Определение характеристик электромагнитного поля с помощью лучевого метода

Определение характеристик электромагнитного поля с помощью лучевого метода

Ключевые слова: электромагнитная волна, лучевой метод, условия совместности, рекуррентные соотношения, скачки искомых величин на волновом фронте, интенсивность волны в точке.

Работа посвящена математическому моделированию процесса распространения электромагнитных волн в твердых телах, важное значение при этом имеют свойства материала, геометрические характеристики поверхности, параметры волны, граничные условия и условия совместности. При распространении волн динамические характеристики меняются по времени и по пространственным координатам. Предлагается для определения этих величин пользоваться лучевым методом, который основан на представлении неизвестных величин в виде разложения в ряды) по времени и пространственной координате, которая отсчитывается вдоль направления распространения волны. С помощью предложенного подхода определяются значения напряженности электромагнитной волны в произвольных точках тверд ого проводника.

Локтев АА, д.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики, профессор, aalokfev@yandex.iv

Матасов АС, к.т.н., Воронежский государственный технический университет, старший преподаватель, andrey.mafasov@dafaart.com

Введение

Вопросам определения динамических характеристик в различных точках пространства и отдельных элементов с учетом распространения волн различной природы и длин посвящено много работ [1-12]. В работе [1] предлагается рассматривать распространение эллиптически поляризованной волны в виде двух линейно поляризованных волн в ортогональном базисе, который может изменяться при помощи матрицы перехода. Составляется дифференциальное уравнение для электромагнитной волны в анизотропной среде, которое затем решается. В работе [2] строится аналог ия распространения упругих волн Рэлея н волн электромагнитного поля и реализуются подходы близкие к рассмотренным в этой работе. Упругая аналогия имеет место и в работе [3], в которой учитывается влияние деформирования образца ситалла на поляризацию распросграняющегося в нем электромагнитного возмущения. Учет изменяющихся параметров среды, в которой распространяются электромагнитные волны проводился в работах [4-6], в [4] среда распространения представляла собой многослойную структуру, в [5] рассматривался геликоидальный магнетик с магнитными фазовыми переходами, а авторы в статье [6] изучали диэлектрические структуры произвольного поперечного сечения и предложили интегральную процедуру получения решения в виде непрерывного спектра. Выводу и последующему решению общих уравнений, характеризующих распространение электромагнитных волн в неоднородных и нелинейных средах и волноводах, посвящены работы [7-9]. В работах [10-12] исследуются вопросы затухания электромагнитных волн в различных средах при соблюдении достаточно сложных граничных условий, в [10] в качестве среды рассматривается планарный волновод из метаматериала, в котором могут существовать как прямые, так и обратные волны, в [11] рассматривается механизм возникновения биений, а в [12] - особенности распространения волн связанные с флуктуациями импеданса над морской поверхностью, а также учитывается многократное рассеяние при малом угле скольжения. Несмотря на существенные достижения в теории распространения электромагнитных волн вопросы, связанные с точным представлени-

ем волновой картины распространения электромагнитного возмущения и ее влияния на конечных значения напряженности и интенсивности в различные моменты времени в различных точках проводящего элемента являются не до конца изученными. Так же актуальными являются вопросы точности определения тех или иных характеристик волнового процесса или материала, под действием электромагнитного поля.

Для определения динамических характеристик в точках проводника на фронте волновой поверхности предлагается использовать асимптотическое разложение неизвестных величин в виде рядов по времени с момента прихода волны и пространственной координате, отсчитываемой вдоль направления распространения волновой поверхности от области появления волновой поверхности [13]:

к=о

=*/С

Г--

Н

где Z — искомая функция (это может быть напряженность, интенсивность или другая волновая функция электромагнитного поля), = сгЯд^, \ 7 1 _ 7 + _7 - , знаки «+» и

«-» относятся к значениям производной 7,(*), подсчитанным перед волновой поверхностью I и за ней соответственно, С - нормальная скорость волны I, Я(/-.у/0) - единичная функция Хевисайда, л - длина дуги, отсчитываемая вдоль луча, / -время.

Если рассматриваемое время протекания процесса очень мало, то в лучевом ряде (1) можно ограничиться несколькими первыми членами. В этом случае задача сводится к решению нескольких дифференциальных уравнений относительно величин, характеризующих электромагнитное поле вблизи заданной точки среды. Решение подобных уравнений строится в виде степенного ряда с дробными показателями или находится при помощи ЭВМ.

При постановке краевой задачи на границе раздела сред используются уравнения Максвелла:

,£}

гош' ’ =£' ’--------1- г т= 1.2’

° д/

го1£|т) = -^т) —

йН

д!

т = 1,2’

И _ Р

-Н ’

/я = 1,2

где

сйуЯ(/") = 0, т = 1.2-£<т) и Я(т) -

напряженности электрической и магнит-

'т)

ной составляющей электромагнитной волны, е

абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемость

среды распространения, р^ и у*"'* — объемные плотности

заряда и тока в среде, значение индекса т относится к одной из двух смежных областей.

Для плоского элемента, состоящего из полупроводникового и диэлекгрического слоя [8], уравнения (2) и (4) после применения операции дивергенции можно переписать в виде

А,

д2р

^ ГПУ ^ гп.у

ду-

д1-

дг

а после применения операции ротора уравнения (2-5) в проекциях на продольную ось плоского элемента можно представить в виде [8]

г(т) Я2Я(ш*

д2Н\.

ду

дг2

а2 г г

дг

(т) (/и) дН

= '^пРпО —

Н

-—, (т = 1,2),

где ц , - подвижность электронов, £) - коэффициент диффузии электронов.

Для определения искомых величин необходимо продифференцировать определяющие уравнения (6), (7) к раз по времени, записать их на различных сторонах волновой поверхности и определить их разность, т.е. записать эти уравнения в виде скачков производных. Уравнения (6) и (7) после преобразования содержат производные по пространственным координатам и по времени, что усложняет решаемую задачу. Для ее упрощения избавляются от одного из видов производных, если хотим убрать производные по времени, то полученные уравнения записываются в пространстве Лапласа, если же хотим освободиться от производных по координатам, то необходимо использовать условия совместности, которые позволяют перейти от производной по поверхностной координате к производной по времени старшего порядка, эти условия во многих практически важных случаях для физических компонент искомых величин принимают вид [13]

дг,(к) -12 1+{М

05 -т[£*ь#>\+ 6,

где л- - пространственная координата вдоль направлении распространения электромагнитной волны, а третья пространственная координата является одновременно и поверхностной координатой на волновой поверхности, при этом все три координатные линии являются взаимно ортогональными; 8/8! - «^-производная по времени [13] на поверхности волнового фронта.

Рекуррентные соотношения, полученные в результате применения такой процедуры, позволяют определить скачки производной по времени от искомой функции любого порядка, входящие в лучевой ряд ( 1).

»№ -

Для описания процессов распространения волновых фронтов в мишени необходимо четко представлять характер каждой волны. На рис. 1 схематически показан процесс распространения волн 1^бласти под поверхностью воздействия внешнего источника (рис. 1,а), и вне этой области (рис. 1,6), здесь приняты следующие обозначения: СА - область под поверхностью воздействия внешнего источника, РЬ\У - фронт квазипродольной волны, основная составляющая которой колеблется в направлении г; РТШ - фронт квазипоперечной волны, основная составляющая которой колеблется в направлении у. Сплошные круговые линии обозначают фронт продольной волны, а пунктирные - фронт поперечной волны; стрелками указано направление распространения волн.

а)

Рис. 1. Схема распространения волновых поверхностей в плоском элементе: а) распространение волн в области под поверхностью, на которую воздействует внешний источник волн; б) распространение волн по длине мишени

Из описанной схемы следует, что основные величины, т.е. величины, определяющие, в основном, характер квази-объемной волны, получаются из решения дифференциальных уравнений, а сопутствующие величины - из решение алгебраических. Вычислительные трудности, возникающие при подсчете скачков высших порядков не позволяют удерживать большое количество членов в лучевых рядах (1) для искомых величин. В данной работе ограничились пятью членами лучевых разложений для объемной плотности заряда и напряженности магнитной составляющей электромагнитной волны. Найденные скачки позволяют записать выражения для искомых функций я'"'1 в виде отрезков

лучевых рядов с точностью до коэффициентов, которые определяются из граничных условий:

(т) (1) (II (I) 1 Г МПН/

р -рпо+р;,.1=рпо+11/Г}

я=1 к=0

(уУ"И

2 4

а=1Ы)

\уа)кн{уау

-А)

где уа = I - (г - /•«)(/")‘/, величины

р(1) г п.У

(п),

(*)’

г М'1!

и

<*)

и их

8- производные подсчитываются при >'„=0.

т

точно представить картину распространения волновых поверхностей в элементе.

Литература

1. Маслов В.Ю. Распространение поляризованной электромагнитной волны в неоднородной линейной среде // Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации, 2006. - № 107. - С. 7-11.

2. Бабич В.М., Кузнецов А.В. О распространении поверхностных электромагнитных волн, аналогичных волнам Рэлея, в случае краевых условий Леонтовича // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стекло-ва РАН, 2005. - Т. 324. -С. 5-19.

3. Султанов А.Х., Виноградова ИЛ., Салихов А.И. Распространение электромагнитной волны в прозрачной среде, подверженной деформационным изменениям // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета, 2006. -Т.7. - № 1.-С. 170-175.

4. Осипов О.В. Распространение плоской электромагнитной волны в периодически неоднородной системе из киральных магнитодиэлектрических слоев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2006. - Т.9. - №4. - С. 59-63.

5. Бычков И.В., Кузьмин Д.А. Распространение электромагнитных волн в магнетике с ферромагнитной спиралью // Вестник Челябинского государственного университета, 2011. - №38. - С. 12-17.

6. Раевский С.Б., Седа кои А.Ю., Титаренко А. А. Решение внешних краевых задач о распространении электромагнитных волн

в открытых диэлектрических структурах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2011.-Т.14.-№3. -С. 6-11.

7. Итигилов Г.Б., Ширапов Д.Ш., Сажин В.И. Общие уравнения распространения электромагнитных волн в ограниченном пространстве // Вестник ВСГТУ, 2011. - №4. - С. 37-37.

8. Арефьев А.С. Исследование полей собственных волн экранированного плоского волновода с двухслойным заполнением полупроводник-диэлектрик // Инфокоммуникационные технологии, 2009. - Т.7.-№ 4.-С. 13-23.

9. Хорошсва Э.А. О распространении электромагнитных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Труды международного симпозиума "Надежность и качество", 2006. - Т. I. - С. 300-302.

10. Башарин А.А., Меньших Н.Л. Особенности распространения электромагнитных волн в планарном волноводе из метаматериала с потерями // Журнал радиоэлектроники, 2010. - № 11. — С. 1 -1.

11. Закинян Р.Г., Стрекалов А.В. О возникновении биений при распространении электромагнитных волн в диэлектрической среде // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2006. - Т.9. -№1.-С. 17-19.

12. Бубукин И.Т., Коган Л.П. Распространении электромагнитных волн над морской поверхностью при наличии пенообразо-вания // Известия высших учебных заведений. Радиофизика, 1999. -Т.42. -№5. -С. 438-451.

13. Локтев А.А. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн // Прикладная математика и механика, 2008. - Т.72, В.4. - С. 652-658.

DETERMINATION OF THE CHARACTERISTICS OF THE ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО OF THE ELECTROMAGNETIC FIELD WITH THE HELP OF RAY METHOD

Loktev AA, doctor of physical and mathematical sciences, Moscow technical university of communications and informatics, professor, aaioktev@yandex.ru Malasov AS. Candidate of Technical Sciences, Voronezh state technical university, senior teacher, andreyf.matasov@dataari.com

Abstract. This paper is devoted to mathematical modeling of the process of propagation of electromagnetic waves in solids, the main to this are the properties of the material, geometric characteristics of a surface, of the wave's parameters, boundary conditions and compatibility conditions. In the propagation of the wave dynamic characteristics vary in time and space coordinates. It is proposed to determine these values, use the ray method, which is based on the representation of unknown quantities in the form of expansions in series of the time and the spatial coordinate, which is measured along the direction of wave propagation. With the help of the suggested approach are determined by the values of the intensity of an electromagnetic wave in arbitrary points of the solid conductor.

Keywords: electromagnetic wave, the ray method, conditions of compatibility, recurrence relations, the discontinuities of the required value of the wave front, the intensity of the waves at a point..

References

1. V Y Maslov: Distribution of polarized electromagnetic waves in an inhomogeneous linear medium // Scientific Bulletin of Moscow State Technical University of Civil Aviation, 2006. No 107. Pp. 7-11.

2. V. M. Babich, А. V. Kuznetsov. On the propagation of surface electromagnetic waves, similar to Rayleigh waves, in the case of the Leontovich boundary conditions // Notes scientific seminars St. Petersburg branch of the Steklov VA. Institute. Academy of Sciences, 2005. Vol. 324. Pp. 5-19.

3. А. H. Sultanov, I. L. Vinogradov, А I. Saiihov Propagation of electromagnetic waves in a transparent environment subject to deformation changes // Bulletin of the Ufa State Aviation Technical University, 2006. Vol. 7. No 1. Pp. 170-175.

4. О. V Osipov: Propagation of a plane electromagnetic wave in a periodically inhomogeneous system of chiral magnetodieleclric layers // Physics of wave processes and radio engineering systems, 2006. Vol. 9. No 4. Pp. 59-63.

5. I. V Bychkov, D. А Kuzmin. The propagation of electromagnetic waves in the magnetic coil with a ferromagnetic // Bulletin of the Chelyabinsk State University, 2011. No38. Pp. 12 17.

6. S. B. Raevski, А. U. Sedakov, А А Titarenko. The solution of exterior boundary value problems of the propagation of electromagnetic waves in open dielectric structures // Physics Wave Processes and radiosystems, 2011. Vol. 14. No 3. Pp. 6 11.

7. G. B. Itigiiov, D. Sh. Shirapov, V I. Sazhin. General equations for the propagation of electromagnetic waves in a confined space // Herald ESSTU, 2011. No 4. Pp. 37-37.

8. АгєРєу А The research fields of the natural waves of shielded planar waveguide filled with two-layer semiconductor dielectric // Infocommunication Technology, 2009. Vol.7. No 4. Pp. 13-23.

9. E А Khorosheva. On the propagation of electromagnetic TM waves in cylindrical dielectric waveguide filled with a nonlinear medium // Proceedings of the International Symposium: 'The reliability and quality," 2006. Vol.1. Pp. 300-302.

10. А А Basharin, N. L. Men'shih. Features of the propagation of electromagnetic waves in a planar waveguide made of a metamaterial lossy // Journal of Radio Electronics, 2010. No11. Pp. 1-1.

11. R. G. Zakinyan, А. V. Strekalov The origin of the beats in the propagation of electromagnetic waves in a dielectric medium // Physics of wave processes and radio system 2006. Vol.9. No1. Pp. 17-19.

12. I. T. Bubukin, L. P Kogan. The propagation of electromagnetic waves on the sea surface in the presence of foaming transformation // News of higher educational institutions. Radiophysic, 1999. Vol. 42. No 5. Pp. 438-451.

13. А. А Loktev Dynamic contact the impactor and the elastic orlhotropic plate in the presence of thermoelaslic waves propagating // Applied Mathematics and Mechanics, 2008. Vol. 72. B.4. Pp. 652-658.