примера показан шар, в котором давление воздуха увеличивается при приближении к центру. Пусть для простоты давление на сферических поверхностях одинаково. Если, например, на поверхности одной из таких сфер имеется источник света, то лучи, выходящие из источника параллельно поверхности сферы будут отклоняться в сторону с большим показателем преломления, то есть в ту сторону, где находится центр сферы. Если радиус кривизны траектории лучей совпадает с радиусом сферы, то каждый луч, обогнув сферу по меридиану, возвратится к источнику и, таким образом, окажется пойманным.

Определим градиент давления в сферическом слое, при котором радиус траектории луча совпадает с радиусом сферы. Из уравнения эйконала следует, что для рассматриваемого случая кривизна траектории равна градиенту показателя преломления, то есть р-1=Сл/Ср. Например, для р=0.1 м имеем Сл/Ср=10 и, следовательно, л должно изменяться на 1% на расстоянии 1 мм. Если допустить, что показатель преломления воздуха увеличивается пропорционально давлению и при нормальном давлении л=1+2.7 10-4, то в слое 1 мм давление должно измениться на 37 атмосфер. При грозовом разряде, который сопровождается переходом за короткое время больших энергий из одной формы в другую, это вполне допустимая величина.

Если мощные источники света появятся в области, где поверхности одинакового давления оказываются замкнутыми, то при указанных выше условиях интенсивный свет начинает распространяться по замкнутой поверхности, формируя для себя замкнутый волновод в виде слоя с увеличенным показателем преломления. При этом излучение начинает ограничивать само себя и существовать по рассмотренным законам самоограниченного излучения. В частности, избыточное давление беспрепятственно проходит через слой с увеличенным показателем преломления и давление внутри тела, ограниченного замкнутым световодом, выравнивается с давлением окружающей среды. Действие рассмотренных выше сил приводит к тому, что замкнутый световод приобретает сферическую форму.

Разумеется, внутри рассматриваемого замкнутого световода могут быть аналогичные замкнутые световоды, к которым полностью применимы приводимые выше рассуждения. В общем случае мы можем иметь набор вложенных друг в друга или отдельных сферических слоев, в которых циркулирует излучение и ограничивает само себя. Такой набор и есть СОИ или ШМ.

Таким образом, ШМ - это законсервированный свет от вспышки обычной молнии, это «брызги» светового излучения молнии, длительность существования которых гораздо больше длительности молнии. Консервация может произойти в некоторых областях с увеличенным

давлением воздуха. После этого области с увеличенным давлением воздуха оказываются ненужными для ШМ и они могут проявить себя, в конечном счете, в виде грома.

8. Заключение

Проведенный анализ показывает, что самоограниченное излучение обладает многими весьма интересными свойствами. В частности, оно позволяет преобразовывать механическую энергию в форме сжатого газа непосредственно в свет. Весьма ценным свойством самоограниченного излучения является относительно большое время жизни, что позволяет воздействовать на него в продолжение длительного времени.

Автор выражает благодарность Международному научно-техническому центру за финансовую поддержку работ по Проекту «Генераторы, усилители и преобразователи частоты света с акустической накачкой». Хотя тема этой статьи непосредственно не связана с темой Проекта, однако работы в рамках Проекта по исследованию свойств световых волн типа шепчущей галереи позволили приступить к исследованию самоограничения таких волн.

Список литературы

1. Хаус Х. Волны и поля в оптоэлектронике: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.

2. K. Vahal, M. Cai. CLEO 2000 CMH3 p 67

3. G.Karakantzas, T.E. Dimmick, TA. Birks, R. Le Roux and P, St. J Russell. Opt. Lett. 26, 1137

4. А.Снайдер, Дж Лав. Теория оптических волноводов: Пер. с англ. -Радио и связь, 1987.

5. M. I. Gorodetsky, A.A. Savchenkov, V.S. Ilchenko. Opt. Lett. 21, 453

6. Волноводная оптоэлектроника. Пер. с англ. Под ред Т. Тамира. -М: Мир, 1991

7. В.П. Торчигин. ЖТФ 64

8. Захаров В.Е., Шабат А.Б. ЖЭТФ, 61 в.1(7), с. 118-134 (1971).

9. Л.А. Вайнштейн. Электромагнитные волны. -М.: Радио и связь 1988

10. V.P. Torchigin Pure andAppl. Optics. 7 763-782

11. A.A. Kanashov, A.M. Rubenchik. Physica D 4 122

12. Г.С. Ландсберг Оптика 1976

13. С А. Ахманов, А.П. Сухоруков, Р.В. Хохлов. УФН 93, в.1, 19-70

14. Физические величины. Справочник под ред. И.С. Григорьева (Москва, Энергоатомиздат) 1992

15. Л.А. Ривлин. Квантовая электроника 22, №3,

16. А.Т. Филиппов. Многоликий солитон. М. Наука 1990