Выбор датчиков нормально распределённых случайных величин для статистического моделирования при оценке эффективности РСЗО

УДК 623.54

ВЫБОР ДАТЧИКОВ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЁННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РСЗО

Д.Б. Скорлупкин, В.Ю. Сладков

Проведен выбор оптимального с точки зрения быстродействия генератора нормально распределённых случайных чисел, который может быть использован при реализации метода статистических испытаний при оценке боевой эффективности комплексов реактивных систем залпового огня. Рассмотрены общие принципы метода статистического моделирования, три метода получения нормально распределённых случайных величин, сделаны выводы о выборе оптимального генератора.

Ключевые слова: РСЗО, эффективность, метод Монте-Карло, случайные величины, метод статистических испытаний.

Метод статистических испытаний используется при разработке реактивных систем залпового огня (РСЗО) и реактивных снарядов (РС), например, при оценке параметров разделения кассетных головных частей или наиболее часто при оценке боевой эффективности, то есть тогда, когда аналитическая оценка невозможна или затруднена в силу большой степени неопределённости.

В данной статье рассматривается реализация метода статистического моделирования при оценке эффективности действия разрабатываемых РС РСЗО.

В некоторых случаях, например, для определения вероятности попадания одного снаряда в заданную цель, целесообразно использовать хорошо известные из теории вероятностей аналитические зависимости [1]. Однако задачи, связанные с оценкой эффективности залповой стрельбы кассетными боеприпасами, значительно сложнее. Вероятность попадания и математическое ожидание количества попавших боевых элементов (БЭ) в заданные габариты цели зависят от ряда случайных величин, определяемых точностью и кучностью стрельбы, характеристиками разлета БЭ и т.п. Для решения подобных задач чаще всего используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Годом рождения метода Монте-Карло принято считать 1949, когда вышла в свет статья С. Улама и Н. Метрополиса. В дальнейшем этот метод использовался при разработке водородной бомбы, в теории вычислительной сложности, вычислительной биологии, изучении изменения климата, прикладной статистике и социологии, финансах и многих других. [2, 3]

В общем случае, суть метода статистических испытаний заключается в следующем: если требуется найти значение некоторой величины а, то выбирается некоторая случайная величина X , математическое ожидание которой равно а:

М (X) = а.

Проводится п случайных испытаний (генераций), в результате которых получают ряд возможных значений хг, затем вычисляется среднее арифметическое:

п

£ хг

х =

п

которое принимают в качестве приближенной оценки а * искомой величины а :

а » а* = х .

Применительно к оценке эффективности РСЗО метод Монте-Карло можно в общем случае описать следующим образом. По известным характеристикам точности для каждой боевой машины (БМ) и точки прицеливания (ТП) разыгрывается случайное отклонение центра группирования (ЦГ) залпа, по известным характеристикам кучности для каждого РС разыгрывается случайное отклонение от ЦГ залпа - точка падения или точка вскрытия для кассетных боеприпасов. Для кассетных боеприпасов, для каждого БЭ разыгрывается случайное отклонение точки падения от точки вскрытия. В простейшем случае проводится подсчёт БЭ или РС, попавших в габариты групповой цели, в реальных расчётах проводится дальнейшее моделирование поражения индивидуальных типовых целей по соответствующим методикам. Цикл повторяется несколько раз, и результат - количество РС, попавших в цель, или количество поражённых элементарных целей - определяется как среднее по всем циклам.

Качество оценки параметров зависит от точности модели оцениваемого процесса и количества итераций [4]. Достоверность оценки можно повысить за счёт уточнения моделей и методик расчёта поражения и за счёт возрастания числа итераций, что увеличивает время решения задачи.

Большая часть разыгрываемых случайных величин подчиняется нормальному закону распределения, следовательно, качество оценки будет зависеть и от качества используемых случайных величин. Обычно используются два способа получения случайных величин - использование физических датчиков и физических процессов и генерация на компьютере. В первом способе источником случайных величин являются различные физические процессы, например, эмиссия частиц при распаде радиоактивных элементов, «белый шум» в радиоэфире и т.п. Очевидно, что такой способ требует специального оборудования и используется достаточно редко.

На практике наиболее распространена компьютерная генерация случайных величин, которые более корректно называть псевдослучайными. В настоящее время существует достаточно большое количество генераторов псевдослучайных чисел, которые условно можно разделить на линейно-конгруэнтные, мультипликативные линейно-конгруэнтные, ком-

бинированные и так далее [5]. При этом практически все алгоритмы позволяют получать псевдослучайные числа, подчинённые равномерному закону распределения. Величины с другими законами получают из равномерно распределённых различными математическими преобразованиями.

Одним из наиболее точных методов получения нормально распределённых величин из равномерно распределённых является метод инверсии, позволяющий получить из равномерного распределения практически любое распределение, однако этот метод требует вычисления обратной функции требуемого распределения. Эта задача легко решается для экспоненциального распределения, однако задача вычисления обратной функции нормального распределения не имеет аналитического решения, а использование численных методов - ресурсоёмкий процесс.

Пожалуй, самым простым способом получения нормально распределённых случайных величин является способ, основанный на центральной предельной теореме, однако этот метод считается приближенным и не обеспечивающим достаточного соответствия получаемых значений нормальному закону распределения.

В 1958 году был опубликован метод получения нормально распределённых случайных величин, названный «преобразование Бокса - Мюллера» [4][5], являющихся точным в отличие от метода, основанного на центральной предельной теореме и не требующий большого количества вычислительных ресурсов. Суть его заключается в следующем. Пусть имеется пара независимых равномерно распределённых на интервале (0, 1) случайных величин V и V2, вычислим величины щи ^:

П1 = соз

П2 = соэ(2 -к- Vl) • д/—

Полученные величины ц и и2 являются независимыми и равномерно распределёнными с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

Для ускорения вычислений по зависимостям (1) был предложен метод полярной трансформации [5], в котором вычисление тригонометрических функций заменяется вычислением отношений катетов к гипотенузам, существенно повышающий быстродействие.

Таким образом, для приведения равномерно распределённых величин к нормальному закону распределения требуется получить два случайных числа Vи У2, равномерно распределённых на интервале [-1, +1], при этом должно выполнятся условие

Тогда

0 < (V12 + V2 ) < 1 .

2 2 5 = V1 + V 2 ,

2 - 1п 5 2 - 1п 5

и 1 = 1л/--, и 2 = 2Л--

5

5

В 1976 году А. Киндерман и Дж. Монахан опубликовали метод, названный «Отношение равномерно распределённых случайных величин» (Ratio-Of-Uniforms), позволяющий получать случайные величины с практически любым распределением вероятности p(x) [6]. Суть метода заключается в том, что если генерировать две равномерно распределённые величины u и v так, чтобы

0 < v < 1 ,

0 < и < [p (v /и ) ]1/2 то отношение v/и будет случайной величиной с распределением вероятности p(x).

В 1996 году Джозеф Лева предложил алгоритм, использующий кривые второго порядка для определения области нормального распределения в методе отношений [5, 7]. Алгоритм основан на простейших арифметических действиях, и лишь 1 % генерации нормальных случайных величин требует вычисления логарифма при определении границы области. Несмотря на то, что для вычисления одного нормально распределённого значения в среднем требуется 2,74 равномерно распределённых числа, этот алгоритм считается одним из самых быстрых.

В последнее время для получения равномерно распределённых случайных величин широко используется классический метод Бокса - Мюллера и метод Марсальи - Бокса - Мюллера с применением полярных координат, а также метод отношений с алгоритмом Дж. Левы [5][6][7]. Все эти методы используют два равномерно распределённых случайных числа, но метод отношений вырабатывает только одно значение, а метод Бокса -Мюллера - два нормально распределённых значения.

Проведём оценку быстродействия рассмотренных методов, реализовав восемь различных алгоритмов вычислений. Оценка проводилась по осреднённому времени десяти опытов, каждый из которых представлял собой генерацию 10 случайных величин. При оценке рассматривались 5 реализаций классического метода Бокса - Мюллера, 2 реализации метода Марсальи-Бокса-Мюллера и одна реализация метода отношений Левы. В ходе численного эксперимента также была проведена оценка быстродействия базового алгоритма генерации равномерно распределённых случайных величин (базового генератора), который использовался в остальных алгоритмах. Итоговая оценка быстродействия была нормализована и приведена к быстродействию базового генератора, взятую за 100 %. Результаты оценки приведены на рисунке.

Особенности реализации каждого из представленных на гистограмме генераторов приведены ниже.

Базовый - генератор равномерно распределенных случайных величин, использующийся во всех остальных генераторах. В данной статье использовался «штатный» генератор .NET.

66

Генератор 1 - представляет собой классический алгоритм Бокса -Мюллера. При этом вычисляются два нормально распределённых случайных числа, но используется только одно. Такая реализация не представляет практической ценности и приведена для справки.

Генератор 2 - алгоритм Бокса - Мюллера, но вычисляется только одно значение нормально распределённой величины.

Генератор 3 - классический алгоритм Бокса - Мюллера. Второе значение сохраняется в памяти и используется при повторном вызове. То есть при первом обращении к функции генерируются две нормально распределённые величины, а при втором вычислений не проводится.

Генератор 4 - представляет собой оптимизированный вариант алгоритма Бокса - Мюллера. Как и в предыдущем случае, второе сгенерированное значение сохраняется в памяти для повторного вызова, а сами вычисления оптимизированы за счёт ввода дополнительных переменных.

Генератор 5 - промежуточное решение, использует алгоритм Бокса - Мюллера с оптимизацией, однако вычисляется только одно значение нормально распределённой величины.

Генератор 6 и 7 - нормально распределённые случайные величины генерируются при помощи «полярного» метода Марсальи - Бокса - Мюллера. При этом «Генератор 6» вычисляет только одно значение, а «Генератор 7» вычисляет два, сохраняя второе для последующего вызова, аналогично реализациям генератора под номерами 3 и 4.

Генератор 8 - использует метод отношений в реализации Дж. Левы.

Оценка быстродействия генераторов случайных чисел

Как видно из результатов тестирования быстродействия алгоритмов, представленных на рисунке, лучшие результаты показали генераторы с номерами 4,7 и 8. При этом генератор 8, который предполагался самым быстрым, оказался на последнем месте. Это обстоятельство достаточно легко объяснимо. Во-первых, современные компьютеры используют более совершенные методы вычисления трансцендентных функций, таких, как синус, косинус и логарифм, и исключение таких функций из расчёта не приводит к существенному увеличению быстродействия. Во-вторых, и по-

лярный метод Марсальи, и метод отношений в реализации Левы опираются на так называемый метод просеивания, когда часть сгенерированных равномерно распределённых величин отсеивается. Однако для получения одной нормально распределённой величины полярный метод в среднем использует 1,27 равномерных величины, а метод отношений - 2,74, т.е. практически в два раза больше.

Ещё одним преимуществом метода Марсальи - Бокса - Мюллера является возможность получить сразу два независимых нормально распределённых случайных числа. Это обстоятельство может быть особенно полезным именно при оценке боевой эффективности, так как при моделировании в большинстве случаев требуется получать именно пару значений -отклонение по дальности и по боку. Так, одна реализация при моделировании залпа батареи РСЗО требует от сотни (осколочно-фугасные РС) до нескольких тысяч (кассетные боеприпасы) именно парных значений отклонений.

Проведённые исследования показывают, что в связи с развитием компьютерной техники методы получения нормально распределённых случайных величин, считавшиеся медленными и устаревшими, вновь становятся актуальными. При этом следует отметить необходимость проведения исследований быстродействия алгоритмов при практической реализации, так как результаты исследований, подобных приведённым в данной статье, могут различаться в зависимости от выбранного инструментария -языка программирования, компилятора и аппаратной платформы.

Для оценки эффективности РСЗО методами статистического моделирования наиболее оптимальным является генератор нормально распределённых случайных чисел, основанный на «полярном» методе (методе Марсальи - Бокса - Мюллера - Генератор 7 на рис. 1), так как этот метод обладает максимальным быстродействием при реализации на современных вычислительных средствах и генерирует сразу два случайных числа. Дальнейшее увеличение быстродействия возможно за счет оптимизации базового алгоритма генерации равномерно распределенных случайных величин, однако при этом следует учитывать «качество» генерируемых последовательностей.

Список литературы

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Академия, 2003. 572 с.

2. Метод Монте - Карло [Электронный ресурс]// Wikipedia [сайт]. [2017] .URL: https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Метод_Монте-Карло (дата обращения: 05.10.2017).

3. Monte Carlo method [Электронный ресурс]// Wikipedia [сайт]. [2017]. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Monte Carlo method (дата обращения: 05.10.2017).

4. Брандт З. Анализ Данных. Статистические и вычислительные методы для научных работников и инженеров. М.: Мир, 2003. 686 с.

5. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. 3rd edition. Cambridge University Press, 2007. 1262 с.

6. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы / под ред. Л. Ф. Козаченко (гл. 3, разд. 4.6.4 и 4.7), В. Т. Тер-тышного (гл. 4) и И. В. Красикова (разд. 4.6). 3. М.: Вильямс, 2001. 832 с.

7. Leva J. L. A Fast Normal Random Number Generator [Электронный ресурс] // CiteSeerX - The Pennsylvania State University [сайт]. URL: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.544.5806 (дата обращения 10.10.2017).

Скорлупкин Дмитрий Борисович, зам. нач. отдела, daemychamail. ru, сия, Тула, АО «НПО «СПЛАВ»,

Сладков Валерий Юрьевич, д-р техн. наук, проф., sladkovvainhox.ru, сия, Тула, Тульский государственный университет

CHOOSING NORMAL RANDOM NUMBER GENERATORS FOR STATISTICAL MODELLING COMBAT EFFICIENCY OF MLRS

D.B. Skorlupkin, V.Y. Sladkov

This article deals with choosing the fastest normal random number generator for statistical modelling of comhat efficiency of multiple rocket launch systems. Article gives an overview of statistical modelling (Monte Carlo methods). Descriptions of three normal random number generators are given. To sum up, shown the fastest generator and some ways for further optimization.

Key words: MRLS, efficiency, Monte Carlo method, random numbers, statistical modelling.

Skorlupkin Dmitry Borisovich, Deputy Chief of Department, daemycha mail.ru, Russia, Tula, JSC "SPLA V" SPA ",

Sladkov Valery Yurevich, doctor of technical sciences, professor, sladkovva inhox.ru, Russia, Tula, Tula State University