Метод учета ограниченных внешних воздействий при синтезе обратных связей с многоцелевой структурой

УДК 681.5.013

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2

М. Н. Смирнов

МЕТОД УЧЕТА ОГРАНИЧЕННЫХ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПРИ СИНТЕЗЕ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ С МНОГОЦЕЛЕВОЙ СТРУКТУРОЙ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Задача о подавлении внешних возмущений — одна из основных в теории управления и рассматривается в различных ее разделах и приложениях. Во многих практических случаях внешние возмущения являются просто ограниченными, и какая-либо иная информация о них отсутствует. В таких ситуациях требуется выбрать закон управления, который давал бы наилучший возможный результат по качеству динамики для наихудшего варианта ограниченного возмущения, обеспечивая при этом требуемую степень устойчивости замкнутой системы и свойство астатизма. В статье предлагается метод формирования закона автоматического управления, обеспечивающего одновременно три указанные выше свойства замкнутой системы: наилучшее подавление ограниченных внешних возмущений, требуемую степень устойчивости замкнутой системы и астатизм по выходу. Библиогр. 7 назв. Ил. 6.

Ключевые слова: ограниченные внешние воздействия, управление, стабилизация, степень устойчивости, астатизм.

M. N. Smirnov

THE METHOD OF ACCOUNTING OF BOUNDED EXTERNAL DISTURBANCES FOR THE SYNTHESIS OF FEEDBACKS WITH MULTI-PURPOSE STRUCTURE

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Federation

The problem of suppression of external disturbances is one of the main problems in control theory. In many practical cases external impacts are just bounded and any other information is absent. In such situations it's need to choose the control law, that will give the best possible result on the quality of the dynamics under the worst bounded disturbances. At the same time it's important to provide the required degree of stability of the closed-loop system and property of astaticism. The paper proposes a method to construct an automatic control law that provides for three properties of a closed system stated above: the best compensation of bounded external disturbances, the desired degree of stability of the closed-loop system and astaticism. Bibliogr. 7. Il. 6.

Keywords: bounded external disturbances, control, stabilization, the degree of stability, astaticism.

Введение. Задача о подавлении внешних возмущений относится к основным в теории управления и рассматривается в различных ее разделах и приложениях. В большинстве задач, представленных в научной литературе (в частности, в работах [1-4]), возмущения обычно задаются в конкретном виде. В ряде ситуаций их принимают неограниченно убывающими с течением времени. Однако во многих практических случаях внешние возмущения являются просто ограниченными, и какая-либо иная информация о них отсутствует. В таких ситуациях требуется выбрать закон

Смирнов Михаил Николаевич — аспирант; e-mail: smirnov-mn@mail.ru Smirnov Mikhail Nikolaevich — post-graduate student; e-mail: smirnov-mn@mail.ru

управления, который давал бы наилучший возможный результат по качеству динамики для наихудшего варианта ограниченного возмущения.

Важный показатель качества управления - длительность переходного процесса, которая напрямую связана со степенью устойчивости рассматриваемой системы: чем ближе степень устойчивости к нулю, тем медленнее завершается переходный процесс. В связи с этим при формировании закона управления необходимо контролировать степень устойчивости.

Еще одним необходимым требованием, предъявляемым к системе управления, служит наличие свойства астатизма по регулируемой координате, т. е. способности приводить ошибку регулирования к нулю при постоянном внешнем воздействии.

В статье предлагается метод формирования закона автоматического управления курсом морского судна, обеспечивающего одновременно три указанные выше свойства замкнутой системы: наилучшее подавление ограниченных внешних возмущений, требуемую степень устойчивости замкнутой системы и астатизм по курсу.

Задача синтеза. Пусть имеется линейный стационарный объект управления, функционирование которого определяется математической моделью

x = Ax + Bu + Hd(t),

У = Cx,

где x(t) G En - вектор состояния; y(t) G Em - выход системы; u e Er - управляющее воздействие; d(t) e El - ограниченное внешнее возмущение, удовлетворяющее условию

Необходимо выбрать такой закон управления, который обеспечит астатизм системы и одновременно компенсирует ограниченные внешние воздействия.

Будем называть линейную стационарную систему (1) со входом d и выходом y астатической по выходной переменной, если для ступенчатого входного сигнала

d(t) = do • 1(t) при любом вещественном do выполняется условие lim y(t) = yo = 0,

t—

где yo - значение выхода, соответствующее положению равновесия системы с постоянным входным сигналом do.

Решение поставленной задачи разделим на следующие основные этапы:

1) поиск коэффициентов базового закона управления u = Kx, подавляющего ограниченные внешние возмущения (2) и обеспечивающего наперед заданную степень устойчивости характеристического полинома замкнутой системы;

2) формирование скоростного регулятора на основе базового закона, обеспечивающего астатизм замкнутой системы по выходу.

Рассмотрим последовательно каждый из указанных этапов.

На первом этапе сформируем управление, обеспечивающее подавление ограниченных внешних возмущений (2) и гарантирующее требуемую степень устойчивости, в виде линейной обратной связи по состоянию:

u = Kx.

В формуле (3) матрица коэффициентов усиления K подлежит поиску. Будем называть число а = — max [ReAj] степенью устойчивости полинома P(s) степени п

i=l,п

с корнями Ai,..., Xn(рис. 1).

Обозначим через ар требуемую степень устойчивости характеристического полинома матрицы линейной замкнутой системы, а через а = а(К) - фактическую.

• а 1т Ые

• 0

Рис. 1. Распределение корней полинома Р(в) на комплексной плоскости

С учетом введенных обозначений сформулированная задача примет следующий вид: найти матрицу коэффициентов К регулятора и = Кх такую, что

В качестве основы для вывода решения (4) будем использовать метод компенсации ограниченных внешних возмущений, предложенный в работе [5], который базируется на применении инвариантных эллипсоидов.

Эллипсоид с центром в начале координат

£х = {х е Яп : хтР-1 х < 1} , Р > 0,

называется инвариантным по переменной х (по состоянию) для динамической системы (1), (2), если из условия х(0) е £х следует х(£) е £х для всех моментов времени г > 0 (рис. 2).

Матрицу Р будем называть матрицей эллипсоида гх. Здесь и далее по тексту положительную определенность матрицы будем обозначать в виде Р > 0. Другими словами, любая траектория системы х(£), исходящая из эллипсоида гх, в каждый последующий момент времени принадлежит этому эллипсоиду. Аналогично определяется инвариантный эллипсоид по выходу системы у:

£у = {у е Яш : ут(СРСТ)-1 у < 1} , Р > 0,

где Р > 0 - матрица эллипсоида гх.

Множество инвариантных эллипсоидов по выходу у позволяет оценить меру воздействия внешних возмущений на выход системы. Выбрав из множества инвариантных эллипсоидов £у минимальный по некоторому критерию, мы ограничим влияние внешнего воздействия на выход системы у (г).

Минимальный эллипсоид будем выбирать по критерию следа, приняв в качестве целевой функции выражение /(Р) = "г (СРСТ), определяющее сумму квадратов полуосей инвариантного эллипсоида по выходу системы (1).

Рассматриваемый метод решения задачи компенсации внешних воздействий, основанный на минимизации оценки 11 -нормы выхода системы управления, предложен

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 2. Инвариантный эллипсоид гх по состоянию

в монографии [5]. Его суть сводится к решению однопараметрической задачи минимизации

/_____Т1 \

шЫг (СРСТ),

а>0 4 /

где Р = Р

АР + РЛТ + аР + а-1 ННТ < 0, Р > 0.

Решив задачу (5), получаем эллипсоид, обладающий минимальным следом среди всех эллипсоидов, содержащих достижимое множество по выходу. Однако это не гарантирует достаточного запаса устойчивости, от величины которого напрямую зависит быстродействие системы.

Для обеспечения требуемой степени устойчивости предлагается использовать метод, основанный на построении вспомогательного полинома с заданной наперед степенью устойчивости, который предложен Е. И. Веремеем [6]. В соответствии с данным методом такой полином степени строится в виде

А* (8, у) =

если — четное;

А * (8, у),

(8 + аа+1 (уа)) А * (8, у), если — нечетное,

где

а * (8, у) = П (82 + а] (у, а) 8 + а0 (у, а)),

й = [^/2], аду,а) = 2а + 7Д, у,а) = а2 + 7Да + 7г22, i = \,d1

аа+1 (У а) = 7ао + а, У = {711,712,721Л22,..., !<и,1а2, 1ао}.

Здесь у е Епа - произвольный вектор, а > 0 - заданная степень устойчивости полинома А*(в,у). Таким образом, задав произвольный вектор 7, по формулам (6)-(9) можно построить полином, который будет обладать требуемой степенью устойчивости.

Для формирования системы автоматического управления движением на основе решения задачи (5) предлагается модифицировать метод компенсации ограниченных внешних воздействий (предложенный в [5]), объединив его с методом обеспечения желаемой степени устойчивости (представленным в [6]) путем построения вспомогательного полинома.

Разработанный метод состоит в следующем:

1. Разрешить уравнение

АР + РАт - 7ББт + аР + а-1ННт = 0, Р > 0,

относительно матричной переменной Р, выражая ее компоненты через параметры а и 7.

2. Определить коэффициенты регулятора к1, к2, кз, как функции параметров а и 7 с помощью соотношений

и = -1БтР-1(а,7)х = Кх ^ К(а,7) = БтР-1(а,7).

3. Замкнуть систему (1) управлением и = К(а, 7)х.

4. Построить характеристический полином замкнутой системы в зависимости от а и 7:

ф) = ёефЕ - А - БК(а, 7)).

5. Задать требуемую степень устойчивости п и построить вспомогательный полином А* (в).

6. Приравнять коэффициенты при соответствующих степенях в характеристическом и вспомогательном полиномах, получив систему уравнений относительно параметров а и 7.

7. Найти значения ао и 70, доставляющие минимум функции Ьг (СР(а, 7)Ст), с учетом дополнительных ограничений (см. шаг 6).

8. По ао и 70 вычислить вектор К коэффициентов регулятора

К = -7Бт Р-1.

Рассчитав коэффициенты базового регулятора, перейдем ко второму этапу, который заключается в построении скоростного регулятора, дающего астатизм по регулируемой координате. Такой регулятор однозначно строится в силу уравнений динамики объекта на базе исходного управления и = Кх, полученного на первом этапе [7].

Покажем, что скоростной регулятор обеспечивает астатизм системы по выходу, считая, что его коэффициенты гарантируют устойчивость. С этой целью рассмотрим уравнения замкнутой системы

х = Ах + Б5 + На,

5 = и, У = Сх, и = + vy.

Из них следует, что в статике, если ограничения по отклонениям рулей ее допускают, имеем

Ах + Б5 + На = 0, У = 0.

Таким образом, структура скоростного регулятора гарантирует обеспечение аста-тизма по выходу у при условии устойчивости замкнутой системы. Тогда система (1), замкнутая управлением и = Кх = (&1 к2 кз к4) х, примет вид

х = Асх + нса(г),

У = Сх,

где Ас = А+БК; Нс = Н. Приведем базовый регулятор в силу линейных уравнений объекта к скоростной форме

и = + vy,

полагая при этом воздействие внешней среды нулевым и определяя коэффициенты V.

Таким образом, по найденному на первом этапе закону управления и = Кх, обеспечивающему выполнение заданных требований, однозначно строится скоростной закон (10), структура которого гарантирует астатизм.

Пример. Предложенный подход проиллюстрируем на примере синтеза автоматического управления движением по курсу для морского транспортного судна водоизмещением 6000 т.

В качестве математической модели объекта управления примем следующую систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений:

в

сО

ф

6

Здесь о - угловая скорость относительно вертикальной оси, ф - курс, 6 - угол отклонения вертикальных рулей, в - угол дрейфа, и - управляющее воздействие, ¿(г) -внешнее возмущение, определяемое порывами ветра и морским волнением, ац, а12, 21, а22, 61, 62, ^1, ^2 - заданные постоянные коэффициенты. Предполагается, что величина ¿(г) удовлетворяет ограничению (2).

В качестве управления, обеспечивающего компенсацию внешних возмущений, будем использовать регулятор в форме статической обратной связи по состоянию, представленный уравнением

и = к1в + к20 + кзф + к4б,

где к1, к2, кз, к4 - коэффициенты, которые подлежат выбору в процессе решения задачи синтеза. При этом необходимо учитывать технические ограничения на рули и скорость их поворота: |6| ^ 30°, |и| ^ 3°/с. Преобразуем систему (11), вводя обозначение х = (в о ф 6) . Тогда систему (11) можно записать таким образом (1):

х = Ах + Би + На(г), У = Сх.

= ацв + а120 + 616 + Ъ,1й(г),

--а21в + а22о + 626 + ^Ф),

= о,

и.

Матрицы А, В, С, Н имеют постоянные компоненты

А

С

/—0.04544 0.56 0 -0.0132\ 0.026688 -0.408 0 -0.0074

0 0

/1 0 0 0\ 0 10 0 0 0 10 ^0 0 0 1/

В

/

0 0

0 1

Н

—0.0648 —0.00455

0 0

/

Отсюда система (1), замкнутая управлением (3), принимает вид

х = Асх + нса(г),

У = Сх,

где Ас = А + ВК; Нс = Н; К = (к! к2 к3 к4).

Зададим требуемую степень устойчивости а = 0.06 замкнутой системы (13). В результате применения разработанного алгоритма, реализующего первый этап синтеза, получим базовый закон управления с коэффициентами

к! = 0.1738, к2 = 10.6013, к3 = 1.0242, к4 = —0.0378.

При использовании синтезированного регулятора собственные числа матрицы замкнутой системы равны

Л! = —0.3138, Л2 = —0.0599 + 0.1886«, А3 = —0.0599 — 0.1886«, Л4 = —0.0574,

т. е. требуемая степень устойчивости достигнута. Далее, следуя второму этапу, исключим из закона управления (12) переменные в и 6, разрешив относительно них первые два уравнения системы (1), и подставим их в закон управления, применяя соответствующие величины первых производных. Это дает управление

М!$ + + Мз^ + ,

в котором

к!

=

(ап/Ь! — а2!/&2)Ь]

+ к4

а!!

Ь! Ь2

____^ I «11

112 (ац/Ь1 - а21/Ь2)Ь2 4 6162 '

_ ~к\

V = кз.

Таким образом, коэффициенты скоростного регулятора принимают следующие

значения:

М! = —0.000054, /л2 = —0.000028, /л3 = 0.001, V = —0.00029.

Для проверки качества закона управления проведем имитационное моделирование в среде МАТЬАВ - БтиНпк при воздействии на судно случайного ограниченного

и

1

внешнего возмущения. Заметим, что требование к степени устойчивости является весьма существенным при решении практических задач. Поскольку исходный метод инвариантных эллипсоидов не гарантирует достаточного удаления собственных значений матрицы замкнутой системы от мнимой оси, он может привести к результату, не обеспечивающему достаточного быстродействия.

Случай 1. Реакция на ограниченное внешнее воздействие. Пусть ограниченное внешнее возмущение представляет собой последовательность случайных ограниченных «всплесков» продолжительностью 50 с (рис. 3).

Возмущение, гр/с 150 100 50 0

-50 -100 -150

0 10 20 30 40 50 60 70

Время, с

Рис. 3. Ограниченное внешнее возмущение

На рис. 4, а, б сплошная линия представляет динамику судна (изменение курса и отклонение рулей соответственно) при использовании на первом этапе закона управления (*) в процессе компенсации указанного возмущения, пунктирная - иллюстрирует те же процессы при применении стандартного управления, полученного по методу инвариантных эллипсоидов [5]. Как видно из рис. 4, а, при использовании управления (*) отклонение от курса составляет менее 1°, а метода инвариантных эллипсоидов - 5°. При этом время стабилизации курса судна после окончания действия ограниченного возмущения в первом случае равно приблизительно 20 с, а во втором -45 с. Таким образом, закон управления (14), построенный на базе (*), обеспечивает лучшую компенсацию возмущений, чем закон управления, полученный по методу инвариантных эллипсоидов без требования обеспечения заданной степени устойчивости.

Случай 2. Реакция на ступенчатое внешнее возмущение. В качестве внешнего воздействия примем зашумленный ступенчатый сигнал (рис. 5).

Динамика соответствующего процесса представлена на рис. 6, I, а, б, иллюстрирующих соответственно отклонение курса и вертикальных рулей при использовании на первом этапе управления (*) (сплошная линия) и управления по методу инвариантных эллипсоидов (пунктирная линия). Как следует из рис. 6 I, система обладает свойством астатизма в обоих случаях, однако для разработанного алгоритма переходный процесс завершается на 40 с быстрее.

Случай 3. Отработка командного сигнала при действии ограниченных внешних возмущений. Пусть маневр заключается в повороте судна по курсу на заданный угол 10° под воздействием возмущений длительностью 50 с (см. рис. 3). Динамический процесс при применении на первом этапе закона управления (*) и закона

Рис. 4- Изменение курса

Объяснение в тексте.

Возмущение, гр/с

60 70 Время, с

Рис. 5. Зашумленный ступенчатый сигнал

управления по методу инвариантных эллипсоидов представлен на рис. 6, II, а, б. Как на нем видно, при использовании исходного метода вместо разработанного качество динамического процесса заметно ухудшается: переходный процесс завершается почти на 50 с позже и перерегулирование при более интенсивной работе рулей принимает недопустимо большое значение.

Курс, гр

150 Время, с

Рис. 6. Изменение курса (а) и отклонение вертикальных рулей (б) (I - случай 2, II - случай 3) Объяснение в тексте.

Заключение. В результате проведенных исследований предложен алгоритм оптимальной компенсации ограниченных внешних воздействий с учетом требований обеспечения свойства астатизма и желаемой степени устойчивости. Он был реализован в интегрированной среде MATLAB, его эффективность и работоспособность проиллюстрированы на примере управления движением транспортного морского судна водоизмещением 6000 т. Проведено сравнение динамики судна при компенсации внешних возмущений с помощью управлений, полученных по разработанному методу и по стандартному методу инвариантных эллипсоидов.

Литература

1. Веремей Е. И., Корчанов В. М, Коровкин М. В. и др. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 370 с.

2. Лукомский Ю. А., Корчанов В. М. Управление морскими подвижными объектами. СПб.: Элмор, 1996. 320 с.

3. Веремей Е. И., Сотникова М. В. Применение метода H^-оптимизации для синтеза фильтров морского волнения // Гироскопия и навигация. 2009. Вып. 2. С. 24—36.

4. Fossen T. I. Guidance and control of ocean vehicles. New York: John Wiley and Sons, 1999. 494 p.

5. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

6. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1986. Вып. 4. С. 123—130.

7. Веремей Е. И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. 2009. Вып. 4. С. 3—14.

References

1. Veremey E. I., Korchanov V. M., Korovkin M. V. a. a. Komp'juternoe modelirovanie sistem upravlenija dvizheniem morskih podvizhnyh ob'ektov (Computer modeling of control systems for marine movable objects). St.-Petersburg: Izd-vo S-Petersb. un-ta, 2002, 370 p.

2. Lukomskiy U. A., Korchanov V. M. Upravlenie morskimi podvizhnymi ob'ektami (The control of the marine movable objects). St.-Petersburg: Elmor, 1996, 320 p.

3. Veremey E. I., Sotnikova М. V. Primenenie metoda H^-optimizacii dlja sinteza fil'trov morskogo volnenija (Application of the H^-optimization method for synthesis of filters for marine disturbances). Giroskopiya i navigatsiya, 2009, no. 2, pp. 24—36.

4. Fossen T. I. Guidance and control of ocean vehicles. New York: John Wiley and Sons, 1999, 494 p.

5. Polyak B. T., Scherbakov P. S. Robastnaja ustojchivost' i upravlenie (Robust stability and control). Moscow: Nauka, 2002, 303 p.

6. Veremey E. I. Obespechenie zadannoj stepeni ustojchivosti reguljatorami s nepolnoj informaciej (Providing the desired degree of stability regulators with incomplete information). Izv. AN USSR. Tehnicheskaya Kybernetika, 1986, no. 4, pp. 123—130.

7. Veremey E. I. Sintez zakonov mnogocelevogo upravlenija dvizheniem morskih ob'ektov (The synthesis of the laws of multipurpose control for marine movable objects). Giroskopiya i navigatsiya, 2009, no. 4, pp. 3-14.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 19 декабря 2013 г.