ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОГО ГАЗА С ДИСПЕРСНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ С ЧАСТОТОЙ ПЕРВОГО ЛИНЕЙНОГО РЕЗОНАНСА В ЗАКРЫТОМ КАНАЛЕ

ФИЗИКА

PHYSICS

УДК 533.2, 51-72 doi:10.21685/2072-3040-2022-3-6

Численное моделирование колебаний вязкого газа с дисперсными включениями с частотой первого линейного резонанса в закрытом канале

Д. А. Тукмаков

Институт механики и машиностроения Федерального исследовательского центра «Казанский научный центр Российской академии наук», Казань, Россия

tukmakovda@imm.knc.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Механика многокомпонентных и многофазных сред является разделом механики жидкости и газа. Математическое моделирование динамики неоднородных сред имеет важное значение в связи с тем, что экспериментальное исследование многих таких процессов является затруднительным. При этом многие математические модели имеют существенно нелинейный характер, по этой причине для интегрирования таких моделей применяются численные методы. В ряде технологий промышленной энергетики для удаления дисперсной компоненты аэрозольной среды на газокапельные среды воздействуют акустическими полями. Этим обусловлен интерес к исследованию динамики аэрозолей в акустических полях, к выявлению фундаментальных закономерностей таких течений, а также к разработке математических моделей динамики аэрозольных сред. Материалы и методы. Представлена континуальная математическая модель динамики аэрозоля. Модель учитывала как межкомпонентный обмен импульсом, так и межкомпонентный теплообмен. Система уравнений математической модели решалась методом конечных разностей, для подавления численных осцилляций применялась схема нелинейной коррекции. Результаты. Моделировались колебания газовзвеси в закрытой емкости на резонансной частоте. Получены распределения физических параметров несущей среды и дисперсной компоненты в процессе колебаний аэрозоля. Выводы. Сопоставление численных расчетов с физическим экспериментом дает удовлетворительное соответствие.

Ключевые слова: многофазные среды, численное моделирование, уравнение Навье -Стокса, континуальная модель

Финансирование: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 20-11-20070).

Для цитирования: Тукмаков Д. А. Численное моделирование колебаний вязкого газа с дисперсными включениями с частотой первого линейного резонанса в закрытом канале // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 3. С. 58-71. doi:10.21685/2072-3040-2022-3-6

Numerical simulation of oscillations of a viscous gas with dispersive inclusions with the frequency of the first linear resonance in a closed channel

© Тукмаков Д. А., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

D.A. Tukmakov

Institute of Mechanics and Engineering of the Federal Research Center Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, Kazan, Russia tukmakovda@imm.knc.ru

Abstract. Background. Mechanics of multicomponent and multiphase media is a branch of fluid and gas mechanics. Mathematical modeling of the dynamics of inhomogeneous media is of great importance due to the fact that the experimental study of many of these processes is difficult. At the same time, many models are essentially non-linear, for this reason, numerical methods are used to integrate such models. In a number of industrial energy technologies, to remove the dispersed component of an aerosol medium, gas-drop media are affected by acoustic fields. This is the reason for the interest in studying the dynamics of aerosols in acoustic fields, revealing the fundamental regularities of such flows, and also in developing mathematical models for the dynamics of aerosol media. Materials and methods. The work presents a continuum mathematical model of aerosol dynamics. The model took into account both intercomponent momentum exchange and intercompo-nent heat transfer. The system of equations of the mathematical model was solved by the finite difference method, and a nonlinear correction scheme was used to suppress numerical oscillations. Results. Oscillations of a gas suspension in a closed container at the resonant frequency were modeled. The distributions of the physical parameters of the carrier medium and the disperse component in the process of aerosol oscillations are obtained. Conclusions. Comparison of numerical calculations with physical experiment gives a satisfactory agreement.

Keywords: multiphase media, numerical simulation, Navier-Stokes equation, continuum model

Acknowledgments: the research was financed by the RSF grant (project No. 20-11-20070). For citation: Tukmakov D.A. Numerical simulation of oscillations of a viscous gas with dispersive inclusions with the frequency of the first linear resonance in a closed channel.

Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(3):58-71. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-3-6

Введение

Одной из дисциплин физики сплошных сред является механика жидкости и газа, предметом исследования которой являются всевозможные течения газообразных, жидких сред или же смесей [1-22]. В механике жидкости и газа широко используются как методы математического моделирования, так и методики проведения физических экспериментов. Разделом механики жидкости и газа является механика неоднородных сред — исследование течений неоднородных по своим механическим и физико-химическим свойствам [1-10, 13, 17, 18], в частности, течений аэрозольных сред, встречающихся в практических приложениях [4-10]. В горной и химической промышленности, а также энергетике технологические процессы используют аэрозольные потоки. Для осаждения дисперсной компоненты аэрозоля применяется воздействие акустических полей [9, 10].

В настоящее время в литературе применяется несколько подходов к моделированию динамики смесей компоненты, в которых они имеют различное агрегатное состояние [1]. Равновесный подход предполагает описание смеси как однородной среды, параметры которой определяются наличием

дисперсной компоненты. Диффузионный подход предполагает описание непрерывности плотности для каждой из компонент смеси и описание сохранения импульса и энергии для всей смеси в целом. В континуальном подходе динамика каждой компоненты описывается полной гидродинамической системой с учетом взаимодействия каждой из компонент с остальными. Скоростная и тепловая неоднородность смеси наиболее существенно выражена в смесях, в которых компоненты имеют близкую массовую долю [1]. В данной работе применяется математическая модель, описывающая поля скорости и температуры у каждой из компонент смеси. В работе численно моделируются колебательные процессы в акустическом резонаторе [9, 11-15, 18], также сопоставляются результаты численных расчетов с результатами физического эксперимента [9].

Методика

Движение аэрозоля описывается континуальной моделью динамики неоднородных сред, учитывающей обмен импульсом и теплом между компонентами смеси [1-3]. Несущая среда моделировалась как вязкий, сжимаемый и теплопроводный газ [19]:

^ +У

эр1^- +Уг'

дг

Л

+У

' (( ( + р-т.)-У? тй-Ж'г ) =

)

д(

= -в-

^ + Ук

р = (у- 1)(е -р1(^12 + )/2), е = Р1 I+р1 («12 +^2) /2,

Р2 = аP20, е2 = Р2Ср2T2, где V. = [и,V.] - вектор скорости газа и дисперсной компоненты; т.- -составляющие тензора вязких напряжений газа:

Т11 = ЦI 2& - 3 В I , Т22 = Ц

ди1 2 ] т = (2 Э^ 2 ^ = (ди1 Э^ ^ = ди1 + Э^

2—1—В

/ _

, т12 = Ц

+

ду 3 ) I ду дх) дх ду

В = ^ + -

Уравнение (1) описывает непрерывность плотности несущей среды и «средней плотности» дисперсной фазы (' > 1). Уравнения (2) и (3) описывают законы сохранения импульса несущей среды и дисперсной фазы соответ-

ственно. Уравнения (4) и (5) описывают законы сохранения полной энергии газа и тепловой энергии дисперсной фазы.

Введены обозначения: р, р1 - давление и плотность газа; Т\, е1 -температура и полная энергия газа; а - объемное содержание дисперсной фазы; р2 - средняя плотность; Р20 - физическая плотность; Т2 - температура; Ср2 - теплоемкость; е2 - внутренняя энергия дисперсной фазы; г - радиус частиц.

Система уравнений дополнялась межфазным обменом импульсом (6) и замыкающими соотношениями (7) [1]:

3 а

Cd2Pl>/(U1 - u2 )2 + (v1 - v2 )2 (U1 - u2 ) + aPl

F =

4

+0,5 ap1

3 a Cd pj

dui

dui

— + ui— + vi

Л

dx2 J

+

du1 du1 du1 du2 du2

—L + Ui-L + Vi-L---— - U2-— - V2

dt dxi dx2 dt

dxi

f

du2 ^

3x2

4

Ui

2 2 "u2 ) +(v1 - v2 ) (V1 - v2 ) + aPi

dvi dvi dvi 1 + u1 —1 + vv 1

dt

3x2 J

+

+0,5ap1

f dv

1 dvi dvi dv2 dv2 —L + U1 —L + v1 —1---— - U2 —— - v2

dt dx1 dx2 dt dx1 dx

dv ^

2

2 J

Cd 2 -

24

+

Re21 Re

0,5

+ 0,4, M21 -У - Уг\/ c,

21 21

Re21 -P1У - У212r / Ц, Pr - Cp]i /А,

0,55 r>0,33

Nu21 - 2exp(-M21) + 0,459Re2'f Pr Q - 6aXNu21 ( - T2 ) / (4r2).

В формулах (6) ¥к - составляющие вектора силового взаимодействия дисперсной фазы и несущей среды, к = 1, 2. В формуле (8) Q(Tl,T^) - функция теплообмена между газом и дисперсной компонентой аэрозоля [1, 2], описывающая обмен тепловой энергией между компонентами смеси, имеющая размерность Вт/м3.

Значения скорости компонент смеси приравнивались нулю на неподвижных поверхностях. Для остальных динамических функций на поверхностях, ограничивающих объем акустического резонатора, приравнивались нулю конечно-разностные аппроксимации производных по направлению нормалей к поверхностям. Система уравнений динамики многофазной среды (1)-(5) решалась двухэтапным явным конечно-разностным методом Мак-Кормака, позволяющим получать решения второго порядка точности [19].

Алгоритм численного метода можно отобразить на примере нелинейного уравнения:

f +Mf) + - c

dt dx dy У '

(9) 61

При реализации алгоритма последовательно выполняются действия (10) и (11) [19, 20]:

&=^

= 0,5

Здесь Ах, Ау, А^ - шаги конечно-разностной сетки. Для подавления численных осцилляций, возникающих в процессе интегрирования уравнений методом Мак-Кормака, применялась схема нелинейной коррекции [20, 21].

Результаты

В расчетах задавались следующие параметры моделируемого колебательного процесса и неоднородной среды. Дисперсная фаза газовзвеси состояла из частиц с диаметром й= 1 мкм и объемным содержанием дисперсной компоненты а = 0,0000065 с дисперсными включениями, равномерно распределенными по всей емкости, в начальный момент времени. Физическая плотность материала частиц р20 = 913 кг/м3. Несущая среда имеет физические свойства воздуха. Начальная плотность и температура газа рю = 1,3506 кг/м3, Т\0 = 293 К, начальная температура дисперсной компоненты равна начальной температуре газа Т20 = Т10. На рис. 1 схематически изображен акустический резонатор.

У

~ к '

/ 1 \ \ /

Рис. 1. Схематическое изображение акустического резонатора

Высота акустического резонатора Ь = 0,938 м, диаметр трубы к = 0,1 м [9]. Поршень движется по периодическому закону: = ^т(ю0, где ю -циклическая частота первого линейного резонанса колебаний газа в закрытой трубе [22]. В представленных расчетах при скорости звука в воздухе с = 343 м/с циклическая частота колебаний поршня составляла ю ~ 1150 рад/с.

Вертикальное расположение канала, в котором происходят колебания аэрозоля, объясняется тем, что при таком расположении акустического резонатора процесс гравитационного осаждения более длительный. Простран-

/2 2

ственное распределение модуля скорости газа (V =у и + V ) изображено

на рис. 2, из которого следует, что на боковых поверхностях канала для составляющих скорости несущей среды заданы однородные граничные условия Дирихле, «условия прилипания» [19], описывающие течение вязкой среды вблизи твердых поверхностей.

у, м

Рис. 2. Двухмерное распределение модуля скорости газа

В процессе колебаний двухкомпонентной смеси происходит массопе-ренос дисперсной компоненты, вследствие чего формируется неравномерное распределение концентрации «средней плотности» дисперсных включений (рис. 3).

В направлении оси х также наблюдается неравномерное распределение концентрации частиц, при этом наибольшего значения концентрация частиц достигает на середине канала, при этом в поперечном направлении величина концентрации изменяется не существенно (рис. 4).

Результаты численных расчетов демонстрируют, что периодическое изменение параметров несущей среды приводит к периодическому изменению концентрации частиц дисперсной фазы (рис. 5).

На рис. 6 представлены графики изменения давления на закрытом конце трубы. Амплитуда изменения давления газа за один период колебаний в численных расчетах составляет Ар = ртах - Ртт = 403 Па, в физическом эксперименте величина перепада давления составляет Ар = ртах - ртт = 525 Па

[9]. Таким образом, различие численных и экспериментальных результатов составляет приблизительно 30 %.

^*1012, м-3

Рис. 3. Распределение концентрации частиц вдоль координатной оси у, х = 0,05 м

Рис. 4. Распределение концентрации частиц вдоль оси х, у = Ь/2

В процессе колебаний газа в канале также формируется неравномерное пространственное распределение давления (рис. 7).

В данной работе численно интегрировались сжимаемые уравнения газовой динамики, при математическом моделировании колебаний сжимаемого газа образуется периодическое изменение плотности газа (рис. 8). При реализации численного алгоритма плотность сжимаемого газа в моделируемом процессе колебаний изменяется в соответствии с периодом хождения возбуждающего колебания газа поршня То ~ 5,5 мс.

Численное моделирование демонстрирует, что в процессе колебаний аэрозоля величина у-составляющей скорости дисперсной фазы имеет некоторое отличие от величины изменения у-составляющей скорости газа (рис. 9).

В процессе колебаний вязкого газа в закрытой трубе величина изменения х-составляющей скорости газа существенно меньше, чем величина изменения ^-составляющей скорости газа (рис. 10).

#*1012, м-3

13.76-

13.74-

13.72-

0.655

0.660

0.665

0.670 t, С

Рис. 5. Зависимость концентрации дисперсных частиц от времени в точке

р, кПа 96.9

96.8

96.7

96.6

96.5

0.490

0.498 t, С

Рис. 6. Колебания давления газа в акустическом резонаторе на закрытом конце трубы: а - результаты численного расчета; б - величины, полученные в физическом эксперименте [9]

р, кПа 97.1 -

97.096.996.8-

96.7

0.0 0.2 0.4 0.8 1.0 у, м

Рис. 7. Распределение давления газа вдоль оси у, х = к/2

"08"

Р кг/м'

1.354-

1.352-

1.350-

1.348-

1.346-

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 С Рис. 8. Зависимость плотности газа от времени в точке

V, м/с 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 у м

Рис. 9. Пространственное распределение у-составляющей скорости компонент смеси вдоль оси симметрии канала, х = 0,05 м, кривая 1 - газ; кривая 2 - дисперсная компонента

Рис. 10. Распределение х-составляющей скорости газа вдоль оси у, х = И/2

Распределение х-составляющей скорости газа в направлении оси х демонстрирует, что поперек канала происходит изменение направления поперечной составляющей скорости газа, также можно наблюдать, что величина данной составляющей вектора скорости газа соответствует граничным условиям Дирихле на боковых поверхностях акустического резонатора (рис. 11). При этом относительно середины канала наблюдается симметрия х-состав-ляющей скорости газа.

и, м/с

Рис. 11. Распределение х-составляющей скорости газа вдоль оси х, у = И/2

Моделирование динамики аэрозоля с помощью математической модели, учитывающей взаимообратные эффекты динамики неоднородных сред, демонстрирует, что при заданном объемном содержании дисперсной компоненты смеси в процессе колебаний температура дисперсной компоненты не существенно отличается от температуры газа вдоль продольного направления канала (рис. 12,а).

а)

б)

Рис. 12. Пространственное распределение температуры компонент смеси вдоль оси у, х = к/2 (а); временная зависимость температуры компонент смеси в точке (х = к/2, у = Ь/2) (б); кривая 1 - несущая среда, кривая 2 - дисперсная компонента

Временные зависимости для температур несущей и дисперсной компонент смеси также демонстрируют, что для моделируемого режима колебаний и параметров дисперсной компоненты температурная неравновесность компонент смеси не наблюдается (рис. 12,б).

Заключение

В работе проведено численное моделирование колебаний аэрозоля в акустическом резонаторе. Численные расчеты были сопоставлены с результатами физического эксперимента, сопоставление дало приемлемое количественное совпадение. При этом изменение амплитуды колебаний давления газа в вычислительном эксперименте имеет меньшее значение, чем в физическом эксперименте. Численные расчеты демонстрируют периодическое изменение концентрации частиц в процессе колебаний аэрозоля. Также было определено, что х-составляющая скорости газа в закрытой трубе, которая расположена в вертикальном направлении (вдоль оси у) и в которой движе-

ние поршня также направлено вдоль оси у, имеет существенно меньшую величину изменений, чем у-составляющая скорости газа. Поперечная составляющая скорости газа в процессе колебаний меняет направление в поперечном сечении моделируемого канала. Выявлено, что в процессе колебаний газа с дисперсными частицами наблюдается некоторое «скоростное скольжение» компонент смеси — различие в величинах скоростей газа и частиц. Вычисленные в процессе моделирования пространственные и временные зависимости температур компонент демонстрируют, что в смеси не наблюдается существенных температурных различий газа и дисперсных частиц.

Список литературы

1. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 464 с.

2. Кутушев А. Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах. СПб. : Недра, 2003. 284 с.

3. Федоров А. В., Фомин В. М., Хмель Т. А. Волновые процессы в газовзвесях частиц металлов. Новосибирск, 2015. 301 с.

4. Вараксин А. Ю., Протасов М. В. О влиянии вдува газа на защиту поверхностей тел, обтекаемых двухфазным потоком // Теплофизика высоких температур. 2017. № 6. С. 785-788.

5. Пахомов М. А., Терехов В. И. Влияние испарения капель на структуру течения и тепломассобмен в ограниченном закрученном газокапельном потоке за его внезапным расширением // Теплофизика и аэромеханика. 2018. № 6. С. 865-875.

6. Абед А. Х., Щеклеин С. Е., Пахалуев В. М. Интенсификация теплообмена воздушных теплообменников аварийного расхолаживания и сухих градирен АЭС с использованием водо-воздушного аэрозоля (тумана) // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. 2019. № 3. С. 16-27.

7. Баянов И. М., Гортышов Ю. Ф., Тонконог В. Г., Тонконог М. И. Моделирование динамики двухфазного потока в сепараторе // Вестник Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева. 2013. № 4. С. 34-42.

8. Тонконог В. Г., Баянов И. М., Тонконог М. И., Мубаракшин Б. Р. Технология газификации сжиженного природного газа // Инженерно-физический журнал. 2016. Т. 89, № 4. С. 818-825.

9. Губайдуллин Д. А., Зарипов Р. Г., Ткаченко Л. А., Шайдуллин Л. Р. Экспериментальное исследование коагуляции и осаждения газовзвеси в закрытой трубе при переходе к ударно-волновому режиму // Теплофизика высоких температур. 2017. № 3. С. 484-486.

10. Лисаков С. А., Сидоренко А. И., Сыпин Е. В. Моделирование запыленности в тупиковой выработке угольной шахты // Южно-Сибирский научный вестник. 2019. № 4. С. 200-213.

11. Нестеров С. В., Акуленко Л. Д., Байдулов В. Г. Собственные колебания акустического резонатора с локальной перегородкой // Доклады Академии наук. 2016. № 3. С. 279-282.

12. Федорченко И. А., Федоров А. В. Математическое моделирование акустических и газодинамических процессов в канале установки акустоконвективной сушки // Инженерно-физический журнал. 2013. № 4. С. 685-688.

13. Дар Р. М. З., Хорси А. Численное исследование термоакустического устройства со стоячей волной // Теплофизика и аэромеханика. 2015. № 3. С. 327-332.

14. Тукмаков Д. А. Способ увеличения интенсивности колебаний газа, генерируемых в акустическом резонаторе // Вестник Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева. 2014. № 3. С. 79-82.

15. Тукмаков Д. А. Увеличение интенсивности колебаний газа в акустическом резонаторе // Инженерно-физический журнал. 2015. Т. 88, № 3. С. 638-641.

16. Тукмаков Д. А., Тукмакова Н. А. Методика численного исследования отражения ударной волны от твердой поверхности в запылённой среде // Вестник Воронежского государственного университета. Сер.: Системный анализ и информационные технологии. 2019. № 4. С. 47-54.

17. Тукмаков Д. А. Численная модель течения аэрозоля, обусловленного взаимодействием частиц и газа // Сложные системы. 2021. № 1. С. 64-71.

18. Тукмаков Д. А., Тукмакова Н. А. Численное исследование влияния коагуляции капель на динамику двухфракционного аэрозоля в акустическом резонаторе // Российский технологический журнал. 2021. № 2. С. 96-104.

19. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : в 2 т. М. : Мир, 1991. Т. 2. 552 с.

20. Тукмаков А. Л. Модель движения и осаждения заряженной газовзвеси в электрическом поле // Инженерно-физический журнал. 2014. № 1. С. 35-44.

21. Музафаров И. Ф., Утюжников С. В. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сжимаемого газа // Математическое моделирование. 1993. № 3. C. 74-83.

22. Горелик Г. С. Колебания и волны. М. : Физматлит, 1959. 572 с.

References

1. Nigmatulin R.I. Dinamika mnogofaznykh sred. Ch. 1 = Dynamics of multiphase media. Part 1. Moscow: Nauka, gl. red. fiz.-mat. lit., 1987:464.

2. Kutushev A.G. Matematicheskoe modelirovanie volnovykh protsessov v aerodis-persnykh i poroshkoobraznykh sredakh = Mathematical modeling of wave processes in aerodisperse and powder media. Saint Petersburg: Nedra, 2003:284.

3. Fedorov A.V., Fomin V.M., Khmel' T.A. Volnovye protsessy v gazovzvesyakh chastits metallov = Wave processes in gas suspensions of metal particles. Novosibirsk, 2015:301.

4. Varaksin A.Yu., Protasov M.V. On the influence of gas injection on the protection of the surfaces of bodies in a two-phase flow. Teplofizika vysokikh temperature = Thermal physics at high temperatures. 2017;

5. Pakhomov M.A., Terekhov V.I. Effect of droplet evaporation on the flow structure and heat and mass transfer in a limited swirling gas-droplet flow after its sudden expansion. Teplofizika i aeromekhanika = Thermophysics and aeromechanics. 2018;

6. Abed A.Kh., Shcheklein S.E., Pakhaluev V.M. Intensification of heat transfer of air heat exchangers of emergency cooldown and dry cooling towers of nuclear power plants using water-air aerosol

7. Bayanov I.M., Gortyshov Yu.F., Tonkonog V.G., Tonkonog M.I. Simulation of two-phase flow dynamics in a separator. Vestnik Kazanskogo gosudarstvennogo tekhnich-eskogo universiteta im. A.N. Tupoleva = Bulletin of Kazan State Technical University named after A.N. Tupolev. 2013;

8. Tonkonog V.G., Bayanov I.M., Tonkonog M.I., Mubarakshin B.R. Technology of gasification of liquefied natural gas. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal = Engineering and physical journal. 2016;89

9. Gubaydullin D.A., Zaripov R.G., Tkachenko L.A., Shaydullin L.R. Experimental study of coagulation and settling of a gas suspension in a closed pipe during the transition to the shock wave mode. Teplofizika vysokikh temperature = Thermal physics at high temperatures. 2017;

10. Lisakov S.A., Sidorenko A.I., Sypin E.V. Modeling of dust content in a dead-end working of a coal mine. Yuzhno-Sibirskiy nauchnyy vestnik = South Siberian scientific bulletin. 2019;

11. Nesterov S.V., Akulenko L.D., Baydulov V.G. Natural vibrations of an acoustic resonator with a local baffle. Doklady Akademii nauk = Reports of the Academy of Sciences. 2016;

12. Fedorchenko I.A., Fedorov A.V. Mathematical modeling of acoustic and gas-dynamic processes in the channel of an acoustic-convective dryer. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal = Engineering and physical journal. 2013;

13. Dar R.M.Z., Khorsi A. Numerical study of a thermoacoustic device with a standing wave. Teplofizika i aeromekhanika = Thermophysics and Aeromechanics. 2015;

14. Tukmakov D.A. A method for increasing the intensity of gas oscillations generated in an acoustic resonator. Vestnik Kazanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universi-teta im. A. N. Tupoleva = Bulletin of Kazan State Technical University named after A.N. Tupolev. 2014;

15. Tukmakov D.A. Increasing the intensity of gas oscillations in an acoustic resonator. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal = Engineering and physical journal. 2015;88

16. Tukmakov D.A., Tukmakova N.A. Technique for numerical study of shock wave reflection from a solid surface in a dusty environment. Vestnik Voronezhskogo gosudar-stvennogo universiteta. Ser.: Sistemnyy analiz i informatsionnye tekhnologii = Bulletin of Voronezh State University. Series: System analysis and information technology. 2019;

17. Tukmakov D.A. Numerical model of aerosol flow due to the interaction of particles and gas. Slozhnye sistemy = Complex systems. 2021;

18. Tukmakov D.A., Tukmakova N.A. Numerical study of the effect of droplet coagulation on the dynamics of two-fraction aerosol in an acoustic resonator. Rossiyskiy tekhnolog-icheskiy zhurnal = Russian technological journal. 2021;

19. Fletcher K. Vychislitel'nye metody v dinamike zhidkostey: v 2 t. = Computational methods in fluid dynamics: in 2 volumes. Moscow: Mir, 1991;2:552.

20. Tukmakov A.L. Model of motion and settling of a charged gas suspension in an electric field. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal = Engineering and physical journal. 2014;

21. Muzafarov I.F., Utyuzhnikov S.V. Application of compact difference schemes to the study of unsteady compressible gas flows. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical modeling. 1993;

22. Gorelik G. S. Kolebaniya i volny = Vibrations and waves. Moscow: Fizmatlit, 1959:572.

Информация об авторах / Information about the authors

Дмитрий Алексеевич Тукмаков кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт механики и машиностроения Федерального исследовательского центра «Казанский научный центр Российской академии наук»

E-mail: tukmakovda@imm.knc.ru

Dmitriy A. Tukmakov

Candidate of physical and mathematical

sciences, researcher, Institute of Mechanics

and Engineering of the Federal Research

Center Kazan Scientific Center

of the Russian Academy of Sciences

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 03.03.2022

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 30.06.2022 Принята к публикации / Accepted 09.10.2022