Применение генетического алгоритма для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей

Оригинальная статья / Original article УДК 519.233.5

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-5-75-82

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ДЛЯ ГЕНЕРИРОВАНИЯ ВЗАИМНО-КОРРЕЛИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

© О.С. Бучнев1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬЮ исследования является реализация генетического алгоритма для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей, исследование полученных результатов. МЕТОДЫ. Основными методами исследования являются методы теории вероятностей и математической статистики, численные методы, корреляционный и спектральный анализ. РЕЗУЛЬТАТЫ. Показана работоспособность генетического алгоритма для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей при различных параметрах корреляционной функции случайного поля. Приведено описание алгоритма и программы, реализующей генетический алгоритм для генерирования случайных полей и взаимно-коррелированных случайных полей и вычисления их характеристик. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Показана работоспособность генетического алгоритма для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей, описаны результаты применения алгоритма. Алгоритм может быть использован для фильтрации изображений.

Ключевые слова: случайное поле, взаимная корреляция, спектральное разложение, генетический алгоритм.

Информация о статье. Дата поступления 06 апреля 2018 г.; дата принятия к печати 07 мая 2018 г.; дата онлайн-размещения 31 мая 2018 г.

Формат цитирования: Бучнев О. С. Применение генетического алгоритма для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 5. С. 75-82. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-5-75-82

GENETIC ALGORITHM APPLICATION FOR MUTUALLY CORRELATED RANDOM FIELDS GENERATION O.S. Buchnev

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation

ABSTRACT. The PURPOSE of the paper is to implement a genetic algorithm for generating mutually correlated random fields and to study the obtained results. METHODS. The main research methods include the probability theory and mathematical statistics, numerical methods, correlation and spectral analysis. RESULTS. The study has shown the efficiency of the genetic algorithm for generating mutually correlated random fields under various parameters of the random field autocorrelation function. Description is given to the algorithm and the program implementing the genetic algorithm for random fields and mutually correlated fields generation and calculation of their characteristics. CONCLUSION. The efficiency of the genetic algorithm used for generating mutually correlated random fields is shown and its application results are described. The algorithm can be used for image filtering. Keywords: random field, cross correlation, spectral decomposition, genetic algorithm

Information about the article. Received April 09, 2018; accepted for publication May 07, 2018; available online May 31, 2018.

For citation. Buchnev O.S. Genetic algorithm application for mutually correlated random fields generation. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 5, pp. 75-82. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-5-75-82. (In Russian).

Бучнев Олег Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных систем, e-mail: buchnevo81@mail.ru

Oleg S. Buchnev, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: buchnevo81@mail.ru

Введение

Развитие и повышение быстродействия вычислительной техники предоставляет новые возможности, использование которых позволяет решать ресурсоемкие задачи, что раньше осуществлялось лишь аналитическими методами. К таким задачам относится, например, цифровая обработка и фильтрация случайных полей и изображений, причем цифровую обработку изображений можно рассматривать как подобласть цифровой обработки случайных полей. По существу, все методы для получения и анализа случайных полей и их ошибок можно использовать также и для обработки изображений [1-3].

Примерами случайных полей в общем случае являются:

- электромагнитное поле при распространении электромагнитной волны в статистически неоднородной среде, в частности, электромагнитное поле сигнала, отраженного от флюктуирующей цели;

- объемные диаграммы направленности антенн и диаграммы вторичного излучения целей, на формирование которых оказывают влияние случайные параметры;

- статистически неровные поверхности, в частности, земная поверхность, поверхность моря при волнении и др. [4-7].

Моделирование случайных полей

Для моделирования случайных полей разработаны и широко используются численные методы, основанные на авторегрессионных моделях, перестановочных процедурах, спектральном разложении корреляционной функции [6, 8-10]. При генерировании случайных полей с помощью спектрального разложения корреляционной функции исходят из того, что стационарные однородные случайные поля полностью задаются своими пространственно -временными корреляционными функциями:

Я(р,т) = М[%(г,т)%(г + р, г + т)}.

Также полной характеристикой рассматриваемого класса случайных полей является функция спектральной плотности поля с(б,ш), представляющая собой четырехмерное преобразование Фурье от корреляционной функции Я(р,т):

С(з,ш) = СтСтК(р,т)е-1(;;Р+ыт)йрйт,

где Бр - скалярное произведение векторов 5 = (зх,5у,5г),р = (рх,ру,Рг),Р = [Лрх,йру,йр7). При этом

Если случайное поле %(г,ь) задано в конечном пространстве, ограниченном пределами 0<х<Х;0<у<У;0<г<г, и рассматривается на конечном интервале времени (0,Т), то для получения дискретных реализаций этого поля можно использовать алгоритм, основанный на каноническом разложении поля в пространственно-временной ряд Фурье [6]:

^п) = Ек=0

[Ак ^кэ^т + кш^п) + Вк sm

Здесь гт = - дискретная пространственная координата; ьп - дискретное вре-

мя; Аки Вк - случайные независимые между собой нормально распределенные числа с пара-

метрами (0,o2) каждое, причем дисперсии o¡2 определяются из соотношений:

R Т X Y Z Т

= rñzf f R(r,T)drdT =Tñzf f f f R(x,y,z,T)dxdydzdT'>

°о

о о о о о о

2 К Т

Ч = —г\0 /о К

где К(Х,У,2) - вектор, изображающий предел интегрирования по пространству,

, .кп кп кп, . /кп\

кБ1 = (—,—,—), кш1 = I—) - дискретные частоты гармоник, по которым выполняется канони-

X У 2 \ Т /

ческое разложение корреляционной функции в пространственно-временной ряд Фурье.

Если область разложения поля во много раз больше его пространственно-временного интервала корреляции, то дисперсии легко выражаются через спектральную функцию поля:

2 с(0,0) 2 С(кз1,кш1) ...

о2 =-,ок =-,к = 1,2 ...

0 2ТХУ2 к ТХУ2 4 '

Формирование дискретных реализаций %(гт,ьп) при моделировании случайных полей по данному методу осуществляется путем непосредственного вычисления их значений по формуле (1), в которой в качестве Ак и Вк берутся выборочные значения нормальных случайных чисел с параметрами (0,о2), при этом бесконечный ряд (1) приближенно заменяется усеченным рядом. Дисперсии ок вычисляются предварительно по формулам (2) или (3).

Приведенный алгоритм хотя и не позволяет формировать реализации случайного поля, неограниченные по пространству и времени, однако, подготовительная работа для его получения довольно простая, в особенности при использовании формулы (3), и этот алгоритм позволяет формировать дискретные значения поля в произвольных точках пространства и времени выбранной области [6, 10].

Взаимная корреляция случайных полей предполагает совпадение вероятностных свойств элементов реализаций случайных полей в зависимости от некоторой переменной. Совпадение вероятностных свойств выражается в том, что значения элементов реализаций случайных полей в определенный момент времени близки друг к другу. Каждое из взаимно -коррелированных случайных полей, по аналогии со случайными процессами, имеет свою автокорреляционную функцию, которая связана с взаимной корреляционной функцией полей.

Следует отличать многомерные случайные поля от случайных полей, обладающих взаимной корреляцией. Элементы реализации многомерного случайного поля принадлежат некоторому многомерному закону распределения и потому находятся в пространстве, размерность которого соответствует размерности этого закона. Поэтому корреляционная функция многомерного случайного поля оценивает корреляцию между реализациями векторов одного поля, а автокорреляционная функция каждого из измерений многомерного случайного поля оценивает корреляцию значений внутри этого измерения. Взаимная корреляционная функция нескольких случайных полей оценивает корреляцию между элементами реализаций этих полей. В том случае, если поля многомерные, элементы реализаций также являются векторами. Специфика взаимной корреляционной функции такова, что если автокорреляционные функции Я1(р,т) и Я2(р,т) отличаются друг от друга, то Я12(р,т) может оказаться равной 0. В таком случае говорят, что случайные поля некоррелированы. В случае, когда взаимная корреляция существует, Я12(р,т) ведет себя аналогично К1(р,т).

Задача генерирования взаимно-коррелированных случайных полей может быть актуальна, например, при моделировании исходного и отраженного электромагнитного сигнала или при фильтрации изображений, если изображение зашумлено помехой, автокоррелицион-

ная функция которой отлична от 0.В последнем случае, если известна корреляционная функция помехи, можно получить взаимно-коррелированное помехе поле, что позволит вычесть помеху из зашумленного сигнала, тем самым улучшив его качество.

Исходя из того, что определенным частотам спектра соответствуют определенные нормально распределенные числа в (1) Ак и Вк, представляется возможным выполнить анализ имеющейся реализации случайного поля для определения этих чисел, что позволит получить случайное поле, взаимно коррелированное с имеющейся реализацией.

Генетический алгоритм для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей

Для определения коэффициентов целесообразно использовать генетический алгоритм. Генетические алгоритмы нашли широкое применение для решения задач оптимизации и моделирования. В основу их работы заложены эволюционные принципы наследственности, изменчивости и естественного отбора. Для работы генетического алгоритма требуется задать популяцию особей, где набор хромосом каждой особи содержит возможное решение задачи. На начальном этапе работы алгоритма осуществляется формирование исходной популяции случайным образом. Для того чтобы оценить качество имеющейся популяции, используют функцию приспособленности, которая необходима для определения приспособленности каждой особи. При выполнении итераций происходит скрещивание наиболее приспособленных особей, получение потомства и оценка каждой особи потомства. Итерации выполняются до тех пор, пока не будет достигнуто максимальное количество итераций или приемлемое значение критерия приспособленности.

На основе классического генетического алгоритма [11-14] сформируем алгоритм поиска коэффициентов^ и Вк для разложения (1).

Пусть имеется дискретная реализация двумерного случайного поля размером М*М. Пусть каждая особь представляет собой одно возможное решение задачи, а каждая хромосома особи соответствует одной паре Ак и Вк в выражении (1). Набор особей образует популяцию размером ¿. При выполнении итераций будут отбираться особи, обеспечивающие меньшее значение квадратичного критерия:

где ^(х^У]) - реализация поля, полученная с помощью набора хромосом/-й особи.

Реализация генетического алгоритма предполагает выполнение нескольких этапов.

1. На первом этапе необходимо выполнить начальное заполнение массивов: набор хромосом для каждой особи популяции заполняется случайными числами с т = 0; О = 1 -коэффициенты в разложении (1). Также необходимо определить пороговое значение квадратичного критерия С для отбора наиболее приспособленных особей - набора коэффициентов Ак и Вк.

2. Для каждой особи по выражению (4) вычисляется значение квадратичного критерия - средний квадратов отклонения элементов реализации имеющегося случайного поля от поля, полученного с помощью /-й особи.

3. Особи, для которых А> в, I = 1,2, .„,1, выбраковываются, оставшиеся особи подвергаются процедуре скрещивания. Скрещивание предполагает выполнение операции кроссовера, а полученные в результате скрещивания потомки подвергаются операции мутации.

4. Затем формируется новая популяция особей, в которую попадают родители с наилучшим значением критерия (4) и их потомки.

5. В качестве критерия останова можно принять достижение максимального числа ите-

раций или вырождение популяции, то есть когда в течение нескольких итераций I остается постоянным (I = 1,2, ).

Следует отметить, что одной и той же корреляционной функции случайного поля могут соответствовать различные по виду реализации случайного поля, т.е. полученные с различными коэффициентами Ак и Вк в выражении (1), в то время как определенные значения коэффициентов Ак и Вк полностью определяют элементы реализации случайного поля. Таким образом, получаемое с помощью выражения (1) случайное поле является псевдослучайным, что значительно сужает область применения описываемых алгоритмов. Тем не менее, область применения их остается потенциально достаточно широкой, решению конкретных прикладных задач будут посвящены последующие публикации.

Для генерирования случайных полей с требуемой корреляционной функцией и реализации генетического алгоритма генерирования взаимно-коррелированных случайных полей создана программа, реализующая спектральное разложение заданной аналитически корреляционной функции и последующее получение случайного поля с помощью выражения (1). Применение генетического алгоритма позволяет по имеющейся реализации случайного поля подобрать коэффициентыАк и Вкспектрального разложения в (1), что делает возможным получение взаимно-коррелированных случайных полей.

Результаты

Для того чтобы проиллюстрировать результаты, получим черно-белое случайное поле с корреляционной функцией Я(т1,т2) = е0,05(Т1+Т2')сов(1,1т1 + 1,1т2). Изображение случайного поля приведено на рис. 1, а, на рис. 1, Ь - изображение поля, полученного с помощью генетического алгоритма взаимно-коррелированного случайного поля.

а b

Рис. 1. Изображение случайных полей: а - исходное случайное поле; b - взаимно-коррелированное случайное поле, полученное с помощью генетического алгоритма Fig. 1. Image of random fields: а - source random field; b - mutually correlated random field obtained through a genetic algorithm

Сечение автокорреляционной функции исходного поля при т1 = т2 показано на рис. 2. График сечения взаимной корреляционной функции двух полей приведен на рис. 3. На рис. 4 показан график изменения квадратичного критерия (4) при числе итераций

200.

На рис. 1-4 показано, что корреляционные свойства исходной и полученной реализации случайного поля совпадают, также видно уменьшение квадратичного критерия при выполнении итераций. Таким образом, применение генетического алгоритма дает хорошие результаты при подборе коэффициентов разложения Ак и Вк для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей.

Рис. 2. Сечение автокорреляционной функции исходного случайного поля при = т2 Fig. 2. Section of the autocorrelation function of the source random field at = x2

-0,8000

Рис. 3. График сечения взаимной корреляционной функции xt = т2 Fig. 3. Graph of the section of the mutual correlation function Tt = x2

4000

Рис. 4. Зависимость квадратичного критерия от числа итераций Fig. 4. Quadratic criterion dependence on the number of iterations

Заключение

В статье рассмотрено применение генетического алгоритма для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей. Отмечено существенное ограничение предлагаемого подхода: он может быть применен лишь для решения тех задач, в которых уже имеется случайное поле, и требуется найти случайное поле, обладающее ненулевой взаимной корреляцией с имеющимся случайным полем. Такой метод генерирования взаимно-коррелированных случайных полей может быть применен, например, при фильтрации изображений, если изображение зашумлено помехой с ненулевой корреляционной функцией.

Проведены и описаны эксперименты, доказывающие работоспособность генетического алгоритма для генерирования взаимно-коррелированных случайных полей.

Дано краткое описание программы, реализующей методы генерирования и анализа случайных полей, а также генетический алгоритм и оценку результатов генерирования. Развитие работы предполагает исследование и повышение быстродействия генетического алгоритма, а также применение для выделения коррелированных помех и фильтрации изображений или любых других двумерных сигналов.

Библиографический список

1. Яне Б. Цифровая обработка изображений / пер. с англ. А.М. Измайловой. М.: Техносфера, 2007. 584 с.

2. Васильев К.К., Крашенинников В.Р. Статистический анализ изображений. Ульяновск : Изд-во УлГТУ, 2014. 214 с.

3. Milanfar P. A tour of modern image filtering // IEEE Signal Processing Magazine. January 2013. P. 106-128.

4. McAndrew A. A Computational Introduction to Digital Image Processing, Second Edition. CRCPress, 2015. 535 p.

5. Перспективные информационные технологии дистанционного зондирования Земли: монография / под ред. В.А. Сойфера. Самара: Новая техника, 2015. 237 с.

6. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Советское радио, 1971, 328 с.

7. Давидан И.М., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волнение в Мировом океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1985.

8. Петров А.В. О подходах к вероятностному анализу перестановочных процедур генерирования случайных про-

цессов // Вестник ИрГТУ. 2016. № 2 (109). С. 29-38.

9. Пригарин С.М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей. Новосибирск: Изд-во ИВ-МиМГ СО РАН, 2005. 259 с.

10. Михайлов Г.А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью // Доклады АН СССР. 1978. Т. 238, № 4. С. 793-795.

11. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / пер. с польск. И.Д. Рудинского. М.: Горячая линия - Телеком, 2006. 452 с.

12. Вороновский Г.К., Махотило К.В., Петрашев С.Н., Сергеев С.А. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности. Харьков: ОСНОВА, 1997. 112 с.

13. Курейчик В.М., Лебедев Б.К., Лебедев О.К. Поисковая адаптация: теория и практика. М: Физматлит, 2006. 272 с.

14. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Физматлит, 2003. 432 с.

References

1. Yane B. Tsifrovaya obrabotka izobrazhenii [Digital image processing]. Moscow: Tekhnosfera Publ., 2007, 584 p.

2. Vasil'ev K.K., Krasheninnikov V.R. Statisticheskii analiz izobrazhenii [Statistical analysis of images]. Ulyanovsk: Ural State Technical University Publ., 2014, 214 p. (In Russian).

3. Milanfar P. A tour of modern image filtering. IEEE Signal Processing Magazine. January 2013, pp. 106-128.

4. McAndrew A. A Computational Introduction to Digital Image Processing, Second Edition. CRC Press, 2015, 535 p.

5. Perspektivnye informatsionnye tekhnologii distantsionnogo zondirovaniya Zemli [Perspective information technologies of remote sensing of the Earth]. Samara: New technology Publ., 2015, 237 p. (In Russian).

6. Bykov V.V. Tsifrovoye modelirovanie v statisticheskoi radiotekhnike [Digital modeling in statistical radio engineering]. Moscow: Soviet Radio Publ., 1971, 328 p. (In Russian).

7. Davidan I.M., Lopatukhin L.I., Rozhkov V.A. Vetrovoe volnenie v Mirovom okeane [Wind turbulence in the World Ocean]. Leningrad: Gidrometeoizdat Publ., 1985. (In Russian).

8. Petrov A.V. On approaches to the probabilistic analysis of permutable procedures of random process generation. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, no. 2 (109), pp. 29-38. (In Russian).

9. Prigarin S.M. Metody chislennogo modelirovaniya sluchaynykh protsessov i polei [Methods of numerical modeling of random processes and fields]. Novosibirsk: Institut vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi geofiziki SO RAN Publ.,

2005, 259 p. (In Russian).

10. Mikhailov G.A. Numerical construction of a random field with a given spectral density. Doklady AN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR]. 1978, vol. 238, no. 4, pp. 793-795. (In Russian).

11. Rutkovskaya D., Pilin'skii M., Rutkovskii L. Neironnye seti, geneticheskie algoritmy i nechetkie sistemy [Neural networks, genetic algorithms and fuzzy systems. Translated from Polish]. Moscow: Goryachaya liniya - Telekom Publ.,

2006, 452 p.

12. Voronovskii G.K., Makhotilo K.V., Petrashev S.N., Sergeev S.A. Geneticheskie algoritmy, iskusstvennye neironnye seti i problemy virtual'noi real'nosti [Genetic algorithms, artificial neural networks and problems of virtual reality]. Kharkov: Basis, 1997, 112 p.

13. Kureichik V.M., Lebedev B.K., Lebedev O.K. Poiskovaya adaptatsiya: teoriya i praktika [Search adaptation: theory and practice]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2006, 272 p. (In Russian).

14. Emel'yanov V.V, Kureichik V.V., Kureichik V.M. Teoriya i praktika evolyutsionnogo modelirovaniya [Theory and practice of evolutionary modeling]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2003, 432 p. (In Russian).

Критерии авторства

Бучнев О. С. полностью подготовил статью и несет ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Buchnev O. S. has prepared the article for publication and bears the responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.