Модель канала бортовой системы электроснабжения переменного тока

УДК 629.735

МОДЕЛЬ КАНАЛА БОРТОВОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

А.Г. ДЕМЧЕНКО

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым С.В.

Данная статья посвящена математическому моделированию канала бортовой системы электроснабжения переменного тока. Рассматривается моделирование синхронного генератора, распределительной сети и трёхфазной статической нагрузки в составе канала бортовой системы электроснабжения (СЭС) переменного тока.

Ключевые слова: математическое моделирование, система электроснабжения, синхронный генератор, трехфазная нагрузка.

Вопросам моделирования электроэнергетических систем и их элементов посвящены многочисленные работы [1; 2; 3].

На основании ранее полученных результатов моделирования электроэнергетических систем в [4; 5] в данной работе рассматриваются математические модели синхронного генератора, распределительной сети и трёхфазной статической нагрузки в составе канала бортовой системы электроснабжения (СЭС) переменного тока, выводится математическая модель канала СЭС переменного тока.

Структура канала бортовой СЭС переменного тока

При моделировании канала бортовой СЭС переменного тока за основу была взята типовая структурная схема канала бортовой СЭС среднемагистрального самолёта (рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема канала бортовой СЭС переменного тока

На схеме канала бортовой СЭС (рис. 1) обозначены следующие элементы: RAL, RBL, RCL -активные сопротивления соединительных проводов фаз Л, Б, С; LAL, LBL , LCL - индуктивности соединительных проводов фаз Л, Б, С; RN, LN - активное сопротивление и индуктивность нейтрального провода генератора.

Модель синхронного генератора

Модель синхронного генератора реализована в фазной системе координат с использованием уравнений напряжений и потокосцеплений для обмотки статора и цепей ротора. Система уравнений напряжений обмотки статора имеет вид

ид

dt

uB (t) = -^ - riB (t) ,

dt

UC

где uA (t), uB (t), uc (t) - мгновенные значения фазных напряжений синхронного генератора; уA (t), ув (t), yc (t) - мгновенные значения потокосцеплений контуров статора; iA (t) , iB (t), ic (t) - мгновенные значения фазных токов синхронного генератора; r - активное сопротивление фазы синхронного генератора.

Применяя к системе уравнений (1) преобразование Лапласа, получаем

Ua

UB

Uc ( p) = -p¥c (P )- ric ( P) В матричной форме система уравнений (2) запишется в следующем виде

"UA (P)" * A ( P )" " r 0 0" "IA (P)"

Ub

_Uc (P)_ Уc (P)_ 0 0 r _Ic (P)_

Система уравнений напряжений цепей ротора имеет вид

и,

0 = ^+^ (х) .

0 = ^+

dt

rq rq

где и, (X) - мгновенное значение напряжения на обмотке возбуждения синхронного генератора; у, ( X), уга ( X) , ущ (X) - мгновенные значения потокосцеплений контуров ротора; 1, (X) , 1га ( X), ¡гч (Х) - мгновенные значения токов цепей ротора синхронного генератора; г, - активное сопротивление обмотки возбуждения; гга - активное сопротивление продольного демпферного контура; г - активное сопротивление поперечного демпферного контура.

Применяя к системе уравнений (4) преобразование Лапласа, получаем

и,

0 = рУга

О = ру гЧ

В матричной форме система уравнений (5) запишется в следующем виде

" и (Р )" * Г ( Р )" гГ 0 0 " If ( Р )"

0 = Р * га

0 *г,

Система уравнений потокосцеплений контуров статора имеет вид

V Л

< VБ

м м м м м м м

где LЛ, LБ, Lс - индуктивности фаз обмотки статора генератора; Млб , МБС, МЛС - взаимоиндуктивности фаз обмотки статора генератора; Мл МСщ - взаимоиндуктивности обмотки статора и контуров ротора.

Применяя к системе уравнений (7) преобразование Лапласа, получаем

*л

*с (Р ) = млс1л (Р ) + мбл ( Р) + мс ( Р) + Мсл ( Р) + МСгла (Р ) + МСглч ( Р) В матричной форме система уравнений (8) запишется в следующем виде

*Л (Р)"

* Б ( Р ) =

* с ( Р )_

и м

'Л

м

ЛВ

ЛВ

LD

МЛС МБС

м м

Lr

ЛС

БС

!л ( Р ) !в ( Р ) !с ( Р ).

мл, м

АГ

Ай

Мм м

-вг

БМ

мСГ м

СМ

м м м

Лщ

Бщ

Сщ

1га

Система уравнений потокосцеплений контуров ротора имеет вид

vГ

г,

где Lf, Lгd, Lгq - индуктивности роторных цепей генератора; Мы - взаимоиндуктивность обмотки возбуждения и продольного демпферного контура.

Применяя к системе уравнений (10) преобразование Лапласа, получаем

'*Г

*гq (Р) = MAгqIл (Р) + МБЩ1Б (Р) + Мсщ1с (Р) + LгqIгq (Р) В матричной форме система уравнений (11) запишется в следующем виде

* Г ( Р )"

*-а ( Р ) =

* г,

м м м

АГ

Ага

Aгq

м м м

БГ

вга

Бгq

м,

м м

СГ

сга

Cгq

^ ( Р ) ^ ( Р ) ^ (Р).

Lf м 0

Мгга 0

ы

Ь

га

0 L.

If

Таким образом, математическую модель синхронного генератора можно описать следующей системой матричных уравнений

- вектор-столбец фазных напряжений синхронного генератора, выраженных

- вектор-столбец напряжений цепей ротора синхронного генератора, выра-

[ и8 ] = - р [у 8 ]-[ г8 № ]

[ ик ] = р [У К ] + [% Ж ] [У8 ] = [Ь88 ] ' [18 ] + [Ь8К НЬК ]

.[УК ] = [ЬК8 ] ' [18 ] + [ЬКК ] [1К ]

" иА ( р )"

где [и8 ]= ИВ

_Ис ( р) в преобразовании Лапласа;

" и, (р )"

К ]= О

О

женных в преобразовании Лапласа;

УА

[У 8 ]= У В

ратора, выраженных в преобразовании Лапласа;

ГУ, (рГ

[у к ]= У га (р) - вектор-столбец потокосцеплений контуров ротора синхронного генера-

гЧ ( р )]

тора, выраженных в преобразовании Лапласа;

Г!а (р)"

[18 ]= 1В (р ) - вектор-столбец фазных токов синхронного генератора, выраженных в пре-

_!с (Р)_

образовании Лапласа;

" I,

вектор-столбец потокосцеплений фаз обмотки статора синхронного гене-

Рк ]= !га

_ 1гЧ

ных в преобразовании Лапласа; " г О О Ь]= О г О О О г

вектор-столбец токов роторных цепей синхронного генератора, выражен-

матрица активных сопротивлений фаз обмотки статора;

[ гк ] =

г, О О О гга О О О г

- матрица активных сопротивлений цепей ротора;

[Ь88 ] =

[Чк ] =

[Ьк8 ] =

[ V ] =

Ьа М

МАВ МАС

АВ

Ь М

ВС

МАС МВС

Ь

Мй, М

Ага

с

М

Агд

МВ, М

Вга

Мс, М,

сга

М М

Вщ

сщ

Ма, М

В,

М^ М

Вга

Мл„ М

Ь,

М,га

О

Вщ

М М М

см

матрица индуктивностей обмотки статора;

- матрица взаимоиндуктивностей обмотки статора и цепей ротора;

- матрица взаимоиндуктивностей цепей ротора и обмотки статора;

сщ

Мы О

Ь

О Ь

- матрица индуктивностей цепей ротора.

Моделирование трёхфазной статической нагрузки

При моделировании трёхфазной статической нагрузки использовалась математическая модель трёхфазной статической активно-индуктивной нагрузки.

Система уравнений, описывающая трёхфазную статическую активно-индуктивную нагрузку

а1А

и АН ( Х ) = КАН1 А ( X ) + Ь иВН (Х) = Квн1В (Х)+ Ь1

исн (Х) = ^с ( X ) + Ь

1 ах а1в (х) ах

а1с

ах

где иАН (X), иВН (X), исн (X) - мгновенные значения фазных напряжений нагрузки; 1А (X) , 1В (X), 1с (X) - мгновенные значения фазных токов нагрузки; ЯАН, ЯВН , Ясн - активные сопротивления фаз нагрузки; ЬАН , ЬВН, Ьсн - индуктивности фаз нагрузки.

Применяя к системе уравнений (14) преобразование Лапласа, получаем систему уравнений

иан

* ИВН

Исн (р) = Ксн!с (р) + рЬсн!с (р) Выполняя необходимые преобразования, получаем:

иан ( р ) = ивн ( р ) = Исн ( р) = иан ( р ) = ивн ( р ) = Исн ( р ) =

Д р К К АН

+ рЬ

АН )

.(р )•( квн+рьвн ); ( р )•( к сн

+ рЬ

сн )

Др)• 2ан

где Ъ^ (р) = ЯАН + рЬАН - операторное сопротивление фазы А нагрузки; ЪВН (р) = ЯВН + рЬВН -операторное сопротивление фазы В нагрузки; Ъсн (р) = Ясн + рЬсн - операторное сопротивление фазы с нагрузки.

Записывая систему уравнений (17) в матричной форме, получаем математическую модель трёхфазной статической активно-индуктивной нагрузки:

"иан (р)"

ивн ( р ) =

_Исн (р)_

'ан

О О

О О

'вн ( р ) О

О 2сн (р)_

1А

1с (р),

[ Ин ] = [ 2н ]•[ 18 ] ,

где [ ън ] =

[ Ин ] =

2 АН

О Ъ О

Иан (р)' Ивн ( Р ) исн (р).

О О

ВН ( р ) О

О Ъсн

- матрица операторных сопротивлений нагрузки;

вектор-столбец фазных напряжений на нагрузке.

Моделирование системы распределения бортовой СЭС

Система распределения бортовой СЭС включает в себя соединительную и коммутационную аппаратуру, установленную между генератором и нагрузкой.

В настоящей работе математическая модель системы распределения представлена с учётом сопротивлений проводов, соединяющих генератор и нагрузку. Система операторных сопротивлений системы распределения

^

иАЬ (Х) = КАЬ1А ( X ) + Ь

иВЬ (Х)= КВ^В (Х) + Ь1

исЬ (Х)= Ксь1с (Х)+ Ьс

¿х

¿¿В

¿¿с

где и

АЬ

(X), иВЬ (X) , исЬ (X) - мгновенные значения падений напряжений на соединительных проводах; 1А (X) , ¿В (X), ¿с (X) - мгновенные значения фазных токов нагрузки; ЯАЬ, ЯВЬ , ЯсЬ -активные сопротивления соединительных проводов; ЬАЬ , ЬВЬ , ЬсЬ - индуктивности соединительных проводов.

Применяя к системе уравнений (20) преобразование Лапласа, получаем систему уравнений

ИАЬ

< ивь

.ись

Выполняя необходимые преобразования, получаем:

иль (Р ) = Ивь ( Р) = ись ( Р) = иль (Р ) = ивь ( Р) = ись ( Р) =

Д Р )•( Яль + Рьль ) (Р )•( Явь+Рьвь); (Р)•(а сь

+рь

сь

,

^вь

где 2ль (р) = Яль + рьль - операторное сопротивление провода фазы Л; 2вь (р) = Явь + рьв операторное сопротивление провода фазы в; 2сь (р) = Ясь + рьсь - операторное сопротивление провода фазы с.

Записывая систему уравнений (23) в матричной форме, получаем математическую модель трёхфазной статической активно-индуктивной нагрузки:

"Иль (Р)"

Ивь ( Р ) =

_Ись (Р)_

2ль (Р) 0 0

0 ZвL

[ Иь ] = [ 2ь ]•[ I* ] ,

!л

где [ 2ь ] =

[ иь ] =

2ль (Р ) 0 0

иль

0 0 2вь ( Р) 0

0 2сь

матрица операторных сопротивлений проводов;

- вектор-столбец падений напряжений на соединительных проводах.

Получение математической модели канала бортовой СЭС переменного тока

Сопоставим структурной схеме (рис. 1) электрическую схему замещения (рис. 2-4).

N

в

¿Ул

л

е

1л ( 1) Яль ——

¿Ув

!в (1) Я

в

¿Ус

!с (1) Я

ьль

ьвь ь

ьлн ь

Я,

ьсн

->

Я,

N

^

Рис. 2. Схема замещения канала бортовой СЭС переменного тока

г

г

г

N

"О"

^ а

-е-

о

о

!а

Я,

О

-р^в

-э-

-р^с

1в (р) явь

О

иКК'

!с (р) Ясь

рьаь рьвь рьсь

о

Ял

о

Яв

о

Яг

рьан

/УУ\

рьвн

рьсн

->

о

Я,

Рьn

N

^

Рис. 3. Схема замещения канала бортовой СЭС переменного тока в операторной форме

N

N

ZN

Рис. 4. Модель трёхфазной статической нагрузки

Для получения математической модели канала СЭС составим уравнения напряжений и токов, учитывающие взаимосвязь модели генератора, модели системы распределения и модели трёхфазной статической нагрузки

^

-рУА

* -рУ в

- рУ с

Выполняя необходимые преобразования, получаем:

^

-рУ А

* -рУв

-рУ с

ИмД Р) = -^

г

г

г

1к

АН

ЦА

Ц , ( Р) = -ЦАн (Р ) - Цвн ( Р). ЬМ - Цен ( Р).

- ^ Ан ^ 2ан

Подставляя пятое уравнение системы (28) во второе, третье и четвёртое, получаем систему уравнений

Г 7 Л

Ца (Р) = Ц

1+ ^

, 2ан (Р),

Цв (Р) = и

вь

+ Цвн ( Р )•

+ Цвн (Р). + Цен (Р).

(

2вн

2вн (Р).

Л

+ Цен

Це

2ан

2вн

2ен

^ + МЙ ^

2ен

Записывая систему уравнений (29) в матричной форме, получаем

7

Ца

1 + (Р ) 2ан ( Р ).

( Р) _

2ан

2вн

'1 + Мр! ^

2вн

2ен

^ + ^М. ^

2ен (Р).

"цан (Р)" "цаь (Р)"

Цвн

_Цен (Р)_ _Цеь (Р)_

Получаем матричное уравнение связи модели генератора с моделью системы распределения и с моделью трёхфазной статической нагрузки

где [ А ] =

1+ (Р) , 2ан (Р).

[ и8 ] = [ А ][ ин ] + К ] ,

2вн

^ + ^М Л

2вн

2ан

2ен

' 1 + Ш. Л

2ен

Для получения математической модели канала СЭС дополним математическую модель генератора

[] = -Р [У* ]-[г* № ] [% ] = Р [уЯ ] + [гя ] [1к ] [у * ] = [Ь88 И1* ] + [Ь*Я Ж ]

4 [уя ] = [ья* и1* ] + [ьяя ж ].

[ иь ] = [ ]-р8 ] [ ин ] = [ 2н И1* ] [ и* ] = [л ][ ин ] + [ иь ]

При анализе переходных процессов в канале бортовой СЭС полагаем неизвестными следующие величины: [и8 ], [ц ], [у8 ], [у8 ], [иь ], [ин ].

Определим из системы уравнений (32) величины: [и3 ], [13 ], [иь ], [ин ]. Выражаем из второго уравнения системы (32) матрицу потокосцеплений [у Я ] и подставляем в третье уравнение системы:

1 1 [уя] = - ([ия]-[гяж]) ; - (к]-[гя] [!к]) = [ья*и1*] + [ьяя]-ря].

Выполняя далее необходимые преобразования, получаем:

1

1

[ья*И1*] + [ьяяЖ] + - [гяЖ] = --К]; [ья*]•[!*]+ [ьяя] + - [гя] | [!к] = --К];

р р V р У р

1

1

[Ьм ] [1* ] + [в] [1я ] = - К ],

где [в] = [ьяя ] + 1 [гя ];

[1а ] = [в]-1 •Г 1 •[ ик ]-[ ькз ]^[18 ]'

Получившееся выражение для матрицы токов ротора [1Я ] подставляем в третье уравнение системы:

[**] = [Ь**]•[1*] + [Ьж]•[В]-1 | 1 •[ИЯ]-[Ц*]•[1*^ ;

[^ ] = ([Ь** ] - [Ь*Я ] • [в]-1 • [Ья* ]) • [I* ] + [] • [в]-1 • - • [Ия ];

[У* №№ ] + [ ]•[ в]-1 • 1 •[ % ],

где [с] = [Ь33]-[Ьж]•[в]-1 [Ькз].

Полученное выражение для матрицы потокосцеплений статора подставляем в первое уравнение системы (32):

[и*] = -Р[C]•[1S]-[Ь*я]•[в]-1 •[иЕ]-[г*]•[!*];

[и*] = -(Р[с] + [г*])•[!*]-[Ь*я]•[в]-1 •[ия];

[и* ] = -[В ][1* ]-[ Ь*Я ][в]-1 [ия ],

где [Э] = р [с] + [г* ].

Решая уравнение (31) совместно с уравнениями (19) и (25), получаем:

[и* ] = [ л№н ][1* ]+[2ь ][1* ]; [и* Н[л№н ]+[гь ^р* ];

[ и* ] = [ Е ][1* ],

где [Е] = [л] • ^ ] + К ] .

Выражаем из уравнения (34) матрицу токов статора р.* ] и подставляем в уравнение (33):

[1* ] = [ Е ]-1 •[ и* ];

[ и* ] = - [ в] • [ Е ]-1 • [и* ] - [ Ь*Я ] • [ в]-1 • [ия ]; ([I]+[ В] • [Е]-1) • [ и* ] = - [ Ь*я ] • [ в]-1 • [ % ];

[ Ж и* ] = -[Ь*я ]•[ в]-1 •[ ия ],

"1 0 0"

- единичная матрица.

где [ F] = [ l] + [ D].[E]"'; [ I] =

0 1 0 0 0 1

Получаем матрицу напряжений статора

[us ] = -[F]-1 [ Lsr ].[ B]-1 [ uR ].

М атриц а токов статора о пр ед еляется как

[is ] = [ E ]-1. [ Us ] = - [E ]-1. [ F]-1. [ Lsr ]. [ в]-1. [ur ].

Матрица напряжений на нагрузке определяется как

[ Uh ] = [ Zh ]. [is ] = - [ Zh ] • [ E ]-1. [F]-1. [Lsr ]. [в]-1. [ Ur ].

Матрица падений напряжений на распределительной сети определяется как:

[UL ] = [Zl ]. [is ] = - [Zl ]. [E]-1. [F]-1. [Lsr ]. [в]-1. [Ur ].

В ход е пр ов едённой р аботы можно сделать следующие выводы:

1. В данной работе разработана математическая модель канала генерирования бортовой СЭС переменного тока. В составе канала рассматриваются математические модели синхронного генератора в фазной системе координат, математическая модель распределительной сети, математическая модель трёхфазной активно-индуктивной нагрузки.

2. В работе была использована математическая модель синхронного генератора в фазных координатах «ABC», которая в отличие от модели в координатах «dq» [4; 5] позволяет описывать процессы как в симметричных, так и в несимметричных режимах.

3. На основе математической модели канала СЭС были получены выражения для напряжений и токов обмотки статора синхронного генератора, напряжений на нагрузке, падений напряжений на соединительных проводах. Построение переходных процессов по полученным выражениям позволяет более детально изучить работу канала СЭС при различных режимах: как нормальных, так и ненормальных, и аварийных. В связи с этим появляется возможность контролировать поведение СЭС при любом ненормальном режиме, тем самым значительно снижая вероятность возникновения аварийных ситуаций в полете. Как следствие, это приводит к значительному повышению уровня безопасности полетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Важнов А.И. Переходные процессы в машинах переменного тока. - М.: Энергия, 1980.

2. Копылов И.П. Электрические машины. - М.: Логос, 2000.

3. Синдеев И.М., Савёлов А.А. Системы электроснабжения воздушных судов. - М.: Транспорт, 1990.

4. Демченко А.Г., Артёменко Ю.П. Моделирование параллельной работы бортовой системы электроснабжения переменного тока в пакете MATLAB // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2012. - №185. - С. 55 - 60.

5. Демченко А.Г. Моделирование элементов бортовых систем электроснабжения в программной среде MATLAB // Московская молодёжная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике -2012»: сб. тезисов докладов. - М.: ООО «Принт-салон», 2012. - С. 13 - 14.

MODEL OF CHANNEL AIRBORN ELECTRICAL POWER SYSTEM

Demchenko A.G.

This article is devoted to math modeling of channel of alternate current airborne electrical power-supply system. Considered to modeling of synchronous generator that runs on three-phase static load.

Key words: mathematical modeling, power supply system, the synchronous generator, three-phase load.

Сведения об авторе

Демченко Алексей Геннадьевич, 1987 г.р., окончил МГТУ ГА (2009), старший преподаватель МГТУ ГА, автор 10 научных работ, область научных интересов — эксплуатация воздушного транспорта, моделирование электроэнергетических систем.