Рассеяние плоской звуковой волны однородным термоупругим шаром

УДК 539.3:534.26

РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ОДНОРОДНЫМ ТЕРМОУПРУГИМ ШАРОМ

Н.В. Ларин

Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на однородном изотропном термоупругом шаре. Представлены результаты расчетов частотной и угловой зависимостей амплитуды рассеянного звукового поля в дальней зоне. Исследовано взаимовлияние теплового и механического полей в шаре на рассеяние звука.

Ключевые слова: дифракция звука, термоупругий шар.

Изотермический процесс дифракции звука на изотропных упругих сплошных сферических телах рассматривался в ряде работ. При этом в одних работах материал тела полагался однородным. Например, исследовалось рассеяние звука шаром в случае падения на него плоской звуковой волны [1]. В других работах рассматривалось тело сферической формы из неоднородного материала. Решена задача дифракции звука на многослойном шаре, где каждый слой является однородным [2]. Исследовано рассеяние плоской и цилиндрической звуковых волн на сферическом теле, которое представляет собой однородный шар с непрерывно-слоистым покрытием [3, 4].

Исследованиям дифракции звука на термоупругих телах сферической формы посвящено небольшое число работ. Показано существенное влияние термоупругости изотропного материала оболочки на ее характеристики звукоотражения [5, 6]. Решена задача дифракции плоской звуковой волны на непрерывно-слоистой трансверсально-изотропной термоупругой сферической оболочке [7, 8].

Ниже решается задача дифракции плоской звуковой волны на однородном изотропном термоупругом шаре, погруженном в невязкую теплопроводную жидкость.

1. Постановка задачи. Рассмотрим неподвижный шар радиуса а, находящийся в жидкости. Однородный изотропный термоупругий материал шара характеризуется плотностью р, упругими постоянными Ламе 1 и т, температурным коэффициентом линейного расширения а т, коэффициентом теплопроводности 1Т, объемной теплоемкостью се. Источники тепла в шаре отсутствуют. Полагаем, что окружающая шар жидкость является сжимаемой невязкой теплопроводной и однородной с плотностью ру,

скоростью звука с, отношением удельных теплоемкостей при постоянных

т

давлении и объеме у, коэффициентами температуропроводности % , тем-

т т

пературного расширения а , теплопроводности X . Считаем, что в невозмущенном состоянии шар и жидкость имеют одинаковую постоянную температуру Т0.

Пусть из жидкости на шар падает плоская звуковая волна. Выберем прямоугольную систему координат х, у, г с началом в точке О, совпадающей с центром шара, таким образом, чтобы направление падения волны совпадало с направлением оси Ог (рис. 1). При таком выборе системы координат выражение для потенциала скоростей падающей волны имеет вид

Ч' = А ехр[/'(к1г - Ш)] = А ехр\iik\z - Ш)], 2

где А - амплитуда волны; / =-1; кI - волновой вектор; г- радиус-вектор; со - круговая частота; = со/с - волновое число. Временной множитель ехр(-/со/) в дальнейшем опускаем.

Рис. 1. Геометрия задачи

При падении звуковой волны, распространяющейся в невязкой теплопроводной жидкости на термоупругий шар, возникают отраженные от него звуковая и тепловая волны. Кроме того, происходит малая деформация шара, которая сопровождается изменением его температурного поля.

Определим отраженные от термоупругого шара и возбужденные в нем волновые поля.

2. Решение задачи. Свяжем с прямоугольной системой координат сферическую систему координат г, 0, ср, в которой выражение для потенциала Ч* примет вид

(г, 9) = ехр (ik\ г cos 9).

Последнее выражение может быть представлено следующим образом [9]:

Y(r, е) = Z AnJn (kxr ) Pn (cos 0),

где An = Ain (2n +1); Jn (x) - сферическая функция Бесселя порядка n ; Pn (x) - многочлен Лежандра степени n . Здесь и всюду далее, если не оговорено иное, суммирование ведется по n от 0 до ¥.

Поскольку возбуждающее волновое поле не зависит от координаты j, а шар является однородным изотропным, то от координаты j не будут зависеть ни отраженные от шара, ни возбужденные в нем волновые поля. Кроме того, будет отсутствовать смещение частиц термоупругого шара по координате j .

В случае установившихся колебаний потенциалы скоростей отраженных от шара звуковых Y и тепловых Y2 волн - решения уравнений Гельмгольца [10]

DYm + km Ym = 0, m = 1,2.

Здесь

k2 =hT (1 + i ), h =

T

f \1/2 wg

V

2C

T

y

где к 2 - волновое число тепловых волн. При этом скорость частиц жидкости V, акустические давление р и температура Т определяются по формулам [10]

V = ^аё + + ), р = /юр у + + ),

T

a

T

wg

1

c

(Y + Y1 +Y2 ) + -A(Y + Y +Y2 ) 2 w

где §гаё - известный оператор теории поля.

С учетом условий излучения на бесконечности [11]

Г л \

Y = О

1 m О

1

3Y

m

V У

Эг

ikm Ym o

1

при r  ¥ ; m = 1,2

Vr У

функции Y и будем искать в виде

Ym (r, 0) = £ Amnhn (kmr )Pn (cos 0), m = 1,2, где hn (x) - сферическая функция Ганкеля первого рода порядка n .

Определять волновые поля, возбужденные в однородном изотропном термоупругом шаре, будем на основе линейной связанной динамической задачи термоупругости [12]. Представим вектор смещения частиц термоупругого шара в виде

u = grad

где rot - известный оператор теории поля.

Потенциалы смещения Ф1, Ф 2, Ф 3 - решения уравнений Гельмгольца [12]:

ДФ,„ + к2тФт = 0, АФ3 + к2ф3 = О; т = 1,2,

где к^ и к2 - волновые числа продольных термоупругих волн; к3 - волновое число поперечных упругих волн. При этом [12]

к2 = |1 + 5

к3 =

со

Здесь

8 = —

к]= — , кТ =цт(\ + г), т\т = С1

к

1

со

21т

С1 =

V

Х + 2 ц

> ¿4 =

111 Хт »1т = — Р се

£ =

(ЗХ + 2ц)2а 2Г0

(Х + 2 |д)се

где к} и кт - волновые числа продольных упругих и тепловых волн соответственно; С] и ст - скорости продольных и поперечных упругих волн соответственно; Хт ~ коэффициент температуропроводности материала шара; е - параметр связанности.

Так как рассматриваемая задача осесимметричная, то

Ф3=Ф3М)еф,

где еф - орт оси ср.

В силу представления (5) векторное уравнение (3) сводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца

АФ3 +

кз2

1

г2 si.ii2 0 )

Ф3=0.

Скалярные функции Ф1? Ф2, Ф3 с учетом условия ограниченности, требующего ограниченности решений дифференциальных уравнений (3), (6) внутри шара, будем искать в виде

Ф/и (г, в) = X ЪтпЗп {Кт&п (соз б), т = 1,2,

Фз М=I въ пЗп (ъг)— Рп (сов В).

¿70

Коэффициенты А2п , 52и> 53/7 разложений (1) и (7) подлежат определению из граничных условий, которые заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости на по-

верхности шара, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения, в непрерывности акустической температуры и теплового потока на этой поверхности:

д0 Т дТ

г = а: - /юиг = уг , огг = -р, ог§ = 0, 0 = Т, 1т — = 1 — •

дг дг

Здесь нормальная компонента скорости частиц жидкости уг определяется выражением

д дг

а компоненты тензора напряжений оТ£ в сферических координатах связаны с компонентами тензора деформаций вТ£ и возмущенной температурой шара 0 соотношениями Дюгамеля-Неймана [12]

о гг = 2(18 гг + 1ё1уи - (31 + 2(1 )ат 0, о гд = 2(18 г§,

где

_ Эиг _ 1 err _ ' е r0 _ 2

1

dur

"эе"

ие

+

Эие Эг

Q

1+2m

k2

(31 + 2m)a t div - известный оператор теории поля.

При этом на основе представления (2) составляющие вектора смещения u принимают вид

Э

(sin еФ з),

u

(Ф1 +Ф 2) + —1

Эг r sin е эе

ие _

1

э э

— (Ф1 +Ф 2)- —(гФ 3) Эе Эг

Используя приведенные выше формулы, выразим компоненты тензора напряжений огг и огд через функции Ф1, Ф 2 и Ф 3 :

2m

Э 2Ф

Эг 2

2

s rr _ X m _1

2m 2 э

r m_1Эе

m

+

2^к m

(1+2m)k¡ ]Ф m

+ 2mf

Эг

- L1

ЭФ

m

Эг

- Ф m

r j

+ m

2

-^Ф 3

V

2

Э 2 Ф з'

Эг 2

m

L2 (Фз ),

где

Э

Э

2

э

L1( + с^е, L2( + ctg^--

1

эе ~ 2W эе2 ' "эе sin2е'

С помощью всех граничных условий, используя дифференциальное уравнение для присоединенных многочленов Лежандра [13]

г

г

d pq (cos 0)+ctgq—pq (cos 0)-

d02

d0

2

учитывая, что

-L- Pq (cos 0) + n(n + l)Pnq (cos 0) = 0, q = 0,1, sin2 0

—Pn (cos 0) = - Pq1 (cos 0), d0

где Pq (cos 0) - присоединенный многочлен Лежандра степени n порядка q и, используя условие ортогональности многочленов Лежандра [13]

p

J Pq (cos 0)Pq (cos 0)sin 0d0 = 5 ю 2 (n - q Ц 0 (2n + 1)(n - q)!

, = 0,1,2,...,

где 8т - символ Кронекера, для каждого индекса п построим систему пяти линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов ,

А2п , В1п , В2п , В3п :

мС = ь,

1г=а '

где

С = (А1п , А2п , В1п , В2п , В3п )Т, Ь = (Ь1п , Ь2п ,0, Ь4п , Ь5п У ,

M =

M n

a, b = 1,2,...,5.

Здесь

b1n = hfn (k1r )An , b2n = -iwP /Jn (k1r )Ai

b4n = X1 Jn (k1r )An , b5n X1k1Jn(k1r)An , M1m!=-kmhn(kmr), M1i 2 = -iWK rnJ^Kmr), M&) = Jn fer),

M 2nm= iWP/hn

2

M 2n)= n(n +1)^

кзУП(кЗг )+ 1 Jn (k3r) r

m 3-j=0, m з, m+2=^

1 .

K mJn

m 3n)=m

(2 - n(n + Jn (k3r)- K3 J'H (k3r) . r2 _

M 4m=-Xmhn (kmr), M 4^+2 =P mJn (K mr), M 4^ = 0, M 5m]=-1T X mkmKkmr), M5nm+2 =1jPm W^V), M 5^ = 0:

r

Х m =

im T

a

'k^L 1 h = o..k2 (l , „1i)l2

С2 W Vе

, hm = 2„km -(l + 2„)k/ ,

Штрихами обозначены производные функции по аргументу.

Из системы (8) определяем , А2П , В1П, В2п , Взп . В результате получаем аналитическое описание дифракционных волновых полей вне и внутри термоупругого шара по формулам (1) и (7) соответственно.

3. Результаты расчетов. Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу для сферической функции Ганкеля первого рода при больших значениях аргумента [13]

к (х)»(-, )п+1|ХЕМ ,

х

из равенства (1) при m = 1 находим

П

Yi(r, 6) =—expfar )F (6),

2r

где

F

ki—

Проведены расчеты амплитуды рассеяния звука |F (б) для шара ра-

3 9

диуса а = 0.1 м из полимерного материала

(р = 1070кг/м , 1 = 3.9х 10* Н/м 2, „ = 9.8 х 108 Н/м 2, aT = 2.3 х 10-41/K, 1T = 0.2 Вт/(м • K), ce = 1.2 х 106 Дж/(м 3 • K), e = 0.411) в воде (р f = 1000 кг/м 3, с = 1485 м/с,

g = 1.006, cT = 1.43х 10-7м2/c, aT = 2.1 х 10-41/K, 1T = 0.59Вт/(м• K), T0 = 293K). Амплитуду падающей волны полагали равной единице.

Для оценки влияния учета связанности полей деформации и температуры в уравнении (4) на величину |F(б)| вычислительный эксперимент

проводился и для термоупругого шара при нулевых значениях параметра связанности. Кроме того, расчеты выполнялись и при изотермическом процессе волнового взаимодействия упругого шара с окружающей его жидкостью.

На

ния звука

эис. 2 представлены зависимости амплитуды обратного рассея-

Е (р) от волнового числа £1« в интервале 0 < А^а £ 10. При расчетах количество слагаемых в выражении (9) зависело от значения волнового числа. Полагали, что индекс п принимал значения от 0 до 2^«] + 3,

где [х] - обозначена целая часть числа х.

Рис. 2. Зависимость амплитуды обратного рассеяния звука

от волнового числа

Рис. 3 иллюстрирует полярные диаграммы направленности |<Р(0)| для 0 < 0 < к при фиксированном значении к\а = 3. Стрелкой показано направление падения плоской звуковой волны.

тг/2

0 12 3 4

Рис. 3. Полярная диаграмма направленности

На рисунках сплошная линия соответствует расчетам с учетом термоупругой связи, штриховая линия - расчетам при г = 0, а кривые рассчитанные для случая изотермического процесса, совпадают с кривыми построенными при отсутствии термоупругой связи. Такое совпадение говорит о том, что при описании волновых полей в шаре уравнениями несвязанной задачи термоупругости процесс рассеяния звука однородным термоупругим шаром близок к изотермическому. Похожий вывод был сделан ранее [14]. На рисунках видно заметное различие в характеристиках рас-

228

сеяния звука, обусловленное эффектом связанности поля деформации и температурного поля в шаре. Указанный эффект дает возможность выявить новые особенности протекания процесса рассеяния звука однородным термоупругим шаром.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 16-41-710083) и Министерства образования и науки РФ (государственное задание № 1.1333.2014К).

Список литературы

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405 - 420.

2. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 304 с.

3. Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519 - 526.

4. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 5. С. 663 - 673.

5. Ларин Н.В. Дифракция сферических звуковых волн на неоднородной термоупругой сферической оболочке // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. Т. 9. Вып. 2. С. 115 - 128.

6. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 4. С. 645 - 654.

7. Ларин Н.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородной анизотропной термоупругой сферической оболочке // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: Изд-во ТудГУ, 2007. Вып. 1. С. 50-57.

8. Скобельцын С. А. Определение параметров неоднородности анизотропной термоупругой сферической оболочки по отраженному звуковому полю // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. Вып.1. С. 84 - 95.

9. Skudrzyk E. The Foundations of Acoustics. N.Y. Springer, 1971. Скучик Е. Основы акустики. Т.2. М.: Мир, 1976. 542 с.

10. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.

11. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: ИЛ, 1950. 456 с.

12. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев.: Наук. думка, 1970. 308 с.

13. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физ-матгиз, 1963. 358 с.

14. Ларин Н.В. Прохождение звука через однородный термоупругий плоский слой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып. 3. С. 145 - 153.

Ларин Николай Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доц., Iatrinaelena mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SCATTERING OF A PLANE ACOUSTIC WAVE BY AN UNIFORM THERMOELASTIC SPHERE

N. V. Larin

The analytic solution of the problem of the diffraction of a plane acoustic wave by an uniform isotropic thermoelastic sphere was obtained. The results of calculations of the frequency and angular dependences of the amplitude of the scattered sound field in the far zone are presented. The coupling between the thermal and mechanical fields in the sphere on the scattering of sound was investigated.

Key words: diffraction of sound, thermoelastic sphere.

Larin Nikolay Vladimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, Larinaelena mail. ru, Russia, Tula, Tula State University